http___en.wikipedia.org_wiki_Imaginary_number_2.xml
1.1 2.1 2.2 2.3 3.1 3.2 3.3 4.1 4.2 5.1 6.1 7.1 7.2 7.3 8.1 8.2 8.3 8.4 9.1 10.1 10.2 10.3 10.4 11.1 11.2 11.3 11.4 11.5 11.6 11.7 11.8 12.1 12.2 14.1 16.1 17.1 17.2 18.1 19.1 20.1 21.1 21.2 22.1 23.1 24.1 24.2 25.1
Имагинерно число В математиката, имагинерно число (или чисто имагинерно число) е комплексно число, чийто квадрат е отрицателно реално число. Имагинерната единица, означавана с i или j, е пример за имагинерно число. Ако y е различно от нула реално число, i·y е имагинерно число, защото: Имагинерните число са дефинирани през 1572 г. от Рафаел Бомбели. По това време се е мислело, че подобни числа не съществуват, още повече, че нулата и отрицателниче числа били считани от някои за въобръжаеми и безполезни. Множество математици в началото се съпротивлявали да повярват в имагинерните числа, включително Декарт който в своята Геометрия, определя термина като вреден.[1] Въпреки че Декарт пръв използва термина имагинерно число за да означи това, за което днес се използва термина комплексно число, днес терминът имагинерно число обикновено означава комплексно число, чиято реална част е равна на 0, тоест, число от вида i·y. Нулата (0) е единственото число, което е едновременно реално и имагинерно. Съдържание Геометрична интерпретация[редактиране | редактиране на кода] Геометрично, имагинерните число се разполагат по вертикалната ос на комплексната равнина, което позволява те да бъдат представени като разположени перпендикулярно на реалната ос. Един от начините да се представят имагинерните числа е да разгледаме стандартната числова ос, положително нарастващи по величина надясно, и негативно нарастващи по величини наляво. През точка 0 на тази ос x, може да бъде начертана ос y в "положителна" посока, водеща нагоре; "положителните" имагинерни числа по такъв начин "нарастват" по величина нагоре, докато "отрицателните" имагинерни числа "намаляват" по величина надолу. тази вертикална ос често се нарича "имагинерна ос" и се отбелязва с , или просто Im. В това представяне, умножение с −1 съответства на ротация на 180 градуса около началото на координатната система. Умножение с i съответства на 90-градусова ротация в "положително" направление (т.е. обратно на часовниковата стрелка), а уравнението може да бъде интерпретирано като прилагане на две последователни 90-градусови ротации, като сумарния резултат е една 180-градусова ротация. Отбележете, че една 90-градусова ротация в "отрицателно" направлиние(т.е. по посока на часовниковата стрелка) също задоволява тази интерпретация. Това отразява факта, че −i също се явява решение на уравнението — виж имагинерна единица. Приложение на имагинерните числа[редактиране | редактиране на кода] В по-голяма част от дейностите на човека, реалните числа (или дори рационалните числа) предлагат адекватно описание на данните. Дробни числа като ⅔ и ⅛ са безсмислени за някого, който брои камъни, но съществени за някого, който сравнява количествено различни сбирки от камъни. Отрицателните числа като −3 и −5 нямат смисъл в случаите, когато искаме да измерим масата на определен обект, но са съществени, когато следим финансирането. Подобно, имагинерните числа имат съществени конкретни приложения в много науки и свързаните с тях приложни области като обработката на сигнали, теорията на управлението, електромагнетизма, квантовата механика, картографията и много други. В инженерните науки, свързани с електричеството например, напрежението на една батерия се характеризира от едно реално число (наречено амплитуда), +12 v или −12 v. Но напрежението на битовия променлив ток изисква два параметъра. Единият е амплитудата, обикновено 220 волта, а другият е ъгъл (наречен фаза). Затова напрежението има две измерения. Една двумерна количествена величина може да бъде представена математически или чрез вектор, или чрез комплексно число (известно в инженерен контекст като фазор). Във векторно представяне, правоъгълните координати обикновено се означават с X и Y. В представянето чрез комплексни числа, двете слагаеми се обозначават като реална и имагинерна. Когато едно комплексно число е чисто имагинерно, например с реална част 0 и имагинерна част 220, това означава, че напрежението има амплитуда 220 волта и фаза от 90°, което има непосредствен физически смисъл. Някои програмни езици имат вградена поддръжка за имагинерни числа. Например в интерпретатора на Python, те могат да бъдат използвани чрез добавяне на латинската буква J в долен или горен регистър към числото [2]: Пример от Matlab: История[редактиране | редактиране на кода] Декарт пръв използва термина “имагинерно” число през 1637 г. Въпреки това, имагинерните числа са открити доста по-рано от Джироламо Кардано през 16 в. при опитите му да намери аналитично решение на уравненията от трета степен, но не са широко възприети преди появата на трудовете на Леонард Ойлер (1707–1783) и Карл Фридрих Гаус (1777–1855). Степени на [редактиране | редактиране на кода] Степените на се повтарят циклично: Тази зависимост може да бъде представена схематично по следния начин: В случая n е произволно избрано цяло число. Оттук следва извода, че Виж също[редактиране | редактиране на кода] Източници[редактиране | редактиране на кода] - ↑ Alberto A. Martinez, Negative Math: How Mathematical Rules Can Be Positively Bent (Princeton University Press, 2005), обсъжда неяснотите в значението на имагинерните изрази в исторически контекст. - ↑ Ъгловите скоби в началото са част от синтаксиса на интерпретатора и не са част от израза.
1.1 2.1 2.2 2.3 3.1 3.2 3.3 4.1 5.1 6.1 6.2 6.3 6.4 6.5 7.1 8.1 8.2 9.1 10.1 10.2 10.3 10.4 11.1 11.2 11.3 11.4 11.5 12.1 13.1 13.2 14.1 14.2 15.1 16.1 17.1 18.1 19.1 20.1 21.1 22.1 23.1 24.1 24.2 24.3 25.1 25.2 25.3 25.4 26.1 26.2 26.3 27.1 28.1 28.2 28.3 29.1 30.1 30.2 31.1 32.1 33.1 34.1 34.2 35.1 36.1
Imaginary number An imaginary number is a number that can be written as a real number multiplied by the imaginary unit i,[note 1] which is defined by its property i2 = −1.[1] The square of an imaginary number bi is −b2. For example, 5i is an imaginary number, and its square is −25. Except for 0 (which is both real and imaginary[2]), imaginary numbers produce negative real numbers when squared. An imaginary number bi can be added to a real number a to form a complex number of the form a + bi, where the real numbers a and b are called, respectively, the real part and the imaginary part of the complex number.[note 2] Imaginary numbers can therefore be thought of as complex numbers whose real part is zero. The name "imaginary number" was coined in the 17th century as a derogatory term, as such numbers were regarded by some as fictitious or useless. The term "imaginary number" now means simply a complex number with a real part equal to 0, that is, a number of the form bi. Contents History Although Greek mathematician and engineer Heron of Alexandria is noted as the first to have conceived these numbers,[3][4] Rafael Bombelli first set down the rules for multiplication of complex numbers in 1572. The concept had appeared in print earlier, for instance in work by Gerolamo Cardano. At the time, such numbers were poorly understood and regarded by some as fictitious or useless, much as zero and the negative numbers once were. Many other mathematicians were slow to adopt the use of imaginary numbers, including René Descartes, who wrote about them in his La Géométrie, where the term imaginary was used and meant to be derogatory.[5] The use of imaginary numbers was not widely accepted until the work of Leonhard Euler (1707–1783) and Carl Friedrich Gauss (1777–1855). The geometric significance of complex numbers as points in a plane was first described by Caspar Wessel (1745–1818).[6] In 1843 a mathematical physicist, William Rowan Hamilton, extended the idea of an axis of imaginary numbers in the plane to a three-dimensional space of quaternion imaginaries. With the development of quotient rings of polynomial rings, the concept behind an imaginary number became more substantial, but then one also finds other imaginary numbers such as the j of tessarines which has a square of +1. This idea first surfaced with the articles by James Cockle beginning in 1848.[7] Geometric interpretation Geometrically, imaginary numbers are found on the vertical axis of the complex number plane, allowing them to be presented perpendicular to the real axis. One way of viewing imaginary numbers is to consider a standard number line, positively increasing in magnitude to the right, and negatively increasing in magnitude to the left. At 0 on this x-axis, a y-axis can be drawn with "positive" direction going up; "positive" imaginary numbers then increase in magnitude upwards, and "negative" imaginary numbers increase in magnitude downwards. This vertical axis is often called the "imaginary axis" and is denoted iℝ, , or ℑ. In this representation, multiplication by –1 corresponds to a rotation of 180 degrees about the origin. Multiplication by i corresponds to a 90-degree rotation in the "positive" direction (i.e., counterclockwise), and the equation i2 = −1 is interpreted as saying that if we apply two 90-degree rotations about the origin, the net result is a single 180-degree rotation. Note that a 90-degree rotation in the "negative" direction (i.e. clockwise) also satisfies this interpretation. This reflects the fact that −i also solves the equation x2 = −1. In general, multiplying by a complex number is the same as rotating around the origin by the complex number's argument, followed by a scaling by its magnitude. Multiplication of square roots Care must be used in multiplying square roots of negative numbers. For example,[8] the following reasoning is incorrect: The fallacy is that the rule √x√y = √xy, where the principal value of the square root is taken in each instance, is generally valid only if x and y are suitably constrained.[note 3] It is not possible to extend the definition of principal values to the square roots of all complex numbers in a way that preserves the validity of the multiplication rule. Hence √−1 in such contexts should be regarded either as meaningless, or as a two-valued expression with the possible values i and −i. See also - Imaginary unit - de Moivre's formula - NaN (Not a number) - Octonion - Quaternion Notes References - ^ Uno Ingard, K. (1988), Fundamentals of waves & oscillations, Cambridge University Press, p. 38, ISBN 0-521-33957-X, Chapter 2, p 38 - ^ Sinha, K.C. A Text Book of Mathematics XI. Rastogi Publications. Extract of page 11.2 - ^ Hargittai, István (1992). Fivefold symmetry (2nd ed.). World Scientific. ISBN 981-02-0600-3., Extract of page 153 - ^ Roy, Stephen Campbell (2007). Complex numbers: lattice simulation and zeta function applications. Horwood. - ^ Martinez, Albert A. (2006), Negative Math: How Mathematical Rules Can Be Positively Bent, Princeton: Princeton University Press, ISBN 0-691-12309-8, discusses ambiguities of meaning in imaginary expressions in historical context. - ^ Rozenfeld, Boris Abramovich (1988). A history of non-euclidean geometry: evolution of the concept of a geometric space. Springer. - ^ James Cockle (1848) "On Certain Functions Resembling Quaternions and on a New Imaginary in Algebra", London-Dublin-Edinburgh Philosophical Magazine, series 3, 33:435–9 and Cockle (1849) "On a New Imaginary in Algebra", Philosophical Magazine 34:37–47 - ^ Maxwell, E. A. (1959), Fallacies in mathematics, Cambridge University Press, MR 0099907. Chapter VI, §I.2 Bibliography - Nahin, Paul (1998), An Imaginary Tale: the Story of the Square Root of −1, Princeton: Princeton University Press, ISBN 0-691-02795-1, explains many applications of imaginary expressions. External links - How can one show that imaginary numbers really do exist? – an article that discusses the existence of imaginary numbers. - In our time: Imaginary numbers Discussion of imaginary numbers on BBC Radio 4. - 5Numbers programme 4 BBC Radio 4 programme