http___en.wikipedia.org_wiki_Imaginary_unit_1.xml
1.1 2.1 2.2 3.1 3.2 3.3 3.4 4.1 5.1 6.1 7.1 8.1 10.1 10.2 11.1 11.2 12.1 13.1 13.2 13.3 13.4 13.5 13.6 13.7 13.8 14.1 14.2 14.3 15.1 16.1 17.1 19.1 19.2 20.1 21.1 22.1 22.2 22.3 23.1 24.1 25.1 26.1 26.2 26.3 27.1 28.1 28.2 29.1 30.1 31.1 32.1 33.1 33.2 35.1 36.1 38.1 38.2 39.1 40.1 42.1 43.1 44.1 45.1 46.1 48.1 49.1 49.2 49.3 50.1 51.1 52.1 53.1 54.1 55.1 56.1 57.1 58.1 59.1 60.1 61.1 62.1
Имагинерна единица В математиката, физиката и инженерните науки имагинерната единица се означава с или латинското или гръцката буква ( ι ) (Виж алтернативните означения по-долу). Тя позволява системата на реалните числа, да бъде разширена до системата на комплексните числа, Точната дефиниция на термина зависи от специфичния метод на разширение. Главното основание за това разширение е фактът, че не всяко полиномиално уравнение има реални решения. Например, уравнението няма реално решение (виж „Определение“ по-долу). Въпреки това, ако приемем комплексните числа за приемливи решения, всяко полиномиално уравнение има решение. (Виж затвореност.) За историята на имагинерната единица виж история на комплексните числа. Съдържание Определение[редактиране | edit source] По определение, имегинерната единица е едното решение(от две възможни) на квадратното уравнение или съответно Доколкото не съществува реално число, което дава отрицателно реално число след като бъде повдигнато на квадрат, ние си въобразяваме (imagine) такова число и го означаваме със символа i. Дефиницията на i, макар и по-малко „интуитивна” от тази на реалните числа, е коректна от математическа гледна точка. Действията с реални числа могат да бъдат разширени до действия с имагинерни и комплексни числа, приемайки i като неизвестна количествена величина, докато обработваме израза, и след това, използвайки определението, да заместим на всички места, на които се появява i 2 с −1. По-високите степени на също могат да бъдат заместени с −i, 1, , или −1: и −[редактиране | edit source] Доколкото е полином (многочлен) от втора степен, а дискриминантата му е различно от нула (т. е. няма повтарящи се корени), горното уравнение има две различни решения, които са еднакво валидни, а в конкретния случай и взаимно инверсни както адитивно, така и мултипликативно. По-точно, ако едното решение на уравнението сме означили с , стойността − (която не е равна на ) също се явява негово решение. Доколкото уравнението е единственото определение на , излиза, че определението ни е двусмислено (по точно, не добре дефинирано). Въпреки това, ако изберем едното от решенията за „положително", ни е не получаваме противоречащи си един на друг резултати. Това е така, защото въпреки че − и не се количествено еквивалентни (те са отрицателни едно по отношение на друго), няма качествена разлика между и − (което не може да бъде казано за −1 и +1). Двете имагинерни единици имат еднакво основание да бъдат числото, чийто квадрат е −1. Ако всички публикации и учебници по математика, свързани с имагинерните или комплексните числа, бъдат пренаписани, като на всяко място, където се появява −, се замести с + (и следователно на всяко място, където се появява −, се замести с −(−) = +), всички математически факти и теореми ще продължат да бъдат еднакво валидни. Разграничаването на двата корена в уравнението с означаването на единия от тях като "положителен" е артефакт изключително на нотацията; за нито един от двата корена не може да се каже, че e по-първостепенен или фундаментален от другия. Този резултат крие някои тънкости. По-прецизното обяснение изисква да кажем, че въпреки че комплексното поле, определено като R[X]/ (X2 + 1), (виж комплексно число) е еднозначно до степен на изоморфизъм, то не е еднозначно до степен на еднозначен' изоморфизъм — съществуват точно 2 автоморфизма на R[X]/ (X2 + 1), идентичността и автоморфизмът, изобразяващ X като −X. (Това не са единствените автоморфизми в полето C, но са единствените, които съхраняват стойностите на всички реални числа фиксирани.) Виж комплексно число, комплексно спрягане, автоморфизъм, и група на Галоа. Подобни резултати се получават и ако комплексните числа се интерпретират като 2 × 2 реални матрици (виж комплексно число), защото тогава както така и са решения на матричното уравнение В този случай двусмисленият резултат произтича от геометричния избор в коя "посока" около единичната окръжност е "положителната" ротация. По-прецизното обяснение изисква да кажем, че групата на автоморфизъм на SO (2, R) има точно 2 елемента — идентичността и автоморфизмът, който преобразува ротацията по часовниковата стрелка в ротация срещу часовниковата стрелка, и обратно. Всички тези противоречия могат да бъдат решени чрез избор на по-строга дефиниция на комплексните числа, и експлицитно избирайки едно от решенията на уравнението за имагинерна единица. Прецизна употреба[редактиране | edit source] Имагинерната единица понякога бива означавана като ; при всички случаи трябва да се подхожда голямо внимание при преобразуване на формули, които съдържат радикали. Нотацията е запазена единствено за квадратния корен като функция, дефинирана единствено за реални числа ≥ 0. Опитът да се приложат правилата за преобразуване на математически изрази, които съдържат реалната функция корен квадратен, към математически изрази, които съдържат комплексната функция корен квадратен, ще доведе до погрешен резултат: - (погрешно) Правилото е валидно само за реални, неотрицателни стойности на и . За да се избегнат подобни грешки, когато се извършват действия с комплексни числа, стратегията е никога да не се употребява отрицателно число под знака за квадратен корен. Вместо да се запише израз от вида например, прецизният запис налага да запишем . Това е и причината, поради която е въведена имагинерната единица. Корен квадратен от имагинерна единица[редактиране | edit source] Може да предположим, че ще се наложи да разширим множеството на имагинерните числа, за да въведем квадратния корен от i. Това обаче не е необходимо и той може да бъде записан като което и да е от две комплексни числа [1]: Това лесно може да бъде доказано: Степени на [редактиране | edit source] Степените на се повтарят циклично: Тази зависимост може да бъде представена схематично по следния начин: В случая n е произволно избрано цяло число. Оттук следва изводът, че i и формулата на Ойлер[редактиране | edit source] Формулата на Ойлер гласи: където x е реално число. Формулата може също да бъде аналитично разширена за комплексни x. Замествайки , получаваме и достигаме до елегантното тъждество на Ойлер: Това забележително просто равенство свързва пет важни математически величини (0, 1, π, e, чрез i) чрез основните действие сумиране, умножение и повдигане на степен. Пример[редактиране | edit source] Заместването на , където N е произволно избрано цяло число, дава Или, повдигайки всяка от страните на степен , или което показва, че има безкраен брой елементи от вида където N е произволно цяло число. Тази реална стойност, въпреки че е реална, не е еднозначно определена. Причината за това се съдържа във факта, че комплексният логаритъм е функция, която има много значения. Действия с i[редактиране | edit source] Много математически операции, които магат да бъдат извършени с реалните числа, могат да бъдат извършени също с , като повдигане на степен, коренуване, логаритмуване и тригонометрични функции . Число, подигнато на степен , дава: Корен ти от число е: Логаритъм при основа от число е: Косинусът на е реално число: Синусът на е имагинерен: Алтернативни означения[редактиране | edit source] - В електроинженерните науки и свързаните с тях области имагинерната единица често се записва като за да се избегне объркване с електрическия ток като функция от времето, по традиция означаван с или просто Програмният език Python също използва j за означаване на имагинерната единица, докато в Matlab и двете означения i и j са свързани с имагинерната единица. - По-внимателен подход изискват и някои учебници, където по дефиниция j = −i, в часност при случаите с разпространение на вълна (напр. плоска вълна, разпространяваща се надясно в направление x ). - Някои текстове използват гръцката буква йота (ι) за означаване на имагинерната единиза с цел да се избегне объркване. Бележки[редактиране | edit source] - ↑ На колко е равен квадратният корен от i?(en) URL актуализиран на 15 декември 2010.
1.1 2.1 2.2 2.3 3.1 4.1 4.2 5.1 6.1 7.1 8.1 9.1 10.1 10.2 10.3 11.1 12.1 12.2 12.3 13.1 14.1 14.2 14.3 14.4 14.5 14.6 14.7 14.8 15.1 15.2 15.3 16.1 17.1 18.1 19.1 19.2 19.3 20.1 20.2 21.1 22.1 22.2 22.3 22.4 23.1 24.1 25.1 26.1 27.1 28.1 29.1 30.1 31.1 31.2 32.1 33.1 34.1 35.1 36.1 37.1 38.1 39.1 40.1 41.1 42.1 43.1 44.1 45.1 46.1 47.1 48.1 49.1 50.1 51.1 52.1 53.1 54.1 54.2 55.1 56.1 57.1 58.1 59.1 60.1 61.1 62.1 63.1 63.2 63.3 64.1 65.1 66.1 67.1 68.1 69.1 70.1 71.1 71.2 71.3 72.1 73.1 73.2 74.1 75.1 75.2 75.3 76.1 77.1 78.1 79.1 80.1 81.1 82.1 87.1 88.1 89.1 90.1 91.1 92.1 92.2 92.3
Imaginary unit The imaginary unit or unit imaginary number, denoted as i, is a mathematical concept which extends the real number system ℝ to the complex number system ℂ, which in turn provides at least one root for every polynomial P(x) (see algebraic closure and fundamental theorem of algebra). The imaginary unit's core property is that i2 = −1. The term "imaginary" is used because there is no real number having a negative square. There are in fact two complex square roots of −1, namely i and −i, just as there are two complex square roots of every other real number, except zero, which has one double square root. In contexts where i is ambiguous or problematic, j or the Greek ι (see alternative notations) is sometimes used. In the disciplines of electrical engineering and control systems engineering, the imaginary unit is often denoted by j instead of i, because i is commonly used to denote electric current in these disciplines. For the history of the imaginary unit, see Complex number: History. Contents Definition[edit] The imaginary number i is defined solely by the property that its square is −1: With i defined this way, it follows directly from algebra that i and −i are both square roots of −1. Although the construction is called "imaginary", and although the concept of an imaginary number may be intuitively more difficult to grasp than that of a real number, the construction is perfectly valid from a mathematical standpoint. Real number operations can be extended to imaginary and complex numbers by treating i as an unknown quantity while manipulating an expression, and then using the definition to replace any occurrence of i2 with −1. Higher integral powers of i can also be replaced with −i, 1, i, or −1: Similarly, as with any non-zero real number: As a complex number, i is equal to 0 + i, having a unit imaginary component and no real component (i.e., the real component is zero). In polar form, i is 1 cis π/2, having an absolute value (or magnitude) of 1 and an argument (or angle) of π/2. In the complex plane (also known as the Cartesian plane), i is the point located one unit from the origin along the imaginary axis (which is at a right angle to the real axis). i and −i[edit] Being a quadratic polynomial with no multiple root, the defining equation x2 = −1 has two distinct solutions, which are equally valid and which happen to be additive and multiplicative inverses of each other. More precisely, once a solution i of the equation has been fixed, the value −i, which is distinct from i, is also a solution. Since the equation is the only definition of i, it appears that the definition is ambiguous (more precisely, not well-defined). However, no ambiguity results as long as one or other of the solutions is chosen and labelled as "i", with the other one then being labelled as −i. This is because, although −i and i are not quantitatively equivalent (they are negatives of each other), there is no algebraic difference between i and −i. Both imaginary numbers have equal claim to being the number whose square is −1. If all mathematical textbooks and published literature referring to imaginary or complex numbers were rewritten with −i replacing every occurrence of +i (and therefore every occurrence of −i replaced by −(−i) = +i), all facts and theorems would continue to be equivalently valid. The distinction between the two roots x of x2 + 1 = 0 with one of them labelled with a minus sign is purely a notational relic; neither root can be said to be more primary or fundamental than the other, and neither of them is "positive" or "negative". The issue can be a subtle one. The most precise explanation is to say that although the complex field, defined as ℝ[x]/(x2 + 1), (see complex number) is unique up to isomorphism, it is not unique up to a unique isomorphism — there are exactly 2 field automorphisms of ℝ[x]/(x2 + 1) which keep each real number fixed: the identity and the automorphism sending x to −x. See also Complex conjugate and Galois group. A similar issue arises if the complex numbers are interpreted as 2 × 2 real matrices (see matrix representation of complex numbers), because then both - and are solutions to the matrix equation In this case, the ambiguity results from the geometric choice of which "direction" around the unit circle is "positive" rotation. A more precise explanation is to say that the automorphism group of the special orthogonal group SO (2, ℝ) has exactly 2 elements — the identity and the automorphism which exchanges "CW" (clockwise) and "CCW" (counter-clockwise) rotations. See orthogonal group. All these ambiguities can be solved by adopting a more rigorous definition of complex number, and explicitly choosing one of the solutions to the equation to be the imaginary unit. For example, the ordered pair (0, 1), in the usual construction of the complex numbers with two-dimensional vectors. Proper use[edit] The imaginary unit is sometimes written √−1 in advanced mathematics contexts (as well as in less advanced popular texts). However, great care needs to be taken when manipulating formulas involving radicals. The notation is reserved either for the principal square root function, which is only defined for real x ≥ 0, or for the principal branch of the complex square root function. Attempting to apply the calculation rules of the principal (real) square root function to manipulate the principal branch of the complex square root function will produce false results: - (incorrect). Attempting to correct the calculation by specifying both the positive and negative roots only produces ambiguous results: - (ambiguous). Similarly: - (incorrect). The calculation rules and are only valid for real, non-negative values of a and b. These problems are avoided by writing and manipulating i√7, rather than expressions like √−7. For a more thorough discussion, see Square root and Branch point. Properties[edit] Square roots[edit] The square root of i can be expressed as either of two complex numbers[nb 1] Indeed, squaring the right-hand side gives This result can also be derived with Euler's formula by substituting x = π/2, giving Taking the square root of both sides gives which, through application of Euler's formula to x = π/4, gives Similarly, the square root of −i can be expressed as either of two complex numbers using Euler's formula: by substituting x = 3π/2, giving Taking the square root of both sides gives which, through application of Euler's formula to x = 3π/4, gives Multiplying the square root of i by i also gives: Multiplication and division[edit] Multiplying a complex number by i gives: (This is equivalent to a 90° counter-clockwise rotation of a vector about the origin in the complex plane.) Dividing by i is equivalent to multiplying by the reciprocal of i: Using this identity to generalize division by i to all complex numbers gives: (This is equivalent to a 90° clockwise rotation of a vector about the origin in the complex plane.) Powers[edit] The powers of i repeat in a cycle expressible with the following pattern, where n is any integer: This leads to the conclusion that where mod represents the modulo operation. Equivalently: i raised to the power of i[edit] Making use of Euler's formula, ii is where , the set of integers. The principal value (for k = 0) is e−π/2 or approximately 0.207879576...[1] Factorial[edit] The factorial of the imaginary unit i is most often given in terms of the gamma function evaluated at 1 + i: Also, Other operations[edit] Many mathematical operations that can be carried out with real numbers can also be carried out with i, such as exponentiation, roots, logarithms, and trigonometric functions. However, it should be noted that all of the following functions are complex multi-valued functions, and it should be clearly stated which branch of the Riemann surface the function is defined on in practice. Listed below are results for the most commonly chosen branch. A number raised to the ni power is: The nith root of a number is: The imaginary-base logarithm of a number is: As with any complex logarithm, the log base i is not uniquely defined. The cosine of i is a real number: And the sine of i is purely imaginary: Alternative notations[edit] - In electrical engineering and related fields, the imaginary unit is often denoted by j to avoid confusion with electrical current as a function of time, traditionally denoted by i(t) or just i. The Python programming language also uses j to mark the imaginary part of a complex number. MATLAB associates both i and j with the imaginary unit, although 1i or 1j is preferable, for speed and improved robustness.[3] - Some texts use the Greek letter iota (ι) for the imaginary unit, to avoid confusion, esp. with index and subscripts. - Each of i, j, and k is an imaginary unit in the quaternions. In bivectors and biquaternions an additional imaginary unit h is used. Matrices[edit] When 2 × 2 real matrices m are used for a source, and the number one (1) is identified with the identity matrix, and minus one (−1) with the negative of the identity matrix, then there are many solutions to m2 = −1. In fact, there are many solutions to m2 = +1 and m2 = 0 also. Any such m can be taken as a basis vector, along with 1, to form a planar algebra. See also[edit] Notes[edit] - ^ To find such a number, one can solve the equations - (x + iy)2 = i - x2 + 2ixy − y2 = i - x2 − y2 + 2ixy = 0 + i - x2 − y2 = 0 References[edit] - ^ "The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Numbers" by David Wells, Page 26. - ^ "abs(i!)", WolframAlpha. - ^ "MATLAB Product Documentation". Further reading[edit] - Nahin, Paul J. (1998). An Imaginary Tale: The Story of √−1. Chichester: Princeton University Press.