http___simple.wikipedia.org_wiki_Complex_numbers.xml
1.1 2.1 2.2 2.3 3.1 3.2 3.3 4.1 4.2 5.1 6.1 7.1 7.2 7.3 8.1 8.2 8.3 8.4 9.1 10.1 10.2 10.3 10.4 11.1 11.2 11.3 11.4 11.5 11.6 11.7 11.8 12.1 12.2 14.1 16.1 17.1 17.2 18.1 19.1 20.1 21.1 21.2 22.1 23.1 24.1 24.2 25.1
Имагинерно число В математиката, имагинерно число (или чисто имагинерно число) е комплексно число, чийто квадрат е отрицателно реално число. Имагинерната единица, означавана с i или j, е пример за имагинерно число. Ако y е различно от нула реално число, i·y е имагинерно число, защото: Имагинерните число са дефинирани през 1572 г. от Рафаел Бомбели. По това време се е мислело, че подобни числа не съществуват, още повече, че нулата и отрицателниче числа били считани от някои за въобръжаеми и безполезни. Множество математици в началото се съпротивлявали да повярват в имагинерните числа, включително Декарт който в своята Геометрия, определя термина като вреден.[1] Въпреки че Декарт пръв използва термина имагинерно число за да означи това, за което днес се използва термина комплексно число, днес терминът имагинерно число обикновено означава комплексно число, чиято реална част е равна на 0, тоест, число от вида i·y. Нулата (0) е единственото число, което е едновременно реално и имагинерно. Съдържание Геометрична интерпретация[редактиране | редактиране на кода] Геометрично, имагинерните число се разполагат по вертикалната ос на комплексната равнина, което позволява те да бъдат представени като разположени перпендикулярно на реалната ос. Един от начините да се представят имагинерните числа е да разгледаме стандартната числова ос, положително нарастващи по величина надясно, и негативно нарастващи по величини наляво. През точка 0 на тази ос x, може да бъде начертана ос y в "положителна" посока, водеща нагоре; "положителните" имагинерни числа по такъв начин "нарастват" по величина нагоре, докато "отрицателните" имагинерни числа "намаляват" по величина надолу. тази вертикална ос често се нарича "имагинерна ос" и се отбелязва с , или просто Im. В това представяне, умножение с −1 съответства на ротация на 180 градуса около началото на координатната система. Умножение с i съответства на 90-градусова ротация в "положително" направление (т.е. обратно на часовниковата стрелка), а уравнението може да бъде интерпретирано като прилагане на две последователни 90-градусови ротации, като сумарния резултат е една 180-градусова ротация. Отбележете, че една 90-градусова ротация в "отрицателно" направлиние(т.е. по посока на часовниковата стрелка) също задоволява тази интерпретация. Това отразява факта, че −i също се явява решение на уравнението — виж имагинерна единица. Приложение на имагинерните числа[редактиране | редактиране на кода] В по-голяма част от дейностите на човека, реалните числа (или дори рационалните числа) предлагат адекватно описание на данните. Дробни числа като ⅔ и ⅛ са безсмислени за някого, който брои камъни, но съществени за някого, който сравнява количествено различни сбирки от камъни. Отрицателните числа като −3 и −5 нямат смисъл в случаите, когато искаме да измерим масата на определен обект, но са съществени, когато следим финансирането. Подобно, имагинерните числа имат съществени конкретни приложения в много науки и свързаните с тях приложни области като обработката на сигнали, теорията на управлението, електромагнетизма, квантовата механика, картографията и много други. В инженерните науки, свързани с електричеството например, напрежението на една батерия се характеризира от едно реално число (наречено амплитуда), +12 v или −12 v. Но напрежението на битовия променлив ток изисква два параметъра. Единият е амплитудата, обикновено 220 волта, а другият е ъгъл (наречен фаза). Затова напрежението има две измерения. Една двумерна количествена величина може да бъде представена математически или чрез вектор, или чрез комплексно число (известно в инженерен контекст като фазор). Във векторно представяне, правоъгълните координати обикновено се означават с X и Y. В представянето чрез комплексни числа, двете слагаеми се обозначават като реална и имагинерна. Когато едно комплексно число е чисто имагинерно, например с реална част 0 и имагинерна част 220, това означава, че напрежението има амплитуда 220 волта и фаза от 90°, което има непосредствен физически смисъл. Някои програмни езици имат вградена поддръжка за имагинерни числа. Например в интерпретатора на Python, те могат да бъдат използвани чрез добавяне на латинската буква J в долен или горен регистър към числото [2]: Пример от Matlab: История[редактиране | редактиране на кода] Декарт пръв използва термина “имагинерно” число през 1637 г. Въпреки това, имагинерните числа са открити доста по-рано от Джироламо Кардано през 16 в. при опитите му да намери аналитично решение на уравненията от трета степен, но не са широко възприети преди появата на трудовете на Леонард Ойлер (1707–1783) и Карл Фридрих Гаус (1777–1855). Степени на [редактиране | редактиране на кода] Степените на се повтарят циклично: Тази зависимост може да бъде представена схематично по следния начин: В случая n е произволно избрано цяло число. Оттук следва извода, че Виж също[редактиране | редактиране на кода] Източници[редактиране | редактиране на кода] - ↑ Alberto A. Martinez, Negative Math: How Mathematical Rules Can Be Positively Bent (Princeton University Press, 2005), обсъжда неяснотите в значението на имагинерните изрази в исторически контекст. - ↑ Ъгловите скоби в началото са част от синтаксиса на интерпретатора и не са част от израза.
1.1 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 3.1 3.2 3.3 4.1 4.2 4.3 4.4 5.1 5.2 5.3 6.1 6.2 6.3 7.1 8.1 8.2 9.1
Complex number A complex number is a number, but is different from normal numbers in many ways. A complex number is made up using two numbers combined together. The first part is a real number. The second part of a complex number is an imaginary number. The most important imaginary number is called , defined as . All the other imaginary numbers are multiplied by a real number. Using arithmetic, addition, subtraction, multiplication, and division can be used. They also follow commutative properties and associative properties, just like real numbers. Complex numbers were invented to answer special equations that have exponents in them. These began to pose real problems for mathematicians. As a comparison, using negative numbers, it is possible to find the x in the equation for all real values of a and b. With exponentiation, there is a problem.[1] There is no real number that gives −1 when it is squared ("squared" means "multiplied by itself"). In other words, −1 (or any other negative number) has no real square root. To solve this problem, mathematicians introduced an imaginary number called i. That imaginary number will give −1 when it is squared. The first mathematicians to have thought of this were probably Gerolamo Cardano and Raffaele Bombelli. They lived in the 16th century. It was probably Leonhard Euler who introduced writing for that number. A complex number can now be written as [1] (or ), where a is called the real part of the number, and b is called the imaginary part. Usually, the complex number is written as the set (a, b). Both a and b are real numbers. Any real number can simply be written as or as the set (a, 0).[1] Addition, subtraction, multiplication, division as long as the divisor is not zero, and exponentiation (raising numbers to exponents) are all possible with complex numbers. Some other calculations are also possible with complex numbers. The set of all complex numbers is usually written as .