http___blog.simmakers.com_alternate-directions-implicit-scheme-and-the-intermediate-boundary-conditions__lang_bg_1.xml
https___blog.simmakers.com_alternate-directions-implicit-scheme-and-the-intermediate-boundary-conditions_.xml
1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 2.1 6.1 7.1 10.1 10.2 10.3 10.4 11.1 18.1 18.2 22.1 22.2 23.1 23.2 23.3 23.4 23.5 23.6 25.1 25.2 25.3 25.4 25.5 26.1 26.2 26.3 26.4 28.1 28.2 29.1 29.2 29.3 30.1 30.2 31.1 31.2 32.1 32.2 32.3 33.1 34.1 36.1 38.1 38.2 40.1 40.2 41.1 41.2 41.3 41.4 41.5 41.6 42.1 42.2 42.3 42.4 43.1 44.1 48.1 49.1 49.2 49.3 50.1 52.1 54.1 54.2 54.3 54.4 54.5 54.6 54.7 54.8 54.9 54.10 55.1 56.1 56.2 56.3 57.1 58.1 58.2 58.3 58.4 59.1 60.1 60.2 61.1 61.2 61.3 61.4 62.1 62.2 62.3 62.4 62.5 63.1 63.2 63.3 64.1 64.2 64.3 65.1 65.2 65.3 65.4 66.1 66.2 67.1 67.2
The ADI (алтернативни посоки имплицитни) Методът се използва широко за числено решаване на измерения параболична PDE (частни диференциални уравнения). Въпреки че методът е известен от дълго време и е добре описана в учебниците, практическите реализации понякога изглеждат неточни [2]. Неточността възниква всеки път, когато някой пренебрегва правилната сметка на така наречените междинни гранични условия. Това пренебрегване може да стане причина за нестабилност, дори когато се използва ДДД-схемата е известно, че безусловно стабилна в рамките на фон Нойман спектрален анализ техника [3]. Процедурите на правилния профил на междинните гранични условия (за Peaceman-Rachford ADI-схема), са описани в [4, 5, 6]. По-долу, ние ще разгледа правилната сметка на междинните гранични условия за Дъглас-Rachford ADI-схема [3, 7]: където -е операторът на Лаплас; - е неизвестната функция, определена на следващия окото: (4) където аз, J, Sса възли номера на пространствен окото по И, X и The посоки съответно. - са общия брой на възли на пространствен окото по X, И и The посоки съответно. - са стъпките стойности по направления X, И и The съответно. - е стойността на времето подетап : пълния стъпка време е равно на . Нека следните гранични условия са определени по краищата на правоъгълна област моделиране (ние няма точно вида на граничните условия): Нека сега да пренапиша уравнения. (1), (2) и (3) в такава форма, че неизвестни , и , стоят в l.h.s.: и определят кои количества, които не са известни изрично. За тази цел, нека разгледаме комплекти, за които СКОС (13) - (15) са определени (т.е., диапазоните на определението). Както може да се види, Eq. (13) съдържа оператори и . Поради тази причина, никой не може да изчисли изразите , , и , запазване на сближаване, за ) че е присъщо за Дъглас-Rachford схема. По този начин, интервала от определението за екв. (13) е (виждам. Фигура 1): Смокиня. 1 - Схематична илюстрация на моделиране региона. Вътрешният паралелепипед съответства на региона, определен от уравнението. (16), в която Eq. (13) е решен. Червените линии са контурите на самолети, В точките от които получени не притежават физически смисъл (виждам. дискусията по-долу).. В r.h.s. на Eq. (14) и (15) имаме крайни оператори разлика, че се отнасят само до тези пространствени направления, по която квази-едномерна проблемът е решен. По този начин, интервала от определението на уравнения. (14) и (15) е целия регион моделиране: Решаването на Eq. (13), човек може да намери (, , броя 1 над означава, че количеството, ако се открие от първото уравнение на Douglas-Rachford схема) с индекси I, J, ите от Eq. Тук трябва да си зададем следния въпрос - какво трябва да се помисли като гранични условия по краищата с и на междинна стъпка време ? А именно количества с и са необходими за изчисляване на използване на ур. Фигура 2. Смокиня. 2 - Схематична илюстрация на моделиране региона. Червените линии са контурите на самолети, В точките, от които човек трябва да познава правилните стойности на граничните условия за извършване на изчисления с Eq. В същото време, (моля, внимание тук!) Стойностите в и , които се изчисляват екв. (13) - Не са коректни гранични условия по време подетап ! Това е следствие от факта, че Eq. (13) предвижда ,в която само времето еволюцията по Y - ос се взема предвид. И това количество - , - не съдържа точна информация за граничните условия на време подетап . Въпреки това, ние имаме всичко необходимо за определяне на правилните гранични условия в и (т.е., ние имплицитно разполага с цялата необходима информация). Нека да разберете използване на ур. РИБНО използване на ур. Използване Eq. (19) могат да се намерят стойностите на в защото, съгласно уравнение. (4), правилните гранични условия са известни на всеки времеви стъпки (Не междинно подетапи). По този начин, знаейки, граничните стойности на , използване на ур. (18) могат да се изчислят точните стойности граница на в и . А те, на свой ред, може да се използва за определяне на стойностите на вthe вътрешни точки на моделиране региона. След това, използване на ур. (15), човек може да намери за всички вътрешни точки, по този начин се преминава на следващия слой време (виж ур. И тогава всичко се повтаря всеки път, слой. Процедурата, описана по-горе се отнася за случая, когато топлината уравнение е линейна и граничните условия са линейни. Положението става много по-сложно, когато човек решава нелинейни уравнения, e.g. - Топлина уравнение с температура зависи топлопроводимост и топлинен капацитет. Решаване на нелинейно уравнение е сложен самия проблем, и когато трябва да се имат в допълнение нелинейни уравнения, произтичащи от правилния профил на граничните условия на междинните слоеве път в ADI-схема, проблемът става почти нерешим. Нека сега разгледаме такъв проблем, малко по-близо. Пренаписване на Douglas-Rachford схема (1) - (3) в следния вид, обхвата на дефиницията се определя като преди от Eq. където - е зависима от температурата топлинен капацитет. Човек може да се прилага по отношение на уравнения. (21) - (23) описаната по-горе процедура за определяне на междинните гранични условия. В този случай, сложен функционална зависимост на топлинния капацитет на температурата води до появата на следните условия в уравнения. В Eq. В Eq. където - са индексите на възлите на границите на моделиране региона. По този начин, за да се получи и , човек трябва да се реши уравнения, съдържащи отношение на формата (24) - (25). Този проблем може да, по принцип, да бъде решен числено ако някой притежава добра начална сближаване. Но решението може да изисква значителни ресурси, време и допълнителен анализ на получените корени (Може да има няколко корени сред които ще трябва да направят подходящ избор). В заключение, може да посочим, че проблемът на правилния профил на междинни гранични условия - е цената, трябва да се плати за времето ефективността на ДДД-схема. За много случаи е установено, че съответните стойности на входните параметри и последователен набор от началните и граничните условия води грешка (свързан с невярно представяне на междинни гранични условия) , който не превишава C степен. Въпреки това, риска от нестабилност - увеличаване на степента на грешка, когато преминава от един път слой на друго, все още съществува. Такова поведение може потенциално нестабилна възникнат в някои конфигурации на граничните условия и някои стойности на входните параметри. В тази връзка, на общ анализ на цифровата стабилност на приложни разликата краен схема придобива решаващо значение. Благодарности. където - са индексите на възлите на границите на моделиране региона. По този начин, за да се получи и , човек трябва да се реши уравнения, съдържащи отношение на формата (24) - (25). Този проблем може да, по принцип, да бъде решен числено ако някой притежава добра начална сближаване. Но решението може да изисква значителни ресурси, време и допълнителен анализ на получените корени (Може да има няколко корени сред които ще трябва да направят подходящ избор). В заключение, може да посочим, че проблемът на правилния профил на междинни гранични условия - е цената, трябва да се плати за времето ефективността на ДДД-схема. За много случаи е установено, че съответните стойности на входните параметри и последователен набор от началните и граничните условия води грешка (свързан с невярно представяне на междинни гранични условия) , който не превишава C степен. Въпреки това, риска от нестабилност - увеличаване на степента на грешка, когато преминава от един път слой на друго, все още съществува. Такова поведение може потенциално нестабилна възникнат в някои конфигурации на граничните условия и някои стойности на входните параметри. В тази връзка, на общ анализ на цифровата стабилност на приложни разликата краен схема придобива решаващо значение. Благодарности. Авторът признава, Prof. Lakoba за полезни дискусии. Гао , И. Wang "A Общата формулировка на Peaceman и Rachford ADI метод за N двумерен уравнение топлинна дифузия." Int. Comm. Пренос на топлина Маса, Полет. 23, Не. 6, п.п.. 845 - 854 (1996) Който, The. Високо, Т.-S. Общ, J. Morris "Приложни числени методи, използващи MATLAB". Wiley-Interscience (2005). Peaceman D.W. Основи на Числено Reservoir Simulation. - Амстердам : Elsevier, 1977. Strikwerda, J. Краен схеми разлика и частни диференциални уравнения. Madison: SIAM. Lakoba, T. Записки по Числени диференциални уравнения. Vermont, САЩ: Университета на Върмонт. - Интернет ресурс: HTTP://www.cems.uvm.edu/~lakobati/. Gourlay, A.R. Мичъл Междинните гранични условия за разделно методи оператора в три измерения BIT Числени математика. в. 7 (1). Douglas J. Редуването посока методи за три космически променливи // Числени математика.
1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 2.1 6.1 7.1 10.1 10.2 10.3 10.4 11.1 18.1 22.1 22.2 23.1 23.2 23.3 23.4 23.5 25.1 25.2 25.3 25.4 25.5 26.1 26.2 26.3 26.4 28.1 28.2 29.1 29.2 29.3 30.1 30.2 31.1 31.2 31.3 32.1 32.2 32.3 33.1 34.1 36.1 38.1 38.2 40.1 41.1 41.2 41.3 41.4 41.5 41.6 42.1 42.2 42.3 43.1 44.1 48.1 49.1 49.2 49.3 50.1 52.1 54.1 55.1 55.2 55.3 56.1 57.1 57.2 57.3 58.1 59.1 60.1 60.2 60.3 60.4 61.1 61.2 61.3 62.1 62.2 63.1 63.2 63.3 64.1 64.2 64.3 65.1 66.1
The ADI (alternate directions implicit) method is widely used for the numerical solution of multidimensional parabolic PDE (partial differential equations). Although the method is known for a long time and is well described in the text-books, its practical realizations sometimes appear to be inaccurate [2]. The inaccuracy arises every time when one neglects the correct account of the so-called intermediate boundary conditions. This neglect can become the cause of instabilities even when the used ADI-scheme is known to be unconditionally stable in the frame of von Neumann spectral analysis technique [3]. The procedures of a correct account of the intermediate boundary conditions (for the Peaceman-Rachford ADI-scheme), are described in [4, 5, 6]. Below, we are going to consider the correct account of the intermediate boundary conditions for the Douglas-Rachford ADI-scheme [3, 7]: where -is the Laplace operator; - is the unknown function, defined on the following mesh: (4) where i, j, sare the nodes numbers of the spatial mesh along the Y, X and Z directions respectively. - are the total numbers of nodes of the spatial mesh along the X, Y and Z directions respectively. - are the steps values along the directions X, Y and Z respectively. - is the value of time sub-step : the full time step is equal to . Let the following boundary conditions are set on the edges of a rectangular modeling region (we will not precise the type of the boundary conditions): Let us now re-write the Eqs. (1), (2) and (3) in such a form, that the unknowns , and , stand in l.h.s.: and determine which quantities are not known explicitly. For this purpose, let us consider the sets, on which the Eqs (13) – (15) are defined (i.e., the ranges of definition). As one can see, Eq. (13) contains operators and . For this reason, one cannot calculate the expressions , , and , retaining the approximation order ) that is inherent for the Douglas-Rachford scheme. Thus, the range of definition of Eq. (13) is (see. Figure 1): Fig. 1 – Schematic illustration of the modeling region. The internal parallelepiped corresponds to the region defined by Eq. (16), in which Eq. (13) is solved. Red lines are the contours of planes, in the points of which the obtained do not possess physical sense (see. discussion below).. In the r.h.s. of Eq. (14) and (15) we have finite difference operators that refer only to those spatial directions, along which the quasi-one-dimensional problem is solved. Thus, the range of definition of Eqs. (14) and (15) is the whole modeling region: Solving the Eq. (13), one finds (, , the number 1 over means that the quantity if found from the first equation of the Douglas-Rachford scheme) with the indices i, j, s from Eq. Here one must ask the following question – what one should consider as a boundary conditions on the edges with and on the intermediate time step ? Namely the quantities with and are necessary for the calculation of using the Eq. Figure 2. Fig. 2 – Schematic illustration of the modeling region. Red lines are the contours of planes, in the points of which one must know the correct values of boundary conditions to perform calculations using Eq. At the same time, (please, attention here!) The values at and at , which are calculated using Eq. (13) – are not correct boundary conditions on the time sub-step ! This follows from the fact that Eq. (13) provides ,in which only the time evolution along the Y – axis is taken into account. And this quantity - , - does not contain correct information about the boundary conditions on the time sub-step . Nevertheless, we have everything we need for the determination of correct boundary conditions at and at (i.e., we implicitly have all the necessary information). Let us find using Eq. and using Eq. Using Eq. (19) one can find the values of at because, according to Eq. (4), the correct boundary conditions are known on every time steps (not intermediate sub-steps). Thus, knowing the boundary values of , using Eq. (18) one can calculate the correct boundary values of at and at . And the latter, in their turn, can be used to determine the values of Bthe internal points of the modeling region. Then, using Eq. (15), one finds for the all internal points, thus passing on the next time layer (see Eq. (4)). And then everything repeats for every time layer. The procedure described above is valid for the case when the heat equation is linear and the boundary conditions are also linear. The situation becomes much more complicated when one solves non-linear equations, e.g. – heat equation with temperature dependent thermal conductivity and heat capacity. Solving a non-linear equation is a complicated problem itself, and when one has to consider in addition non-linear equations arising from the correct account of boundary conditions on the intermediate time layers in an ADI-scheme, the problem becomes almost unsolvable. Let us now consider such a problem a bit closer. Re-write the Douglas-Rachford scheme (1) – (3) in the following form, the range of definition being defined as before by Eq. (4): where - is the temperature dependent heat capacity. One can apply to Eqs. (21) – (23) the described above procedure of determination of intermediate boundary conditions. In this case, a complicated functional dependence of the heat capacity on temperature leads to appearance of the following terms in Eqs. In Eq. In Eq. where - are the indices of the nodes on the boundaries of modeling region. Thus, in order to obtain and , one has to solve equations containing terms of the form (24) – (25). This problem can, in principle, be solved numerically if one possesses a good initial approximation. But the solution can require significant time resources and further analysis of obtained roots (there can be several roots among which one would need to make an appropriate choice). In conclusion, we would note that the problem of a correct account of intermediate boundary conditions – is the price one has to pay for the time efficiency of an ADI-scheme. For many cases it has been shown that the appropriate values of the input parameters and consistent set of initial and boundary conditions lead the error (associated with the incorrect account of intermediate boundary conditions) that does not exceed degree C. Nevertheless, the risk of instability – increase of the error’s magnitude when passing from one time layer to another, is still present. Such an unstable behavior can potentially arise at some configurations of the boundary conditions and some values of the input parameters. In this regard, the general analysis of numerical stability of an applied finite difference scheme acquires the crucial importance. Acknowledgements. The author acknowledges Prof. T.I. Lakoba for helpful discussions. Gao , Y. Wang “A general formulation of Peaceman and Rachford ADI method for the N-dimensional heat diffusion equation.” Int. Comm. Heat Mass Transfer, Vol. W.Y. Yang, W. Cao, T.-S. Chung, J. Morris “Applied numerical methods using MATLAB”. Wiley-Interscience (2005). Peaceman D.W. Fundamentals of Numerical Reservoir Simulation. - Amsterdam : Elsevier, 1977. Strikwerda, J. (2004). Finite difference schemes and partial differential equations. Madison: SIAM. Lecture notes on Numerical Differential Equations. Vermont, USA: University of Vermont. – internet resource: http://www.cems.uvm.edu/~lakobati/. A.R. Gourlay, A.R. Mitchell Intermediate boundary conditions for split operator methods in three dimensions BIT Numerical Mathematics. Douglas J. Alternating direction methods for three space variables // Numerische Mathematik.