http___blog.simmakers.com_third-type-boundary-conditions__lang_bg_1.xml
http___blog.simmakers.com_third-type-boundary-conditions_.xml
1.1 2.1 2.2 2.3 2.4 3.1 7.1 9.1 11.1 11.2 11.3 11.4 12.1 19.1 19.2 20.1 20.2 24.1 25.1 25.2 29.1 30.1 34.1 34.2 34.3 34.4 35.1 37.1 37.2 38.1 38.2 40.1 40.2 44.1 45.1 45.2 49.1 50.1 50.2 50.3 51.1 52.1 52.2 59.1 60.1 61.1 61.2 63.1 64.1 64.2 66.1 67.1 67.2 68.1 68.2 69.1 69.2 70.1 71.1 71.2 72.1 72.2 73.1 73.2 73.3 73.4 73.5
Тази втора бележка е посветена на обсъждането на случая на 3-ти тип гранични условия, свързани по ръбовете на моделирането региона и ще представи кратко описание на алгоритъма за сметка както на Дирихле и 3-то условията на типовото граница по различен ръбове. Преди да се премине към обсъждане на тази схема, няколко думи трябва да се каже и за друга схема ADI - а именно 2D Peaceman - Rachford краен разликата схема. Правилното сметка на междинните гранични условия за Дирихле, така и 3-ти видове поръчки е подробно обсъдени в [1]. Една съществена разлика между 3D Douglas - Rachford и 2D Peaceman - Rachford схеми е, че в последната схема на пространствени координати въведете симетрично, така, че второто уравнение (в 2D Peaceman - Rachford) съдържа крайни представителства разликата на двете пространствени производни. Този факт води до тромави загатвам на връзка между стойностите на неизвестната функция по различни краища - за подробности виж [1]. Изненадващо, въпреки че Дъглас - Rachford схемата е предназначена за 3D пространствен район, е по-лесно за лечение на 3-ти ред гранични условия за правилното му се дължи на "не-симетрични" входа на пространствените координати в трите уравнения - вж Eq. където - е операторът на Лаплас; - е неизвестната функция, определена на следващия окото: където , (5) аз,J,S- - са възли номера на пространствен окото по X, Y and Z посоки съответно. - са общия брой на възли на пространствен окото по X, Y and Z посоки съответно. - са стъпките стойности по направления X, Y and Z съответно. - е стойността на времето подетап : пълния стъпка време е равно на. Нека следните гранични условия да бъдат поставени на лицата на правоъгълна област моделиране (3--то условията, редът граница по всички лица): В екв. (7) - (12)възли с индекси са фиктивни възли, които определят границата на моделиране на региона и са въведени с цел да се запази второто точността заповед на Douglas - Rachford схема. Нека сега да пренапиша уравнения. (1), (2) и (3) в такава форма, че неизвестни , и стоят в l.h.s.: и определят кои количества, които не са известни изрично. Сега, нека разгледаме Eq. За да се намерят стойностите на , трябва да се реши система от линейни алгебрични уравнения: И т.н. На свой ред, решаването на тази система изисква познаването на и , която може да се намери от уравнение. Въпреки че може да се използва разумно Eq. (19), естествено възниква въпросът с Eq. (20) - Как човек трябва да го тълкува за времето стъпка ? - не е вярно неизвестен функция ви в междинна стъпка време ! За да се преодолее тази трудност, би било естествено да поеме известен гранично условие (9) в момент стъпки к и к 3 и, по този начин, за да се получи (9) в к 2: когато параметрите и T са взети по време момента к 3. Този избор се основава на факта, че нашата цел е да се намери . След това, Eq. (17) се изразява в следното: В абсолютна аналогия, помисли Eq. За да се намерят стойностите на , трябва да се реши система от линейни алгебрични уравнения: И така нататък. Накрая, нека разгледаме Eq. За да се намерят стойностите на , трябва да се реши система от линейни алгебрични уравнения: ADN т.н. В Eq. (27) стойностите на , , и в могат да бъдат намерени от съответните 3-ти ред гранични условия. В случай на Дирихле гранични условия на едно от лицата, обхвата на показателите в (28) трябва да се променя по подходящ начин (e.g.). Както се вижда от по-горе обсъждането, правилния профил на междинни гранични условия в случай на 3-ти ред гранични условия, свързани с лицето на моделиране региона не е толкова тромава, както в случая на Дирихле гранични условия. Сега, Нека да обсъдим сметка на междинните гранични условия в случай на Дирихле, така и 3-ти ред BC по различни лица. Нека следните гранични условия да бъдат поставени на лицата на правоъгълна област моделиране: т.е., Дирихле гранични условия се поставят върху лицата Y и 3-ти ред гранични условия - във всички други. В съответствие с по-горе представени дискусия, алгоритъма за сметка на междинни гранични условия е следният: Намерете стойностите на в като се използва следното равенство (Eq. (19) на Внимание 1): и в от граничните условия (29) и (30). Намерете стойностите на в като се използва следното равенство (Eq. (18) на Внимание 1): Това е възможно, защото ние знаем, необходимите стойности на и в . Решете Eq. One вече има всичко, за да открие в . Реши Eq. (14) чрез намиране решение на система (16) - (18). Реши Eq. (15) чрез намиране решение на система (23) - (25). По този начин, следвате стъпките 1 - 5, един намира разтвор на топлина уравнение на следващия етап време. Трябва да се отбележи, че по-горе метод за сметка на междинните гранични условия е от порядъка на сближаване по отношение на времето променлива не по-висока от . За да се подобри това сближаване трябва да се използват по-сложен метод за сметка на граничните условия. Авторът признава T.I. Lakoba (Университета на Върмонт) за полезни дискусии. Lakoba, T. Записки по Числени диференциални уравнения. Vermont, САЩ: Университета на Върмонт. - Интернет ресурс. HTTP://www.cems.uvm.edu/ ~ tlakoba /
1.1 2.1 2.2 2.3 2.4 3.1 7.1 11.1 11.2 11.3 11.4 12.1 19.1 20.1 24.1 25.1 25.2 29.1 30.1 34.1 34.2 34.3 34.4 35.1 37.1 37.2 38.1 38.2 40.1 40.2 44.1 45.1 45.2 49.1 50.1 50.2 50.3 51.1 52.1 52.2 59.1 60.1 61.1 61.2 63.1 64.1 64.2 66.1 67.1 67.2 68.1 68.2 69.1 69.2 70.1 71.1 71.2 72.1 73.1 73.2 73.3 73.4
This second Note is dedicated to the discussion of the case of 3-rd type boundary conditions posed on the edges of the modeling region and will present an outline of the algorithm for the account of both the Dirichlet and 3-rd type boundary conditions on different edges. Before passing to the discussion of that scheme, a few words should be said about another ADI scheme – namely 2D Peaceman – Rachford finite difference scheme. The correct account of the intermediate boundary conditions for both Dirichlet and 3-rd order types has been thoroughly discussed in [1]. One essential difference between the 3D Douglas – Rachford and 2D Peaceman – Rachford schemes is that in the latter scheme the spatial coordinates enter symmetrically, such that the second equation (in 2D Peaceman – Rachford) contains finite difference representations of both spatial derivatives. This fact leads to a cumbersome infer of relation between the values of the unknown function on different edges – for details see [1]. Surprisingly, although the Douglas – Rachford scheme is designed for a 3D spatial region, it is easier to treat the 3-rd order boundary conditions for it correctly due to the “non-symmetrical” entrance of the spatial coordinates in three equations – see Eq. (1) – (3): where - is the Laplace operator; - is the unknown function, defined on the following mesh: i,j,s- - are the nodes numbers of the spatial mesh along the X, Y and Z directions respectively. - are the total numbers of nodes of the spatial mesh along the X, Y and Z directions respectively. - are the steps values along the directions X, Y and Z respectively. - is the value of time sub-step : the full time step is equal to. Let the following boundary conditions being posed on the faces of a rectangular modeling region (3-rd order boundary conditions on all the faces): In eq. (7) – (12)the nodes with indexes are fictitious nodes which lay outside the modeling region and are introduced with the purpose to retain the second order accuracy of the Douglas – Rachford scheme. Let us now re-write the Eqs. (1), (2) and (3) in such a form, that the unknowns , and stand in l.h.s.: and determine which quantities are not known explicitly. Now, let us consider Eq. In order to find the values of , one has to solve a system of linear algebraic equations: … и T.д. In its turn, the solution of this system requires the knowledge of and , which can be found from the Eq. (9): While one can reasonably use Eq. (19), a natural question arises with the Eq. (20) – how one should interpret it for the time step ? - is not the true unknown function u at an intermediate time step ! In order to overcome this difficulty, it would be naturally to take the known boundary condition (9) at time steps k and k+3 and, thus, to obtain (9) at k+2: where the parameters and T are taken at time moment k+3. This choice is based on the fact that our goal is to find . After that, Eq. (17) takes the following form: In absolute analogy, consider Eq. In order to find the values of , one has to solve a system of linear algebraic equations: … and so on. Finally, let us consider Eq. In order to find the values of , one has to solve a system of linear algebraic equations: ... adn so on . In Eq. (27) the values of , , and at can be found from the corresponding 3-rd order boundary conditions. In case of the Dirichlet boundary conditions on one of the faces, the range of indexes in (28) must be changed appropriately (e.g.). As one can see from the discussion above, the correct account of intermediate boundary conditions in case of the 3-rd order boundary conditions posed of the face of the modeling region is not so cumbersome as in case of the Dirichlet boundary conditions. Now, let us discuss the account of intermediate boundary conditions in case of both Dirichlet and 3-rd order BC’s on different faces. Let the following boundary conditions being posed on the faces of a rectangular modeling region: i.e., the Dirichlet boundary conditions are posed on the Y faces and the 3-rd order boundary conditions – on all the other. In accordance with the above presented discussion, the algorithm for the account of intermediate boundary conditions is the following: Find the values of at using the following relation (Eq. (19) of Note 1): and at from the boundary conditions (29) and (30). Find the values of пpи using the following relation (Eq. (18) of Note 1): This is possible because we know the necessary values of and at . Solve the Eq. One now has everything in order to find at . Solve Eq. (14) by finding solution of a system (16) – (18). Solve Eq. (15) by finding solution of a system (23) – (25). Thus, following the steps 1 – 5, one finds the solution of the heat equation on the next time step. One should note that the discussed above method for the account of intermediate boundary conditions has the order of approximation with respect to time variable not higher than . In order to improve this approximation one must use a more sophisticated method for the account of boundary conditions. The author acknowledges T.I. Lakoba (University of Vermont) for helpful discussions. Lecture notes on Numerical Differential Equations. Vermont, USA: University of Vermont. – internet resource. http://www.cems.uvm.edu/~tlakoba/