http___blog.simmakers.com_alternate-directions-implicit-scheme-and-the-intermediate-boundary-conditions__lang_bg_1.xml
http___simmakers.com_article-alternate-directions-implicit-scheme-and-the-intermediate-boundary-conditions_.xml
1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 2.1 6.1 7.1 10.1 10.2 10.3 10.4 11.1 18.1 18.2 22.1 22.2 23.1 23.2 23.3 23.4 23.5 23.6 25.1 25.2 25.3 25.4 25.5 26.1 26.2 26.3 26.4 28.1 28.2 29.1 29.2 29.3 30.1 30.2 31.1 31.2 32.1 32.2 32.3 33.1 34.1 36.1 38.1 38.2 40.1 40.2 41.1 41.2 41.3 41.4 41.5 41.6 42.1 42.2 42.3 42.4 43.1 44.1 48.1 49.1 49.2 49.3 50.1 52.1 54.1 54.2 54.3 54.4 54.5 54.6 54.7 54.8 54.9 54.10 55.1 56.1 56.2 56.3 57.1 58.1 58.2 58.3 58.4 59.1 60.1 60.2 61.1 61.2 61.3 61.4 62.1 62.2 62.3 62.4 62.5 63.1 63.2 63.3 64.1 64.2 64.3 65.1 65.2 65.3 65.4 66.1 66.2 67.1 67.2
The ADI (алтернативни посоки имплицитни) Методът се използва широко за числено решаване на измерения параболична PDE (частни диференциални уравнения). Въпреки че методът е известен от дълго време и е добре описана в учебниците, практическите реализации понякога изглеждат неточни [2]. Неточността възниква всеки път, когато някой пренебрегва правилната сметка на така наречените междинни гранични условия. Това пренебрегване може да стане причина за нестабилност, дори когато се използва ДДД-схемата е известно, че безусловно стабилна в рамките на фон Нойман спектрален анализ техника [3]. Процедурите на правилния профил на междинните гранични условия (за Peaceman-Rachford ADI-схема), са описани в [4, 5, 6]. По-долу, ние ще разгледа правилната сметка на междинните гранични условия за Дъглас-Rachford ADI-схема [3, 7]: където -е операторът на Лаплас; - е неизвестната функция, определена на следващия окото: (4) където аз, J, Sса възли номера на пространствен окото по И, X и The посоки съответно. - са общия брой на възли на пространствен окото по X, И и The посоки съответно. - са стъпките стойности по направления X, И и The съответно. - е стойността на времето подетап : пълния стъпка време е равно на . Нека следните гранични условия са определени по краищата на правоъгълна област моделиране (ние няма точно вида на граничните условия): Нека сега да пренапиша уравнения. (1), (2) и (3) в такава форма, че неизвестни , и , стоят в l.h.s.: и определят кои количества, които не са известни изрично. За тази цел, нека разгледаме комплекти, за които СКОС (13) - (15) са определени (т.е., диапазоните на определението). Както може да се види, Eq. (13) съдържа оператори и . Поради тази причина, никой не може да изчисли изразите , , и , запазване на сближаване, за ) че е присъщо за Дъглас-Rachford схема. По този начин, интервала от определението за екв. (13) е (виждам. Фигура 1): Смокиня. 1 - Схематична илюстрация на моделиране региона. Вътрешният паралелепипед съответства на региона, определен от уравнението. (16), в която Eq. (13) е решен. Червените линии са контурите на самолети, В точките от които получени не притежават физически смисъл (виждам. дискусията по-долу).. В r.h.s. на Eq. (14) и (15) имаме крайни оператори разлика, че се отнасят само до тези пространствени направления, по която квази-едномерна проблемът е решен. По този начин, интервала от определението на уравнения. (14) и (15) е целия регион моделиране: Решаването на Eq. (13), човек може да намери (, , броя 1 над означава, че количеството, ако се открие от първото уравнение на Douglas-Rachford схема) с индекси I, J, ите от Eq. Тук трябва да си зададем следния въпрос - какво трябва да се помисли като гранични условия по краищата с и на междинна стъпка време ? А именно количества с и са необходими за изчисляване на използване на ур. Фигура 2. Смокиня. 2 - Схематична илюстрация на моделиране региона. Червените линии са контурите на самолети, В точките, от които човек трябва да познава правилните стойности на граничните условия за извършване на изчисления с Eq. В същото време, (моля, внимание тук!) Стойностите в и , които се изчисляват екв. (13) - Не са коректни гранични условия по време подетап ! Това е следствие от факта, че Eq. (13) предвижда ,в която само времето еволюцията по Y - ос се взема предвид. И това количество - , - не съдържа точна информация за граничните условия на време подетап . Въпреки това, ние имаме всичко необходимо за определяне на правилните гранични условия в и (т.е., ние имплицитно разполага с цялата необходима информация). Нека да разберете използване на ур. РИБНО използване на ур. Използване Eq. (19) могат да се намерят стойностите на в защото, съгласно уравнение. (4), правилните гранични условия са известни на всеки времеви стъпки (Не междинно подетапи). По този начин, знаейки, граничните стойности на , използване на ур. (18) могат да се изчислят точните стойности граница на в и . А те, на свой ред, може да се използва за определяне на стойностите на вthe вътрешни точки на моделиране региона. След това, използване на ур. (15), човек може да намери за всички вътрешни точки, по този начин се преминава на следващия слой време (виж ур. И тогава всичко се повтаря всеки път, слой. Процедурата, описана по-горе се отнася за случая, когато топлината уравнение е линейна и граничните условия са линейни. Положението става много по-сложно, когато човек решава нелинейни уравнения, e.g. - Топлина уравнение с температура зависи топлопроводимост и топлинен капацитет. Решаване на нелинейно уравнение е сложен самия проблем, и когато трябва да се имат в допълнение нелинейни уравнения, произтичащи от правилния профил на граничните условия на междинните слоеве път в ADI-схема, проблемът става почти нерешим. Нека сега разгледаме такъв проблем, малко по-близо. Пренаписване на Douglas-Rachford схема (1) - (3) в следния вид, обхвата на дефиницията се определя като преди от Eq. където - е зависима от температурата топлинен капацитет. Човек може да се прилага по отношение на уравнения. (21) - (23) описаната по-горе процедура за определяне на междинните гранични условия. В този случай, сложен функционална зависимост на топлинния капацитет на температурата води до появата на следните условия в уравнения. В Eq. В Eq. където - са индексите на възлите на границите на моделиране региона. По този начин, за да се получи и , човек трябва да се реши уравнения, съдържащи отношение на формата (24) - (25). Този проблем може да, по принцип, да бъде решен числено ако някой притежава добра начална сближаване. Но решението може да изисква значителни ресурси, време и допълнителен анализ на получените корени (Може да има няколко корени сред които ще трябва да направят подходящ избор). В заключение, може да посочим, че проблемът на правилния профил на междинни гранични условия - е цената, трябва да се плати за времето ефективността на ДДД-схема. За много случаи е установено, че съответните стойности на входните параметри и последователен набор от началните и граничните условия води грешка (свързан с невярно представяне на междинни гранични условия) , който не превишава C степен. Въпреки това, риска от нестабилност - увеличаване на степента на грешка, когато преминава от един път слой на друго, все още съществува. Такова поведение може потенциално нестабилна възникнат в някои конфигурации на граничните условия и някои стойности на входните параметри. В тази връзка, на общ анализ на цифровата стабилност на приложни разликата краен схема придобива решаващо значение. Благодарности. където - са индексите на възлите на границите на моделиране региона. По този начин, за да се получи и , човек трябва да се реши уравнения, съдържащи отношение на формата (24) - (25). Този проблем може да, по принцип, да бъде решен числено ако някой притежава добра начална сближаване. Но решението може да изисква значителни ресурси, време и допълнителен анализ на получените корени (Може да има няколко корени сред които ще трябва да направят подходящ избор). В заключение, може да посочим, че проблемът на правилния профил на междинни гранични условия - е цената, трябва да се плати за времето ефективността на ДДД-схема. За много случаи е установено, че съответните стойности на входните параметри и последователен набор от началните и граничните условия води грешка (свързан с невярно представяне на междинни гранични условия) , който не превишава C степен. Въпреки това, риска от нестабилност - увеличаване на степента на грешка, когато преминава от един път слой на друго, все още съществува. Такова поведение може потенциално нестабилна възникнат в някои конфигурации на граничните условия и някои стойности на входните параметри. В тази връзка, на общ анализ на цифровата стабилност на приложни разликата краен схема придобива решаващо значение. Благодарности. Авторът признава, Prof. Lakoba за полезни дискусии. Гао , И. Wang "A Общата формулировка на Peaceman и Rachford ADI метод за N двумерен уравнение топлинна дифузия." Int. Comm. Пренос на топлина Маса, Полет. 23, Не. 6, п.п.. 845 - 854 (1996) Който, The. Високо, Т.-S. Общ, J. Morris "Приложни числени методи, използващи MATLAB". Wiley-Interscience (2005). Peaceman D.W. Основи на Числено Reservoir Simulation. - Амстердам : Elsevier, 1977. Strikwerda, J. Краен схеми разлика и частни диференциални уравнения. Madison: SIAM. Lakoba, T. Записки по Числени диференциални уравнения. Vermont, САЩ: Университета на Върмонт. - Интернет ресурс: HTTP://www.cems.uvm.edu/~lakobati/. Gourlay, A.R. Мичъл Междинните гранични условия за разделно методи оператора в три измерения BIT Числени математика. в. 7 (1). Douglas J. Редуването посока методи за три космически променливи // Числени математика.
1.1 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5
Article “Alternate directions implicit scheme and …” The ADI (alternate directions implicit) method is widely used for the numerical solution of multidimensional parabolic PDE (partial differential equations). Although the method is known for a long time and is well described in the text-books, its practical realizations sometimes appear to be inaccurate [2]. The inaccuracy arises every time when one neglects the correct account of the so-called intermediate boundary conditions. This neglect can become the cause of instabilities even when the used ADI-scheme is known to be unconditionally stable in the frame of von Neumann spectral analysis technique [3]. The procedures of a correct account of the intermediate boundary conditions (for the Peaceman-Rachford ADI-scheme), are described in [4, 5, 6].