http___fmi.wikidot.com_anal111_1.xml
http___mathonline.wikidot.com_introduction-to-differential-equations.xml
1.1 1.2 1.3 1.4 2.1 3.1 4.1 5.1 6.1 7.1 8.1 8.2 9.1 10.1 10.2 11.1 12.1 13.1 13.2 14.1 14.2 14.3 14.4 14.5 15.1 16.1 17.1 18.1 19.1 20.1 20.2 20.3 20.4 20.5 21.1 21.2 22.1 23.1 24.1 25.1 26.1 27.1 28.1 29.1 30.1 31.1 32.1 33.1 34.1 35.1 36.1 37.1 38.1 39.1 40.1 41.1 42.1 43.1 44.1 45.1 46.1 47.1 47.2 47.3 48.1
Производна. Диференцируемост. Диференциал, лява и дясна производна. Геометричен и физичен смисъл на производната. Диференчно частно Дефиниция: $\vartriangle f = f(x) - f(x_0)$ - наричаме нарастване на функцията $\vartriangle x = x - x_0$ - наричаме нарастване на аргумента Диференчното частно се изразява със следната формула: $\frac{\vartriangle f}{\vartriangle x} = \frac {f(x) - f(x_0)}{x - x_0 }$ Тя представлява приближение за скоростта на изменение на функцията. Колкото по-близки са двете точки $x$ и $x_0$, толкова по-точно е приближението. Производна на функция Понятието производна на функция е било въведено от Нютон, чиято цел е била да изследва скоростта на изменение на някаква функция. Той е търсил начин да намери моментната скорост на движеща се точка, като използва за дадена функцията на изминатия от нея път.1 Дефиниция: Казва се, че съществува производна на функция в дадена точка(например $x_0$) ако съществува следната граница: Тази граница е точно равна на моментната скорост на изменение на $f(x)$. С други думи, това е приближението, получено от диференчното частно, но взето с безкрайна точност. Лайбниц е стигнал до същия резултат независимо и решавайки друг проблем, а именно задачата за намиране на допирателна на произволна функция в точка. Ако вземем две точки $x$ и $x_0$ от графиката на f(x), то по оста x разстоянието между тях е $\vartriangle x$, а по оста y: $\vartriangle f(x)$. Ако през тях прекараме права с уравнение $y = ax + b$ (правата никога не е вертикална заради дефиницията на функция), то лесно може да се провери, че коефицентът a на тази права е точно $\frac{\vartriangle f(x)}{\vartriangle x}$(равен е на тангенса на ъгъла между допирателната и оста Ox). Когато $x$ се приближава безкрайно много до $x_0$ тази права се превръща в допирателна на $f(x)$ в $x_0$. Стига, естествено, търсената граница да съществува. Диференцируемост на функция Дефиниция: Това може да се изрази формално със следна формула: Ако за всяко $x_0$ от някакъв интервал X, в който функцията е дефинирана съществува число A такова, че да е изпълнено следното неравенство: то функцията е диференцируема в точката, а $A*\vartriangle x$ наричаме дифенециал на функцията. Какво означава горната формула? Нищо повече от вече изложената дефиниция. Диференчното частно е равно на диференциала(A* $\vartriangle x$) + някакъв остатък $(\epsilon)$, който клони към 0 когато $x \to x_0$. Впрочем, понятието диференциал вече рядко се използва. "Производна" го замества за практически цели. В общи линии, една функция е диференцируема в точка $x_0$, ако нейната производна съществува в тази точка. Следващата теорема илюстрира точно това. Теорема за дифенцируемостта и производната Теорема: Функцията f(x) е дефинирана над X, $x_0 \in X$. Функцията f(x) е диференцируема с диференциал А в точката $x_0$ тогава и само тогава, когато съществува производната $f'(x_0) = A$ . Доказателство: В правата посока: $\Rightarrow$ Имаме, че функцията има производна, трябва да докажем че съществува диференциал. В обратната посока: $\Leftarrow$ Имаме, че функцията е диференцируема в точката $x_0$, трябва да докажем че съществува производна в същата точка. доказателстовто е елементарно, просто разписваме дефинициите за производна и диференцируемост. Лява и дясна производни Лява производна Същото като производна в точка, но разглеждаме границата отляво. Дефиниция: Казваме, че имаме лява производна на функция в дадена точка $x_0$ ако Дясна производна Същото като производна в точка, но разглеждаме границата отляво. Дефиниция: Казваме, че имаме дясна производна на функция в дадена точка $x_0$ ако Геометричен и физичен смисъл на производната Геометрично представяне на понятието Производната на една функция в дадена точка е равна на тангенса от ъгъла, който допирателната към нейната графиката в тази точка сключва с положителната посока на абсцисната ос. Скорост на изменението на функцията път Нека $s = s(t)$ е законът за пътя на праволинейното равномерно движение на материална точка. Тогава $v(t_0) = s'(t_0)$изразява моментната скорост на движението в момента от времето $t_0$. Ако вземем производната на скоростта (т.е. производната от производната на пътя) $a(t_0) = s''(t_0)$, то тя ще изразява ускорението на точката в момента $t_0$. Въобще производната на функцията y = f(x) в точката $x_0$ изразява скоростта на изменение на функцията в точката $x_0$.
1.1 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 3.1 3.2 4.1 5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 6.1 6.2 6.3 6.4 7.1 7.2 7.3 8.1 9.1 10.1 10.2 11.1 11.2 11.3
Introduction to Differential Equations Consider the equation $f(x) = x^2 -3x + 1$. To solve this equation is to find the roots of $f$, which we can obtain with the quadratic formula $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$. For the example above, the roots are $x = \frac{3 + \sqrt{5}}{2}$ and $x = \frac{3 - \sqrt{5}}{2}$. Single variable functions such as the one previously mentioned merely contain one variable, $x$. However, in real-life applications, often times we are not dealing with such static functions. Instead, an equation may contain a rate of change. For example, consider an equation $P$ which measures the population at a given time $t$. Such an equation for $P$ might be:(1) In such a case, we have an equation that contains a derivative. Such an equation is known as a differential equation. Differential equations appear in many applications ranging from biology to physics, and even economics as such equations often provide great models of our complex world. Let's look at some examples of differential equations. One such first order differential equation is $y = y'$. One of the solutions to this differential equation is $y = e^x$ since $y' = e^x$. Another such solution is $y = 0$ since $y' = 0$. More generally, $y = Ce^x$ where $C \in \mathbb{R}$, is a solution to the differential equation $y = y'$. Recall that a non-vertical line on the $xy$ plane can be given by the equation $y = mx + b$. Note that $y' = m$, which should intuitively make sense as the derivative of $y$ tells us the slope at any point on the curve generated by $y$, which in this case is a straight line with constant slope $m$. Therefore we can write the equation of a line in the form $y = xy' + b$. Note that any non-vertical line $y = mx + b$ is a solution to this differential equation. Another example of a differential equation is Newton's second law in physics which states that $F = ma$ where $F$ is the net force of an object, $m$ is the mass of that object, and $a$ is the acceleration of that object. The net force $F$ is influenced by the force of gravity which is equal to the mass of the object $m$ multiplied by the acceleration from gravity near the surface of the earth, $g = \frac{9.8m}{s^2}$. There's also force as a result of air resistance which is equal to a specific drag constant multiplied by the velocity of that object, that is $\gamma v$, and so the force $F$ can be computed as:(2) Recall from calculus that at an arbitrary time $t$, that the derivative of the velocity of an objection is equal to the acceleration of that object at time $t$, that is $\frac{dv}{dt} = a$, and so we get that:(3) Therefore the equation $\frac{dv}{dt} = g - \frac{\gamma v}{m}$ is a differential equation that models a falling object near the surface of the earth. In general, finding the solutions to a differential equation can be difficult. For example, consider the following differential equation:(4) Finding the solutions to this differential equation is much more complicated and it is not obvious what functions to even test. Clearly $y = 0$ is a solution, however, is it the only solution? We will develop methods for evaluating various types of differential equations.