http___fmi.wikidot.com_anal113_1.xml
https___www.varsitytutors.com_calculus_1-help_how-to-graph-differential-equations_2.xml
1.1 1.2 2.1 2.2 2.3 3.1 4.1 5.1 6.1 7.1 8.1 8.2 10.1 12.1 13.1 14.1 15.1 17.1 17.2 18.1 19.1 20.1 20.2 21.1 22.1 22.2 23.1 23.2 24.1 24.2 25.1 26.1 27.1 28.1 29.1 30.1 31.1 32.1 33.1
Правила за намиране на производни, свързани с аритметичните действия на функции. Производна на сложна функция. Тази тема е много подобна на темата за аритметичните действия с граници и редици, доказателствата на аритметичните действия си приличат много. Хубаво ще е да запомните това, така ще е значително по-лесно да запомните и трите теми. Реално трябва само 1 от граници на функции/редици - те са взаимо заменяеими стига на изпита да сложите малко обяснения. Сега ще изборим аритмтетичните действия с производни Аритметични действия(1) Доста си приличат с предните аритметични действия. Доказателства За всички f и g приемаме, че са диференцируеми(от което следва, че са непрекъснати и разбира се дефинирани) над X.(2) Първо разписваме диференчното частно на функцията, след това проверяваме дали за всяко $x_0$ от дефиниционната област границата на диференчното частно(тоест производната) е равна на това което искаме да е равна. И, тъй като е така, значи сме доказали правилото. Второто става напълно аналогично. Отново разписваме диференчното частно: съшо както в предните доказателства на аритметично свойство събиране, прибавяме и изваждаме произведението на едно от "числата" и едно от функциите ($f(x_0)$ е константа защото $x_0$ e фиксирано число)(4) След математическо преобразуване на диференчното частно до желаната от нас форма, ще разгледаме границата му при $x \to x_0$ като $x_0 \in X$ и съответно тази граница е вярна за всяко число от X.(5) Така отново достигнахме до желаната от нас производа и съответно и това правило е вярно. Онтово ще следваме същата схема, преобразуваме диференчното частно. Този път ще прибавим и извадим произведението на константите(изивнявайте че развалям изненадата в доказателстовто), и разглеждаме границата му, което е производната: след като преобразувахме диференчното частно до този голям и тромав израз, ще разгледаме границата му при $x \to x_0$ като $x_0 \in X$(7) и така стигнахме до това, че за всяко $x_0 \in X$ е вярно правилото, което и искахме да докажем. Забележка: Това всъщност не е цялото, пълно, неоспоримо вярно доказателство. Но пълната версия разби съзнанието на последния, който се опита да я напише. Производна на сложна функция Сложна функция е функция във функция. Сега ще разберем каква е производната на f(g(x)) ако знаем f(x) и g(x). f(g(x)) е диференцируема върху X. Това обаче означава малко повече в случая на сложните функции, от него следва Което означава, че за всяка стойност на $x \in X$ имаме u=g(x) в дефиниционната област на f такова, че имаме призводна в точка u за f. Сега, след като всичко това е изпълнено можем да кажем каква е производната на функцията f(g(x))(9) Доказателство: Първо е добре да си припомним дефиницията за диференцифуемост на функцията f: Т.е една функция f е диференцируема в точка $x_0$, ако са изпълнени горните 2 равенства (или по-специално, ако съществува функция епсилон, за която са изпълнени горните 2 равенства). Тъй като в нашия случай, функцията f наистина е диференцируема в точка $u_0$ (по условие), то знаем че е изпълнено неравенството и лимеса. Тъй като се интересуваме от наличието на производна в точка $x_0$ на функцията F, ще разгледаме диференчното частно на функцията в съответната точка (по-специално $\dfrac{\vartriangle F}{\vartriangle x}$)(11) Както виждате, просто заместваме $\vartriangle F$ със неговото равно от дефиницята, която припомних по-горе, използва се също, че $g(x) = u, \ g(x_0) = u_0$. Сега да потърсим самата производна на функцията F в точка $x_0$, чрез прилагането на дефиницията за производна ( $F'(x_0) = \lim_{x \to x_0} \dfrac{\vartriangle F}{\vartriangle x}$ ):(12) разбира се използвахме, че:(13) защото функцията g(x) е непрекъсната в точка $x_0$.
1.1 2.1 3.1 4.1 5.1 6.1 7.1 7.2 7.3 7.4 7.5 8.1 9.1 9.2 9.3 9.4 9.5 9.6 10.1 11.1 12.1 13.1
All Calculus 1 Resources Example Questions Example Question #1 : How To Graph Differential Equations The function f(x) is shown here in the graph Without solving for the derivative, which of the following graphs is the graph of the derivative of , i.e the graph of ? None of these graphs could be the derivative of . In order to determine the graph by inspection, there are key features to look for. The most important is the locations of the local maxima and minima in the graph of f(x). These points correspond to the x-intercepts in the graph of the derivative. Taking a look at the graph of f(x), you can see that the x intercepts on the graph of f'(x) will be located roughly at x = -3 and x = 4.5. Looking at the possible answers, the only two that could be graphs of f'(x) are these two: and The next step would then be to see which corresponds correctly to maxima and minima. Since the point at x = -3 is a local maximum, f(x) will increase up until the point at which it is maximum, then begin to drop. As seen in the positively oriented parabola, the rate of change of f(x) (the derivative) is positive up until it reaches x = -3. This means that f(x) was increasing, and indicates that this point was a local maximum. On the other hand, if you look at the graph on the left with the negatively oriented parabola, f'(x) is negative until it reaches the local maximum, which doesn't make sense, since that would mean it was decreasing up until the point and then increasing. This indicates a minima. Since the point at x = -3 is a local maximum, the only graph that could be the derivative of f(x) is the positively oriented parabola. Certified Tutor Certified Tutor Certified Tutor