http___fmi.wikidot.com_q22_1.xml
http___inequalities.wikidot.com_cramers-theorem.xml
1.1 1.2 1.3 2.1 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 4.1 5.1 6.1 6.2 6.3 6.4 7.1 7.2 7.3 7.4
Симетрична и алтернативна група. Действие на група върху множество. Теорема на Кейли и формула за класовете. Анотация Симетрична група $S_n$ – представяне на елементите като произведение на независими цикли. Спрягане на елементите на $S_n$. Транспозиции и представяне на елементите като произведение на транспозиции. Алтернативна група. Действие на група върху множество – орбити и стабилизатори, транзитивно действие. Формула за класовете. Теорема на Кейли. Примерна задача: Представяне на елементите на $S_n$ като произведение на независими цикли и действия в $S_n$. Литература: [17]. Алгебра 2, въпрос 7. Симетрична група. Представяне на елементите като произведение на независими цикли, ред на елементите от Sn и спрягане. Алтернативна група. Алгебра 2, въпрос 8. Действие на група върху множество. Орбити и стабилизатори, формула за класовете. Теорема на Кейли.
1.1 2.1 2.2 3.1 4.1 4.2 4.3 4.4 5.1 5.2
Cramér's Theorem The cumulant generating function of a real-valued random variable $X$ is $K_X(t) \equiv \log{\mathbb{E}[e^{tX}]}$, assuming the expectations exist for some range of $t$. Applying the exponential version of the Markov inequality yields, for any positive $t$(1) Taking the tightest bound over all $t$,(2) Cramér's theorem extends this idea to bounds on the deviation of averages from expectation values. Take a sequence of IID copies of the random variable $X_1, X_2, \ldots$ and consider the sum $S_n$ of the first $n$ copies. The cumulative generating function of $S_n$ is $nK_X(t)$. Applying the above result(3) This is called a large deviations result because the size of the deviation $\epsilon$ remains constant as $n$ grows. The full version of Cramér's theorem shows that there is a lower bound on the asymptotic probability which decays at the same rate as this upper bound.