http___fmi.wikidot.com_anal102_1.xml
http___mathroughguides.wikidot.com_article_real-analysis-i.xml
1.1 2.1 3.1 4.1 5.1 6.1 6.2 7.1 8.1 9.1 10.1 11.1 12.1 13.1 14.1 15.1 16.1 17.1 18.1 19.1 19.2 20.1 21.1 22.1 23.1 23.2 23.3 24.1 25.1 26.1 26.2 26.3 26.4 26.5 26.6 27.1 27.2 28.1 28.2 28.3 28.4 28.5 28.6 29.1 29.2 30.1 31.1 32.1 32.2 32.3 33.1 33.2 34.1 35.1 36.1 37.1 38.1 39.1 39.2 39.3 40.1 41.1 42.1 43.1 44.1 45.1 46.1 47.1 48.1 49.1 50.1 51.1 51.2 52.1 53.1 54.1 54.2 54.3 54.4 54.5 54.6 55.1 56.1 57.1 57.2 58.1 59.1 60.1 61.1 61.2 61.3 61.4 62.1 63.1 63.2 63.3 64.1 64.2 64.3 64.4 65.1 65.2 66.1 67.1 68.1 69.1 70.1 71.1 72.1 73.1 74.1 75.1 76.1 76.2 76.3 76.4 77.1 78.1 79.1 79.2 80.1 81.1 81.2 82.1 82.2 83.1 84.1 85.1 86.1 87.1 88.1 89.1 90.1 91.1 93.1 95.1 98.1 100.1 100.2 101.1 102.1 103.1 104.1 104.2 105.1 105.2 106.1 107.1 107.2 108.1 109.1 110.1 111.1 112.1 113.1 114.1 114.2 114.3
Реални числа. Принцип за Непрекъснатост на реалните числа. Модул на реално число Числови множества Естествени числа В математиката с времето се е налагало да се използват все по-'развити' числа. В началото, разбира се, стоят естествените числа:(1) Цели числа Ако добавим нулата, и на всяко число n от N съпоставим такова ново число -n, че да е изпълнено n + (-n) = 0, се получава множеството на целите числа:(2) Рационални числа Ако позволим деление между всеки 2 числа(без 0 - за нея след малко), се появяват и рационалните числа:(3) Всяко множество е съществено подмножество на предното (т.е подмножество е, но не съвпадат):(4) Ирационални числа Всички числа, които не са рационални, по дефиниция образуват множеството на ирационалните числа. То включва n-тите корени на числа, които не са точна n-та степен(това се доказва, но засега ще го използваме наготово), някои известни математически константи и още много други неща. Реални числа И, най-накрая, реални числа наричаме множеството, получено от обединението на рационалните и ирационалните числа. Тоест, реалните числа обхващат всички описани дотук множества. Дефиниция: Корен квадратен на числото a наричаме такова число b, че когато повдигнем b на втора степен, да получим a. Лесно се вижда, че само неотрицателните числа имат квадратен корен в реалните числа. Забележете, че не слагаме ограничението b да е положително!! Корен 2 е ирационално Съществуване на ирационални числа Сега ще докажем, че съществува поне едно ирационално число - именно $\sqrt{2}$. (Т.е ще използваме дефиницията за корен, и ще докажем, че не съществуват цели числа, частното на които е този корен, т.е че не съществува рационално число, което като повдигнем на 2ра степен ще получим 2). Ясно е, че ако съществува едно ирационално число $x$, то съществуват още безброй много(например $kx$, където $k$ е рационално). Твърдение: Доказателство: Ще допуснем противното - т.е че коренът е рационален. В такъв случай, той е равен на частното на две взаимно прости цели числа. Да ги наречем $p$ и $q$. Те са взаимно прости, защото в една дроб ако и числителят, и знаменателят се делят на някакво число можем да ги съкратим - тази операция не може да се повтаря безкрайно, така че в крайна сметка получаваме 2 взаимно прости числа. Най-голям Общ Делител (на английски Greatest Common Divisor) на 2 числа се бележи със кръгли скоби $(p, q) = gcd(p, q)$. Ако най-големия общ делител на 2 числа е 1, то тези числа са взаймно прости (защото нямат общ делител различен от 1, това следва от факта, че всеки делител дели най-големия общ делител). 2 дели лявата страна, следователно дели и дясната. Можем да говорим за делимост, защото и $p$ и $q$ (и 2) са цели. Понеже 2 е просто, щом дели квадрата на едно число, следователно дели и самото число (няма как да дойде само един множител 2 от 2 еднакви числа - ако го има в едното ще го има и в другото, ако го няма в едното няма да го има и в другото - т.е или нула или поне 2 пъти). Стигнахме до извода, че 4 дели дясната страна, от където разбира се следва, че 4 дели и лявата. Там вече има множител 2, следователно 2 дели $q^2$. С аналогични разсъждения стигаме до извода, че 2 дели $q$. Получихме, че 2 дели и $p$ и $q$. Само, че ние сме ги избрали взаимно прости. Така получихме, че $\sqrt{2}$ не е рационално. Остава да е ирационално :) Свойства на реалните числа Свойства на събирането Казваме, че някакво множество е затворено спрямо дадена операция, когато прилагайки тази операция на елементи от множеството винаги получаваме отново елементи от множеството. Тоест, не можем да съберем две реални числа и да не получим реално число. Например, целите числа също са затворени спрямо операцията събиране. "Нулев" елемент за дадена операция наричаме такъв, който не влияе на резултата, когато операцията бъде приложена върху него. При събирането това е 0, при умножението: 1. "Отрицателен"(противоположен) елемент на $x$ за дадена операция е такъв, за който операцията с аргументи $x$ и отрицателния на $x$ дава нулевия елемент. Противоположният елемент на нулата при събиране е отново 0. Изваждането се дефинира чрез събиране с отрицателния елемент на умалителя: Дефиниция: Свойства на умножението При умножението нещата не са особено различни. Разликата е, че нулевият елемент на умножението е единица (за множества, за който са налице операциите събиране и умножение (както е случая с реалните числа), нулевия елемент на умножението се нарича още единичен елемент), а противоположният елемент на даден се нарича негов реципрочен. Също така, нулата няма противоположен елемент спрямо умножение. Дефиниция:(11) Свойства свързващи събирането и умножението Свойства на сравнението ( ) Принцип за непрекъснатост на реалните числа. Дефиниция: $x, y, z \in \mathbb R$ Казваме, че $y$ е между $x$ и $z$ когато $x < y < z$. Гъстота на числови множества Дефиниция(гъсто множество): Казваме, че едно множество $M$ е гъсто когато между всеки два елемента от $M$ можем да намерим трети елемент, отново от $M$. Като следствие можем да изкажем, че между всеки два елемента на M има безброй много други елементи на M. Например, множеството на рационалните числа е гъсто. Ако имаме две числа: и техните числители и делители са взаимно прости, то числото(13) е рационално и е изпълнено $x < z < y$. Нека си представим множеството на рационалните числа като точки върху права. За всяко рационално число поставяме върху правата точка с координата големината на числото. Между всеки две точки ще има трета. Ще има безброй много. Но в крайна сметка, винаги ще остават "дупки" върху правата - съществуват числа, които не могат да се получат по този начин. Пример за "дупка" е $\sqrt{2}$. Непрекъснатост на числови множества Непрекъснато е такова множество $M$, за което между два елемента от него не можем да посочим трети, който не принадлежи на $M$. Тази дефиниция далеч не е формална1 и от нея не могат да се изведат полезни свойства. Тя е тук само, за да помогне за визуализация на понятието. Формална дефиниция:(14) Ако това е изпълнено наричаме множеството $M$ непрекъснато. За всеки 2 множества числа от $M$, такива, че числата от първото са по-малки от числата на второто, то съществува число, което е по-малко от всички във второто множество и по-голямо от всички в първото множество. Не е ли вярно това и за рационалните числа? Оказва се, че не. Множеството на рационалните числа е гъсто. Това твърдение обаче е по-слабо от "непрекъснато". Ако вземем числото $\sqrt{2}$ (за което вече знаем, че не е рационално), и вземем неговите долни и горни приближения до 0, 1, 2, 3… знака след десетичната запетая, ще получим: Oчевидно множеството $X$ се състои от числа, по-малки от $\sqrt{2}$, докато множеството $Y$ се състои от числа, по-големи от $\sqrt{2}$. Важното обаче в случая е, че няма друго число, за което това е изпълнено - т.е. само за числото $\sqrt{2}$ е вярно че елементите на едното множество за по-големи от него, а елементите на другото - по-малки. Щом е само $\sqrt{2}$ - значи, естествено, няма рационални числа с това свойство. Важното в случая е, че рационалните числа, колкото и да са гъсти, може да си мислим, че има "дупки" в тяхното подреждане върху числовата ос. $\sqrt{2}$ е такъв пример. Можем да го изберем на числовата ос (защото можем да построим квадрат със страна 1 и да вземем диагонала), но то не е рационално. В този смисъл реалните покриват цялата числова (затова наричана още и "реална") ос, докато рационалните не го правят. На този принцип се основава повечето от материалът, включен в курса по анализ. Затова е хубаво да се разбира защо реалните са "непрекъснати", а пък, например, рационалните са "прекъснати". Ограниченост Ще продължим с няколко дефиниции за ограниченост на множество докато стигнем до супремум и инфимум. Дефиниция: Казваме, че едно множество $\mathrm X \subset \mathbb R$ е ограничено отгоре, ако: Дефиницията за ограничено отдолу е аналогична. Дефиниция: Едно множество е ограничено, ако е ограничено както отгоре, така и отдолу. Най-голям и най-малък елемент Дефиниция: Най-малък елемент на едно множество $M$ е такъв елемент $m \in M$, който е по-малък или равен на всички останали негови елементи. Това твърдение може да изглежда тривиално, но не е. Съществуват множества в които няма най-малък елемент. Пример за това са неограничени множества (например множеството на реалните числа) и тези, които клонят към дадено число, но самото число не е от множеството ($\{1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \cdots \} \to 0$, но 0 не е от множеството и няма елемент от него, по малък от всички останали). Също така, множеството от приближенията на $\sqrt{2}$ с точност $n$ цифри след запетаята и закръглени надолу (първото множество разгледано в дефиницията за непрекъснатост) също няма най-голям елемент. Аналогична е дефиницията за най-голям елемент. Точни горна и долна граници Сега ще дефинираме понятията супремум и инфимум. Това са така наречените точна горна граница, и точна долна граница. Дефиниция(точна горна граница / супремум): Точна горна граница на ограничено отгоре множество $X$ e неговата най-малка горна граница. Ще наричаме точната горна граница супремум. Т.е супремумът е винаги по-голям или равен от всеки елемент от множеството, и всяко число по-малко от супремума $(d)$, не е горна граница. Това точно дефинира "най-малката от горните граници" и ние често ще използваме формалния запис занапред. Важно е да се отбележи, че супремум/инфимум на някое множество $M$ не е нужно да бъдат елементи от $M$. Дефиницията за инфимум(точна долна граница) е, естествено, аналогична. Теорема: Ако едно множество е ограничено отгоре (отдолу), то съществува неговия sup (inf). Тази теорема засега ще ползваме без доказателство. Модул на реално число Дефиниция:(19) И, разбира се, няколко свойства, с който животът става по-лесен: Свойства: - $|x| \ge \pm x$ - $|x| = 0 \iff x = 0$ - $\left|\frac{x}{y}\right| = \frac{|x|}{|y|}, y \ne 0$ Доказателството на тези свойства става с повече разглеждане на случаи и по-малко мисловна дейност. Обърнете внимание на последното свойство - по-нататък се използва много често. Интервал За всички следващи дефиниции се отнася:(20) Дефиниция: Затворен интервал от $a$ до $b$ наричаме множеството от точки, за всяка от които е изпълнено $a \le x \le b$. Бележи се с $[a,b]$. Отворен интервал е подобен на затворения, с тази разлика, че точките a и b не се включват в него. Бележи се с $(a,b)$2. Полуотворен интервал включва или a, или b. Възможно е да дефинираме интервал, чиито краища клонят към безкрайност. Такива интервали винаги са отворени - интервалът $[-\infty, b]$ не е коректен. Дефиниция: Така се бележи произволен краен интервал (независимо дали е отворен/затворен) Използва се основно за удобство при доказване на теореми, а не в решенията на практически задачи. Дължина на интервал: Дефиниция:(22) Дефиниция:(23) се нарича епсилон околност на $x_0$. В практиката най-често ще вземаме епсилон да бъде безкрайно малко, но няма такова формално ограничение. Една околност може да бъде произволно голяма - дори може да обхваща цялата реална права.(24)
1.1 2.1 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 5.1 6.1 7.1 7.2 7.3 7.4 8.1 8.2 8.3 9.1 10.1 10.2 11.1 11.2 12.1 13.1 14.1 15.1 16.1 17.1 18.1 18.2 19.1 20.1 20.2 20.3 20.4 20.5 20.6 21.1 22.1 23.1 23.2 23.3 24.1 24.2 24.3 24.4 24.5 25.1 26.1 27.1 27.2 27.3 27.4 27.5 28.1 29.1 29.2 29.3 29.4 29.5 30.1 31.1 31.2 31.3
Prerequisites: Set Theory, Calculus I Getting Oriented Real analysis is the study of the properties of real numbers, and functions on the real numbers. It demonstrates how to obtain the results usually seen in a calculus course using a completely rigorous mathematical approach. Frequently, one sees a lot of new and unfamiliar notation in real analysis, as well as new techniques for proving things. For this reason, real analysis has a reputation as being a rather difficult course. It is also full of surprises, and results which run counter to intuition. For example, there are more irrational numbers than rational numbers, even though both sets are infinite. In the big picture, much of analysis involves getting at ideas which are rather intuitive in a mathematically rigorous way. For example, the definition of continuity is very intuitive. Informally, it can be thought of as being able to trace a function on a piece of paper without lifting up the pencil. But the mathematical definition is not so easy, involving sets, magnitudes, and Greek letters. So a rather large part of analysis is becoming familiar enough with the notation to be able to see the more intuitive concept amidst all the notation. The Basics Defining the Real Numbers Usually, the real numbers are thought of as numbers on a line or as decimal representations. But there is also a way they can be constructed directly from the set of integer fractions $\frac{p}{q}$ (the rational numbers $\mathbb{Q}$). The advantage to this approach is that the rationals $\mathbb{Q}$ can be constructed from the integers $\mathbb{Z}$, which can in turn be constructed from the natural numbers $\mathbb{N}$. And using this approach one can prove all the properties of real numbers that ought to be true, such as the existence of multiplication, addition, division, and ordering. Given only the rational numbers, is there any way to get at the concept of $\sqrt{2}$, which is not a rational number? You can't get at it directly, but you could talk about all the rational numbers whose square is less than 2, and all the rational numbers whose square is greater than 2. This idea, splitting the rational numbers into two distinct pieces, leads to the following definition: Definition A cut is a partition of the rational numbers into two disjoint subsets A and B such that all elements of A are less than all elements of B, and A contains no largest elements. It is denoted $A|B$. For example, if A consists of all the rational numbers less than $\sqrt{2}$ and B of everything else, then $A|B$ is a cut. The beauty of this approach is that every real number corresponds to a unique cut, and all properties of the reals can be proven on the level of cuts. Theorem The set of cuts $\{A|B\}$ is in a 1:1 correspondence with the real numbers $\mathbb{R}$, and satisfies the (i) ordering, (ii) field, and (iii) completeness properties of real numbers. The meaning of these three properties is: - ordering means that for any two cuts $\{A|B$\}$ and $\{C|D\}$, either $A\subset C$ (A is less than C), $C\subset A$ (A is greater than C), or A=C (A is equal to C); - field means that it is possible to define addition and multiplication, and they satisfy the desired properties; - complete means that any set in $\mathbb{R}$ has a least upper bound, that is an element which is less than all other upper bounds, yet greater than any element in the set. Essentially, completeness means that there are no "holes" or "gaps" in the real number line. (The rationals $\mathbb{Q}$ are an example of an incomplete set, with lots of holes.) Maximums, Upper Bounds, and Supremums Given a subset $S\subset\mathbb{R}$ of the real numbers, does it have a maximum value? Consider the case where S is the set of negative real numbers demonstrates. In particular, there is no negative real number which is closest to 0 since if $r\in\mathbb{R}$, then $\frac{r}{2}<0$ and is closer to 0 then r. So the maximum of a set may not exist. But our intuition still tells us that "something like" a maximum may exist… in particular, although 0 is not a negative number, it is "the first number larger than all negative numbers". This leads to the definition of the supremum of a subset of real numbers. Definition The supremum of a subset $S\subset\mathbb{R}$ is $\sup(S)=\min\{x\in\mathbb{R}:x\geq s\text{ for all }s\in S\}$. A more fitting term for this is perhaps least upper bound, since out of all the numbers greater than everything in S (that is, all the upper bounds), $\sup(S)$ is the smallest. For example, the open interval $(-3,\sqrt{2})$ has supremum $\sqrt{2}$, as does the closed interval $[-3,\sqrt{2}]$. The supremum of the set of negative numbers is zero. It is important to note that the supremum of the set may not be contained in the set. If it is, then the number is also the maximum of the set. Perhaps an even greater question is whether the least upper bound actually exists. Since we've decided that the minimum of a set may not always be defined, one must be careful to show that the supremum actually exists for subsets of the real numbers. This is the least upper bound property of the real numbers, which will show up later as the "completeness" of the real numbers. Theorem (Least Upper Bound Property) For any subset $S\subset\mathbb{R}$, the set $\{x\in\mathbb{R}:x\geq s\text{ for all }s\in S\}$ has a minimum value in the set. This discussion generalizes to the infimum or greatest lower bound of a subset $S\subset\mathbb{R}$. Note that if $S\subset\mathbb{Q}$, then $\sup(S)$ may not exist in $\mathbb{Q}$, that is, $\{x\in\mathbb{Q}:x\geq s\text{ for all }s\in S\}$ may not have a minimum value. A typical example is the set of rational numbers whose square is less than 2. The set of upper bounds is the set of rationals whose square is greater than 2, and has no minimum. So the rational numbers do not satisfy the Least Upper Bound property. Sequences of Real Numbers A sequence of real numbers is an infinite list of real numbers $a_1, a_2, a_3, \ldots, a_k, \ldots$. In shorthand, the sequence is often denoted $(a_n)$. It turns out that many properties of the real numbers can be conveniently characterized in terms of sequences, and their limits. A limit is a real value that the a sequence is getting arbitrarily close to. In precise terms Definition The limit of a sequence $(a_n)$ is said to exist and is equal to x if for every $\epsilon>0$ there exists a natural number $N\in\mathbb{N}$ such that for all $n>N$, the distance between an and x is less than $\epsilon$, that is $|a_n-x|<\epsilon$. If there is no x for which this is true, the limit does not exist. Alternately, if the limit exists the sequence converges, while if the limit does not exist the sequence diverges.