http___fmi.wikidot.com_q26_1.xml
http___mathonline.wikidot.com_the-extreme-value-theorem-for-functions-of-several-variables.xml
1.1 2.1 3.1 3.2 4.1 5.1 6.1 6.2 6.3 7.1 8.1 9.1 10.1 11.1 13.1 13.2 13.3 14.1 14.2
Итерационни методи за решаване на нелинейни уравнения. Анотация Да се дефинира понятието неподвижна точка на изображението ϕ и да се докаже, че ако ϕ е непрекъснато изображение на интервала [ a,b] в себе си, то ϕ има поне една неподвижна точка в [a,b]. Да се покаже, че решаването на уравнението f(x) = 0 може да се сведе към намиране на неподвижна точка. Да се дефинира понятието свиващо изображение и да се докаже, че ако ϕ е непрекъснато изображение на интервала [a, b] в себе си и е свиващо с константа на Липшиц q<1, то: а) уравнението x = ϕ(x) има единствен корен E в [a,b]; б) редицата ${x_n}$ от последователни приближения (при произволно $x_0 \in [a,b]$ и $x_{n+1} = ϕ(x_n), n = 0, 1,… ,$)клони към E при n→∞, като $| x_n – E| \le (b - a)q^n$ за всяко n. Да се получи като следствие, че ако E е корен на уравнението x = ϕ(x) и ϕ има непрекъсната производна в околност U на E, за която | ϕ’(E)|<1, то при достатъчно добро начално приближение $x_0$ итерационният процес породен от ϕ е сходящ със скоростта на геометрична прогресия. Да се дефинира понятието ред на сходимост. Да се дадат геометрична илюстрация, формула за последователните приближения и ред на сходимост при: - метод на хордите - метод на секущите - метод на Нютон. Да се докаже, че при метода на хордите сходимостта е със скоростта на геометричната прогресия (при условие, че коренът е отделен в достатъчно малък интервал). Числен Анализ, въпрос 20. Метод на свиващите изображения за числено решаване на нелинейни уравнения. Ред на сходимост на итерационен процес. Числен Анализ, въпрос 21. Методи на хордите, секущите и допирателните (Нютон) за числено решаване на нелинейни уравнения.
1.1 2.1 3.1 3.2 4.1 5.1 5.2 6.1 7.1
The Extreme Value Theorem for Functions of Several Variables Recall from the Determining Extreme Values of Functions of Several Variables page that if extreme values to a function of several variables $z = f(x_1, x_2, ..., x_n)$ exist, then all we need to do is check the critical points (points where $\nabla f(x_1, x_2, ..., x_n) = \vec{0}$), singular points (points where $\nabla f(x_1, x_2, ..., x_n)$ does not exist), and boundary points. Also recall from The Extreme Value Theorem for single variable functions says that if a single variable function $f$ is continuous on the closed and bounded interval $[a, b]$ then $f$ attains an absolute maximum value and absolute minimum value of $[a, b]$. The following theorems are an extension of the Extreme Value Theorem for functions of several variables. The Extreme Value Theorem for Functions of Two Variables We will not prove Theorem 1 above. Instead, we will jump right into the strategy for applying theorem 1 provided that $z = f(x, y)$ is a continuous two variable function whose domain $D(f)$ is closed and bounded. The Extreme Value Theorem for Functions of More Than 2 Variables The strategy given above for two variable functions can easily be extended to find absolute maximum and absolute minimum values of a function $f$ of several variables provided that $f$ is continuous and that $D(f)$ is a closed and bounded set.