http___fmi.wikidot.com_anal111_1.xml
http___mathonline.wikidot.com_path-connected-topological-spaces-review.xml
1.1 1.2 1.3 1.4 2.1 3.1 4.1 5.1 6.1 7.1 8.1 8.2 9.1 10.1 10.2 11.1 12.1 13.1 13.2 14.1 14.2 14.3 14.4 14.5 15.1 16.1 17.1 18.1 19.1 20.1 20.2 20.3 20.4 20.5 21.1 21.2 22.1 23.1 24.1 25.1 26.1 27.1 28.1 29.1 30.1 31.1 32.1 33.1 34.1 35.1 36.1 37.1 38.1 39.1 40.1 41.1 42.1 43.1 44.1 45.1 46.1 47.1 47.2 47.3 48.1
Производна. Диференцируемост. Диференциал, лява и дясна производна. Геометричен и физичен смисъл на производната. Диференчно частно Дефиниция: $\vartriangle f = f(x) - f(x_0)$ - наричаме нарастване на функцията $\vartriangle x = x - x_0$ - наричаме нарастване на аргумента Диференчното частно се изразява със следната формула: $\frac{\vartriangle f}{\vartriangle x} = \frac {f(x) - f(x_0)}{x - x_0 }$ Тя представлява приближение за скоростта на изменение на функцията. Колкото по-близки са двете точки $x$ и $x_0$, толкова по-точно е приближението. Производна на функция Понятието производна на функция е било въведено от Нютон, чиято цел е била да изследва скоростта на изменение на някаква функция. Той е търсил начин да намери моментната скорост на движеща се точка, като използва за дадена функцията на изминатия от нея път.1 Дефиниция: Казва се, че съществува производна на функция в дадена точка(например $x_0$) ако съществува следната граница: Тази граница е точно равна на моментната скорост на изменение на $f(x)$. С други думи, това е приближението, получено от диференчното частно, но взето с безкрайна точност. Лайбниц е стигнал до същия резултат независимо и решавайки друг проблем, а именно задачата за намиране на допирателна на произволна функция в точка. Ако вземем две точки $x$ и $x_0$ от графиката на f(x), то по оста x разстоянието между тях е $\vartriangle x$, а по оста y: $\vartriangle f(x)$. Ако през тях прекараме права с уравнение $y = ax + b$ (правата никога не е вертикална заради дефиницията на функция), то лесно може да се провери, че коефицентът a на тази права е точно $\frac{\vartriangle f(x)}{\vartriangle x}$(равен е на тангенса на ъгъла между допирателната и оста Ox). Когато $x$ се приближава безкрайно много до $x_0$ тази права се превръща в допирателна на $f(x)$ в $x_0$. Стига, естествено, търсената граница да съществува. Диференцируемост на функция Дефиниция: Това може да се изрази формално със следна формула: Ако за всяко $x_0$ от някакъв интервал X, в който функцията е дефинирана съществува число A такова, че да е изпълнено следното неравенство: то функцията е диференцируема в точката, а $A*\vartriangle x$ наричаме дифенециал на функцията. Какво означава горната формула? Нищо повече от вече изложената дефиниция. Диференчното частно е равно на диференциала(A* $\vartriangle x$) + някакъв остатък $(\epsilon)$, който клони към 0 когато $x \to x_0$. Впрочем, понятието диференциал вече рядко се използва. "Производна" го замества за практически цели. В общи линии, една функция е диференцируема в точка $x_0$, ако нейната производна съществува в тази точка. Следващата теорема илюстрира точно това. Теорема за дифенцируемостта и производната Теорема: Функцията f(x) е дефинирана над X, $x_0 \in X$. Функцията f(x) е диференцируема с диференциал А в точката $x_0$ тогава и само тогава, когато съществува производната $f'(x_0) = A$ . Доказателство: В правата посока: $\Rightarrow$ Имаме, че функцията има производна, трябва да докажем че съществува диференциал. В обратната посока: $\Leftarrow$ Имаме, че функцията е диференцируема в точката $x_0$, трябва да докажем че съществува производна в същата точка. доказателстовто е елементарно, просто разписваме дефинициите за производна и диференцируемост. Лява и дясна производни Лява производна Същото като производна в точка, но разглеждаме границата отляво. Дефиниция: Казваме, че имаме лява производна на функция в дадена точка $x_0$ ако Дясна производна Същото като производна в точка, но разглеждаме границата отляво. Дефиниция: Казваме, че имаме дясна производна на функция в дадена точка $x_0$ ако Геометричен и физичен смисъл на производната Геометрично представяне на понятието Производната на една функция в дадена точка е равна на тангенса от ъгъла, който допирателната към нейната графиката в тази точка сключва с положителната посока на абсцисната ос. Скорост на изменението на функцията път Нека $s = s(t)$ е законът за пътя на праволинейното равномерно движение на материална точка. Тогава $v(t_0) = s'(t_0)$изразява моментната скорост на движението в момента от времето $t_0$. Ако вземем производната на скоростта (т.е. производната от производната на пътя) $a(t_0) = s''(t_0)$, то тя ще изразява ускорението на точката в момента $t_0$. Въобще производната на функцията y = f(x) в точката $x_0$ изразява скоростта на изменение на функцията в точката $x_0$.
1.1 2.1 3.1 3.2 4.1 5.1 5.2 5.3 5.4 6.1 6.2 7.1 8.1 8.2 8.3 9.1 10.1 10.2 11.1 12.1 12.2 13.1 13.2
Path Connected Topological Spaces Review We will now review some of the recent content regarding path connected topological spaces. - Recall from the Path Connected Topological Spaces page that a topological space $X$ is said to be Path Connected if for every pair of distinct points $x, y \in X$ there exists a continuous function $\alpha : [0, 1] \to X$ such that $\alpha(0) = x$ and $\alpha(1) = y$. The functions $\alpha$ are called Paths from $x$ and $y$. - We saw that $\mathbb{R}^n$ with the usual topology is path connected and for any pair of points $\mathbf{x} = (x_1, x_2, ..., x_n), \mathbf{y} = (y_1, y_2, ..., y_n) \in \mathbb{R}^n$ we can define a path $\alpha : [0, 1] \to \mathbb{R}^n$ by: - On the Path Connectivity of Connected Topological Spaces page we saw that every path connected topological space is connected. The converse is not true in general. There exists some connected topological spaces that are not path connected. In this sense, path connectivity is a "stronger" type of connectivity. - We then began to investigated the path connectivity of path connected sets. On the Path Connectivity of Countable Unions of Connected Sets we saw that if $\{ A_i \}_{i=1}^{\infty}$ is a countably infinite collection of path connected sets in a topological space $X$ and if further, $A_i \cap A_{i+1} \neq \emptyset$ for all $i \in I$ (i.e., successive sets overlap), then the resulting union $\displaystyle{\bigcup_{i=1}^{\infty} A_i}$ is also a path connected topological space. - On the Path Connectivity of the Range of a Path Connected Set under a Continuous Function page we saw that if $X$ is a path connected topological space and $f : X \to Y$ is a continuous function then the range, $f(X)$ is a path connected topological space in $Y$. - On the Path Connectedness of Arbitrary Topological Products page we saw that if $\{ A_i \}_{i \in I}$ is an arbitrary collection of path connected topological spaces then the topological product $\displaystyle{\prod_{i \in I} A_i}$ is also path connected. We proved this by first taking any two distinct points $(x_i)_{i \in I}$ and $(y_i)_{i \in I}$ in $\displaystyle{\prod_{i \in I} X_i}$ and then considering the projection maps defined for all $j \in I$ by $p_j((x_i)_{i \in I}) = x_j$. Since each of the spaces $X_j$ are path connected there exists continuos maps $\alpha_j : [0, 1] \to X_j$ such that $\alpha(0) = p_j((x_i)_{i \in I}) = x_j$ and such that $\alpha (1) = p_j((x_i)_{i \in I}) = y_j$, and so, we can define a function $\displaystyle{\alpha : [0, 1] \to \prod_{i \in I} X_i}$ for all $x \in [0, 1]$ by: - Since each component of $\alpha$ is continuous we have that $\alpha$ is continuous which showed that $\displaystyle{\prod_{i \in I} X_i}$ is path connected. - On the Path Connectedness of Open and Connected Sets in Euclidean Space page we looked at a very nice theorem regarding path connectivity of open and connected sets in Euclidean space $\mathbb{R}^n$. We saw that if $A$ is an open and connected set in $\mathbb{R}^n$ then $A$ is path connected. - On the Locally Connected and Locally Path Connected Topological Spaces page we then began to define local connectivity and local path connectivity of a topological space. - We said that a topological space $X$ is Locally Connected at $x$ if for every neighbourhood of $U$ of $x$ there exists a connected neighbourhood $V$ of $x$ with $x \in V \subseteq U$. Furthermore, we said that $X$ is locally connected (in general) if $X$ is locally connected at every point in $X$. - Similarly, we said that a topological space $X$ is Locally Path Connected at $x$ if for every neighbourhood of $U$ of $x$ there exists a path connected neighbourhood $V$ of $x$ with $x \in V \subseteq U$. Furthermore, we said that $X$ is locally path connected (in general) if $X$ is locally path connected at every point in $X$.