http___fmi.wikidot.com_anal113_1.xml
http___ibmathstuff.wikidot.com_indefinite-integrals.xml
1.1 1.2 2.1 2.2 2.3 3.1 4.1 5.1 6.1 7.1 8.1 8.2 10.1 12.1 13.1 14.1 15.1 17.1 17.2 18.1 19.1 20.1 20.2 21.1 22.1 22.2 23.1 23.2 24.1 24.2 25.1 26.1 27.1 28.1 29.1 30.1 31.1 32.1 33.1
Правила за намиране на производни, свързани с аритметичните действия на функции. Производна на сложна функция. Тази тема е много подобна на темата за аритметичните действия с граници и редици, доказателствата на аритметичните действия си приличат много. Хубаво ще е да запомните това, така ще е значително по-лесно да запомните и трите теми. Реално трябва само 1 от граници на функции/редици - те са взаимо заменяеими стига на изпита да сложите малко обяснения. Сега ще изборим аритмтетичните действия с производни Аритметични действия(1) Доста си приличат с предните аритметични действия. Доказателства За всички f и g приемаме, че са диференцируеми(от което следва, че са непрекъснати и разбира се дефинирани) над X.(2) Първо разписваме диференчното частно на функцията, след това проверяваме дали за всяко $x_0$ от дефиниционната област границата на диференчното частно(тоест производната) е равна на това което искаме да е равна. И, тъй като е така, значи сме доказали правилото. Второто става напълно аналогично. Отново разписваме диференчното частно: съшо както в предните доказателства на аритметично свойство събиране, прибавяме и изваждаме произведението на едно от "числата" и едно от функциите ($f(x_0)$ е константа защото $x_0$ e фиксирано число)(4) След математическо преобразуване на диференчното частно до желаната от нас форма, ще разгледаме границата му при $x \to x_0$ като $x_0 \in X$ и съответно тази граница е вярна за всяко число от X.(5) Така отново достигнахме до желаната от нас производа и съответно и това правило е вярно. Онтово ще следваме същата схема, преобразуваме диференчното частно. Този път ще прибавим и извадим произведението на константите(изивнявайте че развалям изненадата в доказателстовто), и разглеждаме границата му, което е производната: след като преобразувахме диференчното частно до този голям и тромав израз, ще разгледаме границата му при $x \to x_0$ като $x_0 \in X$(7) и така стигнахме до това, че за всяко $x_0 \in X$ е вярно правилото, което и искахме да докажем. Забележка: Това всъщност не е цялото, пълно, неоспоримо вярно доказателство. Но пълната версия разби съзнанието на последния, който се опита да я напише. Производна на сложна функция Сложна функция е функция във функция. Сега ще разберем каква е производната на f(g(x)) ако знаем f(x) и g(x). f(g(x)) е диференцируема върху X. Това обаче означава малко повече в случая на сложните функции, от него следва Което означава, че за всяка стойност на $x \in X$ имаме u=g(x) в дефиниционната област на f такова, че имаме призводна в точка u за f. Сега, след като всичко това е изпълнено можем да кажем каква е производната на функцията f(g(x))(9) Доказателство: Първо е добре да си припомним дефиницията за диференцифуемост на функцията f: Т.е една функция f е диференцируема в точка $x_0$, ако са изпълнени горните 2 равенства (или по-специално, ако съществува функция епсилон, за която са изпълнени горните 2 равенства). Тъй като в нашия случай, функцията f наистина е диференцируема в точка $u_0$ (по условие), то знаем че е изпълнено неравенството и лимеса. Тъй като се интересуваме от наличието на производна в точка $x_0$ на функцията F, ще разгледаме диференчното частно на функцията в съответната точка (по-специално $\dfrac{\vartriangle F}{\vartriangle x}$)(11) Както виждате, просто заместваме $\vartriangle F$ със неговото равно от дефиницята, която припомних по-горе, използва се също, че $g(x) = u, \ g(x_0) = u_0$. Сега да потърсим самата производна на функцията F в точка $x_0$, чрез прилагането на дефиницията за производна ( $F'(x_0) = \lim_{x \to x_0} \dfrac{\vartriangle F}{\vartriangle x}$ ):(12) разбира се използвахме, че:(13) защото функцията g(x) е непрекъсната в точка $x_0$.
1.1 1.2 2.1 2.2 3.1 4.1 5.1 6.1 7.1 7.2 8.1 9.1 10.1 10.2 11.1 12.1 12.2 12.3 12.4 13.1 14.1 14.2 15.1 15.2 15.3 16.1 17.1 17.2 18.1 18.2 19.1 20.1 20.2 20.3 21.1 22.1 22.2 24.1 25.1 26.1
How do you integrate when you have a limit of 5 and 2 of just f(x)? Because you aren't really given a function? So the integral gives us the area of under a curve and/or the anti-derivative as seen in Intro to Integration. But how do we calculate these things? Finding Integrals There are many many approaches to calculating integrals, but the most basic, which is all that is required in SL, is to look at the derivative table. Example 1 Given $g'(x)=x^3$ what is $g(x)$? Remembering our rule for derivatives of polynomials we know that if $f(x)=x^4$ then $f'(x)=4x^3$ Which is almost what we have, but we don't want the 4. The derivative of $g(x)=\frac{1}{4}x^4$ is equal to $x^3$. And that's our answer. Example 2 Find $\int cos(x) dx$. Again we know that the derivative of $sin(x)$ is equal to $cos(x)$. So we can say that:(1) Integration Constant There is one problem, a detail that I have skipped over. The derivative of $x^2+1$ is the same as the derivative of $x^2-3$. The derivative of both functions is $2x$. In fact the derivative of the family of functions $x^2 + c$ is $2x$. This means there are an infinite number of functions whose derivative is $2x$ so when asked to solve(2) There are an infinite number of answers! So the answer to the integral above is:(3) Where C is called the integration constant. The value of the integration constant can only be determined if you are given more information. This extra information is usually referred to as "initial conditions." A few more Examples(4) Note that constants can be pulled through the integral. And that the integral is only defined for when x is greater than 0.(6) In a polynomial, much like with a derivative, each term can be dealt with individually. In fact the intregral above can be rewritten as:(7) A few last details There are books filled with tables of integrals. For the most part the integrals you will be required to calculate are fairly simple. In SL you are required or expected to know how to find the integral of any of the functions: $x^n, e^x, sin(x), cos(x), ln(x)$. PLUS the composites of any of these with the linear function $ax+b$. Or in other words things that looks like:(8) These are pretty easy to do and take on the general form:(10) It could also be handy to know that in general:(11) Anybody else feel like things got a whole lot more complicated all of a sudden?