http___fmi.wikidot.com_anal113_1.xml
http___ibmathstuff.wikidot.com_composite-function.xml
1.1 1.2 2.1 2.2 2.3 3.1 4.1 5.1 6.1 7.1 8.1 8.2 10.1 12.1 13.1 14.1 15.1 17.1 17.2 18.1 19.1 20.1 20.2 21.1 22.1 22.2 23.1 23.2 24.1 24.2 25.1 26.1 27.1 28.1 29.1 30.1 31.1 32.1 33.1
Правила за намиране на производни, свързани с аритметичните действия на функции. Производна на сложна функция. Тази тема е много подобна на темата за аритметичните действия с граници и редици, доказателствата на аритметичните действия си приличат много. Хубаво ще е да запомните това, така ще е значително по-лесно да запомните и трите теми. Реално трябва само 1 от граници на функции/редици - те са взаимо заменяеими стига на изпита да сложите малко обяснения. Сега ще изборим аритмтетичните действия с производни Аритметични действия(1) Доста си приличат с предните аритметични действия. Доказателства За всички f и g приемаме, че са диференцируеми(от което следва, че са непрекъснати и разбира се дефинирани) над X.(2) Първо разписваме диференчното частно на функцията, след това проверяваме дали за всяко $x_0$ от дефиниционната област границата на диференчното частно(тоест производната) е равна на това което искаме да е равна. И, тъй като е така, значи сме доказали правилото. Второто става напълно аналогично. Отново разписваме диференчното частно: съшо както в предните доказателства на аритметично свойство събиране, прибавяме и изваждаме произведението на едно от "числата" и едно от функциите ($f(x_0)$ е константа защото $x_0$ e фиксирано число)(4) След математическо преобразуване на диференчното частно до желаната от нас форма, ще разгледаме границата му при $x \to x_0$ като $x_0 \in X$ и съответно тази граница е вярна за всяко число от X.(5) Така отново достигнахме до желаната от нас производа и съответно и това правило е вярно. Онтово ще следваме същата схема, преобразуваме диференчното частно. Този път ще прибавим и извадим произведението на константите(изивнявайте че развалям изненадата в доказателстовто), и разглеждаме границата му, което е производната: след като преобразувахме диференчното частно до този голям и тромав израз, ще разгледаме границата му при $x \to x_0$ като $x_0 \in X$(7) и така стигнахме до това, че за всяко $x_0 \in X$ е вярно правилото, което и искахме да докажем. Забележка: Това всъщност не е цялото, пълно, неоспоримо вярно доказателство. Но пълната версия разби съзнанието на последния, който се опита да я напише. Производна на сложна функция Сложна функция е функция във функция. Сега ще разберем каква е производната на f(g(x)) ако знаем f(x) и g(x). f(g(x)) е диференцируема върху X. Това обаче означава малко повече в случая на сложните функции, от него следва Което означава, че за всяка стойност на $x \in X$ имаме u=g(x) в дефиниционната област на f такова, че имаме призводна в точка u за f. Сега, след като всичко това е изпълнено можем да кажем каква е производната на функцията f(g(x))(9) Доказателство: Първо е добре да си припомним дефиницията за диференцифуемост на функцията f: Т.е една функция f е диференцируема в точка $x_0$, ако са изпълнени горните 2 равенства (или по-специално, ако съществува функция епсилон, за която са изпълнени горните 2 равенства). Тъй като в нашия случай, функцията f наистина е диференцируема в точка $u_0$ (по условие), то знаем че е изпълнено неравенството и лимеса. Тъй като се интересуваме от наличието на производна в точка $x_0$ на функцията F, ще разгледаме диференчното частно на функцията в съответната точка (по-специално $\dfrac{\vartriangle F}{\vartriangle x}$)(11) Както виждате, просто заместваме $\vartriangle F$ със неговото равно от дефиницята, която припомних по-горе, използва се също, че $g(x) = u, \ g(x_0) = u_0$. Сега да потърсим самата производна на функцията F в точка $x_0$, чрез прилагането на дефиницията за производна ( $F'(x_0) = \lim_{x \to x_0} \dfrac{\vartriangle F}{\vartriangle x}$ ):(12) разбира се използвахме, че:(13) защото функцията g(x) е непрекъсната в точка $x_0$.
1.1 2.1 2.2 3.1 3.2 3.3 3.4 4.1 4.2 4.3 5.1 6.1 7.1 8.1 9.1 9.2
Composite Function Functions can have almost any input. This includes other functions. In the function notation notes we saw that a function such as $g(x)=3x^2+1$ could have an input of 2x which can be written in function notation as $g(2x)$. The input of 2x can be viewed as another function. Lets define $h(x)=2x$. We can then write the function g to have the an input of h(x):(1) While the notation might be a little intimidating the statement $g(h(x))$ is equivalent to $g(2x)$. When the argument of one function is another function (i.e. the input of one function is a function) it is referred to as a composite function. The notation for a composite function can be written in two ways, both of which you should be familiar with:(2) I personally don't like the second form as I find it less clear, but it will show up on homework, IB exams and beyond… Examples Looking at the example above, we can write the composite of g and h in terms of x:(3) We can also make a composition of h as a function of g:(4) Note that in general $g(h(x)) \neq h(g(x))$. This is due to order of operations and using non-linear equations.