http___fmi.wikidot.com_anal113_1.xml
http___ibmathstuff.wikidot.com_derivatives-part-2.xml
1.1 1.2 2.1 2.2 2.3 3.1 4.1 5.1 6.1 7.1 8.1 8.2 10.1 12.1 13.1 14.1 15.1 17.1 17.2 18.1 19.1 20.1 20.2 21.1 22.1 22.2 23.1 23.2 24.1 24.2 25.1 26.1 27.1 28.1 29.1 30.1 31.1 32.1 33.1
Правила за намиране на производни, свързани с аритметичните действия на функции. Производна на сложна функция. Тази тема е много подобна на темата за аритметичните действия с граници и редици, доказателствата на аритметичните действия си приличат много. Хубаво ще е да запомните това, така ще е значително по-лесно да запомните и трите теми. Реално трябва само 1 от граници на функции/редици - те са взаимо заменяеими стига на изпита да сложите малко обяснения. Сега ще изборим аритмтетичните действия с производни Аритметични действия(1) Доста си приличат с предните аритметични действия. Доказателства За всички f и g приемаме, че са диференцируеми(от което следва, че са непрекъснати и разбира се дефинирани) над X.(2) Първо разписваме диференчното частно на функцията, след това проверяваме дали за всяко $x_0$ от дефиниционната област границата на диференчното частно(тоест производната) е равна на това което искаме да е равна. И, тъй като е така, значи сме доказали правилото. Второто става напълно аналогично. Отново разписваме диференчното частно: съшо както в предните доказателства на аритметично свойство събиране, прибавяме и изваждаме произведението на едно от "числата" и едно от функциите ($f(x_0)$ е константа защото $x_0$ e фиксирано число)(4) След математическо преобразуване на диференчното частно до желаната от нас форма, ще разгледаме границата му при $x \to x_0$ като $x_0 \in X$ и съответно тази граница е вярна за всяко число от X.(5) Така отново достигнахме до желаната от нас производа и съответно и това правило е вярно. Онтово ще следваме същата схема, преобразуваме диференчното частно. Този път ще прибавим и извадим произведението на константите(изивнявайте че развалям изненадата в доказателстовто), и разглеждаме границата му, което е производната: след като преобразувахме диференчното частно до този голям и тромав израз, ще разгледаме границата му при $x \to x_0$ като $x_0 \in X$(7) и така стигнахме до това, че за всяко $x_0 \in X$ е вярно правилото, което и искахме да докажем. Забележка: Това всъщност не е цялото, пълно, неоспоримо вярно доказателство. Но пълната версия разби съзнанието на последния, който се опита да я напише. Производна на сложна функция Сложна функция е функция във функция. Сега ще разберем каква е производната на f(g(x)) ако знаем f(x) и g(x). f(g(x)) е диференцируема върху X. Това обаче означава малко повече в случая на сложните функции, от него следва Което означава, че за всяка стойност на $x \in X$ имаме u=g(x) в дефиниционната област на f такова, че имаме призводна в точка u за f. Сега, след като всичко това е изпълнено можем да кажем каква е производната на функцията f(g(x))(9) Доказателство: Първо е добре да си припомним дефиницията за диференцифуемост на функцията f: Т.е една функция f е диференцируема в точка $x_0$, ако са изпълнени горните 2 равенства (или по-специално, ако съществува функция епсилон, за която са изпълнени горните 2 равенства). Тъй като в нашия случай, функцията f наистина е диференцируема в точка $u_0$ (по условие), то знаем че е изпълнено неравенството и лимеса. Тъй като се интересуваме от наличието на производна в точка $x_0$ на функцията F, ще разгледаме диференчното частно на функцията в съответната точка (по-специално $\dfrac{\vartriangle F}{\vartriangle x}$)(11) Както виждате, просто заместваме $\vartriangle F$ със неговото равно от дефиницята, която припомних по-горе, използва се също, че $g(x) = u, \ g(x_0) = u_0$. Сега да потърсим самата производна на функцията F в точка $x_0$, чрез прилагането на дефиницията за производна ( $F'(x_0) = \lim_{x \to x_0} \dfrac{\vartriangle F}{\vartriangle x}$ ):(12) разбира се използвахме, че:(13) защото функцията g(x) е непрекъсната в точка $x_0$.
1.1 2.1 3.1 3.2 3.3 3.4 4.1 5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 6.1 6.2 6.3 7.1 8.1 8.2 8.3 8.4 8.5 9.1 10.1 10.2 10.3 11.1 12.1 12.2 12.3 13.1 14.1 15.1 15.2 16.1 17.1 17.2 18.1 18.2 19.1 19.2 20.1 20.2 21.1 22.1 22.2 22.3 23.1 23.2 23.3 24.1 25.1 27.1
First Principles First remember the definition of the derivative function and that it comes from the idea of a slope of a tangent line:(1) If you are clever the derivative of most any function can be found from this formula. Thankfully the SL folk don't have to be that clever. All that must be done at the SL level is derivatives of polynomials. A few examples follow below. Example 1 Lets start easy. Take the function $f(x)=2$. The slope of the function is constant and equal to zero at all points. So we'd expect the derivative function to equal zero at all points, i.e. $f'(x)=0$. Using the definition of the derivative.(2) In this case there is no need to really even evaluate the limit as zero divided by anything non-zero will always be zero. Check! This one makes sense. Example 2 New function $g(x)=2x+1$. Once again the slope of this function is constant (as its a straight line). The slope of the function is always equal to 2. So we'd expect $g'(x)=2$. Lets give first principles a go…(4) Simplifying the numerator…(5) Everything in the numerator other than the 2h cancels. Once again the limit is not really necessary as the h in the numerator will cancel with the h in the denominator. Leaving:(6) Example 3 Last easy one… For negative values of x the slope of the function is negative. For positive values of x the slope of the function is positive.(7) Expanding (you can almost see the need for the binomial theorem) the numerator and pulling the 3 out front we get:(8) Simplifying.(9) Now as h gets really small the first term 2x will not change, however as h gets small the term h will get very small and the limit goes to zero. We have now evaluated the limit leaving:(10) Example 4 One last one before I get bored… You too? Take the function $m(x)=x^3$. Apply first principles:(11) First we need to expand the term $(x+h)^3$. Using the Binomial Theorem and Pascal's Triangle to expand the binomial we get:(12) Since the exponent is 3 that means we are looking at the 4th row in Pascals Triangle which is 1 3 3 1, which gives us the coefficients above. Pulling the 4 out front the limit now looks like:(13) Simplifying the numerator and dividing by h we get:(14) As h gets very small the term $3x^2$ will not change as it is independent of h. However, the other two terms will both tend towards zero as h gets small. Thus we can say:(15) Notice that in the last two examples that the order or value of the exponent decreased by one when taking the derivative $x^2 \rightarrow 2x$ and $x^3 \rightarrow 3x^2$. If you continue working on ever increasing orders of polynomials you'd find that $x^4 \rightarrow 4x^3$ and $x^5 \rightarrow 5x^4$. A clear pattern can be seen that if $f(x)=ax^n$ then $f'(x)=anx^{n-1}$. or in the other form of notation: For even more derivatives see Derivatives of More Complex Functions