http___fmi.wikidot.com_anal111_1.xml
http___signalsandsystems.wikidot.com_notes-signals-energy.xml
1.1 1.2 1.3 1.4 2.1 3.1 4.1 5.1 6.1 7.1 8.1 8.2 9.1 10.1 10.2 11.1 12.1 13.1 13.2 14.1 14.2 14.3 14.4 14.5 15.1 16.1 17.1 18.1 19.1 20.1 20.2 20.3 20.4 20.5 21.1 21.2 22.1 23.1 24.1 25.1 26.1 27.1 28.1 29.1 30.1 31.1 32.1 33.1 34.1 35.1 36.1 37.1 38.1 39.1 40.1 41.1 42.1 43.1 44.1 45.1 46.1 47.1 47.2 47.3 48.1
Производна. Диференцируемост. Диференциал, лява и дясна производна. Геометричен и физичен смисъл на производната. Диференчно частно Дефиниция: $\vartriangle f = f(x) - f(x_0)$ - наричаме нарастване на функцията $\vartriangle x = x - x_0$ - наричаме нарастване на аргумента Диференчното частно се изразява със следната формула: $\frac{\vartriangle f}{\vartriangle x} = \frac {f(x) - f(x_0)}{x - x_0 }$ Тя представлява приближение за скоростта на изменение на функцията. Колкото по-близки са двете точки $x$ и $x_0$, толкова по-точно е приближението. Производна на функция Понятието производна на функция е било въведено от Нютон, чиято цел е била да изследва скоростта на изменение на някаква функция. Той е търсил начин да намери моментната скорост на движеща се точка, като използва за дадена функцията на изминатия от нея път.1 Дефиниция: Казва се, че съществува производна на функция в дадена точка(например $x_0$) ако съществува следната граница: Тази граница е точно равна на моментната скорост на изменение на $f(x)$. С други думи, това е приближението, получено от диференчното частно, но взето с безкрайна точност. Лайбниц е стигнал до същия резултат независимо и решавайки друг проблем, а именно задачата за намиране на допирателна на произволна функция в точка. Ако вземем две точки $x$ и $x_0$ от графиката на f(x), то по оста x разстоянието между тях е $\vartriangle x$, а по оста y: $\vartriangle f(x)$. Ако през тях прекараме права с уравнение $y = ax + b$ (правата никога не е вертикална заради дефиницията на функция), то лесно може да се провери, че коефицентът a на тази права е точно $\frac{\vartriangle f(x)}{\vartriangle x}$(равен е на тангенса на ъгъла между допирателната и оста Ox). Когато $x$ се приближава безкрайно много до $x_0$ тази права се превръща в допирателна на $f(x)$ в $x_0$. Стига, естествено, търсената граница да съществува. Диференцируемост на функция Дефиниция: Това може да се изрази формално със следна формула: Ако за всяко $x_0$ от някакъв интервал X, в който функцията е дефинирана съществува число A такова, че да е изпълнено следното неравенство: то функцията е диференцируема в точката, а $A*\vartriangle x$ наричаме дифенециал на функцията. Какво означава горната формула? Нищо повече от вече изложената дефиниция. Диференчното частно е равно на диференциала(A* $\vartriangle x$) + някакъв остатък $(\epsilon)$, който клони към 0 когато $x \to x_0$. Впрочем, понятието диференциал вече рядко се използва. "Производна" го замества за практически цели. В общи линии, една функция е диференцируема в точка $x_0$, ако нейната производна съществува в тази точка. Следващата теорема илюстрира точно това. Теорема за дифенцируемостта и производната Теорема: Функцията f(x) е дефинирана над X, $x_0 \in X$. Функцията f(x) е диференцируема с диференциал А в точката $x_0$ тогава и само тогава, когато съществува производната $f'(x_0) = A$ . Доказателство: В правата посока: $\Rightarrow$ Имаме, че функцията има производна, трябва да докажем че съществува диференциал. В обратната посока: $\Leftarrow$ Имаме, че функцията е диференцируема в точката $x_0$, трябва да докажем че съществува производна в същата точка. доказателстовто е елементарно, просто разписваме дефинициите за производна и диференцируемост. Лява и дясна производни Лява производна Същото като производна в точка, но разглеждаме границата отляво. Дефиниция: Казваме, че имаме лява производна на функция в дадена точка $x_0$ ако Дясна производна Същото като производна в точка, но разглеждаме границата отляво. Дефиниция: Казваме, че имаме дясна производна на функция в дадена точка $x_0$ ако Геометричен и физичен смисъл на производната Геометрично представяне на понятието Производната на една функция в дадена точка е равна на тангенса от ъгъла, който допирателната към нейната графиката в тази точка сключва с положителната посока на абсцисната ос. Скорост на изменението на функцията път Нека $s = s(t)$ е законът за пътя на праволинейното равномерно движение на материална точка. Тогава $v(t_0) = s'(t_0)$изразява моментната скорост на движението в момента от времето $t_0$. Ако вземем производната на скоростта (т.е. производната от производната на пътя) $a(t_0) = s''(t_0)$, то тя ще изразява ускорението на точката в момента $t_0$. Въобще производната на функцията y = f(x) в точката $x_0$ изразява скоростта на изменение на функцията в точката $x_0$.
1.1 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 4.1 5.1 6.1 7.1 8.1 8.2 9.1 10.1 10.2 11.1 12.1 13.1 14.1 14.2 14.3 14.4 14.5 14.6 14.7 14.8 15.1 16.1 17.1 18.1 18.2 19.1 20.1 20.2 21.1 22.1
Motivating question Consider a simple circuit where a DC voltage source with $v$ volts is connected to a 1 Ohm resistor as shown in the figure in the left panel. How much power is dissipated by the resistor? The power dissipated is given by $v^2/R = v^2$ watts or joules/sec. How much energy is dissipated in the resistor over a 1 minute time duration? Since energy is the integral of power, the energy dissipated is $v^2 \times 60 = 60 v^2$ Joules. Now consider the same circuit but with a voltage source whose voltage varies with time as shown in the panel on the right, i.e., the voltage at time $t$ is $x(t)$. Let us now consider the question of how much energy is dissipated from the resistor over the entire time interval from $-\infty,\infty$. At any given time $t$, the (instantaneous) power is given by $x^2(t)$ and the overall energy is given by $\int_{-\infty}^{\infty} x^2(t) \ dt$. Notice that we said that the power dissipated at time $t$ is $x^2(t)$, but can we define one value for the power dissipated when the voltage source is $\underline{x}(t)$? This would represent the average energy dissipated per unit time when the voltage signal is $x(t)$. Indeed, we define such a quantity below. We refer to the energy and power dissipated by the resistor as the energy and power associated with the voltage or signal $x(t)$. Definition of Energy and Power The energy and power of a CT signal $\underline{x}(t)$ and DT signal $\underline{x}[n]$ are defined as(1) These defintions apply to both real and complex signals $x(t)$ and $x[n]$. Power of periodic signalsConsider a periodic CT signal $\underline{x}(t)$ with time period $T_0$ such as the example shown in the figure below. For such a signal, the energy of the signal given by $\int_{-\infty}^{\infty} |x(t)|^2 dt$ is infinite. Since the power is the average energy per period, the power is given by where $t_0$ is any arbitrary time instant starting from which we measure the time period. Since the signal is periodic, $t_0$ can be arbitrary i.e., regardless of which time interval we choose to measure the energy over, as long as we are measuring the energy over a time interval equal to one time period, the result is identical since the signal is periodic. If $x(t)$ is a periodic DT signal with time period $N_0$, the power of a periodic signal is defined as(3) Just like in the CT case, $n_0$ can be arbitrary and the choice of $n_0$ does not affect the result. Energy as the strength of a signal Even though we used the circuit example as a motivation to define the energy of a signal, the definition of energy is not confined only to signals which can be interpreted as a voltage waveform. Rather, the energy of a signal can be used as a measure of the strength of a signal. Often, we encounter situations where we would like to measure the strength of a signal or compare the strengths of two signals and the energy of the signal provides a quantitative measure of the strength of the signal. The above definition of energy to measure the strength of a signal is indeed only one of many possible choices and there are other ways to define the energy or strength of a signal. For example, one can look at the maximum value taken by the signal as one measure of strength, one can look at the sum of the absolute values of a DT signal as another choice. All these measures are meaningful and depending on the decision that we would like to make, we must choose the measure. The energy of a signal defined as in (1) is commonly used and in this course, this will be our default definition of energy. The definition of energy is closely related to what is called in mathematics as the norm of a vector Energy type and power type signals - $\underline{x}(t)$ is an energy type signal if $0<E_x<\infty$ - $\underline{x}(t)$ is a power type signal if $0<P_x<\infty$ Clearly, for any periodic signal $E_x$ is not bounded and hence, periodic signals cannot be energy type signals. If the energy within one period of the signal is bounded, then the power will be bounded and hence, such signals will be power type signals. Example Problems Example 2: Let $x(t) = A \cos\left(\omega_0t+ \theta\right)$? Is this a power signal or energy signal? Example 3: What is the power of the signal $x(t) = e^{j\omega_0t}$? Example 4: Compute the energy of the signal $x[n]$ given by(8)