http___fmi.wikidot.com_anal111_1.xml
http___mathonline.wikidot.com_the-implicit-function-theorem_2.xml
1.1 1.2 1.3 1.4 2.1 3.1 4.1 5.1 6.1 7.1 8.1 8.2 9.1 10.1 10.2 11.1 12.1 13.1 13.2 14.1 14.2 14.3 14.4 14.5 15.1 16.1 17.1 18.1 19.1 20.1 20.2 20.3 20.4 20.5 21.1 21.2 22.1 23.1 24.1 25.1 26.1 27.1 28.1 29.1 30.1 31.1 32.1 33.1 34.1 35.1 36.1 37.1 38.1 39.1 40.1 41.1 42.1 43.1 44.1 45.1 46.1 47.1 47.2 47.3 48.1
Производна. Диференцируемост. Диференциал, лява и дясна производна. Геометричен и физичен смисъл на производната. Диференчно частно Дефиниция: $\vartriangle f = f(x) - f(x_0)$ - наричаме нарастване на функцията $\vartriangle x = x - x_0$ - наричаме нарастване на аргумента Диференчното частно се изразява със следната формула: $\frac{\vartriangle f}{\vartriangle x} = \frac {f(x) - f(x_0)}{x - x_0 }$ Тя представлява приближение за скоростта на изменение на функцията. Колкото по-близки са двете точки $x$ и $x_0$, толкова по-точно е приближението. Производна на функция Понятието производна на функция е било въведено от Нютон, чиято цел е била да изследва скоростта на изменение на някаква функция. Той е търсил начин да намери моментната скорост на движеща се точка, като използва за дадена функцията на изминатия от нея път.1 Дефиниция: Казва се, че съществува производна на функция в дадена точка(например $x_0$) ако съществува следната граница: Тази граница е точно равна на моментната скорост на изменение на $f(x)$. С други думи, това е приближението, получено от диференчното частно, но взето с безкрайна точност. Лайбниц е стигнал до същия резултат независимо и решавайки друг проблем, а именно задачата за намиране на допирателна на произволна функция в точка. Ако вземем две точки $x$ и $x_0$ от графиката на f(x), то по оста x разстоянието между тях е $\vartriangle x$, а по оста y: $\vartriangle f(x)$. Ако през тях прекараме права с уравнение $y = ax + b$ (правата никога не е вертикална заради дефиницията на функция), то лесно може да се провери, че коефицентът a на тази права е точно $\frac{\vartriangle f(x)}{\vartriangle x}$(равен е на тангенса на ъгъла между допирателната и оста Ox). Когато $x$ се приближава безкрайно много до $x_0$ тази права се превръща в допирателна на $f(x)$ в $x_0$. Стига, естествено, търсената граница да съществува. Диференцируемост на функция Дефиниция: Това може да се изрази формално със следна формула: Ако за всяко $x_0$ от някакъв интервал X, в който функцията е дефинирана съществува число A такова, че да е изпълнено следното неравенство: то функцията е диференцируема в точката, а $A*\vartriangle x$ наричаме дифенециал на функцията. Какво означава горната формула? Нищо повече от вече изложената дефиниция. Диференчното частно е равно на диференциала(A* $\vartriangle x$) + някакъв остатък $(\epsilon)$, който клони към 0 когато $x \to x_0$. Впрочем, понятието диференциал вече рядко се използва. "Производна" го замества за практически цели. В общи линии, една функция е диференцируема в точка $x_0$, ако нейната производна съществува в тази точка. Следващата теорема илюстрира точно това. Теорема за дифенцируемостта и производната Теорема: Функцията f(x) е дефинирана над X, $x_0 \in X$. Функцията f(x) е диференцируема с диференциал А в точката $x_0$ тогава и само тогава, когато съществува производната $f'(x_0) = A$ . Доказателство: В правата посока: $\Rightarrow$ Имаме, че функцията има производна, трябва да докажем че съществува диференциал. В обратната посока: $\Leftarrow$ Имаме, че функцията е диференцируема в точката $x_0$, трябва да докажем че съществува производна в същата точка. доказателстовто е елементарно, просто разписваме дефинициите за производна и диференцируемост. Лява и дясна производни Лява производна Същото като производна в точка, но разглеждаме границата отляво. Дефиниция: Казваме, че имаме лява производна на функция в дадена точка $x_0$ ако Дясна производна Същото като производна в точка, но разглеждаме границата отляво. Дефиниция: Казваме, че имаме дясна производна на функция в дадена точка $x_0$ ако Геометричен и физичен смисъл на производната Геометрично представяне на понятието Производната на една функция в дадена точка е равна на тангенса от ъгъла, който допирателната към нейната графиката в тази точка сключва с положителната посока на абсцисната ос. Скорост на изменението на функцията път Нека $s = s(t)$ е законът за пътя на праволинейното равномерно движение на материална точка. Тогава $v(t_0) = s'(t_0)$изразява моментната скорост на движението в момента от времето $t_0$. Ако вземем производната на скоростта (т.е. производната от производната на пътя) $a(t_0) = s''(t_0)$, то тя ще изразява ускорението на точката в момента $t_0$. Въобще производната на функцията y = f(x) в точката $x_0$ изразява скоростта на изменение на функцията в точката $x_0$.
1.1 2.1 3.1 3.2 4.1 4.2 4.3 5.1 5.2 5.3 6.1 7.1 8.1 8.2 8.3 9.1 9.2 10.1
The Implicit Function Theorem It is important to review the pages on Systems of Multivariable Equations and Jacobian Determinants page before reading forward. We recently saw some interesting formulas in computing partial derivatives of implicitly defined functions of several variables on the The Implicit Differentiation Formulas page. We will now delve deeper into the intuition behind these formulas. Suppose that $y = f(x)$ is a single variable real-valued function that is defined is defined implicitly such that $F(x, y) = F(x, y(x)) = 0$, and suppose that the point $(a, b)$ lies on this curve (and so $F(a, b) = 0$). Also suppose that $F$ has continuous first partial derivatives in some neighbourhood of $(a, b)$. We want to know whether or not we can solve for $y$ explicitly as a function of $x$ for all points near $(a, b)$. For the arbitrary curve (which happens to be an ellipse) given above, it appears that there are many points $(a, b)$ for which there exists a neighbourhood around $(a, b)$ such that $y$ can be solved for in terms of $x$ as a portion of either the top half or bottom half semi-ellipse. However, not all points on this curve have this property. Any neighbourhood centered at a point with a vertical tangent line will not contain a unique value of $y$ for every value of $x$, since any neighbourhood centered around one of these points will contain a portion of both the top semi-ellipse and bottom semi-ellipse. Now since $F(x, y) = 0$, we can partial differentiate this function with respect to $x$ and get that:(1) If we rearrange the terms in the equation above and isolate for $\frac{dy}{dx}$ we obtain:(2) We first saw this formula on The Implicit Differentiation Formulas page. Now provided that $F_2 (a, b) \neq 0$, then such a solution $y = y(x)$ will exist. Note that $F_2 (a, b) = 0$ if the tangent line at $(a, b)$ is vertical. We can then extend this idea further to functions of three or more variables. The result given above is only one small case of what is known as the Implicit Function Theorem which we will outline below. As a consequence of the Implicit Function Theorem and Cramer's Rule, the partial derivatives of this system at the point $P_0$ can be computed with the following formula containing Jacobian Determinants:(3)