http___fmi.wikidot.com_anal111_1.xml
http___ibmathstuff.wikidot.com_maxandmin.xml
1.1 1.2 1.3 1.4 2.1 3.1 4.1 5.1 6.1 7.1 8.1 8.2 9.1 10.1 10.2 11.1 12.1 13.1 13.2 14.1 14.2 14.3 14.4 14.5 15.1 16.1 17.1 18.1 19.1 20.1 20.2 20.3 20.4 20.5 21.1 21.2 22.1 23.1 24.1 25.1 26.1 27.1 28.1 29.1 30.1 31.1 32.1 33.1 34.1 35.1 36.1 37.1 38.1 39.1 40.1 41.1 42.1 43.1 44.1 45.1 46.1 47.1 47.2 47.3 48.1
Производна. Диференцируемост. Диференциал, лява и дясна производна. Геометричен и физичен смисъл на производната. Диференчно частно Дефиниция: $\vartriangle f = f(x) - f(x_0)$ - наричаме нарастване на функцията $\vartriangle x = x - x_0$ - наричаме нарастване на аргумента Диференчното частно се изразява със следната формула: $\frac{\vartriangle f}{\vartriangle x} = \frac {f(x) - f(x_0)}{x - x_0 }$ Тя представлява приближение за скоростта на изменение на функцията. Колкото по-близки са двете точки $x$ и $x_0$, толкова по-точно е приближението. Производна на функция Понятието производна на функция е било въведено от Нютон, чиято цел е била да изследва скоростта на изменение на някаква функция. Той е търсил начин да намери моментната скорост на движеща се точка, като използва за дадена функцията на изминатия от нея път.1 Дефиниция: Казва се, че съществува производна на функция в дадена точка(например $x_0$) ако съществува следната граница: Тази граница е точно равна на моментната скорост на изменение на $f(x)$. С други думи, това е приближението, получено от диференчното частно, но взето с безкрайна точност. Лайбниц е стигнал до същия резултат независимо и решавайки друг проблем, а именно задачата за намиране на допирателна на произволна функция в точка. Ако вземем две точки $x$ и $x_0$ от графиката на f(x), то по оста x разстоянието между тях е $\vartriangle x$, а по оста y: $\vartriangle f(x)$. Ако през тях прекараме права с уравнение $y = ax + b$ (правата никога не е вертикална заради дефиницията на функция), то лесно може да се провери, че коефицентът a на тази права е точно $\frac{\vartriangle f(x)}{\vartriangle x}$(равен е на тангенса на ъгъла между допирателната и оста Ox). Когато $x$ се приближава безкрайно много до $x_0$ тази права се превръща в допирателна на $f(x)$ в $x_0$. Стига, естествено, търсената граница да съществува. Диференцируемост на функция Дефиниция: Това може да се изрази формално със следна формула: Ако за всяко $x_0$ от някакъв интервал X, в който функцията е дефинирана съществува число A такова, че да е изпълнено следното неравенство: то функцията е диференцируема в точката, а $A*\vartriangle x$ наричаме дифенециал на функцията. Какво означава горната формула? Нищо повече от вече изложената дефиниция. Диференчното частно е равно на диференциала(A* $\vartriangle x$) + някакъв остатък $(\epsilon)$, който клони към 0 когато $x \to x_0$. Впрочем, понятието диференциал вече рядко се използва. "Производна" го замества за практически цели. В общи линии, една функция е диференцируема в точка $x_0$, ако нейната производна съществува в тази точка. Следващата теорема илюстрира точно това. Теорема за дифенцируемостта и производната Теорема: Функцията f(x) е дефинирана над X, $x_0 \in X$. Функцията f(x) е диференцируема с диференциал А в точката $x_0$ тогава и само тогава, когато съществува производната $f'(x_0) = A$ . Доказателство: В правата посока: $\Rightarrow$ Имаме, че функцията има производна, трябва да докажем че съществува диференциал. В обратната посока: $\Leftarrow$ Имаме, че функцията е диференцируема в точката $x_0$, трябва да докажем че съществува производна в същата точка. доказателстовто е елементарно, просто разписваме дефинициите за производна и диференцируемост. Лява и дясна производни Лява производна Същото като производна в точка, но разглеждаме границата отляво. Дефиниция: Казваме, че имаме лява производна на функция в дадена точка $x_0$ ако Дясна производна Същото като производна в точка, но разглеждаме границата отляво. Дефиниция: Казваме, че имаме дясна производна на функция в дадена точка $x_0$ ако Геометричен и физичен смисъл на производната Геометрично представяне на понятието Производната на една функция в дадена точка е равна на тангенса от ъгъла, който допирателната към нейната графиката в тази точка сключва с положителната посока на абсцисната ос. Скорост на изменението на функцията път Нека $s = s(t)$ е законът за пътя на праволинейното равномерно движение на материална точка. Тогава $v(t_0) = s'(t_0)$изразява моментната скорост на движението в момента от времето $t_0$. Ако вземем производната на скоростта (т.е. производната от производната на пътя) $a(t_0) = s''(t_0)$, то тя ще изразява ускорението на точката в момента $t_0$. Въобще производната на функцията y = f(x) в точката $x_0$ изразява скоростта на изменение на функцията в точката $x_0$.
1.1 1.2 2.1 2.2 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 4.1 5.1 5.2 5.3 5.4 6.1 6.2 7.1 7.2 7.3 7.4 7.5 7.6 8.1 8.2 8.3 9.1 10.1 10.2 10.3 10.4 11.1 11.2 11.3 12.1 12.2 13.1 13.2 13.3 14.1 14.2 14.3 14.4 14.5 14.6 15.1 16.1 17.1 17.2 18.1 20.1 20.2
For your last point do you not mean the first derivative must change signs? The second derivative cant if it is 0. The ability to find the slope of a function allows us to do a lot… This page is just the tip of that iceberg so to speak. A question that the IB loves (and most math teachers), is to find the local maximum and minimum of a function. For example the function $f(x)=x^3+3x^2$. Given your GDC you can plot the graph and have the calculator find the max and mins. But clearly I wouldn't have written so much if that was the whole story. With a bit of soul searching you might realize that the slope of a function at a local max or min will be zero! In other words $f^\prime (x)=0$. For this example that means:(1) This function can be easily factored to find the zeros (solutions):(2) Thus the zeros or solutions are $x=0$ and $x=-2$. The solutions are the points where the slope of the original function $f(x)$ equals zero and thus they are the points where the local max and min occur. Check the graph below (the original function is in blue and the derivative is in red). Notice that the point where the derivative function crosses the x-axis is directly below the local maximum! The method above fairly quickly found the local max and min, but it did not make a distinction between them… Sure we can look at our graph and clearly see which is which, but maybe we can use the calculus to go one step further. Maximums - Notice that the slope of the function just before (to the left) of the maximum is positive and just after (to the right) the slope is negative. This will always be true for a maximum (try drawing a local maximum where this is not true). This also results in a derivative function that is positive before the maximum and negative after the maximum. This means that the slope of the derivative function is negative at the point where the original function has a maximum. Whoa. Might want to reread that. If we are talking about the slope of a function that means one thing. Derivative! The derivative function is just like any other function so we can take the derivative of the derivative function, which is commonly referred to as the second derivative and is denoted by the notation:(3) Find the second derivative (or third or fourth) of a function follows all of the same rules as finding the first derivative. Minimums - The opposite of the maximum can be noticed. That is the slope of the original function before the minimum is negative. The slope of the original function after the minimum is positive. This results in the slope of the first derivative function being positive. It can be easy to get sloppy and say that the second derivative is not needed and that the first derivative is all we need to find max and mins, this is often true, but there are a few cases which it is not true. For example in the function $g(x)= \frac{1}{3}x^3+2x+4x$. The derivative of this function is:(4) The zeros of the derivative function are repeated zeros at $x=-2$. In the graph below the original function is shown in blue and the derivative function is shown in red. Notice that the (first) derivative is zero, but clearly $x=-2$ is not a maximum of the original function. The slope of the derivative function is neither positive or negative, but rather it is zero! Which means that at $x=-2$ that:(5) Points of Inflexion (Inflection) - Are points where the original function changes concavity (up/down). In the graph above the point of inflexion is at $x=-2$. To the left of the inflexion point, the original (blue) function is concave down. To the right of the inflexion point, the original function is concave up. In general points of inflexion occur when the second derivative is zero. However in math lingo, this is "necessary but not sufficient." An example of where this is not sufficient is the function $h(x)=x^4$ the first and second derivatives are:(6) Graphing these three functions we have: Notice that the second derivative function (shown in green) does in fact equal zero at $x=0$, but the original function is concave up on both sides of the origin (x=0). Therefore despite the fact that $h''(0)=0$ the point $(0,0)$ is not an inflexion point. In order for a point to be an inflexion point two things must be true. - The second derivative must change signs (+/-). i.e. be positive (negative) to the left and be negative (positive) to the right.