http___fmi.wikidot.com_anal111_1.xml
http___ibmathstuff.wikidot.com_intro-to-integration.xml
1.1 1.2 1.3 1.4 2.1 3.1 4.1 5.1 6.1 7.1 8.1 8.2 9.1 10.1 10.2 11.1 12.1 13.1 13.2 14.1 14.2 14.3 14.4 14.5 15.1 16.1 17.1 18.1 19.1 20.1 20.2 20.3 20.4 20.5 21.1 21.2 22.1 23.1 24.1 25.1 26.1 27.1 28.1 29.1 30.1 31.1 32.1 33.1 34.1 35.1 36.1 37.1 38.1 39.1 40.1 41.1 42.1 43.1 44.1 45.1 46.1 47.1 47.2 47.3 48.1
Производна. Диференцируемост. Диференциал, лява и дясна производна. Геометричен и физичен смисъл на производната. Диференчно частно Дефиниция: $\vartriangle f = f(x) - f(x_0)$ - наричаме нарастване на функцията $\vartriangle x = x - x_0$ - наричаме нарастване на аргумента Диференчното частно се изразява със следната формула: $\frac{\vartriangle f}{\vartriangle x} = \frac {f(x) - f(x_0)}{x - x_0 }$ Тя представлява приближение за скоростта на изменение на функцията. Колкото по-близки са двете точки $x$ и $x_0$, толкова по-точно е приближението. Производна на функция Понятието производна на функция е било въведено от Нютон, чиято цел е била да изследва скоростта на изменение на някаква функция. Той е търсил начин да намери моментната скорост на движеща се точка, като използва за дадена функцията на изминатия от нея път.1 Дефиниция: Казва се, че съществува производна на функция в дадена точка(например $x_0$) ако съществува следната граница: Тази граница е точно равна на моментната скорост на изменение на $f(x)$. С други думи, това е приближението, получено от диференчното частно, но взето с безкрайна точност. Лайбниц е стигнал до същия резултат независимо и решавайки друг проблем, а именно задачата за намиране на допирателна на произволна функция в точка. Ако вземем две точки $x$ и $x_0$ от графиката на f(x), то по оста x разстоянието между тях е $\vartriangle x$, а по оста y: $\vartriangle f(x)$. Ако през тях прекараме права с уравнение $y = ax + b$ (правата никога не е вертикална заради дефиницията на функция), то лесно може да се провери, че коефицентът a на тази права е точно $\frac{\vartriangle f(x)}{\vartriangle x}$(равен е на тангенса на ъгъла между допирателната и оста Ox). Когато $x$ се приближава безкрайно много до $x_0$ тази права се превръща в допирателна на $f(x)$ в $x_0$. Стига, естествено, търсената граница да съществува. Диференцируемост на функция Дефиниция: Това може да се изрази формално със следна формула: Ако за всяко $x_0$ от някакъв интервал X, в който функцията е дефинирана съществува число A такова, че да е изпълнено следното неравенство: то функцията е диференцируема в точката, а $A*\vartriangle x$ наричаме дифенециал на функцията. Какво означава горната формула? Нищо повече от вече изложената дефиниция. Диференчното частно е равно на диференциала(A* $\vartriangle x$) + някакъв остатък $(\epsilon)$, който клони към 0 когато $x \to x_0$. Впрочем, понятието диференциал вече рядко се използва. "Производна" го замества за практически цели. В общи линии, една функция е диференцируема в точка $x_0$, ако нейната производна съществува в тази точка. Следващата теорема илюстрира точно това. Теорема за дифенцируемостта и производната Теорема: Функцията f(x) е дефинирана над X, $x_0 \in X$. Функцията f(x) е диференцируема с диференциал А в точката $x_0$ тогава и само тогава, когато съществува производната $f'(x_0) = A$ . Доказателство: В правата посока: $\Rightarrow$ Имаме, че функцията има производна, трябва да докажем че съществува диференциал. В обратната посока: $\Leftarrow$ Имаме, че функцията е диференцируема в точката $x_0$, трябва да докажем че съществува производна в същата точка. доказателстовто е елементарно, просто разписваме дефинициите за производна и диференцируемост. Лява и дясна производни Лява производна Същото като производна в точка, но разглеждаме границата отляво. Дефиниция: Казваме, че имаме лява производна на функция в дадена точка $x_0$ ако Дясна производна Същото като производна в точка, но разглеждаме границата отляво. Дефиниция: Казваме, че имаме дясна производна на функция в дадена точка $x_0$ ако Геометричен и физичен смисъл на производната Геометрично представяне на понятието Производната на една функция в дадена точка е равна на тангенса от ъгъла, който допирателната към нейната графиката в тази точка сключва с положителната посока на абсцисната ос. Скорост на изменението на функцията път Нека $s = s(t)$ е законът за пътя на праволинейното равномерно движение на материална точка. Тогава $v(t_0) = s'(t_0)$изразява моментната скорост на движението в момента от времето $t_0$. Ако вземем производната на скоростта (т.е. производната от производната на пътя) $a(t_0) = s''(t_0)$, то тя ще изразява ускорението на точката в момента $t_0$. Въобще производната на функцията y = f(x) в точката $x_0$ изразява скоростта на изменение на функцията в точката $x_0$.
1.1 2.1 2.2 3.1 4.1 4.2 5.1 5.2 5.3 5.4 6.1 6.2 6.3 7.1 7.2 8.1 8.2 8.3 9.1 10.1 11.1 11.2 11.3 11.4 12.1 12.2 13.1 13.2 13.3 13.4 13.5 13.6 14.1 14.2 15.1 15.2 15.3 16.1 16.2 17.1 18.1 19.1 20.1 21.1 21.2 21.3 22.1 22.2
Lets pick up where we left off in Kinematics. From the kinematic concepts of position, velocity and acceleration we saw that the area under the curve of a derivative function gives us a connection back to the original function. In the kinematics example we used numbers, now we're going to go a bit more abstract. Area Under the Curve Given the function $f(x)=2x$ the derivative is $f'(x)=2$. The graph of the derivative it looks something like: Now the area under the curve is simply a rectangle. The height of the rectangle is 2 and the width… With a length of x. So the area under the curve is $2x$ which is the original function! Lets try a slightly more complicated example. Starting with the function $g(x)=x^2$ then the derivative is $g'(x)=2x$. The graph of the derivative looks like: The area under the curve is in the shape of a triangle. Now at any point the height of the triangle is $g'(x)$ and the length is x. Which is once again equal to the original function. So far we have a "proof by suggestion," that is, two examples that worked. They showed that the area under the curve of the derivative is equal to the original function, but is this always true? Turns out it is. The Anti-Derivative Calculating the area under the curve essentially "undoes" the derivative. In math lingo this is sometimes called the "Anti-Derivative." It is an inverse operation! Just like addition and subtraction are inverse operations. For less nice functions say $f(x)=\frac{1}{3}x^3 + x$ whose derivatives $f '(x)=x^2+1$ don't have areas under them that make nice shapes (perfect rectangles or triangles) we have to be a bit more clever. One approach is to break up the area under the curve into rectangles as shown below: Notice that the rectangles are only an approximation, that either we over or underestimate the area. However, if the number of rectangles increases (move the slider) the approximation gets better and better. As the number of rectangles increases the width of each rectangle decreases. Imagine that the width of the rectangle gets infinitely small (but not zero) then the area of all the rectangles will in fact exactly equal the area under the curve. Hmm. Clever! The area of each rectangle will be the height of the rectangle (the value of the function at that point, $f'(x)$) multiplied by the width of the rectangle which we'll call $dx$. More formally the area of one rectangle is:(2) To find the total area under the curve we must add up all of the rectangles. Since the width of each rectangle is infinitely small we then have an infinite number of rectangles to add up… In symbols we represent this addition or sum of the rectangles by:(3) Since the area under the curve is equal to the function then the sum of the areas of all the rectangles must equal the original function. This is the famous "Integral." The Integral The integral $\int f'(x) \cdot dx = f(x)$ can be viewed to be asking the questions: - What function $f(x)$ has the derivative $f'(x)$ and/or - What is the sum of all the infinitely small areas $f '(x) \cdot dx$ Both of these questions get asked in a math class. It is easy to lose perspective and focus and see these questions as fundamentally different. Sometimes it is easier to think of one versus the other, but they are in fact the same question… Still with me? Lets move on to calculating indefinite integrals.