http___fmi.wikidot.com_anal111_1.xml
http___ibmathstuff.wikidot.com_indefinite-integrals.xml
1.1 1.2 1.3 1.4 2.1 3.1 4.1 5.1 6.1 7.1 8.1 8.2 9.1 10.1 10.2 11.1 12.1 13.1 13.2 14.1 14.2 14.3 14.4 14.5 15.1 16.1 17.1 18.1 19.1 20.1 20.2 20.3 20.4 20.5 21.1 21.2 22.1 23.1 24.1 25.1 26.1 27.1 28.1 29.1 30.1 31.1 32.1 33.1 34.1 35.1 36.1 37.1 38.1 39.1 40.1 41.1 42.1 43.1 44.1 45.1 46.1 47.1 47.2 47.3 48.1
Производна. Диференцируемост. Диференциал, лява и дясна производна. Геометричен и физичен смисъл на производната. Диференчно частно Дефиниция: $\vartriangle f = f(x) - f(x_0)$ - наричаме нарастване на функцията $\vartriangle x = x - x_0$ - наричаме нарастване на аргумента Диференчното частно се изразява със следната формула: $\frac{\vartriangle f}{\vartriangle x} = \frac {f(x) - f(x_0)}{x - x_0 }$ Тя представлява приближение за скоростта на изменение на функцията. Колкото по-близки са двете точки $x$ и $x_0$, толкова по-точно е приближението. Производна на функция Понятието производна на функция е било въведено от Нютон, чиято цел е била да изследва скоростта на изменение на някаква функция. Той е търсил начин да намери моментната скорост на движеща се точка, като използва за дадена функцията на изминатия от нея път.1 Дефиниция: Казва се, че съществува производна на функция в дадена точка(например $x_0$) ако съществува следната граница: Тази граница е точно равна на моментната скорост на изменение на $f(x)$. С други думи, това е приближението, получено от диференчното частно, но взето с безкрайна точност. Лайбниц е стигнал до същия резултат независимо и решавайки друг проблем, а именно задачата за намиране на допирателна на произволна функция в точка. Ако вземем две точки $x$ и $x_0$ от графиката на f(x), то по оста x разстоянието между тях е $\vartriangle x$, а по оста y: $\vartriangle f(x)$. Ако през тях прекараме права с уравнение $y = ax + b$ (правата никога не е вертикална заради дефиницията на функция), то лесно може да се провери, че коефицентът a на тази права е точно $\frac{\vartriangle f(x)}{\vartriangle x}$(равен е на тангенса на ъгъла между допирателната и оста Ox). Когато $x$ се приближава безкрайно много до $x_0$ тази права се превръща в допирателна на $f(x)$ в $x_0$. Стига, естествено, търсената граница да съществува. Диференцируемост на функция Дефиниция: Това може да се изрази формално със следна формула: Ако за всяко $x_0$ от някакъв интервал X, в който функцията е дефинирана съществува число A такова, че да е изпълнено следното неравенство: то функцията е диференцируема в точката, а $A*\vartriangle x$ наричаме дифенециал на функцията. Какво означава горната формула? Нищо повече от вече изложената дефиниция. Диференчното частно е равно на диференциала(A* $\vartriangle x$) + някакъв остатък $(\epsilon)$, който клони към 0 когато $x \to x_0$. Впрочем, понятието диференциал вече рядко се използва. "Производна" го замества за практически цели. В общи линии, една функция е диференцируема в точка $x_0$, ако нейната производна съществува в тази точка. Следващата теорема илюстрира точно това. Теорема за дифенцируемостта и производната Теорема: Функцията f(x) е дефинирана над X, $x_0 \in X$. Функцията f(x) е диференцируема с диференциал А в точката $x_0$ тогава и само тогава, когато съществува производната $f'(x_0) = A$ . Доказателство: В правата посока: $\Rightarrow$ Имаме, че функцията има производна, трябва да докажем че съществува диференциал. В обратната посока: $\Leftarrow$ Имаме, че функцията е диференцируема в точката $x_0$, трябва да докажем че съществува производна в същата точка. доказателстовто е елементарно, просто разписваме дефинициите за производна и диференцируемост. Лява и дясна производни Лява производна Същото като производна в точка, но разглеждаме границата отляво. Дефиниция: Казваме, че имаме лява производна на функция в дадена точка $x_0$ ако Дясна производна Същото като производна в точка, но разглеждаме границата отляво. Дефиниция: Казваме, че имаме дясна производна на функция в дадена точка $x_0$ ако Геометричен и физичен смисъл на производната Геометрично представяне на понятието Производната на една функция в дадена точка е равна на тангенса от ъгъла, който допирателната към нейната графиката в тази точка сключва с положителната посока на абсцисната ос. Скорост на изменението на функцията път Нека $s = s(t)$ е законът за пътя на праволинейното равномерно движение на материална точка. Тогава $v(t_0) = s'(t_0)$изразява моментната скорост на движението в момента от времето $t_0$. Ако вземем производната на скоростта (т.е. производната от производната на пътя) $a(t_0) = s''(t_0)$, то тя ще изразява ускорението на точката в момента $t_0$. Въобще производната на функцията y = f(x) в точката $x_0$ изразява скоростта на изменение на функцията в точката $x_0$.
1.1 1.2 2.1 2.2 3.1 4.1 5.1 6.1 7.1 7.2 8.1 9.1 10.1 10.2 11.1 12.1 12.2 12.3 12.4 13.1 14.1 14.2 15.1 15.2 15.3 16.1 17.1 17.2 18.1 18.2 19.1 20.1 20.2 20.3 21.1 22.1 22.2 24.1 25.1 26.1
How do you integrate when you have a limit of 5 and 2 of just f(x)? Because you aren't really given a function? So the integral gives us the area of under a curve and/or the anti-derivative as seen in Intro to Integration. But how do we calculate these things? Finding Integrals There are many many approaches to calculating integrals, but the most basic, which is all that is required in SL, is to look at the derivative table. Example 1 Given $g'(x)=x^3$ what is $g(x)$? Remembering our rule for derivatives of polynomials we know that if $f(x)=x^4$ then $f'(x)=4x^3$ Which is almost what we have, but we don't want the 4. The derivative of $g(x)=\frac{1}{4}x^4$ is equal to $x^3$. And that's our answer. Example 2 Find $\int cos(x) dx$. Again we know that the derivative of $sin(x)$ is equal to $cos(x)$. So we can say that:(1) Integration Constant There is one problem, a detail that I have skipped over. The derivative of $x^2+1$ is the same as the derivative of $x^2-3$. The derivative of both functions is $2x$. In fact the derivative of the family of functions $x^2 + c$ is $2x$. This means there are an infinite number of functions whose derivative is $2x$ so when asked to solve(2) There are an infinite number of answers! So the answer to the integral above is:(3) Where C is called the integration constant. The value of the integration constant can only be determined if you are given more information. This extra information is usually referred to as "initial conditions." A few more Examples(4) Note that constants can be pulled through the integral. And that the integral is only defined for when x is greater than 0.(6) In a polynomial, much like with a derivative, each term can be dealt with individually. In fact the intregral above can be rewritten as:(7) A few last details There are books filled with tables of integrals. For the most part the integrals you will be required to calculate are fairly simple. In SL you are required or expected to know how to find the integral of any of the functions: $x^n, e^x, sin(x), cos(x), ln(x)$. PLUS the composites of any of these with the linear function $ax+b$. Or in other words things that looks like:(8) These are pretty easy to do and take on the general form:(10) It could also be handy to know that in general:(11) Anybody else feel like things got a whole lot more complicated all of a sudden?