http___fmi.wikidot.com_anal113_1.xml
http___mathonline.wikidot.com_derivative-chain-rule.xml
1.1 1.2 2.1 2.2 2.3 3.1 4.1 5.1 6.1 7.1 8.1 8.2 10.1 12.1 13.1 14.1 15.1 17.1 17.2 18.1 19.1 20.1 20.2 21.1 22.1 22.2 23.1 23.2 24.1 24.2 25.1 26.1 27.1 28.1 29.1 30.1 31.1 32.1 33.1
Правила за намиране на производни, свързани с аритметичните действия на функции. Производна на сложна функция. Тази тема е много подобна на темата за аритметичните действия с граници и редици, доказателствата на аритметичните действия си приличат много. Хубаво ще е да запомните това, така ще е значително по-лесно да запомните и трите теми. Реално трябва само 1 от граници на функции/редици - те са взаимо заменяеими стига на изпита да сложите малко обяснения. Сега ще изборим аритмтетичните действия с производни Аритметични действия(1) Доста си приличат с предните аритметични действия. Доказателства За всички f и g приемаме, че са диференцируеми(от което следва, че са непрекъснати и разбира се дефинирани) над X.(2) Първо разписваме диференчното частно на функцията, след това проверяваме дали за всяко $x_0$ от дефиниционната област границата на диференчното частно(тоест производната) е равна на това което искаме да е равна. И, тъй като е така, значи сме доказали правилото. Второто става напълно аналогично. Отново разписваме диференчното частно: съшо както в предните доказателства на аритметично свойство събиране, прибавяме и изваждаме произведението на едно от "числата" и едно от функциите ($f(x_0)$ е константа защото $x_0$ e фиксирано число)(4) След математическо преобразуване на диференчното частно до желаната от нас форма, ще разгледаме границата му при $x \to x_0$ като $x_0 \in X$ и съответно тази граница е вярна за всяко число от X.(5) Така отново достигнахме до желаната от нас производа и съответно и това правило е вярно. Онтово ще следваме същата схема, преобразуваме диференчното частно. Този път ще прибавим и извадим произведението на константите(изивнявайте че развалям изненадата в доказателстовто), и разглеждаме границата му, което е производната: след като преобразувахме диференчното частно до този голям и тромав израз, ще разгледаме границата му при $x \to x_0$ като $x_0 \in X$(7) и така стигнахме до това, че за всяко $x_0 \in X$ е вярно правилото, което и искахме да докажем. Забележка: Това всъщност не е цялото, пълно, неоспоримо вярно доказателство. Но пълната версия разби съзнанието на последния, който се опита да я напише. Производна на сложна функция Сложна функция е функция във функция. Сега ще разберем каква е производната на f(g(x)) ако знаем f(x) и g(x). f(g(x)) е диференцируема върху X. Това обаче означава малко повече в случая на сложните функции, от него следва Което означава, че за всяка стойност на $x \in X$ имаме u=g(x) в дефиниционната област на f такова, че имаме призводна в точка u за f. Сега, след като всичко това е изпълнено можем да кажем каква е производната на функцията f(g(x))(9) Доказателство: Първо е добре да си припомним дефиницията за диференцифуемост на функцията f: Т.е една функция f е диференцируема в точка $x_0$, ако са изпълнени горните 2 равенства (или по-специално, ако съществува функция епсилон, за която са изпълнени горните 2 равенства). Тъй като в нашия случай, функцията f наистина е диференцируема в точка $u_0$ (по условие), то знаем че е изпълнено неравенството и лимеса. Тъй като се интересуваме от наличието на производна в точка $x_0$ на функцията F, ще разгледаме диференчното частно на функцията в съответната точка (по-специално $\dfrac{\vartriangle F}{\vartriangle x}$)(11) Както виждате, просто заместваме $\vartriangle F$ със неговото равно от дефиницята, която припомних по-горе, използва се също, че $g(x) = u, \ g(x_0) = u_0$. Сега да потърсим самата производна на функцията F в точка $x_0$, чрез прилагането на дефиницията за производна ( $F'(x_0) = \lim_{x \to x_0} \dfrac{\vartriangle F}{\vartriangle x}$ ):(12) разбира се използвахме, че:(13) защото функцията g(x) е непрекъсната в точка $x_0$.
1.1 2.1 3.1 4.1 5.1 5.2 5.3 6.1 7.1 8.1 8.2 8.3 9.1 10.1 10.2 11.1 12.1 13.1 14.1 15.1 16.1 16.2 16.3 17.1 17.2 18.1 19.1 19.2 20.1 20.2 20.3
The Chain Rule We will not prove the chain rule at this time since the various proofs are rather complicated, but rather, skip directly into some examples. Example 1 Differentiate the function $f(x) = \sin (x^2 - 3x)$. In this case we have a composite function. Our "inner" function can be seen as $x^2 - 3x$, while our outer function can be seen as $\sin x$. Thus we can apply the chain rule for differentiation:(1) Example 2 Differentiate the function $f(x) = (3x - 2)^2$. In this case, we have a composite function again since the inner function is $3x - 2$, and the outer function is $x^2$. However, we do not necessarily need the chain rule to find the derivative of $f$ as we can expand and then differentiate this function as a polynomial. For example:(2) Let's use the chain rule to see if we get the same result:(3) Thus we get the same answer. Note that the first method is easier because the exponent is only to the power of 2, but sometimes we cannot expand easily as seen in the next example. Example 3 Differentiate the function $f(x) = (x^3 - 5x^2 + 7x)^{100}$. Clearly this function can be expanded easily, so we will need to apply the chain rule to find the derivative:(4) The Chain Rule of a Function of Many Compositions Suppose we have a function f(x) in the general form:(5) The great thing is that we can still apply the chain rule. Let's first look at the case in which we have three functions forming a composite, namely $g_1, g_2, g_2$. Therefore:(6) Now let's let $h(x) = g_2(g_3(x))$. Thus $f(x) = g_1(h(x))$, and we can solve this by using the chain rule:(7) Notice that we can substitute $h(x) = g_2(g_3(x))$ back into our derivative equation to obtain:(8) But now we need to simplify the expression for the derivative of h(x) = g_2(g_3(x)) . We can simply apply the chain rule again to obtain:(9) We should be able to notice that there is a pattern with successive components of this derivative. This equation says that the derivative of $f(x)$ is equal to the derivative of $g_1$ with respect to $g_2$ with respect to $g_3$ multiplied by the derivative of $g_2$ with respect to $g_3$ multiplied by the derivative of $g_3$. In fact, it follows that a function with $k$ compositions has its derivative being equal to:(10)