http___fmi.wikidot.com_anal111_1.xml
http___robertjacobson.herokuapp.com_blog_2014_01_28_sneaky-continuous-functions_.xml
1.1 1.2 1.3 1.4 2.1 3.1 4.1 5.1 6.1 7.1 8.1 8.2 9.1 10.1 10.2 11.1 12.1 13.1 13.2 14.1 14.2 14.3 14.4 14.5 15.1 16.1 17.1 18.1 19.1 20.1 20.2 20.3 20.4 20.5 21.1 21.2 22.1 23.1 24.1 25.1 26.1 27.1 28.1 29.1 30.1 31.1 32.1 33.1 34.1 35.1 36.1 37.1 38.1 39.1 40.1 41.1 42.1 43.1 44.1 45.1 46.1 47.1 47.2 47.3 48.1
Производна. Диференцируемост. Диференциал, лява и дясна производна. Геометричен и физичен смисъл на производната. Диференчно частно Дефиниция: $\vartriangle f = f(x) - f(x_0)$ - наричаме нарастване на функцията $\vartriangle x = x - x_0$ - наричаме нарастване на аргумента Диференчното частно се изразява със следната формула: $\frac{\vartriangle f}{\vartriangle x} = \frac {f(x) - f(x_0)}{x - x_0 }$ Тя представлява приближение за скоростта на изменение на функцията. Колкото по-близки са двете точки $x$ и $x_0$, толкова по-точно е приближението. Производна на функция Понятието производна на функция е било въведено от Нютон, чиято цел е била да изследва скоростта на изменение на някаква функция. Той е търсил начин да намери моментната скорост на движеща се точка, като използва за дадена функцията на изминатия от нея път.1 Дефиниция: Казва се, че съществува производна на функция в дадена точка(например $x_0$) ако съществува следната граница: Тази граница е точно равна на моментната скорост на изменение на $f(x)$. С други думи, това е приближението, получено от диференчното частно, но взето с безкрайна точност. Лайбниц е стигнал до същия резултат независимо и решавайки друг проблем, а именно задачата за намиране на допирателна на произволна функция в точка. Ако вземем две точки $x$ и $x_0$ от графиката на f(x), то по оста x разстоянието между тях е $\vartriangle x$, а по оста y: $\vartriangle f(x)$. Ако през тях прекараме права с уравнение $y = ax + b$ (правата никога не е вертикална заради дефиницията на функция), то лесно може да се провери, че коефицентът a на тази права е точно $\frac{\vartriangle f(x)}{\vartriangle x}$(равен е на тангенса на ъгъла между допирателната и оста Ox). Когато $x$ се приближава безкрайно много до $x_0$ тази права се превръща в допирателна на $f(x)$ в $x_0$. Стига, естествено, търсената граница да съществува. Диференцируемост на функция Дефиниция: Това може да се изрази формално със следна формула: Ако за всяко $x_0$ от някакъв интервал X, в който функцията е дефинирана съществува число A такова, че да е изпълнено следното неравенство: то функцията е диференцируема в точката, а $A*\vartriangle x$ наричаме дифенециал на функцията. Какво означава горната формула? Нищо повече от вече изложената дефиниция. Диференчното частно е равно на диференциала(A* $\vartriangle x$) + някакъв остатък $(\epsilon)$, който клони към 0 когато $x \to x_0$. Впрочем, понятието диференциал вече рядко се използва. "Производна" го замества за практически цели. В общи линии, една функция е диференцируема в точка $x_0$, ако нейната производна съществува в тази точка. Следващата теорема илюстрира точно това. Теорема за дифенцируемостта и производната Теорема: Функцията f(x) е дефинирана над X, $x_0 \in X$. Функцията f(x) е диференцируема с диференциал А в точката $x_0$ тогава и само тогава, когато съществува производната $f'(x_0) = A$ . Доказателство: В правата посока: $\Rightarrow$ Имаме, че функцията има производна, трябва да докажем че съществува диференциал. В обратната посока: $\Leftarrow$ Имаме, че функцията е диференцируема в точката $x_0$, трябва да докажем че съществува производна в същата точка. доказателстовто е елементарно, просто разписваме дефинициите за производна и диференцируемост. Лява и дясна производни Лява производна Същото като производна в точка, но разглеждаме границата отляво. Дефиниция: Казваме, че имаме лява производна на функция в дадена точка $x_0$ ако Дясна производна Същото като производна в точка, но разглеждаме границата отляво. Дефиниция: Казваме, че имаме дясна производна на функция в дадена точка $x_0$ ако Геометричен и физичен смисъл на производната Геометрично представяне на понятието Производната на една функция в дадена точка е равна на тангенса от ъгъла, който допирателната към нейната графиката в тази точка сключва с положителната посока на абсцисната ос. Скорост на изменението на функцията път Нека $s = s(t)$ е законът за пътя на праволинейното равномерно движение на материална точка. Тогава $v(t_0) = s'(t_0)$изразява моментната скорост на движението в момента от времето $t_0$. Ако вземем производната на скоростта (т.е. производната от производната на пътя) $a(t_0) = s''(t_0)$, то тя ще изразява ускорението на точката в момента $t_0$. Въобще производната на функцията y = f(x) в точката $x_0$ изразява скоростта на изменение на функцията в точката $x_0$.
1.1 2.1 3.1 3.2 3.3 4.1 4.2 5.1 6.1 7.1 7.2 8.1 8.2 8.3 8.4 8.5 8.6 8.7 8.8 9.1 9.2 10.1 11.1 11.2 12.1 12.2 12.3 12.4 13.1 13.2
While the target audience of this article is my fantastic calculus students, other math teachers might enjoy it as well. Sneaky Continuous Functions When students in first semester calculus first start learning about limits, they are often asked to determine limits using the graph of a function, which we will call the graphical method, and also by constructing a table of values of the function, which we will call the numerical method. Students should be warned that these methods, while perfectly legitimate and often quite useful, are really just fancy ways of guessing the value of the limit, that is, the graphical and numerical methods do not supply us with mathematical certainty regarding the value of the limit. After all, what if your function is very sneaky and merely looks like it’s approaching a value $L$ as $x$ approaches $c$ when in fact it ultimately approaches a different value $K$? Students quickly learn that a function $f(x)$ is continuous at a point $x=c$ if . So limits of continuous functions are very easy to compute: just plug $c$ into the function. Here we give a very simple construction for sneaky continuous functions, that is, continuous functions that look like they approach some value $L$ as $x$ approaches some $c$ but that really approach a different value $K$. A Sneaky “Zero” Function We start by constructing a continuous function that looks very much like the constant zero function but that actually has a “spike” near $x=0$. First, consider this “tent” function $t(x)$ which we plot below: This function isn’t exactly sneaky. We could easily make a table of $x$ values approaching $x=0$ and see that this function clearly approaches $1$. But how about the function $s(x)=t(10^9x)$? The function $s(x)$ is certainly continuous, and even for values of $x$ very close to $x=0$, the value of $s(x)$ is still zero. In fact, we would have to choose before we’d suspect that $s(x)$ is not the constant function! Our function $s(x)$ is very sneaky indeed. What happens if we plot $s(x)$? Can the computer even tell the difference between $s(x)$ and the constant zero function? Nope! This is the number one lesson of doing math with computers: COMPUTERS WILL LIE TO YOU. Constructing Other Sneaky Functions We can use $s(x)$ to construct other sneaky functions. Here’s an example of a function that looks like a nice parabola passing through the point $(1, 2)$: Since $x^2+1$ and are both continuous, their sum is continuous also, so $f(x)$ is continuous. Therefore, . From the graph, it looks like $f(x)$ approaches $2$, which definitely is not equal to $-3$. Sneaky! You can see that we can use this same method to make all kinds of sneaky functions by adding a multiple of $s(x)$ to the function of our choice. Try it yourself in the Sage cell below.