http___linearvibrations.blogspot.hu_search_label_Wolfram_20Mathematica_207.0_1.xml
1.1 2.1 3.1 3.2 4.1 5.1 6.1 7.1 8.1 8.2 9.1 9.2 10.1 11.1 11.2 12.1 13.1 13.2 14.1 15.1 15.2 16.1 16.2 17.1 18.1 19.1 20.1 21.1 22.1 22.2 23.1 24.1 24.2 25.1 26.1 27.1 28.1 28.2 29.1 29.2 30.1 31.1 31.2 32.1 33.1 34.1 35.1 36.1 37.1 38.1 39.1 40.1 40.2 41.1 41.2 42.1 43.1 44.1 45.1 46.1 47.1 48.1 49.1 50.1 51.1 52.1 53.1 53.2 54.1 55.1 56.1 57.1 58.1 58.2 59.1 60.1
Free vibrations are oscillations about a system’s equilibrium position that occur in the absence of an external excitation. Free vibrations are result of a kinetic energy imparted to the system or of a displacement from the equilibrium position that leads to a difference in potential energy from the system’s equilibrium position. Let’s consider a model of one degree of freedom system which is shown in Fig 2.1. This system consists of a block of mass m and the spring with stiffens k. When block is displaced a distance a from its equilibrium position, a potential energy ka^2/2 is developed in the spring. When the system is released from equilibrium, the spring force draws the block toward the system’s equilibrium position, with the potential energy being converted to kinetic energy. When the block reaches its equilibrium position the kinetic energy reaches a maximum and the motion continues. The kinetic energy is converted to potential energy until the spring is compressed a distance a. This process of transfer of potential energy to kinetic energy and vice versa is continual in the absence of non-conservative forces. Remainder: Conservative force is a force with the property that the work done in moving a particle between two points is independent of the taken path. For example when you lift a book, the work that you do against gravity in lifting is stored and is available for kinetic energy of the book once you let go. Some conservative forces are: Gravity, Elastic (Hooke’s Law), electric etc. Non-conservative force is a force with the property that the work done in moving a particle between two points is dependent on the taken path. For example friction is a non-conservative force. When you move an object the work that you do “against friction” is apparently lost-it is certainly not available to the object as kinetic energy. In general any friction type force, like air resistance is non-conservative force. Examples of free vibrations of systems that can be modeled using one degree of freedom include the oscillations of a pendulum about a vertical equilibrium position, the motion of a recoil mechanism of a firearm once it has been fired, and the motion of a vehicle suspension system after the vehicle encounters a pothole. Vibrations of the system with one degree of freedom can be described with the second order differential equation. The independent variable is time, while the dependent variable is the chosen generalized coordinate. The chosen generalized coordinate represents the displacement of a particle in the system or an angular displacement and is measured from the system’s equilibrium position. We can derive differential equation by applying one of two methods and these methods are: 1) The Free Body Diagram Method or 2) Equivalent System Method The general solution of the differential equation is a linear combination of two linearly independent solutions. The arbitrary constants, called constants of integration, are uniquely determined on application of two initial conditions. The necessary initial conditions are values of the generalized coordinate and its first time derivative at specified time, usually t = 0. The form of the solution of the differential equation depends on system parameters. That means that solution of system with no damping will be different from the solution with viscous damping.
1.1 2.1 3.1 4.1 4.2 5.1 6.1 6.2 7.1 7.2 8.1 9.1 10.1 11.1 12.1 12.2 13.1 14.1 14.2 15.1 16.1 17.1 18.1 18.2 19.1 19.2 20.1 21.1 22.1 22.2 23.1 24.1 24.2 25.1 26.1 27.1 29.1 31.1 32.1 33.1 34.1 34.2 35.1 35.2 36.1 37.1 38.1 39.1 40.1 40.2 41.1 41.2 42.1 43.1 44.1 44.2 45.1 46.1 47.1 47.2 48.1 49.1 50.1 50.2 51.1 51.2 52.1 53.1 54.1 55.1 55.2 56.1 56.2 57.1 58.1 59.1 60.1 61.1 61.2 62.1 63.1 64.1 65.1 66.1 67.1 68.1 69.1 69.2 70.1 70.2 71.1 72.1 73.1 74.1 75.1 76.1 77.1 78.1 79.1 79.2 80.1 81.1 82.1 83.1 83.2 84.1 85.1
Slobodne vibracija sustava s jednim stupnjem slobode gibnaja Slobodne vibracije su oscilacije sustava oko ravnotežnog položaja koje se odvijaju bez prisutnosti vanjske sile. Slobodne vibracije su rezultat kinetičke energije koja se prenosi na sustav ili pomak iz ravnotežnog položaja koji dovodi do promjene potencijalne energije sustava. Razmotrimo model s jednim stupnjem slobode gibanja koji je sastavljen od tijela mase m, opruge krutosti k i podloge. Kada se tijelo pomakne iz ravnotežnog položaja za tada se u opruzi nakuplja potnecijalna energija Ako masu m pomaknemo iz ravnotežnog položaja i pustimo, opruga će povući element u ravnotežni položaj i time će doći do pretvorbe akumulirane potencijalne energije u kinetičku energiju. Kada tijelo mase m dostigne ravnotežni položaj, kinetička energija dostići će maksimalnu vrijednost i gibanje se nastavlja. Nakon prolaska ravnotežnog položaja opet će doći do pretvorbe kinetičke energije gibanja u potencijalnu energiju opruge dok tijelo ne dostigne udaljenost Ovaj proces pretvorbe energije je konstantan kada na sustav ne djeluju nekonzervativne sile. U fizikalnom sustavu trajno gibanje je nemoguće. Suho trenje, inercijalno trenje u opruzi, aerodinamičan otpor i ostali nekonzervativni mehanizmi utječu na dispaciju energije. Slobodne vibracije sustava s jednim stupnjem slobode gibanja matematički se definira pomoću diferencijalne jednadžbe drugog reda. Nezavisna varijabla je vrijeme, dok je zavisna varijabla određena generalizirana koordinata. Odabrana generalizirana koordinata predstavlja pomak čestice u sustavu i mjeri se od ravnotežnog položaja. Postoje dvije metode pri razvoju diferencijalnih jednadžbi koje opisuju gibanje sustava s jednim stupnje slobode gibanja: Dijagram slobodnog tijela, Metoda ekvivalentnih sustava Metoda ekvivalentnih sustava bazira se na radu i energiji. Ako je sustav nelinearan, potrebno je linearizirati model koristeći se pretpostavkama. Riješenje diferencijalnih jednadžbi drugog reda je linearna kombinacija dva nezavisna riješenja. Proizvoljne konstante, koje se još nazivaju konstnate intergracije, određuju se na temelju dva početna uvijeta. Potreban početni uvjet je vrijednost generalizirane koordinate i njena prva derivacija za vrijeme, obično Riješenje diferencijalne jednadžbe ovisi o parametrima sustava. Npr. matematički oblik riješenja za neprigušeni sustav je različit od riješenja za sustav s viskoznim prigušenjem. Riješenja se analiziraju za sve moguće vrijednosti parametara. 2.1.Metoda dijagrama slobodnog tijela (engl. Free Body Diagram) Pri izradi dijagrama slobodnog tijela primjenjuju se Newton-ovi zakoni na sustave s jednim stupnjem slobode gibanja da bi se iz takvih dijagrama mogle formulirati diferencijalne jednadžbe. Da bi izradili dijagrame slobodnog tijela potrebno je pratiti sljedeću proceduru: Odabire se generalizirana koordinata. Ova varijabla treba prestavljati pomak čestice sustava. Ako se radi o rotacijskom gibanju, tada bi generalizirana koordinata trebala prestavljati kutni pomak. Dijagram slobodnog tijela se izrađuje na način da prikazuje sustav u nekom vremenskom trenutku. Jedan dijagram treba prikazivati sustav sa vanjskim silama koje dijeluju na njega. Drugi dijagram treba prikazivati sustav s svim efektivnim silama koje djeluju na njega. Odgovarajući oblik Njutnovog zakona primjenjuje se dijagram slobodnog tijela. Primjenjuju se određene pretpostavke s odgovarajućim algebarskim manipulacijama. U ovom zanjem koraku formulira se diferencijalna jednadžba. Potrebno je razviti diferencijalnu jednadžbu za sustav prikazan na sljedećoj slici koristeći se metodom dijagrama slobodnog tijela. Slika 2.1 – a) Sustav sastavljen od tijela mase m, opruge krutosti k i prigušenja c, b) Dijagram slobodnog tijela za vanjske i unutarnje sile Neka x(t) predstavlja pomak tijela mase m. Dijagram slobodnog tijela prikazuje vanjske i unutračnje sile koje dijeluju na tijelo. Sila u opruzi definira se pomoću njene krutosti k i pomaka u smjeru osi x. Primjenom drugog Newtonovog zakona dobivamo:gdje je statički progib opruge. Sada ćemo prijmer riješiti primjenom programskog paketa Wolfram Mathemtaca 7.0.Diferencijalnu jednadžbu riješti ćemo primjenom funkcije DSolve. Upisivanjem ovog koda definirali smo diferencijalnu jednadžbu. Kada pokrenemo evaluaciju koda dobivamo: Naredbom ExpToTrig transformirali smo jednadžbu iz eksponencijalnog u trigonometrijski oblik. U jednadžbi smo izostavili konstante C[1] i Pokretanjem koda dobiti ćemo rješenje diferencijalne jednadžbe u trigonometrijskom obliku: