http___linearvibrations.blogspot.nl_2012_11_1.html_1.xml
1.1 2.1 3.1 3.2 4.1 4.2 5.1 6.1 6.2 7.1 8.1 8.2 9.1 10.1 11.1 12.1 14.1 16.1 18.1 20.1 22.1 24.1 26.1 27.1 27.2 28.1 29.1 30.1 31.1 32.1 32.2 33.1 33.2 34.1 34.2 35.1 35.2 36.1 37.1 38.1 39.1 39.2 40.1 40.2 41.1 41.2 42.1 42.2 43.1 43.2 44.1 45.1 45.2 46.1 47.1 48.1 49.1 50.1 51.1 53.1 54.1 55.1 56.1 57.1 58.1 59.1 60.1 61.1 61.2 62.1 63.1 63.2 64.1 65.1 65.2 66.1 67.1 67.2 68.1 68.2 69.1 70.1 70.2 71.1 72.1 72.2 73.1 74.1 74.2 75.1 76.1 77.1 77.2 78.1 79.1 80.1 80.2 81.1 82.1 82.2 83.1 84.1 85.1 85.2 86.1 86.2 87.1 88.1 88.2 89.1 89.2 90.1 91.1 92.1 93.1 94.1 95.1 96.1 97.1 98.1 98.2 99.1 100.1 100.2 101.1 102.1 103.1 104.1 105.1 105.2 106.1 106.2 107.1 108.1 109.1 110.1 111.1 112.1 112.2 113.1 113.2 114.1 115.1 116.1 116.2 117.1 118.1 119.1 120.1 121.1 121.2 122.1 123.1 123.2 124.1 125.1 126.1 127.1 128.1 128.2 129.1 130.1 131.1 132.1 133.1 133.2 134.1 135.1 136.1 137.1 138.1 139.1
Many variables of vibratory system such as the excitations (inputs) and responses (outputs) are time dependent. The response of vibrating system generally depends on the initial conditions as well as the external excitations. Most practical vibrating systems are very complex, and it is impossible to consider all the details for mathematical analysis. In mathematical analysis we include only the most important features so that we can predict the behaviors of the system under specified input conditions. Often the overall behavior of the system can be determined by considering even a simple model of the complex physical system. The procedure for analysis can be divided into couple of steps and these steps are: Problem Identification Assumptions Basic Laws of Nature Constitutive Equations Geometric Constraints Mathematical Solution Physical Interpretation of Results STEP 1: First step is to identify the problem. Modeling of the system requires abstraction from surroundings and the effects of the surroundings. The information to be obtained from the modeling is specified, and the known constants and variable parameters are identified. STEP 2: Next step is introduction of assumptions into the physical system. This is necessary because in that way we simplify the system. In most cases it is very hard to analyze mechanical system if all the effects are included. When assumptions are used, an approximate physical system is modeled. An approximation should only be made if the solution to the resulting approximate problem is easier than the solution to the problem if the assumption were not made and that with the assumption the results of the modeling are accurate enough for the use they are intended. Certain implicit assumptions are used in the modeling of most physical systems. Usually these assumptions are taken for granted and they are rarely mentioned explicitly. The reason for that is the assumption that you know that. Anyway I’m going to mention them. These implicit assumptions are: Physical properties are continuous functions of spatial variables. This continuum assumption implies that a system can be treated as a continuous piece of matter. The earth is an inertial reference frame, thus allowing application of Newton’s laws in a reference frame fixed to the earth. Relativistic effects are ignored. Gravity is the only external force field and the acceleration due to gravity is 9.81m/s^2 or 32.2 ft/s^2 on the surface of the earth All materials are liner, isotropic, and homogeneous The usual assumptions of mechanics of material apply that is: plane sections remain plane for beams in bending; circular sections under torsional loads do not warp. Explicit assumptions are those specific to a particular problem. An explicit assumption is made to eliminate negligible effects from the analysis or to simplify the problem, while retaining appropriate accuracy. An explicit assumption should be verified, if possible, on completion of the modeling. ALL SYSTEMS ARE NONLINEAR. Exact mathematical modeling of any physical system leads to nonlinear differential equations which often have no analytical solution. Since exact solution of linear differential equations can usually be determined, assumptions are often made to linearize the problem. Linearization of the problem often leads to elimination of nonlinear terms in governing equations or to the approximation of nonlinear terms by linear terms. For example the governing differential equation that describes oscillations of the pendulum has several nonlinear terms. These terms are: 1.1) Geometric nonlinearity – which occurs as a result of system’s geometry. If the maximum angular displacement of the pendulum bob from its equilibrium position is small enough, the nonlinear term in the differential equation due to the geometric nonlinearity can be approximated by a linear term. As the pendulum oscillates it encounters friction in the form of aerodynamic drag. 1.2) As the pendulum oscillates it encounters friction in the form of AERODYNAMIC DRAG. If this DRAG is included in the governing equation in form of the drag force this will lead to a nonlinear term. So in certain cases it can be neglected. When you analyze the results of mathematical modeling, one has to keep in mind that the mathematical model is only an approximation to the true physical system. The reason for that comes from the linearization of the governing equation. So, when you linearize governing equation or to be more precise remove all nonlinear terms from the governing equation the solution would be approximation of the system. The approximate solution is still good because it will give you basic perception of the system vibrations. If you need to be more accurate you will include some of the nonlinear terms and then try to find a solution but be careful because sometimes the solution of nonlinear system isn’t possible or it’s impossible to find the solution. Once you got the solution of the mathematical model you need to check the validity of all assumptions. STEP 3: BASIC LAWS OF NATURE - Basic laws of nature are the physical laws that are applied to all physical system regardless of the material from which the system is constructed. These laws are observable, but cannot be derived from any more fundamental law because they are empirical. The basic laws of nature are: Conservation of mass, conservation of momentum, conservation of energy and the second and third laws of thermodynamics. Conservation of momentum, both linear and angular, is usually the only physica law that is of significance in application to vibrating systems. Application of conservation of mass to vibrations problems is trivial. Applications of the second and the third laws of thermodynamics do not yield any useful information. In the absence of thermal energy, the principle of conservation of energy reduces to the mechanical work-energy principle which is derived from well-known Newton’s laws. STEP 4: CONSTITUTIVE EQUATIONS – provide information about the materials of which a system is made. Different materials behave differently under different conditions. Steel and rubber behave differently because their constitutive equations have different forms. While constitutive equations for steel and aluminum are of the same form, the constants involved in the equations are different. Constitutive equations are used to develop force-displacement relationships for mechanical components that are used in modeling vibrating systems. STEP 5: GEOMETRIC CONSTRAINTS – Application of geometric constraints is often necessary to complete the mathematical modeling of an engineering system. Geometric constraints can be in the form of kinematic relationships between displacement, velocity and acceleration. When application of basic laws of nature and constitutive equations lead to differential equations, the use of geometric constraints is often necessary to formulate the requisite boundary and initial conditions. STEP 6: MATHEMATICAL SOLUTION – After isolation of mechanical system and collecting all the necessary data need to build mathematical model you will get governing differential equation. But as I have explained earlier you need to simplify this model in order to develop mathematical solution which will satisfy the governing equation. Exact analytical solutions, when they exist, are preferable to numerical or approximate solutions. Exact solution are available for many linear problems, but for only a few nonlinear problems. STEP 7: PHYSICAL INTERPRETATION OF RESULTS - After the mathematical solution is complete, the results are formulated. Physical interpretation of mathematical solution is the most important part because it gives us the idea of mechanical system behavior or in this case vibration, the cause of vibrations.
1.1 2.1 3.1 4.1 4.2 5.1 6.1 6.2 7.1 8.1 8.2 9.1 9.2 10.1 10.2 11.1 12.1 12.2 13.1 13.2 14.1 15.1 16.1 16.2 17.1 17.2 18.1 19.1 20.1 21.1 21.2 22.1 23.1 23.2 24.1 25.1 26.1 27.1 28.1 29.1 30.1 30.2 31.1 32.1 33.1 33.2 34.1 34.2 35.1 35.2 36.1 36.2 37.1 38.1 39.1 39.2 40.1 41.1 41.2 42.1 43.1 44.1 45.1 45.2 46.1 47.1 48.1 49.1 50.1 50.2 51.1 52.1 52.2 53.1 55.1 56.1 57.1 58.1 58.2 59.1 60.1 61.1 62.1 63.1 64.1 64.2 65.1 65.2 66.1 67.1 67.2 68.1 69.1 70.1 70.2 71.1 72.1 73.1 74.1 75.1 76.1 77.1 78.1 79.1 79.2 80.1 81.1 82.1 83.1 84.1 85.1 86.1 87.1 88.1 89.1 89.2 89.3 90.1 91.1 91.2 92.1 93.1 94.1 94.2 95.1 96.1 97.1 98.1 98.2 99.1 99.2 100.1 101.1 102.1 102.2 103.1 104.1 104.2 105.1 106.1 107.1 108.1 109.1 109.2 110.1 110.2 111.1 112.1 112.2 113.1 114.1 115.1 116.1 117.1 118.1 119.1 119.2 119.3 120.1 122.1 124.1 126.1 128.1 129.1 130.1 130.2 131.1 132.1 133.1 134.1 135.1 135.2 136.1 136.2 137.1 137.2 138.1 139.1 139.2 140.1 141.1 142.1 143.1 144.1 145.1 145.2 146.1 146.2 147.1 148.1 148.2 149.1 150.1 151.1 152.1 153.1 153.2 154.1 154.2 155.1 156.1 156.2 157.1 158.1 159.1 160.1 161.1 162.1 162.2 163.1 164.1 165.1 166.1 166.2 167.1 167.2 168.1 170.1 172.1 174.1 175.1 176.1 176.2 177.1 177.2 177.3 178.1 179.1 180.1 181.1 182.1 183.1 183.2 184.1 185.1 185.2 186.1 187.1 187.2 188.1 189.1 190.1 191.1 192.1 193.1 193.2 194.1 194.2 195.1 195.2 196.1 197.1 197.2 198.1 198.2 199.1 200.1
1.Uvod Nauka o vibracijama Vibracije su oscilacije mehaničkog sustava oko ravnotežnog položaja. Vibracije se javljaju kada se inercija elementa pomakne iz ravnotežnog položaja zbog toga što se energija prenosi na sustav preko vanjskog izvora. Reaktivna sila ili moment vraća element natrag u ravnotežni položaj. Zamislimo sustav koji je sastavljen od tijela mase m koji je povezan s oprugom krutosti k za podlogu. Kada na takav sustav djelujemo vanjskom silom intenziteta F, sustav će se pomaknuti iz ravnotežnog položaja. Kada se tijelo mase m pusti tada opruga povlači tijelo i vrača ga u ravnotežni položaj. Pri tome se potencijalna energija akumulirana u opruzi pretvara u kinetičku energiju. Kada kuglicu mase m matematičkog njihala pomaknemo iz ravnotežnog položaja u i pustimo; tada će gracitacijska sila vratiti kuglicu mase m; u ravnotežni položaj. Na taj će način akumulirana potencijalna energija biti pretvorena u kinetičku energiju. Za promatrane fizikalne sustave potrebno je razviti matematičke modele. Riješenje matematičkog modela daje informaciju o vibracijama analiziranog mehaničkog sustava. Koristeći određene pretpostavke, vibracije sustava moguće je svesti na jednostavno harmonično gibanje. Slika 1.1 – Sustav sastavljen od opruge krutosti k i tijela mase m Sustav sastavljen od tijela mase m i opruge krutosti k. Ako na taj sustav dijelujemo vanjskom silom F sustav će se pomaknuti iz ravnotežnog položaja. Nakon što sila F prestane dijelovati sustav će se vratiti u ravnotežni položaj. Zadani su sljedeći podaci: Primjenom II Newton-ovog zakona dobivamo: Pretpostavljeno rješenje diferencijalne jedandžbe: Potražimo li prvu i drugu derivaciju pretpostavljenog rješenja dobiti ćemo: Slika 1.2. –Vibracije sustava u vremenskoj domeni Vibracije sustava prikazane u vremenskoj domeni prikazane su na prethodnom dijagramu. Jednostavne harmonijsko gibanje sustava karakterizira se periodičnim oscilacijama oko ravnotežnog položaja. Svaka oscijalcija predstavalja jedan ciklus. Vrijeme potrebno da sustav izvrši jedan ciklus naziva se period. Frekvencija gibanja je broj ciklusa koje sustav napravi u 1 sekudni. Amlituda je maksimalni pomak sustava iz ravnotežnog polžaja i on je konstantan kod sustava koji vrši jednostavno harmonijsko gibanje. Vibracije se javljaju kod mnogih mehaničkih sustava. Ako se ne vrši nadzor i održavanje mehaničkih sustava može doći do kvara i/ili nesipravnog rada. Pretjerane vibracije pumpi, kompresora, turbostrojeva i ostalih industrijskih uređaja mogu izazvati vibracije okoline što dovodi do neispravnog rada strojeva, i time uzrokuje i pojavu buke koja je neugodna ljudskom uhu. automobilima se primjenjuje sustav suspenzije koji će zaštititi putnike od neudobnosti prilikom vožnje preko nepravilne podloge. Vibracijski izolatori se koriste da bi zaštitili strukturu od prekomjerne sile koje se javljaju u radu strojeva. Matematičko modeliranje vibracija Riješenje inžinjerskih problema obično zahtijeva matematičko modeliranje fizikalnih sustava. Procedura modeliranja je ista kao i za sve ostale inžinjerske discipline, međutim odstupa u pojedinim detaljima od ostalih disciplina. U nastavku ćemo detaljno opisati način na koji ćemo raditi matematičko modeliranje Identifikacija problema Sustav se; zajedno s opterećenjima koji dijeluju na njega; izolira od okoline. Prikupljaju se potrebne informacije o modelu te se identificiraju konstante i varijable sustava. Pretpostavke Pretpostavke se primjenjuju radi pojednostavljenja modela. Ako se uključe svi efekti koji utječu na model fizikalnog sustava, rezultirajuća jednadžba postaje kompleksna tako da je matematičko riješenje nemoguće. Aproksimacija se koristi radi pojednostavljenja rezultirajuće jednadžbe na temelju koje dobivamo aproksimativno riješenje problema. Na temelju pretpostavki pojednostavljujemo kompleksni nelinearni problem i svodimo ga na jednostavni linearni problem. Određene pretpostavke se koriste pri modeliranju više fizikalnih sustava, a one su: Fizikalne karakteristike neprekidnih funkcija prostornih varijabli. Pretpostavke kontinuuma impliciraju da se sustav može tretirati kao kontiunirano tijelo ili tvar. Zemlja je inercijska referentna ravnina, čime se omogućava primjena Newtonovih zakona u referentnom okviru fiksiranom za zemlju. Relativistični efekti se ignoriraju Gravitacija je vanjsko polje sila. Akceleracija zbog gravitacije je 9,81 m/s² (32,2 ft/s²) na zemlji. Za promatrani sustav se smatra da nije pod utjecajem radijacije, kemijskih reakcija, vanjskih utjecaja topline. Svi materijali su linearni, izotropni i homogeni. Eksplicitne pretpostavke su specifične za pojedine probleme. Eksplicitna pretpostavka se koristi da bi se eliminirali zanemarivi utjecaji iz analize radi pojednostavljenja problema s time da nesmije utjecati na krajnji rezultat. Fizikalni sustavi u stvarnosti su inherentno nestabilni. Precizno modeliranje matematičkog sustava dovodi do nelinearnih diferencijalnih jednadžbi koje ponekad nemaju riješenja. Riješenje linearnih diferencijalnih jednadžbi se u većini slučajeva može odrediti, stoga da bi se pojednostavio proračun koriste se pretpostavke koje će nelinearni stvarni problem svesti na linearni model. Linearizirajuće pretpostavke dovode do pojednostavljenja diferencijalnih jednadžbi na način da se izbacuju nelinearni članovi . Slika 1.3 – Matematičko njihalo Egzaktna diferencijalna jednadžba koja opisuje gibanje matematičkog njihala sadrži nekoliko nelinearnih varijabli. Geometrijska nelinearnost rezultat je geometrije sustava. Ako je maksimalna vrijednost kutnog pomaka u odnosu na ravnotežni položaj dovoljno mala tada se mogu zanemariti nelinearne varijable i nelinearna diferencijalna jedndžba može se svesti na linearnu diferencijalnu jednadžbu. Ako matematičko njihalo pomaknemo iz ravnotežnog položaja i ono počinje oscilirati pojaviti će se trenje u obliku aerodinamičnog otpora. U slučaju da uključimo varijablu aerodinamičnog otpora u proračun dobiti ćemo neliernu diferencijalnu jednadžbu. Kada analizriamo rezultate matematičkog modeliranja, potrebno je voditi računa da je matematički model samo aproksimacija fizikalnog sustava. Stvarni odziv promatranog sustava je drugačiji nego onaj dobiven proračunom tj. analizom matematičkog modela. Kada se aerodinamičan otpor ili bilo koji drugi koji dijeluje na sustava matematičkog njihala zanemari tada bi teoretski gibanje takvog sustava bilo trajno. Iako smo u analizi zanemarili aerodinamičan otpor koji dijeluje na matematičko njihalo; matematički model je i dalje koristan pri određivanju perioda, frekvencije i amplitude gibanja. Oznovni zakoni prirode Osnovni zakoni prirode su fizikalni zakoni koji se primjenjuju na fiziklane sustave bez obzira na materijal od kojeg je sustav napravljen. Ovi zakoni su empirijski. Naime postoji nekoliko osnovnih prirodnih zakona, a to su: Zakon očuvanja mase, Zakon očuvanja momenta, Zakon očuvanja energije, Zakon očuvanja količine gibanja. Očuvanje momenta, bilo linearnog ili kutnog, je obično jedini fizikalni zakon od velikog značaja za vibracijske sustave. Primjena zakona očuvanja mase na vibracijske probleme je trivijalna. Konstitutivne jednadžbe Konstitutivne jednadžbe omogućavaju informacije o materijalu od kojih je sustav izrađen. Različiti materijali reagiraju različito na različite utjecaje. Guma i čelik ponašaju se različito jer njihove konstitutivne jednadžbe imaju različite forme. Dok je konstitutivna jednadžba za čelik i aluminij odprilike iste forme, konstante koje su u konstitutivnoj jednadžbi su različite. Konstitutivne jednadžbe koriste se za definiranje odnosa između sila i pomaka mehaničkih komponenata koji se koriste pri definiranju modela vibrirajućih sustava. Geometrijska ograničenja Primjena geometrijskih ograničenja je ponekad potrebna pri definiranju matematičkih modela inžinjerskih sustava. Geometrijska ograničenja mogu biti u obiliku kinematskih relacija između pomaka, brzine i ubrzanja. Kada se primjenjuju osnovni zakoni prirode i konstitutivne jednadžbe dovode do difrenecijalnih jednadžbi. Korištenje geometrijskih ograničenja je ponekad potrebno pri formuliranju graničnih i početnih uvijeta. Matematičko riješenje Matematičko modeliranje fizikalnih sustava rezultira formulacijom matematičkog problema. Modeliranje sustava nije potupno dok se matematički model ne primjeni na stvarni model. Za izračuvanje vibracija potrebno je poznavanje više matematike tj. pri analizi linearnih i nelinearnih vibracija potrebno je koristiti diferencijalne jednadžbe. Egzaktna riješenjam moguća su za linearne problema i za neke nelinearne. Fizikalna interpertacija rezultata Nakon izrade matematičkog modela i primjene aproksimacija na stvarni mode te dobivanja rezultata potrebno je fizikalno interpretirati rezultate. U određenim situacijama potrebno je grafički interpretirati dobivene rezultate. Generalizirane koordinate Matematičko modeliranje fizikalnog sustava zahtijeva odabir varijabli ili odabir skupa varijabli koje opisuju odziv sustava. Zavisne varijable su varijable koje opisuju fizikalno ponašanje sustava. Primjeri zavisnih varijabli su: Pomak česitce u dinamičkom sustavu, Brzina gibanja čestica u fluidu, Temperatura u prijenosu topline itd. Nezavisne varijable su varijable pomoću kojih se zavisne varijable mijenjaju. To znači da su zavisne varijable funkcije nezavisnih varijabli. Nezavisna varijabla u većini dinamičkih sustava je vrijeme. Zavisne varijable su u većini dinamičkih sustava su pomak čestica iz ravnotežnog položaja dok je vrijeme u kojem se odvija taj pomak nezavisna varijabla. Broj stupnjeva slobode sustava je broj kinematički nezavisnih varijabli koje u potpunosti opisuju gibanje svake čestice sustava. Bilo koji sustav s n kinematički nezavisnih koordinata sustava s n stupnjeva slobode gibanja naziva se skup generaliziranih koordinata. Izbor generaliziranih koordinata koji se koristi za opis gibanja sustava nije jedinstven. Generalizirane koordinate su zavisne varijable koje opisuju vibracijski problem i funkcije su nezavisnih varijabli, tj. odvijaju se u vremenu koji je nezavisna varijabla. Ako je poznato vrijeme u kojem se pratio poremećaj sustava ili vibracija lako je odrediti pomoću generaliziranih koordinata pomak, brzina i ubrzanje bilo koje čestice sustava koristeći se kinematikom. Jedna čestica koja se slobodno giba prostorom ima tri stupnja slobode gibanja, i odgovarajući izbor generaliziranih koordinata u kartezijevom koordinatnom sustavu je x,y i z. Ako se čestica giba u prostoru, tada će njegova pozicija biti funkcija vremena. Slobodno kruto tijelo ima šest stupnjeva slobode gibanja i to tri translacije i tri rotacije. Generaliziranih koordinata sustava su kartezijeve koordinate centra mase i kutovi između koordinatnih osi i osi koja je fiksirana za tijelo. Broj stupnjeva slobode se reducira ako je čestica krutog tijela ima ograničenja. Čestica koja se giba u ravnini ima najvše dva stupnja slobode gibanja, dok kruto tijelo koje se giba u ravnini ima najviše tri stupnja slobode gibanja (dvije translacije i jednu rotaciju).