http___linearvibrations.blogspot.com_2012_11_1.html_1.xml
1.1 2.1 3.1 3.2 4.1 4.2 5.1 6.1 7.1 7.2 8.1 8.2 8.3 9.1 9.2 10.1 10.2 11.1 11.2 12.1 13.1 14.1 15.1 16.1 17.1 18.1 19.1 19.2 20.1 20.2 21.1 22.1 22.2 23.1 24.1 25.1 26.1 27.1 28.1 28.2 29.1 29.2 30.1 31.1 32.1 32.2 33.1 34.1 34.2 35.1 36.1
In order to complete mathematical model of physical system you need to select a set of variables that describe the physical behavior of the system. Dependent variables are the variables that describe the physical behavior of the system. Example of dependent variables are displacement of a particle in a dynamic system, the components of the velocity vector in a fluid flow problem, the temperature in a heat transfer problem or the electric current in an AC circuit problem. Independent variables are the variables with which the dependent variables change. That is. The dependent variables are functions of the independent variables. Independent variables for most dynamic systems are electric circuit problems is time. The temperature distribution in a heat transfer problem may be a function of spatial position as well as time. The dependent variables in most vibration problems are displacement of specified particles from the system’s equilibrium position while time is the independent variable. The number of degrees of freedom for a system is the number of kinematically independent variables necessary to completely describe the motion of every particle in the system. Any set of n kinematically independent coordinates for a system with n degrees of freedom is called a set of generalized coordinates. There is not unique choice of generalized coordinates. The generalized coordinates are the dependent variables for a vibration problem and are functions of the independent variable, time. If the time history of the generalized coordinates is known, the displacement, velocity and acceleration of any particle in the system can be determined by using kinematics. A single particle free to move in space has three degrees of freedom, and a suitable choice of generalized coordinates is the Cartesian coordinates (x,y,z) of the particle with respect to a fixed reference frame. As the particle moves in space its position is a function of time. An unrestrained rigid body has six degrees of freedom. suitable choice for a system of generalized coordinates is the Cartesian coordinates of the body’s center of mass and the angular measure of an axis fixed to the body with respect to each of the Cartesian coordinate axes fixed in space. The number of degrees of freedom is reduced if a particle or a rigid body is subject to constraints. A particle constrained to move in a plane has at most two degrees of freedom, while a rigid body undergoing planar motion has at most three degrees of freedom.
1.1 2.1 3.1 4.1 4.2 5.1 6.1 6.2 7.1 8.1 8.2 9.1 9.2 10.1 10.2 11.1 12.1 12.2 13.1 13.2 14.1 15.1 16.1 16.2 17.1 17.2 18.1 19.1 20.1 21.1 21.2 22.1 23.1 23.2 24.1 25.1 26.1 27.1 28.1 29.1 30.1 30.2 31.1 32.1 33.1 33.2 34.1 34.2 35.1 35.2 36.1 36.2 37.1 38.1 39.1 39.2 40.1 41.1 41.2 42.1 43.1 44.1 45.1 45.2 46.1 47.1 48.1 49.1 50.1 50.2 51.1 52.1 52.2 53.1 55.1 56.1 57.1 58.1 58.2 59.1 60.1 61.1 62.1 63.1 64.1 64.2 65.1 65.2 66.1 67.1 67.2 68.1 69.1 70.1 70.2 71.1 72.1 73.1 74.1 75.1 76.1 77.1 78.1 79.1 79.2 80.1 81.1 82.1 83.1 84.1 85.1 86.1 87.1 88.1 89.1 89.2 89.3 90.1 91.1 91.2 92.1 93.1 94.1 94.2 95.1 96.1 97.1 98.1 98.2 99.1 99.2 100.1 101.1 102.1 102.2 103.1 104.1 104.2 105.1 106.1 107.1 108.1 109.1 109.2 110.1 110.2 111.1 112.1 112.2 113.1 114.1 115.1 116.1 117.1 118.1 119.1 119.2 119.3 120.1 122.1 124.1 126.1 128.1 129.1 130.1 130.2 131.1 132.1 133.1 134.1 135.1 135.2 136.1 136.2 137.1 137.2 138.1 139.1 139.2 140.1 141.1 142.1 143.1 144.1 145.1 145.2 146.1 146.2 147.1 148.1 148.2 149.1 150.1 151.1 152.1 153.1 153.2 154.1 154.2 155.1 156.1 156.2 157.1 158.1 159.1 160.1 161.1 162.1 162.2 163.1 164.1 165.1 166.1 166.2 167.1 167.2 168.1 170.1 172.1 174.1 175.1 176.1 176.2 177.1 177.2 177.3 178.1 179.1 180.1 181.1 182.1 183.1 183.2 184.1 185.1 185.2 186.1 187.1 187.2 188.1 189.1 190.1 191.1 192.1 193.1 193.2 194.1 194.2 195.1 195.2 196.1 197.1 197.2 198.1 198.2 199.1 200.1
1.Uvod Nauka o vibracijama Vibracije su oscilacije mehaničkog sustava oko ravnotežnog položaja. Vibracije se javljaju kada se inercija elementa pomakne iz ravnotežnog položaja zbog toga što se energija prenosi na sustav preko vanjskog izvora. Reaktivna sila ili moment vraća element natrag u ravnotežni položaj. Zamislimo sustav koji je sastavljen od tijela mase m koji je povezan s oprugom krutosti k za podlogu. Kada na takav sustav djelujemo vanjskom silom intenziteta F, sustav će se pomaknuti iz ravnotežnog položaja. Kada se tijelo mase m pusti tada opruga povlači tijelo i vrača ga u ravnotežni položaj. Pri tome se potencijalna energija akumulirana u opruzi pretvara u kinetičku energiju. Kada kuglicu mase m matematičkog njihala pomaknemo iz ravnotežnog položaja u i pustimo; tada će gracitacijska sila vratiti kuglicu mase m; u ravnotežni položaj. Na taj će način akumulirana potencijalna energija biti pretvorena u kinetičku energiju. Za promatrane fizikalne sustave potrebno je razviti matematičke modele. Riješenje matematičkog modela daje informaciju o vibracijama analiziranog mehaničkog sustava. Koristeći određene pretpostavke, vibracije sustava moguće je svesti na jednostavno harmonično gibanje. Slika 1.1 – Sustav sastavljen od opruge krutosti k i tijela mase m Sustav sastavljen od tijela mase m i opruge krutosti k. Ako na taj sustav dijelujemo vanjskom silom F sustav će se pomaknuti iz ravnotežnog položaja. Nakon što sila F prestane dijelovati sustav će se vratiti u ravnotežni položaj. Zadani su sljedeći podaci: Primjenom II Newton-ovog zakona dobivamo: Pretpostavljeno rješenje diferencijalne jedandžbe: Potražimo li prvu i drugu derivaciju pretpostavljenog rješenja dobiti ćemo: Slika 1.2. –Vibracije sustava u vremenskoj domeni Vibracije sustava prikazane u vremenskoj domeni prikazane su na prethodnom dijagramu. Jednostavne harmonijsko gibanje sustava karakterizira se periodičnim oscilacijama oko ravnotežnog položaja. Svaka oscijalcija predstavalja jedan ciklus. Vrijeme potrebno da sustav izvrši jedan ciklus naziva se period. Frekvencija gibanja je broj ciklusa koje sustav napravi u 1 sekudni. Amlituda je maksimalni pomak sustava iz ravnotežnog polžaja i on je konstantan kod sustava koji vrši jednostavno harmonijsko gibanje. Vibracije se javljaju kod mnogih mehaničkih sustava. Ako se ne vrši nadzor i održavanje mehaničkih sustava može doći do kvara i/ili nesipravnog rada. Pretjerane vibracije pumpi, kompresora, turbostrojeva i ostalih industrijskih uređaja mogu izazvati vibracije okoline što dovodi do neispravnog rada strojeva, i time uzrokuje i pojavu buke koja je neugodna ljudskom uhu. automobilima se primjenjuje sustav suspenzije koji će zaštititi putnike od neudobnosti prilikom vožnje preko nepravilne podloge. Vibracijski izolatori se koriste da bi zaštitili strukturu od prekomjerne sile koje se javljaju u radu strojeva. Matematičko modeliranje vibracija Riješenje inžinjerskih problema obično zahtijeva matematičko modeliranje fizikalnih sustava. Procedura modeliranja je ista kao i za sve ostale inžinjerske discipline, međutim odstupa u pojedinim detaljima od ostalih disciplina. U nastavku ćemo detaljno opisati način na koji ćemo raditi matematičko modeliranje Identifikacija problema Sustav se; zajedno s opterećenjima koji dijeluju na njega; izolira od okoline. Prikupljaju se potrebne informacije o modelu te se identificiraju konstante i varijable sustava. Pretpostavke Pretpostavke se primjenjuju radi pojednostavljenja modela. Ako se uključe svi efekti koji utječu na model fizikalnog sustava, rezultirajuća jednadžba postaje kompleksna tako da je matematičko riješenje nemoguće. Aproksimacija se koristi radi pojednostavljenja rezultirajuće jednadžbe na temelju koje dobivamo aproksimativno riješenje problema. Na temelju pretpostavki pojednostavljujemo kompleksni nelinearni problem i svodimo ga na jednostavni linearni problem. Određene pretpostavke se koriste pri modeliranju više fizikalnih sustava, a one su: Fizikalne karakteristike neprekidnih funkcija prostornih varijabli. Pretpostavke kontinuuma impliciraju da se sustav može tretirati kao kontiunirano tijelo ili tvar. Zemlja je inercijska referentna ravnina, čime se omogućava primjena Newtonovih zakona u referentnom okviru fiksiranom za zemlju. Relativistični efekti se ignoriraju Gravitacija je vanjsko polje sila. Akceleracija zbog gravitacije je 9,81 m/s² (32,2 ft/s²) na zemlji. Za promatrani sustav se smatra da nije pod utjecajem radijacije, kemijskih reakcija, vanjskih utjecaja topline. Svi materijali su linearni, izotropni i homogeni. Eksplicitne pretpostavke su specifične za pojedine probleme. Eksplicitna pretpostavka se koristi da bi se eliminirali zanemarivi utjecaji iz analize radi pojednostavljenja problema s time da nesmije utjecati na krajnji rezultat. Fizikalni sustavi u stvarnosti su inherentno nestabilni. Precizno modeliranje matematičkog sustava dovodi do nelinearnih diferencijalnih jednadžbi koje ponekad nemaju riješenja. Riješenje linearnih diferencijalnih jednadžbi se u većini slučajeva može odrediti, stoga da bi se pojednostavio proračun koriste se pretpostavke koje će nelinearni stvarni problem svesti na linearni model. Linearizirajuće pretpostavke dovode do pojednostavljenja diferencijalnih jednadžbi na način da se izbacuju nelinearni članovi . Slika 1.3 – Matematičko njihalo Egzaktna diferencijalna jednadžba koja opisuje gibanje matematičkog njihala sadrži nekoliko nelinearnih varijabli. Geometrijska nelinearnost rezultat je geometrije sustava. Ako je maksimalna vrijednost kutnog pomaka u odnosu na ravnotežni položaj dovoljno mala tada se mogu zanemariti nelinearne varijable i nelinearna diferencijalna jedndžba može se svesti na linearnu diferencijalnu jednadžbu. Ako matematičko njihalo pomaknemo iz ravnotežnog položaja i ono počinje oscilirati pojaviti će se trenje u obliku aerodinamičnog otpora. U slučaju da uključimo varijablu aerodinamičnog otpora u proračun dobiti ćemo neliernu diferencijalnu jednadžbu. Kada analizriamo rezultate matematičkog modeliranja, potrebno je voditi računa da je matematički model samo aproksimacija fizikalnog sustava. Stvarni odziv promatranog sustava je drugačiji nego onaj dobiven proračunom tj. analizom matematičkog modela. Kada se aerodinamičan otpor ili bilo koji drugi koji dijeluje na sustava matematičkog njihala zanemari tada bi teoretski gibanje takvog sustava bilo trajno. Iako smo u analizi zanemarili aerodinamičan otpor koji dijeluje na matematičko njihalo; matematički model je i dalje koristan pri određivanju perioda, frekvencije i amplitude gibanja. Oznovni zakoni prirode Osnovni zakoni prirode su fizikalni zakoni koji se primjenjuju na fiziklane sustave bez obzira na materijal od kojeg je sustav napravljen. Ovi zakoni su empirijski. Naime postoji nekoliko osnovnih prirodnih zakona, a to su: Zakon očuvanja mase, Zakon očuvanja momenta, Zakon očuvanja energije, Zakon očuvanja količine gibanja. Očuvanje momenta, bilo linearnog ili kutnog, je obično jedini fizikalni zakon od velikog značaja za vibracijske sustave. Primjena zakona očuvanja mase na vibracijske probleme je trivijalna. Konstitutivne jednadžbe Konstitutivne jednadžbe omogućavaju informacije o materijalu od kojih je sustav izrađen. Različiti materijali reagiraju različito na različite utjecaje. Guma i čelik ponašaju se različito jer njihove konstitutivne jednadžbe imaju različite forme. Dok je konstitutivna jednadžba za čelik i aluminij odprilike iste forme, konstante koje su u konstitutivnoj jednadžbi su različite. Konstitutivne jednadžbe koriste se za definiranje odnosa između sila i pomaka mehaničkih komponenata koji se koriste pri definiranju modela vibrirajućih sustava. Geometrijska ograničenja Primjena geometrijskih ograničenja je ponekad potrebna pri definiranju matematičkih modela inžinjerskih sustava. Geometrijska ograničenja mogu biti u obiliku kinematskih relacija između pomaka, brzine i ubrzanja. Kada se primjenjuju osnovni zakoni prirode i konstitutivne jednadžbe dovode do difrenecijalnih jednadžbi. Korištenje geometrijskih ograničenja je ponekad potrebno pri formuliranju graničnih i početnih uvijeta. Matematičko riješenje Matematičko modeliranje fizikalnih sustava rezultira formulacijom matematičkog problema. Modeliranje sustava nije potupno dok se matematički model ne primjeni na stvarni model. Za izračuvanje vibracija potrebno je poznavanje više matematike tj. pri analizi linearnih i nelinearnih vibracija potrebno je koristiti diferencijalne jednadžbe. Egzaktna riješenjam moguća su za linearne problema i za neke nelinearne. Fizikalna interpertacija rezultata Nakon izrade matematičkog modela i primjene aproksimacija na stvarni mode te dobivanja rezultata potrebno je fizikalno interpretirati rezultate. U određenim situacijama potrebno je grafički interpretirati dobivene rezultate. Generalizirane koordinate Matematičko modeliranje fizikalnog sustava zahtijeva odabir varijabli ili odabir skupa varijabli koje opisuju odziv sustava. Zavisne varijable su varijable koje opisuju fizikalno ponašanje sustava. Primjeri zavisnih varijabli su: Pomak česitce u dinamičkom sustavu, Brzina gibanja čestica u fluidu, Temperatura u prijenosu topline itd. Nezavisne varijable su varijable pomoću kojih se zavisne varijable mijenjaju. To znači da su zavisne varijable funkcije nezavisnih varijabli. Nezavisna varijabla u većini dinamičkih sustava je vrijeme. Zavisne varijable su u većini dinamičkih sustava su pomak čestica iz ravnotežnog položaja dok je vrijeme u kojem se odvija taj pomak nezavisna varijabla. Broj stupnjeva slobode sustava je broj kinematički nezavisnih varijabli koje u potpunosti opisuju gibanje svake čestice sustava. Bilo koji sustav s n kinematički nezavisnih koordinata sustava s n stupnjeva slobode gibanja naziva se skup generaliziranih koordinata. Izbor generaliziranih koordinata koji se koristi za opis gibanja sustava nije jedinstven. Generalizirane koordinate su zavisne varijable koje opisuju vibracijski problem i funkcije su nezavisnih varijabli, tj. odvijaju se u vremenu koji je nezavisna varijabla. Ako je poznato vrijeme u kojem se pratio poremećaj sustava ili vibracija lako je odrediti pomoću generaliziranih koordinata pomak, brzina i ubrzanje bilo koje čestice sustava koristeći se kinematikom. Jedna čestica koja se slobodno giba prostorom ima tri stupnja slobode gibanja, i odgovarajući izbor generaliziranih koordinata u kartezijevom koordinatnom sustavu je x,y i z. Ako se čestica giba u prostoru, tada će njegova pozicija biti funkcija vremena. Slobodno kruto tijelo ima šest stupnjeva slobode gibanja i to tri translacije i tri rotacije. Generaliziranih koordinata sustava su kartezijeve koordinate centra mase i kutovi između koordinatnih osi i osi koja je fiksirana za tijelo. Broj stupnjeva slobode se reducira ako je čestica krutog tijela ima ograničenja. Čestica koja se giba u ravnini ima najvše dva stupnja slobode gibanja, dok kruto tijelo koje se giba u ravnini ima najviše tri stupnja slobode gibanja (dvije translacije i jednu rotaciju).