ال وع ات ال هي واحدة من النظريات المتعددة للمجموعات التي ستخدم في مناقشة أسس الرياضيات يدعم المحتوى غير الرسمي لهذه النظرية كل من أوجه المجموعات الرياضية المألوفة في الرياضيات المتقطعة على سبيل المثال مخططات فيين والاستنتاج الرمزي حول جبر المنطقي والاستخدام اليومي لمفاهيم نظرية المجموعات في معظم الرياضيات المعاصرة وللمجموعات أهمية كبرى في الرياضيات وفي الواقع يتم تعريف معظم الكيانات الرياضية في المعالجات الرسمية الحديثة الأعداد والعلاقات والدوال الرياضية إلخ من حيث المجموعات ويمكن النظر إلى نظرية المجموعات المبسطة باعتبارها وسيلة نحو معالجات أكثر رسمية وكافية لأغراض متعددة المتطلبات وبموجب هذا المقال فإن النظرية المبسطة هي نظرية غير رسمية وهذه هي النظرية التي تستخدم اللغة الطبيعية لوصف المجموعات ولا تخضع الكلمات أو إذا ثم لا لبعض لكل لهذا التعريف الدقيق ومن المفيد دراسة المجموعات ببساطة في مرحلة مبكرة من تعلم الرياضيات من أجل تطوير سهولة التعامل معها وعلاوة على ذلك يعد الاستيعاب المتين لمفاهيم المجموعات النظرية من وجهة نظر مبسطة مهم كمرحلة أولى في فهم الدافع وراء البديهيات الرسمية لنظرية المجموعات يطور هذا المقال النظرية المبسطة ويتم تعريف المجموعات بشكل غير رسمي كما يتم البحث في القليل من خصائصها وتصف الروابط في هذا المقال نحو بديهيات محددة من نظرية المجموعات العلاقات بين المناقشة غير الرسمية هنا وتبسيط الحقائق والعلاقات الرسمية لنظرية المجموعات ولكن لا توجد محاولة لتبرير كل ملاحظة على هذا الأساس وقد كان أول تطور لنظرية المجموعات مجرد نظرية للمجموعات المبسطة قام بابتكارها جورج كانتور   في نهاية القرن التاسع عشر كجزء من دراسته لالمجموعة غير المنتهية وكما تبين لاحق فإن افتراض أنه بإمكان الفرد القيام بأي عملية على المجموعات بدون قيود يؤدي إلى مفارقات مثل مفارقة راسل  ومفارقة بيري  ويعتقد البعض أن نظرية جورج كانتور للمجموعات لا تقوم تلك المفارقات بتضمينها فعلي انظر فرابولي  وتكمن الصعوبة الوحيدة في تحديد ذلك على وجه اليقين في أن كانتور لم يقدم تبسيط لحقائق هذا النظام ولا جدال في أن بحلول عام كانتور كان مدر لبعض من المفارقات ولم يعتقد أنها قد أضعفت نظريته وقد قام كوتلب فريج   بتبسيط نظرية ما بوضوح والتي يمكن فيها تفسير النسخة الرسمية لنظرية المجموعات المبسطة وهي تلك النظرية الرسمية التي قام بيرتراند راسل   بمناقشتها بالفعل عندما قدم مفارقته وقد تم تطوير نظرية المجموعات البديهية رد على هذه المحاولات المبكرة لدراسة نظرية المجموعات بهدف تحديد بدقة ما هي العمليات المسموحة ومتى تكون كذلك وفي الوقت الحاضر عندما تتحدث الرياضيات عن نظرية المجموعات كمجال فهي تعني عادة نظرية المجموعات البديهية وفي بعض الأحيان تتم الإشارة إلى التطبيقات غير الرسمية لنظرية المجموعات في المجالات الأخرى كتطبيقات نظرية المجموعات المبسطة ولكن عادة ما يتم فهمها بأنها مبر رة من حيث النظام البديهي عادة نظرية زيرميلو فرانكل للمجموعات   إن نظرية المجموعات المبسطة ليست بالضرورة نظرية متضاربة إذا قامت بشكل صحيح بتحديد المجموعات المسموح أخذها في الاعتبار ويمكن القيام بذلك عن طريق وسائل التعريفات التي تعد بديهيات مفهومة ضمن ويمكن القيام بذلك عن طريق جعل جميع البديهيات واضحة بشكل منتظم كما هو الحال في الكتاب الشهير نظرية المجموعات المبسطة الذي كتبه بول هالموس والذي يعد في الواقع إلى حد ما ليس كلي عرض غير رسمي لنظرية زيرميلو فرانكل للمجموعات البديهية الاعتيادية وهي توصف بالمبسطة نظر لأن اللغة والرموز المستخدمة مأخوذة من الرياضيات غير الرسمية الاعتيادية وأيض لأنها لا تتعامل مع اتساق أو شمولية النظام البديهي ومع ذلك يتم استخدام مصطلح نظرية المجموعات المبسطة أيض في بعض الأدبيات للإشارة إلى نظريات المجموعات التي بحثها فريج وكانتور بدلا من الإشارة إلى مثيلتها غير الرسمية من نظرية المجموعات البديهية الحديثة كما يتطلب توخي الحذر لمعرفة أي معنى هو المقصود المجموعات والعناصر والمساواة تتصف المجموعة في نظرية المجموعات المبسطة بأنها مجموعة من الكيانات القابلة للتعريف بشكل جيد تسمى هذه الكيانات ب عوامل أو عناصر المجموعة ويمكن أن تكون هذه الكيانات أعداد أو أشخاص أو مجموعات أخرى إلخ على سبيل المثال يعد الرقم عنصر في مجموعات جميع الأعداد الصحيحة الزوجية والفردية وبشكل واضح تعد مجموعة الأرقام الفردية والزوجية مجموعة كبيرة غير محدودة ولا يوجد شرط بأن تكون المجموعة محدودة وإذا كان عنصر من بالتالي يمكن القول إن ينتمي إلى أو يقع في وفي هذه الحالة نكتب الرمز هو اشتقاق من الحرف اليوناني إبسيلون الذي قدمه بيانو  عام وأحيان ستخد الرمز لكتابة بمعنى أن لا يقع في ويتم تعريف المجموعتين على اعتبار أنهما متساويان عندما يحتويان على نفس العناصر بالضبط بمعنى أن إذا كان كل عنصر من عنصر من وكل عنصر من عناصر هو عنصر من انظر بديهية الإضافة وبالتالي فإنه يتم تحديد المجموعة تمام عن طريق عناصرها ولا يعد الوصف مهم وعلى سبيل المثال تعتب المجموعة التي تحتوي على الأرقام مساوية للمجموعة التي تحتوي على جميع الأعداد الأولية الأقل من وإذا كانت المجموعتان متساويتين فإن ذلك يدل رمزي على كالمعتاد كما يمكن أيض السماح ل مجموعة خالية غالب ما يشار إليها ب وأحيان ب أن تكون مجموعة بدون أي عناصر على الإطلاق ونظر لأنه يمكن تحديد المجموعة تمام عن طريق عناصرها فإنه يمكن أن يكون هناك مجموعة واحدة خالية انظر بديهية المجموعة الخالية لاحظ أن المراجع تصنيف نظرية المجموعات
يصف هذا المقال بعض أساسيات نظرية المجموعات, معرجا على بعض التعريفات الأولية, قبل أن يخوض في تفاصيل بعض النظريات.