Planen : Vektorer - Nørderier/Teori | Dk.Brkmnd.Com
Planen : Vektorer - Nørderier/Teori
Hvis en vektor \(\overline{a}\) adderes med nulvektoren, bliver resultatet vektoren \(\overline{a}\): $$\overline{0} + \overline{a} = (0 + a_{1}, 0 + a_{2}) = (a_{1}, a_{2})$$ og som bekendt betegnes nulvektoren det addidativt neutrale element.
Lad to egentlige vektorer være givet ved: $$\overline{a} = (a_{1}, b_{1})$$ og $$\overline{b} = (b_{1}, b_{2})$$ Da definerer vi subtraktion mellem to vektorer som $$\overline{a} - \overline{b} = {{a_1 - b_1}\choose{a_2 - b_2}}$$ \(a - b\) er altså en ny vektor der lagt til vektoren \(b\) giver $$\overline{b} + (\overline{a} - \overline{b}) = \overline{a} \iff \overline{a} + (- \overline{b}) = \overline{a} - \overline{b}$$
Den nye vektor, \(a + (-b)\), har begyndelsespunkt i \(a\)'s begyndelsespunkt og slutpunkt i \(-b\)'s slutpunkt og følger på den måde den grafiske fremstilling af addition. \(-b\) er \(b\)'s addidativt inverse element.
Lad \(\overline{a}\) være en vektor og \(t\) et tal. Da definerer vi multiplikation mellem de to som $$t \cdot \overline{a} = {{t \cdot a_1}\choose{t \cdot a_2}}$$ En vektor multiplikeret med et tal giver altså en vektor med samme retning, men med en ny længde. Der gælder for:
\(2 \cdot \overline{a}\)
\(1 / 2 \cdot \overline{a}\)
\(-2 \cdot \overline{a}\)
\(-1/2 \cdot \overline{a}\)
Den distributive lov: \((s + t) \overline{a} = s \overline{a} + t \overline{a}\)
Den distributive lov: \(t(\overline{a} + \overline{b}) = t \overline{a} + t \overline{b}\)
Den associative lov: \(s(t \overline{a}) = t(s \overline{a}) = (st) \overline{a}\)
Den kommutative lov: \(t \cdot \overline{a} = \overline{a} \cdot t\)
Vi kan nu angive en multiplikativ invers til en vektor \(a\) ved at lave en enhedsvektor der er ensrettet med a. Dette gør vi ved at at gange a med dens længdes recipbrokke element: $$\overline{e} = \frac{1}{| \overline{a} |} \overline{a} \iff \overline{e} = \frac{\overline{a} }{ | \overline{a} | }$$ Denne kan tegnes således:
Lad to vektorer, \(a\) og \(b\), være givet. Da definerer vi et skalarprodukt mellem de to vektorer som $$\overline{a} \circ \overline{b} = {{a_1}\choose{a_2}} \circ {{b_1}\choose{b_2}} = a_{1} \cdot b_{1} + a_{2} \cdot b_{2}$$ Skalarproduktet er altså ikke et nyt koordinatsæt, men i stedet ét tal. Har vi feks. de to vektorer $$\overline{a} = {{2}\choose{3}}$$ og $$\overline{b} = {{3}\choose{1}}$$ er deres skalarprodukt: $$\overline{a} \circ \overline{b} = {{2}\choose{3}} \circ {{3}\choose{1}} = 2 \cdot 3 + 3 \cdot 1 = 6 + 3 = 9$$
For vektorer, \(a\), \(b\) og \(c\), og et reelt tal \(t\) gælder følgende regneregler for skalarproduktet
Den kommutative lov: \(\overline{a} \circ \overline{b} = \overline{b} \circ \overline{a}\)
Den distributive lov: \(\overline{a} \circ (\overline{b} + \overline{c}) = \overline{a} \circ \overline{b} + \overline{a} \circ \overline{c}\)
Den associative lov: \((t \overline{a}) \circ \overline{b} = \overline{a} (t \overline{b}) = t(\overline{a} \circ \overline{b})\)
Vektorlængde: \(\overline{a}^{2} = \overline{a} \circ \overline{a} = |\overline{a}|^{2}\)