g� til matematik p� Folkeuniversitetet
Kronik i anledning af VerdensMatematik�r 2000
Sommeravisen,
Folkeuniversitetet i K�benhavn, 12. april 2000. Curriculum Vitae
AT G� TIL MATEMATIK P� FOLKEUNIVERSITETET
Af Vagn Lundsgaard Hansen
Tæt på det gamle Rundetårn er der undervisning p� Folkeuniversitetet. Fra et lokale høres ivrige stemmer. Usynligt sniger vi os ind.
Magiske tegn og figurer
Der står magiske tegn på tavlen og overheaden er tændt. Læreren holder et aflangt cylinderformet plastikrør til tennisbolde halvt fyldt med vand i hånden. Han holder cylinderen på skrå og vandoverfladen stiller sig i en oval. Nøjagtig den samme figur man ser i skyggen af en bold på en flad sandstrand, blot i lidt mindre størrelse.
"Randkurven er en ellipse", siger læreren. For vi er til undervisning i grundkurset i matematik
p� et af Folkeuniversitetets mange linjestudier. Rørets hældning, som svarer til vandoverfladens vinkel med cylinderen, bestemmer ellipsens excentricitet, dvs hvor fladtrykt den er. Det går fint med at måle vinkler i grader, men nu bliver der brug for at måle vinkler i radianer. Her kommer tallet på banen og pludselig bryder det løs.
Rundt på cirklen til Pi
"Hvad er ?" spørger en ivrig deltager. Inden for få sekunder strømmer en række svar ind fra andre deltagere:
"3,14", "Nej, ", og med stor overbevisning,
"Det er omkredsen af en cirkel divideret med diameteren?" "Lige et øjeblik," siger læreren. Den overbeviste nu lidt mere spørgende:
"Det er omkredsen divideret med diameteren, ikke sandt?" Læreren holder fast i vinkelmåling og forklarer, at radianer er knyttet til måling af buelængder på en cirkel med radius 1, og at tallet
netop er fastlagt som halvdelen af omkredsen på en sådan enhedscirkel. En vinkel, der spænder over en halvcirkel, altså en vinkel på , har dermed størrelsen
målt i radianer. Nu er det let at se, at tallet kan bestemmes som omkredsen af en vilkårlig cirkel divideret med dens diameter. Men de andre forslag fra deltagerne er også relevante, for der er tale om gode tilnærmelser til
af forskellige typer. Tilnærmelsen til
var kendt af Archimedes (287-212 f.Kr), som fandt denne brøk ved at tilnærme cirklen med regulære polygoner. Decimaltallet 3,14 er en tilnærmelse til
på niveau med ; skrivemåden for decimaltal blev indført af den hollandske ingeniør Simon Stevin i 1585. Læreren griber her chancen for at fortælle lidt om talsystemet.
For mange af de gamle græske tænkere var matematikken et middel til at opnå viden om naturen og tilværelsen i almindelighed. Pythagoræerne i 500-tallet f.Kr. fandt essensen i tal og forbindelser mellem tal, og søgte at forklare omverdenen ved rationale tal, altså forhold mellem hele tal (brøker). Det irriterede dem grænseløst, da de opdagede, at længden af diagonalen i et kvadrat er inkommensurabel med kantlængden i kvadratet, eller med andre ord, at forholdet mellem disse størrelser ikke kan angives ved et rationalt tal. Derved havde de opdaget eksistensen af irrationale tal, in casu kvadratroden af 2, der skrives .
Tallenes kontinuum
Opdagelsen af irrationale tal førte til, at de græske matematikere vendte sig mod geometrien, og udarbejdede en størrelseslære, som tillader en geometrisk repræsentation af tallene ved punkter markeret på en ret linje, en såkaldt talakse. Først i slutningen af 1800-tallet nåede matematikerne til fuld forståelse af det abstrakte talbegreb. En af de store vanskeligheder var at knytte forbindelsen fra den abstrakte, aritmetiske konstruktion af tallene til den geometriske beskrivelse i form af alle punkterne på en talakse, det såkaldte
Der er forskel på tal
Den tyske matematiker Johann Heinrich Lambert beviste i 1761, at er et irrationalt tal. Men det er irrationalt af en mere kompliceret type end . For er rod i en polynomial ligning med heltallige koefficienter, eksempelvis i ligningen , hvorimod
ikke er det. Dette dybtliggende resultat om
blev bevist af den tyske matematiker Ferdinand Lindemann i 1882. Man siger, at er et algebraisk tal og at
er transcendent.
De algebraiske tal kan tælles, altså tilskrives numre, hvorimod de transcendente ikke kan. Der er således langt flere transcendente tal end algebraiske tal, og dog er det vanskeligt at bevise at et konkret tal er transcendent, som det f.eks. er tilfældet med
og grundtallet e i eksponentialfunktionen.
Den tyske matematiker Georg Cantor, født i Skt. Petersborg af danske forældre, knyttede i slutningen af 1800-tallet - som den første - tal til størrelsen af en mængde i form af de såkaldte kardinaltal. Det første transfinite kardinaltal repræsenteres ved en tællelig mængde. Kontinuum repræsenterer et større kardinaltal. Et berømt problem knytter sig hertil: Findes der talmængder med kardinalitet imellem det tællelige og kontinuums kardinalitet? Eller er kontinuums kardinalitet simpelthen den næste størrelse af en mængde efter det tællelige? Problemet kendes som Kontinuums-Hypotesen. Med arbejder af den østriske matematiker Kurt Gödel i 1931 og den amerikanske matematiker Paul Cohen i 1963 blev det klarlagt, at man hverken kan bevise eller modbevise Kontinuums-Hypotesen indenfor de almindeligt accepterede aksiomer for mængdelæren. I forbindelse med sit arbejde viste Gödel, at sådanne problemer nødvendigvis må opstå i enhver matematisk teori, der omfatter de naturlige tal. Dette resultat, som nu kendes under navnet Gödels Ufuldstændighedssætning, markerer et højdepunkt i logikkens historie som næppe er set magen til siden Aristoteles (384-322 f.Kr.) grundlagde logikken.
En af de mange konsekvenser af 's transcendens er, at cirklens kvadratur er en umulighed: Man kan ikke med passer og lineal ud fra en forelagt cirkel konstruere et kvadrat med det samme areal som cirklen. Dette problem er et af de klassiske konstruktionsproblemer, som de græske matematikere tumlede med, og ved sin løsning havde det altså mere end to tusind år på bagen. Umuligheden er nu ligefrem gået ind i det politiske sprog, når man skal understrege, at en opgave virkelig er umulig:
"Han forsøger at løse cirklens kvadratur". Når dette siges ved den indviede, at den er helt gal.
Pi med mange decimaler
Som alle irrationale tal har tallet en uendelig decimalfremstilling, hvor cifrene ikke alle bliver 0 efter selv nok så stort et pladsnummer. Hidtil har man ikke fundet et system i decimalfremstillingen for
, og det findes formodentligt ikke. Ved datamaskinernes hjælp kan man i princippet bestemme et vilkårligt højt antal decimaler. I Paris er væggene i et rum i naturvidenskabsmuseet Palais de la Découverte således tæt beskrevet med decimaler for
Et system af tre hele tal, hvor summen af kvadraterne på de to første tal netop er kvadratet på det tredie tal kaldes en pythagoræisk tripel. Betegnelsen afspejler det kendte forhold, som tilskrives Pythagoras, at summen af kvadraterne på katederne i en retvinklet trekant er lig kvadratet på hypotenusen. Eksempelvis udgør tallene (3,4,5) en pythagoræisk tripel, idet 9 + 16 = 25. Hvis man fra (3,4,5), eller fra en vilkårlig anden pythagoræisk tripel, danner de heltallige multipla (6,8,10), (9,12,15), (12,16,20), og generelt (3k,4k,5k), får man en ny pythagoræisk tripel. Der er således uendeligt mange pythagoræiske tripler. Mange undersøgelser i
matematikken kan henføres til studiet af strukturen af løsninger
til polynomiale ligninger med heltallige koefficienter. Og hvis man kun er
interesseret i heltallige løsninger, får man de såkaldte
diofantiske ligninger, opkaldt efter den græske matematiker
Diofant (ca. 250 e. Kr.). Løsninger til den underliggende kvadratiske ligning x2 + y2 = z2 for pythagoræiske tripler er der som nævnt mange af, og flere af disse løsninger var kendt langt tilbage i tiden. Eksempelvis brugte de gamle egyptere relationen 32 + 42 = 52 udlagt som siderne i en trekant til at frembringe en ret vinkel.
Sætter man eksponenten op og betragter den kubiske ligning x3 + y3 = z3, eller den tilsvarende ligning i alle grader større end 3, er der for nylig sket store ting i matematikken. I 1637 skrev den franske matematiker Pierre de Fermat (1601-1665) i marginen til en bog om diofantiske ligninger, at disse ligninger ikke har heltallige løsninger, men at der ikke var plads i marginen til beviset. I mere end 350 år kæmpede matematikere med at bevise sætningen, men først i 1994 lykkedes det for den engelske matematiker Andrew John Wiles (f. 1953). Wiles' bevis for Fermats sætning må absolut betegnes som et af de store matematiske gennembrud på tærsklen til det 21. århundrede.
Her slutter en dejlig aften i Folkeuniversitetet, hvor vi med matematikken kom vidt omkring. Men der er mere i vente.
Matematikken bygger broer
Matematikken bygger broer i kultur, videnskab og teknik. Eksemplerne er så mangfoldige, at vi må nøjes med antydninger.
Det er for så vidt ikke mærkeligt, at det forholder sig således, når man blot husker på, at matematikken tager sit udgangspunkt i menneskenes systematiske behandling af tal og figurer, som på mange måder præger vores hverdag. Tal indgår i så forskelligartede sammenhænge som handel, tidsmåling, angivelse af doseringer og tekniske standarder. Symmetrier indgår i kunst, ved formuleringen af naturlove, i arkitektur og design og kædes sammen af det matematiske afbildningsbegreb i geometrien. Vækstfænomener i medicin, biologi og økonomi styres af differentialligninger. Statistiske metoder er centrale i mange aspekter af samfundslivet. I stor udstrækning ligger der matematiske modeller bag den økonomiske og politiske styring af samfundet. Og matematiske modeller er fundamentale i teknologiske konstruktioner og for beskrivelsen af den fysiske og biologiske omverden lige fra energiforsyning over miljøspørgsmål til fiskerimodeller. Vejrforudsigelser, finansieringsteori og demografiske modeller bygger ligeledes alle på avancerede anvendelser af matematik. I sit væsen er den rene matematik dog også en humanistisk videnskab udviklet i nært samspil med filosofi og rationelle betragtningsmåder.
Matematikkens placering i videnskaberne
For alle filosoffer har det været et problem at få matematikken placeret blandt videnskaberne. Immanuel Kant (1724-1804) placerede den rene matematiks opdagelser som apriori syntetiske sandheder, altså sandheder der er uafhængige af erfaringen, men hvor udsagnene siger mere end der allerede ligger i de begreber, der indgår i udsagnene. Selvom matematikken er en apriori videnskab, slår den tilbage på erfaringsverdenen med overvældende kraft, som det er sagt så flot af nobelprismodtageren i fysik E.P Wigner i en artikel fra 1960 med titlen
"The unreasonable effectiveness of mathematics in the natural sciences". Samspillet mellem det abstrakte og det konkrete er en af de væsentligste drivkræfter i matematikkens udvikling.
På gensyn p� Folkeuniversitetet
�r 2000 er af UNESCO blevet anerkendt som et særligt Matematikår. Det er godt med et sådant matematikår, hvor formålet er at få budskabet ud: Matematik bygger broer i kultur, videnskab og teknik. Og deri kan matematikkens generelle betydning for homo sapiens minde om Folkeuniversitetets betydning i samfundet, nemlig at formidle viden om disse broer baseret på videnskabelige studier. Derved medvirker Folkeuniversitetet til at styrke bevidstheden om grundlæggende forhold i vores samfund og til at udbrede den nyeste viden. I Folkeuniversitetet er der tid til at diskutere de store tanker og opdagelser, som er grundlaget for det moderne samfund i alle dets aspekter.
Velkommen p� Folkeuniversitetet!