text: "Das, wobei unsere Berechnungen versagen, nennen wir Zufall."
  Albert Einstein
  Als Zufall bezeichnen wir Ereignisse, die durch keine Systematik vollständig bestimmt sind. Dies erscheint oftmals so aufgrund von fehlendem Wissen über prinzipiell fest bestimmte Details. So beispielsweise bei der erzielten Augenzahl eines Würfels, dessen Bewegung mit bekannten Gesetzen genau vorhergesagt werden könnte. Im Gegensatz dazu soll ein derartiger Determinismus bei echtem Zufall ausgeschlossen sein.
  Zufallszahlen
  Um den Zufall wissenschaftlich zu fassen, werden diskrete oder kontinuierliche Zufallszahlen eingeführt, also Zahlen die einen zufälligen Wert aus einer gegebenen Menge annehmen können. In dieser Form lässt sich der Zufall analysieren und quantifizieren, speichern und anwenden.
  Solche Zufallszahlen sind zu einem wichtigen Werkzeug in unserer heutigen Informationsgesellschaft geworden. Eigenschaften wie Unvorhersagbarkeit oder bestimmtes statistisches Verhalten bieten einen oftmals unverzichtbaren Nutzen. Bei Glücksspielen ist der Einsatz offensichtlich. Viele Computeralgorithmen sind aber ebenfalls auf Zufallszahlen angewiesen, obwohl ein klar definiertes nicht-zufälliges Ergebnis errechnet werden soll. Das kann in Simulationen sein um Spezialfälle zu vermeiden und typische, "zufällige" Situationen zu erzeugen, oder in Fällen wo zufällige Parameter im Durchschnitt schneller zum Ziel führen als klug ausgewählte . Hierfür müssen die Zahlen schnell genug erzeugt werden um das Programm nicht auszubremsen, die völlige Unvorhersagbarkeit ist dagegen nicht entscheidend. Anders bei kryptographischen Anwendungen. Zur Verschlüsselung geheimer Nachrichten darf ein potentieller Abhörer nichts über den verwendeten Schlüssel wissen. Dieser muss also ein sehr hohes Maß an Zufälligkeit besitzen.
  Zufallsgeneratoren
  Die Erzeugung von Zufallszahlen ist keine triviale Aufgabe, denn Zufall entsteht nach den klassischen Regeln der Informationstheorie nicht einfach. Innerhalb von deterministischen Systemen wie einem klassischen Computer ist es gar unmöglich eine zufällige Ausgabe zu erzeugen. Wohl aber gibt es eine ganze Reihe von Pseudozufallsgeneratoren, die deterministische Zahlenfolgen mit vielen zufallsähnlichen Eigenschaften erzeugen können. Solche Generatoren sind in Form von Computerprogrammen sehr einfach zu handhaben und effizient . Die Ergebnisse sind aber niemals echt zufällig und mit gegebenen Startwerten sogar direkt reproduzierbar.
  Besser sind deshalb physikalische Zufallszahlengeneratoren. Diese messen ein physikalisches System mit zufälligen Eigenschaften, beispielsweise thermisches Rauschen. Wegen der großen Zahl an Freiheitsgraden sind solche Systeme praktisch nicht vorhersagbar und bieten gute Quellen für Zufallszahlen. Eine kleine Unsicherheit verbleibt aber auch hier. Physikalische Systeme sind modellierbar, und mit zukünftigen Rechenleistungen könnte es prinzipiell möglich werden, beliebig komplexen Systemen ihre Zufälligkeit zu nehmen.
  Quanten-Zufallsgeneratoren
  Der ultimative Zufallsgenerator sollte deshalb auf einem intrinsisch zufälligen System basieren, das nicht nur durch unvollständiges Wissen zufällig erscheint, sondern nichtkausalen Naturgesetzen gehorcht. Die Existenz solcher Systeme ist nicht selbstverständlich. Mit der Quantenmechanik existiert jedoch eine experimentell exzellent gestützte Theorie, die intrinsischen Zufall als zentrales Element enthält. Gemäß der Kopenhagener Deutung der Quantenmechanik wird der Wert einer Messgröße, die sich nicht im entsprechenden Eigenzustand befindet, beim Messvorgang entsprechend einer Wahrscheinlichkeitsverteilung echt zufällig ausgewählt.
  Als geeignete Quantensysteme haben sich hierfür Photonen, also Lichtteilchen, herauskristallisiert, weil diese sich mit hohen Raten erzeugen und messen lassen. Auf diesem Gebiet gab es besonders in der letzten Dekade gewaltige Fortschritte, z.B. in der Erzeugung und Detektion quantenmechanischer Zustände. Mögliche Ansätze sind die Messung der Ankunftszeiten kohärenter Einzelphotonen oder spontane Emission .
  Ein besonders vielversprechender Ansatz, der in dieser Arbeit verfolgt wurde, ist die Messung vom Schrotrauschen eines reinen Vakuumzustandes mit Hilfe eines kontinuierlichen Laserstrahls . Hierbei hat man eine unbeeinflussbare Zufallsquelle und einen übersichtlichen Messaufbau. Im folgenden wird gezeigt werden, dass damit auch sehr hohe Datenraten erreicht werden können.
  Ein besonderes Augenmerk wird dabei auf die Qualität der Zufallszahlen gelegt werden. Aufgrund klassischer Fluktuationen kann man mit keiner Apparatur nur Quantenrauschen -d. h. echten Zufall -messen, da immer klassische und damit deterministische Signale das Messsignal beeinflussen werden. Die meisten Ansätze verwenden deshalb problemspezifische Korrekturen möglicher Verzerrungen . Dieses Projekt geht aber einen Schritt weiter. Hier wird die Menge an extrahierbarem Zufall in den aufbereiteten Zufallszahlen berechnet, so dass ein generisches mathematisches Verfahren deren Zufälligkeit auf einen kleineren Satz von finalen Zufallszahlen konzentrieren kann. Das wurde erstmals im Vorgängerprojekt demonstriert . Hieraus resultieren echte Zufallszahlen, die allen kryptographischen Anforderungen genügen. experimentellen Arbeit. Allerdings wird gezeigt, welche Hashingrate nötig sein wird, um echte Zufallszahlen zu erhalten, selbst unter der Annahme dass der Verlauf des Elektronikrauschens vollständig bekannt werden könnte (Kap. 2.5). 
  Theorie
  Das
  Quantenmechanische Beschreibung der Lichtzustände
  P α (n) = | n|α | 2 = exp (−n) nn n! , (1)
  also einer Poisson-Verteilung, die der von unabhängig ankommenden Photonen entspricht.
  Die Poisson-Verteilung des Quantenrauschens besitzt eine Varianz σ (n) = n. Klassisches Rauschen dagegen skaliert linear mit der Intensität und besitzt daher die Varianz σ 2 (n) = n2 . Diese Eigenschaft wird in dieser Arbeit zum experimentellen Nachweis des Quantenrauschens genutzt. 
  Homodyn-Detektion
  DFT : a = (a 0 , . . . , a N −1 ) ∈ C N → ã = (ã 0 , . . . , ãN−1 ) ∈ C N ãk = 1 √ N • N −1 j=0 a j • e −2πi• jk N (2) mit a j = a t = t 0 + j • ∆t , ãk = ã f = k N • ∆t ,
  die angibt, aus welchen Frequenzkomponenten sich das Signal zusammensetzen lässt.
  Rauschen durch Driften des Signals, Schallwellen, Vibrationen und ähnliches bleibt in den entsprechenden niederen Frequenzkomponenten konzentriert. Die begrenzte Bandbreite des Detektors dagegen kommt erst bei hohen Frequenzkomponenten zum Tragen. Für jede Komponente kann nun ihre mittlere Signalamplitude und das mittlere Dunkelrauschen ermittelt werden, was zur Berechnung der extrahierbaren Signalinformation nötig ist.
  Die DFT arbeitet mit komplexen Zahlen. Ist das Eingangssignal aber reell, a ∈ R N , so wird die Ausgabe hermitesch ãN−k = ãk und die zweite Hälfte der Transformierten ist redundant. Die Komponenten (ã 1 , . . . , ãN/2−1 ) werden durch die Symmetrie nicht eingeschränkt, so dass wir deren Real-und Imaginärteil jeweils als unabhängige Größen verwenden können.
  Zur Charakterisierung der Fouriertransformierten wird die spektrale Leistungsdichte hergenommen, also der quadratisch gemittelte Wert aus Real-und Imaginärteil
  S(f ) = |ã(f )| 2 t . (3)
  Das so definierte Spektrum besitzt für endliche Frequenzauflösungen endliche Werte.
  Weil spektrale Leistungsdichten oft über viele Größenordnungen variieren, wird gerne die Dezibelskala
  S [dB] = 10 • log 10 (S/S 0 )(4)
  verwendet. S 0 kann hier je nach Signaleinheit beispielsweise 1 V 2 sein.
  Allerdings kann die DFT mit endlichen Zeitabschnitten das Spektrum nicht beliebig genau bestimmen. Dies liegt an der mathematischen Zeit-Frequenz-Unschärfe, hier in Form des "Leck-Effektes".
  Leck-Effekt
  Der Leck-Effekt bezeichnet eine Verbreiterung von berechneten Frequenzspektren und tritt bei der Berechnung von Fouriertransformierten aus zeitlich begrenzten Signalen auf. Die diskrete Fouriertransformation, wie sie hier Anwendung findet (Gl. 2), arbeitet auf Signalabschnitten der Länge T , was einer Multiplikation des Gesamtsignals mit einer Rechteckfunktion rect(t/T ) entspricht. Nach dem Faltungstheorem führt diese Multiplikation im Zeitraum zu einer Faltung im Frequenzraum mit der entsprechenden Transformierten
  FT rect(t/T ) = T • sinc(πT • f ) mit sinc(x) ≡ 1, x = 0 sin(x)/x, x = 0 (5)
  Die Frequenzamplituden ãi sind also genau genommen herausgegriffene Bereiche aus dem intrinsischen Spektrum ã(f ): Die Leistungsdichte der sinc-Funktion ist in Abb. 3 logarithmisch dargestellt. Sie fällt nur mit (T /∆f ) 2 ab, weshalb starke Signale sich auf große Frequenzbereiche auswirken können.
  ãi = ∞ −∞ ã(f ) • T sinc(πT • (f − f i )) df(6)
  Theoretisches Spektrum des Quantenrauschens
  Welches Spektrum hat nun ein kohärentes Quantenrauschen? Wie in Kap. 2.1 dargelegt treffen alle Photonen unabhängig zu beliebigen Zeiten ein.
  Die Basisfunktionen der DFT (e −2πi• jk N , Gl. 2) sind zueinander orthogonal und alle gleichermaßen normiert. Deshalb beeinflusst jedes eintreffende Photon alle Fourierkomponenten gleich stark und unabhängig. Das erwartete Spektrum der Detektorintensität entspricht also dem von weißem Rauschen.
  Auch die sinc-Funktionen der DFT (Gl. 6) sind orthogonal zueinander. Über ein weißes Spektrum gefaltet werden auch deren Amplituden unkorreliert sein. Allerdings wirken sich Signale bei manchen Frequenzen im Spektrum gleichsinnig auf benachbarte sinc-Funktionen aus und gegensinnig auf andere. Bei einem flachen Spektrum halten diese sich genau die Waage. Wenn das Spektrum aber nach dem Detektorausgang nicht mehr komplett flach ist (Abb. 10), können dadurch Korrelationen entstehen. Untersucht wird das in Kap. 4.5.
  Entropie von Zufallsvariablen
  Die aus der Fouriertransformation erhaltenen Frequenzamplituden folgen einer Zufallsverteilung, sie enthalten deshalb "Entropie". Allerdings ist auch noch Systematik enthalten, und zur optimalen Weiterverarbeitung brauchen wir eine präzise Definition dieser Größen.
  Informationstheoretische Entropie ist ein Maß für die Unsicherheit (Zufälligkeit) in einer Zufallsvariable X mit möglichen Werten x ∈ X . Sie hängt nur von der Verteilungsfunktion der Variable (Ereigniswahrscheinlichkeiten p(x)) ab, aber nicht vom konkreten Wert der Variable x.
  Je nach Anwendung existieren verschiedene Definitionen von Entropie. Interessant für dieses Experiment sind die Shannonentropie
  H 1 (X) = x∈X p(x) • log 2 1 p(x) mit 0 log 2 1 0 := 0 , (7)
  welche ein Maß für die durchschnittliche Zufälligkeit in X ist und die Min-Entropie
  H ∞ (X) = min x∈X log 2 1 p(x) = log 2 1 max(p(x)) , (8)
  die die minimale Zufälligkeit in X beschreibt. Der Index spezifiziert hier die Entropien als Spezialfall der Renyi-Entropie H α , die hier nicht in allgemeiner Form benötigt wird.
  Sobald eine zweite Zufallsvariable Y bekannt ist, die Information über X enthält, verringert sich die Entropie zur bedingten Entropie
  H 1 (X|Y ) = y∈Y p(y) x∈X p(x|y) • log 2 1 p(x|y) (9)
  bzw.
  H ∞ (X|Y ) = min y∈Y min x∈X log 2 1 p(x|y) = log 2 1 max(p(x|y))(10)
  (Definition nach ), wobei p(x|y) die bedingte Wahrscheinlichkeit ist, dass x auftritt, sobald y schon aufgetreten ist. H 1 (X|Y ) ist also ein Maß für die mittlere verbleibende Zufälligkeit in X wenn Y bekannt ist und H ∞ (X|Y ) für die minimale verbleibende Zufälligkeit.
  Eine mögliche Abschätzung für die bedingte Shannonentropie wurde im Vorgängerprojekt bereits gezeigt, wo das Gesamtsignal T von K und Q abhängt. Wird nämlich die Transinformation I(T ; K) betrachtet, so gilt nach stets
  H 1 (T |K) = H 1 (T ) − I(T ; K) und I(T ; K) ≤ H 1 (K) und somit H 1 (T |K) = H 1 (T ) − I(T ; K) ≥ H 1 (T ) − H 1 (K) . (11)
  H 1 (T ) und H 1 (K) wurden dort aus der Messung von Gesamt-und Elektronikrauschen abgeschätzt, und somit eine Mindestgrenze für die bedingte Entropie ermittelt. Zur
  Steigerung der Datenrate wurde hier aber eine engere Grenze durch die direkte Berechnung nach Gl. 9 bzw. 10 gesucht.
  Im vorliegenden Fall (Abb. 1) ist die Zufallsvariable R bekannt, die eine Funktion des Quantenrauschens Q und des (möglicherweise klassischen) Elektronikrauschens K ist. Weil K nicht als Ergebnis eines verstandenen quantenmechanischen Zufallsprozesses beschrieben werden kann, soll der schlimmste Fall eines vollständig deterministischen K angenommen werden. Die Entropie, welche danach in R noch übrig bleibt, ist also gegeben durch
  H 1 (R|K) bzw. H ∞ (R|K) . (12)
  Welche von diesen Entropien nun verwendet wird, hängt von den weiteren Annahmen und Sicherheitsanforderungen ab. Wenn der konkrete Verlauf von K unbekannt bleibt und sehr viele Zufallszahlen zusammen gehasht werden, dann greift der Satz der Asymptotischen Gleichverteilung und die Entropie konvergiert zur Shannonentropie H 1 . Die Wahrscheinlichkeit einer deutlich geringeren Entropie als der Shannonentropie konvergiert für lange Zahlenfolgen gegen Null.
  Anders der Fall, wenn ein Angreifer das K genau kennt oder sogar kontrolliert. In diesem Fall weiß er genau, wenn die Entropie verringert ist, und kann das nutzen, um Information über die Zufallszahlen zu erhalten. In diesem Fall bleibt nur noch H ∞ übrig. Eine geschickte Art, die Zufallsbits aus den Amplituden zu berechnen wird sicherstellen, dass H ∞ nicht viel geringer ausfällt als H 1 .
  Extraktion des Zufalls
  Wie kann der vorhandene Zufall einer Variablen nun extrahiert werden, so dass keinerlei Systematik übrig bleibt? Dass so eine Prozedur überhaupt möglich ist, wird durch das "leftover hash lemma" gezeigt. Benötigt wird hierzu eine Funktion die nicht effizient invertierbar ist. Bei kryptographischen Hashingfunktionen ist das höchstwahrscheinlich der Fall, es soll aber angemerkt sein dass mathematische Beweise dafür noch ausstehen. Existierende Algorithmen für diese Anwendung sind SHA512 oder Whirlpool .
  Das Hashingverhältnis, also die Menge an Zufallszahlen, die aus einer gegebenen Datenmenge erzeugt werden dürfen, folgt aus der bedingten Entropie. In wurde daraus die extrahierbare Entropie berechnet:
  H ε ext : H ε ext ≥ H ∞ (R|K) − 2 log 2 (1/ε)(13)
  Der Parameter ε steht dabei für die maximal verbleibende Restwahrscheinlichkeit dass die resultierende Verteilung nicht exakt gleichverteilt ist und kann durch Anpassung des Hashingverhältnisses so klein wie gewünscht gewählt werden. Um besonders viel Zufall extrahieren zu können, muss daher die Maximalwahrscheinlichkeit für ein Ereignis bei einem schlimmstmöglichen gegebenen klassischen Rauschen (Gl. 10) gering gehalten werden, und viele Bits gemeinsam gehasht werden um Verluste durch den ε-Faktor klein zu halten.
  Binning
  Die weitere Verarbeitung der Amplituden wird für jede Frequenz getrennt durchgeführt. Nach der DFT sind diese nach dem Zentralen Grenzwertsatz als gewichtete Summe sehr vieler Einzelwerte annähernd normalverteilt. Wegen dieser nicht-flachen Verteilung und dem direkten Einfluss des Elektronikrauschens besitzen diese deutlich weniger bedingte Entropie als ihrer Beschreibungslänge entspräche. Die Amplituden sollen nun so auf eine Folge von digitalen Zufallsbits abgebildet werden, so dass deren bedingte Entropie möglichst so groß wird wie ihre Beschreibungslänge, was einer perfekten Zufälligkeit entspricht. Als eine mögliche Methode wird über die Verteilungsfunktion ein Binning gelegt und jeder Amplitude der digitale Wert des Bins zugewiesen in den sie fällt.
  Weil das Quantenrauschen unabhängig vom Elektronikrauschen ist, addieren sich die Varianzen σ 2 der Beiden
  σ 2 T = σ 2 K + σ 2 Q . (14)
  Das Quantenrauschen ist bereits im Detektor normalverteilt (Kap. 2.3.2) und bleibt es auch nach der DFT. Die nicht direkt messbare Verteilung des Quantenrauschens ist somit bekannt als Normalverteilung mit Varianz σ 2 T − σ 2 K . Hierdurch ist auch die bedingte Entropie (Gl. 9, 10) berechenbar. Summen, Minima und Maxima laufen dann über alle kontinuierlichen Werte von K und über alle Bins, deren Inhalt von der um k verschobenen Q-Verteilung gegeben ist.
  Empirisch flächengleiches Binning
  Der erste und naheliegende Ansatz eines solchen Binnings geht auf das Vorgängerprojekt dieser Arbeit 
  (x) = 1 2 n ρ T (x) wegen b • ρ T = 1 2 n . (15)
  Die Entropie kann nun anstatt einer Summe als Integral genähert werden: Für gegebenes klassisches Rauschen K = k folgt daraus die Entropie
  H 1 (X) = x∈X p(x) • log 2 1 p(x) → ∞ −∞ ρ(x) • log 2 1 ρ(x) • b(x) dx(16)H 1 (R|K = k) = ∞ −∞ ρ Q (x − k) • log 2 2 n • ρ T (x) ρ Q (x − k) dx = (17) = n − log 2 σ T σ Q exp − 1 2 σ 2 k − k 2 σ 2 T (18)
  und somit die bedingte Entropie
  H 1 (R|K) = ∞ −∞ ρ K (k) • H 1 (R|K = k) dk = n − log 2 σ T σ Q (19)
  Das bedeutet, der Verlust an Shannonentropie I(R; 
  K) = H 1 (R) − H 1 (R|K) = log 2 σ T σ Q ist nichtH 1 (R|K) ≈ n − 0,08(20)
  kaum verringert.
  Anders sieht die Sache für die bedingte Min-Entropie aus. Diese wird umso kleiner je weiter k außen am Rand liegt, weil dort Q effektiv weniger Bins zur Verfügung hat. Für eine normalverteilte Größe wie im vorliegenden Fall kann k prinzipiell beliebig weit außen liegen so dass die Entropie gegen Null konvergiert. Auch wenn der Fall praktisch sehr unwahrscheinlich ist, lässt sich dennoch keine unbedingte Sicherheit mehr beweisen.
  Zyklisch äquidistantes Binning
  Um H ∞ groß zu halten, wurde ein Binning gewählt, bei dem die Kenntnis von K auch im schlimmsten Fall nicht viel über das Ergebnis verraten kann. Die Verteilung wird dabei in 2 n gleichbreite Bins der Breite b (Abb. 5 links) eingeteilt, wobei sich die zugewiesenen Binärwerte nach B = 2 n •b wiederholen. Hierdurch ist die Wahrscheinlichkeit einzelner Binärwerte vorerst nicht gleichverteilt (Abb. 5 rechts). Für kleinere B nimmt die Gleichmäßigkeit der Verteilung aber zu, so dass das Wahrscheinlichkeitsverhältnis max(p)/ p bei B = σ immerhin 1 + 5 • 10 −9 und bei B = 0,5 σ bereits 1 + 1 
  Zufallstests
  Zur empirischen Überprüfung, ob das Ergebnis nun richtige Zufallszahlen sind oder nicht werden gerne Zufallstests hergenommen wie z. B. die "Diehard" Sammlung . Allerdings kann bei Zufallszahlen per Definition jede Folge erscheinen, so dass aus keinem Ergebnis strikt eine Nicht-Zufälligkeit geschlossen werden kann. Vorhandene Tests können also nur darauf hinweisen, wenn bestimmte Systematiken vorliegen, die sehr unwahrscheinlich auftauchen sollten.
  Die Aussagekraft solcher Tests ist beschränkt. Wenn ein Test negativ ausfällt, sind die Zahlen wahrscheinlich nicht zufällig. Wird er aber bestanden, so heißt das keineswegs dass die Zahlen tatsächlich zufällig sind. Weiterhin kann kaum getestet werden, wie zufällig die Zahlen noch sind nachdem Einflüsse wie das Elektronikrauschen bekannt werden würden, weil das Programm diese Einflüsse dazu verstehen müsste. Die hier erzeugten Daten werden (nach Abschluss dieser Arbeit) solchen Tests unterzogen werden, doch ersetzt das keine sorgfältige Analyse der Erzeugungsalgorithmen. wünschenswert. Aus diesem Grund wurden die Daten nicht mit der minimal nötigen Rate von 2 GS/s (Nyquist) sondern mit 20 GS/s aufgezeichnet, um den Einflussbereich zu hohen Frequenzen hin zu verschieben.
  Experimenteller Aufbau
  Im Nutzbereich bis 1 GHz zeigt sich bei 5 mW Strahlleistung ein Signal-Rausch-Abstand von etwa 10 dB, also ein Varianzverhältnis von 10 bzw. ein Amplitudenverhältnis von 3. Ein solch signifikanter Rauschanteil würde die Information, die man über das Quantenrauschen erhalten kann, stark limitieren. In der Anwendung für Zufallszahlen muss aber auch nicht auf das Quantenrauschen zurückgeschlossen werden können. Vielmehr reicht es aus, dass aus dem klassischen Rauschen nicht viel Information über das Ergebnis hervorgeht. Deshalb führt der elektronische Rauschanteil hier zu keiner drastischen Einschränkung.
  Nachweis der Linearität (Abschwächemessung)
  Wie in Kapitel 2.1 gezeigt, muss durch das Quantenrauschen die spektrale Leistungsdichte im Detektor linear von der Intensität des Eingangssignal abhängen. Wäre dies nicht der Fall, so könnten andere unerwünschte Rauschquellen vorliegen, oder aber der Detektor wäre nicht linear, was zum Übersprechen zwischen unterschiedlichen Frequenzen führen würde. Deshalb wurde untersucht, in welchem Leistungs-und Frequenzbereich der Detektor lineares Verhalten zeigt. Hierfür wurde die Strahlleistung jeweils mit dem drehbaren Abschwächerrad variiert und die Leistung direkt im Strahl gemessen. Danach Für ein additives Rauschsignal, das unabhängig vom Quantenrauschen ist, wird wegen σ 2 (R) ∼ σ 2 (S) = σ 2 (Q) + σ 2 (K) ein konstanter Offset erwartet wie in Abb. 11 zu sehen, aber keinerlei anderer Einfluss.
  Nachweis der Unabhängigkeit (Modulationsmessung)
  Die Unabhängigkeit verschiedener Frequenzkomponenten und damit der Quellen der Zufallszahlen kann noch genauer untersucht werden, indem der Effekt einer bekannten Signalanregung auf das Detektorsignal gemessen wird. Im Idealfall werden am Detektor keine anderen Frequenzen angeregt als die des Eingangssignals. Das beobachtete Verhalten war in allen Fällen ähnlich (Abb. 13): Ab Frequenzen über 2 GHz, wo der Detektor anfängt stark nichtlinear zu werden, nahmen die Korrelationen deutlich zu. Bei Frequenzen über 6 GHz wo die Signalamplitude selbst nur noch sehr schwach war und Leck-Effekte kleinerer Frequenzen viel Einfluss nehmen, wurden die Korrelationen signifikant hoch bis hin zu Werten von 0,2 bei 1 MHz Auflösung. Interessant war nun die Abhängigkeit von der DFT-Auflösung. Für feinere Frequenzauflösungen nahmen alle untersuchten Korrelationen in etwa linear ab, obwohl die einzelnen Frequenzen dabei ja näher zusammenrücken. Das gibt aber insofern Sinn, dass der Leck-Effekt aus einer dritten Frequenz reduziert wird und die relative Flachheit des Spektrums im Bereich der Frequenzabstände zunimmt. Besonders schön wird dabei deutlich, dass das Spektrum tatsächlich sehr viele unabhängige Schwingungen enthält.
  Mit einer Frequenzauflösung von 0,1 MHz wie letztendlich verwendet, waren die Korrelationen unterhalb von 1 GHz so gering dass sie nur schwer unter den statistischen Fluktuationen erkennbar waren. Abschätzungen durch lineare Extrapolation lieferten Werte von 
  c(Re, Im) = 1,5 • 10 −5 , c(t i , t i+1 ) = 4 • 10 −5 , c(f i , f i+1 ) = 5 • 10 −5 (22) bei f = 1 GHz und ∆f = 0,
  Einfluss von Funkstrahlung
  Die Frequenzen der Signalfluktuationen entsprechen elektromagnetischen Ultrakurzwellen (0,03 GHz -0,3 GHz) und Dezimeterwellen (0,3 - 
  Hiermit erkläre ich, dass ich die Arbeit selbstständig angefertigt und keine anderen als die angegebenen Hilfsmittel verwendet habe.
  Erlangen, 22. September 2011
  Bastian Hacker
  