text: In der Klassischen Variationsrechnung haben sich die Begriffe eines schwachen bzw. starken lokalen Optimum etabliert. Während bei einer schwachen lokalen Minimalstelle ("Stelle" bezeichnet hier eine gewisse Funktion) sowohl die konkurriende Funktion und auch deren Ableitung sich wenig von einem Optimum und der Ableitung des Optimum zu unterscheiden haben, so schränkt man bei einem starken lokalen Optimum lediglich die konkurrierende Funktion, aber nicht deren Ableitung ein. Das bedeutet, die Konkurrentenmenge bei der Untersuchung auf starke lokale Optimalität ist umfassender als diejenige bei der Behandlung von schwachen lokalen Optimalstellen. Folglich besitzt ein starkes Optimum eine höhere Güte als ein schwaches und die Herleitung von Optimalitätsbedingungen ist für ein starkes Optimum ist anzustreben.
  Im Rahmen der Optimalen Steuerung sucht man nicht nur eine Lösungsfunktion, sondern ein Funktionenpaar (den sogenannten Steuerungsprozess) aus Zustand(sfunktion) und Steuerung(sfunktion). Von zentraler mathematischer und auch anwendungsbezogener Bedeutung ist die freie Wahl an Steuerungen, denn in der Praxis ist man oft mit der Situation konfrontiert, dass man sprichwörtlich "den Schalter umlegen" oder "das Steuer herumreißen" muss. Ein solcher abrupter Wechsel wird gerade durch Abläufe mit sprunghaftem Änderungsverhalten widergegeben und ist in den Anwendungen von besonderem Interesse. Um dies in den Rahmen der Optimalen Steuerungen einzubinden, ergibt sich die Anforderung, dass man konkurrierenden Steuerungsprozessen zwar Einschränkungen an den Zustand, aber nicht an die Steuerung auferlegt. Die so gebildete Konkurrentenmenge führt (in Analogie zur Klassischen Variationsrechnung) zur starken lokalen Optimalität im Rahmen der Theorie Optimaler Steuerungen.
  Die notwendigen Optimalitätsbedingungen für ein starkes lokales Optimum in der Steuerungstheorie bilden einen Verbund, dessen Zusammenstellung man als Pontrjaginsches Maximumprinzip bezeichnet. Im Rahmen dieser Ausarbeitung wollen wir bei freiem rechten Endpunkt das Pontrjaginsche Maximumprinzip mit Hilfe der elementaren Beweismethode der einfachen Nadelvariation für
  • eine Standardaufgabe mit Wiedergewinnungswert,
  • optimale Multiprozesse,
  • einer Aufgabe mit unendlichem Zeithorizont,
  • zeitverzögerte Systeme,
  • die Steuerung Volterrascher Integralgleichungen vorstellen. Diese Methode haben wir für die Standardaufgabe bei Ioffe & Tichomirov entnommen und für die weiteren Klassen ausgebaut.
  Wir haben uns entschieden, die Methode der einfachen Nadelvariation in dieser Ausarbeitung ausführlich darzustellen, denn der Nachweis der notwendigen Optimalitätsbedingungen für Aufgaben der Optimalen Steuerung mit freiem rechten Endpunkt mit Hilfe dieser Methode fällt "vergleichsweise einfach" aus: Die "Einfachheit" besteht in einem konstruktiven Nachweis des Pontrjaginschen Maximumprinzips. Auf Basis der einfachen Nadelvariation lassen sich notwendige Optimalitätsbedingungen direkt ermitteln. Die Herausforderungen des Beweises liegen in den mathematischen Instrumenten, nämlich in Existenz-, Eindeutigkeits-und Abhängigkeitssätzen für Differential-und Integralgleichungen mit stückweise stetigen rechten Seiten. Aufgrund des speziellen Rahmens werden die benötigten Resultate im Anhang ausführlich erarbeitet. Dazu sind aber gewisse Grundbausteine der Funktionalanalysis, z. B. der Begriff des Banachraumes, Fixpunktsätze und der Satz über implizite Funktionen, heranzuziehen. Somit sind die nötigen Instrumente eher von "abstrakter" als von "einfacher" Natur.
  Im "Vergleich" zu Steuerungsproblemen mit allgemeineren Nebenbedingungen ist bei der elementaren Beweismethode der Nachweis der Gültigkeit des Lagrangeschen Prinzips in unendlich-dimensionalen Funktionenräumen nicht nötig. Dadurch wird das Beweisverfahren deutlich abgekürzt, da die Maß-und Integrationstheorie oder die Grundprinzipien der Funktionalanalysis und der Satz von Ljusternik oder die Rieszschen Darstellungssätze oder die benötigten Elemente der Konvexen Analysis umgangen werden.
  Anhand einer Vielzahl an Beispielen demonstrieren wir die erzielten Resultate. Zu unseren wichtigsten Quellen zählen dabei die Lehrbücher von Feichtinger & Hartl , Kamien & Schwartz und Seierstad & Sydsaeter . Diese Lehrbücher sind nicht auf die Aufgaben mit freiem rechten Endpunkt beschränkt und zum weiteren Studium der Theorie Optimaler Steuerungen wärmstens empfohlen. Außerdem möchten wir den interessierten Leser auf die Arbeiten Pesch & Plail und Plail zur historischen Entwicklung der Optimalen Steuerung zu einem eigenständigen mathematischen Fachgebiet hinweisen.
  Wichtige Bezeichungen
  Die Methode der einfachen Nadelvariation erlaubt es uns die Aufgaben in dem Rahmen der Räume von stückweise stetigen und stückweise stetig differenzierbaren Funktionen zu betrachten. Diese Funktionenklassen kennzeichnen wir mit P C([a, b], R) -Raum der stückweise stetigen Funktionen, Die verschiedenen Aufgabentypen besitzen ihre eigenen Charakteristiken und erfordern teils individuelle Voraussetzungen. Deswegen werden die Pontrjagin-Funktion H und die Hamilton-Funktion H , sowie die Annahmen an die Aufgabenklasse, wie z. B. die Menge der zulässigen Steuerungsprozesse A adm , durch einen zur Aufgabe gehörenden Index versehen:
  PS tandardaufgabe -H S , H S , A S adm , A S Lip , M ultiprozesse -H M , H M , A M adm , A M Lip , U nendlicher Zeithorizont -H U , H U , A U adm , A U Lip , A U lim , Z eitverzögerte Systeme -H Z , H Z , A Z adm , A Z Lip , I ntegralgleichungen -H I , H I , A I adm , A I Lip .
  Stückweise Stetigkeit und Differenzierbarkeit
  Die vorliegende Untersuchung von Steuerungsproblemen mit freiem rechten Endpunkt betten wir in den Rahmen stückweise stetiger und stückweise stetig differenzierbarer Funktionen ein. Der Begriff "stückweise" bezieht sich dabei auf das Vorhandensein von höchstens endlich vielen Unstetigkeiten in Form von Sprungstellen. Wir räumen diesen -für diese Ausarbeitung zentralen -Begriffen eigenständige Definitionen ein: entnommen. Aber im Gegensatz zu beschränken wir uns auf den sogenannten "normalen" Fall notwendiger Bedingungen, welcher in Aufgaben mit freiem Endpunkt vorliegt.
  Die Aufgabenstellung und das Pontrjaginsche Maximumprinzip
  Über dem gegebenen Intervall [t 0 , t 1 ] betrachten wir zu x 0 ∈ R n die Aufgabe
  J x(•), u(•) = t 1 t 0 f t, x(t), u(t) dt + S x(t 1 ) → inf,(1.1)ẋ(t) = φ t, x(t), u(t) , x(t 0 ) = x 0 ,(1.2)u(t) ∈ U ⊆ R m , U ̸ = ∅.(1.3)
  Die Aufgabe (1.1)-(1.3) untersuchen wir bezüglich dem Zustand x(•) ∈ P C 1 ([t 0 , t 1 ], R n ) und der Steuerung u(•) ∈ P C([t 0 , t 1 ], U ). Das Paar x(•), u(•) nennen wir einen Steuerungsprozess.
  Mit A S Lip bezeichnen wir die Menge aller Paare x(•), u(•) , für die es ein γ > 0 derart gibt, dass die Abbildungen f (t, x, u), φ(t, x, u) auf der Menge aller (t, x, u
  ) ∈ R × R n × R m mit t ∈ [t 0 , t 1 ], ∥x − x(t)∥ < γ, u ∈ R m
  stetig in der Gesamtheit aller Variablen und stetig differenzierbar bezüglich x sind.
  Das Paar x(•), u(•) ∈ P C 1 ([t 0 , t 1 ], R n ) × P C([t 0 , t 1 ], U ) heißt ein zulässiger Steuerungsprozess in der Aufgabe (1.1)-(1.3), falls x(•), u(•) der Dynamik (1.2) zu x(t 0 ) = x 0 genügt. Mit A S adm bezeichnen wir die Menge der zulässigen Steuerungsprozesse. Bemerkung 1.1. Die Reduktion auf einen Umgebungsstreifen um eine Trajektrie x(•) ist angebracht, wenn die Abbildungen nicht willkürliche Werte für den Zustand annehmen dürfen. Dies ist im Beispiel 1.5 erforderlich, in dem die Abbildung x → x α mit α ∈ (0, 1) nur für x ≥ 0 wohldefiniert und die Ableitung x → αx α−1 nur für x ≥ δ > 0 mit einem gegebenen δ > 0 beschränkt sind. □
  Ein zulässiger Steuerungsprozess x * (•), u * (•) ist eine starke lokale Minimalstelle der Aufgabe (1.1)-(1.3), falls eine Zahl ε > 0 derart existiert, dass die Ungleichung
  J x(•), u(•) ≥ J x * (•), u * (•) für alle x(•), u(•) ∈ A S adm mit ∥x(•) − x * (•)∥ ∞ < ε gilt. Es bezeichnet H : R × R n × R m × R n → R die Pontrjagin-Funktion
  H S (t, x, u, p) = ⟨p, φ(t, x, u)⟩ − f (t, x, u).
  (1.4) 
  TheoremJ K(•), u(•) = T 0 1 − u(t) • K(t) dt → sup,(1.8)K(t) = u(t) • K(t), K(0) = K 0 > 0, (1.9) u(t) ∈ [0, 1], T > 1 fest. (1f (t, K, u) = −(1 − u) • K, φ(t, K, u) = u • K.
  Dann gilt für die Pontrjaginsche Funktion (1.4) für u = u * (t) nach (1.7)
  H S t, K * (t), u * (t), p(t) = max u∈[0,1] p(t) − 1 u + 1 • K * (t) (1.11)
  und p(•) ist die Lösung der adjungierten Gleichung zur Transversalitätsbedingung in (1.5):
  ṗ(t) = −u * (t) • p(t) − 1 − u * (t) = −1 − u * (t) p(t) − 1 , p(T ) = 0.
  (1.12)
  Aus der Maximumbedingung (1.11) können wir unmittelbar
  u * (t) = 0 für p(t) < 1 und u * (t) = 1 für p(t) > 1 entnehmen. Für die adjungierte Gleichung (1.12) folgt damit sofort ṗ(t) = −1, p(t) < 1 −p(t), p(t) > 1 = − max{1, p(t)} ≤ −1 < 0 für alle t ∈ (0, T ).
  Die Stelle τ 1 mit p(τ 1 ) = 1 ist wegen ṗ(t) < −1 und p(T ) = 0 eindeutig bestimmt. Aus formalen Gründen betrachten wir zur Bestimmung von τ 1 die Funktion g mit
  ġ(t) = −1 und g(T ) = 0 ⇒ g(t) = T − t für t ≤ T.
  Also gibt es genau eine Lösung τ 1 ∈ (0, T ) der Gleichung g(t) = 1 und es gilt
  τ 1 = T − 1.(1.13)
  Da die adjungierte Funktion p(•) streng monoton fallend ist, folgt für diese
  ṗ(t) = −p(t), t ∈ (0, T − 1), −1, t ∈ (T − 1, T ), p(t) = e T −(1+t) , t ∈ [0, T − 1), T − t, t ∈ [T − 1, T ]. (1.14) Mit der Steuerung u * (t) = 1 für t ∈ [0, T − 1), 0 für t ∈ [T − 1, T ],(1.15)
  erhalten wir aus (1.9) für das Kapital
  K * (t) = K * (t), t ∈ (0, T − 1), 0, t ∈ (T − 1, T ), K * (t) = K 0 • e t t ∈ [0, T − 1), K 0 • e T −1 t ∈ [T − 1, T ],(1.16)
  und für den Wert des Zielfunktionals (1.8)
  J K * (•), u * (•) = T 0 1 − u * (t) • K * (t) dt = T T −1 K 0 • e T −1 dt = K 0 • e T −1 .
  (1.17)
  In diesem Beispiel ist die optimale Steuerung u * (•) unstetig und nimmt ausschließlich Werte auf dem Rand des kompakten Steuerbereiches U = [0, 1] an. □ Beispiel 1.5. Im Gegensatz zum vorherigen linearen Modell nehmen wir an, dass wir mit einer einprozentigen Erhöhung des Kapitals K eine konstante prozentuale Erhöhung des Nutzens U um α ∈ (0, 1) erreichen:
  ∆U U = α ∆K K bzw. dU U = α dK K =⇒ U (K) = c • K α .
  Damit erhalten wir folgende Aufgabe mit der Cobb-Douglas-Funktion U (K) = K α :
  J K(•), u(•) = T 0 1 − u(t) • K α (t) dt → sup, (1.18) K(t) = u(t) • K α (t), K(0) = K 0 > 0, (1.19) u(t) ∈ [0, 1], α ∈ (0, 1) konstant, T fest mit αT − K 1−α 0 > 0. (1.20)
  Wir multiplizieren den Integranden in (1.18) mit −1 und erhalten
  f (t, K, u) = −(1 − u) • K α , φ(t, K, u) = u • K α .
  Dann gilt für die Pontrjaginsche Funktion (1.4) nach (1.7) für u = u * (t)
  H S t, K * (t), u * (t), p(t) = max u∈[0,1] p(t) − 1 u + 1 • K α * (t) (1.21) und p(•) ist die Lösung der adjungierten Gleichung zur Transversalitätsbedingung (1.5): ṗ(t) = −αK α−1 * (t) 1 + u * (t) p(t) − 1 , p(T ) = 0. (1.22)
  Aus der Maximumbedingung (1.21) ergibt sich unmittelbar u * (t) = 0 für p(t) < 1 und u * (t) = 1 für p(t) > 1.
  Für die adjungierte Gleichung (1.22) folgt weiterhin
  ṗ(t) = −α K α−1 * (t), p(t) < 1 −α K α−1 * (t) • p(t), p(t) > 1 = −α K α−1 * (t) • max{1, p(t)} < 0 über (0, T ).
  Die Adjungierte p(•) ist stetig und streng monoton fallend über [0, T ] mit p(T ) = 0.
  Wir zeigen nun die Existenz einer Zahl
  τ 2 ∈ (0, T ) mit p(τ 2 ) = 1. Es sei τ 2 ∈ [0, T ] mit τ 2 = inf{t ∈ [0, T ] | p(t) < 1}. Für t > τ 2 gilt u * (t) = 0 und es ist K * (t) auf [τ 2 , T ] konstant. Es bezeichne K = K * (τ 2 )
  diesen konstanten Wert. Anstelle der Adjungieren p(•) betrachten wir mit Hilfe der Konstanten K zunächst die Funktion g mit
  ġ(t) = −α K α−1 , g(T ) = 0, α ∈ (0, 1), K > 0 konstant.
  Es ergibt sich g(t) = αK α−1 (T − t). Nun bestimmen wir τ 2 . Für t < τ 2 ist p(t) > 1 und damit u * (t) = 1. In der Dynamik (1.19) sei u(t) ≡ 1. Es ergibt sich die Funktion h(•) mit ḣ(t) = h α (t), α ∈ (0, 1) und h(0) = K 0 . Wir erhalten nach Trennung der Veränderlichen und anschließender Integration
  h K 0 x −α dx = t 0 1 ds ⇒ 1 1 − α h 1−α −K 1−α 0 = t ⇒ h(t) = (1−α)t+K 1−α 0 1 1−α . Aus K = h(τ 2 ) und g(τ 2 ) = 1 ergibt sich für τ 2 die Gleichung 1 = αK α−1 (T − τ 2 ) =g(τ 2 ) = α • (1 − α)τ 2 + K 1−α 0 α−1 1−α =h α−1 (τ 2 ) •(T − τ 2 ) = α(T − τ 2 ) (1 − α)τ 2 + K 1−α 0 . Aus dieser Gleichung folgt zusammen mit der Annahme αT − x 1−α 0 > 0 in (1.20) τ 2 = αT − K 1−α 0 > 0.
  (1.23)
  Für die Analyse der Aufgabe liefert dies die Steuerung
  u * (t) = 1 für t ∈ [0, τ 2 ), 0 für t ∈ [τ 2 , T ]. (1.24) Mit u * (•) erhalten wir in (1.19) für die Änderung des Kapitalstocks K * (t) = K α * (t) für t ∈ (0, τ 2 ), 0 für t ∈ (τ 2 , T ).
  Wenden wir über [0, τ 2 ] wieder die Trennung der Veränderlichen wie für die Funktion h an, so ergibt sich für die zeitliche Entwicklung des optimalen Kapitalstocks
  K * (t) = (1 − α)t + K 1−α 0 1 1−α für t ∈ [0, τ 2 ), α(1 − α)T + αK 1−α 0 1 1−α für t ∈ [τ 2 , T ]. (1.25) Ferner liefert dies in der adjungierten Gleichung ṗ(t) = −α K α−1 * (t) • p(t) für t ∈ (0, τ 2 ), −α K α−1 * (τ 2 ) für t ∈ (τ 2 , T ).
  Zur Berechnung von p(•) auf [0, τ 2 ] verwenden wir p(τ 2 ) = 1 und erhalten wieder mit einer Trennung der Veränderlichen und anschließender Integration
  ln p(t) p(τ 2 ) = −α t τ 2 1 (1 − α)s + K 1−α 0 ds = − α 1 − α ln (1 − α)t + K 1−α 0 (1 − α)τ 2 + K 1−α 0 .
  Daraus folgt
  p(t) = (1 − α)τ 2 + K 1−α 0 (1 − α)t + K 1−α 0 α 1−α = α(1 − α)T + αK 1−α 0 (1 − α)t + K 1−α 0 α 1−α auf [0, τ 2 ]
  . Auf [0, T ] gilt damit für die adjungierte Funktion
  p(t) =          α(1 − α)T + αK 1−α 0 (1 − α)t + K 1−α 0 α 1−α für t ∈ [0, τ 2 ), T − t (1 − α)T + K 1−α 0 für t ∈ [τ 2 , T ].
  (1.26) Für den Wert des Zielfunktionals (1.18) ergibt sich in diesem Beispiel 
  J K * (•), u * (•) = T 0 1 − u * (t) • K α * (t) dt = T τ 2 α(1 − α)T + αK 1−α 0 α 1−α dt = (T − αT + K 1−α 0 ) • α(1 − α)T + αK 1−α 0 α 1−α = α α 1−α • (1 − α)T + K 1−α 0 1 1−α . (1J x(•), y(•), u(•) = T 0 y(t) dt → sup, ẋ(t) = u(t)x(t), x(0) = x 0 > 0, ẏ(t) = 1 − u(t) x(t), y(0) = y 0 > 0, u ∈ [0, 1], T > 2.                (1.28)
  Wir gehen zu einem Minimierungsproblem über und wenden Theorem 1.2 an. Die Pontrjagin-Funktion besitzt die Gestalt
  H S (t, x, y, u, p, q) = uxp + (1 − u)xq + y. Für die Adjungierten p(•) und q(•) ergeben sich die Gleichungen ṗ(t) = −u * (t)p(t) − 1 − u * (t) q(t), p(T ) = 0, q(t) = −1, q(T ) = 0. Es folgt unmittelbar q(t) = T − t. Die Maximumbedingung ist äquivalent zu max u∈[0,1] u • p(t) − q(t) • x(t)
  und wir erhalten für die optimale Steuerung u * (•)
  u * (t) = 1 für p(t) > q(t) und u * (t) = 0 für p(t) < q(t).
  Wegen p(T ) = 0 und q(t) = T − t ist ṗ(t) > −1 über einem gewissen Intervall (τ, T ). Demzufolge gilt p(t) < q(t) und ṗ(t) = −(T − t) über (τ, T ).
  Zur Bestimmung des Zeitpunktes t mit p(t) = q(t) nutzen wir wieder eine Nebenrechnung. Dazu betrachten wir die Funktion g(t) mit ġ(t) = −(T − t) und g(T ) = 0. Es ergeben sich
  g(t) = 1 2 (T − t) 2 und g(t) = q(t) ⇔ t = T − 2.
  Die Adjungierten p(•), q(•) sind streng monoton fallen und es gilt p(T − 2) = q(T − 2) = 2. Es sind damit ṗ(t) < −2 für t ∈ (0, T − 2) und p(t) > q(t) über [0, T − 2). Wir erhalten zusammenfassend für die adjungierten Funktionen
  p(t) = 2e T −(t+2) , t ∈ [0, T − 2), 1 2 (T − t) 2 , t ∈ [T − 2, T ], q(t) = T − t, für die optimale Steuerung u * (t) = 1 für t ∈ [0, T − 2) und u * (t) = 0 für t ∈ [T − 2, T ],
  für die zugehörigen Zustandstrajektorien
  x * (t) = x 0 e t , t ∈ [0, T − 2), x 0 e T −2 , t ∈ [T − 2, T ], y * (t) = y 0 , t ∈ [0, T − 2), y 0 + (t − T + 2)x 0 e T −2 , t ∈ [T − 2, T ],
  und für den Wert des Zielfunktionals
  J x * (•), y * (•), u * (•) = T 0 y * (t) dt = y 0 T + 1 2 (T − t − 2) 2 x 0 e T −2 .
  Unsere Untersuchung der Aufgabe ist abgeschlossen. □
  Der Beweis des Maximumprinzips
  Der nachstehende Beweis ist entnommen. Wir haben lediglich die Transversalitätsbedingung (1. 
  u(t; v, τ, λ) = u λ (t) = u * (t) für t ̸ ∈ [τ − λ, τ ), v für t ∈ [τ − λ, τ ), und es bezeichne x λ (•), x λ (t) = x(t; v, τ, λ), die ein- deutige Lösung der Gleichung ẋ(t) = φ t, x(t), u λ (t) , x(t 0 ) = x 0 .
  Abbildung 1: Variation u(t; v, τ, λ).
  Dann ist x λ (t) = x * (t) für t 0 ≤ t ≤ τ − λ. Für t ≥ τ betrachten wir den Grenzwert
  y(t) = lim λ→0 + x λ (t) − x * (t) λ ,
  und werden zeigen, dass dieser existiert, die Funktion y(•) der Integralgleichung
  y(t) = y(τ ) + t τ φ x s, x * (s), u * (s) y(s) ds (1.29) zur Anfangsbedingung y(τ ) = φ τ, x * (τ ), v − φ τ, x * (τ ), u * (τ ) (1.30) genügt und die Beziehung ⟨p(τ ), y(τ )⟩ = − S ′ x * (t 1 ) , y(t 1 ) − t 1 τ f x t, x * (t), u * (t) , y(t) dt (1.31) erfüllt ist.
  Herleitung von (1.30): Nach Wahl des Punktes τ ist ẋ * (•) in einer Umgebung dieses Punktes stetig und für hinreichend kleine positive λ gelten
  x * (τ ) = x * (τ − λ) + λφ τ − λ, x * (τ − λ), u * (τ − λ) + o(λ), x λ (τ ) = x * (τ − λ) + λφ τ − λ, x * (τ − λ), v + o(λ).
  Hieraus folgt 
  x λ (τ ) − x * (τ ) λ = φ τ − λ, x * (τ − λ), v − φ τ − λ, x * (τ − λ), u * (τ − λ) + o(λ) λ .
  D. h., dass der Grenzwert
  y(τ ) = lim λ→0 + x λ (τ ) − x * (τ ) λ existiert undd dt ⟨p(t), y(t)⟩ = ⟨ ṗ(t), y(t)⟩ + ⟨p(t), ẏ(t)⟩ = f x t, x * (t), u * (t) , y(t) . Daher gilt für t ∈ [τ, t 1 ] die Gleichung ⟨p(t), y(t)⟩ − ⟨p(τ ), y(τ )⟩ = t τ f x s, x * (s), u * (s) , y(s) ds. Für t = t 1 folgt (1.31) mit der Transversalitätsbedingung p(t 1 ) = −S ′ x * (t 1 ): ⟨p(τ ), y(τ )⟩ = ⟨−S ′ x * (t 1 ), y(t 1 )⟩ − t 1 τ f x s, x * (s), u * (s) , y(s) ds.
  Beweisschluss: Da x * (•), u * (•) ein starkes lokales Minimum ist, ist für alle hinreichend kleine und positive λ
  J x λ (•), u λ (•) − J x * (•), u * (•) λ ≥ 0.
  In diesem Ausdruck ergeben sich für λ → 0
  + lim λ→0 + 1 λ τ τ −λ f t, x λ (t), u λ (t) − f t, x * (t), u * (t) dt + lim λ→0 + 1 λ t 1 τ f t, x λ (t), u λ (t) − f t, x * (t), u * (t) dt = f τ, x * (τ ), v − f τ, x * (τ ), u * (τ ) + t 1 τ f x t, x * (t), u * (t) , y(t) dt
  und für das Terminalfunktional lim
  λ→0 + S x λ (t 1 ) − S x * (t 1 ) λ = S ′ x * (t 1 ) , y(t 1 ) .
  Für das Zielfunktional liefert der Grenzübergang λ → 0 + dies den Ausdruck.
  0 ≤ lim λ→0 + J x λ (•), u λ (•) − J x * (•), u * (•) λ = f τ, x * (τ ), v − f τ, x * (τ ), u * (τ ) + t 1 τ f x t, x * (t), u * (t) , y(t) dt + S ′ x * (t 1 ) , y(t 1 ) . Nach (1.31) besteht in dieser Ungleichung der Zusammenhang −⟨p(τ ), y(τ )⟩ = t 1 τ f x t, x * (t), u * (t) , y(t) dt + S ′ x * (t 1 ) , y(t 1 ) .
  Bei Anwendung der Gleichungen (1.30) und (1.31) ergibt sich weiter
  p(τ ), φ τ, x * (τ ), u * (τ ) − f τ, x * (τ ), u * (τ ) ≥ p(τ ), φ τ, x * (τ ), v − f τ, x * (τ ), v .
  Damit folgt aus der Definition der Pontrjagin-Funktion: 
  H S τ, x * (τ ), u * (τ ), p(τ ) ≥ H S τ, x * (τ ), v, p(τλ→0 + J x λ (•), u λ (•) − J x * (•), u * (•) λ = f τ, x * (τ ), v − f τ, x * (τ ), u * (τ ) + t 1 τ f x t, x * (t), u * (t) , y(t) dt + S ′ x * (t 1 ) , y(t 1 )
  = H S τ, x * (τ ), u * (τ ), p(τ ) − H S τ, x * (τ ), v, p(τ ) .
  ( 
  (•), u * (•) ∈ A S adm ∩ A S Lip und es sei p(•) ∈ P C 1 ([t 0 , t 1 ], R n ). Ferner gelte: (a) Das Tripel x * (•), u * (•), p(•) erfüllt (1.5)-(1.7) in Theorem 1.2. (b) Für jedes t ∈ [t 0 , t 1 ] ist die Funktion H S t, x, p(t) konkav in x auf V γ (t). (c) Die Abbildung S : R n → R im Zielfunktional (1.1) ist konvex in x auf V γ (t 1 ). Dann ist x * (•), u * (•) ein starkes lokales Minimum der Aufgabe (1.1)-(1.3). Beweis Es sei t ∈ [t 0 , t 1 ] gegeben. Da die Abbildung x → −H S t, x, p(t) auf V γ (t) konvex ist, ist die Menge Z = (α, x) ∈ R × R n x ∈ V γ (t), α ≥ −H S tEs sei x(•), u(•) ∈ A S adm mit ∥x(•) − x * (•)∥ ∞ < γ. Dann erhalten wir J x(•), u(•) − J x * (•), u * (•) = t 1 t 0 f t, x(t), u(t) − f t, x * (t), u * (t) dt + S x(t 1 ) − S x * (t 1 ) ≥ t 1 t 0 H S t, x * (t), p(t) − H S t, x(t), p(t) dt + t 1 t 0 ⟨p(t), ẋ(t) − ẋ * (t)⟩dt +S x(t 1 ) − S x * (t 1 ) ≥ t 1 t 0 ⟨ ṗ(t), x(t) − x * (t)⟩ + ⟨p(t), ẋ(t) − ẋ * (t)⟩ dt + S ′ x * (t 1 ) , x(t 1 ) − x * (t 1 ) = ⟨p(t 1 ) + S ′ x * (t 1 ) , x(t 1 ) − x * (t 1 )⟩ − ⟨p(t 0 ), x(t 0 ) − x * (t 0 )⟩. Wegen (1.6) ist p(t 1 ) = −S ′ x * (t 1 ) erfüllt. Ferner betrachten wir Aufgaben mit festem Anfangswert, d. h. x(t 0 ) = x * (t 0 ) = x 0 . Also gilt J x(•), u(•) − J x * (•), u * (•) ≥ 0 für alle x(•), u(•) ∈ A S adm mit ∥x(•) − x * (•)∥ ∞ < γ. ■ Beispiel 1.8. Im Beispiel 1.4 des linearen Investitionsmodells lautet die Pontrjagin- Funktion H S (t, K, u, p) = puK + (1 − u)K = (p − 1)u + 1 K.
  Ferner ergab sich nach (1.14) die adjungierte Funktion
  p(t) = e T −(1+t) , t ∈ [0, T − 1), T − t, t ∈ [T − 1, T ].
  Dies führt auf die Hamilton-Funktion 
  H S t, K, p(t) = sup u∈[0,1] p(t) − 1 u + 1 K = e T −(1+t) K, t ∈ [0, T − 1), K, t ∈ [T − 1, T ],H(t, x, y, u, p, q) = uxp + (1 − u)xq + y = u(p − q) + 1 x + y.
  Ferner lieferte die Analyse der Aufgabe die Adjungierten
  p(t) = 2e T −(t+2) , t ∈ [0, T − 2), 1 2 (T − t) 2 , t ∈ [T − 2, T ], q(t) = T − t.
  Daraus resultiert
  p(t) > q(t) für t ∈ [0, T − 2), ≤ q(t) für t ∈ [T − 2, T ].
  Damit erhalten wir die Hamilton-Funktion 
  H S t, x, y, p(t), q(t) = sup u∈[0,1] u p(t) − q(t) + 1 x + y = p(t) − q(t) + 1 x + y, t ∈ [0, T − 2), x + y, t ∈ [T − 2, T ]. Für jedes t ∈ [0, T ] ist H S linearC(0) = 0, C(∞) = ∞, C ′ (u) > 0, C ′ (0) = ∞, C ′ (∞) = 0, C ′′ (u) < 0, u ≥ 0.
  Diese Eigenschaften spiegelt zum Beispiel die Funktion C(u) = u σ mit σ ∈ (0, 1) wider. Über dem Planungszeitraum werden außerdem die instandhaltenden Maßnahmen durch den betrieblichen Verschleiß und durch wiederkehrende Reparaturen weniger effektiv. Wir machen für diese Beobachtung den Ansatz e −αt • C(u).
  Zusammenfassend ergibt sich für unser Instandhaltungsmodell die Aufgabe Aufgrund der Eigenschaften der Funktion C(u) können nur positive Instandhaltungskosten u * (t) optimal sein. Deswegen führt die Maximumbedingung nach Ausschluss der Randlösung u = 0 auf die Gleichung
  J x(•), u(•) = T 0 e −ϱt Ex(t) − u(t) dt + e −ϱT • W x(T ) → sup, ẋ(t) = e −αt • C u(t) − δx(t), x(0) = x 0 > 0, u ≥ 0, ϱ, δ, α, E, W > 0, W < E ϱ + δ .                (1.H S u t, x * (t), u * (t), p(t) = p(t)e −αt C ′ u * (t) − e −ϱt = 0 ⇔ p(t) = e −(ϱ−α)t 1 C ′ u * (t)
  .
  Wir beachten den Vorzeichenwechsel beim Übergang zu einem Minimierungsproblem in der Transversalitätsbedingung. Dann lautet die adjungierte Gleichung (1.5)
  ṗ(t) = δp(t) − E • e −ϱt , p(T ) = W • e −ϱT .
  Für die adjungierte Funktion p(•) erhalten wir die Abbildung
  p(t) = W e −(ϱ+δ)T e δt + E ϱ + δ e −ϱt − e −(ϱ+δ)T e δt .
  Den Ausdruck in der letzten Klammer formen wir um und erhalten In t = 0 ergibt sich für die Adjungierte p(•) der Wert
  p(0) = W e −(ϱ+δ)T + E ϱ + δ 1 − e −(ϱ+δ)T ≈ E ϱ + δ .
  Im Sinne des Schattenpreises bemisst p(•) zu Beginn den gesamten Erlös unter Beachtung von Diskontierung und Verschleiß, 
  p(0) ≈ T 0 Ee −(ϱ+δ)t dt ≈ ∞ 0 Ee −(ϱ+δ)t dt = E ϱ + δ ,x 0 ∈ [0, 1], u(t) ≥ 0, ϱ > 0, α, δ > 0. (1.43)
  Dabei sei S stetig differenzierbar und konkav mit S(0) = 0 und S ′ (x) > 0 für x ≥ 0.
  Die Auswirkungen der Werbestrategie auf den Bekanntheitsgrad wird durch (1.42) festgelegt. Dabei sei µ über [0, ∞) stetig, differenzierbar und streng monoton wachsend mit 
  µ(0) = 0, lim u→∞ µ(u) = γ ≤ α, lim u→0+ µ ′ (u) = ∞, lim u→∞ µ ′ (u) = 0. Für 0 < σ < 1 genügen die Funktionen µ σ (u) = γ u σ 1 + u σ diesen Bedingungen. Im Fall δ = 0 bekommt die Differentialgleichung (1.42) die Gestalt ẋ(t) = µ u(t) − αx(t), x(0) = x 0 , die dieṗ(t) = (α + δ)p(t) − πe −ϱt , p(T ) = 0, (1.45) welche die Lösung p(t) = − πe −ϱT α + δ + ϱ • e (α+δ)(t−T ) + πe −ϱt α + δ + ϱ (1.46)
  besitzt. Die Maximumbedingung führt nun weiter zur der Beziehung
  max u≥0 p(t) • µ(u) − e −ϱt • u ,(1.47)
  aus der die Gültigkeit der Gleichung p(t) 
  • µ ′ u * (t) − e −ϱt = 0 bzw. µ ′ u * (t) = 1 p(t) • e ϱt = α + δ + ϱ π(1 − e (α+δ+ϱ)(t−T ) ) = ψ(t)(1ṗ(t) = (α + δ)p(t) − πe −ϱt , p(T ) = e −ϱT S ′ x * (T ) .(1.49)
  Da eine Maximierungsaufgabe vorliegt, tritt in der Transversalitätsbedingung ein Vorzeichenwechsel ein. Es ergibt sich daraus die Adjungierte
  p(t) = e −ϱT S ′ x * (T ) − πe −ϱT α + δ + ϱ • e (α+δ)(t−T ) + πe −ϱt α + δ + ϱ . (1.50) Die Maximumbedingung führt erneut auf die Beziehung µ ′ u * (t) = 1/[p(t) • e ϱt ], d. h. µ ′ u * (t) = 1 π α + δ + ϱ (1 − e (α+δ+ϱ)(t−T ) ) + S ′ x * (T ) • e (α+δ+ϱ)(t−T )
  Die Werbestrategie u * (•) ist erneut stetig, aber am Ende der Planungsperiode gilt
  µ ′ u * (T ) = 1 S ′ x * (T ) ∈ (0, ∞), d. h. u * (T ) > 0.
  Da die Variable x linear in den Integranden und in die Dynamik einfließt, und ferner die Abbildung S konkav in x ist, sind die Optimalitätsbedingungen des Maximumprinzips nach Theorem 1.7 hinreichend für ein starkes lokales Maximum. □
  Kapitalismusspiel
  In vielen Problemstellungen sind verschiedene Entscheidungsträger involviert, deren Interessen nicht im Einklang stehen müssen. Eine derartige Situation bezeichnet man als mathematisches Spiel. Unterliegen die Zielkriterien der Konfliktgruppen dynamischen Nebenbedingungen, so spricht man von einem Differentialspiel.
  Es liege ein dynamisches Spiel vor, in dem die Steuerungen u 1 (•) und u 2 (•) die Einflussnahmen durch den ersten bzw. zweiten Spieler widergeben. Durch die Einführung verschiedener Zielfunktionale in der Standardaufgabe, welche die Zielstellungen der einzelnen Spieler darstellen, gelangen zur dynamischen Spielsituation:
  J 1 x(•), u 1 (•), u 2 (•) = t 1 t 0 f 1 t, x(t), u 1 (t), u 2 (t) dt → inf, J 2 x(•), u 1 (•), u 2 (•) = t 1 t 0 f 2 t, x(t), u 1 (t), u 2 (t) dt → inf, ẋ(t) = φ t, x(t), u 1 (t), u 2 (t) , x(t 0 ) = x 0 , u 1 (t) ∈ U 1 , u 2 (t) ∈ U 2 .
  Ein Lösungskonzept zur Behandlung eines solchen Spiels ist das Nash-Gleichgewicht für nichtkooperative Spiele. In unserem Differentialspiel ist ein Nash-Gleichgewicht ein Tripel
  x * (•), u * 1 (•), u * 2 (•) mit J 1 x * (•), u * 1 (•), u * 2 (•) = min (x(•),u 1 (•)) J 1 x(•), u 1 (•), u * 2 (•) , J 2 x * (•), u * 1 (•), u * 2 (•) = min (x(•),u 2 (•)) J 2 x(•), u * 1 (t), u 2 (•) .
  Befindet sich das Spiel also im Nash-Gleichgewicht x * (•), u * 1 (•), u * 2 (•) , so hat kein Spieler einen Anreiz seine Strategie zu ändern, denn das bestmögliche Ergebnis zur Strategie des Konkurrenten wurde gefunden. Ausführlich geschrieben ist das Nash-Gleichgewicht ein System von zwei gekoppelten Steuerungsproblemen. Für den ersten Spieler ergibt sich das Steuerungsproblem
  J 1 x(•), u 1 (•), u * 2 (•) = t 1 t 0 f 1 t, x(t), u 1 (t), u * 2 (t) dt → inf, ẋ(t) = φ t, x(t), u 1 (t), u * 2 (t) , x(t 0 ) = x 0 , u 1 (t) ∈ U 1
  bei gegebener Strategie u * 2 (•) des zweiten Spielers; entsprechend für den zweiten Spieler:
  J 2 x(•), u * 1 (•), u 2 (•) = t 1 t 0 f 2 t, x(t), u * 1 (t), u 2 (t) dt → inf, ẋ(t) = φ t, x(t), u * 1 (t), u 2 (t) , x(t 0 ) = x 0 , u 2 (t) ∈ U 2 . Formal sind die Abbildungen f 1 t, x, u 1 , u * 2 (t) , f 2 t, x, u * 1 (t), u 2 und φ t, x, u 1 , u * 2 (t) , φ t, x, u * 1 (t), u 2 nicht stetig bezüglich der Variablen t und verletzen die Anforderungen an die Standardaufgabe (1.1)-(1.3). Sind die Steuerungen u * 1 (•) und u * 2 (•)
  zumindest stückweise stetig, so besitzen diese Abbildungen für die gegebene Strategie des Gegenspielers höchstens endlich viele Unstetigkeiten in der Variablen t. Bei der Setzung der einfachen Nadelvariation im Beweis des Maximumprinzips sind für die Wahl von τ ∈ (t 0 , t 1 ) diese Stellen auszuschließen. Auf diese Weise bleiben das Beweisschema und die Optimalitätsbedingungen in Form des Pontrjaginschen Maximumprinzips gültig.
  Wir betrachten im Folgenden ein Differentialspiel zwischen Arbeitern und Unternehmern. Beide Parteien sind bestrebt ihr Konsumverlangen zu befriedigen. Zudem zeichnen sich die Unternehmer für Investitionen verantwortlich. Für die Arbeiter stellt sich dabei das Problem, inwieweit sie den produzierten Ertrag konsumieren oder den Unternehmern überlassen sollen, damit eine künftige hohe Güterproduktion ermöglicht wird, von der auch die Arbeiter wieder profitieren. Das Dilemma, das sich dem Arbeiter stellt, ist, dass sie keine Garantien über ausreichende Neuinvestitionen seitens der Unternehmer haben. Die Unternehmer stehen ihrerseits vor der Frage, wie sie mit dem verbliebenen Teil des Ertrages, der nicht dem Arbeiter zugesprochen wird, umgehen: Sollen sie diesen investieren oder konsumieren? Die Spielsituation ensteht dadurch, dass der Nutzen für den Arbeiter und den Unternehmern durch den aufgeteilten Ertrag miteinander gekoppelt ist. D. h. der Gewinn eines jeden Spielers hängt von der Entscheidung des anderen Spielers ab.
  In diesem Modell werden die Geld-und Güterwerte im Kapitalstock K(•) zusammengefasst. Weiter bezeichne u(t) denjenigen relativen Anteil an der Produktion, der dem Arbeiter zum Zeitpunkt t zugesprochen wird. Von dem verbliebenen Teil kann der Unternehmer mit der Rate v(t) zur Zeit t investieren. Mit den Zielfunktionalen W bzw. C für den Arbeiter bzw. Unternehmer entsteht damit die folgende Aufgabe
  J W K(•), u(•), v(•) = T 0 u(t)K(t) dt → sup,
  (1.51)
  J C K(•), u(•), v(•) = T 0 1 − v(t) 1 − u(t) K(t) dt → sup, (1.52) K(t) = v(t) 1 − u(t) K(t), K(0) = K 0 > 0, K(T ) frei, (1.53) u(t), v(t) ∈ [a, b] × [0, 1], 0 < a < b < 1, b > 1 2 , T > 1 1 − b . (1.54)
  Das Modell geht auf Lancaster zurück. Wir folgen der Darstellung und untersuchen das Nash-Gleichgewicht und die Kollusionslösung, die wir abschließend miteinander vergleichen. Wir verweisen außerdem auf die umfassenden Ausführungen in Feichtinger & Hartl und Seierstad & Sydsaeter .
  Wir platzieren die zwei Spieler Arbeiter und Unternehmer in einer Spielsituation und benutzen als Lösungskonzept das Nash-Gleichgewicht für nichtkooperative Spiele. Im vorliegenden Differentialspiel ist ein Nash-Gleichgewicht ein Tripel
  K * (•), u * (•), v * (•) ∈ P C 1 ([0, T ], R) × P C([0, T ], [a, b]) × P C([0, T ], [0, 1]),
  für das die folgenden Gleichungen erfüllt sind:
  J W K * (t), u * (t), v * (t) = max (K(•),u(•)) J W K(•), u(•), v * (t) , J C K * (t), u * (t), v * (t) = max (K(•),v(•)) J C K(•), u * (t), v(•) .
  Ausführlich geschrieben ist das Nash-Gleichgewicht das folgende System von zwei gekoppelten Steuerungsproblemen für den Arbeiter,
  J W K(•), u(•), v * (•) = T 0 u(t)K(t) dt → sup, K = v * (t) 1 − u(t) K(t), K(0) = K 0 > 0, u ∈ [a, b],      (1.55)
  und für den Unternehmer,
  J C K(•), u * (•), v(•) = T 0 1 − v(t) 1 − u * (t) K(t) dt → sup, K = v(t) 1 − u * (t) K(t), K(0) = K 0 > 0, v ∈ [0, 1].    (1.56)
  Auf beide Steuerungsprobleme wenn wir die Optimalitätsbedingungen im Pontrjaginsche Maximumprinzip unter Beachtung der Strategie des Gegenspielers an:
  In der Aufgabe der Arbeiter (1.55) erhalten wir die Maximumbedingung
  H S W t, K * (t), u * (t), p(t) = max u∈[a,b] 1 − p(t)v * (t) uK * (t) + p(t)v * (t)K * (t).
  Da jede zulässige Trajektorie K(•) stets positiv ist, gilt
  u * (t) = a, wenn p(t)v * (t) > 1, u * (t) = b, wenn p(t)v * (t) < 1, u * (t) ∈ [a, b], wenn p(t)v * (t) = 1.    (1.57) Weiter genügt p(•) der adjungierten Gleichung (1.5) und Transversalitätsbedingung (1.6): ṗ(t) = −v * (t) 1 − u * (t) p(t) − u * (t), p(T ) = 0. (1.58) In Gleichung (1.58) erkennt man unmittelbar ṗ(t) ≤ −u * (t) ≤ −a für t ∈ (0, T ). Daher gilt p(t) > 0 für t ∈ [0, T ).
  Entsprechend ergibt sich in der Aufgabe des Unternehmers (1.56) die Maximumbedingung
  H S C t, K * (t), v * (t), q(t) = max v∈[0,1] q(t) − 1 v 1 − u * (t) K * (t) + 1 − u * (t) K * (t) und es gilt v * (t) = 0 wenn q(t) < 1, v * (t) = 1 wenn q(t) > 1, v * (t) ∈ [0, 1] wenn q(t) = 1.    (1.59)
  Ferner genügt q(•) der adjungierten Gleichung zur Transversalitätsbedingung:
  q(t) = −v * (t) 1 − u * (t) q(t) − 1 − v * (t) 1 − u * (t) , q(T ) = 0. (1.60)
  Zusammen erhalten wir aus (1.59) und (1.60)
  q(t) = − 1 − u * (t) • max{1, q(t)} < 0.
  Aufgrund der strengen Monotonie existiert eine eindeutig bestimmte Lösung von
  τ = min{t ∈ [0, T ] | q(t) ≤ 1}. Wegen (1.59) gilt v * (t) = 0 für alle t ∈ [τ, T ] und aus (1.57) folgt nun u * (t) = b auf [τ, T ]. Auf [τ, T ] erhalten wir daraus q(t) = (1 − b)(T − t), q(τ ) = 1, p(t) = b(T − t), p(τ ) = b 1 − b .
  Weiterhin folgt nach (1.54) und aus der Bedingung q(τ ) = 1
  τ = T − 1 1 − b > 0. (1.61) Aufgrund b ≥ 1/2 in (1.54) ist p(τ ) ≥ 1. Da p(•) streng monoton fallend ist, erhalten wir u * (t) = a und v * (t) = 1 für alle t ∈ [0, τ ).
  Zusammenfassend lauten im Nash-Gleichgewicht die jeweiligen Strategien
  u * (t) = a, t ∈ [0, τ ), b, t ∈ [τ, T ], v * (t) = 1, t ∈ [0, τ ), 0, t ∈ [τ, T ], zum Kapitalstock K * (t) = K 0 e (1−a)t , t ∈ [0, τ ), K 0 e (1−a)τ , t ∈ [τ, T ].
  Für die Zielfunktionale ergeben sich
  J W K * (t), u * (t), v * (t) = a 1 − a + b 1 − b K 0 e (1−a)τ − a 1 − a K 0 , J C K * (t), u * (t), v * (t) = K 0 e (1−a)τ .      (1.62)
  Die Untersuchung des Nash-Gleichgewichtes ist damit abgeschlossen.
  Im Gegensatz zur Spielsituation besprechen sich die Arbeiter und Unternehmer, wie sie gemeinsam am besten agieren können. Für das gemeinsame Zielfunktional ergibt sich
  T 0 u(t)K(t) dt + T 0 1 − v(t) 1 − u(t) K(t) dt = T 0 1 − v(t) 1 − u(t) K(t) dt.
  Führen wir die neue Steuerungsvariable w(•) durch
  w(t) = v(t) 1 − u(t) , w(t) ∈ [0, 1 − a],
  ein, so erhalten wir die Aufgabe
  J K(•), w(•) = T 0 1 − w(t) K(t) dt → sup, K(t) = w(t)K(t), K(0) = K 0 > 0, w(t) ∈ [0, 1 − a], 0 < a < b < 1, b > 1 2 , T > 1 1−b .          (1.63)
  Die kooperative Lösung ist (sie ergibt sich analog zu Beispiel 1.4)
  w * (t) = 1 − a, t ∈ [0, T − 1), b, 0 ∈ [T − 1, T ], K * (t) = K 0 e (1−a)t , t ∈ [0, T − 1), K 0 e (1−a)(T −1) , t ∈ [T − 1, T ],
  mit folgendem Optimalwert für das Zielfunktional:
  J K * (t), w * (t) = 1 1 − a K 0 e (1−a)(T −1) − a 1 − a K 0 .(1.64)
  Der Gesamtnutzen im Nash-Gleichgewicht nach (1.62) ist gleich
  J W K * (t), u * (t), v * (t) + J C K * (t), u * (t), v * (t) = 1 1 − a + b 1 − b K 0 e (1−a)τ − a 1 − a K 0 . (1.65)
  Zum Vergleich der Werte (1.64) und (1.65) verwenden wir die Beziehung
  T − 1 = τ + b 1 − b .
  Damit erhalten wir
  J K * (t), w * (t) > J W K * (t), u * (t), v * (t) + J C K * (t), u * (t), v * (t) ⇔ 1 1 − a e (1−a) b 1−b > 1 1 − a + b 1 − b .
  Benutzen wir die elementare Ungleichung e x > 1 + x für x > 0, so folgt abschließend 
  1 1 − a e (1−a) b 1−b > 1 1 − a 1 + (1 − a) b 1 − b = 1 1 − a + b 1 − b .
  Vorbereitende Betrachtungen
  Es bezeichne k ∈ N die Anzahl an Steuerungssystemen, aus denen sich der Multiprozess zusammen setzt. Für ein i ∈ {1, ..., k} bezeichnen f i (t, x, u i ) den Integranden im Zielfunktional, φ i (t, x, u i ) die rechte Seite der Dynamik und U i ⊆ R m i den Steuerbereich des i−ten Steuerungssystems. Dann ist es naheliegend einen Multiprozess wie folgt aufzustellen: Wir zerlegen das Zeitintervall [t 0 , t 1 ] mit Hilfe der (gegebenen) Wechselzeitpunkte
  t 0 = s 0 < s 1 < ... < s N = t 1 in N Teilintervalle [s j−1 , s j ] mit j = 1, ..., N . Über einem Zeit- abschnitt [s j−1 , s j ] ist ein gewisses Steuerungsproblem ausgewählt, nämlich i j ∈ {1, ..., k}.
  Auf diese Weise ergeben sich über einem Teilabschnitt die Elemente
  s j s j−1 f i j t, x(t), u(t) dt, ẋ(t) = φ i j t, x(t), u(t) für t ∈ (s j−1 , s j ), u(t) ∈ U i j ⊆ R m i j .
  Über dem gesamten Zeitintervall [t 0 , t 1 ] erhält der Multiprozess dadurch die Gestalt 
  J x(•), u(•) = N j=1 s j s j−1 f i j t, x(t), u(t) dt → inf, ẋ(t) = φ i j t, x(t), u(t) für t ∈ (s j−1 , t j ), j = 1, ..., N, x(t 0 ) = x 0 , u(t) ∈ U i j ⊆ R m i j , i j ∈ {1, ..., k}, j = 1, ..., N.            (2.A s = I, A s ∩ A s ′ = ∅ für s ̸ = s ′ .
  Es bezeichnet Z k (I) = {A } = {A s } 1≤s≤k die Menge der k-fachen Zerlegungen von I.
  In unserem nächsten Schritt verknüpfen wir die k-fachen Zerlegungen Z k (I) mit den Steuerungssystemen des Multiprozesses. Dazu identifizieren wir ein Element A ∈ Z k (I) mit der Vektorfunktion der charakteristischen Funktionen der Mengen A s :
  χ A (t) = χ A 1 (t), ..., χ A k (t) , t ∈ I.
  Da die Mengen A s stückweise zusammengesetzte Intervalle sind, ist jede Funktion χ A (•) stückweise stetig und gehört zu der Menge
  y(•) ∈ P C(I, R k ) y(t) = y 1 (t), ..., y k (t) , y s (t) ∈ {0, 1}, k s=1 y s (t) = 1 .
  Weiterhin betrachten wir die k Funktionen h s (t, x, u s ) :
  I × R n × R ms → R m und fassen diese zur Vektorfunktion h = (h 1 , ..., h k ) zusammen. Außerdem wurden darin die Variablen u = (u 1 , ..., u k ) ∈ R m 1 +...+m k vereint.
  Die Verknüpfung der Funktion h mit einer k-fachen Zerlegung setzen wir wie folgt fest:
  A • h(t, x, u) = χ A (t) • h(t, x, u) = k s=1 χ As (t) • h s (t, x, u s ).
  Sind die Funktionen h i nach x differenzierbar, dann setzen wir für die Ableitung: 
  A • h x (t, x, u) = χ A (t) • h x (t, x, u) = k s=1 χ As (t) • h s,x (t,
  Es sei k ∈ N die Anzahl der verschiedenen gegebenen Steuerungssysteme mit ihren Integranden
  f s (t, x, u s ) : R × R n × R ms → R, rechten Seiten φ s (t, x, u s ) : R × R n × R ms → R n und Steuerbereichen U s ⊆ R ms . Wir fassen die Steuerungssysteme durch die Setzungen f = (f 1 , ..., f k ), φ = (φ 1 , ..., φ k ), U = U 1 × ... × U k
  zusammen. Dann besitzt mit Hilfe der k-fachen Zerlegungen die Aufgabe eines optimalen Multiprozesses die Form eines Steuerungsproblems:
  J x(•), u(•), A = t 1 t 0 χ A (t) • f t, x(t), u(t) dt → inf,(2.2)ẋ(t) = χ A (t) • φ t, x(t), u(t) , x(t 0 ) = x 0 ,(2.3)u(t) ∈ U = U 1 × ... × U k , U s ̸ = ∅, A ∈ Z k ([t 0 , t 1 ]). (2.4)
  Die Aufgabe (2.2)-(2.4) untersuchen wir bezüglich der Tripel
  x(•), u(•), A ∈ P C 1 ([t 0 , t 1 ], R n ) × P C([t 0 , t 1 ], U ) × Z k ([t 0 , t 1 ]). Mit A M Lip bezeichnen wir die Menge aller Tripel x(•), u(•), A , für die es ein γ > 0 der- art gibt, dass die Abbildungen f s (t, x, u s ), φ s (t, x, u s ) für s = 1, ..., k auf der Menge aller Punkte (t, x, u) ∈ R × R n × R m mit t ∈ [t 0 , t 1 ], ∥x − x(t)∥ < γ, u ∈ R m stetig in der Gesamtheit aller Variablen und stetig differenzierbar bezüglich x sind. Ein Tripel x(•), u(•), A ∈ P C 1 ([t 0 , t 1 ], R n ) × P C([t 0 , t 1 ], U ) × Z k ([t 0 , t 1 ]) ist ein zulässi- ger Steuerungsprozess der Aufgabe (2.2)-(2.4), falls x(•), u(•), A dem System (2.3) zu x(t 0 ) = x 0 genügt. Mit A M
  adm bezeichnen wir die Menge der zulässigen Steuerungsprozesse. Ein zulässiger Steuerungsprozess x * (•), u * (•), A * ist eine starke lokale Minimalstelle der Aufgabe (2.2)-(2.4), falls eine Zahl ε > 0 derart existiert, dass die Ungleichung
  J x(•), u(•), A ≥ J x * (•), u * (•), A * für alle x(•), u(•), A ∈ A M adm mit ∥x(•) − x * (•)∥ ∞ < ε gilt. Es bezeichnen H s die Pontrjagin-Funktionen der einzelnen Steuerungssysteme: H s (t, x, u s , p) = ⟨p, φ s (t, x, u s )⟩ − f (t, x, u s ), s = 1, ..., k.
  Die Pontrjagin-Funktionen fügen wir zu der Vektorfunktion H = (H 1 , ..., H k ) zusammen:
  H(t, x, u, p) = H 1 (t, x, u 1 , p), ..., H k (t, x, u k , p) .
  Damit definieren wir die Pontrjagin-Funktion H
  M = A • H auf folgende Weise: H M (t, x, u, p, A ) = χ A (t) • H(t, x, u, p) = k s=1 χ As (t) • H s (t, x, u s , p). Theorem 2.3 (Pontrjaginsches Maximumprinzip). Sei x * (•), u * (•), A * ∈ A M adm ∩ A M Lip . Ist x * (•), u * (•), A * ein starkes lokales Minimum der Aufgabe (2.2)-(2.4), dann existiert eine Vektorfunktion p(•) ∈ P C 1 ([t 0 , t 1 ], R n ) derart, dass (a) die adjungierte Gleichung ṗ(t) = −H M x t, x * (t), u * (t), p(t), A * , (2.5) (b) in t = t 1 die Transversalitätsbedingung p(t 1 ) = 0 (2.6) (c) und in fast allen Punkten t ∈ [t 0 , t 1 ] die Maximumbedingung H M t, x * (t), u * (t), p(t), A * = max s∈{1,...,k} max us∈Us H s t, x * (t), u s , p(t) (2.7)
  erfüllt sind.
  Beispiel 2.4. Wir untersuchen ein Investitionsmodell, dass sich aus dem linearen und dem konkaven Beispielen 1.4 und 1.5 zusammensetzt:
  J x(•), u(•), A = T 0 χ A (t) • f t, x(t), u(t) dt → sup, ẋ(t) = χ A (t) • φ t, x(t), u(t) , x(0) = x 0 > 0, u(t) ∈ [0, 1] × [0, 1], A = {A 1 , A 2 } ∈ Z 2 ([0, T ]).          (2.8)
  In den einzelnen Steuerungssystemen sind
  f 1 (t, x, u 1 ) = (1 − u 1 )x, φ 1 (t, x, u 1 ) = u 1 x, f 2 (t, x, u 2 ) = (1 − u 2 )x α , φ 2 (t, x, u 2 ) = u 2 x α , U 1 = U 2 = [0, 1]
  und es gelten für die Modellparameter
  α ∈ (0, 1) konstant, T fest mit T > max 1, x 1−α 0 α .
  Da U 1 = U 2 ist, unterscheiden wir nicht zwischen den Steuervariablen u 1 = u 2 und schreiben u. Wir wenden Theorem 2.3 an. Es gilt nach (2.7):
  H M t, x * (t), u * (t), p(t), A * = max s∈{1,2} H s t, x * (t), u * (t), p(t) = max s∈{1,2} max u∈[0,1] p(t) − 1 u + 1 • x * (t), max u∈[0,1] p(t) − 1 u + 1 • x α * (t) .
  Dies können wir weiterhin in die Form max
  u∈[0,1] p(t) − 1 u • max s∈{1,2} {x * (t), x α * (t)}
  bringen. Daraus erhalten wir für die optimale Investitionsrate und Wechselstrategie
  u * (t) = 1, p(t) < 1, 0, p(t) > 1, χ A * (t) = (1, 0), x * (t) > 1, (0, 1), 0 < x * (t) < 1.
  Die Funktion p(•) ist die Lösung der adjungierten Gleichung (2.5):
  ṗ(t) = − p(t) − 1 u * (t) + 1 , t ∈ A 1 , − p(t) − 1 u * (t) + 1 • αx α−1 * (t), t ∈ A 2 , p(T ) = 0.
  Betrachten wir die einzelnen Steuerungssysteme, so sind nach den Beispielen 1.4 und 1.5 durch
  τ 1 = T − 1 bzw. τ 2 = αT − x 1−α 0
  die Zeitpunkte für den optimalen Wechsel von vollständiger Investition in komplette Kosumption gegeben. Außerdem ist für die Lösung
  x(•) der Differentiagleichung ẋ(t) = x α (t) mit x 0 ∈ (0, 1) der Zeitpunkt σ, in dem x(σ) = 1 gilt, durch σ = 1−x 1−α 0 1−α bestimmt. Im Weiteren seien also τ 1 = T − 1, τ 2 = αT − x 1−α 0 , σ = 1 − x 1−α 0 1 − α .
  Wir diskutieren die möglichen Szenarien:
  (a) Sei x 0 ≥ 1: In diesem Fall lautet der Kandidat 
  x * (t) = x 0 • e t , t ∈ [0, τ 1 ), x 0 • e τ 1 , t ∈ [τ 1 , T ], u * (t) = 1, t ∈ [0, τ 1 ), 0, t ∈ [τ 1 , T ], χ A * (t) = (1, 0), J x * (•), u * (•), A * = x 0 • e τ 1 . (b) Seien x 0 < 1 und T < 1−αx 1−α 0 α(1−α) : Dann ist τ 2 < σ und der Kandidat lautet y * (t) = (1 − α)t + x 1−α 0 1 1−α , t ∈ [0, τ 2 ), α(1 − α)T + αx 1−α 0 1 1−α , t ∈ [τ 2 , T ], v * (t) = 1, t ∈ [0, τ 2 ), 0, t ∈ [τ 2 , T ], χ B * (t) = (0, 1), J y * (•), v * (•), B * = α α 1−α • (1 − α)T + x 1−α 0 1 1−α . (c) Seien x 0 < 1 und T > 1−αx 1−α 0 α(1−α) : Dann ist σ < τ 1 und wir erhalten den Kandidaten z * (t) =      (1 − α)t + x 1−α 0 1 1−α , t ∈ [0, σ), e t−σ , t ∈ [σ, τ 1 ), e τ 1 −σ , t ∈ [τ 1 , T ], w * (t) = 1, t ∈ [0, τ 1 ), 0, t ∈ [τ 1 , T ], χ C * (t) = (0, 1), t ∈ [0, σ), (1, 0), t ∈ [σ, T ], J z * (•), w * (•), C * = e τ 1 −σ . (d) Seien x 0 < 1 und T = 1−αx 1−α 0 α(1−α) : Wegen σ = τ 2 sind alle Bedingungen von Theorem 2.7 für die Multiprozesse y * (•), v * (•), B * und z * (•), w * (•), C * erfüllt. Sei n 0 ∈ N mit n 0 > α/(1 − α). Für n ≥ n 0 betrachten wir die Steuerungen v n (t) = v * (t) + χ [σ,σ+ 1 n ) (t) • w * (t) − v * (t) , χ Bn (t) = χ C * (t)J y n (•), v n (•), B n − J y * (•), v * (•), B * = e 1 n T − σ − 1 n − (T − σ) > 1 + 1 n 1 α − 1 n − 1 α = 1 n 1 α − 1 − 1 n > 0 für alle n ≥ n 0 . Daher stellt y * (•), v * (•), B * in diesem* (•) und χ A * (•). Weiterhin seien v = (v 1 , ..., v k ) ∈ U = U 1 × ... × U k , s ∈ {1, ..., k} fest gewählt und es bezeichne A (s) ∈ Z k ([t 0 , t 1 ]) diejenige Zerlegung, für die A s (s) = [t 0 , t 1 ] ist. Damit definieren wir die einfachen Nadelvariationen u λ (•), χ A λ (•) durch u λ (t) = u * (t) für t ̸ ∈ [τ − λ, τ ), v für t ∈ [τ − λ, τ ), χ A λ (t) = χ A * (t) für t ̸ ∈ [τ − λ, τ ), χ A(s) (t) für t ∈ [τ − λ, τ ). Dabei wählt χ A λ (•) über [τ − λ, τ ) von den gegebenen Steuerungssystemen dasjenige zum Index s ∈ {1, ..., k} aus. Weiter sei x λ (•) die eindeutige Lösung der Gleichung ẋλ (t) = χ A λ (t) • φ t, x(t), u λ (t) , x(t 0 ) = x 0 . Für t ≥ τ untersuchen wir den Grenzwert y(t) = lim λ→0 + x λ (t) − x * (t) λ . Auf die gleiche Weise wie im Abschnitt 1.2 zeigt sich, dass dieser Grenzwert für alle t ∈ [τ, t 1 ] existiert, in t = τ die Gleichung y(τ ) = χ A λ (τ ) • φ τ, x * (τ ), u λ (τ ) − χ A * (τ ) • φ τ, x * (τ ), u * (τ ) gilt und ferner y(t) über [τ, t 1 ] der Integralgleichung y(t) = y(τ ) + t τ χ A * (s) • φ x s, x * (s), u * (s) y(s) ds genügt. Weiterhin ergibt sich die Beziehung ⟨p(τ ), y(τ )⟩ = − t 1 τ χ A * (t) • f x t, x * (t), u * (t) , y(t) dt.
  Abschließend zeigt sich 0 ≤ lim 
  λ→0 + J x λ (•), u λ (•), A λ − J x * (•), u * (•), A * λ = χ A λ (τ ) • f τ, x * (τ ), u λ (τ ) − χ A * (τ ) • f τ, x * (τ ), u * (τ ) + t 1 τ χ A * (t) • f x t, x * (t), u * (t) , y(t) dt = χ A λ (τ ) • f τ, x * (τ ), u λ (τ ) − χ A * (τ ) • f τ, x * (τ ), u * (τ ) − p(τ ), χ A λ (τ ) • φ τ, x * (τ ), u λ (τ ) − χ A * (τ ) • φ τ, x * (τ ), u * (τ ) ,(•), u * (•), A * ∈ A M adm ∩ A M Lip und es sei p(•) ∈ P C 1 ([t 0 , t 1 ], R n ). Ferner gelte: (a) Das Quadrupel x * (•), u * (•), A * , p(•) erfüllt (2.5)-(2.7) in Theorem 2.3. (b) Für jedes t ∈ [t 0 , t 1 ] ist die Funktion H M t, x, p(t) konkav in x auf V γ (t). Dann ist x * (•), u * (•),⟨a(t), x − x * (t)⟩ ≥ −H M t, x * (t), p(t) + H M t, x, p(t) , ⟨ ṗ(t), x − x * (t)⟩ ≤ H M t, x * (t), p(t) − H M t, x, p(t) . Es sei x(•), u(•), A ∈ A M adm mit ∥x(•) − x * (•)∥ ∞ < γ. Dann erhalten wir J x(•), u(•), A − J x * (•), u * (•), A * = t 1 t 0 χ A (t) • f t, x(t), u(t) − χ A * (t) • f t, x * (t), u * (t) dt ≥ t 1 t 0 H M t, x * (t), p(t) − H M t, x(t), p(t) dt + t 1 t 0 ⟨p(t), ẋ(t) − ẋ * (t)⟩dt ≥ t 1 t 0 ⟨ ṗ(t), x(t) − x * (t)⟩ + ⟨p(t), ẋ(t) − ẋ * (t)⟩ dt = ⟨p(t 1 ), x(t 1 ) − x * (t 1 )⟩ − ⟨p(t 0 ), x(t 0 ) − x * (t 0 )⟩. Mit p(t 1 ) = 0 und x(t 0 ) = x * (t 0 ) = x 0 ergibt sich J x(•), u(•), A − J x * (•), u * (•), A * ≥ 0 für alle x(•), u(•), A ∈ A M adm mit ∥x(•) − x * (•)∥ ∞ < γ. ■ Die AufgabeH 1 (t, x, u 1 , p) = [(p − 1)u 1 + 1] • x, H 2 (t, x, u 2 , p) = [(p − 1)u 2 + 1] • x α .
  Wegen u 1 , u 2 ∈ [0, 1] beachten wir nur eine Steuervariable u. Dies führt zu der Hamilton-Funktion H M (t, x, p) = max
  us∈[0,1] s∈{1,2} H s (t, x, u s , p) = max{p, 1} • max{x, x α },
  welche die Funktion 
  f (x) = max{p, 1} • x α , x ∈ (0, 1), x, x ≥ 1, enthält, die in x = 1 nicht konkav ist. Damit ist die Hamilton-Funktion H M t,
  Aufgaben mit unendlichem Zeithorizont
  T 0 e −ϱt 1 − u(t) x(t) dt → sup, ẋ(t) = u(t)x(t), x(0) = 1, u(t) ∈ [0, 1], ϱ ∈ (0, 1).
  Für jedes feste T > − ln(1−ϱ)/ϱ erhalten wir mit den gleichen Argumenten wie im Beispiel 1.4 den global optimalen Steuerungsprozess
  x T * (t) = e t , t ∈ [0, τ ), e τ , t ∈ [τ, T ], u T * (t) = 1, t ∈ [0, τ ), 0, t ∈ [τ, T ], τ = T + ln(1 − ϱ) ϱ .
  Betrachten wir den Grenzübergang T → ∞, dann konvergiert die Familie
  x T * (•), u T * (•) , T ∈ R + , punktweise gegen den Steuerungsprozess x * (t) = e t , u * (t) = 1, t ∈ R + .
  Dieses 
  H(t, x, u, p, λ 0 ) = ⟨p, φ(t, x, u)⟩ − λ 0 f (t, x, u)
  mit dem zusätzlichen Faktor λ 0 ∈ R. In diesem Fall liefert das Pontrjaginsche Maximumprinzip für die Aufgabe ohne Terminalfunktional S die Existenz nichttrivialer Multiplikatoren λ 0 ≥ 0 und p(•) 
  ∈ P C 1 ([t 0 , t 1 ], R n ) derart, dass die adjungierte Gleichung ṗ(t) = −φ T x t,u(t) 1 − x(t) dt → sup, ẋ(t) = u(t) 1 − x(t) , x(0) = 0, u ∈ [0, ∞).(t) = −p(t) + λ 0 e −ϱt ⇒ p(t) = p(0) − λ 0 1 − ϱ e −t + λ 0 1 − ϱ e −ϱt ,u p(t) + λ 0 e −ϱt = max u∈[0,1] u • p(0) − λ 0 1 − ϱ e −t + 2 − ϱ 1 − ϱ λ 0 e −ϱt .
  Wäre nun λ 0 > 0, so fällt wegen ϱ ∈ (0, 1) der Ausdruck in der eckigen Klammer für alle hinreichend große t positiv aus, und u * (t) ≡ 0 kann nicht der Maximumbedingung für fast alle t ≥ 0 genügen. Deswegen muss der anormale Fall der notwendigen Optimalitätsbedingungen mit λ 0 = 0 eintreten. □
  Unsere Untersuchungen der elementaren Aufgaben auf starke lokale Optimalstellen basieren auf der einfachen Nadelvariation
  u(t; v, τ, λ) = u λ (t) = u * (t) für t ̸ ∈ [τ − λ, τ ), v für t ∈ [τ − λ, τ ), v ∈ U.
  Im Vergleich zum endlichen Zeitintervall ist die Variation mittels u λ (•) nicht in jedem Fall möglich. Zur Veranschaulichung betrachten wir die Dynamik 
  ẋ(t) = x(t) + x 2 (t) + u(t), x(0) = 0, u(t) ∈ U = [0, ∞).
  Die Aufgabe mit unendlichem Zeithorizont besitzt die Gestalt 
  J x(•), u(•) = ∞ 0 e −ϱt f t, x(t), u(t) dt → inf,(3.1)ẋ(t) = φ t, x(t), u(t) , x(0) = x 0 ,(3.2)u(t) ∈ U ⊆ R m , U ̸ = ∅, ϱ > 0. (3(t, x, u) ∈ R × R n × R m mit 0 ≤ t < ∞, ∥x − x(t)∥ < γ und u ∈ U 1 beschränkt, stetig in der Gesamtheit aller Variablen und stetig differenzierbar bezüglich x mit beschränkten Ableitungen f x (t, x, u), φ x (t, x, u) sind. Das Paar x(•), u(•) ∈ P C 1 ([0, ∞), R n ) × P C([0, ∞), U ) heißtU : R × R n × R m × R n → R die Pontrjagin- Funktion H U (t, x, u, p) = ⟨p, φ(t, x, u)⟩ − e −ϱt f (t, x, u). Theorem 3.4 (Pontrjaginsches Maximumprinzip). Sei x * (•), u * (•) ∈ A U adm ∩A U Lip ∩A U lim . Ist x * (•), u * (•) ein starkes lokales Minimum der Aufgabe (3.1)-(3.3), dann existiert eine Vektorfunktion p(•) ∈ P C 1 ([0, ∞), R n ) derart, dass (a) die adjungierte Gleichung ṗ(t) = −H U x t, x * (t), u * (t), p(t) ,(3.5)y(t) = y(τ ) + t τ φ x s, x * (s), u * (s) y(s) ds, t ∈ [0, ∞),(3.8)für jedes τ ∈ [0, ∞) und jedes y(τ ) ∈ R n eine eindeutige Lösung, da t → φ x t, x * (t), u * (t) über [0, ∞) integrierbar ist.
  Wir verwenden wieder die Nadelvariation des Beweises in Abschnitt 1.2:
  u(t; v, τ, λ) = u λ (t) = u * (t) für t ̸ ∈ [τ − λ, τ ), v für t ∈ [τ − λ, τ )
  und es bezeichne x λ (•), x λ (t) = x(t; v, τ, λ), die eindeutige Lösung der Gleichung ẋ(t) = φ t, x(t), u λ (t) , x(t 0 ) = x 0 .
  Wir wählen T ∈ (τ, ∞). Mit den gleichen Argumenten wie in Abschnitt 1.2 folgt, dass für t ∈ [τ, T ] der Grenzwert y(t; T ) = lim 
  λ→0 + J x λ (•), u λ (•) − J x * (•), u * (•) λ = e −ϱτ f τ, x * (τ ), v − f τ, x * (τ ), u * (τ ) + ∞ τ e −ϱt f x t,p(τ ) , φ τ, x * (τ ), v − e −ϱτ f τ, x * (τ ), v ≤ p(τ ) , φ τ, x * (τ ), u * (τ ) − e −ϱτ f τ, x * (τ ), u * (τ ) .
  Da τ als ein Stetigkeitspunkt von u * (•) und v ∈ U willkürlich ausgewählt wurden, folgt die Gültigkeit der Maximumbedingung (3.7). ■
  Ein Fischerei-Differentialspiel
  Wir betrachten nach Dockner et al. das Differentialspiel Ji
  x(•), u 1 (•), u 2 (•) = ∞ 0 e −ϱt px(t) − c i u i (t) dt → sup, ẋ(t) = e −δt x(t) α − r ln x(t) − u 1 (t)x(t) − u 2 (t)x(t) , x(0) = x 0 > 0, u i > 0, α, c i , p, r, ϱ, δ > 0, α > 1 c 1 +c 2 , i = 1, 2.         
  Im Vergleich zu haben wir den Faktor e −δt in der Dynamik hinzugefügt, um die Stabilität des dynamischen Systems gemäß der Bedingungen (3.4) zu sichern. In dieser Aufgabe sei der Preis p nicht konstant, sondern umgekehrt proportional zum Angebot u 1 x + u 2 x:
  p = 1 u 1 x + u 2 x , px = 1 u 1 + u 2 .
  Dieser Ansatz spiegelt die Ökonomie einer "Eskimo"-Gesellschaft wider, in welcher der Fischbestand die wichtigste Nahrungsgrundlage darstellt und kein echtes Ersatzprodukt existiert. Unter diesen Umständen führt eine prozentuale Preissteigerung zu einem Umsatzrückgang in gleicher Relation.
  Wenden wir die Transformation z = ln x an, so gilt
  ż(t) = d dt ln x(t) = ẋ(t) x(t) = e −δt α−r ln x(t)−u 1 (t)−u 2 (t) = e −δt α−rz(t)−u 1 (t)−u 2 (t)
  und wir erhalten das Spielproblem
  J i z(•), u 1 (•), u 2 (•) = ∞ 0 e −ϱt 1 u 1 (t) + u 2 (t) − c i u i (t) dt → sup, ż(t) = e −δt − rz(t) + α − u 1 (t) − u 2 (t) , z(0) = ln x 0 > 0, u i > 0, α, c i , p, r, ϱ > 0, α > 1 c 1 +c 2 , i = 1, 2.          Ein zulässiger Steuerungsprozess z * (•), u * 1 (•), u * 2 (•) ist ein Nash-Gleichgewicht des Spiels, falls für alle anderen zulässigen Steuerungsprozesse z(•), u 1 (•), u * 2 (•) , z(•), u * 1 (•), u 2 (•) die Ungleichungen J 1 z * (•), u * 1 (•), u * 2 (•) ≥ J 1 z(•), u 1 (•), u * 2 (•) J 2 z * (•), u * 1 (•), u * 2 (•) ≥ J 2 z(•), u * 1 (•), u 2 (•)
  gelten. Halten wir die optimale Strategie des Gegenspielers fest, dann ergeben sich für i, j ∈ {1, 2}, i ̸ = j, folgende miteinander gekoppelte Steuerungsprobleme:
  J i z(•), u i (•), u * j (•) = ∞ 0 e −ϱt 1 u i (t) + u * j (t) − c i u i (t) dt → sup, ż(t) = e −δt − rz(t) + α − u i (t) − u * j (t) , z(0) = ln x 0 > 0, u i > 0.
     Die zulässigen Steuerungen gehören dem Raum P C([0, ∞), U ) an. Deshalb sind im Ansatz des Nash-Gleichgewichtes die Abbildungen
  f i (t, z, u i ) = e −ϱt 1 u i + u * j (t) − c i u i , φ i (t, z, u i ) = e −δt [−rz + α − u i − u * j (t)]
  nicht stetig bezüglich der Variable t. An dieser Stelle verweisen auf die Bemerkungen in der Analyse des Kapitalismusspiels in Abschnitt 1.7, dass unter diesen Rahmenbedingungen Theorem 3.4 seine Gültigkeit behält.
  Die Pontrjagin-Funktionen lauten
  H U 1 (t, z, u 1 , p 1 ) = p 1 e −δt − rz + α − u 1 − u * 2 (t) + e −ϱt 1 u 1 + u * 2 (t) − c 1 u 1 , H U 2 (t, z, u 2 , p 2 ) = p 2 e −δt − rz + α − u * 1 (t) − u 2 + e −ϱt 1 u * 1 (t) + u 2 − c 2 u 2 .
  Mit Lemma B.7 ergibt sich die eindeutige Lösung der adjungierten Gleichung (3.5):
  ṗi (t) = re −δt p i (t), lim t→∞ p i (t) = 0, ⇒ p i (t) ≡ 0.
  Die Maximumbedingung (3.6) liefert das Gleichungssystem
  ∂ ∂u i H U i t, z * (t), u * i (t), p i (t) = 0 ⇒ 1 u * 1 (t) + u * 2 (t) − u * i (t) u * 1 (t) + u * 2 (t) 2 = c i , i = 1, 2.
  Aus der Summe beider Gleichungen ergibt sich
  2 u * 1 (t) + u * 2 (t) − u * 1 (t) + u * 2 (t) u * 1 (t) + u * 2 (t) 2 = 1 u * 1 (t) + u * 2 (t) = c 1 + c 2
  und wir erhalten die optimalen Steuerungen
  u * 1 (t) ≡ c 2 (c 1 + c 2 ) 2 , u * 2 (t) ≡ c 1 (c 1 + c 2 ) 2 .
  Die optimale Trajektorie besitzt die Gestalt
  z * (t) = z 0 − c 0 r exp r δ (e −δt − 1) + c 0 r , c 0 = α − 1 c 1 + c 2 .
  Für diese gilt im Unendlichen
  z ∞ = lim t→∞ z * (t) = z 0 − c 0 r e − r δ + c 0 r = z 0 e − r δ + α − 1 c 1 + c 2 (1 − e − r δ ) > 0.
  Die Funktion z * (•) ist streng monoton und nimmt nur Werte zwischen z 0 und z ∞ an. 
  Für t ∈ [0, ∞) sei wieder V γ (t) = {x ∈ R n | ∥x − x * (t)∥ < γ}. Außerdem bezeichnet H U die Hamilton-Funktion H U (t, x, p) = sup u∈U H U (t, x, u, p).
  Theorem 3.6. In der Aufgabe (3.1)- 
  (3.3) sei x * (•), u * (•) ∈ A U adm ∩ A U Lip und es sei p(•) ∈ P C 1 ([0, ∞), R n ).t ∈ [0, ∞) ist die Funktion H U t, x, p(t) konkav in x auf V γ (t).≥ T 0 H U t, x * (t), p(t) − H U t, x(t), p(t) dt + T 0 ⟨p(t), ẋ(t) − ẋ * (t)⟩ dt ≥ ⟨p(T ), x(T ) − x * (T )⟩ − ⟨p(0), x(0) − x * (0)⟩. Im Anfangszeitpunkt t = 0 gelten x(0) = x * (0) = x 0 . Für T → ∞ sind die Trajektorien x(•), x * (•) ∈ P C 1 ([0, ∞), R n ) beschränkt und es gilt p(T ) → 0 nach der Transversalitäts- bedingung (3.6). Daher folgt die Beziehung J x(•), u(•) − J x * (•), u * (•) = lim T →∞ T 0 e −ϱt f t, x(t), u(t) − f t, x * (t), u * (t) dt ≥ lim T →∞ ⟨p(T ), x(T ) − x * (T )⟩ − ⟨p(0), x(0) − x * (0)⟩ = 0 für alle zulässigen x(•), u(•) mit ∥x(•) − x * (•)∥ ∞ < γ. ■ Beispiel 3.7.
  In der Aufgabe eines linear-quadratischen Reglers, Die charakteristische Gleichung der Differentialgleichung für x(•) besitzt die Eigenwerte
  J x(•), u(•) = 1 2 ∞ 0 e −t • x(t) − 1 2 + u 2 (t) dt → inf, ẋ(t) = x(t) + u(t), x(0) = 0, u(t) ∈ R,    (3.λ 1 = 1 − √ 5 2 , λ 2 = 1 + √ 5 2
  Damit ergeben sich die Funktionen
  x(t) = c 1 e λ 1 t + c 2 e λ 2 t + 1, p(t) = (λ 1 − 1)c 1 e (λ 1 −1)t + (λ 2 − 1)c 2 e (λ 2 −1)t − e −t .
  Aufgrund der Transversalitätsbedingung p(t) → 0 für t → ∞ gilt c 2 = 0. Damit führt die Anfangsbedingung x(0) = 0 zu c 1 = −1. Wir erhalten das zulässige Tripel 
  x * (t) = 1 − e λ 1 t , u * (t) = (1 − λ 1 )e λ 1 t − 1, p(t) = (1 − λ 1 )e (λ 1 −1)t − e −t ,J x(•), u(•) = 1 2 ∞ 0 e −t • x(t) − cos t 2 + u 2 (t) dt → inf, ẋ(t) = x(t) + u(t), x(0) = 0, u(t) ∈ R.    (3.11)
  Die Pontrjagin-Funktion der Aufgabe 3.11 lautet
  H U (t, x, u, p) = p(x + u) − 1 2 e −t (x − cos t) 2 + u 2 .
  Damit ist wie im vorgehenden Beispiel die Hamilton-Funktion 
  H U (t, x, p) = sup u∈U p(x + u) − 1 2 e −t (
  Die Aufgabe eines verzögerten Steuerungsproblems besitzt die Form 
  J x(•), u(•) = t 1 t 0 f t, x(t), x(t − ∆), u(t), u(t − ∆) dt + S x(t 1 ) → inf, (4.1) ẋ(t) = φ t, x(t), x(t − ∆), u(t), u(t − ∆) , x(t) = x 0 für t ∈ [t 0 − ∆, t 0 ], (4.2) u(t) ∈ U ⊆ R m , u(t) = u 0 ∈ U für t ∈ [t 0 − ∆, t 0 ), U ̸ = ∅. (4f = f (t, x, y, u, v) : R × R n × R n × R m × R m → R, φ = φ(t, x, y, u, v) : R × R n × R n × R m × R m → R n .
  Bei 
  x(•), u(•) ∈ P C 1 ([t 0 , t 1 ], R n ) × P C([t 0 , t 1 ], U ).
  Mit A Z Lip bezeichnen wir die Menge aller Paare x(•), u(•) , für die es ein γ > 0 derart gibt, dass die Abbildungen f (t, x, y, u, v), φ(t, x, y, u, v) auf der Menge aller Punkte 
  (t, x, y, u, v) ∈ R × R n × R n × R m × R m mit t ∈ [t 0 , t 1 ], ∥x − x(t)∥ < γ, ∥y − x(t − δ)∥ < γ, u, v ∈ R mJ x(•), u(•) ≥ J x * (•), u * (•) für alle x(•), u(•) ∈ A Z adm mit ∥x(•) − x * (•)∥ ∞ < ε gilt. Es bezeichnet H Z : R × R n × R n × R m × R m × R n → R die Pontrjagin-Funktion H Z (t, x, y, u, v, p) = ⟨p, φ(t, x, y, u, v)⟩ − f (t, x, y, u, v).
  Weiterhin führen wir die folgenden abkürzenden Bezeichnungen ein: 
  H Z [t] = H Z t, x * (t), x * (t − ∆), u * (t), u * (t − ∆), p(t) , H Z [t, u, v] = H Z t, x * (t), x * (t − ∆), u, v, p(t) .P C 1 ([t 0 , t 1 ], R n ) derart, dass (a) fast überall in [t 0 , t 1 ] die adjungierte Gleichung ṗ(t) = −H Z x [t] − χ [t 0 ,t 1 −∆] (t) • H Z y [t + ∆], (4.4) (b) in t = t 1 die Transversalitätsbedingung p(t 1 ) = −S ′ x * (t 1 ) (4.5) (c) und in fast allen Punkten t ∈ [t 0 , t 1 ] die Maximumbedingung H Z [t, u * (t), u * (t − ∆)] + χ [t 0 ,t 1 −∆] (t) • H Z [t + ∆, u * (t + ∆), u * (t)] = max u∈U H Z [t, u, u * (t − ∆)] + χ [t 0 ,t 1 −∆] (t) • H Z [t + ∆, u * (t + ∆), u] (4.6)
  In Theorem 4.1 sind die Bedingungen kompakt formuliert. Die adjungierte Gleichung (4.4) besitzt ausführlich aufgeschrieben die Gestalt 
  ṗ(t) = −φ T x t, x * (t), x * (t − ∆), u * (t), u * (t − ∆) p(t) +f x t, x * (t), x * (t − ∆), u * (t), u * (t − ∆) +χ [t 0 ,t 1 −∆] (t) • − φ T y t + ∆, x * (t + ∆), x * (t), u * (t + ∆), u * (t) p(t + ∆) +f y t + ∆, x * (t + ∆), x * (t), u * (t + ∆), u * (tφ t, x * (t), x * (t − ∆), u * (t), u * (t − ∆) , p(t) f t, x * (t), x * (t − ∆), u * (t), u * (t − ∆) +χ [t 0 ,t 1 −∆] (t) • φ t + ∆, x * (t + ∆), x * (t), u * (t + ∆), u * (t) , p(t + ∆) −f t + ∆, x * (t + ∆), x * (t), u * (t + ∆), u * (t) = max u∈U φ t, x * (t), x * (t − ∆), u, u * (t − ∆) , p(t) f t, x * (t), x * (t − ∆), u, u * (t − ∆) +χ [t 0 ,t 1 −∆] (t) • φ t + ∆, x * (t + ∆), x * (t), u * (t + ∆), u , p(t + ∆) −f t + ∆, x * (t + ∆), x * (t), u * (t + ∆), u .
  Beispiel 4.2. In Anlehnung an Beispiel 1.4 betrachten wir eine Aufgabe, in welcher sich die Investitionen mit der Verzögerung von einer Zeiteinheit ∆ = 1 auf den Kapitalbestand auswirken. Es ergibt sich das Investitionsmodell
  J K(•), u(•) = T 0 1 − u(t) • K(t) dt → sup, (4.7) K(t) = u(t − 1) • K(t − 1), K(0) = K 0 > 0, (4.8) u(t) ∈ [0, 1] für t ∈ [0, T ], u(t) = 0 für t ∈ [−1, 0), T > 2 fest. (4.9)
  In der Aufgabe (4.7)-(4.9) verwenden wir für K(t), K(t − 1), u(t), u(t − 1) die Variablenbezeichnungen K, L, u, v. Damit lauten die Abbildungen der Aufgabe
  f (t, K, L, u, v) = −(1 − u) • K, φ(t, K, L, u, v) = v • L und die Pontrjaginsche Funktion H Z (t, K, L, u, v, p) = pvL + (1 − u)K. Die Maximumbedingung (4.6) besitzt die Form max u∈U H Z [t, u, u * (t − 1)] + χ [0,T −1] (t) • H Z [t + 1, u * (t + 1), u] = max u∈[0,1] p(t)u * (t − 1)K * (t − 1) + (1 − u)K * (t) +χ [0,T −1] (t) • p(t + 1)uK * (t) + 1 − u * (t + 1) K * (t + 1)
  und ist äquivalent zu folgenden Maximierungen über Teilabschnitte: In der Aufgabe (4.7)-(4.9) mit verzögerten Investitionen konnten wir die Steuerung
  max u∈[0,1] u p(t + 1) − 1 K * (t), t ∈ [0, T − 1], −uK * (t), t ∈ [T − 1, T ]. (4.10) Die adjungierte Gleichung (4.4) erhält die Gestalt ṗ(t) = −H Z K [t] − χ [0,T −1] (t) • H Z L [t + 1] = − 1 − u * (t) − χ [0,T −1] (t) • p(t + 1)u * (t) und lautet abschnittsweise ṗ(t) = − 1 − u * (t) − p(t + 1)u * (t), t ∈ (0, T − 1), − 1 − u * (t) , t ∈ (T − 1, T ), (4u * (t) =    0, t ∈ [−1, 0), 1, t ∈ [0, T − 2), 0, t ∈ [T − 2, T ],
  ermitteln. Mit dieser ergeben sich für den Kaptialbestand und für die Adjungierte die dynamischen Entwicklungen
  K * (t) =    0, t ∈ (0, 1), K * (t − 1), t ∈ (1, T − 1), 0, t ∈ (T − 1, T ), ṗ(t) = −p(t + 1), t ∈ (0, T − 2), −1, t ∈ (T − 2, T ).
  Zusammen mit K(0) = K 0 und p(T ) = 0 führt dies abschnittsweise auf die Darstellungen
  K * (t) =              K 0 , t ∈ [0, 1), K 0 + K 0 (t − 1), t ∈ [1, 2), 2K 0 + K 0 (t − 2) + 1 2 K 0 (t − 1) 2 − 1 , t ∈ [2, 3), . . . K * (T − 1), t ∈ [T − 1, T ], p(t) =      . . . 2 + 1 2 T − (t + 1) 2 − 1 , t ∈ [T − 3, T − 2), T − t, t ∈ [T − 2, T ].
  Aufgrund der abschnittsweise rekursiven Bildung des optimalen Kapitalbestandes K * (•) verzichten wir an dieser Stelle auf die Berechnung des Optimalwertes. □
  Im Zuge des Beweises gelangen wir zu Ausdrücken, welche Verzögerungen in verschiedene Zeitrichtungen aufweisen. Mit der Substitution t = s + ∆ gilt Für λ < ∆ betrachten wir wieder die einfache Nadelvariation
  f (t)g(t − ∆) = f (s + ∆)g(s) und es ergibt sich b a χ [c+∆,d] (t) • f (t)g(t − ∆) dt = b a χ [c,d−∆] (t) • f (t + ∆)g(t) dt. (4u(t; v, τ, λ) = u λ (t) = u * (t) für t ̸ ∈ [τ − λ, τ ), v für t ∈ [τ − λ, τ ),
  und untersuchen für t ≥ τ den Grenzwert (vgl. Abschnitt 1.2) 
  y(t) = lim λ→0 + x λ (t) − x * (t) λ . (41 λ τ τ −λ χ [t 0 ,t] (s) • φ s, x λ (s), x * (s − ∆), v, u * (s − ∆) −φ s, x * (s), x * (s − ∆), u * (s), u * (s − ∆) ds + 1 λ τ +∆−λ τ χ [t 0 ,t] (s) • φ s, x λ (s), x * (s − ∆), u * (s), u * (s − ∆) −φ s, x * (s), x * (s − ∆), u * (s), u * (s − ∆) ds + 1 λ τ +∆ τ +∆−λ χ [t 0 ,t] (s) • φ s, x λ (s), x * (s − ∆), u * (s), v −φ s, x * (s), x * (s − ∆), u * (s), u * (s − ∆) ds + 1 λ t 1 τ +∆ χ [t 0 ,t] (s) • φ s, x λ (s), x λ (s − ∆), u * (s), u * (s − ∆) −φ s, x * (s), x * (s − ∆), u * (s), u * (s − ∆) ds.
  Wir erweitern diese Summe um die Terme
  ± 1 λ τ +∆ τ +∆−λ χ [t 0 ,t] (s) • φ s, x λ (s), x * (s − ∆), u * (s), u * (s − ∆) ds,
  formen damit den zweiten und dritten Summanden um und bringen die gesamte Summe in die Gestalt
  1 λ τ τ −λ χ [t 0 ,t] (s) • φ s, x λ (s), x * (s − ∆), v, u * (s − ∆) −φ s, x * (s), x * (s − ∆), u * (s), u * (s − ∆) ds + 1 λ τ +∆ τ χ [t 0 ,t] (s) • φ s, x λ (s), x * (s − ∆), u * (s), u * (s − ∆) −φ s, x * (s), x * (s − ∆), u * (s), u * (s − ∆) ds + 1 λ τ +∆ τ +∆−λ χ [t 0 ,t] (s) • φ s, x λ (s), x * (s − ∆), u * (s), v −φ s, x λ (s), x * (s − ∆), u * (s), u * (s − ∆) ds + 1 λ t 1 τ +∆ χ [t 0 ,t] (s) • φ s, x λ (s), x λ (s − ∆), u * (s), u * (s − ∆) −φ s, x * (s), x * (s − ∆), u * (s), u * (s − ∆) ds.
  Nun ergänzen wir in dieser Summe die Terme
  ± 1 λ t 1 τ +∆ χ [t 0 ,t] (s) • φ s, x λ (s), x * (s − ∆), u * (s), u * (s − ∆) ds,
  formen damit den zweiten und vierten Summanden um und bringen die Summe in diejenige Form, für die wir den Grenzübergang λ → 0 + bilden wollen:
  1 λ τ τ −λ χ [t 0 ,t] (s) • φ s, x λ (s), x * (s − ∆), v, u * (s − ∆) −φ s, x * (s), x * (s − ∆), u * (s), u * (s − ∆) ds + 1 λ t 1 τ χ [t 0 ,t] (s) • φ s, x λ (s), x * (s − ∆), u * (s), u * (s − ∆) −φ s, x * (s), x * (s − ∆), u * (s), u * (s − ∆) ds + 1 λ τ +∆ τ +∆−λ χ [t 0 ,t] (s) • φ s, x λ (s), x * (s − ∆), u * (s), v −φ s, x λ (s), x * (s − ∆), u * (s), u * (s − ∆) ds + 1 λ t 1 τ +∆ χ [t 0 ,t] (s) • φ s, x λ (s), x λ (s − ∆), u * (s), u * (s − ∆) −φ s, x λ (s), x * (s − ∆), u * (s), u * (s − ∆) ds. (4.14)
  Um uns von den klobigen Ausdrücken der Art (4.14) zu lösen, verwenden wir im Weiteren die Kurzschreibweisen
  φ[t] = φ t, x * (t), x * (t − ∆), u * (t), u * (t − ∆) , φ[t, u, v] = φ t, x * (t), x * (t − ∆), u, v , f [t] = f t, x * (t), x * (t − ∆), u * (t), u * (t − ∆) , f [t, u, v] = f t, x * (t), x * (t − ∆), u, v .
  Mit diesen Schreibweisen ergibt der Grenzübergang λ → 0 + in (4.14): 
  y(t) = φ[τ, v, u * (τ − ∆)] − φ[τ, u * (τ ), u * (τ − ∆)] =y(τ ) + t 1 τ χ [t 0 ,t] (s) • φ x [s]y(s) ds +χ [t 0 ,t] (τ + ∆) • φ[τ + ∆, u * (τ + ∆), v] − φ[τ + ∆, u * (τ + ∆), u * (τ )] =η(τ +∆) + t 1 τ +∆ χ [t 0 ,t] (s) • φ y [s]y(s − ∆) ds.
  Das erste
  ẏ(t) = φ x [t]y(t) + χ [τ +∆,t 1 ] (t) • φ y [t]y(t − ∆), ṗ(t) = −φ T x [t]p(t) + f x [t] + χ [τ,t 1 −∆] (t) • − φ T y [t + ∆]p(t + ∆) + f y [t + ∆] .
  Für die φ−Terme mit Zeitverschiebung ±∆ ergibt sich mit Hilfe von (4.12)
  t 1 τ χ [τ +∆,t 1 ] (t) • p(t), φ y [t]y(t − ∆) dt = t 1 τ χ [τ,t 1 −∆] (t) • φ T y [t + ∆]p(t + ∆), y(t) dt. Da außerdem ⟨−φ T x [t]p(t), y(t)⟩ = −⟨p(t), φ x [t]y(t)⟩ gilt, erhalten wir ⟨p(t 1 ), y(t 1 )⟩ = ⟨p(τ ), y(τ )⟩ + χ [t 0 ,t 1 −∆] (τ ) • ⟨p(τ + ∆), η(τ + ∆)⟩ + t 1 τ d dt ⟨p(t), y(t)⟩ dt = ⟨p(τ ), y(τ )⟩ + χ [t 0 ,t 1 −∆] (τ ) • ⟨p(τ + ∆), η(τ + ∆)⟩ + t 1 τ ⟨f x [t], y(t)⟩ dt + t 1 τ χ [τ,t 1 −∆] (t) • ⟨f y [t + ∆], y(t)⟩ dt.
  Im zweiten Integral ebenso die Umformung (4.12) angewendet liefert dann
  ⟨p(t 1 ), y(t 1 )⟩ = ⟨p(τ ), y(τ )⟩ + χ [t 0 ,t 1 −∆] (τ ) • ⟨p(τ + ∆), η(τ + ∆)⟩ + t 1 τ ⟨f x [t], y(t)⟩ dt + t 1 τ χ [τ +∆,t 1 ] (t) • ⟨f y [t], y(t − ∆)⟩ dt,(4.16
  )
  y(τ ) = φ[τ, v, u * (τ − ∆)] − φ[τ, u * (τ ), u * (τ − ∆)],(4.17)η(τ + ∆) = φ[τ + ∆, u * (τ + ∆), v] − φ[τ + ∆, u * (τ + ∆), u * (τ )].(4.18)
  Die Auswertung der dynamischen Wirkung der Nadelvariation ist (endlich) abgeschlossen und wir kommen zum Abschluss des Beweises: Da x * (•), u * (•) ein starkes lokales Minimum ist, gilt für alle hinreichend kleine λ > 0 die Ungleichung
  0 ≤ J x λ (•), u λ (•) − J x * (•), u * (•) λ .
  Den Quotienten auf der rechten Seite der Ungleichung formen wir auf die gleiche Weise wie zur Herleitung von (4.14) bzw. (4.15) um und erhalten im Grenzübergang λ → 0 + : 
  0 ≤ f [τ, v, u * (τ − ∆)] − f [τ, u * (τ ), u * (τ − ∆)] +χ [t 0 ,t 1 −∆] (τ ) • f [τ + ∆, u * (τ + ∆), v] − f [τ + ∆, u * (τ + ∆), u * (τ )] + t 1 τ ⟨f x [t], y(t)⟩ dt + t 1 τ χ [τ +∆,t 1 ] (t) • ⟨f y [t], y(t − ∆)⟩ dt + S ′ x * (t≤ f [τ, v, u * (τ − ∆)] − f [τ, u * (τ ), u * (τ − ∆)] +χ [t 0 ,t 1 −∆] (τ ) • f [τ + ∆, u * (τ + ∆), v] − f [τ + ∆, u * (τ + ∆), u * (τ )] −⟨p(τ ), y(τ )⟩ − χ [t 0 ,t 1 −∆] (τ ) • ⟨p(τ + ∆), η(τ + ∆)⟩. (4(t) = {x ∈ R n | ∥x − x * (t)∥ < γ} außerdem die Menge U γ (t) = V γ (t) × V γ (t − ∆), U γ (t) = {(x, y) ∈ R n × R n | ∥x − x * (t)∥ < γ, ∥y − x * (t − ∆)∥ < γ}.
  Ferner bezeichnet H Z die Hamilton-Funktion
  H Z (t, x, y, p) = sup u,v∈U H Z t, x, y, u, v, p). Theorem 4.3. In der Aufgabe (4.1)-(4.3) sei x * (•), u * (•) ∈ A Z adm ∩ A Z Lip und es sei p(•) ∈ P C 1 ([t 0 , t 1 ], R n ). Ferner gelte: (a) Das Tripel x * (•), u * (•), p(•) erfüllt (4.4)-(4.6) in Theorem 4.1. (b) Für jedes t ∈ [t 0 , t 1 ] ist die Hamilton-Funktion H Z t, x, y, p(t) konkav auf U γ (t). (c) Die Abbildung S : R n → R im Zielfunktional (4.1) ist konvex in x auf V γ (t 1 ).
  Dann ist x * (•), u * (•) ein starkes lokales Minimum der Aufgabe (4.1)-(4.3).
  Beweis Wie im Abschnitt 1.4 folgt, dass α * = −H Z t, x * (t), x * (t − ∆), p(t) ein Randpunkt der konvexen Menge
  Z = (α, x, y) ∈ R × R n × R n (x, y) ∈ U γ (t), α ≥ −H Z t, x, y, p(t) ist. Daher existiert ein nichttrivialer Vektor a 0 (t), a 1 (t), a 2 (t) ∈ R × R n × R n mit a 0 (t)α + ⟨a 1 (t), x⟩ + ⟨a 2 (t), y⟩ ≥ a 0 (t)α * + ⟨a 1 (t), x * (t)⟩ + ⟨a 2 (t), x * (t − ∆)⟩ für alle (α, x, y) ∈ Z. Wählen wir hierin y = x * (t − ∆), dann ergibt sich aus a 0 (t)α + ⟨a 1 (t), x⟩ ≥ a 0 (t)α * + ⟨a 1 (t), x * (t)⟩
  mit der gleichen Argumentation wie in Abschnitt 1.4, dass wir a 0 (t) = 1 annehmen können und erhalten
  ⟨a 1 (t), x − x * (t)⟩ + ⟨a 2 (t), y − x * (t − ∆)⟩ ≥ H Z t, x, y, p(t) − H Z t, x * (t), x * (t − ∆), p(t) .(4.21)
  Wählen wir in dieser Ungleichung nacheinander einerseits x = x * (t) und andererseits y = x * (t − ∆), so ergeben sich aus (4.21) für alle x ∈ V γ (t) und alle y ∈ V γ (t − ∆) die Relationen
  ⟨a 1 (t), x − x * (t)⟩ ≥ H Z t, x, x * (t − ∆), p(t) − H Z t, x * (t), x * (t − ∆), p(t) , ⟨a 2 (t), y − x * (t − ∆)⟩ ≥ H Z t, x * (t), y, p(t) − H Z t, x * (t), x * (t − ∆), p(t) .
  In der zweiten Ungleichung nehmen wir eine Zeitverschiebung um ∆ vor und überführen den Zeitpunkt t in t + ∆. Damit gehört y der Menge V γ (t) an und wir dürfen nach der Verschiebung y = x ∈ V γ (t) wählen. So ergibt sich für alle x ∈ V γ (t) die Ungleichung
  ⟨a 1 (t) + χ [t 0 ,t 1 −∆] (t) • a 2 (t + ∆), x − x * (t)⟩ ≥ H Z t, x, x * (t − ∆), p(t) − H Z t, x * (t), x * (t − ∆), p(t) +χ [t 0 ,t 1 −∆] (t) • H Z t + ∆, x * (t + ∆), x, p(t + ∆) −H Z t + ∆, x * (t + ∆), x * (t), p(t + ∆) .(4.22)
  Es sei in t ∈ [t 0 , t 1 ] die Maximumbedingung (4.6) erfüllt. Mit Hilfe der Pontrjagin-Funktion können wir die Ungleichung (4.22) weiterführen und erhalten
  ⟨a 1 (t) + χ [t 0 ,t 1 −∆] (t) • a 2 (t + ∆), x − x * (t)⟩ ≥ H Z t, x, x * (t − ∆), u * (t), u * (t − ∆), p(t) − H Z t, x * (t), x * (t − ∆), p(t) +χ [t 0 ,t 1 −∆] (t) • H Z t + ∆, x * (t + ∆), x, u * (t + ∆), u * (t), p(t + ∆) −H Z t + ∆, x * (t + ∆), x * (t), p(t + ∆) = Ψ(x) (4.23)
  für alle x ∈ V γ (t). Mit Hilfe der rechten Seite Ψ(x) von (4.23) bilden wir die Funktion
  Φ(x) = Ψ(x) − ⟨a 1 (t) + χ [t 0 ,t 1 −∆] (t) • a 2 (t + ∆), x − x * (t)⟩,
  welche in dem inneren Punkt x * (t) der Menge V γ (t) ihr globales Maximum annimmt. Also gilt 0 = Φ ′ (x * (t)), d. h.
  −a 1 (t) − χ [t 0 ,t 1 −∆] (t) • a 2 (t + ∆) = −H Z x t, x * (t), x * (t − ∆), u * (t), u * (t − ∆), p(t) −χ [t 0 ,t 1 −∆] (t) • H Z y t + ∆, x * (t + ∆), x * (t), u * (t + ∆), u * (t), p(t + ∆) . (4.24) Die adjungierte Gleichung (4.4) zeigt nun ṗ(t) = −a 1 (t) − χ [t 0 ,t 1 −∆] (t) • a 2 (t + ∆) für fast alle t ∈ [t 0 , t 1 ]. (4.25) Es sei x(•), u(•) ∈ A Z adm mit ∥x(•) − x * (•)∥ ∞ < γ.
  Wir erhalten mit (4.21) und (4.25):
  t 1 t 0 H Z t, x * (t), x * (t − ∆), u * (t), u * (t − ∆), p(t) −H Z t, x(t), x(t − ∆), u(t), u(t − ∆), p(t) dt = t 1 t 0 H Z t, x * (t), x * (t − ∆), p(t) − H Z t, x(t), x(t − ∆), u(t), u(t − ∆), p(t) dt ≥ t 1 t 0 H Z t, x * (t), x * (t − ∆), p(t) − H Z t, x(t), x(t − ∆), p(t) dt ≥ t 1 t 0 ⟨−a 1 (t), x(t) − x * (t)⟩ + ⟨−a 2 (t), x(t − ∆) − x * (t − ∆)⟩ dt = t 1 t 0 ⟨−a 1 (t) − χ [t 0 ,t 1 −∆] (t) • a 2 (t + ∆) = ṗ(t) , x(t) − x * (t)⟩ dt.
  Abschließend können wir festhalten:
  J x(•), u(•) − J x * (•), u * (•) = S x(t 1 ) − S x * (t 1 ) + t 1 t 0 f t, x(t), x(t − ∆), u(t), u(t − ∆) − f t, x * (t), x * (t − ∆), u * (t), u * (t − ∆) dt = t 1 t 0 H Z t, x * (t), x * (t − ∆), u * (t), u * (t − ∆), p(t) −H Z t, x(t), x(t − ∆), u(t), u(t − ∆), p(t) dt + t 1 t 0 ⟨p(t), ẋ(t) − ẋ * (t)⟩dt + S x(t 1 ) − S x * (t 1 ) ≥ t 1 t 0 ⟨ ṗ(t), x(t) − x * (t)⟩ + ⟨p(t), ẋ(t) − ẋ * (t)⟩ dt + S ′ x * (t 1 ) , x(t 1 ) − x * (t 1 ) = ⟨p(t 1 ) + S ′ x * (t 1 ) , x(t 1 ) − x * (t 1 )⟩ − ⟨p(t 0 ), x(t 0 ) − x * (t 0 )⟩ ≥ 0 für alle x(•), u(•) ∈ A Z adm mit ∥x(•) − x * (•)∥ ∞ < γ. ■ Beispiel 4.4. Die Hamilton-Funktion im Beispiel 4.2, H Z (t, K, L, u, v, p) = sup u,v∈[0,1] {pvL + (1 − u)K} = pL + K,
  ist für p, K, L ≥ 0 konkav und die notwendigen Optimalitätsbedingungen sind in diesem Beispiel gleichzeitig hinreichend. □
  Steuerung Volterrascher Integralgleichungen
  Integralgleichungen treten in natürlicher Weise in dynamischen Problemen auf, in denen das System eine Form von "Erinnerungsvermögen" besitzt. Da sich im Rahmen der Standardaufgabe und deren Erweiterungen der Einfluss einer Steuervariable stets unmittelbar auf den Zustand auswirkt, kann ein Effekt, der sich im Laufe der Zeit entwickelt, meist nicht modelliert werden. Hier ist die Beschreibung des dynamischen Systems mit Hilfe einer Integralgleichung ein probates Mittel.
  Ein Effekt über Zeit kann bei der Zusammenstellung der aggregierten Produktionskapazitäten vorliegen. Die Kapazitäten ergeben sich als die gesamten Investitionen in Produktionsanlagen in den vorhergehenden Jahrgängen. Durch Verschleiß, Wartung oder technologischen Fortschritt wird die Produktionsfähigkeit beeinflusst. Zur Zeit t sei die Effizienz der Anlagen des Jahrgangs s ≤ t durch eine Funktion π(t, s) beschrieben. Zum Zeitpunkt t ergeben sich demnach die gesamten vorliegenden Produktionskapazitäten durch
  P (t) = t t 0 π(t, s) ds.
  Im Rahmen der Werbeindustrie wird durch den strategischen Auf-und Ausbau der Produktbekanntheit dem Konsument ein gewisses Produktimage und eine Verbundenheit zu dem Produkt suggeriert. Dabei ist das Management mit der Problemstellung konfrontiert, dass der Bekanntheitsgrad des Produktes durch Werbemaßnahmen über eine gewisse Zeit aufgebaut werden muss. Andererseits lässt die Produktbekanntheit (in Folge dessen auch die Nachfrage) umso stärker nach, je länger der Werbeimpuls in der Vergangenheit liegt. Die aggregierte Auswirkung der Werbekampagne zum einem Zeitpunkt ist demnach das Resultat der gesamten Werbeanstrengungen, die im Vorfeld unternommen wurden.
  Der wesentliche Unterschied zur Standardaufgabe besteht darin, dass die Dynamik ẋ(s) = φ s, x(s), u(s)
  nicht nur die eine rechte Seite φ(s, x, u), sondern eine Familie {φ(t, s, x, u), t ∈ [t 0 , t 1 ]} rechter Seiten besitzt:
  x(t) = x 0 + t t 0 φ t, s, x(s), u(s) ds, t ∈ [t 0 , t 1 ].
  Anstelle der einen Zeitvariablen liegen nun eine "innere" Zeitvariable s und eine "äußere" Zeitvariable t vor. Die Konsequenz daraus ist, dass die Dynamik statt über dem Intervall 
  {t ∈ R | t 0 ≤ t ≤ t 1 } nun über dem Zeitbereich {(s, t) ∈ R 2 | t 0 ≤ s, t ≤ t 1 } agiert.a = t 0 < t 1 < ... < t N +1 = b, den Zwischenpunkten s i ∈ [t i , t i+1 ] die Gestalt N i=0 f (s i )[g(t i+1 ) − g(t i )]. Da g(•) über [a, b) stückweise stetig differenzierbar ist, gilt -bis auf endlich viele Stellen - g(t i+1 ) − g(t i ) = ġ(σ i ) • (t i+1 − t i ) mit den Zwischenstellen σ i ∈ (t i , t i+1 ). Bei Verfeinerung ∆ = max(t i+1 − t i ) → 0 ergibt sich N i=0 f (s i )[g(t i+1 ) − g(t i )] = N −1 i=0 f (s i ) ġ(σ i ) • (t i+1 − t i ) + f (s N )[g(b) − g(t N )] → b a f (t) ġ(t) dt + f (b)[g(b) − g(b − )].
  Zusammenfassend erhalten wir die Beziehung 
  Die Steuerung einer Volterraschen Integralgleichung bezeichnet die Aufgabe
  J x(•), u(•) = t 1 t 0 f t, x(t), u(t) dt + S x(t 1 ) → inf,(5.2)x(t) = x 0 + t t 0 φ t, s, x(s), u(s) ds, t ∈ [t 0 , t 1 ],(5.3)u(t) ∈ U ⊆ R m , U ̸ = ∅,(5.4)
  die wir bezüglich x(•), u(•)
  ∈ P C 1 ([t 0 , t 1 ], R n ) × P C([t 0 , t 1 ], U ) untersuchen.
  Mit A I Lip bezeichnen wir die Menge x(•), u(•) , für die es ein γ > 0 derart gibt, dass die Abbildungen f (s, x, u), φ(t, s, x, u) auf der Menge aller (t, s, x, u
  ) ∈ R × R × R n × R m mit t 0 ≤ s, t ≤ t 1 , ∥x − x(s)∥ < γ, u ∈ R m
  stetig in der Gesamtheit aller Variablen und stetig differenzierbar bezüglich x sind. 
  Das Paar x(•), u(•) ∈ P C 1 ([t 0 , t 1 ], R n ) × P C([t 0 , t 1 ], U ) heißtJ x(•), u(•) ≥ J x * (•), u * (•) für alle x(•), u(•) ∈ A I adm mit ∥x(•) − x * (•)∥ ∞ < ε gilt.
  Ausgehend von der Gleichung (5.1) werden wir zwei Varianten des Pontrjaginschen Maximumprinzips formulieren. Die erste Variante spiegelt einen "unverfälschten" Charakter wider. Aufgrund (5.1) entsteht in t = t 1 eine Sprung-Transversalitätsbedingung. Daraus resultiert als eine Folgerung die zweite Variante. Sie ermöglicht einen Vergleich mit Optimalitätsbedingungen in Standardreferenzen.
  Für die Aufgabe (5.2)-(5.4) lautet die "unverfälschte" Pontrjagin-Funktion
  H I (t, x, u, p(•) = − t 1 t ⟨φ(τ, t, x, u), dp(τ )⟩ − f (t, x, u). Theorem 5.2 (Pontrjaginsches Maximumprinzip). Sei x * (•), u * (•) ∈ A I adm ∩ A I Lip . Ist x * (•), u * (•) ein starkes lokales Minimum der Aufgabe (5.2)-(5.4), dann existiert eine Vektorfunktion p(•) ∈ P C 1 ([t 0 , t 1 ), R n ) derart, dass (a) die adjungierte Gleichung ṗ(t) = −H I x t, x * (t), u * (t), p(•) = t 1 t φ T x τ, t, x * (t), u * (t) dp(τ ) + f x t, x * (t), u * (t) ,(5.5)(b) in t = t 1 die Sprung-Transversalitätsbedingung p(t − 1 ) = −S ′ x * (t 1 ) , p(t 1 ) = 0,(5.6)
  (c) in fast allen Punkten t ∈ [t 0 , t 1 ] die Maximumbedingung
  H I t, x * (t), u * (t), p(•) = max u∈U H I t, x * (t), u, p(•)(5.7)
  Da die Adjungierte p(•) ∈ P C 1 ([t 0 , t 1 ), R n ) stetig und stückweise stetig differenzierbar ist, sowie in t = t 1 die Sprung-Transversalitätsbedingung (5.6) erfüllt ist, ergibt sich mit der Beziehung (5.1) der Zusammenhang
  t 1 t φ T x [τ, t] dp(τ ) = t 1 t φ T x [τ, t] ṗ(τ ) dτ + φ T x [t 1 , t]) p(t 1 ) − p(t − 1 ) = t 1 t φ T x [τ, t] ṗ(τ ) dτ − φ T x [t 1 , t]p(t − 1 ).
  Setzen wir p(•) in t = t 1 stetig fort, so erhalten wir die Pontrjagin-Funktion
  H I 0 (t, x, u, p(•) = − t 1 t ⟨φ(τ, t, x, u), ṗ(τ )⟩ dτ + ⟨φ(t 1 , t, x, u), p(t 1 )⟩ − f (t, x, u).
  Da in der Pontrjagin-Funktion H I 0 die Sprung-Bedingung in t = t 1 bereits zur Anwendung kam, ergeben sich als Folgerung zu Theorem 5.2 die Bedingungen: 
  ṗ(t) = −H I 0x t, x * (t), u * (t), p(•) ,(5.8)(b) in t = t 1 die Transversalitätsbedingung p(t 1 ) = −S ′ x * (t 1 ) ,(5.9)
  H I 0 t, x * (t), u * (t), p(•) = max u∈U H I 0 t, x * (t), u, p(•) .
  (5.10) erfüllt sind.
  Diskussion und Ökonomische Deutung
  Die Pontrjagin-Funktion H I 0 als Riemann-Integral mit Randterm stellt eine Verallgemeinerung der Pontrjagin-Funktion H S dar, was dem verallgemeinerten Charakter der Aufgabe (5.2)-( Mit der Abbildung φ(τ, t, x, u) = φ(t, x, u) ohne einer "äußeren" Zeitvariablen besitzt die Aufgabe (5.2)-(5.4) die Gestalt der Aufgabe (1.1)- . Zusammen mit der Transversalitätsbedingung in t = t 1 erhält die Pontrjagin-Funktion H I 0 die Form 
  H I 0 t, x, u, p(•) = − t 1 t ⟨φ(t, x, u), ṗ(τ )⟩ dτ + ⟨φ(t, x, u), p(t 1 )⟩ − f (t, x, u) = φ(t, x, u), p(t 1 ) − t 1 t ṗ(τ ) dτ − f (t, x, u) = ⟨p(t), φ(t, x, u)⟩ − f (t, x, u) = H S t
  Der folgende Beweis bezieht sich auf das Pontrjaginsche Maximumprinzip 5.2. Im Weiteren schreiben wir der Kürze halber
  f x [t] = f x t, x * (t), u * (t) , φ x [t, s] = φ x t, s, x * (s), u * (s) .
  In Theorem 5.2 bringen wir mit Hilfe der Beziehung (5.1) die adjungierte Gleichung (5.5) zur Sprung-Transversalitätsbedingung (5.6),
  ṗ(t) = t 1 t ⟨φ x [τ, t], dp(τ )⟩ + f x [t], p(t − 1 ) = −S ′ x * (t 1
  ) , p(t 1 ) = 0, in die Form
  ṗ(t) = t 1 t φ T x [τ, t] ṗ(τ ) dτ + φ T x [t 1 , t] p(t 1 ) − p(t − 1 ) + f x [t] = t 1 t φ T x [τ, t] ṗ(τ ) dτ + φ T x [t 1 , t]S ′ x * (t 1 ) + f x [t].
  (5.12)
  Wir setzen q(•) = ṗ(•). Dann erfüllt q(•) die adjungierte Gleichung (5.8) in Theorem 5.3:
  q(t) = t 1 t φ T x [τ, t]q(τ ) dτ + φ T x [t 1 , t]S ′ x * (t 1 ) + f x [t].
  Da sämtliche Abbildungen stetig und stetig differenzierbar bezüglich x sind, und u * (•) stückweise stetig ist, existiert nach Lemma B.3 eine eindeutige Lösung q(•) ∈ P C([t 0 , t 1 ], U ) der adjungierten Gleichung (5.8) zur Transversalitätsbedingung (5.9). Daher erfüllt die Funktion p(•) ∈ P C 1 ([t 0 , t 1 ), R n ) mit ṗ(•) = q(•) und p(t − 1 ) = −S ′ x * (t 1 ) , p(t 1 ) = 0, die adjungierte Gleichung (5.5) zur Sprung-Transversalitätsbedingung (5.6). Genauso wie im Abschnitt 1.2 betrachten wir die einfache Nadelvariation
  u(t; v, τ, λ) = u λ (t) = u * (t) für t ̸ ∈ [τ − λ, τ ), v für t ∈ [τ − λ, τ ),
  und es bezeichne x λ (•), x λ (t) = x(t; v, τ, λ), die eindeutige Lösung der Gleichung
  x(t) = x 0 + t t 0 φ t, s, x(s), u λ (s) , t ∈ [t 0 , t 1 ].
  Im Folgenden untersuchen wir für t ≥ τ den Grenzwert
  y(t) = lim λ→0 + x λ (t) − x * (t) λ .
  Nach den Sätzen B.9-B. 
  0 ≤ lim λ→0 + J x λ (•), u λ (•) − J x * (•), u * (•) λ = f τ, x * (τ ), v − f τ, x * (τ ), u * (τ ) + t 1 τ f x [t]
  , y(t) dt + ⟨S ′ x * (t 1 ) , y(t 1 )⟩.
  Mit und der Setzung von y(τ ; t) in (5.13) ergibt sich hieraus die Ungleichung
  0 ≤ f τ, x * (τ ), v − f τ, x * (τ ), u * (τ ) + t 1 τ ṗ(t), φ t, τ, x * (τ ), v − φ t, τ, x * (τ ), u * (τ ) dt − p(t − 1 ), φ t 1 , τ, x * (τ ), v − φ t 1 , τ, x * (τ ), u * (τ ) .(5.16)
  Unter Verwendung von p(t 1 ) = 0 und der Beziehung (5.1) gelten 
  H I τ, x * (τ ), v, p(•) = − t 1 τ φ t, τ, x * (τ ), v , dp(t) − f τ, x * (τ ), v ≤ − t 1 τ φ t, τ, x * (τ ), u * (τ ) , dp(t) − f τ, x * (τ ), u * (τ ) = H I τ, x * (τ ), u * (τ ), p(•) .
  Da τ ein beliebiger Stetigkeitspunkt von u * (•) und v ein beliebiger Punkt der Menge U war, zeigt diese Ungleichung die Gültigkeit der Maximumbedingung (5.10). ■
  Hinreichende Bedingungen nach Arrow
  Wir gehen nun auf hinreichende Bedingungen nach Arrow für die Aufgabe (5.2)-(5.4) ein. Dabei geben wir zwei Varianten an, die sich auf die Darstellungen der Optimalitätsbedingungen der Theoreme 5.2 und 5.3 beziehen.
  Für t ∈ [t 0 , t 1 ] sei wieder V γ (t) = {x ∈ R n | ∥x − x * (t)∥ ≤ γ}.
  Die erste Variante der hinreichenden Bedingungen bezieht sich auf Theorem 5.2. Hier lautet die zugehörige "unverfälschte" Pontrjagin-Funktion
  H I (t, x, u, p(•) = − t 1 t ⟨φ(τ, t, x, u), dp(τ )⟩ − f (t, x, u)
  und es ergibt sich die Hamilton-Funktion und die Hamilton-Funktion H I 0 erhält die Gestalt
  H I t, x, p(•) = sup u∈U − t 1 t ⟨φ(τ, t, x, u), dp(τ )⟩ − f (t, x, u) .H I 0 t, x, p(•) = sup u∈U − t 1 t
  ⟨φ(τ, t, x, u), ṗ(τ )⟩ dτ + ⟨φ(t 1 , t, x, u), p(t 1 )⟩ − f (t, x, u) .
  Theorem 5.5. In der Aufgabe (5.2)-(5.4 (b) Für jedes t ∈ [t 0 , t 1 ] ist die Funktion H I 0 t, x, p(t) konkav in x auf V γ (t).
  ) sei x * (•), u * (•) ∈ A I adm ∩ A I Lip und es sei p(•) ∈ P C 1 ([t 0 , t 1 ], R n ).
  Optimale Werbestrategien
  Werbekampagnen zeichnen sich dadurch aus, dass sie den Absatz nicht unmittelbar, sondern mit einer zeitlichen Verzögerung beeinflussen. In Anlehnung an Feichtinger & Hartl betrachten wir das Modell (vgl. Abschnitt 1.6):
  J x(•), u(•) = T 0
  e −ϱt πx(t) − u(t) dt + e −ϱT S x(T ) → sup, (5.20)
  x(t) = x 0 + t 0 e −δ(t−s) µ u(s) − αx(s) ds, t ∈ [0, T ],
  (5.21) 
  x 0 ∈ [0, 1], u(t) ≥ 0, ϱ > 0, α, δ ≥ 0. (5H I (t, x, u, q(•) = − T t e −δ(τ −t) [µ(u) − αx] q(τ ) dτ +e −δ(T −t) [µ(u) − αx]q(T ) + e −ϱt [πx − u].(5.23)
  Mit (5.23) erhalten wir für die adjungierte Gleichung q(s) = − T t αe −δ(τ −t) q(τ ) dτ + αe −δ(T −t) q(T ) + πe −ϱt , q(T ) = e −ϱT S ′ x * (T ) . (5.24)
  Ferner führt die Maximumbedingung
  H I t, x * (t), u * (t), q(•) = max u∈U H I t, x * (t), u, q(•) zu der Beziehung max u≥0 − T t
  e −δ(τ −t) µ(u) q(τ ) dτ + e −δ(T −t) µ(u)q(T ) − e −ϱt u .
  Damit gelangen wir zu der Gleichung e −δ(τ −t) q(τ ) dτ + e −δ(T −t) q(T ), q(T ) = p(T ) = e −ϱT S ′ x * (T ) .
  − T t e −δ(τ −t) q(τ ) dτ + e −δ(T −t) q(T ) • µ ′ u * (t) − e −ϱt = 0. (5
  Durch Differentation der ersten Gleichung nach t erhalten wir weiter ṗ(t) = −δ • T t e −δ(τ −t) q(τ ) dτ + q(t) + δe −δ(T −t) q(T ) = δp(t) + q(t).
  Es gilt damit q(t) = ṗ(t) − δp(t) = αp(t) − πe −ϱt , was der adjungierten Gleichung (5.24) mit Transversalitätsbedingung q(T ) = e −ϱT S ′ x * (T ) entspricht. Unter Verwendung von (5.27) liefert die Berechnung von q(t) = q(T ) + t T αp(s) − πe −ϱs ds die explizite Darstellung der Adjungierten q(•).
  Abschließend entnehmen wir dem Abschnitt 1.6 über die Steuerung u * (•) die Ergebnisse
  µ ′ u * (t) = 1 p(t) • e ϱt , µ ′ u * (T ) = 1 S ′ x * (T )
  . Beweis Es gilt ∥A n x − A n y∥ ≤ q n ∥x − y∥ und der Banachsche Fixpunktsatz erweist sich als Spezialfall des Fixpunktsatzes von Weissinger mit a n = q n . ■
  (•) − x(•)∥ ∞ ≤ ε. Sei t 0 ∈ I. Wegen der Stetigkeit von x N (•) gibt es ein δ > 0 mit |x N (t) − x N (t 0 )| ≤ ε für alle t ∈ I mit |t−t 0 | ≤ δ. Damit folgt |x(t)−x(t 0 )| ≤ |x(t)−x N (t)|+|x N (t)−x N (t 0 )|+|x N (t 0 )−x(t 0 )| ≤ 3ε für alle t ∈ I mit |t − t 0 | ≤ δ, also die Stetigkeit von x(•) in t 0 . □ (3x n (t) =        0, t ∈ [0, 1 n ], 1 m , t ∈ [ 1 m , 1 m−1 ], m = 2, ..., n, 1, t ∈ [1, 2], x(t) =        0, t = 0, 1 m , t ∈ [ 1 m , 1 m−1 ], m = 2, ... 1, t ∈ [1, 2], Die Funktionen x n (•) sind stückweise konstant und besitzen n Sprungstellen s m = 1 m , m = 1, ..., n, wohingegen x(•) abzählbar viele Sprungstellen aufweist. Für m ≤ n gilt ∥x m (•) − x n (•)∥ ∞ = 1 m+1 , sowie ∥x n (•) − x(•)∥ ∞ = 1 n+1 . Daher ist {x n (•)} eine Cauchyfolge in P C([0, 2], R), die gegen x(•) ̸ ∈ P C([0, 2], R) konvergiert. □ (6n = Ax n−1 , n = 1, 2, ..., bei beliebigem Startwert x 0 ∈ M . Schließlich gilt die Fehlerabschätzung ∥x − x n ∥ ≤ ∞ k=n a k • ∥x 1 − x 0 ∥. Beweis Wir betrachten die Folge x n = Ax n−1 . Für diese gilt ∥x n+1 − x n ∥ = ∥A n x 1 − A n x 0 ∥ ≤ a n ∥x 1 − x 0 ∥ und folglich für l ≥ 1 ∥x n+l − x n ∥ ≤ ∥x n+l − x n+l−1 ∥ + ... + ∥x n+1 − x n ∥ ≤ n+l−1 k=n a k • ∥x 1 − x 0 ∥.
  A.3. Stetige lineare Abbildungen
  Es seien X, Y normierte Räume. Dann bezeichnet L(X, Y ) die Menge der stetigen linearen Abbildungen T : X → Y . Eine Abbildung T ∈ L(X, Y ) erfüllt eine der folgenden äquivalenten Bedingungen:
  (i) Aus x n → x folgt T x n → T x. (ii) Zu jedem x 0 ∈ X und jedem ε > 0 existiert ein δ = δ(x 0 , ε) > 0 mit ∥T x − T x 0 ∥ ≤ ε für alle ∥x − x 0 ∥ ≤ δ. (iii) Für alle offenen O ⊆ Y ist das Urbild T −1 (O) = {x ∈ X | T x ∈ O} offen in X.
  Die Bedingung (i) beschreibt die Folgenstetigkeit, (ii) das (ε, ∆)−Kriterium und (iii) die Stetigkeit in der Topologie. 
  A.4. Differenzierbarkeit in normierten Räumen, implizite Funktionen
  Es seien X, Y normierte Räume, U ⊆ X offen und F : U → Y eine Abbildung.
  Definition A.12 (Fréchet-differenzierbare Abbildung). Existiert in x 0 ∈ U der gleichmäßige Grenzwert
  lim λ→0 F (x 0 + λx) − F (x 0 ) λ = T x (A.1)
  mit einer stetigen linearen Abbildung T : X → Y , dann heißt die Abbildung F in x 0 Fréchet-differenzierbar und F ′ (x 0 ) = T die Fréchet-Ableitung von F in x 0 .
  Der Grenzwert (A.1) konvergiert gleichmäßg, falls es zu jedem ε > 0 ein λ 0 > 0 gibt mit
  F (x 0 + λx) − F (x 0 ) λ − T x ≤ ε für alle 0 < λ < λ 0 , ∥x∥ ≤ 1.
  Lemma A.13. Eine Abbildung F ist in x 0 genau dann Fréchet-differenzierbar, falls ein 
  T ∈ L(X, Y ) und eine Abbildung r : X → Y mit F (x 0 + x) = F (x 0 ) + T x + r(x), lim ∥x∥→0 ∥r(x)∥ ∥x∥ = 0.∈ U (x 0 ) die Gleichung F x, y(x) = 0 und die Beziehung y ′ (x) = − F y x, y(x) −1 •F x x, y(= s 0 < s 1 < s 2 < ... < s N < s N +1 = t 1 gegeben. Dann setzen wir Θ i = {(t, s) ∈ R × R | s i−1 ≤ s ≤ s i , t 0 ≤ t ≤ t 1 }, i = 1, ..., N+Z i = {(t, s) ∈ R × R | s i−1 ≤ s < s i , t 0 ≤ t ≤ t 1 }, i = 1, ..., N, Z N +1 = Θ N +1 . (B.i → R n×n existiert mit A(t, s) = A i (t, s) für alle (t, s) ∈ Z i . Satz B.2. Es sei die Abbildung A(t, s) : Θ → R n×n stetig in t und stückweise stetig in s. Weiter sei a(•) ∈ P C([t 0 , t 1 ], R n ). Dann existiert zu jedem ζ(•) ∈ C([t 0 , t 1 ], R n ) und jedem τ ∈ [t 0 , t 1 ] eine eindeutig bestimmte Lösung x(•) ∈ C([t 0 , t 1 ], R n ) der Gleichung ζ(t) = x(t) − t τ A(t,(•), x 2 (•) ∈ C([t 0 , t 1 ], R n ) die Beziehungen T x 1 (•) − x 2 (•) (t) ≤ t τ c(s) ds • ∥x 1 (•) − x 2 (•)∥ ∞ , T 2 x 1 (•) − x 2 (•) (t) ≤ t τ c(s) T x 1 (•) − x 2 (•) (s) ds ≤ t τ c(s)C(s) ds • x 1 (•) − x 2 (•) ∞ = 1 2 C 2 (t) • ∥x 1 (•) − x 2 (•)∥ ∞ , . . . T m x 1 (•) − x 2 (•) (t) ≤ t τ c(s) T m−1 x 1 (•) − x 2 (•) (s) ds ≤ t τ c(s) C m−1 (s) (m − 1)! ds • x 1 (•) − x 2 (•) ∞ = C m (t) m! • ∥x 1 (•) − x 2 (•)∥ ∞ .
  In der Topologie des Raumes C([t 0 , t 1 ], R n ) gilt daher
  T m x 1 (•) − x 2 (•) ∞ ≤ c m 0 m! • ∥x 1 (•) − x 2 (•)∥ ∞ .
  Die Zahlen a m = c m 0 /m! liefern eine Folge, deren Reihe konvergiert. Nach dem Fixpunktsatz von Weissinger (Satz A.6) existiert daher genau ein x(
  •) mit x(•) = T x(•). ■ Lemma B.3. Unter den Annahmen in Satz B.2 besitzt die Gleichung ζ(t) = x(t) − t τ A(t, s)x(s) + a(s) ds, t ∈ [t 0 , t 1 ], zu jedem ζ(•) ∈ P C([t 0 , t 1 ], R n ) und jedem τ ∈ [t 0 , t 1 ] eine eindeutig bestimmte Lösung x(•) ∈ P C([t 0 , t 1 ], R n ).
  Beweis In Abschnitt A. Wir treffen für die weiteren Untersuchungen folgende Festlegungen: (2) Die Abbildung φ(t, s, x) sei auf der Menge R in der Variablen x gleichmäßig stetig und gleichmäßig stetig differenzierbar, d. h. es gibt eine positive Konstante L mit ∥φ(t, s, x 1 ) − φ(t, s, x 2 )∥ ≤ L∥x 1 − x 2 ∥, ∥φ x (t, s, x 1 ) − φ x (t, s, x 2 )∥ ≤ L∥x 1 − x 2 ∥ für alle (t, s, x 1 ), (t, s, x 2 ) ∈ R.
  (3) Die Abbildungen φ(t, s, x) und φ x (t, s, x) seien auf der Menge R in der Variablen t stetig und in der Variablen s stückweise stetig (vgl. Definition B.1).
  (4) Die Abbildungen φ(t, s, x) und φ x (t, s, x) seien über R beschränkt und es gelten ∥φ(t, s, x)∥ ≤ M, ∥φ x (t, s, x)∥ ≤ M über R mit der positiven Konstanten M . 
  ∥x ξ 1 (•) − x ξ 2 (•)∥ ∞ ≤ 1 1 − εL ∥ξ 1 (•) − ξ 2 (•)∥ ∞ .
  Beweis Wir wählen die positiven Zahlen ε und δ so, dass Daraus ergibt sich abschließend
  {(t, s, x) ∈ R × R × R n | a < t 0 − ε ≤ s, t ≤ t 0 + ε < b, ∥x − ξ∥ < 2δ} ⊂ R (B.x ξ 1 (•) − x ξ 2 (•) ∞ ≤ 1 1 − εL ∥ξ 1 (•) − ξ 2 (•)∥ ∞ .
  Der Satz B.8 ist damit vollständig nachgewiesen. ■ Satz B.9 (Lokaler Existenz-, Eindeutigkeits-und Stetigkeitssatz). Zu jedem inneren Punkt (t 0 , t 0 , ξ) der Menge R gibt es Zahlen ε > 0 und δ > 0, so dass zu jedem z ∈ U δ (ξ) genau eine stetige Lösung x z (•) der Gleichung (B. Satz C.6 (Stetigkeit konvexer Funktionen). Es sei f eine konvexe Funktion über der offenen Menge X ⊆ R n . Die Funktion f ist genau dann in dem Punkt x 0 ∈ X stetig, wenn sie auf einer Umgebung dieses Punktes nach oben beschränkt ist.
  Beweis: Ist f in x 0 stetig, so ist sie nach Definition der Stetigkeit auf einer Umgebung von x 0 beschränkt. Umgekehrt nehmen wir zur Vereinfachung x 0 = 0 und f (0) = 0 an. Es sei U ϱ (0) ⊆ X eine offene Kugel mit Radius ϱ > 0 um x 0 = 0, auf der f nach oben durch 0 < c < ∞ beschränkt ist: f (x) < c für alle x ∈ U ϱ (0). Wir wählen 0 < ε ≤ c hinreichend klein und betrachten 
  U ε = ε c • U ϱ (0) ⊆ X mit ε c • U ϱ (0) = y ∈ R n c ε • y ∈ U ϱ (0) .f (y) = f ε c • x + 1 − ε c • 0 ≤ ε c • f (x) + 1 − ε c • f (0) < ε c • c = ε.
  Andererseits ist x = − c ε • y ∈ U ϱ (0), da U ϱ (0) ⊂ R n als eine Kugel mit Radius ϱ > 0 um den Nullpunkt gewählt wurde. Es ergibt sich die Beziehung
  0 = f (0) = f 1 1 + ε c • y + ε c 1 + ε c − c ε • y ≤ 1 1 + ε c f (y) + ε c 1 + ε c f − c ε y , also f (y) ≥ − ε c f − c ε y = − ε c f (x) > − ε c • c = −ε
  und damit die Stetigkeit von f in x 0 = 0. ■
  (c) Die Abbildung S : R n → R im Zielfunktional (5.2) ist konvex in x auf V γ (t 1 ).
  Dann ist x * (•), u * (•) ein starkes lokales Minimum der Aufgabe (5.2)- .
  Mit den Anmerkungen in Abschnitt 5.2, die mittels der Beziehung 5.1 die Verbindungen zwischen den Pontrjagin-Funktionen H I und H I 0 herstellen, ist es ausreichend den Nachweis der hinreichenden Bedingungen für das Theorem 5.4 zu führen.
  Beweis Es sei t ∈ [t 0 , t 1 ] so gewählt, dass die Maximumbedingung (5.7) zu diesem Zeitpunkt erfüllt ist. Mit den gleichen Argumenten wie im Abschnitt 1.4 folgt aus der Konkavität der Hamilton-Funktion H I die Gültigkeit der Ungleichung ⟨a(t), x − x * (t)⟩ ≥ H I t, x, q(•) − H I t, x * (t), q(•) ≥ t 1 t ⟨φ τ, t, x * (t), u * (t) , dq(τ )⟩ + f t, x * (t), u * (t) − t 1 t ⟨φ τ, t, x, u * (t) , dq(τ )⟩ − f t, x, u * (t) für alle x ∈ V γ (t). Weiterhin besitzt die Funktion Φ(x) = t 1 t ⟨φ τ, t, x * (t), u * (t) , dq(τ )⟩ + f t, x * (t), u * (t)
  Nach der adjungierten Gleichung (5.5) stimmt −a(t) mit q(t) für fast alle t ∈ [t 0 , t 1 ] überein und es gilt damit über der Menge V γ die Ungleichung ⟨ q(t), x − x * (t)⟩ ≤ H t, x * (t), q(•) − H t, x, q(•) .
  (5.17)
  Ferner ist für einen zulässigen Steuerungsprozess x(•), u(•) nach (5.3):
  Wir ändern im zweiten Ausdruck die Integrationsreihenfolge: Unter Verwendung von (5.17) und (5.18) erhateln wir
  Nach Theorem 5.2 ist q(•) stückweise stetig differenzierbar und erfüllt in t = t 1 die Sprung-Transversalitätsbedingungen (5.6). Demnach ergeben sich mit Formel (5.1):
  Unter Beachtung dieser Gleichungen führt die Beziehung (5.19) zu der Ungleichung
  Da ferner der Anfangswert x(t 0 ) = x 0 in (5.3) fest vorgegeben ist, ergibt sich 
  Beweis Nach Voraussetzung ist die Abbildung G für jedes x(•) ∈ U auf einer Umgebung wohldefiniert. Weiterhin ist der lineare Operator G ′ x(•) wegen
  beschränkt und somit stetig. Da nach unseren Annahmen die Abbildung φ in x gleichmäßig stetig differenzierbar ist, gibt es zu x(•) ∈ U und ε > 0 eine Zahl λ 0 > 0 mit
  Damit erhalten wir für alle ∥y(•)∥ ∞ < 1 und alle 0 < λ < λ 0 : 
  