text: Lernziele
  Die Schülerinnen und Schüler
  • berechnen Satellitenorbits anhand von vereinfachten Annahmen,
  • wenden Gleichungen der Mechanik mit mehreren Variablen an,
  • können erläutern, welche Kräfte auf die ISS und die Astronauten wirken, die stabile Orbits erzeugen.
  Materialien
  • Arbeitsblätter (erhältlich unter: http://www.haus-der-astronomie.de/raum-fuer-bildung)
  • Stift
  • Taschenrechner
  • Lineal
  • Papier
  • Smartphone oder Computer mit Internetverbindung für Videos und Recherchen (optional)
  Stichworte
  Raumstation, ISS, Orbit, Satelliten, Gravitation, Zentrifugalkraft, Zentripetalkraft Dauer 180 Minuten
  Unterrichtsmaterialien zur ISS-Horizons-Mission von Alexander Gerst
  In Kooperation mit
  Hintergrund Künstliche Satelliten
  Seit dem Start von Sputnik am 4. Oktober 1957 werden regelmäßig künstliche Satelliten und Sonden ins Weltall gebracht. Ihre Funktionen sind mit der Zeit immer komplexer geworden. Die Daten der Wetter-und Navigationssatelliten sind heute allgegenwärtig. Zudem helfen Erdbeobachtungssatelliten bei der Bewältigung wichtiger Aufgaben wie Katastrophenmanagement und Klimaüberwachung.
  Abbildung 1: Nachbau des Sputnik 1 (NASA, https://nssdc.gsfc.nasa.gov/planetary/image/sputnik_asm. jpg).
  Die Internationale Raumstation
  Die Internationale Raumstation (Abb. 2) ist ein internationales Projekt mit derzeit 15 beteiligten Nationen . Sie dient als wissenschaftliches Forschungslabor für Fragestellungen, deren experimentelle Untersuchung durch den Einfluss der Gravitation auf der Erde erschwert wird.
  Abbildung 2: Die ISS im Jahre 2011 (Bild: NASA).
  Neben der Materialforschung und biologischen Studien spielt auch die Medizin eine wichtige Rolle. Der Einfluss der Mikrogravitation führt zu Symptomen, die Krankheitsbildern auf der Erde ähneln. Daher hofft man, Erkenntnisse in der kontrollierten Umgebung der Raumstation zu erlangen, die auch bei der Erforschung der Krankheiten helfen und Therapien den Weg ebnen. Ein weiterer Grund besteht darin, langfristige Missionen innerhalb des Sonnensystems vorzubereiten.
  In Kooperation mit Seit 1998 wird die ISS aufgebaut und mittels einzelner Module (Abb. 3) ständig erweitert . Ihr Betrieb ist bis mindestens 2024 vorgesehen, wahrscheinlich aber sogar bis 2028 möglich . Die gesamte Struktur hat eine Masse von 420 t. Sie ist 109 m lang, 73 m breit ) und 45 m hoch . Auf einer Bahnhöhe von etwa 400 km benötigt die ISS für eine Erdumrundung ungefähr 92 Minuten .
  Abbildung 3: Die Module der ISS im Juni 2017 (Bild: NASA).
  Satellitenbahnen
  Bahnen von künstlichen Erdsatelliten werden im wesentlichen durch drei Größen bestimmt. Das sind die Höhe über der Erdoberfläche, die Inklination und die Exzentrizität. Die Inklination ist der Winkel der die Bahn gegenüber dem Erdäquator einnimmt. Die Exzentrizität gibt an, wie sehr die Bahn von einem Kreis abweicht. Alle Bahnen von Erdsatelliten sind sogenannte Ellipsen, wobei der Kreis ein Spezialfall einer Ellipse ist, deren Exzentrizität Null ist (Abb. 4). Die Bahn der ISS hat eine sehr geringe Exzentrizität, d. h.
  In Kooperation mit sie ist nahezu perfekt kreisförmig. Sehr exzentrische Orbits verwendet man nur für spezielle Anwendungen. Bahnen mit großer Exzentrizität findet man jedoch oft bei Kometen. Das sind natürliche Objekte, die vom Rand des Sonnensystems in die Nähe der Sonne wandern. Die Höhen der Orbits über dem Erdboden teilt man grob in vier Bereiche ein (Tab. 1). Da r das Rechteck, das durch x und y erzeugt wird, in zwei rechtwinklige Dreiecke aufteilt, gilt:
  y r = sin ϕ (1) x r = cos ϕ (2) y x = tan ϕ (3) r 2 = x 2 + y 2(4)
  In diesem Beispiel mit x = 4 und y = 3 finden wir somit: 
  r = 4 2 + 3 2 = √ 16 + 9 = √25b = ϕ • r = ω • ∆t • r = ω • r • ∆t = v • ∆t (5)
  Der Wegunterschied ∆r zwischen s und b wird durch die zusätzliche Beschleunigung a hervorgerufen. Der Betrag der Geschwindigkeit ändert sich dadurch nicht. Somit kann man für ∆r schreiben:
  ∆r = 1 2 a • ∆t 2 (6)
  Damit bekommt man ein rechtwinkliges Dreieck mit den folgenden Seitenlängen:
  r (7) s = v • ∆t (8) r + ∆r = r + 1 2 a • ∆t 2 (9)
  Unterrichtsmaterialien zur ISS-Horizons-Mission von Alexander Gerst 
  r 2 + (v • ∆t) 2 = r + 1 2 a • ∆t 2 2 (10) ⇔ r 2 + v 2 • ∆t 2 = r 2 + 2 • r • 1 2 a • ∆t 2 + 1 2 a • ∆t 2 2 (11) ⇔ v 2 • ∆t 2 = r • a • ∆t 2 + 1 4 a 2 • ∆t 4 (12) ⇔ v 2 = r • a + 1 4 a 2 • ∆t 2 (13)
  Nun soll aber nicht v für ein beliebiges ϕ sondern am Startpunkt der Bewegung ermittelt werden. Das heißt, ϕ wird sehr klein. Man kann hier auch argumentieren, dass die Wirkdauer der Beschleunigung sehr kurz gewählt werden muss, weil man sonst über eine zu große Zeitdauer mittelt. Somit wird auch ∆t klein. Für ∆t → 0 verschwindet der hintere Term. Es bleibt die Zentripetalbeschleunigung:
  v 2 = r • a (14) ⇔ a = v 2 r = ω 2 • r(15)
  Zentripetalbeschleunigung -mit Vektoren (für Fortgeschrittene) 
  v = ˙ r = d dt r = d dt (r • e r )(16)
  Hier ist e r der Einheitsvektor in r -Richtung. Mit der Produktregel folgt: 
  v = ṙ • e r + r • ˙ e r (17) = v r • e r + r • ˙ e r(
  In guter Näherung kann man für kleine Änderungen von ∆t bzw. ∆ϕ die Beziehungen zwischen diesen Vektoren wie in Abb. 9 als rechtwinkliges Dreieck darstellen. Da ∆e r in einem rechten Winkel zu e r steht, verläuft er in Richtung des Einheitsvektors der ϕ-Koordinate, also e ϕ . Somit kann man ansetzen:
  ∆e r = α • e ϕ (20)
  Den Betrag α von ∆e r erhält man durch die Beziehungen in einem rechtwinkligen Dreieck.
  | ∆e r | | e r | = tan (∆ϕ) (21) ⇔ α • | e ϕ | | e r | = tan (∆ϕ) (22) ⇔ α = tan (∆ϕ)(23)
  Damit lässt sich die Frage beantworten, was der Betrag der zeitlichen Änderung des Einheitsvektors in r -Richtung ist.
  | ˙ e r | = ∆e r ∆t ∆t→0 = tan (∆ϕ) ∆t ∆t→0(24)
  Für kleine ∆ϕ gilt tan (∆ϕ) = ∆ϕ. Somit folgt:
  | ˙ e r | = tan (∆ϕ) ∆t ∆t→0 = ∆ϕ ∆t ∆t→0 = φ(25)
  Dadurch erhält man mit Gl. 18:
  v = v r • e r + r • φ • e ϕ (26) = v r • e r + r • ω • e ϕ(27)
  Das ist das erwartete Ergebnis, denn r • ω ist nichts anderes als der Betrag der Tangentialgeschwindigkeit v t , also | v t | = v t . In anderen Worten: Bei einer Drehbewegung dreht sich der Massenpunkt m mit einer Bahn-bzw. Tangentialgeschwindigkeit v t um den Kreismittelpunkt. Dabei ist der Betrag dieser Geschwindigkeit das Produkt aus der Winkelgeschwindigkeit ω und dem Kreisradius r .
  Als nächstes wird nun die Beschleunigung in Polarkoordinaten berechnet.
  ¨ r = ˙ v = d dt ( ṙ • e r ) + d dt (r • φ • e ϕ ) (28) = r • e r + ṙ • ˙ e r + ṙ • φ • e ϕ + r • φ • e ϕ + φ • ˙ e ϕ (29) = r • e r + ṙ • φ • e ϕ + ṙ • φ • e ϕ + r • φ • e ϕ + r • φ • ˙ e ϕ (30) = r • e r + (2 • ṙ • φ + r • φ) • e ϕ + r • φ • ˙ e ϕ(31)
  Es ergeben sich also Terme, die sowohl in radialer als auch in tangentialer Richtung wirken. Es bleibt nun noch, ˙ e ϕ zu ermitteln. Der Ansatz für die Lösung besteht darin, dass aus Abb. 9 ersichtlich ist, dass ∆ e r und damit e ϕ stets senkrecht auf e r steht. e ϕ vollzieht also die Drehung von e r um ∆ϕ mit. Daher befindet sich auch ˙ e ϕ bzw. ∆e ϕ senkrecht auf ˙ e r , also senkrecht auf e ϕ und somit parallel zu − e r (Abb. 10).
  In Kooperation mit In Anlehnung an Gl. 20 kann man schreiben:
  ∆e ϕ = β • (− e r )(32)
  Hier gilt wegen der gleichförmigen Drehung:
  β = α = ∆ϕ(33)
  Daraus folgt:
  ˙ e ϕ = ∆e ϕ ∆t = −∆ϕ • e r ∆t = − φ • e r(34)
  Eingesetzt in Gl. 31 erhält man:
  ¨ r = r • e r + (2 • ṙ • φ + r • φ) • e ϕ − r • φ2 • ˙ e r (35) = r − r • φ2 • e r + (2 • ṙ • φ + r • φ) • e ϕ(36)
  Tabelle 2: Beschleunigungsterme, die bei allgemeinen Bewegungen ausgedrückt in Polarkoordinaten auftreten können. 
  Term mathematischer Ausdruck Richtung
  Radialbeschleunigung r positive r -Richtung Zentripetalbeschleunigung r • φ2 negative r -Richtung Coriolisbeschleunigung 2 • ṙ • φ positive ϕ-Richtung (tangential) Eulerbeschleunigung r • φ positive ϕ-Richtung (tangential)
  In Kooperation mit Satelliten durch die Gravitationsbeschleunigung hervorgerufen wird, lässt sich für jedes v t bzw. ω ein dazu assoziierter Bahnradius berechnen. Umgekehrt folgt aus einer vorgegebenen Bahnhöhe eines Satelliten die Bahngeschwindigkeit, die erreicht werden muss, um eine konstante Kreisbahn zu erreichen und einzuhalten.
  Analogie: Kanonenkugel
  Eine Satellitenbahn ist tatsächlich ein Spezialfall eines Wurfs parallel zur Erdoberfläche. Wenn man von einem hohen Berg eine Kanone abfeuert, hängt die erreichte Weite von der Geschwindigkeit ab, auf die man die Kugel horizontal -also parallel zur Erdoberfläche -beschleunigt. Am Ende wird sie aber unweigerlich zu Boden fallen. Ist die Geschwindigkeit jedoch groß genug, reicht die Erdbeschleunigung nicht mehr aus, um die Kugel auf eine ausreichend große Geschwindigkeit zum Erdboden hin abzulenken. Die Kugel fällt somit ständig um die Erde herum (Bahnen C und D in Abb. 11). 
  F zf = − F g (37) ⇒ F zf = − F g (38) ⇔ F zf = F g (39)
  Bahnhöhe und Bahngeschwindigkeit von künstlichen Satelliten Da die Zentrifugalkraft und die Zentripetalkraft vom Betrag gleich sind, ist die Berechnung des Verhältnisses von Bahngeschwindigkeit, Bahnhöhe und gravitierender Zentralmasse äquivalent, obwohl der argumentative Ansatz jeweils ein anderer ist. Man erhält also: 
  F g = F z (40) ⇔ G • M • m r 2 = m • v 2 r (41) ⇔ G • M r = v 2 (42) ⇒ v = G • M r(
  Sonderfall geostationäre Bahn
  Eine Reihe von Satelliten erfüllen Aufgaben, bei denen es notwendig ist, dass sie von einem gegebenen Ort auf der Erde stets sichtbar sind. So scheinen viele Telekommunikationssatelliten am Himmel still zu stehen. Nur so kann eine starre Ausrichtung beispielsweise auf Fernsehsatelliten gewährleistet werden. Solche Satelliten werden auch für die Kommunikation zwischen der ISS und der Erde benutzt (Campbell 2015). 
  ω = 2 • π T (44) v = ω • r = 2 • π • r T(45)
  kann man den Bahnradius ermitteln, der sich aus der Rotationsperiode T der Erde ergibt. Die Bahnhöhe h folgt aus der Differenz zwischen dem Bahnradius r und dem äquatorialen Erdradius r E0 = 6378 km. Man erhält:
  h = r − r E = 3 G • M E • T 2 4 • π 2 − r E = 35786 km(46)
  Größe
  Formelzeichen Zahlenwert und Einheit Gravitationskonstante G 6, 67408 
  F g = G • M • m r 2 (47) F z = m • v 2 r (48
  Wie lange braucht die ISS für eine Erdumkreisung?
  Zwischen der Bahngeschwindigkeit v , und dem Bahnradius r gilt folgende Relation. Mit Gl. 45 kann man eine Beziehung zwischen der Bahngeschwindigkeit v und der Umlaufperiode T herstellen. Daraus folgt:
  v = 2 • π • r T(
  v = 2 • π • r T = G • M E r (52) ⇔ T 2 = 4 • π 2 • r 3 G • M E (53) ⇒ T = 2 • π • r 3 G • M E(54)
  Hinweis! Gl. 53 entspricht dem 3. Keplerschen Gesetz. 
  ⇒ T = 2 • π • (r E + h) 3 G • M E = 2 •
  Die Höhe der Bahn wird in Gl. 46 hergeleitet. Die Geschwindigkeit von geostationären Satelliten lässt sich durch die Beziehung aus Gl. 45 ermitteln.
  Natürliche Satelliten
  Mit Gl. 53 und durch Einsetzen der Zahlenwerte erhält man:
  