Ich habe mir Unterschiede zwischen den beiden Strategien mit einer Berechnung über Erwartungswerte - wie vermutlich andere auch schon - klargemacht, die ich hier zur Diskussion stellen möchte: Schritt 1 (Festlegungen): Es sind 3 Türen gegeben, die durch Buchstaben unterschieden werden: A, B, C. Jedes Elementarereignis "Der Kandidat wählt zu Anfang die Tür U" ist dabei umkehrbar eindeutig mit dem jeweiligen Buchstaben U (U= A, B, C) verbunden. Der bei der gesamten Betrachtung zu Grunde gelegte Wahrscheinlichkeitsraum hat damit als Trägermenge die Menge R:= {A, B, C}. Dabei ist die zu Grunde gelegte Wahrscheinlichkeitsverteilung auf diesem Wahrscheinlichkeitsraum die Laplacesche. Denn mangels weiterer Informationen sind alle drei Türen von Anfang an als gleichwahrscheinlich gewählt zu betrachten; d. h. es ist P(A) = 1/3 P(B) = 1/3 P(C) = 1/3 Dann wollen wir noch annehmen, dass der Gewinn in Höhe 1 (= 1 Auto) sich hinter der Tür A befindet. Hinsichtlich des Vorgehens des Moderators gehen wir von folgender Regel aus: Wählt der Kandidat zuerst Tür A oder B, so öffnet der Moderator Tür C. Wählt der Kandidat zuerst Tür C, öffnet der Moderator Tür B. (Jedenfalls öffnet der Moderator nie die Tür A mit dem Auto. Vertauscht der Moderator die Rollen von B und C, so kann man das durch Umbenennung der Türen wieder einfangen, d. h. auf die obigen Festlegungen zurückführen.) Schritt 2 (Fassung der beiden Strategien mit Abbildungen): Strategie 1 (Zu Anfang gewählte Tür beibehalten): Damit ist die Abbildung T_1 : R -> R verbunden, welche wie folgt definiert ist: T_1 (A) = A T_1 (B) = B T_1 (C) = C Also die identische Abbildung. Strategie 2 (Zu Anfang gewählte Tür nicht beibehalten, also die dritte verbleibende Tür wählen): Damit ist die Abbildung T_2 : R -> R verbunden, welche wie folgt definiert ist: T_2 (A) = B T_2 (B) = A T_2 (C) = A Weiter haben wir noch die reellwertige Gewinnfunktion G mit G (A) = 1 G (B) = 0 G (C) = 0 Schritt 3 (Berechnung): Auszuwerten sind nun die Erwartungswerte der beiden Zufallsvariablen X_1 := G ° T_1 X_2 := G ° T_2 1. Es ist E(X_1) = 0 * P(X_1 = 0) + 1 * P(X_1 = 1) = 1/3, denn: X_1 (U) = 1 < => G (T_1 (U)) = 1 T_1 (U) = A U = A, damit P(X_1 = 1) = 1/3. 2. Es ist E(X_2) = 0 * P(X_2 = 0) + 1 * P(X_2 = 1) = 2/3, denn: X_2 (U) = 1 G (T_2 (U)) = 1 T_2 (U) = A U = B oder U = C, also P(X_2 = 1)=1/3 + 1/3 = 2/3. Schritt 4 (Schlussfolgerung): Der im Mittel zu erwartende Gewinn ist bei Strategie 1 gleich E(X_1) = 1/3, bei Strategie 2 gleich E(X_2) = 2/3. Folglich ist Strategie 2 die bessere.-- 192.0.2.255 03:35, 18. Sep 2005 (CEST)