Zu behaupten, die Laplace-Transformation stellt eine Verbindung zwischen der DGL und der Übertragungsfunktion her, halte ich für abwegig. Durch die Laplace-Transformation einer DGL wird mit dem Differentiationssatz eine Ableitung nach der Zeit durch die Variable s bzw. entsprechend der Höhe der Ableitung durch eine Potenz von s ausgedrückt.