Die vierte Gleichung lautet dT/dt = a(T)*Laplace(T). Ich schreibe sie mal eindimensional, d. h. ich ersetze den Vektor r durch die Ortsvariable x (eindimensional) dann wird es verständlicher. Jetzt lautet sie dT/dt = a(T)*d^2T/dx^2. Die Größe a(T) heißt Temperaturleitfähigkeit, und kann aus der Dichte rho, der Wärmeleitfähigkeit Lambda und der Wärmekapazität cp wie folgt berechnet werden: a(T) = lambda/(rho*cp(T)). Bezeichnenderweise darf in dieser Gleichung die Wärmeleitfähigkeit nicht von der Temperatur T (und auch nicht vom Ort x) abhängen. Wenn sie es dennoch tut, wird obige Gleichung falsch und verletzt den Energiesatz. Ich mache ein Beispiel, um das zu erklären. Wir betrachten eine Styroporschicht, die auf eine gleich dicke Stahlschicht zur Isolierung aufgeklebt sei. Wir wissen, dass Styropor eine niedrige Wärmeleitfähigkeit hat. Da es sehr leicht ist, hat es auch eine niedrige Dichte. Stahl hat eine deutlich höhere Wärmeleitfähigkeit, aber auch die Dichte ist deutlich höher. Die Temperaturleitfähigkeit beider Werksstoffe hat daher eine ähnliche Größenordnung. Wir wollen für das Beispiel annehmen, dass sie exakt gleich sei, und es sei auch keine weitere Temperaturabhängigkeit vorhanden. Damit entsteht sogar dT/dt = a*d^2T/dx^2. In unserem Beispiel sei die Stahlunterseite mit 100°C und die Styroporoberseite mit 0°C durch äußere Randbedingungen fixiert. Nun wollen wir den eingeschwungenen Zustand betrachten und die Temperatur in der Mitte an der Grenzschicht zwischen Stahl und Styropor berechnen. Die linke Seite obiger Gleichung wird dann 0, d. h. die zweite Ableitung der Temperatur nach dem Ort verschwindet identisch. Die Lösung ist also eine lineare Funktion in x mit konstantem Temperaturgradienten, die bei T=100°C auf der Stahlunterseite beginnt und bei 0°C auf der Styroporoberseite endet. In der Mitte herrschen also genau 50°C. Interessant ist, dass der Wärmestrom in den Stahl hinein jetzt sehr viel größer ist als der Wärmestrom aus dem Styropor heraus. Diese Lösung verletzt daher offensichtlich den Energiesatz. Sie widerspricht auch der praktischen Erfahrung, denn jeder weiß aus Erfahrung, dass an der Grenzschicht zwischen Stahl und Styropor wegen der Isolierwirkung des Styropors eine Temperatur sehr nahe bei 100°C herrschen muss. Die Voraussetzung einer konstanten und überall gleich großen Wärmeleitfähigkeit ist für die Gültigkeit der eingangs genannten Formel also wesentlich, und die Ergebnisse, die sie produziert, werden falsch, wenn man dies nicht beachtet. -- Elektrony 10:29, 4. Dez. 2017 (CET)