Eine Zufallsvariable ist erstens eine Funktion (von der Grundmenge eines Wahrscheinlichkeitsraumes in die Grundmenge eines Meßraumes), und sie ist stetig oder nicht stetig genau in ihrer Eigenschaft als Funktion (wenn auf beiden Räumen Topologien festgelegt sind, wie du richtig bemerkt hast). Daneben ist zweitens X meßbar, und der Urbildraum von X ist ein Wahrscheinlichkeitsraum. X induziert damit auf dem Bildraum ein Bildmaß, das ebenfalls ein Wahrscheinlichkeitsmaß ist und die Verteilung von X heißt. Stetigkeitsbegriffe im Zusammenhang mit Zufallsvariablen gibt es nun mehrere: Erstens kann X stetig sein, zweitens kann die Verteilung von X als Maß stetig bzgl. eines anderen Maßes (z.B. des Lebesgue-Maßes) sein, und drittens kann (sofern diese überhaupt existiert!) die Dichtefunktion der Verteilung von X als Funktion stetig sein. Ist letzteres der Fall, so sagen seriöse Autoren X hat eine stetige Dichte(-funktion). Wer dazu sagt "X ist stetig", der benutzt eine irreführende unmathematische Sprechweise und sorgt für herrliche babylonische Sprachverwirrung unter Mathematikern und Anwendern.-- JFKCom 01:31, 9. Okt 2005 (CEST)