In unserem Fall der Mengenlehre brauchen wir eigentlich nur das Alphabet {v_i, in}, und wir definieren im Extensionalitätsaxiom eine neue Relation, die wir mit "=" bezeichnen - von der wir nun aber zeigen müssten, dass sie eine Äquivalenzrelation ist. Wir könnten aber auch so vorgehen, dass wir "=" als Äquivalenzrelation vorgeben, und mit dem Extensionalitätsaxiom nur eine Eigenschaft der "in"-Relation festlegen. Letzteres scheint mir sinnvoller zu sein - wir setzen voraus, dass zwei Mengen (egal was Mengen sind!) entweder gleich oder ungleich sind, und dieses Axiom gibt uns ein Mittel, herauszufinden, welche dieser beiden Möglichkeiten vorliegt.