separabler Hilbertraum: (Motivation ist die Wellenmechanik) Die SGL besitzt als lineare PDE die Eigenschaft dass die Superposition von Lösungen, Lösungen sind. D.h. man möchte Zustände superponieren (z. B. Interferenz am Doppelspalt) => man braucht einen Vektorraum um Zustände zu beschreiben. Außerdem besagt die Bornsche Randbedingung, dass Lösungen der SGL dann physikalisch sind, wenn sie (in ) auf 1 normiert sind. Also braucht es einen normierten Vektorraum. Letzendlich wollen wir Übergangswahrscheinlichkeiten als (unsauber formuliert) "Projektionen eines Zustands auf den anderen" beschreiben. Dies kann mit dem Skalarprodukt realisiert werden. Das ergibt einen Hilbertraum. Weiterhin sollte das zu modelierende System nach höchstens abzählbar vielen Messungen eindeutig bestimmt sein. Mathematisch wird dies z.B. durch sog. abzählbare ONB's erreicht. Um solche ONB's sicherzustellen müssen wir fordern, dass der zugrundeliegende Hilbertraum separabel ist.