Man muss leere Modelle natürlich nicht von vorn herein schon im Beweissystem ausschließen, und moderne Systeme tun das auch nicht (JDH sagt hier auch 'was dazu: https://youtu.be/4LS4P9Tfd3A?t=2636). Eine einfache Möglichkeit (in Lambek und Scotts "Introduction to higher order categorical logic" wird das so etwa gemacht) ergibt sich, wenn man freie Variablen richtig behandelt: Man arbeitet mit Sequenzen der Form , wobei eine Liste (oder Menge) von Variablen ist, und die freien Variablen von und darin enthalten sein müssen. Semantisch bedeutet so eine Sequenz, dass für alle Belegungen der Variablen aus aus der Wahrheit von die von folgt. Als Regeln hat man zum Beispiel die bidirektionalen(!)