Eine Antwort zur Frage der Urelemente. Schon Fraenkel, der entscheidend dazu beitrug, dass sich die Zermelo-Mengenlehre verbreitete, sprach sich gegen Urelemente aus, weil er sie für unnötig hielt. Auch die erste Formalisierung der ZF-Mengenlehre von Skolom verzichtete auf Urelemente. Das hat dann Schule gemacht, so dass heutige Axiomensysteme in der Regel eine reine ZF-Mengenlehre beschreiben. Man kommt zur Beschreibung irgendwelcher Sachverhalte tatsächlich auch ohne Urelelmente aus, und zwar wegen Fraenkels Ersetzungsaxiom, denn mit diesem könnte man eine Menge mit Urelementen auf eine Menge ohne Urelemente bijektiv abbilden, also in eine moderne Menge einbetten. Das ist wohl das Hauptargument für eine reine Mengenlehre ohne Urelemente. Das zweite Argument ist die Vereinfachung der Axiome und Beweise: Für Urelemente bräuchte man vor allem eine schwächere Extensionalität, die nur für Mengen gilt und nicht für Urelemente; das macht formale Beweise dann mühsamer, weil man immer zusätzliche Mengenbedingungen (auch bei anderen Axiomen) mitschleppen müsste. Es gibt aber auch heute noch Mengenlehren, die die ursprünglichen Zermelo-Urelemente einkalkulieren, soweit ich mich erinnere: W. Felscher, Mengenlehre, mehrere Bände. Ich hoffe, die Antwort ist ausreichend. -- Wilfried Neumaier 09:28, 29. Sep. 2007 (CEST)