Ich verstehe das so, dass im Rahmen des logizistischen Programms die Russellsche Antinomie auftritt, die ungelöst zur Aufgabe des Logizismus zwingt. Frege verfiel in Depression, Russell entwickelte die Typentheorie. Kritische Anmerkungen zu Russell: "Die Theorie der Typen wurde mit Russells Paradoxie fertig - nicht aber mit der des Epimenides und der Grellings", jedoch "auf Kosten einer künstlich erscheinenden Hierarchie". (so Hofstädter, Douglas R.: Gödel, Escher, Bach. 5. Auflage. Klett-Cotta, Stuttgart 1985, S. 24) (Meine Anm.: Mit Blick auf den Unvollständigkeitssatz von Gödel ist das vielleicht ja nicht künstlich.) Die Russellsche führt zu der Schwierigkeit, wie man dann noch (mit Frege) Zahlen als Klassen von Klassen definieren kann. Russells Lösung war, ein Unendlichkeitsaxiom einzuführen, d.h. hier die Annahme einer unendlichen Anzahl kontingenter Dinge - das überzeugt aber auch nicht jeden. (Zitat: "Doch nun tauchte eine neue Schwierigkeit auf. Erinnern wir uns daran, dass Frege die Zahl Zwei faktisch als die Klasse aller Paare und die anderen natürlichen Zahlen auf ähnliche Weise definiert hatte. Doch ein Paar ist einfach eine Klasse mit zwei Elementen, sodass die Zahl Zwei nach dieser Erklärung eine Klasse von Klassen ist. Wenn wir die Bildung der Klassen von Klassen einschränken, wie können wir dann die Reihe der natürlichen Zahlen definieren? Russell behielt die Definition der Null als der Klasse, deren einziges Element die Null-Klasse ist, bei. Doch er behandelte die Zahl Eins jetzt als die Klasse aller Klassen, die der Klasse entsprach, deren Elemente (a) Elemente der Null-Klasse sind und (b) irgendein Objekt, das kein Element dieser definierenden Klasse ist. Auf diese Weise können die Zahlen eine nach der anderen definiert werden, und jede Zahl ist eine Klasse von Klassen von Individuen. Die Reihe der natürlichen Zahlen kann auf diese Weise nur dann bis ins Unendliche fortgesetzt werden, wenn die Anzahl der Gegenstände des Universums selbst unendlich ist. Denn wenn es nur n Einzeldinge gibt, dann wird es keine Klassen mit n + 1 Elementen geben und daher keine Kardinalzahl n + 1. Russell akzeptierte dieses Argument und fügte seinen Axiomen daher ein Axiom der Unendlichkeit hinzu, d. h. die Hypothese, dass die Anzahl der Gegenstände im Universum nicht endlich ist. Ob diese Hypothese wahr ist oder nicht: Sie ist gewiss keine Wahrheit der reinen Logik, und daher scheint die Notwendigkeit sie zu postulieren, das logizistische Projekt der Ableitung der Arithmetik aus der Logik zum Scheitern zu verurteilen." So Anthony Kenny: Geschichte der abendländischen Philosophie. Band IV. Moderne. 2. Auflage. WBG (Wissenschaftliche Buchgesellschaft), Darmstadt 2014, 978-3-534-73858-8, S. 62 -- Karl-Hagemann 18:24, 3. Apr. 2016 (CEST)