@Digamma: Beim ersten Versuch, das zu präzisieren, habe ich noch eine kleine lücke entdeckt. Ich schwenke daher auf die ähnliche, aber nicht identische Argumentation von Lam um. Zunächst die Grundlagen Ein Ring heißt einfach, wenn er keine echten beidseitigen Ideale besitzt. (Nach Wedderburn trifft das genau für die vollen Matrizenringe mit Koeffizienten in einem Schiefkörper zu.) Eine k-Algebra, k ein Körper, heißt zentral-einfach, wenn sie als Ring einfach ist und k als Zentrum besitzt. (Zentrum = alle z für die xz=zx gilt für alle x). Skolem-Noether: Je zwei Einbettungen f,g einer einfachen k-Algebra A in eine zentral-einfache k-Algebra B unterscheiden sich nur um eine Konjugation in B: Es gibt also ein invertierbares b in B mit für alle a aus A. So, jetzt zum Eigentlichen. Sei ψ ein Ring-Automorphismus von H. Es gilt ψ(R)=R, da ψ das Zentrum erhält. Folglich induziert ψ einen Ring-Automorphismus φ von R. Dabei muss es sich um die Identität handeln, vgl. Geordneter Körper (Dieser Schritt wird bei Lam nicht explizit erwähnt; der springende Punkt ist dabei, dass φ die Ordnung auf R erhält. Die Ordnung ist nämlich eindeutig über die Menge der positiven reellen Zahlen festgelegt. Dies sind in R genau die Quadratzahlen. Und φ bildet natürlich Quadrate auf Quadrate ab). Jetzt ist also gezeigt, dass ψ sogar ein Automorphismus von R-Algebren ist. Nach Skolem-Noether handelt es sich also um die Konjugation mit einer Quaternion q (invertierbar, also ungleich Null). Warum geht das für C anstelle von H nicht? Nun, ein Ring-Automorphismus von C muss keineswegs reelle Zahlen wieder auf reelle Zahlen abbilden. Falls er das tut, ist er mit 2) schon R-linear, und damit entweder die Identität oder die komplexe Konjugation. Aber es gibt auch nicht-R-lineare Ring-Automorphismen von C, wie Lam explizit in Fußnote 12 erwähnt. Übrigens soll (laut dieser Fußnote) kein geringer als Dedekind diesen Punkt übersehen haben. -- Boobarkee 02:00, 14. Apr. 2012 (CEST)