Die Verwirrung ist hier wirklich groß. Zuerst einmal zu der obigen Formel: Die Formel gibt korrekt die 2. Ableitung der Position im Inertialsystem an. Sieh' dir die Ableitung im Artikel Beschleunigtes Bezugssystem#Kinematik an, die ist zwar mit der komplizierten Physiker-Denke begründet, aber richtig. Auf der linken Seite steht die 2. Ableitung im Inertialsystem . Das ist die Beschleunigung aus der die d'Alembertsche Trägheitskraft m*a berechnet wird. Auf der rechten Seite stehen alle Terme die einem Beitrag zu dieser Beschleunigung liefern. Dabei ist der erste Term die 2. Ableitung der Postion im rotierenden Bezugssystem , also die Relativbeschleunigung in Bezug auf das rotierende Bezugssystem. Wenn der Körper im rotierenden Bezugssystem ruht oder sich nur gleichförmig geradlinig bewegt, ist dieser Term immer gleich Null. Wenn sich der Körper aber in Bezug auf das rotierende Bezugssystem beschleunigt bewegt, ist dieser Term nicht gleich Null und muss berücksichtigt werden. Wenn man diesen Term einfach durch a' ersetzt und dann nach a' "auflöst", setzt man den ersten Term effektiv immer gleich Null und vernachlässigt die Relativbeschleunigung im rotierenden BS. Die resultierende Formel liefert nur bei gleichförmig geradlinigen Relativ-Bewegungen im rotierenden BS richtige Werte, bei beschleunigten Relativ-Bewegungen z.B. Rotation in Bezug auf das rotierende BS ist das Ergebnis falsch, weil die Relativbeschleunigung a' nicht berechnet wird. Wenn man die oben stehende Formel so anwendet wie dort steht, erhält man für die Relativbeschleunigung a' zusätzliche Terme und ein korrektes Ergebnis für die Beschleunigung im Inertialsystem und die d'Alembertsche Trägheitskraft. Das kann man leicht mit zwei Bezugssystemen beweisen, die auf einer gemeinsamen Achse mit unterschiedlichen rotieren. Man kann es auch nachweisen indem man die 2. Ableitung des Weges im Inertialsystem direkt berechnet.