Hallo, ich suche eine treffendere Zwischenüberschrift anstelle von Monotones Anwachsen der Streuung der Verteilung ohne Vermögen- und Erbschaftsteuern. Das Problem mit dieser Überschrift ist, dass sie schwer zu verstehen ist und dass die besondere Bedeutung der Zinseszinsen für den Konzentrationsprozess nicht darin anklingt. Um das zu verdeutlichen, habe ich das Python - Skript, welches im Wikipedia-Artikel zum Thema Zinseszins als Beispiel für die Vermögenskonzentration angefügt ist, so verändert, dass man die tatsächliche Bedeutung der Zinseszinsen besser erkennen kann. Hier ist das veränderte Skript, welches zuerst die Vermögensentwicklung ohne Zinseszinsen und danach mit Zinseszinsen berechnet und beide Ergebnisse in eine Grafik plottet. Die Quelle inklusive der geplotteten Grafiken befindet sich hier. Es ist die dritte Simulation, und sie kann direkt auf der Webseite ausgeführt werden (Open with one click!). Entrepreneurs, Chance, and the Deterministic Concentration of Wealth Joseph E. Fargione, Clarence Lehman, Stephen Polasky https://doi.org/10.1371/journal.pone.0020728 import numpy as np import scipy.stats as sts import matplotlib.pyplot as plt n, t = 1000, 200 # Populationsgröße n und Zeitraum t in Jahren dn = n // 10 # Ganzzahliger Bruchteil von n (dn = Dezi_n = 10% von n) rendite = -0.2, 0.3 # Liste der möglichen jährlichen Renditen r = np.array(rendite) # Array mit den möglichen Renditen (für Berechnungen) R = np.random.choice(r, (n, t)) # Matrix mit den zufälligen Renditen (Auswahl per Münzwurf) S = np.ones((n, 1)) # Vektor mit den n gleichen Startvermögen (jeweils eine Geldeinheit) T = np.arange(0, t+1, 1) # Array der Zeitpunkte von 0 bis t (insgesamt t+1 Zahlen) mu, sigma = np.mean(r), np.std(r) X = R.cumsum(axis=1) Y = 1 + X # lineare Vermögensentwicklung (keine Zinseszinsen) K = np.concatenate((S, S*Y), axis=1) K.sort(axis=0) W_Total = K[0:n].sum(axis=0) Q_Top10z = K[n-dn:n].sum(axis=0) / W_Total P_Top10z = 0.1 + sigma*np.exp(-sts.norm.ppf(1-0.1)**2/2)*np.sqrt(T/np.pi/2)/(mu*T+1) mu, sigma = np.mean(np.log(1+r)), np.std(np.log(1+r)) X = np.log(1+R).cumsum(axis=1) Y = np.exp(X) # exponentielle Vermögensentwicklung (Zinseszinseffekt) K = np.concatenate((S, S*Y), axis=1) K.sort(axis=0) W_Total = K[0:n].sum(axis=0) Q_Top10zz = K[n-dn:n].sum(axis=0) / W_Total P_Top10zz = sts.norm.cdf(sigma*np.sqrt(T)-sts.norm.ppf(0.9)) fig, ax = plt.subplots(figsize=(12.0, 6.0)) fig.suptitle('Entwicklung des Vermögensanteils im Besitz der obersten 10 Prozent im Zeitverlauf') ax.plot(Q_Top10zz, 'bo', markersize=4.0, label='Top 10% (Simulation mit Zinseszinsen)') ax.plot(T, P_Top10zz, 'c', linewidth=2.0, label='Top 10% (Berechnung mit Zinseszinsen)') ax.plot(Q_Top10z, 'bo', markersize=2.0, label='Top 10% (Simulation ohne Zinseszinsen)') ax.plot(T, P_Top10z, 'c', linewidth=1.0, label='Top 10% (Berechnung ohne Zinseszinsen)') ax.set(xlabel='Zeit (Jahre)', ylabel='Vermögensanteil im Besitz der obersten 10 Prozent') ax.legend() ax.grid() plt.show() Wenn man die Zinseszinsen deaktiviert, also Y = 1+X anstelle von Y = exp(X) berechnet, kommt es nicht mehr zu einer Vermögenskonzentration an der Spitze der Population. Tatsächlich findet ohne die Zinseszinsen nur dann eine scheinbare Vermögenskonzentration statt, wenn der Erwartungswert mu = 0 ist. Aber der Grund dafür ist, dass das im wesentlichen konstante Gesamtvermögen W_Total in im Laufe der Zeit immer weiter gedehnt wird und dabei auch negative Vermögen (Schulden) entstehen. Teilt man die Bevölkerung beispielsweise in fünf gleich große Gruppen (Quintile) ein, so haben zu Beginn alle fünf Gruppen dasselbe Startvermögen, beispielsweise (10, 10, 10, 10, 10) Vermögenseinheiten. Nach einiger Zeit haben die ärmsten Gruppe ein negatives Vermögen, während die reichsten Gruppen ein positives Vermögen behalten und dieses sogar vergößern, weil das Gesamtvermögen im wesentlichen immer gleich 50 Vermögenseinheiten bleibt. So ergibt sich beispielsweise folgender Zeitverlauf: (10, 10, 10, 10, 10), (-40, -20, 10, 40, 60), (-50, -30, 10, 50, 70), (-60, -40, 10, 60, 80), usw. Das Vermögen in der mittleren Gruppe bleibt dabei im wesentlichen konstant. Falls mu = 0 ist kommt es somit zu einer Vermögenskonzentration an der Spitze der Population, wobei der Vermögensanteil an der Spitze der Population schon nach kurzer Zeit mehr als 100% des Gesamtvermögens beträgt. Da diese besondere Form der Vermögenskonzentration auf Schulden (negative Vermögen) beruht und dadurch Vermögensanteile von weit über 100% des Gesamtvermögens erreicht werden, kann diese spezielle Form auch als Scheinkonzentration angesehen werden. Falls mu > 0 ist, stellt sich ohne Zinseszinsen jedoch keine Vermögenskonzentration ein. Im Skript wird bei der Berechnung ohne Zinseszinsen für jeden der 1000 Bürger jedes Jahr eine Münze geworfen und das Vermögen dann entweder um 20% des Startkapitals verringert oder um 30% des Startkapitals erhöht. So ist mu = (-0.2+0.3)/2 = 0.05 > 0, und es kommt zu keiner Vermögenskonzentration. Das Startkapital S beträgt für jeden Bürger genau eine Geldeinheit (z.B. 1000 €), ist also für alle gleich 1 (eng.: ones). Der prognostizierte Wert P_Top10z berechnet sich nach einer Formel, welche man erhält, wenn man den im Wikipedia - Artikel zum Zinseszins beschrittenen Weg für K_i(t) = K_o * (1 + r_(i,0) + r_(i,1) + ... + r_(i,t)) = K_o * (1 + x_i(t)) analog durchrechnet. Da auch ohne die Zinseszinsen x_i(t) = r_(i,0) + r_(i,1) + ... + r_(i,t) ist, wächst auch in diesem Fall die Streuung von x_i(t) als Summe von immer mehr Zufallszahlen r_(i,0) + r_(i,1) + ... + r_(i,t) streng monoton an. Allerdings genügt das streng monotone Anwachsen der Streuung nicht, um eine Vermögenskonzentration auszulösen. Dazu muss auch noch der Zinseszinseffekt (die Exponentialfunktion) hinzukommen. Die besondere Bedeutung der Exponentialfunktion für den Konzentrationsprozess wird deutlich, wenn man den Fall ohne Zinseszinsen und Y = 1+X als lineare Näherung an den Fall mit Zinseszinsen und Y = exp(X) auffasst und die lineare Näherung Y = 1+X an die Exponentialfunktion durch Näherungen höherer Ordnung ersetzt, z.B. Y = 1+X+X**2/2 oder Y = 1+X+X**2/2+X**3/6 oder Y = 1+X+X**2/2+X**3/6+X**4/24. Bei keiner dieser Näherungen an die Exponentialfunktion stellt sich eine Vermögenskonzentration ein. Verwendet man hingegen die wirkliche Exponentialfunktion Y = np.exp(X), so kommt es sofort zur Konzentration. Dieses kann man direkt im obigen Skript ausprobieren, indem man die Zeile Y = 1+X entsprechend verändert. Im Skript sind die Zufallszahlen r_(i,k) selber nicht normalverteilt, sondern entstehen durch einen Münzwurf und sind deshalb zweipunktverteilt. Aufgrund des zentralen Grenzwertsatzes sind jedoch die Summen x_i(t) nach einiger Zeit hinreichend nahe an einer Normalverteilung. Deshalb klappt die Vermögenskonzentration durch die Zinseszinsen auch in diesem Fall. Bei der Berechnung mit Zinseszinsen wird das Vermögen für jeden Bürger jedes Jahr entweder um 20% verringert oder um 30% erhöht. Dazu wird die Transformation der Zufallszahlen mit dem Logarithmus benötigt: K = Ko*(1+p/100) = Ko*q = Ko*exp(λ), also muss λ = log(q) = log(1+p/100) sein. Wegen r = p/100 gilt also λ = log(1+r). Die Transformation hat aber keine Bedeutung für den Konzentrationsprozess. Ohne diese Transformation würde das Vermögen lediglich jedes Jahr entweder um 18% verringert (exp(-0.2) = 0.82) oder um 35% erhöht (exp(0.3) = 1.35). Wenn man sich an der Transformation stört, kann man sie einfach weglassen und np.log(1+R) durch R und np.log(1+r) durch r ersetzten: Einfach genau wie bei der Berechnung ohne Zinseszinsen X = R.cumsum(axis=1) und sigma = np.std(r) verwenden. Der korrekte Wert für mu ist bei der Rechnung mit Zinseszinses ohne Bedeutung. Ich denke, eine treffendere und einfacher zu verstehende Überschrift wäre beispielsweise Vermögenskonzentration durch den Zinseszinseffekt. -- 12:29, 17. Sep. 2020 (CEST)