Ich bin mir nicht sicher, ob ein solches Beispiel das Problem lösen würde, deshalb stell ich es erst einmal hier herein. Noch besser wäre natürlich ein Bild, in dem alle beteiligten Mengen schön bunt dargestellt werden... Beispiel Anfang Sei . In Worten ist also die disjunkte Vereinigung von zwei Intervallen. Diese Menge ist wie üblich mit der von induzierten Topologie (Teilraumtopologie, Spurtopologie) versehen. Dies bedeutet, dass die in X offenen Mengen gerade die Mengen von der Form sind, wobei eine in in offene Menge ist. Eine Menge ist also genau dann in X offen, wenn sie sich schreiben lässt als Schnitt einer in offene Menge mit X. Das Intervall ist in offen. Also ist der Schnitt von mit in X offen. Dies ergibt gerade . Also ist die Menge in X offen, obwohl natürlich nicht in offen ist. Ebenso ist das Intervall in offen. Also ist der Schnitt von mit unserem Raum in X offen. Dieser Schnitt ist nun gerade die Menge . Also ist eine offene Teilmenge des Raumes . Wir sehen also, dass wir den Raum als disjunkte Vereinigung von zwei in X offenen Teilmengen schreiben können, die beide nicht leer sind. Also ist nicht zusammenhängend. Dies lässt sich alternativ auch folgendermaßen sehen: Das Intervall ist in abgeschlossen. Also ist in X abgeschlossen. Dieser Schnitt ist nun aber wieder die Menge . Also ist in X abgeschlossen, obwohl natürlich nicht in abgeschlossen ist. Wir haben aber oben gesehen, dass in X offen ist. Also haben wir mit eine Teilmenge von gefunden, die gleichzeitig sowohl offen als auch abgeschlossen (in X) ist, aber nicht leer ist und auch nicht ganz . Also kann nicht zusammenhängend sein. Beispiel Ende Viele Grüße, -- Cosine 16:38, 9. Dez. 2009 (CET)