Die wundersame Geschichte eines mathematischen Problems Als Gero von Randow am 19. Juli 1991 in der ZEIT unter der Überschrift "Eingebung nützt nichts" einen Artikel zum "Ziegenproblem" (im Amerikanischen: "Monty Hall Problem" nach dem Namen eines Showmasters) schrieb, schien die Sache nach viel Wirbel in den USA schon gelaufen. Doch die hitzige Debatte über eine Mathematikaufgabe, die auf den ersten Blick recht einfach erscheint, ging auch in Europa weiter. Einen Monat später schrieb von Randow schon den größeren Artikel "Eine überzeugende Logik", in dem er die Richtigkeit der umstrittenen Lösung Marilyn vos Savants, der intelligentesten Frau der Welt, begründete. Später schrieb er ein ganzes Buch mit dem Titel "Das Ziegenproblem" (Rowohlt Taschenbuch Verlag, Reinbek bei Hamburg, 10. Auflage März 2001). Es folgten viele weitere Veröffentlichungen zum Thema, in denen die Lösung vos Savants verteidigt wird; darunter das Buch "The Power of Logical Thinking" von Marilyn vos Savant selbst (St. Martin's Press, New York, 1996), in dem das "Monty Hall Dilemma" einen großen Raum einnimmt. Verlauf und aktuellen Stand der öffentlichen Debatte kann man folgendermaßen zusammenfassen: In der amerikanischen Zeitschrift "Parade" werden im September 1990 nach einer Leseranfrage das Problem und seine angebliche Lösung von Marilyn vos Savant vorgestellt. Tausende von Leserbriefen widersprechen dieser Lösung. Überall, wo die Aufgabe seither gestellt wird, läuft die Debatte nach diesem Muster ab: Veröffentlicht wird das Problem von Vertretern der Lösung vos Savants, und die erneut folgenden zahlreichen Proteste werden nur als Bestätigung dafür genommen, dass die "menschliche Intuition" in diesem Fall präziser mathematischer Begründung nicht standhalte. Worum geht es? "Sie nehmen an einer Spielshow im Fernsehen teil, bei der Sie eine von drei verschlossenen Türen auswählen sollen. Hinter einer Tür wartet der Preis, ein Auto, hinter den beiden anderen stehen Ziegen. Sie zeigen auf eine Tür, sagen wir Nummer eins. Sie bleibt vorerst geschlossen. Der Moderator weiß, hinter welcher Tür sich das Auto befindet; mit den Worten 'Ich zeige Ihnen mal was' öffnet er eine andere Tür, zum Beispiel Nummer drei, und eine meckernde Ziege schaut ins Publikum. Er fragt: 'Bleiben Sie bei Nummer eins, oder wählen Sie Nummer zwei?'" So formuliert Gero von Randow die Aufgabe in seinem Buch (S. 7); und in einem weiteren ZEIT-Artikel vom 18. November 2004 wird das analoge Problem gestellt. Auch diesem Artikel folgte bald ein weiterer von Gero von Randow, in dem er Marilyn vos Savants Lösung verteidigte: "Die Wahrscheinlichkeit, dass das Auto hinter Tür zwei steht, beträgt zwei Drittel." Gleich nach dem ersten ZEIT-Artikel im Jahr 1991 habe ich vos Savant sowohl mit mathematischen Begründungen als auch mit anschaulichen Argumenten recht gegeben. Meinen Vorschlag, man spiele mit hundert anstatt nur mit drei Türen, hat von Randow damals in seinen zweiten Artikel und später in sein Buch (S. 10) übernommen. Allerdings hatte ich damals hinzugefügt und in einem weiteren Brief ausführlich begründet, dass die Zwei-Drittel-Lösung nur richtig ist, wenn der Moderator nach der ersten Wahl durch die Spielregel zum Öffnen einer nicht gewählten Ziegentür gezwungen ist. Da das Problem im Jahr 1991 mit der Zwei-Drittel-Lösung als endgültig gelöst vorgestellt wurde, hatte ich angenommen, dass in der Original-Problemstellung, die Marilyn vos Savant veröffentlicht hatte, die erwähnte Spielregel enthalten war. Als ich vor einigen Jahren erneut auf das "Ziegenproblem" gestoßen bin, war ich überrascht zu sehen, dass das nicht der Fall gewesen war. Ohne ausführlich zu werden, kann man leicht begründen, weshalb die Zwei-Drittel-Lösung ohne diese Spielregel falsch ist: Man nehme an, dass der Moderator eine andere Tür nur dann öffnet, wenn der Kandidat mit der ersten Wahl recht hatte. Wenn dann die Show in der üblicherweise geschilderten Weise abläuft, verliert der Kandidat bei einem Wechsel hundertprozentig. Auf diese Gedanken sind natürlich auch andere gekommen; und auch die Vertreter der Zwei-Drittel-Lösung haben davon erfahren. Und damit wären wir bei der eigenartigsten Phase der Debatte angelangt: In Fußnoten, weiteren zusätzlichen Abschnitten oder bei der Begründung der Lösung wird inzwischen oft mitgeteilt, dass die Lösung vos Savants nur korrekt ist, wenn die erwähnte Spielregel gilt. In die Aufgabenstellung selbst, wie sie beispielsweise von Bildungsforschern Schülern vorgelegt wird (siehe DIE ZEIT, 18.11.2004), wird die Regel aber nicht aufgenommen. Trotzdem wird die Zwei-Drittel-Lösung als einzig richtige Lösung vorgestellt. Das ist umso erstaunlicher, als schon am 21. Juli 1991 - zwei Tage nach dem ersten ZEIT-Artikel Gero von Randows - ein Artikel von John Tierney in der Sonntagsausgabe der New York Times erschien mit der Absicht, das Problem ein für alle Mal zu klären. Es wurden dazu die vier Personen befragt, denen man diese Klärung am ehesten zutraute: Martin Gardner, der bekannte Autor mathematischer Knobelaufgaben; Persi Diaconis, Professor für Statistik an der Stanford University; Marilyn vos Savant selbst sowie der Showmaster Monty Hall, von dem das Problem seinen Namen hat. DER SPIEGEL beispielsweise bezieht sich zwar in der Ausgabe vom 19. August 1991 auf diesen Artikel, lässt jedoch folgende Einwände einfach weg: "'The problem is not well-formed,' Mr. Gardner said, 'unless it makes clear that the host must always open an empty door and offer the switch. Otherwise, if the host is malevolent, he may open another door only when it's to his advantage to let the player switch, and the probability of being right by switching could be as low as zero.' Mr. Gardner said the ambiguity could be eliminated if the host promised ahead of time to open another door and then offer a switch. Ms. vos Savant acknowledged that the ambiguity did exist in her original statement. She said it was a minor assumption that should have been made obvious by her subsequent analyses, and that did not excuse her professorial critics. 'I wouldn't have minded if they had raised that objection,' she said Friday, 'because it would mean they really understood the problem. But they never got beyond their first mistaken impression. That's what dismayed me.' Still, because of the ambiguity in the wording, it is impossible to solve the problem as stated through mathematical reasoning. 'The strict argument, ' Dr. Diaconis said, 'would be that the question cannot be answered without knowing the motivation of the host.' Which means, of course, that the only person who can answer this version of the Monty Hall Problem is Monty Hall himself. Here is what should be the last word on the subject: 'If the host is required to open a door all the time and offer you a switch, then you should take the switch,' he said. 'But if he has the choice whether to allow a switch or not, beware. Caveat emptor. It all depends on his mood.'" Es ergibt sich nun die Frage, warum eine Problemstellung, die für jahrzehntelange Auseinandersetzungen sorgt, trotz solcher Einwände nicht so formuliert wird, dass die angebliche Lösung auch zur Aufgabe passt. Mir fällt nur eine plausible Antwort ein: "Die meisten Vertreter der Zwei-Drittel-Lösung haben das Problem zunächst nicht verstanden." Je klarer die Bedeutung der Spielregel in der "Zwei-Drittel-Fraktion" wird, desto mehr scheint man sich in den "Forschungen" zum Ziegenproblem der Frage zu widmen: "Wie können wir den Fehler in der Aufgabenstellung vertuschen?" Marilyn vos Savant beginnt in ihrem Buch die Einleitung zum Thema mit der oben formulierten Aufgabe (übrigens ohne den Zusatz "Ich zeige Ihnen mal was"), die ihr von einem Leser gestellt worden war. Ihre erste Antwort lautete: "Yes, you should switch. The first door has a 1/3 chance of winning, the second door has a 2/3 chance. Here's a good way to visualize what happened: Suppose there are a million doors, and you pick door number 1. Then the host, who knows what's behind the doors and will always avoid the one with the prize, opens them all except door number 777,777. You should switch to that door pretty fast, wouldn't you?" Aus ihrer Beschreibung der sich anschließenden Phase, während der sie zehntausend Leserbriefe erhielt, von denen 90 Prozent ihre Lösung für falsch hielten, geht an einigen Stellen hervor, dass es Leser gab, die Kritik an der Aufgabenstellung übten. Aber weit davon entfernt, diesen Einwänden den Stellenwert einzuräumen, den sie verdienten, hebt vos Savant lediglich ihre These hervor, dass die große Mehrheit die Aufgabe so verstanden habe, dass die Zwei-Drittel-Lösung richtig gewesen wäre. Damit kann sie auch bei ihrem Leitgedanken zum Ziegenproblem bleiben: Dass es ein ideales Beispiel für eine Fragestellung sei, bei der die menschliche Intuition versagt. Interessanterweise enthält das Buch vos Savants einen 25-seitigen Anhang von Donald Granberg von der University of Missouri, der die zehntausend Leserbriefe näher analysierte. Am Anfang fasst er den Stand der Diskussion zustimmend so zusammen, dass Marilyns Antwort unter sieben "hoch plausiblen Annahmen" im wesentlichen korrekt sei. Die vierte Annahme beinhaltet die Verpflichtung des Moderators, nach der ersten Wahl eine nicht gewählte Ziegentür zu öffnen, die letzte, dass der Showmaster vertrauenswürdig sein muss. Auch einige der von Granberg vorgestellten Leserbriefe beinhalten durchaus stichhaltige Argumente gegen die Lösung vos Savants für die gestellte Aufgabe. Aber auch Granberg kann sich nicht zu der Forderung durchringen, dass die Spielregeln in die Aufgabenstellung gehören und nicht in die Begründung der Lösung. Denselben Fehler enthält die erste Version aus dem Jahr 2002 zum Ziegenproblem im Internet-Lexikon Wikipedia. Bemerkenswert ist dann der kleine, etwas verloren wirkende Zusatz zur Aufgabe, der sich vom 18. auf den 19. Januar 2005 hineingeschlichen hat: "Der Ablauf ist dabei immer wie folgt." Eine spätere Version in Wikipedia enthielt dann einen separaten Abschnitt zur "Unschärfe" der ursprünglichen Problemstellung. Die neueste Version (21.8.2008) enthält jetzt sowohl wie bei Granberg eine Aufgabenstellung aus sieben Einzelpunkten als auch die "originale Problemstellung". Im Artikeltext werden die beiden Aufgaben allerdings so behandelt, als seien sie gleichwertig. Und das "Verständnisproblem" wird nach wie vor nur bei denen diagnostiziert, die der Zwei-Drittel-Lösung widersprochen haben (http://de.wikipedia.org/wiki/Ziegenproblem). Meiner Ansicht nach wurde in der Zwei-Drittel-Fraktion nicht der Unterschied zwischen der bloßen Tatsache gesehen, dass der Moderator nach der ersten Wahl eine nicht gewählte Ziegentür öffnet, und dem Zwang zu dieser Handlung, der sich durch die erwähnte Spielregel ergäbe und der entscheidend ist für die Begründung der Zwei-Drittel-Lösung. Während die große Mehrheit zwischen der ersten Wahl des Kandidaten und der Handlung des Moderators offensichtlich überhaupt keine Kopplung sieht und deshalb - bei der vorgelegten Aufgabenstellung durchaus akzeptabel - auf gleichen Chancen für beide verbleibenden Türen besteht, ging die Zwei-Drittel-Fraktion offenbar von einer Kopplung aus, die aber im Nebel geblieben und deshalb in der Aufgabe nicht explizit formuliert worden ist. Diesen von mir vermuteten Denkfehler habe ich in meinem Brief 1991 so formuliert: "Ich denke mir Tür eins. Der Moderator öffnet Tür drei. Also habe ich jetzt mit Tür zwei eine Zwei-Drittel-Chance." Auf der Basis dieses Fehlers, der sich natürlich auch nicht so "explizit" zeigt wie in meiner Formulierung, lassen sich einleuchtend scheinende Fallunterscheidungen, dekoriert mit Bildern von Autos und Ziegen, zur Begründung der Zwei-Drittel-Lösung aufstellen. Und dieser Denkfehler dürfte der Grund dafür sein, dass die erforderliche Spielregel nicht in die Aufgabenformulierung aufgenommen worden ist. Eine Bestätigung für diese Vermutung liefert ungewollt Gero von Randow, ein prominenter Vertreter der Zwei-Drittel-Lösung: Auf S. 52 seines Buchs "Das Ziegenproblem" schildert er unter "Mein Irrtum" eine Spielvariante von Dr. Bijan Sabzevari. Diese Variante enthält analog zu dem von mir beschriebenen "Denkfehler" auch einen Gedanken als ersten "Spielzug". Das Sabzevari-Spiel lässt von Randow zunächst glauben, dass die Zwei-Drittel-Lösung auch ganz ohne den Zwang einer Spielregel folgt. Wäre für von Randow die erwähnte Spielregel tatsächlich eine "Selbstverständlichkeit" und entscheidende Voraussetzung für die Zwei-Drittel-Lösung gewesen, hätte er in dem bei der Sabzevari-Varianten "explizit" fehlenden Zwang sofort den entscheidenden Unterschied und den Grund für eine 50:50-Lösung gesehen. Nach seinem "Irrtum" schreibt er schließlich - auf Seite 57; d.h. 50 Seiten nach der oben wiedergegebenen Leitaufgabe des Buchs: "Die Savant'sche Lösung ist also nur richtig, wenn der Moderator weder die Autotür noch die erstgewählte Tür aufmachen darf." Nachdem er also die richtige Aufgabenstellung aus seiner Lösung hergeleitet hat, fordert er seltsamerweise nicht die explizite Formulierung dieser Spielregel für das Ziegenproblem, sondern weicht der Kritik an der fehlenden Spielregel mit Mathematikerwitzen aus. In dem ZEIT-Artikel vom 18. November 2004 und in dem von Gero von Randow persönlich geschriebenen Folgeartikel fällt die Problematik der Aufgabenstellung jedoch völlig unter den Tisch. Verständlich, dass sich beim Schulbesuch von Bildungsforschern an einem Berliner Gymnasium ausgerechnet die Schüler des Leistungskurses Mathematik der 13. Klasse dem Unterjubeln der Zwei-Drittel-Lösung am stärksten widersetzten (DIE ZEIT, 18.11.2004). Beim zweiten Versuch haben die "Mathe-Cracks" dann die Bildungsforscher durch Zustimmung zufriedengestellt. Was die Vertreter der Zwei-Drittel-Lösung - auch ohne die erwähnte Spielregel - so sicher gemacht hat, ist die scheinbar ebenso einfache wie "einleuchtende" Begründung, die übrigens auch Donald Granberg allein nicht anerkennt. Sie lautet: "Die Wahrscheinlichkeit, dass das Auto hinter Tür 1 steht, beträgt 1/3. Wenn ich bei meiner ersten Wahl bleibe, gewinne ich also mit einer Wahrscheinlichkeit von 1/3. Bei einem Wechsel beträgt daher meine Gewinnchance 2/3." Diese Argumentation ist bei der vorgelegten Aufgabenstellung falsch. Zwar beträgt am Anfang die Wahrscheinlichkeit für "Tür 2 oder 3" zwei Drittel. Nach Öffnen von Tür 3 ist aber die Wahrscheinlichkeit für die beiden verbleibenden Türen jeweils gleich 1/2 - egal, ob der Kandidat vorher auf Tür 1 oder sonstwohin gezeigt hat oder auch nicht. Tür 2 "erbt" nur dann die Zwei-Drittel-Wahrscheinlichkeit, wenn das Öffnen einer nicht gewählten Ziegentür durch den Moderator von der Spielregel erzwungen worden ist. Ein entscheidender Grund dafür, dass von vielen aus der "Zwei-Drittel-Fraktion" dieser entscheidende Fehler nicht erkannt worden ist, dürfte auch gewesen sein, dass man durch häufiges "Nachspielen" oder entsprechende Computerprogramme die Zwei-Drittel-Lösung scheinbar "beweisen" kann. Dass dabei aber die nicht formulierte Spielregel als unausgesprochene Voraussetzung in den "Beweis" einfließt, wurde nicht erkannt. Die Reaktion der großen Mehrheit auf die angebliche Zwei-Drittel-Lösung für das "Ziegenproblem" kann man durchaus so interpretieren, dass sie "intuitiv" richtig erkannte, dass an der Sache etwas faul ist - nur dass sie nicht genau sagen konnte, wo der Haken liegt. Zur weiteren Klärung mag auch folgender pragmatische Aspekt beitragen: Sie stellen im Bekanntenkreis die Aufgabe und versuchen, die Zwei-Drittel-Lösung zu begründen. Dabei sagen Sie u.a.: "Der Moderator muss ja eine andere Tür öffnen." Darauf kommt die Frage: "Warum muss er das?". Dann sind Sie mit Ihrem Latein am Ende. Mit der erwähnten Spielregel ergibt sich folgende Aufteilung: 1. Auto hinter Tür 1 - Moderator öffnet Tür 2 : p = 1/6 2. Auto hinter Tür 1 - Moderator öffnet Tür 3 : p = 1/6 3. Auto hinter Tür 2 - Moderator öffnet Tür 3 : p = 1/3 4. Auto hinter Tür 3 - Moderator öffnet Tür 2 : p = 1/3 Wahrscheinlichkeit für Tür 2 nach Öffnen von Tür 3: p = 2/3 Versuchen wir's doch mit folgender Aufgabe; auch auf die Gefahr hin, dass dann der ganze Spuk verschwindet: "Sie sind Kandidat einer Fernsehshow und stehen vor drei verschlossenen Türen. Hinter einer der Türen, die nach dem Zufallsprinzip bestimmt wurde, befindet sich der Hauptgewinn; hinter den beiden anderen jeweils eine Niete. Der Showmaster weiß, hinter welcher Tür sich der Gewinn befindet. Sie müssen nun zwei Türen bestimmen, aus denen der Showmaster eine Nietentür auswählen und öffnen muss. Bleibt dem Showmaster dabei eine Wahlmöglichkeit, so bestimmt er die von ihm zu öffnende Tür nach dem Zufallsprinzip. Danach dürfen Sie eine der beiden verbleibenden Türen auswählen. Geben Sie für jede der beiden Türen die Gewinnchance an. Beispiel: Sie lassen den Moderator zwischen Tür 2 und Tür 3 auswählen, und er öffnet die Nietentür 3. Geben Sie jeweils die Gewinnchance für Tür 1 und Tür 2 an." -- Albtal 11:36, 20. Aug. 2008 (CEST)