Die Zeichen "=" und emptyset werden durch zwei Axiome definiert. "{x}" und "A u B" werden noch nicht definiert, aber im Unendlichkeitsaxiom verwendet. Ich denke, dass eine Formulierung dieses Axioms ohne diese beiden Abkürzungen recht unhandlich wird. Da im Absatz über das Aussonderungsaxiom aber die Schreibweise "{C in A | P(C)}" eingeführt wird, können wir genauso in den beiden anderen Axiomen die Schreibweisen "{A,B}", "{A} := {A,A}" und "bigcup A", sowie als Kombination der beiden die Schreibweise "A cup B := bigcup {A,B}" einführen. Damit hätten wir das Unendlichkeitsaxiom auf sicherem Boden. Zusätzlich könnten wir an geeigneter Stelle definieren "A cap B := {x in A | x in B}". Diese Mengenoperationen sind doch nur abkürzende Schreibweisen für die Mengen, deren Existenz von einem bestimmten Axiom und deren Eindeutigkeit vom Extensionalitätsaxiom gesichert wird. Die Schreibweise "forall A in X : phi" hat dagegen mit den Axiomen der Mengenlehre gar nichts zu tun, sondern ist eine rein (formal-)sprachliche Definition.