X(\omega) = \begin{cases} 0, & \text{wenn } \omega \in [0,1] \text{ rational ist} \\ 1, & \text{wenn } \omega \in [0,1] \text{ irrational ist} \end{cases} ihr Bildraum besteht also aus der Zweiermenge {0,1} als Grundmenge und deren Potenzmenge als Sigma-Algebra. Diese Zv. nimmt nur zwei Werte an, sie ist aber nicht diskret! Die zugehörige Vf. ist die sog. Cantorsche Vf., sie gehört zu einem dritten Grundtyp von Vf., nämlich den singulären Vf. Diese zeichnen sich dadurch aus, dass sie stetig sind (man beachte auch hier wieder die Diskrepanz zur 3. Definitionsvariante einer "stetigen" Zv.!), auf einer Menge vom Borelmaß 0 konzentriert sind und ihre Ableitung fast überall existiert und gleich 0 ist. Nun haben wir drei Typen von Vf., nämlich absolut stetige, diskrete und singuläre. Wer will, kann (reelle) Zv. auch so nennen, wenn ihre Vf. die entsprechende Eigenschaft hat. Und dass man an diesen Definitionen nicht herumbasteln bzw. Willkürlichkeiten reinbringen kann, zeigt folgender Zerlegungsatz von Lebesgue: Zu jeder Vf. F gibt es drei Konstanten mit sowie eine absolut stetige Vf. , eine diskrete Vf. und eine singuläre Vf. , so dass