Das unter 2 Quintenzirkel und Quintenspirale beschriebene Problem des pythagoreischen Kommas löst man, indem man es gleichmäßig auf die 12 Quinten verteilt, womit die Schwingungszahl einer (reinen) Quinte sich von 3:2 auf 2,996 614 154 : 2 verändert. Rechnung dazu: Beim Quintenzirkel werden 12 Quinten betrachtet, die circa 7 Oktaven gleich sind, da 1,5^12 = 129,746 337 9 und 2^7 = 128. Die Schwingungszahl nach 12 Quinten ist also um den Faktor 129,746 337 9 / 128 = 1,013 643 265 höher als die nach 7 Oktaven. Zieht man aus dem letzten Schwingungsverhältnis, welches das pythagoreische Komma darstellt, die 12. Wurzel, erhält man das Verhältnis 1,013 643 265^(1/12) = 1,001 129 891 und damit den Faktor, um den jede der 12 Quinten des Zirkels im Schwingungsverhältnis zu verringern ist, damit sich der Quintenzirkel ohne eine Wolfsquinte schließen lässt. Von 3:2 ist das Schwingungsverhältnis aufeinander folgender Quinten dann wegen 3 / 1,001 129 891 = 2,996 614 154 nunmehr auf 2,996 614 154 : 2 zu ändern. Zur Größe des pythagoreischen Kommas Ein Tonschritt entspricht wegen 12 Tonschritten pro Oktave dem Schwingungsverhältnis 2^(1/12) = 1,059 463 094, sodass ein Viertelton dem Verhältnis 1,059 463 094^(1/4) = 1,014 545 335 gleich ist, was ziemlich genau gleich ist dem des pythagoreisches Kommas mit 1,013 643 265. (Natürlich lässt sich der Bruchteil x des Tones auch genauer berechnen: Aus 1,059 463 094^x = 1,013 643 265 folgt x log 1,059 463 094 = log 1,013 643 265 und x = log 1,013 643 265 / log 1,059 463 094, also x = 0,234 600 109 1, was der 4,262 572 612-te Teil eines Tonschrittes ist.) Im Artikel wurden deshalb die Worte "ca. einen Achtelton" geändert in "fast einen Viertelton", und zwar im Satz "..., so zeigt sich rechnerisch, dass der Abschlusston his der Quintenreihe geringfügig (um ca. einen Achtelton) höher ist als das gleichzeitig erreichte letzte c der Oktavenreihe." Kleine Korrektur: Es muss heißen: 1/4 Halbton (Halbton = 100 Cent, pyth. Komma = 23,5 Cent) -- Joachim Mohr 10:01, 1. Nov. 2016 (CET)