Das ist eine semantische Einschränkung, keine logische. Die prädikatenlogischen Gleichheitsaxiome lassen auch andere Interpretationen zu. Das meine ich genau: Nur willkürliche semantische Einschränkungen für Interpretationen garantieren die Identität. Solche nehmen zwar manche Autoren vor, das ist aber keineswegs "immer" so festgelegt: Die Axiome garantieren nur eine Kongruenzrelation, z.B. laut: Michael Richter: Logikkalküle, Stuttgart 1978. Willkürlich kann man auch semantische Einschränkungen bei Interpretation für ZF-Prädikatenlogiken vereinbaren, damit es die Identität wird. Man betrachtet aber üblicherweise prädikatenlogische Axiomensysteme (wie alle logischen Axiomensysteme) als "formal", als unabhängig von der Interpretation in Modellen, und untersucht in der Semantik daher alle Modelle, auch wenn sie nicht Standard sind. Die Logik gibt keine Auskunft über Modelle, sondern erst die Metalogik (Modelltheorie). So ist es bei ZF mit oder ohne Gleichheit.-- Wilfried Neumaier 15:35, 18. Jan. 2008 (CET)