Bertrand Russel hat hingegen (zunächst) eine strikte Typentheorie vertreten. Typ 0 haben wieder die Urelemente. Typ 1 haben die einfachen Mengen (engl. sets), die nur Urelemente enthalten. Typ 2 haben die einfachen Mengensysteme (engl. collection sets), die nur(!) Mengen des Typs 1 als Elemente enthalten usw. Jede Potenzmengenbildung führt eine Typstufe höher, die Typen werden also durch die natürlichen Zahlen gekennzeichnet. Zu jedem Typ gibt es eine zugehörige Leermenge! Im übrigen kann man auch *verschiedene* Grundmengen von Urelementen annehmen, so dass Urelemente verschiedener Grundmengen nicht verträglich sind und zu einer Menge zusammengefasst werden können, neben einer Menge E von Urelementen vom Typ e etwa logische Wahrheitswerte mit Typ t - klassisch T={0,1} oder T={false,true}, in einer Fuzzy-Logik etwa das relle Intervall [0,1]. Als Typen haben wir dann eine Kombination fon e, t, ... mit einer Zahl n=0, 1, 2, 3,... Diese zeigt an, wie oft die Potenzmengenbildung über E, T, ... ausgeführt werden muss. Die Typen bilden also eine unendliche Menge (Typen über einer Urmenge E also ein Modell der nat. Zahlen N). Für alle vorkommenden Typen selbst kann ein Typ type angenommen werden. d Abgesehen von diesen kann (unter den Objekten selbst) die Menge der natürlichen Zahlen nicht konstruiert werden. Man kann entweder annehmen, dass ein Modell (Trägermenge N) der der natürlichen Zahlen (mit Peano-Axiomen) Teilmenge der Urelemente U ist; oder (zu e, t, ...) einen weiteren Typ nat eines Modells der natürlichen Zahlen (Trägermenge N) hinzufügen. Weitere Typen werden üblicherweise für die Abbildungen A -> B vorgesehen. Sei a der Typ von A, b der von B, so wird der Typ dieser Abbildungen mit a |-> b (oder ) bezeichnet. Beispiel die Indikatorfunktionen E -> T mit Typ e |-> t. (Einer Menge X (Teilmenge von E) ist die Indikatorfunktion IX : x |-> (x ∈ X) eineindeutig zugeordnet.) Teilweise wurden auch für Relationen eigene Typen angenommen. (Eine zweistellige Relation zw. Elementen der Mengen A und B ist eine Teilmenge der Produktmenge AxB, also wäre a x b der Typ der Paare (α,β) ∈ A X B). Nach Wiener und Haussdorff sind aber geordnete Paare als spezielle Mengen konstruierbar, etwa in der Art (α,β) = (Kuratowski) oder der Art (α,β) = { { {α}},} (Wiener), dazu müssen α und β aber denselben Typ, etwa e haben. Tripel, Quadrupel, ... analog. Der Typ a x b ist dann Typ e2 bzw. e3 (einfache Mengensysteme über E). Falls α und b aus verschieden oft iterierten Potenzmengen derselben Grundmenge E stammen, kann man das niedrigere Element α ausreichend oft 'liften' ( {α}, { {α}}, ... ) bis man auf derselben 'Ebene' ist wie b und dann erst das Paar wie oben angegeben bilden. Geht das auch dann noch, wenn α und β aber aus Grundmengen mit unterschiedl. Typ stammen (oder iterierten Potenzmengen davon), etwa aus E und T??? Wohl kaum - dann wären etwa Paare (x,l) aus E X T nur durch die charakteristische Eigenschaft (a,b) = (c,d) < => a=c ∧ b=d gekennzeichnet (nicht konstruierbar), mit neuem Typ e x t??? Gibt es einen Experten, der das klären könnte und im Artikel einfließen lassen kann?