Quantenzahlen sind die Grundlage und Namensgeber der Quantenmechanik ("Quantisierte Mechanik"), nicht umgekehrt. Zur Anschauung und einem Analogon: Quantisierung tritt immer auf, wenn eine Welle eingesperrt wird. Anschauliches Beispiel: Schwingende Saite. Die Saite ist an beiden Enden fest eingespannt, kann also an diesen Punkten nicht schwingen. Eine Schwingung der Saite ist sinusförmige stehende Welle. Folglich müssen die Nullstellen des Sinus gerade mit den Endpunkten der Saite übereinstimmen. Das führt nur zu einem beschränkten Satz an Lösungen: Halbe Schwingung [NST bei 0 und ], ganze Schwingung [0,2], anderthalb Schwingungen,... Man erhält: Quantenzahlen. Was hat das mit den Elektronen in einem Atom zu tun? Eine der ersten Fragen nach der Entdeckung der Atomphysik war: Wenn ein Elektron um eine positive Ladung kreist, wie die Erde um die Sonne, dann ist das eine beschleunigte Bewegung. Beschleunigte Ladungen strahlen und verlieren Energie. Warum hier nicht? Die erste Antwort waren die Postulate von Bohr, der gesagt hat, das tun sie halt nicht. Gleichzeitig erfand er auch die ersten Quantenzahlen, um die Experimente aus der Optik zu erklären. An dieser Stelle gab es also tatsächlich keine Anschauung ;-). Dann kam de Broglie, der sagte, wenn man allen Wellen auch Teilchen zuordnen kann (siehe: Welle-Teilchen-Dualismus), warum dann nicht auch umgekehrt? Dann der Schrödinger, der seine fundamentale Gleichung aufstellte (auch ein Postulat nebenbei bemerkt) und es ermöglichte die Physik der Materie durch Wellen beschreiben zu können... Wann kommen nun endlich zu den Elektronen und den Quantenzahlen? Wenn ein Elektron eine Welle ist und im gebundenen Zustand nicht strahlen darf, dann ist die Lösung aller Probleme die Antwort: Das Elektron muss eine stehende Welle sein, dann bewegt es sich zeitlich nicht. Hier gibt es dabei keinen Rand im Sinne einer Holzkiste (Musikinstrument), sondern die elektrostatische Anziehung und periodische Randbedingungen: nach einem voller Umlauf um den Kern muss wieder die gleiche Wellenfunktion wie vorher da sein, sonst ist die Lösung nicht eindeutig. Nun, wenn Elektronen im gebundenen Zustand (ganz wichtig ist das gebunden) eine eingesperrte stehende Welle ist, dann ergeben sich zwangsläufig nur diskrete Lösungen. Um genau zu sein: Für jeden Freiheitsgrad (in 3D gibt es 3) genau eine Quantenzahl. Da x,y,z Quantenzahlen bei einem kugelsymmetrischen Problem ziemlich nichtssagend wären, wählt man stattdessen: Hauptquantenzahl, Drehimpulsquantenzahl (Nebenquantenzahl) und magnetische Quantenzahl. Bei Atomen gibt es doch noch eine vierte... Dazu erst ein weiteres Zitat: