Hinter einem von drei Toren befindet sich ein Gewinn (Auto), hinter den anderen beiden jeweils eine Ziege. Der Kandidat soll erraten, hinter welchem Tor der Gewinn ist. Da der Kandidat keinerlei Anhaltspunkte hat, kann er ein Tor zufällig auswählen, denn sie haben alle drei die selbe Gewinnchance. Dabei ist es unereblich, ob der Kandidat mit Tor 1, Tor 2 oder Tor 3 beginnt. Es gibt - in Bezug auf die Gewinnverteilung - drei gleichwahrscheinliche Spielverläufe (I,II,III), von denen einer durch den zufälligen ersten Tipp des Kandidaten ausgewählt wird: Spielverlauf: I II III W. d. Spielverlaufes: 1/3 1/3 1/3 Gewinn 1.Tipp: Auto Ziege Ziege Der erste Tipp des Kandidaten hat daher eine Gewinnchance von 1/3, denn von 3 Spielverläufen ist bei einem der erste Tipp richtig. Der Moderator kennt im Gegensatz zu dem Kandidaten das Tor mit dem Gewinn. Er öffnet nun aber, weil das die Regel vorsieht (um das Spiel spannender zu machen), ein anderes Tor, als dasjenige auf das die Wahl des Kandidaten fiel, und zwar stets ein Tor hinter dem sich eine Ziege befindet. Da es zwei Ziegen gibt, steht dazu immer mindestens ein Tor mit Ziege zur Verfügung - wenn die Wahl des Kandidaten auf das Tor mit dem Gewinn fiel, bleiben sogar zwei Tore mit Ziege übrig. Welcher Fall auch eintritt, er muss immer ein Ziegentor öffnen. Daher setzen sich die drei Spielverläufe wie folgt fort: Spielverlauf: I II III W. d. Spielverlaufes: 1/3 1/3 1/3 Gewinn 1.Tipp: Auto Ziege Ziege Reaktion Moderator: Ziege Ziege Ziege Auf welche Weise der Moderator das Ziegentor auswählt - ob blindlings oder regelhaft- ist dabei unerheblich, der Kandidat kann aus der Auswahl des vom Moderator geöffeneten Ziegentores keine Information gewinnen, die seine Gewinnchance erhöht. Dazu folgende Betrachtung aus einer anderen Perspektive: Gesetzt den Fall, der Kandidat wählt zuerst Tor A, dann gibt es drei Fälle der Gewinnverteilung, 1), 2), 3): Fall Tor: A B C 1) Ziege Ziege Auto 2) Ziege Auto Ziege 3) Auto Ziege Ziege Gesetzt den Fall, der Moderator will ein Zeichen geben - er ist Komplize des Kandidaten. Der Informationsgehalt, der dem Moderator durch die Wahl eines bestimmten Tores zur Verfügung steht beträgt nur 1 Bit, denn er muss sich für eine von zwei Möglichkeiten entscheiden - B oder C. Er könnte damit also das Zeichen "Bleib!" geben. Allerdings ist er in 2 Fällen nicht frei, das Bit zu setzen, nämlich dann, wenn der Gewinn hinter B oder C ist. Daher ist es ganz gleich, welches Zeichen der Moderator auch geben will, er muss hinnehmen, dass es in 1/3 der Fälle falsch interpretiert wird. Bedeutet z.B. B "Bleiben", ist er im Fall 1) gezwungen, eine falsche Angabe zu machen. Bedeutet B dagegen "Wechsle!", ist er gezwungen, im Fall 2) eine falsche Angabe zu machen. - Mit C verhält es sich natürlich genau so. Eine korrekte Angabe ist außer im Fall 3) entweder nur in 1) oder nur in 2) möglich, aber nie zugleich in 1) und 2). D.h. eine korrekte Angabe ist nur in 2/3 der Fälle möglich. Der Kandidat kann dabei aber nicht wissen, ob der Moderator frei ist, sein Zeichen zu geben, weshalb er sich auf die Wahrscheinlichkeit von 2/3 verlassen muss, dass das Zeichen stimmt. Dies gilt für jede Regel, da der Informationsgehalt bei jeder Regel nur 1 Bit betragen kann. Zurück zum Spielverlauf: Da in jedem Spiel genau ein Gewinn existiert, ergeben sich für jeden Spielverlauf für das jeweils noch übrige Tor folgende Gewinne: Spielverlauf: I II III W. d. Spielverlaufes: 1/3 1/3 1/3 Gewinn 1.Tipp: Auto Ziege Ziege Reaktion Moderator: Ziege Ziege Ziege Gewinn letztes Tor: Ziege Auto Auto Nun stellt der Moderator dem Kandidaten die Frage: "Möchten Sie bei ihrem ersten Tipp bleiben oder lieber zum letzten Tor wechseln?" Der Kandidat kann an dieser Stelle noch nicht wissen,in welchem der drei Spielverläufe er sich befindet, er weiß nur in jedem der möglichen Spielverläufe von dem Tor, das der Moderator geöffnet hat, dass sich dahinter eine Ziege befindet. Er kann aber wissen, dass nur bei 1/3 der möglichen Spielverläufe der erste Tipp richtig ist, sich aber dagegen bei 2/3 der Spielverläufe der Gewinn hinter dem letzten Tor befindet. Der Wechsel zum verbliebenen Tor hat also die doppetle Wahrscheinlichkeit zu gewinnen gegenüber dem Beharren auf dem ersten Tipp. equa 10:24, 19. Jun. 2011 (CEST)