Daß der Reisende jünger bleibt als der Stubenhocker und die Verhältnisse, anders als unterschwellig unterstellt, nicht bei beiden Zwillingen gleich sind, ergibt sich ohne Bezug auf dieses oder jenes Koordinatensystem allein daraus, daß eine Lichtquelle, die sich in Sichtlinie entfernt, rotverschoben mit geringerer Frequenz gesehen wird, und aus dem Relativitätsprinzip, daß dieser Dopplereffekt, anders als bei Schall, wechselseitig ist: wenn sich der Reisende vom Stubenhocker entfernt, sieht der Stubenhocker den Reisenden genauso rotverschoben wie der Reisende den Stubenhocker. Wenn sich der Reisende auf den Stubenhocker zu bewegt, sieht er den Reisenden genauso blauverschoben wie der Reisende den Stubenhocker. Aus der Wechselseitigkeit des Dopplereffektes folgt, welche Zeit zwischen Start und Rückkehr auf der Uhr des Reisenden vergeht, der mit Geschwindigkeit zu einem Stern in Entfernung hin und zurück reist. Einfachheitshalber seien die Uhren beider Zwillinge beim Start auf Null gestellt. Wir betrachten als Zahlenbeispiel 3/5 Lichtgeschwindigkeit, , und eine Entfernung von 3 Lichtjahren, Jahre . Auf der Uhr des Stubenhockers vergeht nach Definition der Geschwindigkeit, , die Zeit , bis der Reisende hin und zurück gereist ist. Das sind im Beispiel 10 Jahre. Zunächst bestimmen wir, wie lange der Stubenhocker den Reisenden rot- und blauverschoben sieht und wie lange er vom Reisenden rot- und blauverschoben gesehen wird. Die Ankunft des Reisenden am Stern sieht der Stubenhocker zur Zeit um die Lichtlaufzeit später. Bis dahin sieht der Stubenhocker den Reisenden rotverschoben. Während der restlichen Zeit sieht der Stubenhocker den Reisenden zurückkehren. Umgekehrt sieht der Reisende bei der Ankunft am Stern auf der Uhr des Stubenhockers die Zeit , denn er sieht die Uhr mit Licht, das um die Lichtlaufdauer früher gestartet ist. Bis dahin wird der Stubenhocker vom Reisenden rotverschoben gesehen. Während auf der Uhr des Stubenhockers die restliche Zeit vergeht, wird er vom Reisenden blauverschoben gesehen. Im Beispiel sieht also der Stubenhocker seinen Zwilling 8 Jahre rot- und 2 Jahre blauverschoben. Umgekehrt wird die Uhr des Stubenhocker vom Reisenden rotverschoben gesehen, während auf ihr 2 Jahre vergehen und blauverschoben, während auf ihr 8 Jahre vergehen. Da der Dopplereffekt alle Frequenzen, auch das Ticken von Uhren, verschiebt, sieht der Stubenhocker die Uhr des Reisenden bis zur Ankunft am Stern um einen Faktor rotverschoben langsamer gehen. Also ist die Zeit , die die rotverschobene Uhr des Stubenhockers dem Reisenden bei der Ankunft am Stern anzeigt, ein Bruchteil der Zeit , die ihm dabei die eigene Uhr anzeigt . Da Dopplerverschiebung wechselseitig ist, ist auch die Zeit , die der Stubenhocker auf der rotverschobene Uhr des Reisenden abliest, derselbe Bruchteil der Zeit , die dem Stubenhocker dabei die eigene Uhr anzeigt . Ineinander eingesetzt, , folgt , also . In unserem Beispiel halbiert Rotverschiebung die Frequenz, . Auf der Uhr des Reisenden ist zwischen Abreise und Ankunft am Stern nicht die Zeit abgelaufen, sondern die kürzere Zeit , also . Das sind im Beispiel 4 Jahre, nicht 5 Jahre. Bewegte Uhren gehen langsamer. Gleiches gilt für die Rückreise. Während der restlichen Zeit sieht der Stubenhocker den Reisenden zurückkehren und auf dessen blauverschobenen Uhr die Zeit ablaufen . Mit demselben Dopplerfaktor blauverschoben sieht der Rückreisende auf der Uhr des Stubenhockers die Restzeit ablaufen, während auf der eigenen Uhr die Zeit vergeht . Ineinander eingesetzt, , erweist sich der Blauverschiebungsfaktor bei der Rückreise als Kehrwert des Rotverschiebungsfaktors bei der Hinreise, . Das folgt übrigens auch einfach aus , wenn man das Vorzeichen der Geschwindigkeit wechselt. In unserem Beispiel werden also bei der Rückreise alle Frequenzen verdoppelt gesehen, . Aus folgt wie bei der Hinreise , daß die Zeit , die während der Rückreise auf der Uhr des Reisenden vergeht, kürzer als die Zeit ist, die gleichzeitig auf der Uhr des Stubenhockers abläuft. Der Stubenhocker sieht den Reisenden 8 Jahre lang um einen Faktor 1/2 rot- und 2 Jahre lang um einen Faktor 2 blauverschoben und dabei insgesamt die Zeit 4 + 4 = 8 Jahre auf der Uhr des Reisenden vergehen, während auf seiner eigenen Uhr 10 Jahre vergehen. Beide Zwillinge beobachten übereinstimmend, daß der Reisende jünger bleibt als der Stubenhocker. -- Norbert Dragon 13:34, 17. Mai 2007 (CEST)