Noch einmal die grundsätzlichen Überlegungen: - Der von der Erde aus beobachtete Meridiandurchgang der Sonne findet Tag für Tag mit veränderter Elevation (β) statt. - Nur wenn diese Elevationsänderung (Δβ) exakt senkrecht zur Erdbahnebene erfolgen würde, hätte sie in Relation zu letzterer keine seitliche (azimutale) Komponente. - Aufgrund der Neigung der Erdachse träfe das eingeschränkt lediglich für die Solstitien zu. - Zu den Äquinoktien verläuft die tägliche Elevationsänderung um 23,44° (ε) zur Senkrechten (auf die Ekliptik) geneigt. Die Blickrichtung bei Beobachtung des Meridiandurchganges bekommt dadurch eine (in Bezug zur Ekliptikebene) nach links gerichtete Komponente. Der Blick schwenkt nach Osten, der Sonne entgegen. - Dieser Schwenk beschreibt einen Winkel (φ, siehe unten) von etwa 0,175°. - Die dafür nötige Drehung der Erde dauert knapp 42 Sekunden. - Also erscheint der wahre Sonnentag zu den Äquinoktien um diese Zeitspanne kürzer als zu den Solstitien, denn: Der Beobachter lässt bei Frühlings- und Herbstbeginn seinen Blick zum Meridiandurchgang in diesem Ausmaß der Erdrotation vorauseilen, wenn er die Elevation seiner Blickrichtung gegenüber dem Vortag ändert. Grafisch dargestellt: Datei:Azimut und Zeitgleichung 1 V2.0.gif Änderung der Elevation (Δβmax) zu den Äquinoktien in rot, "Verkürzungswinkel" (φ) in grün. Die mathematische Darstellung: Eine Berechnung von φ über Δβmax * sin ε kann direkt mit den Winkeln oder mit ihrem Tangens erfolgen, die Differenzen daraus liegen letztlich im Bereich von Millisekunden. Um davon ausgehend die Verkürzung des wahren Sonnentages im Jahresverlauf zu bestimmen, werden die beiden Größen als Funktion des Bahnwinkels (ω) dargestellt und wie oben miteinander verrechnet: - Elevationsänderung (Δβ): tageweise Differenz der Elevation des Meridiandurchgangs - effektiver Neigungswinkel (εeff): zwischen Ekliptikebene und der Ebene durch Erdachse und Bahnradius Er zeigt die scheinbare Änderung von ε übers Jahr beim Blick entlang der Verbindungslinie Erde - Sonne. Dieser Winkel bestimmt den azimutalen Anteil der Elevation, null zu den Solstitien, maximal zu den Äquinoktien, dazwischen wie folgt berechenbar. Δβ während eines Jahres: Mehrere Rechenwege sind denkbar, mit geringem Effekt auf die absoluten Werte, aber ohne relevante Auswirkungen auf deren Verlauf. Hier wird β als ε * -cos ω berechnet und in blau dargestellt: Datei:Tägliche Elevationsänderung trigonometrisch V2.0.gif Rot zeigt die Winkeländerung als Differenz von Tageswerten. Alternativ ist natürlich auch die Ableitung der Funktion möglich, die Unterschiede im Ergebnis sind jedoch sehr gering. εeff während eines Jahres: Datei:Projektion von ε in Ekliptikebene.gif Projiziert man einen Erdpol in die Ekliptikebene, kann man die Distanz des Projektionspunktes zum Erdmittelpunkt als Tangens von ε beschreiben. Bezogen auf den Bahnradius und beginnend mit dem Wintersolstitium ändert sich der Tangens mit dem Sinus des Bahnwinkels (ω). Der effektive Neigungswinkel folgt also der Funktion εeff = arctan (tan ε * sin ω). Das Ergebnis: Datei:Verkürzung Sonnentag aus φ V2.0.gif Es entsteht ein bekanntes Bild, eine Kurve mit zwei Maxima und zwei Minima im Lauf eines Jahres. Die x-Achse ist in Tagen skaliert, Ursprung ist das Wintersolstitium. Aufgrund der Betrachtungsweise einer Verkürzung des Sonnentages ausgehend von der größten Tageslänge zu Winter- und Sommerbeginn, liegt sie durchgehend im negativen Bereich und berührt die x-Achse lediglich zu den Solstitien. Datei:Verkürzung Sonnentag symmetrisch plus Cosinusfunktion V2.0.gif Nach Verschiebung um eine halbe Amplitude in positive Richtung und Überlagerung mit einer einfachen Cosinusfunktion (mit zwei Schwingungsperioden pro Jahr) sieht man die Ähnlichkeiten der hier durchgeführten Berechnungen zu den üblichen Darstellungen. Die größte Zeitdifferenz zwischen den beiden Kurven beträgt etwas mehr als 0,18 Sekunden. Auch die maximale Differenz zwischen wahrer und mittlerer Zeit (zufolge der geneigten Erdachse) lässt sich auf verschiedene Arten berechnen. Man kann die Unterschiede der wahren Tageslängen von einem Nulldurchgang zum nächsten Maximum aufsummieren, oder man geht in die Stammfunktion der angenäherten Cosinusfunktion und rechnet über deren Steigung im Nulldurchgang. In beiden Fällen ergibt das (symmetrisch zur x-Achse) etwa zehn Minuten, mit rund zehn Sekunden Unterschied, je nach Methode. Die hier beschriebene, gut vorstellbare Erklärung des Einflusses der Erdachsenneigung auf die Zeitgleichung lässt sich also auch rechnerisch belegen.-- Philipp Rudolf Leo 20:51, 24. Jan. 2024 (CET)