Berechnung Definition Definitionsgemäß ist die Zeitgleichung die Differenz WOZ − MOZ von wahrer Ortszeit WOZ und mittlerer Ortszeit MOZ. Diese Zeitdifferenz ist proportional zur Differenz der Stundenwinkel einer geeignet definierten Mittleren Sonne und der wahren Sonne, und damit auch proportional zur Differenz der (entlang des Äquators zu zählenden) Rektaszensionen beider Sonnen. Die Zeitgleichung ist nur näherungsweise der Zeitabstand zwischen den Meridiandurchgängen der wahren und der mittleren Sonne, weil sich während des Zeitraums zwischen beiden Kulminationen der Abstand beider Sonnen und damit die Zeitgleichung geringfügig ändert. geringfügig ändert: Auf solche Feinheiten pochen Lehrer, wenn sie ihre Schüler quälen wollen. In einer Enzyklopädie für jedermann/frau sollte man darüber schweigen. Wahre Sonne Die Position der wahren Sonne lässt sich nach gängigen Methoden mit praktisch beliebiger Genauigkeit berechnen. Für Anwendungen mit mäßigen Anforderungen genügt die im Folgenden beschriebene stark vereinfachte Methode, die einen günstigen Kompromiss zwischen Genauigkeit und Rechenaufwand darstellt. stark vereinfachte Methode; günstiger Kompromiss: Sollte dem Leser nicht vorgesetzt werden. Es bleibt ihm nichts anderes übrig, als die Mitteilung zu glauben. Bestenfalls ignoriert er sie. Als Zeitkoordinate wird die Anzahl der Tage seit dem Standardäquinoktium J2000.0 Standardäquinoktium J2000.0: Was ist der Grund für diese Wahl? (1. Januar 2000, 12 Uhr TT ≈ 12 Uhr UT) verwendet, gegebenenfalls inklusive Tagesbruchteil. Ist das Julianische Datum des gewünschten Zeitpunkts, so gilt . Zunächst ist die Position der Sonne auf der Ekliptik zu bestimmen. Sieht man vorerst von den durch die Bahnelliptizität verursachten Geschwindigkeitsschwankungen ab und setzt eine mittlere Geschwindigkeit der Sonne an (360° in ca. 365,2422 Tagen), so erhält man die mittlere ekliptikale Länge der Sonne (in dieser Formel ist auch der Einfluss der Aberration bereits enthalten): . 280,460°: Welche Bedeutung? Um den Einfluss der Bahnelliptizität nachträglich zu berücksichtigen und die ekliptikale Länge zu erhalten, ist hierzu als Korrektur die so genannte Mittelpunktsgleichung Mittelpunktsgleichung: wohher, welche astronomische Bedeutung? zu addieren. Diese Korrektur hängt vom Winkel zwischen Sonne und Perihel ab, der so genannten Anomalie. Die Mittelpunktsgleichung erwartet als Eingabewert die gleichförmig anwachsende mittlere Anomalie . mittlere Anomalie: Was ist der Unterschied zwischen Anomalie und mittlerer Anomalie? Diese wächst um 360° in einem anomalistischen Jahr zu ca. 365,2596 Tagen: . Die Mittelpunktsgleichung ist eine periodische Funktion der mittleren Anomalie und kann daher in eine Fourierreihe zerlegt werden. Vor der Zerlegung sollte die Mittelpunktsgleichung erst einmal hingeschrieben werden. Bei kleinen Bahnexzentrizitäten kann die Reihe nach wenigen Termen abgebrochen werden. Berücksichtigt man nur in der Exzentrizität lineare und quadratische Terme, Wird etwas in der Exzentrizität berücksichtigt, oder werden e und e zum Quadrat berücksichtigt? so lautet die Mittelpunktsgleichung , und für den Fall der Sonnenbahn mit ergibt sich daraus für die ekliptikale Länge der Sonne: . und sollten vorher durch Addition oder Subtraktion geeigneter Vielfacher von 360° in den Bereich zwischen 0° und 360° gebracht werden. Die zu zu addierende Korrektur beschreibt den auf der Elliptizität der Erdbahn beruhenden Anteil der Zeitgleichung. Für die so berechnete entlang der Ekliptik gezählte ekliptikale Länge muss nun die zugehörige entlang des Himmelsäquators gezählte Rektaszension bestimmt werden. Auch die Differenz , die so genannte Reduktion auf den Äquator, Dass die genannte simple Differenz die Reduktion sei, erscheint bei vorliegender dreidimensionaler Problematik ohne Erklärung unglaublich. lässt sich in eine Fourierreihe entwickeln. Mit der Schiefe der Ekliptik Die versprochene starke Vereinfachung wird mit dieser hohen Genauigkeit unglaubwürdig. und wohher diese Gleichung, welche astronomische Bedeutung? ergibt sich die Rektaszension als . Auch diese Gleichung wird dem Leser aprupt vorgesetzt. Der Unterschied zwischen und ist der auf der Schiefe der Ekliptik beruhende Anteil der Zeitgleichung. Wie man der Gleichung entnehmen kann, entspricht einem gegebenen Längenintervall in der Nähe der Tagundnachtgleichenpunkte ein Rektaszensionsintervall und in der Nähe der Sonnwendpunkte ein Rektaszensionsintervall . Beim Leser kann das zu einem Minderwertigkeitsgefühl führen, falls er Mühe hat, das zu entnehmen (er sei kein Mathematiker). Selbst wenn also gleichförmig mit der Zeit anwüchse, so würde dennoch ungleichförmig anwachsen. Die Bahnstörungen durch die gravitative Wirkung des Mondes und der übrigen Planeten wurden vernachlässigt, ebenso einige langfristige Veränderungen der Erdbahn. Der Grund: starke Vereinfachung Mittlere Sonne Um die Effekte der Bahnelliptizität und der Schiefe der Erdachse zu vermeiden, denkt man sich die zur Referenz dienende mittlere Sonne als einen gleichmäßig entlang des Äquators (statt der Ekliptik) wandernden Punkt. Sie soll wie die wahre Sonne den Himmel einmal in ca. 365,2422 Tagen umkreisen, also muss ihre Rektaszension um 0,9856474° pro Tag anwachsen (dieselbe Geschwindigkeit, mit der die mittlere Länge der wahren Sonne anwächst). Die Ausgangsstellung zum Zeitpunkt wählt man so, dass die Rektaszension der mittleren Sonne und die mittlere Länge der wahren Sonne zum gleichen Zeitpunkt den Wert Null annehmen (also zum gleichen Zeitpunkt durch den Frühlingspunkt laufen). Dann haben beide Koordinaten, da sie sich mit derselben konstanten Geschwindigkeit bewegen, aber auch zum Zeitpunkt denselben Zahlenwert (nur ist es einmal die mittlere Länge auf der Ekliptik und einmal die Rektaszension auf dem Äquator) und der formelmäßige Zusammenhang ist derselbe wie der für : Am Ende ist es einfach derselbe Zusammenhang. Die lange Rede vorher zeigt das nicht so einfach. Führt sie tatsächlich zu diesem Schluß? . Zeitgleichung Die Differenz der Rektaszensionen von mittlerer und wahrer Sonne ist: Nach Übergang zum zugehörigen Zeitintervall durch Multiplikation mit 4 min/° liefert diese Formel die Zeitgleichung in Minuten. Die Genauigkeit beträgt etwa 0,1 Minuten für den Zeitraum zwischen 1950 und 2050. Beispiel: Für den 1. Juni 2006 12h UT () liefert diese Formel einen Wert von 2,194 min für die Zeitgleichung. Laut Astronomical Almanac beträgt der Wert "mit einer Präzision von etwa einer Sekunde" 2,195 min. Genauigkeit beträgt etwa 0,1 Minuten; Vergleich 2,194 gegen 2,195 min: Die Maßstäbe passen nicht zusammen. Soll die Formel für einen engeren Zeitraum verwendet werden, so können die Koeffizienten für diesen Fall auch explizit vorberechnet werden. Spezialisierung auf den Zeitraum um J2000.0 liefert beispielsweise als Näherungsformel für die Zeitgleichung in Minuten: 4 Gleichungen sind wie bisher. Wieso ist das Ergebnis (die 5. Gleichung) ein anderes? Weitere Vereinfachung Die Formel lässt sich weiter vereinfachen, indem die beiden Terme geringerer Amplitude Welche Terme sind das? gestrichen werden. Wird außerdem die variable Änderungsrate von ignoriert, also durch ersetzt, so ergibt sich folgende Formel: In L ist die Bahnelliptizität nicht berücksichtigt. Das ist doch eine Unterlassung, nicht eine Vereinfachung. Es bezeichne den ab 1. Januar 2000 gezählten Tag, die Periodenlängen in Tagen, die Verschiebungen der Startzeitpunkte der Perioden gegenüber und die Amplituden. Dann lässt sich die Zeitgleichung mit folgender Formel annähern, wenn und für die durch die Elliptizität der Erdbahn bzw. die Schiefe der Ekliptik verursachten Anteile stehen: Als Periodendauer sind folgende Parameter einzusetzen: