Es handelt sich jeweils um endlich viele Summanden, und es gibt eine eineindeutige Zuordnung zwischen den Summanden der oberen und der unteren Reihe. Der i-te Summand der oberen Reihe ist i; der i-te Summand der unteren Reihe ist (n+1)-i. Dies folgt direkt aus der Aufgabenstellung und aus der zulässigen beliebigen Umordnung endlich vieler Summanden aus den natürlichen Zahlen (das Rückwärtsaufschreiben der Summe ist ja auch eine Umordnung). Die Summe ist jeweils i + (n+1)-i = n+1. Dies ist nicht mehr und nicht weniger einsichtig, als die Beweiskraft des Verfahrens der vollständigen Induktion. Meines Erachtens ist es nicht so, dass durch die Aufstellung der Axiome für die natürlichen Zahlen und durch die Konzeption des Beweisverfahrens der vollständigen Induktion andere Beweisverfahren nicht mehr gültig sind, die auf den gleichen Grundlagen beruhen (Eigenschaften der natürlichen Zahlen), nur weil sie nicht genau dem Algorithmus dieser Methode entsprechen. Hier muss man wohl grundsätzlich darauf achten, dass Fortschritte in den Methoden und bei den Begriffsbildungen nicht zu einer Verengung der Sicht und Vereinnahmung dessen führen, was vorher schon richtig und gültig war. Die Anekdote mit Gauß kam in den Beitrag, weil in einer vorhergehenden Version behauptet worden war, die Summenformel für 1 + .... + n könne ohne vollständige Induktion nicht bewiesen werden. Dies ist sicherlich falsch. 07.12.2003 (192.0.2.255)