@Retro917, 192.0.2.255: Selbstverständlich beträgt die Wahrscheinlichkeit bei einer Wahl "1 aus 3" 1/3; und wenn einer der drei Fälle ohne Kenntnis eines näheren Zusammenhangs ausscheidet, hat man die Wahl "1 aus 2", also eine Gewinnchance von 1/2. Und in der Tat wurde das "Ziegenproblem" ab 1990 von fast allen Publizisten so formuliert, als würde der Moderator allein dadurch, dass er eine nichtgewählte Ziegentür öffnet, eine Zwei-Drittel-Wahrscheinlichkeit bei einem Wechsel herbeiführen. Das ist natürlich ein Scherz. Dass er sich so lange halten konnte, liegt an Pseudo-Begründungen wie der obigen, die tausendfach wiederholt wurden: Am Anfang hast du bei drei Toren eine 1/3-Chance, warum sollte sie sich auf eine 1/2-Chance verbessern, nur weil der Moderator eine der anderen Tore preisgibt? Genau solche Begründungen machten das Ziegenproblem zur perfekten Scherzaufgabe. Auch wenn das Ziegenproblem so formuliert wird, dass es tatsächlich eine Zwei-Drittel-Lösung hat (was inzwischen bei Wikipedia der Fall ist), kann die Behauptung von 192.0.2.255 nicht als Hinweis auf einen angeblich völlig plausiblen Sachverhalt akzeptiert werden. Warum soll denn die Wahrscheinlichkeit für Tür 1 gleich bleiben, wenn Tür 3 ausscheidet? Warum bleibt sie nicht auch für Tür 2 gleich? Und warum ändert sich die Wahrscheinlichlkeit für Tür 1 erheblich, wenn der Moderator gleich die Türen 2 und 3 öffnet? Warum springt sie dann plötzlich von 1/3 auf 1 oder 0, während sie beim Öffnen von nur einer Ziegentür unverändert bleibt? Und warum steigt sie doch auf 1/2, wenn "lovely Linda" (s.o.) Tür 3 öffnet und sich zufällig eine Ziege zeigt? Was beim korrekt formulierten Ziegenproblem zu einer Zwei-Drittel-Chance vor der zweiten "Wahl" führt, ist der Zwang zu seiner Handlung, unter dem der Moderator durch die Spielregel steht. Die korrekt und unmissverständlich formulierte Spielregel lautet an der entscheidenden Stelle: "Der Kandidat bestimmt zwei Türen, von denen der Moderator eine Ziegentür öffnen muss. Danach darf er von den beiden verbleibenden Türen eine auswählen." Bei allen Formulierungen, die auf eine Eigeninitiative des Moderators nach der ersten "Wahl" hindeuten, ist die Zwei-Drittel-Lösung falsch. (Hinweis, um unnötige Diskussionen zu vermeiden: Wenn der Moderator die Auswahl zwischen zwei Türen hat, nehmen wir an, dass er sie jeweils mit einer Wahrscheinlichkeit von 1/2 öffnet.) Auch bei korrekt formulierter Aufgabe "bleibt die Wahrscheinlichkeit für Tür 1 nicht einfach gleich", sondern ergibt sich aus der "Geschichte", die die einzelnen Wahrscheinlichkeiten auf Grund der Spielregel durchlaufen haben. (Darauf hat auch Nijdam schon hingewiesen.) Im Artikel stand schon einmal: Durch das Öffnen des Nietentors 2 oder 3 reduziert sich die Zahl der Fälle, bei denen das Auto hinter Tor 2 oder 3 steht, um die Hälfte, also auf 1/3 der Gesamtzahl der Fälle. Außerdem reduziert sich die Zahl der Fälle, bei denen das Auto hinter Tor 1 steht, ebenfalls um die Hälfte, also auf 1/6 der Gesamtzahl der Fälle. Die "1/3-bleibt"-Fraktion hat solche Gedanken aber für überflüssig gehalten. Der präzise mathematische Kerngedanke, der zu "1/3 bleibt" führt, stand auch schon einmal im Artikel und lautet: Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass das Auto hinter Tor 2 steht und der Moderator Tor 3 öffnet, ist doppelt so groß wie die Wahrscheinlichkeit, dass das Auto hinter Tor 1 steht und der Moderator Tor 3 öffnet. "1/3 bleibt" also deshalb, weil x/(x + 2x) = 1/3 ist. Eine analoge Aufgabe: Ein Fan des FC Bayern hisst nach einem entscheidenden Spiel in der Champions League (Chancen 50:50) auf seinem Haus die Vereinsfahne, wenn seine Mannschaft weitergekommen ist. Wenn sie ausgeschieden ist, wirft er eine Münze und hisst die Fahne bei "Zahl" trotzdem. Wie Sie sich schon denken können, weht nach dem Spiel auf seinem Haus die Bayern-Fahne. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist Bayern weitergekommen? Auch bei dieser Aufgabe kann man die Plausibilität der Lösung durch eine extreme Variante unterstreichen: Beim Ausscheiden wirft der Fan keine Münze, sondern zieht aus einer Urne eine der Zahlen 1 bis 1000. Bei 777 hisst er die Fahne. In einer reputablen Doppelquelle heißt es zu "1/3 bleibt": Das kann man noch ein bisschen verfeinern. Bezeichnet man nämlich mit p1 bzw. p2 bzw. p3 die Wahrscheinlichkeit, dass das Auto hinter Tür 1 bzw. Tür 2 bzw. Tür 3 versteckt wurde, so ist - bei Wahl von Tür 1 - die Wahrscheinlichkeit für "Auto gewinnen, vorher nicht wechseln" gleich p1 und die Wahrscheinlichkeit für "Auto gewinnen, vorher wechseln" gleich p2 + p3. Bei dieser "Verfeinerung" ergibt sich für die ursprünglich gewählte Tür 1 nach Öffnen von Tür 3 durch den Moderator (Faktor 1/2, weil entsprechendes Verhalten des Moderators vorausgesetzt wird, wenn er die Auswahl aus zwei Nietentüren hat): (p1 * 1/2) / (p1 * 1/2 + p2 * 1) = p1 / (p1 + 2p2) Das ergibt 1/3, wenn p1 gleich p2 ist; also z.B. auch bei p1 = p2 = 1/4 (also p3 = 1/2). "p1 bleibt nur gleich", wenn p1 + 2p2 = 1 ist (bzw. p2 = p3), also z.B. für p1 = 1/8 und p2 = 7/16 (p3 = 7/16), und eben auch für p1 = p2 = p3 = 1/3. Die Wahrscheinlichkeit für die gewählte Tür ändert sich also bei dieser Variante durchaus während des Spiels; und nach der Wahrscheinlichkeit vor der letzten (eigentlichen) Wahl ist ja gefragt. -- Albtal 12:25, 6. Jan. 2012 (CET)