Es geht natürlich nur um eine bestimte Form der Definierbarkeit, eine nicht-metasprachliche, die auch ohne Verweis auf weitere Entitäten auskommt. Der Satz ist eben als Undefinierbarkeitssatz bekannt. Dass man andere Wahrheitsbegriffe definieren kann, ist ja klar – man kann schließlich definieren, was man will. Solche sind aber in manchen Fällen nur ein schwacher Trost (man will eben in manchen Fällen nicht mit Aussagen wie "das gilt in einem Modell" oder "das ist beweisbar" hantieren, sondern wirklich sagen "das ist wahr", was in den formalen Kontexten, in denen es möglich ist, sehr nützlich sein kann).