1. Das zipfsche Gesetz beruht auf einer hyperbolischen Funktion zweiten Grades, deren Stammfunktion eine Hyperbel der Form F = C/R oder einfach F(x) = c/x ist. Die Stammfunktion der Benford-Funktion f(x) = 1/xlnB (B für Zahlenbasis) ist eine logarithmische Funktion. 2. Die Benford-Verteilung ist logisch ableitbar, das sogenannte zipfsche Gesetz wurde empirisch gefunden; erst danach ist eine mathematische Entsprechung gesucht worden, die, anders als beim benfordschen Gesetz, der willkürlichen Wahl einer optisch naheliegenden mathematischen Funktion entsprang. Das ist aber höchst unwissenschaftlich, würde Sir K.Popper gesagt haben, weil er vor seinem Tod stets den umgekehrten Weg forderte. Was er jetzt fordert, weiß keiner. 3. Das zipfsche Gesetz wird in der Linguistik mit höchst mäßigem Erfolg probiert, es stimmt einfach nicht hinreichend genau. Das benfordsche Gesetz stimmt in seinen Einsatzgebieten hinreichend genau, und zwar mit wachsender Stichprobe immer genauer. 4. Ich halte das zipfsche Gesetz, auch wenn es einen netten Namen hat, für eines der zahlreichen Artefakte der Wissenschaft. Den Häufigkeiten sind Nominaldaten, wie Buchstaben (die in jeder Sprache anders geordnet sind) oder Wörter, unterlegt. Man weiß nicht, wie man diese Daten auf der Abszisse objektiv ordnen soll. Dann rangreiht man die Häufigkeiten nach fallenden Werten und erhält damit zwingend eine monoton fallende Funktion. Da die Werte nicht um einen konstanten Wert fallen, ergibt sich fast zwangsläufig eine sortierte Aneinanderreihung, die wie eine Hyperbel aussieht. Ich meine, als Zipf das sah, sagte er, ah, eine Hyperbel, und ihm fiel ein: y = 1/x, multipliziert mit einem Faktor c. Genauso wie die linguistischen Sortierungen kann man die Intelligenzquotienten der Passagiere der S-Bahn sortieren, und man wird wiederum eine "hyperbolische Gesetzmäßigkeit" finden. B. Mandelbrot dürfte das erkannt haben, weil er offenbar das zipfsche Gesetz zu reparieren versuchte. Ich sehe das zipfsche Gesetz als Tautologie (wie mein nichtlinguistischer, nichtmathematischer Mitstreiter Mw|Mw weiter oben) an. Er hat ja recht: Diese sortierten Daten sagen nur aus: "Größere Häufigkeiten sind größer als solche, die kleiner sind als die größeren." Quae sapientia ! Wer jetzt meint, das "Gesetz von Lotka" wäre besser, der irrt. Wie sieht denn eine Verteilung der Publikationen üblicherweise aus ?: So gut wie keiner publiziert rein gar nichts, die meisten ein paar Schwarten, der eine mehr, der andere weniger, und einer oder zwei produzieren die Lawine an Arbeiten. Das ist die vage Umschreibung einer eingipfeligen, nach links und nach rechts vom Maximum der Dichtefunktion mehr oder weniger steil abfallenden Verteilung, deren es zuhauf gibt. Wenn wir diese Balken aus dem Verteilungshistogramm sträflicherweise sortieren, haben wir wieder den gleichen hyperbolischen Salat, der zwangsläufig auftauchen muss. Das einzige Gesetz, das hinter all diesen Sortierverfahren steht, lautet: Wer nach fallenden Häufigkeiten sortiert, der erhält monoton fallende Häufigkeiten, die signifikant häufig wie die einfachste Hyperbel aus dem Mathematikunterricht, an welchen wir uns gerade noch vage erinnern, aussehen. 5. Die Summe aller Häufigkeiten beim zipfschen Gesetz ergibt nicht nur nicht 100%, sie wächst bei wachsender Zahl an Elementen über 100%. So ein uninterpretierbarer GAU passiert bei Benford nie. Das liegt einfach daran, dass die Summe aller Kehrwerte der natürlichen Zahlen über alle Grenzen wächst, also keinen endlichen Grenzwert hat: lnx von 1 bis unendlich ergibt unendlich. Alle Verteilungen, mit denen man etwas anfangen kann, haben einen endlichen Grenzwert. Dividiert man dann die Funktionswerte der Dichtefunktion durch diesen Grenzwert, erhält man eine Dichtefunktion, deren Gesamtfläche unter der Kurve den Wert 1 annimmt. Bei Zipf müssten wir durch unendlich dividieren. Schon deshalb ist das Zipfsche Verteilungsgesetz aus mathematischer Sicht schlicht inakzeptabel. 6. Das zipfsche "Gesetz" entspricht bei 64 Symbolen haargenau der Benford-FUNKTION 1/xln65 (nicht der VERTEILUNG!)eines Zahlensystems mit 64 wohlunterscheidbaren Symbolen (also zur Basis 65). Das zipfsche Gesetz ist daher wahrscheinlich nicht unentbehrlich. Man könnte jetzt wieder mutmaßen, vielleicht liegt die zipfsche Sortierroutine dem genetischen Code, der ja auch 64 Zeichen hat (A,C,G,T im Dreierpack ergibt 4³ = 64 Zeichen), oder der Schrift der Japaner zugrunde, vielleicht auch dem durchschnittlichen Verrentungsalter in Nordossetien. Liebe Grüße Pard 15:56, 9. Aug 2005 (CEST)