Die poissonsche Summenformel ist ein Hilfsmittel der Fourier-Analysis und Signalverarbeitung. Sie dient unter anderem zur Analyse der Eigenschaften von Abtastmethoden.

Aussage 
Sei  eine Schwartz-Funktion und sei
 
die kontinuierliche Fourier-Transformation von  in .
Dann besagt die poissonsche Summenformel

Diese Identität gilt auch für bestimmte allgemeinere Klassen von Funktionen. Geeignete Voraussetzungen sind beispielsweise, dass die Funktion  zweifach stetig differenzierbar und der Ausdruck  beschränkt ist. 

Unter Ausnutzung der elementaren Eigenschaften der Fourier-Transformation ergibt sich daraus die allgemeinere Formel mit zusätzlichen Parametern 

Setzt man in der allgemeineren Form ,

so kann die poissonsche Summenformel auch als Identität einer Fourier-Reihe mit Funktionswerten von  als Koeffizienten auf der linken Seite und einer Periodisierung der Fourier-Transformierten von  auf der rechten Seite gelesen werden. Diese Identität gilt mit Ausnahme einer Menge vom Maß Null, wenn  eine bandbeschränkte Funktion ist, das heißt die Fourier-Transformierte eine messbare Funktion in  mit kompaktem Träger ist.

Formulierung mittels Dirac-Kamm 

Der Dirac-Kamm zur Intervalllänge  ist die Distribution

Die Fourier-Transformierte  einer temperierten Distribution  ist definiert durch

in Analogie zur Plancherel-Identität.
Da die Fouriertransformation ein stetiger Operator auf dem Schwartzraum ist, definiert dieser Ausdruck tatsächlich eine temperierte Distribution.

Der Dirac-Kamm ist eine temperierte Distribution, und die poissonsche Summenformel besagt nun, dass

ist. Dies lässt sich auch in der Form

schreiben. Dabei sind die Exponentialfunktionen als temperierte Distributionen aufzufassen, und die Reihe konvergiert im Sinne von Distributionen, also im Schwach-*-Sinne, gegen den Dirac-Kamm. Man beachte aber, dass sie im gewöhnlichen Sinne nirgendwo konvergiert.

Zum Beweis 
Sei f genügend glatt und im Unendlichen genügend schnell fallend, sodass die Periodisierung

 
stetig, beschränkt, differenzierbar und periodisch mit Periode 1 ist. Diese kann also in eine punktweise konvergente Fourier-Reihe entwickelt werden,
 
Deren Fourier-Koeffizienten bestimmen sich nach der Formel
 
Ebenfalls aus dem schnellen Abfall im Unendlichen folgt, dass die Summe mit dem Integral
vertauscht werden kann. Daher gilt mit s=t+n weiter

Zusammenfassend gilt

woraus sich bei  die Behauptung ergibt.

Anwendung auf bandbeschränkte Funktionen 

Sei x bandbeschränkt mit höchster Frequenz W, das heißt . Ist dann  so tritt in der rechten Seite der Summenformel nur ein Summand auf, mit den Ersetzungen , t=0 und Multiplikation eines Faktors erhält man
 
Nach Multiplikation mit der Indikatorfunktion des Intervalls [-W,W] und nachfolgend der inversen Fourier-Transformation ergibt sich
 
Im Grenzfall  ist dies die Rekonstruktionsformel des Nyquist-Shannon-Abtasttheorems

wobei  die Sinc-Funktion mit

ist.

Anwendungen in der Zahlentheorie 

Mit Hilfe der Poissonschen Summenformel kann man zeigen, dass die Theta-Funktion

der Transformationsformel
 
genügt. Diese Transformationsformel wurde von Bernhard Riemann beim Beweis der Funktionalgleichung der Riemannschen Zeta-Funktion verwendet.

Literatur 

 
 J. R. Higgins: Five short stories about the cardinal series.  In: Bulletin of the American Mathematical Society. 12, 1, 1985, , S. 45–89, online (PDF; 4,42 MB).
 John J. Benedetto, Georg Zimmermann: Sampling multipliers and the Poisson summation formula. In: The journal of Fourier analysis and applications. 3, 5, 1997, , S. 505–523, online.

Folgen und Reihen
Digitale Signalverarbeitung
Distributionentheorie
Siméon Denis Poisson als Namensgeber