Признак Дирихле — теорема, указывающая достаточные условия сходимости несобственных интегралов и суммируемости бесконечных рядов. Названа в честь немецкого математика Лежёна Дирихле.

Признак Дирихле сходимости несобственных интегралов 

Рассмотрим функции  и , определённые на промежутке , ,  и имеющую в точке  особенность (первого или второго рода). Пусть выполнены условия:
 интеграл с верхним переменным пределом  определён для всех  и ограничен на ;
 функция  монотонна на  и .
Тогда  сходится.

Признак можно сформулировать и для случая, если особенность в точке . Пусть ,  и  определена на . В таком случае условия видоизменяются следующим образом:
 интеграл с нижним переменным пределом  определён для всех  и ограничен на ;
  монотонна на  и .
Тогда  сходится.

Необязательно также, что . Если , то  и сходимость  равносильна сходимости .

Если интеграл удовлетворяет условиям признака Дирихле, то для его остатка верна следующая оценка:

Здесь  – произвольное число из промежутка, а  — число, которым ограничен интеграл с верхним переменным пределом. При помощи этой оценки можно приближать значение несобственного интеграла собственным с любой наперёд заданной точностью.

Признак Дирихле сходимости рядов Абелева типа 
Определение (ряд Абелева типа)
Ряд , где  и последовательность  — положительна и монотонна (начиная с некоторого места, хотя бы в широком смысле слова), называется рядом Абелева типа.

Теорема (признак Дирихле сходимости рядов Абелева типа) 

Пусть выполнены условия:
 Последовательность частичных сумм  ограничена, то есть .
 .
 .
Тогда ряд  сходится.

 Признак Дирихле сходимости рядов Абелева типа является аналогом признака Дирихле о сходимости несобственного интеграла первого рода.
 Легко убедиться, что признак Лейбница сходимости знакочередующихся рядов является частным случаем этой теоремы, а именно:
 
  сходимость ряда Лейбница на основании признака Дирихле.
 Оценка остатка ряда Абелева типаРассмотрим ряд  и пусть выполнены условия признака Дирихле. Тогда имеет место оценка: .
 Доказательство признака Дирихле вытекает из преобразования Абеля.

Признак Дирихле равномерной сходимости несобственного интеграла с параметром 

Пусть функция  и  определёны на множестве , ,  и допускается, что интеграл  для каких-то точек  имеет особенность в точке . Пусть выполнены условия:
 интеграл с верхним переменным пределом  определён для всех ,  и равномерно ограничен на ;
 функция  монотонна по  на  для каждого конкрентого  и  при .
Тогда  сходится равномерно.

См. также 
 Признак Абеля

Литература 
А. К. Боярчук «Функции комплексного переменного: теория и практика» Справочное пособие по высшей математике. Т.4 М.: Едиториал УРСС, 2001. — 352с.

Д
Интегралы