În teoria mulțimilor complementul unei mulțimi , adesea notată cu  (sau ), este mulțimea ale cărei elemente nu sunt în .

Când toate mulțimile luate în considerare sunt considerate submulțimi ale unei mulțimi date , complementul absolut al lui  este mulțimea elementelor din , dar nu din .

Complementul relativ al lui  față de mulțimea , numită și diferența dintre mulțimile  și , notată , este mulțimea elementelor din , dar nu și din .

Complementul absolut

Definiție 
Dacă  este o mulțime, atunci complementul absolut al lui  (sau, simplu, complementul lui ) este mulțimea elementelor dintr-o mulțime mai mare, elemente care nu se află în . Cu alte cuvinte, fie  o mulțime care conține toate elementele în discuție; dacă nu este necesar ca  să fie menționată, fie pentru că a fost specificată anterior, fie pentru că este evidentă și unică, atunci complementul absolut al lui  este complementul relativ al lui  în  (mulțimea în care se consideră complementul este menționată implicit într-un complement absolut și explicit într-un complement relativ):

 .

Sau formal:

 

Complementul absolut al  este de obicei notat cu . Alte notații sunt , ,  și .

Exemple 
 Să presupunem că universul este mulțimea numerelor întregi. Dacă  este mulțimea numerelor impare, atunci complementul lui  este mulțimea numerelor pare. Dacă  este mulțimea multiplilor de 3, atunci complementul lui  este mulțimea numerelor congruente cu 1 sau 2 modulo 3 (sau, în termeni mai simpli, numerele întregi care nu sunt multipli de 3).

 Să presupunem că universul este . Dacă mulțimea  cuprinde suita din culoarea de pică, atunci complementul lui  este reuniunea suitelor de treflă, caro și cupă. Dacă mulțimea  este reuniunea suitelor de treflă și caro, atunci complementul lui  este reuniunea suitelor de cupă și pică.

Proprietăți 
Fie  și  două mulțimi din universul . Următoarele identități prezintă proprietăți importante ale complementelor absolute:

Relațiile de Morgan: (formulate de Augustus De Morgan)
 
 

Relațiile complementelor:
 
 
 
 
 
 (acest lucru rezultă din echivalența unui condițional cu contrapoziția sa)

Relația de involuție (complement dublu):
 

Relațiile dintre complementul relativ și cel absolut:
 
 

Relația cu diferența mulțimilor:
 

Primele două relații de mai sus ale complementului arată că dacă  nu este o mulțime vidă a unei submulțimi a lui , atunci  este o partiție a lui .

Complementul relativ

Definiție 
Dacă  și  sunt mulțimi, atunci complementul relativ al lui  în , numit și diferența mulțimilor  și , este mulțimea elementelor din  dar nu din .

Începând din 1992, complementul relativ al  în , se notează . Uneori este notat , dar această notație este perimată, fiind ambiguă; în anumite contexte poate fi interpretată ca mulțimea tuturor elementelor , unde  este din  iar  din .

Formal:

Exemple 
 .
 .
 Dacă  este mulțmea numerelor reale și  este mulțimea numerelor raționale, atunci  este mulțimea numerelor iraționale.

Proprietăți 
Fie ,  și  trei mulțimi. Următoarele identități prezintă propertățile importante referitoare la complemente:

 .
 .
 ,
cu importantul caz particular  demonstrând că intersecția poate fi exprimată folosind doar noțiunea de complement relativ.
 .
 .
 .
 .
 .
 .

Relația complementară 
O relație binară R este definită ca o submulțime a unui  produs al mulțimilor X × Y. Relația complementară   este complementul mulțimii R în X × Y Complementul relației R poate fi scris

Aici, R este adesea privită ca o matrice logică având pe rânduri elementele lui X și pe coloane elementele lui Y. "Adevăratul" lui aRb corespunde cu 1 în rândul a, coloana b. Obținrea relației complementare cu R corespunde atunci comutării tuturor "1" în "0" și a tuturor "0" în "1" pentru matricea logică a complementului.

Împreună cu compunerea relațiilor și a relațiilor inverse, relațiile complementare și algebra mulțimilor sunt operațiile elementare ale .

Notații LaTeX 
În limbajul LaTeX, pentru redarea unui simbol diferență de mulțime, care este similar cu un simbol backslash ( \ ) se folosește de obicei comanda \setminus. La afișare, comanda \setminus arată identic cu \backslash, cu excepția că spațiile dinainte și de după sunt puțin mai mari, asemănătoare cu secvența LaTeX \mathbin{\backslash}. Varianta \smallsetminus este disponibilă în pachetul amssymb.

În limbaje de programare 
Unele limbaje de programare au incorporate operații cu mulțimi în structurile lor de date. O astfel de structură de date se comportă ca o mulțime finită, adică este alcătuită dintr-un număr finit de date care nu sunt ordonate în mod specific și pot fi astfel considerate ca elementele unei mulțimi. În unele cazuri elementele nu sunt necesare distincte. Aceste limbaje de programare au operații sau funcții pentru calcularea complementului și a diferenței mulțimilor.

Acești operatori pot fi în general aplicați și structurilor de date care nu sunt mulțimi matematice adevărate, cum ar fi  ordonate sau . Rezultă că unele limbaje de programare pot avea o funcție numită set_difference (), chiar dacă nu au nicio structură de date pentru mulțimi.

Note

Bibliografie

Vezi și 
 Intersecție (matematică)
 Reuniune (matematică)

Legături externe  

  Complement, () la MathWorld
  Complement Set, () la MathWorld

Teoria mulțimilor
Operații binare