참조 양자역학 입문자로서 답변들에 대해 궁금한게 있어 질문드립니다. x가 hamiltonian의 eigenstate는 아니지만 Hilbert space의 basis라고 볼 수는 있지 않나요? 아니라면 어떤 이유에서인지 알고 싶습니다. 그리고 x와 n의 cardinality가 다른 것은 Hilbert space의 모든 함수가 파동함수가 될 수는 없기 때문인가요? x가 basis라 치면 x는 Hilbert 공간을 span하고 n은 그중 슈뢰딩거 방정식을 만족하는 일부만 구성할 수 있으니까요.
x는 함수가 아니라 변수 y에 대한 분포 deltayx입니다. 따라서 Hilbert 공간 L2에 속하지 않습니다. braket notation에서 x를 내적 형태로 xf로 표현한 것은 실제 내적이 아니라 단지 함수 f에 x를 대입하는 대입 준동형사상 fmapsto fx를 간단히 표현한 것입니다.  n은 경우에 따라 다르지만 대개 슈뢰딩거 방정식을 만족시키는 해들이며 Hilbert 공간 전체가 아니라 슈뢰딩거 방정식의 해들의 부분공간의 정규 직교 기저입니다.  그리고 벡터 공간의 기저와 Hilbert 공간의 정규 직교 기저는 엄연히 다릅니다  기저는 기저 원소들의 유한합으로 벡터 공간의 원소를 유일하게 표현할 수 있도록 하는 집합이고 정규 직교 기저는 기저 원소들의 유한 또는 무한합으로 벡터 공간의 원소를 유일하게 표현할 수 있도록 하는 집합입니다. Hilbert 공간의 기저의 기수는 항상 정규 직교 기저의 기수 이상입니다.