유클리드 기하학에서 사용되는 다섯 번째 공리는 다른 공리와는 달리 너무 복잡해서 증명이 가능하다는 논란이 계속됐기 때문에 평행선 공준으로 불렀다.
 유클리드 기하학에서 사용되는 다섯 가지 공리 중 다섯 번째 공리를 쉽게 얘기하면 ‘한 직선의 밖에 있는 한 점을 지나면서 그 직선과 평행인 직선은 오직 한 개 있다’는 의미이다. 이는 다른 공리와는 달리 너무 복잡해서 증명이 가능하다는 논란이 오랫동안 계속되었다. 그래서 다섯 번째 공리를 다른 공리와 달리 평행선 공준(公準)으로 불렀다. 하지만 그 누구도 증명에 성공하지 못했고 대신 증명을 시도하는 과정 중에 새로운 사실을 발견하게 된다. 19세기 초에 헝가리의 보여이(Janos Bolyai)와 러시아의 로바체프스키(Nikolai I. Lobachevsky)는 평행선 공준을 증명하려고 노력하다가 한 직선 밖에 있는 한 점을 지나는 평행선이 여러 개라고 해도 논리적으로 아무런 모순이 생기지 않는다는 것을 발견하였다. 모순이 생기기는커녕 그 과정에서 새로운 기하학의 리만법칙들을 발견하게 된다.
 한편 리만(Georg F. B. Riemann)은 한 직선 밖에 있는 한 점을 지나는 평행선이 하나도 없다는 공리를 바탕으로 새로운 기하학 체계를 만들었다. 다른 공리들은 만족하지만 오직 다섯 번째 공리만 모순된 기하학. 유클리드 원론을 흔드는 이 기하학을 오래전에 ‘비(非)유클리드 기하학’으로 분류하였고, 이제는 유클리드 기하학을 제외한 모든 기하학을 비유클리드 기하학이라 부르고 있다. 택시 거리는 비유클리드 기하학 중에서 가장 간단한 ‘택시기하학’에서 다루는 개념이다.
