오일러가 밝혀낸 극소곡면의 형태는 ‘현수면(catenoid)’으로, 두 고리의 높이에 따라 휘어지는 정도는 다르지만 하나의 식으로 나타낼 수 있는 곡면을 찾아냈다. 오일러는 현수면 이외에도 ‘나선곡면(helicoid)’을 극소곡면의 한 예로 보여주었다.
 사실 극소곡면에 대한 것은 플라토 이전부터 연구되었다. ‘플라토의 문제’라고 불리는 극소곡면에 대한 문제는 프랑스 수학자 라그랑주(Lagrange·1736~1813)로부터 시작되었는데, 플라토의 비누막 실험으로 인해 이름을 빼앗긴 꼴이다.
 극소곡면의 문제에서 중요한 것은 ‘어떤’ 경계가 주어졌을 때, 그 경계를 잇는 곡면이 ‘어떤 모양’일 때 가장 면적이 작을 것이냐이다. 그렇다면 위 사진과 같이 두 개의 고리가 있고 두 고리를 이어주는 비누막은 어떨까?
 고리의 위치에 따라 다르겠지만 두 고리가 서로 포개어지는 위치에 있으며, 높이만 다른 경우에 대해서는 라그랑주와 동시대의 수학자 레온하르트 오일러가 이미 밝혀냈다. 오일러가 밝혀낸 극소곡면의 형태는 ‘현수면(catenoid)’으로, 두 고리의 높이에 따라 휘어지는 정도는 다르지만 하나의 식으로 나타낼 수 있는 곡면을 찾아냈다. 오일러는 현수면 이외에도 ‘나선곡면(helicoid)’을 극소곡면의 한 예로 보여주었다. 이는 좁은 공간에서 위층과 아래층을 오갈 수 있도록 만든 나선계단에서 볼 수 있다. 중세 유럽 건축물에서 찾아볼 수 있는 나선형 계단은 수학으로 증명하기 이전에도 가장 적은 비용으로 만들며, 자연에서 보는 아름다움을 느낄 수 있는 형태라고 생각했는지도 모른다.
 오일러의 업적 이후 극소곡면의 다른 예가 좀처럼 등장하지 않았는데, 200여 년이 지난 1982년에 와서 브라질의 대학원생 코스타(Costa)가 원형 고리가 3개인 극소곡면을 선보임으로써 현수면과 나선곡면 이외의 많은 극소곡면을 찾아내는 데 도움을 주었다.
