  Hain and Matsumoto constructed a category of universal mixed elliptic motives
and described the fundamental Lie algebra of this category, relating it to a
certain graded and filtered Lie algebra E. In an unpublished paper, Aaron
Pollack proved a result on relations in a certain quotient of E, and gave
several examples of actual relations in small weight that naturally lead to a
conjecture about the existence of such relations in all weights. In this
article, we prove this conjecture in depth 3, establishing the existence in all
weights of relations of the type noted in Pollack's examples. ----- Richard
Hain et Makoto Matsumoto ont construit une cat\'egorie de motifs elliptiques
mixtes universels et d\'ecrit l'alg\`ebre de Lie fondamentale de cette
cat\'egorie en la reliant \`a une certaine alg\`ebre de Lie gradu\'ee et
filtr\'ee E. Dans un article non publi\'e, Aaron Pollack a d\'emontr\'e un
r\'esultat sur les relations dans un certain quotient de E, et donn\'e
plusieurs exemples de relations en petit poids qui conduisent \`a une
conjecture sur l'existence de telles relations en tout poids. Dans le pr\'esent
article, nous prouvons cette conjecture en profondeur 3, \'etablissant
l'existence en tout poids de relations du type d\'ecrit dans les exemples de
Pollack.
