  Nous calculons le groupe de Picard de l'espace des modules
$\Theta_{\planp}(d)$ des th\^eta-caract\'eristiques des courbes planes (non
forc\'ement lisses) de degr\'e $d$. Nous montrons que pour $d\ge 6$, le groupe
de Picard de la composante paire est engendr\'e par le fibr\'e d\'eterminant
${\cal{D}}$ et l'image r\'eciproque ${\cal{L}}$, sous le morphisme support
sch\'ematique, de ${\cal{O}}_{\proj}(1)$ o\`u $\proj$ est l'espace des courbes
de degr\'e $d$ sur $\planp$. Pour $1\le d \le 4$, ce groupe est engendr\'e
uniquement par ${\cal{L}}$, le fibr\'e d\'eterminant \'etant trivial dans ces
cas. Dans le groupe $\Cl$ des diviseurs de Weil, le fibr\'e d\'eterminant admet
une racine: le fibr\'e pfaffien ${\cal{P}}$. De plus, pour $d\geq 4$ pair,
${\cal{L}}$ aussi admet une racine dans $\Cl$. Si $d=5$, le fibr\'e pfaffien
s'\'etend en un fibr\'e inversible et le groupe de Picard est engendr\'e par
${\cal{L}}$ et ${\cal{P}}$. On verra ainsi que la composante paire de
$\Theta_{\planp}(d)$ est localement factoriel si et seulement si $d=1,2,3$ ou
$d=5$. On obtient un r\'esultat analogue pour la composante impaire. Ensuite,
nous \'etudions la question d'existence d'une famille universelle sur un ouvert
de l'ouvert $U$ des th\^eta-caract\'eristiques dont le faisceau sous-jacent est
stable. Nous montrons que pour $d$ pair une telle famille ne peut exister,
tandis que pour $d$ impair une telle famille existe, pas sur $U$ entier, mais
localement dans la topologie de Zariski.
