  On d\'emontre une conjecture due \'a N. Kuhn concernant la cohomologie
singuli\'ere \'a coefficients mod p des espaces, comme module instable sur
l'alg\'ebre de Steenrod. Notre d\'emonstration de ce r\'esultat, d\'ej\'a connu
en caract\'eristique 2, fait appel \'a une m'ethode nouvelle, qui fonctionne en
toute caracteristique. De cette mani\'ere on r\'etablit un r'esultat de [S98]
dont la preuve est incompl\'ete dans le cas d'un nombre premier impair.
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  We settle a conjecture due to N. Kuhn about the mod p cohomology of spaces
considered as unstable modules over the Steenrod algebra. This result is
already known to hold in characteristic 2. The method presented here is
essentially new and works for all characteristics. In doing so we fix a gap in
[S98] concerning the odd prime case.
