  Nous montrons, pour une grande famille de propri\'et\'es $P$ des espaces
homog\`enes, que $P$ vaut pour tout espace homog\`ene d'un groupe lin\'eaire
connexe d\`es qu'elle vaut pour les espaces homog\`enes de $\mathrm{SL}_n$ \`a
stabilisateur fini. Nous r\'eduisons notamment \`a ce cas particulier la
v\'erification d'une importante conjecture de Colliot-Th\'el\`ene sur
l'obstruction de Brauer-Manin au principe de Hasse et \`a l'approximation
faible. Des travaux r\'ecents de Harpaz et Wittenberg montrent que le
r\'esultat principal s'applique \'egalement \`a la conjecture analogue (dite
conjecture (E)) pour les z\'ero-cycles.
  We prove, for a wide family of properties $P$ of homogeneous spaces, that if
$P$ is satisfied for homogeneous spaces of $\mathrm{SL}_n$ with finite
stabilizers, then $P$ is satisfied for all homogeneous spaces of linear
connected groups. In particular, we reduce to this particular case the
verification of an important conjecture by Colliot-Th\'el\`ene on the
Brauer-Manin obstruction to the Hasse principle and to weak approximation.
Recent work by Harpaz and Wittenberg show that our main result can also be
applied to the analog conjecture on zero-cycles (known as conjecture (E)).
