  Invented by Kurt Hensel at the very end of 19th century on the model of power
series in one indeterminate, the $p$-adic numbers have not only become an
indispensable tool of contemporary arithmetic, but a research topic per se. In
this text, stemming out two talks at the 2023 X-UPS lectures, I shall explain
their construction, how they fit in a vaster framework, between analysis and
arithmetic, where two constructions bearing the name of Isaac Newton play a
central role : Newton's method and Newton's polygon.
  Invent\'es par Kurt Hensel \`a la toute fin du 19e si\`ecle sur le mod\`ele
des s\'eries formelles en une ind\'etermin\'ee, les nombres $p$-adiques sont
devenus non seulement un outil indispensable de l'arithm\'etique contemporaine,
mais un sujet d'\'etude en soi. Dans ce texte, issu de deux expos\'es aux
journ\'ees X-UPS 2023, j'expliquerai leur construction, comment ils
s'ins\`erent dans un cadre plus vaste, entre analyse et arithm\'etique, o\`u
deux constructions portant le nom d'Isaac Newton jouent un r\^ole central: la
m\'ethode de Newton et la notion de polygone de Newton.
