  Soit F la cat\'{e}gories des foncteurs entre espaces vectoriels sur le corps
\`{a} deux \'{e}l\'{e}ments. \`{A} l'aide des cat\'{e}gories de foncteurs en
grassmanniennes, nous avons \'{e}mis dans [Dja06a] une conjecture d\'{e}crivant
la filtration de Krull de la cat\'{e}gorie F. Nous d\'{e}montrons une forme
affaiblie de cette conjecture, avec comme application la d\'{e}termination de
la structure du produit tensoriel entre le foncteur projectif standard
associ\'{e} \`{a} un espace vectoriel de dimension 2 et un foncteur fini de F,
dont on \'{e}tablit le caract\`{e}re noeth\'{e}rien de type 2. Nous
\'{e}tudions \'{e}galement le morphisme induit par le foncteur d'int\'{e}grale
en grassmanniennes entre anneaux de Grothendieck.
