  Building upon the Bloch-Kato conjecture in Milnor K-theory, we relate the
third unramified cohomology group with Q/Z coefficients with a group which
measures the failure of the integral Hodge conjecture in degree 4. As a first
consequence, a geometric theorem of the second-named author implies that the
third unramified cohomology group with Q/Z coefficients vanishes on all
uniruled threefolds. As a second consequence, a 1989 example by Ojanguren and
the first named author implies that the integral Hodge conjecture in degree 4
fails for unirational varieties of dimension at least 6. For certain classes of
threefolds fibered over a curve, we establish a relation between the integral
Hodge conjecture and the computation of the index of the generic fibre.
  En nous appuyant sur la conjecture de Bloch-Kato en K-th\'eorie de Milnor,
nous \'etablissons un lien g\'en\'eral entre le d\'efaut de la conjecture de
Hodge enti\`ere pour la cohomologie de degr\'e 4 et le troisi\`eme groupe de
cohomologie non ramifi\'e \`a coefficients Q/Z. Ceci permet de montrer que sur
un solide unir\'egl\'e le troisi\`eme groupe de cohomologie non ramifi\'e \`a
coefficients Q/Z s'annule, ce que la K-th\'eorie alg\'ebrique ne permet
d'obtenir que dans certains cas. Ceci permet \`a l'inverse de d\'eduire
d'exemples ayant leur source en K-th\'eorie que la conjecture de Hodge
enti\`ere pour la cohomologie de degr\'e 4 peut \^etre en d\'efaut pour les
vari\'et\'es rationnellement connexes. Pour certaines familles \`a un
param\`etre de surfaces, on \'etablit un lien entre la conjecture de Hodge
enti\`ere et l'indice de la fibre g\'en\'erique.
