  In this Note, we try to study the relations between the Goldbach Conjecture
and the least prime number in an arithmetic progression. We give a new weakened
form of the Goldbach Conjecture. We prove that this weakened form and a
weakened form of the Chowla Hypothesis imply that every sufficiently large even
integer may be written as the sum of two distinct primes.
  R\'{e}sum\'{e}
  La conjecture de Goldbach et le plus petit nombre premier dans une
progression arithm\'{e}tique
  Dans ce document, nous essayons d'\'{e}tudier les relations entre la
conjecture de Goldbach et le plus petit nombre premier dans une progression
arithm\'{e}tique. Nous donnons une nouvelle forme faible de la conjecture de
Goldbach. Nous prouvons que cette forme affaiblie et une forme affaiblie de
l'hypoth\`{e}se de Chowla impliquent que tout entier pair suffisamment grand
peut \^{e}tre \'{e}crit comme une somme de deux nombres premiers distincts.
