  We give a general theory of generalised inverses and we explain the link with
the theory of finitely generated projective modules. All the paper is written
in constrctive mathematics in Bishop style. So all results do have a clear
algorithmic content. We give also a complexity analysis of the algorihms
corresponding to the main theorems.
  Here is a more detailed abstract in french: D'une part, nous d\'eveloppons la
th\'eorie g\'en\'erale des inverses g\'en\'eralis\'es de matrices en la mettant
en rapport avec la th\'eorie constructive des modules projectifs de type fini.
D'autre part nous pr\'ecisons certains aspects de cette th\'eorie li\'es au
calcul formel et \`a l'analyse num\'erique matricielle. Nous d\'emontrons en
particulier qu'on peut tester si un $\bf A$-module de pr\'esentation finie est
projectif et calculer une matrice de projection correspondante "en temps
polynomial". Plus pr\'ecis\'ement pour une matrice $A\in {\bf A}^{m \times n}$
on peut d\'ecider s'il existe un inverse g\'en\'eralis\'e $B$ pour $A$ (i.e.
une matrice $B$ v\'erifiant $ABA=A$ et $BAB=B$) et, en cas de r\'eponse
positive, calculer un tel inverse g\'en\'eralis\'e par un algorithme qui
utilise $O(p^6\,q^{2})$ op\'erations arithm\'etiques (avec $p=\inf(m,n)$,
$q=\sup(m,n)$) et un nombre polynomial de tests d'appartenance d'un \'el\'ement
\`a un id\'eal engendr\'e par "un petit nombre d'\'el\'ements".
