แบบทดสอบคณิตศาสตร์ ระบบจำนวนจริง
จำนวน : 50 ข้อ ผู้เข้าชม : 37,808
1 ) ข้อใดต่อไปนี้ถูก คำตอบของสมการ คือ x = 37
ถ้า a และ b เป็นจำนวนเต็มแล้ว เป็นจำนวนตรรกยะ
ความยาวของเส้นรอบวงของวงกลมที่มีเส้นผ่านศูนย์กลางยาว 1 นิ้ว เป็นจำนวนตรรกยะ
ค่าสัมบูรณ์ของจำนวนอตรรกยะเป็นจำนวนอตรรกยะ
1. ผิด เนื่องจาก เสมอ ดังนั้น เป็นสมการที่ไม่เป็นจริง
2. ผิด เนื่องจาก จะเป็นจำนวนตรรกยะ เมื่อ และb 0 แต่ที่โจทย์กำหนด ไม่มีเงื่อนไขว่า b 0 ดังนั้น b อาจมีค่า 0 ทำให้ ไม่เป็นจำนวนตรรกยะ
3. ผิด ความยาวของเส้นรอบวง = 2r
ความยาวของเส้นรอบวงที่มีรัศมี ½ นิ้ว = แต่ เป็นจำนวนอตรรกยะ
4. ถูก ถ้า a เป็นจำนวนอตรรกยะ จะได้ว่า |a| จะเป็นจำนวนอตรรกยะที่เป็นบวก
2 ) ในกรณีที่ x เป็นจำนวนอตรรกยะ และ y เป็นจำนวนอตรรกยะ ประโยคใดต่อไปนี้ไม่มีโอกาสเป็นจริง เป็นจำนวนตรรกยะ
เป็นจำนวนอตรรกยะ
เป็นจำนวนตรรกยะ
1. มีโอกาสเป็นไปได้ เมื่อ x = 0 = 0 และเป็นจำนวนตรรกยะ
2. มีโอกาสเป็นไปได้ เช่น x = 2, y = 2, เป็นจำนวน
3. ไม่มีโอกาสเป็นไปได้ เนื่องจาก โดย จะเป็นจำนวนตรรกยะเสมอ เพราะจำนวนอตรรกยะที่ไม่ใช่ศูนย์จะเป็นจำนวนอตรรกยะเสมอ
4. มีโอกาสเป็นไปได้ เนื่องจากเหตุผลดังข้อ 3
3 ) กำหนดให้ a * b = a + b - 8, "a, b Î I เมื่อ I เท่ากับเซตของจำนวนเต็ม ข้อใดต่อไปนี้ถูก เอกลักษณ์ของ  *  ใน I คือ -a
อินเวอร์สของ a สำหรับ  *  ใน I คือ -a
 a  ไม่มีสมบัติการสลับที่
แนวคิด 1.  ผิด เนื่องจาก  a * b  = a + b - 8
ดังนั้น  (2*3)*4 = (2 + 3 - 8) * 4
= (-3) * 4
= (-3) + 4 - 8
=  -7
และ    2*(3 * 4)= 2 * ( 3 +4 - 8)  =  2 * (-1) = 2 + (-1) - 8 = -7
จะเห็นว่า ( 2 * 3 ) * 4 = 2* ( 3 * 4 )
2.  ถูก ให้ e เป็นเอกลักษณ์ภายใต้การกระทำ * ใน I
จะได้ว่า e * a   =   a * e  =  a
e + a - 8  =  a + e - 8  =  a
จะได้ e =   8 เป็นเอกลักษณ์
3.  ผิด ให้  เป็นอินเวอร์สของ a  ภายใต้การกระทำ * ใน I
จะได้ว่า  * a  =  a *    =   e
+ a - 8  =  a +  - 8  =  8
จะได้    =  16 - a
นั่นคือ อินเวอร์สของ a สำหรับ  *  ใน I คือ 16 - a ไม่ใช่ -a
4.  ผิด  a * b  =  a + b - 8
b * a  =  b + a - 8
จะเห็นว่า a * b  = b * a
นั่นคือ *  มีสมบัติการสลับที่
4 ) จะให้นิยามของโอเปอเรชัน * หลายโอเปอเรชันโดยใช้การบวก ลบ คูณ หาร ของจำนวนจริง จงพิจารณาว่าโอเปอเรชันใดที่มีสมบัติ y * x = x * y เป็นจริงสำหรับจำนวนจริง x และ y ทุกตัว ดูเฉลย
แนวคิด 1.  ไม่จริง  โดยการพิจารณาจากตัวอย่างต่อไปนี้
ยกตัวอย่าง เช่น 1 * 2   =  1 / 2
แต่ 2 * 1       =   2
เพราะฉะนั้น  1 * 2           2 * 1
2.  ไม่จริง จาก  x * y = x - y
ยกตัวอย่างเช่น 1 * 2  = 1 - 2  =    -1
2 * 1 =  2 - 1      =      1
เพราะฉะนั้น 1 * 2  2 * 1
3.  ไม่จริง จาก x * y  = x(x - y)
1 * 2  = 1(1+2) =   3
2 * 1 = 2(2+1) =   6
4.  จริง จาก
เนื่องจาก xy   =   yx  และ   x + y  =  y + x
ดังนั้น x * y   =   y * x
5 ) ให้ a, b, c และ d เป็นจำนวนจริงใด ๆ แล้วข้อใดต่อไปนี้ถูก ถ้า a < b แล้ว ถ้า a < b < 0 และ c < d < 0 แล้ว ac > bd
ถ้ากำหนด a * b = a + b -1 แล้ว ( 2 * 3 ) * 1 = 5
แนวคิด 1.  ผิด   เช่น  a = 1 จะได้
ซึ่งหาค่าไม่ได้
2.  ผิด เช่น  a = 3 , b = -2 จะได้ว่า a < b
แต่    เพราะ  และ
3.  ถูก เนื่องจาก a < b < 0 และ c < d < 0
ดังนั้น -a > -b > 0  และ -c > -d > 0
(-a)(-c) >   (-b)(-d)
ac >      bd
4.  ผิด เนื่องจาก a * b = a + b - 1
จะได้ว่า    ( 2 * 3 ) * 1 = ( 2 + 3 - 1 ) * 1
=  4 * 1
=  4 + 1 - 1     =    4
6 ) ข้อใดต่อไปนี้เป็นจริง สำหรับทุกจำนวนจริง a และ b ถ้า a < b แล้ว สำหรับทุกจำนวนจริง a ถ้า 0 < a < 1 แล้ว 0 < < a
สำหรับทุกจำนวนจริง a , b และ c ถ้า ab = ac แล้ว b = c
สำหรับทุกจำนวนจริง a, ดูเฉลย
1. เท็จ เช่น a = -1 , b = 0 จะเห็นว่า a < b แต่ เพราะ , 2. จริง เนื่องจาก 0 < a < 1 แสดงว่า a เป็นจำนวนจริงบวก
พิจารณา 0 < a < 1 จะได้ว่า 0 . a < a . a < 1 . a
ดังนั้น 0 < < a
3. เท็จ เช่น a = 0 , b = 1, c = 2
จะเห็นว่า ab = 0 . 1 = 0
ac = 0 . 2 = 0
ab = ac แต่ b c
4. เท็จ เช่น a = -1 , 7 ) พิจารณาการพิสูจน์ต่อไปนี้
กำหนดให้  x > y
เนื่องจาก	  x > y  จะมีจำนวนจริงบวก z โดยที่ x = y + z
จะได้	x( x - y )  	=	( y + z )( x - y )
x ( x - y - z )        =   y ( x - y - z )      .(3)
เพราะฉะนั้น	x	  =	y	      .(4)
นั่นคือ ถ้า x > y แล้ว x = y
การพิสูจน์นี้ผิดที่ใด
ผิดที่ขั้นตอนที่ 4 เนื่องจาก x = y + z x - y - z = 0
ขั้นตอนที่ 4 เกิดจากการนำขั้นตอนที่ 3 มาหารด้วย x - y - z ซึ่งมีค่าเท่ากับ 0 และไม่นิยามการหารด้วยศูนย์
8 ) จงหาเซตคำตอบของสมการ เซตคำตอบของสมการคือ {2, 4 / 3 , -3 }
เซตคำตอบของสมการคือ {2, 5 /3 , -5 }
เซตคำตอบของสมการคือ {3, 4 /3 , -3 }
เซตคำตอบของสมการคือ {2, 3 /3 , -4 }
ให้ f(x)    =
f(2)   =    24 - 4 - 44 + 24
แสดงว่า x - 2 เป็นตัวประกอบหนึ่งของ
หาตัวประกอบที่เหลือโดยใช้การหารสังเคราะห์
2    3    -1    -22    24
6    10    -24
3     5    -12    0
จะได้ (x - 2 )
(x - 2 ) (3x - 4 ) (x + 3 )      = 0
X      =  2, 4/3 , -3
9 ) กำหนดให้ P(x) = โดยที่ a และ b เป็นจำนวนจริง ถ้า x - 1 และ x +3 ต่างหาร P(x) แล้วเหลือเศษ 5 ดังนั้น a + 2b มีค่าเท่ากับข้อใดต่อไปนี้ -11
เศษที่ได้จากการหาร P(x) ด้วย x - 1 คือ P( 1 ) = 5
จะได้  P(1)     =     1 + a + b + 2    =   5
a + b    =    2 .(1)
เศษที่ได้จากการหาร P(x) ด้วย x + 3 คือ P(-3) = 5
จะได้  P(-3)    =     -27 + 9a - 3a + 2         =   5
9a - 3b             =   30
3a - b            =   10 ..(2)
(1) + (2) 4a    =       12
a    =        3
แทนค่า a = 3 ใน (1) จะได้  b = -1
ดังนั้น a + 2b  =  3 + 2 ( -1) = 1
10 ) ถ้า x - a หาร เหลือเศษ 4 แล้ว ผลบวกของค่า a ทั้งหมดที่สอดคล้องกับเงื่อนไขดังกล่าวเท่ากับข้อใดต่อไปนี้ -6
P(x)    =
เศษที่ได้จากการหาร P(x) ด้วย x - a  คือ P(a) = 4
จะได้ P(a)   =
( a + 1 ) ( a + 3 ) ( a - 2 )    =   0
a     =    -1, -3, 2
ดังนั้นผลบวกของค่า a ทั้งหมด   =   (-1) + (-3) + 2  =  -2
11 ) ถ้า A คือเซตคำตอบของอสมการ 3x + 5 < x - 7
B คือเซตคำตอบของอสมการ แล้ว เท่ากับช่วงในข้อใดต่อไปนี้ (-6 , 0 )
( 2 , )
(- , 0 ) ( 2 , )
[-6 , 0 ) ( 2 , )
จาก  3x + 5 <  x - 7 จาก
จะได้ 2x        <  -12 จะได้
x <   -6
ดังนั้น A  =  (- , -6 ) และ A = [ -6,  )
นำ  คูณทั้งสองข้างของอสมการ
จะได้    x ( x - 2 )   >   0
ดังนั้น B     =
12 ) กำหนดให้ A = B = ข้อใดต่อไปนี้ผิด ดูเฉลย
(x - 4 ) (x + 1)     >  0
นำ   คูณทั้งสองข้าง
( x - 1 ) ( x +4 )     <    0
ดังนั้น B    =     (-4 , 1 )
พิจารณา 1.  ถูก
2.  ถูก
3.  ผิด
4.  ถูก
13 ) ข้อใดคือเซตคำตอบของอสมการ ดูเฉลย
เมื่อ x  1
(2x - 1 ) (x + 1 )         0
x    -1  หรือ   โดย x  1
ดังนั้นเซตคำตอบของอสมการคือ
14 ) ถ้า a เป็นจำนวนจริง แล้วให้ [a] คือจำนวนเต็มที่มากที่สุดที่มีค่าน้อยกว่าหรือเท่ากับ a จงหาเซตคำตอบของสมการ [1 - 2x ] = 3 เซตคำตอบของสมการคือ เซตคำตอบของสมการคือ เซตคำตอบของสมการคือ เซตคำตอบของสมการคือ ดูเฉลย
แนวคิด เนื่องจาก [a] คือจำนวนเต็มที่มากที่สุดที่มีค่าน้อยกว่าหรือเท่ากับ a
[2.8] คือจำนวนเต็มที่มากที่สุดที่มีค่าน้อยกว่าหรือเท่ากับ 2.8
ดังนั้น [2.8] = 2
จากตัวอย่างแสดงว่า [1 - 2x] =3
ก็ต่อเมื่อ 3           1 - 2x < 4
2  -2x < 3
-2  2x > -3
-3 < 2x  -2
ดังนั้น -3/2 < x  -1
เซตคำตอบของสมการคือ
15 ) กำหนดให้ x, y เป็นจำนวนจริงใด ๆ ข้อใดต่อไปนี้ถูก ถ้า แล้ว x > |y| + 1 หรือ x < 1 - |y|
ถ้า แล้ว x > |y| - 1 หรือ x < |y| + 1
แนวคิด 1.  ผิด เช่น  x = 2 , y = -2
|x - y|  =  | 2 - (-2) |  =  4
|x + y|  =  | 2 + (-2) |  =  0
จะเห็นว่า 4  ไม่น้อยกว่า 0
2.  ผิด  เช่น  x = 1 , y = 1
จะเห็นว่า 4 ไม่เท่ากับ 2
3.  ถูก จาก
จากความรู้เรื่องอสมการจะได้
นั่นคือ x < 1 - |y|  หรือ x > 1 + |y|
4.  ผิด จาก
นั่นคือ   1 - | y | <   x   <   1 + | y |
16 ) กำหนดให้ a และ b เป็นจำนวนจริงใด ๆ ข้อใดต่อไปนี้ผิด แล้ว | a | > | b |
| a - b | | a | - | b |
1.  ถูก
(เนื่องจาก  )
( | a | - | b | ) ( | a | + | b | ) >  0
เนื่องจาก | a | + | b |   >  0   เสมอ
ดังนั้น | a | - | b |    >  0
| a |     >   | b |
2.  ถูก  เนื่องจาก
3.  ถูก  เป็นสมบัติของค่าสัมบูรณ์
พิจารณา | a | =  | ( a - b ) + b |
| a - b | + | b |  เนื่องจาก |x + y|  | x | + | y |
ดังนั้น | a | - | b |         | a - b |
4.  ผิด  เช่น  a = 0, b = &frac14;  จะได้
| a + b | =
ซึ่ง 4 ไม่เท่ากับ
17 ) ถ้า | x - 2 | < 1 แล้ว น้อยกว่าเลขจำนวนในข้อใดต่อไปนี้ 1
จาก | x - 2 |  <  1
จะได้ -1  <    x - 2     <    1            .(1)
เนื่องจากเมื่อ  และ | x | < a จะได้ -a < x < a
1  <  x < 3
1 <  < 9
-3 << 5
ดังนั้น -5 << 5
18 ) ให้ A คือเซตคำตอบของสมการ แล้วจำนวนสมาชิกของ A ที่เป็นจำนวน
อตรรกยะคือข้อใดต่อไปนี้ 2
ดังนั้น   หรือ
(3x-4)(x + 2 ) =  0
x  =  4/3 , -2
ตรวจคำตอบแล้วค่า x ทุกค่าใช้ได้
ดังนั้นจำนวนสมาชิกในเซต A ที่เป็นจำนวนอตรรกยะมี 2 จำนวน
19 ) เซตคำตอบของสมการ | x + 2 | = -2x + 5 คือเซตในข้อใด ดูเฉลย
| x + 2 |   = -2x + 5
ก็ต่อเมื่อ  x + 2  = &plusmn; ( -2x + 5 )
ดังนั้น  x + 2 =    - 2x + 5 หรือ x + 2   = -(-2x + 5 )
3x = 3 x + 2 = 2x - 5
x  =  1 7 = x
ตรวจคำตอบแล้วได้  x = 1
พิจารณาจากตัวเลือก 1.  เซตคำตอบคือ {1}
2.  เซตคำตอบคือ {7}
3.  เซตคำตอบคือ { 1, 7}
4.  เซตคำตอบคือ  { -1,1}
20 ) เซตคำตอบของอสมการ |2x + 3 | < 1 เป็นสับเซตของเรนจ์ของฟังก์ชันในข้อใดต่อไปนี้ ไซน์
เอกซ์โปเนนเชียล
| 2x + 3 |             <              1
ก็ต่อเมื่อ                          -1                     <           2x + 3         <          1
-4              <             2x             <        -2
-2                     <              x             <          -1
พิจารณา 1.  เรนจ์ของฟังก์ชันไซน์  = [-1 1]
2.  เรนจ์ของฟังก์ชันโคไซน์ = [-1, 1]
3.  เรนจ์ของฟังก์ชันเอกซ์โปเนนเชียลคือ จำนวนจริงบวก
4.  เรนจ์ของฟังก์ชันลอการิทึมคือจำนวนจริง
จะเห็นว่า (-2, 1) เป็นสับเซตของ จำนวนจริง
21 ) เซตคำตอบของอสมการ 3 | x + 1 | 7 เป็นสับเซตของเซตในข้อใดต่อไปนี้ ( -10, 4 )
( -9, -2 ) ( 1, 7 )
(-5, 8 )
( -10, -3 ) ( 3, 8 )
แนวคิด 3  | x + 1 |   7
ก็ต่อเมื่อ 3  | x + 1 |      หรือ | x + 1 |   7
พิจารณา 3  | x + 1 |
ก็ต่อเมื่อ   3   x + 1        หรือ x + 1    -3
x          2 หรือ X       -4  ..(1)
พิจารณา | x + 1 |   7
ก็ต่อเมื่อ -7    x + 1    7
-8    x     6 ..(2)
นั่นคือ  3  | x + 1 |   7
ก็ต่อเมื่อ x          2    หรือ X       -4  และ  -8    x     6
22 ) จำนวนจริง x ที่มากที่สุดที่สอดคล้องกับสมการ เป็นสมาชิกของเซตใดต่อไปนี้ [-1, 0.5)
[ 0.5, 1)
[1, 1.5 )
[1.5, 2)
จากอสมการ
เนื่องจาก   เสมอ
จำนวนจริง x ที่มากที่สุดที่สอดคล้องกับอสมการ คือ
23 ) กำหนดให้ S เป็นเซตคำตอบของอสมการ และ a เป็นค่าขอบเขตบนน้อยสุดของ S แล้ว เท่ากับข้อใดต่อไปนี้ 2
แนวคิด จาก
นำ   คูณตลอด
x &Icirc; (-5, -2) ดังนั้น S = (-5, -2)
ค่าขอบบนน้อยสุดของ S คือ -2 = a
24 ) ให้ a, b, c เป็นจำนวนเต็มบวก ถ้า 7 หาร a เหลือเศษ 1 7 หาร b เหลือเศษ 3 และ 7 หาร c เหลือเศษ 5 แล้ว 7 หาร a(b + c) เหลือเศษเป็นจำนวนเท่ากับข้อใดต่อไปนี้ 1
7 หาร a เหลือเศษ 1 จะมี p Î I ซึ่ง a = 7p +1
7 หาร b เหลือเศษ 3 จะมี qÎ I ซึ่ง b = 7q +3
7 หาร c เหลือเศษ 5 จะมี r Î I ซึ่ง c = 7r +5
พิจารณา a( b + c ) = (7p + 1)[(7q + 3)+(7r + 5 )]
= (7p + 1)(7q +7r + 8 )
= (7p + 1)(7q + 7r +7 + 1)
= (7p + 1)[7(q + r + 1 ) + 1 ]
= 7(7p + 1)(q + r + 1) + 7p + 1
= 7[(7p + 1)(q + r + 1) + p] + 1 เป็นจำนวนเต็ม
นั่นคือ a (b + c) = 7M + 1 เมื่อ M Î I
ดังนั้น 7 หาร a ( b + c ) เหลือเศษ 1
25 ) ถ้า A = {p|p เป็นจำนวนเฉพาะบวก และ p | } แล้วผลบวกของสมาชิกทั้งหมดใน A มีค่าเท่าใด ผลบวกของสมาชิกทั้งหมดใน A = 14
ผลบวกของสมาชิกทั้งหมดใน A = 24
ผลบวกของสมาชิกทั้งหมดใน A = 15
ผลบวกของสมาชิกทั้งหมดใน A = 25
จะเห็นว่า p จะหาร  ได้ลงตัว
เมื่อ  p หาร  ได้ลงตัว
พิจารณา p ต้องมีค่าเป็น 2 หรือ 5 หรือ 7
ดังนั้น A = { 2, 5, 7 }
และผลบวกของสมาชิกทั้งหมดใน A = 2 + 5 + 7 = 14
26 ) กำหนดให้ a และ b เป็นจำนวนเต็มบวก ถ้า b หาร a ได้ผลลัพธ์ 1 เหลือเศษ 24 โดยที่ 24 < b , 24 หาร b ได้ผลลัพธ์ 1 เศษ 12 แล้ว ห.ร.ม. ของ a และ b เท่ากับจำนวนในข้อใดต่อไปนี้ 1
เนื่องจาก 24 หาร b ได้ผลลัพธ์  1 เศษ 12
แสดงว่า b = 24 (1) + 12 = 36
เนื่องจาก b หาร a ได้ผลลัพธ์  1 เศษ 24
แสดงว่า a = b (1) + 24
แทนค่า  b = 36 , a = 36(1) + 24 = 60
ห.ร.ม. ของ 36 และ 60 = 12
27 ) กำหนดให้เอกภพสัมพัทธ์คือ {x | x เป็นจำนวนเต็มที่ไม่ใช่ 0 และ -100 x 100} ให้ A = { x | ห.ร.ม. ของ x กับ 21 เป็น 3} จำนวนสมาชิกของ A เท่ากับข้อใดต่อไปนี้ 29
เนื่องจาก x เป็นจำนวนเต็มที่ไม่ใช่ 0 และ -100  x  100
A = { x | ห.ร.ม. ของ x กับ 21 เป็น 3}
ดังนั้น A = { x | -100  x  100 , x  0 , 3 | x แต่ 7  |  x }
พิจารณาจำนวนเต็ม x ที่ไม่ใช่ 0, -100  x  100 โดย 3 | x
ได้แก่  -99, -96, -93, , 93, 96, 99 เป็นลำดับเลขคณิตที่มี d = 3
99     =     (-99) + ( n - 1)3
33     =     (-33) + ( n - 1)
n      =     67
มีทั้งหมด  67 ตัว
พิจารณาจำนวนเต็ม x  -100  x  100 โดย 3 | x และ 7 | x
ได้แก่  -84, -63, -42, -21, 0, 21, 42, 63, 84 มีทั้งหมด 9 ตัว
ดังนั้นจำนวนที่เป็นสมาชิกที่เป็นสมาชิกของ A มีทั้งหมด 67 - 9  = 58 จำนวน
28 ) จำนวนเต็มตั้งแต่ 0 ถึง 100 ที่ไม่เป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์กับ 15 มีทั้งหมดกี่จำนวน 48 จำนวน
58 จำนวน
84 จำนวน
85 จำนวน
เนื่องจากจำนวนเต็ม a และ b จะเป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์ เมื่อ (a,b) = 1
ดังนั้นจำนวนที่ไม่เป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์กับ 15 คือจำนวนเต็มที่มี 3 หรือ 5 เป็นตัวประกอบ
พิจารณา จำนวนเต็มตั้งแต่  0 ถึง 100 ที่มี 3 เป็นตัวประกอบได้แก่
0, 3, 6, 9,.., 99  มีทั้งสิ้น 34 จำนวน
จำนวนตั้งแต่  0 ถึง 100 ที่มี 5 เป็นตัวประกอบได้แก่
0, 5, 10, 15, .., 100 มีทั้งสิ้น  21 จำนวน
จำนวนตั้งแต่ 0 ถึง 100 ที่มี 15 เป็นตัวประกอบได้แก่
0, 15, 30, 45, ., 90  มีทั้งสิ้น  7 จำนวน
ดังนั้น จำนวนเต็มตั้งแต่ 0 ถึง 100 ที่มี 3 หรือ 5 เป็นตัวประกอบ หรือกล่าวว่าไม่เป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์กับ 15
มีทั้งหมด = 34 + 21 - 7 = 48 จำนวน
29 ) กำหนดให้ x และ y เป็นจำนวนเต็มบวก โดยที่ x < y ห.ร.ม. ของ x, y เท่ากับ 9 ค.ร.น. ของ x, y เท่ากับ 28,215 และจำนวนเฉพาะที่แตกต่างกันทั้งหมดที่หาร x ลงตัว มี 3 จำนวน ค่าของ y - x เท่ากับข้อใดต่อไปนี้ 36
แนวคิด  และ x< y
( x, y ) = 9 และ [x , y ] = 28,215
เนื่องจาก ( x, y ) [x, y ] = xy
9 x 28,215     = xy
9 x ( 9 x 3 x 5 x 11 x 19)   = xy
เนื่องจาก ( x, y ) = 9 ดังนั้น x และ y จะมี 9 เป็นตัวประกอบแต่ 3, 5, 11 ,19 จะเป็นตัวประกอบของ x หรือ y ตัวใดตัวหนึ่งเพียงตัวเดียว (มิฉะนั้น ห.ร.ม. ของ x และ y จะไม่เท่ากับ 9 ) และจากโจทย์มีจำนวนเฉพาะที่แตกต่างกันทั้งหมดที่หาร x ลงตัวได้เพียง 3 จำนวน โดย x < y
นั่นคือ  x   =    9 x 5 x 11
=    9 x 55
y    =   9 x 3 x 19
=    9 x 57
ดังนั้น        y - x     =   9 ( 57 - 55 )
=   18
30 ) ข้อใดต่อไปนี้ถูก จำนวนจริงที่ได้จากการแก้สมการ มีค่าน้อยกว่า 0
ถ้า a, b เป็นจำนวนจริง ใด ๆ ที่ a 0 b แล้วเราสรุปได้ว่า ถ้า a, b, c เป็นจำนวนจริง ใด ๆ ที่ ac = bc แล้วเราสรุปได้ว่า a = b
2.141144111444. สามารถเขียนได้ในรูปของเศษส่วน โดยที่เศษและส่วนเป็นจำนวนเต็ม
1.  ผิด  เนื่องจาก  เสมอ
ดังนั้น เป็นสมการที่เป็นไปไม่ได้ จึงไม่มีค่า x ที่ทำให้สมการเป็นจริง
2.  ถูก จากที่กำหนด a &Icirc; R , b &Icirc; R โดยที่ a  0  b
เนื่องจาก   และ  b  0
ดังนั้น  (1)
เนื่องจาก  และ a  0
ดังนั้น (2)
จาก (1) และ (2) จะได้ว่า  (จำนวนจริงบวกย่อมมีค่ามากกว่าจำนวนจริงลบ)
3.  ผิด เช่น  a = 2 , b = 3 , c = 0 จะได้ว่า 2(0) = 3(0) = 0 แต่ 2  3
4.  ผิด   จำนวน 2.141144111444 เป็นทศนิยมไม่รู้จบแบบไม่ซ้ำ จึงเป็นจำนวนอตรรกยะ
31 ) ให้ a, b, c และ d เป็นจำนวนจริงใด ๆ ข้อใดต่อไปนี้ถูกต้อง |a + b| > | a - b |
ถ้า 0 < b < a และ 0 < c < d แล้ว a - c > b - d
1.  ผิด เช่น
2.  ผิด เช่น  a = 1, b = -1 , |a + b| = |1 + (-1)| = 0
|a - b| = |1 - (-1) | = 2 จะเห็นว่า |a + b | > |a - b|
3.  ผิด   เช่น    ,
4.  ถูก เนื่องจาก 0 < b < a   และ 0 < c < d
ดังนั้น a > b และ -c > -d
a + (-c )  >  b + (-d)
นั่นคือ  a - c  > b - d
32 ) ข้อใดต่อไปนี้ถูก ถ้า a เป็นจำนวนจริงและ n เป็นจำนวนเต็มบวกแล้ว ถ้า a และ b เป็นจำนวนจริงซึ่ง a > b แล้ว |a - b | = |a| - |b|
ถ้า a และ b เป็นจำนวนจริงซึ่ง แล้ว ab < 0
ถ้า a, b และ c เป็นจำนวนจริงซึ่ง a < b แล้ว ac < bc หรือ ac > bc
1.  ผิด   เมื่อ  a = 0 เนื่องจากไม่นิยามการหารด้วยศูนย์
2.  ผิด  เช่น a = -2 , b = -3 จะได้ |a - b| = | -2 - (-3)| = 1
|a| - | b| = |-2| - | -3| = 2 -3 = -1
จะเห็นว่า  |a - b |  |a| - |b|
3.  ถูก พิจารณา
0  >  2ab
ดังนั้น   ab  <   0
4.  ผิด เช่น  a = 2 , b = 3 , c = 0
จะได้ ac   =    2(0)  =  0
Bc   =    3(0)   =  0
จะเห็นว่า ac ไม่จำเป็นต้องน้อยกว่า  bc
33 ) จงพิจารณาข้อความต่อไปนี้
ก. ถ้า แล้ว a < b
ข. ถ้า แล้ว a < b
ข้อสรุปใดถูกต้อง ก. ถูก และ ข. ถูก
ก. ผิด เช่น แต่ -2 ไม่ได้มากกว่า -3
ข. ถูก เนื่องจาก ดังนั้น นั่นคือ a < b
34 ) จงพิจารณาการให้เหตุผลต่อไปนี้บรรทัดใดไม่สอดคล้องกับสมบัติของระบบจำนวน
1  	=  		(1)
=  	(2)
=  	(3)
=  -1					(4)
ผิดขั้นที่ 3 เนื่องจาก
ก็ต่อเมื่อ a และ b เป็นจำนวนจริง q เป็นเลขคู่ a, b &Icirc;
จากขั้นที่ 3
เนื่องจาก  (-1) ไม่ได้เป็นสมาชิกของจำนวนจริงบวก
35 ) กำหนดให้ A = { x | , k เป็นจำนวนเต็ม } และโอเปอเรชันบน A คือการคูณของจำนวนจริง ข้อใดต่อไปนี้ผิด A มีสมบัติปิด
1 เป็นเอกลักษณ์ใน A
มีสมาชิกบางตัวของ A ที่ไม่มีอินเวอร์สใน A
อินเวอร์สของ 2 คือ ดูเฉลย
1.  ถูก A มีสมบัติปิด เนื่องจาก  โดย k&Icirc; I
2.  ถูก 1 เป็นเอกลักษณ์ใน A เนื่องจาก
3.  ผิด   เป็นอินเวอร์สของ  เนื่องจาก
นั่นคือสมาชิกทุกตัวของ A มีอินเวอร์สการคูณใน A
4.  ถูก  อินเวอร์สการคูณของ 2 คือ &frac12;
36 ) ข้อใดต่อไปนี้ถูก มีจำนวนตรรกยะ a 0 และจำนวนอตรรกยะ b ซึ่ง ab เป็นจำนวนตรรกยะ
ถ้า a, b เป็นจำนวนตรรกยะบวกแล้ว เป็นจำนวนตรรกยะเสมอ
มีจำนวนอตรรกยะ a, b ซึ่ง a -b และ a + b เป็นจำนวนตรรกยะ
ถ้า a, b เป็นจำนวนอตรรกยะ และ b 1/a แล้ว ab เป็นจำนวนอตรรกยะเสมอ
1.  ผิด  ตำนวนตรรกยะที่ไม่เท่ากับศูนย์คูณกับจำนวนอตรรกยะจะได้ผลลัพธ์เป็นจำนวนอตรรกยะเสมอ
2.  ผิด เช่น a = 2, b = &frac12; จะได้  ซึ่งเป็นจำนวน
3.  ถูก เช่น a =  จะได้
4.  ผิด  เช่น  จะได้
37 ) กำหนดให้ โดยที่ b, c Î I ถ้า p(x) เป็นตัวประกอบพหุนาม f(x) และ g(x) โดยที่ แล้ว p(1) เท่ากับข้อใดต่อไปนี้ 1
เนื่องจาก p(x) เป็นตัวประกอบของ f(x) และ g(x)
ดังนั้น p(x) จึงเป็นตัวประกอบของ 3f(x) - g(x) ด้วย
จากการพิจารณา 3f(x) - g(x) แสดงว่า
ดังนั้น p(1)        = 1 - 2 + 5 = 4
38 ) กำหนดให้ a, b, c เป็นจำนวนจริง และ tex]p(x) = ax^2 + bx + c[/tex] ถ้า มี เป็นตัวประกอบแล้ว 7a + 3b + 2c คือจำนวนในข้อใดต่อไปนี้ ดูเฉลย
จากโจทย์  q(x) มี  เป็นตัวประกอบ
ดังนั้น จะได้ว่า  q(1) = 0 , q(2) = 0  และ q(3) = 0
แทนค่า x = 1 , q(1) =
ดังนั้น p(1)  =  1
แทนค่า  x = 2 , q(2) =
แทนค่า x = 3 , q(3) =
p(1)  =  a + b + c  =  1 .(1)
p(2)  =  4a + 2b + c =    .(2)
p(3)  =  9a + 3b +c =   .(3)
(1) x 2 ,  2a + 2b + 2c       =   2 .(4)
(3) + (4) - (2) ,  7a + 3b + 2c  =
39 ) เซตคำตอบของอสมการ คือเซตในข้อใด ข้อ 1, 2, 3 ไม่มีข้อใดถูก
นำ  คูณทั้งสองข้าง
(3x + 1)( x - 2 )    0
ดังนั้น เซตคำตอบของอสมการคือ
40 ) เซตคำตอบของอสมการ เป็นสับเซตของเซตคำตอบในข้อใด ดูเฉลย
เซตคำตอบคือ [-3, 1]
พิจารณา 1.  จาก |2x - 3 |   1
จะได้ 2x - 3   -1   หรือ  2x - 3    2
2x       2      2x      4
X        1        x      2
เซตคำตอบคือ
2. จาก |x - 4|    5
จะได้ -5     x - 4     5
-1         x        9
เซตคำตอบคือ [-1,9]
3.   จาก
(x - 1)(x + 3)     0
4.   จาก
(x - 3)(x + 3)     0
เซตคำตอบคือ R - {-3, 3}
จะเห็นว่า [-3, 1] เป็นสับเซตของ
41 ) เซตคำตอบของอสมการ คือเซตในข้อใดต่อไปนี้ เซตว่าง
ข้อ 1.,2.,3. ไม่มีข้อใดถูก
นั่นคือ  x - 1   -2    หรือ    x - 1      2
X      -1   x          3
ตรงกับเซตคำตอบในโจทย์คือ
42 ) ให้ R เป็นเซตของจำนวนจริง
A = และ
B = พิจารณาข้อความต่อไปนี้
ก. B - A = ข. ข้อใดต่อไปนี้ถูกต้อง ก. ถูก ข. ถูก
ก. ถูก ข. ผิด
ก. ผิด ข. ถูก
ก. ผิด ข. ผิด
(3x - 2)(x + 1)   >   0
จะได้   B - A    =
ก.  ผิด B - A =
ข.  ถูก
43 ) เซตคำตอบของอสมการ |x-1| < 2|x| คือข้อใด ดูเฉลย
จาก | x - 1 |  <  2 | x |
(3x - 1)(x + 1)  >  0
44 ) เซตใดต่อไปนี้เป็นเซตอนันต์ { x || x | = x - 5}
{ x || x | = x + 5}
แนวคิด พิจารณา 1.   | x |   =   x - 5
10 x  =  25
ตรวจคำตอบแล้วสมการไม่เป็นจริง
ดังนั้นเซตคำตอบคือ เซตว่าง เป็นเซตจำกัด
2.   | x |   =   x + 5
ดังนั้นเซตคำตอบคือ  เป็นเซตจำกัด
(| x | - 3)(| x | + 1)   =  0
| x |  =  3  หรือ  | x |  = -1
x   =   &plusmn; 1   สมการไม่เป็นจริง
ดังนั้นเซตคำตอบคือ {-3, 3} เป็นเซตจำกัด
เมื่อ  และ x  -1
(x + 1)(x - 1)    0
และ x ไม่เท่ากับ -1
ดังนั้นเซตคำตอบคือ
45 ) ให้ a, b เป็นจำนวนเต็มบวก ซึ่ง a < b , 5 หาร a ลงตัวและ 3 หาร b ลงตัว ถ้า a, b เป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์และ ค.ร.น. ของ a, b เท่ากับ 165 แล้ว a หาร b เหลือเศษเท่ากับข้อใดต่อไปนี้ 1
เนื่องจาก  5 | a  จะมี m &Icirc; I ที่ทำให้  a  =  5m
3 | b  จะมี n &Icirc; I ที่ทำให้   b   =  3n
เนื่องจาก  a, b จะเป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์ เมื่อ (a, b) = 1 แสดงว่า a, b มีตัวประกอบต่างกัน
และเนื่องจาก [a, b]  =  165  =  3 x 5 x 11
แสดงว่า  3, 5, 11 จะเป็นตัวประกอบของ a หรือ b ตัวใดตัวหนึ่งเพียงตัวเดียว และเนื่องจาก a < b
โดย a = 5   ,  b = 3 x 11  =  33
5  หาร  33 จะเหลือเศษ  3
46 ) ให้ A = B = { n | n เป็นจำนวนเต็มลบซึ่ง n -2 }
ขอบเขตบนค่าน้อยสุดของ AÇB เท่ากับข้อใดต่อไปนี้ -4
และ  x  -2
| x + 2 |     1
-1     x + 2     1
-3     x           -1  และ x  -2
ดังนั้น  A  =  [-3, -2)  (-2, -1]
B =  {n| n เป็นจำนวนเต็มลบซึ่ง n  2}
=   {, -5 , -4, -3, -2}
A &Ccedil; B  = { -3 }
47 ) ถ้า n เป็นจำนวนเต็มบวกที่มากที่สุดซึ่งหาร 90 เหลือเศษ 6 และหาร 150 เหลือเศษ 3 แล้ว n หาร 41 เหลือเศษเท่ากับข้อใดต่อไปนี้ 5
เนื่องจาก n หาร 90 เหลือเศษ 6 ดังนั้น n | ( 90 - 6 ) หรือ n | 84
n หาร 150 เหลือเศษ 3 ดังนั้น n | ( 150 - 3 ) หรือ n | 147
เนื่องจาก  n เป็นจำนวนเต็มบวกที่มากที่สุด
ดังนั้น  n = ( 84, 147) = 21
21 หาร 41 เหลือเศษ  20
48 ) ให้ a เป็นจำนวนเต็มบวก ซึ่ง 3|a และ 5|a ถ้า ห.ร.ม. ของ a และ 7 เท่ากับ 1 แล้ว ห.ร.ม. ของ a และ 105 เท่ากับข้อใดต่อไปนี้ 5
เนื่องจาก 3 | a และ 5  | a
ดังนั้น 15 | a
เนื่องจาก (a, 7 ) = 1  แสดงว่า 7 ไม่เป็นตัวประกอบของ a
พิจารณา ( a, 105 )  =  (a , 3 x 5 x 7)
แสดงว่า (a , 105 )  =  15
49 ) ค่าขอบเขตบนน้อยสุดของเซต { เป็นจำนวนเต็มบวก} ใน R เท่ากับข้อใดต่อไปนี้ -1
พิจารณา n = 1 จะได้
n = 2 จะได้
n = 3 จะได้
n ----&gt;         จะได้
แสดงว่าสมาชิกใน A ไม่มีสมาชิกตัวใดมีค่ามากกว่า  -1/2
ดังนั้นค่าขอบเขตบนน้อยสุดของ A เท่ากับ -1/2
50 ) ถ้า -5 < x < 3 แล้ว ข้อใดต่อไปนี้ถูก 3 < |x| < 5
0 < x|x| < 5
จากข้อมูลที่โจทย์กำหนดสร้างรูปได้ดังนี้
เนื่องจาก BC เป็นเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลม เพราะฉะนั้น มุม A เท่ากับ 90 องศา
(a + 4 ) (a - 3 ) = 0
=  5  หน่วย