Artículo	113	30	145	42	468	612	1
Original	148	30	180	42	468	612	1
Páginas:	215	30	248	42	468	612	1
95	260	33	269	41	468	612	1
-	271	33	274	41	468	612	1
105	276	33	290	41	468	612	1
ISSN	374	30	394	42	468	612	1
2411	396	30	414	42	468	612	1
-	416	30	419	42	468	612	1
0035	421	30	439	42	468	612	1
Fides	286	49	306	61	468	612	1
Et	308	49	317	61	468	612	1
Ratio	320	49	341	61	468	612	1
-	343	49	346	61	468	612	1
Volumen	348	49	380	61	468	612	1
13,	383	49	394	61	468	612	1
Marzo	396	49	420	61	468	612	1
2017	422	49	440	61	468	612	1
El	114	71	125	82	468	612	1
conjunto	128	71	173	82	468	612	1
de	176	71	188	82	468	612	1
los	191	71	205	82	468	612	1
números	208	71	253	82	468	612	1
y	256	71	262	82	468	612	1
dos	265	71	282	82	468	612	1
formas	285	71	321	82	468	612	1
de	324	71	336	82	468	612	1
entender	339	71	384	82	468	612	1
al	387	71	396	82	468	612	1
número	399	71	439	82	468	612	1
“	264	85	270	96	468	612	1
π	273	81	279	97	468	612	1
”	282	85	288	96	468	612	1
Set	144	112	159	122	468	612	1
of	161	112	171	122	468	612	1
numbers	173	112	215	122	468	612	1
and	218	112	235	122	468	612	1
two	238	112	255	122	468	612	1
ways	258	112	281	122	468	612	1
to	284	112	293	122	468	612	1
understand	296	112	350	122	468	612	1
“π”	352	112	369	122	468	612	1
number	372	112	409	122	468	612	1
Bruno	222	139	250	149	468	612	1
E.	253	139	262	149	468	612	1
Vargas	265	139	294	149	468	612	1
Biesuz	297	139	327	149	468	612	1
1	327	138	330	144	468	612	1
bvargasb@ulasalle.edu.bo	219	148	334	163	468	612	1
Instituto	128	165	168	175	468	612	1
de	171	165	182	175	468	612	1
Investigación	185	165	247	175	468	612	1
en	250	165	261	175	468	612	1
Ciencias	264	165	303	175	468	612	1
Económicas	306	165	362	175	468	612	1
y	365	165	371	175	468	612	1
Finacieras,	373	165	425	175	468	612	1
Universidad	209	178	267	188	468	612	1
La	270	178	282	188	468	612	1
Salle	285	178	308	188	468	612	1
Bolivia	310	178	343	188	468	612	1
Palabras	113	482	155	492	468	612	1
claves	158	482	186	492	468	612	1
Conjunto	113	504	154	519	468	612	1
de	157	504	167	519	468	612	1
números,	170	504	211	519	468	612	1
numero	214	504	247	519	468	612	1
irracional,	250	504	295	519	468	612	1
número	300	504	334	519	468	612	1
“”,	337	504	349	519	468	612	1
integral	352	504	386	519	468	612	1
definida.	388	504	427	519	468	612	1
1	113	538	118	546	468	612	1
El	149	538	157	546	468	612	1
autor	160	538	178	546	468	612	1
es	180	538	188	546	468	612	1
economista,	190	538	233	546	468	612	1
docente	236	538	264	546	468	612	1
universitario	266	538	311	546	468	612	1
e	314	538	318	546	468	612	1
investigador.	320	538	366	546	468	612	1
Ha	368	538	379	546	468	612	1
publicado	381	538	417	546	468	612	1
varios	113	549	135	557	468	612	1
artículos	138	549	169	557	468	612	1
sobre	171	549	190	557	468	612	1
temas	193	549	214	557	468	612	1
de	216	549	224	557	468	612	1
economía,	227	549	264	557	468	612	1
estadística	266	549	304	557	468	612	1
y	306	549	310	557	468	612	1
matemáticas.	313	549	360	557	468	612	1
95	418	564	431	605	468	612	1
Bruno	28	32	51	44	468	612	2
E.	53	32	61	44	468	612	2
Vargas	63	32	87	44	468	612	2
Biesuz	90	32	114	44	468	612	2
Key	28	335	47	345	468	612	2
words	50	335	79	345	468	612	2
Set	28	357	42	372	468	612	2
of	45	357	54	372	468	612	2
numbers,	57	357	98	372	468	612	2
irrational	100	357	141	372	468	612	2
number,	144	357	179	372	468	612	2
“number,	182	357	223	372	468	612	2
definite	226	357	259	372	468	612	2
integral.	261	357	298	372	468	612	2
Introducción	28	388	89	398	468	612	2
De	28	414	41	424	468	612	2
una	45	414	60	424	468	612	2
u	64	414	69	424	468	612	2
otra	73	414	90	424	468	612	2
forma,	93	414	122	424	468	612	2
todos	125	414	149	424	468	612	2
utilizamos	153	414	198	424	468	612	2
los	202	414	215	424	468	612	2
números	218	414	256	424	468	612	2
y	259	414	265	424	468	612	2
se	268	414	277	424	468	612	2
tiene	280	414	302	424	468	612	2
una	305	414	321	424	468	612	2
noción	324	414	354	424	468	612	2
intuitiva	28	427	65	437	468	612	2
básica	67	427	94	437	468	612	2
de	96	427	106	437	468	612	2
lo	108	427	117	437	468	612	2
que	118	427	134	437	468	612	2
representan.	136	427	190	437	468	612	2
Por	191	427	207	437	468	612	2
otra	208	427	225	437	468	612	2
parte,	227	427	252	437	468	612	2
los	254	427	266	437	468	612	2
sistemas	268	427	306	437	468	612	2
educativos	307	427	354	437	468	612	2
formales,	28	440	70	450	468	612	2
enseñan	72	440	107	450	468	612	2
cómo	110	440	134	450	468	612	2
manejarlos.	137	440	188	450	468	612	2
Sin	193	440	207	450	468	612	2
embargo,	210	440	251	450	468	612	2
a	255	440	260	450	468	612	2
decir	263	440	285	450	468	612	2
del	287	440	301	450	468	612	2
matemático	303	440	354	450	468	612	2
Michael	28	454	64	464	468	612	2
Spivack	67	454	103	464	468	612	2
“…	106	454	122	464	468	612	2
lo	125	454	133	464	468	612	2
que	136	454	152	464	468	612	2
en	155	454	166	464	468	612	2
realidad	169	454	204	464	468	612	2
los	207	454	220	464	468	612	2
números	223	454	261	464	468	612	2
son,	264	454	282	464	468	612	2
queda	285	454	312	464	468	612	2
más	315	454	332	464	468	612	2
bien	335	454	354	464	468	612	2
en	28	467	39	477	468	612	2
la	41	467	49	477	468	612	2
penumbra	52	467	96	477	468	612	2
y	99	467	104	477	468	612	2
no	107	467	118	477	468	612	2
entendemos	121	467	173	477	468	612	2
lo	176	467	185	477	468	612	2
que	188	467	203	477	468	612	2
son”	206	467	226	477	468	612	2
(Spivak,1986,	229	467	291	477	468	612	2
p.16).	294	467	319	477	468	612	2
Dejando	28	493	66	503	468	612	2
de	70	493	80	503	468	612	2
lado	85	493	104	503	468	612	2
la	108	493	116	503	468	612	2
preocupación	121	493	180	503	468	612	2
por	184	493	199	503	468	612	2
conceptualizar	203	493	268	503	468	612	2
lo	272	493	281	503	468	612	2
que	285	493	301	503	468	612	2
un	305	493	316	503	468	612	2
número	321	493	354	503	468	612	2
és,	28	506	40	516	468	612	2
quienes	49	506	83	516	468	612	2
se	86	506	95	516	468	612	2
ocupan	98	506	130	516	468	612	2
de	133	506	144	516	468	612	2
su	147	506	156	516	468	612	2
estudio,	159	506	194	516	468	612	2
los	197	506	210	516	468	612	2
matemáticos,	213	506	271	516	468	612	2
para	277	506	296	516	468	612	2
entender	299	506	337	516	468	612	2
sus	340	506	354	516	468	612	2
propiedades,	28	520	84	530	468	612	2
utilizarlos	88	520	132	530	468	612	2
y	139	520	144	530	468	612	2
sacarles	147	520	182	530	468	612	2
provecho	186	520	227	530	468	612	2
en	230	520	240	530	468	612	2
muchas	244	520	277	530	468	612	2
aplicaciones,	281	520	338	530	468	612	2
los	341	520	354	530	468	612	2
han	28	529	44	544	468	612	2
ordenado	47	529	88	544	468	612	2
o	94	529	99	544	468	612	2
clasificado	102	529	149	544	468	612	2
en	152	529	162	544	468	612	2
clases	165	529	191	544	468	612	2
o	194	529	199	544	468	612	2
conjuntos.	202	529	248	544	468	612	2
Por	253	529	269	544	468	612	2
supuesto,	271	529	313	544	468	612	2
para	315	529	334	544	468	612	2
este	337	529	354	544	468	612	2
logro	28	546	52	556	468	612	2
han	54	546	69	556	468	612	2
transcurrido	71	546	124	556	468	612	2
muchos	126	546	161	556	468	612	2
años	163	546	183	556	468	612	2
(siglos)	185	546	218	556	468	612	2
y	220	546	225	556	468	612	2
un	229	546	240	556	468	612	2
prolijo	242	546	271	556	468	612	2
trabajo	273	546	304	556	468	612	2
intelectual.	306	546	354	556	468	612	2
96	37	565	50	606	468	612	2
El	189	31	197	43	468	612	3
conjunto	199	31	230	43	468	612	3
de	233	31	241	43	468	612	3
los	243	31	254	43	468	612	3
números	256	31	287	43	468	612	3
y	289	31	294	43	468	612	3
dos	296	31	309	43	468	612	3
formas	311	31	336	43	468	612	3
de	338	31	347	43	468	612	3
entender	349	31	380	43	468	612	3
al	382	31	389	43	468	612	3
número	391	31	418	43	468	612	3
“	421	31	425	43	468	612	3
π	427	31	431	43	468	612	3
”	434	31	438	43	468	612	3
Referentes	113	71	163	81	468	612	3
conceptuales	166	71	226	81	468	612	3
Los	113	97	131	107	468	612	3
números	133	97	174	107	468	612	3
naturales.	176	97	223	107	468	612	3
Estos	225	97	249	107	468	612	3
se	251	97	260	107	468	612	3
los	263	97	276	107	468	612	3
utiliza	278	97	305	107	468	612	3
básicamente	308	97	362	107	468	612	3
para	365	97	383	107	468	612	3
contar	386	97	413	107	468	612	3
y	416	97	421	107	468	612	3
con	423	97	439	107	468	612	3
ellos,	113	106	137	121	468	612	3
se	141	106	150	121	468	612	3
pueden	154	106	186	121	468	612	3
hacer	190	106	214	121	468	612	3
algunas	218	106	251	121	468	612	3
operaciones	255	106	308	121	468	612	3
aritméticas.	312	106	363	121	468	612	3
Se	367	106	378	121	468	612	3
los	382	106	394	121	468	612	3
identifica	398	106	439	121	468	612	3
con	113	124	129	134	468	612	3
el	131	124	139	134	468	612	3
símbolo	141	124	177	134	468	612	3
ℕ	179	120	187	134	468	612	3
y	189	120	194	134	468	612	3
puede	197	120	223	134	468	612	3
definirse	225	120	263	134	468	612	3
como	265	120	289	134	468	612	3
todos	291	120	315	134	468	612	3
los	317	120	330	134	468	612	3
números	332	120	370	134	468	612	3
que	372	120	388	134	468	612	3
son	390	120	406	134	468	612	3
enteros	408	120	439	134	468	612	3
(sin	113	137	130	147	468	612	3
parte	133	137	155	147	468	612	3
decimal)	157	137	196	147	468	612	3
y	199	137	204	147	468	612	3
positivos,	207	137	249	147	468	612	3
es	252	137	261	147	468	612	3
decir	264	137	286	147	468	612	3
mayores	289	137	326	147	468	612	3
que	329	137	345	147	468	612	3
el	347	137	355	147	468	612	3
número	358	137	392	147	468	612	3
cero	394	137	413	147	468	612	3
(0).	416	137	432	147	468	612	3
ℕ	223	168	231	183	468	612	3
=	233	168	240	183	468	612	3
{	242	168	248	183	468	612	3
1,	250	168	259	183	468	612	3
2,	261	168	270	183	468	612	3
3,	272	168	281	183	468	612	3
.	283	168	286	183	468	612	3
.	289	168	292	183	468	612	3
.	294	168	297	183	468	612	3
.	300	168	303	183	468	612	3
.	305	168	308	183	468	612	3
.	311	168	314	183	468	612	3
.	316	168	319	183	468	612	3
.}	322	168	330	183	468	612	3
Es	113	207	124	217	468	612	3
evidente	129	207	166	217	468	612	3
que	170	207	186	217	468	612	3
los	191	207	203	217	468	612	3
números	208	207	246	217	468	612	3
naturales	250	207	290	217	468	612	3
tienen	294	207	321	217	468	612	3
muchas	325	207	359	217	468	612	3
limitaciones.	363	207	420	217	468	612	3
Por	424	207	439	217	468	612	3
ejemplo,	113	220	152	230	468	612	3
si	154	220	162	230	468	612	3
solo	165	220	183	230	468	612	3
existiesen	186	220	229	230	468	612	3
estos	232	220	254	230	468	612	3
números,	257	220	297	230	468	612	3
no	300	220	311	230	468	612	3
podría	314	220	342	230	468	612	3
ser	345	220	358	230	468	612	3
posible	361	220	393	230	468	612	3
establecer	395	220	439	230	468	612	3
una	113	234	129	244	468	612	3
idea	132	234	150	244	468	612	3
como	153	234	178	244	468	612	3
la	180	234	188	244	468	612	3
de	191	234	201	244	468	612	3
una	204	234	220	244	468	612	3
temperatura	223	234	275	244	468	612	3
de	278	234	288	244	468	612	3
-10º	291	234	309	244	468	612	3
(menos	315	234	347	244	468	612	3
diez	350	234	368	244	468	612	3
grados).	371	234	407	244	468	612	3
Para	113	260	133	270	468	612	3
superar	138	260	170	270	468	612	3
estas	176	260	197	270	468	612	3
limitaciones	202	260	256	270	468	612	3
los	261	260	274	270	468	612	3
matemáticos	279	260	335	270	468	612	3
idearon	340	260	373	270	468	612	3
las	378	260	390	270	468	612	3
siguientes	395	260	439	270	468	612	3
clases	113	273	140	283	468	612	3
de	142	273	153	283	468	612	3
números.	156	273	196	283	468	612	3
Los	113	300	131	310	468	612	3
números	135	300	176	310	468	612	3
enteros.	181	300	218	310	468	612	3
A	222	296	230	310	468	612	3
estos	235	296	257	310	468	612	3
se	262	296	271	310	468	612	3
los	276	296	289	310	468	612	3
define	294	296	320	310	468	612	3
como	325	296	350	310	468	612	3
todos	355	296	379	310	468	612	3
los	384	296	396	310	468	612	3
números	401	296	439	310	468	612	3
enteros,	113	313	148	323	468	612	3
tanto	151	313	173	323	468	612	3
positivos	175	313	215	323	468	612	3
como	218	313	242	323	468	612	3
negativos.	245	313	290	323	468	612	3
Este	113	322	132	337	468	612	3
conjunto	136	322	174	337	468	612	3
de	178	322	188	337	468	612	3
números	192	322	230	337	468	612	3
se	233	322	242	337	468	612	3
los	246	322	259	337	468	612	3
identifica	262	322	303	337	468	612	3
con	307	322	323	337	468	612	3
el	326	322	334	337	468	612	3
símbolo	338	322	373	337	468	612	3
ℤ	377	322	383	337	468	612	3
(del	387	322	404	337	468	612	3
alemán	408	322	439	337	468	612	3
“Zahl”,	113	339	146	349	468	612	3
numero).	149	339	189	349	468	612	3
Por	176	374	191	384	468	612	3
tanto,	194	374	219	384	468	612	3
ℤ	222	370	228	385	468	612	3
=	231	370	237	385	468	612	3
{…-3,	240	370	268	385	468	612	3
-2,	271	370	283	385	468	612	3
-1,	286	370	298	385	468	612	3
0,	300	370	309	385	468	612	3
+1,	311	370	326	385	468	612	3
+2,	329	370	343	385	468	612	3
+3	346	370	358	385	468	612	3
…}	360	370	377	385	468	612	3
Al	113	410	124	420	468	612	3
igual	129	410	151	420	468	612	3
que	155	410	171	420	468	612	3
en	175	410	185	420	468	612	3
el	190	410	198	420	468	612	3
anterior	202	410	236	420	468	612	3
caso,	240	410	263	420	468	612	3
con	267	410	283	420	468	612	3
solo	287	410	305	420	468	612	3
la	309	410	317	420	468	612	3
existencia	322	410	366	420	468	612	3
de	370	410	380	420	468	612	3
los	384	410	397	420	468	612	3
números	402	410	439	420	468	612	3
enteros,	113	423	148	433	468	612	3
no	153	423	164	433	468	612	3
sería	169	423	190	433	468	612	3
posible	195	423	227	433	468	612	3
comprender	232	423	284	433	468	612	3
la	289	423	297	433	468	612	3
existencia	302	423	346	433	468	612	3
de	351	423	362	433	468	612	3
algo	367	423	386	433	468	612	3
como	391	423	415	433	468	612	3
2,35	420	423	439	433	468	612	3
unidades	113	436	152	446	468	612	3
monetarias.	155	436	206	446	468	612	3
Esta	113	458	132	473	468	612	3
nueva	138	458	164	473	468	612	3
limitación,	169	458	216	473	468	612	3
fue	222	458	236	473	468	612	3
superada	241	458	280	473	468	612	3
con	285	458	301	473	468	612	3
la	307	458	314	473	468	612	3
definición	320	458	364	473	468	612	3
de	369	458	379	473	468	612	3
un	385	458	396	473	468	612	3
conjunto	401	458	439	473	468	612	3
de	113	476	124	486	468	612	3
números	128	476	166	486	468	612	3
más	170	476	187	486	468	612	3
amplio,	191	476	225	486	468	612	3
que	228	476	244	486	468	612	3
se	248	476	257	486	468	612	3
obtienen	261	476	299	486	468	612	3
dividiendo	303	476	350	486	468	612	3
un	354	476	365	486	468	612	3
par	369	476	383	486	468	612	3
de	387	476	398	486	468	612	3
números	402	476	439	486	468	612	3
enteros.	113	489	148	499	468	612	3
Los	113	515	131	525	468	612	3
números	133	515	174	525	468	612	3
racionales.	176	515	226	525	468	612	3
A	228	515	236	525	468	612	3
estos	238	515	260	525	468	612	3
números	262	515	300	525	468	612	3
se	303	515	312	525	468	612	3
los	314	515	327	525	468	612	3
designa	330	515	363	525	468	612	3
por	366	515	380	525	468	612	3
el	383	515	391	525	468	612	3
símbolo	393	515	428	525	468	612	3
Q	431	515	439	525	468	612	3
(del	113	528	131	538	468	612	3
inglés	133	528	160	538	468	612	3
“quotient”	162	528	208	538	468	612	3
o	211	528	216	538	468	612	3
cociente).	219	528	262	538	468	612	3
97	418	565	432	606	468	612	3
Bruno	28	32	51	44	468	612	4
E.	53	32	61	44	468	612	4
Vargas	63	32	87	44	468	612	4
Biesuz	90	32	114	44	468	612	4
Los	28	71	45	81	468	612	4
números	48	71	86	81	468	612	4
racionales	89	71	134	81	468	612	4
son	137	71	152	81	468	612	4
números	156	71	194	81	468	612	4
que	197	71	213	81	468	612	4
pueden	216	71	248	81	468	612	4
expresarse	251	71	297	81	468	612	4
en	301	71	311	81	468	612	4
forma	314	71	341	81	468	612	4
de	344	71	354	81	468	612	4
fracción,	28	84	67	94	468	612	4
por	69	84	84	94	468	612	4
ejemplo	86	84	122	94	468	612	4
,	129	84	131	94	468	612	4
en	134	84	144	94	468	612	4
los	146	84	159	94	468	612	4
que	161	84	177	94	468	612	4
a	180	84	184	94	468	612	4
y	187	84	192	94	468	612	4
b	195	84	200	94	468	612	4
son	202	84	218	94	468	612	4
números	220	84	258	94	468	612	4
enteros,	260	84	295	94	468	612	4
pero	297	84	316	94	468	612	4
además,	319	84	354	94	468	612	4
b	28	97	34	107	468	612	4
debe	36	97	57	107	468	612	4
ser	59	97	72	107	468	612	4
necesariamente	74	97	142	107	468	612	4
diferente	144	97	183	107	468	612	4
de	186	97	196	107	468	612	4
cero.	198	97	220	107	468	612	4
En	224	97	237	107	468	612	4
lenguaje	239	97	276	107	468	612	4
matemático,	278	97	333	107	468	612	4
todo	335	97	354	107	468	612	4
esto	28	111	46	120	468	612	4
se	49	111	58	120	468	612	4
expresa	61	111	94	120	468	612	4
como:	97	111	125	120	468	612	4
Q	127	146	136	156	468	612	4
=	139	142	145	157	468	612	4
{	148	142	153	157	468	612	4
/	158	142	161	157	468	612	4
a,	164	142	172	157	468	612	4
b	174	142	180	157	468	612	4
ϵ	185	142	190	157	468	612	4
ℤ	195	142	202	157	468	612	4
˄	208	142	214	157	468	612	4
b	228	142	233	157	468	612	4
≠	236	142	242	157	468	612	4
0}	245	142	255	157	468	612	4
Para	28	181	48	191	468	612	4
establecer	50	181	94	191	468	612	4
si	96	181	104	191	468	612	4
un	106	181	117	191	468	612	4
número	119	181	153	191	468	612	4
es	155	181	164	191	468	612	4
racional,	166	181	204	191	468	612	4
de	207	181	217	191	468	612	4
lo	219	181	228	191	468	612	4
que	230	181	246	191	468	612	4
se	248	181	257	191	468	612	4
trata	259	181	279	191	468	612	4
es	281	181	290	191	468	612	4
que	292	181	308	191	468	612	4
el	311	181	318	191	468	612	4
número	321	181	354	191	468	612	4
pueda	28	194	55	204	468	612	4
ser	58	194	71	204	468	612	4
escrito	75	194	104	204	468	612	4
como	108	194	132	204	468	612	4
fracción	136	194	172	204	468	612	4
irreducible.	176	194	226	204	468	612	4
Pueden	230	194	263	204	468	612	4
darse	270	194	293	204	468	612	4
varios	297	194	324	204	468	612	4
casos,	328	194	354	204	468	612	4
por	28	207	43	217	468	612	4
ejemplo.	46	207	84	217	468	612	4
i	31	243	34	252	468	612	4
)	37	243	41	252	468	612	4
Números	46	243	86	252	468	612	4
decimales	89	243	133	252	468	612	4
exactos	136	243	169	252	468	612	4
como:	174	243	202	252	468	612	4
6	224	257	229	267	468	612	4
12	194	257	205	267	468	612	4
1,	166	265	174	274	468	612	4
2	177	265	182	274	468	612	4
=	185	265	191	274	468	612	4
=	211	265	217	274	468	612	4
5	224	270	229	280	468	612	4
10	194	271	205	280	468	612	4
ii	31	287	37	296	468	612	4
)	40	287	44	296	468	612	4
Números	49	287	89	296	468	612	4
decimales	92	287	136	296	468	612	4
periódicos	139	287	185	296	468	612	4
como:	188	287	215	296	468	612	4
2,66666…	117	328	164	338	468	612	4
=	177	328	183	338	468	612	4
2,	186	328	194	338	468	612	4
6	197	327	202	338	468	612	4
=	210	328	216	338	468	612	4
8	256	320	262	331	468	612	4
2	221	320	227	331	468	612	4
4	227	320	233	331	468	612	4
=	241	328	248	338	468	612	4
3	255	337	262	348	468	612	4
9	224	337	230	348	468	612	4
iii	31	350	40	360	468	612	4
)	43	350	47	360	468	612	4
Números	52	350	93	360	468	612	4
decimales	95	350	139	360	468	612	4
semi	142	350	163	360	468	612	4
periódicos	166	350	211	360	468	612	4
como:	214	350	242	360	468	612	4
2,46666…	113	392	159	402	468	612	4
=	170	392	176	402	468	612	4
2,4	179	392	193	402	468	612	4
6	195	391	201	402	468	612	4
=	208	392	214	402	468	612	4
222	220	384	238	395	468	612	4
37	255	384	267	395	468	612	4
=	244	392	250	402	468	612	4
90	223	401	235	412	468	612	4
15	255	401	267	412	468	612	4
Todos	28	418	55	428	468	612	4
estos	57	418	79	428	468	612	4
números	82	418	120	428	468	612	4
decimales,	122	418	169	428	468	612	4
que	171	418	187	428	468	612	4
han	189	418	205	428	468	612	4
sido	208	418	226	428	468	612	4
expresados	228	418	277	428	468	612	4
como	280	418	304	428	468	612	4
fracciones,	306	418	354	428	468	612	4
son	28	432	44	442	468	612	4
números	46	432	84	442	468	612	4
racionales.	87	432	134	442	468	612	4
Sin	28	458	43	468	468	612	4
embargo	52	458	90	468	468	612	4
existen	99	458	130	468	468	612	4
otros	139	458	161	468	468	612	4
números	169	458	207	468	468	612	4
como	216	458	241	468	468	612	4
cuya	28	471	49	481	468	612	4
parte	54	471	76	481	468	612	4
decimal	81	471	116	481	468	612	4
no	121	471	132	481	468	612	4
tiene	136	471	158	481	468	612	4
ningún	163	471	193	481	468	612	4
patrón	198	471	226	481	468	612	4
de	231	471	242	481	468	612	4
repetición.	246	471	293	481	468	612	4
Este	298	471	317	481	468	612	4
tipo	322	471	339	481	468	612	4
de	344	471	354	481	468	612	4
números,	28	481	69	495	468	612	4
también	76	481	112	495	468	612	4
conocidos	119	481	164	495	468	612	4
como	171	481	196	495	468	612	4
números	203	481	241	495	468	612	4
decimales	248	481	292	495	468	612	4
infinitos	300	481	336	495	468	612	4
no	343	481	354	495	468	612	4
periódicos,	28	494	77	509	468	612	4
que	79	494	95	509	468	612	4
definitivamente	97	494	165	509	468	612	4
no	167	494	178	509	468	612	4
pueden	180	494	212	509	468	612	4
ser	214	494	227	509	468	612	4
expresados	229	494	278	509	468	612	4
como	280	494	304	509	468	612	4
fracciones,	306	494	354	509	468	612	4
nos	28	511	44	521	468	612	4
lleva	46	511	68	521	468	612	4
a	71	511	75	521	468	612	4
otro	78	511	96	521	468	612	4
conjunto	99	511	137	521	468	612	4
numérico.	140	511	184	521	468	612	4
Los	28	537	45	547	468	612	4
números	49	537	90	547	468	612	4
irracionales.	93	537	151	547	468	612	4
A	154	537	162	547	468	612	4
estos	165	537	187	547	468	612	4
se	190	537	199	547	468	612	4
los	203	537	216	547	468	612	4
designa	219	537	253	547	468	612	4
con	256	537	272	547	468	612	4
el	275	537	283	547	468	612	4
número	287	537	320	547	468	612	4
Q	324	537	332	547	468	612	4
c	332	537	335	543	468	612	4
es	345	537	354	547	468	612	4
98	37	565	50	606	468	612	4
El	189	31	197	43	468	612	5
conjunto	199	31	230	43	468	612	5
de	233	31	241	43	468	612	5
los	243	31	254	43	468	612	5
números	256	31	287	43	468	612	5
y	289	31	294	43	468	612	5
dos	296	31	309	43	468	612	5
formas	311	31	336	43	468	612	5
de	338	31	347	43	468	612	5
entender	349	31	380	43	468	612	5
al	382	31	389	43	468	612	5
número	391	31	418	43	468	612	5
“	421	31	425	43	468	612	5
π	427	31	431	43	468	612	5
”	434	31	438	43	468	612	5
decir,	113	71	138	81	468	612	5
los	140	71	152	81	468	612	5
números	154	71	192	81	468	612	5
irracionales	194	71	245	81	468	612	5
son	247	71	262	81	468	612	5
todos	264	71	288	81	468	612	5
los	290	71	303	81	468	612	5
números	305	71	342	81	468	612	5
que	344	71	360	81	468	612	5
no	362	71	373	81	468	612	5
son	375	71	390	81	468	612	5
racionales.	392	71	439	81	468	612	5
Estos	113	97	137	107	468	612	5
pueden	142	97	174	107	468	612	5
ser	179	97	192	107	468	612	5
conceptualizados	197	97	273	107	468	612	5
como	278	97	303	107	468	612	5
aquellos	308	97	345	107	468	612	5
números	350	97	388	107	468	612	5
que	393	97	409	107	468	612	5
no	414	97	425	107	468	612	5
se	430	97	439	107	468	612	5
pueden	113	110	145	120	468	612	5
expresar	148	110	185	120	468	612	5
como	188	110	212	120	468	612	5
una	215	110	231	120	468	612	5
razón	234	110	258	120	468	612	5
o	261	110	266	120	468	612	5
fracción	269	110	305	120	468	612	5
de	308	110	318	120	468	612	5
dos	321	110	336	120	468	612	5
números	339	110	377	120	468	612	5
enteros.	380	110	414	120	468	612	5
Existen	113	137	146	147	468	612	5
muchos	149	137	183	147	468	612	5
números	186	137	223	147	468	612	5
irracionales,	226	137	280	147	468	612	5
algunos	282	137	317	147	468	612	5
de	319	137	329	147	468	612	5
ellos	332	137	353	147	468	612	5
son	355	137	370	147	468	612	5
muy	373	137	392	147	468	612	5
conocidos	395	137	439	147	468	612	5
y	113	150	119	160	468	612	5
extremadamente	123	150	196	160	468	612	5
importantes	200	150	252	160	468	612	5
en	256	150	267	160	468	612	5
distintos	271	150	308	160	468	612	5
ámbitos	312	150	347	160	468	612	5
de	351	150	362	160	468	612	5
las	366	150	378	160	468	612	5
ciencias,	382	150	420	160	468	612	5
por	425	150	439	160	468	612	5
ejemplo	113	163	149	173	468	612	5
el	153	163	161	173	468	612	5
número	165	163	198	173	468	612	5
“e”	202	163	217	173	468	612	5
base	225	163	245	173	468	612	5
de	249	163	259	173	468	612	5
los	263	163	276	173	468	612	5
logaritmos	280	163	327	173	468	612	5
naturales	331	163	371	173	468	612	5
(neperianos)	375	163	430	173	468	612	5
y	434	163	439	173	468	612	5
el	113	172	121	187	468	612	5
muy	125	172	145	187	468	612	5
conocido	149	172	189	187	468	612	5
“π”.	193	172	211	187	468	612	5
Los	215	172	231	187	468	612	5
matemáticos,	235	172	293	187	468	612	5
han	297	172	313	187	468	612	5
desarrollado	317	172	371	187	468	612	5
varias	375	172	401	187	468	612	5
pruebas	405	172	439	187	468	612	5
formales	113	190	152	200	468	612	5
que	155	190	171	200	468	612	5
muestran	173	190	214	200	468	612	5
la	216	190	224	200	468	612	5
irracionalidad	227	190	288	200	468	612	5
del	291	190	304	200	468	612	5
número	307	190	341	200	468	612	5
“π”.	346	186	364	200	468	612	5
Lo	113	216	126	226	468	612	5
considerado	129	216	182	226	468	612	5
hasta	186	216	209	226	468	612	5
aquí,	212	216	234	226	468	612	5
ayuda	241	216	268	226	468	612	5
al	271	216	279	226	468	612	5
propósito	287	216	328	226	468	612	5
de	332	216	342	226	468	612	5
este	346	216	363	226	468	612	5
artículo,	367	216	403	226	468	612	5
que	407	216	423	226	468	612	5
es	430	216	439	226	468	612	5
presentar	113	225	154	240	468	612	5
dos	166	225	181	240	468	612	5
formas	186	225	216	240	468	612	5
de	220	225	231	240	468	612	5
entender	235	225	273	240	468	612	5
al	277	225	285	240	468	612	5
número	289	225	322	240	468	612	5
irracional	327	225	369	240	468	612	5
“π”,	373	225	391	240	468	612	5
lo	395	225	404	240	468	612	5
cual	408	225	426	240	468	612	5
se	430	225	439	240	468	612	5
mostrará	113	242	152	252	468	612	5
luego	157	242	182	252	468	612	5
de	185	242	195	252	468	612	5
explicar	198	242	233	252	468	612	5
otros	236	242	258	252	468	612	5
dos	261	242	276	252	468	612	5
conjuntos	279	242	321	252	468	612	5
de	324	242	335	252	468	612	5
números.	337	242	378	252	468	612	5
Los	113	269	131	279	468	612	5
números	136	269	177	279	468	612	5
reales.	182	269	212	279	468	612	5
Como	218	269	245	279	468	612	5
los	250	269	263	279	468	612	5
números	268	269	306	279	468	612	5
naturales	312	269	351	279	468	612	5
y	357	269	362	279	468	612	5
enteros,	368	269	402	279	468	612	5
pueden	408	269	439	279	468	612	5
ser	113	278	126	293	468	612	5
expresados	130	278	179	293	468	612	5
como	183	278	207	293	468	612	5
fracciones,	211	278	259	293	468	612	5
ℕ	263	278	271	293	468	612	5
y	275	278	280	293	468	612	5
ℤ	284	278	291	293	468	612	5
son	299	278	314	293	468	612	5
de	318	278	328	293	468	612	5
hecho	332	278	358	293	468	612	5
también	362	278	398	293	468	612	5
números	401	278	439	293	468	612	5
racionales.	113	295	161	305	468	612	5
Esta	163	295	182	305	468	612	5
consideración	184	295	245	305	468	612	5
permite	247	295	281	305	468	612	5
establecer	283	295	327	305	468	612	5
que	330	295	345	305	468	612	5
la	348	295	356	305	468	612	5
unión	358	295	383	305	468	612	5
del	385	295	399	305	468	612	5
conjunto	401	295	439	305	468	612	5
de	113	308	124	318	468	612	5
los	126	308	139	318	468	612	5
números	142	308	180	318	468	612	5
racionales	182	308	227	318	468	612	5
y	230	308	235	318	468	612	5
los	238	308	251	318	468	612	5
irracionales,	253	308	307	318	468	612	5
determinan	310	308	359	318	468	612	5
el	362	308	370	318	468	612	5
conjunto	372	308	411	318	468	612	5
de	414	308	424	318	468	612	5
los	427	308	439	318	468	612	5
números	113	322	151	332	468	612	5
reales,	154	322	182	332	468	612	5
simbolizados	185	322	243	332	468	612	5
por	246	322	261	332	468	612	5
.	277	322	279	332	468	612	5
=	291	344	297	354	468	612	5
Q	300	344	308	354	468	612	5
U	311	344	319	354	468	612	5
Q	321	344	329	354	468	612	5
c	331	343	334	349	468	612	5
Los	113	357	131	367	468	612	5
números	135	357	176	367	468	612	5
complejos.	181	357	231	367	468	612	5
Además	235	357	271	367	468	612	5
de	276	357	287	367	468	612	5
todos	292	357	316	367	468	612	5
los	321	357	333	367	468	612	5
conjuntos	338	357	381	367	468	612	5
de	386	357	397	367	468	612	5
números	401	357	439	367	468	612	5
analizados	113	370	160	380	468	612	5
hasta	164	370	187	380	468	612	5
ahora,	192	370	219	380	468	612	5
existen	223	370	254	380	468	612	5
los	259	370	272	380	468	612	5
llamados	276	370	316	380	468	612	5
números	321	370	358	380	468	612	5
complejos.	363	370	411	380	468	612	5
Estos	416	370	439	380	468	612	5
números	113	383	151	393	468	612	5
simbolizados	154	383	212	393	468	612	5
por	214	383	229	393	468	612	5
C,	233	383	243	393	468	612	5
se	246	383	255	393	468	612	5
caracterizan	257	383	310	393	468	612	5
por	315	383	330	393	468	612	5
ser	332	383	345	393	468	612	5
números	347	383	385	393	468	612	5
compuestos	387	383	439	393	468	612	5
por	113	396	128	406	468	612	5
una	134	396	149	406	468	612	5
parte	155	396	177	406	468	612	5
real	183	396	199	406	468	612	5
y	205	396	210	406	468	612	5
una	216	396	232	406	468	612	5
parte	237	396	259	406	468	612	5
imaginaria.	265	396	314	406	468	612	5
Por	320	396	335	406	468	612	5
ejemplo	341	396	376	406	468	612	5
en	382	396	392	406	468	612	5
su	398	396	408	406	468	612	5
forma	413	396	439	406	468	612	5
binomica:	113	410	158	420	468	612	5
5	161	410	166	420	468	612	5
+	169	410	175	420	468	612	5
i	181	410	184	420	468	612	5
es	189	410	199	420	468	612	5
un	201	410	212	420	468	612	5
numero	215	410	249	420	468	612	5
complejo	252	410	293	420	468	612	5
en	295	410	306	420	468	612	5
el	308	410	316	420	468	612	5
que	319	410	335	420	468	612	5
cinco	338	410	362	420	468	612	5
(5)	364	410	377	420	468	612	5
es	380	410	389	420	468	612	5
un	392	410	403	420	468	612	5
número	406	410	439	420	468	612	5
real	113	423	130	433	468	612	5
e	133	423	137	433	468	612	5
“i”,	143	423	159	433	468	612	5
es	164	423	173	433	468	612	5
llamada	176	423	211	433	468	612	5
“unidad	214	423	248	433	468	612	5
imaginaria”:	251	423	306	433	468	612	5
i	292	452	295	462	468	612	5
2	296	450	300	456	468	612	5
=	303	451	310	462	468	612	5
-	314	451	318	462	468	612	5
1	323	451	330	462	468	612	5
El	113	465	124	475	468	612	5
número	130	465	167	475	468	612	5
“π”,	173	461	191	476	468	612	5
enfoque	197	461	233	476	468	612	5
geométrico.	239	465	294	475	468	612	5
Los	306	465	323	475	468	612	5
sabios	329	465	357	475	468	612	5
geómetras	363	465	408	475	468	612	5
de	415	465	425	475	468	612	5
la	431	465	439	475	468	612	5
antigüedad,	113	478	164	488	468	612	5
ya	169	478	179	488	468	612	5
se	183	478	192	488	468	612	5
percataron	197	478	243	488	468	612	5
de	247	478	258	488	468	612	5
la	262	478	270	488	468	612	5
existencia	274	478	318	488	468	612	5
de	322	478	333	488	468	612	5
una	337	478	353	488	468	612	5
relación	357	478	392	488	468	612	5
intrínseca	397	478	439	488	468	612	5
o	113	491	119	501	468	612	5
de	123	491	134	501	468	612	5
proporcionalidad	138	491	213	501	468	612	5
entre	217	491	239	501	468	612	5
la	244	491	252	501	468	612	5
longitud	256	491	293	501	468	612	5
de	297	491	307	501	468	612	5
una	312	491	327	501	468	612	5
circunferencia	332	491	395	501	468	612	5
(L)	403	491	417	501	468	612	5
y	422	491	427	501	468	612	5
la	431	491	439	501	468	612	5
longitud	113	505	150	515	468	612	5
del	153	505	166	515	468	612	5
diámetro	169	505	208	515	468	612	5
que	211	505	227	515	468	612	5
esta	229	505	247	515	468	612	5
genera	249	505	279	515	468	612	5
(D).	284	505	302	515	468	612	5
i	222	451	226	462	468	612	5
=	228	451	235	462	468	612	5
-	247	451	251	462	468	612	5
1	257	451	263	462	468	612	5
o	274	452	280	462	468	612	5
Al	113	531	124	541	468	612	5
dividir	130	531	159	541	468	612	5
la	165	531	173	541	468	612	5
longitud	179	531	215	541	468	612	5
de	221	531	231	541	468	612	5
una	237	531	253	541	468	612	5
circunferencia,	259	531	324	541	468	612	5
entre	330	531	352	541	468	612	5
la	358	531	366	541	468	612	5
longitud	371	531	408	541	468	612	5
de	414	531	424	541	468	612	5
su	430	531	439	541	468	612	5
diámetro,	113	540	155	555	468	612	5
se	159	540	168	555	468	612	5
obtiene	171	540	203	555	468	612	5
siempre	207	540	242	555	468	612	5
un	245	540	256	555	468	612	5
número	259	540	293	555	468	612	5
fijo	296	540	311	555	468	612	5
o	314	540	320	555	468	612	5
constante;	323	540	368	555	468	612	5
este	371	540	388	555	468	612	5
número	391	540	425	555	468	612	5
no	428	540	439	555	468	612	5
99	418	565	432	606	468	612	5
Bruno	28	32	51	44	468	612	6
E.	53	32	61	44	468	612	6
Vargas	63	32	87	44	468	612	6
Biesuz	90	32	114	44	468	612	6
es	28	71	38	81	468	612	6
otro	40	71	58	81	468	612	6
que	61	71	77	81	468	612	6
“π”,	79	71	99	81	468	612	6
que	104	71	120	81	468	612	6
se	123	71	132	81	468	612	6
aproxima	135	71	176	81	468	612	6
a	179	71	184	81	468	612	6
la	187	71	195	81	468	612	6
cifra	197	71	217	81	468	612	6
:	220	71	223	81	468	612	6
3,141592654……	226	71	306	81	468	612	6
Por	28	97	44	107	468	612	6
ejemplo,	47	97	85	107	468	612	6
si	88	97	95	107	468	612	6
la	98	97	106	107	468	612	6
longitud	109	97	146	107	468	612	6
de	149	97	159	107	468	612	6
una	162	97	178	107	468	612	6
circunferencia	181	97	244	107	468	612	6
es	247	97	256	107	468	612	6
251	259	97	276	107	468	612	6
cm.	279	97	295	107	468	612	6
y	298	97	304	107	468	612	6
la	307	97	315	107	468	612	6
longitud	318	97	354	107	468	612	6
del	28	111	42	120	468	612	6
diametro	45	111	84	120	468	612	6
es	86	111	96	120	468	612	6
80	98	111	109	120	468	612	6
cm.	112	111	128	120	468	612	6
El	131	111	141	120	468	612	6
cociente	144	111	180	120	468	612	6
de	183	111	193	120	468	612	6
estas	196	111	217	120	468	612	6
magnitudes	220	111	271	120	468	612	6
es	274	111	283	120	468	612	6
π	288	107	294	121	468	612	6
=	297	111	303	120	468	612	6
3,14	306	111	325	120	468	612	6
En	28	137	41	147	468	612	6
otro	45	137	63	147	468	612	6
caso,	68	137	90	147	468	612	6
con	100	137	116	147	468	612	6
la	120	137	128	147	468	612	6
longitud	133	137	170	147	468	612	6
de	175	137	185	147	468	612	6
la	190	137	198	147	468	612	6
circunferencia	202	137	265	147	468	612	6
de	270	137	281	147	468	612	6
188,5	285	137	310	147	468	612	6
cm	315	137	328	147	468	612	6
y	333	137	339	147	468	612	6
un	343	137	354	147	468	612	6
diametro	28	146	67	161	468	612	6
de	70	146	80	161	468	612	6
60	83	146	94	161	468	612	6
cm,	96	146	112	161	468	612	6
el	115	146	123	161	468	612	6
cociente	125	146	162	161	468	612	6
es	165	146	174	161	468	612	6
la	176	146	184	161	468	612	6
misma	187	146	216	161	468	612	6
constante	218	146	260	161	468	612	6
matematica	262	146	313	161	468	612	6
π	316	146	321	161	468	612	6
=	324	146	330	161	468	612	6
3,14.	332	146	354	161	468	612	6
Existe	28	163	56	173	468	612	6
un	60	163	71	173	468	612	6
teorema	74	163	110	173	468	612	6
matemático	113	163	165	173	468	612	6
que	168	163	184	173	468	612	6
prueba	188	163	218	173	468	612	6
rigurosamente	222	163	285	173	468	612	6
que	292	163	308	173	468	612	6
“π”	311	163	327	173	468	612	6
es	330	163	340	173	468	612	6
un	343	163	354	173	468	612	6
numero	28	177	62	186	468	612	6
irracional,	65	177	110	186	468	612	6
cuya	112	177	133	186	468	612	6
demostracion	136	177	195	186	468	612	6
no	198	177	209	186	468	612	6
es	212	177	221	186	468	612	6
sencilla.	224	177	260	186	468	612	6
El	28	199	39	214	468	612	6
numero	41	199	78	214	468	612	6
“π”	81	199	98	214	468	612	6
desde	100	199	127	214	468	612	6
el	130	199	137	214	468	612	6
enfoque	143	199	180	214	468	612	6
del	183	199	197	214	468	612	6
cálculo	200	199	232	214	468	612	6
integral.	237	203	276	213	468	612	6
Llamemos	28	229	75	239	468	612	6
a	78	229	83	239	468	612	6
“C”	87	229	104	239	468	612	6
la	108	229	116	239	468	612	6
circunferencia	119	229	182	239	468	612	6
con	190	229	206	239	468	612	6
centro	209	229	237	239	468	612	6
en	240	229	251	239	468	612	6
el	254	229	262	239	468	612	6
origen	266	229	294	239	468	612	6
(0,0)	298	229	319	239	468	612	6
y	323	229	328	239	468	612	6
radio	332	229	354	239	468	612	6
unitario	28	243	63	252	468	612	6
(r	65	243	73	252	468	612	6
=	75	243	82	252	468	612	6
1).	84	243	96	252	468	612	6
Esta	28	252	47	267	468	612	6
circunferencia	49	252	112	267	468	612	6
puede	114	252	140	267	468	612	6
ser	142	252	155	267	468	612	6
definida	157	252	193	267	468	612	6
como	195	252	219	267	468	612	6
el	221	252	229	267	468	612	6
conjunto	231	252	270	267	468	612	6
de	272	252	282	267	468	612	6
pares	284	252	307	267	468	612	6
ordenados	309	252	354	267	468	612	6
(	28	269	32	279	468	612	6
x	35	269	40	279	468	612	6
,	43	269	46	279	468	612	6
y	48	269	54	279	468	612	6
),	57	269	63	279	468	612	6
tales	66	269	86	279	468	612	6
que	89	269	105	279	468	612	6
x	110	269	116	279	468	612	6
2	116	268	119	274	468	612	6
+	122	265	128	280	468	612	6
y	133	265	139	280	468	612	6
2	139	268	142	274	468	612	6
=	146	269	153	279	468	612	6
1	155	269	161	279	468	612	6
En	28	291	41	301	468	612	6
ternimos	43	291	82	301	468	612	6
de	85	291	95	301	468	612	6
la	98	291	106	301	468	612	6
notacion	108	291	146	301	468	612	6
de	149	291	159	301	468	612	6
la	162	291	170	301	468	612	6
teoria	173	291	198	301	468	612	6
de	201	291	211	301	468	612	6
conjuntos:	214	291	260	301	468	612	6
C	140	313	148	323	468	612	6
=	151	313	157	323	468	612	6
{(x,y)	160	313	186	323	468	612	6
/	188	313	191	323	468	612	6
x	194	313	200	323	468	612	6
2	200	312	203	318	468	612	6
+	206	313	212	323	468	612	6
y	215	313	220	323	468	612	6
2	220	312	223	318	468	612	6
=	226	313	232	323	468	612	6
1}	235	313	245	323	468	612	6
La	28	326	40	336	468	612	6
ecuacion	42	326	81	336	468	612	6
x	86	326	91	336	468	612	6
+	97	322	103	337	468	612	6
y	108	322	113	337	468	612	6
=	119	322	125	337	468	612	6
1,	127	322	136	337	468	612	6
define	143	322	170	337	468	612	6
una	172	322	188	337	468	612	6
circunferencia	190	322	253	337	468	612	6
con	255	322	271	337	468	612	6
centro	273	322	301	337	468	612	6
en	303	322	314	337	468	612	6
el	316	322	324	337	468	612	6
origen	326	322	354	337	468	612	6
y	28	339	34	349	468	612	6
radio	37	339	59	349	468	612	6
unitario.	62	339	99	349	468	612	6
A	28	353	36	362	468	612	6
partir	42	353	66	362	468	612	6
de	72	353	82	362	468	612	6
la	88	353	96	362	468	612	6
conocida	102	353	142	362	468	612	6
formula	148	353	183	362	468	612	6
geométrica	189	353	238	362	468	612	6
que	244	353	260	362	468	612	6
permite	266	353	299	362	468	612	6
calcular	305	353	340	362	468	612	6
la	346	353	354	362	468	612	6
superficie	28	362	71	377	468	612	6
o	74	362	79	377	468	612	6
area	82	362	100	377	468	612	6
de	109	362	119	377	468	612	6
una	122	362	138	377	468	612	6
circunferencia:	140	362	206	377	468	612	6
2	91	326	95	331	468	612	6
2	113	326	117	331	468	612	6
Area	157	388	179	398	468	612	6
(C)	181	388	196	398	468	612	6
=	201	388	208	398	468	612	6
π	210	384	216	399	468	612	6
r	219	388	222	398	468	612	6
2	222	387	226	393	468	612	6
Remplazando	28	410	89	420	468	612	6
r:	92	410	98	420	468	612	6
Area	186	410	207	420	468	612	6
(C)	210	410	224	420	468	612	6
=	230	410	236	420	468	612	6
π	239	406	244	421	468	612	6
1	247	410	253	420	468	612	6
2	253	409	256	415	468	612	6
Area	162	432	183	442	468	612	6
(C)	186	432	201	442	468	612	6
=	206	432	212	442	468	612	6
π	215	428	221	443	468	612	6
En	28	450	41	465	468	612	6
este	43	450	60	465	468	612	6
caso	63	450	83	465	468	612	6
el	85	450	93	465	468	612	6
area	96	450	114	465	468	612	6
o	117	450	123	465	468	612	6
superficie	125	450	168	465	468	612	6
de	171	450	181	465	468	612	6
la	184	450	192	465	468	612	6
circunferencia	195	450	258	465	468	612	6
“C”	260	450	278	465	468	612	6
es	280	450	289	465	468	612	6
π	292	450	298	465	468	612	6
100	34	565	54	606	468	612	6
El	189	31	197	43	468	612	7
conjunto	199	31	230	43	468	612	7
de	233	31	241	43	468	612	7
los	243	31	254	43	468	612	7
números	256	31	287	43	468	612	7
y	289	31	294	43	468	612	7
dos	296	31	309	43	468	612	7
formas	311	31	336	43	468	612	7
de	338	31	347	43	468	612	7
entender	349	31	380	43	468	612	7
al	382	31	389	43	468	612	7
número	391	31	418	43	468	612	7
“	421	31	425	43	468	612	7
π	427	31	431	43	468	612	7
”	434	31	438	43	468	612	7
Graficamente:	113	67	176	82	468	612	7
Si	113	288	123	303	468	612	7
definimos	129	288	173	303	468	612	7
la	179	288	187	303	468	612	7
funcion	194	288	228	303	468	612	7
f	238	291	242	302	468	612	7
(	244	291	248	302	468	612	7
x	249	291	255	302	468	612	7
)	255	291	259	302	468	612	7
=	256	287	262	302	468	612	7
1	278	291	284	302	468	612	7
+	285	287	292	302	468	612	7
x	294	291	300	302	468	612	7
2	300	289	304	295	468	612	7
,	306	291	309	302	468	612	7
∀	310	287	318	302	468	612	7
(	318	291	322	302	468	612	7
−	323	287	329	302	468	612	7
1	329	291	335	302	468	612	7
≤	337	287	343	302	468	612	7
x	347	291	352	302	468	612	7
≤	355	287	361	302	468	612	7
1)	363	291	372	302	468	612	7
,	374	292	377	302	468	612	7
a	384	292	389	302	468	612	7
partir	395	292	419	302	468	612	7
del	426	292	439	302	468	612	7
teorema	113	301	149	316	468	612	7
que	152	301	168	316	468	612	7
propone:	178	301	217	316	468	612	7
“si	220	301	232	316	468	612	7
f:	235	301	242	316	468	612	7
[a,b]→	245	301	277	316	468	612	7
es	297	305	306	315	468	612	7
continua,	309	305	350	315	468	612	7
entonces	353	305	391	315	468	612	7
la	395	305	403	315	468	612	7
funcion	406	305	439	315	468	612	7
f(x)	113	314	130	329	468	612	7
definida,	133	314	171	329	468	612	7
es	174	314	183	329	468	612	7
continua	185	314	223	329	468	612	7
e	226	314	231	329	468	612	7
integrable”.	234	314	285	329	468	612	7
Gráficamente:	113	336	176	351	468	612	7
La	113	459	125	474	468	612	7
superficie	129	459	172	474	468	612	7
de	177	459	187	474	468	612	7
esta	192	459	209	474	468	612	7
media	213	459	240	474	468	612	7
circunferencia	245	459	308	474	468	612	7
es	312	459	321	474	468	612	7
π/2.	326	459	343	474	468	612	7
Ahora	351	459	378	474	468	612	7
utilizando	383	459	427	474	468	612	7
la	431	459	439	474	468	612	7
integral	113	472	147	487	468	612	7
de	150	472	161	487	468	612	7
Riemann,	164	472	206	487	468	612	7
como	209	472	234	487	468	612	7
herramienta	237	472	290	487	468	612	7
para	293	472	312	487	468	612	7
calcular	315	472	350	487	468	612	7
la	353	472	361	487	468	612	7
superficie	364	472	407	487	468	612	7
de	410	472	420	487	468	612	7
una	423	472	439	487	468	612	7
figura	113	485	139	500	468	612	7
geometrica,	142	485	193	500	468	612	7
se	196	485	205	500	468	612	7
tiene:	208	485	233	500	468	612	7
π	220	518	229	539	468	612	7
=	203	529	237	549	468	612	7
2	222	547	231	562	468	612	7
∫	250	527	257	557	468	612	7
+	258	524	263	535	468	612	7
1	263	527	268	535	468	612	7
−	256	545	261	556	468	612	7
1	261	548	266	556	468	612	7
1	279	534	287	549	468	612	7
+	289	529	298	549	468	612	7
x	301	534	309	549	468	612	7
2	310	532	314	540	468	612	7
dx	316	534	332	549	468	612	7
101	415	565	435	606	468	612	7
Bruno	28	32	51	44	468	612	8
E.	53	32	61	44	468	612	8
Vargas	63	32	87	44	468	612	8
Biesuz	90	32	114	44	468	612	8
De	28	71	41	81	468	612	8
donde:	44	71	74	81	468	612	8
=	2	110	46	131	468	612	8
π	30	109	39	131	468	612	8
2	59	116	67	131	468	612	8
∫	68	108	75	139	468	612	8
+	77	104	82	116	468	612	8
1	82	107	87	116	468	612	8
−	74	127	79	139	468	612	8
1	79	130	84	139	468	612	8
(1)	216	101	231	120	468	612	8
1	98	116	107	131	468	612	8
+	108	110	117	131	468	612	8
x	121	116	129	131	468	612	8
2	130	113	135	122	468	612	8
dx	137	116	153	131	468	612	8
Por	28	155	44	170	468	612	8
tanto,	48	155	72	170	468	612	8
el	76	155	84	170	468	612	8
numero	88	155	122	170	468	612	8
irracional	125	155	168	170	468	612	8
π	171	155	177	170	468	612	8
puede	181	155	207	170	468	612	8
ser	211	155	224	170	468	612	8
tambien	228	155	263	170	468	612	8
entendido	267	155	310	170	468	612	8
como	318	155	343	170	468	612	8
el	346	155	354	170	468	612	8
duplo	28	178	53	193	468	612	8
de	56	178	67	193	468	612	8
la	69	178	77	193	468	612	8
integral	80	178	114	193	468	612	8
definida	119	178	154	193	468	612	8
de	157	178	168	193	468	612	8
la	170	178	178	193	468	612	8
funcion	181	178	214	193	468	612	8
f	221	182	225	192	468	612	8
(	227	182	232	192	468	612	8
x	232	182	238	192	468	612	8
=	235	178	245	192	468	612	8
)	238	182	242	192	468	612	8
1	261	182	267	192	468	612	8
+	268	178	275	192	468	612	8
x	277	182	283	192	468	612	8
2	283	180	287	186	468	612	8
en	291	182	302	192	468	612	8
el	305	182	313	192	468	612	8
intervalo	315	182	354	192	468	612	8
[-1,+1].	28	192	62	206	468	612	8
Para	28	205	48	220	468	612	8
verificar	51	205	87	220	468	612	8
esto	90	205	108	220	468	612	8
ultimo,	111	205	142	220	468	612	8
se	145	205	154	220	468	612	8
debe	157	205	177	220	468	612	8
resolver	180	205	216	220	468	612	8
la	218	205	226	220	468	612	8
integral	229	205	263	220	468	612	8
definida	265	205	301	220	468	612	8
dada.	304	205	327	220	468	612	8
Para	28	222	48	232	468	612	8
facilitar	51	222	85	232	468	612	8
el	88	222	96	232	468	612	8
cálculo,	98	222	133	232	468	612	8
expresamos	136	222	187	232	468	612	8
la	190	222	198	232	468	612	8
igualdad	201	222	239	232	468	612	8
(1)	242	222	254	232	468	612	8
del	257	222	271	232	468	612	8
siguiente	273	222	313	232	468	612	8
modo:	316	222	344	232	468	612	8
π	32	254	45	276	468	612	8
=	7	266	55	286	468	612	8
2	35	284	47	299	468	612	8
∫	74	264	84	294	468	612	8
+	86	261	93	272	468	612	8
1	93	264	100	272	468	612	8
−	82	282	90	293	468	612	8
1	90	285	97	293	468	612	8
1	115	271	127	286	468	612	8
−	129	266	142	286	468	612	8
x	147	271	157	286	468	612	8
2	158	269	165	277	468	612	8
dx	168	271	190	286	468	612	8
(2)	233	264	249	283	468	612	8
Se	28	314	39	324	468	612	8
resuelve	42	314	79	324	468	612	8
ahora	81	314	106	324	468	612	8
el	108	314	116	324	468	612	8
segundo	119	314	155	324	468	612	8
miembro	161	314	200	324	468	612	8
de	203	314	213	324	468	612	8
la	216	314	224	324	468	612	8
igualdad	226	314	264	324	468	612	8
(2),	267	314	283	324	468	612	8
considerando	285	314	344	324	468	612	8
la	346	314	354	324	468	612	8
siguiente	28	328	68	338	468	612	8
sustitucion	71	328	118	338	468	612	8
trigonometrica:	121	328	189	338	468	612	8
1	177	408	189	418	468	612	8
−	190	404	203	418	468	612	8
x	208	408	219	418	468	612	8
2	220	406	226	412	468	612	8
De	28	451	41	461	468	612	8
donde	44	451	71	461	468	612	8
x	74	451	79	461	468	612	8
=	82	451	88	461	468	612	8
sin(	91	451	107	461	468	612	8
θ	108	445	114	461	468	612	8
)	117	451	121	461	468	612	8
→	125	446	137	461	468	612	8
θ	142	445	148	461	468	612	8
=	152	446	159	461	468	612	8
arcsinx	162	450	196	461	468	612	8
dx	159	466	171	477	468	612	8
=	174	462	181	477	468	612	8
cos	183	466	199	477	468	612	8
θ	200	462	206	477	468	612	8
d	209	466	215	477	468	612	8
θ	216	462	222	477	468	612	8
cos	157	489	173	500	468	612	8
θ	173	484	179	500	468	612	8
=	183	490	189	499	468	612	8
1	198	489	204	500	468	612	8
−	205	485	211	500	468	612	8
x	214	489	219	500	468	612	8
2	220	487	224	493	468	612	8
Sustituyendo	28	503	86	513	468	612	8
en	89	503	99	513	468	612	8
(2):	102	503	118	513	468	612	8
∫	135	525	142	549	468	612	8
+	144	522	150	532	468	612	8
1	150	525	155	532	468	612	8
−	142	540	147	549	468	612	8
1	147	542	152	549	468	612	8
102	34	565	54	606	468	612	8
cos	156	531	179	543	468	612	8
θ	180	526	189	543	468	612	8
cos	193	531	216	543	468	612	8
θ	217	526	226	543	468	612	8
d	228	531	236	543	468	612	8
θ	236	526	245	543	468	612	8
El	189	31	197	43	468	612	9
conjunto	199	31	230	43	468	612	9
de	233	31	241	43	468	612	9
los	243	31	254	43	468	612	9
números	256	31	287	43	468	612	9
y	289	31	294	43	468	612	9
dos	296	31	309	43	468	612	9
formas	311	31	336	43	468	612	9
de	338	31	347	43	468	612	9
entender	349	31	380	43	468	612	9
al	382	31	389	43	468	612	9
número	391	31	418	43	468	612	9
“	421	31	425	43	468	612	9
π	427	31	431	43	468	612	9
”	434	31	438	43	468	612	9
∫	245	83	250	107	468	612	9
+	252	81	256	90	468	612	9
1	256	83	259	90	468	612	9
−	250	98	254	107	468	612	9
1	254	100	257	107	468	612	9
cos	261	89	278	101	468	612	9
2	278	87	282	94	468	612	9
θ	284	84	291	101	468	612	9
d	292	89	299	101	468	612	9
θ	299	84	306	101	468	612	9
1	231	116	237	127	468	612	9
+	246	116	250	124	468	612	9
1	250	118	254	124	468	612	9
(1	255	124	264	134	468	612	9
+	265	120	271	134	468	612	9
cos	273	124	289	134	468	612	9
2	291	124	297	134	468	612	9
θ	296	119	302	134	468	612	9
)	304	124	308	134	468	612	9
d	308	124	314	134	468	612	9
θ	314	119	321	134	468	612	9
2	232	133	238	144	468	612	9
∫	240	118	245	140	468	612	9
−	245	131	248	140	468	612	9
1	248	133	252	140	468	612	9
+	339	150	344	159	468	612	9
1	344	152	348	159	468	612	9
	205	153	211	168	468	612	9
1	212	156	220	167	468	612	9
	333	153	338	168	468	612	9
	205	165	211	179	468	612	9
	205	171	211	185	468	612	9
2	213	173	220	184	468	612	9
(	223	164	227	175	468	612	9
∫	228	158	234	180	468	612	9
d	236	164	243	175	468	612	9
θ	243	159	251	175	468	612	9
+	255	160	263	175	468	612	9
∫	266	158	272	180	468	612	9
cos	274	164	293	175	468	612	9
2	295	164	302	175	468	612	9
θ	301	159	309	175	468	612	9
d	311	164	318	175	468	612	9
θ	318	159	325	175	468	612	9
)	327	164	332	175	468	612	9
	333	165	338	179	468	612	9
	333	171	338	185	468	612	9
−	339	177	344	186	468	612	9
1	344	179	348	186	468	612	9
Para	113	191	133	201	468	612	9
resolver	135	191	171	201	468	612	9
el	173	191	181	201	468	612	9
segundo	183	191	220	201	468	612	9
termino	223	191	257	201	468	612	9
de	259	191	270	201	468	612	9
la	272	191	280	201	468	612	9
expresion	282	191	325	201	468	612	9
entre	327	191	349	201	468	612	9
corchetes,	352	191	396	201	468	612	9
se	399	191	408	201	468	612	9
realiza	410	191	439	201	468	612	9
el	113	204	121	214	468	612	9
siguiente	124	204	164	214	468	612	9
cambio	167	204	199	214	468	612	9
de	202	204	212	214	468	612	9
variable:	215	204	253	214	468	612	9
µ	203	218	210	234	468	612	9
=	214	219	220	234	468	612	9
2	223	223	229	234	468	612	9
θ	228	218	234	234	468	612	9
d	203	241	209	252	468	612	9
µ	210	236	217	252	468	612	9
=	221	237	227	252	468	612	9
2	230	241	236	252	468	612	9
d	236	241	242	252	468	612	9
θ	242	236	249	252	468	612	9
d	204	259	210	270	468	612	9
µ	211	254	218	270	468	612	9
=	223	263	229	277	468	612	9
d	232	266	238	277	468	612	9
θ	238	262	244	277	468	612	9
2	209	276	215	287	468	612	9
Resolviendo	113	297	168	306	468	612	9
y	171	297	177	306	468	612	9
sustituyendo	179	297	235	306	468	612	9
+	324	322	328	331	468	612	9
1	328	325	332	331	468	612	9
1	258	329	264	339	468	612	9
	221	326	226	340	468	612	9
1	227	329	233	339	468	612	9
	319	326	324	340	468	612	9
	221	337	226	352	468	612	9
	221	343	226	358	468	612	9
2	227	346	233	356	468	612	9
(	236	336	240	347	468	612	9
θ	239	332	245	347	468	612	9
+	249	332	255	347	468	612	9
2	258	346	264	356	468	612	9
∫	267	330	272	353	468	612	9
cos	274	336	290	347	468	612	9
µ	291	332	298	347	468	612	9
d	299	336	305	347	468	612	9
µ	306	332	313	347	468	612	9
)	314	336	318	347	468	612	9
	319	337	324	352	468	612	9
	319	343	324	358	468	612	9
−	324	350	328	358	468	612	9
1	328	352	332	358	468	612	9
+	313	363	316	371	468	612	9
1	316	365	320	371	468	612	9
1	270	369	276	380	468	612	9
	233	366	238	381	468	612	9
1	239	369	245	380	468	612	9
	307	366	312	381	468	612	9
	233	378	238	392	468	612	9
	233	383	238	398	468	612	9
2	239	386	245	397	468	612	9
(	248	377	252	387	468	612	9
θ	251	372	257	388	468	612	9
+	261	373	267	387	468	612	9
2	270	386	276	397	468	612	9
sin	278	377	292	387	468	612	9
µ	295	372	302	388	468	612	9
)	303	377	307	387	468	612	9
	307	378	312	392	468	612	9
	307	383	312	398	468	612	9
−	313	390	316	399	468	612	9
1	316	392	320	399	468	612	9
+	315	403	319	412	468	612	9
1	319	406	322	412	468	612	9
1	268	409	274	420	468	612	9
	231	406	235	421	468	612	9
1	237	409	243	420	468	612	9
	310	406	314	421	468	612	9
	231	418	235	433	468	612	9
	231	424	235	439	468	612	9
2	237	426	243	437	468	612	9
(	245	417	249	428	468	612	9
θ	248	412	255	428	468	612	9
+	258	413	265	428	468	612	9
2	268	426	274	437	468	612	9
sin	276	417	290	428	468	612	9
2	292	417	298	428	468	612	9
θ	297	412	303	428	468	612	9
)	305	417	309	428	468	612	9
	310	418	314	433	468	612	9
	310	424	314	439	468	612	9
−	315	431	319	439	468	612	9
1	319	433	322	439	468	612	9
Aquí	113	446	135	456	468	612	9
se	138	446	147	456	468	612	9
debe	150	446	171	456	468	612	9
recordar	174	446	210	456	468	612	9
la	213	446	221	456	468	612	9
siguiente	224	446	263	456	468	612	9
identidad	266	446	307	456	468	612	9
trigonometrica:	310	446	378	456	468	612	9
	218	456	222	472	468	612	9
1	225	459	231	471	468	612	9
	329	456	334	472	468	612	9
	218	467	222	483	468	612	9
sen	234	468	251	479	468	612	9
2	252	468	258	479	468	612	9
x	259	468	265	479	468	612	9
=	268	463	275	479	468	612	9
senx	278	468	301	479	468	612	9
cos	303	468	320	479	468	612	9
x	322	468	328	479	468	612	9
	329	467	334	483	468	612	9
	218	475	222	491	468	612	9
2	225	478	232	489	468	612	9
	329	475	334	491	468	612	9
+	334	506	338	515	468	612	9
1	338	508	342	515	468	612	9
	211	509	216	525	468	612	9
1	218	512	224	524	468	612	9
2	317	518	321	525	468	612	9
	328	509	333	525	468	612	9
	211	521	216	537	468	612	9
	211	527	216	543	468	612	9
2	218	530	224	542	468	612	9
(arcsenx	227	520	270	532	468	612	9
+	270	516	277	532	468	612	9
x	280	520	286	532	468	612	9
1	294	520	300	532	468	612	9
−	301	516	308	532	468	612	9
x	311	520	317	532	468	612	9
)	323	520	328	532	468	612	9
	328	521	333	537	468	612	9
	328	527	333	543	468	612	9
−	334	534	338	544	468	612	9
1	338	537	342	544	468	612	9
103	415	565	435	606	468	612	9
Bruno	28	32	51	44	468	612	10
E.	53	32	61	44	468	612	10
Vargas	63	32	87	44	468	612	10
Biesuz	90	32	114	44	468	612	10
Retomando	28	71	79	81	468	612	10
la	85	71	93	81	468	612	10
ecuacion	95	71	134	81	468	612	10
(2):	137	71	153	81	468	612	10
+	255	97	259	106	468	612	10
1	259	99	262	105	468	612	10
π	120	98	127	114	468	612	10
	142	100	146	115	468	612	10
1	148	103	154	114	468	612	10
	250	100	254	115	468	612	10
=	105	107	132	122	468	612	10
	142	112	146	126	468	612	10
(arcsinx	156	111	195	121	468	612	10
+	195	107	202	122	468	612	10
x	205	111	210	121	468	612	10
1	217	111	223	121	468	612	10
−	224	107	231	122	468	612	10
x	234	111	239	121	468	612	10
2	240	109	243	115	468	612	10
)	245	111	249	121	468	612	10
	250	112	254	126	468	612	10
2	122	120	128	131	468	612	10
	142	118	146	132	468	612	10
2	148	120	154	131	468	612	10
	250	118	254	132	468	612	10
−	255	124	259	133	468	612	10
1	259	126	262	133	468	612	10
+	248	133	252	142	468	612	10
1	252	135	256	142	468	612	10
=	123	139	138	155	468	612	10
π	126	139	133	155	468	612	10
	148	136	153	152	468	612	10
arcsinx	153	143	189	155	468	612	10
+	190	139	197	155	468	612	10
x	200	143	206	155	468	612	10
1	213	143	219	155	468	612	10
−	220	139	227	155	468	612	10
x	230	143	236	155	468	612	10
2	236	141	240	148	468	612	10
	243	136	248	152	468	612	10
	148	147	153	163	468	612	10
	243	147	248	163	468	612	10
−	248	154	252	163	468	612	10
1	252	156	256	163	468	612	10
Método	28	172	64	181	468	612	10
Para	28	198	48	208	468	612	10
probar	50	198	79	208	468	612	10
de	82	198	92	208	468	612	10
forma	97	198	123	208	468	612	10
no	126	198	137	208	468	612	10
aritmética	139	198	183	208	468	612	10
la	186	198	194	208	468	612	10
interpretación	196	198	258	208	468	612	10
del	260	198	273	208	468	612	10
número	276	198	310	208	468	612	10
irracional	312	198	354	208	468	612	10
“π”,	28	211	48	221	468	612	10
se	52	211	61	221	468	612	10
utilizó	65	211	93	221	468	612	10
el	97	211	105	221	468	612	10
método	113	211	146	221	468	612	10
analítico	151	211	188	221	468	612	10
matemático,	193	211	247	221	468	612	10
fundamentalmente	251	211	333	221	468	612	10
del	341	211	354	221	468	612	10
cálculo	28	224	60	234	468	612	10
integral.	63	224	99	234	468	612	10
Resultados	28	251	80	261	468	612	10
y	82	251	88	261	468	612	10
discusión.	91	251	137	261	468	612	10
Sustituyendo	28	264	86	274	468	612	10
los	89	264	101	274	468	612	10
limites	104	264	134	274	468	612	10
de	137	264	147	274	468	612	10
integración:	150	264	203	274	468	612	10
=	31	290	68	305	468	612	10
π	57	289	64	305	468	612	10
	78	286	83	301	468	612	10
arcsin(1)	83	294	124	305	468	612	10
+	126	290	132	305	468	612	10
1	133	294	139	305	468	612	10
1	145	294	151	305	468	612	10
−	152	290	159	305	468	612	10
1	159	294	165	305	468	612	10
2	165	292	168	298	468	612	10
	171	286	175	301	468	612	10
−	178	290	184	305	468	612	10
	187	286	191	301	468	612	10
arcsin(	192	294	224	305	468	612	10
−	224	290	231	305	468	612	10
1)	231	294	240	305	468	612	10
+	242	290	249	305	468	612	10
(	251	294	255	305	468	612	10
−	255	290	262	305	468	612	10
1)	261	294	271	305	468	612	10
1	278	294	284	305	468	612	10
−	285	290	291	305	468	612	10
(	293	294	297	305	468	612	10
−	297	290	304	305	468	612	10
1)	304	294	313	305	468	612	10
2	313	292	317	298	468	612	10
	320	286	324	301	468	612	10
	78	297	83	312	468	612	10
	171	297	175	312	468	612	10
	187	297	191	312	468	612	10
	320	297	324	312	468	612	10
=	129	310	142	325	468	612	10
π	131	310	137	325	468	612	10
(90	151	314	167	325	468	612	10
0	167	312	170	318	468	612	10
+	174	310	180	325	468	612	10
0)	182	314	192	325	468	612	10
−	194	310	201	325	468	612	10
(	203	314	206	325	468	612	10
−	207	310	213	325	468	612	10
90	213	314	225	325	468	612	10
0	226	312	229	318	468	612	10
+	232	310	239	325	468	612	10
0)	241	314	251	325	468	612	10
π	142	328	149	344	468	612	10
=	153	329	160	344	468	612	10
90	162	332	174	344	468	612	10
0	175	331	178	337	468	612	10
+	181	329	188	344	468	612	10
90	190	332	202	344	468	612	10
0	202	331	206	337	468	612	10
=	209	329	216	344	468	612	10
180	218	332	236	344	468	612	10
0	236	331	239	337	468	612	10
Luego	28	356	56	371	468	612	10
de	59	356	70	371	468	612	10
los	72	356	85	371	468	612	10
cálculos	88	356	124	371	468	612	10
realizados,	127	356	174	371	468	612	10
se	177	356	186	371	468	612	10
verifica	189	356	222	371	468	612	10
que	224	356	240	371	468	612	10
efectivamente,	243	356	307	371	468	612	10
la	310	356	318	371	468	612	10
función	321	356	354	371	468	612	10
integrada,	28	373	72	383	468	612	10
que	74	373	90	383	468	612	10
corresponde	93	373	147	383	468	612	10
a	149	373	154	383	468	612	10
media	156	373	183	383	468	612	10
circunferencia,	186	373	251	383	468	612	10
en	254	373	264	383	468	612	10
el	267	373	275	383	468	612	10
intervalo	277	373	316	383	468	612	10
dado,	319	373	343	383	468	612	10
es	345	373	354	383	468	612	10
el	28	382	36	397	468	612	10
número	39	382	72	397	468	612	10
“pi”.	75	382	96	397	468	612	10
Nótese	99	382	129	397	468	612	10
que	132	382	147	397	468	612	10
en	150	382	160	397	468	612	10
la	163	382	171	397	468	612	10
circunferencia	173	382	236	397	468	612	10
trigonométrica	239	382	303	397	468	612	10
definida	306	382	341	397	468	612	10
en	344	382	354	397	468	612	10
radianes,	28	396	68	410	468	612	10
π	73	396	79	410	468	612	10
=	82	396	88	410	468	612	10
180º,	91	396	113	410	468	612	10
que	116	396	132	410	468	612	10
es	135	396	144	410	468	612	10
precisamente	146	396	205	410	468	612	10
el	207	396	215	410	468	612	10
resultado	218	396	258	410	468	612	10
obtenido.	261	396	302	410	468	612	10
Conclusión.	28	429	84	439	468	612	10
•	64	448	68	463	468	612	10
Se	100	448	111	463	468	612	10
ha	115	448	125	463	468	612	10
verificado	129	448	173	463	468	612	10
que	176	448	192	463	468	612	10
la	196	448	203	463	468	612	10
constante	207	448	248	463	468	612	10
matemática	252	448	303	463	468	612	10
“pi”,	306	448	327	463	468	612	10
no	331	448	342	463	468	612	10
es	345	448	354	463	468	612	10
simplemente	64	466	121	475	468	612	10
la	125	466	133	475	468	612	10
razón	137	466	161	475	468	612	10
entre	165	466	187	475	468	612	10
la	191	466	199	475	468	612	10
longitud	203	466	240	475	468	612	10
de	244	466	254	475	468	612	10
la	258	466	266	475	468	612	10
circunferencia	270	466	333	475	468	612	10
y	337	466	342	475	468	612	10
el	346	466	354	475	468	612	10
diámetro	64	479	103	489	468	612	10
que	105	479	121	489	468	612	10
esta	123	479	141	489	468	612	10
genera,	143	479	175	489	468	612	10
lo	177	479	185	489	468	612	10
cual	187	479	206	489	468	612	10
es	208	479	217	489	468	612	10
una	219	479	235	489	468	612	10
consideración	237	479	298	489	468	612	10
básicamente	300	479	354	489	468	612	10
aritmética.	64	492	111	502	468	612	10
El	125	492	134	502	468	612	10
resultado	141	492	181	502	468	612	10
obtenido,	188	492	230	502	468	612	10
es	236	492	245	502	468	612	10
una	252	492	268	502	468	612	10
forma	275	492	301	502	468	612	10
alternativa	308	492	354	502	468	612	10
de	64	505	75	515	468	612	10
entender	80	505	118	515	468	612	10
al	123	505	131	515	468	612	10
número	136	505	169	515	468	612	10
irracional	174	505	217	515	468	612	10
“pi”,	222	505	243	515	468	612	10
mediante	248	505	288	515	468	612	10
el	293	505	301	515	468	612	10
uso	306	505	322	515	468	612	10
de	327	505	337	515	468	612	10
las	342	505	354	515	468	612	10
herramientas	64	518	121	528	468	612	10
del	125	518	139	528	468	612	10
calculo	143	518	175	528	468	612	10
integral.	179	518	216	528	468	612	10
Por	220	518	235	528	468	612	10
tanto,	240	518	264	528	468	612	10
una	269	518	285	528	468	612	10
interpretación	293	518	354	528	468	612	10
matemática	64	532	115	541	468	612	10
alternativa	117	532	164	541	468	612	10
de	168	532	178	541	468	612	10
esta	181	532	198	541	468	612	10
fundamental	200	532	255	541	468	612	10
constante	257	532	299	541	468	612	10
matemática.	301	532	354	541	468	612	10
104	34	565	54	606	468	612	10
El	189	31	197	43	468	612	11
conjunto	199	31	230	43	468	612	11
de	233	31	241	43	468	612	11
los	243	31	254	43	468	612	11
números	256	31	287	43	468	612	11
y	289	31	294	43	468	612	11
dos	296	31	309	43	468	612	11
formas	311	31	336	43	468	612	11
de	338	31	347	43	468	612	11
entender	349	31	380	43	468	612	11
al	382	31	389	43	468	612	11
número	391	31	418	43	468	612	11
“	421	31	425	43	468	612	11
π	427	31	431	43	468	612	11
”	434	31	438	43	468	612	11
•	149	71	153	81	468	612	11
En	185	71	198	81	468	612	11
consecuencia	201	71	260	81	468	612	11
se	263	71	272	81	468	612	11
ha	276	71	286	81	468	612	11
logrado	290	71	323	81	468	612	11
el	327	71	335	81	468	612	11
objetivo	338	71	374	81	468	612	11
establecido	377	71	427	81	468	612	11
y	434	71	439	81	468	612	11
verificado	149	80	193	95	468	612	11
la	199	80	207	95	468	612	11
propuesta.	210	80	255	95	468	612	11
•	149	111	153	120	468	612	11
Finalmente,	185	114	238	123	468	612	11
es	244	114	253	123	468	612	11
pertinente	259	114	303	123	468	612	11
recordar	309	114	346	123	468	612	11
que	352	114	368	123	468	612	11
esta	374	114	392	123	468	612	11
constante	398	114	439	123	468	612	11
matemática	149	127	200	137	468	612	11
es	204	127	214	137	468	612	11
usada	218	127	243	137	468	612	11
en	247	127	258	137	468	612	11
practicamente	262	127	324	137	468	612	11
todas	328	127	351	137	468	612	11
las	356	127	368	137	468	612	11
ciencias,	372	127	411	137	468	612	11
como	415	127	439	137	468	612	11
ejemplos:	149	140	192	150	468	612	11
toda	195	140	214	150	468	612	11
la	217	140	225	150	468	612	11
geometría	229	140	273	150	468	612	11
de	276	140	286	150	468	612	11
los	289	140	302	150	468	612	11
cuerpos	305	140	339	150	468	612	11
circulares	343	140	385	150	468	612	11
y	389	140	394	150	468	612	11
esféricos;	397	140	439	150	468	612	11
la	149	153	157	163	468	612	11
extensión	161	153	203	163	468	612	11
de	206	153	216	163	468	612	11
sus	220	153	234	163	468	612	11
decimales	237	153	281	163	468	612	11
es	284	153	293	163	468	612	11
útil	296	153	311	163	468	612	11
en	314	153	325	163	468	612	11
el	328	153	336	163	468	612	11
campo	339	153	368	163	468	612	11
computacional;	372	153	439	163	468	612	11
los	149	166	162	176	468	612	11
juegos	166	166	195	176	468	612	11
de	199	166	209	176	468	612	11
las	213	166	225	176	468	612	11
computadoras	229	166	291	176	468	612	11
usan	295	166	315	176	468	612	11
series	319	166	344	176	468	612	11
numéricas	348	166	393	176	468	612	11
con	397	166	413	176	468	612	11
valor	417	166	439	176	468	612	11
“pi”;	149	180	171	189	468	612	11
todos	173	180	197	189	468	612	11
los	199	180	212	189	468	612	11
fenómenos	214	180	263	189	468	612	11
ondulatorios	265	180	320	189	468	612	11
de	322	180	333	189	468	612	11
la	335	180	343	189	468	612	11
física;	345	180	372	189	468	612	11
las	377	180	389	189	468	612	11
ecuaciones	391	180	439	189	468	612	11
de	149	193	160	203	468	612	11
las	163	193	175	203	468	612	11
ondas	178	193	204	203	468	612	11
gravitacionales;	207	193	276	203	468	612	11
las	279	193	291	203	468	612	11
series	294	193	319	203	468	612	11
de	322	193	333	203	468	612	11
Fourrier	336	193	372	203	468	612	11
que	375	193	391	203	468	612	11
se	394	193	403	203	468	612	11
usan	406	193	426	203	468	612	11
en	429	193	439	203	468	612	11
las	149	206	162	216	468	612	11
telecomunicaciones;	165	206	255	216	468	612	11
diseño	259	206	288	216	468	612	11
y	291	206	297	216	468	612	11
fabricación	301	206	350	216	468	612	11
de	354	206	364	216	468	612	11
productos	368	206	411	216	468	612	11
como	415	206	439	216	468	612	11
neumáticos,	149	219	202	229	468	612	11
relojes,	205	219	237	229	468	612	11
vasos,	240	219	267	229	468	612	11
botellas;	270	219	307	229	468	612	11
en	310	219	320	229	468	612	11
astronomía	323	219	372	229	468	612	11
para	375	219	394	229	468	612	11
el	397	219	405	229	468	612	11
cálculo	408	219	439	229	468	612	11
de	149	228	160	243	468	612	11
de	163	228	173	243	468	612	11
la	176	228	184	243	468	612	11
extensión	186	228	229	243	468	612	11
de	231	228	242	243	468	612	11
las	244	228	257	243	468	612	11
superficies	259	228	306	243	468	612	11
de	309	228	320	243	468	612	11
los	322	228	335	243	468	612	11
palnetas,	338	228	377	243	468	612	11
etc.	379	228	395	243	468	612	11
Referencias	113	265	168	274	468	612	11
Howard	113	300	149	310	468	612	11
E.	151	300	161	310	468	612	11
Taylor	163	300	191	310	468	612	11
&	193	300	202	310	468	612	11
Thomas	204	300	239	310	468	612	11
L.	242	300	251	310	468	612	11
Wade.	253	300	281	310	468	612	11
(1971).	283	300	315	310	468	612	11
Calculo	317	300	351	310	468	612	11
diferencial	354	300	401	310	468	612	11
integral.	403	300	439	310	468	612	11
Mexico:	113	326	150	336	468	612	11
Editorial	161	326	200	336	468	612	11
Limusa	202	326	235	336	468	612	11
Willey.	238	326	269	336	468	612	11
Matematicas	113	353	170	362	468	612	11
7º	175	353	184	362	468	612	11
Primaria.(2001).	188	353	261	362	468	612	11
La	264	353	275	362	468	612	11
Paz	278	353	294	362	468	612	11
Bolivia:	297	353	332	362	468	612	11
Editorial	335	353	373	362	468	612	11
Bruño.	376	353	406	362	468	612	11
Spivak,	113	379	147	389	468	612	11
Michael	149	379	185	389	468	612	11
R.(1986).	188	379	230	389	468	612	11
Calculo.	233	379	270	389	468	612	11
Barcelona:	273	379	321	389	468	612	11
Editorial	323	379	362	389	468	612	11
Reverte	365	379	399	389	468	612	11
S.A.	401	379	421	389	468	612	11
Smith	113	405	140	415	468	612	11
R.	142	405	153	415	468	612	11
&-	155	405	167	415	468	612	11
Minton	170	405	203	415	468	612	11
R.	205	405	215	415	468	612	11
(2001).	218	405	250	415	468	612	11
Cálculo	253	405	287	415	468	612	11
(Tomo	293	405	322	415	468	612	11
1).	325	405	337	415	468	612	11
Mc	339	405	354	415	468	612	11
Graw	357	405	381	415	468	612	11
Hill.	384	405	404	415	468	612	11
Espinoza	113	432	154	442	468	612	11
Ramos	160	432	191	442	468	612	11
E.	194	432	204	442	468	612	11
(2008)	207	432	236	442	468	612	11
Análisis	239	432	275	442	468	612	11
Matemático	282	432	334	442	468	612	11
I	337	432	341	442	468	612	11
(	348	432	351	442	468	612	11
para	355	432	373	442	468	612	11
estudiantes	377	432	426	442	468	612	11
de	429	432	439	442	468	612	11
ciencias	113	441	149	456	468	612	11
e	152	441	156	456	468	612	11
ingenieria).	159	441	210	456	468	612	11
Servicios	212	441	253	456	468	612	11
Graficos.	259	441	299	456	468	612	11
Lázaro	113	471	144	481	468	612	11
M.(2004)	147	471	189	481	468	612	11
Cálculo	191	471	225	481	468	612	11
Diferencial.	228	471	280	481	468	612	11
Moshera	283	471	322	481	468	612	11
Ed.	324	471	339	481	468	612	11
Artículo	113	524	152	534	468	612	11
Recibido:	155	524	200	534	468	612	11
10-01-2017	203	524	255	534	468	612	11
Artículo	113	537	152	547	468	612	11
Aceptado:	155	537	203	547	468	612	11
25-02-2017	206	537	257	547	468	612	11
105	415	565	435	606	468	612	11
