
English: 
Let's see if we can use
integration by parts
to find the antiderivative of
e to the x cosine of x, dx.
And whenever we talk about
integration by parts,
we always say, well,
which of these functions--
we're taking a product
of two of these-- which
of these functions, either the
x or cosine of x, that if I were
to take its derivative,
becomes simpler.
And in this case neither
of them become simpler.
And neither of them become
dramatically more complicated
when I take their
antiderivative.
So here, it's kind of a
toss up which one I assign
to f of x and which one
I assign to g prime of x.
And actually, you can solve
this problem either way.
So let's just assign this one.
Let's assign f of x
equaling e to the x.
And let's assign g prime of
x as equaling cosine of x.
So let me write it down.
We are saying f of x
is equal to e to the x,
or f prime of x is
equal to e to the x.
Derivative of e to the
x is just e to the x.
And we can say that g-- we're
making the assignment-- g

Korean: 
이번 시간에는 부분적분법에 대해 알아보겠습니다
부분적분법으로 (e^x)(cos x)의
원시함수를 구해봅시다
부분적분을 하려면 우선
주어진 함수들을 두 개로 나눠서 생각해보죠
보통은 미분하기 쉬운 것을 f(x)로, 적분하기
쉬운 것은 g'(x)로 생각하면 쉽게 풀리는데요
이 문제에서는 미분하면 두 함수
모두 간단하게 할 수 있지만
적분하기에는 간단한
형태는 아닌 것 같네요
두 함수 모두 적분했을 땐
매우 복잡한 형태입니다
두 함수의 원시함수를 구해야 한다면 말이죠
따라서 이와 같은 경우엔, 각각 어느 함수를
f(x) 혹은 g'(x)로 정해야 할지 확실하지 않겠네요
그러니까 반대의 경우로도 똑같이
답을 구할 수 있다는 거죠
따라서 저는 이 순서로 지정할게요
f(x)를 e^x로 정하고
g'(x)를 cos x로 지정하겠습니다
헷갈리지 않도록 칠판에도 적어볼게요
f(x)=e^x
f'(x)=e^x
왜냐하면 e^x는 미분해도
e^x이기 때문입니다
앞서 말한 대로

Thai: 
 
ลองดูว่าเราใช้การอินทิเกรตแบบแยกส่วน
เพื่อหาปฏิยานุพันธ์ของ e กำลัง x
โคไซน์ของ x dx ได้ไหม
เมื่อใดก็ตามที่เราพูดถึงการอินทิเกรตตามส่วน
เราจะถามเสมอว่า ฟังก์ชันใดในนี้ --
ที่เรากำลังหาผลคูณฟังก์ชันสองตัวนี้ --
ฟังก์ชันใดในนี้ e กำลัง x 
หรือโคไซน์ของ x, ที่เรา
หาอนุพันธ์ของมันแล้วจะง่ายขึ้น
และในกรณีนี้ ไม่มีอันไหนจะง่ายลง
ไม่มีอันไหนจะซับซ้อนขึ้น
เมื่อผมหาปฏิยานุพันธ์
ตรงนี้ มันจึงเป็นการสุ่มว่าผมจะเลือก
อันไหนเป็น f ของ x 
และอันไหนเป็น g ไพรม์ของ x
ที่จริง คุณแก้ปัญหานี้ยังไงก็ได้
งั้นลองกำหนดอันนี้
ลองกำหนด f ของ x เท่ากับ e กำลัง x กัน
และกำหนด g ไพรม์ของ x ว่า
เท่ากับโคไซน์ของ x
ขอผมเขียนมันลงไปนะ
เรากำลังบอกว่า f ของ x เท่ากับ e กำลัง x
หรือ f ไพรม์ของ x เท่ากับ e กำลัง x
อนุพันธ์ของ e กำลัง x ก็แค่ e กำลัง x
และเราบอกได้ว่า g -- เราจะกำหนด -- g

iw: 
.
בוא נראה אם ​​אנחנו יכולים להשתמש
באינטגרציה על ידי חלקים
כדי למצוא את האנטינגזרת של
e בחזקת קוסינוס של dx x.
ובכל פעם שאנחנו מדברים
האינטגרציה על ידי חלקים,
אנחנו תמיד אומרים, טוב,
אילו מפונקציות האלה -
שאנחנו לוקחים תוצר
של שתי אלה - ש
מהפונקציות האלה, או
X או הקוסינוס של x, שאם הייתי
לוקח נגזרת שלה,
היא נהפכת לפשוטה יותר.
ובמקרה הזה אף אחת
מהן לא הופכת פשוטה יותר.
ואף אחת מהן לא נעשת
באופן דרמטי יותר מסובכת
כאשר אני לוקח שלהם
אנטינגזרת.
אז הנה, זה סוג של
לזרוק איזו אני אקצה
ל F של x ואיזו מהן
אני אקצה ל g גרש של x.
ובאמת, אתה יכול לפתור
בעיה זו בכל מקרה.
אז בואו רק נקצה את זו.
בואו נקצה f של x להיות
שווה e בחזקת x.
ובואו נקצה g גרש של
X כשווה לקוסינוס שווה של x.
אז תנו לי לרשום את זה.
אנחנו אומרים ש f של x
שווה ל e בחזקת x,
או f גרש של x 
שווה ל e בחזקת x.
הנגזרת של e בחזקת
X הוא פשוט e בחזקת x.
ואנחנו יכולים לומר ש g - אנחנו
מכינים את המשימה-- g

Bulgarian: 
Нека проверим дали можем
да използваме интегриране по части,
за да намерим примитивната функция
на е на степен х по косинус х, dx.
Когато става дума за интегриране
по части,
винаги търсим коя от тези функции,
чието произведение е дадено,
т.е. х или косинус х, ще бъде тази,
на която производната е по-лесна
функция.
В този случай нито една от тях
няма да е по-лесна.
И нито една от тях няма да се
усложни много,
когато намерим примитивната
ѝ функция.
Тук няма значение коя ще изберем
да е f от х и коя да е g' от х.
Всъщност можеш да решиш интеграла
и по двата начина.
Нека да изберем ето тази
да е равно на f от х, т.е. е на степен х.
И нека изберем g' от х да е равна
на косинус х.
Нека го запиша.
Казваме, че f от х е равно на е
на степен х,
или f' от х е равно на е на степен х.
Производна от е на степен х е равна
на е на степен х.
Може да кажем, че g' от х

Portuguese: 
Vamos aqui tentar usar
a integracão por partes
para achar a antiderivada de
e elevado a x vezes cosseno de x, dx.
E quando falamos de
integracão por partes
sempre pensamos, bem,
qual dessas funções-
estamos multiplicando 
duas delas - qual
dessas funções, x ou
cosseno de x, ficará mais
simples ao calcularmos
a derivada?
Neste caso nenhuma delas
fica mais simples.
E nenhuma fica dramaticamente
mais complicada
quando eu calculo
sua antiderivada.
Então, aqui tanto faz qual
delas escolho
para f de x, e qual escolho para 
g linha de x.
Na verdade, o problema 
se resolve das duas formas.
Então vamos escolher
essa aqui.
Vamos definir f de x sendo
igual a e elevado a x.
E g linha de x seria então 
igual ao cosseno de x.
Vou escrever então.
Estamos dizendo que f de x
é igual a e elevado a x,
ou que f linha de x é igual
a e elevado a x.
Derivada de e elevado a x 
é igual a e elevado a x.
E dizemos que g- definimos 
agora-g linha de x

Czech: 
Podívejme se, jestli lze použít
integraci per partes
k vyřešení integrálu eˣcos(x) dx.
Kdykoli mluvíme o integraci per partes,
ptáme se, která z funkcí,
jejichž součin tady máme,
která z těchto funkcí, eˣ nebo kosinus x,
se po zderivování zjednoduší.
V tomto případě se
nezjednoduší ani jedna.
A ani jedna nebude o moc komplikovanější,
když ji zintegrujeme.
Tady to tedy bude jedno,
kterou přiřadím k f(x) a kterou k g'(x).
Tento příklad jde ve skutečnosti
vyřešit oběma způsoby.
Takže to přiřadíme takto.
Řekněme, že f(x) bude rovno eˣ.
A g'(x) bude rovno kosinu x.
Zapíšu to.
Říkáme, že f(x) je rovno eˣ
nebo také f'(x) je rovno eˣ.
Derivace eˣ je zase eˣ.

Portuguese: 
é igual a cosseno de x.
E a antiderivada daquele
g de x é também,
isto é, a antiderivada
do cosseno de x
será igual a 
seno de x.
Vamos usar agora a
integração por partes.
Essa parte aqui será
igual a f de x
vezes g de x, 
o que é igual a
e elevado a x vezes seno de x,
menos a antiderivada de
f linha de x- f linha de x é
igual a e elevado a x.
e elevado a x vezes g de x, 
que é igual a seno de x.
Seno de x, dx.
Até aqui não parece que 
evoluimos muito.
Temos uma integral 
indefinida que
envolve um seno de x.
Vamos ver se resolvemos
essa parte,
Vamos tentar resolver
isso isoladamente.
Suponha que estejamos
buscando a antiderivada.
A antiderivada de e elevado
a x vezes seno de x, dx.

Thai: 
ไพรม์ของ x เท่ากับโคไซน์ของ x
และปฏิยานุพันธ์ของ g ของ x นั้นก็ --
ปฏิยานุพันธ์ของโคไซน์ของ x
จะเท่ากับไซน์ของ x
ทีนี้ ลองใช้การอินทิเกรตแบบแยกส่วนกัน
อันนี้จะเท่ากับ f
ของ x คูณ g ของ x ซึ่งเท่ากับ e
กำลัง x คูณไซน์ของ x ลบปฏิยานุพันธ์ของ f
ไพรม์ของ x -- f ไพรม์ของ x คือ e กำลัง x
e กำลัง x คูณ g ของ x ซึ่งเหมือนเดิม
คือไซน์ของ x
 
ทีนี้ มันอาจดูเหมือนว่าเราไม่ได้ทำอะไรให้ดีขึ้น
ตอนนี้เรามีอินทิกรัลไม่จำกัดเขตที่
เกี่ยวข้องกับไซน์ของ x
ลองดูว่าเราแก้มันได้ไหม ลองดู
ว่าเราแก้อันนี้แยกกันได้ไหม
สมมุติว่าเราอยากหาปฏิยานุพันธ์
ปฏิยานุพันธ์ของ e กำลัง x, ไซน์ของ x dx

Bulgarian: 
е равно на косинус х.
Примитивната функция на g от х,
т.е. примитивната функция
от косинус х,
ще бъде равна на синус х.
Нека сега приложим интегрирането
по части.
Този интеграл е равен
на f от х по g от х, което е равно
на е на степен х по синус х, минус
примитивната функция
от f' от х. f' от х е равно на е
на степен х.
е на степен х по g от х, която е
синус х, dх.
Не изглежда сякаш сме напреднали
с решението.
Сега имаме неопределен интеграл,
който включва синус х.
Нека проверим дали можем
да го решим,
т.е. дали можем да го решим отделно.
Нека имаме дадена следната
примитивна функция.
Търсим примитивната функция на
 е на степен х по синус х, dx.

English: 
prime of x is equal
to cosine of x.
And the antiderivative
of that g of x is also.
Or the antiderivative
of cosine of x
is just going to be
equal to sine of x.
So now let's apply
integration by parts.
So this thing is
going to be equal to f
of x times g of x,
which is equal to e
to the x times sine of x,
minus the antiderivative of f
prime of x-- f prime
of x is e to the x.
e to the x times g of x, which
is once again, sine of x.
Now, it doesn't look like
we've made a lot of progress,
now we have an
indefinite integral that
involves a sine of x.
So let's see if we can
solve that, let's see
if we solve this one separately.
So let's say if we were trying
to find the antiderivative.
The antiderivative of e
to the x, sine of x dx.

iw: 
גרש של x שווה
ל cosine של x.
ואת האנטינגזרת
של g של x היא גם.
או האנטינגזרת
של הקוסינוס של x
היא רק הולכת להיות
שווה לסינוס של x.
אז עכשיו נעשה
אינטגרציה על ידי חלקים.
אז הדבר הזה
הולך להיות שווה ל F
של x כפול ל g של x,
אשר שווה E
בחזקת x כפול סינוס של x,
מינוס האנטינגזרת של F
גרש של x--
f גרש של x הוא e בחזקת x.
e בחזקת x כפול g של x, 
ששוב, סינוס של x.
.
עכשיו זה לא נראה 
שעשינו הרבה התקדמות,
עכשיו יש לנו
אינטגרל לא מסוים
שקשור בסינוס של x.
אז בואו נראה אם ​​אנחנו יכולים
לפתור את זה, בואו נראה
אם אנחנו פותרים את זה בנפרד.
אז בוא נגיד אם היינו מנסים למצוא את אנטינגזרת.
את האנטינגזרת של e בחזקת
x, סינוס של dx x.

Korean: 
g'(x)=cos x
g'(x)의 원시함수인 g(x)는
즉, cos x의 원시함수 g(x)는
sin x입니다
이제 부분적분을 적용시켜 볼까요?
이것은 다음의 식과 같습니다
f(x) 곱하기 g(x)
즉, (e^x)(sin x) - {f'(x)g(x)의 부정적분}
f'(x)는 e^x이므로
(e^x)에, g(x)인 sin x를 곱하면 됩니다
이렇게 보니까 원하는 답을
구하기엔 아직 멀었네요
이번에는 sin x 를 포함한
부정적분이 하나 더 생겼네요
이 부정적분을 다시 풀어보겠습니다
다른 공간에 다시 적어볼게요
이번엔 삼각함수 값이 다른
원시함수(부정적분)를 구해봅시다
(e^x)(sin x)의 원시함수는

Czech: 
A můžeme říct, že přiřazujeme
g'(x) rovno kosinu x.
A integrál tohoto, g(x),
je roven integrálu kosinu x,
což se bude rovnat sinus x.
Teď tedy použijme integraci per partes.
Toto bude rovno f(x) krát g(x),
což je eˣ krát sinus x,
minus integrál f'(x),
což je eˣ,
krát g(x), což je opět sinus x.
Sinus x dx.
Teď to nevypadá,
že bychom se někam posunuli,
dostali jsme neurčitý integrál
obsahující sinus x.
Podívejme se, jestli to umíme
nějak vyřešit, toto zvlášť.
Takže se snažíme najít
integrál eˣsin(x) dx.

Thai: 
เราทำได้อย่างไร?
เหมือนเดิม เราให้ f ของ x เท่ากับ e กำลัง x
และตอนนี้เราจะกำหนดใหม่
ถึงแม้ว่าเราจะกำหนดใหม่คล้ายเดิมมาก
เราจะบอกว่า f ของ x เท่ากับ e กำลัง x
f ไพรม์ของ x ก็เท่ากับอนุพันธ์ของฟังก์ชันนั้น
ซึ่งยังคงเป็น e กำลัง x
แล้วเราบอกได้ว่า g ของ x ในกรณีนี้
เท่ากับไซน์ของ x
เราจะกำหนดมันไว้ในใจตอนนี้
แล้ว -- ขอผมบอกให้ชัดนะ -- 
g ไพรม์ของ x, ขอผม
โอ๊ย ได้แล้ว -- เราได้ g ไพรม์
ของ x เท่ากับไซน์ของ x ซึ่งหมายความว่า
ปฏิยานุพันธ์ของมันคือลบโคไซน์ของ x
อนุพันธ์ของโคไซน์คือลบไซน์
อนุพันธ์ของลบโคไซน์คือบวกไซน์
เหมือนเดิม ใช้การอินทิเกรตแบบแยกส่วนกัน
เรามี f ของ x คูณ g ของ x
f ของ x คูณ g ของ x เป็นลบ --

English: 
How could we do that?
Well, similarly, we can set f
of x as equal to e to the x.
So, and now this is
we're reassigning,
although we're happening to make
the exact same reassignment.
So we're saying f of x
is equal to e to the x.
f prime of x is equal to
just the derivative of that,
which is still e to the x.
And then we could say
g of x, in this case,
is equal to sine of x.
We'll put these assignments in
the back of our brain for now.
And then-- let me make this
clear-- g prime of x, let me,
woops, there you go--
so we have g prime
of x is equal to sine
of x, which means
that its antiderivative
is negative cosine of x.
Derivative of cosine
is negative sine,
derivative of negative
cosine is positive sine.
So once again, let's apply
integration by parts.
So we have f of x times g of x.
f of x times g of
x is negative--

iw: 
איך נוכל לעשות את זה?
ובכן, באופן דומה, אנחנו יכולים להגדיר את f 
של x שווה ל- e בחזקת x.
אז, ועכשיו זה
אנחנו מציבים מחדש,
למרות שאנחנו עושים את זה
אותו השינוי מחדש.
אז אנחנו אומרים ש f של x
שווה E בחזקת x.
f גרש של x שווה 
רק לנגזרת של זה,
אשר עדיין e בחזקת x.
ואז נוכל לומר
ש g של x, במקרה זה,
שווה לסינוס x.
אנחנו נשים את המטלות האלה
במקום כלשהו בראש לעת עתה.
ואז -- תנו לי לעשות את זה
ברור- G גרש של x, תנו לי,
אופס, הנה -
אז יש לנו g גרש
של x שווה לסינוס
של x, כלומר
כי האנטינגזרת שלה
היא מינוס קוסינוס של x.
הנגזרת של קוסינוס
היא מינוס קוסינוס,
נגזרת של מינוס
קוסינוס היא סינוס.
אז שוב, נעשה
אינטגרציה על ידי חלקים.
אז יש לנו F של x כפול g של x.
f של x כפול g של
x היא מינוס --

Bulgarian: 
Как да го направим?
Подобно на горната стъпка, избираме
f от х да е равно на e на степен х.
Сега полагаме (заместваме) 
функциите с техните съответни,
въпреки, че тук заместваме точно
със същите функции.
Избираме f от х да е равно на е
на степен х.
f' от х е равно просто на производна
от f,
т.е. отново е равна на е на степен х.
Сега може да изберем g от х
да е равно на синус х.
Тези равенства засега ще ги оставим
на заден план.
Нека сега да изясня това.
Ето, имаме g' от х,
която е равна на синус х,
А това означава, че примитивната ѝ
функция е равна на минус косинус х.
Производната на косинус
е минус синус,
а производната от минус косинус,
е плюс синус.
Нека отново да приложим
интегриране по части.
Имаме f от х по g от х.
f от х по g от х е отрицателна
стойност.

Czech: 
Jak to uděláme?
Podobně jako předtím
můžeme přiřadit f(x) rovno eˣ.
A teď děláme nové přiřazení,
ačkoli je úplně stejné jako to předchozí.
Takže f(x) je rovno eˣ.
f'(x) je rovno derivaci tohoto,
což je zase eˣ.
A pak bude g(x)
v tomto případě rovno sinus x.
Toto přiřazení teď
na chvilku pustíme z hlavy.
A pak…
Ať si to ujasníme, g'(x),
ups, no vida,
g'(x) se rovná sinus x,
což znamená,
že jeho integrál je -kosinus x.
Derivace kosinu je -sinus,
derivace -kosinu je +sinus.
Takže použijme opět
integraci per partes.
Máme f(x) krát g(x).

Portuguese: 
Como fazemos isso?
Aqui também podemos definir
f de x igual a e elevado a x.
Isso aqui é o que 
estamos redefinindo,
embora estejamos fazendo
exatamente a mesma redefinição.
Então dizemos que f de x
é igual a e elevado a x.
f linha de x é igual à
derivada disso aqui,
que é igual a 
e elevado a x.
E podemos dizer que
g de x neste caso
é igual a seno de x.
Vamos guardar essas redefinições
na memória por enquanto.
Continuando- vou deixar isso
bem claro - g linha de x,
temos aqui 
g linha de x,
que é igual a seno
de x, o que implica
que sua antiderivada seja igual
ao negativo do cosseno de x.
Derivada de cosseno
é negativo de seno,
derivada de negativo
de cosseno é seno.
Aqui de novo, vamos usar
a integração por partes.
Temos f de x vezes
g de x.
f de x vezes g 
de x é negativo-

Korean: 
어떤 방법으로 구할 수 있을까요?
사실 위의 방식과 동일하게 
f(x)를 e^x로 설정하면 됩니다
따라서, 다음과 같이 설정해봅시다
위의 방법과 완벽하게 똑같습니다
f(x)=e^x
f'(x)는, e^x는 미분해도 같은 값이므로
f'(x)=e^x
g'(x)=sin x
g(x)= - cos x
cos x를 미분하면 - sin x 이므로
- cos x를 미분하면 sin x 입니다
따라서 다시 부분적분법을 적용하겠습니다
f(x)g(x)

English: 
is I'll put the negative
out front-- it's negative e
to the x times cosine of x,
minus the antiderivative of f
prime of xg of x.
F prime of x is e to x.
And then g of x is
negative cosine of x.
So I'll put the cosine
of x right over here,
and then the negative,
we can take it out
of the integral sign.
And so we're
subtracting a negative.
That becomes a positive.
And of course, we have
our dx right over there.
And you might say, Sal, we're
not making any progress.
This thing right
over here, we now
expressed in terms
of an integral that
was our original integral.
We've come back full circle.
But let's try to do
something interesting.
Let's substitute back
this-- all right,
let me write it this way.

Bulgarian: 
Ще поставя знак минус отпред.
Имаме минус е на степен х по косинус х, 
минус примитивната функция
от f' от х по g от х.
f' от х е е на степен х.
Тогава g от х е минус косинус х.
Ще поставя косинус х ето тук,
а минуса може да изнесем
извън интеграла.
Изваждаме отрицателна стойност.
Тогава тук знакът става плюс.
Разбира се ето тук имаме dx.
Може би ще кажеш "Сал, не
напредваме с решението".
Този израз представихме
чрез интеграл,
който беше нашият първоначален
интеграл.
Завъртяхме се и стигнахме до
изходна позиция.
Нека опитаме да направим нещо
интересно.
Нека заместим обратно този израз.
Добре, нека го запиша ето така.

iw: 
אני אשים את המינוס
בחוץ -- זה מינוס e
אל x כפול cosine של x,
מינוס האנטינגזרת של F
גרש של gx של x.
F גרש של x הוא e בחזקת x.
ואז g של x הוא
מינוס של קוסינוס של x.
אז אני אשים את הקוסינוס
של x ממש כאן,
ולאחר מכן את מינוס,
אנחנו יכולים להוציא מחוץ
לסימן אינטגרלי.
וכך אנחנו
מחסרים שלילי.
זה הופך להיות חיובי.
וכמובן, יש לנו את 
ה dx שלנו ממש שם.
ואתם יכולים לומר, סאל, אנחנו
לא עושים שום התקדמות.
הדבר הזה פה
, עכשיו אנחנו
מבטאים במונחים
של אינטגרל
שהיה האינטגרל המסוים שלנו.
חזרנו לאותו מקום.
אבל בואו ננסה לעשות
משהו מעניין.
בואו נחליף את זה
--בסדר,
תנו לי לכתוב את זה ככה.

Czech: 
f(x) krát g(x) je minus…
Dám to znaménko minus dopředu.
-eˣ krát kosinus x
minus integrál f'(x)g(x).
f'(x) je eˣ.
A g(x) je -kosinus x.
Takže napíšu ten kosinus x sem
a ten zápor můžeme
přesunout před znak integrálu.
Odečítáme tedy záporné,
takže dostaneme kladné.
A samozřejmě tady máme naše dx.
Možná si říkáte, Sale,
nikam jsme se neposunuli.
Toto jsme teď vyjádřili pomocí integrálu,
který jsme měli původně.
Jsme zpátky na začátku.
Zkusme ale něco zajímavého.
Dosaďme toto zpátky…
Napíšu to jinak.

Thai: 
ผมจะใส่ลบข้างหน้านะ -- มันคือลบ e
กำลัง x คูณโคไซน์ของ x ลบปฏิยานุพันธ์ของ
f ไพรม์ของ x, g ของ x
f ไพรม์ของ x คือ e กำลัง x
แล้ว g ของ x คือลบโคไซน์ของ x
ผมจะใส่โคไซน์ของ x ตรงนี้
แล้วลบ เราดึงมันออก
จากเครื่องหมายอินทิกรัลได้
แล้วเราจะลบ ลบ
มันกลายเป็นบวก
แน่นอน เรามี dx ของเราตรงนี้
แล้วคุณอาจถามว่า ซาล เราไม่เห็นคืบหน้าเลย
อันนี้ตรงนี้ ตอนนี้เรา
เขียนมันในรูปของอินทิกรัล
เป็นอินทิกรัลเดิมของเรา
เราวนกลับมาเหมือนเดิม
แต่ลองทำสิ่งที่น่าสนใจกัน
ลองแทนอันนี้กลับไป --
ขอผมเขียนแบบนี้นะ

Korean: 
마이너스 부호를 앞에 쓰면
- (e^x)(cos x) - {f'(x)g(x)의 부정적분}
f'(x)=e^x
g(x)= - cos x
cos x를 여기에 적고
마이너스 부호는
적분 부호 앞으로 옮기면
이미 마이너스가 있으므로
마이너스의 마이너스는, 플러스입니다
적분을 할 땐, 반드시 마지막에
dx를 적는 것도 빼먹지 마세요
여기까지 보면, 아무것도 해결하지
못한 것처럼 보일 지도 모르겠네요
여기를 보면
이 적분이 우리가 문제를 풀었을 때의
처음 적분값과 같다는 걸 알 수 있습니다
이 적분이 우리가 문제를 풀었을 때의
처음 적분값과 같다는 걸 알 수 있습니다
다시 원점으로 돌아온 것 같지만
사실 여기서부터가 상당히 흥미롭습니다
두 번째 식을 첫 번째 식에 대입하겠습니다

Portuguese: 
vou colocar o negativo
na frente- é negativo de e
elevado a x vezes cosseno 
de x menos a antiderivada
de f linha de x, 
vezes g de x.
f linha de x é igual a 
e elevado a x.
Então g de x é o
negativo do cosseno de x.
Vou colocar o cosseno
de x bem aqui,
e podemos levar o 
negativo para fora
do sinal da integral.
Então estamos subtraindo
um negativo.
Isso se torna um positivo.
E claro, temos o nosso
dx bem aqui.
Você pode continuar achando que 
não estamos progredindo.
Essa coisa bem aqui
foi representada em termos
de uma integral que é
a nossa integral original.
Andamos em círculo.
Mas vamos tentar fazer
uma coisa legal.
Vamos substituir isso
de volta.
Deixa eu escrever aqui.

Portuguese: 
Vamos substituir essa 
parte aqui em cima.
Na verdade, vou escrever
de outra forma.
Vamos substituir isso por
isso aqui na equação original.
E vamos ver se chegamos
a algo interessante.
Chegaremos na nossa
integral original
aqui do lado esquerdo.
A integral indefinida, ou
a antiderivada de
e elevado a x, vezes cosseno 
de x, dx é igual a
e elevado a x vezes seno de x, 
menos toda essa parte aqui.
Então vamos subtrair toda
essa coisa aqui.
Subtraindo tudo isso.
Subtrair negativo de e
elevado a x vezes cosseno de x,
vai dar positivo.
Será positivo de e elevado
a x vezes cosseno de x.
Lembre-se que estamos 
subtraindo tudo isso.
Vamos subtrair então.

iw: 
בואו נחליף חזרה את
הדבר הזה כאן.
או בעצם, תנו לי
לכתוב את זה בדרך אחרת.
בואו נחליף את זה
לזה במשוואה המקורית שלנו.
ובואו נראה אם ​​הגענו
למשהו מעניין.
אז מה שאנחנו מקבלים זה
האינטגרל המקורי שלנו,
בצד שמאל כאן.
האינטגרל הלא מסוים
או האנטינגזרת של e
בחזקת קוסינוס של x 
dx שווה ל- e
בחזקת x סינוס של x, מינוס
כל העסק הזה.
אז בואו רק נחסר את
כל העסק הזה.
אנחנו מפחיתים את כל זה.
אז אם אתה מחסר 
e בחזקת x קוסינוס של x,
זה הולך להיות חיובי.
זה הולך להיות חיובי
e בחזקת x, קוסינוס של x.
.
ואז זכורו, אנחנו
נחסר את כל זה.
אז אנחנו הולכים לחסר.

Korean: 
그럼 여기서 어느 부분이 흥미로운지 볼까요
원래의 적분식을
왼쪽에 적어볼게요
(e^x)(cos x)의 부정적분 혹은
원시함수는 다음과 같습니다
(e^x)(cos x)의 부정적분 혹은
원시함수는 다음과 같습니다
(e^x)(sin x) - [나머지]
나머지 이 값들을 빼야 합니다
-{-(e^x)(cos x)} 는
플러스가 되겠네요
따라서 +(e^x)(cos x) 입니다
그리고 나머지 역시 빼야 합니다
따라서 남은 부분을 빼겠습니다

English: 
Let's substitute back
this thing up here.
Or actually, let me
write it a different way.
Let's substitute this for
this in our original equation.
And let's see if we got
anything interesting.
So what we'll get is
our original integral,
on the left hand side here.
The indefinite integral
or the antiderivative of e
to the x cosine of
x dx is equal to e
to the x sine of x, minus
all of this business.
So let's just subtract
all of this business.
We're subtracting all of this.
So if you subtract negative
e to the x cosine of x,
it's going to be positive.
It's going to be positive
e to the x, cosine of x.
And then remember, we're
subtracting all of this.
So then we're going to subtract.

Thai: 
ลองแทนอันนี้กลับไปบนนีี้
หรือ ขอผมเขียนอีกแบบหนึ่ง
ลองแทนอันนี้ลงไปในสมการเดิม
แล้วดูว่าเราจะได้อะไรน่าสนใจไหม
สิ่งที่เราจะได้ คืออินทิกรัลเดิมของเรา
ทางซ้ายมือตรงนี้
อินทิกรัลไม่จำกัดเขต หรือปฏิยานุพันธ์ของ e
กำลัง x โคไซน์ของ x dx เท่ากับ e
กำลัง x ไซน์ของ x ลบทั้งหมดนี่ตรงนี้
ลองลบทั้งหมดนี้ดูกัน
เราจะลบทั้งหมดนี้
ถ้าคุณลบ ลบ e กำลัง x โคไซน์ของ x
มันจะเป็นบวก
มันจะเป็นบวก e กำลัง x, โคไซน์ของ x
 
แล้วนึกดู เราจะลบทั้งหมดนี้
แล้วเราจะลบ

Czech: 
Dosaďme toto sem.
Nebo to napíšu ještě jinak.
Dosaďme toto za toto
v naší původní rovnici.
A podívejme se,
jestli dostaneme něco zajímavého.
Dostaneme náš původní integrál
na levé straně tady.
Neurčitý integrál eˣcos(x) dx
je roven eˣsin(x)
minus celé toto.
Odečteme tedy toto všechno.
Odečítáme toto celé.
Když odečítáme -eˣcos(x),
bude to kladné.
Bude to +eˣcos(x).
A pak pamatujte,
že odčítáme toto všechno.
Takže pak budeme odčítat.

Bulgarian: 
Нека да заместим обратно този
интеграл в израза тук горе.
Всъщност нека го запиша
по следния начин.
Нека заместим обратно този израз
в първоначалното уравнение.
Нека видим дали ще получим
нещо интересно.
Това, което имаме, е първоначалният
интеграл
от лявата страна тук.
Неопределен интеграл или
примитивна функция
от е на степен х по косинус х, dx,
е равно на е на степен х по синус х,
минус целия този израз.
Нека просто извадим целия този
израз.
Изваждаме целия този израз.
Ако извадим минус е на степен х
по косинус х,
ще стане с плюс.
Ще стане плюс е на степен х
по косинус х.
Изваждаме целия този израз.
Тогава тук ще стане минус.

Korean: 
- {(e^x)(cos x)의 부정적분} 입니다
이제 흥미로운 부분이 보이시나요?
여기서 우리가 한 것들을 다시 되짚어보면,
전혀 다른 부정적분식을
부분적분법을 사용해서
원래의 부정적분식과 동일한 형태로 바꾸기 위해서
구한 값을 다시 대입했고
대입한 값을 전체 식에서 뺀 것입니다
전체 식에서 대입한 값을 뺄 때,
이러한 과정을 통해 구했습니다
여기서 흥미로운 점은
원래의 식과 완벽하게 동일한 형태의 식을
두 번 사용했다는 것입니다
물론 이것들을 같은 변수로 지정해서
그 값을 구할 수 있겠죠
따라서 양변에 이 값을 더해봅시다
암산으로 하지 않고 적으면서 해볼게요
(e^x)(cos x)의 적분식을
양변에 더해봅시다
int(e^x)(cos x)dx
그 결과 이러한 식이 도출됩니다
왼쪽식에서
우리가 구하고자 했던 원래의 적분식의
두 배가 나오는 것을 알 수 있습니다

Portuguese: 
Temos então menos a antiderivada
de e elevado a x
vezes cosseno de x, dx.
Isso é interessante.
Lembre-se que o que fizemos
foi pegar essa parte bem aqui.
E usamos a integração 
por partes
para achar que isso é a
mesma coisa que isso aqui.
Então substituimos
isso de volta.
Quando subtraimos isso.
Quando subtraimos isso 
disso aqui
chegamos a esse negócio
bem aqui.
O legal disso tudo é que
temos uma equação no
lugar da nossa expressão
original, nos dois lados.
Podemos definir aqui
uma variável
e resolver a equação
para essa variável.
Vamos adicionar essa
coisa aqui
dos dois lados
da equação.
Tentando ser mais claro.
Vamos adicionar a integral
de e elevado a x vezes
cosseno de x, dx, nos
dois lados.
e elevado a x vezes
cosseno de x, dx.
No que dá isso?
Bem, do lado esquerdo
você tem
duas vezes a nossa
integral original.

English: 
So then we have minus the
antiderivative of e to the x,
cosine of x,dx.
Now this is interesting.
Just remember all we did is, we
took this part right over here.
We said, we used
integration by parts
to figure out that it's
the same thing as this.
So we substituted this back in.
When you subtracted it.
When you subtracted
this from this,
we got this business
right over here.
Now what's interesting
here is we have essentially
an equation where we
have our expression,
our original expression, twice.
We could even assign
this to a variable
and essentially solve
for that variable.
So why don't we
just add this thing
to both sides of the equation?
Let me make it clear.
Let's just add the integral
of e to the x cosine
of x dx to both sides.
e to the x, cosine of x, dx.
And what do you get?
Well, on the left
hand side, you have
two times our original integral.

Thai: 
แล้วเราจะได้ลบปฏิยานุพันธ์ของ e กำลัง x
โคไซน์ของ x dx
 
ทีนี้ อันนี้น่าสนใจ
นึกดูที่เราทำคือ เรานำส่วนนี่ตรงนี้มา
เราบอกว่า เราใช้การอินทิเกรตแบบแยกส่วน
เพื่อหาว่า มันเท่ากับอันนี้
เราแทนอันนี้กลับเข้าไป
เมื่อคุณลบมัน
เมื่อคุณลบอันนี้จากอันนี้
เราได้พจน์นี่ตรงนี้
ทีนี้ สิ่งที่น่าสนใจตรงนี้คือว่า เรามี
สมการโดยเรามีพจน์ของเรา
พจน์เดิมของเราสองครั้ง
เรากำหนดพจน์นี้เป็นตัวแปร
แล้วแก้หาตัวแปรนั้นได้
ทำไมเราไม่บวกตัวนี้
ทั้งสองข้างของสมการล่ะ?
ขอผมบอกให้ชัดนะ
ลองบวกอินทิกรัลของ e กำลัง x โคไซน์
ของ x dx ทั้งสองข้างกัน
e กำลัง x, โคไซน์ของ x, dx
แล้วคุณจะได้อะไร?
ทางซ้ายมือ คุณได้
2 คูณอินทิกรัลเดิมของเรา

Czech: 
Takže pak máme
minus integrál eˣcos(x) dx.
A to je zajímavé.
Jen jsme vzali tuto část,
použili jsme integraci per partes
a dostali jsme toto.
Tak jsme to dosadili zpátky.
Když jsme to odečetli, toto od tohoto,
dostali jsme toto dole.
Zajímavé je,
že teď vlastně máme rovnici,
která obsahuje
náš původní výraz dvakrát.
Můžeme to dokonce přiřadit nějaké proměnné
a pak tuto proměnnou spočítat.
Co kdybychom tedy přičetli tento výraz
k oběma stranám rovnice?
Vysvětlím to. Přičtěme
integrál eˣcos(x) dx k oběma stranám.
eˣcos(x) dx.
A co dostaneme?

iw: 
אז יש לנו מינוס האנטינגזרת
של e בחזקת x,
קוסינוס של dx x.
.
עכשיו זה מעניין.
רק תזכרו את כל מה שעשינו, אנחנו
לקח את החלק הזה ממש כאן.
אמרנו, שהתמשנו
באינטגרציה על ידי חלקים
כדי להבין שזה
אותו דבר כמו זה.
אז החלפנו את זה בחזרה.
כאשר אתם מחסרים את זה.
כאשר אתם מחסרים את זה
מזה,
יש לנו את העסק הזה
ממש פה.
עכשיו מה מעניין כאן
זה שיש לנו בעצם
משוואה שבה 
יש לנו את הביטוי שלנו,
הביטוי המקורי שלנו, פעמיים.
אנחנו יכולים אפילו להקצות
לזה משתנה
ובעצם לפתור
עבורו משוואה .
אז למה לא
רק תוסיפו את הדבר הזה
לשני הצדדים של המשוואה?
תנו לי להבהיר.
בואו רק נוסיף את האינטגרל
של e בחזקת קוסינוס
של x לשני הצדדים.
e בחזקת x, קוסינוס של dx,x.
ומה אתם מקבלים?
טוב, משמאל
, יש לכם
שתיים כפול האינטגרל המקורי שלנו.

Bulgarian: 
Тоест минус примитивната
функция от е на степен х
по косинус х, dx.
Това вече е интересно.
Припомни си, че това, което
направихме, е да вземем тази част.
Избрахме да използваме интегриране
по части,
за да открием, че е равно на същия
резултат.
Заместихме обратно в предния израз.
Направихме разликата.
Когато извадихме втория израз
от първия,
получихме ето този трети израз.
Това, което е интересно тук,
е че получихме
уравнение, в което присъства
два пъти първоначалният интеграл.
Дори можем да заместим с
променлива
и да я намерим от уравнението.
Тогава защо просто не прибавим
този израз
към двете страни на уравнението?
Нека да го изясня.
Нека да прибавя интеграл от е
на степен х
по косинус х, dx към двете страни.
е на степен х, косинус х, dx.
И какво се получава?
Е, отляво имаме
2 пъти по първоначалния интеграл.

Portuguese: 
e elevado a x vezes cosseno de x, dx, é 
igual a todo esse negócio aqui.
Igual a isso aqui.
Vou copiar e colar.
Copiando e colando.
É igual a tudo isso aqui.
E essa parte bem aqui
se anula.
E agora podemos solucionar
para a equacão original.
A antiderivada de e elevado a x
vezes cosseno de x, dx.
Temos apenas que dividir
ambos os lados disso aqui,
essencialmente uma equação,
por dois.
Se dividirmos o lado
esquerdo por dois
chegamos na nossa
expressão original.
A antiderivada de e elevado
a x vezes cosseno de x, dx.
e do lado direito você tem
algo que deve ser igual a
e elevado a x vezes seno de x, mais
e elevado a x vezes cosseno de x, sobre dois.
Cuidado aqui pois essa
é a antiderivada da 
nossa expressão original,
mas não é a única.
Temos sempre que lembrar que
mesmo tendo dado duro e
usado a integração por
partes duas vezes,

Bulgarian: 
е на степен х по косинус х, dx е равно
на целия този ираз.
Равно е на ето това.
Ще го копирам.
Копирам го и поставям.
Равно е на всичко това.
А тези два члена тук се унищожават.
Сега можем да изразим
първоначалния интеграл.
Примитивната функция на
 е на степен х по косинус х, dx.
Просто следва да разделим
двете страни
на това уравнение на 2.
Ако разделим лявата страна на 2,
отляво остава първоначалният
интеграл.
Примитивната функция на
 е на степен х по косинус х, dx.
Отдясно остава това, на което трябва
да е равна.
е на степен х по синус х, плюс е
на степен х по косинус х, върху 2.
Сега искаме да бъдем внимателни,
защото това е примитивна функция
на нашия първоначален израз,
но не е единствената.
Работихме усилено, но следва да си
спомним,
че използвахме интегриране по части
два пъти.

Thai: 
e กำลัง x, โคไซน์ของ x, dx เท่ากับทั้งหมดนี้
เท่ากับอันนี้
ผมจะลอกและวางมันลงไป
ลอกและวาง
มันเท่ากับทั้งหมดนั้น
แล้วส่วนนี้ ส่วนนี่ตรงนี้ หักล้างกัน
และตอนนี้เราแก้หาพจน์เดิมได้
ปฏิยานุพันธ์ของ e กำลัง x โคไซน์ของ x dx
เราแค่ต้องหารทั้งสองข้างของ
สมการนี้ด้วย 2
ถ้าคุณหารทางซ้ายมือด้วย 2
คุณจะเหลือพจน์เดิม
ปฏิยานุพันธ์ของ e กำลัง x โคไซน์ของ x dx
และทางขวามือ คุณมีสิ่งที่ต้องเท่ากับ
e กำลัง x ไซน์ของ x บวก 
e กำลัง x โคไซน์ของ x ส่วน 2
และตอนนี้เราต้องระวังเพราะอันนี้
คือปฏิยานุพันธ์ของพจน์เดิมแค่ตัวหนึ่ง
แต่มันไม่ได้มีตัวเดียว
เราต้องนึกดูว่า ถึงแม้เราจะลำบาก
และได้คำตอบมา -- 
เราใช้การอินทิเกรตตามส่วนสองครั้ง

English: 
e to the x, cosine of x, dx is
equal to all of this business.
Is equal to this.
I'll copy and paste it.
So copy and paste.
It's equal to all of that.
And then this part, this part
right over here, cancels out.
And now we can solve for
our original expression.
The antiderivative of e
to the x cosine of x dx.
We just have to divide
both sides of this,
essentially an equation, by 2.
So if you divide the
left hand side by two,
you're left with our
original expression.
The antiderivative of e
to the x cosine of x dx.
And on the right hand side you
have what it must be equal to.
e to the x sine of x, plus e
to the x cosine of x over 2.
And now we want to be
careful because this
is an antiderivative of
our original expression,
but it's not the only one.
We always have to remember,
even though we've worked hard
and we've done-- we've used
integration by parts twice.

iw: 
e בחזקת, קוסינוס של dx,x 
שווה לכל העסק הזה.
שווה לזה.
אני אעתיק ואדביק אותו.
אז להעתיק ולהדביק.
זה שווה לכל זה.
ואז החלק הזה, החלק הזה
ממש כאן, מתבטל.
ועכשיו אנחנו יכולים לפתור
הביטוי המקורי שלנו.
את האנטינגזרת של e בחזקת x
אל הקוסינוס dx x.
אנחנו פשוט חייבים לחלק
משני הצדדים של זה,
למעשה משוואה, על ידי 2.
אז אם אתם מחלקים את
צד שמאל בשתיים,
אתם תשארו עם 
הביטוי המקורי.
את האנטינגזרת של ה e בחזקת x
אל x קוסינוס dx x.
ובצד ימין 
יש לכם למה זה חייב להיות שווה.
E בחזקת x סינוס של x, ועוד e
בחזקת x קוסינוס חלקי 2.
ועכשיו אנחנו רוצים להיות
זהירים בגלל שזו
האנטינגזרת של
הביטוי המקורי שלנו,
אבל היא לא היחידה.
אנחנו תמיד צריכים לזכור,
למרות שעבדנו קשה
ועשינו - השתמשנו
באינטגרציה על ידי חלקים פעמיים.

Czech: 
Na levé straně máme dvakrát
náš původní integrál eˣcos(x) dx,
který je roven tomuto celému.
Je roven tomuto.
Zkopíruju to a vložím.
Kopírovat a vložit.
Je to rovno celému tomuto.
A pak tato část,
která se navzájem vyruší.
A teď můžeme vyřešit náš původní výraz,
integrál eˣcos(x) dx.
Musíme jen vydělit obě strany
této rovnice dvěma.
Když tedy vydělíme levou stranu 2,
dostaneme náš původní výraz.
Integrál eˣcos(x) dx.
A na pravé straně máme to,
čemu to bude rovno.
eˣsin(x) plus eˣcos(x) lomeno 2.
A teď musíme dát pozor,
protože toto je jeden z integrálů
našeho původního výrazu,
ale není jediný.
Musíme si vždy pamatovat,
že ačkoli jsme tvrdě pracovali

Korean: 
2 int(e^x)(cos x)dx는 다음과 같습니다
이 부분을 복사해서 붙일게요
마지막 이 부분은 없어지네요
드디어 우리가 구하고자 했던 값이 나옵니다
(e^x)(cos x)의 부정적분은 다음과 같습니다
이제 남은 것은 양변을 2로 나누는 것이네요
왼쪽의 식을 2로 나누게 되면
원래의 적분식만이 남습니다
(e^x)(cos x)의 원시함수는
오른쪽 식과 반드시 같습니다
{(e^x)(sin x)+(e^x)(cos x)}/2
그리고 여기서 반드시
까먹지 말아야 할 것은
원래의 값은
반드시 하나가 아니라는 것입니다
이것은 우리가 문제를 풀 때마다
항상 기억해야하는 부분이죠
부분적분을 두번이나 하고 식을 대입하는 등,
아무리 열심히 문제를 풀었다고 해도

English: 
And we've had to
back substitute in.
We have to remember we should
still have a constant here.
So if you take the
derivative of this business,
regardless of what
the constant is,
you will get e to
the x cosine of x.
And it's actually a pretty
neat looking expression.

Korean: 
끝까지 주의깊게 살펴보지 않는다면
문제를 완벽하게 풀지 못한 것입니다
우리는 이 부분에서 상수가 반드시 있어야
한다는 것을 절대 까먹지 말아야 합니다
따라서 여기까지 유도식을 도출해낼 수 있다면
상수값이 무엇이든 간에
이와 같은 값을 도출하게 될 것입니다
드디어 꽤 깔끔해진 식이 나왔네요

Portuguese: 
e substituido tudo
de volta,
temos que lembrar que ainda
nos resta uma constante aqui.
Então, se você toma a 
derivada desse negócio,
independente do que
seja a constante,
você chega a e elevado 
a x vezes cosseno de x.
O que é uma expressão
bem bacana.
[Legendado por Maria Oberlander]
[Revisado por Soraia Novaes]

Czech: 
a použili jsme per partes dvakrát
a pak jsme ještě zpátky dosadili,
stále musíme myslet na to,
že by tady měla být konstanta.
Takže když toto zderivujeme,
nezávisle na hodnotě konstanty,
dostaneme eˣcos(x).
A dostali jsme vlastně
docela hezký výraz.

iw: 
ואנחנו נאלצנו
להחליף חזרה.
אנחנו חייבים לזכור שאנחנו צריכים
עדיין כאן קבוע.
אז אם אתם עושים 
נגזרת של העסק הזה,
לא משנה מה
הקבוע הוא,
אתם תקבלו e בחזקת x
קוסינוס x .
וזה בעצם ביטוי די יפה ומסודר.
.

Bulgarian: 
И трябваше да заместим обратно
в първия израз.
Следва да си припомним, че тук
трябва да има константа.
Тогава, ако намериш производната
от този израз,
без значение каква е константата,
ще получиш е на степен х по косинус х.
Действително този израз изглежда
много хубаво.

Thai: 
และเราต้องแทนค่ากลับไป
เราต้องนึกดูว่า เราควรมีค่าคงที่ตรงนี้
ถ้าคุณหาอนุพันธ์ของตัวนี้
ไม่ว่าค่าคงที่เป็นเท่าใด
คุณจะได้ e กำลัง x โคไซน์ของ x
และมันเป็นพจน์ที่ดูดีทีเดียว
 
