
Korean: 
함수 f, g 그리고 h에 대해
흥미로운 정보를
받았습니다
f함수에서 주어진 각각의 x값에 대한
f(x)의 값이 무엇인지 말해 주고 있습니다
그리고 f의 미분함수의 값도 말해 줍니다
그리고 함수g(x)는
절대함수입니다
그리고 h(x)의 함수는
f(x)와 g(x)로 나타내어져 있습니다
우리가 궁금한 것은 
주어진 h(x)의 미분에서
x=9일 때의 값은 무엇일까 입니다
먼저 비디오를 멈추고
제가 풀기 전에
스스로 한번 생각해 보길 권합니다
잠깐 생각해 봅시다
여기에 쓰여진 식
x=9에서의 미분함수 h(x)의
x=9의 값입니다
파란색이 필요합니다
이것은 h´과 같습니다

Bulgarian: 
Дадена ни е
една интересна информация тук
за функциите f, g и h.
За f ни дават за определени стойности на х
на колко е равно f от х
и на колко е равно f прим от х.
После ни дефинират g от х,
използвайки тези изрази с 
абсолютни стойности.
После ни дефинират h от х,
използвайки f от х и g от х.
Любопитни сме каква е 
производната спрямо х
на h от х при х равно на 9.
Насърчавам те да спреш видеото
и да помислиш самостоятелно
преди аз да го реша.
Нека помислим малко.
Друг начин да разчетем този запис е като
производната на h от х
спрямо х при х равно 9.
Това е еквивалентно на h...
трябва ми синия цвят.
Това е еквивалентно на h прим.

Czech: 
Máme zadané zajímavé 
informace o funkcích f, g a h.
O funkci f víme, jaká je pro
různá x hodnota f(x)
a čemu se rovná
první derivace f(x).
Pak zde máme definovanou funkci
g(x) pomocí absolutní hodnoty.
A nakonec tu máme funkci
h(x) definovanou pomocí f(x) a g(x).
Zajímá nás derivace podle x
funkce h(x) pro x rovno 9.
Doporučuji zastavit si video a zkusit si
to vyřešit předtím, než to vyřeším já.
Zkusme se nad
tím zamyslet.
Jiný způsob zápisu derivace
h(x) podle x pro x rovno 9 je...
Toto je rovno h…
Udělám to
modrou barvou.

English: 
Voiceover: We've been given
some interesting information here
about the functions f, g, and h.
For f, they tell us for given values of x
what f of x is equal to
and what f prime of x is equal to.
Then they defined g of x for us
in terms of this kind of
absolute value expression.
Then they define h of x for us,
in terms of both f of x and g of x.
What we're curious about
is what is the derivative
with respect to x, of h of
x at x is equal to nine.
I encourage you to pause this video
and think about it on your own
before I work through it.
Let's think about it a little bit.
Another way just to get
familiar with the notation
of writing this, the derivative of h of x
with respect to x at x equals nine.
This is equivalent to h,
we need that blue color,
it is equivalent to h prime

Portuguese: 
Temos aqui algumas informações
interessantes
sobre as funções f, g e h.
Na f, temos para um dado valor de x, 
o valor de f de x,
e o valor de f linha de x.
Então definimos g de x, como esse tipo de 
expressão modular.
E definimos h de x, tanto em termos de 
f de x quanto g de x.
Estamos curiosos sobre qual é a derivada?
Qual é a derivada em relação a x, 
de h de x
para x igual a nove?
Agora eu o encorajo a pausar este vídeo e
refletir sobre isso antes de 
trabalharmos.
Então, vamos refletir um pouco.
Vamos escrever de outro jeito, apenas para
nos familiarizar com a notação usada aqui.
A derivada de h de x em relação a x para 
x igual a nove.
Deixe-me fazer em azul.
Ela é equivalente a h linha,

Thai: 
เราได้ข้อมูล
ที่น่าสนใจตรงนี้
เกี่ยวกับ f, g และ h
สำหรับ f เข้าบอกค่าของ x
ค่าของ f ของ x
และค่าของ f ไพรม์ของ x
แล้วเขานิยาม g ของ x ให้เรา
ในรูปของพจน์ค่าสัมบูรณ์
แล้วเขานิยาม h ของ x ให้เรา
ในรูปของทั้ง f ของ x และ g ของ x
สิ่งที่เราสงสัยคือว่า อนุพันธ์
เทียบกับ x, ของ h ของ x ที่ x เท่ากับ 9
ผมแนะนำให้คุณหยุดวิดีโอนี้
แล้วลองคิดเอง
ก่อนที่ผมจะทำ
ลองคิดกันสักหน่อย
แค่ทำความคุ้นเคยกับสัญลักษณ์
การเขียนอันนี้ อนุพันธ์ของ h ของ x
เทียบกับ x ที่ x เท่ากับ 9
อันนี้เท่ากับ h เราต้องใช้สีฟ้านั่น
มันเท่ากับ h ไพรม์

Czech: 
...je rovno h s čárkou, přičemž ta čárka
znamená, že jde o derivaci,
h s čárkou pro x rovno 9,
tedy h s čárkou v bodě 9.
Udělám to
jinou barvou.
Toto je h s čárkou
v bodě 9.
Zamysleme se nad
tím, co to je.
Zderivujme obě strany
tohoto výrazu,
abychom zjistili, čemu se
rovná derivace h podle x.
Dostaneme derivaci...
Udělám to tou
stejnou bílou barvou.
...derivace podle x funkce h(x) je
rovna derivaci podle x tohoto všeho.
Ještě to
jenom opíšu.
3 krát f(x)
plus 2 krát g(x).

English: 
and the prime signifies that
we're taking the derivative.
H prime of x, when x equals nine
so h prime of nine is what this really is.
Actually I'm going to do
this in a different color.
This is h prime of nine.
Let's think about what that is.
Let's take the derivative of both sides
of this expression
to figure out what the derivative
with respect to x of h is.
We get a derivative, I'll
do that same white color.
A derivative with respect to x of h of x
is going to be equal to the
derivative with respect to x
of all of this business.
I could actually just,
well I'll just rewrite it.
Three times f of x, plus two times g of x.

Thai: 
และไพรม์แปลว่าเรากำลังหาอนุพันธ์
h ไพรม์ของ x เมื่อ x เท่ากับ 9
h ไพรม์ของ 9 คือสิ่งนี้
ที่จริง ผมจะใช้อีกสีดีกว่า
นี่คือ h ไพรม์ของ 9
ลองคิดดูว่ามันคืออะไร
ลองหาอนุพันธ์ทั้งสองด้าน
ของพจน์นี้
เพื่อหาว่าอนุพันธ์เทียบกับ x ของ h คืออะไร
เราได้อนุพันธ์ ผมจะใช้สีขาวสีเดิมนะ
อนุพันธ์เทียบกับ x ของ h ของ x
จะเท่ากับอนุพันธ์เทียบกับ x
ของทั้งหมดนี้
ผมก็แค่ ผมจะเขียนมันใหม่
3 คูณ f ของ x บวก 2 คูณ g ของ x

Korean: 
´은 dx/d 를 의미합니다
h´(x)에서 x는 9이므로
실제로 h´(x)는 h´(9)입니다
이것을 다른 색으로 쓰겠습니다
이것은 h´(9)입니다
이것이 무엇인지 한번 생각해봅시다
양변의 식들을
x에 대해 미분하면
어떻게 되는지 알아보기 위해
미분해봅시다
미분을 하면, 똑같은 하얀색으로 
해봅시다
h(x)를 x에 대해 미분하는 것은
x에 대해 이 식을 미분하는 것과
같습니다
실제로 여기 다시 한번 써 보겠습니다
f(x)를 3배하고  g(x)를 2배합니다

Bulgarian: 
Прим отбелязва, че това е производната.
h прим от х, когато х е равно на 9.
Всъщност това е h прим от 9.
Ще го направя в друг цвят.
Това е h прим от 9.
Нека помислим какво е това.
Нека сметнем производната за 
двете страни на този израз,
за да намерим каква е 
производната на h спрямо х.
Получаваме производна...
ще го напиша с бялото.
Производната на h от х 
спрямо х
ще е равна на производната спрямо х
на всичко това.
Просто ще препиша това.
3 по f(х), плюс 2 по g(x).

Portuguese: 
e a linha significa que estamos tomando
a derivada.
h linha de x quando x é igual a nove
então h linha de nove é o que isso 
que realmente é.
Eu vou, na verdade, eu vou fazer isso 
em outra cor.
Então, isto é h linha de nove.
Vamos pensar sobre seu significado.
Vamos tomar a derivada dos dois lados da 
expressão
para descobrir qual é a derivada de h 
em relação a x.
Então, temos a derivada.
Usando a mesma cor branca.
A derivada em relação a x,
em relação a x de h de x, será igual a 
derivada em relação a x de todo esse negócio.
Então eu posso de fato reescrever isso.
Três vezes f de x mais duas vezes g de x.

Bulgarian: 
Сега това тук.
Производната на сбор от два члена
ще бъде равна на
сбора на производните на всеки член.
Това ще е същото като 
производната спрямо х
на 3 по...ще запиша това 
малко по-ясно.
3 по f(x) плюс производната спрямо х
на 2 по g(x).
Производната на число,
или можем да го наречем
 скалар по функция...
Производната на скалар по функция
е същото нещо като скалар по
производната на функцията.
Какво означава това?
Означава, че първият ни член
ще бъде равен на
3 по производната спрямо х
на f от х
плюс тази част тук, която е 2...

Korean: 
지금 여기 이 식은
두 식의 합의 미분과
각각의 식의 미분의 합과
똑같아집니다
3f(x)의 식을
x에 관해 미분하는 식이 될 것입니다
여기 좀 더 가까이 써 보겠습니다
3f(x)의 미분식에
2g(x)의 미분식을 더합니다
숫자의 미분
또는 계수와 함수의 곱입니다
계수와 함수의 곱의 미분은
계수와 함수의 미분과
똑같습니다
어떤 말일까요?
여기 첫번째 식은
3과
f(x)의 미분식을 곱하는 식과
같습니다
여기에 이 부분의 식은

Czech: 
Tato derivace součtu dvou výrazů je totéž
jako součet derivací každého z výrazů.
Toto je tedy totéž jako derivace
podle x z výrazu 3 krát…
Napíšu to
trochu lépe.
3 krát f(x) plus derivace
podle x z 2 krát g(x).
Derivace čísla, nebo spíše
konstanty, krát funkce…
Derivace z konstanty vynásobené funkcí
se rovná konstanta krát derivace funkce.
Co to znamená?
To znamená, že tento první výraz
se rovná 3 krát derivace f(x) podle x

English: 
Now this right over here,
the derivative of the sum of two terms
that's going to be the same thing
as the sum of the derivatives
of each of the terms.
This is going to be the same thing
as the derivative with respect to x
of three times, I'll write
that a little bit neater.
Three times f of x, plus the
derivative with respect to x
of two times g of x.
Now the derivative of a number
or I guess you could say a
scaling factor times a function.
The derivative of a
scalar times the function
is the same thing as a scalar times
the derivative of the function.
What does that mean?
Well that just means that this
first term right over here
that's going to be equivalent to
three times the derivative
with respect to x
of f, of our f of x,
plus this part over here
is the same thing as two.

Portuguese: 
Agora, esta aqui, a derivada,
da soma de dois termos, será equivalente
à soma das derivadas de cada um dos 
termos.
E isso será igual à derivada
em relação a x de três vezes
[vou escrever um pouco mais claro]
três vezes f de x, mais a derivada 
em relação a x
de duas vezes g de x.
Agora, a derivada de um número, ou
a derivada de um escalar vezes uma função
é igual a um escalar vezes 
a derivada da função.
O que isso significa?
Bem, isso significa que este primeiro termo
aqui será equivalente a três vezes
a derivada em relação a x de f de x

Thai: 
ทีนี้ ตรงนี้
อนุพันธ์ของผลบวกสองเทอม
จะเท่ากับ
ผลบวกอนุพันธ์ของแต่ละเทอม
อันนี้จะเท่ากับ
อนุพันธ์เทียบกับ x
ของ 3 คูณ ผมจะเขียนให้สวยขึ้นหน่อย
3 คูณ f ของ x บวกอนุพันธ์เทียบกับ x
ของ 2 คูณ g ของ x
ทีนี้ อนุพันธ์ของจำนวน
หรือจะเรียกว่าตัวคูณย่อขยายคูณกับฟังก์ชัน
อนุพันธ์ของสเกลาร์คูณฟังก์ชัน
เท่ากับสเกลาร์คูณ
อนุพันธ์ของฟังก์ชันนั้น
นั่นหมายความว่าอะไร?
นั่นก็แค่หมายความว่า เทอมแรกนี่ตรงนี้
มันจะเท่ากับ
3 คูณอนุพันธ์เทียบกับ x
ของ f, ของ f ของ x,
บวกส่วนนี่ตรงนี้ เท่ากับ 2

English: 
Okay, make sure I don't
run out of space here,
plus two times the
derivative with respect to x.
The derivative with
respect to x of g of x.
Derivative of h with respect to x
is equal to three times the derivative
of f with respect to x,
plus two times the derivative
of g with respect to x.
If we want to write it in this
kind of prime notation here,
we could rewrite it as
h prime of x is equal to
three times f prime of x,
so this part right over here
that is the same thing as f prime of x.
It's three times f prime of x,
plus two times g prime of x.
Once you are more fluent
with this property,
the derivative of the sum of two things
is the sum of the derivatives.
The derivative of a scalar times something

Thai: 
โอเค ดูให้แน่ใจว่าผมมีที่พอ
บวก 2 คูณอนุพันธ์เทียบกับ x
อนุพันธ์เทียบกับ x ของ g ของ x
อนุพันธ์ของ h เทียบกับ x
เท่ากับ 3 คูณอนุพันธ์
ของ f เทียบกับ x
บวก 2 คูณอนุพันธ์ของ g เทียบกับ x
ถ้าเราอยากเขียนในรูปสัญลักษณ์ไพรม์ตรงนี้
เราเขียนมันใหม่ได้เป็น h ไพรม์ของ x เท่ากับ
3 คูณ f ไพรม์ของ x
ส่วนนี่ตรงนี้
มันเหมือนกับ f ไพรม์ของ x
มันคือ 3 คูณ f ไพรม์ของ x บวก 
2 คูณ g ไพรม์ของ x
เมื่อคุณเชี่ยวชาญสมบัติเหล่านี้แล้ว
อนุพันธ์ของผลบวกสองอย่าง
เท่ากับผลบวกของอนุพันธ์
อนุพันธ์ของสเกลาร์ คูณอะไรสักอย่าง

Czech: 
plus tato část,
která se rovná 2...
Musím dávat pozor,
aby se mi to sem vešlo.
...plus 2 krát
derivace g(x) podle x.
Derivace h(x) podle x
se tedy rovná
3 krát derivace f(x) podle x
plus 2 krát derivace g(x) podle x.
Pokud bychom to chtěli
zapsat pomocí těchto čárek,
tak to můžeme
přepsat jako:
h(x) s čárkou se rovná
3 krát f(x) s čárkou...
Toto je totéž
jako f(x) s čárkou.
...takže to je 3 krát f(x) s čárkou
plus 2 krát g(x) s čárkou.
Když už si jednou
osvojíte to,
že derivace součtu dvou výrazů
je součet jejich derivací

Korean: 
여기 공간이 부족할 거 같습니다
이 식에 2와 g(x)의 미분식의 곱을 
더해줍니다
x에 대해 g(x)를 미분합니다
x에 대한 h(x)의 미분식은
3과 x에 대한  f(x)식의 미분식의
곱에
2와 x에 관한 g(x)식의 미분식의 합입니다
여러분이 ´ 단위로 이 식을 쓰고 싶다면
h´(x)는
3f´(x)
여기 있는 이 식이 바로
3f´(x)과 같습니다
3f´(x)+2g´(x)의 식입니다
여기 이 식을 좀 더 정리해보면
두 식의 합의 미분은
미분들의 합이 됩니다
숫자와 어떤 것의 곱의 미분은

Portuguese: 
mais essa parte aqui, que é igual a dois.
Certificando que não falte espaço aqui
mais duas vezes a derivada em relação a x.
A derivada em relação a x de g de x, 
de g de x, de g de x
de f em relação a x, mais duas vezes 
a derivada de g em relação a x.
de f em relação a x, mais duas vezes 
a derivada de g em relação a x.
Se quiséssemos usar esse tipo de notação 
de linha aqui
poderíamos reescrever como h linha de x é 
igual a três vezes f linha de x.
Então, toda essa parte aqui, equivale a
f linha de x.
E isso é três vezes f linha de x 
mais duas vezes
g linha de x, mais duas vezes g linha de x
E agora que você parece estar mais 
acostumado a essa propriedade,
a derivada da soma de duas coisas 
é a soma das derivadas.
E a derivada de um escalar vezes algo

Bulgarian: 
Добре, нека подсигуря, че 
няма да ми свърши мястото.
Плюс 2 по производната спрямо х на g от х.
Производната на h спрямо х
е равна на 3 по производната
на f спрямо х
плюс 2 по производната на g спрямо х.
Ако искаме да я запишем по този начин с прим,
можем да запишеш h прим от х е равно на
3 по f прим от х.
Следователно тази част тук
е същата като f прим от х.
Тя е 3 по f прим от х, плюс 2 по g прим от х.
Когато свикнеш повече с тези свойства,
че производната на сбор от две неща
е равна на сбора на техните 
производни и че
производната на скалар по нещо

Portuguese: 
equivale ao escalar vezes a derivada 
desse algo.
Você poderia ter ido diretamente daqui 
para cá muito rapidamente.
E agora, por que isso é tão interessante?
Bem, agora podemos avaliar a função 
quando x é igual a nove.
Então, quando h linha de nove equivale a 
três vezes
f linha de nove, mais duas vezes 
g linha de nove.
E qual é a f linha de nove, a derivada
de nossa função f, quando x vale nove?
Bem, quando x é igual a nove
f de nove é um, mas mais importante, 
f linha de nove vale três.
Então esta parte aqui, ela vale três.
Mas, o que é g linha de nove?
Vamos observar esta função um pouco, 
um pouco mais detalhadamente
Há duas maneiras de pensar sobre ela.
Vamos, de fato, tentar traçar o gráfico, 
acho que pode ser interessante.
Apenas para visualizar o que está 
acontecendo aqui,

English: 
is the same thing as a
scalar times the derivative
of that something.
You really could have
gone straight from here
to here, pretty quickly.
Now why is this interesting,
well now we can evaluate this function
when x is equal to nine.
H prime of nine is the same thing
as three times f prime of nine,
plus two times g prime of nine.
Now what is f prime of nine?
The derivative of our function f
when x is equal to nine.
Well they tell us, when
x is equal to nine,
f of nine is one
but more importantly f
prime of nine is three.
This part right over here
evaluates that part's three.
What's g prime of nine?
Let's look at this function
a little bit more closely.
There's a couple of ways
we could think about it.
Actually let's try to graph it,
now I think that could be interesting.
Just to visualize what's going on here.
Let's say that's our y-axis

Czech: 
a že derivace konstanty krát něco je totéž
jako konstanta krát derivace toho něčeho,
tak můžete jít poměrně rychle
přímo odtud sem.
Čím je tohle
zajímavé?
Teď můžeme vyčíslit tuto
funkci pro x rovno 9.
h(9) s čárkou je to samé jako 3 krát
f(9) s čárkou plus 2 krát g(9) s čárkou.
Kolik je
f(9) s čárkou?
Neboli derivace funkce f(x)
pro x rovno 9.
V zadání máme, že pro
x rovno 9 se f(9) rovná 1,
ale co je důležitější,
že f(9) s čárkou se rovná 3.
Tato část je
tedy 3 krát 3.
Kolik je
g(9) s čárkou?
Podívejme se na tuto
funkci víc do detailu.
Můžeme na to jít
několika způsoby.
Zkusme si to nakreslit, to
by mohlo být zajímavé.
Lépe si tak představíme,
co se nám tu děje.

Thai: 
เท่ากับสเกลาร์คูณอนุพันธ์
ของสิ่งนั้น
คุณก็ตรงมาจากตรงนี้
ถึงตรงนี้ได้อย่างรวดเร็ว
ทีนี้ ทำไมมันถึงน่าสนใจ
ตอนนี้เราหาค่าฟังก์ชันนี้
เมื่อ x เท่ากับ 9 ได้
h ไพรม์ของ 9 เท่ากับ
3 คูณ f ไพรม์ของ 9
บวก 2 คูณ g ไพรม์ของ 9
ทีนี้ f ไพรม์ของ 9 เป็นเท่าใด?
อนุพันธ์ของฟังก์ชัน f ของเรา
เมื่อ x เท่ากับ 9
เขาบอกเราว่า เมื่อ x เท่ากับ 9
f ของ 9 เป็น 1
แต่สำคัญกว่านั้นคือว่า f ไพรม์ของ 9 เป็น 3
ส่วนนี่ตรงนี้จึงหาค่าส่วนนั้นได้ 3
แล้ว g ไพรม์ของ 9 เป็นเท่าใด?
ลองดูฟังก์ชันนี้อย่างใกล้ชิด
มันมีวิธีคิดได้หลายวิธี
ลองพยายามวาดกราฟมัน
ผมว่า มันอาจจะน่าสนใจก็ได้
แค่มองภาพว่าเกิดอะไรขึ้นตรงนี้
สมมุติว่านั่นคือแกน y ของเรา

Korean: 
숫자와 어떤 것의 미분의
곱과 같습니다
이 식에서 여기로 바로
빠르게 할 수도 있습니다
이것이 흥미로운 이유는
지금 x가 9일 때의 함수를
구할 수 있습니다
h´(9)은
3f´(9)에
2g´(9)를 더하는 것과 같습니다
그럼 f´(9)는 무엇인가요?
x가 9일 때
함수 f(x)의 값입니다
x가 9일 때
f(9)는 1이지만
더 중요한 것은 f´(9)은 3입니다
여기 이 식은 3입니다
g´(9)는 무엇일까요?
여기 이 함수식을 좀 더 살펴봅시다
여기 생각해 봐야 할 것들이
 몇 가지 있습니다
실제로 여기 그래프를 그려 봅시다
흥미로울 거 같습니다
이것이 무엇인지 시각화를 해봅시다
이 축을 y라고 합시다

Bulgarian: 
е същото като скалар по производната
 на същото нещо.
Можеше директно да го направиш от тук
до тук доста бързо.
Защо това е интересно?
Защото сега можем 
да пресметнем тази функция,
когато х е равно на 9.
h прим от 9 е същото като
3 по f прим от 9
плюс 2 по g прим от 9.
Какво е f прим от 9?
Производната на нашата функция f,
когато х е равно на 9.
Дадено ни е, че когато 
х е равно на 9,
f от 9 е 1.
Но по-важното е, че f` от 9 е 3.
Тази част тук пресмята, че тази част е 3.
Какво е g` от 9?
Да погледнем тази функция
 малко по-отблизо.
Можем да я разгледаме 
по няколко начина.
Всъщност нека 
да направя чертеж.
Мисля, че това ще е интересно.
За да визуализираме какво става тук.
Да кажем, че това е оста у,

Bulgarian: 
а това е оста х.
Кога такава функция
 с абсолютна стойност
ще достигне минимум?
Абсолютната стойност на нещо
винаги ще бъде положителна.
Тя ще стигне минимум, 
когато това е равно на 0.
Тогава кога това 
ще бъде равно на 0?
Когато х е равно на 1, 
това ще е равно на 0.
Достигаме минимум, 
когато х = 1
и когато х = 1, този член е 0.
Абсолютната стойност на 0 е 0.
g(1) е 1.
Имаме тази точка тук.
Какво става след това?
Какво се случва при х > 1?
Всъщност нека запиша това.
g(x) е равно на...
и като цяло когато имаме функция 
с абсолютна стойност,
относително проста абсолютна
 стойност като тази,
можем да я разделим 
на две функции.
Или можем да я разгледаме
в различни интервали:

Korean: 
그리고 여기에 x축을 그립니다
여기 절대값 함수에서
언제가 최소값을 가질까요?
절대값 함수는
항상 음수는 없습니다
이 부분이 0이 될 때
이 함수는 최소값을 가집니다
언제 이 부분이 0이 될까요?
x는 1일 때, 이 식은 0이 됩니다
x가 0일 때, 최소값이 되고
x는 1일 때, 이 항은
절대값 0이 됩니다
g(1)은 1입니다
여기 바로 이 점입니다
이 다음엔 어떻게 될까요?
1보다 큰 x에 대해서는 어떻게 될까요?
실제로 여기 한번 써 보겠습니다
g(x)는
일반적으로 절대값을 가질 때마다
이처럼 비교적 간단한 절대값 함수에서는
이것을 두개의 함수식으로
나누어 볼 수 있습니다
또는 이 식을
절대값이 음수가 아닐 경우와

English: 
and do this right over here is our x-axis.
Now when does an absolute
value function like this,
when is this going to hit a minimum point?
Well the absolute value of something
is always going to be non-negative.
It hits a minimum point when
this thing is equal to zero.
Well when is this thing equal to zero?
When x equals one, this
thing is equal to zero.
We hit a minimum point
when x is equal to one,
and when x equals one, this term is zero
absolute value of zero, zero.
G of one is one.
We have this point right over there.
Now what happens after that?
What happens for x greater than one?
Actually let me write this down.
G of x is equal to,
and in general whenever
you have an absolute value,
a relatively simple absolute
value function like this
you could think of it,
you could break it up
into two function
or you could think about this function
over different intervals

Thai: 
และทำอันนี้ตรงนี้คือแกน x
ทีนี้ ฟังก์ชันค่าสัมบูรณ์เป็นแบบนี้
มันจะถึงจุดต่ำสุดเมื่อใด?
ค่าสัมบูรณ์ของอะไรสักอย่าง
มันจะไม่เป็นลบเสมอ
มันกระทบจุดต่ำสุดเมื่่อสิ่งนี้เท่ากับ 0
สิ่งนี้เท่ากับ 0 เมื่อใด?
เมื่อ x เท่ากับ 1, สิ่งนี้เท่ากับ 0
เรากระทบจุดต่ำสุดเมื่อ x เท่ากับ 1
และเมื่อ x เท่ากับ 1 เทอมนี้เป็น 0
ค่าสัมบูรณ์ของ 0 ได้ 0
g ของ 1 คือ 1
เรามีจุดนี่ตรงนี้
เกิดอะไรขึ้นหลังจากนั้น?
เกิดอะไรขึ้นกับ x มากกว่า 1?
ที่จริง ขอผมเขียนอันนี้ลงไปนะ
g ของ x เท่ากับ
โดยทั่วไป เวลาคุณเจอค่าสัมบูรณ์
ฟังก์ชันค่าสัมบูรณ์ง่ายๆ แบบนี้
คุณคิดว่ามัน คุณคิดว่าแบ่งมัน
เป็นฟังก์ชันสองตัว
หรือคุณคิดถึงฟังก์ชันนี้
บนช่วงต่างๆ ได้

Czech: 
Řekněme, že y-ová osa je
tady a zde je x-ová osa.
Kdy funkce s takovouto absolutní
hodnotou nabývá minima?
Absolutní hodnota čehokoli
je vždy nezáporná,
takže funkce nabývá minima tehdy,
když je tento výraz roven 0.
A kdy je tento
výraz rovný 0?
Tento výraz je roven 0
pro x rovná se 1.
Funkce tedy nabývá
minima pro x rovno 1.
Když je x rovno 1, tak je tento člen 0,
protože absolutní hodnota nuly je nula,
takže g(1) je 1.
Jde tedy
o tento bod.
Co se stane potom?
Co se stane
pro x větší než 1?
Napíšu si to.
g(x) je rovno…
Když máme obecně funkci s poměrně
jednoduchou absolutní hodnotou jako tato,
můžeme si ji rozdělit
na dvě funkce
nebo nad ní můžeme
přemýšlet na dvou intervalech,

Portuguese: 
Digamos que este é nosso eixo y,
e este aqui é nosso eixo x.
Agora quando uma função modular fica ssim?
Quando ela atingirá um ponto mínimo?
Bem, o valor absoluto de algo é sempre
um valor não negativo.
E atinge um ponto mínimo quando essa coisa
essa coisa vale zero.
Bem, e quando isso valerá zero?
Quando x for igual a um, esse módulo 
será igual a zero.
Então atingimos um valor mínimo quando x é
igual a um. quando x vale um, este
termo é zero.
O módulo de zero é zero.
G de um é um
E temos este ponto bem aqui.
E o que acontece a seguir?
O que acontece para x maiores?
O que acontece quando x for maior que um?
Na verdade, deixe-me escrever isso.
Então, g de x é igual a, e em geral,
sempre que você tem um módulo
ou uma função modular relativamente 
simples
como essa, você pode pensar assim,
você pode quebrar em duas funções, ou
você pode pensar nesta função
como diferentes intervalos quando o módulo
é não negativo,

Korean: 
절대값이 음수가 되는 경우로
다르게 생각해 볼 수도 있습니다
이 절대값이 음수가 아닐 때는
x가 1보다 크거나 또는 1일 경우입니다
절대값이 음수가 아닐 때
만약 음수가 아닌 수의 절대값을 구한다면
이것은 그 자체 값이 됩니다
0의 절대값은 0입니다
절대값 1은 1입니다
100의 절대값은 100입니다
그리고나서 x에  관한 절대값 함수에서
x가 0보다 크거나 같을 때
0보다 크거나 같을 때가 아니라
x가 1보다 크거나 같을 때입니다
x가 1보다 크거나 같을 때
여기 이 항은 음수가 아니다
이 식은 x–1이 됩니다
이것은 x–1+1이 됩니다
이것은 그냥 x와 같습니다
-1+1은 없어집니다
여기 이 식이 음수가 될 때는
x가 1보다 작은 수가 됩니다

Portuguese: 
e quando o módulo é negativo.
Quando o módulo é não negativo,
é quando x é maior ou igual a zero
e quando o valor absoluto é não negativo, 
se você estiver calculando
o módulo de um número não negativo, 
será ele mesmo.
O módulo de zero é zero.
O módulo de 1 é 1.
O módulo de 100 é 100.
Então, você pode ignorar o valor absoluto
se x for maior ou igual a zero, ou
nesse caso, maior ou igual a um
X é maior ou igual a um.
O texto aqui é não negativo.
E então vamos avaliar somente para x 
menos um.
Temos x menos um mais um, o que equivale 
a somente x.
Menos um mais um se cancelam.
Agora quando o x, quando o termo aqui 
é negativo
Isso vai acontecer quando x for menor que

Bulgarian: 
когато абсолютната стойност 
е положителна
и когато е отрицателна.
Когато абсолютната стойност
 е положителна,
тогава х е по-голямо
 или равно на 0.
Когато абсолютната стойност 
не е отрицателна...
Ако взимаме абсолютна стойност 
на положително число,
то ще остане същото число.
Абсолютната стойност на 0 е 0.
Абсолютната стойност на 1 е 1.
Абсолютната стойност на 100 е 100.
Тогава можем да игнорираме 
абсолютната стойност
за х по-голямо или равно на...
не по-голямо или равно на 0,
а за х по-голямо или равно на 1.
Ако х е по-голямо или равно на 1,
това нещо тук е положително.
Ще се получи х минус 1.
Това ще бъде х минус 1 плюс 1.
Което е същото като само х.
Минус 1 и плюс 1 се съкращават.
Когато този член тук 
е отрицателен,
а това ще се случи при 
х по-малко от 1,

Czech: 
a to na intervalech, kde je vnitřek
absolutní hodnoty nezáporný a záporný.
Když je vnitřek absolutní hodnoty
nezáporný, tak je x větší nebo rovno 0.
Když je vnitřek absolutní
hodnoty nezáporný...
Když bereme absolutní
hodnotu z nezáporného čísla,
tak to bude
to samé číslo.
Absolutní hodnota 0 je 0.
Absolutní hodnota 1 je 1.
Absolutní hodnota 100 je 100.
V takovém případě tedy můžeme ignorovat
absolutní hodnotu, pro x větší či rovno...
Ne větší nebo rovno 0,
ale pro x větší nebo rovno 1.
Pro x větší nebo rovno 1
je toto nezáporné.
Stane se z toho
x minus 1.
Takže tady bude
x minus 1 plus 1,
což je to samé jako x,
protože 1 minus 1 se sečtou na nulu.

Thai: 
เมื่อค่าสัมบูณ์ไม่เป็นลบ
และเมื่อค่าสัมบูรณ์เป็นลบ
เมื่อค่าสัมบูรณ์ไม่เป็นลบ
นั่นคือเมื่อ x มากกว่าเท่ากับ 0
เมื่อค่าสัมบูรณ์ไม่เป็นลบ
ถ้าคุณหาค่าสัมบูรณ์ของจำนวนที่ไม่เป็นลบ
มันก็จะเท่ากับตัวเอง
ค่าสัมบูรณ์ของ 0 ได้ 0
ค่าสัมบูรณ์ของ 1 ได้ 1
ค่าสัมบูรณ์ของ 100 ได้ 100
แล้วคุณก็ไม่ต้องสนใจเครื่องหมายค่าสัมบูรณ์
สำหรับ x มากกว่าเท่ากับ
ไม่มากกว่าหรือเท่ากับ
สำหรับ x มากกว่าเท่ากับ 1
x มากกว่าเท่ากับ 1
ค่านี่ตรงนี้ไม่เป็นลบ
มันจะหาค่า x ลบ 1
อันนี้จะเท่ากับ x ลบ 1 บวก 1
ซึ่งเหมือนกับ x เฉยๆ
ลบ 1 บวก 1 พวกมันตัดกัน
แล้วเมื่อเทอมนี่ตรงนี้อยู่ที่ลบ
และมันจะเกิดขึ้นสำหรับ x น้อยกว่า 1 --

English: 
when the absolute value is non-negative
and when the absolute value is negative.
When the absolute value is non-negative
that's when x is greater
than or equal to zero.
When the absolute value is non-negative,
if you're taking the absolute
value of a non-negative number
that is just going to be itself.
The absolute value of zero, zero.
Absolute value of one is one.
The absolute value of
a hundred is a hundred.
Then you could ignore the absolute value
for x is greater than or equal to,
not greater than or equal to zero,
for x is greater than or equal to one.
X is greater than or equal to one,
this thing right over
here is non-negative.
It will just evaluate to x minus one.
This is going to be x minus one plus one.
Which is the same thing as just x,
minus one plus one, they just cancel out.
Now when this term right
over here is negative
and that's going to happen
for x is less than one.

English: 
Well then the absolute value
is going to be the opposite of it.
You give me the absolute
value of a negative number
that's going to be the opposite.
Absolute value of negative
eight is positive eight.
It's going to be that the
negative of x minus one
is one minus x, plus one.
Or we could say two minus x.
For x is greater or equal to one,
we would look at this expression,
now what's the slope of that?
Well the slope of that is one.
We're going to have a
curve that looks like
or a line I guess we could
say that looks like this.
For all x is greater than or equal to one.
The important thing, remember,
we're going to think about
the slope of the tangent line
when we think about the derivative of g.
Slope is equal to one.
For x less than one or our slope now,
if we look right over here
our slope is negative one.
It's going to look like this.

Portuguese: 
um, e então o valor absoluto será 
o oposto do exposto.
Se você me pedir o valor absoluto de um
número negativo, será o oposto
o valor absoluto de oito negativo
é oito positivo
e então, o oposto de x menos um é
um menos x.
Um menos x, mais um.
Ou, podemos dizer, dois menos x.
Agora, para x maior ou igual a um, vamos 
olhar para esta expressão.
Qual é a sua inclinação?
Bem, a sua inclinação é um.
Nós teremos uma curva que se parece com
uma reta, acho que podemos dizer que 
se parece com isso.
Se parece com isso para todos os valores 
de x maiores ou iguais a um.
O importante, lembre-se, nós vamos
analisar a inclinação da reta tangente.
Vamos pensar na derivada de g.
Então a inclinação é igual a um.
E para x menor que um, bem, agora a
inclinação será
se olharmos aqui, nossa inclinação é 
negativa.
Nossa inclinação é menos um, então

Bulgarian: 
тогава абсолютната стойност
ще бъде противоположната.
Когато имаме абсолютната стойност на отрицателно число,
то ще стане положително.
Абсолютната стойност на –8 
ще бъде 8.
Ще се получи така, че 
отрицателното х – 1
е 1 минус х, плюс 1.
Можем да запишем и 2 минус х.
При х по-голямо и равно на 1
ще разглеждаме този израз.
Какъв е неговият наклон?
Наклонът е 1.
Ще имаме крива, която изглежда...
или по-скоро права, 
която изглежда така.
За всяко х по-голямо или равно на 1.
Важното нещо... Запомни, че
ще разглеждаме наклона
 на допирателната,
когато говорим за производната на g.
Наклонът е равен на 1.
При х по-малко от 1...
ако погледнем тук...
нашият наклон е –1.

Korean: 
그러면 절대값 함수는
이것과는 반대가 됩니다
음수의 절대값은
이것과 반대가 됩니다
음수8의 절대값은 양수8입니다
x–1의 음수인 이 식은
1-x+1입니다
또는 2-x로 나타낼 수 있습니다
x가 1보다 크거나 같을 때는
이 식을 봅시다
이 식의 기울기는 몇입니까?
기울기는 1입니다
이런 모양의 기울기를 가집니다
이렇게 생긴 선입니다
모든 x의 값은 1보다 크거나 같습니다
중요한 것은
g(x)에 대한 미분을 할 때
탄젠트의 기울기에 대해 생각해 봅시다
기울기는 1입니다
여기서 x가 1보다 작을 때 기울기는
여기를 보면
기울기는 -1입니다
이렇게 그립니다

Thai: 
เราจะได้ ค่าสัมบูรณ์
จะเป็นค่าตรงข้าม
คุณจะได้ค่าสัมบูรณ์ของจำนวนลบ
มันจะได้ค่าตรงข้าม
ค่าสัมบูรณ์ของลบ 8 คือบวก 8
มันจะเท่ากับค่าลบของ x ลบ 1
คือ 1 ลบ x บวก 1
หรือเราบอกว่า 2 ลบ x ก็ได้
สำหรับ x มากกว่าเท่ากับ 1
เราดูที่พจน์นี้
ทีนี้ ความชันของมันเป็นเท่าใด?
ความชันของพจน์นั้นคือ 1
เราจะได้เส้นโค้งที่เป็นแบบ
จะเรียกว่าเส้นตรงก็ได้ มันจะเป็นแบบนี้
สำหรับ x มากกว่าเท่ากับ 1
สิ่งสำคัญ คือระลึกว่า
เราจะคิดถึงความชันของเส้นสัมผัส
เวลาเราคิดถึงอนุพันธ์ของ g
ความชันเท่ากับ 1
สำหรับ x น้อยกว่า 1 หรือความชันตอนนี้
ถ้าเราดูตรงนี้
ความชันของเราเป็นลบ 1
มันจะเป็นแบบนี้

Czech: 
Tento výraz bude záporný
pro x menší než 1.
Absolutní hodnota pak bude
opačná hodnota tohoto výrazu.
Absolutní hodnota záporného čísla
je číslo k němu opačné.
Absolutní hodnota -8 je 8.
Bude to tedy -(x minus 1),
což je 1 minus x a ještě plus 1.
Jinak řečeno
2 minus x.
Pro x větší nebo rovno 1
půjde tedy o tento výraz.
Jakou má
tohle směrnici?
Směrnice je 1.
Máme křivku, nebo vlastně
přímku, která vypadá takto,
a to pro všechna x
větší nebo rovna 1.
Hledáme vlastně směrnici
tečny, neboli derivaci g(x).
Směrnice je
tedy rovna 1.
A pro x menší než 1…
Směrnice, když se
podíváme sem, je -1.

English: 
It's going to look like that.
For the pointing question,
if we're thinking about g prime of nine
so nine is some place out here,
so what is g prime of nine?
G prime of nine, let me make it clear,
this graph right over here,
this is the graph of g of x
or we could say y, this is
the graph y equals g of x.
Y is equal to g of x.
What is g prime of nine?
Well that's the slope
when x is equal to nine.
The slope is going to be equal to one.
G prime of nine is one.
What does this evaluate to?
This is going to be three times three,
so this part right over here is nine
plus two times one, plus
two, which is equal to 11.
The slope of the tangent line of h
when x is equal to nine is 11.

Portuguese: 
se parecerá com isto.
Mas para o ponto em questão, se pensarmos
em g linha de nove, e então nove fica 
mais ou menos aqui
O que será g linha de nove?
Então, g linha de nove, deixe-me explicar.
Este é o gráfico aqui, o gráfico de 
g de x.
Ou, podemos dizer que este é o gráfico de 
y igual a g de x.
y é igual a g de x.
Então, o que é g linha de nove?
Bem, é a inclinação quando x é igual a nove.
A inclinação será igual a um.
Então, g linha de nove é um.
então, o que isso avalia?
Bem, será três vezes três, então
essa parte aqui é nove,
mais duas vezes um, mais dois é igual a 11
Então, a inclinação da reta tangente de h,
quando x é igual a nove, vale 11.

Korean: 
이렇게 보이죠
여기서 질문은
g´(9)를 고려해보면
9는 여기 이쯤 있습니다
그럼 g´(9)의 값은 무엇일까요?
g´(9)은 정확하게 말해봅시다
여기 이 그래프에서
이것은 g(x)의 그래프입니다
또는 y=g(x)입니다
y=g(x)입니다
g´(9)값은 무엇입니까?
이것은 x가 9일 때 기울기입니다
기울기는 1이 됩니다
g´(9)는 1입니다
이 값은 무엇일까요?
이 값은 3과 3의 곱입니다
그래서 이 값은 9가 되고
여기에 2와 1의 곱을 더하면 11이 됩니다
x가 9일 때 
h의 탄젠트 기울기는
11이 됩니다

Czech: 
Vypadá to nějak takto.
Nás ale zajímá g(9) s čárkou,
přičemž 9 je někde tady.
Kolik je tedy
g(9) s čárkou?
g(9) s čárkou…
Abychom měli jasno,
toto je graf funkce g(x),
nebo můžeme říct,
že jde o graf y rovná se g(x).
y rovná se g(x).
Kolik je tedy
g(9) s čárkou?
To je směrnice
pro x rovno 9
a tato směrnice
je rovna 1.
g(9) s čárkou
je tudíž 1.
Čemu se tedy
tohle rovná?
Je to 3 krát 3, takže tato část je 9,
plus 2 krát 1, plus 2, tedy 11.
Směrnice tečny funkce
h(x) v bodě x rovno 9 je tedy 11.

Thai: 
มันจะเป็นแบบนั้น
สำหรับจุดที่คำถามถาม
ถ้าเรากำลังคิดถึง g ไพรม์ของ 9
9 คือสักจุดแถวนี้
g ไพรม์ของ 9 จะเป็นเท่าใด?
g ไพรม์ของ 9 ขอผมบอกให้ชัด
กราฟนี่ตรงนี้
นี่คือกราฟของ g ของ x
หรือเราบอกได้ว่า y นี่คือกราฟ y เท่ากับ g ของ x
y เท่ากับ g ของ x
g ไพรม์ของ 9 เป็นเท่าใด?
นั่นคือความชันเมื่อ x เท่ากับ 9
ความชันจะเท่ากับ 1
g ไพรม์ของ 9 เป็น 1
อันนี้จะหาค่าได้เท่าใด?
อันนี้จะเท่ากับ 3 คูณ 3
ส่วนนี่ตรงนี้จึงเป็น 9
บวก 2 คูณ 1 ซึ่งเท่ากับ 11
ความชันของเส้นสัมผัสของ h
เมื่อ x เท่ากับ 9 นั้นคือ 11

Bulgarian: 
Ще изглежда така.
Ще изглежда така.
Но всъщност,
ако разглеждаме g прим от 9,
значи 9 е някъде тук,
какво е g прим от 9?
g прим от 9, нека изясня.
Тази графика тук,
това е графиката на g от х.
Можем също да кажем, че това е 
графиката y = g(x).
у равно на g(x).
Какво е g прим от 9?
Това е наклонът, когато х е равно на 9.
Наклонът ще бъде равен на 1.
g прим от 9 е 1.
На колко е равно това?
Това ще бъде 3 по 3.
Следователно тази част ще е 9
плюс 2 по 1, плюс 2, 
което е равно на 11.
Наклонът на допирателната към h,
когато х е равно на 9 е 11.

Portuguese: 
legendado por Tatiana F. D'Addio
