
Spanish: 
Ahora que comprendemos un poco del teorema del emparedado,
vamos a usarlo para demostrar que el límite --
lo escribo en amarillo -- el límite cuando x tiende a 0 del seno de x sobre x
es igual a 1.
Y es probable que estés prestando mucha atención
puesto que he dicho esto tantas veces.
Bueno, empecemos con, por supuesto,
la trigonometría, porque nuestra demostración será visual.
Entonces voy a dibujar por lo menos el primer y cuarto cuadrantes
del círculo unitario.
Eso voy a dibujar en magenta.
A ver, lo debo dibujar
bien grande.
A ver.
Mejor de tamaño grande.
Entonces lo dibujaré así.
Es suficiente.
Y ahora los ejes.

Zulu: 
Manje ngoba sinolwazi lwe
squeeze theorem, singayisebenzisa ukubonisa ukuthi i limithi - ngizo
ngizoyenza ngombala ophuzi -- ilimithi uma u x eya kwiqanda ka sine ka
x phezukwa x ulingana no 1.

Portuguese: 
Agora que já entendemos o
teorema "sanduíche", vamos usar ele para provar que o limite
--vou fazer em amarelo-- o limite quando x tende a zero
de sen(x) sobre x vale 1.
E você deve estar ansioso agora, porque
eu já disse isso muitas vezes.
Então vamos fazer, e realmente, nós vamos usar--obviamente
as funções trigonométricas-- e será uma prova geométrica.
Então eu vou desenhar o 1° e 4° quadrantes
da circunferência trigonométrica.
Vou desenhar em rosa.
Vamos ver, deixe-me ver se eu-- eu devo
desenhar bem grande.
Deixe-me ver.
Eu devo desenhar realmente grande.
Então vou desenhar
assim.
Está bom.
E agora vou desenhar os eixos.

English: 
Now that we have hopefully a
decent understanding of the
squeeze theorem, we'll use that
to prove that the limit-- I'll
do it in yellow-- the limit as
x approaches 0 of sine of
x over x is equal to 1.
And you must be bubbling over
with anticipation now, because
I've said this so many times.
So let's do it, and actually,
we have to go with-- obviously,
they got our trigonometry-- and
it's actually a visual proof.
So let me draw at least the
first and fourth quadrants
of the unit circle.
I'll do that in magenta.
Let's see, let me see
if I can-- I should
draw it pretty big.
Let me see.
I should draw it
like quite big.
So I'll draw it like that.
That's close enough.
And then let me draw the axis.

Panjabi: 
Hun jado appa kol squeeze theorem di changi samaj lagg chuki a,
appa ohnu limit nu sabit karn de layi istamal kar sakde a...Meh
ehnu peele rang ch karda...limit jado x 0 of sine x bata x de nere aundi a,
oh 1 de barobar hundi a.
Hun ta tuhanu chir aundi huni a kyo ki
meh eh enni vaar keh chuka a.
So appa problem karde a..
?
So hun meh pehla te chautha quadrant unit circle da
vaunda a.
Meh eh gulabi rang ch karda a.
Chal, dekhde a je main..
vadda vaah sakda a.
Chal dekhde a.
Menu bara vadda vauna chaida.
So meh edda vaundah a.
Chal enna theeka.
Fer me aves vaundah a.

Portuguese: 
Agora que nós temos uma boa compreensão do
teorema do confronto, nós iremos usá-lo para provar que o limite -- vou escrever
em amarelo-- que o limite, quando x aproxima de zero ,do seno de
"x" sobre "x" é igual a um
E vocé deve estar ancioso, porque
eu disse isso muitas vezes
Então, vamos fazer isso, e na verdade, nós temos que ir com -- obviamente
eles têm nossa trigonometria -- e isso na verdade é uma prova visual
Então, deixe-me desenhar pelo menos o primeiro e o quarto quadrante
do círculo unitário.
Vou escrever de vermelho
Vamos ver, vamos ver se eu consigo -- Eu devo
desenhar isso bem grande
Deixe-me ver.
Eu devo desenhar isso grande.
Então vou desenhá-lo assim.
Está bem perto
então vou desenhar os eixos.

Polish: 
Teraz mam nadzieję, że porządnie rozumiemy
twierdzenie o trzech ciągach, które użyjemy by udowodnić, że granica
- którą zaznaczę na żółtą - granica, przy x dążącym do 0,
sin(x)/x jest równa 1.
I musicie teraz promieniować spostrzegawczością bo
mówiłem już to wiele razy.
Zatem zróbmy to,
w zasadzie to jest dowód obrazkowy.
Pozwólcie, że narysuję przynajmniej pierwszą i czwartą ćwiartkę
jednostkowego okręgu.
zrobię to magentą (kolor).
Zobaczmy, jeśli mógłbym,
powinienem narysować to dość duże.
Pozwólcie, że spojrzę.
Powinienem to narysować dosyć duże.
Zatem, narysuję to jakoś tak.
To wystarczająco dobre.
Narysuję osie współrzędnych.

Serbian: 
Sada, kada razumijemo
teoremu o uklještenju, iskoristićemo je da bismo dokazali da je limes
(pisaću žutom), da je limes kad x teži nuli od
sin(x) kroz x jednak 1.
Vjerovatno ste i pretpostavili šta ću reći, pošto
sam ovo ponovio nekoliko puta.
Očigledno, moraćemo da koristimo
trigonometriju. I zapravo, dokaz date formulacije je dosta vizuelan.
Najprije nacrtajmo prvi i četvrti kvadrant
jediničnog kruga.
Koristiću tamno rozu boju da bih to uradio.
Da vidim, da vidim... Trebao bih da ih nacrtam
prilično velike.
Da vidim...
Zaista bih trebao da ih nacrtam prilično velike.
Nacrtaću ih ovako.
To je dovoljno dobro.
I sada ću nacrtati ose.

Chinese: 
現在我們對夾逼定理
有了較好的理解
我們會用它來證明--
我用黃色來做--
當x趨於0時 sinx/x的極限
等於1
現在你們肯定很期待
因爲之前我說過好幾次了
那麽我們開始吧 我們必須以-- 顯然
這需要用到三角學
會是一個形象地證明
那麽我先畫一下單位圓
的第一和第四象限
我用品紅色來畫
我看看能不能-- 我應該畫大點
看一下
應該要畫大點
像這樣
這很接近了

Tamil: 
Ippozhudhu "squeeze theorem" oru alavukku nangu purindhirukkum.
enave, idhanai payanpaduthi "varambai" niroobikka muyarchi seivom
naan adhanai manjal nirathil seigiren. Varambu "0" vai nerungum bodhu
sin(x) /x enbadhu 1 aagum.
Ippozhudhu neengal urchaagamaaga edhirparpeergal, aen endraal
Naan idhanai pala murai solli irukiren
Enave, idhanai seivom. Naam adhanai daan seiya vendum
namadhu trignometry avargalukku purindhadhu - idhu kankoodaana niroobanam.
Naan, ondrai aaramaaga konda vattathin ondru mattrum naangaavadhu kaal vattangalai varaigiren.
adhai naan magenta nirathil varaigiren
Adhanai periyadhaaga varaiya muyarchi seigiren
Miga periyadhaaga irukka vendum
Appadiye varaigiren
Idhu podhum
ippozhudu adhan achugalai varaigiren

Turkish: 
Sandviç Teoremi'ni iyice anladığımıza göre,
bu teoremi kullanarak şunu kanıtlayacağız...
Sarı renkle yazayım. Fonksiyon şu: iks, sıfıra yaklaşırken,
"sinüs iks, bölü iks"in limiti, eşittir 1.
Aklınızdan bir sürü tahmin geçmeye başlamıştır.
Bu anı o kadar çok yaşadım ki.
Hadi bakalım, başlayalım.
Soruda trigonometri var. Görsel bir kanıt yapacağız.
"Birim çember"in birinci ve dördüncü bölgesini
çizeyim.
Mor renkte olsun.
Bakalım, seçebilirsem.
Epey de büyük çizeyim.
Nereye çizsem?
Epey büyük çizmeliyim.
Başlayayım bakalım.
-
Yeterince iyi.
Şimdi de eksenleri çizeyim.

Arabic: 
الآن وبما ان لدينا ادراكاً بسيطاً
لنظرية الضغط، سوف نستخدم ذلك لاثبات ان نهاية
--سأفعل هذا باللون الاصفر-- نهاية اقتراب x من الـ 0 لجيب
x / x تساوي 1
ويجب ان تكون محتدماً بالتوقع الآن، لأنني
قلت هذا مراراً
اذاً دعونا نقوم بذلك، وفي الواقع، علينا ان نتماشى مع --بكل وضوح
لقد تعلمنا عن علم المثثلثات-- وهو اثبات نظري
لذا دعوني ارسم الربعين الاول والرابع على الاقل
من دائرة الوحدة
سأفعل ذلك باللون الارجواني
دعونا نرى، دعوني ارى اذا كان بامكاني --يجب علي
ان ارسمه كبيراً
دعوني ارى
يجب ان ارسمه بشكل كبير
اذاً سأرسمه بهذا الشكل
.
ذلك قريب للغاية
ومن ثم دعوني ارسم المحاور

Modern Greek (1453-): 
Τώρα που έχουμε, ελπίζω, μια αξιοπρεπή κατανόηση του
θεωρήματος συμπίεσης, θα το χρησιμοποιήσουμε ώστε να αποδείξουμε ότι το όριο - Θα το
κάνω με κίτρινο χρώμα - το όριο με το x να πλησιάζει το 0 του ημίτονου
του x δια το x ισούται με 1 .
Και πρέπει να ξεχειλίζετε απο ανυπομονησία τώρα, επειδή
το έχω πει πολλές φορές.
Ας το δούμε λοιπόν, προφανώς πρέπει να
ξαναθυμηθούμε την τριγωνομετρία και στην πραγματηκότητα είναι μια οπτική απόδειξη.
Ας σχεδιάσω
έναν κύκλο με τέσσερα τεταρτημόρια.
Θα σχεδιάσω τον κύκλο με φουξί χρώμα.
Για να δούμε αν μπορώ να σχεδιάσω
έναν κύκλο αρκετά μεγάλο.
Για να δουμε.
Θα πρέπει να τον σχεδιάσω αρκετά μεγάλο.
Θα τον σχεδιάσω έτσι.
Είναι αρκετά καλός.
Και στη μετά ας σχεδιάσω τους άξονες.

iw: 
כעת כשרכשנו הבנה נאותה
של משפט הסנדוויץ', נשתמש בכך כדי להוכיח שהגבול -- אני
אשתמש בצהוב -- הגבול כאשר איקס שואף ל0 של סינוס
איקס חלקי איקס שווה ל1.
כעת אתם בטח מלאים ציפייה, כי
אמרתי את זה כל כך הרבה פעמים.
אז בואו נעשה זאת, ובעצם, נשתמש ב -- כמובן,
יש להם את הטריגונומטריה -- וזאת בעצם הוכחה חזותית.
אז תנו לי לצייר לפחות את הרביעים הראשון והרביעי
של מעגל היחידה.
אני אעשה את זה במגנטה.
בואו נראה, תנו לי לראות אם אני יכול -- אני צריך
לצייר את זה די גדול.
תנו לי לראות.
אני צריך לצייר את זה די בגדול.
אז אני אצייר את זה כך.
זה קרוב מספיק.
ואז תנו לי לצייר את הצירים.

German: 
Nun, da ihr hoffentlich ein Grundwissen der
"Druck-Theorie" habt, werden wir dies nun benutzen um zu beweisen das das Limit-- Ich werde es
in Gelb machen-- Wenn x=0 vom Sinus x/x ergibt,
dann ist das Limit 1.
Und ihr müsst nun vor Vorfreude total aufgeregt sein,
weil ich es ja schon so oft gesagt habe
Also lass es uns machen, und eigentlich müssen wir, sie haben ja offensichtlich
unsere Trigonometrie, und es ist eigentlich ein optischer Beweis
Also lass mich zumindestens erstmal das erste und das vierte Quadrant
vom Einheitskreis zeichnen
Ich mach das hier mal in Magenta
Mal schauen, ob ich... I sollte
es sehr groß Zeichen...
Mal sehen...
Ich sollte es wirklich groß machen
Also ich mach es jetzt mal so
hmmm...
Das ist so gut
Und nun zeichne ich die Achsen ein

Czech: 
Doufám, že teď už rozumíme
větě o sevřené funkci. Použijeme ji k dokázání
limity.
...Napíšu to žlutě... Limita, když "x" se blíží 0
ze sinu x
lomeno x se rovná 1.
Určitě jste plní očekávání, protože
jsem toto řekl už tolikrát.
Pojďme na to. Vlastně musíme použít
trigoniometrii. Jedná se o důkaz s obrázkem.
Nakreslím aspoň první a čtvrtý kvadrant
jednotkové kružnice.
Udělám to v magentou (červená barva).
Uvidíme, jestli to zvládnu. Měl bych
to nakreslit docela velké.
Uvidíme.
Měl bych to nakreslit poměrně velké.
Nakreslím to tedy takto.
...
Docela jsem se trefil.
A teď nakreslím osy.

Italian: 
Ora che, si spera, abbiamo ottenuto una comprensione decente del
teorema dei carabinieri, lo useremo per dimostrare che il limite - lo
faccio in giallo - il limite per x che tende a 0 di seno di
x su x è uguale a 1.
E ormai dovresti essere straboccante di aspettativa, perché
l'ho detto un milione di volte.
Allora, facciamolo, e in realtà dobbiamo - ovviamente,
abbiamo la nostra trigonometria - e in realta' è una dimostrazione grafica.
Allora, fammi disegnare almeno il primo e il quarto quadrante
della circonferenza unitaria.
Lo faccio in magenta.
Vediamo, vediamo se posso - dovrei
farlo abbastanza grande.
Vediamo.
Dovrei disegnarlo bello grande.
Lo farò più o meno così.
Ok, è grande abbastanza.
E ora gli assi.

Korean: 
이제 전 강의에서 스퀴즈 정리를 배웠으니
말했던 극한을 증명해보도록 할게요
노란색으로 써보죠.
x가 0으로 갈 때,
sin(x)/x의 극한이 1이다.
지금쯤 엄청 기대하고 계실 거예요
계속 강조했던 내용이니까요
그럼 해봅시다.
물론 삼각함수가 있으니
삼각함수를 써야 할 거고요,
증명은 시각적, 기하학적으로 할 겁니다
그럼 제I사분면과 제IV분면에서
단위원을 한 번 그려보겠습니다
자주색으로요
어디보자...
좀 크게 그릴까요
봅시다
꽤 크게 그릴 거에요
이쯤 될까요
괜찮네요
축도 그려야겠죠

Estonian: 
Nüüd kui meil on loodetavasti korralik arusaam
võileiva reeglist, me kasutame seda, et tõestada seda piirväärtust
piirväärtus kui x läheneb 0'le siinus kohal
x jagatud x on võrdne 1'ga.
Ja ilmselt oled sa väga põnevil juba, sest
ma olen seda õelnud nii mitu korda.
Teeme seda, ja tegelikult me peame
meelde tuletame trigonomeetria, ja see on visuaalne tõestus.
Ma joonistan siia vähemasti esimese ja neljanda veerandi
ühikringist.
.
Ma peaksin
selle joonistama päris suurelt.
.
.
Ma teen selle nii.
.
See on küllalt täpne.
Ja nüüd ma teen taljed.

Chinese: 
现在我们对夹逼定理
有了较好的理解
我们会用它来证明--
我用黄色来做--
当x趋于0时 sinx/x的极限
等于1
现在你们肯定很期待
因为之前我说过好几次了
那么我们开始吧 我们必须以-- 显然
这需要用到三角学
会是一个形象地证明
那么我先画一下单位圆
的第一和第四象限
我用品红色来画
我看看能不能-- 我应该画大点
看一下
应该要画大点
像这样
这很接近了

Thai: 
ตอนนี้หวังว่าเราคงเข้าใจความหมายของ
squeeze theorem กันดีแล้ว เราจะใช้มันพิสูจน์ว่าลิมิต-- ผมจะ
เขียนมันด้วยสีเหลือง -- ลิมิตเมื่อ x เข้าใกล้ 0 ของ sine ของ
x ส่วน x นั้นเท่ากับ 1
และคุณต้องอดทนหน่อย เพราะ
ผมพูดมันมาหลายครั้งแล้ว
งั้นมาลองกัน และที่จริง เราต้องเริ่มด้วย -- แน่นอน
เราต้องใช้ตรีโกณมิติ -- และที่จริงมันเป็นการพิสูจน์ด้วยภาพ
งั้นขอผมวาดรูปอย่างน้อยก็จตุภาคที่หนึ่งกับสี่
ของวงกลมหนึ่งหน่วยก่อน
ผมจะวาดมันด้วยสีบานเย็น
เอาล่ะ ลองดูว่าผมจะ -- ผมควรวาด
ให้ใหญ่หน่อย
ขอผมดูหน่อย
ผมควรวาดมันใหญ่สักขนาดนี้
งั้นผมจะวาดมันอย่างนั้นแหละ
ใช้ได้แล้ว
จากนั้นผมจะวาดแกน

English: 
So this is the x-axis, would
look something like that.
Sorry, that's the y-axis.
There you go.
And then the x-axis,
something like that.
That's our unit circle.
There you go.
Now let me draw a couple
of other things.
Let me draw a-- well, it is
a radius, but I'm going to
go beyond the unit circle.
So let's go like right there.
Draw a couple of more things,
just to set up this problem.
Nope, that's not what
I wanted to do.
I wanted to do it right
from this point.
Right like that.
And then right from this
point, I want to do this.
And then I want to draw another
right from that point.
I'm going to do that.

Czech: 
Toto je osa "x" a vypadá nějak takto.
Omlouvám se. To je osa "y".
...
Tady to máte.
A ještě osa "x" nějak takto.
Toto je náše jednotková kružnice.
...
To je ono.
Teď nakreslím pár dalších věcí.
Nakreslím, no je to poloměr, ale já
ho prodloužím.
...
Protáhnu to až někam sem.
Nakreslím pár dalších věcí, proto abych nastínil tento problém.
Ne, to není to, co jsem chtěl udělat.
Chtěl jsem to udělat přímo z tohoto bodu.
Přesně takto.
A tady z tohoto bodu chci udělat tohle.
...
A ještě chci nakreslit další z tohoto bodu.
Udělám to takto.

Portuguese: 
Então esse é o eixo x, mais ou menos aqui.
Desculpa, esse é o eixo y.
eixo y
Assim.
E o eixo x, mais ou menos assim.
Essa é a circunferência trigonométrica.
trigonometrica
Aqui está.
Agora, deixe-me desenhar outras coisas.
Vou desenhar o-- bem, é raio, mas eu vou
passar além da circunferência.
da circunferencia
Vou até aqui.
Vou desenhar mais algumas coisas, para preparar o problema.
Não, isso não é o que eu queria fazer.
Eu queria fazer a partir desse ponto.
Assim.
E agora, a partir desse ponto,
quero fazer isso.
E agora eu quero desenhar outro a partir desse ponto.
Eu vou fazer isso.

Chinese: 
接下来画一下坐标轴
这是x轴 是这样的
对不起 那应该是y轴
好了
接下来x轴 像这样
这个是单位圆
好了
现在我来画一些其它的东西
我来画个-- 这是半径
不过我要超出单位圆
一直到这儿
为了说明问题 再画一些东西
哦 不是这样
从这点开始
像这样
然后从这点开始 像这样
再从这一点画这样一条线
要开始证明了
准备好了
我说的什么来着？
这是单位圆 对吧?

Thai: 
นี่คือแกน x ออกมาเป็นแบบนี้
โทษที นั่นคือ แกน y
ได้แล้วล่ะ
จากนั้นก็แกน x ออกมาประมาณนี้
นั่นคือวงกลมหนึ่งหน่วยของเรา
ได้แล้ว
ทีนี้ขอผมวาดอย่างอื่นด้วย
ขอผมวาด -- อืม นั่นคือรัศมี แต่ผมจะ
ไปไกลเกินกว่าวงกลมหนึ่งหน่วย
ปล่อยมันออกมาอย่างนี้
ผมวาดอะไรอีกหลายอย่าง สำหรับแก้ปัญหาข้อนี้
ไม่ใช่ ๆ ผมไม่ได้อยากทำอย่างนั้น
ผมอยากทำมันจากตรงจุดนี้
ออกมาอย่างนั้น
จากนั้นจากจดนี้ ผมอยากทำอย่างนี้
จากนั้นผมจะวาดอีกอันจากจุดนั้น
ผมจะวาดแล้วนะ

Turkish: 
Burası, "iks ekseni".
Özür dilerim, burası "ye ekseni".
-
İşte oldu.
Bu da "iks ekseni".
Alın size "birim çember".
-
Tamamdır.
Geri kalanları da çizeyim.
Öncelikle... Yarıçap çizeceğim ama çemberin
dışına çıkacağım.
-
Buraya kadar gelse yeter.
Soruyu oluşturmak için birkaç şey daha lazım.
Hayır, bu olmadı.
Tam bu noktada olmalı.
İşte böyle.
Sonra bu noktadan da şöyle bir şey yapıyorum.
-
Sonra o noktadan bir tane daha.
Aynen bu şekilde.

Korean: 
이게 x축이 될 거고요
미안합니다, y축이죠
자, 됐습니다
이 쪽이 x축이죠
단위원을 그렸습니다
됐습니다
또 한 두 개 더 그릴 게 있어요
반지름을 그리는데요,
단위원 밖까지 좀 연장을 해볼게요
이렇게요
문제 풀기 전에 준비 단계로
그려야 할 게 몇 개 있어요
아, 실수했네요
여기서부터 하려고 했습니다
이렇게요
여기서는 이렇게 그리고요
또 여기서 하나 더 그립니다
이렇게요

Serbian: 
Dakle, ovo je xxosa, i ona bi izgledala nekako ovako.
Izvinite, to je y-osa.
E tako.
A onda na x-osi, nešto tako.
To je naš jedinični krug.
E tako.
Sada, nacrtaću par drugih objekata.
Najprije, nacrtaću poluprecnik, ali će jedna od krajnjih tačaka
poluprečnika biti izvan jediničnog kruga.

Chinese: 
接下來畫一下坐標軸
這是x軸 是這樣的
對不起 那應該是y軸
好了
接下來x軸 像這樣
這個是單位圓
好了
現在我來畫一些其它的東西
我來畫個-- 這是半徑
不過我要超出單位圓
一直到這兒
爲了說明問題 再畫一些東西
哦 不是這樣
從這點開始
像這樣
然後從這點開始 像這樣
再從這一點畫這樣一條線
要開始證明了
準備好了
我說的什麽來著？
這是單位圓 對吧?

Portuguese: 
Então, esse é o eixo "x", alguma coisa desse tipo.
Desculpa, esse é o eixo "y"
Pronto.
E o eixo "x", algo assim.
Esse é nosso círculo unitário
Aí está
Deixe-me desenhar outras coisas.
Deixe-me desenhar um -- bem, isso é um raio, mas eu vou
vou além do círculo unitário
Vamos lá
Desenhar mais algumas coisas, para definir esse problema
Ops, isso não é o que eu quero fazer
Eu quero fazer isso certo desse ponto em diante
Desse jeito.
Então, desse ponto, eu quero fazer isso.
E agora eu quero desenhar outro a partir desse ponto.
Vou fazer isso.

German: 
Also das ist die X-Achse, die sieht ungefähr so aus..
Achne, dass ist die y-Achse!
(malt die y-Achse)
So...
Und dann die X Achse ungefähr so..
Das ist unser Einheitenkreis
bitteschön!
Ich zeichne mal noch ein paar andere Dinge ein
Ich zeichne ein, nagut, das ist der Radius, aber ich werde
abseits des Einheitenkreises gehen
Also hier in etwa
Ein paar weitere Dinge, um das Problem aufzusetzen
Ne, das wollte ich eigentlich nicht machen
Ich will es von diesem Punkt hier machen
Genau so !
Und dann von diesem Punkt, will ich das machen
Und noch eine von diesem Punkt aus
Das werde ich so machen

Panjabi: 
So, eh haigi x-axis, te eh kuj edda di laggu gi.
Galti ho gayi, eh y-axis a.
Chal jee.
Fer axis, thora edda da lagda.
Eh a apna unit circle.
Chal jee.
Hun meh thoriya hor cheeja vaundah a.
Meh ik...well, eh ta radius a but meh
unit circle de age java ga.
So appa ethe jande a.
Thoriya baut cheeja draw karda a, bas a problem set karan de layi.
Nai, eh nai c karna.
Meh es point toh sidda karna chaunda c.
Edda.
Fer es point to, meh eh karna chaunda a.
Fer meh oh point toh ek hor right vaunah chaunda a.
Meh edda karn lagga a.

Estonian: 
See on x-telg, mis näeb välja midagi sellist.
Vabandust, see on y-telg.
.
Siin ta on.
Ja siis x-telg.
See on meie ühikring.
.
.
Nüüd ma joonistan veel paar asja.
Las ma joonistan-- see on raadius, aga ma lähen veidi
kaugemale ühikringist.
.
Lähme siia.
Joonestan veel paar, lihtsalt, et seda ülesannet ette valmistada.
Ei ma tahtsin seda teha.
Ma tahtsin seda teha siit punktist.
Niimoodi.
Ja siit puntist ma tahtsin teha niimoodi.
.
Ja siis ma tahan ühe veel täpselt sellest punktist.
.

Spanish: 
Entonces éste es el eje x, algo así.
Disculpa, ése es el eje y.
Sí, bueno.
Y el eje x, algo así.
Éste es nuestro círculo unitario.
Bueno.
Ahora voy a dibujar unas cosas más.
Primero, dibujo -- pues, es un radio, pero lo voy a extender
más allá del círculo unitario.
Hasta allí más o menos.
Unas cosas más, para preparar este problema.
No, no quería hacer eso.
Quería hacerlo precisamente de este punto.
Así.
Y de este punto, quiero hacer esto.
Y entonces quiero dibujar otra línea de ese punto.
Lo voy a hacer.

Polish: 
Zatem oś x-ów wygląda jakoś tak.
Przepraszam, oś y-ów.
Proszę.
I oś x-ów. jakoś tak.
To nasz okrąg jednostkowy.
Proszę bardzo.
Teraz narysuję kilka innych rzeczy.
Narysuję - to jest promień, ale zamierzam
iść przez okrąg jednostkowy.
Więc pójdźmy tak.
Narysuję kilka innych rzeczy, żeby dobrze przedstawić zagadnienie.
Oj, to nie to co chciałem.
Chciałem to zrobić z tego punktu.
Dokładnie tak.
I teraz z tego punktu, chcę zrobić to.
I teraz chcę narysować kolejny z tego punktu.
Zrobię to.

Arabic: 
هذا هو محور x، سيبدو هكذا
آسف، ذلك محور y
.
هيا بنا
ومن ثم محورx، شيئ ما كهذا
هذه هي دائرة الوحدة
.
هيا بنا
الآن دعوني ارسم مجموعة اشياء اخرى
دعوني ارسم --حسناً، انه نصف قطر، لكنني سوف
انتقل وراء دائرة الوحدة
.
دعونا ننتقل هكذا
ارسم مجموعة من الاشياء الاخرى، لكي نضع هذه المسألة
لا، هذا ليس ما اردت فعله
اردت ان القيام بهذا من هذه النقطة
بهذا الشكل
ثم من هذه النقطة، اريد ان افعل هذا
.
ومن ثم اريد ان ارسم من تلك النقطة
سأفعل ذلك

Italian: 
Questo è l'asse x, dovrebbe assomigliare a questo.
Scusa, questo è l'asse y.
Ecco qua.
E poi c'è l'asse x, qualcosa tipo questo.
Questa è la nostra circonferenza unitaria.
Eccola qui.
Ora fammi disegnare un paio di altre cose.
Disegno un - beh, questo è un raggio, ma lo faccio
andare oltre la circonferenza.
Facciamolo arrivare fino a qui.
Disegno un paio di altre cose, giusto per preparare questo problema.
No, non è quello che volevo fare.
Volevo farlo partire da questo punto.
Proprio così.
E poi da questo punto, faccio quest'altra linea.
E poi voglio disegnarne un'altra da quel punto.
Faccio cosi'.

Tamil: 
x - achu - idhu pola irukkum
mannikavum, adhu y - achu
Ipozhudu sariyaaga ulladhu
Piragu X achu, idhu pola irukkum
idhu daan namadhu unit vattam.
Idhu pola irukkum
Ippozhudu innum sila vattrai varaiya pogiren
Enna variaya pogiren - idhu vattathin aaram, aanaal naan vattathirku
veliye poga pogiren
Idhu varai adhanai izhuthu selvom
Innum sila vattrai varaiya pogirom - indha karuthai konjam thayar seivom
illai, naan seiya ninaithadhu adhu alla
Naan adhanai indha pulliyil irundhu seiya virumbinen
Idhai pola
Piragu, indha pulliyilirundhu naan idhanai seiya pogiren
Piragu, andha pulliyilirundhu innondru varaiya pogiren
Adhanai seiya pogiren

Modern Greek (1453-): 
Αυτός είναι ο άξονας χ, πρέπει να μοιάζει κάπως έτσι.
Συγνώμη, αυτός είναι ο άξονας y.
Έτσι πρέπει να είναι.
Και μετά ο άξονας χ, είναι αυτός.
Αυτός είναι ο κύκλος μας.
Τα καταφέραμε.
Τώρα ας σχεδιάσω μερικά ακόμη πράγματα.
Ας σχεδιάσω μια ακτίνα, αλλά θα
επεκτείνω την γραμμή περα απο τον κύκλο.
Ας πάμε μέχρι εκεί.
Θα σχεδιάσω μερικά πράγματα ακόμη για να έχουμε μια πλήρης εικόνα.
Όχι, δεν ήθελα να κάνω αυτό.
Το θέλω απο αυτό το σημείο.
Σωστά, έτσι.
Και μετά απο αυτό το σημείο θέλω μια γραμμή, έτσι.
Και μετά θέλω να σχεδιάσω μια γραμμή απο αυτό το σημείο.
Θα σχεδιάσω την γραμμή έτσι.

iw: 
אז זהו ציר האיקס, ייראה בערך כך.
סליחה, זה הוא ציר ה-y.
הנה לכם.
ואז ציר האיקס, משהו כזה.
זהו מעגל היחידה שלנו.
הרי לכם.
כעת תנו לי לצייר כמה דברים אחרים.
תנו לי לצייר -- טוב, זה רדיוס, אבל אני מתכוון
ללכת מעבר למעגל היחידה.
אז בואו נלך לשם.
נצייר עוד כמה דברים, רק בשביל להגדיר את הבעיה הזאת.
לא, זה לא מה שרציתי לעשות.
אני רוצה לעשות את זה בדיוק מהנקודה הזאת.
בדיוק כך.
ואז בדיוק מהנקודה הזאת, אני רוצה לעשות כך.
ואז אני רוצה לצייר עוד אחד מהנקודה הזאת.
אני הולך לעשות זאת.

Spanish: 
Y ahora estamos listos.
¿Qué dije?
¿Éste es el círculo unitario, no?
Entonces, si ése es el círculo unitario, ¿qué significa eso?
Es un círculo con radio de 1.
Así que la distancia de aquí hasta aquí es 1.
Y si éste es un ángulo x en radianes, ¿qué es la longitud
de ésta línea aquí?
¿De ésa?
Pues, por definición, el seno de x se defina como la coordenada y
de cualquier punto en el círculo unitario.
Éste es el seno de x.
Se me va a acabar el espacio, así que dibujo una flecha.
Entonces éste aquí es el seno de x.
Ahora algo un poquito más difícil:
¿Qué es la longitud aquí?
Pues, pensemos en ello.
¿Qué significa tangente?
Regresemos a la definición de SOHCAHTOA de tangente.
TOA.

English: 
And now we are ready to go.
So what did I say?
This is the unit circle, right?
So if that's the unit
circle, what does it mean?
It's a circle with
a radius of 1.
So the distance from
here to here is 1.
And now if this is an angle x
in radians, what's the length
of this line right here?
What's the length of that line?
Well, by definition, sine
of x is defined to be the
y-coordinate of any point
on the unit circle.
So this is sine of x.
I'm going to run out of space,
so let me draw an arrow.
So this is-- that right
there is sine of x.
Now let me ask you a
slightly harder one.
What's this length right here?
Well, let's think about it.
What is tangent?
Let's go back to our SOHCAHTOA
definition of tangent.
TOA.

Portuguese: 
E agora estamos prontos.
Então, o que eu disse?
Essa é a circunferência trigonométrica, certo?
O que isso significa?
Significa que o raio vale 1, por definição.
Então a distância daqui até aqui vale 1.
Agora, se esse ângulo vale x radianos,
qual é a medida desse segmento?
Qual é o comprimento dessa linha?
Por definição, sen(x) é definido como
a coordenada y de qualquer ponto da circunferência.
Então esse é o sen(x).
sen(x)
Por falta de espaço, vou fazer uma seta aqui.
Aqui está o sen(x).
sen(x)
Agora, vou fazer uma pergunta mais difícil.
Qual é a medida dessa linha?
?
Bem, vamos pensar.
O que é uma tangente?
Vamos relembrar a definição de tangente.
A tangente é

Panjabi: 
Hun appa theeka.
So meh ki kenda c?
Eh unit circle a, right
Je a unit circle a, fer eda ki matlab a?
Eh ek circle a 1 de radius te.
So etho te etho di distance 1 di a.

Korean: 
모든 준비가 끝났습니다
아까 뭐라고 했죠?
이게 단위원이라고 했죠?
단위원이라는 게 무슨 뜻입니까?
반지름이 1인 원이라는 거죠
그러니까 여기서 여기까지의
거리가 1이 됩니다
또 라디안으로 이 각이 x라고 하면
이 선분의 길이는요?
길이가 어떻게 되죠?
사인함수가 어떻게 정의되냐면요
단위원 위의 어떤 점의 y좌표로
정의가 되죠
그러니 이게 sin(x)가 됩니다
공간이 없을 수가 있으니
화살표를 그려서 표시를 할게요
이게 sin(x)가 되는 거죠
이번 질문은 좀 더 어렵습니다
이 길이는 얼마죠?
생각을 해봅시다
탄젠트가 뭘까요?
삼각비로 탄젠트를 어떻게
배웠는지 되새겨보세요
대변/이웃변

Tamil: 
Ippozhudhu ellam thayaar aagi vittadhu
Naan enna sonnen?
Idhu unit vattam endren allavaa?
adhu unit vattam endral, adharku enna porul
Indha vattathiruku aaram 1 enbadhu daan.
Enave ingirundhu ingu ulla tholaivu 1 unit aagum

Turkish: 
Şimdi hazırız.
Ne diyordum?
Bu, "birim çember", değil mi?
Peki, "birim çember" ise, nasıl bir çemberdir?
Yarıçapı 1 olan çemberdir.
Bu nokta ile bu nokta arasındaki uzaklık 1'dir.
Bu açı, radyan cinsinden iks ise, bu doğru parçasının
uzunluğu ne olur?
Bu doğru parçasının uzunluğu nedir?
Tanım gereği, birim çember üzerindeki her noktada,
"ye ekseni", "sinüs iks"tir.
O hâlde, burası "sinüs iks"tir.
Burası "sinüs iks"tir.
Yer kalmadı. Ok çekip yazayım.
Burası "sinüs iks"tir.
-
Biraz daha zor bir soru sorayım?
BU doğru parçasının uzunluğu nedir?
BUNUN uzunluğu nedir?
Düşünelim.
Tanjant nedir?
Tanjantın tanımına dair bilgilerinizi hatırlayın.
Neydi?

German: 
Ja und jetzt geht's los!
Also, was hatte ich gesagt?
Das ist ein Einheitenkreis, richtig?
Also was ist das genau, was heißt das: Einheitenkreis?
Es ist ein Kreis mit einem Radius von 1
Also die Distanz von hier zu hier ist 1
Und wenn das ein Winkel x in Radianten ist, was ist die Länge?
von dieser Linie hier?
Wie lang ist diese Linie nun?
Okay, also sinus (x) ist definiert in
der y koordinate von irgendeinem Punkt in dem Kreis
Also das hier ist Sinus (x)
ja...
Also ich hab hier nicht genug Platz, ich mach hier mal einen Pfeil
Also das ist,... Das hier ist Sinus (x)
.
Also jetzt wird's ein wenig schwieriger
Was ist die Länge von der hier?
Also, l´mal überlegen!
Was ist der Tankens?
WAs war nochmal die SOHCAHTOA Definition von dem Tankens?
TOA.

Polish: 
I jesteśmy gotowi.
Zatem, o czym mówiłem?
To jest okrąg jednostkowy, prawda?
Więc to jest okrąg jednostkowy, co to znaczy?
To jest okrąg o promieniu 1.
Czyli odległość stąd dotąd to 1.
Teraz jeśli to jest kąt x w radianach, jaka jest długość
tego odcinka tutaj?
Jaka jest długość odcinka?
Dobrze, z definicji, sin(x) definiuje się jako
współrzędna y dowolnego punktu na jednostkowym okręgu.
Więc to jest sin(x).
Muszę wyjść poza tą przestrzeń, więc narysuję strzałkę.
Zatem to jest - ten odcinek to jest sin(x)
Teraz pozwólcie mi zadać nieco trudniejsze pytanie.
Jaka jest długość tego odcinka?
Cóż, pomyślmy nad tym.
Czym jest tangens?
Powróćmy do naszej definicji tangensa.
TOA.

iw: 
וכעת אנחנו מוכנים להתחיל.
אז מה אמרתי?
זהו מעגל היחידה, נכון?
אז אם זהו מעגל היחידה, מה זה אומר?
זה מעגל בעל רדיוס 1.
אז המרחק מכאן לכאן הוא 1.
וכעת אם זוהי הזווית איקס ברדיאנים, מה המרחק
של הקו השכאן?
מה האורך של הקו הזה?
טוב, לפי ההגדרה, סינוס של איקס מוגדר להיות
קואורדינטת y של כל נקודה שהיא על מעגל היחידה.
אז זהו סינוס איקס.
הולך להיגמר לי המקום, אז תנו לי לצייר חץ.
אז זהו -- זהו סינוס של איקס.
עכשיו תנו לי לשאול משהו קצת יותר קשה.
מהו האורך שכאן?
טוב, בואו נחשוב על זה.
מה זה טנגנס?
בואו נחזור להגדרה שלנו לטנגנס לפי ראשי התיבות SOHCAHTOA.
TOA.

Estonian: 
Nüüd oleme valmis.
Mis ma ütlesin?
See on ühikring.
Mida see tähendab?
See on ring raadiusega 1.
Kaugus siit siia on 1.
Ja kui see on nurk x radiaanides, siis mis on selle
joone pikkus siin?
.
Definitsiooni poolest siinus x on defineeritud
kui y koordinaat ükskõik millisel ühikringi punktil.
See on siinus x'st.
.
Ruum saab otsa, ma joonistan noole.
See siin on siinus x'st.
.
Las ma küsin, midagi keerulisemat.
Mis on pikkus siin?
.
Mõtleme selle peale.
Mis on tangens?
.
.

Arabic: 
والآن نحن جاهزون
ماذا قلت اذاً؟
هذه هي دائرة الوحدة، اليس كذلك؟
فاذا كانت هذه دائرة الوحدة، فماذا تعني؟
ان دائرة الوحدة هذه نصف قطرها 1
اذاً المسافة من هنا الى هنا هي 1
والآن اذا كانت هذه الزاوية x في نصف القطر، فما هو طول
هذا الخط الموجود هنا؟
ما هو طول ذلك الخط؟
حسناً، من خلال التعريف، جيب x معرفاً ليكون
احداثي y لأي نقطة على دائرة الوحدة
هذا هو جيب x
.
لقد اقتربت المساحة ان تنفذ لدي، لذا دعوني ارسم سهم
اذاً هذا هو --ذلك هو جيب x
.
دعوني الآن اسألكم سؤالاً صعباً قليلاً
ما مقدار هذا الطول؟
.
حسناً، دعونا نفكر به
ما هو ظل الزاوية؟
دعونا نعود الى تعريف SOHCAHTOA لظل الزاوية
TOA

Czech: 
A jsme připraveni dokázat náš problém.
Takže, co jsem řekl?
Toto je jednotková kružnice, že?
Jestli je to tedy jednotková kružnice, co to potom znamená?
Je to kružnice s poloměrem 1.
Vzdálenost odtud sem je 1.
A pokuď tohle je úhel "x" v radiánech, jaká je délka
této úsečky?
Jaká je její délka?
Podle definice je sinus "x" definován jako
"y" souřadnice jakéhokoliv bodu na jednotkové kružnici.
Takže toto je sin "x".
...
Dochází mi místo, nakreslím proto šipku.
Toto přímo zde je tedy sin "x",
...
Teď vám položím těžší otázku.
Jak dlouhá je tato úsečka?
...
Zamysleme se.
Co je tangens?
Vraťme se k naší SOHCAHTOA definici tangens.
TOA = TangensOppositeAdjacent
TangensProtilehláPřilehlá

Thai: 
และทีนี้เราก็พร้อมแล้ว
ผมพูดว่าอะไรไปนะ
นี่คือวงกลมหนึ่งหน่วย ถูกไหม
ดังนั้นหากมันคือวงกลมหนึ่งหน่วย มันหมายความว่าไง
มันคือวงกลมที่มีรัศมียาว 1 หน่วย
ดังนั้นระยะทางจากจุดนี้ถึงจุดนี้เท่ากับ 1
และทีนี้ หากนี่คือมุม x ในหน่วยเรเดียน ความยาว
ของเส้นนี้จะเป็นเท่าไหร่
ความยาวของเส้นนั้นเป็นเท่าไหร่
ตามนิยามแล้ว sine ของ x ถูกนิยามว่า
คือค่าแกน y ของจุดใด ๆ บนวงกลมหนึ่งหน่วย
ดังนั้นนี่คือ sine ของ x
ผมจะไม่มีที่แล้ว งั้นผมขอเขียนลูกศรนะ
งั้นนี่คือ -- ตรงนี้คือ sine ของ x
ทีนี้ผมจะถามคำถามที่ยากขึ้นอีกหน่อย
เส้นนี้ยาวเท่าไหร่
มาลองคิดกันดู
tangent คืออะไร
ลองกลับไปดูนิยาม SOHCAHTOA ของ tangent กัน
TOA

Portuguese: 
Agora estou pronto
O que eu disse?
Esse é o círculo unitário,certo?
Se esse é o círculo unitário, o que isso significa?
É um círculo com raio um.
Então, a distância daqui até aqui é um.
E agora, se esse é um ângulo em radianos, qual tamanho
dessa linha aqui?
Qual tamanha daquela linha?
Bem, por definição, seno de "x" é definido como
coordenada "y" de qualquer ponto do círculo unitário.
Então esse é o seno de "x"
Vou ficar sem espaço, então deixe-me desenhar uma seta.
Então isso é -- que ali é o seno de "x".
Deixe-me fazer uma pergunta um pouco difícil.
Qual é esse comprimento?
Bem, vamos pensar a respeito
O que é tangente?
Vamos voltar a nossa definição "SOHCAHTOA" da tangente
TOA (" Tangente ---oposto sobre adjacente")

Modern Greek (1453-): 
Και τώρα είμαστε έτοιμοι να ξεκινήσουμε.
Λοιπόν τι είπα πρίν;
Αυτός είναι ένας κύκλος-μονάδα, σωστά;
Εαν αυτός ο κύκλος είναι κύκλος-μονάδα, τι σημαίνει αυτό;
Αυτό σημαίνει ότι ο κύκλος-μονάδα έχει ακτίνα που ισούτε με την μονάδα (1).
Έτσι λοιπόν η απόσταση απο εδώ μέχρι εδώ ισούτε με την μονάδα (1).
Και τώρα εαν αυτή είναι η γωνία χ του ακτίνιου, ποιό είναι το μήκος
αυτής της γραμμής εδώ;
Και ποιό είναι το μήκος αυτής της γραμμής;
Εξ ορισμού, σε κύκλο, το ημίτονο της γωνίας χ ορίζεται ως
συντεταγμένη y του κάθε σημείου για τον κύκλο της μονάδας.
Πρόκειται, λοιπόν, ημίτονο x.
Θα εξαντληθεί ο χώρος, επιτρέψτε μου να σχεδιάσετε ένα βέλος.
Έτσι, αυτό είναι--που είναι εκεί ημίτονο x.
Τώρα, επιτρέψτε μου να σας ζητήσω μία ελαφρώς πιο δύσκολο.
Τι είναι το μήκος αυτό εδώ;
Λοιπόν, ας σκεφτούμε για αυτό.
Τι είναι η εφαπτομένη;
Ας πάμε πίσω στο ορισμό εφαπτομένη μας SOHCAHTOA.
TOA.

Chinese: 
單位圓意味著什麽呢？
是半徑爲1的圓
所以這裡和這裡的距離是1
如果這個角是x弧度
這條線的長度是多少呢？
這條線長度是多少？
由定義 sinx表示
單位圓上任意一點的縱坐標
所以這是sinx
我快沒地方寫了 畫個箭頭
這是sinx
我再問個稍微難點的
這個長度是多少
我們想一下
什麽是正切
我們通過SOH-CAH-TOA想一下正切的定義
TOA
正切等於對邊比鄰邊
tanx是多少呢？
應該等於-- 可以拿這個來說明--
如果說這是直角三角形
那麽就是對邊長度
比鄰邊長度 對吧？

Italian: 
E ora siamo pronti per partire.
Allora, cosa ho appena detto?
Questa è la circonferenza unitaria, giusto?
Quindi, se questa è la circonferenza unitaria, cosa significa?
Che è una circonferenza con raggio 1.
Quindi la distanza da qui a qui misura 1.
E se questo è un angolo x in radianti, quanto misura
questa retta qui?
Qual'è la sua lunghezza?
Beh, per definizione, seno di x e' definito come
la coordinata y di ogni punto sulla circonferenza unitaria.
Quindi questo è il seno di x.
Sto finendo lo spazio, perciò faccio una freccia.
Quindi questo è.. questo è il seno di x.
Ora ti faccio una domanda un po' più complicata.
Quant'e' questa lunghezza qui?
Beh, pensiamoci su.
Cos'è la tangente?
Torniamo alla nostra definizione di tangente SOH CAH TOA.
TOA.

Chinese: 
单位圆意味着什么呢？
是半径为1的圆
所以这里和这里的距离是1
如果这个角是x弧度
这条线的长度是多少呢？
这条线长度是多少？
由定义 sinx表示
单位圆上任意一点的纵坐标
所以这是sinx
我快没地方写了 画个箭头
这是sinx
我再问个稍微难点的
这个长度是多少
我们想一下
什么是正切
我们通过SOH-CAH-TOA想一下正切的定义
TOA
正切等于对边比邻边
tanx是多少呢？
应该等于-- 可以拿这个来说明--
如果说这是直角三角形
那么就是对边长度
比邻边长度 对吧？

Chinese: 
我们称这个长度
称它为o 表示对边
但邻边长度为多少呢？
这个大三角形
是单位圆 对吧？
所以这里到这里的距离
这距离是1 对吧？
因为这又是一个半径
长为1
那么对边比邻边等于tanx
由于邻边为1
所以对边的长度
就等于tanx
另一种说法是
tanx等于这条边除以1
或者说等于这条边的长度
我把它写下来
这条边等于tanx
现在我们来讨论

Modern Greek (1453-): 
Η εφαπτομένη είναι ίση με TOA: αντίθετο σε γειτονικά.
Τι είναι ένα εφάπτεται του x;
Καλά, θα ήταν ίσο με--θα μπορούσε να το λάβουμε αυτό--αν πούμε
ότι αυτό είναι το τρίγωνο δεξιά, θα είναι αυτό
μήκος--το αντίθετο--πάνω από το διπλανό, δικαίωμα;
Ας καλέσει το μήκος αυτό εδώ, ας την πούμε
Αυτό o για αντίθετη.
Αλλά τι είναι το διπλανό μήκος;
Τι είναι αυτή η βάση του μεγαλύτερου τριγώνου;
Λοιπόν, είναι ο κύκλος της μονάδας, σωστό;
Τόσο η απόσταση από εδώ να εδώ--η απόσταση αυτή είναι
επίσης θα είναι 1, σωστά;
Επειδή είναι απλώς μια ακτίνα και πάλι.
Αυτό είναι το 1.
Έτσι το αντίθετο σε παρακείμενα είναι ίση με την εφαπτομένη του x.
Αλλά αντίθετο σε παρακείμενα--παρακείμενα είναι μόλις 1, δικαίωμα;
Έτσι την αντίθετη πλευρά, αυτή η δεξιά πλευρά εδώ, ότι πρόκειται να
ίσο με την εφαπτομένη του x.

Portuguese: 
o cateto oposto sobre o adjacente.
Então o que é a tangente de x?
?
Bem, seria igual a-- podemos pegar isso-- se
esse é um triângulo retângulo, seria esse
lado-- o oposto-- sobre o adjacente, certo?
Então vamos chamar essa medida aqui
"o" de oposto.
Mas qual é a medida do cateto adjacente?
Qual é a base desse triângulo maior?
Bem, essa é a circunferência trigonométrica, certo?
Então a distância daqui até aqui-- essa distância
vale também 1, certo?
Porque é o raio.
Vale 1.
Então cateto oposto sobre adjacente é igual a tangente de x.
Mas o cateto adjacente vale 1, certo?
Então o cateto oposto, esse aqui, vai valer
tangente de x.

Portuguese: 
Tangente é igual a TOA: oposto sobre adjacente
Então, qual a tangente de "x"?
Bem, isso será igual a -- podemos tirar isso -- se nos dissemos
que esse é o triângulo direito, isso deverá ter esse
comprimento-- oposto--sobre o adjacente, certo?
Então, vamos chamar esse comprimento aqui, vamos chamá-lo
chamá-lo de "o" de oposto.
Mas qual o comprimento adjacente?
Qual a base desse triângulo grande?
Bem, isso é um círculo unitário, certo?
Então a distância daqui até aqui -- a distância é
também será um, certo?
Porque isso é apenas o raio novamente.
É um
O oposto sobre o adjacente é igual a tangente de "x".
Mas o oposto sobre o adjacente -- adjacente é um, certo?
Então o lado oposto, esse lado aqui, será
igual a tangente de "x"

Estonian: 
Tangens on võrdne vastaskaatet jagatud hüpotenuusiga.
Mis on tangens x'st?
.
See oleks võrdne, kui see on täisnurkne kolmnurk
, oleks see
pikkus -- vastas-- jagatud hüpotenuusiga.
Kutsume seda pikkust siin
o'ks.
Mis on hüpotenuusi pikkus?
Mis on suurema kolmnurga alus?
See on ühikring?
Pikkus siit siia on
sammu 1.
Sest see on jälle raadius.
See on 1.
Vastas kaatet jagatud hüpotenuusiga on võrdne tangensiga.
Aga hüpotenuus on 1.
Vastaskülg täpselt siin on
võrdne tangensiga x'st.

Turkish: 
Tanjant neye eşittir? Karşı bölü komşu.
Peki, iks'in tanjantı nedir?
iks'in tanjantı.
Nasıl bulacağız? Üçgen olarak
bu üçgeni alırsak, tanjant ne olur?
Bu uzunluk, yani "karşı", sonra da bölü komşu.
Bu doğru parçasına bir ad verelim.
"O" olsun.
Peki, komşu uzunluk nedir?
Büyük üçgenin bu taban uzunluğu kaçtır?
Bu, "birim çember"di, değil mi?
Yani, burasıyla burası arasındaki uzunluk da
1 olmalı.
Burası, çemberin yarıçapı.
1'e eşit.
Karşı bölü komşu, tanjant iks'e eşittir.
Komşu 1 olduğuna göre,
karşı uzunluk, yani burası,
tanjant iks'e eşit olmalı.

Thai: 
tangent เท่ากับ TOA นั่นคือ ด้านตรงข้ามหารด้านประชิด
ดังนั้น tangent ของ x จะเป็นเท่าไหร่
อืม มันจะเท่ากับ -- เราจะเอามันมา -- หากเราบอก
ว่านี่คือมุมฉาก มันจะเท่ากับความยาว
นี้ -- ด้านตรงข้าม -- หารด้วยด้านประชิด จริงไหม
งั้นเรียกความยาวนี่หารด้วยอันนี้ เรียกด้านนี้
ว่า o แทน ตรงข้าม (opposite)
แต่ความยาวด้านประชิดล่ะ
ฐานอันนี้ของสามเหลี่ยมใหญ่เป็นเท่าไหร่
นี่คือวงกลมหนึ่งหน่วย ใช่ไหม
ดังนั้นระยะทางระหว่างจุดนี้ถึงจุดนี้ -- ระยะนั่น
จะเท่ากับ 1 จริงไหม
เพราะนี่ก็คือรัศมีอีกอัน
เลยเท่ากับ 1
ดังนั้นด้านตรงข้ามหารด้านประชิด เท่ากับ tangent ของ x
แต่ ด้านตรงข้ามส่วนด้านประชิด -- ด้านประชิดเท่ากับ 1 จริงไหม
ดังนั้นความยาวด้านตรงข้าม ด้านนี้ตรงนี้ จะเท่ากับ
tangent ของ x พอดี

Korean: 
대변의 길이 나누기 이웃변의 길이죠
그럼 tan(x)가 어떻게 되죠?
값이 뭐랑 같냐면요
이게 지금 직각삼각형이니까
여기 대변의 길이가 있고
이걸 이웃변의 길이로 나누면 되죠
그럼 이 길이를 볼 때
opposite(대변)의 철자를 따서
O라고 표시를 합시다
이웃변의 길이는 얼마죠?
이 큰 사각형의 밑변의 길이는?
자, 이게 지금 단위원이죠?
그러니까 여기부터 여기까지의 거리
이 거리도 1이 되겠죠?
그냥 반지름이니까요
이게 1이죠
자, tan(x)=대변/이웃변이에요
대변/이웃변인데, 
지금 이웃변이 1이죠?
그럼 이 대변의 길이, 여기 이 변의 길이가요
tan(x)와 같게 되겠죠

English: 
Tangent is equal to TOA:
opposite over adjacent.
So what is a tangent of x?
Well, it would be equal to-- we
could take this-- if we say
that this is the right
triangle, it would be this
length-- the opposite--
over the adjacent, right?
So let's call this length
over here, let's call
this o for opposite.
But what's the adjacent length?
What's this base of
this larger triangle?
Well, it's the unit
circle, right?
So the distance from here
to here-- that distance is
also going to be 1, right?
Because it's just
a radius again.
That's 1.
So opposite over adjacent is
equal to the tangent of x.
But opposite over adjacent--
adjacent is just 1, right?
So the opposite side, this side
right here, it's going to be
equal to the tangent of x.

Polish: 
Tangens jest równy TOA: stosunek przeciwległej (przyprostokątnej) do przyległej.
Zatem czym jest tangens(x)?
Dobrze, to może być równe - możemy wziąć to - jeśli powiemy
że to jest trójkąt, to mogłaby być
ta długość -- przeciwległa - przez przyległa, prawda?
Nazwijmy tę długość
jako "o" czyli opposite (przeciwległa)
Ale jaka jest długość przyległej?
Jaka jest podstawa większego trójkąta?
To jest okrąg jednostkowy, prawda?
Zatem odległość stąd dotąd
powinna się równać 1, tak?
Bo to jest znowu promień.
Czyli 1.
Zatem przeciwległa przyprostokątna przez przyległa równa się tangens od x.
Ale przeciwległa przez przyległa, przyległa to 1, tak?
Zatem przeciwległa, tutaj, będzie równa
tangens od x.

Italian: 
La tangente è uguale a TOA: Opposto su Adiacente.
Quindi cos'è la tangente di x?
Beh, è uguale a - possiamo prendere questo - se diciamo
che questo è il triangolo rettangolo, sarebbe
questa lunghezza - l'opposto - fratto l'adiacente, giusto?
Quindi diamo un nome a questo lato qui, chiamiamolo
O, cioè opposto.
Ma qual'è la lunghezza dell'adiacente?
Qual'è la base di questo triangolo più grande?
Beh, questa è la circonferenza unitaria, giusto?
Quindi la distanza da qui a qui - questa distanza è
sempre 1, giusto?
Perché è ancora un raggio.
Questo è 1.
Perciò opposto fratto adiacente è uguale alla tangente di x.
Ma opposto fratto adiacente - l'adiacente è 1, giusto?
Quindi il lato opposto, questo lato qui, sarà
uguale alla tangente di x.

Spanish: 
La tangente es igual a TOA: opuesto sobre adyacente.
Entonces, ¿qué es la tangente de x?
Pues, sería igual a -- podríamos hacer esto -- si decimos que
éste es el triángulo rectángulo, sería esta longitud --
el cateto opuesto -- sobre el adyacente, ¿verdad?
Entonces vamos a llamar esto la longitud,
y esto 'o' para opuesto.
¿Pero que es la longitud adyacente?
¿Qué es la base de este triángulo más grande?
Pues, es el círculo unitario, ¿no?
Entonces la distancia de aquí hasta aquí, esta distancia también
será 1, ¿verdad?
Porque es simplemente un radio.
Es 1.
Entonces el opuesto sobre el adyacente es igual a la tangente de x.
Pero el opuesto sobre el adyacente -- el adyacente es simplemente 1, ¿verdad?
Así que el lado opuesto, este lado aquí, va a ser igual a
la tangente de x.

iw: 
הטנגנס שווה לTOA: הצלע ממול כפול הצמודה.
אז מהו הטנגנס של איקס?
טוב, זה יהיה שווה ל-- נוכל לקחת את זה -- אם נאמר
שזהו המשולש הימני, זה יהיה
האורך הזה -- ההיפך -- כפול הצמוד, נכון?
אז בואו נקרא לאורך שכאן, בואו נקרא
לזה o עבור המילה נגדי באנגלית.
אבל מהו האורך של הצמוד?
מהו הבסיס של המשולש הגדול יותר?
טוב, זהו מעגל היחידה, נכון?
אז המרחק מכאן לכאן -- המרחק הזה
גם הולך להיות 1, נכון?
בגלל שהו שוב הרדיוס.
זה 1.
אז הנגדי כפול הצמוד שווה לטנגנס של איקס.
אבל נגדי כפול צמוד -- צמוד הוא פשוט 1, מכון?
אז הצלע הנגדית, הצלע הזאת, הולכת להיות
שווה לטנגנס של איקס.

Arabic: 
ظل الزاوية = TOA، اي المقابل / المجاور
اذاً ما هو ظل x؟
.
حسناً، سيساوي --يمكننا ان نأخذ هذا-- اذا قلنا
ان هذا هو المثلث القائم، فسيكون
طول هذا المقابل / المجاور، اليس كذلك؟
لذا دعونا نسمي هذا الطول الموجود هنا، دعونا نسميه
o نسبة الى المقابل
لكن ما هو طول المجاور؟
ما هو طول هذه القاعدة لهذا المثلث الاكبر؟
حسناً، انها دائرة الوحدة، اليس كذلك؟
اذاً المسافة من هنا الى هنا --تلك المسافة
ايضاً ستكون 1، اليس كذلك؟
لأنه مرة اخرى عبارة عن نصف القطر
تساوي 1
اذاً المقابل / المجاور = ظل الزاوية x
لكن المقابل / المجاور --ظل الزاوية هو 1، اليس كذلك؟
اذاً الضلع المقابل، اي هذا الضلع الموجود هنا، سيكون
مساوياً لظل زاوية x

Czech: 
Tangens se rovná TOA - protilehlá ku přilehlé.
Co je tedy tangens "x"?
...
Rovnalo by se to ...Mohli bysme vzít toto...
Pokud řekneme, že
toto je ten pravý trojúhelník, byla by to
tato délka. Protilehlá ku přilehlé, správně?
Nazvěme tuto délku
"o" (česky p) jako protilehlá.
Ale co je přilehlá délka?
Jaká je základna tohoto většího trojúhelníku?
No jedná se přece o jednotkovou kružnici, že?
Proto vzdálenost odtud sem
se bude rovnat 1, nemám pravdu?
Protože se jedná o poloměr.
A ten je 1.
Takže protilehlá ku přilehlé je rovno tangents "x".
Ale protilehlá ku přilehlé ...přilehlá je 1, že?
Proto protilehlá strana, tato strana
se bude rovnat tangens "x".

German: 
Tankend ist TOA, ==> gegenüberliegende Seite/anliegende Seite
Also was ist der Tankens von x?
Also es würde sein,, wir könnten das so machen, wenn wir sagen
DAs das hier ein rechtwinkliges Dreieck ist, das hier würde
die Länge sein... Gegenüberliegende / anliegende, richtig?
Also lass uns die hier so nennen:
o für gegenüberliegende seite
Aber was ist die andere Länge?
Was ist die Basis von dem großen Dreieck?
Also das hier ist ja der Einheitenkreis
Also die Distanz von hier zu hier, diese Distanz ist dann
1, richtig?
Weil, das ist ja wieder nur der Radius.
Und der ist 1.
Also die Gegenüberliegende S./Anliegende S. ist der Tangens x.
Also gegenüberliegende/anliegende==> die anliegende Seite ist wieder nur 1 cm lang, stimmt's?
Also diese Seite hier würde also
genau Tangens von X sein.

Chinese: 
我們稱這個長度
稱它爲o 表示對邊
但鄰邊長度爲多少呢？
這個大三角形
是單位圓 對吧？
所以這裡到這裡的距離
這距離是1 對吧？
因爲這又是一個半徑
長爲1
那麽對邊比鄰邊等於tanx
由於鄰邊爲1
所以對邊的長度
就等於tanx
另一種說法是
tanx等於這條邊除以1
或者說等於這條邊的長度
我把它寫下來
這條邊等於tanx
現在我們來討論

iw: 
או דרך נוספת לומר זאת, הטנגנס של איקס שווה
לצלע הזאת כפול 1, או טנגנס של איקס שווה לצלע הזאת.
תנו לי לרשום את זה.
הצלע הזאת שווה לטנגנס של איקס.
כעת בואו נחשוב על השטח של כמה מחלקי
הצורה שציירתי כאן.
אולי הייתי צריך לצייר את זה קצת יותר גדון, אבל אני חושב
שנוכל לעשות זאת.
אז קודם כל תנו לי לבחור משולש קטן יחסית.
בואו נבחר במשולש שכאן.
אני אסמן אותו בירוק.
המשולש שאני מסמן בירוק -- מה
השטח של המשולש הזה?
טוב, זאת יהיה מחצית המכפלה של הבסיס כפול הגובה.
אז זה חצי כפול הבסיס, ששווה ל1.
נכון?
זהו כל המשולש הזה.
ואז מהו הגובה שלו?
הרגע הסקנו שהגובה הזה,
הגובה הוא הסינוס של איקס.
כפול סינוס של איקס.

Turkish: 
Bir diğer deyişle, tanjant iks, bu kenar bölü 1'dir.
Yani, tanjant iks, bu kenara eşittir.
Bunu yazayım.
Bu kenar, tanjant iks'e eşit.
Tanjant iks.
Şimdi de, bu çizdiğim şeklin bazı bölümlerinin
alanları üzerinden düşünelim.
Biraz daha büyük çizseydim belki daha iyi olurmuş
ama yine de işimizi görür.
Öncelikle, daha küçük bir üçgen seçelim.
Üçgenimiz şu olsun.
Yeşil renkle göstereceğim.
Yeşil renkle gösterdiğim bu üçgenin
alanı nedir?
"Taban çarpı yükseklik"in yarısıdır.
Yani, 1 bölü 2, çarpı taban, yani 1...
-
Bu üçgeni düşünüyoruz.
Peki, yükseklik nedir?
Az önce bulmuştuk. Bu yükseklik neydi?
sinüs iks'ti.
Çarpı sinüs iks.

Polish: 
Inaczej mówiąc tangens od x jest równe
ten bok przez 1, lub tangens od x jest równy temu boku.
Zapiszę to.
Ten bok równy jest tangensowi od x.
Teraz rozważmy pole różnych części
figury, której narysowałem
Może powinienem narysować to nieco większe, ale myślę
że sobie poradzimy.
Zatem najpierw wstawię względnie mały trójkąt.
Zrobię go tutaj.
Zaznaczę go na zielono.
Ten trójkąt zielony - jaka
jest jego powierzchnia?
Ona będzie równa 1/2 razy podstawa razy wysokość.
To jest 1/2 razy podstawa czyli 1.
Prawda?
To jest cały trójkąt.
A teraz, jaka jest wysokość tego?
Właśnie obliczyliśmy, że ta wysokość
jest równa sinus od x.
Razy sinus od x.

German: 
Oder eine andere Art es zu sagen: Tangens (x) = diese Seite
durch 1, oder Tangens (x) ist die Länge dieser Seite
Ich schreib es mal hier hin
Diese Seite entspricht Tangens (x)
Also lass uns nun über die Area von ein paar Teilen hier nachdenken
voon dieser von mir Gemalten Figur
Vielleicht hätte ich es größer zeichnen sollen, aber ich
glaube das passt schon so
Also erstmal suchen wir uns ein relativ kleines Dreieck aus.
Also dieses hier ist gut.
Ich markiere es mal grün.
Also dieses gemarkte Dreieck, was ist
der Flächeninhalt?
Nun gut: 1/2baseHöhe
Also, die Base ist ja 1 also 1/2*base=0.5
richtig?
Es ist dieses ganze Dreieck
Aber was ist die Höhe?
Also, wir haben ja gerade herausgefunden, dass diese Höhe hier
Sinus (x) ist!
also *sin(x)

Korean: 
다시 말하면 tan(x)의 값이
이 변의 길이를 1로 나눈 것,
즉 이 변의 길이와 같은 거예요
한번 써봅시다
여기가 tan(x)예요
이제 이 그림에서 넓이를 좀 따져볼게요
몇몇 부분을요
좀 더 크게 그리면 더 좋았을텐데
이 정도면 괜찮을 것 같네요
비교적 작은 삼각형부터 시작하죠
여기 삼각형을 한 번 볼게요
녹색으로 표시를 하겠습니다
자, 이 녹색 삼각형을 보세요
이 넓이는 어떻게 될까요?
밑변과 높이의 곱의 절반이 되겠죠
1/2 곱하기 밑변의 길이,
여기서는 밑변의 길이가 1이고요
그렇죠?
이 삼각형 전체를 볼 때요
높이는 얼마죠?
아까 얘기한대로 여기 이 높이가
sin(x)가 되죠
곱하기 sin(x)

Portuguese: 
Outra modo de dizer isso, tangente de "x" é igual a esse
lado sobre um, ou tangente de "x" é igual a esse lado.
Deixe-me escrever isso aqui em baixo.
Esse lado é igual a tangente de "x".
Agora, vamos pensar na área de algumas partes dessa
figura que eu desenhei aqui.
Talvez eu devia ter desenha um pouco maior, mas eu acho
que será possível fazer isso.
Primeiro deixe-me pegar um triângulo relativamente pequeno.
Vamos fazer esse triângulo aqui.
Vou desenhá-lo em verde.
Então, esse triângulo que estou em verde -- Qual
a área desse triângulo?
Bem, a base vezes altura sobre dois.
Então é metade da base, que é um.
Certo?
É esse triângulo inteiro
e qual sua altura?
Bem, nós acabamos de descobrir que essa altura aqui, que
essa altura é seno de "x".
Vezes seno de "x".

Thai: 
หรือพูดอีกอย่างคือว่า tangent ของ x เท่ากับ ด้านนี้
ส่วนด้วย 1 หรือ tangent ของ x เท่ากับด้านนี้นั่นเอง
งั้นขอผมเขียนลงไปนะ
ด้านนั้นเท่ากับ tangent ของ x
ทีนี้ ลองดูพื้นที่ของส่วนต่าง ๆ
ในภาพที่ผมวาดไปกันบ้าง
บางทีผมควรวาดให้ใหญ่หน่อย แต่ผมว่า
มันใช้ได้แล้ว
งั้นอย่างแรก ขอผมเลือกสามเหลี่ยมรูปเล็กนี่
ลองคิดสามเหลี่ยมอันนี้ดู
ผมจะลอกมันด้วยสีเขียว
สามเหลี่ยมนี้ที่ผมวาดทับด้วยสีเขียว -- มันมี
พื้นที่เท่าไหร่
มันจะเท่ากับ 1/2 คูณฐาน คูณสูง
ดังนั้นมันเท่ากับ 1/2 คูณ ฐาน เท่ากับ 1
จริงไหม
นั่นคือสามเหลี่ยมทั้งหมดนี่
แล้วความสูงล่ะ
เราเพิ่งหาความสูงตรงนี้ไป
ความสูงนี่ก็คือ sine ของ x
คูณ sine ของ x

Estonian: 
Või teine viis kuidas seda õelda, tangens x'st on võrdne
külg jagatud 1'ga, või tangens x'st on võrdne küljega.
Kirjutan selle üles.
See külg on võrdne tangens x'ga.
.
Mõtleme nüüd paari osa pindala peale
sellel joonisel.
Võib-olla ma peaksin selle joonistame veidi suuremalt, aga
ma arvan, et ma saan hakkama.
Las ma võtan ühe suhteliselt väikse kolmnurga.
Teeme selle siia.
Ma märgin selle rohelisega.
Mis on
selel kolmnurga pindala?
See on 1/2 korda alus korda kõrgus.
1/2 korda kõrgus, mis on 1.
.
Terve see kolmnurk.
Ja mis on selle kõrgus?
Me just jõudsime järeldusele, et see kõrgus siin,
on siinus x'st.
Korda siinus x.

Czech: 
Nebo také tangens "x" se rovná
této straně lomeno 1, nebo tangens "x"
se rovná této straně.
Napíšu to.
Tato strana se rovná tangens "x".
...
Nyní se zamysleme nad obsahy některých částí
obrazce, který jsem tu nakreslil.
Možná jsem ho měl nakreslit trošku větší,
ale myslím si, že
budeme schopni s ním pracovat.
Nejprve zvolím relativně malý trojúhelník.
Věnujme se tomuto trojúhelníku.
Vyznačím ho zeleně.
Tento trojúhelník, který značím zeleně,
jaký je jeho obsah?
Bude se rovnat 1/2 krát základna krát výška.
Takže je to 1/2 krát základna, která je 1.
Správně?
Je to celý tento trojúhelník.
A jaká je jeho výška?
Právě jsme přišli na to, že jeho výška,
tato výška je sin "x".
krát sin "x".

Arabic: 
او بطريقة اخرى، ان ظل زاوية x يساوي هذا
الضلع / 1، او ان ظل الزاوية x مساوياً لهذا الضلع
دعوني اكتب هذا
ذلك الضلع يساوي ظل الزاوية x
.
الآن، دعونا نفكر بمساحة مجموعة من اجزاء هذا
الشكل الذي قمت برسمه هنا
ربما يتوجب علي ان ارسمه بشكل اكبر، لكنني اعتقد
اننا قادرون على ذلك
اذاً اولاً دعوني اختار مثلثاً صغيراً
لنأخذ هذا المثلث الموجود هنا
سأحدده باللون الاخضر
اذاً هذا المثلث الذي اقوم بتحديده باللون الاخضر --ما هي
مساحة ذلك المثلث؟
حسناً، ستكون 1/2 × القاعدة × الارتفاع
اذاً هي 1/2 × القاعدة، اي 1
اليس كذلك؟
انها بالنسبة للمثلث كاملاً
ثم ما هو ارتفاعه؟
حسناً، لقد اوجدنا ان هذا الارتفاع الموجود هنا، ان
ذلك الارتفاع عبارة عن جيب x
× جيب x

English: 
Or another way of saying it,
tangent of x is equal to this
side over 1, or tangent of
x is equal to this side.
So let me write that down.
That side is equal to
the tangent of x.
Now, let's think about the area
of a couple of parts of this
figure that I've drawn here.
Maybe I should have drawn it
a little bigger, but I think
we'll be able to do it.
So first let me pick a
relatively small triangle.
So let's do this
triangle right here.
I'll trace it in green.
So this triangle that I'm
tracing in green-- what is
the area of that triangle?
Well, that's going to be 1/2
times base times height.
So it's 1/2 times the
base, which is 1.
Right?
It's this whole triangle.
And then what's
the height of it?
Well, we just figured out that
this height right here, that
this height is sine of x.
Times sine of x.

Portuguese: 
Ou, podemos dizer que tangente de x é igual a
esse lado sobre 1, ou tangente de x é igual a esse lado.
Então, deixe-me escrever isso.
Esse lado é igual a tangente de x.
.
Agora, vamos pensar na área de algumas partes dessa
figura que eu desenhei.
Eu deveria ter desenhado maior, mas
assim vai dar.
Primeiro, vou pegar um triângulo pequeno.
Vamos pegar esse aqui.
Vou tracejar o triângulo de verde.
Então esse triângulo que estou tracejando de verde,
qual é a área dele?
Vai ser 1/2 vezes a base vezes a altura.
É 1/2 vezes a base, que vale 1.
Certo?
É esse triângulo todo.
Então qual é a altura do triângulo?
Acabamos de descobrir que essa altura aqui
vale sen(x).
vezes sen(x).

Modern Greek (1453-): 
Ή άλλο τρόπο λέγοντας πως, εφαπτομένη του x είναι ίση με αυτή
πλευρά πάνω από 1, ή την εφαπτομένη του x ισούται με αυτή την πλευρά.
Επιτρέψτε μου ότι γράψετε.
Η άλλη πλευρά είναι ίση με την εφαπτομένη του x.
Τώρα, ας σκεφτούμε για την περιοχή των δυο τμήματα του παρόντος
σχήμα που σας έχετε ληφθεί εδώ.
Ίσως θα πρέπει να κατέληξα αυτό λίγο μεγαλύτερα, αλλά πιστεύω ότι
θα είμαστε σε θέση να το κάνουμε.
Ώστε πρώτα επιτρέψτε μου διαλέξετε έναν σχετικά μικρό τρίγωνο.
Ας κάνουμε αυτό το τρίγωνο δεξιά εδώ.
Εγώ θα την ιχνογραφήσετε με πράσινο χρώμα.
Έτσι αυτό το τρίγωνο που εγώ ανίχνευσης στο πράσινο--τι είναι
η περιοχή αυτού του τριγώνου;
Καλά, ότι πρόκειται να είναι 1/2 φορές βάσης φορές ύψος.
Επομένως, είναι 1/2 φορές η βάση, που είναι 1.
Δικαίωμα;
Είναι αυτό το σύνολο τρίγωνο.
Και, στη συνέχεια, ποιο είναι το ύψος του;
Καλά, ανακαλύψαμε απλώς ότι αυτό το ύψος δεξιά εδώ, που
Αυτό το ύψος είναι το ημίτονο του x.
Ημίτονο φορές x.

Chinese: 
图的这几个部分的面积
或许我该画得大点
但我想我们可以解决的
首先我选择较小的三角形
也就是这一个
用绿色描一下
我用绿色涂的这个三角形
面积是多少？
应该是二分之一底乘高
二分之一底 底是1
对吧？
这是整个三角形
它的高是多少呢？
刚才我们已经计算出来了
高是sinx
乘以sinx
这是那个绿色的三角形的面积
那么这个扇形的面积--
我用其他颜色描一下
用红色
这个扇形的面积是多少
这个扇形

Chinese: 
圖的這幾個部分的面積
或許我該畫得大點
但我想我們可以解決的
首先我選擇較小的三角形
也就是這一個
用綠色描一下
我用綠色塗的這個三角形
面積是多少？
應該是二分之一底乘高
二分之一底 底是1
對吧？
這是整個三角形
它的高是多少呢？
剛才我們已經計算出來了
高是sinx
乘以sinx
這是那個綠色的三角形的面積
那麽這個扇形的面積--
我用其他顏色描一下
用紅色
這個扇形的面積是多少
這個扇形

Spanish: 
Otro modo de edecirlo es, tangente de x es igual a
este lado sobre 1, o tangente de x es igual a este lado.
Así que voy a escribir esto.
Este lado es igual a la tangente de x.
Ahora, pensemos sobre el área de un par de partes de esta
figura que he dibujado aquí.
Tal vez debía habelo dibujado más grande, aunque
pienso que seremos capaces de hacerlo.
Primero, tomemos un triángulo relativamente pequeño.
Hagamos este triángulo justo aquí.
Lo pondré en verde.
Esye triángulo que dibujo aquí en verde---¿cual es el área de
este triángulo?
Bueno, pues va a ser la mitad (1/2) de la base por la altura.
Así que es 1/2 veces la base, qué es 1.
¿De acuerdo?
Es todo el triángulo.
Y luego, ¿Cual es su altura?
Bien, acabamos de ver que esta altura de aquí, que
esta altura es seno de x.
Por seno de x.

Italian: 
O, se vogliamo dirla in un altro modo, la tangente di x è uguale a questo
lato fratto 1, ovvero la tangente di x è uguale a questo lato.
Fammelo scrivere.
Questo lato è uguale alla tangente di x.
Ora, pensiamo all'area di un paio di parti di questa
figura che ho disegnato.
Forse l'avrei dovuta disegnare un po' più grande, ma penso
che ce la faremo.
Per prima cosa prendiamo il triangolo più piccolo.
Questo triangolo qui.
Lo traccerò in verde.
Quindi il triangolo che sto disegnando in verde - quant'è
l'area di questo triangolo?
Beh, sarà base per altezza diviso 2.
Quindi è 1/2 per la base, che è 1.
Giusto?
E' questo triangolo.
E poi qual'è la sua altezza?
Beh, abbiamo appena capito che quest'altezza qui, che
quest'altezza è seno di x.
Per seno di x.

Arabic: 
.
وهذا بالنسبة لذلك المثلث الاخضر، اليس كذلك؟
الآن، ما هي مساحة --ليس ذلك المثلث الاخضر
دعوني ارسمه بلون آخر
دعوني ارسمه باللون --اوه، سأرسمه باللون الاحمر
ما هي مساحة pi هذا؟
pi الموجود هنا
pi ذلك
اتمنى انكم ترون --حسناً، انه ليس لون مختلف تماماً
اذاً pi هذا الموجود هنا
او انني سأنتقل الى هنا
ومن ثم انتقل على القوس
انه اكبر بقليل من المثلث الذي
اوجدناه، اليس كذلك؟
سيكون دائماً اقل بقليل، لأنه
يتضمن هذه المساحة التي تقع بين ذلك المثلث والقوس، اليس كذلك؟
ما هي مساحة القوس؟
.
حسناً، اذا كانت هذه الزاوية هي x --انها x راديان-- ما هو الكسر
لذلك والذي يقع خارج دائرة الوحدة؟
حسناً، يوجد 2pi راديان بالمجمل في دائرة الوحدة، اليس كذلك؟

Polish: 
Zatem to jest ten zielony trójkąt
Teraz, jaka jest powierzchnia tego niezielonego trójkąta?
Zrobię go innym kolorem.
Powiedzmy, że w czerwonym.
Jakie jest pole tego wycinka?
Tego wycinka tutaj.
Tego wycinka.
Mam nadzieje, że widzicie, to nie jest wystarczająco inny kolor.
Czyli, ten wycinek tutaj.
A może tutaj.
Idę na łuk.
Zróbmy to nieco większe niż trojkąt
który już wyliczyliśmy, dobrze?
On zawsze będzie troszkę większy, no bo on
zawiera powierzchnie pomiędzy trójkątem i łukiem, tak?
Jakie jest pole wycinka?
Cóż, jeśli ten kąt jest x, tzn x radianów - jaka część
tego jest poza całym kołem jednostkowym?
Tam jest 2pi radianów w całym kole jednostkowym,

Thai: 
นั่นคือสามเหลี่ยมสีเขียวนี่ จริงไหม
ทีนี้ พื้นที่ของ -- ไม่ใช่สามเหลี่ยมสีเขียวนะ
ขอผมใช้อีกสีนึงแล้วกัน
ขอผมใช้ -- โอ้ ผมใช้สีแดงแล้วกัน
พื้นที่ของชิ้นพายนี่เท่ากับเท่าไหร่
ชิ้นพายตรงนี้
พายนั่น
หวังว่าคุณคงเห็น -- อืม สีอาจใกล้เกินเกินไป
มันคือพายตรงนี้
ผมจะไปตามนี้
แล้วผมจะไปตามเส้นโค้ง
ดังนั้นมันจะใหญ่กว่าสามเหลี่ยมที่เรา
เพิ่งหาไป จริงไหม
มันจะใหญ่กว่านิดหน่อยเสมอ เพราะมันรวม
พื้นที่ระหว่างสามเหลี่ยมนั่นกับเส้นโค้ง ถูกไหม
แล้วพื้นที่ของรูปโค้งนั่นเป็นเท่าไหร่
อืม หากมุมนี้เท่ากับ x -- มันคือ x เรเดียน -- ส่วนนี้
จะเป็นสัดส่วนเท่าไหร่ของวงกลมหนึ่งหน่วยทั้งอัน
ในวงกลมหนึ่งหน่วย มีมุมรวม 2 pi เรเดียน ใช่ไหม

Estonian: 
.
See on see roheline kolmnurk siin.
Mis on selle kolmnurga pindala?
Ma teen selle teise värviga.
Ma teen punasega.
Mis on selle sektori pindala?
.
.
See ei ole küllalt teistsuguse värviga.
.
Ma lähen siia.
Ja siis mõõda kaart.
See on natuke suurem kui kolmnurk, mille
me just leidsime.
See on alati natuke suurem, sest
see koosneb ka pindalast kolmnurga ja kaare vahel.
Mis on selle selle kaare pindala?
.
Kui see nurk on x radiaani, mis osa
moodustab ta kogu ringist?
Kogu ühikringis on 2 pi radiaani.

iw: 
אז זהו המשולש הירוק שכון, נכון?
עכשיו, מהו השטח של -- לא של המשולש הירוק הזה.
תנו לי לסמן את זה בצבע אחר.
תנו לי לעשות זאת -- או, אני אעשה זאת באדום.
מה השטח של הפיי הזה?
הפיי שכאן.
הפיי הזה.
מקווה שאתם רואים -- טוב, זה לא צבע שונה מספיק.
אז, הפיי הזה שכאן.
או שאני אלך לכאן.
ואז אני ממשיך אל הקשת.
זה קצת יותר גדול מהמשולש שאנו
הרגע בדקנו, נכון?
זה תמיד הולך להיות מעט כגדול יותר, כי זה
מכיל את הזטח בין המשולש לקשת, נכון?
מה השטח של הקשת הזאת?
טוב, אם הזווית היא איקס -- זה איקס רדיאנים -- מה החלק
של זה מתוך כל מעגל היחידה?
טוב, במעגל יחידה שלם יש 2 פיי רדיאנים, נכון?

Modern Greek (1453-): 
Λοιπόν εδώ, το πράσινο τρίγωνο δεξιά;
Τώρα, ό, τι είναι η περιοχή της--δεν το πράσινο τρίγωνο.
Επιτρέψτε μου να κάνουμε με ένα άλλο χρώμα.
Επιτρέψτε μου να το κάνουμε σε--ω, θα το κάνω με κόκκινο χρώμα.
Τι είναι η περιοχή της παρούσας pi;
Αυτό ακριβώς εδώ pi.
Ότι pi.
Ελπίδα βλέπετε--καλά, ότι δεν είναι αρκετά διαφορετικό χρώμα.
Έτσι, αυτή η pi δεξιά εδώ.
Ή θα υπάρχουν.
Και στη συνέχεια θα επί του τόξου.
Ώστε να είναι λίγο μεγαλύτερο από το τρίγωνο μας
απλώς κατάλαβα, δικαίωμα;
Πρόκειται πάντοτε να είναι λίγο μεγαλύτερο, διότι αυτό
περιλαμβάνει αυτόν τον τομέα μεταξύ αυτού του τριγώνου και το τόξο, σωστά;
Τι είναι η περιοχή του το τόξο;
Καλά, εάν η γωνία αυτή είναι x--είναι radiance x--τι κλάσμα
Αυτό είναι εκτός του κύκλου ολόκληρη μονάδα;
Λοιπόν, υπάρχουν 2 ακτινίων π σε συνολικές μονάδα κύκλο, δικαίωμα;

Portuguese: 
.
É esse triângulo verde aqui, certo?
Agora, qual é a área do-- não do verde.
Deixe-me fazer em outra cor.
Vou fazer em vermelho.
Qual é a área desse setor?
Esse setor circular aqui.
Esse setor.
Essa não é uma cor diferente.
Então, esse setor aqui.
Vou tracejar.
por cima do arco.
então é um pouco maior que o triângulo
que acabamos de ver, certo?
vai sempre ser um pouco maior, porque
o setor inclui essa área entre o triângulo e o arco, certo?
Qual é a área desse setor?
?
Bem, se esse ângulo é x-- em radianos-- qual parte
o setor representa de todo o círculo?
Bem, uma volta completa vale 2pi radianos, certo?

Korean: 
이게 녹색 삼각형의 넓이죠?
자, 그럼 이 삼각형--
이 녹색 삼각형은 아니고요
다른 색으로 해볼게요
무슨 색으로 하냐면--
붉은색으로 할게요
이 부채꼴의 넓이는 얼마죠?
여기 이 부채꼴이요
이 부채꼴
잘 보이시나요?
좀 더 잘 보이는 색으로 하면요
지금 이 부채꼴이에요
이쪽을 타는 거죠
이 호를 따라 가는 거예요
넓이가 아까 그 녹색 삼각형보다는
조금 더 크겠죠?
이 삼각형하고 호 사이의 넓이를 포함하니까
항상 넓이가 좀 더 커지겠죠
넓이가 어떻게 됩니까?
여기 이 각이 x고요
물론 라디안이고
전체 단위원을 봤을 때 
차지하는 비율이 얼마죠?
단위원에 2π 라디안만큼 있겠죠?

Italian: 
Quindi questo è il triangolo verde, giusto?
Ora, qual'è l'area di - non il triangolo verde.
Lo faccio in un altro colore.
Facciamolo in - oh, lo faccio in rosso.
Qual'è l'area di questo settore?
Questo settore qui.
Questo qua.
Spero tu veda - beh, non è un colore così differente.
Quindi, questo settore qui.
O vado qui.
E poi vado sull'arco.
Ora, è un po' più grande del triangolo che
abbiamo appena calcolato, giusto?
Sarà sempre un po' più grande, perché
include l'area tra questo triangolo e l'arco, giusto?
Quant'è l'area di questo arco?
Beh, se quest'angolo è x - e' x radianti - che frazione
è questo settore dell'intera circonferenza?
Beh, ci sono 2 pi greco radianti in una circonferenza unitaria intera, giusto?

English: 
So that's this green
triangle here, right?
Now, what is the area of--
not that green triangle.
Let me do it in another color.
Let me do it in-- oh,
I'll do it in red.
What is the area of this pi?
This pi right here.
That pi.
Hope you see-- well, that's
not a different enough color.
So, this pi right here.
Or I'm going there.
And then I'm going on the arc.
So it's a little bit bigger
than the triangle we
just figured out, right?
It's always going to be a
little bit bigger, because it
includes this area between that
triangle and the arc, right?
What is the area of that arc?
Well, if this angle is x-- it's
x radians-- what fraction
of that is out of the
entire unit circle?
Well, there are 2 pi radians in
a total unit circle, right?

Turkish: 
-
Bu yeşil üçgenin alanını yazdım.
Peki, şunun alanı... Yeşil üçgenin değil.
Onu da başka renkle göstereyim.
Onu da... Onu da kırmızıyla göstereyim.
Bu dilimin alanı nedir?
Bu dilimin.
İşte bunun.
Umarım görünüyordur. Rengi pek de farklı olmadı.
İşte bu dilimin.
Bu çizdiğim.
Yayı kapsıyor.
Az önceki üçgenden biraz daha
büyük.
Her zaman biraz daha büyüktür çünkü
üçgenle yay arasındaki bu küçük alanı da kapsar.
Peki, buranın alanı nedir?
-
Bu açı, radyan cinsinden iks'e eşit ise,
"birim çember"e oranı nedir?
Birim çember, "2 pi radyan"dır, değil mi?

Chinese: 
這兒的這個扇形
希望你們看的出來這是個不同的顏色
那麽 這個扇形
一直到這兒
一直到這段弧
它比我們剛才計算的三角形
大一點 對吧？
它總會大那麽一點
因爲它包含三角形
和圓弧之間的區域 對吧？
那段弧形區域的面積是多少?
如果這個角是x-- x弧度
它占整個單位圓的百分比是多少？
一個單位圓有2π的弧度
那麽這個區域面積是多少呢？
它等於x占整個單位圓弧度
的百分比
也就是x除以
整個單位圓的2π弧度
所以它是-- 你們知道
用角度表示的話 是它比上

German: 
joa!.
Also es war hier dieses grüne Dreieck,
Also was ist die Area von, ... nicht dieses grüne
Ich mach es mal in einer anderen Farbe!
Hmm, ich werde es in rot machen!
Was ist die Area von diesem Kreisstück
Diesem hier Kreisstück hier
Diesem
Ich hoffe ihr könnt es sehen, ne die Farbe ist blöd
So, also dieses Kreisstück
NE ich mach es mal hier
Okay, jetzt nehme ich mal den Bogen hier,
Also es ist ein bisschen größer als das Dreieck
ja?
Es ist immer ein bisschen größer, weil es ja
hier noch den Platz zwischen Bogen und Dreieck hat
Was ist der Flächeninhalt vom Bogen/Kreisstück?
...
Also, wenn dieser Winkel hier X ist, welche Teil ist das
von dem ganzen Kreis gesamt?
Also es gibt zwei Kreisbögen in einem ganzen Einheitenkreis, richtig?

Chinese: 
这儿的这个扇形
希望你们看的出来这是个不同的颜色
那么 这个扇形
一直到这儿
一直到这段弧
它比我们刚才计算的三角形
大一点 对吧？
它总会大那么一点
因为它包含三角形
和圆弧之间的区域 对吧？
那段弧形区域的面积是多少?
如果这个角是x-- x弧度
它占整个单位圆的百分比是多少？
一个单位圆有2π的弧度
那么这个区域面积是多少呢？
它等于x占整个单位圆弧度
的百分比
也就是x除以
整个单位圆的2π弧度
所以它是-- 你们知道
用角度表示的话 是它比上

Czech: 
...
Odpovídá to tomuto zelenému trojúhelníku,
nemám pravdu?
Teď jaký je obsah toho většího nezeleného trojúhelníku?
Na něj použiju jinou barvu.
Udělám to ..oh... Použilu červenou.
Jaký je obsah této kruhové výseče?
Této výseče přímo zde.
Tato výseč.
Doufám, že vidíte... No to není zas takový rozdíl v barvě.
Tedy tato výseč.
...
...
Je to o něco větší než trojúhelník,
kterým sme se právě zabývali.
Bude to vždycky trochu větší, protože
k tomu patří obsah oblasti mezi tímto trojúhelníkem a obloukem, správně?
Jaký je obsah této výseče?
...
Pokud je tento úhel "x" v radiánech, jakou část
z celé kružnice tato výseč zaujímá?
Celé kružnici odpovídá 2 pi radianů.
Nemám pravdu?

Spanish: 
Entonces, es este triángulo de aquí, ¿si?
Ahora, cual es es área de--no de este triángulo verde.
Lo voy a hacer de un color diferente.
Voy a hacerlo en--voy a hacerlo en rojo.
¿Cual es el área de este pi?
Este pi de aquí.
Este pi.
Espero que lo vean--este color no parece distinguirse bien.
Así que, este pi de aquí.
O me voy allí.
Y lugo me voy al arco.
Y es un poco más grande que el triángulo que
acabamos de resolver, ¿sí?
Siempre va a ser un poco más grande, porque incluye
este área entre este triángulo y el arco, ¿de acuerdo?
¿Cual ers el área del arco?
bien, si este ángulo es x--, son los radianes de x--¿que fracción
queda fuera de la unidad del círculo?
Bien, hay 2 pi radianes en la unidad total del círculo. ¿si?

Portuguese: 
Então é esse triângulo verde aqui,certo?
Agora, qual a área do -- não do triângulo verde.
Deixe-me desenhar em outra cor.
Deixe-me desenhar em -- oh, vou desenhar de vermelho.
Qual a área desse pi?
Esse pi aqui.
Esse pi.
Espero que você veja-- bem, não é uma cor muito diferente.
Então, esse pi aqui.
Ou eu vou lá.
Agora eu vou no arco.
Esse é um pouco maior que o triângulo
que nós descobrimos, certo?
Sempre será um pouco maior, porque isso
inclui a área entre esse triângulo e o arco, certo?
Qual a área do arco?
Bem, se esse ângulo é "x" --it's x radiance-- qual parte
disso está completamente fora do círculo unitário?
Bem, existe dois pi radianos num círculo unitário completo, certo?

iw: 
אז השטח שכאן הולך להיות שווה ל-מה?
זה הולך להיות שווה לחלק איקס של כלל
הרדיאנים של מעגל היחידה, נכון?
אז זה איקס רדיאנים לחלק ל2 פיי רדיאנים
בכל מעגל היחידה.
אז זהו סוג השבר של -- אתם יודעים, אם
השתמשתם במעלות -- השבר שמתקבל הוא חלקי 360
מעלות, כפול השטח של כל המעגל, נכון?
זה אומר לנו מהו החלק של המעגל, ואנחנו
מתכוונים לחלק את זה בשטח של
כל המעגל.
טוב, מה השטח של כל המעגל?
טוב, השטח הוא פיי כפול הרדיוס בריבוע, הרדיוס הוא 1, נכון?
אז שטח המעגל הוא פשוט פיי.
פיי כפול רדיוס בריבוע, רדיוס שווה ל1, אז השטח של המעגל -- אז
השטח של הטריז כאן, הולך להיות שווה ל--
הפיי-ים האלה מתקזזים -- זה שווה לאיקס חלקי 2.

Arabic: 
اذاً هذه المساحة كم تساوي؟
ستكون مساوية لكسر x من اجمالي
الراديان في دائرة الوحدة، اليس كذلك؟
اذاً هي x راديان / 2 pi راديان في
دائرة الوحدة كلها
اذاً هذا هو الكسر الذي --كما تعلمون، انه اذا
حسبتموه بالدرجة-- فإن الكسر المقسوم على 360
درجة، × مساحة الدائرة الكلية، اليس كذلك؟
هذا يوضح لنا الكسر الذي لدينا من الدائرة، و
سوف نضرب ذلك بمساحة
الدائرة الكلية
حسناً، ما هي المساحة الكلية للدائرة؟
حسناً، المساحة هي ( pi r)^2، نصف القطر هو 1، اليس كذلك؟
اذاً مساحة الدائرة الكلية ستكون pi
.
(pi r)^2، و r = 1، اذاً مساحة الدائرة --اذاً
مساحة هذا الوتد ستساوي
--تلك الـ pi يتم حذفهم-- يساوي x / 2

Turkish: 
Peki, bu alan neye eşit olur?
Şuna eşit olur: radyan cinsinden iks açısı, bölü,
radyan cinsinden "birim çember".
iks bölü "2 pi",
yani "birim çember"in tamamı.
Bu da şu demek oluyor...
Derece cinsinden yapsaydık, bu dilimin açısı,
bölü 360 derece diyecektik. Bu oran, çarpı, dairenin toplam alanı.
Bu oran, dairenin kaçta kaçı olduğunu söylüyor.
Onu da, dairenin toplam alanıyla
çarpıyoruz.
Peki, dairenin toplam alanı nedir?
Alan; "pi re kare"dir. Yarıçap, 1 olduğuna göre,
dairenin toplam alanı pi'dir.
-
"pi re kare". re, 1 olduğundan, dairenin alanı budur.
O hâlde, bu dilimin alanı neye eşit olur?
pi'ler sadeleşir. "iks bölü 2".

German: 
Also diese Fläche ist wie groß?
Sie ist genauso groß, wie der Teil x zu der Anzahl
aller Radianten im Einheitenkreis!
Also ==> x * Radianten / 2PIRadianten
im ganzen Kreis
Also das ist Art von Bruch, den von--Wissen Sie, wenn
wir haben es in Grad --den Bruch, den dies mehr als 360 ist
Grad, mal die ganze Kreisfläche, richtig?
Dies sagt uns welcher Bruchteil des Kreises sind wir, und wir sind
zu multiplizieren, die wollen mal den Bereich der
der ganze Kreis.
Nun, was die ganze Kreisfläche ist?
Nun, ist Pi R kariert, ist der Radius 1, richtig?
So ist die ganze Kreisfläche nur Pi.
Pi r quadriert, R 1, so ist die Fläche des Kreises--so dass die
Bereich dieser Keil hier geht jetzt gleich zu sein--
Diese Pi Abbrechen aus--ist es gleich x mehr als 2.

Spanish: 
Así que este área de aquí ¿va a ser igual a qué?
Va a ser igual a la fracción de x del total de
radianes de la unidad del círculo. ¿si?
Entonces, son x radianes sobre 2 pi radianes en
toda la unidad del círculo.
Este es el tipo de fracción que se obtiene de--como
si lo hiciéramos en grados--la fracción que resulta sobre 360.
grados, por el área de todo el círculo, ¿lo ven?
Esto nos dice que fracción tenemos del círculo, y vamos
a multiplicar esto por el área de
el círculo entero.
Bien, ¿cual es el área del círculo entero?
El área es pi r cuadrado, el radio es 1, ¿si?
Así que, el área del círculo entero es pi.
Pi r cuadrado, r es 1, poir lo tanto el área del círculo--por
lo tanto el área de esta porción aquí, va a ser igual a--
este pi se anula--es igual a x sobre 2.

Portuguese: 
então essa área será igual a quanto?
será igual a fração de x sobre o total
de radianos de uma volta, certo?
Então é x radianos sobre 2pi radianos
da volta completa.
Essa é a proporção do setor--
--se fosse em graus-- seria sobre 360
graus, vezes a área do círculo, certo?
Isso nos dá a proporção do setor em relação ao círculo
então vamos multiplicar pela área
do círculo.
qual é a área do círculo?
a área vale pi vezes o raio ao quadrado, que é 1, certo?
então a área vale apenas pi.
.
pi vezes r ao quadrado, r é 1, então a área
do setor aqui será igual a--
-- cancelando os pi-- igual a x sobre 2.

English: 
So this area right here is
going to be equal to what?
It's going to be equal to the
fraction x is of the total
radians in the unit
circle, right?
So it's x radians over
2 pi radians in the
entire unit circle.
So that's kind of the fraction
that this is of-- you know, if
you did it in degrees-- the
fraction that this is over 360
degrees, times the area of
the whole circle, right?
This tells us what fraction we
are of the circle, and we're
going to want to multiply that
times the area of
the whole circle.
Well, what's the area
of the whole circle?
Well, area is pi r squared,
the radius is 1, right?
So the area of the entire
circle is just pi.
Pi r squared, r is 1, so the
area of the circle-- so the
area of this wedge right here,
is just going to be equal to--
these pi's cancel out--
it's equal to x over 2.

Thai: 
ดังนั้นพื้นที่ดังกล่าวจะเท่ากับเท่าไหร่
มันจะเท่ากับสัดส่วน x ของพื้นที่ทั้งหมดใน
วงกลมหนึ่งหน่วย จริงไหม
ดังนั้น มันคือ x เรเดียน ส่วน 2 pi เรเดียน ของวงกลม
หนึ่งหน่วยทั้งหมด
นั่นคือสัดส่วนที่เป็น -- คุณก็รู้ หาก
คุณคิดมันในหน่วยองศา -- อัตราส่วนก็เทียบเอาจาก
360 องศา คูณกับพื้นที่วงกลมทั้งหมด จริงไหม
นี่บอกเราว่าอัตราส่วนจากวงกลมนี้เป็นเท่าไหร่ แล้ว
เราก็จะคูณมันกับพื้นที่
ของวงกลมทั้งอัน
ทีนี้ พื้นที่ของวงกลมทั้งอันเป็นเท่าไหร่
พื้นที่ เท่ากับ pi r ยกกำลังสอง รัศมีเท่ากับ 1 ถูกไหม
ดังนั้นพื้นที่ของวงกลมทั้งอันก็แค่ pi
pi r กำลังสอง r คือ 1 ดังนั้นพื้นที่วงกลม -- ดังนั้น
พื้นที่ของชิ้นเตรงนี้ มันก็จะเท่ากับ --
pi พวกนี้ตัดกัน -- มันเลยเท่ากับ x ส่วน 2

Italian: 
Quindi quest'area qui dev'essere uguale a cosa?
Dev'essere uguale alla frazione che e' x del totale dei
radianti della circonferenza unitaria, giusto?
Quindi è x su 2 pi greco radianti dell'
intera circonferenza unitaria.
Quindi è tipo la frazione che sarebbe se, insomma,
l'avessi fatto in gradi e non in radianti, questa frazione qui fratto 360
gradi, per l'area dell'intero cerchio, giusto?
Questo ci dice quale frazione abbiamo del cerchio, e la vogliamo
moltiplicare per l'area dell'
intero cerchio.
Bene, quant'è l'area dell'intero cerchio?
Beh, l'area è pi greco r quadro, il raggio è 1 giusto?
Quindi l'area dell'intero cerchio è solo pi greco.
pi greco r quadro, r è 1, quindi l'area del cerchio - quindi
l'area di questa fetta qui, è uguale a -
questi pi greco si cancellano - è uguale a x mezzi.

Korean: 
그럼 이 넓이가 얼마가 되죠?
일단 단위원에서 x가 차지하는 비율
비율을 먼저 곱해야 할 거고요
x를 단위원에 있는 2π 라디안만큼
나눠주면 되죠
이게 지금 어떤 비율이냐면
라디안이 아니고 각도로 계산했을 때
360도로 나누고
거기다 원의 넓이를 곱해주는 그거예요
전체 원에서 이 부분이 차지하는 비율이고
이걸 전체 원의 넓이를 계산해서
거기다 곱하고 싶은 거죠
원의 넓이는 얼만가요?
π 반지름 제곱이죠
지금 반지름 길이는 1이죠?
그러니까 원 넓이는 정확히 π고요
π r 제곱, r=1이니까
원의 넓이를 보면
이 조각의 넓이를 보면
그게 뭐랑 같냐면
여기 π가 지워지니까
x/2랑 같겠죠

Czech: 
Takže tento obsah bude jak velký?
Bude se rovnat jedné xtině ze všech radiánů
v jednotkové kružnici. Nemám pravdu?
Odpovídá to tedy "x" radiánů lomeno 2 pi radiánů
z celé jednotkové kružnice.
Je to stejný zlomek, jako kdyby ste použili
stupně. Tedy "x" ve stupních lomeno 360
krát obsah celého kruhu.
Toto nám říká, jak velkou část z kruhu zabíráme.
A my to ještě vynásobíme obsahem
celého kruhu.
A jak se vypočítá obsah kruhu?
Obsah se rovná pi krát r na druhou. Poloměr víme, že je 1.
To znamená, že obsah jednotkového kruhu je pi.
...
Pi krát r na druhou. Poloměr r je 1.
Obsah této výseče se bude rovnat
...Pi se vykrátí... "x" lomeno 2.

Chinese: 
360度
乘以整個圓的面積 對吧？
這告訴我們扇形占圓的比例
我們要用它乘以
整個圓的面積
這個單位圓的面積是多少呢？
面積等於πr方 半徑是1 對吧？
所以整個圓的面積是π
π乘以r方 r是1 所以圓的面積--
這個扇形的面積
等於
這兩個π消去了-- 等於x除以2
所以這個小三角形
也就是這個綠色的三角形 是sinx
1/2sinx 這是綠色三角形的面積
這個大一點的扇形的面積--
我們剛才計算出來了--是x除以2
現在算一下這個大點的三角形的面積

Polish: 
Zatem ta powierzchnia jest równa czemu?
Będzie równa stosunkowi x do wszystkich
radianów w kole, tak?
Czyli to jest x radianów przez 2 pi radianów
w całym kole.
To jest ułamek, który wiecie
jeśli zrobicie to w kątach, to ten ułamek były to przez 360
stopni, razy pole całego koła, tak?
To nam mówi, w jakiej części, jesteśmy w kole,
będziemy chcieli pomnożyć to przez pole
całego koła.
Dobrze, jakie jest pole całego koła.
To pole to pi r kwadrat, promień jest 1, tak?
Zatem pole całego koła jest pi.
Pi r kwadrat, r jest 1, czyli to jest pole całego koła - zatem
pole tego kawałka będzie równe
to pi wyrzucamy, to jest równe x przez 2.

Modern Greek (1453-): 
Έτσι αυτόν τον τομέα εδώ θα πρέπει να ισούται με αυτό;
Θα πρέπει να ισούται με το κλάσμα x είναι του συνολικού
ακτίνια στον κύκλο μονάδα, σωστά;
Έτσι είναι x ακτίνια πάνω από 2 π ακτίνια με το
ολόκληρη μονάδα κύκλο.
Επομένως, αυτή είδος το κλάσμα που αυτό έχει--γνωρίζετε, εάν
κάνατε σε μοίρες--το κλάσμα ότι αυτό είναι περισσότερο από 360
μοίρες, φορές την περιοχή του ολόκληρη κύκλου, δικαίωμα;
Αυτό μας λέει τι κλάσμα είμαστε του κύκλου, και είμαστε
πρόκειται να θέλετε να πολλαπλασιάσετε που φορές περιοχή του
Σύνολο κύκλου.
Λοιπόν, τι είναι η περιοχή του κύκλου ολόκληρη;
Λοιπόν, η περιοχή είναι pi r τετράγωνο, η ακτίνα είναι 1, το δικαίωμα;
Έτσι η περιοχή του κύκλου ολόκληρο είναι μόνο pi.
Π r τετράγωνο, r είναι 1, έτσι η περιοχή του κύκλου--και το
περιοχή αυτή σφήνας ακριβώς εδώ, μόλις θα είναι ίση με--
αυτά τα δικά της "Άκυρο" out--είναι ίση με x πάνω από 2.

Chinese: 
360度
乘以整个圆的面积 对吧？
这告诉我们扇形占圆的比例
我们要用它乘以
整个圆的面积
这个单位圆的面积是多少呢？
面积等于πr方 半径是1 对吧？
所以整个圆的面积是π
π乘以r方 r是1 所以圆的面积--
这个扇形的面积
等于
这两个π消去了-- 等于x除以2
所以这个小三角形
也就是这个绿色的三角形 是sinx
1/2sinx 这是绿色三角形的面积
这个大一点的扇形的面积--
我们刚才计算出来了--是x除以2
现在算一下这个大点的三角形的面积

Estonian: 
Millega on see pindala võrdne.
See võrdub osaga x kogu
radiaanide ühikringi suurusest.
See on x radiaani jagatud 2 pii radiaaniga
kogu ühikringist.
See on selline osa, mis
kui osa jagatud 360'ga
kraadides, korda pindala kogu ringist.
See ütleb, mis osa peal me oleme ringis ja
me tahame korrutada seda
kogu pindalaga.
Mis on ringi pindala?
See on pii r ruudus, raadius on 1.
Ringipindala on seega pii.
.
Pii r ruudus, r on 1, ringi pindala-- selle kiilu
pindala siin on võrdne--
see pii taandub ära-- on võrdne x jagatud 2'ga.

iw: 
אז המשולש הראשון הקטן, המשולש הירוק הזה
שעשינו, הוא סינוס של איקס.
חצי סינוס של איקס, זהו השטח של המשולש הירוק.
ואז השטח הגדול יותר של הטריז -- שמצאנו
עכשיו -- הוא איקס חלקי 2.
עכשיו בואו ניקח את השטח של המשולש הגדול יותר,
של המשולש הגדול כאן.
וזה יהיה כנראה הדבר הברור ביותר.
אז חצי כפול הבסיס כפול הגובה.
אז זה חצי -- הבסיס הוא שוב 1 -- 1 כפול
הגובה, הוא הטנגנס של איקס.
שווה לחצי הטנגנס של איקס.
עכשיו, צריך להיות ברור מהמבט בסרטוט, ללא שום
חשיבות למיקום שבו ציירתי את הקו העליון, שהמשולש הירוק
הוא בעל שטח קטן יותר משל הטריז הזה, שיש לו שטח קטן יותר
משל המשולש הגדול יותר.
נכון?
אז בואו נרשום אי-שוויון שאומר את זה.
המשולש הירוק -- השטח של המשולש הירוק -- אז חצי
פעמים הסינוס של איקס, זהו השטח של המשולש הירוק -- זה

Korean: 
그러니까 아까 녹색 삼각형을 보면
sin(x)였죠
1/2 sin(x)가 녹색 삼각형의 넓이고요
그것보다 좀 더 넓은 이 조각의
넓이를 지금 막 계산했고
그 값이 x/2입니다
마지막으로 이 큰 삼각형 넓이
이 넓이를 보면요
이건 정말 간단하죠
1/2 밑변 높이 곱하면 되니까
1/2 곱하고,
밑변의 길이는 지금 1이죠
1 곱하기,
높이는 tan(x)니까
1/2 tan(x)가 되네요
지금 이 그림을 보면 명백해지는 게
여기 위쪽 선을 어디다 그렸든 간에
녹색 삼각형은 여기 부채꼴보다 작고
부채꼴은 큰 삼각형보다 작죠
그렇죠?
부등식으로 한 번 써봅시다
녹색 삼각형-- 
녹색 삼각형의 넓이를 보면
1/2 sin(x)가 녹색 삼각형 넓이고요

Chinese: 
这个大的三角形
这个看起来是最明显的
那么1/2底乘高
也就是1/2-- 底仍是1
1乘以高 是tanx
等于1/2tanx
那么看这个图应该很清楚
不论我把顶上这条线画在哪
这个绿色三角形的面积
都小于这个扇形
而扇形的面积小于这个大三角形
对吧？
我们写一个不等式
绿色三角形的面积
1/2sinx
这是绿色三角形的面积
小于扇形的面积
也就是x除以2
这两者都小于
大的三角形的面积 对吧？

Estonian: 
See väike roheline, kolmnurk
mille me tegime on siinus x'st.
1/2 siinus x'st, see on rohelise kolmnurga pindala.
Veidi suurem pindala sellest kiilust on--
x jagatud 2'ga.
Ja nüüd leiame pindala sellele suurele kolmnurgale
siin.
Ja see võib olla kõige ilmsem.
1/2 alus korda kõrgus.
See on 1/2-- alus on jälle 1-- 1 korda
kõrgus, on tangens x'st.
Võrdne 1/2 tangens x'st.
Nüüd peaks olema selge diagrammile vaadates, et
ükskõik kuhu ma joonistasin selle ülemise joone, see roheline kolmnurk
omab väiksemat pindala kui see kiil, millel on väiksem pindala kui
sellel suuremal kolmnurgal.
.
Kirjutame võrratuse, mis ütleb, et.
Rohelise kolmnurga pindala, 1/2 siinus x'st
on väiksem

German: 
Damit die erste kleine Dreieck, das grüne Dreieck
Wir haben, ist der Sinus von X.
1/2 Sinus von X, das die grünen Dreieck ist.
Dann ist der etwas größere Bereich dieser Keil--wir dachten
draußen ist gerade jetzt--x mehr als 2.
Und jetzt werfen wir Bereich das größere Dreieck,
dieses großen Dreiecks.
Und das offensichtlichste sein kann.
Also 1/2 Base Mal Höhe.
Also, das ist 1/2--die Basis ist 1 wieder--1 ständig die
Höhe ist Tangens von X.
1/2 Tangens von x gleich.
Nun sollte klar schaut diesem Diagramm nicht sein
Egal, wo ich dieses Top-Line, das diesem grünen Dreieck zog
hat eine kleinere Fläche als dieser Keil, die eine kleinere Fläche hat
als dieses großen Dreieck.
Richtig?
Wir schreiben eine Ungleichung, die sagt, dass.
Das grüne Dreieck--Bereich das grüne Dreieck--also 1/2
der Sinus von X, das ist das grüne Dreieck--hat es

Thai: 
โดยที่สามเหลี่ยมเล็กอันแรก สามเหลี่ยมสีเขียว
ที่เราทำไป คือ sine ของ x
1/2 sine ของ x นั่นคือ พี้นที่ของสามเหลี่ยมสีเขียว
จากนั้นพื้นที่ชิ้นพายที่ใหญ่ขึ้นมาหน่อย -- เราได้แล้ว
เมื่อสักครู่ -- ว่าคือ x ส่วน 2
ทีนี้ลองหาพื้นที่สามเหลี่ยมอันใหญ่
สามเหลี่ยมอันใหญ่นี่
และนั่นก็หาได้ไม่ยาก
มันคือ 1/2 ฐานคูณสูง
นั่นคือ 1/2 -- ฐานเท่ากับ 1 เหมือนเดิม -- 1 คูณ
ความสูง นั่นคือ tangent ของ x
เท่ากับ 1/2 tangent ของ x
ทีนี้ มันก็ชัดเจนแล้วแค่มองจากรูปว่า
ไม่ว่าผมจะวาดเส้นด้านบนนี้ยังไง สามเหลี่ยมสีเขียวนี่
จะมีพื้นที่เล็กกว่าลิ่มพายนี้ ซึ่งมีพื้นที่เล็กกว่า
สามเหลี่ยมใหญ่นี่
จริงไหม
งั้นลองเขียนอสมการนี้ว่ามันเป็นยังไง
สามเหลี่ยมสีเขียว -- พื้นที่ของสามเหลี่ยมสีเขียว -- คือ 1/2
sine ของ x นั่นคือพื้นที่ของสามเหลี่ยมสีเขียว -- มัน

Spanish: 
Este primer triángulo pequeño, este triángulo verde
que hicimos, es seno de x.
1/2 del seno de x, ese es el área de este triaángulo verde.
Luego, el área algo mayor de la fracción es-- lo resolvemos
ahora--es x sobre 2.
Y ahoraq, tomemos el área de este triángulo más grande,
de este triángulo grande de aquí.
Y esto puede parecer lo más obvio.
La 1/2 de la base por la altura.
Así que, esto es 1/2--la base es 1 de nuevo--1 por
la altura, es la tangente de x.
Igual a 1/2 de la tangente de x.
Ahora, debería verse claro solo con mirar este diagrama,
sin importar donde dibujo esta linea superior, que este triángulo verde
tiene iun área menor que esta racción, que tiene un a´rea menor
que este triángulo grande.
¿De acuerdo?
Entonces vamos a escribir una desigualdad que dice.
El triángulo verde--el área del triángulo verde--esto es 1/2
del seno de x, este es el área del triángulo verde--es

Turkish: 
İlk bulduğumuz küçük üçgenin, yeşil üçgenin alanı
"1 bölü 2" sinüs iks'ti.
Yeşil üçgenin alanı buydu.
Ondan biraz daha büyük olan bu dilimin alanı da,
"iks bölü 2"dir.
Şimdi de büyük üçgenin alanını bulalım.
Bu büyük üçgenin.
En kolayı da bu olacak.
"1 bölü 2", çarpı taban, çarpı yükseklik.
Yani, "1 bölü 2", çarpı... Bunun tabanı da 1. Çarpı,
yükseklik, yani tanjant iks.
Eşittir; "1 bölü 2" tanjant iks.
Şekle baktığınızda göreceğiniz üzere, hipotenüsü
nasıl çizersem çizeyim, yeşil üçgenin alanı
bu dilimin alanından; dilimin alanı da
büyük üçgenin alanından azdır, değil mi?
-
Şimdi, bunu ifade eden bir eşitsizlik yazalım.
Yeşil üçgenin alanı, yani "1 bölü 2" çarpı
sinüs iks. Yeşil üçgenin alanı budur.

Portuguese: 
Então o primeiro triângulo pequeno, o verde
tem área igual a
metade de seno de x, é a área do triângulo verde.
Então a área do setor-- acabamos de ver
-- que vale x sobre 2.
Agora vamos calcular a área do triângulo maior.
desse triângulo grande aqui.
E esse é o mais óbvio.
1/2 vezes a base vezes a altura.
1/2-- a base vale 1-- 1 vezes
a altura, que é tangente de x.
a área vale metade da tangente de x.
agora, fica claro olhando para a figura que
não importa a abertura do ângulo x, o triângulo verde
sempre terá área menor que o setor, que tem área menor
que o triangulo grande.
certo?
Vamos escrever essa inequação.
O triângulo verde-- a área do triângulo verde--
vale metade do seno de x, é a área do triângulo verde

Czech: 
Takže zelený malý trojúhelník, který sme spočítali nejprve,
je sin "x".
Jeho obsah se rovná 1/2 krát sin "x".
Pak jsme spočítali obsah této výseče.
Ten se rovná "x" lomeno 2.
Pojďme teď spočítat obsah většího trojúhelníku.
obsah tohoto velkého
Jeho obsah je možná nejjasněší.
1/2 krát základna krát výška.
Dostaneme 1/2 ...základna je 1... krát
výška, která je tangens "x".
Celé se to rovná 1/2 krát tangens "x".
Z obrázku by mělo být jasné, že
bez ohledu na to, kde nakreslím tuto horní čáru, obsah zeleného trojúhelníku
bude vždycky menší než obsah této výseče. A její obsah bude vždycky menší
než obsah největšího trojúhelníku.
Nemám pravdu?
Napíšeme tedy nerovnici, která přesně toto vyjadřuje.
Obsah zeleného trojúhelníku odpovídá
1/2 krát sin "x".

Italian: 
Ora, il primo triangolo, quello verde,
è seno di x.
1/2 seno di x, questa è l'area di quel triangolo verde.
Poi l'area, leggermente più grande, di questa fetta è - l'abbiamo appena
calcolato - è x mezzi.
E ora calcoliamo l'area di questo triangolo più grande
Questo triangolo grande qui.
E questo potrebbe essere il più ovvio.
Quindi 1/2 base per altezza.
Quindi è 1/2 - la base è nuovamente 1 - per
l'altezza, che è tangente di x.
Uguale a 1/2 tangente di x.
Ora, dovrebbe essere chiaro solo guardando il grafico, non
importa dove ho disegnato questa linea in alto, questo triangolo verde
ha un'area più piccola di questo settore, che ha un'area più piccola
di questo triangolo più grande.
Giusto?
Quindi, scriviamo una disequazione che dica questo.
Il triangolo verde - l'area del triangolo verde - quindi 1/2
per seno di x, che è l'area del triangolo verde - è

Arabic: 
هذا بالنسبة للمثلث الاول الصغير، اي ذلك المثلث الاخضر
ما فعلناه هو جيب x
1/2 جيب x، تلك هي مساحة ذلك المثلث الاخضر
ثم المساحة الاكبر بقليل من هذا الوتد هي --لقد اوجدناها
الآن-- هي x / 2
والآن دعونا نأخذ مساحة ذلك المثلث الاكبر
من هذا المثلث الكبير الموجود هنا
ويمكن ان يكون هذا الاكثر وضوحاً
اذاً 1/2 القاعدة × الارتفاع
اذاً ذلك 1/ 2 -- القاعدة مرة اخرى هي 1-- 1 ×
الارتفاع، اي ظل زاوية x
= 1/2 ظل x
الآن يجب ان يكون واضحاً عن طريق النظر الى هذا الرسم البياني، لا
يهم اي رسمت هذا الخط العلوي، بما ان هذا المثلث الاخضر
له مساحة اصغر من هذا الوتد، الذي لديه مساحة اصغر
من هذا المثلث الكبير
اليس كذلك؟
اذاً دعونا نكتب متباينة توضح ذلك
المثلث الاخضر --مساحة المثلث الاخضر-- 1/2
جيب الزاوية x، تلك هي مساحة المثلث الاخضر --انها

Chinese: 
這個大的三角形
這個看起來是最明顯的
那麽1/2底乘高
也就是1/2-- 底仍是1
1乘以高 是tanx
等於1/2tanx
那麽看這個圖應該很清楚
不論我把頂上這條線畫在哪
這個綠色三角形的面積
都少於這個扇形
而扇形的面積少於這個大三角形
對吧？
我們寫一個不等式
綠色三角形的面積
1/2sinx
這是綠色三角形的面積
少於扇形的面積
也就是x除以2
這兩者都少於
大的三角形的面積 對吧？

Modern Greek (1453-): 
Έτσι ώστε να πρώτο μικρό τρίγωνο, το πράσινο τρίγωνο
Εμείς did, είναι το ημίτονο του x.
ημίτονο 1/2 x, που είναι η περιοχή της εν λόγω πράσινο τρίγωνο.
Στη συνέχεια η ελαφρώς μεγαλύτερη περιοχή του παρόντος σφήνας είναι--με ανακαλύψαμε
που είναι μόλις τώρα--x πάνω από 2.
Και τώρα ας ρίξουμε την περιοχή αυτό το μεγαλύτερο τρίγωνο,
το μεγάλο τριγώνου εδώ.
Και αυτό μπορεί να είναι η πιο προφανής.
Βάση τόσο 1/2 φορές το ύψος.
Έτσι είναι 1/2--η βάση είναι εκ νέου--το 1 1 φορές το
ύψος, είναι η εφαπτομένη του x.
Είναι ίσο με 1/2 εφαπτομένη του x.
Τώρα, θα πρέπει να είναι σαφές μόνο κοιτάζοντας αυτό το διάγραμμα, δεν
θέμα όπου επέστησα αυτό επάνω γραμμή, ότι αυτή πράσινο τρίγωνο
έχει μια μικρότερη περιοχή από αυτό σφήνας, η οποία έχει μικρότερη περιοχή
από αυτό το μεγάλο τρίγωνο.
Δικαίωμα;
Ας Γράψτε μια ανισότητα που αναφέρει ότι.
Το πράσινο τρίγωνο--περιοχή του το πράσινο τρίγωνο--τόσο 1/2
το ημίτονο του x, που είναι η περιοχή της το πράσινο τρίγωνο--έχει

Polish: 
To jest pierwszy mały trójkąt, ten zielony
to jest sinus x.
1/2 sinus x, to będzie powierzchnia zielonego trójkąta.
To nieco większe pole tego kawałka - które wyliczyliśmy
wynosi x przez 2.
Teraz weźmy pole większego trójkąta,
tego dużego trójkąta tutaj.
To jest najbardziej oczywiste.
1/2 podstawy razy wysokość.
Czyli 1/2 - podstawa jest znowu 1 - razy
wysokość czyli tangens od x.
Równa się 1/2 tangens od x.
Teraz, to powinno być przejrzyste gdy spojrzymy na rysunek,
nie ważne, gdzie narysowałem ten górny odcinek, ten zielony trójkąt
ma mniejsze pole niż kawałek, który jest mniejszy
od tego dużego trójkąta.
Prawda?
Zapiszmy tę nierówność która to mówi.
Ten zielony trójkąt - jego pole - czyli 1/2
sinus od x, to jest pole zielonego trójkąta - to jest

English: 
So that first small triangle,
that green triangle
we did, is sine of x.
1/2 sine of x, that's the
area of that green triangle.
Then the slightly larger area
of this wedge is-- we figured
out just now-- is x over 2.
And now let's take the area
of that larger triangle,
of this big triangle here.
And that may be
the most obvious.
So 1/2 base times height.
So that's 1/2-- the base
is 1 again-- 1 times the
height, is tangent of x.
Equal to 1/2 tangent of x.
Now, it should be clear just
looking at this diagram, no
matter where I drew this top
line, that this green triangle
has a smaller area than this
wedge, which has a smaller area
than this large triangle.
Right?
So let's write an
inequality that says that.
The green triangle-- the area
of the green triangle-- so 1/2
the sine of x, that's the area
of the green triangle-- it's

Portuguese: 
que é menor que a área do setor.
que é x sobre 2.
que é menor que a área do triângulo
grande, certo?
que vale a metade de x.
.
Agora, quando isso é verdade?
Isso vale para x no primeiro quadrante, certo?
enquanto estivermos no 1° quadrante.
é também quase verdade se estivéssemos no 4° quadrante,
exceto que o sinal de seno de x é negativo,
a tangente de x é negativa e x também é negativo.
mas se pegarmos o valor absoluto,
a inequação também vale no 4° quadrante.
Para x negativo, se você usar as medidas em módulo
continua valendo as distâncias
e as áreas continuam positivas.
Como meu objetivo é pegar o limite para x tendendo a zero,
e eu quero pegar esse limite-- para que o limite
seja definido, ele deve ser verdadeiro tanto pelo lado positivo
quanto pelo negativo.
vamos pegar o valor absoluto dos dois lados.
espero que isso faça sentido para você.
se eu fizesse o mesmo desenho para x negativo

Turkish: 
Küçüktür; bu dilimin alanından,
yani, "iks bölü 2"den.
Her ikisi de, bu büyük üçgenin alanından
küçüktür.
O da, "1 bölü 2" çarpı tanjant iks'tir.
-
Peki, bu ne zaman geçerlidir?
Birinci bölgede olduğumuz sürece geçerlidir.
Birinci bölgede geçerlidir.
Dördüncü bölgede de eşittir diyebiliriz aslında.
Ama o zaman sinüs iks, eksi olur;
tanjant iks, eksi olur. iks açısı da eksi olur.
Tabii tüm ifadenin mutlak değerini alırsak,
dördüncü bölgede de geçerli olur.
Eşitlikte eksi varsa ve siz mutlak değerini alıyorsanız,
uzaklık dikkate alınacağı için
her zaman artı değere ulaşırız.
Amacım; iks, sıfıra yaklaşırkenki limit değerini bulmak olduğuna göre,
bu limitin her zaman doğru olabilmesi için,
hem artı hem de eksi yönden yaklaşırken
doğru olması gerekir.
Şimdi her iki yanın mutlak değerini alalım.
Umarım anlattıklarımı anlamışsınızdır.
Buraya da bir hipotenüs çizseydim,

Estonian: 
kui kiilu pindala.
See on x jagatud 2'ga.
Ja nad on mõlemad väiksemad kui selle suure
kolmnurga pindala.
Mis on 1/2 tangens x'st.
.
Millal on see tõene?
See on tõene, siis kui me oleme esimeses veerandis.
Niikaua kui me oleme esimeses veerandis.
See on peaaegu tõsi kui me oleme neljandas veerandis,
välja arvtud see, et siis siinus x'st läheb negatiiseks
tangens x'st muutub positiivseks, ja x negatiivseks.
Aga kui me võtame absoluutväärtuse kõigest, see ikkagi
kehtib 4. veerandis.
Sest kui me läheme negatiivseks, niikaua kui me võtame absoluutväärtuse
pikkus on ikka õige ja me ikkagi
saame positiivsed pindala.
Kuna minu eesmärgiks on võtta piirväärtus kui x läheneb 0'le.
Selleks, et see oleks üldiselt
defineeritud peab see olema tõene nii positiivselt kui ka
negatiivselt poolelt.
Võtame absoluutväärtuse mõlemast poolest.
Ja loodetavasti tundub see loogiline.
Kui ma teeksin joone siia alla--- ja see oleks

Polish: 
mniej od pola tego kawałka.
Czyli x przez 2.
Obydwa są mniejsze niż pole tego dużego
trójkąta prawda?
To jest 1/2 tangens od x.
Teraz kiedy to jest prawdą?
To jest prawdą tak długo jak jesteśmy w pierwszej ćwiartce, tak?
Tak długo jak jesteśmy w pierwszej ćwiartce.
To jest też przeważnie prawdziwe gdy jesteśmy w czwartej ćwiartce,
oprócz przypadku, w którym sinus x jest ujemny
tangens x staje się ujemny, x staje się ujemny.
Ale jeśli weźmiemy wartość bezwzględną wszystkiego, to dalej
jest spełnione w czwartej ćwiartce.
No bo jeśli to jest ujemne, dopóki bierzemy wartość bezwzględną,
odległość będzie nadal zachowana i dalej mamy
dodatnie powierzchnie, i wszystkiego tego rodzaju rzeczy.
Skoro moim celem jest obliczyć granicę przy x zbiegającym do 0
i chcę mieć granicę - żeby działała
w ogólności, musi to być prawdą dla dodatniej
i ujemnej strony.
Wezmę wartości bezwzględne obydwu stron tutaj.
I mam nadzieję, że to rozumiecie.
Gdybym narysował odcinek tutaj, to by było

iw: 
פחות מהשטח של הטריז.
אז זה איקס חלקי 2.
והם שניהם קטנים מהשטח של
המשולש הגדול, נכון?
שהוא חצי הטנגנס של איקס.
עכשיו מתי זה מתקיים?
זה מתקיים כל עוד אנחנו ברביע הראשון, נכון?
כל עוד אנחנו ברביע הראשון.
בנוסך זה כמעט נכון אם נלך לרביע הרביעי,
חוץ מכאשר סינוס איקס הופך לשלישי, הטנגנס
של איקס נהופך לשלילי, ואיקס הופך לשלילי.
אבל אם ניקח את הערך המוחלט של בהכל, זה עדיין
יתקיים ברביע הרביעי.
כי אם נגיע לערך שלילי, כל עוד ניקח את הערך המוחלט,
אז המרחק עדיין יישמר ועדיין נקבל
שטחים חיוביים ודברים מהסוג הזה.
מכיוון שהמטרה שלי היא לקחת את הגבול כאשר איקס שואף ל0, ואני
רוצה לקחת את הגבול -- כדי שהגבול יהיה
מוגדל בכלליות, זה צריך להתקיים גם מהצד החיובי
ומהצד השלילי.
בואו ניקח את הערך המוחלט של שני הצדדים של זה.
ובתקווה זה יקבל משמעות עבורכם.
אם היינו מציירים את הקו כאן -- וזה יהיה

English: 
less than the area
of this wedge.
So that's x over 2.
And they're both less than
the area of this large
triangle, right?
Which is 1/2 tangent of x.
Now when is this true?
This is true as long as we're
in the first quadrant, right?
As long as we're in
the first quadrant.
It's also almost true if we go
into the fourth quadrant,
except then the sine of x
becomes negative, the tangent
of x becomes negative,
and x becomes negative.
But if we take the absolute
value of everything, it still
holds in the fourth quadrant.
Because if you go negative, as
long as we take the absolute
value, then the distance will
still hold and we still have
positive areas and all
that kind of thing.
So since my goal is to take the
limit as x approaches 0, and I
want to take the limit-- in
order for this limit to be
defined in general, it has to
be true from both the positive
and the negative side.
Let's take the absolute value
of both sides of this.
And hopefully this
makes sense to you.
If I were to draw the line down
here-- and this would be the

German: 
weniger als die Fläche dieser Keil.
Damit ist x mehr als 2.
Und sie sind beide weniger als diese großen Bereich
Dreieck, richtig?
Die 1/2 Tangens von x ist.
Wann ist das wahr?
Gilt dies so lange, wie wir im ersten Quadranten, richtig sind?
Solange wir im ersten Quadranten sind.
Es ist auch fast wahr, wenn wir in den vierten Quadranten gehen,
außer dann der Sinus von x negativ ist, wird die Tangente
von x negativ wird und x negativ wird.
Aber nehmen wir den absoluten Wert von allem, es noch
hält im vierten Quadranten.
Weil wenn man negativ, solange wir die Absolute nehmen
Wert, dann der Abstand wird immer noch halten und wir haben noch
positive Bereiche und all solche Sachen.
Denn mein Ziel ist, nehmen die Grenze als x Ansätze 0, und ich
nehmen die Grenze--in Ordnung für dieses Limit sein wollen
im Allgemeinen definiert, muss es aus der Positive wahr sein
und die negative Seite.
Werfen Sie den absoluten Wert der beiden Seiten davon.
Und hoffentlich macht dies Sinn für Sie.
Wenn ich die Grenze hier--unten ziehen und dies wäre die

Arabic: 
اقل من مساحة هذا الوتد
اذاً هذا يساوي x / 2
وكلاهما اقل من مساحة هذا
المثلث الكبير، اليس كذلك؟
وهي 1/2 ظل زاوية x
.
الآن متى يكون هذا صحيحاً؟
هذا صحيح طالما اننا في الربع الاول، اليس كذلك؟
طالما اننا في الربع الاول
انه صحيح ايضاً اذا انتقلنا الى الربع الرابع
باستثناء انه بالتالي يصبح جيب الزاوية x سالباً، ظل الزاوية
x يصبح سالباً، و x تصبح سالبة
لكن اذا اخذنا القيمة المطلقة لكل شيئ، فسيبقى
موجوداً في الربع الرابع
لأنه اذا اصبح سالباً، طالما انا اخذنا القيمة المطلقة
بالتالي فإن المسافة لا تزال موجودة ولا يزال لدينا
مساحات موجودة وكل هذا
اذاً بما ان هدفي هو اخذ نهاية اقتراب x من الـ 0، و
اريد ان آخذ نهاية --لكي تصبح هذه النهاية
معرفة بشكل عام، يجب ان يكون صحيحاً من كل من
الجانب الموجب والسالب
دعونا نأخذ القيمة المطلقة لكلا جانبي هذا
واتمنى ان هذا يعد منطقياً بالنسبة لكم
اذا اردت ان ارسم الخط هنا --وهذا سيكون

Chinese: 
也就是1/2tanx
這在什麽時候成立呢？
只要在第一象限就是成立的
只要在第一象限
在第四象限也是可以的
但是這時sinx是負的
tanx是負的 x也是負的
但如果取絕對值
則在第四象限也成立
因爲只要出現負數
取絕對值後
長度仍然是有效的
仍然可以得到正數的面積值 類似的東西
由於我的目的是求x趨向0時的極限
我要求這個極限--
爲了極限有定義
必須
要從兩個方向取極限
我們求一下兩邊的絕對值
希望對你們有幫助
如果我把線畫在這下面
這是sinx
這是tanx
只要對所有的都取絕對值

Czech: 
Je menší než obsah výseče, který
je "x" lomeno 2.
A oba obsahy jsou menší než tento velký
trojúhelník, že?
Který odpovídá 1/2 krát tangens "x".
...
Teď kdy je tato nerovnice pravdivá?
Je pravdivá pro první kvadrant naší kružnice.
Pokud jsme v prvním kvadrantu, nerovnice se nemění.
Je skoro pravdivá i pro čtvrtý kvadrant.
Až na sinus a tangens,
který společně s "x" jsou ve čtvrtém kvadrantu negativní.
Ale pokud vezmeme absolutní hodnotu ze všecho, platí
nerovnice i ve čtvrtém kvadrantu.
Pokud je výraz negativní, použitím absolutní hodnoty
se vzdálenost nemění.
Můžeme tak spočítat obsahy a podobně.
A pokud je mým úkolem spočítat limitu když "x" se blíží k 0 a
chci aby limita byla definována
obecně, musí platit z pozitivní i
negativní strany.
Vezměme tedy absolutní hodnotu obou stran.
A doufám, že vám to dává smysl.
Pokud bych nakreslil čáru tady dole, toto by byl

Chinese: 
也就是1/2tanx
这在什么时候成立呢？
只要在第一象限就是成立的
只要在第一象限
在第四象限也是可以的
但是这时sinx是负的
tanx是负的 x也是负的
但如果取绝对值
则在第四象限也成立
因为只要出现负数
取绝对值后
长度仍然是有效的
仍然可以得到正数的面积值 类似的东西
由于我的目的是求x趋向0时的极限
我要求这个极限--
为了极限有定义
必须
要从两个方向取极限
我们求一下两边的绝对值
希望对你们有帮助
如果我把线画在这下面
这是sinx
这是tanx
只要对所有的都取绝对值

Italian: 
minore dell'are di questo settore.
Quindi x mezzi.
E sono entrambi minore dell'area di questo
triangolo più grande, giusto?
Che è 1/2 tangente di x.
Ora quando è vero questo?
Questo è vero finché siamo nel primo quadrante, giusto?
Finché siamo nel primo quadrante.
E' anche quasi vero se andiamo nel quarto quadrante,
eccetto per il fatto che seno di x diventa negativo, la tangente
di x diventa negativa e x diventa negativa.
Ma se prendiamo il modulo di tutto, la disequazione
vale anche nel quarto quadrante.
Perché se diventa negativo, dal momento che ne prendiamo il modulo,
la lunghezza dei segmenti vale ancora e abbiamo ancora
aree positive e tutto questo genere di cose.
Ora, siccome il mio obiettivo è prendere il limite di x per x che tende a 0, e
voglio prendere il limite - affinché questo limite sia
definito in generale, dev'essere vero sia per valori positivi
che per negativi.
Prendiamo il modulo di entrambi i lati.
Dovresti capire perché..
Se avessi disegnato la linea quaggiù - e questo sarebbe il

Spanish: 
menos que el área de esta fracción.
Esto es x sobre 2.
Y, ambos son menos qué el área de este triángulo
grande, ¿de acuerdo?
Que es 1/2 de la tangente de x.
Ahora, ¿cuando es esto cierto?
Esto es cierto siempre que estemos en el primer cuadrante ¿si?
Siempre que nos mantengamos en el segundo cuadrante.
Es casí también así si nos vamos al cuarto cuadrante,
exceptro cuando el seno de x se vuelve negativo, la tangente
de x se vuelve negativa, y x es negativa.
Pero, sí tomamos el valor absoluto de todo, se mantiene
para el cuarto cuadrante.
Por que, si se vuelve negativo, siempre que tomemos el valor
absoluto, la distancia de mantendrá y seguimos teniendo
areas positivas y todo lo demás.
Así que si mi objetivo es obtener el límite, conforme x se acrca a 0, y
quiero obtener el límite--con el fin de definir el límite en
general, tiene que ser cierto tando desde el lado positivo
como del negativo.
Vamos a tomar los valores absolutos de ambos lados.
Y con suerte le encontrís el sentido a todo esto.
Si fuera a dibujar una línea aquí abajo--y esto sería

Korean: 
그게 이 부채꼴 넓이보다 작죠
x/2보다 작은 거죠
또 그건 이 큰 삼각형 넓이보다 작죠
그렇겠죠?
그건 1/2 tan(x)고요
이게 언제 참이죠?
적어도 제I사분면 위에서는 참이죠
제I사분면 위에 있으면 참이에요
제IV사분면에서도 거의 참이 됩니다
단 sin(x)가 음의 값이 되고
tan(x)가 음, x도 음이 되는 점만 다르죠
하지만 전부 절댓값을 취해버리면
제IV사분면에서도 잘 성립하겠죠
왜냐면 음수로 가더라도
절댓값을 취하면
거리같은 걸 잘 이야기할 수 있고,
넓이도 양이 되고,
뭐 그런 게 잘 성립하니까요
지금 목표가 x가 0으로 갈 때 극한을 보고 싶죠
극한을 취할 거니까,
그 극한을 잘 이야기할 수 있으려면
양쪽에서 극한이 성립해야겠죠.
양의 방향이랑 음의 방향
둘 다요
이제 양변에 절댓값을 취할 겁니다
좀 이해가 되시면 좋겠네요
이렇게 아래로 선을 그리고

Modern Greek (1453-): 
μικρότερη από την περιοχή του παρόντος παγόβουνου.
Έτσι ώστε να του x πάνω από 2.
Και είναι τόσο λιγότερο από την περιοχή του αυτού του μεγέθους
τρίγωνο, σωστά;
Ποια είναι η εφαπτομένη 1/2 x.
Τώρα, όταν είναι αυτό αλήθεια;
Αυτό είναι αλήθεια, εφόσον είμαστε σε το πρώτο τεταρτημόριο, δικαίωμα;
Όσο και αν είμαστε κατά το πρώτο τεταρτημόριο.
Είναι επίσης αλήθεια σχεδόν αν αρχίσουμε να διερωτώμαστε το τέταρτο τεταρτημόριο,
τότε το ημίτονο x γίνεται αρνητικά, με εξαίρεση την εφαπτομένη
από x γίνεται αρνητική, και x γίνεται αρνητική.
Αλλά εάν πάρουμε η απόλυτη τιμή του τα πάντα, αυτό εξακολουθεί να
κατέχει την τέταρτη τεταρτημόριο.
Διότι αν πάτε αρνητική, για όσο χρόνο λαμβάνουμε για την απόλυτη
τιμή, τότε η απόσταση θα εξακολουθεί να κατέχει και να εξακολουθούμε να έχουμε
θετική περιοχές και όλες ότι κάτι τέτοιο.
Έτσι, δεδομένου ότι ο στόχος μου είναι να λάβει το όριο ως x 0 προσεγγίσεις, και
θέλετε να το όριο--στη σειρά για αυτό το όριο να είναι
ορίζεται σε γενικές γραμμές, πρέπει να είναι αληθής από την τόσο θετική
και η αρνητική πλευρά.
Ας ρίξουμε την απόλυτη τιμή των δύο πλευρών του παρόντος.
Και ας ελπίσουμε ότι αυτό έχει νόημα για εσάς.
Εάν ήταν να σχεδιάσετε τη γραμμή που εδώ--και αυτό θα το

Thai: 
น้อยกว่าพื้นที่ของลิ่มอันนี้
นั่นคือ x ส่วน 2
และทั้งคู่ก็น้อยกว่าพื้นที่ของสามเหลี่ยม
อันใหญ่ จริงไหม
ซึ่งเท่ากับ 1/2 tangent ของ x
ทีนี้ มันเป็นจริงเมื่อไหร่
มันเป็นจริง ตราบใดที่เรายังอยู่ในจตุภาคแรก จริงไหม
ตราบใดที่เรายังอยู่ในจตุภาคแรก
และมันก็เกือบจริง หากเราคิดในจตุภาคที่สี่เช่นกัน
ยกเว้นตอนที่ sine ของ x กลายเป็นลบ tangent ของ
x กลายเป็นลบ และ x กลายเป็นลบ
แต่หากเราใส่ค่าสัมบูรณ์ให้ทุกตัว มันก็
จะยังเป็นจริงในจตุภาคที่สี่เช่นกัน
เพราะหากคุณเปลี่ยนเป็นเครื่องหมายลบ ตราบใดที่เรายังคิด
ค่าสัมบูรณ์ ระยะทางยังคงใช้ได้ และเรายังคง
มีพื้นที่เป็นบวก และอื่น ๆ ตามมา
ดังนั้น หากเป้าหมายผมคือ ใส่ลิมิตเมื่อ x เข้าใกล้ 0 และผม
อยากใส่ลิมิต -- เพื่อที่จะให้ลิมิตนี้ใช้ได้
โดยทั่วไป มันต้องเป็นจริงทั้งจากทางค่าบวก
และทางค่าลบ
งั้นเราจะใช้ค่าสัมบูรณ์ของทั้งสองข้างนี่
และหวังว่าคุณคงเข้าใจนะ
หากผมวาดเส้นลงไปตรงนี้ -- และนี่จะเป็น

iw: 
הסינוס של איקס, וזה יהיה הטנגנס של איקס --- כל עוד
תיקחו את הערך המוחלט של הכל, אתם באופן כללי
עושים את אותו הדבר כמו ברביע הראשון.
אז בואו ניקח את הערך המוחלט של הכל.
וזה לא צריך לשנות שום דבר, במיוחד אם אתם
נמצאים ברביע הראשון.
אולי תרצו לחשוב על כך מעט, מדוע
זה לא משנה כלום ברביע השני.
אז יש לנו את אי השוויון הזה.
בואו נראה אם ניתן לשחק עם זה קצת.
אז קודם כל, בואו נכפול הכל ב2
ונצמצם את החצאים.
אז אנחנו מקבלים שהערך המוחלט של סינוס איקס קטן יותר מהערך
המוחלט של איקס, שבתורו קטן יותר מהערך המוחלט של
הטנגנס של איקס.
אני מקווה שלא בילבלתי אתכם בכך שלקחתי את הערך המוחלט.
אי השוויון שרשמתי מתקיים לגמרי
ברביע הראשון, אבל מכיוון שאני רוצה שהאי שוויון יתקיים
ברביע הראשון והרביעי, כי אני לוקח
את הגבול שכאשר איקס שואף ל-0 משני הצדדים, אני שם את
הערך המוחלט שם.
אז אתם יכולים לצייר את הקו שם ולעשות את כל מה שעשינו
שם ברביע הרביעי, אבל פשוט תיקחו

English: 
sine of x, and that would be
the tangent of x-- as long as
you took the absolute value of
everything, you're essentially
just doing the same thing
as in the first quadrant.
So let's take the absolute
value of everything.
And that shouldn't change
anything, especially if you're
in the first quadrant.
And you might want to think
about it a little bit, why
it doesn't change anything
in the second quadrant.
So we have this inequality.
Let's see if we can
play around with this.
So first of all, let's just
multiply everything by 2
and get rid of the 1/2's.
So we get absolute value of
sine of x is less than absolute
value of x, which is less than
the absolute value of
the tangent of x.
I hope I didn't confuse you by
taking the absolute value.
That original inequality I
wrote was completely valid in
the first quadrant, but since I
want this inequality to be true
in the first and fourth
quadrants, because I'm taking
the limit as x approaches 0
from both sides, I put that
absolute value there.
So you could draw the line down
there and do everything we did
up there in the fourth
quadrant, but just take

Polish: 
sinus x, a to by było równe tangens x - dopóki
bierzemy wartości bezwzględne wszystkiego, istotnie
robimy to samo co w pierwszej ćwiartce.
Zatem weźmy wartości bezwzględne wszystkiego.
To nie powinno zmienić czegokolwiek jeśli jesteśmy
w pierwszej ćwiartce.
I może potrzebujecie trochę pomyśleć nad tym, dlaczego
to nic nie zmienia w drugiej ćwiartce.
Mamy tę nierówność.
Zobaczmy czy możemy pojechać w dookoła z tym.
Po pierwsze, pomnóżmy wszystko przez 2
skreślmy 1/2.
Zatem wartość bezwzględna sinus x jest mniejsza od wartości bezwzględnej
x, która jest mniejsza od wartości bezwzględnej
tangens x.
Mam nadzieję że nie narobiłem wam zamętu z tymi wartościami bezwzględnymi.
Ta oryginalna nierówność była całkowicie poprawna
w pierwszej ćwiartce, ale jeśli chcę aby nierówność zachodziła
w pierwszej i czwartej ćwiartce, bo biorę
granicę przy x zbiegającym do 0 z obu stron, wstawiam wtedy
wartość bezwzględną.
Można narysować odcinek tu i zrobić wszystko jak było
w czwartej ćwiartce, ale weźmy po prostu

Czech: 
sinus "x" a toto by byl tangens "x". Pokud tedy
Použijete absolutní hodnou ze všeho,
děláte vlastně to samé jako v prvním kvadrantu.
Vezměme tedy absolutní hodnou ze všeho.
Nemělo by to nic změmit, zejména
v prvním kvadrantu.
A možná se zamyslíte nad tím, proč
se nic nezmění i ve druhém (třetím) kvadrantu.
Máme tedy tuto nerovnici.
Podíváme se, jestli naše nerovnice nejde nějak upravit.
Nejprve vynásobíme vše 2.
Zbavíme se tak polovin.
Dostaneme absolutní hodnota ze sin "x" je menší než
absolutní hodnota "x" je menší než absolutní hodnota
z tangens "x".
Doufám, že jsem vás nezmátl tou absolutní hodnotou.
Původní nerovnice, kterou jsem napsal, platila
v prvním kvadrantu. Ale já potřebuju, aby platila
v prvním a ve čtvrtém kvadrantu, protože počítám
limitu, když "x" se blíží 0 s obou stran. Proto použiju
absolutní hodnotu.
Mohli byste tedy nakreslit čáru dolů a
celý diagram udělat ve čtvrtém kvadrantu.

Italian: 
seno di x, e questa sarebbe la tangente di x - dal momento che
abbiamo preso il modulo di tutto, stiamo essenzialmente
facendo la stessa cosa che abbiamo fatto nel primo quadrante.
Quindi prendiamo il modulo di tutto.
E questo non dovrebbe cambiare nulla, in particolare se siamo
nel primo quadrante.
E dovresti pensarci un po', perché
non cambia nulla nel quarto quadrante.
Quindi abbiamo questa disequazione.
Vediamo se ci possiamo giocare un po'.
Prima di tutto, moltiplichiamo tutto per 2.
e sbarazziamoci di questi 1/2.
Quindi otteniamo che il modulo del seno di x è minore del modulo
di x, che è minore del modulo di
tangente di x.
Spero di non averti confuso prendendo il modulo.
La disequazione originale che ho scritto era completamente valida
nel primo quadrante, ma dal momento che voglio renderla valida
nei quadranti primo e quarto, perché sto prendendo
il limite per x che tende a 0 da entrambi i lati, allora ci ho messo
il modulo.
Così si potrebbe tracciare una linea quaggiù e fare tutto quello che abbiamo fatto
lassù nel quarto quadrante, ma basta prendere

Spanish: 
el seno de x, y esto la tangente de x--siempre que
tomemos el valor absoluto de todo, estas esencialmente
haciendo lo mismo que el primer cuadrante.
Así que tomemos el valor absoluto de todo.
Y esto no debería cambiar nada, especialmente si estás
en el primer cuadrante.
Y puede que quieras pensar en ello un poco, porque
no cambia nada en el segundo cadrante.
Tenemos esta desigualdad.
veamos si podemos juguetear con esto.
Lo primero de todo, multipliquemos todo por 2.
y nos quitamos de encima los 1/2.
Así que obtenemos que el valor absoluto del seno de, que es menor
el valor absoluto de x, que x es menor que el valor absoluto
de la tangente de x.
Espero no haberles confundido al tomar el valor absoluto.
Esta desigualdad original que he escrito es completamente válida
para el primer cuadrante, pero como quiero que esta desigualdad
sea cierta en el primer y cuarto cuadrante, porque estoy tomando
el límite según x se aproxima a 0 en los dos lados, pongo
el valor absoluto allí.
Pueden dibujar la línea aquí abajo y hacer todo lo que
hemos hecho en el cuarto cuadrante, pero tomando

Turkish: 
yine sinüs iks olacaktı, tanjant iks olacaktı.
Mutlak değerini aldığımızda da, birinci bölgedeki ifadenin
aynını elde edecektik.
Şimdi, tüm ifadenin mutlak değerini alalım.
Aslında hiçbir şey değişmeyecek, tabii
birinci bölgedeyseniz.
Biraz düşünürseniz, ikinci bölgede de
bir şey değişmeyeceğini görebilirsiniz.
Eşitsizliğimiz bu.
Bakalım, buradan bir şey çıkacak mı?
İlk olarak, hepsini 2 ile çarpıp
"1 bölü 2"lerden kurtulalım.
Ne oldu? Mutlak değer sinüs iks, küçüktür,
mutlak değer iks, küçüktür, mutlak değer
tanjant iks.
Umarım, mutlak değerlerini alarak aklınızı karıştırmamışımdır.
Eşitsizliğin ilk hâli, birinci bölge için geçerlidir.
Ama ben bu eşitsizliğin hem birinci hem de
dördüncü bölgede geçerli olmasını istediğim için;
limiti, iks, sıfıra her iki yandan da yaklaşırken aldığım için,
mutlak değere başvurdum.
Dördüncü bölgede bir hipotenüs çizip, birinci bölgede
yaptığımız her şeyi orada da yapabilirdik.

Chinese: 
那么实际上和在第一象限
是一样的
那么我们来取一下绝对值
不会改变什么
特别是在第一象限
但是 你们可能要想一会
为什么在第二象限不会改变任何东西
我们有这个不等式
看一下可不可以围绕它来进行
首先
先把所有数乘以2去掉1/2
那么|sinx|
小于|x|
小于|tanx|
希望取绝对值不会迷惑你们
我写的原来的第一象限中的不等式
也是有效的
但由于我想让这个不等式
在第一和第四象限都成立
因为要取两个方向上的极限
所以取了绝对值
可以把线画在这
在第四象限做同样的事情

German: 
Sinus von X, und das würde den Tangens von X--solange sein.
Sie nahm den absoluten Wert von allem, Sie sind im wesentlichen
genau tun das gleiche wie in den ersten Quadranten.
Werfen wir also den absoluten Wert von allem.
Und das sollte nicht etwas ändern, vor allem wenn Sie
im ersten Quadranten.
Und möchten Sie vielleicht darüber nachdenken, warum etwas
Es ändert nicht alles im zweiten Quadranten.
So haben wir diese Ungleichheit.
Mal sehen, ob wir mit diesem spielen kann.
Also zunächst einmal nur multiplizieren alles 2
und die 1/2 loszuwerden.
So wir absoluten Wert der Sinus von x bekommen ist weniger als absolute
Wert von X, die ist kleiner als der absolute Wert der
der Tangens von X.
Ich hoffe, dass ich Sie nicht verwirren, indem man den absoluten Wert.
Die ursprüngliche Ungleichheit schrieb ich war vollständig gültig in
im ersten Quadranten, aber da ich diese Ungleichheit möchte um wahr zu sein
in den ersten und vierten Quadranten weil ich dabei bin
die Grenze als x 0 Ansätze von beiden Seiten, habe ich, die
absoluter Wert gibt.
So konnte Sie ziehen Sie die Linie dort unten und alles tun, haben wir
bis es im vierten Quadranten, aber nur nehmen

Thai: 
sine ของ x และ มันจะเป็น tangent ของ x -- ตราบใด
ที่คุณใส่เครื่องหมายค่าสัมบูรณ์ของทุกอย่าง ที่สุดแล้วเราก็
ทำทุกอย่างเหมือนกับที่ทำในจตุภาคแรก
งั้นลองใส่เครื่องหมายค่าสัมบูรณ์ให้ทุกอย่างลงไปกัน
และมันไม่ควรจะเปลี่ยนอะไร โดยเฉพาะหาก
คุณอยู่ในจตุภาคแกร
เราคุณอาจอยากลองคิดดูอีกหน่อย ว่า
ทำไมมันถึงไม่เปลี่ยนอะไรในจตุภาคที่สองเช่นกัน
งั้นตอนนี้เรามีอสมการนี้แล้ว
ลองดูว่าเราสามารถเล่นอะไรกับมันได้บ้าง
งั้นอย่างแรกเลย ลองคูณทุกอย่างด้วย 2
เพื่อกำจัด 1/2 ออกไป
เราจะได้ค่าสัมบูรณ์ของ sine ของ x น้อยกว่า ค่าสัมบูรณ์
ของ x ซึ่งน้อยกว่าค่าสัมบูรณ์ของ
tangent ของ x
ผมหวังว่าคุณคงไม่งงตอนคิดค่าสัมบูรณ์นะ
อสมการเดิมที่ผมเขียนนี่ใช้ได้
ในจตุภาคแรก แต่เนื่องจากผมอยากให้อสมการนี้เป็นจริง
ในจตุภาคแรกและจตุภาคที่สี่ เพราะผมกำลัง
ให้ลิมิตเมื่อ x เข้าใกล้ 0 จากทั้งสองด้าน ผมเลย
ใส่เครื่องหมายค่าสัมบูรณ์ตรงนี้
งั้นคุณอยากวาดเส้นลงไป และทำทุกอย่างที่เราได้ทำไป
กับจตุภาคที่สี่เช่นกัน แค่ใส่ค่าสัมบูรณ์

Arabic: 
جيب الزاوية x، وذلك سيكون ظل الزاوية x --طالما
انك تأخذ القيمة المطلقة لكل شيئ، فأنت
تفعل نفس الشيئ كما في الربع الاول
لذا دعونا نأخذ القيمة المطلقة لكل شيئ
وهذا لا يجب ان يغير من اي شيئ، بشكل خاص اذا كنت
في الربع الاول
وربما انك تريد ان تفكر به قليلاً، لماذا
لا يغير اي شيئ في الربع الثاني
اذاً لدينا هذه المتباينة
دعونا نرى اذا كان بامكاننا التلاعب بهذا
اولاً، دعونا نضرب كل شيئ بـ 2
ونتخلص من الـ 1/2
اذاً نحصل على |جيب x| <
|x|، وهي اقل من
|ظل الزاوية x|
اتمنى انني لا اربككم بأخذ القيمة المطلقة
تلك المتباينة لاصلية التي كتبتها كانت صالحة تماماً في
الربع الاول، لكن بما انني اريد ان تكون هذه المتباينة صحيحة
في الربعين الاول والرابع، لأنني آخذ
نهاية اقتراب x من الصفر من كلا الجانبين، فأضع تلك
القيمة المطلقة هنا
اذاً بامكانك رسم الخط هنا وتفعل كل شيئ فعلناه
في الاعلى هنا في الربع الرابع، لكن خذ

Chinese: 
那麽實際上和在第一象限
是一樣的
那麽我們來取一下絕對值
不會改變什麽
特別是在第一象限
但是 你們可能要想一會
爲什麽在第二象限不會改變任何東西
我們有這個不等式
看一下可不可以圍繞它來進行
首先
先把所有數乘以2去掉1/2
那麽|sinx|
少於|x|
少於|tanx|
希望取絕對值不會迷惑你們
我寫的原來的第一象限中的不等式
也是有效的
但由於我想讓這個不等式
在第一和第四象限都成立
因爲要取兩個方向上的極限
所以取了絕對值
可以把線畫在這
在第四象限做同樣的事情

Korean: 
여기가 sin(x)가 되고, 
여긴 tan(x)가 되고
전부 절댓값을 취해버리면
본질적으로는 제I사분면이랑
똑같은 걸 하는 겁니다
그러니까 절댓값을 전부 취해버립시다
바뀌는 건 없습니다
특히 제I사분면에서요
이렇게 절댓값을 취해도
왜 다른 사분면에서도 괜찮은지
생각을 좀 해보시면 좋을 거예요
자, 이 부등식을 얻었습니다
이걸 좀 가지고 놀아볼게요
일단 모든 변에 2를 곱해서
1/2를 전부 소거합시다
결론적으로 |sin(x)|가 |x|보다 작고
또 |x|가 |tan(x)|보다 작다
그런 결론을 얻죠
절댓값을 취한 게 
안 헷갈리셨으면 좋겠습니다
원래 절댓값 없이 썼던 그 부등식은
제I사분면에서 아주 잘 성립했어요.
근데 극한에서 x가 0으로 양쪽에서 갈 때를 보니까
제I사분면과 제IV사분면을
둘 다 따지고 싶은 상황이 되는 거죠
그래서 절댓값을 취해 두 사분면에서
동시에 성립하게 하는 겁니다
그러니까 아래쪽에 선을 그어서
제IV사분면에서도 모든 걸 똑같이 해도

Estonian: 
siinus x'st ja see oleks tangens x'st--- niikaua kui
sa võtad absoluutväärtuse kõigest, siis sa põhimõtteliselt
teed sama asja, mis esimeses veerandis.
Võtame kõigest absoluutväärtuse.
Ja sa ei pea muutma mitte midagi eriti kui sa oled
esimeses veerandis.
Ja sul tasub mõelda selle peale veidi, miks
see mitte midagi ei muuda teises veerandis.
Meil on selline võrratus.
Mängime sellega natuke.
Korrutame kõike kahega
ja vabaneme 1/2'st.
Me saame, et absoluutväärtus siinus x'st on väiksem kui absoluutväärtus
x'st, mis on väiksem kui absoluutväärtus
tangens x'st.
Ma loodan, et ma sind segadusse ei ajanud.
See esialgne võrratus oli täiesti õige
esimeses veerandis, aga ma tahan, et võrratus oleks tõene
esimeses ja neljandas, sest ma võtan piirväärtust
kui x läheneb 0'le mõlemalt poolelt, siis ma panen
selle absoluutväärtuse siia.
Sa võiksid tõmmata siia alla joone ja teha kõike, mida me tegeime
siin neljandas veerandis, aga lihtsalt võtaksime

Modern Greek (1453-): 
ημίτονο του x, καθώς και ότι θα ήταν η εφαπτομένη της x--για όσο χρόνο
αναλάβατε την απόλυτη τιμή του τα πάντα, να είστε ουσιαστικά
ακριβώς τον ίδιο τρόπο όπως και το πρώτο τεταρτημόριο.
Ας λάβει η απόλυτη τιμή του τα πάντα.
Και αυτό δεν θα πρέπει να αλλάξει τίποτα, ιδιαίτερα εάν είστε
κατά το πρώτο τεταρτημόριο.
Και ίσως να θέλετε να το σκεφτείτε φαίνεται κάπως, γιατί
Αυτό δεν αλλάζει τίποτα στην το δεύτερο τεταρτημόριο.
Έτσι έχουμε αυτή την ανισότητα.
Ας δούμε αν μπορούμε να παίξουμε γύρω από αυτό.
Έτσι πρώτα από όλα, ας απλά πολλαπλασιάστε τα πάντα από 2
και να απαλλαγούμε από την 1/2.
Έτσι, έχουμε απόλυτη τιμή ημίτονο x είναι λιγότερο από απόλυτη
η τιμή του x, που είναι μικρότερο από την απόλυτη τιμή του
η εφαπτομένη της x.
Ελπίζω πως δεν σας συγχέουμε, λαμβάνοντας την απόλυτη τιμή.
Η αρχική ανισότητα έγραψα ήταν εντελώς έγκυρη στο
το πρώτο τεταρτημόριο, αλλά δεδομένου ότι θέλω να είναι πραγματική αυτή η ανισότητα
στο πρώτο και τέταρτο τεταρτημόρια, γιατί παίρνω
το όριο ως x 0 προσεγγίσεις από τις δύο πλευρές, που τίθενται
απόλυτη τιμή εκεί.
Έτσι μπορείτε να σχεδιάσετε τη γραμμή εκεί κάτω και να κάνουμε ό, τι κάναμε
μέχρι, υπάρχει ο το τέταρτο τεταρτημόριο, αλλά μόλις λάβει

Portuguese: 
esse seria o sen(x), e essa a tan(x)-- enquanto
você usar o módulo, você está
fazendo a mesma coisa que no 1° quadrante.
então vamos usar o valor absoluto para tudo.
e isso não muda nada, especialmente se
você está no 1° quadrante.
e você deve refletir sobre o porquê
também não muda nada para o 4° quadrante.
então temos a inequação.
Vamos ver o que conseguimos fazer.
primeiro, vamos multiplicar tudo por 2.
para nos livrarmos dos 1/2's.
então módulo de sen(x) é menor que
módulo de x, que é menor que módulo da
tangente de x.
Espero que você não tenha se confundido por causa dos módulos.
A inequação original era totalmente válida
para o 1° quadrante, mas como queremos que seja válida para
o 1° e o 4° quadrantes, porque estou pegando
o limite para x tendendo a 0 dos dois lados,
eu usei o módulo.
Você poderia desenhar o que fizemos
no 4° quadrante, mas usando

German: 
der Absolute Wert, und es sollten die gleichen erarbeiten.
Sowieso zurück zum Problem.
So haben wir diese Ungleichheit.
Und I 'm running out of Space, lassen Sie mich einige löschen
von diesem Zeug hier oben.
Löschen.
Löschen.
Nein, nicht das Löschen.
Okay.
Die gelöscht werden sollten.
Okay.
Also könnten wir alle gelöscht, die uns bisher nahm.
Wir können dies aber nicht vergessen.
Dies gibt eine Menge Platz.
Okay.
Also lassen Sie uns dies, und lassen Sie uns diesen Ausdruck, und
Teilen Sie aller Seiten.
Sie wissen, und es hat drei Seiten, Links,
Mitte und rechts.
Dividieren sie alle durch den absoluten Wert des Sinus von X.
Und da wir wissen, dass der Absolute Wert der Sinus von x
eine positive Zahl, wir wissen, dass diese kleiner-als-Zeichen
ändern nicht direkt?
Also lassen Sie uns tun.
Also den absoluten Wert der Sinus von x geteilt durch die
Absolutbetrag der Sinus von x, nun, das ist gleich 1.

Turkish: 
Ama mutlak değerini alınca aynı kapıya çıktı.
Neyse, soruya dönelim.
Eşitsizliğimiz bu.
Yer kalmadı. Bu yüzden, yazdığım bazı şeyleri
siliyorum.
-
Sil.
Sil.
-
Hayır, silmiyor.
Pekâlâ,
şimdi silecek.
Tamamdır.
Geliş yolundaki her şeyi silebiliriz
ama bunu unutmayalım, bu kalsın.
Epey yerimiz oldu.
Tamamdır.
Şimdi bu ifadeyi alalım
ve tüm bölümlerini...
Üç bölüm. Sol,
orta ve sağ.
Hepsini "mutlak değer sinüs iks"e bölelim.
"Mutlak değer sinüs iks", sıfırdan büyük olduğu için
"küçük" işareti değişmez,
değil mi?
Bölelim bakalım.
"Mutlak değer sinüs iks", bölü,
"mutlak değer sinüs iks", 1'e eşittir.

Spanish: 
el valor absoluto y debería reloverse igualmente.
De todos modos, volviendo al problema
Tenemos esta desigualdad.
me estoy quedandsin espacio, voy a borrar
parte de todo esto.
Borrar.
Borrar
Esto no se borra.
Ok
Esto no se debe borra.
Ok
Podemos borrar todo lo que nos llevó hasta aquí.
Aunque no podemos olvidarlo.
Esto nos deja mucho espacio.
Ok
Así que vamos a tomar esto, y vamos a tomar esa expresión, y
dividir todos los lados.
Usted sabe, y tiene tres lados, a la izquierda,
central y derecha.
Vamos a dividir todos ellos por el valor absoluto de seno de x.
Y ya que sabemos que el valor absoluto del seno de x es
un número positivo, sabemos que se trata de menos de signos
no cambian, ¿verdad?
Así que vamos a hacer eso.
Así, el valor absoluto del seno de x dividido por el
valor absoluto del seno de x, así, que es igual a 1.

iw: 
את הערך המוחלט וזה צריך לעבוד באותו האופן.
בכל מקרה, נחזור לביעה.
אז יש לנו את אי השוויון הזה.
והולך להיגמר לי המקום, אז תנו לי למחוק חלק
מהדברים כאן.
למחוק.
למחוק.
לא, זה לא נמחק.
אוקיי.
זה צריך להימחק.
אוקיי.
אז יכולנו למחוק את כל מה שהביא אותנו לכאן.
אך אסור לנו לשכוח זאת.
זה נותן הרבה מקום.
אוקיי.
אז בואו ניקח את זה, וניקח את הביטוי,
ונחלק את כל הצדדים.
אתם יודעים, ויש לזה שלושה צדדים, שמאלי,
אמצעי וימני.
בואו נחלק את כולם בערך המוחלט של סינוס איקס.
ומכיוון שאנו יודעים שערך המוחלט של סינוס איקס הוא
מספר חיובי, אנו יודעים שסימני האי שוויון האלו
לא משתנים, נכון?
אז בואו נעשה זאת.
אז הערך המוחלט של סינוס איקס לחלק
בערך המוחלט של סינוס איקס, טוב, זה שווה ל-1.

Arabic: 
القيمة المطلقة ةيجب ان تنجح بنفس الطريقة
على اي حال، دعونا نعود الى المسألة
لدينا هذه المتباينة
وقد نفذت المساحة لدي، لذا دعوني امحو بعض
من هذا
.
امحو
امحو
.
اتمنى ان لا امحو ذلك
حسناً
هذا يجب ان امحوه
حسناً
اذاً بامكاننا ان نمسح كل شيئ تطلب منا وقتاً طويلاً
ولا يمكننا نسيان ذلك
لقد حصلنا على مساحة جيدة
حسناً
اذاً دعونا نأخذ هذا، ودعونا نأخذ تلك العبارة، و
نقسم جميع الاطراف
نحن نعلم، وهي تحتوي على ثلاث اطراف، اليسار
الوسط، واليمين
دعونا نقسمهم جميعاً على |جيب x|
وبما اننا نعلم ان |جيب x| عبارة عن
عدد موجب، نعلم ان رمز الاقل من هذه
لا تتغير، اليس كذلك؟
لنقم بذلك اذاً
|جيب x| ÷
|جيب x|، حسناً، هذا يساوي 1

English: 
the absolute value and it
should work out the same.
Anyway, back to the problem.
So we have this inequality.
And I'm running out of
space, so let me erase some
of this stuff up here.
Erase.
Erase.
Nope, that doesn't erase.
OK.
That should erase.
OK.
So we could erase everything
that took us so far.
We can't forget this though.
This gives a lot of space.
OK.
So let's take this, and let's
take that expression, and
divide all of the sides.
You know, and it has
three sides, a left,
middle, and right.
Let's divide them all by the
absolute value of sine of x.
And since we know that the
absolute value of sine of x is
a positive number, we know that
these less than signs
don't change, right?
So let's do that.
So the absolute value of the
sine of x divided by the
absolute value of the sine
of x, well, that equals 1.

Chinese: 
但要取绝对值
这应该是会有同样的结果
不管怎样 回到我们的问题
有这个不等式
没地方写了
我把这些擦掉
擦去
没擦掉呢
哦 可以了
好的 我可以把所有的推导都擦掉
但不能忘了这个
现在有很多空间了
那么我们用这个表达式
把所有的边
你们知道 有3个边 左边 中间 右边
用它们除以|sinx|
由于我们知道
|sinx|是个正数
我们还知道这些小于号不变 对吧？
那么我们开始做
|sinx|
除以|sinx|
是1
小于|x|
除以|sinx|
小于-- tan绝对值是什么来着
我所做的是 把它们除以|sinx|
都除以|sinx|

Thai: 
ลงไป แล้วมันก็ควรออกมาเหมือนกัน
เอาล่ะ กลับมาที่โจทย์กันต่อ
ทีนี้เรามีอสมการนี้อยู่
ผมไม่มีที่เขียนแล้ว ขอผมลบ
พวกข้างบนนี้หน่อยนะ
ลบ
ลบ
ไม่ อันนี้ไม่ต้องลบ
โอเค
ลบนี่ด้วย
โอเค
ทีนี้เราได้ลบทุกอย่างที่พาเรามาถึงตรงนี้ไป
แต่เราลืมมันไม่ได้นะ
ได้ที่เยอะเลย
โอเค
ลองเอาอันนี้มา และเอาพจน์นั้นมา
แล้วก็หารทุกตัว
คุณก็รู้ มันมีสามตัว ทางซ้าย
ตรงกลาง ทางขวา
ลองหารทุกพจน์ด้วยค่าสัมบูรณ์ของ sine ของ x
และเนื่องจากเรารู้ว่า ค่าสัมบูรณ์ของ sine ของ x
เป็นจำนวนบวก เรารู้ว่าเครื่องหมายน้อยกว่า
ไม่เปลี่ยนทาง จริงไหม
งั้นลองทำดู
ดังนั้น ค่าสัมบูรณ์ของ sine ของ x หารด้วย
ค่าสัมบูรณ์ของ sine ของ x อืม นั้นเท่ากับ 1

Portuguese: 
o módulo dá certo do mesmo jeito.
De volta ao problema.
Temos essa inequação.
Está acabando o espaço, então vou apagar
o que está aqui em cima.
.
Apagando.
Apagando.
.
Não , esse não apaga.
OK.
Esse sim.
OK.
Podemos apagar tudo até aqui.
Mas essa linha é importante.
Estamos com espaço agora.
OK.
Então vamos pegar essa expressão
e dividir todos os membros.
Você sabe que temos três membros, o da esquerda,
do meio, e da direita.
Vamos dividir todos pelo módulo de seno de x.
E como sabemos que o módulo de seno de x é
positivo, sabemos que as desigualdades
não mudam, certo?
Então vamos lá.
Então o módulo de seno de x dividido por
módulo de seno de x, vale 1.

Italian: 
il modulo e dovrebbe funzionare lo stesso.
Comunque, tornando al problema.
Così abbiamo questa disuguaglianza.
E sono a corto di spazio, quindi fammi cancellare
un po' di roba qui.
Cancella.
Cancella.
No, questo non cancella.
OK.
Questo dovrebbe cancellare.
OK.
Quindi potremmo cancellare tutto ciò che ci ha portato fino ad qui.
Non possiamo dimenticare questo, però.
Questo ci dà un sacco di spazio.
OK.
Quindi prendiamo questa, e prendiamo questa espressione, e
dividiamo tutti i lati.
Ha tre lati, sinistra,
centrale e destro.
Dividiamoli tutti per il modulo del seno di x.
E poiché sappiamo che il modulo di seno di x è
un numero positivo, sappiamo che questi segni "minore"
non cambiano, giusto?
Quindi possiamo farlo.
Quindi il modulo del seno di x diviso per il
modulo del seno di x, beh, questo è uguale a 1.

Estonian: 
absoluutväärtuse ja see peaks töötama sama moodi.
Tagasi ülesande juurde.
Meil on võrratus.
Mul saab ruum otsa.
.
.
Kustutan.
.
.
See ei kustuta.
Ok.
.
.
Me võiksime kõik ära kustutada.
Aga sida me ei tohi ära unustada.
See annab palju ruumi.
.
Võtame selle avaldise ja selle avaldise ja
jagame kõiki elemente.
Sellel on kolm elementi vasak,
keskmine ja parem.
Jagame neid kõiki absoluutväärtusega siinus x'st.
Ja kuna me teame, et absoluutväärtust siinus x'st
on positiivne arv, siis need väiksem võrdne märgid ei
muutu.
Teeme seda.
Absoluutväärtus siinus x'st jagatud
absoluutväärtusega siinus x'st, ja see võrdub 1'ga.

Czech: 
Jednoduší je ale použít absolutní hodnotu. Funguje to úplně stejně.
Ale zpátky k našemu problému.
Máme tedy tuto nerovnost.
Dochází mi místo, proto tady na hoře
něco smažu.
...
Smazat.
Smazat.
...
Ne, to nemaže.
OK.
To by mělo mazat.
OK.
Můžeme tedy smazat vše, co jsme zatím udělali.
Nesmíme ale zapomenout na toto.
Máme spoustu volného místa.
OK.
Vezměme celý tento výraz
a vydělme ho.
Má tři strany - levou
střední a pravou.
Vydělme je všechny absolutní hodnotou ze sinu "x".
A protože víme, že absolutní hodnota ze sínu "x"
je kladné číslo, znaménka nerovnice
se nemění, že?
Dejme se do toho.
Absolutní hodnota ze sinu "x" lomeno
absolutní hodnota ze sinu "x". A to se rovná 1.

Modern Greek (1453-): 
η απόλυτη τιμή και θα πρέπει να λειτουργούν που το ίδιο.
Ούτως ή άλλως, πίσω στο πρόβλημα.
Έτσι έχουμε αυτή την ανισότητα.
Και χρησιμοποιώ χώρο, επιτρέψτε μου να διαγράψει ορισμένα
από αυτά τα πράγματα εδώ πάνω.
Διαγραφή.
Διαγραφή.
Όχι, αυτό δεν διαγράψει.
Ok.
Ότι θα πρέπει να σβήσετε.
Ok.
Έτσι θα μπορούσε να διαγράψουμε τα πάντα που μας πήρε μέχρι τώρα.
Δε μπορούμε να ξεχνάμε αυτό όμως.
Αυτό δίνει πολύ χώρο.
Ok.
Ας λάβει αυτό και ας ρίξουμε αυτή την έκφραση, και
για να διαιρέσετε όλες τις πλευρές.
Γνωρίζετε, και έχει τρεις πλευρές, μια αριστερή,
στη μέση, και δεξιά.
Ας τους χωρίζουν όλα από την απόλυτη τιμή ημίτονο x.
Και επειδή γνωρίζουμε ότι είναι η απόλυτη τιμή του ημίτονο x
ένα θετικό αριθμό, γνωρίζουμε ότι αυτά τα λιγότερο από ό, τι πινακίδες
μην αλλάξετε, δικαίωμα;
Ας το πράξουμε.
Έτσι, η απόλυτη τιμή του το ημίτονο x διαιρούμενο με το
απόλυτη τιμή το ημίτονο x, λοιπόν, ότι ίσον 1.

Chinese: 
但要取絕對值
這應該是會有同樣的結果
不管怎樣 回到我們的問題
有這個不等式
沒地方寫了
我把這些擦掉
擦去
沒擦掉呢
哦 可以了
好的 我可以把所有的推導都擦掉
但不能忘了這個
現在有很多空間了
那麽我們用這個表達式
把所有的邊
你們知道 有3個邊 左邊 中間 右邊
用它們除以|sinx|
由於我們知道
|sinx|是個正數
我們還知道這些少於號不變 對吧？
那麽我們開始做
|sinx|
除以|sinx|
是1
少於|x|
除以|sinx|
少於-- tan絕對值是什麽來著
我所做的是 把它們除以|sinx|
都除以|sinx|

Korean: 
절댓값을 취하면 다 성립한다는 거죠
자, 문제로 돌아와서요
이 부등식을 얻었습니다
공간이 좀 부족한 것 같으니까요
조금만 지워볼게요
지우고...
지우고.
이건 지우는 거 아니고요
됐습니다
이건 지우고요
됐네요
여기까지 과정은 전부 지워도 돼요
대신 이건 잊으면 안 되죠
공간이 많이 생겼군요
좋아요
자, 이제 이 부등식을 가지고
모든 변을 다 나눠봅시다
지금 변이 세 개가 있죠
왼쪽, 가운데, 오른쪽
이걸 |sin(x)|로 전부 나눌 거예요
|sin(x)|가 양수인 걸 알고 있으니까요
|sin(x)|를 곱해도 이 부등호들의 방향이
바뀌지 않죠?
그렇게 해봅시다
자 여기 있는 |sin(x)|는
|sin(x)|로 나누면 물론 1이죠

Polish: 
wartość bezwzględną i to powinno dać to samo.
W każdym razie, wróćmy do problemu.
Mamy nierówność.
I wychodzę poza tablicę, pozwólcie, że skasuję niektóre
obiekty tutaj.
Kasuję.
Kasuję.
Nie, to nie kasuje.
Dobrze.
To powinno skasować.
Dobrze.
Możemy skasować wszystko tutaj.
Wprawdzie, nie możemy o nich zapomnieć.
To nam dało dużo przestrzeni.
Dobrze.
Weźmy to i rozważmy wyrażenie, oraz
podzielmy wszystkie strony.
Wiecie, to ma trzy strony, lewą,
środkową, i prawą.
Podzielmy je przez wartość bezwzględną sinus x.
I ponieważ wiemy, że wartość bezwzględna sinus x jest
dodatnia, wiemy że te znaki mniejszości
nie zmieniają się prawda?
Zróbmy to.
Wartość bezwzględna sinus x podzielona przez
wartość bezwzględną sinus x, jest równa 1.

German: 
Die ist kleiner als der Absolutwert von x geteilt durch die
Absolutwert der Sinus von X.
Das ist weniger als--was ist der Absolute Wert der tan--also, alles
Ich mache ist, ich nehme den absoluten Wert des Sinus von X,
Absolutwert der Sinus von X, absoluten Wert der Sinus von X.
Also was ist der Absolute Wert der Tangens von x geteilt durch die
Absolutbetrag der Sinus von X?
Nun, ist Tangente nur Sinus Kosinus.
Also das ist gleich--also, gerade diesen Teil hier tun.
Das ist gegenüber dividiert durch Sinus Cosinus Sinus gleich.
Und Sie wissen, man könnte sagen, dass das die gleiche Sache ist
als der Absolute Wert.
Und der Absolute Wert dividiert durch den absoluten Wert.
Was sind Sie also mit Links?
Nun, sind Sie nur mit 1 über--Links, die, denen dies mit hebt
Dies, das eine 1--1 über den absoluten Wert wird
von den Kosinus von X.

Thai: 
ซึ่งน้อยกว่าค่าสัมบูรณ์ของ x หารด้วย
ค่าสัมบูรณ์ของ sine ของ x
และน้อยกว่า -- นั่นคือ ค่าสัมบูรณ์ของ tan -- ดังนั้น
ที่ผมทำไปนั้น คือ ผมเอาค่าสัมบูรณ์ของ sine ของ x
ค่าสัมบูรณ์ของ sine ของ x, ค่าสัมบูรณ์ของ sine ของ x มา
แล้วค่าสัมบูรณ์ของ tangent ของ x หารด้วย
ค่าสัมบูรณ์ของ sine ของ x คืออะไร
tangent ก็แค่ sine ส่วน cosine
มันเลยเท่ากับ -- ลองมาทำส่วนนั้นตรงนี้กัน
นั่นเท่ากับ sine ส่วน cosine หารด้วย sine
และคุณก็รู้ คุณบอกได้ว่า มันเท่ากับ
ค่าสัมบูรณ์
และค่าสัมบูรณ์หารด้วยค่าสัมบูรณ์
แล้วคุณจะเหลืออะไร
คุณก็เหลือแค่ 1 ส่วน -- นี่ตัดกับนี่
เลยกลายเป็น 1 -- 1 ส่วนค่าสัมบูรณ์
ของ cosine ของ x

Italian: 
Che è minore del modulo di x diviso per il
modulo di seno di x.
Che è minore di - qual è il modulo della tangente - percio', tutto
ciò che sto facendo è prendere il modulo di seno di x,
modulo di seno di x, modulo di seno di x.
Allora qual è il modulo della tangente di x diviso per il
modulo del seno di x?
Beh, la tangente è seno fratto coseno.
Quindi questo è pari a - facciamo questa parte qui.
Che è pari a seno fratto coseno fratto seno.
E sai, potresti dire che questa è la stessa cosa
anche col modulo.
E modulo diviso modulo.
Con cosa rimaniamo?
Beh, rimane 1 su - questo si semplifica con
questo, che diventa un 1-1 fratto modulo
del coseno di x.

Turkish: 
-
Küçüktür; "mutlak değer iks", bölü,
"mutlak değer sinüs iks".
-
Küçüktür... Tanjant iks'in mutlak değeri...
Hepsinin payda'sına "mutlak değer sinüs iks" yazalım.
"Mutlak değer sinüs iks", "mutlak değer sinüs iks", "mutlak değer sinüs iks".
Peki, "mutlak değer tanjant iks", bölü,
"mutlak değer sinüs iks" nedir?
Tanjant; "sinüs bölü kosinüs"tür.
Eşittir... Şuraya yazayım.
Sinüs bölü kosinüs, bölü, sinüs.
Mutlak değerini alınca da aynı şey olduğunu
biliyorsunuz.
Mutlak değerli ifade, bölü, mutlak değerli ifade.
Sadeleşirse ne olur?
Geriye ne kaldı? 1 bölü... Bunlar sadeleşti.
Pay'da 1 kaldı. 1 bölü, "mutlak değer
kosinüs iks".

Arabic: 
.
وهو اقل من |x| ÷
|جيب x|
.
وهو بدوره اقل من --ما هي القيمة المطلقة لـ-- اذاً كل
ما افعله هو انني آخذ |جيب x|
|جيب x|، |جيب x|
اذاً ما ناتج |ظل الزاوية x| ÷
|جيب x|؟
حسناً، ان الظل عبارة عن الجيب / جيب التمام
اذاً هذا يساوي --سأقوم بعمل بهذا الجزء هنا
هذا يساوي الجيب / جيب التمام ÷ الجيب
وتعلمون، انه يمكنكم القول ان هذا يعادل
القيمة المطلقة
والقيمة المطلقة ÷ القيمة المطلقة
ماذا يتبقى لدينا؟
حسناً، يتبقى لدينا 1 / --هذا يحذف مع
هذا، فيصبح 1-- 1 /
|جيب التمام لـ x|

Spanish: 
Lo cual es menor que el valor absoluto de x dividido por el
valor absoluto de seno de x.
¿Qué es inferior a - ¿Cuál es el valor absoluto de tan - así, todos los
Que estoy haciendo es que estoy tomando el valor absoluto del seno de x,
valor absoluto de seno de x, valor absoluto de seno de x.
¿Cuál es el valor absoluto de la tangente de x dividido por el
valor absoluto del seno de x?
Bueno, tangente es condición sine sobre coseno.
Así que eso es igual a - por lo que sólo, hacer esta parte, justo aquí.
Eso equivale a más de seno coseno dividido por seno.
Y usted sabe, usted podría decir que eso es lo mismo
como el valor absoluto.
Y el valor absoluto dividido por el valor absoluto.
Así que lo que queda?
Bueno, te acaba de dejar con un sobre - esto cancela con
esto, que se convierte en un 1 a 1 sobre el valor absoluto
del coseno de x.

iw: 
שזה קטן מהערך המוחלט של איקס לחלק
בערך שמוחלט של סינוס איקס.
שבתורו קטן מ-- מהו הערך המוחלט של טנגנס -- אז, כל
מה שאני עושה זה לקחתאת הערך המוחלט של סינוס איקס,
הערך המוחלט של סינוס איקס, הערך המוחלט של סינוס איקס.
אז מה הערך המוחלט של טנגנס איקס חלקי
בערך המוחלט של סינוס איקס?
טוב, טנגנס הוא פשוט סינוס חלקי קוסינוס.
אז זה שווה ל-- אז, פשוט תעשו את החלק שכאן.
זה שווה לסינוס חלקי קוסינוס וכל זה חלקי סינוס.
ואתם יודעים, אתם יכולים לומר שזה אותו דבר כמו
הערך שמוחלט.
והערך המוחלט מחולק בערך המוחלט.
אז מה נשאר לכם?
טוב, פשוט נשאר לכם אחד חלקי -- זה מצטמצם עם
זה, זה הופך ל-1 -- 1 חלקי הערך המוחלט
של קוסינוס איקס.

English: 
Which is less than the absolute
value of x divided by the
absolute value of sine of x.
Which is less than-- what's the
absolute value of tan-- so, all
I'm doing is I'm taking the
absolute value of sine of x,
absolute value of sine of x,
absolute value of sine of x.
So what's the absolute value of
the tangent of x divided by the
absolute value of
the sine of x?
Well, tangent is just
sine over cosine.
So that's equal to-- so, just
do this part right here.
That's equal to sine over
cosine divided by sine.
And you know, you could say
that that's the same thing
as the absolute value.
And the absolute value divided
by the absolute value.
So what are you left with?
Well, you're just left with 1
over-- this cancels out with
this, that becomes a 1-- 1
over the absolute value
of the cosine of x.

Portuguese: 
.
que é menor que o módulo de x dividido por
módulo de seno de x.
.
que é menor que-- quanto é o módulo da tangente--
vou pegar o módulo de seno de x.
modulo de sen(x), módulo de sen(x).
então quanto é o módulo da tangente de x dividida pelo
módulo de seno de x?
Bem, a tangente é o seno dividido pelo cosseno.
Então isso é igual a-- vou fazer aqui.
É igual ao seno dividido pelo cosseno dividido pelo seno.
E você poderia dizer a mesma coisa
para o módulo,
e o módulo dividido pelo módulo
Então o que sobrou?
Sobrou 1 sobre-- isso cancela com
isso, que vira um 1-- 1 sobre o módulo
de cosseno de x.

Korean: 
이건 |x|/|sin(x)|보다
작고요
이건 다시 뭐보다 작냐면 |tan(x)|를--
그러니까 여기를 |sin(x)|로 나누고
|sin(x)|, |sin(x)|로 다 나누고 있는 거죠
자 그럼 |tan(x)|/|sin(x)|를 계산하면
어떤 값이 되나요?
tan(x) = sin(x)/cos(x)임을 알죠?
그러니까 이게 뭐랑 같냐면-- 여기 말이죠
sin(x)/cos(x)를 또 sin(x)로 나눈 겁니다
물론 절댓값을 취해도 똑같죠
절댓값을 취하고요
절댓값을 절댓값으로 나눕니다
그럼 남는 게 뭐죠?
뭐가 남냐면요.
이게 이거랑 지워져서
1이 될 테니까,
결국 남는 건 1/|cos(x)|
그게 남겠죠

Czech: 
...
Zároveň je to menší než absolutní hodnota z "x" lomeno
absolutní hodnota ze sinu "x".
...
A to je menší než ...co je absolutní hodnota z tangens...
Vlastně vše co dělám, je že používám absolutní hodnotu ze sinu "x".
absolutní hodnota ze sinu "x"
Co je tedy absolutní hodnota z tangens "x" lomeno
absolutní hodnota ze sinu "x"?
Tangens se rovná sinus lomeno cosinus.
Takže se to rovná ...Napíšu to sem...
Rovná se to sinus lomeno cosinus lomeno sinus.
A mohli byste říct, že je to to samé
jako absolutní hodnota.
A také absolutní hodnota lomeno absolutní hodnota.
Co vám tedy zbyde?
Zůstane vám 1 lomeno ...Sinusy se vykrátí a
tady bude 1... 1 lomeno
absolutní hodnota z cosinu "x".

Modern Greek (1453-): 
Μικρότερη από την απόλυτη τιμή x που διαιρείται με το
απόλυτη τιμή ημίτονο x.
Που είναι μικρότερη από--τι είναι η απόλυτη τιμή του tan--έτσι, όλοι
Θα κάνω είναι να παίρνω την απόλυτη τιμή ημίτονο x,
απόλυτη τιμή ημίτονο x, απόλυτη τιμή ημίτονο x.
Τόσο τι είναι η απόλυτη τιμή του την εφαπτομένη του x διαιρούμενο με το
απόλυτη τιμή το ημίτονο x;
Λοιπόν, η εφαπτομένη είναι μόνο ημίτονο πάνω από το συνημίτονο.
Έτσι ότι είναι ίση με--τόσο, κάνουμε εδώ αυτό το τμήμα.
Ότι πρέπει να είναι ίση με το ημίτονο πάνω από το συνημίτονο διαιρούμενο με το ημίτονο.
Και γνωρίζετε, μπορούμε να πούμε ότι αυτό είναι το ίδιο πράγμα
ως την απόλυτη τιμή.
Και η απόλυτη τιμή διαιρούμενη με την απόλυτη τιμή.
Λοιπόν τι είναι αφήσατε με;
Λοιπόν, είστε αφήσατε μόνο με 1 over--αυτή εκμηδενίζει με
αυτό, που καθίσταται ένα 1 1--πάνω από την απόλυτη τιμή
από το συνημίτονο του x.

Estonian: 
.
Mis on väiksem kui absoluutväärtus x'st jagatud
absoluutväärtusega siinus x'st.
.
Mis on väiksem-- mis on absoluutväärtus tangensist--
ma võtan absoluutväärtuse siinus x'st.
.
Mis on aboluutväärtus tangens x'st jagatud
absoluutväärtusega x'st.
Tangens on siinus jagatud koosiinusega.
See on võrdne-- tee see osa siin.
See on võrdne siinus jagatud koosiinusega jagatud siinusega.
Ja see on sama kui
absoluutväärtus.
Ja absoluutväärtus jagatud absoluutväärtusega.
Mis meile jääb?
Järgi jääb ainult 1--- see taandub ära
sellega, mis muutub üheks-- 1 jagatud absoluutväärtus
koosiinus x'st.

Chinese: 
那麽|tanx|除以
|sinx|是多少呢
tan是sin除以cos
它等於-- 在這做吧
等於sin/cos再除以sin
你們可以說
這和加上絕對值是一樣的
它的絕對值除以它的絕對值
那麽還剩下什麽呢？
還剩下1除以-
這個和這個消去 成了1
1除以|cosx|
你們可能感覺到我們向答案靠近了
因爲這兩個看起來很像 互爲倒數
那麽我們對這個取倒數
之後會怎樣呢？
首先 對1取倒數之後
1/1還是1
但對不等式兩邊取倒數後

Chinese: 
那么|tanx|除以
|sinx|是多少呢
tan是sin除以cos
它等于-- 在这做吧
等于sin/cos再除以sin
你们可以说
这和加上绝对值是一样的
它的绝对值除以它的绝对值
那么还剩下什么呢？
还剩下1除以-
这个和这个消去 成了1
1除以|cosx|
你们可能感觉到我们向答案靠近了
因为这两个看起来很像 互为倒数
那么我们对这个取倒数
之后会怎样呢？
首先 对1取倒数之后
1/1还是1
但对不等式两边取倒数后

Polish: 
Co jest mniejsze od wartości bezwzględnej x podzielonej przez
wartość bezwzględną sinus x.
Co jest mniejsze niż wartość bezwzględna tangensa, więc wszystko
co robię to branie wartości bezwzględnej sinusa x,
wartości bezwzględnej sinusa x, wartości bezwzględnej sinusa x.
Jaka jest wartość bezwzględna tangensa x, podzielona przez
wartość bezwzględna sinusa x.
Cóż, tangens to sinus przez cosinus.
Czyli to jest równe - zróbmy tę część tu.
To jest równe sinus przez cosinus dzielone przez sinus.
I wiecie, że to to samo co
wartość bezwzględna.
No i wartość bezwzględna dzielona przez wartość bezwzględna.
Zatem co nam zostało?
Zostało nam 1 przez -- to się kasuje z
tym, to się staję 1 - - 1 przez wartość bezwzględną
cosinusa x.

Spanish: 
Así que usted puede sentir que nos estamos acercando.
Debido a que este se parece mucho a esto, se acaba de invertir.
Así que para llegar a esto, vamos a invertir.
Y para invertir, ¿qué sucede?
Bueno, en primer lugar, lo que sucede cuando se invierte 1?
Bueno, 1/1 está a sólo 1.
Sin embargo, cuando usted invierte ambos lados de una desigualdad, se cambia
la desigualdad, ¿verdad?
Y si eso no tiene sentido para usted, piense en esto.
Ya sabes, si digo que 1/2 es menor que 2, y yo invertimos ambos lados
de eso, tengo 2 es mayor que 1/2.
So that hopefully gives you a little intuition.
Así que si estoy invirtiendo todos los lados de esta desigualdad,
tener que cambiar los signos de desigualdad.
Así 1 es mayor que el valor absoluto de seno de x, sobre el
valor absoluto de x, que es mayor que absoluta
valor de coseno de x.
Ahora déjame hacerte una pregunta.

German: 
So dass Sie vielleicht das Gefühl, dass wir immer enger.
Da dies viel aussieht, ist es gerade umgekehrt.
Also um dies zu erreichen, lassen Sie uns umkehren es.
Und um es zu invertieren, was passiert?
Nun, zunächst einmal, was passiert, wenn Sie 1 umkehren?
Nun, 1/1 ist nur 1.
Aber wenn Sie beide Seiten der Ungleichheit umkehren, Sie wechseln
die Ungleichheit, richtig?
Denken Sie darüber, und wenn, die Ihnen keinen Sinn macht.
Sie wissen, wenn ich sage 1/2 ist weniger als 2, und ich beide Seiten invertieren
der, dass ich 2 bekommen ist größer als 1/2.
So gibt, die Sie hoffentlich ein wenig Intuition.
Also, wenn ich aller Seiten dieser Ungleichheit, invertieren bin ich
haben die Ungleichheit Zeichen wechseln.
Also mehr als 1 größer als absoluten Wert der Sinus von X, ist die
absoluten Wert von X, die größer ist als absolute
Wert des Kosinus von X.
Nun lassen Sie mich Ihnen eine Frage stellen.

Korean: 
이제 거의 다 왔습니다
이게 이거랑 아주 비슷하게 생겼죠.
그냥 역수를 취한 거니까요
이걸 얻고 싶으니까 역수를 취합시다
역수를 취할 때 뭐가 일어나나요?
먼저 1의 역수를 취하면 어떻게 되죠?
1/1은 그냥 1이죠
그런데 부등식의 양변에 역수를 취하면
부등호의 방향도 역이 되죠?
그게 잘 이해가 안 되시면
이렇게 생각해보세요
만약 1/2 < 2라고 하고요.
양변에 역수를 취하면
2 > 1/2를 얻겠죠
직관적으로 감이 오셨으면 합니다
자, 이렇게 부등식에 전부 역수를 취한다고 하면
부등호 방향도 바꾸어야 하는 거죠
그러니까 |sin(x)|/x < 1을 얻을 거고요
그건 뭐보다 크냐면요,
|cos(x)|보다 크겠죠
|cos(x)|보다 큽니다
여기서 질문입니다

Thai: 
คุณอาจรู้สึกว่าเราใกล้เสร็จแล้ว
เพราะมันดูเหมือนกับว่า เราแค่ต้องกลับเศษส่วน
งั้นเราลองกลับเศษส่วนกัน
เมื่อเรากลับเศษส่วน จะเกิดอะไรขึ้น
อย่างแรกคือ เกิดอะไรขึ้นหากคุณกลับเศษส่วน 1?
1/1 ก็คือ 1
แต่เมื่อคุณกลับเศษส่วนทั้งสองข้างของอสมการ คุณต้อง
สลับเครื่องหมายอสมการด้วย จริงไหม
หากคุณไม่เข้าใจ ลองคิดอย่างนี้
คุณก็รู้ว่า หากผมบอกว่า 1/2 น้อยกว่า 2 และผมกลับเศษส่วนทั้งสองข้าง
ผมต้องได้ 1 มากกว่า 1/2
หวังว่ามันคงช่วยคุณได้นะ
งั้นหากผมกลับเศษส่วนทุกตัวในอสมการนี้ ผม
ต้องสลับเครื่องหมายอสมการด้วย
ดังนั้น 1 มากกว่าค่าสัมบูรณ์ของ sine ของ x ส่วน
ค่าสัมบูรณ์ของ x ซึ่งมากกว่าค่าสัมบูรณ์ของ
cosine ของ x
ทีนี้ขอผมถามคำถามคุณหน่อย

Italian: 
Senti che ci avviciniamo?
Perché questo assomiglia molto a questo, è solo invertito.
Quindi, per arrivare a questo, invertiamoli.
E nell'invertirli, cosa succede?
Beh, prima di tutto, cosa succede quando si inverte 1?
Bene, 1 / 1 è solo 1.
Ma quando si invertono entrambi i lati di una disuguaglianza, si cambia il segno della
disuguaglianza, giusto?
E se questo non ti sembra avere senso, pensa a questo.
Sai, se dico 1 / 2 è minore di 2, e inverto entrambi i lati
della disuguaglianza, ho 2 è maggiore di 1 / 2.
Spero sia intuitivo.
Quindi, se sto invertendo tutti i lati di questa disequazione,
è necessario cambiare i segni della disequazione.
Quindi 1 è maggiore del modulo di seno di x fratto
il modulo di x, che è più grande del modulo
di coseno di x.
Ora vorrei farti una domanda.

Czech: 
A možná už cítíte, že se blížíme k cíli, protože
tohle vypadá skoro jako tohle akorát převrácené.
Abysme se dostali sem, převrátíme to.
A co se stane, když to převrátíme?
Nejprve, co se stane, když převrátíme 1?
1 lomeno 1 je 1.
Ale pokud převrátíte obě strany nerovnice, převrátíte také
znaménka nerovosti, že?
A pokud vám to není jasné, dám vám jednodušší příklad.
Pokud řeknu, že 1/2 je menší než 2 a invertuji obě strany,
dostanu 2 je větší než 1/2.
Doufám, že jsem vám to trošku intuitivně přiblížil.
Jestliže invertuji celou nerovnici,
musím také přehodit znaménka nerovnosti.
1 je větší než absolutní hodnota ze sinu "x" lomeno
absolutní hodnota z "x". A to je větší než
absolutní hodnota z cosinu "x".
Teď se vás na něco zeptám.

Modern Greek (1453-): 
Έτσι μπορεί να πιστεύετε ότι έχουμε αρχίσει στενή.
Επειδή αυτό μοιάζει πολύ με αυτό, αυτό ακριβώς είναι αντεστραμμένα.
Έτσι για να πάρετε αυτό, ας αντιστροφή αυτή.
Και για να αντιστρέψετε το, τι συμβαίνει;
Λοιπόν, πρώτα από όλα, ό, τι συμβαίνει όταν 1;
Λοιπόν, είναι μόλις 1/1 1.
Αλλά όταν και οι δύο πλευρές μια ανισότητα, μπορείτε να μεταβείτε
η ανισότητα, σωστά;
Και αν αυτό δεν έχει νόημα να σας, ότι σχετικά με αυτό.
Γνωρίζετε, αν πω 1/2, είναι μικρότερο από 2, και εγώ αντιστροφή και οι δύο πλευρές
του ότι, λαμβάνω 2 είναι μεγαλύτερη από 1/2.
Έτσι ότι ελπίζουμε ότι σας δίνει μια μικρή διαίσθηση.
Έτσι, εάν εγώ αντιστροφή όλων των πλευρών της αυτή η ανισότητα, μου
πρέπει να κάνετε εναλλαγή της ανισότητας.
Έτσι 1 είναι μεγαλύτερη από την απόλυτη τιμή ημίτονο x, πάνω από το
απόλυτη τιμή του x, που είναι μεγαλύτερο από απόλυτη
τιμή του συνημίτονο του x.
Επιτρέψτε μου τώρα να σας απευθύνει μία ερώτηση.

Arabic: 
اذاً لربما انك تشعر اننا اقتربنا
لأن هذا يبدو مثل هذا تقريباً، انه عبارة عن مقلوبه
اذاً لكي نصل الى هذا، دعونا نقلبه
ولكي نقلبه، ماذا يحدث؟
حسناً، اولاً، ماذا يحدث عندما نقلب الـ 1؟
حسناً، 1/1 = 1
لكنك عندما تقلب طرفي المتباينة، فأنت تعكس
المتباينة، اليس كذلك؟
واذا لم يكن هذا منطقياً بالنسبة لكم، فكروا بهذا
تعلمون انه اذا قلنا ان 1/2 < 2، وقلبت طرفي
ذلك، سأحصل على 2 > 1/2
اتمنى ان ذلك قد اعطاكم بعضاً من البداهة
فاذا كنت اقلب جميع اطراف هذه المتباينة
فعلي ان اعكس اشارات المتباينة
اذاً 1 > |جيب x| /
|x| وهذا بدوره اكبر من
|جيب تمام الزاوية x|
الآن اسمحوا لي ان اطرح سؤالاً

Portuguese: 
Você deve sentir que estamos quase lá.
porque isso parece bastante com isso, mas invertido.
Então para chegarmos nisso, vamos inverter.
E ao invertermos, o que acontece?
Primeiro, o que acontece quando invertemos 1?
Bem, 1/1 vale 1.
Mas quando você inverte os dois lados de uma inequação, você
troca a desigualdade, certo?
E se isso não faz sentido para você, pense nisso
se 1/2 é menor que 2, ao inverter
temos que 2 é maior que 1/2.
Espero isso seja intuitivo.
Então se estou invertendo todos os membros da inequação,
tenho que mudar as desigualdades,
Então 1 é maior que o módulo do seno(x) sobre
o módulo de x, que é maior, que o módulo
do cosseno de x.
Agora, eu te pergunto:

Polish: 
Zbliżamy się do końca.
To wygląda bardzo podobnie do tego, tylko odwróćone.
Odwróćmy to.
Po odwróceniu, co się dzieje?
Po pierwsze, co się dzieje gdy przekształcimy 1?
Cóż, 1/1 to 1.
Ale gdy odwrócimy obie strony nierówności, zamieniamy
nierówność, prawda?
Jeśli nie widzisz w tym sensu, pomyśl o tym.
Wiesz, jeśli powiem, że 1/2 jest mniejsza od 2, po czym zamienię te strony,
dostanę 2 większe od 1.2.
Mam nadzieję, że da wam to trochę intuicji.
Zatem gdy odwracam wszystkie strony nierówności,
muszę zmienić znaki nierówności.
Czyli 1 jest większy od wartości bezwzględnej sinusa x podzielić przez
wartość bezwzględną x, co jest większe od
wartości bezwzględnej cosinusa x.
Teraz zadam wam pytanie.

Chinese: 
不等號要改變
如果你們不明白 想一下這個
比如1/2少於2
取倒數後 有2大於1/2
希望這會給你們直觀的理解
那麽我把不等式兩邊取倒數
必須要改變不等號
所以1大於|sinx|
除以|x|
大於|cosx|
現在我來問個問題
|sinx|除以--
首先 sinx除以x-
有沒有可能sinx除以x是--
在第一和第四象限
sinx除以x有可能
是負的嗎
在第一象限 sinx是正的

English: 
So you might feel
we're getting close.
Because this looks a lot like
this, it's just inverted.
So to get to this,
let's invert it.
And to invert it, what happens?
Well, first of all, what
happens when you invert 1?
Well, 1/1 is just 1.
But when you invert both sides
of an inequality, you switch
the inequality, right?
And if that doesn't make sense
to you, think about this.
You know, if I say 1/2 is less
than 2, and I invert both sides
of that, I get 2 is
greater than 1/2.
So that hopefully gives
you a little intuition.
So if I'm inverting all of the
sides of this inequality, I
have to switch the
inequality signs.
So 1 is greater than absolute
value of sine of x, over the
absolute value of x, which is
greater than absolute
value of cosine of x.
Now let me ask you a question.

iw: 
אז אתם יכולים להרגיש שאנו מתקרבים.
זה נראה מאוד דומה לזה, פשוט הופכי.
אז כדי להגיע לזה, בואו ניקח את ההופכי.
ולהפוך את זה, מה קורה?
טוב, קודם כל, מה קורה כאשר הופכים 1?
טוב, 1 חלקי 1 זה פשוט 1.
אבל כשאתם הופכים את שני צידי האי שהשוויון, אתם מחליפים
את כיוון אי השוויון, נכון?
ואם זה לא נשמע לכם הגיוני, תחשבו על כך.
אתם יודעים, אם אני אומר שחצי קטן מ-2, ואני הופך את שני הצדדים
של זה, אני מקבל ש-2 גדול מחצי.
אז זה בתקווה נותן לכם הכוונה.
אז אם אני הופך את כל צידי אי השוויון, אני
צריך להפוך את כיוון סימני אי השוויון.
אז 1 גדול מהערך המוחלט של הערך של סינוס איקס, לחלק
בערך המוחלט של איקס, שגדול מהערך
המוחלט של קוסינוס איקס.
כעת תנו לי לשאול שאלה.

Estonian: 
Sulle võib juba tunduda, et me oleme lähedal.
Sest see näeb välja päris sarnane sellega, ainult tagurpidi.
Et saada seda, pöörame ümber.
Ja, et pöörata, mis juhtub.
Mis juhtub kui sa ühte pöörad?
1/1 on 1.
Aga kui pöörad mõlemat võrratuse poolt, sa vahetad
võrratust.
Ja kui see ei tundu loogiline siis, mõtle sellele.
Kui ma ütlen 1/2 on väiksem kui 2 ja ma pööran mõlemaid pooli
ma saan, et 2 on suurem kui 1/2.
See loodetavasti andis veidi intuitiivsust.
kui ma pööran ümber kõik selle võrratuse elemendid,
ma pean vahetama võrratuse märke.
1 on suurem kui absoluutväärtus siinus x'st jagatud
absoluutväärtusega x'st, mis on suurem kui absoluutväärtus
koosiinus x'st.
Nüüd ma küsin sult küsimuse.

Chinese: 
不等号要改变
如果你们不明白 想一下这个
比如1/2小于2
取倒数后 有2大于1/2
希望这会给你们直观的理解
那么我把不等式两边取倒数
必须要改变不等号
所以1大于|sinx|
除以|x|
大于|cosx|
现在我来问个问题
|sinx|除以--
首先 sinx除以x-
有没有可能sinx除以x是--
在第一和第四象限
sinx除以x有可能
是负的吗
在第一象限 sinx是正的

Turkish: 
Yaklaştığımızı hissediyorsunuzdur.
Çünkü bu, buna çok benziyor. Sadece simetriği.
Buna ulaşmak için, ters çevirelim.
Ters çevirirsek ne olur peki?
1'i ters çevirirsek ne olur?
1 bölü 1, yine 1'dir.
Ama bir eşitsizliğin her iki yanını ters çevirirseniz,
eşitsizlik yön değiştirir, değil mi?
Ne demek istediğimi anlamadıysanız, şöyle açıklayayım.
"1 bölü 2" küçüktür 2 dersem ve her iki yanı da ters çevirirsem,
2 BÜYÜKTÜR "1 bölü 2" olur.
Umarım şimdi anlamışsınızdır.
Eşitsizliğin tüm bölümlerini ters çevireceksem,
eşitsizlikler de yön değiştirmeli.
O hâlde, 1 BÜYÜKTÜR "mutlak değer sinüs iks" bölü
"mutlak değer iks", BÜYÜKTÜR, "mutlak değer
kosinüs iks".
Şimdi size bir soru sorayım.

German: 
Der Absolute Wert der Sinus von x über--gut, zuerst
von allen, Sinus von x über X.
Wird es jemals eine Zeit Sinus von x über X--in, geben die
ersten oder vierten Quadranten--gibt es jemals eine Zeit, die
ist Sinus von x über x ein negativer Ausdruck?
Nun, im ersten Quadranten, Sinus von x ist positiv,
und x ist positiv.
So ist eine Positive, geteilt durch eine positive
wird positiv sein.
Und im vierten Quadranten Sinus von x negativ, y ist
negativ und der Winkel ist negativ, so x
auch negative.
Also im vierten Quadranten Sinus von x über x sein wird ein
Negative geteilt durch eine Negative.
Es wird also wieder ein Positivum.
Sinus von x über x wird also immer eine Positive sein.
So sind die absoluten Wert Zeichen Art von redundanten.
Wir schreiben könnte also 1 größer als Sinus von x über X.
Und die gleiche Logik, in der ersten und vierten Quadranten--
und das ist, wo wir es zu tun mit.

Chinese: 
x也是正的
正數除以正數是正的
第四象限 sinx是負的
y是負的 這個角也是負的
所以x也是負的
所以在第四象限
sinx除以x是
負數除以負數
又一次得到正數
所以sinx除以x總會是正的
絕對值符號有些多余
所以可以寫成1大於sinx/x
同樣的邏輯 在第一和第四象限--
那是我們討論的區域
我們考慮的是
-π/2
從-π/2一直到π/2
所以是在第四和第一象限
cosx會是負的嗎
求餘弦的是x 由定義 x--

Italian: 
Il modulo di seno di x fratto - beh, in primo luogo
seno di x fratto x.
Ci sarà mai un momento in cui seno di x fratto x è - nel
primo o quarto quadrante - c'è mai un momento in cui
seno di x fratto x è un'espressione negativa?
Bene, nel primo quadrante, seno di x è positivo,
e x è positivo.
Quindi un positivo diviso per un positivo
sarà positivo.
E nel quarto quadrante, seno di x è negativo, y è
negativo, e l'angolo è negativo, quindi anche
x è negativo.
Percio' nel quarto quadrante, seno di x fratto x è un
negativo diviso un negativo.
Quindi sarà di nuovo un positivo.
Quindi seno di x fratto x sarà sempre positivo.
Percio' i moduli sono un po' ridondanti.
Così potremmo scrivere che 1 è maggiore di seno di x fratto x.
Stessa logica, nei quadranti primo e quarto -
e sono quelli con cui abbiamo a che fare.

Turkish: 
"Mutlak değer sinüs iks" bölü...
"Sinüs iks" bölü iks'i düşünelim.
İster birinci bölgede olsun, ister dördüncü bölgede,
"sinüs iks" bölü iks ifadesi,
eksi bir değer alır mı? Bu, olası mıdır?
Birinci bölgede, sinüs iks artıdır;
iks de artıdır.
Yani, artı bölü artı,
yine artı olur.
Dördüncü bölgedeyse, sinüs iks, eksidir. Çünkü, ordinat burada eksidir.
Açı da eksidir. Yani, iks de
eksidir.
O hâlde, dördüncü bölgede, sinüs iks bölü iks,
"eksi bölü eksi" olur.
Yani, sonuç artıdır.
"sinüs iks" bölü iks, daima artıdır.
Yani, "mutlak değer" gereksiz oluyor.
O hâlde, 1 büyüktür, "sinüs iks" bölü iks.
Aynı mantıkla devam edelim. Birinci ve dördüncü bölgelerde...
Biz bu bölgelerle ilgileniyoruz.

Arabic: 
|جيب x| / حسناً، اولاً
جيب x / x
هل حصل وان كان جيب x / x --في
الربع الاول او الرابع-- هل حصل مرة وان كان
جيب x / x عبارة سالبة؟
حسناً، في الربع الاول، جيب x موجب
و x سالب
اذاً موجب ÷ موجب
= موجب
وفي الربع الرابع، جيب x سالب، y
سالب، والزاوية سالبة، اذاً x
ايضاً سالب
اذاً في الربع الرابع، جيب x / x سيكون
سالب ÷ سالب
لذا سيكون موجباُ مرة اخرى
اذاً جيب x / x سيكون دائماً موجب
اذاً رموز القيمة المطلقة تعتبر شيئ زائد عن الحاجة
لذا يمكننا ان نكتب 1 > جيب x / x
وبنفس المنطق، في الربع الاول والرابع
--وهذا ما كنا نتعامل معها

Czech: 
Absolutní hodnota ze sinu "x" lomeno ..Nejprve
sin "x" lomeno "x".
Může se vůbec někdy stát, že bude sin "x" lomeno "x"
v prvním a čtvrtém kvadrantu
negativní výraz?
V prvním kvadrantu je sin "x" kladný
a "x" je také kladné.
Kladný lomeno kladný
je zase kladný.
A ve čtvrtém kvadrantu je sin "x" záporný, osa "y"
je záporná, úhel je také záporný, a proto i
"x" je záporné.
Ve čtvrtém kvadrantu je sin "x" lomeno "x"
rovno záporný lomeno záporný.
A to je opět kladný výraz.
Vyplývá nám z toho, že sinus "x" lomeno "x" bude vždy kladný.
Absolutní hodnota je potom zbytečná.
Napíšeme 1 je větší než sin "x" lomeno "x".
A tady pužijeme stejný postup.
Hranice prvního a čtvrtého
intervalu jsou

iw: 
הערך המוחלט של סינוס איקס חלקי -- טוב, קודם
כל, סינוס איקס חלקי איקס.
האם יש מצב שבו סינוס איקס חלקי איקס -- ברביע
הראשון או הרביעי -- האם יש מצב שבו
סינוס איקס חלקי איקס הוא ביטוי שלילי?
טוב, ברביע הראשון, סינוס איקס הוא חיובי,
וגם איקס חיובי.
אז חיובי חלקי חיובי
הולך להיות חיובי.
וברביע הרביעי, סינוס איקס שלילי, y
שלילי, והזווית שלילית, אז איקס
גם הוא שלילי.
אז ברבחע שרביעי, סינוס איקס חלקי איקס הולך להיות
שלילי מחולק בשלילי.
אז זה הולך להיות חיובי שוב.
אז סינוס איקס חלקי איקס הולך להיות חיובי תמיד.
אז סימני הערך המוחלט הם די זניחים.
אז נוכל לשרום ש-1 גדול מסינוס איקס חלקי איקס.
ואתו ההגיון, ברביעים הראשון והרביעי --
שבהם אנו מתעסקים.

Portuguese: 
o módulo do seno de x sobre-- bem, primeiro
o seno de x sobre x
vai haver algum instante em que o seno de x sobre x-- no
1° ou no 4° quadrante-- alguma vez o
seno de x sobre x é negativo?
No 1° quadrante, seno de x é positivo
e x é positivo
Então positivo dividido por positivo é
positivo.
No 4° quadrante, seno de x é negativo, y é
negativo, e o ângulo é negativo, então x é
negativo também.
então no 4° quadrante, seno de x sobre x será
negativo sobre negativo.
Então também será positivo.
Então seno de x sobre x sempre será positivo.
Então o sinal de módulo é redundante.
Podemos escrever que 1 é maior que seno de x sobre x.
E a mesma lógica, no 1° e 4° quadrantes--
aonde estamos trabalhando.

English: 
The absolute value of sine
of x over-- well, first
of all, sine of x over x.
Will there ever be a time when
sine of x over x is-- in the
first or the fourth quadrant--
is there ever a time that
sine of x over x is a
negative expression?
Well, in the first quadrant,
sine of x is positive,
and x is positive.
So a positive divided
by a positive is
going to be positive.
And in the fourth quadrant,
sine of x is negative, y is
negative, and the angle is
negative, so x is
also negative.
So in the fourth quadrant, sine
of x over x is going to be a
negative divided by a negative.
So it's going to be
a positive again.
So sine of x over x is always
going to be a positive.
So the absolute value signs
are kind of redundant.
So we could write 1 is greater
than sine of x over x.
And the same logic, in the
first and fourth quadrants--
and that's where
we're dealing with.

Modern Greek (1453-): 
Η απόλυτη τιμή του ημίτονο του x πάνω από--λοιπόν, πρώτα
από όλες, ημίτονο x πάνω από το x.
Θα υπάρξει ποτέ στιγμή ημίτονο x πάνω από x--στο του
πρώτη ή την τέταρτη τεταρτημόριο--υπάρχει ποτέ μια στιγμή που
ημίτονο x πάνω από το x είναι ένα αρνητικό παράσταση;
Λοιπόν, με το πρώτο τεταρτημόριο, ημίτονο x είναι θετική,
και το x είναι θετική.
Έτσι, είναι ένα θετικό που χωρίζονται από ένα θετικό
θα είναι θετική.
Και κατά την τέταρτη τεταρτημόριο, ημίτονο x είναι αρνητική, y
αρνητικό, καθώς και η γωνία είναι αρνητική, επομένως είναι x
επίσης αρνητική.
Έτσι, κατά την τέταρτη τεταρτημόριο, το ημίτονο x πάνω από x πρόκειται να είναι μια
αρνητική χωρίζεται από ένα αρνητικό.
Έτσι θα είναι ένα θετικό ξανά.
Έτσι ημίτονο x πάνω από το x πάντα θα είναι θετική.
Έτσι, τα σημάδια απόλυτη τιμή είναι είδος περιττή.
Έτσι θα μπορούσε να γράψει πάνω από το x είναι μεγαλύτερο από ημίτονο x 1.
Και την ίδια λογική, το πρώτο και τέταρτο τεταρτημόρια--
και αυτό είναι όπου εξετάζουμε.

Spanish: 
El valor absoluto de seno de x en - bueno, en primer lugar
de todo, seno de x sobre x.
¿Habrá alguna vez un momento en el seno de x sobre x es - en el
primero o el cuarto cuadrante - ¿Hay algún momento en que
seno de x sobre x es una expresión negativa?
Bueno, en el primer cuadrante, seno de x es positivo,
y x es positivo.
Así un positivo dividido por un positivo es
va a ser positivo.
Y en el cuarto cuadrante, seno de x es negativo, y es
negativo, y el ángulo es negativo, por lo que x es
también negativa.
Así que en el cuarto cuadrante, seno de x sobre x va a ser un
divide negativo por un negativo.
Por lo tanto, va a ser positivo otra vez.
Así seno de x sobre x siempre va a ser positivo.
Así que los signos de valor absoluto son una especie de redundancia.
Por lo tanto, podría escribir una es mayor que seno de x sobre x.
Y la misma lógica, en los cuadrantes primero y cuarto -
y ahí es donde estamos tratando.

Chinese: 
x也是正的
正数除以正数是正的
第四象限 sinx是负的
y是负的 这个角也是负的
所以x也是负的
所以在第四象限
sinx除以x是
负数除以负数
又一次得到正数
所以sinx除以x总会是正的
绝对值符号有些多余
所以可以写成1大于sinx/x
同样的逻辑 在第一和第四象限--
那是我们讨论的区域
我们考虑的是
-π/2
从-π/2一直到π/2
所以是在第四和第一象限
cosx会是负的吗
求余弦的是x 由定义 x--

Polish: 
Wartość bezwzględna sinusa x przez -- cóż po pierwsze
sinus x przez x.
Czy kiedykolwiek będzie tak, że sinus x przez x jest
w pierwszej albo czwartej ćwiartce -- czy kiedykolwiek będzie tak że
sinus x przez x jest ujemne?
Cóż, w pierwszej ćwiartce, sinus x jest dodatnie,
i x jest dodatnie.
Zatem dodatnie przez dodatnie
będzie dodatnie.
A w czwartej ćwiartce, sinus x jest ujemne, y jest
ujemne, i kąt jest ujemny, więc x jest
też ujemny.
Zatem w czwartej ćwiartce sinus x przez x będzie
ujemne przez ujemne.
Czyli to będzie dodatnie znowu.
Sinus x przez x zawsze będzie dodatnie.
Zatem wartości bezwzględne są tak jakby zbyteczne.
Możemy napisać, że 1 jest większe niż sinus x przez x.
I z tego samego powodu, w pierwszej i czwartej ćwiartce--
i to jest coś z czym mamy do czynienia.

Thai: 
ค่าสัมบูรณ์ของ sine ของ x ส่วน -- อืม
อย่างแรกเลย sine ของ x ส่วน x
มันจะมีโอกาสไหมที่ sine ของ x ส่วน x --
ในจตุภาคแรกหรือจตุภาคที่สี่ -- จะมีสักครั้งไหมที่
sine ของ x ส่วน x จะออกมาเป็นลบ?
ในจตุภาคแรก sine ของ x นั้นเป็นบวก
และ x เป็นบวก
ดังนั้น ค่าบวกหารด้วยค่าบวก
ย่อมออกมาเป็นบวก
และในจตุภาคที่สี่ sine ของ x เป็นลบ ค่า y
เป็นลบ และมุมก็เป็นลบ ดังนั้น x
ก็เป็นลบ
ดังนั้นในจตุภาคที่สี่ sine ของ x ส่วน x จะเป็น
เป็นลบ หารด้วยค่าลบ
ดังนั้นมันจะออกมาเป็นบวกเหมือนเดิม
ดังนั้น sine ของ x ส่วน x จะเป็นบวกเสมอ
ดังนั้นเครื่องหมายค่าสัมบูรณ์นี่ไม่จำเป็น
ดังนั้นเราสามารถเขียน 1 มากกว่า sine ของ x ส่วน x
และด้วยหลักเดียวกัน ในจตุภาคแรกและจตุภาคที่สี่ --
นั่นคือจตุภาคที่เราสนใจ

Estonian: 
Absoluutväärtus siinus x jagatud-- esiteks
siinus x jagtud x'ga.
Kas kunagi juhtub, et siinus x'st jagatud x'ga on
esimeses või neljandas veerandis, kas kunagi
siinus x'st jagatud x'ga on negatiivne?
Esimeses veerandis siinus x on positiivne
ja x on positiivne.
Positiivne jagatud positiivsega on
positiivne.
Ja neljandas veerandis, siinus x'st on negatiivne, y on
negatiivne, ja nurk on negatiivne, seega x on
sammuti negatiivne.
Seega 4. veerandis, siinus x'st jagatud x'ga on
negatiivne jagatud negatiivsega.
Seega on see positiivne jälle.
Siinus x jagatud x on alati positiivne.
Absoluutväärtuse märgid on ülearused.
Me võiksime kirjutada, et 1 on suurem kui siinus xäst jagatud x'ga.
Ja sama loogika on 1. ja 4. veerandis.
.

Korean: 
|sin(x)|/|x|를 보는데요
아니, 먼저 sin(x)/x를 보세요
sin(x)/x가 말입니다
제I사분면이나 제IV사분면 위에서 볼 때요
그 값이 음이 되는 순간이 존재할까요?
sin(x)/x가 음이 될 수 있나요?
일단 제I사분면에서 보면 sin(x)가 양수고요
x도 양수죠
양수 나누기 양수니까
결과도 양수가 되겠죠
제IV사분면에서 보면 sin(x)가 음수죠
y좌표가 음수고, 각도 음이니까
x도 음수가 됩니다
그러니까 제IV사분면에서는 sin(x)/x가
음수 나누기 음수가 되죠
그러니까 다시 양수가 됩니다
즉 sin(x)/x는 언제나 양수예요
그러니까 절댓값이 굳이 없어도 되죠
1 > sin(x)/x라고 써도 된다는 거죠
마찬가지로 제I사분면과 제IV사분면에서
그러니까 우리가 보고 있는 영역에서

German: 
Wir sind den Umgang mit abzüglich Pi über 2 ist kleiner als X, die
ist kleiner als Pi mehr als 2.
Also gehen wir vom abzüglich Pi über 2 alle
der Weg zu mehr als 2 pi.
So sind wir im vierten und ersten Quadranten.
Ist Kosinus von x immer negativ?
Nun, ist der Kosinus der X-Wert und die X-per Definition in
die ersten und vierten Quadranten--der X-Wert
ist immer positiv.
Also ist dies immer positiv, wir loswerden können die
Absolutwert Zeichen schreiben dort, und nur.
Und jetzt können wir das Squeeze-Theorem zu verwenden.
Lassen Sie mich das alles hier unten jetzt löschen.
Lassen Sie mich Ihnen eine Frage stellen.
Was ist das Limit, als X 0, nähert sich der
die Funktion 1?
Nun, ist die Funktion 1 immer gleich 1.
Also kann ich das Limit als x Ansätze unendlich, das Limit setzen
als x nähert sich Pi, alles andere.

English: 
We're dealing with minus pi
over 2 is less than x, which
is less than pi over 2.
So we're going from
minus pi over 2 all
the way to pi over 2.
So we're in the fourth
and first quadrant.
Is cosine of x ever negative?
Well, cosine is the x value,
and the x-- by definition, in
the first and fourth
quadrants-- the x value
is always positive.
So if this is always positive,
we can get rid of the
absolute value signs there,
and just write that.
And now, we are ready to
use the squeeze theorem.
Let me erase all of
this down here now.
So let me ask you a question.
What is the limit, as
x approaches 0, of
the function 1?
Well, the function 1
is always equal to 1.
So I can set the limit as x
approaches infinity, the limit
as x approaches pi, anything.

Chinese: 
在第一和第四象限--
x总是正的
如果x一直是正的
就可以把这的绝对值去掉
这样写就行
现在 我们可以用夹逼定理了
我把这下面都擦掉
我来问你们
x趋向0时 函数1的极限是多少
函数1总是等于1
所以可以知道x趋于无穷
x趋于π等任何时候 它的极限
总是会等于1
所以当x趋于0 这个等于1
那么当x趋于0时cosx的极限是多少呢？
这同样很简单
当x趋于0 cos0等于1-- 如你们知道的
它是个连续函数-- 所以极限是1
我们已经准备好运用夹逼定理了
当x趋于0时

Arabic: 
كنا نتعامل مع pi / 2 < x-، وهذا
اقل من pi / 2
اذاً نحن ننتقل من pi / 2-
وصولاً الى pi / 2
اي اننا في الربع الرابع والاول
هل جيب تمام الزاوية x سالب؟
حسناً، ان جيب التمام عبارة عن قيمة x، و x --بحسب التعريف، في
الربعين الاول والرابع-- قيمة x
موجبة دائماً
فاذا كانت موجبة دائماً، سيمكننا التخلص من
رموز القيمة المطلقة هنا، ونكتب هذا فقط
والآن، نحن جاهزون لاستخدام نظرية الضغط
دعوني امحو جميع هذا الموجود هنا الآن
.
دعوني اسألكم سؤالاً
ما هي نهاية، اقتراب x من الصفر
للاقتران 1؟
حسناً، الاقتران 1 دائماً ما يساوي 1
لذا يمكنني ان اضع نهاية اقتراب x من ما لا نهاية، نهاية
اقتراب x من pi، اي شيئ

Turkish: 
İlgilendiğimiz aralık şu: "eksi pi bölü 2", küçüktür, iks,
küçüktür, "pi bölü 2".
"Eksi pi bölü 2"den
"pi bölü 2"ye kadar.
Yani, birinci bölge ile dördüncü bölge.
Kosinüs iks, eksi olur mu?
Kosinüs, apsis'te değer alır. Birinci ve dördüncü bölgenin
tanımı gereği, apsis değerleri
burada daima artıdır.
Bu daima artıysa, mutlak değer işaretini
kaldırabiliriz ve olduğu gibi yazabiliriz.
İşte şimdi, Sandviç Teoremi'ni kullanma zamanı geldi.
Aşağıdakileri sileyim.
-
Size bir soru sorayım.
iks, sıfıra yaklaşırken,
1'in limiti nedir?
1 fonksiyou, daima 1'e eşittir.
iks, sonsuza yaklaşırken ya da
iks, pi'ye yaklaşırken diyebilirsiniz, fark etmez.

Modern Greek (1453-): 
Έχουμε να κάνουμε με μείον pi πάνω από 2 είναι μικρότερη από χ, που
είναι μικρότερη από την pi πάνω από 2.
Έτσι θα πάμε από μείον pi πάνω από 2 όλα
ο τρόπος για να π πάνω από 2.
Έτσι, είμαστε κατά την τέταρτη και πρώτο τεταρτημόριο.
Είναι το συνημίτονο της x ποτέ αρνητική;
Λοιπόν, το συνημίτονο είναι η τιμή x και το x--εξ ορισμού, στο
πρώτη και τέταρτη τεταρτημόρια--η τιμή x
είναι πάντοτε θετική.
Έτσι, εάν αυτό είναι πάντα θετική, εμείς να απαλλαγείτε από το
απόλυτη τιμή σημάδια εκεί, και μόνο η εγγραφή που.
Και τώρα, είμαστε έτοιμοι να χρησιμοποιήσετε το θεώρημα συμπίεση.
Επιτρέψτε μου να διαγράψει όλα αυτά που εδώ σήμερα.
Επιτρέψτε μου να σας θέσω ένα ερώτημα.
Ποιο είναι το όριο, ως x προσεγγίσεις 0, της
η συνάρτηση 1;
Πολύ καλά, είναι ότι η συνάρτηση 1 είναι πάντα ίση με 1.
Έτσι σας να ορίσετε το όριο ως x προσεγγίσεις άπειρο, το όριο
ως x προσεγγίσεις κάτι pi.

Thai: 
เรากำลังสนใจกรณี ลบ pi ส่วน 2 น้อยกว่า x
ซึ่งน้อยกว่า pi ส่วน 2
นั่นคือเราไปจาก ลบ pi ส่วน 2 ยาวไป
จนถึง pi ส่วน 2
ดังนั้นเรากำลังอยู่ในจตุภาคที่สี่กับจตุภาคที่หนึ่ง
cosine ของ x เป็นลบได้ไหม?
cosine คือค่าตามแกน x และค่าแกน x -- ตามนิยามแล้ว
ในจตุภาคที่หนึ่งและที่สี่ -- ค่าตามแกน x
เป็นบวกเสมอ
ดังนั้นหากนี่เป็นบวกเสมอ เราก็เอาเครื่องหมาย
ค่าสมบูรณ์ออกได้ และเขียนมันแค่นั้น
ตอนนี้ เราพร้อมแล้วที่จะใช้ squeeze theorem
ขอผมลบข้างล่างนี่ออกก่อนนะ
ขอผมถามอะไรคุณสักหน่อย
ลิมิต เมื่อ x เข้าใกล้ 0 ของ
ฟังก์ชัน 1 คืออะไร
ฟังก์ชัน 1 นั้นเท่ากับ 1 เสมอ
ดังนั้นผมจะคิดลิมิตเมื่อ x เข้าใกล้อนันต์ ลิมิต
x เข้าใกล้ pi อะไรก็ได้

Czech: 
mínus pi lomeno 2 je menší než "x",
je menší než pi lomeno 2.
Pohybujeme se tedy v rozmezí od mínus pi lomeno 2
až do pi lomeno 2.
Jinak řečeno v prvním a čtvrtém kvadrantu.
Je vůbec někdy cos "x" záporný?
Cosinus je na ose "x" a podle definice
je v prvním a čtvrtém kvadrantu
vždy kladný.
Jestliže je kladný, můžeme se zbavit
absolutní hodnoty a nechat jen cos "x".
Teď už konečně můžeme použít větu o sevřené funkci.
Smažu všechno dole.
...
Zeptám se vás.
Jaká je limita, když se "x" blíží 0
z funkce 1?
Funkce 1 se vždycky rovná 1.
Můžu snadno zjistit limitu, když se "x" blíží nekonečnu,
nebo pi, čehokoliv.

Chinese: 
在第一和第四象限--
x總是正的
如果x一直是正的
就可以把這的絕對值去掉
這樣寫就行
現在 我們可以用夾逼定理了
我把這下面都擦掉
我來問你們
x趨向0時 函數1的極限是多少
函數1總是等於1
所以可以知道x趨於無窮
x趨於π等任何時候 它的極限
總是會等於1
所以當x趨於0 這個等於1
那麽當x趨於0時cosx的極限是多少呢？
這同樣很簡單
當x趨於0 cos0等於1-- 如你們知道的
它是個連續函數-- 所以極限是1
我們已經準備好運用夾逼定理了
當x趨於0時

Spanish: 
Estamos hablando de menos pi sobre 2 es menor que x, que
es menor que pi durante 2.
Así que vamos de menos más de 2 pi todos los
la manera de más de 2 pi.
Así que estamos en el cuarto cuadrante y en primer lugar.
Es el coseno de x siempre negativo?
Bueno, el coseno es el valor de x, y x el - por definición, en
los cuadrantes primero y cuarto-el valor de x
siempre es positivo.
Así que si esto es siempre positivo, podemos deshacernos de la
signos de valor absoluto allí, y sólo escribir eso.
Y ahora, estamos dispuestos a usar el teorema de compresión.
Déjame borrar todo esto aquí ahora.
Así que déjame hacerte una pregunta.
¿Cuál es el límite, cuando x tiende a 0, de
la función de uno?
Pues bien, la función de uno es siempre igual a 1.
Así que puede establecer el límite cuando x tiende a infinito, el límite
cuando x tiende a pi, nada.

Italian: 
Abbiamo a che fare con meno pi greco mezzi minore di x, che
è minore di pi greco mezzi.
Quindi stiamo andando da meno pi greco mezzi
a più pi greco mezzi.
Quindi siamo nel quarto quadrante e nel primo.
Coseno di x è mai negativo?
Bene, coseno è il valore x, e x - per definizione, nei
quadranti primo e quarto - il valore x
è sempre positivo.
Quindi, se questo è sempre positivo, siamo in grado di liberarci dei
moduli, e basta scrivere questo.
E ora, siamo pronti ad utilizzare il teorema di compressione.
Adesso fammi cancellare tutto questo qui.
Allora lascia che ti faccia una domanda.
Qual è il limite, per x che tende a 0, della
funzione 1?
Ebbene, la funzione 1 è sempre uguale a 1.
Così posso impostare il limite per x che tende ad infinito, il limite
per x che tende a pi greco, qualsiasi cosa.

Korean: 
-π/2 < x가 성립하는 영역이죠
x < π/2 또한 성립하죠
즉 -π/2부터 시작해서
π/2까지 쭉 다루고 있는 겁니다
제IV사분면과 제I사분면 위에서요
cos(x)가 음이 될 수 있나요?
cos(x)는 x좌표잖아요.
제I사분면과 제IV사분면 위에서는
정의상 x값이 항상
양이죠
그러니까 이게 항상 양수가 되는 경우고
다시 절댓값을 없애고 이렇게만 써도 되죠
이제 스퀴즈 정리를 쓸 때가 왔습니다
여기 아래에 있는 걸 다 지워볼게요
질문입니다
x가 0으로 갈 때
함수 1의 극한은 얼마죠?
상수함수 1은 언제나 그 값이 1이니까요
x가 무한대로 가든,
x가 π로 가든, 다 상관없어요

iw: 
אנו דמתעסקים במינוס פיי חלקי 2 קטן מאיקס, שהוא
קטן מפי חלקי 2.
אז אנו הולכים ממינוס פיי חלקי 2 וכל
הדרך עד פיי חלקי 2.
אז אנו נמצאים ברביעים הראשון והרביעי.
האם קוסינוס של איקס הוא אי פעם שלילי?
טוב, קוסינוס הוא הערך של איקס, והאיקס -- לפי ההגדרה,
וברביעים הראשון והרביעי -- ערכו של איקס
הוא תמיד חיובי.
אז אם זה תמיד חיובי, אנו יכולים להיפטר
מסימני הערך המוחלט, ושפוט לרשום את זה.
ועכשיו, אנו מוכנים להשתמש בכלל הסנדוויץ'.
תנו לי למחוק את כל זה עכשיו.
אז תנו לי לשאול שאלה.
מהו הגבול, כאשר איקס שואף ל-0, של
הפונקציה 1?
טוב, הפונקציה 1 תמיד שווה ל-1.
אז אני יכול לקבוע את הגבול כאשר איקס שואף לאינסוף, הגבול
כאשר איקס שואף לפיי, הכל.

Estonian: 
Me tegeleme miinus pii jagatud 2 on väiksem kui x, mis
on väiksem kui pii jagatud 2'ga.
Seega me lähme miinus pii jagatud 2 pealt
kuni pii jagatud 2'ni.
Me oleme 1. ja 4. veerandis.
Kas koosiinus x on kunagi negatiivne?
Koosiinus on x'i väärtus ja x-- definitsiooni poolest
on 1. ja 4. veerandis-- x'i väärtus
on alati positiivne.
Kui see on alati positiivne, me saame alati vabaneda
absoluutväärtuste märgist siin ja lihtsalt kirjutada selle.
Ja nüüd me oleme valmis kasutama võileiva reeglit.
Las ma kustutan kõik selle ära.
.
Küsin sult küsimuse.
Mis on piirväärtus kui x läheneb 0'le.
funktsioonist 1?
Funktsioon 1 on alati võrdne 1'ga.
Ma võin piirväärtuse panna lähenema lõpmatusele,
pii'le, ükskõik millele.

Portuguese: 
Estamos no intervalo menos pi sobre 2 é menor que x, que
é menor que pi sobre 2.
Então estamos entre menos pi sobre 2
e pi sobre 2.
Estamos no quarto e primeiro quadrantes.
O cosseno de x é alguma vez negativo?
Bem, o cosseno está sobre o eixo x e o eixo x-- por definição,
no primeiro e quarto quadrantes-- o valor de x
é sempre positivo.
Então se isso é sempre positivo, podemos nos livrar do
módulo aqui, e apenas escrever isso.
e agora, estamos prontos para usar o teorema "sanduíche".
deixe-me apagar tudo aqui embaixo.
.
eu te pergunto:
qual é o limite, enquanto x tende a zero, da
função constante 1?
bem, a função 1 é sempre igual a 1.
então eu posso calcular o limite quando x tende pro infinito,
quando x tende a pi, tanto faz.

Polish: 
Mamy: minus pi przez 2 jest mniejsze od x, które jest
mniejsze niż pi przez 2.
Idziemy z minus pi przez 2 do
pi przez 2
Zatem jesteśmy w czwartej i pierwszej ćwiartce.
Czy cosinus x jest kiedykolwiek ujemny?
Cosinus jest wartością x, i x z definicji
w pierwszej i czwartej ćwiartce -- wartość x
jest zawsze dodatnia.
Czyli jeśli to jest zawsze dodatnie, możemy pozbyć się
znaków wartości bezwzględnych i zapisać po prostu tak.
I teraz, jesteśmy gotowi użyć twierdzenia o trzech ciągach.
Pozwólcie, że zmażę cały ten dół.
Zadam pytanie.
Jaka jest granica, przy x zbiegającym do 0,
funkcji 1.
Cóż, funkcja 1 jest zawsze równa 1.
Mogę wstawić granicę przy x zbiegającym do nieskończoności, granicę
przy x zbiegającym do pi, jakkolwiek.

Modern Greek (1453-): 
Αυτό πάντα θα πρέπει να ισούται με 1.
Έτσι όπως x προσεγγίσεις 0, αυτή είναι ίση με 1.
Και, στη συνέχεια, ποιο είναι το όριο, ως x προσεγγίσεις 0, της συνημίτονο του x;
Λοιπόν, αυτό είναι εύκολο, πάρα πολύ.
X προσεγγίσεις 0, 0 το συνημίτονο είναι μόλις 1--και, όπως get,
γνωρίζετε, είναι μια συνεχής συνάρτηση--έτσι το όριο είναι 1.
Έτσι, είμαστε έτοιμοι να χρησιμοποιήσετε το θεώρημα συμπίεση.
Καθώς πλησιάζουμε το 0, ως x προσεγγίσεις 0, αυτό
συνάρτηση προσεγγίσεις 1.
Αυτή η συνάρτηση προσεγγίσεις 1.
Και σε αυτήν τη συνάρτηση, η έκφραση αυτή,
μεταξύ των δύο.
Και εάν είναι μεταξύ των δύο, καθώς πλησιάζουμε--αυτή είναι
πλησιάζει 1 καθώς πλησιάζουμε 0, αυτό πλησιάζει 1 όπως
0, και αυτή η προσέγγιση είναι μεταξύ τους, ώστε να έχει, επίσης, να
προσέγγιση 1 καθώς πλησιάζουμε 0.
Και έτσι χρησιμοποιούμε το θεώρημα συμπίεση με βάση αυτό και αυτό.

Italian: 
Questo è sempre uguale a 1.
Così quando x tende a 0, questo è uguale a 1.
E allora qual è il limite, per x tendente a 0, del coseno di x?
Beh, anche questo è ​​facile.
Quando x si avvicina a 0, coseno di 0 è 1 -
si sa, è una funzione continua - quindi il limite è 1.
Quindi siamo pronti ad utilizzare il teorema di compressione.
Mentre ci avviciniamo a 0, per x tendente a 0, questa
funzione tende ad 1.
Questa funzione tende a 1.
E questa funzione, questa espressione, è compressa
tra le altre due.
E se sta tra le altre due, mentre ci avviciniamo - questo tende
a 1 quando x tende a 0, questa tende a 1 quando x
tende a 0, e questo è tra di loro, quindi anche questo
tende a 1 per x tendente a 0.
E così stiamo usando il teorema dei carabinieri sulla base di questo e questo.

Chinese: 
这个函数趋于1
这个函数趋于1
而这个函数在这二者之间
如果它处于两者之间 当我们趋向--
当x趋于0时 这项趋于1
当x趋于0时 这项也趋于1
这个在它们之间
所以它也必须在x趋向0时趋向1
我们是基于这个和这个
运用了夹逼定理
你们可以说
因此根据夹逼定理- 因为这个成立
这个成立 这个也成立
所以当x趋于0时 sinx/x的极限是1
希望这给你们直观的认识
另一种思考方法 随着这条线越来越短
当短到长度接近0时 x也接近0

Turkish: 
Bu, daima 1'e eşittir.
iks, sıfıra yaklaşırken, burası 1'e eşittir.
Peki, iks, sıfıra yaklaşırken, "kosinüs iks"in limiti nedir?
Bu da kolay.
iks, sıfıra yaklaşırken, "kosinüs sıfır", 1'dir.
Fonksiyon sürekli olduğuna göre, limiti 1 olur.
Sandviç Teoremi'ni kullanmaya hazırız.
Sıfıra yaklaşırken; yani iks, sıfıra yaklaşırken,
bu fonksiyon 1'e yaklaşır;
bu fonksiyon da 1'e yaklaşır.
Bu fonksiyon, yani bu ifade,
diğer ikisinin arasında.
Diğer ikisinin arasındaysa...
Sıfıra yaklaşırken, bu, 1'e yaklaşıyorsa; sıfıra yaklaşırken,
bu da 1'e yaklaşıyorsa; bu da onların arasındaysa;
sıfıra yaklaşırken o da 1'e yaklaşır.
Sandviç Teoremi'ni, BUNA ve BUNLARA dayanarak kullandık.

Polish: 
To zawsze będzie równe 1.
Czyli jeśli x zbiega do 0, to jest równe 1.
I jaka jest granica, przy x zbiegającym do 0, cosinusa x?
To jest też łatwe.
Jak x zbiega do 0, cosinus(0) to 1, i jak wiecie
to jest ciągła funkcja, zatem granica jest równa 1.
Jesteśmy gotowi na użycie twierdzenia o trzech ciągach.
Jak zbiegamy do 0, jak x zbiega do 0,
funkcja zbiega do 1.
Ta funkcja zbiega do 1.
I ta funkcja, to wyrażenie jest
pomiędzy tymi dwoma.
I jeśli ona jest pomiędzy tymi dwoma, jak zbiegamy -- to jest
zbiegające do 1 gdy zbiegamy do 0, to zbiega do 1 gdy
zbiegamy do 0, a to jest pomiędzy nimi, zatem to też
zbiega do 1 przy zbieganiu do 0.
I używamy twierdzenia o trzech ciągach biorąc to i to.

Estonian: 
See on alati võrdne 1'ga.
Kui x läheneb 0'le, see on võrdne 1'ga.
Ja siis mis on piirväärtus, kui x läheneb 0'le koosiinusx'st?
See on lihtne.
Kui x läheneb 0'le, koosiius 0'st on 1--
see on pidev funktsioon-- seega piirväärtus on 1.
Me oleme valmis kasutama võileiva reeglit.
Kui x läheneb 0'le see funktsioon
läheneb 1'le.
See funktsioon läheneb 1'le.
Ja see funktsioon on
kahe vahel.
Ja kui ta on kahe vahel, kui me lähneme--
läheneb 1'le kui me lähneme 0'le, see läheneb 1'le kui me
lähneme 0'le , ja see on nende vahel, seega see peab
sammuti lähenema 1 kui me läheneme 0'le.
Ja seega me kasutame võileiva teoreemi selle ja selle põhjal.

Portuguese: 
sempre será igual a 1.
então enquanto x tende a zero, isso vale 1.
e então qual é o limite, enquanto x tende a zero, do cossseno de x?
bem, esse é fácil também.
enquanto x tende a zero, cosseno de zero vale 1-- e como
é uma função continua-- o limite vale 1.
Estamos prontos para usar o teorema "sanduíche".
enquanto x tende a zero, essa
função tende a 1.
essa função tende a 1.
e essa função, essa expressão, está
no meio das duas.
e, se está no meio da duas, ao tomarmos o limite--
esse tende a 1 para x tendendo a zero, esse tende a 1 para
x tendendo a zero, e isso está no meio dos dois, então isso também
tende a 1 para x tendendo a zero.
estamos usando o teorema "sanduíche" baseados nisso e nisso.

iw: 
זה תמיד הולך להיות שווה ל-1.
אז כל עוד איקס שואף ל-0, זה שווה ל-1.
ואז מהו הגבול, כאשר איקס שואף ל-0, של קוסינוס איקס?
טוב, גם זה קל.
כאשר איקס מתקרב ל-0, קוסינוס של 0 הוא פשוט 1 -- וכאשר אתם מקבלים,
אתם יודעים, זאת פונקציה רציפה -- אז הגבול הוא 1.
אז אנחנו מוכנים להשתמש בכלל הסנדוויץ'.
כאשר אנו מתקרבים ל-0, כאשר איקס מתקרב ל-0,
הפונקציה הזאת מתקרבת ל-1.
הפונקציה הזו מתקרבת ל-1.
והפונקציה הזו, הביטוי הזה,
הוא נמצא בין השתיים.
ואם הוא ביניהם, כאשר אנו מתקרבים -- זה
מתקרב ל-1 כאשר אנו מתקרבים ל-0, זה מתקרב ל-1 כאשר אנו
מתקרבים ל-0, וזה נמצא שיניהם, אז זה גם צריך
להתקרב ל-1 כאשר אנו מתקרבים ל-0.
אז אנו משתמשים בכלל הסנדוויץ' בהתבסס בזה ובזה.

Chinese: 
這個函數趨於1
這個函數趨於1
而這個函數在這二者之間
如果它處於兩者之間 當我們趨向--
當x趨於0時 這項趨於1
當x趨於0時 這項也趨於1
這個在它們之間
所以它也必須在x趨向0時趨向1
我們是基於這個和這個
運用了夾逼定理
你們可以說
因此根據夾逼定理- 因爲這個成立
這個成立 這個也成立
所以當x趨於0時 sinx/x的極限是1
希望這給你們直觀的認識
另一種思考方法 隨著這條線越來越短
當短到長度接近0時 x也接近0

English: 
This is always going
to be equal to 1.
So as x approaches 0,
this is equal to 1.
And then what is the limit, as
x approaches 0, of cosine of x?
Well, that's easy, too.
As x approaches 0, cosine of 0
is just 1-- and as you get,
you know, it's a continuous
function-- so the limit is 1.
So we are ready to use
the squeeze theorem.
As we approach 0, as
x approaches 0, this
function approaches 1.
This function approaches 1.
And this function, this
expression, is in
between the two.
And if it's in between the two,
as we approach-- this is
approaching 1 as we approach 0,
this is approaching 1 as we
approach 0, and this is in
between them, so it also has to
approach 1 as we approach 0.
And so we are using the squeeze
theorem based on this and this.

German: 
Dies wird immer gleich 1 sein.
Wenn X 0 nähert, ist also gleich 1.
Und dann was ist das Limit, wie x nähert sich 0, der Kosinus von X?
Nun, das ist einfach, zu.
Wenn X 0 nähert, Cosinus 0 ist nur 1-- und wie Sie zu erhalten,
Sie wissen, dass es eine kontinuierliche Funktion--ist so das Limit 1.
So sind wir bereit, das Squeeze-Theorem zu verwenden.
Wie nähern wir uns als x Ansätze 0, 0, dies
Funktion Ansätze 1.
Diese Funktion nähert sich 1.
Und diese Funktion, dieser Ausdruck ist in
zwischen den beiden.
Und wenn es zwischen den beiden, wie nähern wir uns--dies ist
1 nähern, nähern wir 0, nähert das 1 als wir sich
Ansatz 0, und diese ist dazwischen, so hat es auch zu
1 nähern wir 0 zu nähern.
Und also sind wir mit das Squeeze-Theorem basierend auf dies und das.

Spanish: 
Esto siempre va a ser igual a 1.
Así cuando x tiende a 0, esto es igual a 1.
Y entonces ¿cuál es el límite, cuando x tiende a 0, de coseno de x?
Bueno, eso es fácil, también.
A medida que x se aproxima a 0, el coseno de 0 es 1 - y como se obtiene,
usted sabe, es una función continua - por lo que el límite es de 1.
Así que estamos dispuestos a usar el teorema de compresión.
A medida que se acerquen a 0, cuando x tiende a 0, esta
la función se aproxima a 1.
Esta función se aproxima a 1.
Y esta función, esta expresión, es en
entre los dos.
Y si es entre los dos, cuando nos acercamos - esto es
se aproxima a 1 cuando nos acercamos a 0, esto se está acercando a una medida que
enfoque 0, y esto es entre ellos, por lo que también tiene que
acercarse a una medida que nos acercamos 0.
Y por lo que estamos usando el teorema de compresión sobre la base de esto y esto.

Korean: 
이건 항상 1이 될 겁니다
즉 x가 0으로 갈 때 이 극한이 1입니다
x가 0으로 갈 때 cos(x)의 극한은 얼만가요?
그것도 쉽죠
x가 0으로 갈 때를 보면,
cos(0)=1이 성립하고요
cos이 분명 연속함수니까요.
극한도 1이 되겠죠
즉 스퀴즈 정리를 쓸 준비가 된 겁니다
0으로 갈 때, x가 0으로 갈 때를 보면
이건 1로 갈 거고요
이것도 1로 갈 거고요
그리고 이 함수, 이 식이 지금
두 함수 사이
사이에 위치하죠
이제 이 사이에 있으면,
지금 0으로 갈 때를 보면요
이게 0으로 갈 때 1로 가고,
이게 0으로 갈 때 1로 가고,
이건 이 둘 사이에 있으니까
그것도 x가 0으로 갈 때 1로 가야겠죠
즉 이것과 이것을 이용해서
스퀴즈 정리를 적용하고 있는 겁니다

Czech: 
Bude se vždy rovnat 1.
Když se "x" blíží 0, toto se rovná 1.
A jaká je limita, když se "x" blíží 0 z cos "x"?
To je také jednoduché.
Když se "x" blíží 0, cos 0 je 1.
Je to přece spojitá funkce a její limita odpovídá 1.
Jsme připraveni použít větu o sevřené funkci.
Když se "x" blíží 0
tato funkce se blíží 1.
Tato funkce se také blíží 1.
A tato funkce, tento výraz stojí
mezi nima.
A pokud je uzavřená mezi nima,
...Toto se blíží 1, když se blížíme 0,
Toto se blíží 1, když se blížíme 0... A toto stojí mezi nima, takže
se to také musí blížit 1, když se blížíme 0.
Používáme větu o sevřené funkci, založené na tomto a na tomto.

Thai: 
มันจะเท่ากับ 1 เสมอ
งั้นเมื่อ x เข้าใกล้ 0 นี่จะเท่ากับ 1
ทีนี้ ลิมิต เมื่อ x เข้าใกล้ 0 ของ cosine ของ x เป็นเท่าไหร่
นั่นก็ง่ายเหมือนกัน
เมื่อ x เข้าใกล้ 0 cosine ของ 0 ก็แค่ 1 -- และเมื่อ
คุณก็รู้ มันเป็นฟังก์ชันต่อเนื่อง ลิมิตจะออกมาเป็น 1
แล้วเราก็ใช้ squeeze theorem ได้แล้ว
เมื่อเราเข้าใกล้ 0 เมื่อ x เข้าใกล้ 0 ฟังก์ชันนี้
จะเข้าใกล้ 1
ค่าฟังก์ชันนี่เข้าใกล้ 1
และฟังก์ชันนี้ พจน์นี้
อยู่ระหว่างสองตัวนี้
และหากมันอยู่ระหว่างสองตัวนี้ เมื่อเราเข้าใกล้ --
นี่เข้าใกล้ 1 เมื่อเราเข้าใกล้ 0 และนี่ก็เข้าใกล้ 1 เมื่อ
เราเข้าใกล้ 0 เช่นกัน และนี่อยู่ระหว่่างสองตัวนัั้น ดังนั้นมันก็
ต้องเข้าใกล้ 1 เมื่อเราเข้าใกล้ 0 เช่นกัน
นั่นคือ เราใช้ squeeze theorem ตามนี่กับนี่

Arabic: 
هذا دائماً ما يساوي 1
اذاً كلما يقترب x من الصفر، فإن هذا يساوي 1
وبالتالي ما هي نهاية اقتراب x من الصفر، لجيب تمام الزاوية x؟
حسناً، هذا بسيط ايضاً
كلما اقترب x من الصفر، فإن جيب تمام الصفر يساوي 1 --وكلما اقتربت
كما تعلم، انه اقتران تام-- اذاً النهاية هي 1
اذاً نحن جاهزون لاستخدام نظرية الضغط
كلما اقتربنا من الصفر، كلما اقترب x من الصفر، فإن هذا
الاقتران يقترب من الـ 1
هذا الاقتران يقترب من الـ 1
وهذا الاقتران، هذه العبارة، تقع
بين الاثنتين
واذا كانت تقع بينهما، فكلما اقتربنا --هذا
يقترب من الـ 1 كلما اقتربنا من الصفر، هذا يقترب من الـ 1 كلما
اقتربنا من الصفر، وهذا يقع بينهما، لذا يجب ايضاً ان
يقترب من الـ 1 كلما اقتربنا من الصفر
وبذلك نستخدم نظرية الضغط استناداً الى هذا وهذا

Korean: 
그러니까 스퀴즈 정리에 의해서
이게 성립하고, 이게 성립하고,
또 이게 성립하니까
x가 0으로 갈 때 sin(x)/x의 극한이 1이 되죠
직관적으로 이해가 되셨길 바랍니다
다른 방식으로 보면요,
이 선이 0으로 가까이 갈 때,
그러니까 x가 0으로 갈 때
점점 작아지면서
이 넓이와 이 넓이가 서로 가까워지고,
둘 사이에 있는 이 넓이도
그 두 넓이와 가까이 가야겠죠
그래프를 통해서 보고 싶으실까봐
그래프를 준비했습니다
그래프를 그릴 수 있나 볼게요
그래프를 보여드릴게요
거짓말이 아니라는 걸 믿으실 수 있게끔요
1 > sin(x)/x가 성립한다고 얘기했었고요
그건 cos(x)보다 항상 크거나 같죠
-π/2 < x < π/2일 때요
물론 x=0일 때는 정의가 안 되어 있겠죠
하지만 극한은 따질 수가 있습니다
여기 있습니다

Polish: 
I możemy powiedzieć, że z twierdzenia o trzech ciągach
no bo to jest prawda , to jest prawda i to jest prawda,
sinus x przez x, granica przy x dążącym do 0, jest równa 1.
Mam nadzieję, że to wam coś rozjaśni.
Inna metoda by to zobaczyć, kiedy ten odcinek staje się mniejszy
mniejszy kiedy zbiega do 0, jak x zbiega do 0, że ta
powierzchnia i ta powierzchnia zbiega, więc to pole jest pomiędzy, musi
zbiegać do ich obydwu.
I jeśli chcemy zobaczyć to na rysunku,
narysowałem to tutaj.
Zobaczę, czy umiem to narysować.
Pokażę wam rysunek.
Uwierzcie mi.
Czyli powiedzieliśmy, że 1 jest zawsze większe od sinus x, które
jest zawsze większe niż cosinus x, pomiędzy minus pi
przez 2 oraz pi przez 2.
I oczywiście, to nie jest z definiowane, że w x to jest równe 0.
Ale możemy wyliczyć granicę.
Mamy to.

Turkish: 
Şöyle diyebiliriz: Sandviç Teoremi gereği;
bu doğruysa, bu doğruysa ve bu da doğruysa,
"sinüs iks" bölü iks'in; iks, sıfıra yaklaşırkenki limiti 1'dir.
Umarım anlamışsınızdır.
Bunu anlamanın bir diğer yolu da şudur: Hipotenüsün giderek
kısaldığını, iks açısının giderek sıfıra yaklaştığını,
bu üçgenin alanıyla bunun alanının birbirine yaklaştığını
zihninizde canlandırmaktır.
Grafik anlamında görmek isterseniz
önceden çizmiştim.
Bakalım çizebilmiş miyim?
Size grafiğini göstereyim.
Böylece söylediklerime inanırsınız.
Dediğim gibi; 1, sinüs iks'ten daima büyüktür.
sinüs iks de, kosinüs iks'ten daima büyüktür. Tabii, "eksi pi bölü 2" ile
"artı pi bölü 2" arasında.
Bu ifade; iks, sıfıra eşitken tanımlı değildir.
Ama limitini bulabiliriz.
İşte burada.

German: 
Und könnten Sie sagen, Sie wissen, also durch die Squeeze
Theorem, da dies zutrifft, das ist wahr und das ist wahr,
Sinus von x über X, beträgt das Limit als x Ansätze 0, 1.
So hoffentlich gab, dass Sie die Intuition.
Einem anderen so um, wie diese Zeile immer kleiner wird und
kleinere nähert sich 0, wenn X 0 (null), nähert, dass dies
und dieser Bereich zusammenlaufen, so der Bereich dazwischen Art von hat
die beiden konvergieren.
Und wenn Sie wollen, es grafisch zu sehen ich habe
grafisch dargestellt es hier.
Lassen Sie mich sehen, ob ich dieses Ding grafisch darstellen können.
Ich zeige Ihnen die Grafik.
Nur so können Sie mir glauben.
Also haben wir gesagt, dass 1 immer größer als Sinus von x, die
ist immer größer als Kosinus von X, zwischen negativ pi
über 2 und mehr als 2 Pi.
Und natürlich, dies ist nicht definiert bei x ist gleich 0.
Aber wir können herausfinden, das Limit.
Also haben wir es.

Thai: 
และคุณก็บอกได้ว่า คุณก็รู้ ด้วย squeeze theorem
เพราะนี่เป็นจริง นี่เป็นจริง และนี่เป็นจริง
ดังนั้น sine ของ x ส่วน x ลิมิตเมื่อ x เข้าใกล้ 0 นั้นเท่ากับ 1
หวังว่านั่นคงทำให้คุณได้แนวคิดไป
วิธีมองอีกอย่างนึงคือ เมื่อเส้นนี่เล็กลงเรื่อย ๆ
เมื่อมันเข้าใกล้ 0 คือ เมื่อ x เข้าใกล้ 0
พื้นที่นี่กับพื้นที่นี่ เข้าหากัน ดังนั้น พื้นที่ขนาดระหว่างสองพื้นที่นี้
ก็จะเข้าหาค่าทั้งสองเช่นกัน
และหากคุณอยากเห็นเป็นกราฟ ผมก็ได้
เขียนกราฟไว้แล้ว
ขอผมดูหน่อยว่าผมจะวาดกราฟนี่ได้ไหม
ผมจะแสดงกราฟให้ดู
เชื่อผมแล้วกัน
เราบอกว่า 1 มากกว่า sine ของ x ซึ่ง
มากกว่า cosine ของ x เสมอ เมื่อ x อยู่ระหว่าง
ลบ pi ส่วน 2 กับ pi ส่วน 2
และแน่นอน นี่นิยามไม่ได้เมื่อ x เท่ากับ 0
แต่เราหาลิมิตของมันได้
มาแล้ว ๆ

Chinese: 
這片區域和這片區域慢慢收斂
所以中間的這片區域
必須向它們兩個收斂
如果你們想看得更生動 我在這畫一下
看看我能不能畫出這個
我會畫給你們看
只要你們相信我
我們說過在-π/2到π/2
1比sinx/x大
sinx/x比cosx大
當然x=0時這個無定義
但我們可以計算出極限
就是這樣
這條藍色的線 是函數1
也就是y=1
這條淺藍色的是cosx
這個是sinx/x
你們可以看到實際上我打上了
所以sinx/x 在-π/2到π/2上

Portuguese: 
E você pode dizer, portanto, pelo teorema "sanduíche"
como isso é verdade, isso é verdade e isso é verdade
seno de x sobre x, o limite enquanto x tende a zero vale 1.
espero que isso tenha te dado uma intuição.
outro modo de ver isso, enquanto essa linha fica menor e
menor para x tendendo a zero, essa
área e essa área convergem, assim a área do meio
converge nas duas.
e se você quiser ver isso graficamente
eu fiz o gráfico.
deixe-me ver se eu pego o gráfico aqui.
vou mostrar o gráfico.
para você acreditar em mim.
nós dizemos que 1 é sempre maior que seno de x sobre x
que é sempre maior que cosseno de x, entre menos pi
sobre 2 e pi sobre 2.
e claro, isso não é definido para x igual a zero.
mas podemos descobrir o limite.
aqui está

Czech: 
A můžete použití věty o sevřené funkci odůvodnit tím, že
toto je pravda, toto je pravda a toto je pravda.
limita ze sinu "x" lomeno "x", když "x" se blíží 0 se rovná 1.
Doufejme, že jste to pochopili.
Jiný pohled na věc:
Když se bude zmenšovat tato čára,
"x" se blíží 0 a
tato plocha se s touto sbíhá, a tak ta mezi nima
se k nim musí taky přibližovat.
A pokud to chcete vidět na grafu,
sestrojil jsem to zde.
Uvidíme, jestli to dokážu sestrojit.
Ukážu vám graf.
Jen abyste mi uvěřili.
Řekli sme, že 1 je vždycky větší než sin "x". A sin "x"
je vždycky větší než cos "x" mezi
minus pi lomeno 2 a pi lomeno 2.
A samozřejmě to není definováno v "x" rovno 0.
Ale to nám nebrání spočítat limitu.
Tady to máte.

Estonian: 
Ja sa võiksid õelda, seetõttu võileiva reegli põhjal
kuna see on tõene, see on tõene ja see on tõene,
siinus x'st jagatud x'ga, piirväärtus kui x läheneb 0'le on võrdne 1'ga.
Loodetavasti sul on intuitiivsust.
Teine viis kuidas seda vaadata, kui see joon läheb väiksemaks ja
väiksemaks kui see läheneb 0'le, see on
pindala ja see pindala lõik, pindala vahe peal peab
koonduma mõlema jaoks.
Ja kui sa tahad seda näha graafiliselt, ma olen
joonestanud selle siia.
Las ma proovin seda joonestada.
Ma näitan graafikut.
Et sa mind usuksid.
Kui ma ütleksin, et 1 on alati suurem kui siinus x'st, mis
on alati suurem kui koosiinus x'st, miinus pii jagatud 2
ja pii jagatud 2'ga vahel.
Ja muidugi, see ei ole defineeritud kohal x on võrdne 0'ga.
Aga me saame piirväärtuse välja mõelda.
Siin ta on.

Chinese: 
这片区域和这片区域慢慢收敛
所以中间的这片区域
必须向它们两个收敛
如果你们想看得更生动 我在这画一下
看看我能不能画出这个
我会画给你们看
只要你们相信我
我们说过在-π/2到π/2
1比sinx/x大
sinx/x比cosx大
当然x=0时这个无定义
但我们可以计算出极限
就是这样
这条蓝色的线 是函数1
也就是y=1
这条浅蓝色的是cosx
这个是sinx/x
你们可以看到实际上我打上了
所以sinx/x 在-π/2到π/2上

Italian: 
E si potrebbe dire, sai, che per il
teorema della compressione, dato che questo è vero e questo è vero, anche questo è vero,
seno di x fratto x, il limite per x che tende a 0, è pari a 1.
Quindi spero che ti abbia dato l'intuizione giusta.
Un altro modo per vederlo, è che questa linea diventa sempre più piccola
man mano che ci si avvicina a 0, quando x si avvicina a 0, e questa
area e questa area convergono, quindi l'area tra esse deve
convergere come le altre due.
E se si vuole vedere graficamente, ho
un grafico qui.
Fammi vedere se riesco a fare il grafico di questa cosa.
Ti faccio vedere il grafico.
Giusto perche' tu mi creda.
Quindi abbiamo detto che 1 è sempre maggiore di seno di x, che
è sempre maggiore di coseno di x, tra meno pi greco mezzi
e pi greco mezzi.
E, naturalmente, non è definita in x uguale a 0.
Ma possiamo intuire il limite.
Quindi eccolo qui.

Modern Greek (1453-): 
Και μπορείτε να πω, γνωρίζετε, επομένως με την συμπίεση
θεώρημα, επειδή αυτό είναι αλήθεια, αυτό είναι αλήθεια, και αυτό είναι αλήθεια,
ημίτονο x πάνω από το x, το όριο ως x προσεγγίσεις 0, είναι ίσο με 1.
Επομένως ελπίζω ότι σας έδωσε τη διαίσθηση.
Ότι ένας άλλος τρόπος για να το προβάλετε, όπως αυτή η γραμμή γίνεται μικρότερο και
μικρότερες καθώς πλησιάζει 0, x προσεγγίσεις μηδέν, ότι αυτό
περιοχή και η περιοχή αυτή συγκλίνουν, έτσι ώστε η περιοχή στο μεταξύ έχει είδος
να συγκλίνουν οι τόσο τους.
Και αν θέλετε να δείτε γραφικά, έχω
Αυτό το γράφημα εδώ.
Επιτρέψτε μου να δω αν μου να αναπαραστήσετε σε γράφημα αυτό το πράγμα.
Θα σας εμφανίσει το γράφημα.
Μόνο έτσι πιστεύετε μου.
Έτσι, μας είπε ότι 1 είναι πάντα μεγαλύτερη από το ημίτονο του x, όπου
είναι πάντα μεγαλύτερος από το συνημίτονο του x, μεταξύ αρνητική pi
πάνω από 2 και pi πάνω από 2.
Και φυσικά, αυτό δεν ορίζεται σε x είναι ίσο με 0.
Αλλά εμείς μπορεί να υπολογίσει το όριο.
Έτσι υπάρχει που έχουμε.

Arabic: 
ويمكنك ان تقول، كما تعلم، ان هذا بناء على نظرية الضغط
لأن هذا صحيح، هذا صحيح، وهذا صحيح
جيب الزاوية x / x ، نهاية اقتراب x من الصفر = 1
اذاً اتمنى ان هذا اعطاكم البداهة
كانت تلك طريقة اخر، كلما صغر هذا الخط
سيقترب من الصفر، كلما اقترب x من الصفر، حيث
تغطي المساحة وهذه المساحة، اذاً المساحة التي تقع في المنتصف يجب
ان تغطي كلاهما
واذا اردتم ان ترونها ممثلة بيانياً، فأنا
قد مثلتها بيانياً هناك
دعوني ارى اذا كان بامكاني ان امثل ذلك الشيئ بيانياً
سأوضح لكم التمثيل البياني
لكي تصدقوني
لقد قلنا ان الـ 1 دائماً اكبر من جيب x ذلك، والذي
دائماً اكبر من جيب تمام الـ x، بين -pi
/ 2 و pi/2
وبالطبع، ان هذا غير معرف على x = 0
لكن بامكاننا ان نجد النهاية
انها موجودة لدينا هنا

English: 
And you could say, you know,
therefore by the squeeze
theorem, because this is true,
this is true, and this is true,
sine of x over x, the limit as
x approaches 0, is equal to 1.
So hopefully that gave
you the intuition.
That another way to view it, as
this line gets smaller and
smaller as it approaches 0, as
x approaches zero, that this
area and this area converge, so
the area in between kind of has
to converge to the
both of them.
And if you want to see
it graphically, I've
graphed it here.
Let me see if I can
graph this thing.
I'll show you the graph.
Just so you believe me.
So we said that 1 is always
greater than sine of x, which
is always greater than cosine
of x, between negative pi
over 2 and pi over 2.
And of course, this isn't
defined at x is equal to 0.
But we can figure
out the limit.
So there we have it.

iw: 
ואתם יכולים לומר, אתם יודעים, לכן לפי כלל
הסנדוויץ, בגלל שזה נכון, זה נכון, וגם זה נכון,
סינוס איקס חלקי איקס, הגבול כאשר איקס מתקרב ל-0, שווה ל-1.
אז בתקווה זה נתן לכם את האינטואיציה.
זאת דרך נוספת להתבונן בכך, והקו הזה הולך וקטן
כאשר הוא מתקרב ל-0, כאשר איקס מתקרב ל-0,
השטח הזה והשטח הזה מתכנסים, אז השטח שביניהם באופן מסויים
צריך להתכנס עם שניהם.
ואם אתם רוצים לראות זאת בצורה גרפית,
סרטטתי את זה כאן.
תנו לי לראות אם אני יכול לסרטט את זה.
אני אראה לכם את הגרף.
פשוט כדי שתאמינו לי.
אז אמרנו שהאחד הזה תמיד גדול מסינוס איקס, שהוא
תמיד גדול יותר מקוסינוס איקס, בין מינוס פיי
חלקי 2 לפיי חלקי 2.
וכמובן, זה לא מוגדר כאשר איקס שווה ל-0.
אבל אנחנו יכולים למצוא את הגבול.
אז הנה קיבלנו אותו.

Spanish: 
Y se podría decir, ya sabes, por lo tanto, por la contracción
teorema, ya que esto es cierto, esto es cierto, y esto es cierto,
seno de x sobre x, el límite cuando x tiende a 0, es igual a 1.
Así que espero que le dio la intuición.
Esa otra manera de ver, ya que esta línea se hace más pequeño y
más pequeño, ya que se aproxima a 0, cuando x se aproxima a cero, que esta
área y esta área convergen, por lo que el área entre tipo de cuenta
a converger a los dos de ellos.
Y si quieres ver gráficamente, no tengo
graficada aquí.
Déjame ver si puedo graficar esta cosa.
Te voy a mostrar el gráfico.
Sólo para que me cree.
Así que dice que 1 es siempre mayor que seno de x, que
es siempre mayor que el coseno de x, entre pi negativo
más de 2 y más de 2 pi.
Y, por supuesto, esto no está definida en x es igual a 0.
Sin embargo, podemos calcular el límite.
Así que ahí lo tenemos.

Portuguese: 
essa linha azul é a função 1
esse y vale 1
essa linha azul clara é o cosseno de x
e esse é o gráfico de seno de x sobre x
e você pode ver que foi isso que eu digitei aqui.
então seno de x sobre x, entre menos pi sobre 2 e pi sobre
2, ou no 4° e no 1° quadrantes, a linha vermelha
está sempre no meio.
está sempre no meio da azul escura e da azul clara.
e, portanto, essa é uma intuição do que acontece
com o teorema "sanduíche"
nós sabemos que o limite, enquanto essa linha azul clara
tende para zero, vale 1.
e sabemos que o limite, enquanto essa linha azul escura
tende a zero, vale 1.
e essa linha vermelha está sempre no meio
então ela também tende a 1
então é isso
a prova, usando o teorema "sanduíche", e um pouco
de geometria, do porquê para x tendendo a zero,

Chinese: 
或者说第四和第一象限
这条红线总是在中间
总是在深蓝色和浅蓝色之间
这就是对夹逼定理
一个直观上的说明
我们知道
当x趋于0时 这条浅蓝线是1
还知道
当x趋于0时 这条深蓝线是也1
这条红色的线总是在中间
所以也趋向1
那么现在你们知道了
这个证明 用到了夹逼定理
以及三角学的一点知识
证明了为什么x趋向0时
sinx/x的极限是1
希望没有让你们困惑

Czech: 
Modrá funkce je 1.
"y" rovná se 1.
Světle modrá funkce je cos "x".
A červená funkce je sin "x" lomeno "x".
Nahoře to můžete vidět napsané.
sin "x" lomeno "x" mezi mínus pi lomeno 2 a pi lomeno 2
neboli čtvrtý a první kvadrant. Červená křivka
leží vždycky mezi.
Pořád leží mezi tmavé modrou a světle modrou.
Je to jen intuice toho, jak funguje
věta o sevřené funkci.
Víme, že limita světle modré funkce, když
"x" se blíží 0 je 1.
A také limita tmavě modré funkce, když
"x" se blíží 0 je 1.
Červená funkce leží vždy mezi, a proto
je její limita také 1.
A máme dokázáno.
Důkaz s použitím věty o sevřené funkci a
trigoniometrie s obrázkem limity, když se "x" blíží 0 ze

Modern Greek (1453-): 
Αυτή η μπλε γραμμή ακριβώς εδώ, που είναι η συνάρτηση 1.
Ότι y είναι ίσο με 1.
Αυτό φωτός μπλε γραμμή, και εδώ είναι το συνημίτονο του x.
Και αυτή είναι η καμπύλη των ημίτονο x πάνω από το x.
Και μπορείτε να δείτε ότι όντως πληκτρολογήσατε σε.
Έτσι ημίτονο x πάνω από το x, μεταξύ αρνητική pi πάνω από 2 και pi πάνω από
2, ή την τέταρτη και πρώτη τεταρτημόρια, η κόκκινη γραμμή
είναι πάντα στο μεταξύ.
Είναι πάντα μεταξύ το σκούρο μπλε και μπλε γραμμή ελαφρύ.
Και αυτό είναι μόνο ένα διαίσθηση του τι συμβαίνει
με το θεώρημα συμπίεση.
Γνωρίζουμε ότι το όριο, όπως αυτή τη γραμμή ελαφρύ μπλε
προσεγγίσεις 0, είναι 1.
Και γνωρίζουμε το όριο ως το επάνω σκούρο μπλε γραμμή
προσεγγίσεις 0 είναι 1.
Και αυτή η κόκκινη γραμμή είναι πάντα μεταξύ τους, τόσο το
επίσης προσεγγίσεις 1.
Έτσι έχετε.
Η απόδειξη, χρησιμοποιώντας το θεώρημα συμπίεση και λίγο
οπτική τριγωνομετρία, γιατί το όριο, ως x προσεγγίσεις 0, της

German: 
Diese blaue Linie hier, die die Funktion 1 ist.
Das y ist gleich 1.
Diese leichten blauen Strich ist hier Kosinus von X.
Und dies ist der Graph der Sinus von x über X.
Und Sie können sehen, dass ich es in tatsächlich eingegeben.
Also Sinus von x über X, zwischen negativ Pi über 2 und Pi über
2, oder die vierte und die ersten Quadranten, die rote Linie
ist immer dazwischen.
Es ist immer zwischen der dunkelblau und die leichte blaue Linie.
Und so ist dies nur eine Intuition, was passiert
mit dem Squeeze-Theorem.
Wir wissen, dass das Limit, als dieses Licht blaue Linie
Ansätze 0, ist 1.
Und wir wissen das Limit als diese obere dunkelblaue Linie
Ansätze 0 ist 1.
Und dieser roten Linie ist immer dazwischen, also es
auch nähert sich 1.
Also haben Sie es.
Der Nachweis, mit dem Squeeze-Theorem und ein wenig
visuelle Trigonometrie, warum das Limit, wie x nähert sich 0, der

Polish: 
Niebieska linia tutaj, to jest funkcja 1.
To jest y=1.
Ta jasnoniebieska linia tu, to jest cosinus x.
A to jest wykres sinus x przez x.
I możecie zobaczyć, że to wpisałem.
Sinus x przez x, pomiędzy minus pi przez 2, a pi przez 2
lub czwarta i pierwsza ćwiartka, czerwona linia
jest zawsze pomiędzy.
Jest zawsze pomiędzy niebieską i jasnoniebieską linią.
I to jest tylko intuicyjne ujęcie tego co się dzieje
z twierdzeniem o trzech ciągach.
Wiemy, że granica, gdy ta jasnoniebieska linia
zbiega do 0, jest równa 1.
I wiemy, że granica przy tej górnej niebieskiej liniii
zbiegającej do 0, wynosi 1.
I ta czerwona linia jest zawsze pomiędzy, zatem ona
także zbiega do 1.
Mamy to.
Dowód używający twierdzenia o trzech ciągach, oraz odrobinę
rysunkowej trygonometrii, tego dlaczego granica, przy x zbiegającym do 0, wyrażenia

iw: 
הקו הכחול כאן, זאת הפונקציה 1.
זה y שווה ל-1.
הקו הכחול בהיר שכאן הוא קוסינוס איקס.
וזה הגרף של סינוס איקס חלקי איקס.
ואתם יכולים לראות שממש הקלדתי את זה.
אז סינוס איקס חלקי איקס, בין מינוס פיי חלקי 2 ופיי חלקי
2, אוהרביעים הרביעי והראשון, הקו האדום
תמיד נמצא ביניהם.
הוא תמיד בין הקווים הכחול כהה והכחול בהיר.
אז זאת פשוט אינטואיציה של מה שקורה
עם כלל הסנדוויץ'.
אנו יודעים שהגבול, כאשר הקו הכחול בהיר
מתקרב ל-0, הוא 1.
ואנו יודעים שהגבול כאשר הקו הכחול כהה
מתקרב ל-0 הוא 1.
והקו האדום תמיד נמצא ביניהם, אז הוא
גם מתקרב ל-1.
אז הנה לכם.
ההוכחה, בשימוש כלל הסנדוויץ', וקצת
טריגונומטריה ויזואלית, של למה הגבול, כאשר איקס מתקרב ל-0, של

Turkish: 
Bu mavi çizgi, 1 fonksiyonu.
"ye eşittir 1" fonksiyonu.
Bu açık mavi olan da "kosinüs iks".
Bu da, "sinüs iks" bölü iks.
Burada yazıyla da belirtmiştim.
"sinüs iks" bölü iks fonksiyonu, bu kırmızı çizgi, "eksi pi bölü 2" ile
"artı pi bölü 2" arasında, yani birinci ve dördüncü bölgelerde,
daima diğer ikisinin arasında.
Daima, koyu mavi ile açık mavinin arasında.
Bu grafik, Sandviç Teoremi'nin ne olduğu konusunda da
bir fikir veriyor.
Açık mavi çizginin sıfıra yaklaşırkenki limitinin
1 olduğunu biliyoruz.
Üstteki koyu mavi çizginin sıfıra yaklaşırkenki limitinin
1 olduğunu biliyoruz.
Kırmızı çizgi, daima ikisinin arasındaysa
o da 1'e yaklaşır.
İşte size kanıt.
Sandviç Teoremi'ni ve az biraz da
görsel trigonometri kullanarak; iks, sıfıra yaklaşırken,

Italian: 
Questa linea blu qui, questa è la funzione 1.
Questo è y è uguale a 1.
Questa linea celeste qui è coseno di x.
E questo è il grafico di seno di x fratto x.
E si puoi vedere che l'ho proprio scritta qui.
Così seno di x fratto x, tra meno pi greco mezzi e pi greco mezzi
o tra il quarto e il primo quadrante, la linea rossa
sta sempre in mezzo.
Sta sempre tra le linee blu scuro e celeste.
Questa è solo l'intuizione di ciò che accade
con il teorema di compressione.
Sappiamo che il limite, quando questa linea celeste
si avvicina a 0, è 1.
E sappiamo che il limite di questa linea blu scuro
quando si avvicina a 0 è 1.
E questa linea rossa sta sempre in mezzo, quindi
anche lei tende ad 1.
Così il gioco è fatto.
La dimostrazione, utilizzando il teorema di compressione, e un po 'di
trigonometria visiva, del perché il limite, per x che tende a 0, di

Arabic: 
هذا الخط الازرق الموجد هنا، عبارة عن الاقتران 1
ذلك y = 1
الخط الازرق الفاتح هذا عبارة عن جيب تمام الزاوية x
وهذا هو التمثيل البياني لجيب الزاوية x/x
اويمكنكم ان ترون انني قد كتبته هنا
اذاً جيب x/x، بين pi / 2- و pi /
2، او الربعين الاول والرابع، الخط الاحمر
دائماً يقع فيالمنتصف
انه دائماً يقع بين الخط الازرق الداكن والازرق الفاتح
وبهذا فإن تلك بداهة لما يحدث
بنظرية الضغط
نحن نعلم ان النهاية، كلما اقترب هذا الخط الازرق الفاتح
من الصفر، هي 1
ونعلم ان نهاية اقتراب هذا الخط الازرق الداكن العلوي
من الصفر هي 1
وهذا الخط الاحمر دائماً يقع بينها، اذاً هي
ايضاً تقترب من الـ 1
بهذا تكونون قد حصلتم عليها
البرهان، باستخدام نظرية الضغط، وبعضاً من
نظرية المثلثات بصرياً، لماذا النهية، كلما اقترب x من الصفر

Korean: 
여기 이 파란 선이 상수함수 1입니다
y=1의 그래프고요
여기 하늘색 그래프가 cos(x)입니다
이게 sin(x)/x의 그래프예요
그렇게 입력한 게 보이시죠
그러니까 -π/2와 π/2 사이에서 보면,
그러니까 제I사분면과 제IV사분면 위에서 보면
붉은 그래프, 즉 sin(x)/x의 그래프가
항상 사이에 있는 게 보이시죠
항상 파란색과 하늘색 그래프 곡선 사이에 놓입니다
이게 스퀴즈 정리를 적용했을 때의
직관적인 이해가 될 겁니다
x가 0으로 갈 때 이 하늘색 곡선의 극한이
1이 되고요
또 x가 0으로 갈 때 이 파란색 곡선의 극한도
1이 되는 걸 알 수 있죠
이 붉은 곡선은 항상 두 곡선 사이에 놓이니까
그 극한도 1이 되어야 합니다
이제 완료입니다.
x가 0으로 갈 때 sin(x)/x의 극한이 1이라는
말하자면 시각적인 삼각함수를 동원한

Spanish: 
Esta línea azul aquí, esa es la función 1.
Eso es y es igual a 1.
Esta línea de color azul claro aquí es el coseno de x.
Y esta es la gráfica de seno de x sobre x.
Y usted puede ver que en realidad lo escribió en
Así seno de x sobre x, entre pi negativo en más de 2 y pi
2, o los cuadrantes primero y cuarto, la línea roja
es siempre en el medio.
Siempre es de entre el azul oscuro y la línea azul claro.
Y así, esta es sólo una intuición de lo que sucede
con el teorema de compresión.
Sabemos que la límite, ya que esta línea de color azul claro
se aproxima a 0, es 1.
Y sabemos que el límite superior, ya que la línea de color azul oscuro
se aproxima a 0 es 1.
Y esta línea roja es siempre en medio de ella, por lo que
También se aproxima a 1.
Así que ahí lo tienen.
La prueba, usando el teorema de compresión, y un poco de
trigonometría, visual, de por qué el límite, cuando x tiende a 0, de

Chinese: 
或者說第四和第一象限
這條紅線總是在中間
總是在深藍色和淺藍色之間
這就是對夾逼定理
一個直觀上的說明
我們知道
當x趨於0時 這條淺藍線是1
還知道
當x趨於0時 這條深藍線是也1
這條紅色的線總是在中間
所以也趨向1
那麽現在你們知道了
這個證明 用到了夾逼定理
以及三角學的一點知識
證明了爲什麽x趨向0時
sinx/x的極限是1
希望沒有讓你們困惑

English: 
This blue line right here,
that's the function 1.
That's y is equal to 1.
This light blue line right
here is cosine of x.
And this is the graph
of sine of x over x.
And you can see that I
actually typed it in.
So sine of x over x, between
negative pi over 2 and pi over
2, or the fourth and the first
quadrants, the red line
is always in between.
It's always in between the dark
blue and the light blue line.
And so this is just an
intuition of what happens
with the squeeze theorem.
We know that the limit,
as this light blue line
approaches 0, is 1.
And we know the limit as
this top dark blue line
approaches 0 is 1.
And this red line is always
in between it, so it
also approaches 1.
So there you have it.
The proof, using the squeeze
theorem, and a little bit of
visual trigonometry, of why the
limit, as x approaches 0, of

Estonian: 
Sinine joon on funktsioon 1'st.
Selle y on alati 1.
See helesinine joon siin on koosiinus x'st.
Ja see siin on siinus x jagatud x'ga graafik.
Ja me tegelikult kirjutasin selle sisse.
Siinus x'st jagatud x'ga, miinuspii jagatud 2 ja pii jagatud
2 või 4. ja 1., punane joon
on alati nende vahel.
.
Ja see annab lihtsalt tunnetuse, mis toimub
võileiva reegliga.
Me teame, et piirväärtus, kui helesinine joon
läheneb 0'le on 1.
Ja me teame, et piirväärtus kui see ülemine tumesinine joon
läheneb 0'le on 1.
Ja see punane joon on alati nende vahel,
seega see läheneb 1'le.
Siin ta on.
Tõestus, kasutades võileiva reeglit ja natuke
visuaalset trigonomeetriat, sellest, miks kui x läheneb 0'le

Thai: 
เส้นสีฟ้านี่ มันคือฟังก์ชัน 1
นั่นคือ y เท่ากับ 1
ส่วนเส้นสีฟ้าอ่อนตรงนี้คือ cosine ของ x
และนี่คือกราฟของ sine ของ x ส่วน x
หวังว่าคุณคงเห็นว่าผมพิมพ์มันจริง ๆ
sine ของ x ส่วน x ระหว่าง ลบ pi ส่วน 2 กับ pi ส่วน 2
คือ จตุภาคที่สี่กับจตุภาคที่หนึ่ง เส้นสีแดง
จะอยู่ตรงกลางเสมอ
มันระหว่างเส้นสีน้ำเงิน กับสีฟ้าอ่อนเสมอ
และนี่คือเบื้องหลังว่าเกิดอะไรขึ้น
เมื่อใช้ squeeze theorem
เรารู้ว่าลิมิต เมื่อเส้นสีฟ้าอ่อน
เข้าใกล้ 0 นั้น เท่ากับ 1
และเรารู้ว่าลิมิตเมื่อเส้นสีน้ำเงินด้านบน
เข้าใกล้ 0 นั้น เท่ากับ 1 เช่นกัน
เส้นสีแดงอยู่ระหว่างสองเส้นนั้นเสมอ ดังนั้น
มันก็เข้าหา 1 เช่นกัน
และเราก็ได้ผลเช่นนั้น
บทพิสูจน์ โดยใช้ squeeze theorem และตรีโกณมิติ
จากภาพนิดหน่อย ว่าทำไมลิมิตเมื่อ x เข้าใกล้ 0

Arabic: 
لجيب x / x تساوي 1
اتمنى انني لم اربككم

Estonian: 
siinus x'st jagatud x'ga on võrdne 1'ga.
Ma loodan, et ma ei ajanud sind segadusse.

Portuguese: 
seno de x sobre x tende a 1.
espero nao ter te confundido.

Czech: 
sinu "x" lomeno "x" se rovná 1.
Doufám, že jsem vás moc nezmátl.

German: 
Sinus von x über x ist gleich 1.
Ich hoffe, dass ich Sie noch nicht verwirrt.

English: 
sine of x over x is equal to 1.
I hope I haven't confused you.

Polish: 
sinus x przez x, jest równa 1.
Mam nadzieję, że wam nie namieszałem.

Turkish: 
"sinüs iks" bölü iks'in limitinin 1 olduğunu kanıtladık.
Umarım aklınızı karıştırmamışımdır.

Korean: 
스퀴즈 정리에 의한 증명입니다
헷갈리시지 않았길 바랍니다

Spanish: 
seno de x sobre x es igual a 1.
Espero que no te he confundido.

Modern Greek (1453-): 
ημίτονο x πάνω από το x είναι ίσο με 1.
Ελπίζω ότι σας δεν έχετε συγχέεται σας.

Italian: 
seno di x fratto x è uguale a 1.
Spero di non averti confuso.

Thai: 
ของ sine ของ x ส่วน x เท่ากับ 1 ก็เสร็จสิ้น
ผมหวังว่าผมคงไม่ทำให้คุณงงนะ

iw: 
סינוס איקס חלקי איקס שווה ל-1.
אני מקווה שלא בילבלתי אתכם.
