
Portuguese: 
Bob descobriu algo interessante,
enquanto fazia brincos multicoloridos
de miçangas na sua loja.
Seus clientes gostam de variedade,
por isso ele decide fazer todos os
estilos possíveis para cada tamanho.
Começando do tamanho 3, começa
descobrindo todos os 
possíveis estilos.
Cada brinco começa com uma 
fileira de miçangas,
e então as pontas são unidas
para formar um anel.
Primeiro, quantas fileiras diferentes
é possível fazer?
Com duas cores e três miçangas,
há 3 opções, cada uma
com duas cores.
Dois vezes dois vezes dois é 
igual a oito
possíveis fileiras diferentes.
E então, ele subtrai as fileiras
que têm apenas uma cor
ou fileiras monocoloridas,
já que está construindo brincos
multicoloridos.
Então, ele cola elas todas para
formar um anel.
Ele assumiu que terminaria com
6 brincos diferentes,

English: 
Voiceover: Bob discovered
something very interesting
while making multicolored earrings
out of beads for his store.
Now, his customers like variety,
so he decides to make every
possible style for each size.
Starting with size three, he begins
by figuring out all possible styles.
Each earring begins as a string of beads,
and then the ends are
attached to form a ring.
So first, how many
possible strings are there?
With two colors and three beads,
there are three choices,
each from two colors.
So two times two times two equals eight
possible unique strings.
And then he subtracts the strings
which have only one color,
or monocolored strings,
since he's only building
multicolored earrings.
Then he glues them all
together to form rings.
He was assuming he would end
up with six different earrings,

Italian: 
Bob scopre una cosa interessante nel costruire orecchini 
usando perline colorate
Bob scopre una cosa interessante nel costruire orecchini 
usando perline colorate
Bob scopre una cosa interessante nel costruire orecchini 
usando perline colorate
I clienti amano la varietà, e lui decide di fare ogni 
varietà possibile per ogni dimensione
I clienti amano la varietà, e lui decide di fare ogni 
varietà possibile per ogni dimensione
Partendo dagli orecchini con 3 perline, cerca di 
stabilire tutti i tipi possibili
Partendo dagli orecchini con 3 perline, cerca di 
stabilire tutti i tipi possibili
Ogni orecchino inizia con una stringa di perline.
Attacca poi le due estremità per formare un anello
Ogni orecchino inizia con una stringa di perline.
Attacca poi le due estremità per formare un anello
Quante stringe distinte abbiamo?
Con 2 colori e 3 perline ci sono 3 scelte, ciascuna fra due colori
Con 2 colori e 3 perline ci sono 3 scelte, ciascuna fra due colori
2 x 2 x 2 fa 8 stringhe distinte possibili
2 x 2 x 2 fa 8 stringhe distinte possibili
Quindi toglie via le stringhe monocolore
perché vuole fabbricare solo orecchini multicolore
Quindi toglie via le stringhe monocolore
perché vuole fabbricare solo orecchini multicolore
Quindi toglie via le stringhe monocolore
perché vuole fabbricare solo orecchini multicolore
Quindi li incolla a formare anelli.
Immagina di ritrovarsi con 6 orecchini diversi ma succede 
qualcosa di curioso

Polish: 
Bob odkrył coś ciekawego,
robiąc kolorowe kolczyki
z koralików do swojego sklepu.
Klientki lubią odmianę,
Bob postanawia więc zrobić każdy
możliwy styl w każdym rozmiarze.
Zaczyna od rozmiaru 3.
Najpierw wymyśla
wszystkie możliwe style.
Każdy kolczyk zaczyna się
jako ciąg koralików.
Potem zbliża się końcówki,
tworząc kółko.
Po pierwsze:
ile jest możliwych ciągów?
Przy dwóch kolorach
i trzech koralikach,
są 3 możliwości wyboru,
każda z dwóch kolorów.
Dwa razy dwa razy dwa…
to osiem możliwych
odrębnych ciągów.
Potem Bob odejmuje ciągi
mające tylko jeden kolor.
Jednokolorowe.
Robi tylko wielokolorowe kolczyki.
Później skleja ciągi w kółka.

Czech: 
Bob objevil něco velmi zajímavého
při výrobě barevných náušnic
z korálků pro svůj obchod.
Jeho zákazníci mají rádi pestrost,
takže se rozhodl udělat všechny
možné způsoby pro každou velikost.
Začal velikostí 3
a zjišťoval všechny možné způsoby.
Každá náušnice začala jako řetězec korálků
a konce jsou spojeny tak,
aby tvořily kruh.
Nejprve zjistěme, kolik takových
různých řetězců existuje?
Se 2 barvami a 3 korálky jsou 3 způsoby,
každá ze dvou barev.
Tedy, 2 krát 2 krát 2 je rovno 8
možných jedinečných řetězců.
Pak odečte řetězce,
které mají pouze 1 barvu.
Jednobarevné řetězce.
Poněvadž vytváříme
pouze vícebarevné náušnice.
Následně je slepí všechny
dohromady a vytvoří kruhy.

Georgian: 
ბობმა რაღაც ძალიან საინტერესო
აღმოაჩინა ფერადი საყურეების კეთებისას
საკუთარი მაღაზიისთვის.
მის კლიენტებს უყვართ მრავალფეროვნება.
ამიტომ მან გადაწყვიტა გაეკეთებინა ყველა
შესაძლო დიზაინი ყოველი ზომისთვის.
მან მესამე ზომით დაიწყო და გადაწყვიტა
გაერკვია ყველა შესაძლო ვარიანტი.
ყოველი საყურის კეთება იწყება
მძივების დამწკრივებით.
შემდეგ კი ბოლოები ერთდებიან და
რგოლს ქმნიან.
ჯერ, რამდენი შესაძლო ვარიანტია
ამ მწკრივების?
ორი ფერით და სამი მძივით,
არის 3 არჩევანი თითოეული ფერისთვის.
შესაბამისად 2-ჯერ 2-ჯერ 2 უდრის 8
შესაძლო უნიკალურ მწკრივს.
შემდეგ ის გამორიცხავს
ერთფეროვან მწკრივებს, რადგან მხოლოდ
მრავალფეროვანი საყურეები სჭირდება.
შემდეგ კი ერთმანეთს აწებებს, რომ
მიიღოს რგოლები.
იგი ფიქრობდა რომ საბოლოოდ
6 განსხვავებულ საყურეს მიიღებდა,

Bengali: 
##  আগামী ও গ্রামীণফোন এর সহযোগিতায় অনূদিত ##
বব তার দোকানের জন্য বিভিন্ন রঙের
কানের দুল তৈরি করার সময় চমৎকার
একটি বিষয় আবিষ্কার করেছে।
তার ক্রেতারা বৈচিত্র চায় তাই সে
চিন্তা করেছে, প্রত্যেক আকারের জন্য
প্রত্যেক ধরনের কানের দুল তৈরি করবে।
তিনটি পুঁতি নিয়ে সে
সম্ভাব্য সকল ধরন চেষ্টা করল।
প্রত্যেকটি কানের দুল একটি সমন্বয়ে নিয়ে
তারপর শেষভাগ জুড়ে দিয়ে একটি আকার দেয়া হল।
তাহলে, এখানে কতটি সমন্বয়ে সাজানো যাবে?
দুটি ভিন্ন রং এবং তিনটি পুঁতি নিয়ে
তিনটি ধরন হবে, যার প্রত্যেকটিতে দুটি রঙের পুঁতি থাকবে।
তাহলে,  ২×২×২ = ৮ অর্থাৎ ৮টি
সম্ভাব্য অনন্য দল হবে। তারপর,
সে একক রঙের দলগুলোকে
সরিয়ে ফেলবে যেহেতু সে নানা
রঙের কানের দুল বানাবে।
তারপর সে সবগুলোকে
একসাথে আঠা দিয়ে লাগিয়ে দিবে।
সে ভেবেছিল, সে ৬টি ভিন্ন ধরনের কানের দুল পাবে।

Bulgarian: 
Боб открива нещо много интересно,
докато прави разноцветни обици
от мъниста в своя магазин.
Неговите клиенти обичат разнообразието,
затова той решава да направи
всеки възможен модел за всеки размер.
С начален размер 3,
той започва да търси всички възможни стилове.
Всяка обица започва като наниз от мъниста,
а краищата се прикрепят, за да се оформи кръг.
Така че първо, колко възможни наниза има?
С два цвята и три мъниста
има 3 избора, всеки с по два цвята.
Така че две по две по две
е равно на осем възможни различни наниза.
След това той изважда нанизите,
които имат само един цвят,
това са едноцветните нанизи,
тъй като прави само многоцветни обици.
След това ги залепва, 
за да образуват кръгове.
Той смята, че ще получи шест различни обеци,

Korean: 
밥은 여러 색상의 구슬을
이용한 귀걸이를
그의 가게에서 직접 만들어 팔면서
매우 흥미로운 것을 발견했습니다
그의 고객들은 제품들이
다양한 것을 좋아하기 때문에
밥 은 각 사이즈별로 가능한
모든 무늬를 만들기로 합니다
먼저 3개의 구슬로 만들 수 있는
모든 경우의 무늬를 구성해보려 합니다
구슬을 한 줄로 늘어놓은 다음
원형으로 만들기 위해
양끝을 서로 붙입니다
그럼 첫번째로
몇 종류의 줄을 만들 수 있을까요?
두 가지 색상의 구슬 3개로 만들어 보면
매 선택마다 두 가지
색상중 하나를 이용하므로
2 x 2 x 2 = 8 개의
서로 다른 무늬의 줄을
만들 수 있습니다
그러고 나서 
단색으로만 이루어진 줄을 뺍니다
다양한 색상으로 이루어진
귀걸이만 필요하니까요
밥은 원형으로 만들기 위해
구슬들을 붙입니다
작업을 마친 후
6개의 다른 귀걸이가

Polish: 
Sądził, że na końcu będzie miał
6 różnych kolczyków, ale coś się stało.
Nie może odróżnić
większości z nich.
Okazuje się,
że ma tylko dwa style,
bo każdy styl należy teraz
do jednej grupy
z dwoma identycznymi kolczykami.
Zawsze możecie je dopasować,
obracając.
Wielkość tych grup
musi zależeć od tego,
ilu trzeba obrotów,
by wrócić do oryginału.
Albo ilu trzeba obrotów,
żeby zakończyć cykl.
To znaczy, że 1. zestaw wszystkich
wielokolorowych ciągów
dzieli się równo na grupy
rozmiaru 3.
Czy to okaże się prawdą
także dla innych rozmiarów?
To by było wygodne,
ponieważ Bob chce tyle samo
w każdym stylu.
Próbuje z czterema koralikami.
Najpierw układa wszystkie
możliwe ciągi.
Koraliki są cztery.

Italian: 
Immagina di ritrovarsi con 6 orecchini diversi ma succede 
qualcosa di curioso
Alcuni non si distinguono più fra di loro
Si ritrova con due soli stili. Ogni orecchino è parte di un gruppo 
con altri due elementi indistinguibili
Si ritrova con due soli stili. Ogni orecchino è parte di un gruppo 
con altri due elementi indistinguibili
Si ritrova con due soli stili. Ogni orecchino è parte di un gruppo 
con altri due elementi indistinguibili
Notate che si possono ottenere l'uno dall'altro semplicemente ruotandoli
La dimensione di questi gruppi deve essere dovuta 
su quante rotazioni ci vogliono per riprodurre l'originale
La dimensione di questi gruppi deve essere dovuta 
su quante rotazioni ci vogliono per riprodurre l'originale
O su quante rotazioni sono necessarie per completare un ciclo
Questo vuol dire che l'insieme iniziale di stringhe multicolore
si suddivide in gruppi di dimensione 3
Questo vuol dire che l'insieme iniziale di stringhe multicolore
si suddivide in gruppi di dimensione 3
Questo vuol dire che l'insieme iniziale di stringhe multicolore
si suddivide in gruppi di dimensione 3
E questa una proprietà comune a più dimensioni?
Sarebbe bello perché Bob preferirebbe avere 
la stessa quantità di ogni tipo
Sarebbe bello perché Bob preferirebbe avere 
la stessa quantità di ogni tipo
Prova con 4 perline
Costruisce tutte le stringhe possibili

Georgian: 
მაგრამ რაღაც მოხდა.
მას აღარ შეეძლო უმრავლესობის
ერთმანეთისგან გარცევა.
აღმოჩნდა რომ მხოლოდ 2 დიზაინის
საყურე დარჩა იმიტომ, რომ
ყოველი ვარიანტი ახლა ჯგუფის წევრია
კიდევ 2 იდენტურ ცალთან ერთად.
შენიშნეთ რომ ყოველთვის შეგიძლიათ
ერთმანეთს დაამთხვიოთ მობრუნებით.
ამ ჯგუფების ზომა დამოკიდებულია იმაზე, თუ
რამდენი მობრუნებაა საჭირო, რომ
თავდაპირველ მდგომარეობას დაუბრუნდეს.
ანუ, რამდენი მობრუნებაა საჭირო
ციკლის დასასრულებლად.
ეს ნიშნავს რომ თავდაპირველი მწრივების
ჯგუფი
ტოლად იყოფა ორ, 3 წევრიან ჯგუფად.
სხვა ზომის ჯგუფებშიც იგივე იქნება?
ეს მოსახერხებელი იქნება, რადგან მას
ყოველთვის უნდა ერთი და იმავე
ოდენობის ყველა ვარიანტი.
ახლა ის ცდილობს 4 ცალი მძივით.
ჯერ აგებს ყველა შესაძლო მწკრივს.

Portuguese: 
mas algo aconteceu.
Ele não conseguia mais 
diferenciar uns dos outros.
Acontece que há apenas
dois estilos,
porque cada estilo é parte
de um grupo
com parceiros idênticos.
Perceba que há uma correspondência entre
eles baseada em rotações.
O tamanho desses grupos
tem que ser baseado
em quantas rotações ele
leva para voltar ao original.
Ou quantas rotações leva
para completar um ciclo.
Assim, o conjunto inicial
de todas as fileiras multicoloridas
dividem-se igualmente em
grupos de tamanho três.
Agora, isso é verdade para os 
outros tamanhos?
Seria conveniente, já 
que ele sempre quer
a mesma quantidade de cada estilo.
Então ele testa com quatro miçangas.
Primeiro ele constrói todas as
fileiras possíveis.

Bengali: 
কিন্তু কিছু একটা হয় যার কারণে
সে খুব বেশি পার্থক্য পায় না। দেখা গেল,
দেখা গেল, সে শুধুমাত্র দুটি ধরন পেয়েছে।
কারন প্রত্যেকটি কানের দুলই এখন এ
দুটি নির্দিষ্ট ধরনের দলভুক্ত।
লক্ষ্য করলে দেখা যাবে, ঘুরালেই
তাদের মধ্যে মিল পাওয়া যাবে।
তাহলে, কতবার ঘুরালে আগের অবস্থানে
ফিরে আসবে তা এই দলগুলোর
আকারের উপর নির্ভর করবে।
অথবা যতবার ঘুরালে একটি পূর্ণ আবর্ত সম্পন্ন হয়।
তার মানে দাঁড়ায়, মূল ভিন্ন রঙের
সমন্বয়, তিনটি পুঁতির দলে
সমানভাবে বিভক্ত।
তাহলে, এগুলো কি অন্য আকারের জন্যও একই হবে?
সবধরনের একই সংখ্যায় থাকলে
তার সুবিধা হবে।
তাই সে চারটি রঙের পুঁতি নিয়ে চেষ্টা করল।
প্রথমে সে সকল সম্ভাব্য দল তৈরি করল।

Bulgarian: 
но нещо се случва.
Вече не може да види разликата между повечето от тях.
Оказва се, че има само два вида,
защото всеки вид сега е част от група
с два еднакви партньора.
Забележи, че винаги могат да съвпаднат,
когато ги завъртим.
Затова размерът на тези групи трябва да се определя
от това колко завъртания ще ги доведат до оригинала.
Или колко завъртания ще завършат един цикъл.
Това означава, че първоначалното множество
от всички цветни нанизи се дели без остатък
на групи с размер три.
Дали това ще е валидно за други размери?
Това би било удобно, 
тъй като Боб иска винаги
един и същи брой от всеки вид.
Затова опитва с четири мъниста.
Първо той прави всички възможни нанизи.

English: 
but something happened.
He could no longer tell the
difference between most of them.
It turns out he only has two styles,
because each style is now part of a group
with two identical partners.
Notice you can always match
them up based on rotations.
So the size of these groups must be based
on how many rotations it takes
to return to the original.
Or how many rotations to complete a cycle.
So this means that the original set
of all multicolored strings divides evenly
into groups of size three.
Now, would this be true for other sizes?
That would be convenient,
since he always wants
the same amount of each style.
So he tries this with four beads.
First he builds all possible strings.

Czech: 
Předpokládá, že vytvoří 6 různých náušnic,
ale něco se stalo:
nemůže rozpoznat rozdíl
mezi většinou z nich.
Ve skutečnosti existují
pouze 2 způsoby,
protože každý způsob je nyní součástí
skupiny se dvěma identickými partnery.
Všimněte si, že se tito partneři
liší pouze rotací.
Velikost těchto skupin musí být založena
na počtu rotací, které jsou potřeba,
abychom dostali původní náušnici.
Nebo jinak: kolik rotací
je potřeba k dokončení cyklu?
To znamená, že původní množina
vícebarevných řetězců
se nakonec rozdělila
do skupin o velikosti 3.
Bude to pravda i pro ostatní velikosti?
To by bylo vhodné,
poněvadž chce vždy
stejný počet každého způsobu.
Zkusí to tedy se 4 korálky.
Nejprve vytvoří všechny možné řetězce

Korean: 
나오리라 생각했는데 그렇지 않았죠
그 중 대부분이 똑같아 졌거든요
결과적으로 그는 두 가지 종류만
만들 수 있었는데
이유는 각 무늬가
두 개의 동일한 짝으로
맺어진 그룹에
속하게 되었기 때문입니다
회전을 기반으로 해서
구슬의 무늬를
서로 짝지을 수 있다는 것을
알아야 합니다
그러므로 이런 그룹의 크기는
원래의 무늬로 돌아가기 위해
필요한 회전수나
한 주기를 완성하기 위해 필요한 회전수에 
기반을 둬야 합니다
이 말은 원래의 다양한 색구슬 줄들이
결국은 똑같이 각각 세 개의 구성원을 갖는 
그룹으로 나눠진다는 거죠
그럼 이것이 다른 갯수의
구슬에도 적용이 될까요?
그렇다면 밥에게도 편리할 것 같네요
밥은 각 무늬를
같은 개수로 만들고 싶어합니다
이제 네 개의 구슬로 해보려 합니다
먼저 2가지 색상의
4개의 구슬을 이용해

Bengali: 
চারটি পুঁতি নিয়ে সে প্রত্যেক
পুঁতি থেকে দুটি রঙ নিতে পারবে
তাহলে ২×২×২×২=১৬
তারপর সে দুটি একক রঙের দল আলাদা করে
এবং অন্য সবগুলোকে জুড়ে দিল। এখন তারা
কি একই আকারের দল তৈরি করবে?
অবশ্যই না।
কী ঘটল এখানে?
লক্ষ্য করি, কিভাবে শুরুর পুঁতির দল বিভিন্ন ধরনে বিভক্ত।
যদি একই ধরনের হয়
তাহলে একটির শেষে
আরেকটি পুঁতি আঠা
দিয়ে জুড়ে দিয়ে তৈরি করা যাবে।
আর এখানে ১টি ধরন আছে যার দুটি
দল আছে এবং এর
কারন এটি দুটি পুঁতির পুনরাবৃত্তির কারণে গঠিত।
তাহলে, একটি আবর্ত সম্পন্ন করতে দু'বার ঘুরাতে হবে।
তাহলে, এই দল শুধুমাত্র দুটি নিয়ে গঠিত।
সে এগুলো সমান দু'ধরনে ভাগ করতে পারবে না।

Portuguese: 
Com quatro miçangas ele pode 
escolher duas cores
para cada miçanga, então
duas vezes dois vezes dois vezes dois
igual a dezesseis.
Então ele tira os dois colares 
monocoloridos e
une todos os outro para
formar um anel.
Agora, eles formarão grupos de
tamanhos iguais?
Aparentemente não.
O que aconteceu?
Perceba que o conjunto inicial de 
fileiras divide-se em dois estilos.
Se há fileiras de mesmo estilo,
podemos transformar uma na outra
apenas pegando as miçangas
de uma ponta
e unindo com a outra ponta.
E há apenas um estilo com
apenas dois membros,
e isto porque é construído
por uma unidade repetida de
tamanho dois.
Então são necessárias apenas
duas rotações para completar o ciclo.
Portanto este grupo apenas contém dois.
Ele não tem como dividi-los em
um mesmo número de estilos.

Georgian: 
4 მძივი რომელსაც 2
სხვადასხვა ფერით ადგენს.
შესაბამისად, გამოვა 2-ჯერ 2-ჯერ
2-ჯერ 2 ანუ 16.
შემდეგ გამორიცხავს 2 ერთფეროვან მწკრივს
და აწებებს დარჩენილებს რომ მიიღოს რგოლები.
ახლაც ტოლი რაოდენობით დაიყოფიან?
აღმოჩნდა რომ არა.
რა მოხდა?
შენიშნეთ, თუ როგორ იყოფიან
თავდაპირველი მწკრივები.
თუ მწკრივები ერთი სტილისაა,
ეს ნიშნავს რომ ერთით მეორის მიღება
შეგვიძლია მძივის ბოლოდან თავში გადატანით.
და მხოლოდ ერთი სტილია,
რომელშიც 2 წევრია.
ეს იმით არის გამოწვეული, რომ
ისინი აგებულია განმეორებადი ორ ერთეულიანი
ნაწილით.
ანუ მხოლოდ 2 მობრუნებაა საჭირო
ციკლის დასასრულებლად.
ამიტომაც, ამ ჯგუფში მხოლოდ 2 წევრია.
მას არ შეუძლია მათი გაყოფა ტოლ
წევრიან ვარიანტებად.

Korean: 
가능한 모든 줄을 만들고
각 구슬마다 두가지 선택이 가능하므로
2 x 2 x 2 x 2 = 16 가지가 생기고
그러고나서 단색으로
이루어진 것을 제외합니다
이제 줄을 원으로 붙입니다
이것들이 같은 갯수를 가진
그룹이 될까요?
확실히 아니네요
이것은 왜일까요?
최초의 줄들이 어떻게 다른 무늬로
나뉘었나 보세요
같은 무늬의 줄들 이라면
줄의 이쪽 끝을 끌어당겨
반대쪽 끝에 붙이기만 하면
동일한 패턴으로
만들 수 있다는 것을 의미합니다
그리고 두 개의 구성원을 갖는
한 그룹이 있는데
이것은 두개의 구슬로 만들어진 무늬가
반복되어 만들어졌기 때문입니다
결과적으로 한 주기를 만들기 위해 
두 번의 회전만이 필요했던 것이죠
그래서 이 그룹에는 2개만 존재합니다
그는 동일한 갯수의
그룹으로 나눌 수 없습니다

English: 
With four beads he can
choose from two colors
for each bead, so two times two
times two times two equals sixteen.
Then he removes the two
monocolored necklaces
and attaches all of the
others to form rings.
Now, will they form equal sized groups?
Apparently not.
What happened?
Notice how the initial set of
strings divides into styles.
If strings are of the same style,
it means you can form one into the other
simply by grabbing beads from one end
and sticking them onto the other end.
And there is one style
which only has two members,
and this is because it's built
out of a repeating unit of length two.
So only two rotations are
required to complete a cycle.
Therefore this group only contains two.
He cannot split them into
an equal number of styles.

Polish: 
Dla każdego - wybiera
z dwóch kolorów.
2 razy 2 razy 2 razy 2 to 16.
Bob usuwa
dwa jednokolorowe ciągi,
a pozostałe łączy w kółka.
Czy stworzą grupy
tej samej wielkości?
Wygląda na to, że nie.
Co się stało?
Zauważcie, jak pierwszy zestaw
ciągów dzieli się na style.
Gdy ciągi są w tym samym stylu,
można przerobić jeden na drugi,
chwytając koraliki z jednego końca
i przyklejając je do końca drugiego.
Jeden styl ma tylko
dwa zestawy,
bo jest zbudowany z powtarzającej się
jednostki długości 2.
Tylko dwa obroty są potrzebne
do ukończenia cyklu.
Dlatego ta grupa zawiera
tylko 2 elementy.
Bob nie może ich podzielić.
Co z rozmiarem 5?

Italian: 
Con 4 perline può scegliere fra 2 colori per perlina, quindi
2 x 2 x 2 x 2 = 16
Con 4 perline può scegliere fra 2 colori per perlina, quindi
2 x 2 x 2 x 2 = 16
Con 4 perline può scegliere fra 2 colori per perlina, quindi
2 x 2 x 2 x 2 = 16
Quindi rimuove i due orecchini monocolore
e con gli altri forma degli anelli
Quindi rimuove i due orecchini monocolore
e con gli altri forma degli anelli
I gruppi risultanti avranno tutti lo stesso numeri di orecchini?
Ebbene, no
Cosa è successo?
Notate come il set iniziale di stringhe si sia diviso in stili
Se due stringhe sono dello stesso stile, allora potete trasformare l'uno nell'altro semplicemente attaccando le perline alle estremità
Se due stringhe sono dello stesso stile, allora potete trasformare l'uno nell'altro semplicemente attaccando le perline alle estremità
Se due stringhe sono dello stesso stile, allora potete trasformare l'uno nell'altro semplicemente attaccando le perline alle estremità
Se due stringhe sono dello stesso stile, allora potete trasformare l'uno nell'altro semplicemente attaccando le perline alle estremità
C'è uno stile con solo 2 elementi. 
Perché è costruito con unità elementari di lunghezza 2
C'è uno stile con solo 2 elementi. 
Perché è costruito con unità elementari di lunghezza 2
C'è uno stile con solo 2 elementi. 
Perché è costruito con unità elementari di lunghezza 2
Due sole rotazioni sono sufficienti per completare un ciclo.
Quindi questo gruppo contiene solo 2 elementi
Due sole rotazioni sono sufficienti per completare un ciclo.
Quindi questo gruppo contiene solo 2 elementi
In questo caso il numero degli elementi per 
ciascun stile non è costante

Czech: 
a se 4 korálky si může vybrat
ze 2 barev pro každý korálek,
takže 2 krát 2 krát 2 krát 2
je rovno 16.
Poté odstraní 2 jednobarevné řetězce,
a spojí všechny zbylé v kruhy.
Budou nyní tvořit skupiny
o stejné velikosti?
Podle všeho ne.
Co se stalo?
Všimněte si, jak se původní
množina řetězců rozdělila do variant.
Pokud jsou řetězce stejného způsobu,
to znamená, že můžeme jeden přeměnit na jiný
jednoduše tak, že vezmete
korálky z jednoho konce,
a přilepíte je na druhý konec.
Je zde jedna varianta,
která má pouze 2 členy.
To je proto, že jsou vytvořeny
z opakujících se jednotek o délce 2,
takže jsou potřeba pouze
2 rotace k dokončení cyklu.
Proto tato skupina obsahuje pouze 2.
Nemůžeme je rozdělit
na varianty o stejném počtu.

Bulgarian: 
С четири мъниста може да избира между два цвята
за всяко мънисто, така че две
по две по две по две е равно на шеснадесет.
След това може да премахне двете едноцветни обеци
и да направи от останалите кръгове.
Дали те ще образуват групи с еднакъв размер?
Явно не.
Какво се случва?
Забележи как първоначалното множество от нанизи
се разделя на видове.
Ако нанизите са от един вид,
това означава, че от един може да се направи друг
просто като се вземат мънистата от единия край
и се постававят в другия край.
А има една група само с два вида,
защото е съставена
от повторения на единици с дължина две.
Така че са необходими само две ротации,
за да завърши един цикъл.
Следователно тази група съдържа само два.
Боб не може да ги раздели на равен брой видове.

English: 
What about size five?
Will they break into equal
number of each style?
Wait, suddenly he realizes he doesn't even
need to build them in order to find out.
It must work, since five cannot be made up
of a repeating pattern, because five
cannot be broken up into equal parts.
It's a prime number.
So no matter what kind
of multicolored string
you start with, it will
always take five rotations,
or bead swaps, to return to itself.
The cycle length of every
string must be five.
Well let's check.
First we'll build all possible strings
and remove the two monocolored strings.
Then we separate the strings into groups
which belong to the same style,
and build a single earring for each style.
Notice that each earring
rotates exactly five times
to complete a cycle.

Georgian: 
რა მოხდება მეხუთე ზომაში?
დაიყოფიან ისინი ტოლ წევრიან
განსხვავებულ სტილებად?
უცებ ის აცნობიერებს, რომ მას არც კი
სჭირდება მათი დამწკრივება ამის გასაგებად.
ასეც უნდა იყოს, რადგან 5-ს ვერ დაყოფ
განმეორებად ნაწილებად.
იმიტომ, რომ
5 ტოლ ნაწილებად ვერ დაიყოფა.
ის მარტივი რიცხვია.
მნიშვნელობა არ აქვს რა სახის
მრავალფეროვანი მწკრივით დავიწყებთ,
ყოველთვის 5 მობრუნება დასჭირდება,
რომ თავდაპირველ მდგომარეობას
დაუბრუნდეს.
ყოველი მწკრივის ციკლის სიგრძე
5-ის ტოლი უნდა იყოს.
მოდი, შევამოწმოთ.
ჯერ ავაწყოთ ყველა შესაძლო მწკრივი.
გამოვრიცხოთ ერთფეროვანი მწკრივები.
დავყოთ მწრკივები ჯგუფებად
სტილების მიხედვით
და მივაწებოთ ერთმანეთს თითო-თითო
ყოველი სტილიდან.
შენიშნეთ, ყოველ საყურეს ზუსტად
5 მობრუნება სჭირდება,
რომ ციკლი დაასრულოს.

Korean: 
그럼 다섯 개의 구슬은 어떻게 될까요?
각 무늬마다
같은 숫자로 나누어질까요?
잠시만요 그는 그걸 알아내기 위해
굳이 직접 만들어볼
필요가 없다는걸 깨닫습니다
당연히 그렇게 되겠죠
왜냐하면
숫자 5는 같은 수로 나눠지지 않으니
5개의 구슬에서는
반복되는 패턴이 없을테니까요
이것은 소수 입니다
그러므로
어떤 종류의 줄로 시작하더라도
원래의 모양으로
돌아오려면 5번 회전을 하거나
구슬의 위치 바꿈이 일어납니다
각 줄마다 회전수는
다섯 번이 될겁니다
확인해 볼까요?
먼저 가능한
모든 무늬를 만들어 볼겁니다
그리고 같은 색깔의 줄을 제거합니다
그 다음
같은 무늬의 구슬끼리 모읍니다
이제 각 무늬에 맞는
귀걸이를 만듭니다
각 무늬마다
정확하게 다섯번 회전했을 때에
한 주기가
완성된다는 걸 알 수 있습니다

Czech: 
Co velikost 5?
Rozdělí se na varianty o stejném počtu?
Počkat! Najednou jsem
si uvědomil, že je nemusí vytvářet,
aby to zjistil. Musí to fungovat,
poněvadž 5 se nemůže skládat
z opakujícího se vzorce,
protože 5 nemůže být
rozděleno na stejné části.
Je to prvočíslo.
Nezáleží jakým vícebarevným
řetězem začneme,
vždy bude potřeba 5 rotací,
nebo výměn korálků,
aby se vrátil na původní.
Délka cyklu každého řetězu musí být 5.
Pojďme to ověřit.
Prvně vytvoříme všechny možné řetězce
a odstraníme oba jednobarevné řetězce.
Pak řetězce rozdělíme do skupin
podle toho, jestli jde o stejnou variantu,
a vytvoříme jednu náušnici
pro každou variantu.
Všimněte si, že každá náušnice
se otočí přesně pětkrát,
aby dokončila cyklus.

Portuguese: 
E quanto ao tamanho cinco?
Será que eles vão quebrar em igual número
de cada estilo?
Espere, de repente, ele percebe 
que nem precisa
construí-los, para descobrir.
Ele deve funcionar, uma vez que cinco
não pode ser feita
de um padrão de repetição, porque cinco
não pode ser dividido em partes iguais.
É um número primo.
Portanto, não importa o que tipo
de fileira multicolorida
você começa, ela sempre 
terá cinco rotações,
ou troca as miçangas,
para voltar a si mesmo.
A duração do ciclo de cada 
sequência deve ser cinco.
Bem, vamos verificar.
Primeiro vamos construir todas
as sequências possíveis.
E remover as duas fileiras mono coloridas.
Em seguida, separar as fileiras em grupos
que pertencem ao mesmo estilo,
e construir um único brinco
para cada estilo.
Observe que cada brinco gira
exatamente cinco vezes
para completar um ciclo.

Italian: 
E nel caso di una catenina a cinque elementi?
Ci saranno un numero costante di elementi per ciascun stile?
Di colpo Bob capisce che non ha bisogno di costruirli per indovinare la risposta
Di colpo Bob capisce che non ha bisogno di costruirli per indovinare la risposta
Stavolta deve funzionare perché 5 è numero primo e quindi 
non può essere ottenuto come ripetizione di gruppi elementari
Stavolta deve funzionare perché 5 è numero primo e quindi 
non può essere ottenuto come ripetizione di gruppi elementari
Stavolta deve funzionare perché 5 è numero primo e quindi 
non può essere ottenuto come ripetizione di gruppi elementari
5 non può essere diviso in parti uguali, perché è primo
Con qualunque stringa multicolore comincerete ci vorranno sempre 5 rotazioni per completare il ciclo
Con qualunque stringa multicolore comincerete ci vorranno sempre 5 rotazioni per completare il ciclo
Con qualunque stringa multicolore comincerete ci vorranno sempre 5 rotazioni per completare il ciclo
La lunghezza di ciascun ciclo deve essere 5
Controlliamo
Dapprima creiamo tutte le stringhe possibili
e rimuoviamo quelle monocolore
Dapprima creiamo tutte le stringhe possibili
e rimuoviamo quelle monocolore
Poi separiamo le stringhe in gruppi aventi il medesimo stile
Poi separiamo le stringhe in gruppi aventi il medesimo stile
e restiamo con un singolo orecchino per ciascuno stile
Come vedete, ogni orecchino deve ruotare per cinque volte per 
completare un ciclo
Come vedete, ogni orecchino deve ruotare per cinque volte per 
completare un ciclo

Bulgarian: 
Ами ако мънистата са пет?
Дали ще се разделят на еднакъв брой видове?
Момент, внезапно му хрумва,
че дори не трябва да опитва, 
за да разбере.
Това трябва да работи,
тъй като пет не може да се сглоби
от повтарящ се модел,
тъй като пет не може да се раздели на равни части.
Пет е просто число.
Така че без значение с какъв цветен наниз започнеш,
винаги ще са необходими пет завъртания
или размени на мъниста, за да се върнеш до него.
Дължината на цикъла за всеки наниз ще бъде пет.
Да проверим това.
Първо правим всички възможни нанизи
и премахваме двата едноцветни.
След това разделяме нанизите на групи
по различните видове
и правим по една обица от всеки вид.
Забележи, че всяка обица се завърта
точно пет пъти, 
за да завърши цикъл.

Bengali: 
৫টির ক্ষেত্রে কী হবে?
তাদের কী সমান ভাগে বিভক্ত করা যাবে?
হঠাৎ সে খেয়াল করল এটা নির্নয়
করতে তাকে বানাতে হবে না
এটা হবে, কেননা ৫টির দলকে ঘুরালে
একই রকম হবে না কারন ৫-কে ভাগ
করলে সমান দু'ভাগে ভাগ করা যায় না।
এটি একটি মৌলিক সংখ্যা।
তাই যত সংখ্যক ভিন্ন রঙের পুতির দল হোক
একই সমন্বয় দেখতে প্রত্যেকবারই
এটিকে পাঁচ বার ঘুরাতে হবে।
এক্ষেত্রে প্রত্যেকটি সমন্বয় ৫বার আবর্তিত হবে।
তাহলে দেখি।
প্রথমে আমরা সকল সম্ভাব্য সমন্বয় তৈরি করব
এবং একক রঙের দল সরিয়ে নিব।
তারপর আমরা দুটি সমন্বয় কে
একই দলভুক্ত করব।
প্রত্যেক ধরনের একটি কানের দুল তৈরি হবে।
এখানে প্রত্যকটি কানের দুলের একটি
পূর্ণ আবর্ত সম্পন্ন করতে ৫বার ঘুরতে হবে।

Polish: 
Czy sznurki podzielą się
równo między style?
Zaraz. Nagle Bob
zdaje sobie sprawę:
nie musi ich budować,
by się o tym przekonać.
To musi działać, bo pięciu
nie zrobi się z powtarzalnego wzoru.
Bo pięciu nie podzieli się
na równe części.
To liczba pierwsza.
Niezależnie, z jakim rodzajem
kolorowego ciągu zaczynacie,
zawsze trzeba będzie
pięciu obrotów,
czy zamian koralików,
by wrócić do stanu pierwotnego.
Długość cyklu każdego ciągu
musi wynosić 5.
Sprawdźmy.
Najpierw zrobimy
wszystkie możliwe ciągi
i usuniemy dwa jednokolorowe.
Potem podzielimy ciągi na grupy
należące do tego samego stylu
i zrobimy jeden kolczyk
dla każdego stylu.
Każdy kolczyk obraca się
dokładnie 5 razy, by ukończyć cykl.

Bengali: 
তাহলে আমরা যদি সবগুলো সমন্বয়কে
কানের দুলে পরিণত করি তাহলে ৫টির
সমান আকারের দলে বিভক্ত হবে।
কিন্তু সে আরো এক ধাপ এগিয়ে গেল।
যদিও সে দুটি রং নিয়ে করছে কিন্তু
যেকোন সংখ্যক রঙের পুতি দিয়ে হবে।
যেকোন মৌলিক সংখ্যার ভিন্ন রঙের
কানের দুল p হলে এর চক্রের দৈর্ঘ্যও p হবে।
যেহেতু মৌলিক সংখ্যাকে সমানভাগে ভাগ করা যায় না।
কিন্তু যৌগিক সংখ্যক
যেমন ৬টি, পুঁতি ব্যবহৃত হলে আমরা
সবসময়ই ছোট আবর্ত-দৈর্ঘ্যের নির্দিষ্ট সমন্বয় পাব।
যেহেতু এটিতে একটি আবর্ত হবে  তাই
কম সংখ্যক সমন্বয় পাওয়া যাবে।
এবং আশ্চর্যজনক ভাবে সে ফারমাসের উপপাদ্যে পেয়ে যায়।
মৌলিক সংখ্যার a সংখ্যক রং এবং
p দৈর্ঘ্য নিয়ে সম্ভাব্য সমন্বয়

Georgian: 
შესაბამისად თუ დავაწებებდით
ყველა მწკრივს, ისინი გაიყოფოდნენ
ტოლ, 5 წევრებიან ჯგუფებად.
შემდეგ ის მაინც აგრძელებს.
ამჯამად ის იყენებს მხოლოდ 2 ფერს, მაგრამ
ის აცნობიერებს, რომ
კანონზომიერება ფერების ნებისმიერი
რაოდენობის შემთხვევაშიც იგივე დარჩება.
იმიტომ, რომ ნებისმიერი მრავალფეროვან
საყურეს, რომელიც
მარტივ, p წევრის ოდენობის მძივებისგან
შედგება, p მობრუნებიანი ციკლი ექნება.
რადგანაც მარტივი რიცხვები
ტოლ ნაწილებად ვერ დაიყოფიან.
მაგრამ თუ შედგენილი რიცხვის ოდენობისგან
მძივებს გამოვიყენებთ,
მაგალითად 6, გვექნება მწკრივები,
რომელთა ციკლების უფრო მოკლეა,
რადგანაც ისინი განმეორებადი ერთეულებისგან
შედგებიან და შექმნიან
უფრო მცირე ჯგუფებს.
გასაკვირია მაგრამ, ბობმა ფერმას
მცირე თეორემა აღმოაჩინა.
მოცემულია a რაოდენობის ფერები და
p სიგრძის მწკრივები, p მარტივია.

Portuguese: 
Portanto, se nós colarmos todas
as fileiras em anéis,
elas devem dividir em grupos de
tamanhos iguais de cinco.
Mas, em seguida, ele vai um passo além.
Atualmente, ele está usando apenas
duas cores, mas ele percebe
que deve manter com qualquer
número de cores
Porque qualquer brinco multicolorido
com um número primo
de miçangas, P, deve ter um comprimento
de ciclo de P,
desde primos não pode ser divididos em
unidades de tamanhos iguais.
Mas, se um número composto
de miçangas são utilizadas,
como seis, sempre teremos
determinadas sequências
com o comprimentos de ciclo mais curtos, 
uma vez que é, na verdade,
construído a partir de uma unidade de
repetição, e, portanto,
vão formar grupos menores.
E, surpreendentemente, ele apenas tropeçou
no pequeno Teorema de Fermat.
Dado A cores e fileiras de comprimento P,
que são primos,
o número de possíveis de 
fileiras é A vezes A

Polish: 
Gdybyśmy więc skleili
wszystkie ciągi w kółka,
muszą się podzielić
na równe grupy po 5.
Bob idzie o krok dalej.
Teraz używa tylko dwóch kolorów,
ale uświadamia sobie, że to musi
działać przy dowolnej ich liczbie.
Bo każdy wielokolorowy kolczyk
z liczbą pierwszą koralików, p,
musi mieć długość cyklu p,
bo liczb pierwszych nie da się
podzielić na równe części.
Jednak przy użyciu złożonej liczby
koralików, np. 6,
zawsze zdarzą się ciągi
o krótszym cyklu,
bo są zbudowane
z powtarzających się segmentów.
Utworzą więc mniejsze grupy.
Zdumiewające: natknął się
na Małe Twierdzenie Fermata.
Mając a kolorów
i chcąc z nich utworzyć ciągi
o długości p (liczba pierwsza),
uzyskujemy, że liczba
możliwych ciągów

Bulgarian: 
Следователно, ако направим всички нанизи на кръгове,
те трябва да се разделят на равни групи от по пет.
Но след това Боб отива една стъпка напред.
Досега използваше само два цвята, но той разбира,
че това трябва да е изпълнено за всеки брой цветове.
Тъй като всяка цветна обица с брой на мънистата
просто число p трябва да има дължина на цикъла p,
тъй като простите числа не могат да се разделят
на единици с еднакъв размер.
Но ако се използва съставно число за брой на мънистата,
като например шест, винаги ще имаме няколко наниза,
които са с по-малка дължина на цикъла,
тъй като ще са направени от повтарящи се единици
и следователно ще образуват по-малки групи.
И така Боб достига до Малката теорема на Ферма.
При дадени a цвята и нанизи с дължина p,
което е просто число,

Italian: 
Se incolliamo ogni stringa a formare un anello
otterremo gruppi di dimensioni costanti
Se incolliamo ogni stringa a formare un anello
otterremo gruppi di dimensioni costanti
A questo punto Bob compie un ulteriore passo
Sinora ha utilizzato 2 soli colori, ma tale proprietà deve 
certamente valere per qualsiasi numero di colori
Sinora ha utilizzato 2 soli colori, ma tale proprietà deve 
certamente valere per qualsiasi numero di colori
perché ogni orecchino multicolore avente un numero primo 
P di perline dovrà avere una lunghezza di ciclo pari a P
perché ogni orecchino multicolore avente un numero primo 
P di perline dovrà avere una lunghezza di ciclo pari a P
perché ogni orecchino multicolore avente un numero primo 
P di perline dovrà avere una lunghezza di ciclo pari a P
Se invece si usa un numero composto di perline, come 6, 
allora alcune stringhe avranno lunghezza del ciclo inferiore
Se invece si usa un numero composto di perline, come 6, 
allora alcune stringhe avranno lunghezza del ciclo inferiore
perché saranno costruite come ripetizione di gruppi elementari
perché saranno costruite come ripetizione di gruppi elementari
perché saranno costruite come ripetizione di gruppi elementari
Curiosamente, Bob si è appena imbattuto nel 
PICCOLO TEOREMA DI FERMAT
Dati A colori e stringhe di lunghezza P, coprimi fra loro,
allora il numero di stringhe è: A^P
Dati A colori e stringhe di lunghezza P, coprimi fra loro,
allora il numero di stringhe è: A^P

Korean: 
그래서 만약 모든 줄을 
원형으로 만든다면
그것은 모두 같은 개수를 가진
그룹들로 나뉘어질 것입니다
그런데 밥은 한 단계 더 나아갔습니다
지금까지 밥은
두 가지 색깔만 사용해왔죠
밥은 이게 귀걸이를 이루는 색의 개수와
상관 없다는 것을 알았습니다
색의 개수와는 상관없이
소수 P의 구슬 개수로 이루어진
다색상의 귀걸이는
P만큼의 주기 길이를
가지기 때문입니다
소수는 같은 수의 단위로
나눠지지 않기 때문이죠
하지만 숫자 6 같은 합성수의
구슬이 사용된다면
회전수가 짧은 몇몇 줄들이 
존재하게 됩니다
그들 내에 반복되는 패턴이 존재하므로
더 작은 숫자 구성원의
그룹을 형성하게 됩니다
그리고 놀랍게도 밥은 페르마의 소정리를 
우연히 마주쳤습니다
a = 색상의 개수 p = 소수인 줄의 길이 
라고 주어진 조건에서

Czech: 
Pokud je tedy všechny slepíme do kruhů,
musí se rozdělit do stejně
velkých skupin po pěti.
Bob jde ještě o krok dál.
Nyní používá pouze 2 barvy,
ale uvědomil si, že tohle musí platit
pro jakýkoliv počet barev.
Protože jakýkoliv vícebarevný kruh
s prvočíselným počtem korálků P,
musí mít cyklus o délce P,
poněvadž prvočísla se nemohou
rozdělit na stejně velké jednotky.
Pokud ale je počet korálků složené číslo,
například 6, vždy bude mít určité řetězce
s kratší délkou cyklu,
poněvadž budou vytvořeny
z opakujících se jednotek,
a proto vytvoří menší skupiny.
Takto zrovna narazil na
Malou Fermatovu větu.
Méjme 'A' barev
a řetězce o délce P,
což bude prvočíslo.
Počet možných řetězců

English: 
Therefore, if we glued all
the strings into rings,
they must split into equal
sized groups of five.
But then he goes one step further.
Currently he is only using
two colors, but he realizes
this must hold with any number of colors.
Because any multicolored
earring with a prime number
of beads, P, must have
a cycle length of P,
since primes cannot be broken
into equal sized units.
But if a composite
number of beads are used,
such as six, we will
always have certain strings
with shorter cycle lengths,
since it's actually
built out of a repeating
unit, and therefore
will form smaller groups.
And amazingly he just stumbled
onto Fermat's Little Theorem.
Given A colors and strings
of length P, which are prime,
the number of possible
strings is A times A

Portuguese: 
vezes A, P vezes, ou A para o poder do P.
E quando ele retirou as fileiras
monocoloridas,
ele subtrai exatamente um fileira,
uma vez que há uma para cada cor.
Isto deixa-o com A para o poder de 
P menos as fileiras A.
E quando ele colou estas fileiras juntas,
elas vão cair em grupos de tamanho P,
uma vez que cada um brinco deve ter um
comprimento de ciclo de P.
Portanto, P divide A para o 
poder de P menos A.
E é isso.
Podemos expressar esta declaração 
em aritmética modular também.
Pense nisso, se você dividir
A para o poder de P
por P, você vai ficar com um resto de A.
Assim, podemos escrever isso como
A para o poder de P
é congruente para A mod P.
E aqui vamos ter tropeçado em um
dos fundamentos resultados
em teoria dos números
simplesmente por brincar com miçangas.

Korean: 
가능한 모든 줄의 개수는 a 자신을 
p 숫자만큼 곱한것
a 의 p 제곱이 됩니다
그리고 단색으로 이루어진 줄을 제외할 때는
줄을 정확히 a 갯수 만큼을 뺍니다
각 색상마다 하나가 존재하기 때문이죠
여기까지는 a^p - a 의 계산식을
갖게 되었습니다
이제 구슬들을 붙여서
원으로 만들고 나면
p 갯수만큼의 구성원을 갖는
그룹들로 나눠질 겁니다
각 귀걸이들의
한 주기당 길이가 p 이니까요
그러므로
(a^p - a) 나누기 p 를 하면 되네요
다 되었습니다
우리는 이것을
모듈러 연산에도 쓸 수 있는데
만일 a의 p 제곱승을 p로 나눈다면
나머지는 a가 될겁니다
그러므로 우리는 a의 p 제곱승은
a ( mod ) p 와 형태가
같다고 쓸 수 있습니다
우리는 단지 구슬을
가지고 놀았을 뿐인데
정수론의 기초가 된 개념 중의 하나를

Georgian: 
შესაძლო მწკრივების რაოდენობა არის
a ხარისხად p.
როდესაც, იგი აშორებს ერთფეროვან
მწკრივებს,
ის აკლებს ზუსტად a ოდენობის მწკრივებს,
რადგანაც თითოა ყოველი ფერის.
გვრჩება a ხარისხად p გამოკლებული a
რაოდენობის მწრივი.
როდესაც ის აწებებს ამ მწრივებს
ისინი დაიყოფიან p წევრებიან ჯგუფებად,
რადგანაც ყოველ საყურეს p სიგრძის
ციკლი აქვს.
შესაბამისად a ხარისხად p-ს გამოკლებული
a იყოფა p-ზე.
ჩვენ შეგვიძლია ეს მტკიცება მოდალურ
არითმეტიკაშიც გამოვსახოთ.
თუ გაყოფ a ხარისხად p-ს p-ზე,
დაგრჩება ნაშთი a .
შეგვიძლია ასე დავწეროთ a ხარისხად p
უდრის a mod p-ს.
ჩვენ აღმოვაჩინეთ ერთ-ერთი
ფუნდამენტალური რეზულტატი
რიცხვთა თეორიაში

Polish: 
to a razy a razy a… p razy,
czyli a do potęgi p.
A kiedy usuwa jednokolorowe ciągi,
to jest ich dokładnie a.
Jeden dla każdego koloru.
To pozostawia mu 
a do potęgi p minus a ciągów.
A gdy skleja te ciągi,
podzielą się na grupy wielkości p,
bo każdy kolczyk
musi mieć cykl długości p.
Dlatego p dzieli
a do potęgi p minus a. I już.
Możemy wyrazić to również
w arytmetyce modułowej.
Pomyślcie: jeśli dzielicie a
do potęgi p
przez p, to zostanie wam reszta a.
Możemy to zapisać jako:
a do potęgi p
jest przystające do a mod p.
Natknęliśmy się na jeden
z podstawowych wzorów w teorii liczb,
po prostu bawiąc się koralikami.

Bengali: 
হয় a×a×a, a সংখ্যক বার অথবা a^p ।
এবং একক রঙের সমন্বয় সরিয়ে নিলে
মূলত a-এর সমন্বয় সরিয়ে নেয়া হয়।
যেহেতু এখানে প্রত্যেক রঙের জন্য একটি
সমন্বয় আছে ফলে, a^p - a সমন্বয় পাওয়া যায়।
এবং যখন সে এই সমন্বয়গুলোকে আঠা দিয়ে যুক্ত করে
তখন p-এর সমান দল পাওয়া যাবে,
যেহেতু প্রত্যেক কানের দুলের p সংখ্যক আবর্ত আছে।
অতএব, (p/a)^p - a ।
আর এটাই।
আমরা একে মড্যুলার এরিথমেটিকে প্রকাশ করতে পারি।
যদি, (a^p)/p হয় তাহলে
ভাগশেষ পাওয়া যাবে a ।
তাহলে একে লেখা যায়,
a^p ≅ a mod p
আর এই হল সংখ্যা তত্ত্বে অন্যতম
মৌলিক ফলাফল যা এই পুঁতি দিয়ে

English: 
times A, P times, or A to the power of P.
And when he removed the
monocolored strings,
he subtracts exactly A strings,
since there are one for each color.
This leaves him with A to the
power of P minus A strings.
And when he glues these strings together,
they will fall into groups of size P,
since each earring must
have a cycle length of P.
Therefore, P divides A to
the power of P minus A.
And that's it.
We can express this statement
in modular arithmetic too.
Think of it, if you
divide A to the power of P
by P, you will be left
with a remainder of A.
So we can write this
as A to the power of P
is congruent to A mod P.
And here we have stumbled onto one
of the fundamentals
results in number theory

Bulgarian: 
броят на възможните нанизи е 
p пъти a по a по а,
или a на степен p.
А когато премахне едноцветните обици,
той изважда точно a наниза,
тъй като има по един наниз от всеки цвят.
Това го оставя с a на степен p минус a наниза.
А когато прави от нанизите кръгове,
те ще се разделят на групи с размер p,
тъй като всяка обица трябва да има размер на цикъла p.
Следователно p разделя a на степен p минус a.
Това е.
Можем да изразим това твърдение и с модулна аритметика.
Помисли, ако разделим a на степен p
на p, ще получим остатък a.
Можем да запишем това като a на степен p,
равно на a mod p.
И така достигаме до един
от фундаменталните резултати в теорията на числата

Italian: 
Dati A colori e stringhe di lunghezza P, coprimi fra loro,
allora il numero di stringhe è: A^P
E una volta rimosse le stringhe monocolore,
avrà sottratto esattamente A stringhe
E una volta rimosse le stringhe monocolore,
avrà sottratto esattamente A stringhe
visto che ce n'è 1 per ciascun colore
Quindi otteniamo A^P - A stringhe
Incollando le stringhe, ottiene gruppi di dimensione P
Incollando le stringhe, ottiene gruppi di dimensione P
visto che ciascun orecchino deve avere una 
lunghezza di ciclo pari a P
E in conclusione P divide A^P-A
Ecco fatto
Possiamo esprimere quest'affermazione 
nei termini della aritmetica modulare
Se dividiamo A^P per P otterremo un resto apri a A
Se dividiamo A^P per P otterremo un resto apri a A
che possiamo esprimere come A^P è congruente ad A modulo P.
che possiamo esprimere come A^P è congruente ad A modulo P.
Abbiamo finito con lo scoprire uno dei risultati fondamentali 
della teoria dei numeri semplicemente giocando con le perline
Abbiamo finito con lo scoprire uno dei risultati fondamentali 
della teoria dei numeri semplicemente giocando con le perline

Czech: 
je 'a' krát 'a' krát 'a' krát 'a',...
p krát,
neboli 'a' umocněné na p.
Když odstraní jednobarevné řetězce,
odečte přesně 'a' řetězců,
poněvadž je zde 1 každé barvy.
Tím mu zbude ('a' na p) minus 'a' řetězů.
Když přilepí tyto řetězy dohromady,
rozdělí se do skupin o velikosti p,
protože každý kruh
musí mít délku cyklu velikosti p.
Proto p dělí ('a' na p) minus 'a'.
A to je vše.
Můžeme toto tvrzení vyjádřit
také v modulární aritmetice.
Pokud vydělíte ('a' na p) číslem p,
vyjde nám zbytek 'a'.
Toto můžeme zapsat jako:
(a na p) je shodné s a (modulo p).
A zde narážíme na
jeden ze základů teorie čísel,

Italian: 
Abbiamo finito con lo scoprire uno dei risultati fondamentali 
della teoria dei numeri semplicemente giocando con le perline

Bengali: 
খেলতে খেলতে পেয়ে গেলাম।
##  আগামী ও গ্রামীণফোন এর সহযোগিতায় অনূদিত ##

Bulgarian: 
само като си играхме с мъниста.

Korean: 
우연히도 마주치게 된 것입니다

Georgian: 
მძივებთან თამაშისას.

Portuguese: 
[Legendado por Fernando dos Reis]
[Revisado por Paulo Trentin]

Czech: 
i když jsme si jen hráli s korálky.

English: 
merely by playing with beads.
