
Czech: 
Máme funkci f(x) je rovno x².
A já chci zjistit velikost plochy
pod křivkou y se rovná f(x).
Takže to je moje osa y.
To je moje osa x.
A teď si nakreslím moji funkci.
Moje funkce vypadá takto.
Alespoň tedy v prvním kvadrantu.
Zatím ji načrtnu jen tam.
Mohl bych ji samozřejmě zakreslit
i v druhém kvadrantu.
Ale mě zajímá plocha
pod křivkou a nad osou x
mezi x rovno 1
a x rovno 4.
A už mě nebaví aproximovat plochy.
Chci najít přesnou velikost plochy
pod touto křivkou a nad osou x.
A přesnou velikost plochy pod křivkou,
tuto hněde vyšrafovanou oblast,
určíme pomocí určitého integrálu.

Thai: 
เรามีฟังก์ชัน f ของ x เท่ากับ x กำลังสอง
และสิ่งที่ผมสงสัย คือการหาพื้นที่ใต้เส้นโค้ง
y เท่ากับ f ของ x นั่นคือแกน y ของผม
นี่คือแกน x
ขอผมวาดฟังก์ชันนะ
ฟังก์ชันของผมเป็นแบบนี้
อย่างน้อยใน ในจตุภาคแรก
นั่นคือตำแหน่งที่ผมจะวาดกราฟตอนนี้
ผมวาดมันได้ในจตุภาคที่สองได้เช่นกัน
แต่สิ่งที่ผมสนใจคือพื้นที่ใต้เส้นโค้งนี้
และบวกแกนบวก x
ระหว่าง, ระหว่าง x เท่ากับ 1 กับ x เท่ากับ 4,
x เท่ากับ 4
และผมเหนื่อยกับการประมาณพื้นที่แล้ว
ผมอยากหาพื้นที่จริง
ใต้เส้นโค้งนี้ เหนือแกน x
และวิธีที่เราเขียนพื้นที่ใต้
เส้นโค้ง พื้นที่แรเงาสีน้ำตาลเล็กๆ ตรงนี้
คือใช้อินทิกรัลจำกัดเขต

English: 
So we've got the function, f of x is equal
to x squared.
And what I'm concerned with, is finding
the area under the curve,
y is equal to f of x, so that's my y axis.
This is my, my, x axis.
Then let me draw my function.
My function looks like this.
At least in the, in the first quadrant.
That's where I'll graph it for now.
I could also graph it, obviously in the
second quadrant.
But, what I care about is the area under
this curve and above the positive x axis,
between, between x equals 1 and x equals
4, x equals 4.
And I'm tired of approximating areas.
I wanna find the exact area under this
curve above the x axis.
And the way we denote the exact area under
the
curve, this little brown shaded area, is
using the definite integral.

Portuguese: 
Então temos a função, f de x
igual a x quadrado.
E o que queremos é achar
a área abaixo da curva,
y igual a f de x, 
então aqui está o eixo y.
Esse é o meu eixo x.
Então vamos desenhar a função.
Nossa função se parece com isso.
Pelo menos, no primeiro quadrante.
É onde vamos analisar.
Eu também poderia, claro,
reproduzí-la no segundo quadrante.
Mas o que nos importa é a área abaixo
dessa curva e acima do eixo x positivo,
entre x igual a um 
e x igual a quatro.
E estou cansado de aproximar áreas.
Eu quero achar a área exata
abaixo da curva e acima do eixo x.
E e jeito que denotamos a área exata
abaixo da curva, essa área marrom, 
é usando a integral definida.

Bulgarian: 
Дадена ни е функцията
f(х) = х^2.
И искаме да намерим
площта под кривата
у = f (х), като това е оста у.
Това е оста х.
Сега ще начертая функцията.
Графиката на функцията
изглежда ето така.
Поне в първи квадрант.
Ще я начертая.
Мога да я начертая и във
втори квадрант.
Търсим площта под кривата над 
положителната част от оста х
между х = 1 и х = 4.
Омръзна ми да изчислявам
приблизително площта.
Искам да намеря точната площ
под тази крива над оста х.
Начинът, по който определяме
тази конкретна област под кривата,
тази част, защрихована в кафяво,
е като използваме определен интеграл.

Korean: 
함수 f(x)=x^2가 있다고 합시다
제가 하고자 하는 것은 곡선의 아래 부분의 면적을 구하는 것입니다
y=f(x)란 곡선 말이죠, 이것이 제 y축이고
이것이 제 x축입니다
이제 함수를 그려 봅시다
제 함수는 이렇게 생겼을 겁니다
적어도 1사분면에선 이렇죠
지금 그리고자 하는 그래프입니다
저는 확실히 이 그래프를 2사분면에도 그릴 수 있습니다
하지만 제가 신경쓰는 곳은 이 곡선의 아래와 양의 
x축의 윗부분입니다
x=1에서부터 x=4까지 말이죠
그리고 이젠 넓이를 '근사'시키긴 질렸습니다
저는 이 영역(곡선 아래, x축 위)의 정확한 넓이를 구하고자 합니다
이 갈색으로 색칠한 영역의
넓이를 표현하기 위해서, 우리는 정적분을 이용합니다

iw: 
אז יש לנו את הפונקציה, f של x שווה
ל-x בריבוע.
והדבר שאני מוטרד לגביו, הוא מציאת
השטח מתחת לעקומה,
y שווה ל f של x, אז זה ציר y שלי.
זה ה -שלי, שלי, ציר x.
אז הרשו לי לצייר את הפונקציה שלי.
הפונקציה שלי נראית כך.
לפחות ב, ברביע הראשון.
זה המקום שבו אני מצייר את זה לעת עתה.
אני גם יכול לצייר את זה, מן הסתם
ברביע השני.
אבל, מה שאכפת לי ממנו הוא האזור שמתחת
לעקומה הזו מעל ציר x החיובי,
בין, בין x שווה ל- 1 ו- x שווה
ל- 4, x שווה 4.
ונמאס לי מהערכת שטחים.
אני רוצה למצוא את השטח המדויק תחת זה
העקומה ומעל ציר ה- x.
והדרך בה אנחנו מסמנים את השטח המדויק תחת ה-
עקום, היא השטח  הקטן שמוצלל בחום, היא
באמצעות אינטגרל מסוים.

Portuguese: 
E então nós temos a função de f de x igual
a x ao quadrado, e o que me interessa é encontrar
a área sob a curva y que é igual a f de x.
Este é meu eixo-y, este é meu
eixo x, e então deixe-me desenhar minha função...
minha função se parece com isso, ao menos no
primeiro quadrante, isso é porquê eu irei esboçar isso... eu também posso esboçar
no segundo quadrante, mas o que me interessa é a área
sob esta curva e sobre o eixo-x positivo
entre x igual a 1 e x
igual a 4, e eu estou cansado de
aproximar áreas... eu quero encontrar a área exata sob esta curva
sob o eixo-x, e como nós não sabemos
a área exata sob esta curva, esta pequena área hachurada em marrom
usa a integral definida, a integral definida de... 1 a 4...

Thai: 
อินทิกรัลจำกัดเขตจาก 1 ถึง 4 ของ f ของ x dx
และวิธีที่ วิธีที่ผมเข้าใจ
ว่าสัญลักษณ์นี้มาจากไหน คือว่าเรา
นึกถึงสี่เหลี่ยมมุมฉากบางเฉียบจำนวน
นับไม่ถ้วนที่รวมกันเป็นการหาพื้นที่นี้
ขอผมวาดสี่เหลี่ยมมุมฉากที่บางเฉียบ
หนึ่งรูป อาจจะไม่บางขนาดนั้น
ขอผมวาดมันแบบนี้นะ
นั่นก็คือสี่เหลี่ยมมุมฉากรูปหนึ่ง
นั่นคือสี่เหลี่ยมมุมฉากอีกรูปหนึ่ง
นี่ทำให้นึกถึงผลบวกรีมานน์
ที่จริง นั่นคือที่มาของอินทิกรัลแบบรีมานน์
คิดถึงผลบวกรีมานน์โดยคุณมีจำนวนสี่เหลี่ยม
มุมฉากเหล่านี้นับไม่ถ้วน 
โดยความกว้างของสี่เหลี่ยแต่ละรูป
คือ dx ตามวิธีที่ผมเข้าใจ และ
ความสูงของสี่เหลี่ยมมุมฉากนี้คือ
ฟังก์ชันหาค่าที่ x ที่อยู่ในช่วงนี่ตรงนี้
แล้วส่วนนี่ตรงนี้ คือพื้นที่ของ
สี่เหลี่ยมมุมฉากหนึ่งรูปในนั้น
และเราบวกพวกมันเข้าด้วยกัน
และตัว s ยาวๆ นี้ เป็นเหมือนเครื่องหมาย
ซิกม่าแทนการบวก
เราจะบวกสี่เหลี่ยมมุมฉากบางเฉียบ
เหล่านั้นจำนวนนับไม่ถ้วน

English: 
The definite integral from 1 to 4 of f of
x, dx.
And the way that, or the way I
conceptualize
where this notation comes from, is we
imagine a
bunch of infinite, an infinite number of
infinitely thin
rectangles that we sum up to find this
area.
Let me draw one of those infinitely thin
rectangles, maybe not so infinitely thin.
So, let me draw it like this.
So, that would be one of the rectangles,
that would be another rectangle.
This should be reminiscent of a Riemann
sum.
In fact, that's where the Riemann integral
comes from.
Think of a Riemann sum where you have an
infinite number
of these rectangles, where the width of
each of the rectangles.
This is how I conceptualize it, is dx, and
the height of this rectangle is the
function evaluated at an x that's within
this interval right over here.
And so, this part right over here is the
area of
one of those rectangles, and we were
summing them all up.
And this kind of an elongated s,
reminiscent of a sigma for summing.
We're summing up the infinite number, of
those infinitely thin rectangles,

Korean: 
1부터 4까지 f(x)를 정적분, dx
그리고 이 표현이 어디서 나온 것인지
개념화하는 방법은
무한히 많은, 무한히 얇은 직사각형들을
이 넓이를 구하기 위해 모두 더하는 것입니다
무한히 얇은 직사각형을 하나 그려뵤죠, 그다지 무한히 얇지는 않겠지만요
이렇게 한 번 그려봅시다
이제 이건 하나의 직사각형이 될 것이고,
이건 또 다른 직사각형이 되겠죠
이건 리만 합을 연상시키네요
실제로, 이것은 리만 합이 나오게 된 방법입니다
무한히 많은 직사각형들의 리만 합을 생각해보세요
각각의 직사각형들의 너비는
제가 개념화한 방법이지만, 이건 dx입니다, 그리고
각각의 직사각형의 높이는
여기 있는 x값의 함수값으로 결정됩니다
따라서, 이 오른쪽 부분은
직사각형 하나의 넓이를 의미하고, 이제 우리는 그들을
전부 더하는 겁니다
그리고 이 s를 길게 늘인듯한 것은
덧셈의 시그마 기호를 연상되게 하죠
우린 무한히 많은 수들, 저 무한히 얇은 직사각형들을 더하려 하고

Portuguese: 
A integral definida de um até quatro
de f de x, dx.
De acordo com o meu conceito sobre
de onde essa notação vem, 
é que imaginamos
um número infinito de
retângulos infinitamente finos
que nós somamos para achar a área.
Vamos desenhar um desses retângulos,
talvez não tão fino.
Então, vamos desenhar assim.
Então, esse seria um dos retângulos,
esse seria outro.
Isso é parecido com a
Soma de Reimann.
Na verdade, é daí que vem
o intervalo de Reimann.
Imagine uma soma de Reiman
com infinitos números
desses retângulos, onde a largura
de cada um dos retângulos--
é assim que eu vejo-- é dx, e a altura
desse retângulo é a função
calculada para um x que
está dentro desse intervalo aqui.
E assim, essa parte aqui 
é a área de um dos retângulos,
e estávamos somando todos eles.
E essa espécie de um S alongado, 
parecido com um sigma para somatório.
Estamos somando o infinito número
desses infinitos retângulos finos,

iw: 
אינטגרל מסוים מ -1 ל -4 של f של
dx, x.
והאופן שבו, או הדרך שבה אני
ממשיג
המקום שממנו מגיע הסימון הזה, הוא שאנחנו
מדמיינים
חבורה של אינסוף, מספר אינסופי של
מלבנים דקים
לאין שיעור שאנחנו מסכמים כדי למצוא את השטח.
הרשו לי לצייר אחד מאותם  מלבנים שדקים
לאין שיעור, אולי לא כל כך דקים לאין שיעור .
אז, תנו לי לצייר את זה ככה.
אז, זה יהיה אחד מהלבנים,
זה יהיה עוד מלבן.
זה אמור להזכיר את סכום רימן.
למעשה, זה מאיפה בא אינטגרל רימן.
תחשבו על סכום רימן שבו יש לך
מספר אינסופי
של המלבנים האלה, שבהם הרוחב של
כל אחד מהמלבנים.
כככה אני תופס אותו, הוא DX, 
והגובה של המלבן הזה הוא
ערך הפונקציה ב- x שנמצא  בקטע הזה כאן.
וכך, החלק הזה  כאן הוא
השטח של
אחד המלבנים האלה, ואנחנו
סוכמים את כולם.
וזה סוג של s מוארך,
שמזכיר סיגמא עבור סכימה.
אנחנו מסכמים מספר אינסופי, של
מלבנים  כאלה דקים  לאין שיעור,

Bulgarian: 
Определен интеграл от 1 до 4
от f(х)dх.
Обяснявам си този начин
на записване, като си представя
безкраен брой от много тънки
правоъгълници,
които събираме, за да
намерим тази площ.
Ще начертая един от тези
много тънки правоъгълници.
Ще го направя ето така.
Това е един от правоъгълниците,
това е друг правоъгълник.
Това напомня на Риманова сума.
Всъщност от тук произтича
Римановият интеграл.
Спомни си Риманова сума,
където имаш безкраен брой
от тези правоъгълници, като
широчините на тези правоъгълници –
така си го обяснявам аз, това е dх,
а височината на този правоъгълник
е функцията, изчислена за даден х
в рамките на този интервал ето тук.
И тази част ето тук
е площта
на един от тези правоъгълници, и
ние ги събираме всички тях.
Този знак като удължено S
напомня за сигма при събирането.
Събираме безкраен брой от тези 
безкрайно тънки правоъгълници,

Czech: 
Určitého integrálu od 1 do 4
funkce f(x) dx.
Tento zápis můžeme chápat tak,
že si představíme hromadu,
nekonečné množství
nekonečně úzkých obdélníků,
po jejichž sečtení
dostaneme tuto plochu.
Nakreslím jeden nekonečně úzký obdélník,
možná ne až tak nekonečně úzký.
Nakreslím to takto.
To by byl jeden z těch obdélníků
a tohle další.
Mělo by vám to připomínat
Riemannův součet.
Z toho vlastně vychází
Riemannův integrál.
Představte si Riemannův součet
s nekonečným množstvím těchto obdélníků,
jejichž šířka,
jak si to já představuju,
je dx a výška obdélníku
je funkce vyčíslená v x,
které je v tomto intervalu.
Takže tento zápis
reprezentuje plochu
jednoho takového obdélníku
a my jsme je všechny sčítali.
Tohle je takové prodloužené S,
které vypadá jako sigma při sumě.
Sčítáme nekonečné množství
nekonečně úzkých obdélníků,

Korean: 
또는 저 1과 4사이의 무한히 얇은 직사각형들의
넓이를 더하려 한다고 할 수 있습니다
이것이 정적분 표현이 나오게 된 배경입니다
하지만 우린 아직 아무것도 하지 않았죠
우린 그저 식을 적어보았을 뿐입니다
1에서 4 사이의, f(x) 아래의, 그리고 x축 위의
넓의를 의미하는 식을 말이죠
이를 통해 확실히 생산적인 작업을 하려면, 우리는
미적분학의 두 번째 기본 정리를 알아야 합니다, 때때로
미적분학의 제 2 기본 정리로 불리기도 하죠
그것이 말하는 것은, 만약 f(x)의 원시함수(미분하기 전의 함수)가
있다고 한다면, 다시 말해
f(x)의 원시함수가 존재한다면, f(x)는 어떤 함수 F(x)를
미분한 함수란 의미고, 이는 다르게 말하면
F(x)는 f(x)의
원시함수란 뜻입니다.
그럼 전 이것을 다시 계산할 수 있습니다
그리고 이것이 옳다는 것을 우리는 지금까지 개념적으로 이해했습니다

iw: 
או שהשטחים האלה של 
המלבנים הדקים לאין שיעור האלה בין 1 ו 4.
אז זה המקום שממנו מגיע הסימון של
האינטגרל המסוים.
אבל אנחנו עדיין לא עשינו כלום.
כתבנו רק סימון כלשהו שאומר
השטח המדויק של אנ-
בין 1 ו 4, מתחת לעקומה f של x,
ומעל ציר ה-x.
כדי לעשות דווקא משהו באמת
פרודוקטיבי עם זה, אנחנו צריכים לפנות
למשפט היסודי השני של
החדו"א, המכונה לעתים
חלק שני של המשפט היסודי של
החדו"א.
>> וזה מה שהוא אומר לנו, אם יש ל- f
אנטינגזרת, כך שאם אנחנו
יש אנטינגזרת  של f, כך f של x היא
הנגזרת,
הנגזרת של איזושהי פונקציה F גדולה של
x, או דרך אחרת לומר את זה היא,
ש f, גדולה F של x היא האנטינגזרת,
אנטינגזרת של f אות קטנה של x.
אז אני יכול להעריך את הדבר הזה, ואנחנו עושים
וידאו שלם על ההבנה של  למה המושג
הזה הגיוני.

Bulgarian: 
или площите на тези безкрайно
тънки правоъгълници между 1 и 4.
Ето откъде идва символът
за определен интеграл.
Но ние още нищо 
не сме направили.
Само записахме това, което
показва точната площ на...
Между 1 и 4, под кривата на
f(х) и над оста х.
За да ни бъде полезно 
това, трябва да използваме
втората фундаментална теорема
на анализа, наричана понякога
втора част на фундаменталната
теорема на математическия анализ.
Тя ни казва, че ако f има
примитивна функция, значи
ако имаме примитивната функция
на f, значи f(х) е нейната производна,
производната на някаква функция
F(х), или можем да го изразим другояче,
F(х) е примитивната
функция на f(х).
Тогава можем да изчислим това,
като ще направим специално видео,
за да обясня какво означава това.

English: 
or the areas of those infinitely thin
rectangles between 1 and 4.
So that's where the notation of the
definite integral comes from.
But we still haven't done anything.
We've just written some notation that says
the exact area of the un-
Between 1 and 4, under the curve f of x,
and above the x axis.
In order to actually do anything really
productive with this, we have to turn to
the second fundamental theorem of
calculus, sometimes called
part two of the fundamental theorem of
calculus.
>> Which tells us, that if f has an
antiderivative, so if we
have the antiderivative of f, so f of x is
derivative,
derivative of some function capital F of
x, or another way of saying it is,
f, capital F of x is the antiderivative,
antiderivative of lower case f of x.
Then I can evaluate this thing, and we do
a whole video on conceptually
understanding why this makes sense.

Czech: 
neboli plochy těchto nekonečně
úzkých obdélníků mezi 1 a 4.
Z tohoto tedy vychází
zápis určitého integrálu.
Ale stále jsme nic neudělali.
Máme jen zápis označující
přesnou plochu mezi 1 a 4
pod křivkou f(x) a nad osou x.
Abychom už s tím konečně něco udělali,
musíme se podívat na
druhou základní větu integrálního počtu,
druhou část základní věty
integrálního počtu.
Ta nám říká,
že pokud k f(x) existuje integrál,
takže f(x) je derivací
nějaké funkce F(x),
neboli F(x) je integrálem f(x),
pak můžu tento výraz vyčíslit,
a na to tady máme celé video,
které vysvětluje, proč to dává smysl.

Portuguese: 
ou a área deles entre
um e quatro.
É daí que vem a notação da 
integral definida.
Mas ainda não fizemos nada. 
Só escrevemos uma notação que diz
que a área exata entre um e quatro, 
abaixo da curva f de x, e acima do eixo x.
Para realmente fazermos algo
produtivo com isso, teremos que voltar
para o segundo teorema 
fundamental do Cálculo,
as vezes chamado de a parte 2
do teorema fundamental do Cálculo.
Que nos diz que, se f tem
uma antiderivada, então se
temos a antiderivada de f, então
f de x é derivável,
derivável de alguma função F de x,
ou outro jeito de dizer isso é,
F de x é a antiderivada,
antiderivada de f de x.
Então posso calcular isso, e fizemos
um vídeo só para entender
conceitualmente porque isso faz sentido.

Thai: 
หรือพื้นที่สี่เหลี่ยมมุมฉากบางเฉียบเหล่านั้น
ระหว่าง 1 กับ 4
นั่นคือที่มาของสัญลักษณ์อินทิกรัลจำกัดเขต
แต่เรายังไม่เสร็จ
เราได้เขียนสัญลักษณ์ที่บอกว่า พื้นที่ --
ระหว่าง 1 กับ 4 ใต้เส้นโค้ง f ของ x
และเหนือแกน x
เพื่อให้หาค่ามันได้จริง เราต้องหันมาใช้
ทฤษฎีบทพื้นฐานข้อที่สองของแคลคูลัส
บางครั้งเรียกว่า
ทฤษฎีบทพื้นฐานของแคลคูลัสตอนที่สอง
ซึ่งบอกเราว่า ถ้า f มีปฏิยานุพันธ์ ถ้าเรา
มีปฏิยานุพันธ์ของ f แล้ว f ของ x คืออนุพันธ์
อนุพันธ์ของฟังก์ชันตัวหนึ่ง 
เรียกว่า F ใหญ่ของ x วิธีพูดอีกอยางคือว่า
F, F ใหญ๋ของ x คือปฏิยานุพันธ์
ปฏิยานุพันธ์ของ f เล็กของ x
แล้วผมก็หาค่าตัวนี้ได้ และเรา
ทำวิดีโออธิบายหลักการว่า
ทำไมมันถึงถูกต้องไป

English: 
We could evaluate this, by evaluating the
antiderivative
of f, or an antiderivative of f, at 4.
And from that, subtract the antiderivative
evaluated at 1.
So, let's do it for this particular case
right over here.
So we are taking, I'll just rewrite this
statement.
Instead of writing f of x, I'll write x
squared.
So, the definite integral from 1 to 4 of x
squared dx.
Well, we're just gonna have to figure out
what the antiderivative is.
So if f of x is equal to x squared, what
is capital F of x equal to?
What is the antiderivative?
Well, you might remember from your power
rule, that if you
take the derivative with respect to x of x
to the
third, you are going to get 3x squared,
which is pretty
darn close to x squared except for this
factor of 3.
So, let's divide both sides by 3.
Let's divide both sides by 3, and you get
the derivative

Czech: 
Toto spočítáme tak,
že vyčíslíme integrál f,
jeden z integrálů f v bodě 4,
a od něj odečteme
integrál vyčíslený v bodě 1.
Tak to vypočítejme
pro toto tady.
Takže máme...
Jen to přepíšu.
Místo f(x) napíšu x².
Takže určitý integrál od 1 do 4 x² dx.
Teď musíme spočítat
integrál tohoto výrazu.
Když je tedy f(x) rovno x²,
čemu je rovno F(x)?
Jaký je ten integrál?
Snad si pamatujete
z pravidla derivace mocniny,
že když podle x zderivujeme x³,
dostaneme 3x²,
což je dost blízko x²,
až na tento násobek 3.
Takže vydělme obě strany 3.
Vydělíme obě strany 3
a zjistíme,

Korean: 
우린 이걸 f의 원시함수에
4를 대입해 계산한 값에서
원시함수에 1을 대입한 값을 빼는 것으로 계산할 수 있습니다
이제 이 특정한 경우에 대해 해보도록 합시다
이 식을 다시 한 번 써보도록 합시다
f(x)라고 쓰는 대신 x^2이라고 써보겠습니다
1부터 4까지 x^2 dx의 정적분
그럼 우선 원시함수가 무엇인지부터 구해야 하겠죠
만약 f(x)=x^2이라면, F(x)는 무엇일까요?
원시함수는 무엇이 될까요?
여러분이 다항식의 미적분을 기억하고 계시다면,
x^3을 x에 대해서 미분하면
3x^2가 나온다는 것을 알 수 있을 것이고, 이는
계수 3을 제외하면 x^2에 가깝다고 할 수 있죠
그러므로 양변을 3으로 나눠주도록 합시다
양변을 3으로 나누면, x^3을 미분한 뒤 3으로 나눈 결과가

iw: 
אנחנו יכולים להעריך את זה, על ידי חישוב האנטינגזרת
של f ,או האנטינגזרת של f, ב- 4.
ומזה, להפחית את האנטינגזרת
ב- 1.
אז, בואו נעשה את זה למקרה הספציפי הזה
פה.
אז אנחנו לוקחים, אני פשוט אשכתב את הטענה הזו.
במקום לכתוב f של x, אני אכתוב x
בריבוע.
לכן, האינטגרל המסוים מ -1 ל -4 של x
בריבוע dx.
ובכן, אנחנו פשוט נצטרך להבין
מהי האנטינגזרת.
אז אם f של x שווה ל- x בריבוע, למה
F גדולה של x שווה?
מהי האנטינגזרת?
ובכן, כדאי שתזכרו מכלל החזקה
, שאם אתם
לוקחים את הנגזרת ביחס x של x
בחזקת
שלוש, אתם הולכים לקבל 3x בריבוע,
וזה די
ממש קרוב ל x בריבוע למעט 
הגורם הזה של 3.
אז, בואו נחלק את שני הצדדים על ידי 3.
בואו נחלק  את שני האגפים ב- 3, ותקבלו
את הנגזרת

Portuguese: 
Poderíamos calcular isso, 
calculando a antiderivada
de f, ou uma antiderivada de f, em quatro.
E disso, subtrair a antiderivada
calculada em um.
Vamos fazer isso para
esse caso aqui.
Vou apenas reescrever
esta afirmação.
Ao invés de escrever f de x, 
vou escrever x ao quadrado.
Então, a integral definida de um a quatro
de x ao quadrado dx.
Bom, só vamos precisar descobrir
qual é a antiderivada.
Se f de x é igual a x quadrado,
qual é a F de x?
Qual é a antiderivada?
Bom, se você se lembrar
da regra da potência,
que se você pegar a derivada x ao cubo
em relação a x,
você vai ter três x ao quadrado,
o que é bem perto
de x ao quadrado, exceto
por essa constante três.
Então, vamos dividir
os dois lados por três.
Vamos dividir os dois lados, 
e teremos que a derivada

Thai: 
เราหาค่าอันนี้ได้ โดยหาค่าปฏิยานุพันธ์
ของ f, หรือปฏิยานุพันธ์ตัวหนึ่งของ f, ที่ 4
แล้วจากนั้น ก็ลบปฏิยานุพันธ์หาค่าที่ 1
ลองทำกรณีนี่ตรงนี้กัน
เราก็หา ผมจะเขียนประโยคนี้ใหม่นะ
แทนที่จะเขียน f ของ x ผมจะเขียน x กำลังสอง
อินทิกรัลจำกัดเขตจาก 
1 ถึง 4 ของ x กำลังสอง dx
เราจะต้องหาว่าปฏิยานุพันธ์เป็นเท่าใด
ถ้า f ของ x เท่ากับ x กำลังสอง
F ใหญ่ของ x จะเท่ากับอะไร?
ปฏิยานุพันธ์คืออะไร?
คุณอาจนึกออกจากกฎยกกำลัง ถ้าคุณ
หาอนุพันธ์เทียบกับ x ของ x กำลังสาม
คุณจะได้ 3x กำลังสอง ซึ่งค่อนข้าง
ใกล้กับ x กำลังสอง ยกเว้นตัวประกอบ 3 นี่
งั้นลองหารทั้งสองข้างด้วย 3 กัน
ลองหารทั้งสองข้างด้วย 3 แล้วคุณได้อนุพันธ์

Bulgarian: 
Можем да изчислим това, като изчислим 
примитивната функция на f за 4.
И от това ще извадим примитивната
функция, изчислена за 1.
Да го направим за този пример.
Само ще препиша този израз.
Вместо да пиша f(х),
ще напиша x^2.
Значи определен интеграл от
1 до 4 за x^2dx.
Сега само трябва да намерим
примитивната функция.
Ако f(х) е равно на x^2, каква
ще бъде F(х)?
Каква е примитивната функция?
Може би си спомняш правилото
за производна от степен,
когато намираме производната
спрямо х от x^3,
тогава получаваме 3х^2, което
е много подобно на x^2, освен
че ни липсва коефициента 3.
Хайде да разделим двете
страни на 3.
Разделяме двете страни на 3
и получаваме производната

Korean: 
x^2과 같다는 결과를 얻을 수 있습니다
또는 이것은 x^3/3을 x에 대해
미분한 것과 같다고 할 수 있습니다
이 값(x^3/3)을 미분해보세요
계수는 3 X 1/3이 될 것이고
지수를 한 단계 낮추면 이건 x^2이 될 것입니다
다시 쓰자면 이 결과는 x^2이죠
그저 x^2과 같습니다
따라서 이 경우(f(x)=x^2)에는 F(x), 원시함수가
x^3/3이란 것을 알 수 있습니다
우린 이것을 4와 1에 대해서 계산해야하고, 때때로 우리는
이런 표현을 사용하기도 합니다. 적분한 함수가 x^3/3이고
우린 이것을 계산하려고 하죠
전 그저 숫자들을 여기에 써넣곤 합니다
위쪽엔 4, 그리고 거기서 빼는 값 1
아니면 여러분은 여기에 작은 선을 그리는 사람을 볼 수도 있습니다
우린 이걸 4와 1에서 계산한다고 합니다
하지만 전 선 없이 하겠습니다
만약 우리가 4에서 계산하고 거기서

Bulgarian: 
на x^3 делено на 3,
което е x^2.
Можеш да кажеш, че това
е същото като
производната спрямо х
на x^3/3.
Намираме производната на това.
Това е 3 по 1/3.
И намаляваме степенния показател,
ще стане просто х^2.
Значи това тук, повтарям,
това е x^2.
Това е равно на x^2.
В този случай F(х), нашата
примитивна функция,
е x^3 върху 3.
И само трябва да я изчислим
за 4 и 1, и ще използваме
начин на записване, който казва,
че примитивната функция е
х^3/3, и ще изчислим това...
аз винаги
обичам да записвам числата
тук горе,
изчисляваме за 4 и вадим
изчисленото за 1.
Понякога хората пишат тук
една чертичка,
казваме, че изчисляваме
за 4 и после за 1.
Но аз не пиша такава чертичка.
Ако изчислим това за 4
и от него

iw: 
של x בשלישית חלקי 3 והיא אכן x
בריבוע.
או , אתם יכולים להגיד שזה אותו הדבר כמו
הנגזרת ביחס ל-x של, x 
בשלישית חלקי 3.
קחו את הנגזרת של זה.
זה יהיה 3 כפול שליש.
ואז מה יעשה? הפחתת החזקה, זה יהיה
פשוט  x בריבוע.
אז, כאן, שוב, הוא x
בריבוע.
זה פשוט שווה, רק שווה ל- x
בריבוע.
לכן, במקרה זה, F  גדולה של x , האנטינגזרת שלנו,
הוא x בשלישית, x בשלישית חלקי 3.
וכך אנו רק צריכים לחשב  ב- 4
וב-1, ולפעמים הדרך שבה היינו,
ה, הסימון שהיינו משתמשים, היינו אומרים
שהאנטינגזרת של x
בחזקת שלוש חלקי 3, ואנחנו הולכים
להעריך את זה, האחד, אני תמיד
בדיוק כמו לכתוב את המספרים כאן,
ב 4 וממנו נחסר , מוערך
ב 1.
לפעמים אתם תראו אנשים כותבים קו קטן כאן גם,
נגיד שאנחנו מעריכים אותו ב 4 ולאחר מכן
ב 1.
אבל אני פשוט אעשה את זה בלי הקו.
אם אנחנו הולכים להעריך את הדבר הזה ב 4
ומזה

Czech: 
že derivace x³ děleno 3
je opravdu x².
Nebo můžeme říct,
že toto je to stejné jako
derivace podle x
x³ lomeno 3.
Zderivujte si to.
Bude to 3 krát 1/3
a pak snížíme exponent
a bude to x².
Takže toto je rovno x².
Je to rovno x².
Takže v tomto případě
je F(x), náš integrál,
roven x³ lomeno 3.
Už ho jen musíme vyčíslit
v bodě 4 a 1,
a někdy používáme
takovýto zápis...
Takže integrál je x³ lomeno 3
a budeme jej vyčíslovat...
Rád sem vždy píšu ta čísla...
Vyčíslovat v bodě 4
a odečítat vyčíslený v 1.
Někdy sem někdo píše
i takovou malou čáru,
tím říkáme, že to vyčíslujeme
v bodě 4 a pak v bodě 1.
Ale já to napíšu bez té čáry.

Portuguese: 
de x ao cubo dividido por três
é, de fato, x ao quadrado.
Ou, pode-se dizer que é a mesma coisa que
a derivada em relação a x, de x ao cubo.
Considere essa derivada.
Vai ser três vezes um terço.
E quando descer o expoente,
vai ser só x ao quadrado.
Então, isso é, de novo, 
x ao quadrado.
Isso é igual a x ao quadrado.
Então, nesse caso, nossa F de x,
ou antiderivada,
é x ao cubo dividido por três.
E então é só calcular isso
para quatro e um, e as vezes o jeito que,
a notação que usaríamos é,
dizemos que a antiderivada é
x ao cubo sobre três, e vamos calcular
isso.-- Eu prefiro escrever
os números aqui em cima do lado,--
em quatro e subtraído em um.
As vezes as pessoas fazem uma linha
aqui também para dizer que,
vamos calcular em quatro e então em um.
Mas faremos simplesmente sem a linha.
Se vamos calcular isso em quatro e depois

English: 
of x to the third divided by 3 is indeed x
squared.
Or, you can say this is the same thing as
the
derivative with respect to x of, x to the
third over 3.
Take the derivative of this.
It'll be 3 times one third.
And then you'll decrement the power, it'll
just be x squared.
So, this right over here, once again, is x
squared.
It's just equal to, just equal to x
squared.
So, in this case, our capital F of x, our
antiderivative,
is x to the third, x to the third over 3.
And so we just have to evaluate that at 4
and at 1, and sometimes the way we would,
the, the notation we would use is, we'll
say that the antiderivative is x
to the third over 3, and we're going to
evaluate it, the one I, I always
just like to write the numbers up here,
at 4 and from that subtracted, evaluated
at 1.
Sometimes you'll see people write a little
line here too,
we'll say we're evaluate it at 4 and then
at 1.
But I'll just do it without the line.
If we're gonna evaluate this thing at 4
and from

Thai: 
ของ x กำลังสามส่วน 3 เท่ากับ x กำลังสอง
หรือ คุณบอกได้ว่า อันนี้เหมือนกับ
อนุพันธ์เทียบกับ x ของ x กำลังสามส่วน 3
หาอนุพันธ์ของตัวนี้
มันจะเท่ากับ 3 คูณ 1/3
แล้วคุณก็ลดเลขชี้กำลังลง
มันจะได้ x กำลังสอง
ค่านี่ตรงนี้ เหมือนเดิม คือ x กำลังสอง
มันก็เท่ากับ เท่ากับ x กำลังสอง
ในกรณีนี้ F ใหญ่ของ x, ปฏิยานุพันธ์ของเรา
คือ x กำลังสาม, x กำลังสามส่วน 3
แล้วเราแค่ต้องหาค่าที่ 4 กับที่ 1
และบางครั้งเราก็
สัญลักษณ์ที่เราใช้คือ เราจะบอกว่า
ปฏิยานุพันธ์ คือ x
กำลังสามส่วน 3 และเราจะหาค่ามัน
ผมชอบเขียนตัวเลขบนนี้
ที่ 4 จากนั้นก็ลบตัวนี้หาค่าที่ 1
บางครั้ง คุณจะเห็นคนลากเส้นตรงนี้ด้วย
เราจะบอกว่า เราหาค่ามันที่ 4 แล้วก็ที่ 1
แต่ผมจะทำโดยไม่ลากเส้น
ถ้าเราหาค่าพจน์นี้ที่ 4 แล้ว

Bulgarian: 
извадим това, което сме 
изчислили за 1, получаваме
4^3 е 64, значи 64/3.
Ще използвам отделни цветове,
значи това тук, е това,
а после от него ще извадим
ето това, изчислено за 1.
Изчисляваме за 1, 
получаваме 1^3/3.
Получаваме 1/3.
Само да поясня, това е 
ето това тук.
И сега можем да извадим
тези две дроби.
64/3 минус 1/3,
това е равно на 63/3.
3 се съдържа в 63 точно 21 пъти.
Независимо какви са мерните единици,
площта тук е 21 квадратни единици.

Korean: 
1에서 계산한 값을 뺀다면
4^3는 64이므로 64/3이 될 것이고
색으로 강조해봅시다, 이 부분(64/3)은 이것(F(4))와 같습니다
그리고 거기에서부터
1에 대해 계산한 값을 빼도록 합시다
여러분이 1에 대해 계산한다면, 그 결과는 1/3이 되겠죠
1/3
명확하게 하기 위해서, 이 부분(1/3)은 이 부분(F(1))과 같습니다
이제 우리는 이 분수들을 계산할 준비가 되었습니다
64/3 - 1/3은 63/3과 같습니다
그리고 63/3은 확실히 21과 같습니다
따라서, 단위에 상관 없이, 이 갈색 영역의 면적은 21개의 정사각형과
같다고 할 수 있습니다.

English: 
that subtract it, subtract it evaluated at
1, so this
going to be equal to 4 to the third power
is 64, so it's going to be 64 over 3.
Let me color code it, this is, this right
over here, is this, right
over there and then from that, we're
going to subtract this business evaluated
at one.
Well, when you evaluate it at 1, you get 1
to the third is one over 3.
You get one third.
So just to be clear, this is this right
over there.
And then we are ready to just subtract
these fractions.
64 over 3, minus one third, is equal to 63
over 3.
And 3 goes into 63 exactly, exactly 21
times.
So, whatever the units are, the area of
this brown area is 21 square units.

Portuguese: 
subtrair isso calculado em um,
isso será igual a quatro ao cubo,
vai ser sessenta e quatro sobre três.
Vou colorir isso. Isso aqui, é isso ali,
e dali, vamos subtrair
essa parcela calculada em um.
Bom, quando você calcula em um, 
tem-se um ao cubo sobre três.
Temos um terço.
Então só pra esclarecer, 
isso é isso aqui.
E então podemos subtrair essas frações.
Sessenta e quatro sobre três,
menos um terço,
é igual a sessenta e três sobre três.
E três cabe perfeitamente em
sessenta e três vinte e uma vezes.
Então, independente da unidade,
a área marrom
é igual a vinte e uma unidades quadradas.
[Legendado por: Luís Eduardo]
[Revisado por: Rosana Cabral]

Thai: 
ก็ลบมัน ลบมันโดยหาค่าที่ 1 ตัวนี้
จะเท่ากับ 4 กำลังสามได้ 64
มันจึงเท่ากับ 64 ส่วน 3
ขอผมใช้สีแทนความหมายนะ นี่คือ
อันนี้ตรงนี้ คือตัวนี้
ตรงนี้ แล้วจากนั้น เรา
จะลบพจน์นี้หาค่าที่ 1
เมื่อคุณหาค่ามันที่ 1 
คุณจะได้ 1 กำลังสามได้ 1 ส่วน 3
คุณจึงได้ 1/3
ขอบอกให้ชัด อันนี้คืออันนี้ตรงนี้
แล้วเราพร้อมจะลบเศษส่วนแล้ว
64 ส่วน 3 ลบ 1 ส่วน 3 เท่ากับ 63 ส่วน 3
และ 3 ไปหาร 63 ลงตัว 21 ครั้งพอดี
ไม่ว่าหน่วยจะเป็นอะไร พื้นที่สีน้ำตาลนี้
จะเท่ากับ 21 ตารางหน่วย

iw: 
נחסר את זה, נחסר את זה מוערך ב-
1, אז זה
הולך להיות שווה ל 4 בשלישית
וזה 64, כך שזה הולך להיות 64 חלקי 3.
תנו לי לצבוע את הקוד הזה, זה כאן, זה
כאן, הוא זה,
שם ואז מזה, אנחנו
נחסיר את העסק הזה מוערך
באחת.
ובכן, כאשר אתם מעריכים אותו ב 1, אתם מקבלים 1בשלישית חלקי 3.
אתם מקבלים שליש.
אז רק כדי להיות ברור, זה שם.
ואז אנחנו מוכנים לחסר
את השברים האלה.
חלקי 3, מינוס אחד חלקי שלוש, שווה ל 63 64 חלקי 3.
ו 3 הופך ל 63 בדיוק, בדיוק 21
כפול.
אז, לא משנה מהן היחידות מידה, 
השטח החום הזה הוא 21 יחידות רבועות.

Czech: 
Když vyčíslíme tento výraz v bodě 4
a od toho odečteme výraz vyčíslený v 1,
tak to bude rovno...
4³ je 64, takže to bude
64 lomeno 3.
Odliším to barevně,
toto tady se rovná tomuto zde,
a od toho odečteme
toto vyčíslené v bodě 1.
Když to vyčíslíme v 1,
dostaneme 1³, to je 1, lomeno 3.
Dostaneme 1/3.
Aby to bylo jasné,
toto je toto tady.
A teď můžeme tyto zlomky
od sebe odečíst.
64 lomeno 3 minus 1/3,
to se rovná 63 lomeno 3.
A 3 se do 63 vejde
přesně 21 krát.
Takže jakékoli máme jednotky,
obsah této hnědé oblasti je
21 čtverečních jednotek.
