
Arabic: 
إذا كان لدي ناقلات يجلس هنا في الفضاء 2D
لدينا طريقة قياسية لوصف ذلك
ينسق.
في هذه الحالة ، يقوم المتجه بتنسيق [3 ،
2]،
مما يعني الذهاب من ذيله إلى طرفه
ينطوي على نقل 3 وحدات إلى اليمين و 2
يصل وحدات.
الآن ، فإن الطريقة الخطية والجبر أكثر
لوصف الإحداثيات
هو التفكير في كل من هذه الأرقام ك
العددية
شيء يمتد أو يسحق المتجهات.
أنت تفكر في هذا التنسيق الأول كتقويم
أنا قبعة
المتجه مع طول 1، مشيرا إلى
حق
في حين أن تنسيق الإحداثي الثاني j-hat
المتجه مع طول 1 ، مشيرا على التوالي
فوق.
غيض إلى مجموع ذيل تلك المتجهات المقياس
هو ما تهدف الإحداثيات لوصفه.
يمكنك التفكير في هذين المتجهين الخاصين

Korean: 
만일 우리가 2D 공간에 있는 하나의 벡터를 놓는다면
우리는 좌표를 사용해서 이 벡터를 묘사하는 기본적인 방법을 갖게 됩니다.
이 경우에, 벡터는 [3, 2]의 좌표를 갖는다.
이것은 꼬리에서 머리까지
오른쪽으로 3칸 움직이고, 위로 2칸 움직인다는 것을 의미한다.
그럼, 좌표를 설명하기 위한 더욱 더 선형 대수학에 근거한 방법은
각각의 숫자는 스칼라(scalar)로써 이루어져 있다고 생각하는 것이다.
이 스칼라를 늘어나거나 쪼그라든 벡터라고 생각하면서,
당신은 첫번째 좌표를 i hat 이라 부르고,
그것은 길이가 1이고 오른쪽을 가르킨다고 생각한다.
반면 두번째 좌표 스케일인 j hat은
길이가 1이고 위를 가르킨다고 생각한다.
이 두개의 벡터를 머리와 꼬리를 이으면서 더하는 것은
좌표를 묘사하는 방법을 의미하는 것이다.
당신은 이러한 두개의 특별한 벡터를

Swedish: 
Om jag har en vektor i två dimensioner
har vi ett standardsätt att beskriva det med koordinater.
I detta fallet har vektorn koordinaterna [3,2],
vilket betyder att för att gå från dess startpunkt till dess spets
behöver vi flytta 3 enheter åt höger och 2 enheter upp.
Det mer linjär-algerbra-orienterade sättet att beskriva koordinater
är att betrakta var och en av dessa siffror som en skalär,
något som sträcker ut eller trycker ihop vektorer.
Du tänker dig den första koordinaten som i-hatts skalär,
vektorn med längden ett som pekar åt höger,
medan den andra koordinaten skalar j-hatt,
vektorn med längd ett som pekar rakt upp.
Summan av dessa två skalade vektorer, från startpunkt till spets,
är vad koordinaterna representerar.
Du kan tänka dig att dessa två speciella vektorer

French: 
"Les mathématiques est l’art de donner le même nom à des choses différentes."
Si j'ai ici un vecteur dans un espace 2D
on a un moyen standard de le décrire avec des coordonnées
Dans ce cas, le vecteur a comme coordonnées [3,2],
ce qui signifie que d'aller de son origine à sa pointe
implique un déplacement de 3 unités vers la droite et 2 vers le haut.
A présent, le moyen le plus axé algèbre linéaire pour décrire des coordonnées
est de pensé à chacun de ces nombres comme étant des scalaires,
quelque chose que étire ou compresse des vecteurs.
On voit cette première coordonnée comme une mise à l'échelle de î
le vecteur de longueur 1, pointant vers la droite
tandis que la seconde coordonnée met à l'échelle ĵ
le vecteur de longueur 1, pointant vers le haut.
La mise bout à bout de ces deux vecteurs mis à l'échelle
est ce que les coordonnées décrivent.
On peut voir ces deux vecteurs spéciaux

Polish: 
"Matematyka to sztuka nadawania tych samych imion różnym rzeczom"
Jeśli mamy wektor w przestrzeni dwuwymiarowej,
to istnieje standardowy sposób opisywania go współrzędnymi.
W tym przypadku, wektor ma współrzędne [3,2]
co oznacza, że przejście od jego początku do grotu
wymaga przejścia 3 jednostek w prawo i 2 w górę.
Jednak bardziej "algebrowym" sposobem opisywania współrzędnych
jest myślenie o tych liczbach jako skalarach, czyli rzeczach
które rozciągają albo ściskają wektor.
Wtedy pierwsza współrzędna skaluje i-z-daszkiem
czyli wektor o długości 1, wskazujący w prawo
podczas gdy drugi skaluje j-z-daszkiem,
czyli wektor o długości jeden, wskazujący w górę.
Suma tych wektorów połączonych "grot jednego do początku drugiego"
to właśnie wektor, który te współrzędne opisują.
Można myśleć o tych dwóch specjalnych wektorach

Chinese: 
如果我在二维空间中有一个向量，我们就有一种用坐标表示它的标准方法
在这种情况下，这个向量的坐标为(3, 2)
也就意味着从它的起点到它的尖端，需要向右移动3个单位，并向上移动2个单位
现在以更加线性代数的方法来描述坐标
是将这些数看作拉伸或压缩向量的标量
你将第一个坐标看作缩放i帽的标量
i帽就是指向右方且长度为1的向量
第二个坐标看作缩放j帽的标量
j帽就是指向正上方且长度为1的向量
这两个经过缩放的向量的和就是坐标所要描述的向量
你可以把这两个特殊的向量

German: 
Wenn ich einen Vektor im zweidimensionalen Raum habe,
haben wir einen Standard Weg, um diesen mit Koordinaten zu beschreiben.
In diesem Fall hat der Vektor die Koordinaten [3,2]
Das bedeutet von seinem hinteren Teil, zu seiner Spitze
gehen wir drei Einheiten nach rechts und zwei nach oben.
Der Weg der linearen Algebra um Koordinaten zu beschreiben
ist, sich jede dieser Zahlen als Skalar vorzustellen.
Ein Ding, das Vektoren in die Länge zieht oder zusammendrückt.
Du stellst dir die erste Koordinate vor als Skalierung von i-Hut,
dem Vektor mit Länge 1, der nach rechts zeigt,
während die zweite Koordinate j-Hut skaliert,
den Vektor mit Länge 1, der nach oben zeigt.
Die Summe dieser zwei Vektoren vom hinteren Teil, bis zur Spitze
ist, was diese Koordinaten beschreiben sollen.
Du kannst dir diese zwei speziellen Vektoren vorstellen,

Czech: 
Matematika je umění dát jedno jméno různým věcem. -- Henri Poincaré
Vektory umíme popisovat standardním způsobem pomocí souřadnic.
V tomhle případě má vektor souřadnice (3, 2),
což znamená, že abychom se dostali od začátku na špičku,
musíme popojít 3 políčka doprava a 2 políčka nahoru.
Pak jsme se naučili více lineárně-algebraický pohled na souřadnice,
na každou z nich se díváme jako na skalár,
který roztahuje či smršťuje bázové vektory.
Můžeme si první souřadnici představit jako škálování 'i',
to je jednotkový vektor ukazující doprava,
a druhou souřadnici jako škálování 'j',
to je jednotkový vektor ukazující nahoru.
Pak provedeme součet tím, že vektory položíme za sebe,
a získáme vektor popsaný souřadnicemi (3, 2)
Tyto dva speciální vektory, 'i', 'j'

Portuguese: 
"Matemática é a arte de dar o mesmo nome a coisas diferentes."
-- Henri Poincaré
Se eu tenho um vetor sentado aqui no espaço 2D
temos uma maneira padrão para descrevê-lo com
coordenadas.
Neste caso, o vetor tem coordenadas [3, 2],
o que significa ir de sua base para sua ponta
envolve mover 3 unidades para a direita e 2
unidades para cima.
Agora, a maneira mais orientada à Álgebra Linear de 
se descrever coordenadas
é pensar em cada um desses 
números como um escalar
uma coisa que se estende ou aperta vetores.
Você imagina a primeira coordenada escalando î,
o vetor com o comprimento 1, que aponta para a direita,
enquanto que a segunda coordenada escala ĵ,
o vetor com o comprimento 1, que aponta pra cima.
A soma de base a ponta desses dois vetores escalados
é o que as coordenadas são destinadas a descrever.
Você pode pensar nesses dois vetores especiais

English: 
If I have a vector sitting here in 2D space
we have a standard way to describe it with
coordinates.
In this case, the vector has coordinates [3,
2],
which means going from its tail to its tip
involves moving 3 units to the right and 2
units up.
Now, the more linear-algebra-oriented way
to describe coordinates
is to think of each of these numbers as a
scalar
a thing that stretches or squishes vectors.
You think of that first coordinate as scaling
i-hat
the vector with length 1, pointing to the
right
while the second coordinate scales j-hat
the vector with length 1, pointing straight
up.
The tip to tail sum of those two scaled vectors
is what the coordinates are meant to describe.
You can think of these two special vectors

Dutch: 
Als ik een vector heb in een 2D-ruimte,
hebben we een standaard manier om hem te bespreken met coördinaten
In dit geval heeft de vector de coördinaten  [3, 2],
wat betekent, gaande van zijn staart tot top,
beweeg je 3 eenheden naar rechts en 2 eenheden naar boven.
Nu, de meer lineaire-algebra georiënteerde manier om de coördinaten te bespreken
is ieder van deze nummers beschouwen als een schaalfactor,
een ding dat de vector uitrekt of samendrukt.
Je denkt aan de eerste coördinaat als schaling van i-hoedje,
de vector met lengte 1, wijzende naar rechts
met de tweede coördinaat schalende j-hoedje,
de vector met lengte 1, wijzend naar boven.
De som van deze 2 geschaalde vectors
is wat de coördinaten moeten beschrijven.
Je kan denken aan deze 2 speciale vectoren als

Spanish: 
Si tengo un vector en R2
tenemos una manera estándar de describirlo con coordenadas.
En este caso, el vector tiene coordenadas [3,2]
Lo que significa que ir desde su origen a su punta
requiere moverse 3 unidades hacia la derecha y 2 hacia arriba.
Pero la forma más correcta en algebra lineal de describir coordenadas
es la de pensar en cada uno de estos números como escalares:
algo que estira o encoge vectores.
Pensamos en esa primera coordenada como el escalar de i,
el vector de longitud 1 que apunta hacia la derecha,
mientras que la segunda coordenada es el escalar de j,
el vector de longuitud 1 que apunta hacia arriba.
La suma vectorial de esos dos vectores escalados
es lo que describen dichas coordenadas.
Puedes pensar en estos dos vectores especiales

Czech: 
zahrnují všechny naše představy o správném souřadnicovém systému.
První číslo značí pohyb doprava,
druhé číslo značí pohyb nahoru,
měříme podle souřadnic jednotky a vzdálenosti.
To vše je spjato s volbou 'i' a 'j'
coby těch vektorů, které se při čtení souřadnic mají škálovat.
Obecně se jakýkoli překlad mezi vektory a n-ticemi čísel
nazývá souřadnicový systém
a ty dva speciální vektory 'i' a 'j' se nazývají bázové vektory
našeho standardního souřadnicového systému.
Teď se chci podívat na to,
co se stane, když použijeme jinou sadu bázových vektorů.
Dejme tomu, že máme kamarádku Žanetu,
která používá jinou sadu bázových vektorů. Označme je 'b1' a 'b2'.
Její první bázový vektor, 'b1' ukazuje doprava a trochu nahoru,
a její druhý bázový vektor, 'b2', ukazuje doleva nahoru.
Teď se vrátíme k tomu vektoru, který jsem ukazoval před chvílí.
My jej nazýváme vektorem se souřadnicemi (3, 2)

Chinese: 
看作封装于我们这个坐标系中的隐含假设
第一个数字表示向右的运动
第二个数字表示向上的运动
长度单位的确切大小
上面所有的事实都和i帽与j帽的选取有密切联系
因为这两个向量正是标量缩放的对象
发生在向量与一组数之间的任意一种转化，都被称为一个坐标系
而其中两个特殊的向量 - i帽和j帽
被称为我们这个标准坐标系的基向量
我想在此讨论的是使用另一组基向量的思想
比如说你有一个朋友 - 詹妮弗
她使用着一组不同的基向量，我将其称为b1和b2
她的第一个基向量b1指向右上方
她的第二个基向量b2指向左上方
现在再看看之前我所展示的向量

French: 
comme un moyen de décrire toutes significations implicites de notre système de coordonnées.
Le fait que le premier nombre indique un mouvement vers la droite,
que le deuxième indique un mouvement vers le haut
exactement à combien d'unités de distance,
tout cela est lié au choix de î et ĵ
qui sont les vecteurs dont les coordonnées mettent à l'échelle.
Toute façon de traduire entre les vecteurs et ensembles de nombres
est appelé un système de coordonnées
et les deux vecteurs spéciaux, î et ĵ,
sont appelés les vecteurs de base
de notre système de coordonnées standard.
Ce dont j'aimerais parler ici
est l'idée d'utiliser un ensemble différent de base
vecteurs.
Par exemple, disons que vous avez un ami,
Jennifer
qui utilise un ensemble différent de vecteurs de base
que je vais appeler b1 et b2
Son premier vecteur de base b1 pointe vers le haut, un peu à droite
juste un peu
et son deuxième vecteur b2 pointe en haut à gauche
Maintenant, jetez un autre coup d'oeil à ce vecteur que j'ai montré plus tôt
Celui que vous et moi décririons en utilisant
les coordonnées [3, 2]

German: 
indem du alle impliziten Annahmen unseres Koordinatensystems einkapselst.
Der Fakt, dass die erste Zahl eine Bewegung nach rechts impliziert
und die zweite eine Bewegung nach oben impliziert,
mit exakter Länge dieser Distanz.
All dies liegt in der Wahl von i-Hut und j-Hut
als die Vektoren, die Skalar Koordinaten eigentlich skalieren sollen.
Jedenfalls, um zwischen Vektoren und einer Ansammlung von Zahlen zu übersetzen
wird dies ein Koordinatensystem genannt
und die zwei speziellen Vektoren i-Hut und j-Hut sind die sogenannten Basisvektoren
unseres Standard Koordinatensystems
Worüber ich hierbei gerne sprechen möchte,
ist die Idee unterschiedliche Systeme von Basisvektoren zu nutzen.
Zum Beispiel, lass uns sagen du hast eine Freundin, Jennifer,
diese nutzt ein anderes System von Basisvektoren, die ich b1 und b2 nennen werde.
Ihr erster Basisvektor b1 zeigt ein bisschen nach oben rechts
und ihr zweiter Basisvektor b2 zeigt nach oben links.
Schau dir nun nochmal den Vektor an, den ich vorhin gezeigt habe.
Den, den du und ich mit den Koordinaten [3 , 2] beschreiben würden,

Korean: 
모든 좌표계의 임의의 가정을 포함하는 것으로 생각할 수 있다.
첫번째 숫자는 오른쪽을 가르킨다는 사실과,
두번째 숫자는 윗 방향을 가르킨다는 사실은
정확히 단위 길이를 표시한다.
i hat 과 j hat의 선택을 묶는 모든것은
벡터로되는 좌표는 스칼라
실제로 확장하기위한 것입니다.
어쨌든 벡터와 수의 집합을 연결하는 것을
좌표계라고 부른다.
그리고, 두 특수 벡터, i hat 과 j hat는 
기저 벡터 (basis vector)라고 부른다.
우리의 표준 좌표계에서는 말이다.
여기에 대해 이야기하고 싶은 것은
다른 기저 벡터의 집합을 사용하는 아이디어이다.
예를 들어, 당신이 친구, 제니퍼가 있다고 가정 해 보자
그녀는 b1과 b2라고 불리는 다른 집합의 기저 벡터를 사용한다.
그녀의 첫번째 기저 벡터 b1은 약간 오른쪽 위를 가르키고
그녀의 두 번째 기저 벡터 b2는 왼쪽 위를 가르킨다.
이제, 내가 방금 보여주였던 벡터를 살펴보자.
당신과 내가 묘사하고 싶은 [3, 2]는

Spanish: 
como capsulas de toda la información implicita a nuestro sistema de coordenadas.
El echo de que el primer número indica movimiento hacia la derecha,
el segundo número movimiento hacia arriba,
cuanta distancia es exactamente una unidad...
Todo eso esta asociado a la elección de i y j
como los vectores cuyas coordenadas se supone que debemos escalar
Cualquier forma de traducir entre vectores y un conjunto de números
es lo que llamamos un sistema de coordenadas.
y los dos vectores especiales, i y j,son los llamados vectores base
de nuestro sistema de coordenadas estándar.
De lo que me gustaría hablar aquí
es de la idea de utilizar un conjunto distinto de vectores base.
Por ejemplo, supongamos que tienes una amiga, Jennifer
que usa un conjunto distinto de vectores base a los que llamaré b1 y b2
Su primer vector base b1 apunta hacia arriba y un poco hacia la derecha
y el segundo apunta hacia la izquierda y hacia arriba.
Fíjate en el vector que he mostrado antes
ese que tú y yo describiríamos con las coordenadas [3,2]

Swedish: 
innehåller alla de implicita antagandena om vårt koordinatsystem.
Faktumet att den första siffran indikerar rörelse åt höger,
att den andra indikerar rörelse uppåt
exakt hur långt uttryckt i längdenheter.
Allt det beror på valet av i-hatt och j-hatt
som vektorerna koordinaterna är avsedda att skala.
Hur som helst, att översätta mellan vektorer och uppsättningar av siffror
kallas för ett koordinatsystem,
och de två speciella vektorerna, i-hatt och j-hatt, kallas för basvektorer
i vårt standardkoordinatsystem.
Vad jag skulle vilja prata om här
är idén att använda en annan uppsättning vektorer som basvektorer.
Till exempel, låt oss säga att du har en vän, Jennifer,
som använder en annan uppsättning basvektorer, som jag kommer kalla b1 och b2.
Hennes första basvektor b1 pekar uppåt och lite till höger,
och hennes andra vektor b2 pekar vänster och uppåt.
Ta nu ännu en titt på vektorn jag visade tidigare.
Den som du och jag skulle beskriva med koordinaterna [3,2]

Polish: 
jako opisujących wszystkie nieme założenia naszego układu współrzędnych.
Czyli między innymi fakt że pierwsza liczba opisuje kierunek w prawo,
a druga kierunek w górę
dokładnie tyle, ile jest we współrzędnych.
To wszystko zapisane jest w wyborze i-z-daszkiem i j-z-daszkiem
jako wektorów które te skalarne współrzędne mają rozciągać.
To przetłumaczenie pomiędzy wektorami a listami liczb określa się
układem współrzędnych,
a te dwa specjalne wektory, i-z-daszkiem i j-z-daszkiem nazywamy wektorami bazowymi
z bazy standardowej. (w Polsce często nazywane e1 i e2)
Chciałbym teraz powiedzieć trochę o koncepcie
używania różnych wektorów bazowych.
Na przykład powiedzmy, że mamy przyjaciółkę Jennifer
która używa innych wektorów bazowych, które nazwę b1 i b2.
Jej pierwszy wektor z bazy, b1, wskazuje w górę i ciut w prawo,
a drugi wektor wskazuje lewo i w górę.
Spójrzmy teraz na ten wektor który pokazywałem wcześniej,
ten, który opisaliśmy współrzędnymi [3, 2]

Portuguese: 
como encapsular todos os pressupostos implícitos
do nosso sistema de coordenadas.
O fato de que o primeiro número indica a direita
movimento
que o segundo indica movimento ascendente
exatamente o quão longe unidade de distâncias.
Tudo isso está amarrado na escolha do î e do ĵ
como os vetores que as coordenadas escalares
são destinadas a escalar realmente.
Qualquer forma de traduzir entre os vetores e conjuntos de números
é chamada um sistema de coordenadas,
e os dois vetores especiais, î e ĵ,
são chamados os vetores de base
do nosso sistema padrão de coordenadas.
O que eu gostaria de falar aqui
é a ideia de usar um conjunto diferente de vetores de base.
Por exemplo, digamos que você tem 
uma amiga, Jennifer
que usa um conjunto diferente de vetores de base,
que chamarei de b1 e b2.
Seu primeiro vetor de base b1 aponta 
para a direita um pouco
e seu segundo vetor, b2, aponta para a
 esquerda e para cima.
Agora, veja novamente aquele outro vetor que
eu mostrei mais cedo,
o que você e eu descreveríamos 
usando as coordenadas [3, 2],

Arabic: 
كما تغليف جميع الافتراضات الضمنية
من نظام الإحداثيات لدينا.
حقيقة أن الرقم الأول يشير إلى اليمين
اقتراح
أن الثاني يشير إلى الحركة التصاعدية
بالضبط كم وحدة من المسافات.
كل ذلك مرتبط باختيار آي-هات
و j-hat
مثل المتجهات التي هي إحداثيات العددية
من المفترض أن نطاقها في الواقع.
على أي حال للترجمة بين المتجهات والمجموعات
من الأرقام
يسمى نظام الإحداثيات
واثنين من المتجهات الخاصة ، آي قبعة وجي هات ،
تسمى المتجهات الأساسية
لدينا نظام الإحداثيات القياسي.
ما أود التحدث عنه هنا
هي فكرة استخدام مجموعة مختلفة من الأساس
ثلاثة أبعاد.
على سبيل المثال ، لنفترض أن لديك صديقًا ،
جنيفر
الذي يستخدم مجموعة مختلفة من المتجهات الأساسية
والتي سأطلق عليها b1 و b2
أول نقطة أساسها ناقل B1 تصل إلى
صحيح قليلا
ونقطتها الثانية من ناقلات b2 تركت وأعلى
الآن ، إلقاء نظرة أخرى على هذا المتجه ذلك
لقد اظهرت في وقت سابق
الشخص الذي نود وصفه باستخدامه
الإحداثيات [3 ، 2]

English: 
as encapsulating all of the implicit assumptions
of our coordinate system.
The fact that the first number indicates rightward
motion
that the second one indicates upward motion
exactly how far unit of distances.
All of that is tied up in the choice of i-hat
and j-hat
as the vectors which are scalar coordinates
are meant to actually scale.
Anyway to translate between vectors and sets
of numbers
is called a coordinate system
and the two special vectors, i-hat and j-hat,
are called the basis vectors
of our standard coordinate system.
What I'd like to talk about here
is the idea of using a different set of basis
vectors.
For example, let's say you have a friend,
Jennifer
who uses a different set of basis vectors
which I'll call b1 and b2
Her first basis vector b1 points up into the
right a little bit
and her second vector b2 points left and up
Now, take another look at that vector that
I showed earlier
The one that you and I would describe using
the coordinates [3, 2]

Dutch: 
een verzameling van alle impliciete veronderstellingen van ons coördinaten systeem.
Het feit dat het eerste getal voor de beweging naar rechts staat
en de tweede voor de opwaartse beweging
exact hoeveel eenheden of afstanden
Al dat is samengevat in de keuze van i-hoedje en j-hoedje,
alsof de vectoren welke schalingfactoren  zijn echt bedoelt zijn om te schalen.
Hoe dan ook, om te vertalen tussen vectoren en aantal nummers
wordt een coördinaten systeem genoemd
en de 2 speciale vectoren, i-hoedje en j-hoedje worden basis vectoren genoemd
van ons standaard coördinaten systeem.
Waar ik over wil praten is
het idee van het gebruik van verschillende basis vectoren.
Bijvoorbeeld, laten we zeggen dat je een vriendin hebt, Jennifer
die andere basis vectoren gebruikt, welke ik b1 en b2 zal noemen.
Haar eerste basis vector b1 wijst een klein beetje naar rechts boven
en haar tweede vector b2 wijst naar links boven.
Nu, her bekijk de vector dat ik eerder heb laten zien.
Degene die je wil beschrijven met het gebruik van de coördinaten  [3, 2]

Spanish: 
al usar nuestros vectores base i y j.
Jennifer sin embargo describiria a este vector con las coordenadas [5/3,1/3]
Lo que esto significa es que la forma particular con la que obtenemos ese vector
usando sus dos vectores base
es escalando b1 por 5/3, escalando b2 por 1/3
y después sumando ambos resultados.
En unos momentos os enseñaré como podríais haber calculado
esos dos números: 5/3 y 1/3.
En general, cuando Jennifer usa coordenadas para describir un vector
piensa en la primera coordenada como un escalar de b1,
la segunda coordenada como un escalar de b2
y suma los resultados.
Lo que ella obtiene será completamente diferente
al vector que tú y yo pensaríamos con esas coordenadas.
Siendo más precisos en este ejemplo
su vector base b1
es aquel que nosotros describiríamos con las coordenadas [2,1]
y su segundo vector base b2
es aquel que describiríamos como [-1,1].

English: 
using our basis vectors i-hat and j-hat.
Jennifer would actually describe this vector
with the coordinates [5/3, 1/3]
What this means is that the particular way
to get to that vector
using her two basis vectors
is to scale b1 by 5/3, scale b2 by 1/3
then add them both together.
In a little bit, I'll show you how you could
have figured out those two numbers 5/3 and
1/3.
In general, whenever Jennifer uses coordinates
to describe a vector
she thinks of her first coordinate as scaling
b1
the second coordinate is scaling b2
and she adds the results.
What she gets will typically be completely
different
from the vector that you and I would think
of as having those coordinates.
To be a little more precise about the setup
here
her first basis vector b1
is something that we would describe with the
coordinates [2, 1]
and her second basis vector b2
is something that we would describe as [-1,
1].

Chinese: 
也就是根据i帽和j帽这组基向量，你我会用坐标(3, 2)来描述的那个向量
詹妮弗其实会用坐标(5/3, 1/3)来描述它
这意味着，根据她的两个基向量，获得那个向量的方法是
b1乘以5/3，b2乘以1/3，再将两个结果相加
很快我就会向你展示如何计算出这两个数 - 5/3和1/3
总之，无论何时詹妮弗用坐标来描述一个向量
她将第一个坐标乘以b1，第二个坐标乘以b2
然后将结果相加
她最终得到的向量，会和你我认为的相同坐标的向量完全不同
更确切地说一说这里的设定
对于她的第一个基向量b1，我们会用坐标(2, 1)来描述
而对于她的第二个基向量b2，我们用(-1, 1)来描述

French: 
en utilisant nos vecteurs de base î et ĵ.
Jennifer décrirait plutôt ce vecteur
avec les coordonnées [5/3, 1/3]
ce qui signifie que la façon particulière pour arriver à ce vecteur
en utilisant ses deux vecteurs de base
est de mettre à l'échelle b1 par 5/3 et b2 par 1/3
puis les ajouter ensemble.
Dans peu de temps, je vais vous montrer comment vous auriez pu trouver ces deux nombres 5/3 et 1/3.
En général, chaque fois que Jennifer utilise des coordonnées
pour décrire un vecteur
elle pense à sa première coordonnée comme une mise à l'échelle de b1
la deuxième coordonnée, une mise à l'échelle de b2
et elle additionne les résultats.
Ce qu'elle obtient sera généralement complètement
différent
du vecteur que vous et moi penserions en ayant ces coordonnées.
Pour être un peu plus précis sur la configuration
ici
son premier vecteur de base b1
est quelque chose que nous décririons avec le
coordonnées [2, 1]
et son deuxième vecteur de base b2
est quelque chose que nous décririons comme [-1,
1].

Portuguese: 
usando nossos vetores de base î e ĵ.
Jennifer na verdade descreveria este 
vetor com as coordenadas [5/3, 1/3].
O que isto significa é que o modo particular
para chegar a esse vetor
usando os dois vetores de base dela
é escalar b1 por 5/3, escalar b2 por 1/3,
em seguida, somar os dois.
Em um pouco, eu vou lhe mostrar como você poderia
ter descoberto esses dois números 5/3 e
1/3.
Em geral, sempre que Jennifer usa coordenadas
para descrever um vetor,
ela pensa na sua primeira coordenada 
como escalando b1,
na segunda coordenada escalando b2,
e ela adiciona os resultados.
O que ela obtém normalmente será 
completamente diferente
do vetor que você e eu pensaríamos
como tendo essas coordenadas.
Vamos ser um pouco mais precisos 
com relação à configuração aqui:
o primeiro vetor de base b1 dela
é algo que gostaríamos de descrever
com as coordenadas [2, 1]
e o segundo vetor de base b2 dela,
é algo que nós descreveríamos como [-1, 1].

Arabic: 
باستخدام لدينا ناقلات أساس i-hat و j-hat.
جنيفر تصف فعلا هذا الناقل
مع الإحداثيات [5/3، 1/3]
ما يعنيه هذا هو أن طريقة معينة
للوصول إلى هذا المتجه
باستخدام اثنين من ناقلات أساسها
هو قياس b1 بمقدار 5/3 ، المقياس b2 بمقدار 1/3
ثم نضيفهما معًا.
في القليل ، سأريك كيف يمكنك
لقد برزت هذين الرقمين 5/3 و
1/3.
بشكل عام ، عندما تستخدم جينيفر الإحداثيات
لوصف المتجه
تفكر في تنسيقها الأول كقياس
B1
الإحداثي الثاني هو التحجيم b2
وتضيف النتائج.
ما ستحصل عليه سيكون طبيعيا تماما
مختلف
من المتجه الذي نفكر به أنا وأنت
من وجود تلك الإحداثيات.
لتكون أكثر دقة حول الإعداد
هنا
لها أول ناقلات أساس b1
هو الشيء الذي نود وصفه مع
إحداثيات [2 ، 1]
و أساسها الثاني ناقلات b2
هو شيء نود وصفه بـ [-1 ،
1].

German: 
wenn wir unsere Basisvektoren i-Hut und j-Hut nutzen.
Jennifer würde diesen Vektor mit den Koordinaten  [5/3, 1/3] beschreiben.
Das bedeutet, dass der Weg, um zu diesem Vektor zu kommen,
mit ihren zwei Basisvektoren ist,
b1 mit 5/3 und b2 mit 1/3 zu skalieren
und sie dann zu addieren.
Ich zeige euch später, wie ihr die beiden Zahlen 5/3 und
1/3 herausfinden könnt.
Im Allgemeinen, wenn Jennifer ihr Koordinatensystem nutzt, um einen Vektor zu beschreiben,
stellt sie sich die erste Koordinate als Skalierung von b1
und die zweite Koordinate als Skalierung von b2 vor
und addiert die Ergebnisse.
Was sie herausbekommt wird normalerweise komplett anders sein,
als der Vektor den du und ich herausbekommen, wenn wir uns diese Koordinaten vorstellen.
Um ein bisschen präziser zu sein
Ihren erster Basisvektor b1
würden wir mit den Koordinaten [2, 1] beschreiben.
Und ihren zweiten Basisvektor b2
würden wir beschreiben als  [-1, 1].

Czech: 
na základě bázových vektorů 'i' a 'j'.
Žaneta by ale ten samý vektor popsala jako (5/3, 1/3).
To znamená, že tenhle vektor složíme
z jejích bázových vektorů tak,
že vyškálujeme 'b1' pěti třetinami, dále vyškálujeme 'b2' jednou třetinou
a výsledky sečtem.
Za chvíli se dostanu k tomu, jak jsem našel čísla 5/3 a 1/3.
 
Kdykoli Žaneta popisuje nějaký vektor pomocí souřadnic,
dívá se na první souřadnici jako na škálování 'b1',
na druhou souřadnici jako na škálování 'b2'
a výsledky sečte.
Vyjde jí typický něco úplně jiného,
než co si pod danými souřadnicemi představujeme my.
Abychom si naší situaci zpřesnili, dejme tomu,
že její první bázový vektor 'b1'
je něco, co bychom my popsali jako (2, 1)
a její druhý bázový vektor 'b2'
je něco, co my vidíme jako (-1, 1).

Polish: 
używając wektorów bazowych i-z-daszkiem i j-z-daszkiem.
Jennifer natomiast opisałaby ten wektor współrzędnymi [5/3, 1/3]
Co znaczy, że aby otrzymać ten wektor
za pomocą jej dwóch wektorów bazowych
trzeba przeskalować b1 przez 5/3, b2 przez 1/3
i dodać je do siebie.
Za chwilkę pokażę wam, jak wymyślić, że to miały być liczby dokładnie 5/3 oraz 1/3.
 
Ogólnie, jeżeli Jennifer opisuje współrzędne jakiegoś wektora,
to myśli o pierwszej współrzędnej jako o rozciąganiu b1
a o drugiej, jako rozciąganiu b2
i następnie dodaje te dwa rozciągnięte wektory.
To, co otrzyma będzie zwykle kompletnie inne niż wektor
który ja i ty otrzymalibyśmy, używając tych współrzędnych.
Dla nieco większej precyzji,
jej pierwszy wektor bazowy, b1,
opisalibyśmy u nas jako [2, 1]
a drugi wektor b2
opisalibyśmy jako [-1, 1].

Swedish: 
i våra basvektorer i-hatt och j-hatt.
Jennifer skulle faktiskt beskriva denna  vektor med koordinaterna [5/3, 1/3].
Vad detta innebär är att det speciella sättet att få den vektorn
med hjälp av hennes två basvektorer
är att skala b1 med 5/3, skala b2 med 1/3
och sedan lägga ihop dem.
Om en liten stund kommer jag visa hur du skulle kunna komma fram till de två siffrorna 5/3 och
1/3.
I allmänhet när Jennifer använder koordinater för att beskriva en vektor
tänker hon på den första koordinaten som en skalning av b1
den andra som en skalning av b2
och sedan lägger hon ihop resultaten.
Vad hon får kommer i allmänhet bli helt annorlunda
från den vektor du och jag skulle anse ha de koordinaterna.
För att vara lite mer precis angående upplägget här:
hennes första basvektor b1
är något vi skulle beskriva med koordinaterna [2,1]
och hennes andra basvektor b2
är något vi skulle beskriva som [-1,1].

Dutch: 
nemende onze basis vectoren i-hoedje en j-hoedje.
Jennifer zou echter deze vector beschrijven met de coördinaten  [5/3, 1/3].
Wat betekent dat de manier om die vector te bekomen
gebruikende haar 2 basis vectoren
is het schalen van b1 met 5/3 en b2 met 1/3
en dan hun optellen.
Binnenkort zal ik jullie laten zien hoe je deze 2 nummers 5/3 en 1/3
kan bekomen
Hoofdzakelijk, wanneer Jennifer haar coördinaten gebruikt om de vector te bespreken
denkt ze aan haar eerste coördinaat als schaling van b1 en
de tweede coördinaat als schaling van b2
en breng dan de resultaten tesamen
Wat zij bekomt zal normaal gezien volledig anders zijn dan
de vector waar jij en ik zouden aan denken nemende deze coördinaten.
Om een beetje meer precies over deze opzet hier
haar eerste basis vector b1
is iets wat we zouden beschrijven met de coördinaten [2, 1]
en haar tweede basis vector b2
is iets wat we zouden beschrijven als  [-1, 1].

Korean: 
우리가 사용했던 기저 벡터 i hat과 j hat을 사용해서 나타냈다.
제니퍼는 이 벡터를 기술 할 것
좌표 [5/3, 1/3]라고 기술할 것이다.
이것이 의미하는 것은 벡터를 얻는 특정한 방법, 즉
그녀의 2개의 기저벡터를 사용하면,
b1에서 5/3, b2에서 1/3을 나타내고,
그 다음 모두를 합하는 것이다.
잠시동안, 나는 당신이 어떻게 두개의 숫자, 5/3과 1/3을 계산할 수 있는지를 보여줄것이다.
 
일반적으로, 제니퍼 좌표를 사용해
벡터를 이야기할 때 마다
그녀는 처음에는 b1을 생각하고
두번째 좌표 b2를 생각할 것이다.
그리고, 그녀는 그 결과들을 더합니다.
그녀가 얻게 될 것은
우리가 생각한 좌표를 이용하여 얻은 좌표계와 완전히 다를 것이다.
여기서, 설정에 대해 좀 더 정확하게하려면
그녀의 첫 기저 벡터 b1는
우리의 좌표계에서는 [2, 1]s로 표현된다.
(역자 주: 표준좌표계는 [x,y]s로 표기)
그리고 그녀의 두번째 기저 벡터 b2는
우리의 좌표계에서 [-1, 1]s로 표현된다.

Arabic: 
ولكن من المهم أن ندرك من وجهة نظرها
في نظامها
تلك المتجهات لها إحداثيات [1، 0] و
[0 ، 1]
هم ما يعرف معنى الإحداثيات
[1 ، 0] و [0 ، 1] في عالمها.
لذلك ، في الواقع ، نحن نتحدث لغات مختلفة
نحن جميعا ننظر إلى نفس المتجهات في الفضاء
لكن جنيفر تستخدم كلمات وأرقام مختلفة
لوصفها.
اسمحوا لي أن أقول كلمة سريعة حول كيف أنا أمثل
الأشياء هنا
عندما تحرك الفضاء 2D
أنا عادة استخدام هذه الشبكة المربعة
لكن هذه الشبكة هي مجرد بناء
طريقة لتصور نظام الإحداثيات لدينا
وذلك يعتمد على اختيارنا من الأساس.
الفضاء نفسه لا يوجد لديه شبكة الجوهرية.
جنيفر قد ترسم شبكتها الخاصة
والتي ستكون بناء متساوٍ
يعني ليس أكثر من أداة بصرية
للمساعدة في متابعة معنى إحداثياتها.
ومع ذلك ، فإن أصلها سيصطف في الواقع
مع لنا
لأن الجميع يوافق على ما ينسق
[0 ، 0] يجب أن تعني.

Swedish: 
Men det är viktigt att inse att från hennes perspektiv i hennes system
har de vektorerna koordinaterna [1,0] och [0,1].
De är vad som definierar meningen av koordinaterna [1,0] och [0,1] i hennes värld.
Så egentligen pratar vi olika språk.
Vi tittar alla på samma vektorer i rummet
men Jennifer använder andra ord och siffror för att beskriva dem.
Låt mig säga några korta ord om hur jag representerar saker här
när jag animerar 2D-rummet
använder jag vanligtvis det här rutnätet
Men det rutnätet är bara en konstruktion
ett sätt att visualisera vårt koordinatsystem
och därför beror det på vårt val av bas.
Rummet självt har inget inneboende rutnät.
Jennifer skulle kunna rita sitt eget rutnät
som skulle vara en lika påhittad konstruktion
som inte är något annat än ett visuellt verktyg
för att hjälpa till att visa vad hennes koordinater betyder.
Hennes origo skulle dock faktiskt sammanfalla med vårt
eftersom alla är överens om vad koordinaterna [0,0] skulle innebära.

Spanish: 
Pero es importante darnos cuenta que desde su perspectiva en su sistema
esos vectores tienen las coordenadas [1,0] y [0,1]
Son lo que define para ella el significado de las coordenadas [1,0] y [0,1].
Así que, en efecto, hablamos idiomas diferentes.
Miramos a los mismos vectores
pero Jennifer usa palabras y números diferentes para describirlos.
Permitidme una aclaración rápida sobre como represento las cosas aquí.
Cuando animo el espacio bidimensional (R2)
suelo utilizar esta cuadricula.
pero esa cuadricula es solo una interpretación,
una forma de visualizar nuestro sistema de coordenadas
y por tanto depende de nuestra elección de la base.
El espacio en si mismo no tiene ninguna cuadricula intrinsica.
Jennifer podría dibujar su propia cuadricula
que sería igualmente tan sólo una interpretación,
nada más que una herramienta visual
que ayuda a captar el significado de sus coordenadas.
Sin embargo su origen coincidiría con el nuestro
ya que todo el mundo está de acuerdo en lo que deben significar las coordenadas [0,0]:

French: 
Mais il est important de réaliser que de son point de vue, dans son système
ces vecteurs ont des coordonnées [1, 0] et
[0, 1]
Ils sont ce qui définit la signification des coordonnées
[1, 0] et [0, 1] dans son monde.
Donc, en effet, nous parlons des langues différentes
Nous voyons tous les mêmes vecteurs dans l'espace
mais Jennifer utilise des mots et des nombres différents pour les décrire.
Laissez-moi vous dire un mot sur la façon dont je représente les choses ici
quand j'anime l'espace 2D
J'utilise généralement cette grille carrée
Mais cette grille est juste une construction
un moyen de visualiser notre système de coordonnées
et cela dépend de notre choix de base.
L'espace lui-même n'a pas de grille intrinsèque.
Jennifer pourrait dessiner sa propre grille
ce qui serait une construction inventée pareillement
qui n'est rien de plus qu'un outil visuel
pour aider à suivre la signification de ses coordonnées.
Son origine, cependant, serait en fait alignée avec la nôtre
puisque tout le monde est d'accord sur ce que les coordonnées [0, 0] doivent signifier.

Czech: 
Ale je třeba mít na paměti, že z jejího pohledu
mají tyto vektory souřadnice (1, 0) a (0, 1).
Jsou to ty vektory, které pro ni definují souřadnicím (1, 0) a (0, 1) jejich význam.
Takže ve výsledku mluví jiným jazykem.
Oba se díváme na ty samé vektory v rovině,
ale Žaneta používá jiná slova na to, aby je popsala.
Dovolím si ještě krátkou poznámku o tom, jak si vektory reprezentujeme my.
Když animuji rovinu,
většinou používám čtvercovou mřížku,
ale tahle mřížka je jenom konstrukt,
způsob, jak zobrazit náš souřadnicový systém,
takže závisí na naší volbě báze.
Samotná rovina v sobě zabudovanou mřížku nemá.
Žaneta si může nakreslit svoji mřížku,
která bude stejně tak umělý konstrukt jako ta naše,
tedy nic víc než grafická pomůcka,
jak číst souřadnice vektorů z jejího pohledu.
Ačkoli její počátek bude totožný s našim,
protože se všichni shodnou na tom, že souřadnice (0, 0) by měly odpovídat

German: 
Aber es ist wichtig zu verstehen, dass aus Sicht ihres Systems,
diese Vektoren die Koordinaten [1, 0] und [0, 1] haben.
SIe beschreiben in ihrer Welt die Bedeutung von [1, 0] und [0, 1]
Also sprechen wir gewissermaßen unterschiedliche Sprachen
Wir betrachten alle die selben Vektoren im Raum,
aber Jennifer nutzt andere Wörter und Zahlen um diese zu beschreiben
Lass mich kurz etwas darüber sagen, wie ich die Dinge hier darstelle,
wenn ich den 2D Raum animiere.
Ich benutze normalerweise dieses quadratische Raster,
aber dieses Raster ist nur ein Konstrukt,
ein Weg, um unser Koordinatensystem darzustellen,
also ist es abhängig von der Wahl unserer Basisvektoren.
Der Raum selbst hat kein inneres Raster
Jennifer wird vielleicht ihr eigenes Raster zeichnen
welches ein genauso erdachtes Konstrukt wäre,
welches nichts weiter als ein visuelles Werkzeug wäre,
um der Bedeutung ihrer Koordinaten zu folgen.
Ihr Ursprung würde jedoch mit unserem zusammenfallen,
weil wir uns alle darüber einig sind, was [0 , 0] bedeuten soll.

Polish: 
Co ważne, trzeba zauważyć że z jej perspektywy, wektory b1 i b2
mają współrzędne [1, 0] oraz [0, 1].
To właśnie b1 i b2 definiują, co w jej świecie oznacza [1, 0] i [0, 1].
Więc w rezultacie rozmawiamy w innych językach.
Wszyscy patrzymy na te same wektory w przestrzeni,
lecz Jennifer używa innych słów i liczb na ich opisanie.
Teraz szybkie słówko o reprezentacji przestrzeni, której
używam w 2D.
Zwykle używam tej kwadratowej kraty,
ale ta krata to tylko umowa,
sposób wizualizacji naszego układu współrzędnych,
który zależy od wyboru bazy.
Sama przestrzeń nie ma własnej kraty.
Jennifer może narysować własną kratownicę,
tak samo wymyśloną jak moja,
która tak samo nie oznacza więcej niż tylko sposób wizualizacji,
który pomaga nam używać jej współrzędnych.
Początek układu, natomiast, pokrywałby się z naszym,
skoro wszyscy zgadzamy się, co oznacza [0, 0].

Chinese: 
但是更重要的一点是，从她的角度来看
在她的坐标系中，这两个向量的坐标为(1, 0)和(0, 1)
（因为）它们就是定义坐标(1, 0)和(0, 1)含义的向量
所以，我们实际上说着不同的语言
虽然我们都在关注空间中的同一个向量
但是詹妮弗用不同的语言和数字来描述它
我再快速讲讲我是如何表示这些东西的
在制作二维空间的动画时，我通常使用这样的方形网格
但是这个网格只是一个框架，提供了一种将坐标系可视化的途径
因此它依赖于我们对基的选择
空间本身并没有内蕴的网格
詹妮弗可能会画出她自己的网格
它同样是一个人为的框架
也只不过是有助于理解她的坐标含义的可视化工具
但是，她的原点会和我们的原点重合
因为大家在坐标(0, 0)的含义上达成了共识

Korean: 
하지만 그녀의 시스템에서 그녀의 직관으로부터 이해하는 것은 중요합니다.
이 벡터의 좌표가 [1, 0]j 이고, [0, 1]j 이라는 것 말이죠.
(역자 주: 제니퍼좌표계는 [x,y]j로 표기)
그 좌표들은 그녀의 세상에서는 [0, 1]j이고 [1, 0]j입니다.
그래서, 사실은, 우리는 다른 언어를 사용하고 있습니다
우리는 모두, 공간안에서 같은 벡터를 보고있지만
제니퍼는 그것을 설명하기 위해 다른 단어와 숫자를 사용한다.
내가 여기서 설명하고 있는 몇가지 단어들을 빠르게 설명하고 지나가도록 하자.
나는 2 차원 공간의 애니메이션을 그릴 때,
나는 일반적으로이 사각형 격자를 사용한다.
하지만, 이 그리드는 그냥 구조물일 뿐이다.
우리의 좌표 시스템을 시각화하는 방법으로써,
그리고 그리드는 우리가 선택하는 기저에 따라 달라집니다.
공간 자체는 본질적으로 그리드를 갖고 있지 않습니다.
제니퍼가 그녀만의 그리드를 그린다고 해도
이것은 단순히 만들어진 구조이며
그리드의 의미는 시각적 인 도구에 지나지 않는다.
이건 그녀의 좌표의 의미를 이해하는데에 도움이 되지만요.
하지만, 그녀의 원점은 실제로 우리와 같을 것이다.
왜냐하면 어떤 좌표에서도 [0, 0]은 같은 의미를 갖기 때문이다.

Dutch: 
Maar het is belangrijk om te beseffen dat van haar perspectief,  in haar systeem
deze vectoren coördinaten  [1, 0] en [0, 1] bezitten
Deze zijn wat de betekenis van coördinaten  [1, 0] en [0, 1] definieert in haar wereld.
In werkelijkheid zijn we over 2 verschillende talen aan het spreken.
We kijken naar dezelfde vectoren in de ruimte,
maar Jennifer gebruikt verschillende woorden en nummers om ze te beschrijven.
Laat me snel iets zeggen over hoe ik de dingen voorstel hier
als ik animeer in een 2D ruimte.
Meestal gebruik ik een vierkant raster
maar het raster is enkel een constructie,
een manier om ons coördinaten systeem te visualiseren
en zo hangt het af van onze keuze van basis vectoren.
De ruimte zelf heeft geen wezenlijk raster
Jennifer mag misschien haar eigen raster tekenen
welke ook een verzonnen constructie zou zijn
aantonende dat het niets meer is dan een visueel hulpmiddel
om haar te helpen met de betekenis van haar coördinaten.
Haar oorsprong zou echter samenvallen met de onze
doordat iedereen het eens is met wat de coördinaten [0, 0] moeten beteken

Portuguese: 
Mas é importante perceber que, a 
partir da perspectiva do sistema dela,
esses vetores têm coordenadas [1, 0] e [0, 1].
Eles são o que define o significado das coordenadas
[1, 0] e [0, 1] no mundo dela.
Então, na verdade, estamos falando línguas diferentes!
Estamos todos olhando para os 
mesmos vetores no espaço
mas Jennifer usa diferentes palavras 
e números para descrevê-los.
Deixe-me dizer uma palavra rápida sobre como eu estou representando
coisas aqui:
quando eu animo o espaço 2D,
Eu normalmente uso esta grade quadrada
mas essa grade é apenas uma construção,
uma forma de visualizar o nosso
 sistema de coordenadas,
e por isso depende da nossa escolha da base.
O próprio espaço não tem grade intrínseca.
Jennifer pode desenhar a sua própria grade
que seria uma construção igualmente confeccionada,
significando nada mais que uma ferramenta visual
para ajudar a seguir o significado de suas coordenadas.
A origem dela, no entanto, seria a mesma da nossa,
desde que todos concordam com o que as coordenadas [0, 0], devem significar.

English: 
But it's important to realize from her perspective
in her system
those vectors have coordinates [1, 0] and
[0, 1]
They are what define the meaning of the coordinates
[1, 0] and [0, 1] in her world.
So, in effect, we're speaking different languages
We're all looking at the same vectors in space
but Jennifer uses different words and numbers
to describe them.
Let me say a quick word about how I'm representing
things here
when I animate 2D space
I typically use this square grid
But that grid is just a construct
a way to visualize our coordinate system
and so it depends on our choice of basis.
Space itself has no intrinsic grid.
Jennifer might draw her own grid
which would be an equally made-up construct
meant is nothing more than a visual tool
to help follow the meaning of her coordinates.
Her origin, though, would actually line up
with ours
since everybody agrees on what the coordinates
[0, 0] should mean.

English: 
It's the thing that you get
when you scale any vector by 0.
But the direction of her axes
and the spacing of her grid lines
will be different, depending on her choice
of basis vectors.
So, after all this is set up
a pretty natural question to ask is
How we translate between coordinate systems?
If, for example, Jennifer describes a vector
with coordinates [-1, 2]
what would that be in our coordinate system?
How do you translate from her language to
ours?
Well, what our coordinates are saying
is that this vector is -1 b1 + 2 b2.
And from our perspective
b1 has coordinates [2, 1]
and b2 has coordinates [-1, 1]
So we can actually compute -1 b1 + 2 b2
as they're represented in our coordinate system
And working this out

German: 
Es ist das was du herausbekommst,
wenn du irgendeinen Vektor mit 0 skalierst.
Aber die Richtung ihrer Achsen
und der Abstand ihrer Rasterlinien
werden sich von unseren unterscheiden, abhängig von der Wahl ihrer Basisvektoren.
Jetzt wo all dies geklärt ist,
ist eine ziemlich natürliche Frage,
wie wir zwischen Koordinatensystemen übersetzen.
Wenn zum Beispiel Jennifer einen Vektor mit den Koordinaten  [-1, 2] beschreibt,
was wäre dieser Vektor in unserem Koordinatensystem?
Wie übersetzt du von ihrer Sprache in unsere?
Nun, was unserer Koordinaten sagen
ist, dass dieser Vektor -1 mal b1 + 2 mal b2 ist.
Aus unserer Perspektive hat
b1 die Koordinaten [2, 1]
und b2 die Koordinaten [-1, 1].
Also können wir wirklich -1 b1 + 2 b2 ausführen
so wie sie in unserem Koordinatensystem herauskommen.
Wenn du dies durcharbeitest,

Chinese: 
它就是任何向量乘以0时你所得到的坐标
但是她的坐标轴的方向与网格间距会有所不同
这依赖于她对基的选择
在这一切构建完毕之后
一个很自然的问题是：我们如何在不同坐标系之间进行转化？
比如说，如果詹妮弗用坐标(-1, 2)描述一个向量
那么这个向量在我们的坐标系中如何描述？
你如何从她的语言转化到我们的语言？
她的坐标是说，这个向量是-1乘以b1加上2乘以b2
从我们的角度来看，b1的坐标为(2, 1)，b2的坐标为(-1, 1)
所以实际上，我们可以直接计算-1乘以b1加上2乘以b2
因为它们都是在我们的坐标系中表示的

Dutch: 
Het is hetgene wat je krijgt als
je eender welke vector schaalt met 0.
maar de richting van haar assen
en de plaatsing van haar raster lijnen
zullen anders zijn, afhankelijk van haar keuze van basis vectoren
Zo, na al datgene gezegd
een natuurlijke vraag om te stellen is
Hoe vertalen we tussen de verschillende coördinaten systemen?
Als bijvoorbeeld Jennifer een vector beschrijft met coördinaten [-1, 2]
wat zou dat dan zijn in ons coördinaten systeem?
Hoe vertaal je haar taal in de onze?
Wel, wat onze coördinaten zeggen
is dat deze vector  -1 b1 + 2 b2 is.
En van ons perspectief
heeft b1 als coördinaten [2, 1]
en b2 als coördinaten [-1, 1]
We kunnen eigenlijk  -1 b1 + 2 b2 berekenen
als ze zijn gepresenteerd in ons coördinaten systeem
En dit uitwerkende

Polish: 
Jest to wynik który otrzymamy,
gdy skalujemy dowolny wektor przez 0.
Jednak kierunek jej osi
oraz odstępy między jej liniami kraty
będzie inny, zależnie od wyboru wektorów bazowych.
Zatem, po całym tym wstępnie,
dość naturalnym pytaniem jest:
Jak przetłumaczać między różnymi układami współrzędnych?
Jeżeli na przykład Jennifer opisze wektor współrzędnymi [-1, 2]
to jak zapisać go w naszym układzie współrzędnych?
Jak tłumaczyć z jej języka na nasz?
Cóż, jej współrzędne mówią,
że ten wektor to -1 b1 + 2 b2.
A z naszej perspektywy
b1 ma współrzędne [2, 1]
i b2 ma współrzędne [-1, 1]
Więc możemy po prostu obliczyć -1 b1 + 2 b2
w naszym układzie współrzędnych.
Obliczając to

Portuguese: 
É a coisa que você obtém
quando você dimensiona qualquer vetor por 0.
Mas a direção dos eixos dela
e o espaçamento de suas linhas de grade
será diferente, dependendo de sua 
escolha de vetores de base.
Então, depois que tudo isso é configurado,
uma pergunta muito natural a se fazer é:
"Como podemos traduzir entre 
sistemas de coordenadas?"
Se, por exemplo, Jennifer descreve um 
vetor com coordenadas [-1, 2],
o que seria isso no nosso sistema de coordenadas?
Como você traduzir de sua linguagem para a nossa?
Bem, o que nossas coordenadas estão dizendo
é que este vetor é -1 b1 + 2 b2.
E a partir de nossa perspectiva,
b1 tem coordenadas [2, 1]
e b2 tem coordenadas [-1, 1],
então, podemos calcular realmente -1 b1 + 2 b2,
como eles são representados em nosso sistema de coordenadas,
E fazendo esta conta,

Czech: 
tomu, co dostanete,
když jakýkoli vektor vyškálujete nulou.
Ale směry, kterými vedou její osy,
nebo rozestupy mezi linkami mřížky
se můžou lišit podle toho, jaké si zvolí bázové vektory.
V téhle situaci
je docela přirozené se ptát:
"Jak se překládá mezi souřadnicovými systémy?"
Když třeba Žaneta popíše vektor souřadnicemi (-1, 2),
jak tenhle vektor vyjádříme v našich souřadnicích?
Jak to přeložíme z jejího jazyka do našeho?
Inu, její souřadnice říkají,
že tento vektor je roven -1 b1 + 2 b2,
Z našeho pohledu má 'b1'
souřadnice (2, 1)
a 'b2' má souřadnice (-1, 1).
Takže můžeme spočítat -1 b1 + 2 b2
v našem souřadnicovém systému.
Když to vyčíslíme,

Spanish: 
es lo que obtienes
cuando escalas cualquier vector por 0.
Pero la dirección de sus ejes
y el espacio entre sus líneas de cuadrícula
será diferente dependiendo de su elección de los vectores de la base
Así que tras presentar todo esto
la pregunta natural que surge es:
¿Cómo traducimos entre sistemas de coordenadas?
Si, por ejemplo, Jennifer describe el vector con coordenadas [-1,2]
¿Cuál sería ese vector en nustro sistema de coordenadas?
¿Cómo traducimos de su lenguaje al nuestro?
Bueno, lo que dicen sus coordenadas
Es que el vector es -1b1 + 2b2.
Y desde nuestra perspectiva
b1 tiene coordenadas [2,1]
y b2 tiene coordenadas [-1,1].
Así que podemos calcular -1b1 + 2b2
por como están representados en nuestro sistema de coordenadas.
Y operando así

Arabic: 
هذا هو الشيء الذي تحصل عليه
عند قياس أي متجه بنسبة 0.
لكن اتجاه محاورها
والتباعد بين خطوط الشبكة الخاصة بها
سيكون مختلفًا ، اعتمادًا على اختيارها
من ناقلات الأساس.
لذلك ، بعد كل هذا تم إعداده
سؤال طبيعي جدا أن نسأل هو
كيف نترجم بين أنظمة الإحداثيات؟
إذا ، على سبيل المثال ، تصف جينيفر متجه
مع الإحداثيات [-1 ، 2]
ماذا سيكون ذلك في نظام الإحداثيات لدينا؟
كيف تترجم من لغتها إلى
لنا؟
حسناً ، ما هي إحداثياتنا
هو أن هذا المتجه هو -1 b1 + 2 b2.
ومن وجهة نظرنا
يحتوي b1 على إحداثيات [2، 1]
و b2 لديه إحداثيات [-1، 1]
حتى يمكننا حساب -1 b1 + 2 b2 بالفعل
كما هي ممثلة في نظام الإحداثيات لدينا
ويعمل هذا

Swedish: 
Det är vad du får
när du skalar vilken godtycklig vektor som helst med 0.
Men riktningen  på hennes axlar
och avståndet mellan hennes rutnätslinjer
kommer vara annorlunda, beroende på hur hon väljer basvektorer.
Så, efter att allt detta är upprättat
är det ganska naturligt att fråga:
hur översätter vi mellan koordinatsystem?
Om, till exempel, Jennifer beskriver en vektor med koordinaterna [-1,2]
vad skulle det vara i vårt koordinatsystem?
Hur översätter vi från hennes språk till vårt?
Nå, det våra koordinater säger
är att denna vektor är -1 b1 + 2 b2.
Och från vårt perspektiv
har b1 koordinaterna [2,1]
och b2 har koordinaterna [-1,1].
Så vi kan faktiskt beräkna -1 b1 + 2 b2
som de representeras i vårt i koordinatsystem.
Och om du räknar ut detta

Korean: 
이 사실은
당신이 어느 벡터를 가지고 크기를 0으로 줄였을 때를 의미하는 곳이기 때문이다.
그러나 그녀의 축 방향
그녀의 그리드 라인의 간격
그녀가 선택한 기저 벡터에 따라 달라집니다.
그래서, 이 모든 설정 후
자연스럽게 나오는 질문 중 하나는
우리는 어떻게 다른 좌표계 사이를 해석 해야합니까? 일겁니다.
만일, 예를 들어, 제니퍼는 벡터를 설명하는 경우 좌표 값 [-1, 2]j를 이용하는데
그것은 우리 좌표계에서는 어떻게 될 것인가?
당신은 어떻게 그녀의 언어를 우리의 언어로 해석할 수 있을까?
글쎄, 우리의 좌표가 말하는 것은
이 벡터가 b1에 -1을 곱하고,  b2로 +2를 곱하라는 것이다.
그리고 우리의 관점으로부터
b1은 좌표 [2, 1]s를 갖고,
b2는 [-1, 1]s의 좌표를 갖는다
그래서 우리는 실제 -1*b1 + 2*b2를 계산할 수 있다.
우리의 좌표 시스템에 표시하고 있는 벡터를 사용해서 말이죠.
그리고 이렇게 하면

French: 
C'est ce que vous obtenez
lorsque vous mettez à l'échelle un vecteur par 0.
Mais la direction de ses axes
et l'espacement de ses lignes de la grille
sera différent, en fonction de son choix de vecteurs de base.
Donc, après tout cela mis en place
une question assez naturelle à poser est
Comment nous traduisons entre les systèmes de coordonnées ?
Si, par exemple, Jennifer décrit un vecteur
avec des coordonnées [-1, 2]
que serait-ce dans notre système de coordonnées ?
Comment traduiriez-vous de sa langue à la nôtre ?
Eh bien, ce que disent nos coordonnées
est que ce vecteur est -1*b1 + 2*b2.
Et de notre point de vue
b1 a les coordonnées [2, 1]
et b2 a les coordonnées [-1, 1]
Nous pouvons donc calculer -1*b1 + 2*b2
comme ils sont représentés dans notre système de coordonnées
Et en effectuant

Korean: 
당신은 좌표 [-4, 1]s에 있는 벡터를 얻을 수 있다.
그래서, 이것이 그녀가 생각하는 [-1, 2]j를 우리가 표현하는 방법이다.
여기서, 그녀의 각 기저벡터의 스케일[b1, b2]j은
일부 벡터의 좌표[(2,1)s, (-1, 1)s]에 해당한다.
그리고 그것들을 더함으로 얻을 수 있다.
아마 다음의 것과 비슷해 보일 수 있다.
바로 행렬과 벡터의 곱 이다.
우리의 언어로 표현된 제니퍼의 기저 상태를 나타내는 열들을 갖고있는 행렬들의 곱 말이다.
사실, 당신이 한번 (행렬 * 벡터) 곱셈을
임의의 선형 변환을 가하는 것을써 이해하고 있다면,
즉,  이 시리즈에서 가장 중요한 비디오인 챕터 3을 보면,
여기서 일어나는 일에 대해서 생각하는 직관을 갖고 있을지도 모른다.
제니퍼의 기저 벡터를 나타내는 열을 갖고 있는 행렬은
선형 변환으로 간주 될 수있다
우리의 기저 벡터 i hat 과 j hat을 움직이는 변환으로 말이다.
우리가 말하는 [1, 0]s과 [0, 1]s을 말하는 것은
제니퍼의 기저 벡터에서는
그녀가 말하는 [1, 0]j과 [0, 1]j이 되어버린다.

Czech: 
vyjde vektor se souřadnicemi (-4,1).
Takže my bychom popsali vektor, který Žaneta vidí jako (-1, 2).
Tenhle proces škálování každého bázového vektoru
odpovídající souřadnicí nějakého vektoru
a následné sečtení
by vám mělo něco připomínat.
Je to součin matice a vektoru,
kde sloupečky matice jsou Žanetiny bázové vektory popsané naším jazykem. 
 
* Český název: "Matice přechodu" od Žanetiny báze k naší.
A protože si násobení matice a vektoru představujeme
jako provádění jistého lineárního zobrazení,
tak, jak jsme si to ukázali v nejdůležitějším videu této série, kapitole 3,
tak si to tak můžeme představit i v tomto případě.
Matice přechodu, jejíž sloupečky odpovídají Žanetiným bázovým vektorům
se dá chápat jako transformace,
která přesune naše bázové vektory 'i', 'j',
ty, které my považujeme za (1, 0) a (0, 1)
na Žanetiny bázové vektory,
ty, které ona považuje za (1, 0) a (0, 1)

German: 
kriegst du einen Vektor mit den Koordinaten  [-4, 1] .
Das ist also wie wir den Vektor, den sie sich als [-1, 2] vorstellt, beschreiben würden
Der Prozess der Skalierung ihrer Basisvektoren
durch die korrespondierenden Koordinanten irgendeines Vektors
und sie dann zu addieren,
fühlt sich vielleicht bekannt an.
Es ist die Matrix-Vektor Multiplikation
mit einer Matrix, deren Spalten ihre Basisvektoren in unserer Sprache beschreiben.
Wenn du also Matrix-Vektor Multiplikation verstehst,
als die Anwendung einer bestimmten Linear-Transformation
sagen wir durch Anschauen dessen, was ich als das wichtigste Video dieser Reihe betrachte, Kapitel 3.
Es gibt einen ziemlich intuitiven Weg, sich vorzustellen, was hier passiert.
Eine Matrix deren Spalten Jennifers Basisvektoren beschreiben
kann man sich vorstellen als Transformation
die unsere Basisvektoren i-Hut und j-Hut,
die Dinger, die wir uns vorstellen, wenn wir sagen  [1,0] und [0, 1],
zu Jennifers Basisvektoren bewegt,
den Dingern, die sie sich vorstellt, wenn sie sagt  [1,0] und [0, 1].

Polish: 
otrzymamy wektor [-4, 1]
Tak zatem opisalibyśmy wektor o którym ona myśli jako [-1, 2]
Ten proces skalowania każdego z jej wektorów bazowych
przez odpowiednie współrzędne pewnego wektora
a następnie dodawanie ich
może wydawać się znajome
To mnożenie wektora przez macierz
gdzie kolumny macierzy reprezentują wektory z bazy Jennifer w naszym języku
Tak naprawdę, jeżeli zrozumiesz mnożenie macierzy przez wektor
jako przykładanie pewnego przekształcenia liniowego
na przykład, przez film który uważam za najważniejszy z całego kursu, Rozdział 3,
to okaże się, że to co się tu dzieje jest dość intuicyjne.
Macierz której kolumny opisują wektory z bazy Jennifer
może być interpretowana jako przekształcenie
które wysyła naszą bazę, i-z-daszkiem i j-z-daszkiem
czyli wektory o których myślimy, mówiąc [1,0] i [0,1]
na wektory z bazy Jennifer
czyli rzeczy o których myśli ona mówiąc [1, 0] i [0, 1]

Swedish: 
får du en vektor med koordinaterna [-4,1].
Det är alltså hur vi skulle beskriva den vektor hon tänker på som [-1,2].
Denna process, att skala var och en av hennes basvektor
med de korresponderande koordinaterna för någon vektor
och sedan addera dem
kanske känns något bekant.
Det är matrismultiplikation
med en matris vars kolonner representerar Jennifers basvektorer i vårt språk.
Faktum är att när du förstått att matrismultiplikation
är att applicera en speciell linjär transformation
till exempel genom att titta på den video jag anser vara den viktigaste i denna serien, kapitel 3,
finns det ett ganska intuitivt sätt att tänka på vad som händer här.
En matris vars kolonner representeras Jennifers basvektorer
kan ses som en transformation
som flyttar våra basvektorer, i-hatt och j-hatt
de saker vi tänker på när vi säger [1,0] och [0,1]
till Jennifers basvektorer
de saker hon tänker på när hon säger [1,0] och [0,1].

Dutch: 
zal je een vector krijgen met coördinaten [-4, 1]
Zo, dat is hoe we de vector zouden beschrijven als zij denkt aan [-1, 2]
Dit proces hier van schalen ieder van haar basis vectoren
met de samenhangende coördinaten van sommige vectoren
dan ze samen brengen
zal misschien wat bekend aanvoelen
Het is matrix-vector vermenigvuldiging
met een matrix wiens kolommen, Jennifers basis vectoren representeren in onze taal
In feite, eens je matrix-vector vermenigvuldiging begrijpt
als het toepassen van een zekere lineaire transformatie.
zeg, bij het kijken van de meeste belangrijke vide in deze serie, hoofdstuk 3
Er is een intuïtieve manier om na te denken over wat er hier gebeurt.
Een matrix wiens kolommen Jennifers basis vectoren representeren
kan  worden gezien als een transformatie
die onze basis vectoren, i-hoedje en j-hoedje beweegt
de dingen waaraan we denken wanneer we [1, 0] en [0, 1] zeggen
naar Jennifers basis vectoren
de dingen waaraan zij denkt als ze zegt  [1, 0] en [0, 1]

Chinese: 
计算之后你得到了一个坐标为(-4, 1)的向量
我们就是这样来描述她所认为的向量(-1, 2)的
这里发生的过程，也就是用某个向量的特定坐标与她的基向量数乘
然后将结果相加，看起来有些眼熟
这就是矩阵向量乘法
这个矩阵的列代表的是用我们的语言表达的詹妮弗的基向量
实际上，一旦你将矩阵向量乘法理解为应用一个特定的线性变换
也就是我曾提到这个系列中最重要的第三章视频的内容
就会有一种非常直观的方法来考虑这里发生的事
一个矩阵的列为詹妮弗的基向量，这个矩阵可以看作一个线性变换
它将我们的基向量i帽和j帽，也就是我们眼中的(1, 0)和(0, 1)
变换为詹妮弗的基向量，也就是她眼中的(1, 0)和(0, 1)
为了演示操作方法

English: 
you get a vector with coordinates [-4, 1]
So, that's how we would describe the vector
that she thinks of as [-1, 2]
This process here of scaling each of her basis
vectors
by the corresponding coordinates of some vector
then adding them together
might feel somewhat familiar
It’s matrix-vector multiplication
with a matrix whose columns represent Jennifer's
basis vectors in our language
In fact, once you understand matrix-vector
multiplication
as applying a certain linear transformation
say, by watching what I've you to be the most
important video in this series, chapter 3.
There's a pretty intuitive way to think about
what's going on here.
A matrix whose columns represent Jennifer's
basis vectors
can be thought of as a transformation
that moves our basis vectors, i-hat and j-hat
the things we think of when we say [1,0] and
[0, 1]
to Jennifer's basis vectors
the things she thinks of when she says [1,
0] and [0, 1]

Spanish: 
Obtienes el vector con coordenadas  [-4,1].
Así es como nosotros describiríamos el vector en el que ella piensa como [-1,2].
Este proceso de escalar cada vector de su base
por las coordenadas correspondientes a un vector
y después sumarlas
se siente familiar.
Es una multiplicación matriz-vector
en la que las columnas de la matriz representan los vectores de la base de  Jennifer en nuestro idioma.
De echo, una vez que entiendes la multiplicación matriz-vector
como la aplicación de una aplicación lineal,
como por ejemplo al ver el vídeo que os he dicho es el más importante de la serie, el capítulo 3,
hay una forma bastante intuitiva de pensar en lo que está ocurriendo aquí.
Una matriz cuyas columnas representan los vectores de la base de Jennifer
puede ser interpretada como una transformación
que mueve nuestros vectores base, i y j,
las cosas en las que nosotros pensamos al decir [1,0] y [0,1],
a los vectores de la base de Jennifer,
las cosas en las que ella piensa al decir [1,0] y [0,1].

Arabic: 
تحصل على متجه بإحداثيات [-4، 1]
إذن ، هكذا سنصف المتجه
انها تفكر في [-1 ، 2]
هذه العملية هنا من تسلق كل أساس لها
ثلاثة أبعاد
من الإحداثيات المقابلة لبعض المتجهات
ثم إضافتها معًا
قد تبدو مألوفة إلى حد ما
انها مضاعفة مكافحة ناقلات
مع مصفوفة تمثل أعمدةها جينيفر
ناقلات الأساس في لغتنا
في الواقع ، بمجرد فهمك مصفوفة متجه
عمليه الضرب
كتطبيق تحول خطي معين
قل ، من خلال مشاهدة ما كنت لك أن تكون أكثر من غيرها
فيديو مهم في هذه السلسلة ، الفصل 3.
هناك طريقة بديهية للتفكير
ماذا يجري هنا.
مصفوفة تمثل أعمدةها جينيفر
ناقلات الأساس
يمكن اعتباره بمثابة تحول
التي تحرك ناقلات الأساس لدينا ، أنا قبعة وجي هات
الأشياء التي نفكر بها عندما نقول [1،0] و
[0 ، 1]
لمتجهات أساس جنيفر
الأشياء التي تفكر بها عندما تقول [1 ،
0] و [0 ، 1]

French: 
vous obtenez un vecteur avec des coordonnées [-4, 1]
Donc, voilà comment nous décririons le vecteur qu'elle pense comme [-1, 2]
Ce processus ici de mise à l'échelle de chacun de ses vecteurs de base
par les coordonnées correspondantes de certains vecteurs
puis en les ajoutant ensemble
pourrait sembler un peu familier
C'est un multiplication de matrices vectorielles
avec une matrice dont les colonnes représentent les vecteurs de base de Jennifer dans notre langue
En fait, une fois que vous comprenez la multiplication de matrices vectorielles
comme une application de certaine transformation linéaire
disons, en ayant regardé ce que je vous ai dit qui la vidéo la plus importante de cette série, le chapitre 3.
Il y a une façon assez intuitive de penser à ce qui se passe ici.
Une matrice dont les colonnes représentent les vecteurs de base de Jennifer
peut être considéré comme une transformation
qui déplace nos vecteurs de base, î et ĵ
les choses auquelles nous pensons quand nous disons [1,0] et
[0, 1]
vers les vecteurs de base de Jennifer
les choses auxquelles elle pense quand elle dit [1,0] et [0, 1]

Portuguese: 
você termina com um vetor com coordenadas [-4, 1].
Então, é assim que nós descreveríamos o vetor
que ela entende como [-1, 2].
Este processo aqui de escalar cada 
um dos vetores da base dela
pelas coordenadas correspondentes de algum vetor
e, em seguida, adicionando-os juntos
pode parecer algo familiar.
É a multiplicação matriz-vector,
com uma matriz cujas colunas representam os vetores de base de Jennifer em nossa língua.
Na verdade, depois que você entende a multiplicação matriz-vector
como a aplicação de uma certa transformação linear,
digamos, observando o que eu entendo como o mais
importante desta série, capítulo 3,
há uma maneira muito intuitiva para se pensar o que está acontecendo aqui.
A matriz cujas colunas representam 
os vetores de base de Jennifer
pode ser pensada como uma transformação
que move nossos vetores de base, î e ĵ
(que são as coisas em que pensamos
 quando dizemos [1,0] e [0, 1])
para os vetores de base de Jennifer
(que são as coisas em que ela pensa 
quando ela diz [1,0] e [0, 1]).

Arabic: 
لإظهار كيف يعمل هذا
دعونا نمشي ما سيعنيه
لأخذ المتجه الذي نفكر فيه
إحداثيات [-1 ، 2]
وتطبيق هذا التحول.
قبل التحول الخطي
نحن نفكر في هذا الناقل
كمجموعة خطية معينة من أساسنا
vectors -1 x i-hat + 2 x j-hat.
والميزة الرئيسية للتحول الخطي
هو أن المتجه الناتج سيكون ذلك
نفس التركيبة الخطية
ولكن من ناقلات أساس جديد
-1 أضعاف المكان الذي تهبط فيه القبعة + مرتين
المكان الذي يوجد فيه j-hat.
فماذا تفعل هذه المصفوفة
غيرت مفهومنا الخاطئ لما جينيفر
يعني
في المتجه الفعلي الذي تشير إليه
إلى.
أتذكر أنني عندما كنت أتعلم لأول مرة
هذه
لقد شعرت دائما بالوراء.
هندسيا ، هذه المصفوفة يحول لدينا
الشبكة في شبكة جنيفر.

Polish: 
Żeby pokazać jak to działa
przejdźmy powoli przez to, co oznacza
wzięcie wektora o współrzędnych [-1, 2] w naszej bazie
i przyłożenia do niego tego przekształcenia.
Przed przekształceniem
myślimy o tym wektorze
jako o pewnej kombinacji liniowej naszych wektorów bazowych: -1 razy i-z-daszkiem + 2 razy j-z-daszkiem
A główną własnością przekształcenia liniowego
jest fakt że wektor wyjściowy będzie tą samą liniową kombinacją
ale nowych wektorów bazowych
-1 razy obraz i-z-daszkiem + 2 razy obraz j-z-daszkiem.
Więc to, co robi macierz
to przekształca coś, co jest naszym złym przekonaniem o czym myśli Jennifer
w prawdziwy wektor,  o którym ona myśli.
Pamiętam, że gdy pierwszy raz się o tym uczyłem,
wydało mi się to kompletnie pomieszane.
Geometrycznie,  macierz przekształca naszą kratę w kratę Jennifer.

Dutch: 
Om je te laten zien hoe dit werkt
laten we zien wat het moet betekenen
om de vector met coördinaten [-1, 2] nemen
en toepassen op die transformatie
voor de lineaire transformatie
we zijn denkende aan deze vector
als een zekere lineaire combinatie van onze basis vectoren -1 x i-hoedje + 2 x j-hoedje
en het sleutel kenmerk van een lineaire transformatie
is dat de uiteindelijke vector diezelfde lineaire combinatie zal zijn
maar van de nieuwe basis vectoren
-1 keer de plaats waar i-hoedje valt + 2 keer de plaats waar j-hoedje valt
Zo wat deze matrix doet
is onze misverstand van wat Jennifer bedoelt veranderen
in de echte vector waar ze naar verwijst.
Ik herinner dat wanneer Ik dit voor eerst leerde
het altijd een soort omgekeerde voelde voor mij.
geometrisch gezien transformeert deze matrix ons raster in Jennifers raster

Swedish: 
För att visa hur detta fungerar,
låt oss gå igenom vad det skulle innebära
att ta vektorn vi tänker oss har koordinaterna [-1,2]
och applicera den transformationen.
Innan den linjära transformationen
ser vi denna vektor
som en speciell linjärkombination av våra basvektorer -1 x i-hatt + 2x j-hatt.
Och den viktigaste egenskapen hos en linjärkombination
är att den resulterande vektorn kommer vara samma linjärkombination
men av de nya basvektorerna
-1 gånger stället där i-hat landar plus 2 gånger stället där j-hatt landar.
Så vad denna matris gör
är att transformera vår missuppfattning av vad Jennifer menar
till den vektor hon faktiskt refererar till.
Jag kommer ihåg att första gången jag lärde mig detta
kändes det alltid ganska bakvänt.
Geometriskt sett tar denna matristransformation vårt rutnät till Jennifers rutnät.

English: 
To show how this works
let's walk through what it would mean
to take the vector that we think of as having
coordinates [-1, 2]
and applying that transformation.
Before the linear transformation
we’re thinking of this vector
as a certain linear combination of our basis
vectors -1 x i-hat + 2 x j-hat.
And the key feature of a linear transformation
is that the resulting vector will be that
same linear combination
but of the new basis vectors
-1 times the place where i-hat lands + 2 times
the place where j-hat lands.
So what this matrix does
is transformed our misconception of what Jennifer
means
into the actual vector that she's referring
to.
I remember that when I was first learning
this
it always felt kind of backwards to me.
Geometrically, this matrix transforms our
grid into Jennifer's grid.

Spanish: 
Para mostraros como esto funciona
vamos a ver lo que significaría
tomar el vector que nosotros pensamos tiene las coordenadas [-1,2]
y aplicar esa transformación.
Antes de la aplicación lineal
pensamos en este vector
como una combinación de nuestros vectores base     -1i + 2j
Y la característica clave de una aplicación lineal
es que el vector resultante será esa misma combinación lineal
pero de los nuevos vectores base
-1 veces el vector en el que termina i + 2 veces el vector en el que termina j
Así que lo que hace esta matriz
es transformar nuestra equivocada interpretación de lo que nos decía Jennifer
en el vector al que realmente se refería.
Recuerdo que cuando aprendí esto por primera vez
sentía como que funcionaba al revés de como debería.
Geometricamente esta matriz cambia nuestra cuadricula en la de Jennifer

Chinese: 
我们来看看对我们所想的向量(-1, 2)应用变换是什么意思
在线性变换之前
我们所想的向量是我们的基向量的一种特定线性组合
-1乘以i帽，加上2乘以j帽
而线性变换的一个重要特性在于
变换后的向量仍旧是相同的线性组合，不过使用的是新的基向量
-1乘以变换后的i帽，加上2乘以变换后的j帽
因此这个矩阵所做的
是将我们对詹妮弗的向量的误解，变换为她提到的真正向量
我还记得当初学习这部分内容时，我总是感觉它是颠倒的
从几何上说，这个矩阵将我们的网格变换为詹妮弗的网格
但是从数值上说，这是用她的语言来描述转化为用我们的语言来描述

German: 
Um zu zeigen, wie das funktioniert,
lass uns durchgehen, was es bedeuten würde
einen Vektor zu nehmen mit den Koordinaten [-1 , 2,]
und dieseTransformation anzuwenden.
Vor der Linear-Transformation
stellen wir uns diesen Vektor vor,
als eine bestimmte Linearkombination unserer Basisvektoren -1 mal i-Hut + 2 mal j-Hut.
Und das Schlüsselkonzept einer Linear-Transformation,
ist, dass der resultierende Vektor die selbe Linearkombination sein wird,
aber durch die neuen Basisvektoren
-1 mal der Ort, an dem i-Hut landet + 2 mal der Ort, an dem j-Hut landet.
Was also diese Matrix tut,
ist, sie transformiert unserer falsche Vorstellung davon, was Jennifer meint,
in den tatsächlichen Vektor, auf den sie sich bezieht.
Ich erinnere mich daran, dass als ich das das erste Mal gelernt habe,
es sich irgendwie rückwärts angefühlt hat.
Geometrisch gesehen, transformiert diese Matrix unser Raster in Jennifers Raster.

Portuguese: 
Para mostrar como isso funciona,
vamos percorrer o que significaria
tomar o vetor que nós pensamos como tendo
coordenadas [-1, 2],
e aplicar essa transformação.
Antes da transformação linear,
nós estamos pensando neste vetor
como uma certa combinação linear de nossos vetores de base,  -1 î + 2 ĵ.
E o elemento-chave de uma transformação linear
é que o vetor resultante que será a
mesma combinação linear
mas dos novos vetores de base
-1 vezes o lugar onde î vai parar 
+ 2 vezes o lugar onde ĵ vai parar.
Então, o que esta matriz faz
é transformar nosso equívoco do que 
Jennifer quer dizer
no vetor real a que ela está se referindo.
Lembro-me que quando eu aprendia 
isso pela primeira vez,
me parecia meio de trás pra frente.
Geometricamente, esta matriz transforma a nossa
grade na grade de Jennifer.

Czech: 
Abychom si to ukázali v praxi,
zkusíme, co se stane, když si vezmeme
ukázkový vektor, který má podle nás souřadnice (-1, 2):
a provedeme tuto transformaci.
Před transformací
jsme se na vektor dívali jako
na kombinaci našich bázových vektorů -1i+2j.
Lineární transformace má tu klíčovou vlastnost,
že výsledný vektor bude ta samá lineární kombinace,
ale nových, bázových vektorů.
-1 krát obraz 'i' plus 2 krát obraz 'j'.
Takže matice přechodu dělá to,
že mění naši mylnou představu toho, co má Žaneta na mysli,
na skutečný vektor, který popisuje.
Pamatuji si, že když jsem se to učil,
připadalo mi to vždycky nějak obráceně.
Geometricky matice přechodu přesouvá naši mřížku na Žanetinu mřížku,

Korean: 
이것이 어떻게 작동하는지 보려면,
우리가 가진 좌표에서
[-1, 2]s를 갖는 벡터의 의미가 무엇인지 같이 따라가보자.
그리고 변환을 가해보자.
선형 변환 전에
우리는이 벡터를
우리 기준의 특정 선형 조합으로서
벡터 -1*i hat + 2 j hat로 나타낼 수 있다.
선형 변환의 주요 기능은
그 결과가 다른 기저를 이용하여도
동일한 선형 결합 벡터가 된다는 점입니다.
i hat이 있던 장소에서 -1을 곱하고, j hat이 있던 장소에서 2를 곱함으로써 말이죠.
그래서 이 행렬이하는 일은
우리의 오해를 제니퍼가 의미하는 바로 변환시키는 것입니다.
그녀가 생각하는 실제의 벡터가 있는 곳으로 변환시키면서 말이죠.
내가 이것을 처음 배웠을 때
반대로 말하는 느낌이 들었다.
기하학적으로,이 행렬은 우리의 그리드를 제니퍼의 격자로 변환시키는 것입니다.

French: 
Pour montrer comment cela fonctionne
regardons étape par étape ce que signifierait
de prendre le vecteur que nous pensons avoir les coordonnées [-1, 2]
et en appliquant cette transformation.
Avant la transformation linéaire
nous pensons à ce vecteur
comme une certaine combinaison linéaire de notre base
vecteurs -1*î + 2*ĵ.
Et la caractéristique clé d'une transformation linéaire
est que le vecteur résultant sera cette
même combinaison linéaire
mais des les nouveaux vecteurs de base
-1 fois l'endroit où î atterrit + 2 fois
l'endroit où atterrit ĵ.
Alors, ce que fait cette matrice
est transformer notre fausse idée de ce que Jennifer veux dire
dans le vrai vecteur auquel elle réfère.
Je me souviens que quand je commençais à apprendre ça
ça me paraissait toujours un peu à l'envers.
Géométriquement, cette matrice transforme notre
grille dans la grille de Jennifer.

Arabic: 
لكن من الناحية العددية ، إنها تترجم المتجه
موصوفة بلغتها إلى لغتنا.
ما الذي جعله ينقر في النهاية بالنسبة لي
كان يفكر في كيف يأخذ الفهم الخاطئ لدينا
مما تعنيه جينيفر
المتجه نحصل على نفس الإحداثيات
لكن في نظامنا
ثم يحوله إلى المتجه ذلك
انها تعني حقا.
ماذا عن الذهاب في الاتجاه الآخر؟
في المثال ، استخدمت هذا الفيديو سابقًا
عندما يكون لدي متجه مع الإحداثيات [3 ،
2] في نظامنا
كيف أحسب أنه سيكون لديه الإحداثيات
[5/3، 1/3] في نظام جنيفر؟
عليك أن تبدأ مع هذا التغيير من مصفوفة الأساس
يترجم لغة جينيفر إلى لغتنا
ثم تأخذ معكوسها.
تذكر ، معكوس التحول
هو تحول جديد يتوافق مع
لعب ذلك أول واحد إلى الوراء.
في الواقع ، خاصة عندما تعمل
في أكثر من بعدين
كنت تستخدم جهاز كمبيوتر لحساب المصفوفة
هذا يمثل هذا العكس.

Spanish: 
pero numéricamente traduce un vector de su idioma a el nuestro.
Lo que hizo que finalmente tuviera sentido para mi
fue esta forma de pensar en como lleva nuestra interpretación incorrecta de lo que Jennifer quiere decir,
el vector que obtenemos usando las mismas coordenadas pero en nuestro sistema de referencia
y después transformándolo en el vector al que realmente se refería.
¿Qué ocurre en el sentido contrario?
En el ejemplo que he usado al principio del video
cuando tenemos un vector de coordenadas [3,2] en nuestro sistema
¿Cómo he calculado que tendría las coordenadas [5/3, 1/3] en el sistema de Jennifer?
Empezamos con una matriz de cambio de base
que traduce el idioma de Jennifer al nuestro
y después tomamos la inversa
Recuerda, la inversa de una transformación
es una nueva transformación que corresponde al cambio de la primera a la inversa.
En practica, especialmente cuando trabajas en más de dos dimensiones
usarías un ordenador (Con Mathematica aibalahostia) para calcular la matriz inversa.

Chinese: 
最终让我恍然大悟的是
把它看作将我们对詹妮弗的向量的误解
也就是在我们的坐标系中具有相同坐标的向量
变换为她真正想表示的向量
那相反方向又如何呢？
还是这期视频前期我所使用的例子
在我们的坐标系中，有一个坐标为(3, 2)的向量
我如何计算出它在詹妮弗的坐标系中的坐标为(5/3, 1/3)？
之前的基变换矩阵从詹妮弗的语言转化到我们的语言
你就此入手，取这个矩阵的逆
记住一点，一个变换的逆是一个新的变换
它将所选的变换逆向进行
实践当中，尤其是在超过二维的空间中研究时
你可以用计算机来计算矩阵的逆

Polish: 
Jednak obliczeniowo, przekształca opis wektora z jej języka na nasz.
To, co w końcu otworzyło mi oczy,
to pomyślenie o tym jak bierze ten zły, początkowy wektor
wektor który otrzymujemy używając tych samych współrzędnych, tylko w naszym układzie,
i przekształca go w wektor o który naprawdę chodziło.
A co z przekształceniem z powrotem?
W przypadku którego użyłem wcześniej w tym video
jeżeli mam wektor o współrzędnych [3, 2] w naszym układzie
jak w końcu obliczyłem że będzie miał współrzędne [5/3, 1/3] w naszym układzie?
Zaczynamy z macierzą zmiany bazy
która przetłumacza język Jennifer na nasz
i bierzemy jej odwrotność.
Pamiętamy, że przekształcenie odwrotne
to nowe przekształcenie, któremu odpowiada wzięcie tego początkowego na odwrót.
W praktyce, szczególnie gdy działamy w więcej niż 2 wymiarach
używalibyśmy komputera do obliczania macierzy odwrotnej.

Dutch: 
maar numeriek, vertaalt het een vector beschreven in haar taal naar onze taal
wat het me uiteindelijk liet snappen was voor mij
denken over hoe het neemt wat onze misconceptie was over wat Jennifer bodoelde
de vector die we krijgen gebruikende dezelfde coördinaten maar in ons systeem
dan transformeren het naar de vector dat ze echt bedoelde.
Wat over dat omgekeerd gaan?
In het voorbeeld dat ik eerder deze video gebruikte
waar ik de vector heb met coördinaten [3, 2] in ons systeem
Hoe heb ik berekend dat het de coördinaten [5/3, 1/3]  zou hebben in Jennifers systeem?
Je begint met het veranderen van basis matrix
dat vertaalt Jennifers taal in de onze
dan neem je de inverse
herinner je dat de inverse van een transformatie
een nieuwe transformatie is die gelijk is aan de eerste achterstevoren
In praktijk, voornamelijk als je werkt in meer dan 2 dimensies
zou je een computer gebruiken om de matrix te berekenen die eigenlijk de inverse voorstelt

French: 
Mais numériquement, ça traduit un vecteur décrit dans sa langue à notre langue.
Ce qui m'a finalement fait comprendre
était en prenant que la transformation prend notre fausse idée de ce que veut dire Jennifer,
le vecteur que nous obtenons en utilisant les mêmes coordonnées mais dans notre système
et le transforme en le vecteur
qu'elle voulait vraiment dire.
Qu'en est-il de l'inverse ?
Dans l'exemple que j'ai utilisé plus tôt cette vidéo
quand j'ai le vecteur avec les coordonnées [3,2] dans notre système
Comment ai-je calculé qu'il aurait des coordonnées [5/3, 1/3] dans le système Jennifer ?
Vous commencez avec cette matrice de passage
qui traduit la langue de Jennifer dans la nôtre
ensuite vous prenez son inverse.
Rappelez-vous, l'inverse d'une transformation
est une nouvelle transformation qui correspond à jouer la première à l'envers.
En pratique, surtout quand vous travaillez
en plus de deux dimensions
vous utiliseriez un ordinateur pour calculer la matrice qui représente cette inverse.

English: 
But numerically, it's translating a vector
described in her language to our language.
What made it finally clicked for me
was thinking about how it takes our misconception
of what Jennifer means
the vector we get using the same coordinates
but in our system
then it transforms it into the vector that
she really meant.
What about going the other way around?
In the example I used earlier this video
when I have the vector with coordinates [3,
2] in our system
How did I compute that it would have coordinates
[5/3, 1/3] in Jennifer system?
You start with that change of basis matrix
that translates Jennifer's language into ours
then you take its inverse.
Remember, the inverse of a transformation
is a new transformation that corresponds to
playing that first one backwards.
In practice, especially when you're working
in more than two dimensions
you'd use a computer to compute the matrix
that actually represents this inverse.

Swedish: 
Men numeriskt översätter den en vektor beskriven i hennes språk till vårt språk.
Vad som fick bitarna att falla på plats för mig
var att tänka på hur det tar vår missuppfattning av vad Jennifer menar,
vektorn vi får om vi använder samma koordinater men i vårt system
och sedan transformerar det till den vektorn hon faktiskt menar.
Åt andra hållet då?
I exemplet jag använde tidigare i denna videon
när jag har vektorn med koordinaterna [3,2] i vårt system.,
Hur räknade jag ut att det skulle ha koordinaterna i [5/3,1/3] i Jennifers system.
Du startar med den basbytesmatrisen
som översätter Jennifers språk till vårt
och sedan tar du dess invers.
Kom ihåg, inversen av en transformation
är en ny transformation som motsvarar att spela den första baklänges.
I praktiken, speciellt om du arbetar i mer än två dimensioner
skulle du använda  en dator till att beräkna matrisen som faktiskt representerar denna invers.

German: 
Aber numerisch übersetzt sie einen Vektor aus ihrer Sprache in unsere Sprache.
Wodurch es schließlich bei mir Klick gemacht hat, war
sich vorzustellen, wie es unsere falsche Vorstellung darüber, was Jennifer meint,
den Vektor, den wir bekommen, wenn wir die selben Koordinaten in unserem System nutzen, nimmt
und ihn dann transformiert in den Vektor, den sie tatsächlich meint.
Wie ist es aber andersherum?
Im Beispiel, dass ich zu Anfang des Videos benutzte,
als ich den Vektor mit den Koordinaten  [3, 2] in unserem System habe,
wie habe ich berechnet, dass er die Koordinaten [5/3, 1/3] in Jennifers Raster haben würde?
Du startest mit der Basiswechselmatrix,
die Jennifers Sprache in unsere Sprache übersetzt
Dann nimmst du dessen ihre Inverse
Denk daran, die Inverse einer Transformation
ist die neue Transformation, die bedeutet, die erste rückwärts ablaufen zu lassen.
In der Anwendung, speziell dann, wenn du in mehr als zwei DImensionen arbeitest,
würdest du einen Computer nutzen, um die inverse Matrix zu bestimmen.

Czech: 
ale numericky přecházíme z vektorů v jejím jazyce do našeho.
Pomohlo mi až,
když jsem si to představil, že bere naši mylnou představu Žanetina vektoru
vektor, který jsme napsali pomocí našeho souřadnicového systému,
a promění ho na vektor, který měla opravdu na mysli.
A co obráceně?
Jak jsem třeba ukazoval
vektor, který má v našem jazyce souřadnice (3, 2).
Jak jsem spočítal, že to je (5/3, 1/3) v Žanetiných souřadnicích?
Začneme s opět s maticí přechodu,
která překládá z Žanetina jazyka do našeho,
a spočteme její inverz.
Připoměňme, že inverz dané transformace
je transformace, která odpovídá přehrání té dané transformace pozpátku.
V praxi, obzvlášť, když pracujete ve více než dvou rozměrech,
použijete pro výpočet inverzní matice počítač.

Korean: 
그러나 수치학적으로, 그녀의 언어에서 우리의 언어로 번역하는 것이죠.
나를 마침내 두드린 것은
제니퍼가 말하는 것의 우리의 오해를 어떻게 다루는지 생각하는 것이다.
우리의 좌표계에서 벡터를 생각하고
그녀가 실제로 의미하는 벡터로의 변환하는 것이다.
다른 방법으로 생각하는 건 어떨까요?
내가 이전에 사용했던 비디오를 예로 들어서
우리의 좌표계에서 [3, 2]s를 가질 때
어떻게 나는 제니퍼의 좌표계에서는 [5/3, 1/3]j라고 계산할까?
당신은 기초 매트릭스의 변화로 시작한다.
그것은 제니퍼의 언어를 우리의 언어로
 번역한다.
그리고 그것의 역을 취한다.
기억해봐라, 역변환은
처음에 있던 곳으로 되돌리는 것에 대응하는 새로운 변환이다.
실제로, 특히 2차원보다 큰 곳에서 생각할 때
이 역행렬을 구하려면 컴퓨터를 사용하는 것이 좋다.

Portuguese: 
Mas numericamente, está traduzindo um vetor descrito no idioma dela para um no nosso.
O que fez tudo finalmente fazer sentido para mim
foi pensar em como ele leva nosso equívoco 
do que Jennifer quer dizer,
isto é, o vetor a que chegamos usando as mesmas coordenadas mas em nosso sistema,
e em seguida, transforma-o no vector a que ela realmente se referia.
Que tal ir no outro sentido?
No exemplo que eu usei no início deste vídeo,
quando tenho o vector com coordenadas 
[3,2] em nosso sistema,
Como é que eu calculei que ele teria coordenadas 
[5/3, 1/3] no sistema de Jennifer?
Você começa com aquela matriz de  mudança de base
que traduz a linguagem de Jennifer para a nossa,
e então você toma a sua inversa.
Lembre-se, a inversa de uma transformação
é uma nova transformação que corresponde a
reproduzir a primeira ao contrário.
Na prática, especialmente quando você está trabalhando em mais de duas dimensões,
você usaria um computador para calcular a matriz que representa esta inversa.

Korean: 
이 경우에, 제니퍼의 기저 벡터를 열행렬로 가지고 있는
기저 행렬의 역변환은
[1/3, -1/3], [1/3, 2/3]가 된다.
따라서, 예를 들어
제니퍼의 좌표계에서 [3, 2]s를 보는 것은
우리는 이 기저 행렬의 역행렬을 [3, 2]s
에 곱해야한다.
그러면  [5/3, 1/3]j이 나온다.
그래서, 간단히 말해서
이것이 개개의 벡터의 모습을 변환하는 방법입니다.
좌표계 사이를 왔다 갔다 하면서요.
제니퍼의 기저 벡터를 가지고 있는 행렬은,
우리의 좌표계로 나타내어 있지만,
그녀의 언어에서 우리의 언어로 벡터를 변환시켜 줍니다.
그리고 역행렬은 반대로 작용한다.
그러나 벡터는 좌표계를 이용해서만 묘사되는 것이 아니다.
이 다음부터는 말이죠.

French: 
Dans ce cas, l'inverse de la matrice de passage
qui a la base de Jennifer comme colonnes
se trouve avoir pour colonnes [1/3, -1/3] et [1/3, 2/3]
Ainsi, par exemple
pour voir à quoi ressemble le vecteur [3, 2] dans le système de Jennifer
nous multiplions la matrice de passage inverse par le vecteur [3, 2]
ce qui fait [5/3, 1/3]
Alors, en un mot
c'est comme ça qu'on traduit la description de vecteurs individuels
entre les systèmes de coordonnées dans un sens et dans l'autre.
La matrice dont les colonnes représentent les vecteurs de base de Jennifer
mais écrits dans nos coordonnées
traduit les vecteurs de sa langue en notre langue.
Et la matrice inverse fait le contraire.
Mais les vecteurs ne sont pas les seules choses que nous décrivons en utilisant des coordonnées.
Pour la prochaine partie
il est important que vous soyez tous à l'aise

Polish: 
W tym przypadku, macierz odwrotna do macierzy zmiany bazy
która ma bazę Jennifer jako kolumny
okazuje się być macierzą o kolumnach  [1/3, -1/3] i [1/3, 2/3]
Zatem, dla przykładu
żeby zobaczyć jak wygląda wektor [3,2] w układzie współrzędnych Jennifer
mnożymy odwrotność macierzy zmiany bazy przez [3, 2]
co okazuje się być [5/3, 1/3]
Więc tak, pokrótce,
przetłumaczamy opis wektorów z jednego układu do drugiego
i z powrotem.
Macierz której kolumny opisują wektory z bazy Jennifer
ale opisane w naszych współrzędnych
przekształca wektory z jej języka na nasz.
A macierz odwrotna robi rzecz odwrotną.
Jednak wektory nie są jedyną rzeczą jaką opisujemy współrzędnymi.
Przed tą kolejną częścią,
ważne jest że umiecie posługiwać się

Arabic: 
في هذه الحالة ، معكوس التغيير
أساس الأساس
لديها أساس جنيفر كأعمدة لها
ينتهي بالعمل على وجود أعمدة [1/3 ،
-1/3] و [1/3 ، 2/3]
هكذا ، على سبيل المثال
لمعرفة ما يبدو عليه المتجه [3 ، 2]
نظام جنيفر
نضرب هذا التغيير العكسي لمصفوفة الأساس
من قبل المتجه [3 ، 2]
الذي يعمل ليكون [5/3 ، 1/3]
لذلك ، باختصار
هو كيفية ترجمة وصف الفرد
ثلاثة أبعاد
ذهابا وإيابا بين أنظمة الإحداثيات.
المصفوفة التي تمثل الأعمدة جينيفر
ناقلات الأساس
لكن مكتوب في إحداثياتنا
يترجم نواقل من لغتها إلى
لغتنا.
والمصفوفة العكسية تفعل العكس.
لكن المتجهات ليست الشيء الوحيد الذي نحن
وصف باستخدام الاحداثيات.
لهذا الجزء التالي
من المهم أن تكون مرتاحًا

Dutch: 
In dit geval, de inverse van de verandering van de basis matrix
heeft Jennifers basis als zijn colommen
eindigen met zijnde kolommen  [1/3, -1/3] en [1/3, 2/3]
Bijvoorbeeld
om te zien wat de vector [3, 2] eruit ziet in Jennifers systeem
vermenigvuldigen we de inverse verandering van basis matrix met de vector  [3, 2]
wat [5/3, 1/3] wordt
Zo dat in een notendop
is hoe we de beschrijving van individuele vectoren vertalen
heen en terug tussen coördinaten systemen
De matrix wiens kolommen Jennifers basis vectoren representern
maar geschreven in onze coördinaten
vertaalt vectoren van haar taal naar onze taal
En de inverse matrix doet het tegen over gestelde.
maar vectoren zijn niet het enigste ding dat we gebruiken om coördinaten te beschrijven
Voor het volgende deel
is het belangrijk dat je comfortabel bent

Swedish: 
I det här fallet visar det sig att inversen av basbytesmatrisen
som har Jennifers bas som sina kolonner
har kolonnerna [1/3, -1/3] och [1/3,2/3].
Så, till exempel,
för att se hur vektorn [3,2] ser ut i Jennifers system
multiplicerar vi inversen av basbytesmatrisen med vektorn [3,2]
vilket visar sig bli [5/3,1/3].
Det är i ett nötskal
hur man översätter beskrivningen av individuella vektorer
fram och tillbaka mellan koordinatsystem.
Matrisen vars kolonner representerar Jennifers basvektorer
men är skriven i våra koordinater
översätter vektorer från hennes språk till vårt språk.
Och matrisens inverse gör det motsatta.
Men vektorer är inte det enda vi beskriver med hjälp av koordinater.
För nästa del
är det viktigt att du är bekväm med att

Spanish: 
En este caso, la matriz inversa de la matriz de cambio de base
que tiene las bases de Jennifer como columnas
termina teniendo esta forma.
Así por ejemplo
para ver que forma tiene el vector [3,2] en el sistema de Jennifer
multiplicamos la matriz inversa de cambio de base por el vector [3,2]
lo que nos da como resultado [5/3,1/3]
Asi es como, en resumidas cuentas
'traducimos' la descripcion de vectores individuales
entre sistemas de coordenadas.
La matriz cuyas columnas representan los vectores de la base de Jennifer
pero escritos en nuestro sistema de coordenadas
"traduce" vectores de su lenguaje al nuestro
y la inversa de dicha matriz hace lo contrario.
Pero los vectores no son la única cosa que describimos con coordenadas.
Para la parte que viene
es importante que esteis cómodos

Portuguese: 
Neste caso, a inversa da matriz de mudança de base,
que tem os vetores de base de 
Jennifer como suas colunas,
acaba tendo por colunas 
[1/3,-1/3] e [1/3, 2/3].
Assim, por exemplo,
para ver como que o vetor [3, 2] fica 
no sistema de Jennifer,
multiplicamos esta matriz de mudança de base 
inversa pelo vetor [3, 2]
que termina como [5/3, 1/3].
Então isso, em poucas palavras,
é como traduzir a descrição de vetores individuais
entre os sistemas de coordenadas.
A matriz cujas colunas representam 
os vetores de base de Jennifer
mas escritos em nossas coordenadas
traduz vetores da língua dela para a nossa língua.
E a matriz inversa faz o oposto.
Mas vetores não são a única coisa que nós
descrevemos utilizando coordenadas.
Para esta parte seguinte
é importante que vocês estejam todos confortáveis

Chinese: 
在这里，对于以詹妮弗的基向量作为列的基变换矩阵
通过计算得出，其逆矩阵的两列为(1/3, -1/3)和(1/3, 2/3)
如果想知道向量(3, 2)在詹妮弗的坐标系下如何表示
我们用这个基变换矩阵的逆乘以向量(3, 2)
结果为(5/3, 1/3)
总而言之
以上就是如何在坐标系之间对单个向量的描述进行相互转化
一个矩阵的列代表的是詹妮弗的基向量，却是用我们的坐标来描述
对于一个向量，这个矩阵将她的语言描述转化为我们的语言描述
逆矩阵则与之相反
不过，向量并不是唯一用坐标表示的东西

German: 
In diesem Fall ist die Inverse der Basiswechselmatrix,
die Jennifers Basisvektoren als Spalten hat,
die Matrix mit den Spalten  [1/3, -1/3] und [1/3, 2/3].
Also zum Beispiel,
wenn wir wissen wollen, wie der Vektor [3 ,2] in Jennifers System aussieht,
multiplizieren wir diese inverse Basiswechselmatrix mit dem Vektor [3 , 2]
was herauskommt ist [5/3, 1/3].
Also ist dies in Kürze,
wie man die Beschreibung individueller Vektoren
vor und zurück zwischen Koordinatensystemen übersetzt.
Die Matrix mit den Jennifers Basisvektoren als Spalten,
aber beschrieben durch unsere Koordinaten,
übersetzt Vektoren von ihrer Sprache in unsere Sprache.
Und die Inverse tut das Gegenteil.
Aber Vektoren sind nicht das EInzige, das wir mit Koordinaten beschreiben.
Für den nächsten Teil,
ist es wichtig that du vertraut damit bist,

Czech: 
V tomhle případě inverzní matice k matici přechodu,
která měla ve sloupcích Žanetinu bázi,
vyjde se sloupci (1/3, -1/3), (1/3, 2/3).
Takže abychom například
určili, jak vypadá vektor (3, 2) v Žanetiných souřadnicích,
vynásobíme jej inverzní maticí přechodu,
to vyjde (5/3, 1/3).
Takže takhle se v kostce
překládají popisky jednotlivých vektorů
mezi jednotlivými souřadnicovými systémy.
Matice přechodu, jejíž sloupečky reprezentují Žanetiny bázové  vektory,
ale zapsané v našich souřadnicích,
překládají vektory z jejího jazyka do našeho.
A inverzní matice dělá pravý opak.
Ale vektory nejsou to jediné, co popisujeme pomocí souřadnic.
V další části
bude důležité, abyste si rozuměli

English: 
In this case, the inverse of the change of
basis matrix
that has Jennifer's basis as its columns
ends up working out to have columns [1/3,
-1/3] and [1/3, 2/3]
So, for example
to see what the vector [3, 2] looks like in
Jennifer's system
we multiply this inverse change of basis matrix
by the vector [3, 2]
which works out to be [5/3, 1/3]
So that, in a nutshell
is how to translate the description of individual
vectors
back and forth between coordinate systems.
The matrix whose columns represent Jennifer's
basis vectors
but written in our coordinates
translates vectors from her language into
our language.
And the inverse matrix does the opposite.
But vectors aren't the only thing that we
describe using coordinates.
For this next part
it's important that you're all comfortable

Polish: 
reprezentacją przekształceń macierzami
i wiecie, jak mnożenie macierzy
odpowiada złożeniu przekształceń.
Z pewnością nie zaszkodzi zapauzować i spojrzeć na rozdziały 3 i 4
jeżeli coś z tego nie wydaje się wam jasne.
Rozpatrzmy pewne przekształcenie liniowe,
na przykład obrót o 90° przeciwnie do wskazówek zegara.
jeżeli wyrazimy to macierzą,
patrzymy gdzie trafiają i-z-daszkiem i j-z-daszkiem.
i ląduje na wektorze o współrzędnych [0,1]
a ja na wektorze [-1, 0]
Zatem te współrzędne stają się kolumnami naszej macierzy.
Jednak ta reprezentacja
jest mocno związana z wyborem bazy,
poczynając od tego, że patrzymy, gdzie lądują i oraz j,
a kończąc na tym, że opisujemy wektory na jakie przechodzą
w naszym układzie współrzędnych.

Chinese: 
重要的是，接下来的内容里，你需要熟悉矩阵代表线性变换
以及矩阵乘积对应于线性变换复合这两点
如果你觉得并不是那么轻松，一定要停下来，去看看第三章和第四章的内容
考虑某个线性变换，譬如逆时针旋转90°
你我用矩阵代表它的时候，我们是在跟踪i帽和j帽的去向
i帽在变换后处于坐标(0, 1)
而j帽在变换后处于坐标(-1, 0)
这些坐标也就成为了矩阵的列
但是这种表示与我们对基向量的选择密切相关
因为我们跟踪的是i帽和j帽
并且是在我们自己的坐标系中记录它们的去向
詹妮弗如何描述同样的空间90°旋转呢？

German: 
Transformationen mit Matrizen zu beschreiben,
dass du weißt wie Matrixmultiplikation
zusammenhängt mit der Komposition von Transformationen.
Pausiere definitiv und schaue dir Kapitel 3 und 4 an,
wenn sich irgendwas davon nicht einfach anfühlt.
Nimm eine Lineartransformation
wie eine 90° Drehung gegen den Uhrzeigersinn.
Wenn du und ich diese mit der Matrix beschreiben,
schauen wir, wo unsere Basisvektoren i-Hut und j-Hut landen.
i-Hut landet auf dem Punkt mit den Koordinaten [0 , 1]
und j-Hut landet an dem Punkt mit den Koordinaten [.1 , 0]
Also werden diese Koordinaten die Spalten unserer Matrix.
Aber diese Darstellung,
ist stark abhängig von der Wahl unserer Basisvektoren.
Dadurch, dass wir in erster Linie i-Hut und j-Hut betrachten,
hinzu dem Fakt, dass wir ihre Landepunkte
in unserem Koordinatensystem verfolgen.

Czech: 
s reprezentací transformací pomocí matic
a abyste chápali, jak násobení matic
odpovídá skládání po sobě jdoucích transformací.
Jestli vám cokoli z toho dělá problémy, rozhodně se vraťte
a zopakujte si kapitoly 3 a 4.
Vezměme si nějakou lineární transformaci,
jako třeba otočení o 90 stupňů.
Když ji reprezentujeme pomocí souřadnic my,
díváme se, kde skončí vektory 'i' a 'j'.
Vektor 'i' dopadne na souřadnice (0, 1)
a vektor 'j' na souřadnice (-1, 0).
Takže tyto souřadnice budou sloupečky naší matice.
Akorát že tato reprezentace
těžce závisí na naší volbě bázových vektorů.
Napřed jsme sledovali naše bázové vektory 'i' a 'j'
a pak jsme jejich výsledné pozice zaznamenali
naším souřadnicovým systémem.

French: 
pour représenter des transformations avec des matrices
et que vous savez comment la multiplication matricielle
correspond à composer des transformations successives.
Mettez vraiment en pause et jetez un 
œil aux chapitres 3 et 4
si vous n'êtes pas à l'aise avec un de ces choses.
Considérez une transformation linéaire
comme une rotation de 90 ° dans le sens antihoraire.
Quand vous et moi représentons cela avec a matrice
nous suivons où les vecteurs de base î et ĵ se retrouvent.
î finit à l'endroit avec les coordonnées [0, 1]
et ĵ finit à l'endroit avec les coordonnées [-1, 0]
Donc, ces coordonnées deviennent les colonnes de notre matrice
mais cette représentation
est fortement lié à notre choix de vecteurs de base
du fait que nous suivons î et ĵ en premier lieu
au fait que nous enregistrons où ils aterrissent
dans notre propre système de coordonnées.

Spanish: 
representando transformaciones lineales con matrices
y que sepáis como la multiplicación de matrices
corresponde a la composición sucesiva de estas transformaciones.
Definitivamente tomate un momento y echa un ojo a los capitulos 3 y 4
si algo de esto parece complicado.
Considera un transformación lineal
como un giro 90 grados en la dirección de las agujas del reloj.
Cuando representamos esta transformación con la matriz correspondiente
seguimos los vectores i y j y a donde va cada uno tras aplicar la aplicación lineal.
i termina en el punto de coordenadas [0,1]
y j termina en el punto de coordenadas [-1,0].
Estas coordenadas son las columnas de nuestra matriz asociada.
Pero esta representación
esta fuertemente asociada a nuestra elección de la base
desde el hecho de que estamos siguiendo a i y j en primer lugar
a el  hecho de que medimos su lugar de aterrizaje
en nuestro sistema de coordenadas.

Swedish: 
representera transformationer med matriser
och att du vet hur matrismultiplikation
korresponderar mot att sammansätta påföljande transformationer.
Du borde absolut pausa och ta en titt på kapitel 3 och 4
om något av detta känns svårt.
Betrakta en linjär transformation
så som en 90-gradig moturs rotation.
När du och jag representerar detta med matrisen
följer vi var basvektorerna i-hatt och j-hatt hamnar.
i-hatt hamnar på punkten med koordinaterna [0,1]
och j-hatt hamnar på punkten med koordinaterna [-1,0].
Så de koordinaterna blir kolonnerna i vår matris
men denna representation
är starkt knuten till vårt val av basvektorer
från det faktum att vi följer i-hatt och j-hatt till att börja med
till det faktum att vi ser var de landar
i vårt eget koordinatsystem.

Arabic: 
تمثل التحولات مع المصفوفات
وأنك تعرف كيف الضرب المصفوفة
يتوافق مع تأليف التحولات المتتالية.
وقفة بالتأكيد وإلقاء نظرة على الفصول
3 و 4
إذا كان أي من ذلك يشعر بعدم الارتياح.
خذ بعين الاعتبار بعض التحولات الخطية
مثل دوران بمقدار 90 درجة عكس عقارب الساعة.
عندما كنت وأنا نمثل هذا مع المصفوفة
نتابع حيث المتجهات أساس i-hat و
ي-ك كل ذهاب.
أنا قبعة ينتهي في الحال مع الإحداثيات
[0 ، 1]
و j-hat في نهاية المطاف مع إحداثيات
[- 1 - 0]
بحيث تصبح تلك الإحداثيات أعمدة
لدينا المصفوفة
لكن هذا التمثيل
ترتبط بشدة في اختيارنا من الأساس
ثلاثة أبعاد
من حقيقة أننا نتبع i-hat و
ي-قبعة في المقام الأول
إلى حقيقة أننا نسجل هبوطهم
بقع
في نظام الإحداثيات الخاص بنا.

Dutch: 
met het representeren van transformaties met matrices
en dat je weet hoe matrix vermenigvuldigin
overeenkomt met samenstellen van opeenvolgende transformaties
Pauzeer en neem een kijkje naar hoofdstuk 3 en 4
als iets van dat ongemakkelijk voelt
Bekijk een paar lineaire transformaties
zoals een 90° draaiing tegen de klok in
wanneer jij en ik dit representeren met de matrix
volgen we waar de basis vectoren i-hoedje en j-hoedje gaan
i-hoedje eindigt op het punt met coördinaten [0, 1]
en j-hoedje eindigt op het punt met coördinaten  [-1, 0]
Deze coördinaten worden de kolommen van onze matrix
maar deze representatie
is zwaar vast hangend aan onze keuze van basis vectoren
van het feit dat we i-hoedje en j-hoedje volgen in de eerste plaats.
tot het feit dat we aan het opnemen zijn waar ze terecht komen
on ons eigen coördinaten systeem.

Korean: 
변환을 행렬로 생각하는 방법은 중요합니다.
그리고 행렬 곱이 어떻게
연속적인 변환과 연관되는지 알게 될 것입니다.
잠시 멈추고 챕터3과 4를 다시보세요.
만약 불안하다면요.
일부 선형 변환을 고려해보죠.
반 시계 방향으로 90 ° 회전된것 처럼요.
당신과 나는 이 행렬이 표현하는 것은
기저 벡터 i hat 과 j hat이 각각 어디로 가야하는지를 나타냅니다.
i hat은 [0, 1]s에서 끝나고,
j hat은 [-1, 0]s에서 끝납니다.
그렇기 때문에 각 좌표는 우리의 행렬의 열행렬로써 쓰여질 수 있습니다.
그러나 이 표현은
우리의 초기 기저 벡터에 제한되어있습니다.
i hat 과 j hat 이 처음에 있던 자리를 알아야하고,
그것들이 어디로 가야하는지 알아야만
 합니다.
그것도 우리 좌표계 안에서 말이죠.

Portuguese: 
representando transformações com matrizes
e que vocês saibam como a multiplicação de matrizes
corresponde à composição de transformações sucessivas.
Definitivamente pare e dê uma olhada 
nos capítulos 3 e 4
se você não estiver confortável com 
algum desses temas.
Considere alguma transformação linear
como uma rotação anti-horária de 90°.
Quando você e eu a representamos com a matriz,
seguimos onde os vetores de base î e ĵ vão.
î acaba no ponto com coordenadas [0, 1]
e ĵ acaba no local com coordenadas [-1, 0]
Então, essas coordenadas tornam-se
as colunas de nossa matriz,
mas esta representação
é fortemente amarrada em nossa escolha de vetores de base,
devido ao fato de que estamos 
seguindo î e ĵ em primeiro lugar
e que nós estamos gravando seu ponto de chegada
em nosso próprio sistema de coordenadas.

English: 
representing transformations with matrices
and that you know how matrix multiplication
corresponds to composing successive transformations.
Definitely pause and take a look at chapters
3 and 4
if any of that feels uneasy.
Consider some linear transformation
like a 90°counterclockwise rotation.
When you and I represent this with the matrix
we follow where the basis vectors i-hat and
j-hat each go.
i-hat ends up at the spot with coordinates
[0, 1]
and j-hat end up at the spot with coordinates
[-1, 0]
So those coordinates become the columns of
our matrix
but this representation
is heavily tied up in our choice of basis
vectors
from the fact that we're following i-hat and
j-hat in the first place
to the fact that we're recording their landing
spots
in our own coordinate system.

French: 
Comment Jennifer décrirait-elle cette même rotation de l'espace de 90° ?
Vous pourriez être tenté de juste
traduire les colonnes de notre matrice de rotation dans la langue de Jennifer.
Mais ce n'est pas tout à fait correct.
Ces colonnes représentent où nos vecteurs de base î et ĵ vont.
Mais la matrice que veut Jennifer
devrait représenter où ses vecteurs de base atterrissent
et il doit décrire ces points dans sa langue.
Voici une façon commune de penser à comment ça marche.
Commencez avec n'importe quel vecteur écrit dans la langue de Jennifer.
Plutôt que d'essayer de suivre ce qui se passe dans sa langue
d'abord, nous allons le traduire dans notre langue
en utilisant la matrice passage
celui dont les colonnes représentent ses vecteurs de base dans notre langue.
Cela nous donne le même vecteur
mais maintenant écrit dans notre langue.
Ensuite, appliquez la matrice de transformation à ce que vous obtenez
en le multipliant à gauche.
Cela nous dit où ce vecteur atterrit
mais toujours dans notre langue.
Donc, comme dernière étape
appliquez la matrice de passage inverse
multipliée à gauche comme d'habitude

German: 
Wie würde Jennifer die selbe 90° Drehung des Raumes beschreiben?
Du bist vielleicht verleitet dazu,
nur die Spalten unserer Rotationsmatrix in Jennifers Sprache zu übersetzen,
aber das stimmt nicht ganz
Diese Spalten repräsentieren, wo unsere Basisvektoren i-Hut und j-Hut landen.
Aber die Matrix, die Jennifer will,
sollte zeigen, wo ihre Basisvektoren landen
und es muss die Landepunkte in ihrer Sprache beschreiben.
Hier ist ein normaler Weg, sich vorzustellen, wie das passiert.
Starte mit irgendeinem Vektor geschrieben in Jennifers Sprache.
Eher als zu versuchen, zu schauen, was mit diesem in ihrer Sprache passiert,
werden wir ihn zuerst in unsere Sprache übersetzen,
indem wir die Basiswechselmatrix nutzen,
deren Spalten ihre Basisvektoren in unserer Sprache beschreiben.
Dies gibt uns den selben Vektor,
aber nun geschrieben in unserer Sprache.
Dann nutze die Transformationsmatrix an dem was du herausbekommst,
indem du sie von links multiplizierst.
Das sagt uns, wo der Vektor landet,
aber immernoch in unserer Sprache.
Also als letzten Schritt,
füge die inverse Basiswechselmatrix hinzu,
wie gewöhnlich bon links multipliziert,

Portuguese: 
Como Jennifer descreveria essa 
mesma rotação de 90° no espaço?
Você pode ser tentado a apenas
traduzir as colunas de nossa matriz de rotação
para a linguagem de Jennifer.
Mas isso não está bem certo.
Essas colunas representam onde nossos vetores de base, î e ĵ vão.
Mas a matriz que Jennifer quer
deve representar onde os vetores da base dela vão parar,
e ele precisa descrever os pontos de 
pouso dos vetores na língua dela.
Aqui está uma maneira comum de pensar em como isto é
feito.
Comece com qualquer vector escrito 
na linguagem de Jennifer.
Ao invés de tentar seguir o que acontece
a ele em termos de sua linguagem
em primeiro lugar, vamos traduzi-lo 
em nossa língua
utilizando a matriz de mudança de base,
aquela cujas colunas representam sua seus vetores de base em nossa língua.
Isso nos dá o mesmo vetor,
mas agora escrito em nossa língua.
Em seguida, aplique a matriz de transformação
 para o que você obteve
multiplicando-a à esquerda.
Isto nos diz onde aquele vetor vai parar
mas ainda em nossa língua.
Assim, como uma última etapa,
aplique a inversa da matriz de mudança de base,
multiplicada à esquerda como de costume

Spanish: 
¿Cómo describiría Jennifer esta misma rotación?
Lo que te pide el cuerpo es directamente
traducir las columnas de nuestra matriz de rotación al lenguaje de Jennifer
pero eso no es del todo correcto.
Estas columnas representan a dónde van nuestros vectores de la base i y j
pero la matriz que Jennifer quiere
debería representar los vectores de su base
y los puntos en los que aterrizan deben ser descritos en su lenguaje también.
Esta es una manera común de pensar en como se hace esto.
Empezamos con cualquier vector escrito en el lenguaje de Jennifer.
En vez de intentar seguir que le ocurre en su idioma
primero vamos a traducir dicho vector a el nuestro
usando la matriz de cambio de base,
la matriz cuyas columnas representan sus vectores base en nuestro idioma.
Esto nos da el mismo vector
pero ahora está escrito en nuestro idioma.
Podemos entonces aplicarle la matriz asociada a la transformación
multiplicando a la izquierda.
Esto nos dice dónde termina dicho vector tras la aplicación
pero sigue en nuestro lenguaje.
Debemos como último paso
aplicar la inversa de la matriz cambio de base
multiplicando por la izquierda como de costumbre

Czech: 
Tak jak by Žaneta popsala to samé otočení o 90° v rovině?
Možná vás napadlo
přeložit sloupečky v naší matici rotace do Žanetina jazyka.
Ale to není úplně ono.
Tyhle sloupečky udávají, kam se přesunou naše bázové vektory 'i' a 'j'.
Ale Žanetu chce matici, ve které
jsou transformované verze jejích bázových vektorů,
a navíc chce tyto výsledky zaznamenat ve svém jazyce.
Běžně se to řeší takto:
Začneme s vektorem zapsaným v Žanetině jazyce.
Než abychom se snažili přijít na to, co se s ním děje v jejím jazyce,
napřed jej přeložíme do našeho jazyka
pomocí matice přechodu,
té, co má ve sloupcích její vektory v našem jazyce.
Tak dostaneme ten samý vektor,
ale zapsaný v našem jazyce.
Na ten už můžeme provést transformaci, tím že jej zleva
vynásobíme naší maticí.
Tak zjistíme polohu výsledného vektoru,
ale stále v našem jazyce.
Takže musíme nakonec
přeložit vektor zpět tak, že jej zleva vynásobíme
inverzní maticí přechodu.

Swedish: 
Hur skulle Jennifer beskriva samma 90-gradiga rotation av rummet?
Du skulle kunna frestat att bara
översätta kolonnerna av vår rotationsmatris till Jennifers språk.
Men det är inte helt rätt.
De kolonnerna representerar var våra basvektorer i-hatt och j-hatt hamnar.
Men matrisen Jennifer vill ha
borde representera var hennes basvektorer landar
och den behöver beskriva dessa landningspunkter i hennes språk.
Här är ett vanligt sätt att tänka på hur detta görs.
Starta med en godtycklig vektor skriven i Jennifers språk.
Snarare än att försöka följa vad som händer med den i termer av hennes språk
kommer vi först att översätta den till vårt språk
genom att använda basbytesmatrisen
den vars kolonner representerar hennes basvektorer i vårt språk.
Detta ger oss samma vektor
men nu skriven i vårt språk.
Sedan applicerar vi transformationsmatrisen till vad du får
genom att multiplicera den från vänster.
Detta berättar var vektorn landar
men fortfarande i vårt språk.
Så som ett sista steg,
applicera basbytesmatrisens invers,
multiplicerad från vänster som vanligt,

English: 
How would Jennifer describe this same 90°rotation
of space?
You might be tempted to just
translate the columns of our rotation matrix
into Jennifer's language.
But that's not quite right.
Those columns represent where our basis vectors
i-hat and j-hat go.
But the matrix that Jennifer wants
should represent where her basis vectors land
and it needs to describe those landing spots
in her language.
Here's a common way to think of how this is
done.
Start with any vector written in Jennifer's
language.
Rather than trying to follow what happens
to it in terms of her language
first, we're going to translate it into our
language
using the change of basis matrix
the one whose columns represent her basis
vectors in our language.
This gives us the same vector
but now written in our language.
Then, apply the transformation matrix to what
you get
by multiplying it on the left.
This tells us where that vector lands
but still in our language.
So as a last step
apply the inverse change of basis matrix
multiplied on the left as usual

Korean: 
제니퍼는 같은 90° 변환을 어떻게 표현할 수 있을까요?
당신은 이렇게 말하고 싶을지도 모릅니다.
우리의 회전행렬을 그녀의 언어로 변환하는 것으로써 나타낼 수 있다고 말이죠.
그러나 그것은 옳지 않습니다.
그 행렬의 각각의 열 벡터는 우리의 기저벡터 i hat 과 j hat이 어떻게 가는지를 나타낼 뿐이고,
하지만 제니퍼가 원하는 행렬은
그녀의 기저 벡터가 어디로 가야하는지를 나타내야만 한다.
그리고 그 도착 지점 또한 그녀의 언어로 표시해야만 하죠.
다음은, 어떻게 이것이 실행되는지 가장 일반적인 방법을 설명한다.
제니퍼의 언어로 쓰여진 임의의 벡터로부터 시작한다.
그녀의 언어에서 무엇이 일어나는지 따라가기 보다는
먼저, 우리는 우리의 언어로 번역할 것이다.
기저 행렬의 변환을 사용해서 말이죠.
열 벡터의 요소는 그녀의 기저 벡터가 우리 언어의 무엇을 말하는지 나타냅니다.
이것은 우리에게 같은 벡터를 제공합니다
우리의 언어로 쓰여있는 벡터로 말이죠.
그 다음에 얻어진 변환 행렬을
왼쪽에 곱합니다.
이것은 어디로 벡터가 움직일지를 알려줍니다.
하지만 여전히 우리의 언어이다.
마지막 단계로써
기저 행렬의 역함수를
평범하게 왼쪽에 곱하는 것으로써,

Chinese: 
你可能会尝试只将旋转矩阵的列转化为用詹妮弗的语言描述
但是并不尽然
这些列代表的是i帽和j帽的去向
但是詹妮弗想要的矩阵需要代表她的基向量的去向
并且是用她的语言来描述
这个过程的通常想法是这样的
从詹妮弗的语言描述的任一向量出发
首先，我们不用她的语言描述这一过程
而是用基变换矩阵转化为用我们的语言描述
这个矩阵的列代表的是用我们的语言描述的她的基向量
此时给出的是同样一个向量，不过是用我们的语言来描述的
然后，将所得结果左乘线性变换矩阵
此时给出的是变换后的向量，但仍然是用我们的语言来描述的
所以最后一步
像之前一样将所得结果左乘基变换矩阵的逆

Arabic: 
كيف تصف جينيفر هذا الدوران 90 درجة نفسه
من الفضاء؟
قد يميل إلى مجرد
ترجم أعمدة مصفوفة الدوران الخاصة بنا
في لغة جنيفر.
لكن هذا ليس صحيحًا تمامًا.
تمثل تلك الأعمدة أين متجهنا الأساسي
أنا قبعة وجي هات.
لكن المصفوفة التي تريدها جنيفر
يجب أن تمثل حيث نواقل أساسها الأرض
وتحتاج إلى وصف تلك النقاط الهبوط
في لغتها.
إليك طريقة شائعة للتفكير في كيفية حدوث ذلك
فعله.
تبدأ مع أي ناقلات مكتوبة في جنيفر
لغة.
بدلا من محاولة متابعة ما يحدث
لها من حيث لغتها
أولا ، سنقوم بترجمته إلى موقعنا
لغة
باستخدام تغيير مصفوفة الأساس
الشخص الذي تمثل أعمدته أساسًا
المتجهات في لغتنا.
هذا يعطينا نفس المتجه
لكن الآن مكتوبة بلغتنا.
ثم ، تطبيق مصفوفة التحويل على ما
لقد حصلت
بضربه على اليسار.
هذا يخبرنا أين المتجهات الأراضي
ولكن لا يزال في لغتنا.
كخطوة أخيرة
تطبيق التغيير العكسي لمصفوفة الأساس
مضروبة على اليسار كالمعتاد

Polish: 
Jak Jennifer opisałaby ten sam obrót?
Może cię kusić, aby po prostu
przetłumaczyć kolumny naszej macierzy na język Jennifer.
Ale nie jest dobry pomysł.
Te kolumny pokazują, gdzie wylądują nasze wektory i oraz j.
A Jennifer chce macierz,
która reprezentuje gdzie lądują jej wektory bazowe
i musi opisać te wektory na których lądują w jej języku.
Pokażę popularny sposób myślenia, jak to robić.
Zacznijmy od dowolnego wektora opisanego w języku Jennifer.
Zamiast myśleć co się z nim w stanie w języku Jennifer,
najpierw przechodzimy do naszego języka,
używając macierzy zmiany bazy,
tej, której kolumny reprezentują jej wektory bazowe w naszym języku.
To daje nam ten sam wektor
ale opisany w naszym języku.
Następnie użyj macierzy przekształcenia do wyniku
przez przemnożenie z lewej strony.
To mówi nam gdzie ląduje wektor,
ale nadal w naszym języku.
Zatem ostatnim krokiem jest powrót do języka Jennifer
przez przemnożenie przez odwrotność macierzy zmiany bazy
z lewej strony

Dutch: 
Hoe zou Jennifer deze zelfde 90° rotatie van ruimte beschrijven?
Je zou misschien geneigd zijn om gewoon
de kolommen van onze rotatie matrix te vertalen in Jennifers taal.
maar dat is niet volledig juist.
Deze kolommen representeren waar onze basis vectoren i-hoedje en j-hoedje gaan.
maar de matrix dat Jennifer wil
zou moeten voorstellen waar haar basis vectoren landen
en het moet beschrijven waar deze landingsplaatsen  zijn in haar taal.
Here is een veelvoorkomende manier om te denken over hoe het is gebeurt.
Begin met eender welke vector geschreven in Jennifers taal.
Eerder dan proberen te volgen wat er gebeurt in termen van haar taal
eerst, gaan we het vertalen in onze taal
gebruikende de verandering van basis matrix
de ene wiens kolommen haar basis vectoren representeren in onze taal
Dit geeft ons dezelfde vector,
maar nu geschreven in onze taal.
Dan, pas je de transformatie matrix toe op wat je krijgt
bij het vermenigvuldigen aan de linkerkant;
Dit vertelt ons waar de vector valt
maar nog steeds in onze taal.
Zo als laatste stap
pas de inverse verandering van basis matrix toe
vermenigvuldigt aan de linkerkant, zoals gewoonlijk

Chinese: 
从而得到变换后的向量，然而是用詹妮弗的语言来描述的
因为我们能够对詹妮弗语言描述的任一向量做同样的事
首先应用基变换
然后应用线性变换
最后应用基变换的逆
这三个矩阵的复合给出的就是用詹妮弗语言描述的线性变换矩阵
它接收用詹妮弗语言描述的向量
并输出用詹妮弗语言描述的变换后的向量
对于目前这个特定的例子而言
詹妮弗的基向量用我们的语言来描述，是(2, 1)和(-1, 1)
线性变换是90°旋转
如果你去计算的话，这三个矩阵的乘积的列为(1/3, 5/3)和(-2/3, -1/3)
所以，如果詹妮弗用这个矩阵与她的坐标系中的一个向量相乘
结果就是在她的坐标系中描述的该向量旋转90°的结果

Portuguese: 
para obter o vetor transformado
mas agora, na linguagem de Jennifer.
Uma vez que poderíamos fazer isso
com qualquer vetor escrito em sua língua
primeiro, aplicando a mudança de base,
em seguida, a transformação
e em seguida, a inversa da mudança de base;
essa composição de três matrizes
nos dá a matriz de transformação
na linguagem de Jennifer,
que leva um vetor, escrito na linguagem dela
à versão transformada do vetor, na linguagem dela.
Para este exemplo específico,
quando vetores da base de Jennifer 
são [2,1] e [-1, 1] no nosso idioma,
e quando a transformação é uma rotação de 90°,
o produto destas três matrizes
se você fizer a conta,
tem colunas [1/3, 5/3] e [-2/3, -1/3].
Então, se Jennifer multiplica essa matriz
pelas coordenadas de um vetor em seu sistema,
ele irá retornar a versão rodada de 90°
daquele vetor,
expressa em seu sistema de coordenadas.

Swedish: 
för att få den transformerade vektorn
men nu i Jennifers språk.
Eftersom vi kunde göra detta
med vilken vektor som helst skriven i hennes språk
Applicera först basbytesmatrisen
sedan transformationen
sedan inversen av basbytesmatrisen.
Denna komposition av tre matriser
ger oss transformationsmatrisen i Jennifers språk.
Den tar in en vektor i hennes språk
och spottar ut den transformerade versionen av vektorn i hennes språk.
För detta specifika exempel
när Jennifers basvektorer är [2,1] och [-1,1] i vårt språk
och när transformationen är en 90-gradig rotation
har produkten av dessa tre matrisen
om du arbetar genom det
kolonnerna [1/3,5/3] och [-2/3,-1/3]-
Så om Jennifer multiplicerar den matrisen
med koordinaterna till en vektor i hennes system
kommer den att returnera den 90-gradiga roterande versionen av den vektorn
uttryckt i hennes koordinatsystem.

English: 
to get the transformed vector
but now in Jennifer's language.
Since we could do this
with any vector written in her language
first, applying the change of basis
then, the transformation
then, the inverse change of basis
That composition of three matrices
gives us the transformation matrix in Jennifer's
language.
it takes in a vector of her language
and spits out the transformed version of that
vector in her language
For this specific example
when Jennifer's basis vectors look like [2,
1] and [-1, 1] in our language
and when the transformation is a 90°rotation
the product of these three matrices
if you work through it
has columns [1/3, 5/3] and [-2/3, -1/3]
So if Jennifer multiplies that matrix
by the coordinates of a vector in her system
it will return the 90°rotated version of
that vector
expressed in her coordinate system.

Spanish: 
para obtener el vector transformado
en el idioma de Jennifer
Ya que podemos hacer esto
con cualquier vector en su lenguaje
primero aplicando el cambio de base
después la transformación
y por último la inversa de la matriz de cambio de base
la composición de esas 3 matrices
nos da la matriz transformación en el idioma de Jennifer.
Toma un vector en su idioma
y da por salida la versión transformada de ese vector en su idioma
Para este ejemplo especifico
en el que la base de Jennifer tiene la forma [2,1] y [-1,1]  en nuestro idioma
y la transformación es un giro de 90 grados
el producto de estas 3 matrices
si lo calculas
tiene esta forma
Así que si Jennifer multiplica dicha matriz
por las coordenadas de cualquier vector en su sistema
Obtiene la versión girada 90 grados de dicho vector
expresado en su sistema de coordenadas.

French: 
pour obtenir le vecteur transformé
mais maintenant dans la langue de Jennifer.
Puisque nous pourrions le faire
avec n'importe quel vecteur écrit dans sa langue
d'abord, en appliquant le changement de base
puis, la transformation
puis, le changement inverse de base
Cette composition de trois matrices
nous donne la matrice de transformation dans la langue de Jennifer.
Elle prend en entrée un vecteur dans la langue de Jennifer
et ressort la version transformée de ce vecteur dans sa langue
Pour cet exemple spécifique
quand les vecteurs de base de Jennifer sont [2, 1] et [-1, 1] dans notre langue
et quand la transformation est une rotation de 90°
le produit de ces trois matrices
si vous l'effectuez
a les colonnes [1/3, 5/3] et [-2/3, -1/3]
Donc, si Jennifer multiplie cette matrice
par les coordonnées d'un vecteur dans son système
il retournera la version pivotée de 90° de ce vecteur
exprimé dans son système de coordonnées.

Arabic: 
للحصول على ناقل متحول
لكن الآن في لغة جنيفر.
بما أننا يمكن أن نفعل هذا
مع أي متجه مكتوب بلغتها
أولا ، تطبيق تغيير الأساس
ثم التحول
ثم ، وتغير معكوس من الأساس
هذا التكوين من ثلاث المصفوفات
يعطينا مصفوفة التحويل في جنيفر
لغة.
يأخذ في متجه من لغتها
وتبصق النسخة المحولة لذلك
متجه بلغتها
لهذا المثال بالتحديد
عندما تبدو متجهات جينيفر الأساسية مثل [2 ،
1] و [-1 ، 1] بلغتنا
وعندما يكون التحول دوران 90 درجة
نتاج هذه المصفوفات الثلاثة
إذا كنت تعمل من خلال ذلك
يحتوي على أعمدة [1/3 ، 5/3] و [-2 / 3 ، -1/3]
لذلك إذا ضربت جنيفر تلك المصفوفة
من إحداثيات ناقل في نظامها
فإنه يعود 90 درجة استدارة من
هذا المتجه
أعرب في نظام الإحداثيات الخاص بها.

German: 
um den transformierten Vektor zu bekommen,
aber nun in Jennifers Sprache.
Da wir dies
mit jedem Vektor, geschrieben in ihrer Sprache, tun können
Als erstes, füg die Basiswechselmatrix hinzu
dann die Transformation
dann die Inverse des Basiswechsels
Die Komposition dieser drei Matrizen
gibt uns die Transformationsmatrix in Jennifers Sprache.
Sie nimmt einen Vektor in ihrer Sprache,
und gibt uns die transformierte Version des Vektors in ihrer Sprache
In diesem expliziten Beispiel
Wen Jennifers Basisvektoren aussehen wie  [2, 1] und [-1, 1] in unserer Sprache
und die Transformation eine 90° Rotation ist,
dann ist das Produkt dieser drei Matrizen
wenn du dich durcharbeitest,
die Matrix mit den Spalten  [1/3, 5/3] and [-2/3, -1/3].
Wenn also Jennifer die Matrix multipliziert
mit den Koordinaten eines Vektors in ihrem System
wird dies eine um 90° gedrehte Version dieses Vektors ausgeben,
ausgedrückt in ihrem Koordinaten System.

Dutch: 
om de getransformeerde vector te krijgen
maar nu in Jennifers taal.
Sinds we dit kunnen doen
met eender elke vector geschreven in haar taal
eerst, de verandering van basis toe passende
dan de transformatie
dan de inverse verandering van basis
die samenstelling van drie matrices
geeft ons de transformatie matrix in Jennifers taal
het neemt in een vector van haar taal
en spuugt de getransformeerde versie van die vector uit in onze taal
voor dit specifiek voorbeeld
wanneer Jennifers basis vectoren eruit zien als [2, 1] en [-1, 1]
en wanneer de transformatie een 90° rotatie is
het product van deze drie matrices
als je het uitwerkt
heeft kolommen  [1/3, 5/3] en [-2/3, -1/3]
Zo als Jennifer die matrix vermenigvuldigt
met de coördinaten als een vector in haar systeem
zal het de 90° geroteerde versie van die vector terug keren
uitgesproken in haar coördinaten systeem.

Polish: 
aby otrzymać przekształcony wektor
już w języku Jennifer.
Skoro możemy to zrobić
z dowolnym wektorem napisanym w jej języku
najpierw zmieniając bazę,
potem obracając,
i znowu wracając do starej bazy,
to złożenie trzech macierzy
daje nam macierz przekształcenia w języku Jennifer.
Bierze ono wektor w jej języku
i wypluwa jego obrót, też w jej języku.
w tym przykładzie
jeśli wektory z bazy Jennifer to [2,1] i [-1,1] w naszym języku
i rotacja jest o 90 stopni
to iloczyn tych trzech macierzy
jeżeli to obliczyć
ma kolumny [1/3, 5/3] i [-2/3, -1/3]
zatem jeżeli Jennifer przemnoży tę macierz
przez współrzędne wektora w jej układzie
to dostanie wersję przekręconą o 90 stopni
wyrażoną w jej układzie współrzędnych.

Korean: 
변환 된 벡터를 얻을 수 있습니다
제니퍼의 언어로 말이죠.
우리는이 작업을 수행 할 수 있습니다.
그녀의 언어로 작성된 모든 벡터에 대해서요.
먼저, 기저의 변환을 적용하고
그리고, 선형 변환 후,
그리고, 기저 벡터의 역변환을 통해서 말이죠.
세 행렬의 구성은
우리에게 제니퍼의 변환 행렬을 제니퍼의 언어로 제공합니다
이것은 그녀의 언어로 쓰인 벡터에 작용해서
변환 후, 그녀의 언어로 이루어진 벡터를 뱉습니다.
이 구체적인 예를 들어
우리의 언어에서 [2, 1]s 및 [-1, 1]s인 제니퍼의 기저 벡터가
90 ° 회전 될 때
이 세 가지 행렬의 곱으로써 나타내어지고
당신은 그것을 통해 계산할 경우
열이 [1/3, 5/3] 및 [-2/3, -1/3]가 됩니다.
그래서 제니퍼가 그 행렬을
그녀의 좌표계에 있는 벡터에 곱할 때
그것의 90 ° 회전 된 버전을 반환합니다.
그녀의 좌표계로 표현되면서 말이죠.

Czech: 
Tím dostaneme transformovaný vektor
v Žanetině jazyce.
Tohle můžeme provést
s jakýmkoli vektorem zapsaným v jejím jazyce.
Napřed přejít k naší bázi,
pak provést transformaci
a pak přejít zpátky k její bázi.
Toto složení tří matic
nám dává matici dané transformace v Žanetině jazyce.
Bere vektor v jejím jazyce
a vyplivne transformovaný vektor, opět v jejím jazyce.
V tomhle konkrétním případě,
když je Žanetina báze v našem jazyce (2, 1) a (-1, 1)
a transformace odpovídá rotaci o 90 stupňů,
součin těchto tří matic
bude mít po vyčíslení
sloupečky (1/3, 5/3) a (-2/3, -1/3).
Takže když Žaneta touto maticí vynásobí
souřadnice vektoru ve svém systému,
dostane ten samý vektor otočený o 90 stupňů,
stále ve svém systémů.

English: 
In general, whenever you see an expression
like A^(-1) M A
it suggests a mathematical sort of empathy.
That middle matrix represents a transformation
of some kind, as you see it
and the outer two matrices represent the empathy,
the shift in perspective
and the full matrix product represents that
same transformation
but as someone else sees it.
For those of you wondering why we care about
alternate coordinate systems
the next video on eigen vectors and eigen
values
will give a really important example of this.
See you then!

Arabic: 
بشكل عام ، عندما ترى تعبيرًا
مثل A ^ (- 1) MA
يقترح نوعا رياضيا من التعاطف.
تمثل تلك المصفوفة الوسطى تحولًا
من نوع ما ، كما ترونه
والمصفوفات الخارجية تمثل التعاطف ،
التحول في المنظور
ومنتج المصفوفة الكامل يمثل ذلك
نفس التحول
ولكن كما يراه شخص آخر.
لأولئك من أنت تتساءل لماذا نهتم
أنظمة إحداثيات بديلة
الفيديو التالي على ناقلات eigen و eigen
القيم
سوف يعطي مثالا هاما حقا من هذا.
اراك لاحقا!

Spanish: 
En general, siempre que veas una expresión de la forma A^(-1) M A
sugiere cierta conexión matemática.
La matriz del medio representa una transformación de cierto tipo, de la forma en que tú la ves
y las otras dos matrices exteriores representan la conexión, el cambio de perspectiva,
y la matriz producto completa representa la misma transfomación
pero como otra persona lo ve.
Para aquellos que se preguntan por que nos preocupamos por sistemas de coordinadas alternativos
el siguiente vídeo sobre valores y vectores propios
os dará un ejemplo importante.
Nos vemos allí

Polish: 
w ogólności, kiedykolwiek widzisz wyrażenie typu A^(-1) M A
to sugeruje to pewną matematyczną "zmianę perspektywy"
macierz środkowa to pewne przekształcenie tak, jak my je widzimy,
a dwie zewnętrzne mówią o pewnej empatii - zmianie perspektywy,
a wszystkie trzy mówią o tym samym przekształceniu,
tylko z cudzej perspektywy.
Dla tych którzy zastanawiają się, po co nam inne układy współrzędnych -
następny film o wektorach własnych i wartościach własnych
da nam bardzo ważny tego przykład.
Do zobaczenia!

Chinese: 
总的来说，每当你看到这样一个表达式：A逆乘以M乘以A
这就暗示着一种数学上的转移作用
中间的矩阵代表一种你所见的变换
而外侧两个矩阵代表着转移作用，也就是视角上的转化
矩阵乘积仍然代表着同一个变换，只不过是从其他人的角度来看的
对那些想知道为什么关注坐标系变换的人来说
下期关于特征值和特征向量的视频会给出一个非常重要的实例
到时候再见！
（下期视频：特征向量与特征值）

Korean: 
일반적으로, 당신이 A^(-1)MA와 같은 표현을 볼 때 마다
방금까지와 같은 수학적인 느낌을 떠올리기 바란다.
중간의 행렬 M 은 선형 변환을 나타내고,
그리고 바깥쪽 행렬 A와 A^(-1)은 관점의 변환을 나타낸다.
그리고 총 행렬의 곱은 같은 변환을 나태지만,
다만 기저가 다를 뿐이다.
좌표계의 변환을 왜 해야하는지 궁금증을 갖는 당신을 위해,
고유 벡터와 고유 값을 다룬 다음 비디오가
정말 중요한 예제를 제공 할 것입니다.
그때 만나!

Swedish: 
Generellt sett, när du ser ett uttryck som A^(-1) M A
implicerar det en viss matematisk empati.
Mittenmatrisen representerar någon typ av transformation, som du ser den
och de två yttre matriserna representerar empatin, skiftet av perspektiv
och hela matrisen representerar samma transformation
men som någon annan ser den.
För alla er som undrar varför vi bryr oss om alternativa koordinatsystem,
kommer nästa video om egenvektorer och egenvärden
ge ett riktigt viktigt exempel på detta.
Vi ses då!

Czech: 
Když obecně narazíte na výraz tvaru A^(-1) M A,
naznačuje to jistý matematický druh empatie.
Prostřední matice reprezentuje nějaký druh transformace z našeho pohledu,
a vnější dvě matice reprezentují empatii -- změnu perspektivy,
takže celkový součin reprezentuje tu samou transformaci,
ale z pohledu někoho jiného.
Jestli vás zajímá, proč nám tak záleží na alternativních souřadnicových systémech,
tak následující video o vlastních číslech a vlastních vektorech
podává velice důležitý příklad takové situace.
Nashle příště!

Dutch: 
Hoofdzakelijk, wanneer je een uitdrukking zie zoals   A^(-1) M A
stelt het een wiskundige manier van empathie voor.
De middelste matrix stelt een soort transformatie voor, zoals je ziet
en de twee buitenste matrices stellen de empathie voor, de shift in perspectief
en het volledig matrix product stelt dezelfde transformatie voor
maar zoals iemand ander het ziet.
Voor deze van jullie die zicht afvraagt waarom we geven om alternatieve coördinaten systemen
de volgende video over eigen vectoren en eigenwaarden
zal je een zeer belangrijk voorbeeld geven van dit.
Zie jullie dan!

French: 
En général, chaque fois que vous voyez une expression
comme A^(-1) M A
cela suggère une sorte d'empathie mathématique.
Cette matrice du milieu représente une certaine transformation, comme vous la voyez
et les deux matrices externes représentent l'empathie,
le changement de perspective
et le produit matriciel complet représente cette même transformation
mais comme quelqu'un d'autre le voit.
Pour ceux d'entre vous qui se demandent pourquoi nous nous soucions de systèmes de coordonnées alternatifs
la prochaine vidéo sur les vecteurs propres et valeurs propres
donnera un exemple vraiment important de cela.
À la prochaine !

German: 
Im Allgemeinen, immer wenn du einen Ausdruck siehst, wie A^(-1) M A
bedeutet dies eine mathematische Art der Einfühlung.
Die mittlere Matrix repräsentiert in bestimmter Art und Weise eine Transformation, wie du sie siehst
und die äußeren beiden repräsentieren die Einfühlung, den Sichtwechsel
und die die gesamte Matrix repräsentiert die selbe Transformation,
aber wie sie jemand anderes sieht.
Für die, die sich Gedanken machen, wieso wir uns für alternative Koordinatensysteme interessieren,
das nächste Video über EIgenvektoren und Eigenwerte,
wird ein sehr wichtiges Beispiel dafür zeigen.
Auf Wiedersehen!

Portuguese: 
Em geral, sempre que você vê uma expressão
como A ^ (- 1) MA
ele sugere uma espécie matemática de "empatia".
Essa matriz do meio representa uma transformação
de algum tipo, como você a vê,
e as duas matrizes exteriores representam a empatia,
a mudança de perspectiva
e o produto matricial completo representa aquela mesma transformação,
mas como alguém a vê.
Para aqueles de vocês perguntando por que nos preocupamos com alternar sistemas de coordenadas
o próximo vídeo sobre autovalores e autovetores
vai dar um exemplo muito importante disto.
Vejo vocês lá!
