1 − 2 + 3 − 4 + ...
La sèrie també ha estat estudiada per valors no enters de n: aquestes produeixen la funció eta de Dirichlet. Una part de la motivació d'Eular per estudiar sèries relacionades amb 1 − 2 + 3 − 4 + ... era l'equació funcional de la funció eta, la qual porta directament a l'equació funcional de la funció zeta de Riemann. Euler ja havia esdevingut famós per haver trobat els valors d'aquestes funcions per enters parells positius (incloent-hi el problema de Basilea) i va intentar trobar els valors per enters senars positius (incloent-hi la constant d'Apéry): aquest darrer problema encara roman sense resoldre avui en dia. Amb la funció eta, en particular, és més fàcil treballar-hi amb els mètodes d'Euler perquè la seva sèrie de Dirichlet és sumable per Abel en la seva totalitat; la sèrie de la funció zeta de Dirichlet és molt més complicada de sumar on divergeix. Per exemple, l'homòleg de 1 − 2 + 3 − 4 + ... en la funció zeta és la sèrie no-alternant 1 + 2 + 3 + 4 + ..., que té importants aplicacions en física moderna i requereix mètodes més sofisticats per fer la suma.
Per quins valors també ha estat estudiada la sèrie?
no enters de n