Teorema de la suma de dos quadrats
Lagrange fa servir un camí menys afectat d'aquesta feblesa. Considera l'expressió x2 + y2 com la forma quadràtica associada al producte escalar canònic. Aquest enfocament amplia considerablement la llista de les eines disponibles, les de l'àlgebra lineal resten ara disponibles. La situació no és, no obstant això, la que es troba amb més freqüència. El producte escalar no està definit sobre un espai vectorial sinó sobre el mòdul ℤ2. Un mòdul és una estructura comparable a la d'espai vectorial, amb la diferència que el conjunt dels escalars ja no és un cos. Per als mòduls d'aquesta naturalesa, certs resultats continuen sent vertaders, com per exemple l'existència d'una base el que ofereix una expressió algebraica senzilla.
Què amplia l'enfocament de Lagrange?
la llista de les eines disponibles