Abbas is to hold talks with Hamas soon on the new government
Many gathered outside the parliament in Gaza City, setting fire to government cars and firing shots into the air.
The BBC's Jim Muir in Gaza says they blame the leadership's corruption and inefficiency for Fatah's election defeat to Islamic militants Hamas.
Hamas swept to victory with 76 of the 132 seats in Wednesday's elections.
Mr Abbas said he would ask Hamas to form a new government and Hamas said it would enter talks with Fatah soon to try to forge "unity and partnership".
The comments came as Hamas was facing increasing international pressure to renounce violence against Israel and possibility that foreign donors may withhold millions of dollars in aid to the Palestinians.
Appeal for calm
Protesters outside the legislature in Gaza and thousands more in the refugee camp of Nusayrat called for the entire Fatah leadership to go.
Israelis react to Hamas' victory in Palestinian elections
In pictures
One protester toured the area in a van, telling fellow demonstrators through a loudspeaker: "Fatah lost because of the central committee so we call for them to resign."
The protests against Mr Abbas included those from militant Fatah offshoots like the al-Aqsa Martyrs Brigade.
One militant told AFP news agency: "We call for [Abbas'] resignation from Fatah's revolutionary council and central committee. We want him and his entire team out."
Senior Fatah leader, Mohammad Dahlan, assured the crowd that would not happen, appealing for calm.
There was also violence between Fatah and Hamas supporters in the southern Gaza town of Khan Younis. Several people were injured.
Donors
The unrest came as senior Hamas leader Ismail Haniya said Mr Abbas had agreed to meet shortly to start consultations on "a political partnership" and the make-up of the next administration.
Mr Haniya on Friday made his first big speech since the election victory near Gaza City's waterfront.
He told a packed mosque: "When we are calling for unity and partnership it is not because we are afraid or weak or incapable of facing the challenges ahead, but because we believe in unity."
The BBC's Alan Johnston at the mosque in Gaza says an alliance may be necessary for, if Hamas were to try to govern alone, interaction with the outside world might be extremely difficult.
As it is, he says, some Palestinians are concerned that crucial international financial support may be cut back.
On Friday, the European Commission, which offered 280 million euros ($342m) to the Palestinian people last year, admitted it was in a dilemma about funding.
Israel has ruled out any talks with Hamas, which it calls "an armed terror organisation that calls for Israel's destruction".
The US, UN, EU and Russia on Thursday urged Hamas to renounce violence and accept Israel's right to exist.
The four powers working for peace in the Middle East will hold talks in London on Monday.
Some of the protesters were from militant offshoots of Fatah
Les '''tensions interpalestiniennes''' se sont multipliées depuis la participation de plus en plus importante du Hamas dans la vie politique palestinienne.

Avant les élections législatives palestiniennes de janvier 2006, la tension montait progressivement entre le Fatah, qui constitue le gouvernement de l'Autorité palestinienne depuis la création de celle-ci, et le mouvement islamiste Hamas. Le Hamas accusait alors le Fatah de corruption tandis que le Fatah dénonçait la ligne dure du Hamas et son manque de volonté de parvenir à la paix.

Avant les élections, certains craignaient que ces tensions donnent lieu à des affrontements plus violents, particulièrement lorsque le Fatah a menacé d'annuler le scrutin au cas où Israël empêchait les Palestiniens de Jérusalem-Est de voter. Ces affrontements n'ont pas eu lieu et le calme relatif a même suggéré qu'un gouvernement d'union nationale pourrait se former entre les deux mouvements.

Après la victoire du Hamas aux élections municipales de décembre 2005 en Cisjordanie puis aux élections législatives de 2006, des membres du Fatah s'emparèrent du parlement palestinien à Gaza et installèrent des barrages dans plusieurs endroits contrôlés par l'Autorité palestinienne. Des tirs en l'air furent entendus et des pneus ont été brulés en signe de protestation. Certains réclamèrent même la démission du dirigeant du Fatah, Mahmoud Abbas.

La situation d'isolement des territoires palestiniens s'est aggravée à partir de la victoire du Hamas, notamment avec le gel des aides financières des pays occidentaux puis après l'enlèvement du soldat israélien Gilad Shalit qui a amené plusieurs opérations militaires israéliennes contre la Bande de Gaza pour obtenir la libération du soldat et l'arrêt des tirs de roquettes sur les villes israéliennes depuis le nord de ce territoire.

De février à novembre 2006, plusieurs affrontements armés ont été recensés entre les partisans des deux mouvements. Toutefois, les périodes de tension succédaient à des moments de calme qui aboutirent en novembre à des discussions entre les deux mouvements pour constituer un gouvernement d'union nationale. Mahmoud Abbas exigeaient notamment du Hamas qu'il reconnaisse les accords déjà négociés avec Israël, tandis que les dirigeants islamistes refusaient tout ce qui pourraient être interprété comme une reconnaissance implicite de l'État d'Israël.

Devant les échecs répétés de parvenir à un accord, Mahmoud Abbas a appelé à une dissolution du gouvernement en place et à des élections législatives anticipées. Le Hamas a interprété cet appel du Président palestinien comme une volonté de retirer au mouvement islamiste le pouvoir qui lui a été attribué à la suite des élections gagnées en janvier 2006.

Les partisans des élections anticipées estiment que cela aiderait à stabiliser le pouvoir palestinien, l'économie et remettre à l'ordre du jour le processus de paix avec Israël. le Premier ministre israélien Ehoud Olmert et des dirigeants de puissances occidentales ont salué favorablement l'annonce de Abbas. Les opposants à cette démarche estiment qu'il s'agit d'un coup d'État du Fatah pour reprendre le pouvoir et destabiliser le Hamas élu démocratiquement. Enfin, des craintes d'une guerre civile palestinienne sont exprimées dans les deux camps.