Аксиома
Аксио́ма (Ancient Greek: ἀξίωμα «утверждение, положение») или постула́т — исходное положение какой-либо теории, принимаемое в рамках данной теории истинным без требования доказательства и используемое при доказательстве других её положений, которые, в свою очередь, называются теоремами[1].
Аксиома детерминированности
Многие следствия конкурирующих аксиом в теории множеств и топологии противоположны друг другу. С помощью аксиомы выбора доказано, что существуют множества вещественных чисел, неизмеримые по Лебегу; из аксиомы детерминированности следует, что таких множеств не существует — все множества вещественных чисел измеримы. По-разному решается проблема континуума (существование промежуточных мощностей между счётной и континуальной) — аксиоматика Цермело — Френкеля допускает любой из двух вариантов решения этой проблемы (то есть, она не может быть ни доказана, ни опровергнута), в то время как из аксиомы детерминированности выводится однозначное решение: любое бесконечное несчётное множество вещественных чисел континуально. Имеются и многочисленные иные отличия: вполне упорядочить аксиома детерминированности разрешает не любые, а лишь только конечные и счётные множества, лишается основания нестандартный анализ. Упомянутая выше дескриптивная теория множеств особенно плохо согласуется с аксиомой выбора — многие выдвинутые в этой теории гипотезы, подобно континуум-гипотезе, оказались неразрешимы, в то время как аксиома детерминированности позволяет эти гипотезы строго доказать; это объясняет большой интерес к данной аксиоме математиков, исследующих дескриптивную теорию множеств.