Аксиома
Аксио́ма (Ancient Greek: ἀξίωμα «утверждение, положение») или постула́т — исходное положение какой-либо теории, принимаемое в рамках данной теории истинным без требования доказательства и используемое при доказательстве других её положений, которые, в свою очередь, называются теоремами[1].
Аксиома Архимеда
В качестве примера (вернее, контрпримера) упорядоченного поля, для которого не выполнена аксиома Архимеда, рассмотрим совокупность рациональных функций с действительными коэффициентами, то есть функций вида
formula_43
Относительно обычных операций сложения и умножения эта совокупность образует поле. Введём отношение порядка на совокупности рациональных функций следующим образом. Пусть formula_44 и formula_45 — две рациональные функции. Мы скажем, что formula_46 тогда и только тогда, когда в некоторой окрестности formula_47 разность formula_48 имеет строго положительный знак. Это условие можно сформулировать и в терминах коэффициентов рациональных функций formula_44 и formula_45. Запишем разность formula_48 в виде многочлен + правильная рациональная дробь:
formula_52
где последнее слагаемое в правой части — правильная рациональная дробь, то есть степень числителя меньше степени знаменателя: formula_53. Будем также считать, что старший коэффициент знаменателя formula_54 равен formula_55. Тогда formula_46 тогда и только тогда, когда либо formula_57, либо полиномиальная часть отсутствует и formula_58. Несложно проверить корректность этого определения порядка (следует проверить как то, что введённое отношение действительно является отношением порядка, и то, что это отношение согласовано с операциями поля).