Аксиома
Аксио́ма (Ancient Greek: ἀξίωμα «утверждение, положение») или постула́т — исходное положение какой-либо теории, принимаемое в рамках данной теории истинным без требования доказательства и используемое при доказательстве других её положений, которые, в свою очередь, называются теоремами[1].
Основания математики
Авторы последовательно выводят из аксиом основное содержание математической логики, затем переходят к классам (множествам). Задав некоторое свойство с помощью пропозициональной функции, можно определить конкретное множество (носителей этого свойства). В отношении множеств аксиоматика Рассела и Уайтхеда включает в себя аксиому выбора и аксиому бесконечности (последняя обеспечивает существование бесконечных множеств). Во избежание парадоксов авторы сразу запрещают множества, содержащие самих себя, с помощью специально построенной ими «теории типов». Множества и высказывания строго разделяются по уровню их типов, произвольное смешение типов невозможно. Такая организация исключает все известные парадоксы, однако значительно усложняет формулировки, поскольку, например, натуральные и вещественные числа имеют разные типы. Для решения этой проблемы Рассел и Уайтхед ввели особую (иначе, аксиому редукции), позволяющую понижать тип функций одного или двух переменных и тем самым ставить объекты на сопоставимый уровень.