Аксиома
Аксио́ма (Ancient Greek: ἀξίωμα «утверждение, положение») или постула́т — исходное положение какой-либо теории, принимаемое в рамках данной теории истинным без требования доказательства и используемое при доказательстве других её положений, которые, в свою очередь, называются теоремами[1].
Аксиоматика Тарского (вещественные числа)
Последняя аксиома наглядно означает, что если все элементы множества X расположены на числовой оси левее, чем все элементы множества Y, то существует хотя бы одно вещественное число между этими множествами. Именно эта аксиома, содержащая два квантора по подмножествам, заставляет отнести аксиоматику Тарского не к первому, а ко второму порядку логики. Использование аксиомы непрерывности позволяет (после определения умножения) ввести сначала рациональные числа, а затем — произвольные вещественные как дедекиндовы сечения.
Тарский доказал, что все аксиомы, кроме первой, независимы (первая может быть выведена из прочих). Из аксиом можно вывести, что R представляет собой абелеву делимую группу относительно сложения с положительным выделенным элементом 1. Существование умножения, деления и обычные их свойства также доказываются. R при этом полно в смысле Дедекинда.