Аксиома
Аксио́ма (Ancient Greek: ἀξίωμα «утверждение, положение») или постула́т — исходное положение какой-либо теории, принимаемое в рамках данной теории истинным без требования доказательства и используемое при доказательстве других её положений, которые, в свою очередь, называются теоремами[1].
Теорема существования
Теорема существования — утверждение, которое устанавливает, при каких условиях существует решение математической задачи или математический объект, например производная, неопределенный интеграл, определенный интеграл, решение уравнения и т. д. При доказательстве теорем существования используются сведения из теории множеств. Теоремы существования играют очень важную роль в различных приложениях математики, например при математическом моделировании различных явлений и процессов. Математическая модель не адекватна конкретному описываемому явлению, из существования решения реальной задачи не следует существование соответствующей математической задачи. Доказательство теорем существования необходимо перед решением различных математических задач, вроде вычисления интеграла или интегрирования дифференциального уравнения. Теоремы существования позволяют определить, существует ли вычисляемый интеграл и сколько решений имеет дифференциальное уравнение. Если удается доказать теорему существования, единственность решения и корректность самой постановки задачи, то это означает очень важный первый шаг в решении задачи.Для теорем существования часто рассматривается вопрос об их конструктивности или эффективности построений объекта, существование которого доказывается. Теорема, в которой объект строится явно, считается более содержательной, чем так называемая теорема, утверждающая существование какого-либо объекта, но совсем не говорящая о том, каким образом его построить. Теоремы первого типа называются конструктивными теоремами существования, теоремы второго типа — теоремами чистого существования. Конструктивные теоремы существования обычно доказываются сложнее, чем соответствующие теоремы чистого существования, либо их на некотором этапе развития математики может просто не быть.