반증이 불가능한 명제가 있는가?
칼 포퍼
포퍼의 반증주의는 귀납주의의 한계를 극복하였지만 반증사례를 무시하고 연구하여 성공한 해왕성 발견의 사례,[12] 등은 반증주의의 한계를 느끼게 만들었다. 다른 반증주의의 한계 사례 중엔 '동전의 앞면이 나올 확률은 절반이다.'와 같은 문장이 있다. 이는 수학적으로는 옳은 문장이지만, 반증하기는 불가능하다. 그럼에도 불구하고 과학적인 진술로써 사용된다. 또다른 사례로는 만유인력 법칙이 있다. 이것은 현재로써는 반증이 불가능하지만, 과학적인 사실로 받아들여지고 있다.[13]
반실재론
과학철학에서는 반실재론은 주로 전자와 같은 「관측불가능한」 실체의 비실재성에 관한 주장에 적용되고 있다. 그들의 실체는 인간의 일반적 감각기관으로는 검지할 수 없음에도, 대부분의 사람들은 그것들이 실재한다고 주장한다. 아가사(阿迦舍)에는 이러한 반실재론과 실재론을 비교한 간결한 의론이 있다. 이언 해킹 역시 이와 같이 정의하고 있다. 과학철학에서 반실재론자의 입장은 때때로 도구주의, 즉 관측불가능한 (또는 간접적으로만 관측가능한) 실체의 존재에 대하여 단순히 기능주의적인 관점을 취하는 입장이라고 생각된다. 기능주의적인 관점을 취하면, X는 이론Y 내부에서 작용하는 범이에서만 존재하며, 그 범위를 넘어 무언가 존재론적인 주장을 해서는 안된다.
환원 불가능한 복잡성
환원 불가능한 복잡성 개념이 입증하려고 하는 지적 설계설과 마찬가지로, 이 개념 자체 역시 전혀 과학적 근거가 없고, 제시한 모델들 중 단 하나도 실제 환원 불가능한 복잡성을 가진 생명체는 없기에, 당연하게도 과학계에서는 받아들여지지 않는다. 또한 지적설계를 주장하는 사람들은 전혀 연구활동을 하지도 않는 등, 신뢰할 수 없는 모습을 보여주기도 했다.
명제
명제(命題)는 논리학적으로 뜻이 분명한 문장을 말한다. 즉, 어떤 말을 딱 본 순간 '참' 혹은 '거짓'을 대번에 알 수 있는 말을 말한다. 명제는 거의 대부분의 인간들이 즉각, 맞다 틀리다 말할 수 있는 조건이지만, 현대 사회에서 거의 진리로 인정받고 있는 특정 가치관이 명제의 판별에 혼동을 주는 경우가 무시할 수 없이 많다는 것이다.
상관은 인과를 나타내지 않는다
직관적으로, 인과관계에는 상관관계 뿐만이 아니라 반사실적 의존관계 (dependencies) (counterfactual dependence)도 필요라고 생각된다. 예를 들면, 어느 학생의 테스트의 성적이 나쁘고, 그 원인이 공부하지 않았기 때문이라고 하자. 이것을 증명하려면 , 반사실 (counterfactual)로서 같은 학생이 같은 환경에서 같은 테스트를 받지만, 공부는 확실히 해 왔을 경우를 상정한다. 시간을 되돌릴 수 있으면, 이것 (그 학생에게 공부시키는 것)을 실제로 시험할 수 있어 원의 버전과 다시 한 버전을 비교하는 것으로 인과관계를 관측할 수 있다. 실제로는 시간을 되감기할 수 없기 때문에, 인과관계는 정확하게 알지 못하고, 추측할 수 밖에 할 수 없다. 이것을 '인과적 추론의 근본 문제 (Fundamental Problem of Causal Inference)'라고 부른다.
치환 실례
명제 논리에서, 명제 형식 formula_1의, 원자 명제 formula_2 및 명제 형식 formula_3에 대한 치환 실례 formula_4는 formula_1 속의 각 formula_6에 formula_7를 넣어 얻는 명제이다. 즉, 다음과 같이 재귀적으로 정의된다.
권위에 의한 논증
권위에 의한 논증 (Appeal from authority, authoritative argument, appeal to authority)는 명제가 참인 것을 입증하기 위해서, 권위에 의해서 증명하는 귀납적 추론의 하나이다. 통계를 이용한 통계적 삼단논법의 형태를 취하는 것이 많다. 권위가 그 주제에 관해서는 전문은 아니거나, 전문가의 사이에서도 그 주제에 관해서 의견이 일치하고 있지 않는 경우가 있어, 권위에 의한 논증은 때때로 오류가 된다.
반증주의
"귀납 원리가 x의 경우에 성공적으로 작용했다.", "귀납 원리는 x의 경우에도 성공적으로 작용했다.", "귀납 원리는 x의 경우에도 성공적으로 작용했다." 이러한 것들을 종합하여 '귀납 원리는 항상 작용한다'는 일반 언명을 얻는다. 하지만 이 논증 자체도 귀납 논증이며, 귀납에 호소하여 귀납을 정당화하는 불만족스러운 논증이다.
증거
피고는 부인 말고도 항변을 할 수 있다. 피고의 항변은 본증이므로 법관이 확신을 갖도록 해야 하며, 원고는 이에 대해 부인을 할 수 있다. 부인은 반증으로서 법관의 확신이 흔들리게 하면 된다. 피고가 항변하고 원고가 부인하는 경우, 양자의 주장이 모두 일리가 있거나 없어서 진위불명이 된 경우, 입증책임은 피고에게 있으므로 피고가 패소한다.
술어 논리
명제논리에서는 명제가 최소 단위이므로 명제의 내부구조에 대한 분석은 이루어질 수 없다. 예를 들어 다음과 같은 두 명제논리
는 완전히 별개의 사실이며, 이것으로부터 '소크라테스'와 '플라톤'이 모두 사람이라는 유사점을 발견할 수 없다. 즉, 명제논리는 지식표현을 일반화할 수 없다. 따라서
라는 명제를 추가할 때, 이 세 명제로부터 소크라테스와 플라톤은 죽는다는 사실을 유도해 낼 수 없게 되는 것이다.
계산 트리 논리
어떤 실행가능한 경로가 있어, 이에 대해 언젠가는 x < n이 성립한다. 즉 x < n을 만족할 가능성이 존재한다.위의 식의 부정의 의미, 즉 x < n 을 만족할 가능성이 없다.
구획문제
포퍼는 후기 연구에서 반증 가능성이야말로 구획의 필요충분조건이라고 말했다. 이에 따라 어떤 언명의 과학적 또는 비과학적 여부는 시간이 지나도 변하지 않는다고 주장했다. 포퍼의 주장을 요약하면, 어떤 언명이 “논리적으로 관찰 가능한 사건을 논리적으로 설명하는 다른 어떤 (경험적) 언명과 논리적으로 모순된다면, 그리고 모순되어야만” 반증이 가능하다.
입증책임
피고는 부인 말고도 항변을 할 수 있다. 피고의 항변은 본증이므로 법관이 확신을 갖도록 해야 하며, 원고는 이에 대해 부인을 할 수 있다. 부인은 반증으로서 법관의 확신이 흔들리게 하면 된다. 피고가 항변하고 원고가 부인하는 경우, 양자의 주장이 모두 일리가 있거나 없어서 진위불명이 된 경우, 입증책임은 피고에게 있으므로 피고가 패소한다.
뒤엠-콰인 명제
피에르 뒤엠은 물리학 이론을 연구하는 가운데, 물리학적 관찰은 실험 장치에 대한 이론 등 다양한 보조가설이 필요하기 때문에 물리학 이론만으로 어떤 관찰 예측이 도출될 수 없고, 따라서 그러한 이론은 그 자체로 반증되지 않는다고 했다. 겉보기에 반증된 것처럼 보이는 가설도 보조가설의 아드혹으로 땜빵할 수 있고, 그렇기에 반증은 없다는 것이 뒤엠의 테제이다.
반증주의
반증주의의 예로, '모든 백조는 하얗다'는 가설이 기존의 과학적 방법들에서는 모든 백조를 관찰하고 조사하거나 일정한 수의 백조를 조사한 후 다른 백조들도 흴 것이라고 일반화시켜 과학적 사실로 만들려고 한다. 그러나 이는 현실적으로 불가능하거나 논리적인 비약이 있다. 반면에 반증주의에서는 직접적으로 증명하지 않고 반증 시도를 통해 가설이 설득력을 획득하거나 더 우수한 가설로 대체한다. 즉, 특정 백조의 집단에서 검은 백조를 찾아낸다면 본래의 가설은 '모든 백조가 하얗지는 않다'라는 가설로 대체되고 만약 찾아내지 못한다면 '모든 백조는 하얗다' 라는 가설은 좀 더 설득력 있어진다. 이러한 과정들의 반복을 통해 반증주의에서는 과학이 진보하는 것이다.
직관 논리
논리학에서, 직관 논리(直觀論理, )는 수학적 직관주의에 근거하여 귀류법을 배척하는 논리 체계이다. 직관 논리에서 참인 모든 명제는 고전적으로도 참이지만 그 역은 일반적으로 성립하지 않는다.
증명 (수학)
확률적 증명은 확률론적 방법을 동원해 어떤 예제가 존재함을 보이는 것이다. 이것은 어떤 명제가 참이라는 것을 '확률적'으로 보이는 것과 전혀 다르며, 명제가 참일 확률을 계산하는 것과 실제로 그것을 증명하는 것은 거리가 멀다는 것을 콜라츠 추측을 통해 알 수 있다.
증명 (수학)
참일 것으로 추정하지만 아직 참이라는 것이 밝혀지지 않은 명제는 추측이라고 한다.
뒤엠-콰인 명제
뒤엠-콰인 명제(Duhem-Quine thesis)는 어떤 과학적 가설을 그것 자체만으로 실험하여 반증할 수 없다는 명제이다. 모든 가설에는 하나 이상의 배경 가정이 존재하고, 실험 결과가 가설과 어긋났을 때 그 어긋남이 실험 대상인 가설 탓인지 그 아래 층위로 존재하는 하부 가정들 탓인지 우리는 알 수 없다. 때문에 하나의 과학 이론을 실험을 통해 완전 배제하는 것을 사실상 불가능하다는 것이 명제의 내용이다. 뒤엠-콰인 명제는 피에르 뒤엠과 윌러드 밴 오먼 콰인의 이름을 딴 것이다.
거의 어디서나
측도론에서, 거의 어디서나(, 약자 a.e.) 어떤 명제가 성립한다는 것은, 어떤 영집합을 제외한 모든 점에서 명제가 성립한다는 것이다.
처치-튜링 명제
처음 이 명제가 나왔을 때에는 "효과적으로 계산할 수 있는 (effectively computable) 함수"와 같이 비형식적인 표현을 사용했기 때문에 이 명제를 논리적으로 증명하는 것은 불가능했다. 이후 수학자들은 모호한 말 대신 계산 가능한 함수를 사용한다.
환원 불가능한 복잡성
환원 불가능한 복잡성은 진화론에 반대하기 위한 주장의 핵심 개념이다. 만약 정말로 환원 불가능한 복잡계가 발견된다면, 지적설계론이 그 존재를 설명하는 적절한 이론이 되어야 마땅하다. 하지만 이 논증은 현재의 진화론과 지적설계론이 생명의 기원을 설명하는 유이한 이론이라고 가정하고 전개한 논리기 때문에 거짓 딜레마 오류를 범하게 된다.
구성 가능 전체
구성 가능성 공리는 모든 집합이 구성 가능하다는 명제이다. 즉, formula_1이라는 명제이다. 만약 구성 가능성 공리가 성립하고, 또한 순서수 formula_49에 대하여 formula_56라면,
이다. (예를 들어, 이는 formula_49가 도달 불가능한 기수일 경우 성립한다.)
분해 증명
그러나 이 논법을 증명에 막상 응용하려 할 때는 막연하여 쓸모가 없는 것처럼 보일 수 있는데, 좌변의 형식에서 P와 NOT R 혹은 R과 Q의 두 쌍 중 하나의 쌍에 속하는 명제들이 동시에 참임을 보여야 하기 때문이다. 그러므로, 이 조건을 실제적으로 응용하기 위하여 많은 경우 양도 논법과 결합하여 사용하는 것이 현실적이다. 새로운 명제 S를 도입하여,
의 논리식을 도출할 수 있는데, 이 식은 위 식의 좌변을 함의한다. 이 역시 귀류법으로 증명할 수 있다. 만약 위 식의 좌변이 참이 아니라면, P와 NOT R 혹은 R과 Q의 두 쌍의 명제들은 결코 동시에 참이 될 수 없다. 따라서, 새로운 식의 AND 양쪽 가언문의 후건들은 모두 거짓이 된다. 그런데 S와 NOT S 중 하나는 항상 참이므로 전체 문장은 결코 참일 수 없다.
삼차 방정식
이 되지만 본베리는 이 우변은 오늘날의 공역의 복소수화 라고 생각해 음수의 제곱근 연산 규칙을 준 다음
로부터 "b" = 1 을 요구하여 원 방정식이 "x" = 4 를 해로 가지는 것을 설명했다.
일반적으로는
로부터 "a", "b" 의 두개의 값을 요구하지 않으면 안되지만 이것을 요구하기 위해서는 다른 3차방정식이 나타나기 때문에 카르다노는 이 경우를 환원불능(casus irreducibilis)이라고 불렀다. 이 환원 불능의 경우를 회피하기 위해서 여러가지 노력이 이루어졌지만 실은 허수를 피해서 실수의 거듭제곱근과 사칙연산을 유한하게 사용하는 것으로는 해를 찾아내는 것은 불가능 하기 때문에 모두 헛수고로 끝났다.
귀류법
수학에서 귀류법배리법은 증명하려는 명제의 결론이 부정이라는 것을 가정하였을 때 모순되는 가정이 나온다는 것을 보여, 원래의 명제가 참인 것을 증명하는 방법이다. 귀류법은 유클리드가 2000년 전 소수의 무한함을 증명하기 위해 사용하였을 정도로 오래된 증명법이다.
과학적 방법
이와는 반대로, 모든 과학 이론은 경험에 의해 발견된 것이다. 그렇기 때문에 과학 이론은 언제나 반증될 가능성이 있다. 만일 새롭게 관찰된 사실이 기존의 이론으로 설명할 수 없는 것이라면, 기존의 이론은 확정성을 상실하게 된다. 러커토시 임레는 반증 가능성을 열어 놓지 않은 것은 과학이 아니라고 평가하였다. 예를 들면, 지그문트 프로이트의 정신분석학은 스스로에 대한 반증 가능성을 부정하기 때문에 과학이라 볼 수 없다.
치환 적분
부정적분에 대한 두 번째 명제의 조건에 따라 모든 formula_11에 대하여 formula_12이므로, 다르부 정리에 따라 모든 formula_11에 대하여 formula_26이거나 모든 formula_11에 대하여 formula_28이다. 따라서 formula_29는 존재한다. formula_30이며, formula_31이므로, 다음이 성립한다.
즉, formula_4의 한 원함수는 formula_34이므로 두 번째 명제가 성립한다.
구획문제
반증 가능성은 칼 포퍼가 논리실증주의의 검증 가능성에 반대하여 제안한 구획 기준이다. “언명 또는 언명의 체계가 과학적이라고 평가받기 위해서는, 가능한 또는 생각할 수 있는 관찰 결과와 모순될 수 있어야 한다”는 것이다. 포퍼는 구획문제를 과학철학의 가장 핵심 문제라고 여겼다. 논리실증주의의 비엔나 학파와 달리, 포퍼는 자신은 "유의미"의 기준을 제안하는 것이 아니라고 천명했다.
중세 대학
포르피리오스가 그와 같이 추상적인 용어로 제기한 반립명제들은 11세기에 이르러 실념론(실재론; 實念論)과 유명론(唯名論)의 대립으로 표면화되었다. 이 이론의 대립은 철학의 영역을 넘어서 신학적 범위로까지 확장되었다. 실념론에 의하면, 사물의 실재는 사물의 일반적 관념에서 얻어지며, 감각으로 지각되는 사물은 외견에 불과한 것이다. 한편, 유명론에 따르면, 일반적 관념은 오직 이름(meroe voces)이며, 이것에 대응되는 실재는 존재하지 아니하고, 개별적인 사물 각각이 실재인 것이다.
명제
문장 'x는 5의 약수이다.'는 조건이지만 다음 각 문장들은 참과 거짓이 판별가능하다.~(모든 x에 대하여 p(x)) --> 어떤 x에 대하여 ~p(x)
~(어떤 x에 대하여 p(x)) --> 모든 x에 대하여 ~p(x)
직관 논리
주어진 명제 formula_3로부터, 고전 명제 논리에서는 formula_48 네 개의 명제밖에 정의할 수 없지만, 직관 명제 논리에서는 이로부터 무한한 수의, 서로 동치이지 않는 명제들이 존재한다. 이를 리에게르-니시무라 사다리()라고 하며, 라디슬라프 스반테 리에게르() 와 니시무라 이와오 가 정의하였다.
성급한 일반화
혹은 반례가 제시될 경우에도 그것이 극히 특정한 소수에 한정된것이 확인 가능한 경우에는 역시 그대로 유효하다. 예를 들면,
라는 증명의 경우 펭귄이나 타조등과 같이 날 수 없는 새도 존재하지만 새 전체로 보면 극히 소수이다. 문제는 그것을 확인하는 방법에 달려있다.
라는 논증은 엄청난 천체의 수로부터 생각한 나머지 나타난 예가 소수이며 태양계 이외의 천체에 대해서는 확인 할 수 있는 방법이 없으므로 성급한 일반화라고 말할 수 있을 것이다.
명사 (품사)
가산명사(Countable nouns)는 셀 수 있는 보통 명사를 말한다.
불가산 명사(uncountable nouns)는 물질, 재료, 원소 등 셀 수 없는 명사를 말한다. 물질 명사, 추상 명사, 고유 명사 등이 이에 속한다.
반증주의
그 반면, 관찰이나 실험의 결과에 호소하여 어떤 이론이 거짓임을 밝혀 낼 수 있다. 전제로서의 관찰 언명을 근거로 하여 논리적 연역에 의해 보편 언명을 반증하는 것이 가능하다. 예를 들어, '검지 않은 까마귀가 x라는 장소에 t라는 시간에 관찰됐다'라는 관찰 언명은 '모든 까마귀는 검다'는 보편 언명이 거짓인 것을 이끌어 낼 수 있다. 즉, '검지 않은 까마귀가 x라는 장소에 t라는 시간에 관찰됐다'라는 관찰 언명은 연역 추리를 통해 '모든 까마귀가 검은 것은 아니다'라는 결론에 도달하고, 이것은 '모든 까마귀는 검다'가 거짓인 것을 의미한다.
항변
假定的抗辯 어떤 주장이 인정되지 아니할 경우를 예측하여, 당초의 주장과 동시에 주장이 인정된다면 무의미한 다른 사실을 가정적·예비적으로 진술하여 놓은 것을 가정주장(예비적 주장)이라고 하며 가정주장이 항변으로서 행하여지는 경우를 가정적 항변 또는 예비적 항변이라 한다. 예를 들면 피고가 차금을 부인하는 동시에, 가령 빌렸다고 하더라도 이미 변제하였다고 항변하는 경우를 말한다. 판결이유 중의 판단에는 기판력이 없으며(202조), 다수의 주장·항변 등 어떠한 것을 내세워서 판결이유로 하더라도 구애를 받지 않으므로 법원은 당사자가 정한 순위에 구속되지 않고 어느 것이나 선택하여 승소시켜도 가하다.
악마의 증명
악마의 증명(惡魔-證明, , )은, 논리적 오류를 지적하는 용어로, 어떠한 사실이나 인과가 존재하지 않음을 증명하는 것은 불가능에 가까우므로, 존재한다고 주장하는 자가 입증해야 함을 비유적으로 표현하는 말이다. 무지에 호소하는 오류, 무지에 호소하는 논증이라고도 한다.
반증 가능성
원자 명제(原子命題)는 “아침에 태양이 동쪽에서 떠오른다,” “김철수는 개를 기르고 있다” 등과 같이, 그 자체가 의미적으로 완결된 단독적인 명제이다. 원자 명제는 단적으로 반증 가능한가 반증 불가능한가의 어느 한쪽에 서 있다.
반증주의
하지만 반증될 수 없는 주장들은 과학이라고 말할 수 없다. 예를 들어, '비가 오거나 비가 오지 않거나이다'라는 주장은 반증 가능하지 않다. 날씨와 관계없이 이 가설은 참이고, 이것을 반박할 수 있는 관찰 언명은 존재하지 않는다. 또한, ' 유클리드 기하학에서 원주상의 모든 점은 중심에서 등거리에 있다'와 같은 정의를 나타내는 진술도 반증되지 않는다. 마찬가지로 '총각은 모두 결혼하지 않았다'라는 가설도 총각의 정의를 나타낸 것이기 때문에 반증이 불가능하다. '신은 다른 존재의 도움을 받지 않고 스스로 존재한다', '인간은 자유의지를 가지고 있다', '공간이 무한하다는 것은 논리적으로 가능하다' 등도 모두 반증 될 수 없는 주장들이다. 
가설 연역 방법
검증의 문제는 가설 연역 방법의 단계 중 현상을 관찰하여 가설을 설정하고, 실험 결과를 통해 이론을 도출하는 귀납적인 과정에서 일어난다. 이에 관련하여 귀납적인 이론 도출을 비판한 과학 철학자로 칼 구스타프 헴펠을 들 수 있다. 그는 까마귀 패러독스라 불리는 귀납적 검증과정의 한계를 드러내는 역설을 통하여 자신의 주장을 설명했다.
반증주의
반증 가능성은 검증하려는 가설이 실험이나 관찰에 의해서 반증될 가능성을 뜻한다. 반증 가능하다고 하여 거짓인 것은 아니며, 그 가설이 참이 아닐 때 이 가설을 반증해줄 관찰이나 실험이 있다는 것이다.
작도 가능한 수
고정된 좌표계가 주어진 (혹은 단위 길이의 선분이 주어진) 유클리드 평면 위의 점이 눈금 없는 자와 컴퍼스만을 사용하여 작도할 수 있을 때 그 점을 작도 가능하다고 한다. 좌표계에서 어떤 복소수에 대응하는 점이 작도 가능할 때 그 수를 작도 가능한 수라고 한다. 다른 정의로, 단위 길이의 선분이 주어졌을 때 formula_1의 길이를 가지는 선분을 눈금 없는 자와 컴퍼스만 가지고 작도할 수 있을 때 실수 formula_2은 작도 가능하며, 실수부와 허수부가 모두 작도 가능한 복소수는 작도 가능하다고 할 수 있다.
95개 논제
95개 논제의 원제목은 “면죄부(免罪符)의 능력과 효용성에 관한토론”이다.
95개의 명제는 내용상 일반적으로 8개의 부분으로 나뉘는데 다음과 같다.
취소시킨다. 연옥에 있는 영혼에게 교황이 할 수 있는 일은 오로지 기도에 의할 뿐이지 자신의 관할권이나 열쇠의 권한에 의해서 자신의 힘을 미칠 수 있는 것은 아니다.
추정
3. 법학 용어
법의 작용에 있어 그와 반대되는 사실의 증거(반증)가 제출되면 당해 법규의 적용이 배제되는 경우를 말한다. 어떤 사실 내지 법률관계의 존재를 다투는 자가 그 반대사실의 입증책임을 지고, 나아가 입증을 하게 되면 그에 따라 추정의 효력이 번복될 수 있다는 점에 의미가 있다.
반증주의
하지만 이러한 귀납의 조건은 여러 가지 한계를 갖고 있다. 우선, 첫 번째 조건의 충분히 많다는 표현이 매우 애매하다. 충분한 정확성을 위해 필요한 관찰의 개수를 선택하는 것이 주관적으로 정해질 수 있다. 더 나아가서 충분히 많은 사례가 필요하다는 조건 자체도 부적절하다. 원자폭탄의 예를 살펴보자. 최초로 히로시마에 원자폭탄이 투하되자, 많은 사람들이 핵폭탄이 광범위한 파괴와 고통을 가져온 다는 사실을 알게 됐다. 이러한 믿음은 단 한 차례의 관찰에 기초해있다. 두 번째 조건 역시 문제를 지니고 있다. 귀납 추론을 하기 위해서는 다양한 조건 중 어떤 조건이 필요한 조건인 지 확실히 해야 한다. 하지만 우리가 탐구 중에 있는 현상에 대해서 어떤 조건이나 상황이 관련이 있는지 판단할 때, 중요한 조건이 무엇인지 판단하기 위해서는 우리가 알고 있는 지식에 호소하게 된다. 그러므로 알려진 모든 지식을 귀납에 의해 정당화할 수 없다는 문제를 지니고 있다. 세 번째 조건도 난점을 안고 있다. 알려진 예외가 없는 과학적 지식은 존재하지 않기 때문이다.
도달 불가능한 기수
집합론에서, 도달 불가능한 기수(到達不可能한基數, )는 그보다 작은 기수의 덧셈·곱셈·거듭제곱으로 나타낼 수 없는 기수이다. 큰 기수의 하나이다.
전능 역설
전능의 역설에 대해 토론할 때 전능성에는 몇 가지 의미가 있다. 호프만에 의하면 그것은 어떠한 상황도 일으킬수 있는 힘이다. 그러나 그 상황에 포함되는 것은 논쟁의 대상이 된다. 데카르트를 비롯한 철학자들은 논리적으로 불가능한 사건을 일으키는 능력도 포함했다. 예를 들어, 유한한 우주의 중심에서 입방체가 형태를 잃거나, 일반적인 수체계에서 1과 2가 동등하거나 하는 것은 논리적으로 불가능하다. 전능자가 형태가 없는 입방체를 만드는 것이 가능하다는 것을 증명할 경우 전능자가 논리법칙에 속박되지 않는 것을 증명할 수 있다.
애드혹
한편 과학철학에서는 기존의 학설에 배치되는 결정적 증거가 나왔을 때, 기존 학설을 땜질하기 위해 추가되는 가설을 애드혹 가설이라고 한다. 토리첼리가 기압과 진공의 존재를 실험으로 증명했을 때 진공 반대론자들이 기압계 속의 수은이 "눈에 보이지 않는 탯줄"에 의해 매달려 있는 것이라고 주장한 것, 라부아지에가 플로지스톤의 존재를 부정했을 때 플로지스톤설에 집착한 학자들이 "플로지스톤은 마이너스 무게를 가지고 있다"고 주장한 것이 대표적인 애드혹 가설이다.
괴델의 불완전성 정리
이론 formula_1의 명제들은 가산 무한 알파벳 formula_22로 기술된다고 하자. 예를 들어, 체르멜로-프렝켈 집합론의 경우 논리적 기호 formula_23 및 변수 formula_24의 집합으로 삼을 수 있다. 즉, 모든 명제들은 formula_22의 클레이니 스타 formula_26의 원소이다. (물론 formula_26는 문법에 맞지 않는 기호열들을 포함하므로, 명제의 집합은 formula_26의 부분집합이다.) 그렇다면 명제의 괴델 수()
를 임의로 정의한다. 이 함수는 계산 가능한 단사 함수이어야 하지만, 다른 성질들은 크게 중요하지 않다. 예를 들어, formula_30라고 하고, formula_31번째 소수를 formula_32이라고 하면,
로 정의할 수 있다.
도달 불가능한 기수
선택 공리를 추가한 체르멜로-프렝켈 집합론을 가정하자. 그렇다면 다음 두 명제가 서로 동치이다.
불가능세계론
반(反)필연적 명제(counternecessary statement)는, 선행조건절이 단순한 거짓(僞)이 아니고 "필연화"하는 (또는 귀결절이 필연적으로 참인) 이다.
게티어 문제
고로, '정당화된 모든 믿음은 사실이다.' 논리는 명제로서 성립조차 하지못한다.
1차 논리
1차 논리(一次論理, )는 원소에만 한정 기호를 가할 수 있고, 술어에는 한정 기호를 가할 수 없는 술어 논리이다. 명제 논리와 달리 변수에 대하여 한정 기호를 사용할 수 있으나, 2차 논리와 달리 변수들의 집합에 대하여 한정 기호를 사용할 수 없다. 1차 논리의 경우, (2차 논리와 달리) 괴델의 완전성 정리 · 콤팩트성 정리 · 뢰벤하임-스콜렘 정리와 같은 중요한 성질들이 성립한다.
존재론적 논증
안셀무스의 논증에 대해 초기에 제시된 반론으로는 동시대 사람인 마르무티에의 가우닐로의 '가울리노의 섬'이 있다. 그는 상상할 수 있는 가장 완벽한 섬을 생각해보라고 한다. 물론 그 상상 속의 섬은 실제로는 존재하지 않을 것이나, 안셀무스의 논법을 적용하면 그런 섬이 실제로 존재함이 증명되는 것처럼 보이며, 따라서 그 논법에 문제가 있다는 것이 가울리노의 주장이다. 구체적으로는 다음과 같다. (위에서 안셀무스의 논증을 6줄로 요약한 것과 비교할 것.)더글러스 개스킹(1911~1994) 또한 존재론적 논증과 비슷한 방식으로 신이 존재하지 않는다는 증명을 만들 수 있다는 것을 보여주었다:
증명 (수학)
수학에서 증명(證明)은 특정한 공리들을 가정하고, 그 가정 하에서 어떤 명제가 참이라는 것을 보여주는 것을 가리킨다. (특정한 공리는 별다른 언급이 없으면 선택 공리를 추가한 체르멜로-프렝켈 집합론으로 가정한다.)
분해 증명
이 방법을 이용하여 실제로 명제를 하나 증명해 보자. 우선 다음과 같은 상황을 가정한다.
이제 증명할 명제는,
라는 것이다. 먼저 상황 조건으로부터 다음과 같은 명제를 얻는다.
그리고, 다음과 같은 명제를 양도 논법의 전건으로 가정하자.
이 때 소거할 명제 R을 NOT S로 놓고 위의 양도 논법과 결합한 형식을 사용하면, 증명이 끝난다.
가설 연역 방법
헴펠은 이러한 역설을 통하여 가설 연역 방법의 귀납적인 검증 과정을 비판하였다. 이에 대하여 논리 실증주의자들은 ‘검증가능성 원리’에 대한 이런 심각한 문제 제기를 수용하여 ‘검증’ 대신에 ‘확증’이라는 개념을 도입하였다. 즉,‘증명’이나 ‘검증’처럼 완벽한 논리적 뒷받침을 추구하지 말고, 가설을 지지하는 정도를 확률로서 나타내자는 생각이다. 그러나, 이런 후퇴적인 제안에도 문제는 여전히 남아 있다. 보편적인 과학 이론을 개별적인 관찰이나 특정 실험의 결과들이 확증시켜줄 확률은, 보편 진술에서 파생된 셀 수 없이 많은 파생 진술들을 제한된 특정 개별 관찰 진술들로부터 설명하는 것이고, 이것이 완벽히 보편적인 이론을 의미할 확률은 0을 의미하기 때문이다. 다시 말해, 어떤 보편적인 과학 이론도 경험적 검증과정에 의해서 확증될 수 없다는 것이다. 이 문제는 개별 사례로부터 일반 진술로 나아갈 때 발생하는 귀납적 방법의 문제이다.
멱의 법칙
자연수 formula_10에 대한 명제는 수학적 귀납법으로 증명 가능하다. 우선 formula_11인 경우는 상수 함수의 미분이 0이라는 명제가 되므로 자명하게 성립한다. 이제 어떤 formula_10에 대하여 성립한다고 가정하자. 그렇다면, 곱의 법칙에 따라, formula_13에 대한 명제
역시 성립한다. 수학적 귀납법에 따라 멱의 법칙은 임의의 자연수에 대하여 성립한다. 자연수 지수의 멱의 법칙은 이항 정리를 통해 다음과 같이 증명할 수도 있다.
처치-튜링 명제
실제로 증명되거나 반증된 적은 없으며, 영원히 증명할 수 없을 것이라고 주장하는 학자도 있다. 다만 현재까지 인간이 발명한 모든 종류의 계산법(양자 컴퓨터를 포함하여)이 적절한 형태의 튜링 기계로 표현될 수 있음이 알려져 있다.
명제논리
명제 논리(命題論理, propositional logic)는 논리식을 이용해 명제를 기술하는 형식 체계이다. 명제 논리는 기호논리학의 가장 기초적인 영역이다. 사고를 개념으로까지 분해하는 고전논리학에 과는 달리, 사고의 최소 구성단위를 명제(원자적 명제)로 하여 명제의 내용·구조에는 개입하지 않고 각 명제 사이의 결합관계만을 연구한다. 명제의 결합을 4-6종의 기호로 통일적으로 나타내고, 각 명제를 진위(진리값)의 관점으로부터만 생각하여 복합적 명제의 진위를 원 명제의 진위로부터 수학적 계산법에 의해 결정하려고 한다(論理計算).
반증주의
예를 들어, '모든 물체는 열을 받으면 팽창한다'라는 주장은 반증 가능하다. x라는 어떤 물체가 t라는 시간에 열을 받았는데도 팽창하지 않았다는 관찰 언명을 통해 반증될 수 있기 때문이다. 비슷하게 '빛이 평면 거울에서 반사될 때, 입사각의 크기와 반사각의 크기는 동일하다'라는 진술도 반증 가능한 주장이다. 만일 거울에 비스듬히 입사한 광선이 입사각과 다른 반사각으로 반사된다면, 그 관찰을 통해 반증될 수 있기 때문이다. 물론 주어진 가설이 참이라면 반증되는 경우는 없겠지만, 참이라도 반증 가능한 진술일 수 있다.
자유심증주의
자유심증주의의 원칙에도 예외가 있다. 자백에 있어서 그 진실성을 뒷받침하기 위하여 보강증거를 필요로 하는 자백의 증명력의 제한(310조), 법률상의 추정 및 소송법적 사실의 인정에 관한 공판조서의 증명력(56조) 등이 그 예외제도이다. 자유심증주의의 합리성을 담보하기 위하여 유죄판결서에는 범죄 사실을 인정하는 기초로 된 증거의 요지를 명시할 것이 요구되며(323조) 이러한 증거 요지의 명시가 결여되었을 때에는 '판결에 이유를 붙이지 아니한 것'으로서 절대적 항소 이유로 되고 또 증거요지의 명시에 거시(擧示)된 증거로부터 판결에 표시된 사실을 인정하는 것이 논리상·경험상의 법칙에 비추어 불합리할 때는 '이유에 모순이 있을 때'로서 역시 절대적 항소이유로 된다(361조의 511호).
간통죄의 경우, 그 행위가 통상 당사자 사이에 비밀리에 또는 외부에서 알아보기 어려운 상태하에서 행하여지므로 이에 대한 직접적인 물적 증거나 증인의 존재를 기대하기가 매우 어려우므로 범행의 전후 정황에 관한 제반 간접증거들을 종합하여 범죄사실이 증명된 것으로 판단되면 이로써 범죄사실이 인정된다.
법원은 변론 전제의 취지와 증거조사의 결과를 참작하여 자유로운 심증으로 사회정의와 형평의 이념에 입각하여 논리와 경험의 법칙에 따라 사실주장이 진실한지 아닌지를 판단한다.
퍼펙토이드
Proof monic irreducible polynomial formula_71을 하나 잡자. 그러면 이것이 zero가 있음을 증명해야 하는데 formula_72의 Newton polygon은 line이고 이제 formula_73에서 보자. formula_74를 formula_75에서 봤을 때 formula_72하고 모든 계수가 같은 다항식이라고 하고 그 zero를 formula_77라고 하자. 그러면 다항식 formula_78를 생각하고 이것의 상수항이 formula_42에 의해서 나누어지므로, 그러니까 formula_80가 대충 formula_72의 근사해가 되므로 formula_82인 formula_83에 대해서 formula_84 또한 Newton polygon이 line이고 irreducible이다. 이걸 반복하면
반증 가능성
반증 가능성(反證可能性, Falsifiability)은 검증하려는 가설이 실험이나 관찰에 의해서 반증될 가능성이 있다는 것을 의미한다. 어떤 주장과 반대되는 증거가 지지하는 증거보다 그 주장의 진위를 가리는 데 훨씬 더 많은 정보를 담고 있다는 주장이다.
통 속의 뇌
인식론적으로 인식의 목적은 "가장 실재에 가까운 세계상을 획득" 하는 것이다. 따라서, 이미 정당화 되는 믿음 (나는 통속의 뇌가 아니며, 현실세계에 독립적으로 실재하는 인간이다) 을 논파하기 위해서는, 해당 명제 (나는 통속의 뇌이다) 가 "나는 통속의 뇌가 아니며, 현실세계에 독립적으로 실재하는 인간이다" 라는 명제를 객관적으로 논파하여 정당화하여야 한다는 것이다. 즉, 입증책임은 엄연히 주장자에게 있으며, 새로운 주장과 의혹을 제기하는 자는 반드시 현재 정당화되는 믿음을 객관적으로 논파하여야 한다는 것이다. 그렇지 않다면, 이 회의주의자의 주장은 참으로 인정되지 않으며, 인정할 이유가 없다. 왜냐하면, 나는 통속의 뇌이다 라는 회의주의자들의 명제보다, 기존에 정당화된 명제인 나는 통속의 뇌가 아니며, 현실세계에 독립적으로 실재하는 인간이다 라는 명제가 정당화되고 있으며, 더 설득력있는 명제이기 때문에, 앞서 나는 통속의 뇌이다 라는 명제를 '참' 으로 믿을 이유가 없기 때문이다.
회의주의
그리스 회의론자들은 스토아주의자들을 교조주의라고 비판하였다. 회의론자에게 논증의 논리적 방식은 그 다음의 명제에 의지하지 않고는 참이나 거짓이라고 말할 수 없는 명제에 의지하고 있기 때문에 옹호될 수 없는 것이었다. 이것은 후퇴 논증(regress argument)이었으며, 이것으로 모든 명제는 그 타당성을 유지하기 위하여 다른 명제에 의존하여야 한다. 회의주의자들은 두 명제는 순환 논증을 유발하기 때문에 서로에게 의존할 수 없다고 주장하였다. 회의론자들에게 이러한 논리는 진리에 관해서는 불충분한 방법이며, 그것이 해결했다고 주장하는 만큼 많은 문제를 야기할 수 있다고 주장하였다. 이들에게 진리는 필연적으로 손에 넣을 수 없는 것이 아니라 아직 순수한 형태로 존재하지 않는 "생각"이었다. 회의주의는 진리의 가능성을 부정하는 것으로 비판받았으나 사실 논리학자들은 진리를 발견하지 못한다고 주장한 비판적 학파로 보인다.
반증 가능성
보통, 검증하려는 가설은 몇 개의 원자 명제의 논리적인 결합을 통하여 이루어진다. 그리고 오로지 그것을 검증하는 것이 목적인 가설을 주요 가설이라고 부르고, 그 전제나 조건이 되는 제명제를 보조 가설이라고 부른다.(주, 무엇을 주요 가설로 하고 무엇을 보조 가설로 할 것인지는 보통 검증자가 임의적으로 정한다).
논리학의 역사
제르곤누 (1816년)는, 추론은 그에 대해 완전하게 명확한 관념을 가지고 있는 부분의 대상에 관한 것일 필요는 없다는, 대수적인 조작은 거기서 사용된 기호의 의미의 관념을 갖지 않고도 실행할 수 있기 때문이라고 말했다[91]. 보르트노는 변수의 용어에 대해 논리적 귀결 즉 '연역 가능성'의 정의를 실시할 때에 현대의 증명론의 기본적인 관념을 예상했다: i, j, ... 등의 변수가 있을 때, 명제의 집합 a, b, c ... 가 실로 되는 임의의 값을 i, j, ... 에 대입했을 때 동시에 명제 n, o, p ... 도 실로 진정된다면 n, o, p ... 는 a, b, c ... 로부터 연역할 수 있다[92]. 이는 오늘로는 의미론적 타당성으로서 알려져 있다.
초실수
전달 원리는 고차 논리에서는 성립하지 않는다. 예를 들어,
와 같은 명제는 formula_1에서 거짓이지만 formula_32에서는 참이다. 그러나 이 명제는 1차 논리 명제로 쓸 수 없다.
항변
항변(抗辯, Einrede)은 공격방어 방법의 일종으로서 상대방의 신청이나 주장을 부인하는 데 그치지 아니하고 이것을 배제하기 위하여 그 조각원인(阻却原因)이나 소멸원인과 같은 별개의 주장을 하는 것을 말한다. 예를 들면 원고의 대금반환청구에 대한 피고의 변제의 주장이나 소멸시효의 주장을 가리킨다. 실체법상의 항변과 소송법상의 항변이 있다. 전자는 원고가 주장하는 법률효과의 발생 자체를 부정하고 또는 일단 발생한 효과를 소멸시키는 것으로서 사실항변(예를 들면 변제의 사실의 진술)과 권리항변(예를 들면 취소권이나 상계권의 행사와 동시에 그 효과를 항변의 내용으로 하는)으로 나눈다. 소송법상의 항변에는 소송요건 결함의 항변(담보제공의 항변：200조)과 증거항변(증거신청의 부적법이나 증거조사절차의 위법 등의 주장)이 있다. 소송계속의 항변이나 관할위반의 항변 등 직권 조사사항에 관한 것은 본래 피고의 주장을 요하지 않으므로 본래의 항변과는 다르다. 원고가 피고의 항변에 대하여 새로이 하는 항변을 재항변이라고 한다. 항변의 판단에는 기판력이 생기지 아니한다.
논리실증주의
논리 실증주의자들은 명제를 두 가지로 나누었다. 단어의 뜻과 단어들 간의 논리적 관계만 알면 경험적 지식이 없이도 진위 판단이 가능한 명제를 분석 명제(分析 命題, analytic statement)라고 한다. 반면 아무리 단어의 뜻을 알아도 경험적인 지식이 없으면 진위 판단이 불가한 명제가 있는데 이것을 종합 명제(綜合 命題, synthetic statement)라고 한다. 가령, "모든 총각은 결혼하지 않았다."라는 문장은 분석 명제이다. 왜냐하면 "총각"이라는 단어에 "결혼하지 않은 남자"라는 뜻이 이미 들어있기 때문이다. 모든 총각을 경험적으로 조사하지 않더라도 문장이 참인 것을 알 수 있다. 반면 "모든 백조는 하얗다"는 문장은 종합 명제다. 백조가 모두 하얀 색인지는 직접 관찰해서 경험적인 지식을 쌓아야 판단할 수 있기 때문이다.
갈루아 이론
이를 사용하여, 여러 고전적 작도 문제의 (불)가능성을 쉽게 보일 수 있다. 예를 들어, 입방 배적 문제는 formula_49가 작도 가능한지 여부인데,
이므로
이며, 따라서 formula_49는 작도할 수 없다. 마찬가지로, 원주율은 초월수이므로 원적문제는 풀 수 없고, 각의 3등분 문제 역시 3차 방정식의 근이 필요하므로 풀 수 없다.
논리실증주의
검증 가능성의 원리때문에 논리 실증주의는 형이상학, 신학을 비판하고 자연 과학을 옹호하는 사고방식이 되었다. 비트겐슈타인의 유명한 말인 "말할 수 없는 것에 대해서는 침묵해야 한다"는 말은 형이상학과 신학에 대해 비판하는 말이다.
반사 원리
이제 formula_10라 놓자. 그러면 D에서 formula_11이다. 그런데 항등 정리에 의하면, 어떤 해석함수 f가 영역 D에서 {formula_12∈formula_13}의 극점을 가지면 D에서 formula_14이어야 한다. 따라서, 증명이 끝난다.
스티븐 툴민
제한조건은 명제가 성립하기 위한 조건을 제시한다.
앞의 주장 ‘정환이가 반장이 되어야 한다’에 대한 제한 조건으로는
'A가 품행이 바르지 않은 아이가 아니라면' 등을 들 수 있겠다.
뒤엠-콰인 명제
뒤엠은 이것을 물리학 특유의 문제라고 생각했다. 또한 논리적으로 반증이 성립하지 않더라도 물리학자로서 감각이 있다면 관찰이 이론을 반증하는 성격의 것인지 실험 장비 등의 부족 탓인지 알 수 있다고 생각했다. 이것을 "결정실험의 불가능성"이라 한다.
영근기
다음 명제들은 모두 서로 동치이며, 이들이 참인지 여부를 쾨테 추측()이라고 한다.
쾨테 추측은 오른쪽 뇌터 환이나 다항 항등식 환에 대하여 증명되었지만, 일반적인 환에 대하여 아직 미해결 문제이다.
코기토 에르고 숨
이 명제는 스스로 증명될 수 있는 것이며 따라서 부정의 방법에 의해 부정될 수 있는 성질의 것이 아니다. 이는 이러한 형태의 명제는 모두 참이기 때문이다: “F를 소유한 것은 어떠한 것이든 존재한다.” 이러한 방식을 사용하는 비판자들은 부정의 방법이 통하지 않는 명제가 추가로 더 존재한다는 점에 주목하는 것 같다. 그러나 부정의 방법 안에서 사고의 소유자는 의심할 바 없이 그 방법을 사용하는 성찰자일 수밖엔 없다. 한데 데카르트는 이런 식으로 방어하려 들지 않는 것 같다: 우리가 이미 보았듯 그는 실제로 요구된 나머지 명제가 존재한다는 것을 인정하는 것에 의해서만 비판에 반응할 것이다. 그러나 코기토를 부정하는 것 역시 삼단 논법으로 이뤄진 것이다. -->
나는 가설을 세우지 않는다
개요는
"나는 현상으로부터 중력의 성질에 대한 이유를 지금까지 찾아낼 수 없었다. 그렇지만 나는 가설을 세우지 않는다. 그렇다는 것은, 현상으로부터 나타나지 않는 것은 형이상적인 것이든, 형이하적인 것이든, 온재적(오컬트적)인 물건이든, 역학적인 것이든, 가설로 불리지 않으면 안되며, 실험 철학에 그 자리를 가질 수 없다. 이 철학에서는 명제가 현상으로부터 꺼내져 후에 귀납에 의해서 일반화되는 것이다."
입증
원고는 민사소송에서 주장을 하는데, 이 주장에 대해서 피고는 부인을 할 수 있다. 주장은 본증을 해서 법관이 확신을 갖도록 해야 하며, 부인은 반증으로서 법관의 확신이 흔들리게 하면 된다. 따라서, 원고가 주장하고 피고가 부인하는 경우, 양자의 주장이 모두 일리가 있거나 없어서 진위불명이 된 경우, 입증책임은 원고에게 있기 때문에, 원고가 패소한다.
반증주의
초기 반증주의에 따르면 모든 과학은 반증 가능해야 하며, 이를 통해 비과학과 구분할 수 있다고 주장했다. 그러나 머지않아 점성술의 ‘내일은 큰 재물을 얻을 것이다.’ 같은 진술이나 기독교 근본주의 같은 경우에도 반증 가능하다는 지적이 제기 되었다. 이 비판을 피하기 위하여 반증주의자들은 구획설정기준을 ‘과학적 이론은 반증 가능한 동시에 반증되지 않아야 한다.’로 수정한다. 그러나 이 기준은 기존의 과학이론 대부분을 과학에서 배제시킨다. 또한 실제 과학사의 예들에 부합하지 않는다.
항변
피고는 부인 말고도 항변을 할 수 있다. 피고의 항변은 본증이므로 법관이 확신을 갖도록 해야 하며, 원고는 이에 대해 부인을 할 수 있다. 부인은 반증으로서 법관의 확신이 흔들리게 하면 된다. 피고가 항변하고 원고가 부인하는 경우, 양자의 주장이 모두 일리가 있거나 없어서 진위불명이 된 경우, 입증책임은 피고에게 있으므로 피고가 패소한다.
증거
증명의 대상이 되는 사실의 증명에 직접 이용되는 증거를 직접증거, 직접사실을 추단케 하는 증거를 간접증거 또는 정황증거라 한다. 또한 자기가 거증책임을 지는 사실을 증명하기 위한 증거를 본증, 그것을 다투는 상대방이 제출하는 증거를 반증이라 한다. 그리고 적극적인 증거에 대하여 단순히 증거의 증명력을 다투기 위한 증거를 탄핵증거라 한다(형사소송법 제318조의 2). 당사자주의적 변론주의하에서는 당사자간에 다툼이 있는 사실만 증거로서 증명함을 요하지만(민사소송법 제261조), 실체적 진실주의가 적용되는 형사소송에 있어서는 자백한 사실이라도 그 사실은 증거에 의하지 아니하면 인정되지 아니한다(형사소송법 제310조). 현행법은 증거의 가치, 즉 증거의 증명력을 판단함에 있어서 자유심증주의를 채택하고 있다(민사소송법 제187조, 형사소송법 제308조).
원고는 민사소송에서 주장을 하는데, 이 주장에 대해서 피고는 부인을 할 수 있다. 주장은 본증을 해서 법관이 확신을 갖도록 해야 하며, 부인은 반증으로서 법관의 확신이 흔들리게 하면 된다. 따라서, 원고가 주장하고 피고가 부인하는 경우, 양자의 주장이 모두 일리가 있거나 없어서 진위불명이 된 경우, 입증책임은 원고에게 있기 때문에, 원고가 패소한다.
분해 증명
논리적 기호와 연결사들을 이용하면, 분해 증명은 다음과 같이 표현될 수 있다.
이 진술이 타당함은 진리표 등을 이용해 보일 수 있다. 여기서는 귀류법과 양도 논법을 사용해서 증명해 보자. 결론을 부정해서 P도 Q도 거짓이라고 가정한다. 이때 만약 R이 참이라면 NOT R이 거짓이므로 (NOT R OR Q)이 거짓이고, R이 거짓이라면 (P OR R)이 거짓이 된다. 어느 쪽도 좌변은 거짓이 되므로, 이는 모순이다. 따라서 원 명제는 참이다.
연역
논리학에서 연역적 추론(演繹的推論, deductive reasoning)은 이미 알고 있는 판단을 근거로 새로운 판단을 유도하는 추론이다. 여기서 이미 알고 있는 판단은 전제, 새로운 판단은 결론이다. 진리가 될 수 있는 가능성을 따지는 귀납 추론과는 달리, 명제들 간의 관계와 논리적 타당성을 따진다. 즉, 연역 추론으로는 전제들로부터 절대적인 필연성을 가진 결론을 이끌어 낼 수 있다.한 개의 전제로부터 새로운 결론을 이끌어 낸다. 대우명제가 그 대표적인 예이다.
반증주의
참인 관찰 언명은 어느 정도 유용성을 가지지만, 그 자체만으로 보편 법칙이나 이론을 지지할 수 없다. 관찰 언명이 한 가지 사실을 지지한다고 해도, 모든 대상에 대해서 관찰하지 않는 한, 관찰 언명은 보편 언명을 지지할 수 없다. 러셀이 제시한 칠면조의 예는 이 사실을 극명하게 나타낸다. 칠면조 농장에서 아침 9시마다 모이를 먹는 칠면조를 생각하자. 그 칠면조는 몇 주 동안 매일 같은 일을 경험한 후, '나는 항상 9시에 모이를 먹는다'는 결론을 이끌어냈다. 하지만 칠면조가 크리스마스 이브에 목이 잘리면서 이 결론은 거짓으로 판명됐다. 칠면조의 보편 언명은 참인 관찰 언명들을 통해 지지됐지만, 거짓이었다. 칠면조의 논증은 논리적인 관점에서 타당하지 못하다. 즉, 관찰 언명을 통해 그 자체만으로 보편 언명을 이끌어낼 수는 없다.
반증 가능성
일상에서 자주, 과학적이라고 여겨지고 있는 명제가 원자 명제로서 볼 수 있어도 그 명제에 대해 반증이 가능하지 않은 경우가 있다. 예를 들면, “1923년에 간토 대지진이 있었다,” “그는 살인을 범했다” 등이다. 이러한 가설의 시제를 보면 알 수 있듯이, 일견 과학적이지만 그 자체에서는 반증 가능성을 가지지 않는 가설은 그 가설의 의미 내용 즉 검증의 직접적인 대상이 과거의 사건이었을 때에 많이 볼 수 있다.
반증주의
3. 받아들인 관찰 언명이 도출된 법칙과 모순되지 않아야 한다.
곱셈 역원
자명환이 아닌 환에서 0의 곱셈 역원은 존재하지 않는다. 이는 모든 가역원이 정칙원이라는 명제의 특수한 경우이다. 모든 원소가 곱셈 역원을 갖춘 경우, 특히 모든 체의 경우, 나눗셈을 정의할 수 있는데, 이 경우 나누는수는 0이 될 수 없다. 자명환의 경우 0의 곱셈 역원은 0 자기 자신이 된다.
치환 실례
1차 논리에서, 항 formula_17의, 변수 formula_18 및 항 formula_19에 대한 치환 실례 formula_20는 formula_17 속의 각 formula_22에 formula_23를 넣어 얻는 항이다. 즉, 다음과 같이 재귀적으로 정의된다.
논리식 formula_28의, 변수 formula_18 및 항 formula_30에 대한 치환 실례 formula_31는 formula_28 속의 각 자유 변수 formula_22에 formula_23를 넣어 얻는 논리식이다. 즉, 다음과 같이 재귀적으로 정의된다.
논리식 formula_28 위의, 변수 formula_45의 치환 가능 항()은 다음 조건을 만족시키는 항 formula_17이다.
즉, 다음과 같이 재귀적으로 정의된다.명제
의, 원자 명제 formula_97 및 명제
에 대한 치환 실례는
이다.
A. J. 에이어
초기 논리실증주의자의 대부분은 명제의 의미성을 확인할 때 그 명제의 각 부분이 감각적 경험에 의해 완전하게 검증될 가능성을 요구하였으나, 에이어는 조건을 완화하여 언제나 가설에 지나지 않는 경험과학의 명제는 부분적 검증이 가능하면 유의미, 그것조차 불가능하면 형이상학적 명제라고 하였다. 그리고 윤리적 명제는 주관적 정서의 표현에 지나지 않는다는 이유로 규범학(規範學)으로서의 윤리학의 성립은 불가능하다고 주장하였다.
반증주의
세련된 반증주의자는 과학이 반증 가능성이 반증된 가설들을 대체하기 위해 더 높은 가설들을 제안하면서 발전한다고 주장한다. 특히 과학의 발전은 대담하고 참신한 추측이 입증되거나, 조심스러운 추측이 반증됐을 때 일어난다고 말한다. 따라서 반증주의자들은 반증된 이론에 대한 개선으로서 애드 호크 가설이 아닌 대담한 가설의 제안을 권한다. 이 때 입증이란, 어느 추측이나 가설이 관찰이나 실험에 의한 시험에 반증당하지 않은 경우를 말한다. 또한 대담하다는 것은 당시의 배경 지식에 비추어 볼 때 그럴듯하지 않은 주장을 담고 있는 추측을 말한다. 결국 대담한 추측의 입증은 배경지식이나 배경지식의 일부가 되는 조심스러운 추측의 반증이기도 한 것이다. 반증주의자들은 이러한 대담한 추측의 입증이나 조심스러운 추측의 반증을 통한 과학의 진보를 권하고 있다.
귀납주의에서의 입증과 반증주의에서의 입증은 그 의미가 다르다. 먼저, 귀납주의에서의 입증은 그 반복을 통해 이론의 지지도를 높일 수 있는 유일한 수단인 반면, 반증주의에서의 입증은 기존 가설을 새로운 가설로 대체하기 위한 수단이다. 즉, 여기서 다시 귀납주의의 한계가 드러나는데, 입증이 몇 번이나 반복되어야 가설이 사실로 인정받을 수 있는 지에 대한 기준이 없다. 그렇지만 반증주의에서의 입증의 반복은 이미 배경지식로 인정되어 대담성을 잃은 추측 곧, 조심스러운 추측에 대한 입증이므로 반복을 필요로 하지 않는다. 한마디로, 귀납주의에서의 입증은 과학의 역사와 무관하지만, 반증주의에서의 입증은 과학의 역사와 연관되어있다.
논리학의 역사
양상. 아리스토텔레스에 의하면, 당시의 메가라 학파는 가능태와 현실태의 구별 등 존재하지 않는다고 주장했다[22]. 디오드로스 크로노스는 가능한 것은 현재 존재하는 것 또는 미래에 존재할 것이라고 정의해, 불가능한 것은 미래에 참이 아닐 것이라고 정의해, 부정의 것은 벌써 그런 것 또는 미래에 거짓일 것이라고 정의했다[23]. 디오드로스는 '과거에 존재했지만 모두는 참이자 필연이다', '불가능한 것은 가능한 것으로부터 태어날 수 없다', '현재 존재하지 않고 미래도 존재하지 않을 것은 가능하다'의 3명제는 정립할 수 없다는, 이른바 마스터·아규먼트로도 유명하다. 디오드로스는 이 3명제 중 전이자에게 그럴듯함을 이용하고, 현재 존재하지 않고 미래도 존재하지 않을 것은 불가능하다고 증명했다[24]. 대조적으로 크리십포스는 제2의 전제를 부정하고, 불가능한 것은 가능한 것으로부터 태어날 수 있다고 말했다[25]. 논리 포함. 조건문에 대해 논의한 최초의 논리학자는 디오드로스와 그의 제자 메가라의 피론이다. 세크스트스 엔페이리코스는 디오소로스와 피론의 논의에 세번 언급하고 있다. 참된 조건문은 참으로 시작되고 거짓으로 끝날리가 없다고 피론은 주장했다. 예를 들면 '지금이 일중이라면 나는 이야기를 하고 있다'라는 것처럼. 그러나, 참된 조건문은 참으로 시작되고 거짓으로 끝나는 것이 결코 없는 것이다-그러므로 지금 말한 조건문은 만약 지금이 일중이며 게다가 내가 입을 다물면 가짜가 된다고 디오드로스는 주장했다. 피론의 진위의 기준은 'if ... then'의 오늘 진리 함수의 정의로 되어 있는 것과 같다. 세크스트스는 두 번째에 언급했을 때에 '그에 의하면 조건문이 실로 되는 방법은 3가지 있으며, 거짓이 되는 방법은 하나만 있다[26]'라고 말하고 있다. 의미와 진리. 메가라 스토아 논리학과 아리스토텔레스 논리학의 가장 중요하고 현저한 차이는 전자가 명사는 아니고 명제를 고려해, 그 때문에 근대적인 명제 논리에 가까운 것이다[27]. 스토아파는 아마 잡음인 발화 (phone), 명료하게 발음하고 있지만 무의미한 연설 (lexis), 의미가 있는 발화인 담화 (logos)를 구별했다. 그들의 이론 중 가장 독창적인 부분은 '레크톤'이라고 불리고 있는, 문장으로 표현되는 것은 실재하는 것이라는 설이다. 이는 오늘 '명제'라고 불리는 것에 일치한다. 스토아파에 의하면 의미하는 것, 의미되는 것, 대상의 삼자는 서로 결합되고 있다고 세크스트스는 말하고 있다. 예를 들면 의미하는 것은 '디온'이라는 말, 의미되는 사람은 그리스인이 이해하지만 외국인은 이해하지 않는 것, 대상은 디온 자체이다[28].
결과에 호소
논리학에서는, 결과에 호소과는 전제의 진릿값 (참인지 거짓인지)를 결과에 근거해 논증하고 있는 경우만을 가리킨다. 전제의 적절함 (좋은지 나쁜지, 올바른지 잘못되어 있는지)에 대한 논증은 포함되지 않는다. 그러한 논증은 논리학이 아니고 윤리학의 범주에 있으며, 오류는 아니다. 뿐만 아니라, 귀결주의 등의 이론에서는 중요한 기초가 되고 있다.
결과에 호소에는 2종류의 논증 형식이 있다.
그 구성은 희망적 관측과 밀접하게 관련하고 있다.
힘에 호소 (argumentum ad baculum)는 이 형식의 특별한 예이다.
평균값 정리
다음은 두 번째 명제의 formula_15가 항상 formula_86이거나 항상 formula_87인 경우에 대한 증명이다. formula_58를 편의상 단조증가로 가정하면
가 성립한다. 이것을
로 놓고 다시 쓰면
와 같다. formula_92는 미적분학의 기본정리에 의하여 연속함수이다. 따라서 여기에 중간값 정리를 적용하면 증명이 끝난다.
복소평면 상에서 어떤 점 formula_93을 중심으로 하는 반지름 formula_94인 원 내에서 정칙인 함수 formula_58에 대하여,
반증주의
또한, 반증주의자들은 어떤 상황 아래서 사실이 이론을 의미 있게 지지한다고 말할 수 있는가라는 질문에 귀납주의자보다 더 나은 처지에 있다. 사실이 이론에 대해 엄격한 시험을 구성할 때 그 사실은 이론을 의미 있게 지지한다. 참신한 예측의 입증은 이러한 범주를 구성하는 중요한 요소이다. 이 논리를 더 확장시키면 반복적인 실험이 이론을 더 의미 있게 지지하지도 않는다. 이러한 반증주의자들의 논리는 귀납주의자의 관점으로 설명하기 어렵다.
비토리오 회슬레
"II.3 만약 비가언적인 선험적 인식이 존재한다면, 그것의 법칙들은 동시에 현실의 법칙들이다."
전건긍정식에 따라 다음과 같은 명제가 따라나온다.
"III. 비가언적인 선험적 인식이 존재하며, 그것의 법칙들은 동시에 현실의 법칙들이다."
위와 같은 명제는 비가언적인 선험적 인식에 대한 명제로, 가언적 증명방식을 통한 연역적 방식에 의해서는 증명될 수 없다. 가언적 증명방식에서 우리는 무한퇴행에 빠지거나, 독단적으로 그 퇴행을 단절시키거나, 또는 전제들을 증명하기는 하지만, 그 전제의 결론을 근거로 두기 때문이다. 무한퇴행, 독단적 단절, 순환논증이라는 뮌히하우젠-트릴레마를 벗어나기 위해서는, 일반적인 연역적 방식과 다른 방식이 필요하다. 이 트릴레마를 벗어나 비가언적인 선험적 인식을 논증하기 위해 그는 일반적인 연역과는 다른 논증방식을 택한다. 그는 뮌히하우젠 트릴레마로부터 나오는 선험적 인식의 불가능성에 대한 명제로부터 시작한다.
"I.1 어떠한 비가언적인 선험적 인식도 존재할 수 없다."
뮌히하우젠 트릴레마로부터, 비가언적 선험적 인식에 대한 불가능성, 즉 필연적으로 받아들여져야 하는 어떠한 선험적 종합인식도 존재할 수 없다는 것이 이야기된다. 그런데 “어떠한 비가언적인 선험적 인식도 존재할 수 없다”는 명제는 자기 모순적인데, 이 명제는 확실히 선험적 종합명제임에도 선험적 종합명제의 가능성을 부정하기 때문이다. 여기서 이 명제는 정언적인 형태로 주장되지만, 모든 선험적 인식이 가언적이라고 주장함으로써, 이 명제 자신은 그 자신조차도 가언적인 명제임을 주장하게 된다. 여기서 이 명제(그리고 뮌히하우젠 트릴레마 또한)가 근거하는 전제는 모든 인식이 공리-연역적으로 진행된다는 것이다. 따라서 이 명제는 절대적인 것이 아니라, 오직 모든 인식이 공리-연역적으로 진행된다는 전제하에서만 가능한 것이며, 따라서 다음과 같은 명제를 말할 수 있다.
"I.2 일정한 전제 아래에서는 어떠한 비가언적인 선험적 인식도 존재하지 않는다. 다른 전제들 하에서는 그러한 인식들이 존재한다."
따라서 I.3(비가언적인 선험적 인식이 존재한다)은 오직 가언적으로만 반박될 수 있다. 이제 I.3은 불가능한 것이 아니라 가능한 것이다. 그런데 I.2에서는 I.1과 같은 모순이 있다. 그것은 비가언적인, 즉 무전제적인 인식이 존재한다면, 그러한 인식은 전제들에 의존할 수 없다는 것이다. 전제에 의존하는 것은 무전제적인 인식이라는 것은 모순이기 때문이다. 따라서 무전제적인 인식이 존재하거나, 그러한 인식이 존재하지 않아야 한다. 그러나 무전제적인 인식이 존재하지 않는다는 것은 I.1에서 일관되지 않은 것으로 증명되었으므로, 무전제적인 인식이 존재해야 한다. 따라서,
"I.3 비가언적인 선험적 인식이 존재해야만 한다."
그러나 I.3에 대해, 이 선험적 인식이 단지 우리의 사유의 법칙일 뿐이며 현실과 관련이 없을 수 있다는 반론이 있을 수 있다는 주관적 관념론(칸트와 같은)의 반박이 있을 수 있다. 이는 주관적 관념론의 근본명제로 표현될 수 있다.
"II.1 만약 비가언적인 선험적 인식이 존재한다면, 그것의 법칙들은 현실과 아무런 관련도 가질 수 없을 것이다."
이 명제는, 우리가 필연적이지만 주관적일 뿐인 사유의 법칙에 따라 사유해야만 하고 따라서 현실의 법칙을 인식할 수 없다는 주관적 관념론의 사상을 나타낸다. 그러나 우리가 현실의 법칙을 인식할 수 없다면 그것이 우리의 사유법칙과 다르다는 것 또한 알 수 없을 것이다. 따라서 다음과 같은 명제에 도달한다.
"II.2 만약 비가언적인 선험적 인식이 존재한다면, 그것의 법칙들은 가능한 한에서 현실과 아무런 관련도 가질 수 없을 것이다."
비가언적 선험적 인식이 현실과 관계맺을 수 있는 가능성이 생겨났다. 그러나 II.2 또한 II.1과 마찬가지로 일관적이지 못하다. 현실의 법칙이 가능한한 사유의 법칙과 구별된다는 표상은 사유행위이다. 이러한 사유행위 속에서는 사유법칙들을 넘어서는 관점이 관계된다. 이때 이 사유법칙들은 필연적이고 무전제적인 사유법칙이 아니며, 그것들을 넘어서는 관점과 관계하는 것은 정당하다. 따라서 II.2, 그리고 더 나아가서 II.1은 I.1 또는 기껏해야 I.2로 환원된다. 따라서 비가언적인, 즉 절대적으로 타당한 선험적 인식이 존재하거나(이 인식은 동시에 존재론적 기능을 가진다), 또는 존재하지 않는다. 그런데 I.1과 I.2가 일관되지 못한 것으로 증명되었기 때문에, 남아 있는 것은 다음의 명제이다.
"II.3 만약 비가언적인 선험적 인식이 존재한다면, 그것의 법칙들은 동시에 현실의 법칙들이다."
I.3에서 II.3의 조건이 충족되어있으므로, I.3과 II.3으로부터, 객관적 관념론의 사상이 증명된다.
"III 비가언적인 선험적 인식이 존재하며, 그것의 법칙들은 동시에 현실의 법칙들이다."
반증주의
 귀납법을 부정하기 위해 반증주의자들이 취했던 주장, 관찰은 이론 의존적이라는 사실이 반증주의 또한 부정한다. 반증할 과학적 이론을 A라고 하자. 관찰을 통해 얻어낸 진술을 b라고 하자. b가 A를 반증할 때, b또한 다른 이론에 의존적이기에 반드시 A가 파기되거나 대체되어야 하는 것은 아니다. A에 의해 b도 반증될 수 있는 것이다. 예를 들어 현대과학이 인정하는 달의 크기가 우리가 밤하늘에서 바라본 달의 크기와 모순되지만 이 경우 우리의 관찰이 무시되는 것이지 달의 크기에 대한 이론은 반증되지 않는다. 이 경우 반증은 이론에 대해 무의미하다.
 실제로 과학에서 사용되는 진술들은 ‘모든 백조는 희다’ 같은 진술보다 훨씬 복잡하다. 예를 들어 실험을 수행하는 경우에는 도구에 수반되거나 실험에 필요한 보조 가설들과 초기 조건들이 전제된다. 뒤엠은 이 때 실험 결과가 이론에 모순된다면 이것이 이론의 반증을 뜻하는 것인지 보조 가설이나 초기 조건이 틀렸다는 것을 의미하는 지 알 수 없다고 지적했다. 즉, 이론 T가 보조 가설A를 전제로 E라는 결론을 내릴 때 실험결과가 E를 부정한다 해도, 아래의 논리 전개에서 알 수 있듯이,
우리는 A가 틀렸는지 T가 틀렸는지 혹은 모두 틀렸는지 알 수 없다. 콰인은 더 나아가 사례와 이론의 충돌이 이론에 대한 반증이 아닌 논리학의 법칙을 반증하는 것일 수 도 있다고 지적했다. 콰인은 만약 개별 이론을 포기하는 것보다 논리학의 법칙을 무시하는 게 더 편리하다면 그렇게 하는 것이 훨씬 합리적이라고 주장했다. 이런 뒤엠과 콰인의 지적은 달리말해 시험에 의해서 이론을 완벽하게 반증할 수 없다는 것을 의미한다. 실제로 포퍼 또한 이런 점을 인정했고 다음과 같이 주장했다. 이론을 반증할 수 있는 일련의 관찰 언명이나 실험 언명의 집합이 있다는 것은 확실하므로 그 이론에 관련된 과학자들의 집단이 결국은 이론에 대한 반증 혹은 입증될 수 있는 하나의 방식에 동의하게 될 것이다. 따라서 과학자 집단의 상호 주관적 일치가 이루어져야만 과학에서 반증은 가능해 질 것이다. 
 이 이야기는 라카토슈가 반증주의의 한계를 지적하기 위해 만들어낸, 특히 뒤엠/콰인의 논제를 잘 드러내는 행성의 운동에 대한 공상적인 이야기이다. 아인슈타인 이전의 한 물리학자가 뉴턴 역학과 그의 만유인력의 법칙 N, 받아들여지고 있는 초기 조건 I를 근거로 하여 행한 계산에 의해 새로 알아낸 행성 P의 진로를 제시하였다. 그러나 행성은 이를 따르지 않았다. 그렇지만 이 물리학자는 반증을 이론 N에 대한 것으로 받아들이지 않았다. 그는 알려지지 않았던 행성 P’ 이 존재해야 하며, 이 행성이 P의 진로를 교란시켰다고 주장했다. 그는 P’의 이론적 질량, 궤도 등을 계산하여 실험 천문학자들에게 시험을 의뢰했다. 행성 P’가 너무나 작아 관찰할 수 없었으나 수년 뒤 개선된 망원경을 통해 관찰할 수 있기에 이르렀다. 그러나 행성 P’는 발견되지 않았다. 그럼에도 불구하고 이 물리학자는 우주먼지 때문에 그 행성을 볼 수 없다는 주장을 제시했다. 그는 우주먼지의 위치와 성질을 추정하고 이를 시험할 인공위성을 쏘아 올렸다. 그러나 우주먼지는 발견되지 않았다. 이 물리학자는 또 한 번 우주의 어느 지역에 존재하는 자력장이 인공위성의 측정을 방해한다고 주장했다. 새로운 인공위성이 쏘아 올려 졌고, 자력장은 발견되지 않았다. 그렇지만 이 과학자는 포기하지 않고 다른 보조 가설들을 끊임없이 제시할 것이다.
반증주의
우선, 실험 결과는 이론 의존적이며 오류를 범할 수 있다. 이것은 과학이 전혀 문제없는 사실에 기초한다는 귀납주의와 반대된다. 하지만 반증주의자들은 이론뿐만 아니라 사실도 오류를 범할 수 있다는 것을 인정한다. 반증주의자들은 진리를 증명하려고 하지 않고 과학의 개선과 진보를 추구할 뿐이다.
2차 논리
2차 논리의 증명 체계()는 (순수한 논리 기호만 포함하는, 즉 변수 및 formula_94만을 포함하는) 2차 논리 명제에 대하여 증명을 제시하거나 또는 제시하지 않는 함수이다. 증명 체계가 증명을 제시하는 명제를 증명 가능 명제()라고 한다. 여기서 "증명"이란 (주어진 알파벳에 대한) 일련의 문자열을 뜻한다.
전능 역설
통상적으로 전능의 역설은 전능자가 자신이 들어올릴 수 없는 바위를 만들 수 있는가 하는 물음으로 표현된다. 이 물음은 다음과 같이 분석할 수 있다.
이것은 또다른 고전적인 역설인 저항할 수 없는 능력의 역설을 반영한다. 그 역설은 저항할 수 없는 능력과 절대 움직이지 않는 것이 만나면 어떻게 되는가 하는 것이다. 그에 대한 하나의 답변은 다음과 같다. 만약 저항할 수 없는 힘이 있다면 애초에 진정한 절대 움직이지 않는 것은 존재하지 않게 된다. 반대로 절대 움직이지 않는 것이 존재한다면, 진정한 저항할 수 없는 힘은 존재하지 않게 된다. 전능의 역설은 또 다른 비슷한 철학적인 역설인 할아버지의 역설과 관련되어있다. 전능성에 대한 일상적인 정의 속에는 종종 시간여행 능력이 포함되어있다.