그래핀의 결정 구조는, 한 꼭짓점에 세 개의 결합이 붙는 원자 구조(sp2 결합)에 의해 육각형 형태의 연결이 2차원 방향으로 뻗어나간 모양을 하나요?
그래핀
그래핀의 결정 구조는, 한 꼭짓점에 세 개의 결합이 붙는 원자 구조(sp2 결합)에 의해 육각형 형태의 연결이 2차원 방향으로 뻗어나간 모양을 한다. 결과적으로 넓게 퍼진 벌집 모양의 2차원 결정 모양을 갖게 된다. 그래핀이 원자 하나 두께의 얇은 막으로 존재하는 이유는 이 때문이다. 이 때문에 그래핀은 안정적인 분자 구조로 존재할 수 있는 세상에서 가장 얇은 재질이 된다.
수소
양성자 하나와 전자 하나만으로 구성되는 비교적 간단한 원자 구조 때문에, 수소 원자와 수소 원자가 내는 스펙트럼은 원자 구조 이론의 발전에 중심이 되어 왔다. 게다가 그에 따르는 수소 분자와 그 양이온 H의 간단함은 화학 결합의 본질에 대해 더 완전히 이해할 수 있도록 해 주었다. 이 간단함으로 인해 수소 양이온과 수소 분자 양이온에 대해 슈뢰딩거 방정식의 완전해를 구할 수 있다.
평면의 결정군
간단히 말하자면, 패턴의 대칭성이란 패턴에 어떤 변환을 가했을 때, 변환한 후에 원래와 같은 패턴이 나타나게 하는 변환을 말한다. 예를 들면, 평행이동의 대칭성은 패턴을 일정한 거리만큼 이동한 후에도 모양이 변하지 않을 때를 나타낸다. 수직 줄무늬들로 이루어진 패턴을 줄무늬끼리의 간격만큼 수평으로 이동하는 변환을 생각하자. 이 변환에 의해 수직 줄무늬 패턴은 변하지 않는다. 엄밀하게 말해서, 대칭은 정확하게 반복되는 무한히 연속적인 패턴에서만 존재한다. 자, 다섯 개의 줄무늬를 생각해 보면, 같은 평행이동이 대칭성을 갖지 않는다. 왜냐하면, 변환 후, 첫 번째 줄무늬는 "사라지고" 새로운 줄무늬가 끝에 "더해지기" 때문이다. 그러나 실제로는 분류는 유한의 형태에 대해서도 대칭성을 적용하고 작은 결함은 무시할 것이다.
K·p 섭동 이론
가장 기본적인 경우로, 스핀-궤도 결합 formula_13를 무시한 경우를 생각히 보자. 만약 결정 구조가 원점 대칭을 가진다면, parity에 의해 formula_14 이 성립한다. 즉, 에너지 1차 섭동은 0이다. 에너지 2차 섭동은 다음과 같다.
디바이 모형
부피가 formula_1이고, formula_2개의 입자로 이루어져 있는 결정을 생각하자. 결정 속 포논이 다음과 같은 선형 분산 관계를 가진다고 하자.
여기서 formula_4는 디랙 상수, formula_5는 결정 속 음속, formula_6는 포논의 파수 벡터이다. (물론 실제 포논의 분산 관계는 비선형이지만, formula_7가 매우 작은 경우에는 분산 관계를 대략 선형으로 간주할 수 있다.)
초타원 곡선
표수가 2인 경우, formula_22는 이 두 아핀 열린집합에서 다음과 같은 꼴이다.
이 경우 formula_2를 구성하는 두 아핀 열린집합은 다음과 같이 붙여진다.
즉, 다음과 같다.
표수가 2가 아닌 경우, 항상
를 통해 formula_47으로 놓을 수 있다.
공간군
3차원에서의 공간군은 (7 결정계에 속한) 14 브라베 격자와 32 결정학적 점군의 조합으로 이루어진다. 따라서 공간군은 lattice centering과 점군의 회전, 반사, 회전반전 대칭 조작을 갖는 단위 격자의 병진대칭(반복)으로 나타난다. 더욱이, 공간군에서는 점군과 달리 병진의 요소가 있기 때문에 점군에 없는 대칭 조작이 나타나는데, 회전 조작과 병진이 결합한 나사축과 반사 조작과 병진이 결합한 미끄럼면이 바로 그것이다. 이 대칭 조작들의 조합으로 결정이 가질 수 있는 230개의 공간군을 모두 표현할 수 있다.
이산화 탄소
분자의 형태는 직선형이며, 탄소 원자와 산소 원자간의 결합 길이는 1.62Å이다. 고체는 분자성 결정의 형태로 존재한다.
피라노스
피라노스의 입체구조를 명명하기 위해, 먼저 형태이성질체를 결정한다. 일반적인 형태이성질체는 사이클로헥세인에서 발견되는 것과 유사하며, 이들은 명칭의 기초를 제공한다. 일반적인 입체구조는 의자형(C), 배형(B), 비뚤어진 배형(S), 반쪽의자형(H), 봉투형(E)이다. 그 다음 고리의 원자에 번호를 매기는데, 아노머 또는 헤미아세탈 탄소가 항상 1번이다. 구조 내의 산소 원자는 일반적으로 비고리 형태로 부착된 탄소 원자에 의해 언급되며 O로 표시된다. 나머지 사항들은 다음을 참조한다.위의 그림에서 상대적인 구조 에너지가 나타내는 것처럼 의자형은 가장 안정한 탄수화물 형태다. 비교적 안정된 의자형은 피라노스 고리의 수소 원자가 서로에 대해 상대적으로 일정한 각도로 유지된다는 것을 의미한다. 탄수화물에 대한 핵자기공명은 이면각을 이용하여 고리 주위의 하이드록시기의 입체배치를 결정한다.
결합 도식
크기 2의 결합 도식은 다음 두 가지가 있다.
(가)는 자명한 결합 도식이며, (나)는 이산 결합 도식이다. (가)는 대칭 결합 도식이지만, (나)는 균등 결합 도식이 아니다.
사플루오린화 황
사플루오린화황(화학식: SF)은 플루오린과 황의 화합물로, 황 원자를 중심으로 플루오린 원자가 삼각쌍뿔의 삼각면에 한개를 빼고 채워진 시소형의 구조를 취하고 있다. 원자가껍질 전자쌍 반발 이론에 의해 설명된다. 원자가 전자가 6개, 결합하는 플루오린의 전자가 4개이기 때문에 분자의 전자쌍은 비공유전자쌍 1쌍, 공유전자쌍 4쌍이 되므로 삼각쌍뿔형으로 배치되며 비공유전자쌍의 반발이 더 커 비공유전자쌍이 평면에 놓이는 이 구조가 가장 반발하는 구조이다.
일반화 다각형
다각형, 즉 어떤 순환 그래프를 구성하는 결합 구조는 일반화 다각형을 이룬다.
원자 궤도
결정성 고체에 포함 된 원자는 여러 기본 설정된 축을 느끼지만 종종 선호하는 방향이 없다. 반경 함수와 단일 구형 고조파의 결과로 원자 궤도를 만드는 대신 구형 고조파의 선형 조합을 사용하여 구형 고조파의 허수 부분을 상쇄한다. 이러한 실제 궤도는 궤도 시각화에서 가장 일반적으로 나타나는 구성요소이다.
원자 궤도
중심원자가 옥텟규칙을 만족하지 않는 분자 중에 중심원자가 여섯 개의 전자쌍을 가지는 것도 있다. 이 경우 중심원자에 의해서 분자는 팔면체 구조를 하게 된다. 이 분자의 중심원자는 d²sp³혼성화 되어있다. d²sp³혼성오비탈은 한 개의 s오비탈, 세 개의 p오비탈, 두 개의 d오비탈이 혼성됨으로써 형성된다. 중심원자 주위의 여섯 개의 유효 전자쌍은 d²sp³혼성화를 통해 팔면체 형태의 배열을 가지게 된다.
d²sp³혼성화 된 대표적인 분자로는 SF₆가 있다. SF₆분자는 중심원자인 황의 d²sp³혼성오비탈과 플루오린의 sp³혼성오비탈이 전자쌍을 공유하면서 여섯 개의 시그마결합을 형성한다. 황과 결합한 플루오린의 나머지 sp³오비탈에는 고립전자쌍이 채워진다.
또 다른 분자로는 XeF₄가 있다. 중심원자인 제논 주위에는 여섯 개의 전자쌍이 있다. 이들은 전자쌍반발을 최소화하여 안정된 분자로 존재하기 위해 팔면체구조를 형성한다. 중심 원자 제논은 팔면체 구조를 형성하기 위하여 d²sp³혼성화되고 혼성화된 여섯 개의 d²sp³혼성오비탈 중에 네 개는 플루오린의 sp³혼성오비탈과 시그마결합을 형성하고 나머지 두 개의 d²sp³혼성오비탈은 고립전자쌍으로 채워진다. 따라서 XeF₄는 겉보기에는 평면사각형구조를 하고 있지만 실제로는 중심원자가 d²sp³혼성화되어 있는 분자이다.
구조 이성질체
이는 위상수학의 개념을 도입하여 설명한다. 원자를 점으로 표현하고, 결합을 선으로 표현한 그래프로 분자를 나타낼 때, 실제 입체 구조는 무시하고 결합 관계가 서로 다른 분자는 구조 이성질체 관계에 있다. 이 때, 다중의 공유 결합은 다른 종류의 선으로 구분한다. 이성질체 중 구조 이성질체는 아니지만, 3차원 공간에서 어떤 입체 배치를 취해도 겹쳐지지 않는 경우 입체 이성질체라고 부른다.
원자 궤도
슈뢰딩거 방정식에 의해 도출된 양자수에 의하면 p오비탈에서 주양자수n=1에 해당하는 1p오비탈은 존재하지 않으며 2p오비탈부터 존재한다. p오비탈은 핵을 지나는 마디로 분리된 두 로브로 이루어진 아령 모양이다. 좌표축계에서 두 로브가 놓인 축에 따라 p오비탈의 이름을 붙인다. 로브가 위치한 삼차원 공간상의 영역에 따라 양과 음의 부호(위상)가 결정된다.
s오비탈의 경우와 같이 주양자수n값이 커질수록 원자모형의 크기가 커진다. 그리고 3p, 4p...오비탈에는 마디가 존재하여 2p오비탈보다 복잡한 확률분포를 가지고 있다.
사방정계
사방정계는 3개의 벡터로 결정 구조를 기술하는 7 결정계 중의 하나이다. 사방정계는 입방정계(정육면체 모양)에서 두 개의 벡터를 서로 다른 길이로 잡아늘린 모양이다. 따라서 직사각형을 밑면으로 하는 사각기둥의 모양이며, 밑면의 양 변의 길이와 높이는 서로 다르다. 입방정계에서 길이만 달라지고 각은 변하지 않으므로 세 벡터는 여전히 직교한다.
고체물리학
고체 결정 내 원자들간의 인력은 매우 다양한 형태를 가진다. 그 한가지 예로서 흔히 소금이라고 불리는 염화나트륨이 있다. 이 결정은 염소 이온과 나트륨 이온의 이온결합으로 이루어져 있다. 원자들은 또한 서로간에 전자를 공유하여 공유결합을 이루기도 한다. 금속에서는 금속 결합이 이루어지는데, 이는 전자들이 결정 구조 내에서 공유되는 것을 말한다. 마지막으로 비활성 기체는 어떠한 종류의 결합도 가지지 않는다. 고체형태 내에서, 비활성 기체는 오로지 2분자의 전기적 쌍극자-쌍극자 상호작용에 의해 생기는 반 데르 발스 힘에 의해서만 발생한다. 고체의 특성의 차이는 바로 이러한 원자들간의 결합 방식에 따라 결정된다.
구조 인자
결정의 원시세포 내에 formula_1개의 입자들이 formula_2에 위치한다고 하자. 그렇다면 이 결정 구조의 구조 인자 formula_3는 입사 파수 변화 formula_4에 대한 복소 함수로, 다음과 같다.
양자 얽힘
와 같은 관계를 가지고 있으므로, 스핀 단일 상태()는
와 같이 표현될 수 있다.
원자 궤도
p, d, f 오비탈의 모양은 구두로 여기에 설명되어 있으며 아래의 오비탈 표에 그래픽으로 표시되어 있다. n = 2에 대한 세 개의 p 오비탈은 핵에서 접점이 있는 두 개의 타원체의 형태를 가진다. (두 개의 잎 모양이 때로는 "덤벨"이라고도 함) - 서로 반대 방향을 가리키는 두 개의 돌출부가 있다 ). 각 쉘의 3개의 p 오비탈은 m의 값의 각각의 선형 조합에 의해 결정되는 바와 같이, 서로 직각으로 배향된다. 전체 결과는 기본 축의 각 방향을 따라 가리키는 로브이다.
양자 스핀홀 효과
그래페네는 극도로 약한 스핀-궤도 결합을 지니므로 그것은 오늘날의 기술로 달성가능한 온도에서 양자 스핀 홀 상태의 존재를 위해 제안된 매우 현실적인 이론적 제안이 BHZ(베르네비히, 휴즈와 장)에 의해 얇은 (5~7nm)의 HgTe 박막이 CdTe 박막사이에 끼어있는 카드뮴 텔루라이드/수은 텔루라이드/카드뮴 텔루라이드(CdTe/HgTe/CdTe) 3층 구조 내에 전향적으로 놓였다. 변하는 HgTe 두께의 다른 양자 우물이 만들어질 수 있다.
평면의 결정군
독립적인 변환을 지닌 결합에서 불연속성 조건에서의 명백하지 않은 중요한 결과는 그룹은 오직 2,3,4 또는 6번의 회전을 포함할 수 있다는 것이다.
이것은 즉 그 그룹에 모든 회전은 180`,120`,90`또는60`로 회전된다. 이 사실은 crystallographic 제한적 이론으로 알려져 있다. 그리고 이 사실은 고차원의 경우에 대해서도 일반화된다.
원자 궤도
s, p, d 및 f "블록"의 출현뿐만 아니라 궤도 작성의 "주기적인"특성은이 채움 순서가 새로운 형태의 주 양자 수의 증가와 함께 행렬 형태로 주어지면 더욱 분명하다 . 그런 다음, 각 서브 쉘 (처음 두 개의 양자 수로 구성됨)은 포함 할 수 있는 각 전자 쌍에 대해 필요한만큼 반복된다. 결과는 압축 된 주기율표이며 각 항목은 두 개의 연속적인 요소를 나타낸다.
평면의 결정군
수학적으로 벽지군 또는 평면결정군은 두 개의 선형 독립인 평행이동(translation)을 포함하는 유클리드 평면의 등장변환의 위상적인 이산 군의 한 유형이다. 이러한 두 등장변환 그룹들이 만약 평면에서 같은 아핀변환을 가진다면 같은 유형(같은 벽지군)이다. 그러므로 평면의 평행이동이(그대로 반영하는 이동(mirror)과 중심에 대하여 이동시키는 변환(rotation)은 월페이퍼 그룹에 영향을 미치지 않는다. 평행이동 벡터들 사이의 각의 변화들에 대한 같은 적용은 그것들이 더해지지 않거나 어떠한 대칭을 제거하지 않는다는 것을 제공한다.(이것은 그대로 반영하는 이동이 없거나 미끄러지는 반사가 없거나, 회전 반사가 최대한 2차원인 경우뿐이다.) 3차원에서의 경우와 같지않게, 원래의 것을 보존하는 것들에 대하여 아핀변환을 동등하게 제한할 수 있다. 모든 월페이퍼 그룹들은 추상적인 그룹들(두 개가 Z에 대하여 같은 모양을 가지는 띠모양 장식 그룹들에 대항하는 그룹)이라 할지라도 다르다는 비버바흐(Bieberbach) 정리를 따른다. 두배의 이동 대칭을 가지는 2차원 유형들은 그들의 대칭그룹의 유형에 따라 분류될 수 있다.
부합 (그래프 이론)
(유한 또는 무한) 그래프 formula_1 위의 두 부합 formula_20에 대하여, 그래프
를 생각하자. 그렇다면, formula_22은 다음과 같은 종류의 연결 성분들로만 구성된다.
평면의 결정군
평면의 결정군(平面-結晶群) 또는 평면의 대칭군, 벽지군은 2차원 평면을 채우는 반복적인 패턴에 대해, 이 패턴들을 각 패턴이 가지고 있는 대칭성을 기준으로 하는 군으로 분류하는 방법이다. 이 패턴들은 총 17개의 군으로 분류할 수 있다. 평면의 결정군은 2차원 공간군에 속한다.
질화 붕소
압력과 온도에 따라 3가지 결정구조를 지님. (육방정 결정구조 , 큐빅형 결정구조, 울짜이츠 결정구조) 일반적으로 말하는 질화붕소는 육방정 결정구조를 지닌 질화붕소를 뜻함.
순환 그래프
크기가 formula_1인 순환 그래프 formula_2은 다음과 같은, formula_1개의 꼭짓점
으로 구성된 (단순 무향) 그래프이며, 그 변은 다음과 같다.
그래핀
그래핀이 주목받은 이유는 다음의 뛰어난 특성들 때문이다. 그래핀은 200,000cm2/V•s의 매우 높은 전성(intrinsic) 전자이동도[2][3], ~5000 W/m•K의 높은 열전도도[4], ~1.0 TPa의 영 계수[5] 를 갖고 있으며 이론적 비표면적 또한 매우 크다. 또한 한 층으로 구성되어 있기 때문에 가시광선에 대한 흡수량이 매우 낮아 550nm의 파장을 갖는 빛에 대한 투과율이 97.7%로 확인되었다.[6]
단백질의 구조
나선 또는 병풍의 구조를 가진 폴리펩타이드들에서는 이들 간의 상호 작용의 결과로 더 복잡한 구형의 구조가 만들어진다. 즉, 2차 구조인 알파 나선 구조나 베타 병풍 구조는 뒤틀리거나 서로 결합하여 공 모양의 입체 구조를 만들 수 있다. 이렇게 형성된 복잡한 3차원 적 구조를 3차 구조라고 한다.
그래핀
그래핀 상용화의 걸림돌 중 하나는 큰 면적의 그래핀을 만들기가 힘들었다는 점이었다. 현재 가장 넓은 면적의 그래핀을 만드는데 성공한 것은 화학증착법에 의하여 구리 호일에 그래핀을 형성한 후 롤투롤(roll-to-roll) 공정에 의하여 구리 호일을 제거하고 원하는 표면에 그래핀을 증착시키는 방식이다.[14] 이는 일반적인 라미네이팅 공정에서 쓰이는 기계 장비로 제조가 가능하여 상업화에 가까이 다가섰다는 평가를 받는다.
세포
2차구조에 의해, 나선이나 병풍구조 혹은 아무 규칙성이 없이 아무렇게나 꼬여있는 상태를 만들게 되고, 대표적인 예로 사람의 손톱과 모발을 구성하는 단백질인 케라틴을 들 수 있다.
트립토판케이지
트립토판 케이지는 글리신 1개(Gly-11)과, 프롤린 3개(Pro-12, 18. 19)로 구성된 소수성 핵을 갖고 있으며, 티로신(Tyr-3)과 트립토판(Trp-6)의 방향족 측쇄를 갖고 있다. 트립토판 케이지의 2차구조는 2번에서 8번 아미노산의 알파나선 구조와 11번에서 14번에 이르는 3 나선구소와 C 말단부의 다-프롤린Ⅱ 나선이 있다. 안정성 자료는 접힌 상태에서 아스파르트산(Asp-9)과 알기닌(Arg-16)이 염다리로 연결되어 있음을 시사하고 있다.
육플루오린화 제논
육플루오린화 제논(Xenon hexafluoride)은 제논 1개 원자와 6개의 플루오린원자가 결합한 화합물이다. 플루오린의 배열은 원자가껍질 전자쌍 반발 이론에 따라 오각뿔을 이룰 것으로 예측되지만 팔면체형인데 정팔면체는 아니고 약간 찌그러진 팔면체로 배열된다.
헤테로고리 화합물
헤테로고리 화합물(Heterocyclic compound)은 고리 화합물 중 고리를 이루는 원소가 2개 이상인 화합물이다.
벤젠
평면 정육각형구조를 이루고 있다. 결합길이는 여섯개 모두 같고, 단일결합과 이중결합의 중간 정도의 길이이다. 공명구조를 이루고 있기 때문에, 매우 불안정하여 공명구조가 유지되지 않는 첨가반응보다는 공명구조가 유지되는 치환반응을 잘한다.
고리형협동반응
고리형협동반응(Pericyclic Reaction)은 n각 고리 구조의 전이상태를 거치는 모든 화학반응을 아우르는 단어다. Stepwise가 아닌 concerted 반응이며, 고리형협동반응은 아래와 같이 시그마결합과 파이결합의 갯수 변화에 따라 반응 종류를 나눌 수 있다.
다항식환
(formula_2는 형식적 기호)꼴의 식들이 상식과 일치하는 덧셈과 곱셈에 의해 이루는 환이다.
탄수화물
선형 구조의 단당류에서 알데하이드 또는 케톤은 분자 내 다른 탄소의 하이드록시기와 가역적으로 반응하여 두 탄소 원자 사이에 산소를 갖는 헤테로고리 구조인 헤미아세탈 또는 헤미케탈을 형성한다. 5개의 원자를 잦는 고리는 푸라노스, 6개의 원자를 갖는 고리는 피라노스로 불리며, 이러한 고리형은 선형과 평형 상태로 존재한다.
그래핀
분류:단분자층 분류:반도체 재료 분류:방향족 화합물 분류:탄소 동소체
아핀 변환
에 대응하는데, 이는 선형성을 만족한다. 원점과 기저 벡터가 (임의로) 주어질 때(아핀 좌표계), 각 점들은 유일한 좌표를 부여받는다. 이 때 formula_3는 선형 변환과 평행 이동 변환의 합성으로 표현할 수 있다. 즉,
클로르헥시딘
구조는 헥사메틸렌다이아민(HMDA) 스페이서와 연결된 2개의 프로구아닐 분자에 기반한다.
침식 (형태학)
이진 형태학에서, 이미지는 어떤 "d"차원의 유클리드 공간 formula_1이나 정수 격자 formula_2의 부분집합이다.
이합체 모형
즉, 이는 2차원 이징 모형의 임의의 상태에서, 각 스핀 사이의 변을
칠한 뒤, 각 꼭짓점을 위와 같은 8개의 나비 그래프 가운데 하나로 치환하면, 이징 모형의 각 상태와 피셔 격자의 완벽 부합 사이의 2대 1 대응을 얻는다. (2대 1인 것은 이징 모형의 상태에서 모든 스핀을 뒤집어도 같은 완벽 부합에 대응하기 때문이다.)
사이클로헥세인
사이클로헥세인 또는 사이클로헥세인 형태의 구조를 가진 고리 화합물의 의자 모양 입체 배치에서, 치환기는 고리가 이루는 평면과 평행한 방향의 치환기와 수직인 치환기로 구별된다.고리가 이루는 평면과 평행한 것을 적도 방향 (equatorial), 수직인 것을 축 방향 (axial)이라고 부른다. 고리뒤집기에 의해 전환될 수 있다.
단백질의 구조
특정 폴리펩타이드 내에서 아미노산들이 정해진 순서대로 배열된 상태를 1차 구조라고 한다.
폴리펩타이드를 구성하고 있는 아미노산들의 서열(배열)은 생명체가 가진 유전 정보에 따라 결정되는데, 이는 생물의 DNA 속의 유전자에 저장되어 있다. 아미노산이 가지는 다양한 종류의 곁사슬은 폴리펩타이드의 형태와 기능에 영향을 미친다. 많은 폴리펩타이드들이 일단 만들어 진 후 안으로 굽히거나 접혀서 둥근 공의 형태를 갖게 되며 내부의 아미노산들이 이웃한 다른 아미노산들과 결합하기도 한다.
스핀 접속
그렇다면, 각 점에서 필바인은 접공간의 기저를 이루므로, 다음을 정의할 수 있다.
즉,
여기서 formula_11는 (formula_12로 정의된 리만 계량에 대한) 크리스토펠 기호, formula_13는 필바인이다.
합성 고분자 화합물
고분자 중합체 분자의 형상은 단위체가 잇따른 사슬 모양으로 중합한 사슬 모양 구조와 그 사슬 분자 사이가 공유결합에 의하여 다리로 된 3차원적 그물 모양 구조를 가진 것으로 크게 나눈다. 그 중간에 있는 가지 구조를 가진 것도 중합 과정에서 복반응 생성물로 생기기도 한다. 
상피 조직
원주 모양 세포로 되어 있는데, 단면은 다각형이다. 분비나 능동적 흡수가 일어나는 곳에서 주로 관찰된다. 영양소의 흡수와 소화액의 분비가 주된 기능인 장의 상피에서 관찰된다.
이징 모형
만약 formula_66가 formula_25개의 꼭짓점을 갖는 순환 그래프라고 하자. 이 경우
이다. 이는 2×2 대칭 행렬
로 표현될 수 있다. 그렇다면
이다.
필바인
필바인을 이용하여 스핀 접속을 접다발 formula_12으로 확장할 수 있다. 즉 임의의 접다발 미분가능 단면 formula_31에 대해 다음과 같이 정의한다.
필바인은 평행이동의 게이지장이고, 스핀 접속은 로런츠 변환의 게이지장이다.
황산 칼슘
황산칼슘은 수화 정도에 따라 세가지의 결정구조를 가지고 있다.
파프 방향
그래프 formula_1 위의 유향 그래프 구조를 그래프의 방향()이라고 한다. formula_1의 방향은 부분 집합
로 표시된다.
구면 모형
구면 모형은 다음과 같은 데이터로 주어진다.
이 모형에서, 변수는 그래프 꼭짓점 위의 “스핀”의 분포이다. 여기서 “스핀”은 임의의 실수 값을 가질 수 있지만, 모든 스핀들의 제곱평균제곱근은 1이어야 한다.
즉, 짜임새 공간은 유클리드 공간 formula_8 속의, 반지름 formula_9의 초구이다.
밀접 결합 근사
계의 해밀토니언이 다음과 같다고 하자.
여기서 formula_2은 결정 격자의 모든 격자 벡터 formula_3에 대한 합이고, formula_4은 각 이온의 해밀토니언이다. formula_5는 이온 사이의 상호작용을 나타내고, 결정 구조의 대칭을 따른다.
프럭토스
프럭토스는 6개의 탄소 원자를 갖는 폴리하이드록시케톤이다. 결정과당은 헤미케탈 및 내부 수소 결합의 안정성 때문에 고리형 6원자 구조를 취하는데, 이러한 형태를 D-프럭토피라노스라고 부른다. 용액에서 프럭토스는 프럭토피라노스 70%와 프럭토푸라노스 22% 및 선형 구조를 포함하는 소량의 다른 세 가지 형태들의 평형 혼합물로 존재한다.
결정 구조
광물학과 결정학에서, 결정 구조(結晶構造)는 결정 안에 있는 원자들의 독특한 배열이다.
그래프
그래프 이론 용어 참고
그래프 formula_1는 집합 formula_2와 formula_2 위의 반사 대칭관계 formula_4의 순서쌍이다. 그래프 formula_1의 꼭짓점(-點, )은 formula_2의 원소이며, formula_7에 대하여 formula_8라면 formula_9와 formula_10가 인접()한다고 한다.
그래핀
에피텍셜 합성법은 실리콘 카바이드(SiC)와 같이 탄소가 결정에 흡착되거나 포함되어 있는 재료를 약 1,500℃의 고온 상태에서 열처리하여 그래핀을 형성한다. 열처리 공정 중 탄소가 실리콘 카바이드 표면의 결을 따라 성장하면서 그래핀이 형성된다. 에피텍셜 합성법은 기계적 박리법이나 화학적 증착법에 의해 성장된 그래핀보다 특성이 뛰어나지 못하며 재료가 비싸고 제작이 어렵다.
결합 구조
임의의 집합 formula_2에 대하여, formula_59으로 정의하면, 유일한 결합 구조 formula_60를 정의할 수 있으며, 이 결합 구조에는 직선이 존재하지 않는다.
타원곡선 암호
암호화 목적으로 타원곡선은 평면곡선의 한 종류로 다음의 방정식을 만족하는 점(무한 원점포함)들의 집합이다. (곡선의 단순함을 위해 점들은 표수가 2나 3이 아닌 고정된 유한체이다.)
위 집합은 타원곡선의 군의 연산과 함께 무한 원점을 항등원으로 하는 아벨 군을 형성한다. 군의 구조는 대수다양체를 밑으로 하는 인자를 따른다.
평면의 결정군
이러한 조건의 목적은 평면의 결정군을 오직 하나의 독립적 평행이동을 가진 일차원적 대칭군(frieze group)과 전혀 평행이동을 가지지 않는 이차원 이산적 대칭군으로부터 구분하기 위해서이다. 다시 말해 일차원적 대칭군(frieze group)은 오직 한 축(한 방향)을 따라 패턴을 반복하는 것이지만 평면의 결정군은 두 개의 다른 방향으로 패턴을 반복하는 것이다.
결정체의 결함
면결함은 2차원이며 일반적으로 다른 결정 구조 또는 다른 결정 방향을 가진 재료의 두 영역을 분리하는 경계면을 말한다. 면결함은 결정립계, 쌍정립계, 적층결함 등이 있다.
단백질의 구조
폴리펩타이드 내의 아미노산 서열에 따라 폴리펩타이드의 특정 부위가 일직선으로 펼쳐지는 반면 또 다른 부위는 뒤틀리기도 한다. 이처럼 폴리펩타이드의 일부가 뒤틀린 구조를 2차 구조라고 한다.
예를 들어 단백질은 알파 나선 구조, 즉 꼬여있는 용수철과 같은 형태를 이루기도 한다. 대부분의 2차 구조와 마찬가지로 알파 나선의 형태는 폴리펩타이드 내의 아미노산 곁사슬 간의 수소 결합에 의해 유지 된다. 또한 한 분자내 다른 부위들끼리 결합을 유도하여 연결해 줄 수 있다.
또, 폴리펩타이드는 수소 결합을 통하여 주름 치마와 비슷한 여러 개의 납작하게 접힌 구조를 가질 수 있는데, 이러한 구조를 베타 병풍 구조라고 하며 이 또한 2차 구조에 해당한다.
칸-인골드-프렐로그 순위 규칙
하나의 분자를 결정하기 위해 각 명명법을 사용하는 도중에, 하나 이상의 구분자를 사용해야하는 경우가 있다. 예로서 에페드린의 경우는 1-("R"), 2-("S") 와 1-("S"), 2-("R") 의 두 가지 형태로 존재한다. 동일한 화학식을 가지고 대신 1-("R"), 2-("R") 의 1-("S"), 2-("S") 입체 구조를 가지는 분자는 에페드린이 아니고, 슈도에페드린이다. 슈도에페드린은 에페드린과는 화학적으로 다른 특성을 지니지만, 분자식은 2-메틸아미노-1-페닐-1-프로판올로서 동일하며 단지 입체 구조만이 다를 뿐이다. 일반적으로 n개의 입체중심에 대해서는 2개의 입체 이성질체가 가능하지만, 일부 입체 이성질체는 서로 구조가 겹치기도 하므로, 실제 존재하는 분자 구조는 줄어들기도 한다.
이각형
이각형은 그래프나 다면체의 표면 같은 위상적 네트워크 이론에서 중요한 구성요소이다. 위상적 동등성은 오일러 값과 같은 전역적인 위상적 특성에 영향을 미치지 않고 최소의 다각형 집합으로 줄이는 과정으로 정의할 수 있다. 이각형은 전체 특성에 영향을 주지 않고 간단히 제거하여 선분으로 대체하는 단순화 단계를 나타낼 수 있다.
SN2 반응
이 반응은 지방족 화합물의 sp3 탄소에 전기음성도가 큰 안정 이탈기 ( 할로겐(X로 표기함)인 경우가 많다)가 결합되어있는 경우에 일어나기 쉽다. C-X 결합이 끊어지고 새롭게 친핵체(Y 또는 Nu로 표기함)의 결합 C-Y 내지 C-Nu이 동시에 생성된다. 이 때 탄소 원자는 친핵성 공격을 받고 5배위수 의 전이상태가 되고, sp2 혼성궤도를 만든다. 친핵체는 이탈기와 180 ° 반대편에서 탄소를 공격한다. 자신의 비공유 전자쌍과 C-X 결합의 반결합 오비탈 σ * 의 겹침이 최대가 되는 곳이기 때문이다. 이탈기는 친핵체와 반대편으로 밀려나며, 친핵성 물질이 결합된 탄소를 중심으로 점대칭 이 되는 사면체형 화합물이 생성된다.
알케인
고리형 알케인은 알케인으로 분류되지 않고 사이클로알케인으로 분류된다. 이들은 다른 알케인과는 달리 분자 구조가 고리형이다. 간단한 사이클로알케인은 접두사 'cyclo-'가 붙어 다른 알케인과 구분된다. 이들은 고리형이 아닌 다른 알케인처럼 탄소 수에 따라 이름이 붙여지지만 고리형의 구조 때문에 수소 원자의 개수가 더 작다. 예를 들어 사이클로펜테인(CH)은 n-펜테인처럼 탄소 수가 5이지만 고리 모양을 이루고 있으므로 사이클로펜테인으로 구별된다.
사이클로프로페인
사이클로프로페인(cyclopropane) 또는 시클로프로판은 CH의 화학식을 가져 분자에 탄소원자가 세개인 사이클로알케인이다. 결합각이 60도여서 불안정하므로 첨가반응을 잘하지만 브로민수 탈색반응은 잘 하지 못한다. 탄소원자 3개가 한 평면상에 배열되는 구조를 가진다.
격자 그래프
격자 그리드는 기준점 formula_1에서부터 시작하여 임의의 한 점formula_2에 도달하는 격자 경로의 수를 formula_3으로 표현한다. 이렇게 격자 그리드의 구성은 조합(콤비네이션)으로 규칙적으로 계산하여 얻을수있다.
이것은 정수 집합에서 체에의해 소수의 집합이 또다른 집합으로 구별될수있는것과 같은 맥락이다.
세포
3차구조는 2차구조를 가진 단백질들이 공간적으로 꼬이고, 구부러지고 접히면서 입체구조를 갖게 된다. 이때 단백질 접힘(protein folding)현상이 나타난다. 예로는 세포의 원형질 속에 들어있는 대부분의 구형의 효소들이다.
형식적 스킴
형식적 스킴은 임의의 점이 아핀 형식적 스킴과 동형인 열린 근방을 갖는 환 달린 공간이다. (즉, 아핀 형식적 스킴과 형식적 스킴의 관계는 아핀 스킴과 스킴의 관계, 또는 유클리드 공간과 매끄러운 다양체의 관계와 같다.)
그래핀
그래핀()은 탄소의 동소체 중 하나이며 탄소 원자들이 모여 2차원 평면을 이루고 있는 구조이다. 각 탄소 원자들은 육각형의 격자를 이루며 육각형의 꼭짓점에 탄소 원자가 위치하고 있는 모양이다. 이 모양을 벌집구조(honeycomb structure) 또는 벌집격자(honeycomb lattice)라고 부르기도 한다. 원자 1개의 두께로 이루어진 얇은 막으로, 두께는 0.2nm(1nm은 10억 분의 1m) 즉 100억 분의 2m 정도로 엄청나게 얇으면서 물리적·화학적 안정성도 높다.[1]
평면의 결정군
오비폴드는 꼭짓점과 선분 그리고 면을 가지므로 일반적으로 다각형 으로 생각할 수 있다. 기하학적으로는 불규칙적 매장에 의해서 생겨진 것이므로 다각형과는 구분된다. 이를 매장으로 역으로 펼쳐내면, 이들 다각형은 평면의 결정군의 작용에 의해 무한번 반복되며 평면 전체를 주어진 다각형조각의 타일로 덮게 된다. 주어진 결정군의 콘웨이 오비폴드 표기법이 표시하는 바에 따라서 다각형이 무한 번 평면에 복제된다. 이 묘사가 17개 평면의 결정군을 결정하는 중요한 열쇠이다.
원자 궤도
sp혼성화 되어있는 분자는 결합각이 180°이며 선형구조이다. 직선구조를 설명하는데 에 있어서 sp³, sp²혼성오비탈은 적합하지 않다. 이를 설명하기위해 새로운 sp혼성오비탈을 도입하였다. 두 개의 sp혼성오비탈은 한 개의 s오비탈과 한 개의 p오비탈이 혼성화를 이룸으로써 생긴다. sp혼성오비탈을 가지는 중심 원자는 두 개의 유효 시그마결합 전자쌍과 두 개의 파이결합 전자쌍을 가진다. 이산화탄소(CO₂) 분자에서 중심원자인 탄소가 sp혼성화 되어있고 아세틸렌(C₂H₂) 은 두 개의 탄소원자가 sp혼성화 되어있다.
이산화탄소(CO₂)에서 탄소와 산소의 결합은 탄소의 sp오비탈 한 개와 산소의 sp²오비탈 한 개가 시그마결합을 하고 각각의 p오비탈이 파이결합을 함으로써 형성된다. 분자 전체는 2개의 탄소=산소 이중결합으로 이루어져있다.
아세틸렌(C₂H₂) 역시 sp혼성화 되어있으나 이산화탄소(CO₂)와는 다른 결합구조를 가지고 있다. 아세틸렌은 두 개의 탄소의 sp오비탈이 시그마결합을 하고 각각의 탄소가 가지고 있는 두 개의 p오비탈이 서로 파이결합을 함으로써 탄소간의 결합이 형성된다. 분자 전체는 한 개의 탄소≡탄소 삼중결합과 두 개의 탄소-수소 단일결합으로 이루어져있다.
중심원자가 옥텟규칙을 만족하지 않는 분자도 존재한다. 이러한 분자 중에 분자의 모양이 삼각쌍뿔(사면체 두 개를 붙여 논 모양)인 분자는 중심원자가 dsp³혼성화 되어있다. dsp³혼성오비탈은 한 개의 s오비탈, 세 개의 p오비탈, 한 개의 d오비탈이 혼성됨으로써 형성된다. 중심원자 주위의 다섯 개의 유효 전자쌍은 dsp³혼성화를 통해 삼각쌍뿔 형태의 배열을 가지게 된다.
dsp³혼성화 된 대표적인 분자로는 PCl₅가 있다. PCl₅분자는 중심원자인 인의 dsp³혼성오비탈과 염소의 sp³혼성오비탈이 전자쌍을 공유하면서 다섯 개의 시그마결합을 형성한다. 인과 결합한 염소의 나머지 sp³오비탈에는 고립전자쌍이 채워진다.
또 다른 분자로는 I₃⁻가 있다. 중심에 있는 아이오딘 원자는 다섯 개의 전자쌍을 가지고 있다. 중심 아이오딘 원자는 dsp³혼성화 되어 다섯 개의 dsp³혼성오비탈을 가진다. 이 중 두 개는 sp³혼성화 된 다른 아이오딘 원자와 시그마결합을 하고 나머지 세 개의 dsp³오비탈은 고립전자쌍으로 채워진다. 따라서 I₃⁻분자는 겉보기에는 직선형구조 같지만 실제로는 중심원자가 dsp³혼성화 되어있는 분자이다.
양성자 스핀 위기
양성자는 2개의 위 쿼크와 1개의 아래 쿼크, 글루온들로 구성된다. 여기서 양성자는 안정하다는 가정을 세우면, 가장 낮은 에너지 레벨에서 존재한다고 할 수 있다. 그러므로, 쿼크의 파동 함수는 공간상에서 각운동량을 만들어내지 않는 구형대칭 S 오비탈 모양이다. 양성자는 각각의 쿼크들과 같이 스핀이 1/2인 입자이다. 그러므로, 양성자의 스핀을 세울 때 두 개의 쿼크가 서로 반대되는 스핀으로 상쇄되고, 세 번째 쿼크의 스핀이 양성자의 스핀과 같은 스핀일 것이라고 추측했다.
조밀 육방 격자
조밀 육방 격자(Hexagonal Close Packed lattice ; HCP)은 육각 기둥 상하 면의 각 꼭짓점과 그 중심에 한 개씩의 원자가 존재하고, 또한 육각기둥을 구성하는 6개의 삼각 기둥 중에서 1개씩 띄워서 삼각 기둥의 중심에 1개의 원자가 배열된 결정 구조이다.
엔테로톡신
이 종류의 독소들은 모두 분자내에 유사한 두 개의 도메인 접합(N과 C 말단 도메인)을 긴 알파 사슬안에서 가지며, 특징적인 베타-원통구조는 “올리고당/올리고핵산염 접합(oligosaccharide/oligonucleotide)” 이라고 불리며, 이는 N말단 도메인과 C말단 도메인의 베타-손잡이방향 모티프(beta-grasp motif)에 있다. 예로는 엔테로 톡신 타입 B가 있다. 각각의 초항원(superantigen)은 MHC 클래스 II 분자 또는 T세포 수용체와 반응할 때 약간씩 다른 결합 방식을 가진다. 
항원항체반응
항체에서, Fab (fragment, antigen-binding)지역은 면역글로불린 폴리펩타이드의 가볍고 무거운 체인의 아미노말단에서 종료한다. 그 V domain이라고 불리는 지역은 각 항체의 종류와 항원에 대한 결합 친밀감을 결정하는 아미노산 배열에 의하여 구성된다. Variable light chain(V)과 variable heavy chain (V)이 혼합된 배열은 세가지 초가변영역(HV1, HV2, HV3)을 창조한다. HV3가 가장 가변적인 지역이다. 그러므로 이 지역들은 항원들이 결합하는 장소인 파라토프이다. 초가변영역들 사이의 나머지 V지역은 구조 지역으로 불린다. 각각의 V 지역은 FR1, FR2, FR3, FR4라는 4개의 구조 영역들을 가지고 있다.
푸앵카레 추측
위상기하학에서 2차원 구면과 1차원 구면(원주)은 단일 연결이라는 근본적인 특징을 가지고 있는데, 3차원 표면에서도 구에 대해서 그러한 사실이 성립하는지에 대한 것이다. 구체적으로 어떤 하나의 닫힌 3차원 공간에서 모든 폐곡선이 수축되어서 하나의 점이 될 수 있다면, 이 공간은 반드시 원구로 변형될 수 있다는 것이다.
결합 도식
대칭 결합 도식 formula_1이 주어졌다고 하자. 그렇다면, formula_2의 원소를 꼭짓점들로 하는 완전 그래프 formula_146 위에, formula_147의 원소를 색으로 하는 변 색칠 formula_148을 정의할 수 있다.
이에 따라, 대칭 결합 도식은 특별한 변 색칠이 주어진 유한 완전 그래프로 여겨질 수 있다.
원자 궤도 함수 선형 결합
양자화학에서, 원자 궤도 함수 선형 결합(原子軌道函數線型結合, , 약자 LCAO)는 분자 궤도를 원자 궤도 함수의 선형결합으로 나타내는 방법이다. 양자역학에서 원자의 전자배치는 파동함수로 표현된다. 수학적으로 생각해볼 때, 이 파동함수들은 주어진 원자의 전자를 묘사하는 기초함수이다. 원자의 오비탈은 수학적으로 생각할 때 complete basis를 이루기 때문에, 모든 함수를 원자 오비탈의 선형결합으로 표현할 수 있다. 화학반응에서 궤도 함수들은 화학결합을 하고 있는 원자들의 종류에 따라 전자구름 모양이 바뀌는 식으로, 바뀌게 된다. LCAO를 근사법이라고 생각하는 사람들이 많으나, LCAO 수학적으로 볼 때 정당하며, 무한합이 불가능하기 때문에 이를 근사하여 사용하는 것이다.
초타원 곡선
종수 formula_16의 초타원 곡선 formula_17는 항상 다음과 같은 꼴로 표현될 수 있다. 우선, formula_18에서 아핀 좌표
를 고르자. 그렇다면, 만약 formula_21인 경우, formula_22는 이 두 아핀 열린집합에서 다음과 같은 꼴이다.
이 경우 formula_2를 구성하는 두 아핀 열린집합은 다음과 같이 붙여진다.
즉, 다음과 같다.
단당류
이러한 고리형에서 고리는 보통 5개 또는 6개의 원자를 갖는다. 단당류의 5원자 고리 화합물을 푸라노스라고 하는데, 이는 5원자 고리 화합물인 푸란을 닮았기 때문이며, 6원자 고리 화합물을 피라노스라고 하는데, 이는 6원자 고리 화합물인 피란을 닮았기 때문이다. 예를 들어, 알도헥소스인 포도당은 1번 탄소와 4번 탄소의 하이드록시기의 산소 사이에 헤미아세탈을 형성하여 5원자 고리 화합물인 글루코푸라노스를 형성할 수 있다. 같은 반응이 1번 탄소와 5번 탄소의 하이드록시기의 산소 사이에서 일어나서 6원자 고리 화합물인 글루코피라노스를 형성할 수 있다.
반도체
P형 도핑을 하는 것은, 양공을 많이 만들기 위해서이다. 실리콘의 경우에, 결정 구조에 3가 원자(붕소(B), 알루미늄(Al), 인듐(In), 갈륨(Ga) 등)를 넣는다. 그렇게 하면, 보통 실리콘이 갖는 공유결합 4개 중에 전자가 하나 부족하게 된다. 그래서 이 도펀트는 4번째 결합을 완성하기 위해 주변 원자의 공유결합으로부터 전자를 하나 얻어올 수 있다. 이러한 도펀트를 acceptor라고 한다. 이 도펀트 원자가 전자를 하나 받으면, 주변의 원자가 가진 공유결합에서는 전자가 하나 부족해져서 "양공"이 생기게 된다. 각 양공은 주변의 음전하 도펀트 이온과 연결되어서, 반도체 전체로 보았을 때에는 중성을 유지한다. 하지만 양공이 격자구조를 돌아다니게 되면 양공 위치의 양성자가 "노출"돼서 더 이상 전자로 상쇄되지 않는다. 그래서 양공이 양전하 같은 성질을 띤다. 만약 acceptor 원자가 많이 추가되면, 양공이 열로 인해 들뜬 전자보다 훨씬 많아지게 된다. 그래서 P형 물질에서는 양공이 다수 운반자이고, 전자는 소수 운반자이다. 붕소(B) 불순물을 포함하고 있는 파란 다이아몬드(IIb 형)는 자연에 존재하는 P형 반도체의 예이다.
꼭짓점 배치
"꼭짓점 배치"는 또한 꼭짓점 주변의 다각형 꼭짓점 도형으로 표현할 수 있다. 이 "꼭짓점 도형"은 면들이 다면체에서 같은 평면에 있지 않는 이상은 3차원 구조를 가지고 있다. 하지만 꼭짓점-고른 다면체에 대해서는 모든 이웃한 꼭짓점은 같은 평면에 있기 때문에 이 정사영은 시각적으로 꼭짓점 배치를 나타내는데 쓰일 수 있다.
원자 궤도
sp²혼성화 되어있는 중심 탄소는 삼각형구조를 하고 있다. 대표적인 sp²혼성화물질인 에틸렌(C₂H₄)는 하나의 이중결합과 두 개의 단일결합을 가지고 있는 두 개의 중심탄소로 이루어져있다. 이중결합은 한 개의 유효전자쌍으로 작용하므로 에틸렌의 중심탄소는 결합각이 120°인 평면 삼각형구조이다. 탄소원자의 2s, 2p오비탈이 결합에 관여하지만 2s, 2p오비탈은 이러한 배치를 가지고 있지 않다. 또 메테인과 같은 sp³혼성오비탈은 결합각이 109.5°이므로 에틸렌의 분자구조를 설명하기 부적합하다. 분자내의 평면 삼각형 구조를 설명하기위해 sp²혼성오비탈을 도입하였다. sp²혼성오비탈은 한 개의 s오비탈과 두 개의 p오비탈이 혼성화되어 새로운 세 개의 혼성오비탈을 만들어낸다. 에틸렌은 탄소의 sp²혼성오비탈과 수소의 1s오비탈이 공유결합을하고 이러한 공유결합을 시그마결합이라고한다. 혼성화 과정에서 하나의 p오비탈은 혼성화 되지 않고 남아 있는데 이 p오비탈은 sp²혼성오비탈 평면에 수직방향으로 존재하며 이웃한 탄소의 p오비탈과 전자쌍을 공유함으로써 파이결합을 형성한다.
시그마결합은 오비탈의 로브가 직접 겹쳐서 전자를 공유하게 되므로 강한 결합을 이루며 시그마결합으로만 이루어져있는 결합을 단일결합이라고 한다. 반면, 파이결합은 평행한 두 p오비탈의 로브가 옆으로 겹쳐서 형성이 되므로 시그마결합에 비해 결합력이 상대적으로 약하다. 한 개의 시그마결합과 한 개의 파이결합으로 이루어진 결합을 이중결합이라고 한다.
직선형
직선형은 화학의 공유결합의 입체적 구조(직선형,평면삼각형,사면체,삼각뿔,굽은형)를 나타내는 구조 중 하나로 결합각이 180°이다 
그래프 이론
그래프는 꼭짓점 과 2개의 꼭지점을 연결하는 변으로 구성되어 있다. 변의 길이나 꼭짓점의 위치 따위는 중요하지 않으므로, 그래프는 조합론적인 대상이다.
G₂
G의 딘킨 도표는 아래와 같이 두 개의 꼭짓점으로 구성되며, 그 사이에 3겹 변이 존재한다.
G의 아핀 딘킨 도표의 경우, 짧은 단순근 쪽에 새 근 formula_31이 추가된다.
결합 도식
크기가 2 이상인 임의의 유한 집합 formula_2 위에
을 정의하면, formula_192는 결합 도식을 이루며, 이를 자명한 결합 도식(自明-結合圖式, )이라고 한다. 그 구조 상수는 다음과 같다.
이는 사실 formula_197인 해밍 결합 도식과 같다.
램지의 정리
이는 그래프 이론으로 해석할 수 있다. formula_2-초그래프()는 꼭짓점과 formula_2-초변()들로 구성된 조합론적 구조이며, 여기서 formula_2-초변은 formula_2개의 꼭짓점들로 구성된 집합이다. (즉, 2-초그래프는 그래프와 같은 개념이다.) 임의의 꼭짓점 집합 formula_1에 대하여, 초변 집합이 formula_3인 초그래프를 완전 formula_2-초그래프라고 하자. (즉, 완전 2-초그래프는 완전 그래프이다.) 이 경우, formula_3의 formula_10개 조각으로의 분할은 완전 초그래프의 초변들을 formula_10개의 색깔로 색칠하는 것과 같다. 이 경우, 위와 같은 성질을 갖는 formula_27는 동색의 클릭이라고 한다.
결정
결정이 규칙적인 모양을 하고 있는 것은 그것을 이루고 있는 입자(원자-분자-이온)가 규칙적으로 배열되어 있기 때문이다. 금속의 결정 중에서 금·은·구리·알루미늄 등은 입방 밀집 구조를 취하고, 마그네슘·아연 등은 육방 밀집 구조를 취하고 있다. 나트륨이나 칼륨은 정육면체의 8개의 모서리와 중심에 구체가 있는 체심 입방 구조를 취하고 있는데, 이것은 입방 밀집 구조에 비해서 틈이 좀더 벌어져 있다. 입방 밀집 구조를 비스듬히 옆으로 누이면 정육면체의 각면의 중심에 구체가 하나씩 들어간 면심 입방 구조가 된다.
DNA
DNA는 나선구조를 이루는 뼈대(Backbone chain)와 핵염기(Nucleobase)로 구성되어 있으며, 이들 모두 공유결합으로 연결되어 있다. 뼈대는 단당류인 디옥시리보스(Deoxyribose)에 인산기(Phosphate)가 결합되어 긴 사슬과 같은 형태를 띄고 있다. 염기에는 퓨린(purine)과 피리미딘(pyrimidine)의 두가지 종류가 있으며, 퓨린에는 다시 아데닌(Adenine; A)과 구아닌(Guanine; G)의 두 가지가 존재하고, 피리미딘에는 시토신(cytosine; C), 티민(thymine; T), 우라실(uracil; U)의 세 가지가 존재한다. 이 중 우라실은 DNA에는 존재하지 않으며, RNA에만 존재하는 염기이다. DNA가 이중나선을 이루고 있을 때, 각각의 퓨린은 하나의 피리미딘과 수소 결합을 통해 결합한다. 즉, A와 T 그리고, G와 C가 항상 짝을 이루어 존재하게 된다. 이러한 수소 결합은 DNA의 이중 나선구조를 안정하게 만들어 주는 힘이다. 이 때, A-T의 결합에는 2개의 수소 결합이, G-C의 결합 사이에는 3개의 수소 결합이 존재한다.
제2 기본 형식
아핀 접속 formula_1가 주어진 매끄러운 다양체 formula_2 속의 부분 다양체 formula_3가 주어졌다고 하자. 그렇다면 formula_4의 제2 기본 형식 formula_5는 formula_4 위의 텐서장이다. 이는 매끄러운 벡터 다발 formula_7의 매끄러운 단면이며, 그 정의는 다음과 같다. 매장 함수 formula_8이 주어졌을 때,
여기서 formula_10는 법다발이며, formula_11는 formula_12에서 formula_10으로 가는 사영 연산자이다. 만약 formula_2의 접속의 비틀림이 0이라면 제2 기본 형식은 대칭 텐서이다.
그래핀
공통적으로 미세한 흑연 결정을 강한 황산과 질산 혼합물에 넣어 그래핀 판들의 가장자리에 카르복실 화합물들이 붙어 있게 한다. 염화 티놀에 의해 산염화물로 바뀌고 다시 옥타데실아민을 써서 그래핀 아미드(Graphine-COOH)를 만든다. 이것들을 테트라히드로푸란, 테트라클로로메탄, 디클로로에탄같은 용액을 이용해 환수하면 분쇄가 일어나고 개별의 그래핀 판들이 생성된다.
원자 궤도
단일 전자 원자에서 원자 궤도의 모양은 3 차원 구형 고조파와 관련이 있다. 이러한 모양은 고유하지 않으며 입방 고조파로의 변환과 같은 선형 조합이 유효하다. 사실 px, py 및 pz가 같은 모양인 것처럼 모든 디스트가 같은 모양인 세트를 생성 할 수 있습니다 .
타원 복합체
formula_1이 매끄러운 다양체라고 하자. formula_2 (formula_3)가 formula_1 위의 매끄러운 벡터 다발이라고 하자. 또한 formula_5이 벡터 다발 단면 층 사이의 미분 연산자라고 하자. 즉, 다음과 같은 꼴이다.
이 연산자들이 각각 프레드홀름 작용소이고, 또한 formula_7을 만족한다고 하자. 그렇다면 이 구조를 타원 복합체라고 한다.
항원전달세포
제2급 주조직 적합성 복합체에 있는 펩티드 조각은, 체내에 있는 수많은 T세포에 의해 검사를 받게 된다. 즉, T세포 수용기가 제2급 주조적 적합성 복합체와 결합을 시도하게 되는데, 이때 어느 펩티드가 제2급 주조직 적합성 복합체 위에 있느냐에 따라 T세포 수용기와의 결합 강도가 정해진다. 만약 충분히 강한 결합이 형성되면, T세포는 비로소 활성화되어, 여러 사이토카인을 분비하여 면역 반응을 일으키게 된다. 
단백질
2차 구조: 단백질의 2차 구조는 뼈대(Backbone Chain)에 의해 형성된다. 뼈대에 속해있는 모든 아미노산이 갖고 있는 카보닐기의 산소 원자와 아민기의 수소 원자 사이에 수소결합이 형성되어 열역학적으로 안정한 상태(가장 낮은 자유에너지를 가진 상태)를 갖게 된다. 이때 단백질의 2차 구조가 주로 알파나선이나 베타 면의 모양을 취하게 되는 이유는 폴리펩타이드 위에서 바로 옆에 위치한 두 아미노산 사이에서 곁사슬과 뼈대의 원자들끼리 서로 밀어내는 힘을 최소화 하는 안정한 모양이 알파나선이나 베타 면의 모양을 이루기 때문이다. 이는 뼈대의 수소결합과는 무관하게 가장 안정한 2차구조가 알파 나선이나 베타면의 모양을 이룸을 나타낸다. 라마찬드란 조사구(Ramachandran plot)는 이러한 추세를 좀 더 명확하게 보여준다.