ఆవర్తన పట్టిక
పరమణు సంఖ్య 1 (హైడ్రోజన్ నుండి 118 (అననోక్టియం) వరకు గల అన్ని మూలకాలలో కొన్ని కనుగొనబడినవి మరికొన్ని కృత్రిమంగా తయారుచేయబడినవి. పరమాణు సంఖ్యలు 113,115,117 మరియు 118 గా గల మూలకాలు యిప్పటికీ నిర్ధారింపబడలేదు. ఆవర్తన పట్టికలో మొదటి 98 మూలకాలు ప్రకృతిలో సహజంగా గలవి. మరికొన్ని మూలకాలు [n 1] వాటిలో కొన్ని మూలకాలు ప్రయోగశాలలో కృత్రిమంగా కనుగొనబడినవి. పరమాణు సంఖ్యలు 99 నుండి 118 వరకు గల మూలకాలను కృత్రిమంగా సృష్టించారు.అధిక పరమాణు సంఖ్యలు కలిగిన మూలకాలు ఉత్పత్తి ఆవర్తన పట్టికలో కొనసాగుతున్న చర్చనీయాంశంగానే ఉండటం అటువంటి చేర్పులు స్థానం కల్పించే మార్పు అవసరం అనేది ప్రశ్నార్థకంగా మారింది. అనేక కృత్రిమ రేడియోన్యూక్లైడ్ సహజంగా మూలకాలులు కూడా ప్రయోగశాలల్లో ఉత్పత్తి చేయబడ్డాయి.
ప్రస్తారణ
0 ≤ "N" < "n" !తో ఒక పూర్ణాంకం "N" ద్వారా "n" యొక్క ప్రస్తారణలను వివరించేందుకు ఒక మార్గం ఏమిటంటే, సంఖ్య మరియు ఒక క్రమాన్ని ఒక ప్రస్తారణ యొక్క సాధారణ ప్రాతినిధ్యం మధ్య మార్చేందుకు అనుకూల పద్ధతులు ఇవ్వబడ్డాయి. ఇది కక్ష్యా ప్రస్తారణల యొక్క అత్యంత సంక్షిప్త ప్రస్తారణలను ఇస్తుంది, కంప్యూటింగ్‌లో "N"ను ఒక యంత్ర పదంలో ఉంచేందుకు వీలుగా "n" చిన్నదైతే ఆకర్షణీయంగా ఉంటుంది; 32-బిట్ పదాలకు దీనర్థం "n" ≤ 12కాగా, 62-బిట్ పదాలకు దీనర్థం "n" ≤ 20 అవుతుంది. ఈ మార్పిడిని "d" , "d" , ..., "d" , "d" అనే సంఖ్య క్రమం యొక్క మధ్యంతర రూపం ద్వారా చేయవచ్చు, ఇక్కడ "d" అనేది "i" కంటే తక్కువ విలువ ఉన్న రుణాత్మకేతక పూర్ణాంకం (ఇక్కడ "d" ను మినహాయించవచ్చు, ఎందుకంటే ఇది ఎల్లప్పుడూ 0గానే ఉంటుంది, అయితే ఒక ప్రస్తారణను సులభంగా వివరించేందుకు ఇది ఉపయోగకరంగా ఉంటుంది). సాధారణంగా క్రమగుణిత సంఖ్యా పద్ధతి లో "N" యొక్క వ్యక్తీకరణను మొదటి దశగా చెప్పవచ్చు, ఇది కేవలం "మిశ్రమ అంశ" ప్రాతినిధ్యం మాత్రమే, ఇక్కడ సంఖ్యలు "n" ! వరకు ఉంటాయి వరుస అంకెల మూలాలు "n", , ..., 2, 1. రెండో దశలో ఒక లెహ్మెర్ సంకేతం లేదా (దాదాపుగా సమానమైన) ఒక విలోమ పట్టికగా ఈ క్రమాన్ని వర్ణిస్తారు.
"σ" అనే ప్రస్తారణకు లెహ్మెర్ సంకేతం లో "d" అనే సంఖ్య మొదటి పదం "σ" కు ప్రత్యామ్నాయాన్ని సూచిస్తుంది, సంఖ్య "d" రెండో పదం యొక్క ప్రత్యామ్నాయానికి ప్రాతినిధ్యం వహిస్తుంది
సమితి యొక్క మిగిలిన మూలకాల్లోని "σ" ముందుకు వస్తుంది. సరిగ్గా చెప్పాలంటే, ప్రతి "d" అనేది "σ" కంటే తక్కువగా ఉండే "మిగిలిన" ములకాల సంఖ్యను ఇస్తుంది. "σ" అనే ఒక తరువాతి పదానికి లోబడి మిగిలిన ములకాలు ఉండాయి కాబట్టి, "d" అనే సంఖ్య ఒక చిన్న సూచికగా "i" ప్రమేయం ఉన్న ("i","j" ) "విలోమాల"ను గణిస్తుంది ("i" < "j" మరియు "σ" > "σ" అయినప్పుడు "j" విలువల సంఖ్య). "σ"కు విలోమ పట్టిక బాగా సమానంగా ఉంటుంది, అయితే ఇక్కడ "d" విలోమాల సంఖ్య ("i","j" )ను గణిస్తుంది, ఇక్కడ "k" = "σ" అనేది రెండు విలువల్లో చిన్న విలువగా విలోమ క్రమంలో కనిపిస్తుంది. "n" రోథీ పటం ద్వారా "n"తో రెండు సంకేతీకరణలను చూడవచ్చు, దీనిలో ("i","σ" ) వద్ద చుక్కలు ప్రస్తారణ యొక్క ప్రవేశాంశాలను సూచిస్తాయి, ("i","σ" ) వద్ద అడ్డగుణకార చిహ్నం విలోమం ("i","j" )ను సూచిస్తుంది; విలోమాల నిర్వచనం ద్వారా దాని యొక్క నిలువు వరసలో ("j","σ" ) చుక్కకు ముందుగా మరియు దాని యొక్క అడ్డు వరుసలో ("i","σ" ) చుక్కకు ముందుగా ఏదైనా క్రమంలో అడ్డగుణకార చిహ్నం కనిపిస్తుంది. లెహ్మెర్ సంకేతం వరుస అడ్డు వరుసలను దాటివెళ్లే సంఖ్యలను సూచిస్తుంది, ఇదిలా ఉంటే విలోమ పట్టిక వరుస నిలువు వరుసలను దాటివెళ్లే సంఖ్యలను సూచిస్తుంది; లెహ్మర్ సంకేతం విలోమ ప్రస్తారణను తెలియజేస్తుంది.