త్రిభుజం
ఒక త్రిభుజం లోని మూడు కోణాల మొత్తం 180 డిగ్రీలు లేదా "పై" రేడియనులు త్రిభుజములో ఆరు అంశలు ఉంటాయి. అవి: మూడు భుజములు, మూడు కోణములు. ఒక త్రిభుజాన్ని నిర్మించడానికి ఈ ఆరు అంశలు తెలియవలసిన అవసరం లేదు. వీటిలో సాధారణంగా మూడు అంశలు తెలిస్తే చాలు; వీటి సాయంతో త్రిభుజాన్ని నిర్మించి, మిగిలిన మూడు అంశలను కనుక్కొనవచ్చును. త్రిభుజ నిర్మాణానికి, దిగువ తెలిపిన మూడు అంశలు తెలిస్తే చాలు. అవి మూడు భుజాలు రెండు భుజాలు, వాటి మధ్య కోణం ఒక భుజం, దానిని ఆనుకొని ఉన్న (ఆసన్న) కోణాలు రెండు.
ఆర్కిమెడిస్
ఆర్కిమెడిస్ ను ¸యంత్ర సంబంధమైన పరికరాల రూపకల్పన చేయడంలో గౌరము లభించెను, ఆయన గణిత శాస్త్రంలో కూడా కొంత తోడ్పాటును అందించారు. ప్లుటర్చ్ ఇలా రాసేను:"ఎక్కడ అయితే గ్రంయమిన అవసరాలకు సరిపడా జీవితం సూచించడానికి వీలు కాదో ఆయన మొత్తం ప్రేమ మరియు ఆశతో అందులోని సుద్ధమైన చింతతో అక్కడ పనిచేసారు."
ఆర్కిమెడిస్ అతిసూక్ష్మమైన విలువను ఉపయోగించేవారు అది అధునాతన సమాకలన కలనానికి సమానమైనది. విరుద్ధమైన ఋజువు ద్వారా, (reductio ad absurdum) ఆయన ప్రశ్నలకు సమాధానములు నిబంధనలు లేని డిగ్రీలకు కచ్చితమైన విలువలు ఇచ్చెను,విలువల యొక్క పరిమితి ని వివరించి అవి వాటి మధ్యన ఉండేలా చెప్పెను. ఈ కిటుకుని సోషనము యొక్క పద్ధతి అని అంటారు, ఆయన ఈ పనిలో ఉంది ఫై (TT)కి ఉజయింపు విలువ ఇచ్చెను. ఆయన దీని కోసము ఒక్క పెద్ద భహుబుజము వృత్తము బయట మరియు ఒక్క చిన్న బహుబుజము వృత్తము లోపల గీసెను. బహుభుజము యొక్క ప్రక్కలు పెరుగుతున్న కొద్ది వృత్తము యొక్క కచ్చితమైన విలువ తెలుస్తుంది. బహుభుజములు 96 ప్రక్కలు ఉన్నట్టు అయితే ఆయన ప్రక్కలు యొక్క పొడవును లెక్కించి మరియు ఫై యొక్క విలువ 3 1/7 (ఇంచుమించు 3.1429 )మరియు 3 10 /71 (ఇంచుమించు 3.1408 )కి మధ్యన ఉంటుంది అని,దాని స్థిరమైన నిజమైన విలువ ఇంచుమించుగా 3.1416 . ఆయన ఋజువు చేసినది ఏమనగా వృత్తము యొక్క వైశాల్యము π ని గుణించి వృత్తము యొక్క వ్యసార్ధమును వర్గము రెట్టింపు విలువ వచ్చును అది రెండింటికి సమానమైనవి అని నిర్దారించెను. "గోళము మరియు వర్తులస్తంభాకరం మీద" ఆర్కిమెడిస్ సిద్ధాంతం ప్రకారము ఏదో ఒక స్తులత్వము యొక్క విలువను కలసినని సార్లు కలుపుతూ పోతుంటే ఇచ్చిన స్తులత్వము యొక్క విలువ పెరుగుతుంది. దీనిని ఆర్కిమెడిస్ యొక్క నిజసంఖ్య ధర్మం అంటారు.