త్రిభుజం
ఒక త్రిభుజం లోని మూడు కోణాల మొత్తం 180 డిగ్రీలు లేదా "పై" రేడియనులు త్రిభుజములో ఆరు అంశలు ఉంటాయి. అవి: మూడు భుజములు, మూడు కోణములు. ఒక త్రిభుజాన్ని నిర్మించడానికి ఈ ఆరు అంశలు తెలియవలసిన అవసరం లేదు. వీటిలో సాధారణంగా మూడు అంశలు తెలిస్తే చాలు; వీటి సాయంతో త్రిభుజాన్ని నిర్మించి, మిగిలిన మూడు అంశలను కనుక్కొనవచ్చును. త్రిభుజ నిర్మాణానికి, దిగువ తెలిపిన మూడు అంశలు తెలిస్తే చాలు. అవి మూడు భుజాలు రెండు భుజాలు, వాటి మధ్య కోణం ఒక భుజం, దానిని ఆనుకొని ఉన్న (ఆసన్న) కోణాలు రెండు.
అంతరాళం
===యూక్లిడ్-యేతర జ్యామితి
యూక్లిడ్ యొక్క "మూలకాలు" ఐదు ప్రతిపాదనలు కలిగివుంటాయి, ఇవి యూక్లిడ్ జ్యామితికి ఆధారభూతాలుగా ఉన్నాయి. వీటిలో ఒకటైన, సమాంతర ప్రతిపాదన అనేక శతాబ్దాలుగా గణిత శాస్త్రజ్ఞుల మధ్య చర్చనీయాంశంగా ఉంది. ఏదైనా సమతలంపై "L" అనే సరళ రేఖ మరియు "L" సరళ రేఖపై లేని "P" అనే బిందువుతోపాటు, ఈ సమతలంపై "P" బిందువు గుండా ప్రయాణించే ఒకేఒక్క సరళ రేఖ "L" ఉన్నట్లయితే, అది "L"కి సమాంతరంగా ఉంటుంది. 19వ శతాబ్దం వరకు, ఈ ప్రతిపాదనలో నిజంపై కొద్ది మంది సందేహాలు వ్యక్తం చేశారు; దీనిని ప్రత్యక్ష ప్రమాణంగా లేదా ఇతర ప్రత్యక్ష ప్రమాణాల నుంచి స్వీకరించిన ఒక సిద్ధాంతంగా గుర్తించాల్సిన అవసరం ఉందా అనేదానిపై చర్చ జరిగేది. సమారుగా 1830 కాలంలో, హంగేరీకి చెందిన జానోస్ బోల్యాయ్ మరియు రష్యాకు చెందిన నికోలాయ్ ఇవనోవిచ్ లాబోచెవ్‌స్కీ వేర్వేరుగా సమాంతర ప్రతిపాదనను పక్కనబెట్టిన ఒక రకమైన జ్యామితిని అతివలయ జ్యామితి (హైపర్‌బోలిక్ జ్యామెట్రీ) పేరుతో ప్రతిపాదించారు. "P" బిందువు గుండా వెళ్లే సరళ రేఖలు అనంత సంఖ్యలో ఉంటాయి. ఒక త్రిభుజంలో కోణాల మొత్తం 180 కంటే తక్కువగా ఉంటుంది, ఒక వృత్తం యొక్క చుట్టకొలత దాని యొక్క వ్యాసం మధ్య నిష్పత్తి pi కంటే ఎక్కువగా ఉంటుందని ఈ జ్యామితిలో ప్రతిపాదించారు. 1850వ దశకంలో, బెర్న్‌హార్డ్ రీమాన్ దీర్ఘవృత్త జ్యామితి (ఎలిప్టికల్ జ్యామెట్రీ) యొక్క ఒక సమాన సిద్ధాంతాన్ని అభివృద్ధి చేశారు, దీనిలో "P" గుండా ప్రయాణించే ఎటువంటి సమాంతర రేఖలు ఉండవు. ఈ జ్యామితిలో త్రిభుజాలు 180 కంటే ఎక్కువ కోణాన్ని మరియు వృత్తాలకు చుట్టుకొలత మరియు వ్యాసం నిష్పత్తి pi కంటే తక్కువ విలువను కలిగివుంటాయి.