Aller-retour vers l'ins�parable
Sylvain Maugeais
Nous construisons des morphismes ins�parables entre courbes de genre $\ge 2$ qui proviennent par d�g�n�rescence de morphismes s�parables.
0909.2532.tex
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%Definition des theoremes, propositions, ....

\theoremstyle{plain}
\newtheorem{theorem}{Th�or�me}[section]
\newtheorem{proposition}[theorem]{Proposition}
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\newtheorem{definition}[theorem]{D�finition}

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\newtheorem{remark}[theorem]{Remarque}
\newtheorem{example}[theorem]{Example}
\begin{document}

\title{Aller-retour vers l'ins�parable}

\author{Sylvain Maugeais}

\date{}

\maketitle


\begin{abstract}
Nous construisons des morphismes ins�parables entre courbes de genre
$\ge 2$ qui proviennent par d�g�n�rescence de morphismes s�parables.
\end{abstract}

Soient $R$ un anneau de valuation discr�te de caract�ristique
r�siduelle $> 0$ et $f\colon \mathcal X \to \mathcal Y$ un
$R$-morphisme fini g�n�riquement s�parable entre courbes propres et
lisses. Se peut il que le morphisme induit par $f$ au-dessus du point
ferm� de $\Spec R$ soit ins�parable ? En d'autres termes, peut on
d�g�n�rer du s�parable vers l'ins�parable ? Lorsque le genre de
$\mathcal X$ est $\le 1$, il est ais� de construire des exemples mais
lorsque ce genre est $\ge 2$ cela devient plus compliqu�. Par exemple,
Deligne et Mumford ont montr� dans \cite{Deligne_Mumford} que cela ne
pouvait pas se passer dans le cas d'un morphisme $f$ galoisien.

Le but de cet article est de donner un crit�re simple (dans le cas
o� le degr� d'ins�parabilit� est petit) pour r�pondre � cette
question, puis de produire des exemples explicites. 


L'�tude classique des d�formations de morphismes ne donne
malheureusement pas beaucoup d'information � ce sujet. En effet, les
obstructions � la d�formation ne sont pas locales dans le cas d'un 
morphisme ins�parable, ceci rend l'�tude particuli�rement difficile.


Pour contourner ce probl�me, nous introduisons dans le pr�sent article
la notion de morphismes rigidifi�s qui consiste en la donn�e d'un
morphisme $f$ entre courbes lisses et d'une d�composition de
l'homomorphisme $df$, induit sur les faisceaux de diff�rentielles,
sous la forme $df=\xi\delta$ o� $\xi$ est une constante (�ventuellement
nulle) et $\delta$ est un homomorphisme \emph{injectif dans chaque
fibre} et qui envoie les formes exactes sur des formes exactes. Cette
condition technique intervient naturellement dans l'�tude des
d�g�n�rescences de morphismes entre courbes lisses en \emph{�gales
  caract�ristiques} et permet ensuite de r�pondre au cas de l'in�gale
caract�ristique par un argument global sur des espaces de modules. 


Une fois cette d�finition pos�e, nous proc�dons � l'�tude des
d�formations des morphismes rigidifi�s ayant un degr� d'ins�parabilit�
au plus �gal � la caract�ristique et montrons que ce probl�me est
non obstru� (cf. Th�or�me \ref{DeformationMorphismeRigidifie}). Un
corollaire imm�diat nous permet de d�montrer le th�or�me suivant 

\begin{theorem}
Soit $f\colon X \to Y$ un morphisme fini entre courbes propres et
lisses au-dessus d'un corps de caract�ristique $p$. Supposons que $f$
se d�compose en $h \circ F$ o� $F$ est purement ins�parable de degr�
$p$ et $h$ est s�parable. 

Alors $f$ provient par d�g�n�rescence en �gale caract�ristique d'un
morphisme s�parable si et seulement si $\Hom(h^* \Omega_{Y/k}, B^1_X)
\not = \{0\}$ ($B^1_X$ d�signant le faisceau des diff�rentielles
exactes). 
\end{theorem}


En particulier, on peut constater que ce th�or�me ne dit rien sur les
morphismes dont le degr� d'ins�parabilit� est $> p$, non plus que sur
les d�formations vers la caract�ristique $0$. Ce deuxi�me probl�me
peut �tre contourner utilisant un raisonnement sur des espaces
de modules, mais on obtient alors seulement une condition n�cessaire 
(cf. corollaire \ref{RelevementCaracteristitique0}). Par contre, nous
ne pouvons pas, � l'heure actuelle, d�former des morphismes de gros
degr� d'ins�parabilit�.


Une fois ce crit�re en main, le probl�me est de montrer qu'il existe
des morphismes de degr� d'ins�parabilit� $p$ qui admette une structure
de morphisme rigidifi�, ce qui se trouve �tre une condition tr�s
forte. Il est assez ais� de trouver des conditions n�cessaire
(cf. section \ref{CN}) mais plus difficile de trouver des conditions
suffisantes, ces ce qui est fait dans la derni�re partie de ce
travail, cf. exemple \ref{CS}


\noindent{\bf Remerciements :} Je souhaite remercier Qing Liu pour
m'avoir pos� la question des rel�vements de morphismes ins�parables.

%\subsection{Pr�liminaires}
%
%\begin{proposition}
%Soit $f\colon X \to Y$ un morphisme fini entre courbes propres et
%lisses sur un corps de caract�ristique $p$. Alors $f$ se d�compose en
%$X \to X^{(p^r)}\to Y$ o� $X \to X^{(p^r)}$ est une puissance du
%Frobenius relatif et $X^{(p^r)} \to Y$ est s�parable.
%
%De plus, si $k$ est parfait alors $f$ se d�compose en 
%$X \to Z \to Y$ avec $X \to Z$ s�parable et $Z \to Y$ une puissance du
%Verschiebung relatif.
%\end{proposition}
%
%\preuve D'apr�s Lang, on peut d�composer en purement ins�parable +
%s�parable. Le morphisme purement ins�parable est alors une puissance
%du Frobenius  d'apr�s \cite{Liu}, Proposition 7.4.21. 
%
%Consid�rons $Z$ la courbe propre et lisse dont le corps des
%fractions est $K(Y)^{1/p^r}$ qui existe car $k$ est parfait 
%(et donc le Frobenius poss�de un inverse, en effet, si $Y$ est donn�e
% localement par $k[x_1, \ldots, x_n]/I$ alors $Y^{1/p^r}$ est donn�e
% par $k[x_1, \ldots, x_n]/I'$ avec $I'$ engendr� par les $\sum
% a_i^{1/p^r} x^i$ avec $\sum a_i x^i \in I$, $a_i^{1/p^r}$ n'a un sens
%en g�n�ral que si $k$ est parfait). 
%En particulier, $K(X)=K(X^{(p^r)})^{1/p^r}$ et donc (via $f$) on a $K(Z) \subset K(X)$.
%
%On a une tour d'extension 
%$$\xymatrix{
%& K(X^{(p^r)}) K(Z) \subset K(X)\ar[rd] \ar[ld] & \\
%K(X^{p^r}) \ar[rd] & & K(Z) \ar[ld] \\
%& K(Y) &
%}$$
%on conclut alors en regardant les degr�s. \qed



\section{D�finition}

Dans tout cet article, les d�monstrations se font souvent en se
ramenant au cas des s�ries formelles. Ceci est justifi� par le lemme
suivant.

\begin{lemma}
Soit $S$ un sch�ma d'�gale caract�ristique $p > 0$ et $X \to S$ une courbe
lisse. Soit $\omega$ une forme diff�rentielle sur $X$. Alors 
\begin{enumerate}[i)]
\item $\omega$ est localement exacte si et seulement si elle l'est sur
  $X \times_S S'$ pour $S' \to S$ fid�lement plat.
\item $\omega$ est localement exacte si et seulement si pour tout
  point $\p \in X$, l'image de $\omega$ dans
  $\Omega_{X/S}\otimes_{\O_X} \widehat O_{X, \p}$ est exacte.
\end{enumerate}
\end{lemma}



Pour montrer ce lemme, il convient d'introduire quelques notations : 
notons  $F\colon X \to X^{(p)}$ le Frobenius relatif et $B^1_{X/S}$
l'image de $d\colon \O_X \to \Omega_{X/S}$. Alors 
le faisceau $F_* B^1_{X/S}$ est naturellement un sous-faisceau
coh�rent plat de $F_* \Omega_{X/S}$ : c'est le noyau de l'op�rateur de
Cartier relatif $C \colon F_* \Omega_{X} \to \Omega_{X^{(p)}}$. On
identifiera souvent $B^1_{X/S}$ a son image via $F_*$.

Le lemme ci-dessus est alors une cons�quence imm�diate de la coh�rence
de $F_* B^1_{X/S}$.

\begin{definition}
Soit $f\colon X \to Y$ un morphisme fini entre $S$ courbes lisses (non 
n�cessairement propres). Un homomorphisme $\delta\colon 
\Omega_{Y/S} \to f_*\Omega_{X/S}$ sera dit $f$-exact s'il induit un
homomorphisme $B^1_{Y/S} \to f_* B^1_{X/S}$ (i.e. il envoie une forme
localement exacte sur une forme localement exacte).
\end{definition}

L'exemple le plus simple d'homomorphisme exact est l'homomorphisme
$df$. Pour toute forme localement exacte $\omega=dh$ on 
a $df(\omega)=d(f(h))$.


\begin{lemma}
\label{FaisceauHomfExct}
Supposons que $S$ est le spectre d'un corps et que $f$ est
ins�parable. Alors l'ensemble des homomorphismes $f$-exact s'identifie
� $\Hom(\Omega_Y, f_*B^1_X)$. 

Si on a de plus une d�composition $f=h \circ F$, alors 
$$\Hom(\Omega_Y, f_*B^1_X)=\Hom(h^* \Omega_Y, F_*B^1_X).$$
\end{lemma}

\preuve Soit $\delta$ un homomorphisme $f$-exact. Au voisinage de
chaque point de $Y$, il existe une base $\omega$ de $\Omega_Y$ qui est  
localement exacte. En particulier, $\delta(\omega)=dx \in f_* B^1_{X/S}$.
Comme $f$ est ins�parable, pour tout �l�ment $\alpha \in \O_Y$ on a
$d(f(\alpha))=0$ et donc $\delta(\alpha \omega)=f(\alpha)
\delta(\omega)=f(\alpha) dx=d(f(\alpha) x)$. Donc $\delta$ est �
valeurs dans $f_* B^1_{X/S}$.

La derni�re assertion vient par adjonction. \qed


\begin{definition}
Un morphisme rigidifi� au-dessus d'un anneau local $A$ consiste en la donn�e 
d'un triplet $(f, \delta, \xi)$ o� $f$ est un morphisme fini entre
$A$-courbes propres et lisses, $\delta$ un homomorphisme $f$-exact non
nul au-dessus de chaque point de $A$, $\xi\in A$ tels que $df=\xi\delta$.
\end{definition}

Il existe une action naturelle de $\GG_m$ sur les morphismes rigidifi�s
donn�e par $\alpha.(f, \delta, \xi)=(f, \alpha \delta,
\alpha^{-1}\xi)$, ce qui complique une �ventuelle d�finition de ce que
pourrait �tre des morphismes rigidifi�s sur une base
globale (il suffit toutefois de consid�rer le champ quotient afin
d'obtenir un objet global). Nous n'utiliserons ici que des consid�rations
locales ! 

\medskip

Le fait que $\delta$ soit non nul en chaque point �quivaut en fait � ce que 
l'homomorphisme $f^* \Omega_Y \to \Omega_X$ induit par adjonction ait un conoyau 
fini plat sur $A$. En particulier la notion de morphisme rigidifi� est
stable par changement de base. 


\begin{proposition}
Le morphisme sous-jacent d'un morphisme rigidifi� $(f, \delta, \xi)$
est s�parable au-dessus d'un point $\p \in \Spec A$ si et seulement si
$\xi$ est inversible en $\p$. 
\end{proposition}

Un morphisme $f$ entre $A$-courbes propres et lisses qui est s�parable
au-dessus de chaque point de $A$ poss�de une structure canonique de
morphisme rigidifi� : $(f, df, 1)$. 

\section{D�g�n�rescence}

La notion de morphisme rigidifi� est justifi�e par la proposition
suivante.

\begin{proposition}
Soit $R$ un anneau de valuation discr�te d'\emph{�gales
caract�ristiques $p$} et $f\colon X \to Y$ un morphisme fini entre 
$R$-courbes propres et lisses. Supposons que $f$ est s�parable � la
fibre g�n�rique.  
Alors $f$ peut �tre muni d'une structure de morphisme rigidifi�.
\end{proposition}

\preuve Consid�rons la partie verticale du diviseur de ramification :
c'est un multiple de la fibre sp�ciale de $X$. Comme celle-ci
est r�duite, ce diviseur est de la forme $(\xi)$ avec $\xi \in R$. Posons
$\delta=\frac{df}{\xi}$. Comme $R$ est d'�gale caract�ristique, $\delta$
est $f$-exacte. Pour montrer cette derni�re assertion, on se ram�ne au
cas d'un morphisme $f\colon R[[y]] \to R[[x]]$ par changement de base
fid�lement plat, localisation et compl�tion. Par suite, comme $R$ est
d'�gales caract�ristiques, un �l�ment $\omega=(\sum a_i x^i)dx$ est
exact si et seulement si $a_i=0$ pour tout $i=-1 \mod p$. Ceci impose
que $\frac{\omega}{\xi}$ est exacte. \qed 


Soit $R$ un anneau de valuation discr�te d'in�gales caract�ristiques
$(0, p)$ de valuation $v$ et $f\colon X \to Y$ un morphisme fini ente
$S$-courbes propres et lisses et notons $p^i$ le degr�
d'ins�parabilit� � la fibre sp�ciale. Notons $\xi$ un g�n�rateur de la
partie verticale du diviseur de ramification. Comme dans le cas
d'�gales caract�ristiques, l'homomorphisme $\frac{df}{\xi}$ a encore un
sens mais n'est plus exacte en g�n�ral. Toutefois, $\xi$ ne peut par �tre
quelconque. En effet, notons $v$ la valuation sur $R$.

\begin{lemma}
On a $v(\xi) \le  v(p^i)$.
\end{lemma}


\preuve Se placer en un point de la fibre sp�ciale en lequel $f$ se
d�compose en �tale + purement ins�parable et se ramener ainsi �
l'�tude de $f:R[[y]] \to R[[x]]$ o� $f$ est purement ins�parable � la
fibre sp�ciale. Il suffit alors de regarder $d(f(y))$. \qed

\begin{proposition}
Supposons que le degr� d'ins�parabilit� � la fibre sp�ciale soit $p$
et que $v(\xi) < v(p)$.  
Alors il existe un homomorphisme $f$-exact non trivial.
\end{proposition}

\preuve Il suffit de montrer que $\frac{df}{\xi}$ est $f$-exact. 
Pour cela, on se ram�ne, par localisation  puis completion au cas des
s�ries formelles $R[[x]]$ et on le d�montre explicitement. \qed  

Si on retire l'hypoth�se que $v(a) < v(p)$, alors ce 
r�sultat n'est plus vrai, comme le montre l'exemple suivant :
consid�rons le morphisme $\PP^1_{\ZZ_p} \to \PP^1_{\ZZ_p}$ d�finit par $x \mapsto
x^p$. Ce morphisme ne donne pas naissance � un homomorphisme exact
� la fibre sp�ciale !
 

\section{Th�orie de la d�formation}

Le but de cette section est de d�montrer le th�or�me suivant.

\begin{theorem}
\label{DeformationMorphismeRigidifie}
Soient $(f_0\colon X_0 \to Y_0, \delta_0, 0)$ un morphisme rigidifi�
entre courbes propres et lisses au-dessus d'un corps parfait $k$, $A$ 
un anneau  noeth�rien, local complet de caract�ristique $p$ et de
corps r�siduel $k$, et $\xi \in A$. Si le degr� d'ins�parabilit� de
$f_0$ est au plus $p$, alors il existe un morphisme rigidifi�
$(f\colon X \to Y, \delta, \xi)$ qui soit une d�formation de $(f_0,
\delta_0, 0)$. 
\end{theorem}

Le cas o� $f$ est s�parable est bien connu : c'est un corollaire assez
direct de la th�orie des d�formations des morphismes telle qu'expos�e
dans \cite{ZivRan}. Dans la suite, nous utiliserons cette th�orie
librement (en particulier la classification des automorphismes de
d�formations). 

Le cas s�parable �tant r�gl�, nous supposerons d�sormais que le degr�
d'ins�parabilit� de $f$ � la fibre sp�ciale est exactement $p$. En
particulier, le morphisme est ins�parable.

On se donne donc $(f_0\colon X_0 \to Y_0, \delta_0, 0)$ un morphisme
rigidifi� au-dessus d'un corps $k$ et $(f\colon X \to Y, \delta, \xi)$
une d�formation au-dessus d'un anneau artinien $A$ de caract�ristique
$p$ et de corps r�siduel $k$.


\begin{lemma}
\label{Automorphisme}
Soit $A' \to A$ une petite extension et $(\tilde f\colon \tilde X \to
\tilde Y, \tilde \delta, \tilde \xi)$ une d�formation de $(f\colon X
\to Y, \delta, \xi)$. Alors le groupe des automorphismes de cette
d�formation est naturellement isomorphe au noyau du morphisme
$$\begin{array}{ccc}
\Hom(\Omega_{X_0}, \O_{X_0}) & \to & \Hom(\Omega_{Y_0}, \Omega_{X_0}) \\
\chi & \mapsto & d \circ \chi \circ \delta.
\end{array}$$
En particulier, son image directe par le Frobenius absolu est coh�rente
(et donc sa cohomologie sur un sch�ma affine est triviale).
\end{lemma}


\preuve A priori, un automorphisme de d�formation de $(f, \delta,
\xi)$ est un �l�ment $(\sigma, \tau) \in \Aut(\tilde X) \times
\Aut(\tilde Y)\cong \Hom(\Omega_{X_0}, \O_{X_0}) \times
\Hom(\Omega_{Y_0}, \O_{Y_0})$. En utilisant la compatibilit� $f=\tau
\circ f \circ \sigma$ et le fait que $f$ est ins�parable � la fibre
sp�ciale, on trouve que $\tau = Id$.

Le r�sultat s'ensuit en �crivant explicitement l'action de
$\Hom(\Omega_{X_0}, \O_{X_0})$ sur $\delta$. \qed

\begin{lemma}
\label{ClasseDeformation}
Supposons $A$ artinien, $X$ et $Y$ affine, $\delta$ est un
isomorphisme et � la fibre sp�ciale le morphisme $f_0$ est la compos�e
d'un morphisme �tale et d'un morphisme purement ins�parable de degr�
$p$. Donnons nous une petite extension $A' \to A$ de noyau
$(\epsilon)$ et deux rel�vements $(f_1, \delta_1, \xi)$ et $(f_2,
\delta_2, \xi)$ (on a le m�me $\xi$). Alors il existe des
automorphismes de d�formations $\phi \in \Aut_X(X_1)$ et $\psi \in
\Aut_Y(Y_1)$ tels que $f_2=\psi \circ f_1 \circ \phi$ et
$\delta_1=d\phi \circ \delta_2 \circ d\psi$. 
\end{lemma}

\preuve Comme $X$ et $Y$ sont lisses et affines, on peut supposer que
$X_1=X_2$ et $Y_1=Y_2$. 

Choisissons une base locale $dx$ de $\Omega_X$ et une base $dy$ de
$\Omega_{Y_0}$ (ce qui peut toujours se faire, quitte � r�duire $X$ et
$Y$) de sorte que $\Ext^0(\Omega_{X_0}, \O_{X_0}) = \O_{X_0}
\frac{\partial}{\partial x}$.  On a
$\delta_1(dy)-\delta_2(dy)=\epsilon Q dx$ avec $Q \in
\O_{X_0}$. Notons $\delta_1(dy)=\alpha dx$. Par hypoth�se, $\delta_1$
est un isomorphisme donc $\alpha$ est inversible. Posons
$h_1=Q/\alpha$. Alors le champ de vecteurs $\epsilon h_1
\frac{\partial}{\partial x}$ d�finit un automorphisme de $X_1$ qui est
trivial sur $X$ donn� par $\phi_1(u)=u+\epsilon u' h_1$. 

On a alors 
\begin{multline*}
d\phi_1 \left(\delta_1(dy)\right)=d\phi_1(\alpha dx)=(\alpha+\epsilon
\alpha'h_1)(dx+\epsilon h'_1dx) =\\
\alpha dx+\epsilon(\alpha h_1)'dx= \delta_1(dx)+Qdx=\delta_2 dx
\end{multline*}
c'est-�-dire que $\delta_2=d\phi_1 \circ \delta_1$.

On peut donc remplacer $f_1$ par $f_1 \circ \phi_1$
et supposer que $df_1-df_2=\xi(\delta_1-\delta_2)=0$.

Comme $f$ est ins�parable � la fibre sp�ciale, $\Aut_Y(Y_1)$ agit
trivialement sur $\delta_1$ et sur $df_1$. En effet, un �l�ment de
$\Aut_Y(Y_1)$ est de la forme $Id+\epsilon \beta
\frac{\partial}{\partial y}$
et donc on a $$\delta_1(dy+\epsilon \beta dy)=f(1+\epsilon \beta)
\delta_1(dy)=(1+\epsilon \beta f'_0) \delta_1(dy)=\delta_1(dy)$$
car $f'_0=0$.


On a naturellement $f_1-f_2 \in (\epsilon)\otimes\Hom(\Omega_{Y_0/k},
f_* \O_{X_0})$. D�composons � la fibre sp�ciale $f=s \circ i$ avec
$s:Z_0 \to Y_0$ �tale et $i:X_0 \to Z_0$ purement ins�parable. Comme
$df_1-df_2=0$ et que $i$ est de degr� exactement $p$ on voit que
$f_1-f_2$ est en fait dans $(\epsilon)\otimes\Hom(\Omega_{Y_0/k}, s_*
\O_{Z_0})$ (on peut se ramener au cas des s�ries formelles par
localisation compl�tion, on voit alors que $f_1$ et $f_2$ co�ncident
sur les mon�mes de degr� premiers � $p$ car $df_1-df_2 = 0$, il
s'ensuit que $f_1-f_2$ est en fait une puissance $p$-i�me,
c'est-�-dire dans l'image de $s_* \O_{Z_0}$).  Or $s$ est �tale, donc
$\Hom(\Omega_{Y_0/k}, \O_{Y_0})$ agit transitivement sur 
$\Hom(\Omega_{Y_0/k}, s_* \O_{Z_0})$ (unicit� de la d�formation 
d'un morphisme �tale).  Il existe donc un automorphisme de $Y$
envoyant $f_1$ sur $f_2$. 

On obtient alors le cas affine par recollement en utilisant le lemme
\ref{Automorphisme} et le fait que ce faisceau a un premier groupe de
cohomologie triviale. \qed 


On remarquera que la d�monstration pr�c�dente ne fonctionne pas si le
morphisme purement ins�parable est de degr� $p^2$ car, si $X=\Spec
k[[x]]$, $Y=\Spec k[[y]]$ et $f(y)=\sum a_i x^i$, alors l'information
diff�rentielle donne les informations sur les $a_i$ avec $p \nmid i$,
la d�composition de $f$ en �tale + s�parable donne des informations
sur les $a_{p i}$ $p \nmid i$, mais on n'a pas d'information sur les
$a_{p^2 i}$ !


\begin{lemma}
Soit $A' \to A$ une petite extension et $\tilde \xi$ un rel�vement de
$\xi$. Alors il existe un rel�vement $(\tilde f, \tilde \delta, \tilde
\xi)$ de $(f, \delta, \xi)$ � $A'$.
\end{lemma}

\preuve Le morphisme $f$ se rel�ve localement (car c'est un morphisme
localement d'intersection compl�te) et $\delta$ �galement (choix dune
base, ce qui est possible car $Z^1_{X/S}$ est localement libre). Il
s'agit alors de voir qu'on peut les choisir de sorte que
$df=a\delta$. 

Pour cela, regardons $df(dy)-a\delta(dy)=\epsilon d(Q)$ (ce qui est
possible car $df$ et $\delta$ sont tout deux exacts).
Par suite, changeant $f$ en $f+\epsilon Q \frac{\partial}{\partial
  x}$ (i.e. en composant avec l'automorphisme de $\tilde X$ d�finit
par $Q \frac{\partial}{\partial  x}$). Par suite, il existe un
rel�vement au voisinage de chaque point. Comme le lieu des points $U$
ou $f_0$ se d�compose en �tale + ins�parable est un ouvert  non vide,
ces rel�vements locaux sont isomorphes en restriction � $U$ d'apr�s le
lemme \ref{ClasseDeformation}. Ces rel�vements locaux se laissent donc
recoller en une d�formation globale. \qed  


\begin{corollary}
\label{RelevementCaracteristitique0}
Soit $f\colon X \to Y$ un morphisme fini entre courbes propres et
lisses au-dessus d'un corps alg�briquement clos $k$. Supposons que le
degr� d'ins�parabilit� de $f$ est $\le p$ et que $f$ admette une
structure de morphisme rigidifi�. Alors 
\begin{enumerate}
\item il existe un rel�vement de $f$ sur $k[[t]]$ qui est
  g�n�riquement s�parable ;
\item il existe un anneau de valuation discr�te $R$ d'in�gales
  caract�ristiques et de corps r�siduel $k$, et un rel�vement de $f$
  sur $R$.
\end{enumerate}
\end{corollary}

\preuve Le premier point est un corollaire imm�diat du th�or�me
\ref{DeformationMorphismeRigidifie} (choisir $\xi \not = 0$).

Pour ce qui est du second, notons $g$ le genre de $X$ et $g'$ le genre
de $Y$ et consid�rons l'espace des modules $Mor_{g, g', \deg f}$
classifiant les morphismes de degr� $\deg f$ entre courbes propres et
lisses de genre $g$ et $g'$. Cet espace est un champ alg�brique
d'apr�s la th�orie des d�formations des morphismes et le th�or�me
d'alg�brisation d'Artin.

En particulier, $f$ d�finit un point de $Mor_{g, g', \deg
  f}$. D'apr�s le premier point, il existe un morphisme  $\Spec k[[t]]
\to Mor_{g, g', \deg f}$ tel que l'image de $\Spec k((t))$ est dans
le lieu des morphismes s�parables. D'apr�s la th�orie des d�formations
des morphismes s�parables entre courbes (qui est non obstru�e), il
existe un anneau de valuation discr�te $\tilde R$ d'in�gales
caract�ristiques et de corps r�siduel $k((t))$, et un morphisme $\Spec
\tilde R \to Mor_{g, g', \deg f}$. Il s'ensuit que $f$ est la
sp�cialisation d'un point en caract�ristique $0$, il existe donc un
anneau de valuation discr�te $R$ dont le corps de fractions est une
extension finie de $\Frac \tilde R$ et dont le corps r�siduel est $k$,
et un morphisme $\Spec R \to Mor_{g, g', \deg f}$ qui envoie le point
ferm� sur $f$. \qed

La technique utilis�e ici pour d�former en �gales caract�ristiques ne
permet pas de ma�triser $R$. On peut toutefois montrer, en utilisant
l'alg�bricit� de $Mor_{g, g', \deg f}$, qu'on peut prendre pour
$R$ une extension finie de l'anneau des vecteurs de Witt $W(k)$. nous
conjecturons qu'il est possible de trouver un rel�vement sur $W(k)$.

\section{Quelques conditions n�cessaires}
\label{CN}

Nous souhaitons donner maintenant quelques conditions n�cessaires pour
l'existence d'homomorphismes exacts : cf. les in�quations
\eqref{BorneRam} et \eqref{Bornea}). Celles ci sont assez grossi�res
mais nous semblent importantes pour montrer que le fait qu'un
morphisme puisse �tre muni d'une structure de morphisme rigidifi� est
assez rare. 


Donnons nous un morphisme s�parable $h \colon Z \to Y$ entre courbes
propres et lisses au-dessus d'un corps $k$, notons $F\colon  X \to Z$
un morphisme purement ins�parable de degr� $p$ et supposons qu'il
existe un homomorphisme exact $\delta\colon (h\circ F)^*\Omega_{Y/k}
\to \Omega_{X/k}$. 

Notons de plus $r$ le degr� du diviseur de ramification de $h$, $g$ le
genre de $X$ (et donc de $Z$), et $g'$ le genre de $Y$.
Comme $\delta$ est injectif, on a $2g-2-p\deg h(2g'-2) \ge 0$.

D'autre part, la formule de Hurwitz appliqu�e � $h$ nous donne
$$2g-2=\deg h(2g'-2)+r.$$

On obtient donc 

\begin{equation}
\label{BorneRam}
r \ge (2g-2)(1-\frac{1}{p}).
\end{equation}

En particulier, si $g$ est $\ge 2$, alors $h$ ne peut pas �tre �tale.

Il est en fait possible d'�tre plus pr�cis. En effet, comme vu dans le
lemme \ref{FaisceauHomfExct}, $\delta$ induit un homomorphisme
injectif $h^* \Omega_Y \to F_* B^1_X$.
On a donc une inclusion $H^0(Z, h^* \Omega_Y) \subset \H^0(X, B^1_X)$.

L'homomorphisme d'adjonction $\Omega_{Y/k} \to h_* h^*\Omega_{Y/k}$
permet alors de construire une injection  

$$\H^0(Y, \Omega_{Y/k}) \to \H^0(X, B^1_X).$$

La th�orie des recouvrements infinit�simaux (cf. \cite{Milne},
Proposition 4.14) permet alors de voir que $\H^0(X,
B^1_X)=\H^1_{fl}(X, \aalpha_p)$. Notant $a$ la dimension de
$\H^1_{fl}(X, \aalpha_p)$, on obtient
\begin{equation}
\label{Bornea}
a \ge g'.
\end{equation}

En particulier, si la courbe $X$ est ordinaire (et donc �galement
$Z$), ce qui impose que $a=0$, et que $g' \ge 1$ alors $f$ ne peut
admettre de structure de morphisme rigidifi� !

D'autre part, comme $\dim_k \H^0(Z, h^* \Omega_{Y/k}) \ge \deg h^*
\Omega_{Y/k}+1-g$ on trouve que 
\begin{equation}
a \ge g-1-r.
\end{equation}


\section{Exemple}
\label{CS}

Consid�rons une courbe propre et lisse $Y$ de genre $g'\ge 2$ qui est
supersinguli�re, choisissons un point $\p \in Y$ et consid�rons un 
$\ZZ/p^n\ZZ$-rev�tement $Z \to Y$ �tale en dehors de $\p$, et totalement
ramifi� en $\p$ avec une diff�rente $\dif$ qui peut �tre
arbitrairement grande (cf. \cite{KatzGabber} pour la construction de
tels rev�tements) de sorte que le genre $g$ de $Z$ v�rifie 
$$2g-2=p^n(2g'-2)+\dif$$
et $$1-p_Z=p^n(1-p_Y))-(p^n-1)$$
d'apr�s \cite{CrewEtale} Corollary 1.8 (on note $p_Z$ et $p_Y$ les
$p$-rangs de $Z$ et de $Y$).

Comme $p_Y=0$ on trouve que $p_Z=0$, c'est-�-dire que $Z$ est
�galement supersinguli�re.

Notons $F\colon X \to Z$ le frobenius relatif. En particulier, $X$ est
�galement supersinguli�re d'apr�s le th�or�me de descente des
morphismes �tales par des morphismes purement ins�parable. On a alors
\begin{multline*}
h^0(\Omega_{X} \otimes F^* h^* \Omega_Y^\vee) \ge 
\chi(\Omega_{X} \otimes F^* h^* \Omega_Y^\vee)= \\
\deg (\Omega_{X} \otimes F^* h^*
\Omega_Y^\vee)+1-g= \\
g-1-p^{n+1}(2g'-2)=(1-2p)p^n(g'-1)+\frac{\dif}{2}
\end{multline*}

En particulier, pour $\dif$ suffisamment grande ($p^n$ et $g'$ fix�s), on
aura  $h^0(\Omega_{X} \otimes F^* h^* \Omega_Y^\vee) > 0$.

D'autre part, on a 
$$\H^0(X, \Omega_{X} \otimes F^* h^*
\Omega_Y^\vee)\overset{adjonction}{=}\H^0(Z, F_*(\Omega_{X}) \otimes h^* \Omega_Y^\vee)
\subset \H^0(Z, F_*(\Omega_{X}))=\H^0(X, \omega_X)$$
l'inclusion �tant obtenue via le choix (non canonique) d'une injection
$\Omega_Y^\vee \to \O_Y$ qui existe car $g' \ge 2$.

Consid�rons maintenant l'op�rateur de Cartier $C\colon \H^0(X,
\Omega_X) \to \H^0(X,\Omega_X)$. Comme $X$ est supersinguli�re,
l'op�rateur $C$ est nilpotent. Par suite, comme $\H^0(X, \Omega_{X}
\otimes F^*h^* \Omega_Y^\vee) \subset \H^0(X, \Omega_{X})$
 est stable sous $C$ (l'op�ration de $C$ ne se fait que sur le premier
 terme de $\Omega_{X}\otimes F^*h^* \Omega_Y^\vee$),  il existe un
 �l�ment $\delta$ non nul dans $\H^0(X, \Omega_{X} \otimes F^*h^*
 \Omega_Y^\vee)$ dont l'image par $C$ est nul, c'est-�-dire un �l�ment
 de $\H^0(Z, F_*B^1_{X} \otimes h^* \Omega_Y^\vee)$. 


\begin{remark}
Au moins si $n=1$, la proc�dure pr�c�dente permet de construire 
une famille non isotriviale de dimension $\lfloor\frac{\dif}{p}\rfloor$
(cf. la th�orie d'Artin-Schreier). C'est-�-dire de dimension
$\frac{2g-2-p(2g'-2)}{p}$. 
\end{remark}

\bibliographystyle{../hamsalpha}

\providecommand{\bysame}{\leavevmode\hbox to3em{\hrulefill}\thinspace}
\begin{thebibliography}{Ran89}

\bibitem[Cre84]{CrewEtale}
R.~Crew, \emph{\'etale p-covers in characteristic p.}, Compos. Math.
  \textbf{52} (1984), 31--45.

\bibitem[DM69]{Deligne_Mumford}
P.~Deligne and D.~Mumford, \emph{The irreducibility of the space of curves of
  given genus}, Inst. Hautes \'Etudes Sci. Publ. Math.:36 (1969), 75--109.

\bibitem[Kat86]{KatzGabber}
N.~Katz, \emph{Local-to-global extensions of representations of fundamental
  groups}, Ann. Inst. Fourier (Grenoble) \textbf{36}:4 (1986), 69--106.

\bibitem[Mil80]{Milne}
J.~S. Milne, \emph{\'{E}tale cohomology}, Princeton University Press,
  Princeton, N.J., 1980.

\bibitem[Ran89]{ZivRan}
Ziv Ran, \emph{Deformations of maps}, Algebraic curves and projective geometry
  (Trento, 1988), Lecture Notes in Math., vol. 1389, Springer, 1989,
  pp.~246--253.

\end{thebibliography}


\end{document}


0909.2532.extracted_bib
\begin{thebibliography}{Ran89}

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  given genus}, Inst. Hautes \'Etudes Sci. Publ. Math.:36 (1969), 75--109.

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  groups}, Ann. Inst. Fourier (Grenoble) \textbf{36}:4 (1986), 69--106.

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J.~S. Milne, \emph{\'{E}tale cohomology}, Princeton University Press,
  Princeton, N.J., 1980.

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Ziv Ran, \emph{Deformations of maps}, Algebraic curves and projective geometry
  (Trento, 1988), Lecture Notes in Math., vol. 1389, Springer, 1989,
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\end{thebibliography}