�������� �������� ������� � �������������� �������������� �� ������������ ���
\no ��������������� �������� �������� ������� � �������������� �������������� �� ������������ ���. ���� �������� ������ � ������� �������������� ����������� ������������� ��������� ����������. ��� ����������� �������� �� ��������� ������������� ������������ ��������� ����������: 1) �������� ����������� � �������������� � ������ ��������, 2) ������ ��������� ��������� ����������, ��������� ��� ��� � ����� ��������� ���� ��� ���, 3) ��������� � ����������� ������� ��������, ������������� �� ����������� ��������� �����������, 4) ������ ��������� ��� ��������� � ������� � �������� ��������� ����� ������� (�������������).
1112.4587.tex
\documentclass[a4paper,12pt]{article}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{psfrag}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\baselineskip=.2cm
\textwidth=165mm
\textheight=22cm
\voffset -1.5cm
\hoffset -1cm

%\usepackage{showkeys}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{latexsym}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsthm}
\usepackage[cp1251]{inputenc}
\usepackage[english,russian]{babel}

\renewcommand{\theequation}{\arabic{section}.\arabic{equation}}
\renewcommand{\labelenumi}{(\theenumi)}
\renewcommand{\theenumi}{\roman{enumi}}
\renewcommand{\proofname}{\textbf{Proof}}
\newcommand{\er}[1]{\textrm{(\ref{#1})}}
\def\lb{\label}

\theoremstyle{plain}
\newtheorem{Def}{\bf �����������}
\newtheorem{theorem}{\bf �������}[section]
\newtheorem{lemma}[theorem]{\bf �����}
\newtheorem{proposition}[theorem]{\bf �����������}
\newtheorem{corollary}[theorem]{\bf ���������}
\theoremstyle{remark}
\newtheorem{remark}[theorem]{\bf ���������}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\def\1{1\!\!1}
   \def\all{\text{��� ����}}

\def\a{\alpha} \def\cA{{\cal A}} \def\bA{{\bf A}}  \def\mA{{\mathscr A}}
\def\b{\beta}  \def\cB{{\cal B}} \def\bB{{\bf B}}  \def\mB{{\mathscr B}}
\def\g{\gamma} \def\cC{{\cal C}} \def\bC{{\bf C}}  \def\mC{{\mathscr C}}
\def\G{\Gamma} \def\cD{{\cal D}} \def\bD{{\bf D}}  \def\mD{{\mathscr D}}
\def\d{\delta} \def\cE{{\cal E}} \def\bE{{\bf E}}  \def\mE{{\mathscr E}}
\def\D{\Delta} \def\cF{{\cal F}} \def\bF{{\bf F}}  \def\mF{{\mathscr F}}
\def\c{\chi}   \def\cG{{\cal G}} \def\bG{{\bf G}}  \def\mG{{\mathscr G}}
\def\z{\zeta}  \def\cH{{\cal H}} \def\bH{{\bf H}}  \def\mH{{\mathscr H}}
\def\e{\eta}   \def\cI{{\cal I}} \def\bI{{\bf I}}  \def\mI{{\mathscr I}}
\def\p{\psi}   \def\cJ{{\cal J}} \def\bJ{{\bf J}}  \def\mJ{{\mathscr J}}
\def\vT{\Theta}\def\cK{{\cal K}} \def\bK{{\bf K}}  \def\mK{{\mathscr K}}
\def\k{\kappa} \def\cL{{\cal L}} \def\bL{{\bf L}}  \def\mL{{\mathscr L}}
\def\l{\lambda}\def\cM{{\cal M}} \def\bM{{\bf M}}  \def\mM{{\mathscr M}}
\def\L{\Lambda}\def\cN{{\cal N}} \def\bN{{\bf N}}  \def\mN{{\mathscr N}}
\def\m{\mu}    \def\cO{{\cal O}} \def\bO{{\bf O}}  \def\mO{{\mathscr O}}
\def\n{\nu}    \def\cP{{\cal P}} \def\bP{{\bf P}}  \def\mP{{\mathscr P}}
\def\r{\rho}   \def\cQ{{\cal Q}} \def\bQ{{\bf Q}}  \def\mQ{{\mathscr Q}}
\def\s{\sigma} \def\cR{{\cal R}} \def\bR{{\bf R}}  \def\mR{{\mathscr R}}
\def\Si{\Sigma} \def\cS{{\cal S}} \def\bS{{\bf S}}  \def\mS{{\mathscr S}}
\def\t{\tau}   \def\cT{{\cal T}} \def\bT{{\bf T}}  \def\mT{{\mathscr T}}
\def\f{\phi}   \def\cU{{\cal U}} \def\bU{{\bf U}}  \def\mU{{\mathscr U}}
\def\F{\Phi}   \def\cV{{\cal V}} \def\bV{{\bf V}}  \def\mV{{\mathscr V}}
\def\P{\Psi}   \def\cW{{\cal W}} \def\bW{{\bf W}}  \def\mW{{\mathscr W}}
\def\o{\omega} \def\cX{{\cal X}} \def\bX{{\bf X}}  \def\mX{{\mathscr X}}
\def\x{\xi}    \def\cY{{\cal Y}} \def\bY{{\bf Y}}  \def\mY{{\mathscr Y}}
\def\X{\Xi}    \def\cZ{{\cal Z}} \def\bZ{{\bf Z}}  \def\mZ{{\mathscr Z}}
\def\O{\Omega}
\def\ve{\varepsilon}
\def\vt{\vartheta}
\def\vp{\varphi}
\def\vk{\varkappa}


\def\ba {\breve{a}}
\def\bb {\breve{b}}


\newcommand{\gA}{\mathfrak{A}} \newcommand{\ga}{\mathfrak{a}}
\newcommand{\gB}{\mathfrak{B}} \newcommand{\gb}{\mathfrak{b}}
\newcommand{\gC}{\mathfrak{C}}
\newcommand{\gD}{\mathfrak{D}}
\newcommand{\gE}{\mathfrak{E}}
\newcommand{\gF}{\mathfrak{F}}
\newcommand{\gG}{\mathfrak{G}}
\newcommand{\gH}{\mathfrak{H}}
\newcommand{\gI}{\mathfrak{I}}
\newcommand{\gJ}{\mathfrak{J}}
\newcommand{\gK}{\mathfrak{K}}
\newcommand{\gL}{\mathfrak{L}}
\newcommand{\gM}{\mathfrak{M}}
\newcommand{\gN}{\mathfrak{N}}
\newcommand{\gO}{\mathfrak{O}}
\newcommand{\gP}{\mathfrak{P}}
\newcommand{\gR}{\mathfrak{R}}  \newcommand{\gr}{\mathfrak{r}}
\newcommand{\gS}{\mathfrak{S}}   \newcommand{\gs}{\mathfrak{s}}
\newcommand{\gT}{\mathfrak{T}}
\newcommand{\gU}{\mathfrak{U}}
\newcommand{\gV}{\mathfrak{V}}
\newcommand{\gW}{\mathfrak{W}}
\newcommand{\gX}{\mathfrak{X}}
\newcommand{\gY}{\mathfrak{Y}}
\newcommand{\gZ}{\mathfrak{Z}}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\def\mM{M}
%\def\mB{B}
%\def\mR{R}








\def\mA{{\mathscr A}}
\def\mB{{\mathscr B}}
\def\mC{{\mathscr C}}
\def\mD{{\mathscr D}}
\def\mE{{\mathscr E}}
\def\mF{{\mathscr F}}
\def\mG{{\mathscr G}}
\def\mH{{\mathscr H}}
\def\mI{{\mathscr I}}
\def\mJ{{\mathscr J}}
\def\mK{{\mathscr K}}
\def\mL{{\mathscr L}}
\def\mM{{\mathscr M}}
\def\mN{{\mathscr N}}
\def\mO{{\mathscr O}}
\def\mP{{\mathscr P}}
\def\mQ{{\mathscr Q}}
\def\mR{{\mathscr R}}
\def\mS{{\mathscr S}}
\def\mT{{\mathscr T}}
\def\mU{{\mathscr U}}
\def\mV{{\mathscr V}}
\def\mW{{\mathscr W}}
\def\mX{{\mathscr X}}
\def\mY{{\mathscr Y}}
\def\mZ{{\mathscr Z}}



\def\Z{{\Bbb Z}}
\def\R{{\Bbb R}}
\def\C{{\Bbb C}}
\def\T{{\Bbb T}}
\def\N{{\Bbb N}}
\def\dS{{\Bbb S}}
\def\H{{\Bbb H}}
\def\J{{\Bbb J}}
\def\dD{{\Bbb D}}
\def\W{{\Bbb W}}
\def\K{{\Bbb K}}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\def\qqq{\qquad}
\def\qq{\quad}

\let\ge\geqslant
\let\le\leqslant
\let\geq\geqslant
\let\leq\leqslant
\newcommand{\ca}{\begin{cases}}
\newcommand{\ac}{\end{cases}}
\newcommand{\ma}{\begin{pmatrix}}
\newcommand{\am}{\end{pmatrix}}
\def\iint{\int\!\!\!\int}
\def\lt{\biggl}
\def\rt{\biggr}
\let\geq\geqslant
\let\leq\leqslant
\def\lra{\Leftrightarrow}
\renewcommand{\[}{\begin{equation}}
\renewcommand{\]}{\end{equation}}

\def\wt{\widetilde}
\def\pa{\partial}
\def\sm{\setminus}
\def\es{\emptyset}
\def\no{\noindent}
\def\ol{\overline}
\def\iy{\infty}
\def\ev{\equiv}
\def\/{\over}
\def\ts{\times}
\def\ot{\otimes}
\def\os{\oplus}
\def\ss{\subset}
\def\h{\hat}
\def\Arg{\mathop{\rm Arg}\nolimits}
\def\Re{\mathop{\rm Re}\nolimits}
\def\Res{\mathop{\rm Res}\nolimits}
\def\Im{\mathop{\rm Im}\nolimits}
\def\supp{\mathop{\rm supp}\nolimits}
\def\sign{\mathop{\rm sign}\nolimits}
\def\Ran{\mathop{\rm Ran}\nolimits}
\def\ran{\mathop{\rm ran}\nolimits}
\def\Ker{\mathop{\rm Ker}\nolimits}
\def\Tr{\mathop{\rm Tr}\nolimits}
\def\const{\mathop{\rm const}\nolimits}
\def\dist{\mathop{\rm dist}\nolimits}
\def\diag{\mathop{\rm diag}\nolimits}
\def\mod{\mathop{\rm mod}\nolimits}
\def\tg{\mathop{\rm tg}\nolimits}
\def\Wr{\mathop{\rm Wr}\nolimits}
\def\BBox{\hspace{1mm}\vrule height6pt width5.5pt depth0pt \hspace{6pt}}
\def\wh{\widehat}

\def\Twelve{
\font\Tenmsa=msam10 scaled 1200
\font\Sevenmsa=msam7 scaled 1200
\font\Fivemsa=msam5 scaled 1200
\textfont\msbfam=\Tenmsb
\scriptfont\msbfam=\Sevenmsb
\scriptscriptfont\msbfam=\Fivemsb

\font\Teneufm=eufm10 scaled 1200
\font\Seveneufm=eufm7 scaled 1200
\font\Fiveeufm=eufm5 scaled 1200
%\newfam\eufmfam
\textfont\eufmfam=\Teneufm
\scriptfont\eufmfam=\Seveneufm
\scriptscriptfont\eufmfam=\Fiveeufm}

\def\Ten{
\textfont\msafam=\tenmsa
\scriptfont\msafam=\sevenmsa
\scriptscriptfont\msafam=\fivemsa

\textfont\msbfam=\tenmsb
\scriptfont\msbfam=\sevenmsb
\scriptscriptfont\msbfam=\fivemsb

\textfont\eufmfam=\teneufm
\scriptfont\eufmfam=\seveneufm
\scriptscriptfont\eufmfam=\fiveeufm}

\begin{document}




\title {�������� �������� ������� � ��������������
�������������� �� ������������ ���}


\author{������ �������
\begin{footnote}
{ �������� (�����������) ����������� �����������,
�����������, ���. �������� �����, 17,
e-mail: an.badanin@gmail.com}
\end{footnote}
 \and ������� ��������
\begin{footnote}
{ �����-������������� ��������������� �����������,
�����-���������, ��������������� ���., 7-9, e-mail: korotyaev@gmail.com}
\end{footnote}
}




\maketitle

��� 517.984.5

�������� �����: �������� �������� ������� � �������������� ��������������,
������, �����������

\begin{abstract}
\no ��������������� �������� �������� ������� � ��������������
�������������� �� ������������ ���. ���� �������� ������ � �������
�������������� ����������� ������������� ��������� ����������. ���
����������� �������� �� ��������� ������������� ������������
��������� ����������: 1) �������� ����������� � �������������� �
������ ��������, 2) ������ ��������� ��������� ����������, ���������
��� ��� � ����� ��������� ����  ��� ���, 3) ��������� � �����������
������� ��������, ������������� �� ����������� ���������
�����������, 4) ������ ��������� ��� ��������� � ������� � ��������
��������� ����� ������� (�������������).
\end{abstract}









%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% old text

\section {�������� � �������� ����������}
\setcounter{equation}{0}


���������� ���������������� �������� �������� �������
\[
\lb{Hpq}
H=i\pa^3+i p\pa+i \pa p+q
\]
����������� � $L^2(\R)$, ��� ������������ 1-�������������
������������ $p,q$ ����������� ������������ $L^1(\T),\T=\R/\Z$, �
������ $\|f\|_{L^1(\T)}=\int_0^1|f(s)|ds$. � ����������� \ref{thH}
�� �������, ��� �������� $H$ �������� ��������������� �� �������
�����������
\[
\lb{cDH} \mD(H)=\Bigl\{f\in L^2(\R):i(f''+pf)'+ipf'+qf\in L^2(\R),
f'',(f''+pf)'\in L^1_{loc}(\R)\Bigr\}.
\]

�������� $H$ ����������� � ������ �������� ������ ��������������
����������� ������������� ��������� ���������� �� ���������� (�bad
Boussinesq� ��. \cite{McK}):
\[
\lb{Be} \ddot p=\pa^2\Bigl({4\/3}p^2+{1\/3}\pa^2 p\Bigr),\qq\dot
p=\pa q.
\]
 ������,  ��������e ���������� \er{Be}  �����������
 ����������� ��������� ����� $\dot H=HK-KH$, ���
$K=-\pa^2+{4\/3}p$. ����� $ \dot f$ � $\pa f$ ���������� �����������
������� $f$ ��  ���������  �, ��������������, ����������������
����������.

��������, ��� ���� $p,q\in C^\iy(\T)$, �� ��������������� ��������
$H$ ����� ���� ��������� ��� ��������� ���������������� ������������
���������. ����� ����, ������ $\s(H)$ ��������� $H$ ��������� ���������� (��.,
����., \cite{DS}, ��.~ XIII) �
��������� ��� ��� (��.\cite{McG}).
���� ���� -- ���������� ���������������
�������� $H$ ��� ����� �������� ������ ������������� $p,q\in
L^1(\T)$ � ������� ������ � �������� ��� ���������� �������
��������. ����� �������� ������ ��� ������� ������� (��., ����.,
\cite{BK2}, \cite{CK1},  \cite{K1}, \cite{K2}).

�������� ����� ������ ��������� ������ � �������� ������������
������� ��� ���������
��������� � ������������� �����������: �������� \cite{D},
������� -- �������� \cite{GT}, ��� -- ������� \cite{IM},
������� -- �������� \cite{KK}, �������� -- ����������
\cite{MO} � �.�.  �������, ��� �������� \cite{K3} �������������
���������� \cite{MO}, \cite{GT},\cite{KK}
��� ������ $-y''+qy$  �� ������ ������������� �������������,
�.�. $-y''+q'y$ �� $L^2(\R)$, ��� ������������� $q\in
L_{loc}^2(\R)$.

������ ������ ���������� ��� ��������� ���������������� ���������.
�������� ������ (������� ��������������) ��� ����������������
��������� ������ -- �������� �� �������� ��������� � ���������
������� ���� ������ ������� � ������� ��������� � �������
\cite{CK2},  \cite{CK3}. ������������� ������ ������� � ������
������ ��������� ������ ������ ������������ ������ ��� �������������
������: ������� \cite{Ca}, �������� -- �������
\cite{GL}, ������� � �������� \cite{CHGL}, �������� �
������ \cite{CK1}, ����� \cite{Kr} � �.�. ������ ������ ��� ��� � ����������
���������� ��
\cite{BBK}, \cite{CK1}, \cite{K1}, \cite{K2} ��� ���������� ������� �
������� ������� � �������������� ���������������� ������������:

1) ��������� � ������� ������� ��������,  ������������� �� ���������
�����������,

2) ��������� ���������� ����������� � ������������ ������,
�������� ��������������� ���������� ���������,
� ������ ������, �������� ����������� ��������,
� ������� ��� �������� ��������,

3) �������� ������� ������ (����������� ���������� ������),

4) �������� ������ ���� ����� � �������� ����������,

5) �������� ����������� ����������� �������� ������������� � ����������������� �����
� ����� ��������� ������� ��������,

6) ��������, ��� ���� ����� � ������� ��������� ��������
�������������� ��� ������������������
���\-��\-���\-��\-��
���������� ��� ������� ����\-��\-��� ����\-��� ��\-��\-��\-��.

������������ ������ ���������� �������� ($\ge 3$) ������� �
�������������� �������������� ������ ����������� ���
���������������, ��� ������� ���������� �������� ��� ��������,
������� ���������� ��� ������� ������������ ��������� �������������
���������, ��� � �������� ��������. �������� �����, ��� �������
�������� ��� ��������� ������� ������� �������� �����, � ���
��������� $2p$-�� ������� -- $p$-�������, ��. \cite{BK3}. ����������
�����������, ������ � ������������ ������� ���������� �
�������������� ��������������, ��� ���������� �������� ������� ��
��� ��� �� ���������. ��������� ������� ($\ge 4$) ������� �
�������������� �������������� ��������������� � �������: ������� --
�������� \cite{BK1}, \cite{BK2}, \cite{BK3}, ����������� \cite{P1},
\cite{P2}, �������� \cite{Tk}, ��. ����� ������ � ���� �������.

������������ �������� �������������� ��������� ������-��������
$(ay'')''=\l by$ ��������� ����������� � \cite{P1}, \cite{P2}.
��������, ��� ������ ����� �� ������������� ������� �
�������� ������������ ����������������� ��� ��������� 2,
���������� ������ ��������� �����. ������ ������� �������� ������������
������� ������������� ����������� ��������� � ������ ��������� ������� ��������.
��� ������ ��������� ����� �� ������������� �������.

� ������ \cite{BK3}  �������� ��������� ���������� �� ���������
$2p$-�� ($p\ge 2$) ������� � �������������� �������������� (������
$p=2$ ��. � \cite{BK1}, \cite{BK2}): ��������� � ������� �������
��������, ������������� �� $p$-������� ��������� �����������,
�������� ����������� ����������� �������� ������������� �
����������������� ����� � ����� ��������� ������� ��������.
���� ����� � ������� ������ ��������� ��������
�������������� ��� ������������������
���\-��\-���\-��\-��
���������� ��� ������� ����\-��\-��� ����\-��� ��\-��\-��\-��,
� ��������� ������� ����� ���� ����� ������ ������� ����� ��
2 �� $2p$.
��� ������� �������� ���� ����� ��������
�������������� ��� ������������������ ���\-��\-���\-��\-��
���������� � ������  ����� ��������� 2.

������� ����� ������ �������� ��������� ������� � ����������
�������������� ��������������.
� ��������, � ������� ������ ���������
�� ���������� ������� ������ �� ��������.


������ � �������� ������ ��������� ��� ��������� �������� ������� �
���������� �������������� �����������  � ������ ������--�����--���������
\cite{DTT} (��� �� ��. ������), ���, � ���������, ���������� ������
������� ������������ ������. ���������� ������������ � ����
����������� �������� � ����� �����--������--����� \cite{BDT} � � ������
�������� \cite{Su}. ������� ����� ������ ����� \cite{A1}, \cite{A2},
��� �������������� �������� �������� ������� �� �������� ��������� �
�������� ���������, ��������������� �� ���� ����������
������������������ ������� � ������� �������.
����������������� �������� ��������
������� � �������� �������������� �������������� �������������� �
������ ������� \cite{McK} � ����� � ������� �������������� ���
����������� ��������� �good Boussinesq� �� ����������.




� ������ ������ �� �������� ��������������� ������������ �������
���������������� ��������� $H$ � �������������� �������������� ��
������ $L^1(\T)$. ��������� ���� �������� ������ � �������
�������������� ��������� �bad Boussinesq� \er{Be}, ��. \cite{McK}.
������ ����� \cite{K2}, �� ������ ������� �������� $\D(\l)$,
������������� �� ����������� ��������� ����������� � ���������������
�������� ��������� $\D=\cos k(\l)$, ��� $k$ -- ������������.
������������� ������� �������� ����������� ��������� ������������
������ ��������� $H$.
�����, ���������
���������� ��������� $H$ � ������ �������� ����������, �����������
�� �������� ���������, �� ����������, ��� ������ ��������� $H$
��������� �����������,  � ��������� ��� � �������� ������� ��������.
��� ���� �� ����������, ��� �������� ������� �������� ��
������������ ��� ���������� ������ ����� �� �������, ��� � � ������
��������� �����. ���� ������������ ���������� �� ��������
��������� 3 �������� ������� ��������� ������� ��������.
����������, ��� ��� ���������� �������� �������
(� ������� �� ���������� ������� �������)
������������� � ����������������� ����������� �������� ����� ��
������� � ���������� �������.

���������� ����� ���������� �� ���������� � ������� \cite{BK4},
\cite{BK5}. � ������ \cite{BK4} ��������� ������  ����� $p,q\to 0$.
�� ����������, ��� � ���� ������ ���� ������ ��������� $H$ �����
��������� 1, �� ��������� ����������� ������ ���������� ��������� ��
�������� ��������� 3 � ����������� ����. �������� ����� ������� ��
$p,q$, ��� ������� ������ ��������� ��� � �������, ��� ������� �� ����,
��� ����
������� ��� �����������. � ������ \cite{BK5} �� ��������� ��������
����������� ������� ��������, ������� ����������� �� ����� ���������
� ����������� ����������� �������� ������������� �
����������������� ����� ��� ��������� $i y'''+ipy'+i(py)'+q y=\l y$
��� ������� ��������. ��������, ��� � ������ "�����" �������������
$p,q$ �������� ����������� ������� �������� ����� ����������� ���.

��� ���������� ��������� $H$ � ������ �������� ������ �����������
������������
\[
\lb{intH} \mH'=L^2([0,1],dt),\qqq \mH=\int_{[0,2\pi)}^\os \mH' \ {d
k\/2\pi}
\]
� ���������
$$
H( k)=i\pa^3+i\pa p+ip\pa +q,\qq  k\in[0,2\pi),
$$
����������� � $\mH'=L^2(0,1)$ � ��������������� �� �������
�����������
\begin{multline}
\lb{cDA}
\mD(H( k))=\Bigl\{f\in L^2(0,1):i(f''+pf)'+ipf'+qf\in L^2(0,1),f'',(f''+pf)'\in L^1(0,1),\\
f_j(1)=e^{i k}f_j(0)\ \all\ j=1,2,3,\ \text{���}\
f_1=f,f_2=f',f_3=f''+pf\Bigr\},
\end{multline}
��. ����� \ref{PrA}. ������ ���������  �������� $U:L^2(\R)\to\mH$
����������
\[
\lb{gt} (U f)_k(t)=\sum_{n\in\Z}e^{-in k}f(t+n),\qqq
(k,t)\in[0,2\pi)\ts[0,1].
\]
  �������� ��������������� ��������� � ���������� ��������� $H$ �
������ ��������.

\begin{proposition}
\lb{thH}
�������� $H$, ������������ � \er{Hpq},
 \er{cDH}, �������� ��������������� � �������������
���������
\[
\lb{deH} UHU^{-1}=\int_{[0,2\pi)}^\os H( k){d k\/2\pi}.
\]
\end{proposition}

\no {\bf ���������.}
1) ����������� ��������� ��� ��������� �������
������� ������ ��������, ��. \cite{Ge}, \cite{RS}. ��� ���������
������������� ������� ������� � �������� ��������������
��������������� ���������� ��. � ������ �������� \cite{Tk}.

2) � ����� ������ �������� ����� ������������ ��
$L^1(0,1)$ � ������� ��� ������� ����������� ����� �������,
��� � ��������� � �������� ��������������.
����� ����, �������� ����� �������� �������
� ��������������� �����. ���� ������ ������� ���������� �������.


� ������ ����� ������������ $p,p',q\in L^1(\T)$, ����� ����������
����������� ������� ����������
$$
\wt M(\l)
=\{\wt\vp_{j}^{(k-1)}(1,\l)\}_{k,j=1}^3,\qqq\l\in\C,
$$
��� $\wt\vp_{j}$ -- ������� ���������
\[
\lb{1b} i y'''+ipy'+i(py)'+q y=\l y,\qq (t,\l)\in\R\ts\C,
\]
��������������� ��������� ��������
$\wt\vp_{j}^{(k-1)}(0,\l)=\d_{jk},j,k=1,2,3$
(��., ����., \cite{DS}, ��.~XIII.7).
���� �����������  $p\in L^1(\T)$ � $p'\notin L^1(\T)$, ��
����������� ������� ���������� ���  �� ����������, ���������, ������
������, ����������� $y''$ �� �������� �����������. ����� ���������
������������ �����������. �� ����� ���������������� �������
���������� $ M(1,\l)$ �� �������
\[
\lb{deM}
 M(t,\l)=\ma\vp_1&\vp_2&\vp_3\\
\vp_1'&\vp_2'&\vp_3'\\
\vp_1''+p\vp_1&\vp_2''+p\vp_2&\vp_3''+p\vp_3\am(t,\l),\qq
(t,\l)\in\R\ts\C.
\]
����� $\vp_1,\vp_2, \vp_3$ ���� ���������������
������� ��������� \er{1b},
��������������� ��\-������
\[
\lb{ic}  M(0,\l) =\1_3,\qqq\l\in\C,
\]
��� $\1_N$ -- ��������� $N\ts N$ �������.
���������������
������������������ ������� $D$ ����� ���
\[
\lb{1c} D(\t,\l)=\det( M(1,\l)-\t \1_{3}),\qq (\t,\l)\in\C^2.
\]
����������� �������� ������� $ M(1,\l)$ ���������� {\it
����������������}, ��� �������� ����� ��������������� ���������
$D(\cdot,\l)=0$. ������ $3\ts 3$-������� $ M(1,\l), \l\in\C$, �����
����� $3$ (� ������ ���������) ��������������� $\t_j(\l),j=1,2,3$. �
������ $p=q=0$ ��������������� ����� ���
$$
\t_j^0(\l)=e^{i\o^{j-1}z},\qqq \l\in \C,\qq j=1,2,3,\qqq \text{���} \qqq
 \o=e^{i{2\pi\/3}},
$$
����� � ����� �� �������
$$
z=\l^{1\/3},\qqq \arg\l\in\Bigl(-{\pi\/2},{3\pi\/2}\Bigr],\qqq
\arg z\in\Bigl(-{\pi\/6},{\pi\/2}\Bigr].
$$
������ �������
$$
T(\l)=\Tr M(1,\l), \qqq \l\in \C.
$$

\begin{theorem} \lb{TMM}
i) ��������������� ������� $ M(1,\cdot)$ �������� ����� � ��� ����
$\t,\l\in\C$ ����� ���������:
\[
\lb{idM}  M^*(1,\ol\l)J M(1,\l)=J, \qq\text{���}\qq J=\ma
0&0&i\\
0&-i&0\\
i&0&0 \am,
\]
\[
\lb{cM2} D(\t,\l)=\det( M(1,\l)-\t \1_{3})=-\t^3+\t^2T(\l)-\t \ol T(\ol\l)+1,
\]
\[
\lb{cM} \det M(1,\l)=1.
\]


ii) ����� $\l\in\R$. ���� $\t(\l)$ �������� ����������������, ��
$\bar\t^{-1}(\l)$ ����� �������� ����������������.
�������� ������ ��� ������:

 a) ��� ��� ��������������� ����� �� ��������� ����������;


 b) ����� ���� (�������) �������������� ����� �� ���������
����������.

\no ����� ����, � ������ b) ��������������� ����� ���
\[
\lb{mrs}
e^{i k},\qq
e^{i\bar k}, \qq e^{-i2\Re k}\qq\text{��� ����������}
\qq   k\in\C:\Im k\ne 0.
\]

iii) ����� $p,p',q\in L^1(\T)$. ����� ���������������� �������
���������� $M$ � ����������� ������� ���������� $\wt M$ �������
����������
\[
\lb{MwM} M(1,\cdot)=\cS^{-1}\wt M(\cdot)\cS,\qq \qqq
\text{���}\qqq \cS=\ma1&0&0\\0&1&0\\-p(0)&0&1\am.
\]

\end{theorem}


{\bf ���������} 1) ��������� \er{MwM} ����������, ��� � ������
������� ������������� $p,q$ ����������� �������� ������ $M(1,\l)$
� $\wt M(\l)$ ���������, �.�. ��������������� ����� ������������,
��� ����������� �������� ����� �� ���� ������.



2) �� �������, ��� ���� � ������ ������� �������������
���������������� ������� $M$ ����� ������ ��� ������� ���������
$H$, ��� ������� $\wt M$. � ���������, ����������� ���������������
\er{idM} ��� ������� $M$ ����� ����� ������� ���, ��� �����������
��������� ��� $\wt M$.


������������ �������� $D$ -- ����� ������� ���������� $\l$. ��������
(��., ����., \cite{Fo}, ��.~8), ��� ��� ����� $\t_j(\l),j=1,2,3$,
���������� ���� ��� ��������� ������ ����� ��� ����������
������������� �������, ������� ������ �������������� ����������� �
$\C$. � ������� \ref{T1r} �� ����������, ��� $\t_j(\l),j=1,2,3$, ���
�������� � ���������� ��� ����� ����� ������� $\t(\l)$,
������������� �� ��������� ������� ����������� ��������� �����������
$\mR$.
������  {\it ������� ��������}
$$
\D_j={1\/2}(\t_j+\t_j^{-1}),\qqq j=1,2,3.
$$
��� ������� �������� ������� ������� $\D$, ������������� ��
����������� $\mR$.  ������ {\it ������������} $\r(\l),\l\in\C$,
�������� $D(\cdot,\l)$ (��. \er{cM2}) ����������
\[
\lb{r}
\r=(\t_1-\t_2)^2(\t_1-\t_3)^2(\t_2-\t_3)^2.
\]
���� $p=q=0$, �� ������� �������� $\D^0$, �� ����� $\D_j^0$ �
������������ $\r^0$ ����� ���
$$
\D^0=\cos\l^{1\/3},\qq\D_j^0=\cos z\o^{j-1},\qq j=1,2,3,
$$
\[
\lb{ro0} \r^0=64\sinh^2{\sqrt 3 z\/2}\sinh^2{\sqrt 3 \o z\/2}
\sinh^2{\sqrt 3 \o^2z\/2}.
\]
�� ���������� ���������
����������.


\begin{theorem}  \lb{T1r}
i) ������� $\t_j, j=1,2,3$, �������� ������� ��������� �������
$\t$, ������������� �� ������� ����������� ���������
�����������, �  ������������� �����������
 \[
\lb{awt}
\t_j(\l)=e^{iz\o^{j-1}}(1+O(z^{-1}))\qqq \text{���} \qq |\l|\to\iy,
\qqq \text{���} \qq
\o=e^{i{2\pi\/3}}.
\]
ii) ������� $\D_j, j=1,2,3$, �������� ������� ���������  �������
$\D$, ������������� �� ������� ����������� ���������
�����������, �  ������������� �����������
\[
\lb{aD} \D_j(\l)=\cos (z\o^{j-1})+O\lt({e^{|\Im
(z\o^{j-1})|}\/|z|}\rt)\qqq \text{���} \qqq |\l|\to\iy.
\]
iii) ������� $\r$ - �����, ������������ �� $\R$, � ��� ���� $\l\in\R$ ������������� ���������
\[
\lb{rtr} \r(\l)= |T(\l)|^4-8\Re T^3(\l)+18|T(\l)|^2-27.
\]


\end{theorem}

\no {\bf ���������.}
1) ����������� ������� ���������� ��� ��������� ������� ������� ���������� ����� $\cos\sqrt{\l} $
�  $\sin\sqrt{\l} $, ������������ �� ������������ ���.
����������� ������� ���������� ��� ��������� �������� �������
���������� �����
$e^{i\o^j\l^{1\/3}},j=0,1,2$, ��. \er{3if},  �������������� �� ������������ ���.
��� ��������� ������������ ��������� ��� ���������� ������������ ����������.
��� ��������� ������� ����������, ��������� ���������������
������� ����������, ��. \er{idM}, � ��������� �� ��� ��������� ����������������,
��. ������� \ref{TMM} ii).

2) ������� $\r$ ���������� ����� ��������� ������� ��������.
����������� ������� ��� ��������� �good Boussinesq� �������������
�������� \cite{McK}. � ���������, �� �������� ���������, ����������� \er{rtr}.


� ��������� ������� �� ��������� ������ ��������� $H$ � ��������
���������������� � ������� ��������.

\begin{theorem}
\lb{spec}
i) ������ $\s(H)$ ��������� $H$ ��������� ���������� � �����
\begin{multline}
\lb{sdD}
\s(H)=\{\l\in\R:|\t_j(\l)|=1\ \text{���}\ j=1,2\ \text{���}\ 3\}\\
=\{\l\in\R:\D_j(\l)\in[-1,1]\ \text{���}\ j=1,2\ \text{���}\ 3\}.
\end{multline}
����� ����, ��������� ������� ����� ����� ������ ������� $\t(\l)$
(��� $\D(\l)$), ��������������� ������� \er{sdD}.

ii) ������ $\s(H)$ ��������� ��� ������������ ��� � ����� ���������
1 ��� 3:  ������ ��������� 3 ��������� � ������������  ����������
\[
\lb{sro}
\gS_3= \{\l\in\R:\r(\l)\le 0\},
\]
� ������ ����� ��������� 1 ��� ����� ���������.






iii) ���� $\D_j(\l)\in(-1,1)$ ��� ������-���� $(j,\l)\in\{1,2,3\}\ts\R$
� $\l$ �� �������� ������ ��������� ������� $\D_j$,
�� $\D_j'(\l)\ne 0$.
\end{theorem}

\no {\bf ���������.} 1) ������ ����������������
��������� ������ ��������� �������
� �������� �������������� ��������������
��������� ��� ���, ��., ����.,
\cite{McG}.

2) �������������� ���������� ������������� ������� -- �����������
(��., ����., \cite{RS}) � ������������ �� ��������� \er{deH} � ��� �����, ���
����������� �������� ��������� $H(k)$ -- �������-������������� � ������������
������� ���������� $k\in[0,2\pi)$.


3) ��������� \er{sro} ����������, ��� ��������� �������
��������� $H$ ��������� ������������ ���������� ����� �������
$\r$.

4) ���� ������������ ���������� ��������� 3 �������� ������� ���������
������� ��������. ������������� � ����������������� �����������
�������� ����� �� ������� � ���������� �������.

5) ����������� \er{aD} � ��������� \er{sdD} ����������,
��� ��� ������� �������� ����� ���� ����� �������
�������� ������ ����� � ������, ��� ������ �����
��������� �������������� ��������.




�������� ������� �������� ������. � $\S$ 2 �� ������� ��������
������� ����������. � $\S$ 3 �� ���������� ������� \ref{TMM} �
\ref{T1r}. $\S$ 4 �������� �������� ��������� $H(k)$. �� ����������,
��� ���� �������� ������������ ������� �� $k$ �� $[0,2\pi)$ � ���
������ $k$ �������� ��������������� � ����� ������ �����
������������� ����������� �������. � $\S$ 5 �� ������� �������� $H$
� ���������� ����������� \ref{thH} � ������� \ref{spec}.





\section {������� ����������}
\setcounter{equation}{0}



� ���� ��������� �� ������ ������� ����������.
�� ��������� ��������� \er{1b} � ��������� �����
\[
\lb{me} Y'-P(\l)Y=Q(t) Y,\qqq (t,\l)\in\R\ts\C,
\]
��� ������-������� $Y$ � $3\ts 3$-��������������� ������� $P, Q$
����� ���
\[
\lb{Y} Y=\ma y_1\\y_2\\ y_{3}\am =\ma y\\y'\\y''+py\am,\qq P=\ma
0&1&0\\0&0&1\\-i\l&0&0\am,\qq Q=\ma 0&0&0\\-p&0&0\\iq&-p&0\am.
\]
��� $\l\ne 0$ ����� ���������
\[
\lb{PU} P=(\cZ U)(iz B)(\cZ U)^{-1},
\]
���
\[
\lb{UBZ} U={1\/\sqrt
3}\ma1&1&1\\1&\o&\o^2\\1&\o^2&\o\am=(U^*)^{-1},\qq
B=\ma1&0&0\\0&\o&0\\0&0&\o^2\am,\qq
\cZ=\ma1&0&0\\0&iz&0\\0&0&(iz)^2\am,
\]
\[
\lb{ozl} \o=e^{i{2\pi\/3}},\qq z=x+iy=\l^{1\/3},\qq
\arg\l\in\Bigl(-{\pi\/2},{3\pi\/2}\Bigr], \qq\arg
z\in\Bigl(-{\pi\/6},{\pi\/2}\Bigr].
\]
�������, ��� $3\ts 3$-��������������� ������� $ M(t,\l)$, ��������
\er{deM}, �������� �������� ��������� ������
\[
\lb{eM}
 M'-P(\l) M=Q(t)  M,\qqq  M(0,\l)=\1_{3}.
\]

� ������������� ������ $p=q=0$ ������� $ M_0$ ��������� \er{eM}
����� ��� $M_0=e^{t P(\l)}$. ������� $M_0(t,\l)$ �������� ����� ��
$\l$ ��� ������ $t\in \R$. ����������� �������� ������� $P$ �����
$iz\o^j,j=0,1,2$, � ������� $ M_0(t,\l)$ ����� ����������� ��������
$e^{iz\o^jt},j=0,1,2$. �� ������� \er{ozl} �������� $ x\ge
\max\{0,-y\sqrt3\}$. ����� ��
$$
\Re(iz)=-y,\qqq \Re(iz\o)={y-\sqrt3 x\/2},\qqq \Re(iz\o^2)={y+\sqrt3
x\/2}
$$
�������, ��� ��� ���� $\l\in\C$
\[
\lb{mO}
\max\{\Re(iz),\Re(iz\o)\}\le z_0=\Re(iz\o^2).
\]
������ $|e^{iz\o^jt}|\le e^{z_0|t|}$ ����
\[
\lb{eu1}
| M_0(t,\l)|\le e^{z_0|t|}\qq\text{��� ����}\qq
(t,\l)\in\R\ts\C.
\]
����� � ����� ��� ������� $A$ �� ���������� ��������� {\it �����}
$$
|A|=\max\{\sqrt{h}:h\ \text{-- �����������
�������� �������}\ A^*A\}.
$$

�������� �������������� ������� \er{PU} � ����� ������
��������� \er{eM}, �� ��������
\[
\lb{ecM}
\cM'-izB\cM=\cQ(t,\l)\cM,\qqq  \cM(0,\l)=\1_{3},
\]
���
\[
\lb{cMQ}
\cM=(\cZ U)^{-1}M(\cZ U),\qq
\cQ=(\cZ U)^{-1}Q(\cZ U)={1\/iz}\ U^{-1}\ma
0&0&0\\-p&0&0\\{q\/z}&-p&0\am U.
\]


��������, ��� $T=\Tr\cM(1,\cdot)$ � ����� $T_0=\Tr\cM_0(1,\cdot)$ �
������������� ������.

\begin{lemma}
\lb{l21} ��������������� ������� $
M(1,\cdot)$ �������� �����.
����� �����������
\[
\lb{esT} |T(\l)|\le 3e^{z_0+\vk}\qq  \all\qq  \l\in\C,
\]
\[
\lb{3if}
|\cM(1,\l)-e^{izB}|\le {\vk\/|z|}e^{z_0+\vk},
\]
\[
\lb{4if} |T(\l)-T_0(\l)|\le {3\vk\/|z|}e^{z_0+\vk}
\]
��� ���� $|\l|\ge 1$, ��� $\vk=\int_0^1(|p(t)|+|q(t)|)dt$ � $z_0=\Re(iz\o^2)$.
\end{lemma}

\no {\bf ��������������.} ����������� �����������,
����������� � ��������� \er{eM} ����������, ���
������� $ M(t,\l)$ ������������� ������������� ���������
\[
\lb{iev}
 M(t,\l)= M_0(t,\l)+\int_0^t M_0(t-s,\l)Q(s) M(s,\l)ds.
\]
�������� � ��������� \er{iev} ����
\[
\lb{evj}
 M(t,\l)=\sum_{n\ge 0} M_n(t,\l),\qqq  M_n(t,\l)=\int_0^t M_0(t-s,\l)Q(s) M_{n-1}(s,\l)ds.
\]
�� �������� \er{evj} �������
\[
\lb{2ig}  M_n(t,\l)=\int\limits_{0< t_1<...<
t_n<t_{n+1}=t}\prod\limits_{k=1}^{n} \lt(
M_0(t_{k+1}-t_k,\l)Q(t_k)\rt) M_0(t_1,\l)dt_1dt_2...dt_n,
\]
$ (t,\l)\in\R_+\ts\C,$ ��������� � ������������ ����������� ������
������. ���������� ������ \er{eu1} � ��������� \er{2ig}, �� ��������
\[
\lb{eM1} | M_n(t,\l)|\le{e^{z_0t}\/n!}\lt(\int_0^t|Q(s)|ds\rt)^n
\qq \text{��� ����} \qq (n,t,\l)\in\N\ts\R_+\ts\C.
\]
��� ������ ����������, ���
���������� ��� \er{evj} �������� ��������� � ���������� ��
����� ������������ ������������ � $\R_+\ts\C$.
������ ��������� ����� ���� �������� ����� �������� ���������� $\l$.
����� ����� �������� ���� ���������.
����������� \er{eM1} � $|Q|\le |p|+|q|$ ����
$$
|\Tr M_n(1,\l)|\le 3| M_n(1,\l)| \le{3\vk^n\/n!}e^{z_0}\qq \text{��� ����} \qq
(n,t,\l)\in\N\ts\R_+\ts\C.
$$
������ ����� $ |\Tr M(1,\l)|=|\sum_0^\iy\Tr M_n(1,\l)| \le
3e^{z_0}\sum_0^\iy{\vk^n\/n!},$ ��� ���� \er{esT}.

������� $ \cM(t,\l)$ ��������� \er{ecM} ������������� ������������� ���������
$$
 \cM(t,\l)=e^{iztB}+\int_0^t e^{iz(t-s)B}\cQ(s)\cM(s,\l)ds,
$$
������ �������
\[
\lb{evjc}
 \cM(t,\l)=\sum_{n\ge 0} \cM_n(t,\l),\qqq
 \cM_n(t,\l)=\int_0^t e^{iz(t-s)B}\cQ(s) \cM_{n-1}(s,\l)ds.
\]
�� �������� \er{evjc} ��������
$$
\cM_n(t,\l)=\int\limits_{0< t_1<...<
t_n<t_{n+1}=t}\prod\limits_{k=1}^{n}\lt(
e^{iz(t_{k+1}-t_k)B}\cQ(t_k)\rt) e^{izt_1B}dt_1dt_2...dt_n,
$$
��� ����
$$
|\cM_n(t,\l)|\le{e^{z_0t}\/n!}\lt(\int_0^t|\cQ(s)|ds\rt)^n
\qq \text{��� ����} \qq (n,t,\l)\in\N\ts\R_+\ts\C.
$$
��� ������ ����������, ���
���������� ��� \er{evjc} �������� ��������� � ���������� ��
����� ������������ ������������ � $\R_+\ts\C$.
�������� ���������, � ��������� ������
$\int_0^1|\cQ|ds\le{\vk\/|z|}$ ��� ���� $|z|\ge 1$
(��. \er{cMQ}),
�� �������� ����������� \er{3if}, \er{4if}.
$\BBox$




\section {�������������� ������ \ref{TMM}-\ref{T1r}}
\setcounter{equation}{0}

\no {\bf �������������� ������� \ref{TMM}.} i) �� \er{eM} ������� $J
M'=V M$, ���
$$
V=J(P+Q)=i\ma0&0&1\\0&-1&0\\1&0&0\am\ma
0&1&0\\-p&0&1\\-i\l+iq&-p&0\am =\ma \l-q&-ip&0\\ip&0&-i\\0&i&0\am.
$$
 � $J$ ���������� ���������� \er{idM}. ����� $-( M^*)'J= M^*V$ ���
$\l\in\R$ �
$$
( M^*J M)'=( M^*)'J M+ M^*J M' =- M^*V M+ M^*V M=0,
$$
������ ������� $( M^*J M)(t,\l)=( M^*J M)(0,\l)=J$ ��� ����
$(t,\l)\in\R\ts\C$, ��� ���� \er{idM}.
��������� \er{deM} � ��������� \er{1b} ����
$$
(\det M)'=\det \ma\vp_1&\vp_2&\vp_3\\
\vp_1'&\vp_2'&\vp_3'\\
(\vp_1''+p\vp_1)'&(\vp_2''+p\vp_2)'&(\vp_3''+p\vp_3)'\am=0.
$$
 ����� $\det M(t,\l)=\det M(0,\l)=1$ ��� ����
$(t,\l)\in\R\ts\C$, ��� ���� \er{cM}. ������ ���������� ����������
$$
D(\t,\l)=\det ( M(1,\l)-\t \1_3)=-\t^3+\t^2\Tr M(1,\l)+B(\l)\t-1
\qq\text{��� ����}\qq(\t,\l)\in\C^2,
$$
��� $B(\l)=\pa_\t D(0,\l)$. ��������� ������� �� ������ ������
(��., ����., \cite{GK}, ��������� IV.1.3) ����
$$
\pa_\t D(\t,\l)=-D(\t,\l)\Tr( M(1,\l)-\t\1_3)^{-1}.
$$
��������� ��������� $D(0,\l)=1$, �� �������� $B(\l)=-\Tr
M^{-1}(1,\l)$. ��������� \er{idM} ���� $ M^{-1}(1,\l)=-J
M^*(1,\ol\l)J$, ������ ������� $\Tr M^{-1}(1,\l)=\Tr M^*(1,\ol\l)$
��� ���� $\l\in\C$. ����� $B(\l)=-\Tr M^*(1,\ol\l)$, ��� ����
\er{cM2}.

ii) �� ��������� \er{cM2} �������
\[
\lb{dM}
D(\t,\l)=-\t^3 { \ol D(\bar\t^{-1},\l)}\qq\text{��� ����}\qq
(\t,\l)\in\C\ts\R,\qq \t\ne 0.
\]
����� ������� ���� $\t(\l)$ �������� ������ $D(\t,\l)$ ���
���������� $\l\in\R$, �� $\bar\t^{-1}(\l)$ ����� �������� ������.
��������� ��������� $\t_1\t_2\t_3=\det M(1,\cdot)=1$, �� ��������
������ �����������.

iii) ��� ��������� \er{1b} ������ ��������������� �������
$$
\wt\cM(t,\l)=(\wt\vp_{j}^{(k-1)}(t,\l))_{k,j=1}^3,\qqq
(t,\l)\in\R\ts\C.
$$
����� $\wt M(\l)=\wt\cM(1,\l)$.
��������� $\wt\vp_j$ -- ��������������� ������� ��������� \er{1b}
� $\vp_j$ ����� �������� ��� ���������, $\vp_j$ --
�������� ���������� $\wt\vp_j$.
��������� ������� \er{ic} ����
$$
\vp_1(t,\l)=\wt\vp_1(t,\l)-p(0)\wt\vp_3(t,\l),\qq
\vp_2(t,\l)=\wt\vp_2(t,\l),\qq \vp_3(t,\l)=\wt\vp_3(t,\l),
$$
��� ���� $(t,\l)\in\R\ts\C$, ������ �������, ���
\[
\lb{M1}
\ma\vp_1&\vp_2&\vp_3\\
\vp_1'&\vp_2'&\vp_3'\\
\vp_1''&\vp_2''&\vp_3''\am(t,\l)
=\ma\wt\vp_1-p(0)\wt\vp_3&\wt\vp_2&\wt\vp_3\\
\wt\vp_1'-p(0)\wt\vp_3'&\wt\vp_2'&\wt\vp_3'\\
\wt\vp_1''-p(0)\wt\vp_3'&\wt\vp_2''&\wt\vp_3''\am(t,\l)
=\wt\cM(t,\l)\cS,\qq(t,\l)\in\R\ts\C.
\]
��������� $\cS^{-1}=\ma1&0&0\\0&1&0\\p(0)&0&1\am$,
��������� \er{deM} ����
\[
\lb{M2}
M(t,\l)=\cS^{-1}\ma\vp_1&\vp_2&\vp_3\\
\vp_1'&\vp_2'&\vp_3'\\
\vp_1''&\vp_2''&\vp_3''\am(t,\l)\qq\all\qq(t,\l)\in\R\ts\C.
\]
�� �������� \er{M1}, \er{M2} ������� \er{MwM}.
$\BBox$

\no {\bf �������������� ������� \ref{T1r}.}
i)
��������� ����� $\t_j^0=e^{i\o^{j-1}z}, j=1,2,3$, �����������
�������� ������� $e^{izB}$. �� ��������� ������� ������ ������ (��.,
����., \cite{HJ}, ��������� 6.3.4) �� \er{3if} �������, ��� ���
������ $|\l|>1$ ������� $\cM(1,\l)$, � ������ �
������� $ M(1,\l)$, ����� �� ������� ���� ���� ����������� ��������
$\t_j(\l)$ � ������ ����� � ������� $\t_j^0(\l), j=1,2,3$, �
�������� ${\vk\/|z|}e^{z_0+\vk}$. � ���������, ��� $j=3$ ��������
\[
\lb{e16}
|\t_3(\l)-e^{i\o^2z}|<{\vk\/|z|}e^{z_0+\vk}\qq
\text{��� ����}\ \ |\l|>1,
\]
������ �������
$|\t_3(\l)e^{-i\o^2z}-1|<{\vk\/|z|}e^{\vk}$
��� ���� $|\l|>1,$
��� ���� �����������
\er{awt} ��� $j=3$.
��������� ��������� $\t_2=\bar\t_3^{-1},\t_1=(\t_2\t_3)^{-1}$,
�������� \er{awt} ��� $j=1,2$.




����� ����, ����������� \er{awt} ����������, ��� ��� �������
$\t_j(\l),j=1,2,3$, ��������. �����������, ��� �����-���� �� �������
$\t_j(\l)$ �������� ����� �������� ���������� $\l$. �����������
\er{awt} ����������, ��� ��� �������� ����� �������� �������
${1\/3}$ �, �������������, ����� ����������� ����� ����� (��.,
����., \cite{Le}, ��. I.10). ��� ������������ ���������
$\t_1\t_2\t_3=1$. ����� �������, �� ���� �� ������� $\t_j$ ��
�������� ����� � ����� $\t_j$ -- ��� ����� ����� �������
$\t$, ������������� �� ������� �����������
��������� �����������.

ii) ����������� \er{awt} ���� \er{aD}.
����������� \er{aD} ����������, ��� ��� �������
$\D_j(\l),j=1,2,3$, ��������. �����������, ��� �����-���� �� �������
$\D_j$ �������� ����� ��������.
����� $\t_j=\D_j+\sqrt{\D_j^2-1}$ �������� ������������� ��������
�� ���������� ��������� �����������, ��� ������������ ����������� ii).
�������������, �� ���� �� ������� $\D_j$ ��
�������� ����� � ����� $\D_j$ -- ��� ����� ����� �������
$\D$, ������������� �� ������� �����������
��������� �����������.




iii) ������� $\r$ �������� �������������� ����������� �������� \er{cM}
� ������ ��������������, ������� $\r$ - ����� �������.
����������� ������� ��� ������������� $d$ ����������� ��������
$-\t^3+a\t^2-b\t+1$ ���� $d=(ab)^2-4(a^3+b^3)+18ab-27$,
������ ������� \er{rtr}.
$\BBox$

��� ����������� ��������� �������� ����� �������
$D(e^{ik},\cdot),k\in[0,2\pi)$.

\begin{lemma}
\lb{CLD}

i) ������ ��
������� $D(e^{ik},\l),k\in[0,2\pi),$ ������������� �����������
\[
\lb{asD0}
D(e^{ik},\l)=D_0(e^{ik},\l)\bigl(1+O(|z|^{-1})\bigr)\qq\text{���}\qq |\l|\to\iy,
\]
���� $|z-k-2\pi n|\ge{\pi\/2}, |z\o-k+2\pi n|\ge{\pi\/2}$ ��� ����
$n\in\N$, ���
\[
\lb{iD0}
D_0(\t,\l)=-\t^3+\t^2T_0(\l)-\t\ol T_0(\ol\l)+1.
\]

ii) ���������� $n_0\ge 1$ �����, ���
��� ������� ������ $N>n_0$
�

\no a) ��� ���� $k\in[0,{\pi\/2})\cup({3\pi\/2},2\pi)$ �������
$D(e^{ik},\cdot)$ ����� ����� $2N+1$ ����, � ������ ���������,
� ����� $\{\l:|\l|<(\pi(2N+1))^3\}$;

\no b) ��� ����  $k\in[{\pi\/2},{3\pi\/2}]$, �������
$D(e^{ik},\cdot)$ ����� ����� $2N$ �����, � ������ ���������,
� ����� $\{\l:|\l|<(2\pi N)^3\}$.

\no ����� ����, ��� ������� $n>N$ � ��� ����  $k\in[0,2\pi)$ �������
$D(e^{ik},\cdot)$ �����
����� ���� ������� ���� � ������ ����� $\{\l:|z-k-2\pi n|<{\pi\/2}\},
\{\l:|z\o-k+2\pi n|<{\pi\/2}\}$.
������ ����� ��� ������� �� �����.


\end{lemma}

\no {\bf Proof.}
i) ����� $k\in[0,2\pi)$.
�� �������� \er{cM2}, \er{iD0} ��������
$$
|D(e^{ik},\l)-D_0(e^{ik},\l)|=|e^{ik}(T(\l)-T_0(\l))-\ol T(\ol\l)
+\ol T_0(\ol\l)|\qq\all\qq\l\in\C.
$$
������ \er{4if} ���� $|T(\l)-T_0(\l)|\le{3\vk\/|z|}e^{z_0+\vk}$,
� �����
\[
\lb{eD1}
|D(e^{ik},\l)-D_0(e^{ik},\l)|\le {6\vk\/|z|}e^{z_0+\vk}\qq\all\qq|\l|\ge 1.
\]
�����������, ���
\[
\lb{eD2}
|D_0(1,\l)|\ge {e^{z_0}\/8},\qq\Bigl\{|\l|>R:
\bigl|z-k-2\pi n\bigr|\ge{\pi\/2},\ \bigl|z\o-k+2\pi n\bigr|\ge{\pi\/2}\ \all\  n\in\N\Bigr\}
\]
��� ���������� ���������� �������� $R>0$.
������ \er{eD1} � \er{eD2} ���� \er{asD0}.

������� \er{eD2}. ��������� ���������
$D_0(\t,\l)=-(\t-e^{iz})(\t-e^{i\o z})(\t-e^{i\o^2 z})$,
�� ��������
$$
D_0(e^{ik},\l)=-(e^{ik}-e^{iz})(e^{ik}-e^{i\o z})(e^{ik}-e^{i\o^2 z})
=-i8e^{i{3k\/2}}\sin{z-k\/2}\sin{z\o-k\/2}\sin{z\o^2-k\/2}
$$
��� ���� $\l\in\C$.
��������� ����������� ������
$|\sin z|>{1\/4}e^{|\Im z|}$ ��� $|z-\pi n|\ge{\pi\/4}$
��� ���� $n\in\Z$ (��. \cite{PT}, ����� 2.1) � \er{iD0}, �� ��������
$$
|D_0(e^{ik},\l)|
>{1\/8}e^{{1\/2}(|\Im z|+|\Im z\o|+|\Im z\o^2|)}\ge{e^{z_0}\/8}
$$
��� ���� $\{\l\in\C:|z\o^j-k-2\pi n|>1,j=0,1,2, n\in\N\}$.
��������, ��� ����������� $|z\o^2-k\pm 2\pi n|>1,|z-k+2\pi n|\ge{\pi\/2},
|z\o-k-2\pi n|\ge{\pi\/2}, n\in\N$, ��������� ��� ����
���������� ������� $|\l|$, �� �������� \er{eD2}.



ii) ���������� $k\in[0,{\pi\/2})$. �������������� ���
������ �������� $k$ ����������.
����� $N\ge 1$ - ���������� ������� � $N'>N$ - ����� ����� �����.
������ ������� $C_\a(r)=\{\l:|z-\a|=r\},r>0,\a\ge 0$.
����� $\l$ ����������� ��������
$$
C_0(\pi(2N+1)),\qq
C_0(\pi(2N'+1)),
\qq C_{k+2\pi n}\Bigl({\pi\/2}\Bigr),\qq
C_{(k-2\pi n)\o^2}\Bigl({\pi\/2}\Bigr),\qq n>N.
$$
����������� \er{asD0} ����
$$
|D(e^{ik},\l)-D_0(e^{ik},\l)|=|D_0(e^{ik},\l)|\Bigl|{D(e^{ik},\l)\/D_0(e^{ik},\l)}-1\Bigr|
=|D_0(e^{ik},\l)|O(|z|^{-1})<|D_0(e^{ik},\l)|
$$
�� ���� ��������.
�� ������� ���� $D(e^{ik},\cdot)$ ����� ������� �� �����, �������
$D_0(e^{ik},\cdot)$ � ������ �� ������������ �������� � � ����������
�������������� �������. ���������
$D_0(e^{ik},\cdot)$ ����� ����� ���� ������� ���� � ������ �����
$(2\pi n+k)^3,n\in\Z$,
� $N'>N$ ����� ���� ������� ����������� �������,
�� �������� ������ ���������.
$\BBox$




\section {�������� $H( k)$}
\setcounter{equation}{0}


���� $p=q=0$, �� ������ �������� $H_0( k)=i\pa^3,
k\in[0,2\pi)$, ����������� � $L^2(0,1)$, ������������ �� �������
�����������
$$
\mD(H_0( k))=\rt\{f,f'''\in L^2(0,1):f^{(j)}(1)=e^{i k}f^{(j)}(0)\
\all\ j=0,1,2\rt\}.
$$
����������� �������� ��������� $H_0( k),k\in[0,2\pi)$, ��� ������� � �����
$\l_{n}^0( k)=(2\pi n+ k)^3,n\in\Z$. ���������������
����������� ������� $\p_{n, k}^0=e^{i(2\pi n+ k)t}$
�������� ����������������� ����� � $L^2(0,1)$.


\begin{lemma}
\lb{PrA}

i) ������ �������� $H(k), k\in[0,2\pi)$, -- ���������������.

ii) �������� $H( k),k\in[0,2\pi)$, ����� ���������� ������
\[
\lb{sAt}
\s(H( k))=\{\l\in\R:e^{i k}\ \text{-- �����������
��������}\  M(1,\l)\}.
\]
��� ����������� $(H(k)-\l)^{-1},\l\in\C\sm\s(H(k))$,
�������� ���������� ���������-������ � ����� ���

\[
\lb{res}
\bigl((H(k)-\l)^{-1}f\bigr)(t)=i\int_0^1R_{k,13}(t,s,\l)f(s)ds,\qqq t\in[0,1],
\]
���
\begin{multline}
\lb{e7}
R_ k(t,s,\l)=\bigl(R_{k,jk}(t,s,\l)\bigr)_{j,k=1}^3
\\
= M(t,\l)\Bigl(\chi(t-s)\1_3-\bigl( M(1,\l)-e^{i
k}\1_3\bigr)^{-1}  M(1,\l)\Bigr) M^{-1}(s,\l),
\end{multline}
$\chi(t)=\ca1,\ t\ge 0\\ 0,\ t<0\ac\!\!\!\!$.
����� ����, ��� ���������� ������� $\a>0$
����������� $(H(k)-i\a)^{-1}$ �������� ������������� ����������������� ��������
���������� $k$ � ��������� ����������� ��������� $[0,2\pi]$ � $\C$.

iii) ����������� ������� $\p_{n, k},n\in\Z$, ��������� $H( k),k\in[0,2\pi)$,
� ������������ ���������� $\l_{n}( k)$ �������� ����������������� ����� � $L^2(0,1)$.
������� �� ������ ����������� �������� $\l_{n}( k)$ -- �������.
���������� $\l_{n}( k)$ � ������� �����������
$...\le\l_{-1}( k)\le\l_{0}( k)\le\l_{1}( k)\le\l_{2}( k)\le...$
� ������ ���������.
����� �����������
\[
\lb{e9}
\l_{n}( k)=\bigl(2\pi n+ k\bigr)^3\bigl(1+O(n^{-1})\bigr)
\qqq\text{���}\qqq n\to\pm\iy
\]
���������� �� $k$.

\end{lemma}

\no{\bf ��������������.}
i) ������ ��������� ��������� � $L^2(0,1)$:
$$
H_+=i\pa^3+i\pa p+ip\pa +q,
$$
$$
\mD(H_+)=\Bigl\{y\in L^2(0,1):i(y''+py)'+ipy'+qy\in
L^2(0,1),y'',(y''+py)'\in L^1([0,1])\Bigr\}
$$
� $H_-$, ������� �������� �������� $H_+$ �� �������
$$
\mD(H_-)=\Bigl\{y\in
\mD(H_+):y(0)=y(1)=y'(0)=y'(1)=(y''+py)(0)=(y''+py)(1)=0\Bigr\}.
$$
�������� $H_-$ -- ������ ������������ �������������� �������� �
�������� ������� $(3,3)$ � $H_+=H_-^*,H_-=H_+^*$, ��. \cite{GM}.
������ �������� ����������� $\G_1,\G_2:\mD(H_+)\to\C^3$ �����������
\[
\lb{sbv}
\G_1y=\ma i(y''+py)(1)\\-i(y''+py)(0)\\y'(1)-iy'(0)\am,\qq
\G_2y=\ma y(1)\\y(0)\\{2+i\/2}y'(1)-{1+2i\/2}y'(0)\am.
\]
����� �� ���������� ��������� ��������� �� \cite{GM}:

\no{\it

1) ����� $A$ -- ��������� �������� � $\C^3$.  �����
������� ��������� $H_+$ �� ��������� ������� $y$ �� $\mD(H_+)$,
��������������� �������
\[
\lb{e1}
(A-\1_3)\G_1y+i(A+\1_3)\G_2y=0,
\]
�������� ���������������
����������� $H_A$ ��������� $H_-$.

2) ��� �������
���������������� ���������� $\wt H$ ��������� $H_-$ ����������
��������� �������� $A$ � $\C^3$ �����, ��� $\wt H=H_A$.

3) �����������
����� ���������� $\{A\}$ ��������� ���������� � $\C^3$ � ����������
$\{h_A\}$ ��������������� ���������� $H_-$ �������� ��������. }

�������� ��������� �������� $A$ ���, ����� ������� \er{e1}
��� ��������� $H_A$ ������ ������� \er{cDA} ��� ��������� $H(k)$.
����� $ k\in[0,2\pi)$ � ����� �������� $A$ ����� ���
\[
\lb{e2}
A=\ma0&-e^{i k}&0\\-e^{-i k}&0&0\\0&0&{ia+b\/ia-b}\am,
\qqq a=ie^{i k}+1,\qq
b={2i-1\/2}e^{i k}+{2-i\/2}.
\]
���������
$
({ia+b\/ia-b})^{-1}=\ol{({ia+b\/ia-b})}
$
����������, ��� $A$ -- ��������� ��������.
���������� \er{e2} � \er{sbv} � ��������� \er{e1}, �� ��������
$$
\!\ma-1&-e^{i k}&0\\-e^{-i k}&-1&0\\0&0&{2b\/ia-b}\am\!\!\!
\ma i(y''+py)(1)\\-i(y''+py)(0)\\y'(1)-iy'(0)\am
+\ma 1&-e^{i k}&0\\-e^{-i k}&1&0\\0&0&{i2a\/ia-b}\am\!\!\!
\ma iy(1)\\ iy(0)\\ {2i-1\/2}y'(1)+{2-i\/2}y'(0)\am=0,
$$
��� �����������
\[
\lb{e3}
\ma y\\ y'\\ y''+py\am(1)=e^{i k}\ma y\\ y'\\ y''+py\am(0).
\]
��������� \er{e3} � \er{cDA}, ���������, ��� $H_A=H( k)$, ��� $A$
��������� ���������� \er{e2}. ��������� $A$ -- ���������, $H_A$ �,
�������������, $H(k)$ -- ���������������.

ii)
������� ��������� $iy'''+(py)'+py'+(q-\l)y=f$ ������������� ���������
\[
\lb{e4} Y(t)= M(t,\l)Y(0) + M(t,\l)\int_0^t M^{-1}(s,\l)F(s)ds,\ \
Y=\ma y\\y'\\y''+py\am,\ \ F=\ma 0\\0\\if\am,
\]
��� $(t,\l)\in\R\ts\C$. ������� \er{e3} ����
\[
\lb{e5}
 M(1,\l)Y(0)+ M(1,\l)\int_0^1 M^{-1}(s,\l)F(s) ds=e^{i k}Y(0).
\]
����� �������� $( M(1,\l)-e^{i k}\1_3)^{-1}$ ��������� ���
���������� $\l\in\C$. ����� �� ��������� \er{e5} �����
$$
Y(0)=-\bigl( M(1,\l)-e^{i k}\1_3\bigr)^{-1}
 M(1,i\a)\int_0^1 M^{-1}(s,\l)F(s)ds.
$$
���������� ��� ��������� � \er{e4}, �� ��������
\[
\lb{e6}
Y(t)=\int_0^1R_ k(t,s,\l)F(s)ds
\qq \text{��� ����}\qq  t\in\R,
\]
������ ������� \er{res}.

���������������
������� $ M$ ��������� ���������� �� $t$.
��������� $\det M(t,\l)=1$, ������� $ M^{-1}$ ����� ���������
����������. ����� ��������� \er{res}, \er{e7} ����������, ���
����������� ��������� $H( k)$
�������� ���������� ���������-������.
�������������, �������� $H( k)$ ����� ���������� ������.

����� $\l$ -- ����������� �������� ���������
$H(k)$.
����� �� �����
$$
e^{i k}\ma y\\y'\\y''+py\am(0) =\ma y\\y'\\y''+py\am(1) = M(1,\l)\ma
y\\y'\\y''+py\am(0).
$$
�������������, $\l$ �������� ����� ������� $D(e^{i k},\l)=\det(
M(1,\l)-e^{i k}\1_3)$. �������, ����� $\l$ -- ���� ������� $D(e^{i
k},\l)$. ����� ������� $ M(1,\l)$ ����� ����������� ������
$(x_1,x_2,x_3)^\top$, ��������������� ������������ �������� $e^{i
k}$. ������� $y$ ��������� \er{1b}, ��������������� ���������
�������� $y^{(j-1)}(0)=x_j,j=1,2,3$, ���� ����������� �������
��������� $H( k)$. ����� �������, $\l$ -- ����������� �������� $H(
k)$, ������ ������� \er{sAt}.

����� $\l=i\a$ � ��������� ���������� ������� $\a>0$.
����� $z=e^{i{\pi\/6}}\a^{1\/3},\a^{1\/3}>0$, ������ �������
$$
\Re iz=\Re i\o z=-{\a^{1\/3}\/2},\qqq \Re i\o^2 z=\a^{1\/3}.
$$
����������� \er{awt} ����������, ���
$$
\t_j(\l)=e^{-{1\/2}\a^{1\/3}}(1+O(\a^{-{1\/3}})),\qq j=1,2,
\qq \t_3(\l)=e^{\a^{1\/3}}(1+O(\a^{-{1\/3}}))\qq\text{���}
\qq\a\to+\iy.
$$
����� �������, ��� ���������� ������� $\a>0$ ����������� ��������
$\t_j(i\a),j=1,2,3$, ������� $M(1,i\a)$ ����� ������ �� ���������
����������. ����� �������� $(M(1,i\a)-e^{i k}\1_3)^{-1}$
������������ ������� �� $k$ � ��������� ����������� ��������� $[0,2\pi]$.
�� ��������� \er{res} �������, ���
����������� $(H(k)-i\a)^{-1}$ ��������
������������� ����������������� ��������
���������� $k$ � ���� �����������.

iii) ����������� ��������� $H(k)$ �������� ����������
����������. ��� �������� (��., ����., \cite{R}, ��. 12.5) � ����
������ ����������� ������� �������� ����������������� �����.




��������� $T=\t_1+\t_2+\t_3$ � ����������� \er{awt} ����
$$
T(\l)=e^{i\o^2 z}\bigl(1+O(z^{-1})\bigr)\qq\text{���}\qq\l\to\pm\iy,\qq
\ol T(\l)=\bigl(1+O(z^{-1})\bigr)
\ca e^{-i\o z}\ \,\text{���}\ \ \l\to+\iy\\
e^{-iz}\qq\text{���}\ \ \l\to-\iy\ac\!\!\!.
$$
�� ��������� \er{cM2} ��������
\[
\lb{D1}
D(e^{i k},\l)
=e^{i2 k}e^{i\o^2 z}\bigl(1+O(z^{-1})\bigr)
-e^{i k}e^{-i\o z}\bigl(1+O(z^{-1})\bigr)
=2ie^{i{3\/2}k+\sqrt3 z}\Bigl(\sin{k-z\/2}+O(z^{-1})\Bigr)
\]
��� $\l\to+\iy$ �
\[
\lb{D2}
D(e^{i k},\l)
=e^{i2 k}e^{i\o^2 z}\bigl(1+O(z^{-1})\bigr)
-e^{i k}e^{-iz}\bigl(1+O(z^{-1})\bigr)
=2ie^{i{3\/2}k+\sqrt3|z|}\Bigl(\sin{k+|z|\/2}+O(z^{-1})\Bigr)
\]
��� $\l\to-\iy$ ���������� �� $k\in[0,2\pi]$.
��������� ����������� �������� $\l_n(k)$ ���������
$H(k)$ ����������� � ��������� � ���������� ����� ������� $D(e^{i k},\cdot)$.
�� ����� \ref{CLD} ii) �������, ��� ������� �� ������
���� $D(e^{i k},\cdot)$ -- �������. ����� ����,
$\l_n(k)=(2\pi n+k+\d_n)^3,|\d_n|<{\pi\/2}$
��� ���� ���������� ������� $|n|$.
���������� $z=\l_n(k)^{1\/3}=2\pi n+k+\d_n$ � \er{D1}, \er{D2},
�� �������� $\d_n=O(n^{-1})$ ��� $n\to\pm\iy$, ��� ���� ����������� \er{e9}.
$\BBox$



\begin{lemma}
\lb{l42}

i) ����������������� ������� $H(\cdot)$ ����������� ���������� � ������ ����
� ��������� ����������� ��������� $[0,2\pi]$ � $\C$.
����� ����, $H( k)$ � $H(2\pi- k)$ ������������ ������������
�� ��������� � �������� ������������ ����������.
� ���������, �� ����������� �������� ����� � ��������������� �����������
������� ���������� ���������.



ii) ��� $ k\in(0,2\pi)$ ����������� �������� ���������
$H( k)$ ����� ��������� $1$ ��� $2$.
����� ����, ��� ������� $n\in\Z$ ���������� �������� ����� $m_n\ge 0$
�������� $ k_\ell\in(0,2\pi),\ell=1,...,m_n,$ �����, ���
$\l_n( k_\ell)$ ���� ����������� �������� ��������� $2$
��������� $H( k_\ell)$.
������ ������� $\l_{n}(\cdot),n\in\Z$, ���������� �� $[0,2\pi)$,
���������� � ����������� �� ������ �� ����������
$(0, k_1),( k_{m_n},2\pi),
( k_\ell, k_{\ell+1}),\ell=1,...,m_n-1$.

iii) ����� $n\in\Z$. ����� $L^2(0,1)$-������� ������� $\p_{n,k}$
���������� �� $k$ �� $[0,2\pi)$ �
����������� ���������� �� $k$ �� ������ �� ����������
$(0, k_1),( k_{m_n},2\pi),
( k_\ell, k_{\ell+1}),\ell=1,...,m_n-1$.


\end{lemma}

\no {\bf ���������.}
����������� ii) ����� � ���, ��� �������
$\l_{n}(\cdot),n\in\Z$, �� ����� ���� �����������,
�������� �������� ��� �������������� ����������
������������� ������� ��������� $H$.

\no{\bf ��������������.}
i)
����������� $(H(k)-i\a)^{-1}$ ��� ���������� ������� $\a>0$
�������� ������������� ����������������� ��������
���������� $k$ � ��������� ����������� ��������� $[0,2\pi]$ � $\C$.
�������������, ��������� $H( k)$
�������� ������������� ��������� � ������ ���� � ���� �����������,
��. \cite{RS}, ��.~ XII.2.
����������� \er{cDA} ��������� $H( k)$ ����������, ���
$H( k)$ � $H(2\pi- k)$ ������������ ������������.


ii) �������� ��������� ��������� ���������, ��. \cite{Ka},
������� VII.1.8:

\no {\it ���� ��������� ���������� $A(k)$ ���������� (� ������ ����)
� ����������� ����, �� ����� �������� ������� �����������
�������� ��������� $A(k)$ �������������� ������� �����
��� ���������� ������������� �������, �������
����� ������� �������������� ����������� � ����.
}


�� ����� \ref{CLD} ii) ���������� $N\ge 1$, �� ��������� �� $k$,
�����, ��� ��� ����������� �������� $\l_{n}(k),k\in[0,2\pi),|n|>N$,
-- �������. ������ �������, ���
������ ������� $\l_{n}(\cdot),|n|>N$, ���������� �� $[0,2\pi)$.
�������� ��������������� ��������� � �������� ������� ����������� ��������
$\l_{n}(k),|n|\le N$, ����������� �������� ���������
$H(k),k\in[0,2\pi)$, ��������,
��� ������ ������� $\l_{n}(\cdot),|n|\le N$,
���������� � ������� ���������� �� $[0,2\pi)$.


�������, ��� ����� ����������� �������� $\l_n(k),n\in\N$, -- �������
��� ���� $k\in(0,2\pi)$, �� ����������� ��������� ����� �������� $k$.
��������, ��� ����� ��������� ����������� ��������
$ M(1,\l)$ ����� 3
���������� �� $\l$, �� ����������� ��������� ����������� �����
$\l\in\C$. � ������ ���������� ������������ � $\C$ ������� ����
�������� ����� ����� �������������� �����.
���� $\l$ -- �����������
����������� �������� $H( k)$, �� $e^{i k}$ ��������
������� ����������� ��������� ������� $ M(1,\l)$ � $\l$ -- �������������� �����.
�����������, ��� ���������� ����������� ����� �������� $ k_\ell\in(0,2\pi)$,
�����, ��� $\l_n( k_\ell)$ (� ��������� ������������� $n\in\Z$)
���� ����������� ����������� ��������.
����� ��������� $\{ k_\ell,\ell\in\N\}$ ����� �� ������� ����
���� ���������� ����� $ k=\lim_{\ell\to\iy} k_\ell\in[0,2\pi]$
� �� �����: ����
a) $\lim_{\ell\to\iy}\l_n( k_\ell)=\iy$, ����
b) ��������� $\{\l_n( k_\ell),\ell\in\N\}$ ����� �������� ������.
����������� \er{e9} ����������, ��� a) ����������.
��������� � ������ ���������� ������������ � $\C$ �������
���� �������� ����� �������������� ��������, b) ����� ����������.
����� �������, ���������� �������� ����� $m_n\ge 0$ ��������
$ k_\ell\in(0,2\pi)$ �����, ���
$\l_n( k_\ell)$ ���� ����������� ����������� �������� ���������
$H( k_\ell)$. ������� $\l_{n}(\cdot)$ ���������� �� $[0,2\pi)$ �
���������� �� ������ ��
���������� $(0, k_1),( k_\ell, k_{\ell+1}),( k_{m_n},2\pi)$.

���� $\l$ -- ����������� �������� $H( k)$ ��������� 3, �� ��������������
$\t=e^{i k}$ ����� ��������� 3. ���������
\er{cM} ����������, ��� � ���� ������ $\t=1$, ������ ������� $ k=0$.

�����������, ���  ��� ���������� $n\in\Z$
������� $\l_n( k)=c=\const$ �� ��������� ��������
��������� $(\a,\b)\ss[0,2\pi)$, � �����
$A=T(c)$. ����� �� \er{cM2} ������� ���������
\[
\lb{kcon}
-e^{i3 k}+e^{i2 k}A-e^{i k}\ol A+1=0\qq\all\qq k\in(\a,\b).
\]
������� ������ $e^{ik}$ �� ��������
�������, �� �������� $k=\const$, �� ���� ��������� \er{kcon}
�� ����� ����������� ��� ���� $ k\in(\a,\b)$. ���������� ������������
���������� �����������.

iii) ��������� ������� �� i), ii) � ������� ����-�������,
��.~\cite{RS}, �������~XII.8.
$\BBox$











\section {������ ��������� $H$}
\setcounter{equation}{0}






��������� ����� $C_0^\iy(\R)$ (������� � $L^2(\R)$) ��������� �������
������� �� $\R$ � ������������ ���������.



\begin{lemma}
\lb{uU}
i) ��������� $\p_{n, k},(n, k)\in\Z\ts[0,2\pi)$, � $[0,1]$ �� $\R$
���������� $\p_{n, k}(t+1)=e^{i k}\p_{n, k}(t)$.
��� $f\in C_0^\iy(\R)$ ������
\[
\lb{dwt}
\wt f_n( k)=\int_\R f(t)\ol{\p_{n, k}(t)}dt.
\]
����� ���������
\[
\lb{PF}
\|f\|^2={1\/2\pi}\sum_{n\in\Z}\int_0^{2\pi}|\wt f_n( k)|^2d k,
\qq
f(t)={1\/2\pi}\sum_{n\in\Z}\int_0^{2\pi}\wt f_n( k)\p_{n, k}(t)d k,\qq t\in\R.
\]

ii) ��������
$H_1=U^{-1}\int_{[0,2\pi)}^\os H( k){d k\/2\pi}\ U$
-- ��������������� �� �������
$\mD(H_1)=\mD(H)$, ��� ������� $\mD(H)$ ���������� � \er{cDH}.
����� ����,
�������� $H_1$ �������������
���������
\[
\lb{mH}
(\wt{H_1 f})_n( k)=\l_n( k)\wt f_n( k)\qq\text{��� ����}\qq
(n, k)\in\Z\ts[0,2\pi),\qq f\in\mD(H_1),
\]
��� �������� $\wt{\ }$ ��������� ������������ �� ��� $L^2(\R)$ �� �������������.

\end{lemma}

\no {\bf ��������������.} ��������, ��� ���������  ��������
$U:L^2(\R)\to\mH$ ��������� �� �������
\[
\lb{gt5} u_k(t)=(U f)_k(t)=\sum_{\ell\in\Z}e^{-i\ell k}f(t+\ell).
\]
����� $\mH=\int_{[0,2\pi)}^\os \mH'\, {d k\/2\pi},\ \mH'=L^2([0,1],dt)$ � ������
��������� ������������ $(\cdot,\cdot)_0$ � �����
$\|\cdot\|_0$ � ������������ ������������ $\mH'$.

i) ��� $f\in C_0^\iy(\R)$ ����� � \er{gt5}
������� � $u_ k$ ������������� ���������
\[
\lb{et5}
u_{ k}(t+1)=e^{-i k}u_{ k}(t),\qq
f(t)={1\/2\pi}\int_0^{2\pi}u_ k(t)d k\qq  \all \qq t\in\R.
\]
����� ����,
$$
\wt f_n( k)=\int_0^1\sum_{\ell\in\Z} f(t+\ell)\ol{\p_{n, k}(t+\ell)}dt
=\int_0^1\sum_{\ell\in\Z} e^{-ik \ell}f(t+\ell)\ol{\p_{n, k}(t)}dt
=\int_0^1u_ k(t)\ol{\p_{n, k}(t)}dt.
$$
��������� $\p_{n, k}$ �������� ����������������� ����� � $L^2(0,1)$, �� �����
\[
\lb{et2}
\sum_{n\in\Z}|\wt f_n( k)|^2=\int_0^1|u_ k(t)|^2dt,
\qq
u_ k(t)=\sum_{n\in\Z}\wt f_n( k)\p_{n, k}(t)
\qq\all\qq t\in[0,1].
\]
����������� $U$ ���� $ \|f\|^2=\|u\|_\mH^2={1\/2\pi}\int_0^{2\pi}d
k\int_0^1|u_ k(t)|^2dt. $ �� ����� ��������� � ������� ��������� �
\er{et2} ������� ������ ��������� � \er{PF}. ���������� ������
��������� � \er{et2} �� ������ ��������� � \er{et5}, �������� ������
��������� � \er{PF}.


ii) �������� $A=\int_{[0,2\pi)}^\os H( k){d k\/2\pi}$ �� �������� ��
������� �����������
$$
\mD(A)=\{u\in\mH:u_ k\in\mD(H( k))\ \all\  k\in[0,2\pi),\
\int_0^{2\pi}\|H( k)u_ k\|_0^2d k<\iy\}
$$
-- ���������������, ��. \cite{RS}, ������� XIII.85. �����
$H_1=U^{-1}AU$ ������������
�� ������� $\mD(H_1)=U^{-1}\mD(A)$.

�������, ��� $\mD(H_1)=\mD(H)$, ��� $\mD(H)$ -- �������, ��������
���������� \er{cDH}. ����� $f\in\mD(H)$. �� ��������� \er{gt}
�������, ��� $u_ k=(Uf)( k)\in\mD(H( k))$ ��� ���� $ k\in[0,2\pi)$.
����� ����, �� ����� $hu_ k=(U(hf))( k)$, ��� $h=i(\pa^2+p)\pa+i \pa
p+q$. ����� ${1\/2\pi}\int_0^{2\pi}\|H( k)u_ k\|_0^2d k =\|hf\|^2$.
�� $hf\in L^2(\R)$ ������� $\int_0^{2\pi}\|H( k)u_ k\|_0^2d k<\iy$.
����� �������, $u=Uf\in\mD(A)$ �, �������������, $U\mD(H)\ss\mD(A)$,
������ ����� $\mD(H)\ss U^{-1}\mD(A)=\mD(H_1)$. �������, �����
$u\in\mD(A)$. ����� $u_ k\in\mD(H( k))$ ��� ���� $ k\in[0,2\pi)$ �
��������� $f(t)={1\/2\pi}\int_0^{2\pi}u_ k(t)d k$ ���� $f',f''+pf\in
AC(\R)$. ����� ����, $\int_0^{2\pi}\|H( k)u_ k\|_0^2d k<\iy$.
��������� ����������� $U$, ������ �������� $ \|hf\|^2
={1\/2\pi}\int_0^{2\pi}\|H( k)u_ k\|_0^2d k<\iy, $ ��� ��������
$hf\in L^2(\R)$. ����� ������� $f=U^{-1}A\in\mD(H)$ � �� �����
$U^{-1}\mD(A)=\mD(H_1)\ss\mD(H)$. �������������, $\mD(H_1)=\mD(H)$.

������� \er{mH}.
����� $f\in\mD(H_1)\cap C_0^\iy(\R)$. ��������, ��� ��������� $\mD(H_1)\cap C_0^\iy(\R)$
������ � $L^2(\R)$ (��., ����., \cite{EM}, Appendix A).
��������� \er{dwt}, \er{gt} ����
\[
\lb{e10} \wt{(H_1f)}_n( k)=\int_\R (H_1f)(t)\ol{\p_{n, k}(t)}dt
=\sum_{\ell\in\Z}\int_0^1 (H_1f)(t+\ell)\ol{\p_{n, k}(t)}e^{-i\ell
k}dt =((UH_1f)(k),\p_{n, k})_{0}
\]
� ��� ��������� �� ������������� ����� ���� ���������� �� ��� ���������
$f\in\mD(H_1)$.
�� ����������� $H_1$ ������� $(UH_1f)(k)=(AUf)(k)=H(k)u_ k$.
���������� ��� ��������� � \er{e10}, �� ��������
$$
\wt{(H_1f)}_n( k)=(H(k)u_ k,\p_{n, k})_{0} =\l_n( k)(u_k,\p_{n,
k})_{0},\qq f\in\mD(H_1).
$$
�� ������� ��������� \er{et2} ����� $(u_k,\p_{n, k})_{0}=\wt
f_n( k)$, ������ ������� \er{mH}. $\BBox$

\no {\bf ���������.}
1) � ����������� \ref{thH} �� ����������, ��� $H_1=H$.
������� $\p_{n, k},(n, k)\in\Z\ts[0,2\pi)$, ������������
�� ��� $t\in\R$ ���������� $\p_{n, k}(t+1)=e^{i k}\p_{n, k}(t)$,
�������� ��������� ����� ��� ��������� $H$.
��������� \er{PF} ���� ���������� ������� $f$ � �������� ������� �����
� ��������� ��������� ��� ����� ����������.
��������� \er{mH} ���������� ������������� ���������� �� �����������
�������� ��� $H$.

2) ����������, ����������� ����������� ����� \ref{uU}, ������ ��������
��� ��������� ������� �������, ��., ����., \cite{RS}, ��. XIII.16.

\no {\bf �������������� ����������� \ref{thH}.}
����� $f\in\mD(H_1)=\mD(H)$.
�������������� �� ������ ����
\[
\lb{fH}
(\wt{H f})_n( k)=\int_\R (Hf)(t)\ol{\p_{n, k}(t)}dt
=\int_\R f(t)\bigl((i\pa^3+i p\pa+i \pa p+q)\ol\p_{n, k}\bigr)(t)dt
=\l_n( k)\wt f_n( k)
\]
��� ���� $(n, k)\in\Z\ts[0,2\pi).$
��������� \er{mH}, \er{fH} ����
$(\wt{(H-H_1) f})_n( k)=0$ ��� ���� $(n, k)\in\Z\ts[0,2\pi)$.
����� �� ��������� \er{PF} �����
$(H-H_1) f=0$ ��� ���� $f\in\mD(H)$, �������������, $H=H_1$.
�� ����� \ref{uU} ii)
������� ����������������� $H$ � ��������� \er{deH}.
$\BBox$

� ������� \ref{spec} ��, ������ � \er{sdD}, ���������� ���������
\[
\lb{spl}
\s(H)=\cup_{n\in\Z}\l_n([0,2\pi)).
\]


\no {\bf �������������� ������� \ref{spec}.}
i) �� ���������� ��������� ��������� ����������,
��. \cite{RS}, ������� XIII.85,86.

{\it ����� $A=\int_{[0,2\pi)}H( k){d k\/2\pi}$ � ��� ������� $ k\in[0,2\pi)$
$H( k)$ -- ��������������� ��������� � $L^2(0,1)$.
�����������, ��� ��� ���� $L^2(0,1)$-������� ������� $\{\p_{n}(\cdot)\}_{n\in\Z}$
�� $[0,2\pi]$, ����������� �� $[0,2\pi)$, ������� ����������� ������������� �� $(0,2\pi)$,
� ����������������� ������� $\l_n(\cdot)$, ����������� �� $[0,2\pi)$,
������� ������������� �� $[0,2\pi)$, �����, ���:

a) ������ ������� $\l_n(\cdot)$ �����������
�� ����� ������������ � $[0,2\pi)$;

b) $H( k)\p_n( k)=\l_n( k)\p_n( k)$
��� ���� $(n, k)\in\Z\ts[0,2\pi)$;

c) ��� ������� $ k\in[0,2\pi)$ ����� $\{\p_{n}( k)\}_{n\in\Z}$
�������� ����������������� ����� � $L^2(0,1)$.

\no ����� $A$ ����� ����� ��������� ����������� ������ �
$\s(A)=\ol{\cup_{ k\in[0,2\pi)}\s(H( k))}$.

}

�� ���� ����������� � ���� \ref{PrA}, \ref{l42} �������, ���
������ ��������� $H$ ����� ��������� ���������� �
������������� \er{spl} � ������� ��������� � \er{sdD}.
��������� $\D_j={1\/2}(\t_j+\t_j^{-1}), j=1,2,3$, ���� ������ ��������� � \er{sdD}.

ii) ������� \ref{TMM} ii) ����������, ��� $\s(H)=\R$ �
��� ������ $\l\in\s(H)$ ������� ������ ��� �����������:
a) ����� ���� ��������������  $\t(\l)$ ����� �� ��������� ����������;
b) ��� ��� ��������������� ����� �� ��������� ����������.

���������� ������ a): ����� ���� ��������������  $\t(\l)$ ����� �� ��������� ����������
��� ���� $\l\in(\a,\b)$ � ���������� $\a<\b$. ����� $(\a,\b)\in\s(H)$
� ��������� \er{mH} ����������, ���
������������ �������� $\chi_{(\a,\b)}(H)$
�������� ������������ ��������� ��������� �� $\l\in(\a,\b)$.
������� ������ $H$ � ��������� $(\a,\b)$ ����� ��������� 1.

���������� ������ b): ��� ��� ��������������� ����� �� ��������� ����������
��� ���� $\l\in(\a,\b)$ � ���������� $\a<\b$. �����
������������ �������� $\chi_{(\a,\b)}(H)$
�������� ������������ ��������� ��������� �� $\l\1_3,\l\in(\a,\b)$.
�������������, ������ $H$ � ��������� $(\a,\b)$ ����� ��������� 3.

����������� \er{awt} ����������, ���
����� ���� �������������� ������������� ������� \er{sdD}
��� $\l\in\R\sm[-R,R]$  � ���������� ������� $R>0$,
������ ������ ����� ��������� 1 ��� ����� $\l$.

����� $\t_j=e^{ik_j}$  ��� ���� $j=1,2,3$.
�� ������� \ref{T1r} i) ��� $k_j(\l),j=1,2,3$, �������� ��� ���� $\l\in\C$,
����� ��������� �������������� �������� $\l$, � ����� ����� ��������������
�������� ������� � ������ �������� �������.
��������� \er{r} � $e^{i(k_1+k_2+k_3)}=1$ ����
\[
\lb{rqm}
\r=(e^{ik_1}-e^{ik_2})^2
(e^{ik_1}-e^{ik_3})^2
(e^{ik_2}-e^{ik_3})^2
=-64\sin^2{k_1-k_2\/2}
\sin^2{k_1-k_3\/2}
\sin^2{k_2-k_3\/2}.
\]
���� ������ � ����� $\l$ ����� ��������� 3, ��, �� ������� \ref{TMM} iii),
$k_j(\l)\in\R$ ��� ���� $j=1,2,3$, � \er{rqm} ���� $\r(\l)\le 0$.
���� ������ � ����� $\l$ ����� ��������� 1, �� ����� ���� �������� $k_j$,
������, $k_1$, ����������� � $k_2=\ol k_3$ - �������������.
�� ��������� \er{rqm} ������� $\r(\l)>0$, ������ �������� \er{sro}.

iii) �������������� ����������� �����������, �������� ��� ��� �������.
����� $\l_0\in\R$ ������������� ��������: $\D_j(\l_0)\in(-1,1)$
��� ���������� $j=1,2,3$,
$\l_0$ �� �������� ������ ��������� ������� $\D_j$ � $\D_j'(\l_0)=0$.
����� $\D_j(\l)=\D_j(\l_0)+{1\/2}\D_j''(\l_0)(\l-\l_0)^2+O((\l-\l_0)^3)$
��� $\l-\l_0\to 0$.
���������� ����������� $\l\to \D_j(\l)$ � ��������� ����������� �����
$\l_0$. ����� ����, ������������ �������, ������������� � ����� $\l_0$,
����������� ���� ������������ � ����, � $2$ ��� ����� ��� �������. ����� �������
$[\D_j(\l_0)-\d,\D_j(\l_0)+\d]\ss[-1,1]$ ��� ���������� ���������� ������ $\d>0$
����� ��������, ������� �� ����� ������� ������ �� ������������ ���.
�� ��������� \er{sdD} �������, ��� $H$ ����� �������������� ������,
��� ������������ �����������������.
����� �������, $\D_j'(\l_0)\ne 0$, ��� � ���������� �����������.
$\BBox$

������ ��������� ��� ���������� ��������� ������������ ����������� �
����� ���������� ���������, �� � 14.740.11.0581.

\begin{thebibliography}{9999}
\setlength{\itemsep}{-\parskip}
\footnotesize

\bibitem[A1]{A1} Amour, L. Determination of a third-order operator from two of its spectra,
SIAM J. Math. Anal., 30 (1999), 1010�1028.

\bibitem[A2]{A2} Amour, L. Isospectral flows of third order operators.
SIAM J. Math. Anal., 32 (2001), no. 6, 1375�1389.

\bibitem[BBK]{BBK} Badanin, A.; Br\"uning, J.; Korotyaev, E.
The Lyapunov function for Schr\"odinger operators
with a periodic $2\times 2$ matrix potential.
J. Funct. Anal.,  234 (2006),  no.~ 1, 106--126.

\bibitem[BK1]{BK1} Badanin, A.; Korotyaev, E.
Spectral asymptotics  for periodic fourth-order operators,
Int. Math. Res. Not. , 45, 2005, 2775-2814.

\bibitem[BK2]{BK2} Badanin, A.; Korotyaev, E.
Spectral estimates for periodic fourth order operators.
Algebra i Analiz, 22:5 (2010), 1-48.

\bibitem[BK3]{BK3} Badanin, A.; Korotyaev, E.
Even order periodic operator on the real line.
Int. Math. Res. Not., 2011,  53 pages.

\bibitem[BK4]{BK4} Badanin, A.; Korotyaev, E.
Third order operator with  small periodic coefficients.
Preprint, arXiv:1105.3545, 2011.

\bibitem[BK5]{BK5} Badanin, A.; Korotyaev, E.
Spectral asymptotics for the third order operator with
periodic coefficients.
Preprint, 2011.

\bibitem[BDT]{BDT} Beals, R., Deift, P., Tomei, C.
Direct and inverse scattering on the line,
Nathematical survays and monograph series,
No. 28, AMS, Providence, 1988.

\bibitem[Ca]{Ca}  Carlson, R. Eigenvalue estimates and trace
formulas for the
matrix Hill's equation. J. Differential Equations, 167 (2000), no.~ 1,
211--244.

\bibitem[CL]{CHGL} Clark, S.; Gesztesy, F.; Holden H.;  Levitan, B.
Borg-type theorem for matrix-valued Schr\"odinger and Dirac
operators, J. Diff. Eqs., 167 (2000), 181-210.


\bibitem[CK1]{CK1}
Chelkak, D.;  Korotyaev, E.  Spectral estimates for Schr\"odinger
operator with periodic matrix potentials on the real line,
Int. Math. Res. Not., (2006), Art. ID 60314, 41 pp.

\bibitem[CK2] {CK2}  Chelkak,  D.; Korotyaev, E.
Weyl-Titchmarsh functions of vector-valued Sturm-Liouville operators on the unit
interval, J. Funct. Anal., 257 (2009), 1546�-1588.

\bibitem[CK3] {CK3}  Chelkak,  D.; Korotyaev, E. Parametrization of the isospectral set
for the vector-valued Sturm-Liouville problem, J. Funct. Anal.,
241(2006), 359-373.


\bibitem[DTT]{DTT} Deift, P., Tomei, C., Trubowitz, E.
Inverse scattering and the Boussinesq equation,
Comm. on Pure and Appl. Math., 35 (1982), 567-628.

\bibitem[D]{D} ��������, �.�. �������� ������ ������ ��������� ��� ������������� ������������� �����������
�����. ������ � ��� ����., 9:1 (1975),  65�66.

\bibitem[DS]{DS} �������, �., �����, ��. �. �������� ���������. II.
������������ ������. ��������������� ��������� � ������������ ������������.
�., ���, 1966, 1063 �.

\bibitem[EM]{EM} Everitt, W., Markus, L. Boundary Value Problems and Symplectic
Algebra for Ordinary Differential and Quasi-Differential Operators.
AMS, 1999.

\bibitem[Fo]{Fo} Forster, O. Lectures on Riemann surfaces.
Graduate Texts in Mathematics, 81, Springer -Verlag, New York, 1991.

\bibitem[Ge]{Ge} ��������, �.�.
���������� �� ������������������ �������� ��������� � ��������������
��������������. ��� ����, 73 (1950), 1117--1120.

\bibitem[GL]{GL} Gel'fand, I.M.; Lidskii, V.B. On the structure of the regions
of stability of linear canonical
systems of differential equations with periodic coefficients.
(Russian) Uspehi Mat. Nauk (N.S.), 10 (1955), no.~ 1(63), 3--40.

\bibitem[GM]{GM} ������� �.�., �������� �.�.
� ����������� ��������������
��������������������� ���������� ��������� �������.
������� ������������ �������� ���� �������, 2009, � 9, 27-31.

\bibitem[GK]{GK} ������� �.�., ����� �.�. �������� � ������
�������� ����������������� ���������� � ������������ ������������.
�����, ������, 1965.

\bibitem[GT]{GT} Garnett, J., Trubowitz, E.
Gaps and bands of one dimensional periodic Schrodinger operators,
Comment. Math. Helv., 59, no.2, 258-312, 1984.


\bibitem[HJ]{HJ} ����, �., �������, �. ��������� ������. �., ���, 1989, 666 �.

\bibitem[IM]{IM} ���, �. �., �������, �. �.
��������� ���������� � ������������� �������� �
N-���������� ������� ��������� ������������ �����.
���, 23:1 (1975),  51�68.

\bibitem[KK]{KK} Kargaev, P., Korotyaev, E.
The inverse problem for the Hill operator, a direct approach,
Invent. Math., 129, no.3, 567-593, 1997.

\bibitem[Ka]{Ka} ����, �. ������ ���������� �������� ����������.
 ���, ������, 1972.

\bibitem[K1] {K1}
Korotyaev,  E. Spectral estimates for matrix-valued periodic Dirac
operators,  Asymptot. Anal., 59 (2008), no.~3-4, 195--225.

\bibitem[K2]{K2}
Korotyaev,  E. Conformal spectral theory for the monodromy matrix,
Trans. Amer. Math. Soc.,  362 (2010), 3435--3462.


\bibitem[K3]{K3}
Korotyaev,  E. Characterization of the spectrum of
Schr\"odinger operators with
periodic distributions. Int. Math. Res. Not. 37 (2003) 2019-2031.

\bibitem[Kr]{Kr}
 �����, �. �. �������� ��������� ������ $\l$-��� ������������
������������ �������
�������� ���������������� ��������� � �������������� ��������������.
������ �. �. ���������, ���. �� ����, 1955, 413--498.



\bibitem[Le]{Le}
�����, �.�. ������������� ������ ����� �������. �.: �����,
1956,  632 �.


\bibitem[MO]{MO} ��������, �. �., ����������, �. �.
�������������� ������� ��������� �����.
�����. ��., 97(139):4(8) (1975),  540�606.


\bibitem[McK]{McK} McKean, H. Boussinesq's equation on the circle, Com. Pure and
Appl. Math., 34(1981), 599-691

\bibitem[McG]{McG} McGarvey, D. C.
Differential operators with periodic coefficients in $L_p(-\iy,\iy)$,
J. Math. Anal. Appl. 11 (1965), 564�596.


\bibitem[P1]{P1}  Papanicolaou V.
The Spectral Theory of the Vibrating Periodic Beam,
Commun. Math. Phys. 170, 359 -- 373, 1995.

\bibitem[P2]{P2}  Papanicolaou, V.  The Periodic Euler-Bernoulli
Equation, Transactions of the American Mathematical Society 355,
No. 9, 3727--3759, 2003.



\bibitem[PT]{PT} P\"oschel J.; Trubowitz E. Inverse spectral
theory. Boston, Academic Press, 1987.

\bibitem[RS]{RS} Reed, M.;  Simon, B. Methods of modern mathematical
physics. IV. Analysis of operators, Academic Press, New York-London,
1978.

\bibitem[R]{R} ���������, �. �������� ����������� �������������� ������.
�., ���, 1982.


\bibitem[Su]{Su} �������, �. �. �������� ������ ��� ����������������
����������������� ��������� �� ���. �������������� �������, 137(179) (1988),
� 2, 242--259.

\bibitem[Tk]{Tk}  ��������, �. �.
���������� �� ����������� �������� ��������� � �����������
�������������� ����������������� ����������� ������� 2n.
�����. ������ � ��� ����., 41:1 (2007),  66�89.

\end{thebibliography}

\end{document}

1112.4587.extracted_bib
\begin{thebibliography}{9999}
\setlength{\itemsep}{-\parskip}
\footnotesize

\bibitem[A1]{A1} Amour, L. Determination of a third-order operator from two of its spectra,
SIAM J. Math. Anal., 30 (1999), 1010�1028.

\bibitem[A2]{A2} Amour, L. Isospectral flows of third order operators.
SIAM J. Math. Anal., 32 (2001), no. 6, 1375�1389.

\bibitem[BBK]{BBK} Badanin, A.; Br\"uning, J.; Korotyaev, E.
The Lyapunov function for Schr\"odinger operators
with a periodic $2\times 2$ matrix potential.
J. Funct. Anal.,  234 (2006),  no.~ 1, 106--126.

\bibitem[BK1]{BK1} Badanin, A.; Korotyaev, E.
Spectral asymptotics  for periodic fourth-order operators,
Int. Math. Res. Not. , 45, 2005, 2775-2814.

\bibitem[BK2]{BK2} Badanin, A.; Korotyaev, E.
Spectral estimates for periodic fourth order operators.
Algebra i Analiz, 22:5 (2010), 1-48.

\bibitem[BK3]{BK3} Badanin, A.; Korotyaev, E.
Even order periodic operator on the real line.
Int. Math. Res. Not., 2011,  53 pages.

\bibitem[BK4]{BK4} Badanin, A.; Korotyaev, E.
Third order operator with  small periodic coefficients.
Preprint, arXiv:1105.3545, 2011.

\bibitem[BK5]{BK5} Badanin, A.; Korotyaev, E.
Spectral asymptotics for the third order operator with
periodic coefficients.
Preprint, 2011.

\bibitem[BDT]{BDT} Beals, R., Deift, P., Tomei, C.
Direct and inverse scattering on the line,
Nathematical survays and monograph series,
No. 28, AMS, Providence, 1988.

\bibitem[Ca]{Ca}  Carlson, R. Eigenvalue estimates and trace
formulas for the
matrix Hill's equation. J. Differential Equations, 167 (2000), no.~ 1,
211--244.

\bibitem[CL]{CHGL} Clark, S.; Gesztesy, F.; Holden H.;  Levitan, B.
Borg-type theorem for matrix-valued Schr\"odinger and Dirac
operators, J. Diff. Eqs., 167 (2000), 181-210.


\bibitem[CK1]{CK1}
Chelkak, D.;  Korotyaev, E.  Spectral estimates for Schr\"odinger
operator with periodic matrix potentials on the real line,
Int. Math. Res. Not., (2006), Art. ID 60314, 41 pp.

\bibitem[CK2] {CK2}  Chelkak,  D.; Korotyaev, E.
Weyl-Titchmarsh functions of vector-valued Sturm-Liouville operators on the unit
interval, J. Funct. Anal., 257 (2009), 1546�-1588.

\bibitem[CK3] {CK3}  Chelkak,  D.; Korotyaev, E. Parametrization of the isospectral set
for the vector-valued Sturm-Liouville problem, J. Funct. Anal.,
241(2006), 359-373.


\bibitem[DTT]{DTT} Deift, P., Tomei, C., Trubowitz, E.
Inverse scattering and the Boussinesq equation,
Comm. on Pure and Appl. Math., 35 (1982), 567-628.

\bibitem[D]{D} ��������, �.�. �������� ������ ������ ��������� ��� ������������� ������������� �����������
�����. ������ � ��� ����., 9:1 (1975),  65�66.

\bibitem[DS]{DS} �������, �., �����, ��. �. �������� ���������. II.
������������ ������. ��������������� ��������� � ������������ ������������.
�., ���, 1966, 1063 �.

\bibitem[EM]{EM} Everitt, W., Markus, L. Boundary Value Problems and Symplectic
Algebra for Ordinary Differential and Quasi-Differential Operators.
AMS, 1999.

\bibitem[Fo]{Fo} Forster, O. Lectures on Riemann surfaces.
Graduate Texts in Mathematics, 81, Springer -Verlag, New York, 1991.

\bibitem[Ge]{Ge} ��������, �.�.
���������� �� ������������������ �������� ��������� � ��������������
��������������. ��� ����, 73 (1950), 1117--1120.

\bibitem[GL]{GL} Gel'fand, I.M.; Lidskii, V.B. On the structure of the regions
of stability of linear canonical
systems of differential equations with periodic coefficients.
(Russian) Uspehi Mat. Nauk (N.S.), 10 (1955), no.~ 1(63), 3--40.

\bibitem[GM]{GM} ������� �.�., �������� �.�.
� ����������� ��������������
��������������������� ���������� ��������� �������.
������� ������������ �������� ���� �������, 2009, � 9, 27-31.

\bibitem[GK]{GK} ������� �.�., ����� �.�. �������� � ������
�������� ����������������� ���������� � ������������ ������������.
�����, ������, 1965.

\bibitem[GT]{GT} Garnett, J., Trubowitz, E.
Gaps and bands of one dimensional periodic Schrodinger operators,
Comment. Math. Helv., 59, no.2, 258-312, 1984.


\bibitem[HJ]{HJ} ����, �., �������, �. ��������� ������. �., ���, 1989, 666 �.

\bibitem[IM]{IM} ���, �. �., �������, �. �.
��������� ���������� � ������������� �������� �
N-���������� ������� ��������� ������������ �����.
���, 23:1 (1975),  51�68.

\bibitem[KK]{KK} Kargaev, P., Korotyaev, E.
The inverse problem for the Hill operator, a direct approach,
Invent. Math., 129, no.3, 567-593, 1997.

\bibitem[Ka]{Ka} ����, �. ������ ���������� �������� ����������.
 ���, ������, 1972.

\bibitem[K1] {K1}
Korotyaev,  E. Spectral estimates for matrix-valued periodic Dirac
operators,  Asymptot. Anal., 59 (2008), no.~3-4, 195--225.

\bibitem[K2]{K2}
Korotyaev,  E. Conformal spectral theory for the monodromy matrix,
Trans. Amer. Math. Soc.,  362 (2010), 3435--3462.


\bibitem[K3]{K3}
Korotyaev,  E. Characterization of the spectrum of
Schr\"odinger operators with
periodic distributions. Int. Math. Res. Not. 37 (2003) 2019-2031.

\bibitem[Kr]{Kr}
 �����, �. �. �������� ��������� ������ $\l$-��� ������������
������������ �������
�������� ���������������� ��������� � �������������� ��������������.
������ �. �. ���������, ���. �� ����, 1955, 413--498.



\bibitem[Le]{Le}
�����, �.�. ������������� ������ ����� �������. �.: �����,
1956,  632 �.


\bibitem[MO]{MO} ��������, �. �., ����������, �. �.
�������������� ������� ��������� �����.
�����. ��., 97(139):4(8) (1975),  540�606.


\bibitem[McK]{McK} McKean, H. Boussinesq's equation on the circle, Com. Pure and
Appl. Math., 34(1981), 599-691

\bibitem[McG]{McG} McGarvey, D. C.
Differential operators with periodic coefficients in $L_p(-\iy,\iy)$,
J. Math. Anal. Appl. 11 (1965), 564�596.


\bibitem[P1]{P1}  Papanicolaou V.
The Spectral Theory of the Vibrating Periodic Beam,
Commun. Math. Phys. 170, 359 -- 373, 1995.

\bibitem[P2]{P2}  Papanicolaou, V.  The Periodic Euler-Bernoulli
Equation, Transactions of the American Mathematical Society 355,
No. 9, 3727--3759, 2003.



\bibitem[PT]{PT} P\"oschel J.; Trubowitz E. Inverse spectral
theory. Boston, Academic Press, 1987.

\bibitem[RS]{RS} Reed, M.;  Simon, B. Methods of modern mathematical
physics. IV. Analysis of operators, Academic Press, New York-London,
1978.

\bibitem[R]{R} ���������, �. �������� ����������� �������������� ������.
�., ���, 1982.


\bibitem[Su]{Su} �������, �. �. �������� ������ ��� ����������������
����������������� ��������� �� ���. �������������� �������, 137(179) (1988),
� 2, 242--259.

\bibitem[Tk]{Tk}  ��������, �. �.
���������� �� ����������� �������� ��������� � �����������
�������������� ����������������� ����������� ������� 2n.
�����. ������ � ��� ����., 41:1 (2007),  66�89.

\end{thebibliography}