Formulas for transverse conductance in quantum Maxwellian collisional plasma are deduced. The kinetic Von Neumann equation in momentum space with collision integral in the relaxation form is used. It is shown, that at $\hbar\to 0$ the derived formula transfers to the classical one. It is shown also, that when values of dimensionless wave numbers are small, the conductance formula transfers in the known formula for classical Maxwellian plasmas. {Key words:} Lindhard, Mermin, Maxwellian quantum collisional plasma, conductance, rate equation, density matrix, commutator, Maxwellian classical plasma. PACS numbers: 03.65.-w Quantum mechanics, 05.20.Dd Kinetic theory, 52.25.Dg Plasma kinetic equations.
QMPlasma1.tex
\documentclass[a4paper, 12pt, oneside]{article}
%\documentclass[12pt]{article}
\usepackage[cp1251]{inputenc}
\usepackage[english, russian]{babel}
\usepackage{ graphics,amsfonts, amsmath,bm,amssymb, array}
\usepackage[dvips]{graphicx}
\pagestyle{myheadings} \textwidth=155mm 
\textheight=250mm
\voffset=-20mm \hoffset=0mm \makeatletter
%\renewcommand{\@biblabel}[1]{#1.\hfill}
\newcommand{\const}{\mathop{\rm const\, }}
\renewcommand{\Re}{\mathop{\rm Re\,}}
\renewcommand{\Im}{\mathop{\rm Im\,}}
\newcommand{\sign}{\mathop{\rm sign\,}}
\newcommand{\Res}{\mathop{\rm Res\,}}
\makeatother {\renewcommand{\baselinestretch}{1.15}
%\usepackage{indentfirst}

\begin{document}
\thispagestyle{empty} \large
\renewcommand{\abstractname}{}
\renewcommand{\abstractname}{Abstract }
\renewcommand{\refname}{\begin{center} REFERENCES\end{center}}

 \begin{center}
\bf Transverse electric conductivity and dielectric function in quantum
Maxwellian collisional plasma by Mermin approach
\end{center}\medskip
\begin{center}
\bf A. V. Latyshev\footnote{$avlatyshev@mail.ru$} and
A. A. Yushkanov\footnote{$yushkanov@inbox.ru$}
\end{center}\medskip

\begin{center}
{\it Faculty of Physics and Mathematics,\\ Moscow State Regional
University, 105005,\\ Moscow, Radio str., 10--A}
\end{center}\medskip


\begin{abstract}
Formulas for transverse conductance in
quantum Maxwellian collisional plasma are deduced. The kinetic
Von Neumann equation in momentum space with collision integral in the relaxation
form is used. It is shown, that at $\hbar\to 0$ the derived formula
transfers to the classical one.
It is shown also, that when values of dimensionless wave numbers are small,
the conductance formula
transfers in the known formula for classical Maxwellian plasmas.


{\bf Key words:} Lindhard, Mermin, Maxwellian quantum collisional plasma,
conductance, rate equation, density matrix,
commutator, Maxwellian classical plasma.

PACS numbers: 03.65.-w Quantum mechanics, 05.20.Dd Kinetic theory,
52.25.Dg Plasma kinetic equations.
\end{abstract}


\begin{center}
{\bf 1. ��������}
\end{center}
� ������ ��������� ������ ������� \cite {Mermin} �� ������ ������� �������������
������� ��������� � $\tau $ -- ����������� ���� �������� ��������� ���
���������� ��������������� ������������� ��������� ����������������� ������.

����� � ������ ��������� \cite{Lin} ���� �������� ��������� ��� ���������� �
���������� ��������������� ������������� ��������� �������������������� ������.
����� ������ � ���� �������� \cite{Kliewer}, ��� ������ ��������� ������
��������� �� ������ ���������������� ������ (����� ������
$\omega\to \omega+i/\tau$) �����������.
���� ���������� ��� ���������� ��������������� �������������
��� ��������� � ������ ������� \cite{Mermin}.
� ���� ����� ����� �� ���������� ������� �� ������� ����������� ��������� ���
���������� ��������������� ������������� ��� ������ ���������
�������������� ����������������
������. ���� ��������� ������ --- ���������� ���� ������.

�������� ������������� ������������ � ��������������� ������������� ��
��������, ���������� ���������� \cite{Lin}, �������� ��������� � ����������
\cite{Dressel}. � ������ \cite{Gelder} ���������� ��������������� �������������
��������� ������ ����������� � �������� ����� ����--�������.
� ��������� ����� ������ ������� � �������� ��������� ������� ���������
������ (��, ��������, \cite{Anderson}--\cite{Manf2}). �������� �������
�������� ������ ��. �������� \cite{Manf}, ����������� ������������
���������������� ������� ��������� ������.

\begin{center}
  \bf 1. ������������ ��������� ��� ������� ���������
\end{center}

����� ��������� ��������� ����������������� ���� �������� �������������, �.�.
���������� ���
$
{\bf A}={\bf A}({\bf r})\exp(-i \omega t).
$
�� ������������� ���������� ������������. ������� ����������� ���������
�����������
$
{\bf \rm div\bf  A}(\mathbf{r},t)=0.
$
����� ����� ��������� ����������� � �������������� �������������� ����
������ ��������� ����������
$$
{\bf A}({\bf q})=-\dfrac{ic}{\omega}\;{\bf E}({\bf q}).
$$

����������� ������� ��������� ����� ��������� ���
$$
{\tilde \rho}=\exp\Big(-\dfrac{H}{k_BT}\Big).
\eqno{(1.1)}
$$

����� $T$ -- ����������� ������, $k_B$ --
���������� ���������,  $H$ -- ������������.

� �������� ����������� ������������ ����� ��������� ���
$$
H=\dfrac{({\bf p}-({e}/{c}){\bf A})^2}{2m}=
\dfrac{{\bf p}^2}{2m}-\dfrac{e}{2mc}({\bf p}{\bf A}+{\bf A} {\bf
p}).
$$

����� $\mathbf{p}$ -- �������� ��������, $\mathbf{p}=-i\hbar \nabla$,
$e, m$ -- ����� � ����� ���������, $c$ -- �������� �����.

�������������, �� ����� ����������� ���� ������������ � ���� �����
���� ���������� $H=H_0+H_1$,
���
$$
H_0=\dfrac{{\bf p}^2}{2m},
\qquad H_1=-\dfrac{e}{2mc}({\bf p}{\bf A}+{\bf A} {\bf p}).
$$

������� ������������ ���������  ��� �������---��������� ��� ������� ���������
� ���������� ������������% �  $\tau$ -- �����������
$$
i\hbar \dfrac{\partial \rho}{\partial t}=[H,\rho]+ i\hbar B[\rho,\rho],
$$
��� $B[\rho,\rho]$ -- ���������� �������� ������������ ���������.

������� � ���� ��������� �������� ������������ ��������� �� ���������
�������� ������������ ��������������� ����. �������� ����������� ���������,
��������������� �������� \cite{Mermin}
$$
i\hbar \dfrac{\partial \rho}{\partial t}=[H,\rho]+ i\hbar
\dfrac{\tilde\rho-\rho}{\tau}.
\eqno{(1.2)}
$$

����� $\nu=1/\tau$ -- ����������� ������� ������������ ������ ������,
$\tau$ -- ����������� ����� ����� ����� ����������������� ��������������,
$\hbar$ -- ���������� ������, $[H,\rho]=H\rho-\rho H$ -- ����������,
$\mathbf{\tilde{\rho}}$ -- ����������� ������� ���������.

� �������� ����������� �� �������� ���� �� ���� ������� ��������� � ����
$$
{\rho}={\tilde \rho}^{(0)}+{\rho}^{(1)}.
\eqno{(1.3)}
$$

����� ${\rho}^{(1)}$ -- �������� (����������) � �����������
������� ���������, ������������� �������� ����������������� ����,
$\tilde{\rho}^{(0)}$ -- ����������� ������� ���������,
���������� "������������"\, ��������� ���������� $H_0$.

���������� ����������� ������� ��������� $\tilde{\rho}$ (��. (1.1))
� ��������� ����
$$
\tilde{\rho}=\tilde{\rho}^{(0)}+\tilde{\rho}^{(1)}.
\eqno{(1.4)}
$$

���������� ���������� $[H, \tilde{\rho}]$. � �������� �����������
���� ���������� �����
$$
[H, {\tilde \rho}\,]=[H_0, {\tilde \rho}^{(1)}]+[H_1, {\tilde
\rho}^{(0)}]
\eqno{(1.5)}
$$
�
$$
[H, {\tilde \rho}\,]=0.
\eqno{(1.6)}
$$

��� ������������ �� ������ ����� ��������� (1.5) �� �������
$$
\langle\mathbf{k}_1|[H_0, \tilde{\rho}^{(1)}]|\mathbf{k}_2\rangle=
\big(E_{\mathbf{k}_1}-E_{\mathbf{k}_2}\big)\tilde{\rho}^{(1)}
(\mathbf{k}_1-\mathbf{k}_2),
\eqno{(1.7)}
$$
�
$$
\langle\mathbf{k}_1|[H_1, \tilde{\rho}^{(0)}]|\mathbf{k}_2\rangle=
\Big[f_M(\mathbf{k}_2)-f_M(\mathbf{k}_1)\Big]\langle\mathbf{k}_1|H_1|
\mathbf{k}_2\rangle=
$$
$$
=\dfrac{e\hbar}{2mc}\Big[f_M(\mathbf{k}_2)-f_M(\mathbf{k}_1)\Big]
(\mathbf{k}_1+\mathbf{k}_2)\mathbf{A}(\mathbf{k}_1-\mathbf{k}_2).
\eqno{(1.8)}
$$
�����
$$
f_M(\mathbf{k})=\exp \Big(-\dfrac{E_{\mathbf{k}}}{k_BT}\Big),
$$
���
$$
E_{\mathbf{k}}=\dfrac{\hbar^2\mathbf{k}^2}{2m}, \qquad
\mathbf{p}=\hbar \mathbf{k}.
$$

��������, ��� ������ $|\mathbf{k}\rangle$ �������� ����������� ��������
��������� $H$;
$$
H|\mathbf{k}\rangle =E_{\mathbf{k}} |\mathbf{k}\rangle, \qquad
\langle \mathbf{k}|H=E_{\mathbf{k}}\langle \mathbf{k}|,
$$
� ��������� $\mathbf{p}$:
$$
\mathbf{p}|\mathbf{k}\rangle =\hbar \mathbf{k} |\mathbf{k}\rangle, \qquad
\langle \mathbf{k}|\mathbf{p}=\hbar \mathbf{k}\langle \mathbf{k}|.
$$

�������� �����, ��� ��� ��������� $L$ ����������� �����������:
$$
\langle \mathbf{k}_1|L|\mathbf{k}_2\rangle =\dfrac{1}{(2\pi)^3}\int
\exp(-i\mathbf{k}_1\mathbf{r})L\exp(i\mathbf{k}_2\mathbf{r})d\mathbf{r},
$$
� ��� ������� $\varphi(\mathbf{r})$ -- ����� �����������
$$
\langle \mathbf{k}_1|\varphi|\mathbf{k}_2\rangle =\dfrac{1}{(2\pi)^3}\int
\exp[-i(\mathbf{k}_1-\mathbf{k}_2)\mathbf{r})\varphi(\mathbf{r})d\mathbf{r}=
\varphi(\mathbf{k}_1-\mathbf{k}_2).
$$

�� ����������� (1.4)--(1.8) ��������, ���
$$
\tilde{\rho}^{(1)}(\mathbf{k}_1-\mathbf{k}_2)=
-\dfrac{e\hbar}{2mc}\dfrac{f_M(\mathbf{k}_1)-
f_M(\mathbf{k}_2)}{E_{\mathbf{k}_1}-E_{\mathbf{k}_2}}
(\mathbf{k}_1+\mathbf{k}_2)\mathbf{A}(\mathbf{k}_1-\mathbf{k}_2).
\eqno{(1.9)}
$$

� ������� ����������� (1.3)--(1.5) �� ����������� ������������ ���������
(1.2).
�������� ��������� ���������
$$
i\hbar \dfrac{\partial \rho^{(1)}}{\partial t}=[H_0,
\rho^{(1)}]+[H_1, \tilde{\rho}^{(0)}]+i\hbar\dfrac{\tilde{\rho}^{(1)}-
\rho^{(1)}}{\tau}.
\eqno{(1.10)}
$$

%������� ����� $\rho^{(1)}=e^{-i\omega t}\rho_1$,
%$\tilde{\rho}^{(0)}=e^{-i\omega t}\tilde{\rho_0}$,
%$\tilde{\rho}^{(1)}=e^{-i\omega t}\tilde{\rho_1}$.
�������, ��� ���������� $\rho^{(1)}\sim \exp(-i\omega t)$,
����� ��������� (1.10) ��������� ��������� ���
$$
(\hbar \omega+i\hbar \nu)\rho^{(1)}=[H_0, \rho^{(1)}]+
[H_1, \tilde{\rho}^{(0)}]+i\hbar \nu \tilde{\rho}^{(1)}.
$$
������ �������, ���
$$
(\hbar \omega+i\hbar \nu)\langle\mathbf{k}_1|\rho^{(1)}|\mathbf{k}_2\rangle=
\langle\mathbf{k}_1|[H_0,\rho^{(1)}]|\mathbf{k}_2\rangle+
$$
$$
+\langle\mathbf{k}_1|[H_1,\tilde{\rho}^{(0)}]|\mathbf{k}_2\rangle+i\hbar \nu
\langle\mathbf{k}_1|\tilde{\rho}^{(1)}|\mathbf{k}_2\rangle.
\eqno{(1.11)}
$$

�������� ������, ��� $$
\langle\mathbf{k}_1|[H_0,\rho^{(1)}]|\mathbf{k}_2\rangle=(E_{\mathbf{k}_1}-
E_{\mathbf{k}_2})\langle\mathbf{k}_1|\rho^{(1)}|\mathbf{k}_2\rangle=$$$$=
(E_{\mathbf{k}_1}-E_{\mathbf{k}_2})\rho^{(1)}(\mathbf{k}_1-\mathbf{k}_2).
\eqno{(1.12)}
$$

��������� � (1.11) ��������� (1.12) � (1.8). � ���������� ����� �����: $$
(\hbar\omega+i\hbar \nu-E_{\mathbf{k}_1}+E_{\mathbf{k}_2})
\rho^{(1)}(\mathbf{k}_1-\mathbf{k}_2)=
$$
$$
=\dfrac{e\hbar}{2mc}[f_M(\mathbf{k}_1)-f_M(\mathbf{k}_2)]
(\mathbf{k}_1+\mathbf{k}_2)\mathbf{A}(\mathbf{k}_1-\mathbf{k}_2)+
i\hbar \nu \tilde{\rho}^{(1)}(\mathbf{k}_1-\mathbf{k}_2).
\eqno{(1.13)}
$$

����������� ������ ��������� (1.13) � ������� ��������� (1.9) � ����
$$
(\hbar\omega+i\hbar \nu-E_{\mathbf{k}_1}+E_{\mathbf{k}_2})
\rho^{(1)}(\mathbf{k}_1-\mathbf{k}_2)=
$$
$$
=\dfrac{e\hbar}{2mc}\dfrac{[f_M(\mathbf{k}_1)-f_M(\mathbf{k}_2)]
(E_{\mathbf{k}_1}-E_{\mathbf{k}_2}-i\hbar \nu)}{E_{\mathbf{k}_1}-
E_{\mathbf{k}_2}}(\mathbf{k}_1+\mathbf{k}_2)\mathbf{A}(\mathbf{k}_1-
\mathbf{k}_2),
$$
�� �������� �������
$$
\rho^{(1)}(\mathbf{k}_1-\mathbf{k}_2)=
$$\hspace{0.1cm}
$$=
\dfrac{e\hbar}{2mc}
\dfrac{[f_M(\mathbf{k}_1)-f_M(\mathbf{k}_2)]
(E_{\mathbf{k}_1}-E_{\mathbf{k}_2}-i\hbar \nu)}
{(E_{\mathbf{k}_1}-E_{\mathbf{k}_2})(\hbar\omega+i\hbar \nu-
E_{\mathbf{k}_1}+E_{\mathbf{k}_2})}
(\mathbf{k}_1+\mathbf{k}_2)\mathbf{A}(\mathbf{k}_1-\mathbf{k}_2).
\eqno{(1.14)}
$$\hspace{0.2cm}

� ��������� (1.14) �� ������� $\mathbf{k}_1=\mathbf{k}$,
$\mathbf{k}_2=\mathbf{k}-\mathbf{q}$. �����
$$
\langle\mathbf{k}_1|\rho^{(1)}|\mathbf{k}_2\rangle=
\langle\mathbf{k}|\rho^{(1)}|\mathbf{k}-
\mathbf{q}\rangle= \rho^{(1)}(\mathbf{q})=
$$ \hspace{0.2cm}
$$
=-\dfrac{e\hbar}{mc}
\dfrac{[f_M(\mathbf{k})-f_M(\mathbf{k}-\mathbf{q})]
(E_{\mathbf{k}}-E_{\mathbf{k}-\mathbf{q}}-i\hbar \nu)}
{(E_{\mathbf{k}}-E_{\mathbf{k}-\mathbf{q}})(
E_{\mathbf{k}}-E_{\mathbf{k}-\mathbf{q}}-\hbar\omega-i\hbar\nu)}
\mathbf{k}\mathbf{A}(\mathbf{q}).
\eqno{(1.15)}
$$\hspace{0.3cm}

\begin{center}
  \bf 2. ��������� ����
\end{center}


��������� ���� ${\bf j}({\bf q})$ ������������ ���
$$
{\bf j}({\bf q},\omega)=e\int \dfrac{d{\bf k}}{8\pi^3m}\left\langle{\bf k}+
\frac{\mathbf{q}}{2}\left|({\bf p}-\frac{e}{c}{\bf A})
\rho+\rho ({\bf p}-\frac{e}{c}{\bf A} \big)\right|{\bf k}-
\frac{\mathbf{q}}{2}\right\rangle.
\eqno{(2.1)}
$$
����� ����������� (1.3) � �������� �� (2.1), �� �����
$$
\left\langle{\bf k}+
\frac{\mathbf{q}}{2}\left|({\bf p}-\frac{e}{c}{\bf A})
\rho+\rho ({\bf p}-\frac{e}{c}{\bf A} \big)\right|{\bf k}-
\frac{\mathbf{q}}{2}\right\rangle=$$$$=
\left\langle{\bf k}+
\frac{\mathbf{q}}{2}\left|{\bf p}\rho^{(1)}+\rho^{(1)}\mathbf{p}-\frac{e}{c}
({\bf A}\tilde{\rho}^{(0)}+\tilde{\rho}^{(0)}\mathbf{A})\right|{\bf k}-
\frac{\mathbf{q}}{2}\right\rangle.
$$
�������� ��������, ���
$$
\left\langle{\bf k}+\dfrac{\mathbf{q}}{2}\left|{\bf p}\rho^{(1)}+
\rho^{(1)}\mathbf{p}\right|{\bf k}-
\dfrac{\mathbf{q}}{2}\right\rangle
=2\hbar\mathbf{k}\rho^{(0)}(\mathbf{q}),
$$
$$
\left\langle{\bf k}+
\dfrac{\mathbf{q}}{2}\left|{\bf A}\tilde{\rho}^{(0)}+
\tilde{\rho}^{(0)}\mathbf{A}\right|{\bf k}-\dfrac{\mathbf{q}}{2}\right\rangle=
\mathbf{A}(\mathbf{q})\Big[\tilde{\rho}^{(0)}(\mathbf{k}+
\dfrac{\mathbf{q}}{2})+\tilde{\rho}^{(0)}(\mathbf{k}-
\dfrac{\mathbf{q}}{2})\Big].
$$

�������������, ��������� ��� ��������� ���� ����� ��������� ���
$$
\mathbf{j}(\mathbf{q},\omega,\nu)=-\dfrac{e^2}{mc}\mathbf{A}(\mathbf{q})
\int \dfrac{d\mathbf{k}}{8\pi^3}\tilde{\rho}^{(0)}(\mathbf{k}+
\dfrac{\mathbf{q}}{2})-\dfrac{e^2}{mc}\mathbf{A}(\mathbf{q})
\int \dfrac{d\mathbf{k}}{8\pi^3}\tilde{\rho}^{(0)}(\mathbf{k}-
\dfrac{\mathbf{q}}{2})+
$$
$$
+e\hbar\int\dfrac{d\mathbf{k}}{4\pi^3m}
\left\langle\mathbf{k}+\dfrac{\mathbf{q}}{2}
\left|\rho^{(1)}\right|\mathbf{k}-\dfrac{\mathbf{q}}{2}\right\rangle.
$$

������ ��� ����� � ���� ��������� ����� ���� �����
$$
\int \dfrac{d\mathbf{k}}{8\pi^3}\tilde{\rho}^{(0)}(\mathbf{k}+
\dfrac{\mathbf{q}}{2})=
\int \dfrac{d\mathbf{k}}{8\pi^3}\tilde{\rho}^{(0)}(\mathbf{k}-
\dfrac{\mathbf{q}}{2})=\dfrac{N}{2},
$$
��� $N$ -- �������� ��������� (������������) ������.

�������������, ��������� ���� �����
$$
{\bf j}({\bf q},\omega,\nu)=-\frac{e^2N}{mc}{\bf A}({\bf q})+
e\hbar\int \dfrac{d{\bf k}}{4\pi^3m}{\bf k}
\left\langle\mathbf{k}+\dfrac{\mathbf{q}}{2}\left|\rho^{(1)}\right|{\bf k}-
\frac{\mathbf{q}}{2}\right\rangle.
\eqno{(2.2)}
$$

������ ��������� � (2.2) ���� �� ��� ����, ��� ������������� ��������� ����.

� ������� ��������� ������ ���������� � ��������� �� (2.2) ��������� (2.2)
����� ������������� � ����
$$
{\bf j}({\bf q},\omega,\nu)=-\frac{e^2N}{mc}{\bf A}({\bf q})+
e\hbar\int \dfrac{d{\bf k}}{4\pi^3m}{\bf k}
\left\langle\mathbf{k}\left|\rho^{(1)}\right|{\bf k}-{\bf q}\right\rangle.
\eqno{(2.3)}
$$

� ����������� (2.3) ��������������� ��������� ������ ���������� (1.12).
���������� (1.15) � (2.3), �������� ��������� ��������� ��� ��������� ����
$$
{\bf j}({\bf q},\omega,\nu)=-\frac{e^2N}{mc}{\bf A}({\bf q})-
$$
$$
-\dfrac{e^2\hbar^2}{m^2c}\int \dfrac{\mathbf{k}d\mathbf{k}}{4\pi^3}[\mathbf{k}
\mathbf{A(q)}]\dfrac{[f_M(\mathbf{k})-f_M(\mathbf{k-q})]
(E_{\mathbf{k}}-E_{\mathbf{k-q}}-i\hbar \nu)}{(E_{\mathbf{k}}-
E_{\mathbf{k-q}})(E_{\mathbf{k}}-E_{\mathbf{k-q}}-\hbar \omega -
i\hbar \nu)}.
\eqno{(2.4)}
$$

��������� �����
$$
\Xi(\mathbf{k,q})=\dfrac{E_{\mathbf{k}}-E_{\mathbf{k-q}}-i\hbar \nu}
{(E_{\mathbf{k}}-
E_{\mathbf{k-q}})[E_{\mathbf{k}}-E_{\mathbf{k-q}}-\hbar (\omega +i\nu)]}.
$$

� ������ ����� ����������� ������� (2.4) ��� ��������� ���� ����� ����������
������:
$$
{\bf j}({\bf q},\omega,\nu)=-\frac{e^2N}{mc}{\bf A}({\bf q})- $$$$-
\dfrac{e^2\hbar^2}{m^2c}\int \dfrac{\mathbf{k}d\mathbf{k}}{4\pi^3}[\mathbf{k}
\mathbf{A(q)}]\;\Xi(\mathbf{k,q})[f_M(\mathbf{k})-f_M(\mathbf{k-q})].
%\eqno{(2.4')}
$$

�������� ��� $x$ ����� ������� ${\bf q}$, � ��� $y$ �����
������� ${\bf A}$. ����� ���������� ��������� ��������� (2.4) ����� ����
���������� � ���� ���� ���������
$$
{ j}_y({\bf q},\omega,\nu)=-\frac{e^2N}{mc}{ A}({\bf q})-
\dfrac{e^2\hbar^2 A({\bf q})}{m^2c}\int \dfrac{d{\bf k}}{4\pi^3}{ k}_y^2
\;\Xi(\mathbf{k,q})[f_M(\mathbf{k})-f_M(\mathbf{k-q})] $$
�
$$
{ j}_x({\bf q},\omega,\nu)={ j}_z({\bf q},\omega,\nu)=0.
$$

��������, ���
$$
\int \dfrac{d{\bf k}}{4\pi^3}{ k}_y^2\;\Xi(\mathbf{k,q})
[f_M(\mathbf{k})-f_M(\mathbf{k-q})] =\int \dfrac{d{\bf k}}{4\pi^3}{ k}_z^2\;\Xi(\mathbf{k,q})
[f_M(\mathbf{k})-f_M(\mathbf{k-q})]. $$
�������������
$$
\int \dfrac{d{\bf k}}{4\pi^3}{ k}_y^2\;\Xi(\mathbf{k,q})
[f_M(\mathbf{k})-f_M(\mathbf{k-q})]=
$$
$$
\dfrac{1}{2}\int \dfrac{d{\bf k}}{4\pi^3}({ k}_y^2+{
k}_z^2)\;\Xi(\mathbf{k,q})[f_M(\mathbf{k})-f_M(\mathbf{k-q})]= $$$$=
\dfrac{1}{2}\int \dfrac{d{\bf k}}{4\pi^3}({\bf k}^2-{
k}_x^2)\;\Xi(\mathbf{k,q})[f_M(\mathbf{k})-f_M(\mathbf{k-q})].
$$
������ �� ���������, ��� ��������� ��� ��������� ���� ����� ����������� �
��������� ������������ �����
$$
{\bf j}({\bf q},\omega,\nu)=-\frac{Ne^2}{mc}{\bf A}({\bf q})-\hspace{6cm}
$$
$$%\hspace{5cm}
-\dfrac{e^2\hbar^2}{8\pi^3m^2c}{\bf A}({\bf q})\int d{\bf k}
\Big[{\bf k}^2-\Big(\dfrac{{\bf k}{\bf q}}{q}\Big)^2\Big]\;\Xi(\mathbf{k,q})
[f_M(\mathbf{k})-f_M(\mathbf{k-q})],
\eqno{(2.5)} $$
���, �������� ���������� �� ������������ �����, $$
\dfrac{E_{\mathbf{k}}-E_{\mathbf{k-q}}-i\hbar \nu}{(E_{\mathbf{k}}-
E_{\mathbf{k-q}})(E_{\mathbf{k}}-E_{\mathbf{k-q}}-\hbar \omega -
i\hbar \nu)}=
$$
$$
=\dfrac{1}{E_{\mathbf{k}}-E_{\mathbf{k-q}}}+\dfrac{\hbar \omega}
{E_{\mathbf{k}}-E_{\mathbf{k-q}}-\hbar(\omega+i \nu)},
$$
������� (2.5) ������� � ����
$$
{\bf j}({\bf q},\omega,\nu)=-\frac{Ne^2}{mc}{\bf A}({\bf q})-
$$
$$
-\dfrac{e^2\hbar^2}{8\pi^3m^2c}{\bf A}({\bf q})\int\mathbf{k}_\perp^2 d{\bf k}
\dfrac{f_M({\bf k})-f_M({\bf k-q})}{E_{{\bf k}}-E_{{\bf k-q}}}-
$$
$$
-\dfrac{e^2\hbar^3\omega}{8\pi^3m^2c}{\bf A}({\bf q})\int \mathbf{k}_\perp^2
d{\bf k}
\dfrac{f_M({\bf k})-f_M({\bf k-q})}{(E_{{\bf k}}-E_{{\bf k-q}})
[ E_{{\bf k}}-E_{{\bf k-q}}-\hbar( \omega+i\nu)]}.
\eqno{(2.6)}
$$\medskip

�����
$$
\mathbf{k}_\perp^2= {\bf k}^2-\Big(\dfrac{{\bf k}{\bf q}}{q}\Big)^2.
$$

������ ��� ����� � ���������� ����������� (2.6) �� ������� �� �������
$\omega$ � ������������ �������������� ���������� ���������, �������������
�������� ������������ $\nu$. ��� ����� �������� �������������� �����������,
������������� ������������ ������.

\begin{center}
\bf 3. ���������� ������������� ������������ � ��������������� �������������
\end{center}

�������� ����� ���������� ���������� � �������������� ����������������� ����,
� ����� ����� ��������� ���� � ������������� �����, �� ��������� ���������� ����������� (2.5) � (2.6) �������� ��������� ��������� ������������� ����
��� ���������� ������������� ������������
$$
\sigma_{tr}(\mathbf{q},\omega,\nu)=
\dfrac{ie^2N}{m\omega}+\dfrac{ie^2\hbar^2}{8\pi^3m^2\omega}
\int \Xi(\mathbf{k,q})[f_M({\bf k})-f_M({\bf k-q})]
\mathbf{k}_\perp^2 d\mathbf{k}.
$$
���, ������� ����������� ������������ $\sigma_0=e^2N/m \nu$,
$$
\dfrac{\sigma_{tr}(\mathbf{q},\omega,\nu)}{\sigma_0}=
\dfrac{i \nu}{\omega}\Bigg[1+\dfrac{\hbar^2}{8\pi^3m N}
\int  \Xi(\mathbf{k,q})[f_M({\bf k})-f_M({\bf k-q})]
\mathbf{k}_\perp^2 d\mathbf{k}\Bigg].
\eqno{(3.1)}
$$

���������� ����������� (3.1) � ����� ����
$$
\dfrac{\sigma_{tr}(\mathbf{q},\omega,\nu)}{\sigma_0}=
\dfrac{i \nu}{\omega}\Bigg[1+ $$$$ +
\dfrac{\hbar^2}{8\pi^3mN}\int \dfrac{[f_M(\mathbf{k})-f_M(\mathbf{k-q})]
(E_{\mathbf{k}}-E_{\mathbf{k-q}}-i\hbar \nu)}{(E_{\mathbf{k}}-
E_{\mathbf{k-q}})[E_{\mathbf{k}}-E_{\mathbf{k-q}}-\hbar (\omega +i\nu)]}
\mathbf{k}_\perp^2 d\mathbf{k}\Bigg].
\eqno{(3.2)}
$$

�� ��������� (3.1) � (3.2) ������� ��������� ��� ��������������� �������������
$$
\varepsilon_{tr}=1-\dfrac{\omega_p^2}{\omega^2}\Bigg[1+
\dfrac{\hbar^2}{8\pi^3m N}
\int  \Xi(\mathbf{k,q})[f_M({\bf k})-f_M({\bf k-q})]
\mathbf{k}_\perp^2 d\mathbf{k}\Bigg]
\eqno{(3.3)}
$$
�
$$
\varepsilon_{tr}=1-\dfrac{\omega_p^2}{\omega^2}\Bigg[1+
 $$$$ +
\dfrac{\hbar^2}{8\pi^3mN}\int \dfrac{[f_M(\mathbf{k})-f_M(\mathbf{k-q})]
(E_{\mathbf{k}}-E_{\mathbf{k-q}}-i\hbar \nu)}{(E_{\mathbf{k}}-
E_{\mathbf{k-q}})[E_{\mathbf{k}}-E_{\mathbf{k-q}}-\hbar (\omega +i\nu)]} \mathbf{k}_\perp^2 d\mathbf{k}\Bigg].
\eqno{(3.4)}
$$

�������, ��� ��� �������������� ������ �������� ��������� � �����������
��������� �����
$$
N=\int f\dfrac{2d^3p}{(2\pi \hbar)^3}.
$$
�� ����� ��������� �������, ��� ����������� ������� �������������
��������� ������� ����� � ����
$$
f_M=\dfrac{4\pi^{3/2}}{k_T^3}N e^{-P^2}=\dfrac{4\pi^{3/2}}{k_T^3}Nf_0(P),
\qquad f_0(P)= e^{-P^2},
$$ ��� $k_T$ -- �������� �������� �����, $k_T=\dfrac{mv_T}{\hbar}$,
$v_T=\dfrac{1}{\sqrt{\beta}}$ -- �������� �������� ���������,
$\beta=\dfrac{m}{2k_BT}$.


����������� ������� (3.1), (3.2) � (3.3), (3.4). ������ �������
$\mathbf{k}$ ������
������������ ������ $\mathbf{P}$ ����������
$$
\mathbf{P}=\dfrac{\mathbf{k}}{k_T}.
$$
������� ������ $\mathbf{q}=q(1,0,0)$. �����
$$
\mathbf{k}_\perp^2=\mathbf{k}^2-\Big(\dfrac{\mathbf{kq}}{q}\Big)^2=
k^2-k_x^2=k_T^2(P^2-P_x^2)=k_T^2P_\perp^2.
$$

����� �������, ������� (3.1) � (3.2) ��������� � ����:
$$
\dfrac{\sigma_{tr}}{\sigma_0}=\dfrac{i \nu}{\omega}\Bigg[1+
\dfrac{mv_T^2}{2\pi^{3/2}}\int \Xi(\mathbf{k,q})
[f_0({\bf k})-f_0({\bf k-q})]P_\perp^2d^3P\Bigg]
%\eqno{(3.5)}
$$ �
$$
\dfrac{\sigma_{tr}}{\sigma_0}=\dfrac{i \nu}{\omega}\Bigg[1+
\dfrac{mv_T^2}{2\pi^{3/2}}\int \dfrac{[f_0(\mathbf{k})-f_0(\mathbf{k-q})]
(E_{\mathbf{k}}-E_{\mathbf{k-q}}-i\hbar \nu)}{(E_{\mathbf{k}}-
E_{\mathbf{k-q}})[E_{\mathbf{k}}-E_{\mathbf{k-q}}-\hbar (\omega +i\nu)]}
P_\perp^2d^3P\Bigg].
\eqno{(3.5)}
$$

����� ��� �� ������������� ������� (3.3) � (3.4):
$$
\varepsilon_{tr}=1-\dfrac{\omega_p^2}{\omega^2}\Bigg[1+
\dfrac{mv_T^2}{2\pi^{3/2}}
\int  \Xi(\mathbf{k,q})[f_0({\bf k})-f_0({\bf k-q})]P_\perp^2d^3P\Bigg]
%\eqno{(3.7)}
$$
�
$$
\varepsilon_{tr}=1-\dfrac{\omega_p^2}{\omega^2}\Bigg[1+
 $$$$ +
\dfrac{mv_T^2}{2\pi^{3/2}}\int \dfrac{[f_0(\mathbf{k})-f_0(\mathbf{k-q})]
(E_{\mathbf{k}}-E_{\mathbf{k-q}}-i\hbar \nu)}{(E_{\mathbf{k}}-
E_{\mathbf{k-q}})[E_{\mathbf{k}}-E_{\mathbf{k-q}}-\hbar (\omega +i\nu)]}
P_\perp^2d^3P\Bigg].
\eqno{(3.6)}
$$



������������� ����������� �� ������������ ����� $$
\dfrac{E_{\mathbf{k}}-E_{\mathbf{k-q}}-i\hbar \nu}
{(E_{\mathbf{k}}-E_{\mathbf{k-q}})[E_{\mathbf{k}}-E_{\mathbf{k-q}}-\hbar
(\omega+i\nu)]}=
$$
$$
=\dfrac{i \nu}{\omega+i \nu}\dfrac{1}
{E_{\mathbf{k}}-E_{\mathbf{k-q}}}+\dfrac{\omega}{\omega+i \nu}\dfrac{1}
{E_{\mathbf{k}}-E_{\mathbf{k-q}}-\hbar (\omega+i\nu)}.
%\eqno{(3.9)}
$$
� ������� ����� ���������� ��������� ������� (3.5) � (3.6):
$$
\dfrac{\sigma_{tr}}{\sigma_0}=\dfrac{i \nu}{\omega}\Bigg[1+
\dfrac{mv_T^2}{2\pi^{3/2}}\dfrac{i \nu}{\omega+i \nu}
\int\dfrac{f_0(\mathbf{k})-f_0(\mathbf{k-q})}{E_{\mathbf{k}}-E_{\mathbf{k-q}}}
P_\perp^2d^3P+
$$
$$  +
\dfrac{mv_T^2}{2\pi^{3/2}}\dfrac{\omega}{\omega+i \nu}
\int\dfrac{f_0(\mathbf{k})-f_0(\mathbf{k-q})}{E_{\mathbf{k}}-E_{\mathbf{k-q}}
-\hbar(\omega+i \nu)}P_\perp^2d^3P\Bigg]
\eqno{(3.7)}
$$
�
$$
\varepsilon_{tr}=1-\dfrac{\omega_p^2}{\omega^2}\Bigg[1+
\dfrac{mv_T^2}{2\pi^{3/2}}\dfrac{i \nu}{\omega+i \nu}
\int\dfrac{f_0(\mathbf{k})-f_0(\mathbf{k-q})}{E_{\mathbf{k}}-E_{\mathbf{k-q}}}
P_\perp^2d^3P+
$$
$$  +
\dfrac{mv_T^2}{2\pi^{3/2}}\dfrac{\omega}{\omega+i \nu}
\int\dfrac{f_0(\mathbf{k})-f_0(\mathbf{k-q})}{E_{\mathbf{k}}-E_{\mathbf{k-q}}
-\hbar(\omega+i \nu)}P_\perp^2d^3P \Bigg].
\eqno{(3.8)}
$$

���������� ���������
$$
J_\nu=\dfrac{mv_T^2}{2\pi^{3/2}}\int  \dfrac{f_0(\mathbf{k})-f_0(\mathbf{k-q})}
{E_{\mathbf{k}}-E_{\mathbf{k-q}}}P_\perp^2d^3P
$$
�
$$
J_\omega=\dfrac{mv_T^2}{2\pi^{3/2}}\int  \dfrac{f_0(\mathbf{k})-f_0(\mathbf{k-q})}
{E_{\mathbf{k}}-E_{\mathbf{k-q}}-\hbar(\omega+i \nu)}P_\perp^2d^3P.
$$

� ������� ���� ���������� ������� (3.7) � (3.8) ����������� � ������������
�����:
$$
\dfrac{\sigma_{tr}}{\sigma_0}=\dfrac{i \nu}{\omega}
\Big[1+\dfrac{\omega J_\omega+i \nu J_\nu}{\omega+i \nu}\Big]
\eqno{(3.9)}
$$
�
$$
\varepsilon_{tr}=1-\dfrac{\omega_p^2}{\omega^2}
\Big[1+\dfrac{\omega J_\omega+i \nu J_\nu}{\omega+i \nu}\Big].
\eqno{(3.10)}
$$

���������� $J_\nu$ � ���� �������� ���� ����������. �� ������ ��������� �������
��������� ������ ���������� ��������������. � ���������� ��������:
$$
J_\nu=\dfrac{1}{2\pi^{3/2}}\int
\dfrac{2E_{\mathbf{k}}-(E_{\mathbf{k-q}}-E_{\mathbf{k+q}})}
{(E_{\mathbf{k}}-E_{\mathbf{k-q}})(E_{\mathbf{k}}-E_{\mathbf{k+q}})}
f_0(\mathbf{k})P_\perp^2d^3P.
$$
���������� ����������� ������ ��������
$$
J_\omega=\dfrac{1}{2\pi^{3/2}}\int
\dfrac{[2E_{\mathbf{k}}-(E_{\mathbf{k-q}}-E_{\mathbf{k+q}})]
f_0(\mathbf{k})P_\perp^2d^3P}
{(E_{\mathbf{k}}-E_{\mathbf{k-q}}-\hbar(\omega+i \nu))
(E_{\mathbf{k}}-E_{\mathbf{k+q}}+\hbar(\omega+i \nu))}.
$$

�������� ��������������� ���������� $J_\nu$ � $J_\omega$.
������� ��������� �����
$$
E_{\mathbf{k}}=\dfrac{\hbar^2\mathbf{k}^2}{2m}=\dfrac{\hbar^2k_T^2P^2}{2m}=
\dfrac{mv_T^2}{2}P^2=E_TP^2,
$$
��� $E_T=\dfrac{mv_T^2}{2}$ -- �������� ������� ����������.

����������,
$$
E_{\mathbf{k\mp q}}=\dfrac{\hbar^2}{2m}(\mathbf{k\mp q})^2=E_T\Big(\mathbf{P}
\mp\dfrac{\mathbf{q}}{k_T}\Big)^2=E_T(\mathbf{P\mp l})^2,
$$
��� $\mathbf{l}=\dfrac{\mathbf{q}}{k_T}=\dfrac{\hbar\mathbf{q}}{mv_T}$ --
������������ �������� �����.

�������� ���� ������� �����:
$$
E_{\mathbf{k}}-E_{\mathbf{k-q}}=E_T(2P_xl-l^2)=lmv_T^2(P_x-\dfrac{l}{2}),
$$
$$
E_{\mathbf{k}}-E_{\mathbf{k+q}}=-E_T(2P_xl+l^2)=-lmv_T^2(P_x+\dfrac{l}{2}).
$$
������ ����� ���� ��������:
$$
2E_{\mathbf{k}}-(E_{\mathbf{k+q}}+E_{\mathbf{k-q}})=-2l^2E_T=-l^2mv_T^2.
$$

������,
$$
J_\nu=\dfrac{1}{\pi^{3/2}}\int \dfrac{f_0(P)P_\perp^2d^3P}{P_x^2-(l/2)^2}.
$$

�����, ��������:
$$
E_{\mathbf{k}}-E_{\mathbf{k-q}}-\hbar(\omega+i \nu)=lmv_T^2(P_x-
\dfrac{l}{2})-
\hbar(\omega+i \nu)=$$
$$
=lmv_T^2\Big[P_x-\dfrac{l}{2}-\dfrac{\hbar(\omega+i \nu)}
{lmv_T^2}\Big]=lmv_T^2\Big[P_x-\dfrac{l}{2}-\dfrac{z}{l}\Big],
$$
���
$$
z=\dfrac{\omega+i \nu}{k_Tv_T}=x+iy,\qquad x=\dfrac{\omega}{k_Tv_T},\qquad
y=\dfrac{\nu}{k_Tv_T}.
$$
����� ��� ��
$$
E_{\mathbf{k}}-E_{\mathbf{k-q}}+\hbar(\omega+i \nu)=
lmv_T^2\Big[P_x+\dfrac{l}{2}-\dfrac{z}{l}\Big].
$$
������,
$$
J_\omega=\dfrac{1}{\pi^{3/2}}
\int \dfrac{f_0(P)P_\perp^2d^3P}{(P_x-z/l)^2-(l/2)^2}.
$$

� ���������� $J_\nu$ � $J_\omega$ �������� ���������� ������� ��������:
$$
\int\limits_{-\infty}^{\infty}\int\limits_{-\infty}^{\infty}
e^{-P_\perp^2}P_\perp^2dP_xdP_y = 
2\pi \int\limits_{0}^{\infty}e^{-P_\perp^2}P_\perp^3 dP_\perp=\pi.
$$
����� �������, � �������� (3.9) � (3.10) ��������� ���������� � ����� ���
$$
J_\nu=\dfrac{1}{2\pi^{3/2}}\int \dfrac{e^{-P^2}P_\perp^2d^3P}{P_x^2-(l/2)^2}=
\dfrac{1}{2\sqrt{\pi}}\int\limits_{-\infty}^{\infty}
\dfrac{e^{-\tau^2}d\tau}{\tau^2-(l/2)^2},
$$
$$
J_\omega=\dfrac{1}{2\pi^{3/2}}\int \dfrac{e^{-P^2}P_\perp^2d^3P}{(P_x-z/l)^2-(l/2)^2}=
\int\limits_{-\infty}^{\infty}\dfrac{e^{-\tau^2}d\tau}
{(\tau-z/l)^2-(l/2)^2},
$$

������� (3.9) � (3.10) ��������� � ������������ ���������� $x,y,\mathbf{l}$:
$$
\dfrac{\sigma_{tr}}{\sigma_0}=\dfrac{iy}{x}\Big[1+\dfrac{xI_\omega+iyI_\nu}
{x+iy}\Big]
\eqno{(3.11)}
$$
� $$
\varepsilon_{tr}=1-\dfrac{x_p^2}{x^2}\Big[1+
\dfrac{xI_\omega+i y I_\nu}{x+iy}\Big].
\eqno{(3.12)}
$$
����� $x_p=\dfrac{\omega_p}{k_Tv_T}$ -- ������������ ����������
(�������������) �������.

������� (3.11) � (3.12) ����� ������������ ���� ��� ���������� ���������
� ����������� ��������.

\begin{center}
\bf 4. ������� �����
\end{center}

�������� ���������� ������ �� �����������, ����������� �������� $f$--����
(��., ��������, \cite{Dressel}, \cite{Pains} � \cite{Martin}) ��� ����������
��������������� ������������� (3.7). ��� ������� ���������� �������� (4.200)
�� ���������� \cite{Pains}:
$$
\int\limits_{-\infty}^{\infty}\varepsilon_{tr}(\mathbf{q},\omega,\nu)\omega
d\omega=\pi \omega_p^2,
\eqno{(4.1)}
$$
��� $\omega_p$ -- ���������� (�������������) �������,
$$
\omega_p=\sqrt{\dfrac{4\pi e^2 N}{m}}.
$$

��� �������� � \cite{Pains}, ��� �������������� ����������� (4.1) ����������
�������� ���������� ����������� �����������
$$
\varepsilon_{tr}(\mathbf{q},\omega,\nu)=1-\dfrac{\omega_p^2}{\omega^2}+
o\Big(\dfrac{1}{\omega^2}\Big), \qquad \omega\to \infty.
\eqno{(4.2)}
$$

������������� ���������� (3.3) ��� ����������
��������������� �������������
$$
\varepsilon_{tr}(\mathbf{q},\omega,\nu)=1-\dfrac{\omega_p^2}{\omega^2}
\Bigg[1+$$$$+\dfrac{\hbar^2}{8\pi^3 Nm}\int \Xi(\mathbf{k,q})
[f_M(\mathbf{k})-f_M(\mathbf{k-q})]\mathbf{k}_\perp^2
d\mathbf{k}\Bigg].
\eqno{(4.3)}
$$
�� ��������� (4.3) �����, ��� ��� �������������� (4.2) ���������� ��������, ���
$$
\lim\limits_{\omega\to\infty}\Bigg[1+\dfrac{\hbar^2}{8\pi^3 Nm}\int
\Xi(\mathbf{k,q})
[f_M(\mathbf{k})-f_M(\mathbf{k-q})]\mathbf{k}_\perp^2
d\mathbf{k}\Bigg]=1.
$$
��������� ����������� ���������� ��������, ���� ��������, ���
$$
\lim\limits_{\omega\to\infty}\Xi(\mathbf{k,q})=0.
$$

����� �������, ������� $f$--���� \cite{Pains} ��� ���������� ���������������
������������� ��������� ��������������� ������ �����������.

\begin{center}
\bf 5. ������� ������ ������������� ������������
\end{center}

�������, ���
$$
\lim\limits_{\omega\to 0}\sigma_{tr}=\sigma_0.
\eqno{(5.1)}
$$
������� ������� (3.7). �������, ��� ������ ��������� � (3.7) ���������������
$\omega$. �����, ����� ������, ���
$$
f_0(\mathbf{k})=e^{-P^2},\qquad
f_0(\mathbf{k-q})=e^{-(P_x-q/k_T)^2-P_\perp^2}, \qquad
P_\perp^2=P_y^2+P_z^2.
$$
��� ����� $l=q/k_T$ �� ��������� ������ ��������:
$$
f_0(\mathbf{k})-f_0(\mathbf{k-q})=-2e^{-P^2}P_x\dfrac{q}{k_T}.
$$

�������� (3.7) �������, ���
$$
\dfrac{\sigma_{tr}}{\sigma_0}=\dfrac{i \nu}{\omega}\Bigg[1-
\dfrac{i \nu}{(\omega+i \nu)\pi^{3/2}}\int
\dfrac{e^{-P^2}P_xP_\perp^2d^3P}{P_x-q/2k_T}\Bigg].
$$
�������� $q\to 0$ � ���� ���������. ��������, ���
$$
\dfrac{\sigma_{tr}}{\sigma_0}=\dfrac{i \nu}{\omega}\Bigg[1-
\dfrac{i \nu}{(\omega+i \nu)\pi^{3/2}}\int e^{-P^2}P_\perp^2d^3P\Bigg].
\eqno{(5.2)}
$$
���������� �������� �� (5.2):
$$
\dfrac{1}{\pi^{3/2}}\int e^{-P^2}P_\perp^2d^3P=1. $$

�� ��������� (5.2) ������ ��������:
$$
\sigma_{tr}=\sigma_0\dfrac{i \nu}{\omega+i \nu}.
$$
������ �����, ��� ��� $\omega\to 0$ � ��� $q\to 0$ ���������� ������������
��������� ������ ��������� � ����������� ������������ ������������ ������.

����� ������ �������� $\omega$ ����, �� �� ��������� � ����. �����������
������� (3.7) � ���������� ����:
$$
\dfrac{\sigma_{tr}}{\sigma_0}=\dfrac{i \nu}{\omega}\Bigg[1-
\dfrac{i \nu}{(\omega+i \nu)\pi^{3/2}}\int \dfrac{e^{-P^2}P_xP_\perp^2d^3P}
{P_x-l/2}-
$$
$$
-\dfrac{\omega}{(\omega+i \nu)\pi^{3/2}}\int\dfrac{e^{-P^2}P_xP_\perp^2d^3P}
{P_x-l/2-z/l}\Bigg].
\eqno{(5.3)}
$$
�������� ���������� ������� �������� �� ��������� $(P_y,P_z)$ � ������� (5.3):
$$
\int\limits_{-\infty}^{\infty}\int\limits_{-\infty}^{\infty}
e^{-P^2}P_\perp^2dP_ydP_z=\pi e^{-P_x^2}.
$$

������ ������� (5.3) ����������:
$$
\dfrac{\sigma_{tr}}{\sigma_0}=\dfrac{i \nu}{\omega}\Bigg[1-
\dfrac{i \nu}{(\omega+i \nu)\sqrt{\pi}}\int\limits_{-\infty}^{\infty}
\dfrac{e^{-P_x^2}P_x dP_x}{P_x-l/2}-
$$
$$
-\dfrac{\omega}{(\omega+i \nu)\sqrt{\pi}}\int\limits_{-\infty}^{\infty}
\dfrac{e^{-P_x^2}P_x dP_x}
{P_x-l/2-z/l}\Bigg],\quad l=\dfrac{q}{k_T},\quad z=\dfrac{\omega+i \nu}{k_Tv_T},
%\eqno{(5.4)}
$$
���
$$
\dfrac{\sigma_{tr}}{\sigma_0}=\dfrac{i y}{x}\Bigg[1-
\dfrac{i y}{z\sqrt{\pi}}\int\limits_{-\infty}^{\infty}
\dfrac{e^{-\tau^2}\tau d\tau}{\tau-l/2}-
\dfrac{x}{z\sqrt{\pi}}\int\limits_{-\infty}^{\infty}
\dfrac{e^{-\tau^2}\tau d\tau}
{\tau-l/2-z/l}\Bigg],
\eqno{(5.4)}
$$
$$
l=\dfrac{q}{k_T},\qquad z=\dfrac{\omega+i \nu}{k_Tv_T}.
$$

������� ��������� ���������� ������������ � ������������ ������ \cite{Arxiv10}:
$$
\dfrac{\sigma_{tr}}{\sigma_0}=\dfrac{1}{\pi^{3/2}}\int
\dfrac{e^{-P^2}P_\perp^2d^3P}{1-i\omega\tau+iql_TP_x},\quad  l_T=v_T\tau.
\eqno{(5.5)}
$$
������� (5.5) ���������� � ��������� ���:
$$
\dfrac{\sigma_{tr}}{\sigma_0}=-\dfrac{iy}{l\sqrt{\pi}}
\int\limits_{-\infty}^{\infty}\dfrac{e^{-\tau^2}d\tau}{\tau-z/l}.
\eqno{(5.6)}
$$

�������, ��� ������� (5.4) ���������� ��� ����� $l$ � ������� (5.6) (���
������� (3.7) �� ����� ������
\cite{Arxiv10} ��� ���������� ������������� ������������
�������������� ������������ ������).

� ������� (5.4) ����������� ������ ��������, �������� ��� �� ��� ���������.
� ���������� ��������, ��� ������� (5.4) ������������� � ����:
$$
\dfrac{\sigma_{tr}}{\sigma_0}=\dfrac{i \nu}{\omega}\Big[\dfrac{\omega}
{\omega+i \nu}-\dfrac{i \nu}{\omega+i \nu} \dfrac{l}{2\sqrt{\pi}}\int\limits_{-\infty}^{\infty}
\dfrac{e^{-\tau^2}d\tau}
{\tau-l/2}-
$$
$$-
\dfrac{\omega}{\omega+i \nu}\dfrac{1}{\sqrt{\pi}} \int\limits_{-\infty}^{\infty}\dfrac{e^{-\tau^2}\tau d\tau}
{\tau-l/2-z/l}\Big].
\eqno{(5.7)}
$$

�� (5.7) �����, ��� ������ �������� �������������� $l^2$. �������� ���� ��������.
� ����������� ������� ��������� �� (5.7) ������������ ������ $l/2$, ���
$l\ll |z|/l$. � ���������� ��� ����� �������� $l$ ��������:
$$
\dfrac{\sigma_{tr}}{\sigma_0}=\dfrac{i \nu}{\omega+i \nu}\Big[1-
\dfrac{1}{\sqrt{\pi}}\int\limits_{-\infty}^{\infty}
\dfrac{e^{-\tau^2}\tau}{\tau-z/l}d\tau\Big].
\eqno{(5.8)}
$$
���������� �������� �� (5.8) �� ���, �� � �������� �������� �������
(5.6):
$$
\dfrac{\sigma_{tr}}{\sigma_0}=-\dfrac{iy}{l\sqrt{\pi}}
\int\limits_{-\infty}^{\infty}\dfrac{e^{-\tau^2}}
{\tau-z/l}d \tau.
$$



�� ���. 1--6 ���������� ��������� �������, � ����� �������������� � 
������ ������ ������������� ������������ ������������ (������ "1") � ��������� ������ (������ "2").
�� ���. 1--3 ��������� ���������� � ����������� ��  ������������ ������� 
����������� ����������, � �� ���. 4--6 --- � ����������� �� ������������
������� ��������� �������������� ����.

�� ���. 7 � 8 ������������ ����������� �������������� (���. 7) � ������ (���. 8)
������ ������������� ������������ ��������� ������ �� ������������ ������� 
��������� �������������� ���� ��� ��������� ��������� ������������� ���������
�����.
\begin{center}
\bf 6. ����������
\end{center}

� ��������� ������ �������� ������� ��� �������������
������������ � ��������������� ������������� � ��������� �������������� 
���������������� ������ � ������������ ������������ ������������ ����.
��� ���� ���� ������������ ��������� ������� ��� ������� ��������� --- 
������������ ��������� ��� ������� ��� ������� ��������� 
� ���������� ������������
� ����� �������������� ������ � ������������ ���������.
���������� ����������� ��������� ��������� ������������ �� ��������� ������ �
������������ �������������.

\begin{figure}[h]
\begin{center}
\includegraphics[width=17.0cm, height=10cm]{file1.eps}
\end{center}
\begin{center}
%\caption
{{ Fig. 1. Dependence of $|\sigma_{tr}/\sigma_0|$ on quantity $y$; $x=0.001,
q=0.01$.}}
\end{center}
\end{figure}

\begin{figure}[h]
\begin{center}
\includegraphics[width=17.0cm, height=10cm]{file2.eps}
\end{center}
\begin{center}
%\caption
{{ Fig. 2. Dependence $\Re(\sigma_{tr}/\sigma_0)$ of quantity $y$;
$x=0.001, q=0.01$.}}
\end{center}
\end{figure}

\begin{figure}[h]
\begin{center}
\includegraphics[width=17.0cm, height=10cm]{file3.eps}
\end{center}
\begin{center}
%\caption
{{ Fig. 3. Dependence of $\Im(\sigma_{tr}/\sigma_0)$ on quantity $y$; $x=0.001,
q=0.01$.}}
\end{center}
\end{figure}

\begin{figure}[h]
\begin{center}
\includegraphics[width=17.0cm, height=10cm]{file4.eps}
\end{center}
\begin{center}
%\caption
{{ Fig. 4. Dependence of $\Re(\sigma_{tr}/\sigma_0)$ on quantity $x$; $y=0.1,
q=0.02$.}}
\end{center}
\end{figure}

\begin{figure}[h]
\begin{center}
\includegraphics[width=17.0cm, height=10cm]{file5.eps}
\end{center}
\begin{center}
%\caption
{{ Fig. 5. Dependence of $\Re(\sigma_{tr}/\sigma_0)$ on quantity $x$;
$y=0.1$, $q=0.01$.}}
\end{center}
\end{figure}

\begin{figure}[h]
\begin{center}
\includegraphics[width=17.0cm, height=10cm]{file6.eps}
\end{center}
\begin{center}
%\caption
{{ Fig. 6. Dependence of $|\sigma_{tr}/\sigma_0|$ on quantity $x$;
$y=0.1, y=0.01$.}}
\end{center}
\end{figure}

\begin{figure}[h]
\begin{center}
\includegraphics[width=17.0cm, height=10cm]{file8.eps}
\end{center}
\begin{center}
%\caption
{{ Fig. 7. Dependence of $\Re(\sigma_{tr}/\sigma_0)$ on quantity $x$;
curve "1,2,3"\, corresponds to values $q=0.1,0.2,0.3$, $y=0.01$.}}
\end{center}
\end{figure}

\begin{figure}[h]
\begin{center}
\includegraphics[width=17.0cm, height=10cm]{file7.eps}
\end{center}
\begin{center}
%\caption
{{ Fig. 8. Dependence of $\Im(\sigma_{tr}/\sigma_0)$ on quantity $x$;
curve "1,2,3"\, corresponds to values $q=0.1,0.2,0.3$, $y=0.01$.}}
\end{center}
\end{figure}
\clearpage


\begin{thebibliography}{99} \normalsize
\renewcommand{\baselinestretch}{1.}

\bibitem{Mermin} {\it Mermin N. D.}//{ Lindhard Dielectric Functions
in the Relaxation--Time Approximation}.
Phys. Rev. B. 1970. V. 1, No. 5. P. 2362--2363.


\bibitem{Lin} {\it Lindhard J.}// On the properties of a gas of
charged particles.
Kongelige Danske Videnskabernes Selskab,
Matematisk--Fysiske Meddelelser. V. 28, No. 8 (1954), 1--57.

\bibitem{Kliewer}{\it Kliewer K. L., Fuchs R.}//
Lindhard Dielectric Functions with a Finite Electron Lifetime//
Phys. Rev. 1969. V. 181. No. 2. P. 552--558.

\bibitem{Dressel}{\it Dressel M., Gr\"{u}ner G.}
{Electrodynamics of Solids. Optical Properties of
Electrons in Matter}. Cambridge. Univ. Press. 2003. 487 p.

\bibitem{Gelder} {\it Gelder van, A.P.}// {Quantum Corrections in the
Theory of the Anomalous Skin Effect.}
Phys. Rev. 1969. Vol. 187. No. 3. P. 833--842.


\bibitem{Anderson} {\it Anderson D., Hall B., Lisak M., and
Marklund M.,}//
{Statistical effects in the multistream model for quantum plasmas}.
Phys. Rev. E {\bf 65} (2002), 046417.

%\bibitem{Andres}{\it De Andr\'{e}s P., Monreal R., and Flores F.}//
%{ Relaxation--time effects in the transverse dielectric function and the
%electromagnetic properties of metallic surfaces and small particles}
%Phys. Rev. {\bf B}. 1986. Vol. 34, No. 10, 7365--7366.

\bibitem{Shukla1} {\it Shukla P. K. and Eliasson B.}//
Nonlinear aspects of quantum plasma physics.
Uspekhy Fiz. Nauk, {\bf 53}(1) 2010;[V. 180. No. 1, 55-82 (2010) (in Russian)].

\bibitem{Shukla2} {\it Eliasson B. and Shukla P.K.}//
Dispersion properties of electrostatic oscillations in quantum plasmas.
arXiv:0911.4594v1 [physics.plasm-ph] 24 Nov 2009, 9 pp.



\bibitem{Wier} {\it Wierling A.} //{Interpolation between local
field corrections and the Drude model by a generalized Mermin
approach}//
arXiv:0812.3835v1 [physics.plasm-ph] 19 Dec 2008.

\bibitem{Brod} {\it Brodin G., Marklund M., Manfredi G.}//
{Quantum Plasma Effects in the Classical Regime}.
Phys. Rev. Letters. {\bf 100}, (2008). P. 175001-1 -- 175001-4.

\bibitem{Manf2} {\it Manfredi G. and Haas F.}//
{Self-consistent fluid model for a quantum electron gas}.
Phys. Rev. B {\bf 64} (2001), 075316.

\bibitem{Manf} {\it Manfredi G.}// { How to model quantum plasmas}.
ArXiv: quant - ph/0505004. 30 pp.

\bibitem{Pains}{\it Pains D., Nozi\`{e}res P.} The Theory of Quantum Liquids.
V. I: Normal Fermi Liquids. W.A. Benjamin, inc. N.-York--Amsterdam. 1966. %382 �.
%\bibitem{Pains}{\it ����� �., ������ �.} ������ ��������� ���������. ����������
%�����-��������. �. ���. 1967. 382 �.

\bibitem{Martin}{\it Martin P. C.} Sum Rules, Kramers--Kronig Relations, and
Transport Coefficients in Charged Systems// Phys. Rev. V. 161, \No 1, 1967,
P. 143--155.

\bibitem{Arxiv10}{\it Latyshev A.V., Yushkanov A.A.}
Transversal electric conductivity and dielectric function in quantum
Maxwell collisional plasma// arXiv:1205.6899v1 [physics.plasm-ph], 31 May
2012, 24 pp.




\end{thebibliography}
\end{document}

1206.6047.extracted_bib
\begin{thebibliography}{99} \normalsize
\renewcommand{\baselinestretch}{1.}

\bibitem{Mermin} {\it Mermin N. D.}//{ Lindhard Dielectric Functions
in the Relaxation--Time Approximation}.
Phys. Rev. B. 1970. V. 1, No. 5. P. 2362--2363.


\bibitem{Lin} {\it Lindhard J.}// On the properties of a gas of
charged particles.
Kongelige Danske Videnskabernes Selskab,
Matematisk--Fysiske Meddelelser. V. 28, No. 8 (1954), 1--57.

\bibitem{Kliewer}{\it Kliewer K. L., Fuchs R.}//
Lindhard Dielectric Functions with a Finite Electron Lifetime//
Phys. Rev. 1969. V. 181. No. 2. P. 552--558.

\bibitem{Dressel}{\it Dressel M., Gr\"{u}ner G.}
{Electrodynamics of Solids. Optical Properties of
Electrons in Matter}. Cambridge. Univ. Press. 2003. 487 p.

\bibitem{Gelder} {\it Gelder van, A.P.}// {Quantum Corrections in the
Theory of the Anomalous Skin Effect.}
Phys. Rev. 1969. Vol. 187. No. 3. P. 833--842.


\bibitem{Anderson} {\it Anderson D., Hall B., Lisak M., and
Marklund M.,}//
{Statistical effects in the multistream model for quantum plasmas}.
Phys. Rev. E {\bf 65} (2002), 046417.

%\bibitem{Andres}{\it De Andr\'{e}s P., Monreal R., and Flores F.}//
%{ Relaxation--time effects in the transverse dielectric function and the
%electromagnetic properties of metallic surfaces and small particles}
%Phys. Rev. {\bf B}. 1986. Vol. 34, No. 10, 7365--7366.

\bibitem{Shukla1} {\it Shukla P. K. and Eliasson B.}//
Nonlinear aspects of quantum plasma physics.
Uspekhy Fiz. Nauk, {\bf 53}(1) 2010;[V. 180. No. 1, 55-82 (2010) (in Russian)].

\bibitem{Shukla2} {\it Eliasson B. and Shukla P.K.}//
Dispersion properties of electrostatic oscillations in quantum plasmas.
arXiv:0911.4594v1 [physics.plasm-ph] 24 Nov 2009, 9 pp.



\bibitem{Wier} {\it Wierling A.} //{Interpolation between local
field corrections and the Drude model by a generalized Mermin
approach}//
arXiv:0812.3835v1 [physics.plasm-ph] 19 Dec 2008.

\bibitem{Brod} {\it Brodin G., Marklund M., Manfredi G.}//
{Quantum Plasma Effects in the Classical Regime}.
Phys. Rev. Letters. {\bf 100}, (2008). P. 175001-1 -- 175001-4.

\bibitem{Manf2} {\it Manfredi G. and Haas F.}//
{Self-consistent fluid model for a quantum electron gas}.
Phys. Rev. B {\bf 64} (2001), 075316.

\bibitem{Manf} {\it Manfredi G.}// { How to model quantum plasmas}.
ArXiv: quant - ph/0505004. 30 pp.

\bibitem{Pains}{\it Pains D., Nozi\`{e}res P.} The Theory of Quantum Liquids.
V. I: Normal Fermi Liquids. W.A. Benjamin, inc. N.-York--Amsterdam. 1966. %382 �.
%\bibitem{Pains}{\it ����� �., ������ �.} ������ ��������� ���������. ����������
%�����-��������. �. ���. 1967. 382 �.

\bibitem{Martin}{\it Martin P. C.} Sum Rules, Kramers--Kronig Relations, and
Transport Coefficients in Charged Systems// Phys. Rev. V. 161, \No 1, 1967,
P. 143--155.

\bibitem{Arxiv10}{\it Latyshev A.V., Yushkanov A.A.}
Transversal electric conductivity and dielectric function in quantum
Maxwell collisional plasma// arXiv:1205.6899v1 [physics.plasm-ph], 31 May
2012, 24 pp.




\end{thebibliography}