1310.5471.tex
\documentclass[12pt, titlepage]{article}
\usepackage[T2A]{fontenc}
\usepackage[russian]{babel}
%\usepackage[tbtags]{amsmath}
\usepackage{amsfonts,amssymb}
\usepackage{color}

\newtheorem{theorem}{�������}
\newtheorem{lemma}{�����}
\newtheorem{proposition}{�����������}
\newtheorem{cor}{���������}

\begin{document}


\begin{center}
{\bf ������������� ������� ������� � ������� PI-�����������}\\

\vskip 0.1in

������ �.�., ������ �.\footnote{������ ���������� ����, ����� 13-01-00234� �
���������� ����������������� ���������, ����� P1-0292-0101}
\end{center}


{\small
� ������ ��������� �������� �������������� �������� 
������������� ��������������� ������. �������� ����������� �������� ����������
������������� ������� ������� � ��������, ������� ������� PI-����������,
������ ������� �� �����������.}

\vskip .2in
{\em �������� �����}: ���������, �������������, ������� ���������������� ����.
\vskip .2in



\section{��������}

� ������ ��������� ��������� ��������������� ������  ��� �����
$F$ ������� ��������������. ��� ����������� �������� �� ����������
� �������� ����� ����� � ������ \cite{b}, \cite{gzbook}, \cite{zsss}. 

� ������ �������� $A$ ����� ������� ������������� ������������������ $\{c_n(A)\}$, $n=1,2,\ldots$, ������� �������� ������������������� �������������� (��� ����������� ����������� �� ����� ����). ���� ������ ������������������ ������ ���������������, ���, ��������, � ������������� ������, �� ��������� ������ � ������������� ������� $\lim_{n\to \infty}\sqrt[n]{c_n(A)}$. ������������� � ��������������� ������ ������� ���� �������� ����� ��� ���� ������������� PI-������ \cite{gz98}, \cite{gz99}, ��� ������������� ������ �� \cite{grz}, \cite{z2002}, ��� ������������� ���������� � �������������� ������ \cite{gzTAMS}, \cite{gshz2011} � ������ ���� ������. � ���������������� ������ ���� ������, ���������� PI-�����������, ����� ���� ��� �������, ��� � ����� ��������� ���� � ������ ������ �� (��. \cite{MRZ},\cite{zm}, \cite{vzm}), � � ������ ����������� �� ������� ���������� ������������� 
������� � ������� ����������� \cite{gz}.

� ����� ������ PI-���������� ������������� ������� �� ����������� �� ����������� � 
����� ���� ����� ������ ������� � ������� \cite{gmza} \cite{gmz}. ������ ��� ��������� ������ PI-���������� ���� ����� ����, ���� ������� (����� $c_n(A)\le n+1$), ���� ����� 0 (� ���� ������ $c_n(A)=0$ ��� ���� ���������� ������� $n$) \cite{gmzPAMS}. ��� ���������� ������ ������ � ��������������� ������, ������ ��������, ��� ���� $c_n(A)\ge 2^{n}$ ��������������, ���� ��� ������������������ ������������� ����������. ������ ��� ���������� ������� � �������� PI-���������� ������ ���������� � ������������ \cite{AL}. ����������� ��������� �� �������� ��� �����������, � ������� ���������� ������� ����������, ����� ���� \cite{gmzCA}, � � ������ ����������� �� - ����  \cite{gz}. � ������� \cite{mss} ����������� ���������
� ������������� 4-� ������ ������������� ������� � ������� �����������.

������ ����� �������� ������ � ������������� � �������� PI-���������� ������� ������������� ������� ��� ������������� ��������� �����. � ����������� ��������� ������� ������ (������������� \cite{r}, �������� \cite{grz}, ����������, �������������� � ��������� ������ \cite{gzTAMS}, \cite{gshz2011}) ��� �������� ����� ����������� ����� �������. ������ ������� ������� ������, � ������� PI-���������� ������ ������ ����������� ��������� � \cite{gz}. ����������� ����������� ����� ������, ������������� � \cite{gz}, ����� 17. �� ������� ���������� ������ �� �� ���������������.

� ������ ������ �������� ������ ������������� ������� ������� � �������� � ������� 
PI-����������� (������� \ref{t1}).



\section{�������� ������� � �����������}

�� ���������� ���� ������ $F$ �������� ���� ������� ��������������,
� ��� ������� ��������������� ��� $F$. ��� ���� �� ����� �������������� 
����������, ��� � ����������������� ������������ ������ ����������, �.�.
$abc= (ab)c$.



��������� ����� $F\{X\}$
��������� ��������������� ������� ��� $F$ �� �������
���������� ����������� $X$. 
��������, ��� ���� $A$ - ��������� ������� ��� $F$, � $f=f(x_1,\ldots,x_n)$ ---
��������������� ������� �� $F\{X\}$, �� $f$ �������� ����������
$A$, ���� $f(a_1,\ldots,a_n)=0$ ��� ����� $a_1,\ldots,a_n\in A$.
������������ ���� �������� ������� $A$ �������� ����� � $F\{X\}$,
������� �� ����� ���������� ��� $Id(A)$.

��������� ����� $P_n=P_n(x_1,\ldots,x_n)$ ��������������� ����
������������ ��������� �� $x_1,\ldots,x_n$ � $F\{X\}$. �����
 $P_n\cap Id(A)$ �������� ���������������� ���� 
������������ �������� �������$A$ �� $n$ ����������.

��������, ��� $n$-� �������������� �������� ������� $A$
(��� ������ $n$-� �������������� $A$) ���������� ��������
$$
c_n(A)=\dim\frac{P_n}{P_n\cap Id(A)}.
$$

� ������� ���� ������� ������������������ $\{ c_n(A)\}$
������ �� ������� ���������������� ������� �� $n$, �.�.
$$
c_n(A) < a^n
$$
��� ���������� $a>1$. ����� ������������������ ��������������
������������� ��������
$$
0\le \sqrt[n]{c_n(A)} \le a,
$$
� ��� ��������� ���� ��������� �����������.

{\bf �����������.} ������ PI-����������� ������� $A$ ���������� ������ ������
$$
\underline{exp}(A)=\underline{\lim}_{n\to \infty}\sqrt[n]{c_n(A)}.
$$
������� ������
$$
\overline{exp}(A)=\overline{\lim_{n\to \infty}}\sqrt[n]{c_n(A)}
$$
���������� ������� PI-����������� ������� $A$. ���� $\underline{exp}(A)$
� $\overline{exp}(A)$ �����, �.�. ������������������
 $\{\sqrt[n]{c_n(A)}\}$ ����� ������� ������, �� ��
���������� PI-����������� ������� $A$,
$$
exp(A)=\overline{exp}(A)=\underline{exp}(A).
$$

������������ $P_n$ �������� ������������ ��������� ������ ����������� $S_n$:
$$
\sigma f(x_1,\ldots, x_n)=f(x_{\sigma(1)},\ldots, x_{\sigma(n)}),
$$
������� ���������� $P_n$ � ������ ��� ��������� ������� $FS_n$, ���,
��� ���������, � $S_n$-������. ��� ���� $P_n\cap Id(A)$ ��������
$S_n$-���������� � $P_n$. ��������, ��� ������� ��������� $\chi(M)$
���������� $S_n$-������ $M$ -- ��� ����������� $M$, �.�.
$\deg\chi(M)=\dim M$. ����� ����, ������������ ���������, �.�.
��������� ������������ �������������, ���������� �������� �����������
$\lambda\vdash n$ ����� $n$, ��� $\lambda=
(\lambda_1,\ldots,\lambda_k)$, $\lambda_1\ge\ldots\ge \lambda_k>0$ �
$\lambda_1+\cdots+\lambda_k=n$ (��� ����������� �������� �� ������
������������� �������������� ����� ����� ����� � \cite{J}, � ��
�� ���������� � ������ �������� -- � \cite{b}, \cite{gzbook}).

����� $S_n$-������ $M$ �������������� � ����� ������������, � �
�������� ���������� ��� ����� �������� ��������� �������:
$$
\chi(M)=\sum_{\lambda\vdash n} m_\lambda\chi_\lambda,
$$
��� $\chi_\lambda$ - �������� ������������� ������,
���������������� $\lambda$, � $m_\lambda$ - ��� ��������� �
���������� $M$. ������
$$
\deg\chi(M)=\sum_{\lambda\vdash n} m_\lambda\deg \chi_\lambda.
$$
� ���������, ��� $S_n$-������ $\frac{P_n}{P_n\cap Id(A)}$ ��������
\begin{equation}\label{eq1}
\chi_n(A)=\chi\left(\frac{P_n}{P_n\cap Id(A)}\right)=
\sum_{\lambda\vdash n} m_\lambda\chi_\lambda,
\end{equation}
�
\begin{equation}\label{eq2}
c_n(A)=\sum_{\lambda\vdash n} m_\lambda\deg\chi_\lambda.
\end{equation}
���������� (\ref{eq1}) ���������� $n$-� ������������ $A$, � �������
(\ref{eq2}) ��������� �������� ������ �������� $c_n(A)$. �����
��������, ��� �������� $\chi(M)=\sum_{\lambda\vdash n}
m_\lambda\chi_\lambda$ ������ $M$ ����� � ������ ������ $d$, ����
��� ��������� $\lambda$ � ���������� ����������� $m_\lambda$ �����
�� ����� $d$ ������, �.�. $\lambda=(\lambda_1,\ldots,\lambda_k)$ �
$k\le d$. ��� ����� ��������� ��������, ��� $\deg\chi_\lambda\le d^n$.

���� $A$ - ������������� $F$-�������, $\dim A=d$, �� ��������
(��., ��������, \cite[������� 4.6.2]{gzbook} � \cite{gmz}), ��� �� ����������
$\chi_n(A)$ ����� � ������ ������ $d$ � ��� �����
$$
l_n(A)=\sum_{\lambda\vdash n} m_\lambda,
$$
���������� $n$-� ��������, � (\ref{eq1}) ���������� �������������� �������� 
�� $n$. ����� �����, � ������� 1 �� \cite{gmz} ��������, ���
\begin{equation}\label{eq3}
l_n(A)\le d(n+1)^{d^2+d}.
\end{equation}


���, � ���������, ��������, ��� ��� ���������������� ����� ��������������
�������� ���� ������ ������ ������������ ����������� $\deg\chi_\lambda$.
��� ��������� �� ������ ������
������������ ��������� ������� $\Phi(\lambda)$, ��������� �
����������� $\lambda\vdash n$. �����
$\lambda=(\lambda_1,\ldots,\lambda_k)\vdash n$, $k\le d,
\lambda_1+\ldots+\lambda_k=n$. �������
$$
\Phi(\lambda)=\frac{1}{\left( \frac{\lambda_1}{n}  \right)^{ \frac{\lambda_1}{n}}
\ldots \left( \frac{\lambda_d}{n}  \right)^{ \frac{\lambda_d}{n}}}\quad .
$$
(���� $k$ ������ ������ $d$, �� ��������������� ��������� $0^0$ ����� $1$).

� ������ \cite{gz} ���������� ����� ����� ��������� ������� $\Phi(\lambda)$
� �������� ��������� $\deg\chi(\lambda)$ (��. ����� 1). ����� $\lambda=
(\lambda_1,\ldots, \lambda_k)\vdash n$, $n\ge 100$ � $k\le d$. �����
\begin{equation}\label{eq0}
\frac{\Phi(\lambda)^n}{n^{d^2+d}} \le \deg\chi_\lambda \le n \Phi(\lambda)^n.
\end{equation}


����� ������ $A$ - ������������ ������������� ������� ��� $F$. ���������� ��
$n$-� ���������� (\ref{eq1}) � ��������� ����� $\Phi^{(n)}_{max}$ ������������ �������� $\Phi(\lambda)$ �� ���� $\lambda\vdash n$,  � ������� $m_\lambda\ne 0$ �
(\ref{eq1}). ���������� ����������� (\ref{eq2}), (\ref{eq3}) � (\ref{eq0}), 
�� �������� ��������� �����������.





\begin{lemma} \label{l1}
����� $\dim A=d$. ����� 
$$
\frac{1}{n^{d^2+d}}(\Phi^{(n)}_{max})^n\le c_n(A) \le (n+1)^{d^2+d+1} (\Phi^{(n)}_{max})^n
$$
��� ���� $n\ge 100d$.
\end{lemma}
\hfill $\Box$

��� ����� ����������� ��������� �������� ������� $\Phi(\lambda)$.
���� $\lambda=(\lambda_1,\ldots, \lambda_q)$ � $\mu=(\mu_1,\ldots,\mu_q)$ - ��� ��������� ������ � ���� �� ������ ����� $n$, �� ���������� ���� $D_\lambda$, ���������� ��������� $\lambda$, ���������� ������� �� $\lambda_1$ ������ � 1-� ������, $\lambda_2$ ������ �� 2-� ������, � �.�. ���������� �������� � ��������� $D_\mu$
�� ��������� $\mu\vdash n$. �� ����� ��������, ��� ��������� $D_\mu$ �������� �� ��������� $D_\lambda$ ������������� ���� ����� ������, ���� ���������� ����� $1\le i<j\le q$, ��� $\mu_i=\lambda_i-1$, $\mu_j=\lambda_j+1$ � $\mu_p=\lambda_p$ ��� ����
��������� $1\le p\le q$. ���� �� $\lambda=(\lambda_1,\ldots, \lambda_q)\vdash n$, � $\mu=(\mu_1,\ldots,\mu_q,1)\vdash n$, �� $D_\mu$ �������� ��  $D_\lambda$ ������������� ���� ����� ������, ���� ���� �� ����� $D_\mu$ �� ����
������ ������, ��� � $D_\lambda$, � ��� ��������� (����� ���������) ����� ����� �� �����.


\begin{lemma} \label{lq}
����� $D_\mu$ �������� �� $D_\lambda$ ������������� ���� ����� ������. �����
$\Phi(\mu)\ge \Phi(\lambda)$.
\end{lemma}

{\em ��������������.} ����� $\lambda=(\lambda_1,\ldots, \lambda_q)$ � $\mu=(\mu_1,\ldots,\mu_{q'})$ - ��� ��������� $n$, ��� $q'=q$ ��� $q+1$. �����
\begin{equation}\label{eqn}
\Phi(\lambda)^n=\frac{n^n}{\lambda_1^{\lambda_1}\ldots \lambda_q^{\lambda_q}}
\end{equation}
���� $q=q'$, �� � ����������� ��������� ��� $\Phi(\mu)^n$ ����������� ���������� �� ����������� � (\ref{eqn}) ������� ������ ������������ ���� $a^ab^b, a\ge b+2$, ��
$(a-1)^{a-1} (b+1)^{b+1}$. � ���� ������ ����������� $\Phi(\mu)^n\ge \Phi(\lambda)^n$
������� �� ����, ��� ������� $f(x)=x^x  (c-x)^{c-x}$ ������� �� ��������� 
$(c/2; 0)$. ���� �� $q'=q+1$, �� � ����������� (\ref{eqn}) �� ��������
��������� $a^a$ �� $(a-1)^{a-1}\cdot 1^1< a^a$, � ����� �������� $\Phi(\mu)^n > \Phi(\lambda)^n$. ��������� $\Phi(\lambda), \Phi(\mu)>0$, ������ ������� 
����������� �����.
\hfill $\Box$



\section{������������� ������� � �� ����������}

���������� ������������� ��������� ������������ $W$ � ������� $\{e_{-1}, e_0,e_1,e_2\}$ � ������ �� ��� ��������� ��������� �������:
\begin{itemize}
\item[(a)]
$e_ie_0=e_0e_i=e_i$ ��� ���� $-1\le i\le 2$;
\item[(�)] 
��� $i,j \ne 0$ ������� $e_ie_j=0$, ���� $i>j$ ��� $i+j<-1$, ��� $i+j>2$;
\item[(�)]
$e_ie_j=e_{i+j}$ �� ���� ��������� �������.
\end{itemize}

����� ��������, ��� $W$ - ������� ������� � �������� $e_0$ � ��� ����������
$$
W=W_{-1}\oplus W_0\oplus W_1\oplus W_2,
$$
��� $W_i=<e_i>, i=-1,\ldots,2$, �������� ${\mathbb Z}$-������������ �� $W$.

���������� ����������
\begin{equation}\label{e5}
\chi_n(W)=\sum_{\lambda\vdash n} m_\lambda \chi_\lambda
\end{equation}
������� $W$. ��������� $\dim W=4$, �� ���������� ����� � ������ ������ 4, �.�.
$\lambda_5=0$ ��� ������ ��������� $\lambda \vdash n$, ���� $m_\lambda\ne 0$ � (\ref{e5}).

��������, ��� �������� ���� $T_\lambda$ ���������� ��������� $D_\lambda$, � ������� ������� ����������� ����� $\{1,\ldots, n\}$. ����� ������������ ������ ��� ��������� �������� $R=FS_n$ ��������� ������������ ������ ������ $Re_{T_\lambda}$, ��� $e_{T_\lambda}$ - ������� $R$, ����������� �� ���������� �������.

������� �������������� �� ������� $R_{T_\lambda}$ ��������� ���� ����������� �� $S_n$, ������������ ������� $1,\ldots,n$ ������ � �������� ����� �����, � �������������� �� �������� $C_{T_\lambda}$ --- ���������, �������������� ������� ������ ��������. ���������
$$
R(T_\lambda)=\sum_{\sigma\in R_{T_\lambda}} \sigma~,\quad
C(T_\lambda)=\sum_{\tau\in C_{T_\lambda}} ({\rm sgn}~\tau)\tau~,\quad
e_{T_\lambda}=R(T_\lambda)C(T_\lambda).
$$
����� $e_{T_\lambda}$ --- ��������������� ���������� ������ $FS_n$, �.�.
$e_{T_\lambda}^2=\alpha e_{T_\lambda}, \alpha\ne 0$ � $FS_n e_{T_\lambda}$ ---
������������ $S_n$-������ � ���������� $\chi_\lambda$. ����� ����, ���� $M$
--- ��������� $FS_n$-������ �
$$
\chi(M)=\sum_{\lambda\vdash n} m_\lambda \chi_\lambda,
$$
�� $m_\lambda\ne 0$ ����� � ������ �����, ����� $e_{T_\lambda}M\ne 0$.

����� ������ $f$ --- ������������ ��������� ������� $n$, ����������� ������������
$FS_n$-��������� $M$ � $P_n$ � ���������� $\chi_\lambda$. ����� �������, ��� 
$e_{T_\lambda}f\ne 0$ ��� ��������� ������� ���� $T_\lambda$. ����� � ���������
$g=C(T_\lambda)f$ ���� ��������� $M$ ��� $R$-������.
�������� � $g$ ���������� ����������� �� $m$ ����������������  ����������� 
$$
\{x_1,\ldots, x_n\}= X_1\cup\cdots\cup X_m,
$$
��� $m$ - ����� �������� ��������� ���� $D_\lambda$, � $X_j$ - ����� ����������, ������
������� �������� � $j$-� �������. ��� ���� $g$ ��������������� �� ������� �� ������� 
$X_1,\ldots, X_m$. ������� �������, ����� ������������ $FS_n$-��������� � $P_n$ � 
���������� $\chi_\lambda$ ����������� ������������ �����������, ��������� �� $m$ 
���������������� ���������������� ������� ���������� �������� $\lambda_1',\ldots,\lambda_m'$
��������������, ��� $\lambda'=(\lambda_1',\ldots,\lambda_m')$ - ����������� � $\lambda$
����������  (�.�. $\lambda_1',\ldots,\lambda_m'$ --- ������ �������� $D_\lambda$).

����� �������� ����� ������� ����������� (��� $\lambda_5=0$) �� ���������� ������� $W$, 
������ ��� ��������� ��� ���� �������� ��������������. ����� $\lambda= (\lambda_1,\ldots,
\lambda_k)\vdash n$. ������� �� ��� ������ 1-� ������ ����� $-1$, ������ - $0$, � �.�.,
�� ���� � ������� $k$-� ������ ����� ����� $k-2$. ����� ����� ��������� $D_\lambda$
������� ����� ���� ����� � $D_\lambda$. ��� �� �������� ������� ����� $wt(\lambda)$ ��������� $\lambda$. ������� �������,
$$
wt(\lambda)=\sum_{i=1}^k (i-2)\lambda_i.
$$

\begin{lemma}\label{l3}
���� $m_\lambda\ne 0$ � ���������� (\ref{e5}), ��
\begin{itemize}
\item%[\bullet]
 $\lambda_5=0$;
\item%[\bullet]
$wt(\lambda)\le 2$, �.�. $\lambda_1-\lambda_3-2\lambda_4\ge -2$.
\end{itemize}
\end{lemma}

{\em ��������������.} ��������� $\lambda_5=0$ ��� �������� �����. ������� ������ ����������� 
�����. ����� $m_\lambda\ne 0$, �.�. ���������� ������������ $FS_n$-��������� � $P_n$ � 
���������� $\chi_\lambda$, �� ������� � ������ �������� ������� $W$. ��� �������� ����, ���
��������, ��� ���������� ������������ ��������� $g=g(x_1,\ldots,x_n)$, ����������������
�� ���������� ������� �� �������� $T_\lambda$, �� ������ ���� ������������ � $W$. �� �����
���������� ����������� $\varphi: X\to \{e_{-1},e_0,e_1,e_2\}$, ��� ������� $\varphi(g)\ne 0$.
� ���� ������������������ $g$ ������ ���������� ������ ������� �� ��������� �����������
��������� �������� �������� ������� $W$. � ���������, ���� $x_{i_1},\ldots, x_{i_4}$ - 
���������� ������ ������� ������ 4, �� ��������� ��� ��������� $\varphi(x_{i_1}),\ldots, 
\varphi(x_{i_4})$ ����� $-1+0+1+2=2$ � ${\mathbb Z}$-����������� $W$. ������� �����������
��������� ��� $\varphi(g)$ � ${\mathbb Z}$-����������� �����
$$
wt(\lambda)=-\lambda_1+\lambda_3+2\lambda_4.
$$
��������� ��� ���������� $W_k$ ��� $k\ge 3$ ����� ����, ��� � ��������, ��� 
$-\lambda_1+\lambda_3+2\lambda_4\le 2$, � ����� ��������.
\hfill $\Box$


��� ����������� � ���������� ���� ����������� �������, ��� ������� ��������� �� �����
����. ���������� ��������� $\lambda=(\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3,\lambda_4)$  � ��������� 
��� � ����
$$
\lambda=(k+l+m+t, k+l+m, k+l,k).
$$
��������� ����� ��������� �������� ��������� �������:

\vskip.1cm \hskip2cm
\setlength{\unitlength}{2565sp}%
%
\begingroup\makeatletter\ifx\SetFigFont\undefined%
\gdef\SetFigFont#1#2#3#4#5{%
  \reset@font\fontsize{#1}{#2pt}%
  \fontfamily{#3}\fontseries{#4}\fontshape{#5}%
  \selectfont}%
\fi\endgroup%
\begin{picture}(2865,2177)(464,-1286)
\thinlines {\color[rgb]{0,0,0}\put(476,364){\line( 1, 0){4725}}
\put(5201,364){\line( 0,-1){210}} \put(5201,148){\line(-1, 0){4727}}
\put(2871,-268){\line(-1, 0){2402}}
%\put(3864,-10){\line( 0,-1){1162}}
\put(3864,-66){\line(-1, 0){3388}} \put(2126,-474){\line(-1,
0){1650}} \put(476,-472){\line( 0, 1){838}}
}%
{\color[rgb]{0,0,0}\put(2126,364){\line( 0,-1){843}}
}%
{\color[rgb]{0,0,0}\put(3864,-71){\line( 0, 1){435}}
}%
{\color[rgb]{0,0,0}\put(2864,-271){\line( 0, 1){635}}
}%
\put(1226,451){\makebox(0,0)[lb]{\smash{{\SetFigFont{8}{9.6}{\rmdefault}{\mddefault}
{\updefault}{\color[rgb]{0,0,0}$k$}%
}}}}
\put(2471,476){\makebox(0,0)[lb]{\smash{{\SetFigFont{8}{9.6}{\rmdefault}{\mddefault}{\updefault}{\color[rgb]{0,0,0}$l$}%
}}}}
\put(3341,476){\makebox(0,0)[lb]{\smash{{\SetFigFont{8}{9.6}{\rmdefault}{\mddefault}{\updefault}{\color[rgb]{0,0,0}$m$}%
}}}}
\put(4464,426){\makebox(0,0)[lb]{\smash{{\SetFigFont{8}{9.6}{\rmdefault}{\mddefault}{\updefault}{\color[rgb]{0,0,0}$t$}%
}}}}
\end{picture}%

��� ���� $n=4k+3l+2m+t$, ��� ��������� $\lambda$ ����� $-m-t+2k$, � ���������� ������� ��� ����������� $m_\lambda\ne 0$ ��������� ���
$$
m+t\ge 2k-2.
$$


\begin{lemma}\label{l4}
����� $m+t\ge 2k$ � $m\le 2k$. ����� $m_\lambda\ne 0$ � ���������� (\ref{e5}).
\end{lemma}

{\em ��������������.} ����� �������� �����, ���������� ��������� ������������ ������� $f$
������� $n$, ��������� �� $k$ ���������������� ������� ����������
$\{x_1^{(i)},\ldots, x_4^{(i)}\}, 1\le i \le k$,  $l$ ���������������� �������
$\{y_1^{(i)},y_2^{(i)},y_3^{(i)}\}, 1\le i \le l$, $m$ ���������������� �������
$\{z_1^{(i)},z_2^{(i)}\}, 1\le i \le m$, � ��� $t$ ����������  $u_1^{(i)}$, $1\le i\le t$,
�����, ��� ����� ��� ������������� �� ������� $\{x_1^{i_1}, y_1^{i_2}, z_1^{i_3}, u_1^{i_4}\}$,
$\{x_2^{i_1}, y_2^{i_2}, z_2^{i_3}\}$, $\{x_3^{i_1}, y_3^{i_2}\}$ � �� $\{x_1^{i_4}\}$, ���
$1\le i_1 \le k, 1\le i_2 \le l, 1\le i_3 \le m, 1\le i_4 \le t$, ���������� �������, �� ������ ���� ������������ � $W$.

��� ����������� ���������������� ������� ������ �������� �������� � ���� ����������
����� � ��� �� �������� ������. ��������,
$$
\bar x_1 \bar x_2 \bar x_3  = \sum_{\sigma \in S_3} 
({\rm sgn}~\sigma) x_{\sigma(1)} x_{\sigma(2)} x_{\sigma(3)},
$$
$$
\bar a_1\widetilde b_1
 \bar a_2\widetilde b_2
 = a_1b_1a_2b_2 - a_1b_2a_2b_1 
- a_2b_1a_1b_2 + a_2b_2a_1b_1,
$$
�
$$
(\bar x \bar{\bar x}) (\bar y \bar{\bar y}) = 
(xx)(yy) - (yx)(xy) - (xy)(yx)+(yy)(xx).
$$

�� ����� ������������ ������ ���������� � ��� ��������� ������� $W$, � �� ������ ��� ����������.
��������,
$$
\bar e_{-1} (\bar e_{1} \bar e_{2}) = e_{-1} (\bar e_{1} \bar e_{2}) - e_1(\bar e_{-1}\bar e_2) -
e_2(\bar e_{1} \bar e_{-1})=0-e_1(e_{-1}e_2)+e_2(e_{-1}e_1)=
$$
$$
=-e_1^2+e_2e_0=-e_2+e_2=0.
$$

������� �������� ���������, ���������������� �� $e_{-1},e_0,e_1,e_2$  � ���������� ���
�������������� �������� �������� $e_{-1}$. �������
$$
f_1=e_{-1}[\bar e_{-1}((\bar e_0e_{-1})(\bar e_1 \bar e_2))].
$$
���� ������� �������� ��������� ��������

$$
x_{-1}[\bar x_{-1}((\bar x_0x_{-1})(\bar x_1 \bar x_2))]
$$
�� ���������� $x_{-1},x_0,x_1,x_2$ � ����� 
$$
f_1=e_{-1}[\bar e_{-1}((e_0e_{-1})(\bar e_1 \bar e_2))] = e_{-1}[\bar e_{-1}(e_{-1}(\bar e_{1}\bar e_{2}))] =
$$
$$
= e_{-1}[ e_{-1}(e_{-1}(\bar e_{1}\bar e_{2}))-e_{1}(e_{-1}(\bar e_{-1}\bar e_{2})) 
-e_{2}(e_{-1}(\bar e_{1}\bar e_{-1}))]=
$$
$$ 
=e_{-1}[0-e_{1}(e_{-1}(e_{-1}e_2))+e_2(e_{-1}(e_{-1}e_1))]=
e_{-1}[-e_1(e_{-1}e_1)+e_2(e_{-1}e_0)]=
$$
$$
=e_{-1}[-e_1e_0+e_2e_{-1}=e_{-1}[-e_1+0]=-e_0.
$$

���������
$$
g(x_{-1}, x_0,x_1,x_2,y,z)=y[\bar x_{-1}((\bar x_0z)(\bar x_1 \bar x_2))].
$$
����� ����������������� ������� $f_1^k$ �������� ��������� ������������� ����������
$$
g(x_{-1}^{(1)}, x_{0}^{(1)}, x_{1}^{(1)},x_{2}^{(1)},y_{1}^{(1)}
, z_{1}^{(1)})
\ldots
g(x_{-1}^{(k)}, x_{0}^{(k)}, x_{1}^{(k)},x_{2}^{(k)},y_{1}^{(k)}
, z_{1}^{(k)}),
$$
����������������� �� $\{x_{-1}^{(i)}, x_{0}^{(i)}, x_{1}^{(i)},x_{2}^{(i)},\}$, $i=1,\ldots,k$. ������������� �� ��������� �� ������� �������
$$
\{x_{-1}^{(1)},\ldots, x_{-1}^{(k)}, y_{1}^{(1)}
, z_{1}^{(1)}
,\ldots, y_{1}^{(k)}
, z_{1}^{(k)}
\},
\{x_{0}^{(1)},\ldots, x_{0}^{(k)}\}
, 
$$
$$
\{x_{1}^{(1)},\ldots, x_{1}^{(k)}\}
, \{x_2^{(1)},\ldots, x_2^{(k)}\}
.
$$
����������, ��������� 3-���������������� �������� ��������
$$
f_2=\bar e_{-1}  \bar e_{0} \bar e_{1}= (\bar e_{-1} \bar e_{0}) e_{1} +(\bar e_{0}
\bar e_{1}) e_{-1}+(\bar e_{1} \bar e_{-1}) e_{0} = 0+0-e_{-1}e_1e_0=-e_0.
$$
������� �����
$$
f_3=e_{-1}[ \bar e_{-1}((\bar e_{0}\widetilde e_{-1})(\bar e_{1}\bar e_2))]\widetilde e_0.
$$
��� ��������� �������� ���������������� ����� $e_{-1}, e_0,e_1, e_2$, ���������� ������ ������, �
���������������� ����� $e_{-1}, e_0$, ���������� ������. ��������� $W_+e_{-1}=0$, ��� 
$W_+=W_1\oplus W_2$, ��
$$
f_3=f_1e_0=f_1=-e_0.
$$

�������, �����
$$
f_4=\bar{\bar e}_{-1}[[\bar e_{-1}((\bar e_0\widetilde e_{-1})(\bar e_1 \bar e_2))]\widetilde e_0
\bar{\bar e}_0].
$$
����� �� ����� ���� ���������������� ����� $\{e_{-1}, e_0,e_1, e_2\}$ � ��� ���������������� ������ $\{e_{-1}, e_0\}$. ���������
$$
a=[\bar e_{-1}((\bar e_0 \widetilde e_{-1})(\bar e_1 \bar e_2))]\widetilde e_0.
$$
����� ������� $a$  � ${\mathbb Z}$-����������� ����� $1$, � ������� �� �������  $W_+e_{-1}=0$ � ����������, ����������� ���� ��� $f_1$ �������, ���
$a=-e_1$ �
$$
f_4=e_{-1}(ae_0)-e_0(a e_{-1})=e_{-1}a=-e_0.
$$

������� ���������� ������� ������ $m=2k, t=0$. �������
\begin{equation}\label{d1}
f=f(\underbrace{e_{-1},\ldots, e_{-1}}_\alpha, \underbrace{e_{0},\ldots, e_{0}}_\beta,
\underbrace{e_{1},\ldots, e_{1}}_\gamma, \underbrace{e_{2},\ldots, e_{2}}_\delta)=
(f_2^l)(f_4)^k.
\end{equation}
� ������ $f$ ������� $e_{-1}$ ����������� � $k$ ���������������� ������� ������� 
$4$, � $2k=m$
 ���������������� ������� ������� $2$  � � $l$ ���������������� ������� ������� $3$. ����������������
$e_{-1}$ � $f$ �����������. ����� ������� $\alpha$ �� $e_{-1}$ � $f$ ����� $k+l+m$. �������
$e_0$ ����������� ���� $k$ ��� � $4$-���������������� �������, $m=2k$ ��� ---  � $2$-���������������� �
$l$ ��� --- � $3$-���������������� �������, ����� $k+l+m$ ���. �������, $e_1$  ������ � $k$ 
��������������� ������� ������� $4$ � � $l$ ���������������� ������� ������� $3$ � $e_2$ --- � $k$
���������������� ������� ������� $4$. ��� � ��������, ��� $f$ �������� ��������� ��������, ������������
������������ ������, ��������������� ��������� $\lambda=(k+l+m+t, k+l+m, k+l,k)$, ��� $m=2k, t=0$.
�������������, $m_\lambda\ne 0$ ��� ����� ���������, �.�. $f=(-e_0)^{k+l}=\pm e_0$. 

���������� ����� ����� ������, ����� $m=2k$ � $t>0$. ������� $n_0=n-t$ � ��� ���������
$\lambda_0=(k+l+m, k+l+m, k+l,k)\vdash n_0$ �������� ��������� $f$, ��������� � $(\ref{d1})$. �����
$$
g=f(\underbrace{e_{-1}+e_0,\ldots, e_{-1}+e_0}_\alpha, e_0,\ldots,e_2)\underbrace{ (e_{-1}+e_0) \cdots (e_{-1}+e_0)}_t=
$$
$$
=f(e_{-1}+e_0,\ldots, e_{-1}+e_0, e_0,\ldots,e_2)+f',
$$
��� $f'=tf(e_{-1},\ldots,e_{-1},e_0,\ldots,e_2)e_{-1}\in W_{-1}$
��������� $(W_{-1}\oplus W_1\oplus W_2)e_{-1}=0$. ����� ����,
$$
f(e_{-1}+e_0,\ldots, e_{-1}+e_0, e_0,\ldots,e_2)= f(e_{-1},\ldots, e_{-1}, e_0,\ldots,e_2) + f'',
$$
��� $f''\in W_1\oplus W_2$. ������ �������, ��� $g=\pm e_0+f'+f''\ne 0$, � $g$ �������� ��������� ��������,
������������ ������������ $FS_n$-������ � ���������� $\chi_\lambda$. �������������, $m_\lambda\ne 0$ 
� (\ref{e5}).

������ ����� $m=2q < 2k$ � $t\ne 0$. ���������� ������������
$$
(f_1)^{k-q}(f_2)^l(f_4)^q=f_0=f_0(\underbrace{e_{-1},\ldots, e_{-1}}_\alpha, \underbrace{e_{0},\ldots, 
e_{0}}_\beta,\underbrace{e_{1},\ldots, e_{1}}_\gamma, \underbrace{e_{2},\ldots, e_{2}}_\delta).
$$
��� � ����, $\delta=k$, � ��� $e_2$ ������ � ���������������� ������ ������� $4$, $\gamma=k+l,\beta=
k+l+m$, � ��� $e_1,e_0$ ������ � ���������������� ������, ������ $k$ �� ��� ��� $e_1$ - ������� $4$,
� $l$ - ������� $3$. ��� $e_0$ ����� ������� ������� $4,3$ � $2$ ����� $k,l$ � $m$ ��������������.
������� $e_{-1}$ ���� ����������� � ���������������� ������� ������� $4,3$ � $2$, ����� ������� �����
$k-q+q=k, l$ � $2q=m$ ��������������. �� ����� �����, $e_{-1}$ ����������� ��� $2(k-q)$ ��� ��� 
���������������� ������� �� ���� ��������� $f_1^{k-q}$. � ���������,
$$
\alpha=k+l+m+t_0,
$$
��� $t_0=2(k-q)$, �.�. $m+t_0=2k$.

��cc������ ���������
$$
f_0'=f_0(\underbrace{e_{-1}+e_0,\ldots, e_{-1}+e_0}_\alpha, \underbrace{e_{0},\ldots, 
e_{0}}_{\beta=k+l+m}, \underbrace{e_{1},\ldots, e_{1}}_{\gamma=k+l}, 
\underbrace{e_{2},\ldots, e_{2}}_{\delta=k}),
$$
 � ������ � ��� � ���������
$$
f=f_0'\underbrace{(e_{-1}+e_0)\ldots (e_{-1}+e_0)}_{t-t_0}.
$$

��� � � ���������� ������,
$$
f=f_0+f'+f'',
$$
��� $f_0=\pm e_0$, $f'\in W_{-1}$ � $f''\in W_{+}$, �.�. $f\ne 0$. ����� $f$ �������� ��������� ��������� 
��������, ����������� ��������� $\lambda=(k+l+m+t, k+l+m, k+l,k)$ � $m=2q< 2k$.
������ � ��� ����� ��������� $\lambda$ ��������� � (\ref{e5}) ���������.

�������, ��� �������� $m=2q+1<2k$, �� ������� ����� ������������
$$
f_0=f_1^{k-q-1} f_2^l f_3 f_4^q,
$$
� ����� �������� � ��� $e_{-1}$ �� $e_{-1}+e_0$ � �����
$$
f=f_0(e_{-1}+e_0,\ldots,e_{-1}+e_0,e_0,\ldots, e_0,\ldots, e_2,\ldots e_2)
\underbrace{(e_{-1}+e_0)
\ldots (e_{-1}+e_0)}_{t-t_0},
$$
��� $t_0=2(k-q)-1$. ����� $e_{-1}'=e_{-1}+e_0$ � ������ $f_0$ ������ � $k$
����������������� ������� �� ������� ���������, � $l$ ������� �� 3-� ���������, � $m=2q+1$
������� �� 2-� ���������
 � ��� ���������������� ������� ����������� $t$ ���. ��� 
$e_0,e_1,e_2$ ����������� �� �� �������, ��� � � ���������� ������. ��������� $f_0=\pm e_0$,
� $f=f_0+f'$, ��� $f'\in W_{-1}\oplus W_1\oplus W_2$, �� $f\ne 0$. ������� �������, ��������� $m_\lambda$ �� �����
���� � ��� $\lambda=(k+l+m+t, k+l+m, k+l,k)$ � �������� $m<2k$, ���� $m+t\ge 2k$. ����� �������, ��� $k\ne 0$ ����� ��������.

���� �� $k=0$, �� � $m=0$, � ��������� $\lambda$ ����� ��� $\lambda=(l+t,l,l)$.
��� ���� ������������ ��������� �������� ����������� �������. ������� �������
$f=f_2^l=f(e_{-1},\ldots,e_{-1}, e_0,\ldots,e_0,e_1,\ldots, e_1)$ ������� $l$
�� ������� �� �������� ��������� $e_{-1},e_0,e_1$. ����� �������
$$
f'=f(e_{-1}+e_0,\ldots,e_{-1}+e_0,e_0,\ldots, e_1)
\underbrace{(e_{-1}+e_0)\ldots (e_{-1}+e_0)}_t.
$$
�����, ��� � ������, $f'$ �� �������� ���������� $W$ � ��������� $S_n$-������
� ���������� $\chi_\lambda$.


\hfill $\Box$

\section{������ PI-����������}

��������� ������� $W$ ������, �� �� PI-���������� ���������� (��. \cite[������� 3]{gz}). ��� 
�� ������, � ���������, ��� �������������� �� ����������������� ������ ��������� ��������.

����� $\lambda=(\lambda_1,\ldots,\lambda_4)\vdash n$ � $m_\lambda$ --- ��������� $\lambda$ � ����������� (\ref{e5}). �������
$$
a_n=\max\{\Phi(\lambda)|m_\lambda\ne 0\}.
$$
����� � ���� ����� \ref{l1}
\begin{equation}\label{eq6}
\overline{exp(A)}= \overline{\lim}_{n\to \infty} a_n,\quad 
\underline{exp(A)}= \underline{\lim}_{n\to \infty} a_n
\end{equation}
��� ����� ������������� �������. 

���������� ������ ������������������ $\{a_n\}$ ��� ������� $W$. ����� � ���� (\ref{eq6}) � \cite[������� 3]{gz} ������������������ $\{a_n\}$ ����� ������ ��� $n\to \infty$.  ��� ����������� ��� ���� �������� ���� ������������������.

\begin{lemma}\label{l5}
����� $a_n=\Phi(\lambda^{(0)})$. ����� ����� ������� ��������� $\lambda^{(0)}$ �����, ��� $wt(\lambda^{(0)})\ge 0$ ��� ���������� ������� $n$.
\end{lemma}

{\em ��������������.} ����� $\lambda^{(0)}$ - ���� �� ����� ��������� $\Phi(\lambda)$, 
������������ $a_n$. ����� �������, ��� ��� ���� ����� $\lambda\vdash n$ � $\Phi(\lambda)=a_n$ 
��� ��������� ������������� ����. ��� � ������, ������� $\lambda^{(0)}$ � ����
$\lambda^{(0)}=(k+l+m+t,k+l+m,k+l,k)$. �����������, ��� $wt(\lambda^{(0)})=-m-t+2k<0$, �.�.
$m+t>2k$.

������� �������, ��� $k\ne 0$ � $\lambda^{(0)}$. �������������, �������� ��������, ��� 
$\Phi(\lambda^{(0)})\le 3$ ��� $k=0$. � �� �� ����� ��� ��������� $\lambda=(3p,p,p,p)$
�� �����
$$
\Phi(\lambda)=((\frac{1}{2})^{\frac{1}{2}}(\frac{1}{6})^{\frac{3}{6}})^{-1}
=\sqrt{12}>3,4.
$$
��������� ������������������ $\{a_n\}$ ��������, � ��� ������ $n$ �������� ����� $p$, ���
$|n-6p|\le 5$, �� $a_n>3$ ��� ���� ���������� ������� $n$, � $k\ne 0$. 


������� ������, ��� ���� � ��������� $D_\lambda$ ��������� ���� ������ �� 2-� ������ � 3-�,
�� ������� $D_\mu$, ��� $\mu=(k'+l'+m'+t',k'+l'+m', k'+l',k')$ � $k'=k, t'=t+1$ � $m'=m-2$.
������� ���� $m'-2k'>0$, � ����� $m'+t'-2k'>0$, ���� $m'-2k'=0$ ��� $-1$. � ��������� ���� 
������� ���������c� ����������� $m'+t'-2k'\ge 0$. ����� �������, ��� $m\ge 2$ ���������� ����
���� ��� ��������� ������, �� ��������� � ��������� $\mu$ �������� ����, ��� ��������
$\Phi(\mu)\ge \Phi(\lambda^{(0)})$ �� ����� \ref{lq}. ��� ���� $\mu$ ������������� �������� ����� \ref{l4}, �
������� $m_\mu\ne 0$ � (\ref{e5}). � ���� �������������� ���� $\lambda^{(0)}$  �� ��������
������� $m\le 1$. 

�� ����� $t\ge 2k\ge 2$, � ������������ ���� ������ � $D_{\lambda^{(0)}}$ �� 1-� ������ �� 2-�
�� ������� ��������� $D_\mu$, ��� ������� $\Phi(\mu)\ge \Phi(\lambda^{(0)})$ �
$wt(\mu)> wt(\lambda^{(0)})$. ��� ���� $\mu$ ���� ������������� �������� ����� \ref{l4} �
$m_\mu\ne 0$. ������ �������, ��� $m+t-2k \le 0$ � $\lambda^{(0)}$, � ����� ��������.
\hfill $\Box$.



����� �� ��������, ��� ���� ��������� $D_\mu$ �������� �� ��������� $D_\lambda$ ������������� 
���� ����� ������, �� $\Phi(\mu)\ge \Phi(\lambda)$. ������ �� ������ ��������� ������
��� ����������.


\begin{lemma}\label{l7}
����� $\lambda=(\lambda_1,\ldots, \lambda_q)$ � $\mu=(\mu_1,\ldots,\mu_{q'})$ - ��� ��������� ����� $n$, ��� $q'=q$ ��� $q+1$ � $D_\mu$ �������� ��  $D_\lambda$ ������������� ���� ����� ������. �����
$$
\Phi(\lambda)\ge\frac{1}{n^{\frac{q^2+3q+4}{n}}}\Phi(\mu)
$$
\end{lemma}
{\em ��������������.} ��������� ������������ ������ ����� ����������� � ��� ����. �������
�������� ������ �� $D_\lambda$ � �������� $D_{\lambda'}$, ��� $\lambda'\vdash n-1$,
� �����, ���������� ���� ������ �  $D_{\lambda'}$, �������� $D_\mu$. ����� �� �����
6.2.4 �� \cite{gzbook}
$$
\deg\chi_{\lambda'} \le \deg\chi_\lambda\le n \deg\chi_{\lambda'},\quad
\deg\chi_{\lambda'} \le \deg\chi_\mu\le n \deg\chi_{\lambda'},
$$
������ ����� ��������, ���
\begin{equation}\label{eq7}
\deg\chi_\lambda\ge \frac{1}{n} \deg\chi_\mu.
\end{equation}
����� �� (\ref{eq7}) � ������� (\ref{eq0}) ��������
$$
\Phi(\lambda)^n \ge \frac{1}{n} \deg\chi_\lambda\ge \frac{1}{n^2} \deg\chi_\mu 
\ge \frac{1}{n^{(q+1)^2+q+1+2}}\Phi(\mu)^n,
$$
������ � ������� ����������� �����.
\hfill $\Box$

������� ��� ���� �����������, ����������� �������� ������� $\Phi$ ��� ������
���������.

\begin{lemma}\label{l7a}
����� ��������� ���� ���������  $\lambda=(\lambda_1,\ldots, \lambda_d)\vdash (n-1)$
�������� �� ��������� $D_\mu$ ������������� ����� ������. �����
$$
\Phi(\lambda)\le n^\frac{d^2+d+2}{n}\Phi(\mu)
$$
��� $n\ge d$.
\end{lemma}
{\em ��������������.} 
�� ������� (\ref{eq0})
$$
\Phi(\lambda)^{n-1}\le (n-1)^{d^2+d}\deg\chi_\lambda\le n^{d^2+d}\deg\chi_\lambda,
$$
�
$$
\deg\chi_\mu\le n\Phi(\mu)^n.
$$
� ������ �������, $\deg\chi_\lambda\le \deg\chi_\mu$ �������� \cite[����� 6.2.4]{gzbook}. ��������� ������������ �������� $\Phi(\lambda)$ ����� $d$, �� ������ ��������
$$
\Phi(\lambda)\le n^\frac{d^2+d+2}{n}\Phi(\mu).
$$
\hfill $\Box$

��������� ��� ���� ������������������, ��������� � $W$. ����� $n\ge 6$. �������
$$
b_n=\max\{\Phi(\lambda)|\lambda=(\lambda_1,\ldots,\lambda_4)\vdash n, m_\lambda\ne 0,
\lambda_1-\lambda_3=2\lambda_4 \},
$$
���� $n$ ��������� ��������� $\lambda$ � $\lambda_1-\lambda_3=2\lambda_4$  � �
$m_\lambda\ne 0$ � (\ref{e5}) � ��������� ������ ������� $b_n=\min\{b_{n-1}, a_n\}$. �������, ��� �������� ����� \ref{l4} ���
$n=6k$ ��������� $\lambda=(3k,k,k,k)$ ������������� ����������� ��������.

\begin{lemma}\label{l9}
$$
\lim_{n\to \infty} b_n = \lim_{n\to\infty}a_n =exp(W).
$$
\end{lemma}
{\em ��������������.} �������� \cite[������� 3]{gz} PI-���������� ����� �������������
������� ������� ����������, � ������������� ���������� ������
$\lim_{n\to\infty}a_n =exp(W)$ ��� �������� �� (\ref{eq6}). ������ ����� �������� �����, ���������� ����� ����� ������� $\psi=\psi(n)$, ��� $\lim_{n\to\infty}\psi(n)=1$ �
\begin{equation}\label{eq8a}
\psi(n)a_n \le b_n\le a_n
\end{equation}
��� ���� ���������� ������� $n$.

����������� $n$ � ������� ����� ��������� $\lambda\vdash n$, ��� $\Phi(\lambda)=a_n$.
�� ����� \ref{l5} ����� ������� $\lambda$ ���, ��� $wt(\lambda)\ge 0$. �� ����� �� ����� \ref{l3} ��������, ��� $wt(\lambda)$  ��������� 0,1 ��� 2.

���� $wt(\lambda)=0$, �� $b_n=a_n$. ����� $wt(\lambda)=1$. ������� $\lambda$ ���
$\lambda=(k+l+m+t, k+l+m, k+l, k)$. ����� $m+t= 2k-1$. ���� $m\ne 0$, �� ����� ��������� ���� ������ �� 2-� ������ � 1-� � ��������� $D_\lambda$ � �������� ��������� $D_\mu$, $\mu=(k+l+m'+t',k+l+m', k+l, k)$, � �������
$m'=m-1, t'=t+2$, � $wt(\mu)=0$. ����� �� ����� \ref{l4}
$\mu$ ����� ��������� ��������� � $\chi_n(W)$. ��� ���������� � �������������� ����� 
\ref{l5}, ��������� $\lambda$ ����� ��������� ���������� $k$.
 ������� � ������ ����� \ref{l7}, �� ����� 
\begin{equation}\label{eq9}
b_n\ge \Phi(\mu)\ge \frac{\Phi(\lambda)}{n^\frac{32}{n}}=
\frac{a_n}{n^\frac{32}{n}}.
\end{equation}

���� $m=0$, �� $l>0$ � $t>0$, �� ��������� $\mu$ � ������� ����� ����� �������� ��������� ����� ������ �� 3-� ������ �� 2-� � $D_\lambda$, � �� ����� �������� ����������� (\ref{eq9})  ��� $b_n$. �������, ��� ������ $m=0$, $l>0$, $t=0$ ����������, �.�. $m+t=2k-1$.

������������ ��������� $\lambda$ � $wt(\lambda)=1$, ������� �� ��������� ��������� ���������, ��� ��������� $(3k-1,k,k,k)$. �� �����
\begin{equation}\label{eq10}
\Phi(\lambda)\le n^\frac{22}{n}\Phi(\mu)
\end{equation}
�� ����� \ref{l7a}, ��� $\mu=(3k,k,k,k)$. ��������� $\Phi(\mu)=\sqrt{12}<3,48$,
�� �� ��������
$$
\Phi(\lambda)< n^\frac{22}{n}\cdot 3,48.
$$

������� ������, ��� ��������� ���� $\rho=(3q,3q,q,q)$ ������������� �������� ����� \ref{l4} � 
$$
\Phi(\rho)=\frac{8}{\sqrt[4]{27}}> 3,5,
$$
������� $\Phi(\lambda)$ �� ����� ������������� ����������� (\ref{eq10}) ��� 
���������� ������� $n$, �.�. $\lambda\ne (3k-1,k,k,k)$, � ����������� (\ref{eq9})
���������, ���� $wt(\lambda)=1$.

����� ������ $wt(\lambda)=2$. ����� ����� ��������� ��� ���� �� ����� ������ ��
���� ������ ���� � ��������� $D_\lambda$. ����� ������ ������� ������ ����
$\lambda=(3k-2,k,k,k)$, ���� $\lambda=(q,q,q,1)$, ���� ����� �������� ����� ������ ����� �� ������� ��������� $\mu=(3k-1,k,k,k)$. ������ � ������ ������ ����������� �����, ��� � ��� $wt(\lambda)=1$, ��������� ����� ��������� �� ����� ���� ����������� �������� $\Phi(\lambda)$, � ������ ����������, ��������� $\deg\chi_\lambda\le n\deg
\chi_\mu$, ���� $\lambda=(q,q,q,1)\vdash n$ � $\mu=(q,q,q)\vdash (n-1)$, �
$\Phi(\mu)=3$.

�� ���� ��������� ������� ���������� ���������� ����� \ref{l7} ���� ��� �����������
\begin{equation}\label{eq11}
b_n\ge \frac{a_n}{n^\frac{64}{n}}.
\end{equation}
�� (\ref{eq9}) � (\ref{eq11}) �������� ��������� ������� (\ref{eq8a}), � ����� ��������.

\hfill $\Box$

����� �������������� � �������� �������� ���������� ������, �������� ������� ����������� ������� $\Phi$. ��� ����� $0\le x_1,\ldots, x_4\le 1$ �������
\begin{equation}\label{eq12}
\Phi(x_1,\ldots, x_4)=\frac{1}{x_1^{x_1}\ldots x_4^{x_4}}
\end{equation}
� ���������� ������ ������� ����������� $\Phi$ ��������� ������������ $T$, ��������
���������
\begin{equation} \label{eq13}
\left\{
               \begin{array}{ll}
        x_1\ge x_2\ge x_3\ge x_4     \\
x_1+x_2+x_3+x_4=1\\
x_1-x_3=2x_4.
               \end{array}
             \right.
\end{equation}

\begin{theorem}\label{t1}
PI-���������� ������� $W$ ���������� � �����
\begin{equation} \label{eq14}
exp(W)=\max\{\Phi(x_1,\ldots, x_4)\vert (x_1,\ldots, x_4)\in T\}.
\end{equation}
� ���������, $exp(W)\approx3,610718614$.
\end{theorem}

{\em ��������������.}������������� ���������� ��� ���������� �����, ��������� $W$ ������. ����� ����, 
$$
exp(W)=b=\lim_{n\to\infty}b_n
$$
�� ����� \ref{l9}. �������� ��������, ��� $b=M$, ���
$$
M=\max\{\Phi(x_1,\ldots, x_4)\vert (x_1,\ldots, x_4)\in T\}.
$$

����� $Z=(z_1,\ldots, z_4)$ --- ����� ��������� $\Phi$ �� $T$. ����, ��� ����� �����
����� $A=(a_1,\ldots, a_4)\in T$ � ������������� ��������������, ����� ������ ������� � $Z$. ��������� ����� $m$ ����� ����������� ������������ ����� $a_1,\ldots, a_4$. ����� $\lambda_1=a_1m,\ldots, \lambda_4= a_4m$ --- ��������������� ����� �����, 
������ $\lambda_1\ge\ldots \ge \lambda_4$. ������� �������, $\lambda=(\lambda_1, \ldots, \lambda_4)$ --- ��������� ����� $m$, ��������������� ������� 
$\lambda_1-\lambda_3=2\lambda_4$. ����� ����, ��� ������ $t=1,2,\ldots$ ���������
$t\lambda=(t\lambda_1,\ldots, t\lambda_4)$ ����� $n_t=tm$ ������������� ���� �� �������. ������ �������, ���
\begin{equation} \label{eq15}
b_{n_t}\ge \Phi(t\lambda)=\Phi(\lambda).
\end{equation}
��������� ������������������ $\{b_i\}$ ��������, � $\Phi(\lambda)$ � (\ref{eq15})
����� ������� ����� ������ ������� � $M$, �� $b\ge M$. ��� ��� �������� ������� ��������, �� �� �������� ����������� (\ref{eq15}).

��� ������� ���������� �������������� �������� ���������� ������������ ������ 
��� $exp(W)$. � ������ \cite{zm} ��� �������� ������ ���������������� ������� �� $L$, � ������� $3,1< \underline{exp}(L)\le \overline{exp}(L)<3,9$. ������� \cite{vzm}
���� �������� ������������� ������� PI-���������� $L$, �.�. ���������
$\underline{exp}(L)= \overline{exp}(L)$. ����� ����, ��������� ���
$$
exp(L)= \max\{\Phi(x_1,\ldots, x_4)\vert (x_1,\ldots, x_4)\in T\},
$$
��� $\Phi$ --- �������, ������������ � (\ref{eq12}), � ������� $T$ ������ ������������� (\ref{eq13}). � ��� �� ������ � ���� ��������, ���
$$
M=\Phi(\beta_1,\ldots,\beta_4),
$$
��� $\beta_4$ ---  ������������� ������ ��������� $16t^3-24t^2+11t-1=0$,
$\beta_4\approx 0,276953179$, �
$$
\beta_3=2\beta_4-4\beta_4^2,\quad \beta_2=\frac{\beta_3^2}{\beta_4},
\quad \beta_1=\frac{\beta_3^3}{\beta_4^2}.
$$
������ $exp(W)=exp(L)\approx 3,610718614$, � ������� ��������.
\hfill $\Box$

\begin{cor}
���������� ������������� ������� ������� � 1 � ������� �����������, ������
������� �� �����������
\end{cor}
\hfill $\Box$

\begin{cor}
���������� ����������� ������ � ��������, � ������� ����������� ������� 
PI-����������, ����� 4.
\end{cor}
{\em ��������������.}
������� \ref{t1} ����������, ��� � ����������� 4 ������� ����������. ��, ��� ��� ����������� ����� ��������� � ���������� ������, ������� �� ����������� \cite{AL}.
\hfill $\Box$











\begin{thebibliography}{99}

\bibitem{b} �. �. �������� �. �.,
  {\em  ��������� � �������� ��}, �����, �., 1985.

\bibitem{gzbook} A. Giambruno, M. Zaicev, {\em
    Polynomial Identities and Asymptotic Methods},
    Mathematical Surveys and Monographs V. 122,
    American Mathematical Society, Providence, RI, 2005.
    
\bibitem{zsss} �. �. ��������, �. �. �������, �.�. ��������, �.�.  
������, {\em
    ������, ������� � �������������}, �����, �., 1978.


\bibitem{gz98}
A. Giambruno, M. Zaicev, ''On codimension growth of finitely
    generated associative algebras'', {\em Advances in Mathematics}, 
    {\bf 140} (1998), 145---155.

\bibitem{gz99}
A. Giambruno, M. V. Zaicev, ''Exponential codimension growth
    of P.I. algebras: an exact estimate'', {\em Advances in Mathematics},
    {\bf 142} (1999), 221---243.

\bibitem{grz}
A. Giambruno, A. Regev, M. Zaicev, ''Simple and semisimple
     Lie Algebras and codimension growth'', {\em Trans. Amer. 
     Math. Soc.} 
    {\ bf 352}:4 (2000), 1935---1946.
    

\bibitem{z2002}
�. �. ������, ''��������������� ��������� ����� �������� �������������
     ������ ��'', {\em ���. ���, ���. �����.} {\bf 66}:3 (2002), 23---48.


\bibitem{gzTAMS}
A. Giambruno, M. Zaicev, ''Codimension growth of special simple 
     Jordan algebras'', {\em Trans. Amer. Math. Soc.}, {\bf 362}:6 
     (2010), 3107---3123.


\bibitem{gshz2011}
A. Giambruno, I. Shestakov, M. Zaicev, ''Finite dimensional 
     nonassociative algebras and codimension growth'', {\em Advances in 
     Applied Mathematics}, {\bf 47}, (2011) 125---139.

\bibitem{MRZ}
S. P. Mishchekno, A. Regev, M. Zaicev, ''Integrality of exponents of some abelian-by-nilpotent varieties of Lie algebras'', {\em Communications in Algebra}, {\bf 28}:9 (2000), 4105---4130.

\bibitem{zm}  M. V. Zaicev, S. P. Mishchenko,
    ''An example of a variety of Lie
    algebras with a fractional exponent'', {\em Journal of Mathematical
    Sciences}, {\bf 93}:6 (1999), 977---982.

\bibitem{vzm} �. �. ��������, �. �. ������, �. �. �������,
     ''����������� �������  ���������� ������ � ������� ��������� ������������ �������� ������'', {\em ������� ����. ��-��. ���. 1, ����������. ��������},
2 (2011), 36---39.

\bibitem{gz} A. Giambruno, M. Zaicev,
    ''On codimension growth of finite dimensional Lie superalgebras'', {\em
    Journal of London Math. Soc.}, {\bf 95} (2012), 534---548.   

\bibitem{gmza} A. Giambruno, S. Mishchenko, M. Zaicev, ''Algebras with
intermediate growth of the codimensions'', {\em Advances in 
     Applied Mathematics}, {\bf 37}:3 (2006),  360---377.

\bibitem{gmz} A. Giambruno, S. Mishchenko, M. Zaicev, ''Codimensions of Algebras
 and Growth Functions'', {\em  Advances in Mathematics}, {\bf 217}:3 (2008),
 1027---1052.

\bibitem{gmzPAMS}
A. Giambruno, S. Mishchenko, M. Zaicev, ''Codimension growth of  
     two dimensional algebras'', {\em Proc. Amer. Math. Soc.}, {\bf 135}:11
     (2007), 3405---3415.
     
\bibitem{AL}
�. �. ������, ''��������� ������������� ��������� ������'', ������� � ������,
{\bf 55}:5 (2011), 563 --- 594. 

\bibitem{gmzCA}
A. Giambruno, S. Mishchenko, M. Zaicev, ''Polynomial identities of 
     algebras of small dimension'', {\em Comm. Algebra}, {\bf 37}:6
     (2009), 1934---1948.

\bibitem{mss} �. �. �������, ''���� �������������� ������������� �
��������������� ������'', {\em ������� � �������������� ������:
��������� ������������� �����������, ����������� 100-����� �� ���
�������� ���������� �.�.��������, � ���������� �����-�����������
"����������� �������� ������� � �������������� ������"; ������,
25-30 �������� 2011}, ������: ���, 2011, 144---145.







\bibitem{r}
A. Regev, ''Codimensions and trace codimensions of matrices are
asymtotically equal'', {\em Israel. J. Math}, {\bf 47} (1984), 246 --- 250.


\bibitem{J} �. ������, {\em
    ������ ������������� �������������� �����}, �����, �., 1982.
  












\end{thebibliography}

\end{document}

1310.5471.extracted_bib
\begin{thebibliography}{99}

\bibitem{b} �. �. �������� �. �.,
  {\em  ��������� � �������� ��}, �����, �., 1985.

\bibitem{gzbook} A. Giambruno, M. Zaicev, {\em
    Polynomial Identities and Asymptotic Methods},
    Mathematical Surveys and Monographs V. 122,
    American Mathematical Society, Providence, RI, 2005.
    
\bibitem{zsss} �. �. ��������, �. �. �������, �.�. ��������, �.�.  
������, {\em
    ������, ������� � �������������}, �����, �., 1978.


\bibitem{gz98}
A. Giambruno, M. Zaicev, ''On codimension growth of finitely
    generated associative algebras'', {\em Advances in Mathematics}, 
    {\bf 140} (1998), 145---155.

\bibitem{gz99}
A. Giambruno, M. V. Zaicev, ''Exponential codimension growth
    of P.I. algebras: an exact estimate'', {\em Advances in Mathematics},
    {\bf 142} (1999), 221---243.

\bibitem{grz}
A. Giambruno, A. Regev, M. Zaicev, ''Simple and semisimple
     Lie Algebras and codimension growth'', {\em Trans. Amer. 
     Math. Soc.} 
    {\ bf 352}:4 (2000), 1935---1946.
    

\bibitem{z2002}
�. �. ������, ''��������������� ��������� ����� �������� �������������
     ������ ��'', {\em ���. ���, ���. �����.} {\bf 66}:3 (2002), 23---48.


\bibitem{gzTAMS}
A. Giambruno, M. Zaicev, ''Codimension growth of special simple 
     Jordan algebras'', {\em Trans. Amer. Math. Soc.}, {\bf 362}:6 
     (2010), 3107---3123.


\bibitem{gshz2011}
A. Giambruno, I. Shestakov, M. Zaicev, ''Finite dimensional 
     nonassociative algebras and codimension growth'', {\em Advances in 
     Applied Mathematics}, {\bf 47}, (2011) 125---139.

\bibitem{MRZ}
S. P. Mishchekno, A. Regev, M. Zaicev, ''Integrality of exponents of some abelian-by-nilpotent varieties of Lie algebras'', {\em Communications in Algebra}, {\bf 28}:9 (2000), 4105---4130.

\bibitem{zm}  M. V. Zaicev, S. P. Mishchenko,
    ''An example of a variety of Lie
    algebras with a fractional exponent'', {\em Journal of Mathematical
    Sciences}, {\bf 93}:6 (1999), 977---982.

\bibitem{vzm} �. �. ��������, �. �. ������, �. �. �������,
     ''����������� �������  ���������� ������ � ������� ��������� ������������ �������� ������'', {\em ������� ����. ��-��. ���. 1, ����������. ��������},
2 (2011), 36---39.

\bibitem{gz} A. Giambruno, M. Zaicev,
    ''On codimension growth of finite dimensional Lie superalgebras'', {\em
    Journal of London Math. Soc.}, {\bf 95} (2012), 534---548.   

\bibitem{gmza} A. Giambruno, S. Mishchenko, M. Zaicev, ''Algebras with
intermediate growth of the codimensions'', {\em Advances in 
     Applied Mathematics}, {\bf 37}:3 (2006),  360---377.

\bibitem{gmz} A. Giambruno, S. Mishchenko, M. Zaicev, ''Codimensions of Algebras
 and Growth Functions'', {\em  Advances in Mathematics}, {\bf 217}:3 (2008),
 1027---1052.

\bibitem{gmzPAMS}
A. Giambruno, S. Mishchenko, M. Zaicev, ''Codimension growth of  
     two dimensional algebras'', {\em Proc. Amer. Math. Soc.}, {\bf 135}:11
     (2007), 3405---3415.
     
\bibitem{AL}
�. �. ������, ''��������� ������������� ��������� ������'', ������� � ������,
{\bf 55}:5 (2011), 563 --- 594. 

\bibitem{gmzCA}
A. Giambruno, S. Mishchenko, M. Zaicev, ''Polynomial identities of 
     algebras of small dimension'', {\em Comm. Algebra}, {\bf 37}:6
     (2009), 1934---1948.

\bibitem{mss} �. �. �������, ''���� �������������� ������������� �
��������������� ������'', {\em ������� � �������������� ������:
��������� ������������� �����������, ����������� 100-����� �� ���
�������� ���������� �.�.��������, � ���������� �����-�����������
"����������� �������� ������� � �������������� ������"; ������,
25-30 �������� 2011}, ������: ���, 2011, 144---145.







\bibitem{r}
A. Regev, ''Codimensions and trace codimensions of matrices are
asymtotically equal'', {\em Israel. J. Math}, {\bf 47} (1984), 246 --- 250.


\bibitem{J} �. ������, {\em
    ������ ������������� �������������� �����}, �����, �., 1982.
  












\end{thebibliography}