Rationalit\'e d'un fibr\'e en coniques
Jean-Louis Colliot-Th\'el\`ene
rationaliteconique21nov13.tex
%21 nov
 %15nov
 % 20 octobre
 %26 octobre
 

 
\documentclass[12pt]{smfart}
%\documentclass[12pt]{book}
\usepackage{color}
\usepackage{amssymb,verbatim}
\usepackage{hyperref}
% \input amssym.def
%\input amssym.tex
\usepackage{amsthm,array,amssymb,amscd,amsfonts,amssymb,latexsym, url}
\usepackage{amsmath}
\usepackage[all]{xy}
\usepackage[french]{babel}
%\voffset=-1in \setlength{\hoffset}{1,5cm}
%\setlength{\oddsidemargin}{-1cm} \setlength{\textheight}{23cm}
%\setlength{\textwidth}{16cm}
%\footheight 35cm





\newcounter{spec}
\newenvironment{thlist}{\begin{list}{\rm{(\roman{spec})}}%
{\usecounter{spec}\labelwidth=20pt\itemindent=0pt\labelsep=10pt}}%
{\end{list}}

\newcommand{\bA}{{\mathbf A}}
\newcommand{\bQ}{{\mathbf Q}}
\newcommand{\bZ}{{\mathbf Z}}

%\newcommand{\fa}{{\mathfrak a}}
%\newcommand{\fp}{{\mathfrak p}}

%\newcommand{\ga}{{\alpha}}
%\newcommand{\gb}{{\beta}}
%\newcommand{\gg}{{\gamma}}
%\newcommand{\gd}{{\delta}}
%\newcommand{\ge}{{\epsilon}}
%\newcommand{\gL}{{\Lambda}}
%\newcommand{\gl}{{\lambda}}

%\newcommand{\sB}{{\mathcal B}}
%\newcommand{\sC}{{\mathcal C}}
%\newcommand{\sD}{{\mathcal D}}
%\newcommand{\sP}{{\mathcal P}}
%\newcommand{\sR}{{\mathcal R}}
%\newcommand{\sS}{{\mathcal S}}
%\newcommand{\beq}{\begin{equation} \label}

%\newcommand{\bgr}{{\boldsymbol\rho}}


%\newcommand{\half}{{\textstyle{\frac{1}{2}}}}
%\newcommand{\RR}{{\rm R}}

%\usepackage{amssymb}
%\usepackage{amsmath}
%\usepackage{amscd}

\newcommand{\G}{{\mathbf G}}
\newcommand{\A}{{\mathbf A}}
%\newcommand{\bF}{{\mathbf F}}
\renewcommand{\P}{{\mathbf P}}
%\newcommand{\bQ}{{\mathbf Q}}
%\newcommand{\bR}{{\mathbf R}}
%\newcommand{\bZ}{{\mathbf Z}}

%\newcommand{\fa}{{\mathfrak a}}
%\newcommand{\fb}{{\mathfrak b}}

%\newcommand{\ga}{{\alpha}}
%\newcommand{\gb}{{\beta}}
%\newcommand{\gG}{{\Gamma}}
%\newcommand{\gg}{{\gamma}}
%\newcommand{\gd}{{\delta}}
%\newcommand{\gk}{{\kappa}}
%\newcommand{\gl}{{\lambda}}
%\newcommand{\gt}{{\theta}}

\newcommand{\sA}{{\mathcal A}}
%\newcommand{\sB}{{\mathcal B}}
%\newcommand{\sC}{{\mathcal C}}
\newcommand{\sD}{{\mathcal D}}
%\newcommand{\sF}{{\mathcal F}}
\newcommand{\sM}{{\mathcal M}}
%\newcommand{\sN}{{\mathcal N}}
\newcommand{\sO}{{\mathcal O}}
%\newcommand{\sR}{{\mathcal R}}
%\newcommand{\sS}{{\mathcal S}}
\newcommand{\sX}{{\mathcal X}}

\newcommand{\bH}{\mathbb{H}}
%\newcommand{\bgr}{{\boldsymbol\rho}}

\newcommand{\un}{\mathbf{1}}

\newcommand\cX{{\mathcal X}}
\newcommand\cC{{\mathcal C}}
\newcommand\cD{{\mathcal D}}
\newcommand\cU{{\mathcal U}}
\newcommand\cY{{\mathcal Y}}
\newcommand\cO{{\mathcal O}}


%%%%
\newcommand{\R}{{\mathbb R}}
\newcommand{\N}{{\mathbb N}}
\newcommand{\Z}{{\mathbb Z}}
\newcommand{\Q}{{\mathbb Q}}
\newcommand{\C}{{\mathbb C}}
\renewcommand{\H}{{\mathcal H}}
\renewcommand{\L}{{\mathbb L}}
\newcommand{\oi}{\hskip1mm {\buildrel \simeq \over \rightarrow} \hskip1mm}
%\newcommand{\oii{\overset{\simeq}\to}
\newcommand{\ovF}{{\overline {\F}}}
\newcommand{\ovK}{{\overline K}}
\newcommand{\ovk}{{\overline k}}
\newcommand{\ovC}{{\overline C}}

\newcommand{\ovV}{{\overline V}}
\newcommand{\ovX}{{\overline X}}
\newcommand{\sI}{{\mathcal I}}
\newcommand{\K}{{\mathcal K}}
\newcommand{\sZ}{{\mathcal Z}}
%\newcommand{\et}{\rm{\acute et}}
%\newcommand{\O}{  {\mathcal O}  }
\newcommand{\Br}{{\operatorname{Br} }}
\newcommand{\br}{{\operatorname{Br}}}
\newcommand{\Ker}{{\operatorname{Ker}}}
\newcommand{\Coker}{{\operatorname{Coker}}}
\newcommand{\Hom}{{\operatorname{Hom}}}
%\renewcommand{\Im}{{\operatorname{Im}}}
\newcommand{\Spec}{{\operatorname{Spec \ }}}
\newcommand{\gal}{{\operatorname{Gal}}}

%\newcommand{\dim}{{\rm dim}}
%\newcommand{\deg}{{\rm deg}} 
%\newcommand{\NS}{{\operatorname{NS}}}

\newcommand{\ind}{{\operatorname{ind}}}
\newcommand{\nr}{{\operatorname{nr}}}
\newcommand{\tors}{{\operatorname{tors}}}
\newcommand{\cont}{{\operatorname{cont}}}
\newcommand{\cd}{{\operatorname{cd}}}
\newcommand{\eff}{{\operatorname{eff}}}
\newcommand{\inv}{{\operatorname{inv}}}
\renewcommand{\o}{{\operatorname{o}}}
\newcommand{\Tate}{{\operatorname{Tate}}}

\newcommand{\by}[1]{\overset{#1}{\longrightarrow}}
\newcommand{\iso}{\by{\sim}}
\renewcommand{\lim}{\varprojlim}
\newcommand{\colim}{\varinjlim}

%\renewcommand{\theequation}{\thesection.\arabic{equation}}
\numberwithin{equation}{section}
\newcommand{\cqfd}
{%
\mbox{}%
\nolinebreak%
\hfill%
\rule{2mm}{2mm}%
\medbreak%
\par%
}
\newfont{\gothic}{eufb10}

 
%\def \et {\hbox{\scriptsize \'et}}

%%%%%


\renewcommand{\qed}{{\hfill$\square$}}

\newtheorem{theo}{Th\'{e}or\`{e}me}[section]
\newtheorem{prop}[theo]{Proposition}
\newtheorem{conj}[theo]{Conjecture}
\newtheorem{lem}[theo]{Lemme}
\newtheorem{cor}[theo]{Corollaire}
\theoremstyle{definition}
\newtheorem{defi}[theo]{Definition}
\theoremstyle{remark}
\newtheorem{rema}[theo]{Remarque}
\newtheorem{remas}[theo]{Remarques}
\newtheorem{ex}[theo]{Exemples}
\newtheorem{qn}[theo]{Question}
\newtheorem{qns}[theo]{Questions}
\newtheorem{propr}[theo]{Propri\'et\'es}



\newcommand{\bthe}{\begin{theo}}
\newcommand{\ble}{\begin{lem}}
\newcommand{\bpr}{\begin{prop}}
\newcommand{\bco}{\begin{cor}}
\newcommand{\bde}{\begin{defi}}
\newcommand{\ethe}{\end{theo}}
\newcommand{\ele}{\end{lem}}
\newcommand{\epr}{\end{prop}}
\newcommand{\eco}{\end{cor}}
\newcommand{\ede}{\end{defi}}


%\newcommand{\beq{\begin{equation} \label}
%\newcommand{\ble{\begin{lemma} \label}
%\newcommand{\bth{\begin{theorem} \label}
%\newcommand{\bpr{\begin{prop} \label}
%\newcommand{\ele{\end{lemma}}
%\newcommand{\eth{\end{theorem}}
%\newcommand{\epr{\end{prop}}

%\newtheorem{prop}{Proposition}
%\newtheorem{theorem}{Theorem}
%\newtheorem{lemma}{Lemma}
%\newtheorem{question}{Question}
%\newtheorem{Cor}{Corollary}
%\newtheorem{Conj}{Conjecture}


%\renewcommand{\theCor}{}
%\renewcommand{\theConj}{}
%\renewcommand{\theprop}{}

%\newcommand{\oi}{\hskip1mm {\buildrel \simeq \over \rightarrow} \hskip1mm}

%\newcommand{\half}{{\textstyle{\frac{1}{2}}}}
%\newcommand{\quarter}{{\textstyle{\frac{1}{4}}}}


%\newcommand{\lra}{\longrightarrow}
%\newcommand{\res}{{\rm res}}
%\newcommand{\H}{{\rm H}}
\newcommand{\NS}{{\rm NS}}
%\newcommand{ \Gal}{{\rm{Gal}}}
%\newcommand{ \Spec}{{\rm{Spec}}}
\newcommand{\et}{{\operatorname{\acute{e}t}}}
%\newcommand{\et}{\operatorname{\acute{e}t}}
\newcommand{\Pic}{\operatorname{Pic}}
\newcommand{\Div}{\operatorname{Div}}
%\newcommand{\ov}{\overline}
%\newcommand{\Br}{{\rm{Br}}}
%\newcommand{\to}{{\rightarrow}}
%\newcommand{ \Ker {{\rm Ker}}
\newcommand{\adA} {{\mathbb A}}
%\newcommand{\Q}{{\mathbb Q}}
%\newcommand{\Z}{{\mathbb Z}}
\newcommand{\F}{{\mathbb F}}
%\newcommand{\C}{{\mathbb C}}
%\newcommand{\R}{{\mathbb R}}
%\newcommand{\X}{{\mathcal X}}
%\newcommand{\Y}{{\mathcal Y}}
%\newcommand{\G}{{\bf G}}
\newcommand{\bP}{{\mathbb P}}
%\newcommand{\H}{{\mathcal H}}

% LE RUSSE  %%%%%%%%
\font\rus=wncyr10 scaled \magstep1%

\DeclareFontFamily{U}{wncy}{}
\DeclareFontShape{U}{wncy}{m}{n}{%
<5>wncyr5%
<6>wncyr6%
<7>wncyr7%
<8>wncyr8%
<9>wncyr9%
<10>wncyr10%
<11>wncyr10%
<12>wncyr6%
<14>wncyr7%
<17>wncyr8%
<20>wncyr10%
<25>wncyr10}{}
\DeclareMathAlphabet{\cyr}{U}{wncy}{m}{n}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%

 

 \begin{document}
 
 \title[Rationalit\'e d'un fibr\'e en coniques]{Rationalit\'e d'un fibr\'e en  coniques}
 
\author{Jean-Louis Colliot-Th\'el\`ene}
\address{CNRS, Universit\'e Paris-Sud\\Math\'ematiques, B\^atiment 425\\91405 Orsay Cedex\\France}
\email{jlct@math.u-psud.fr}


\date{arXiv v1, 21 octobre 2013; pr\'esente version, 21 novembre 2013}

\maketitle

 

\section{Introduction}

 

Soit $k$ un corps de caract\'eristique diff\'erente de 2
 contenant un \'el\'ement $i$ de carr\'e $-1$.
 La cubique $C$  d'\'equation affine 
$$y^2=x(x^2-1)$$
sur le corps $k$ admet l'automorphisme $g$, d'ordre 4,  d\'efini par  $$(x,y) \mapsto (-x,iy).$$
On consid\`ere le quotient du produit triple $C\times_{k}C\times_{k}C$ 
par l'action diagonale de $g$.


Motiv\'e par un travail ant\'erieur de Ueno \cite{U}, Campana \cite{C} montre, pour $k$ le corps des complexes, que 
ce quotient est 
 une vari\'et\'e rationnellement connexe et demande si cette vari\'et\'e
est rationnelle. Pour $k$ arbitraire,
Catanese, Oguiso et  Truong \cite{COT} (arXiv, 14 oct. 2013) montrent ensuite que  c'est une vari\'et\'e
$k$-unirationnelle. Pour ce faire, ils commencent par montrer \cite[Prop. 2.5]{COT} que
le quotient est $k$-birationnel   \`a  la $k$-vari\'et\'e $X$ d\'efinie dans l'espace affine
$\A^4_{k}$ avec  coordonn\'ees $s,t,u,v$ par l'\'equation
$$s^2 v(v^2-1) -t^2 u(u^2-1) + uv(u^2-v^2)=0.$$

Dans cette note,  je montre que la $k$-vari\'et\'e $X$  est $k$-rationnelle,
c'est-\`a-dire que son corps des fonctions est transcendant pur sur $k$.
Ceci r\'epond \`a la question de Campana.

La rationalit\'e de ce genre de quotient a r\'ecemment attir\'e l'attention
des sp\'ecialistes de dynamique complexe   \cite{OT}. 
 
 
 

 

La $k$-vari\'et\'e $X$ est fibr\'ee en coniques sur le  plan affine de coordonn\'ees $u,v$.
Fr\'ed\'eric Campana avait sugg\'er\'e de calculer la cohomologie non
ramifi\'ee de $X$, 
et en particulier son groupe de Brauer non ramifi\'e (pour un rapport de synth\`ese sur la cohomologie non ramifi\'ee, voir \cite{CT}). Pour les fibrations en coniques,
  on peut suivre
  la m\'ethode d'Ojanguren et l'auteur \cite{CTO}.
Lors de ce calcul, 
 il est  apparu que la fibration en coniques concern\'ee
est $k$-birationnellement \'equivalente, au-dessus du plan affine, \`a une autre
fibration en coniques dont l'espace total est clairement $k$-rationnel.
  
 Je remercie Fr\'ed\'eric Campana de m'avoir inform\'e de ce probl\`eme
 et de ses d\'eveloppements.

  
\section{Rappels}

 
Donnons  quelques rappels sur les coniques et sur le groupe de Brauer des corps
et des sch\'emas. On renvoie le   lecteur 
aux ouvrages  \cite{GB}, \cite{S}, \cite{GSz}.

On note $G[2]$ le sous-groupe des \'el\'ements de 2-torsion
d'un groupe ab\'elien $G$.

\medskip

Soit $F$ un corps de caract\'eristique diff\'erente de 2. 
\`A  la donn\'ee de deux \'el\'ements $a,b \in F^{\times}$ on associe
la classe de l'alg\`ebre de quaternions $(a,b) $ dans 
le groupe de Brauer $ \Br F$. C'est un \'el\'ement de 2-torsion.

On note $C_{a,b} \subset \P^2_{F}$ la conique
d'\'equation projective 
$$ X^2-aY^2-bT^2=0.$$

La classe $(a,b)$ est nulle dans  $ \Br(F)$ si et seulement si la conique $C_{a,b}$
sur le corps $F$  
a un point rationnel, ce qui est encore \'equivalent au fait que
son corps des fonctions est transcendant pur sur $F$.

Plus g\'en\'eralement, on a la proposition suivante.

\begin{prop}\label{coniques}
Avec les notations ci-dessus, \'etant donn\'es quatre  \'el\'ements $a,b, a',b' \in F^{\times}$,
les \'enonc\'es suivants sont \'equivalents :

(i) $(a,b)=(a',b') \in \Br(F)$.

(ii) Les coniques $C_{a,b}$ et $C_{a',b'}$ sont isomorphes sur le corps $F$.

(iii) Il existe une homographie, c'est-\`a-dire un \'el\'ement de ${\rm PGL}_{3}(F)$
qui transforme la conique $C_{a,b} \subset \P^2_{F}$ en la conique $C_{a',b'} \subset \P^2_{F}$.
\end{prop}

L'\'equivalence de (i) et (ii) remonte \`a Witt \cite[\S 2]{W}, voir \cite[Thm. 1.4.2]{GSz}.
Soit $f :  C_{1 } \oi C_{2}$ un $k$-isomorphisme abstrait de coniques lisses sur le corps $k$.
L' inverse du faisceau canonique $\omega_{2}$ sur $C_{2}$ est le faisceau canonique $\omega_{1}$ sur $C_{1}$.
Tout plongement  de $C_i$ dans  $\P^2_{k}$ comme conique est associ\'e au choix d'une base de l'espace vectoriel $H^0(C_{i},\omega_{i}^{-1})$, qui est de dimension 3.
Ceci montre que (ii) implique (iii).
 



\medskip



Soit $A$ un anneau de valuation discr\`ete de corps des fractions $K$,
de corps r\'esiduel $\kappa$ de caract\'eristique diff\'erente de 2.
On dispose d'une application r\'esidu
$$\partial_{A} :  \Br (K) [2] \to \kappa^{\times}/\kappa^{\times 2}$$
qui envoie une classe de quaternions $(a,b)$ (avec $a, b \in K^{\times}$)
sur la classe de $$(-1)^{v(a)v(b)}  [a^{v (b)}/b^{v(a)}],$$
o\`u $[a^{v (b)}/b^{v(a)}]$ d\'esigne la classe dans $\kappa^{\times}/\kappa^{\times 2}$ de l'unit\'e
$a^{v (b)}/b^{v(a)} \in A^{\times}$. L'application r\'esidu s'ins\`ere dans
une suite exacte
$$0 \to \Br(A)[2]  \to \Br(K)[2]  \to \kappa^{\times}/\kappa^{\times 2} \to 1.$$

\medskip

Soit $X$ une $k$-vari\'et\'e lisse int\`egre de corps des fonctions $k(X)$.
\`A chaque point $x$ de codimension 1 on associe son anneau local,
qui est un anneau de valuation discr\`ete de corps des fractions $k(X)$,
de corps r\'esiduel $\kappa(x)$, le corps des fonctions de la sous-vari\'et\'e
d\'efinie par $x$.

Supposant ${\rm car}(k) \neq 2$, on a une suite exacte
$$0 \to \Br (X)[2] \to \Br ( k(X))[2]  \to  \bigoplus_{x \in X^{(1)}} \kappa(x)^{\times}/\kappa(x)^{\times 2},$$
o\`u la fl\`eche de droite est celle d\'efinie par les divers r\'esidus en les points $x \in X^{(1)}$.

\medskip

Pour $X= \A^n_{k}$ l'espace affine sur un corps de caract\'eristique diff\'erente de 2,
  l'application naturelle $\Br(k)[2] \to \Br(\A^n_{k})[2]$ est un isomorphisme.



\medskip 

On a donc :

\begin{prop}\label{espaceaffine}
Soit $k$ un corps de caract\'eristique diff\'erente de 2, et soit $n\geq 1$ un entier.
Les applications r\'esidus aux points de codimension 1 de l'espace affine $\A^n_{k} $ donnent naissance
\`a la suite exacte :
$$0 \to \Br(k)[2] \to \Br(k(\A^n))[2] \to  \bigoplus_{x \in X^{(1)}} \kappa(x)^{\times}/\kappa(x)^{\times 2},$$
\end{prop}

On peut donner de ce r\'esultat une formulation et une d\'emonstration plus \'el\'ementaire
en utilisant   la cohomologie galoisienne \cite{S}. Le cas $n=1$ est un cas
particulier de la suite exacte de Faddeev \cite[Cor. 6.4.6]{GSz}. Le cas $n>1$
peut se ramener au cas $n=1$ 
par fibrations successives sur des espaces affines de dimension plus petite.
 


  



\section{Le calcul}

On consid\`ere la conique sur  le corps $k(u,v)$ d\'efinie par
l'\'equation affine (variables $s,t$)
$$s^2 v(v^2-1) -t^2 u(u^2-1) + uv(u^2-v^2)=0$$
soit encore
$$s^2-uv(u^2-1)(v^2-1) t^2 - u(v^2-1)(v^2-u^2)=0.$$

On associe \`a cette conique la classe de quaternions
$$\alpha = (uv(u^2-1)(v^2-1), u (v^2-1)(v^2-u^2)) \in \Br  (k(u,v)).$$

Les seuls r\'esidus non triviaux possibles aux points de codi\-mension 1
de $\A^2_{k}$ sont aux points donn\'es par l'annulation de l'un des
facteurs $uv(u^2-1)(v^2-1)$  ou $u (v^2-1)(v^2-u^2)$.


Appliquant la formule rappel\'ee au paragraphe 2, on trouve  les r\'esidus suivants

En $u=0$, la classe de $v $ dans $k(v)^{\times}/k(v)^{\times 2}$.

En $v=0$, la classe de $u$ dans  $k(u)^{\times}/k(u)^{\times 2}$.

En $v-1=0$, la classe $1$ dans $k(u)^{\times}/k(u)^{\times 2}$.

En $v+1=0$, la classe $-1$ dans $k(u)^{\times}/k(u)^{\times 2}$.

En $u-1=0$, la classe $1$ dans $k(v)^{\times}/k(v)^{\times 2}$.

En $u+1=0$, la classe $-1$ dans $k(v)^{\times}/k(v)^{\times 2}$.

En $u-v=0$, la classe $1$ dans $k(u)^{\times}/k(u)^{\times 2}$.

En $u+v=0$, la classe $-1$ dans $k(u)^{\times}/k(u)^{\times 2}$.

Par ailleurs,  les seuls  r\'esidus de    $(u,v) \in \Br(k(u,v))$ 
aux points de codimension 1 de $\A^2_{k}$ qui ne sont pas \'egaux \`a $1$
sont 
 la classe de $v$ dans $k(v)^{\times}/k(v)^{\times 2}$ en $u=0$ et la classe de $u$ 
 dans 
 $k(u)^{\times}/k(u)^{\times 2}$ en $v=0$.
 
 Comme on a suppos\'e que  $-1=1 \in k^{\times}/k^{\times 2}$,
 on voit que l'\'el\'ement $$\alpha - (u,v) \in \Br ( k(u,v))$$
a tous ses r\'esidus
triviaux aux points de codimension 1 de $\A^2_{k} $, donc par la  Proposition \ref{espaceaffine}
 est la classe d'un \'el\'ement de $\gamma \in \Br (k)$. 
 
Pour calculer $\gamma$, on consid\`ere la restriction de  $(u,v)$ et de  
  $$(uv(u^2-1)(v^2-1), u (v^2-1)(v^2-u^2))$$
  au point g\'en\'erique de la droite $D$ d'\'equation $v=1-u$,
de corps des fonctions $k(u)$.  On a 
$$(u,1-u)=0 \in \Br (k(u)).$$
La restriction de
 $(uv(u^2-1)(v^2-1), u (v^2-1)(v^2-u^2)) $ au point g\'en\'erique de la droite $D$
  est \'egale \`a
 $$(u(1-u)(u^2-1)(u^2-2u), u(u^2-2u)(1-2u) ) = (-(u+1)(u-2),(u-2)(1-2u)) $$
 dans  $ \Br( k(u))$.
 

La restriction de  $\gamma= \alpha-(u,v)$ \`a la droite  $D$ 
a donc pour image   $(-(u+1)(u-2),(u-2)(1-2u)) \in \Br (k(u))$.
Ce dernier symbole est dans le groupe de Brauer de l'anneau de valuation discr\`ete
anneau local 
de la droite $D$  au point $P$ de coordonn\'ees $u=0, v=1$. Ainsi $\gamma$ et  $(-(u+1)(u-2),(u-2)(1-2u))$
sont \'egaux dans $\Br(A)$. 
 En \'evaluant au point $P$,
on trouve
 $$\gamma = (2, -2) =0.$$
 
 
On a donc $\alpha=(u,v) \in \Br (k(u,v))$.


\medskip

{\em Remarque.} 
 Sur un corps $k$ avec $\Br(k)=0$, tel que le corps des complexes ou plus g\'en\'eralement
un corps de dimension cohomologique 1, le calcul ci-dessus n'est pas n\'ecessaire.
Sur un corps quelconque de caract\'eristique diff\'erente de 2,3,5, avec $i \in k$, on peut directement
\'evaluer $\alpha$ au point $k$-rationnel $M$ de coordonn\'ees $u=2, v=3$.
Cela donne
$\alpha(M)=(2.3.3.8, 2.5.8)=0 \in \Br(k)$ puisque $2.3.3.8$ est un carr\'e.
Par ailleurs $(u,v)(M)=(2,3)=0$ car la conique d'\'equation $$X^2-2Y^2-3T^2=0$$
poss\`ede le point rationnel  $(X,Y,T)=(1,i,1)$.
\medskip

D'apr\`es la proposition \ref{coniques},  l'\'egalit\'e  $\alpha=(u,v) \in \Br (k(u,v))$
implique que
 les coniques dans $\P^2_{k(u,v)}$ donn\'ees en coordonn\'ees homog\`enes $S,T,R$ par
$$ v(v^2-1) S^2 - u(u^2-1) T^2 + uv(u^2-v^2) R^2=0$$
et
$$S^2-uT^2-vR^2=0$$
sont   isomorphes sur le corps $k(u,v)$.

En termes g\'eom\'etriques, cela signifie qu'au-dessus du plan affine $\A^2_{k}$
 de coordonn\'ees $u,v$, 
 les deux fibrations en coniques
 associ\'ees
sont birationnelles par un isomorphisme qui pr\'eserve la fibration.


La $k$-vari\'et\'e d'\'equation affine
$$s^2-ut^2-v=1$$
est clairement $k$-isomorphe \`a l'espace affine $\A^3_{k}$
de coordonn\'ees $s,u,t$.  On en conclut que la $k$-vari\'et\'e
d'\'equation affine
 $$s^2 v(v^2-1) -t^2 u(u^2-1) + uv(u^2-v^2)=0$$
 est  $k$-rationnelle.  D'apr\`es \cite[Prop. 2.5]{COT},
 ceci implique que
 le quotient de $C\times_{k}C\times_{k}C$ par l'automorphisme diagonal $g$
 d'ordre 4
 consid\'er\'e au-d\'ebut de cette note est une $k$-vari\'et\'e $k$-rationnelle.


 
\begin{thebibliography}{99}


\bibitem{C} F. Campana, Remarks on an example of K. Ueno, Series of congress reports,
{\em Classification of algebraic varieties}, Ed. : C. Faber, G. van der Geer and E. Looijenga, 
Soci\'et\'e math\'ematique europ\'eenne, 2011, 115--121.

\bibitem{COT} F. Catanese, K. Oguiso et T. T. Truong, Unirationality of Ueno--Campana's threefold,
{ \tt{arXiv:1310.3569v1}} [mathAG].

\bibitem{CT} J.-L. Colliot-Th\'el\`ene,
Birational invariants, purity and the Gersten conjecture, in  {\em K-Theory and Algebraic Geometry: Connections with Quadratic Forms and Division Algebras}, AMS Summer Research Institute, Santa Barbara 1992, ed. W. Jacob and A. Rosenberg, Proceedings of Symposia in Pure Mathematics {\bf 58}, Part I (1995) 1--64.


\bibitem{CTO} J.-L. Colliot-Th\'el\`ene et M. Ojanguren, 
Vari\'et\'es   unirationnelles non rationnelles: au-del\`a de l'exemple d'Artin-Mumford, Invent. math. {\bf 97} (1989) 141--158.


\bibitem{GSz} P. Gille et T. Szamuely, {\em Central simple algebras and Galois cohomology},
Cambridge studies in advanced mathematics {\bf 101}, 
 Cambridge University Press, Cambridge, 2006. 

\bibitem{GB} A. Grothendieck,  Le groupe de Brauer, in 
{\em Dix expos\'es sur la cohomologie
des sch\'emas}, 46--188, North-Holland, 1968.

\bibitem{OT} K. Oguiso et T. T. Truong, Explicit Examples of rational and Calabi-Yau threefolds with primitive automorphisms of positive entropy,
{\tt {arxiv.org/abs/1306.1590v3}}  [math.AG].

\bibitem{S} J-P. Serre, {\em Cohomologie galoisienne}, Lecture notes in Mathematics {\bf 5}, 
Cinqui\`eme \'edition (1994), Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, New York.

\bibitem{U} K. Ueno,  {\em Classification theory of algebraic varieties and compact complex
spaces}, Notes written in collaboration with P. Cherenack, Lecture Notes in Mathematics {\bf 439},
Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, New York, 1975.

\bibitem{W} E. Witt, \"Uber ein Gegenbeispiel zum Normensatz, Math. Z. {\bf 19} (1935) 462--467, Gesammelte Abhandlungen,
Springer (1998) S. 63--68.

\end{thebibliography}

\noindent
CNRS, UMR 8628, Math\'ematiques, B\^atiment 425, Universit\'e Paris-Sud,
F-91405 Orsay, France
\medskip

\noindent jlct@math.u-psud.fr







\end{document}

 
1310.5402.extracted_bib
\begin{thebibliography}{99}


\bibitem{C} F. Campana, Remarks on an example of K. Ueno, Series of congress reports,
{\em Classification of algebraic varieties}, Ed. : C. Faber, G. van der Geer and E. Looijenga, 
Soci\'et\'e math\'ematique europ\'eenne, 2011, 115--121.

\bibitem{COT} F. Catanese, K. Oguiso et T. T. Truong, Unirationality of Ueno--Campana's threefold,
{ \tt{arXiv:1310.3569v1}} [mathAG].

\bibitem{CT} J.-L. Colliot-Th\'el\`ene,
Birational invariants, purity and the Gersten conjecture, in  {\em K-Theory and Algebraic Geometry: Connections with Quadratic Forms and Division Algebras}, AMS Summer Research Institute, Santa Barbara 1992, ed. W. Jacob and A. Rosenberg, Proceedings of Symposia in Pure Mathematics {\bf 58}, Part I (1995) 1--64.


\bibitem{CTO} J.-L. Colliot-Th\'el\`ene et M. Ojanguren, 
Vari\'et\'es   unirationnelles non rationnelles: au-del\`a de l'exemple d'Artin-Mumford, Invent. math. {\bf 97} (1989) 141--158.


\bibitem{GSz} P. Gille et T. Szamuely, {\em Central simple algebras and Galois cohomology},
Cambridge studies in advanced mathematics {\bf 101}, 
 Cambridge University Press, Cambridge, 2006. 

\bibitem{GB} A. Grothendieck,  Le groupe de Brauer, in 
{\em Dix expos\'es sur la cohomologie
des sch\'emas}, 46--188, North-Holland, 1968.

\bibitem{OT} K. Oguiso et T. T. Truong, Explicit Examples of rational and Calabi-Yau threefolds with primitive automorphisms of positive entropy,
{\tt {arxiv.org/abs/1306.1590v3}}  [math.AG].

\bibitem{S} J-P. Serre, {\em Cohomologie galoisienne}, Lecture notes in Mathematics {\bf 5}, 
Cinqui\`eme \'edition (1994), Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, New York.

\bibitem{U} K. Ueno,  {\em Classification theory of algebraic varieties and compact complex
spaces}, Notes written in collaboration with P. Cherenack, Lecture Notes in Mathematics {\bf 439},
Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, New York, 1975.

\bibitem{W} E. Witt, \"Uber ein Gegenbeispiel zum Normensatz, Math. Z. {\bf 19} (1935) 462--467, Gesammelte Abhandlungen,
Springer (1998) S. 63--68.

\end{thebibliography}