1406.1950.tex
\documentclass[a4paper,12pt,babel]{article}
\usepackage[russian]{babel}
\usepackage[active]{srcltx}

\textwidth15cm \textheight22.5cm \topmargin-0.5cm \oddsidemargin0cm
\evensidemargin0cm


\usepackage{amssymb}% ��� ������������� ������� \mathbb{}


\newenvironment{proof}
{\par\noindent{\bf ��������������.}} % ������� ��� \begin
{\hfill$\scriptstyle\blacksquare$}   % ������� ��� \end
%\newtheorem{proof}{��������������}


%\newcounter{MYc}
%\def\MYth{\addtocounter{MYc}{1}\par{\bf ������� \Alph{MYc}.\\}}

\newcounter{eq}%[section]
\renewcommand\theeq{\thesection.\arabic{eq}}
\newenvironment{eq}
{ $$ \refstepcounter{eq}} {\eqno(\theeq) $$ }

\newtheorem{prob}{Problem}
\newtheorem{defn}{�����������}
\newtheorem{theo}{�������}
\newtheorem{lem}[theo]{�����}
\newtheorem{rem}[theo]{���������}
\newtheorem{co}[theo]{���������}
\newtheorem{prop}{��������}
\newtheorem{example}{������}

\newcommand{\rf}[1]{(\ref{#1})}
\newcommand{\numer}[1]{%(#1) \quad
\label{#1}}
\newcommand{\bibl}[1]{\bibitem{#1}}%  (#1)}

\newcommand{\de}{\Delta}
\newcommand{\la}{\lambda}
\newcommand{\ep}{\varepsilon}
\begin{document}
��� 517.518.36
%
\vskip10pt
\begin{center}
\bf{\Large{ ���� ������� �������������� ���������� }}
\end{center}
\begin{center}
\bf{\Large{ ������� �  �� ���������� � ���������  }}
\end{center}

\begin{center}
\bf{\Large{   ������������� ����� }}
\end{center}

\begin{center}
 �.�. �����
\end{center}
%\begin{center}
%\bf{\Large{  }}
%\end{center}

%\hskip20pt
%
\abstract{� ������ ����������� ������ �������������� ������������ �� $\mathcal P$-����� ���������������� ���������� ������� �� �� ����������� �� $\mathcal P$-����� ����������������. ���������� ������� ��������� � �������� �������������� ������� ����� ��  �������� ����� � ������.}
\vskip20pt

%\section{\numer{1} ��������.}
%������ ������������� ���� �� ��������� ������� ������� �� ����� ���� ���� ���������� ���� (�����, �.�. � �.�.) ��� ������� ��������� ������� ����� ������� ������. ���,  ����� ������������ ���� �� ������� �����, ���������� ������� ����� ��� �� ������� ������. �������� �������� ��� �� ������� ����� �� ������ ������������ ����, ���������� �.�. � 0, (��� �������� ���� ����� ��. �������� \cite{Sk}), ������������� ��� ����������� �������������� ���� �.�. ����������� � $f(x)$ ��� �������������� ������� ����� �� ��������. ��� ������� �������������� ��������� ��������� ������: �� ������� �� ����� ����� $f(x)$ ���� ���? ���� �� ������� $f(x)$ �� ������������ �� ������, �� ����� ������������� ����� ������� ���������, �� ������� $f(x)$ ����� ������������. ����� ����� ����� ����� ��������������� ����� ��������� ����� ����� ����� �������. �������� ��� ��������� ������� �� ��������� ������� ���� ���������� � \cite{GG95} ���� ��������, ��� ���� ������� ��� �� ������� ����� �.�. �������� � ������� $f(x)$,  �� ���� ��� �������� ����� ����� � ������ ���������� ��������� $A$ ���������. � \cite{K03}  ������, � ���������, �������, ��� ����������� ������� ����� ����� ��� ���������� ������� ����� � ������� ������. �����, � ���������, �� ���������� �������������� ����������� ������� ��� ������� ����� �� ���������� ������� ����� ��� ����� �������� ���������.

�� ������ ������������������ ����� ������ ��������, ��� �� ���������� ������������������� ���� ����� ����� � ���� �� �������, ��� ��� ������������ ����� ���� ����� ���� (��. \cite{bari}, ���. 804). ����� �� �������� ����� ����� ��� ������ ������������ ������, �������� ��� ����� �� �������� �����, �����, ��������� .

� ������� \cite{Al}, \cite{GG89} ������� ���� ����������� ������� �������������� ��� ����� ����� ���������� ��� ������������� ������������������ �����. �������, ��� ��� ���� ���� �������� �������������� ������� �� ���. ����� �� �� ������������� �� �����, ��������� ���������� ��������� ������ �������� ����� �� �������� �����, �����, � ����� �� ���������. ������� ������, ��� ����������� ������� ��� ������� ������������������ ����� ����������� � ������� \cite{GG93},\cite{G94}.

����� $\mu(A)$ ������������ ��������� ���� ��������� $A$. �������� ����������� $A$-���������.
\begin{defn}������� $f:[0,1]\rightarrow \mathbb{R}$ ���������� $A$-�������������, ����
$$\lim_{\lambda\rightarrow\infty}\lambda\mu\{x\in[0,1];|f(x)|> \lambda\}=0,  $$
 � ���������� ������
$$\lim_{\lambda\rightarrow\infty}\int_0^1[f(x)]_\lambda dx=:(A)\int_0^1f(x)dx,$$
���
$$[f(x)]_\lambda =
\left\{\begin{array}{ll}
f(x),  \ \hbox{���}\ |f(x)|\leq \lambda\\
0, \ \ \quad \hbox{���}\ |f(x)|> \lambda.
\end{array}
\right.$$
\end{defn}

��� ����� �� ������� ����� �.�. ���������� \cite{GG95}, � ���������, �������� ���������

\begin{theo}\label{thGG}
����� ��� �� ������� �����
\begin{equation}\label{1}
\sum_{n=1}^\infty a_n\chi_n(x)
\end{equation}
����� ����� ����������� � $f(x)$ �
\begin{equation}\label{2}
\lim_{\lambda\rightarrow\infty}\lambda\mu\{x\in[0,1];S^*(x)>\lambda\}=0,
\end{equation}
��� $S^*(x)$ ��������� ������� ���� ���� \rf{1}. ����� ��� \rf{1} ��������  ����� �����-����� � ������ $A$-��������������, �.�.
$$a_n=(A)\int_0^1f(x)\chi_n(x)dx.$$
\end{theo}

�������, ��� �� ������� \ref{thGG} �������:\\
1) ���� ��� \rf{1}  �.�. �������� � ���� � ����������� \rf{2}, �� ��� ������������ $a_n$ ����� ����;\\
2) ���� ��� \rf{1}  �.�. �������� � ������������� �� ������ ������� $f$ � ����������� \rf{2}, �� \rf{1} �������� ����� �����-����� ������� $f$.\\

������� \ref{thGG} �. �������� \cite{K03} ���� �������������� �� ���� �� ���������� ������� �����  � ������� ������ (��. �����������  ����). �������� ������� ������ ��� ���������� ������� ����� ��������� ������������������� $P=\{p_n\}_{n=1}^\infty, $ ��� $\sup p_n<\infty.$ ������� $m_n=\prod_{i=1}^np_i$ � $S^*(x)=\sup_{n\in\mathbb{N}}|S_{m_n}(x)|.$ ��� ����� ������ �. ������ \cite{K03} ������� ��������� �������.

\begin{theo}\label{thK03}
����� ������������������ ������� ���� $S_{m_n}(x)$ ���� �� ������� ������ ��� �� ���������� ������� ����� ����� ����� �������� � ������� $f(x)$ � ���������� ��������� ������������������  $\{\lambda_n\}_{n=1}^\infty$ ��� �������
$$\lim_{k\rightarrow\infty}\lambda_k\mu\{x\in[0,1];S^*(x)>\lambda_k\}=0.$$
����� $n$-�� ����������� ������� ���� �����������������   �� �������
$$a_n=\lim_{m\rightarrow\infty}\int_0^1\left[f(x)\overline{\chi_n(x)}\right]_{\lambda^n_m}dx,$$
��� $\lambda_m^n=\lambda_m\|\chi_n\|_\infty,$ � ������ ���� �� ���������� ������� ����� $\chi_n(x)$ �
$$b_n=\lim_{m\rightarrow\infty}\int_0^1\left[f(x)\overline{\psi_n(x)}\right]_{\lambda_m}dx,$$
� ������ ���� �� ������� ������ $\psi_n(x)$.
\end{theo}

� ��������� ������ �� ���������  ��� �������, ������������ ����� ������� $A\mathcal H$-��������, �������� �. ������� \cite{Y I}.\\\\


����� ���������  ����������� ����������� � ������ �����������. ��� ���������������� �������
$f(x)$ ��������� ������ ��������������� �������� $\lambda(x)$ ��������� �������
$$[f(x)]_{\lambda(x)}=\left\{
\begin{array}{cc}
f(x),& |f(x)|\leq \lambda(x)\\
0,&|f(x)|>\lambda(x).
\end{array}
\right.$$
\begin{defn}(\cite{Y I},\cite{Y II})
����� $\mathcal H=\{h_n(x)\}_{n=1}^\infty$ ������������������ �������������������� ������������� �� ������ �� $[0,1]$ ������� �����, ��� �.�. �����������
$$
0\leq h_1(x)\leq h_2(x)\leq\dots\leq h_n(x)\leq\dots, \ \lim_{n\rightarrow\infty}h_n(x)=\infty.
$$
����� $f(x):[0,1]\rightarrow C$ ���������� $A\mathcal H$������������� �� $[0,1],$ ����
$$\lim_{n\rightarrow\infty}\int_{\{x\in[0,1];|f(x)|\geq\alpha h_n(x)\}}h_n(x)dx=0, \ \textrm{��� ����}\ \alpha>0$$
� ���������� ������
$$\lim_{n\rightarrow\infty}\int_0^1[f(x)]_{h_n(x)}dx=:(A\mathcal H)\int_0^1f(x)dx,$$
������� � ����������  $A\mathcal H$-���������� ������� $f(x).$
\end{defn}

���� $h_n(x)\equiv n,$ �� �������������� ��������� ������� $A$-��������, � ���� �� $h_n(x)\equiv \lambda_n,$ ��� $\Lambda:=\{\lambda_n\}_{n=1}^\infty$ ������������ � ������������� ������������������, ����� ���������� ��������� $A$-���������, ������� ��������� ����� $A\Lambda$-��������.\\

���������� ����� �������� ����������� $A\mathcal H$ ��������� ��� ���������������� ������� $f(x),$
������������ �� ��������������� $I\subset R^n.$
\begin{rem}���� ��� ������� $f:I\rightarrow C$ ���������� ����� ������������������ ������������ ������� $\mathcal H=\{h_n(x)\}_{n=1}^{\infty},$ ���
\begin{equation}\label{H-G}
\lim_{n\rightarrow\infty}\int_{\{x\in I;|f(x)|\geq h_n(x)\}}h_n(x)dx=0,
\end{equation}
� ���������� ������
$$\lim_{n\rightarrow\infty}\int_I[f(x)]_{h_n(x)}dx,$$ ����� ���������� ������������������ ������� $\mathcal G$ �����, ��� ������� $f(x)$ $A\mathcal G$ ������������ �
\begin{equation}\label{H-G2}
\lim_{n\rightarrow\infty}\int_I[f(x)]_{h_n(x)}dx=(A\mathcal G)\int_{I}f(x)dx.
\end{equation}
\end{rem}

�������������, �� ������� \rf{H-G} �������, ��� ����������  ����������� ������������������ $\{\alpha_n\}_{n=1}^\infty,$ ���������� � $+\infty$ �����, ���
\begin{equation}\label{H-G-al}
\lim_{n\rightarrow\infty}\alpha_n\int_{\{x\in I;|f(x)|\geq h_n(x)\}}h_n(x)dx=0.
\end{equation}
��������� $g_n(x)=\alpha_n h_n(x),$ �������, ��� ��� ������ $\alpha>0,$ $\alpha g_n(x)>h_n(x),$ ��� ���������� ������� $n$, � �������������
$$
0\leq \lim_{n\rightarrow\infty}\int_{\{x\in I;|f(x)|\geq \alpha g_n(x)\}}g_n(x)dx\leq
\lim_{n\rightarrow\infty}\alpha_n\int_{\{x\in I;|f(x)|\geq h_n(x)\}}h_n(x)dx=0.$$
����� ����, �� \rf{H-G-al} �����
$$\left|\int_I[f(x)]_{h_n(x)}dx-\int_I[f(x)]_{g_n(x)}dx\right|\leq\int_{\{x\in I;|f(x)|\geq h_n(x)\}}g_n(x)dx\rightarrow0,$$
������������� ����������� \rf{H-G2}.\\



����� $P^j=\{p^j_i\}_{i=1}^\infty, 1\leq j \leq d$ ������������������ ����������� �����, �������� �� 1 �
$\mathcal P=\{P^j\}_{j=1}^d$. �������
$m^j_0=1$ � $m^j_k=\prod_{i=1}^kp^j_i.$
%������� $[n/m^j_k,(n+1)/m^j_k], n\in Z$ ������� ��������� ����� $k.$
����� $\Lambda^d_k$ ��������� ��������� ���� $\mathcal P$-����� ���������������� ����� $k$, �.�.

$$\Lambda^d_k=\left\{I;I=\left[\frac{n_1}{m^1_k},\frac{n_1+1}{m^1_k}\right]\times\ldots\times
\left[\frac{n_d}{m^d_k},\frac{n_d+1}{m^d_k}\right], n_1,\ldots,n_d\in Z\right\},$$
� ����� ����� ������, ��� $r(I)=k, $ ���� $I\in\Lambda^d_k.$

����� $\Lambda^d=\cup_{k\in Z_+}\Lambda^d_k,$ ��� $Z_+=\{0\}\cup N.$ ����������������� ������� $\Psi,$ ������������ �� ��������� $\Lambda^d,$ ������� ���������� ��������
�� $\mathcal P$-����� ����������������, ���� ��� ���� $I, I_1,\ldots, I_n\in\Lambda^d,$ ��� ������� $I=\cup_{i=1}^nI_i$ � $ \hbox{int}\,(I_i)\cap \hbox{int}\,( I_j)=\emptyset, i\neq j,$ ����� �����
$$\Psi(I)=\sum_{i=1}^n\Psi(I_i).$$

����� $x\in R$ ������� �������������� ������������ ������������������ $\{p_i\}_{i=1}^\infty$, ���� $x\cdot \prod_{i=1}^np_i\not\in Z,$ ��� ���� $n\in N.$
����� $x=(x_1,\ldots, x_d)\in R^d$ ������� $\mathcal P$-���� ��������������, ���� ��� ���� $1\leq j\leq d,$ ����� $x_j$ ������������� ������������ ������������������ $P^j.$ \\

��� $\mathcal P$-���� �������������� ����� $x=(x_1,\ldots, x_d)\in R^d$ ��������� ����������� $\Psi'(x)$ � ��������� $\Psi^*(x)$  ��������� �������:
$$\Psi'(x)=\lim_{k\rightarrow\infty \atop{x\in I_k\in\Lambda^d_k}}\frac{\Psi(I_k)}{\mu(I_k)}, \ \Psi^*(x)=\sup_{I:x\in I\in\Lambda^d}\frac{|\Psi(I)|}{\mu(I)}.$$
\\\\

� ��������� ������ ��� ����� ������������ $A\mathcal H$-��������� �� �������� ������� ��������������� ��������� ��������.\\
����������� ��������� $I_0\in\Lambda^d. $
 ����� ������� $h_i(x):I_0\rightarrow R$ �����, ���
\begin{equation}\label{h1}
0\leq h_1(x)\leq h_2(x)\leq\dots\leq h_m(x)\leq\dots, \ \lim_{m\rightarrow\infty}h_m(x)=\infty
\end{equation} � ���������� ���������� $C>0$ � ��� ������� $m\in\mathbb N$ ����� ��������������� $I^m_1,\dots,I^m_{n_m}\in\Lambda^d,$ ��� $\hbox{int}\,( I^m_i)\cap\hbox{int}\,( I^m_j)=\emptyset, i\neq j$
� $\cup_{k=1}^{n_m}I^m_k=I_0,$ ��� �������
\begin{equation}\label{h2}
\sup_{x\in I^m_k} h_m(x)\leq C\inf_{x\in I^m_k}h_m(x),\
%\textrm{��� ����}\ m\in \mathbb N,1\leq k\leq n_m,
\end{equation}
 ���  ���� $ m\in \mathbb N,\ 1\leq k\leq n_m,$ �
\begin{equation}\label{h3}
\inf_{m,k}\int_{I^m_k}h_m(x)dx>0.
\end{equation}
����� ������, ��� ������ ������� ����� �������������� $I_0$ ���������� �� ��������� "�������" \  , �� ������ �� ������� ��� ������� ��������� �������� ������������� ���� �����, a ��������� �� ���� "��������"  \ ������ ��������� ������������� ����������. \\

\begin{theo}\label{theorem psi}����� ������������������ ������� $h_n(x)$ ������������� �������� \rf{h1},\rf{h2},\rf{h3}, � $\Psi$ ���������������� ��������� �������
������������ �� $\mathcal P$-����� ����������������, ��� $\mathcal P=\{P^j\}_{j=1}^d, P^j=\{p^j_i\}_{i=1}^\infty$ �
\begin{equation}\label{M}
\sup_{i\in N, 1\leq j \leq d}p^j_i<\infty.
\end{equation}
 ����
\begin{equation}\label{int h}
\lim_{m\rightarrow\infty}\int_{\{x\in I_0;\Psi^*(x)>h_m(x)\}}h_m(x)dx=0
\end{equation}
�  �.�. ���������� $\Psi'(x),$ ����� ��� ������� $I\in\Lambda^d,$ $I\subset I_0,$ ����� �����
$$\Psi(I)=\lim_{m\rightarrow\infty}\int_{I}\left[\Psi'(x)\right]_{h_m(x)}dx.$$
\end{theo}


\begin{proof}
��� ����������� �������� ����� �������, ��� $I=I_0=[0,1]^n.$
����� $I_{ki},$$\ i=1,2, \ldots,\prod_{j=1}^dm_k^j, $ ���� ��� ��������������� ����� $k$ �� $[0,1]^n.$
���������
\begin{equation}\label{psi k def}
\Psi_k(x)=\frac{\Psi(I_{ki})}{\mu(I_{ki})}, \ \textrm{���} \ x\in \hbox{int}\,(I_{ki}).
\end{equation}
����, ��� �.�. ���������� ������
\begin{equation}\label{psi k a.e.}
\lim_{k\rightarrow\infty}\Psi_k(x)=\Psi'(x)=:f(x).
\end{equation}
������ ��������� �����������:
$$M=\sup_{i\in N, 1\leq j \leq d}p^j_i, \ \la^m_k=\inf_{x\in I^m_k}h_m(x)\ \textrm{ �} \ \ep_0=\inf_{m,k}\la^m_k\mu(I^m_k).$$
�� \rf{h2}, \rf{h3} ��������, ��� $\ep_0>0.$
������� $\ep<M^{-d}\ep_0.$
�� ������� \rf{int h} �������, ��� ��� ���������� �������� $m$ ����� �����
\begin{equation}\label{int hm ep}
\int_{E_m}h_{m}(x)dx<\ep,\ \textrm{���}\ E_m=\{x\in[0,1]^d;\Psi^*(x)>h_{m}(x)\}.
\end{equation}
������������� �� \rf{h2} �����
\begin{equation}\label{laep}
\sum_{k=1}^{n_m}\la^m_k\mu\{x\in I^m_k,\Psi^*(x)>C\la^m_k\}<\ep.
\end{equation}
����������� $m$ � ����� $k_0$ ��������� ���������� ���� ���������������� $I^m_k,$ �.�.
$$k_0=\max_{1\leq k\leq n_m} r(I^m_k)%=\max\{j;\exists k, 1\leq k\leq n_m,\ s.t. \ I^m_k\in \Lambda^d_j\}
.$$
��������� $\tilde\Psi_{k_0}(x)=\Psi_{r(I^m_k)}(x),$ ��� $x\in I^m_k.$ �������� ���������, ��� $|\tilde\Psi_{k_0}(x)|\leq C\lambda^m_k,$ ����� $x\in I^m_k.$
�������������, � ��������� ������ ���������� $k', 1\leq k' \leq n_m,$ ����� ��� $|\tilde\Psi_{k_0}(x)|> C\lambda^m_{k'},$ ��� ���� $x\in I^m_{k'},$ ��� ��� $\tilde\Psi_{k_0}(x)$ �������� ����������
�� ������ $I^m_k.$ �������������, �� $\rf{laep}$ � ����������� $\ep_0$ ����� ����� $\ep>\la^m_{k'}\mu(I^m_{k'})\geq\ep_0,$ ��� ������������ ������ $\ep.$\\
%����� $I$ ���� �� ����������������, �� ������� �������  $\tilde\Psi_{k_0}(x)$ �������� ����������.
%�����
����� $I^m_1$  ������������ � ���� ����������� ���������������� $I_1, \ldots, I_s$ ����� $r(I^m_1)+1.$
���� $|\Psi_{r(I^m_1)+1}(x)|$ �� ����������� $C\la^m_1$ �� ������ $I_j, j=1,\ldots, s,$ �� �� ��������������� $I^m_1$ ������� $\tilde\Psi_{k_0+1}(x)=\Psi_{r(I^m_1)+1}(x),$ � ������ �� ���������������� $I_1, \ldots, I_s$ ������� ���������������� ������� ������ ��� $\tilde\Psi_{k_0+1}(x).$ � ��������� ������ ������� $\tilde\Psi_{k_0+1}(x)=\Psi_{r(I^m_1)}(x)$ �� $I^m_1$, � ������� $I^m_1$ ���������������� ������� ������ ��� $\tilde\Psi_{k_0+1}(x).$ ���������� ��������� ����� ������� ���������������  $I^m_2,\ldots , I^m_{n_m},$ � ����� ���������  $\tilde\Psi_{k_0+1}(x)$ ��  ������ �� ���� ����������������, �.�. �� $I^m_2,\ldots , I^m_{n_m}.$ \\

�������� $\tilde\Psi_{k_0+l}(x)$ ����������. ��������� $\tilde\Psi_{k_0+l+1}(x)$ ��������� �������.
��������������� ������� ������ ��� $\tilde\Psi_{k_0+l}(x)$, ���������  ����������������� ������� ������ ����� ��� $\tilde\Psi_{k_0+l+1}(x), $ � ������� $\tilde\Psi_{k_0+l+1}(x)=\tilde\Psi_{k_0+l}(x)$
�� ���� ����������������. � ���� $I$ �������� ���������������� ������� ������ ��� $\tilde\Psi_{k_0+l}(x)$, �� ��������� ��������� �������. �������� $I$
������������� � ���� ����������� ���������������� $I_1, \ldots, I_s$ ����� $r(I)+1.$ ��� ����������� �������� ����� �������, ��� $I\subset I^m_1.$ ���� �� ������ $I_j, j=1,\ldots, s$ ������ �� $\Psi_{r(I)+1}(x)$ �� ����������� $C\la^m_1,$ �� ������� $\tilde\Psi_{k_0+l+1}(x)=\Psi_{r(I)+1}(x)$ �� $I,$ � ������ �� ���������������� $I_1, \ldots, I_s$ ������� ���������������� ������� ������ ���
$\tilde\Psi_{k_0+l+1}(x).$ � ��������� ������ ������� $I$ ���������������� ������� ������ ���
$\tilde\Psi_{k_0+l+1}(x)$, � �������  $\tilde\Psi_{k_0+l+1}(x)=\Psi_{r(I)}(x)$ �� $I.$

����, ������� $\tilde\Psi_{k_0+l}(x)$ �������� ���������� �� $\mathcal P$-����� ���������������� $I_1, \ldots, I_t$(������ ������, ������ ������) �
\begin{equation}\label{tildePsi}
\tilde\Psi_{k_0+l}(x)=\frac{\Psi(I_j)}{\mu(I_j)},\ \textrm{���}\ x\in\hbox{int}\,(I_j).
\end{equation}
�� ����������� ������� $\tilde\Psi_{k_0+l}(x)$ �������������
\begin{equation}\label{psi la}
|\tilde\Psi_{k_0+l}(x)|\leq C\lambda^m_k,\ \textrm{���}\ x\in\hbox{int}\,(I^m_k).
\end{equation}
����� $A_{k_0,l}$ ��������� ����������� ���� ����������������, ������� �������� ����������������� ������� ������ ���  $\tilde\Psi_{k_0+l}(x),$ � ����� $A_{k_0,l}^k=A_{k_0,l}\cap I^m_k.$ �������, ���
\begin{equation}\label{Ck0kl}
\mu(A_{k_0,l}^k)\leq M^d\mu\{x\in I^m_k; \Psi^*(x)>C\la^m_k\}.
\end{equation}
�������, ��� ��������� $A_{k_0,l}^k$ ��� ����������� ���������������� ������� ������ ���  $\tilde\Psi_{k_0+l}(x),$ ������� �������� �������������  $I^m_k.$ ������������� � ������ �� ���� ���������������� $I$ ���� ���� ���� �������������� $J_I, $ ����� ��� $r(J_I)=r(I)+1$ � $|\Psi_{r(J_I)}(x)|>C\la^m_k,$ ��� $x\in J_I.$ ������������� $\Psi^*(x)>C\la^m_k,$ ��� $x\in J_I.$
������� �����, ��� �� ����������� �������� $M$ �������, ��� $\mu(I)\leq M^d\mu(J_I),$ ������  �������
$$\mu(A_{k_0,l}^k)=\sum\mu(I)\leq M^d\sum\mu(J_I)\leq M^d\mu\{x\in I^m_k; \Psi^*(x)>C\la^m_k\}.$$
�������� � ���������� ��������� ��������:
$$\left|\Psi(I_0)-\int_{I_0}\left[\Psi'(x)\right]_{h_{m}(x)}dx\right|\leq
\sum_{k=1}^{n_m}\left|\int_{I^m_k}\tilde\Psi_{k_0+l}(x)dx-\int_{I^m_k\backslash E_m}\Psi'(x)dx\right|
+\int_{E_m}h_m(x)dx
$$
$$\leq \sum_{k=1}^{n_m}\left|\int_{(I^m_k\backslash E_m)\cap A_{k_0,l}^c}\left(\tilde\Psi_{k_0+l}(x)-\Psi'(x)\right)dx\right|+\int_{E_m}\left|\tilde\Psi_{k_0+l}(x)
\right|dx+
$$
$$\sum_{k=1}^{n_m}\int_{(I^m_k\backslash E_m)\cap A_{k_0,l}}\left(\left|\tilde\Psi_{k_0+l}(x)\right|+\left|\Psi'(x)\right|\right)dx+\int_{E_m}h_m(x)dx =I_1+I_2+I_3+I_4.$$
�� \rf{psi la} � ����������� $\la^m_k$ �����, ��� $I_2\leq CI_4,$ ������������� �� \rf{int hm ep} �������
\begin{equation}\label{I2I4}
I_2+I_4<(C+1) \ep.
\end{equation}
��� $x\in I^m_k\backslash E_m$ �����
\begin{equation}\label{Clamk}
|\Psi'(x)|\leq\Psi^*(x)\leq h_m(x)\leq C\la^m_k.
 \end{equation}
 ������������� ��  \rf{psi la} � \rf{Ck0kl} �������
$$
I_3\leq\sum_{k=1}^{n_m}2C\la^m_k\mu(A_{k_0,l}^k)\leq 2CM^d\sum_{k=1}^{n_m}\la^m_k\mu\{x\in I^m_k; \Psi^*(x)>C\la^m_k\},
 $$
������ �������� $\rf{laep}$ ������� ��������� ������ ��� $I_3$

\begin{equation}\label{I3}
I_3\leq2CM^d\ep.
\end{equation}
�������� ������� $I_1.$ �� \rf{psi k a.e.} �������, ��� ���������� $l_0,$ ����� ��� ��� �������
$l'>l_0$ ����� �����
\begin{equation}\label{Bk0l}
\mu\{x\in I^m_k, \left|\Psi_{k_0+l'}(x)-\Psi'(x)\right|\geq \ep\}<\frac{\ep}{\la^m_kn_m}.
\end{equation}
�����e� $l$ ���, ����� ��� ������ $k$ ����������� ����������� $r(I^m_k)+l>k_0+l_0,$ ��� ���� $k=1,2,\ldots n_m.$ ���������
$$B_{k_0,l}^k=\{x\in I^m_k;\left|\Psi_{r(I^m_k)+l}(x)-\Psi'(x)\right|\geq \ep\}, \ \ B_{k_0,l}=\cup_{k=1}^{n_m}B_{k_0,l}^k.$$
�������, ��� �� \rf{Bk0l} �������, ��� $\mu(B_{k_0,l}^k)<\ep/(\la^m_kn_m),$ ������,
��������, ���  $\tilde\Psi_{k_0+l}(x)=\Psi_{r(I^m_k)+l}(x),$ ��� $x\in I^m_k\cap A_{k_0,l}^c, $ � ����������� \rf{psi la}, \rf{Clamk}, �������
$$
I_1\leq \sum_{k=1}^{n_m}\int_{((I^m_k\backslash E_m)\cap A_{k_0,l}^c)\backslash B_{k_0,l}}\left|\tilde\Psi_{k_0+l}(x)-\Psi'(x)\right|dx+
$$$$
\sum_{k=1}^{n_m}\int_{((I^m_k\backslash E_m)\cap A_{k_0,l}^c)\cap B_{k_0,l}}\left(\left|\tilde\Psi_{k_0+l}(x)\right|+\left|\Psi'(x)\right|\right)dx
\leq \ep\mu(I_0)+\sum_{k=1}^{n_m}2C\la^m_k\frac{\ep}{\la^m_kn_m}.$$
���� ����� $I_1\leq (2C+1)\ep.$ ��������� ��� ������ ������ � ��������  \rf{I2I4}, \rf{I3}, ����� �����, ��� ��� ���������� ������� $m$
$$\left|\Psi(I_0)-\int_{I_0}\left[\Psi'(x)\right]_{h_{m}(x)}dx\right|<(3C+2+2CM^d)\ep.$$
������� \ref{theorem psi} ��������.


\end{proof}

\begin{rem}\label{rem extend}
�����  ���������������� ��������� ������� $\Psi$,
������������ �� $\mathcal P$-����� ����������������, ����� ���������� ��������� �������.
����� $$I=\left[\frac{n_1}{m^1_{k_1}},\frac{n_1+1}{m^1_{k_1}}\right]\times\ldots\times
\left[\frac{n_d}{m^d_{k_d}},\frac{n_d+1}{m^d_{k_d}}\right],$$
����� ���������� $I_1,\ldots, I_s\in\Lambda^d,$ ��� $\hbox{int}\,(I_i)\cap \hbox{int}\,(I_j)=\emptyset,$
��� $i\neq j$, � $I=\cup_{i=1}^sI_i.$ ������� $\Psi(I)=\sum_{i=1}^s\Psi(I_i).$ ��������, ��� ��������� ������� \ref{theorem psi} ��������� ������ ��� ����� $I.$
\end{rem}
\begin{rem}
��� ���������� ������� \rf{M} �����, ��� ������������������ ������� $\Psi_k(x)$ ������������ � \rf{psi k def} �������� ���������� �����������. ������������� �������� ������� �. ��� (��. \cite[�.~242]{G66} �
\cite{Ch62}) ������������������ $\Psi_k(x)$ ����� ��������� �.�. �� ���������, ��� ���� $\limsup_{k\rightarrow\infty}\Psi_k(x)<+\infty, $ ���� $\liminf_{k\rightarrow\infty}\Psi_k(x)>-\infty,$ ��� ����� �� ���������, ��� $\sup_k|\Psi_k(x)|<+\infty.$  ������ ����� �����, ��� ��� ���������� ������� \rf{int h} ������������������ $\Psi_k(x)$ �������� �.�., �.�. ������� ������������� �.�. $\Psi'(x)$ � ������� \ref{theorem psi} � �.�. ����������  ���� � ������� \ref{theo multy haar} ���� �� �����������.

\end{rem}



�������, ��� ���� � ������� \ref{theorem psi} $p_i^j=2,$ ��� ���� $i\in N,1\leq j\leq d,$  � �������
$h_m(x)\equiv \lambda_m$ ������� ��������� ������� %3
 ���������� �. ���������� � \cite{GG95}:
\begin{theo}\label{col lambda}
����� $\Phi$ ��������� ������� ������������ �� �������� �����. ���� ���������� ������������������
$\lambda_m\uparrow\infty$, ���
\begin{equation}\label{lamda m}
\lim_{m\rightarrow\infty}\lambda_m\mu\{x\in I_0; \Phi^*(x)>\lambda_m\}=0,
\end{equation}
� �.�. ���������� $\Phi'(x),$ �� ��� ������� ��������� ���� $I\subset I_0$ ����� ����� ��������� �������
$$\Phi(I)=\lim_{m\rightarrow\infty}\int_I\left[\Phi'(x)\right]_{\lambda_m}dx.$$
\end{theo}




�������� ������ ���������� ������� ������������ �� $[0,1]$, ��� ������� ��������������� ������� ������� \ref{theorem psi} ��� ��������� ������������������ ������� $\mathcal H,$ ������, ��������� ������� �� ������������� ������� \rf{lamda m} ������� \ref{col lambda}, ����� ����, ���������� ��������� ������� $[0,1]$ �� ��������� ��������, �� ������ �� ������� ��������������� \rf{lamda m}.



����� $\{\chi_n(x)\}_{n=1}^\infty $ ������� ����� (��. \cite{KS}, ���. 70).
������� ����� ������������� ��������� ���� ������� �� ���������� �������. ���� $n=2^k+i,$ $i=1,2,\ldots,2^k,$ $k\geq 0,$ �� ���������� $\chi_k^{(i)}(x):=\chi_n(x)$ � $\chi_0^{(0)}(x):=\chi_1(x).$ � ����� ������������ ��� $\chi_k^{(i)}(x)$ �����
$$\chi_k^{(i)}(x)=\left\{
\begin{array}{lll}
0, &\ \hbox{���} & x\not\in[\frac{i-1}{2^k},\frac i{2^k}]; \\
2^{\frac k 2}, &\ \hbox{���} & x\in(\frac{i-1}{2^k},\frac {2i-1}{2^k}); \\
-2^{\frac k 2}, &\ \hbox{���} & x\in(\frac {2i-1}{2^k},\frac{i}{2^k}).
\end{array}
\right.$$
�������� ������� $\chi_k^{(i)}(x)$ � ������ ������� ��������� ��������� ������������� ��������, ������, ��� ��� �� ����� �������� � ���� ������, ��� ��� � ������������ ��� ����� �������� ��������� ���� ����.
\begin{example}
���������
$$k_n=\frac{n(n-1)}{2} \ \textrm{ �}\ \alpha(n,i)=\left(1-\frac1{2^{i-1}}\right)2^{k_n+i}+1.$$ ���������� ��������� ���
\begin{equation}\label{haar series}
f(x)=\sum_{n=1}^\infty\sum_{i=1}^n2^{\frac{k_n+i}2}\chi_{k_n+i}^{\alpha(n,i)}(x)=
\sum_{n=1}^\infty a_n\chi_n(x).
\end{equation}
��������� $j\in N.$
����, ���
$$2S^*f(x)\geq\left|2^{\frac{k_n+i}2}\chi_{k_n+i}^{\alpha(n,i)}(x)\right|,\ \textrm{��� �����}\ i=1,\ldots,n,\ n\in N,$$
��� $S^*(x)$ ��������� ������� ���� ���� \rf{haar series}. �������������
\begin{equation}\label{S^*}
\mu\left\{x\in\left[1-\frac1 {2^j},1\right];S^*(x)>2^m\right\}\geq
\end{equation}
$$\mu\left\{x\in\left[1-\frac1 {2^j},1\right];\left|2^{\frac{k_n+i}2}\chi_{k_n+i}^{\alpha(n,i)}(x)\right|>2^{m+1}\right\},
$$
$\ \textrm{��� �����}\ i=1,\ldots,n,\ n\in N.$
������� �����, ���
\begin{equation}\label{supset}
\left[1-\frac1{2^{n-1}},1-\frac1{2^{n}}\right)
\supset \hbox{supp}\ \chi_{k_n+n}^{\alpha(n,n)}
\supset \hbox{supp}\ \chi_{k_{n+1}+n}^{\alpha(n+1,n)}\supset
\end{equation}$$
\supset \hbox{supp}\ \chi_{k_{n+2}+n}^{\alpha(n+2,n)}\ldots
\supset \hbox{supp}\ \chi_{k_{n+l}+n}^{\alpha(n+l,n)}\ldots\ .
$$
�� ����������� $k_n$ �������, ��� ����� ����������� �����, � ��������� $m+2,$ ����� ���� ������������ � ���� $k_n+i, $ ��� $1\leq i\leq n.$
��������� $i'=\max(i,j+1),$ �� \rf{supset} �������
$$\hbox{supp}\ \chi_{k_n+i'}^{\alpha(n,i')}(x)\subset \left[1-\frac1 {2^j},1\right] \
\textrm{�}\ \|2^{\frac{k_n+i'}2}\chi_{k_n+i'}^{\alpha(n,i')}\|_\infty=2^{k_n+i'}\geq 2^{m+2}.$$
�� ���������� � \rf{S^*} �������, ���
$$
\mu\left\{x\in\left[1-\frac1 {2^j},1\right];S^*(x)>2^m\right\}
\geq\mu\left(\hbox{supp}\ \chi_{k_n+i'}^{\alpha(n,i')}\right)=
\frac1{2^{k_n+i'}}\geq\frac1{2^{k_n+i+j}}.
$$
�������������
$$2^m\mu\left\{x\in\left[1-\frac1 {2^j},1\right];S^*(x)>2^m\right\}
\geq\frac1{2^{j+2}}.$$
������� ��� ������ $\lambda>1$ ����� �����
$\lambda\mu\left\{x\in\left[1-\frac1 {2^j},1\right];S^*(x)>\lambda\right\}
\geq\frac1{2^{j+3}},$ ��� ��������
$$\liminf_{\lambda\rightarrow\infty}\lambda\mu\left\{x\in\left[1-\frac1 {2^j},1\right];S^*(x)>\lambda\right\}
>0,$$
��� ���� $j\in \mathbb N$.\\
�� ����� �������, ��� ���������� ������� $[0,1]$ ��������� �� �������� ����� �������� $I_k,\ k=1,\ldots, s,$ ��� ����� ��� ������ $k$ ����� �����
$$\liminf_{\lambda\rightarrow\infty}\lambda\mu\left\{x\in I_k;S^*(x)>\lambda\right\}
=0,$$
��� ��� ����� ������� $j$ ��������� �������, ��� $\left[1-\frac1 {2^j},1\right]$ ������� ������������� ���� ������� $I_k$, �������� ����������� 1.
\\
��� ������� ��������� ������� $I,$ �.�. ������� ���� $[m/2^k,(m+1)/2^k],$ ���������
$$\Psi(I)=\lim_{N\rightarrow\infty}\int_I\sum_{n\leq N}a_n\chi_n(x)dx.$$

�������������� ������ ���������� ��� ���� �������� ���������� $I,$ ��� ��� ��� ���������� ��������
$N$(���������� �� $I$) ��������� �� $n$-�� ������� ����� �� $I$ ����� ��������� ����, ��� ���� $n\geq N$.  ������� �����, ��� ��� ������� �������������� ����� $x$
�� ����� �����, ��� $\Psi'(x)=f(x),$ � $\Psi^*(x)=S^*(x).$  ������������� ��� ������� ��������� ������� $[0,1]$ ���������� ������� $I_k,$ ���
$$
\liminf_{m\rightarrow\infty}\lambda\mu\{x\in I_k; \Psi^*(x)>\lambda\}>0.$$
\textsl{������� ������� \ref{col lambda} �� ����� ���� ��������� ��� �������������� ���������� ������� $\Psi$  �� $\Psi'(x)$.}\\

� ������ �������, ��������
$$h_n(x)=\left\{
\begin{array}{cc}
  2^{k_n+2}, & x\in\left[0,\frac12\right) \\
  2^{k_n+3}, & x\in\left[\frac12,\frac34\right) \\
  \vdots & \vdots \\
 2^{k_n+n+1}, & x\in\left[1-\frac1{2^{n-1}},1-\frac1{2^n}\right) \\
 2^n, & x\in \left[1-\frac1{2^{n}},1\right]
\end{array}
\right.$$
�������� ��������, ��� ������� $h_n(x)$ ������������� �������� \rf{h1}-\rf{h3}.
��� ���  ��� $x\in\left[1-\frac1{2^{j-1}},1-\frac1{2^j}\right),\ 1\leq j\leq n$ ����� �����
$$\sum_{n=1}^m\sum_{i=1}^n\left|2^{\frac{k_n+i}2}\chi_{k_n+i}^{\alpha(n,i)}(x)\right|\leq
2^{k_m+j+1}=h_m(x),$$
�� ����������� \rf{supset} �������, ���
$$\{x\in[0,1];S^*(x)>h_m(x)\}\subset\bigcup_{i=1}^m\hbox{supp}\ \chi_{k_{m+1}+i}^{\alpha(m+1,i)}\cup \bigcup_{i=m+1}^\infty\hbox{supp}\ \chi_{k_{i}+i}^{\alpha(i,i)}.$$
�������������
$$\int_{\{x\in[0,1];S^*(x)>h_m(x)\}}h_m(x)dx\leq
 \sum_{i=1}^m\int_{\hbox{supp}\ \chi_{k_{m+1}+i}^{\alpha(m+1,i)}}h_m(x)dx
+\sum_{i=m+1}^\infty\int_{\hbox{supp}\ \chi_{k_{i}+i}^{\alpha(i,i)}}h_m(x)dx
$$
$$=\sum_{i=1}^m2^{k_m+i+1}\cdot\frac1{2^{k_{m+1}+i}}+2^m\sum_{i=m+1}^\infty\frac1{2^{k_{i+1}}}
\leq \frac{2m}{2^m}+\frac{2^{m+1}}{2^{k_{m+1}}}\rightarrow0.$$
\textsl{��������� ��������, ��� ���  ���������� ������� $\Psi$ ����������� ��� ������� ������� \ref{theorem psi}, � ������������� ��� ����� ���� ������������� �� $\Psi'(x)$ ����������� $A\mathcal H$-���������.}
\end{example}






 ����� $P=\{p_i\}_{i=1}^\infty$
������������������ ����������� ����� �������� �� �������, $m_0=1,\ m_j=\prod_{i=1}^jp_j.$ �����
$P$-����� ���������� ����� $x\in[0,1)$  ����� ����� ���
\begin{equation}\label{P}
x=\sum_{j=1}^\infty\frac {x_j}{m_j},\qquad 0\leq x_j\leq p_j-1,\ x_j\in Z,
\end{equation}
� ��� ����, ����� ������ ����� $x\in[0,1)$ �������������� ������������ $P$-����� ���, ��� $P$-���� ������������ �����, �.�. ��� ����� ���� $l/m_n,$ ��� $l=0,1,\ldots, m_n-1$, �������� ����� \rf{P}, ������� ������� �� ��������� ����� ��������� ���������. �������� ����������� �������   {\em  ����������������� ������� ������ $\{\psi_k(x)\}_{k=0}^\infty$} � ������� {\em ���������� ������� �����.}
������� ������ ������������ �� ��������
$$\label{chi}\psi_k(x)=\exp\left(2\pi i\sum_{j=1}^n\frac{\alpha_jx_j}{p_j}\right),$$
��� $k=\sum_{j=1}^n\alpha_jm_{j-1},\ 0\leq \alpha_j\leq p_j-1, \ j=1,2,\ldots, n.$
\\
�  ������� ���������� ������� ����� $\{\chi_n^P(x)\}_{n=0}^\infty$ ������������ �� ��������

$$\chi_0(x)\equiv1,$$
� ��� $n\geq 1$
$$\chi_n(x)=\chi^k_{r,s}(x)=\left\{
\begin{array}{cc}
  \sqrt {m_k}e^{2\pi i x_{k+1}s/p_{k+1}}, &  x\in\left[\frac r{m_k};\frac {r+1}{m_k}\right) \\
  0, & x\in [0,1)\backslash\left[\frac r{m_k};\frac {r+1}{m_k}\right)
\end{array}
\right.,$$
��� $n=m_k+r(p_{k+1}-1)+s-1,\ 0\leq r\leq m_k-1,\ 1\leq s\leq p_{k+1}-1.$\\

�������, ��� ������� ����� ������������� ������������������ $p_i=2,\ i\in N.$
��� ������� $\mathcal P=\{P_j\}_{j=1}^d$ ���������� ���
\begin{equation}\label{haar}
\sum_{\overline{n}\in Z_+^d}a_{\overline{n}}\chi_{\overline{n}}^{\mathcal P}(x)=
\sum_{{n_j\in Z_+}\atop{j=1,\ldots, d}}a_{n_1\ldots n_d}\chi_{n_1}^1(x_1)\ldots\chi_{n_d}^d(x_d)
\end{equation}
� $\mathcal P$-����� ������� ����� ����� ����, �.�.
$$\sum_{\overline{n}<\widetilde{N}}a_{\overline{n}}\chi_{\overline{n}}^{\mathcal P}(x),$$
��� ��� $\overline{n}<\overline{k}$ ����� �������� $0\leq n_j<m^j_{k_j},$ ��� ���� $j=1,2,\ldots,d,$ � $\widetilde{N}=(N,\ldots,N)\in R^d,$ ���  ������ ������������ $N.$
�������� ��������, ��� ����������  ��� �� ������� ������
\begin{equation}\label{walsh}
\sum_{\overline{n}\in Z_+^d}b_{\overline{n}}\psi_{\overline{n}}^{\mathcal P}(x)
\end{equation}
 �����, ��� ��� ���� $k\in N^d$ ����� �����
\begin{equation}\label{overline n k}
\sum_{\overline{n}<\overline {k}}a_{\overline{n}}\chi_{\overline{n}}^{\mathcal P}(x)=
\sum_{\overline{n}< \overline {k}}b_{\overline{n}}\psi_{\overline{n}}^{\mathcal P}(x).
\end{equation}
� ��������� �� ����� �������, ��� $\mathcal P$-����� ������� ����� ����� ���� ��������� $\mathcal P$-������ �������� �������  ���� \rf{haar}:
\begin{equation}\label{S_N}
S_N^\chi(x):=\sum_{\overline{n}<\widetilde{N}}a_{\overline{n}}\chi_{\overline{n}}^{\mathcal P}(x)=
\sum_{\overline{n}<\widetilde{ N}}b_{\overline{n}}\psi_{\overline{n}}^{\mathcal P}(x)=:S_N^\psi(x).
\end{equation}
����, ������� ���� \rf{haar} ����� ����������� ��� \rf{walsh}, � ��������.
������� ���� \rf{haar} �������� � ������������ ���������� ������� $\Psi$ ��������� �������

\begin{equation}\label{haar psi}
\Psi(I)=\lim_{N\rightarrow\infty}\int_I\sum_{\overline{n}<\widetilde{ N}}a_{\overline{n}}\chi_{\overline{n}}^{\mathcal P}(x)dx, \ \textrm{���}\ I\in\Lambda^d,
\end{equation}
 %����� ������ ������������ ����� �������� $\mathcal P$-�����. ???
% $\max_{1\leq i\leq d}\{n_i\}\leq N.$
�������������� ������ ���������� ��� ����  $I\in\Lambda^d,$ ��� ��� ��� ���������� ��������
$N$(���������� �� $I$) ����� �����
$$\int_Ia_{\overline{n}}\chi_{\overline{n}}^{\mathcal P}(x)dx=0, \ \textrm{���} \ \max_{1\leq j\leq d}\left\{\frac{n_j}{m^j_N}\right\}\geq 1. $$

�� \rf{haar psi} ����� �����, ��� ��� ������ $\mathcal P$-���� �������������� ����� $x$ �����������
\begin{equation}\label{psi' psi*}
\Psi'(x)=\lim_{N\rightarrow\infty}\sum_{\overline{n}<\widetilde{ N}}a_{\overline{n}}\chi_{\overline{n}}^{\mathcal P}(x) \ \textrm{�}\ \Psi^*(x)=\sup_N\left|\sum_{\overline{n}<\widetilde{ N}}a_{\overline{n}}\chi_{\overline{n}}^{\mathcal P}(x)\right|.
\end{equation}
����� ����� ����� ���������
\begin{theo}\label{theo multy haar}����� $\mathcal P$-����� ����� �������� ���� ����� \rf{haar} �.�. �������� � �������
$f(x)$, a ��� $\mathcal P$ ����������� \rf{M}. ���� ���������� ������������������ ������� $\{h_m(x)\}_{m=1}^\infty$ ��������������� �������� \rf{h1}-\rf{h3}, ��� �������
$$
\lim_{m\rightarrow\infty}\int_{\{x\in [0,1]^d;\Psi^*(x)>h_m(x)\}}h_m(x)dx=0,$$
����� ��� ������� $n=(n_1,\ldots,n_d)\in\mathbb{Z}_+^d$ �����
$$a_{\overline{n}}=\lim_{m\rightarrow\infty}\int_{[0,1]^d}
\left[f(x)\overline{\chi_{\overline{n}}^{\mathcal P}(x)}\right]_{h_m^{\overline{n}}(x)}dx,$$
��� $h_m^{\overline{n}}(x)=\|\chi_{\overline{n}}^{\mathcal P}(x)\|_\infty h_m(x).$

\end{theo}
{\bf ��������������} ���������� ������������ ��� �������� ���� ����� �� \cite{GG95}.
����������� $\overline{n}\in N^d$. ������� $\chi_{\overline{n}}^{\mathcal P}(x)$ ��������� ���������� �������� �� ���������������� $I_1,\ldots I_s$(�� ����������� $\mathcal P$-�����), ������ �� ������
$\|\chi_{\overline{n}}^{\mathcal P}(x)\|_\infty$ � ��������� ���� ��� $\cup_{i=1}^sI_i.$ ���  $\mathcal P$-������ ��������������� $I\subset I_i$ �������
\begin{equation}\label{Psi i}
\Psi_i(I)=\lim_{N\rightarrow\infty}\int_I\overline{\chi_{\overline{n}}^{\mathcal P}(x)}\sum_{\overline{k}<\widetilde N}a_{\overline{k}}\chi_{\overline{k}}^{\mathcal P}(x)dx, \quad i=1,2,\ldots, s.
\end{equation}
����, ��� ������� $\Psi_i(x)$ �������� ����������� �� $\mathcal P$-����� ���������������� $I_i,$
\begin{equation}\label{psi i '}
\Psi_i'(x)=\lim_{N\rightarrow\infty}\sum_{\overline{k}<\widetilde N}a_{\overline{k}}\chi_{\overline{k}}^{\mathcal P}(x)\overline{\chi_{\overline{n}}^{\mathcal P}(x)}=f(x)\overline{\chi_{\overline{n}}^{\mathcal P}(x)} \ \textrm{�.�.}
\end{equation}
�
\begin{equation}\label{psi i *}
\lim_{m\rightarrow\infty}\int_{\{x\in I_i;\Psi_i^*(x)>\|\chi_{\overline{n}}^{\mathcal P}(x)\|_\infty h_m(x)\}}\|\chi_{\overline{n}}^{\mathcal P}(x)\|_\infty h_m(x)dx=0.
\end{equation}
�������� ������� \ref{theorem psi} � ��������� \ref{rem extend}, �� \rf{psi i '} � \rf{psi i *} �������
$$\Psi_i(I_i)=\lim_{m\rightarrow\infty}\int_{I_i}
\left[f(x)\overline{\chi_{\overline{n}}^{\mathcal P}(x)}\right]_{h_m^{\overline{n}}(x)}dx,\quad i=1,\ldots, s.$$
�������� �� $i$ � ������ �� �������� ������������ ��������� � ����������� ������� $\Psi_i$(��. \rf{Psi i}), �� �������
$$\lim_{m\rightarrow\infty}\int_{[0,1]^d}
\left[f(x)\overline{\chi_{\overline{n}}^{\mathcal P}(x)}
\right]_{h_m^{\overline{n}}(x)}dx=\sum_{i=1}^s\Psi_i(I_i)=
\lim_{N\rightarrow\infty}\int_{[0,1]^d}\overline{\chi_{\overline{n}}^{\mathcal P}(x)}
\sum_{\overline{k}<\widetilde N}a_{\overline{k}}\chi_{\overline{k}}^{\mathcal P}(x)dx$$

$$=\lim_{N\rightarrow\infty}\sum_{\overline{k}<\widetilde N}a_{\overline{k}}\int_{[0,1]^d}\chi_{\overline{k}}^{\mathcal P}(x)
\overline{\chi_{\overline{n}}^{\mathcal P}(x)}dx=a_{\overline{n}}.$$

������� ��������.\\

�������, ��� �� ��������� ��������������� $\mathcal P$-����� ������� ���� ����� \rf{S_N} � ����������� $\Psi(I)$ �������, ���
$$\Psi(I)=\lim_{N\rightarrow\infty}\int_IS_N^\psi(x)dx,$$
� ����� ��� ������ $\mathcal P$-���� �������������� ����� $x$ �� \rf{S_N} � \rf{psi' psi*}
����� ����� $\Psi'(x)=\lim_{N\rightarrow\infty}S_N^\psi(x)$ �  $\Psi^*(x)=\sup_N|S_N^\psi(x)|.$



����������� ������� �����  ���� �������� ����� ��� ������� ������. � ������ ����� ����� ���������

\begin{theo}\label{theo multy walsh}����� $\mathcal P$-����� ������� �����  ����  \rf{walsh} �.�. �������� � �������
$f(x)$, a ��� $\mathcal P$ ����������� \rf{M}. ���� ���������� ������������������ ������� $\{h_m(x)\}_{m=1}^\infty$ ��������������� �������� \rf{h1}-\rf{h3}, ��� �������
$$
\lim_{m\rightarrow\infty}\int_{\{x\in [0,1]^d;\Psi^*(x)>h_m(x)\}}h_m(x)dx=0,$$
����� ��� ������� $n=(n_1,\ldots,n_d)\in\mathbb{Z}_+^d$ �����
$$b_{\overline{n}}=\lim_{m\rightarrow\infty}\int_{[0,1]^d}
\left[f(x)\overline{\psi_{\overline{n}}^{\mathcal P}(x)}\right]_{h_m(x)}dx.$$

\end{theo}

{\bf ��������������} ���������� ������������ ��� ������� ������ ������� 1 �� \cite{K03}.
��� ������� $P^j$ ������� ������ � ��������������� ���������� ������� ����� ����������� ����� $n$ ������� ���� � ������ ��� ������ �������� ������������, �.�. ��� �������   $k,\ m^j_{n-1}\leq k<m^j_n$ � $j,\ 1\leq j \leq d$ �����
\begin{equation}\label{gamma}
\psi^j_k=\sum_{l=m_{n-1}}^{m_n-1}\gamma^{j,l}_k\chi_{l}^j.
\end{equation}
�������, ��� ��� ������� $j, 1\leq  j\leq d$ ������� $\Gamma_k^j=(\gamma_k^{j,m_{n-1}}, \ldots, \gamma_k^{j,m_n-1}),$ $m_{n-1}\leq k\leq m_n-1$ ������������ ���� ����� ���������������� ���������������� ������ ������ � ����������� �����:
\begin{equation}\label{delta}
 \delta_{k,p}=(\psi_k^j,\overline{\psi_p^j})=(\sum_{l=m_{n-1}}^{m_n-1}\gamma^{j,l}_k\chi_{l}^j,
\sum_{s=m_{n-1}}^{m_n-1}\overline{\gamma^{j,s}_p\chi_{s}^j})
=\sum_{l,s=m_{n-1}}^{m_n-1}\gamma^{j,l}_k\overline{\gamma^{j,s}_p}(\chi_{l}^j,\overline{\chi_s^j})=
\end{equation}$$
\sum_{l,s=m_{n-1}}^{m_n-1}\gamma^{j,l}_k\overline{\gamma^{j,s}_p}\delta_{l,s}
=\sum_{l=m_{n-1}}^{m_n-1}\gamma^{j,l}_k\overline{\gamma^{j,l}_p.}
$$
�� \rf{overline n k} �������, ��� ��� ������ $\overline s\in Z^d_+$
\begin{equation}\label{al bk}
\sum_{\overline s\leq \overline l<\overline s+\widetilde 1}a_{\overline l}\chi_{\overline l}^{\mathcal P}=\sum_{\overline s\leq \overline k<\overline s+\widetilde 1}b_{\overline k}\psi_{\overline k}^{\mathcal P},
\end{equation}
 � ��  \rf{gamma} �����
$$\sum_{\overline s\leq \overline k<\overline s+\widetilde 1}b_{\overline k}\psi_{\overline k}^{\mathcal P}=\sum_{\overline s\leq \overline k<\overline s+\widetilde 1}b_{k_1,\ldots,k_d}
\left(\sum_{l=m_{s_1}}^{m_{s_1+1}-1}\gamma_{k_1}^{1,l}\chi^1_l\right)\cdot\ldots\cdot
\left(\sum_{l=m_{s_d}}^{m_{s_d+1}-1}\gamma_{k_1}^{d,l}\chi^d_l\right)=$$
$$\sum_{\overline s\leq \overline k<\overline s+\widetilde 1}b_{\overline k}\cdot\left(\sum_{\overline s\leq \overline l<\overline s+\widetilde 1}\gamma^{\overline l}_{\overline k}\chi_{\overline l}^{\mathcal P}\right)=
\sum_{\overline s\leq \overline l<\overline s+\widetilde 1}\left(\sum_{\overline s\leq \overline k<\overline s+\widetilde 1}b_{\overline k}\gamma^{\overline l}_{\overline k}\right)\chi_{\overline l}^{\mathcal P},$$
��� $\gamma^{\overline l}_{\overline k}=\gamma_{k_1}^{1,l_1}\cdot\ldots\cdot\gamma_{k_d}^{d,l_d}.$
��������� \rf{al bk}, ������� ��������� ����������� ����� �������������� $a_{\overline l}$ � $\ b_{\overline k}:$
$$a_{\overline l}=\sum_{\overline s\leq \overline k<\overline s+\widetilde 1}b_{\overline k}\gamma^{\overline l}_{\overline k}.$$
������, ����������� ��������� \rf{gamma}, \rf{delta} � ������� \ref{theo multy haar}, �������
$$b_{\overline p}=
\sum_{\overline s\leq \overline k<\overline s+\widetilde 1}b_{k_1,\ldots,k_d}\cdot \delta_{k_1,p_1}\cdot\ \ldots\ \cdot\delta_{k_d,p_d}
=\sum_{\overline s\leq \overline k<\overline s+\widetilde 1}b_{\overline k}\sum_{\overline s\leq \overline l<\overline s+\widetilde 1}\gamma^{\overline l}_{\overline k}\overline{\gamma^{\overline l}_{\overline p}}=$$
$$\sum_{\overline s\leq \overline l<\overline s+\widetilde 1} \overline{\gamma^{\overline l}_{\overline p}}\sum_{\overline s\leq \overline k<\overline s+\widetilde 1}b_{\overline k}\gamma^{\overline l}_{\overline k}=
\sum_{\overline s\leq \overline l<\overline s+\widetilde 1} \overline{\gamma^{\overline l}_{\overline p}}a_{\overline l}=
\sum_{\overline s\leq \overline l<\overline s+\widetilde 1} \overline{\gamma^{\overline l}_{\overline p}}\lim_{m\rightarrow\infty}\int_{[0,1]^d}
\left[f(x)\overline{\chi_{\overline{l}}^{\mathcal P}(x)}\right]_{h_m^{\overline{n}}(x)}dx=
$$
$$\sum_{\overline s\leq \overline l<\overline s+\widetilde 1} \overline{\gamma^{\overline l}_{\overline p}}\lim_{m\rightarrow\infty}\int_{[0,1]^d}
\left[f(x)\right]_{h_m(x)}\overline{\chi_{\overline{l}}^{\mathcal P}(x)}dx=
\lim_{m\rightarrow\infty}\int_{[0,1]^d}
\left[f(x)\right]_{h_m(x)}\sum_{\overline s\leq \overline l<\overline s+\widetilde 1}\overline{\gamma^{\overline l}_{\overline p}\chi_{\overline{l}}^{\mathcal P}(x)}dx=$$
$$=\lim_{m\rightarrow\infty}\int_{[0,1]^d}\left[f(x)\right]_{h_m(x)}\psi_{\overline{p}}^{\mathcal P}(x)dx=\lim_{m\rightarrow\infty}\int_{[0,1]^d}\left[f(x)\psi_{\overline{p}}^{\mathcal P}(x)\right]_{h_m(x)}dx.$$
������� ��������.\\

� ��������� ������� ���� $d=1$ � $h_m(x)\equiv \lambda_m$ ������� ������� \ref{thK03} ��������� �. �������� � \cite{K03}.

����� ����������  �.�. ��������� �� ���������� ���������� �����������.
%
%� \cite{K03} ����� �������� ���������
%\begin{theo}
%
%\end{theo}
 %
%\begin{equation}
%A+B &= B+A \\
%AB &= BA \\
%A(B+C) &= AB+AC
%\end{equation}
%


\begin{thebibliography}{99}

\bibl{bari}
�. �. ����, {\em ������������������ ����,} ������, ���������, 1961.

\bibl{Al}
 �. �. �����������, {\em �� $A$-��������������� ��������� �������� ������������� �������,} �����. �������, 30:1(1981), 59--72.


\bibl{GG89}
�. �. ��������, {\em � �������������� ������������������ �����}, �����. ��.,  180: 11 (1989), 1462--1474.

\bibl{GG93}
�. �. ��������, {\em � �������������� ������� ������������������ �����,} �����. ��., 184:11(1993), 93--130.
\bibl{G94}
�. �. �������,  {\em � �������������� ���������� ������� �������� � ������������������ �����,} �����. �������, 56:4(1994), 38--47.

\bibl{GG95}
�. �. ��������, {\em � �������������� �������� ����� � ����� �� ������� �����,} ���. ��� �������, �����., 30(5) 5, 1995, ���. 7--21.

\bibl{K03}
�. �. ������, {\em � ������� � �������������� ������������� ����� �� ��������� ������������� �������� �������}, �����. �������, 73:5 (2003), 704--723.


\bibl{Y I}
K. Yoneda, {\em On generalized A-integrals.I} Proc. Japan Acad., v. 45, no 3, 1969.
\bibl{Y II}
K. Yoneda, {\em On generalized A-integrals.II} Math. Japon., v. 18, no 2, 1973.

\bibl{G66}
R. F. Gundy, {\em Martingale theory and pointwise convergence of
certain orthogonal series,} Trans. Amer. Math.
Soc., vol. 124, no. 2, pp. 228--248, 1966.
\bibl{Ch62}
Y. S. Chow, {\em Convergence theorems of martingales,} Z. Wahrsch.
und Ver. Gebiete, vol. 1, pp. 340--346,
1962.
\bibl{KS}
�. �. �����, �. �. ������, {\em ������������� ����,} ������, ���,
1999.
%
%\bibl{M16}
%������� �.�., {\em Sur $l'unicit\acute{e}$ du $d\acute{e}veloppement$ $trigonom\acute{e}trique$,} CR, 163, 1916, ���. 433--436.
\bibl{Sk}
�.�. ��������, {\em � ���� ����� �� ��������� ����������������� �������,} �����. ���, ���. 1, �����., ���.
1979, �. 6, ���. 63--67.

\end{thebibliography}





\end{document} 
1406.1950.extracted_bib
{#1% (#1) \newcommand{\de{\Delta \newcommand{\la{\lambda \newcommand{\ep{\varepsilon \begin{document ��� 517.518.36 % \vskip10pt \begin{center \Large{ ���� ������� �������������� ����������