\noindent\small Classical plasma with any degree degeneration of electronic gas is considered. In plasma two external electromagnetic field are propagation. It is required to find the plasma response on these fields. From kinetic Vlasov equation for collisionless plasmas distribution function in square-law approximation on sizes of intensivities of two electric fields is received. The formula for calculation electric current at any temperature (any degree of degeneration electronic gas) is deduced. This formula contains an one-dimensional quadrature. It is shown, that the nonlinearity account leads to occurrence the longitudinal electric current directed along a wave vector. This longitudinal current is perpendicular to known tranversal classical current, received at the linear analysis. The case of small values of wave number is considered. Graphic comparison of dimensionless size of the current depending on wave number and frequency of oscillation of the electromagnetic fields is carry out.
2waves.tex
%ArXiv 26.05.2015
\documentclass[12pt]{article}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{latexsym}
\usepackage{amscd}
\usepackage[cp1251]{inputenc}
\usepackage[english,russian]{babel}
\usepackage{amsmath,  eucal}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{indentfirst}
\usepackage[small,centerlast]{caption2}
\usepackage{longtable}
\usepackage[dvipsnames]{color}
\usepackage{cite}
\graphicspath{{figure/}}
\renewcommand{\captionlabeldelim}{\textbf .}

\textwidth=160mm \textheight=250mm
\voffset=-28mm \hoffset=0mm
\makeatletter
\newcommand{\const}{\mathop{\rm const\, }}
\renewcommand{\Re}{\mathop{\rm Re\,}}
\renewcommand{\Im}{\mathop{\rm Im\,}}
\makeatother {\renewcommand{\baselinestretch}{1.1}
\def\red#1{\textcolor{red}{#1}}


\makeatletter

\renewcommand{\section}{\@startsection {section}{1}{\z@}%
                                   {-3.5ex \@plus -1ex \@minus -.2ex}%
                                   {2.3ex \@plus.2ex}%
                                   {\normalfont\Large\uppercase}}
\renewcommand{\subsection}{\@startsection{subsection}{2}{\z@}%
                                     {-3.25ex\@plus -1ex \@minus -.2ex}%
                                     {1.5ex \@plus .2ex}%
                                     {\normalfont\large\itshape}}
\renewcommand{\subsubsection}{\@startsection{subsubsection}{3}{1em}%
                                     {-3.25ex\@plus -1ex \@minus -.2ex}%
                                     {-1.5em \@plus .2em}%
                                     {\normalfont\normalsize\bfseries}}

\makeatother

\begin{document}

\newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}}
\newcommand{\E}{\mc{E}}
\thispagestyle{empty} \large
\renewcommand{\abstractname}{}

 \begin{center}
{\Large \textbf{Nonlinear longitudinal current, generated by
two transversal electromagnetic waves in collisionless plasma}}
\medskip

{\large \textbf{A. V. Latyshev$^*$, A. A. Yushkanov$^*$,  O. D.
Algazin$^{**}$, A. V. Kopaev$^{**}$,  V. S. Popov$^{**}$ }}
\medskip

\textit{$^*$ Moscow State Regional University
\\$^{**}$ Bauman Moscow State Technical University}

\end{center}

\begin{abstract}
\noindent\small
Classical plasma with any degree degeneration of electronic gas
is considered. In plasma two external electromagnetic field are
propagation.
It is required to find the plasma response on
these fields.
From kinetic Vlasov equation for collisionless plasmas
distribution function  in square-law approximation on sizes
of intensivities of two electric fields is received.

The formula for calculation electric
current at any temperature (any degree of degeneration
electronic gas) is deduced.
This formula contains an one-dimensional quadrature.

It is shown, that the nonlinearity account leads to occurrence
the longitudinal electric current directed along a wave vector.
This longitudinal current is perpendicular to  known tranversal
classical current, received at the linear analysis.

The case of small values of wave number is considered.
Graphic comparison of dimensionless size of the current
depending on wave number and frequency of oscillation
of the electromagnetic fields is carry out.
\end{abstract}

\section*{��������}

� ��������� ������ ��������� ������� ��� ���������� ��������������
���� � ������������������� ������ �����---������.

��� ������� ������������� ��������� �������, ������������
��������� ������, �� ��������� ��� � ����������
������� �������������, ��� � � ����������  �������� ������������������
����������������� ���� ��������, ����������������
��������� �������������� ������� ������������� ����� � �� ������������.

��� ����� ���������� ������� �����������, ��� ������������� ���
����� ��� ��������� ����������. ���� ���������� ��������������
���� ���������� ����� ������������� �������������� ����.
��� ���������� �������������� ����
����� ����� ��, ��� � � �������� �������. ��� "����������"\,
���.
����� �������, � �������� ����������� �� �������� ���������
��������� ����������� �������������� ����.

������ ��������� ���������� �������������� ���� ����� ������
������� ������� ������������ ������� ��������������
������������� �����.
������ ���������� �������������� ���� ���������� ����� ���������
�������. ���� ���
����������� ������ ����������. ��� "����������"\, ���.

��������� ����������� ���� ���������� �����������
���������� �������� �������������� ���������������� �����
� �������.

���������� ������� �  ������ ��������� ��� ���������� �����
\cite{Gins}--\cite{Lat1}.

� ������� \cite{Gins} � \cite{Zyt} ��������� ���������� ������� �
������. � ������ \cite{Zyt} ���������� ��� �������������, �
���������, � �������� ����������� ��������� ���������. �������,
��� � ������ \cite{Zyt2} ����������� �� �������������
����������� ���� ����� ��������� ������� (��. ������� (2.9) �� \cite{Zyt2}).

��������� ������ ��������� � ������� \cite{Lat1}--\cite{Lat8}.
���������������� ��������� ������ ������ ��������� � ������
������� \cite{Mermin}. ����� ��������� ���������������� ������
��������� � ����� ������� \cite{Lat2}--\cite{Lat5}. ����
��������� ��������� ���������������� ������ � ���������� ��������
������������. � �������    \cite{Lat7} -- \cite{Lat9} ����
����������� ������������� ����������� ���� ����������
���������������� ����� � ������������ � ��������� ������
�����---������ \cite{Lat7}, � �������������� ������
\cite{Lat8} � � ����������� ������ \cite{Lat9}.

������ ��� �� ��� ����� ��  ������, � ��� ����� �  ���������.
��� ������ \cite{Andres}--\cite{Manf}.


� ��������� ������ ��������� ������� ��� ���������� ��������������
���� � ������������������� ������
��� ������������ �����������, ��-���� ��� ������������
������� ���������� ������������ ����.

\section{��������� �������}

�������, ��� � ������ ������������ ������, ����������� ����������
�������, ������������ ���������� ��� � �������� ��� ���������. ��
������������� ����� ���� ����������� ����� �������� ���� �����
\cite{Zyt2}.

������� ��������� �������, ����������� ���������
������������������� ������
$$
\dfrac{\partial f}{\partial t}+\mathbf{v}\dfrac{\partial f}{\partial
\mathbf{r}}+
e\bigg(\mathbf{E}_1+{\mathbf E}_2+
\dfrac{1}{c}[\mathbf{v},\mathbf{H}_1+{\mathbf H}_2]\bigg)
\dfrac{\partial f}{\partial\mathbf{p}}=0.
\eqno{(1.1)}
$$

� ��������� (1.1) $f$ -- ������� ������������� ����������
������, ${\bf E}_j, {\bf H}_j\quad (j=1,2)$ -- ����������
����������������� ����,
$c$ -- �������� �����, ${\bf p}=m{\bf v}$ -- ������� ����������,
${\bf v}$ -- �������� ����������,
������� ������������� ���������� �����---������,
$f^{(0)}=f_{eq}({\bf r},v)$ (eq$\equiv$ equi\-lib\-rium) --
-- �������� ����������� ������������� �����---������,
$$
f_{eq}({\bf r},v)=\Big[1+\exp\dfrac{\E-\mu({\bf r})}{k_BT}\Big]^{-1}=
\big[1+\exp(P^2-\alpha({\bf r}))\big]^{-1}=f_{eq}({\bf r},P)
$$
$\E={mv^2}/{2}$ -- ������� ����������, $\mu$ -- ����������
��������� ������������ ����, $k_B$ -- ���������� ���������, $T$
-- ����������� ������, ${\bf P}={{\bf P}}/{p_T}$ --
������������ ������� ����������,  $p_T=mv_T$,
$v_T$ -- �������� �������� ����������, $v_T=\sqrt{2k_BT/m}$,
$\alpha=\mu/(k_BT)$ -- ������������ ���������� ���������,
$k_BT=\E_T=mv_T^2/2$ -- �������� ������������ ������� ����������.

���� ��� ����������� ���������� ������������� �����---������
$f_0(v)$,
$$
f_0(v)=\Big[1+\exp\dfrac{\E-\mu}{k_BT}\Big]^{-1}=
\big[1+\exp(P^2-\alpha)\big]^{-1}=f_0(P),
$$

����� �������, ��� � ������ ������� ���������������� ����,
�������������� ����� ������� ������������� �����:
$$
{\bf E}_j={\bf E}_{0j}e^{i({\bf k_jr}-\omega_j t)}, \qquad
{\bf H}_j={\bf H}_{0j}e^{i({\bf k_jr}-\omega_j t)}, \quad j=1,2.
$$

������������� � ��������� ���� ������� ����� ����� �����
��������� ��������� ����:
$$
\mathbf{E}_j=-\dfrac{1}{c}\dfrac{\partial \mathbf{A}_{j}}{\partial
t}=\dfrac{i\omega_j}{c}\mathbf{A}_j,\;\qquad
\mathbf{H}_j={\rm rot} \mathbf{A}_j,\quad j=1,2.
$$

����� �������, ��� ��������� ��������� ����������������� ����
${\bf A}_j({\bf r},t)$ ����������� ��������� ������� ${\bf
k}_j$, �.�.
$$
{\bf k}_j\cdot {\bf A}_j({\bf r},t)=0,\qquad j=1,2.
$$
��� ������, ��� �������� ������ ${\bf k}_j$ �����������
�������������� � ���������� �����:
$$
{\bf k}_j\cdot {\bf E}_j({\bf r},t)=
{\bf k}_j\cdot {\bf H}_j({\bf r},t)=0,\qquad j=1,2.
$$

��� �������������� ����� �������, ��� �������� ������� �����
����� ���������� ����� ��� $x$, � ���������������� ����
���������� ����� ��� $y$,
�.�.
$$
{\bf k}_j=k_j(1,0,0), \qquad {\bf E}_j=E_{j}(x,t)(0,1,0).
$$

�������������,
$$
{\bf E}_j=-\dfrac{1}{c}\dfrac{\partial {\bf  A}_j}{\partial t}=
\dfrac{i\omega}{c}{\bf A}_j,
$$
$$
{\bf H}_j=\dfrac{ck_j}{\omega}E_{j}\cdot(0,0,1),\qquad
{\bf [v,H}_j]=\dfrac{ck_j}{\omega_j}E_{j}\cdot (v_y,-v_x,0),
$$\medskip
$$
E_j=E_j(x,t)=E_{0j}e^{i(k_jx-\omega_j t)}\quad (j=1,2),
$$ \medskip
$$
e\bigg(\mathbf{E}_j+\dfrac{1}{c}[\mathbf{v},\mathbf{H}_j]\bigg)
\dfrac{\partial f}{\partial\mathbf{p}}=
\dfrac{e}{\omega_j}E_{j}\Big[k_jv_y\dfrac{\partial f}{\partial p_x}+
(\omega_j-k_jv_x)\dfrac{\partial f}{\partial p_y}\Big],
$$ \medskip
� �����
$$
[{\bf v, H}_j]\dfrac{\partial f_0}{\partial {\bf p}}=0, \quad
\text{��� ���}\quad \dfrac{\partial f_0}{\partial {\bf p}}\sim
{\bf v}.
$$

��������� (1.1) ����� ���� ���������� � ����
$$
\dfrac{\partial f}{\partial t}+v_x\dfrac{\partial f}{\partial x}+
e\sum\limits_{j=1}^{2}\dfrac{E_j}{\omega_j}
\Big[k_jv_y\dfrac{\partial f}{\partial p_x}+
(\omega_j-k_jv_x)\dfrac{\partial f}{\partial p_y}\Big]=0.
\eqno{(1.2)}
$$

����� ������ ������� ��������� (1.2) � ����
$$
f=f_0(P)+f_1+f_2,
\eqno{(1.3)}
$$
���
$$
f_1=E_1\varphi_1+E_2\varphi_2,
\eqno{(1.4)}
$$
$$
f_2=E_1^2\psi_1+E_2^2\psi_2+E_1E_2\psi_{0}.
\eqno{(1.5)}
$$

\section{������ �����������}

����� ����������� ������� ���������������� �����������,
������ ����� ���������� �������� ������������� �������������� ����.
����� ��������� (1.2) � ������� (1.3) ������������ ��������� ����������
$$
\dfrac{\partial f_1}{\partial t}+
v_x\dfrac{\partial f_1}{\partial x}=
-e\sum\limits_{j=1}^{2}\dfrac{E_j}{\omega_j}
\Big[k_jv_y\dfrac{\partial f_0}{\partial p_x}+
(\omega_j-k_jv_x)\dfrac{\partial f_0}{\partial p_y}\Big]
\eqno{(2.1)}
$$ \bigskip
�
$$
\dfrac{\partial f_2}{\partial t}+
v_x\dfrac{\partial f_2}{\partial x}=
-e\sum\limits_{j=1}^{2}\dfrac{E_j}{\omega_j}
\Big[k_jv_y\dfrac{\partial f_1}{\partial p_x}+
(\omega_j-k_jv_x)\dfrac{\partial f_1}{\partial p_y}\Big].
\eqno{(2.2)}
$$ \bigskip

�� ��������� (2.1) ��������
$$
[E_1(-i\omega_1+ik_1v_x)\varphi_1+E_2(-i\omega_2+ik_2v_x)\varphi_2]=
$$
$$
=-e\sum\limits_{j=1}^{2}\dfrac{E_j}{\omega_j}
\Big[k_jv_y\dfrac{\partial f_0}{\partial p_x}+
(\omega_j-k_jv_x)\dfrac{\partial f_0}{\partial p_y}\Big].
\eqno{(2.3)}
$$

������ ������������ ���������
$$
\Omega_j=\dfrac{\omega_j}{k_Tv_T},\qquad \qquad q_j=\dfrac{k_j}{k_T}.
$$

����� $q_j$ -- ������������ �������� �����,
$k_T =\dfrac {mv_T} {\hbar} $ -- �������� �������� �����, $ \Omega_j$
-- ������������ ������� ��������� ����������������� ���� ${\bf E}_j$.

� ��������� (2.3) �������� � ������������ ����������. �
���������� �������� ���������
$$
i[E_1(q_1P_x-\Omega_1)\varphi_1+E_2(q_2P_x-\Omega_2)\varphi_2]=
$$
$$
=-\dfrac{e}{k_Tp_Tv_T}\sum\limits_{j=1}^{2}\dfrac{E_j}{\Omega_j}
\Big[q_jP_y\dfrac{\partial f_0}{\partial P_x}+
(\Omega_j-q_jP_x)\dfrac{\partial f_0}{\partial P_y}\Big].
\eqno{(2.4)}
$$


�������, ���
$$
\dfrac{\partial f_0}{\partial P_x}\sim P_x,\qquad
\dfrac{\partial f_0}{\partial P_y}\sim P_y.
$$

�������������
$$
\Bigg[q_jP_y\dfrac{\partial f_0}{\partial P_x}+
(\Omega_j-q_jP_x)\dfrac{\partial f_0}{\partial P_y}\Bigg]=
\Omega_j\dfrac{\partial f_0}{\partial P_y}
$$
� ��������� (2.4) ����������:
$$
i[E_1(q_1P_x-\Omega_1)\varphi_1+E_2(q_2P_x-\Omega_2)\varphi_2]=
$$
$$
=-\dfrac{e}{k_Tp_Tv_T}(E_1+E_2)\dfrac{\partial f_0}{\partial P_y}.
\eqno{(2.5)}
$$
�� ��������� (2.5) �������, ���
$$
\varphi_j=\dfrac{ie}{k_Tp_Tv_T}\cdot
\dfrac{{\partial f_0}{\partial P_y}}{q_jP_x-\Omega_j},\qquad
j=1,2.
\eqno{(2.6)}
$$



������ �� ��������� (2.6) �������, ���
$$
f_1=\dfrac{ie}{k_Tp_Tv_T}\cdot\Bigg[\dfrac{E_1}{q_1P_x-\Omega_1}+
\dfrac{E_2}{q_2P_x-\Omega_2}\Bigg]\dfrac{\partial f_0}{\partial P_y}.
\eqno{(2.7)}
$$

\section{������ �����������}


�������� �� ������� �����������.
� ����� ����� ��������� (2.2) ��������� (1.5).
$$
f_2=E_{1}^2\psi_1+E_{2}^2\psi_2+E_{1}E_{2}\psi_0.
%\eqno{(1.13)}
$$


������� ���������
$$
\big\{E_1^2(-2i\omega_1+2ik_1v_x)\psi_1+E_2^2(-2i\omega_2+2ik_2v_x)\psi_2+
$$$$+E_1E_2[-i(\omega_1+\omega_2)+i(k_1+k_2)v_x]\psi_0\big\}=
$$
$$
=-\dfrac{eE_1}{\omega_1}
\Big[k_1v_y\dfrac{\partial f_1}{\partial p_x}+
(\omega_1-k_1v_x)\dfrac{\partial f_1}{\partial p_y}\Big]
-\dfrac{eE_2}{\omega_2}
\Big[k_2v_y\dfrac{\partial f_1}{\partial p_x}+
(\omega_2-k_2v_x)\dfrac{\partial f_1}{\partial p_y}\Big].
$$


�������� � ���� ��������� � ������������ ���������� � ������
�����������
$$
q=\dfrac{q_1+q_2}{2}, \qquad
\Omega=\dfrac{\Omega_1+\Omega_2}{2}.
$$

������� ���������
$$
2i\Big\{E_1^2(q_1P_x-\Omega_1)\psi_0+E_2^2(q_2-\Omega_2)\psi_2+
E_1E_2(qP_x-\Omega)\psi_0\Big\}=
$$
$$
=-\dfrac{ie^2}{k_T^2p_T^2v_T^2}\cdot\dfrac{E_1}{\Omega_1}\cdot
\Bigg\{q_1P_y\dfrac{\partial}{\partial P_x}
\Bigg[\Big(\dfrac{E_1}{q_1P_x-\Omega_1}+\dfrac{E_2}{q_2P_x-\Omega_2}\Big)
\cdot \dfrac{\partial f_0}{\partial P_y}\Bigg]+
$$$$+
(\Omega_1-q_1P_x)\dfrac{\partial }
{\partial P_y}\Bigg[\Big(\dfrac{E_1}{q_1P_x-\Omega_1}+
\dfrac{E_2}{q_2P_x-\Omega_2}\Big)\cdot
\dfrac{\partial f_0}{\partial P_y}\Bigg]\Bigg\}-
$$
$$
-\dfrac{ie^2}{k_T^2p_T^2v_T^2}\cdot\dfrac{E_2}{\Omega_2}\cdot
\Bigg\{q_2P_y\dfrac{\partial}{\partial P_x}
\Bigg[\Big(\dfrac{E_1}{q_1P_x-\Omega_1}+\dfrac{E_2}{q_2P_x-\Omega_2}\Big)
\cdot \dfrac{\partial f_0}{\partial P_y}\Bigg]+
$$
$$+
(\Omega_2-q_2P_x)\dfrac{\partial }
{\partial P_y}\Bigg[\Big(\dfrac{E_1}{q_1P_x-\Omega_1}+
\dfrac{E_2}{q_2P_x-\Omega_2}\Big)
\cdot \dfrac{\partial f_0}{\partial P_y}\Bigg]\Bigg\}.
$$

����������� ���������� ���������
$$
E_1^2(q_1P_x-\Omega_1)\psi_0+E_2^2(q_2-\Omega_2)\psi_2+
E_1E_2(qP_x-\Omega)\psi_0=
$$
$$
=-\dfrac{e^2}{2k_T^2p_T^2v_T^2}\Bigg\{\dfrac{E_1^2}{\Omega_1}
\Bigg[q_1P_y\dfrac{\partial}{\partial P_x}\Big(\dfrac{\partial f_0
/\partial P_y}{q_1P_x-\Omega_1}\Big)-\dfrac{\partial^2 f_0}
{\partial P_y^2}\Bigg]+
$$
$$
+\dfrac{E_2^2}{\Omega_2}
\Bigg[q_2P_y\dfrac{\partial}{\partial P_x}\Big(\dfrac{\partial f_0
/\partial P_y}{q_2P_x-\Omega_2}\Big)-\dfrac{\partial^2 f_0}
{\partial P_y^2}\Bigg]+
$$
$$
+\dfrac{E_1E_2}{\Omega_1}
\Bigg[q_1P_y\dfrac{\partial}{\partial P_x}\Big(\dfrac{\partial f_0
/\partial P_y}{q_2P_x-\Omega_2}\Big)+\dfrac{\Omega_1-q_1P_x}
{q_2P_x-\Omega_2}\cdot\dfrac{\partial^2 f_0}{\partial P_y^2}\Bigg]+
$$
$$
+\dfrac{E_1E_2}{\Omega_2}
\Bigg[q_2P_y\dfrac{\partial}{\partial P_x}\Big(\dfrac{\partial f_0
/\partial P_y}{q_1P_x-\Omega_1}\Big)+\dfrac{\Omega_2-q_2P_x}
{q_1P_x-\Omega_1}\cdot\dfrac{\partial^2 f_0}{\partial
P_y^2}\Bigg]\Bigg\}.
$$

�� ����� ��������� �������
$$
\psi_1=-\dfrac{e^2}{2k_T^2p_T^2v_T^2\Omega_1}\cdot
\dfrac{\Xi_1({\bf P})}{q_1P_x-\Omega_1},
\eqno{(3.1)}
$$
$$
\psi_2=-\dfrac{e^2}{2k_T^2p_T^2v_T^2\Omega_2}\cdot
\dfrac{\Xi_2({\bf P})}{q_2P_x-\Omega_2},
\eqno{(3.2)}
$$
$$
\psi_0=-\dfrac{e^2}{2k_T^2p_T^2v_T^2}\cdot
\Bigg[
\dfrac{1}{\Omega_1}\cdot\dfrac{\Xi_{12}({\bf P})}{qP_x-\Omega}+
\dfrac{1}{\Omega_2}\cdot\dfrac{\Xi_{21}({\bf P})}{qP_x-\Omega}\Bigg],
\eqno{(3.3)}
$$

���
$$
\Xi_j({\bf P})=q_jP_y\dfrac{\partial}{\partial P_x}
\Big(\dfrac{\partial f_0/\partial P_y}{q_jP_x-\Omega_1}\Big)-
\dfrac{\partial^2 f_0}{\partial P_y^2},
$$

$$
\Xi_{12}({\bf P})=q_1P_y\dfrac{\partial}{\partial P_x}
\Big(\dfrac{\partial f_0/\partial P_y}{q_2P_x-\Omega_2}\Big)+
\dfrac{\Omega_1-q_1P_x}{q_2P_x-\Omega_2}\cdot
\dfrac{\partial^2 f_0}{\partial P_y^2},
$$

$$
\Xi_{21}({\bf P})=q_2P_y\dfrac{\partial}{\partial P_x}
\Big(\dfrac{\partial f_0/\partial P_y}{q_1P_x-\Omega_1}\Big)+
\dfrac{\Omega_2-q_2P_x}{q_1P_x-\Omega_1}\cdot
\dfrac{\partial^2 f_0}{\partial P_y^2}.
$$

������� ������������� �� ������ ����������� �� ���� ��������� �
������������ ���������� (1.3), � ������� ������� $f_1$
������������ ���������� (1.4), � ������� $f_2$ ������������
����������� (1.5) � (3.1)--(3.3).


\section{��������� ����������� ��������������\\ ����}

������ ��������� �������������� ����
$$
\mathbf{j}=e\int \mathbf{v}f \dfrac{2d^3p}{(2\pi\hbar)^3}=
\dfrac{2p_T^3v_T}{(2\pi\hbar)^3}\int f{\bf P}d^3P.
\eqno{(4.1)}
$$
�� �������� (1.3)--(1.5) � (4.1) �����, ��� ������ ��������� ���� �����
��� ��������� ����������
$$
\mathbf{j}=(j_x,j_y,0).
$$

����� $j_y$ -- ��������� ����������� ����, $j_x$ -- ���������
����������� ����,
$$
j_y=e\int v_yf \dfrac{2d^3p}{(2\pi\hbar)^3}=
e\int v_yf_1 \dfrac{2d^3p}{(2\pi\hbar)^3}=
\dfrac{e2p_T^3v_T}{(2\pi\hbar)^3}\int f_1 P_yd^3P.
\eqno{(4.2)}
$$
$$
j_x=e\int v_yf \dfrac{2d^3p}{(2\pi\hbar)^3}=
e\int v_yf_2 \dfrac{2d^3p}{(2\pi\hbar)^3}=
\dfrac{e2p_T^3v_T}{(2\pi\hbar)^3}\int f_2 P_yd^3P.
\eqno{(4.3)}
$$



�������� (4.2) � ����� ���� ���������� ��� �����:
$$
j_y=\dfrac{2ie^2p_T^3}{(2\pi\hbar)^2k_Tp_T}\int \Big(\dfrac{E_1}
{q_1P_x-\Omega_1}+\dfrac{E_2}{q_2P_x-\Omega_2}\Big)
\dfrac{\partial f_0}{\partial P_y}P_y d^3P.
\eqno{(4.4)}
$$

���� ��� ��������� ����� ����������������� ����, ��� ���������
������������ ������ ������ ������������ ������� �������������.

������ ����������� ������� ������������� ����� � ���������
����������� ���� �� ������.


�������� ������� (4.4). �������, ��� ���������� �������� ��
���������� $P_y$ �����:
$$
\int\limits_{-\infty}^{\infty}
P_y\dfrac{\partial f_0(P)}{\partial P_y}dP_y=$$$$=
P_yf_0(P)\Bigg|_{P_y=-\infty}^{P_y=+\infty}-\int\limits_{-\infty}^{\infty}
f_0(P)dP_y=-\int\limits_{-\infty}^{\infty}
f_0(P)dP_y.
\eqno{(4.5)}
$$

�������������, ���������� ��� �����:
$$
j_y=-\dfrac{2ie^2p_T^2}{(2\pi\hbar)^3k_T}
\int \Bigg(\dfrac{E_1}
{q_1P_x-\Omega_1}+\dfrac{E_2}{q_2P_x-\Omega_2}\Bigg)
f_0(P)d^3P.
$$

���������� �������� � ��������� $(P_y,P_z)$ �������� � ��������
�����������:
$$
\int\limits_{-\infty}^{\infty}\int\limits_{-\infty}^{\infty}
f_0(P)dP_ydP_z=\pi\ln(1+e^{\alpha-P_x^2}).
\eqno{(4.6)}
$$

����� ��������, ���
$$
j_y=-\dfrac{2\pi ie^2p_T^2}{(2\pi\hbar)^3k_T}
\int\limits_{-\infty}^{\infty}\Bigg(\dfrac{E_1}
{q_1P_x-\Omega_1}+\dfrac{E_2}{q_2P_x-\Omega_2}\Bigg)
\ln(1+e^{\alpha-P_x^2})dP_x.
\eqno{(4.7)}
$$


\section{��������� ����������� ��������������\\ ����}

�������� � ������������ ����������� ���� (4.3).

� ������� ���������� (1.5) ���������� ���������� ��� � ���� ����
���������:
$$
j_x=j_1+j_2+j_0.
\eqno{(5.1)}
$$

�����
$$
j_1=E_1^2\dfrac{2ep_Tv_T}{(2\pi \hbar)^3}\int P_x\psi_1d^3P,
$$
$$
j_2=E_2^2\dfrac{2ep_Tv_T}{(2\pi \hbar)^3}\int P_x\psi_2d^3P,
$$
$$
j_0=E_1E_2\dfrac{2ep_Tv_T}{(2\pi \hbar)^3}\int P_x\psi_0d^3P.
$$

���������� ������������ ����������� ���� ��������� � ����� ����:
$$
j_1=-\dfrac{e^3p_TE_1^2}{(2\pi\hbar)^3k_T^2v_T\Omega_1}\int
\dfrac{\Xi_1({\bf P})P_xd^3P}{q_1P_x-\Omega_1},
$$

$$
j_1=-\dfrac{e^3p_TE_2^2}{(2\pi\hbar)^3k_T^2v_T\Omega_2}\int
\dfrac{\Xi_2({\bf P})P_xd^3P}{q_2P_x-\Omega_2},
$$

$$
j_0=-\dfrac{e^3p_TE_1E_2}{(2\pi\hbar)^3k_T^2v_T}\int
\Bigg[\dfrac{1}{\Omega_1}\dfrac{\Xi_{12}({\bf
P})}{qP_x-\Omega}+\dfrac{1}{\Omega_2}\dfrac{\Xi_{21}({\bf
P})}{qP_x-\Omega}\Bigg]P_xd^3P.
\eqno{(5.4)}
$$

�������, ��� � ���� ���������� ���������� ���������� �������� �� $P_y$
����� ����:
$$
\int\limits_{-\infty}^{\infty}\dfrac{\partial^2f_0}{\partial P_y^2}dP_y
=\dfrac{\partial f_0}{\partial P_y}\Bigg|_{P_y=-\infty}^{P_y=+\infty}=0,
$$
� ���������� ��������� �� $P_x$ ����������� �� ������:
$$
\int\limits_{-\infty}^{\infty}\dfrac{\partial}{\partial P_x}
\Big(\dfrac{\partial f_0/\partial P_y}{q_jP_x-\Omega_j}\Big)
\dfrac{P_xdP_x}{q_jP_x-\Omega_j}=\Omega_j\int\limits_{-\infty}^{\infty}
\dfrac{[\partial f_0/\partial P_y]dP_x}{(q_jP_x-\Omega_j)^3},
$$
��� $j=1,2$, �
$$
\int\limits_{-\infty}^{\infty}\dfrac{\partial}{\partial P_x}
\Big(\dfrac{\partial f_0/\partial P_y}{q_jP_x-\Omega_j}\Big)
\dfrac{P_xdP_x}{qP_x-\Omega}=\Omega\int\limits_{-\infty}^{\infty}
\dfrac{[\partial f_0/\partial P_y]dP_x}{(q_jP_x-\Omega_j)(qP_x-\Omega)^2}.
$$



�������������, ���������� ��������� ��� ������������ �����������
���� ����������:
$$
j_1=-\dfrac{e^3E_1^2p_Tq_1}{(2\pi\hbar)^3k_T^2v_T}\int
\dfrac{P_y(\partial f_0/\partial P_y)d^3P}{(q_1P_x-\Omega_1)^3},
$$
$$
j_2=-\dfrac{e^3E_1^2p_Tq_2}{(2\pi\hbar)^3k_T^2v_T}\int
\dfrac{P_y(\partial f_0/\partial P_y)d^3P}{(q_2P_x-\Omega_2)^3},
$$
$$
j_0=j_{12}+j_{21},
$$
$$
j_{12}=-\dfrac{e^3E_1E_2p_Tq_1\Omega}{(2\pi\hbar)^3k_T^2v_T\Omega_1}\int
\dfrac{P_y(\partial f_0/\partial P_y)d^3P}
{(q_2P_x-\Omega_2)(qP_x-\Omega)^2},
$$
$$
j_{21}=-\dfrac{e^3E_1E_2p_Tq_2\Omega}{(2\pi\hbar)^3k_T^2v_T\Omega_2}\int
\dfrac{P_y(\partial f_0/\partial P_y)d^3P}
{(q_1P_x-\Omega_1)(qP_x-\Omega)^2}.
$$

���������� �������� �� ���������� $P_y$  �������������� ��
������ � ������������� ���������� (4.5). � ���������� ��������
��������� ��������� ��� ������������ ���������
����������� ����:
$$
j_1=\dfrac{e^3E_1^2p_Tq_1}{(2\pi\hbar)^3k_T^2v_T}\int
\dfrac{f_0(P)d^3P}{(q_1P_x-\Omega_1)^3},
$$
$$
j_2=\dfrac{e^3E_1^2p_Tq_2}{(2\pi\hbar)^3k_T^2v_T}\int
\dfrac{f_0(P)d^3P}{(q_2P_x-\Omega_2)^3},
$$
$$
j_0=j_{12}+j_{21},
$$
$$
j_{12}=\dfrac{e^3E_1E_2p_Tq_1\Omega}{(2\pi\hbar)^3k_T^2v_T\Omega_1}\int
\dfrac{f_0(P)d^3P}
{(q_2P_x-\Omega_2)(qP_x-\Omega)^2},
$$
$$
j_{21}=\dfrac{e^3E_1E_2p_Tq_2\Omega}{(2\pi\hbar)^3k_T^2v_T\Omega_2}\int
\dfrac{f_0(P)d^3P}
{(q_1P_x-\Omega_1)(qP_x-\Omega)^2}.
$$



���������� ��������� � ��������� $(P_y,P_z)$ �������� � ��������
����������� � ������������� �������� (4.6).
� ���������� ���������� ��������� �������� � ����������� ���������:
$$
j_1=\dfrac{\pi e^3E_1^2p_Tq_1}{(2\pi\hbar)^3k_T^2v_T}
\int\limits_{-\infty}^{\infty}
\dfrac{\ln(1+e^{\alpha-P_x^2})dP_x}
{(q_1P_x-\Omega_1)^3},
$$
$$
j_2=\dfrac{\pi e^3E_1^2p_Tq_2}{(2\pi\hbar)^3k_T^2v_T}
\int\limits_{-\infty}^{\infty}
\dfrac{\ln(1+e^{\alpha-P_x^2})dP_x}
{(q_2P_x-\Omega_2)^3},
$$
$$
j_0=j_{12}+j_{21},
$$
$$
j_{12}=\dfrac{\pi e^3E_1E_2p_Tq_1\Omega}{(2\pi\hbar)^3k_T^2v_T\Omega_1}
\int\limits_{-\infty}^{\infty}
\dfrac{\ln(1+e^{\alpha-P_x^2})dP_x}
{(q_2P_x-\Omega_2)(qP_x-\Omega)^2},
$$
$$
j_{21}=\dfrac{\pi e^3E_1E_2p_Tq_2\Omega}{(2\pi\hbar)^3k_T^2v_T\Omega_2}
\int\limits_{-\infty}^{\infty}\dfrac{\ln(1+e^{\alpha-P_x^2})dP_x}
{(q_1P_x-\Omega_1)(qP_x-\Omega)^2}.
$$

������ �������� ��������� ������������ ������ ������, ����������
������������� �����---������
$$
N=\int f_0(P)\dfrac{2d^3p}{(2\pi\hbar)^3}=
\dfrac{8\pi p_T^3}{(2\pi\hbar)^3}\int\limits_{0}^{\infty}
\dfrac{e^{\alpha-P^2}P^2dP}{1+e^{\alpha-P^2}}=
\dfrac{k_T^3}{2\pi^2}l_0(\alpha),
$$
���
$$
l_0(\alpha)=\int\limits_{0}^{\infty}\ln(1+e^{\alpha-\tau^2})d\tau.
$$

� ��������� ����� ����������� ������� ����������
(�������������) �������
$$
\omega_p=\sqrt{\dfrac{4\pi e^2N}{m}}
$$
� �������� ��������� (������������) $N$,
������ ��������� ������� ����� �������� �������� �����. �������
$$
\dfrac{\pi p_T e^3q_j}{(2\pi\hbar)^3k_T^2v_T}=
\dfrac{e^3p_Tq_jN 2\pi^2}{8\pi^3k_T^2v_Tp_T^3l_0(\alpha)}=
$$
$$
=\dfrac{e\omega_p^2mq_jv_T}{16\pi k_T^2v_T^2p_T^2l_0(\alpha)}=
\dfrac{e\Omega_p^2}{p_Tk_T}\cdot\dfrac{k_j}{16\pi l_0(\alpha)}=
\sigma_{l,tr}\cdot\dfrac{k_j}{16\pi l_0(\alpha)}.
$$

�����
$$
\Omega_p=\dfrac{\omega_p}{k_Tv_T}=\dfrac{\hbar\omega_p}{mv_T^2}
$$
-- ������������ ���������� �������,
$\sigma_{l,tr}$ -- ���������-���������� ������������,
$$
\sigma_{l,tr}=\dfrac{e\hbar}{p_T^2}
\Big(\dfrac{\hbar \omega_p}{mv_T^2}\Big)^2=
\dfrac{e}{k_Tp_T}\Big(\dfrac{\omega_p}{k_Tv_T}\Big)^2=
\dfrac{e\Omega_p^2}{p_Tk_T}.
$$

������ ������������ ����������� ���� ����������� � ����:
$$
j_1=E_1^2\sigma_{l,tr}k_1J_1,
\eqno{(5.2)}
$$
���
$$
J_1=\dfrac{1}{16\pi l_0(\alpha)}
\int\limits_{-\infty}^{\infty}
\dfrac{\ln(1+e^{\alpha-P_x^2})dP_x}
{(q_1P_x-\Omega_1)^3},
$$
$$
j_2=E_2^2\sigma_{l,tr}k_2J_2,
\eqno{(5.3)}
$$
���
$$
J_2=\dfrac{1}{16\pi l_0(\alpha)}
\int\limits_{-\infty}^{\infty}
\dfrac{\ln(1+e^{\alpha-P_x^2})dP_x}
{(q_2P_x-\Omega_2)^3},
$$
$$
j_0=E_1E_2 \sigma_{l,tr}(k_1J_{12}+k_2J_{21}),
\eqno{(5.4)}
$$
���
$$
J_{12}=\dfrac{\Omega}{16\pi l_0(\alpha)\Omega_1}
\int\limits_{-\infty}^{\infty}
\dfrac{\ln(1+e^{\alpha-P_x^2})dP_x}
{(q_2P_x-\Omega_2)(qP_x-\Omega)^2},
$$
$$
J_{21}=\dfrac{\Omega}{16\pi l_0(\alpha)\Omega_2}
\int\limits_{-\infty}^{\infty}\dfrac{\ln(1+e^{\alpha-P_x^2})dP_x}
{(q_1P_x-\Omega_1)(qP_x-\Omega)^2}.
$$

� ���������� (5.2)--(5.4) �������� $J_1,J_2,J_{12},J_{21}$ --
������������ ����� ��������� ����������� ����.

����� �������, ���������� ����� ���� ������������  �����:
$$
j_x=\sigma_{l,tr}[E_1^2k_1J_1+E_2^2k_2J_2+E_1E_2(k_1J_{12}+k_2J_{21})].
\eqno{(5.5)}
$$


���� ������ ���������� ����
$$
\mathbf{E}_j^{\bf \rm tr}=\mathbf{E}_j-
\dfrac{\mathbf{k}_j({\bf E}_j{\bf k}_j)}{k_j^2}=
\mathbf{E}_j-\dfrac{\mathbf{q}_j({\bf E}_j{\bf q}_j)}{q_j^2},
$$
��
��������� (5.5) ����� �������� � ����������� �����
$$
{\bf j}_{long}=\sigma_{l,tr}[({\bf E}_1^{tr})^2{\bf k}_1J_1+
({\bf E}_2^{tr})^2{\bf k}_2J_2+{\bf E}_1^{tr}{\bf E}_2^{tr}
({\bf k}_1J_{12}+{\bf k}_2J_{21})].
$$



�������� � ������������ ������ ����� �������� ��������� �����. ��
���������� (5.2)--(5.4) ��������, ��� ��� ����� ���������
��������  ����� ��� ��������� ����������� ���� ��������:
$$
j_x=-\dfrac{\sigma_{l,tr}}{8\pi}\Big[E_1^2\dfrac{k_1}{\Omega_1^3}+
E_2^2\dfrac{k_2}{\Omega_2^3}+2E_1E_2\dfrac{k_1+k_2}
{\Omega_1\Omega_2(\Omega_1+\Omega_2)}\Big].
$$

{\sc ��������� 1.} ��� ���������� ����������, �������� �
������������ ����� ��������� ����������� ����, �������
��������������� ��������� �������� ������. �������� �������
������ ��� ���������� $J_1$ � $J_2$ �����:
$$
J_j=\dfrac{1}{16\pi l_0(\alpha)}\int\limits_{-\infty}^{\infty}
\dfrac{\ln(1+e^{\alpha-\tau^2})d\tau}{(q_j\tau-\Omega_j)^3}=
$$
$$
=\dfrac{1}{16\pi l_0(\alpha)}\Bigg[
-i\dfrac{\pi}{2q_j^3}\Big[\ln(1+e^{\alpha-\tau^2})\Big]''
\Bigg|_{\tau=\Omega_j/q_j}+$$$$+{\rm V.p.}\int\limits_{-\infty}^{\infty}
\dfrac{\ln(1+e^{\alpha-\tau^2})d\tau}{(q_j\tau-\Omega_j)^3}\Bigg].
\eqno{(5.6)}
$$\medskip

������ ${\rm V.p.}$ ����� ���������� ��������, ��� ��������
���������� � ������ �������� ��������.

����� ��������������� �������� ������ ��� ���������� $J_{12}$ �
$J_{21}$ ������� ��������� ��������������� ����� ��
������������. �������� ���������, ���
$$
\dfrac{1}{(q_2\tau-\Omega_2)(q \tau-\Omega)^2}=\dfrac{a_1}{q_2-\tau-\Omega_2}+
\dfrac{b_1}{q\tau-\Omega}+\dfrac{c_1}{(q\tau-\Omega)^2},
\eqno{(5.7)}
$$
���
$$
a_1=\dfrac{4q_2^2}{(q_1\Omega_2-q_2\Omega_1)^2},
$$
$$
b_1=-\dfrac{4q_1q_2}{(q_1\Omega_2-q_2\Omega_1)^2},
$$
$$
c_1=-\dfrac{2q}{q_1\Omega_2-q_2\Omega_1}.
$$
����������,
$$
\dfrac{1}{(q_1\tau-\Omega_1)(q \tau-\Omega)^2}=\dfrac{a_2}{q_2-\tau-\Omega_2}+
\dfrac{b_2}{q\tau-\Omega}+\dfrac{c_2}{(q\tau-\Omega)^2},
\eqno{(5.7)}
$$
���
$$
a_2=\dfrac{4q_1^2}{(q_1\Omega_2-q_2\Omega_1)^2},
$$
$$
b_2=-\dfrac{4q_1q_2}{(q_1\Omega_2-q_2\Omega_1)^2},
$$
$$
c_2=\dfrac{2q}{q_1\Omega_2-q_2\Omega_1}.
$$

�� ��������� ����������� ���������� ��������� $J_{12}$ �
$J_{21}$  �������� ������� ������ ����������� ��������� �������:
$$
J_{12}=\dfrac{\Omega}{16\pi l_0(\alpha)\Omega_1}\Bigg[{\rm V.P.}
\int\limits_{-\infty}^{\infty}
\dfrac{\ln(1+e^{\alpha-\tau^2})d\tau}{(q_2\tau-\Omega_2)(q\tau-\Omega)^2}-
$$
$$
-i\pi a_1\ln(1+e^{\alpha-\Omega_2^2/q_2^2})-
i\pi b_1\ln(1+e^{\alpha-\Omega^2/q^2})+
2i\pi c_1\dfrac{\Omega}{q}
\dfrac{e^{\alpha-\Omega^2/q^2}}{1+e^{\alpha-\Omega^2/q^2}}\Bigg],
$$
�
$$
J_{21}=\dfrac{\Omega}{16\pi l_0(\alpha)\Omega_1}\Bigg[{\rm V.P.}
\int\limits_{-\infty}^{\infty}
\dfrac{\ln(1+e^{\alpha-\tau^2})d\tau}{(q_1\tau-\Omega_1)(q\tau-\Omega)^2}-
$$
$$
-i\pi a_2\ln(1+e^{\alpha-\Omega_1^2/q_1^2})-
i\pi b_2\ln(1+e^{\alpha-\Omega^2/q^2})+
2i\pi c_2\dfrac{\Omega}{q}
\dfrac{e^{\alpha-\Omega^2/q^2}}{1+e^{\alpha-\Omega^2/q^2}}\Bigg].
$$


\section{����������}


�������� ����������� ������������ �������������� � ������
������  ���������� ������������ "������������"\, �����  $J_{12}$ � $J_{21}$.
� ������ ������ ����������������� ���� � ������ \cite{Lat7} ����
��������� ����������� ������������ ������������ �����
����������� ����. ��� ���� ������������� ������������
������������ ���������� ���� ���� $J_1$ (��� $J_2$).
��� ���� �������������� ������� (5.6). ������� �
��������� ������ ����� ����������� "������������"\,
�������� $J_{12}$ � $J_{21}$.

�� ���. 1, 2 � 5, 6 ������������ ��������� "������������"\,�����
��� ��������� �������� ������������� ����������� ����������
$\alpha=2, 0,-5$ � ����������� �� ������������� ��������� ����� $q_1$,
��� ���� $\Omega_1=1, \Omega_2=0.5, q_2=0.1$.

�� ���. 1 � 2 ������������ ���������
�������������� ������ ����������
$J_{12}$ (���. 1) � $J_{21}$ (���. 2) , � �� ���. 5 � 6 -- ������.



�� ���. 3 � 4 ���������� ��������� �������������� ������
���������� $J_{12}$ (���. 3) � $J_{21}$ (���. 4) ���
$\Omega_1=1$, $q_2=0.1$ � ���  $\Omega_2=0.1, 0.2, 0.3$
� ����������� �� ������������� ��������� ����� $q_1$. �� ���. 7
� 8 ���������� ��������� ������ ������.

��  �������� 1--4 �����, ��� ��������� "������������"\, �����
����� ���� ������� � ���� ��������, ������ � ������ $q_1$ ���
�������� ��������� � ����.
� ������ �������� ����������� ���������� (���. 1 � 2) ��������
��������� �������������, � �������� -- �����������.
� ������ ������� ��������� ������� ����������������� ����
�������� ��������� �����������, � �������� ��������
�������������.

�� ���. 5 � 6 �����, ��� ������ ����� "������������"\, �����
����� ����� ���������� ��������, ������� �� ����������� ���
�������� � ������������� ��������� ����������� ����������, �.�. � ������
������� ������������� ������������ ����.
��� ���� ���������� �� �������� ����������� ���������� � ���
����� � ��� ������� ��������� ��������� ����� $q_1$ ��������
������ ������ ���������� "������������"\, ����� ���������� � �
������� (��� $q_1\to 0$ � $q_1\to \infty$) ���������. � ������
����������� ���������� �������� ��������� �������������, �
�������� -- �����������.

�� ���. 7 � 8 �����, ��� � ������ ��������� ����� $q_1$ ������
����� $J_{12}$ ���������� �� ������� ��������� �������
����������������� ���� $\Omega_2$ ���������� � ��� $q_1\to \infty$
���������. ��� ��������� $J_{21}$ ������ ����� ���� ������
��������� � ��� ����� � ��� ������� ��������� ������� ���������
�����.

������� �����, ��� ������ ����� "������������"\, ����� �����
�������� ��� ���� ��������� ������� ��������� �������
����������������� ����. ��� ���������� ������� ��������� �������
����������������� ���� � ������ ������ ���������� �������. ���
���������� ������� ��������� $\Omega_1$ �������� ���������
�������������, � �������� -- �����������.



� ��������� ������ ������ ��������� ������: � ������ � ������������
�������� ���������� ������������ ����, ���������������� ���
���������������� ����� � ������������� ��������� ���������.
��������� ������� �������� ������� ���������������� �����������,
������ ������ ����������� ������ ������� �������� ��������������
��������������� ������������� �����. ������������ ������������ ����������
������� �������������.

���������, ��� ���� ������������ ���������������� ����� ������������
������������� �������������� ����, �������������� � �����������
�������������� ���� (�.�. ����������� ���������� ������������� �����������
�������������� ����). ������� �������� ����������� � �����������
������������� �����.  ���������� ������ ����� �������� �������� �����.
��������� ����������� ������������ ��� ����������
"������������"\, ��������� $J_{12}$ � $J_{21}$, ������������ �������� ���������
����������� �������������� ����.


� ���������� ������ �������� ����������� ������ � ����������
������ � � ����-������� � �������������� ������������� ��
���������� ���������� ������� �������������.

\clearpage


\begin{figure}[ht]\center
\includegraphics[width=16.0cm, height=10cm]{2wave1.eps}
\center{Fig. 1. Real part of dimensionless density of longitudinal
"crossed"\, current $J_{12}$, $\Omega_1=1, \Omega_2=0.5, q_2=0.1$.
Curves $1,2,3$ correspond to values of
dimensionless chemical potential $\alpha=2, 0, -5$.}
\includegraphics[width=17.0cm, height=10cm]{2wave2.eps}
\center{Fig. 2. Real part of dimensionless density of longitudinal
"crossed"\, current $J_{21}$,  $\Omega_1=1, \Omega_2=0.5, q_2=0.1$.
Curves $1,2,3$ correspond to values of
dimensionless chemical potential $\alpha=2, 0, -5$.}
\end{figure}


\begin{figure}[ht]\center
\includegraphics[width=16.0cm, height=10cm]{2wave3.eps}
\center{Fig. 3. Real part of dimensionless density of longitudinal
"crossed"\, current $J_{12}$, $\Omega_1=1, q_2=0.1$.
Curves $1,2,3$ correspond to values of
dimensionless oscillation frequency of second electromagnetic field
$\Omega_2=0.1, 0.2, 0.3$.}
\includegraphics[width=17.0cm, height=10cm]{2wave4.eps}
\center{Fig. 4. Real part of dimensionless density of longitudinal
"crossed"\, current $J_{21}$, $\Omega_1=1, q_2=0.1$.
Curves $1,2,3$ correspond to values of
dimensionless oscillation frequency of second electromagnetic field
$\Omega_2=0.1, 0.2, 0.3$.}
\end{figure}

\begin{figure}[ht]\center
\includegraphics[width=16.0cm, height=10cm]{2wave5.eps}
\center{Fig. 5. Imaginary  part of dimensionless density of longitudinal
"crossed"\, current $J_{12}$, $\Omega_1=1, \Omega_2=0.5, q_2=0.1$.
Curves $1,2,3$ correspond to values of
dimensionless chemical potential $\alpha=2, 0, -5$.}
\includegraphics[width=17.0cm, height=10cm]{2wave6.eps}
\center{Fig. 6. Imaginary  part of dimensionless density of longitudinal
"crossed"\, current $J_{21}$, $\Omega_1=1, \Omega_2=0.5, q_2=0.1$.
Curves $1,2,3$ correspond to values of
dimensionless chemical potential $\alpha=2, 0, -5$.}
\end{figure}

\begin{figure}[ht]\center
\includegraphics[width=16.0cm, height=10cm]{2wave7.eps}
\center{Fig. 7. Imaginary  part of dimensionless density of longitudinal
"crossed"\, current $J_{12}$, $\Omega_1=1, q_2=0.1$.
Curves $1,2,3$ correspond to values of
dimensionless oscillation frequency of second electromagnetic field
$\Omega_2=0.1, 0.2, 0.3$.}
\includegraphics[width=17.0cm, height=10cm]{2wave8.eps}
\center{Fig. 8. Imaginary  part of dimensionless density of longitudinal
"crossed"\, current $J_{21}$, $\Omega_1=1, q_2=0.1$.
Curves $1,2,3$ correspond to values of
dimensionless oscillation frequency of second electromagnetic field
$\Omega_2=0.1, 0.2, 0.3$.}
\end{figure}

\clearpage

\begin{thebibliography}{99}
\renewcommand{\baselinestretch}{0.1}

\bibitem{Gins}
{\it Ginsburg V.L., Gurevich A.V.}
The nonlinear phenomena in the plasma which is
in the variable electromagnetic
field//Uspekhy Fiz. Nauk, {\bf 70}(2) 1960; p. 201-246 (in
Russian).

\bibitem{Zyt2}{\it Kovrizhkhykh L.M. and Tsytovich V.N.}
Effects of transverse electromagnetic wave decay in a
plasma//Soviet physics JETP. 1965. V. 20. \No 4, 978-983.

\bibitem{Zyt}{\it Zytovich V.N.} Nonlinear effects in plasmas//
Uspekhy Fiz. Nauk, {\bf 90}(3) 1966; p. 435-489 (in Russian).

\bibitem{Zyt3} {\it Zytovich V.N.} Nonlinear effects in plasmas.
Moscow. Publ. Leland. 2014. 287 p. (in Russian).

\bibitem{Shukla1}{\it Shukla P. K. and Eliasson B.}
Nonlinear aspects of quantum plasma physics //
Uspekhy Fiz. Nauk, {\bf 53}(1) 2010;
[V. 180. No. 1, 55-82 (2010) (in Russian)].

\bibitem{Shukla2} {\it Eliasson B. and Shukla P. K.}
Dispersion properties of
electrostatic oscillations in quantum plasmas //
arXiv:0911.4594v1 [physics.plasm-ph] 24 Nov 2009, 9 pp.



\bibitem{Lat1}{\it Latyshev A.V. and Yushkanov A.A.}
Transverse Electric Conductivity in Collisional Quantum Plasma//
Plas\-ma Physics Report, 2012, Vol. 38, No. 11, pp. 899--908.

\bibitem{Andres}{\it De Andr\'{e}s P., Monreal R., and Flores F.}
{ Relaxation--time effects in the transverse
dielectric function and the
electromagnetic properties of metallic surfaces and small particles} //
Phys. Rev. {\bf B}. 1986. Vol. 34,\No 10, 7365--7366.

\bibitem{Dressel} {\it Dressel M. and Gr\"{u}ner G.}
{Electrodynamics of Solids. Optical Properties of
Electrons in Matter} //
Cambridge. Univ. Press. 2003. 487 p.

\bibitem{Gelder} {\it Gelder van, A.P.}{Quantum Corrections in the
Theory of the Anomalous Skin Effect} //
Phys. Rev. 1969. Vol. 187. \No 3. P. 833--842.

\bibitem{Fuchs}{\it Fuchs R. and Kliewer K.L.} Surface plasmon in a
semi--infinite free--electron gas //
Phys. Rev. B. 1971. V. 3. \No 7. P. 2270--2278.

\bibitem{Brod}{\it Brodin G., Marklund M., Manfredi G.}
{Quantum Plasma Effects in the Classical Regime} //
Phys. Rev. Letters. {\bf 100}, (2008). P. 175001-1 -- 175001-4.

\bibitem{Manf} {\it Manfredi G.} How to model quantum plasmas//
Topics in Kinetic Theory (Toronto, Canada, 24-26 March 2004),
Fields Inst. Comm. {\bf 46}, eds. T. Passot, C. Sulem,
P.L. Sulem (Eds), 2005, 263-287; arXiv: quant-ph/0505004.


\bibitem{Mermin} {\it Mermin N. D.}
{ Lindhard Dielectric Functions in the Relaxation--Time Approximation}.
Phys. Rev. B. 1970. V. 1, No. 5. P. 2362--2363.

\bibitem{Lat2}{\it Latyshev A. V. and Yushkanov A. A.}
Transverse electrical conductivity of a quantum collisional
plasma in the Mermin approach // Theor. and Math. Phys., {\bf
175}(1): 559--569 (2013).

\bibitem{Lat3}{\it Latyshev A. V. and Yushkanov A. A.}
Longitudinal Dielectric Permeability of a
Quntum Degenerate Plasma with a Constant Collision Frequency//
High Temperature, 2014, Vol. 52, \No 1, pp.
128--128.

\bibitem{Lat4}{\it Latyshev A. V. and Yushkanov A. A.}
Longitudinal electric conductivity in a quantum
plasma with a variable collision frequency in the framework of
the Mermin approach// Theor. and Mathem. Physics, {\bf 178}(1):
131-142 (2014).

\bibitem{Lat5}{\it Latyshev A. V. and Yushkanov A. A.}
Transverse Permittivity of Quantum Collisional
Plasma with an Arbitrary Collision Frequency//
Plasma Physics Reports, 2014, Vol. 40, No. 7, pp. 564-571.


\bibitem{Lat7}{\it Latyshev A. V. and Yushkanov A. A.}
Generation of the longitudinal current by the
transversal electromagnetic field in classical and quantum
plasmas//arXiv: 1503.02102 [physics.plasm-ph] 6 Mar 2015, 27 p.

\bibitem{Lat8}{\it Latyshev A. V. and Yushkanov A. A.}
Generation of longitudinal
electric current by transversal electromagnetic field in
Maxwellian plasmas// arXiv: 1503.04478 [physics.plasm-ph] 15 Mar 2015, 18  p.

\bibitem{Lat9}{\it Latyshev A. V. and Yushkanov A. A.}
Generation of longitudinal electric current
by the transversal electro\-mag\-ne\-tic field in classical and quantum
plasma// arXiv:1503.08700v1 [physics.plasm-ph] 30 Mar 2015, 26  p.






\end{thebibliography}


\end{document}

1505.06796.extracted_bib
{Gins {Ginsburg V.L., Gurevich A.V. The nonlinear phenomena in the plasma which is in the variable electromagnetic field//Uspekhy Fiz. Nauk, {70(2) 1960; p. 201-246 (in Russian).
1505.06796.extracted_bib
{Zyt2{Kovrizhkhykh L.M. and Tsytovich V.N. Effects of transverse electromagnetic wave decay in a plasma//Soviet physics JETP. 1965. V. 20. \No 4, 978-983.
1505.06796.extracted_bib
{Zyt{Zytovich V.N. Nonlinear effects in plasmas// Uspekhy Fiz. Nauk, {90(3) 1966; p. 435-489 (in Russian).
1505.06796.extracted_bib
{Zyt3 {Zytovich V.N. Nonlinear effects in plasmas. Moscow. Publ. Leland. 2014. 287 p. (in Russian).
1505.06796.extracted_bib
{Shukla1{Shukla P. K. and Eliasson B. Nonlinear aspects of quantum plasma physics // Uspekhy Fiz. Nauk, {53(1) 2010; [V. 180. No. 1, 55-82 (2010) (in Russian)].
1505.06796.extracted_bib
{Shukla2 {Eliasson B. and Shukla P. K. Dispersion properties of electrostatic oscillations in quantum plasmas // arXiv:0911.4594v1 [physics.plasm-ph] 24 Nov 2009, 9 pp.
1505.06796.extracted_bib
{Lat1{Latyshev A.V. and Yushkanov A.A. Transverse Electric Conductivity in Collisional Quantum Plasma// Plas\-ma Physics Report, 2012, Vol. 38, No. 11, pp. 899--908.
1505.06796.extracted_bib
{Andres{De Andr\'{es P., Monreal R., and Flores F. { Relaxation--time effects in the transverse dielectric function and the electromagnetic properties of metallic surfaces and small particles // Phys. Rev. {B. 1986. Vol. 34,\No 10, 7365--7366.
1505.06796.extracted_bib
{Dressel {Dressel M. and Gr\"{uner G. {Electrodynamics of Solids. Optical Properties of Electrons in Matter // Cambridge. Univ. Press. 2003. 487 p.
1505.06796.extracted_bib
{Gelder {Gelder van, A.P.{Quantum Corrections in the Theory of the Anomalous Skin Effect // Phys. Rev. 1969. Vol. 187. \No 3. P. 833--842.
1505.06796.extracted_bib
{Fuchs{Fuchs R. and Kliewer K.L. Surface plasmon in a semi--infinite free--electron gas // Phys. Rev. B. 1971. V. 3. \No 7. P. 2270--2278.
1505.06796.extracted_bib
{Brod{Brodin G., Marklund M., Manfredi G. {Quantum Plasma Effects in the Classical Regime // Phys. Rev. Letters. {100, (2008). P. 175001-1 -- 175001-4.
1505.06796.extracted_bib
{Manf {Manfredi G. How to model quantum plasmas// Topics in Kinetic Theory (Toronto, Canada, 24-26 March 2004), Fields Inst. Comm. {46, eds. T. Passot, C. Sulem, P.L. Sulem (Eds), 2005, 263-287; arXiv: quant-ph/0505004.
1505.06796.extracted_bib
{Mermin {Mermin N. D. { Lindhard Dielectric Functions in the Relaxation--Time Approximation. Phys. Rev. B. 1970. V. 1, No. 5. P. 2362--2363.
1505.06796.extracted_bib
{Lat2{Latyshev A. V. and Yushkanov A. A. Transverse electrical conductivity of a quantum collisional plasma in the Mermin approach // Theor. and Math. Phys., {175(1): 559--569 (2013).
1505.06796.extracted_bib
{Lat3{Latyshev A. V. and Yushkanov A. A. Longitudinal Dielectric Permeability of a Quntum Degenerate Plasma with a Constant Collision Frequency// High Temperature, 2014, Vol. 52, \No 1, pp. 128--128.
1505.06796.extracted_bib
{Lat4{Latyshev A. V. and Yushkanov A. A. Longitudinal electric conductivity in a quantum plasma with a variable collision frequency in the framework of the Mermin approach// Theor. and Mathem. Physics, {178(1): 131-142 (2014).
1505.06796.extracted_bib
{Lat5{Latyshev A. V. and Yushkanov A. A. Transverse Permittivity of Quantum Collisional Plasma with an Arbitrary Collision Frequency// Plasma Physics Reports, 2014, Vol. 40, No. 7, pp. 564-571.
1505.06796.extracted_bib
{Lat7{Latyshev A. V. and Yushkanov A. A. Generation of the longitudinal current by the transversal electromagnetic field in classical and quantum plasmas//arXiv: 1503.02102 [physics.plasm-ph] 6 Mar 2015, 27 p.
1505.06796.extracted_bib
{Lat8{Latyshev A. V. and Yushkanov A. A. Generation of longitudinal electric current by transversal electromagnetic field in Maxwellian plasmas// arXiv: 1503.04478 [physics.plasm-ph] 15 Mar 2015, 18 p.
1505.06796.extracted_bib
{Lat9{Latyshev A. V. and Yushkanov A. A. Generation of longitudinal electric current by the transversal electro\-mag\-ne\-tic field in classical and quantum plasma// arXiv:1503.08700v1 [physics.plasm-ph] 30 Mar 2015, 26 p.