Potts_per.-tr.inv_.tex
\documentclass[11pt,reqno]{amsart}

\newcommand{\aaa}{{a}}

%\usepackage{showkeys}
%\usepackage[russian]{babel}
\usepackage{amscd,amssymb,amsmath,amsthm}
%\usepackage[arrow,matrix]{xy}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{color}
\usepackage{cite}
\usepackage{epstopdf}
\topmargin=0.1in \textwidth5.5in \textheight7.7in

%\documentclass[a4paper]{article}
\usepackage{amssymb}
%\usepackage[cp866]{inputenc}
\usepackage[russian]{babel}
\textwidth 157mm \textheight 225mm \topmargin -20mm \oddsidemargin
5mm \evensidemargin 5mm \baselineskip+6pt
%\topmargin=0.1in \textwidth5.9in \textheight7.85in
%\oddsidemargin=0.3in \evensidemargin=0.3in
\renewcommand\baselinestretch{1.15}
%\renewcommand\baselinestretch{0.9}

\newtheorem{thm}{Theorem}
\newtheorem{defn}{Definition}
\newtheorem{lemma}{Lemma}
\newtheorem{pro}{Proposition}
\newtheorem{rk}{Remark}
\newtheorem{cor}{Corollary}
\newtheorem{question}{Question}
\newtheorem{ex}{Example}


%\newenvironment{remark}{\begin{varremark}\em}{\em\end{varremark}}

%\newtheorem{thm}[subsection]{Theorem}
%\newtheorem{lemma}[subsection]{Lemma}
%\newtheorem{pro}[section]{Proposition}
%\newtheorem{cor}[subsection]{Corollary}

%\theoremstyle{definition}
%\newtheorem{rk}[subsection]{Remark}
%\newtheorem{defn}[subsection]{Definition}
%\newtheorem{ex}{Example}
%\newtheorem{question}[section]{Question}

\numberwithin{equation}{section} \setcounter{tocdepth}{1}
\def \t {\theta}

\DeclareMathOperator{\Der}{\rm Der}


\newcommand{\surj}{\twoheadrightarrow}
\newcommand{\eqv}{{\Longleftrightarrow}}
%\doublespacing
\def\ann{\operatorname{ann}}
\def\codim{\operatorname{codim}}
\def\Img{\operatorname{Im}}
\def\spa{\operatorname{span}}
\def\s{\sigma}
\def\f{\varphi}
\def\s{\sigma}
\def\r{\rho}
\def\O{\Omega}
\def\w{\omega}
\def\e{\varepsilon}
\def\s{\sigma}
\def\e{\varepsilon}
\def\l{\lambda}
\def\z{\eta}
\def\t{\theta}
\def\d{\delta}
\def\a{\alpha}
\def\w{\omega}
\def\O{\Omega}
\def\M{\mathcal M}
\def\K{\mathcal G}
\def\R{\mathbb{R}}
\def\b{\beta}
\def\m{\mu}
\def\n{\nu}
\def\L{\Lambda}
\def\G{\Gamma}
\def\C{\mathbb{C}}
\def\N{\cal N}
\def\Z{\mathbb{Z}}
\def \d {\delta}
\def \L {\Lambda}
\def \G {\Gamma}
\def \t {\theta}
\def\c{\gamma}

\newenvironment{romenum}
{\renewcommand{\theenumi}{\roman{enumi}}
\renewcommand{\labelenumi}{(\theenumi)}
\begin{e numerate}}{\end{enumerate}}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{document}
\begin{center}
\textbf{\Large {�������������-������������ � ������������� ���� ������ ��� ������ ������ �� ������ ����}}\\
\end{center}\

\begin{center}
�.�.�������\footnote{�������� ����������, ��. ������ ����, 29, �������, 100125, ����������.\\
E-mail: rustam-7102@rambler.ru}, �.�.��������\footnote{������������ ����������� �����������, �������, ����������.\\
E-mail: haydarov\_imc@mail.ru},
\end{center}\



��� �������������� ������ ������ � ����� ����������� ������� �������������-������������ ���� ������ �� ������ ���� ������� $k=3$ � ���� ����� ������� ��� �������������-������������ ��� ������. ��������� ������������� ���� ������ ��� ������������������ ������ ������ � $q-$����������� �� ������ ���� ������� $k$. ��� ���� �������� ��������� ���������� �� ������ \cite{KhR}: �� ��������� ����������� ���� ������ ���������� ������������� ��� ������ �� ������ ���� ������� $k\geq3$ � �������� ���. \\

\textbf{�������� �����}: ������ ����, ������������, ������ ������, ���� ������, �������������-������������ ����,
 ������������� ����.

\section{\textbf{��������}}\

��������, ��� ������ ���������� ���� ������ �������������� ���� ���� ���������� �������. ������� � ������ ��� ������ ����� �� ������ ����� �������� ������������� �������� ��������, �.�. ����� ���������� ������� ������ ���� ��������� ��� ��������� �����������. ��� ����������, ����� ���� ������ �� �����������. ��� ���� �����������, ��� ������� �������� ��������� ���������� �������, ������ ���������� ����������� (\cite {6}-\cite {Si}).

� \cite{Ga8} ������� �������������� ������ ������ � �����
����������� �� ������ ���� ������� ������� � ��������
������������� ����������� ����������� $T_c$ �����, ��� ��� $T<T_c$
���������� ��� �������������-������������ � ��������� ����� ��
�������������-������������ ��� ������. � ������ \cite {GN}
�������� ���������� ������ \cite{Ga8} ��� ������ ������ � ��������
������ ��������� �� ������ ���� ������������� (���������) �������.

� ������ \cite{R} ��������, ��� �� ������ ����
�������������-������������ ���� ������ ������������������ ������
������ � ������� ����� �����������.
������ \cite{Ga13} ��������� ������ ������ �� ������� ������ ��������� �
c ��������� ������� ����� � ��������, ��� ��� ������ �����
������������ �������������-������������ ���� ������.

� ������ \cite{RK} ������� ������������� ���� ������ � ��� ��������� �������� ��������, ��� ���
������������� ���� ������ �������� �������������-�������������;
������� �������, ��� ������� ������ ������ � ��������� �������
����� ����� ������������� ���� ������. ������ \cite{KhR1} �������� ������������ ������ \cite{RK}.
�������� ������������� �� ����� ���� ������������� ��� ������ � �������� ��� �� ������ ���� �������
��� � ������ ��� ������ ������ � ����� ����������� � � ������� �������
�����. � � ������ \cite{KhR} ������� ������ ������ � $q-$�����������
�� ������ ���� ������� $k\geq3$ � �� ��������� ����������� �������� ������������� �������������
(�� �������������-������������) ��� ������ ��� ��������� ��������
�� ��������� ���� ������. ����� ����, ������� ������ �������
���������� ������������ ������������� ��� ������. � ������ \cite{KRK} ���� ������ �������� �������������-������������ ��� ������
��� �������������� ������ ������ � $q-$����������� � ��������, ���
�� ���������� ����� $2^q-1$, � � ������ \cite{KR} ������� ������ ��������� ���� ���.

� ���� ������ �� ����� ����� ������� ��� �������������-������������ ��� ������ �������������� ������ ������ � ����� ����������� �� ������ ���� ������� $k=3$. ����� ����, �������, ��� �� ��������� ���������� ��� ��������� �������� �� ���������
������������������ ������ ������ � $q-$����������� � ������� ������� ����� ��
������ ���� ������� $k\geq 3$ ���������� ����� ���
������������� (�� �������������-������������) ���� ������ � �������� ��� � ������ ������ ���������� ������������ ������������� ��� ������ �� ����������� ��������� ������������ ��������. \


\section{\textbf{����������� � ��������� �����}}\

������ ���� $\Im^k$ ������� $ k\geq 1 $ - ����������� ������, �.�.
���� ��� ������, �� ������ ������� �������� ������� ����� $k+1$
�����. ����� $\Im^k=(V,L,i)$, ��� $V-$���� ��������� ������
$\Im^k$, $L-$��������� ��� �����, � $i-$�������
�������������, �������������� ������� ����� $l\in L$ ��� ��������
����� $x, y \in V$. ���� $i (l) = \{ x, y \} $, �� $x$ � $y$
����������  {\it ���������� �������� �������} � ������������ $l =
<x, y> $. ���������� $d(x,y), x, y \in V$ �� ������ ����
������������ ��������
$$
d (x, y) = \min \ \{d | \exists x=x_0, x_1,\dots, x _ {d-1},
x_d=y\in V \ \ \mbox {�����, ���} \ \ <x_0, x_1>,\dots, <x _
{d-1}, x_d>\}.$$

��� �������������� $x^0\in V$ ��������� $ W_n = \ \{x\in V\ \ | \ \
d (x, x^0) =n \}, $
$$ V_n = \ \{x\in V\ \ | \ \ d (x, x^0) \leq n \},\ \
L_n = \ \{l = <x, y> \in L \ \ | \ \ x, y \in V_n \}. $$

��������, ��� ���������� ������������������ ������������ �����
���������� $V$ ������ ������ ���� ������� $k\geq 1 $ � ������� $G
_{k},$ ���������� ��������� ������������� $k+1$ ����������� �����
������� ������� � ����������� $a_1, a_2,\dots, a_{k+1} $,
��������������.\

�� ���������� ������, ��� �������� ���������� ��������� ��������
�� ��������� $\Phi = \ \{1, 2,\dots, q \},$ $ q\geq 2 $ �
����������� �� �������� ������. ����� \emph{ ������������} $\s$ ��
$V$ ������������ ��� ������� $x\in V\to\s (x) \in\Phi$; ���������
���� ������������ ��������� � $\Omega =\Phi ^ {V} $.

������������ ������ ������ ������������ ���
\begin{equation}\label{f.1}
H(\sigma)=-J\sum_{\langle x,y\rangle\in L}
\delta_{\sigma(x)\sigma(y)},
\end{equation}
��� $J\in R$, $\langle x,y\rangle-$ ��������� ������ �
$\delta_{ij}-$ ������ ���������:
$$\delta_{ij}=\left\{\begin{array}{ll}
0, \ \ \mbox{����} \ \ i\ne j\\[2mm]
1, \ \ \mbox{����} \ \ i= j.
\end{array}\right.
$$
��������� ������������� ������������� ������������� ���� $\mu$ �
������ $V_n$ ���
\begin{equation}\label{f.2}
\mu_n(\sigma_n)=Z_n^{-1}\exp\left\{-\beta
H_n(\sigma_n)+\sum_{x\in W_n}h_{\sigma(x),x}\right\},
\end{equation}
��� $\beta=1/T$, $T>0$--�����������,  $Z_n^{-1}$ �����������
��������� � $\{h_x=(h_{1,x},\dots, h_{q,x})\in R^q, x\in V\}$
������������ �������� �
$$H_n(\sigma_n)=-J\sum_{\langle x,y\rangle\in L_n}
\delta_{\sigma(x)\sigma(y)}.$$

�������, ��� ������������� ������������� (\ref{f.2}) �������������, ����
��� ���� $n\geq 1$ � $\sigma_{n-1}\in \Phi^{V_{n-1}}$:
$$\sum_{\omega_n\in \Phi^{W_n}}\mu_n(\sigma_{n-1}\vee
\omega_n)=\mu_{n-1}(\sigma_{n-1}).$$

����� $\sigma_{n-1}\vee \omega_n$  ���� ����������� ������������.
� ���� ������, ���������� ������������ ���� $\mu$ �� $\Phi^V$
�����, ��� ��� ���� $n$ � $\sigma_n\in \Phi^{V_n}$
$$\mu(\{\sigma|_{V_n}=\sigma_n\})=\mu_n(\sigma_n).$$
����� ���� ���������� ������������ ����������� �����,
�������������� ������������� (\ref{f.1}) � ������������� ������� $h_x,
x\in V$.\

��������� ����������� ��������� ������� �� $h_x$, ��������������
��������������� $\mu_n(\sigma_n)$.

\textbf{������� 1}.\cite{R} \textit{������������� �������������
$\mu_n(\sigma_n)$, $n=1,2,\ldots$ � (\ref{f.2}) �������� �������������
����� � ������ �����}, \textit{����� ��� ������} $x\in V$
\textit{����� ����� ���������
\begin{equation}\label{f.3}
h_x=\sum_{y\in
S(x)}F(h_y,\theta),
\end{equation}
��� $F: h=(h_1,
\dots,h_{q-1})\in R^{q-1}\to
F(h,\theta)=(F_1,\dots,F_{q-1})\in R^{q-1}$ ������������
���:
$$F_i=\ln\left({(\theta-1)e^{h_i}+\sum_{j=1}^{q-1}e^{h_j}+1\over
\theta+ \sum_{j=1}^{q-1}e^{h_j}}\right),$$
$\theta=\exp(J\beta)$, $S(x)-$ ��������� ������ �������� �����
$x$} \textit{�}
$h_x=\left(h_{1,x},\dots,h_{q-1,x}\right)$ \textit{� ��������}
\begin{equation}\label{hh}
h_{i,x}={\tilde h}_{i,x}-{\tilde h}_{q,x}, \ \ i=1,\dots,q-1.
\end{equation} \

����� $\widehat{G}_k-$ ��������� ������ $G_k$.

\textbf{����������� 1}. ������������ �������� $h=\{h_x,\, x\in
G_k\}$ ���������� $ \widehat{G}_k$-�������������, ����
$h_{yx}=h_x$ ��� $\forall x\in G_k, y\in\widehat{G}_k.$

$G_k-$ ������������� ������������ ����������
�������������-�������������.

\textbf{����������� 2}. ���� $\mu$ ����������
$\widehat{G}_k$-�������������, ���� ��� �������������
$\widehat{G}_k$-������������� ������������ �������� $h$.

��������� ������� ������������� ������������� ���� ������.

\textbf{������� 2.}\cite{RK} \textit{����� $K-$ ����������
�������� ��������� ������� � $G_k.$ ����� ��� ������ ������ ���
$K-$ ������������� ���� ������ �������� ���� $G_k^{(2)}-$
��������������, ���� �������������-�������������, ���
$G^{(2)}_k=\{x: |x|-\emph{������}\}.$}\


\section{\textbf{�������������-������������ ���� ������}}\

��� ������ $x\in V$ �������������-������������ ���� ������ ������������� ������� $h_x$ �� ������� (\ref{f.3}) �
$h_x=h=(h_1,\dots,h_{q-1})\in R^{q-1}$. ����� �� ��������� (\ref{f.3}) �� ������� $h=kF(h,\theta)$ � ���������
$z_i=\exp(h_i), i=1,\dots,q-1$, ��������� ��������� ����� ���������� ���
\begin{equation}\label{pt1}
z_i=\left({(\theta-1)z_i+\sum_{j=1}^{q-1}z_j+1\over \theta+
\sum_{j=1}^{q-1}z_j}\right)^k,\ \ i=1,\dots,q-1.
\end{equation}

�� ������ \cite{KRK} ��������, ��� ����� �������������-������������ ���� ����� ������ ������������� ������� ���������� ���������
\begin{equation}\label{rm}
z=f_m(z)\equiv \left({(\theta+m-1)z+q-m\over
mz+q-m-1+\theta}\right)^k,
\end{equation}
��� ��������� $m=1,\dots,q-1$.

���������� (\ref{rm}) ��� $k=3, \ \theta>1$ � ��������� $\sqrt[3]{z}=x$. �����
$$mx^4-(\theta+m-1)x^3+(q-m-1+\theta)x-q+m=0.$$
�������, ��� $x_0=1$ �������� �������� ����� ���������. �������� ��� ��������� �� $(x-1)$, �������
\begin{equation}\label{3.1}
\varphi(x)=mx^3-(\theta-1)x^2-(\theta-1)x+q-m=0.
\end{equation}
�������, ��� ��������� ��������� �� ������� ������� � ���������� ������������� ������ ���������� ����� �� ����� ���� ������������� �������. ����� ����, $\varphi(0)=q-m>0, \
\varphi(+\infty)=+\infty$ � ��������� $\varphi'(x)=0$ �����
������������ ������������� �������:
$$x^*(\theta,m)={\theta-1+\sqrt{(\theta-1)^2+3m(\theta-1)}\over 3m},$$
�.�. ������� $\varphi(x)$ ������� ��� $x<x^*$ � ���������� ���
$x>x^*$. �������������, ���������� $\theta_{cr}(m,q)$ �����, ���
��������� (\ref{3.1}) �� ����� ������� ��� $\theta<\theta_{cr}(m,q)$,
����� ���� ������� ��� $\theta=\theta_{cr}(m,q)$ � ����� ��� �������
��� $\theta>\theta_{cr}(m,q)$, ��� $\theta_{cr}(m,q)$ ���� ������� ���������
$\varphi(x^*)=0$.

������ ������, � ������ \cite{KRK} ���� ������� (3.17), (3.18) ��� ���������� $\theta_{cr}(m,q)=\theta_m$ � ��������� ��� ������� ��� $k=3$, �����

\begin{equation}\label{3.3}
\theta_{cr}(m,q)=\psi(x^{**}),
\end{equation}
���
$$\psi(x)={mx^3+q-m\over x^2+x}+1$$
� $x^{**}$ ���� ������� ��������� $mx^4+2mx^3-2(q-m)x-(q-m)=0.$ ����� ��������� ��������� ����������� ������� ������� �� �������� �������. ����� ����� ���������� ���������� ����� �����
$$x^{**}={\sqrt[4]{8\alpha_0^3}+\sqrt{(3-2\alpha_0)\sqrt{2\alpha_0}-6+{4q\over m}}\over 2\sqrt[4]{2\alpha_0}}-{1\over2},$$
���
$$\alpha_0={\sqrt[3]{m(8m^2-12mq+4q^2)}+m\over 2m}.$$

\textbf{������ $q=3$.} � ���� ������ ��������� $\varphi'(x)=0$ �����
������������ ������������� �������:
$$x^*(\theta,1)={\theta-1+\sqrt{\theta^2+\theta-2}\over 3}$$
� $\theta_{cr}$ ���� ������� ���������
$\varphi(x^*)=0$: $\theta_{cr}=\sqrt{9+6\sqrt{3}}-2\approx2.403669476$.

\textbf{��������� 1.} ��� �������� ��� $\theta_{cr}$ ����� �������� �� ������� (\ref{3.3}) ��� $q=3, m=1$.

������ ������� ��������� (\ref{3.1}) � ������� ������� �������. ��� �����
��������� $x=y+(\theta-1)/3$ � ��������� ��������� (\ref{3.1})
\begin{equation}\label{3.2}
y^3+py+r=0,
\end{equation}
���
$$p=-{1\over3}(\theta^2+\theta-2), \ r={1\over27}\left(-2(\theta-1)^3-9(\theta-1)^2+54\right).$$
��������� ��������� ����� ���� ������������� �������
$$y=\sqrt[3]{-{r\over2}+\sqrt{{r^2\over4}+{p^3\over27}}}+\sqrt[3]{-{r\over2}-\sqrt{{r^2\over4}+{r^3\over27}}}$$
��� $\theta<\theta_{cr}$, ���� ������������� �������
$$y^*={1\over2}\left(1+\sqrt{3}+{1\over3}\sqrt{9+6\sqrt{3}}(1-\sqrt{3})\right)\approx 0.828740438$$
��� $\theta=\theta_{cr}$ � ������� ����
$$y_1={2p\over3}\cos{\alpha\over3}, \ y_2={2p\over3}\cos{\alpha+2\pi\over3}, \ y_3={2p\over3}\cos{\alpha+4\pi\over3}$$
��� $\theta>\theta_{cr}$, ���
$$\alpha=\arctan\left({2\over r}\sqrt{-{r^2\over4}-{p^3\over27}}\right), \ r(\theta)\neq0.$$
����� �������, ��� $x_1=y_1+{\theta-1\over3}<0, \
x_2=y_2+{\theta-1\over3}>0, \ x_3=y_3+{\theta-1\over3}>0$ ���
$\theta>\theta_{cr}$. ����� ����,
$$x_4=y^*+{\theta-1\over3}={1\over2}\left(-1+\sqrt{3}+{1\over3}\sqrt{9+6\sqrt{3}}(3-\sqrt{3})\right)\approx 1.296630263$$
��� $\theta=\theta_{cr}$.

�����, �� ������ \cite{KRK} (����� 1) �������, ��� $z_2^{-1}$ � $z_3^{-1}$ �������� ��������� ��������� (\ref{rm}) ��� $m=2, k=3$. �� ����� ���������� � � ���� ������� (1.5) �� ��� �� ������ ������� ���������

\textbf{�����������.} ����� $q=3, k=3, \theta>1$. ����� ������� ��������� (\ref{pt1})
�����

1. ������������ ������� $(1,1)$ ��� $\theta<\theta_{cr}$;

2. ��� ������� $(1,1), (z_1,1), (1,z_1)$ ��� $\theta=\theta_{cr}$;

3. ���� ������� $(1,1)$, $(z_2,1)$, $(1,z_2)$, $(z_3,1)$,
$(1,z_3)$, $(z_2,z_2)$, $(z_3,z_3)$  ��� $\theta>\theta_{cr}$, ��� $z_1=x_4^3, z_2=x_2^3, z_3=x_3^3$.\

\textbf{��������� 2.} 1. ����������� 1 �������� ������� ������� ������� 1 �� ������ \cite{KRK}. ����� �� ���� ����� ������� ��� �������, ��������������� �������������-������������ ����� ������ � ������ $k=3$.

2. ��� $\theta=\theta_{cr}$ ����� $z_1=z_2=z_3$.

3. �������, ��� ������� $(z_2,z_2)$ � $(z_3,z_3)$, ������� ������ \cite{KRK}, �������� �� ������� ���� $(1,1,z)$ ��� $m=1$.

\section{\textbf{������������� ���� ������}}\

���������� ������ $q\geq 3$, �.�. $\sigma:V\rightarrow\Phi=
\{1,2,3,...,q\}$. � ���� ������� 2 ������� ������
$G^{(2)}_k$-������������� ���� ������, ������� �������������
������������ �������� $h=\{h_x\in R^{q-1}: \, x\in G_k\}$ ����
$$h_x=\left\{%
\begin{array}{ll}
    h, \ \ \ $ ���� $ |x|-\mbox{�����} $,$ \\
    l, \ \ \ $ ���� $ |x|-\mbox{�������} $.$ \\
\end{array}%
\right. $$
 ����� $h=(h_1,h_2,...,h_{q-1}),$ $l=(l_1,l_2,...,l_{q-1}).$
����� � ���� (\ref{f.3}) �����:
$$
\left\{%
\begin{array}{ll}
    h_{i}=k\ln{(\theta-1)\exp(l_i) + \sum_{j=1}^{q-1}exp({l_j})+1\over \sum_{j=1}^{q-1}exp({l_j})+\theta},\\[3 mm]
    l_{i}=k\ln{(\theta-1)\exp(h_i) + \sum_{j=1}^{q-1}exp({h_j})+1\over \sum_{j=1}^{q-1}exp({h_j})+\theta},  \\
\end{array}%
i=\overline{1,q-1}. \right.$$\

������ ��������� �����������: $\exp(h_i)=x_i,\ \exp(l_i)=y_i.$
����� ��������� ������� ��������� ��� $i=\overline{1,q-1}$ �����
����������:
\begin{equation}\label{f.4}
\left\{%
\begin{array}{ll}
    x_{i}=\left({(\theta-1)y_i + \sum_{j=1}^{q-1}y_j+1\over \sum_{j=1}^{q-1}y_j+\theta}\right)^k, \\[3 mm]
    y_{i}=\left({(\theta-1)x_i + \sum_{j=1}^{q-1}x_j+1\over \sum_{j=1}^{q-1}x_j+\theta}\right)^k.\\
    \end{array}%
\right.
\end{equation}\

\textbf{��������� 3.} 1) ��� $q=2$ ������ ������ ��������� �
������� ������, � ������� ����� ������������ � ����������  \cite{R}.

2) � ������ $k=2, \ q=3$ � $J<0$ ���� ��������, ��� ��
������������ ��������� $I=\{(x_1,x_2,y_1,y_2)\in R^4: x_1=x_2, \
y_1=y_2\}$ ��� $G_k^{(2)}-$������������� ���� ������ ��������
�������������-������������� (��. \cite{RK}).

3) � ������ $k\geq 1, \ q=3$ � $J>0$ ���� ��������, ��� ���
$G_k^{(2)}-$������������� ���� ������ ��������
�������������-������������� (��. \cite{RK}).

�� ������ \cite{KhR} ��������, ��� ���������
$$I_m=\{z=(u,v)\in R^{q-1}\times R^{q-1}: x_i=x, \ y_i=y,
i=\overline{1,m}, \ x_i=y_i=1, i=\overline{m+1,q-1}\};$$ �.�.
$u=(\underbrace{x,x,...,x}_m,1,1,...,1), \
v=(\underbrace{y,y,...,y}_m,1,1,...,1)$,
�������� ������������ ������������ ����������� $W:R^{q-1}\times R^{q-1} \rightarrow
R^{q-1}\times R^{q-1},$ ������������ ��������� �������:
$$
\left\{%
\begin{array}{ll}
    x_{i}^{'}=\left({(\theta-1)y_i + \sum_{j=1}^{q-1}y_j+1\over \sum_{j=1}^{q-1}y_j+\theta}\right)^k \\[3 mm]
    y_{i}^{'}=\left({(\theta-1)x_i + \sum_{j=1}^{q-1}x_j+1\over \sum_{j=1}^{q-1}x_j+\theta}\right)^k.\\
    \end{array}%
\right.$$

� ������ $I_m$ ������� ��������� (\ref{f.4}) �����
��������� ���:
\begin{equation}\label{f.5}
\left\{%
\begin{array}{ll}
    x=\left({\theta y +(m-1)y+(q-m)\over \theta +m y+(q-m-1)}\right)^k \\[3 mm]
    y=\left({\theta x +(m-1)x+(q-m)\over \theta +m x+(q-m-1)}\right)^k\\
    \end{array}%
\right.
\end{equation}\
 ���
\begin{equation}\label{f.6}
\left\{%
\begin{array}{ll}
    x=f(y) \\
    y=f(x), \\
    \end{array}%
\right. \texttt{���}\ f(x)=\left({\theta x +(m-1)x+(q-m)\over \theta +m
x+(q-m-1)}\right)^k,
\end{equation}.

\textbf{��������� 4.} 1.(��.\cite{KhR}) ����� $\pi\in S_{q-1}$ ������������.
��������� �������� $\pi$ �� ������ $x=(x_1,x_2,...,x_{q-1})$ ���
$\pi (x)=(x_{\pi(1)},x_{\pi(2)},...,x_{\pi(q-1)})$. �����
$\pi(A)=\{(\pi x,\pi y): (x,y)\in A \}$, ��� $A=I_m$, ����� �������� ������������ ���������� ������������
$W$, �� ��������������� ������� ��������� � ������ $I_m$ ���������
� (\ref{f.5}), ������� �� ������� ��������,
����� ����������� $I_m$.

2. � ������ \cite{KhR} ���� �������� ����������� 1, ��� ��� $k\geq 3$,\ $3\leq
q<k+1$,\, $0<\theta<\overline{\theta}_{cr}=\frac{k-q+1}{k+1}<1$ �������
��������� (\ref{f.4}) �� ������������ ��������� $I_m$ ����� �� ����� ���� ������� $x_0<x_1=1<x_2,$ ���
$\theta=\overline{\theta}_{cr}$ ����� �� ����� ������ ������� $x_1=1$ � ��� $\theta >
\overline{\theta}_{cr}$ ����� ������ ���� ������� $x_1=1$.

� ��������� ������� �� �������, ��� �������
��������� (\ref{f.4}) �� $I_m$, ��� ���������� $m$, ��� ���� �������� ����� ����� ��� ������� $x_0<x_1=1<x_2$ ��� $0<\theta<\overline{\theta}_{cr}$.

\textbf{������� 3.} \textit{����� $\overline{\theta}_{cr}={k-q+1\over k+1}, \ k\geq 3$,\, $q\geq3$, \, $J<0$.  ����� ��� ������ ������ } \textit{��� $0<\theta<\overline{\theta}_{cr}$ ���������� ����� ��� $G_k^{(2)}-$
������������� ���� ������, ��������������� ������������ �� ��������� $I_m$ ��� ���������� $m$. ��� ���� ���� �� ��� �������� �������������-������������, � ������ ��� $G_k^{(2)}-$
�������������� (�� �������������-�������������).}\

\textbf{��������������.} �������, ��� ������� ��������� (\ref{f.6}) ��� $x=y$ � $\theta<1$ ����� ������������ �������, ������� ������������� �������������-������������ ���� ������, �.�. ��� $x=y$ ����� ��������� $x=f(x)$, ��� ������ ����� �������� �����������: $f(0)=\left({q-m\over \theta+q-m-1}\right)^k>0$, ������� $f(x)$ ������ ������� � ���������� ��� $x>0$. �������, ��� ��� �������� ������� ���������� ������ ��� $G_k^{(2)}-$ ������������� (�� �������������-������������) ���� ������ � $x\neq y$. ��� ����� ����� ������� ��������� $f(f(x))=x$. ��� ��� ������� $f(x)$ �������� ��� $x>0$, ���������� ��������� ��������� � ���� $f(x)=f^{-1}(x)=g(x)$, ���
$$g(x)=f^{-1}(x)={q-m-(\theta+q-m-1)\sqrt[k]{x}\over m\sqrt[k]{x}-\theta-m+1}.$$

��� ��� $f(x)>0$, �� $g(x)>0$, ������ �����
$$\theta_1=\left({\theta+m-1\over m}\right)^k<x<\left({q-m\over \theta+q-m-1}\right)^k=\theta_2.$$

���������� ������� $h(x)=\ln{f(x)\over g(x)}=\ln f(x)-\ln g(x)$. ������ ������� ��������� $h(x)=0$. ����, ��� $x=1$ �������� �������� ����� ���������, �.�. $h(1)=0$. ��������� ������������
$$f'(x)={k(\theta-1)(\theta+q-1)f(x)\over [(\theta+m-1)x+q-m](mx+\theta+q-m-1)}$$
�
$$g'(x)={(\theta-1)(\theta+q-1)g(x)\over k\sqrt[k]{x^{k-1}}(m\sqrt[k]{x}-\theta-m+1)[q-m-(\theta+q-m-1)\sqrt[k]{x}]},$$
����� �����
$$h'(x)={f'(x)\over f(x)}-{g'(x)\over g(x)}={(\theta-1)(\theta+q-1)\over k}\cdot{k^2\over [(\theta+m-1)x+q-m](mx+\theta+q-m-1)}-$$
$$-{(\theta-1)(\theta+q-1)\over k}\cdot{1\over \sqrt[k]{x^{k-1}}(m\sqrt[k]{x}-\theta-m+1)(q-m-(\theta+q-m-1)\sqrt[k]{x})}.$$

��������� $\sqrt[k]{x}=t$, ��������� ����������� $h'(x)$ ��������� �������
$$v(t)=$$
$${(\theta-1)(\theta+q-1)p(t)\over kt^{k-1}[(\theta+m-1)t^k+q-m](mt^k+\theta+q-m-1)(mt-\theta-m+1)[(\theta+q-m-1)t-q+m]},$$
���
$$p(t)=m(\theta+m-1)t^{2k}+k^2m(\theta+q-m-1) t^{k+1}-(k^2-1)(\theta^2+(q-2)\theta+2mq-2m^2-q+1)t^k+$$
$$+k^2(\theta+m-1)(q-m)t^{k-1}+(\theta+q-m-1)(q-m).$$
�������, ��� �� ������� ������� � ������������� �������� ���������� $p(t)$ � ������ $h'(x)$ ����� �� ����� ���� ������������� �������.

����� ���������, ���
$$\lim_{x\rightarrow\theta_1}h(x)=-\infty, \ h(1)=0, \ \lim_{x\rightarrow\theta_2}h(x)=+\infty.$$
������, ��������� $h(x)=0$ ����� �� ������� ���� ���� ������� $x_0$ ��� $x<1$ � ���� �� ���� ������� $x_2$ ��� $x>1$, ���� $h'(1)<0$. �� ����� �������
$$h'(1)={(\theta-1)(\theta+q-1)\over k}\cdot\left[{k^2\over (\theta+q-1)^2}-{1\over (\theta-1)^2}\right]<0$$
�������� $\theta<{k-q+1\over k+1}=\overline{\theta}_{cr}$, �.�. ${(\theta-1)(\theta+q-1)\over k}<0$.

����� ����,
$$\lim_{x\rightarrow\theta_1}h'(x)=+\infty, \ \lim_{x\rightarrow\theta_2}h'(x)=+\infty$$
��� $\theta<\overline{\theta}_{cr}$. ����� �� $h'(1)<0$ �������, ������� $h(x)$ ����� ����� ��� ����������� ����� $\xi_1$, $\xi_2$: $\theta_1<\xi_1<1$ � $1<\xi_2<\theta_2$.
������, $h(x)$ ���������� ��� $\theta_1<x<\xi_1, \ x>\xi_2$ � ������� ��� $\xi_1<x<\xi_2$ (���.1). �������������, ��������� $h(x)=0$ ����� ������ ��� ������� $x_0<x_1=1<x_2$. �������� ��������� ������� $x\neq y$. �� ����� ������� $x_0<x_1=1<x_2$. �����, �.�. ������� $f(x)$ ������ �������, �� ������� ��������� ������� (\ref{f.6}) �������, ��� $f(x_0)=y_0>f(x_1)=y_1=1>f(x_2)=y_2$. ����, ��� ������ ������ ��� �������� ������� ���������� ������ ��� $G_k^{(2)}-$
������������� ���� ������ $\mu_0, \mu_1, \mu_2$, ��������������� �������� $x_0<x_1=1<x_2$, ��������������, ��� ���� $\mu_1$ �������� �������������-������������, � ���� $\mu_0, \mu_2$ �������� $G_k^{(2)}-$
�������������� (�� �������������-�������������). ������� ��������.\

\begin{center}
\includegraphics[width=6cm]{fig1.eps} \includegraphics[width=6cm]{fig2.eps}
\end{center}
\begin{center}{\footnotesize \noindent
 ���.~1.
������ ������� $h(x)$ ��� $k=3, \ q=3, \ \overline{\theta}_{cr}=0.25, \ m=1$ (�����) � ��� $k=5, \ q=4, \ \theta=0.2, \ m=2$ (������).}\\
\end{center}

� ���� ������� 3 �� \cite{KhR}, ����������� ���������

\textbf{������� 4.} {��� ������ ������ ��� $k\geq 3$,\ $3\leq
q<k+1$ � $0<\theta<\overline{\theta}_{cr}$ �� $\bigcup_{m=1}^{q} I_m$ ���������� �����
$$2\cdot (2^{q}-1)$$
$G_k^{(2)}-$ ������������� (�� �������������-������������) ���
������}.\


\textbf{�������������.} ������ �������� �������� ��������������� ���������� �.�.�������� �� �������� ������.



\begin{thebibliography}{99}

\bibitem{6} �.-�. ������. \textit{����������� ���� � ������� ��������}. - �.: ���, 1992.

 \bibitem{Pr} C. J. Preston. \textit{Gibbs States on Countable Sets}. - Cambridge Tracts Math., 68, Cambridge
Univ. Press, Cambridge, 1974.

\bibitem{Si} �. �. �����. \textit{������ ������� ���������. ������� ����������}. - M.: �����, 1980.

\bibitem{Ga8} �.�. �����������. \textit{���}, \textbf{85}: 2 (1990), 163--175.

\bibitem{GN} �.�. �����������. \textit{��� ���},  6-7  (1992), 4--7.

\bibitem{R} U.A. Rozikov. \textit{Gibbs measures on Cayley
trees}. World Scientific.-2013.

\bibitem{Ga13} N.N. Ganikhodjaev, U.A. Rozikov. \textit{Lett. Math. Phys}.  \textbf{75}: 2  (2006), 99-�109.

\bibitem{RK} �.�. �������, �.�. �������. \textit {���}, \textbf{175}:
2 (2013), 300--312.

\bibitem{KhR1} ������� �.�. � ������������� ������������� ��� ������ ��� ������
������ �� ������ ����, \textit{��������� �������������� ������}, No 3, 2014, 134--142.

\bibitem{KhR} R. M. Khakimov. New periodic Gibbs measures for $q$-state Potts
model on a Cayley tree. \textit{Journal of Siberian Federal
University. Mathematics and Phisics.} 2014, 7(3), p.297-304.

\bibitem{KRK} C. K\"ulske, U. A. Rozikov, R. M. Khakimov. Description of all translation-invariant (splitting) Gibbs measures
for the Potts model on a Cayley tree. \textit{Jour. Stat. Phys.} \textbf{156}(1) (2014), 189-200.

\bibitem{KR} C. K\"ulske, U.A. Rozikov, \textit{ Fuzzy transformations and extremality of Gibbs measures
for the Potts model on a Cayley tree}, arXiv:1403.5775v1
[math-ph].




\end{thebibliography}



\end{document}

1602.06840.extracted_bib
{6 �.-�. ������. ����������� ���� � ������� ��������. - �.: ���, 1992.
1602.06840.extracted_bib
{Pr C. J. Preston. Gibbs States on Countable Sets. - Cambridge Tracts Math., 68, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1974.
1602.06840.extracted_bib
{Si �. �. �����. ������ ������� ���������. ������� ����������. - M.: �����, 1980.
1602.06840.extracted_bib
{Ga8 �.�. �����������. ���, 85: 2 (1990), 163--175.
1602.06840.extracted_bib
{GN �.�. �����������. ��� ���, 6-7 (1992), 4--7.
1602.06840.extracted_bib
{R U.A. Rozikov. Gibbs measures on Cayley trees. World Scientific.-2013.
1602.06840.extracted_bib
{Ga13 N.N. Ganikhodjaev, U.A. Rozikov. Lett. Math. Phys. 75: 2 (2006), 99-�109.
1602.06840.extracted_bib
{RK �.�. �������, �.�. �������. ���, 175: 2 (2013), 300--312.
1602.06840.extracted_bib
{KhR1 ������� �.�. � ������������� ������������� ��� ������ ��� ������ ������ �� ������ ����, ��������� �������������� ������, No 3, 2014, 134--142.
1602.06840.extracted_bib
{KhR R. M. Khakimov. New periodic Gibbs measures for $q$-state Potts model on a Cayley tree. Journal of Siberian Federal University. Mathematics and Phisics. 2014, 7(3), p.297-304.
1602.06840.extracted_bib
{KRK C. K\"ulske, U. A. Rozikov, R. M. Khakimov. Description of all translation-invariant (splitting) Gibbs measures for the Potts model on a Cayley tree. Jour. Stat. Phys. 156(1) (2014), 189-200.
1602.06840.extracted_bib
{KR C. K\"ulske, U.A. Rozikov, Fuzzy transformations and extremality of Gibbs measures for the Potts model on a Cayley tree, arXiv:1403.5775v1 [math-ph].