����������� �������� ������������\\ �� ������������ � �������� �����
�.�. ������ \thanks{��������-�������������� ��������� ����������� ���������������� ������������ ����� �.�. ����������
������; e-mail: fufaevdv@rambler.ru
1602.06738.tex
\documentclass{article}[16pt]
\usepackage{amsfonts,amsmath}
\usepackage[russian]{babel}
\usepackage[cp1251]{inputenc}

\textwidth = 16.0 cm \oddsidemargin = -0.1 cm


\newtheorem{theorem}{�������}

\def\R{{\mathbb R}}
\def\C{{\mathbb C}}


\begin{document}

\title{����������� �������� ������������\\ �� ������������ � �������� �����}

\author{�.�. ������ \thanks{��������-�������������� ��������� ����������� ���������������� ������������ ����� �.�. ����������,
������; e-mail:
fufaevdv@rambler.ru}  }

\date{}

\maketitle



����� $(X, \mu)$ - �������������� ��������� ������������ � �������� �� ��� ������������� �����. ���������� ��� ������������ ���������� ��������� ����������� �� $X$:

1) $f$ ��� ����������� �������� ��������� � �������� �������� �� ���������� � $\mathbb R$ (������ ����� ����������� �������� ����� ���������).

2) $f$ - ������ ����� ����� ����������� �������� ������������.

% ���� �� - �������� � ��������� ����������, � ���� �� ��� ������ ����� ����� ������������� ������������, �� ���� ������������, ��������� ������ �� ���������� ����� ���������, �� ���� �������� ���������� ���������. 

� ����� ������� � ��������� [3, ������� VIII.1.1] ���� ��������������, ��� ��� ������������ ����������� ��� ��� ����������� ������������ ������, ������ ������ ���� ��������� ������������, ������������, ��� ��� ������� (��������, � [4]). ������� ���������� ���� ������ - ��� ����� ������� ��� �� ����� ������������� ��� ����������� ������������, �� ���� ��������� � �������� ���������� ������������ ����� ����� ��������������? ��������, ��� ��� ����������� ������������ ��� ������ �������������� ����������� ���(��. [1, ������� 2.7.8]).

���� ��������, ��� ��� ����� ��� ������ �������� ���. ����� �������� ��� �������� ���������� ������ ����������� ���. ���� ��� ����������, ��� �������� ����������� ��� ������� � �������� �����, ������ ��� �������� ������ �� ��� ���� �������, � ��������������� �������������� �� ������� �������.

� ������ �����������  �������� ����������� ��� �������� �������-��� �� ������� ������������ ������������� �����������. ��������������� ��������������� ���� ���� ����������� ��� ��������� ������� ����� ���. �������� ������������ �������������� �������� �������� �������������� ��������.

\begin{center}{\bf 1. ��������������� ��������.}\end{center}

\textbf{�����������~1.} {\it  ������������� ���� $\mu$ �� $\sigma$-������� $\sigma(X)$ � �������� �������� ������������ $X$ ���������� �������� (��� �������������� ��������), ���� ��� ���� �������� $A,B\in\sigma(X)$ � ���� $\lambda\in[0,1]$ ��������� �����������}

$$
\mu(\lambda A+(1-\lambda)B)\ge \mu(A)^{\lambda}\mu(B)^{1-\lambda}.
$$

��� ��� ��������������� ���� ����� �������������� �������������, �� ��� ����������� ��������� �������������� ������������� �������� ���:

\textbf{�����~1.} {\it  ���� $\mu$ �� ������������� ������������ $\mathbb R^m$ ������� ����� � ������ �����, ����� �������� �������� ����������� $T: \mathbb R^l\to \mathbb R^n$ � ������������� ���� $\nu$ � ���������� $p=e^{-V}$ �� $\mathbb R^l$, ��� $V$ --- �������� ������� (��� ������� ����������� $V$ �������� $p=0$), ������ $\nu=\mu \circ  T^{-1}$.
}

������, � ���������, �������, ��� �������� ���� $\mu$ � $\mathbb R^m$ - �������� ���������, ������� � ��������� �������� ���������������.

����� ��� ����������� ��������� �������� �������� ���:

\textbf{�����~2.} {\it ����� $X$ --- �������� �������� ������������ � �������� ����� $\mu$, $p$ --- ��������� ������������ $\mu$ ���������, �������� ����� �����. ����� $p\in L^1(\mu).$
}

��������, ��� ���� $f$ --- ����� �������� ��������� ���������� �� $X$, �� $|f|$ --- ����� ����� �������� ��������� ���������, ��������, ��� $f\in L^1(\mu).$

�������������� ���� 1-2 ����� ����� � [5].


�������� ������ ����������� ��������� ��������������� ��������. ����� $(X, \mathfrak F, \mu)$ --- ������������ � ����� � $\mathfrak B$ --- ��������� ���-$\sigma$-������� � $\mathfrak F$.

\textbf{�����������~2.} {\it ����� $f\in L^1 (\mu)$. �������� �������������� ��������� $f$ ������������ $\sigma$-������� $\mathfrak B$ � ���� $\mu$ ���������� ����� $\mathfrak B$-��������� $\mu$-������������� ������� $\mathbb E^{\mathfrak B}_{\mu}f$, ���

$$
\int\limits_{X}gfd\mu=\int\limits_{X}g\mathbb E^{\mathfrak B}_{\mu}fd\mu
$$
��� ������ ������������ $\mathfrak B$-��������� ������� $g$.

}


���������� ������ ������������  $ \mathbb{R}^{\infty}$ ��� ������������ ������������� �����������:  $ \mathbb{R}^{\infty} =\prod\limits_{k=1}^{\infty}\mathbb{R}^{m_{k}}  $, ��� $\{m _{k}  \}_{k=1}^{\infty}$ - ������������������ ����������� �����. ����� $\{\mu_{k_{}}\}_{k=1}^{\infty}$ - ������������������ �������� ���, �������� �� ��������������� $\mathbb{R}^{m_{k}}$. ����� ���� $\mu:=\bigotimes\limits_{k=1}^{\infty}     \mu_{k_{}}$, �������� ��  $ \mathbb{R}^{\infty}$, ����� �������. ����� ������������� ������ ����� ����.

����� ������ ����������� $\tilde m_n=\sum\limits_{k=1}^{n}{m_{k}},\ \tilde \mu_{n}=\bigotimes\limits_{k=1}^{n}\mu_{k}.$  

\textbf{�����~3.} {\it����� $\mathfrak{B}_{n}$ --- �����-�������, ����������� �������   $\tilde m_n$ ������������� ���������. �����


$$
\mathbb {E}^{\mathfrak{B}_{n}}f(x_{1},\dots,x_{m_{n}})=
\int_{\prod\limits_{k=n+1}^{\infty}\mathbb{R}^{m_{k}}} f(x_{1},\dots,x_{m_{n}},x_{m_{n}+1},\dots)  \left(\bigotimes_{k=n+1}^{\infty}\mu_{k}\right) (d(x_{m_{n}+1},\dots)),
$$
��� �������������� ������� �� ������������ ������, \newline���������������� ���������� $x_k$ � $k\ge m_n+1.$}

��� ����, ����� $f$ --- �������� ����������, ����� ��������� �������������:

$$
\mathbb {E}^{\mathfrak{B}_{n}}f(x_{1},\dots,x_{m_{n}})=f(x_{1},\dots,x_{m_{n}},0,\dots) +  
$$

$$
  +\int_{\prod\limits_{k=n+1}^{\infty}\mathbb{R}^{m_{k}}}  f(0,\dots,0,x_{m_{n}+1},\dots)  \left(\bigotimes_{k=n+1}^{\infty}\mu_{k}\right) (d(x_{m_{n}+1},x_{m_{n}+2},\dots)).
$$
���� ���������� --- ������������� �������� (�.�. ����� ��������� � ���������), ������� �� ����������.

\textbf{�����~4.} {\it ������� $\mathbb {E}^{\mathfrak{B}_{n}}f$, ��������������� ��� ������� �� $\mathbb R^\infty$, �������� � $f$ ����� ����� ��� $n\to\infty$.}

�������������� ���� 3-4 ����� ����� � [2, \S 10.1 � 10.2].





\begin{center}{\bf 2. �������� ����������.}\end{center}


\textbf {������� 1.} �����  �������� ����� ����� $q$, ��� �������� ���� $\mu_q$ ����� � �������� ���������������, �� ���� � �� ���������� ����� ����. ����� ��������� �������� ���������� $f$ ������������ ������������ ��������� $\mu$-�.�.

\textbf {��������������.} 




�������� ���� $\mu_k$ --- ��� �������� ��������������� $H_k=  L_k+h_k$, ��� $L_k$ - �������� ��������������� � $\mathbb{R}^{m_{k}}$ � $h_k \in H_k$.
��������, ��� �������� ����� ����� $q$, ��� �������� ���� $\mu_q$ �������� ��������, �� ���� �� �������� ����� ���� (��� ����������� $h_q\ne 0$). ����� � ������������� �������� $\mu$ �� ������������ $\mathbb{R}^{\tilde m_k}$  (�. �. ���� $\tilde \mu_{k}=\bigotimes\limits_{j=1}^{k}\mu_{j}$ )  ��� $k\ge q$ ����� ����� ����� �������� �������� ���� $\tilde H_k=  \tilde L_k+\tilde h_k$, ��� $\tilde L_k=L_1\oplus L_2\oplus\dots\oplus L_k$, $\tilde h_k=h_1+ h_2+\dots+ h_k$, ������ $\tilde h_k\ne 0$. 

��� $k \ge q$ �������� �������� ����������� $\psi_k(x)$ �� $\mathbb{R}^{\infty}$, ����� ��� 

$$
\psi_k(\tilde h_k)=    \int_{\prod_{j=k+1}^{\infty}\mathbb{R}^{m_{j}}} f(0,\dots,0,x_{m_{k}+1},\dots)  \left(\bigotimes_{j=k+1}^{\infty}\mu_{j}\right) (d(x_{m_{k}+1},\dots))       ,
$$

$$
\psi_k|_{\tilde L_k}=0,\ \psi_k|_{\prod_{j=k+1}^{\infty}\mathbb{R}^{m_{j}}}=0
$$ 

(����� ����������, ��������, �� ������� ����-������). ����� ����� �������� ����������� (��� ��������) $\phi_k$ �� ������� $\phi_k(x)=\psi_k(x-\tilde h_k)$, ������� ���� ����� �������� ������ �� ������ $\tilde m_k$ ���������. ������ ���������� ������������������ ������������ $g_k=\mathbb {E}^{\mathfrak{B}_{k}}f+\phi_k $. ���, ��������, �������� �����������. �������� ���������, ��� $g_k$ --- �������� ����������� (�.�. � ������ ��������� ��������� �������� ����). ����� ����, $g_k$ ��������� � $\mathbb {E}^{\mathfrak{B}_{k}}f$ �� �������� ����  $\bigotimes\limits_{j=1}^{k}\mu_{j}$ (�.�. �� $\tilde H_k$), ������� ��� ��������� $\bigotimes\limits_{j=1}^{k}\mu_{j}$-����� �����, � ������, ��� ��� ��� ������� ������ �� ������ $\tilde m_k$ ���������, $\mu$-����� �����. �������, ��� ��� $\mathbb {E}^{\mathfrak{B}_{k}}f$ ��������� � $f$ $\mu$-����� �����, �� � $g_k$ ����� ��������� � $f$ $\mu$-����� �����. ������ ���������, ��� $g_k$ --- ������������������ ������������� �������� ������������, ���������� � $f$ ����� �����.

\hfill$\Box$


\textbf {������� 2.} �����  �������� ������ ���� $\mu_k$ ����������� ������������ ���� (������� ������ --- ����� ���� ����������� ������������ ������ ���������). ����� ��������� �������� ���������� ������������ �������������� ��������� $\mu$-�.�.

%(��� ������������� ��������, ��� ��� $h_k$ ����� ����

\textbf {��������������.} 

����� $\mu^-$ --- ����, ���������� �� $\mu$ ���������� ������������ ����, ��� ����� ����� ������������� ��������� �������� ������������� ���, �� ���� $\mu^-=\bigotimes\limits_{k=1}^{\infty}     \mu^{-}_{k_{}}$, � ��� ��������� ����� ����� ���������. �������� ���� $\mu, \mu_k$ ����� ���������� ��� $\mu^+, \mu^+_k$. ���������� $f$ ����� ����� $\mu^-$-�������, ������� ����� ��������� ��� �������� �������������� �������� � �� ���� ����. �������� �������������� �������� ������������ $\mu^+, \mu^-$ ����� ���������� $\mathbb {E}_+^{\mathfrak{B}_{n}}f, \mathbb {E}_-^{\mathfrak{B}_{n}}f$ ��������������.



��� ������������������ �������� � $f$ ����� ����� �� ����� $\mu^+$ � $\mu^-$ ��������������, ������ �� �����, ������ ������. �� �� �������, �������� ������ ������������� ���� ����������� ������������ ����, ������� �������� ���������� ���� ����� ��������� � ��������� �������� ����. ������, �������� ���� � ���������� ����� ��������� ���������� ������������ ���� �����, ������, ��� ������������������ �������� � $f$ ����� ����� �� ����� �����.
������� ��������� ���� �������������������, ������� ����� ����� ��������� � $f$ $\mu^+$-�.�. ��������, ��������� ����� ��������� ���:


$$
f(x_{1},\dots,x_{m_{n}},0,\dots) +
 \frac{1}{2}  \int_{\prod\limits_{k=n+1}^{\infty}\mathbb{R}^{m_{k}}} f(0,\dots,x_{m_{n}+1},\dots)  \left(\bigotimes_{k=n+1}^{\infty}(\mu^+_{k}  +   \mu^-_{k})\right) (d(x_{m_{n}+1},\dots))
$$

�� ������ �������� � ��������� ���� ��� �����������. �������, ��� ��� ������������� ���������������� ������� �� ������������ ����, ������ ��������� ����� ����. ��������, ��� ������ ��������� --- ������������������ ������������� �������� �������, ���������� � $f$ $\mu$-�.�.

�������, ��� � ������ ������������ ���� ���������� ��������� � ��������, � ���� ��� $\mu_k$ ���� ������������� ������, �� � ���� $\mu$ ���� �� ������������, ������ �������, ��� ������� ��� ����� �� ��� ���� �������������� ��������, � ������������� ����� ��������� �� ������� ��.

\hfill$\Box$

�� ����������� ��������� ������ ��� ������� ����� ���������� ������� ������� �����, ��� 

$$
\int_{\prod\limits_{j=k+1}^{\infty}\mathbb{R}^{m_{j}}} f(0,\dots,0,x_{m_{k}+1},\dots)  \left(\bigotimes\limits_{j=k+1}^{\infty}\mu^{+}_{j}\right) (d(x_{m_{k}+1},x_{m_{k}+2},\dots))=
$$

$$
=-\int_{\prod\limits_{j=k+1}^{\infty}\mathbb{R}^{m_{j}}} f(0,\dots,0,x_{m_{k}+1},\dots)  \left(\bigotimes\limits_{j=k+1}^{\infty}\mu^{-}_{j}\right) (d(x_{m_{k}+1},x_{m_{k}+2},\dots)).
$$

\textbf {������� 3.}
���� $f$ --- $\mu$-��������� �������� ����������, ������ �������� ������������������

$$
c_k= \int_{\prod\limits_{j=k+1}^{\infty}\mathbb{R}^{m_{j}}} f(0,\dots,0,x_{m_{k}+1},\dots)  \left(\bigotimes_{j=k+1}^{\infty}\mu_{j}\right) (d(x_{m_{k}+1},x_{m_{k}+2},\dots))
$$
��������� � ����, �� $f$ ������������ ������������ ��������� ������������� $\mu$-�.�.

\textbf {��������������.} 

 ��� � ������, �����

$$
\mathbb {E}_{\pm}^{\mathfrak{B}_{n}}f(x_{1},\dots,x_{m_{n}})=f(x_{1},\dots,x_{m_{n}},0,\dots) \pm c_n
$$


�����, ��� ������ $x\in \mathbb{R}^{\infty} $ �����

$$
|\mathbb {E}_-^{\mathfrak{B}_{n}}f(x) - f(x)| \le |\mathbb {E}_-^{\mathfrak{B}_{n}}f(x) - \mathbb {E}_+^{\mathfrak{B}_{n}}f(x)| + |\mathbb {E}_+^{\mathfrak{B}_{n}}f(x) - f(x)|
= 2 c_n + |\mathbb {E}_+^{\mathfrak{B}_{n}}f(x) - f(x)|
$$

��������� ��������� ��������� � ���� ��� ����� ���� $x$ �� ���� $\mu$, ��� ���  $\mathbb {E}_+^{\mathfrak{B}_{n}}f$ �������� � $f$ ����� �����, ������� ������������������ ������������ $\mathbb {E}_-^{\mathfrak{B}_{n}}f$ ����� �������� � $f$ ����� �����. ������, ��� � � ���������� �����������, ���� ��������� ���� �������������������, �������� ������� ������������������.

\hfill$\Box$


\begin{center}{\bf 3. ����������.}\end{center}

���������� ���������� ���������� ��������������� ����������� ���������� ��������� ����������� ��� �������� �������-��� �� $\mathbb R^\infty$, ����� ������, ����� �������� ������ ���� ����� � �������� ��������������� $\mathbb R^{m_k}$, ��� ���� ������ ����� �������� ���������������, � ������� �� ��������� ����������, � �������� ������� �������������� �������� ���. ������� 3 ���� ����������� ������� ��� ��������������, ������� ��� ����� ���� ���� �� ��������� ����� ��������� ����������� ������ --- ��������, ��� ������� ������� 3 � ���� ������ ����� �����������.




\begin{thebibliography}{90}

\bibitem{bogg}������� �.�. <<����������� ����>>. ������: �����. ���������, 1997, 352 �.
\bibitem{bogm} ������� �.�. <<������ ������ ����>> �.2. 2-� ���. ������-������: ���, 2006, 680 �.
\bibitem{gih} ������ �.�., �������� �.�. <<������ ��������� ���������>> �.1.  ������: �����. ���������, 1971, 664 �.
\bibitem{skor} �������� �.�.  <<�������� � ����� �������� ����������� �� ��������� ������������ ������������>>, ���, 23:2 (1978), 397-402.
\bibitem{bor} Borell C. <<Convex measure on locally convex spaces>>, Ark. Math. 1974. V. 12, N 2. P. 239-252.


\end{thebibliography}


\end{document}

1602.06738.extracted_bib
{bogg������� �.�. <<����������� ����>>. ������: �����. ���������, 1997, 352 �.
1602.06738.extracted_bib
{bogm ������� �.�. <<������ ������ ����>> �.2. 2-� ���. ������-������: ���, 2006, 680 �.
1602.06738.extracted_bib
{gih ������ �.�., �������� �.�. <<������ ��������� ���������>> �.1. ������: �����. ���������, 1971, 664 �.
1602.06738.extracted_bib
{skor �������� �.�. <<�������� � ����� �������� ����������� �� ��������� ������������ ������������>>, ���, 23:2 (1978), 397-402.
1602.06738.extracted_bib
{bor Borell C. <<Convex measure on locally convex spaces>>, Ark. Math. 1974. V. 12, N 2. P. 239-252.