1602.06918.tex
\documentclass[amstex,12pt,russian,amssymb]{article}


\usepackage{mathtext}
\usepackage[cp1251]{inputenc}
\usepackage[T2A]{fontenc}
\usepackage[russian]{babel}
\usepackage[dvips]{graphicx}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsxtra}
\usepackage{latexsym}
\usepackage{ifthen}

\textheight245mm \textwidth165mm
\parindent5mm
\parskip0mm
\renewcommand{\baselinestretch}{1.2}

\voffset-27.3mm \hoffset-11.5mm \pagestyle{myheadings}
%


\begin{document}



\newcounter{lemma}
\newcommand{\lemma}{\par \refstepcounter{lemma}%
{\bf ����� \arabic{lemma}.}}


\newcounter{corollary}
\newcommand{\corollary}{\par \refstepcounter{corollary}%
{\bf ��������� \arabic{corollary}.}}


\newcounter{remark}
\newcommand{\remark}{\par \refstepcounter{remark}%
{\bf ��������� \arabic{remark}.}}


\newcounter{theorem}
\newcommand{\theorem}{\par \refstepcounter{theorem}%
{\bf ������� \arabic{theorem}.}}



\newcounter{proposition}
\newcommand{\proposition}{\par \refstepcounter{proposition}%
{\bf ����������� \arabic{proposition}.}}

\newcommand{\proof}{{\it ��������������.\,\,}}
\renewcommand{\refname}{\centerline{\bf ������ ����������}}


{\bf �.�.~�����������} (����������� ��������������� ����������� ��.\
�.~������)

\medskip
{\bf �.�.~�����������} (������������ ��������� ����������� ��.\
�.~������)

\medskip
{\bf E.A.~Sevost'yanov} (Zhitomir Ivan Franko State University)

\medskip
{\bf � �������������� ������������� ������� ������--�������� �
��������� �������}

{\bf ��� ���������� ������������� ����� �����--������� �
��������� ������}

{\bf On equicontinuity of Orlicz--Sobolev class in s closure of a
domain}

\medskip
��������� ��������� �������������� ������� ������--�������� �
��������� �������� �������. � �������� ������� ������ ����������
�������� �������� ������� � �������������� ������������� ���������
�������. � ���������, ��������, ��� � ��������, ������� �������
������������� ����������� ������������, ��������� ������
������������� ����������, ��� ������ �� ���������� ��������� �������
$p$ ����� ��������� ��������� �������� ��������� � ������ �����.

\medskip
��������� �������� ������������� ����� �����--������� �
��������� ������ ������. � ������� ������� ����� ����������
�������� �������� ������� ��� ���������� ������������� ��������
�����. �������, ��������, �� � ��������, ��� ���� �������������
�������� ���������, ��������� ����� � ���������� ������������, ��
����� �� ��������� � ������ �����.


\medskip
A behavior of homeomorphisms of Orlicz--Sobolev classes in a closure
of a domain is investigated. There are obtained theorems about
equicontinuity of classes mentioned above in terms of prime ends of
regular domains. In particular, it is proved that above classes are
equicontinuous in domains with some restrictions on it's boundaries
provided that the corresponding inner dilatation of order $p$ has a
majorant of finite mean oscillation at every point.

\newpage
{\bf 1. ��������.} ��������� ������� ��������� �������� ���������
������� ��������� ������� �����������, ����� ��������� � ��������
�������� � ������--��������. ���� ����� ��������, ��� ���������
�����������, ����������� ���, ��� ��������������� � �������� ������
\cite{KR}, �������� ������������� ������������ � ��������� ��������
�������. ����������, ��� � ������ ����� ������ ���� ��� ��
������������, ��������������� ��������� ������������ �� ����������
��������� ������� $p,$ $p\in (n-1, n].$

��������� ����������� ����� ���� ������� � ������ \cite{KR}. �����
$\omega$ -- �������� ��������� � ${\Bbb R}^k$, $k=1,\ldots,n-1$.
����������� ����������� $\sigma:\omega\rightarrow{\Bbb R}^n$
���������� {\it $k$-������ ������������} � ${\Bbb R}^n$. {\it
������������} ����� ���������� ������������ $(n-1)$-������
����������� $\sigma$ � ${\Bbb R}^n.$ �����������
$\sigma:\omega\rightarrow D$ ���������� {\it ����������
������������} � $D$, ���� $\sigma(z_1)\ne\sigma(z_2)$ ��� $z_1\ne
z_2$. ����� �� ������ ����� ������������ $\sigma$ ��� �����������
����� ������ $\sigma(\omega)\subset {\Bbb R}^n$ ��� �����������
$\sigma$, $\overline{\sigma}$ ������ $\overline{\sigma(\omega)}$ �
${\Bbb R}^n$ � $\partial\sigma$ ������
$\overline{\sigma(\omega)}\setminus\sigma(\omega)$. ���������
����������� $\sigma$ � $D$ ���������� {\it ��������} ������� $D$,
���� $\sigma$ ��������� $D$, �.\,�. $D\setminus \sigma$ ����� ������
����� ����������, $\partial\sigma\cap D=\varnothing$ �
$\partial\sigma\cap\partial D\ne\varnothing$.

������������������ $\sigma_1,\sigma_2,\ldots,\sigma_m,\ldots$
�������� ������� $D$ ���������� {\it �����}, ����:

\medskip

(i) $\overline{\sigma_i}\cap\overline{\sigma_j}=\varnothing$ ���
���� $i\ne j$, $i,j= 1,2,\ldots$;

\medskip

(ii) $\sigma_{m-1}$ � $\sigma_{m+1}$ ���������� � ���������
����������� $D\setminus \sigma_m$ ��� ���� $m>1$;

\medskip

(iii) $\cap\,d_m=\varnothing$, ��� $d_m$ -- ���������� $D\setminus
\sigma_m$, ���������� $\sigma_{m+1}$.

\medskip
�������� �����������, ���� �������� $\{\sigma_m\}$ ���������� ����
�������� $d_m\subset D$, �����, ��� $\partial\,d_m\cap
D\subset\sigma_m$ � $d_1\supset d_2\supset\ldots\supset
d_m\supset\ldots$. ��� ���� �������� $\{\sigma_m\}$ �
$\{\sigma_k^{\,\prime}\}$ ���������� {\it ��������������}, ���� ���
������� $m=1,2,\ldots$ ������� $d_m$ �������� ��� �������
$d_k^{\,\prime}$ �� ����������� ��������� ����� � ��� �������
$k=1,2,\ldots$ ������� $d_k^{\,\prime}$ ����� �������� ��� �������
$d_m$ �� ����������� ��������� �����. {\it �����} ������� $D$ -- ���
����� ������������� ����� �������� $D$.

����� $K$ -- ����� ������� $D$ � ${\Bbb R}^n$, $\{\sigma_m\}$ �
$\{\sigma_m^{\,\prime}\}$ -- ��� ���� � $K$, $d_m$ �
$d_m^{\,\prime}$ -- �������, ��������������� $\sigma_m$ �
$\sigma_m^{\,\prime}$. �����
%
$$\bigcap\limits_{m=1}\limits^{\infty}\overline{d_m}\subset
\bigcap\limits_{m=1}\limits^{\infty}\overline{d_m^{\,\prime}}\subset
\bigcap\limits_{m=1}\limits^{\infty}\overline{d_m}\ ,$$ �, �����
�������,
%
$$\bigcap\limits_{m=1}\limits^{\infty}\overline{d_m}=
\bigcap\limits_{m=1}\limits^{\infty}\overline{d_m^{\,\prime}}\ ,$$
�.\,�. ���������
%
$$I(K)=\bigcap\limits_{m=1}\limits^{\infty}\overline{d_m}$$ �������
������ �� $K$ � �� ������� �� ������ ���� �������� $\{\sigma_m\}$.
��������� $I(K)$ ���������� {\it ����� �����} $K$.

����� ����������
%
$N(y, S)={\rm card}\,S^{-1}(y)={\rm card}\,\{x\in\omega:S(x)=y\},\
y\in{\Bbb R}^n$ ����� �������� {\it �������� ���������} �����������
$S.$ ������� �������, $N(y, S)$ -- ��������� �������� ����� $y$
������������ $S.$ ����� $\rho:{\Bbb R}^n\rightarrow\overline{{\Bbb
R}^+}$ -- ����������� �������, � ����� ������ �������� �� �������
$\rho$ �� ����������� $S$ ������������ ����������:  $\int\limits_S
\rho\,d{\mathcal{A}}:=\int\limits_{{\Bbb R}^n}\rho(y)\,N(y,
S)\,d{\mathcal H}^ky.$
%
����� $\Gamma$ -- ��������� $k$-������ ������������ $S.$ �����������
������� $\rho:{\Bbb R}^n\rightarrow\overline{{\Bbb R}^+}$ �����
�������� {\it ����������} ��� ��������� $\Gamma,$ ����. $\rho\in{\rm
adm}\,\Gamma,$ ����
%
\begin{equation}\label{eq8.2.6}\int\limits_S\rho^k\,d{\mathcal{A}}\geqslant 1\end{equation}
��� ������ ����������� $S\in\Gamma.$ ����� $p\geqslant 1,$ �����
%
{\it $p$-�������} ��������� $\Gamma$ ������ ��������
%
$$M_p(\Gamma)=\inf\limits_{\rho\in{\rm adm}\,\Gamma}
\int\limits_{{\Bbb R}^n}\rho^p(x)\,dm(x)\,.$$ �������� �����
$M(\Gamma):=M_n(\Gamma).$ �����, ��� ������, ��� �������� $A$, $B$ �
$C$ � ${\Bbb R}^n$, $\Gamma(A,B,C)$ ���������� ��������� ����
������, ����������� $A$ � $B$ � $C$.

������ \cite{Na}, ����� ��������, ��� ����� $K$ �������� {\it
������� ������}, ���� $K$ �������� ���� �������� $\{\sigma_m\}$,
�����, ���
%
$$\lim\limits_{m\rightarrow\infty} M(\Gamma(C, \sigma_m, D))=0
$$
%
��� ���������� ���������� $C$ � $D$, ��� $M$ -- ������ ���������
$\Gamma(C, \sigma_m, D).$

\medskip
����� ��������, ��� ������� ������� $D$ � ${\Bbb R}^n$
�������� {\it �������� ���������������}, ���� ������ �����
$x_0\in\partial D$ ����� ����������� $U$, ������� ����� ����
���������� ��������������� ������������ $\varphi$ �� ��������� ���
${\Bbb B}^n\subset{\Bbb R}^n$ ���, ��� $\varphi(\partial D\cap U)$
�������� ������������ ${\Bbb B}^n$ � ������������ ���������������.
�������, ��� ������������ ������� $D$ � ${\Bbb R}^n$ {\it
���������}, ���� $D$ ����� ���� �������������� ���������� �� �������
� �������� ��������������� ��������.

\medskip
��� ������� �� ������� 4.1 � \cite{Na}, ��� ���������������
������������ $g$ ������� $D_0$ � �������� ��������������� ��������
�� ������� $D$ � ${\Bbb R}^n$, $n\geqslant2$, ����������
������������ ������� ����������� ������������ ����� �������
$\partial D_0$ � �������� ������� ������� $D$ �, ����� ����,
���������� ��������� $C(g,b)$, $b\in\partial D_0$, ��������� � �����
$I(P)$ ��������������� ������� ������ $P$ � $D$.

���� $\overline{D}_P$ �������� ����������� ���������� ������� $D$ ��
�������� ������� � $g_0$ �������� ��������������� ������������
������� $D_0$ � �������� ��������������� �������� �� $D$, �� ���
������������ ������� ���������� � $\overline{D}_p$ �������
$\rho_0(p_1,p_2)=\left|{\widetilde
{g_0}}^{-1}(p_1)-{\widetilde{g_0}}^{-1}(p_2)\right|$, ���
${\widetilde {g_0}}$ ����������� $g_0$ � $\overline {D_0}$,
���������� ����.

���� $g_*$ �������� ������ ��������������� ������������ ���������
������� $D_*$ � �������� ��������������� �������� �� ������� $D$, ��
��������������� �������
$\rho_*(p_1,p_2)=\left|{\widetilde{g_*}}^{-1}(p_1)-{\widetilde{g_*}}^{-1}(p_2)\right|$
��������� �� �� ����� ���������� �, �������������, �� �� �����
��������� � $\overline{D}_P$ ��� � ������� $\rho_0$, ���������
$g_0\circ g_*^{-1}$ �������� ��������������� ������������ �����
��������� $D_*$ � $D_0$, ������� �� ������� 4.1 �� \cite{Na}
������������ �� ������������� ����� $\overline{D_*}$ �
$\overline{D_0}$.

� ����������, ����� �������� ������ ��������� � ������������
$\overline{D}_P$ {\it ���������� ������� ������} � ��������
������������� �����������
$F:\overline{D}_P\rightarrow\overline{D^{\,\prime}}_P$ ��� ���
������������ ���� ���������.

����� $\varphi:[0,\infty)\rightarrow[0,\infty)$ -- �����������
�������, $f$ -- �������� ������������� ������-������� $n$
������������ ���������� $x_1,\ldots,x_n,$ $f=(f_1,\ldots,f_n),$
$f_i\in W_{loc}^{1,1},$ $i=1,\ldots,n.$ ����� ��������, ���
$f:D\rightarrow {\Bbb R}^n$ ����������� ������
$W^{1,\varphi}_{loc},$ ����� $f\in W^{1,\varphi}_{loc},$ ����
$\int\limits_{G}\varphi\left(|\nabla f(x)|\right)\,dm(x)<\infty$ ���
����� ���������� ���������� $G\subset D,$ ��� $|\nabla
f(x)|=\sqrt{\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^n\left(\frac{\partial
f_i}{\partial x_j}\right)^2}.$ ����� $W^{1,\varphi}_{loc}$
���������� ������� {\it ������--��������}.

\medskip
��� ����������� ������ $W_{loc}^{1,1}$ � ������������� $p\geqslant
1$ ��������� ���������� ��� ���������� {\it ���������� ���������
$K_{I, p}(x,f)$ ����������� $f$ ������� $p$ � ����� $x$},
������������ �����������
%
\begin{equation}\label{eq0.1.1A}
K_{I, p}(x,f)\quad =\quad\left\{
\begin{array}{rr}
\frac{|J(x,f)|}{{l\left(f^{\,\prime}(x)\right)}^p}, & J(x,f)\ne 0,\\
1,  &  f^{\,\prime}(x)=0, \\
\infty, & \text{�\,\,���������\,\,�������}
\end{array}
\right.\,.
\end{equation}


����� $(X,d)$ � $\left(X^{\,{\prime}},{d}^{\,{\prime}}\right)$ ~---
����������� ������������ � ������������ $d$  � ${d}^{\,{\prime}},$
��������������. ��������� $\frak{F}$ ����������� $f:X\rightarrow
{X}^{\,\prime}$ ���������� {\it ������������� ����������� � �����}
$x_0 \in X,$ ���� ��� ������ $\varepsilon > 0$ ������� $\delta
> 0,$ �����, ��� ${d}^{\,\prime} \left(f(x),f(x_0)\right)<\varepsilon$ ���
���� $f \in \frak{F}$ �  ��� ���� $x\in X$ �����, ���
$d(x,x_0)<\delta.$ �������, ��� $\frak{F}$ {\it �������������
����������}, ���� $\frak{F}$ ������������� ���������� � ������ �����
�� $x_0\in X.$ ����� �����, ���� �� ��������� ���������, $d$ -- ����
�� ������ � ������������ ������� ������ ������������ ������� $D,$
���������� ����, � $d^{\,\prime}$ -- ��������� �������. ������
\cite[������ 7.22]{He} ����� ��������, ��� �������� �������
$\rho\colon  X\rightarrow [0, \infty]$ �������� {\it �������
����������} ������� $u\colon X\rightarrow {\Bbb R},$ ���� ��� ����
����������� ������ $\gamma,$ ����������� ����� $x$ � $y\in X$
����������� ����������� $|u(x)-u(y)|\leqslant
\int\limits_{\gamma}\rho\,|dx|.$ ����� ����� ��������, ��� �
��������� ������������ $X$ ����������� $(1; p)$-�����������
��������, ���� �������� ���������� $C\geqslant 1$ � $\tau>0$ ���,
��� ��� ������� ���� $B\subset X,$ ������������ ������������
����������� ������� $u\colon X\rightarrow {\Bbb R}$ � ������ �
�������� ��������� $\rho$ ����������� ��������� �����������:
%
$$\frac{1}{\mu(B)}\int\limits_{B}|u-u_B|d\mu(x)\leqslant C\cdot({\rm diam\,}B)\left(\frac{1}{\mu(\tau B)}
\int\limits_{\tau B}\rho^p d\mu(x)\right)^{1/p}\,,$$
%
��� $u_B:=\frac{1}{\mu(B)}\int\limits_{B}u d\mu(x).$ �����������
������������ $(X, d, \mu)$ ������ {\it $\widetilde{Q}$-����������
�� ��������} ��� ��������� $\widetilde{Q}\geqslant 1,$ ���� ���
������ $x_0\in X,$ ��������� ���������� $C\geqslant 1$ �
������������� $R<{\rm diam}\,X,$
%
$\frac{1}{C}R^{\widetilde{Q}}\leqslant \mu(B(x_0, R))\leqslant
CR^{\widetilde{Q}}.$

\medskip
��� �������� $D,$ $D^{\,\prime}\subset {\Bbb R}^n,$ $b_0\in D,$
$b_0^{\,\prime}\in D^{\,\prime}$ � ������������ ��������� �� ������
������� $Q(x): {\Bbb R}^n\rightarrow [0, \infty],$ �����, ���
$Q(x)\equiv 0$ ��� $x\not\in D,$ ��������� ��������
$\frak{F}_{\alpha, b_0, b_0^{\,\prime}, \varphi, Q}(D,
D^{\,\prime})$ ��������� ���� �������������� $f:D\rightarrow
D^{\,\prime}$ ������ $W_{loc}^{1, \varphi}$ � $D,$
$f(D)=D^{\,\prime},$ ����� ��� $K_{I, \alpha}(x, f)\leqslant Q(x)$ �
$f(b_0)=b_0^{\,\prime}.$ ����������� ��������� �����������.


\medskip
\begin{theorem}\label{th7A}{\sl\,
����� ������� $D$ ���������, ������� $D^{\,\prime}$ ����������,
����� �������� ��������������� ������� �, ������������, ��������
������������� $n$-���������� �� �������� ������������ ����������
������� � ���� ������ � ${\Bbb R}^n,$ � ������� ��������� $(1;
\alpha)$-����������� ��������, $n-1<\alpha\leqslant n.$ �����������,
$Q\in L_{loc}^1({\Bbb R}^n),$ $Q(x)=0$ ��� ������� $D,$ ��������
����������� ������� $\varphi:[0,\infty)\rightarrow[0,\infty)$
������������� ������� (\ref{eqOS3.0a}), � ��� ��� ������� $x_0\in
\overline{D}$ ��������� ���� �� ��������� �������:

1) ���� $Q\in FMO(\overline{D});$

2) ���� � ������ ����� $x_0\in \overline{D}$ ��� ���������
$\varepsilon_0=\varepsilon_0(x_0)>0$ � ����
$0<\varepsilon<\varepsilon_0$
%
$$
\int\limits_{\varepsilon}^{\varepsilon_0}
\frac{dt}{tq_{x_0}^{\,\frac{1}{n-1}}(t)}<\infty\,,\qquad
\int\limits_{0}^{\varepsilon_0}
\frac{dt}{tq_{x_0}^{\,\frac{1}{n-1}}(t)}=\infty\,,
$$
%
���
$q_{x_0}(r):=\frac{1}{\omega_{n-1}r^{n-1}}\int\limits_{|x-x_0|=r}Q(x)\,d{\mathcal
H}^{n-1}.$
%
����� ������ ������� $f\in \frak{F}_{\alpha, b_0, b_0^{\,\prime},
\varphi, Q}(D, D^{\,\prime})$ ������������ �� ������������
����������� $\overline f\colon\overline D_P\rightarrow\overline
{D^{\,\prime}_P}$, ��� ����, ��������� �����������
$\overline{\frak{F}_{b_0, b_0^{\,\prime}, \varphi, Q}(D,
D^{\,\prime})},$ ��������� �� ���� ������������ ����� �������
�����������, �������� ������������� �����������, � ������, �
����������  � $\overline{D}_P$.}
\end{theorem}

\medskip
{\bf 2. ��������������� ��������.} ���������� ��������� �����������
��������� �� ������� ��� ���������� ������ $Q$-�������������� (��.
\cite[�����~9]{MRSY}). �������, ��� ��������� �������� $P$ ���������
��� {\it ����� ���� ������������} ������� $D,$ ���� ��� ����� �����
��� ���� ������������, ������� � $D,$ �����, ���� �����, ����������
�� ������������, ������ �������� ����� ����. ����� ��������, ���
��������� �� ������ ������� $\rho:{\Bbb
R}^n\rightarrow\overline{{\Bbb R}^+}$ {\it ��������� ���������
������������ $p$-������} ��� ��������� $\Gamma$ $k$-������
������������ $S$ � ${\Bbb R}^n,$ ����. $\rho\in{\rm ext}_p\,{\rm
adm}\,\Gamma,$ ���� ����������� (\ref{eq8.2.6}) ��������� ��� �����
���� ������������ $S$ ��������� $\Gamma.$ ��������� �����
����������� ������������ ����� ��������� ��������������� �����������
� ������ ���������� ����������� �� ������� (\cite{Ge$_3$}) �
�������� ����������� (��., ����., \cite[�����~9]{MRSY}). ����� $D$ �
$D^{\,\prime}$ -- �������� ������� � ${\Bbb R}^n,$ $n\geqslant 2,$
$x_0\in\overline{D}\setminus\{\infty\}$ � $Q:{\Bbb
R}^n\rightarrow(0,\infty)$ -- ��������� �� ������ �������. �����
��������, ��� $f:D\rightarrow D^{\,\prime}$ -- {\it ������
$Q$-����������� � ����� $x_0$ ������������ $p$-������,} ��� ������
%
\begin{equation}\label{eq1A}
M_p(f(\Sigma_{\varepsilon}))\geqslant \inf\limits_{\rho\in{\rm
ext}_p\,{\rm adm}\,\Sigma_{\varepsilon}}\int\limits_{D\cap A(x_0,
\varepsilon, r_0)}\frac{\rho^p(x)}{Q(x)}\,dm(x)
\end{equation}
%
��� ������� ������
%
\begin{equation}\label{eq1B}
A(x_0, \varepsilon, r_0)=\{x\in {\Bbb R}^n:
\varepsilon<|x-x_0|<r_0\}\,,
\end{equation}
%
$r_0\in(0,d_0),$ $d_0=\sup\limits_{x\in D}|x-x_0|,$
%
��� $\Sigma_{\varepsilon}$ ���������� ��������� ���� �����������
���� $S(x_0, r)$ � �������� $D,$ $r\in (\varepsilon, r_0).$ ����
$p=n,$ �� �����, ��� $f$ -- ������ $Q$-����������� � ����� $x_0.$
����� ��������, ��� $f$ ������ $Q$-����������� ������������
$p$-������ � $A\subset \overline{D},$ ���� ����������� (\ref{eq1A})
����� ����� ��� ������� $x_0\in A.$

\medskip
��� ����������� $f:D\,\rightarrow\,{\Bbb R}^n,$ ��������� $E\subset
D$ � $y\,\in\,{\Bbb R}^n,$  ��������� {\it ������� ��������� $N(y,
f, E)$} ��� ����� ���������� ����� $y$ �� ��������� $E,$ �.�.
%
\begin{equation}\label{eq1.7A}
N(y, f, E)\,=\,{\rm card}\,\left\{x\in E: f(x)=y\right\}\,,\quad
%\end{equation}
%
%\begin{equation}\label{eq13C}
N(f, E)\,=\,\sup\limits_{y\in{\Bbb R}^n}\,N(y, f, E)\,.
\end{equation}
%

\medskip
�������������� ��������� ����� ���������� ��������������
\cite[�������~5]{KRSS} � ������ ����������.

\medskip
\begin{lemma}{}\label{thOS4.1} {\sl ����� $D$ -- ������� � ${\Bbb R}^n,$
$n\geqslant 2,$ $\varphi:(0,\infty)\rightarrow (0,\infty)$ --
����������� �������, ��������������� �������
%
\begin{equation}\label{eqOS3.0a}
%
\int\limits_{1}^{\infty}\left(\frac{t}{\varphi(t)}\right)^
{\frac{1}{n-2}}dt<\infty\,.
%
\end{equation}
%
���� $p>n-1,$ �� ������ �������� ���������� �����������
$f:D\rightarrow {\Bbb R}^n$ � �������� ���������� ������
$W^{1,\varphi}_{loc}$ �����, ��� $N(f, D)<\infty,$ �������� ������
$Q$-������������ ������������ $p$-������ � ������ �����
$x_0\in\overline{D}$ ���
%
$$Q(x)=N(f, D)\cdot K^{\frac{p-n+1}{n-1}}_{I, \alpha}(x, f),$$
%
$\alpha:=\frac{p}{p-n+1},$ ��� ���������� ��������� $K_{I,\alpha}(x,
f)$ ����������� $f$ � ����� $x$ ������� $\alpha$ ����������
������������ (\ref{eq0.1.1A}), � ��������� $N(f, D)$ ����������
������ ������������ � (\ref{eq1.7A}).}
\end{lemma}

\medskip
����������� ��������� ��������������� �����������, ������ ��������
��� �������������� � �������� ������ $p=n$ ������� �
\cite[�����~3]{KR}.

\medskip
\begin{lemma}\label{lem1}
{\sl\, ����� $n\geqslant 2,$ $p>n-1,$ ������� $D\subset {\Bbb R}^n$
���������, � $D^{\,\prime}\subset {\Bbb R}^n$ ���������� � �����
�������� ��������������� �������, ���������� ������ ����������
������������ $\alpha$-������, $\alpha:=\frac{p}{p-n+1}.$ ����� �����
����������� $f:D\rightarrow D^{\,\prime},$ $D^{\,\prime}=f(D),$
�������� ������ $Q$-������������ � ������ ����� $x_0\in \partial D$
������������ $p$-������, ����� ����, $f$ �������� ��������,
���������� � ���������. ����� $f$ ������������ �� ������������
����������� $f:\overline{D_P}\rightarrow \overline{D_P^{\,\prime}},$
$f(\overline{D_P})=\overline{D_P^{\,\prime}},$ ���� ���������
��������� �������. ��� ������ ����� $x_0\in \partial D$ �������
$\varepsilon_0=\varepsilon_0(x_0)>0$ � ��������� �� ������ �������
$\psi(t):(0, \varepsilon_0)\rightarrow [0,\infty]$ �� ���������
���������: ��� ������ $\varepsilon\in(0, \varepsilon_0)$ ���������
�������
%
$$ I(\varepsilon,
\varepsilon_0):=\int\limits_{\varepsilon}^{\varepsilon_0}\psi(t)dt <
\infty\,,\quad I(\varepsilon, \varepsilon_0)\rightarrow
\infty\quad\text{���}\quad\varepsilon\rightarrow 0\,,
$$
%
%
�, ����� ����, ���  $\varepsilon\rightarrow 0$
%
\begin{equation} \label{eq3.7.2}
\int\limits_{A(x_0, \varepsilon, \varepsilon_0)}
Q(x)\cdot\psi^{\,\alpha}(|x-x_0|)\,dm(x) = o(I^{\alpha}(\varepsilon,
\varepsilon_0))\,,\end{equation}
%
���, ��� ������, ����������� ������ $A(x_0, \varepsilon,
\varepsilon_0)$ ���������� (\ref{eq1B}).}
\end{lemma}

\medskip
{\bf 3. � �������������� ������������� � �������� � $(1;
p)$-������������ ��������, ���������� �� ��������.} ���������
����������� �������� � \cite[�����������~3]{KR} � ������ $p=n$ ���
��� ����������, ��� � ��������� ����� $x_0$ ������� $D$ (��. �����
\cite[�����~3.8]{KSS}, ��� ������ ������ ������������� $p>n-1$ �
���������� ����� �������� �������).  ��� ��������� ����� ������� $D$
� ������������� $p>n-1$ �������������� ������� �����������
���������� \cite[�����������~3]{KR}.


\medskip
\begin{lemma}\label{th4}
{\sl\, ����� $x_0\in  \overline{D},$ $p>n-1,$ � ����� ������������
������������ $f:D\rightarrow {\Bbb R}^n$ �������� ������
$Q$-������������  � ������� $D\subset{\Bbb R}^n$ ������������
$p$-������, $Q\in L_{loc}^{\frac{n-1}{p-n+1}}({\Bbb R}^n),$ $Q(x)=0$
��� ������� $D.$ ����� ��� ������ $0<r_1<r_2<d_0:=\sup\limits_{x\in
D}|x-x_0|$
%
\begin{equation*}M_{\alpha}(f(\Gamma(S_1, S_2, D)))\leqslant \int\limits_{A(x_0,
r_1, r_2)}Q^{\frac{n-1}{p-n+1}}(x)
\eta^{\alpha}(|x-x_0|)dm(x)\,,\alpha:=\frac{p}{p-n+1}\,,
\end{equation*}
%
��� $A(x_0, r_1, r_2)=\{x\in {\Bbb R}^n: r_1<|x-x_0|<r_2\},$
$S_i=S(x_0, r_i),$ $i=1,2,$ � $\eta: (r_1, r_2)\rightarrow
[0,\infty]$ -- ������������ ��������� �� ������ ������� �����, ���
%
\begin{equation}\label{eq28*}
\int\limits_{r_1}^{r_2}\eta(r)dr=1\,.
\end{equation}
 }
\end{lemma}
%
����������� ��������� ����������� (��.~\cite[�����������~4.7]{AS}).

\medskip
\begin{proposition}\label{pr2}
{\sl ����� $X$ --- $\beta$-���������� �� �������� �����������
������������ � �����, � ������� ����������� $(1; p)$-�����������
��������, $\beta-1< p\leqslant \beta.$ ����� ��� ������������
����������� $E$ � $F,$ ������������ � ���� $B(x_0, R),$ � ���������
���������� $C>0$ ����������� �����������
%
$M_p(\Gamma(E, F, X))\geqslant \frac{1}{C}\cdot\frac{\min\{{\rm
diam}\,E, {\rm diam}\,F\}}{R^{1+p-\beta}}.$ }
\end{proposition}

\medskip
����� ����� ��������� �����������, ����������
\cite[�����~3.1]{Sev$_1$} � ������ �� �������� ������� ������.


\medskip
\begin{lemma}\label{lem3}
{\sl\, ����� $p\in [n, n+1/(n-2)),$ $\alpha:=\frac{p}{p-n+1},$
������� $D$ ���������, ������� $D^{\,\prime}$ ����������, �����
�������� ��������������� ������� �, ������������, ��������
������������� $n$-���������� �� �������� ������������ ����������
������� � ���� ������ � ${\Bbb R}^n,$ � ������� ��������� $(1;
\alpha)$-����������� ��������. ����� ����� $P_0$ -- ���������
������� ����� � $E_D,$ � $\sigma_m,$ $m=1,2,\ldots,$ --
��������������� ��� ���� ��������, ������� �� ������ � ������� �
��������� ����� $x_0\in
\partial D$ � �������� $r_m\rightarrow 0,$ $m\rightarrow\infty.$
����� $D_m$ -- ��������������� $P_0$ ������������������
��������������� ��������, � $C_m$ -- ������������ ������������������
�����������, ������������� $D_m.$

�����������, $Q\in L_{loc}^{\frac{n-1}{p-n+1}}({\Bbb R}^n),$
$Q(x)=0$ ��� ������� $D,$  $f:D\rightarrow D^{\,\prime}$ -- ������
$Q$-������������ ������������ $p$-������, $f(D)=D^{\,\prime},$ �����
��� $b_0^{\,\prime}=f(b_0)$ ��� ��������� $b_0\in D$ �
$b_0^{\,\prime}\in D^{\,\prime}.$ ����� ����� �������
$\varepsilon_0=\varepsilon(x_0)>0,$
%
�����, ��� ��� ��������� $0<p^{\,\prime}<\alpha$ ��������� �������
%
\begin{equation}\label{eq5***}
%
\int\limits_{A(x_0, \varepsilon, \varepsilon_0)}
Q^{\frac{n-1}{p-n+1}}(x)\cdot\psi^{\,\alpha}(|x-x_0|)\,dm(x)
\leqslant K\cdot I^{p^{\,\prime}}(\varepsilon, \varepsilon_0)\,,
%
\end{equation}
%
%
��� ����������� ������ $A(x_0, \varepsilon, \varepsilon_0)$
���������� ��� � (\ref{eq1B}), � $\psi$ -- ��������� ���������������
��������� �������, �����, ��� ��� ���� $\varepsilon\in(0,
\varepsilon_0)$
%
%
\begin{equation}\label{eq7C}
I(\varepsilon,
\varepsilon_0):=\int\limits_{\varepsilon}^{\varepsilon_0}\psi(t)\,dt
< \infty\,,
\end{equation}
%
��� ����, $I(\varepsilon, \varepsilon_0)\rightarrow \infty$ ���
$\varepsilon\rightarrow 0.$


����� ������� �����
$\widetilde{\varepsilon_0}=\widetilde{\varepsilon_0}(x_0)\in (0,
\varepsilon_0)$  � $M_0\in {\Bbb N}$ �����, ���
%
$$ {\rm diam\,}f(C_m)\leqslant C\cdot R^{1+\alpha-n}\cdot K\cdot
I^{p^{\,\prime}-\alpha}(r_m, \varepsilon_0)\cdot\Delta(r_m)\,,\quad
m\geqslant M_1\,,
$$
%
��� ${\rm diam\,}f(C_m)$ -- �������� ������� ��������� $f(C_m),$
%
\begin{equation}\label{eq1.3}
\Delta(\sigma)=\left(
1+\frac{\int\limits_{\widetilde{\varepsilon_0}}^{\varepsilon_0}\psi(t)\,dt}
{\int\limits_{\sigma}^{\widetilde{\varepsilon_0}}\psi(t)\,dt}\right)^{\alpha}\,,\end{equation}
%
$\delta = \frac{1}{2}\cdot d\left(b_0^{\,\prime},
\partial D^{\,\prime}\right),$ $d$ -- ��������� ����������
����� �����������, $R$ -- ������ ����, ����������� �������
$D^{\,\prime},$ � $C$ -- ���������� �� ����������� \ref{pr2}.}
\end{lemma}

\medskip
\begin{proof} ������ �����, �� ����������� ���������� �������, $D$ ����� ���� ����������
�������������� �� ������� $G$ � �������� ��������������� ��������
����������� ����������� $g:D\rightarrow G.$ �������, ��� $G\ne {\Bbb
R}^n$ ����� ������� �������� ��� ��������������� ����������� (��.
\cite[���������~2.12, ��.~III]{Ri}). � ������ �������, �����
\cite[�������~3]{KR} $g$ ������������ �� �������������
$g:\overline{D}_P\rightarrow \overline{G}_P,$ ������ �����
\cite[�������~4.1]{Na} ���������� ������� ����������� ������������
����� ������� ������� $G$ � �������� ������� � ������� $G.$ � �����
������, ����� ���������� ������� ����������� ������������ �����
������� ������� $G$ � �������� ������� � ������� $D,$ �, ������,
����� ������� ������ �� ����� ����.

����� ������ $P_1\in E_D$ -- ������� �����, �� ����������� � $P_0,$
��� $P_0$ -- ������������� ������� ����� �� ������� �����.
�����������, $G_m,$ $m=1,2,\ldots,$ -- ������������������ ��������,
��������������� �������� ����� $P_1$ � $x_m\in G$ -- ������������
������������������ �����, ����� ��� $x_m\rightarrow P_1$ ���
$m\rightarrow\infty.$ ����� �������, ��� $x_m\in G_m$ ��� �������
$m\in {\Bbb N}.$ �����, ��� ��� $f$ ����� ����������� ����������� ��
$\overline{D}_P$ ����� ����� \ref{lem1}, �� $f(x_m)\rightarrow
f(P_1)$ ��� $m\rightarrow\infty.$ �������, ��� ��� ���� $m\geqslant
m_0$ � ��������� $m_0\in {\Bbb N}$
%
\begin{equation}\label{eq3}
|f(b_0)-f(x_m)|=|b_0^{\,\prime}-f(x_m)|\geqslant
|b_0^{\,\prime}-f(P_1)|-|f(x_m)-f(P_1)|\geqslant \frac{1}{2}\cdot
d(b_0^{\,\prime}, \partial D^{\,\prime}):=\delta\,,
\end{equation}
%
��� $d(b_0^{\,\prime}, \partial D^{\,\prime})$ ���������� ���������
���������� ����� $b_0^{\,\prime}$ � $\partial D^{\,\prime}.$
�������� ������������������ ����������� $K_m,$ $m=1,2,\ldots,$
��������� �������. �������� ����� $x_1$ � ������ $b_0$ ������������
������ � $D,$ ������� �� ��������� ����� $K_1.$ �����, ��������
����� $x_2$ � $x_1$ ������ $K_1^{\prime},$ ������� � $G_1.$
��������� ������ $K_1$ � $K_1^{\prime},$ ������� ������ $K_2,$
����������� ����� $b_0$ � $x_2.$ � ��� �����. ����� �� ���������
���� �� ����� ������ $K_m,$ ����������� ����� $x_m$ � $b_0.$
�������� ����� $x_{m+1}$ � $x_m$ ������ $K_m^{\,\prime},$ ������� �
$G_m.$ ��������� ����� ����� ������ $K_m$ � $K_m^{\,\prime},$
������� ������ $K_{m+1}.$ � ��� �����.

����� $C_m,$ $m=1,2,\ldots,$ -- ������������������ ����������� �
�������� $D_m,$ �������� �� �������. �������, ��� ������� �����
$m_1\in {\Bbb N},$ ����� ���
%
\begin{equation}\label{eq4}
D_m\cap K_m=\varnothing\quad\forall\quad m\geqslant m_1\,.
\end{equation}
%
�����������, ��� (\ref{eq4}) �� ����� �����, ����� ��������
������������ ������������������ ������� $m_k\rightarrow\infty,$
$k\rightarrow\infty,$ � ������������������ ����� $\xi_k\in
K_{m_k}\cap D_{m_k},$ $m=1,2,\ldots,\,.$ �����, � ����� �������,
$\xi_k \rightarrow P_0$ ��� $k\rightarrow\infty.$

\medskip
���������� ��������� ���������. �������, ��� �������� ��� ������:
���� ��� �������� $\xi_k$ ��� $k=1,2,\ldots$ ����������� ���������
$D\setminus G_1,$ ���� ������� ����� $k_1$ �����, ��� $\xi_{k_1}\in
G_1.$ �����, ���������� ������������������ $\xi_k,$ $k>k_1.$
�������, ��� �������� ��� ������: ���� $\xi_k$ ��� $k>k_1$
����������� ��������� $D\setminus G_2,$ ���� ������� �����
$k_2>k_1$ �����, ��� $\xi_{k_2}\in G_2.$ � ��� �����. �����������,
������� $\xi_{k_{l-1}}\in G_{l-1}$ ��������. �������, ��� ��������
��� ������: ���� $\xi_k$ ��� $k>k_{l-1}$ ����������� ���������
$D\setminus G_l,$ ���� ������� ����� $k_l>k_{l-1}$ �����, ���
$\xi_{k_l}\in G_l.$ � ��� �����. ��� ��������� ����� ���� ���
�������� (���������� �� �����-�� $l\in {\Bbb N}$), ��� �
�����������, � ����������� �� ���� �� ����� ��� ��������:


1) ���� �������� ������ $n_0\in {\Bbb N}$ � $l_0\in {\Bbb N}$ �����,
��� $\xi_k\in D\setminus G_{n_0}$ ��� ���� $k>l_0;$

2) ���� ��� ������� $l\in {\Bbb N}$ ������� ������� $\xi_{k_l}$
�����, ��� $\xi_{k_l}\in G_l,$ ������ ������������������ $k_l$
�������� ������������ �� $l\in {\Bbb N}.$

\medskip
���������� ������ �� ���� ������� � �������, ��� � ����� �� ��� ��
�������� � ������������. ����� ����� ����� �������� 1), �����
�������, ��� ��� �������� ������������������ $\xi_k$ �����������
$K_{n_0},$ ������ �������� ������������� ���������������������
$\xi_{k_r},$ $r=1,2,\ldots,$ ���������� ��� $r\rightarrow\infty$ �
��������� ����� $\xi_0\in D.$ ������, � ������ ������� $\xi_k\in
D_{m_k}$ �, ������, $\xi_0\in \bigcap\limits_{m=1}^{\infty}
\overline{D_m}\subset
\partial D$ (��. \cite[�����������~1]{KR} �� ����� ������).
���������� ������������ ������� � ���, ��� ������ 1) ����������.
����� ����� ����� ������ 2), ����� ������������ $\xi_k\rightarrow
P_0$ � $\xi_k\rightarrow P_1$ ��� $k\rightarrow\infty.$ � ����
������������ ����������� $f$ �� $\overline{D}_P$ ������ �����, ���
$f(\xi_k)\rightarrow f(P_0)$ � $f(\xi_k)\rightarrow f(P_1)$ ���
$k\rightarrow\infty,$ ������ $f(P_0)=f(P_1),$ ��� ������������
�������������� ����������� $f$ � $\overline{D}_P.$ ����������
������������ ��������� �� �������������� ����������� (\ref{eq4}).

������� ������ $\widetilde{\varepsilon_0}=\min\{\varepsilon_0,
r_{m_1+1}\},$ � ����� $M_0$ -- ����������� �����, ����� ���
$r_m<\widetilde{\varepsilon_0}$ ��� ���� $m\geqslant M_0.$
���������� ��������� �������
%
$$\eta_{m}(t)= \left\{
\begin{array}{rr}
\psi(t)/I(r_m, \widetilde{\varepsilon_0}), &   t\in (r_m, \widetilde{\varepsilon_0}),\\
0,  &  t\not\in (r_m, \widetilde{\varepsilon_0})\,,
\end{array}
\right.$$
%
%\end{equation}
%
���, ��� � ������, �������� $I(a, b)$ ������������ ������������
$I(a, b)=\int\limits_a^b\psi(t)\,dt.$ �������, ��� �������
$\eta_m(t)$ ������������� ����������� ���� (\ref{eq28*}), ��� ������
$r_1$ � $r_2$ ��������� $r_m$ � $\widetilde{\varepsilon_0},$
��������������. �������, ��� ����� ����������� (\ref{eq4}), � �����
�� ����������� �������� $\sigma_m\subset r_m,$ $\Gamma\left(C_m,
K_m, D\right)>\Gamma(S(x_0, r_m), S(x_0, \widetilde{\varepsilon_0}),
D)$ � ������, $f(\Gamma\left(C_m, K_m, D\right))>f(\Gamma(S(x_0,
r_m), S(x_0, \widetilde{\varepsilon_0}),D)),$ ������
%
$$M_{\alpha}(f(\Gamma\left(C_m, K_m, D\right)))\leqslant M_{\alpha}(f(\Gamma(S(x_0,
r_m), S(x_0, \widetilde{\varepsilon_0}), D))$$
%
(��. \cite[�������~6.4]{Va}). � ����� ������, �������� �����
\ref{th4}, �� �������, ���
%
%
%
$$M_{\alpha}\left(\Gamma\left(f(C_m), f(K_m),
D^{\,\prime}\right)\right)=$$
%
\begin{equation}\label{eq37***}
=M_{\alpha}\left(f\left(\Gamma\left(C_m, K_m,
D\right)\right)\right)\leqslant M_{\alpha}(f(\Gamma(S(x_0, r_m),
S(x_0, \widetilde{\varepsilon_0}), D )))\leqslant
\end{equation}
%
$$\leqslant\,\frac{K\cdot I^{p^{\,\prime}}(r_m, \varepsilon_0)}{I^{\alpha}(r_m,
\widetilde{\varepsilon_0})}=K\cdot I^{p^{\,\prime}-\alpha}(r_m,
\varepsilon_0)\cdot\Delta(r_m)\,,\quad m\geqslant M_0\,,$$
%
��� $\Delta(r_m)$ ������������ �� ����������� (\ref{eq1.3}) ���
$\sigma=r_m.$
%
� ������ �������, �� ����������� \ref{pr2}
%
\begin{equation}\label{eq11}
\min\{{\rm diam\,}f(C_m), {\rm diam\,}f(K_m)\}\leqslant
CR^{1+\alpha-n}M_{\alpha}\left(\Gamma\left(f(C_m), f(K_m),
D^{\,\prime}\right)\right)\,,
\end{equation}
%
��� $R$ -- ������ ����, ����������� ������� $D^{\,\prime}.$

��������� �� (\ref{eq37***}) ��������, ���
$M_{\alpha}\left(\Gamma\left(f(C_m), f(K_m),
D^{\,\prime}\right)\right)\rightarrow 0$ ��� $m\rightarrow\infty,$ �
%
${\rm diam\,}f(K_m)\geqslant \delta$ ����� (\ref{eq3}), �� ��
(\ref{eq11}) �������, ��� ��� ��������� $M_1\geqslant M_0$ � ����
$m\geqslant M_1$
%
\begin{equation}\label{eq12B}
{\rm diam\,}f(C_m)\leqslant C\cdot R^{1+\alpha-n}\cdot
M_{\alpha}\left(\Gamma\left(f(C_m), f(K_m),
D^{\,\prime}\right)\right)\,.
\end{equation}
%
����� �� (\ref{eq37***}) � (\ref{eq12B}) ��������, ���
%
$$
{\rm diam\,}f(C_m)\leqslant C\cdot R^{1+\alpha-n}\cdot K\cdot
I^{p^{\,\prime}-\alpha}(r_m, \varepsilon_0)\cdot\Delta(r_m)\,,\quad
m\geqslant M_1\,.
$$
%
����� ��������.~$\Box$
\end{proof}


\medskip
��� �������� �������� $D,$ $D^{\,\prime}\subset {\Bbb R}^n,$ $n\ge
2,$ $n-1<p\leqslant n,$ ��������� �� ������ ������� $Q(x):{\Bbb
R}^n\rightarrow [0, \infty],$ $Q(x)\equiv 0$ ��� $x\not\in D,$
$b_0\in D,$ $b_0^{\,\prime}\in D^{\,\prime},$ ��������� �����
$\frak{G}_{p, b_0, b_0^{\,\prime}, Q}\left(D, D^{\,\prime}\right)$
��������� ���� ������ $Q$-�������������� $f:D\rightarrow
D^{\,\prime}$ ������������ $p$-������, ����� ���
$f(D)=D^{\,\prime},$ $b_0^{\,\prime}=f(b_0).$ � �������� �����
�������� �������� ����������� ���������� ������� ����� ����
�������������� ��������� �������.


\medskip
\begin{lemma}\label{lem3A}
{\sl\, ����� $p\in [n, n+1/(n-2)),$ $\alpha:=\frac{p}{p-n+1},$
������� $D$ ���������, ������� $D^{\,\prime}$ ����������, �����
�������� ��������������� ������� �, ������������, ��������
������������� $n$-���������� �� �������� ������������ ����������
������� � ���� ������ � ${\Bbb R}^n,$ � ������� ��������� $(1;
\alpha)$-����������� ��������.

�����������, ��� $Q\in L_{loc}^{\frac{n-1}{p-n+1}}({\Bbb R}^n),$ �
��� ��� ������� $x_0\in \overline{D}$ �������
$\varepsilon_0=\varepsilon(x_0)>0,$
%
�����, ��� ��� ��������� $0<p^{\,\prime}<\alpha$ ��������� �������
(\ref{eq5***}), ��� ����������� ������ $A(x_0, \varepsilon,
\varepsilon_0)$ ���������� ��� � (\ref{eq1B}), � $\psi$ -- ���������
��������������� ��������� �������, �����, ��� ��� ����
$\varepsilon\in(0, \varepsilon_0)$ ��������� ������� (\ref{eq7C}),
%
��� ����, $I(\varepsilon, \varepsilon_0)\rightarrow \infty$ ���
$\varepsilon\rightarrow 0.$

����� ������ $f\in\frak{G}_{p, b_0, b_0^{\,\prime}, Q}\left(D,
D^{\,\prime}\right)$ ������������ �� �������������
$f:\overline{D}_P\rightarrow \overline{D^{\,\prime}}_P,$ ��� ����
��������� ����� ������� ������������ ����������� ��������
������������� ����������� � $\overline{D}_P.$ }
\end{lemma}

\begin{proof} ������ ����������� $f$ ����� ����������� ����������� ��
$\overline{D}_P$ � ���� ����� \ref{lem1}. ��������������
������������� ��������� $\frak{G}_{p, b_0, b_0^{\,\prime},
Q}\left(D, D^{\,\prime}\right)$ �� ���������� ������ ������� $D$
�������, ��������, �� ���������� ����� \ref{th4} �
\cite[�����~2.4]{GSS}.

�������� �������� �������������� �������������  $\frak{G}_{p, b_0,
b_0^{\,\prime}, Q}\left(D, D^{\,\prime}\right)$ �� $E_D.$

����������� ���������, � ������, ��� ��������� �����������
$\frak{G}_{p, b_0, b_0^{\,\prime}, Q}\left(D, D^{\,\prime}\right)$
�� �������� ������������� ����������� � ��������� ����� $P_0\in
E_D.$ ����� �������� ����� $a>0,$ ������������������ $P_k\in
\overline{D}_P,$ $k=1,2,\ldots$ � �������� $f_k\in\frak{G}_{b_0,
b_0^{\,\prime}, Q}\left(D, D^{\,\prime}\right)$ �����, ��� $d(P_k,
P_0)<1/k$ �
%
\begin{equation}\label{eq6}
|f_k(P_k)-f_k(P_0)|\geqslant a\quad\forall\quad k=1,2,\ldots,\,.
\end{equation}
%
����� ����������� ������������ ����������� ������� $f_k$ �� �������
$D$ � �������� ������� ������, ��� ������� $k\in {\Bbb N}$ �������
������� $x_k\in D$ �����, ��� $d(x_k, P_k)<1/k$ �
$|f_k(x_k)-f_k(P_k)|<1/k.$ ����� �� (\ref{eq6}) ��������, ���
%
\begin{equation}\label{eq7D}
|f_k(x_k)-f_k(P_0)|\geqslant a/2\quad\forall\quad k=1,2,\ldots,\,.
\end{equation}
%
����������, � ���� ������������ ����������� ����������� $f_k$ �
$\overline{D_P}$ ������� ������������������ $x_k^{\,\prime}\in D,$
$x_k^{\,\prime}\rightarrow P_0$ ��� $k\rightarrow \infty$ �����, ���
$|f_k(x_k^{\,\prime})-f_k(P_0)|<1/k$ ��� $k=1,2,\ldots\,.$ ����� ��
(\ref{eq7D}) ��������, ���
%
\begin{equation}\label{eq8B}
|f_k(x_k)-f_k(x_k^{\,\prime})|\geqslant a/4\quad\forall\quad
k=1,2,\ldots\,,\,.
\end{equation}
%
����� $\sigma_m,$ $m=1,2,\ldots,$ -- ��������������� $P_0$ ����
��������, ������� �� ������ � ������� � ��������� ����� $x_0\in
\partial D$ � �������� $r_m\rightarrow 0,$ $m\rightarrow\infty.$
����� $D_m$ -- ��������������� $P_0$ ������������������
��������������� ��������. �� ����������� �������� �����������, �����
�������, ��� $x_k$ � $x_k^{\,\prime}$ ����������� ������� $D_k.$
�������� ����� $x_k$ � $x_k^{\,\prime}$ ������ $C_k$ ������� �
$D_k.$ ����� �� ����� \ref{lem3} �� �������, ��� ${\rm
diam}\,f(C_k)\rightarrow 0$ ��� $k\rightarrow \infty,$ ���
������������ ����������� (\ref{eq8B}). ���������� ������������
��������� �� ��, ��� �������� ������������� �� ����������
�������������� ������������� ��������� $\frak{G}_{p, b_0,
b_0^{\,\prime}, Q}\left(D, D^{\,\prime}\right)$ ����
��������.~$\Box$
\end{proof}

\medskip
�� ����� \ref{lem3A} �� ������ ����������� �� \cite[�����~3.1 �
������ �������������� �������~4.2]{GSS$_1$} (��. �����
\cite[�����~2.3.1]{Sev$_7$}), �������� ��������� �����������.

\medskip
\begin{theorem}\label{th8}{\sl\,
����� $p\in [n, n+1/(n-2)),$ $\alpha:=\frac{p}{p-n+1},$ ������� $D$
���������, ������� $D^{\,\prime}$ ����������, ����� ��������
��������������� ������� �, ������������, �������� �������������
$n$-���������� �� �������� ������������ ���������� ������� � ����
������ � ${\Bbb R}^n,$ � ������� ��������� $(1; \alpha)$-�����������
��������.

�����������, ��� $Q\in L_{loc}^{\frac{n-1}{p-n+1}}({\Bbb R}^n)$ �
��������� ���� �� ��������� �������:

1) ���� � ������ ����� $x_0\in \overline{D}$ ��� ���������
$\varepsilon_0=\varepsilon_0(x_0)>0$ � ����
$0<\varepsilon<\varepsilon_0$
%
$$
\int\limits_{\varepsilon}^{\varepsilon_0}
\frac{dt}{t^{\frac{n-1}{\alpha-1}}\widetilde{q}_{x_0}^{\,\frac{1}{\alpha-1}}(t)}<\infty\,,\qquad
\int\limits_{0}^{\varepsilon_0}
\frac{dt}{t^{\frac{n-1}{\alpha-1}}\widetilde{q}_{x_0}^{\,\frac{1}{\alpha-1}}(t)}=\infty\,,
$$
%
���
$\widetilde{q}_{x_0}(r):=\frac{1}{\omega_{n-1}r^{n-1}}\int\limits_{|x-x_0|=r}Q^{\frac{n-1}{p-n+1}}(x)\,d{\mathcal
H}^{n-1};$

2) ���� $Q^{\frac{n-1}{p-n+1}}\in FMO(\overline{D}).$
%
����� ������ $f\in\frak{G}_{p, b_0, b_0^{\,\prime}, Q}\left(D,
D^{\,\prime}\right)$ ������������ �� �������������
$f:\overline{D}_P\rightarrow \overline{D^{\,\prime}}_P,$ ��� ����
��������� ����� ������� ������������ ����������� ��������
������������� ����������� � $\overline{D}_P.$}
\end{theorem}


\medskip
\begin{proof}
� ���� ����� \ref{thOS4.1} ������ ����������� $\frak{F}_{\alpha,
b_0, b_0^{\,\prime}, \varphi, Q}(D, D^{\,\prime})$ �������� ������
$B$-������������ ������������ $p$-������ ��� $B(x)=
Q^{\frac{p-n+1}{n-1}}(x, f),$ ��� $p$ ��������� �� �������
$\alpha=\frac{p}{p-n+1}.$ ������, ������������ $B(x)$ ���������
������� 1) � 2) ������� \ref{th8}, ���������
$B^{\frac{n-1}{p-n+1}}(x)=Q(x),$ ��� $Q$ ������������� ������������
1)-2) ������� \ref{th7A}. ���������� ����� ����������� �������� ��
������� \ref{th8}.~$\Box$
\end{proof}


\begin{thebibliography}{99}
{\small
\bibitem{KR} {\it �������� �.�., ������� �.�.} ������� ����� �
������ ������--�������� // ������� � ������. -- 2015. -- �.
\textbf{27}, � 5. -- �. 81--116.

\bibitem{Na} {\it N\"akki R.} Prime ends and quasiconformal mappings
// J. Anal. Math. -- 1979. -- V. \textbf{35}. -- P. 13-40.

\bibitem{He} {\it Heinonen~J.} Lectures on Analysis on metric
spaces. -- New York: Springer Science+Business Media, 2001.

\bibitem{MRSY} {\it Martio~O., Ryazanov~V., Srebro~U. and Yakubov
~E.} Moduli in Modern Mapping Theory. -- New York: Springer Science
+ Business Media, LLC, 2009.


\bibitem{Ge$_3$} {\it Gehring~F.W.} Rings and quasiconformal mappings in
space // Trans. Amer. Math. Soc. -- 1962. -- V. \textbf{103}. --
P.~353--393.

\bibitem{KRSS} {\it ��������~�.�., �������~�.�., �������~�.�.,
�����������~�.�.} � ������ ������� ������--�������� // ������� �
������. -- 2013. -- \textbf{25}, � 6. -- �.~50--102.

\bibitem{KSS} {\it �������� �., ������� �., ����������� �.} � ������ �����������
������� �������� � ������-��������. -- ����: ������� �����, 2013.



\bibitem{AS} {\it Adamowicz~T. and Shanmugalingam~N.}
Non-conformal Loewner type estimates for modulus of curve families
// Ann. Acad. Sci. Fenn. Math. -- 2010. -- V. \textbf{35}. -- P. 609�-626.


\bibitem{Sev$_1$} {\it �����������~�.�.} � �������������� ������������� �������������� �
�������������� ��������������� // �������������� �����. -- 2012. --
\textbf{15}, � 1. -- �. 178--204.


\bibitem{Ri} {\it Rickman~S.} Quasiregular mappings.
Results in Mathematic and Related Areas (3), 26. -- Springer-Verlag:
Berlin etc., 1993.

\bibitem{Va} {\it V\"{a}is\"{a}l\"{a} J.} Lectures on $n$-Dimensional Quasiconformal
Mappings. Lecture Notes in Math., V. 229. -- Berlin etc.:
Springer--Verlag, 1971.


\bibitem{GSS} {\it Golberg~A., Salimov~R. and Sevost'yanov~E.}
Normal Families of Discrete Open Mappings with Controlled $p$-Module
// Contemporary Mathematics. -- 2016. -- V. \textbf{667.} --
P.~83--103.


\bibitem{GSS$_1$} {\it Golberg~A., Salimov~R. and Sevost'yanov~E.} Singularities of
discrete open mappings with controlled $p$-module // J. Anal. Math.
-- 2015. -- \textbf{127.} -- P. 303--328.

\bibitem{Sev$_7$}  {\it ����������� �.�.} ������������ ���������������� ����������� ��������������
�������. -- ����: ������� �����, 2014.

}


\end{thebibliography}

\medskip
���������� ����������

\medskip
\noindent{{\bf ������� ������������� �����������} \\
����������� ��������������� ����������� ��.\ �.~������\\
��. ������� ������������, 40 \\
�.~�������, �������, 10 008 \\ ���. +38 066 959 50 34 (���.),
e-mail: esevostyanov2009@mail.ru}

\end{document}

1602.06918.extracted_bib
{KR {�������� �.�., ������� �.�. ������� ����� � ������ ������--�������� // ������� � ������. -- 2015. -- �. 27, � 5. -- �. 81--116.
1602.06918.extracted_bib
{Na {N\"akki R. Prime ends and quasiconformal mappings // J. Anal. Math. -- 1979. -- V. 35. -- P. 13-40.
1602.06918.extracted_bib
{He {Heinonen~J. Lectures on Analysis on metric spaces. -- New York: Springer Science+Business Media, 2001.
1602.06918.extracted_bib
{MRSY {Martio~O., Ryazanov~V., Srebro~U. and Yakubov ~E. Moduli in Modern Mapping Theory. -- New York: Springer Science + Business Media, LLC, 2009.
1602.06918.extracted_bib
{Ge$_3$ {Gehring~F.W. Rings and quasiconformal mappings in space // Trans. Amer. Math. Soc. -- 1962. -- V. 103. -- P.~353--393.
1602.06918.extracted_bib
{KRSS {��������~�.�., �������~�.�., �������~�.�., �����������~�.�. � ������ ������� ������--�������� // ������� � ������. -- 2013. -- 25, � 6. -- �.~50--102.
1602.06918.extracted_bib
{KSS {�������� �., ������� �., ����������� �. � ������ ����������� ������� �������� � ������-��������. -- ����: ������� �����, 2013.
1602.06918.extracted_bib
{AS {Adamowicz~T. and Shanmugalingam~N. Non-conformal Loewner type estimates for modulus of curve families // Ann. Acad. Sci. Fenn. Math. -- 2010. -- V. 35. -- P. 609�-626.
1602.06918.extracted_bib
{Sev$_1$ {�����������~�.�. � �������������� ������������� �������������� � �������������� ��������������� // �������������� �����. -- 2012. -- 15, � 1. -- �. 178--204.
1602.06918.extracted_bib
{Ri {Rickman~S. Quasiregular mappings. Results in Mathematic and Related Areas (3), 26. -- Springer-Verlag: Berlin etc., 1993.
1602.06918.extracted_bib
{Va {V\"{ais\"{al\"{a J. Lectures on $n$-Dimensional Quasiconformal Mappings. Lecture Notes in Math., V. 229. -- Berlin etc.: Springer--Verlag, 1971.
1602.06918.extracted_bib
{GSS {Golberg~A., Salimov~R. and Sevost'yanov~E. Normal Families of Discrete Open Mappings with Controlled $p$-Module // Contemporary Mathematics. -- 2016. -- V. 667. -- P.~83--103.
1602.06918.extracted_bib
{GSS$_1$ {Golberg~A., Salimov~R. and Sevost'yanov~E. Singularities of discrete open mappings with controlled $p$-module // J. Anal. Math. -- 2015. -- 127. -- P. 303--328.
1602.06918.extracted_bib
{Sev$_7$ {����������� �.�. ������������ ���������������� ����������� �������������� �������. -- ����: ������� �����, 2014.