Application de Hodge-Tate duale d'un groupe de Lubin-Tate, immeuble de Bruhat-Tits du groupe lin�aire et filtrations de ramification
Laurent Fargues
L'un des buts de cet article est de d�crire l'isomorphisme entre les tours de Lubin-Tate et de Drinfeld au niveau de leurs squelettes apr�s quotient par $\GL_n (\O_F)\times \O_D^\times$ ou bien $I\times \O_D^\times$ o� $\O_D$ est l'ordre maximal dans l'alg�bre � division d'invariant $\frac{1}{n}$ sur $F$ et $I$ un sous-groupe d'Iwahori de $\GL_n$. Nous donnons des applications � l'�tude des sous-groupes canoniques sur les espaces de Lubin-Tate, la description des orbites de Hecke sph�riques dans ces espaces, les domaines fondamentaux pour les correspondances de Hecke et l'application des p�riodes de Gross-Hopkins. Nous-y �tudions �galement en d�tail les filtrations de ramification (inf�rieure et sup�rieure) et l'application de Hodge-Tate d'un groupe formel $p$-divisible de dimension un.
Squelette.tex
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\def\R{\mathbb{R}}
\def\S{\mathfrak{S}}
\def\P{\mathbb{P}}
\def\C{\mathbb{C}}
\def\CC{\mathfrak{C}}
\def\Cp{\mathbb{C}_p}
\def\Fp{\mathbb{F}_p}
\def\Fq{\mathbb{F}_q}
\def\Fqb{\overline{\mathbb{F}}_q}
\def\L{\mathcal{L}}
\def\La{\Lambda}
\def\A{\text{{\bf A}}} 
\def\Aff{\mathbb{A}}
\def\O{\mathcal{O}} 
\def\F{\mathcal{F}}
\def\I{\mathcal{I}}
\def\J{\mathcal{J}}
\def\*{^\times }
\def\dpt{\displaystyle}
\def\G{\mathcal{G}}
\def\Ga{\text{\bf G}_a} 
\def\Gm{\mathbb{G}_m}         
\def\l{\lambda}
\def\g{\gamma}
\def\BB{\mathbb{B}}
\def\w{\omega}
\def\a{\alpha}
\def\b{\beta}
\def\d{\delta}
\def\s{\sigma}
\def\ph{\varphi}
\def\sg{\boldsymbol{\sigma}}
\def\e{\epsilon}
\def\ssi{\Leftrightarrow}
\def\lssi{\Longleftrightarrow}
\def\impl{\Rightarrow}
\def\limpl{\Longrightarrow}
\def\drt{\rightarrow}
\def\ldrt{\longrightarrow}
\def\Q{\mathbb{Q}}
\def\Qb{\overline{\mathbb{Q}}}
\def\Ql{\mathbb{Q}_\ell}
\def\Qlb{\overline{\mathbb{Q}}_\ell}
\def\Qp{\mathbb{Q}_p}
\def\Qpb{\overline{\mathbb{Q}}_p}
\def\Zp{\mathbb{Z}_p}
\def\Z{\mathbb{Z}}
\def\N{\mathbb{N}}
\def\Zl{\mathbb{Z}_\ell}
\def\Hom{\text{Hom}}
\def\Homf{\underline{\text{Hom}}}
\def\Rpsi{\text{R}\Psi_{\bar{\eta}}}
\def\rpsi{\text{R}\Psi}
\def\Rth{\text{R}\Theta_{\bar{\eta}}}
\def\rth{\text{R}\Theta}
\def\Gal{\text{Gal}}
\def\={\! = \!}
\def\inc{\! \in \!}
\def\ind{\text{Ind}}
\def\spec{\text{Spec}}
\def\spf{\text{Spf}}
\def\Sym{\boldsymbol{Sym}}
\def\E{\mathcal{E}}
\def\ens{\boldsymbol{\mathcal{E}ns}}
\def\limp{\underset{\longleftarrow}{\text{ lim }}\;}
\def\limi{\underset{\longrightarrow}{\text{ lim }}\;}
\def\mod{\boldsymbol{Mod}}
\def\Ab{\boldsymbol{Ab}}
\def\Frac{\text{Frac}}
\def\iso{\xrightarrow{\;\sim\;}}
\def\mod{\text{ mod }}
\def\End{\text{End}}
\def\Aut{\text{Aut}}
\def\GL{\hbox{GL}}
\def\im{\text{im}}
\def\xrig{\xrightarrow}
\def\pK{K^p}
\def\Kp{K_p}
\def\Res{\text{Res}}
\def\M{\mathcal{M}}
\def\Mf{\widehat{\mathcal{M}}}
\def\Mb{\overline{\mathcal{M}}}
\def\XX{\mathbb{X}}
\def\X{\mathfrak{X}}
\def\GG{\Gamma}
\def\Ext{\text{Ext}}
\def\bc{\backslash}
\def\AA{\mathcal{A}}
\def\spa{\hbox{Spa}}
\def\<{<\hspace{-1mm}}
\def\>{\hspace{-1mm}>}
\def\Irr{\text{Irr}}
\def\Lie{\text{Lie}}
\def\LL{\mathcal{L}}
\def\dem{{\it D�monstration. }} 
\def\xs{\underline{x}}
\def\Rb{\overline{R}}
\def\Rc{\widehat{R}}
\def\Rbc{\widehat{\overline{R}}}
\def\Vb{\overline{V}}
\def\Vbc{\widehat{\overline{V}}}
\def\Fil{\text{Fil}}
\def\Ac{A_{cris}}
\def\unp{[ \frac{1}{p}]}
\def\LT{\mathcal{L}\mathcal{T}}
\def\D{{\mathcal{D}r}}
\def\Hb{\mathbb{H}}
\def\Gb{\mathbb{G}}
\def\DH{\mathbb{D}  (\mathbb{H}  )}
\def\DG{\mathbb{D} (\mathbb{G}  )}


\author{Laurent Fargues}
\address{CNRS-IHES-universit� Paris-Sud Orsay}
\email{laurent.fargues@math.u-psud.fr}
\date{}

\begin{document}

\newtheorem{Fait}{Fait}



\title[Application de Hodge-Tate  et
immeuble du groupe lin�aire]{Application de Hodge-Tate duale d'un groupe de Lubin-Tate, immeuble
de Bruhat-Tits du groupe lin�aire et filtrations de
ramification}
\maketitle

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\path(9,6)(6,4)
\path(51,74)(50,78)
\path(47,72)(48,76)
\path(88,9)(92,6)
\path(9,6)(6,4)
\path(92,6)(94,4)
\path(9,3)(6,2)
\path(48,76)(48,79)
\path(51,74)(50,78)
\path(89,4)(92,3)
\path(58,0)(41,0)
\path(58,0)(70,0)
\path(21,35)(14,25)
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\path(21,35)(29,50)
\path(70,50)(79,35)
\path(41,0)(29,0)
\path(70,0)(79,0)
\path(15,24)(10,17)
\path(63,60)(59,68)
\path(30,50)(35,61)
\path(78,35)(84,24)
\path(28,1)(20,0)
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\path(84,24)(89,17)
\path(20,1)(14,1)
\path(85,1)(89,1)
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\path(55,73)(54,77)
\path(41,68)(43,73)
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\path(92,3)(94,2)
\path(6,4)(4,3)
\path(50,78)(50,80)
\path(48,76)(48,79)
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\path(6,4)(4,3)
\path(94,4)(96,3)
\path(6,2)(4,1)
\path(48,79)(49,81)
\path(50,78)(50,80)
\path(92,3)(94,2)
\path(58,0)(41,0)
\path(58,0)(70,0)
\path(20,35)(14,25)
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\path(20,35)(29,50)
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\path(85,0)(89,0)
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\path(14,1)(10,0)
\path(89,1)(92,0)
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\path(91,11)(94,8)
\path(9,1)(7,1)
\path(92,1)(94,1)
\path(5,5)(3,3)
\path(52,79)(51,81)
\path(46,77)(47,79)
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\path(6,2)(4,1)
\path(94,2)(96,1)
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\path(4,3)(3,2)
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\path(49,81)(49,83)
\path(50,80)(50,82)
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\path(58,0)(70,0)
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\path(89,17)(92,12)
\path(14,0)(10,0)
\path(89,0)(92,0)
\path(5,8)(3,6)
\path(54,77)(53,80)
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\path(92,12)(94,8)
\path(10,0)(7,0)
\path(92,0)(94,0)
\path(4,5)(3,4)
\path(52,79)(52,81)
\path(45,77)(46,80)
\path(94,8)(95,5)
\path(7,1)(4,0)
\path(94,1)(96,0)
\path(3,3)(2,2)
\path(51,81)(51,83)
\path(47,79)(48,81)
\path(95,5)(96,3)
\path(4,1)(3,1)
\path(96,1)(97,1)
\path(3,2)(2,1)
\path(50,82)(50,83)
\path(49,81)(49,83)
\path(96,3)(97,2)
\path(3,2)(2,1)
\path(97,2)(98,1)
\path(3,1)(2,0)
\path(49,83)(49,84)
\path(50,82)(50,83)
\path(96,1)(97,1)
\path(58,0)(41,0)
\path(58,0)(70,0)
\path(20,35)(14,25)
\path(70,50)(64,61)
\path(20,35)(29,50)
\path(70,50)(79,35)
\path(41,0)(29,0)
\path(70,0)(79,0)
\path(14,25)(10,17)
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\path(29,50)(35,61)
\path(79,35)(85,25)
\path(29,0)(20,0)
\path(79,0)(85,0)
\path(10,17)(7,12)
\path(60,68)(57,74)
\path(35,61)(39,68)
\path(85,25)(89,17)
\path(20,0)(14,0)
\path(85,0)(89,0)
\path(7,12)(5,8)
\path(57,73)(54,77)
\path(39,68)(42,74)
\path(89,17)(92,12)
\path(14,0)(10,0)
\path(89,0)(92,0)
\path(5,8)(3,6)
\path(54,77)(53,80)
\path(43,73)(45,77)
\path(92,12)(94,8)
\path(10,0)(7,0)
\path(92,0)(94,0)
\path(3,6)(2,4)
\path(53,80)(52,82)
\path(45,77)(46,80)
\path(94,8)(96,6)
\path(7,0)(4,0)
\path(94,0)(96,0)
\path(3,4)(2,2)
\path(52,81)(51,83)
\path(46,80)(47,82)
\path(95,5)(97,4)
\path(4,0)(3,0)
\path(96,0)(97,0)
\path(2,2)(1,1)
\path(51,83)(50,84)
\path(48,81)(48,83)
\path(96,3)(97,2)
\path(3,1)(2,0)
\path(97,1)(98,0)
\path(2,1)(1,1)
\path(50,83)(50,84)
\path(49,83)(49,84)
\path(97,2)(98,1)
\path(2,1)(1,1)
\path(98,1)(98,1)
\path(2,0)(1,0)
\path(49,84)(49,84)
\path(50,83)(50,84)
\path(97,1)(98,0)
\path(58,0)(41,0)
\path(58,0)(70,0)
\path(20,35)(14,25)
\path(70,50)(64,61)
\path(20,35)(29,50)
\path(70,50)(79,35)
\path(41,0)(29,0)
\path(70,0)(79,0)
\path(14,25)(10,17)
\path(64,61)(60,68)
\path(29,50)(35,61)
\path(79,35)(85,25)
\path(29,0)(20,0)
\path(79,0)(85,0)
\path(10,17)(7,12)
\path(60,68)(57,74)
\path(35,61)(39,68)
\path(85,25)(89,17)
\path(20,0)(14,0)
\path(85,0)(89,0)
\path(7,12)(5,8)
\path(57,74)(55,77)
\path(39,68)(42,74)
\path(89,17)(92,12)
\path(14,0)(10,0)
\path(89,0)(92,0)
\path(5,8)(3,6)
\path(54,77)(53,80)
\path(42,74)(45,77)
\path(92,12)(94,8)
\path(10,0)(7,0)
\path(92,0)(94,0)
\path(3,6)(2,4)
\path(53,80)(52,82)
\path(45,77)(46,80)
\path(94,8)(96,6)
\path(7,0)(5,0)
\path(94,0)(96,0)
\path(2,4)(1,2)
\path(52,82)(51,83)
\path(46,80)(47,82)
\path(96,6)(97,4)
\path(4,0)(3,0)
\path(96,0)(97,0)
\path(2,2)(1,2)
\path(51,83)(51,84)
\path(47,82)(48,83)
\path(97,4)(97,2)
\path(3,0)(2,0)
\path(97,0)(98,0)
\path(1,1)(1,1)
\path(50,84)(50,84)
\path(48,83)(49,84)
\path(97,2)(98,1)
\path(2,0)(1,0)
\path(98,0)(98,0)
\path(1,1)(1,0)
\path(50,84)(50,85)
\path(49,84)(49,84)
\path(98,1)(98,1)
\path(1,1)(1,0)
\path(98,1)(99,0)
\path(1,0)(1,0)
\path(49,84)(49,85)
\path(50,84)(50,85)
\path(98,0)(98,0)
\end{picture}
\end{center}
\end{figure}

\begin{abstract}
L'un des buts de cet article est de d�crire l'isomorphisme entre les
tours de Lubin-Tate et de Drinfeld au niveau de leurs squelettes
apr�s quotient par
$\GL_n (\O_F)\times \O_D^\times$ ou bien $I\times \O_D^\times$ o�
$\O_D$ est l'ordre maximal dans l'alg�bre � division d'invariant
$\frac{1}{n}$ sur $F$ et $I$ un sous-groupe d'Iwahori de $\GL_n$. Nous 
donnons des applications � l'�tude des sous-groupes canoniques sur les espaces
de Lubin-Tate, 
 la description
des orbites de Hecke sph�riques dans ces espaces, les
domaines fondamentaux pour les correspondances de Hecke et
l'application des p�riodes de Gross-Hopkins. Nous-y �tudions �galement
en d�tail les filtrations de ramification (inf�rieure et sup�rieure) et l'application de
Hodge-Tate d'un groupe formel $p$-divisible de dimension un. 
\end{abstract}


\begin{altabstract}
One of the goals of this article  is to describe the isomorphism
between Lubin-Tate and Drinfeld towers at the level of their skeletons
after taking quotient by  $\GL_n (\O_F)\times \O_D^\times$ or $I\times
\O_D^\times$ where $\O_D$ is the maximal order in the division algebra
with invariant $\frac{1}{n}$ over $F$ and $I$ a Iwahori subgroup of
$\GL_n$. We give applications to the theory of canonical subgroups on
Lubin-Tate spaces, the description of spherical Hecke orbits in those
spaces, fundamental domains for Hecke correspondences and the
Gross-Hopkins period mapping. We also study in details the
ramification filtrations (upper and lower) and the Hodge-Tate map of a one dimensional
formal $p$-divisible group. 
\end{altabstract}
 

\section*{Introduction} 


 
L'un des buts de cet article est de d�crire l'isomorphisme entre les
squelettes des tours de Lubin-Tate et de Drinfeld apr�s quotient par
$\GL_n (\O_F)\times \O_D^\times$ ou bien $I\times \O_D^\times$ o�
$\O_D$ est l'ordre maximal dans l'alg�bre � division d'invariant
$\frac{1}{n}$ et $I$ un sous-groupe d'Iwahori de $\GL_n$. 

L'isomorphisme entre les tours de Lubin-Tate et de Drinfeld au niveau
des points (\cite{Points}) 
 est un
isomorphisme $\GL_n (F)\times D^\times$-�quivariant en niveau infini 
$$\xymatrix@C=15mm{
\LT_\infty \ar[r]^\sim \ar[d] &
\D_\infty \ar[d] \\
\LT_\infty / \GL_n (\O_F) =\mathring{\mathbb{B}}^{n-1}  &
\D_\infty/\O_D^\times =  \Omega
}
$$ 
 qui induit  un hom�omorphisme des espaces de Berkovich
associ�s  
$$
|\LT_\infty |\iso |\D_\infty|
$$
Par passage au quotient par $\GL_n (\O_F)\times \O_D^\times$ il
devrait donc induire une application 
$$
\O_D^\times \bc |\mathring{\mathbb{B}}^{n-1}| \ldrt \GL_n (F)\bc |\Omega |
$$
On  va d�crire  cette 
application au niveau des squelettes de ces deux espaces.
\\

Plut�t que de tenter de d�crire le r�sultat g�n�ral explicitons ce que
cela signifie sur la figure \ref{ujikolpo}
dans le cas de $\GL_2$ pour le quotient par $\GL_2
(\Zp)\times \O_D^\times$ : 
\begin{itemize}
\item
L'espace de Lubin-Tate sans niveau (la tour de Lubin-Tate quotient�e
par $\GL_2 (\Zp)$) est une boule ouverte $p$-adique au sens de
Berkovich $\mathring{\mathbb{B}^1}$. Dans ce cas l� appelons
squelette de $\mathring{\mathbb{B}^1}$ un rayon de cette boule
$]0,+\infty]$. Il y a une r�traction (la fl�che verticale de gauche) 
$|\mathring{\mathbb{B}^1} |\ldrt ]0,+\infty]$ donn�e par la
valuation de la coordonn�e dans la boule.
\item L'espace de Drinfeld sans niveau (la tour de Drinfeld apr�s
  quotient par $\O_D^\times$) est l'espace $\Omega$ de Drinfeld ayant
  pour $\mathbb{C}_p$-points $\C_p\setminus \Qp$. Son squelette est
  l'arbre de Bruhat-Tits $\mathcal{I}$ de $\GL_2$. Il y a une
  r�traction (la fl�che verticale de droite) $|\Omega|\ldrt
  \mathcal{I}$ qui apr�s quotient par $\GL_2 (\Zp)$ fournit une
  r�traction $\GL_2 (\Zp) \bc |\Omega |\ldrt \GL_2 (\Zp) \bc \mathcal{I}$. 
\item Si $D$ d�signe une demi-droite simpliciale d'origine la classe
  du r�seau $\Zp^2$ dans l'arbre $\mathcal{I}$ alors $D$ est un
  domaine fondamental pour l'action de $\GL_2 (\Zp)$ sur $\mathcal{I}$
  et 
$D\iso \GL_2 (\Zp)\bc \mathcal{I}$.
\item L'isomorphisme entre les deux tours induit une application
  $]0,+\infty ]\ldrt D$
\item On peut d�crire compl�tement la structure simpliciale 
sur $]0,+\infty]$ d�duite de
  celle sur $D$ par l'application pr�c�dente.
\item Apr�s quotient par une ``petite'' partie de $]0,+\infty]$
  l'application induit un isomorphisme (fl�che du bas). 
\end{itemize}

Le r�sultat est du m�me type pour  $\GL_n$, bien qu'un peu plus compliqu� �
�noncer. 

\begin{figure}[htbp]
   \begin{center}
      \includegraphics{squeletteVIII.eps}
   \end{center}
   \caption{\footnotesize Le cas de $\GL_2$
     }
   \label{ujikolpo}
\end{figure}

 Ind�pendamment de l'isomorphisme
entre les deux tours la structure simpliciale 
que nous explicitons sur l'espace de
Lubin-Tate a de nombreuses applications  comme l'�tude des
sous-groupes canoniques, la d�termination de domaines fondamentaux
pour les correspondances de Hecke et l'�tude du morphisme des
p�riodes. 
\\
L'un des autres buts de cet article est d'�tudier en d�tails la filtration donn�e par la valuation des points de torsion sur un groupe formel $p$-divisible de dimension un.
\\

D�crivons succinctement le contenu de chacune des parties de l'article :
\begin{itemize}
\item Dans le premier chapitre nous donnons une formule pour la valuation $p$-adique des p�riodes de Hodge-Tate du dual de Cartier 
d'un groupe $p$-divisible formel sur un anneau de valuation (pas
forc�ment discr�te) pour une valuation de hauteur $1$. 
En fait, nous consid�rons plus g�n�ralement le cas d'un $\O$-module formel $\pi$-divisible o� $\O$ est l'anneau des entiers d'une extension de degr� fini de $\Qp$. Dans ce cas la bonne notion de dualit� rempla�ant la dualit� de Cartier est celle d�finie par Faltings (\cite{Faltings7}). Le lecteur ne connaissant pas la th�orie de \cite{Faltings7} pourra supposer $\O=\Zp$.
\item Dans le second chapitre on �tudie la filtration donn�e par la
  valuation sur les points de torsion d'un group formel
  $\pi$-divisible de dimension $1$. 
Cette filtration fournit une famille de r�seaux dans le module de Tate rationnel $V_p$. L'image dans l'immeuble de $\text{PGL} (V_p)$ de cet ensemble est un ensemble fini de sommets. De plus les �l�ments de valuation suffisamment petite d�crivent un simplexe $S$ de cet immeuble. L'un des principaux r�sultats est que cet ensemble est contenu dans un appartement et peut �tre reconstruit g�om�triquement dans l'immeuble � partir du simplexe $S$ et du sommet donn� par le r�seau $T_p\subset V_p$.
\\
Nous donnons  �galement une description combinatoire du simplexe $S$ � partir du polygone de Newton de la multiplication par $\pi$ sur une loi de groupe formel associ�e. 
\item Le troisi�me chapitre est inspir� par les travaux d'Abbes-Saito et Abbes-Mokrane (\cite{AbbesMokrane}). La filtration sur les points de torsion �tudi�e dans le deuxi�me chapitre se comporte bien par restriction � un sous-groupe : si $H$ est un groupe formel $p$-divisible de dimension $1$ et $G_2 \subset G_1\subset H$ des sous-groupes plats finis alors
$
\forall \l\; \{x\in G_1\;|\; v(x)\geq \l \}\cap G_2 = \{ x\in G_2\;|\; v(x)\geq \l \}
$. Par contre 
cette filtration dite de ``ramification inf�rieure''  
 ne se comporte pas bien par isog�nies. C'est le cas de la filtration d�finie en toute g�n�ralit�s dans \cite{AbbesMokrane}. Dans le cas que nous �tudions des sous-groupes plats finis d'un groupe formel $p$-divisible de dimension $1$ l'alg�bre de ces groupes est monog�ne et la filtration de ramification sup�rieure de \cite{AbbesMokrane} est obtenue par r�indexation de la filtration de ramification inf�rieure via une fonction de Herbrand. Cela est expliqu� dans l'appendice \ref{Ramitofm}. La terminologie ``inf�rieure/sup�rieur'' provient par analogie avec la th�orie des groupes de ramification des groupes de Galois des corps locaux : les groupes de ramification inf�rieure se comportent bien par restriction � un sous-groupe de Galois tandis que ceux de ramification sup�rieure se comportent bien vis � vis d'un quotient. 

Nous �tudions cette filtration de ramification sup�rieure ainsi que son image dans l'immeuble de la m�me fa�on que dans le chapitre deux. 
\item  Dans le quatri�me chapitre on �tudie le point de la r�alisation g�om�trique de l'immeuble d�fini par l'application de Hodge-Tate du dual d'un $\O$-module formel $\pi$-divisible de dimension un. Ce point est la classe d'�quivalence de la norme sur le module de Tate rationnel donn�e par la valuation de l'application de Hodge-Tate �tudi�e dans le premier chapitre. On donne des formules int�grales pour cette norme en fonction des filtrations �tudi�es aux chapitres 2 et 3. Cette formule est particuli�rement simple lorsque formul�e en termes de la filtration de ramification sup�rieure (proposition \ref{kujipopom}). 
\\
L'un des principaux corollaires de ces formules est que ce point dans l'immeuble est contenu dans la r�alisation g�om�trique $|S|$ du simplexe $S$ d�fini au chapitre 2. 
\item 
Dans le chapitre 5 on d�finit et �tudie une structure simpliciale sur le squelette de l'espace de Lubin-Tate sans niveau. Le bon objet n'est pas en fait ce squelette mais plut�t un quotient de celui-ci, l'espace des polygones de Newton. On d�crit compl�tement une structure simpliciale sur cet espace des polygones de Newton ainsi que l'action de certains op�rateurs de Hecke sur cet espace simplicial. 

La d�finition de cette structure simpliciale est inspir�e des r�sultats des chapitres 2 et 4. 
\item Dans le chapitre 6 on montre que la bijection entre les points des tours de Lubin-Tate et de Drinfeld induit un isomorphisme entre l'espace des polygones de Newton muni de la structure simpliciale d�finie au chapitre 5 et le quotient de l'immeuble de $\text{PGL}_n$ par un sous-groupe compact maximal.
\item Le chapitre 7 est consacr� aux applications de la structure simpliciale sur l'espace des polygones de Newton et de l'action des op�rateurs de Hecke sur celle-ci. 
Certains raisonnements sur l'espace de Lubin-Tate s'interpr�tent naturellement sur un appartement de l'immeuble. 

Par exemple on d�montre que l'existence de sous-groupes canoniques en un sens g�n�ralis� est �quivalent � ce que le point dans l'immeuble soit contenu dans un certain demi-appartement.
Cela d�montre par un simple raisonnement g�om�trique que le ``bord'' de l'espace de Lubin-Tate est recouvert par des ouverts admissibles sur lesquels il ya des sous-groupes canoniques puisque c'est le cas dans l'immeuble. L'application quotient par un sous-groupe canonique se comprend �galement tr�s facilement sur l'immeuble, de m�me que l'action des correspondances de Hecke.
\\
Coupl� aux r�sultats des chapitres pr�c�dents cela donne une condition n�cessaire et suffisante pour l'existence de sous-groupes canoniques g�n�ralis�s en termes de l'application de Hodge-Tate du groupe $p$-divisible formel de dimension $1$, comme dans \cite{AbbesMokrane}. 

On g�n�ralise �galement le domaine fondamental de Gross-Hopkins gr�ce � cette �tude sur l'immeuble : n'importe quel domaine fondamental poly�dral dans le simplexe standard $\text{Convexe} (e_0,\dots, e_n)\subset \R^{n+1}$ sous l'action du groupe des rotations engendr�es par $e_0\mapsto e_1,e_1\mapsto e_2,\dots, e_n\mapsto e_0$ fournit un  domaine fondamental 
pour l'action des correspondances de Hecke dans l'espace de Lubin-Tate. 
\item Dans le chapitre 8 on g�n�ralise les r�sultats pr�c�dents au cas
  de l'espace de Lubin-Tate avec structure de niveau Iwahori. Dans ce
  cas l� l'espace est une couronne $p$-adique g�n�ralis�e et son squelette un simplexe ``ouvert''. On d�finit et �tudie alors comme auparavant une structure simpliciale sur ce simplexe et montre que 
via l'isomorphisme entre les tours de Lubin-Tate et de Drinfeld 
ce simplexe ouvert est isomorphe au quotient de l'immeuble par un sous-groupe d'Iwahori.
Enfin on peut comprendre facilement gr�ce � cette �tude le morphisme de l'espace de Lubin-Tate avec niveau Iwahori vers celui sans niveau au niveau des squelettes. 
Ce chapitre ne contient aucune d�monstration, les d�monstrations �tant semblables � celles du cas de l'espace de Lubin-Tate sans niveau elles sont  laiss�es au lecteur. 
\item Enfin l'appendice A contient des rappels sur l'immeuble de Bruhat-Tits de  $\text{PGL}_n$.
\end{itemize}

\vspace{5mm}
Cet article est ind�pendant de \cite{Cellulaire} et \cite{iso4}. Seule
la compr�hension d'une partie de \cite{Points} peut �tre utile. 
\\

Enfin, certains des aspects de cet article apparaissent d�ja dans les
travaux de Yu
\cite{Yu}. Cet article peut donc �tre en quelques sortes  consid�r�
comme une suite de \cite{Yu}, suite qui permet de comprendre pourquoi les
calculs effectu�s dans \cite{Yu} font appra�tre l'appartement d'un
immeuble de Bruhat-Tits.
\\

{\it Remerciements : L'auteur tient � remercier Alain Genestier et Vincent Lafforgue pour de nombreuses discussions sur le sujet. C'est en particulier Alain Genestier qui a sugg�r� 
d'introduire le simplexe  de la d�finition \ref{quatoki}, simplexe qui a sugg�r� � l'auteur d'�tudier plus en d�tails les filtrations de ramification. 
Ils ont �galement sugg�r� � l'auteur l'�tude du cas Iwahori faite au chapitre 8. 
}


\section{Une formule pour la valuation $p$-adique de l'application de
  Hodge-Tate du dual d'un groupe de Lubin-Tate}

Soit $F|\Qp$ une extension de degr� fini et $\O=\O_F$ son anneau des
entiers. Soit $K|F$ un corps valu� complet pour une valuation $v$ �
valeurs dans $\R$ �tendant celle de $F$. Soit $H$ un $\O$-module
formel de dimension $1$ et de hauteur finie $n$ sur $\O_K$.

Supposons d'abord que $\O=\Zp$. Le but de cette section est de donner
une formule pour l'application compos�e 
$$
T_p (H^D) \xrig{\; \a_{H^D}\;} \omega_H\otimes
\O_{\widehat{\overline{K}}} \simeq \O_{\widehat{\overline{K}}}
\xrig{\; v \;} \R_+ \cup \{\infty \}
$$
o� $\a_{H^D}$ est l'application de Hodge-Tate de $H^D$ : si $x\in T_p
(H^D)$, $x: \Qp/\Zp \ldrt H^D_{\O_{\widehat{\overline{K}}}}$ et $x^D:
H_{\O_{\widehat{\overline{K}}}} \ldrt \mu_{p^\infty/\O_{\widehat{\overline{K}}}}$ alors 
$$
\a_{H^D} (x) = (x^D)^*\frac{dT}{T}
$$

Pour $\O$ plus g�n�ral que $\Zp$ nous donnons une formule pour la
compos�e 
$$
T_p (H^\vee) \xrig{\;\a_{H^\vee}^\O\;}  \omega_H \otimes
\O_{\widehat{\overline{K}}} \simeq \O_{\widehat{\overline{K}}}
\xrig{\; v \; } \R_+ \cup \{\infty \}
$$
o� $H^\vee$ est le dual strict au sens de Faltings (\cite{Faltings7}). Si
$\LT$ d�signe un groupe de Lubin-Tate de $\O$-hauteur $1$ alors �
$x\in T_p (H^\vee)$ est associ� un morphisme $x^\vee  :
H_{\O_{\widehat{\overline{K}}}} \ldrt
\LT_{/\O_{\widehat{\overline{K}}}}$ qui d�finit donc $\a_{H^\vee}^\O (x) =
(x^\vee)^* \beta$ apr�s choix d'un g�n�rateur $\beta$ de $\omega_{\LT}$.
\\

Il est clair que pour le probl�me auquel on s'int�resse on peut
supposer que $K=\widehat{\overline{K}}$, ce que nous ferons dans la suite.

\subsection{P�riodes de Hodge-Tate de certains sch�mas en groupes de
  type $(p,\dots,p)$}
\subsubsection{Le cas $\O=\Zp$}

Soit $G$ un sch�ma en groupes fini localement libre d'ordre $p$ sur une base
affine $\spec (R)$ au dessus de $\spec(\Zp)$. 
D'apr�s  \cite{OortTate} ou plus g�n�ralement \cite{Ray1} il
 existe alors $\gamma,\delta\in R$ tels que
$\gamma \delta = w$ o� $w\in \Zp$ est une constante universelle de
valuation $p$-adique $1$ tels que 
\begin{eqnarray*}
G &\simeq & \spec (R[T]/(T^p-\delta T)) \\
G^D &\simeq & \spec (R[U]/(U^p-\gamma U))  
\end{eqnarray*}
Alors, 
\begin{eqnarray*}
\omega_G &\simeq &R/\delta R .dT \\
\omega_{G^D} &\simeq & R/\gamma R.dU 
\end{eqnarray*}
et 
\begin{eqnarray*}
\a_{G^D} : G^D & \ldrt & \omega_{G} \\
u & \longmapsto & (u \text{ mod } \delta ) . dT
\end{eqnarray*}
Si $R = \O_K$ avec $K$ comme pr�c�demment alors $v(\gamma )+ v(\delta)
=1$ et 
$$
\forall u\in G^D(\O_K) \;\; v(u) = \frac{v(\gamma)}{p-1}
$$
et donc on conna�t le sous-module $\O_K.\text{Im}\, \a_{G^D}$
de $\omega_{G^D}$ d�s que l'on connait
$v(\text{Ann } \omega_G )= v (\delta)$ ou bien $v(\text{Ann }
\omega_{G^D})= v (\gamma)$.

\subsubsection{Le cas  $\O$  g�n�ral}

Soit $\pi$ une uniformisante de $\O$ et $q=p^r$ le cardinal de son
corps r�siduel. On note $v$ la valuation normalis�e de $F$.

Soit $R$ une $\O$-alg�bre. Soit $G$ un sch�ma en groupes fini et localement libre sur $\spec
(R)$. Supposons le muni d'une action de $\O/\pi\O$ et de type
$(p,\dots,p)$ relativement � cette action. L'anneau $R$ �tant une
$\O$-alg�bre il y a un caract�re 
$$
\chi : (\O/\pi\O)^\times \xrig{\text{Teichm�ller}} \O^\times \ldrt R^\times
$$
Alors, d'apr�s \cite{Ray1} il existe  $(\gamma_i,\delta_i)_{i\in
  \Z/r\Z}\in R^{\Z/r\Z}$ tels que $\gamma_i\delta_i =w\in \Zp$ est de valuation
$p$-adique $1$, localement sur $\spec (R)\;\;$ $G\simeq \spec (A)$ avec
$$
A= R[T_i]_{i\in \Z/r\Z} / (T_i^p - \delta_i T_{i+1})
$$
et l'action de $(\O/\pi\O)^\times$ sur $A$ induite par l'action de
$\O/\pi\O$ sur $G$ se fasse sur $T_i$ � travers le caract�re $\chi^{p^i}$. 
On a alors
$$
\omega_G \simeq \bigoplus_{i\in \Z/r\Z} R/\delta_{i-1} R . dT_i
$$
Supposons maintenant de plus que l'action de $\O$ sur $\omega_G$ soit
l'action naturelle induite par la structure de $\O$-alg�bre de
$R$. Alors,
$$
\forall i\neq r-1 \;\;\delta_i\in R^\times
$$
et donc, si 
$$
\delta= \delta_{0}^{\, p^{r-1}}\delta_1^{\, p^{r-2}}\dots \delta_{r-2}^{\, p}
\delta_{r-1}
$$
on a 
$$
A \simeq R[T]/(T^q-\delta T)
$$
Le complexe de co-Lie de $G$ s'identifie alors � 
$$
l_G \simeq  [ R \xrig{\; \times \delta \; } R  ] 
$$
Supposons maintenant que $G$ est muni d'une action stricte de $\O$ au
sens de \cite{Faltings7} relevant l'action de $\O/\pi \O$ sur $G$. 
D'apr�s \cite{Faltings7} l'ensemble de ces rel�vements est un torseur
sous $H^{-1} (\End (l_G)) \simeq Ann_R (\delta)$. Supposons 
maintenant que $R$ est sans $p$-torsion. Cela implique $ Ann_R (\delta)=(0)$. 
 D'apr�s ce qui pr�c�de il
existe donc une unique telle $\O$-action stricte : c'est celle d�finie
dans le chapitre 3 de \cite{Faltings7} sur le groupe not� $G_{u,v}$. 
On a donc identifi� $G$ muni de son action stricte de $\O$ et d'apr�s
le chapitre 3 de \cite{Faltings7} le dual strict d'un tel groupe est
connu. Rappelons en effet qu'alors il existe $\gamma \in R$ tel que 
$\gamma \delta =w'\in \O$ o� $w'$ est une uniformisante de $F$ et que 
le dual stricte s'identifie � 
$$
G^\vee \simeq \spec (R[U]/(U^q-\gamma U))
$$
Soit $\LT$ un groupe formel de Lubin-Tate de $\O$-hauteur $1$. Alors, d'apr�s 
\cite{Faltings7}, pour un choix de coordonn�e formelle $V$ sur $\LT$
l'accouplement 
$$
G\times G^\vee \ldrt \LT[\pi]
$$
est donn�e par
$$
V\longmapsto T\otimes U 
$$
Soit alors 
$$
\a_{G^\vee}^\O : G^\vee \ldrt \omega_G
$$
l'application de Hodge-Tate relative � $\O$.
Avec l'identification 
$$
\omega_G\simeq R/\delta R . dT
$$
cette application s'identifie donc � 
$$
u \longmapsto (u\text{ mod } \delta).dT
$$
Lorsque $R=\O_K$ avec $K$ comme pr�c�demment on en d�duit que l'on
conna�t $\O_K.\text{Im} \a^\O_{G^\vee}$ d�s que l'on conna�t
$v(\text{Ann }\omega_G) = v(\delta)$ ou bien $v(\text{Ann }
\omega_{G^\vee} )= v(\delta)$. 


\subsection{Calcul de la valuation $p$-adique de $\a_{H^\vee}^\O (x)$}\label{corian}

\subsubsection{Notations}

Soit $H$ un  $\O$-module $\pi$-divisible formel de dimension $1$ et de $\O$-hauteur
$n$ sur $\spec(O_K)$. Supposons �galement que sa fibre sp�ciale est formelle.
 Nous allons calculer $v(\a_{H^\vee}^\O (x))$ pour $x\in T_p
(H^D)$. Nous noterons $\widehat{H}$ le groupe formel associ� sur $\spf
(\O_K)$. Alors $H(\O_K) = \bigcup_{k\geq 1} H[\pi^n] (\O_K) \subset
\widehat{H} (\O_K)$. Il y a une
``valuation''
$$
v: \widehat{H} (\O_K) \ldrt \R_{>0}
$$
qui d�finit une filtration dite de ramification inf�rieure sur
$\widehat{H} (\O_K)$ et donc sur les points de torsion (cf. section \ref{Filtraminf}).
 Cette ``valuation'' est d�finie de la fa�on suivante : fixons un isomorphisme de $\spf(\O_K)$-sch�mas formels point�s
$$
\widehat{H}\iso \spf (\O_K[[T]])
$$
o� $\widehat{H}$ est point� par sa section unit� et $\spf (\O_K[[T]])$ par la section $T=0$. Cet isomorphisme induit une bijection $\widehat{H} (\O_K) \simeq \{x\in\O_K\;|\; v(x)>0 \}$. Si 
via cette bijection $y\in 
\widehat{H} (\O_K)$ correspond � $x\in \O_K$ on pose alors $v(y)=v(x)$. On v�rifie aussit�t que cette d�finition ne d�pend pas de l'isomorphisme de sch�mas formels point�s choisi. 

On utilisera syst�matiquement le
jeu entre la fibre g�n�rique et les mod�les entiers en �crivant pour
$G$ un groupe fini localement libre sur $\O_K$ 
$$
G(\O_K) = G(K)
$$
et
$$
T_p (H) = \underset{k}{\limp} H[\pi^k] (K) = \underset{k}{\limp} H[\pi^k] (\O_K)
$$
\'Etant donn� que $K$ est alg�briquement clos on consid�rera toujours
les fibres g�n�riques des groupes finis sur $\O_K$ comme des groupes
abstraits.

Soit $G$ un groupe $p$-divisible sur $\spec (\O_K)$ et $D$ un
sous-groupe fini de la fibre g�n�rique de $G$. On notera $D^{adh}$
l'adh�rence sch�matique de $D$ dans $G[p^k]$ pour $k>>0$ (et cela ne
d�pend pas de $k$). Dans la suite il n'y aura jamais d'ambigu�t� pour
un $D$ donn� sur le groupe $G$ dans lequel on prend l'adh�rence
sch�matique, c'est pourquoi $G$ n'intervient pas dans la notation.

\subsubsection{Premiers calculs}

Pour $G$ un groupe fini localement libre muni d'une action stricte de
$\O$ 
le morphisme de faisceaux
fppf $\a_{G^\vee}^\O : G^\vee
\ldrt \omega_G$ est naturel en $G$, tout morphisme strict $f: G_1\ldrt G_2$
induit un diagramme commutatif 
$$
\xymatrix{
G_2^\vee \ar[r]^{ \a_{G_2^\vee}^\O} \ar[d]^{f^\vee} & \omega_{G_2} \ar[d] \\
G_1^\vee \ar[r]^{\a_{G_1^\vee}^\O} & \omega_{G_1}
}
$$
En particulier $\forall k\in \N^*$ l'inclusion $H[\pi^k]\hookrightarrow
H[\pi^{k+1}]$ induit un diagramme commutatif de morphismes de sch�mas en groupes
$$
\xymatrix@C=17mm{
H^\vee [\pi^{k+1}] \ar[r]^{\a_{H^\vee[p^{k+1}]}^\O} \ar@{->>}[d] & \omega_{H[\pi^{k+1}]}
\ar@{->>}[d] & \omega_H/\pi^{k+1} \omega_H  \ar[l]_\sim \ar@{->>}[d] \\
H^\vee [\pi^k] \ar[r]^{\a_{H^\vee[p^{k}]}^\O}  & \omega_{H[\pi^{k}]}
 & \omega_H/\pi^{k} \omega_H  \ar[l]_\sim
}
$$
et un diagramme de morphismes de groupes
$$
\xymatrix@C=12mm{
T_p (H^\vee) \ar[r]^{\a_{H^\vee}^\O} \ar@{->>}[d] & \omega_H \ar@{->>}[d] \\
T_p (H^\vee)/\pi^k T_p (H^\vee) \ar[r] \ar[d]^\simeq & \omega_H /\pi^k \omega_H
\ar[d]^\simeq \\
H[\pi^k]^\vee (\O_K) \ar[r]^{\a_{H[\pi^k]^\vee}^\O} & \omega_{H[\pi^k]}
}
$$
o� $T_p (H^\vee)$ est le groupe des $(x_k)_{k\geq1}$, $x_k \in H[\pi^k]^\vee (K) =
H[\pi^k]^\vee (\O_K)$, $\pi x_{k+1} = x_k$. 
Ainsi si $x=(x_k)_{k\geq 1}$ pour calculer $\a_{H^\vee}^\O (x)$ il suffit de
calculer $\a_{H[\pi^k]^\vee}^\O (x_k)$ pour tout $k$ qui s'identifie �
$\a_{H^\vee}^\O(x)$ mod $\pi^k$.
\\

Soit donc $x\in T_p (H^\vee)$ dont on veut calculer $v(\a_{H^D}^\O (x))$. On
peut supposer que $x\notin \pi T_p (H^\vee)$ c'est � dire que le morphisme
associ� $T_p (H) \ldrt \O_F (1)$ est surjectif o� $F(1)$ d�signe le
caract�re de Lubin-Tate. 
 On fera donc cette
hypoth�se. On constate que la valuation  de $\a_{H^D}^\O (x)$
ne d�pend que du sous-module engendr� $\O.x \subset T_p (H^\vee)$ qui
est facteur direct dans $T_p (H^\vee)$. Via la dualit� parfaite
$$
T_p (H)\times T_p (H^\vee) \ldrt \O_F (1)
$$
de tels sous-modules correspondent aux sous-$\O$-modules $M \subset T_p
(H)$  facteur direct de rang $n-1$, $M=\left (\O.x \right )^\perp$.

Cela reste valable modulo $\pi^k$. Si $x\in H [\pi^k]^\vee (K)\setminus H
[\pi^{k-1}]^\vee (K)$, modulo une unit� $\a_{H[\pi^k]^\vee} (x)$ ne d�pend que du
sous-module engendr� $C=<x>$ et de tels sous-modules sont en bijection
avec les sous-modules $C^\perp\subset H[\pi^k](K)$ facteurs directs de
rang $n-1$ sur $\O/\pi^k O$. 


\begin{lemm}
L'op�ration d'adh�rence sch�matique commute � la dualit� de Cartier-Faltings :
si $C\subset H[\pi^k]^\vee (K)$ est un sous-groupe alors 
$$
\left (C^{adh} \right )^\vee \simeq H[\pi^k] / \left (C^\perp \right )^{adh}
$$
\end{lemm}
\dem
De la suite exacte 
$$
0\ldrt C^{adh} \ldrt H[\pi^k]^\vee \ldrt H[\pi^k]^\vee/C^{adh}\ldrt 0
$$
on d�duit d'apr�s le th�or�me 8 de \cite{Faltings7} la suite exacte
$$
0 \ldrt \left (  H[\pi^k]^\vee/C^{adh}\right )^\vee \ldrt H[\pi^k] \ldrt \left (
  C^{adh}\right )^\vee \ldrt 0
$$
Le sous-groupe fini localement libre de gauche co�ncide en fibre
g�n�rique avec $C^\perp$. Il est donc �gal � $\left ( C^\perp \right
)^{adh}$.
\qed


\begin{prop}\label{rrgkjm}
Soit $D \subset H$ un sous-groupe fini localement libre sur
$\O_K$. Alors $\omega_D \simeq \O_K/\gamma \O_K$ o� 
$$
v (\gamma) = \sum_{\l\in D\setminus 0} v(\l)
$$
Le complexe de co-Lie de $D$ est isomorphe au complexe
$$
\left [ \O_K \xrig{\; \gamma \; } \O_K \right ]
$$
\end{prop} 
\dem
Avec un choix de bonnes ``coordonn�es formelles'' (on entend par l� un
isomorphisme de sch�mas formels point�s entre $\widehat{H}$ et  $\spf (\O_K [[T]])$) � la
source et au but l'isog�nie de groupes formels 
$$
\widehat{H} \ldrt \widehat{H}/C
$$
s'�crit $\dpt{T \prod_{x\in D\setminus \{0 \}} (T-x)}$.
\qed

\begin{rema}
Dans cette derni�re proposition l'assertion concernant la valuation de
$\gamma$ 
 est l'analogue de la proposition 4 du
chapitre IV de \cite{Serre1} reliant valuation de la diff�rente et les
groupes de ramifications inf�rieurs d'une extension de corps locaux.
\end{rema}

\begin{coro}\label{drhg}
Soient $D_1 \subset D_2$ des groupes fini localement libres sur $\O_K$
sous-groupes  de $H$. Alors la suite 
$$
0 \ldrt \omega_{D_2/D_1} \ldrt \omega_{D_2} \ldrt \omega_{D_1} \ldrt 0
$$
est exacte.
\end{coro}
\dem
D'apr�s la proposition pr�c�dente le groupe de cohomologie $H^{-1}$ du
complexe de co-Lie de nos groupes est nul puisque $\O_K$ est sans $p$-torsion.
\qed
\\

Soit donc maintenant $C=\O.y\subset H[\pi^k]^\vee (K)$ facteur direct de rang 
$1$ et notons $C^\perp \subset H[\pi^k](K)$ son orthogonal. 
Consid�rons le diagramme 
$$
\xymatrix{
C^{adh}  \ar[r]^{\a_1=\a_{C^{adh}}^\O} \ar@{->>}[d]^{q_1} & \omega_{(C^{adh})^\vee}
\ar@{^(->}[r] \ar@{->>}[d]^{q_2} &
\omega_H/\pi^k \omega_H \\
C^{adh}/C[\pi^{k-1}]^{adh} \ar[r]^{\a_2} & \omega_{(C^{adh}/C[\pi^{k-1}]^{adh})^\vee}
}
$$
L'isomorphisme $\left ( C^{adh}\right )^\vee \simeq 
  H[\pi^k]/\left ( C^\perp \right )^{adh}$ implique que si $\omega_{(C^{adh})^\vee}
\simeq \O_K/\gamma \O_K$ alors 
$$
v(\gamma ) = k- \sum_{z\in C^\perp \setminus \{ 0 \} } v(z)
$$
De m�me si $\omega_{(C[\pi^{k-1}]^{adh})^\vee} \simeq \O_K/\gamma' \O_K$ alors 
$$
v(\gamma') = k-1-\sum_{z\in C^\perp [\pi^{k-1}] \setminus \{ 0 \}} v(z)
$$
Soit maintenant $\gamma''$ tel que $\omega_{(C^{adh}/C[\pi^{k-1}]^{adh})^\vee}
\simeq \O_K/\gamma'' \O_K$. On  d�duit donc du corollaire \ref{drhg} que
$$
v(\gamma'')=1-\sum_{z\in C^\perp \setminus C^\perp [\pi^{k-1}]} v(z)
$$
Nous allons maintenant utiliser les r�sultats de la section
\ref{corian}. Le groupe $C^{adh}/C[\pi^{k-1}]^{adh}$ est de type $(p,\dots,p)$ 
et sont dual strict v�rifie les hypoth�ses de la section \ref{corian}.
 Avec les notations du diagramme pr�c�dent, $q_1 (x)$ engendre
les points � valeurs dans $K$ de ce groupe comme $\O/\pi \O$-module. On en
d�duit que $\a_2 (q_1 (x))= \beta \text{ mod } \gamma'' \O_K$ o� 
$$
v(\beta ) = \frac{\sum_{z\in C^\perp \setminus C^\perp [\pi^{k-1}]} v(z)}{q-1}
$$
et donc, si 
$$
v(\beta) < v(\gamma")
$$
c'est � dire si  
$$
\sum_{z\in C^\perp \setminus C^\perp [\pi^{k-1}]} v(z)<1-\frac{1}{q}
$$
alors $\a_1 (y) \neq 0 \in \O_K/ \gamma \O_K$ et
$$
v(\a_1 (y)) = \frac{\sum_{z\in C^\perp \setminus C^\perp [\pi^{k-1}]} v(z)}{q-1}
$$
Si maintenant notre �l�ment $y\in H[\pi^k]^\vee (K)$ provient d'un $x\in T_p (H^\vee)
\setminus \pi T_p (H^\vee)$, puisque $\omega_{(C^{adh})^D} \hookrightarrow
\omega_H/\pi^k \omega_H$ est une injection on a  
\begin{eqnarray*}
v(\a_{H^\vee}^\O (x)) &=& \frac{\sum_{z\in C^\perp \setminus C^\perp [\pi^{k-1}]}
  v(z)}{q-1} + k - v(\gamma) \\
&=& \frac{\sum_{z\in C^\perp \setminus C^\perp [\pi^{k-1}]} v(z)}{q-1}
+ \sum_{z \in C^\perp \setminus \{ 0 \}} v(z)
\end{eqnarray*}

\begin{defi}
Soit $A$ un ensemble de points de torsion de $H$. On note 
$$
v(A) = \sum_{z\in A\setminus \{ 0\}} v(z)
$$
\end{defi}

R�sumons ce que nous avons d�montr� jusqu'� maintenant.

\begin{prop}\label{balkla}
Soit $x\in T_p (H^\vee)\setminus \pi T_p (H^\vee)$ et $M=
(\O.x)^\perp\subset T_p(H)$ facteur direct de rang $n-1$. 
 Notons pour tout entier $k\geq 1$ $\;M[\pi^k]$ le
sous-groupe des points de $\pi^k$-torsion associ� dans $H[\pi^k](K)$. Si l'entier
$k$ est tel que
$$
v(M[\pi^k]\setminus M[\pi^{k-1}])<1-\frac{1}{q}
$$
alors
\begin{eqnarray*}
v(\a_{H^\vee}^\O)(x) &= &\frac{v(M[\pi^k]\setminus M[\pi^{k-1}])}{q-1} +
v(M[\pi^k]) \\
&=& \frac{1}{q-1} \left ( q v(M[\pi^k]) - v(M[\pi^{k-1}])\right )
\end{eqnarray*}
\end{prop}

Reste � voir qu'il existe un tel entier $k$, ce que nous allons
faire. 


\subsection{La formule finale} \label{fbmqsd}



Rappelons maintenant (\cite{HopkinsGross}, \cite{Cellulaire} chapitre 1) qu'il existe une loi de groupe formelle associ�e �
$H$ telle
que le polygone de Newton de la multiplication par
$\pi$ sur cette loi soit l'enveloppe convexe des points 
$$
(0,\infty), (1,1), (v(x_1),q),\dots, (v(x_i),q^i),\dots,
(v(x_{n-1}),q^{n-1}), (0,q^n) 
$$
o� $x_1,\dots,x_{n-1} \in K$ et $\forall i\; v(x_i)>0$ (cf. figure
\ref{kolde}).
Rappelons �galement la recette suivante : si $y\in \widehat{H} (\O_K)$
la valuation des points s'envoyant sur $y$ par la multiplication par
$\pi$ sur $\widehat{H} (\O_K)$ s'obtient en prenant l'enveloppe convexe
du polygone pr�c�dent et du point $(0, v(y))$. 

\begin{figure}[htbp]\label{kolde}
   \begin{center}
      \includegraphics{Newton1.eps}
   \end{center}
   \caption{\footnotesize Le polygone de Newton de
    la multiplication par $\pi$}
   \label{NewGH}
\end{figure}

\begin{lemm}\label{vaenzero}
On a 
$$
\underset{k\drt +\infty}{\lim}
\underset{z\in H[\pi^k]\setminus H[\pi^{k-1}] }{\text{sup}} v(z) =0
$$
\end{lemm}
\dem Remarquant que 
$$
H[\pi^{k+1}]\setminus H[\pi^k] = \{\; y \in \widehat{H} (\O_K)\;|\; \pi y \in
H[\pi^k]\setminus H[\pi^{k-1}]\;\} 
$$
on en d�duit facilement le r�sultat en utilisant les rappels
pr�c�dents sur le polygone de Newton. 
\qed

Ainsi les valuations des points de torsion de $\widehat{H} (\O_K)$
forment un ensemble discret dans $]0,+\infty [$ s'accumulant en $0$.

\begin{prop}
Soit $M \subset T_p (H)$ un sous-$\O$-module facteur direct de rang $n-1$. Alors, 
$$
\text{pour } k>>0 \;\; \forall y\in M[\pi^k]\setminus M[\pi^{k-1}] \;\; \forall
z\in H[\pi] (K) \;\;\; \frac{v(y)}{q^n} \leq v(z)
$$
De plus si $k$ est un entier v�rifiant cette condition alors
$$
v(M[\pi^{k+1}]\setminus M[\pi^k])= \frac{1}{q} v ( M[\pi^k]\setminus M[\pi^{k-1}])
$$
\end{prop}
\dem
La premi�re assertion r�sulte du lemme pr�c�dent. Quant � la seconde,
il y a une application surjective 
$$
\text{multiplication par } \pi : 
M[\pi^{k+1}]\setminus M[\pi^k] \twoheadrightarrow 
M[\pi^k]\setminus M[\pi^{k-1}] 
$$
et si $k$ v�rifie la condition �nonc�e alors d'apr�s les rappels sur
le polygone de Newton de la multiplication par $\pi$ 
$$
\forall z \in H[\pi^{k+1}]\setminus H[\pi^k] \;\; v(z) = \frac{1}{q^n}
v(\pi .z)
$$
Remarquant que par l'application multiplication par $\pi$ pr�c�dente un 
�l�ment a $q^{n-1}$ ant�c�dents on en d�duit le r�sultat.
\qed

\begin{coro}
La condition de la proposition \ref{balkla} est toujours v�rifi�e pour
$k>>0$. La fonction 
$$
k\longmapsto \frac{1}{q-1} \left ( q v(M[\pi^k])- v(M[\pi^{k-1}])\right )
$$
est constante  d�s que $k\geq k_0$ o� $k_0$ est tel que $\forall y \in M[\pi^{k_0}]\setminus M[p^{k_0-1}]
\; \forall z\in H[\pi] \; v(y)\leq q^n v(z)$. Elle 
fournit donc une formule pour la valuation de $\a_{H^\vee}^\O (x)$ lorsque
$k$ v�rifie cette condition.
\end{coro}


\begin{lemm}
Soit $M \subset T_p (H)$ facteur direct de rang $n-1$.
Soit $M\otimes \Qp/\Zp \subset H (\O_K)$ l'ensemble des points de torsion associ�. 
 Alors la
fonction 
$$
k\longmapsto \frac{1}{q-1} \left ( q v(M[\pi^k])- v(M[\pi^{k-1}])\right )
$$
est �gale � $v \left ( M\otimes \Qp/\Zp\right)$ pour $k>>0$.
\end{lemm}
\dem
Soit $k_0$ un entier comme dans le corollaire pr�c�dent.
\begin{eqnarray*}
v \left ( M\otimes \Qp/\Zp \right)  &=& v(M[\pi^{k_0}]) +
\sum_{k\geq k_0+1}  v\left ( M[\pi^{k}] \setminus M[\pi^{k-1}]\right ) \\
&=&  v(M[\pi^{k_0}]) +
\sum_{k\geq k_0+1} \left ( v(M[\pi^{k}]) - v(M[\pi^{k-1}]) \right ) \\
&=&  v(M[\pi^{k_0}]) + (v(M[\pi^{k_0+1}])-v (M[\pi^{k_0}])) \sum_{i\geq 0}
q^{-i} \\
&=&  \frac{1}{q-1} \left ( p v(M[\pi^{k_0+1}])- v(M[\pi^{k_0}])\right )
\end{eqnarray*}
\qed

R�sumons tous les r�sultats obtenus dans le th�or�me suivant. 

\begin{theo}\label{tklopui}
Soit $x\in T_p (H^\vee)$ non-nul et notons $\ph : H\ldrt \LT$ le
morphisme associ�.
Alors 
$$
v(\a_{H^\vee}^\O(x)) = \sum_{z\in \ker \ph_{| H[p^\infty](K)\setminus \{ 0 \}}} v(z) 
$$
Il existe de plus un entier $k_0$ tel que 
$$
\forall y\in \ker \ph [\pi^{k_0}](K) \setminus \ker \ph [\pi^{k_0-1}](K)\;\; \forall y\in
\ker \ph[\pi](K) \;\; v(y)\geq q^n v(z)
$$
Alors, si $k\geq k_0$ 
$$
v(\a_{H^\vee}^\O (x) )= \frac{1}{q-1} \left (q v(\ker \ph [\pi^k])-v
(\ker \ph [\pi^{k-1}])\right )
$$
\end{theo}
\dem
Il existe un entier $k\geq 0$ tel que $x\in \pi^k T_p
(H^\vee)\setminus \pi^{k+1} T_p (H^\vee)$. Quitte � consid�rer la
factorisation
$$
\ph : H \twoheadrightarrow H/H[\pi^k] \ldrt \LT
$$
on peut se ramener au cas o� $x\notin \pi T_p (H^\vee)$ �tudi�
pr�c�demment. En effet, si $C$ est un sous-groupe fini de $H$ contenant
$H[\pi^k]$ alors d'apr�s la proposition \ref{rrgkjm} et le corollaire
\ref{drhg}  
$$
\sum_{x\in C\setminus \{0 \}} v(x) = k+ \sum_{x\in (C/H[\pi^k]) \setminus
  \{0 \}} v(x)
$$
o� $C/H[\pi^k] \subset H/H[\pi^k]$ et la fonction valuation sur
$C/H[\pi^k]$ est celle d�duite de la fonction valuation sur le
$\O$-module formel $H/H[\pi^k]$.
\qed

\begin{rema}
Soit $f:\widehat{H}_1\ldrt \widehat{H}_2$ une isog�nie de groupes
formels de dimension $1$ sur $\O_K$. Apr�s choix d'isomorphismes de sch�mas formels point�s $\widehat{H}_1\simeq \spf
(\O_K [[T]])$, resp. $\widehat{H}_2\simeq \spf (\O_K [[T]])$, d'apr�s le th�or�me de
factorisation de Weierstrass 
$$
f^* T = \prod_{y\in \ker f} (T-y) \times u
$$
o� $u\in \O_K[[T]]^\times$. Alors, l'application induite $f^*:
\omega_{H_2}\ldrt \omega_{H_1}$ s'identifie � 
$$
\O_K \xrig{\;\times f'(0) = u(0)\prod_{y\in \ker f \setminus \{ 0 \}} y \;}  \O_K
$$
et $v(f'(0))= \sum_{y\in \ker f \setminus \{ 0 \}} v(y)$. 
Pour un $\ph : H\ldrt \LT$ comme dans le th�or�me pr�c�dent, si $n>1$,
apr�s un choix d'isomorphismes $\widehat{H}\simeq \spf (\O_K[[T]])$,
$\widehat{\LT}\simeq \spf (\O_K [[T]])$, $\ph^* T\in \O_K [[T]]$ ne
v�rifie pas les conditions du th�or�me de factorisation de
Weierstrass. Mais la formule donn�e dans le th�or�me pr�c�dent dit que
pour $v \left ( (\ph^*T)'(0)\right )$ tout se passe comme si 
$$
\ph^* T = \prod_{y\in \ker \ph\setminus \{ 0 \} } (T-y) \times \text{unit�}
$$
bien que ce produit infini n'ait pas de sens. Plus pr�cis�ment, pour
tout entier $k\geq 1$ on peut factoriser 
$$
\ph^* T = \prod_{y\in \ker \ph [\pi^k]\setminus \{ 0 \}} (T-y) \times
g_k (T)
$$
o� $g_k (0) \notin \O_K^\times$ ce qui exprime le fait que le noyau du
morphisme $\ph_{|H[\pi^k]}: H[\pi^k]\ldrt \LT [\pi^k]$ n'est pas
plat.
 N�anmoins le th�or�me pr�c�dent est �quivalent � ce que 
$$
\underset{k\ldrt +\infty}{\lim} v(g_k (0)) =0
$$
L'auteur de cet article a essay� de trouver une d�monstration du th�or�me
pr�c�dent sous la forme que l'on vient de donner
� partir de manipulations �l�mentaires sur les s�ries
formelles mais n'a pas r�ussi. Bien s�r les consid�rations pr�c�dentes
montrent tout de m�me que $v(\a^\O_{H^\vee}  (x))\geq \sum_{y\in\ker
  \ph\setminus \{0 \}} v(y)$.   
\end{rema}

\section{Filtration de ramification inf�rieure}\label{Filtraminf}

Soit $K|F$ un corps valu� complet pour une valuation $v$ � valeurs
dans $\R$ �tendant celle de $F$. On supposera comme dans le chapitre
pr�c�dent que $K=\widehat{\overline{K}}$. 

Soit $H$ un $\O$-module $\pi$-divisible de dimension $1$ et de
$\O$-hauteur $n$ sur $\spec (\O_K)$ dont la fibre sp�ciale est
formelle. 

\subsection{D�finition et premi�res propri�t�s}\label{knuypot}

Posons $V=V_p(H)$, un $F$-espace vectoriel de dimension $n$. On a
l'identification
$$
V_p (H) = \{\; (x_i)_{i\in\Z}\;|\; x_i \in \widehat{H} (\O_K)\; \pi
x_{i+1} = x_i \text{ et } x_i=0 \text{ pour } i<<0\;\}
$$
Avec cette identification soit 
\begin{eqnarray*}
v : V &\ldrt & ]0,+\infty ] \\
(x_i)_{i\in\Z} & \longmapsto & v(x_0)
\end{eqnarray*}
Via l'identification $V_p (H)\otimes \Qp/\Zp = H(\O_K)$ cette
``valuation'' $v$ s'�crit aussi comme l'application compos�e 
$$
 V_p (H) \ldrt V_p (H)\otimes\Qp/\Zp = H(\O_K) \subset \widehat{H}
(\O_K) \xrig{\; v \; } ]0,+\infty ] 
$$
Elle v�rifie 
\begin{itemize}
\item $\forall x,y\in V\;\; v(x+y) \geq \inf \{ v(x),v(y)\}$
\item $\forall a\in \O\; \forall x\in V\;\; v(ax)\geq v(x) $ et
  $v(\pi x)> v(x)$
\item $\forall x\in V\;\; v(\pi^k x) =+\infty$ pour $k>>0$ \\
et $v(\pi^{k-1} x) = \frac{1}{q^n} v(\pi^k x)$ pour $k<<0$
\end{itemize} 

\begin{defi}
Pour tout $\l \in ]0,+\infty]$ posons 
$$
\Fil_\l V= \{\; x\in V\; |\; v(x)\geq \l \; \}
$$
qui d�finit donc une filtration d�croissante de $V$.
\end{defi}

 Il r�sulte des
propri�t�s �nonc�es de $v$ que les $\Fil_\l V$ sont des
sous-$\O$-modules. De plus
\begin{itemize}
\item D'apr�s le lemme \ref{vaenzero} les $\Fil_\l V$ sont des
  r�seaux dans $V$ 
\item $\Fil_\infty V= T_p (H)$
\item Pour $\l \geq \frac{1}{q-1} \;\; \Fil_\l V= \Fil_\infty V$
\item $\exists \e >0$ tel que $\forall 0<\l \leq \e \;\; \pi^{-1}
  \Fil_\l = \Fil_{\frac{\l}{q^n}}$
\end{itemize}

La filtration est donc enti�rement d�termin�e par un nombre fini de
r�seaux, les autres �tant d�termin�s par
p�riodicit�. Ses sauts forment un ensemble discret 
s'accumulant en $0$ dans $\R_{>0}$. Plus pr�cis�ment, elle a la forme
suivante
$$
\Fil_{\l_1}\subsetneq \dots \subsetneq \Fil_{\l_r} \subsetneq
\Fil_{\l_{r+1}}
\subsetneq \dots \subsetneq \Fil_{\l_{r+t}} \subsetneq \pi^{-1} 
\Fil_{\l_{r+1}}
\subsetneq \dots \subsetneq \pi^{-1} \Fil_{\l_{r+t}} \subsetneq 
\pi^{-2} \Fil_{\l_{r+1}} \subsetneq \dots
$$
o� $\l_1>\dots> \l_{r} >\l_{r+1}>\dots >\l_{r+t}$. 

La ``valuation'' $v$ sur $V$ donne lieu � une ``valuation''
$$
v: V/\Fil_\infty \ldrt ]0,+\infty]
$$
Pour tout entier $k\geq 1$ il y a un isomorphisme naturel
$$
\pi^{-k} \Fil_\infty /\Fil_\infty \iso H[\pi^k] (\O_K)
$$
et via cet isomorphisme la ``valuation'' n'est rien d'autre que la
valuation sur les points de $\pi^k$-torsion. Ainsi 
$$
\forall k\geq 1\; \; \left (\Fil_\l \cap \pi^{-k} \Fil^\infty \right )/\Fil_\infty
\iso \{ \; x\in H[\pi^k] (\O_K)\;|\; v(x)\geq \l \;\}
$$
$$
\Fil_\l/\Fil_\infty = \{\; x\in H(\O_K)\;|\; v(x)\geq \l \;\}
$$

Notons enfin deux propri�t�s cruciales qui n'ont pas encore �t� �nonc�es de la
``valuation'' $v$ sur $V/\Fil_\infty V$ :
$$
(*)\;\; \forall x\in V/\Fil_\infty V \;\; \{ v(y)\; |\; y\in
V/\Fil_\infty V\; \pi y =x \;\} \text{ ne d�pend que de } v(x)
$$
$$
(**) \;\; \forall x,x'\in V/\Fil_\infty V\;\; v(x)\leq v(x') \limpl 
\sup \{ v(y)\;|\; \pi y =x\; \} \leq \sup \{ v(y')\;|\; \pi y' =x'\;\}
$$
Celles-ci r�sultent des rappels faits au d�but de la section \ref{fbmqsd}
sur le polygone de Newton de la
multiplication par $\pi$ sur une loi de groupe formel associ�e � $H$.

\subsection{La filtration de ramification est contenue dans un
  appartement de l'immeuble}

Soit $\mathcal{I} (V)$ l'immeuble de $\text{PGL} (V)$ vu comme
ensemble simplicial
(cf. appendice \ref{kujitopo}). Consid�rons les classes d'homoth�ties
$$
\left ( [\Fil_\l V]\right )_{\l\in ]0,+\infty ]}
$$
Elles forment un ensemble fini de sommets dans $\mathcal{I} (V)$. 
On renvoie � l'appendice \ref{kujitopo} pour les d�finitions de bases concernant les
appartements et les quartiers dans l'immeuble $\mathcal{I} (V)$. 

\begin{theo}\label{Ramapp}
L'ensemble fini $\{\; [\Fil_{\,\l} V] \; |\; \l\in ]0,+\infty ]\;\}$ est
contenu dans un appartement de $\mathcal{I} (V)$. Plus pr�cis�ment,
cet ensemble est contenu dans un quartier de sommet $[\Fil_\infty V ]$
dans un appartement. Il est �galement connexe.
\end{theo}
\dem
Consid�rons la filtration par des sous $\Fq$-espaces vectoriels 
 sur les points de $\pi$-torsion de $H$
$$
\Fil_\l \left ( \pi^{-1}\Fil_\infty V/\Fil_\infty V \right )\;\;\;\l\in
]0,+\infty ]
$$
Soit $ (e_i^{(1)} )_{1\leq i \leq n}$ une base de $\pi^{-1} \Fil_\infty
V /\Fil_\infty V$ scindant la filtration pr�c�dente, c'est � dire
telle que pour des entiers $1\leq \a_1 <\dots <\a_r = n$ cette
filtration soit donn�e par 
$$
(0)\subsetneq <e_1^{(1)},\dots,e_{\a_1}^{(1)}> \subsetneq \dots
\subsetneq <e_1^{(1)},\dots, e^{(1)}_{\a_i}> \subsetneq \dots
\subsetneq  <e_1^{(1)},\dots, e^{(1)}_{n}>
$$
Pour tout entier $i$ tel que $1\leq i\leq n$ soit la suite
$(e_i^{(k)})_{k\geq 1}$ d�finie par r�currence de la fa�on suivante :
\begin{eqnarray*}
e_i^{(k)}& \in & \pi^{-k}\Fil_\infty V /\Fil_\infty V \\
\pi e_i^{(k+1)} &=& e_i^{(k)} \\
\text{ et } v(e_i^{(k+1)}) &=& \sup \{\; v(x) \; | \; \pi x
=e_i^{(k)}\; \}
\end{eqnarray*}
Les $(e_i^{(k)})_{1\leq i \leq n}$ forment donc une base du $\O/\pi^k
\O$-module libre $\pi^{-k}\Fil_\infty V/\Fil_\infty V$. La relation de
compatibilit� $\pi e_i^{(k+1)} = e_i^{(k)}$ implique qu'ils
fournissent une base du module de Tate $T_p (H)$. En termes d'alg�bre
lin�aire cela se traduit de la fa�on suivante : si pour tout $i$ et
$k$ on fixe $\widetilde{e_i^{(k)}} \in V$ un rel�vement de $e_i^{(k)}
\in V/\Fil_\infty V$ alors en posant 
$$
\forall i \;\; e_i = \underset{k\drt + \infty}{\lim} \pi^k
\widetilde{e_i^{(k)}} \in \Fil_\infty V
$$
On a 
$$
\Fil_\infty V = <e_1,\dots, e_n> \text{ et } e_i^{(k)} \equiv \pi^{-k}
e_i \text{ mod } \Fil_\infty 
$$
Montrons que $\forall \l\;\; \Fil_\l V$ est dans l'appartement associ�
� la base $(e_1,\dots, e_n)$ c'est � dire s'�crit sous la forme 
$<\pi^{-k_1} e_1,\dots, \pi^{-k_n} e_n>$ o� $k_i\in \N$.
D'apr�s le lemme \ref{kopghut} de l'appendice \ref{kujitopo} il suffit de montrer que 
$\forall (a_i)_i \in F^n \;\; v (\sum_i a_i e_i )$ ne d�pend que des
$(v(a_i))_{1\leq i \leq n}$. 
\\

Posons pour tout $k\leq 0$ $e_i^{(k)}=0\in V/\Fil_\infty V$. Tout $x
\in V/\Fil_\infty V$, $x\neq 0$, peut s'�crire sous la forme 
$$
x= \sum_{j=1}^l \sum_{i=\delta_{j}+1}^{\delta_{j+1}} a_i e_i^{(k(j))}
$$
o� 
$$
0=\delta_1 <\delta_2 < \dots <\delta_{l+1} =n
$$
$$
k(1)>k(2)>\dots >k (l ) \geq 0
$$
$$
\forall i\; a_i \in \O_F \text{ et }
\forall j>1 \;\; a_{\delta_j}\in \O_F^\times
$$
Nous allons d�montrer par r�currence sur l'entier $k\geq 1$
l'assertion suivante :
\begin{eqnarray*}
(A_k) \;\; &&\text{Soit } x \text{ �crit sous la forme pr�c�dente avec }
k(1)=k \\
&&\text{alors  }  v(x) = \inf\{ v( e_{\delta_{j+1}}^{(k(j))})\;| 1 \leq
j \leq l\;\} 
\end{eqnarray*}
Si $k=1$, $(A_1)$ est v�rifi�e par d�finition des
$(e_i^{(1)})_i$. Supposons donc $(A_k)$ v�rifi�e et soit $x$ comme
pr�c�demment avec $k(1)=k+1$. Alors, d'apr�s la propri�t� $(**)$ de la
``valuation'' $v$ sur $V/\Fil_\infty V$ donn�e � la fin de la section \ref{knuypot}
$$
\forall j\in \{ 1,\dots,l\}\;\; v(e_{\delta_{j}+1}^{(k(j))})\geq 
v(e_{\delta_{j}+2}^{(k(j))}) \geq \dots \geq v( e_{\delta_{j+1}}^{(k(j))})
$$
et donc 
$$
v(x)\geq \inf \{ v( e_{\delta_{j+1}}^{(k(j))})\; |\; 1 \leq j\leq l\;\}
$$
De plus, par hypoth�se de r�currence 
$$
v(\pi x) = \inf \{ v ( e_{\delta_{j}+1}^{(k(j)-1)})\;|\; 1 \leq j \leq l
\; \}
$$
Soit $j_0 \in \{ 1, \dots,l \}$ tel que 
$$
v( e_{\delta_{j_0+1}}^{(k(j_0)-1)}) =  \inf \{ v ( e_{\delta_{j}+1}^{(k(j)-1)})\;|\; 1 \leq j \leq l
\; \}
$$
Alors, toujours d'apr�s la propri�t� $(**)$ 
$$
\inf \{ v ( e_{\delta_{j+1}}^{(k(j))})\;|\; 1 \leq j \leq l \; \} =v(e_{\delta_{j_0+1}}^{(k(j_0))})
$$
Or d'apr�s la propri�t� $(*)$
$$
\sup \{ v(y)\;|\; \pi y =\pi x\;\} = \sup \{ v(z) \;|\; \pi z =
e_{\delta_{j_0+1}}^{(k(j_0)-1)}\; \} = v( e_{\delta_{j_0+1}}^{(k(j_0))})
$$
Donc 
$$
v(x) = v(e_{\delta_{j_0+1}}^{(k(j_0))})
$$
d'o� $(A_{k+1})$. 

Le r�sultat sur le fait que la filtration de ramification est contenue
dans l'appartement s'en d�duit. 
\\

V�rifions maintenant que cette filtration est contenus dans le
quartier de sommet $[\Fil_\infty]$ �gal � 
$$
\{[<\pi^{a_1} e_1,\dots, \pi^{a_n} e_n>] \; |\; a_1 \leq a_2\leq \dots
\leq a_n \;\}
$$
Pour cela il suffit de v�rifier que 
$$
\forall i\leq j \; \forall a \in\Z\; v(\pi^a e_i) \geq v(\pi^a e_j)
$$
ce qui est clair une nouvelle fois gr�ce � la propri�t� (**).
\\

La connexit� de l'ensemble de sommets associ� r�sulte de ce qu'�tant
donn� que $\forall x\in V\setminus \{ 0\}$ $\; v(\pi x)>v(x)$ on a 
$$\forall \l \neq +\infty\; \exists\l'>\l \; \pi \Fil_\l \subset
\Fil_{\l'} \subsetneq \Fil_\l
$$ 
\qed



\begin{prop}\label{Muropk}
Soit $(e_1,\dots,e_n)$ la base construite dans le th�or�me
pr�c�dent. Soient $\l_1\geq \dots \geq \l_n$ les valuations des points
de $\pi$-torsion non-nuls de $H$, o� il y a $q^i-q^{i-1}$ points de
valuation $\l_i$. Soit $I=\{ i\in \{ 1,\dots ,n-1 \}\;|\;
\l_i=\l_{i+1} \}$. A un $i\in I$ est associ� un mur de
l'appartement associ� � la base $(e_1,\dots,e_n)$ d�fini par 
$$
\{[<\pi^{a_1} e_1,\dots, \pi^{a_n} e_n>]\;|\; a_i = a_{i+1} \}
$$
L'ensemble fini
$[\Fil_\l V ]_{\l}$ est contenu dans l'intersection de ces murs
associ�s a $I$.
\end{prop}
\dem 
Cela se d�duit ais�ment de la d�monstration du th�or�me pr�c�dent.
\qed

\subsection{L'algorithme de calcul de la filtration de ramification}\label{ghuji}

De la d�monstration du th�or�me \ref{Ramapp} on peut extraire
l'algorithme suivant. Soient 
$$
\l_1^{(1)}\geq \dots \geq \l_n^{(1)}
$$
les pentes du polygone de Newton not� $\mathcal{N}$ de la
multiplication par $\pi$ sur une loi de groupe formelle associ�e � $H$
o� $\l_i^{(1)}$ d�signe la pente comprise entre les abscisses
$q^{i-1}$ et $q^i$. D�finissons pour tout $i$ la suite
  $(\l_i^{(k)})_{k \geq 1}$ par r�currence de la fa�on suivante :
$\l_i^{(k+1)}$ est la plus grande pente de l'enveloppe convexe de
$\mathcal{N}$ et du point $(0,\l_i^{(k)})$, c'est � dire la pente
comprise entre les abscisses $0$ et $1$.

On a donc $\l_i^{(k+1)}<\l_i^{(k)}$ et pour $k>>0\;\;
\dpt{\l_i^{(k+1)}= \frac{1}{q^n} \l_i^{(k)}}$. 

D'apr�s la d�monstration du th�or�me \ref{Ramapp} il existe une base
$(e_1,\dots,e_n)$ de $T_p (H) = \Fil_\infty V$ telle que 
$$
\forall i\;\forall k\geq 1 \;\; v(\pi^{-k}e_i)=\l_i^{(k)}
$$
Pour tout $\mu\in\R_{>0}$ et tout $i$ soit 
$$
k(i,\mu) = \sup \{k\geq 0\;|\; \l_i^{(k)}\geq \mu \; \}
$$
o� l'on a pos� $\forall i\; \l_i^{(0)}=+\infty$.
Alors 
$$
k(1,\mu)\geq k(2,\mu) \geq \dots \geq k(n,\mu)
$$
et 
$$
\boxed{
\Fil_\mu V = \bigoplus_{i=1}^n \O_F.  \pi^{-k(i,\mu)} e_i
}
$$
De plus, pour une telle base 
$$
\forall (x_1,\dots,x_n)\in F^n\;\; \boxed{ v(\sum_{i=1}^n x_i e_i) = \inf
\{\l_i^{(-v(x_i))}\;|\; 1\leq i\leq n \} }
$$
o� l'on a pos� $\l_i^{(k)}=+\infty$ si $k\leq 0$.

\begin{defi}\label{kkddssee}
On appellera base adapt�e du module de Tate de $H$ une base
$(e_1,\dots,e_n)$ de
$\Fil_\infty V$ telle que 
$$
\forall 1\leq i\leq n \;\forall k\geq 1 \;\; v(\pi^{-k} e_i) =\l_i^{(k)}
$$
\end{defi}

Ainsi pour une base adapt�e $(e_1,\dots,e_n)$ la filtration de
ramification est situ�e dans le quartier 
$$
\{[<\pi^{-a_1} e_1,\dots,\pi^{-a_n} e_n>] \;|\; a_1\geq \dots \geq a_n \}
$$

\subsection{L'application $\l \longmapsto \l^{(k)}$ et la fonction de Herbrand}\label{lapelctose}

On renvoie � l'appendice \ref{Ramitofm} pour les d�finitions et propri�t�s de base concernant les fonctions de Herbrand.

Soit $\mathcal{N} : [0 , q^n] \ldrt \R$ le polygone de Newton de
pentes $\l_1\geq \dots \geq \l_n$. 
Pour $\l\in ]0,+\infty [$ on note $(\l^{(k)})_{k\geq 1}$ la suite
d�finie par $\l^{(1)} = \l$ et $\l^{(k+1)}$ est la plus grande pente
de l'enveloppe convexe de $\mathcal{N}$ et  de $(0,\l^{(k)})$. 

Pour une fonction convexe $\ph$
consid�rons sa duale (cf. appendice \ref{Ramitofm})
$$
\ph^* (t) = \sup \{ u\;|\; \ph (\bullet) \geq -t \bullet + u \}
$$
Notons $\eta (\bullet) = \mathcal{N}^{\,*} (\bullet)$ et $\Psi = \eta^{-1}$ la fonction de
Herbrand de $H[\pi]$ (cf. appendice \ref{Ramitofm}). Alors 
$$
\forall \l\;\; \boxed{\l^{(k)} = \Psi^{\circ (k-1)} (\l)}
$$
et $ \Psi^{\circ (k-1)}$ est la fonction de Herbrand de
  $H[\pi^{k-1}]$. On a $ \Psi^{\circ (k-1)} =( \eta^{\circ
    (k-1)})^{-1}$ et 
$$
 \eta^{\circ
    (k-1)} (s) = \int_0^s |\{ x\in H[\pi^{k-1}]\;|\; v(x)\geq t \} |
  \, dt
$$



\subsection{La facette de l'immeuble associ�e � la filtration de
  ramification}\label{kkjjuuii}

\subsubsection{Premi�re d�finition}

\begin{defi}\label{quatoki}
Soit $\e\in ]0,+\infty[$ tel que $\e\leq \l_n$, c'est � dire $\forall
x\in \pi^{-1} \Fil_\infty V\; v(x)\geq \e$. On note $S$ le simplexe de
sommets 
$$
\{[\Fil_\l V]\;|\; 0<\l \leq \e\;\}
$$
dans l'immeuble $\mathcal{I} (V)$. 
\end{defi}

Cette d�finition a bien un sens car pour $0<\l\leq \e$ on a
$\Fil_{\l/q^n} V = \pi^{-1} \Fil_\l V$ qui d�finit donc une suite
p�riodique de r�seaux. 

\subsubsection{Deuxi�me d�finition comme intersection de demi-appartements}

Soit $(e_1,\dots, e_n)$ une base adapt�e du module de Tate de $H$ (d�finition \ref{kkddssee}). Soit
$\mathcal{A}$ l'appartement de $\mathcal{I} (V)$ de sommets 
$$
\{[\bigoplus_{i=1}^n \O_F.\pi^{-a_i} e_i] \;|\; a_i \in\Z \}
$$
Posons 
$$
\forall i<j\;\; \a_{ij} ( \bigoplus_{i=1}^n \O_F.\pi^{-a_i} e_i) = a_i - a_j
$$
les fonctions racines sur l'appartement. 

 D'apr�s la section \ref{rutoipm} de
l'appendice les simplexes maximaux dans $\mathcal{A}$ sont en
bijection avec les collections d'entiers relatifs
$$
(b_{ij})_{1\leq i < j \leq n}
$$
telles que 
$$
b_{ij} \in \Z \text{ et } \forall i<j<k \;\; b_{ik}\in \{ b_{ij}+b_{jk},
b_{ij} + b_{jk} +1 \}
$$
\`A $(b_{ij})_{i<j}$ est associ� le simplexe dont les sommets sont
$$
\{ x\in \mathcal{A} \;|\; \forall i<j \; \a_{ij} (x)\in \{ b_{ij}, b_{ij}+1 \}\;\}
$$
La proposition qui suit dit que la mani�re dont s'ordonnent les
valuations des points de torsion en fonction de leur ordre, les $(\l_i^{(k)})_{1\leq i\leq n,
  k\geq 1}$,  d�terminent un simplexe dans l'appartement qui est une
facette de $S$. 

\begin{prop}\label{desmuap}
Soient $(b_{ij})_{1\leq i <j\leq n}$, $b_{ij}\in \N$ tels que 
$$
\forall i<j \;\; \l_i^{(b_{ij}+1)} \geq \l_j > \l_i^{(b_{ij}+2)}
$$
Alors, $(b_{ij})_{1\leq i<j\leq n}$ d�finit un simplexe maximal dans
$\mathcal{A}$ dont $S$ est une facette �gale � l'intersection des murs
$$
\{x\;|\; \a_{ij} (x)=b_{ij}\} \;\text{ o� } i<j \text{ et } \l_i^{(b_{ij}+1)}=\l_j
$$
avec ce simplexe maximal.
\end{prop}
\dem
Soient $i<j<k$. On a les in�galit�s 
$$
\l_j^{(b_{jk}+1)} \geq \l_k >\l_j^{(b_{jk}+2)}
$$
et 
$$
\l_i^{(b_{ij}+1)} \geq \l_j > \l_i^{(b_{ij}+2)}
$$
Mais d'apr�s la remarque \ref{voutikj} (�nonc�e apr�s cette d�monstration) on d�duit 
des deux in�galit�s pr�c�dentes 
$$
\l_i^{(b_{ij}+b_{jk}+1)} \geq \l_k > \l_j^{(b_{ij}+b_{jk} + 3)}
$$
Ce qui implique que $b_{ik}\in \{ b_{ij} + b_{jk},  b_{ij} + b_{jk}+1
\}$.  On en d�duit donc d'apr�s la section \ref{rutoipm} de
l'appendice que la donn�e des $(b_{ij})_{i<j}$ d�finit bien un
simplexe maximal dans $\mathcal{A}$. 

Soit maintenant $\mu\in ]0,+\infty [$ suffisamment petit.
Supposons par exemple que $\forall 1\leq i <j\leq n \;\;
\mu <\l_i^{(b_{ij}+2)}$. Utilisons la formule donn�e dans la section
\ref{ghuji} pour la filtration de ramification : 
$$
\text{si } \forall i\; k(i,\mu) \text{ est tel que }
\;\l_i^{(k(i,\mu))} \geq \mu >\l_i^{(k(i,\mu)+1)}
$$
alors 
$$
\Fil_\mu V = \bigoplus_{i=1}^n \pi^{- k(i,\mu)} \O_F .e_i 
$$
Soient maintenant $1\leq i< j\leq n$. De l'in�galit� 
$$
\l_i^{(b_{ij}+1)} \geq \l_j > \l_i^{(b_{ij}+2)}
$$
on d�duit en appliquant de nouveau la propri�t� de la remarque \ref{voutikj}
et l'in�galit� $k(i,\mu)\geq b_{ij}+2$ 
que 
$$
\mu > \l_i^{(k(i,\mu)+1)} \geq \l_j^{(k(i,\mu) - b_{ij}+1)}
$$
et 
$$
\l_j^{(k(i,\mu)-b_{ij}-1)} > \l_i^{(k(i,\mu))} \geq \mu
$$
ce qui implique que 
$$
k(j,\mu) \in \{ k(i,\mu)-b_{ij}-1, k(i,\mu)-b_{ij} \}
$$
c'est � dire $k(i,\mu) - k(j,\mu) \in \{ b_{ij},b_{ij}+1 \}$ et donc
$[\Fil_\mu V]$ est dans la chambre d�finie par $(b_{ij})_{i<j}$.

De m�me si $\l_i^{(b_{ij}+1)} = \l_j$ on en d�duit que $k(i,\mu) -
k(j,\mu) =b_{ij}$ ce qui implique l'assertion sur le fait que
$[\Fil_\mu V]$ est dans l'intersection  des murs donn�s dans la
proposition.

R�ciproquement on doit v�rifier qu'�tant donn�s des entiers strictement positifs $(k_i)_i$ tels que 
$$
\forall i<j \; k_i - k_j \in \{ b_{ij},b_{ij}+1 \} \text{ et si }
\l_i^{(b_{ij})+1} =\l_j \text{ alors } k_i -k_j= b_{ij} 
$$
il existe $\mu$ tel que $[\Fil_\mu V] = <\pi^{-k_1} e_1,\dots,
\pi^{-k_n} e_n>$ (n�cessairement pour un tel $\mu$ $\;[\Fil_\mu V]\in S$ car $\forall i\; k_i>0$). 
 Cela �quivaut � trouver  $\mu$ tel que 
$$
\forall i \;\; \l_i^{(k_i)} \geq \mu > \l_i^{(k_i+1)}
$$
Soit l'intervalle de $\R$ $I_i= ] \l_i^{(k_i+1)}, \l_i^{(k_i)} ]$. On v�rifie � partir des
hypoth�ses, de la d�finition des $(b_{ij})_{i,j}$  et de la remarque \ref{voutikj} 
que 
$$
\forall i<j\;\; \l_i^{(k_i)}>\l_j^{(k_j+1)} \;\text{ et } \;
\l_j^{(k_j)}> \l_i^{(k_i+1)}
$$
Cela implique que $\forall  i\neq j\; I_i \cap I_j \neq \emptyset$. On
conclu avec le lemme qui suit.
\qed

\begin{lemm}
Soit $(I_i)_{1\leq i\leq n}$ une famille d'intervalles de $\R$. Alors
$$
\bigcap_{i=1}^n I_i \neq \emptyset \ssi \forall i\neq j\; I_i \cap I_j
\neq \emptyset
$$
\end{lemm}

\begin{rema}\label{voutikj}
 La propri�t� suivante est utilis�e � maintes reprises
$$
\forall \a,\b\;\forall a,b,c\geq 1\;\; \l_{\a}^{(a)} \geq \l_\b^{(b)}
\limpl \l_\a^{(a+c)} \geq \l_\b^{(b+c)}
$$
et de m�me en rempla�ant $\geq $ par $>$.
\end{rema}

\subsubsection{Lien entre la facette et la filtration de ramification}


\begin{prop}
On a l'�galit� suivante 
$$
\forall \l\in ]0, +\infty [\;\;
\forall l\in \N \; l\geq 1 \;\; \Fil_\l V = \pi^{1-l} \Fil_{\l^{(l)}}
V + \Fil_\infty V
$$ 
\end{prop}
\dem
Utilisant l'�quivalence 
$$
\forall k\geq 1 \forall \mu_1,\mu_2\in ]0,+\infty [
\;\; \mu_1\geq \mu_2 \lssi \mu_1^{(k)} \geq \mu_2^{(k)}
$$
on v�rifie facilement avec les notations de la section \ref{ghuji}
que 
$$
\forall i\;\forall l\geq 1\;\; k(i,\l)   = \sup \{ k(i,\l^{(l)})+1-l,0 \}
$$
\qed

\begin{defi}
Soient deux sommets $x,y\in \mathcal{I} (V)$. On pose
$$
x\vee y = \{ [\La_1+\La_2]\;|\; [\La_1]=x,\; [\La_2]=y \;\}
$$
un ensemble fini de sommets de $\mathcal{I} (V)$ contenu dans l'enclos d�limit� par $x$ et $y$. 
\end{defi}



\begin{prop}\label{rughv}
Le simplexe $S$ ainsi que le sommet $[T_p (H)]=[\Fil_\infty V]$ d�terminent
compl�tement les sommets de l'immeuble associ�s � la filtration de
ramification inf�rieure. Cet ensemble, contenu  dans l'enclos d�limit�
par $S$ et $[T_p (H)]$, est  �gal � 
$$
\bigcup_{x\in S} (x\vee [\Fil_\infty V])
$$
\end{prop}
\dem
Il suffit d'appliquer la proposition pr�c�dente coupl�e au faits suivants 
$$
\forall \l\in ]0,+\infty [\;\; \underset{l\drt +\infty}{\lim }
\l^{(l)}  = 0 
$$
et 
$
\forall l\geq 1
$
l'application $\l\longmapsto \l^{(l)}$ est une bijection de $]0,+\infty[$ dans lui-m�me. 
\qed


\begin{figure}[htbp]
   \begin{center}
      \includegraphics{configuration_ramification.eps}
   \end{center}
   \caption{\footnotesize Les quatre configurations possibles pour la
     filtration de ramification inf�rieure dans le cas de $\GL_3$
     }
   \label{config_ram}
\end{figure}

\section{Filtration de ramification sup�rieure}

On continu d'utiliser les notations de la section pr�c�dente.

La filtration �tudi�e pr�c�demment se comporte bien vis � vis de la
restriction � un sous-sch�ma en groupes, par exemple $\forall \l\;
\forall n\leq m\;\; H[\pi^n](K)_\l = H[\pi^m] (K)_\l \cap H[\pi^n]
(K)$. 
Il s'agit de l'analogue de la filtration de ramification inf�rieure
du groupe de Galois d'une extension de corps locaux (\cite{Serre1}). 

La filtration que nous allons �tudier dans cette section est ad�quat
aux isog�nies, et donc plus adapt�e � l'action de $\GL_n (F)$ par les correspondances de Hecke sur les
espaces de Lubin-Tate. 


\begin{defi}
On note pour tout $n\in\N^*$ et $\l\in ]0,+\infty]\;\;$ $H[\pi^n]^\l$
la filtration d'Abbes-Saito de $H[\pi^n]$ (cf. appendice
\ref{Ramitofm}). 
\end{defi}

Il s'agit d'une filtration d�croissante qui d'apr�s la proposition
\ref{zuytok} de l'appendice \ref{Ramitofm} 
 v�rifie $\forall n\leq m
\;\; \pi^{m-n} H[\pi^m]^\l = H[\pi^n]^\l$. 


\begin{defi}
On note $\psi=\eta^{-1}$ la fonction de Herbrand de $H[\pi]$
(cf. appendice \ref{Ramitofm}). 
\end{defi}

On a donc 
$$H[\pi^k]^\l (K) = H[\pi^k](K)_{\psi^k (\l)}$$
Rappelons (cf. section \ref{lapelctose}) que la fonction $\psi^k$ est �galement
celle not�e $\l \longmapsto \l^{(k+1)}$ dans les sections pr�c�dentes.

\begin{defi}
Soit pour $\l\in ]0,+\infty [ $ 
$$
\Fil^{\,\l} V_p (H) = \underset{k\geq 1}{\limp} H[\pi^k]^\l (K) \subset
T_p (H)
$$
\end{defi}

On a donc en termes de la filtration de ramification inf�rieure et de
la fonction de Herbrand 
$$
\Fil^{\, \l} V = \underset{k\geq 1}{\limp} \left (  \Fil_{ \l^{(k+1)} } V \cap
 \pi^{-k} \Fil_\infty V \right )/
\Fil_\infty V 
$$
qui d�finit une filtration d�croissante telle que $\Fil^\l V = T_p
(H)$ pour $\l$ suffisamment petit. 

\begin{lemm}
Soit $\l\in ]0,+\infty]$. Alors pour $k>>0$ 
$$
H[\pi^{k+1}]^\l = \{ x\in H[\pi^{k+1}] \;|\; \pi x \in H[\pi^k]^\l \}
$$
\end{lemm} 
\dem 
Il suffit de choisir $k$ tel que $\l^{(k+1)} = \frac{1}{q^n}
\l^{(k)}$. 

\qed

D'apr�s le lemme pr�c�dent les $\Fil^{\,\l} V$ forment donc des
r�seaux dans $V$ et on a 
$$
\forall \l\;\; \Fil^{\, \l} V = \pi^k \Fil_{\l^{(k+1)}} V \cap T_p (H)
\;\text{ pour } k>>0 
$$
On en d�duit la propositions suivante

\begin{prop}
La filtration $(\Fil^{\,\l} V)_{\l \in ]0,+\infty]}$ forme une cha�ne
p�riodique de
r�seaux dans $T_p (H)$ pour $\l>>0$ 
 telle que le simplexe associ� dans l'immeuble de
$\text{PGL} (V)$ soit le simplexe not� $S$ dans la d�finition
\ref{quatoki} de la section
pr�c�dente. 
\end{prop}

On a une description explicite de la filtration de ramification
sup�rieure analogue � celle donn�e dans la section \ref{ghuji} pour la
filtration de ramification inf�rieure :

\begin{prop}
Soit $(e_i)_{1\leq i \leq n}$ une base adapt�e du module de Tate $T_p
(H)$. Posons
$$
\forall i\;\;\forall \mu\in ]0,+\infty [\;\;\; l(i,\mu) = \inf \{
l\geq 0\;|\; \l_i \geq \mu^{(l+2)}\;\}
$$
Alors
$$
\Fil^{\,\mu} V = \bigoplus_{i=1}^n \O_F. \pi^{l(i,\mu)} e_i
$$
\end{prop}
\dem
Il suffit d'�crire pour $\l\in \N$ 
\begin{eqnarray*}
\pi^l e_i \in \Fil^{\,\mu} V &\lssi& \text{pour } k>>0 \;\pi^{l-k} e_i
\in \Fil_{\mu^{(k+1)}} V \\ &\lssi& \text{pour } k>>0 \;\l_i^{(k-l)}
\geq \mu^{(k+1)} \\
&\lssi & \l_i \geq \mu^{(l+2)}
\end{eqnarray*}
\qed

\begin{defi}
Soient $x,y$ deux sommets de $\mathcal{I} (V)$. On pose 
$$
x\wedge y = \{[\La_1\cap \La_2 ]\;|\; [\La_1]=x,\; [\La_2]=y\;\}
$$
\end{defi}

Voici la proposition cousine de la proposition \ref{rughv}

\begin{prop}
Le simplexe $S$ ainsi que le sommet $[\Fil_\infty V]$ d�terminent
compl�tement les sommets de l'immeuble associ�s � la filtration de
ramification sup�rieure. Cet ensemble, contenu dans l'enclos
d�limit�  par $[\Fil_\infty V]$ et $S$, est �gal �
$$
\bigcup_{x\in S} (x\wedge [\Fil_\infty V])
$$
\end{prop}

\section{Le point de l'immeuble associ� � l'application de Hodge-Tate
  duale}\label{pohtmlsu}

\subsection{Une formule g�n�rale}

Soit $H$ comme dans les chapitres pr�c�dents.
Soit 
$$
\a_{H^D}^\O : T_p (H^\vee)\ldrt \omega_H \simeq \O_K
$$
et 
$$
\a_{H^\vee}^\O(-1) : T_p (H)^* \ldrt \omega_H (-1) \simeq \O_K
$$
o� $F(1)$ d�signe le module de Tate d'un groupe de Lubin-Tate de
$\O$-hauteur $1$. 

Consid�rons la norme ``additive'' associ�e
\begin{eqnarray*}
\|.\| : T_p (H)^* & \ldrt & \R\cup \{+\infty \} \\
\ph & \longmapsto & v (\a_{H^D} (-1) (\ph))
\end{eqnarray*}
Soit $(\Fil_\l V_p (H))_{\l\in]0,+\infty ]}$ la filtration de
ramification inf�rieure telle que d�finie dans la section \ref{knuypot}.

\begin{prop}
Soit $\mu\in ]0,+\infty]$. 
Soit $\ph \in T_p (H)^* \setminus \{ 0\}$ tel que $\ph (\Fil_{\mu}
V_p (H)) = \O_F$. Soit  $M=\ker \ph
\otimes \Qp \subset V_p (H)$. Soit $\Fil_\l M = \Fil_\l V_p (H) \cap
M$ la filtration induite sur $M$. Alors 
$$
\|\ph\| =
\int^{\mu}_{0} \left (|\Fil_\mu V_p (H)/\Fil_\infty V_p (H)|. |\Fil_\l M /\Fil_{\mu} M | -1
\right ) d\l +   v (\Fil_{\mu}V_p (H) /\Fil_\infty V_p (H) )
$$ 
\end{prop}
\dem
Soit  $\widetilde{\ph} =\ph\otimes Id : T_p (H) \otimes F/\O_F \ldrt F/\O_F$. 
D'apr�s le th�or�me \ref{tklopui}
$$
\| \ph \| = \sum_{x\in \ker \widetilde{\ph} \setminus \{ 0 \}} v(x) 
$$
De plus  il y a une suite exacte 
$$
0 \ldrt \Fil_{\mu}V /\Fil_\infty V \ldrt \ker \widetilde{\ph} \ldrt
M/ \Fil_{\mu} M \ldrt 0
$$
Soient $(\l_k)_{k\geq 0}$, $\l_{k+1}<\l_k$ les sauts de la filtration
$(\Fil_\l V_p (H))_{\l \geq \mu}$ (avec $\l_0=\mu$). Alors
\begin{eqnarray*}
 \sum_{x\in \ker \widetilde{\ph} \setminus (\Fil_\mu V / \Fil_\infty
   V) } v(x)  &=&
 \sum_{k=1}^{+\infty} 
\left ( |(\Fil_{\l_k} M+\Fil_\mu V ) /\Fil_{\infty} V | - |(\Fil_{\l_{k-1}}
  M+ \Fil_\mu V ) /\Fil_{\infty}  V | \right ) \l_k \\
&=&  \sum_{k=1}^{+\infty} 
\left (( |(\Fil_{\l_k} M +\Fil_\mu V ) /\Fil_{\infty} V |-1) - (|\Fil_{\l_{k-1}}
  M+\Fil_\mu V /\Fil_{\infty} V |-1) \right ) \l_k \\
&=& \sum_{k=1}^{+\infty} \left ( |\Fil_\mu V/\Fil_\infty V|. 
|(\Fil_{\l_k} M + \Fil_\mu V ) /\Fil_\mu V | -1
\right )(\l_k - \l_{k+1}) \\
&=& \int^{\mu}_0 \left ( |\Fil_\mu V/\Fil_\infty V |. 
|\Fil_\l M/\Fil_\mu M | -1 \right ) d
\l
\end{eqnarray*}
\qed

\begin{coro}
Soit $\l_n$ la plus petite valuation des points de
$H[\pi](\O_K)$. Soit $\mu\in ]0,+\infty [$. Soit $\e$ tel que 
$\e \leq \mu$ et $0<\e\leq \l_n$. 
Il existe alors une constante $C$
telle que $\forall \ph \in V_p (H)^*$ tel que $\ph (\Fil_\mu V_p (H)) =\O_F$ si
$M=\ker \ph\otimes \Qp$ on ait  
$$
\| \ph \|= \Delta_\mu \left[ \int^\mu_\e |\Fil_\l M/\Fil_\infty M | d\l + \frac{q}{q-1}
\int^\e_{\e/q^n} |\Fil_\l M/\Fil_\infty M | d \l \right ] + C
$$
o� $\Delta_\mu= |\Fil_\mu V_p (H)/\Fil_\infty V_p (H)|$. 
\end{coro}
\dem
Il suffit d'utiliser le fait que $\forall \l \leq \e$ on a
$\Fil_{\l/q^n} M = \pi^{-1} \Fil_\l M$ et que donc
\begin{eqnarray*}
\int^\e_0 |\Fil_\l M/\Fil_\infty M | d\l &=& \sum_{k=0}^{+\infty}
\int^{\e/q^{nk}}_{\e/q^{n (k+1)}} |\Fil_\l M/\Fil_\infty M| d \l \\
&=& \sum_{k=0}^{+\infty} \frac{1}{q^{nk}} \int^\e_{\e/q^n}
\underbrace{|\Fil_{\l/q^{nk}} M /\Fil_\infty M |}_{|\pi^{-k} \Fil_\l
  M/\Fil_\infty M| = q^{(n-1)k} |\Fil_\l M /\Fil_\infty M| } d \l \\
&=& \frac{q}{q-1} \int^\e_{\e/q^n} |\Fil_\l M/\Fil_\infty M| d\l 
\end{eqnarray*}
\qed

\begin{defi}
Soit $\La$ un r�seau dans $V_p (H)$. On note $\La^\vee = \{\ph\in V_p
(H)^*\;|\; \ph (\La) \subset \O_F \}$ le r�seau dual. On note alors 
$\left ( \Fil_\l V_p (H)^* \right )_{\l \in ]0,+\infty ] }$ la
filtration croissante de $V_p(H)^*$ �gale � $\left ( (\Fil_\l V_p
  (H))^\vee\right )_{\l\in ]0,+\infty ]}$. On note $\|.\|_\l$ la norme
``additive'' sur $V_p (H)^*$
associ�e au r�seau $\Fil_\l V_p (H)^*$. 
\end{defi}

\begin{theo}\label{Fokkomp}
Soit la fonction
\begin{eqnarray*}
 f: ] 0,+\infty ] & \ldrt & \R \\
\l & \longmapsto & |\Fil_\l V_p (H) / \Fil_\infty V_p  (H) |
\end{eqnarray*}
Soient $\mu$ et $\e$  comme dans le corollaire
pr�c�dent. Il existe alors une constante $C$ telle que 
\begin{eqnarray*}
\forall \ph \in V_p (H)^*\setminus \{ 0 \} \;\;\; \|\ph\| &=& \int^\mu_0
f(\l) \, q^{\| \ph
    \|_\l - \| \ph \|_\mu} d \l + \| \ph \|_\mu + C \\
&=& \int^\mu_\e f(\l) \, q^{\|\ph \|_\l - \| \ph \|_\mu} d\l +
\frac{q}{q-1} \int^\e_{\e/q^n} f(\l)\, q^{\| \ph \|_\l - \| \ph
    \|_\mu} d \l + \| \ph\|_\mu +  C
\end{eqnarray*}
\end{theo}
\dem 
Lorsqu'on remplace $\ph$ par $\pi^k \ph$ les membres des formules
donn�es sont tous translat�s de $k$. On peut donc supposer que $\ph
(\Fil_\mu V_p (H))=\O_F$ c'est � dire $\|\ph\|_\mu =0$. 

Il suffit alors de remarquer que si $M=\ker \ph\otimes \Qp$ on a une
suite exacte
$$
0\ldrt \Fil_\l M/\Fil_\mu M \ldrt \Fil_\l V_p (H)/\Fil_\mu V_p
(H) \ldrt \ph \left ( \Fil_\l V_p (H) \right )/\O_F \ldrt 0
$$
et que $\ph \left ( \Fil_\l V_p (H) \right ) = \pi^{\|\ph \|_\l }
\O_F$. Cela implique que 
$$
|\Fil_\mu V_p (H)/\Fil_\infty V_p (H)| . 
| \Fil_\l M/\Fil_\mu M| = f(\l)\, q^{\|\ph\|_\l}
$$
d'o� le r�sultat par application  du corollaire
pr�c�dent.
\qed

\begin{coro}\label{Kopolm}
Soit $\mu \in ]0,+\infty [$ tel que $\mu \leq \l_n$. Il existe alors
une constante $C$ telle que 
$$
\forall \ph \in V_p (H)^*\setminus \{ 0\}\;\; \boxed{
\|\ph\| = \frac{q}{q-1} \int^\mu_{\mu/q^n} f(\l)\, q^{\| \ph \|_\l - \| \ph
    \|_\mu} d \l + \| \ph\|_\mu +  C}
$$
\end{coro}

\subsection{Applications}


\begin{prop}\label{shibouzouk}
Soit $[\|.\|] \in |\mathcal{I} (V_p (H)^*)|$ le point de l'immeuble
associ� � l'application de Hodge-Tate duale de $H$. Alors, $[\|.\|]$
appartient � la r�alisation g�om�trique du simplexe $S$ associ� � la
filtration de ramification de $H$.  
\end{prop}
\dem
Il r�sulte du corollaire \ref{Kopolm} que la  norme $\| .\|$
ne d�pend que des normes associ�es � des r�seaux dont la classe
d'homoth�tie est dans $S$. D'o� le r�sultat.
\qed


\begin{prop}
Soient $\l_1 \geq \dots \geq \l_n$ les pentes du polygone de Newton
associ� � $H$.
 Soit $(e_1,\dots, e_n)$ une base adapt�e de $T_p
(H)$ et $(e_1^*,\dots ,e_n^*)$ la base duale associ�e. Soit 
$
\forall i<j\;\; 
\a_{ij}$ la racine $\text{diag} (t_1,\dots,t_n) \mapsto 
t_i - t_j$ dans la base pr�c�dente de $V_p
(H)^*$. 

 Si pour $i<j$ $\;\l_i^{(b_{ij}+1)}= \l_j$ alors
 le
point de Hodge-Tate dual appartient  au mur $\a_{ij} = - b_{ij}$
\end{prop}
\dem
C'est une cons�quence de la description donn�e du simplexe $S$ comme
intersection de demi-appartements et de murs (proposition
\ref{desmuap}). 
\qed

\begin{exem}\label{jjdfii}
Si $\l_1= \dots = \l_n$ c'est � dire le polygone de Newton de la
multiplication par $\pi$ est plat alors $[\|.\|] = [T_p (H)^*]$. 
\end{exem}

\begin{exem}
Si $a_1\geq \dots \geq a_n \geq 0$ sont des entiers et le polygone de Newton de $H$ v�rifie 
$$
\forall i<j\;\; \l_i^{(a_i -a_j+1 )} =\l_j
$$
alors le point de Hodge-Tate de $H$ est un sommet dans
l'appartement. Dans une base comme dans la proposition pr�c�dente ce
sommet est $ [<\pi^{-a_1} e_1^*,\dots, \pi^{-a_n} e_n^*>]$.
\end{exem}


\subsection{Expression en termes de la filtration de ramification sup�rieure}

\begin{prop}\label{kujipopom}
Soit $\|.\|^\l$ la norme sur $V_p (H)^*$ 
associ�e au r�seau $\left ( \Fil^{\,\l} V_p (H)\right )^\vee$. 
Pour $\mu>>0$ il existe une constante $C$ telle que 
$$
\forall \ph \in V_p (H)^* \setminus \{ 0\}\;\;
\| \ph \| = \frac{q}{q-1} \int^\mu_{\mu-1} q^{\|\ph \|^\l - \|\ph
  \|^\mu} d \l + \|\ph\|^\mu + C
$$
\end{prop}
\dem
Effectuer un changement de variables dans l'int�grale coupl� � la
formule exprimant la fonction $\eta$ de Herbrand comme une int�grale.
\qed


\section{Une structure simpliciale sur le squelette de l'espace de
  Lubin-Tate}

\subsection{Rappels sur l'espace de Lubin-Tate}\label{ujikoln}

Nous reprenons les notations de \cite{Cellulaire}. Soit 
$$
\X\simeq \spf (\O_{\widehat{F^{nr}}} [[x_1,\dots,x_{n-1}]])
$$
l'espace de Lubin-Tate des d�formations d'un $\O$-module $\pi$-divisible formel de
dimension $1$ et de hauteur $n$. On suppose les coordonn�es
$(x_1,\dots,x_{n-1})$ normalis�es de telle mani�re que sur une loi de
groupe formelle universelle le polygone de Newton de la multiplication
par $\pi$ soit l'enveloppe convexe des points
$(1,1)$,$(q^i,v(x_i))_{1\leq i \leq n-1}$ et $(q^n,0)$ (cf. la section
1.5 de \cite{Cellulaire}). 

Soit $\X^{an}$ l'espace de Berkovich associ�, $\X^{an}\simeq
\mathring{\mathbb{B}}^{n-1}$. On appelle squelette de $\X^{an}$
l'espace topologique 
$$
S (\X^{an}) = ]0,+\infty ]^{n-1} \subset |\X^{an}|
$$
o� l'inclusion est donn�e par l'application qui �
$(r_1,\dots,r_{n-1})\in  ]0,+\infty ]^{n-1}$ associe la norme
``additive'' 
$$
\left | \sum_{\underline{\a} = (\a_1,\dots,\a_{n-1})\in \N^{n-1}}
  a_{\underline{\a}} \,x_1^{\a_1}\dots x_n^{\a_n} \right | = \underset{\underline{\a}}{\inf} \{ v(a_{\underline{\a}})+ \a_1
r_1 +\dots +\a_{n-1} r_{n-1} \}
$$
Il y a une r�traction
\begin{eqnarray*}
r: |\X^{an}| & \ldrt & S(\X^{an}) \\
|.| & \longmapsto & (|x_i|)_{1\leq i \leq n-1}
\end{eqnarray*}
o� $|.|$ d�signe une semi-norme ``additive''.

\subsection{L'espace de Newton}

\begin{defi}
On note $Newt$ l'ensemble des fonctions convexes $f: [1,q^n] \ldrt ]0,+\infty
[$ lin�aires sur les segments $[q^i,q^{i+1}]$ pour $1\leq i\leq n-1$,
ne s'annulant pas sur $[1,q^n[$, 
 v�rifiant $f(1)=1$ et $f(q^n)=0$.
\end{defi}

Une telle fonction $f\in Newt$ est d�croissante et v�rifie $\text{Im}
f = [0 1]$. On muni $Newt$ de la topologie de la convergence uniforme
sur les fonctions continues de $[1, q^n] $ � valeurs dans $[0 1]$. On
v�rifie aussit�t le lemme suivant :

\begin{lemm}
L'ensemble $Newt$ est convexe dans l'espace des fonctions de $[1,q^n]$
� valeurs dans $\R$. 
\end{lemm}

Ainsi on a une ``structure affine'' sur $Newt$ au sens o� l'on a une
notion de barycentre :
$$
\forall I\text{ fini  }\; \forall (\g_i)_i\in \R_+^I\; \text{ v�rifiant }
\sum_i \g_i =1 \;\forall (f_i)_i\in Newt^I\;\; \sum_i \g_i f_i \in
Newt 
$$ 

Une description concr�te de $Newt$ que l'on utilisera est la suivante
:
$$
Newt = \{ (\l_1,\dots,\l_n)\in \R^n\;|\; \l_1\geq \dots \geq \l_n >0
\text{ et } \sum_{i=1}^n (q^i-q^{i-1}) \l_i =1 \}
$$
o� $\l_i$ d�signe la pente du polygone de Newton entre les abscisses
$q^{i-1}$ et $q^i$. Dans cette description le barycentre dans $Newt$
 consiste �
 prendre le barycentre des pentes $(\l_i)_i$, la structure affine est
 induite par celle de $\R^n$. 

Il y a une application continue surjective 
\begin{eqnarray*}
S (\X^{an}) & \ldrt & Newt \\
(v_1,\dots,v_{n-1}) & \longmapsto & \text{Conv} ( (1,1),(q,v_1),\dots,
(q^{n-1}, v_{n-1}),(q^n,0)) 
\end{eqnarray*}
o� Conv d�signe l'enveloppe convexe. Pour toute extension valu�e compl�te
$K|\widehat{F^{nr}}$ l'application compos�e
$$
\X^{an} (K) \ldrt |\X^{an}| \xrig{\; \;r \; \;}S (\X^{an}) \ldrt Newt
$$
est celle qui � une d�formation $(H,\rho)$ avec $H$ un $\O$-module
$\pi$-divisible sur $\O_K$ associe le polygone de la multiplication
par $\pi$ sur une loi de groupe formelle associ�e.

\begin{rema}
Soit $D$ l'alg�bre � division d'invariant $1/n$ telle que $D^\times$
agisse  sur l'espace
de Lubin-Tate (cf. \cite{Cellulaire}). L'application $\X^{an} (K) \ldrt Newt$ est $D^\times$-invariante.
\end{rema}

\begin{defi}
Soit un polygone dans $Newt$ donn� par ses pentes $\l_1\geq \dots\geq 
\l_n$. On notera pour tout $k\in \Z$ et tout $i$ 
$\;\l_i^{(k)}$ le nombre donn� par $\l_i^{(k)}= +\infty$ si $k\leq 0$,
$\l_i^{(1)} =\l_i$ et $\l_i^{(k+1)}$ est la plus grande pente de
l'enveloppe convexe de $(0,\l_i^{(k)})$ et du polygone dont on est parti.
\end{defi}

\subsection{Les op�rateurs $(\pi^{-a_1},\dots,\pi^{-a_n})$ sur
  l'espace de Newton}

Dans cette section nous d�finissons et �tudions des op�rateurs qui
sont des sections des correspondances de Hecke non-ramifi�es, sections 
d�finies 
uniquement 
au niveau des polygones de Newton.

\subsubsection{D�finition}

\begin{prop}\label{komopo}
Soit $\ph: H_1 \ldrt H_2$ une isog�nie entre $\O$-modules formels de
dimension $1$. Le polygone de Newton de la multiplication par $\pi$
sur $H_2$ ne d�pend que de celui de la multiplication par $\pi$ sur
$H_1$ ainsi que de celui de $\ker \ph$ (on entend par l� la collection
 des $v(x), x\in \ker \ph \setminus \{ 0 \}$, compt�es avec multiplicit�).
\end{prop}
\dem 
Soit $C =\{ x\in H_1 \;|\; \pi x\in \ker \ph \}$. Alors $C/\ker \ph
\simeq H_2 [\pi]$. Apr�s un choix de bonnes coordonn�es formelles la
composition d'isog�nies de groupes formels
$$
H_1 \xrig{\; \a\; } H_1/\ker \ph \xrig{\; \b \;} H_1/C
$$
s'�crit
$$
\b^* T = g(T),\;\;\; \a^* (T) = f(T)
$$
o� $f$ et $g$ sont deux polyn�mes unitaires dans $\O_K [T]$. 
Le polygone de Newton de $f$ est connu par hypoth�se. Celui de $f\circ g$
�galement d'apr�s les rappels du d�but de la section \ref{fbmqsd}. 

Le r�sultat est donc une cons�quence de ce que si $f$ et $g$ sont deux polyn�mes
unitaires dans $\O_K [T]$ alors $Newt (f\circ g)^*=Newt (f)^*\circ Newt (g)^*$ (cf. le lemme \ref{korTo} de l'appendice
\ref{Ramitofm}) et que ces fonctions sont bijectives, donc $Newt (f\circ g)$ et $Newt (f)$
d�terminent $ Newt (g)^*$ et donc $Newt (g)$. 
\qed

\begin{coro}\label{kujokipm}
Soit $(a_1,\dots, a_n)\in \N^n$. Soit $H$ un $\O$-module
$\pi$-divisible formel de
dimension $1$ et hauteur $n$ sur $\O_K$ avec $K$ alg�briquement clos. Soit
$(e_1,\dots,e_n)$ une base adapt�e  de son module de Tate (cf. d�finition \ref{kkddssee}). 
 Soit $C\subset H$ l'adh�rence sch�matique du
sous-groupe fini $<\pi^{-a_1} \bar{e}_1,\dots, \pi^{-a_n} \bar{e}_n>\subset T_p
(H)\otimes F/\O_F$ de la fibre
g�n�rique de $H$ et $H'=H/C$. 
Alors le polygone de Newton associ� � $H'$ ne d�pend que de celui de
$H$ et des $(a_i)_{1\leq i\leq n}$.
\end{coro}
\dem
D'apr�s les formules donn�es dans la section \ref{ghuji} les
valuations des �l�ments de $C$ ne d�pendent que des
$(\l_i^{(k)})_{1\leq i \leq n,k\geq 1}$ qui eux m�mes ne d�pendent que
des $(\l_i)_{1\leq i \leq n-1}$. Le r�sultat est donc une cons�quence
de la proposition pr�c�dente.
\qed
\\

On peut donc d�finir $\forall (a_1,\dots ,a_n)\in \N^n$ un op�rateur 
$$
(\pi^{-a_1},\dots, \pi^{-a_n}): Newt \ldrt Newt
$$
tel que $\forall K$, via l'application $\X^{an} (K) \ldrt Newt$,
celui-ci soit donn� comme dans le corollaire pr�c�dent par le quotient
par le sous-groupe adh�rence sch�matique de $<\pi^{-a_1} \bar{e}_1, \dots, \pi^{-a_n} \bar{e}_n>$.

\subsubsection{Une formule explicite pour les isog�nies}\label{abbhui}

\subsubsection{Un lemme stupide}

\begin{lemm}
Soit $R$ un anneau et $F(X,Y)\in R[[X,Y]]$ une loi de groupe formelle commutative de dimension $1$. Soit $X\underset{F}{-} Y =F(X,\iota (Y))\in R[[X,Y]]$ o� $\iota\in R[[T]]$ est l'inversion formelle associ�e � $F$ (l'unique s�rie telle que $\iota (0)=0$ et $F(T,\iota (T))=0$. Alors 
$$
\exists h\in R[[X,Y]]^\times\;\;\; X\underset{F}{-} Y = (X-Y)\times h
$$
\end{lemm}
\dem
Soit l'anneau $Y$-adique $A=R[[Y]]$ et $X\underset{F}{-} Y \in A[[X]]$. Appliquons 
le lemme de division de Weierstrass � cette s�rie et au polyn�me $X-Y\in A[X]$.
$$
\exists h\in A[[X]]\;\; \exists a\in A\;\;\; X\underset{F}{-} Y = (X-Y) h + a
$$
Mais si l'on fait $X=Y$ on obtient $a=0$. De plus $X\underset{F}{-} Y \equiv X-Y \text{ mod deg }2$. Donc $h(0)=1$ et $h$ est inversible.
\qed

\begin{rema}
Le lemme pr�c�dent est faux si l'on remplace le couple $(X\underset{F}{-} Y,X-Y)$ par $(X\underset{F}{+} Y, X+Y)$. 
\end{rema}

\begin{coro}
Soit $\ph : H_1\ldrt H_2$ une isog�nie de $\O$-modules formels de dimension $1$ sur $\O_K$ ($K$ alg�briquement clos). Alors 
$$
\forall x\in H_1 (\O_K)\;\; v(\ph (x))= \sum_{a\in \ker \ph } v(x-a)
$$
o� $x-a$ d�signe la diff�rence entre $x$ et $a$ dans le groupe $H_1 (\O_K)$.
\end{coro}
\dem
On sait qu'apr�s un bon choix de coordonn�es formelles � la source et au but l'isog�nie s'�crit 
$$
\prod_{a\in \ker \ph} (T-a)
$$
Donc $v (\ph (x))= \sum_{a\in \ker \ph} v (x-a)$. On conclut d'apr�s le lemme pr�c�dent.
\qed

\subsubsection{La formule}

Soient $(a_1,\dots,a_n)\in \N^n$ et $H$ sur $\O_K$ dont le polygone de
Newton associ� a pour pentes $\l_1\geq \dots \l_n$. Soit
$(e_1,\dots,e_n)$ une base adapt�e de $T_p (H)$. Rappelons que d'apr�s la section \ref{ghuji} 
$$ 
\forall (x_1,\dots,x_n)\in F^n\;\; v(\sum_{i=1}^n x_i e_i) = \inf \{
\l_i^{(-v(x_i))}\;|\; 1\leq i\leq n \}
$$
Soit $C$ l'adh�rence sch�matique du sous-groupe $<\pi^{-a_1} \bar{e}_1,\dots
\pi^{-a_n} \bar{e}_n>\subset T_p (H)\otimes F/\O_F$ et $\ph :
H\twoheadrightarrow H/C$� Soit $x=\sum_{i=1}^n x_i e_i$ dont on veut
calculer $v(\ph (x))$. On peut supposer que pour un sous-ensemble
$I\subset \{ 1,\dots ,n \}\;\; x=\sum_{i\in I} x_i e_i$ o� $\forall
i\in I\; v(x_i)<-a_i$. Alors
\begin{eqnarray*}
v(\ph(x)) &=& \sum_{y\in \ker \ph} v(x+y) \\
&=& \sum_{(t_1,\dots, t_n)\in \O/\pi^{a_1}\oplus \dots \oplus
  \O/\pi^{a_n}} v\left (\sum_{i\in I} (x_i+t_i \pi^{-a_i}) e_i +
  \sum_{i\notin I} t_i \pi^{-a_i} e_i \right )  \\
&=&  \sum_{(t_1,\dots, t_n)\in \O/\pi^{a_1}\oplus \dots \oplus
  \O/\pi^{a_n}} \inf  \{ \l_i^{(-v(x_i))}\;|\; i\in I\} \cup \{
\l_i^{(a_i-v(t_i))}\;|\; i\notin I \} \\
&=& q^{\sum_{i\in I} a_i} \sum_{(k_i)_{i\notin I}  \atop {0 \leq k_i \leq a_i} } \prod_{i\notin I}
 A(k_i) \; \inf \{ \l_i^{(-v(x_i))} \; | \; i\in I \} \cup \{
\l_i^{( k_i)}\; |\; i\notin I \} 
\end{eqnarray*}
o� l'on a pos�
$$
A (k) = \left \{ q^k - q^{k-1} \text{ si } k\geq 1 \atop 
                  1 \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\text{       si } k=0
\right.
$$

\subsubsection{Composition des op�rateurs $(\pi^{-a_1},\dots, \pi^{-a_n})$}

\begin{theo}\label{kakuyata}
Soient $H$ un $\O$-module $\pi$-divisible formel de dimension $1$ et
hauteur $n$ sur $\O_K$ tel que
le polygone de Newton associ� ait pour pentes $\l_1\geq \dots \geq
\l_n$. Soit $(e_1,\dots,e_n)$ une base adapt�e de $T_p (H)$.
 Soit $C$ l'adh�rence sch�matique
de $<\pi^{-a_1} \bar{e}_1,\dots,\pi^{-a_n} \bar{e}_n> \subset T_p (H)\otimes
F/\O_F$ et $\ph : H\ldrt H/C = H'$. Soit $\ph_* : T_p (H)
\hookrightarrow T_p (H')$ le morphisme induit. Soit $\s\in
\mathfrak{S}_n$ une permutation telle que 
$$
\l_{\s(1)}^{(a_{\s(1)})} \geq \l_{\s (2)}^{(a_{\s(2)})} \geq \dots \geq
  \l_{\s (n)}^{(a_{\s (n)})}
$$
Alors, si l'on pose 
$$\forall i\in \{1,\dots, n\}\;\; \e_i = \ph_* ( \pi^{-a_{\s(i)} } e_{\s (i)})
$$
$(\e_i)_i$ est une base adapt�e de $T_p (H')$. 
\end{theo}
\dem
Reprenons la formule donn�e dans la section pr�c�dente 
\begin{eqnarray*}
v(\ph (x)) &=& q^{\sum_{i\in I} a_i} \sum_{(k_i)_{i\notin I}  \atop {0 \leq k_i \leq a_i} } (\prod_{i\notin I}
 A(k_i)) \; \inf \{ \l_i^{(-v(x_i))} \; | \; i\in I \} \cup \{
\l_i^{( k_i)}\; |\; i\notin I \} 
 \\
&=& \sum_{(k_i)_{1\leq i \leq n}  \atop {0 \leq k_i \leq a_i} }
(\prod_{1\leq i \leq n}
 A(k_i)) \; \inf \{ \l_i^{(-v(x_i))} \; | \; i\in I \} \cup \{
\l_i^{( k_i)}\; |\; 1\leq i \leq n \} 
\\
&=& \underset{i\in I}{\inf}\;  \sum_{(k_j)_{1\leq j \leq n}  \atop {0
    \leq k_j \leq a_j} } ( \prod_{1\leq j \leq n}
A(k_j )) \; \inf \{ \l_i^{(-v(x_i))}  \} \cup \{
\l_j^{( k_j)}\; |\; 1 \leq j \leq n \} \\
&=& \underset{i\in I}{\inf}\; v (\ph ( x_i e_i))
\end{eqnarray*}
et de plus $\forall i\;  v (\ph ( x_i e_i))$ ne d�pend que de
$v(x_i)$. On a
$$
\l_{\s(1)}^{(a_{\s(1)}+1)} \geq \l_{\s (2)}^{(a_{\s(2)}+1)} \geq \dots \geq \l_{\s (n)}^{(a_{\s(n)}+1)}
$$
et donc gr�ce � la formule ci-dessus 
$$
v(\ph ( \pi^{-a_{\s(1)}-1} e_1)) \geq \dots \geq v( \ph (\pi^{-a_{\s
    (n)}-1} e_{\s (n)}))
$$
ce qui implique que cette suite de valuations est 
la suite des pentes du polygone de Newton associ� �  $H'$. Reste � voir que 
$$
\forall i\;\forall k\geq 1 \;\forall y\in H'[\pi] \;\; 
v(\ph (\pi^{-a_i-k-1} e_i)) \geq v(\ph (\pi^{-a_i-k-1} e_i)+y)
$$
Mais cela r�sulte de la formule $v(\ph (x))=  \underset{i\in I}{\inf}\;
v (\ph ( x_i e_i))$.
\qed

\begin{coro}\label{compoheklp}
Soient $(a_1,\dots, a_n), (b_1,\dots, b_n)\in \N^n$. 
\begin{itemize}
\item
Pour tout
$\mathcal{P}\in Newt$ il existe une permutation $\s \in
\mathfrak{S}_n$ telle que 
$$
(\pi^{-a_1},\dots,\pi^{-a_n}). \left (
  (\pi^{-b_1},\dots,\pi^{-b_n}).\mathcal{P} \right ) = (\pi^{-(a_{\s
    (1)}+b_1)},\dots , \pi^{-(a_{\s (n)}+ b_n)}).\mathcal{P}
$$
\item Si $b_1 \leq b_2 \leq \dots \leq b_n$ on peut prendre $\s =Id$
\item En particulier il y a une action du mono�de 
$$
\{ (\pi^{-a_1},\dots,\pi^{-a_n})\; |\; 0 \leq a_1 \leq \dots \leq a_n \;\}
$$
sur $Newt$.
\end{itemize}
\end{coro}

\begin{rema}
Bien s�r $\forall b\in \N$ l'action de $(\pi^{-a_1},\dots,\pi^{-a_n})$
est la m�me que celle de $(\pi^{-(a_1+b)},\dots , \pi^{-(a_n+b)})$ ce
qui permet de d�finir une action du mono�de d�fini comme pr�c�demment
en rel�chant la condition $a_1 \geq 0$. 
\end{rema}

\subsection{D�finition des simplexes maximaux en termes des pentes de Newton}

\begin{defi}
Soit $(e_1,\dots,e_n)$ la base canonique de $F^n$.
On note $\mathcal{A}$ l'appartement de l'immeuble de $\text{PGL}_n$
associ� (cf. appendice \ref{kujitopo}) et $Q$ le quartier dont les sommets sont les
classes de r�seaux 
$$
\{[<\pi^{a_1}e_1,\dots, \pi^{a_n} e_n>]\;|\; a_1\leq \dots \leq a_n \}
$$
On note $\text{pr}_Q : \mathcal{A} \ldrt Q$ la projection de
l'appartement sur son quartier (cf. la section \ref{Qdch} de
l'appendice \ref{kujitopo}). 
\end{defi}

Notons pour tout $i<j$ $\; \a_{ij} (<\pi^{a_1} e_1 , \dots ,
\pi^{a_n} e_n>) = a_j -a_i$. D'apr�s la section \ref{rutoipm} de
l'appendice les simplexes maximaux dans $\mathcal{A}$ sont en
bijection avec les collections 
$$
(b_{ij})_{1\leq i < j \leq n}
$$
telles que 
$$
b_{ij} \in \Z \text{ et } \forall i<j<k \;\; b_{ik}\in \{ b_{ij}+b_{jk},
b_{ij} + b_{jk} +1 \}
$$
\`A $(b_{ij})_{i<j}$ est associ� le simplexe dont les sommets sont
$$
\{ x\in Q\;|\; \forall i<j \; \a_{ij} (x)\in \{ b_{ij}, b_{ij}+1 \}\;\}
$$
Les simplexes maximaux dans $Q$ sont eux param�tr�s par les
$(b_{ij})_{i<j}$ comme ci-dessus avec la condition suppl�mentaire
$\forall i<j\; b_{ij}\in \N$. 

\begin{defi}
Soit $S$ un simplexe maximal 
dans le quartier $Q$ associ� � $(b_{ij})_{1\leq i <j \leq n}$.
Notons $Newt (S)$ le sous-ensemble de $Newt$ form� des polygones de
Newton dont les pentes satisfont 
$$
\forall i<j \;\;\; \l_i^{(b_{ij}+1)} \geq \l_j \geq \l_j^{(b_{ij}+2)}
$$
\end{defi}

\begin{lemm}
Les ensembles $Newt (S)$ sont convexes. De plus pour tout $i$ et $k$
l'application 
� valeurs dans $\R$ qui  � un polygone associ� aux pentes $\l_1\geq
\dots \geq \l_n$ associe $\l_i^{(k)}$ est affine sur les $Newt (S)$.
\end{lemm}
\dem
Nous laissons au lecteur le soin de se convaincre de ce lemme en dessinant quelques polygones de Newton.
\qed

\begin{lemm}
Les convexes pr�c�dents recouvrent $Newt$ :
$$
Newt= \bigcup_S Newt (S)
$$
o� $S$ parcourt les simplexes maximaux dans $Q$. 
\end{lemm}
\dem 
Soit un polygone de Newton associ� aux pentes $\l_1\geq \dots \geq
\l_n$. Soient $(b_{ij})_{1\leq i < j \leq n}$, $b_{ij}\in \N$, tels
que 
$$
\forall i<j\;\; \l_i^{(b_{ij}+1)} \geq \l_j > \l_i^{(b_{ij}+2)}
$$
Soient $i<j<k$. On a les in�galit�s 
$$
\l_j^{(b_{jk}+1)} \geq \l_k > \l_j^{(b_{jk}+2)}
$$
et 
$$
\l_i^{(b_{ij}+1)} \geq \l_j > \l_i^{(b_{ij}+2)}
$$
Mais $$
\forall \a,\b\;\forall a,b,c\geq 0\;\; \l_{\a}^{(a)} \geq \l_\b^{(b)}
\limpl \l_\a^{(a+c)} \geq \l_\b^{(b+c)}
$$
(et de m�me avec $>$ au lieu de $\geq$) 
et donc
$$
\l_i^{(b_{ij}+b_{jk}+1)} \geq \l_k >\l_j^{(b_{ij}+b_{jk} + 3)}
$$
Ce qui implique que $b_{ik}\in \{ b_{ij} + b_{jk},  b_{ij} + b_{jk}+1
\}$. 
\qed

\begin{exem}\label{exwxssde}
Soit $S_0$ le ``simplexe fondamental'' de sommets 
$$
[<e_1,\dots, e_{i-1},\pi e_i ,\dots ,\pi e_n>] \;\;\; 1 \leq i \leq n
$$
Il est associ� � $\forall i<j \; b_{ij} =0$. Mais en fait
$|S_0| = \{x\in Q\;|\; \a_{1 n } (x)\leq 1 \}$. Donc  
$$
Newt (S_0) = \{ \l_1^{(2)} \leq \l_n \} = \{ \frac{\l_1}{q^n} \leq
\l_n \}
$$

\end{exem}



\subsection{Lien avec l'espace de Lubin-Tate en niveau infini}

\begin{prop}
Soit $H$ un $\O$-module formel de dimension $1$ sur $\O_K$. Supposons
le muni d'une structure de niveau ``infinie'' 
$\eta : \O_F^n\iso T_p (H)$. Soit $S$ le simplexe de l'immeuble de $\text{PGL}
(V_p(H))$ construit dans la section \ref{kkjjuuii}, $S^\vee$ le
simplexe dual dans l'immeuble de $\text{PGL}
(V_p(H)^*)$ et $\eta^*S^\vee$ celui de l'immeuble de $\text{PGL}_n$
via l'isomorphisme $(F^n)^*\iso F^n$ donn� par la base duale de la
base canonique. Alors, si $\mathcal{P}$ est le polygone de Newton
associ� � $H$ et $S'$ un simplexe maximal dans le quartier $Q$
$$
\mathcal{P} \in Newt (S') \lssi \text{pr}_Q (\eta^* S^\vee)\subset S'
$$
o� $\text{pr}_Q$ d�signe la projection de l'immeuble sur le quartier $Q$.
\end{prop}
\dem
C'est une cons�quence des r�sultats de la section \ref{kkjjuuii}.
\qed

\subsection{Action simpliciale des op�rateurs
  $(\pi^{-a_1},\dots,\pi^{-a_n})$}

\begin{defi}\label{deffkkllcd}
On note $x\longmapsto (\pi^{a_1},\dots,\pi^{a_n}).x$ l'action par
translations sur $\mathcal{A}$ qui �  $[<\pi^{b_1} e_1,\dots, \pi^{b_n}
e_n>]$ associe $[<\pi^{a_1 +b_1} e_1,\dots , \pi^{a_n+b_n} e_n>]$. 
\end{defi}

\begin{theo}\label{koklmd}
Soit $S$ un simplexe maximal dans $Q$ et $(a_1,\dots,a_n)\in
\N^n$. Alors, l'op�rateur $(\pi^{-a_1},\dots,\pi^{-a_n})$ induit une
bijection affine entre $Newt (S)$ et $Newt \left ( \text{pr}_Q
  \left ( (\pi^{a_1},\dots,\pi^{a_n}).S \right ) \right )$.
\end{theo}
\dem
Soit $\mathcal{P}\in S$ un polygone de Newton de pentes $\l_1\geq
\dots \geq \l_n$. Supposons $S$ associ� aux $(b_{ij})_{i<j}$. Soit $H$
un $\O$-module formel de dimension $1$ ayant pour polygone de Newton
associ� $\mathcal{P}$. Soit $(e_1,\dots,e_n)$ une base adapt�e de
$T_p(H)$. Soit $\ph: H\ldrt H/C=H'$ l'isog�nie associ�e � $(a_1,\dots
,a_n)$ comme dans le
corollaire \ref{kujokipm}. Soit $\s\in\mathfrak{S}_n$ une permutation
telle que 
$$
\l_{\s (1)}^{(a_{\s (1)})} \geq \dots \geq \l_{\s(n)}^{(a_{\s (n)})}
$$
Posons pour tout $i<j$
$$
b_{ij}'= a_{\s (j)} - a_{\s (i)} + b_{\s(i) \s (j)}
$$
o� on a pos� $b_{\s(i) \s (j)}= - b_{\s (j) \s (i)}$ si $\s(i)>\s
(j)$. Alors $\forall i<j\;\; b'_{ij}\in \N$. En effet, 
\begin{eqnarray*}
\text{si } \s (i) <\s (j) \;\; && \l_{\s  (i)}^{(b_{\s (i) \s (j)}+1)}
\geq \l_{\s (j)} \geq \l_{\s (i)}^{(b_{\s (i) \s (j)}+2)} \\
&\impl & \l_{\s(i)}^{(a_{\s(j)}+b_{\s(i)\s(j)})} \geq \l_{\s
  (j)}^{(a_{\s(j)})} \geq \l_{\s (i)}^{(a_{\s(j)}+ b_{\s(i)\s(j)}+1)} \\
 &\impl & a_{\s(i)} \leq \a_{\s (j)}+ b_{\s(i)\s(j)}
\end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*}
\text{si } \s(i)>\s(j) \;\; && \l_{\s(j)}^{(b_{\s(j)\s(i)}+1)} \geq
\l_{\s (i)} \geq \l_{\s(j)}^{(b_{\s(j)\s(i)}+2)} \\
&& \l_{\s(j)}^{(a_{\s(i)}+b_{\s(j)\s(i)})} \geq
\l_{\s(i)}^{(a_{\s(i)})} \geq
\l_{\s(j)}^{(a_{\s(i)}+b_{\s(j)\s(i)}+1)} \\
&\impl & a_{\s(j)} \leq a_{\s(i)} +b_{\s(j) \s(i)} 
\end{eqnarray*}
Donc, $\s$  est l'unique �l�ment du groupe de Weyl tel
que si $S'= (\pi^{a_1},\dots, \pi^{a_n}).S$
 est le simplexe dans $\mathcal{A}$ associ� � la donn�e
 $(b_{ij}+a_j-a_i)_{i<j}$ alors 
$$
\s.S'= \text{pr}_Q (S')
$$
Comme dans la d�monstration du th�or�me \ref{kakuyata} on v�rifie que
si
$\l'_1\geq \dots\geq \l'_n$ sont les pentes associ�es � $H'$ alors 
$$
\forall k\geq 1\;\; {\l'_i}^{(k)} = \sum_{0\leq k_j \leq a_{\s(j)} \atop
  1\leq j\leq n} \prod_{1\leq j \leq n} A(k_j)
\,\inf\{\l_{\s(i)}^{(a_{\s(i)}+k ) } \} \cup \{ \l_{\s(j)}^{(k_{j})}
  \;|\; j\neq i\}
$$
Cette formule permet de d�montrer facilement que 
$$
\forall i<j\;\; {\l'_i}^{(b'_{ij}+1)} \geq \l'_j \geq   {\l'_i}^{(b'_{ij}+2)}
$$
De m�me elle permet de d�montrer que sur $S$ l'application qui � un
polygone de pentes $\l_1\geq \dots \geq \l_n$ associe celui de pentes
$\l'_1\geq \dots \geq \l'_n$ est affine. En effet, sur $S$ les
applications qui � $(\l_1\geq \dots\geq \l_n)$ associent les quantit�s
  $\inf
\{\l_{\s(i)}^{(a_{\s(i)}+1)} \} \cup \{ \l_{\s(j)}^{(k_j)}\;|\; j\neq
i \}$ sont affines puisque l'ordre des $(\l_i^{(k)})_{1\leq i\leq n,
  k\geq 1}$ y reste inchang�.

Reste � voir que l'op�rateur $(\pi^{-a_1},\dots,\pi^{-a_n})$ est un
isomorphisme. Mais pour $N\geq \underset{i}{\sup}\{ a_i\}$ 
sur $S$ la compos�e des op�rateurs
$(\pi^{-a_1},\dots, \pi^{-a_n})$ et
$(\pi^{-(N-a_{\s(1)})},\dots,\pi^{-(N-a_{\s(n)})})$ correspond au
niveau des groupes de Lubin-Tate � $H\mapsto H/H[\pi^N]$ est est donc
l'identit�. De m�me la compos�e sur $S'$ des op�rateurs $(\pi^{-(N-a_{\s(1)})},\dots,\pi^{-(N-a_{\s(n)})})$
puis $(\pi^{-a_1},\dots, \pi^{-a_n})$ est l'identit�.
\qed

\begin{rema}
Le lecteur effray� par le fait que l'op�rateur $(\pi^{-a_1},\dots
,\pi^{-a_n})$ sur $\text{Newt}$ agisse comme
$(\pi^{a_1},\dots,\pi^{a_n})$ sur l'appartement devrait penser au fait
que dans l'isomorphisme entre les tours de Lubin-Tate et de Drinfeld
l'action de $g\in \GL_n (F)$ d'un cot� est transform�e en celle de
$\,^t g$ de l'autre.
\end{rema}

\subsection{D�finition des sommets}

\begin{defi}
Soit $x=[<\pi^{a_1},\dots,\pi^{a_n}>]$ un sommet dans
$\mathcal{A}$. On note
$\mathcal{P}(x)=(\pi^{-a_1},\dots,\pi^{-a_n}).\mathcal{P}_0$ o�
$\mathcal{P}_0$ est le polygone de Newton ayant une seule pente 
$\l_1=\dots=\l_n=\frac{1}{q^n-1}$.
\end{defi}

\begin{prop}
Si $x=[<\pi^{a_1},\dots,\pi^{a_n}>]$ alors  $\mathcal{P}(x)$ est
l'unique polygone de pentes $\l_1\geq \dots\geq \l_n$ v�rifiant
$$
\forall i<j\;\; \l_i^{(a_j-a_i+1)} =\l_j
$$
De plus 
$$
\forall i\;\; \l_i= \frac{q^{a_i}}{q^n-1} \sum_{0\leq k_j \leq a_j
  \atop j\neq i} \prod_{j\neq i} A(k_j) q^{-n (\sup( \{a_i+1 \}\cup
  \{k_j \;|\; j\neq i\})-1)}
$$
o� $A(k)=q^k-q^{k-1}$ si $k>0$ et $A(0)=1$.
\end{prop}
\dem 
Le fait que les pentes de $\mathcal{P}(x)$ v�rifient les �galit�s
annonc�es r�sulte des formules donn�es dans la section
\ref{abbhui} ainsi que dans la d�monstration du th�or�me
\ref{kakuyata}. 

La d�monstration concernant l'unicit� est laiss�e au lecteur. Il
s'agit de v�rifier qu'un certain syst�me lin�aire en les pentes
$(\l_i)_{1\leq i\leq n}$
poss�de une unique solution ce qui ne pose pas de probl�me particulier.
\qed

\begin{exem}\label{ootuiml}
Reprenons l'exemple \ref{exwxssde}. Le sommet $<e_1,\dots,e_n>$ correspond 
au polygone plat 
$$
\l_1= \dots= \l_n = \frac{1}{q^n-1}
$$
et pour $1\leq i\leq n-1$ le sommet $<e_1,\dots,e_i,\pi e_{i+1}, \dots,\pi e_n>$ correspond 
au polygone
$$
\l_1=\dots = \l_i = \frac{q^{n-i}}{q^n-1},\;\;\;\; \l_{i+1}=\dots = \l_n = \frac{1}{q^i (q^n-1)}
$$
\end{exem}

\subsection{D�finition des chambres comme enveloppe convexe de
  sommets}

\begin{prop}\label{kkortuu}
Soit $S$ un simplexe maximal dans $\mathcal{A}$ vu comme la collection
de ses sommets. Alors $Newt (S)$ est l'enveloppe convexe des
$\mathcal{P}(x), \, x\in S$.
\end{prop}
\dem
Soit $S_0$ le simplexe de sommets 
$$
\{[<e_1,\dots,e_i,\pi e_{i+1},\dots,\pi e_n>]\;|\; 1\leq i\leq n\}
$$
Il existe $(a_1,\dots,a_n)\in \N^n$ tel que
$S=\text{proj}_Q ((\pi^{-a_1},\dots, \pi^{-a_n}).S_0)$. D'apr�s le
th�or�me \ref{koklmd} il suffit de d�montrer le r�sultat pour $S_0$. 

On a $Newt (S_0) = \{ \frac{\l_1}{q^n} \leq \l_n \}$. Donc
\begin{eqnarray*}
Newt(S_0)& =&\{ \l_1\geq \dots \geq \l_n>0\;|\; \sum_{i=1}^n (q^i
-q^{i-1})\l_i =1 \text{ et } \frac{\l_1}{q^n} \leq \l_n \} \\
&\simeq & \{ (\mu_1,\dots,\mu_n)\in\R_+^n\;|\; \sum_{i=1}^n \mu_i=1\}
\end{eqnarray*}
o� l'on a pos� $\mu_i =q^i(\l_i-\l_{i+1})$ pour $1\leq i\leq n-1$ et
$\mu_n=q^n\l_n-\l_1$ qui d�finit un changement de coordonn�es
affines. Dans ces nouvelles coordonn�es le simplexe est le simplexe standard de $\R_+^n$.  
 On v�rifie alors 
que les sommets du simplexe standard dans ces
coordonn�es correspondent aux pentes des $\mathcal{P}(x),x\in S_0$ telles que calcul�es dans l'exemple \ref{ootuiml}.
\qed
\\

\subsection{D�finition des murs et demi-appartements}\label{muape}

\begin{defi}
Soit $b\in \N$ et $M$ le mur du quartier $Q$ �gal  � 
$$
\{x\in Q\;|\; \a_{ij} (x) = b \}
$$
On d�finit alors un ``mur'' dans $Newt$ �gal � 
$$
\{\mathcal{P}\in Newt \;|\; \l_i^{(b+1)} = \l_j \}
$$
Soit les demi-appartements dans $Q$ �gaux �
$$
 \{ x\in Q\;|\; \a_{ij} (x) \geq b \}
$$
resp.
$$
 \{ x\in Q\;|\; \a_{ij} (x) \leq b \}
$$
On d�finit des ``demi-appartements'' associ�s dans $Newt$
$$
 \{ \mathcal{P}\in Newt \;|\; \l_i^{(b+1)} \geq  \l_j \}
$$
resp.
$$
 \{ \mathcal{P}\in Newt \;|\; \l_i^{(b+1)} \leq  \l_j \}
$$
\end{defi}

Ainsi avec les notations de la d�finition pr�c�dente si $S$ est un
simplexe maximal $Newt (S) $ est �gal � l'intersection des demi-appartements le contenant.
De m�me si $x$ est un sommet de $Q$ alors $\{\mathcal{P}(x) \}$ est �gal �
l'intersection des murs de $Newt$ contenant
$x$. 
\\

Dans la figure ci-dessous on a dessin� l'image r�ciproque de la
d�composition simpliciale de l'espace de Newton au squelette de
l'espace de Lubin-Tate dans le cas de $\GL_3$. Ce squelette est
l'ensemble des $(v(x_1),v(x_2))\in ]0,+\infty]^2$. La partie en haut �
droite correspond � la zone o� le polygone de Newton est plat. Les
bandes horizontales et verticales correspondent � des zones o� le
polygone de Newton ne d�termine par de fa�on unique $v(x_1)$ et
$v(x_2)$. On  voit dans ce dessin le quartier dont l'origine, le
carr� en
haut � droite,  correspond au polygone de Newton plat.

\begin{figure}
   \begin{center}
\begin{picture}(420,320)
\put(0,0){\vector(1,0){430}}
\put(412,-10){$v(x_1)$}
\put(0,0){\vector(0,1){330}}
\put(-25,295){$v(x_2)$}
\path(0,0)(325,190)
\path(325,190)(325,320)
\path(325,190)(420,190)
\path(325,190)(246,0)
\path(285,94)(420,94)
\path(265,46)(420,46)
\path(256,23)(420,23)
\path(251,11)(420,11)
\path(248,5)(420,5)
\path(247,2)(420,2)
\path(247,1)(420,1)
\path(246,0)(420,0)
\path(246,0)(420,0)
\path(246,0)(420,0)
\path(246,0)(420,0)
\path(229,134)(229,320)
\path(161,94)(161,320)
\path(113,66)(113,320)
\path(80,46)(80,320)
\path(56,33)(56,320)
\path(39,23)(39,320)
\path(27,16)(27,320)
\path(19,11)(19,320)
\path(13,8)(13,320)
\path(9,5)(9,320)
\path(6,4)(6,320)
\path(4,2)(4,320)
\path(3,2)(3,320)
\path(2,1)(2,320)
\path(285,94)(229,134)
\path(265,46)(201,66)
\path(201,66)(161,94)
\path(256,23)(187,33)
\path(187,33)(141,46)
\path(141,46)(113,66)
\path(251,11)(180,16)
\path(180,16)(131,23)
\path(131,23)(99,33)
\path(99,33)(80,46)
\path(248,5)(176,8)
\path(176,8)(126,11)
\path(126,11)(92,16)
\path(92,16)(70,23)
\path(70,23)(56,33)
\path(247,2)(175,4)
\path(175,4)(124,5)
\path(124,5)(89,8)
\path(89,8)(65,11)
\path(65,11)(49,16)
\path(49,16)(39,23)
\path(247,1)(174,2)
\path(174,2)(123,2)
\path(123,2)(87,4)
\path(87,4)(62,5)
\path(62,5)(46,8)
\path(46,8)(34,11)
\path(34,11)(27,16)
\path(246,0)(173,0)
\path(173,0)(122,1)
\path(122,1)(86,2)
\path(86,2)(61,2)
\path(61,2)(44,4)
\path(44,4)(32,5)
\path(32,5)(24,8)
\path(24,8)(19,11)
\path(246,0)(173,0)
\path(173,0)(122,0)
\path(122,0)(86,0)
\path(86,0)(61,1)
\path(61,1)(43,2)
\path(43,2)(31,2)
\path(31,2)(22,4)
\path(22,4)(17,5)
\path(17,5)(13,8)
\path(246,0)(173,0)
\path(173,0)(122,0)
\path(122,0)(86,0)
\path(86,0)(60,0)
\path(60,0)(43,0)
\path(43,0)(30,1)
\path(30,1)(21,2)
\path(21,2)(16,2)
\path(16,2)(12,4)
\path(12,4)(9,5)
\path(246,0)(173,0)
\path(173,0)(122,0)
\path(122,0)(86,0)
\path(86,0)(60,0)
\path(60,0)(42,0)
\path(42,0)(30,0)
\path(30,0)(21,0)
\path(21,0)(15,1)
\path(15,1)(11,2)
\path(11,2)(8,2)
\path(8,2)(6,4)
\path(229,134)(201,66)
\path(201,66)(187,33)
\path(161,94)(141,46)
\path(187,33)(180,16)
\path(141,46)(131,23)
\path(113,66)(99,33)
\path(180,16)(176,8)
\path(131,23)(126,11)
\path(99,33)(92,16)
\path(80,46)(70,23)
\path(176,8)(175,4)
\path(126,11)(124,5)
\path(92,16)(89,8)
\path(70,23)(65,11)
\path(56,33)(49,16)
\path(175,4)(174,2)
\path(124,5)(123,2)
\path(89,8)(87,4)
\path(65,11)(62,5)
\path(49,16)(46,8)
\path(39,23)(34,11)
\path(174,2)(173,0)
\path(123,2)(122,1)
\path(87,4)(86,2)
\path(62,5)(61,2)
\path(46,8)(44,4)
\path(34,11)(32,5)
\path(27,16)(24,8)
\path(173,0)(173,0)
\path(122,1)(122,0)
\path(86,2)(86,0)
\path(61,2)(61,1)
\path(44,4)(43,2)
\path(32,5)(31,2)
\path(24,8)(22,4)
\path(19,11)(17,5)
\path(173,0)(173,0)
\path(122,0)(122,0)
\path(86,0)(86,0)
\path(61,1)(60,0)
\path(43,2)(43,0)
\path(31,2)(30,1)
\path(22,4)(21,2)
\path(17,5)(16,2)
\path(13,8)(12,4)
\path(173,0)(173,0)
\path(122,0)(122,0)
\path(86,0)(86,0)
\path(60,0)(60,0)
\path(43,0)(42,0)
\path(30,1)(30,0)
\path(21,2)(21,0)
\path(16,2)(15,1)
\path(12,4)(11,2)
\path(9,5)(8,2)
\path(285,94)(201,66)
\path(265,46)(187,33)
\path(201,66)(141,46)
\path(256,23)(180,16)
\path(187,33)(131,23)
\path(141,46)(99,33)
\path(251,11)(176,8)
\path(180,16)(126,11)
\path(131,23)(92,16)
\path(99,33)(70,23)
\path(248,5)(175,4)
\path(176,8)(124,5)
\path(126,11)(89,8)
\path(92,16)(65,11)
\path(70,23)(49,16)
\path(247,2)(174,2)
\path(175,4)(123,2)
\path(124,5)(87,4)
\path(89,8)(62,5)
\path(65,11)(46,8)
\path(49,16)(34,11)
\path(247,1)(173,0)
\path(174,2)(122,1)
\path(123,2)(86,2)
\path(87,4)(61,2)
\path(62,5)(44,4)
\path(46,8)(32,5)
\path(34,11)(24,8)
\path(246,0)(173,0)
\path(173,0)(122,0)
\path(122,1)(86,0)
\path(86,2)(61,1)
\path(61,2)(43,2)
\path(44,4)(31,2)
\path(32,5)(22,4)
\path(24,8)(17,5)
\path(246,0)(173,0)
\path(173,0)(122,0)
\path(122,0)(86,0)
\path(86,0)(60,0)
\path(61,1)(43,0)
\path(43,2)(30,1)
\path(31,2)(21,2)
\path(22,4)(16,2)
\path(17,5)(12,4)
\path(246,0)(173,0)
\path(173,0)(122,0)
\path(122,0)(86,0)
\path(86,0)(60,0)
\path(60,0)(42,0)
\path(43,0)(30,0)
\path(30,1)(21,0)
\path(21,2)(15,1)
\path(16,2)(11,2)
\path(12,4)(8,2)
\end{picture}
\end{center}
\caption{\footnotesize La d�composition simpliciale de la boule
  $p$-adique ouverte de dimension $2$}
\end{figure}
\newpage

\section{L'isomorphisme entre les tours de Lubin-Tate et de Drinfeld
  au niveau des squelettes apr�s quotient par des sous-groupes
  compacts maximaux} \label{secotopp}

 Soient $|\M_\infty^{\LT,[0]}|$, resp. $|\M^{\D,[0]}_\infty|$, 
 l'espace de Berkovich associ� �
 l'espace de Lubin-Tate, resp. l'espace de Drinfeld, en niveau infini
 (cf. \cite{Points} pour les notations). Ces espaces topologiques sont
 munis d'une action de $\GL_n(F)^1\times \O_D^\times$.
 D'apr�s \cite{Points} il y a
 un hom�omorphisme
$$
|\M_\infty^{\LT,[0]}|\iso |\M_\infty^{\D,[0]}|
$$
qui transforme l'action de $(g,d)\in \GL_n(F)^1\times \O_D^\times$ en
$(\,^t g ,d)$.  D'o� en particulier 
$$
\xymatrix{
\GL_n(\O_F)\times \O_D^\times \bc \left |\M_\infty^{\LT,[0]} \right | \ar[r]^\sim
\ar@{=}[d] &
\GL_n(\O_F)\times \O_D^\times \bc \left  |\M_\infty^{\D,[0]} \right |  \ar@{=}[d] \\
\O_D^\times \bc | \M^{\LT,[0]} | \ar[r]^\sim & \GL_n (\O_F) \bc |
\Omega |
}
$$
o� $|\M^{\LT,[0]}| $ est l'espace topologique not� $|\X^{an}|$ au
d�but dans la section \ref{ujikoln} et $\Omega$ l'espace sym�trique
 de Drinfeld. Nous voulons d�crire cette application au niveau des
 squelettes via la r�traction de ces espaces sur leur squelette : 
$$
\xymatrix{
  | \X^{an} | \ar[r] \ar[d]^r & \GL_n (\O_F) \bc
 |\Omega | \ar[d]^r \\
 S (\X^{an}) \ar@{..>}[r]^(.4){?} & \GL_n (\O_F) \bc
S(\Omega)
}
$$
o� $S(\X^{an})$ a �t� d�crit dans la section \ref{ujikoln},
$S(\Omega) = |\mathcal{I}(F^n)|$ est la r�alisation g�om�trique de l'immeuble de $\text{PGL}_n
(F)$ et la r�traction $r: | \Omega| \ldrt S(\Omega) =|\mathcal{I}
(F^n)|$ est l'application qui � $[F^n\hookrightarrow K] \in \Omega (K)$
associe la norme sur $F^n$ d�duite de la valuation sur $K$. 

Rappelons (cf. section \ref{ujikoln}) qu'il y a une application
$\O_D^\times$-invariante 
$S(\X^{an})\ldrt Newt$.

\begin{theo}
Il y a une application
$$
 S (\X^{an}) \xrig{\; \ph \;} \GL_n (\O_F) \bc
S(\Omega) 
$$
faisant commuter le diagramme pr�c�dent. Soit $Q$ le quartier 
de l'immeuble de $\text{PGL}_n (F)$ dont les
sommets sont les classes de r�seaux $[<\pi^{a_1}e_1,\dots,\pi^{a_n}>]$
o� $a_1\leq \dots \leq a_n$ et $(e_i)_i$ est la base canonique de
$F^n$. Alors l'application pr�c�dente se factorise en 
$$
\xymatrix{
 S(\X^{an}) \ar[rrr]^\ph \ar@{->>}[rd] &&& \GL_n (\O_F)
\bc S (\Omega) \\
& Newt \ar[r]^{\;\psi}_{\;\sim} & Q \ar[ru]^\simeq  
}
$$
o� $\psi$ est une bijection simpliciale affine par morceaux lorsque
$Newt$ est muni de la structure simpliciale d�finie pr�c�demment. Plus
pr�cis�ment, pour tout sommet $x\in Q$ $\; \psi (\mathcal{P}(x))=x$,
pour toute chambre $S$ dans $Q$ $\; \psi (Newt(S))=S$ et 
$$
\psi_{|Newt(S)} :Newt(S) \iso S
$$
est affine.

Dans cette bijection les murs et demi-appartements
de $Newt$ tels que d�finis dans la section \ref{muape} correspondent � ceux du
quartier $Q$. 

De plus dans cette bijection l'action de l'op�rateur
$(\pi^{-a_1},\dots,\pi^{-a_n}): \text{Newt}\ldrt \text{Newt}$
correspond � l'op�rateur compos� 
$$
Q\hookrightarrow |\mathcal{A}|\xrig{(\pi^{a_1},\dots,\pi^{a_n})}
|\mathcal{A}| \xrig{\; pr_Q\;} Q
$$
o� $|\mathcal{A}|\xrig{(\pi^{a_1},\dots,\pi^{a_n})}
|\mathcal{A}|$ est une translation dans la partie vectorielle du groupe de Weyl affine sur
l'appartement et $pr_Q$ est la projection de l'appartement sur le
quartier, obtenue par application d'�l�ments du groupe de Weyl
vectoriel $\mathfrak{S}_n$, $Q=\mathfrak{S}_n\bc |\mathcal{A}|$. 
\end{theo}
\dem
L'application $|\X^{an}| \ldrt \GL_n (\O_F) \bc
|\Omega|$ se d�crit de la fa�on suivante : soit $K|\breve{F}$ et $H$
un $\O$-module formel de dimension $1$ sur $\O_K$. Soit l'application
de Hodge-Tate de $H^\vee$ tordue, $\a_{H^\vee}^\O (-1): T_p (H)^* \ldrt \omega_H\otimes
K(-1)$. Fixons un isomorphisme $\O_F^n\iso T_p (H)^*$. Alors le point
de $\GL_n (\O_F)\bc \Omega (K)$ associ� est la $\GL_n (\O_F)$-orbite
de $[\O_F^n \iso T_p (H)^*
\hookrightarrow \omega_H\otimes K(-1)]\in \Omega (K)$. Le point dans
$\GL_n (\O_F)\bc |\mathcal{I} (F^n)|$ associ� est obtenu en prenant la
norme associ�e sur $F^n$. 

Les r�sultats des sections \ref{Filtraminf} et \ref{pohtmlsu} montrent 
que cette application se factorise par $|\X^{an}|\ldrt Newt$ (le
polygone de Newton d�termine la filtration de ramification inf�rieure
dans un quartier de l'immeuble et celle-ci d�termine le point de
Hodge-Tate associ� dans $|\mathcal{I} (V_p (H)^* )|$). Soit $\psi :
Newt \ldrt Q$ cette application factoris�e. 

Rappelons qu'on a d�finit une action par translations sur
l'appartement associ� � la base canonique de $F^n$ (cf. d�finition
\ref{deffkkllcd}). 
Montrons que $\forall (a_1,\dots,a_n)\in \N\;\forall \mathcal{P}\in
Newt \;\; \psi ((\pi^{-a_1},\dots,\pi^{-a_n}).\mathcal{P}) =
\text{pr}_Q (
(\pi^{a_1},\dots,\pi^{a_n}).\psi (\mathcal{P}))$ o� $\text{pr}_Q$ est
la projection de l'appartement sur le quartier.  

Le morphisme $|\M_\infty^{\LT}|\ldrt |\M_\infty^\D|$ transforme
l'action de $g\in \GL_n (F)$ en $\,^t g^{-1}$. Il existe donc
$\tau\in\mathfrak{S}_n$ telle que $\psi
((\pi^{-a_1},\dots,\pi^{-a_n}).\mathcal{P}) = \text{pr}_Q ((
\pi^{a_{\tau (1)}},\dots, \pi^{a_{\tau (n)}}).\psi (\mathcal{P}))$. 

Mais si $H$ sur $\O_K$ a pour polygone $\mathcal{P}$ et
$(\e_1,\dots,\e_n)$ est une base adapt�e de $T_p (H)$ de base duale
$(\e_1^*,\dots, \e_n^*)$ alors d'apr�s la proposition \ref{shibouzouk} 
le point de Hodge-Tate associ� est dans un simplexe $S$ dans 
le quartier $\{[<\pi^{b_1} \e_1^*,\dots, \pi^{b_n} \e_n^*>] \;|\;
b_1\leq \dots \leq b_n \}$. Si $f:H\twoheadrightarrow H'$ est l'isog�nie associ�e �
$(a_1,\dots, a_n)$ et $(\e_1,\dots,\e_n)$ comme dans le corollaire
\ref{kujokipm} alors il existe $\s\in \mathfrak{S}_n$ tel que si 
$f_* : T_p (H) \hookrightarrow T_p (H')$ $\;(f_* \pi^{-a_{\s(1)}-1}
e_1,\dots, f_* \pi^{-a_{\s(n)}-1})$ soit une base adapt�e de $T_p
(H')$.
De plus, d'apr�s le th�or�me \ref{koklmd}, $\s$ est un �l�ment du
groupe de Weyl v�rifiant $\s.(
(\pi^{a_1},\dots,\pi^{a_n}). \text{proj}_Q (S) ) =
\text{pr}_Q ((\pi^{a_1},\dots,\pi^{a_n}). \text{proj}_Q (S))$ o�
$\text{proj}_Q: |\mathcal{I} (F^n)|\twoheadrightarrow Q$ et
$\text{pr}_Q$ est la restriction de $\text{proj}_Q$ � l'appartement.
D'o� le r�sultat. 
\\

D'apr�s le th�or�me \ref{koklmd} il suffit donc maintenant de montrer
que si $S_0$ est la chambre de sommets 
$$
\{[<e_1,\dots,e_i,\pi e_{i+1},\dots,\pi e_n>]\;|\; 1\leq i\leq n\}
$$
alors $\psi$ induit un isomorphisme affine entre $Newt (S_0)$ et
$S_0$. Il suffit pour cela de montrer que $\psi$ restreinte � $S_0$ est une application
affine. En effet, supposons le v�rifi�. Alors 
d'apr�s l'exemple \ref{jjdfii} si $0$ d�signe
le sommet de $Q$ alors $\psi (\mathcal{P} (0))=0$. Donc, d'apr�s la
compatibilit� de $\psi$ aux op�rateurs $(\pi^{-a_1},\dots,\pi^{-a_n})$
pour tout sommet $x$ de $S_0$, $\psi (\mathcal{P} (x))=x$ ce qui
implique 
d'apr�s la proposition \ref{kkortuu} que $\psi_{|Newt (S_0)}$ est un
isomorphisme entre $Newt (S_0)$ et $S_0$. 

Montrons donc que $\psi_{|Newt (S_0)}$ est affine. Pour un $H$ sur $\O_K$ 
notons $(\e_{1,H},\dots,\e_{n,H})$  une base adapt�e de $T_p
(H)$ et $\|.\|_H$ d�signe la norme additive associ�e sur $T_p (H)^*$.
Il suffit alors de montrer que l'application qui � un polygone de Newton $\mathcal{P}$ associe 
$\|\e_{i,H}^*\|_H$  est affine en restriction � $Newt (S_0)$. Mais on
v�rifie directement avec le th�or�me \ref{tklopui} que cette
application est 
$$
\mathcal{P} \longmapsto \frac{q}{q-1} \left (1- (\mathcal{P} (q^i) -
  \mathcal{P} (q^{i-1})) \right )
$$
\qed

\section{Quelques applications}

\subsection{Sous-groupes canoniques g�n�ralis�s}

Soit $K|F$ un corps valu� complet pour une valuation $v:K\ldrt \R\cup
\{+\infty \}$ prolongeant celle de $F$. Soit $H$ un $\O$-module formel
de dimension $1$ et hauteur $n$ sur $\O_K$.

\begin{defi}
Un sous-groupe canonique de rang $r$ et niveau $k$ est un
sous $\O_F/\pi^k \O_F$ module  
$$
M\subset H[\pi^k] [\O_{\overline{K}}]
$$
libre de rang $r$
v�rifiant
$$
\forall x\in M\;\forall y\in H[\pi^k] [\O_{\overline{K}}]\setminus
M\;\; v(x)>v(y) 
$$
\end{defi}

S'il existe, un tel sous-groupe est unique; il s'agit en effet d'un
cran de la filtration de ramification inf�rieure sur  $H[\pi^k]
[\O_{\overline{K}}]$ �gal � l'ensemble des $q^{kr}$-�l�ments de plus
grande valuation dans $ H[\pi^k] [\O_{\overline{K}}]$. Son unicit�
implique qu'il est stable sous $\Gal (\overline{K}|K)$ et d�finit donc
un sous-groupe �tale de $H[\pi^k]\otimes_{\O_K} K$. 
\\

\begin{lemm}
Soit $\mathcal{P}\in Newt$ le polygone de Newton associ� � $H$. Le
groupe $H$ poss�de un sous-groupe canonique de rang $r$ et niveau $k$
ssi $\mathcal{P}$ appartient au demi-appartement de Newt associ� au
demi-appartement ouvert du quartier $Q$ d�fini par 
$$
\{x\in Q\;|\; \a_{r,r+1} (x)>k-1 \}
$$
\end{lemm}
\dem
D'apr�s les r�sultats de la section \ref{Filtraminf} l'existence d'un tel sous-groupe canonique est �quivalente � l'in�galit� $\l_r^{(k)}>\l_{r+1}$.
\qed
\\

\begin{rema}
En particulier l'existence d'un sous-groupe canonique de rang et niveau donn� peut se lire
sur l'application de Hodge-Tate de $H^\vee$.
\end{rema}

\begin{figure}[htbp]
   \begin{center}
      \includegraphics{canonique_quartier.eps}
   \end{center}
   \caption{\footnotesize Demi-appartement  $A=\exists$ sous-groupe canonique
     de rang $2$ et niveau $3$, $B=\exists$  sous-groupe canonique
     de rang $1$ et niveau $4$, $C=A\cap B$
     }
   \label{canonique_quartier}
\end{figure}

\begin{rema}
L'image r�ciproque dans l'espace de Lubin-Tate $\X^{rig}$ d'un demi-appartement ouvert d�finit un ouvert admissible de la boule ouverte.
\end{rema}

\begin{coro}
Pour tout $k\in \N^*\;\; \exists \e,0<\e<1,$  et des ouverts admissibles 
$(U_i^{(k)})_{1\leq i\leq n-1}$ dans l'espace de Lubin-Tate $\X^{rig}$ tels que 
$$
\left ( \bigcup_{i=1}^{n-1} U_i^{(k)} \right )^c\subset \mathbb{B} (0,\e)
$$
et $\forall x\in U_i^{(k)}$ le groupe $p$-divisible universel sp�cialis� en $x$  poss�de un sous-groupe canonique de rang $i$ et niveau $k$.
\end{coro}
\dem
Il suffit de v�rifier que dans le quartier $Q$ pour $k\in \N^*$
$$
Q\setminus \bigcup_{1\leq i\leq n-1} \{ x\in Q\;|\; \a_{i,i+1} (x)>k-1 \}
$$

est un compact dans $Q$ et l'application $|\X^{an} |\twoheadrightarrow Newt$ est propre.
\qed
\\

On remarquera �galement le lemme suivant.

\begin{lemm}
Les assertions suivantes sont �quivalentes : 
\begin{itemize}
\item $H$ poss�de un sous-groupe canonique de rang $r$ et niveau $k$
\item  $H$ poss�de un sous-groupe canonique de rang $r$ et niveau $1$ et si $H[\pi]^\mu \subset H[\pi]$ est le cran de la filtration de ramification  sup�rieure associ�, $H[\pi^k]^\mu (\O_{\overline{K}})$ est libre de rang $r$ sur $\O/\pi^k \O$
\end{itemize}
Ainsi si c'est le cas $\forall 1\leq k'\leq k \;\; H[\pi^{k'}]^\mu (\O_{\overline{K}})$ est un sous-groupe canonique de rang $r$ et niveau $k'$ et il y a une suite exacte
$$
0\ldrt H[\pi^{k'}]^\mu (\O_{\overline{K}}) \ldrt H[\pi^k]^\mu (\O_{\overline{K}}) \xrig{\;\times \pi^{k'}\;} H[\pi^{k-k'}]^\mu (\O_{\overline{K}})\ldrt 0
$$
\end{lemm}
\dem
Elle ne pose pas de probl�me.
\qed

\subsection{Orbites de Hecke}

\begin{lemm}
Soit $H_1\ldrt H_2$ une isog�nie de $\O$-modules formels de dimension
$1$. Soient $\mathcal{P}_1\in Newt$, resp. $\mathcal{P}_2\in Newt $, les
polygones de Newton associ�s � $H_1$, resp. $H_2$. Il existe alors 
$(a_1,\dots,a_n)\in \N^n$ tel que $\mathcal{P}_2 =
(\pi^{-a_1},\dots,\pi^{-a_n}).\mathcal{P}$. 
\end{lemm}
\dem
Toute isog�nie peut s'�crire comme une compos�e d'isog�nies cycliques
c'est � dire de noyau engendr� par un point de $\pi$-torsion non-nul.
Pour une isog�nie cyclique le r�sultat d�coule de la proposition
\ref{komopo}.
Le cas g�n�ral est donc une cons�quence du corollaire
\ref{compoheklp}.
\qed

\begin{defi}
Soit $\X$ l'espace de Lubin-Tate et $x\in |\X^{an}|$.  
Soit $H$ le groupe $p$-divisible universel sur $\X$,
  $K$ alg�briquement clos tel que
$x$ provienne d'un �l�ment $x'\in \X (\O_K)$ et  $H_{x'}$ la
sp�cialisation sur $\O_K$ de $H$. On appelle orbite de Hecke de
$x$ le sous-ensemble de $|\X^{an}|$ associ� aux $y'\in \X(\O_K)$ tels
qu'il existe une isog�nie $H_{x'}\ldrt H_{y'}$. 
\end{defi}

\begin{rema}
L'orbite de Hecke d'un point est un sous-ensemble $\O_D^\times$-invariant.
\end{rema}

\begin{prop}
Soit $x\in |\X^{an}|$. L'image dans $Newt$ de l'orbite de Hecke de $x$
ne d�pend que de l'image de $x$ dans $Newt$. Via l'isomorphisme
$Newt\iso Q$ (o� $Q$ est le quartier de l'immeuble d�fini dans les
section pr�c�dentes) cette image est l'orbite du point associ� � $x$
dans $Q$ sous le groupe de Weyl affine (c'est � dire les points de l'orbite dans
l'appartement qui sont dans $Q$).  
\end{prop}
\dem
Soit $\mathcal{A}$ l'appartement et $\text{pr}_Q: \mathcal{A}\ldrt Q$
la projection. Soit $y\in Q$ le point associ� � $x$. D'apr�s le lemme
pr�c�dent l'image de l'orbite de Hecke de $x$ dans $Q$ est �gale �
l'ensemble des 
$$
\text{pr}_Q (t.Q)
$$
o� $t$ parcourt les translations dans le groupe de Weyl affine. 
Donc cette orbite est $W_{\text{aff}}.y\cap Q$.
\qed



\subsection{Domaines fondamentaux pour l'action des correspondances de
  Hecke}\label{kjyystsf286Mp}

Dans cette section nous montrons comment construire des domaines fondamentaux g�n�ralisant le domaine fondamental de Gross-Hopkins utilis� dans \cite{Cellulaire}. 
\\

L'orbite dans l'appartement $\mathcal{A}$ d'un point $y\in Q$ sous le groupe de Weyl affine admet la
description suivante. 
Soit $\e: \mathcal{A} \ldrt \Z/n\Z$ un �tiquetage des sommets de
$\mathcal{A}$ donn�e par $[\La]\longmapsto [\La_0:\La]\text{ mod }n$
o� $\La_0$ est un r�seau fix�. Si $S$ est une chambre de $\mathcal{A}$
(un simplexe maximal) on note $W(S)\subset \Aut (S)$ le groupe des
 rotations de $S$ de centre le barycentre de $|S|$, 
isomorphe � $\Z/n\Z$, d�fini par
$$
W(S) = \{ f\in \Aut (S)\;|\; \exists a \in \Z/n\Z\; \forall s\in S\;
\e (f(s))=\e (s) +a \;\}
$$
Alors,
$$
W(S) = \text{Stab}_{W_{\text{aff}}} (S)
$$
Soit donc maintenant $x\in |\mathcal{A}|$ et $S_0$ une chambre telle
 que $x\in |S_0|$. Soit $S$ une autre chambre
dans $\mathcal{A}$. Fixons un isomorphisme 
$$
\a: S_0\iso S
$$
tel que 
$$
\exists b\in \Z/n\Z\;\; \forall s\in S_0 \;\; \e (\a (s)) = \e (s) +b 
$$
Alors, si $|\a|: |S_0|\iso |S|$, on a 
$$
W_{\text{aff}}.x\cap |S| = W(S) . |\a| (x) = |\a| \left (
W(S_0).x \right )
$$

De l� on d�duit la proposition suivante 

\begin{prop}
Soit $S$ une chambre du quartier $Q$ et $D\subset |S|$ un
sous-ensemble tel que $W(S).D =|S|$. Supposons que $D$ est un poly�dre
rationnel dans le simplexe $|S|$, c'est � dire d�fini par des
in�galit�s lin�aires � coefficients rationnels en coordonn�es barycentriques dans
$|S|$. Alors, l'image r�ciproque � $|\X^{an}|$ de $D$ d�finit un
domaine analytique ferm� $\mathcal{D}$ dans $\X^{an}$
associ� � un ouvert admissible de $\X^{rig}$ tel que pour tout $K$
 et $x\in \X^{an} (K)$ il existe $K'|K$ finie, $y\in \mathcal{D}
(K')$ et une isog�nie $H_x\ldrt H_y$. En d'autres termes les it�r�s de $\mathcal{D}$
par les op�rateurs de Hecke sph�riques  recouvrent $\X^{an}$.
\end{prop}
                 
Le probl�me est maintenant de comprendre comment se recollent les it�r�s d'un tel domaine $\mathcal{D}$ sous l'action des correspondances de Hecke. Cela peut se faire dans le simplexe fondamental du quartier comme dans la section 3 de \cite{Cellulaire}. 

Soit $S_0 = \text{convexe} ( 0,\omega_1,\dots,\omega_{n-1})$ le simplexe de $Q$ de sommets 
$$
0=<e_1,\dots,e_n>,\; \; \omega_i=<e_1,\dots,e_i,\pi e_{i+1},\dots, \pi e_n>\;\; 1\leq i \leq n-1
$$
Soit 
$$
\widetilde{S}_0 = S_0 \setminus \text{convexe} ( \omega_1,\dots, \omega_{n-1}) = S_0 \setminus \{ \a_{1n} =1 \}
$$
le simplexe priv� du mur $\a_{1n}=1$. 
L'image r�ciproque � $Newt$ de $\widetilde{S}_0$ est
$$
Newt (\widetilde{S}_0 ) =\{\;\frac{\l_1}{q^n}< \l_n \;\} 
$$
Voici une g�n�ralisation de la proposition 3.5 de \cite{Cellulaire}. 

\begin{prop}
Soient $x,y\in \X^{an} (K)$ tels que les polygones de Newton associ�s appartiennent � $Newt(\widetilde{S}_0)$ et $\ph : H_x \ldrt H_y$ une isog�nie ne se factorisant pas par $\pi$.
Alors $\ker \ph \subset H_x [\pi]$ et si $\dim_{\Fq} \ker \ph =r$ $\;\; \ker \ph$ est un sous-groupe canonique de rang $r$ et niveau $1$.
\end{prop}
\dem
Soit $M=\ker \ph$. Soient $\mu_1>\dots >\mu_r$ les pentes du polygone de Newton associ� � $H_x$. On a des inclusions
$$
\xymatrix{
M[\pi^k]/M[\pi^{k-1}] \ar@{^(->}[r]^(.7){\times \pi^{k-1}} & M[\pi]  \ar@{^(->}[r] & H[\pi]
}
$$
De plus 
$$
\forall a\in M[\pi^k]\setminus M[\pi^{k-1}]\;\forall b\in M[\pi^{k-1}]\;\; v(a)<v(b)
$$
Posons
$$
\forall i, \; 1 \leq i\leq r, \forall k\geq 1\;\; d_i^{(k)} = \dim_{\Fq} \left ( \pi^{k-1} M[\pi^k] \cap \Fil_{\mu_i} M[\pi] \right )
$$
o� l'on pose $\Fil_{\l} = \{ a\;|\; v(a)\geq \l \}$. 
On a donc $d_1^{(k)} \geq \dots \geq d_r^{(k)}$ et $\forall i\; d_i^{(k)}\geq d_i^{(k+1)}$.
\\
Les valuations des �l�ments non-nuls de $M$ sont
$$
\{ \frac{\mu_i}{q^{nk}}\;|\; k\geq 1,\; 1\leq i\leq r,\; d_i^{(k)} \neq 0 \} 
$$
et
$$
\forall i,k\;\; \text{long} ( \Fil_{\frac{\mu_i}{q^{nk}}} M ) = d_i^{(k)} |M[\pi^{k-1}]|
$$
Soit $(e_1,\dots, e_n)$ une base adapt�e de $T_p (H)$. Il est alors ais� de v�rifier qu'il existe $(a_1,\dots,a_n) \in \N^n$ tels que si $N=<\pi^{-a_1}\bar{e}_1 ,\dots,\pi^{-a_n} \bar{e}_n> \subset H_x[\pi^\infty]$ alors $M\simeq N$ comme groupes abstraits et 
$$
\forall \mu\; \; \text{long}\; \Fil_\mu N  = \text{long } \Fil_\mu M
$$
Il suffit pour cela de choisir les $(a_i)_i$ tels que
$$
\forall i,k \;\; |\{j\;|\; v(\pi^{-1} e_j)\geq \mu_i\text{ et } a_j \geq k\}|= d_i^{(k)}
$$
Soient donc $\mathcal{P}_x, \mathcal{P}_y \in Newt$ les polygones de Newton de $H_x$, resp. $H_y$. On  a donc d'apr�s la proposition \ref{komopo}
$$
\mathcal{P}_y = (\pi^{-a_1},\dots,\pi^{-a_n}).\mathcal{P}_x
$$
Mais il est ais� de v�rifier que 
$$
\forall (a_1,\dots,a_n)\in \N^n\;\; \inf \{ a_i \} =0 \;\; \text{pr}_Q ((\pi^{a_1},\dots, \pi^{a_n}).\widetilde{S}_0) \cap \widetilde{S}_0 \limpl \exists i\; (a_1,\dots,a_n) = (
\underbrace{1,\dots,1}_{i},0,\dots 0)
$$
De plus si $u\in \widetilde{S}_0$ v�rifie 
$$
\text{pr}_Q ( \underbrace{( \pi,\dots,\pi)}_{i},1,\dots 1).u) \in \widetilde{S}_0
$$
alors $\a_{i,i+1} (u)\neq 0$ et on conclut facilement.
 \qed

\begin{coro}[G�n�ralisation du domaine fondamental de Gross-Hopkins]
Soit $S_0$ le simplexe maximal du quartier $Q$ contenant
l'origine. Soit $D$ un poly�dre rationnel dans $|S_0|$ tel que
$D\subset |\widetilde{S}_0|$ c'est � dire $D$ ne rencontre pas le mur
$\{ \a_{1n} =1 \}$. Supposons que $$|S_0|= W(S_0).D$$
o� $W(S_0) = \text{Stab}_{W_{\text{aff}}} (S_0)$. 
 Notons $\forall \s \in W (S_0) \simeq \Z/n\Z\;\; \partial_\s D= D\cap \s .D$. Soit 
$\mathcal{D}$ l'image r�ciproque � $|\X^{an}|$ de $D$ et $\forall s \in W(S_0)\;\; \partial_\s \mathcal{D}$ celle de $\partial_\s D$. Ce sont des domaines analytiques ferm�s associ�s � des ouverts admissibles de $\X^{rig}$. De plus les it�r�s de $\mathcal{D}$ sous les correspondances de Hecke sph�riques forment un recouvrement admissible de $\X^{rig}$. Les it�r�s de $\mathcal{D}$ ayant une intersection non-vides avec $\mathcal{D}$ sont associ�s aux correspondances de Hecke $(\underbrace{\pi^{-1},\dots,\pi^{-1}}_{i},1,\dots,1)$ avec $1\leq i\leq n-1$. Ces intersections sont les $\partial_\s \mathcal{D}$ et les relations de faces sont obtenues par quotient par un sous-groupe canonique g�n�ralis� dans les points de $\pi$-torsion.
\end{coro}

\begin{coro}
Pour tout domaine fondamental $\mathcal{D}$ comme dans le corollaire pr�c�dent on peut refaire la construction de \cite{Cellulaire} : on peut reconstruire la tour de Lubin-Tate en niveau infini � partir d'un tel domaine fondamental. 
\end{coro}

\begin{figure}[h]
   \begin{center}
\begin{picture}(300,200)
\path(0,0)(30,0)
\path(30,0)(15,25)
\path(0,0)(15,25)
\put(9,6){\circle*{3}}
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\path(30,0)(45,25)
\put(39,6){\circle*{3}}
\put(49,5){\circle*{3}}
\put(45,13){\circle*{3}}
\path(45,8)(39,0)
\path(45,8)(40,17)
\path(45,8)(55,8)
\path(15,25)(45,25)
\path(45,25)(30,51)
\path(15,25)(30,51)
\put(24,31){\circle*{3}}
\put(34,30){\circle*{3}}
\put(30,39){\circle*{3}}
\path(30,34)(24,25)
\path(30,34)(25,43)
\path(30,34)(40,34)
\path(60,0)(90,0)
\path(90,0)(75,25)
\path(60,0)(75,25)
\put(69,6){\circle*{3}}
\put(79,5){\circle*{3}}
\put(75,13){\circle*{3}}
\path(75,8)(69,0)
\path(75,8)(70,17)
\path(75,8)(85,8)
\path(45,25)(75,25)
\path(75,25)(60,51)
\path(45,25)(60,51)
\put(54,31){\circle*{3}}
\put(64,30){\circle*{3}}
\put(60,39){\circle*{3}}
\path(60,34)(54,25)
\path(60,34)(55,43)
\path(60,34)(70,34)
\path(30,51)(60,51)
\path(60,51)(45,77)
\path(30,51)(45,77)
\put(39,57){\circle*{3}}
\put(49,56){\circle*{3}}
\put(45,65){\circle*{3}}
\path(45,60)(39,51)
\path(45,60)(40,69)
\path(45,60)(55,60)
\path(90,0)(120,0)
\path(120,0)(105,25)
\path(90,0)(105,25)
\put(99,6){\circle*{3}}
\put(109,5){\circle*{3}}
\put(105,13){\circle*{3}}
\path(105,8)(99,0)
\path(105,8)(100,17)
\path(105,8)(115,8)
\path(75,25)(105,25)
\path(105,25)(90,51)
\path(75,25)(90,51)
\put(84,31){\circle*{3}}
\put(94,30){\circle*{3}}
\put(90,39){\circle*{3}}
\path(90,34)(84,25)
\path(90,34)(85,43)
\path(90,34)(100,34)
\path(60,51)(90,51)
\path(90,51)(75,77)
\path(60,51)(75,77)
\put(69,57){\circle*{3}}
\put(79,56){\circle*{3}}
\put(75,65){\circle*{3}}
\path(75,60)(69,51)
\path(75,60)(70,69)
\path(75,60)(85,60)
\path(45,77)(75,77)
\path(75,77)(60,103)
\path(45,77)(60,103)
\put(54,83){\circle*{3}}
\put(64,82){\circle*{3}}
\put(60,91){\circle*{3}}
\path(60,86)(54,77)
\path(60,86)(55,95)
\path(60,86)(70,86)
\path(120,0)(150,0)
\path(150,0)(135,25)
\path(120,0)(135,25)
\put(129,6){\circle*{3}}
\put(139,5){\circle*{3}}
\put(135,13){\circle*{3}}
\path(135,8)(129,0)
\path(135,8)(130,17)
\path(135,8)(145,8)
\path(105,25)(135,25)
\path(135,25)(120,51)
\path(105,25)(120,51)
\put(114,31){\circle*{3}}
\put(124,30){\circle*{3}}
\put(120,39){\circle*{3}}
\path(120,34)(114,25)
\path(120,34)(115,43)
\path(120,34)(130,34)
\path(90,51)(120,51)
\path(120,51)(105,77)
\path(90,51)(105,77)
\put(99,57){\circle*{3}}
\put(109,56){\circle*{3}}
\put(105,65){\circle*{3}}
\path(105,60)(99,51)
\path(105,60)(100,69)
\path(105,60)(115,60)
\path(75,77)(105,77)
\path(105,77)(90,103)
\path(75,77)(90,103)
\put(84,83){\circle*{3}}
\put(94,82){\circle*{3}}
\put(90,91){\circle*{3}}
\path(90,86)(84,77)
\path(90,86)(85,95)
\path(90,86)(100,86)
\path(60,103)(90,103)
\path(90,103)(75,129)
\path(60,103)(75,129)
\put(69,109){\circle*{3}}
\put(79,108){\circle*{3}}
\put(75,117){\circle*{3}}
\path(75,112)(69,103)
\path(75,112)(70,121)
\path(75,112)(85,112)
\path(150,0)(180,0)
\path(180,0)(165,25)
\path(150,0)(165,25)
\put(159,6){\circle*{3}}
\put(169,5){\circle*{3}}
\put(165,13){\circle*{3}}
\path(165,8)(159,0)
\path(165,8)(160,17)
\path(165,8)(175,8)
\path(135,25)(165,25)
\path(165,25)(150,51)
\path(135,25)(150,51)
\put(144,31){\circle*{3}}
\put(154,30){\circle*{3}}
\put(150,39){\circle*{3}}
\path(150,34)(144,25)
\path(150,34)(145,43)
\path(150,34)(160,34)
\path(120,51)(150,51)
\path(150,51)(135,77)
\path(120,51)(135,77)
\put(129,57){\circle*{3}}
\put(139,56){\circle*{3}}
\put(135,65){\circle*{3}}
\path(135,60)(129,51)
\path(135,60)(130,69)
\path(135,60)(145,60)
\path(105,77)(135,77)
\path(135,77)(120,103)
\path(105,77)(120,103)
\put(114,83){\circle*{3}}
\put(124,82){\circle*{3}}
\put(120,91){\circle*{3}}
\path(120,86)(114,77)
\path(120,86)(115,95)
\path(120,86)(130,86)
\path(90,103)(120,103)
\path(120,103)(105,129)
\path(90,103)(105,129)
\put(99,109){\circle*{3}}
\put(109,108){\circle*{3}}
\put(105,117){\circle*{3}}
\path(105,112)(99,103)
\path(105,112)(100,121)
\path(105,112)(115,112)
\path(75,129)(105,129)
\path(105,129)(90,155)
\path(75,129)(90,155)
\put(84,135){\circle*{3}}
\put(94,134){\circle*{3}}
\put(90,143){\circle*{3}}
\path(90,138)(84,129)
\path(90,138)(85,147)
\path(90,138)(100,138)
\path(30,17)(25,8)
\path(30,17)(24,25)
\path(30,17)(40,17)
\put(30,11){\circle*{3}}
\put(24,18){\circle*{3}}
\put(34,19){\circle*{3}}
\path(60,17)(55,8)
\path(60,17)(54,25)
\path(60,17)(70,17)
\put(60,11){\circle*{3}}
\put(54,18){\circle*{3}}
\put(64,19){\circle*{3}}
\path(45,43)(40,34)
\path(45,43)(39,51)
\path(45,43)(55,43)
\put(45,36){\circle*{3}}
\put(39,44){\circle*{3}}
\put(49,45){\circle*{3}}
\path(90,17)(85,8)
\path(90,17)(84,25)
\path(90,17)(100,17)
\put(90,11){\circle*{3}}
\put(84,18){\circle*{3}}
\put(94,19){\circle*{3}}
\path(75,43)(70,34)
\path(75,43)(69,51)
\path(75,43)(85,43)
\put(75,36){\circle*{3}}
\put(69,44){\circle*{3}}
\put(79,45){\circle*{3}}
\path(60,69)(55,60)
\path(60,69)(54,77)
\path(60,69)(70,69)
\put(60,62){\circle*{3}}
\put(54,70){\circle*{3}}
\put(64,71){\circle*{3}}
\path(120,17)(115,8)
\path(120,17)(114,25)
\path(120,17)(130,17)
\put(120,11){\circle*{3}}
\put(114,18){\circle*{3}}
\put(124,19){\circle*{3}}
\path(105,43)(100,34)
\path(105,43)(99,51)
\path(105,43)(115,43)
\put(105,36){\circle*{3}}
\put(99,44){\circle*{3}}
\put(109,45){\circle*{3}}
\path(90,69)(85,60)
\path(90,69)(84,77)
\path(90,69)(100,69)
\put(90,62){\circle*{3}}
\put(84,70){\circle*{3}}
\put(94,71){\circle*{3}}
\path(75,95)(70,86)
\path(75,95)(69,103)
\path(75,95)(85,95)
\put(75,88){\circle*{3}}
\put(69,96){\circle*{3}}
\put(79,97){\circle*{3}}
\path(150,17)(145,8)
\path(150,17)(144,25)
\path(150,17)(160,17)
\put(150,11){\circle*{3}}
\put(144,18){\circle*{3}}
\put(154,19){\circle*{3}}
\path(135,43)(130,34)
\path(135,43)(129,51)
\path(135,43)(145,43)
\put(135,36){\circle*{3}}
\put(129,44){\circle*{3}}
\put(139,45){\circle*{3}}
\path(120,69)(115,60)
\path(120,69)(114,77)
\path(120,69)(130,69)
\put(120,62){\circle*{3}}
\put(114,70){\circle*{3}}
\put(124,71){\circle*{3}}
\path(105,95)(100,86)
\path(105,95)(99,103)
\path(105,95)(115,95)
\put(105,88){\circle*{3}}
\put(99,96){\circle*{3}}
\put(109,97){\circle*{3}}
\path(90,121)(85,112)
\path(90,121)(84,129)
\path(90,121)(100,121)
\put(90,114){\circle*{3}}
\put(84,122){\circle*{3}}
\put(94,123){\circle*{3}}
\end{picture}
\caption{\footnotesize Une d�composition simpliciale du quartier relativement � un domaine fondamental pour l'action des correspondances de Hecke et une orbite de Hecke (points noirs)}
\end{center}
\end{figure}

\subsection{L'image du domaine fondamental de Gross-Hopkins dans 
  l'espace de Drinfeld}

Soit 
$$
\mathcal{D} = \{ (x_1,\dots,x_{n-1})\in \X^{an}\;|\; \forall i\;
v(x_i)\geq 1-\frac{i}{n} \} 
$$
le domaine fondamental de Gross-Hopkins (\cite{HopkinsGross},
\cite{Cellulaire}). 
Si pour $x\in \X^{an}$ on note $\mathcal{P}_x\in Newt$ le polygone de
Newton correspondant et si $\mathcal{P}_{GH}$ d�signe le polygone
d�fini par $\forall i\; v(x_i)=1-\frac{i}{n}$ alors
$$
\mathcal{D} = \{ x\in \X^{an}\;|\; \mathcal{P}_x \geq \mathcal{P}_{GH}
\} 
$$
et $\mathcal{D}$ est donc l'image r�ciproque dans $\X^{an}$ de
l'ensemble 
$$
D=\{\mathcal{P}\; |\; \mathcal{P}\geq \mathcal{P}_{GH} \}
$$ 

On se propose de calculer l'image de ce domaine fondamental de
Gross-Hopkins dans l'espace de Drinfeld via l'isomorphisme entre les
deux tours.

\begin{prop}
L'ensemble convexe $D\subset Newt$ est un polytope poss�dant $2^{n-1}$
points extr�maux en bijection avec les parties $A\subset \{1,\dots,
n-1 \}$. \`A $A = \emptyset$ est associ� le polygone plat
$\mathcal{P}_\emptyset$ d�fini par
$$
\l_1=\dots =\l_n = \frac{1}{q^n-1}
$$
Pour $A\neq \emptyset$ si $A=\{ i_1<\dots <i_r \}$ le polygone associ�
$\mathcal{P}_A$ est d�fini par  
$$
\l_1=\dots = \l_{i_1}, \; \l_{i_1+1} = \dots = \l_{i_2},\; \dots,
\;\l_{i_{r-1}+1} = \dots = \l_{i_r}
$$
$$
\text{et }\; \forall k\in \{1,\dots,r\}\;\;\; v(x_{i_k}) = 1 - \frac{i_k}{n}
$$
Ainsi $\mathcal{P}_{\{1,\dots, n\}} = \mathcal{P}_{GH}$. On a donc 
$$
D=\text{Convexe} ( \mathcal{P}_A )_{A\subset \{1,\dots, n-1 \}}
$$
\end{prop}  

\begin{prop}
Soit pour tout $i, \;1\leq i\leq n-1$, le sommet $\omega_i
=<e_1,\dots,e_i,\pi e_{i+1},\dots, \pi e_n>$, $\mathcal{P}
(\omega_i)\in Newt$ le polygone associ� (cf. exemple \ref{ootuiml}) et
$\mathcal{P}_0$ le polygone ``plat'' associ� au sommet
$<e_1,\dots,e_n>$. Alors $\forall A=\{ i_1<\dots< i_r \}
\subset \{1,\dots, n-1 \}$, avec
les notations de la proposition pr�c�dente, 
$$
\mathcal{P}_A\in \text{Convexe} ( \mathcal{P}_0,\mathcal{P}
(\omega_{i_1}),
\dots, \mathcal{P} (\omega_{i_r}))
$$
plus pr�cis�ment
$$
\mathcal{P}_A= a_0 \mathcal{P}_0 + \sum_{k=1}^r a_k \mathcal{P} (\omega_{i_k})
$$
o�
$$
\forall k\neq 0\;\; a_k=\frac{q^{i_k}}{n} \left ( 
\frac{i_k-i_{k-1}}{q^{i_k}-q^{i_{k-1}}} -
\frac{i_{k+1}-i_k}{q^{i_{k+1}} -q^{i_k}}
\right )
$$
o� l'on a pos� $i_0=0,\; i_n=n$, et
$$
a_0= 1-\sum_{k\neq 0} a_k 
$$
En particulier
$$
\mathcal{P}_{\{1,\dots,n\}} = \frac{1}{n} \left ( \mathcal{P}_0 +
  \sum_{i=1}^{n-1} \mathcal{P} ( \omega_i) \right )
$$
\end{prop}

\begin{coro}
L'image du domaine fondamental de Gross-Hopkins dans le simplexe fondamental est l'enveloppe convexe de l'origine $[<e_1,\dots,e_n>]$ et des 
$$
a_0 [<e_1,\dots,e_n>] + \sum_{k=1}^r a_k \omega_{i_k}
$$
o� $\{i_1<\dots<i_r\} \subset \{ 1,\dots, n\}$ 
et les $(a_i)_i$ sont comme dans la proposition pr�c�dente. Le sommet correspondant � 
$\{i_1<\dots<i_r\} = \{ 1,\dots, n\}$ est le barycentre du simplexe.

La bijection de \cite{Points} induit une bijection entre les points de la tour de Lubin-Tate en niveau infini au dessus du domaine fondamental de Gross-Hopkins et ceux de la tour de Drinfeld en niveau infini au dessus d'un point de $\Omega$ s'envoyant dans le polytope pr�c�dent via l'application quotient $|\Omega|\twoheadrightarrow |\mathcal{I} (\text{PGL}_n)| \twoheadrightarrow \GL_n (\O_F)  \bc |\mathcal{I} (\text{PGL}_n)|=
Q$. 
\end{coro}

\begin{figure}[htbp]
   \begin{center}
      \includegraphics{image_GrossHopkins3.eps}
   \end{center}
   \caption{\footnotesize L'image du domaine fondamental de
     Gross-Hopkins dans le ``simplexe fondamental''  du quartier et son image dans l'appartement
     }
   \label{image_grosshopkins}
\end{figure}

\subsection{Application au morphisme des p�riodes}

L'application des p�riodes de Gross-Hopkins a �t� �tudi�e en d�tails
dans \cite{Yu}. Dans cette section on
explique comment obtenir de nouveau les r�sultats de \cite{Yu} � partir des
calculs de la section 2 de \cite{Points}. 

Commen�ons par remarquer aves les notations de la section
\ref{kjyystsf286Mp}
que si $S_0$ est le simplexe fondamental dand le quartier $Q$ et
$\widetilde{S}_0$ d�signe $S_0$ priv� du mur $\{\a_{1n}=0\}$ alors
$$
\forall x\in |\widetilde{S}_0| \;\forall (a_1,\dots,a_n)\in
\N^n\setminus \N.(1,\dots,1) \;
n|\sum_{i=1}^n a_i\limpl (\pi^{a_1},\dots,\pi^{a_n}).x\notin |\widetilde{S}_0|
$$ 
et que donc si $U\subset \X^{an}$ d�signe l'image r�ciproque dans
l'espace de Lubin-Tate de $|\widetilde{S}_0|$ 
$$
U= \{ \frac{\l_1}{q^n}<\l_n \}
$$
pour toute correspondance de Hecke $T$ non-triviale de degr� un multiple de $n$ on
a $T.U\cap U=\emptyset$. On vient donc de donner une d�monstration
g�om�trique sur l'immeuble de la proposition 4.2 de
\cite{Cellulaire}. On en d�duit comme dans la section 4 de
\cite{Cellulaire} que l'application des p�riodes de Gross-Hopkins 
$\breve{\pi} : \X^{an}\ldrt \mathbb{P}^{n-1}$ induit un isomorphisme
entre $U$ et sont image. 

Int�ressons-nous maintenant aux propri�t�s ``m�triques'' de
l'application des p�riodes. On sait d'apr�s le th�or�me 2.3 de
\cite{Cellulaire} que si $\breve{\pi} = [f_0:\dots : f_{n-1}]$ alors
$$
\forall \underline{x}\in U\;\; v\left (\frac{f_i (\underline{x})}{f_0
  (\underline{x})}\right ) = v (x_i)
$$
Mais maintenant si $y\in Q$ $\exists \; (a_1,\dots \a_n)\;\;
(\pi^{a_1},\dots , \pi^{a_n}).y \in |\widetilde{S}_0|$. De cela on
d�duit que l'on a des estimations sur la position $\breve{\pi} (x)$
pour $x\in \X^{an}$ en fonction de l'image de $x$ dans le quartier
$Q$. En effet, si $y\in Q$ correspond � $x$ alors si
$z=(\pi^{a_1},\dots,\pi^{a_n}).y \in |\widetilde{S}_0|$ on a une
estimation sur la position de $ \Pi^{\sum_i a_i}. \breve{\pi} ( x)$
� un �l�ment de $\O_D^\times$ pr�s o� $\Pi$ est une uniformisante de
l'al�bre � division $D$. 

On peut par exemple d�duire de tout cela que si $S$ est un simplexe de
$Q$ et $U(|S|)\subset \X^{an}$ le domaine analytique ferm� de l'espace
de Lubin-Tate associ� alors $\breve{\pi} (U(|S|) =
\mathbb{P}^{n-1}$. De m�me on v�rifie que l'application $\breve{\pi}$
restreinte � l'ouvert $U(\mathring{|S|})$ est finie, et on peut calculer son
degr�. 

Nous laissons au lecteur la libert� de trouver d'autres applications. 


\section{Le cas des espaces de Lubin-Tate en niveau Iwahori}

Nous avons pr�c�demment �tudi� l'isomorphisme au niveau des squelettes induit par l'isomorphisme entre les tours de Lubin-Tate et Drinfeld apr�s quotient par $\GL_n (\O_F)\times \O_D^\times$.
Nous allons faire de m�me apr�s quotient par $I\times \O_D^\times$ o� $I$ d�signe un sous-groupe d'Iwahori. 
\\

Rappelons que si $(e_1;\dots,e_n)$ d�signe la base canonique de $F^n$ alors $\mathcal{A}$ est l'appartement de sommets $$[<\pi^{a_1} e_1,\dots, \pi^{a_n} e_n>],\; (a_1,\dots,a_n)\in\Z^n$$ $Q$ le quartier de sommets 
$$
[<\pi^{a_1} e_1,\dots, \pi^{a_n} e_n>]\;\;\; a_1\leq \dots \leq a_n
$$
et $S_0$ le ``simplexe fondamental'' de sommets 
$$
[<e_1,\dots,e_n>],\;\;\; [<e_1,\dots, e_i, \pi e_{i+1},\dots ,\pi e_n>]\;\; 1\leq i\leq n-1
$$
Soit $I$ le sous-groupe d'Iwahori associ� au simplexe $S_0$
$$
I=\{ g\in \GL_n (\O_F)\;|\; g \text{ mod } \pi = \left (
\begin{array}{ccc}
\times &0 & 0 \\
\times & \ddots & 0 \\
\times & \times & \times
\end{array}
\right ) \}
$$
Soit $I^{opp}$ le sous-groupe d'Iwahori 
$$
I^{opp} = \{ g\in \GL_n (\O_F)\;|\; g \text{ mod } \pi = \left (
\begin{array}{ccc}
\times & \times & \times \\
0 & \ddots & \times \\
0 & 0 & \times
\end{array}
\right ) \}
$$
Soit $\mathcal{Y}$ le sch�ma formel sur $\spf (\breve{\O})$ classifiant les classes d'isomorphismes d'objets 
$$
(H_1\xrig{\;\ph_1\;} H_2 \xrig{\;\ph_2\;}\dots \ldrt H_{n-1}\xrig{\ph_{n-1}} H_n \xrig{\;\ph_n\; } H_1,\rho)
$$
o� $(H_1,\rho)$ est dans l'espace de Lubin-Tate sans niveau ($\rho$ �tant la d�formation), $\forall i\;\; \ph_i:H_i\ldrt H_{i+1}$ est une isog�nie de degr� $q$ entre $\O$-modules formels et $\ph_{n}\circ \dots \circ \ph_1 =\pi$. Le sch�ma formel $\mathcal{Y}$ est un mod�le entier de l'espace de Lubin-Tate en niveau $I^{opp}$. Le morphisme d'oubli de la structure de niveau est 
$$
\mathcal{Y} \ni (H_1\drt \dots\drt H_n \drt H_1,\rho)\longmapsto (H_1,\rho)\in \X
$$
Il y a de plus un isomorphisme
$$
\mathcal{Y} \simeq \spf \left ( \breve{\O}[[y_1,\dots, y_n]]/(y_1\dots y_n -\pi)\right )
$$
o� si $(H_1\drt \dots\drt H_n \drt H_1,\rho)$ est l'objets universel sur $\mathcal{Y}$ il y a un diagramme commutatif
$$
\xymatrix{
\Lie \,H_1 \ar[r]^{\Lie \,\ph_1} & \dots \ar[r] & \Lie\, H_i \ar[r]^{\Lie \, \ph_i} & \Lie\, H_{i+1} \ar[r] & \dots \ar[r] & \Lie\, H_n\ar[r]^{\Lie\, \ph_n} & \Lie\, H_1 \\ 
\O_\mathcal{Y} \ar[r]^{\times y_1} \ar[u]^\simeq & \dots \ar[r] & \O_\mathcal{Y} \ar[r]^{\times y_i} \ar[u]^\simeq & \O_\mathcal{Y} \ar[r]\ar[u]^\simeq  & \dots \ar[r] & \O_\mathcal{Y} \ar[u]^\simeq \ar[r]^{\times y_n} & \O_\mathcal{Y} \ar[u]^\simeq 
}
$$
Cela d�coule de la th�orie de la d�formation de Grothendieck-Messing.

\begin{defi}
Posons $\Delta = S(\mathcal{Y}^{an})$ le squelette de la fibre g�n�rique $\mathcal{Y}^{an}$ �gal � 
$$
\Delta = \{ (v_1,\dots,v_n)\in ]0 \, 1[^n\;|\; \sum_{i=1}^n v_i =1 \}
$$
\end{defi}

Il y a une r�traction 
\begin{eqnarray*}
r : |\mathcal{Y}^{an} | & \twoheadrightarrow & \Delta \\
(y_1,\dots, y_n) & \mapsto & (v(y_1),\dots, v(y_n))
\end{eqnarray*}
qui est $\O_D^\times$-invariante, c'est � dire ne d�pend que de la
cha�ne d'isog�nies 
$H_1\drt \dots\drt H_n\drt H_1$ et pas de la d�formation $\rho$.

Comme au d�but de la section \ref{secotopp} l'isomorphisme entre les deux tours devrait induire un diagramme 
$$
\xymatrix{
|\mathcal{Y}^{an} | \ar[r] \ar@{->>}[d] & I\bc |\Omega | \ar@{->>}[d] \\
S (\mathcal{Y}^{an}) \ar@{-->}[r]^{?} & I\bc S (\Omega) 
}
$$
o� $ I\bc S (\Omega) $ s'identifie � $|\mathcal{A}|$ et donc un morphisme
$$
\xymatrix{
\Delta \ar@{-->}[r] & |\mathcal{A}|
}
$$

\subsection{Action du groupe de Weyl affine sur $\Delta$}

Soit $W_{\text{aff}} = \Z^n/\Z \rtimes \mathfrak{S}_n$ o� $\Z\hookrightarrow \Z^n$ est le plongement diagonal. 

De la m�me fa�on que l'on a d�fini des sections des correspondances de Hecke au niveau de l'espace $Newt$ on peut d�finir de telles sections sur $\Delta$.

\begin{prop}
Soient $(a_1,\dots,a_n)\in \N^n$ et $\s\in \mathfrak{S}_n$. Soit $K$ alg�briquement clos, 
$$
H_1\xrig{\; \ph_1\;} \dots \ldrt H_n \xrig{\;\ph_n\;} H_1,\;\;\;\ph_n \circ \dots \circ \ph_1 =\pi
$$
une cha�ne d'isog�nies 
sur $\spf (\O_K)$ et $y_1,\dots,y_n\in\O_K$ tels que $\prod_{i} y_i =\pi$ un uplet associ�. Soit $(e_1,\dots,e_n)$ une base de $T_p (H_1)$ telle que 
\begin{itemize}
\item $\exists \tau\in \mathfrak{S}_n\;\; (e_{\tau (1)},\dots,e_{\tau (n)})$ soit une base adapt�e de $T_p (H_1)$
\item la filtration de $H_1 [\pi] (\O_K)$
 $$(<\pi^{-1} \bar{e}_1,\dots,\pi^{-1} \bar{e}_i, \bar{e}_{i+1},\dots,\bar{e}_n>)_{1\leq i\leq n}$$ soit �gale � la filtration $$\ker \ph_1\subset \ker (\ph_2\circ \ph_1) \subset \dots \subset \ker (\ph_{n-1}\circ \dots \ph_1) \subset H_1 [\pi](\O_K)$$ 
\end{itemize}
Soit $C$ l'adh�rence sch�matique du sous-groupe fini
$$
<\pi^{-a_1}\bar{e}_{\s (1)},\dots,\pi^{-{a_n}}\bar{e}_{\s(n)}>\subset T_p (H)\otimes F/\O_F
$$
Soit $H'_1=H_1/C$, $(\e_1,\dots,\e_n)$ la base de $T_p (H'_1)$ image de $(\pi^{-a_1} e_{\s(1)},\dots,\pi^{-a_n} e_{\s (n)})$ via $T_p (H_1)\hookrightarrow T_p (H'_1)$. Soit la cha�ne d'isog�nies 
$$
H'_1\xrig{\; \ph'_1\;} \dots \ldrt H'_n \xrig{\;\ph'_n\;} H'_1
$$
telle que $\forall i\;\; \ker ( \ph'_i\circ \dots\circ \ph'_1)$ soit l'adh�rence sch�matique du groupe $$
<\pi^{-1}\bar{\e}_1,\dots,\pi^{-1}\bar{\e}_i,\bar{\e}_{i+1},\dots, \bar{\e}_n>
\subset T_p ({H'}_1)\otimes F/\O_F
$$
Soient ${y'}_1,\dots,{y'}_n\in \O_K$, $\prod_i y'_i=\pi$, des nombres associ�s � $H'_1\drt \dots \drt H'_n\drt H'_1$. 

Alors, $(v(y'_1),\dots,v(y'_n))\in \Delta$ ne d�pend que de $(a_1,\dots,a_n)\rtimes \s\in W_{\text{aff}}$ et de $(v(y_1),\dots,v(y_n))\in \Delta$.
Cela d�finit une action de $W_{\text{aff}}$ sur $\Delta$. L'op�rateur associ� � $(a_1,\dots,a_n)\rtimes \s$ est not� $$(\pi^{-a_1},\dots,\pi^{-a_n})\rtimes \s$$
\end{prop}



\subsection{L'application $\Delta \ldrt Newt$}

\begin{defi}
Soit $\l \in ]0,\frac{1}{q-1}[$. On note $\eta_\l:[0,+\infty [\ldrt
[0,+\infty [$ la fonction continue lin�aire par morceaux d�finie par 
$$
\eta_\l (x) = \left \{ \begin{array}{c}
 q x\text{ si } x\in [0,\l ] \\
(x-\l)+q\l \text{ si } x\in [\l,+\infty [
\end{array} \right.
$$
\end{defi}

\begin{lemm}
Pour $(v_1,\dots,v_n)\in \Delta$ soit 
$$
\eta (v_1,\dots,v_n) = \eta_{\frac{v_1}{q-1}}\circ \dots \circ
\eta_{\frac{v_n}{q-1}} :[0,+\infty [ \ldrt [0,+\infty [
$$
Soit 
$$
\mathcal{P} (v_1,\dots,v_n) = \left (\eta (v_1,\dots,v_n)^*\right
)_{|[1, q^n]}
$$
o� on pose $f^* (x) = \sup \{ -xt + f(t)\;|\; t\in [0,+\infty [
\}$. Alors $\mathcal{P} (v_1,\dots,v_n) \in Newt$ et cela d�finit une
application
$$
\mathcal{P}: \Delta \ldrt Newt
$$
\end{lemm}

\begin{lemm}
Soit $H_1\xrig{\; \ph_1\;} \dots \ldrt H_n \xrig{\;\ph_n \;} H_1$ une
cha�ne d'isog�nies sur $\O_K$ et $(v_1,\dots,v_n)\in \Delta$ le uplet
associ�. Alors $\mathcal{P} (v_1,\dots,v_n)$ est le polygone de Newton
de $H_1$.
\end{lemm}

\begin{coro}
Pour tous $(a_1,\dots,a_n)\rtimes \s \in W_{\text{aff}}$ et 
$\underline{v}\in \Delta\;\; \exists \tau\in \mathfrak{S}_n$
$$
\mathcal{P} ((\pi^{-a_1},\dots,\pi^{-a_n})\rtimes
\s. \underline{v})
= (\pi^{-a_{\tau (1)}},\dots,\pi^{-a_{\tau (n)}}).\mathcal{P} (\underline{v})
$$
\end{coro}

\subsection{Quartiers}

\begin{defi}
On note 
$$
Q(\Delta) =\{ (v_1,\dots,v_n)\in \Delta \; |\; v_1\geq \frac{v_2}{q}
\geq \dots \geq \frac{v_i}{q^i}\geq \dots \geq \frac{v_n}{q^n}\}
$$
\end{defi}

\begin{prop}
L'application $\mathcal{P}_{|Q(\Delta)}$ induit une bijection entre $Q
(\Delta)$ et $Newt$. \`A $(v_1,\dots,v_n)\in Q (\Delta)$ elle associe
le polygone de pentes $\l_1\geq \dots \geq \l_n$ o� $\forall i\;
\l_i=\frac{v_i}{q^i -q^{i-1}}$. 

Soit $H_1\xrig{\; \ph_1\;} \dots \ldrt H_n \xrig{\;\ph_n \;} H_1$ une
cha�ne d'isog�nies sur $\O_K$. Le point associ� dans $\Delta$ est dans
$Q(\Delta)$ ssi la filtration 
$$
(0)\subsetneq \ker \ph_1 \subsetneq \dots \subsetneq \ker (\ph_n \circ
\dots \circ \ph_1) =H[\pi]
$$
raffine la filtration de ramification inf�rieure (donn�e par la
valuation des points de $\pi$-torsion) sur $H[\pi]$. 
\end{prop}

Rappelons qu'�tant donn�s deux drapeaux complets sur un $\Fq$-espaces vectoriel de dimension $n$ on peut d�finir leur invariant dans $\mathfrak{S}_n$ mesurant la position relative des sous-groupes de Borel du groupe lin�aire associ�.

\begin{prop}
On a la d�composition
$$
\Delta = \bigcup_{\s\in\mathfrak{S}_n} \s.Q(\Delta)
$$
Une chaine d'isog�nies $H_1\xrig{\; \ph_1\;} \dots \ldrt H_n \xrig{\;\ph_n \;} H_1$ sur $\O_K$ donne lieu � un �l�ment de $\s.Q(\Delta)$ ssi l'invariant des drapeaux 
$$\ker \ph_1\subset \ker (\ph_2\circ \ph_1) \subset \dots \subset \ker (\ph_{n-1}\circ \dots \ph_1) \subset H_1 [\pi](\O_K)$$ 
et un drapeaux complet raffinant la filtration de ramification sur $H_1[\pi]$ est $\s$.
L'application $\mathcal{P}_{|\s.Q(\Delta)}$ est l'isomorphisme compos� 
$$
\s.Q(\Delta) \xrig{\;\s^{-1}\;} Q(\Delta) \xrig{\;\mathcal{P}\;} Newt
$$
Les applications $\forall \tau\in \mathfrak{S}_n\;\; \tau : \s.Q(\Delta) \iso \tau\s .Q(\Delta)$ sont affines. 
\end{prop}


\begin{rema}
Pour $\s\in\mathfrak{S}_n$ l'application affine $\s:Q(\Delta)\iso \s.Q(\Delta)$ est donn�e par les formules suivantes. Soit $(v_1,\dots,v_n)\in Q(\Delta)$ et $\s.(v_1,\dots,v_n)=(v'_1,\dots,v'_n)$. Alors
$$
v'_1=\frac{v_{\s(1)}}{q^{\s(1)-1}}
$$
et $\forall i>1$ si $\tau_1\in \mathfrak{S}_i,\; \tau_2\in \mathfrak{S}_{i+1}$ sont tels que 
$$
\begin{array}{c}
\s \tau_1 (1)<\dots <\s\tau_1 (i-1) \\
\s \tau_2 (1)<\dots <\s\tau_2 (i)
\end{array}
$$
alors
$$
v'_i = \sum_{k=1}^i \frac{v_{\s\tau_2 (k)}}{q^{\s\tau_2 (k)-1}} -  \sum_{k=1}^{i-1} \frac{v_{\s\tau_1 (k)}}{q^{\s\tau_1 (k)-1}}
$$
\end{rema}

\subsection{La structure simpliciale sur $\Delta$}

\begin{defi}
On munit $\Delta$ de l'unique structure simpliciale $W_{\text{aff}}$-invariante pour laquelle 
l'application $\mathcal{P}_{|Q(\Delta)}:Q(\Delta)\iso Newt$ soit un isomorphisme simplicial. 
\end{defi}

\begin{prop}
Les simplexes de la structure simpliciale pr�c�dente sont des simplexes standards pour la structure affine naturelle de $\Delta$. L'action de $W_{\text{aff}}$ est affine sur chaque simplexe. 
\end{prop}

\subsection{\'Enonc� du th�or�me principal}

\begin{theo}
L'isomorphisme entre les tours de Lubin-Tate et de Drinfeld induit un isomorphisme simpliciale $W_{\text{aff}}$-�quivariant 
$$
\Delta \iso |\mathcal{A}|
$$
affine sur chaque simplexe
tel que l'application d'oubli du niveau $\mathcal{Y}^{an}\ldrt \X^{an}$ s'identifie au quotient par $\mathfrak{S}_n$ 
$$
\xymatrix{
|\mathcal{Y}^{an}| \ar@{->>}[r]\ar[d] & \Delta \ar@{->>}[d]^{\mathcal{P}} \ar[r]^\sim & |\mathcal{A}| \ar@{->>}[d]^{\text{pr}_Q} \\
|\X^{an}|\ar@{->>}[r] &  Newt  \ar[r]^{\sim} & Q
}
$$
Dans cette bijection $Q(\Delta)$ correspond au quartier $Q\subset |\mathcal{A}|$ et le simplexe fondamental dans $Q$ correspond �
$$
\{ (v_1,\dots,v_n)\in \Delta \;|\; v_1\geq \frac{v_2}{q}\geq \dots\geq \frac{v_n}{q^{n-1}} \geq \frac{v_1}{q^n} \}
$$
Soit $G$ le barycentre du simplexe fondamental dans $|\mathcal{A}|$. 
Pour $1\leq i\leq n$ la
correspondance de Hecke $(H_1\drt\dots \drt H_n \drt H_1)
\longmapsto H_i$ est donn�e par une rotation autour de $G$ dans
l'appartement $\mathcal{A}$ compos�e avec l'application quotient
$|\mathcal{A}|\twoheadrightarrow Q$. 

Soit $Q'\subset Q$ le quartier priv� des murs $\a_{i,i+1} =0$ pour
$1\leq i\leq n-1$. Sur l'image r�ciproque de $Q'$ dans l'espace de
Lubin-Tate sans niveau le groupe $p$-divisible universel poss�de un
drapeau complet de sous-groupes canoniques. Cela fournit une section
sur cet ouvert admissible du rev�tement en niveau Iwahori. Cette
section est donn�e par le diagramme 
$$
\xymatrix{
|\mathcal{A} | \ar@{->>}[d]^{\text{pr}_Q} \\
Q & \ar@{_(->}[l]  Q'\ar@{_(->}[lu]
}
$$
\end{theo}


\begin{figure}[htbp]
   \begin{center}
      \input{simpliciale_Iwahori_GL2.pstex_t}
   \end{center}
\caption{\footnotesize La structure simpliciale de $\Delta=]0 1[$ dans le
  cas de $\GL_2$
}
\end{figure}

\begin{figure}[htbp]
   \begin{center}
      \input{Iwahori_vers_maximal.pstex_t}
   \end{center}
\caption{\footnotesize L'application entre les squelettes de l'espace de Lubin-Tate en
  niveau Iwahori et celui sans niveau pour $\GL_2$ (cette application est
  ``multivalu�e'' en $\frac{1}{q+1}$). La section canonique est
  d�finie sur le segment $]0,\frac{q}{q+1}[$ d'image $]\frac{1}{q+1},
1[$. L'op�rateur de Hecke donn� par  l'�l�ment non-trivial dans le
normalisateur de l'Iwahori modulo l'Iwahori qui agit comme automorphisme de l'espace en niveau
Iwahori  correspond � la sym�trie de centre $\frac{1}{2}$, $x\mapsto 1-x$.}
\end{figure}

\newpage

\begin{figure}[htbp]
   \begin{center}
\begin{picture}(400,400)
\path(0,0)(420,0)
\path(0,0)(210,363)
\path(210,363)(420,0)
\path(238,81)(161,116)
\path(238,81)(286,116)
\path(161,116)(167,57)
\path(229,165)(176,189)
\path(161,116)(229,165)
\path(229,165)(238,81)
\path(242,40)(167,57)
\path(242,40)(291,57)
\path(124,133)(114,81)
\path(263,189)(224,224)
\path(124,133)(176,189)
\path(263,189)(286,116)
\path(167,57)(114,81)
\path(291,57)(325,81)
\path(114,81)(118,40)
\path(224,224)(186,241)
\path(176,189)(224,224)
\path(286,116)(291,57)
\path(244,20)(170,28)
\path(244,20)(294,28)
\path(105,141)(87,94)
\path(280,201)(247,241)
\path(105,141)(149,201)
\path(280,201)(309,133)
\path(170,28)(118,40)
\path(294,28)(329,40)
\path(87,94)(80,57)
\path(247,241)(219,265)
\path(149,201)(186,241)
\path(309,133)(325,81)
\path(118,40)(80,57)
\path(329,40)(353,57)
\path(80,57)(83,28)
\path(219,265)(193,277)
\path(186,241)(219,265)
\path(325,81)(329,40)
\path(245,10)(172,14)
\path(245,10)(296,14)
\path(95,146)(74,99)
\path(288,207)(259,249)
\path(95,146)(136,207)
\path(288,207)(321,141)
\path(172,14)(120,20)
\path(296,14)(331,20)
\path(74,99)(61,66)
\path(259,249)(236,277)
\path(136,207)(167,249)
\path(321,141)(342,94)
\path(120,20)(83,28)
\path(331,20)(356,28)
\path(61,66)(56,40)
\path(236,277)(216,294)
\path(167,249)(193,277)
\path(342,94)(353,57)
\path(83,28)(56,40)
\path(356,28)(373,40)
\path(56,40)(58,20)
\path(216,294)(198,302)
\path(193,277)(216,294)
\path(353,57)(356,28)
\path(245,4)(172,7)
\path(245,4)(297,7)
\path(91,148)(67,102)
\path(292,210)(265,253)
\path(91,148)(129,210)
\path(292,210)(327,146)
\path(172,7)(121,10)
\path(297,7)(332,10)
\path(67,102)(52,70)
\path(265,253)(244,283)
\path(129,210)(158,253)
\path(327,146)(350,99)
\path(121,10)(84,14)
\path(332,10)(357,14)
\path(52,70)(43,46)
\path(244,283)(228,302)
\path(158,253)(179,283)
\path(350,99)(365,66)
\path(84,14)(58,20)
\path(357,14)(375,20)
\path(43,46)(39,28)
\path(228,302)(214,314)
\path(179,283)(198,302)
\path(365,66)(373,40)
\path(58,20)(39,28)
\path(375,20)(387,28)
\path(39,28)(41,14)
\path(214,314)(201,320)
\path(198,302)(214,314)
\path(373,40)(375,20)
\path(246,2)(173,3)
\path(246,2)(297,3)
\path(89,149)(64,104)
\path(294,211)(268,255)
\path(89,149)(126,211)
\path(294,211)(330,148)
\path(173,3)(121,4)
\path(297,3)(333,4)
\path(64,104)(47,72)
\path(268,255)(248,286)
\path(126,211)(153,255)
\path(330,148)(354,102)
\path(121,4)(85,7)
\path(333,4)(358,7)
\path(47,72)(36,49)
\path(248,286)(234,307)
\path(153,255)(173,286)
\path(354,102)(371,70)
\path(85,7)(59,10)
\path(358,7)(376,10)
\path(36,49)(30,32)
\path(234,307)(223,320)
\path(173,286)(188,307)
\path(371,70)(381,46)
\path(59,10)(41,14)
\path(376,10)(388,14)
\path(30,32)(28,20)
\path(223,320)(213,329)
\path(188,307)(201,320)
\path(381,46)(387,28)
\path(41,14)(28,20)
\path(388,14)(396,20)
\path(28,20)(29,10)
\path(213,329)(204,333)
\path(201,320)(213,329)
\path(387,28)(388,14)
\path(246,1)(173,1)
\path(246,1)(297,1)
\path(87,149)(62,105)
\path(295,212)(269,256)
\path(87,149)(124,212)
\path(295,212)(331,149)
\path(173,1)(121,2)
\path(297,1)(333,2)
\path(62,105)(45,73)
\path(269,256)(251,287)
\path(124,212)(151,256)
\path(331,149)(356,104)
\path(121,2)(85,3)
\path(333,2)(359,3)
\path(45,73)(33,51)
\path(251,287)(237,309)
\path(151,256)(170,287)
\path(356,104)(374,72)
\path(85,3)(60,4)
\path(359,3)(376,4)
\path(33,51)(25,34)
\path(237,309)(227,323)
\path(170,287)(184,309)
\path(374,72)(385,49)
\path(60,4)(41,7)
\path(376,4)(389,7)
\path(25,34)(21,23)
\path(227,323)(219,333)
\path(184,309)(195,323)
\path(385,49)(392,32)
\path(41,7)(29,10)
\path(389,7)(397,10)
\path(21,23)(19,14)
\path(219,333)(212,339)
\path(195,323)(204,333)
\path(392,32)(396,20)
\path(29,10)(19,14)
\path(397,10)(403,14)
\path(19,14)(20,7)
\path(212,339)(205,342)
\path(204,333)(212,339)
\path(396,20)(397,10)
\path(246,0)(173,0)
\path(246,0)(297,0)
\path(87,150)(61,105)
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\path(87,150)(124,213)
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\path(389,3)(398,2)
\path(18,24)(12,17)
\path(222,335)(218,343)
\path(191,325)(197,336)
\path(395,34)(402,24)
\path(29,4)(20,3)
\path(398,4)(404,3)
\path(15,16)(10,11)
\path(216,342)(214,348)
\path(199,335)(202,343)
\path(400,23)(406,16)
\path(20,7)(14,4)
\path(404,7)(409,4)
\path(13,10)(9,7)
\path(211,346)(211,351)
\path(205,342)(207,348)
\path(403,14)(408,10)
\path(13,10)(9,7)
\path(408,10)(411,7)
\path(14,4)(10,3)
\path(207,348)(207,353)
\path(211,346)(211,351)
\path(404,7)(409,4)
\path(246,0)(173,0)
\path(246,0)(297,0)
\path(87,150)(61,105)
\path(296,213)(270,257)
\path(87,150)(123,213)
\path(296,213)(333,150)
\path(173,0)(122,0)
\path(297,0)(333,0)
\path(61,105)(43,74)
\path(270,257)(252,289)
\path(123,213)(149,257)
\path(332,150)(358,105)
\path(122,0)(86,0)
\path(333,0)(359,0)
\path(43,74)(30,52)
\path(252,288)(239,310)
\path(149,257)(167,289)
\path(358,105)(376,74)
\path(85,0)(60,0)
\path(359,0)(377,0)
\path(31,52)(21,36)
\path(239,310)(230,326)
\path(167,288)(180,310)
\path(376,74)(389,52)
\path(60,1)(42,0)
\path(377,1)(389,0)
\path(22,36)(15,25)
\path(230,326)(224,337)
\path(180,310)(189,326)
\path(388,51)(397,36)
\path(42,1)(29,1)
\path(389,1)(398,1)
\path(16,25)(11,17)
\path(223,336)(219,344)
\path(190,326)(196,337)
\path(397,35)(403,25)
\path(29,2)(20,1)
\path(398,2)(404,1)
\path(12,17)(9,12)
\path(218,343)(216,349)
\path(197,336)(201,344)
\path(402,24)(408,17)
\path(20,3)(14,2)
\path(404,3)(409,2)
\path(10,11)(7,8)
\path(214,348)(213,353)
\path(202,343)(204,349)
\path(406,16)(410,11)
\path(14,4)(10,3)
\path(409,4)(412,3)
\path(9,7)(6,4)
\path(211,351)(210,355)
\path(207,348)(207,353)
\path(408,10)(411,7)
\path(9,7)(6,4)
\path(411,7)(414,4)
\path(10,3)(7,2)
\path(207,353)(208,356)
\path(211,351)(210,355)
\path(409,4)(412,3)
\path(246,0)(173,0)
\path(246,0)(297,0)
\path(86,150)(61,105)
\path(296,213)(271,257)
\path(86,150)(123,213)
\path(296,213)(333,150)
\path(173,0)(122,0)
\path(297,0)(333,0)
\path(61,105)(43,74)
\path(270,257)(252,289)
\path(123,213)(149,257)
\path(333,150)(358,105)
\path(122,0)(86,0)
\path(333,0)(359,0)
\path(43,74)(30,52)
\path(252,289)(240,311)
\path(149,257)(167,289)
\path(358,105)(376,74)
\path(86,0)(60,0)
\path(359,0)(377,0)
\path(30,52)(21,36)
\path(239,310)(231,326)
\path(167,289)(179,311)
\path(376,74)(389,52)
\path(60,0)(42,0)
\path(377,0)(389,0)
\path(21,36)(15,25)
\path(230,326)(224,337)
\path(180,310)(189,326)
\path(389,52)(398,36)
\path(42,0)(29,0)
\path(389,0)(398,0)
\path(15,25)(11,18)
\path(224,337)(220,345)
\path(189,326)(195,337)
\path(397,36)(404,25)
\path(29,1)(21,0)
\path(398,1)(405,0)
\path(11,17)(8,12)
\path(219,344)(216,350)
\path(196,337)(200,345)
\path(403,25)(408,17)
\path(20,1)(14,1)
\path(404,1)(409,1)
\path(9,12)(6,8)
\path(216,349)(214,353)
\path(201,344)(203,350)
\path(408,17)(411,12)
\path(14,2)(10,1)
\path(409,2)(412,1)
\path(7,8)(5,5)
\path(213,353)(212,356)
\path(204,349)(206,353)
\path(410,11)(413,8)
\path(10,3)(7,2)
\path(412,3)(414,2)
\path(6,4)(4,3)
\path(210,355)(210,357)
\path(207,353)(208,356)
\path(411,7)(414,4)
\path(6,4)(4,3)
\path(414,4)(415,3)
\path(7,2)(5,1)
\path(208,356)(208,358)
\path(210,355)(210,357)
\path(412,3)(414,2)
\end{picture}
\caption{\footnotesize}
\end{center}
\caption{\footnotesize
L'appartement de $\text{PGL}_3$ dans le squelette de l'espace de Lubin-Tate
en niveau Iwahori !
}
\end{figure}

\newpage
\appendix


\section{L'immeuble de $\text{PGL}_n$} \label{kujitopo}
\subsection{D�finitions}

On fixe $V$ un $F$-espace vectoriel de dimension finie. On note $G =
\text{PGL} (V)$ le groupe alg�brique sur $F$ associ�.

\begin{defi}
L'immeuble de $G$ est le complexe simplicial $G(F)$-�quivariant dont les
sommets sont les classes d'homoth�ties de r�seaux  dans $V$ et dont les
simplexes sont les ensembles finis $(a_1,\dots,a_d)$ de sommets tels
que les $(a_i)_{1\leq i \leq d}$ poss�dent des repr�sentants $(\La_i)_{1\leq i\leq
  d}$ tels que 
$$
\pi\La_1 \subsetneq \La_d \subsetneq \dots \subsetneq \La_2 \subsetneq \La_1
$$
On note $\mathcal{I}$ cet ensemble simplicial. 
Pour un r�seau $\La$ on notera $[\La]\in\mathcal{I}$ sa classe d'homoth�tie. 
\end{defi}

Nous commettrons parfois l'abus de notation qui consiste � noter
$\mathcal{I}$ l'ensemble des sommets du complexe simplicial
$\mathcal{I}$ et �crirons ainsi $x\in \mathcal{I}$ pour $x$ un sommet
de $\mathcal{I}$.
\\

Rappelons que le choix d'un sommet $[\La_0]\in \mathcal{I}$ d�finit un
�tiquetage 
des sommets de $\mathcal{I}$ par des �l�ments de $\Z/n\Z$ :
\begin{eqnarray*}
\mathcal{I} & \ldrt & \Z/n\Z \\
 {[ \La ]} & \longmapsto & [\La_0 : \La] 
\end{eqnarray*}
Le choix d'un autre sommet translate cet �tiquetage par une constante
dans $\Z/n\Z$. Si $g\in G(F)$ alors l'action de $g$ translate l'�tiquetage 
par une constante �gale � $v (\det (g))\in \Z/n\Z$. 


\begin{defi}
Une norme sur $V$ est une application $\|.\|: E \ldrt \R\cup \{+\infty \}$
v�rifiant
\begin{itemize}
\item $\forall x\in E\;\;\|x\|=+\infty \ssi x=0$
\item $\forall (x,y)\in E^2\;\; \|x+y \| \geq \inf \{ \|x\|,\|y\| \}$
\item $\forall a\in F\;\forall x\in E\;\; \| ax \| = v(a)+ \| x \|$ 
\end{itemize}
\end{defi}

La d�finition d'une norme que nous prenons n'est pas la d�finition
usuelle (celle donn�e page 58 de \cite{DelHus}). 
Nous prenons la version ``additive'' de la d�finition usuelle
 (si $\|.\|$ est une norme en notre sens alors la norme usuelle associ�e est $q^{-\|.\|}$).


\begin{defi}
Deux normes $\|.\|_1, \|.\|_2$  sont �quivalentes si il existe $A\in
\R$ tel que $\|.\|_1 = \|.\|_2 +A$. On notera $[\|.\|]$ la classe
d'�quivalence de $\|.\|$. On d�finit une action de $G(F)$ sur les
normes et leurs classes d'�quivalence en posant $g.\|.\| = \|g^{-1}.\|$.
\end{defi}

Rappelons �galement la proposition suivante.

\begin{prop}
La r�alisation g�om�trique $|\mathcal{I}|$ 
de l'immeuble de $G$ 
s'identifie comme ensemble $G(F)$-�quivariant 
� l'ensemble 
des classes d'�quivalence de normes sur $V$. Si $[\La]$ est une
classe d'homoth�tie de r�seaux dans $V$ le sommet associ� dans la 
r�alisation g�om�trique de l'immeuble est la classe de la norme
$$
\|x\|_\La = -\inf \{\;k\in\Z\;|\; \pi^k x\in\La \;\}
$$
\end{prop}

Rappelons �galement que si $\|.\|$ est une norme alors l'ensemble 
$$
\{\; \left [ \{\; x\in V\;|\; \|x\|\geq a \;\} \right ]\;|\; a\in \R \;\}
$$
forme un simplexe dans l'immeuble et que dans la r�alisation
g�om�trique le point $[\|.\|]$ est dans la r�alisation g�om�trique de ce
simplexe.

R�ciproquement, si $\pi\La_1\subsetneq \La_d \subsetneq \dots
\subsetneq \La_1$ d�finit un simplexe $\s$, si 
$$
\Delta^d= \{\; (t_1,\dots,t_d)\in\R_+^d\;|\; \sum_{i=1}^d t_i =1 \; \}
$$
est le simplexe usuel il y a alors un hom�omorphisme 
$$
\Delta^d \iso |\s | 
$$
qui � $(t_1,\dots,t_d)$ associe la norme 
$$
\|.\| = \inf \{ \; \|.\|_{\La_i} + t_1+\dots + t_{i-1}\;\}_{1\leq i
  \leq d}
$$
(o� l'on a pos� $t_1+\dots + t_{i-1}=0$ si $i=1$). Cet hom�omorphisme
est une isom�trie si l'immeuble est muni de sa m�trique d�finie �
partir de celle sur ses appartements et $\Delta^d$ de la m�trique 
$\frac{1}{\sqrt{2}}\sqrt{\sum_i t_i^2 }$.  

\subsection{Appartements}
\subsubsection{D�finition}

\begin{defi}
Soit $T$ un tore maximal d�ploy� dans $G$. L'appartement associ� � $T$
est le sous-complexe simplicial dont les sommets sont les points fixes
de $T(F)^1= \dpt{\bigcap_{\chi\in X^* (T)} \ker |\chi|}$. On le note
$\mathcal{A}(T)$.
\end{defi}

La r�alisation g�om�trique $|\mathcal{A}(T)|$ de $\mathcal{A}(T)$  est
le sous-espace ferm� de $|\mathcal{I}|$ form� des points fixes de $T(F)^1$. 

L'ensemble des tores maximaux d�ploy�s dans $G$ est en bijection avec
l'ensemble des n-uplets de droites $(D_1,\dots,D_n)$ dans $V$ tels que 
$V=D_1\oplus\dots\oplus D_n$. A $(D_1,\dots,D_n)$ est associ� le tore 
$T=\Gm^n/\Gm \hookrightarrow G$ agissant diagonalement relativement �
la d�composition en sommes de droites de $V$. 
 L'ensemble des appartements est donc en bijection avec l'ensemble
 des classes d'�quivalences de bases $(e_1,\dots,e_n)$ de $V$ o� 
$\forall (x_i)_i \in (F^\times)^n\;\;
(e_1,\dots,e_n)\sim (x_1 e_1,\dots,x_n e_n)$. A la base
$(e_1,\dots,e_n)$ est associ� le complexe simplicial dont les sommets
sont 
$$
\{\; \left [ <\pi^{a_1}e_1,\dots, \pi^{a_n} e_n >\right ]\;|\;
(a_i)_i\in \Z^n\; \}
$$
qui est l'appartement associ�.

\begin{exem}
 Pour $\text{PGL}_2$ les appartements sont les droites
     simpliciales infinies � droite et � gauche dans l'arbre.
\end{exem}


\begin{figure}[htbp]
   \begin{center}
      \includegraphics{AppartementGL2.eps}
   \end{center}
   \caption{\footnotesize Un appartement  dans l'immeuble de $\text{PGL}_2$
     sur $\Q_2$.
     }
   \label{figklsm}
\end{figure}


\subsubsection{Structure affine}

Le groupe $T(F)$ stabilise l'appartement $\mathcal{A}(T)$ et fait des
sommets de $\mathcal{A}(T)$ un espace principal homog�ne sous
$T(F)/T(F)^1$. Il y a un isomorphisme 
\begin{eqnarray*}
X_* (T) & \iso & T(F)/T(F)^1 \\
\omega & \longmapsto & \omega (\pi) T(F)^1
\end{eqnarray*}
Si $[\La]\in \mathcal{A}(T)$ alors si $\underline{G}$ d�signe le
mod�le entier de $G$ associ�, $\underline{G}= \text{PGL} (\La)$, si $\underline{T}$
d�signe l'adh�rence sch�matique de $T$ dans $\underline{G}$,
$\underline{T}$ est un sous-tore de $\underline{G}$. Alors, 
$T(F)^1= \underline{T} (\O_F)$ et le choix de $[\La]$ induit  au niveau des sommets 
le diagramme suivant 
$$
\xymatrix{
T(F)/\underline{T}(\O_F) \ar[r]^(.6)\sim \ar@{^(->}[d] &  \mathcal{A} (T) \ar@{^(->}[d]
\\
G(F)/\underline{G} (\O_F)  \ar[r]^(.6)\sim & \mathcal{I}
}
$$
qui identifie les sommets de $\mathcal{A} (T)$ avec l'immeuble de
$T$. 

L'action de $X_* (T)$ sur les sommets de $\mathcal{A}(T)$ s'�tend en
une structure d'espace affine sur $|\mathcal{A} (T)|$
 d'espace vectoriel sous-jacent
$X_*(T)\otimes \R$. Si $T$ est associ� � la base $(e_1,\dots,e_n)$ de
$V$, $X_* (T) \simeq \Z^n/\Z$, $\Z$ agissant diagonalement sur $\Z^n$ et
 o� si $(\e_i)_i$ est la base canonique de
$\Z^n$, $\e_i$ correspond au co-caract�re $t\longmapsto [e_j \mapsto
t^{\delta_{ij}} e_j]$. En choisissant comme origine
$[<e_1,\dots,e_n>]$ dans $|\mathcal{A} (T) |$, 
$$
|\mathcal{A}
(T)|\simeq X_* (T)\otimes \R \simeq \R^n/\R
$$
et � $(a_1,\dots,a_n)\in \R^n/\R$ est associ� la classe de la norme 
$$
\|\sum_{i=1}^n \l_i e_i \|=\inf \{ v(\l_i)-a_i \;|\; 1\leq i\leq n\; \}
$$

Et en fait on a la r�ciproque  suivante :

\begin{lemm}\label{katea}
Une classe d'�quivalence de normes $[\|.\|]$ est dans l'appartement
associ� � la base $(e_1,\dots,e_n)$ ssi $\forall (x_1,\dots,x_n)\in
F^n$ $\;\; \| \sum_{i=1}^n x_i e_i \|$ ne d�pend que des $v(x_i)$ pour
$1\leq i \leq n$.
\end{lemm}
\dem 
Soit $\|.\|$ une norme comme dans l'�nonc�. Il suffit de montre que pour tout 
$a\in \R$ $\;\{\; x\in V \;|\; |\ x\| \geq a \;\}$ est un r�seau de la
forme $<\pi^{a_1} e_1,\dots ,\pi^{a_n} e_n>$ puisque $[\|.\|]$
est dans l'enveloppe convexe de ces classes de r�seaux lorsque $a$ varie dans
$\R$.
Cela r�sulte du lemme qui suit dont la d�monstration �l�mentaire est
laiss�e au lecteur.
\qed

\begin{lemm}\label{kopghut}
Soit un sous-ensemble $\Delta \subset ( \Z \cup  \{+\infty \}
)^n$. L'ensemble 
$$
\{ \; (x_i)_{1\leq i \leq n} \in F^n \;|\; v(x_i)\in \Delta \;\}
$$
est un r�seau de $F^n$ ssi il existe $(a_1,\dots,a_n)\in \Z^n$ tels
que $\Delta = \{\; (k_1,\dots,k_n)\;|\; \forall i \; k_i \geq a_i \;\}$
\end{lemm}


\subsubsection{Le syst�me de racines affines}


On a vu qu'on peut retrouver les sommets de l'appartement associ� au
tore $T$ � partir de celui-ci et
mettre une structure affine dessus. En fait, � partir du syst�me de
racines associ� on peut retrouver toute la structure simpliciale. 
\\

Soit $\Phi \subset X^* (T)$ le syst�me de racines de $T$ dans $\Lie\,
G$. On appelle racine affine l'ensemble des fonctions 
$$
\Phi_{\text{aff}} = \{\; \a+k\;|\; \a\in \Phi\; k\in \Z\;\}
$$
Soit $x_0\in |\mathcal{A} (T)|$ un sommet (un point sp�cial dans la
terminologie de Bruhat-Tits, mais pour $\text{PGL}_n$ tous les sommets
sont sp�ciaux). Le choix de $x_0$ permet d'identifier $|\mathcal{A}
(T)|$ � $X_* (T)\otimes \R$ et fournit donc un ensemble de fonctions
affines encore appel�es racines affines sur $|\mathcal{A} (T) |$ et
not� $\Phi_{\text{aff}}$. On v�rifie aussit�t que cet ensemble de fonctions
affines ne d�pend pas du choix de $x_0$.

\begin{defi}
Un mur est un hyperplan de la forme $\a^{-1} (\{0\})$ o� $\a\in
\Phi_{\text{aff}}$.
Un demi-appartement est un ensemble de la forme $\a^{-1}([0,+\infty [)$.
\end{defi}

\begin{exem}
Dans l'immeuble de $\text{PGL}_2$ les demi-appartements sont les
demi-droites simpliciales.
\end{exem}

La structure simpliciale se retrouve maintenant de la fa�on suivante.

\begin{defi}
Une facette est une classe dans $|\mathcal{A} (T)|$ pour la relation
d'�quivalence $x\sim y$ si $x$ et $y$ sont contenus dans les m�me
demi-appartements. On met la relation d'ordre suivante sur les
facettes : $F_1<F_2$ si $F_1 \subset \overline{F}_2$.  
\end{defi}

Appelons simplexe ouvert $\{(x_i)_i \in \R_+^d\; |\; \sum_i x_i=1
\text{ et } \forall i \; x_i\neq 0\;\}$. Ainsi pour un complexe
simplicial $\mathcal{C}$, et $\s$ un simplexe de $\mathcal{C}$ on peut
d�finir le simplexe ouvert associ� � $\s$ dans la r�alisation
g�om�trique $|\s |\subset |\mathcal{C}|$. Ces simplexes ouverts
forment une partition de $|\mathcal{C}|$. 

\begin{Fait}
Les facettes s'identifient aux simplexes ouverts dans la r�alisation
g�om�trique du complexe simplicial $\mathcal{A}(T)$. Ce complexe
simplicial s'identifie au complexe simplicial associ� � l'ensemble
ordonn� des facettes.
\end{Fait}

Soit $\Delta$ un ensemble de racines simples dans $\Phi$
associ� � un ordre sur les racines et
$\{\omega_1,\dots,\omega_{n-1}\}$ l'ensemble des copoids fondamentaux
associ� � $\Delta$. Alors, $X_* (T) = <\omega_1,\dots,\omega_{n-1}>$
et un simplexe maximal associ� est 
$$
\text{Conv} (0,\omega_1,\dots,\omega_{n-1}) = \{\; \sum_{i=1}^{n-1} a_i
\omega_i\;|\; a_i\in \R_+ \text{ et } \sum_i a_i \leq 1 \;\} \subset X_* (T)\otimes \R
$$
dont les sommets sont $(0,\omega_1,\dots,\omega_{n-1})$. Les autres
simplexes (les adh�rences des facettes) s'en d�duisent en prenant 
les it�r�s sous le groupe de Weyl affine des faces de ce simplexe.

\begin{figure}[htbp]
   \begin{center}
      \includegraphics{AppartementGL2_II.eps}
   \end{center}
   \caption{\footnotesize Un appartement  de l'immeuble de $\text{PGL}_2$. $\omega =$
     copoids fondamental
     }
   \label{fiportj}
\end{figure}

\begin{figure}[htbp]
   \begin{center}
      \includegraphics{AppartementGL3.eps}
   \end{center}
   \caption{\footnotesize Un appartement  dans l'immeuble de $\text{PGL}_3$
     }
   \label{fiopmds}
\end{figure}

Dans la figure ci-dessous $\omega_1 (t)= (t,1,1)$ et $\omega_2
(t)=(t,t,1)$ sont les copoids fondamentaux associ�s au syst�me de
racines simples $\{\a_1,\a_2\}$ pour le tore diagonal de
$\text{PGL}_3$ o� $\a_1 (t_1,t_2,t_3)= t_1 t_2^{-1}$ et $\a_2
(t_1,t_2,t_3)= t_2 t_3^{-1}$. Les r�seaux indiqu�s sont 
$\La_0=<e_1,e_2,e_2>$, $\La_1=<\pi e_1,e_2,e_3>$, $\La_2=<\pi e_1,\pi e_2,
e_3>$, $\La_3=<\pi^2 e_1, \pi e_2, e_3>$, $\La_4=< e_1,\pi e_2 ,
e_3>$. Le choix fait de la structure euclidienne pour repr�senter
l'appartement de $\text{PGL}_3$ n'est pas quelconque. On a pris, � un
scalaire pr�s, 
l'unique structure euclidienne invariante sous l'action du groupe de Weyl
affine (cf. la section qui suit). Pour cette m�trique les simplexes
sont des triangles �quilat�raux.


\subsubsection{Groupe de Weyl affine}

Soit $T$ un tore d�ploy� maximal dans $G$.

\begin{defi}
On note $W_{\text{aff}} =N(T) (F)/T(F)^1$.
\end{defi}

Le groupe $W_{\text{aff}}$ agit sur $|\mathcal{A}(T)|$ par des
transformations affines. Il y a de plus une suite exacte scindable 
$$
1 \ldrt X_* (T) \ldrt W_{\text{aff}} \ldrt W \ldrt 1
$$
o� $W=N(T)(F)/T(F)$ est le groupe de Weil vectoriel du syst�me de
racines $\Phi$. L'application $W_{\text{aff}}\ldrt W$ s'identifie �
l'application qui � une application affine associe sa partie
vectorielle. Le choix d'une origine $x_0\in\mathcal{A}(T)$ induit un
scindage $W_{\text{aff}} \simeq X_* (T)\rtimes W$ via $W=
\text{Stab}_{W_{\text{aff}}} (x_0)$. L'action de $W_{\text{aff}}$ sur
$|\mathcal{A} (T)|$ permet �galement de retrouver la structure
simpliciale puisque les murs sont exactement les hyperplans fixes des
sym�tries non-triviales dans $W_{\text{aff}}$. Ce complexe simplicial
ne d�pend que du syst�me de Coxeter associ� � $\Phi_{\text{aff}}$. 

On muni $|\mathcal{A} (T)|$ d'une m�trique euclidienne invariante sous 
l'action du groupe de Weyl affine (une telle m�trique est unique � un
scalaire pr�s). 
 Bruhat et Tits montrent qu'une
telle m�trique peut s'�tendre � tout l'immeuble en une m�trique 
$G(F)$-invariante de mani�re � redonner 
la m�trique que l'on a fix�e en restriction aux appartements. 
On renvoie � la section 3 du chapitre 3 de  \cite{DelHus} pour une
formule donnant la distance entre deux normes dans l'immeuble. 

\subsubsection{Une param�trisation des chambres dans un
  appartement}\label{rutoipm}

Soit $\mathcal{A} (T)$ un appartement dans $\mathcal{I}$. Soit $\Phi
\subset X^* (T)$ l'ensemble des racines associ�es et $\Phi^+$ un
ensemble de racines positives associ� au choix d'un sous-groupe de
Borel contenant $T$. Nous allons donner une param�trisation des
simplexes maximaux dans $\mathcal{A}(T)$ comme intersection de
demi-appartements (cf. figure \ref{rutypo}).

\begin{prop}
Fixons une origine dans $\mathcal{A} (T)$ et identifions donc les sommets
de $\mathcal{A} (T)$ � $X_* (T)$. Soit 
$$
A= \{ (b_\a)_{\a\in \Phi_+}\in \Z^{\Phi_+}\;|\; \forall
\a,\b\in\Phi_+\; \a+\b \in \Phi_+ \impl b_{\a+\b} \in \{ b_\a + b_\b,
b_\a+ b_\b +1 \} \;\}
$$
et $B$ l'ensemble des simplexes maximaux (vus comme les collections de leurs
sommets) dans $\mathcal{A} (T)$. Il y a alors une bijection entre $A$
et $B$ donn�e par les deux applications inverses 
\begin{eqnarray*}
A & \ldrt & B \\
(b_\a)_{\a\in \Phi_+} & \longmapsto & \{ x\in X_* (T)\;|\; \forall \a
\in \Phi_+\; \a (x) \in \{ b_\a, b_\a+1\}\;\}
\end{eqnarray*}
et
\begin{eqnarray*}
B & \ldrt & A \\
S &\longmapsto & \left ( \inf \{\a (x)\;|\; x\in S \} \right )_{\a \in \Phi_+}
\end{eqnarray*}
La r�alisation g�om�trique du simplexe associ� � $(b_\a)_\a$ est 
$$
\{ x\in X_* (T)\otimes \R \;|\; \forall \a \in \Phi_+ \; \a (x) \in
[b_\a, b_\a +1]\;\}
$$
\end{prop}
\dem
On peut supposer que $T$ est le tore diagonal de $\text{PGL}_n$
$$
T=\{\text{diag} (t_1,\dots,t_n)\;|\; t_i\in \Gm \}
$$
et que $\Phi_+ = \{ t_i t_j^{-1}\; |\; i<j \}$. On identifie alors
$X_* (T)$ � $\Z^n/\Z$ o� $\Z\hookrightarrow \Z^n$ est le plongement
diagonal. Soit donc une collection d'entiers relatifs $(b_{ij})_{1\leq
  i < j \leq n}$ telle que
$$
\forall i<j<k \;\; b_{ik}\in \{ b_{ij}+b_{jk},b_{ij}+b_{jk}+1\} 
$$
On veut montrer que 
$$
S=\{ (a_1,\dots,a_n)\in\Z^n/\Z\;|\; \forall i<j\; a_j-a_i \in\{ b_{ij}
, b_{ij}+1 \}
$$
est un simplexe maximal et que cela en donne une param�trisation. 
Le point $P=(0,b_{12},\dots, b_{1i},\dots, b_{1n})$ appartient �
$S$. On v�rifie facilement que quitte � translater par $-P$ et
transformer les $b_{ij}$ en $b_{ij}-b_{1j}+b_{1i}$ pour $1<i<j\leq n$
on doit montrer que les simplexes maximaux poss�dant $(0,\dots,0)$
comme sommet sont param�tr�s par 
$$
\{ (b_{ij})_{1\leq i<j\leq n}\;|\; \forall i>1\; b_{1i}=0 \text{ et }
\forall 1\leq i<j<k\; b_{ik}\in \{ b_{ij}+b_{jk},b_{ij}+b_{jk}+1 \} \;\}
$$
Cet ensemble s'identifie � $$
X=\{ (b_{ij})_{1<i<j\leq n}\;|\; \forall i<j\; b_{ij}\in \{ -1,0
\}\text{ et } \forall i<j<k\; b_{ik}\in
\{b_{ij}+b_{jk},b_{ij}+b_{jk}+1\}\; \}
$$
Soit le simplexe maximal
\begin{eqnarray*}
S_0 & = &  \{(0,\dots, 0 ,\underbrace{1,\dots,1}_{i})\;|\; 0 \leq i <n \}
\\
&=& \{ (a_1,\dots,a_n)\;|\; \forall i<j \; a_j-a_i\in\{0,1 \}\;\}
\end{eqnarray*}
qui est associ� � la donn�e $\forall i<j\; b_{ij}=0$.
Les autres simplexes maximaux poss�dant $(0,\dots,0)$ comme sommet
sont les orbites sous le groupe de Weyl $\mathfrak{S}_n$ de $S_0$. De
plus
\begin{eqnarray*}
\forall \s \in \mathfrak{S}_n\;\; \s.S_0 &=& \{
(a_1,\dots,a_n)\in\Z^n/\Z\;|\; \forall i<j\; a_{\s^{-1} (j)}-
a_{\s^{-1} (i)} \in \{0,1 \}\;\} \\
&=& \{ (a_1,\dots,a_n)\in\Z^n/\Z\;|\; \forall i<j\; a_j-a_i\in
\{0,1\}\text{ si } \s^{-1}(i)<\s^{-1} (j) \\
&& \hspace{3.7cm} \text{ et } 
 a_j-a_i\in
\{-1,0\}\text{ si } \s^{-1}(i)>\s^{-1} (j)\;\}
\end{eqnarray*}
Soit donc l'application qui � $\s\in\mathfrak{S}_n$ associe
$(b_{ij})_{1\leq i<j\leq n}$ o�
$$
b_{ij}= \left \{ 0 \text{ si } \s^{-1} (i)< \s^{-1} (j) \atop
-1 \text{ si } \s^{-1} (i)> \s^{-1} (j) 
\right.
$$
Il est asi� de v�rifier que cela d�finit une application
$\mathfrak{S}_n \ldrt X$ qui d'apr�s le lemme qui suit est une
bijection.
\qed

\begin{lemm}
Soit l'application de $\mathfrak{S}_n$ dans l'ensemble des parties de 
$\{(i,j)\;|\; 1 \leq i<j\leq n\}$ qui � $\s$ associe 
$\{i<j\;|\; \s (i) < \s (j)\}$. Elle induit une bijection entre 
$\mathfrak{S}_n$ et
$$
\left \{ B\; | \; { (i,j)\in B\text{ et } (j,k)\in B \impl (i,k)\in B \atop
 (i,j)\notin B\text{ et } (j,k)\notin B \impl (i,k)\notin B}
\;\right \}
$$
\end{lemm}

\begin{figure}[htbp]
   \begin{center}
      \includegraphics{simplexe_inter.eps}
   \end{center}
   \caption{\footnotesize Un simplexe param�tr� par une intersection de demi-appartements
     }\label{rutypo}
\end{figure}

\subsection{Immeuble dual}\label{immdual}

Notons $\mathcal{I} (V)$ l'immeuble de $\text{PGL} (V)$ et
$\mathcal{I} (V^*)$ celui de $\text{PGL} (V^*)$. 

\begin{defi}
Pour  $\La$ un r�seau dans $V$ notons  $\La^\vee =\{ \ph\in V^*\;|\; \ph
(\La) \subset \O_F \}$ le r�seaux dual.
\end{defi}
 
L'isomorphisme de complexes
simpliciaux 
\begin{eqnarray*} 
\mathcal{I} (V) & \ldrt & \mathcal{I} (V^*) \\
{[\La]} & \longmapsto &
[\La^\vee]
\end{eqnarray*}
  s'�tend en
une isom�trie $|\mathcal{I} (V) | \iso |\mathcal{I} (V^*)|$ en posant
pour toute norme $\|.\|$ sur $V$ 
$$
\forall \ph\in V^*\;\;
\|\ph \|^\vee = \inf \{ v(\ph (x)) + \| x\| \; |\; \|x\|\geq 0 \}
$$
qui d�finit une norme $\|.\|^\vee$ sur $V^*$, et d�finit l'isom�trie
$[\|.\|] \longmapsto [\|.\|^\vee ]$. Cette isom�trie transforme
l'action de $g\in \text{PGL} (V)$ en celle de $(\,^t g)^{-1}$ et envoie
les appartements sur des appartements via des isom�tries affines. 



\subsection{Quartiers}

\begin{defi}
Un quartier dans l'appartement $|\mathcal{A} (T)|$ de $|\mathcal{I}|$
est un sous-ensemble ferm� dans $|\mathcal{A}(T)|$ de la forme $x+C$
o� $C$ est une chambre vectorielle dans $X_*(T)\otimes \R$, l'espace vectoriel directeur
de l'espace affine $|\mathcal{A}(T)|$. L'�l�ment $x$ est appel� le
sommet du quartier $x+C$.  
\end{defi}

On renvoie � la figure \ref{quartierfigure}. 

Soit $[\La_0]\in\mathcal{I}$. Soit $Q$ un quartier de sommet
$[\La_0]$ dans $|\mathcal{I}|$. Il existe alors une base
$(e_1,\dots,e_n)$ de $\La_0$ telle que les sommets de $\mathcal{I}$
dans $Q$ soient
$$
\{\; \left [ <\pi^{a_1} e_1,\dots,\pi^{a_n} e_n >\right ] \;|\;
  a_1\geq \dots \geq a_n \; \}
$$
Si $Q$ est un quartier de sommet $x$ dans l'appartement $|\mathcal{A}(T)|$
il existe alors un ensemble de
co-poids fondamentaux $(\omega_1,\dots,\omega_{n-1})$ dans $X_* (T)$ tel
que 
$$
Q= x+   \R_+ \omega_1 + \dots + \R_+ \omega_{n-1}
$$
Les quartiers de sommet $x$ dans l'appartement $\mathcal{A} (T)$ sont en bijection avec les sous-groupes de
Borel de $G$ contenant $T$. A un sous-groupe de Borel est associ� un
ensemble de racines positives, donc de racines simples et  de co-poids fondamentaux.

\begin{figure}[htbp]
   \begin{center}
      \includegraphics{Quartier.eps}
   \end{center}
   \caption{\footnotesize Un quartier  dans l'immeuble de $\text{PGL}_3$
     }
   \label{quartierfigure}
\end{figure}


\subsection{Enclos}\label{enclosA}

\begin{defi}[\cite{BruhatTits1}]
Soit $M$ un sous-ensemble fini de sommets  contenu dans un
appartement $\mathcal{A}(T)$.
On appelle enclos de $M$ l'intersection des demi-appartements dans
$|\mathcal{A}(T)|$ contenant $M$. 
\end{defi}

A priori cette d�finition est ambigu� puisque l'enclos de $M$ semble
d�pendre du choix d'un appartement dans lesquels $M$ est
contenu. Cependant ce n'est pas le cas gr�ce � la proposition
suivante.

\begin{prop}
Soit $M$ comme dans la d�finition pr�c�dente. Alors l'enclos de $M$
est �gal � l'intersection des appartements dans lesquels $M$ est
contenu. Il est aussi �gal � la r�alisation g�om�trique de l'enveloppe
convexe simpliciale de $M$. 
\end{prop}
\dem
Soient $C_1$ l'enclos de $M$, $C_2$ l'intersection des appartements
contenant $M$ et $C_3$ la r�alisation g�om�trique de l'enveloppe
convexe simpliciale. Il est facile de v�rifier ``� la main'' que les
demi-appartements sont des intersections de deux appartements. De plus
l'intersection de deux appartements ainsi que les demi-appartements
sont simplicialement convexes. On en d�duit les inclusions 
$$
C_3  \subset C_2 \subset C_1
$$
Il suffit donc de montrer que si $C$ est la r�alisation g�om�trique
d'un sous-complexe simplicial convexe fini d'un appartement et
$x\notin C$ un
sommet dans cet appartement  il existe alors $\a\in \Phi_{\text{aff}}$
telle que $\a (x)\leq 0$ et $\forall y\in C \; \a (y)\geq 0$. Bien que
p�nible � v�rifier cela ne pose pas de probl�mes.
\qed

\begin{figure}[htbp]
   \begin{center}
      \includegraphics{Enclos.eps}
   \end{center}
   \caption{\footnotesize L'enclos d�limit� par les points $P$ et $Q$ dans l'immeuble de $\text{PGL}_3$
     }
   \label{Enclosfigure}
\end{figure}

\begin{rema}
Pour l'immeuble de $\text{PGL}_2$ l'enclos co�ncide avec l'enveloppe
convexe pour la structure affine de l'appartement, mais en g�n�ral
cette enveloppe convexe affine est contenue strictement dans
l'enveloppe convexe simpliciale. 
\end{rema}

\begin{prop}\ref{Fokkomp}
Soit $S$ un ensemble fini de sommets contenus dans un m�me appartement. Une classe de normes $[\|.\|] \in |\mathcal{I}|$ est dans l'enclos d�limit� par les �l�ments de $S$ ssi pour un
ensemble 
de repr�sentants $\widetilde{S}$ des classes d'homoth�ties des
r�seaux dans  $S$ la fonction $x\mapsto \| x\|$ ne d�pende que des $
\|x\|_\La$, $\La\in \widetilde{S}$. 
\end{prop} 
\dem
Si les �l�ments de $S$ sont contenus dans l'appartement associ�
� la base $(e_1,\dots,e_n)$ de $V$ alors les $\|.\|_{\La}$ ne
d�pendent que des valuations des coordonn�es dans une telle base. La
proposition r�sulte donc du lemme \ref{katea} coupl� � la proposition pr�c�dente.
\qed

\begin{defi}\label{ifgopmu}
Soient $\|.\|_1$ et $\|. \|_2$ deux normes sur $V$. Posons $$\|.\|_1
\wedge \|.\|_2  =
\inf \{ \|.\|_1, \|.\|_2 \}$$ et 
$$
\|.\|_1\vee \|.\|_2 = \left ( \|.\|_1^\vee \wedge \|.\|_2^\vee \right )^\vee
$$
qui d�finit deux op�rations binaires sur les normes sur $V$.
\end{defi}

Ces deux op�rations �tendent les op�rations d'intersection et de sommes de deux r�seaux : 
$$
\|.\|_{\La_1} \wedge \|.\|_{\La_2} = \|.\|_{\La_1\cap \La_2}, \;\;\; \|.\|_{\La_1} \vee \|.\|_{\La_2} = \|.\|_{\La_1 + \La_2}
$$


On peut alors montrer la proposition suivante :

\begin{prop}
 L'enclos d'un ensemble fini de sommets est l'ensemble des classes de
 normes $[\|.\|]$ telle que $\|.\|$ puisse s'obtenir � partir des
 $\|.\|_\La$, $[\La]\in S$ et l'it�ration d'un nombre fini d'op�rations qui sont 
$$
\forall A\in \R\;\;
\|.\| \mapsto \|.\| + A \text{ , } \vee \text{ et } \wedge
$$
\end{prop}


\subsection{Quotients de l'immeuble}

\subsubsection{Quotient par un sous-groupe compact maximal de $\GL_n$} \label{Qdch}

Soit $[\La_0] \in \mathcal{I}$ et $\GL (\La_0)$ ls sous-groupe compact
de $\GL(V)$ associ�. Soit $Q$ un quartier de sommet $[\La_0]$ dans un
appartement contenant $[\La_0]$. Alors, 
$$
Q \hookrightarrow |\mathcal{I} | \twoheadrightarrow \GL (\La_0)
\bc |\mathcal{I} |
$$
induit un isomorphisme 
$$
Q \iso \GL (\La_0) \bc |\mathcal{I} |
$$
qui au niveau des sommets n'est rien d'autre que la d�composition de
Cartan de $\GL_n$
$$
\GL_n (F)= \coprod_{a_1\geq \dots \geq a_n} \GL_n (\O_F)
\text{diag}(\pi^{a_1},\dots,\pi^{a_n}) \GL_n (\O_F)
$$
Cela d�finit une projection 
$$
\text{pr}_Q : |\mathcal{I}| \ldrt Q
$$
Si $Q'$ est un autre quartier de sommet $[\La_0]$ (pas forc�ment dans
le m�me appartement) 
alors la restriction de $\text{pr}_Q$ � $Q'$ induit une isom�trie
affine (au sens o� elle conserve les barycentres) entre $Q'$ et $Q$. 
De plus, si on fixe un �tiquetage des sommets $\e: \mathcal{I} \ldrt
\Z/n\Z$ alors la projection $\text{pr}_Q$ conserve cet
�tiquetage. 
Ainsi si $Q$, resp. $Q'$, est contenu dans l'appartement
$|\mathcal{A}(T)|$, resp . $|\mathcal{A} (T')|$, si 
$$
Q = [\La_0] + \R_+ \omega_1 +\dots + \R_+ \omega_{n-1}, \text{ resp. } 
Q' = [\La_0] + \R_+ \omega_1' +\dots + \R_+ \omega_{n-1}'
$$
pour des co-poids fondamentaux $(\omega_i)_i$ dans $X_* (T)$ , resp.
$(\omega_i')_i$ dans $X_* (T')$, il existe alors une permutation $\s
\in \mathfrak{S}_{n-1}$ telle que 
$$
\forall i\;\; \e ([\La_0]+ \omega_i') = \e ([\La_0] + \omega_{\s (i)})
$$
Cette permutation se calcule en utilisant le fait que $\text{pr}_Q$ conserve un �tiquetage des sommets. 
Alors, via les identifications pr�c�dentes 
\begin{eqnarray*}
\text{pr}_{Q|Q'} : Q' & \ldrt & Q \\
\sum_{i=1}^{n-1} x_i \omega_i' & \longmapsto & \sum_{i=1}^{n-1} x_i
\omega_{\s (i)}
\end{eqnarray*}
Parmi les autres propri�t�s de cette projection on v�rifie que si $S$
est un ensemble de sommets contenus dans un m�me quartier d'un
appartement de $\mathcal{I}$ alors l'image par $\text{pr}_Q$ de
l'enclos de $S$ est l'enclos de $\text{pr}_Q (S)$. 

\subsection{Quotient par un sous-groupe d'Iwahori}

Soit $S$ un simplexe maximal dans $\mathcal{I}$ et 
$$
I= \{ g\in G(F)\;|\; \forall x\in S\; g.x=x \}
$$
le sous-groupe d'Iwahori associ�.

Soit $\mathcal{A}$ un appartement contenant $S$. L'application
compos�e 
$$
|\mathcal{A} | \hookrightarrow |\mathcal{I}| \twoheadrightarrow I\bc |\mathcal{I}|
$$
induit un isomorphisme
$$
|\mathcal{A}| \iso I\bc |\mathcal{I}|
$$


\section{Ramification sup�rieure/inf�rieure dans le cas monog�ne}\label{Ramitofm}

Dans cet appendice nous explicitions les d�finitions d'Abbes et Saito
dans le cas des alg�bres localement intersection compl�te monog�nes,
ce qui est le cas des sous-sch�mas en groupes finis localement libres des groupes
formels de dimension $1$. 


Notons $f$ un polyn�me unitaire s�parable � coefficients dans
un corps valu� complet non-archim�dien $K$ de valuation $v: K\ldrt \R\cup \{+\infty \}$.
 On supposera de plus que $f\in \O_K [T]$.  
Soit $\overline{K}$ une cl�ture alg�brique de $K$.
On note
$$
f(T) = \prod_{i\in I} (T-\a_i)
$$
o� $\forall i\; \a_i\in \O_{\overline{K}}$.

La fonction $f$ d�finit un morphisme �tale fini d'espaces rigides 
$$
f: \mathbb{B}^1\xrig{\text{ �tale fini }} \mathbb{B}^1
$$
Lorsque $f(0)=0$ on va s'int�resser � la fa�on dont varient les
composantes connexes g�om�triques des images r�ciproques des boules de
rayon $\e$ lorsque $\e$ varie dans $[01]$ 
$$
f^{-1} ( \mathbb{B} (0,\e)) \ldrt \mathbb{B} (0,\e)
$$
qui forme une famille de rev�tements �tales finis lorsque $\e$
varie. On va voir que les composantes connexes g�om�triques sont des
boules et que si $f^{-1} ( \mathbb{B} (0,\e))^0$ d�signe la
composantes connexe neutre de $0$ alors
$$
f^{-1} ( \mathbb{B} (0,\e))^0 = \mathbb{B} (0,\psi (\e)) \xrig{\; f\;} \mathbb{B}(0,\e)
$$
o� $\psi$, une fonction de Herbrand, est une fonction convexes affine par morceaux qui se calcule
en termes du polygone de Newton de $f$. 

Cela d�finit une filtration sur les racines de $f$  via 
$$
\e \longmapsto f^{-1} (\{0 \}) \cap f^{-1} ( \mathbb{B} (0,\e))^0
$$
qui lorsque $G=\spec (\O_K[T]/(f(T)))$ est un sch�ma en groupes 
fini localement libre 
de
section unit� donn�e par $T=0$ forme une filtration par des sous-groupes
�tales de $G_\eta$.
Un th�or�me de fibration de Abbes et Saito montre plus g�n�ralement
que cete filtration peut �tre d�finie ind�pendamment d'une
pr�sentation (i.e. dans le cas monog�ne le choix d'un polynome $f$)
pour des alg�bres syntomiques finies.  Nous explicitions donc cete
filtration dans le cas particulier tr�s simple des alg�bres monog�nes.



\subsection{Composantes connexes g�om�triques de $\{x\;|\; v(f(x))\geq \e\}$ }

\begin{defi}
Notons pour tout $\e\in v(\overline{K}^\times)_{\geq 0}\;\; Y^\e= \{ x\in \mathbb{B}^1
(\overline{K}) \;|\; 
v(f(x))\geq \e \}$ comme espace rigide sur $K$ (un ouvert affino�de dans la boule unit�). 
\end{defi}

Si $\mathbb{B} (0,\e) =\{x|v(x)\geq \e\}$
on a donc en termes d'espaces rigides $Y^\e = f^{-1} (\mathbb{B}
(0,\e))$ o� $f:\mathbb{B}^1\ldrt \mathbb{B}^1$. 

\begin{defi}
Soit $\mathcal{R}_{0,\e}$ la relation d'�quivalence  sur $I$ d�finie par
$\forall i,j\in I \; i\underset{\mathcal{R}_{0,\e}}{\sim} j$. 
D�finissons par r�currence sur $k$ la relation d'�quivalence
$\mathcal{R}_{k,\e}$ sur $I$ de la fa�on suivante :
$\mathcal{R}_{k,\e}$ est plus fine que $\mathcal{R}_{k-1,\e}$ d�finie
par 
$$
\forall i,j\in I\;\; i\underset{\mathcal{R}_{k,\e}}{\sim} j \text{ si } 
  i\underset{\mathcal{R}_{k-1,\e}}{\sim} j \text{ et } v(\a_i-\a_j) \geq
  \frac{1}{\text{Card}[i]_{ \mathcal{R}_{k-1,\e}}}
\left ( \e -\sum_{j' \underset{\mathcal{R}_{k-1,\e}}{\nsim} j}
  v(\a_{j'}-\a_j) \right )
$$
o� $[i]_{ \mathcal{R}_{k-1,\e}}$ d�signe la classe d'�quivalence de $i$ pour la
relation $ \mathcal{R}_{k-1,\e}$. 
On note $\mathcal{R}_{\infty,\e}=\mathcal{R}_{k,\e}$ pour $k>>0$ la relation d'�quivalence limite sur
$I$. 
\end{defi}

\begin{lemm}
Notons pour tout $r\in v(\overline{K}^\times)$ et $\a\in \overline{K}$ $\;\mathbb{B}(\a,r)= \{ x\;|\; v(x-\a)\geq r \}$
comme espace rigide sur $\widehat{\overline{K}}$. Les composantes connexes g�om�trique de $Y^\e$ sont des boules  
$$
Y^\e\otimes_K \widehat{\overline{K}} = \coprod_{[i]\in I/\mathcal{R}_{\infty,\e}} \mathbb{B}\left (\a_i,
\frac{1}{[i]_{\mathcal{R}_{\infty,\e}}} (
\e-\sum_{j \underset{\mathcal{R}_{\infty,\e}}{\nsim} i} v(\a_i - \a_j))\right)
$$
\end{lemm}

\begin{rema}
Bien s�r dans le lemme pr�c�dent il est inutile d'aller jusqu'� $\widehat{\overline{K}^\times}$. Il suffit d'�tendre les scalaires � n'importe quelle extension de $K$ contenant toutes les racines de $f$.
\end{rema}

La d�monstration du lemme pr�c�dent repose elle m�me sur le lemme suivant appliqu� de fa�on r�currente.

\begin{lemm}
Soit $J$ un ensemble fini, $(\beta_j)_{j\in J}\in \overline{K}^J$ et
$\eta\in v(\overline{K})_{\geq 0}$. D�finissons la relation d'�quivalence suivante sur $J$ : $j_1\sim j_2$ si $v(\b_{j_1}-\b_{j_2})\geq \frac{\eta}{|J|}$. Alors
$$
\{ x\in\overline{K}\;|\; \sum_{j\in J} v(x-\beta_j)\geq \eta \}
= \coprod_{[j]\in J/\sim } \{ x\in\overline{K}\;|\; \sum_{j'\sim j} v(x-\beta_{j'})\geq \eta - \sum_{j'\nsim j} v(\b_{j}-\b_{j'}) \}
$$
Si $\forall j_1,j_2\in J\; \; j_1\sim j_2$ alors 
$$
\forall j_0\in J\; \;\; \{x\in \overline{K}\;|\; \sum_{j\in J} v(x-\b_j)\geq \eta \} =
\{x\in\overline{K}\;|\; v(x-\beta_{j_0}) \geq \frac{\eta}{|J|}\}
$$
\end{lemm}



\subsection{Dualit� convexe et polygone de Newton}

\begin{defi}
Soit $\psi: \R \ldrt \R \cup \{\infty \}$ une fonction convexe
 semi-continue inf�rieurement. 
 Posons 
$$
\psi^* (s)= \text{sup} \{t\;|\; \psi(\bullet) \geq -s \bullet +t \}
$$
\end{defi}

La fonction $\psi$ se d�duit de $\psi^*$ par 
$$
\psi (t)= \text{sup} \{- xt + \psi^* (x) \;|\; x\in \R \}
$$
(le graphe de $\psi$ est une ``enveloppe'' de droites). On �crit cela sous la forme $\psi=\psi^{**}$. 

\begin{defi}
Notons $\text{Newt}:[0 , \deg f]\ldrt [0,+\infty]$ le polygone de Newton de $f$. Il s'agit d'une fonction convexe lin�aire par morceaux. Si $f=\sum_{k} a_k T^k$ son graphe est l'enveloppe convexe des $(k,v(a_k))_k$. Ses pentes sont les oppos�s des valuations des racines de $f$ (compt�es avec multiplicit�). 
\end{defi}

\begin{lemm}
$$
\text{Newt}^{\,*} (s) = \text{inf} \underbrace{\{v(f(x))\;|\; x\in \overline{K}\;\;\; v(x)\geq s
  \; \}}
_{\text{un intervalle de } v(\overline{K}) }
$$
\end{lemm}
\dem
On v�rifie facilement que 
$$
\inf \{v(f(x))\;|\;x\in\overline{K}\;\; v(x)\geq s\} = \sum_{i\in I} \inf \{ s,v(\a_i) \}
$$
\qed

On a donc en termes de g�om�trie rigide $$f (\mathbb{B} (0,s)) =
\mathbb{B} (0,\text{Newt}^* (s))$$

\subsection{Fonction de Herbrand}

Supposons que $f(0)=0$.

\begin{defi}
Soit  $X^\e$ la composante connexe g�om�trique de $0$ dans
$Y^\e=f^{-1}(\mathbb{B} (0,\e))$. 
\end{defi}


\begin{prop}\label{Ktdvf}
Si l'on pose $\eta (\bullet) = \text{Newt}^{\,*}(\bullet)$ et $ \psi= \eta^{-1}$
on a les �galit� 
$$
X^{\eta(\e)} = \mathbb{B} (0,\e) \; \text{et } \; X^\e= \mathbb{B}(0,\psi (\e))
$$
\end{prop}
\dem
On v�rifie ais�ment que la fonction $\eta : [0,+\infty [\ldrt
[0,+\infty [$ est strictement croissante et que donc $\psi$ est bien
d�finie.  La seconde �galit� r�sulte de la premi�re. On a d'apr�s le
lemme pr�c�dent 
$$
X^{\eta (\e)} = f^{-1} ( f (\mathbb{B} (0,\e)))^0
$$
o� $(-)^0$ d�signe la composante connexe de $0\in \mathbb{B}^1$. Bien s�r 
$\mathbb{B} (0,\e) \subset  f^{-1} ( f (\mathbb{B} (0,\e)))$ et donc 
$\mathbb{B} (0,\e) \subset  f^{-1} ( f (\mathbb{B} (0,\e)))^0$. De
plus on sait qu'il existe $\e'>0$ tel que $f^{-1} ( f (\mathbb{B}
(0,\e)))^0=\mathbb{B} (0,\e')$ avec n�cessairement $\e'\geq \e$. 
 Mais $f (\mathbb{B} (0,\e'))=
\mathbb{B} (0,\eta (\e'))$ or si $\e'>\e \; \eta (\e')>\eta
(\e)$. Donc $\e'=\e$.
\qed
\\

La fonction $\eta$ se calcule de fa�on usuelle par une int�grale :

\begin{lemm}
$$
\eta (s)= \int^s_0 \text{Card} \left ( f^{-1} (0) \cap \mathbb{B} (0,s) \right ) ds
$$
\end{lemm}

\begin{lemm}\label{korTo}
 Soient $f$ et $g$ deux polyn�mes comme pr�c�demment. Alors 
$$
\text{Newt}_{f\circ g}^{\,*} = \text{Newt}_f^{\,*} \circ (\text{Newt}_g^{\,*})
$$
En particulier $\text{Newt}_f$ et $\text{Newt}_g$ d�terminent
compl�tement $\text{Newt}_{f\circ g}$. La fonction $\eta$ associ�e �
$f\circ g$ est la compos�e de celle associ�e � $f$ avec celle associ�e
� $g$.  
\end{lemm}
\dem
On a 
$$
(f\circ g) (\mathbb{B} ( 0,\e)) = f ( \mathbb{B} ( 0, \text{Newt}_g^*
(\e))) = \mathbb{B}\left ( 0, \text{Newt}_f^* ( \text{Newt}_g^*
  (\e))\right )
$$
qui est �gal � $\mathbb{B} ( 0, \text{Newt}_{f\circ g}^* (\e))$. 
\qed

\subsection{La filtration de ramification des sch�mas en groupes monog�nes}

Soit $G=\spec ( \O_K [T] /(f))$ o� $f(T)=T\prod_i (T-\a_i)$ un sch�ma
en groupe fini localement libre sur $\O_K$ dont l'alg�bre est monog�ne.

\begin{rema}
Soit $H$ un groupe formel $p$-divisible sur $\O_K$ et $G\subset H$ un sous-groupe fini localement libre. Alors l'alg�bre de $G$ est monog�ne.  En effet, apr�s un bon choix de coordonn�es formelles $T$ � la source et au but l'isog�nie de groupes formels $H\ldrt H/G$ s'�crit $T\longmapsto f(T)$ pour un polyn�me unitaire $f$.  
\end{rema}

\begin{defi}
On pose $G_a= \{ \a_i \; |\; v(\a_i)\geq a\; \}$ vu comme sous-groupe
�tale de $G_\eta$. On note �galement $G_a= \spec (\O_K [T]/(T\prod_{i,
  v(\a_i)\geq a} (T-\a_i)))$ son adh�rence sch�matique dans $G$. On
pose $G^a = G_{\psi (a)}$ o� $\psi$ est la fonction de Herbrand
associ�e � $f$. 
\end{defi}

D'apr�s la proposition \ref{Ktdvf}
le groupe $G^a$ est celui d�fini par Abbes et Saito, et �tudi� par
Abbes-Mokrane (\cite{AbbesMokrane}). 
 


\begin{prop}\label{zuytok}
Soit $\ph : H_1\ldrt H_2$ une isog�nie de groupes formels $p$-divisibles de dimension
1 sur $\O_K$. Soit $G\subset H_1$ plat fini et $\ph (G)$ l'adh�rence sch�matique de $\ph (G_\eta)$. Alors
$$
\forall a\;\; \ph (G^a)  = \ph (G)^a
$$
\end{prop}
\dem
Posons $G=\spec ( \O_K [T]/ (f\circ g))$, $\ph (G)= \spec (\O_K [T]/
(f))$ et $\ph : G \ldrt \ph (G)$ donn� au niveau des alg�bres par
$T\mapsto g(T)$. Alors, 
$G^a$ est la composante connexe de $0$ dans $U=\{y\in \mathbb{B}^1
(\overline{K}) \;|\; v (f\circ g (y))\geq a \}$ et $\ph (G)^a$ la
composante connexe de $0$ dans $V= \{y\in \mathbb{B}^1
(\overline{K}) \;|\; v (f (y))\geq a \}$. Il est clair que $\ph (V)
\subset U$. De plus l'image par $\ph$ de la composante connexe contenant $0$ de
$V$ est
encore connexe, contient z�ro, et donc est contenue dans $\ph (G)^a$. Donc 
$\ph (G^a)  \subset \ph (G)^a$. Pour l'autre inclusion il suffit de
voir qu'�tant donn� que $\ph$ induit un morphisme �tale fini d'espaces
rigides le morphisme $\ph_{|V} : V\ldrt U$ est �tale fini et qu'il
l'est donc encore en restriction � chacune des composantes
connexes. Or un morphisme �tale fini entre espaces rigides connexes
est surjectif. 
\qed
\vspace{7mm}

Les groupes de ramifications sup�rieures se comportent donc bien par
isog�nies, mais sont moins concrets que ceux de ramification
inf�rieure.
Certains des calculs de cet article se ram�nent donc en fait � jouer
sur les deux plans en passant de la ramification inf�rieure � la
ramification
sup�rieure. 

\bibliographystyle{plain}
\bibliography{biblio}
\end{document}

Squelette.bbl
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