Minoration conforme du spectre du laplacien de Hodge-de~Rham
Pierre Jammes
minconf.tex
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\title{Minoration conforme du spectre du laplacien de Hodge-de~Rham}
\author{Pierre Jammes}
\date{}
\begin{document}
\maketitle
{\small 
\textsc{R�sum�.---}
Soit $M^n$ une vari�t� compacte de dimension $n\geq3$. Pour toute
classe conforme $C$ de m�triques riemanniennes sur $M$, on pose 
$\mu_k^c(M,C)=\inf_{g\in C}\mu_{\left[\frac n2\right],k}(M,g)
\Vol(M,g)^{\frac2n}$, o� $\mu_{p,k}(M,g)$ est la $k$-i�me valeur propre 
du laplacien de Hodge-de~Rham agissant sur les $p$-formes coexactes. 
On d�montre que $0<\mu_k^c(M,C)\leq\mu_k^c(S^n,[g_\textrm{can}])\leq 
k^{\frac2n}\mu_1^c(S^n,[g_\textrm{can}])$. On montre aussi que
si $n=0,2,3\textrm{ mod }4$ et si $g$ est une metrique lisse telle que 
$\mu_{\left[\frac n2\right],1}(M,g)\Vol(M,g)^{\frac2n}=\mu_1^c(M,[g])$,
alors il existe une forme propre non nulle de degr� $\left[\frac{n-1}2\right]$
et de valeur propre $\mu_1^c(M,[g])$ qui est de longueur constante. 
En cons�quence, il n'existe pas de m�trique extr�male lisse si $n=4$ et
que la caract�ristique d'Euler de $M$ est non nulle.

Mots-clefs : formes diff�rentielles, laplacien, m�triques conformes,
in�galit�s de Sobolev.

\medskip
\textsc{Abstract.---}
Let $M^n$ be a $n$-dimensional compact manifold, with $n\geq3$. For any 
conformal class $C$ of riemannian metrics on $M$, we
set $\mu_k^c(M,C)=\inf_{g\in C}\mu_{\left[\frac n2\right],k}(M,g)
\Vol(M,g)^{\frac2n}$, where $\mu_{p,k}(M,g)$ is the $k$-th 
eigenvalue of the Hodge laplacian acting on coexact $p$-forms.  
We prove that $0<\mu_k^c(M,C)\leq \mu_k^c(S^n,[g_\textrm{can}])\leq
 k^{\frac2n}\mu_1^c(S^n,[g_\textrm{can}])$. We also prove that if $g$
is a smooth metric such that $\mu_{\left[\frac n2\right],1}(M,g)
\Vol(M,g)^{\frac2n}=\mu_1^c(M,[g])$, and $n=0,2,3\textrm{ mod }4$, then 
there is a non-zero corresponding eigenform of degree 
$\left[\frac{n-1}2\right]$ with constant length. As a
corollary, on a 4-manifold with non vanishing Euler characteristic,
there is no such smooth extremal metric. 

Keywords : differential forms, laplacian, conformal metrics, Sobolev
inequalities.

MSC2000 : 35P15, 58J50}



\section{Introduction}
Soit $(M,g)$ une vari�t� riemannienne compacte connexe orientable
de dimension $n$. 
On consid�re le laplacien de Hodge-de~Rham agissant sur l'espace
$\Omega^p(M)$ des $p$-formes diff�rentielles sur $M$ et d�fini par 
$\Delta=\de\codiff+\codiff\de$ o� la codiff�rentielle $\codiff$ est
l'adjoint $L^2$ de $\de$. Le spectre de cet 
op\'erateur forme un ensemble discret de nombres positifs ou nuls qu'on
notera
$$0=\lambda_{p,0}(M,g)<\lambda_{p,1}(M,g)\leq\lambda_{p,2}(M,g)\leq\dots,$$
o� la multiplicit� de $\lambda_{p,0}(M,g)$ est le $p$-i�me nombre de
Betti de $M$, les autres valeurs propres �tant r�p�t�e s'il y a 
multiplicit�.

L'�tude du laplacien agissant sur les fonctions, c'est-�-dire du cas $p=0$, 
montre qu'� volume fix�, on peut choisir la m�trique de mani�re � rendre 
les valeurs propres arbitrairement grande (voir \cite{cd94}). mais
que ce n'est pas le cas si on impose � la m�trique d'appartenir � une
classe conforme donn�e, c'est-�-dire que si $C$ est une classe
conforme de m�trique riemannienne sur $M$, alors
\begin{equation}\label{intro:eq1}
\sup_{g\in C}\lambda_{0,k}(M,g)\Vol(M,g)^{\frac2n}<+\infty,
\textrm{ pour tout }k.
\end{equation}
Cette majoration a �t� d�montr�e par A.~El~Soufi et S.~Ilias pour $k=1$
(\cite{esi86}), et g�n�ralis�e par N.~Korevaar dans \cite{ko93}. On
peut par ailleurs facilement montrer que $\inf_{g\in C}\lambda_{0,k}(M,g)
\Vol(M,g)^{\frac2n}=0$.

Le laplacien agissant sur les formes diff�rentielles de degr� quelconque
a �t� moins �tudi�. B.~Colbois et A.~El~Soufi ont cependant montr�
r�cemment que l'in�galit� (\ref{intro:eq1}) ne se g�n�ralise pas:
\begin{theo}[\cite{ces06}]\label{intro:th1}
Si $M$ est une vari�t� riemannienne compacte et $C$ une classe conforme sur 
$M$, alors
\begin{equation}
\sup_{g\in C}\inf_{2\leq p\leq n-2}\lambda_{p,1}(M,g)\Vol(M,g)^{\frac2n}=
+\infty.
\end{equation}
\end{theo}
Comme la diff�rentielle $\de$ commute avec le laplacien, le
spectre des $1$-formes contient le spectre des fonctions, on peut
donc majorer $\lambda_{1,k}$ comme dans (\ref{intro:eq1}), et il
en va de m�me pour les $n-1$ formes par dualit� de Hodge.

Le th�or�me \ref{intro:th1} conduit naturellement � se demander si on
peut faire tendre les valeurs propres du laplacien de Hodge-de~Rham
vers z�ro dans une classe conforme et � volume fix�, comme c'est le cas
pour les fonctions:
\begin{question}[\cite{co04}]\label{intro:q1}
�tant donn�s $2\leq p\leq n-2$ et $k\geq1$, a-t-on
\begin{equation}
\inf_{g\in C}\lambda_{p,k}(M,g)\Vol(M,g)^{\frac2n}=0\ ?
\end{equation}
\end{question}
 On montre ---~entre autres choses~--- dans \cite{ja06} que la r�ponse est 
positive pour tout $p$ et $k$
si la dimension $n$ est impaire, et pour tout $k$ et tout $p\neq\frac n2$
si $n$ est pair. Plus pr�cis�ment, si on se restreint aux formes 
diff�rentielles coexactes, la technique utilis�e �choue en degr� $\frac n2$ et
$\frac n2-1$ si la dimension est paire, et en degr� $\left[\frac n2\right]$
si la dimension est impaire, la question \ref{intro:q1} restant ouverte
dans ces cas.

Nous allons ici achever de r�pondre � la question \ref{intro:q1} en montrant
que dans les cas restants, on peut en fait minorer uniform�ment le spectre
des formes coexactes, le volume et la classe conforme �tant fix�s, par
une constante strictement positive. La r�ponse � la question \ref{intro:q1}
d�pend donc en g�n�ral du degr� $p$.

Nous nous appuieront sur l'existence d'in�galit�s de Sobolev pour les
formes diff�rentielles, et en particulier de l'in�galit� suivante,
dont on peut par exemple trouver la d�monstration dans \cite{gt05}:
\begin{theo}
Soit $(M,g)$ une vari�t� compacte de dimension $n$, et $r,s\in]1,+\infty[$
deux r�els tels que $1/s-1/r=1/n$.
Il existe une constante $c(M,g,r,s)>0$ telle que pour toute $p$-forme 
$\theta\in\Omega^p(M,g)$, on a
\begin{equation}\label{intro:eq2}
\inf_{\de\zeta=0}\|\theta-\zeta\|_{L^r}\leq c\|\de\theta\|_{L^s}.
\end{equation} 
\end{theo}
\begin{remarque}
La d�monstration donn�e dans \cite{gt05} �tant en grande partie
non constructive, elle ne fournit aucune estim�e de la constante $c$.
\end{remarque}
Dans le cas o� $r=\frac np$ et $s=\frac n{p+1}$, les normes 
$\|\theta-\zeta\|_r$ et $\|\de\theta\|_s$ sont conform�ment invariantes,
et donc la constante $c$ optimale dans l'in�galit� (\ref{intro:eq2})
en restriction aux $p$-formes est un invariant conforme, qu'on notera
\begin{equation}
K_p(M,[g])=\sup_{\theta\in\Omega^p(M)}\inf_{\de\zeta=0}
\frac{\|\theta-\zeta\|_{\frac np}}{\|\de\theta\|_{\frac n{p+1}}},
\end{equation}
o� $[g]=\{h^2g, h\in C^\infty(M), h>0\}$ d�signe la classe conforme de $g$.

On va donner une minoration uniforme du spectre du laplacien de 
Hodge-de~Rham en fonction de la constante $K_p$. On notera 
$0<\mu_{p,1}(M,g)\leq\mu_{p,2}(M,g)\leq\ldots$ le spectre du laplacien
en restriction aux $p$-formes coexactes. Rappelons que la spectre
non nul $(\lambda_{p,k}(M,g))_{k\geq1}$ du laplacien sur les $p$-formes
est la r�union des spectres $(\mu_{p,k}(M,g))$ et $(\mu_{p-1,k}(M,g))$.
\begin{theo}\label{intro:th2}
Soit $M^n$ une vari�t� compacte de dimension $n\geq3$, $C$ une classe
conforme de m�triques sur $M$. Pour
toute m�trique $g\in C$, on a
$$\mu_{\left[\frac n2\right],1}(M,g)\Vol(M,g)^{\frac2n}\geq 
K_{\left[\frac n2\right]}(M,C)^{-2}.$$
Si $n$ est pair, cette in�galit� est optimale. 
\end{theo}
\begin{remarque} La th�orie de Hodge nous dit que si $n$ est pair, alors
$\mu_{\frac n2-1,i}(M,g)=\mu_{\frac n2,i}(M,g)$ 
pour tout $i\geq1$. Comme on l'a d�j� remarqu�, pour tous les autres 
degr�s $p$, on sait faire tendre
$\mu_{p,i}(M,g)$ vers z�ro � volume fix� dans la classe conforme $C$. 
On a donc bien compl�tement r�pondu � la question \ref{intro:q1}.
\end{remarque}

Dans \cite{ces03} B.~Colbois et A.~El~Soufi d�finissent un �~spectre
conforme~� pour les fonctions par $\lambda_k^c(M,C)=\sup_{g\in C}
\lambda_{0,k}(M,g)\Vol(M,g)^{\frac2n}$. On peut d�finir de la m�me mani�re 
un spectre conforme pour les formes diff�rentielles par 
\begin{equation}
\mu_k^c(M,C)=\inf_{g\in C}\mu_{\left[\frac n2\right],k}(M,g)
\Vol(M,g)^{\frac2n}.
\end{equation}

 La th�or�me \ref{intro:th2} soul�ve naturellement la question de 
l'existence de m�triques lisses r�alisant $\mu_k^c(M,C)$, en particulier 
pour $k=1$. On peut �tablir le crit�re suivant :
\begin{theo}\label{intro:th3}
Soit $g$ une m�trique lisse de volume~1 sur $M$ telle que 
$\mu_{\left[\frac n2\right],1}(M,g)=\mu_1^c(M,[g])$. Si $n=3\textrm{ mod }4$,
alors il existe une $\left[\frac n2\right]$-forme propre coexacte non nulle
de valeur propre $\mu_1^c(M,[g])$ et
de longueur constante. Si $n$ est pair, toutes les formes propres coexacte 
de degr� $\frac n2-1$ et de valeur propre $\mu_1^c(M,[g])$ sont de 
longueur constante.
\end{theo}
\begin{remarque}
On sait que pour les fonctions, la m�trique canonique de la sph�re
maximise la premi�re valeur propre dans sa classe conforme (\cite{esi86}).
En revanche les premi�res formes propres des formes
diff�rentielles pour cette m�trique ne sont pas de longueur constante
(voir l'appendice de \cite{GM75}). En g�n�ral, les m�triques extr�males ne
sont donc pas les m�mes pour les formes et les fonctions.
\end{remarque}
On peut d�duire du th�or�me \ref{intro:th3} qu'en dimension~4, 
il y a une obstruction topologique � l'existence de m�triques
r�alisant l'infimum $\mu_1^c(M,C)$:

\begin{cor}\label{intro:cor}
 Si $M$ est une vari�t� compacte de dimension~4 et de
caract�ristique d'Euler non nulle, il n'existe pas de m�trique r�guli�re
$g$ de volume~1 telle que $\mu_{1,1}(M,g)=\mu_1^c(M,[g])$.
\end{cor}

Enfin, on va donner une majoration du spectre conforme 
$(\mu_k^c(M,C))_{k\geq1}$:
\begin{theo}\label{intro:th4}
Pour toute classe conforme $C$ sur la vari�t� compacte $M$ et tout $k\geq1$, 
on a
$$\mu_k^c(M,C)\leq\mu_k^c(S^n,C_\textrm{\emph{can}})\leq k^{\frac2n}
\mu_1^c(S^n,C_\textrm{\emph{can}}),$$
o� $C_\textrm{\emph{can}}$ est la classe conforme de la m�trique canonique 
de la sph�re.
\end{theo}

Il existe une minoration semblable � celle du th�or�me \ref{intro:th2}
pour l'op�rateur de Dirac (voir \cite{lo86} et \cite{am03}). L'�tude
de m�triques extr�males pour cet op�rateur a �t� d�velopp�e par
B.~Ammann dans \cite{am03b}, o� il montre entre autres l'optimalit�
de l'�quivalent spinoriel du th�or�me \ref{intro:th2}. Cependant,
les techniques utilis�es ne sont en g�n�ral pas imm�diatement
transposables au cas des formes diff�rentielles; en particulier l'�volution 
de l'op�rateur de Dirac au cours d'une d�formation conforme s'exprime
beaucoup plus simplement que celle du laplacien de Hodge-de~Rham.

Les th�or�mes \ref{intro:th2} et \ref{intro:th3} et le corollaire
\ref{intro:cor} seront d�montr�s dans
la section \ref{min} et le th�or�me \ref{intro:th4} dans la section
\ref{maj}.


\section{Extremum du spectre}\label{min}
On va voir ici comment l'in�galit� de Sobolev (\ref{intro:eq2})
permet de minorer le spectre.

\begin{demo}[du th�or�me \ref{intro:th2}] 
Pour commencer, on consid�rera le cas o� la dimension $n$ est paire.

Soit $\theta$ une forme propre coexacte de degr� $\frac n2$, de valeur 
propre $\lambda$. On sait que $\|\de\theta\|_2^2=\lambda\|\theta\|_2^2$,
et en supposant que la m�trique $g$ sur $M$ est de volume~1, on peut en outre 
�crire $\|\de\theta\|_2^2\geq\|\de\theta\|_{\frac{2n}{n+2}}^2$ (in�galit�
de H�lder). L'in�galit�
de Sobolev (\ref{intro:eq2}), en conjonction avec le fait $\theta$
minimise la norme $L^2$ parmi les primitives de $\de\theta$, assure alors que
\begin{eqnarray}
\|\theta\|_2^2&\leq&K_{\frac n2}(M,[g])^2\|\de\theta\|_{\frac{2n}{n+2}}^2
\leq K_{\frac n2}(M,[g])^2\|\de\theta\|_2^2\nonumber\\
&\leq& K_{\frac n2}(M,[g])^2 \lambda\|\theta\|_2^2.
\end{eqnarray}
On a donc bien $\lambda\geq K_{\frac n2}(M,[g])^{-2}$.

En dimension paire, on peut aussi montrer que cette minoration est optimale.
Soit $\varepsilon>0$, et $\theta$ une $\frac n2$-forme coexacte telle que
$\|\de\theta\|_{\frac{2n}{n+2}}=1$ et
\begin{equation}
K_{\frac n2}(M,[g])-\varepsilon\leq\|\theta\|_2\leq K_{\frac n2}(M,[g]).
\end{equation}

Supposons dans un premier
temps que la forme $\de\theta$ soit partout non nulle. Sa longueur
est donc partout non nulle et on peut d�finir une nouvelle m�trique
par $g_h=h^2g$ avec $h=|\de\theta|^{\frac2{n+2}}$; on notera
$|\cdot|_h$ et $\|\cdot\|_{p,h}$ les normes ponctuelle et $L^p$ pour
cette m�trique. Le volume pour la nouvelle m�trique est 
$\Vol(M,g_h)=\int_M h^n\de v_g=
\|\de\theta\|_{\frac{2n}{n+2}}^{\frac{2n}{n+2}}=1$, et surtout la longueur
de la forme $\de\theta$ pour la m�trique $g_h$ est constante: en effet, 
$|\de\theta|_h=h^{-(\frac n2+1)}|\de\theta|=1$. La forme $\theta$
�tant de degr� $\frac n2$, elle est coexacte quel que soit le choix de
la m�trique dans $[g]$,
on peut donc facilement majorer $\mu_{\frac n2,1}(M,g_h)$ � l'aide de 
son quotient de Rayleigh:
\begin{equation}\label{min:eq1}
\mu_{\frac n2,1}(M,g_h)\leq\frac{\|\de\theta\|_{2,h}^2}{\|\theta\|_{2,h}^2}=
\frac{\|\de\theta\|_{\frac{2n}{n+2},h}^2}{\|\theta\|_{2,h}^2}\leq
(K_{\frac n2}(M,[g])-\varepsilon)^{-2}.
\end{equation}
En passant � la limite quand $\varepsilon\to0$, on obtient bien que
$\mu_1^c(M,[g])=K_{\frac n2}(M,[g])^{-2}$.

Si la forme $\de\theta$ n'est pas partout non nulle, on doit modifier 
l�g�rement la d�monstration. On se donne un r�el $\delta>0$ et on pose
$h=(|\de\theta|+\delta)^{\frac2{n+2}}$. On a alors
$|\de\theta|_h=\frac{|\de\theta|}{|\de\theta|+\delta}\leq1$, et donc
$\|\de\theta\|_{2,h}\leq\|\de\theta\|_{\frac{2n}{n+2},h}$. Comme
$\Vol(M,g_h)\to1$ quand $\delta\to0$, on retrouve l'in�galit� (\ref{min:eq1})
en passant � la limite.

Consid�rons maintenant la situation o� $n$ est impaire. Soit $\theta$
une forme propre coexacte de degr� $\left[\frac n2\right]$ et de
valeur propre $\lambda$. Par d�finition de $K_p$, pour tout $\varepsilon>0$,
il existe une forme $\theta'$ de degr� $\left[\frac n2\right]$ telle que
$\|\theta'\|_{\frac{2n}{n-1}}\leq(K_{\frac n2}(M,[g])+\varepsilon)
\|\de\theta\|_{\frac{2n}{n+1}}$. On a par cons�quent
\begin{eqnarray}
\|\theta\|_2^2&\leq&\|\theta'\|_2^2\leq\|\theta'\|_{\frac{2n}{n-1}}^2
\leq(K_{\frac n2}(M,[g])+\varepsilon)^2\|\de\theta\|_{\frac{2n}{n+1}}^2
\nonumber\\
&\leq&(K_{\frac n2}(M,[g])+\varepsilon)^2\|\de\theta\|_2^2.
\end{eqnarray}
En passant � la limite quand $\varepsilon\to0$, on obtient la m�me conclusion
qu'en dimension paire.
\end{demo}

On va maintenant �tablir le crit�re du th�or�me \ref{intro:th3} pour
l'existence de m�triques extr�males.

\begin{demo}[du th�or�me \ref{intro:th3}]
 On se donne une m�trique $g$ sur $M$ de volume~1 telle que 
$\mu_{\left[\frac n2\right],1}(M,g)=\mu_1^c(M,[g])$. On va ici encore donner 
deux d�monstrations distinctes selon la parit� de la dimension. 

Dans le cas o� la dimension $n$ est paire, il est commode de raisonner
sur la longueur de formes propres exactes de degr� $\frac n2+1$ et
de conclure par dualit� de Hodge: si $\omega$ est une forme propre
coexacte de degr� $\frac n2-1$, alors $*\omega$ est une forme propre
exacte de degr� $\frac n2+1$ de m�me longueur et de m�me valeur propre.

Consid�rons donc une forme propre exacte $\omega$ de degr� $\frac n2+1$ et
de valeur propre $\mu_{\left[\frac n2\right],1}(M,g)$, et notons $\varphi$
la forme propre coexacte de degr� $\frac n2$ telle que $\de\varphi=\omega$.
On va �tudier les variations du quotient de Rayleigh de $\varphi$ pour
des petites d�formations conformes de la m�trique. On se donne une
fonction $u\in C^\infty(M)$, et on d�finit pour tout $\varepsilon>0$ petit 
la m�trique $g_\varepsilon=(1+\varepsilon u)^2g$. On peut imposer les 
conditions de normalisation que la volume reste constant au 1\ier~ordre
par rapport � $\varepsilon$ c'est-�-dire que $\int_M u\de v_g=0$,
et que $\|\varphi\|_2=1$.

Comme $\varphi$ est de degr� $\frac n2$, elle reste coexacte et de norme~1
quel que soit~$\varepsilon$. Le d�veloppement de son quotient de Rayleigh
est
\begin{eqnarray}
R_{g_\varepsilon}(\varphi)&=&\|\omega\|_{2,\varepsilon}^2=
\int_M|\omega|_{g_\varepsilon}^2\de v_{g_\varepsilon}=
\int_M|\omega|^2(1+\varepsilon u)^{-2}\de v_g\nonumber\\
&=&\int_M|\omega|^2\de v_g-2\varepsilon\int_M u|\omega|^2\de v_g
+o(\varepsilon).
\end{eqnarray}
Comme la m�trique $g$ minimise $\mu_{\left[\frac n2\right],1}(M,g)$
dans sa classe conforme, le terme d'ordre~1 du d�veloppement pr�c�dent est
nul, c'est-�-dire que $\int_M u|\omega|^2\de v_g=0$, quelle que soit
la fonction $u$ d'int�grale nulle, ce qui n'est possible que si $|\omega|$
est constant.

Traitons maintenant le cas o� $n=3\textrm{ mod }4$. On va en fait
raisonner sur l'op�rateur $(*\de)$ agissant sur l'espace des formes
coexactes de degr� $\left[\frac n2\right]$. C'est un op�rateur autoadjoint
qui est une racine carr�e du laplacien et qui laisse stable les espaces 
propres de $\Delta$. Pour chaque valeur propre $\mu$ du laplacien sur cet
espace, l'espace propre associ� est donc un espace propre de $(*\de)$ ou 
se d�compose en la somme orthogonale de deux espaces propres de 
$(*\de)$ de valeurs propres $\sqrt\mu$ et $-\sqrt\mu$. Une forme
propre $\varphi$ de $(*\de)$ a la particularit� de v�rifier 
$|\de\varphi|=\sqrt\mu|\varphi|$ en tout point. On note $\omega$
une forme propre coexacte du laplacien de norme~1,
de valeur propre $\mu_{\left[\frac n2\right],1}(M,g)$ et qui est aussi
forme propre de $(*d)$,
et on va calculer le d�veloppement au 1\ier~ordre du quotient de Rayleigh 
(pour le laplacien) de $\omega$ par rapport � $\varepsilon$. 

Remarquons d'abord qu'au 1\ier~ordre, la norme 
$\|\codiff\omega\|_{g_\varepsilon}^2$ est nulle: en effet, 
$\|\codiff\omega\|_{g_\varepsilon}=\|\de*_{g_\varepsilon}\omega
\|_{g_\varepsilon}=\|\de[(1+\varepsilon u)*_g\omega]\|_{g_\varepsilon}=
\varepsilon\|(1+\varepsilon u)^n\de u\wedge*\omega\|_g$. On peut alors �crire 
\begin{eqnarray}
R_{g_\varepsilon}(\omega)&=&\frac{\|\de\omega\|_{g_\varepsilon}^2}
{\|\omega\|_{g_\varepsilon}^2}+o(\varepsilon)\nonumber\\
&=&\frac{\int_M|\de\omega|_g^2(1+\varepsilon u)^{-1}\de v_g}
{\int_M|\omega|_g^2(1+\varepsilon u)\de v_g}+o(\varepsilon)\nonumber\\
&=&\|\de\omega\|_g^2-\varepsilon\int_Mu(|\de\omega|^2+
\|\de\omega\|^2|\omega|^2)\de v_g.
\end{eqnarray}
 On conclut comme dans le cas de la dimension paire en utilisant le fait
que $|\de\omega|^2=\|\de\omega\|^2|\omega|^2$ en tout point.
\end{demo}
\begin{remarque}
Si $n=1\textrm{ mod }4$, la d�monstration pr�c�dente n'est pas valide car
l'op�rateur $(*\de)$ n'est pas autoadjoint.
\end{remarque}

\begin{demo}[du corollaire \ref{intro:cor}]
Il suffit de remarquer qu'en dimension~4, L'existence d'une m�trique
extr�male implique l'existence d'une $1$-forme partout non nulle, et
donc que la caract�ristique d'Euler est nulle.
\end{demo}

\section{Majoration du spectre conforme}\label{maj}

Pour finir, nous allons d�montrer les majorations du spectre conforme
�nonc�es dans l'introduction.

\begin{demo}[du th�or�me \ref{intro:th4}]%
Pour d�montrer l'in�galit� $\mu_k^c(M,C)\leq\mu_k^c(S^n,C_\textrm{can})$,
on va montrer qu'on peu faire tendre le spectre et le volume de $M$ vers 
celui d'une sph�re dans la classe conforme $C$. On s'appuiera sur
un th�or�me de convergence de spectre obtenu par C.~Ann� et B.~Colbois 
dans \cite{ac95} pour les vari�t�s compactes reli�es par des anses fines
qu'on appliquera � la vari�t� $M$ reli�e par une anse � une sph�re
(voir figure \ref{demo:anses}). 
\begin{figure}[h]
\begin{center}
\begin{picture}(0,0)%
\includegraphics{anses}%
\end{picture}%
\setlength{\unitlength}{4144sp}%
%
\begingroup\makeatletter\ifx\SetFigFont\undefined%
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  \fontfamily{#3}\fontseries{#4}\fontshape{#5}%
  \selectfont}%
\fi\endgroup%
\begin{picture}(3706,1186)(1518,-1532)
\end{picture}%
\end{center}
\caption{\label{demo:anses}}
\end{figure}

Plus pr�cis�ment, on consid�re une m�trique $g\in C$
sur $M$ telle que $\mu_{\left[\frac n2\right],1}(M,g)>
\mu_k^c(S^n,C_\textrm{can})$, et pour tout r�el $\delta>0$ et tout entier
$k\geq1$, on se donne une m�trique $g_{k,\delta}$ sur la sph�re $S^n$
conforme � la m�trique canonique telle que 
$\mu_{\left[\frac n2\right],k}(S^n,g_{k,\delta})\leq
\mu_k^c(S^n,C_\textrm{can})+\delta$ et $\Vol(S^n,g_{k,\delta})=1$.
On fixe deux points $x\in M$ et $y\in S^n$ qui seront les points d'attache 
de l'anse, et on d�forme les m�triques
$g$ et $g_{k,\delta}$ en des m�triques $g_\delta$ et $g_{k,\delta}'$
telles que $g_\delta$ (resp. $g_{k,\delta}'$) soit euclidienne sur
une boule de centre $x$ (resp. $y$) et de rayon $\delta$ et que 
$g_{k,\delta}'$ soit conforme � $g_{k,\delta}$ (c'est possible puisque 
la m�trique canonique de la sph�re est conform�ment plate).
En suivant un proc�d� d�j� utilis� dans \cite{ces06} et \cite{ja06}, 
on d�forme ensuite la m�trique sur la boule euclidienne de centre $x$ afin 
d'obtenir la figure \ref{demo:anses}: pour tout $0<\varepsilon\leq\delta$, on 
d�finit une fonction $h_{1,\varepsilon}$ sur $M$ par $h_{1,\varepsilon}=1$ 
en dehors de la boule de centre $x$, et 
\begin{equation}\label{demo:cyl}
h_{1,\varepsilon}(r)=\left\{\begin{array}{ll}
e^{\frac L\varepsilon}&\textrm{si }0\leq r\leq 
\varepsilon e^{-\frac L\varepsilon},\\
\frac\varepsilon r&\textrm{si }\varepsilon e^{-\frac L\varepsilon}
\leq r\leq\varepsilon,\\
1 &\textrm{si }\varepsilon\leq r\leq\delta,
\end{array}\right.
\end{equation}
o� $r$ est la coordonn�e radiale sur la boule $B(x,\delta)$. Si on munit
$M$ de la m�trique $h_{1,\varepsilon}^2g_\delta$, la boule $B(x,\varepsilon)$ 
devient isom�trique � la r�union d'un cylindre de
longueur~$L$ et d'une boule euclidienne de rayon~$\varepsilon$ reposant sur 
le bord du cylindre. On peut projeter st�r�ographiquement ---~donc de mani�re 
conforme~--- cette boule sur une calotte sph�rique reposant sur le
bord du cylindre et donc trouver une fonction
$h_{2,\varepsilon}$ telle que $(M,h_{2,\varepsilon}^2g_\delta)$ soit la 
vari�t� de la figure \ref{demo:anses}. Comme la m�trique $g_{k,\delta}'$ 
sur la sph�re est conforme � la m�trique canonique, on peut trouver 
une fonction $h_{3,\varepsilon}$ telle que
$(M,h_{3,\varepsilon}^2g_\delta)$ soit la vari�t� obtenue en reliant 
$(M,g_\delta)$ et $(S^n,g_{k,\delta}')$ par une anse de longueur $L$ et de 
rayon $\varepsilon$ reposant sur les bords des boules de centre $x$ et $y$
et de rayon $\varepsilon$. Le th�or�me B de \cite{ac95} nous dis alors que
$(\mu_{\left[\frac n2\right],i}(M,h_{3,\varepsilon}^2g_\delta))_{i\geq1}$ 
tend vers la r�union de $(\mu_{\left[\frac n2\right],i}(M,g_\delta))_{i\geq1}$
et $(\mu_{\left[\frac n2\right],i}(S^n,g_{k,\delta}'))_{i\geq1}$ 
quand $\varepsilon\to0$.

On peut choisir les m�triques $g_\delta$ et $g_{k,\delta}'$ telles que
$\tau(\delta)^{-1}g_\delta\leq g\leq\tau(\delta)g_\delta$ et
$\tau(\delta)^{-1}g_{k,\delta}'\leq g_{k,\delta}\leq\tau(\delta)
g_{k,\delta}'$ avec $\tau(\delta)\to0$ quand $\delta\to0$. Un r�sultat
de J.~Dodziuk (\cite{do82}, th�or�me 3.3) permet alors d'affirmer que 
$\mu_{\left[\frac n2\right],i}(M,g_\delta)\to\mu_{\left[\frac n2\right],i}
(M,g)$ et $\mu_{\left[\frac n2\right],i}(S^n,g_{k,\delta}')\to
\mu_i^c(S^n,C_\textrm{can})$ pour tout $i\geq1$ quand $\delta\to0$. 
On peut donc trouver une suite de fonctions $(h_\delta)$ telle que
$\mu_{\left[\frac n2\right],k}(M,h_\delta^2g_\delta)\to
\mu_k^c(S^n,C_\textrm{can})$ quand $\delta\to0$ (on utilise le fait
que le spectre de $(M,g)$ est minor� par $\mu_k^c(S^n,C_\textrm{can})$). 
Les m�triques 
$h_\delta^2g_\delta$ ne sont pas conformes � la m�trique $g$, 
mais on a $\tau(\delta)^{-1}h_\delta^2g_\delta\leq 
h_\delta^2g\leq\tau(\delta)h_\delta^2g_\delta$
ce qui assure que $\mu_{\left[\frac n2\right],k}(M,h_\delta^2g)$ tend
aussi vers $\mu_k^c(S^n,C_\textrm{can})$ quand $\delta$ tend vers z�ro.
Comme la m�trique $g$ peut �tre choisie de volume arbitrairement petit,
on peut en outre faire tendre le volume vers~1. On a donc bien 
$\mu_k^c(M,C)\leq\mu_k^c(S^n,C_\textrm{can})$.

On peut d�montrer l'in�galit� 
$\mu_k^c(S^n,C_\textrm{can})\leq k^{\frac2n}\mu_1^c(S^n,C_\textrm{can})$
en utilisant la m�me technique.
On se donne une m�trique $g_\delta\in C_\textrm{can}$ sur $S^n$ telle que
$\mu_{\left[\frac n2\right],1}(S^n,g_\delta)\leq\mu_1^c(S^n,C_\textrm{can})
+\delta$
et $\Vol(S^n,g_\delta)=1$, et on d�forme conform�ment la sph�re 
---~en r�p�tant $k-1$ fois le proc�d� pr�c�dent~--- de mani�re �
la rendre isom�trique � $k$ sph�res munies de la m�trique $g$ attach�es par 
des anses de rayon $\varepsilon$ (figure \ref{demo:sphere}).
\begin{figure}[h]
\begin{center}
\begin{picture}(0,0)%
\includegraphics{sphere}%
\end{picture}%
\setlength{\unitlength}{4144sp}%
%
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  \selectfont}%
\fi\endgroup%
\begin{picture}(4808,756)(1546,-1236)
\end{picture}%
\end{center}
\caption{\label{demo:sphere}}
\end{figure}
Quand $\varepsilon$ tend
vers z�ro, le volume de la sph�re tend vers $k$ et les $k$ premi�res
valeurs propres sur les $\left[\frac n2\right]$-formes coexactes
tendent vers $\mu_{\left[\frac n2\right],1}(S^n,g_\delta)$, ce qui
permet d'affirmer que $\mu_k^c(S^n,C_\textrm{can})\leq
k^{\frac2n}\mu_{\left[\frac n2\right],1}(S^n,g_\delta)$. On conclut en faisant
tendre $\delta$ vers z�ro.
\end{demo}


\begin{thebibliography}{Am03b}
{\small
\makeatletter
\ifx\fonteauteurs\@undefined
\def\fonteauteurs{\scshape}\fi
\makeatother

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\bgroup\fonteauteurs J.~Lott\egroup{} -- �~Eigenvalue bounds for the {D}irac
  operator~�, {\em Pacific J. of Math.}, 125 (1), p.~117--126, 1986.

}\end{thebibliography}

\noindent Pierre \textsc{Jammes}\\
Universit� d'Avignon\\
laboratoire de math�matiques\\
33 rue Louis Pasteur\\
F-84000 Avignon\\
\texttt{Pierre.Jammes@univ-avignon.fr}
\end{document}


math0604591.extracted_bib
\begin{thebibliography}{Am03b}
{\small
\makeatletter
\ifx\fonteauteurs\@undefined
\def\fonteauteurs{\scshape}\fi
\makeatother

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}\end{thebibliography}