mestrado_submetido.tex
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%    Universidade de São Paulo - USP
%    Institudo de Física - IFUSP
%    Departamento de Física Matemática
%    Dissertação para obtenção do título de Mestre em Ciências Físicas
%    Autor: Jéferson de Oliveira
%    Orientador: Elcio Abdalla
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%                        PER��BULO
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\begin{document}
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%\input{capa}

\thispagestyle{empty}
\centerline{\large{UNIVERSIDADE DE S�O PAULO}}
\centerline{\large{INSTITUTO DE F�SICA}}
\vskip 2.0cm
\centerline{\Large{\bf  Perturba��o de Spin Zero no Espa�o-Tempo  }}
\centerline{\Large{\bf de Kerr-Randall-Sundrum }} 
\vskip 1.0cm
\centerline{\large{}}
\vskip 0.3cm
\centerline{\textbf{ Jeferson de Oliveira\footnote{jeferson@fma.if.usp.br}}}
\vskip 1.0cm
\parbox{2.4in}{\mbox{}}




\vskip 0.05cm

\hfill \parbox{4in}{
Disserta\c c\~ao apresentada ao Instituto de F�sica da Uni\-versidade de S�o Paulo, 
para a obten��o do t�tulo de Mestre em Ci�ncias.}
\vskip 1cm
\hfill {\bf Orientador:} {\textbf{Prof. Dr. Elcio Abdalla}}

\begin{flushleft}
{\bf{Comiss�o Examinadora:}}\\
Prof. Dr. Elcio Abdalla (IF-USP)\\
Prof. Dr. Paulo Teot�nio Sobrinho (IF-USP)\\
Prof. Dr. Frank Michael Forger (IME-USP)
\end{flushleft}

\vskip 3.0cm
\centerline{S�o Paulo} 
\centerline{2006}
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%\newpage
%\renewcommand{\thepage}{\arabic{page}}\setcounter{page}{1}
%\vskip 5.0cm
%\vspace{5cm}
%\section*{}
%\vspace{4cm}
%\begin{center}
%{\bf
%\Large{FICHA CATALOGR�FICA} \\
%\large{Preparada pelo Servi�o de Biblioteca e Informa��o}\\
%\large{do Instituto de F�sica da Universidade de S�o Paulo}\\}
%\vspace{1mm}
%\begin{tabular}{|p{135mm}|}
%\hline
%\vspace{0.1cm}
%\hspace{8mm} \large Oliveira, Jeferson de \\ 
%\vspace{0.1cm}
%\hspace{13mm}\large Perturba��o de spin zero no espa�o-tempo de Kerr-\\
%\hspace{13mm}\large Randall-Sundrum.\hspace{1cm}  S�o Paulo, 2006. \\ 
%\vspace{0.2cm}
%\hspace{13mm} \large Disserta��o (Mestrado) - Universidade de S�o Paulo. \\
%\hspace{10mm} \large Instituto de F�sica - Departamento de F�sica Matem�tica.\\
%\vspace{0.2cm}
%\hspace{13mm} \large Orientador: Prof. Dr. Elcio Abdalla \\
%\hspace{13mm} \large �rea de Concentra��o: F�sica \\
%\vspace{0.2cm}
%\hspace{19mm} \large     Unitermos:\\
%\hspace{13mm} \large  1. Relatividade-Mundo Brana;\\
%\hspace{13mm} \large  2. Gravidade; \\
%\hspace{13mm} \large  3. Buracos Negros.\\
%\vspace{0.2cm}
%\vspace{12mm}
%\hspace{11mm} 
%\large USP/IF/SBI-016/2006 \\
%\hline
%\end{tabular}
%\end{center}

\newpage
\centerline{\large{RESUMO}}
\vskip 2.0cm
Esta disserta��o visa realizar um estudo acerca dos modelos de mundo brana no contexto proposto por Randall e Sundrum. O trabalho focaliza as perturba��es de spin-0 no espa�o-tempo de Kerr tomado como um mundo brana $4-$dimensional. 

Para isso apresentamos os principais aspectos da Relatividade Geral de Einstein, bem como perturba��es em m�tricas que descrevem buracos negros. Fizemos uma revis�o dos modelos de Randall-Sundrum, suas motiva��es e tentativas de descrever buracos negros na brana. Por fim a perturba��o escalar da corda negra em rota��o (Kerr-Randall-Sundrum) e o fen�meno de super-radia��o s�o analisados.


\newpage

\centerline{\large{ABSTRACT}}

\vskip 2.0cm
This dissertation aims at studying the braneworld models in the context proposed by Randall and Sundrum. The focus is on the spin-0 perturbations in the Kerr space-time as a $4-$dimensional braneworld.

The work deals the main aspects of Einstein General Relativity as well as perturbations of black holes metrics. We also review the Randall-Sundrum models and their motivations and attempts to describe braneworld black holes. In the end the Kerr-Randall-Sundrum black string scalar perturbation and superradiance are obtained.

\vskip 2.0cm

\newpage
\begin{flushright}
\end{flushright}  
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\vspace{14cm}
\begin{flushright}
\begin{minipage}[t]{10cm}
{\it{Aos meus amores Sirlei, Ariana e Jo�o.}}
\end{minipage}  
\end{flushright}

    
\newpage

\centerline{\large{AGRADECIMENTOS}}
\vskip 2.0cm
Foram in�meras as pessoas que contribuiram, seja de forma consciente ou n�o, para que eu pudesse terminar este trabalho. 

Ao meu orientador Prof. Elcio Abdalla, agrade�o pelas conversas esclarecedoras e pela orienta��o ao longo desses dois �ltimos anos. 

� minha grande amiga Michele, pela ajuda inical quando em S�o Paulo cheguei. 

Ao {\it{povo}} do departamento de F�sica Matem�tica: Marcelo, J�lia, � minha inestim�vel amiga Arlene pelas nossas extasiantes conversas, Karl�cio, Carlos Molina e Roman Konoplya pelas boas discuss�es de trabalho. Agrade�o em especial todos os que passaram pela sala $319$ nesses dois �ltimos anos, Fl�vio Henrique, Carlos Eduardo Pellicer, Rodrigo Dal Bosco Fontana e Alan Pavan, que sem a amizade e paci�ncia nos dias de mau humor, que n�o foram poucos, o caminho para a conclus�o deste trabalho teria sido muito mais dif�cil. �s meninas da secretaria do departamento: Am�lia, Simone e Bety, que sem a ajuda, o trabalho na f�sica matem�tica n�o seria t�o bom. Aos Professores: Josif Frenkel, Raul Abramo e Coracci Pereira Malta, que contribu�ram para minha forma��o durante minha passagem pelo Instituto de F�sica.

Agradecimentos especiais aos amigos do Crusp: Michela, Jo�o Basso, sobretudo aqueles que passaram pelo 210C: Admar Mendes e Leandro Ibiapina.    

Finalmente, dedico este trabalho �quelas pessoas que nunca desistiram de mim, nas situa��es mais cr�ticas, onde parecia que nada parecia dar certo: aos meus pais Jo�o, Sirlei, minha irm� Ariana e meus tios Mathias e Clo� o meu sincero muito obrigado.

Agrade�o � FAPESP pelo apoio financeiro.
%\vskip 2.0cm



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\tableofcontents
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\listoffigures
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\listoftables
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%\input{introducao}
\chapter{Introdu��o}

A Teoria da Relatividade Geral de Einstein � a teoria f�sica mais bem sucedida em explicar a estrutura do nosso Universo em larga escala. Em s�ntese, ela relaciona o conte�do de energia dos campos com a configura��o da curvatura do espa�o-tempo onde s�o definidos esses campos. A equa��o que rege essa din�mica � a equa��o de Einstein
\beq\label{0.1}
R_{\mu\nu}-\frac{1}{2}Rg_{\mu\nu}=\frac{8\pi G}{c^{4}}T_{\mu\nu},
\eeq 
sendo o conte�do de energia representado pelo no lado direito da equa��o e o espa�o-tempo correspondente no lado esquerdo. A descri��o do Universo em larga escala � apenas uma das consequ�ncias dessas equa��es. Temos ainda, o desvio de raios de luz em regi�es com campo gravitacional, a previs�o da exist�ncia de ondas gravitacionais e de buracos negros. Neste texto, abordaremos as id�ias fundamentais da Relatividade Geral e as solu��es tipo buraco negro.

O tema central desta disserta��o s�o os modelos de mundo brana propostos por Randall e Sundrum. Estes modelos s�o considerados como um teste para id�ias fenomenol�gicas da teoria de supercordas, sobretudo a conjectura da teoria M, que considera as diversas teorias de cordas como diferentes limites de uma �nica teoria, batizada de teoria M. No trabalhos de Randall e Sundrum \cite{rs1} \cite{rs2}, o intuito foi de resolver o problema da hierarquia entre a escala eletrofraca e a gravitacional. Para isso, consideraram o nosso Universo como uma hipersuperf�cie $4-$dimensional, chamada de $3-$brana, mergulhada num espa�o-tempo Anti-De Sitter $5-$dimensional ($AdS_{5}$), chamado de bulk. A m�trica considerada � n�o fator�vel e depende da coordenada da dimens�o extra $y$ por uma fun��o que varia rapidamente. Tal m�trica � dada por
\beq\label{0.2}
ds^{2}=e^{\pm 2\kappa |y|}\eta_{\mu\nu}dx^{\mu}dx^{\nu}+dy^{2},
\eeq
sendo $\eta_{\mu\nu}$ � a m�trica de Minkowski.

A escala $\kappa=1/l$, onde $l$ � a escala de curvatura do bulk, � determinada pela constante cosmol�gica $5-$dimensional e pela massa de Planck $5-$dimensional $M_{5}$,
\beq\label{0.3}
\kappa=\sqrt{-\frac{\Lambda_{5}}{6}},
\eeq
onde observamos que, necessariamente para este cen�rio, a constante cosmol�gica $5-$dimensional deve ser negativa.

Outro ponto desta disserta��o, apresentado no �ltimo cap�tulo, � a an�lise das perturba��es de campos n�o massivos de spin zero na m�trica (\ref{0.2}), com $\eta_{\mu\nu}$ substituida pela m�trica de Kerr. Este sistema descreve uma corda negra $5-$dimensional que intercepta a $3-$brana no espa�o-tempo de Kerr $4-$dimensional. Mostraremos que estas perturba��es tornam este cen�rio inst�vel. 




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%\input{capitulo_1}


\chapter{Relatividade Geral e Buracos Negros}

Neste cap�tulo apresentaremos um resumo dos principais pontos da teoria f�sica que melhor descreve a gravidade, que � a Relatividade Geral de Einstein. Pretendemos estudar as principais caracter�sticas dessa teoria, bem como as principais solu��es tipo buraco negro previstas. 

\section{O papel da gravidade}

At� o presente momento, podemos descrever todos os sistemas f�sicos atrav�s de quatro intera��es fundamentais. S�o elas, em ordem de magnitude, a for�a nuclear forte, a for�a nuclear fraca, a for�a eletromagn�tica e a gravidade. A unifica��o da intera��o eletromagn�tica e da for�a nuclear fraca foi operada pela teoria de Salam-Weinberg. A unifica��o das intera��es restantes, num cen�rio coerente, talvez posssa ser realizada pela teoria de supercordas, num futuro n�o muito distante.
Quanto � magnitude das intera��es, a for�a gravitacional � de longe a mais fraca, tanto que a raz�o entre a intera��o gravitacional e a for�a el�trica entre dois el�trons � da ordem de $10^{-40}$. Apesar disso, tal intera��o � dominante sobre as outras no regime de larga escala espacial e � a for�a que afeta todas as part�culas da mesma forma. Esta universalidade da intera��o gravitacional foi pela primeira vez estudada por Galileo, que descobriu que quaisquer dois corpos em queda livre t�m a mesma velocidade. Esta descoberta levou Einstein a formular o princ�pio da equival�ncia, que � a base da Relatividade Geral. Existem duas formula��es de tal princ�pio, a forma fraca apenas identifica a massa inercial com a massa gravitacional para part�culas teste. Este princ�pio � verificado experimentalmente com grande precis�o. A vers�o mais restritiva deste princ�pio, segundo  Weinberg \cite{weinberg}, diz que em qualquer ponto do espa�o-tempo em um campo gravitacional arbitr�rio, � poss�vel escolher localmente um sistema de coordenadas que pode ser chamado de inercial, tal que se considerarmos uma regi�o suficientemente pequena em torno dos pontos em quest�o, as leis da natureza ter�o a mesma forma que as observadas em um sistema de coordenadas cartesiano em repouso na aus�ncia de gravita��o. 

Tamb�m � experimentalmente verificado que raios de luz s�o defletidos por campos gravitacionais, sendo que nenhum sinal pode viajar com velocidade maior que a velocidade de luz no v�cuo, ent�o a gravidade determina a estrutura causal do espa�o-tempo. A intera��o gravitacional determina que eventos do espa�o-tempo podem ser causalmente relacionados. Estas propriedades da gravidade criam situa��es de grande interesse, como quando houver uma grande quantidade de mat�ria numa pequena regi�o. O primeiro estudo acerca de tal situa��o, no contexto da gravita��o newtoniana, foi realizado por Laplace, cujo trabalho traduzido se encontra na refer�ncia \cite{hawking1}. Neste trabalho Laplace mostra que para um corpo com um raio 250 vezes maior que o do Sol com a mesma densidade, o campo gravitacional produzido seria t�o forte que a velocidade de escape na superf�cie desse corpo seria maior que a velocidade da luz. Portanto esta ficaria aprisionada na superf�cie do corpo. Tal sistema foi batizado de buraco negro por John A. Wheleer na d�cada de 1960, mas no contexto da Relatividade Geral. Discutiremos os buracos negros na pr�xima se��o.

� importante, antes de prosseguirmos, definirmos alguns conceitos da geometria dife\-rencial, que ser�o de grande valia na formula��o das quantidades f�sicas segundo a vis�o da Relatividade Geral, j� que esta abdica do conceito de for�a gravitacional, substitu�ndo-a por uma configura��o da curvatura do espa�o-tempo. Seguiremos basicamente os textos cl�ssicos sobre este tema \cite{hawking1} \cite{chandra} \cite{joshi}. 

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\section{Variedade Espa�o-Temporal e Equa��es de Eins\-tein}

Uma variedade $\mathcal{M}$ corresponde � id�ia intuitiva que temos da continuidade do espa�o-tempo. Esta continuidade � bem estabelecida, segundo experimentos de espalhamento de p�ons, at� dist�ncias da ordem de $10^{-15}cm$. Apenas a no��o de variedade n�o � suficiente para descrever o conjunto de todos os eventos que forma o espa�o-tempo, ela ser� um dos ingredientes fundamentais do modelo. A outra quantidade fundamental � o objeto matem�tico que usamos para medir dist�ncias entre pontos de $\mathcal{M}$, o tensor de ordem 2 n�o degenerado sim�trico chamado de tensor m�trico ${\bf{g}}$. Ent�o ao par $(\mathcal{M},{\bf{g}})$ chamamos de espa�o-tempo.

Formalmente, uma variedade � um espa�o que possui a propriedade de n�o distinguir sistemas de coordenadas, permitir a defini��o da diferencia��o e localmente ser similar ao espa�o euclidiano. Esta variedade deve ser do tipo Haussdorff, isto �, satisfazer o axioma da separa��o de Hausdorff: se $p, q$ s�o dois pontos distintos quaisquer em $\mathcal{M}$, ent�o existem dois abertos disjuntos $\mathcal{U}$ e $\mathcal{V}$ em $\mathcal{M}$, tal que $p\in \mathcal{U}$, $q\in \mathcal{V}$. Al�m disso, $\mathcal{M}$ deve ser orient�vel, o que significa que existe apenas um par�metro de tempo. Deve ser paracompacta, o que implica que a intersec��o de dois abertos da variedade tenha tamanho finito.

Dadas estas caracter�sticas, podemos construir de maneira natural campos de fun��es, campos vetoriais e campos tensoriais. Uma fun��o $f$ em $\mathcal{M}$ � definida como um mapa de $\mathcal{M}$ para a reta real $\mathbb{R}$. Campos tensoriais s�o equivalentes a um tensor definido em cada ponto da variedade. Uma forma de obter estas quantidades � partir do conceito de vetor em cada ponto de $\mathcal{M}$.

Dado o par�metro $t$, podemos definir uma curva diferenci�vel $\lambda(t)$ como um mapa de um intervalo pertencente a reta real $\mathbb{R}$ em $\mathcal{M}$. Identificamos o mapa que leva uma fun��o $f$ da curva $\lambda(t_{0})$ no n�mero $\left(\partial f/ \partial t\right)_{\lambda}|_{t_{0}}$ ao objeto chamado vetor contravariante. De forma explicita,
\be\label{2.1}
\left(\frac{\partial f}{\partial t}\right)_{\lambda(t)}=\lim_{\epsilon\rightarrow 0} \frac{1}{s}\left[f(\lambda(t+s))-f(\lambda(t))\right]\quad,
\ee
� a derivada direcional. Esta express�o representa a derivada da fun��o $f$ na dire��o da curva $\lambda(t)$ em rela��o ao par�metro $t$. Podemos mostrar que o conjunto dos vetores contravariantes formam um espa�o vetorial no ponto $p$ de $\mathcal{M}$ chamado de espa�o tangente, denotado por $T_{p}$. Para realizar isto, consideremos um sistema de coordenadas locais no aberto que define a vizinhan�a do ponto $p$ de $\mathcal{M}$, dado pelo conjunto $\left(x^{1},\cdots, x^{n}\right)$, ent�o
\be\label{2.2}\nonumber
\left(\frac{\partial f}{\partial t}\right)_{\lambda(t)}=\frac{d}{dt}x^{i}(\lambda(t))\arrowvert_{t_{0}}\frac{\partial f}{\partial x^{i}}\arrowvert_{\lambda(t_{0})}=\frac{dx^{i}}{dt}\frac{\partial f}{\partial x^{i}}\quad.
\ee
Podemos tomar como base para escrever qualquer vetor deste espa�o tangente as derivadas em rela��o as coordenadas locais no ponto p. Ent�o $T_{p}$ representa um espa�o vetorial $n-$dimensional. Um vetor $V\in T_{p}$ pode ser tomado como uma flecha apontando na dire��o da curva $\lambda(t)$. 

Usando o espa�o tangente $T_{p}$ podemos construir o espa�o cotangente ou dual $T^{*}_{p}$ onde podemos definir os vetores covariantes. Tais vetores s�o fun��es lineares reais dos vetores de $T_{p}$, chamadas de 1-formas, denotadas por $\boldsymbol{w}$. Se $\mathbf{X}$ � um vetor em $p$, o n�mero em que $\boldsymbol{w}$ mapeia $\mathbf{X}$ � escrito como $<\boldsymbol{w},\mathbf{X}>$, cuja linearidade de $\boldsymbol{w}$ implica em, sendo $\alpha$ e $\beta$ n�meros reais,
\be\label{2.3}
<\boldsymbol{w},\alpha\mathbf{X}+\beta\mathbf{Y}>=\alpha<\boldsymbol{w},\mathbf{X}>+\beta<\boldsymbol{w},\mathbf{Y}>\quad .
\ee

Dada uma base ${e_{i}}$ em $p$, podemos definir um conjunto de $n$ 1-formas ${e^{i}}$, desde que $e^{i}$ mapeie qualquer vetor $\mathbf{X}$ no n�mero $X^{i}$, que � a $i-$�sima componente do vetor $\mathbf{X}$ em rela��o a base ${e_{i}}$. Se escolhermos ent�o
\be\label{2.4}
<e^{i},e_{j}>=\delta^{i}_{j}\quad,
\ee
e  se definirmos a combina��o linear de 1-formas pela regra
\be\label{2.5}
<\alpha\boldsymbol{\omega}+\beta\boldsymbol{\eta},\mathbf{X}>=\alpha<\boldsymbol{\omega},\mathbf{X}>+\beta<\boldsymbol{\eta},\mathbf{X}>\quad,
\ee
teremos o conjunto ${e^{i}}$ como a base das 1-formas, isto �, qualquer 1-forma $\boldsymbol{\omega}$ em $p$ pode ser expressa como
\be\label{2.6}\nonumber
\boldsymbol{\omega}=<\boldsymbol{\omega}, e_{i}>e^{i}\quad .
\ee

Do conjunto de todas as 1-formas definidas no ponto $p$ de $\mathcal{M}$, formamos o espa�o vetorial $n-$dimesional chamado de espa�o cotangente $T^{*}_{p}$ ou tamb�m chamado de espa�o dual a $T_{p}$. A base ${e_{a}}$ das 1-formas � a base dual a base ${e^{b}}$ dos vetores contravariantes. Usando estas constru��es podemos definir o diferencial $df$ de uma fun��o $f$ como $1-$forma, que para qualquer vetor $\textbf{X}$, obedece � rela��o
\be\label{2.7}\nonumber
<df,\textbf{X}>=Xf\quad .
\ee
 Se usarmos um sistema de coordenadas locais $(x^{1},\cdots,x^{n})$ da mesma forma que o fizemos definindo derivada direcional, o conjunto de diferenciais $\left(dx^{1},\cdots.dx^{n}\right)$ no ponto $p$ forma uma base de $1-$formas, dual a base $(\partial/\partial x^{1},\cdots, \partial/\partial x^{n})$ dos vetores em $p$, sendo
\be\label{2.8}\nonumber
<dx^{i},\partial/\partial x^{j}>=\frac{\partial x^{i}}{\partial x^{j}}=\delta^{i}_{j}\quad,
\ee
como rela��o direta, obtemos a diferencial $df$, em termos da base, como
\be\label{2.9}\nonumber 
df=\frac{\partial f}{\partial x^{i}}dx^{i}\quad.
\ee

Partindo do espa�o vetorial $T_{p}$ dos vetores contravariantes em $p$ e do seu espa�o dual definido pelo espa�o $T^{*}_{p}$ das $1-$formas ou vetores covariantes tamb�m em $p$, podemos formar o produto cartesiano $\Pi^{s}_{r}$ de $r$ espa�os $T^{*}_{p}$ com $s$ espa�os tangentes $T_{p}$ como
\be\label{3}
\Pi^{s}_{r}=\underbrace{T^{*}_{p}\times T^{*}_{p}\times\cdots\times T^{*}_{p}}_{r\hspace{0.1cm} termos}\times\underbrace{T_{p}\times T_{p}\times\cdots\times T_{p}}_{s\hspace{0.1cm} termos}\quad.
\ee
O produto cartesiano pode ser colocado como um conjunto ordenado de vetores contravariantes e covariantes $\left(\boldsymbol{\eta^{1}},\boldsymbol{\eta^{2}},\cdots,\boldsymbol{\eta^{r}},\mathbf{Y_{1}},\cdots,\mathbf{Y_{s}}\right)$.  


Definimos como tensor do tipo $(r,s)$ em um ponto $p$ de $\mathcal{M}$,  a fun��o de $\Pi^{r}_{s}$ que � linear em cada um dos seus argumentos. O n�mero que o tensor $\mathbf{T}$ do tipo $(r,s)$ mapeia o elemento $\left(\boldsymbol{\eta^{1}},\boldsymbol{\eta^{2}},\cdots,\boldsymbol{\eta^{r}},\mathbf{Y_{1}},\cdots,\mathbf{Y_{s}}\right)$ de $\Pi^{r}_{s}$ � $T\left(\boldsymbol{\eta^{1}},\boldsymbol{\eta^{2}},\cdots,\boldsymbol{\eta^{r}},\mathbf{Y_{1}},\cdots,\mathbf{Y_{s}}\right)$\quad. 

Da lienaridade de $\mathbf{T}$, para todo $\alpha$, $\beta\in R^{1}$ e todo $\mathbf{X}$, $\mathbf{Y}\in T_{p}$, temos
\beq\label{2.10}\nonumber
T\left(\boldsymbol{\eta^{1}},\cdots,\boldsymbol{\eta^{r}},\alpha\mathbf{X}+\beta\mathbf{Y},\mathbf{Y_{2}},\cdots,\mathbf{Y_{s}}\right)&=&\alpha . T\left(\boldsymbol{\eta^{1}},\cdots,\boldsymbol{\eta^{r}},\mathbf{X},\mathbf{Y_{2}}\cdots,\mathbf{Y_{s}}\right)\\\nonumber
&+&\beta . T\left(\boldsymbol{\eta^{1}},\cdots,\boldsymbol{\eta^{r}},\mathbf{Y}, \mathbf{Y_{2}},\cdots,\mathbf{Y_{s}}\right).
\eeq

A opera��o chamada de produto tensorial $\otimes$  definida como
\be\label{2.11}\nonumber
T^{r}_{s}(p)=\underbrace{T_{p}\otimes\cdots\otimes T_{p}}_{r\hspace{0.1cm}termos}\otimes\underbrace{ T^{*}_{p}\otimes\cdots\otimes T^{*}_{p}}_{s\hspace{0.1cm}termos}\quad,
\ee
forma uma �lgebra cujos elementos s�o todos espa�os tensoriais definidos em um ponto $p\in\mathbf{M}$.

Outras opera��es alg�bricas podem ser constru�das de forma natural, tal como a adi��o de tensores $(\mathbf{T}+\mathbf{T'})$
\beq\label{2.12}\nonumber
 (\mathbf{T}+\mathbf{T'})\left(\boldsymbol{\eta^{1}},\cdots,\boldsymbol{\eta^{r}},\mathbf{Y_{1}},\cdots,\mathbf{Y_{s}}\right)&=&T\left(\boldsymbol{\eta^{1}},\cdots,\boldsymbol{\eta^{r}},\mathbf{Y_{1}},\cdots,\mathbf{Y_{s}}\right)\\
&+& T^{'}\left(\boldsymbol{\eta^{1}},\cdots,\boldsymbol{\eta^{r}},\mathbf{Y_{1}},\cdots,\mathbf{Y_{s}}\right)\quad,
\eeq
a multiplica��o de tensores por um escalar $\alpha\in R^{1}$
\be\label{2.13}
(\alpha T)\left(\boldsymbol{\eta^{1}},\cdots,\boldsymbol{\eta^{r}},\mathbf{Y_{1}},\cdots,\mathbf{Y_{s}}\right)\quad.
\ee
Com as opera��es (\ref{2.12}) e (\ref{2.13}), o produto tensorial $T^{r}_{s}(p)$ forma um espa�o vetorial de dimens�o $n^{r+s}$ sobre a reta real $R^{1}$. 

Se $\{e_{a}\}$, $\{e^{a}\}$ s�o bases de $T_{p}$ e  $T^{*}_{p}$, respectivamente, ent�o os produtos
\be\label{2.14}\nonumber
\left\{e_{a_{1}}\otimes\cdots\otimes e_{a_{r}}\otimes e^{b_{1}}\otimes\cdots\otimes e^{b_{s}}\right\}\quad,
\ee
formam uma base para o espa�o do produto tensorial $T^{r}_{s}(p)$. Ent�o qualquer tensor $\mathbf{T}\in T^{r}_{s}(p)$ pode ser expresso em termos dessa base como
\be\label{2.15}\nonumber
\mathbf{T}=T^{a_{1}\cdots a_{r}}_{b_{1}\cdots b_{s}}e_{a_{1}}\otimes\cdots\otimes e_{a_{r}}\otimes e^{b_{1}}\otimes\cdots\otimes e^{b_{s}}\quad,
\ee
onde $\{T^{a_{1}\cdots a_{r}}_{b_{1}\cdots b_{s}}\}$ s�o as componentes de $\mathbf{T}$ com respeito as bases $\{e_{a}\}$, $\{e^{a}\}$. 

Outra importante opera��o alg�brica usando tensores, � a contra��o de �ndices. Esta opera��o � independente da base usada. Dado um tensor $\mathbf{T}$ do tipo $(r,s)$ com componentes $\{T^{ab\cdots d}_{ef \cdots g}\}$, a conta��o no primeiro �ndice contravariante e no primeiro �ndice covariante � definida como o tensor $B^{1}_{1}(\mathbf{T})$ do tipo $(r-1,s-1)$, cujas componentes com rela��o as bases $\{e_{a}\}$, $\{e^{a}\}$, s�o $T^{ab\cdots d}_{af\cdots g}$, ent�o
\be\label{2.16}\nonumber
B^{1}_{1}(\mathbf{T})=T^{ab\cdots d}_{af\cdots g}e_{b}\otimes\cdots\otimes e_{d}\otimes e^{f}\otimes\cdots\otimes e^{g}\quad.
\ee

Denotamos a parte sim�trica das componentes do tensor $\mathbf{T}$ por
\be\label{2.17}\nonumber
T^{(ab)}=\frac{1}{2!}\left\{ T^{ab}+T^{ba}\right\}\quad,
\ee
e a parte anti-sim�trica
\be\label{2.17}
T^{[ab]}=\frac{1}{2!}\left\{ T^{ab}-T^{ba}\right\}\quad.
\ee

Um subconjuntto do espa�o tensorial, � aquele formado pelos tensores do tipo $(0,q)$, totalmente antisim�tricos nas posi��es do �ndice $q$ (com $q\leq n$). Estes tensores s�o chamados de $q-$formas. Se $\mathbf{A}$ e $\mathbf{B}$ s�o $p-$ e $q-$formas respectivamente, podemos construir, a partir destes, a $(p+q)-$forma $\mathbf{A}\wedge\mathbf{B}$, onde $\wedge$ representa a contraparte anti-sim�trica do produto tensorial $\otimes$. O tensor $\mathbf{A}\wedge\mathbf{B}$ � do tipo $(0,p+q)$ com componentes dadas por
\be\label{2.18}\nonumber
\left(A\wedge B\right)_{a\cdots bc\cdots f}=A_{[a\cdots b}B_{c\cdots f]}\quad.
\ee
Esta express�o implica que
\be\label{2.19}
\left(\mathbf{A}\wedge \mathbf{B}\right)=(-1)^{pq}A_{[a\cdots b}B_{c\cdots f]}\quad.
\ee
O conjunto de todas $p-$ e $q-$formas munidas da opera��o (\ref{2.19}) constituem uma �lgebra de Grassmann para as formas.

At� aqui definimos as mais importantes opera��es alg�bricas dos espa�os tensoriais. Para que possamos usar tais objetos para construir quantidades din�micas precisamos estudar operadores diferenciais na variedade. Neste trabalho n�o pretendemos esgotar este assunto, para mais detalhes ver \cite{lovelock}. Estudaremos, tr�s operadores de particular interesse, dois deles, a derivada exterior e a derivada de Lie, s� necessitam para serem definidos da pr�pria variedade $\mathcal{M}$. O terceiro operador, a derivada covariante, precisa de uma estrutura adicional que � a conex�o $\nabla$ de $\mathcal{M}$. 

O operador $d$ que determina a opera��o chamada de derivada exterior, mapeia as $r-$formas de maneira linear em $(r+1)-$ formas. Se operarmos com $d$ na $r-$forma 
\be\label{2.20}\nonumber
\mathbf{A}=A_{ab\cdots d}dx^{a}\wedge dx^{b}\wedge\cdots\wedge dx^{d},
\ee
obtemos
\be\label{2.21}\nonumber
d\mathbf{A}=dA_{ab\cdots d}\wedge dx^{a}\wedge dx^{b}\wedge\cdots\wedge dx^{d},
\ee
que � uma $(r+1)-$forma independente do sistema de coordenadas $\{x^{a}\}$ usado. Da defini��o do produto $\wedge$, temos que
\be\label{2.22}
d\left(d\mathbf{A}\right)=0,
\ee
para toda $r-$forma $\mathbf{A}$. 
%Analogamente a regra da cadeia para derivadas parciais, o operador $d$ comuta c%om mapas $\phi$ de $\mathcal{M}$, isto �,
%\be\label{2.23}
%d\left(\phi * \mathbf{A}\right)=\phi * \left(d\mathbf{A}\right)
%\ee

O segundo tipo de diferencia��o que � definido naturalmente da estrutura da variedade � a derivada de Lie. Antes de passar a esta opera��o, devemos definir o par�nteses de Lie.

Dados dois vetores, $\mathbf{X}$ e $\mathbf{Y}$, seu par�nteses de Lie, $[\mathbf{X},\mathbf{Y}]$, � definido pela a��o deste numa $0-$forma  da seguinte maneira
\be\label{2.24}\nonumber
[\mathbf{X},\mathbf{Y}]f=\left(\mathbf{X}\mathbf{Y}-\mathbf{Y}\mathbf{X}\right)f=\mathbf{X}\left(\mathbf{Y}f\right)-\mathbf{Y}\left(\mathbf{X}f\right).
\ee
Sendo $f$ e $g$ $0-$formas, $\alpha$ e $\beta$ n�meros reais, o par�nteses de Lie de dois vetores do espa�o tangente aplicado numa combina��o das $0-$formas, tem como resultado tamb�m vetores deste espa�o, isto �,
\beq\label{2.25}
[\mathbf{X},\mathbf{Y}](\alpha f+ \beta g)&=&\alpha[\mathbf{X},\mathbf{Y}]f + \beta[\mathbf{X},\mathbf{Y}]g,\\\label{2.26}
[\mathbf{X},\mathbf{Y}](fg)&=&g[\mathbf{X},\mathbf{Y}]f+f[\mathbf{X},\mathbf{Y}]g
\eeq
A rela�ao (\ref{2.25}) estabelece o par�nteses de Lie como um operador linear, e a rela��o (\ref{2.26}) como uma opera��o de diferencia��o. 
Podemos expressar esta opera��o em forma de componentes, j� que o par�nteses de Lie de vetores no espa�o tangente tamb�m � um vetor no espa�o tangente. Aplicando no sistema de coordenadas local $\{x^{a}\}$, obtemos
\be\label{2.27}\nonumber
[\mathbf{X},\mathbf{Y}]x^{a}=X^{b}Y^{a}{}_{,b}-Y^{b}X^{a}{}_{,b}.
\ee
Consideremos o par�nteses de Lie $[\mathbf{X},\mathbf{Y}]$ como uma opera��o de diferencia��o, chamada de derivada de Lie do vetor $\mathbf{Y}$ na dire��o de $\mathbf{X}$, denotada por
\be\label{2.28}
\mathfrak{L}_{\mathbf{X}}\mathbf{Y}=[\mathbf{X},\mathbf{Y}]=-[\mathbf{Y},\mathbf{X}]=-\mathfrak{L}_{\mathbf{Y}}\mathbf{X}.
\ee

A derivada de Lie $\mathfrak{L}_{\mathbf{X}}\mathbf{T}$ de um tensor $\mathbf{T}$ do tipo $(r,s)$ em rela��o a $\mathbf{X}$ � um tensor tamb�m do tipo $(r,s)$. Esta diferencia��o, al�m de preservar o tipo dos tensores, tamb�m preserva a contra��o e obedece � regra de Leibniz do c�lculo 
\be\label{2.30}
\mathfrak{L}_{\mathbf{X}}\left(\mathbf{S}\otimes\mathbf{T}\right)=\mathfrak{L}_{\mathbf{X}}(\mathbf{S})\otimes\mathbf{T}+ \mathbf{S}\otimes\mathfrak{L}_{\mathbf{X}}\mathbf{T}
\ee
As componentes da derivada de Lie das $1-$formas $\omega$ pode ser obtida contraindo a rela��o (\ref{2.30}), obtendo
\be\label{2.31}
\mathfrak{L}_{\mathbf{X}}<\boldsymbol{\omega},\mathbf{Y}>=<\mathfrak{L}_{\mathbf{X}}\boldsymbol{\omega},\mathbf{Y}>+<\boldsymbol{\omega},\mathfrak{L}_{\mathbf{X}}\mathbf{Y}>.
\ee
Escolhendo $\mathbf{Y}$ com a base vetorial $e_{a}=\partial/\partial x^{a}$, temos em forma de componentes,
\be\label{2.32}\nonumber
\left(\mathfrak{L}_{\mathbf{X}}\boldsymbol{\omega}\right)_{a}=\left(\frac{\partial \omega_{a}}{\partial x^{b}}X^{b}\right)+\omega_{b}\left(\frac{\partial X^{b}}{\partial x^{j}}\right),
\ee
j� que
\be\label{2.33}\nonumber
\left(\mathfrak{L}_{\mathbf{X}}\partial/\partial x^{a}\right)^{b}=-\frac{\partial X^{b}}{\partial x^{a}}.
\ee
Seguindo a mesma receita, podemos obter as componentes da derivada de Lie de qualquer tensor $\mathbf{T}$ do tipo $(r,s)$ usando a regra de Leibniz em
\be\label{2.34}\nonumber
\mathfrak{L}_{\mathbf{X}}\left(\mathbf{T}\otimes e^{a}\otimes\cdots\otimes e^{d}\otimes e_{e}\otimes\cdots\otimes e_{g}\right),
\ee
e ent�o contraindo em todas posi��es, encontramos
\beq\label{2.35}\nonumber
\left(\mathfrak{L}_{\mathbf{X}}\mathbf{T}\right)^{ab\cdots d}{}_{ef\cdots g}&=&\left(\frac{\partial }{\partial x^{i}}T^{ab\cdots d}{}_{ef\cdots g}\right)X^{i}-T^{ib\cdots d}{}_{ef\cdots g}\frac{\partial X^{a}}{\partial x^{i}}-\cdots\\
&+&T^{ab\cdots d}{}_{if\cdots g}\frac{\partial X^{i}}{\partial x^{e}}+\cdots.
\eeq
A derivada de Lie comuta com o operador $d$ da derivada exterior, isto �
\be\label{2.36}\nonumber
d\left(\mathfrak{L}_{\mathbf{X}}\boldsymbol{\omega}\right)=\mathfrak{L}_{\mathbf{X}}\left(d\boldsymbol{\omega}\right)\quad .
\ee


Podemos interpretar a derivada de Lie $\mathfrak{L}_{\mathbf{X}}\mathbf{T}|_{p}$ de um tensor $\mathbf{T}$ do tipo $(r,s)$ no ponto $p$ de $\mathcal{M}$ n�o apenas como a derivada de $\mathbf{T}$ na dire��o do campo vetorial $\mathbf{X}$ no ponto $p$, mas tamb�m como a derivada direcional ao longo da {\it{vizinhan�a}} do ponto $p$.

Os dois operadores diferenciais que definimos pela estrutura da variedade, a derivada exterior e a derivada de Lie, s�o limitados para servirem de generaliza��o para o conceito de derivada parcial. O operador $d$ age apenas sobre formas, enquanto que derivadas parciais ordin�rias s�o derivadas direcionais que dependem apenas da dire��o no ponto em quest�o, diferentemente da derivada de Lie , que tamb�m depende da vizinhan�a do ponto considerado. 

A generaliza��o da derivada parcial ordin�ria � obtida pela adi��o de uma nova estrutura em $\mathcal{M}$, chamada de conex�o e denotada por $\nabla$. Esta estrutura nos permite definir a opera��o de deriva��o covariante.

A conex�o $\nabla$ no ponto $p$ de $\mathcal{M}$ � uma receita que associa cada vetor $\mathbf{X}$ em $p$ a um operador diferencial $\nabla_{\mathbf{X}}$. Este operador mapeia todo vetor $\mathbf{Y}$ no tensor $\nabla_{\mathbf{X}}\mathbf{Y}$, isto �, para quaisquer  fun��es $f$, $g$ e vetores $\mathbf{X}$, $\mathbf{Y}$, $\mathbf{Z}$ temos
\be\label{2.37}
\nabla_{f\mathbf{X}+g\mathbf{Y}}\mathbf{Z}=f\nabla_{\mathbf{X}}\mathbf{Z}+g\nabla_{\mathbf{Y}}\mathbf{Z}\quad .
\ee
apresenta a propriedade de linearidade
\be\label{2.38}\nonumber
\nabla_{\mathbf{X}}\left(\alpha\mathbf{Y}+\beta\mathbf{Z}\right)=\alpha\nabla_{\mathbf{X}}\mathbf{Y}+\beta\nabla_{\mathbf{X}}\mathbf{Z}\quad ,
\ee
e
\be\label{2.39}\nonumber
\nabla_{\mathbf{X}}\left(f\mathbf{Y}\right)=X(f)\mathbf{Y}+f\nabla_{\mathbf{X}}\mathbf{Y}\quad .
\ee
Destas propriedades definimos $\nabla\mathbf{Y}$ como a derivada covariante de $\mathbf{Y}$, como um tensor do tipo $(1,1)$, que quando contra�do com $\mathbf{X}$ produz o vetor $\nabla_{\mathbf{X}}\mathbf{Y}$. De (\ref{2.37}) temos
\be\label{2.40}
\nabla\left(f\mathbf{Y}\right)=df\otimes\mathbf{Y}+f\nabla\mathbf{Y}.
\ee
As componentes de $\nabla_{\mathbf{X}}\mathbf{Y}$ s�o obtidas se escolhemos como base as bases duais $e_{a}$ e $e^{a}$, logo
\be\label{2.41}
\nabla_{\mathbf{X}}\mathbf{Y}=\nabla_{\mathbf{X}}\left(Y^{a}e_{a}\right)=\left(\mathbf{X}Y^{a}\right)e_{a}+Y^{a}\nabla_{\mathbf{X}}e_{a}\quad,
\ee

Se escolhermos a base $e_{a}$ como um tensor do tipo $(1,0)$, a express�o acima pode ser escrita na forma
\be\label{2.42}
\nabla_{\mathbf{X}}e_{a}=\omega^{b}_{a}\left(\mathbf{X}\right)e_{b}\quad ,
\ee
sendo $\omega^{b}_{a}$ $1-$formas. Com isso (\ref{2.41}) fica como
\be\label{2.43}
\nabla_{\mathbf{X}}\mathbf{Y}=\left(\mathbf{X}Y^{a}\right)e_{a}+Y^{a}\omega^{b}_{a}(\mathbf{X})e_{b}\quad ,
\ee
ou
\beq\label{2.44}\nonumber
\nabla_{\mathbf{X}}\mathbf{Y}&=&\left(\mathbf{X}Y^{a}\right)e_{a}+Y^{a}X^{c}\nabla_{e_{k}}e_{a}\\
&=&\left(\mathbf{X}Y^{a}\right)e_{a}+Y^{a}X^{c}\omega^{b}_{ac}e_{b}\quad ,
\eeq
sendo $\omega^{b}_{a}e_{c}=\omega^{b}_{ac}$ os coeficientes de $e^{c}$ quando expandimos a $1-$forma $\omega^{c}_{b}$ na base $\{e^{c}\}$. Ent�o temos que a conex�o $\nabla$ no ponto $p$ de $\mathcal{M}$ � determinada por estes coeficientes $\omega^{c}_{ab}$.

Reescrevendo (\ref{2.43}) como
\beq\label{2.45}\nonumber
\nabla_{X}\mathbf{Y}=\left[\mathbf{X}Y^{a}+\omega^{a}_{c}(\mathbf{X})Y^{c}\right]e_{a}\quad ,
\eeq
concluimos que
\beq\label{2.46}\nonumber
\left(\nabla_{\mathbf{X}}\mathbf{Y}\right)^{a}=\mathbf{X}Y^{a}+\omega^{a}_{c}(\mathbf{X})Y^{c}\quad .
\eeq
Tomando novamente a  base local $(\partial/\partial x^{c})$, denotando $\omega^{c}_{ab}$ por $\Gamma^{c}_{ab}$ e o sinal de ponto-e-v�rgula como a opera��o de derivada covariante, temos a forma padr�o desta opera��o
\be\label{2.47}
Y^{a}{}_{;c}=Y^{a}{}_{,c}+Y^{b}\Gamma^{a}{}_{bc}\quad .
\ee
Generalizando para qualquer tensor $\mathbf{X}$ do tipo $(r,s)$, temos
\beq\label{2.48}\nonumber
X^{ab\cdots d}{}_{ef\cdots g;h}&=&X^{ab\cdots d}{}_{ef\cdots g,h}+\Gamma^{a}{}_{hj}X^{jb\cdots d}{}_{ef\cdots g}+\cdots\\
&-&\Gamma^{j}{}_{he}X^{ab\cdots}{}_{jf\cdots g}-\cdots\quad .
\eeq

Dada a conex�o $\nabla$, para quaisquer vetores $\mathbf{X}$, $\mathbf{Y}$, podemos definir um tensor $\mathbf{T}$ do tipo $(1,2)$
\beq\label{2.55}\nonumber
\mathbf{T}(\mathbf{X},\mathbf{Y})=\nabla_{\mathbf{X}}\mathbf{Y}-\nabla_{\mathbf{Y}}\mathbf{X}-\left[\mathbf{X},\mathbf{Y}\right]\quad ,
\eeq
chamado de {\it{tor��o}}, cuja express�o na base coordenada � 
\beq\label{2.56}\nonumber
T^{i}{}_{jk}=\Gamma^{i}{}_{jk}-\Gamma^{i}{}_{kj}\quad .
\eeq

Em nosso estudo apenas usaremos conex�es livres de tor��o, isto �, $\mathbf{T}=0$, o que implica na simetria das componentes da conex�o em rela��o aos �ndices covariantes, $\Gamma^{i}{}_{jk}=\Gamma^{i}{}_{kj}$. Uma conex�o � livre de tor��o se e apenas se $f_{;ij}=f_{;ji}$ para todas fun��es $f$.

Neste cen�rio de tor��o zero, podemos relacionar a derivada covariante com a derivadada de Lie e como a derivada exterior de um tensor $\mathbf{T}$ do tipo $(r,s)$. Estas rela��es, com respeito a base coordenada s�o, respectivamente
\beq\label{2.57}\nonumber
\left(\mathfrak{L}_{\mathbf{X}}\mathbf{T}\right)^{ab\cdots d}{}_{ef\cdots g}&=&T^{ab\cdots d}{}_{ef\cdots g;h}X^{h}-T^{jb\cdots d}{}_{ef\cdots g}X^{a}{}_{;j}\\
&-&\cdots + T^{AB\cdots d}{}_{if\cdots g}X^{j}{}_{;e}+\cdots \quad ,\\
(dA)_{a\cdots cd}&=&(-1)^{p}A_{[a\cdots c;d]}\quad .
\eeq
Uma aplica��o da derivada covariante � a obten��o das express�es para o {\it{transporte paralelo}} de um tensor $\mathbf{X}$ e da equa��o para as {\it{curvas geod�sicas}}, que s�o as equa��es de movimento de uma part�cula em queda livre no espa�o-tempo determinado pela variedade $\mathcal{M}$.

Seja o tensor $\mathbf{X}$ definido ao longo da curva $\lambda(t)$ de $\mathcal{M}$, ent�o podemos definir a derivada covariante de $\mathbf{X}$ ao longo desta curva $\lambda(t)$, como $\nabla_{\partial/\partial t} \bar{X}$, sendo $\bar{X}$ a extens�o de $\mathbf{X}$ nos abertos dos pontos que formam a curva $\lambda(t)$, isto � na vizinhan�a de $\lambda(t)$. Um caso particular ocorre quando consideramos tal derivada covariante independente desta extens�o $\bar{X}$, denotamos esta opera��o por $DX^{a}/\partial t$, que � um tensor definido em toda curva $\lambda(t)$. Em termos das componentes, se $\mathbf{Y}$ � um vetor definido em $T_{p}$ ao longo de $\lambda(t)$, temos
\beq\label{2.49}\nonumber
DX^{a}/\partial t= \frac{\partial X^{a}}{\partial t}+\Gamma^{a}_{bc}X^{c}\frac{dx^{b}}{dt}\quad .
\eeq

Escolhendo como coordenadas para $\lambda(t)$ o conjunto $\{x^{a}(t)\}$ e $\mathbf{X}=dx^{a}/dt$ temos
\beq\label{2.50}
DX^{a}/\partial t=\frac{\partial X^{a}}{\partial t}+\Gamma^{a}_{bc}\frac{dx^{b}}{dt}\frac{dx^{c}}{dt}\quad .
\eeq

Diz-se que um tensor $\mathbf{X}$ foi transportado paralelamente ao longo de $\lambda(t)$ se
\beq\label{2.51}\nonumber
D\mathbf{X}/\partial t=0\quad .
\eeq
Se a curva $\lambda(t)$ come�a no ponto $p$ e termina no ponto $q$, e se a conex�o $\nabla$ � pelo menos diferenci�vel uma vez, ent�o pela teoria das equa��es diferenciais deve-se obter um �nico tensor no ponto $q$ atrav�s do transporte paralelo de qualquer dado tensor em $p$ ao longo da curva $\lambda(t)$. O transporte paralelo � um mapa linear que leva os elementos de $T^{r}_{s}(p)$ em $T^{r}_{s}(q)$ preservando o produto tensorial e a opera��o de contra��o.

Uma curva $\lambda$ de $\mathcal{M}$ � uma curva geod�sica, se o resultado do transporte paralelo de um vetor tangente a ela for um m�ltiplo deste mesmo vetor. Sendo $dx^{j}(\lambda(t))/dt$ um vetor tangente a $\lambda(t)$, ent�o seu transporte paralelo, segundo a condi��o geod�sica, fica
\beq\label{2.52}
\frac{d^{2}x^{j}}{dt^{2}}+\Gamma^{j}_{lk}\frac{dx^{l}}{dt}\frac{dx^{k}}{dt}=\phi(t)\frac{dx^{j}}{dt}\quad ,
\eeq
sendo $\phi(t)$ uma fun��o bem definida de $t$. Em vez de $t$, se usarmos o par�metro
\beq\label{2.53}\nonumber
s=\int^{t}dt''\exp\left[\int^{t''}dt'\phi(t')\right]\quad ,
\eeq
a equa��o (\ref{2.52}) fica 
\beq\label{2.54}
\frac{d^{2}x^{j}}{ds^{2}}+\Gamma^{j}{}_{lk}\frac{dx^{l}}{ds}\frac{dx^{k}}{ds}=0\quad ,
\eeq
sendo $s$ chamado de par�metro afim. A �nica liberdade na escolha de $s$ � sua origem e sua escala.
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

Ao tensor que mede a n�o comutatividade dos operadores da segunda derivada covariante (aplica��o da derivada covariante duas vezes), chamamos de {\it{tensor de Riemann}} ou {\it{tensor de curvatura}}. Se consideramos um dado ponto $p$ da curva fechada $\gamma$ como o ponto inicial do transporte paralelo do vetor $\mathbf{X}_{p}$, ent�o o resultado disto ser� o vetor $\mathbf{X'}_{p}$, que em geral � diferente de $\mathbf{X}_{p}$, al�m disso, se considerarmos outra curva fechada $\gamma'$ passando por $p$ e realizarmos a mesma opera��o, o vetor obtido $\mathbf{X''}_{p}$ ser� diferente de $\mathbf{X}_{p}$ e $\mathbf{X'}_{p}$. Esta n�o integrabilidade do transporte paralelo � a manifesta��o da n�o comutatividade da segunda derivada covariante. Dada um a conex�o $\nabla$, os vetores $\mathbf{X}$, $\mathbf{Y}$,$\mathbf{Z}$, definimos o tensor de Riemann como 
\beq\label{2.58}
\mathbf{R}(\mathbf{X},\mathbf{Y})\mathbf{Z}=\nabla_{\mathbf{X}}\left(\nabla_{\mathbf{Y}}\mathbf{Z}\right)-\nabla_{\mathbf{Y}}\left(\nabla_{\mathbf{X}}\mathbf{Z}\right)-\nabla_{[\mathbf{X},\mathbf{Y}]}\mathbf{Z}\quad .
\eeq

O tensor $\mathbf{R}(\mathbf{X},\mathbf{Y})\mathbf{Z}$ � linear em rela��o a $\mathbf{X}$, $\mathbf{Y}$,$\mathbf{Z}$, ou seja, depende apenas do valor destes vetores no ponto $p$ formando um tensor do tipo $(3,1)$. Reescrevendo (\ref{2.58}) em componentes, obtemos
\beq\label{2.59}\nonumber
R^{a}{}_{bcd}X^{c}Y^{d}Z^{b}&=&\left(Z^{a}{}_{;d}Y^{d}\right)_{;c}X^{c}-\left(Z^{a}{}_{;d}X^{d}\right)_{;c}Y^{c}\\\nonumber
&-&Z^{a}{}_{;d}\left(Y^{a}{}_{;d}X^{c}-X^{d}{}_{;c}Y^{c}\right)\\
&=&\left(Z^{a}{}_{;dc}-Z^{a}{}_{;cd}\right)X^{c}Y^{d}\quad .
\eeq
J� que $\mathbf{X}$ e $\mathbf{Y}$ s�o vetores arbitr�rios, podemos expressar a n�o comutatividade da segunda derivada covariante como
\beq\label{2.60}\nonumber
R^{a}{}_{bcd}Z^{b}=Z^{a}{}_{;dc}-Z^{a}{}_{;cd}\quad .
\eeq

Com rela��o �s bases duais $\{e_{a}\}$, $\{e^{a}\}$, as componentes do tensor de Riemann s�o
\beq\label{2.61}\nonumber
R^{a}{}_{bcd}= <e^{a},\mathbf{R}(e_{c},e_{d})e_{b}>\quad .
\eeq
Escolhendo as bases como bases coordenadas, obtemos a express�o para o tensor de Riemann em termos das componentes coordenadas da conex�o $\nabla$
\beq\label{2.62}
R^{a}{}_{bcd}=\frac{\partial\Gamma^{a}{}_{db}}{\partial x^{c}}-\frac{\partial\Gamma^{a}{}_{cb}}{\partial x^{d}}+\Gamma^{a}{}_{cf}\Gamma^{f}{}_{db}-\Gamma^{a}{}_{df}\Gamma^{f}{}_{cb}\quad .
\eeq

Destas express�es seguem as propriedades de simetria do tensor de Riemann
\beq\label{2.63}\nonumber
R^{a}{}_{b(cd)}=0,\\\nonumber
R^{a}{}_{[bcd]}=0\quad .
\eeq
Al�m disto, a derivada covariante primeira satisfaz as chamadas {\it{identidades de Bianchi}},
\beq\label{2.64}\nonumber
R^{a}{}_{b[cd;e]}=0\quad .
\eeq

O tensor de Ricci e o escalar de curvatura s�o obtidos por contra��es do tensor de Riemann. Esses s�o dados, respectivamente, por
\beq\label{2.73}\nonumber
R_{ab}&=&g^{cd}R_{acbd}\quad ,\\\nonumber
R&=&g^{ab}R_{ab}\quad .
\eeq

O transporte paralelo de um vetor em uma curva fechada arbitr�ria � localmente integr�vel apenas se $R^{a}{}_{bcd}=0$ para todos os pontos da variedade $\mathcal{M}$. Neste caso, dizemos que a conex�o � plana.  

Para constru�rmos consistentemente o espa�o-tempo lorentziano, que � o objeto de estudo da Relatividade Geral, precisamos de mais um objeto geom�trico, o tensor sim�trico n�o singular do tipo $(0,2)$ chamado de {\it{tensor m�trico}} ou simplesmente {\it{m�trica}} e denotado por $\mathbf{g}$.
As componentes $g_{ab}$ da m�trica $\mathbf{g}$ s�o dados simplesmente pelo produto escalar dos elementos da base vetorial $\{e_{a}\}$. Se usarmos a base coordenada $\{\partial/\partial x^{a}\}$ teremos
\beq\label{2.65}
\mathbf{g}=g_{ab}dx^{a}\otimes dx^{b}\quad .
\eeq

Os comprimentos definidos pela m�trica est�o em $T_{p}$ e est�o relacionados com os comprimentos obtidos pela estrutura de $\mathcal{M}$. Considerando dois pontos $p$ e $q$ da curva $\gamma(t)$ na qual o vetor tangente $\partial/\partial t$ � tal que $g(\partial/\partial t,\partial/\partial t)$ tem o mesmo sinal em todos os pontos de $\gamma(t)$, o comprimento do caminho entre esses dois pontos � dado pela quantidade
\beq\label{2.66}
L=\int^{p}_{q}\sqrt{\left(|g(\partial/\partial t,\partial/\partial t)|\right)}dt\quad .
\eeq
Como � usual, podemos expressar (\ref{2.65}) e (\ref{2.66}) como um deslocamento infinitesimal
\beq\label{2.67}\nonumber
ds^{2}=g_{ij}dx^{i}dx^{j}\quad ,
\eeq
obtido pela mudan�a infinitesimal $x^{i}\rightarrow x^{i}+dx^{i}$.
Se para todo vetor $\mathbf{X},\mathbf{Y}\in T_{p}$ tivermos $g(\mathbf{X},\mathbf{Y})=0$ em $p$, ent�o a m�trica � dita n�o degenerada em $p$. Em termos das componentes de $\mathbf{g}$, isto quer dizer que a matriz $(g_{ab})$ � n�o singular. Trataremos sempre de m�tricas que n�o s�o degeneradas, isto �, definiremos de maneira �nica o tensor sim�trico do tipo $(2,0)$ cujas componentes $g^{ab}$ em rela��o as bases duais $\{e_{a}\}$ e $\{e^{a}\}$ s�o dadas pela rela��o
\beq\label{2.68}
g^{ab}g_{bc}=\delta^{a}_{c}\quad ,
\eeq
ou seja, a matriz $(g^{ab})$ � a matriz inversa de $(g_{ab})$. Se adimitirmos sempre isso, $g^{ab}$ e $g_{ab}$
definem um isomorfismo entre qualquer tensor covariante e qualquer tensor contrava\-riante, de maneira mais simples, $g^{ab}$ e $g_{ab}$ s�o usadas para levantar e abaixar �ndices das quantidades geom�tricas definidas na mesma base.  Se $T_{ab}$ s�o as componentes do tensor $\mathbf{T}$ do tipo $(0,2)$, ent�o podemos associar a elas unicamente as componentes tensorias $T^{a}{}_{b}=g^{ac}T_{cb}$, $T^{b}{}_{a}=g^{bc}T_{ac}$, $T^{ab}=g^{ac}g^{bd}T_{cd}$\quad .

O n�mero de autovalores positivos da matriz $(g_{ab})$ � chamado de {\it{assinatura}} da m�trica. Apenas se a m�trica $\mathbf{g}$ for n�o degenerada e cont�nua, o que tomaremos como verdade, a assinatura ser� constante em toda variedade $\mathcal{M}$. Por uma certa escolha da base vetorial $\{e_{a}\}$, as componentes da m�trica em qualquer ponto $p$ podem ser colocadas na forma 
\beq\label{2.69}\nonumber
g_{ab}=diag(\underbrace{+1, +1,\cdots, +1 }_{\frac{1}{2}(n+s)termos},\underbrace{-1, -1,\cdots, -1}_{\frac{1}{2}(n-s)termos})\quad ,
\eeq
na qual a assinatura de $\mathbf{g}$ e o n�mero de dimens�es de $\mathcal{M}$ s�o dados por $s$ e $n$ respectivamente. 

Uma m�trica � chamada de {\it{positiva definida}} se o n�mero de dimens�es da variedade for igual � assinatura de $\mathbf{g}$, ou seja,
\beq\label{2.70}\nonumber
g_{ab}=diag(\underbrace{+1,\cdots, +1 }_{n\hspace{0.1cm}termos})\quad .
\eeq
A m�trica positiva definida � propriamente o objeto que d� a {\it{disposi��o}} dos eventos no espa�o, no sentido topol�gico da express�o.

A m�trica cuja assinatura � $(n-2)$ � chamada de {\it{m�trica lorentziana}}, cuja forma, por uma certa escolha da base vetorial, �
\beq\label{2.71}\nonumber
g_{ab}=diag(\underbrace{+1,\cdots, +1}_{(n-1)termos},-1)\quad .
\eeq
Se tomarmos um espa�o-tempo dado por $(\mathcal{M},\mathbf{g})$, sendo $\mathbf{g}$ � uma m�trica lorentziana, ent�o vetores  em $p$ podem ser classificados como tipo tempo, tipo luz, ou do tipo espa�o, se $g(\mathbf{X},\mathbf{X})$ � negativo, nulo ou positivo, respectivamente. Os vetores tipo luz formam um cone duplo em $T_{p}$ que separa os vetores do tipo espa�o dos do tipo tempo.

Introduzimos separadamente em $\mathcal{M}$ o tensor m�trico e a conex�o. Apesar disso, � poss�vel obtermos a conex�o a partir de uma dada m�trica, j� que existe uma �nica conex�o livre de tor��o em $\mathcal{M}$ dada pela condi��o de que a derivada covariante da m�trica seja zero. Aplicando isto, obtemos as rela��es de Christtofel, que associam as componentes coordenadas de $\mathbf{\nabla}$ com as de $\mathbf{g}$, ou seja,
\beq\label{2.72}\nonumber
\Gamma^{a}{}_{bc}=\frac{1}{2}g^{da}\left[g_{cd,b}+g_{bd,c}-g_{cb,d}\right]\quad .
\eeq

Usando as propriedades de simetria do tensor de Riemann, e se o n�mero de dimens�es for $n=3$, o tensor de Ricci determina completamente a curvatura de $\mathcal{M}$, mas se $n>3$ aparecem outros termos de curvatura, aos quais o tensor de Ricci n�o descreve. Usamos o tensor de Weyl $C_{abcd}$ para descrever estes termos adicionais. As componentes do tensor de Weyl, s�o relacionadas com o tensor de Riemann, o tensor de Ricci e o escalar de curvatura  por
\beq\label{2.74}\nonumber
C_{abcd}=R_{abcd}+\frac{2}{n-2}\left[g_{a[d}R_{c]b}+g_{b[c}R_{d]a}\right]+\frac{2}{(n-1)(n-2)}g_{a[c}g_{d]b}R\quad ,
\eeq
e como consequ�ncia das simetrias de $R_{abcd}$,
\beq\label{2.75}\nonumber
C^{a}{}_{bad}=0\quad .
\eeq

At� aqui constru�mos o espa�o-tempo $(\mathcal{M},\mathbf{g})$ e os objetos geom�tricos de interesse, tal como as componentes da curvatura representadas pelo tensor de Riemann, e a condi��o para o espa�o-tempo ser plano, que descreve a relatividade restrita.

A resposta dada pela geometria do espa�o-tempo � presen�a de um campo externo � modificar sua curvatura de acordo com a densidade de energia armazenada no campo. Tal situa��o din�mica � descrita pelas equa��es de Einstein, que � um dos postulados fundamentais da Relatividade Geral. Podemos obter estas equa��es, supondo uma a��o f�sica que seja uma fun��o escalar das componentes da m�trica e suas derivadas. Neste caso, $g_{ab}$ s�o as �nicas vari�veis din�micas do sistema. Outra exig�ncia para esta a��o � que no limite n�o-relativ�stico, a teoria produzida recaia na teoria de Newton da gravita��o. Para isso acontecer, na a��o devem aparecer apenas derivadas at� segunda ordem no tensor m�trico de forma linear. 

A a��o mais simples que obedece a estas exig�ncias � a a��o de Einstein-Hilbert, dada em unidades relativ�sticas ($c=G=\hbar=1$) por
\beq\label{2.76}
S_{g}=-\frac{1}{16\pi}\int R\sqrt{-g}d^{4}x\quad ,
\eeq
sendo $R$ o escalar de curvatura e $g$ o determinante da m�trica. Aplicando o princ�pio de m�nima a��o $\delta S_{g}=0$, sendo a varia��o em rela��o as quantidades din�micas consideradas, que neste caso � o tensor m�trico. Ent�o a varia��o de (\ref{2.76}) tem como resultado
\beq\label{2.77}\nonumber
\delta S_{g}&=&-\frac{1}{16\pi}\int\delta\left(g^{ab}R_{ab}\sqrt{-g}\right)d^{4}x\\\nonumber
&=&-\frac{1}{16\pi}\int d^{4}x\bigg(R_{ab}\sqrt{-g}\delta g^{ab}+g^{ab}\delta R_{ab}\sqrt{-g}\\\nonumber&-&\frac{1}{2}g^{ab}R_{ab}g_{cd}\delta g^{cd}\sqrt{-g}
\bigg)\quad .
\eeq
A varia��o $\delta R_{ab}$ ser� feita na rela��o das componentes do tensor de Ricci com as da conex�o $\nabla$ na base coordenada, que � obtida atrav�s da conta��o de (\ref{2.62}). Tal varia��o  fica
\beq\label{2.78}
\delta R_{ab}=\left(\delta\Gamma^{c}{}_{ab}\right)_{,c}-\left(\delta\Gamma^{c}{}_{ac}\right)_{,b}+\delta\Gamma^{d}{}_{ab}\Gamma^{c}{}_{dc}-\Gamma^{d}{}_{ab}\delta\Gamma^{c}{}_{dc}-\delta\Gamma^{d}{}_{ac}\Gamma^{c}{}_{db}-\Gamma^{d}{}_{ac}\delta\Gamma^{c}{}_{db}\quad .
\eeq
 A varia��o das componentes da conex�o d� como resultado
\beq\label{2.79}\nonumber
\delta\Gamma^{a}{}_{bc}=\frac{1}{2}g^{ad}\left(\left(\delta g_{db}\right)_{;c} + \left(\delta g_{dc}\right)_{;b} - \left(\delta g_{bc}\right)_{;d}\right)\quad .
\eeq
Substituindo este resultado em (\ref{2.78}) chgamos � identidade de Palatini
\beq\label{2.80}
\delta R_{ab}=\left(\delta\Gamma^{c}{}_{ab}\right)_{;c}-\left(\delta\Gamma^{c}{}_{ac}\right)_{;b}\quad .
\eeq
A identidade de Palatini ap�s a integra��o n�o d� nenuma contribui��o a $\delta S_{g}$, enta~a varia��o da a��o assume a forma
\beq\label{2.81}
\delta S_{g}=\frac{1}{16\pi}\int d^{4}x\sqrt{-g}\left[R_{ab}-\frac{1}{2}g_{ab}R\right]\delta g^{ab}\quad .
\eeq
Definindo $G_{ab}\equiv R_{ab}-\frac{1}{2}g_{ab}R$ como tensor de Einstein, e aplicando $\delta S_{g}=0$ para qualquer $\delta g^{ab}$, obtemos as equa��es de Eintein para o espa�o-tempo no v�cuo
\beq\label{2.82}\nonumber
G_{ab}=0\quad .
\eeq
Esta equa��o n�o s� tem como solu��o a geometria para o espa�o-tempo exterior � distribui��es de energia e mat�ria, mas tamb�m nos informa que a geometria no caso de aus�ncia quaisquer distribui��es de mat�ria n�o � apenas a solu��o de Minkowski. Isto � a manifesta��o da n�o-linearidade da intera��o gravitacional. O pr�prio campo gravitacional, pelo seu conte�do de energia, produz mais curvatura, o que se conv�m chamar de retroa��o. Estas solu��es descrevem campos gravitacionais auto-sustent�veis. 

Agora, se ao inv�s de termos apenas $S_{g}$, adicionarmos a esta, a a��o $S_{m}$, que representa outros campos (campo escalar, eletromagn�tico, femi�nico, etc.) presentes na geometria, teremos 
\beq\label{2.83}\nonumber
S=S_{g}+S_{m}\quad .
\eeq
Aplicando o princ�pio de m�nima a��o $\delta S=0$, obtemos as equa��es de Einstein  para qualquer espa�o-tempo, que tomaremos como o postulado 1 da teoria.
\begin{postulado}{: Equa��es de Einstein}
\beq\label{2.84}
G_{ab}=8\pi T_{ab},
\eeq 
\end{postulado}
sendo $T_{ab}$ o tensor energia-momento. Neste objeto est� representado o conte�do de energia de uma certa regi�o do espa�o-tempo. Dado isto, em princ�pio resolvendo (\ref{2.84}), teremos as componentes do tensor de Einstein, ou seja, teremos o perfil da curvatura espa�o-temporal gerada por $T_{ab}$.

As equa��es de Einstein s�o dez equa��es diferenciais parciais n�o-lineares de segunda ordem acopladas das componentes do tensor m�trico. Pelas identidades de Bianchi $G_{ab;b}=0$ e tendo a diverg�ncia $T_{ab;b}$ nula, o n�mero de equa��es se torna seis.

Uma implica��o  das equa��es de Einstein � o aparecimento de contribui��es n�o-locais de distribui��es de energia na defini��o local de curvatura. Pela equa��o (\ref{2.74}), temos que o tensor de Riemann � dado localmente pela composi��o do tensor de Weyl mais o tensor de Ricci e o escalar de curvatura. Se considerarmos uma situa��o de v�cuo, por (\ref{2.82}) $R_{ab}=0$, ent�o a curvatura ter� apenas a contribu��o do tensor de Weyl. Esta contribui��o ser� n�o nula desde que haja uma distibui��o n�o homog�nea de energia no espa�o-tempo. Tomemos o divergente de $C^{ab}{}_{cd}$
\beq\label{2.85}\nonumber
C^{ab}{}_{cd;b}&=&\frac{1}{2}\left[\left(R^{a}{}_{c}-\frac{1}{6}R\delta^{a}_{c}\right)_{;d}-\left(R^{a}{}_{d}-\frac{1}{6}R\delta^{a}_{d}\right)_{;c}\right]\\
&=&8\pi\left[T^{a}{}_{c;d}-T^{a}{}_{d;c}+\frac{1}{3}\left(\delta^{a}_{d}T_{,c}-\delta^{a}_{c}T_{,d}\right)\right]\quad ,
\eeq  
sendo $T$ o tra�o do tensor energia-momento. Desta equa��o, observamos que as fontes do tensor de Weyl s�o os gradientes do tensor energia-momento. Tal equa��o pode ser interpretada como an�loga as equa��es de Maxwell, tomado $T$ como fonte.

Como foi dito as equa��es de Einstein s�o apenas um dos postulados fundamentais da Relatividade Geral. Existem outros dois, cujos expedientes s�o sobre a causalidade local do espa�o-tempo e a conserva��o local do tensor energia-momento.
\begin{postulado}{Causalidade local}
\end{postulado}
As equa��es que governam a din�mica dos campos de mat�ria no espa�o-tempo, devem ser tais que, se $\mathcal{U}$ for a vizinhan�a que cont�m os pontos $p$ e $q$, ent�o um sinal pode ser enviado em $\mathcal{U}$ entre os pontos $p$ e $q$ se e apenas se for poss�vel ligar estes pontos por uma curva totalmente em $\mathcal{U}$, cujo vetor tangente � sempre diferente de zero, do tipo-tempo ou do tipo luz, isto �, devemos ter uma curva ligando estes pontos que n�o seja do tipo-espa�o. Se $\{x^{a}\}$ forma um conjunto de coordenadas em $\mathcal{U}$ sobre o ponto p, ent�o pontos que podem ser ligados a $p$ atrav�s de curvas n�o tipo-espa�o, s�o aqueles cujas coordenadas satisfazem
\beq\label{2.86}
(x^{1})^{2}+(x^{2})^{2}+(x^{3})^{2}-(x^{4})^{2}\leq 0\quad , 
\eeq 
isto �, que estejam dentro do cone duplo em $T_{p}$ formado pelos vetores tipo-luz no ponto $p$. 
Empiricamente, a causalidade local � observada pelo fato de que nenhum sinal se deslocando mais r�pido que 
a luz, que viaja em geod�sicas tipo-luz, ter sido observado. Estas rela��es de causalidade podem ser usadas para determinar a estrutura topol�gica de $\mathcal{M}$. 

\begin{postulado}{Conserva��o local da energia e momento}
\end{postulado}

As equa��es da din�mica dos campos de mat�ria s�o tais que existe um tensor sim�trico chamado tensor energia-momento, que depende dos campos, de suas derivadas covariantes e m�trica, e que obede�a as propriedades:

$(i)$ $T_{ab}$ se anula num aberto $\mathcal{U}$ se e apenas se os campos de mat�ria tamb�m se anu\-larem. Isto expressa o fato de que todos campos t�m energia e portanto s�o afetados gravitacionalmente

$(ii)$ $T_{ab}$ obedece � equa��o
\beq\label{2.87}\nonumber
T^{ab}{;b}=0\quad .
\eeq

Estes t�s postulados, em s�ntese, formam a base da Teoria da Relatividade Geral.
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\section{Buracos Negros}

Buracos negros s�o uma das mais interessantes previs�es da Relatividade Geral. Estes objetos produzem no espa�o-tempo uma curvatura extrema, de tal modo que nem sinais luminosos, uma vez dentro  do horizonte de eventos do buraco negro, podem escapar. A prova da exist�ncia de buracos negros e a an�lise de suas propriedades, s�o de grande interesse n�o s� para a  astrof�sica, que especula que grandes emiss�es de raios-X nos centros gal�ticos sejam devido a presen�a de buracos negros supermassivos, mas tamb�m para testar nossa no��o de espa�o-tempo em regi�es cujo campo gravitacional � t�o intenso. Um buraco negro pode ser formado quando um corpo de massa $M$ contrai seu tamanho num raio menor que o {\it{raio gravitacional}} $2GM/c^{2}$. A velocidade de escape nesta situa��o � igual a velocidade da luz, isto �, nenhum campo ou part�cula pode escapar do buraco negro. Esta conclus�o vem de maneira natural da relatividade geral, pois a intera��o gravitacional tem a caracter�stica de ser universal, j� que a carga gravitacional, ou massa, tem valor proporcional a energia total do sistema. Apesar das equa��es de Einstein, que descrevem os buracos negros, serem n�o lineares, buracos negros logo ap�s sua forma��o se tornam estacion�rios e os �nicos par�metros que os  descrevem s�o sua carga, massa e momento angular, que s�o seus �nicos {\it{cabelos}}, segundo o {\it{teorema no hair}}. A superf�cie do buraco negro � chamada de horizonte de eventos. Esta � uma superf�cie tipo-luz, que determina, juntamente com a singularidade espa�o-temporal al�m dessa superf�cie, uma estrutura causal n�o trivial no epa�o-tempo.

Poss�veis aspectos observacionais de buracos negros podem ser obtidos pelo estudo do movimento de part�culas e propaga��o de campos em espa�os-tempos de buracos negros estacion�rios. Este problema � predominatemente matem�tico e envolve a integra��o das equa��es da geod�sica, e a obten��o da solu��o da equa��o de onda nesses espa�os. 

A constata��o te�rica de que buracos negros irradiam, contrariando a defini��o cl�ssica dada pela relatividade geral desses objetos, foi feita por Hawking \cite{hawking2}. Este resultado � devido � instabilidade do v�cuo gerada pela curvatura do buraco negro, que se torna fonte de radia��o qu�ntica. A propriedade mais interessante dessa radia��o � que o seu espectro � precisamente t�rmico.

A colis�o de um buraco negro com uma estrela de n�utrons ou a coalesc�ncia de um par de buracos negros  num sistema bin�rio, forma uma fonte de radia��o gravitacional de grande intensidade, que poderiam ser medidos por experimentos de interferometria de ondas gravitacionais. Para que se efetue tal medi��o, deve-se saber com detalhes o campo gravitacional do buraco negro durante a colis�o. Tal solu��o � poss�vel atrav�s de simula��es num�ricas dessas colis�es.

Buracos negros funcionam como laborat�rios te�ricos para testar id�ias sobre como seria a  teoria unificada das quatro intera��es fundamentais. A teoria de supercordas, que parece ser a mais promissora teoria para a unifica��o, explica a gravidade como uma cole��o de estados da excita��o de uma corda fundamental fechada. Esta teoria recupera a Relatividade Geral no limite de campo fraco. 

As  equa��es de Einstein $4-$dimensionais sem constante cosmol�gica, possuem quatro fam�lias de solu��es exatas que descrevem buracos negros. A solu��o de Schwarzschild descreve um buraco negro esfericamente sim�trico de massa $M$. A solu��o de Reissner-Nordstr�m, generaliza a solu��o de Schwarschild para o caso em que al�m da massa, o buraco negro cont�m carga el�trica $Q$. O buraco negro de Kerr � a solu��o que descreve um buraco negro de massa $M$ e momento angular total $J$. A solu��o tipo buraco negro mais geral � a solu��o de Kerr-Newman, que depende dos tr�s par�metros do teorema no hair, massa $M$, carga el�trica $Q$ e momento angular $J$.

\section{Propriedades gerais dos buracos negros}

O nosso objetivo nesta se��o � apresentar de forma geral propiedades inerentes a todas solu��es das equa��es de Einstein que descrevem buracos negros sem constante cosmol�gica. Para que possamos definir um buraco negro em termos do par $(\mathcal{M},\mathbf{g})$, prescisamos de conceitos acerca da estrutura causal de $(\mathcal{M},\mathbf{g})$, tais como orientabilidade no tempo, curvas causais, condi��es de causalidade e o diagrama de Penrose-Carter.

Um espa�o-tempo � tido como {\it{temporalmente orientado}} se em todos seus pontos pu\-dermos separar continuamente os vetores n�o tipo-espa�o em duas classes distintas:os direcionados ao futuro (vetor futuro) e os direcionados ao passado (vetor passsado), do contr�rio teremos espa�os-tempo n�o temporalmente orientados. Estas situa��es n�o permitem o aparecimento de singularidades, seja em buracos negros seja no universo primordial, logo n�o � razo�vel trabalhar com tais cen�rios, al�m de que, h� a termodin�mica local que nos garante a exist�ncia de apenas um par�metro de tempo.

Seja ent�o um espa�o-tempo $(\mathcal{M},\mathbf{g})$ temporalmente orient�vel, com dois conjuntos $\mathcal{S}$ e $\mathcal{U}$. O {\it{futuro cronol�gico}} $I^{+}(\mathcal{S}, \mathcal{U})$ de $\mathcal{S}$ relativo ao conjunto $\mathcal{U}$ pode ser definido como o conjunto de todos os pontos em $\mathcal{U}$ que podem ser alcan�ados por pontos em $\mathcal{S}$ atrav�s de curvas futuras tipo-tempo (o vetor tangente � do tipo futuro). Da mesma forma, podemos definir o {\it{passado cronol�gico}} $I^{-}(\mathcal{S}, \mathcal{U})$ de  $\mathcal{S}$ relativo a $\mathcal{U}$.

O {\it{futuro causal}} $J^{+}(\mathcal{S},\mathcal{U})$ de $\mathcal{S}$ relativo a $\mathcal{U}$ � o conjunto de todos os pontos de $\mathcal{U}$ que podem relacionar-se causalmente com pontos em $\mathcal{S}$. De maneira mais rigorosa, definimos o futuro causal como a uni�o do conjunto formado pela intersec��o $\mathcal{S}\cap\mathcal{U}$ e o conjunto formado por todos os pontos de $\mathcal{U}$ que podem alcan�ados de $\mathcal{S}$ por curvas futuras tipo-tempo ou tipo-luz.

As condi��es de caualidade se referem a exig�ncia de que $(\mathcal{M}, \mathbf{g})$ n�o possua curvas fechada tipo-tempo. A exist�ncia de tais estruturas criaria diversos paradoxos, como, por exemplo, se um foguete viajasse numa curva desse tipo ele poderia chegar antes de sua partida. Mais precisamente, damos o nome de {\it{condi��o cronol�gica}} a esta hip�tese. Uma das proposi��es de Hawking acerca disso, nos informa que variedades que satisfa�am � condi��o cronol�gica n�o devem ser compactas, pois se forem compactas, o conjunto de pontos que violam a condi��o cronol�gica � n�o vazio. A prova disso est� em \cite{hawking1}.

A id�ia principal do {\it{diagrama de Penrose-Carter}} � estudar a estrutura causal dos pontos no infinito de $(\mathcal{M}, \mathbf{g})$ iniciando com a m�trica n�o f�sica $\bar{g}_{ab}$, que se relaciona com a m�trica f�sica $g_{ab}$ por uma transforma��o conforme, isto �,
\beq\label{2.88}\nonumber
\bar{g}_{ab}=\Omega^{2}g_{ab}\quad ,
\eeq
sendo $\Omega$ o fator conforme.
Uma escolha apropriada deste fator conforme, nos possibilita ``trazer'' os pontos no infinito para uma posi��o finita, e ent�o estudar sua estrutura causal. Para trazer estes pontos do infinito usamos transforma��es de coordenadas que envolvam fun��es do tipo $\tan^{-1}(x)$, que mapeiem intervalos infinitos $[-\infty,+\infty]$ em intervalos finitos, tais como $[-\pi/2,+\pi/2]$. 

A receita b�sica consiste em escrever a m�trica usando coordenadas nulas $(v=t+r,w=t-r)$, ap�s isso, realizar a transforma��o $(v,w)\rightarrow(p=\tan^{-1}v,q=\tan^{-1}\omega)$ e ent�o identificar o fator conforme e extrair a m�trica f�sica, que representa a estrutura dos pontos no infinito. As informa��es da estrutura causal da m�trica f�sica colocadas em um diagrama $t\times x$ produz o diagrama de Penrose-Carter, que � o diagrama do espa�o-tempo conformalmente compactificado. 

Este processo aplicado na m�trica de Minkowski
\beq\label{2.89}\nonumber
ds^{s}=-dt^{2}+dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}\quad ,
\eeq
produz o seguinte elemento de linha
\beq\label{2.90}\nonumber
ds^{2}=\frac{1}{4}\sec^{2}(p) \sec^{2}(q) \left[4dpdq -\sin^{2}(p-q)\left(d\theta^{2}+\sin^{2}\theta d\phi^{2}\right)\right]\quad ,
\eeq
sendo o fator conforme dado por
\beq\label{2.91}\nonumber
\Omega=\frac{1}{4}\sec^{2}(p)\sec^{2}(q)\quad ,
\eeq  
e a m�trica conforme $\bar{g}_{ab}$ por
\beq\label{2.92}\nonumber
d\bar{s}^{2}=dt'^{2}-dr'^{2}-\sin^{2}r'\left(d\theta^{2}+\sin^{2}\theta d\phi^{2}\right)\quad ,
\eeq
no qual $t'=p+q$ e $r'=p-q$, com dom�nios $-\pi<t'+r'<\pi$, $-\pi<t'-r'<\pi$ com a condi��o $r'\leq 0$. O elemento de linha conforme expressa a geometria dos pontos do infinfito numa regi�o finita. No caso do espa�o-tempo de Minkowski, obtemos o universo est�tico de Einstein como m�trica conforme, cuja topologia � cil�ndrica. Esta representa��o do espa�o-tempo de Minkowski como uma regi�o finita do universo est�tico de Einstein, � chamada de compactifica��o conforme, que pode ser representada no diagrama (\ref{universo_estatico}) retirado de \cite{hawking1}.
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%figura do espa�o-tempo minko compactificado%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{figure}[htb]
\begin{center}
\includegraphics[height=10cm,width=8cm]{estatico_einstein_novo.ps}
\end{center}
\caption{Espa�o-tempo de Minkowski compactificado.}\label{universo_estatico}
\end{figure}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

A fronteira dessa regi�o representa a estrutura conforme do infinito para o espa�o-tempo de Minkowski. Em termos das coordenadas $p$ e $q$, esta fronteira consiste nas superf�cies nulas $p=\pi/2$ denotada por $\mathcal{T}^{+}$ e $q=-\pi/2$ chamada $\mathcal{T^{-}}$, al�m dos pontos $\left(p=\pi/2,q=\pi/2\right)$, $\left(p=\pi/2,q=-\pi/2\right)$ e $\left(p=-\pi/2,q=-\pi/2\right)$ denotados respectivamente por $i^{+}$, $i^{0}$ e $i^{-}$. 

As geod�sicas tipo-tempo t�m origem no ponto $i^{-}$ em terminam em $i^{+}$. Da mesma forma, geod�sicas tipo-luz se originam na superf�cie $\mathcal{T}^{-}$ e terminam em $\mathcal{T}^{+}$, enquanto que as geod�sicas tipo-espa�o iniciam e teminam em $i^{0}$. A representa��o das curvas geod�sicas nestes diagramas tamb�m aplica-se �s curvas n�o geod�sicas.

Os pontos $i^{+}$ e $i^{-}$ representam o infinito futuro tipo-tempo e infinito passado tipo-tempo, $\mathcal{T}^{+}$ e $\mathcal{T}^{-}$ representam o infinito futuro tipo-luz e infinito passado tipo-luz. 

%Com estas considera��es construimos o diagrama
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%figura diamante%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\begin{figure}[htb]
%\begin{center}
%\includegraphics[height=6cm,width=6cm]{diamante.ps}
%\end{center}
%\caption{Geod�sicas no espa�o-tempo de Minkowski.}\label{diamante}
%\end{figure}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

O {\it{diagrama de Penrose-Carter}} � o diagrama $t\times r$ de um espa�o-tempo conformalmente compactificado. Para o espa�o-tempo de Minkowski o diagrama de Penrose-Carter est� na figura (\ref{penrose_minko})
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%figura penrose_minko%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{figure}[h]
\begin{center}
\includegraphics[height=9cm,width=9cm]{minko_teste.ps}
\end{center}
\caption{Diagrama de Penrose-Carter do espa�o-tempo de Minkowski.}\label{penrose_minko}
\end{figure}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
onde temos as curvas $r$ constante, que correspondem as hist�rias de esferas bidimensionais com raio constante, e as fatias tipo-tempo correspondente a $t$ constante. Geod�sicas radiais nulas s�o representadas por retas  $p$ constante e $q$ constante fazendo angulos de $45^{o}$ e $-45^{o}$ respectivamente.  

Tendo a prescri��o do diagrama de Penrose-Carter, passamos ent�o � an�lise das solu��es tipo buraco negro de Schwarzschild e Kerr.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{A solu��o de Schwarzschild}

A solu��o das equa��es de Einstein que descreve um espa�o-tempo vazio na vizinhan�a de um corpo massivo esfericamente sim�trico, � a solu��o de Schwarzschild. Esta  solu��o � uma boa aproxima��o para estudarmos o Sistema Solar, bem como qualquer sistema gravitacional que n�o exiba consider�veis desvios da simetria esf�rica. Esta solu��o � dada pela m�trica
\beq\label{2.93}
ds^{2}=-\left(1-\frac{2m}{r}\right)dt^{2}+\left(1-\frac{2m}{r}\right)^{-1}dr^{2}+r^{2}\left(d\theta^{2}+\sin^{2}\theta d\phi^{2}\right),
\eeq
para $r>2m$, sendo $m$ uma constante de integra��o advinda da resolu��o das equa��es de Einstein. O valor desta constante � determinado quando consideramos o limite newtoniano da Relatividade Geral. Sendo $\Phi$ o potencial gravitacional newtoniano, ent�o neste limite, em unidades n�o-relativ�sticas,
\beq\label{2.94}\nonumber
g_{00}\simeq 1+\frac{2\Phi}{c^{2}}=1-\frac{2G_{4}M}{c^{2}r}\quad ,
\eeq
no qual $c$ � a velocidade da luz, $G_{4}$ a constante da gravita��o $4-$dimensional e $M$ a massa que d� origem ao potencial gravitacional $\Phi$. Comparando (\ref{2.94}) com a solu��o de Schwarzschild, determinamos a constante de integra��o $m$ como
\beq\label{2.95}\nonumber
m=\frac{GM}{c^{2}}\quad .
\eeq
Vemos que a solu��o de Schwarzschild pode ser interpretada como a descri��o para o campo gravitacional de uma part�cula de massa $m$ situada na origem. Esta solu��o � est�tica, no sentido de que $\partial/\partial t$ � um campo vetorial de Killing. As componentes da m�trica s�o fun��es que n�o dependem do tempo, e n�o apresentam termos de rota��o, pois n�o h� termos mistos como $dtdr$. A simetria esf�rica  de (\ref{2.93}) aparece no fato de que $g_{00}$ e $g_{01}$ dependerem apenas da coordenada radial e n�o das coordenadas angulares $\theta$ e $\phi$.
 Pode-se mostrar, conforme teorema de Birkhoff, que qualquer solu��o das equa��es de Einstein para sistemas esfericamente sim�tricos � localmente isom�trica � solu��o de Schwarzschild, ou seja, este teorema garante que esta solu��o � �nica.

Em geral a m�trica (\ref{2.93}) descreve a geometria externa de uma estrela de raio $r_{0}$, isto �, para $r>r_{0}$. A m�trica para $r<r_{0}$ depende do tensor energia-momento $T_{ab}$ no interior estelar. No caso de um completo colapso gravitacional, quando toda massa do corpo colapsa no ponto $r=0$, consideramos a solu��o de Schwarzschild como descri��o para todos valores de $r$. Tal solu��o apresenta singularidades nos pontos $r=0$ e $r=2m$, ou seja, no caso do colapso gravitacional, a m�trica de Schwarzschild, descreve  dois dom�nios da variedade $\mathcal{M}$, $0<r<2m$ ou $2m<r<\infty$.

Tomando $\mathcal{M}$ com dom�nio $2m<r<\infty$, � necess�rio determinar se $\mathcal{M}$ � extens�vel, isto �, descobrir se existe uma variedade $\mathcal{M'}$ com uma m�trica $\mathbf{g}'$ formando o espa�o-tempo $(\mathcal{M'},\mathbf{g}')$ tal que $\mathcal{M}$ � um subespa�o de $\mathcal{M}'$ e que $\mathbf{g}=\mathbf{g}'$ em $\mathcal{M}$. Neste dom�nio isto � poss�vel, j� que o escalar de curvatura em $r=2m$ � uma fun��o cont�nua, o que indica que a singularidade em $r=2m$ � apenas uma patologia do sistema de coordenadas escolhido, ou seja, deve existir um outro conjunto de coordenadas que mapeie este dom�nio de $\mathcal{M}$ numa imagem sem singularidades. Para efetuar a extens�o maximal de $\mathcal{M}$, devemos ter todas curvas geod�sicas extendidas em ambas as dire��es com rela��o ao par�metro afim, ou devem ter termina��es em uma singularidade verdadeira, ou seja, uma singularidade que n�o pode ser removida por nenhuma mudan�a de coordenadas.

Se tomarmos agora, $\mathcal{M}$ com dom�nio $0<r<2m$ e calcularmos o escalar de curvatura, obtido das componentes do tensor de Riemman,
\beq\label{2.96}
R^{abcd}R_{abcd}=\frac{48m^{2}}{r^{6}}\quad ,
\eeq
concluiremos que para $r\rightarrow 0$, $R^{abcd}R_{abcd}\rightarrow \infty$, o que indica a exist�ncia de uma singularidade real em $r=0$, tornando imposs�vel a extens�o de $\mathcal{M}$ al�m de $r=0$. O m�ximo que podemos fazer � extender $\mathcal{M}$ al�m de $r=2m$ at� $r=\infty$ atrav�s do procedimento de Kruskal-Szekeres. Este procedimento consiste em reescrever (\ref{2.93}) em termos das coordenadas nulas avan�adas e retardadas $(v,w)$. Descreveremos $\mathcal{M}$ com o sistema de coordenadas $(v,w,\theta,\phi)$.

Usando a condi��o pra uma curva geod�sica ser uma geod�sica tipo-luz ou nula
\beq\label{2.97}\nonumber
g_{ab}X^{a}X^{b}=0\quad ,
\eeq
as geod�sicas radiais nulas do espa�o-tempo descrito por (\ref{2.93}) s�o dadas por
\beq\label{2.98}\nonumber
\left(\frac{dt}{dr}\right)^{2}=\left(\frac{1}{1-\frac{2m}{r}}\right)^{2},
\eeq
definindo a coordenada tartaruga $r_{*}$ de Wheeler, neste caso, como
\beq\label{2.99}
r_{*}\equiv\int\frac{dr}{1-\frac{2m}{r}}=r+2m\log \left(\frac{r}{2m}-1\right)\quad .
\eeq
Ent�o, as geod�sicas radiais nulas ficam
\beq\label{2.100}\nonumber
t=r_{*}+const\quad ,\\
t=-r_{*}+const\quad .
\eeq
Definimos as coordenadas nulas $(v,w)$ por
\beq\label{2.101}\nonumber
v=t-r_{*}\quad ,\\
w=t+r_{*}\quad ,
\eeq
que consequentemente leva � defini��o de $r$ em termos impl�citos de $v$ e $w$, j� que $r_{*}=\left(w-v\right)/2$. 

Usando estas defini��es, a solu��o (\ref{2.93}) pode ser escrita como
\beq\label{2.102}
ds^{2}=-\frac{2m e^{-r/2m}}{r}e^{(w-v)/4m}dvdw+r^{2}\left(d\theta^{2}+\sin^{2}\theta d\phi^{2}\right),
\eeq
implicando em que a singularidade $r\rightarrow 2m$ corresponde a $v\rightarrow \infty$ e $\omega\rightarrow -\infty$. 

Definindo novas coordenadas $V$ e $W$ como
\beq\label{2.103}\nonumber
V=-e^{-v/4m}\quad ,\\
W=e^{w/4m}\quad ,
\eeq
a  m�trica (\ref{2.102}) fica
\beq\label{2.104}
ds^{2}=-\frac{32m^{3} e^{-r/2m}}{r}dVdW+r^{2}\left(d\theta^{2}+\sin^{2}\theta d\phi^{2}\right)\quad .
\eeq
Nesta forma, observamos que n�o h� singularidade em $r=2m$, que corresponde a $V=W=0$. Para obtemos a forma de Kruskal-Szekeres da m�trica de Schwarzschild fazemos a seguinte mudan�a de coordenadas
\beq\label{2.105}\nonumber
T=\frac{(V+W)}{2}\quad ,\\
X=\frac{(W-V)}{2}\quad ,
\eeq
em (\ref{2.104}), obtendo assim
\beq\label{2.106}
ds^{2}=\frac{32m^{3} e^{-r/2m}}{r}\left(-dT^{2}+dX^{2}\right)+r^{2}\left(d\theta^{2}+\sin^{2}\theta d\phi^{2}\right).
\eeq
A transforma��o de coordenadas entre as coordenadas iniciais $(t,r)$ e $(T,X)$ � dada por
\beq\label{2.107}\nonumber
X^{2}-T^{2}=\left(\frac{r}{2m}-1\right)e^{r/2m}\quad ,\\
t=4m\tanh^{-1}\left(\frac{T}{X}\right)\quad .
\eeq
A condi��o de que $r>0$ especifica os valores permitidos para as coordenadas $(T,X)$. Estes valores s�o os que obedecem a rela��o $X^{2}-T^{2}>-1$. Esta estrutura da extens�o de Kruskal-Szekeres da geometria de Schwarzschild
� dada pelo diagrama (\ref{kruskal}), chamado de diagrama de Kruskal-Szekeres. Em tal diagrama, as geod�sicas radiais nulas s�o retas que fazem �ngulos de $45^{o}$ com os eixos coordenados. Vemos tamb�m que a singularidade verdadeira em $r=0$ corresponde aos valores $X^{2}=\pm\sqrt{\left(T^{2}-1\right)}$ e que n�o h� singularidade quando $r=2m$. A regi�o $I$ � correspondente a solu��o original de Schwarzschild em $r>2m$, que representa o campo gravitacional externo ao corpo colapsante. Esta regi�o apresenta um comportamento assint�ticamente plano, da mesma maneira que a regi�o $I'$. Um f�ton que parte da regi�o $I$ pode ir para o infinito espacial ou atravessar a fronteira $X=T$ entrando na regi�o $II$, mas n�o ir para regi�o $I'$, o que mostra que as regi�es $I$ e $I'$ s�o causalmente desconectadas. N�o h� possibilidade de um observador numa geod�sica radial nula na regi�o $II$, escapar da singularidade em $X=\sqrt{\left(T^{2}-1\right)}$, essa regi�o � chamada de {\it{buraco negro}} e a regi�o $II'$, que possui as mesmas propriedades que $II$ quando invertemos o tempo desta, de {\it{buraco branco}}.  
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%Kruskal-Szkers%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{figure}[ht]
\begin{center}
\includegraphics[height=10cm,width=11cm]{kruskal_teste2.ps}
\end{center}
\caption{Extens�o de Kruskal da geometria de Schwarzschild.}\label{kruskal}
\end{figure}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


Para obtermos o diagrama de Penrose-Carter para a extens�o de Kruskal-Szekeres da geometria de Schwarzschild se definirmos novas coordenadas nulas por 
\beq\label{2.108}\nonumber
v'=\tan^{-1}\left(\frac{V}{\sqrt{2m}}\right)\quad ,\\
w'=\tan^{-1}\left(\frac{W}{\sqrt{2m}}\right)\quad ,
\eeq 
com dom�nios $-\pi/2<v'<\pi/2$, $-\pi/2<w'<\pi/2$ e $-\pi<v'+w'<\pi$. Este diagrama � dado na figura (\ref{penrose_kruskal}).

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%penrose kruskal%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{figure}[ht]
\begin{center}
\includegraphics[height=10cm,width=10cm]{esferico_blue.ps}
\end{center}
\caption{Diagrama de Penrose-Carter da solu��o de Kruskal-Szekeres.}\label{penrose_kruskal}
\end{figure}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%







Observamos neste diagrama que cada uma das regi�es assint�ticamente planas $I$ e $I'$ possuem infinito futuro, infinito passado e infinito tipo-luz, e que diferentemente do espa�o-tempo de Minkowski, a m�trica conforme � cont�nua mas n�o diferenci�vel em $i^{0}$.

Na extens�o de Kruskal-Szekers da m�trica de Schwarzschild, a superf�cie nula $r=2m$ � uma superf�cie onde cada ponto representa uma esfera bidimensional de �rea $16\pi m^{2}$. Se observarmos a m�trica (\ref{2.26}), vemos que $g_{00}$ � sempre maior que zero quando tomamos $r>2m$, mas muda de sinal quando atravessamos o horizonte de eventos $r=2m$, isto �, $g_{00}<0$ quando $r<2m$. Isto implica que as coordenadas $t$ e $r$ invertem seus pap�is, tornando o espa�o-tempo para $r<2m$ n�o est�tico. O horizonte de eventos torna-se o limite est�tico da solu��o de Schwarzschild.
%\newpage
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{A solu��o de Kerr}

Em Relatividade Geral, o campo gravitacional de um objeto em rota��o e estacion�rio � descrito pelo espa�o-tempo de Kerr \cite{kerr1}. Nas chamadas coordenadas de Boyer-Lindquist, esta solu��o � dada pela m�trica
\beq\label{2.109}\nonumber
ds^{2}&=&-\left(1-\frac{2mr}{\Sigma}\right)dt^{2}-\frac{4amr\sin^{2}\theta}{\Sigma}dtd\theta\\
&+&\frac{\Sigma}{\Delta}dr^{2}+\Sigma d\theta^{2} +\left(r^{2}+a^{2}+\frac{2mra^{2}\sin^{2}\theta}{\Sigma}\right)\sin^{2}\theta d\phi^{2}\quad,
\eeq
 sendo $\Sigma\equiv r^{2}+a^{2}\cos^{2}\theta$ e $\Delta\equiv r^{2}-2mr+a^{2}$. A quantidade $m$ representa a massa gravitacional do corpo girante, e sendo $J$ o seu momento angular total, ent�o $a=J/m$ representa o momento angular por unidade de massa. Os coeficientes da m�trica de Kerr s�o independentes de $t$ e $\phi$, o que implica que esta solu��o � estacion�ria e axialmente sim�trica, que s�o as �nicas simetrias cont�nuas desta solu��o. Por simetria axial entendemos que se existe um eixo definido (neste caso o eixo z em coordenadas cartesianas, ou $\theta=0$), tal que a solu��o � invariante por rota��es em torno deste eixo, ent�o a solu��o � axialmente sim�trica. Existem duas simetrias discretas para este espa�o-tempo, a reflex�o em $t$ e $\phi$, que n�o ocorrem separadamente mas em conjunto, isto �, esta solu��o admite apenas a invers�o simult�nea\beq\label{2.110}\nonumber
t\rightarrow -t, \hspace{0.3cm} \phi\rightarrow -\phi\quad .
\eeq
Este tipo de simetria representa o fato do espa�o-tempo de Kerr ser a solu��o para um corpo em rota��o, j� que se invertemos o spin e tomarmos o tempo negativo � equivalente a dire��o positiva do tempo com spin positivo. 

Temos ainda a segunda simetria discreta
\beq\label{2.1101}\nonumber
t\rightarrow -t, \hspace{0.3cm}a\rightarrow -a\quad, 
\eeq
 que sugere que $a$ especifica a dire��o do spin do corpo girante. A solu��o (\ref{2.109}) � assinto\-ticamente plana, isto �, para $r\rightarrow \infty$, obtemos a m�trica de Minkowski. Quando tomamos $a=0$, n�o s� os termos relacionados a rota��o v�o a zero, mas a m�trica se reduz a solu��o de Schwarzschild.

A solu��o de Kerr admite uma singularidade espa�o-temporal em forma de anel. Esta singularidade n�o remov�vel aparece quando $\Sigma=0$, a partir do c�lculo da quantidade $R_{abcd}R^{abcd}$. Ent�o se
\beq\label{2.111}\nonumber
\Sigma=r^{2}+a^{2}\cos^{2}\theta=0\quad, 
\eeq
devemos ter $r=\cos\theta=0$, que determina uma singularidade com estrutura de um anel de raio $a$ no plano equatorial $z=0$, j� que em coordenadas cartesianas $z=r\cos\theta$. O espa�o-tempo de Kerr admite duas superf�cies $S_{+}$ e $S_{-}$ onde o desvio para o vermelho � infinito, tais superf�cies representam limites estacion�rios, como no caso de Schwarzschild, s�o superf�cies onde as coordenadas tipo-tempo trocam de papel com as coordenadas tipo-espa�o. Ainda admite duas superf�cies nulas, que definem dois horizontes de eventos.

As superf�cies com desvio para o vermelho infinito s�o obtidas quando $g_{00}$ � nulo. Disto obtemos os limites estacion�rios
\beq\label{2.112}
r_{S_{\pm}}=m\pm\sqrt{m^{2}-a^{2}\cos^{2}\theta}\quad .
\eeq
No lmite de Schwarzschild $a\rightarrow 0$, a superf�cie $S_{+}$ se reduz ao horizonte de eventos $r=2m$ e $S_{-}$ a $r=0$. Estas superf�cies definidas por (\ref{2.112}) s�o axialmente sim�tricas, com $S_{+}$ possuindo um raio $r=2m$ no equador, e assumindo $a^{2}<m^{2}$, um raio $m+\sqrt{m^{2}-a^{2}}$ nos p�los. A superf�cie $S_{-}$ est� completamente contida por $S_{+}$. A exist�ncia dessas superf�cies indica a exist�ncia de superf�cies nulas que definem horizontes de eventos. Para encontrar tais horizontes, devemos procurar por superf�cies $r=constante$ onde a componente $g^{11}$ se anule. Ent�o se
\beq\label{2.113}\nonumber
g^{11}=-\frac{\Delta}{\Sigma^{2}}=-\frac{r^{2}-2mr+a^{2}}{r^{2}+a^{2}\cos^{2}\theta}\quad ,
\eeq
para que ele se anule, devemos ter
\beq\label{2.114}\nonumber
\Delta=r^{2}-2mr+a^{2}=0,
\eeq
o que implica em dois horizontes de eventos, sempre com $a^{2}<m^{2}$
\beq\label{2.115}\nonumber
r=r_{\pm}=m\pm\sqrt{m^{2}-a^{2}}.
\eeq

A m�trica de Kerr apresenta dois horizontes de eventos e duas superf�cies com desvio para o vermelho infinito. Esta configura��o define tr�s regi�es em que esta m�trica � regular. A regi�o I cujo dom�nio � $r_{+}<r<+\infty$, a regi�o II compreendida no intervalo $r_{-}<r<r_{+}$ e a regi�o III definida por $0<r<r_{-}$.
No limite $a=0$ os horizontes de eventos se reduzem a $r=2m$ e $r=0$. De fato, na solu��o de Schwarzschild o horizonte de eventos e a superf�cie de infinito desvio para o vermelho coincidem. A regi�o entre o limite estacion�rio $S_{+}$ e o horizonte de eventos $r=r_{+}$ � chamada de {\it{ergosfera}}.
% As regi�es regulares da solu��o de Kerr podem ser visualizadas na figura \ref{kerr1}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%regi�es de kerr%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\begin{figure}[ht]
%\begin{center}
%\includegraphics[height=10cm,width=10cm]{kerr_regioes.ps}
%\end{center}
%\caption{Regi�es regulares da solu��o de Kerr.}\label{kerr1}
%\end{figure}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

Destas considera��es, vemos que para $a<m$ a solu��o de Kerr descreve um buraco negro com par�metro de rota��o diferente de zero. No caso em que $a>m$, n�o h� a forma��o do buraco negro, j� que n�o h� o aparecimento de um horizonte de eventos mas apenas a forma��o de uma singularidade em $r=0$, que � vis�vel a todos observadores externos. Tal singularidade, pela aus�ncia de um horizonte de eventos, � chamada de {\it{singularidade nua}}. Segundo o {\it{hip�tese da censura c�smica}}, tais obejtos n�o devem existir na natureza, mas tal hip�tese nunca foi provada de maneira geral. Por outro lado, no caso de buracos negros em rota��o, n�o parece haver nenhum mecanismo din�mico que fa�a com que uma estrela com $a<m$ v� para um estado em que $a>m$.

A extens�o maximal da m�trica de Kerr ($a<m$) � obtida utilizando-se as coordenadas de Eddington-Finkelstein ava�adas e retardadas
\beq\label{2.116}\nonumber
du_{\pm}&=&dt\pm\frac{r^{2}+a^{2}}{\Delta}dr,\\\nonumber
d\phi_{\pm}&=&d\phi\pm\frac{a}{\Delta}dr.
\eeq
Na figura (\ref{kerr2}) temos a estrutura conforme ao longo do eixo de simetria. As regi�es I determinadas pelo intervalo $r_{+}<r<+\infty$ s�o estacion�rias e assint�ticamente planas. As regi�es II $r_{-}<r<r_{+}$ n�o s�o estacion�rias e apresentam superf�cies aprisionadas fechadas. As regi�es III $-\infty<r<r_{-}$ cont�m a singularidade em forma de anel do tipo-tempo, que pode ser evitada. Esta regi�o cont�m curvas fechadas tipo-tempo. Tais curvas violam o princ�pio da causalidade, n�o sendo fisicamente consideradas. N�o h� viola��o da causalidade nas regi�es I e II. 

Segundo Penrose \cite{penrose2}, � poss�vel realizar uma esp�cie de extra��o de energia de um buraco negro que possui uma ergosfera. Dada uma part�cula se movendo numa trajet�ria geod�sica a partir do infinito, com energia
$E_{0}\equiv -p_{0}^{a}K_{a}>0$ ao longo desta trajet�ria, com $p_{0}^{a}=mv_{0}^{a}$ sendo o momento da part�cula, $v_{0}^{a}$ s�o as componentes da quadri-velocidade da part�cula e $K_{a}$ s�o as componentes do vetor de Killing. Ent�o suponhamos que tal part�cula se divida em dois fragmentos com momentos $p_{1}^{a}$ e $p_{2}^{a}$, onde $p_{0}^{a}=p_{1}^{a}$. Sendo $K_{a}$ um vetor do tipo-espa�o � poss�vel escolher $p_{1}^{a}$ um vetor tipo-tempo futuro direcionado, tal que $E_{1}\equiv -p_{1}^{a}K_{a}<0$. Ent�o $E_{2}\equiv -p_{2}^{a}K_{a}$ ser� maior que $E_{0}$. Isto indica que o segundo fragmento de energia $E_{2}$ pode escapar para o infinito onde ter� mais energia que a part�cula original. Esta quantidade de energia excedente foi extra�da do buraco negro.
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%extens�o Kerr%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{figure}[ht]
\begin{center}
\includegraphics[height=10cm,width=10cm]{kerr_teste.ps}
\end{center}
\caption{Estrutura conforme da m�trica de Kerr ao longo do eixo de simetria para $a<m$.}\label{kerr2}
\end{figure}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Perturba��es de Buracos Negros}

O estudo das perturba��es em solu��es tipo buraco negro em Relatividade Geral � um ramo de pesquisa que nos permite a an�lise de in�meros temas, tais como a radia��o gerada por pequenos corpos caindo no buraco negro, o perfil de ondas gravitacionais muito tempo ap�s a forma��o do buraco, espalhamento e absor��o de ondas por buracos negros, a estabilidade das solu��es tipo buraco negro e v�rios outros temas. 

Esta se��o � devotada ao estudo de perturba��es lineares em torno da solu��o de Schwarzschild e Kerr, sobretudo as perturba��es escalares. Os campos f�sicos considerados como perturba��es s�o tomados como fracos, isto �, o efeito de seu tensor energia-momento na m�trica de fundo do buraco negro pode ser desprezado. Em s�ntese, ser�o consideradas apenas perturba��es lineares dessas solu��es. 

Os primeiros estudos te�ricos acerca desse tema derivam do trabalho de Regge Whee\-ler da d�cada de 50 \cite{regge1}. Eles se propuseram a estudar a estabilidade da singularidade de Schwarzschild frente a pequenos desvios de sua simetria esf�rica. Para  a obten��o das equa��es lineares que governam estas pequenas perturba��es na simetria esf�rica, foi necess�rio estudar a equa��o de Eintein linearizada sobre o espa�o-tempo descrito por tal m�trica. Esta equa��o � obtida escrevendo a m�trica perturbada $\bar{g}_{\mu\nu}$ como a soma de dois termos: um representando a m�trica n�o perturbada de fundo, ${}^{(\circ)}{g}_{\mu\nu}$, e outro representando a perturba��o dado por $h_{\mu\nu}$. Disto ent�o, podemos escrever \cite{nollert}
\beq\label{2.117}
\bar{g}_{\mu\nu}={}^{(\circ)}{g}_{\mu\nu}+h_{\mu\nu}\quad , 
\eeq
onde consideramos $|h_{\mu\nu}|<<1$. Usando (\ref{2.117}) nas equa��es de Einstein obtemos as equa��es que governam $h_{\mu\nu}$ em primeira ordem. 

As componentes $\bar{\Gamma}^{\kappa}_{\mu\nu}$ da conex�o m�trica perturbada s�o dadas por, considerando no m�ximo termos de primeira ordem em $h_{\mu\nu}$,
\beq\label{2.118}
\bar{\Gamma}^{\kappa}_{\mu\nu}={}^{(\circ)}\Gamma^{\kappa}_{\mu\nu}+\delta\Gamma^{\kappa}_{\mu\nu}\quad ,
\eeq
 sendo
\beq\label{2.119}
\delta\Gamma^{\kappa}_{\mu\nu}=\frac{1}{2}{}^{(\circ)}g^{\kappa\alpha}\left[h_{\alpha\nu ;\mu}+h_{\alpha\mu ;\nu}-h_{\mu\nu ;\alpha}\right]\quad .
\eeq
Com isto, podemos escrever as componentes do tensor de Ricci perturbado como
\beq\label{2.120}
\delta R_{\mu\nu}=\delta\Gamma^{\alpha}_{\mu\alpha ;\nu}-\delta\Gamma^{\alpha}_{\mu\nu ;\alpha}\quad .
\eeq 

No v�cuo, as equa��es de perturba��o reduzem-se a
\beq\label{2.121}
\delta R_{\mu\nu}=0\quad ,
\eeq
que representam dez equa��es diferenciais parcias das componentes lineares de $h_{\mu\nu}$. Como � mostrado em \cite{nollert}, este conjunto de equa��es pode ser reduzido, se fizermos a separa��o de vari�veis
\beq\label{2.122}
h_{\mu\nu}=\sum^{\infty}_{L=0}\sum^{L}_{M=-L}\sum^{10}_{n=1}C^{n}_{LM}(t,r)\left(Y^{n}_{LM}\right)_{\mu\nu}(\theta,\phi)\quad ,
\eeq
sendo $C^{n}_{LM}(t,r)$ os coeficientes da expans�o e $\left(Y^{n}_{LM}\right)_{\mu\nu}(\theta,\phi)$ os harm�nicos esf�ricos tensorias. Seguindo isto, foi poss�vel mostrar que as perturba��es se dividem em duas classes de paridade, para cada valor de $L$. S�o denominadas perturba��es polares, as que se transformam com $(-1)^{L}$, perturba��es axiais as que se transformam como $(-1)^{L+1}$. Se considerarmos como campos perturbativos fracos o campo escalar o campo eletromagn�tico e o campo gravitacinal nessa prescri��o, obtemos  uma equa��o diferencial tipo barreira de potencial \cite{chandra}\cite{zerilli1}\cite{regge1}\cite{nollert}, dada por
\beq\label{2.123}
\frac{\partial^{2}}{\partial t^{2}}\Psi(x,t)-\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}}\Psi(x,t)+V(x)\Psi(x,t)=0\quad ,
\eeq
sendo $\Psi(x,t)$ o campo perturbativo, $x\equiv r+2M\ln(r/2M-1)$ a coordenada tartaruga e $V(x)$ o potencial efetivo dado por
\beq\label{2.124}
V(x)=\left(1-\frac{2M}{r}\right)\left[\frac{L(L+1)}{r^{2}}+\frac{2M\sigma}{r^{3}}\right]\quad ,
\eeq
no qual $\sigma$ assume os valores $+1$, $0$ e $-3$, correspondendo, respectivamente, a perturba��o por campo escalar, eletromagn�tico e gravitacional. Temos ent�o que as perturba��es li\-neares na m�trica de Schwarzschild s�o descritas por uma equa��o de onda unidimensional com um potencial real.

Apesar da equa��o (\ref{2.124}) sintetizar as perturba��es lineares da solu��o de Schwarzschild, vamos verificar com mais detalhes a perturba��o gerada por um campo escalar definido na vizinhan�a de um  buraco negro esfericamente sim�trico, e em seguida estudaremos a perturba��o pelo mesmo campo num buraco negro de Kerr.

Um campo escalar sem massa $\Phi$ tem sua evolu��o determinada pela equa��o de Klein-Gordon,
\beq\label{2.125}
\Box\Phi\equiv\frac{1}{\sqrt{-g}}\frac{\partial}{\partial x^{\mu}}\left[\sqrt{-g}g^{\mu\nu}\frac{\partial}{\partial x^{\nu}}\Phi\right]\quad ,
\eeq
sendo $g$ o determinate da m�trica $g_{\mu\nu}$, cujas componentes seguem da solu��o de Schwarzschild (\ref{2.93}). Usando o fato da solu��o ser esfericamente sim�trica podemos realizar a seguinte separa��o de vari�veis em $\Phi$
\beq\label{2.126}
\Phi_{Lm}=\frac{\Psi_{L}(r,t)}{r}Y_{Lm}(\theta,\phi)\quad .
\eeq
Com isso obtemos duas equa��es diferenciais,
\beq\label{2.126}
\frac{\partial}{\partial\theta}\left[\sin\theta\frac{\partial}{\partial\theta}Y_{lm}\right]&+&\frac{\partial^{2}}{\partial\phi^{2}}Y_{Lm}=L(L+1)\sin^{2}\theta Y_{Lm}\quad ,\\\label{2.127}
-\frac{\partial^{2}}{\partial t^{2}}\Psi (r,t)&+&\left(1-\frac{2M}{r}\right)\frac{\partial}{\partial r}\left[\left(1-\frac{2M}{r}\right)\frac{\partial}{\partial r}\Psi (r,t)\right]\\\nonumber
&=&\left(1-\frac{2M}{r}\right)\left[\frac{L(L+1)}{r^{2}}+\frac{2M}{r^{3}}\right]\Psi(r,t)\quad .
\eeq
A primeira equa��o tem como solu��o os harm�nicos esf�ricos $Y_{Lm}$. A equa��o redial-temporal (\ref{2.127}) pode ser simplificada atrav�s da coordenada tartaruga (\ref{2.99})
%\beq\label{2.128}
%r_{*}=r+2M\ln\left(r/2M-1\right),
%\eeq
que implica na rela��o
\beq\label{2.129}
\frac{\partial}{\partial r_{*}}=\left(1-\frac{2M}{r}\right)\frac{\partial}{\partial r}\quad ,
\eeq
que usada em (\ref{2.127}) d� como resultado 
\beq\label{2.130}
\left[\frac{\partial^{2}}{\partial r_{*}^{2}}-\frac{\partial^{2}}{\partial t^{2}}-V_{L}(r)\right]\Psi_{L}(r,t)=0\quad .
\eeq
Se considerarmos uma depend�ncia temporal harm�nica, tal como $\Psi_{L}(r,t)=\hat{\Psi}_{L}(r,t)e^{-i\omega t}$, reduzimos (\ref{2.130}) em uma equa��o diferencial ordin�ria
\beq\label{2.131}
\left[\frac{d^{2}}{dr_{*}^{2}}+\omega^{2}-V_{L}(r)\right]\hat{\Psi}_{L}(r)=0,
\eeq
cujo potencial efetivo � dado por
\beq\label{2.132}
V_{L}(r)=\left(1-\frac{2M}{r}\right)\left[\frac{L(L+1)}{r^{2}}+\frac{2M}{r^{3}}\right].
\eeq
Este potencial corresponde a uma barreira de potencial , cujo m�ximo � $r=3M$ (figura(\ref{potencial_escalar})). Com isso podemos tratar v�rios dos problemas de perturba��es de buracos negros com m�todos da espalhamento da mec�nica qu�ntica.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%potecial escalar%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{figure}[ht]
\begin{center}
\includegraphics[height=8cm,width=11cm]{potencial_schw_normal.ps}
\end{center}
\caption{Potencial escalar efetivo com ponto m�ximo $r=3M$ para $r_{*}=0$}\label{potencial_escalar}
\end{figure}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

Podemos verificar que quando $r_{*}\rightarrow \infty$, que corresponde ao infinito espacial, e quando $r_{*}\rightarrow -\infty$, correspondendo ao horizonte de eventos, o potencial efetivo (\ref{2.132}) vai a zero, ou seja
\beq\label{2.133}\nonumber
V_{L}(r_{*}\rightarrow\pm\infty)\rightarrow 0,
\eeq
ent�o o comportamento assint�tico das solu��es de (\ref{2.131}) � da forma
\beq\label{2.134}
\hat{\Psi}_{L}(r,\omega)\sim e^{\pm i\omega r},
\eeq
tanto no horizonte de eventos($r_{*}\rightarrow -\infty$), quanto no infinito($r_{*}\rightarrow +\infty$).

Dado este perfil assint�tico das solu��es (\ref{2.134}), podemos construir solu��es para a equa��o de onda a partir das condi��es de contorno. Uma classe de solu��es de parti\-cular interesse � aquela que satisfaz as condi��es de contorno chamadas de {\it{causais}}. Ela correspon\-de a situa��o em que n�o haja ondas emergindo do horizonte de eventos do buraco negro, isto �
\beq\label{2.135}\nonumber
\hat{\Psi}_{L}^{in}(r_{*})\rightarrow -\infty)&\sim& e^{-i\omega r_{*}}\quad ,\\ 
\hat{\Psi}_{L}^{in}(r_{*}\rightarrow +\infty)&\sim& A_{out}(\omega)e^{i\omega r_{*}}+A_{in}(\omega)e^{-i\omega r_{*}}\quad ,
\eeq
supondo que $\omega$ seja um n�mero real e positivo. Como em \cite{frolov1} chamaremos esta classe de solu��e de modos {\it{in}}, e seu complexo conjugado de modos {\it{out}}. Da teoria das equa��es diferenciais \cite{butkov}, sabemos que duas solu��es linearmente independentes de (\ref{2.131}) t�m o wronskiano constante em $r_{*}$. Calculando o wronskiano dos modos {\it{in}} e {\it{out}}  no horizonte de eventos e no infinito, temos que 
\beq\label{2.136}
|A_{in}|^{2}=|A_{out}|^{2}+1\quad ,
\eeq
de maneira similar
\beq\label{2.137}
|T|^{2}+|R|^{2}=1,
\eeq
sendo $T=1/A_{in}$ e $R=A_{out}/A_{in}$, os coeficientes de transmiss�o de reflex�o respectivamente. Ent�o parte da onda incidente � absovida pelo buraco negro e outra parte refletida de volta ao infinito.

Um segundo par de solu��es b�sicas, os modos {\it{up}} e modos {\it{down}}, podem ser definidos de maneira an�loga. Os modos {\it{up}} correspondem a ondas puramente emergentes no infinito, que s�o dados pelas seguintes condi��es de contorno
\beq\label{2.138}\nonumber
\hat{\Psi}_{L}^{up}(r_{*}\rightarrow -\infty)&\sim& B_{out}(\omega)e^{i\omega r_{*}}+B_{in}(\omega)e^{-i\omega r_{*}}\\
\hat{\Psi}_{L}^{up}(r_{*}\rightarrow +\infty)&\sim& e^{+i\omega r_{*}}.
\eeq
O modo {\it{down}} � o complexo conjugado do modo {\it{up}}. Usando novamente o fato do wronskiano referente a estas solu��es ser constante, temos que 
\beq\label{2.139}
B_{out}(\omega)=A_{in}(\omega),\\
B_{in}=-\bar{A}_{out}(\omega)=-{A}_{out}(-\omega),
\eeq
com a barra denotando a opera��o de conjuga��o complexa. Quaisquer duas solu��es mencionadas({\it{in}}, {\it{out}}, {\it{up}}, {\it{down}}) podem ser escolhidas como solu��es b�sicas de um dado problema.

Podemos estudar as perturba��es lineares na solu��o de Kerr da mesma forma que foi feito para o caso esfericamente sim�trico, mas o caso com rota��o se apresenta mais intrincado devido a simetria axial da solu��o. A evolu��o de campos escalares nesta geometria foi estudada por Brill \cite{brill1}. Por algum tempo acreditou-se que n�o seria poss�vel separar a equa��o de onda nessa geometria a n�o ser para campos de spin zero. Mas no trabalho \cite{teuk1}, Teukolsky mostrou, usando o formalismo de Newman-Penrose \cite{chandra}, que as perturba��es escalares, eletromagn�ticas e gravitacionais de um buraco negro de Kerr podem ser descritas por uma �nica equa��o, chamada de equa��o mestra de Teukolsky, que no caso de aus�ncia de fontes � dada por
\beq\label{2.140}\nonumber
&&\left[\frac{(r^{2}+a^{2})^{2}}{\Delta}-a^{2}\sin^{2}\theta\right]\frac{\partial^{2}\Psi}{\partial t^{2}}+\frac{4Mar}{\Delta}\frac{\partial^{2}\Psi}{\partial t\partial\phi}+\left[\frac{a^{2}}{\Delta}-\sin^{-2}\theta\right]\frac{\partial^{2}\Psi}{\partial\phi^{2}}\\\nonumber
&-&\Delta^{-s}\frac{\partial}{\partial r}\left(\Delta^{s+1}\frac{\partial\Psi}{\partial r}\right)-\sin^{-1}\theta\frac{\partial}{\partial\theta}\left(\sin\theta\frac{\partial\Psi}{\partial\theta}\right)-2s\left[\frac{a(r-M)}{\Delta}\right]\frac{\partial\Psi}{\partial\phi}\\
&+&\frac{i\cos\theta}{\sin^{2}\theta}\frac{\partial\Psi}{\partial\phi}-2s\left[\frac{M(r^{2}-a^{2})}{\Delta}-r-ia\cos\theta\right]\frac{\partial\Psi}{\partial t}+(s^{2}cot^{2}\theta-s)\Psi=0 ,
\eeq 
na qual $s$ assume os valores $0,\pm 1, \pm 2$, correspondendo respectivamente a perturba��es escalares, eletromagn�ticas e gravitacionais. 

Usando o {\it{Ansatz}} de Teukolsky
\beq\label{2.141}
\Psi_{Lm}=R_{Lm}(r, \omega)S_{Lm}(\theta, \phi)e^{-i\omega t}\quad ,
\eeq
a equa��o (\ref{2.140}) pode ser separada em duas equa��es diferenciais acopladas
\beq\label{2.142}
&&\Delta^{-s}\frac{d}{dr}\left(\Delta^{s+1}\frac{dR}{dr}\right)+\left[\frac{K^{2}-2is(r-M)K}{\Delta}+4is\omega r-\lambda\right]R=0,\\\label{2.143}
&&\frac{1}{\sin\theta}\frac{d}{d\theta}\left(\sin\theta\frac{dS}{d\theta}\right)+\left[a^{2}\omega^{2}\cos^{2}\theta-\frac{m^{2}}{\sin^{2}\theta}-2a\omega s\cos\theta\right]S\\\nonumber
&&-\left[\frac{2\cos\theta ms}{\sin^{2}\theta}-s^{2}\cot^{2}\theta + E-s^{2}\right]S=0\quad ,
\eeq
em que
\beq\label{2.144}\nonumber
K\equiv (r^{2}+a^{2})\omega -am,
\lambda\equiv E-s(s+1)+(a\omega)^{2}-2am\omega\quad ,
\eeq
e $E=E(a,\omega)$ � a constante de separa��o. Pelo fato dessas equa��es serem acopladas n�o podemos resolv�-las diretamente, pois as fun��es $R$ e $S$ dependem da frequ�ncia $\omega$. A equa��o (\ref{2.143}) forma um problema de Sturm-Liouville para cada $(a\omega)^{2}$ complexo e $m$ inteiro positivo, cujas auto-fun��es s�o os harm�nicos esferoidais $S_{L|m|}(\theta\phi)$ com autovalores $E(L,|m|,\omega)$. Estas autofun��es formam um conjunto completo no caso de $\omega$ ser real \cite{siedel}.

Usando a seguinte transforma��o \cite{frolov1}
\beq\label{2.145}
\chi=\Delta^{s/2}\sqrt{r^{2}+a^{2}}R\quad ,
\eeq
 na equa��o radial (\ref{2.142}), esta pode ser reescrita como
\beq\label{2.146}
\left[\frac{d^{2}}{dr_{*}^{2}}+V(r_{*};\omega,s,\lambda)\right]\chi=0\quad ,
\eeq
em que a coordenada tartaruga neste caso � dada por
\beq\label{2.147}
\frac{d}{dr_{*}}=\frac{\Delta}{r^{2}+a^{2}}\frac{d}{dr}\quad ,
\eeq
e o potencial efetivo �
\beq\label{2.148}
V(r_{*};\omega,s,\lambda)=\frac{K^{2}-2is(r-M)K+\Delta(4ir\omega s-\lambda)}{\left(r^{2}+a^{2}\right)^{2}}-G^{2}-\frac{dG}{dr_{*}}\quad ,
\eeq
onde
\beq\label{2.149}\nonumber
G=\frac{s(r-M)}{r^{2}+a^{2}}+\frac{r\Delta}{\left(r^{2}+a^{2}\right)^{2}}\quad .
\eeq
O problema das perturba��es em torno da solu��o de Kerr se reduz, da mesma forma que no caso sem rota��o, a um problema de penetra��o de uma barreira de potencial.

O comportamento assint�tico do potencial (\ref{2.148}) leva ao  comportamento
\beq\label{2.150}\nonumber
\chi(r\rightarrow r_{+})&\sim& \Delta^{\pm s/2}e^{\pm \bar{\omega}r_{*}}\quad ,\\
\chi(r\rightarrow +\infty)&\sim& r^{\pm s}e^{\mp \bar{\omega}r_{*}}\quad .
\eeq
Para $R$ teremos
\begin{equation}\label{2.151}
R(r\rightarrow r_{+})\sim\left\{
\begin{array}{ll}
e^{i\bar{\omega}r_{*}}\\
\Delta^{-s}e^{-i\bar{\omega}r_{*}}
\end{array}
\right\}\quad ,
\end{equation}

\begin{equation}\label{2.152}
R(r\rightarrow +\infty)\sim\left\{
\begin{array}{ll}
\frac{e^{+i\omega r_{*}}}{r^{-(2s+1)}}\\
\frac{e^{-i\omega r_{*}}}{r}
\end{array}
\right\}\quad ,
\end{equation}
sendo $\bar{\omega}$ definido como $\bar{\omega}=\omega-M\Omega_{H}$, com $\Omega_{H}$ representando a velocidade angular do buraco negro.

Nesta se��o apresentamos as princiapis id�ias sobre perturba��es em buracos negros em especial para os buracos negros de Schwarzschild e Kerr. Na pr�xima se��o definiremos modos quase-normais de um buraco negro, e o detalhamento da evolu��o de campos na m�trica de Kerr.
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\section{Modos Quasi-Normais(MQN)}

Segundo Chandrasekhar \cite{chandra}, a descri��o da evolu��o de uma pequena perturba��o inicial de um buraco negro pode, em princ�pio, ser determinada pela express�o dessa perturba��o em termos de uma superposi��o de modos normais de vibra��o. No est�gio final, entretanto, espera-se que  esta perturba��o inicial decaia de maneira que expresse as principais caracter�siticas do buraco negro pertur\-bado, independentemente da natureza da perturba��o inicial. Espera-se, ent�o, que os est�gios finais da perturba��o, o buraco negro oscile com fr�qu�ncias e taxas de amortecimento caracter�sticas unicamente dele pr�prio \cite{frolov1}. Disto, definimos MQN como solu��es das equa��es de perturba��o cujas frequ�ncias sejam complexas, que descrevam ondas que apenas imergem no horizonte de eventos e ondas puramente emergindo no infinito.

As condi��es de contorno para que se obtenha os MQN s�o
\beq\label{2.153}
\Psi(r_{*}\rightarrow \pm\infty)\sim e^{\pm i\omega r_{*}}\quad ,
\eeq
cujas frequ�ncias s�o n�meros complexos
\beq\label{2.154}
\omega=Re(\omega)+Im(\omega).
\eeq

A quest�o da estabilidade das solu��es tipo buraco negro define o sinal da parte imagin�ria das frequ�ncias (\ref{2.154}). A perturba��o inicial deve cair de maneira amortecida, dada a defini��o de MQN, com o tempo, isto �, quando $t\rightarrow \infty$ devemos ter $e^{-i\omega t}=e^{-iRe(\omega)t}e^{Im(\omega)t}\rightarrow 0$, que ser� poss�vel apenas se $Im(\omega)<0$. 

Os modos ou frequ�ncias quasi-normais, s�o as frequ�ncias $\omega$ determinadas pelas solu��es de uma equa��o do tipo (\ref{2.123})(\ref{2.146}) juntamente com as condi��es de contorno (\ref{2.153}). Devemos considerar apenas ondas puramente emergentes no infinito e puramente imergentes no horizonte de eventos, em m�tricas que sejam assint�ticamente planas ou assint�ticamente de-Sitter, uma vez que � esta estrutura assint�tica que determina estas condi��es. Segundo \cite{leaver1}, devido a semelhan�a entre MQN e resson�ncias de espalhamento, estes modos podem ser identificados como p�los de uma apropriada fun��o de Green. 

Dada uma equa��o de onda do tipo (\ref{2.123}) com potenciais $V\geq 0$, podemos usar a trasforma��o de Laplace para representar as solu��es que tenham frequ�ncias quasi-normais \cite{kokotas1}. A trasforma��o de Laplace $\bar{\Psi}(s,r_{*})$, com $s>0$ e real, da solu��o $\Psi(t,r_{*})$ � dada pelo operador
\beq\label{2.155}
\mathcal{L}[\Psi(t,r_{*}),s]=\bar{\Psi}(s,r_{*})=\int^{\infty}_{0}e^{-st}\Psi(t,r_{*})\quad ,
\eeq
aplicando este operador em (\ref{2.123}) obtemos a seguinte equa��o diferencial ordin�ria
\beq\label{2.156}
s^{2}\bar{\Psi}-\bar{\Psi}^{''}+V\bar{\Psi}=s\bar{\Psi}(0,r_{*})+\frac{\partial}{\partial t}\bar{\Psi}(0,r_{*})\quad .
\eeq
A parte inomog�nea dessa equa��o � determinada pelas condi��es de contorno, denotaremos esta parte por
\beq\label{2.157}
h(s,r_{*})=s\bar{\Psi}(0,r_{*})+\frac{\partial}{\partial t}\bar{\Psi}(0,r_{*})\quad .
\eeq

Podemos apresentar a solu��o formal da equa��o (\ref{2.156}) atrav�s do m�todo das fun��es de Green \cite{butkov}, que consiste em representar a solu��o $\bar{\Psi}$ em termos da fun��o de Green $\hat{G}(r_{*},r_{*}^{'};s)$ e do termo inomog�neo (\ref{2.157}), tal como
\beq\label{2.158}
\bar{\Psi}=\int \hat{G}(r_{*},r_{*}^{'};s)h(s,r_{*}^{'})dr_{*}^{'}\quad .
\eeq

Todas fun��es de Green podem ser constru�das a partir de duas solu��es linearmente independentes da equa��o (\ref{2.156}) quando (\ref{2.157}) for zero. Sejam essas duas solu��es $f_{-}(s,r_{*})$ e $f_{+}(s,r_{*})$, ent�o a fun��o de Green correspondente ser�
\begin{equation}\label{2.159}
\hat{G}(r_{*},r_{*}^{'};s)=\frac{1}{W(s)}\left\{
\begin{array}{ll}
f_{-}(s,r_{*}^{'})f_{+}(s,r_{*}) \hspace{0.4cm} r_{*}^{'}<r_{*}\\
f_{-}(s,r_{*})f_{+}(s,r_{*}^{'}) \hspace{0.4cm} r_{*}^{'}>r_{*}\
\end{array}
\right\}\quad ,
\end{equation}
sendo $W(s)$ o wronskiano, que nesse caso � dado por
\beq\label{2.160}
W(s)=f_{-}(s,r_{*})\frac{\partial}{\partial r_{*}}f_{+}(s,r_{*})-f_{+}(s,r_{*})\frac{\partial}{\partial r_{*}}f_{-}(s,r_{*})\quad .
\eeq
O comportamento assint�tico dos potenciais $V(r_{*})$ s�o utilizados na sele��o das fun��es $f_{-}(s,r_{*})$, $f_{+}(s,r_{*})$. 

Da representa��o em termos das fun��es de Green da transformada de Laplace de $\Psi(t,r_{*})$, podemos obter, usando a f�rmula de invers�o complexa de Bromwich, formalmente $\Psi(t,r_{*})$ como
\beq\label{2.161}
\Psi(t,r_{*})=\frac{1}{2\pi i}\int \bar{\Psi}(t,r_{*})e^{st}ds\quad .
\eeq
Tomamos a continua��o anal�tica dessa integral em $s$, cuja integra��o � feita ao longo da reta $s=j$ do plano complexo. O n�mero $j$ � real e escolhido de modo que a reta $s=j$ fique � direita de todas singularidades de $\bar{\Psi}(t,r_{*})$, e completada com um semi-c�rculo $C$ de raio $R$. Usando o teorema dos res�duos neste contorno, temos que
\beq\label{2.162}
\oint \bar{\Psi}(t,r_{*})e^{st}ds=2\pi i\sum_{s_{i}}Res(s_{i})=-\Psi_{QN}\quad ,
\eeq
sendo $Res(s_{i})$ o res�duo correspondente ao p�lo $s_{i}$. Temos aisnda que 
\beq\label{2.163}
\oint \bar{\Psi}(t,r_{*})e^{st}ds=\Psi+\Psi_{C}+\Psi_{t}\quad ,
\eeq
ou seja, de maneira geral a onda pode ser escrita como a soma de tr�s termos
\beq\label{2.164}
\Psi=\Psi_{QN}+\Psi_{C}+\Psi_{cont}\quad ,
\eeq
sendo o primeiro termo a contribui��o quasi-normal da representa��o da onda. Por (\ref{2.162}), vemos que esta contribui��o prov�m dos p�los na fun��o $\bar{\Psi}$, que s�o originados pelos zeros do Wronskiano. Al�m disso, temos o termo $\Psi_{cont}$ referente a integra��o pelo contorno usado para escapar da singularidade de ramifica��o, e o termo $\Psi_{C}$ oriundo da integra��o pelo arco $C$.

A condi��o para que o Wrosnkiano se anule � que as fun��es $f_{-}(s,r_{*})$ e $f_{+}(s,r_{*})$ sejam linearmente dependentes, isto �,
\beq\label{2.165}
f_{+}(s,r_{*})= q(s_{i})f_{-}(s,r_{*})\quad ,
\eeq
sendo $q(s_{i})$ uma constante que depende do modo quasi-normal.

Na se��o anterior mencionamos que quaisquer duas das classes de solu��es {\it{in}}, {\it{out}}, {\it{up}}, {\it{down}}, podem ser escolhidas como solu��es b�sicas de um problema envolvendo perturba��es no buraco negro de Schwarzschild. Para a caracteriza��o de MQN, os modos {\it{in}} (\ref{2.135}) e modos {\it{up}} (\ref{2.138}) s�o os tipos adequados. O Wronskiano constru�do a partir desses modos � \beq\label{2.166}
W_{[in,up]}=\hat{\Psi}_{L}^{in}(r_{*})\frac{d}{dr_{*}}\hat{\Psi}_{L}^{up}(r_{*})-\hat{\Psi}_{L}^{up}(r_{*})\frac{d}{dr_{*}}\hat{\Psi}_{L}^{in}(r_{*})=2i\omega A_{in}(\omega)=2i\omega B_{out}(\omega).
\eeq

Para grandes valores de $r$ o potencial (\ref{2.132}) decai fracamente. Como consequ�ncia, o decaimeto de uma perturba��o inicial n�o ter� o comportamento de uma exponecial decrescente. No decaimento de um campo escalar massivo no espa�o-tempo de  Schwarzschild, observa-se que para grandes valores de $r$, o campo decai como uma lei de pot�ncia do tipo \cite{price1},
\beq\label{2.167}
\Psi(r,t)\sim t^{-(2L+P+1)}\quad ,
\eeq
sendo $P=1$, se o campo for est�tico inicialmente e $P=2$ se n�o. A figura (\ref{perturbacao_inicial}) mostra a evolu��o temporal de uma perturba��o inicial em um buraco negro de  Schwarzschild.
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%perturba��o inicial caudas como lei de pot�ncias%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{figure}[ht]
\begin{center}
\includegraphics[height=10cm,width=14cm]{perturbacao_inicial2.ps}
\end{center}
\caption{Perfil da evolu��o temporal de uma perturba��o inicial da m�trica de  Schwarzschild em escala loagr�tmica no quadro maior e linear no menor.}\label{perturbacao_inicial}
\end{figure}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

Uma das primeiras t�cnicas para a resolu��o do problema de encontrar os MQN, � o m�todo WKB proposto por Schutz e Will \cite{schutz1}. Este m�todo � baseado no procedimento padr�o WKB usado para o estudo de espalhamentos em potenciais barreira. Eles mostraram que as frequ�ncias complexas podem ser estimadas a partir da rela��o
\beq\label{2.268}
\left[M\omega_{n}\right]^{2}=V_{L}(r=r_{max})-i\left(n+\frac{1}{2}\right)\left[-2\frac{d^{2}}{dr^{2}_{*}}V_{L}(r=r_{max})\right]^{1/2}\quad ,
\eeq
sendo $r_{max}$ o m�ximo da barreira de potencial. O modo quasi-normal fundamental $n=0$, $L=1$ � $M\omega\approx (0.37-0.09)$. Se considerarmos um buraco negro esfericamente sim�trico, cuja massa seja $M=10M_{\odot}$, este modo fundamental corresponde a uma frequ�ncia de 1.2kHz, com um tempo de amortecimento de 0.55ms. Na tabela (\ref{mqs}) tem-se as primeiras quatro frequ�ncias quasi-normais.
\begin{table}[h]
\begin{center}
\begin{tabular}{|l|l|l|l|}
\hline
n & L=2 & L=3 & L=4\\
\hline
0 & 0.37367 - 0.8896i & 0.59944 -0.09270i & 0.80918 - 0.9416i\\
\hline
1 & 0.34671 - 0.27391i & 0.58264 -0.28130i & 0.79663 - 0.28443i\\
\hline
2 & 0.30105 - 0.47828i & 0.55168 - 0.47909i & 0.77271 - 0.47991i\\
\hline
3 & 0.25150 - 0.70514i & 0.51196 - 0.69034i & 0.73984 - 0.68392i\\
\hline
\end{tabular}\caption{Primeiras frequ�ncias quasi-nomais do buraco negro de Schwarzschild.}\label{mqs}
\end{center}
\end{table}
Observamos nesta tabela que aparte imagin�ria das frequ�ncias aumenta muito rapidamente, o que indica que modos com  $n$ grande n�o contribuem de maneira significante para o sinal gravitacional. A parte real se torna constante para modos cada vez maiores. O perfil assint�tico das frequ�ncias quasi-normais foi obtido por Nollert \cite{nollert1} dado pela express�o
\beq\label{2.269}
M\omega_{n}\approx 0.0437+\frac{\gamma_{1}}{\sqrt{2n+1}}+\cdots -i\left[-\frac{1}{8}(2n+1)+\frac{\gamma_{1}}{\sqrt{2n+1}}\cdots\right]\quad ,
\eeq
com $\gamma_{1}$ assumindo os valores 0.343, 0.7545 e 2.81, para $L=2$, 3 e 6, respectivamente, em que $n\rightarrow +\infty$. Para grande valores de $L$, a distribui��o das frequ�ncias quasi-normais � dada por \cite{iyer1}
\beq\label{2.270}
3\sqrt{3}M\omega_{n}\approx L+\frac{1}{2}-i\left(n+\frac{1}{2}\right)\quad .
\eeq

No caso de buracos negros em rota��o, para cada valor de multipolo $L$ existem $2L+1$ modos distintos, que se aproximam dos valores obtidos para a m�trica de Schwarzschild quando $a\rightarrow 0$. Estes modos correspondem a diferentes valores de $m$, onde $-L\leq m\leq L$. O trabalho pioneiro no c�lculo dessas frequ�ncias para o caso com rota��o � o de Detweiler \cite{detweiler1}. Um dos seus principais resultados � que para $a\rightarrow M$ e $L=m$, a parte imagin�ria dos MQN fica praticamente constante e a parte real cresce monotonicamente. Para $L=-m$ a parte imagin�ria tende a zero e a parte real para $-m/2$. Isto sugere que um grande n�mero de modos quasi-normais possuem um amortecimento que aumenta vagarosamente quando $a\rightarrow M$. Segundo \cite{leaver2}, estes modos devem coalecer num �nico modo sem amortecimento para $a=M$. Quando par�metro de rota��o � igual a massa  temos o buraco negro de Kerr extremo, e � poss�vel mostrar que existe uma sequ�ncia infinita de frequ�ncias resonantes com mesmo limite, neste caso.
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{O espalhamento super-radiante}

Seja o espalhamento de uma onda numa barreira de potencial gerada por um buraco negro, em geral espera-se que parte da onda incidente penetre na barreira de potencial e seja absorvida pelo buraco negro e outra seja espalhada para o infinito. Como consequ�ncia, teremos a amplitude da onda espalhada menor ou igual que a amplitude da onda incidente. Considerando o caso de buracos negros em rota��o isto n�o � necessariamente verdade. Uma onda incidente num  buraco negro de Kerr pode ter sua amplitude amplificada num experimento de espalhameto no potencial desse buraco negro \cite{starobinski1} \cite{starobinski2}. Esta energia adicional, que aparece na amplitude espalhada no infintito � devido a absor��o da energia de rota��o do buraco negro.

Consideremos ent�o, o espalhamento de um campo escalar pelo potencial (\ref{2.148}). O comportamento assint�tico para tal campo, neste caso, � dado por
\beq\label{2.271}\nonumber
\chi^{in}(r_{*}\rightarrow r_{+})&\sim& e^{-i\bar{\omega}r_{*}}\quad ,\\
\chi^{in}(r_{*}\rightarrow +\infty)&\sim&  A_{out}e^{i{\omega}r_{*}} +A_{in}e^{-i\omega r_{*}}\quad .
\eeq
Usando o complexo conjugado de $\chi^{in}$, que chamaremos de $\chi^{out}$, podemos calcular o Wrons\-kiano, sendo $\chi^{in}$ e $\chi^{out}$ as solu��es escolhidas para (\ref{2.147}). Ent�o, usando a condi��o de que o Wronskiano seja constante, temos que
\beq\label{2.272}
\left(1-\frac{m\Omega_{H}}{\omega}\right)|T|^{2}=1-|R|^{2}\quad ,
\eeq
os coeficientes de trasmiss�o $T$ e reflex�o $R$ ser�o discutido mais adiante no cap�tulo 4, onde estudaremos este fen�meno para o caso em que tenhamos uma dimens�o extra. Desta equa��o fica claro que teremos o fen�meno de amplifica��o da onda espalhada(super-radi�ncia $R>1$) quando 
\beq\label{2.273}
\omega<m\Omega_{H}=\frac{ma}{2Mr_{+}}\quad ,
\eeq 
apenas para valores positivo de $m$.

Podemos observar esta extra��o de energia do buraco negro atrav�s das condi��es de contorno (\ref{2.151}). Se $\bar{\omega}$ se torna negativo, a solu��o com o termo $e^{-i\bar{\omega}r_{*}}$ ser� vista por um observador no infinito como uma onda emergente do horizonte de eventos. De acordo com \cite{starobinski1}, o m�ximo de amplifica��o da onda incidente � de $0.3\%$ para uma onda escalar, $4.4\%$ para o campo eletromagn�tico e $138\%$ para ondas gravitacionais. Voltaremos ao assunto sobre a super-radi�ncia no cap�tulo 4.



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%\input{capitulo_2}

\chapter{Ser� o nosso Universo uma brana?}

\section{Motiva\c c\~oes para os modelos de mundo brana}

A teoria de supercordas apresenta-se at\'e o momento com grandes possibilidades de realizar a unifica\c c\~ao das quatro intera\c c\~oes fundamentais numa \'unica descri\c c\~ao coerente. Uma de suas caracter\'{\i}sticas mais surpreendentes \'e a necessidade do aparecimento de dimens\~oes espaciais extras al\'em das tr\^es usuais. Esta id\'eia j\'a havia sido utilizada na d\'ecada de $1920$ por Kaluza e Klein, no contexto da unifica\c c\~ao da gravita\c c\~ao, cuja descri\c c\~ao \'e dada pela Relatividade Geral, com Eletromagnetismo de Maxwell numa \'unica teoria atrav\'es do uso de uma dimens\~ao espacial extra compactificada.

Existem verdadeiramente, cinco teorias de supercordas livres de anomalias: tipo I, tipo IIA, tipo IIB, SO($32$) e heter\'otica $E_{8}\times E_{8}
$. O fato \'e que todas elas para serem qu�nticamente consistentes, necessitam em geral dez dimens\~oes espaciais. \'E nesse contexto que Horava e Witten conjecturaram, usando o fato das dualidades entre as diferentes teorias de supercordas, que as cinco teorias livres de anomalias mais a supergravidade em onze dimens\~oes s\~ao de fato diferentes aspectos de uma \'unica teoria, denominada teoria M \cite{witten1}. Esta teoria seria verdadeiramente a prescri\c c\~ao \'unica para todas as intera\c c\~aoes fundamentais. \'E nesse contexto que surgem os modelos que pretendem encontrar algumas propriedades n\~ao perturbativas da conjectura de Horava-Witten, tais como os modelos de mundo brana.

Nessa busca por uma descri\c c\~ao n\~ao perturbativa da teoria M descobriu-se que outros objetos de dimens\~ao maior que a das cordas, que aparecem devido as condi\c c\~oes de contorno das equa\c c\~oes de movimento na folha mundo, chamados de $p-$branas, no qual $p$ se refere a dimensionalidade da brana, realizam papel fundamental na teoria. Considerando o regime de baixo acoplamento na intera\c c\~ao entre cordas, as $p-$branas n\~ao aparecem na teoria perturbativa, sendo, portanto, um aspecto exato da descri\c c\~ao. De particular import\^ancia dentre as $p-$branas, est\~ao as $D-$branas, que s\~ao as estruturas onde as cordas abertas se prendem. Falando de maneira simples, cordas abertas, que descrevem o setor n\~ao gravitacional da teoria, tem suas pontas presas nas branas, enquanto que as cordas fechadas, que descrevem o setor gravitacional, podem mover-se livremente em todas dimens\~oes. A esse conjunto de dimens\~oes a que as cordas fechadas tem acesso chamamos de {\it{bulk}}. Classicamente, este cen\'ario \'e realizado atrav\'es da localiza\c c\~ao da mat\'eria e campos radiativos na brana, enquanto as ondas gravitacionais podem se propagar em todo bulk.

Na conjectura de Horava-Witten, os campos de calibre do modelo padr\~ao s\~ao confinados em duas $(1+9)-$branas localizadas nos pontos fixos de um orbifold $S_{1}/Z_{2}$.\footnote{Espa\c co obtido pela identifica\c c\~ao $x\rightarrow -x$ com pontos fixos, isto \'e, tal como na reta real o n\'umero zero \'e identificado com ele mesmo portanto \'e um ponto fixo do orbifold.} As $6$ dimens\~oes extras nas branas s\~ao compactificadas num raio muito pequeno, pr\'oximo da escala de Planck, para que este cen\'ario esteja em acordo com os experimentos.

Podemos tomar esta descri\c c\~ao de Horava-Witten como uma teoria efetiva em $5$ dimens\~oes, onde consideramos os campos de calibre definidos apenas nas $(3+1)-$branas, ou simplesmente $3-$branas, localizadas nos pontos fixos de um orbifold num bulk $5-$dimensional. Esta dimens\~ao espacial adicional pode ser maior que a escala de Planck, o que torna o estudo desses modelos bastante atraente, pois se espera na pr\'oxima gera\c c\~ao de aceleradores de part\'{\i}culas tal como o LHC ({\it{Large Hadron Collider}}), chegar at\'e a faixa de energia onde se podem encontrar ind\'{\i}cios de dimens\~oes espaciais extras previstas por estes modelos de mundo brana.

Considerar a descri\c c\~ao de Horava-Witten, com uma teoria efetiva em $5-$dimens\~oes \'e o ponto de partida para o modelo de Randall-Sundrum de duas $3-$branas definidas num  bulk $5-$dimensional \cite{rs1} (RS1). Quando fazemos o raio do orbifold tender ao infinito, obtemos o modelo de Randall-Sundrum com uma \'unica $3-$brana num bulk $5-$dimensional (RS2), cuja dimens\~ao extra \'e infinita. Mas estas n\~ao s\~ao as \'unicas tentivas de aplicar as id\'eias advindas da conjectura da teoria M. Antes da tentativa de Randall-Sundrum, Arkani-Hamed-Dimopoulos-Dvali (ADD) \cite{add} tiveram a id\'eia de diminuir a escala de Planck $M_{p}\equiv M_{4}$ atrav\'es do volume da dimens\~ao espacial extra compacta, considerando que a gravidade se ``espalhe'' por este volume. Ent\~ao a escala da Planck em quatro dimens\~oes n\~ao seria verdadeiramente a escala fundamental, mas apenas uma escala efetiva.

Para compreender as id\'eias do modelo ADD consideremos
a  a\c c\~ao gravitacional de Einstein-Hilbert em $(4+d)$-dimens\~oes \cite{maartens1},
\be
\label{1.1}
S_{g}=\frac{1}{16\pi G_{4+d}}\int d^{4}x d^{d}y \sqrt{-g_{4+d}}\left[R_{4+d}-2\Lambda_{4+d}\right]\quad ,
\ee
na qual $G_{4+d}$ \'e a constante da gravita\c c\~ao universal, $g_{4+d}$ o determinante da m\'etrica, $\Lambda_{4+d}$ a constante cosmol\'ogica e  $R_{4+d}$ o escalar de Ricci, todas quantidades escritas em  $(4+d)$ dimens\~oes. E o sistema de coordenadas que cobre esta variedade $(4+d)-$dimensional \'e $X^{A}=(x^{\mu},..,y^{d})$, sendo as letras gregas os \'{\i}ndices $4-$dimensionais tais como $\mu$ e as letras latinas min\'unsculas representam o sistema de coordenadas das dimens\~oes extras como $d$ e as latinas mai\'usculas representam \'{\i}ndices que percorrem todas as dimens\~oes, tal conven\c c\~ao dever\'a ser usada ao longo de todo este texto, al\'em do sistema de unidade geom\'etrico no qual $c=\hbar=1$.
 
Aplicando o princ\'{\i}pio de m�nima a��o em (\ref{1.1}), obtemos as equa\c c\~oes de campo de Einstein,
\be
\label{1.2}
G_{AB}^{4+d}\equiv R_{AB}^{4+d} g_{AB}^{4+d}-\frac{1}{2}g_{AB}^{4+d}R^{4+d}=-\Lambda_{4+d} g_{AB}^{4+d}+\kappa^{2}_{4+d} T_{AB}^{4+d}\quad ,
\ee
sendo  $T_{AB}^{4+d}$ o tensor energia momento, e $\kappa^{2}_{4+d}$ a constante de acoplamento da intera\c c\~ao gravitacional, cuja rela\c c\~ao com a constante da gravita\c c\~ao universal e a massa de Planck $M_{4+d}^{2+d}$ em $4+d$ dimens\~oes \'e
\be
\label{1.3}
\kappa^{2}_{4+d}=8\pi G_{4+d}=\frac{8\pi}{M_{4+d}^{2+d}}\quad .
\ee

No limite de campo fraco a equa\c c\~ao(\ref{1.2}) se reduz � equa\c c\~ao de Poisson $(4+d)-$dimensional, cuja solu\c c\~ao \'e o potencial gravitacional

\be
V_{4+d}=\frac{\kappa^{2}_{4+d}}{r^{1+d}}\quad ,
\ee
sendo $r$ a coordenada radial em $(1+d)$ dimens\~oes. Nesta express\~ao fica claro que se n\~ao tivermos nenhuma dimens\~ao espacial extra obteremos o potencial gravitacional usual, mas do contr\'ario a lei da gravita\c c\~ao universal deve levar corre\c c\~oes. Podemos entender isso da seguinte forma: se a escala de comprimento das dimens\~oes extras for $L$, ent\~ao para dist\^ancias onde $r<L$, isto \'e para dist\^ancias onde possamos medir estas dimens\~oes extras, o potencial gravitacional deve ser corrigido e assumir a forma $V=r^{-(1+d)}$, mas se observarmos a regi\~ao onde $r>>L$, ent\~ao estas dimens\~oes adicionais n\~ao poder\~ao contribuir para o potencial gravitacional, logo para este caso o potencial gravitacional \'e simplesmente $V=r^{-1}$. 

Uma outra possibilidade \'e considerarmos $r=L$ nas $d$ dimens\~oes extras, assim modi\-ficando o potencial gravitacional para
\be
\label{1.4}
V=\frac{\kappa^{2}_{4+d} L^{-d}}{r}=\frac{8\pi}{L^{d}M^{2+d}_{4+d}r}\quad , 
\ee
ou seja 
\be
\label{1.5}
M^{2}_{4}=M_{4+d}^{2+d}L^{d}\quad ,
\ee
a escala de Planck $4-$dimensional se torna uma constante de acoplamento efetiva, descre\-vendo a gravidade apenas em regi\~oes muito maiores que a escala das dimens\~oes extras. 

Este tipo de hip\'otese de um universo com dimens\~oes espaciais extras seria impossi\-bilitado de se medir dentro da precis\~ao atual dos experimentos, mas pode sugerir uma solu\c c\~ao para o problema da hierarquia, que se refere � grande diferen\c ca entre a escala de acoplamento da for\c ca eletrofraca $M_{ew}$ e a escala de acoplamento da gravita\c c\~ao $M_{4}$, j\'a que se usarmos $M_{4+d}$ como constante de acoplamento fundamental, e fazendo-a da ordem da escala eletrofraca $10^{3}GeV$ e $M_{4}=10^{19}GeV$ podemos inferir sobre a escala de comprimento $L^{d}$ das dimens\~oes extras 
\be
\label{1.6}
L=\frac{(M_{4})^{\frac{2}{d}}}{M_{4+d}^{1+\frac{2}{d}}}=10^{\frac{32}{d}}(TeV)^{-1}\quad ,
\ee
mas como $1cm=10^{17}(TeV)^{-1}$ , ent\~ao

\be
\label{1.7}
L=10^{\frac{32}{d}-17}cm\quad .
\ee
Nesta express\~ao se tivermos $d=1$, implica na viola\c c\~ao da gravita\c c\~ao de Newton em dist\^ancias da ordem do Sitema Solar, mas se considerarmos duas dimens\~oes espaciais extras,
\be
\label{1.8}
L=10^{-1}mm .
\ee

Os experimentos atuais que procuram desvios na lei da gravita\c c\~ao universal  em escalas submilim\'etricas, permitem viola\c c\~oes na regi\~ao abaixo de (\ref{1.8}). Ent\~ao se considerarmos a escala de Planck como uma constante de acoplamento efetiva obteremos uma solu\c c\~ao para o problema da hierarquia.

No modelo ADD, como visto pela express\~ao (\ref{1.7}), devemos ter mais que uma dimens\~ao espacial extra para que tenhamos compatibilidade entre a teoria e os experimentos, al\'em disso estas dimens\~oes extras s\~ao planas. Ao contr\'ario, nos modelos de Randall-Sundrum , as dimens\~oes extras s\~ao curvadas ou {\it{warped}} com o bulk sendo uma por\c c\~ao de um espa\c co-tempo anti-De Sitter $5-$dimensional($AdS_{5}$). Como na conjectura de Horava-Witten, as branas de Randall-Sundrum possuem simetria $Z_{2}$ (simetria de espelho), e possuem um termo escalar chamado de tens\~ao que desempenha o papel de conter a influ\^encia da constante cosmol\'ogica negativa do bulk na brana. Nos modelos RS, as tr\^es dimens\~oes espaciais constatadas experimentalmente s\~ao protegidas das dimens\~oes extras no regime baixas de energias, n\~ao pelo fato destas serem compactificadas, mas sim por estas serem curvadas, ou seja em RS podemos ter dimens\~oes extras grandes.

Os modelos RS s\~ao modelos fenomenol\'ogicos que refletem no m\'{\i}nimo algumas carac\-ter\'{\i}sticas poss\'{\i}veis da conjectura da teoria M. No modelo RS com duas branas (RS2) \'e poss\'{\i}vel o desenvolvimento de id\'eias acerca do princ\'{\i}pio hologr\'afico, que aparecem na conjectura da teoria M. Falando de maneira n\~ao formal, a holografia sugere que a din\^amica da gravita\c c\~ao num espa\c co-tempo de $d-$dimens\~oes pode ser determinado pelo conhecimento dos campos definidos na fronteira $d-1$ deste espa\c co-tempo. A correspond\^encia ADS/CFT \'e um exemplo da holografia, no qual temos a din\^amica cl\'assica da gravita\c c\~ao em um espa\c co-tempo $AdS_{d}$ equivalente a din\^amica qu\^antica da teoria de campos conforme na fronteira $d-1$. O modelo RS2 com um bulk $AdS_{5}$ satisfaz esta correspond\^encia no regime perturbativo de baixa ordem \cite{duff}.

\section{Solu\c c\~ao de Randall-Sundrum}

O primeiro modelo RS \cite{rs1} foi proposto com o intuito de resolver o problema da hierarquia entre as constantes de acoplamento da intera\c c\~ao eletrofraca e da gravitacional por meio de uma \'unica dimens\~ao espacial extra compacta entre duas branas, cuja localiza\c c\~ao destas se d\'a nos pontos fixos do orbifold $S_{1}/Z_{2}$.

Fa\c camos agora neste modelo de duas branas (RS2) a dimens\~ao extra compacta com dom\'{\i}nio $-\pi r_{c}<y<\pi r_{c}$, sendo $r_{c}$ o raio de compactifica\c c\~ao. A nossa brana (nosso universo) est� localizada em $y=\pi r_{c}$ a segunda brana, a qual n\~ao temos acesso, em $y=0$.

 Consideraremos as letras gregas representando os \'{\i}ndices das quantidades $4-$dimensionais ($\mu, \nu=0...3$) e as letras latinas mai\'usculas os �ndices $5-$dimensionais($M, N=0...4$). Dadas estas condi\c c\~oes sup\~oe-se a seguinte a\c c\~ao para este modelo, no qual o bulk n\~ao possui mat\'eria,
\beq
\label{1.9}\nonumber
S&=&\int d^{4}x \int dy\sqrt{-g_{5}}\left[-2\Lambda +R_{5}\right]M^{3}_{5} +\\
&& \int d^{4}x\sqrt{-g_{4}^{vis}}\left[L_{vis}-\lambda_{vis}\right]+ \int d^{4}x\sqrt{-g^{esc}_{4}}\left[L_{esc}-\lambda_{esc}\right],
\eeq
na qual as quantidades $5-$dimensionais s\~ao a constante cosmol\'ogica $\Lambda$, a escala de Planck fundamental, o escalar de Ricci $R_{5}$, o determinate da m\'etrica  $g_{5}$, e  as quantidades $4-$dimensionais $\lambda_{vis}$, $\lambda_{esc}$, as tens\~oes na brana vis\'{\i}vel e escondida respectivamente. Al\'em disso, $L_{vis}$ e $L_{esc}$ representam a lagrangiana da mat\'eria presente em cada brana.

As branas s\~ao hipersuperf\'{\i}cies singulares segundo o formalismo de Israel \cite{israel}. Do ponto de vista $5-$dimensional, as lagrangeanas da mat\'eria confinada em cada brana podem ser expressas com fun\c c\~oes delta de Dirac. Logo podemos escrever
\beq
\label{1.10}\nonumber
L_{vis}-\lambda_{vis}&=&\sqrt{-g_{4}^{vis}}\lambda_{vis}\delta(y-\pi)\quad ,\\
L_{esc}-\lambda_{esc}&=&\sqrt{-g_{4}^{esc}}\lambda_{esc}\delta(y)\quad.
\eeq
Desta forma, variando a a\c c\~ao (\ref{1.9}) obteremos
\beq
\label{1.11}\nonumber
\delta S&=&\int d^4 x dy {\delta(\sqrt{-g_{5}})[-2\Lambda+ R_{5}]M^{3}_{5}+\sqrt{-g_{5}}M^{3}_{5}[\delta (R_{5})]}\\
&+&\int d^4 x\left[\delta(\sqrt{-g_{4}^{esc}})\lambda_{esc}\delta(y)\right] + \int  d^4 x[\delta(\sqrt{-g_{4}^{vis}})\lambda_{vis}\delta(y-\pi r_{c})]\quad ,
\eeq
onde
\beq\label{1.12}\nonumber
\delta \sqrt{-g_{5}}&=&-\frac{1}{2}\sqrt{-g_{5}}g^{MN}\delta g_{MN}\quad ,\\\nonumber
\delta \sqrt{-g_{4}^{vis}}&=&-\frac{1}{2}\sqrt{-g_{4}^{vis}}g^{\mu\nu}_{vis}\delta g_{\mu\nu}^{vis}\quad ,\\\nonumber
\delta \sqrt{-g_{4}^{esc}}&=&-\frac{1}{2}\sqrt{-g_{4}^{esc}}g^{\mu\nu}_{esc}\delta g_{\mu\nu}^{esc}\quad ,\\
\delta R&=& -R^{MN}\delta g_{MN}\quad .
\eeq
Na \'ultima identidade usamos a equa\c c\~ao de Palatini para anular $\delta R_{MN}$. Substituindo (\ref{1.12}) em (\ref{1.11}), obtemos
\beq\label{1.13}\nonumber
\delta S&=&\int d^{4}x dy\left[-\frac{1}{2}\sqrt{-g_{5}}g^{MN}\delta g_{MN}M_{5}^{3}[R_{5}-2\Lambda]+\sqrt{-g_{5}}M^{3}_{5}[-R^{MN}\delta g_{MN}]\right]\\\nonumber
&+&\int d^4 x\left[-\frac{1}{2}\sqrt{-g_{4}^{vis}}g^{\mu\nu}_{vis}\delta g_{\mu\nu}^{vis}\lambda_{vis}\delta(y-\pi r_{c})]\right]\\
&+&\int d^4 x\left[-\frac{1}{2}\sqrt{-g_{4}^{esc}}g^{\mu\nu}_{esc}\delta g_{\mu\nu}^{esc}\lambda_{esc}\delta(y)\right]\quad . 
\eeq

Usando a seguinte rela\c c\~ao entre a m\'etrica $5-$dimensional e a m\'etrica induzida em cada brana,
\beq\label{1.14}\nonumber
\delta g_{\mu\nu}^{vis}&=&\delta g_{MN}\delta^{M}_{\mu}\delta^{N}_{\nu}\quad ,\\
\delta g_{\mu\nu}^{esc}&=&\delta g_{MN}\delta^{M}_{\mu}\delta^{N}_{\nu}\quad  ,
\eeq
e aplicando o princ\'{\i}pio de m�nima a��o $\delta S=0$, obtemos as equa\c c\~oes de campo
\beq\label{1.15}\nonumber
\sqrt{-g_{5}}\left[R^{MN}-\frac{1}{2}g^{MN}R_{5}\right]&=&-\frac{1}{2M^{3}_{5}}\left[ \sqrt{-g_{5}}\Lambda M^{3}_{5} g^{MN}+ \sqrt{-g_{4}^{vis}}g_{vis}^{\mu\nu}\delta^{M}_{\mu}\delta^{N}_{\nu}\lambda_{vis}\delta(y-\pi r_{c})\right]\\
&-&\frac{1}{2M^{3}_{5}}\sqrt{-g_{4}^{esc}}g_{esc}^{\mu\nu}\delta^{M}_{\mu}\delta^{N}_{\nu}\lambda_{esc}\delta (y)\quad .
\eeq

O {\it{Ansatz}} de Randall e Sundrum para resolver estas equa\c c\~oes de campo \'e um elemento de linha n\~ao fator\'avel $5-$dimensional, onde \'e introduzindo o chamado fator de {\it{warp}} que multiplica o termo $4-$dimensional,
\be\label{1.16}
ds^{2}=e^{2\sigma(y)}\eta_{\mu\nu}dx^{\mu}dx^{\nu} + dy^{2}\quad ,
\ee
no qual $\eta_{\mu\nu}$ \'e a m\'etrica de Minkowski em 4 dimens\~oes, note que  tomamos o raio de compactifica\c c\~ao $r_{c}$ igual a 1. Ent\~ao segundo esta proposta podemos calcular as equa\c c\~oes de campo e encontrar as propriedades da fun\c c\~ao $\sigma(y)$.

As \'unicas componentes n\~ao nulas da conex\~ao para a m\'etrica (\ref{1.16}), com $i, j=1,2,3$ (neste caso �ndices repetidos n\~ao devem ser somados), s\~ao
\beq\label{1.17}\nonumber
\Gamma^{0}_{0 y}=\Gamma^{0}_{y 0}=\Gamma^{0}_{0 y}=\Gamma^{i}_{i y}=\Gamma^{i}_{i y}=\frac{d\sigma(y)}{dy}\quad ,\\
\Gamma^{y}_{0 0}=-\Gamma^{y}_{i i}=e^{2\sigma(y)}\frac{d\sigma(y)}{dy}\quad .
\eeq
Usando estes resultados, \'e poss\'{\i}vel encontrar as componentes n\~ao nulas do tensor de Ricci,
\beq\label{1.18}
R_{yy}&=&-\frac{\partial}{\partial y}\left(\Gamma_{y0}^{0}+3\Gamma^{i}_{yi}\right)-\left(\Gamma^{0}_{0y}\Gamma^{0}_{0y}+3\Gamma^{i}_{yi}\Gamma^{i}_{yi}\right)\\\nonumber
&=&-4\left(\frac{d^{2}}{dy^{2}}\sigma(y)+\left(\frac{d}{dy}\sigma(y)\right)^{2}\right)\quad ,\\
R_{ii}&=&\frac{\partial}{\partial y}\Gamma^{y}_{ii} + 2\Gamma^{y}_{ii}\Gamma^{0}_{0y}=-e^{2\sigma(y)}\left(\frac{d^{2}}{dy^{2}}\sigma(y)+ 4 \left(\frac{d}{dy}\sigma(y)\right)^{2}\right)\quad ,\\
R_{00}&=&\frac{\partial}{\partial y}\Gamma^{y}_{00}+2\Gamma^{y}_{00}\Gamma^{0}_{y0}=e^{2\sigma(y)}\left(\frac{d^{2}}{dy^{2}\sigma(y)}+4\left(\frac{d}{dy}\sigma(y)\right)^{2}\right)\quad .
\eeq
O escalar de curvatura $5-$dimensional ser\'a
\be\label{1.19}
R=-8\frac{d^{2}}{dy^{2}}\sigma(y)-20\left(\frac{d}{dy}\sigma(y)\right)^{2}\quad .
\ee

Substituindo os resultados (\ref{1.18}-\ref{1.19}) nas equa\c c\~oes de campo (\ref{1.15}), obtemos duas equa\c c\~oes independentes, sendo $G_{MN}$ o tensor de Einstein $5-$dimensional, 
\beq\label{1.20}
G_{yy}&=&-\Lambda g_{yy}\Rightarrow 6\left(\frac{d}{dy}\sigma(y)\right)^{2}=-\Lambda\quad ,\\\nonumber
G_{00}&=&-G_{ii}=-\left[3\frac{d^{2}}{dy^{2}}\sigma(y)+6\left(\frac{d}{dy}\sigma(y)\right)\right]\\\label{1.21}
&=&\frac{1}{2M^{3}_{5}}\left(2M^{3}_{5}\Lambda+\delta(y-\pi)\lambda_{vis}+\delta(y)\lambda_{esc}\right)\quad .
\eeq

A equa\c c\~ao (\ref{1.20}) pode ser integrada diretamente. Considerando a simetria de orbifold, temos
\be\label{1.22}
\frac{d}{dy}\sigma(y)=\sqrt{-\frac{\Lambda}{6}}\Rightarrow \sigma(y)=\pm|y|\sqrt{-\frac{\Lambda}{6}}\quad .
\ee
Substituindo o resultado de (\ref{1.20}) em (\ref{1.21}),
\be\label{1.23}
\frac{d^{2}}{dy^{2}}\sigma(y)=-\frac{1}{6M_{5}^{3}}\left[\lambda_{vis}\delta(y-\pi)+\lambda_{esc}\delta(y)\right]\quad .
\ee

Derivando a equa\c c\~ao (\ref{1.22}) duas vezes,
\beq\label{1.24}\nonumber
\frac{d}{dy}\sigma(y)&=&\pm\frac{d}{dy}|y|\sqrt{-\frac{\Lambda}{6}}=\pm\left[\Theta(y)-\Theta(y-\pi)\right]\sqrt{-\frac{\Lambda}{6}}\quad ,\\
\frac{d^{2}}{dy^{2}}\sigma(y)&=&\pm 2\left[\delta(y)-\delta(y-\pi)\right]\sqrt{-\frac{\Lambda}{6}}\quad .
\eeq

Comparando (\ref{1.24}) com (\ref{1.23}), chegamos a conclus\~ao  que  a proposta de Randall-Sundrum ser� solu\c c\~ao das equa\c c\~oes de campo se tivermos
\be\label{1.25}
-\lambda_{vis}=\lambda_{esc}=\pm 12M_{5}^{3}\sqrt{-\frac{\Lambda}{6}}\quad ,
\ee
definindo,
\be\label{1.26}
\kappa=\frac{1}{l}=\sqrt{-\frac{\Lambda}{6}}\quad ,
\ee
onde $l$ \'e a escala de curvatura do bulk. Portanto temos, para (\ref{1.25})
\be\label{1.27}
-\lambda_{vis}=\lambda_{esc}=\pm 12M_{5}^{3}\kappa\quad .
\ee
Note que \'e imprescind\'{\i}vel que o bulk seja AdS para que haja um {\it{fine tuning}} entre os termos de tens\~ao das branas e a constante cosmol\'ogica no bulk. Ent\~ao a solu\c c\~ao de Randall-Sundrum ser\'a
\be\label{1.28}
ds^{2}=e^{\pm 2k|y|}\eta_{\mu\nu}dx^{\mu}dx^{\nu}+dy^{2}\quad .
\ee

\section{Gera\c c\~ao da hierarquia}

Ap\'os termos certeza de que a proposta de Randall-Sundrum \'e uma solu\c c\~ao $5-$dimensional das equa\c c\~oes de Einstein no v\'acuo, devemos estudar como o termo exponencial gera a hierarquia entre a escala de Planck efetiva $M_{4}$ e a escala de Planck fundamental $M_{5}$. Para isto, consideremos flutua\c c\~oes gravitacionais sem massa  em torno da solu\c c\~ao (\ref{1.28}),
\be\label{1.29}
\hat{g}_{\mu\nu}=\eta_{\mu\nu}+{h_{\mu\nu}}\quad ,
\ee
no qual $\hat{g}_{\mu\nu}$ \'e a m\'etrica $4-$dimensional perturbada e $|h_{\mu\nu}|<<1$ representa a pequena perturba\c c\~ao na m\'etrica de Minkowski $\eta_{\mu\nu}$. 

Estamos interessados em perturba\c c\~oes de modo zero, ou seja, os gr\'avitons {\it{f\'{\i}sicos}} advindos da decomposi\c c\~ao de Kaluza-Klein de $\hat{g_{\mu\nu}}$, isto implica que o modo zero deve ser independente de $y$.
Tomando apenas o termo da a\c c\~ao (\ref{1.9}) que representa a curvatura
\be\label{1.30}
S=\int d^{4}x \int dy\sqrt{e^{\pm 8|y|\kappa}[-\hat{g}]}M_{5}^{3}e^{\pm 2\kappa |y|}\hat{R}\quad ,
\ee
na qual $\hat{g}$ e $\hat{R}$ s\~ao quantidades escritas com (\ref{1.29}). Ent\~ao integrando em $y$ temos a a\c c\~ao efetiva em 4 dimens\~oes,
\be\label{1.31}
S_{4}=\pm\int d^{4}x M^{3}_{5} \sqrt{-\hat{g}}\hat{R}\frac{1}{\kappa}\left[e^{\pm 2\kappa \pi r_{c}}-1\right]\quad ,
\ee
disto podemos indentificar a massa de Planck efetiva $M_{4}$ como
\be\label{1.32}
M^{2}_{4}=\pm \frac{M_{5}^{3}}{\kappa}\left[e^{\pm 2\kappa \pi r_{c}}-1\right]\quad .
\ee
Se tomarmos o sinal negativo na equa\c c\~ao acima, vemos que a rela\c c\~ao entre as duas escalas de massa depende fracamente do raio de compactifica\c c\~ao no limite de $\kappa r_{c}$ grande, possibilitando a gera\c c\~ao de hierarquia exponencial entre essas duas quantidades apesar do pequeno efeito da exponencial na determina\c c\~ao da escala de Planck. Dado que $g_{\mu\nu}^{vis}=e^{-2\pi \kappa r_{c}}\hat{g_{MN}\delta^{M}_{\nu}\delta^{N}_{\nu}}$, \'e poss\'{\i}vel mostrar que qualquer massa $m_{0}$ medida por um observador na brana vis\'{\i}vel corresponde a uma massa f\'{\i}sica $m=e^{-2\pi \kappa r_{c}} m_{0}$ na teoria fundamental em mais dimens\~oes apenas com uma \'unica dimens\~ao extra, contrastando com o modelo ADD, que necessita de pelo menos duas dimens\~oes espaciais extras. Esse cen\'ario \'e chamado modelo de Randall-Sundum de duas branas, onde a brana em que vivemos possui tens\~ao negativa, o que leva a uma intera\c c\~ao gravitacional repulsiva, o que n\~ao nos parece razo\'avel. Podemos superar esta dificuldade abandonando a dimens\~ao extra compacta fazendo $r_{c}\rightarrow \infty$ e escolhendo o sinal positivo para a tens\~ao na brana vis\'{\i}vel (\ref{1.27}). Isto foi feito por Randall e Sundrum no trabalho seguinte \cite{rs2}, mostrando que a escala de Planck continua finita apesar de n\~ao haver nenhuma compactifica\c c\~ao na dimens\~ao extra. Uma consequ\^encia disto \'e a exist\^encia de um estado ligado do gr\'aviton sem massa $4-$dimensional localizado na brana vis\'{\i}vel, fazendo com que recobremos a lei da gravita\c c\~ao $1/r^{2}$ observada em escalas de baixas energias.

Vamos considerar, com o prop\'osito de mostrar a localiza\c c\~ao deste modo zero na brana, a solu\c c\~ao (\ref{1.28}) perturbada com o sinal negativo \cite{tanaka}
\be\label{1.32}
ds^{2}=\left[e^{-2\pi\kappa r_{c}}\eta_{\mu\nu}+h^{\mu\nu}\right]dx^{\mu}dx^{\nu}+dy^{2}\quad ,
\ee
sendo $h_{\mu\nu}=f(x^{\mu},y)$ e $\hat{g}^{\mu\nu}=\left[e^{-2\pi\kappa r_{c}}\eta_{\mu\nu}+h^{\mu\nu}\right]$.

Calculemos ent\~ao todas quantidades necess\'aria para a constru\c c\~ao das equa\c c\~oes de campo para a perturba\c c\~ao $h_{\mu\nu}$.
Os termos n�o nulos da conex\~ao s\~ao
\beq\label{1.33}\nonumber
\Gamma^{\mu}_{y\nu}&=&\frac{1}{2}\hat{g}^{\mu\kappa}\frac{\partial}{\partial y}\hat{g}_{\nu\kappa}\quad ,\\
\Gamma^{y}_{\nu\alpha}&=&-\frac{1}{2}\hat{g}^{yy}\frac{\partial}{\partial y}\hat{g}_{\nu\alpha}\quad ,
\eeq
e as componentes do tensor de Ricci $(R^{(4)}_{\mu\nu}$ denota a parte puramente $4-$dimensional)
\beq\label{1.34}\nonumber
R_{\nu\alpha}&=&R^{(4)}_{{\mu\nu}}+\frac{\partial}{\partial y}\Gamma^{y}_{\nu\alpha}+ \Gamma^{y}_{\nu\alpha}\Gamma^{\mu}_{y\mu}-\Gamma^{\beta}_{y\nu}\Gamma^{y}_{\beta\kappa}-\Gamma^{y}_{\nu\mu}\Gamma^{\mu}_{y\kappa}\quad ,\\
R_{yy}&=&-\left[\frac{\partial}{\partial y}\Gamma^{\mu}_{\mu y}+  \Gamma^{\beta}_{y\mu}\Gamma^{\mu}_{y\beta}\right]\quad .
\eeq
Usando o calibre de Randall-Sundrum
\be\label{1.35}\nonumber
\frac{\partial}{\partial x^{\mu}}h^{\mu\nu}=h^{\mu}_{\mu}=0\quad ,
\ee
temos explicitamente
\beq\label{1.36}\nonumber
\Gamma^{y}_{\nu\alpha}&=&-\frac{1}{2}\frac{\partial}{\partial y}\left[e^{-2\kappa|y|}\eta_{\nu\alpha}+h_{\nu\alpha}\right]=\kappa\frac{d}{dy}|y|e^{-2\kappa|y|}\eta_{\nu\alpha}-\frac{\partial}{\partial y}h_{\nu\alpha}\quad ,\\\nonumber
\Gamma^{\mu}_{\nu y}&=& \frac{1}{2}\frac{\partial}{\partial y}\left[h_{\nu\kappa}+e^{-2\kappa|y|}\eta_{\nu\kappa}\right]\left[\eta^{\mu\kappa}-e^{2\kappa|y|}h^{\mu\kappa}\right]\frac{e^{2\kappa|y|}}{2}\\
&=&\kappa\frac{d}{dy}|y|e^{2\kappa |y|}\eta_{\nu\kappa}h^{\mu\kappa}-\kappa\frac{d}{dy}|y|\delta^{\mu}_{\nu}+\eta^{\mu\kappa}\frac{\partial}{\partial y}h_{\kappa\nu}\quad .
\eeq
Tomando a derivada primeira em rela\c c\~ao a $y$
\beq\label{1.37}\nonumber
\frac{\partial}{\partial y}\Gamma^{y}_{\nu\alpha}&=&-\left[2\kappa^{2}\left(\frac{d}{dy}|y|\right)^{2} e^{-2\kappa|y|}\eta_{\nu\alpha}+ \frac{1}{2}\frac{\partial^{2}}{\partial y^{2}}h_{\nu\alpha}-\kappa e^{-2\kappa |y|}\eta_{\nu\alpha}\frac{d^{2}}{dy^{2}}|y|\right]\quad ,\\\nonumber
\frac{\partial}{\partial y}\Gamma^{\mu}_{y\nu}&=&2\kappa e^{2\kappa |y|}\frac{d}{dy}|y|\frac{\partial}{\partial y}h^{\mu}_{\nu}+\frac{1}{2}e^{2\kappa |y|}\frac{\partial^{2}}{\partial y^{2}}h^{\mu}_{\nu}+\kappa e^{2\kappa |y|}h^{\mu}_{\nu}\frac{d^{2}}{dy^{2}}|y|-\kappa\delta^{\mu}_{\nu}\frac{d^{2}}{dy^{2}}|y|\\
&+&2\kappa^{2} e^{2\kappa |y|}h^{\mu}_{\nu}\left(\frac{d}{dy}|y|\right)^{2}\quad .
\eeq
Al\'em disso, com
\beq\label{1.38}\nonumber
\Gamma^{\beta}_{\mu y}\Gamma^{\mu}_{y\beta}&=&4\kappa^{2}\left(\frac{d}{dy}|y|\right)^{2}\quad ,\\\nonumber
\Gamma^{y}_{\nu\kappa}\Gamma^{\mu}_{\mu y}&=&-4\kappa^{2}e^{-2\kappa |y|}\eta_{\nu\kappa}\left(\frac{d}{dy}|y|\right)^{2}+2\kappa \frac{\partial}{\partial y}h_{\nu\kappa}\frac{d}{dy}|y|\quad ,\\
\Gamma^{y}_{\nu y}\Gamma^{y}_{\beta\kappa}&=&\kappa^{2}\left[h_{\nu\kappa}-e^{-2\kappa|y|}\eta_{\nu\kappa}\right]\left(\frac{d}{dy}|y|\right)^{2}+\kappa\frac{\partial}{\partial y}h_{\nu\kappa}\frac{d}{dy}|y|\quad ,
\eeq
\'e poss\'{\i}vel calcular explicitamente (\ref{1.34})
\beq\label{1.39}\nonumber
R_{yy}&=& -4\kappa\left[\kappa\left(\frac{d}{dy}|y|\right)^{2}-\frac{d^{2}}{dy^{2}}|y|\right]\quad ,\\
R_{\nu\alpha}&=&rR_{\nu\alpha}^{(4)}+\kappa e^{-2\kappa |y|}\eta_{\nu\alpha}\left(\frac{d}{dy}|y|\right)^{2}+\kappa\frac{\partial}{\partial y}h_{\nu\alpha}\frac{d}{dy}|y|+\kappa^{2}h_{\nu\alpha}\left(\frac{d}{dy}|y|\right)^{2}\quad ,
\eeq
o escalar de curvatura 
\be\label{1.40}
R=\hat{g}^{\nu\alpha}R_{\nu\alpha}=\hat{g}^{\nu\alpha}R_{\nu\alpha}^{(4)}-16\kappa^{2}\left(\frac{d}{dy}|y|\right)^{2}+ 4\kappa\frac{d^{2}}{dy^{2}}|y|\quad .
\ee

Usando as identidades 
\beq\label{1.41}\nonumber
\left(\frac{d}{dy}|y|\right)^{2}&=&1\quad ,\\\nonumber
\frac{d^{2}}{dy^{2}}|y|&=&2\delta(y)\quad ,
\eeq
podemos reescrever o tensor de Einstein como
\be\label{1.42}
G_{\nu\alpha}=G_{\nu\alpha}^{(4)}+8\kappa^{2}h_{\nu\alpha}+6\kappa^{2}e^{-2\kappa |y|}\eta_{\nu\alpha}-\frac{1}{2}\frac{\partial ^{2}}{\partial y^{2}}h_{\nu\alpha}-8\kappa h_{\nu\alpha}\delta(y)-6\kappa\eta_{\nu\alpha}e^{-2\kappa |y|}\delta(y)\quad .
\ee
Igualando este resultado a (\ref{1.25}) na brana, temos
\beq\label{1.42}\nonumber
G_{\mu\nu}^{(4)}-\frac{1}{2}\frac{\partial^{2}}{\partial y^{2}}h_{\mu\nu}-2\kappa h_{\mu\nu}+2\kappa^{2} h_{\mu\nu}=0\quad ,
\eeq
e no calibre de Randall-Sundrum
\be\label{1.43}\nonumber
G_{\mu\nu}^{(4)}=\frac{1}{2}e^{2\kappa |y|}\frac{\partial^{2}}{\partial x^{c}\partial x_{c}}h_{\mu\nu}\quad  .
\ee
Disto obtemos as equa\c c\~oes de campo para as perturba\c c\~oes $h_{\mu\nu}(x^{\mu},y)$
\be\label{1.44}
\left[\frac{1}{2}e^{2\kappa |y|}\frac{\partial^{2}}{\partial x^{c}\partial x_{c}}-\frac{1}{2}\frac{\partial^{2}}{\partial y^{2}}+2\kappa^{2}-2\kappa\delta(y)\right]h_{\mu\nu}=0\quad .
\ee

Para obtermos os modos de $h_{\mu\nu}$ devemos utilizar a decomposi\c c\~ao de Kaluza-Klein para estas flutua\c c\~oes $5-$dimensionais, que correspondem a um n�mero infinito de modos do campo $h_{\mu\nu}(x^{\mu})$ vistos por um observador confinado na brana, que correspondem aos modos de Fourier dos campos em 5 dimens\~oes $h_{\mu\nu}(x^{\mu},y)$. Isto s\'o \'e poss\'{\i}vel se a dimens\~ao extra for peri\'odica e compactada com raio $2\pi r_{c}$, o que \'e o caso do modelo de Randall-Sundrum com duas branas, mas n\~ao do modelo com dimens\~ao extra infinita. Para este \'ultimo em vez de uma s\'erie de Fourier obtemos uma transformada de Fourier e em vez de um espectro discretizado infinito para os modos $h_{\mu\nu}(x^{\mu})$ teremos um espectro cont\'{\i}nuo. As perturba��es gravitacionais em modelos de mundo brana foram estudadas de forma pormenorizada em \cite{abdalla1}. Para verificar  se o modo zero das flutua\c c\~oes est\'a confinado na brana, para que a lei da gravita\c c\~ao de Newton seja recobrada, fa\c camos a seguinte separa\c c\~ao de vari\'aveis 
\be\label{1.45}\nonumber
h_{\mu\nu}(x^{\mu},y)=e^{imx}\Omega_{\mu\nu}(y),
\ee
substituindo na equa\c c\~ao de campo (\ref{1.44}), obtemos 
\be\label{1.46}
\left[\frac{\partial^{2}}{\partial y^{2}}+4\kappa\delta(y)+m^{2}e^{2\kappa |y|}-4\kappa^{2}\right]\Omega_{\mu\nu}(y)=0,
\ee
Para o modo zero, isto \'e, para $m=0$, a solu\c c\~ao \'e
\be\label{1.47}
\Omega^{0}=e^{-2\kappa |y|},
\ee
que \'e algo que procur\'avamos para conseguir o confinamente deste modo, j\'a que o alcance do gr\'aviton de modo zero, segundo esta solu\c c\~ao \'e $1/2\kappa=l/2$, onde $l$ e a escala de curvatura do bulk, e mede a penetra\c c\~ao dos gr\'avitons na dimens\~ao extra. Esta escala \'e tipicamente pequena, possibilitando o confinamento do modo zero. A solu\c c\~ao geral para a equa\c c\~ao de campo (\ref{1.46}) \'e uma combina\c c\~ao linear de fun��es de Bessel do primeiro tipo $J_{n}(x)$ de segundo tipo $Y_{n}(x)$,
\be\label{1.48}
\Omega_{\mu\nu}=A_{\mu\nu} J_{2} (my)+B_{\mu\nu} Y_{2}(my),
\ee
na qual $A_{\mu\nu} $ e $B_{\mu\nu}$ s\~ao constantes a serem determinadas pelas condi\c c\~oes de contorno. No modelo de Randall-Sundrum com dimes�o extra infinita, as condi\c c\~oes de contorno levam ao espectro cont\'{\i}nuo dos modos de Kaluza-Klein, enquanto no modelo de duas branas com dimens\~ao extra compacta leva a discretiza��o desses modos.

Acerca das id�ias dos modelos de Randall-Sundrum, podemos dizer que sempre podemos identidficar uma dessas hipersuperf�cies como o nosso universo e outra como uma contraparte {\it{escondida}}. No primeiro desses cen�rios, a nossa brana possui tens�o negativa e \'e poss�vel gerar completamente a hierarquia com apenas uma dimens�o extra compacti\-ficada com um raio $r_{c}\leq 0.1mm$, enquanto que no segundo cen\'ario fazemos a brana escondida tender ao infinito, possibilitando o aparecimento de uma dimens�o extra infinita, que n�o gera completamente a hierarquia mas apresenta o modo zero de Kaluza-Klein completamente localizado na brana f�sica com tens�o positiva.
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Formalismo Shiromizu-Maeda-Sasaki}

Esta se��o se baseia no trabalho de  Shiromizu, Maeda e Sasaki \cite{maeda} acerca de uma apre\-senta��o covariante para as quantidades f�sicas descritas nos modelos de mundo brana. A id�ia fundamental � projetar todas as quantidades geom\'etricas $5-$dimensionais em 4 dimens�es usando a equa��o de Gauss e a equa��o de Codazzi.

Primeiramente, seguindo o trabalho de W. Israel \cite{israel}, buscaremos as rela��es de Gauss e Codazzi. Para isso consideremos o bulk como sendo  uma variedade $M$ com m�trica $g_{MN}$ de assinatura $(+----...)$ em $D$ dimens�es, uma hipersuperf�cie $V$ $(D-1)$dimensional, que ser� identificado como uma brana, com m�trica $q_{\mu\nu}$ tamb�m de assinatura $(+----...)$, imersa em $M$.

Consideremos uma curva $\lambda\in M$ parametrizada por $t$, e um campo vetorial ${\bf{A}}$ definido nessa curva, ent�o sua derivada absoluta nessa curva ser�
\be\label{1.49}
\left(\frac{\partial}{\partial t}{\bf{A}}\right)^{M}\equiv \frac{\partial}{\partial t}A^{M}+A^{N}\Gamma^{M}_{NP}\frac{d}{dt}x^{P}\quad .
\ee
Sendo ${\bf{n}}$ o vetor normal a hipersuperf�cie $V$,
\beq\label{1.58}
{\bf{n}}\cdot{\bf{n}}=\varepsilon({\bf{n}})\quad ,
\eeq
onde $\varepsilon({\bf{n}})=+1$ quando ${\bf{n}}$ for do tipo espa�o ($V$ tipo tempo) e $\varepsilon({\bf{n}})=-1$ para ${\bf{n}}$ do tipo tempo ($V$ tipo espa�o).

Utilizando a base de vetores ${\bf e}_{(\alpha)}$ do espa�o tangente $T(V)$ de $V$ podemos escrever o desclocamento infinitesimal em $V$ como
\be\label{1.51}
d{\bf{s}}={\bf e}_{(\alpha)}d\xi^{\alpha}\quad ,
\ee
sendo $\{\xi^{\alpha}\}$ o sistema de coordenadas da hipersuperf�cie.

A derivada covariante de um campo vetorial $A^{\alpha}$ n�o pertencente a $T(V)$, intr�nseca a $V$, � 
\be\label{1.52}
A_{\alpha ;\beta}={\bf e}_{(\alpha)}\cdot \frac{\partial}{\partial \xi^{\beta}}{\bf{A}}=\frac{\partial}{\partial \xi^{\beta}}-A^{\delta}\Gamma_{\delta,\alpha\beta}\quad ,
\ee
sendo 
\be\label{1.53}
\Gamma_{\delta,\alpha\beta}={\bf e}_{(\delta)}\frac{\partial}{\partial \xi^{\beta}}{\bf{e}_{(\alpha)}}\quad .
\ee
Assim, a derivada covariante intr�nseca e o tensor de Riemann $R^{\delta}_{\alpha\beta\gamma}$ associado, n�o dependem do bulk onde $V$ est� mergulhada. Estas quantidades s�o invariantes frente a mudan�a de $M$ que preserva a m�trica $q_{\mu\nu}$ de $V$.

As propriedades geom�tricas n�o intr�nsecas aparecem quando perguntamos como $V$ se apresenta para um observador em $M$. Este tipo de quantidades s�o medidas atrav�s da varia��o do vetor unit�rio (\ref{1.58}) em rela��o ao sistema de coordenadas $\{\xi^{\alpha}\}$, ou seja devemos calcular 
\be\label{1.54}
\frac{\partial}{\partial \xi^{\alpha}}{\bf{n}}=K^{\beta}_{\alpha}{\bf{e}_{(\beta)}}\quad ,
\ee 
no qual $K_{\alpha\beta}$ � definido como a {\it{curvatura extr�nseca}} de $V$ com rela��o a $M$. Multiplicando ambos lados desta equa��o por ${\bf{e}_{(\lambda)}}$
\be\label{1.55}
K^{\alpha}_{\beta}{\bf{e}_{(\alpha)}}{\bf{e}_{(\lambda)}}={\bf{e}_{(\lambda)}}\cdot \frac{\partial}{\partial\xi^{\beta}}{\bf{n}}\quad ,
\ee
e usando o fato de que $q_{\alpha\lambda}={\bf{e}_{(\alpha)}}\cdot {\bf{e}_{(\lambda)}}$, temos
\be\label{1.56}
K_{\beta\lambda}={\bf{e}_{(\lambda)}}\cdot\frac{\partial}{\partial\xi^{\beta}}{\bf{n}}\quad ,
\ee
mas
\be\label{1.56}
\frac{\partial}{\partial \xi^{\alpha}}\left({\bf{n}}\cdot{\bf{e}_{(\beta)}}\right)=0\Rightarrow {\bf{e}_{(\beta)}}\cdot\frac{\partial}{\partial\xi^{\alpha}}{\bf{n}}=-{\bf{n}}\cdot\frac{\partial}{\partial \xi^{\alpha}}{\bf{e}_{(\beta)}}\quad ,
\ee
pois ${\bf{n}}\bot{\bf{e}_{(\beta)}}$, logo
\be\label{1.57}
K_{\alpha\beta}=-{\bf{n}}\cdot\frac{\partial}{\partial \xi^{\alpha}}{\bf{e}_{(\beta)}}=-{\bf{n}}\cdot\frac{\partial}{\partial \xi^{\beta}}{\bf{e}_{(\alpha)}}=K_{\beta\alpha}\quad .
\ee

Podemos obter a equa��o de Gauss-Weingarten usando este resultado.
Para isso multipliquemos toda equa��o por ${\bf{n}}$, e usando (\ref{1.58}) 
\be\label{1.59}
-\varepsilon({\bf{n}})\frac{\partial}{\partial \xi^{\alpha}}={\bf{n}}K_{\alpha\beta}\quad ,
\ee 
multiplicando ambos lados por $\varepsilon({\bf{n}})$ obtemos
\be\label{1.60}
-\frac{\partial}{\partial \xi^{\alpha}}{\bf{e}_{(\beta)}}=\varepsilon({\bf{n}})K_{\alpha\beta}{\bf{n}}\quad ,
\ee
usando o resultado 
\be\label{1.61}
-\frac{\partial}{\partial \xi^{\alpha}}{\bf{e}_{(\beta)}}={\bf{e}_{(\delta)}}\Gamma^{\delta}_{\alpha\beta}\quad ,
\ee
chegamos a equa��o de Gauss-Weingarten
\be\label{1.62}
\frac{\partial}{\partial \xi^{\beta}}{\bf{e}_{\alpha}}=-\varepsilon({\bf{n}})K_{\alpha\beta}{\bf{n}}+{\bf{e}_{\delta}}\Gamma^{\delta}_{\alpha\beta}\quad .
\ee
 Para encontrarmos as equa��es de Gauss e Codazzi, come�amos operando com $\partial/\partial \xi^{\alpha}$ em (\ref{1.62}) usando (\ref{1.54}) e (\ref{1.57}),
\be\label{1.63}
\frac{\partial}{\partial\varepsilon^{\gamma}}\left(\frac{\partial}{\partial \xi^{\beta}}{\bf{e}_{(\alpha)}}\right)={\bf{n}}\frac{\partial}{\partial \xi^{\gamma}}K_{\alpha\beta}+K_{\alpha\beta}K^{\delta}_{\gamma}{\bf{e}_{(\delta)}} + {\bf{e}_{(\delta)}}\frac{\partial}{\partial\xi^{\gamma}}\Gamma^{\delta}_{\alpha\beta}+\Gamma^{\delta}_{\alpha\beta}K_{\delta\gamma}{\bf{n}}+\Gamma^{\lambda}_{\alpha\beta}\Gamma^{\delta}_{\lambda\gamma}{\bf{e}_{\delta}}\quad .
\ee
Se considerarmos o campo vetorial n�o tangente ${\bf{A}}(u,v)$ definido em uma superf�cie $x^{M}=x^{M}(u,v) \in M$, podemos calcular a rela��o de comuta��o de Ricci, que define o tensor de curvatura $ R^{M}_{QNP}A^{Q}$
\be\label{1.64}
\left[\left(\frac{\partial}{\partial u}\frac{\partial}{\partial v}-\frac{\partial}{\partial v}\frac{\partial}{\partial u}\right){\bf{A}}\right]^{M}=\left[\frac{\partial}{\partial u},\frac{\partial}{\partial v}\right]{\bf{A}}^{M}=R^{M}_{QNP}A^{Q}\frac{\partial x^{N}}{\partial u}\frac{\partial x^{P}}{\partial v}\quad , 
\ee
que pode ser calculada usando (\ref{1.62}) e (\ref{1.63}) com $\varepsilon(\bf{n})=-1$. Assim,
\beq\label{1.65}\nonumber
&\left[\frac{\partial}{\partial\xi^{\gamma}},\frac{\partial}{\partial\xi^{\beta}}\right]{\bf{e}_{(\alpha)}}={\bf{n}}\left(\frac{\partial}{\partial \xi^{\gamma}}K_{\alpha\beta}-\frac{\partial}{\partial \xi^{\beta}}K_{\alpha\gamma}+\Gamma^{\delta}_{\alpha\beta}K_{\gamma\delta}-\Gamma^{\delta}_{\alpha\gamma}K_{\delta\beta}\right)+\\
&{\bf{e}_{(\delta)}}\left(K_{\alpha\beta}K_{\gamma}^{\delta}-K_{\alpha\delta}K^{\delta}_{\beta}+\frac{\partial}{\partial\xi^{\gamma}}\Gamma^{\delta}_{\alpha\beta}-\frac{\partial}{\partial\xi^{\beta}}\Gamma^{\delta}_{\alpha\gamma}+\Gamma^{\lambda}_{\alpha\beta}\Gamma^{\delta}_{\lambda\gamma}-\Gamma^{\lambda}_{\alpha\gamma}\Gamma^{\delta}_{\lambda\beta}\right)\quad .
\eeq
Podemos agora representar explicitamente o tensor de curvatura extr�nseco $R^{M}_{NQP}$ em fun��o das quantidades intr�nsecas a $V$, ent�o usando (\ref{1.64}),
\be\label{1.66}
\left[\frac{\partial}{\partial\xi^{\gamma}},\frac{\partial}{\partial\xi^{\beta}}\right]e^{M}_{(\alpha)}=R^{M}_{QLR} e^{Q}_{(\alpha)}e^{L}_{(\gamma)}e^{R}_{(\beta)}\quad ,
\ee
comparando este resultado com (\ref{1.65}) chegamos a equa��o de Gauss, que corresponde a parte n�o normal
\beq\label{1.67}
\nonumber
R_{MQLR} e^{M}_{(\delta)} e^{Q}_{(\alpha)}e^{L}_{(\gamma)}e^{R}_{(\beta)}=K_{\alpha\beta}K_{\delta\gamma}-K_{\alpha\gamma}K_{\delta\beta}+\left(\frac{\partial}{\partial\xi^{\gamma}}\Gamma_{\delta\alpha\beta}-\frac{\partial}{\partial\xi^{\beta}}\Gamma_{\delta\alpha\gamma}+\Gamma^{\lambda}_{\alpha\beta}\Gamma_{\delta\lambda\gamma}-\Gamma^{\lambda}_{\alpha\gamma}\Gamma_{\delta\lambda\beta}\right)\quad ,
\eeq
ora, o termo entre par�nteses nada mais � do que o tensor de curvatura da hipersuperf�cie $V$, $R_{\delta\alpha\gamma\beta}$, logo a equa��o de Gauss pode ser escrita como
\be\label{1.68}
R_{MQLR} e^{M}_{(\delta)} e^{Q}_{(\alpha)}e^{L}_{(\gamma)}e^{R}_{(\beta)}=K_{\alpha\beta}K_{\delta\gamma}-K_{\alpha\gamma}K_{\delta\beta}+R_{\delta\alpha\gamma\beta}\quad . 
\ee
Da parte normal, obtemos a equa��o de Codazzi
\be\label{1.69}
R_{MQLR}n^{M}e^{Q}_{(\alpha)}e^{L}_{(\gamma)}e^{R}_{(\beta)}=K_{\alpha\gamma ; \beta}-K_{\alpha\beta ; \gamma}\quad .
\ee
A m�trica $q_{\alpha\beta}$ induzida na hipersuperf�cie � relacionada com a m�trica $g_{MN}$ de $M$ por, 
\be\label{1.70}
q_{\alpha\beta}=g_{MN}e^{M}_{(\alpha)}e^{N}_{(\beta)}-n_{M}n_{N}\quad , 
\ee
e usando as rela��es
\beq\label{1.69}\nonumber
e^{M}_{\delta}&=& e^{M}e_{\delta}= q^{M}_{\delta}\quad ,\\\nonumber
e^{Q}_{\alpha}&=& e^{Q}e_{\alpha}= q^{M}_{\alpha}\quad ,
\eeq
podemos reescrever as equa��es de Gauss e Codazzi, respectivamente, como
\be\label{1.70}
R^{\alpha}_{\beta\gamma\delta}=R^{M}_{NPQ}q^{\alpha}_{M}q^{N}_{\beta}q^{P}_{\gamma}q^{Q}_{\delta} + K^{\alpha}_{\gamma}K_{\beta\delta}-K^{\alpha}_{\delta}K_{\beta\gamma}\quad ,
\ee
\be\label{1.71}
K^{\beta}_{\alpha;\beta}-K_{;\alpha}=R_{PQ}n^{Q}q^{P}_{\alpha}\quad ,
\ee
sendo $K=K^{\alpha}_\alpha$ o tra�o da curvatura extr�nseca. 

Vamos fazer um estudo das quantidades geom�tricas envolvidas o mais geral poss�vel sem nos atermos, por enquanto, a modelos de universo tipo brana. N�o faremos distin��o entre os �ndices da hipersuperf�cie $(V,q_{\mu\nu})$ e os do bulk $(M,g_{AB})$ tomando ambos representados por letras gregas. 

Da express�o (\ref{1.70}) segue que
\beq\label{1.72}\nonumber
q_{\mu\nu}&=&g_{\mu\nu}-n_{\mu}n_{\nu}\quad ,\\\nonumber
q^{\mu\nu}&=&g^{\mu\nu}-n^{\mu}n^{\nu}\quad ,\\
q^{\mu}_{\nu}&=&\delta^{\mu}_{\nu}-n^{\mu}n_{\nu}\quad ,
\eeq
al�m disso
\beq\label{1.73}\nonumber
n_{\mu}n^{\mu}=1\quad ,\\\nonumber
q_{\mu\nu}n^{\mu}=0\quad ,\\
g_{\mu\nu}n^{\mu}n^{\nu}=1\quad .
\eeq

Desta forma reescrevemos as equa��es de Gauss e Codazzi, respectivamente, como
\beq\label{1.74}
{}^{(4)}R^{\alpha}_{\beta\gamma\delta}={}^{(5)}R^{\mu}_{\nu\rho\delta}q^{\alpha}_{\mu}q^{\nu}_{\beta}q^{\rho}_{\gamma}q^{\sigma}_{\delta}+K^{\alpha}_{\gamma}K_{\beta\delta}-K^{\alpha}_{\delta}-K_{\beta\gamma}\quad ,\\
K^{\nu}_{\mu;\nu}-K_{;\mu}={}^{(5)}R_{\rho\sigma}n^{\sigma}q^{\rho}_{\mu}\quad .
\eeq

Precisamos das equa��es de Einstein para relacionar estas quantidades geom�tricas com as fontes de energia-momento, mas para fazer isso necessitamos do tensor de Ricci, que aparece quando contra�mos $\alpha$ e $\gamma$ na  equa��o de Gauss usando $q^{\gamma}_{\alpha}$ 
\beq\label{1.75}\nonumber
{}^{(4)}R^{\alpha}_{\beta\gamma\delta}q^{\gamma}_{\alpha}={}^{(5)}R^{\mu}_{\nu\rho\delta}q^{\gamma}_{\alpha}q^{\alpha}_{\mu}q^{\nu}_{\beta}q^{\rho}_{\gamma}q^{\sigma}_{\delta}+K^{\alpha}_{\gamma}K_{\beta\delta}q^{\gamma}_{\alpha}-q^{\gamma}_{\alpha}K^{\alpha}_{\delta}-K_{\beta\gamma}\quad ,
\eeq
mas 
\beq\label{1.76}\nonumber
K=q^{\gamma}_{\alpha}K^{\alpha}_{\gamma}\quad ,\\\nonumber
q^{\alpha}_{\mu}=q^{\alpha\lambda}q_{\lambda\mu}\quad ,
\eeq
ent�o, usando a s identidades (\ref{1.70}) temos
\beq\label{1.77}\nonumber
{}^{(4)}R_{\beta\delta}&=&{}^{(5)}R^{\mu}_{\nu\rho\sigma}q^{\gamma}_{\alpha}q^{\alpha\lambda}\left(g_{\lambda\mu}-n_{\lambda}n_{\nu} \right)q^{\nu}_{\beta}q^{\rho}_{\gamma}q^{\sigma}_{\delta}+KK_{\beta\delta}-K^{\alpha}_{\delta}K_{\beta\alpha}\\\nonumber
&=&{}^{(5)}R_{\lambda\nu\rho\sigma}q^{\gamma\lambda}q^{\nu}_{\beta}q^{\rho}_{\gamma}q^{\sigma}_{\delta}-{}^{(5)}R^{\mu}_{\nu\rho\sigma}q^{\gamma}_{\alpha}q^{\alpha\lambda}n_{\lambda}n_{\mu}q^{\nu}_{\beta}q^{\rho}_{\gamma}q^{\sigma}_{\delta}+KK_{\beta\delta}-K^{\alpha}_{\delta}K_{\beta\alpha}\quad ,
\eeq
usando novamente (\ref{1.70})
\beq
&=&{}^{(5)}R_{\lambda\nu\rho\sigma}\left(g^{\gamma\lambda}-n^{\gamma}n^{\lambda}\right)\left(\delta^{\rho}_{\gamma}-n^{\rho}n_{\gamma}\right)q^{\nu}_{\gamma}q^{\sigma}_{\delta}+KK_{\beta\delta}-K^{\alpha}_{\delta}K_{\beta\alpha}\quad ,\\\nonumber
&=&{}^{(5)}R_{\lambda\nu\rho\sigma}g^{\lambda\rho}q^{\nu}_{\beta}q^{\sigma}_{\delta}-{}^{(5)}R_{\lambda\nu\rho\sigma}g^{\gamma\lambda}n^{\rho}n_{\gamma}q^{nu}_{\beta}q^{\sigma}_{\delta}+{}^{(5)}R_{\lambda\nu\rho\sigma}n^{\sigma}n^{\lambda}n^{\rho}n_{\gamma}q^{\nu}_{\beta}q^{\sigma}_{\delta}\\\nonumber
&-&{}^{(5)}R_{\lambda\nu\rho\sigma}n^{\sigma}n^{\lambda}\delta^{\rho}_{\gamma}q^{\nu}_{\beta}q^{\sigma}_{\delta}+KK_{\beta\delta}-K^{\alpha}_{\delta}K_{\beta\alpha}\quad ,
\eeq
finalmente,
\beq\label{1.78}
{}^{(4)}R_{\beta\delta}={}^{(5)}R_{\nu\sigma}q^{\nu}_{\beta}q^{\sigma}_{\delta}-{}^{(5)}R^{\gamma}_{\nu\rho\sigma}n^{\rho}n_{\gamma}q^{\nu}_{\beta}q^{\sigma}_{\delta}+KK_{\beta\delta}-K^{\alpha}_{\delta}K_{\beta\alpha}\quad .
\eeq

Calculando o escalar de Ricci $4-$dimensional ${}^{(4)}R=q^{\mu\nu}R_{\mu\nu}$,
\beq\label{1.79}\nonumber
{}^{(4)}R_{\beta\delta}q^{\beta\delta}&=&{}^{(5)}R_{\nu\sigma}q^{\nu}_{\beta}q^{\sigma}_{\delta}q^{\beta\delta}-{}^{(5)}R^{\gamma}_{\nu\rho\sigma}n^{\rho}n_{\gamma}q^{\nu}_{\beta}q^{\sigma}_{\delta}q^{\beta\delta}+q^{\beta\delta}KK_{\beta\delta}-K^{\alpha}_{\delta}K_{\beta\alpha}q^{\beta\delta}\quad ,\\
{}^{(4)}R&=&{}^{(5)}R_{\nu\sigma}q^{\nu\sigma}-{}^{(5)}R^{\gamma}_{\nu\rho\sigma}n^{\rho}n_{\gamma}q^{\nu}_{\beta}q^{\sigma}_{\delta}q^{\beta\delta}-K^{\alpha\beta}K_{\alpha\beta}+K^{2}.
\eeq

Usando (\ref{1.78}) e (\ref{1.79}) podemos construir o tensor de Einstein $4-$dimensional ${}^{(4)}G_{\beta\delta}$ 
\beq\label{1.80}\nonumber
{}^{(4)}G_{\beta\delta}&=&{}^{(4)}R_{\beta\delta}-\frac{1}{2}q_{\beta\delta}{}^{(4)}R,\\\nonumber
&=&{}^{(5)}R_{\nu\sigma}q^{\nu}_{\beta}q^{\sigma}_{\delta}-{}^{(5)}R^{\gamma}_{\nu\rho\sigma}n^{\rho}n_{\gamma}q^{\nu}_{\beta}q^{\sigma}_{\delta}+KK_{\beta\sigma}-K^{\alpha}_{\delta}K_{\beta\delta}\\\nonumber
&-&\frac{1}{2}q_{\beta\delta}\left[{}^{(5)}R_{\tau\theta}q^{\tau\theta}-{}^{(5)}R^{\gamma}_{\tau\rho\theta}q^{\beta\delta}n_{\gamma}n^{\rho}q^{\tau}_{\beta}q^{\theta}_{\delta}-K^{2}-K^{\alpha\beta}K_{\alpha\beta}\right]\quad ,
\eeq
definindo 
\be\label{1.81}
\widetilde{E}_{\beta\delta}\equiv {}^{(5)}R^{\gamma}_{\nu\rho\sigma}n^{\rho}n_{\gamma}q^{\nu}_{\beta}q^{\sigma}_{\delta}\quad ,
\ee
ent�o
\beq\label{1.82}\nonumber
{}^{(4)}G_{\beta\delta}&=&\left[{}^{(5)}R_{\nu\sigma}-\frac{1}{2}q_{\nu\sigma}{}^{(5)}R_{\tau\theta}\left(g^{\tau\theta}-n^{\tau}n^{\theta}\right)\right]q^{\nu}_{\beta}q^{\sigma}_{\delta}-\widetilde{E}_{\beta\delta}\\
&+&KK_{\alpha\beta}-K^{\alpha}_{\delta}K_{\beta\alpha}
-\frac{1}{2}q_{\beta\delta}\left(K^{2}-K^{\alpha\beta}K_{\alpha\beta}\right)+\frac{1}{2}{}^{(5)}R^{\gamma}_{\tau\rho\theta}n_{\gamma}n^{\rho}q^{\tau}_{\beta}q^{\theta}_{\delta}q^{\beta\delta}q_{\beta\delta}\quad ,
\eeq

Utilizando as rela��es (\ref{1.73}), obtemos a seguinte rela��o
\be\label{1.83}\nonumber
\frac{1}{2}{}^{(5)}R_{\tau\theta}g_{\nu\sigma}n^{\tau}n^{\sigma}q^{\nu}_{\beta}q^{\sigma}_{\delta}=\frac{1}{2}{}^{(5)}R_{\tau\theta}q_{\beta\delta}n^{\tau}n^{\theta}\quad ,
\ee
que substitu�da na equa��o (\ref{1.82}) d� como resultado 
\beq\label{1.84}\nonumber
{}^{(4)}G_{\beta\delta}&=&{}^{(5)}G_{\nu\sigma}q^{\nu}_{\beta}q^{\sigma}_{\delta}-\widetilde{E}_{\beta\delta}+KK_{\beta\delta}-K^{\alpha}_{\delta}K_{\beta\delta}-\frac{1}{2}q_{\beta\delta}\left(K^{2}-K^{\alpha\beta}K_{\alpha\beta}\right)\\\nonumber
&+&\frac{1}{2}q_{\beta\delta}\left[\left(g^{\tau\theta}-n^{\tau}n^{\theta}\right){}^{(5)}R_{\lambda\tau\rho\theta}n^{\lambda}n^{\rho}+R_{\tau\theta}n^{\tau}n^{\theta}\right]\quad.
\eeq

Se usarmos a simetria do tensor de Riemman
\beq\label{1.85}\nonumber
{}^{(5)}R_{\lambda\tau\rho\theta}=-{}^{(5)}R_{\lambda\tau\theta\rho}&=&-{}^{(5)}R_{\theta\rho\tau\lambda}={}^{(5)}R_{\theta\rho\lambda\tau}\\\nonumber
g^{\lambda\rho}n^{\tau}n^{\theta}{}^{(5)}R_{\lambda\tau\rho\theta}&=&g^{\tau\theta}n^{\lambda}n^{\rho}{}^{(5)}R_{\lambda\tau\rho\theta}\quad ,
\eeq
ent�o
\be\label{1.86}
{}^{(5)}R_{\lambda\tau\rho\theta}n^{\lambda}n^{\theta}n^{\tau}n^{\rho}=0\quad ,
\ee

Estas rela��es nos permitem escrever o tensor de Einstein como
\beq\label{1.87}
{}^{(4)}G_{\beta\delta}&=&{}^{(5)}G_{\nu\sigma}q^{\nu}_{\beta}q^{\sigma}_{\delta}-\widetilde{E}_{\beta\delta}+KK_{\beta\delta}-K^{\alpha}_{\delta}K_{\beta\alpha}\\
&-&\frac{1}{2}q_{\beta\delta}\left(K^{2}-K^{\alpha\beta}K_{\alpha\beta}\right)+q_{\alpha\beta}{}^{(5)}R_{\tau\theta}n^{\tau}n^{\theta}\quad ,
\eeq
com
\be\label{1.88}
\widetilde{E}_{\beta\delta}={}^{(5)}R^{\gamma}_{\nu\rho\sigma}n^{\rho}n_{\gamma}q^{\nu}_{\beta}q^{\sigma}_{\delta}\quad .
\ee
Esta �ltima express�o pode ser escrita em fun��o do tensor de Weyl $5-$dimensional se usarmos a decomposi��o do tensor de Riemann no tensor de Ricci, escalar de Ricci e tensor de Weyl, tal como em \cite{weinberg}
\beq\label{1.89}\nonumber
{}^{(5)}R_{\gamma\nu\rho\sigma}&=&\frac{1}{D-2}\left[g_{\gamma\rho}{}^{(5)}R_{\nu\sigma}-g_{\gamma\sigma}{}^{(5)}R_{\nu\rho} -g_{\nu\rho}{}^{(5)}R_{\gamma\sigma}+g_{\nu\sigma}{}^{(5)}R_{\gamma\rho}\right]\\\nonumber
&-&\frac{{}^{(5)}R}{(D-1)(D-2)}\left[g_{\gamma\rho}g_{\nu\sigma}-g_{\gamma\sigma}g_{\nu\rho}\right] +{}^{(5)}C_{\gamma\nu\rho\sigma}\quad ,
\eeq 
no qual $D$ � o n�mero total de dimens�es, em nosso caso consideraremos $D=5$. Deste modo podemos reescrever(\ref{1.88}),
\beq\label{1.90}\nonumber
\widetilde{E}_{\beta\delta}&=&\frac{1}{3}\left[g_{\gamma\rho}{}^{(5)}R_{\nu\sigma}-g_{\gamma\sigma}{}^{(5)}R_{\nu\rho}-g_{\nu\rho}{}^{(5)}R_{\gamma\sigma}+g_{\nu\sigma}{}^{(5)}R_{\gamma\rho}\right]n^{\rho}n^{\gamma}q^{\nu}_{\beta}q^{\sigma}_{\delta}\\\nonumber
&-&\frac{1}{12}\left[g_{\gamma\rho}g_{\nu\sigma}-g_{\gamma\sigma}g_{\nu\rho}\right]{}^{(5)}Rn^{\rho}n^{\sigma}q^{\nu}_{\beta}q^{\sigma}_{\delta}+{}^{(5)}C_{\gamma\nu\rho\sigma}n^{\rho}n^{\gamma}q^{\nu}_{\beta}q^{\sigma}_{\delta}\quad ,\\\nonumber
&=&\frac{1}{3}\left[{}^{(5)}R_{\nu\sigma}q^{\nu}_{\beta}q^{\sigma}_{\delta}+g_{\nu\sigma}n^{\rho}n^{\gamma}q^{\nu}_{\beta}q^{\sigma}_{\delta}{}^{(5)}R_{\gamma\rho}\right]\\\nonumber
&-&\frac{1}{12}g_{\nu\sigma}q^{\nu}_{\beta}q^{\sigma}_{\delta}{}^{(5)}R+ {}^{(5)}C_{\gamma\nu\rho\sigma}n^{\rho}n^{\gamma}q^{\nu}_{\beta}q^{\sigma}_{\delta}\quad .
\eeq

Consideremos agora a equa��o de Einstein $5-$dimensional
\be\label{1.91}
{}^{(5)}R_{\alpha\beta}-\frac{1}{2}g_{\alpha\beta}{}^{(5)}R=\kappa_{5}^{2}T_{\alpha\beta}\quad ,
\ee
de onde segue o escalar de Ricci a partir da contra��o dos �ndices $\alpha$ e $\beta$
\be\label{1.92}
{}^{(5)}R=-\frac{2}{3}\kappa_{5}^{2}T^{\alpha}_{\alpha}\quad .
\ee
Assim sendo, obtemos
\be\label{1.93}
{}^{(5)}R_{\nu\sigma}=\frac{\kappa_{5}^{2}}{3}\left[3T_{\nu\sigma}-\kappa_{5}^{2}g_{\nu\sigma}T^{\alpha}_{\alpha}\right]\quad .
\ee
Definindo
\be\label{1.94}
E_{\beta\delta}\equiv {}^{(5)}C_{\gamma\nu\rho\sigma}n^{\rho}n^{\gamma}q^{\nu}_{\beta}q^{\sigma}_{\delta}\quad .
\ee
Substituindo os resultados (\ref{1.92})-(\ref{1.94}) na express�o para $\widetilde{E}_{\beta\delta}$ chegamos a
\beq\label{1.95}\nonumber
\widetilde{E}_{\beta\delta}&=&{}^{(5)}C_{\gamma\nu\rho\sigma}n^{\rho}n^{\gamma}q^{\nu}_{\beta}q^{\sigma}_{\delta}+\frac{\kappa_{5}^{2}}{3}T_{\nu\sigma}q^{\nu}_{\beta}q^{\sigma}_{\delta}\\
&-&\frac{\kappa_{5}^{2}}{6}q_{\beta\delta}T^{\alpha}_{\alpha}+\frac{\kappa_{5}^{2}}{3}T_{\gamma\rho}n^{\rho}n^{\gamma}q_{\beta\delta}\quad .
\eeq
Depois disto, a equa��o de Einstein (\ref{1.82}) pode ser escrita como
\beq\label{1.96}\nonumber
{}^{(5)}G_{\beta\delta}&=&\frac{2}{3}\kappa_{5}^{2}\left[T_{\nu\sigma}q^{\nu}_{\beta}q^{\sigma}_{\delta}+\left(T_{\gamma\rho}n^{\gamma}n^{\rho}-\frac{1}{4}T^{\alpha}_{\alpha}\right)\right]\\
&+&KK_{\beta\delta}-K^{\alpha}_{\delta}K_{\beta\alpha}-\frac{1}{2}q_{\beta\delta}\left(K^{2}-K^{\alpha\beta}K_{\alpha\beta}\right)-E_{\beta\delta}\quad .
\eeq
Este � um dos resultados que procur�vamos, o outro vem da equa��o de Codazzi (\ref{1.71})
\beq\label{1.97}\nonumber
D_{\alpha}K^{\alpha}_{\nu}-D_{\mu}K&=&\frac{K_{5}^{2}}{3}\left(3T_{\nu\rho}-T^{\alpha}_{\alpha}g_{\nu\rho}\right)n^{\nu}n^{\rho}\\\nonumber
&=&\kappa_{5}^{2}T_{\nu\rho}n^{\nu}q^{\rho}_{\mu}-\frac{\kappa^{2}_{5}}{3}T_{\alpha}^{\alpha}g_{\nu\rho}n^{\nu}q^{\rho}_{\mu}\quad ,
\eeq
mas como $g_{\nu\rho}n^{\nu}q^{\rho}_{\mu}=0$\quad ,
teremos
\be\label{1.99}
D_{\alpha}K^{\alpha}_{\mu}-D_{\mu}K=\kappa_{5}^{2}T_{\nu\rho}n^{\nu}q^{\rho}_{\mu}\quad .
\ee

Os resultados (\ref{1.96}) e (\ref{1.99}) foram obtidos de forma geral, levando em conta apenas as equa��es de Gauss, Codazzi e Einstein. Para usarmos estas rela��es obtidas no estudo de modelos de mundo brana devemos escrever o tensor energia momento $5-$dimensional na forma
\be\label{1.100}
T_{\mu\nu}=-\Lambda_{5}g_{\mu\nu}+\delta(y)\left[\tau_{\mu\nu}-\lambda q_{\mu\nu}\right]\quad .
\ee
O primeiro termo � a contribui��o ao tensor energia-momento da constante cosmol�gica do bulk, o segundo termo � todo confinado na brana, formado pela energia de v�cuo ou tens�o da brana $\lambda$ e pelo tensor energia momento $\tau_{\mu\nu}$ da mat�ria e campos confinados. Esta contribu��o da brana pode ser totalmente determinada se soubermos quais s�o os campos e part�culas presentes na brana. Disto temos que $\tau_{\mu\nu}n^{\nu}=0$, pois n�o pode haver fluxo na dire��o $y$ de part�culas e campos que s�o confinados.

H� uma forma muito �til de relacionar a curvatura extr�nseca $K_{\mu\nu}$ ao tensor energia-momento da brana. Tal forma foi obtida por W.Israel \cite{israel} e � conhecida como condi��es de jun��o de Israel. Derivaremos a seguir tais v�nculos.

Seja ent�o uma hipersuperf�cie $(V,q_{\mu\nu})$ que divide a variedade $(M,g_{\mu\nu})$ em dois subes\-pa�os com extremidades $M^{+}$ e $M^{-}$. Suponhamos que $V$ seja uma camada superficial, ent�o a curvatura extr�nseca medida em uma das extremidades deve ser diferente da medida no outro, isto �,
\be\label{1.101}
K_{\mu\nu}^{+}-K_{\mu\nu}^{-}=\gamma_{\mu\nu}\quad ,
\ee
sendo em geral $\gamma_{\mu\nu}$ � um tensor n�o nulo, que segundo a id�ia de Israel � devido a exist�ncia de uma distribui��o de energia finita sobre a hipersuperf�cie $V$. Esta descontinuidade na curvatura extr�nseca pode ent�o em princ�pio ser expressa em fun��o deste tensor energia momento definido em $(V,q_{\mu\nu})$. Usaremos o chamado sistema de coordenas normais definidas pelo conjunto $x^{\mu}=\{x^{\alpha},y\}$, onde $y$ representa a dist�ncia geod�sica de um ponto em $V$ at� um ponto em $M$. Seja ent�o uma quantidade finita $y=\epsilon$ que � e localiza��o da extremidade  $V^{-}$ e $V^{+}$ localizada em $y=0$. Com isso o vetor normal a $V$ pode ser expresso por 
\beq\label{1.102}\nonumber
n_{\alpha}&=&\delta^{y}_{\alpha}\\
K^{+}_{\mu\nu}-K^{-}_{\mu\nu}&=&K_{\mu\nu}^{\pm}=\frac{1}{2}\left[\frac{\partial}{\partial y}g_{\mu\nu}\right]^{\pm}\quad .
\eeq
Da equa��o de Codazzi (\ref{1.71}), temos
\be\label{1.103}\nonumber
R_{yQLR}e^{Q}_{(\alpha)}e^{L}_{(\gamma)}e^{R}_{(\beta)}=K_{\alpha\gamma;\beta}-K_{\alpha\beta;\gamma}\quad ,
\ee
tomando a componente normal desta rela��o,
\be\label{1.104}
R_{yQyR}e^{Q}_{(\alpha)}e^{R}_{(\beta)}=\frac{\partial}{\partial y}K_{\alpha\beta}\quad .
\ee

Tomando o tra�o do tensor de Riemann na equa��o de Gauss (\ref{1.68}) temos
\be\label{1.105}
R^{M}_{QMR}e^{Q}_{(\alpha)e^{R}_{(\beta)}}=K_{\alpha\beta}K^{M}_{M}-K_{\beta}^{M}K_{\alpha M}+R^{M}_{\alpha M \beta}\quad .
\ee

Dos resultados (\ref{1.104}) e (\ref{1.105}) chegamos a
\beq\label{1.106}
R_{QR}e^{Q}_{(\alpha)}e^{R}_{(\beta)}=-\frac{\partial}{\partial y}K_{\alpha\beta}+K_{\alpha\beta}K^{M}_{M}-K_{\beta}^{M}K_{\alpha M}+R^{M}_{\alpha M \beta}\equiv -\frac{\partial}{\partial y}K_{\alpha\beta}+H_{\alpha\beta}\quad .
\eeq
Mas da equa��o de Einstein
\be\label{1.107}\nonumber
R_{QR}=\kappa^{2}_{5}\left(T_{QR}-\frac{1}{3}g_{QR}T^{M}_{M}\right)\quad ,
\ee
vemos que ela pode ser integrada usando (\ref{1.106}) no intervalo $[0,\epsilon]$
\beq\label{1.108}\nonumber
\int^{\epsilon}_{0}R_{QR}e^{Q}_{(\alpha)}e^{R}_{(\beta)}dy=\gamma_{\alpha\beta}+H_{\alpha\beta}\epsilon\quad ,
\eeq
tomando o limite $\epsilon\rightarrow 0$
\be\label{1.109}\nonumber
\lim_{\epsilon\rightarrow 0}\left[\kappa^{2}_{5}\int^{\epsilon}_{0}\left(T_{QR}-\frac{1}{3}g_{QR}T^{M}_{M}\right)e^{Q}_{(\alpha)}e^{R}_{(\beta)}\right]=\gamma_{\alpha\beta}\quad .
\ee

Definindo o tensor energia momento da hipersuperf�cie $V$ por 
\be\label{1.110}\nonumber
S_{\alpha\beta}\equiv\lim_{\epsilon\rightarrow 0}\left[\int^{\epsilon}_{0}T_{QR}e^{Q}_{(\alpha)}e^{R}_{(\beta)}\right]\quad ,
\ee
podemos relacionar a descontinuidade $\gamma_{\alpha\beta}$ da curvatura extr�nseca com o conte�do de energia da brana tal como
\be\label{1.111}
\gamma_{\alpha\beta}=\kappa_{5}^{2}\left[S_{\alpha\beta}-\frac{1}{3}q_{\alpha\beta}S^{\rho}_{\rho}\right]\quad ,
\ee
que s�o as equa��es de jun��o de Israel. A prescri��o consiste em considerar o tensor m�trico cont�nuo ao longo da brana, mas com derivadas descont�nuas. Essa descontinuidade na derivada indica a exist�ncia de uma distribu��o de energia na hipersuperf�cie. Ent�o se integrarmos esta parte descont�nua nas equa��es de Gauss e Codazzi termos explicitamente a rela��o, da mesma forma que em (\ref{1.111}), que identifica a descontinuidade na curvatura da brana com seu conte�do de energia.  

Usando a simetria espelho $Z_{2}$ podemos calcular tanto a curvatura extr�nseca em $V^{+}$ como em $V^{-}$, portanto podemos omitir tais �ndices. Subtituindo as equa��es de jun��o (\ref{1.111}) em (\ref{1.96}) com \be\label{112}\nonumber
S_{\mu\nu}=-\lambda q_{\mu\nu}+\tau_{\mu\nu}\quad ,
\ee
chegamos nas equa��es para a intera��o gravitacional na brana
\beq\label{1.113}\nonumber
{}^{(4)}G_{\mu\nu}&=&\frac{\kappa^{2}_{5}}{2}\left(\Lambda+\frac{\kappa^{2}_{5}}{6}\lambda^{2}\right)q_{\mu\nu}+8\pi G_{4}\tau_{\mu\nu}\\
&+&\frac{\kappa^{4}_{5}}{4}\left(\frac{1}{3}\tau\tau_{\mu\nu}+\frac{1}{4}q_{\mu\nu}\tau^{\alpha\beta}\tau_{\alpha\beta}-\tau_{\mu\alpha}\tau^{\alpha}_{\nu}-\frac{1}{6}q_{\mu\nu}\tau^{2}\right)-E_{\mu\nu}\quad ,
\eeq
com 
\be\label{1.114}\nonumber
E_{\mu\nu}={}^{(5)}C^{\alpha}_{\beta\rho\sigma}n_{\alpha}n^{\rho}q^{\beta}_{\mu}q^{\rho}_{\nu}\quad .
\ee
Observemos que as equa��es de Einstein usuais s�o obtidas se fizermos $\kappa_{5}\rightarrow 0$ mantendo $G_{4}$ constante, e que o lado esquerdo da equa��o (\ref{1.113}) cont�m termos quadr�ticos do tensor energia momento dos campos e mat�ria na brana. Estes termos s�o de grande import�ncia na �poca em que o universo era jovem, onde as energias envolvidas eram da ordem da escala de Planck e, portanto, seus efeitos n�o podem ser desprezados. Al�m disso, temos ainda o termo $E_{\mu\nu}$, que � a parte {\it{el�trica}} do tensor de Weyl. Este termo carrega a informa��o sobre o campo gravitacional fora da brana. Pode-se mostrar que este termo � nulo quando o bulk � um espa�o-tempo puramente AdS. Em geral, para os outros tipos de bulk a parte el�trica do tensor de Weyl ser� diferente de zero. Segundo \cite{maeda}, podemos relacionar tal quantidade com o conte�do de mat�ria confinado na brana. 

Tomando a equa��o de Codazzi (\ref{1.99}) e a express�o (\ref{1.111}), chegaremos a equa��o de conserav��o para a mat�ria na brana
\be\label{1.115}\nonumber
D_{\nu}K^{\nu}_{\mu}-D_{\mu}K\propto D_{\nu}\tau^{\nu}_{\mu}=0\quad ,
\ee 
al�m disso, das identidades de Bianchi,
\be\label{1.116}\nonumber
D^{\mu}{}^{(4)}G_{\mu\nu}=0\quad ,
\ee
implicam na rela��o entre $E_{\mu\nu}$ e $\tau_{\mu\nu}$
\be\label{1.117}\nonumber
D^{\mu}E_{\mu\nu}=\frac{\kappa_{5}^{4}}{4}\left[\tau^{\alpha\beta}\left(D_{\nu}\tau_{\alpha\beta}-D_{\beta}\tau_{\nu\alpha}\right)+\frac{1}{3}D^{\mu}\tau \left(\tau_{\mu\nu}-q_{\mu\nu}\tau\right)\right]\quad .
\ee
O termo $E_{\mu\nu}$ n�o � poss�vel de ser determinado sem conhecermos em detalhes a geome\-tria do bulk espa�o-temporal, mas sua diverg�ncia � conhecida a partir da configura��o de mat�ria da brana. Para um observador confinado, este termo aparece como um efeito {\it{n�o-local}} ou {\it{fantasma}}, j� que n�o pode ser determinado pelas informa��es puramente $4-$dimensionais. Esta express�o mostra qualitativamente como as varia��es $4-$dimensionais no conte�do de mat�ria e energia confinados podem ser fontes para os modos de Kaluza-Klein. 

A equa��o para o campo gravitacional induzido (\ref{1.113}) apresenta duas importantes modifica��es das equa��es de Einstein $4-$dimensionais padr�o. Estas corre��es surgem a partir dos efeitos da dimens�o extra. A primeira delas  � o aparecimento de corre��es  no regime de altas energias, representado pelo segundo termo do lado direito de (\ref{1.113}) que � proporcional a termos quadr�ticos no tensor energia-momento da mat�ria e campos confinados. Tal termo � desprez�vel se a tens�o da brana ou energia de v�cuo $\lambda$ for muito maior que a densidade de energia $\rho$ contida na brana, mas domina o regime em que  $\lambda\ll \rho$. O segundo fator modificador � a proje��o do tensor de Weyl na brana representado por $E_{\mu\nu}$. Este fator carrega os efeitos dos gr�vitons $5-$dimensionais. Por constru��o, $E_{\mu\nu}$ n�o tem tra�o e possui 9 componentes independentes que s�o reduzidas a 5 devido a equa��o (\ref{1.117}).




%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Campos escalares no Bulk}

Pode-se mostrar que a solu\c c\~ao (\ref{1.48}) n�o se aplica apenas ao setor gravitacional. No trabalho \cite{walter}, os autores mostraram que se obtem a mesma equa\c c\~ao diferencial para o a parte do campo escalar que � fun��o da dimens�o extra. A proposta � estender a decomposi��o de Kaluza-Klein para os campos no bulk n�o gravitacionais. 
Consideremos a a��o para um campo escalar no bulk, cuja dimens�o extra � compactificada com os pontos fixos de orbifold sendo a posi��o das branas ,
\be\label{1.5.1}
S=\frac{1}{2}\int d^{4}x \int_{-\pi}^{\pi} dy\sqrt{-g_{5}}g^{AB}\left[\frac{\partial}{\partial x^{A}}\Phi \frac{\partial}{\partial x^{B}}\Phi-m^{2}\Phi^{2}\right]\quad ,
\ee
onde $m$ � da ordem de $M_{5}$. Explicitamente
\be\label{1.5.2}
S=\frac{1}{2}\int d^{4}x \int_{-\pi}^{\pi} dy\sqrt{-g_{5}}[g^{\mu\nu}\frac{\partial}{\partial x^{\mu}}\Phi \frac{\partial}{\partial x^{\nu}}\Phi + g^{yy}\frac{\partial}{\partial x^{\mu}}\Phi \frac{\partial}{\partial x^{\nu}}\Phi-m^{2}\Phi]\quad ,
\ee
substituindo a solu��o de Randall-Sundrum (\ref{1.28}), com
\be\label{1.5.3}\nonumber
\sqrt{-g_{5}}=e^{-4\sigma(y)}
\ee
temos
\be\label{1.5.4}
S=\frac{1}{2}\int d^{4}x \int_{\pi}^{\pi} dy r_{c}\left[e^{-2\sigma(y)}\eta^{\mu\nu}\frac{\partial}{\partial x^{\mu}}\Phi \frac{\partial}{\partial x^{\nu}}\Phi -\frac{1}{r_{c}^{2}}e^{-4\sigma(y)}\frac{\partial}{\partial x^{\mu}}\Phi \frac{\partial}{\partial x^{\nu}}\Phi -m^{2}e^{-4\sigma(y)}\Phi^{2}\right]\quad ,
\ee
mas
\beq\label{1.5.5}\nonumber
e^{-4\sigma(y)}\Phi\frac{\partial}{\partial y}\Phi&=&\frac{\partial}{\partial y}\left[e^{-4\sigma(y)}\Phi\frac{\partial}{\partial y}\Phi\right]
-\Phi\frac{\partial}{\partial y}\left[e^{-4\sigma(y)}\frac{\partial}{\partial y}\Phi\right]\\
\int^{\pi}_{-\pi}e^{-4\sigma(y)}\frac{\partial}{\partial y}\Phi\frac{\partial}{\partial y}\Phi dy&=&\left[e^{-4\sigma(y)}\Phi\frac{\partial}{\partial y}\Phi\right]^{\pi}_{-\pi}-\int^{\pi}_{-\pi}\Phi\frac{\partial}{\partial y}\left[e^{-4\sigma(y)}\frac{\partial}{\partial y}\phi\right]\quad ,
\eeq
e usando as condi��es de Israel
\be\label{1.5.6}\nonumber
\left[\frac{\partial}{\partial y}\Phi\right]_{y=\pi}=\left[\frac{\partial}{\partial y}\Phi\right]_{y=-\pi}\quad ,
\ee
temos que
\be\label{1.5.7}\nonumber
\int^{\pi}_{-\pi}e^{-4\sigma(y)}\left[\frac{\partial}{\partial y}\Phi\frac{\partial}{\partial y}\Phi\right] dy=-\int^{\pi}_{-\pi}\Phi\left[e^{-4\sigma(y)}\frac{\partial}{\partial y}\Phi\right] dy\quad ,
\ee
ent�o podemos reescrever a a��o (\ref{1.5.4}) como
\be\label{1.5.8}
S=\frac{1}{2}\int d^{4}x \int^{\pi}_{-\pi}r_{c}dy\left[e^{-2\sigma(y)}\eta^{\mu\nu}\frac{\partial}{\partial x^{\mu}}\Phi\frac{\partial}{\partial x^{\nu}}\Phi-\frac{1}{r_{c}^{2}}\Phi\frac{\partial}{\partial y}\left[e^{-4\sigma(y)}\frac{\partial}{\partial y}\Phi\right]-m^{2}e^{-4\sigma(y)}\Phi^{2}\right]\quad .
\ee

Para realizarmos a decomposi��o de Kaluza-Klein escrevemos $\Phi(x^{\mu},y)$ como a seguinte soma de modos
\be\label{1.5.9}
\Phi(x^{\mu},y)=\sum_{n}\psi_{n}(x^{\mu})\frac{\phi_{n}(y)}{\sqrt{r_{c}}}\quad ,
\ee
e substituindo na a��o (\ref{1.5.8}) temos
%\beq\label{1.5.10}\nonumber
%S&=&\frac{1}{2}\sum_{n}\Bigg\{\int d^{4}x\eta^{\nu\mu}\frac{\partial}{\partial ^x_{\mu}}\psi_{n}\frac{\partial}{\partial ^x_{\mu}}\psi_{m}\int^{\pi}_{-\pi}e^{-2\sigma(y)}\phi_{n}\phi_{m}dy\\\nonumber 
%&-&\int d^{4}x \psi^{2}_{n}\bigg[\frac{1}{r_{c}^{2}}\int^{\pi}_{-\pi}\phi_{n}\frac{\partial}{\partial y}\big(e^{-4\sigma(y)}\frac{\partial}{\partial y}\phi_{m}\big)-m^{2}e^{-4\sigma(y)}\phi^{2}_{n}\bigg]dy
%\Bigg\}\quad ,
considerando $\phi_{n}(y)$ com a normaliza��o 
\be\label{1.5.11}
\int^{\pi}_{-\pi}dy e^{-2\sigma(y)}\phi_{n}\phi_{m}=\delta_{nm}\quad ,
\ee
a  equa��o de movimento para $\phi_{n}(y)$
\be\label{1.5.10}
-\frac{\phi_{n}}{r_{c}^{2}}\frac{d}{dy}\left[e^{-4\sigma(y)}\frac{d\phi_{n}}{dy}\right]+m^{2}e^{-4\sigma(y)}\phi_{n}^{2}=m_{n}^{2}e^{-2\sigma(y)}\phi_{n}^{2}\quad ,
\ee
disto (\ref{1.5.8}) pode ser escrita na forma
\be\label{1.5.11}
S=\frac{1}{2}\sum_{n}\int d^{4}x\left[\eta^{\mu\nu}\frac{\partial}{\partial x_{\mu}}\psi_{m}\frac{\partial}{\partial x_{\nu}}\psi_{n}-m_{n}^{2}\phi_{n}^{2}\right]\quad .
\ee
Observamos nesta �ltima express�o que da mesma forma como ocorre compactifica��o de Kaluza-Klein, o campo escalar $\Phi(x^{\mu},y)$ se apresenta para um observador $4-$dimensional como um campo que apresenta uma parte totalmente $4-$dimensional mais um termo totalmente dependente da dimens�o extra compactificada. A magnitude desse termo � dada por uma torre infinita de modos representados pelas {\it{massas}} $m_{n}^{2}$. Este resultado est� em pleno acordo com o obtido por Randall-Sundrum para o setor perturbativo gravitacional. Fazendo a  mudan�a de vari�veis
\beq\label{1.5.11}\nonumber
z_{n}\equiv\frac{m_{n}}{\kappa}e^{\sigma(y)}\quad ,\\\nonumber
f_{n}=e^{-2\sigma(y)}\phi_{n}\quad ,
\eeq
em (\ref{1.5.10}) chegamos a seguinte equa��o diferencial
\be\label{1.5.12}
z_{n}^{2}\frac{d^{2}}{dz_{n}^{2}}f_{n}+z_{n}\frac{d}{dz_{n}}f_{n}+f_{n}\left[z_{n}^{2}-\left(4+\frac{m^{2}}{\kappa^{2}}\right)\right]=0\quad ,
\ee
 cuja solu��o s�o as fun��es de Bessel de ordem $\upsilon=\sqrt{4+m^{2}/\kappa^{2}}$,
\be\label{1.5.13}
\phi_{n}(y)=e^{2\sigma(y)}\left[A_{n\upsilon}J_{\upsilon}\left(\frac{m_{n}}{\kappa}e^{2\sigma(y)}\right)+B_{n\upsilon}Y_{\upsilon}\left(\frac{m_{n}}{\kappa}e^{2\sigma(y)}\right)\right]\quad ,
\ee
da mesma forma que encontrada por Randall-Sundrum. Ent�o podemos concluir que da mesma forma que no setor perturbativo gravitacional, o setor perturbativo escalar gera a mesma equa��o diferencial que governa a parte proveniente da dimens�o extra compacta do campo escalar no bulk. Mostraremos no �ltimo cap�tulo que a equa��o (\ref{1.5.12}) tamb�m � obtida no caso em que consideramos a m�trica induzida na brana sendo o espa�o-tempo de Schwarzschild ou Kerr.


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{� poss�vel modelar buracos negros no mundo brana?}

O fato de o campo gravitacional ter acesso as dimens�oes extras, traz problemas referentes ao confinamento da mat�ria na brana e consequentemente ao aparecimento de condi��es favor�veis a forma��o de objetos compactos, que eventualmente levariam a um colapso gravitacional e a forma��o de buracos negros. Al�m disso, h� o aparecimento de fen�menos n�o locais, vistos por um observador confinado, referente ao termo $E_{\mu\nu}$. Ainda h� a dificuldade de implementar a continuidade da m�trica induzida e da curvatura extr�nseca atrav�s da brana.

Sendo a regi�o exterior a uma estrela ou buraco negro, uma regi�o de v�cuo, ent�o as seguintes equa��es s�o satisfeitas
\beq\label{1.6.1}\nonumber
R_{\mu\nu}&=&-E_{\mu\nu},\\\nonumber
R^{\mu}_{\mu}&=&E^{\mu}_{\nu}=0\quad ,\\
D^{\mu}E_{\mu\nu}&=&0\quad .
\eeq
Como o termo de Weyl $E_{\mu\nu}$ carrega corre��es em altas energias aos modos de Kaluza-Klein, o processo de colapso gravitacional ser� em geral diferente do processo tratado em Relatividade Geral $4-$dimensional.

O candidato a buraco negro no mundo brana proposto por Chamblin, Hawking e Reall \cite{hawking3} � o mais {\it{natural}}. O termo de Weyl � nulo nessa constru��o, que consiste em assumir que a m�trica induzida na brana � a m�trica de Schwarzschild, a qual se expande no bulk, atrav�s de um empilhamento de m�tricas induzidas atrav�s do bulk extra dimensional. Denotando a m�trica induzida por $\hat{g}_{\mu\nu}$, temos que a m�trica $5-$dimensional � dada por
\beq\label{1.6.2}
{}^{(5)}ds^{2}=e^{-2\kappa |y|}\hat{g}_{\mu\nu}dx^{\mu}dx^{\nu}+dy^{2}\quad ,
\eeq
sendo
\beq\label{1.6.3}
\hat{g}_{\mu\nu}=e^{2\kappa |y|}g_{\mu\nu}=-\left(1-\frac{2GM}{r}\right)dt^{2}+\left(1-\frac{2GM}{r}\right)^{-1}dr^{2}+r^{2}\left(\sin^{2}\theta d\phi^{2} + d\theta^{2}\right)\quad .
\eeq

De fato, se a m�trica $\hat{g}_{\mu\nu}$ for solu��o das equa��es de Einstein $4-$dimensionais, isto �, se tivermos $\hat{R}_{\mu\nu}=0$, a equa��o (\ref{1.6.3}) ser� solu��o da equa��o ${}^{(5)}G_{AB}=-\Lambda_{5}{}^{(5)}g_{AB}$. Um observador no bulk ver� uma singularidade em forma de linha perpendicular a brana para todos valores de $y$. Cada superf�cie $y=constante$ consiste no espa�o-tempo de Schwarzschild $4-$dimensional. Esta solu��o � conhecida como {\it{corda negra de Schwarzschild}}, e como foi mostrado em \cite{hawking3} n�o est� localizada na brana $y=0$. Como dissemos, o termo de Weyl nesta solu��o � nulo, o que leva a viola��o das corre��es em altas energias. O quadrado do tensor de curvatura para esse caso � 
\beq\label{1.6.4}
{}^{(5)}R_{ABCD}{}^{(5)}R^{ABCD}=40\kappa^{2}+\frac{48G^{2}M^{2}}{r^{6}}e^{4|y|\kappa}\quad ,
\eeq
que diverge no horizonte AdS $z=1/\kappa e^{y\kappa}=\infty$.

A corda negra ainda sofre da chamada {\it{instabilidade de Gregory-Laflame}} \cite{gregory1}, que torna o sistema inst�vel para dist�ncias pr�ximas do horizonte AdS, sendo est�vel apenas em regi�es pr�ximas a brana. No trabalho \cite{hawking3}, os autores conjecturaram que o horizonte de eventos da corda negra deve se fechar, formando algo chamado de {\it{cigarro negro}}, que n�o sofre instabilidades, sendo, segundo a conjectura, a �nica solu��o est�vel em $5$ dimens�es que descreve o ponto final de um colapso gravitacional na brana. O fato � que essa solu��o n�o � localizada na brana e, portanto, falha na descri��o de buracos negros realistas na brana.

J� que a solu��o mais �bvia falha, o pr�ximo passo dado na busca da descri��o desses objetos � considerar solu��es em que $E_{\mu\nu}$ seja n�o nulo, isto foi feito em \cite{maartens2}, mas nesse caso s� h� o conhecimento da m�trica induzida, n�o foi encontrada uma m�trica que descreva esta objeto no bulk. 
N�o h� solu��es tipo buraco negro localizados na brana. Sem essa caracter�stica, n�o podemos modelar buracos negros astrof�sicos.  
 
H� um caso especial \cite{horowitz1} em que foi poss�vel encontrar uma solu��o de buraco negro localizada. Tal solu��o � encontrada considerando uma $2-$brana imersa num bulk $4-$dimensional.

Pelo fato do termo de Weyl carregar a assinatura da dimens�o extra, � de se es\-perar que no estado final do processo realista de colapso gravitacional na brana, apare�a esta assinatura. Se isto acontecer, o buraco negro formado deve ter um {\it{cabelo extra}}, contrastando com o teorema do n�o-cabelo da Relatividade Geral em 4 dimens�es.  

O que podemos concluir sobre a modelagem de buracos negros no mudo brana � que o assunto ainda est� em aberto. H� muitos problemas referentes � estabilidade das solu��es e localiza��o, bem como um bom entendimento do processo de colapso gravitacional.




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%\input{capitulo3}

\chapter{Espa�o-tempo de Kerr-Randall-Sundrum}

Neste cap�tulo apresentaremos alguns resultados encontrados no estudo da evolu��o de uma perturba��o escalar no espa�o-tempo de Kerr-Randall-Sundrum, que consiste em considerar, de forma an�loga a \cite{hawking3}, a m�trica induzida na $3-$brana como a solu��o de Kerr, imersa num bulk $5-$dimensional.

\section{Buracos Negros em rota��o no mundo brana}

A extens�o das solu��es de Schwarzschild e Kerr da Relatividade Geral $4-$dimensional para $n$ dimens�es foi realizada no trabalho de Meyers {\it{et al}} \cite{meyers}. Para o caso de Kerr, a m�trica, considerando apenas um par�metro de rota��o, � dada por
\beq\label{3.1}\nonumber
ds^{2}_{n-Kerr}&=&-\left(\frac{\Delta - a^{2}\sin^{2}\theta}{\Sigma}\right)dt^{2}-\frac{2a\left(r^{2}+a^{2}-\Delta\right)}{\Sigma}dtd\phi\\\nonumber
&+&\left[\frac{\left(r^{2}+a^{2}\right)^{2}-\Delta a^{2}\sin^{2}\theta}{\Sigma}\right]\sin^{2}\theta d\phi^{2}+\frac{\Sigma}{\Delta}dr^{2}\\
&+&\Sigma d\theta^{2}+r^{2}\cos^{2}\theta d\Omega^{2}_{n}\quad ,
\eeq
sendo $\Sigma=r^{2}+a^{2}\cos^{2}\theta$, $\Delta=r^{2}+a^{2}-\mu r^{1-n}$ e $d\Omega^{2}$ a m�trica da esfera unit�ria $n-$dimensional. A m�trica (\ref{3.1}) descreve um buraco negro assint�ticamente plano, no v�cuo com massa e momento angular proporcionais a $\mu$ e $\mu a$, respectivamente, e supondo-se $\mu,a > 0$.

O horizonte de eventos � localizado em $r=r_{H}$. Se $n=1$, o horizonte de eventos existe apenas para $a< (\mu)^{\frac{1}{2}}$, com �rea  que se reduz a zero no limite do buraco negro de Kerr extremo, isto � , para o limite $a\rightarrow (\mu)^{\frac{1}{2}}$. No caso $n \geq 2$, a condi��o para o horizonte de eventos $\Delta=0$ possui apenas uma ra�z exata para um valor arbitr�rio $a>0$. N�o h� buraco negro de Kerr extremo para $n \geq 2$.

Sengupta \cite{sengupta} utilizou a generaliza��o (\ref{3.1}) como um mundo brana de $(n+1)$ dimens�es no contexto de RS, considerando esta m�trica como uma corda negra com rota��o n�o nula que intercepta a brana de $(n-1)$ dimens�es numa m�trica que representa uma buraco negro em rota��o. 

Em \cite{modgil1} foi considerado, de maneira an�loga ao m�todo de \cite{hawking3}, a m�trica (\ref{3.1}) com $n=1$ sendo a m�trica que representa a intersec��o de uma brana com uma corda negra em rota��o $5-$dimensional num bulk de RS. A intersec��o descreve o buraco negro de Kerr $4-$dimensional. A m�trica para esta corda negra em rota��o � dada por
\beq\label{3.2}\nonumber
ds^{2}_{5-Kerr}&=&\frac{l^{2}}{z^{2}}\bigg\{-\left(\frac{\Delta-a^{2}\sin^{2}\theta}{\Sigma}\right)dt^{2}+\frac{\Sigma}{\Delta}dr^{2} +\Sigma d\theta^{2}\\
&+& \frac{4aMr\sin^{2}\theta}{\Sigma}dt d\phi +\left[\frac{\left(r^{2}+a^{2}\right)^{2}-\Delta a^{2}\sin^{2}\theta}{\Sigma}\right]\sin^{2}\theta d\phi^{2} + dz^{2}\bigg\}\quad ,
\eeq
com $z=le^{y\kappa}$ e $\Delta=r^{2}+a^{2}-2Mr$. Introduzindo a coordenada $\omega=z-z_{0}$, a brana estar� localizada em $\omega=0$, com
\beq\label{3.3}\nonumber
ds^{2}_{5-Kerr}&=&\frac{l^{2}}{\left(|\omega|+z_{0}\right)^{2}}\bigg\{-\left(\frac{\Delta-a^{2}\sin^{2}\theta}{\Sigma}\right)dt^{2}+\frac{\Sigma}{\Delta}dr^{2} +\Sigma d\theta^{2}\\
&+& \frac{4aMr\sin^{2}\theta}{\Sigma}dt d\phi +\left[\frac{\left(r^{2}+a^{2}\right)^{2}-\Delta a^{2}\sin^{2}\theta}{\Sigma}\right]\sin^{2}\theta d\phi^{2} + d\omega^{2}\bigg\}\quad .
\eeq

O quadrado do tensor de Riemann para esta m�trica � dado por \cite{modgil1}
\beq\label{3.4}
R_{ABCD}R^{ABCD}=40\kappa^{4}+\frac{48M^{2}z^{4}\kappa^{4}}{\Sigma^{6}}\left(r^{2}-a^{2}\cos^{2}\theta\right)\left(r^{2}-14a^{2}r^{2}\cos\theta +a^{4}\cos^{4}\theta\right)\quad .
\eeq
Desta equa��o podemos observar que para $r=0$ e $\theta=\pi/2$ obtemos a singularidade em forma de anel caracter�stica da solu��o de Kerr. Da mesma forma que na tentativa de modelar buracos negros em branas atrav�s da m�trica de Schwarzschild, produz uma corda negra que � inst�vel nas proximidades do horizonte AdS e sofre da instabilidade de Gregory-Laflamme \cite{hawking3}, neste caso com rota��o ocorre o mesmo, sendo este sistema inst�vel a dist�ncia pr�ximas do horizonte AdS. 

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\section{Perturba��o escalar em Kerr-RS}

Apesar da m�trica (\ref{3.3}) ser uma solu��o inst�vel pr�xima ao horizonte AdS,  procuraremos nesta se��o estudar a evolu��o de um campo escalar neste espa�o-tempo. O campo escalar ser� considerado como um campo de teste, no sentido de que atrav�s do estudo de sua evolu��o poderemos inferir, talvez, sobre algumas propriedades dessa geometria (\ref{3.3}), que passaremos a chamar de Kerr-Randall-Sundrum (Kerr-RS).

Escrevendo (\ref{3.2}) como
\beq\label{3.5}
ds^{2}_{Kerr-RS}=f(z)\left[ds^{2}_{4-Kerr}+dz^{2}\right]\quad ,
\eeq
com $f(z)=l^{2}/z^{2}$, e 
\beq\label{3.6}\nonumber
ds^{2}_{4-Kerr}&=&-\left(1-\frac{2Mr}{\Sigma^{2}}\right)dt^{2}+\frac{\Sigma^{2}}{\Delta}dr^{2} +\Sigma^{2}d\theta^{2}-\frac{4Mr}{\Sigma}a\sin^{2}\theta d\phi dt\\&+&\left[\left(r^{2}+a^{2}\right)\sin^{2}\theta +\frac{2Mr}{\Sigma^{2}}a^{2}\sin^{2}\theta\right]d\phi^{2}\quad .
\eeq

As componentes contravariantes dessa m�trica ser�o
\beq\label{3.7}
g^{00}&=&-\frac{1}{f(z)\Sigma^{2}}\left[\Delta^{-1}(r^{2}+a^{2})^{2}-a^{2}\sin^{2}\theta\right]\quad ,\\\nonumber
g^{03}&=&-\frac{1}{f(z)\Sigma^{2}}\left(\frac{4Mra}{\Delta}\right),\\\nonumber
g^{11}&=&\frac{\Delta}{f(z)\Sigma^{2}}\quad ,\\\nonumber
g^{22}&=&\frac{1}{f(z)\Sigma^{2}}\quad ,\\\nonumber
g^{33}&=&\frac{1}{f(z)\Sigma^{2}}\left(\frac{1}{\sin^{2}\theta}-\frac{a^{2}}{\Delta}\right)\quad ,\\
g^{44}&=&\frac{1}{f(z)}\quad ,
\eeq
que no caso $z=l$ se reduzem �s componentes do caso padr�o \cite{brill1}.
O determinante de (\ref{3.6}) � dado por
\beq\label{3.8}
det\left(g_{AB}\right)\equiv G=-f^{5}(z)\Sigma^{4}\sin^{2}\theta\quad .
\eeq

A equa��o que d� a din�mica do campo escalar $\Phi(x^{\mu},z)$ ($x^{\mu}=t,r,\theta,\phi$) com massa $\mu^{2}$ � a equa��o de Klein-Gordon
\beq\label{3.9}
\frac{1}{\sqrt{-G}}\frac{\partial}{\partial
x^{A}}\left(g^{AB}\sqrt{-G}\frac{\partial\Phi}{\partial
x^{B}}\right)+\mu^{2}\Phi=0\quad .
\eeq
Tal equa��o, usando os resultados (\ref{3.7}) e (\ref{3.8}), assume a seguinte forma expandida
\beq\label{3.10}\nonumber
&-&\frac{1}{f\Sigma^{2}}\left[\frac{(r^{2}+a^{2})^{2}}{\Delta}-a^{2}\sin^{2}\theta\right]
\frac{\partial^{2}\Phi}{\partial t^{2}}-\frac{4Mra}{\Delta
f\Sigma^{2}}\frac{\partial^{2}\phi}{\partial t
\partial\phi}+\\\nonumber
&+&\frac{1}{f^{5/2}\Sigma^{2}\sin\theta}\frac{\partial}{\partial
r}\left(f^{5/2}\Sigma^{2}\sin\theta\frac{\Delta}{f\rho^{2}}\frac{\partial\Phi}{\partial
r}\right)+\frac{1}{f^{5/2}\Sigma^{2}\sin\theta}\frac{\partial}{\partial
\theta}\left(f^{5/2}\Sigma^{2}\sin\theta\frac{\Delta}{f\Sigma^{2}}\frac{\partial\Phi}{\partial
\theta}\right)+\\\nonumber
&+&\frac{1}{f\Sigma^{2}}\left(\frac{1}{\sin^{2}\theta}-\frac{a^{2}}{\Delta}\right)
\frac{\partial^{2}\Phi}{\partial\phi^{2}}+\frac{1}{f^{5/2}}\frac{\partial}{\partial z}\left(f^{3/2}\frac{\partial\Phi}{\partial
z}\right)+\mu^{2}\Phi=0\quad .
\eeq

Analogamente � separa��o de vari�veis usada em \cite{brill1}, podemos escrever o campo $\Phi$ em termos dos harm�nicos apropriados �s condi��es de simetria
\beq\label{3.11}
\Phi(x^{\mu},z)=R(r)S(\theta)Y(z)e^{im\phi}e^{-i\omega t}\quad .
\eeq
Substituindo este resultado em (\ref{3.10}) e em seguida multiplicando os dois lados da equa��o resultante por $\Phi^{-1}(x^{\mu},z)$
\beq\label{3.12}\nonumber
&&\frac{1}{\Sigma^{2}}\left[\frac{(r^{2}+a^{2})^{2}}{\Delta}-a^{2}\sin^{2}\theta\right]\omega^{2}-
\frac{4Mra}{\Delta\Sigma^{2}}(m\omega)+\frac{1}{R(r)\Sigma^{2}}\frac{d}{dr}\left(\Delta\frac{dR(r)}{dr}
\right)\\\nonumber
&&+\frac{1}{\Sigma^{2}\sin\theta
S(\theta)}\frac{d}{d\theta}\left(\sin\theta\frac{dS(\theta)}{d\theta}\right)+\frac{1}{Y(z)f^{3/2}
}\frac{d}{dz}\left(f^{3/2}\frac{dY(z)}{dz}\right)\\\nonumber
&-&m^{2}\left(\frac{1}{\sin^{2}\theta}-\frac{a^{2}}{\Delta}
\right)\frac{1}{\Sigma^{2}}+\mu^{2}f=0\quad .
\eeq
Agora, podemos separar esta equa��o em duas outra equa��es: uma dependente somente da coordenada da dimens�o extra, a coordenada $z$, e outra equa��o dependente das coordenadas $x^{\mu}$, sendo $Q$ a constante de separa��o,
\beq\label{3.13}
&&\frac{1}{\Sigma^{2}}\left[\frac{(r^{2}+a^{2})^{2}}{\Delta}-a^{2}\sin^{2}\theta\right]\omega^{2}-
\frac{4Mra}{\Delta\Sigma^{2}}(m\omega)+\frac{1}{R(r)\Sigma^{2}}\frac{d}{dr}\left(\Delta\frac{dR(r)}{dr}
\right)\\\nonumber
&&+\frac{1}{\Sigma^{2}\sin\theta
S(\theta)}\frac{d}{d\theta}\left(\sin\theta\frac{dS(\theta)}{d\theta}\right)
-m^{2}\left(\frac{1}{\sin^{2}}-\frac{a^{2}}{\Delta}
\right)\frac{1}{\Sigma^{2}}-Q=0\quad ,\\
\label{3.14}
&&\frac{d}{dz}\left(f^{3/2}\frac{dY(z)}{dz}\right)+QY(z)f^{3/2}+\mu^{2}f=0\quad .
\eeq

Separando a parte radial da parte angular na equa��o (\ref{3.13}), obtemos duas equa��es diferenciais ordin�rias
\beq\label{3.15}
&&\frac{1}{R}\frac{d}{dr}\left(\Delta\frac{dR}{dr}\right)+\frac{(r^{2}+a^{2})^{2}}{\Delta}\omega^{2}
-a^{2}\omega^{2}-\frac{4Mra}{\Delta}m\omega
-\frac{(ma)^{2}}{\Delta}-Qr^{2}-P=0\quad ,\\
\label{3.16}
&&\frac{1}{\sin\theta
S(\theta)}\frac{d}{d\theta}\left(\sin\theta\frac{dS(\theta)}{d\theta}\right)+a^{2}\cos^{2}\theta-
\frac{m^{2}}{\sin^{2}\theta}+P=0\quad ,
\eeq
sendo $P$ a constante de separa��o. 

No fim do processo de separa��o de vari�veis, obtemos tr�s equa��es diferenciais ordin�rias, com a depend�ncia do campo na coordenada $z$ separada da depend�ncia nas coordenadas $x^{\mu}$ na $3-$brana,
\beq\label{3.17}\nonumber
&&\frac{d}{dr}\left(\Delta\frac{dR}{dr}\right)+\frac{R}{\Delta}\left[(r^{2}+a^{2})^{2}-4Mram\omega 
+(ma)^{2}\right]\\
&&-{R}\left((a\omega)^{2}+Qr^{2}+P\right)=0\quad ,\\\label{3.18}
&&\frac{1}{\sin\theta}\frac{d}{d\theta}\left(\sin\theta\frac{dS(\theta)}{d\theta}\right)+S(\theta)\left[
(\omega^{2}-Q)a^{2}\cos^{2}\theta-\frac{m^{2}}{\sin^{2}\theta}+P\right]=0\quad ,\\\label{3.19}
&&\frac{d}{dz}\left(f^{3/2}\frac{dY(z)}{dz}\right)+QY(z)f^{3/2}+\mu^{2}f=0\quad .
\eeq

A equa��o radial (\ref{3.17}) pode ser reescrita utiliado a coordenada tartaruga $r_{*}$
\beq\label{3.20}
\frac{dr_{*}}{dr}=\frac{r^{2}+a^{2}}{\Delta}\quad ,
\eeq
e a defini��o
\beq\label{3.21}
\Psi(r)=\sqrt{r^{2}+a^{2}}R(r)\quad ,
\eeq
na forma
\beq\label{3.22}
\frac{d^{2}\Psi(r)}{dr_{*}^{2}}+\Psi(r)\left[\omega^{2}-V(r,\omega)\right]=0\quad ,
\eeq
sendo, para o campo sem massa,
\beq\label{3.22}\nonumber
V(r,\omega)&=&\frac{4Mra(m\omega)-(ma)^{2}-\Delta((a\omega)^{2}
+Qr^{2}+P)}{(r^{2}+a^{2})^{2}}\\
&+&\frac{\Delta(3r^{2}-4Mr+a^{2})}{(r^{2}+a^{2})^{3}}-\frac{3\Delta^{2}r^{2}}
{(r^{2}+a^{2})^{4}}\quad .
\eeq

A solu��o da equa��o angular (\ref{3.18}) s�o os harm�nicos esferoidais oblatos  $S^{m}_{Ln}\left(a^{2}c^{2}_{n},\cos\theta\right)$ com $c^{2}_{n}=\omega^{2}-Q^{2}_{n}$. Estes harm�nicos , no caso $a=0$, se reduzem aos harm�nicos esf�ricos e o autovalor $P\rightarrow P_{Lmn}$ se torna $L(L+1)$. 

No caso geral, os autovalores $ P_{Lmn}$ s\~ao determinados formalmente por uma expans\~ao em pot\^encias de $(ac_{n})$ \cite{brill1}, tal como
\beq\label{3.23}
P_{lmn}=\sum_{i}f_{(2i)}^{lm}(ac_{n})^{2i}\quad ,
\eeq
 onde os coeficientes da expans\~ao s\~ao fun\c c\~oes de $L$ e $m$ apenas, os dois primeiros termos s\~ao dados por 
 \[
 f_{0}^{lm}=l(l+1)\quad ,
 \]
 
 \[
 f^{lm}_{2}=h(l+1,m)-h(l,m)-1\quad ,
 \]
 com
 \[
 h(l,m)=\frac{l(l-m)(l+m)}{2(l-1/2)(l+1/2)}\quad .
 \]

A din�mica do campo escalar no bulk � dado pela equa��o (\ref{3.19}), que pode ser reescrita na forma
\beq\label{3.24}
\frac{d^{2}}{dz^{2}}Y(z)-\frac{3}{z}\frac{d}{dz}Y(z)+Y(z)\left[Q+\frac{k^{2}}{z^{2}}\right]=0\quad ,
\eeq
com $k^{2}=\mu^{2}l^{2}$.

Esta equa\c c\~ao \'e id\^entica \`a equa\c c\~ao de Bessel,

\beq\label{3.25}
\frac{d^{2}}{dx^{2}}W(x)+\frac{1}{x}\frac{dW(x)}{dx}+W(x)\left[1-\frac{m^{2}}{x^{2}}\right]=0\quad .
\eeq

A solu\c c\~ao para a equa\c c\~ao (\ref{3.24}) \'e
\beq\label{3.26}
Y(z)=z^{2}\left[A\mathcal{J}_{\sqrt{4-k^{2}}}(Qz)+B\mathcal{Y}_{\sqrt{4-k^{2}}}(Qz)\right]\quad ,
\eeq
sendo $A$ e $B$ constantes, e

$\mathcal{J}_{\sqrt{4-k^{2}}}=$ Fun��o de Bessel do primeiro tipo de ordem $\sqrt{4-k^{2}}$,

$\mathcal{Y}_{\sqrt{4-k^{2}}}=$ Fun��o de Bessel do segundo tipo de ordem $\sqrt{4-k^{2}}$.

Considerando o modelo RS com duas $3-$branas, as condi��es de contorno para o campo $Y(z)$ vem da continuidade da derivada primeira deste campo nos pontos onde se localizam as branas, que, neste caso, se localizam em $z=l (y=0)$ e $z=le^{d\kappa} (y=d)$, sendo $d$ a dist�ncia de separa��o entre as branas. Ent�o, denotando a derivada em rela��o a $z$ por $Y'$, devemos ter \cite{walter}
\beq\label{3.27}
Y'(z)|_{z=l}=Y'(z)|_{z=le^{d\kappa}}=0\quad .
\eeq
Calculando a derivada primeira de $Y(z)$ temos
\beq\label{3.28}
Y'(z)=2z\left[A\mathcal{J}_{\gamma}(Qz)+B\mathcal{Y}_{\gamma}(Qz)\right]+z^{2}\left[A\mathcal{J}'_{\gamma}(Qz)+B\mathcal{Y}'_{\gamma}(Ql)\right]\quad ,
\eeq
com $\gamma=\sqrt{4-k^{2}}$. Em $z=l$ teremos
\beq\label{3.29}
Y'(z=l)=A\left[2\mathcal{J}_{\gamma}(Ql)+l\mathcal{J}'_{\gamma}(Ql)\right]+B\left[2\mathcal{Y}_{\gamma}(Ql)+l\mathcal{Y}'_{\gamma}(Ql)\right]\quad .
\eeq
Lan\c cando m\~ao das propriedades
\[
xJ'(x)=xJ_{n-1}-nJ_{n}(x)\quad ,
\]
\[
xY'(x)=xY_{n-1}-nY_{n}(x)\quad ,
\]
teremos
\beq\label{3.30}\nonumber
A\left[2\mathcal{J}_{\gamma}(Ql)+lQ\mathcal{J}_{\gamma-1}(Ql)-\gamma \mathcal{J}_{\gamma}(Ql) \right]+B\left[2\mathcal{Y}_{\gamma}(Ql)+lQ\mathcal{Y}_{\gamma-1}(Ql)-\gamma \mathcal{Y}_{\gamma}(Ql)\right]=0\quad ,
\eeq
\beq\label{3.31}
\frac{A}{B}=-\frac{\left[(2-\gamma)\mathcal{Y}_{\gamma}(Ql)+lQ\mathcal{Y}_{\gamma-1}(Ql)\right]}{\left[(2-\gamma)\mathcal{J}_{\gamma}(Ql)+lQ\mathcal{J}_{\gamma-1}(Ql)\right]}
\eeq
Em particular, se $\gamma=2$, isto \'e, para o campo escalar n\~ao massivo $\mu^{2}=0$, teremos
\beq\label{3.32}
A=-\frac{\mathcal{Y}_{1}(Ql)}{\mathcal{J}_{1}(Ql)}\quad ,
\eeq
ent\~ao
\beq\label{3.33}
Y(z)_{Q}=z^{2}B\left[-\frac{\mathcal{Y}_{1}(Ql)}{\mathcal{J}_{1}(Ql)}\mathcal{J}_{2}(Qy)+\mathcal{Y}_{2}(Qy)\right]\quad .
\eeq
Para o ponto onde se localiza a segunda brana, temos
\beq\label{3.34}\nonumber
Y'(z=le^{d\kappa})&=&2le^{d\kappa}\left[A\mathcal{J}_{\gamma}(Qle^{d\kappa})+\mathcal{Y}_{\gamma}(Qle^{d\kappa})\right]\\
&+&l^{2}e^{2d\kappa}\left[A\mathcal{J}'_{\gamma}(Qle^{d\kappa})
+\mathcal{Y}'_{\gamma}(Qle^{d\kappa})\right]=0\quad ,
\eeq

\beq\label{3.35}\nonumber
A\left[(2-\gamma)\mathcal{J}_{\gamma}(Qle^{d\kappa})+lQe^{d\kappa}\mathcal{J}_{\gamma-1}(Qle^{d\kappa})\right]+B\left[(2-\gamma)\mathcal{Y}_{\gamma}(Qle^{d\kappa})+lQe^{d\kappa}\mathcal{Y}_{\gamma-1}(Qle^{d\kappa})\right]=0\quad.
\eeq

Isolando $A$, teremos
\beq\label{3.36}
A=-B\frac{\left[(2-\gamma)\mathcal{Y}_{\gamma}(Qle^{d\kappa})+lQe^{d\kappa}\mathcal{Y}_{\gamma-1}(Qle^{d\kappa})\right]}{\left[(2-\gamma)\mathcal{J}_{\gamma}(Qle^{d\kappa})+lQe^{d\kappa}\mathcal{J}_{\gamma-1}(Qle^{d\kappa})\right]}\quad ,
\eeq

Igualando (\ref{3.36}) e (\ref{3.31}) temos,
\beq\label{3.37}
\frac{\left[(2-\gamma)\mathcal{Y}_{\gamma}(Qle^{d\kappa})+lQe^{d\kappa}\mathcal{Y}_{\gamma-1}(Qle^{d\kappa})\right]}{\left[(2-\gamma)\mathcal{J}_{\gamma}(Qle^{d\kappa})+lQe^{d\kappa}\mathcal{J}_{\gamma-1}(Qle^{d\kappa})\right]}=
\frac{\left[(2-\gamma)\mathcal{Y}_{\gamma}(Ql)+lQ\mathcal{Y}_{\gamma-1}(Ql)\right]}{\left[(2-\gamma)\mathcal{J}_{\gamma}(Ql)+lQ\mathcal{J}_{\gamma-1}(Ql)\right]}\quad .
\eeq
O autovalor $Q$ depende das ra�zes das fun��es de Bessel, portanto ele ser�, no caso do modelo de duas branas, discretizado, ou seja, $Q\rightarrow Q_{n}$. Fazendo as substitui��es $\kappa=1/l$, $Q_{n}e^{d/l}=x_{n}/l$ e particularizando para o caso $\gamma=2$, que representa o campo escalar n�o massivo, podemos reescrever (\ref{3.37}) como
\beq\label{3.38}
\mathcal{Y}_{1}(Q_{n})\mathcal{J}_{1}(x_{n})=\mathcal{Y}_{1}(x_{n})\mathcal{J}_{1}(Q_{n}l)\quad .
\eeq
Esta equa��o pode ser resolvida numericamente. Como o n�mero de ra�zes das fun��es de Bessel � infinito, o n�mero de autovalores $Q_{n}$, que chamaremos de modos massivos, pois {\it{emprestam}} um car�ter de campo massivo ao campo escalar com $\gamma=2$; tamb�m ser� infinito. Nos limitamos a mostrar os dez primeiros modos $Q_{n}$ na tabela (\ref{modos massivos do bulk}).
\begin{table}[h]\label{modos massivos do bulk}
\begin{center}
\begin{tabular}{|l|l||l|l|}
\hline
$n$ & $Q_{n}$ & $n$ & $Q_{n}$\\
\hline
1 & 3.83171 & 6 & 19.6159  \\
\hline
2 & 7.01559  &  7& 22.7601\\
\hline
3 &10.1735 & 8& 25.9037  \\
\hline
4 & 13.3237  & 9 & 29.0468                    \\
\hline
5 &  16.4706  & 10 &    32.1897               \\
\hline
\end{tabular}\caption{Primeiros dez modos massivos $Q_{n}$.}
\end{center}
\end{table}
Substituindo os valores $Q_{n}$ e $P_{Lmn}$ no potencial efetivo (\ref{3.22}), teremos o potencial visto por um observador confinado na $3-$brana, que a este parecer� como o potencial efetivo de um campo escalar puramente $4-$dimensional {\it{com massa}}. De fato, a dimens�o extra simula um termo de massa para o campo escalar, o que � esperado, devido a massividade dos modos de Kaluza-Klein \cite{maartens1}. 

Buracos negros em rota��o s�o inst�veis a perturba��o escalar massiva \cite{detweiler1}. O que ocorre � a forma��o de um sistema altamente explosivo, que foi chamado de buraco negro bomba \cite{strafuss}. Esta instabilidade vem do fato que a massa do campo escalar age como se fosse um espelho, e se somarmos a isso o efeito do espalhamento super-radiante, que ocorre em buracos negros em rota��o, teremos a amplitude da perturba��o escalar crescendo indefinidamente \cite{cardoso1}. Este cen�rio � o que obtemos no caso de uma perturba��o escalar n�o massiva no espa�o-tempo de Kerr-RS. O c�lculo das frequ�ncias quasi-normais para este caso fica impossibilitada, pois este sistema n�o nos parece fisicamente aceit�vel. Apesar disso � interesante calcular os coeficientes de transmiss�o e reflex�o do espalhamento do campo escalar em Kerr-RS. Seguiremos de perto os traba\-lhos de Starobinski {\it{et al}} \cite{starobinski1}\cite{starobinski2}.

O perfil assint�tico do termo potencial da equa��o (\ref{3.22}) � dado por
\beq\label{3.38}
\omega^{2}-V&\rightarrow& \omega^{2}-Q_{n}^{2}, \hspace{0.3cm} r_{*}\rightarrow +\infty\quad ,\\\label{3.39}
\omega^{2}-V&\rightarrow& \left(\omega-m\Omega_{H}\right)^{2}, \hspace{0.3cm} r_{*}\rightarrow -\infty\quad ,
\eeq
sendo
\beq\label{3.40}
\Omega_{H}=\frac{a}{2Mr_{+}}, \hspace{0.3cm} r_{+}=M+\left(M^{2}-a^{2}\right)^{\frac{1}{2}}\quad .
\eeq

Da equa��o (\ref{3.38}), vemos que quando $Q_{n}$ � maior que $\omega^{2}$ o potencial efetivo fica com sinal negativo no infinito espacial tornando a perturba��o escalar, neste regime, inst�vel. Se nos restringirmos ao caso $Q_{n}<\omega^{2}_{qn}$, sendo $\omega^{2}_{qn}$ a frequ�ncia quasi-normal fundamental, as solu��es assint�ticas da equa��o de onda (\ref{3.22}) tem a seguinte forma,
\beq\label{3.41}
\Psi(r_{*}\rightarrow -\infty)&\rightarrow& B_{Lm}e^{-i(\omega-m\Omega_{H})r_{*}}\quad ,\\\label{3.42}
\Psi(r_{*}\rightarrow +\infty)&\rightarrow& e^{-i(\omega^{2}-Q_{n}^{2})^{\frac{1}{2}}r_{*}}+A_{Lm}e^{i(\omega^{2}-Q_{n}^{2})^{\frac{1}{2}}r_{*}}\quad .
\eeq
Esta configura��o exprime o fato de que consideraremos apenas ondas entrando no horizonte. A onda vem do infinito espacial, parcialmente atravessa a barreira de potencial entrando no horizonte de eventos, o resto � refletido para o infinito. 

Da const�ncia do Wronskiano da equa��o (\ref{3.22}) com as solu��es assint�ticas (\ref{3.41}) e (\ref{3.42}), temos que
\beq\label{3.43}
1-|A_{Lm}|^{2}-|B_{Lm}|^{2}\frac{\omega-m\Omega_{H}}{\sqrt{\omega^{2}-Q_{n}^{2}}}=0\quad .
\eeq
Isto mostra, que da mesma forma que no caso da solu��o de Kerr padr�o, $|A_{Lm}|>1$, ou seja, a amplitude da onda refletida � maior que da onda incidente se tivermos
\beq\label{3.44}
m\Omega_{H}>\omega\quad ,
\eeq
que � a condi��o de espalhamento super-radiante.

Podemos ent�o, partir para o c�lculo do coeficiente de reflex�o da onda. Vamos supor que $1/\omega\gg M$, isto �, que o comprimento Compton da part�cula escalar seja maior que o tamanho t�pico do buraco negro. Seguindo \cite{starobinski1}, dividimos o espa�o-tempo exterior ao horizonte de eventos em duas regi�es, a saber, regi�o pr�xima, $r-r_{+}\ll 1/\omega$, e regi�o distante, $r-r_{+}\gg M$. Resolvendo a equa��o de onda (\ref{3.22}) nestas duas regi�es, e igualando os resultados onde a regi�o distante e a regi�o pr�xima se interceptam, isto �, na regi�o $M\ll r-r_{+}\ll 1/\omega$, encontraremos o coeficiente de reflex�o.

Na regi�o pr�xima, podemos aproximar (\ref{3.22}) por
 \beq\label{3.45}
\Delta\frac{d}{dr}\left(\Delta\frac{dR(r)}{dr}\right)
+[r_{+}^{4} (\omega - m \Omega_{H})^{2} - L (L+ 1) \Delta] R(r)=0\quad ,
\eeq
cuja solu��o geral � dada por \cite{starobinski1}\cite{cardoso1} 
\beq\label{3.46}
R = A z ^{-i \chi} (1-z )^{L+1} F(a-c+1, b-c+1, 2-c, z)+ B z ^{i \chi}
(1-z )^{L+1} F(a, b, c, z)\quad , 
\eeq
sendo $F(a, b, c, z)$ e $ F(a-c+1, b-c+1, 2-c, z)$ fun��es hipergeom�tricas,
\beq\label{3.47}
\chi = (\omega - m \Omega-{H}) \frac{r_{+}^{2}} {r_{+}-r_{-}}\quad ,
\eeq
e
\beq\label{3.48}
z= \frac{r - r_{+}}{r - r_{-}}\quad .
\eeq
Segundo Starobinski \cite{starobinski1} para grandes valores de $r$  a solu��o acima tem a seguinte forma assint�tica 
\beq\label{3.49}
R \sim A \Gamma (1- 2 i \chi) \left[\frac{(r_{+}-r_{-})^{-L} \Gamma (2
L + 1) r^{L}}{\Gamma (L+1) \Gamma (L+1- 2 i \chi) }+  \frac{(r_{+}-r_{-})^{L+1} \Gamma (-2
L - 1) r^{-L-1}}{\Gamma (-L) \Gamma (-L- 2 i \chi) }\right]\quad .
\eeq
Na regi�o distante $r - r_{+} \gg M$ a equa��o de onda possui a forma
\beq\label{3.50}
\frac{d^2}{dr^2} (r R) + [\omega^2 - Q^{2}_{n} - \frac{L (L+1)} {r^2}]=0\quad ,
\eeq
com solu��o geral dada pela seguinte combina��o de fun��es de Bessel
\beq\label{3.51}
R \sim  r^{-1/2} [a \mathcal{J}_{L + 1/2} (\sqrt{\omega^2 - Q^{2}_{n}}) + b \mathcal{J}_{-L - 1/2}(\sqrt{\omega^2 - Q^{2}_{n}})]\quad .
\eeq
Para pequeno valores de $r$ esta solu��o toma forma
\beq\label{3.52}
R \sim a \frac{(\sqrt{\omega^2 - Q^{2}_{n}}/2)^{L + 1/2} r^{L}}{\Gamma(L +
3/2)} + 
b \frac{(\sqrt{\omega^2 - Q^{2}_{n}}/2)^{-L - 1/2} r^{-L-1}}{\Gamma(-L + 1/2)}\quad .
\eeq

Combinando as solu��es da regi�o pr�xima (\ref{3.49}) e da regi�o distante (\ref{3.52}) na regi�o de intersec��o $M \ll r - r_{+}
\gg 1/ \omega$, obtemos o coeficiente de reflex�o $b / a$   
\beq\label{3.53}
\frac{b} {a} = 2 i (\omega^{2}-Q^{2}_{n})^{L +1/2}  \chi \frac{(1-)^L}{2L +1} (\frac{L!}{(2 L
-1)!})^{2} \frac{(r_{+}-r_{-})^{2 L+ 1}}{(2L)! (2 L +1)!} (k^2 + 4 \chi^2)\quad .
\eeq
Este coeficiente de reflex�o difere da f�rmula encontrada por Starobinski \cite{starobinski1} para o caso da solu��o de Kerr padr�o pelo fator $Q_{n}$ que aparece no termo $\left(\omega^{2}-Q^{2}_{n}\right)^{L+1/2}$. De fato, isto n�o � apenas uma frequ�ncia recalibrada pelo fato $Q_{n}^{2}$, pois o termo $\chi$ definido por (\ref{3.47}) cont�m $\omega$. Esta influ�ncia da dimens�o extra, representada pelos autovalores $Q_{n}$, no espalhamento super-radiante ser� importante apenas para o regime em que $Q_{n}$ � da mesma ordem que $\omega$. Estes resultados foram publicados em \cite{jeferson1}.
























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%\input{capitulo4}

\chapter{Conclus�o}

Vimos que nos modelos de mundo brana propostos por Randall e Sundrum, em particular o modelo com duas $3-$branas em um bulk $AdS_{5}$, h� a possibilidade da resolu��o do problema da hierarquia entre a escala gravitacional e eletrofraca. O modelo com uma �nica brana cont�m o modo zero de excita��o dos gr�vitons, que � a gravita��o de Newton. Podemos considerar estes modelos como {\it{laborat�rios}}  que nos permitem testar v�rias id�ias da conjectura da teoria M, e tamb�m quest�es sobre a forma da Relatividade Geral neste contexto. 

A modelagem de buracos negros, como discutido no terceiro cap�tulo, � um problema em aberto, e n�o nos parece trivial. O fato da gravidade se {\it{espalhar}} pelo bulk, enquanto os outros campos f�sicos ficam confinados na $3-$brana, � um complicador para o estudo do colapso gravitacional de objetos astrof�sicos. Al�m disso, as condi��es de contorno s�o complicadas de se implementar neste caso. Tamb�m n�o � claro como deve ser o limite assint�tico do bulk, j� que pr�ximo ao horizonte AdS ocorrem problemas com a continuidade do horizonte de eventos de um buraco negro \cite{hawking3}, al�m da instabilidade de Gregory-Laflamme \cite{gregory1}.

Apesar da solu��o de corda negra em rota��o estudada por Sengupta \cite{sengupta} apresentar as mesmas limita��es do cigarro negro de Hawking \cite{hawking3}, estudamos a equa��o de Klein-Gordon neste cen�rio. Mostramos que perturba��es escalares de spin 0 sem massa no modelo de Kerr-Randall-Sundrum com duas branas simula a perturba��o escalar massiva no espa�o-tempo de Kerr $4-$dimensional. O termo massivo para o campo escalar aparece devido unicamente a dimens�o extra, como foi mostrado de maneira geral por Cardoso {\it{et al}} \cite{cardoso1}. A equa��o que governa a din�mica no bulk do campo escalar em Kerr-Randall-Sundrum � a mesma encontrada na decomposi��o de Kaluza-Klein feita por Randall-Sundrum \cite{rs1} \cite{rs2} e a encontrada para campos escalares $5-$dimensionais no modelo de Randall-Sundrum com branas de Minkowski \cite{walter}. Este termo n�o massivo torna o espa�o-tempo de Kerr-RS inst�vel por perturba��es escalares, j� que devido ao espalhamento superradiante, a radia��o espalhada para o infinito � refletida de volta para o buraco negro pelo termo de massa do campo, gerando assim um buraco negro bomba.





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