Gammes Bien R\'eparties et Transform\'ee de Fourier discr\`ete
Emmanuel Amiot
St Nazaire
France
fourieretMESets.tex
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 \let\mc=\mathcal
 \newtheorem{Thm}{Th�or�me}
 \newtheorem{Def}{D�finition}
  \newtheorem{Prop}{Proposition}
  \newtheorem{Lemme}{Lemme}
  \newtheorem{Rem}{Remarque}

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% ne marche pas avec le LaTeX de arXiV; donc les commandes
% \dessin ci-dessous sont d�branch�es�

\title{Gammes Bien R\'eparties et Transform\'ee de Fourier discr\`ete}
\author{Emmanuel Amiot \\
St Nazaire, France}

\begin{document}
\maketitle
{\sl Un des concepts les plus s�duisants avanc�s ces derni�res ann�es
par les th�oriciens am�ricains de
la musique est celui des gammes bien  r�parties (\og Maximally Even Sets\fg),
qui �tend et pr�cise celui des gammes monog�nes (\og Generated Scales\fg)
ou au concept moins connu mais f�cond de gamme bien form�e (\og Well Formed\fg).
L'objectif essentiel de cet article est de pr�senter ces notions au public francophone.
Sa principale originalit� consiste � partir, contrairement � l'�cole am�ricaine,
d'une d�finition purement (g�o)m�trique en termes de transform�e de Fourier,
sans r�f�rence � la notion ordonn�e de gamme musicale. Il peut para�tre ironique
que la transform�e de Fourier discr�te resurgisse dans ce contexte plut�t alg�brique,
voire ensembliste, alors que l'�tude des spectres (continus) est depuis longtemps un
cheval de bataille en th�orie du son !
}\medskip

{ Notations : 
\begin{enumerate}
\item
$\lfloor x\rfloor$ d�note la partie enti�re du r�el $x$, 
$\lceil x\rceil$ est l'entier imm�diatement sup�rieur.
\item
$\mathbf Z$ est l'ensemble des entiers relatifs, $\zc$ le groupe cyclique
� $c$ �l�ments.
\item
$c\wedge d$ est le plus grand commun diviseur de $c$ et $d$.
\item
$d\mid c$ signifie que $d$ divise $c$.
\end{enumerate}
}

\section{Que veut-on dire par \og bien r�partie\fg ?}

Dans le langage de Claude Debussy comme de bien d'autres compositeurs,
on trouve aussi bien la gamme traditionnelle, majeure, que la gamme par tons
ou la gamme pentatonique; dans plusieurs pi�ces (\textsl{L'Isle Joyeuse, Voiles�})
on trouve plusieurs de ces modes en concurrence, ou en compl�ment. Le pr�sent article
pr�sente, sous un angle in�dit, une propri�t� qui est commune � ces trois gammes
et les caract�rise sous certaines conditions.

%\dessin{voiles.pdf}{14 cm}{Le d�but de \og Voiles\fg, de C. Debussy}
Nous travaillons dans le contexte d'un \textbf{total chromatique}
mod�lis� par le groupe cyclique $\zc$\footnote{ce qui mod�lise le fait
psychoacoustique que le cerveau tend � reconna�tre comme \og �gales\fg\ des
notes distantes d'une octave, i.e. dont le rapport des fr�quences vaut 2.}  
� $c$ �l�ments, qui s'interpr�te musicalement comme une division
de l'octave en $c$ parties �gales, ou encore aux rapports de fr�quence
de la forme $2^{k/c}, k\in\N$. Il existe en musique
des temp�raments in�gaux, bien s�r, et l'on peut
�tendre au moins une partie de la th�orie qui suit � de tels objets, avec des r�sultats 
int�ressants, mais ce n'est pas ici notre propos.
Une \textbf{gamme} sera tout simplement un sous-ensemble de cardinal $d$ 
de $\zc$ (ces notations sont celles notamment de
\cite{Quinn}). Notre souci est de choisir ces $d$ notes parmi $c$ de telle sorte 
qu'elles soient les plus �galement r�parties possible. Les pionniers de cette notion ont 
d�couvert avec d�lice que l'on retrouve ainsi des gammes tr�s particuli�res, comme la gamme 
majeure ou la pentatonique (gamme chinoise) qui trouvent ainsi une l�gitimit� suppl�mentaire.

\subsection{Bien poser la question}\ 
Il convient de pr�ciser ce que l'on entend par \og le mieux r�parti possible\fg.

Ce n'est pas une question si �vidente, comme �voqu� par \cite{BD}. Ceci
peut sembler �trange, car l' id�e en
est intuitive et suffisamment simple pour �tre appr�hend�e par des lyc�ens (\cite{JD}).

Mais si l'on propose, par exemple, la d�finition naturelle consistant � maximiser la somme des
 intervalles entre tous les �l�ments (l'intervalle entre $a,b\in\zc$ �tant 
 $\max\limits_{k\in\Z} |a-b+k\, c|$, la plus
 petite valeur de $|a-b|$ quand on fait varier le choix des repr�sentants des classes
 $a, b$ modulo $c$), on obtient des gammes tout � fait contraires � l'intuition.
Ainsi par exemple : parmi les pentacordes (gammes de cinq notes parmi 12), 
les diverses valeurs possibles de cette somme sont
40, 48, 52, 56, 60, 64, 68 et 72. Si la valeur minimum de 40 correspond, conform�ment
� l'intuition, aux pentacordes chromatiques (comme Do Do$\sharp$ R� R�$\sharp$ Mi),
le maximum de 72 est atteint pour de tr�s nombreuses (21 !) gammes diff�rentes,
comme (0 1 2 6 7) ou  Do Do$\sharp$ R� Fa$\sharp$ Sol - il n'y a donc pas unicit�
de la solution, qui ne caract�rise donc pas la gamme pentatonique\footnote{ Par
rapport au r�sultat g�n�ral de \cite{Ising} mentionn� plus loin, cela tient � ce que la fonction utilis�e
d'�valuation n'est pas \textbf{strictement } convexe.}.

La d�finition usuelle par l'�cole am�ricaine pr�suppose que l'on range les �l�ments
de la gamme, pour pouvoir calculer les intervalles entre une note et ses voisines imm�diates. 
Elle porte donc une forte connotation culturelle ($\zc$ n'a pas une vraie relation d'ordre !
on se souvient ici \textbf{inconsciemment} que le mod�le de $\zc$
est une r�duction du domaine totalement ordonn� des hauteurs),
et nous ferons ici le choix de proposer une d�finition purement abstraite, qui
s'applique � un \textbf{sous-ensemble} � $d$ �l�ments et non � un $d-$uplet.

Une m�thode intuitive avec \og des points blancs et des points noirs\fg\ (\cite{CD}),
bien qu'elle consiste � �tudier justement l'ordre dans lequel se retrouvent les points,
m�rite une mention sp�ciale : on consid�re un polygone r�gulier � $d$ sommets blancs et un autre
avec $c-d$ sommets noirs. Alors on superpose les deux, convenablement tourn�s pour que deux sommets
ne puissent co�ncider; l'ordre alors obtenu donne une gamme bien r�partie\footnote{
Aussi bien pour le sous-ensemble noir que pour le blanc.}, que l'on peut expliciter
en ajustant les positions des points sans changer leur r�partition. Clough et Douthett montrent que
ce proc�d� �quivaut � leur d�finition. 

%\dessin{nb.pdf}{12 cm}{La m�thode des points blancs et noirs}

En tant que math�maticien, on peut rechercher une d�finition moins \og bricol�e\fg.
� titre de motivation citons un r�sultat  relativement r�cent (\cite{Toth})

\begin{Thm}[(Toth, 1956)]
   On consid�re $d$ points sur le cercle unit�; la somme des distances \textbf{euclidiennes}
   (i.e. en ligne droite) entre tous ces points est maximale si, et seulement si, la figure qu'ils
   forment est un polygone r�gulier.
\end{Thm}
\begin{proof}
  Elle est non triviale. Observons que ce r�sultat est faux en dimension sup�rieure
  (c'est encore un probl�me ouvert en g�n�ral que de trouver $d$ points sur la sph�re $S^2$
  maximisant la somme de leurs distances mutuelles). En revanche il est facile
  (calcul diff�rentiel �l�mentaire) de montrer que les polygones r�guliers sont
  ceux qui maximalisent le \textbf{p�rim�tre}.
\end{proof}

Nous pourrions, en nous inspirant de ce lemme, chercher les sous-ensembles � $d$
�l�ments de $\zc$, identifi� au $c-$polygone r�gulier, qui
maximisent la somme des distances
euclidiennes, ce qui est une fa�on de chercher � approximer un polygone r�gulier
� $d$ sommets. Ce serait une bonne id�e dans la mesure o� l'on retrouverait
ainsi les sous-ensembles particuliers appr�ci�s des musiciens (\cite{Ising}),
et une unique solution pour chaque valeur de $d$ (� sym�tries pr�s). 
Si l'on reprend le cas des pentacordes dans l' univers des douze sons, la
gamme pentatonique est maximale pour ce crit�re, avec une somme �gale �
{$\oldstylenums{30.5758}$}, et c'est l'unique solution � translation pr�s.

Mais ces distances euclidiennes, ces longueurs de cordes, n'ont pas de signification 
musicale\footnote{ On prend le double du sinus de l'intervalle, avec un facteur d'�chelle\dots} 
et font appel � la structure euclidienne du plan dans lequel on dessine la figure;
nous pr�f�rerons donc une d�finition sans doute plus technique, mais � notre avis plus pure,
qui va dans le m�me sens, � savoir chercher � approximer un $d-$polygone r�gulier 
par une sous-figure du $c-$polygone r�gulier. Ceci est plus proche du proc�d� avec les
points noirs et blancs.
Mais dans ce but nous allons plut�t faire un retour aux sources de l'�tude des propri�t�s
internes des gammes (ou accords) telle qu'initi�e par \cite{Lewin59}.

\subsection{Transform�e de Fourier}\ 

L'id�e g�niale d'exploiter la transform�e de Fourier discr�te pour inventorier
les intervalles dans un accord (ou une gamme) remonte � David \textsc{Lewin} en 1959.
et est � l'origine de nombreux concepts qui ont marqu� la recherche am�ricaine depuis
1959. Nous choisissons la m�me d�finition que lui parmi toutes les d�finitions possibles:

\begin{Def}
   La transform�e de Fourier de $f:\zc\to \mathbf C$ est
  $$\mc{F}(f):t\mapsto  \sum\limits_{k\in\zc} f(k) e^{-2 i k \pi t/c}$$
  Plus particuli�rement, la transform�e de Fourier de $A\subset \zc$ 
  sera la transform�e de Fourier de la fonction caract�ristique $1_{A}$
  du sous-ensemble $A$\footnote{Si l'on s'int�resse aux fonctions du cercle
  $S^1$ � valeurs dans $\C$, on peut voir cela comme la transform�e de
  \textsc{Fourier} d'une distribution, � savoir
  un peigne de \textsc{Dirac} $\sum_{k\in A} \delta_{k}$.}:
   $$
     \mc{F}_{A}:t\mapsto \sum_{k\in A} e^{-  2i\pi k t /c}
   $$
\end{Def}
Quelques exemples:
\begin{enumerate}
  \item
  $ \mc{F}_{\zc}$, la transform�e de Fourier de toute la gamme chromatique, est
  $\sum\limits_{k=0}^{d-1} e^{- 2 i\pi k t  /c}
         =\dfrac{1 -  e^{- 2 i \pi t  }}{1 -  e^{- 2 i\pi t /c}}$.
  Cette fonction est nulle sur $\zc$ sauf quand $t=0$.
  On voit bien sur ce calcul que seule compte la classe de l'indice $k$ modulo $d$,
  ce qui est ad�quat.
  \item
  Consid�rons la septi�me diminu�e D7 = (0 3 6 9) dans l'univers � 12 notes. Alors
  $$\mc{F}_{D7}:t\mapsto \sum_{k=0}^{3} e^{-(3 k) 2i \pi t / 12}=
  \sum_{k=0}^{3} e^{-k i\pi t / 2}=
  \dfrac{1 - e^{- 2 i \pi t}}{1 - e^{- i \pi t/2}}$$
  On remarque que $\mc{F}_{D7}(4)=4$. Observons aussi que $A$ est $3-$p�riodique:
  le principe m�me de la transform�e de Fourier est que \textbf{le
  coefficient de Fourier $\mc{F}(f)(k)$ mesure � quel point
  la fonction $f$ est $c/k - $p�riodique}. Ceci r�sulte du principe de la transform�e de Fourier
  inverse (th�or�me de \textsc{Plancherel}): on a toujours
  $$
     \forall t\in\zc \qquad
     f(t) = \frac1c \sum_{k=1}^c \mc{F}(f)(k) e^{+ 2i\pi k t /c}
  $$
  et donc plus $\mc{F}(f)(k)$ est gros, plus $f$ est \og concentr�e\fg\
   autour de $t\mapsto e^{+ 2i\pi k t /c}$.
  \item
  Le \textbf{module} de la transform�e de Fourier est invariant par translation
  et inversion :
  $$
  \mc{F}_{A-p}(t) = e^{2 i p t/c} \mc{F}_{A}(t)
     \qquad 
  \mc{F}_{A}(-t) = \overline{\mc{F}_{A}(t)}
  $$
  Cette propri�t� est importante pour les musiciens, dont les notions sont invariantes
  par transposition (= translation dans le domaine des hauteurs) et parfois par
  inversion (o� la quinte devient une quarte).
  \item
  Pour toute partie $A\in\zc$ on a  $\mc{F}_{A}(0) = \Card\, A$.

\end{enumerate}
La puissance de cet outil est consid�rable, on la voit sur les propri�t�s suivantes:

\subsection{Propri�t�s des transform�es de Fourier de parties de $\zc$}
\begin{Thm} \label{complementaire}
  La transform�e de Fourier d'une partie
  et celle de son compl�mentaire sont oppos�es
  en $k=1� d-1$:
  $$
  \mc{F}_{A}(k) + \mc{F}_{\zc\setminus A}(k) = 0\quad
  \forall k=1�c-1
  $$
\end{Thm}
\begin{proof}
Cela provient, par lin�arit�, de $ \mc{F}_{A} + \mc{F}_{\zc\setminus A} = \mc{F}_{\zc}$ 
et de ce que (cf. supra)
$\mc{F}_{\zc}(k) = 0 $ pour $ k=1� c-1$.
\end{proof}

Observons que la remarque faite ci-dessus sur la septi�me diminu�e se g�n�ralise:

\begin{Prop}
    Consid�rons une division de $\zc$ en $d$ parties �gales:
    $A = \{0, m=\dfrac{c}d, 2m, � (d-1)m\}$. Alors la transform�e de Fourier
    de $A$ est maximale au point $t=d$. Plus pr�cis�ment,
    $$
    \mc{F}_{A}(t) = 
       \begin{cases}
            d &\text{ si } d\mid t\\
            0 &\text{ sinon }
       \end{cases}
    $$     
\end{Prop}
\begin{proof}
  En effet, on a 
  $$\mc{F}_{A}(t) = \sum_{k=0}^{d-1} e^{-2 i k \pi t  m/c}
  = \sum_{k=0}^{d-1} e^{-2 i k \pi t / d} 
  = \dfrac{1 - e^{-2 i \pi t}}{1 - e^{-2 i \pi t/d}}$$
  pour $t$ non multiple de $d$. En revanche pour $t=d$ (et multiples) on a
  $\mc{F}_{A}(t) = 1+1+\dots 1 = d$.
\end{proof}
Il est notable que la division r�guli�re de $\zc$ donne une valeur absolue maximale de
la transform�e de Fourier \textbf{parmi tous les sous-ensembles de cardinal $d$ donn�}.
Nous allons toutefois donner une raison suppl�mentaire
de nous int�resser � cette transform�e, qui est qu'elle permet de mesurer l'importance de la 
pr�sence entre les �l�ments de $A$ d'intervalles proches de $c/d$.


\begin{Thm}[(Contenu Intervallique)]\ 

  D�finissons le \textbf{contenu intervallique} de $A\subset \zc$ 
  par le nombre d'occurences de chaque intervalle entre deux �l�ments de $A$, 
  ce qui se r�sume par la fonction:
  $$
    IC_{A}(k) = \Card \{ (x,y)\in A\times A \mid x+k=y\}
  $$
  Alors la transform�e de Fourier de la fonction $IC_{A}$ est
  ${|\mc{F}_{A}|}^2$.
\end{Thm}
C'est la remarque fondamentale de \textsc{David Lewin} dans
son tout premier article (\cite{Lewin59}), remarque
qu'il a �nonc�e (en deux lignes seulement) dans le contexte plus g�n�ral des
\textbf{relations intervalliques} entre deux parties. 

\begin{proof}
   IC est un produit de convolution (que nous noterons  $\star$) 
   entre la fonction caract�ristique de $A$ et celle de $-A$:
    $$
    IC_{A}(k) = \Card \{ (x,y)\in A\times A \mid x+k=y\}
    = \sum_{\substack{y\in A\\y-k\in A}} 1
    = \sum_{y\in\zc} 1_{A}(y)\times 1_{-A}(k-y)
    = \bigl(1_{A}\star 1_{-A}\bigr)(k)
  $$
  Il est bien connu que la transform�e de Fourier d'un produit de convolution
  est le produit ordinaire des transform�es de Fourier :
  $\mc{F}(f \star g) = \mc{F}(f)\times \mc{F}(g)$.
  Dans $\zc$, cela d�rive du calcul suivant:
  \begin{multline*}
    \mc{F}(f \star g)(k) = \sum_{k\in\zc} (f\star g)(k) e^{-2 i k \pi t/c}
    = \sum_{k\in\zc}\sum_{\ell\in\zc} f(\ell) g(k-\ell) e^{-2 i k \pi t/c}
    = \sum_{\ell\in\zc}\sum_{k-\ell\in\zc} f(\ell) g(k-\ell) 
                e^{-2 i (k-\ell) \pi t/c} e^{-2 i \ell \pi t/c}\\
                    =  \sum_{\ell\in\zc}f(\ell)e^{-2 i \ell \pi t/c} \times
                \sum_{k-\ell\in\zc}  g(k-\ell) e^{-2 i (k-\ell) \pi t/c} 
                                 = \mc{F}(f)(k)\times \mc{F}(g)(k)
  \end{multline*}
  Appliquant cela � $f = 1_{A}$ et $g = 1_{-A}$ on obtient le r�sultat 
  (avec $\mc{F}_{-A} = \overline{\mc{F}_{A}}$).
\end{proof}
On d�duit au passage de ce r�sultat une tr�s jolie preuve du th�or�me de l' hexacorde 
de Milton \textsc{Babbitt}:

\begin{Thm}[de l'hexacorde (Babbitt, 1964)]\ 

   Deux parties compl�mentaires et de m�me cardinal de $\zc$ (pour $c$ pair)
   ont m�me contenu intervallique.
\end{Thm}
En effet, si l'on consid�re deux parties compl�mentaires et de m�me cardinal, 
alors leurs transform�es de Fourier sont oppos�es 
(pour $t=1�c-1$) ou �gales (en $t=0$), en particulier les transform�es de Fourier
de leurs IC sont �gales, et donc les IC aussi
(par transform�e de Fourier inverse).\medskip

Nous avons donn� ce th�or�me sur le contenu intervallique parce qu'il
 montre bien l'importance de la transform�e de Fourier
quant aux intervalles pr�sents dans une partie de $\zc$:
la valeur de la transform�e de Fourier de $IC_{A}(t)$ pour $t=m$ dit
dans quelle mesure cette fonction IC est $c/m-$ p�riodique: 
consid�rons le cas extr�me o� $\mc{F}(IC_{A})$ serait nulle, sauf
en $d$ (et multiples), o� elle vaudrait $d$: alors d'apr�s ce qui pr�c�de, $A$ 
doit diviser r�guli�rement $\zc$.

Tout ceci nous convainc que la transform�e de Fourier, et plus particuli�rement
son module, donne une bonne id�e d'� quel point une partie $A\subset \zc$ est proche
d'un polygone r�gulier. Cette philosophie de rep�rer les divisions \og arch�typales\fg\
du total chromatique est celle de la premi�re partie de la remarquable 
dissertation de Ian Quinn (\ref{Quinn}) qui a motiv� le pr�sent expos�.

\subsection{Enfin une d�finition}
\begin{Def}
  Dor�navant nous dirons que $A\in\zc$, de cardinal $d$, est
  \textbf{bien r�partie} si la quantit�
  $$\sqrt{\mc{F}(IC_{A})(d)} = |\mc{F}_{A}(d)|$$ 
  est maximale parmi toutes les parties de cardinal $d$:
  $$
     |\mc{F}_{A}(d)| �  |\mc{F}_{A'}(d)| \quad
     \forall A'\subset\zc, \Card\, A'=d
  $$
\end{Def}
Observons que cette d�finition (contrairement � celle que donnent \cite{CD} \textsl{et alia})
porte sur \textbf{l'ensemble $A$}, sans consid�rer du tout les �l�ments de $A$ comme
ordonn�s. Une partie � $d$ �l�ments qui r�alise ce minimum
(il en existe car il n'y a qu'un nombre fini de parties � $d$ �l�ments parmi $c$)
sera dite \textbf{gamme bien r�partie} ou GBR.

R�sumons ici quelques remarques (d�montr�es \textsl{supra})
qui motivent cette d�finition: 
\begin{itemize}
     \item
     $|\mc{F}_{A}| = |\mc{F}_{A+\alpha}|=|\mc{F}_{-A}|$ pour tout $\alpha$ 
     (invariance par translation et inversion);
     \item
     $|\mc{F}_{A}(t)| � d=\Card\, A$, pour tout $t\in\zc$ et m�me dans $\mathbf R$.
     \item
      $|\mc{F}_{A}(p)| = d$ si et seulement si toutes les exponentielles $e^{-2i k\pi t/c}$ 
      qui figurent dans $\mc{F}_{A}$ ont m�me argument (modulo $2\pi$), 
      i.e. pour $a,b\in A$ la quantit� $(b-a)p/c$ est toujours un entier.
      Ce qui prouve la propri�t� suivante, r�ciproque de la proposition pr�c�dente:
\end{itemize}
\begin{Thm}
    Soit $A\subset \zc$ de cardinal $d$; si $|\mc{F}_{A}(d)| = d$, alors
    $d$ divise $c$, et $A$ est un polygone r�gulier (i.e.
    $A = \{a_{0}, a_{0}+c/d,\dots a_{0}+(d-1)c/d\}$).
\end{Thm}
\begin{proof}
   Fixons une origine $a_{0}\in A$: on a dit que tous les $(a - a_{0})d/c, a\in A$ prennent 
   $d$ diff�rentes valeurs \textbf{enti�res} (modulo $c$), donc le pgcd $g$ des
    $a-a_{0}$ est multiple de $c/d$: $c/d \mid g$ et $g�c/d$.
  
  Par ailleurs, il y a $d$ multiples de $g$, compris entre 0 et $c-1$,
  qui sont distincts, 
  � savoir les $a-a_{0}, a\in A$.\footnote{On choisit le
  repr�sentant de la classe modulo $c$ qui est compris entre 0 et $c-1$} 
  Donc $g$ n'exc�de pas $c/d$.
  D'o� $g=c/d$ et les $a-a_{0}$ sont les multiples de $c/d$.   
\end{proof}

Une autre propri�t� tombe en une ligne :

\begin{Thm}
   Le compl�mentaire d'une gamme bien r�partie est aussi bien r�partie.
\end{Thm}
\begin{proof}
Soient $A$ et $B$ deux parties compl�mentaires (non vides) de $\zc$, de cardinaux 
$d$ et $c-d$ respectivement. Alors d'apr�s le th�or�me \ref{complementaire}
    $$
      |\mc{F_{A}}(d) | = |-\mc{F_{B}}(d) | = |-\overline{\mc{F_{B}}(-d)} |
      = |-\overline{\mc{F_{B}}(c-d)} |= |\mc{F_{B}}(c-d) |
    $$
 et l'un est maximal (parmi toutes les parties � $d$ �l�ments) si et seulement si
 l'autre l'est (parmi toutes les parties � $(c-d)-$ �l�ments).
\end{proof}
En cons�quence nous supposerons dor�navant que $c>d/2$ (le cas $c=2d$ �tant trivial).

Il est aussi �vident que le r�trograde $-A$ d'une partie bien r�partie $A$ l'est aussi,
de m�me pour les translat�s $A+p$.
Une propri�t� n'est toujours pas �vidente � partir de cette d�finition, c'est l'unicit� (�
translation pr�s) d'une partie bien r�partie de cardinal donn�. 
Cela r�sultera des propri�t�s donn�es dans la partie suivante.

\section{La formule g�n�ratrice}
\subsection{Quelques lemmes}\
  
Partant de notre d�finition, nous voulons retrouver qu'une partie bien r�partie 
est donn�e (cf. \cite{CM}, g�n�ralis� par \cite{CD}) par une formule du type
$$
    a_{k} = J_{c,d}^\alpha\lfloor\dfrac{k c + \alpha}d \rfloor
$$ 
o� $a_{k}$ d�note le $k\raise2pt\hbox{�me}$ �l�ment de $A$
et $\lfloor x \rfloor$ est la partie enti�re de $x$.
  
Nous avons besoin d'un lemme g�om�trique.
Nous voulons exprimer plus pr�cis�ment que, par d�finition,
tous les $e^{i k d 2\pi/c}$ doivent �tre aussi proches que possible, puisque l'on
veut en maximiser la somme; de fait,

\begin{Thm}
   Consid�rons un ensemble $A$ de $d$ points \textbf{distincts} dans $\zc$; la somme
   $|\sum\limits_{k} e^{i a_{k} 2\pi/c}|$ est maximale 
   quand les points sont cons�cutifs dans \zc, i.e.
   $A$ est un translat� de $\{0,1,2,�, d-1\}$
   (on exige que les points soient \textbf{serr�s} les uns contre les autres).
\end{Thm}

Cette propri�t� pourrait �tre adopt�e comme d�finition des gammes bien r�parties,
elle a bien s�r �t� remarqu�e comme corollaire des d�finitions usuelles (\cite{CD}).
L'implication pr�sent�e ici est plus originale, elle repose\footnote{
 Ce proc�d� d'am�lioration par it�ration est utilis�, dans un contexte plus compliqu�,
 pour d�montrer le premier r�sultat de \cite{Ising}.} sur le

\begin{Lemme}[des points bien serr\'es]\

   On prend $d$ points $a_{1}, � a_{d}$ sur le cercle unit�, et on d�place
   l'un de ces points
   (disons $a_{1}$) vers la somme de tous les $a_{i}$, c'est � dire que l'on remplace
   $a_{i}$ par un $a'_{1}$ situ� sur l'arc de cercle (minimal)
   entre $a_{1}$ et $\sum\limits_{k=1}^d a_{k}$.
   Alors $|a'_{1}+a_{2}+�a_{d}| �|a_{1}+a_{2}+�a_{d}| $.

\end{Lemme}
\begin{proof}
La somme augmente car l'angle entre $\sum\limits_{k=1}^d a_{k}$
et $a'_{1} - a_{1}$ est aigu: en effet, si on pose que l'argument de $\sum a_{k}$ est 0
et que l'on prend $a_{1}, a'_{1}$ \og au dessus\fg, avec l'orientation usuelle du cercle; 
alors par convention il vient
$$ 0 < \arg a'_{1}=\theta'<\theta= \arg a_{1}�\pi
\qquad \arg (a'_{1} - a_{1}) = \arg (e^{i\theta'}- e^{i\theta'}) = 
\dfrac{\theta+\theta'-\pi}2\in ]-\frac\pi2, 0[$$
On peut aussi d�montrer ce lemme en projetant sur la droite dirig�e par $\sum a_{k}$,
ce qui donne la somme des cosinus des angles avec cette direction,
et arguer que la fonction cosinus est d�croissante sur $[0,\pi]$. 
Donc la somme des cosinus va augmenter quand on remplace $a_{1}$ par $a'_{1}$,
Or le module de la somme $a'_{1}+a_{2}+�$ est encore sup�rieur (la direction
aura chang�) � cette somme des cosinus, donc augmente \textsl{a fortiori}. 
\end{proof}

%\dessin{huddling.pdf}{10 cm}{Rangement point par point}

� partir de ce lemme, la d�monstration du th�or�me est algorithmique:
partant d'une configuration des $e^{i a_{k} 2\pi/c}$ qui comporte des trous
($A$ n'est pas translat�e de $\{0,1, �, d-1$), on effectue un d�placement comme 
dans le lemme, 
bouchant un trou avec le point voisin (le voisin vers l'ext�rieur, i.e.
dans la direction oppos�e par rapport � la somme totale). 
On peut it�rer cela jusqu'� ce qu'il n'y ait plus de trous, i.e. jusqu'� ce que
tous les points soient cons�cutifs. 
Cela se fait en un nombre fini d'�tapes (le module de la somme augmente
strictement � chaque fois, et ne peut prendre qu'un nombre fini de valeurs).
D'o� le th�or�me. \qed

Ceci nous permet de r�gler le cas o� $c$ et $d$ sont premiers entre eux, 
cas musicalement capital pour les musiciens (gammes � 5 ou 7 notes parmi 12, par exemple !).

\begin{Lemme}
    Supposons $d\wedge c=1$ et soit $A = \{ a_{1}, � a_{d}\}$ un ensemble
    bien r�parti.
    Alors il existe un d�calage $k$ tel que $d\, A$ s'�crit $k+ \{1, 2, � d\}$ et il y a
    exactement $c$ tels ensembles $A$ de cardinal $d$, tous d�duits l'un de l'autre 
    par translation.
\end{Lemme}

Cette propri�t� a d�j� �t� observ�e, notamment par divers chercheurs italiens
(\cite{Cafagna}) mais elle n'a pas �t� utilis�e � ma connaissance comme 
\textbf{caract�risation} des gammes bien r�parties.
Comme on l'�tablira ci-dessous, � un d�tail technique pr�s cela fait aussi
l'affaire m�me si $d\wedge c>1$.

\begin{proof}
 Le seul point � pr�ciser avant d'appliquer le Lemme ci-dessus 
 aux points $e^{2i \pi a_{k} d/c}, a_{k}\in A$, est que
 les �l�ments de $d\, A$ sont bien distincts: ceci r�sulte de ce que
 $x\mapsto d\times x$ est bijective dans $\zc$; vu que $d\wedge c=1$.
 Le lemme nous dit que les �l�ments de $d\, A$ doivent �tre cons�cutifs, i.e.
$d\, A$ est translat� de  $\{1, 2, � d\}\subset \zc$ et donc
$A$ est translat� de $d^{-1}\times\{1, 2, � d\}$ o� $d^{-1}\in\subset \zc$.
\end{proof}

\subsection{Engendrer toutes les gammes bien r�parties}\

\subsubsection{Cas $d\wedge c = 1$}
\begin{Thm}\label{premier}
   Avec les hypoth�ses pr�c�dentes ($d\wedge c = 1$), une gamme
   bien r�partie $A$ est une \textbf{gamme monog�ne} (\og Generated Scale\fg):
   � une translation pr�s, 
   $$
     \exists f\in\zc \mid\, A = \{ f, 2 f, � d\,f\}
   $$
\end{Thm}
\begin{proof}
   Avec les notations pr�c�dentes, on prend $f=d^{-1}\in\zc$, puis
   $A = f\times\{1, 2, � d\} $.
 \end{proof}
Ainsi par exemple les gammes majeure et pentatonique, qui sont les gammes bien
r�parties de cardinal 7 et 5 respectivement dans \zd, forment une portion du \textbf{cycle
des quintes}: elles sont engendr�es par $f=7$, car
$$
  \{0,2,4,5,7,9,11\} = \{-7, 0,7,14,21,28,35\} \pmod{12}
$$   
La relation $f=d^{-1}$ explique bien pourquoi ceci ne fonctionne
que quand $d\wedge c=1$. Le fait que les 5 premi�res notes de la gamme majeure constitue
une gamme pentatonique est remarquable, et tient � ce que $f$ (ici les quintes) comme $-f$
(ici les quartes) g�n�rent aussi bien les m�mes GBR, puisque comme on l'a vu 
le r�trograd� d'une GBR est encore une GBR.
Plus g�n�ralement on a l'�nonc�

\begin{Prop} \label{inclusComplement}
   Soit $d<c/2, d\wedge c=1$; alors une GBR de cardinal $d$ parmi $c$ est incluse dans une 
   (plus pr�cis�ment dans $c-2d+1$ distinctes) GBR de cardinal $c-d$,
   c'est � dire qu'� translation pr�s une GBR est incluse dans sa compl�mentaire.
\end{Prop}
Une c�l�bre illustration de cette propri�t� (qui semble curieusement in�dite alors qu'elle est
en filigrane dans \cite{CD}) est l'�tude 5 en sol b�mol majeur, opus 10, de Chopin, dans 
laquelle la main droite ne joue que des touches noires, la main gauche �tablissant dans le m�me
temps diverses tonalit�s compatibles:

%\dessin{opus10n5.pdf}{15 cm}{Chopin, op. 12 N� 5}

Enfin, cette propri�t� de monog�n�it�, avec $f=-d^{-1}$ (le signe servant � pr�server le m�me ordre 
sur le cercle trigonom�trique entre les $1,2�d$ et les �l�ments de $A$)
a �t� mise en avant par \cite{Cafagna} \textsl{et alii} en tant qu' \textbf{index},
au sens topologique (Poincar�). 
Avec notre d�finition m�trique des gammes bien r�parties, cette propri�t� est 
encore plus riche de sens.\medskip

Il est maintenant possible de prouver la formule de \cite{CD}, dans
ce cas $d\wedge c = 1$.

\begin{Thm}
    Nous supposons toujours que $d\wedge c=1$ et que
     $A = \{ a_{1}, � a_{d}\}$ est une gamme bien r�partie.
    Alors � translation pr�s, $A$ est l'ensemble 
    $-\{0, \lfloor \dfrac{c}d\rfloor,� \lfloor \dfrac{(d-1)c}d\rfloor\}$.
\end{Thm}
\begin{proof}
   Nous savons que $d\, A = \{0,� d-1\} \in\zc$ (� translation pr�s).
   
   Consid�rons les nombres rationnels suivants 
   $0, -\dfrac{c}d,� -\dfrac{(d-1)c}d$:
   leurs parties enti�res sont distinctes, car $c>2d$; de m�me quant � 
   leurs parties fractionnaires, cela parce que $d$ est premier avec $c$. 
   
   Les r�sidus modulo $c$ des quantit�s $d\lfloor \dfrac{k c}d\rfloor$, identifi�s
   � leur repr�sentant dans $[1-c, 0]$, tombent entre $-d+1$ et 0, car 
   $$\dfrac{k c}d - 1 < \lfloor \dfrac{k c}d\rfloor� \dfrac{k c}d 
   \qquad
   k\,c - d< d  \lfloor \dfrac{k c}d\rfloor�  k\,c 
   $$
   Quand $k$ varie de 1 � $d$, les $d$ entiers $k\,c - d\lfloor \dfrac{k c}d\rfloor$
   se retrouvent donc entre 0 et $d-1$; de plus ils sont distincts, puisque comme �voqu� ci-avant
   les parties fractionnaires des $\dfrac{k c}d$ sont distinctes: 
   $$
     k\,c - d\lfloor \dfrac{k c}d\rfloor =    d\bigl(\dfrac{k\,c}d - 
   \lfloor \dfrac{k c}d\rfloor \bigr) =  d\cdot \text{frac}\left (\dfrac{k c}d\right)
   $$
   donc ces $d$ entiers forment exactement l'ensemble $0,� d-1$, c'est � dire que,
   modulo $c$,
$$
      d\times \{  0, -\lfloor \dfrac{c}d\rfloor,� -\lfloor\dfrac{(d-1)c}d\rfloor\} 
    \equiv \{0,� d-1\}  \quad\text{et donc}\quad   
     A = d^{-1}\times \{0,� d-1\} 
     = -\{0, \lfloor \dfrac{c}d\rfloor,� \lfloor\dfrac{(d-1)c}d\rfloor\}
$$
 C'est bien la formule annonc�e.
\end{proof}
\begin{Rem}
 Consid�rons une famille similaire, mais sans le signe - :
 $$\{0, \lfloor \dfrac{c}d\rfloor,� \lfloor\dfrac{(d-1)c}d\rfloor\}$$
 Comme elle est d�duite de $A$ par inversion, elle fournit aussi une gamme
 bien r�partie, donc � translation pr�s c'est $A$ comme on l'a vu.
 On peut donc �noncer le th�or�me pr�c�dent sous une forme plus simple encore:
 
 \og $A$ s'�crit $\{0, \lfloor \dfrac{c}d\rfloor,� \lfloor \dfrac{(d-1)c}d\rfloor\}$
 � translation pr�s\fg.
\end{Rem}
\begin{Rem}
 Plus g�n�ralement, on peut raisonner avec les entiers imm�diatement
 sup�rieurs, ou l'entier le plus proche, au lieu des parties enti�res. 
 En fait, ainsi que le fait remarquer \cite{CD}, une forme plus g�n�rale
 quoique �quivalente de la s�quence donnant $A$ est
$$k\mapsto J_{c,d}^\alpha (k) =\lfloor \dfrac{k c + \alpha}d \rfloor$$
avec $\alpha$ r�el arbitraire. Ce n'est pas difficile de le prouver en
reprenant la discussion pr�c�dente adapt�e � cette nouvelle famille.
Le choix $\alpha=1/2$, �ventuellement combin� avec l'inversion de $A$ en -A (ce qui change de fait
$k$ en $c-k$) permet effectivement de passer de l'une � l'autre des trois fa�ons
usuelles d'approximer un r�el par un entier.
\end{Rem}
\subsubsection{Le cas $d\wedge c>1$}
\begin{Thm} \label{nonPremier}
    Soit $A = \{ a_{1}, � a_{d}\}$ une gamme bien r�partie.
    Alors $A$ est engendr�e par une formule comme ci-dessus:
    $$A = \{ \lfloor \dfrac{k d + \alpha}c \rfloor \mid k=0�d-1\}$$
    Quand $m=c\wedge d $ est strictement sup�rieur � 1, 
     $A$ est $c/m-$ p�riodique (un mode � transposition limit�e, pour reprendre
    la notion du compositeur Olivier \textsc{Messiaen}), obtenue comme orbite 
    sous la translation de $c/m$ d'un domaine fondamental qui est lui-m�me une
    gamme bien r�partie monog�ne de cardinal $d/m$ dans $\mathbf Z_{c/m}$.
\end{Thm}
\begin{proof}
   Remarque: il est tentant de faire cette d�monstration � coups de structures quotients et
   de suites exactes, mais nous avons pr�f�r� des arguments plus concrets, �tant donn�e la
   nature appliqu�e des objets consid�r�s.
   
   Seul le cas $m=c\wedge d >1$ reste � consid�rer, l'autre �tant �lucid�.
   Il n'est plus possible que tous les �l�ments de $d\, A$ soient cons�cutifs dans $\zc$, car
   
   \begin{Lemme}
     L'application $\varphi:x\mapsto d\, x$ de $\zc$ dans lui-m�me a pour image le sous-groupe
     $\pmb{m\, \zc}\approx \mathbf{Z}_{c/m}$ cyclique d'ordre $c/m$.
     Chaque �l�ment de l'image a $m$ ant�c�dents, translat�s les uns des autres
     de $c/m$: $\ker \varphi = c/m\, \zc$.
   \end{Lemme}
   Pour maximiser $IC(A)(d)=|\mc{F}_{A}(d)|^2$, le mieux que l'on puisse obtenir
   est que les �l�ments de $d\, A$ soient cons�cutifs \textbf{dans $\pmb{m\, \zc}$}, 
   i.e.
   $$
     d\, A = m\, \{0,1,2 � \dfrac{d}m-1\}
          = m\, \{0,1,2 � d'-1\} \quad\text{en posant }d' = d/m.
   $$
   Attention: $A'=d\, A$ a alors $d'=d/m$ elements, et pas $d$ comme $A$. C'est qu'en fait
   on peut voir $d\, A$, image de $A$ par $\varphi$, non comme un
   ensemble mais comme un \og multiset\fg: chaque �l�ment
   de $d\, A$ est r�p�t� $m$ fois, comme image de $m$ �l�ments distincts de $A$.   
   
   %\dessin{multiSet.pdf}{12cm}{Optimisation de $A'$}
   
   Donnons un exemple: la configuration
   $4\times\{0,3,5,8\}=\{0,2,0,2\}\subset\mathbf{Z}_{10}$ 
   est optimalement serr�e, plus que $\{0,2,4, 2\}$ ou toute autre configuration plus
   \og l�che\fg, dans $4\,\zd = 2\,\zd$.
   
   On prouve que la configuration $ d\, A = m\, \{0,1,2 � \dfrac{d}m-1\}$ 
   (au sens o� chaque �l�ment est r�p�t� $m$ fois) par le lemme des points bien serr�s: 
   si le multiset $d\, A$ \textbf{n'est pas} constitu� de $d'=d/m$ �l�ments cons�cutifs r�p�t�s
   chacun $m$ fois, alors on peut augmenter la somme des exponentielles
   en rapprochant un des points de la somme de tous. On it�re jusqu'� obtenir une
   configuration maximale (cf. figure).
      
   Ceci �tant acquis, nous avons vu comment obtenir
   $d' A' = \{0,� d'-1\}$ modulo $c' = c/m$: il suffit de poser
   $$
     A' = -\{0, \lfloor \dfrac{c'}{d'}\rfloor,� \lfloor \dfrac{(d'-1)c'}{d'}\rfloor\}
     =-\{0, \lfloor \dfrac{c}{d}\rfloor,� \lfloor \dfrac{(d'-1)c}{d}\rfloor\}
  $$
  N.B.: $c', d'$ sont premiers entre eux, et $A'$ rel�ve donc du cas pr�c�dent: 
  c'est une gamme bien r�partie dans $\mathbf Z_{c'}$ (un sous-cycle, \og subcycle\fg, 
   dans la terminologie de \textsc{Cohn}, cf. \cite{Quinn}).
  
  On tient alors $A$ tout entier en rajoutant � $A'$, plong� dans $\zc$, le noyau de $\varphi$,
  i.e. en translatant $A'$ des multiples de $c'=c/m$, car comme on l'a dit 
  $$
    a\in A \iff \exists k\in [0, d'-1],\ d a = k \pmod c\iff 
   d' a = m^{-1} k \pmod c' \iff a\in A' \pmod c'=c/m
  $$
  En r�sum�,
  $$
      A    = A' \oplus \{0, \dfrac{c}m, \dfrac{2c}m, �\}
   $$
  Donc $A$ est un Mode � Transpositions Limit�es\footnote{Pour
   prendre une d�finition math�matique, et non la d�finition (musicale !) de \textsc{Messiaen}, 
   nous dirons qu'un M.T.L.
  est une partie  de $\zc$ dont l'orbite sous l'action des translations a moins
  de $c$ �l�ments distincts, ou encore qu'elle admet un fixateur non trivial}. 
  De plus, nous avons, encore (modulo $c$),
   $$
     A= -\{0, \lfloor \dfrac{c}{d}\rfloor,� \lfloor \dfrac{(d-1)c}{d}\rfloor\}
   $$
  En effet, pour $k�d'$ on �crit $k = q d' + r, 0�r<d'$ d'o�
  $$
    \lfloor \dfrac{k c}{d}\rfloor = \lfloor \dfrac{(q d' + r)c'}{d'}\rfloor
    = q c' + \lfloor \dfrac{r c}{d}\rfloor \in (A' + q c')
  $$  
  Nous avons �tabli (� translation pr�s) que les formules du type \cite{CD}
  engendrent toutes les gammes bien r�parties.
\end{proof}
\begin{Rem}\label{nombreBGR}
  Le nombre de gammes bien r�parties distinctes est $c'=c/m$ (ce n'est $c$ que si
  $d\wedge c = 1$), et toute \textbf{inversion} d'une gamme bien r�partie
  est toujours une \textbf{translat�e} d'elle m�me: le groupe des inversions-translations
  (i.e. les applications de la forme $x\mapsto \lambda \pm x$ dans $\zc$)
  n'agit pas fid�lement sur l'ensemble des gammes bien r�parties.
  
  Par exemple, le prototype de $GBR_{10,4}$ est $(0,3,5,8)$.
  La gamme r�trograd�e est $10 - (0,3,5,8) = (2,5,7,0) = (0,3,5,8) + 2$.
\end{Rem} 
Notons dans le m�me esprit que la proposition \ref{inclusComplement} reste vraie
pour ces GBR g�n�rales (non monog�nes): une r�duction au quotient modulo $c'$
ram�ne au cas $c',d'$, et (pour $d'<c'/2$) d'un $GBR(c',d')\subset GBR(c', c'-d')$ on d�duit
$GBR(c,d)=GBR(c',d')+c'\Z \subset GBR(c', c'-d') + c'\Z = GBR(c,c-d)$.

\subsection{Une propri�t� des intervalles cons�cutifs}\

� partir des formules ci-dessus, on obtient bien, mais comme cons�quence, 
 la propri�t� de \textsc{Myhill}) qui permet de retrouver la d�finition am�ricaine 
 (\cite{CM}, \cite{CD}) des gammes monog�nes \textbf{bien form�es}
 (\og Well Formed\fg):

\begin{Thm}
   Les intervalles entre deux notes cons�cutives d'une gamme bien r�partie
   ne peuvent pas prendre plus de deux valeurs distinctes. Il y a une seule valeur
   si et seulement si la gamme divise �galement $\zc$.
\end{Thm}
Ce dernier cas est consid�r� comme d�g�n�r� (\og not Well Formed\fg).
Remarquons que ce r�sultat est valide aussi pour les intervalles entre notes
\textbf{d'indices} � une distance constante, le cas des notes cons�cutives
�tant celui d'une diff�rence d'indices de 1. C'est sous cette forme plus forte qu'est
g�n�ra\-le\-ment �nonc�e la propri�t� de \textsc{Myhill}. Clarifions par un exemple :
dans le cas de la gamme majeure $GBR_{12,7}$, dont une instance est
$(0,2,4,5,7,9,11) = $(do, r�, mi, fa, sol, la, si),
les intervalles (chromatiques)
entre deux notes cons�cutives sont de deux demi-tons, sauf mi-fa et si-do
qui sont d'un seul demi-ton: il existe des secondes majeures et des secondes mineures, 
contrairement � d'autres gammes non bien r�parties, comme la gamme mineure 
par exemple $(0,2,3,5,7,8,11)$ qui contient aussi des secondes augment�es.
Revenons � la gamme majeure : les intervalles de deux en deux sont les 
\textbf{tierces} do-mi, r�-fa, mi-sol etc�
qui contiennent trois (tierces mineures) ou quatre (tierces majeures) demi-tons.
Il y a de m�me deux sortes de quartes (do-fa et fa-si), de quintes, etc�
Revenons � la preuve du th�or�me:

\begin{proof}
  Les deux valeurs possibles sont tout bonnement les entiers imm�diatement voisins
  de $c/f$ o� $f$ est le g�n�rateur dans les formules pr�c�dentes.
 En effet, on a par l'encadrement classique de la partie enti�re
 $$
    \dfrac{c}d - 1 = \dfrac{(k+1)c}{d} - 1 - \dfrac{k\,c}{d} <
    \lfloor \dfrac{(k+1)c}{d}\rfloor - \lfloor \dfrac{k\,c}{d}\rfloor
    < \dfrac{(k+1)c}{d} - (\dfrac{k\,c}{d}-1)
    = \dfrac{c}d + 1
 $$
 et cet intervalle ouvert est de largeur 2, donc contient deux entiers, nomm�ment
 $\lfloor \dfrac{c}d \rfloor$ et  $\lceil \dfrac{c}d \rceil$.
 
 Les deux sont possibles quand $c/d$ est non entier: le plus grand quand
 $\dfrac{k\,c}{d}$ est non entier, le plus petit par exemple pour $k=0$.
 
 Si $c/d = m$ est un entier en revanche, on a toujours 
 $\lfloor \dfrac{k\,c}{d}\rfloor = \dfrac{k\,c}{d}=k\,m$
 donc l'intervalle entre deux �l�ments cons�cutifs vaut toujours $m$.
 
 Nous avons �tabli que les intervalles de \og seconde\fg\ (entre deux
 notes cons�cutives d'une m�me gamme) peuvent prendre seulement
 deux valeurs distinctes, qui sont les deux arrondis d'un m�me rationnel.
 Enfin, on trouve de m�me les intervalles de \og tierce, de quarte�\fg, en consid�rant
 les arrondis de $\dfrac{2c}d, \dfrac{3c}d$�
\end{proof}
Par exemple, les intervalles cons�cutifs entre les �l�ments de la gamme majeure
($(c,d)=(12,7)$) sont 2 (cinq fois) et 1 (2 fois).

\subsection{Cardinal et vari�t�}\ 

Une autre jolie propri�t� qui a originellement amen� \cite{CM} � leur d�finition (dans le cas
o� $c\wedge d = 1$ seulement) est �quivalente � la propri�t� de \textsc{Myhill}
�voqu�e ci-dessus (qu'elle g�n�ralise), et facile � �tablir comme cons�quence des formules
g�n�ratrices retrouv�es dans le pr�sent expos�. Donnons l� d'abord sur un exemple : 
si on cherche les $GBR_{7,3}$ \textbf{dans l'univers diatonique}, c'est � dire
en num�rotant les notes de la gamme de do majeur, on obtient 7 accords, 
do-mi-sol, r�-fa-la, etc�
Ces accords se trouvent r�partis en trois types (majeur, mineur, diminu�).
Trois notes, trois types: la cardinalit� est �gale � la vari�t�, i.e. au nombre d'orbites modulo 
transposition. Ce concept est musicalement tr�s important car li� � la notion d'ambigu�t�.
Math�matiquement il est sans doute moins naturel que la notion de \og bonne r�partition\fg.

\begin{Thm}\cite{CM2}
   Consid�rons pour $c\wedge d =1$ une $GBR_{c,d}$, que l'on �crit sous la forme
   \textbf{ordonn�e} $(a_{1},� a_{d})$. Alors pour tout $k<d$, il y a exactement
   $k$ orbites par translation des $d$ s�quences $S_{k,i} =(a_{i}, a_{i+1}, � a_{i+k-1})$ 
   o� les indices sont pris modulo $d$.
\end{Thm}

%\dessin{varCard.pdf}{15cm}{ Deux sortes d'intervalles cons�cutifs }

\begin{proof}
  Plut�t que de donner la d�monstration dans toute sa g�n�ralit� (cf. \cite{CD}, thm 1.10)
  je pr�f�re mettre en lumi�re la compr�hension fine du ph�nom�ne qu'apporte la
  transformation $A'\ni x\mapsto f x \in A$.
  Il arrive en effet fr�quemment, mais pas syst�matiquement, que l'ordre des �l�ments
  de $A$ soit le m�me que l'ordre des �l�ments de $A'$. C'est le cas par exemple quand
  $d<\!\!< c$, comme pour $c=15, d=4$. Alors comme en fait foi la figure, 
  il est clair qu'il n'y a que $d$ types de s�quences d'�l�ments contigus de $A'$, et donc
  (puisqu'on a suppos� que l'homoth�tie $x\mapsto f\times x\mod c$ conserve cette contigu�t�)
  il en est de m�me pour $A$, ce qui est la propri�t� � d�montrer.
  
  Le cas o� les �l�ments de $A'$ correspondant aux s�quences d'�l�ments contigus de
  $A$ ne le sont pas, comme par exemple la gamme pentatonique
  $(0,2,4,7,9)\subset\zd, f=5$ est moins �vident g�om�triquement, mais gu�re difficile �
  prouver alg�briquement avec les fonctions $J_{c,d}^\alpha$.
\end{proof}
Par ailleurs on trouvera dans \cite{CD} le cas $c\wedge d>1$ (le nombre de cas
distincts est alors $d' = d/(c\wedge d)$).

\section{Classification des gammes bien r�parties}
L'essentiel de ce paragraphe repose sur la tr�s belle synth�se de \cite{Quinn},
qui reprend et compl�te \cite{CD}.

Pour chaque couple  $(c,d)$ nous avons caract�ris� une unique gamme
(� translation pr�s) $GBR_{(c,d)}$. Nous allons �tudier de plus pr�s la structure fine de 
cet objet remarquable.

\subsection{Les trois types de GBR}\

La discussion porte sur les facteurs communs � $c$ et $d$. On pose encore
$m = d\wedge c$.

\begin{Def}
    On a une GBR de type $I$ quand $m=1$. Cette gamme est alors monog�ne
    et bien form�e (WF) au sens expliqu� ci-dessus.
\end{Def}
Rappelons que dans ce cas, on obtient cette gamme (� translation pr�s)
en consid�rant les multiples de l'inverse multiplicatif (modulo $c$) $f$ de $d$,
ou les multiples de $-f$.

\begin{Def}
    On a une GBR de type $II_{a}$ quand $m=d$ i.e. $d\mid c$. 
    Cette gamme est alors monog�ne et d�g�n�r�e, elle divise de fa�on parfaitement
    r�guli�re $\zc$.
\end{Def}
Ainsi la septi�me diminu�e $D7 = (0,3,6,9)$ divise $\zd$ en 4. De m�me 
pour la gamme par tons (M1 de Messiaen) $(0,2,4,6,8,10)$.

\begin{Def}
    On a une GBR de type $II_{b}$ quand $1<m = c-d<d$. 
    On a alors affaire au compl�mentaire d'une gamme de type $II_{a}$.
\end{Def}
C'est imm�diat: le compl�mentaire est de cardinal $m$, qui divise $c$,
et c'est une GBR comme compl�mentaire de GBR.

\begin{Def}
    On a une GBR de type $III$ dans le cas restant: $1<m<d, m� c-d$.    
\end{Def}
Notons que la classe des GBR de type $III$ est stable par compl�mentation, comme
les deux autres classes.

Les deux derni�res classes r�unissent toutes les GBR qui poss�dent une \textbf{p�riode interne},
c'est � dire qui sont des MTL (cf. thm \ref{nonPremier}). Elles sont donc toutes obtenues comme
r�union de translat�es d'une GBR plus petite.
On peut arguer, avec \textsc{Clampitt} \textsl{et alii}, que les GBR de type $I$ sont fondamentaux, au sens
o� ils permettent d'�crire tous les autres: on obtient comme on l'a vu un GBR de type $III$
en d�coupant $c$ en $m$ parties �gales (comme le type $II_{a}$) et en glissant dans chaque 
partie le m�me GBR de type $I$ correspondant � $d'$ notes parmi $c'=c/m$.

%\dessin{typeIII.pdf}{12cm}{Une GBR de type III}

\subsection{Existence de gammes de type III}\ 

Le r�sultat prouv� dans ce dernier paragraphe est in�dit.

On a observ� (\cite{Quinn}) qu'il n'existe pas de gammes de type $III$ pour $c=12$,
qui est tout de m�me le cas de r�f�rence pour les musiciens (occidentaux).
Pourtant il en existe pour $c�12$, par exemple pour $c=18$ on a
$GBR_{(18,8)} = (0,2,4,6,9,11,13,15)$ comme on le voit sur la figure pr�c�dente.

Bien s�r, il est impossible d'avoir une GBR de type $III$ quand $c$ est premier, car alors
seul le type $I$ est possible (� part les cas tr�s limites de $GBR_{(c,0)}$ ou $GBR_{(c,c)}$).

Jusqu'en juin 2005 on n'avait pas trouv� de $c$ composite, $c>12$, pour lequel il n'existe pas
de GBR de type $III$. Ceci est g�n�ral:

\begin{Thm}[Amiot, juin 2005]
    Pour $c>12$ composite, il existe toujours $d$ tel que $GBR_{(c,d)}$ soit de type III.
\end{Thm}
Ma premi�re preuve reposait sur la conjecture de Bertrand, outil bien lourd (avec sa fameuse d�monstration 
en 17 lemmes d�e � Pafnouti Tchebitchef !) pour le simple lemme suivant:

\begin{Lemme}
    Pour tout $c>12$ non premier, il existe un diviseur $k$ de $c$ et un nombre premier $p<k-1$
    tel que $p$ ne divise pas $k$.
\end{Lemme}
J'ai depuis trouv� une preuve plus �l�mentaire de ce lemme:

\begin{proof}
   Notons que ce lemme est faux pour $c=12$, car au maximum $k=6$ et les nombres 
   premiers \textbf{strictement} inf�rieurs � 5 divisent tous 6.
   
   Prenons $c$ composite sup�rieur ou �gal � 25, les valeurs inf�rieures sont v�rifi�es � la main. 
   Soit $k$ le plus grand diviseur strict de $c$. Qu'il soit pair ou impair, on l'�crit
   $k = 2n+1$ ou $k = 2 n+2$. Comme $k�\sqrt c$, on a $k�5$ et $n�2$.
   
\begin{itemize}
\item Premier cas: c est une puissance de 2.
On pose alors $k=c/2, p=3$. Marche d�s que $c�8$.
\item
Second cas: $c$ poss�de un facteur \textbf{impair} $k >3$
(pas forc�ment premier).
On prend cette valeur pour $k$, et on pose $p=2$. 
C'est la construction la plus sexy de toutes: par exemple
$ (0, 2, 4, 6, 8, 9, 11, 13, 15, 17)$ quand $c=18$.
Cela marche pour $c�10$.
\item
Dernier cas: quand $c = $ une puissance de 2, fois 3.
En v�rit� c'est  quand $c=2\times2\times3$ que le lemme s'av�re faux.
Nous tenons donc bien le cas probl�matique, mais il n'est pas difficile:
d�s que $c�24$ on pose $k=c/2$ et $p=5$, qui conviennent.
\end{itemize}
\medskip
   
   Maintenant le th�or�me d�coule de ce que 
   $$j \mapsto \lfloor \dfrac{k j}p\rfloor
   =  \lfloor \dfrac{j c}{c p/k}\rfloor
   $$
   donne une GBR, qui est forc�ment de type $III$ car elle n'est ni de type $I$ ni de type $II$:
   en effet elle est r�union des translat�s de $GBR_{(k,p)}$ qui est de type $I$ 
   (ce n'est \textbf{pas} une division r�guli�re de $\mathbf{Z}_{k}$).
\end{proof}

\subsection{R�cursivit� des GBR}\ 

La gamme pentatonique de $\zd$ est une GBR dans la gamme � 7 notes de $\zd$.
Pour $(c,d)=(7,5)$ on trouve en effet la GBR $(0,1,2,4,5)$.
Si l'on injecte ces valeurs comme indices dans 
la gamme majeure $GBR_{(12,7)} = (0,2,4,5,7,9,11) $ on trouve
$(0,2,4,7,9)$ qui n'est autre que la gamme pentatonique $GBR_{(12,5)}$ !
(compl�mentaire, ici, de la pr�c�dente).

De m�me, extraire 3 notes selon le sch�ma $GBR_{(7,3)}$ de la gamme majeure
$GBR_{(12, 7)}$ on obtient (selon d�calage) les diff�rents accords parfaits, 
majeur ou mineur.

% Exemple

Ce ph�nom�ne ne se produit pas pour toutes les valeurs, mais il est assez remarquable 
pour m�riter d'�tre mentionn�. Il est � rapprocher de la construction des gammes 
par r�duites successives d'une m�me fraction continue, cf. \cite{Clampitt}\footnote{ 
Pour mettre le lecteur en app�tit, observons que 3/5, 7/12,� sont des r�duites
du DFC de $\log_{2}(3/2)$ qui fonde classiquement la gamme pythagoricienne�}. 
Comme l'obervaient d�j� Clough et Douthett dans l'article fondateur \cite{CD},
cela n'est pas si �tonnant puisque l'on consid�re des sous-polygones 
\textsl{aussi r�guliers que possible} de polygones \textsl{aussi r�guliers que possible}.
Cela leur permettait de d�finir des \textbf{GBR de seconde esp�ce}, comme �l�ments d'indices
$i\in GBR(d,e)$ d'un $GBR_{c,d}$. De l'univers entier � ces objets, on passe par
le chromatique (12 notes), le diatonique (7 notes), et la fonction tonale (3 notes)!
Cela a �t� joliment formalis� par un mod�le que Jack Douthett a pr�sent� l'�t� dernier 
� un colloque d�di�
� la m�moire de John Clough, celui des \og beacons\fg : on dispose une lumi�re centrale
dans une pi�ce circulaire, munie d'ouvertures r�guli�rement r�parties, imbriqu�e 
dans une structure similaire, avec la contrainte peu physique qu'un rayon lumineux 
\textbf{glisse} jusqu'� l'ouverture la plus proche dans le sens des aiguilles d'une montre (!).

Ceci permet de g�n�rer les fonctions 
$J:k\mapsto \lfloor \dfrac{k d + \alpha}c \rfloor$ obtenues plus haut, 
et surtout de les imbriquer les unes dans les autres. Les cas o� l'on obtient des ensembles
moins bien �quilibr�s ne manquent pas d'int�r�t, puisque l'on obtient ainsi, par exemple,
des s�quences d'accords parfaits que l'on retrouve dans la IX\up{e} de Beethoven !



\section{Conclusion}
\subsection{Historique}\ 

Nous pr�sentons ici un historique tr�s sommaire.
� l'origine, \textsc{Clough} et \textsc{Myerson} (\cite{CM}) 
ont inventori� essentiellement le cas $c\wedge d=1$.
Leur d�marche est partie de propri�t�s musicales, comme (Cardinal = Vari�t�) et
la propri�t� de \textsc{Myhill} (au plus deux valeurs chromatiques diff�rentes pour les intervalles
diatoniques) et aboutissait aux fonctions g�n�ratives du type $J$.

C'est avec Jack \textsc{Douthett} que John \textsc{Clough} 
a �tendu la propri�t� \og Maximally Even\fg\ (i.e. \og bien r�parti\fg)
� sa forme la plus g�n�rale (\cite{CD}). Jack \textsc{Douthett} a par ailleurs d�montr� que
cette propri�t� de bonne r�partition admettait une infinit� de d�finitions �quivalentes,
en termes de fonctions potentielles strictement convexes sur un r�seau d'�lectrons situ�s sur un cercle
\cite{Ising}. Ainsi de la d�finition avec les sommes des distances euclidiennes
que nous avions consid�r�e, puis abandonn�e\footnote{ Incidemment, ceci
 d�montre le th�or�me de Toth cit� en introduction.}; mais aussi par exemple du potentiel
�lectrostatique d'une r�partition d'�lectrons sur les sites de $\zc$,
avec une interaction coulombienne. En revanche la distance angulaire n'est \textbf{pas}
strictement convexe et l'on comprend (un peu) mieux pourquoi elle ne donne pas les
m�mes ensembles extr�maux.

Ce r�sultat, qui �tablit un lien pour le moins surprenant avec la physique des particules,
montre que nous entrons dans une �re nouvelle, o� les recherches de th�oriciens de la
musique sont susceptibles d'ouvrir de nouveaux horizons dans d'autres sciences.\footnote{
Toutes proportions gard�es, il en est de m�me pour mes propres recherches liant les
canons rythmiques � certains cas de la conjecture de \textsc{Fuglede} \cite{GdM}.}

Ensuite une autre propri�t� des gammes a �t� �tudi�e pour elle-m�me par Norman
\textsc{Carey} et David \textsc{Clampitt} (\cite{CC}):
la \og Well Formedness\fg \ (gammes bien form�es). Dans le contexte de cet article,
il s'agit des GBR dans le cas $c\wedge d = 1$.
Cette notion permet de s'affranchir (plus ou moins) du pr�suppos� d'un total chromatique,
d'un univers ambiant temp�r�, mais il s'agit par d�finition 
du cas particuliers des gammes monog�nes.
Une diff�rence ontologique avec les cas pr�c�dents est que
l'on y retrouve les gammes \textbf{naturelles}, comme la gamme pythagoricienne engendr�e par
le rapport 3/2 et ses puissances\footnote{ Ce qui correspond � placer sur le cercle des
points d'argument multiple de $\log_{2}3/2$}, et le concept de gamme \textbf{bien form�e}
permet de consid�rer comme gammes isomorphes � celle-l� toute gamme
monog�ne de g�n�rateur suffisamment voisin\footnote{entre $2^{1/2} $ et $2^{3/5}$
plus pr�cis�ment.}
de 3/2, comme en fait fois le dessin suivant o� le choix du g�n�rateur fait que les notes de
la gamme restent dans l'ordre princeps (un polygone \textbf{r�gulier}, mais �toil�):

%\dessin{quintesWF.pdf}{16 cm}{Trois gammes bien form�es.}

On gagne ainsi des propri�t�s \textbf{topologiques} des gammes (hom�omorphisme,
voisinage, mais aussi \og Winding number\fg, i.e. index au sens de Poincar�,
cf. \cite{Cafagna}).
Cela peut se poursuivre par des �tudes de s�quences infinies, comme l'est celle des
$n \log_{2} 3/2\mod 1$ qui surgit de la gamme pythagoricienne, mais aussi bien
avec tout irrationnel. Les propri�t�s de semi-r�cursivit� �voqu�es plus haut
peuvent s'interpr�ter par des cheminements dans l'arbre de
\textsc{Stern-Brocot}. Pour cela, avec de belles propri�t�s d'autosimilarit�, voir 
\cite{Noll}.


Enfin et ind�pendamment de ces d�veloppements foisonnants, c'est en recherchant dans les diverses
th�ories musicales les accords ou gammes les plus \og typiques\fg\ que Ian \textsc{Quinn}
est retomb� sur les GBR. Cherchant par ailleurs � d�finir rigoureusement cette
 typicit� en terme de contenu intervallique, il a utilis� les \og balances de Lewin\fg,
 introduites par celui-ci dans son dernier article (\cite{Lewin03}) en un �mouvant
 retour aux sources de sa toute premi�re publication. Et c'est Ian \textsc{Quinn}
 qui aura remarqu� que les GBR maximisent une valeur d'une transform�e de Fourier discr�te,
 ce r�sultat -- le plus r�cent historiquement -- �tant la propri�t� que le
 pr�sent article a choisi de prendre comme d�finition des GBR.
 
\subsection{Perspectives}\ 

Il reste � �tudier ce que ces outils \textbf{harmoniques}, au sens d'analyse de Fourier, permettent
de pr�ciser dans un contexte plus large, o� les intervalles ne
sont plus des diviseurs d'une m�me totalit� (temp�rament �gal).
Techniquement cela n'est pas trop difficile -- quitte � consid�rer des distributions et
non plus des fonctions -- mais il est alors n�cessaire de r�introduire un peu
 de structure. Cela est possible en prenant
de nouveau en compte un ordre des notes dans la gamme, ce qui fait sens
notamment pour les gammes monog�nes (generated scales). On peut
alors d�finir la transform�e de Fourier de la fonction qui � $k\in\Z/d\Z$ associe
la $k\up{e}$ note de la gamme, ce qui n'est \textbf{pas} la d�finition que nous avons utilis�e.

Les recherches en cours ont d�j� r�v�l� certaines propri�t�s g�om�triques remarquables,
mais pas caract�ristiques, des coefficients de Fourier de certaines gammes. 

\subsection{Remerciements}\ 

Merci � D. Clampitt, Thomas Noll, Richard Cohn, Ian Quinn� et � feu David Lewin,
dont les id�es continuent de r�pandre leur lumi�re.


%%%%%%%%%%%%%
%   AJOUTER FIGURES BGM type III (c=10), PROGRAMMES MATHEMATICA
%%%%%%%%%%%%%

\begin{thebibliography}{99}

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\end{thebibliography}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\end{document}

math0604210.extracted_bib
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