� ���������������� � ������� � ���������
���� �. �.
��������� ���������� ���������������� ����� ����� � ����� �������� ���������� ��� ������������� ������, ������������ ������� � �������������� ���������. �������������, ������������������ ����� n--������� ���������������, ���������� �� ����� n--������� ������������, ��������� ������������. � ���� �������, ���������� ���������������� ������ ��������������� ��� ������������ �������, ����������� ������� �������� �� ������� ��������� ��������, �������� � ������� ���������������� ������������� ������������. �������, ��������������� ����� ����� ������������ � ��������� ������������ � ������������ ������ ��������� � ������� ��������� � �������� ��������������� ���������� ���� �����������. ���� � ���� ����������������� ������������� ��������� � ������� � ���������, �� ����� ����� ��������������� ��������� �������-�������������� ���������, ������� ��������� � ����������������, � ����� ������ ��� ���������� � ������� �������� ������������� ��������� ������������� ������������ ������������ �����������.
math0604111.tex
\documentclass[12pt,a4paper]{article}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsthm}
\usepackage{latexsym}
\usepackage[english,russian]{babel}

\tolerance 8000

\newcommand{\Ann}{\mathop{\rm Ann}\nolimits}
\newcommand{\Hom}{\mathop{\rm Hom}\nolimits}
\newcommand{\Ker}{\mathop{\rm Ker}\nolimits}
\newcommand{\im}{\mathop{\rm Im}\nolimits}
\newcommand{\rad}{\mathop{\rm rad}\nolimits}
\newcommand{\rk} {\mathop{\rm rk}\nolimits}
\newcommand{\soc}{\mathop{\rm soc}\nolimits}
\newcommand{\Tr}{\mathop{\rm Tr}\nolimits}
\newcommand{\tr}{\mathop{\rm tr}\nolimits}
\newcommand{\sgn}{\mathop{\rm sgn}\nolimits}
\newcommand{\vol}{\mathop{\rm Vol}\nolimits}
\newcommand{\var}{\mathop{\rm Var}\nolimits}
\newcommand{\Lvar}{\mathop{\rm Loc.var}\nolimits}
\newcommand{\Rmin}{\mathop{\rm Rel.min}\nolimits}
\newcommand{\nqz}[1]{\mathbb{#1}}

\newcommand{\abs}[1]{\lvert#1\rvert}

\renewcommand{\proofname}{��������������.}

\numberwithin{equation}{section}
\swapnumbers

\newtheorem{Theorem}{�������}[section]
\newtheorem{Proposition}{�����������}[section]
\newtheorem{Corollary}[Theorem]{���������}
\newtheorem{Lemma}[Theorem]{�����}
\newtheorem{Example}[Theorem]{������}
\theoremstyle{definition}
\newtheorem{defn}{�����������}[section]
\theoremstyle{remark}
\newtheorem{rem}{���������}[section]

\def\?{\marginpar{$\bullet\bullet\bullet$}}

\title{� ���������������� � ������� � ���������}
\author{���� �. �.}
\date{23 ����� 2007}

\begin{document}
\maketitle
\begin{abstract}

��������� ���������� ���������������� ����� ����� � ����� ��������
���������� ��� ������������� ������, ������������ ������� �
�������������� ���������. �������������, ������������������ �����
n--������� ���������������, ���������� �� ����� n--�������
������������, ��������� ������������. � ���� �������, ����������
���������������� ������ ��������������� ��� ������������ �������,
����������� ������� �������� �� ������� ��������� ��������,
�������� � ������� ���������������� ������������� ������������.
�������, ��������������� ����� ����� ������������ � ���������
������������ � ������������ ������ ��������� � ������� ��������� �
�������� ��������������� ���������� ���� �����������. ���� � ����
����������������� ������������� ��������� � ������� � ���������,
�� ����� ����� ��������������� ��������� �������-��������������
���������, ������� ��������� � ����������������, � ����� ������
��� ���������� � ������� �������� ������������� ���������
������������� ������������ ������������ �����������.

\end{abstract}

\section{�����������}

������ ����� ��������� � ���������� �������������� �������, �. �.
� ������� ����������� ��������, ��� ��������� ������������
�����������, � ������� ��� ����� ���������� ��������� ��
��������������� �������, ��������, \cite{���}. ������, ����
������������ ������������� ������ ��������� ������������
������������. �������������, ����� ���� ����� ������ ��������
$(A,B,F)$, ��� $F=\{(a,b)\}\ne \varnothing$, ��� $a\in A$, $b\in
B$. ����� �� ��������� �������������� ������� ����������� $F$ �
������������ ������������ $f:A \to B$, ���� � ����, ��� ������
���� �� $F$ ����� ���� ������������ �������� ������������ $a \to
b$, ��� $b=f(a)$ ��� ������������ ������������ � $b \in f(a)$ ���
������������� ������������. ������ � ���, ������� $(B,A,F^{-1})$,
��� ����� ����� ��������� ���� �������, ������ ��������
�����������. ���� $\forall \: a\: \exists \: b \quad (f(a)=b)$, ��
�� ������� �� ����������� ����������� ����� $A$ � ��� �����
������������ � ������������� ������������� �� �����������.
�������� ����������� $F$ �� $A'\subset A$ �� ������� �����
����������� $f'=f\vert_{A'} :A'\to B$, ������� �������������
�������� $(A',B,F')$, ��� ��������� $F'\subset F$ �����������
���������� $A'\subset A$; �.�., ����������� �� $F$ �������,
��������� �� ������������ $A\backslash A'$.

���������� ������� ����������� ������ �� ����� ���������� �����
������� ��� ����������� � ������������ �����������. �����������
������������ ����� ���� �� ������� ����� $F$, ������� ����� ������
���������� ����������� $A$, � � ������� ��� ���������� �������, �.
�. ����������� ���� $(x,b),(y,b)$, ����� ������, $\forall \: x\ne
y\in A\Rightarrow f(x)\cap f(y)=\varnothing $. � ���� �������,
������������ ������������ ����� ���� �� ������� ����� $F$, �������
����� ������ ���������� ����������� $B$, � � ������� ���
������������ �������, �. �. ����������� ���� $(a,x),(a,y)$, �����
������, $\forall \: b \: \exists \: a \quad (f(a)=b)$.
���������������� ������������ ����� ������� ����� $F$, �������
����������� $A$, � � ������� ��� ������������ �������, �����
������, $\forall \: a \: \exists \: b \quad (f(a)=b)$.
����������������� ������������ ����� ������� ����� $F$, �������
����������� $B$, � � ������� ��� ���������� �������, ����� ������,
$\forall \: b \: \exists ! \: a \quad (f(a)=b)$. �������, ������
����������� ������������ ����� ������� �����������, ����������� �
������������ ������, �. �. �����, ��� $\forall \: x\ne y\in
A\Rightarrow f(x)\neq f(y)$. ����������, ������ ������������
������������ ����� ������� �����������, ������������ �
������������ ������. ������ � ���, � ������� �����������
����������� ��, ��--��������, ���������� ������������ �����.

���������� ����� ����� ����� ����� ������ ����������� �������� �
������������� ��������� ������������.

\begin{Proposition}

���������� ����������� ������������ ���������� � �����������

\end{Proposition}

\begin{Proposition}

������� ������� ������ ����������

\end{Proposition}


\begin{Proposition}

�����������, �������� ������������ (�����������������), ��������
���������� (���������������)

\end{Proposition}

������, � ������ ������������� ����������, ��� ����� �����
���������� �������� ������������� �������. �������������, ����
������������ ������� �� �������� $(A,A,F)$ �������� ������������,
� ���������� ����������� --- �������������, �� ���������� ���
���������� ����� ���������� ��� ������� ��������, � ���������� �
������������ --- ��� �������������. ������ ����� ������� ���
������� �����������. ���� ������ ���������  $I= \{1, \ldots ,n \},
\quad J= \{1, \ldots ,m \}$, ��� $m \leq n$, ����� �����������
$/J/:=/i_{1}, \ldots ,i_{j}, \ldots ,i_{m}/:J \to J$ �����
���������� ������������ ����������� $m$ ��������� ��������� $J$, �
$\sgn /J/$ --- ���� �������� ���� �����������; �����������
$[J]:=[i_{1}, \ldots ,i_{j}, \ldots ,i_{m}]:J \rightarrow I$ �����
���������� ������������ ���������� �� $n$ �� $m$ � �����������.
����������� $\langle J \rangle :=\langle i_{1}, \ldots ,i_{j},
\ldots ,i_{m} \rangle:J \rightarrow I$ ���������� ������������
���������� �� $n$ �� $m$ ��� ����������; ����������� $(J):=(i_{1},
\ldots ,i_{j}, \ldots ,i_{m}):J \rightarrow I$ ����� ����������
������������ ������������� ����������, �. �. ����� $\langle J
\rangle$ � ������� $i_{j}<i_{j+1}$. �������, ���� ��������� $\{ J
\} :=\{ i_{1}, \ldots ,i_{j}, \ldots ,i_{m} \}$ ���������� � ���
����������� �� $(J)$ ������������ $I$, ��������� �� $m$ ���������
������ ���������� $(J)$, ����� ����������� $/(J)/:=/(i_{1}, \ldots
,i_{j}, \ldots ,i_{m})/:\{ J \}\rightarrow \{ J \}$ �����
���������� ������������ ����������� ��������� ��������� $\{ J \}$,
�������������� $\sgn /(J)/$ --- ���� �������� ���� �����������.

����� ����������� $/(J)\hat{i}_{j}/: (i_{1},\ldots,
i_{j},\ldots,i_{m})\rightarrow (i_{1},\ldots,
\hat{i}_{j},\ldots,i_{m})i_{j}$ ���������� ����������� �� $(J)$ �
������������� �������� $\{J\}$ ����������� ������� ����� ��������,
� ���������� ������� ������� $i_{j}$ ��������� � ����� � ���������
��������, ����� �������� $i_{j}$, �������� �������������� ��
�����������. ������ � �������� �������� �� ��������������
��������� ����� ������������� ������������� �������� � �����������
���������������. ����� �� ������� ����������� $/(J)\check{k}/$,
��� $k\in \{J'\}= I\setminus \{J\}$, ������� ������� �������� ���
����������� �������������� ��������� $\{(J),k\}$. ��� ���
����������� �������� ��������� ������������������� �� ���������,
��� ��� $\sgn /(J)\hat{i}_{j}\hat{i}_{k}/= -\sgn
/(J)\hat{i}_{k}\hat{i}_{j}/$, � $\sgn /(J)\check{j}\check{k}/=
-\sgn /(J)\check{k}\check{j}/$.


����������, �������, ����������� ���������� ���������
��������������� ��������� $I$. ���������, ��� ����� �����������
$/J,J'/: I\rightarrow \{(J),(J')\}$, ��� $\{J'\}=I\setminus\{J\}$,
��������� ����������� $\{J\}$ � $\{J'\}$, �������������� ��
�����������, � ����������� $/(J,J')/: \{(J),(J')\}\rightarrow
\{(J'),(J)\}$ ������������� ������������ ������������� ��������.
�����, ��������� $/J',J/= /J,J'/*/(J,J')/$ � $\sgn /(J,J')/=
(-1)^{m(n-m)}$, �� �� ������� ��������� $\sgn /J,J'/\cdot\sgn
/J',J/=(-1)^{m(n-m)}$.

\section{��������������� ������������}

������� ��������������� ������������ ������������ ������ �������,
� ������� ����� ���������, ��������, �� ��������������� ����� �
\cite{���} ��� \cite{���}. ����� �� ��, ��������� ������� ��������
�������� ������������� ����������� � ����������� �������
(�������������), �������� ���� ��������� ��������.

������ ����� ��������� � ������������ ������������� � �����. �����
$\mathbb{L}$ �������� $n$--������ �������� ������������ ���
$\mathbb{R}$ � $(e^{i})_{I}$ --- ��� �����. ����� �����
$\mathbb{T}^{m}(\mathbb{L})$ �������� $n^{m}$--������ ������������
��� $\mathbb{R}$ � $(e^{[J]})_{\{ [J] \}}$ --- ��� �����. ����� ��
����� ���� ����������� ��������� ������������ ������������, ����
�������
$$x^{1}\otimes \cdots \otimes x^{m}:\mathbb{L}^{m}\rightarrow
\mathbb{T}^{m}(\mathbb{L}):(x^{1},\ldots ,x^{m})\rightarrow
\sum_{\{ [J] \}}\prod_{i_{j}\in [J]}x_{ij}e^{[J]},$$ ��� $x_{ij}$
�������� $j$--� ���������� ������� $x^{i}$. ���������
$e^{[i_{1}}\otimes\cdots\otimes e^{i_{m}]}=e^{[J]}$, �� ��������
�������� ��������� $\{ e^{[i_{1}}\otimes\cdots\otimes e^{i_{m}]}
\}_{\{ [J] \}}$ ��������� ���������� ��������� ������������
$\mathbb{T}^{m}(\mathbb{L})$.

���������� ������ ��� ��������������� ������������ ������������, �
������, ������� ������������ $$x^{1}\wedge \cdots\wedge
x^{m}:\mathbb{L}^{m}\rightarrow \Lambda^{m}(\mathbb{L}):$$
$$(x^{1},\ldots ,x^{m})\rightarrow\sum_{\{ (J) \}}e^{(J)}\sum_{\{
/(J)/ \}}\sgn /(J)/\prod_{i_{j}\in /(J)/}x_{ij}=\sum_{\{ (J)
\}}\det(x_{ij})^{\{ J \}}_{J}e^{(J)},$$ ���
$\Lambda^{m}(\mathbb{L})$ ��� ������������ ������������,
���������� �������� �������� ���������
$\{e^{(i_{1}}\wedge\cdots\wedge e^{i_{m})}\}_{\{(J)\}}$; �
��������� ������������ $$x^{1}\times\cdots\times x^{m}:
\mathbb{L}^{m} \rightarrow\Lambda^{n-m}(\mathbb{L}):$$
$$(x^{1},\ldots ,x^{m})\rightarrow\sum_{\{ (J')
\}}\sgn/J,J'/\det(x_{ij})^{\{ J \}}_{J}e^{(J')},$$ ��� $\{J'\}=
I\setminus\{J\}$. ���� ���� ������������� �������������
�����������������, ��������� ��� ������������ ������������ ����
�������� �� ������ $(x^{1},\ldots ,x^{m})$ ����� ��������� ����
����������� $/(J)/$ �������� �� ���������������. ����� ����, ���
��� �����������
\begin{Proposition}
������� �������� $(x^{1},\ldots ,x^{m})$ ������� �������� ����� �
������ �����, ����� $x^{1}\wedge\cdots\wedge
x^{m}=x^{1}\times\cdots\times x^{m}=0$
\end{Proposition}
�������������, � ����� ��������, ���� ������� $(x^{1},\ldots
,x^{m})$ ������� ��������, �� $\det(x_{ij})^{\{ J
\}}_{J}=0\quad\forall\:(J)\in\{(J)\}$, � ������ �������, ����
������� $(x^{1},\ldots ,x^{m})$ ������� ����������, �� � �������
������������ �������������� ������� � ������������ ���������
������ $(e^{1},\ldots,e^{n})$ ������� $(x_{ij})^{I}_{J}$
���������� � ���������������� ���� � $m$ ���������� �������� �
��������� ���������� $(x_{ii})_{J}$, � ���� ����
$\det(x_{ij})_{J}^{J}\neq 0$. ����� �� ��������������� ���
���������������, ��� ������������ �������������� ���������
������������� ������� �������� � ������������ ��������� ���������
(�����������) ���� ������������, � ����������� ������ �� ��������
�� �������� �� ���������� ������������. ��� �����, ������� �
��������� ������������ ������� ����������� ������� �������� �����
�� ������� ���� �� ����� ��������� ����������, � �������������
����������� ��������.

������������ ������������ $\Lambda^{m}(\mathbb{L})$ ��������� ���
� ���, ��� ��� ���� ���������� ������������ ���������� �
���������� ��������� ������������, � ������,
$$\delta:\Lambda^{m}(\mathbb{L})\rightarrow
\Lambda^{m-1}(\mathbb{L}):e^{(J)}\rightarrow
\sum_{j\in\{J\}}\sgn/(J)\hat{j}/\cdot e^{\hat{(J)}},$$ ���
$\hat{(J)}$ �������� ������������� ����������� �������
$/(J)\hat{j}/$, � $$d:\Lambda^{m}(\mathbb{L})\rightarrow
\Lambda^{m+1}(\mathbb{L}):e^{(J)}\rightarrow\sum_{j\in I\backslash
\{J\}}\sgn/(J)\check{j}/\cdot e^{\check{(J)}},$$ ��� $\check{(J)}$
�������� ������������� ����������� ������������� $/(J)\check{j}/$.
�������������, ��������� � ����������� $\delta\delta(x)$ ��������
�������� ���������� � ������� ������� ������, �� � ���� ��������
������������������� ��������� ����������� � �������� �� �������
��������� $\delta\delta(x)=0$ ��� ������� ����������� $x$.
���������� ���������� ��������� $dd(x)=0$.

��������� ������ � ������������ $\mathbb{L}$, � ������� �����
���������� ���������� ������������. ����� $\mathbb{E}$ �����
������������ n--������ ���������� ������������� ��� $\mathbb{R}$.
���� �������, ��� $$x^{1}\wedge\cdots\wedge x^{m}\cdot
y^{1}\wedge\cdots\wedge y^{m}=\det(x^{i}\cdot y^{j})_{J},$$ �� ���
��������, ��� �� ���������� �� $\mathbb{E}$ � $\Lambda^{m}
(\mathbb{E})$ ��������� ������������ ������������. ���� �����
������� ����������� $x^{1}\wedge\cdots\wedge x^{m}$, �. �. ���
��������� ������������ �� ����, ����� �� ������� ������������
����� ������� �������� $(x^{1},\ldots,x^{m})$, ��������� ����
�������� ������������ �������� ����������� ���� �������.
������������ ������������ �����, �. �. ������ ���������� �� ���
����������� ��������, ������������ ����� ������������ (�� ��
���������������) �������, ������� ������ ������������� � �������
���������������, ���������� �� ������� $(x^{1},\ldots,x^{m})$.
��������, ��� ��������� ������������ ������������� ����������
����� $\mathbb{E}$ � �������� � ���� �������������
$\mathbb{E}^{*}$ � ������� $(\varepsilon^{i})_{I}$, ������������ �
������������������ ������ $(e^{i})_{I}$, �. �.
$$\ast:\mathbb{E}\rightarrow\mathbb{E}^{*}:x\rightarrow
x^{*}:\langle x^{*},y\rangle=x\cdot y\quad(\forall\:x,y\in
\mathbb{E}):$$ $$\langle e_{i}^{*},e_{i}\rangle=e_{i}\cdot
e_{i}:e_{i}^{*}=e_{i}\cdot e_{i}\varepsilon_{i},$$ �������
���������� ����������
$\mathbb{T}^{m}(\mathbb{E})\simeq\mathbb{T}^{m}(\mathbb{E^{*}})$.
� ���������, ����������
$\Lambda^{m}(\mathbb{E})\simeq\Lambda^{m}(\mathbb{E^{*}})$
��������������� ������������� ����� m--��������� � m--������� ��
������� $$\ast:\sum x_{J}e^{J}\rightarrow\sum
x_{J}^{*}\varepsilon^{J}:\sum_{\{(J)\}}x_{(J)}
e^{(i_{1}}\wedge\cdots\wedge
e^{i_{m})}\rightarrow\sum_{\{(J)\}}x_{(J)}
e^{(*i_{1}}\wedge\cdots\wedge e^{*i_{m})}.$$ �������� �����, ���
��������� ��������� ��������� ������������ ������ ��������
���������� �����
$$\star:\Lambda^{m}(\mathbb{E})\rightarrow
\Lambda^{n-m}(\mathbb{E}):$$ $$\sum x_{J}e^{J}\rightarrow \langle
*\sum x_{J}e^{J},\epsilon\rangle: \sum x_{J}e^{J}\rightarrow \sgn
/J,J'/ \sum x_{J}^{*}e^{J'},$$ ��� ������������
$\epsilon:=e^{1}\wedge\cdots\wedge e^{n}$ ��� ������������ �
m--������ $e^{J}$ ����������� ���� ����������� $e^{J} \wedge
e^{J'}:=e^{(i_{1}}\wedge\cdots\wedge e^{i_{m})} \wedge
e^{(i_{m+1}}\wedge\cdots\wedge e^{i_{n})}$. �������, � ����������
������������ � ������������� ����������, ��� $x_{J}^{*}=x_{J}$, ��
������� $\star:\Lambda^{m}(\mathbb{E})\rightarrow
\Lambda^{n-m}(\mathbb{E}):\sum x_{J}e^{J}\rightarrow\sgn /J,J'/
\sum x_{J}e^{J'}$. ��� �����, ���� ����������� ����������
������������ ����� �������� �������� ������������� �����������
����������� � ������������ ��������� ���������� � ����������
������������ � ������������� ���������� ����� ������������ �
��������������.

��������� ������ � ������� ���������������� ������. ����� ����
���� ������� ���������������� m--���� $a(x)=\sum a_{J}(x)dx^{J}$,
��� $J:=(J),\quad dx^{J}:=dx^{(i_{1}}\wedge\cdots\wedge
dx^{i_{m})}$ � $a_{J}(x)$ --- ������������ ������� ����������� ��
$\mathbb{L}$ � $\mathbb{R}$. ��������, ��� ������� �������������
���������������� m--����� $a(x)=\sum a_{J}(x)dx^{J}$ �
���������������� 1--����� $b(x)=\sum_{n}b_{i}(x)dx^{i}$ ��������
(m+1)--����� $a(x)\wedge b(x)=\sum b_{i}(x)a_{J}(x) \sgn \check{J}
dx^{\check{J}}$, ��� $\check{J}$ ���� ������������� �����������
������������� $/(J)i/$, �.�. ������� ������������ ���������� �
��������� �������� ������������ ���� ���� � �����������
�������������, ������������� �������� �������� $dx^{J}\wedge
dx^{i}$ � �������������� ���� $dx^{\check{J}}$.

������ � ���, ������ �������� ������������, ���������� ����������
������������ ���������������� m--����� $a(x)=\sum a_{J}(x)dx^{J}$
�� ��������� ���� $\bar{b}(x)=\sum_{n} b_{i}\frac{\partial
}{\partial x_{i}}$, ��� ������� �������� ������� ���� ����� �
����� �������. ������, �������� �� �������� ������ �����������
����������� ������������, ������� ���� �������� �� ��, ��� ���
������������ ����������, �������� ����������� �������, ��������
����� $a(x)=\sum a_{J}(x)dx^{J}$ � ���� $\sum a_{J}(x) \sgn
\hat{J} dx^{\hat{J}}\wedge dx^{i}$, � �����, ������� � ����
������������� ������� ������������ �� $dx^{i}$ �� ������������ ��
����� $b_{i}(x)$, �������� ��� ������� ���������� ������������
$\langle a(x),\bar{b}(x)\rangle= \sum b_{i}(x) a_{J}(x) \sgn
\hat{J} dx^{\hat{J}}$.

������� ����������� ������� ���������������� ����� (������������)
�������� �������� $da(x)= \sum d_{\check{J}}a(x)dx^{\check{J}}
=\sum da_{J}(x)\wedge dx^{J}$, ��� $da_{J}(x)=\sum_{n}
\frac{\partial a_{J}(x)}{\partial x_{i}}$. �����, � ���� ��������
������������������� ����������� �������������� � ��������������,
������� ��������� ��� ��������� �����������������, �� �������
��������� $dda(x)=0$, ��������������� ������� ����������� ���
���������� ��������� �����������.

��������� ������ ��� ���� ������ �������� �������� �����������.
����� ��� ����� ������������ ��������� ����� ������ $\Delta x =
\sum_{n}\Delta x^{i}=\sum_{n}\Delta x_{i}e^{i}$, ��� �� ���� �����
������������ ��������� (m+1)--������ $\Delta=\sum \Delta
x^{\check{J}}$, ��� $\Delta x^{\check{J}}: = \Delta
x^{(i_{1}}\wedge\cdots\wedge\Delta x^{i_{m+1})}$, �
��������������� ��� m--������ $\delta\Delta =\sum\Delta x^{J}$,
��� $\Delta x^{J}=\Delta x^{(i_{1}}\wedge\cdots\wedge\Delta
x^{i_{m})}$. ����� $\langle da(x),\Delta \rangle= \sum\langle
d_{\check{J}}a(x)dx^{\check{J}},\Delta x^{\check{J}} \rangle$, ���
$\langle d_{\check{J}}a(x)dx^{\check{J}},\Delta x^{\check{J}}
\rangle =d_{\check{J}}a(x)\cdot\Delta x_{i_{1}}\cdots\Delta
x_{i_{m+1}}$. � ������ �������, �������� � ���� ���������
���������� ������������� � ���������� �����������, �� ����� �����
��������� $\langle d_{\check{J}}a(x)dx^{\check{J}},\Delta
x^{\check{J}} \rangle =\langle \sum_{n}\frac{\partial
a_{J}(x)}{\partial x_{i}}\wedge dx^{J},\sum_{n}\Delta x^{i} \wedge
\Delta x^{J} \rangle$, � ���� ����� ������� 1--����� � ������, ��
������� ��������� $\langle d_{\check{J}}a(x)dx^{\check{J}}, \Delta
x^{\check{J}} \rangle = \langle \sum_{m+1}[a_{J}(x+\Delta x^{i}) -
a_{J}(x) )]dx^{J}, \sum_{m+1}\Delta x^{J} \rangle$. ����� �������,
�������� �����������
\begin{Proposition}
$\langle da(x),\Delta \rangle=\langle [a(x+\Delta x)-a(x)],
\delta\Delta \rangle$
\end{Proposition}

������ ����������� �� �������� � ��������� ������� ��� ������
������� ������, ��� ��������� ����� ������� ������ ������� ���
��������� ������ ��������������� � �������������� �� �����������
��������������� � ������������� ������� ��������������� ����� �
������������, ��������������� ���� ����������������. ������ ��,
������� ������, ��� �������� $\langle da(x),\Delta \rangle$
������������� �������� ����� ���������� ������� ����������������
����� � ����� $x$ � �����������, ���������������� ������
����������������, ����������� �� ��������� ����� ��������, ���
������ ������ ����� �� ��������������� � ��������������� ���������
�������� ���������������� �����.

\section{���������������}

������ �� � ������������� ����������� ����������������, �������
����� ��������, ���������� �� ��������������� ������� \cite{���}.
\begin{defn}
���������������� $\pi^{m}$, ��������� �� ������� �������
����������� �������� $x^{1},\ldots ,x^{m}$, ��������� �� �����
$x^{0}$ n--������� ��������� ������������ $\mathbb{R}^{n}$,
���������� ��������� ����� $x^{0}+\sum_{m}\alpha_{i}x^{i}$,
���������� �������� $0\leq\alpha_{i}\leq 1\quad\forall\:i\in J$.
\end{defn}
�����, � ���������� � ����� ��������������� �������, �� �����
�������������� ������� ���������������� ���������������.
\begin{defn}
��������������� ���������������� ���������� ��������������, �
������� ������������ ������� ������ ����������� ���� ������� �����
$x^{/i_{1}},\ldots,x^{i_{m}/}$. ����������� ������� �� $x^{0}$ �
$x^{0}+\sum_{m}x^{i}$ ��������� �������������, � �������� ---
�������������. ���� � ��������������� ���� ������ ��������
(�������� � ������� �������������������� �����) ������
������������� �����������, � ��������
--- �������������, �� ����� �������������� ���������� ������������
��������������� � ������������ $+\pi^{m}$, �. �. $\sgn\pi^{m}=+1$.
� �������� ������ �������������� ���������� ������������
��������������� � ������������ $-\pi^{m}$, �. �. $\sgn\pi^{m}=-1$.
\end{defn}
�� ��������� ��������������� ����������� �� ��������, ��� �������
��������������� $\pi^{m}$ ������ $2m$ ����������������
$\pi^{m-1}$, � ������, $m$ ���������������� $\pi^{m-1}_{*j}$,
��������� �� ���������� $m-1$ ��������, ���������� �����������
������� $x^{j}$, ��� $j\in J$, �� ������� $x^{1},\ldots ,x^{m}$, �
��������� �� ��������� ����� $x^{0}$, � ����� $m$ ����������������
$\pi^{m-1}_{j*}$, ��������� �� $m$ ����� $x^{0}+x^{i}$ � ���������
�������������� �� ���������� ��� $x^{j}$ ������. ����� �������, �
��������������� $2^{m}$ ������, $2m$ ������, � $m2^{m-1}$ �����.
������� �����, ��� ��� ����� ������ ��������������� $\pi^{m}$
��������� ��������������� ���� �������� ������, �. �.
$\pi^{m-1}_{j*}\cap\pi^{m-1}_{k*}=\pi^{m-2}_{jk*},\quad
\pi^{m-1}_{*j}\cap \pi^{m-1}_{*k}=\pi^{m-2}_{*jk},\quad
\pi^{m-1}_{j*}\cap\pi^{m-1}_{*k}=\pi^{m-2}_{j*k}$, ��� $j\neq k$.

\begin{defn}
��������������� ������������ ��������������� ����������
������������ ������������ ������� ��������������� ��� ������.
���������� ������ $\pi^{m-1}_{*j}$ ��������������� �������������
�������� ����������� $/(1,\ldots,m)\hat{j}/$ � �����
$\pi^{m-1}_{j*}$, ��������������� ������ $\pi^{m-1}_{*j}$, �����
����� � ��������������� ����������. ����� ������,
$\sgn\pi^{m-1}_{*j}
=-\sgn\pi^{m-1}_{j*}=\sgn/(1,\ldots,m)\hat{j}/$.
\end{defn}
�����, � ���� ������������������� ����������� � ��������, ��
������� ���� ������������� ��������

\begin{Proposition}\label{grani}

����� ����� �������� ������ ��������������� �����������
��������������� ����� � ��� ��������������� ����������.

\end{Proposition}

�������������, � ��������������� $\pi^{m-1}_{*j}$ ���������� �����
$\pi^{m-2}_{*jk}$ ����� $\sgn/(1,\ldots,m)\hat{j}\hat{k}/$ � �
��������������� $\pi^{m-1}_{*k}$ ���������� ���� �� ����� �����
$\sgn/(1,\ldots,m)\hat{k}\hat{j}/$. ����������, � ���������������
$\pi^{m-1}_{j*}$ ���������� ����� $\pi^{m-2}_{jk*}$ �����
$\sgn/(1,\ldots,m)\hat{j}\hat{k}/$ � � ���������������
$\pi^{m-1}_{k*}$ �� ���������� ����� $\sgn/(1,\ldots,m)
\hat{k}\hat{j}/$. ������ � ���, � ��������������� $\pi^{m-1}_{j*}$
���������� ����� $\pi^{m-2}_{j*k}$ ����� $-\sgn/(1,\ldots,m)
\hat{j}\hat{k}/$ � � ��������������� $\pi^{m-1}_{*k}$ ��
���������� ����� $-\sgn/(1,\ldots,m)\hat{k}\hat{j}/$.

�������������� ����������� ��������������� ���������������
��������� ������������. �������������, ���� ��������� ���������
���������������� ���������������, ����������� �����������
���������� ������� ��� �����, �� �������������� ����� �����
������������ � ������������ ��������������� ����� ����� ��������
��������� ������������ ����� ������. ��� �����, �� ����� ��������
� z-��������������� ��������������� $z\pi^{m}$, ������� ��������
��������� �������� ������ $\Pi_{m}$, ���������� $\mathbb{Z}$.

� ���� �������, �������������� ����������� ��������������� �����
����������� ������������ �������������� ���� ����������������
��������� ���������� �� ������� ��������� �����������.
�������������, �������������� $\pi^{m}$ � ������������
$\mathbb{R}^{n}$ ����� ���� ��������� �������������, �����
����������� $(m-1)$-������ ����� ���, ��� ����� $m$-������
�������������� ������������ �� ������������, �� ��� ������������
�����, � ��������� ����� ������, �� ������� � ��������������� ����
�����. ���� ���������, ��� ��������������� �����������
������������ � ������, ������� ���� ���� �� ����������, �����
�������� ��� ������� ����������� ������-����������������
$\pi^{m}$, ������������ ���� ������� ���� ����� �� ������������,
���� ������������ ������ ������ ������� ������������ �����������,
����� ������������ � $m$-������ ��������� ����������. �����������
$m$-������ ��������� ������������ $\Omega^{m}$ �� ������� �����
$m$-������ ��������� ��������, � ������� ������ ����
������-���������������� ����� ���� ��������� � ����, ���������
������ $(m-1)$-������� ������� �� ������� -- ��������
������-����������������. ���� ��� ������-���������������
����������� ��������� ����������� ������������ ������ ������
������ ������� ������������ ����������� � ������ ����� �����
����������� $(m-1)$ �������� ������������ �� ����� 2
������-����������������, �� �� ������� �� ����������� ���������
����������� ��� ��������������� ��� � ��������� ������������.
�������� $d\Omega^{m}$ ���������� ����������� $\Omega^{m}$ ��
������� ����������� ���� $(m-1)$-������ ������
������-���������������� ����������� $\Omega^{m}$ �� ������� ��
����� ������. ��������� ��� ����� ������ ��������������� ��������
������ �������, �� � ��� ����� (m-1)-������ ����������������
������� �������� ������ �������, � ������������� ������� ��������
������������ ����������� (m-1)-������������ ��� ������.

������������� ������������ (������������) ���������������
��������� ����������� � �������� �� ������� ����� ������������� �
�� ������� ����� ������-��������������� ��� ������� ���
������������ ������-���������������, ������� �� �������� ���������
����������� � ���� ������ �������, �.�. �� �������� �����
����������� ������ �� �������.

��������� ���� m--������ ������-����������������, ������������
����������� $\Omega^{m}$, ��������� ��������� ������� ������
$\Pi_{m}(\Omega^{m})$, ������������ ����������� �������
$\sum_{K}z_{i}\pi^{m}_{i}$, ��� $z_{i}\in \mathbb{Z},\quad
K\subseteq\mathbb{N}$. �����, ������������ �� $\pm
1$--��������������� ������-���������������� �����������
$\Omega^{m}$, ����� ����������� �������� ������-����������������
������� ����� � ��� ��������������� ����������, �� �������
��������������� ��������� ������������. ����������� $\Omega^{m}$,
������� ��������� ��������������� �����������, ����������
������������� ������������. ������� ��� ����, ��� ��� �����
������������ ������������� ��� ������� ������-���������������
����� ���������� ����������� ������ ������ ����� � ���
��������������� ����������. �������������, ���� ����������
����������� ������ ����������� ���������� �������, �� �����
���������� ����������� � ��� ��������������� �����, �������
��������������� ����������. ������������� ���������� �����������
�������������� (���������) ������ ����������� � �����������
�������� ������, � ������� �� �������

\begin{Proposition}
��������������� �������� �������������� ����������� �����������
���������������� $\Omega^{m}$
\end{Proposition}

����� ����, ������ ��������� ����������� $\Omega^{m}$ ���������
��������� ������� ������ $\Pi_{m-1}(\Omega^{m})$, ������������
����������� ������� ������ �� ������-����������������. ������
$\Pi_{m-1}(\Omega^{m})$ �� �������� ������� ������ �����������.
������ ������ ����� ������-��������������� $\Pi_{m-1}(\pi^{m})$
������� �� ���������� ���� $\sum_{2m}z_{i}\pi^{m-1}_{i}$ �
����������� $$\gamma:\pi^{m}\rightarrow \Pi_{m-1}(\pi^{m}):$$
$$\pi^{m}\rightarrow \sum_{m}\sgn/(1,\ldots,m)\hat{j}/\cdot
\pi^{m-1}_{*j}-\sum_{m}\sgn/(1,\ldots,m)\hat{j}/\cdot\pi^{m-1}_{j*}$$
���������� ��������� ����������� ��������������� �������� �����
$$\delta:\Pi_{m}(\Omega^{m}) \rightarrow \Pi_{m-1}(\Omega^{m}):
\sum_{K} z_{i}\pi^{m}_{i} \rightarrow \sum_{K}z_{i}
\gamma(\pi^{m}_{i}).$$ �������������, � ���� �����������
\ref{grani} ����� ����� ��������� $\gamma\gamma(\pi^{m})=0$,
�������� ������� �������������, ������� ������ ���������
$\delta\delta(\Omega^{m})=0$, ������������ ��������� ����������� �
������ �������� $\{\Pi_{m-1}(\Omega^{m}),\delta\}$.

������� $$Z_{m-1}(\Omega^{m}):=\Ker\{\delta:\Pi_{m-1}(\Omega^{m})
\rightarrow\Pi_{m-2}(\Omega^{m})\}\subset\Pi_{m-1}(\Omega^{m})$$ �
������� $Z_{m-1}(\Omega^{m})$ ������� ������. ������� �����
$$B_{m-1}(\Omega^{m}):=\im\{\delta:\Pi_{m}(\Omega^{m})
\rightarrow\Pi_{m-1}(\Omega^{m})\}\subset\Pi_{m-1}(\Omega^{m})$$ �
������� $B_{m-1}(\Omega^{m})$ ������� ������. ��� ���
$\delta\delta=0$, �� $B_{m-1}(\Omega^{m})\subset
Z_{m-1}(\Omega^{m})$. ������������ $$H_{m-1}(\Omega^{m}):=
Z_{m-1}(\Omega^{m})/B_{m-1}(\Omega^{m})$$ ������� $(m-1)$-������
������� ���������. �����, ��������� ������������ ������������� ���
������� ������-��������������� ��������� � ������ ������ ���
������� �� ��� ������������ ����, ������� �������� ��������, �� ��
�����

\begin{Proposition}
������ $(m-1)$-������ ��������� �������� ��������������
����������� ��������� ����������� $\Omega^{m}$
\end{Proposition}

����� �������, ���������� ������� ���������������� ���������������
��������� ������� ������������ ������� � ���������� �����������
������ ���������. ������ ��� � ��������� ������� �� �������, ���
��������� ���������� ���������������� � ������� ����� �������� � �
������������� �������������� ������.

��������� ������ � �������� ���������, ��������� � �������������.
��������� ������� ������������ ��������, �� ������� ������������
��������������, ������ �����������
$\bar{\pi}^{m}:\pi^{m}\rightarrow\wedge^{m}(\mathbb{L})$,
������������ ��������������� ��������� ������������ $\{\pi^{m}\}$,
�� ������������ $\wedge^{m}(\mathbb{L})$ �
$\wedge^{m}(\mathbb{L^{*}})$ ����� ���������������� ���
������������ ������������� �������� � ����������� �� ���
��������������. ����� ������, �� ��������, ��� �������
$\langle\bar{x},\tilde{y}\rangle$, ��� $\bar{x} \in
\wedge^{m}(\mathbb{L}),\quad\tilde{y}\in
\wedge^{m}(\mathbb{L^{*}})$, ���� ��������� ��������� �����������
$\tilde{y}$ �� ������ $\bar{x}$. � ������������ � �����
����������, ������ ����������� $\Omega^{m}$ � ����
���������������� m--���� $a(x)$ ����� ����������� ����� �������
$\sum_{K}\langle a(x^{0}_{i}),\bar{\pi}^{m}_{i}\rangle$, �������
������� �������� ��� ��������� ����������� �� �����������,
������������ �� $K$ ��������--����������������. � ��� ������,
����� ����������� $\Omega^{m}$ ���������� �� ��������� �����
���������������� $\Delta\pi^{m}$, �� ������� �� ������������
������������ � ����� ������� ��������� �������� ���������
$\int_{\Omega^{m}}\langle a(x),\Delta\bar{\pi}^{m}\rangle$.
������� ��� ����, ��� ��� ������������ �����������, ���
��������������� ������� ��������� �� ��������, �����������
��������, ������� ����������� $\int_{\Omega^{m}}a(x)dx^{J}$.
�������� ����� ����� �������� ������������ ���������� � ���������
������������ ������� � �������� ����������������, �� ��������
����������
$$\langle da(x),\Delta\bar{\pi}^{m}\rangle=\sum_{m}\langle
a(x+\Delta x^{j}),
\Delta\bar{\pi}^{m-1}_{j*}\rangle-\sum_{m}\langle a(x),
\Delta\bar{\pi}^{m-1}_{*j}\rangle$$ �� ���� ��������� �����
���������������� ������������ �����������, �� ������� �������
������ $$\int_{\Omega^{m}}\langle da(x),\Delta\bar{\pi}^{m}
\rangle= \int_{\delta\Omega^{m}}\langle
a(x),\Delta\bar{\pi}^{m-1}\rangle.$$


���� ����������� $\bar{\pi}^{m}$ ������������ ���������
�������������, �� � ��������������� ������������ $\Omega^{m}$
����� ������� ��������� ����� $\vol(\Omega^{m}):=
\sum_{K}\bar{\pi}^{m}_{i}$. �������, �� ������ ������������
������������, �������� � ���������� ������������ �������������
���������, ����� ������� �������� �����
$\int_{\Omega^{m}}\sqrt{\abs{\Delta\bar{\pi}^{m}\cdot
\Delta\bar{\pi}^{m}}}$, ������� � ����������� ������������
������������ � ������, �������� � ���������� �������.

\section{������������� ������������}

������ ����� ����� ��� �����������. ����� ����������������� ����
��� ������ ��� ������ � ������������ $\mathbb{R}^{n+1}$, ��� �
������ �� ������ ������ ����� �� $n$ ������������� �����, ��� ����
��� ����� ������� �� $n$ ������� � � ������ ������� ����������� ��
������ ������������� ������� ������, ������ ��� �����������
������� � ������ � ������ ������� ������� ����������. �������
����� ���� (������ � ��� �������� � $\mathbb{R}^{n+1}$) �������� �
������� �� ���� ����������� � ��������, �.�. �������� ���������
$n$-����������� � �������� � �������� ����������� ������
$n$-������� ���������� ���������. ��������� �� �� ��� $n$-������
��������� �������� �� ��������: 1-������ ��������� �������� �����
����� ��������, 2-������ ��������� �������� �������� �������������
�������������� 2-������� �������� � ���������, ���������� ��
������������ ����� ���� ������ �������, $n$-������ ��������
�������� ������������ $n$-������� ��������������� ������� �
��������, ��������� �� $(n-1)$-������� ���������. ��������� ��
������ ����������� ����� ����� �������� ������������ �������.
����� ����� �����
\begin{Lemma}
����������� ������� ����������� $n$--������� ���������.
\end{Lemma}
\begin{proof}
� ����� �������, ��������� ���� � ��� �������, �� ���������������
��� ������ ����� ����������� ������� � �����. � ������ �������,
����� ������� ����������� ������� ������������ �������� ��������
��������� ������ �������� ���� �����������; �.�., �������������
����� $n$--������� ���������. �������������, �������� ������ �
��������� �������, ����� ���������� ��� � ���� ��������� �����
����������.
\end{proof}

������ ������ � ������������ $\mathbb{R}^{n+1}$ ������
�����������, ������� ������� � $n$ �� ������������ ���� �����
����������, ������ ��� ���� ������ ����� �� ����� ������ � ������
���������� ������ ������������ � ���� ����� ���������������
������, ������� �������� ������ ������ �� $n$ �����������, �������
� $n$ ����������. ������� ����� ������ ����������� $c$--�������� �
������� � ��� ������������ ��������� ������� �������� � ���������
� ����� $c$--������� � � �������, ���������� �� ���������������
$c$--�������. ��� ����� �� ������ ����� ����������� $c$--�������,
������������� ����� ���������, �������� ����������� ������,
���������� ����� ��� ����, �� ��� ������ ���������������. �����,
������� �� ��������������� $c$--������� ����� � ������������ �
������������ ������� ������� ���������������, �� ������� ���������
�� $2^{n}$ ��������� ��������, ������� ����� ��������
$s$--���������. � ���� �������, ��������� ����������� ����
$s$--�������� �� ������� ������������ $c$--�������. ����� �����
�����
\begin{Lemma}\label{ostov}
����������� $c$--������� �������� $n$--������ ��������� ���������
������������� �������������.
\end{Lemma}
\begin{proof}
����������� � ���, ��� ����������� $c$--������� ���� ���������
������������ ������� �� ����, ��� ������ ����� ������� �����������
������������� $s$--������� �������� ������������ ������ �������
����������� ������� $s$--�������. �������������, ��� ������������
���� $s$--��������, ������������ ������ ����� �������
���������������, ����� �������, ���������� ����������� �����
������ ���������������, �������� �� ����� ��������. ��� �����,
����������� $c$--������� ������� �� ������������ $s$--��������
(������������ ����) �� �� ��������, �� ���� �� ����� �������.
��������������� ������ ������������ ������� �� ����, ��� �����
����� ������� ������������ ���� $s$--�������� ����� � ���
��������������� ����������, ������� �������� ���������������
������� ���������������, ���������� ����������� ���� ����������
���� � ������ $s$--��������.
\end{proof}
���������� ������ ������ � ������������� $c$--��������. ���� ��
��������� � ������ ����������� $c$--��������, �� ������, ���
������������� $c$--�������� ������������ �������������
����������������� ������ ��� ������, � ������� ��� ����� �������
�� $n$ ������� � ������ ������� ����������� $n$ ������� �����,
������������� ��������� �������. �������������, ����������
���������� ������������ ����� ������� ������ ������ �
������������, �������� � ����� ���������, � ����� ����� ���������
����� � ������ $c$--�������. ����� �� ���������� ������������
$c$--������, ��������������� ����������� �����. ��� �����,
������������ ������� �������� $n$ � ����� $n_{1}+\cdots +n_{m}=n$,
��� $1\leq m \leq n$, � �������� $2^{m}$--��������� ����,
���������� $m$--��������������� � ������� ��������� $n_{i}$, �. �.
����� ����, ������� �������� ��������� � ���������
$m$--��������������� � ������ $n_{i}$ ��� ������� �����
������������� ������� ����� ��������������� �� ����������������
������ ��� ������������ �����. �����, ��������� �
$m$--��������������� $m2^{m-1}$ �����, �� � ������ �� ��������� ��
������� $n2^{m-1}$ ����� ����� ��� $n2^{m-1}$ �����������
���������������� $c$--�������. ������������ $c$--������,
��������������� ���������� $n_{1},\ldots, n_{m}$ �� ���������
�������� $S^{n_{1}}\times\cdots \times S^{n_{m}}$ � �������, ���
�� ���� ������������ ������������ $c$--�������� ����� ���������
����� $c$--������ $S^{n_{1}}\times\cdots \times S^{n_{m}}+
S^{n_{1}}\times\cdots \times S^{n_{l}}$, �������� �������������
����, ���������� �� ���� ���������� ������ ����� ������� ����� �
����� ������������ ������� ������� �� ��� � ������������
���������� ��������������� ����� ���� ���� ������. ������, ����
$l=1$, �� �� ������� ����������, ��� ��� � ���� ������
$S^{n_{1}}\times\cdots \times S^{n_{m}}+S^{n}=S^{n_{1}}
\times\cdots \times S^{n_{m}}$. ����� �������, �� �������� ������
������������� $c$--��������, ������� ��������� ������������
��������� �������� ������� � ������������� $c$--��������� (�����
$S^{n}$) � �������� ���������� � �������� $S^{n}$ � ��������
�������� ��������.

������ �� ��������� � �������������� ��������� \ref{ostov}
�����������.
\begin{Theorem}
������ $n$-������ ��������� ������������� ������������, ���������
� $\mathbb{R}^{n+1}$, ����������� ����������� ����������
$c$--�������
\end{Theorem}
\begin{proof}
� ��������� ������ ��� ������������� ���, ��������� �������������
$c$--�������� ��������� � �������������� ��������� �������������
��������� ������������. � ����� ������, ����� ���������� ������
������������� ������������, ��� ������� ����������, ��� �����
��������� ������������� ������������, ��������� �
$\mathbb{R}^{n+1}$, �������� ��������, ������������ ����������
$c$--�������. ����� ���� ������������ $M^{n}$ � ��� ���������
��������, ���������� ��������� �����������. ������� ������������
����� $x$ ������������ $M^{n}$, ������� ��������� � ��������
������������ ������ ��������, � �������, ��� ��� �������� �����
�������� ��� $2^{n}$ ������-����������������, ������� � ��
�����������, � ����� �����, ������������ ���� �������, ��������
����� ������ ��� $2^{n-1}$ ������-����������������. �����,
��������� $2^{n}$ ������ ������, ��������� �������� ������������
$M^{n}$ ���, ����� ������ �� �������������� � ������ ����� ������
������� �� ������ ������ ����������� ����� $x$ ����� ������. �����
������, ���������, ��������� $2^{n}$ ������ � �������� ���������
��� $2^{n}$ ��������� ������������, ������������ ��������������
����� ������ ������� ��� �������� ������������ $M^{n}$ �� $2^{n}$
��������� ������������. ��������� ����� ������� ��������
������������ $M^{n}$, �� ������� ����� ������. �������������,
����� ������������, � ������� ������������ ����������� ����
������, ����� ������� ���������, � ����� ������������, � �������
������������ $2^{n-1}$ ������������ ���������� �����, �����
������� ������� ������ �������. �� ��������� �������� ������������
���� �������������, �� ���������� ������ ��������� �������������
���������� ����� � ������ �������. ������������� ������ ����
��������������� ����� ����� �������, ��������� �� ����� �������,
����� ����������� ���������� ���������� $c$--�������. ��� �����,
�������� ������ ������������� ��������� �������������
$n$-������������, ��������� � $\mathbb{R}^{n+1}$, ������� �������,
��������������� ������������� $c$--��������.
\end{proof}
� ���������� �������, ��� ������������, ������� $c$--������ ����
$S^{n}$, ����������� ����� $S^{n}$, � ������������, �������
$c$--������, �������������� ������ ���� ������������
$c$--��������, ���������� �� ������������ ������������ � �������
��������� � ������ �� ��� �� ������ � ���������� �� �� �������
������. � ������ ���� ��������� ����������� �����������.
\begin{Proposition}
��������������� ������ ���������� �������������� ������������
����������, ���� �� ���� ��� ���������� ������������ �������� ����
$S^{n_{1}}\times\cdots \times S^{n_{m}}$ �� ����������� �� �����
���������� $S^{1}$.
\end{Proposition}
\begin{proof}
�������������, ��� ������ �������� �������� ������������ �����
������� �� ������������ ������������, ������ �� ������� �����
��������� � ������������ ���������������, ������������ ���������
������ $S^{k}$, ��� ������ $k>1$. �� ��������� ����������������
������ ������������ ����� ���� ���������� � ������ ������� �������
����������� ����� $S^{n-1}$, ������� � ������ $n>2$ �����
����������� ��������������� ������, �� ����������� ��������.
\end{proof}
�� ���������� ����������� � �� ����, ��� ������������� ���������
������������� ������������ � ����������� ��� �������� �
������������� ��������������� ��������, ������� ����� ����
���������� �� �������� ���� $S^{1}\times S^{1}\times S^{1}$ �
$S^{1}\times S^{2}$, ��� ����������� ����������� ����������
$S^{1}$, ���� ��� ���� ������ ���� $S^{3}$, �������, ��� ���������
������������� 3-������������, ������� ����������� ���������������
������, ����������� 3-������ �����. ����� �������, ������������
�������� ��������, ���������������� � ������ ���������
������������, �������� ������� ���������� ������������� ���������
������������� ������������ ����������� ������������� �� ��������.


\appendix
\section{����������� ������ � �����������}

��������� ���� � ����������� �����������, �������� � ����������
������������, ������������ ������� � ������� ����������,
��������,\cite{AMI} \cite{���}, \cite{���} � \cite{���}, ������ ��
�� ������� � ���������� ���� �� �����, ��� �������� �� �����
������� ����������������, ���� ��������� �� ��������� �����
��������� � ������ �������.

����� � $\mathbb{R}^{n}$ ������ ������������ ������� �����������
����, �. �. ���� ���������������� 1--�����
$a(x)=\sum_{n}a_{j}(x)dx^{j}$. ����� �� ����� ����� �������� �
$a(x)$ ���������������� (n-1)--����� $\star a(x)=\sgn J
\sum_{n}a_{j} (x)dx^{J}$, ��� $J:=/I,\hat{j}/$. ����������������
����� $a(x)$ � $\star a(x)$ ����� ����������� ������������ �������
����� ��������� ��������, ���������� 1--������� � (n-1)--�������
��������� (�������������) � ���������� �� ������������ � $a(x)$ �
$\star a(x)$ ��������������. ���� � �������� �������� ���
��������� ������ ������������ 1--������ ��� (n-1)--������
������������ �����������, �� � ���������� ��������� �� �������
������������ ����� $\int_{\Omega^{1}}\langle a(x),dx\rangle$ �
$\int_{\Omega^{n-1}}\langle \star a(x),dx^{n-1}\rangle$
��������������, ��� $dx:=\Delta\bar{\pi}^{1}$ �
$dx^{n-1}:=\Delta\bar{\pi}^{n-1}$. ���������� ��������� �����
������������ ��� ������ ���� ��� ����������� ���������� ���������
�������������� ������������� ������. �������������, ����������
���������� �������� ������ $\oint\langle a(x),dx^{1}\rangle=0$
���������� ���������������� �������� $da(x)=0$, � ����������
������ � ������� $\oint\langle\star a(x),dx^{n-1}\rangle=0$
���������� �������� $d\star a(x)=0$.

�������� ����������� ������ �� �������� ���������� ���
������������. ���, ���������� ������� ������������� ������
������������� ����������������� ������� ������������ $a(x)\wedge
da(x)=0$. ������� ��� ����, ��� ������ ������ 1--�����
$a(x)=d\varphi(x)$ ��������� � �� ��������� ������������
������������ ������ ������������� ������ ������� $\varphi(x)$. �
���� �������, ������ ���������� ����������� ���� $a(x)$ ����������
���������� �������������� ������������ ���� $d\varphi(x)$, �.�.
$a(x)=k(x)d\varphi(x)$, ��� $k(x)$ --- ������������ �������
�������. �������������, $da(x)= d[k(x)d\varphi(x)]=dk(x)\wedge
d\varphi(x)$, � ������� $a(x)\wedge da(x)=k(x)d\varphi(x) \wedge
dk(x)\wedge d\varphi(x)=0$, �������, ���� ��������� $a(x)=0$
������ ������������, �� ��� ������������ ������������ ������ �����
��������� � ������������ ����������� ������ ��������� �������.

����������� ������� ����������� ������������� ������ �������������
���������������� ����������������� �������. ���, ���
�������������� ���� $a(x)=d\varphi(x)$ ��� ����� ���������
$\Delta\varphi(x)=0$. �������������, �������� $\Delta\varphi(x)=
d\star d\varphi(x)$ ������������� �������� �������� ������ ��
��������� ����� �������� ������������ ������, ����������
����������� ��������� � ��������� ����� �������� ������, � ������,
$$\int_{\Delta V}\langle d\star d\varphi(x), dx^{n} \rangle =
\int_{\Delta \Phi_{2}}\langle \star d\varphi(x), dx^{n-1} \rangle
- \int_{\Delta \Phi_{1}}\langle \star d\varphi(x), dx^{n-1}
\rangle,$$ ��� ������ ���������� �������� �� ������� �����������
��������� ������ �������� ������ $\Delta V$, �������������
���������� ��������� ����� �������� $\Delta \Phi_{1}$ �����������
������ $\varphi(x)=c$ �� �������� $\Delta \Phi_{2}$ �����������
������ $\varphi(x)=c+h$ ��� �� �������� ����������� ���������
�����. ������������� ������������� ������� ������ ��������������
�� ���������� �������� ��������, �. �. � ���������� (������������)
���������������� ������������� ������. � ���� �������, ����
$a(x)=k(x)d\varphi(x)$, �� � �������� �������� ������������ ������
������� ������������� ��������� $d\star k(x)d\varphi(x)=0$.
������� ��� ����, ��� ��������� $d\star da(x)= d\star dk(x)\wedge
\star d\varphi(x)\pm \star dk(x)\wedge d\star d\varphi(x)$, ��
��������� ���� ����� ��������� ����������� ������������� �������
$\varphi(x)$ � $k(x)$.

������� ������, ��� ������������� �������, �����������
������������� ����������� ���� $a(x)=d\varphi(x)$, ������������
��������� ��������� �������������� ��������� $\int\langle
a(x),dx\rangle$, ������������� �� ������������ ������ �
�������������� ���������, � � ���� ������ ���������� �����������
������������ ������. �������������,
$$\Lvar\int\langle a(x),dx\rangle= \delta \int_{x}^{x+\Delta
x}\langle a(x),dx\rangle= \delta \langle a(x+\Delta x)-a(x),\Delta
x \rangle=0,$$ � ������� ������������ ������������ ������ ��������
� ������������ ������ �� ������� ���������� �������. ������ � ���,
��������� $a(x+\Delta x)=a(x)+\sum_{n}\langle da_{j}(x),\Delta
x\rangle dx^{j}$, �� ���������� ������� ����� ������������ �����,
�. �. $\langle a(x+\Delta x)-a(x),\Delta x \rangle=(H\Delta
x,\Delta x)$, ��� �������� $H$ � ��������� ������������� ��������
�������� ����� $\left(\frac{\partial^{2}\varphi(x)}{\partial
x_{i}\partial x_{j}}\right)$. ����� �������, ������������
��������� $\delta (H\Delta x,\Delta x)=0$ ������ ���� ������ �
������ ������������ ���������������� ���������. � ���� �����
�������� \cite{���}, ��� ������ ��������������� �������� $C$ �
��������� �� ��������� ����� ���� �������� �� �������� $A$ �
������� ������ � ������������ ������������ �������� $B$, �. �.
$C=\pm(A+B)$. �������������, ���������� �������� ������� ���������
$C$ � ������������� ���� � ��������� �� ������������ ��������. �
�� �� �����, ��� ������������ ���� ����������� �����������
$(Ax,x)<((A+B)x,x)$, ������������� ��������������� �������� �
������� ������ ����� ����������� ���������� � ������� $\tr
H=\Delta\varphi(x)\equiv 0$, ���������� ����������� �����������
���� ��� �������� ������������� �������. ������� �����, ��� �����
�� ������� ����� ������������ ������ �� ��������� ���������
$\int\langle \star a(x),dx^{n-1}\rangle$ �� ������������
(n-1)--����������� � �������������� ��������� ��� ���������
�������� ������ 1--�����. �������������, ������������ ���������
$$\Lvar\int\langle \star a(x),dx^{n-1}\rangle= \delta \langle\star
a(x+\Delta x)-\star a(x),\star\Delta x \rangle=0$$ �� ������
���������� ������������ ������, ��� ��� ������� ������� �
���������� ����� ������� �� ����������.

����� ������ � ���������� ������������ ������������� ���������,
��� �� �� ������ ������� �������� �� ����������, ���� ���� ������
1--����� $d\varphi(x)$. ���������� ����������� �� ���� ���������
���������� ���� $n(x)= k(x)d\varphi(x)$, ���
$k(x)=1/|d\varphi(x)|$, � �������� ������� $S$ �����������
$\Phi^{n-1}$, ������� �������� ������������ ������ �����������
������ ������� $\varphi(x)$. �������, ���
$$S(\Phi^{n-1})=\int_{\Phi^{n-1}}(\star n(x),dx^{n-1}).$$
�������������, ��������� ������ $n(x)$ ����������� � ���������,
����������� � ����������� ������ ������� $\varphi(x)$ � ����� $x$
� ��������� ���������� $\star n(x)$ ����������� ��������� ������
����������� $\Delta\bar{\pi}^{n-1}(x)$, � ������� �������
���������� ����� �� ���������� ������������ $(\star n(x),\Delta
\bar{\pi}^{n-1}(x))$, ������ �������, ���
$$S(\Phi^{n-1})=\sum_{\Phi^{n-1}}S(\Delta
\pi^{n-1})=\int_{\Phi^{n-1}}(\star n(x),dx^{n-1}).$$ �������
�����, ���
$$\int_{\Delta V}\langle d\star n(x), dx^{n} \rangle =
S(\Delta\Phi_{2})-S(\Delta\Phi_{1}),$$ ��� ��������
$\Delta\Phi_{2}$ ���������� ������������� ��������� ��������
$\Delta\Phi_{1}$ �� ��������� ����� ���������� � �����������
������ $\Phi_{1}$ �� ����������� ������ $\Phi_{2}$, �
�������������
$$\lim_{\Delta V\rightarrow 0}\frac{S(\Delta\Phi_{2})-
S(\Delta\Phi_{1})}{\Delta V}=d\star n(x).$$

������ � ���, ����� ��������, ��� ��������� ������� �������������
���������
$$\Lvar\int_{\Phi^{n-1}}(\star n(x),dx^{n-1})=0$$
�������� � ����������������� ��������� ������������� $d\star
n(x)=0$. ��� �����, �������� ����������� �����������������
����������� ��������� ������������ � ������� ������� ��������� �
����������� ������ �������, ��������������� ���������
�������������, ������������. �������, ��� ��������������� �������
����� �� ���� ������ ���������� �����, ��� ������� ��������
����������� ������, �������� � n--������ ���������� ������������,
����������� �� ������� $H(x)=
-(\frac{1}{n})d\star(\frac{d\varphi(x)} {|\nabla\varphi(x)|})$.
����, � ���������� �� ����� ���������� ����� ������� ���
����������� ����������� � ����������� ������.

\begin{thebibliography}{99}

\bibitem{���}�������� �. �., ������� �. �., �������� ������� �
������������� ���������, "������. �����", �����, 1976
\bibitem{���}�. ����, �������, "���", ������, 1968
\bibitem{���}������� �. �., ���� �������, "���������", ������,
1999
\bibitem{AMI}�.�. ������, ��������� ���������� ����, "�����", ������, 1990.
\bibitem{���}�������� �. �., �������������� ������: ������ ����: �������
�������, ������: ����, 2000
\bibitem{���}�. ������, �������� � ���������������� ���������,
������: ������������ ��� "���������� �����������", 2000
\bibitem{���}��. ����, ��������� ����� ���������������� ���������,
"���", ������, 1982
\bibitem{���}������ �. �., ��������� �. �., �������� �������
� ����������� ���������
\bibitem{���}�������� �. �., ������ �� �������� �������,
"���������", ������, 1998
\bibitem{PON}�. �. ���������, ������ ������������� ���������, "�����", ������, 1986.


\end{thebibliography}
\end{document}

math0604111.extracted_bib
\begin{thebibliography}{99}

\bibitem{���}�������� �. �., ������� �. �., �������� ������� �
������������� ���������, "������. �����", �����, 1976
\bibitem{���}�. ����, �������, "���", ������, 1968
\bibitem{���}������� �. �., ���� �������, "���������", ������,
1999
\bibitem{AMI}�.�. ������, ��������� ���������� ����, "�����", ������, 1990.
\bibitem{���}�������� �. �., �������������� ������: ������ ����: �������
�������, ������: ����, 2000
\bibitem{���}�. ������, �������� � ���������������� ���������,
������: ������������ ��� "���������� �����������", 2000
\bibitem{���}��. ����, ��������� ����� ���������������� ���������,
"���", ������, 1982
\bibitem{���}������ �. �., ��������� �. �., �������� �������
� ����������� ���������
\bibitem{���}�������� �. �., ������ �� �������� �������,
"���������", ������, 1998
\bibitem{PON}�. �. ���������, ������ ������������� ���������, "�����", ������, 1986.


\end{thebibliography}