Les g�om�tries de Hilbert sont � g�om�trie locale born�e
Bruno Colbois et Constantin Vernicos
On montre que la g�om�trie de Hilbert d'un domaine convexe de $\R^n$ est � g�om�trie locale born�e c-�-d que pour un rayon fix�, toutes les boules sont bilipschitz � un domaine de $\R^n$ euclidien. On en d�duit que si la g�om�trie de Hilbert est hyperbolique au sens de Gromov, alors le bas de son spectre est strictement positif. On donne un contre-exemple en dimension trois qui montre que la r�ciproque n'est pas vraie pour les g�om�tries de Hilbert non planes.
lamhypbisarxiv.tex
\documentclass[12pt,a4paper,leqno]{amsart} 
\ifx\pdftexversion\undefined
  \usepackage[dvips]{graphicx,color}
\else
  \usepackage[pdftex]{graphicx,color}
\fi
\usepackage[francais]{babel}
\usepackage[latin1]{inputenc}%


\let\ifanglais\iffalse


\setlength{\parskip}{1.2ex plus .9ex minus .4ex}


\def\tend{\mathop{\longrightarrow}}
\def\R{{\mathbb R}}
\def\pP{{\mathbb P}}
\def\vol{{\rm Vol}}
\def\vole{{\rm vol}_e}
\def\N{{\mathbb N}}

%Environement theoremes etc..
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\newtheoremstyle{mesthm}% name
  {10pt plus 1pt minus 1pt}%      Space above, empty = `usual value'
  {9pt minus 6pt}%      Space below
{\slshape}% Body font
  {0.5cm}%         Indent amount (empty = no indent, \parindent = para indent)
  {\bfseries}% Thm head font
  {.}%        Punctuation after thm head
  {1ex}% Space after thm head: \newline = linebreak
  {}%         Thm head spec
\newtheoremstyle{mesdefi}% name
  {6pt plus 1pt minus 1pt}%      Space above, empty = `usual value'
  {6pt plus 1pt minus 1pt}%      Space below
  {}% Body font
  {0.5cm}%         Indent amount (empty = no indent, \parindent = para indent)
  {\bfseries}% Thm head font
  {.}%        Punctuation after thm head
  {1ex}% Space after thm head: \newline = linebreak
  {}%


\theoremstyle{mesthm}
\newtheorem{lemm}{\ifanglais{\large L}emma\else{\large L}emme\fi}[section]
\newtheorem{theo}[lemm]{\ifanglais{\large T}heorem\else {\large
    T}h�or�me\fi}
%\newtheorem{theo*}{\ifanglais{\large T}heorem\else {\large T}h�or�me\fi}
\newtheorem{slema}{\ifanglais{\large S}ub Lemma\else {\large S}ous
  Lemme\fi}[lemm] 
\newtheorem{scholie}[lemm]{{\large S}cholie}
\newtheorem{prop}[lemm]{{\large P}roposition} 
\newtheorem{app}{{\large A}pplication}[lemm] 
\newtheorem{coro}[lemm]{\ifanglais{\large C}orollary\else{\large C}orollaire\fi}
\newtheorem{ppt}[lemm]{\ifanglais{\large P}roperty\else{\large
    P}ropri�t�\fi} \newtheorem{ppts}[lemm]{\ifanglais{\large
    P}roperties\else{\large P}ropri�t�s\fi}
\newtheorem{thdefi}[lemm]{\ifanglais{\large T}heorem and Definition\else%
  {\large T}h�or�me et D�finition\fi}
\newtheorem{conj}{\ifanglais{\large C}onjectur\else{\large C}onjecture\fi}
%\newtheorem{hypo}{\ifanglais{\large H}ypothese\else{\large H}ypoth�se\fi}
\newtheorem{rmq}[lemm]{\ifanglais{\large R}emark\else{\large
    R}emarque\fi}
\newtheorem{lemme}[lemm]{\ifanglais{\large L}emma\else{\large L}emme\fi}

\theoremstyle{mesdefi}
\newtheorem{defi}[lemm]{\ifanglais{\large D}efinition\else{\large
    D}�finition\fi} \newtheorem{ex}[lemm]{\ifanglais{\large
    E}xample\else{\large E}xemple\fi}
\newtheorem{exs}[lemm]{\ifanglais{\large E}xamples\else{\large
    E}xemples\fi} \newtheorem{rema}[lemm]{\ifanglais{\large
    R}emark\else{\large  R}emarque\fi}
\newtheorem*{nb}{Remarque}

\renewcommand{\proofname}{D�monstration}
\newcommand{\andname}{et}
\newcommand{\editorname}{�diteur}
\newcommand{\editornames}{�diteurs}
\newcommand{\volumename}{volume}
\newcommand{\Volumename}{Volume}
\newcommand{\ofname}{de}
\newcommand{\numbername}{num�ro}
\newcommand{\Numbername}{Num�ro}
\newcommand{\inname}{dans}
\newcommand{\Inname}{Dans}
\newcommand{\editionname}{�dition}
\def\pagename{page} %de'ja` dans french.sty.
\newcommand{\pagesname}{pages}
\newcommand{\chaptername}{chapitre} %de'ja` dans french.sty.
\newcommand{\technicalreportname}{Rapport Technique}
\newcommand{\revisionname}{R�vision}
\newcommand{\janname}{janvier}
\newcommand{\febname}{f�vrier}
\newcommand{\marname}{mars}
\newcommand{\aprname}{avril}
\newcommand{\mayname}{mai}
\newcommand{\junname}{juin}
\newcommand{\julname}{juillet}
\newcommand{\augname}{ao�t}
\newcommand{\sepname}{septembre}
\newcommand{\octname}{octobre}
\newcommand{\novname}{novembre}
\newcommand{\decname}{d�cembre}
\renewcommand{\refname}{R�f�rences}


\makeatletter
\renewenvironment{proof}[1][{\sl \ifanglais Proof\else D�monstration\fi}]{\par
  \normalfont
  \topsep6\p@\@plus6\p@ \trivlist
  \item[\hskip\labelsep\slshape
    #1\@addpunct{.}]\ignorespaces
}{%
  \qed\endtrivlist
}
\makeatother


\newcommand{\n}[1]{\Vert #1 \Vert}


\title[G�om�trie locale des g�om�tries de Hilbert]%
{Les g�om�tries de Hilbert sont � g�om�trie locale born�e}



\author[B.~Colbois et C.~Vernicos]{Bruno Colbois et Constantin Vernicos}
\address{Institut de math�matique\\
  Universit� de Neuch�tel\\
  Rue �mile Argand 11\\
  Case postale 158\\
  CH--2009 Neuch�tel\\
  Switzerland}
\email{Bruno.Colbois@unine.ch\\
Constantin.vernicos@unine.ch}

%\author[C.~Vernicos]{Constantin Vernicos}
%\address{Institut de math�matique\\
%  Universit� de Neuch�tel\\
%  Rue �mile Argand 11\\
%  CH--2007 Neuch�tel\\
%  Switzerland}
%\email{Constantin.Vernicos@unine.ch}

\subjclass[2000]{Differential Geometry; Metric Geometry}
\keywords{G�om�trie de Hilbert, hyperbolicit�, bas du spectre}

\begin{document}

\maketitle

\begin{abstract}
  On montre que la g�om�trie de Hilbert d'un domaine convexe de $\R^n$ est
  � g�om�trie locale born�e c-�-d que pour un rayon fix�, toutes les boules
sont bilipschitz � un domaine de $\R^n$ euclidien. On en d�duit que si
la g�om�trie de Hilbert est hyperbolique au sens de Gromov, alors le bas de
son spectre est strictement positif. On donne un contre-exemple en dimension trois qui montre
que la r�ciproque n'est pas vraie pour les g�om�tries de Hilbert non planes.
\end{abstract}

\renewcommand{\abstractname}{Abstract}
\begin{abstract}(\textsl{Hilbert geometries have bounded local geometry})
We prove that the Hilbert geometry of a convex domain in $\R^n$ has bounded local geometry,
i.e., for a given radius, all balls are bilipschitz to a euclidean domain of $\R^n$.
As a consequence, if the Hilbert geometry is also 
Gromov hyperbolic, then the bottom of its spectrum is strictly positive. We also
give a counter exemple in dimension three wich shows that the reciprocal is not true
for non plane Hilbert geometries.
\end{abstract}


\input{spectre05}



\nocite{*}

\bibliographystyle{amsalpha}
\bibliography{airhyp}


\end{document}

%%% Local Variables: 
%%% mode: latex
%%% TeX-master: t 
%%% End: 

spectre05.tex
% -*- coding: iso-8859-1 -*-

\section{Introduction}

Le but de cet article est de montrer que localement, toute g�om�trie de Hilbert
est proche de la g�om�trie euclidienne, et cela de mani�re uniforme. En g�om�trie m�trique,
le contr�le de la g�om�trie locale joue un r�le croissant dans l'�tude
des quasi-isom�tries (voir par exemple le concept
�\,d'espace m�trique � croissance born�e � une certaine �chelle\,�, \cite{bs}~p.~294, ou encore \cite{lp}, paragraphe 5). En 
g�om�trie riemannienne, il est bien connu que  la
g�om�trie locale (notamment par l'interm�diaire de la courbure et du rayon d'injectivit�) 
intervient dans la d�monstration
 de nombreux th�or�mes. Cependant, si les g�om�tries de Hilbert sont 
naturellement munies d'une m�trique de Finsler, celle-ci est seulement $C^0$,
ce qui exclu tout concept de courbure proche de la notion riemannienne 
correspondante. Aussi, nous controlerons localement la g�om�trie d'un point de vue m�trique
en demandant que les boules de rayon fix� soient uniform�ment bilipschitz
 � une partie de l'espace euclidien. Nous en d�duirons que l'hyperbolicit�
au sens de Gromov d'une g�om�trie de Hilbert implique la non-nullit� du 
bas du spectre: cela avait �t� d�montr� en dimension 2 dans \cite{cv1}, 
et �tait conjectur� en dimension sup�rieure. La preuve que nous donnons ici
est nouvelle �galement en dimension 2, et plus simple que la pr�c�dente. 
Pour conclure avec cette question, 
nous donnons un exemple montrant que contrairement � la dimension 2, il n'y a
pas de
r�ciproque � ce dernier r�sultat en dimension 
sup�rieure.

Avant d'�noncer les r�sultats pr�cis, rappelons qu'une g�om�trie de Hilbert
$(\mathcal C, d_{\mathcal C})$ est la donn�e d'un ouvert convexe et born� 
$\mathcal C$ de $\mathbb R^n$ muni de la distance de Hilbert $d_{\mathcal C}$ d�finie
de la mani�re suivante : 
pour toute paire de points distincts $p$ et $q$ dans $\mathcal{C}$, la droite passant
par $p$ et $q$ rencontre le bord $\partial \mathcal C$ de 
$\mathcal C$ en deux points distincts $a$ et $b$ tels que la droite passe
par $a$, $p$, $q$ et $b$ dans cet ordre. 


On d�finit alors
$$d_{\mathcal C}(p,q) = \frac{1}{2} \ln [a,p,q,b]$$
o� $[a,p,q,b]$ est le birapport de $(a,p,q,b)$:
$$[a,p,q,b] = \frac{\Vert q-a \Vert_{e} }{\Vert p-a \Vert_{e}} � 
\frac{\Vert 
p-b \Vert_{e}}{\Vert q-b \Vert_{e}}   $$
o� $ \Vert . \Vert_{e}$ d�signe la norme euclidienne.
On pose �galement $d_{\mathcal C}(p,p) =0$.

Sur $\mathcal C$, on peut mettre une norme de Finsler $C^0$, 
not�e  $\n{\cdot}_{\mathcal C}$, en proc�dant
comme suit: si $p \in \mathcal C$ et $u_{p} \in T_{p}\mathcal C = \mathbb 
R^n$, la droite passant par $p$ et dirig�e par $u_{p}$ coupe $\partial \mathcal 
C$ en deux points $p^{+}$ et $p^-$.  
On pose alors
$$\n{u_{p}}_{\mathcal C} = \frac{1}{2} \n{u_{p}}_{e} 
\biggl(\frac{1}{\Vert 
p-p^{+} \Vert_{e}} + 
\frac{1}{\Vert p-p^- \Vert_{e}}\biggr) {\rm }$$

o� $ \n{u_{p}}_{e}$ d�signe la norme euclidienne de $u_{p}$.

De plus, on utilisera dans la suite le fait que la distance de longueur induite sur $\mathcal C$ par la norme 
$\Vert . \Vert_{\mathcal C}$ co�ncide avec $d_{\mathcal C}$ --- voir \cite{so0} pour une justification
d�taill�e de cette derni�re affirmation.

A cette norme de Finsler est associ�e une norme duale: si $l_{p}$ 
est une forme lin�aire sur $T_{p}\mathcal C$, on pose
$$\n{l_{p}}_{\mathcal C}^{*} = \sup \{l_{p}(u_{p}): 
u_{p}\in T_{p}\mathcal C,\ \n{u_{p}}_{\mathcal C}=1 \}.$$

Gr�ce � la norme de Finsler, on construit une forme volume et 
une mesure sur 
$\mathcal C$ (qui correspond en fait �  
la mesure de Hausdorff, voir \cite{bbi} 
exemple 5.5.13).


Soient 
$p \in \mathcal C$ et 
$$TB_{\mathcal C}(p) = \{u_{p} \in T_{p}\mathcal 
C =\mathbb R^n : 
\n{u_{p}}_{\mathcal C} < 1 \}$$
la boule unit� de $T_{p}\mathcal C$. 
Soit $\omega_{n}$ le volume de la boule unit� de l'espace euclidien
$\mathbb R^n$ 
et consid�rons la fonction $h_\mathcal{C}\colon\mathcal C \longrightarrow \mathbb R$ donn�e par 
$$
{h_\mathcal{C}(p)=\omega_{n}/\vole\bigl(TB_{\mathcal C}(p)\bigr)}
$$
o� $\vole$ est le volume euclidien usuel. 

Alors la mesure $\mu_{\mathcal C}$ (que nous nommerons   
mesure de Hilbert de $\mathcal{C}$; elle est �galement connue sous le nom de mesure
de Busemann)  associ�e � $\n{\cdot}_{\mathcal C}$ 
est d�finie ainsi : si $A \subset \mathcal C$ est un bor�lien, on pose
$$\mu_{\mathcal C} (A) = \int_{A} h_\mathcal{C}(p)d\vole(p)$$
o� $d\vole(p)$ est la mesure de Lebesgue.



Si $\Omega$ est un domaine avec $\overline{\Omega} \subset\mathcal C$, l'int�grale 
sur $\Omega$ par 
rapport � $\mu_{\mathcal C}$ d'une 
fonction $f$ d�finie sur $\Omega$ sera not�e
$\int_\Omega f~d\mu_\mathcal{C}.$

\begin{rema}
  Les r�sultats de cet article restent inchang�s si on consid�re une mesure
�quivalente. En particulier, la mesure dite de Holmes-Thompson, qui
est �quivalente par les in�galit�s de Santalo et Bourgain-Milman � la mesure de Hilbert, donne
les m�mes r�sultats. Remarquons que bien que cette mesure soit
li�e � un invariant symplectique, c'est une mesure � densit� par
rapport � la mesure de Lebesgue, et l'expression de cette
densit� peut toujours �tre d�finie dans le cadre des g�om�tries
de Hilbert.
\end{rema}


On d�finit le bas du spectre de $\mathcal C$, que l'on note 
$\lambda_1(\mathcal C)$, par analogie avec ce qui se fait dans le cas 
des vari�t�s riemanniennes de volume infini. On pose
\begin{equation}
\label{eqdef1}
\lambda_1(\mathcal{C})=
\inf \frac{\displaystyle{\int_\mathcal{C}{\n{df_p}_\mathcal{C}^*}^2~d\mu_\mathcal{C}(p)}}
{\displaystyle{\int_\mathcal{C} f^2(p)d\mu_\mathcal{C}(p)}}\text{,}
\end{equation}
o� l'infimum est pris sur toutes les fonctions 
lipschitziennes, non nulles, � support compact dans $\mathcal{C}$ et o�
$\mu_\mathcal{C}$ est la mesure de Hilbert associ�e � $\mathcal C$. 
 L'expression ci-dessus est appel�e le quotient de Rayleigh de $f$.
 
 La constante de Cheeger de $\mathcal C$ est d�finie par
 \begin{equation}
\label{Cheeger}
I^{\infty}(\mathcal{C})=
\inf_U \frac{\bar{\nu}_{\mathcal C}(\partial U)}{\mu_{\mathcal C}(U)}\text{,}
%= 
%\inf \frac{\displaystyle{\int_\mathcal{C}{\n{df_p}_\mathcal{C}^*}~d\mu_\mathcal{C}(p)}}
%{\displaystyle{\int_\mathcal{C} |f|(p)d\mu_\mathcal{C}(p)}}
\end{equation}
o� $U$ d�crit les ouverts de $\mathcal C$ d'adh�rence compacte dont le 
bord $\partial U$ est une sous-vari�t� de dimension n-1. On rappelle que
$\bar{\nu}_{\mathcal C}$ d�signe ici la mesure de Hausdorff des hypersurfaces
associ�e � la restriction de $\Vert . \Vert_{\mathcal C}$.

Remarquons qu'aussi bien le bas du spectre que la constante de Cheeger ne d�pendent
que $C^0$ de la m�trique.
 
 
 

Notre r�sultat principal est

\begin{theo}\label{theoprincipal}
  Un convexe $(\mathcal{C},d_\mathcal{C})$ muni de sa m�trique de Hilbert est � g�om�trie
locale born�e. 
\end{theo}

\begin{defi}\label{geobornee} 
  Nous dirons qu'un espace m�trique $(X,d)$ est � \textbf{g�om�trie locale born�e} s'il
existe deux constantes $a$ et $C$ telles que pour tout $x\in X$, si $B_a(x)$ est la boule centr�e en $x$
de rayon $a$, il existe une application
$F\colon B_a(x)\to \R^n$ qui soit un hom�omorphisme sur son image et soit 
C-bilipschitz, i.e., pour tout $y$ et $z$ dans $B_a(x)$
$$
\frac{1}{C}d(z,y)\leq \n{F(z)-F(y)}_e \leq C d(z,y)\text{.}
$$ 
\end{defi}

 
 
Comme application du th�or�me \ref{theoprincipal}, on d�duit

 
\begin{theo}\label{equiv1}
Soit $(\mathcal{C},d_\mathcal{C})$  un convexe de $R^n$ muni de sa m�trique de Hilbert.
S'il existe $\delta>0$ tel que $(\mathcal{C},d_\mathcal{C})$ est $\delta$-hyperbolique alors son bas
du spectre est non nul, i.e., $\lambda_1(\mathcal{C})> 0$.
\end{theo}

Nous d�montrons ce r�sultat en utilisant la constante de Cheeger et l'in�galit�
liant la constante de Cheeger au bas du spectre  d�montr�e dans \cite{cv1}. Plus pr�cis�ment nous
d�montrons le th�or�me suivant:

\begin{theo}\label{equiv2}
Soit $(\mathcal{C},d_\mathcal{C})$  un convexe de $R^n$ muni de sa m�trique de Hilbert.
S'il existe $\delta>0$ tel que $(\mathcal{C},d_\mathcal{C})$ est $\delta$-hyperbolique alors sa constante
de Cheeger $I^\infty(\mathcal{C})$ est strictement positive.
\end{theo}

A la section 1, on donne la preuve du th�or�me \ref{theoprincipal}. La section 2
est consacr�e aux th�or�mes \ref{equiv1} et \ref{equiv2} et, � la section 3, on construit
un exemple montrant que la r�ciproque aux th�or�mes \ref{equiv1} et \ref{equiv2} n'est pas vraie.


%Pour un domaine ouvert, born� (relativement � $d_{\mathcal C}$) $\Omega$ � bord lipschitzien de $\mathcal{C}$, 
%on appellera bas
%du spectre de Dirichlet le nombre 
%\begin{equation}
%\label{eqdef2}
%\lambda_1^\mathcal{C}(\Omega)=
%\inf \frac{\displaystyle{\int_\Omega{\n{df_p}_\mathcal{C}^*}^2~d\mu_\mathcal{C}(p)}}%
%{\displaystyle{\int_\Omega f^2(p)d\mu_\mathcal{C}(p)}}\text{,}
%\end{equation}
%o� l'infimum est pris sur toutes les fonctions lipschitziennes, non nulles, 
%� support dans $\Omega$.

%Il est clair que $\lambda_1^\mathcal{C}(\Omega)\geq\lambda_1(\mathcal{C})$ et que $\lambda_1^\mathcal{C}$ est une fonction
%d�croissante suivant l'inclusion des ensembles: en effet, si 
%$\Omega_{1} \subset \Omega_{2}$, toute fonction � support dans 
%$\Omega_{1}$ s'�tend naturellement par $0$ en une fonction � 
%support dans $\Omega_{2}$.



\section{D�monstration du th�or�me \ref{theoprincipal}}

Pour d�montrer le th�or�me \ref{theoprincipal}, on va montrer que la g�om�trie
des boules de rayon $1$ est born�e (i.e. on peut prendre $a=1$ dans la d�finition).

L'id�e est d'utiliser l'ellipso�de de John: on sait que les boules d'une g�om�trie
de Hilbert sont affinement convexes (mais en g�n�ral pas m�triquement)
--- voir \cite{so0} p. 21. On sait qu'� tout convexe born� $C$ de
$\R^n$, on peut associer l'ellipso�de de John qui est l'unique ellipso�de $E$
de volume euclidien maximal contenu dans $C$. De plus, on a 
$E \subset C \subset \sqrt n E$. 

\begin{proof}[D�monstration du th�or�me \ref{theoprincipal}]
  Soit $p$ un point de $\mathcal{C}$ et $B_\mathcal{C}(p,1)$ la boule unit�. Consid�rons 
$\mathcal{B}$ l'ellipso�de
de John inclu dans $B_\mathcal{C}(p,1)$. 


Quitte � translater et � appliquer une transformation affine,
on peut supposer que l'ellipso�de de John $\mathcal{B}$ est la boule
unit� euclidienne centr�e en l'origine. 

Ainsi pour tout $y,z \in \partial B_\mathcal{C}(p,1)$ on a
d'une part
$$
1\leq \Vert y \Vert_e \leq \sqrt{n} 
$$
et aussi
$$
d_\mathcal{C}(y,z)\leq 2
$$

Pour contr�ler la distance de Hilbert sur $B_\mathcal{C}(p,1)$, on va en fait
encadrer la norme de Finsler $\Vert . \Vert_{\mathcal C}$  et montrer que
$(B_{\mathcal{C}}(p,1), \Vert . \Vert_{\mathcal C})$ est bilipschitz, au sens
de Finsler (i.e., infinit�simalement), �
$B_{\mathcal{C}}(p,1)$ avec la m�trique euclidienne usuelle. Cela implique 
imm�diatement la m�me propri�t� pour $d_{\mathcal C}$ qui est la distance de 
longueur associ�e.

Pour cela on choisit $x\in B_{\mathcal{C}}(p,1)$ et on estime
$$
\Vert v \Vert_{\mathcal C}=\frac{1}{2}\n{v}_e\left(\frac{1}{\n{x-x_+}_e}+\frac{1}{\n{x-x_-}_e} \right)
$$
o� $v$ est un vecteur tangent � $\mathcal C$ au point $x$.

Pour pouvoir comparer � la m�trique euclidienne, c'est-�-dire � $\n{v}_e$,
 il faut et suffit 
d'une part que les nombres
$\n{x-x_+}_e$ et $\n{x-x_-}_e$ ne soient pas trop petits et d'autre part 
que l'un d'eux au moins ne soit pas trop grand. Cela se traduit g�om�triquement par le 
fait que le bord du convexe $\mathcal C$ ne doit pas �tre trop proche ou trop �loign�
de $B_{\mathcal{C}}(p,1)$ dans un sens qui sera pr�cis� dans la suite.

A l'�tape 1, on montre qu'il n'est pas trop proche, � l'�tape 2 qu'il
n'est pas trop �loign�, et � l'�tape 3, on explique comment cela 
permet de conclure la preuve du th�or�me. 

\medskip
\textbf{Etape 1:} La distance entre $\partial \mathcal C$ et
$\partial B_{\mathcal{C}}(p,1)$ est minor�e par $\frac{1}{2e^4+1}$.

\smallskip
L'id�e intuitive est ici que si $\partial \mathcal C$ est trop proche du bord
de la boule unit� $B_{\mathcal{C}}(p,1)$, on arrive � exhiber deux points de
la boule qui sont trop �loign�s. Dans la preuve ci-dessous, on utilise le fait
que les points de la boule $B_{\mathcal{C}}(p,1)$ ne sont pas distants de plus de $2$
pour en d�duire l'estimation explicite.

\smallskip
Soit $q$ un point de $\partial \mathcal{C}$  et $q_0$ un point de $\partial B_\mathcal{C}(p,1)$ 
r�alisant le minimum de la distance euclidienne de $\partial \mathcal{C}$
� $\partial B_\mathcal{C}(p,1)$.

Le but est de montrer que $d_0=qq_0$ la distance euclidienne entre ces deux ensembles  
est minor�e par $\frac{1}{2e^4+1}$.

On se place dans un plan contenant l'origine et les points $q_0$ et $q$.
Sans limiter la g�n�ralit�, apr�s une �ventuelle rotation ou sym�trie, on se trouve
dans la situation de la figure \ref{figdeux}, i.e., $q_0$ est sur l'axe des ordonn�es positifs. On
note �galement $\rho_0$ la distance euclidienne de $q_0$ � $\mathcal{B}$, ainsi les coordonn�es de $q_0$
sont $(0,\rho_0+1)$.

\begin{figure}[hbtp]
  \centering
  \includegraphics[scale=.6]{dessins2}
\caption{Minoration de $d_0$}  \label{figdeux}
\end{figure}

Si $d_0$ est plus grand que $1$, on a la minoration cherch�e.

\smallskip
Supposons donc que $d_0<1$. L'id�e est que le c�ne $C_{q_0}$ de sommet $q_0$ et tangent � $\mathcal{B}$
est tout entier dans la boule $ B_\mathcal{C}(p,1)$, par convexit� de cette derni�re.
Soit $D_q$ la parall�le � $0q_0=0y$, que l'on a pris pour axe des ordonn�es, passant par $q=(q_1,q_2)$. 
Puisque $d_0<1$, la droite $D_q$ coupe la boule $\mathcal{B}$
en deux points. On note $\hat{\hat q}=(q_1,-\sqrt{1-q_1^2})$ le point d'ordonn�e n�gative. 
Quant � $\hat q=(q_1,\hat q_2)$, il d�signera
le point d'intersection de $D_q$ avec l'une des deux tangentes � $\mathcal{B}$ passant par $q_0$.

Pour minorer $d_0$, on se place sur la droite $D_q$
et on utilise le fait que $ \hat q$ et $\hat{\hat q}$ sont dans $ B_\mathcal{C}(p,1)$ d'o�
\begin{equation}
  \label{eqdoro}
  2\geq d_\mathcal{C}(\hat q,\hat{\hat q}) \geq \frac{1}{2} \ln \frac{q_2+\sqrt{1-q_1^2}}{q_2-\hat q_2}\text{.}
\end{equation}
Soit $2U$ la largeur du c�ne $C_{q_0}$ lorsqu'il rencontre l'axe des abscisses.  
Par le th�or�me de Thales on a
\begin{equation}\label{eqdoro1}
  \frac{\hat q_2}{1+\rho_0} = \frac{U -q_1}{U}  \text{ donc }  \hat q_2= (1+\rho_0)\frac{U -q_1}{U}\text{,}
\end{equation}
d'autre part on a
\begin{align}\label{eqdoro2}
q_2+\sqrt{1-q_1^2} \geq 1+\rho_0-d_0 && \text{ et } && q_2 \leq 1 +\rho_0 + d_0\text{,}
\end{align}
en sorte qu'en utilisant cela dans (\ref{eqdoro}) on obtient
\begin{equation}
  \label{eqdoro3}
  1+\rho_0-d_0 \leq e^4 (q_2-\hat q_2) \leq e^4(1+\rho_0+d_0 - \hat q_2)\text{.}
\end{equation}
On remplace $\hat q_2$ dans (\ref{eqdoro3}) par son expression d�termin�e par (\ref{eqdoro1})
ce qui nous donne l'in�galit�
\begin{equation}
  \label{eqdoro5}
  1+\rho_0-d_0 \leq e^4\left(1+\rho_0+d_0 - (1+\rho_0)\frac{U -q_1}{U}\right)\text{,}
\end{equation}
en utilisant le fait que $q_1\leq d_0$, ceci nous donne l'in�galit� (car $U\geq1$)
\begin{equation}
  \label{eqdoro6}
  1+\rho_0-d_0\leq e^4 d_0\left( 1 + \frac{1}{U}(1+\rho_0)\right) \leq e^4 d_0(2 +\rho_0)
\end{equation}
donc finalement
$$
d_0\geq \frac{1+\rho_0}{2e^4+1 +e^4\rho_0} \text{ ,} 
$$
qui est une fonction croissante en $\rho_0$, ce qui implique que $d_0\geq1/(2e^4+1)$.

En conclusion, on a toujours 
\begin{equation}
  \label{finetape1}
d_0\geq\frac{1}{2e^4+1}\text{.}  
\end{equation}

 
\textbf{Etape 2:} Pour tout $x \in \mathcal C$ et
pour toute droite $D$ issue de $x$, il existe un point $z\in D\cap\partial  \mathcal{C}$ � distance euclidienne
de $x$ major�e par 
$$
\Vert z-x\Vert_e \leq 5\sqrt{n}+3(2e^4+1)n \text{.}
$$


On commence par montrer qu le r�sultat est vrai pour le point 
$p$. Comme ce point est au centre de la boule $B_\mathcal{C}(p,1)$, toute droite issue de 
$p$ coupe la boule en un point $Y$ dont la distance � $p$ est exactement $1$.
Notons $A$ et $B$ les points d'intersection de cette droite avec 
$\partial \mathcal C$ et notons $y$, $a$ et $b$ les distances euclidiennes de $Y$, $A$ et $B$ � $p$.

On a l'�galit�
\begin{equation}\label{distanceun}
\frac{1}{2}\ln \frac{y+a}{a} + \frac{1}{2}\ln\frac{b}{b-y} = 1\text{.}
\end{equation}
l'un des deux termes de l'�galit� (\ref{distanceun}) est plus grand que $1/2$,
\begin{align*}
  \frac{1}{2}\ln \frac{y+a}{a}\geq \frac{1}{2}&& \text{ou}&& \frac{1}{2}\ln \frac{b}{b-y}\geq \frac{1}{2},
\end{align*}
et en utilisant le fait que $\n{Y}_e\leq \sqrt{n}$ on obtient
\begin{align}\label{equ2bruno}
  a\leq \frac{\sqrt{n}}{e-1}\leq 3\sqrt{n} && \text{ou} && b\leq\frac{e\sqrt{n}}{e-1}\leq3\sqrt{n}.
\end{align}


Consid�rons � pr�sent un vecteur $v$ et la droite $D(x,v)$ passant par un point $x$ de $B_\mathcal{C}(p,1)$ 
et dirig�e par $v$. Cette droite rencontre $\partial \mathcal{C}$ en deux point $A_x$ et $B_x$.

Le but est de contr�ler la distance euclidienne entre $A_x$, $B_x$ et $x$. Pour cela,
on consid�re la droite issue de $p$ et parall�le � $D(x,v)$. 
On sait que sur cette droite il existe un point $A_p$, $A_p\in \partial \mathcal{C}$,
avec $\Vert p-A_p\Vert_e\leq 3\sqrt{n}$, ceci provient de l'in�galit� (\ref{equ2bruno}).

Sans perte de g�n�ralit� nous supposerons que $A_x$ est le point tel que 
$$ (v\cdot\vec{pA_p})(v\cdot\vec{xA_x})>0\text{.}$$

Si $p \in D(x,v)$,
la conclusion est imm�diate, sinon on se place dans 
le plan engendr� par ces deux droites parall�les.

Soit la perpendiculaire � $D(x,v)$ passant par $p$. Elle rencontre le bord
en deux points $D_p$ et $C_p$ tels que leur distance euclidienne � $p$ soit plus grande que $d_0$,
lui m�me minor� par $C_2=1/(2e^4+1)$ suivant l'�tape 1. Sans perte de g�n�ralit� nous noterons
$D_p$ le point tel que $\vec(pD_p)\cdot\vec(pA_x)<0$.

\begin{figure}[hbtp]
  \centering
  \includegraphics[scale=.6]{dessins3}
 \caption{Position limite de $A_x$} \label{figtrois}
\end{figure}

Puisque $\partial \mathcal{C}$ passe par $A_p$ et $A_x$, par convexit�, au dela du segment
$[A_p,A_x]$, $\partial \mathcal{C}$ se trouve en dessous de la droite passant pas $A_p$ et $A_x$.
De m�me en consid�rant le segment $[A_p,D_p]$. En sorte que  $A_x$ ne peut pas �tre plus haut
que la position critique o� les droites $(A_pD_p)$ et $(A_xA_p)$ se confondent
(voir  figure \ref{figtrois}).


Pla�ons nous donc dans cette position critique pour majorer la distance $xA_x$.
Soit $x'$ l'intersection de la droite $(xA_x)$ et de la droite $(pD_p)$
En comparant les longueurs des triangles homoth�tiques $(D_ppA_p)$ et $(D_px'A_x)$ on obtient

\begin{equation}
  \label{eqthales}
  \n{x'-A_x}_e=\n{p-A_p}_e \frac{\n{x'-D_p}_e}{\n{p-D_p}_e}
\end{equation}

Rappelons nous � pr�sent que
\begin{enumerate}
\item $\n{p-A_p}_e \leq 3\sqrt{n}$ par (\ref{equ2bruno});
\item $\n{p-D_p}_e \geq \dfrac{1}{2e^4+1}$ par l'�tape 1;
\end{enumerate}

ce qui donne une fois appliqu� � l'�quation (\ref{eqthales})
\begin{equation}
  \label{eqthales2}
  \n{x'-A_x}_e\leq 3\sqrt{n} \bigl(1+(2e^4+1)\n{x'-p}_e\bigr)
\end{equation}

Remarquons � pr�sent que $x'$ est sur le cercle de diam�tre $[x,p]$ dont la
largeur est major� par $2\sqrt{n}$, puisque $x$ et $p$ sont dans le disque de
rayon $\sqrt{n}$ centr� en l'origine. On en d�duit donc que
\begin{align}
  \n{x'-p}_e\leq 2\sqrt{n} && \text{et} && \n{x-x'}_e\leq 2\sqrt{n}
\end{align}
ainsi en utilisant l'in�galit� triangulaire dans l'espace euclidien et l'in�galit�
(\ref{eqthales2}) on obtient finalement
\begin{equation}
  \label{eqfinetape2}
  \n{x-A_x}_e \leq \n_e{x-x'}+\n{x'-A_x}_e \leq 5\sqrt{n}+3(2e^4+1)n \text{.}
\end{equation}
ce qui est un contr�le de la distance de $x$ � $A_x$ en fonction de $n$.





 

\textbf{Etape 3:} Conclusion. On peut maintenant comparer la norme de Finsler et la norme
euclidienne en chaque point, comme annonc� au d�but de la preuve.

\smallskip
Pour majorer $\Vert v \Vert_{\mathcal C}$, $v$ vecteur tangent au point $x$,
 on utilise l'�tape 1, qui nous donne via l'in�galit� (\ref{finetape1})
\begin{align*}
  \n{x-x_+}_e \geq 2e^4+1 && \text{et} && \n{x-x_-}_e\geq 2e^4+1 \text{,}
\end{align*}
on en d�duit donc
\begin{equation}
  \label{bilip1}
\Vert v \Vert_{\mathcal C}\leq(2e^4+1)\n{v}_e\text{.}  
\end{equation}


Pour minorer $\Vert v \Vert_{\mathcal C}$ on se place dans le (un des) plan(s) engendr�(s) par $\vec{px}$ et $v$,
on travaille en dimension $2$ et on applique l'�tape 2 
qui nous dit que soit $\n{x-x_-}_e$, soit $\n{x-x_+}_e$ est plus petit que $c(n)$.
On en d�duit donc que
\begin{equation}
  \label{bilip2}
  \frac{1}{ 2c(n)}\n{v}_e\leq \Vert v \Vert_{\mathcal C}\text{.}
\end{equation}



Des in�galit�s (\ref{bilip1}) et (\ref{bilip2}), par int�gration le long des chemins,
on en d�duit que $(B_\mathcal{C}(p,1),\Vert . \Vert_{\mathcal C})$ est bilipschitz �quivalente � $(B_\mathcal{C}(p,1),{\rm Eucl})$,
o� la norme euclidienne que l'on a choisie est celle donn�e par l'ellipso�de de John associ�e � la boule unit�. Une autre mani�re d'exprimer cela est de consid�rer l'application affine qui 
envoie l'ellipso�de de John associ� � la boule $B_\mathcal{C}(p,1)$ sur la boule unit� de l'espace
euclidien usuel; c'est elle l'application bilipschitz.
Ceci permet de conclure notre preuve.
\end{proof}


\section{La constante de Cheeger et la $\delta$-hyperbolicit�}

Nous commen�ons par d�montrer le 

\begin{theo}\label{deltaIvol}
Un convexe du plan $\mathcal{C}$ qui, muni de sa m�trique de Hilbert 
$d_\mathcal{C}$ est Gromov-hyperbolique, 
a sa constante de Cheeger strictement positive. Plus pr�cis�ment : 
pour tout $\delta >0$, il existe $I>0$
tel que, pour tout convexe du plan $C$:
$$
(\mathcal{C},d_\mathcal{C}) \text{ est } \delta\text{-hyperbolique} \Rightarrow I^\infty(\mathcal{C})\geq I\text{.}
$$
\end{theo}

Pour d�montrer ce th�or�me on va utiliser un r�sultat d� �
Jianguo~Cao~\cite{jcao}.

Nous avons au pr�alable besoin d'introduire une notion. Dans ce qui suit, $X$ est un espace m�trique
de longueur.

\begin{defi}[quasi-p�le]
  Soit $\Omega\subset X$ un sous ensemble compact de $X$. Nous noterons $\mathcal{R}_\Omega$ l'union de tous les
rayons g�odesiques minimisants �manant de $\Omega$. S'il existe une constante $C>0$ telle que le $C$-voisinage
de $\mathcal{R}_\Omega$ est �gal � $X$, alors on dira que $X$ poss�de un quasi-p�le dans $\Omega$.
\end{defi}

Dans le cas des g�om�tries de Hilbert, la situation est tr�s simple: comme chaque
segment de droite est une g�od�sique minimisante, chaque point est un p�le: l'espace
$\mathcal C$ est r�union des rayons minimisants issus de tout point donn�.

 \medskip
Nous pouvons �noncer alors le r�sultat important suivant qui s'appliquera dans notre cas

\begin{theo}[Main Theorem dans \cite{jcao}]
Soit $X$ une vari�t� riemannienne non compacte (ou un graphe) � g�om�trie locale born�e admettant un quasi-p�le.
Si de plus $X$ est hyperbolique au sens de Gromov et le diam�tre des composantes connexes du bord
� l'infini $X(\infty)$ est minor� par une constante strictement positive (respectivement �
une m�trique de Gromov fixe sur le bord), alors $X$ a une constante de Cheeger strictement
positive.
\end{theo}

Remarquons que le concept de g�om�trie born�e qu'utilise Cao correspond   
  � la d�finition \ref {geobornee}. En particulier, sa preuve, donn�e
dans le cas riemannien, s'adapte mot pour mot au cas finsl�rien qui nous concerne
ici. Cependant, on peut le voir directement via l'utilisation de l'ellipso�de
de John: Soit $(\mathcal{C},d_\mathcal{C})$ un convexe du plan muni de sa m�trique de Hilbert.
En tout point $p$ de $\mathcal{C}$, sur $T_p\mathcal{C}$ l'espace tangent en $p$,
on consid�re $J_p$ l'ellipso�de de John associ� � la boule unit� de $\Vert . \Vert_{\mathcal C,p}$.
Toutes ces boules d�terminent une nouvelle m�trique, qui est riemannienne, et que l'on note $g_\mathcal{C}$.
Elle est bilipschitz-�quivalente � la m�trique de Finsler, puisque en tout point $p$ et $v\in T_p\mathcal{C}$ on a
$$
\frac{1}{\sqrt{n}}g_{\mathcal{C},p}(v,v)\leq \Vert v \Vert_{\mathcal C,p}^2 \leq g_{\mathcal{C},p}(v,v)\text{.}
$$
 

Cette m�trique est en g�n�rale une m�trique riemannienne $\mathcal{C}^0$. Pour pouvoir
appliquer ce r�sultat dans notre contexte, on utilise les trois remarques suivantes

\begin{itemize}
\item la possession d'un quasi-p�le
      pour une m�trique de Finsler ou la propri�t� d'�tre � g�om�trie locale born�e sont
      des invariants bilipschitz.
\item la positivit� de la constante de Cheeger pour la m�trique riemannienne de John $g_\mathcal{C}$
      est �quivalente � la positivit� de la constante de Cheeger pour la m�trique de Finsler initiale
      $\Vert . \Vert_{\mathcal C}$. 
\item Les bords � l'infini sont hom�omorphes pour les deux m�triques.
\end{itemize}

 
De plus, si la m�trique de Hilbert est $\delta$-hyperbolique, le bord poss�de une seule composante
connexe de diam�tre non nulle.

\medskip
Ainsi la seule chose non �l�mentaire � d�montrer pour pouvoir appliquer
le th�or�me de Cao est le fait que les g�om�tries de Hilbert sont � g�om�trie locale
born�e, ce qui faisait l'objet du th�or�me \ref{theoprincipal}. On obtient ainsi comme
corollaire le th�or�me \ref{equiv2}. La preuve du th�or�me \ref{equiv1}
se d�duit alors directement de l'in�galit� de Cheeger d�montr�e dans
\cite{cv1}, th�or�me 14.  %En effet, le fait que $\mathcal C$ soit Gromov-hyperbolique
%implique que son bord est de classe $C^1$.

 






\section{La non nullit� du bas du spectre n'implique pas la $\delta$-hyperbolicit�}

Dans cette partie nous allons construire un convexe dans $(\R^3,\n{\cdot}_e)$, 
l'espace euclidien de dimension trois, dont la g�om�trie
de Hilbert n'est pas $\delta$-hyperbolique, mais dont le bas du spectre et la constante
de Cheeger ne sont cependant pas nuls. Intuitivement, en g�om�trie riemannienne,
il faut penser � une vari�t� de Cartan-Hadamard � courbure presque partout
strictement n�gative, mais avec un plan euclidien qui fait que l'on est pas
Gromov-hyperbolique, tout en ayant un bas du spectre strictement positif.

\begin{prop}
Soit $(\mathcal{C},d_\mathcal{C})$ le cylindre de hauteur $2$ et de base le disque unit�.
Sa constante de Cheeger et son bas du spectre sont non nuls. 
Cependant, puisqu'il n'est pas strictement convexe, il n'est pas hyperbolique au sens de Gromov.
\end{prop}

La remarque fondamentale est que lorsque l'on coupe le convexe $\mathcal{C}$ par des plans orthogonaux
 � l'axe de rotation, on obtient
un mod�le de l'espace hyperbolique, pour lequel le bas du spectre est non nul (il vaut $1/4$). On va utiliser
cette propri�t� pour minorer le bas du spectre de $\mathcal{C}$ par une constante positive.

Pour cela, on aura besoin de comparer la forme volume de $\mathcal{C}$ et la forme volume
des sections orthogonales, obtenue
en restreignant la structure de Hilbert aux sections orthogonales.

Si on suppose que le cylindre est d'axe $Oz$, de base le disque unit�, 
on note $D_t = \mathcal{C}\cap \{z=t\}$, l'intersection du cylindre $\mathcal{C}$ et du plan horizontal 
$\{z=t\}$, $-1 \leq t \leq 1$.

On param�trise $\mathcal C$ de mani�re naturelle par les couples $p=(q,t)$,
o� $q$ d�signe un point du disque unit� et $-1<t<1$. Le but est de 
comparer la forme volume de $\mathcal C$ en un point $p(q,t)$ avec la forme volume de
$D_t$ au point $q$. Pour cela, on doit comparer le volume euclidien des boules tangentes
$TB_{\mathcal C}(p,1)$ et $TB_{D_t}(q,1)$.

\begin{lemm}\label{cylindre} Pour tout $t\in \mathopen]-1,1\mathclose[$, notons $\alpha(t)=(1+t)(1-t)$. Alors
il existe deux constantes $C_1$ et $C_2>0$ telles que pour tout $p(q,t)$ on a
$$C_1 \alpha(t) \vole (TB_{D_t}(q,1)) \leq
\vole (TB_{\mathcal C}(p,1)) \leq C_2 \alpha(t)\vole (TB_{D_t}(q,1))\text{.}$$
\end{lemm}

Avant de d�montrer ce lemme, montrons comment il permet de minorer le bas du spectre du cylindre.

\smallskip
\noindent\textbf{Minoration du spectre du cylindre $\mathcal C$.} 

Pour toute fonction
diff�rentiable $f$ � support compact, la d�finition de la norme implique imm�diatement
$$\Vert df\Vert_{\mathcal C}^* \geq \Vert df\Vert_{D_t}^* .$$

On a 
\begin{multline}
  \int_{\mathcal C}(\Vert df\Vert_{\mathcal C}^*)^2d\mu_{\mathcal C} =
\int_{\mathcal C}(\Vert df\Vert_{\mathcal C}^*)^2 \frac{\omega_3}{\vole (TB_{\mathcal C}(p,1))}d\vole(p)\geq\\
\int_{-1}^{1}dt\int_{D_t}(\Vert df\Vert_{D_t}^*)^2 
\frac{\omega_3}{\omega_2 C_2}
\frac{1}{\alpha(t)}
\frac{1}{\vole (TB_{D_t}(q,1))}d\vole(q)\text{;}
\end{multline}
En utilisant le fait que le spectre du plan hyperbolique $D_t$ est minor� par $1/4$, on obtient
\begin{equation}
\int_{\mathcal C}(\Vert df\Vert_{\mathcal C}^*)^2d\mu_{\mathcal C} \geq
\frac{\omega_3}{4\omega_2 C_2}
\int_{-1}^{1}\frac{dt}{\alpha(t)}\int_{D_t} f^2 \frac{1}{\vole (TB_{D_t}(q,1))}d\vole(q)\text{.}
\end{equation}
On a �galement
\begin{multline}
\int_{\mathcal C} f^2 d\mu_{\mathcal C} =
\int_{\mathcal C}f^2 \frac{\omega_3}{\vole (TB_{\mathcal C}(p,1))}d\vole(p)
\leq\\
\frac{\omega_3}{\omega_2 C_1}\int_{-1}^{1}\frac{dt}{\alpha(t)}\int_{D_t} f^2 
 \frac{1}{\vole (TB_{D_t}(q,1))}d\vole(q)\text{,}
\end{multline}
ce qui donne imm�diatement une borne inf�rieure sur le spectre de $\mathcal C$.



 \bigskip
 \noindent
 \textbf{Preuve du lemme \ref{cylindre}.} En un point $p=(q,t)$, on consid�re les
 boules tangentes unit�s. Ce sont des convexes sym�triques 
 $TB_{\mathcal C}(p,1)$ et $TB_{D_t}(q,1)$ que l'on supposera
 centr�s � l'origine et qui v�rifient 
 $TB_{D_t}(q,1) \subset TB_{\mathcal C}(p,1)$. Par ailleurs, comme la restriction de
 la m�trique � $D_t$ est riemannienne, $TB_{D_t}(q,1)$ est une ellipse que
 l'on supposera situ�e dans le plan $Oxy$.

 L'id�e est de montrer que $TB_{\mathcal C}(p,1)$ est contenu dans un cylindre
de base un homoth�tique de $TB_{D_t}(q,1)$ et contient deux c�nes de base
 $TB_{D_t}(q,1)$. Les hauteurs de ces deux objets �tant control�es
par les faits suivant:

 \noindent
 \textbf{Fait 1 :}
 Si $\alpha(t)=(1+t)(1-t)$ les points $(0,0,\alpha(t))$ et $(0,0,-\alpha(t))$ sont
 dans $TB_{\mathcal C}(p,1)$. Notons que $\alpha(t)$ ne d�pend pas de $q$.

 La remarque cruciale est alors 
 
 \smallskip
 \noindent
 \textbf{Fait 2 :} Au voisinage de ces deux points, le convexe 
 $TB_{\mathcal C}(p,1)$ est de la forme ${\{z=\alpha(t)\}}$ et ${\{z=-\alpha(t)\}}$.
 
 Cela se voit pas un calcul simple que nous expliciterons � la fin de la preuve.
 
 \medskip
 La cons�quence est que, par convexit�, la boule unit� 
 $TB_{\mathcal C}(p,1)$ est situ�e entre les plans $\{z=\alpha(t)\}$ et $\{z=-\alpha(t)\}$.
 
 Consid�rons les images, de $TB_{D_t}(q,1)$ sur $\{z=\alpha(t)\}$
 par la projection de centre $(0,0,-\alpha(t))$ et 
 sur $\{z=-\alpha(t)\}$
 par la projection de centre $(0,0,\alpha(t))$. Elles d�terminent une section
 d'un c�ne qui contient le convexe $TB_{\mathcal C}(p,1)$.
 
 Cela signifie que le convexe $TB_{\mathcal C}(p,1)$ est contenu dans le produit
 $$
2TB_{D_t}(q,1)) � [-\alpha(t),\alpha(t)]\text{,}
$$
 et on en d�duit que
 $$\vole (TB_{\mathcal C}(p,1)) \leq 8 \alpha(t)\vole(TB_{D_t}(q,1)).$$
 
 \medskip
 Par ailleurs, par convexit�, les deux c�nes de sommets 
 $(0,0,\alpha(t))$ et $(0,0,-\alpha(t))$ et de base $TB_{D_t}(q,1)$ sont contenus dans
 $TB_{\mathcal C}(p,1)$. On en d�duit que
 $$\vole (TB_{\mathcal C}(p,1)) \geq 2/3 \vole (TB_{D_t}(q,1)).$$
 
 \medskip
 \noindent
 \textbf{Preuve du fait 2 :} C'est un fait g�n�ral. On consid�re un point 
 $p$ d'un convexe $\mathcal C$ de l'espace $\R^3$. Sans limiter la g�n�ralit�, on suppose
 $p$ situ� � l'origine, et on suppose qu'au voisinage des points $(0,0,l_1)$
 et $(0,0,-l_2)$ avec $l_1$,$l_2>0$, le convexe $\mathcal C$ a pour bord les plans
 $\{z=l_1\}$ et $\{z=-l_2\}$. 
 
 Ainsi, les droites voisines de l'axe $Oz$, passant par l'origine, et faisant un 
 angle $\theta$ avec l'axe $Oz$, coupent ces deux plans � des distances respectivement �gales
 � $\frac{l_1}{\cos \theta}$ et $\frac{l_2}{\cos \theta}$ de $p$. 
 
 Si $v$ est un vecteur directeur de la droite, sa norme de Finsler est
 
 $$\n{v}_{\mathcal C} = \frac{1}{2} \n{v}_{e} 
\biggl(\frac{\cos \theta}{l_1} + 
\frac{\cos \theta}{l_2}\biggr) {\rm }$$

et pour avoir $\n{v}_{\mathcal C}=1$, il faut que
$$\n{v}_{e} =\frac{1}{\cos \theta}\frac{2l_1l_2}{l_1+l_2}.$$
 
On voit que le lieu de ces points est bien le plan 
$z=\frac{2l_1l_2}{l_1+l_2}$ ou $z=-\frac{2l_1l_2}{l_1+l_2}$.
 
 \smallskip
\noindent\textbf{Minoration de la constante de Cheeger du cylindre $\mathcal C$.}

Remarquons que la m�thode pr�c�dente permet �galement de montrer que la constante
de Sobolev
\begin{equation}
S^\infty(\mathcal{C}) =\inf \frac{\displaystyle{\int_\mathcal{C}{\n{df_p}_\mathcal{C}^*}~d\mu_\mathcal{C}(p)}}
{\displaystyle{\int_\mathcal{C} |f|(p)d\mu_\mathcal{C}(p)}}
\end{equation}
o� l'infimum est pris sur toutes les fonctions 
lipschitziennes, non nulles, � support compact dans $\mathcal{C}$,
est �galement non nulle si $\mathcal{C}$ est un cylindre.

Cependant l'�galit� entre la constante de Cheeger et la constante de Sobolev
n'a �t� d�montr�e que pour un convexe dont le bord est de r�gularit� $C^1$. Il nous
faut donc justifier que cette �galit� est encore valable dans notre cas.

Cette �galit� provient de l'existence d'une formule de co-aire (voir th�or�me 28 dans
\cite{cv1} par exemple). C'est cette formule
qui dans l'article \cite{cv1} n'a �t� d�montr� que pour des bords $C^1$ et strictement convexes. 
Il nous faut donc justifier qu'une telle formule existe pour les convexes ayant un bord de r�gularit� plus faible.

Rappelons que la formule de la co-aire  de \cite{cv1}, Th�or�me 25, nous dit que
si le bord du convexe $\mathcal{G}$ est $C^1$ et strictement convexe, 
alors pour toute fonction  $C^1$ � support compact $f$
l'�galit� suivante est v�rifi�e
$$
\int_\mathcal{G} \n{df}^* d\mu_\mathcal{G} = \int_\R \int_{f^{-1}(t)} d\nu dt
$$
o� $\nu$ est une mesure associ�e � $\mu_\mathcal{G}$ suivant la d�finition 22 dans \cite{cv1}
(c'est cette version faible qui est n�cessaire dans la d�monstration du th�or�me 28 de \cite{cv1}).

L'id�e est d'approcher le cylindre par des domaines convexes de r�gularit� $C^1$
et strictement convexes. Pour ces
domaines la formule est vraie. Il reste alors � v�rifier que la formule passe � la limite.
Puisque $f$ est � support compact et vu la d�finition des mesures (Hilbert ou Holmes-Thompson), 
il suffit de v�rifier que les normes Finsler convergent
uniform�ment sur le support de $f$ lorsque les convexes convergent vers le cylindre.
Le lemme suivant pr�cise cela.
\begin{lemm}
  Soit $A$ un domaine compact de $\R^n$. Notons $\mathcal{O}(A)$ l'ensemble des
ouverts convexes born�s de $\R^n$ contenant $A$. A tout ouvert convexe born� $\mathcal{C}$ 
de $\mathcal{O}(A)$ on peut associer la norme de Hilbert induite par $\mathcal{C}$ sur
$A$, notons la $F_{\mathcal{C},A}$. Soit � pr�sent une suite convergente $(\mathcal{C}_n)_{n\in\N}$ 
de convexes dans $\mathcal{O}(A)$ de limite $\mathcal{C}\in \mathcal{O}(A)$. Alors
la suite des applications de $A�\mathbb{S}^{n-1}$ dans $\R$ d�termin�es par
$$
(p,v)\mapsto \dfrac{F_{\mathcal{C}_n,A}(p,v)}{F_{\mathcal{C},A}(p,v)}
$$
converge uniform�ment vers $1$ sur $A�\mathbb{S}^{n-1}$.
\end{lemm}
\begin{proof}[D�monstration]
On va d�montrer le r�sultat dans le cas o� la suite de convexes
est d�croissante au sens o� $\mathcal{C}_{n+1}\subset\mathcal{C}_n$.

Consid�rons donc un point $p\in A \subset\mathcal{C}_n$ et un vecteur $v\in T_p\mathcal{C}$.
Soit $M_{n,A}\colon A�\mathbb{S}^1\to \R$ d�finie par 
$$
M_{n,A}(p,v)=\dfrac{F_{\mathcal{C}_n,A}(p,v)}{F_{\mathcal{C},A}(p,v)} \text{.}
$$
%et soit
%$$
%K(n)=\sup\{M_{n,A}(p,v) \mid (p,v) \in A�\matbb{S}^{n-1}\}\text{.}
%$$
%Par continuit� de $M_{n,A}$ 
%et compacit� de  $A�\mathbb{S}^1$, $K(n)$ est fini.
Si $m\geq n$, de l'inclusion $\mathcal{C}\subset\mathcal{C}_m\subset \mathcal{C}_n$, 
on obtient
$$
1\geq M_{m,A}(p,v)\geq M_{n,A} (p,v)\text{.}
$$
De plus $M_{\infty,A}(p,v)\equiv1$. 
La suite de fonctions  $(M_{n,A})_{n\in\N}$ converge simplement en croissant
vers $1$
(qui est une fonction continue)  sur l'ensemble compact $A� \mathbb{S}^1$. 
On en d�duit qu'en r�alit� la convergence est uniforme sur $A� \mathbb{S}^1$.
\end{proof}
 
\begin{coro}
  Sous les m�mes hypoth�ses que le lemme pr�c�dant, en notant $h_n$ et $h_\infty$
les densit�s par rapport � la mesure de Lebesgue 
des mesures de Hilbert associ�s repectivement � $\mathcal{C}_n$
et $\mathcal{C}$, alors $h_n$ converge uniform�ment vers $h_\infty$ sur $A$. 
\end{coro}
\begin{proof}[D�monstration]
   soit
$$
K(n)=\sup\{M_{n,A}(p,v) \mid (p,v) \in A�\mathbb{S}^{n-1}\}\text{.}
$$
Par continuit� de $M_{n,A}$ 
et compacit� de  $A�\mathbb{S}^1$, $K(n)$ est fini.
Le lemme pr�c�dant implique que $K(n)$ converge en croissant vers $1$.
On en d�duit que pour tout $\varepsilon>0$, � partir d'un certain rang
$$
(1+\varepsilon)^{-1/n}\leq K(n)<1
$$
et donc pour tout $p \in A$
$$
h_\infty(p)(1+\varepsilon) \geq h_n(p)>h_\infty(p)\text{,}
$$
ce qui implique bien la convergence uniforme de $h_n$ sur $A$.
\end{proof}

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 
%%% Local Variables: 
%%% mode: latex
%%% TeX-master: "lamhypfrbis00"
%%% End: 

lamhypbisarxiv.bbl
\providecommand{\bysame}{\leavevmode\hbox to3em{\hrulefill}\thinspace}
\providecommand{\MR}{\relax\ifhmode\unskip\space\fi MR }
% \MRhref is called by the amsart/book/proc definition of \MR.
\providecommand{\MRhref}[2]{%
  \href{http://www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=#1}{#2}
}
\providecommand{\href}[2]{#2}
\begin{thebibliography}{CVV04}

\bibitem[BBI01]{bbi}
D.~Burago, Y.~Burago, and S.~Ivanov, \emph{A course in metric geometry},
  Graduate Studies in Mathematics, vol.~33, American Mathematical Society,
  Providence, RI, 2001. \MR{2002e:53053}

\bibitem[Ben60]{benzecri}
J.P. Benz{\'e}cri, \emph{Sur les vari{\'e}t{\'e}s localement affines et
  localement projectives}, Bulletin de la Soci{\'e}t{\'e} Math{\'e}matique de
  France \textbf{88} (1960), 229--232.

\bibitem[Ben03]{benoist}
Y.~Benoist, \emph{Convexes hyperboliques et fonctions quasisym\'etriques},
  Publ. Math. Inst. Hautes \'Etudes Sci. (2003), no.~97, 181--237. \MR{2 010
  741}

\bibitem[BH99]{brihae}
M.R. Bridson and A.~Haefliger, \emph{Metric spaces of non-positive curvature},
  Comprehensive Studies in Mathematics, vol. 319, Springer, 1999.

\bibitem[BS00]{bs}
M.~Bonk and O.~Schramm, \emph{Embeddings of {G}romov hyperbolic spaces}, Geom.
  Funct. Anal. \textbf{10} (2000), no.~2, 266--306. \MR{MR1771428
  (2001g:53077)}

\bibitem[Cao00]{jcao}
J.~Cao, \emph{Cheeger isoperimetric constants of {G}romov-hyperbolic spaces
  with quasi-poles}, Commun. Contemp. Math. \textbf{2} (2000), no.~4, 511--533.
  \MR{2001m:53068}

\bibitem[CV04]{cv}
B.~Colbois and P.~Verovic, \emph{Hilbert geometry for strictly convex domains},
  Geom. Dedicata \textbf{105} (2004), 29--42. \MR{2 057 242}

\bibitem[CV06]{cv1}
B.~Colbois and C.~Vernicos, \emph{Bas du spectre et delta-hyperbolicit{{\'e}}
  en g{{\'e}}om{{\'e}}trie de {H}ilbert plane}, Bulletin de la
  Soci{{\'e}}t{{\'e}} Math{\'e}matique de France \textbf{1} (2006), ??

\bibitem[CVV]{cvv2}
B.~Colbois, C.~Vernicos, and P.~Verovic, \emph{Area of ideal triangles and
  {G}romov {H}yperbolicity in {H}ilbert {G}eometry}, prepub.

\bibitem[CVV04]{cvv}
\bysame, \emph{L'aire des triangles id{\'e}aux en g{\'e}om{\'e}trie de
  {H}ilbert}, L'enseignement math{\'e}matique \textbf{50} (2004), no.~3-4,
  203--237.

\bibitem[dlH93]{dlharpe}
P.~de~la Harpe, \emph{On {H}ilbert's metric for simplices}, Geometric group
  theory, Vol.\ 1 (Sussex, 1991), Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1993,
  pp.~97--119.

\bibitem[KN02]{kn}
A.~Karlsson and G.~A. Noskov, \emph{The {H}ilbert metric and {G}romov
  hyperbolicity}, Enseign. Math. (2) \textbf{48} (2002), no.~1-2, 73--89.
  \MR{2003f:53061}

\bibitem[LP01]{lp}
U.~Lang and C.~Plaut, \emph{Bilipschitz embeddings of metric spaces into space
  forms}, Geom. Dedicata \textbf{87} (2001), no.~1-3, 285--307. \MR{MR1866853
  (2002i:51011)}

\bibitem[She01]{zshen}
Z.~Shen, \emph{Lectures on {F}insler {G}eometry}, World Scientific, 2001.

\bibitem[SM00]{so0}
E.~Soci{\'e}-M{\'e}thou, \emph{Comportements asymptotiques et rigidit{{\'e}}s
  en g{{\'e}}om{{\'e}}tries de {H}ilbert}, Ph.D. thesis, Universit{{\'e}} de
  Strasbourg, 2000, Th{{\`e}}se de Doctorat.

\bibitem[SM02]{so}
\bysame, \emph{Caract\'erisation des ellipso\"\i des par leurs groupes
  d'automorphismes}, Ann. Sci. \'Ecole Norm. Sup. (4) \textbf{35} (2002),
  no.~4, 537--548. \MR{1 981 171}

\bibitem[SM04]{so2}
\bysame, \emph{Behaviour of distance functions in {H}ilbert-{F}insler
  geometry}, Differential Geom. Appl. \textbf{20} (2004), no.~1, 1--10.
  \MR{2004i:53112}

\end{thebibliography}
