Hyperarbres, arbres enracin�s \\ et partitions point�es
F. Chapoton
On calcule les polyn�mes caract�ristiques des posets des hyperarbres. On montre que la s�rie g�n�ratrice de ces polyn�mes fait intervenir les hyperarbres cycliques. On donne aussi une conjecture pour l'action du groupe sym�trique sur l'homologie de Whitney de ces posets. Par ailleurs, on montre que le poset des partitions point�es de Vallette est �quivalent homotopiquement au poset des for�ts d'arbres enracin�s de Pitman. Le th�me commun implicite � tous ces objets est la combinatoire de l'op�rade PreLie.
hypera.tex
\documentclass[a4paper,10pt]{article}
\usepackage{amsmath,amssymb}
\usepackage[latin1]{inputenc}
\usepackage[english,frenchb]{babel}
\usepackage[dvips]{epsfig}
\usepackage{mathrsfs}

\newcommand{\pd}{\operatorname{Poids}}
\newcommand{\hyp}{\mathcal{HA}}
\newcommand{\hypc}{\mathcal{HAC}}
\newcommand{\PP}{\operatorname{P\!P}}
\newcommand{\CC}{\mathcal{C}}
\newcommand{\fon}{\mathscr{F}}
\newcommand{\zero}{\hat{0}}
\newcommand{\rg}{\operatorname{Rg}}
\newcommand{\ch}{\operatorname{ch}}
\newcommand{\Stab}{\operatorname{Stab}}
\newcommand{\ind}{\operatorname{Ind}}

\newcommand{\ha}{\mathsf{HA}}
\newcommand{\hac}{\mathsf{HAC}}
\newcommand{\hal}{\mathsf{HAL}}
\newcommand{\Wh}{\operatorname{WH}}
\newcommand{\coho}{\operatorname{H}}

\newcommand{\Y}{\mathsf{Y}}
\newcommand{\YC}{\mathsf{YC}}
\newcommand{\sym}{\mathfrak{S}}
\newcommand{\Sym}{\operatorname{Sym}}

\newcommand{\assoc}{\operatorname{Assoc}}
\newcommand{\comm}{\operatorname{Comm}}
\newcommand{\lie}{\operatorname{Lie}}
\newcommand{\pl}{\operatorname{PreLie}}
\newcommand{\perm}{\operatorname{Perm}}
\newcommand{\cycle}{\operatorname{Cyc}}

\newtheorem{theorem}{Th�or�me}[section] 
\newtheorem{proposition}[theorem]{Proposition} 
\newtheorem{conjecture}[theorem]{Conjecture} 
\newtheorem{corollary}[theorem]{Corollaire} 
\newtheorem{lemma}[theorem]{Lemme} 
\newtheorem{definition}{D�finition}
 
\newtheorem{remark}[theorem]{Remark} 
\newtheorem{example}[theorem]{Example} 
\newtheorem{problem}[theorem]{Problem} 
\newtheorem{algorithm}[theorem]{Algorithm} 

\newenvironment{proof}
{\textbf{Preuve.}}
{\hfill\rule{2mm}{2mm}}

\title{Hyperarbres, arbres enracin�s \\ et partitions point�es} 
\author{F. Chapoton}
\date{\today}

\begin{document}

\maketitle

\begin{abstract}
  On calcule les polyn�mes caract�ristiques des posets des
  hyperarbres. On montre que la s�rie g�n�ratrice de ces polyn�mes
  fait intervenir les hyperarbres cycliques. On donne aussi une
  conjecture pour l'action du groupe sym�trique sur l'homologie de
  Whitney de ces posets. Par ailleurs, on montre que le poset des
  partitions point�es de Vallette est �quivalent homotopiquement au
  poset des for�ts d'arbres enracin�s de Pitman. Le th�me commun
  implicite � tous ces objets est la combinatoire de l'op�rade PreLie.
\end{abstract}

\selectlanguage{english}

\begin{abstract}
  We compute the characteristic polynomials of the posets of
  hypertrees. We show that the generating series of the polynomials
  can be expressed using cyclic hypertrees. We also propose a
  conjecture on the action of the symmetric groups on the homology of
  these posets. On the other hand, we show that Vallette's poset of
  pointed partitions is homotopy equivalent to Pitman's poset of
  forests. The implicit common thema of the article is the
  combinatorics of the PreLie operad.
\end{abstract}

\selectlanguage{frenchb}

\setcounter{section}{-1}

\section{Introduction}

Les hyperarbres sont des objets combinatoires relativement nouveaux,
notamment par rapport aux arbres. Ils ont �t� introduits par Berge
dans sa g�n�rali\-sation de la th�orie des graphes aux hypergraphes
\cite{berge}. Plus r�cemment, ils ont �t� utilis�s pour �tudier
certains sous-groupes d'automorphismes du groupe libre
\cite{mccammond}. L'objet de cet article est d'esquisser un rapport
possible avec la th�orie des op�rades, plus pr�cis�ment avec l'op�rade
anticyclique PreLie.

Cet article comprend deux parties principales. La premi�re �tudie le
poset des hyperarbres sur $n$ sommets. Le r�sultat principal est le
calcul du polyn�me caract�ristique, suivant une m�thode inspir�e par
le calcul par McCammond et Meier du nombre de M�bius du poset obtenu
par l'ajout d'un maximum. Cette description fait intervenir la notion
nouvelle d'hyperarbre cyclique.  On propose ensuite une conjecture
d�crivant l'action naturelle du groupe sym�trique sur l'homologie de
Whitney de ce poset. On montre que si cette conjecture est v�rifi�e,
alors l'homologie est fortement li�e � l'op�rade anticyclique
d�crivant les alg�bres pr�-Lie \cite{prelie,anticyclic}.

La seconde partie est plut�t consacr�e aux arbres enracin�s. On montre
que le poset des partitions point�s (introduit par Vallette en th�orie
des op�rades) est �quivalent par homotopie au poset des for�ts
(introduit par Pitman en probabilit�s). En utilisant les m�thodes de
Sundaram, on donne une description de l'action du groupe sym�trique
sur l'homologie de Whitney de ces posets. Dans ce contexte, l'op�rade
PreLie joue un r�le explicite et mieux compris que dans le cadre des
hyperarbres.

\section{Ordre partiel sur les hyperarbres}

Un \textbf{hypergraphe} sur un ensemble fini de sommets $I$ est un
ensemble non vide de parties de $I$ de cardinal au moins $2$. Ces
parties sont appel�es les \textbf{ar�tes} de l'hypergraphe. On peut
d�finir une notion de chemin entre deux sommets dans un hypergraphe :
formellement c'est une suite altern�e d'ar�tes et de sommets o� chaque
ar�te contient les deux sommets adjacents. On peut donc parler
d'hypergraphe connexe et de cycle dans un hypergraphe.

Un \textbf{hyperarbre} sur un ensemble fini de sommets $I$ est un
hypergraphe connexe sur $I$ qui ne contient pas de cycle. Ceci
entra�ne que deux ar�tes distinctes se rencontrent en au plus un
sommet.
\begin{figure}
  \begin{center}
    \scalebox{0.4}{\includegraphics{exemplehyper.eps}}
    \caption{Un exemple d'hyperarbre sur $\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F\}$.}
    \label{exemple_ha}
  \end{center}
\end{figure}

On va d�finir un ordre partiel sur l'ensemble des hyperarbres sur $I$.
Ce poset a �t� �tudi� par J. McCammond and J. Meier \cite{mccammond}
en relation avec la cohomologie $\ell^2$ de certains groupes
d'automorphismes des groupes libres ; ils montrent notamment que le
poset des hyperarbres est Cohen-Macaulay.

La relation d'ordre sur les hyperarbres est d�finie comme suit. Un
hyperarbre $S$ est inf�rieur ou �gal � un hyperarbre $T$ si chaque
ar�te de $S$ est la r�union d'une ou plusieurs ar�tes de $T$.

Le rang $\rg(T)$ d'un hyperarbre $T$ est le nombre d'ar�tes de $T$
moins un. Le poset des hyperarbres est gradu� par le rang. L'unique
�l�ment $\zero$ de rang $0$ est l'hyperarbre dont la seule ar�te est
l'ensemble $I$ tout entier. Les �l�ments de rang maximal (�gal �
$|I|-2$) sont les $|I|^{|I|-2}$ arbres sur $I$, dont toutes les ar�tes
ont cardinal $2$.

\section{S�ries g�n�ratrices des hyperarbres}

\label{hypera}

On consid�re ici des s�ries g�n�ratrices classiques pour les
hyperarbres, voir \cite{gessel,mccammond} pour des travaux ant�rieurs.

Soit $\hyp_n$ l'ensemble des hyperarbres sur l'ensemble
$\{1,\dots,n\}$. On d�finit le \textbf{poids} d'un hyperarbre $T$
comme le produit
\begin{equation}
  \pd(T)=\frac{1}{t} \prod_{a}(t\, u_{|a|} ),
\end{equation}
o� $a$ parcourt les ar�tes de $T$. Autrement dit, le poids d'un
hyperarbre est un mon�me en les variables $t$ et $(u_i)_{i\geq 2}$. La
puissance de $t$ est le rang de $T$. La puissance de $u_i$ est le
nombre d'ar�tes de cardinal $i$ dans $T$.

On introduit alors une s�rie g�n�ratrice $\ha$ des hyperarbres selon
le poids, d�finie comme suit :
\begin{equation}
  \ha=\sum_{n\geq 2} \sum_{T\in\hyp_n} \pd(T) \frac{x^n}{n!}=\frac{x^2}{2} u_2
  +\frac{x^3}{6}(u_3+3 u_2^2)+\dots
\end{equation}

Soit $\ha^p$ la s�rie g�n�ratrice similaire des hyperarbres point�s en
un sommet, $\ha^{a}$ celle des hyperarbres point�s en une ar�te et
$\ha^{pa}$ celle des hyperarbres point�s en un drapeau, c'est-�-dire
munis d'une paire form�e d'un sommet distingu� et d'une ar�te
distingu�e contenant ce sommet.

On peut facilement obtenir une description r�cursive de ces s�ries
g�n�ratrices. Tout d'abord, un hyperarbre point� en un sommet se
d�compose naturellement selon les ar�tes contenant le sommet
distingu�. On obtient ainsi que la s�rie $\ha^{p}$ est caract�ris�e
par la relation
\begin{equation}
  \label{HAPselonY}
  \ha^p=\frac{x}{t} ( \exp(t\Y) -1 ),
\end{equation}
o� la s�rie auxiliaire $\Y$, d�finie par
\begin{equation}
  \label{YselonHAP}
  \Y=\sum_{n \geq 1} u_{n+1} \frac{(x+t\,\ha^p)^n}{n!},
\end{equation}
est la s�rie g�n�ratrice des hyperarbres sur l'ensemble $\{1,\dots,n\}
\sqcup \{\bullet\}$, o� le sommet $\bullet$ appartient � une seule
ar�te.

Par ailleurs, on peut d�composer un hyperarbre point� en une ar�te
selon les composantes connexes de l'hypergraphe obtenu en enlevant
cette ar�te. Chacune de ces composantes est un hyperarbre point� en
un sommet. On obtient ainsi la relation
\begin{equation}
  \ha^{a}=\sum_{n \geq 1} u_{n+1} \frac{(x+t\,\ha^p)^{n+1}}{(n+1)!}.
\end{equation}

De m�me, on d�crit un hyperarbre point� en un drapeau en utilisant la
s�rie auxiliaire $\Y$. On obtient l'�quation
\begin{equation}
  \ha^{pa}=x \Y \exp(t \Y).
\end{equation}

Enfin, par le principe de dissym�trie (voir \cite[Chap. 4.1]{species}
pour le cas des arbres) qui consiste � utiliser l'existence d'un
centre naturel pour un hyperarbre (qui est soit une ar�te soit un
sommet), on a
\begin{equation}
  \ha^{pa}+\ha=\ha^{p}+\ha^{a}.
\end{equation}

Toutes ces relations permettent le calcul par r�currence de ces s�ries
g�n�ratrices. On a de plus la relation
\begin{equation}
  \label{derive_ha}
  \ha^p = x\partial_x \ha,
\end{equation}
qui est la traduction habituelle du pointage en un sommet au niveau
des s�ries g�n�ratrices.

\section{S�ries g�n�ratrices des hyperarbres cycliques}

Un \textbf{hyperarbre cyclique} est un hyperarbre muni en chaque
sommet d'un ordre cyclique sur les ar�tes contenant ce sommet.

\label{hyperac}

\subsection{Version compl�te}

Soit $\hypc_n$ l'ensemble des hyperarbres cycliques sur l'ensemble
$\{1,\dots,n\}$ et soit $\hac$ la s�rie g�n�ratrice des hyperarbres
cycliques d�finie par
\begin{equation}
  \hac=\sum_{n\geq 2} \sum_{T\in\hypc_n} \pd(T) \frac{x^n}{n!}=\frac{x^2}{2} u_2
  +\frac{x^3}{6}(u_3+3 u_2^2)+\dots,
\end{equation}
avec la m�me d�finition du poids que pr�c�demment.

Soit $\hac^p$ la s�rie g�n�ratrice des hyperarbres cycliques point�s
en un sommet, $\hac^{a}$ celle des hyperarbres cycliques point�s en
une ar�te et $\hac^{pa}$ celle des hyperarbres cycliques point�s en un
drapeau.

\textbf{Remarque} : on peut aussi voir les hyperarbres cycliques
point�s en un drapeau comme des hyperarbres point�s en un sommet (la
racine) et munis d'un ordre total sur les ar�tes entrantes en chaque
sommet (l'ar�te sortante est l'ar�te la plus proche de la racine). On
appelle \textbf{hyperarbre ordonn�} ce type d'hyperarbre. Pour la
bijection entre ces deux types d'objets, on utilise la structure
arborescente et le drapeau initial pour d�finir pour chaque sommet
(sauf le sommet point�) une ar�te sortante, celle qui est la plus
proche du sommet fix�. Les ordres cycliques sont alors �quivalents �
des ordres totaux, en utilisant le drapeau initial (pour la racine) ou
l'ar�te sortante (pour les autres sommets) pour effectuer la
conversion entre les deux types d'ordres.

\medskip

Comme pr�c�demment pour les hyperarbres, on a une description de ces
s�ries g�n�ratrices par des �quations fonctionnelles d'origine
combinatoire.

En utilisant la description par les hyperarbres ordonn�s, on voit que
la s�rie $\hac^{pa}$ est caract�ris�e par la relation
\begin{equation}
  \label{HACPAselonY}
  \hac^{pa}=\frac{x \YC}{1-t \YC},
\end{equation}
o� la s�rie auxiliaire $\YC$, d�finie par
\begin{equation}
  \label{YselonHACPA}
  \YC=\sum_{n \geq 1} u_{n+1} \frac{(x+t\,\hac^{pa})^n}{n!},
\end{equation}
est la s�rie g�n�ratrice des hyperarbres ordonn�s sur l'ensemble
$\{1,\dots,n\} \sqcup \{\bullet\}$ o� le sommet $\bullet$ est la
racine et est contenu dans une seule ar�te.

Quand on pointe un hyperarbre cyclique en une ar�te, on obtient un
ensemble (de cardinal au moins $2$) d'hyperarbres ordonn�s. On a donc
\begin{equation}
  \hac^{a}=\sum_{n \geq 1} u_{n+1} \frac{(x+t\,\hac^{pa})^{n+1}}{(n+1)!}.
\end{equation}

Quand on pointe en un sommet, on obtient un cycle d'hyperarbres
ordonn�s ayant un sommet racine en commun. Ceci entra�ne la relation
\begin{equation}
  \hac^{p}=-\frac{x}{t}\ln(1-t Y).
\end{equation}

Enfin, � nouveau par le principe de dissym�trie, on a
\begin{equation}
  \hac^{pa}+\hac=\hac^{p}+\hac^{a}.
\end{equation}

Toutes ces relations permettent le calcul par r�currence de ces s�ries
g�n�ratrices. On a de plus la relation
\begin{equation}
  \hac^p = x\partial_x \hac,
\end{equation}
qui exprime comme pr�c�demment le pointage en un sommet.

\subsection{Version simplifi�e}

On sp�cialise les r�sultats de la section pr�c�dente en posant $u_i=1$
pour tout $i\geq 2$. Le poids d'un hyperarbre devient simplement la variable
$t$ � la puissance la rang de $T$. Par abus de notation, on garde le
m�me nom pour les s�ries g�n�ratrices, dont les versions compl�tes ne
seront pas utilis�es.

La s�rie $\hac^{pa}$ est d�termin�e par
\begin{equation}
  \label{def_hac_pa}
  \hac^{pa}=x (\exp(x+t\,\hac^{pa})-1)/(1-t(\exp(x+t\,\hac^{pa})-1)).
\end{equation}

On a la relation suivante :
\begin{equation}
  \label{def_hac_p}
  \hac^p=-\frac{x}{t} \ln(1-t (\exp(x+t\,\hac^{pa})-1)).
\end{equation}

On a aussi
\begin{equation}
  \label{def_hac_a}
  \hac^{a}=\exp(x+t\,\hac^{pa})-1-(x+t\,\hac^{pa}).
\end{equation}

Enfin, on a
\begin{equation}
  \label{def_hac}
  \hac=\hac^{p}+\hac^{a}-\hac^{pa}.
\end{equation}

Bien s�r, on a encore
\begin{equation}
  \label{derive_hac}
  \hac^p = x\partial_x \hac.
\end{equation}

\section{Calcul du polyn�me caract�ristique}

Dans cette section, on calcule les polyn�mes caract�ristiques des
posets des hyperarbres � l'aide des s�ries g�n�ratrices des
hyperarbres cycliques.

Soit $\chi_n$ le polyn�me caract�ristique du poset $\hyp_n$, en la
variable $s$ :
\begin{equation}
  \chi_n =\sum_{T \in \hyp_n} \mu(\zero,T) s^{n-2-\rg(T)},
\end{equation}
o� $\mu(\zero,T)$ est le nombre de M�bius de l'intervalle $[\zero,T]$.

Soit $\chi_T$ le polyn�me caract�ristique du poset $\hyp_n^{\geq T}$
form� par les �l�ments de $\hyp_n$ sup�rieurs � $T$ :
\begin{equation}
  \chi_T=\sum_{U \geq T} \mu(T,U) s^{n-2-\rg(U)}.
\end{equation}
Comme le poset $\hyp_n^{\geq T}$ est isomorphe au produit $\prod_a
\hyp_{|a|}$ o� $a$ parcourt les ar�tes de $T$ (voir \cite[Lemme 2.5]{mccammond}),
on a la relation
\begin{equation}
  \chi_T=\prod_a \chi_{|a|}.
\end{equation}
Par cons�quent,
\begin{equation}
  \frac{\chi_T}{s} =\frac{1}{s}\prod_a \big{(} s \frac{\chi_{|a|}}{s} \big{)}.
\end{equation}

On sait de plus, par la d�finition des polyn�mes caract�ristiques, que 
\begin{equation}
  \sum_{T\in\hyp_n} \chi_T=s^{n-2}.
\end{equation}
Donc on a
\begin{equation}
  \sum_{T \in \hyp_n} \frac{1}{s} \chi_T= s^{n-3}.
\end{equation}

On d�finit des s�ries $\overline{\ha},\overline{\Y},\dots$ en
rempla�ant $u_i$ par $\chi_i /s$ et $t$ par $s$ dans $\ha$, $\Y$, etc.
On obtient alors
\begin{equation}
  \overline{\ha} = \sum_{n \geq 2} s^{n-3} \frac{x^n}{n!}=\frac{1}{s^3}(\exp(s x)-1-s x).
\end{equation}

On en d�duit donc, par la relation (\ref{derive_ha}), que
\begin{equation}
  \overline{\ha}^p=\frac{x}{s^2}(\exp(s x)-1).
\end{equation}

Par ailleurs, en inversant la relation (\ref{HAPselonY}), on montre que
\begin{equation}
  s^2 \overline{\Y}=s \ln\left( 1+\frac{s \overline{\ha}^p}{x} \right).
\end{equation}

On a donc obtenu les �quations suivantes :
\begin{equation}
  A:=s^2 \overline{\Y}=s \sum_{n\geq 1}\chi_{n+1}
  \frac{(x+s\overline{\ha}^p)^n}{n!}=s \ln\left( 1+\frac{s \overline{\ha}^p}{x} \right),
\end{equation}
et
\begin{equation}
  B:=s x+s^2\,\overline{\ha}^p=s x+ x(\exp(s x)-1).
\end{equation}

Ces relations caract�risent les polyn�mes $\chi_n$ de la variable $s$.

On effectue ensuite le changement de variables $s=-1/t$ et $x=-t z$.
Soit $\tau_{n+1}$ le polyn�me $(-t)^{n-1} \chi_{n+1}(-1/t)$ en la
variable $t$. On a alors les relations suivantes :
\begin{equation}
      A=\sum_{n \geq 1} \tau_{n+1} \frac{B^n}{n!},
\end{equation}
et
\begin{equation}
  \label{probleme}
  \begin{cases}
    A&=-\frac{1}{t}\ln(B/z),\\
    B&=z-t z(\exp(z)-1).
  \end{cases}
\end{equation}
Ces relations caract�risent les polyn�mes $\tau_n$.

\begin{theorem}
  La solution unique du syst�me {\rm (\ref{probleme})} en fonction
  de $B$ est donn�e par
  \begin{equation}
    \begin{cases}
      A&=\partial_B \hac(B),\\
      z&=B+t\,\hac^{pa}(B).
    \end{cases}
  \end{equation}
\end{theorem}

\begin{proof}
  L'unicit� est claire. Il suffit donc de v�rifier la solution
  propos�e. Soient $A$ et $B$ comme dans l'�nonc� du th�or�me. En
  utilisant les relations (\ref{def_hac_pa}),(\ref{def_hac_p}) et
  (\ref{derive_hac}) entre les s�ries g�n�ratrices d'hyperarbres
  cycliques, on a
  \begin{align}
    B A&=\hac^p(B)=-\frac{B}{t} \ln(1-t (\exp(z)-1)),\\
    (z-B)/t&=\hac^{pa}(B)=B (\exp(z)-1)/(1-t(\exp(z)-1)).
  \end{align}

  On obtient en simplifiant
  \begin{align}
    A&=-\frac{1}{t}\ln(1-t(\exp(z)-1)),\\
    B&=z-t z(\exp(z)-1).
  \end{align}
  
  Ceci entra�ne que
  \begin{equation}
    A=-\frac{1}{t}\ln(B/z).
  \end{equation}  
\end{proof}


\begin{corollary}
  Le polyn�me $\tau_n=(-t)^{n-2}\chi_n(-1/t)$ est la s�rie g�n�ratrice
  des hyperarbres cycliques sur $n$ sommets selon le nombre d'ar�tes.
  En particulier, le polyn�me caract�ristique $\chi_n$ du poset
  $\hyp_n$ a des coefficients altern�s.
\end{corollary}

La seconde partie du corollaire est d�j� connue, car elle r�sulte du
fait que le poset $\hyp_n$ est Cohen-Macaulay.

Pour retrouver les r�sultats de McCammond et Meier \cite{mccammond}
sur le nombre de M�bius du poset $\widehat{\hyp}_n$ obtenu en
rajoutant artificiellement un �l�ment maximal � $\hyp_n$, on doit
faire $t=-1$ dans le syst�me (\ref{probleme}), qui se simplifie en
\begin{equation}
  \begin{cases}
    A&=\ln(B/z),\\
    B&=z\exp(z).
  \end{cases}
\end{equation}
La solution est bien connue, donn�e par $z=A=W(B)$, o� $W$ est la
fonction $W$ de Lambert d�finie par
\begin{equation}
  W(B)=-\sum_{n \geq 1} n^{n-1} \frac{(-B)^n}{n!}.
\end{equation}

On obtient donc
\begin{equation}
  \mu(\widehat{\hyp}_{n+1})=-\chi_{n+1}(1)=(-1)^n n^{n-1},
\end{equation}
comme attendu.

\section{Homologie de Whitney des hyperarbres}

\subsection{Rappels sur les fonctions sym�triques}

Comme r�f�rence sur les fonctions sym�triques, on renvoie le lecteur
au livre classique de Macdonald \cite{macdonald}. 

On note $\ch$ le caract�re de Frobenius qui associe � un module sur le
groupe sym�trique une fonction sym�trique.

Le pl�thysme des fonctions sym�triques sera not� $\circ$. La
suspension d'une fonction sym�trique $f=f(p_1,p_2,p_3,\dots)$ exprim�e
en termes de sommes de puissances est la fonction sym�trique $\Sigma_t
f$ d�finie par
\begin{equation}
  \Sigma_t f = -\frac{1}{t} f(-t p_1,-t^2 p_2, -t^3 p_3,\dots).
\end{equation}
On a clairement $\partial_{p_1} \Sigma_t = (-t) \Sigma_t
\partial_{p_1}$. Par convention, $\Sigma$ d�signe la suspension en
$t=1$.

Introduisons quelques fonction sym�triques associ�es � des op�rades.
On confond, par abus de notation, une op�rade avec la fonction
sym�trique associ�e.

Pour l'op�rade associative, on a
\begin{equation}
  \label{def_assoc}
  \assoc=p_1/(1-p_1),
\end{equation}
qui correspond � la somme des repr�sentations r�guli�res des groupes
sym�triques.

Soit $\comm$ la fonction sym�trique suivante :
\begin{equation}
  \label{def_comm}
  \comm=\exp\left(\sum_{k \geq 1} p_k/k\right)-1.
\end{equation}
Cette fonction sym�trique correspond � la somme des repr�sentations triviales.

Le fait que les op�rades $\lie$ et $\comm$ soient de Koszul et duales
implique la relation
\begin{equation}
  \label{koszul_comm}
  \Sigma\lie \circ \comm=p_1,
\end{equation}
o� $\lie$ est la fonction sym�trique associ�e � l'op�rade $\lie$.

On a la relation classique
\begin{equation}
  \label{poisson}
  \comm \circ \lie=\assoc.
\end{equation}

Soit enfin $\perm$ la fonction sym�trique d�finie par
\begin{equation}
  \label{def_perm}
  \perm=p_1 (1+\comm).
\end{equation}
Le fait que les op�rades $\pl$ et $\perm$ soient de Koszul et duales
implique la relation
\begin{equation}
  \label{koszul_perm}
  \Sigma\pl \circ \perm= \perm \circ \Sigma\pl =p_1,
\end{equation}
o� $\pl$ est la fonction sym�trique associ�e aux arbres enracin�s
\cite{prelie}. Par l'interpr�tation usuelle de l'action de $p_1
\partial_{p_1}$ comme le pointage en un sommet, la fonction $p_1
\partial_{p_1} \pl$ correspond donc aux arbres doublement point�s. Un
tel objet se d�compose de fa�on unique (en utilisant l'unique chemin
joignant les deux points marqu�s) en une liste d'arbres enracin�s. On
a donc la relation
\begin{equation}
  \label{vertebres}
  p_1 \partial_{p_1} \pl = \assoc \circ \pl.
\end{equation}

Des relations (\ref{def_perm}) et (\ref{koszul_perm}), on d�duit la
relation
\begin{equation}
  \label{def_pl}
  \Sigma\pl \,(\comm \circ \Sigma\pl)=p_1-\Sigma\pl.
\end{equation}

\begin{lemma}
  \label{somme1}
  On a
  \begin{equation}
    p_1 \partial_{p_1}
    \Sigma\pl + \partial_{p_1} (\comm \circ \Sigma\pl)=1.
  \end{equation}
\end{lemma}

\begin{proof}
  Ceci �quivaut �
  \begin{equation}
    \Sigma(p_1 \partial_{p_1}\pl) + \partial_{p_1} (\comm \circ \Sigma\pl)=1.
  \end{equation}
  En utilisant la relation (\ref{vertebres}), le membre de gauche devient
  \begin{equation}
    \Sigma \assoc \circ \Sigma \pl + (\partial_{p_1}\Sigma\pl)(1+\comm \circ \Sigma\pl).
  \end{equation}
  En utilisant l'expression (\ref{def_assoc}) de $\assoc$ et les
  relations (\ref{def_pl}) et (\ref{vertebres}), ceci devient
  \begin{equation}
    \frac{\Sigma\pl}{1+\Sigma\pl}-\Sigma\left(\frac{\pl}{p_1(1-\pl)}\right)\left(\frac{p_1}{\Sigma\pl}\right),
  \end{equation}
  ce qui donne bien $1$.
\end{proof}

\subsection{Quelques fonctions sym�triques nouvelles}

\label{nouvelles}

Introduisons de nouvelles fonctions sym�triques, inspir�es de celles
associ�es aux hyperarbres cycliques, mais distinctes.

Soit $\hal^{pa}$ la fonction sym�trique avec un param�tre $t$ d�finie par
\begin{equation}
  \label{def_hal_pa}
  \hal^{pa}=p_1 [\Sigma_t \assoc] \circ \comm \circ [p_1+ (-t) \hal^{pa}].
\end{equation}

Notons qu'ici et dans toute la suite, le pl�thysme agit de fa�on non
triviale sur la variable $t$ : on a $p_k \circ t=t^k$. La variable $t$
peut donc seulement �tre sp�cialis�e en $0$ ou $1$.

Soit $\hal^{p}$ la fonction sym�trique avec un param�tre $t$ d�finie par
\begin{equation}
  \label{def_hal_p}
  \hal^{p}=p_1 [\Sigma_t \lie] \circ \comm \circ [p_1+ (-t) \hal^{pa}].
\end{equation}

Soit $\hal^{a}$ la fonction sym�trique avec un param�tre $t$ d�finie par
\begin{equation}
  \label{def_hal_a}
  \hal^{a}=[\comm - p_1] \circ [p_1+ (-t) \hal^{pa}].
\end{equation}

Soit enfin $\hal$ la fonction sym�trique avec un param�tre $t$ d�finie
par
\begin{equation}
  \label{def_hal}
  \hal=\hal^{p}+\hal^{a}-\hal^{pa}.
\end{equation}

Ces relations permettent de calculer ces fonctions sym�triques par
r�currence.

Par les formules (\ref{poisson}),(\ref{def_hal_pa}) et
(\ref{def_hal_p}), on a aussi la relation suivante :
\begin{equation}
  \frac{\hal^{pa}}{p_1}=[\Sigma_t \comm] \circ \frac{\hal^{p}}{p_1}.
\end{equation}

\begin{proposition}
  On a la relation
  \begin{equation}
    \hal^{p}=p_1 \partial_{p_1} \hal.
  \end{equation}
\end{proposition}

\begin{proof}
  On pose $C=\comm \circ (p_1 -t \hal^{pa})$. On calcule d'abord, en
  utilisant la relation (\ref{def_hal_pa}), la
  d�riv�e $\partial_{p_1}\hal^{pa}$ en fonction de $C$. On obtient
  \begin{equation}
    \partial_{p_1}\hal^{pa}=\frac{C}{1+t C} 
    + p_1 (1-t\partial_{p_1}\hal^{pa}) \frac{1+C}{(1+tC)^2}.
  \end{equation}
  En simplifiant les d�nominateurs, ceci donne la relation
  \begin{equation}
    \label{deri_hal_pa}
    (1+2 t C+t^2C^2+t p_1+t p_1 C)\partial_{p_1}\hal^{pa}
    =C+t C^2+p_1+p_1 C.
  \end{equation}

  On utilise ensuite la relation (\ref{def_hal}) pour calculer $p_1
  \partial_{p_1}\hal$. On obtient
  \begin{equation}
    \hal^{p}+p_1^2 (1-t\partial_{p_1}\hal^{pa})\frac{1+C}{1+tC}+p_1
    (1-t\partial_{p_1}\hal^{pa}) C -p_1 \partial_{p_1}\hal^{pa}.
  \end{equation}

  Pour d�montrer la proposition, il faut donc v�rifier la relation
  \begin{equation}
     \partial_{p_1}\hal^{pa}
    =p_1 (1-t\partial_{p_1}\hal^{pa})\frac{1+C}{1+tC}+
    (1-t\partial_{p_1}\hal^{pa}) C.
  \end{equation}
  Mais ceci r�sulte imm�diatement de la relation (\ref{deri_hal_pa})
  obtenue plus haut.
\end{proof}

\subsection{Description de l'homologie de Whitney}

Soit $P$ un poset gradu� avec un �l�ment minimum $\zero$ et dont
toutes les cha�nes maximales ont la m�me longueur. Les groupes
d'homologie de Whitney de $P$, d�not�s $\Wh_i(P)$, ont �t� introduits
par Baclawski \cite{bacla} et �tudi�s par Bj�rner \cite{bjorn}. Si le
poset $P$ est Cohen-Macaulay, alors on a la relation suivante avec le
polyn�me caract�ristique :
\begin{equation}
  \sum_{i=0}^r s^{r-i} (-1)^i \dim \Wh_i(P) = \chi_P(s), 
\end{equation}
o� $r$ est le rang maximal dans $P$.

Les groupes d'homologie de Whitney ont la description suivante :
\begin{equation}
  \Wh_i(P)=\bigoplus_{x \in P} \widetilde{\coho}_{i-2}(\zero,x),
\end{equation}
o� les $\widetilde{\coho}$ sont les groupes d'homologie r�duite des
intervalles de $P$.

Soit $\Wh$ la fonction sym�trique g�n�ratrice des caract�res de
l'action des groupes sym�triques sur l'homologie de Whitney des posets
$\hyp_n$ :
\begin{equation}
  \Wh:=\sum_{n \geq 2} \sum_{i=0}^{n-2} \ch(\Wh_i(\hyp_n)) (-t)^i.
\end{equation}

On propose la conjecture suivante d�crivant l'action du groupe
sym�trique sur l'homologie de Whitney du poset des hyperarbres.

\begin{conjecture}
  \label{grosse}
  On a la relation suivante
  \begin{equation}
    \Wh=\hal.
  \end{equation}
\end{conjecture}

Cette conjecture est vraie au niveau des dimensions. Pour le v�rifier,
il suffit de comparer l'expression des polyn�mes caract�ristiques
obtenue plus haut en fonction de $\hac$ (en $u_i=1$ pour $i\geq 2$) et
la sp�cialisation en $p_k=0$ pour $k\geq 2$ des fonctions sym�triques
$\hal$.

Cette comparaison utilise notamment le fait que la sp�cialisation de
la fonction sym�trique $\lie$ est $-\ln(1-p_1)$.

\subsection{Caract�ristiques d'Euler et relation avec $\pl$}

On substitue $t=1$ dans les formules de la section \ref{nouvelles}.
Les fonctions sym�triques obtenues sont not�es $\overline{\hal}$, etc.

On sait (\cite[Lemme 1.1]{sunda1}) que si la conjecture \ref{grosse}
est v�rifi�e, alors $\overline{\hal}$ correspond (aux signes pr�s) �
l'action sur l'homologie du poset $\widehat{\hyp}_n$ obtenu en
ajoutant un maximum artificiel au poset $\hyp_n$.

Soit $\overline{\hal}^{pa}$ la fonction sym�trique avec un param�tre
$t$ d�finie par
\begin{equation}
  \overline{\hal}^{pa}=
  p_1 \left[\frac{p_1}{1+p_1}\right] \circ \comm \circ [p_1 - \overline{\hal}^{pa}].
\end{equation}

Ceci se simplifie en la relation
\begin{equation}
  \overline{\hal}^{pa}=
  (p_1-\overline{\hal}^{pa}) \comm \circ (p_1-\overline{\hal}^{pa}).
\end{equation}

Par comparaison avec la relation (\ref{def_pl}), on a donc
\begin{equation}
  \overline{\hal}^{pa}=p_1-\Sigma\pl.
\end{equation}

On obtient ensuite
\begin{equation}
  \overline{\hal}^{p}=p_1 [\Sigma\lie \circ \comm] \circ [p_1 -
  \overline{\hal}^{pa}]=p_1 [p_1 - \overline{\hal}^{pa}]= p_1 \Sigma \pl.
\end{equation}

On a aussi la relation
\begin{equation}
  \label{deri_hal}
  \frac{1}{p_1}\overline{\hal}^{p}=\partial_{p_1} \overline{\hal}= \Sigma \pl.
\end{equation}

On calcule 
\begin{equation}
  \overline{\hal}^{a}=(\comm-p_1)\circ [p_1 -
  \overline{\hal}^{pa}]=\comm \circ \Sigma\pl -\Sigma\pl.
\end{equation}

Enfin, on obtient
\begin{equation}
  \overline{\hal}=-p_1+\Sigma\pl+p_1 \Sigma\pl + \comm \circ \Sigma\pl 
  -\Sigma\pl,
\end{equation}
ce qui donne
\begin{equation}
  \label{hal_pl}
  \overline{\hal}=-p_1+p_1 \Sigma\pl+ \comm \circ \Sigma\pl.
\end{equation}

Mais on sait, par la relation (\ref{def_pl}), que
\begin{equation}
  \comm \circ \Sigma\pl=-1+p_1/\Sigma\pl.
\end{equation}

Donc on a
\begin{equation}
  1 +\overline{\hal}=p_1(-1+ \Sigma\pl +1/\Sigma\pl).
\end{equation}

On rappelle que l'action des groupes sym�triques sur l'op�rade
anticyclique $\pl$ est donn�e par la fonction sym�trique $M$
caract�ris�e par la relation suivante (voir \cite[Eq.
(50)]{anticyclic}) :
\begin{equation}
  M + 1=p_1 (1+ \pl +1/\pl).
\end{equation}

Comme la suspension est anti-multiplicative,
\begin{equation}
  \Sigma M - 1 =-p_ 1 (-1+ \Sigma\pl +1/\Sigma\pl).
\end{equation}

Donc
\begin{proposition}
  On a la relation
  \begin{equation}
    \overline{\hal}=-\Sigma M.
  \end{equation}  
\end{proposition}

Si la conjecture \ref{grosse} est v�rifi�e, ceci devrait fournir une
relation entre la suspension de l'op�rade anticyclique $\pl$ et
l'homologie du poset $\widehat{\hyp}_n$.

% \subsection{Lien avec Brace}

% Remarque : calculons la composante de degr� maximal en $t$ de
% $\hal^{pa}$. On pose $v=1/t$.

% On applique la suspension $\Sigma_v$ � l'�quation (\ref{def_hal_pa}) :
% \begin{equation}
%   \Sigma_v \hal^{pa} = - v p_1 \Sigma_v(\Sigma_t\assoc) \circ
%   (\Sigma_v \comm) \circ (p_1 + (-t)\Sigma_v \hal^{pa}).
% \end{equation}
% Soit, en posant $K_v=-\frac{1}{v} \Sigma_v \hal^{pa}$,
% \begin{equation}
%   K_v= p_1 \assoc \circ (\Sigma_v \comm) \circ (p_1+K_v).
% \end{equation}
% On peut alors poser $v=0$ :
% \begin{equation}
%   K_0=p_1 \assoc \circ (p_1 + K_0).
% \end{equation}

% On en d�duit que $K_0$ est une somme de Catalan copies de la
% repr�sentation r�guli�re. Ceci est, au terme de degr� $1$ pr�s, la
% fonction sym�trique associ�e � l'op�rade Brace. On rappelle que
% l'op�rade Brace est munie d'un morphisme vers l'op�rade $\pl$ par
% sym�trisation.

\section{Partitions point�es et for�ts d'arbres enracin�s}

\subsection{Partitions point�es}

Le poset des partitions point�es $\PP_I$ d'un ensemble $I$, introduit
par Vallette dans \cite{vallette} et �tudi� ensuite dans
\cite{chapvall}, est une variante int�ressante du poset classique des
partitions.

Une partition point�e de $I$ est la donn�e d'une partition de $I$ et
d'un �l�ment distingu� (``point�'') dans chaque part de cette
partition. Par abus de notation, on note par la m�me lettre une
partition point�e et la partition sous-jacente. La relation d'ordre
est la suivante : une partition point�e $\nu$ est inf�rieure � $\pi$
si la partition $\nu$ raffine la partition $\pi$ (chaque part de $\pi$
est l'union de parts de $\nu$) et si les �l�ments point�s dans $\pi$
sont aussi point�s dans $\nu$. Le poset des partitions point�s a un
�l�ment minimal donn� par la partition en singletons, et $|I|$
�l�ments maximaux correspondant aux diff�rents pointages de la
partition de $I$ en une seul part.

\subsection{For�ts d'arbres enracin�s}

Le poset des for�ts $F_I$ a �t� introduit par Pitman dans
\cite{pitman}, pour des motivations en probabilit�. Il est aussi utile
en combinatoire, voir \cite[Ex. 5.29]{stanley2}.

Une for�t d'arbres enracin�s sur $I$ est un graphe sur l'ensemble de
sommets $I$ dont les composantes connexes sont simplement connexes
(des arbres) et munies chacune d'un �l�ment distingu� appel� la
racine. On peut alors orienter les ar�tes vers les racines. Un point
de vue �quivalent est de consid�rer un for�t comme un ensemble
d'ar�tes orient�es ayant les propri�t�s ad�quates (absence de cycles
et de fourches divergentes).

La relation d'ordre est la suivante : une for�t $G$ est inf�rieure �
une for�t $F$ si on peut obtenir $G$ en enlevant des ar�tes orient�s �
$F$. Le poset des for�ts a un unique �l�ment minimal donn� par la
for�t dont les arbres sont des singletons, et $|I|^{|I|-1}$ �l�ments
maximaux qui correspondent aux arbres enracin�s sur $I$.

Les intervalles dans $F_I$ sont des posets bool�ens. La fonction de
M�bius est donc $-1$ � la puissance le rang. On voit aussi que le
poset $F_I$ provient d'un complexe simplicial sur l'ensemble des
ar�tes orient�es. Ceci entra�ne que sa r�alisation g�om�trique est la
subdivision barycentrique de ce complexe simplicial.

\subsection{Comparaison}

On a un morphisme de poset $\phi$ de $F_I$ dans $\PP_I$ qui associe �
une for�t la partition de $I$ form�e par les arbres et le pointage de
chaque part donn� par la racine de chaque arbre. Cette application est
�quivariante pour l'action du groupe sym�trique.

\begin{theorem}
  \label{homotopie}
  L'application $\phi$ induit une �quivalence en homotopie.
\end{theorem}

\begin{proof}
  On utilise le crit�re suivant : il suffit de v�rifier que la fibre
  de chaque �l�ment est contractile (Lemme fibre de Quillen, voir
  \cite{wachs}). On choisit de regarder la fibre vers le bas.

  Comme la fibre d'une partition point�e en plusieurs morceaux est
  isomorphe comme poset au produit des fibres des morceaux, il suffit
  de montrer que la fibre d'une partition point�e en un seul bloc est
  contractile. On fixe donc un ensemble fini $I$ et un �l�ment point�
  $i$ dans $I$. On note $p_i$ cette partition point�e.

  Par la d�finition de la relation d'ordre de $F_I$ par enl�vement
  d'ar�tes, la r�alisation g�om�trique de $F_I$ est naturellement une
  subdivision barycentrique du complexe simplicial $X$ sur l'ensemble
  $I^2$ (une paire (a,b) est vue comme une ar�te $(a \leftarrow b)$)
  dont les simplexes sont les ensembles d'ar�tes de for�ts. Ce
  complexe simplicial est pur et les simplexes maximaux sont en
  bijection avec les arbres enracin�s sur $I$.

  La fibre par $\phi$ de la partition point�e $p_i$ correspond alors
  au sous-complexe simplicial $X_1$ dont les simplexes sont les
  ensembles d'ar�tes contenant au moins une ar�te de la forme $(i
  \leftarrow j)$. Les simplexes correspondent aux for�ts ayant $i$
  parmi leurs racines et les simplexes maximaux correspondent aux
  arbres ayant $i$ pour racine. Ce complexe simplicial est pur.

  On d�finit, pour $1\leq r \leq |I|-1$, un complexe simplicial $X_r$
  comme le sous complexe simplicial de $X$ dont les simplexes sont les
  ensembles d'ar�tes contenant au moins $r$ ar�tes de la forme $(i
  \leftarrow j)$. Ce sont des complexes simpliciaux purs. Les
  simplexes maximaux correspondent aux arbres ayant $i$ pour racine et
  tels que la valence de $i$ est au moins $r$.

  On a des inclusions naturelles $X_{|I|-1} \subset \dots \subset X_1$.

  On va montrer que $X_r$ est contractile par r�currence descendante
  sur $r$.
  
  Consid�rons le cas $r=|I|-1$. Il y a un seul simplexe maximal,
  correspondant � la corolle de racine $i$, form� par les ar�tes $(i
  \leftarrow j)$ pour $j\in I \setminus \{i\}$. Ce complexe est
  �videmment contractile.

  Supposons maintenant que $X_r$ est contractile, pour un certain
  $2\leq r \leq |I|-1$. On va montrer que $X_{r-1}$ se r�tracte sur
  $X_r$, donc est aussi contractile.

  Soit $C$ un simplexe maximal de $X_{r-1}$ correspondant � un arbre
  dont la racine $i$ est de valence exactement $r-1$. Ceci signifie
  que $C$ contient exactement $r-1$ ar�tes de type $(i \leftarrow j)$
  et donc $|I|-1-(r-1)$ autres ar�tes.  Consid�rons les simplexes de
  codimension $1$ au bord de $C$ qui contiennent $r-2$ ar�tes de type
  $(i\leftarrow j)$. Chacun de ces simplexes est contenu dans un seul
  simplexe maximal de $X_{r-1}$, qui est $C$. On peut donc �craser $C$
  sur le reste de son bord. Cette partie restante du bord de $C$ est
  form�e de simplexes contenant $r-1$ ar�tes de type $(i \leftarrow
  j)$. Ce bord est donc contenu dans le sous complexe $X_{r}$.

  Ceci montre que $X_{r-1}$ se r�tracte sur $X_{r}$ qui est
  contractile par r�currence, donc $X_{r-1}$ aussi. Ceci termine la
  r�currence.

  On a donc montr� que la fibre $X_1$ est contractile. Ceci termine la
  d�monstration.  
\end{proof}

Comme corollaire du th�or�me \ref{homotopie}, on obtient que les
groupes d'homologie de $\PP_I$ et $F_I$ sont isomorphes comme modules
sur les groupes sym�triques, de par l'invariance de l'homologie par
�quivalence homotopique \cite[Th. 5.2.2]{wachs}. 

\section{Homologie de Whitney}

\subsection{Calcul pour les partitions point�es}

On sait (\cite[Th. 1.3]{chapvall}) que le polyn�me caract�ristique du poset
$\PP_I$ est
\begin{equation}
  (s-|I|)^{|I|-1}.
\end{equation}
On v�rifie aussi (voir \cite{stanley2,kozlov}) que ce polyn�me est
�galement le polyn�me caract�ristique du poset $F_I$, par la propri�t�
que tous les intervalles dans $F_I$ sont des posets bool�ens et en
utilisant la s�rie g�n�ratrice connue $(s+|I|)^{|I|-1}$ pour les
for�ts.

On obtient ici une description de l'action du groupe sym�trique sur
l'homologie de Whitney des partitions point�es. 

On se place pour ce qui suit dans la cat�gorie des espaces vectoriels
gradu�s avec la r�gle des signes de Koszul (\textit{i.e.} la cat�gorie
des complexes avec diff�rentielle nulle).

\begin{proposition}
  Le caract�re de l'homologie de Whitney du poset des partitions
  point�es est donn� par
  \begin{equation}
    \comm \circ \Sigma_t \pl.
  \end{equation}
\end{proposition}

\begin{proof}
  Les orbites du groupe sym�trique $\sym_n$ sur $\PP_n$ sont index�es
  par les partitions de $n$. Soit $x_\lambda$ un repr�sentant de
  l'orbite $\lambda$. On note $\lambda_i$ le nombre de parts de taille
  $i$ dans une partition $\lambda$.

  Le stabilisateur de $x_\lambda$ est le sous-groupe
  \begin{equation}
    \Stab(x_\lambda)=\prod_{i} \sym_{\lambda_i} [\sym_{i-1}], 
  \end{equation}
  o� $\sym_{\lambda_i}[\sym_{i-1}]$ est un produit en couronne. On
  introduit aussi le groupe un peu plus gros d�fini par
  \begin{equation}
    G_\lambda=\prod_{i} \sym_{\lambda_i} [\sym_{i}]. 
  \end{equation}

  Alors, on a la description suivante, voir \cite[Th.
  5.1]{bjorn},\cite[Th. 1.2]{sunda1}, de l'action de $\sym_n$ sur
  l'homologie de Whitney :
  \begin{equation}
    \label{whpp}
    \Wh(\PP_n)\simeq \bigoplus_{\lambda} \ind_{\Stab(x_\lambda)}^{\sym_n} \widetilde{\coho}(\zero,x_\lambda).
  \end{equation}

  On d�compose l'induction en deux �tapes :
  \begin{equation}
    \bigoplus_{\lambda} \ind_{G_\lambda}^{\sym_n}
    \ind_{\Stab(x_\lambda)}^{G_\lambda} \widetilde{\coho}(\zero,x_\lambda).
  \end{equation}
  
  Par l'isomorphisme de K�nneth, on d�compose l'homologie r�duite en
  produit selon la taille des parts de $\lambda$ (voir \cite[Prop.
  2.1]{sunda2}) et on d�compose l'induction en produit d'inductions :
  \begin{equation}
    \bigoplus_{\lambda} \ind_{G_\lambda}^{\sym_n}
    \bigotimes_i  \ind_{\sym_{\lambda_i} [\sym_{i-1}]}^{\sym_{\lambda_i} [\sym_{i}]} \widetilde{\coho}(\zero,x_{(i^{\lambda_i})}).
  \end{equation}
  
  Par la description de l'homologie pour les puissances d'un poset
  (voir \cite[Prop. 2.3]{sunda2}), on a
  \begin{equation}
    \widetilde{\coho}(\zero,x_{(i^{\lambda_i})})\simeq \Sym^{\lambda_i}
    \widetilde{\coho}(\zero,x_{(i)}),
  \end{equation}
  o� $\Sym$ d�signe la puissance sym�trique.

  On obtient alors (par compatibilit� entre produit en couronnes et
  puissance sym�trique)
  \begin{equation}
    \bigoplus_{\lambda} \ind_{G_\lambda}^{\sym_n}
    \bigotimes_i  \Sym^{\lambda_i} \left(\ind_{\sym_{i-1}}^{\sym_{i}} \widetilde{\coho}(\zero,x_{(i)})\right).
  \end{equation}
  
  Or, par un cas particulier (terme de degr� maximal) de la formule
  (\ref{whpp}) et les r�sultats de \cite{vallette} sur l'homologie de
  $\PP_n$, on a
  \begin{equation}
    \operatorname{Sgn}(n)\otimes_{\sym_n}\pl(n)=\Wh_{n-1}(\PP_n)=\ind_{\sym_{n-1}}^{\sym_{n}} \widetilde{\coho}(\zero,x_{(n)}),
  \end{equation}
  o� ces espaces sont plac�s en degr� $n-1$ et $\operatorname{Sgn}(n)$
  est la repr�sentation signe.

  Donc on a obtenu
  \begin{equation}
    \bigoplus_{\lambda} \ind_{G_\lambda}^{\sym_n}
    \bigotimes_i  \Sym^{\lambda_i}  \left(\operatorname{Sgn}(i) \otimes_{\sym_i}\pl(i) \right).
  \end{equation}
  
  Au niveau des caract�res, on reconna�t dans cette expression le
  pl�thysme
  \begin{equation}
    \comm \circ \Sigma_t \pl.
  \end{equation}
\end{proof}

On a aussi une description explicite du caract�re de ce module. Par
commodit�, on donne plut�t le r�sultat �quivalent pour une suspension.

\begin{proposition}
  \label{CE_prelie}
  La fonction caract�ristique de $\Sigma_t \comm \circ \pl$ est
  \begin{equation}
    \sum_{\lambda,|\lambda|\geq 1}(\lambda_1-t)^{\lambda_1-1}\prod_{k \geq
      2}\left( (f_k(\lambda)-t^k)^{\lambda_k}- k \lambda_k (f_k(\lambda)-t^k)^{\lambda_k-1}\right) \frac{p_\lambda}{z_\lambda},
  \end{equation}
  o� la somme porte sur les partitions non vides $\lambda$,
  $\lambda_k$ est le nombre de parts de taille $k$ dans la partition
  $\lambda$ et $f_k(\lambda)$ est le nombre de points fixes de la
  puissance $k^{eme}$ d'une permutation de type cyclique $\lambda$.
  Les $p_{\lambda}$ sont les fonctions sym�triques sommes de
  puissances et les $z_{\lambda}$ des constantes classiquement
  associ�es aux partitions.
\end{proposition}

\begin{proof}
  On a la relation
  \begin{equation}
   \Sigma\perm\circ \pl=\left( p_1 \exp\left(-\sum_{k\geq 1} p_k/k\right)\right) \circ \pl =p_1
  \end{equation}

  On introduit de nouvelles variables
  \begin{equation}
    y_\ell= p_\ell \circ \pl.
  \end{equation}

  On a alors la relation inverse
  \begin{equation}
    p_\ell=y_\ell \exp\left(-\sum_k y_{k \ell}/k\right).
  \end{equation}

  Soit $\lambda$ une partition. Pour calculer le coefficient de
  $p_\lambda$ dans la fonction sym�trique $\Sigma_t \comm \circ \pl$,
  il faut calculer le r�sidu
  \begin{equation}
    \iiint(\Sigma_t \comm \circ \pl) \prod_{i=1}^{r} \frac{dp_i}{p_i^{\lambda_i+1}}.
  \end{equation}
  On peut supposer sans restriction que toutes les variables $y_j$ et
  $p_j$ pour $j>r$ sont nulles. La suspension de $\comm$ est
  \begin{equation}
    \Sigma_t \comm=\frac{-1}{t}\left(\exp\left(-\sum_{k\geq 1} t^k p_k/k\right)-1\right).
  \end{equation}
  On effectue le changement de variables pour obtenir une int�grale en
  les variables $y$. On a
  \begin{equation}
    \prod_{i=1}^{r} dp_i
    =\exp\left(-\sum_{i} \sum_k y_{ik}/k\right)\prod_{i=1}^{r} (1-y_i) dy_i. 
  \end{equation}

  A un facteur $-t$ et au terme constant pr�s, on a donc � calculer le r�sidu
  \begin{equation}
    \iiint \exp\left(-\sum_{k\geq 1} t^k y_k/k\right) \exp\left(\sum_{i}\lambda_i \sum_k y_{ik}/k\right)\prod_{i=1}^{r} \frac{(1-y_i)}{y_i^{\lambda_i+1}} dy_i. 
  \end{equation}

  En regroupant les exponentielles et en inversant les sommations, on
  trouve
  \begin{equation}
    \iiint \exp\left(\sum_{k\geq 1} (f_k(\lambda)-t^k) y_k/k\right) \prod_{i=1}^{r} \frac{(1-y_i)}{y_i^{\lambda_i+1}} dy_i.    
  \end{equation}

  Cette int�grale se d�compose en un produit de r�sidus en chaque
  variable $y_i$. On obtient facilement le r�sultat attendu.
\end{proof}

\subsection{Relation avec l'op�rade $\pl$}

A une fonction sym�trique $f=\sum_{n\geq 1} f_n$ correspond une suite
de modules $\fon_n$ sur les groupes sym�triques et un foncteur $\fon$ qui
associe � un espace vectoriel $V$ l'espace vectoriel
\begin{equation}
  \fon(V)=\oplus_{n\geq 1} \fon_n\otimes_{\sym_n} V^{\otimes n}.
\end{equation}
Les foncteurs ainsi obtenus sont appel�s foncteurs analytiques.
R�ciproquement, on peut retrouver la suite de modules $(\fon_n)_n$ �
partir du foncteur $\fon$.

\medskip

La fonction sym�trique $\comm \circ \Sigma_t \pl$ sert ainsi � d�crire
le complexe de Chevalley-Eilenberg calculant la cohomologie des
alg�bres pr�-Lie libres vues comme alg�bres de Lie. En effet, la
fonction sym�trique $\pl$ correspond au foncteur qui associe � $V$
l'alg�bre pr�-Lie libre sur $V$. La suspension et la composition avec
$\comm$ correspondent � prendre l'alg�bre ext�rieure.

Comme on sait que les alg�bres pr�-Lie libres sont des alg�bres de Lie
libres \cite{foissy}, la cohomologie du complexe de
Chevalley-Eilenberg est concentr�e en un seul degr� et correspond aux
g�n�rateurs. La caract�ristique d'Euler
\begin{equation}
  \comm \circ \Sigma \pl
\end{equation}
correspond donc aux g�n�rateurs des alg�bres pr�-Lie libres comme
alg�bres de Lie.

Bien s�r, comme dans le cas des hyperarbres, cette caract�ristique
d'Euler d�crit aussi l'homologie du poset obtenu en rajoutant un
�l�ment maximal au poset des partitions point�es.

On obtient ci-dessous une description de cette fonction sym�trique �
l'aide des fonctions sym�triques $\overline{\hal}$. Si la conjecture
\ref{grosse} est vraie, ceci donne une relation homologique non
triviale entre le poset des hyperarbres et le poset des partitions
point�es.

\begin{proposition}
  On a la relation suivante :
  \begin{equation}
    \comm \circ \Sigma \pl
    = p_1 - (p_1 \partial_{p_1} \overline{\hal}-\overline{\hal} ).
  \end{equation}
\end{proposition}

\begin{proof}
  On va calculer 
  \begin{equation}
    \comm \circ \Sigma \pl +p_1 \partial_{p_1}
  \overline{\hal}-\overline{\hal}.
  \end{equation}
  En utilisant (\ref{hal_pl}) et (\ref{deri_hal}), on obtient
  \begin{equation}
    \comm \circ \Sigma \pl + p_1 \Sigma\pl +p_1 - p_1
    \Sigma\pl -\comm \circ \Sigma\pl.
  \end{equation}
\end{proof}

\textbf{Remarque :} Les composantes homog�nes de $\comm \circ \Sigma_t \pl$
apparaissent aussi implicitement dans les travaux de McCammond et
Meier comme d�crivant l'action du groupe sym�trique sur l'alg�bre de
cohomologie du groupe des automorphismes sym�triques du groupe libre
\cite{mac_coho}.

\section{Annexe}

Pour �ventuelle r�f�rence ult�rieure, on rassemble ici les formules
essentielles qui d�crivent l'action des groupes sym�triques sur les
hyperarbres et les hyperarbres cycliques. Les preuves, essentiellement
bas�es sur les descriptions combinatoires des sections \ref{hypera} et
\ref{hyperac}, sont omises.

\subsection{Caract�re des hyperarbres}

Soit $\ha^{p}$ la fonction sym�trique avec un param�tre $t$ d�finie par
\begin{equation}
  \ha^{p}=p_1 [\Sigma_t \comm] \circ \comm \circ [p_1+ t \ha^{p}].
\end{equation}

Soit $\ha^{pa}$ la fonction sym�trique avec un param�tre $t$ d�finie par
\begin{equation}
  \ha^{pa}= p_1 \left( \comm \circ [p_1+t \ha^{p}] \right)
  [1+t \Sigma_t \comm] \circ \comm \circ [p_1+ t \ha^{p}].
\end{equation}

Soit $\ha^{a}$ la fonction sym�trique avec un param�tre $t$ d�finie par
\begin{equation}
  \ha^{a}=[\comm - p_1] \circ [p_1+ t \ha^{p}].
\end{equation}

Soit enfin $\ha$ la fonction sym�trique avec un param�tre $t$ d�finie
par
\begin{equation}
  \ha=\ha^{p}+\ha^{a}-\ha^{pa}.
\end{equation}

Ces relations permettent de calculer ces fonctions sym�triques par
r�currence.

On a la relation
\begin{equation}
  \ha^{p}=p_1 \partial_{p_1} \ha.
\end{equation}

\subsection{Caract�re des hyperarbres cycliques}

Soit $\hac^{pa}$ la fonction sym�trique avec un param�tre $t$ d�finie par
\begin{equation}
  \hac^{pa}=p_1 [\Sigma_t \assoc] \circ \comm \circ [p_1+ t \hac^{pa}].
\end{equation}

Soit $\hac^{p}$ la fonction sym�trique avec un param�tre $t$ d�finie par
\begin{equation}
  \hac^{p}=p_1 [\Sigma_t \cycle] \circ \comm \circ [p_1+t \hac^{pa}],
\end{equation}
o� $\cycle$ est la fonction sym�trique dont le terme en degr� $n$
correspond � l'action du groupe sym�trique sur l'ensemble des ordres
cycliques sur $n$ symboles.

Soit $\hac^{a}$ la fonction sym�trique avec un param�tre $t$ d�finie par
\begin{equation}
  \hac^{a}=[\comm - p_1] \circ [p_1+ t \hac^{pa}].
\end{equation}

Soit enfin $\hac$ la fonction sym�trique avec un param�tre $t$ d�finie
par
\begin{equation}
  \hac=\hac^{p}+\hac^{a}-\hac^{pa}.
\end{equation}

Ces relations permettent de calculer ces fonctions sym�triques par
r�currence.

On a la relation
\begin{equation}
  \hac^{p}=p_1 \partial_{p_1} \hac.
\end{equation}

\bibliographystyle{plain}
\bibliography{hypera}

\end{document}

hypera.bbl
\begin{thebibliography}{10}

\bibitem{bacla}
Kenneth Bac{\l}awski.
\newblock Whitney numbers of geometric lattices.
\newblock {\em Advances in Math.}, 16:125--138, 1975.

\bibitem{berge}
Claude Berge.
\newblock {\em Hypergraphes}.
\newblock $\mu \sb{B}$. Dunod, Paris, 1987.
\newblock Combinatoire des ensembles finis. [Combinatorics of finite sets].

\bibitem{species}
F.~Bergeron, G.~Labelle, and P.~Leroux.
\newblock {\em Combinatorial species and tree-like structures}, volume~67 of
  {\em Encyclopedia of Mathematics and its Applications}.
\newblock Cambridge University Press, Cambridge, 1998.

\bibitem{bjorn}
Anders Bj{\"o}rner.
\newblock On the homology of geometric lattices.
\newblock {\em Algebra Universalis}, 14(1):107--128, 1982.

\bibitem{anticyclic}
F.~Chapoton.
\newblock On some anticyclic operads.
\newblock {\em Algebr. Geom. Topol.}, 5:53--69 (electronic), 2005.

\bibitem{prelie}
Fr{\'e}d{\'e}ric Chapoton and Muriel Livernet.
\newblock Pre-{L}ie algebras and the rooted trees operad.
\newblock {\em Internat. Math. Res. Notices}, (8):395--408, 2001.

\bibitem{chapvall}
Frederic Chapoton and Bruno Vallette.
\newblock {Pointed and multi-pointed partitions of type A and B}.

\bibitem{foissy}
L.~Foissy.
\newblock Finite-dimensional comodules over the {H}opf algebra of rooted trees.
\newblock {\em J. Algebra}, 255(1):89--120, 2002.

\bibitem{gessel}
Ira~M. Gessel and Louis~H. Kalikow.
\newblock Hypergraphs and a functional equation of {B}ouwkamp and de {B}ruijn.
\newblock {\em J. Combin. Theory Ser. A}, 110(2):275--289, 2005.

\bibitem{mac_coho}
C.~Jensen, J.~Mccammond, and J.~Meier.
\newblock The integral cohomology of the group of loops.
\newblock preprint 2005.

\bibitem{kozlov}
Dmitry~N. Kozlov.
\newblock Complexes of directed trees.
\newblock {\em J. Combin. Theory Ser. A}, 88(1):112--122, 1999.

\bibitem{macdonald}
I.~G. Macdonald.
\newblock {\em Symmetric functions and {H}all polynomials}.
\newblock Oxford Mathematical Monographs. The Clarendon Press Oxford University
  Press, New York, second edition, 1995.
\newblock With contributions by A. Zelevinsky.

\bibitem{mccammond}
Jon McCammond and John Meier.
\newblock The hypertree poset and the {$l\sp 2$}-{B}etti numbers of the motion
  group of the trivial link.
\newblock {\em Math. Ann.}, 328(4):633--652, 2004.

\bibitem{pitman}
Jim Pitman.
\newblock Coalescent random forests.
\newblock {\em J. Combin. Theory Ser. A}, 85(2):165--193, 1999.

\bibitem{stanley2}
Richard~P. Stanley.
\newblock {\em Enumerative combinatorics. {V}ol. 2}, volume~62 of {\em
  Cambridge Studies in Advanced Mathematics}.
\newblock Cambridge University Press, Cambridge, 1999.
\newblock With a foreword by Gian-Carlo Rota and appendix 1 by Sergey Fomin.

\bibitem{sunda2}
Sheila Sundaram.
\newblock Applications of the {H}opf trace formula to computing homology
  representations.
\newblock In {\em Jerusalem combinatorics '93}, volume 178 of {\em Contemp.
  Math.}, pages 277--309. Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1994.

\bibitem{sunda1}
Sheila Sundaram.
\newblock The homology representations of the symmetric group on
  {C}ohen-{M}acaulay subposets of the partition lattice.
\newblock {\em Adv. Math.}, 104(2):225--296, 1994.

\bibitem{vallette}
Bruno Vallette.
\newblock {Homology of generalized partition posets}.
\newblock arXiv:math.AT/0405312.

\bibitem{wachs}
Michelle~L. Wachs.
\newblock {Poset Topology: Tools and Applications}.
\newblock arXiv:math.CO/0602226.

\end{thebibliography}
