L'isomorphisme entre les tours de Lubin-Tate et de Drinfeld au niveau des points
Laurent Fargues
Dans cet article on construit l'isomorphisme entre les tours de Lubin-Tate et de Drinfeld au niveau des points de ces espaces. Les points consid�r�s sont ceux intervenant dans la th�orie des espaces analytiques de Berkovich.
Points.tex
\documentclass[10pt]{smfart}
\usepackage{a4wide}
\usepackage{amsmath,amssymb,smfthm}
\usepackage[francais]{babel}
\usepackage[latin1]{inputenc}
\usepackage[all]{xy}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{epic,eepic}
\usepackage{epsfig}
\usepackage{color}



\def\R{\mathbb{R}}
\def\S{\mathfrak{S}}
\def\P{\mathbb{P}}
\def\C{\mathbb{C}}
\def\CC{\mathfrak{C}}
\def\Cp{\mathbb{C}_p}
\def\Fp{\mathbb{F}_p}
\def\Fq{\mathbb{F}_q}
\def\Fqb{\overline{\mathbb{F}}_q}
\def\L{\mathcal{L}}
\def\La{\Lambda}
\def\A{\text{{\bf A}}} 
\def\Aff{\mathbb{A}}
\def\O{\mathcal{O}} 
\def\F{\mathcal{F}}
\def\I{\mathcal{I}}
\def\J{\mathcal{J}}
\def\*{^\times }
\def\dpt{\displaystyle}
\def\G{\mathcal{G}}
\def\Ga{\text{\bf G}_a} 
\def\Gm{\mathbb{G}_m}         
\def\l{\lambda}
\def\g{\gamma}
\def\BB{\mathbb{B}}
\def\w{\omega}
\def\a{\alpha}
\def\b{\beta}
\def\d{\delta}
\def\s{\sigma}
\def\ph{\varphi}
\def\sg{\boldsymbol{\sigma}}
\def\e{\epsilon}
\def\ssi{\Leftrightarrow}
\def\lssi{\Longleftrightarrow}
\def\impl{\Rightarrow}
\def\limpl{\Longrightarrow}
\def\drt{\rightarrow}
\def\ldrt{\longrightarrow}
\def\Q{\mathbb{Q}}
\def\Qb{\overline{\mathbb{Q}}}
\def\Ql{\mathbb{Q}_\ell}
\def\Qlb{\overline{\mathbb{Q}}_\ell}
\def\Qp{\mathbb{Q}_p}
\def\Qpb{\overline{\mathbb{Q}}_p}
\def\Zp{\mathbb{Z}_p}
\def\Z{\mathbb{Z}}
\def\N{\mathbb{N}}
\def\Zl{\mathbb{Z}_\ell}
\def\Hom{\text{Hom}}
\def\Homf{\underline{\text{Hom}}}
\def\Rpsi{\text{R}\Psi_{\bar{\eta}}}
\def\rpsi{\text{R}\Psi}
\def\Rth{\text{R}\Theta_{\bar{\eta}}}
\def\rth{\text{R}\Theta}
\def\Gal{\text{Gal}}
\def\={\! = \!}
\def\inc{\! \in \!}
\def\ind{\text{Ind}}
\def\spec{\text{Spec}}
\def\spf{\text{Spf}}
\def\Sym{\boldsymbol{Sym}}
\def\E{\mathcal{E}}
\def\ens{\boldsymbol{\mathcal{E}ns}}
\def\limp{\underset{\longleftarrow}{\text{ lim }}\;}
\def\limi{\underset{\longrightarrow}{\text{ lim }}\;}
\def\mod{\boldsymbol{Mod}}
\def\Ab{\boldsymbol{Ab}}
\def\Frac{\text{Frac}}
\def\iso{\xrightarrow{\;\sim\;}}
\def\mod{\text{ mod }}
\def\End{\text{End}}
\def\Aut{\text{Aut}}
\def\GL{\hbox{GL}}
\def\im{\text{im}}
\def\xrig{\xrightarrow}
\def\pK{K^p}
\def\Kp{K_p}
\def\Res{\text{Res}}
\def\M{\mathcal{M}}
\def\Mf{\widehat{\mathcal{M}}}
\def\Mb{\overline{\mathcal{M}}}
\def\XX{\mathbb{X}}
\def\X{\mathfrak{X}}
\def\GG{\Gamma}
\def\Ext{\text{Ext}}
\def\bc{\backslash}
\def\AA{\mathcal{A}}
\def\spa{\hbox{Spa}}
\def\<{<\hspace{-1mm}}
\def\>{\hspace{-1mm}>}
\def\Irr{\text{Irr}}
\def\Lie{\text{Lie}}
\def\LL{\mathcal{L}}
\def\dem{{\it D�monstration. }} 
\def\xs{\underline{x}}
\def\Rb{\overline{R}}
\def\Rc{\widehat{R}}
\def\Rbc{\widehat{\overline{R}}}
\def\Vb{\overline{V}}
\def\Vbc{\widehat{\overline{V}}}
\def\Fil{\text{Fil}}
\def\Ac{A_{cris}}
\def\unp{[ \frac{1}{p}]}
\def\LT{\mathcal{L}\mathcal{T}}
\def\D{{\mathcal{D}r}}
\def\Hb{\mathbb{H}}
\def\Gb{\mathbb{G}}
\def\DH{\mathbb{D}  (\mathbb{H}  )}
\def\DG{\mathbb{D} (\mathbb{G}  )}

\author{Laurent Fargues}
\address{CNRS-IHES-universit� Paris-Sud Orsay}
\email{laurent.fargues@math.u-psud.fr} 


\begin{document}

\newtheorem{Fait}{Fait}

\title{L'isomorphisme entre les tours de Lubin-Tate et de Drinfeld au niveau des points}
\maketitle

\begin{abstract}
Dans cet article on construit l'isomorphisme entre les tours de
Lubin-Tate et de Drinfeld au niveau des points de ces espaces. Les
points consid�r�s sont ceux intervenant dans la th�orie des espaces
analytiques de Berkovich.
\end{abstract}

\begin{altabstract}
In this article we construct the isomorphism between Lubin-Tate and
Drinfeld towers at the level of points. The points we consider are the
one of the theory of analytic spaces in the sens of Berkovich. 
\end{altabstract}


\section*{Introduction}

Le but de cet article est de d�montrer l'existence de l'isomorphisme entre les tours
de Lubin-Tate et de Drinfeld au niveau des points c'est � dire de
d�crire la bijection correspondante. Nous nous inspirons bien s�r de \cite{Faltings8}
(cependant l'auteur ne garantit pas que la bijection d�crite co�ncide
avec celle de \cite{Faltings8} qu'il n'a pu compl�tement comprendre). 

Cet isomorphisme n'est pas alg�brique : un $\Qpb$-point peut s'envoyer
sur un $\Cp$-point ne provenant pas d'un $\Qpb$-point. C'est pourquoi
nous devons travailler avec des points � valeurs dans de ``gros
corps'' du type $\Cp$. 
Par points nous entendons donc ceux intervenant par exemple dans la
th�orie des espaces analytiques de Berkovich : ce sont ceux � valeurs
dans un corps valu� complet pour une valuation de rang $1$ extension
de $\Qp$.

La simplification par rapport � la construction de l'isomorphisme dans
le cas g�n�ral provient de ce que l'on n'a pas � introduire
d'�clatements admissibles ou de mod�les entiers particuliers des
espaces de Lubin-Tate et de Drinfeld : si $K|\Qp$ est valu� complet
pour une valuation de rang $1$ les points � valeurs dans $K$ de la
tour de Lubin-Tate et de Drinfeld sont d�finis ind�pendamment du
mod�le entier. En particulier cet article est ind�pendant
de la construction du sch�ma formel de  \cite{Cellulaire}.

L'utilisation de corps valu�s pour des valuations non-discr�tes �
corps r�siduel non forc�ment parfait introduit des probl�mes de
th�orie de Hodge $p$-adique non disponibles dans la litt�rature. Les
r�sultats associ�s peuvent se d�duire de l'approche utilis�e dans
\cite{Faltings1}. Nous ne les d�montrons pas dans cet article mais
nous y consacrons un appendice dans lequel nous y exposons les
r�sultats auxquels on peut parvenir en utilisant les m�thodes de
\cite{Faltings1}. L'auteur y consacrera un article plus g�n�ral
(\cite{Periodes}). 

L'un des autres probl�mes auquel on est confront� est le fait que l'on
travaille avec des $\O$-modules formels, le cas usuel correspondant � $\O=\Zp$.
 Pour y rem�dier on applique
la th�orie des $\O$-extensions vectorielles universelles 
d�velopp�e dans l'appendice B de \cite{Cellulaire}. Tr�s peu est
n�cessaire : seules les sections un � quatre de ce cet appendice sont
utilis�es, nous n'utiliserons pas le fait que le cristal alg�bre de
Lie de la $\O$-extension vectorielle universelle s'�tend aux
$\O$-puissances $\pi$-divis�es. qui est la partie d�licate de
l'appendice B de \cite{Cellulaire}. L'utilisation de cette th�orie
relative � $\O$ rend la r�daction des probl�mes reli�s purement
formels. Seul le cas de l'utilisation des th�or�mes de comparaison
cristallins n'est pas r�dig� dans ce cadre relatif : l'auteur n'a pas
eu le courage de d�velopper la th�orie des anneaux de Fontaine obtenus
en rempla�ant les vecteurs de Witt par les vecteurs de Witt
ramifi�s...

Dans cet article nous donnons deux descriptions diff�rentes de
l'isomorphisme. La premi�re dans le chapitre 9 est la plus simple.
La seconde dans le chapitre 12 est plus alambiqu�e mais s'adapte mieux
au cas relatif (on renvoie � l'introduction du chapitre \ref{ptovue}
pour plus de d�tails).
\\

Avant de d�crire succinctement la bijection rappelons quelques faits
sur les espaces de Lubin-Tate et de Drinfeld
associ�s � $F|\Qp$. 
 Pla�ons nous au
niveau des points de ces espaces. 
Soit $D$ l'alg�bre � division
d'invariant $\frac{1}{n}$ sur $F$.
La tour de Lubin-Tate $(\LT_K)_{K\subset GL_n (\O_F)}$  est une tour
index�e par les sous-groupes ouverts $K$ de $\GL_n (\O_F)$ 
munie d'une action ``horizontale'' de $D^\times$ (sur chaque �l�ment
de la tour) 
 et verticale (par
correspondances de Hecke) de $\GL_n (F)$. Soit $\LT_\infty
=\underset{K}{\limp} \LT_K$ (cela a bien un sens au niveau des points)
qui est muni d'une action de $\GL_n(F)\times D^\times$. Elle forme un
pro-rev�tement de groupe $\GL_n (\O_F)$
$$
\xymatrix@C=5mm{
\ar@/_1.2pc/@{-}[d]_{K}
\LT_\infty \ar[d]  \ar@/^2pc/@{-}[dd]^{GL_n (\O_F)}
\\
\LT_K \ar[d] \ar@(l,ld)_{D^\times}
\\
\LT_{GL_n (\O_F)} \ar@{=}[r] &  \coprod_\Z {\mathring{\mathbb{B}}^{n-1}}
}
$$
o� $\LT_{GL_n (\O_F)}$ est l'espace de Lubin-Tate sans niveau (une
union disjointes de
boules $p$-adiques ouvertes de dimension $n-1$ car on travaille en
fait avec des espaces de Rapoport-Zink et non les espaces de
Lubin-Tate classiques) qui classifie des
d�formations de groupes formels de dimension $1$ et $\LT_K$ est
obtenu en trivialisant partiellement le module de Tate de la
d�formation universelle au dessus de $\LT_{GL_n (\O_F)}$ (on force la
monodromie sur le module de Tate � vivre dans $K$). 

On a donc $\LT_\infty/\GL_n (\O_F) = \coprod_\Z\mathring{\mathbb{B}}^{n-1}$. Il
y a de plus une application des p�riodes de Hodge-De-Rham $\LT_K \ldrt
\mathbb{P}^{n-1}$ donn�e par la filtration de Hodge du module filtr�
d�finissant la d�formation et 
dont les fibres sont les orbites de Hecke. Et donc
$\LT_\infty/\GL_n (F)= \mathbb{P}^{n-1}$. 
$$
\xymatrix@R=8mm{
\LT_\infty \ar[d]  \ar@/^2pc/@{-}[d]^{GL_n (\O_F)}
\ar@/_2pc/@{-}[dd]_{GL_n (F)} \\
  {\coprod_\Z \mathring{\mathbb{B}}^{n-1}} \ar[d]^{\text{P�riodes}} \\
\mathbb{P}^{n-1} \ar@(l,ld)_{D^\times} 
}
$$
Il y a une description du m�me type pour la tour de Drinfeld. 
L'espace de Drinfeld en niveau infini $\D_\infty$ est muni d'une
action de $\GL_n (F)\times D^\times$, l'action de $\GL_n (F)$ est
``horizontale'' sur chaque �l�ment de la tour.
Il y  a un
diagramme pour $K\subset \O_D^\times$ un sous-groupe ouvert 
$$
\xymatrix{
\ar@/_1.2pc/@{-}[d]|{K} \ar@/_5pc/@{-}[ddd]_{D^\times}
\D_\infty \ar[d]  \ar@/^2pc/@{-}[dd]^{\O_D^\times}
\\
\D_K \ar[d] \ar@(l,ld)_{GL_n (F)}
\\
\D_{GL_n (\O_F)} \ar@{=}[r]\ar[d]^{\text{P�riodes}}  &  \coprod_\Z \Omega \\
\Omega\ar@(l,ld)_{GL_n (F)}
}
$$
L'application des p�riodes de Hodge-De-Rham n'est rien d'autre que la
projection de $\coprod_\Z \Omega$ sur $\Omega$, c'est � dire le
quotient par $D^\times/\O_D^\times = \Pi^\Z$. 
\\

Les deux applications inverses l'une de l'autre entre $\LT_\infty$ et $\D_\infty$ sont construites en deux
�tapes. 
$$
\xymatrix@R=20mm{
\LT_\infty \ar[d]_{\text{P�riodes de} \atop{\text{Hodge-De-Rham}}}\ar@<.8ex>[rr] \ar[rrd]  && \D_\infty \ar[d]^{\text{P�riodes de} \atop{\text{Hodge-De-Rham}}} \ar[lld] \ar@<.8ex>[ll] \\
\LT_\infty/\GL_n (F) = \mathbb{P}^{n-1} & & \D_\infty/D^\times =\Omega
}
$$
On commence par construire une application de p�riodes de Hodge-Tate d'un des
espaces en niveau infini vers l'espace des p�riodes de Hodge-De-Rham
de l'autre espace (les fl�ches diagonales dans la figure pr�c�dente). 
Les p�riodes de Hodge-Tate sont donn�es par la
rigidification du module de Tate (le fait qu'on ai fix� une base de ce
module au sommet de la tour) et la suite de Hodge-Tate,
 contrairement aux p�riodes de
Hodge-De-Rham donn�es elles par la rigidification de la cohomologie
cristalline (l'isocristal du groupe $p$-divisible) et la filtration de
Hodge. Puis on rel�ve la
fl�che en niveau infini en utilisant la th�orie de Messing qui permet
de construire des �l�ments dans le module de Tate en les construisant
modulo $p$. 

Nous n'expliquerons pas d'avantage ce dernier point dans
l'introduction, mais afin d'en donner un avant-go�t  citons le
point clef suivant : soit $K|\Qp$ une extension valu�e compl�te et $H$ un groupe
$p$-divisible sur $\O_K$ . Notons $\bar{\eta}=\spec
(\overline{K})$. Alors le module de Tate de $H$ admet deux d�finitions
: l'une en fibre g�n�rique, la d�finition usuelle
$$
T_p (H) =\underset{n}{\limp} H[p^n] (\overline{K}) = \Hom (\Qp/\Zp, H_{\bar{\eta}})
$$
l'autre modulo $p$ 
$$
T_p (H) = \{\; f \in \Hom (\Qp/\Zp, H\otimes \O_{\overline{K}}/p
\O_{\overline{K}})\;|\;
f_* (1) \in \Fil\, \Lie (E(H))\otimes \O_{\widehat{\overline{K}}}\; \}
$$
o� $\Lie\, E(H)$ d�signe l'alg�bre de Lie de l'extension vectorielle
universelle de $H$ muni de sa filtration de Hodge 
et 
$f_* : \O_{\widehat{\overline{K}}} \ldrt \Lie \, E(H)\otimes \O_{\widehat{\overline{K}}}$ est le morphisme
induit sur les cristaux de Messing �valu�s sur l'�paississement �
puissances divis�es $\O_{\widehat{\overline{K}}} \twoheadrightarrow \O_{\overline{K}}/p\O_{\overline{K}}$.
La d�monstration est un jeu bas� sur ces deux aspects : fibre
g�n�rique et modulo $p$. 
 Les deux groupes $p$-divisibles sur $\overline{\mathbb{F}}_p$ que l'on
d�forme pour d�finir les espaces de Lubin-Tate et de Drinfeld sont
reli�s modulo $p$, l'un est isog�ne � un produit d'un nombre
fini de copies de l'autre,  et l'on peut ainsi ``transf�rer'' des �l�ments du
module de Tate sur une des tours vers l'autre.
\\

Une autre interpr�tation de cet isomorphisme est donn�e dans la
section \ref{kfyygpzr5rrppn}. On peut associer � un point de l'une des
deux tours en niveau infini une matrice de p�riodes dans $M_n
(B^+_{cris})$. En effet, pour la tour de Lubin-Tate
le th�or�me de comparaison entre cohomologie
cristalline et cohomologie �tale $p$-adique pour les groupes
$p$-divisibles fournit une matrice de p�riodes $X_{cris}$ 
 � coefficients dans
$B^+_{cris}$ une fois que l'on a fix� une base du module de Tate (la
rigidification en niveau infini) et une base du module de Dieudonn�
(la rigidification d�finissant la d�formation)
$$
(B^+_{cris})^n\iso V_p\otimes B^+_{cris} \iso \mathbb{D}^{\LT}\otimes
{B^+_{cris}} \xleftarrow{\; \sim\;} (B^+_{cris})^n
$$
Pour la tour de Drinfeld il y a un isomorphisme de $D\otimes_{\Qp} B^+_{cris}$-modules
en niveau infini
$$
D\otimes_{\Qp} B^+_{cris} \iso V_p \otimes B^+_{cris} \iso \mathbb{D}^\D\otimes
B^+_{cris} \xleftarrow{\; \sim\;} D\otimes_{\Qp} {B^+_{cris}}
$$
 utilisant la $D$-�quivariance de l'isomorphisme des p�riodes
cristalline on en d�duit une matrice $Y_{cris}\in M_n (B^+_{cris})$ comme pr�c�demment.

L'isomorphisme entre
les deux tours consiste alors � prendre la transpos� de ces matrices
de p�riodes
$$
Y_{cris} = \,^t X_{cris}
$$ 
Si $X_{cris}$ d�signe la matrice de p�riodes sur
$\LT_\infty$ sa r�duction modulo l'id�al d'augmentation
$B^+_{cris}\ldrt \O_{\widehat{\overline{K}}}$, $X$, est telle que les
colonnes de $X$ engendrent les p�riodes de Hodge-De-Rham et ses lignes
les p�riodes de Hodge-Tate !
$$
\xymatrix@C=24mm@R=12mm{
\LT_\infty \ar[dd]_{\text{P�riodes}\atop\text{de Hodge-De-Rham}}
\ar[r]^{\text{P�riodes}\atop \text{cristallines}} 
\ar@/_2pc/@{..>}[rrdd]|(.25){\text{P�riodes}\atop\text{de Hodge-Tate}}
& M_n
(B^+_{cris}) \ar[d] & \ar[l]_{\text{Transpos� des p�riodes}\atop \text{cristallines}} \D_\infty
\ar[dd]^{\text{P�riodes}\atop\text{de Hodge-De-Rham}}
\ar@/^2pc/@{..>}[lldd]|(.25){\text{P�riodes}\atop\text{de Hodge-Tate}} \\
 &  M_n ({\widehat{\overline{K}}}) \ar[ld]_{\text{Im}\,^t
   X} \ar[rd]^{\text{Im X}} \\
\mathbb{P}^{n-1} && \Omega 
}
$$
(les deux fl�ches $M_n (\widehat{\overline{K}})\ldrt \mathbb{P}^{n-1}$
et $M_n (\widehat{\overline{K}})\ldrt \Omega$ ne sont d�finies que sur
le sous-ensemble des matrices de rang $n-1$). 
Dans le diagramme pr�c�dent 
l'image des deux fl�ches ``P�riodes cristallines'' sont les matrices
$X_{cris}\in M_n (B^+_{cris})$ v�rifiant une �quation fonctionnelle
``� la Fontaine'' 
du type $$ X_{cris}^{\ph} \Psi = p X_{cris}$$ o� $\Psi \in \GL_n (
W(\overline{\mathbb{F}}_p)\unp)$ est la matrice d'un Frobenius sur un
certain isocristal, $X_{cris}^\ph$ est obtenue en appliquant le
Frobenius cristallin aux termes de la matrice 
 et la r�duite via $B^+_{cris}\ldrt
\widehat{\overline{K}}$, 
$X\in M_n (\widehat{\overline{K}})$ v�rifie 
$$
\text{rang} (X) =n-1
$$
\\

{\it 
Pr�requis : La chapitre 3 fournit les rappels n�cessaires concernant
les espaces de Lubin-Tate et de Drinfeld. Le seul pr�requis
non rappel� est la th�orie de la d�formation de Grothendieck-Messing
(\cite{Messing1}).  
}
\\

{\it Avertissements : Dans tout l'article on supposera $p\neq 2$. Il
  est conseill� au lecteur de supposer en premi�re lecture que
  $\O=\Zp$.
}
\\

{\it Remerciement : L'auteur remercie Jean Fran�ois Dat qui,
� partir d'une version pr�liminaire de cet article, a donn� un
  expos� sur le sujet au groupe de travail de l'IHES au printemps 2004
  et ainsi sugg�r� des am�liorations.
}



\section{D�composition de Hodge-Tate des groupes $p$-divisibles dans le cas infiniment ramifi�}\label{HoTa}

Soit $K|\Qp$ un corps valu� complet pour une valuation � valeurs dans
$\R$ �tendant celle de $\Qp$.
\\

Le th�or�me suivant se d�duit du th�or�me \ref{bouqibouc} de
l'appendice, lui m�me d�montr� dans \cite{Periodes}. 

\begin{theo}[\cite{Periodes}]\label{decHTO}
Soit $G$ un groupe $p$-divisible sur $\O_K$. 
Il y a une d�composition de Hodge-Tate : une suite de $\Gal (\overline{K}|K)$-modules continus 
$$
0\ldrt \omega_G^* \otimes  \mathcal{O}_{\widehat{\overline{K}}} (1) \ldrt T_p (G)\otimes_{\Zp}   \mathcal{O}_{\widehat{\overline{K}}} \ldrt \omega_{G^D} \otimes  \mathcal{O}_{\widehat{\overline{K}}} \ldrt 0
$$
dont la cohomologie comme suite de
$\mathcal{O}_{\widehat{\overline{K}}}$-modules  est annul�e par
$p^{\frac{1}{p-1}}$. Si $\O_{K_0} \subset \O_K$ est un anneau de Cohen
 il existe des morphismes $\O_{K_0}$-lin�aires Galois �quivariantes des deux cot�s de la suite exacte tels que compos�s avec les applications de droite et de gauche on obtienne la multiplication par un �l�ment de valuation $p$-adique $\frac{1}{p-1}$.  
\end{theo}

Bien s\^ur la suite est d�finie sans recours � la th�orie de Hodge
p-adique, celle-ci ne sert que pour d�montrer que la cohomologie
de la suite est annul�e par tout �l�ment de valuation sup�rieure ou �gale � $\frac{1}{p-1}$. Rappelons en effet que 
$$
\a_G: T_p (G) \ldrt \omega_{G^D}\otimes \O_{\widehat{\overline{K}}}
$$
est d�fini de la fa�on suivante : pour $x\in T_p (G) = \Hom (\Qp/\Zp,
G_{/\O_{\overline{K}}})$ celui ci donne par dualit� de Cartier un morphisme 
$$
x^D : G_{/\O_{\overline{K}}}^D\ldrt \mu_{p^\infty}
$$
sur $\spec (\O_{\overline{K}})$, donc sur $\spf (\O_{\widehat{\overline{K}}})$.
 Il induit un morphisme 
$$
(x^D)^*:  \O_{\widehat{\overline{K}}} \frac{dT}{T}\ldrt
 \omega_{G^D}\otimes  \O_{\widehat{\overline{K}}}  
$$
et alors
$$
\a_G ( x) = (x^D)^* \frac{dT}{T}
$$
L'application $ \omega_G^* \otimes
\mathcal{O}_{\widehat{\overline{K}}} (1) \ldrt T_p (G)\otimes_{\Zp}
\mathcal{O}_{\widehat{\overline{K}}}$ est d�finie par dualisation de
$\a_{G^D}$, c'est $\,^t\a_{G^D}(1)$ apr�s identification de $T_p (G^D)$
avec $T_p (G)^*(1)$.

\begin{rema}
Lorsque $K|K_0$ est de degr� fini il existe de telles quasi-sections 
$\O_{K}$-lin�aires telles que les compos�es donnent la multiplication
par un �l�ment de valuation $\frac{1}{p-1} + v_p
(\mathcal{D}_{K/K_0})$ o� $\mathcal{D}$ d�signe la
diff�rente. cf. \cite{Fontaine1}. Cela peut s'obtenir avec les
m�thodes pr�c�dentes en calculant l'annulateur de $t$ dans un gradu�
de $A_{cris}\otimes_{\O_{K_0}}\O_{K}$. Dans notre cas infiniment
ramifi� cette suite exacte n'est en g�n�ral pas scind�e apr�s
inversion de $p$, il n'y a pas de d�composition de Hodge-Tate;
l'obstruction provient de la Connexion de Gauss Manin et du fait que
$\Omega^1_{K/K_0} \neq 0$ alors que ce module est nul  dans l'article
\cite{Fontaine1}. Un tel th�or�me ne peut s'obtenir par les m�thodes
de \cite{Fontaine1} qui sont purement ``de Rham'' : il faut utiliser
les propri�t�s cristallines de certains objets associ�s aux groupe $p$-divisibles.
\end{rema}

\begin{rema} \label{HTet}
Si pour une extension $K'$ de $K$ contenue dans $\overline{K}$ 
 l'action de $\Gal( \overline{K} | K)$ sur $T_p (G)$ se factorise via
$\Gal (K' |K)$  
il y a alors une d�composition de Hodge-Tate sur $K'$ c'est � dire une suite 
$$
0\ldrt \omega_G^* \otimes  \mathcal{O}_{\widehat{K'}} (1) \ldrt T_p (G)\otimes_{\Zp}  
 \mathcal{O}_{\widehat{K'}} \ldrt \omega_{G^D} \otimes  \mathcal{O}_{\widehat{K'}} \ldrt 0
$$
dont la cohomologie est annul�e par tout �l�ment de valuation $\geq \frac{1}{p-1}$. Cela r�sulte de ce que la suite peut �tre d�finie sans recours � la th�orie de Fontaine comme ci-dessus
 et que $\O_{\widehat{\overline{K}}}$ est fid�lement plat sur $\mathcal{O}_{\widehat{K'}}$. 
\end{rema}

Soit $\Lie \, E(G)$ l'alg�bre de Lie de l'extension vectorielle
universelle de $G$. Elle poss�de une filtration donn�e par la partie
vectorielle 
$$
0 \ldrt \omega_{G^D} \ldrt \Lie \, E(G) \ldrt \omega_G^* \ldrt 0
$$
Alors,
l'application de Hodge-Tate $\a_G$ se d�crit �galement de la
fa�on suivante 
$$
\xymatrix@R=2mm@C=5mm{
\Hom (\Qp/\Zp, G) \ar[r] & \Hom_{\text{\it Filtr�}} \left ( \Lie \, E(\Qp/\Zp),
\Lie \, E(G)\right ) \ar@{=}[r] & \Hom_{\O_K} (\O_K,\omega_{G^D}) \ar[r] &
\omega_{G^D} \\
&& f \ar@{|->}[r] & f(1) 
}
$$
puisque $\Lie \, E(\Qp/\Zp) =\Fil\, \Lie \, E(\Qp/\Zp) = \O_K$.

\subsection{D�composition de Hodge-Tate d'un $\O$-module
  $\pi$-divisible}

On reprend les notations de l'appendice B de \cite{Cellulaire}. On y
note $F$ une extension de degr� fini de $\Qp$ et $\O=\O_F$ son anneau
des entiers. 

Soit $K$ comme dans les sections pr�c�dentes et supposons que $K|F$.
Soit $G$ un $\O$-module $\pi$-divisible sur $\O_K$,
c'est � dire un groupe $p$-divisible muni d'une action de $\O$
induisant l'action naturelle sur son alg�bre de Lie. 
 Soit la suite
exacte de Hodge-Tate d�finie dans la section pr�c�dente 
$$
0\ldrt \omega_G^*\otimes\widehat{\overline{K}} \ldrt V_p
(G)\otimes_{\Qp} \widehat{\overline{K}} \ldrt \omega_{G^D}
\otimes\widehat{\overline{K}} \ldrt 0
$$
Il s'agit d'une suite de $\O\otimes_{\Zp} \O_K$-modules. 
\\

Rappelons (\cite{Cellulaire}) que l'on pose 
$$
\widetilde{\omega}_{G^D}= \omega_{G^D}/I.\Lie E(G) \text{ o� } I=\ker
(\O\otimes_{\Zp} \O_K \twoheadrightarrow \O_K )
$$
qui est la partie vectorielle de la $\O$-extension vectorielle
universelle de $G$. Rappelons en effet que si 
$$
0\ldrt V(G) \ldrt E(G) \ldrt G \ldrt 0
$$
est l'extension vectorielle universelle de $G$ alors la $\O$-extension
vectorielle universelle est le pouss� en avant par l'application
$V(G)\twoheadrightarrow V(G)/I.\Lie \, E(G)$ de cette extension. 
\\

Consid�rons le diagramme 
$$
\xymatrix@R=6mm{
0 \ar[r] & \omega_G^*\otimes\widehat{\overline{K}} \ar[r] & 
V_p (G) \otimes_{\Qp} \widehat{\overline{K}} \ar[r]
\ar@{->>}[d]
 &
\omega_{G^D} \otimes\widehat{\overline{K}} \ar[r] \ar@{->>}[d]
& 0 \\
&& V_p (G)\otimes_F \widehat{\overline{K}}  \ar[r] &
\widetilde{\omega}_{G^D} \otimes \widehat{\overline{K}} 
}
$$
\begin{prop} \label{relhtO}
La suite 
$$
0 \ldrt \omega_G^*\otimes\widehat{\overline{K}} \ldrt  V_p
(G)\otimes_F \widehat{\overline{K}} \ldrt \widetilde{\omega}_{G^D}
\otimes \widehat{\overline{K}} \ldrt 0
$$
extraite du diagramme pr�c�dent est exacte.
\end{prop}
\dem
La surjectivit� de l'application de droite est claire. De plus la
compos�e des deux applications est nulle. D'apr�s la remarque B.9 de
l'appendice B de \cite{Cellulaire} 
$$
\dim \omega_G^*\otimes\widehat{\overline{K}} + \dim \widetilde{\omega}_{G^D}
\otimes \widehat{\overline{K}} = \dim V_p (G)\otimes_F \widehat{\overline{K}}
$$
Il suffit donc de montrer que l'application de gauche est injective
c'est � dire
$$
\omega_G^*\otimes\widehat{\overline{K}} \cap I.V_p(G)\otimes_{\Qp}
\widehat{\overline{K}} = 0
$$
Mais $I[\frac{1}{p}]$ est un produit de corps, il existe donc $e\in
I[\frac{1}{p}]$ tel que $e.I[\frac{1}{p}]= I[\frac{1}{p}]$. Mais
$I[\frac{1}{p}]. \omega_G^*\otimes\widehat{\overline{K}}=0$, d'o� le
r�sultat.
\qed

\begin{rema} Comme dans la section pr�c�dente 
l'application $\Hom_\O (F/\O_F ,G) \ldrt \widetilde{\omega}_{G^D}$ se d�finit de la fa�on suivante en
termes de la $\O$-extension vectorielle universelle $E_\O (G)$ 
 : si $x:F/\O_F\ldrt
G_{O_K}$ alors il induit un morphisme 
$x_*:\O_{K}\ldrt \text{Lie} (E_\O (G))$
puisque $\O_{S/\Sigma}$ le faisceau structural du site cristallin
s'identifie au cristal alg�bre de Lie de la $\O$-extension vectorielle universelle de $F/\O_F$.
\end{rema}



\section{Propri�t�s particuli�res de l'application de Hodge-Tate pour
  les groupes $p$-divisibles formels de dimension un}

On reprend les notations de la section pr�c�dente.

\subsection{Les p�riodes de Hodge-Tate vivent dans l'espace de Drinfeld}

Nous utiliserons la proposition suivante afin de d�finir 
l'isomorphisme au niveau des points.


\begin{prop}
Soit $G$ un groupe $p$-divisible 
sur $\O_K$. Consid�rons la suite de Hodge-Tate de $G^D$
$$
0 \ldrt \omega_{G^D}^*\otimes \mathcal{O}_{\widehat{\overline{K}}} (1)
\ldrt T_p (G)^* (1)\otimes_{\Zp} \mathcal{O}_{\widehat{\overline{K}}}  \ldrt 
\omega_G \otimes \mathcal{O}_{\widehat{\overline{K}}} \ldrt 0
$$ 
et plus particuli�rement l'application 
$
\a_{G^D} : T_p (G)^* (1) \ldrt 
\omega_G \otimes \mathcal{O}_{\widehat{\overline{K}}}
$. Si $G$ est un groupe $p$-divisible formel c'est � dire  si sa fibre
sp�ciale $G_k$ ne
poss�de pas de partie �tale alors l'application  $\a_{G^D}$ est injective.
\end{prop}
\dem 
Si $x:\Qp/\Zp\ldrt G_{/\O_{\overline{K}}}^D$ et $x^D :
G_{/\O_{\overline{K}}}\ldrt \mu_{p^\infty}$ alors, $x=0 \ssi
x^D=0$. De plus, $G$ �tant formel $x^D=0$ ssi l'application tangente
associ�e est nulle, d'o� le r�sultat.
\qed

\begin{coro}\label{DansOmega}
Soit  $G$ un $\O$-module $\pi$-divisible formel de dimension $1$ sur $\O_K$.  
Notons $\Omega \subset \mathbb{P} ( V_p (G)^*(1))$ l'espace de
Drinfeld au sens de Berkovich
obtenu en enlevant les hyperplans $F$-rationnels. Alors, avec les notations
pr�c�dentes 
$$
(V_p (G)^*(1)\otimes_{F}\widehat{\overline{K}} \twoheadrightarrow \omega_G \otimes 
 \widehat{\overline{K}}) \in \Omega ( \widehat{\overline{K}}) 
$$
\end{coro}

\subsection{Raffinement, d'apr�s Faltings}



\begin{rema}
Soit $G$ un groupe p-divisible sur $\spf (\O_{K})$ et 
$$
0 \ldrt \omega_{G^D} \ldrt E (G) \ldrt G \ldrt 0
$$
son extension vectorielle universelle sur $\spf ((\O_{K})$. Alors, si 
\begin{eqnarray*}
E(G) (\O_{\widehat{\overline{K}}}) &=& \underset{n}{\limp} E(G) (\O_{\overline{K}}/ p^n \O_{\overline{K}}) \\
G(\O_{\widehat{\overline{K}}}) &=& \underset{n}{\limp} G(\O_{\overline{K}}/ p^n \O_{\overline{K}}) 
\end{eqnarray*}
il y a une suite exacte 
$$
0 \ldrt \omega_{G^D}\otimes \O_{\widehat{\overline{K}}} \ldrt E(G) (\O_{\widehat{\overline{K}}}) \ldrt G (\O_{\widehat{\overline{K}}}) \ldrt 0 
$$
Cela r�sulte ais�ment de la lissit� des morphismes $E(G) \ldrt G$ 
r�duits mod $\O_{\overline{K},\geq \l}$ pour tout $\l\in \Q_{>0}$ et de la surjectivit� sur $\overline{k}$. 
Nous n'auront besoin de cela que pour $\Qp/\Zp$ pour lequel les points � valeurs dans une $\Zp$-alg�bre de $E(\Qp/\Zp)$ sont $(R\oplus\Qp)/\Zp$, et cela est donc �vident. 
\end{rema}

\begin{lemm}\label{fonda}
Soit $G$ un groupe p-divisible sur $\O_{K}$. Notons 
$$
\a_G : T_p (G) \ldrt \omega_{G^D}\otimes \O_{\widehat{\overline{K}}} 
$$
l'application de Hodge-Tate.
Soit $x=(x_n)_{n\geq 1} \in T_p (G)$ o� $x_n\in G[p^n](\O_{\overline{K}})$. Soit $k$ un entier positif.  
 Alors, $\a_G (x)\in p^k \omega_{G^D}\otimes \O_{\widehat{\overline{K}}}$ ssi 
$x_k$ se rel�ve en un point de $p^k$-torsion dans l'extension vectorielle universelle de $G$ i.e. un point de
$E(G)[p^n](\O_{\widehat{\overline{K}}})$.
\end{lemm} 
\dem
Consid�rons le diagramme 
$$
\xymatrix{
0 \ar[r] & \O_{\widehat{\overline{K}}} \ar[r] \ar[d]^{\times \a_G (x)} 
& (\O_{\widehat{\overline{K}}} \oplus \Qp)/\Zp \ar[r] \ar[d]^{E(x)}
 &  \Qp/\Zp \ar[r]\ar[d]^x & 0 \\
0 \ar[r] & \omega_{G^D} \otimes \O_{\widehat{\overline{K}}} \ar[r] & E(G) (\O_{\widehat{\overline{K}}}) \ar[r] & G( \O_{\widehat{\overline{K}}}) \ar[r] & 0
}
$$
L'�l�ment $x_k\in G[p^k]$ se rel�ve en un �l�ment $\widetilde{x_k}= E(x) ([(0,p^{-k})]) \in E(G) (\O_{\widehat{\overline{K}}})$ et de plus 
$$p^k \widetilde{x_k}=\a_G (x)$$
Les rel�vements de $x_k$ � $E(G)(\O_{\widehat{\overline{K}}})$ formant un $\omega_{G^D}\otimes 
\O_{\widehat{\overline{K}}}$-torseur le r�sultat s'en d�duit.
\qed
\\

La proposition qui suit s'applique en particulier aux groupes $p$-divisibles formels
de dimension $1$ et est une l�g�re am�lioration d'un r�sultat de
Faltings. 

\begin{prop}[Faltings]
Soit $G$ un groupe $p$-divisible  formel sur $\O_K$. Consid�rons la suite de Hodge-Tate de $G^D$
$$
0 \ldrt \omega_{G^D}^*\otimes \mathcal{O}_{\widehat{\overline{K}}} (1)
\ldrt T_p (G)^* (1)\otimes  \mathcal{O}_{\widehat{\overline{K}}} \xrig{\; \a_{G^D}\otimes Id\;}
\omega_G \otimes \mathcal{O}_{\widehat{\overline{K}}} \ldrt 0
$$ 
 Supposons qu'il existe un groupe p-divisible isocline $H$ 
sur $k$ de hauteur $h$ tel que $\Z_{p^h}\hookrightarrow  \End
(H_{\bar{k}})$ 
et une isog�nie $\rho : H\otimes_k \O_{K}/ p \O_{K} \ldrt G\otimes \O_{K}/p \O_{K}$ telle que $p^n \rho^{-1}$ soit une isog�nie. Alors, si on note pour $M$ un ``r�seau'' et $m\in M$ $\delta (m)= \sup \{k\;|\; p^{-k} m \in M\}$ on a 
$$
\forall x\in T_p(G)^*(1) \;\;\; \delta (x) \leq \delta (\a_{G^D} (x)) \leq \delta (x) + n +1 
$$
\end{prop}
\dem
Tout repose sur le lemme pr�c�dent. On peut supposer $k$ alg�briquement clos. 
Soit $H_0$ un rel�vement C.M. par $\Z_{p^h}$ de $H$ � $W(k)$.

Soit $x\in T_p (G^D) \setminus p T_p (G^D)$. Supposons que 
$\a_{G^D} (x)\in p^{n+1} \omega_G\otimes \O_{\widehat{\overline{K}}}$. Le lemme pr�c�dent implique que $x_{n+1}\in G^D [p^{n+1}](\O_{\overline{K}})$ se rel�ve en un �l�ment 
$$
\widetilde{x_{n+1}} \in E(G^D)[p^{n+1}]( \O_{\widehat{\overline{K}}})
$$
Il r�sulte de la nature cristalline de l'extension vectorielle
universelle que $\rho^D$ et $(p^n \rho^{-1})^D= p^n (\rho^D)^{-1}$ se rel�vent en des morphismes 
$$
\xymatrix@C=2cm{
E(H_0^D)_{/\O_{K}} \ar@<1ex>[r]^{E(p^n (\rho^D)^{-1})} & \ar@<1ex>[l]^{E ( \rho^D)}  E (G^D)
}
$$
tels que $E(\rho^D) E( p^n (\rho^D )^{-1})=p^n$ et $ E( p^n (\rho^D
)^{-1}) E(\rho^D ) = p^n$. Consid�rons l'�l�ment 
$y=E(\rho^D ) (\widetilde{x_{n+1}})\in E ( H_0^D) [p^{n+1}] ( \O_{\widehat{\overline{K}}})$.
Alors, $$y\neq 0$$ car sinon on aurait 
$$
p^n \widetilde{x_{n+1}}= E(p^n (\rho^D)^{-1}) (y) = 0 
$$
mais via $E(G^D)\drt G^D$, $p^{n} \widetilde{x_{n+1}}\mapsto x_1\in G[p]^D$ ce qui est en contradiction avec $x_1\neq 1$ puisque $x\notin pT_p (G^D)$. 

Donc, $\exists z\in E(H_0^D)[p] ( \O_{\widehat{\overline{K}}}),z \neq
0$. Soit $w\in H_0[p]^D (\O_{\overline{K}})$ son image. 
On a $w\neq 0$ car 
$$\ker ( E(H_0^D)[p] ( \O_{\widehat{\overline{K}}})
\ldrt H_0 [p]^D (  \O_{\widehat{\overline{K}}})) = (\omega_{H_0}\otimes
\O_{\widehat{\overline{K}}}) [p] =0
$$
 Soit $\iota : \Z_{p^h} \drt \End
(H_0^D)$ l'action C.M. obtenue par dualisation de Cartier de l'action
C.M. sur $H_0$. Le module de Tate $T_p (H_0^D)$ est $\Z_{p^h}$-libre de rang $1$. Donc, $\iota (\Z_{p^h}).w=H_0[p]^D(\O_{\overline{K}})$ qui est dans l'image de $E(H_0^D)[p]\drt H_0^D[p]$ puisque le morphisme $E(H_0^D)\drt H_0^D$ est $\Z_{p^h}$-�quivariant. Par application du lemme \ref{fonda}
on en d�duit que 
$$
\a_{H_0^D} (T_p (H_0^D)) \subset p \omega_{H_0} \otimes  \O_{\widehat{\overline{K}}}
$$
ce qui est en contradiction avec le fait que le conoyau du morphisme
de Hodge-Tate pour $H_0^D$ est annul� par un �l�ment de valuation $\frac{1}{p-1}$.
\qed
\\


{\it Interpr�tation : } 
Dans les cas des groupes $p$-divisibles formels de dimension $1$ 
la proposition pr�c�dent dit plus pr�cis�ment que si le point
$(G,\rho)$ est ``� distance $\leq n$'' du centre de l'espace de
Lubin-Tate alors ses p�riodes de Hodge-Tate dans l'espace de Drinfeld sont
``dans une boule de rayon $n+1$'' dans l'immeuble associ� � l'espace
de Drinfeld.


\subsection{Formule exacte}

 Dans l'article \cite{Rami} nous donnons une formule exacte plus
 pr�cise que la proposition pr�c�dente dans le cas des groupes formels de dimension $1$ 
pour le point associ� dans
 l'espace de Drinfeld (cf. corollaire \ref{DansOmega}). Soit $|\mathcal{I}|$ la r�alisation g�om�trique de  l'immeuble de Bruhat-Tits du groupe
 $\text{PGL}_n$. 
Il y a une application $s: \Omega (\widehat{\overline{K}})\ldrt |\mathcal{I}|$. 
 Cette formule exprime l'image par $s$ du point de Hodge-Tate 
en fonction  de la filtration de ramification sur
 le module de Tate du groupe $p$-divisible.

\section{Notations concernant les espaces de Lubin-Tate et de
  Drinfeld}
\label{kuipom}

Nous reprenons les notations du premier chapitre de \cite{Cellulaire}. 
Rappelons
que l'on note $\O=\O_F$. On note $L=W_\O(\Fqb)_\Q$ et $\s$ son Frobenius . 
 
Soit $\mathbb{H}$ un $\O$-module $\pi$-divisible formel de dimension $1$ et hauteur $n$ sur $\overline{\mathbb{F}}_p$
qui est d�fini sur $\mathbb{F}_q$. On a donc $\mathbb{H}=
\Hb^{(q)}$. On note alors
$\Pi=\text{Frob}_q\in \End (\Hb)$. Alors, 
$$
\O_D= \O_{F_n} [\Pi] \iso \End (\Hb )
$$
o� l'on pose 
$$
\O_{F_n}= W_\O (\mathbb{F}_{q^n})
$$
Posons $\Gb=\Hb^n$ qui est un $\O$-module $\pi$-divisible formel de dimension $n$ et $\O$-hauteur $n^2$. Munissons le
d'une structure de $\O_D$-module formel sp�cial au sens de Drinfeld en posant 
$$
\iota: \O_D \ldrt \End ( \Gb) = M_n (\O_D)
$$
tel que 
$$
\forall x\in \O_{F_n} \;\; \iota ( x) = \text{diag} (x,x^\s,\dots, x^{\s^{n-1}} )
$$
et 
$$
\iota (\Pi) = \text{diag} ( \Pi,\dots,\Pi )
$$
et donc
$$
\forall x\in \O_D\;\; \iota (x)= \text{diag} ( x, \Pi x\Pi^{-1},\dots, \Pi^{n-1} x \Pi^{-(n-1)} )
$$
Tous les indices de $\Gb$ sont critiques et comme �l�ment de $\text{PGL}_n (F) \bc \widehat{\Omega} ( \overline{\mathbb{F}_q})$ cela d�finit un point dans l'intersection de $n$ composantes irr�ductibles de la 
fibre sp�ciale. Il y a de plus une isog�nie de $\O$-modules $\pi$-divisibles munis d'une action de $\O_D$
\begin{eqnarray}\label{ioD}
\text{Id} \oplus \Pi \oplus \dots \oplus \Pi^{n-1}: \Hb^n \ldrt \Gb
\end{eqnarray}
de degr� $q^{\frac{1}{2} n (n-1)}$ o� $\O_D$ agit diagonalement sur $\Hb^n$ (qui n'est pas sp�cial).
Il y a donc un isomorphisme d'isocristaux munis d'une action de $D$
$$
\mathbb{D} (\Gb)_\Q \iso \mathbb{D} (\Hb)_\Q^n
$$
o� les modules de Dieudonn� sont les modules 
de Dieudonn� covariants relatifs � $\O$ (il s'agit de l'�valuation du
cristal alg�bre de Lie de la $\O$-extension vectorielle universelle
sur $\O_L\twoheadrightarrow k$, cf. l'appendice B de \cite{Cellulaire}).
\\

{\it Convention :  D�sormais on notera $\mathbb{D}$ le module de Dieudonn� covariant
relatif � $\O$ d'un $\O$-module $\pi$-divisible not� 
$\mathbb{D}_\O$ dans l'appendice B de \cite{Cellulaire} et par cristal de 
Messing on entendra le cristal de Messing $\O$-extension vectorielle
universelle  d�fini dans l'appendice B de 
\cite{Cellulaire}.}

\subsection{Modules de Dieudonn�}

{\it Nous n'utiliserons pas cette sous-section plus tard.}
\\
Il y a une identification 
$$
\mathbb{D} (\Hb) = \O_D\otimes_{\O_{F_n}} \O_L 
$$
muni de $\iota : \O_D \ldrt \End ( \Hb)$ tels que si $V$ d�signe le Verschiebung
\begin{eqnarray*}
\forall d\otimes \l \in  \mathbb{D} (\Hb) \;\;\, V ( d\otimes \l) & = & d \Pi \otimes \l^{\s^{-1}} \\
\forall d'\in \O_D\;\;\; \iota (d') ( d\otimes \l) & =& d' d \otimes \l 
\end{eqnarray*}
Alors, 
$$
\mathbb{D} (\Gb) = \O_D\otimes_{\O_F} \O_L 
$$
muni de son action de $\iota$ de $\O_D$ et 
\begin{eqnarray*}
\forall d\otimes \l \in \mathbb{D} (\Gb) \;\;\; V ( d\otimes \l) & = & d \Pi \otimes \l^{\s^{-1}} \\
\forall d'\in \O_D\;\;\; \iota (d') ( d\otimes \l) & =& d' d \otimes \l 
\end{eqnarray*}
D�s lors on a un isomorphisme de $\O_L$-modules
\begin{eqnarray*}
\O_D\otimes_{\O_F} \O_L & \xrig{\;\sim \;} & \prod_{k\in \Z/n\Z}
\O_D\otimes_{\O_{F_n},\s^{k}} \O_L \\
d\otimes \l & \longmapsto & ( d \otimes \l)_{k\in \Z/n\Z}
\end{eqnarray*}
 Et dans ces coordonn�es l'identification $\mathbb{D} (\mathbb{H})^n = \mathbb{D} (\mathbb{G})$ est donn�e par 
\begin{eqnarray*}
(\O_D\otimes_{\O_{F_n}} \O_L )^n &\ldrt & \prod_{k\in \Z/n\Z} \O_D
  \otimes_{\O_{F_n},\s^{k}} \O_L \\
(x_k\otimes\l_k)_{0\leq k \leq n-1} &\longmapsto & (\Pi^{-k} x_k\Pi^k\otimes \l_k)_{k\in\Z/n\Z} 
\end{eqnarray*}
et l'isog�nie (\ref{ioD})  par
\begin{eqnarray*}
(\O_D\otimes_{\O_{F_n}} \O_L )^n &\ldrt & \prod_{k\in \Z/n\Z} \O_D
  \otimes_{\O_{F_n},\s^{k}} \O_L \\
(x_k\otimes\l_k)_k &\longmapsto & (x_k\Pi^k\otimes \l_k)_k 
\end{eqnarray*}


\subsection{Notations concernant les espaces de Lubin-Tate}

Rappelons que l'on note $\breve{F} =\widehat{F^{nr}}$
le compl�t� de l'extension maximale non-ramifi�e de $F$ dans une
cl�ture alg�brique de celui-ci. 
 On fixe un
isomorphisme entre $\overline{\mathbb{F}}_q$ et le corps r�siduel de
$\breve{F}$. Celui-ci
induit un isomorphisme $L\simeq \breve{F}$. N�anmoins on ne confondra 
pas toujours ces deux corps, l'un, $L$, �tant un corps ``abstrait'',
l'autre, $\breve{F}$, un corps plong� (un corps reflex).

\begin{defi}
Soit $K$ un corps valu� complet (pour une valuation de rang $1$ c'est
� dire � valeurs dans $\R$) extension de $\breve{F}$. 
On appelle point � valeurs dans $K$ de la tour de Lubin-Tate 
un triplet $(H,\rho,\eta)$ � isomorphisme pr�s o� 
\begin{itemize}
\item $H$ est
un $\O$-module $\pi$-divisible formel de dimension $1$  sur $\mathcal{O}_{K}$
\item $\rho$ est une quasi-isog�nie $\mathbb{H}\otimes_{\overline{\mathbb{F}}_q} \O_{K}/ p \O_{K} \drt H\otimes   \O_{K}/ p \O_{K}$ 
\item $\eta : \O^n \iso T_p (H)$ est un isomorphisme de
   $\Gal(\overline{K}|K)$-modules, le membre de gauche �tant muni de
   l'action triviale de Galois. 
\end{itemize}
On note $\M^{\LT}_\infty (K)$ cet ensemble qui est muni d'une action
de $D^\times \times \GL_n (\O_F)$, o� $D^\times $ agit � gauche par
$d.\rho=\rho \circ d^{-1}$ et $\GL_n (\O_F)$ � droite par $\eta.g=\eta\circ g$, 
 et d'une donn�e de descente $\a$ vers $F$.
\end{defi}

On renvoie � la section 1.4 de \cite{Cellulaire} pour la d�finition de
la donn�e de descente $\a$.
On verra bient�t que cet ensemble est en fait muni d'une action de
$\GL_n (F)$. 

\begin{rema}
 Dans la d�finition pr�c�dente, la d�finition de $\eta$ peut �tre
 remplac�e par : $\eta$ est un isomorphisme 
$$
\eta:\O^n\iso \Hom_\O ( F/\O, H)
$$
\end{rema}

\begin{defi}\label{ruygop}
On note $\M^{\LT} (K)/\sim$ l'ensemble des couples $(H,\rho)$ comme
pr�c�demment � isog�nie d�formant un �l�ment de $F^\times$  pr�s i.e.
$(H,\rho)\sim (H',\rho') \ssi \exists f : H\ldrt H'$ une isog�nie
et un $x\in F^\times$ tels que le diagramme suivant commute 
$$
\xymatrix{
H \text{ mod } \pi \ar[r]^{f \text{ mod } \pi} & H'\text{ mod } \pi \\
\mathbb{H}\otimes \O_K/\pi\O_K \ar[r]^{x}\ar[u]^\rho & \mathbb{H}\otimes
\O_K/\pi\O_K \ar[u]^{\rho'}
}
$$
Cet ensemble est muni d'une action de $D^\times$.

Une d�finition �quivalente consiste � remplacer � isog�nie d�formant
un �l�ment de $F^\times$ pr�s par  � isog�nie d�formant
une puissance de $\pi$ pr�s.

Une troisi�me d�finition �quivalente consiste � dire que $(H,\rho)$
est �quivalent � $(H',\rho')$ ssi il existe une quasi-isog�nie
$f:H\ldrt H'$ sur $\spec (\O_K)$ telle que $f\rho=\rho'$ i.e. ssi la
quasi-isog�nie $\rho'\rho^{-1}$ sur $\spec (\O_K/p\O_K)$ se rel�ve en
une quasi-isog�nie sur $\spec(\O_K)$.
\end{defi}




\subsection{Notations concernant les espaces de Drinfeld}

\begin{defi}
Soit $K$ un corps valu� complet extension de $\breve{F}$. On appelle point � valeur dans $K$ de la tour de Drinfeld un triplet $(G,\rho,\eta)$ � isomorphisme pr�s
o�
\begin{itemize}
\item $G$ est un $\O_D$-module $\pi$-divisible formel sp�cial sur $\spf (\O_{K})$
\item $\rho$ est une quasi-isog�nie $\O_D$-�quivariante $\mathbb{G} \otimes_{\overline{\mathbb{F}}_q} \O_{K}/p\O_{K}\ldrt 
G\otimes_{\O_{K}}\O_{K}/p\O_{K} $
\item $\eta: \O_D\iso T_p (G)$ est un isomorphisme de $\O_D$-modules
  galoisiens.
\end{itemize}
On note $\M^\D_\infty (K)$ cet ensemble 
 muni de son action de $\GL_n (F)\times D^\times$ o� 
$\GL_n (F)= \End_{D-\text{�q.}}(\mathbb{G})_\Q^\times$ agit � gauche 
via $g.\rho=\rho\circ g^{-1}$
et $\O_D^\times$ agit � droite via $\eta.d = \eta \circ d^{-1}$ o� $
d^{-1}: \O_D\iso \O_D$ est $d'\mapsto d' d^{-1}$.  L'action de $\Pi\in
D^\times$ est d�finie par $\Pi. (G,\rho,\eta) = (G/G[\Pi], \ph \circ
\rho, \eta.\Pi)$ o� $\ph : G\twoheadrightarrow G/G[\Pi]$ et 
$$
\xymatrix@C=15mm{
\O_D \ar[d]^{.\Pi} \ar[r]^\eta_\sim & T_p (G) \ar@{^(->}[d]^{\ph_*} \\
\O_D \ar[r]^{\eta.\Pi}_\sim & T_p ( G/G[\Pi]) 
}
$$
\end{defi}

\begin{rema}
On renvoi � la section 1 de \cite{iso4} pour la d�finition g�n�rale
de l'action d'un �l�ment de $D^\times$. On notera que $\{(x,x)\;|\;
x\in F^\times \}\subset \GL_n (F)\times D^\times$ agit trivialement. 
\end{rema}

\begin{rema}
 Dans la d�finition pr�c�dente, la d�finition de $\eta$ peut �tre
 remplac�e par :  on se donne un �l�ment 
$$
\eta (1)\in \Hom_\O (F/\O, G)\setminus \Pi. \Hom_\O (F/\O, G)
$$
\end{rema}

\begin{rema} 
Le groupe associ� � l'espace de Rapoport-Zink pr�c�dent et not� $G$ dans \cite{RZ}  est dans notre cas $(D^{opp})^\times$. Dans la d�finition pr�c�dente on l'a identifi� � $D^\times$ via $d\mapsto d^{-1}$ ce qui explique que l'on pose $d.\eta = \eta \circ d^{-1}$ alors que la d�finition usuelle des correspondances de Hecke est pour $g\in G(\Qp)$, $\eta \mapsto \eta \circ g$.
\end{rema}

\begin{rema}
L'identification $\GL_n (F)= \End_{D-\text{�q}} (\mathbb{G})_\Q^\times$ se d�duit, avec les notations des sections qui suivent, de l'identification
$$
 \End_{D-\text{�q}} (\mathbb{G})_\Q =  \End_{D-\text{�q}}\left
   (\mathbb{D}(\mathbb{G})_\Q, V \right ) = \End_\O \left ( \mathbb{D}(\mathbb{G})_{\Q,0}^{V^{-1}\Pi}\right )
$$
et d'un choix d'une base de $\mathbb{D}(\mathbb{G})_{\Q,0}^{V^{-1}\Pi}$ (cf. les section suivantes).
\end{rema}

\begin{defi}
Comme dans la d�finition \ref{ruygop} 
on note $\M^{\D} (K)/\sim$ l'ensemble des couples $(G,\rho)$  � isog�nie d�formant un �l�ment de $F^\times$ pr�s. Cet ensemble
est muni d'une action de $\GL_n (F)$.
\end{defi}

\subsection{Quelques rappels sur Drinfeld classique}

Notons  
$$
N^{\D}= \mathbb{D} (\Gb)_\Q = D\otimes_F L
$$
un isocristal relativement � l'extension $L|F$. 
On a 
\begin{eqnarray*}
N^\D & =& \bigoplus_{i\in \Z/n \Z} N^\D_i \;\text{ o� }  N^\D_i =\{n\in N\; |\; \forall x\in F_n \;
\iota (x).n= x^{\s^{-i}} n \; \} 
\end{eqnarray*}
o� relativement � cette graduation $\deg V= \deg \Pi =+1$. 
On a de plus 
\begin{eqnarray*}
D\otimes_F L  &=& \bigoplus_{a\in \Z/n\Z} D\otimes_{F_n,\s^{-a}} L \\
&=& \bigoplus_{a,b\in \Z/n\Z}
L. \underbrace{\iota(\Pi^b)(e_a)}_{e_{a,b}} 
\end{eqnarray*}
o� $e_a =1\otimes 1\in D\otimes_{F_n,\s^{-1}}L$ et $e_{a,b} =\Pi^b\otimes 1$. 
De plus, avec ces coordonn�es
$$
V(e_{a,b})= \iota(\Pi)(e_{a,b}) = \pi^{\delta_{b,n-1}} e_{a,b+1}
$$
et 
$$
 N^\D_i = \bigoplus_{a+b =i} L.e_{a,b}
$$
 L'op�rateur
$$
V^{-1} \Pi : N_0^\D\ldrt N^\D_0
$$
est de pente $0$ et fait de $(N_0^\D,V^{-1} \Pi)$ un isocristal unit� :
\begin{eqnarray*}
(N^\D_0, V^{-1} \Pi)\simeq ((N^\D_0)^{V^{-1} \Pi}\otimes_F L, Id\otimes \s) \\
(N^\D)^{V^{-1} \Pi}_0 = \bigoplus_{a+b = 0} F.e_{a,b} \simeq F^n
\end{eqnarray*}

Rappelons maintenant qu'il y a des bijections 
\begin{eqnarray*}
\left \{
{\text{Sous isocristaux D-stables de} \atop (N^\D,\ph)} \right \} &\iso &
\left \{ \text{Sous } F\text{-ev. de} \atop
(N^\D)^{V^{-1} \Pi} \right \} \\
N & \longmapsto & N_0^{V^{-1} \Pi}
\end{eqnarray*}
o� $\ph$ d�signe le Frobenius, 
et pour $K|L$ une extension valu�e comme dans le premier chapitre 
\begin{eqnarray*}
\left \{ \text{ Filtrations D-stables de codimension } n \atop \text{dans } N^\D\otimes_L K
\right \} &\iso  & \left \{ \text{Filtrations de codimension } 1 \text{ dans}\atop 
(N_0^\D)^{V^{-1} \Pi} \otimes_F K \right \} \\
\Fil=\oplus_{i\in \Z/n \Z} \Fil_i &\longmapsto & \Fil_0
\end{eqnarray*}
Alors, $(N^\D,\ph,\Fil)$ est faiblement admissible ssi pour tout sous-isocristal 
$N\subset N^\D$ on a 
$$
t_H ( N, N\otimes_L K\cap \Fil) \leq t_N (N,\ph)
$$
o� $t_H$, resp. $t_N$, d�signe le point terminal du polygone de Hodge,
resp. Newton.
L'existence de la filtration de Harder-Narashiman et sa canonicit� sur $(N^\D,\ph,\Fil)$ impliquent que celle-ci est $D$-stable si $\Fil$ l'est et qu'il suffit donc dans ce cas l� de tester la condition 
d'admissibilit� faible sur les sous-isocristaux $D$-stables
(\cite{RZ} chapitre 1). Restreignons-nous aux filtrations $\Fil$ $D$-stables de codimension $n$. 
 Via les deux bijections ci dessus 
on trouve ais�ment :
$$
\left \{ 
\text{Fil} \subset N^\D\otimes_L K \text{ telles que } (N^\D,\ph,\Fil ) \atop
  \text{ est faiblement admissible }  \right \}
\iso
\left \{ \Fil'\subset (N^\D_0)^{V^{-1} \Pi}\otimes K \;   \text{ telles que } \atop
\forall N'\subset (N^\D_0)^{V^{-1} \Pi} \text{ de dim.} 1 \; \Fil'\cap (N'\otimes K) = (0)
\right \}
$$
la condition portant donc sur les sous-isocristaux $D$-stables de dimension $n$ dans
$(N^\D,\ph)$ qui sont param�tr�s par $\check{\mathbb{P}}\left ( (  N^\D_0)^{V^{-1} \Pi} \right )(F)$ o� pour $E$ un $F$-e.v. on note $\mathbb{P} (E)$ l'espace des filtrations de codimension $1$ de $E$ et $\check{\mathbb{P}} (E) = \mathbb{P} \left ( \check{E} \right )$ l'espace des droites de $E$. La relation d'incidence entre $\mathbb{P} (E)$ et  $\check{\mathbb{P}} (E)$ est donn�e par : pour $H\in \check{\mathbb{P}} (E)$, $H$ d�finit une droite $D$ dans $E$ et donc un hyperplan  encore not� $H$ dans  $\mathbb{P} (E)$ form� des filtrations contenant $D$. Ainsi $ \check{\mathbb{P}} (E)$ param�tre les hyperplans dans  $\mathbb{P} (E)$. 
 On a 
donc 
$$ \left 
\{ (N^\D,\ph,\Fil) \text{ faiblement admissible} \atop \Fil \; D\text{-stable}
\right \} \iso
{\mathbb{P}}\left ( N^\D_0\right )(K)\setminus \bigcup_{H\in \check{
\mathbb{P}}\left  ((N^\D_0)^{V^{-1} \Pi}\right )(F)}  H(K)  = \Omega (K)
$$
o� $\Omega$ d�signe l'espace de Drinfeld vu comme espace de
Berkovich. 

Dit d'une autre fa�on, $\Omega (K)$ est l'ensemble des filtrations  $\Fil$
de codimension $1$ dans $N^\D_0\otimes_L K$ telles que l'application suivante soit injective
$$
(N^\D_0)^{V^{-1} \Pi} \hookrightarrow  N^\D_0\otimes_L K/\Fil 
$$

\section{Description de $\M^{\LT} (K)/\sim$ en termes de modules filtr�s}

Il s'agit ici d'�tendre la th�orie de Fontaine des modules faiblement admissibles 
pour les groupes de dimension $1$ 
� des corps $K$ non forc�ment de valuation
discr�te.

Soit un couple  $(H,\rho)$ o� $ H$ est un $\O$-module $\pi$-divisible  sur $\spf (\O_K)$ et $\rho$ une 
rigidification avec $\mathbb{H}$ modulo $p$. L'alg�bre de Lie de la $\O$-extension vectorielle universelle
de $H$, $M$, est munie d'une filtration $\Fil \subset M$ telle que
$M/\Fil  \simeq \omega_H^*$. La nature cristalline de la
$\O$-extension vectorielle universelle induit un isomorphisme 
$$
\rho_* : \mathbb{D} (\Hb)_\Q \otimes_{L} K \iso M\unp
$$
et $\Fil_H= \rho_*^{-1} (\Fil\unp) \subset\mathbb{D} (\Hb)_\Q \otimes K$ est une filtration de codimension $1$.


\begin{prop}\label{four_D}
L'application pr�c�dente $(H,\rho_H)\mapsto \Fil_H$ induit une bijection  $D^\times$-�quivariante
$$
 \M^{\LT} (K)/\sim \iso \P \left ( \mathbb{D} (\Hb)_\Q \right ) (K)
 $$
\end{prop}
\dem
C'est une cons�quence de l'existence du domaine fondamental de Gross Hopkins et du fait que la 
restriction du morphisme des p�riodes � ce domaine est un isomorphisme
d'espaces rigides (cf. \cite{HopkinsGross} et \cite{Cellulaire}).

Plus pr�cis�ment, �tant donn� une filtration $\Fil \in \mathbb{P}(K)$ il existe un entier $i$ tel que 
$\Pi^i.\Fil$ soit dans l'image du domaine fondamental de Gross-Hopkins. Il existe donc un couple $(H,\rho)\in \M^{\LT} (K)$
induisant  $\Pi^i.\Fil$. Alors, $\Pi^{-i}.(H,\rho)$ induit $\Fil$, d'o� la surjectivit� de l'application.

Pour l'injectivit�, si $(H,\rho)$ et $(H',\rho')$ induisent la m�me filtration alors la quasi-isog�nie 
$$
\rho'\circ \rho^{-1} : H\otimes {\O_K/p\O_K} \ldrt H'\otimes \O_K/p\O_K
$$
est telle que l'application induite 
$$
(\rho'\circ \rho^{-1})_* : \text{Lie} (E(H))\ldrt \text{Lie} ( E ( H'))
$$
v�rifie $$\exists a\in \N\; (\rho'\circ \rho^{-1})_* (\omega_{H^D}) \subset p^{-a} \omega_{{H'}^D}$$
et donc d'apr�s la th�orie de Messing l'isog�nie 
$$
p^a \rho'\circ \rho^{-1} : (H,\rho) \ldrt (H',\rho') \text{  mod } p
$$
sur $\spec(\O_K/p\O_K)$ se rel�ve en
 une isog�nie : $(H,\rho)\sim (H',\rho')$.
\qed
 
\begin{rema}
  Il se peut qu'en g�n�ral pour des espaces de p�riodes plus g�n�raux l'application des p�riodes ne soit pas surjectivit� sur les $K$-points  ! i.e. qu'un module faiblement admissible ne provienne pas forc�ment d'un groupe p-divisible  sur $K$ quelconque. 
Par contre le calcul des fibres de l'application des p�riodes (la
partie injectivit� dans la d�monstration pr�c�dente) reste valable en g�n�ral.
\end{rema}



\section{Description de $\M^\D (K)/\sim$ en termes de module filtr�}

Soit $(G,\rho)$ o� $G$ est un $\O_D$-module formel sp�cial sur $\spf (\O_K)$ et $\rho$ une rigidification avec $\mathbb{G}$. Soit $M$ l'extension vectorielle universelle de $G$ qui est
filtr�e via $\Fil\subset M$ o� $M/\Fil \simeq \omega_G^*$. Il y a une d�composition sous l'action de $F_n$ 
$$
M=\bigoplus_{i\in \Z/n \N} M_i \;\text{ et } \; \Fil= \bigoplus_{i\in\Z/ n\Z} \Fil_i 
$$
d'o� un �l�ment $\Fil_{G,0} = \rho_*^{-1} (\Fil _0) \subset \mathbb{D} (\Gb)_{\Q,0} \otimes K, \;\Fil_{G,0}\in \Omega (K)$.

\begin{prop}\label{DrP}
L'application $(G,\rho)\mapsto \Fil_{G,0}$ induit une bijection $\GL_n (F)$-�quivariante 
 entre $\M^\D (K)/\sim$ et $\Omega (K)$ avec
  $$\Omega (K) =
{\mathbb{P}} \left ( \mathbb{D} (\Gb)_{\Q,0} \right )(K)\setminus \bigcup_{H\in \check{
\mathbb{P}} ((\mathbb{D}(\Gb)_{\Q,0})^{V=\Pi})(F)}  H(K)  
$$
\end{prop}
\dem Cela r�sulte de ce que l'application des p�riodes est un isomorphisme rigide pour les
espaces de Drinfeld, de l'�galit� $\Omega (K)=\widehat{\Omega} (\O_K)$ o� $\widehat{\Omega}$ est le sch�ma formel de Drinfeld, du th�or�me 
de Drinfeld et du fait que les deux applications de p�riodes, celle
d�finie par Drinfeld et celle d�finie dans \cite{RZ},  co�ncident.
\qed

\section{Prolongement des isog�nies}

\subsection{Prolongement}

Soit $H$ un groupe $p$-divisible sur $\spec (\O_K )$. Soit $\mathcal{C}$ l'ensemble des classes d'isomorphismes de
couples $(H',f)$ o� $H'$ est un groupe
$p$-divisibles sur $\O_K$ et $f:H'\drt H$ une quasi-isog�nie sur $\spec (\O_K)$. 
 Pour un tel couple $T_p (f): T_p (H')\hookrightarrow V_p (H)$. 

\begin{lemm}\label{adsch}
L'application 
\begin{eqnarray*}
\mathcal{C} & \drt & \{ \text{ r�seaux } \Gal (\overline{K}|K)-\text{stables dans } V_p (H)\; \} \\
(H',f) & \mapsto & Im \;T_p (f)
\end{eqnarray*}
est une bijection.
\end{lemm}
\dem
C'est une cons�quence de ce que pour $\mathcal{G}$ un groupe fini
localement libre sur $\O_K$ et $I\subset \mathcal{G}_\eta$ un
sous-groupe fini localement libre il existe un unique prolongement
$\mathcal{I}\hookrightarrow \mathcal{G}$ de l'inclusion $I\subset
\mathcal{G}_\eta$ o� $\mathcal{I}$ est un sous-groupe fini localement
libre. Le groupe $\mathcal{I}$ est obtenu par adh�rence sch�matique
(cf. le chapitre 2 de \cite{Ray1} pour le cas de valuation discr�te 
et le lemme qui suit en g�n�ral).
\qed

\begin{lemm}
Soit $E\subset K^n$ un sous-$K$-espace vectoriel. Alors, $E\cap \O_K^n$ est un $\O_K$-module libre de rang fini facteur direct.
\end{lemm}

\subsection{D�finition de l'action de $\GL_n (F)$ sur $\M^{\LT}_\infty (K)$}

On a d�finit une action de $\GL_n (\O_F)$ sur $\M^{\LT}_\infty (K)$. 
Utilisons le lemme pr�c�dent pour �tendre cette action � $\GL_n (F)$. 
Soient $[(H,\rho,\eta)]\in \M_\infty^{\LT} (K)$ et $g\in \GL_n
(F)$ (les crochets signifient que l'on prend une classe d'isomorphisme
de triplets). D'apr�s le lemme pr�c�dent au r�seau Galois-stable $\eta (g.
\O_F^n)$ dans $V_p (H)$ correspond une quasi-isog�nie $\ph :H\ldrt
H'$ sur $\spec (\O_K)$ telle que $\ph_*^{-1} ( T_p (H')) = \eta (
g.\O_F^n)$
o� $\ph_* : V_p (H)\iso V_p (H')$. 
 On pose
alors $$g.[(H,\rho,\eta)] = [(H',(\ph \text{ mod } p)\circ \rho,\ph_*\circ
\eta \circ
g)$$


\section{Description de $\M^{\LT}_\infty (K)$ en termes de
  modules filtr�s rigidifi�s}

\begin{defi}
Soit $[(H,\rho)]\in \M^{\LT}(K)/\sim$. 
Une rigidification du module de Tate de la classe d'isog�nie $[(H,\rho)]$ est un isomorphisme de modules galoisiens
$$
\eta : F^n\iso V_p (H)
$$
qui induit donc naturellement $\forall (H',\rho')\sim (H,\rho)$ un
isomorphisme
$$
F^n\iso V_p (H')
$$
via l'isomorphisme canonique $V_p (H)\iso V_p (H')$ induit par le
rel�vement de la quasi-isog�nie $\rho'\rho^{-1}$ sur $\spec (\O_K)$. 
\end{defi}

\begin{prop}\label{peftu}
L'application naturelle 
$$
\M_\infty^{\LT} (K)\ldrt \{ \left ([(H,\rho)],\eta \right )\; |\; [(H,\rho)]\in
\M^{\LT} (K)/\sim\text{ et } \eta \text{ une rigidification} \;\}
$$
est une bijection $\GL_n (F)\times D^\times$-�quivariante.
\end{prop}
\dem
D�crivons l'inverse de cette application. Soit $([(H,\rho)],\eta)$
dans le membre de droite. D'apr�s le lemme \ref{adsch} il existe un
unique $(H',\rho')\sim (H,\rho)$ tel que 
$$
\eta : \O_F^n\iso T_p (H')
$$
On associe alors �  $([(H,\rho)],\eta)$ le triplet
$(H',\rho',\eta')$. On v�rifie ais�ment que ces deux applications sont
inverses l'une de l'autre.
\qed

Ainsi les fibres de l'application $\M_\infty^{\LT} (K) \ldrt \M^{\LT}
(K)/\sim$ sont des $\GL_n (F)$-torseurs. 
Soit $U\subset \GL_n (\O_F)$ un sous-groupe compact-ouvert et
$\M_U^{\LT} (K)$ l'ensemble des $K$-points de l'espace de Lubin-Tate en niveau $U$ (que nous
n'avons pas d�fini dans cet article).  
En fait on a la d�composition
plus pr�cise d'extensions ``Galoisiennes'' 
$$
\xymatrix{
    \ar@{-}@/_4pc/[dd]_{GL_n (F)} \M_\infty^{\LT} (K) \ar[d]  \ar@{-}@/^2pc/[d]^{U} \\
  \M_U^{\LT} (K) \ar[d] \\
  \M^{\LT} (K)/\sim \ar[r]^{\sim} & \mathbb{P} ( \mathbb{D} (\Hb)) (K) 
}
$$
et on peut donc ainsi dire que l'espace des p�riodes de Gross-Hopkins
est le quotient de l'espace de Lubin-Tate en niveau infini par $\GL_n
(F)$. 



\begin{theo}\label{derhj}
Il y a une bijection $\GL_n (F)\times D^\times$-�quivariante entre
l'ensemble $\M_\infty^{\LT} (K)$ et l'ensemble des couples
$(\Fil,\zeta)$ o�
$$
\Fil\in\mathbb{P} \left (\mathbb{D} (\mathbb{H} \right )_\Q) (K)
$$
$\zeta= (\zeta_1,\dots,\zeta_n)$ o� $$\forall i\; \zeta_i\in\Hom_\O
(F/\O_F,\mathbb{H}\otimes_{\overline{\mathbb{F}}_p} \O_K/p\O_K)\unp $$
sont lin�airement ind�pendants sur $F$ i.e. induisent une injection 
$F^n\hookrightarrow \Hom_\O (F/\O_F,\mathbb{H}\otimes \O_K/p\O_K)\unp$,
et $\forall i\;$ le morphisme induit sur l'�valuation du cristal de
Messing sur l'�paississement $\O_K\twoheadrightarrow \O_K/p\O_K$,
$\zeta_{i*} : K\drt \mathbb{D} (\mathbb{H})\otimes K$, v�rifie
  $\zeta_{i*}(1)\in \Fil$.
\end{theo}
\dem
Il s'agit d'une cons�quence de la proposition pr�c�dente coupl�e 
� la proposition \ref{four_D} et au
crit�re de rel�vement de Messing vis � vis de l'id�al � puissances
divis�es engendr� par $p$. Dans cet �nonc�, si $(e_i)_{1\leq i \leq
  n}$ est la base canonique de $F^n$ on a pos� 
$$
\zeta_i = \rho^{-1} \circ \left ( \eta (e_i) \text{ mod } p \right)
$$
\qed

\subsection{Description de $\M_\infty^{\LT} (K)$ en termes d'alg�bre
  lin�aire}\label{bujiko}

Cette sous-section ne sera pas n�cessaire dans la suite mais donne une
description purement en termes d'alg�bre lin�aire de $\M_\infty^{\LT}
(K)$. 

\begin{theo}\label{deall}
Supposons $F=\Qp$. 
Il y a une bijection $\GL_n (F)\times D^\times$-�quivariante entre
l'ensemble $\M_\infty^{\LT} (K)$ et l'ensemble des couples
$(\Fil,\xi)$ tels que 
$$
\Fil\in\mathbb{P} (\mathbb{D} (\mathbb{H})_\Q) (K)
$$ et 
$$
\xi : F^n\hookrightarrow \Fil\left ( \mathbb{D}(\mathbb{H})_\Q\otimes_L
B^+_{cris} (\O_K)\right )^{\ph = p}
$$
(qui est alors automatiquement un isomorphisme)
\end{theo}
\dem 
Il s'agit d'une cons�quence de la proposition \ref{peftu} coupl�e � la
proposition 
\ref{four_D} et au th�or�me \ref{crop}. 
\qed 

\section{Description de $\M_\infty^{\D} (K)$ en termes de modules
  filtr�s rigidifi�s}

\begin{defi}
Soit $[(G,\rho)]\in\M^{\D} (K)/\sim$. Une rigidification de la classe
d'isog�nie $[(G,\rho)]$ est un isomorphisme de $D$-modules galoisiens 
$$
\eta : D\iso V_p(G)
$$
qui induit donc naturellement $\forall (G',\rho')\sim (G,\rho)$ un
isomorphisme 
$$
D\iso V_p (G')
$$
via l'identification $V_p (G)\iso V_p (G')$ induite par le rel�vement
de $\rho'\rho^{-1}$.
\end{defi}

\begin{rema}\label{huyto}
Dans la proposition pr�c�dente la donn�e de $\eta$ est �quivalente �
celle de $\zeta = \eta (1) \in \Hom_\O (F/\O_F, G) \unp\setminus \{ 0 \}$.
\end{rema}

\begin{prop}
L'application naturelle
$$
\M_\infty^{\D} (K) \ldrt \{\; \left ([(G,\rho)],\eta \right )\; |\;
  [(G,\rho)]\in\M^{\D}(K)/\sim \text{ et } \eta \text{ une rigidification}\;\}
$$
est une bijection $\GL_n (F)\times D^\times$-�quivariante.
\end{prop}
\dem
Elle est identique � celle de la proposition \ref{peftu} en utilisant
le lemme \ref{adsch}.
\qed
\\

Comme pour l'espace de Lubin-Tate il y a une description pour
$U\subset \O_D^\times$ un sous-groupe ouvert
$$
\xymatrix{
    \ar@{-}@/_4pc/[dd]_{D^\times} \M_\infty^{\D} (K) \ar[d]  \ar@{-}@/^2pc/[d]^{U} \\
  \M_U^{\D} (K) \ar[d] \\
  \M^{\D} (K)/\sim \ar[r]^(.6){\sim} & \Omega (K) 
}
$$


\begin{theo}\label{descDri}
Il y a une bijection $\GL_n (F)\times D^\times$-�quivariante entre
l'ensemble $\M^{\D}_\infty (K)$ et l'ensemble des couples
$(\Fil,\zeta)$ o�
$$
\Fil\in \Omega (K)\subset \mathbb{P}\left
  (\mathbb{D}(\mathbb{G})_{\Q,0}\right )(K)
$$
et 
$$
\zeta \in \Hom_\O (F/\O_F, \mathbb{G}\otimes \O_K/p\O_K)\unp \setminus
\{ 0\}
$$
est tel que si $\zeta_* : K\drt \mathbb{D} (\mathbb{G})_{\Q}\otimes K$
est l'application induite sur l'�valuation du cristal de Messing alors 
si 
$$
\zeta_* (1) = \oplus_i \zeta_*(1)_i\in \bigoplus_{i\in \Z/n\Z}
\mathbb{D}(\mathbb{G})_{\Q,i}\otimes K
$$ 
on a 
$$
\forall i\;\; \Pi^{-i} \zeta_* (1)_i \in \Fil
$$
\end{theo}
\dem
C'est une cons�quence de la proposition pr�c�dente coupl�e � la 
remarque \ref{huyto} et au
th�or�me de rel�vement de Messing. Dans l'�nonc� on a pos� 
$$
\zeta = \rho^{-1} \circ \left ( \eta (1) \text{ mod }  p \right )
$$
\qed

\subsection{Description de $\M_\infty^{\D} (K)$ en termes d'alg�bre lin�aire}

Comme dans la section \ref{bujiko} cette section ne servira pas dans
la suite.

\begin{theo}
Supposons $F=\Qp$. 
Il y a une bijection $\GL_n (F)\times D^\times$-�quivariante entre
l'ensemble $\M^{\D}_\infty (K)$ et l'ensemble des couples
$(\Fil,\xi)$ o�
$$
\Fil\in \Omega (K)\subset \mathbb{P}(\mathbb{D}(\mathbb{G})_{\Q,0})(K)
$$
et 
$$
\xi \in  \Fil(\mathbb{D}(\mathbb{G})_{\Q,0}\otimes
B^+_{cris}(\O_K))^{(V^{-1}\Pi\otimes \ph)^n=p}\setminus \{ 0 \} 
$$
\end{theo}


\section{La bijection au niveau des points}\label{coeulop}
 

On fixe
$$
\Delta : \Hb^n \ldrt\Gb
$$
une quasi-isog�nie compatible � l'action de $\O_D$ comme par exemple
celle d�finie dans la section \ref{kuipom}.

On fixe  un isomorphisme 
\begin{eqnarray}\label{out1}
\mathbb{D}
(\mathbb{H})_{\Q,0}^{V=\Pi} \simeq F
\end{eqnarray}
 qui induit via $\Delta$ un
isomorphisme 
\begin{eqnarray*}\label{out2}
\mathbb{D} (\mathbb{G})_{\Q,0}^{V=\Pi} \simeq F^n
\end{eqnarray*}
et induit donc 
\begin{eqnarray*}\label{out3}
\mathbb{D} (\mathbb{G})_{\Q,0} \simeq L^n
\end{eqnarray*}
De plus,  l'isomorphisme (\ref{out1}) induit �galement un isomorphisme 
$\mathbb{D}(\mathbb{H})_{\Q,0}\simeq L$ et 
\begin{eqnarray*}\label{out4}
\mathbb{D}(\mathbb{H})_\Q =\bigoplus_{j\in\Z/n\Z}
\mathbb{D}(\mathbb{H})_{\Q,j}  \underset{\sum_j \Pi^{-j}}{\xrig{\;\;\sim\;\;}}
\mathbb{D} (\mathbb{H})_{\Q,0}^n \simeq L^n
\end{eqnarray*}
Le choix de l'isomorphisme (\ref{out1}) et de ceux qui s'en suivent
n'est pas vraiment n�cessaire � la
d�monstration mais permet d'identifier les espaces de p�riodes du cot�
Lubin-Tate et Drinfeld � des sous-espaces de $\mathbb{P}^n$.

Rappelons que l'on a des extensions de corps valu�s  
$$
K| \breve{F} | F |\Qp
$$
et un isomorphisme $L\simeq \breve{F}$.

\subsection{L'application $\M^\D_\infty (K)\ldrt \M^{\LT}_\infty (K)$} \label{dltisog}

Soit $(G,\rho_G,\eta_G)\in \M_\infty^\D (K)$. 
Rappelons (cf. th�or�me \ref{descDri}) qu'on lui associe un couple
$(\Fil_G,\zeta_G)$ o�
$$
\Fil_G\in \Omega (K)
$$
et
$$
\zeta_G\in \Hom_\O (F/\O_F,\mathbb{G}\otimes \O_K/p\O_K)\unp \setminus
\{ 0 \}
$$
Soit 
$$
\zeta_{G*} : K\ldrt \mathbb{D} (\mathbb{G})_{\Q}\otimes K
$$
l'application induite au niveau de l'�valuation des cristaux de Messing
sur l'�paississement $\O_K\twoheadrightarrow \O_K/p\O_K$. Consid�rons
le compos�
$$
\xymatrix@R=5mm{
K\ar[r]^(.3){\zeta_{G*}} & \mathbb{D}(\mathbb{G})_\Q\otimes K
\ar[r]^{\Delta_*^{-1}} & \mathbb{D} (\mathbb{H})_\Q^n\otimes K \ar@{=}[r] &
\bigoplus_{j\in \Z/n\Z} \mathbb{D}(\mathbb{H})_{\Q,j}^n\otimes K \\
1 \ar@{|->}[rrr] &&& (a_{ij})_{1\leq i\leq n,j\in \Z/n\Z}
}
$$
et posons $x_{ij}=\Pi^{-j}a_{ij}\in \mathbb{D}(\mathbb{H})_{\Q,0}\otimes
K\simeq K$. Soit 
$$
X=(x_{ij})_{i,j}\in\text{M}_n (K)
$$

\begin{lemm}\label{enkgf}
L'application $K$-lin�aire  de $K^n$ dans lui m�me
induite par $X$  a
pour image $\Fil_G$.
\end{lemm}
\dem
D'apr�s le th�or�me \ref{decHTO} et la remarque \ref{HTet} le
sous-module
engendr� par l'image de $\zeta_{G*}$ dans
$\mathbb{D}(\mathbb{G})_\Q\otimes K$ est $\bigoplus_{j\in \Z/n\Z}
\Pi^j \Fil_G$. Il en r�sulte aussit�t que $$K(x_{i 0})_i+\dots + K
(x_{in})_i =Fil_G \subset K^n=\mathbb{D}(\mathbb{G})_{\Q,0}\otimes
K$$
\qed

\begin{defi}
On note $\Fil_H\in \mathbb{P}^n (K)$ l'image de $\,^t X$ dans $K^n$
i.e. le sous-espace engendr� par les lignes de $X$.
\end{defi}

Via l'identification $\mathbb{D}(\mathbb{H})_\Q\otimes K \simeq K^n$
si 
$$
\xymatrix@R=5mm{
K \ar[r]^(.3){\zeta_{G*}} & \mathbb{D}(\mathbb{G})_\Q\otimes K
\ar[r]^{\sim} & \mathbb{D}(\mathbb{H})_\Q^n\otimes K \\
1 \ar@{|->}[rr] && (\a_i)_i
}
$$
alors $\Fil_H \in \mathbb{P} ( \mathbb{D} (\Hb))(K)$ est l'image de l'application $K^n\ldrt
\mathbb{D}(\mathbb{H})_\Q\otimes K$ d�finie par $(\a_i)_i$.
\\

La filtration $\Fil_H$ d�finit 
 donc d'apr�s la proposition \ref{four_D} un �l�ment 
$\M^{\LT} (K)/\sim$ dont il reste � d�finir la rigidification du
 module de Tate (cf. th�or�me \ref{derhj}). 
Consid�rons le compos�
$$
F/\O_F \xrig{\;\; \zeta_G \;\;} \mathbb{G}\otimes \O_K/p\O_K
\xrig{\;\;\Delta^{-1}\;\;} \mathbb{H}^n\otimes \O_K/p\O_K
$$
qui fournit des �l�ments 
$$
(\zeta_{H,i})_{1\leq i \leq n} \in \Hom_\O (F/\O_F, \mathbb{H}\otimes \O_K/p\O_K)\unp
$$
Pour un entier $i\in \{1,\dots,n\}$ le morphisme induit entre cristaux
de Messing �valu�s sur $\O_K\twoheadrightarrow \O_K/p\O_K$ est 
$$
\xymatrix@R=5mm{
(\zeta_{H,i})_* : & K \ar[r]^(.3){\zeta_{G*}} & \mathbb{D}
  (\mathbb{G})_\Q\otimes K \ar[r]^{\Delta_*^{-1}} & \mathbb{D}
  (\mathbb{H})_\Q^n\otimes K \ar[r]^{\;\text{proj}_i\;} &
  \mathbb{D}(\mathbb{H})_\Q\otimes K \\
& 1 \ar@{|->}[rrr] &&& \a_i
}
$$
et donc $\forall i\; \text{Im}( (\zeta_{H,i})_*)\subset \Fil_H$. 
\\

Il reste � voir que les $(\zeta_{H,i})$ sont $F$-lin�airement ind�pendants.
Mais si $(\l_i)_i\in F^n$ est tel que $\sum_i \l_i \zeta_{H,i}=0$
alors $(\l_i)_i$ d�finit une forme lin�aire sur $F^n$.
 Et l'�galit� $\sum_i \l_i \zeta_{H,i}$ implique sur
l'�valuation des cristaux l'�galit� $\sum_i \l_i (a_{ij})_j = 0$ et donc 
$\sum_i \l_i (x_{ij})_j = 0$ ce qui implique d'apr�s le lemme \ref{enkgf}
que la forme lin�aire associ�e � $(\l_i)_i$ s'annule sur $\Fil_G$. Si $(\l_i)_i$ est non-nul alors  $\Fil_G$ est �gal au noyau de la forme lin�aire associ�e, est donc d�fini sur $F$
et contient donc � fortiori une droite $F$-rationnelle.
Donc, puisque $\Fil_G\in \Omega (K)$, $\forall i\; \l_i= 0$.
\\

D'apr�s le th�or�me \ref{derhj} on en d�duit un triplet
$(H,\rho_H,\eta_H)\in \M_\infty^{\LT} (K)$.

\subsection{L'application $\M_\infty^{\LT}(K)\ldrt \M_\infty^{\D} (K)$}

Soit $(H,\rho_H,\eta_H)\in\M_\infty^{\LT} (K)$. Rappelons (cf. th�or�me
\ref{derhj}) qu'on lui associe un couple $(\Fil_H,\zeta_H)$ o� 
$$
\Fil_H\in \mathbb{P}^n (K)
$$
et
$$
\zeta_H=(\zeta_{H,i})_i : F^n\hookrightarrow
\Hom_\O (F/\O_F,\mathbb{H}\otimes \O_K/p\O_K)\unp
$$
Soit 
$$
\xymatrix@R=4mm@C=12mm{
K \ar[rr]^(.37){(\zeta_{H,1*},\dots,\zeta_{H,n*})} &&
\mathbb{D}(\mathbb{H})_\Q^n\otimes K \ar@{=}[r] & \bigoplus_{j\in
  \Z/n\Z} \mathbb{D} (\mathbb{H})_{\Q,j}^n\otimes K \\
1 \ar@{|->}[rrr] &&& (a_{ij})_{i,j}
}
$$
l'application induite sur l��valuation des cristaux sur
l'�paississement $\O_K\twoheadrightarrow \O_K/p\O_K$. Notons 
$x_{ij}=\Pi^{-j} a_{ij}\in\mathbb{D}(\mathbb{H})_{\Q,0}\otimes K
\simeq K$. Alors,
$$
X=(x_{ij})_{i,j}\in \text{M}_n (K)
$$
\begin{lemm}
L'endomorphisme $K$-lin�aire de $K^n$ induit par $\,^tX$ a pour
image $\Fil_H$. 
\end{lemm}
\dem
C'est une cons�quence du th�or�me \ref{decHTO}.
\qed

\begin{defi}
On note $\Fil_G=\text{Im} (X)\in \mathbb{P}^n (K) =
\mathbb{P}(\mathbb{D}(\mathbb{G})_{\Q,0})(K)$ via
$\mathbb{D}(\mathbb{H})_{\Q,0}^n\simeq \mathbb{D}(\mathbb{G})_{\Q,0}$
induit par $\Delta$.
\end{defi}

\begin{prop}
$\Fil_G\in \Omega (K) \subset \mathbb{P}\left (
  \mathbb{D}(\mathbb{G})_{\Q,0}^{V=\Pi}\right )(K)$
\end{prop}
\dem
On a 
$$
\Fil_G = K(x_{i1})_i+\dots + K ( x_{in})_i
$$
Soit $(\mu_j)_j\in K^n$ tel que 
$$
\sum_j \mu_j (x_{ij})_i\in F^n 
$$
Soit alors la forme $F$-lin�aire � valeurs dans $F$ d�finie sur
$V_p(H)$ par  
$$
\ph : \zeta_{H,i}\longmapsto \sum_j \mu_j x_{ij}\in F
$$
Elle d�finit un �l�ment de $V_p (H)^*$. D'apr�s le corollaire
\ref{DansOmega} dans la suite de Hodge-Tate de $H^D$ 
$$
0\drt \omega_{H^D}^*\otimes K \drt V_p (H)^*\otimes_{F} K \drt
\omega_H\otimes K\drt 0
$$
l'application $V_p(H)^*\ldrt \omega_H\otimes K$ est injective. Or
$$
\left [ V_p (H)^*\otimes_F K\twoheadrightarrow \omega_H\otimes K\right ]
=\left [ \ker \a \hookrightarrow V_p(H)\otimes_F K \right ]^*
$$
o� $\a : V_p (H) \otimes_F K \ldrt \mathbb{D}(\mathbb{H})_\Q\otimes K$ est
l'application de matrice $\,^t(a_{ij})_{i,j}$. Mais $\ph_{|\ker \a}=0$ par
d�finition. Donc $\ph=0$ et $\sum_j \mu_j (x_{ij})_i=0$.
\qed

On obtient donc d'apr�s la proposition \ref{DrP} un couple
$(G,\rho_G)\in \M^{\D}(K)/\sim$. Reste � d�finir une rigidification de
$G$. Consid�rons le morphisme compos�
$$
\zeta_G : F/\O_F \xrig{\;(\zeta_{H,1},\dots,\zeta_{H,n})\;} 
\mathbb{H}^n\otimes \O_K/p\O_K \xrig{\;\Delta\;}\mathbb{G}\otimes\O_K/p\O_K
$$
On v�rifie aussit�t que par d�finition de $\Fil_G$ le morphisme induit
au niveau de l'�valuation des cristaux a son image contenue dans
$\Fil_G$. D'apr�s le th�or�me \ref{descDri} on obtient donc un
�l�ment 
$(G,\rho_G,\eta_G)$.
\qed

\subsection{Les deux applications sont inverses l'une de l'autre}

Cela ne pose pas de probl�me.

\subsection{Retra�age des actions}

\begin{prop}
Dans la bijection entre $\M^{\LT}_\infty (K)$ et $\M_\infty^\D(K)$
si 
$$
(H,\rho_H,\eta_H) \longmapsto (G,\rho_G,\eta_G)
$$
et  $(g,d)\in \GL_n (F)\times D^\times$  alors
$$
(g,d).(H,\rho_H,\eta_H) \longmapsto (\,^t g,d^{-1}) .(G,\rho_G,\eta_G)
$$
\end{prop}
\dem
Cela ne pose aucun probl�me.
\qed

\subsection{Bijection entre les points de l'espace de Berkovich
  associ�}

Soit $K\hookrightarrow K'$ une extension isom�trique de corps valu�s
complets pour une valuation de rang $1$. On v�rifie alors aussit�t que
le diagramme suivant est commutatif
$$
\xymatrix{
\M_\infty^{\LT} (K) \ar[d] \ar[r]^\sim & \M_\infty^{\D} (K) \ar[d] \\
\M_\infty^{\LT} (K') \ar[r]^\sim & \M_\infty^{\D} (K')
}
$$
Pour $*\in \{ \LT,\D\}$ posons 
$$
\left |\M^*_\infty \right |= \coprod_K \M_\infty^* (K) /\sim
$$
o� pour $x\in \M^*_\infty (K_1)$ et $y\in \M^*_\infty (K_2)$  
$\; x\sim y$ ssi il existe une extension valu�e comme pr�c�demment
$$
\xymatrix@R=2mm{ K_1 \ar@{^(->}[rd] \\
& K_3 \\
K_2 \ar@{^(->}[ru]
}
$$
telle que $x$ et $y$ aient m�me image dans $\M^*_\infty (K_3)$.

Cette classe d'�quivalence est bien d�finie au sens o� c'est un ensemble. Cela
r�sulte de l'existence de mod�les entiers de nos espaces qui implique
que l'on peut se limiter � des corps $K$ de cardinalit� born�e. On a donc
une bijection $\GL_n (F)\times D^\times$-�quivariante 
$$
\left | \M^{\LT}_\infty \right | \iso \left | \M^{\D}_\infty  \right |
$$
Le choix de mod�les entiers de nos espaces permet de munir ces
ensembles d'une structure d'espace topologique localement compact et
l'existence de l'isomorphisme au niveau de ces mod�les entiers
(\cite{iso4}) impliquera que la bijection pr�c�dente est un
hom�omorphisme. 

\section{La matrice  $X$}\label{kfyygpzr5rrppn}

Les triplets $(H,\rho_H,\eta_H)$ et $(G,\rho_G,\eta_G)$ 
qui se correspondent ont en commun la
matrice de rang $n-1$  $\;X\in\text{M}_n (K)$
o� comme pr�c�demment on identifie
$$
\DH_\Q^n\otimes K \simeq \bigoplus_{j\in \Z/n\Z} \DH_{\Q,j}^n\otimes K
\underset{\sim}{\xrig{\oplus_j \Pi^{-j}}} \bigoplus_{j\in \Z/n\Z}
\DH_{\Q,0}^n\otimes K \simeq M_n (K)
$$
 Celle-ci v�rifie
\begin{itemize}
\item Les lignes de $X$ engendrent $\Fil_H\in \mathbb{P}^n (K)$
\item Les colonnes de $X$ engendrent $\Fil_G\in\Omega (K)$
\end{itemize}

Supposons maintenant pour simplifier que $F=\Qp$. Alors, $X$ poss�de
un rel�vement 
$$
X_{cris}\in \text{M}_n ( B^+_{cris}(\O_K))
$$
i.e. via $\theta : B^+_{cris} (\O_K)\twoheadrightarrow
\O_{\widehat{K}}$ on a $\theta (X_{cris})=X$.
 Ce rel�vement est d�fini
de mani�re similaire � $X$ en �valuant les cristaux sur
$A_{cris}(\O_K)\twoheadrightarrow \O_{\widehat{\overline{K}}}/p  \O_{\widehat{\overline{K}}}$ au
lieu de $\O_K\twoheadrightarrow \O_K/p\O_K$ (cf. les propositions  \ref{docyum1} et
\ref{docyum2} de la section \ref{ruhgp}
pour plus de d�tails).

De plus,
$$
\det (X_{cris}) \in \Qp^\times .t 
$$
o� la valuation de l'�l�ment de $\Qp^\times$ est li�e aux hauteurs de
$\rho_H,\rho_G$ et $\Delta$ (cf. la section suivante). 
Si 
$$\Phi=\left (
\begin{matrix}
0 & p &  & \\
0 & 0& \ddots &  \\
\vdots  &  &\ddots & p \\
 1 &0 & & 0  
\end{matrix}\right )
$$
est la matrice du Frobenius de $\mathbb{D}(\mathbb{H})_\Q$
relativement � la base d�finie par l'isomorphisme 
$\mathbb{D}(\mathbb{H})_{\Q,0}\simeq L$ et $\DH_\Q\simeq \oplus_j
\DH_{\Q,j} \underset{\sim}{\xrig{\sum_j \Pi^{-j}}} \oplus_j \DH_{\Q,0}$
\begin{eqnarray}\label{eqslf}
\boxed{
\ph (X_{cris}) \,^{t}\Phi = p X_{cris} }
\end{eqnarray}
o� $\ph (X_{cris})$ est obtenue en appliquant le Frobenius cristallin
� tous les �l�ments de la matrice $X_{cris}$. 
On peut montrer la proposition suivante :
\begin{prop}
Les espaces $\M_\infty^{\LT} (K)$ et $\M_\infty^{\D}(K)$ s'envoient
surjectivement sur l'ensemble des matrices $X\in\text{M}_n (K)$ de rang
$n-1$ poss�dant un rel�vement  $X_{cris}$ � $B^+_{cris}$ de
d�terminant non-nul et v�rifiant  
l'�quation (\ref{eqslf}). De plus les fibres de cette application en $X$
sont
en bijection avec l'ensemble des rel�vements de $X$
de d�terminant non-nul satisfaisant � l'�quation
(\ref{eqslf}).

 Cette ensemble de matrices est muni d'une action de
$\GL_n (F)\times D^\times$ de la fa�on suivante : l'isomorphisme
 $\mathbb{D}(\mathbb{H})_\Q\simeq L^n$ induit un plongement $D^\times
 \hookrightarrow \GL_n (L)$. Alors 
$$\forall (g,d)\in \GL_n (F)\times
 D^\times \;\;\forall X \;\;\;\;\;\; (g,d).X= \,^tg X d^{-1}  
$$ 
Les applications pr�c�dentes sont compatibles � cette action.
 \end{prop}

$$
\xymatrix@C=6mm@R=22mm{
\M_\infty^{\D} (K) \ar[rrd]\ar[dd]_{Periodes} \ar[rrrr]^{\sim} &&&&
\M_\infty^{\LT}(K) \ar[lld]  \ar[dd]^{Periodes} \\
 && \{X\in \text{M}_n (K)\; |\; \text{rg} X =n-1\; \}
\ar[lld]^{X\mapsto \text{Im} \,^t X} \ar[rd]^{X\mapsto \text{Im} X} \\
\mathbb{P}^n (K) && &  \mathbb{P}^n (K) & \Omega(K) \ar@^{_(->}[l]
}
$$
\dem
Il s'agit d'une application du th�or�me \ref{deall} �nonc� dans
l'appendice.
\qed

\begin{rema}
Dans la proposition pr�c�dente on peut enlever  ``de d�terminant
non-nul'' si l'on se restreint aux $X$ telles que $\text{Im}\, X \in \Omega (K)$.
\end{rema}

\begin{rema}
Pour les corps locaux de caract�ristique positive
A.Genestier et V.Lafforgue donnent une interpr�tation g�om�trique comme points d'un certain sch�ma formel  
de l'analogue en caract�ristique positive de l'ensemble des matrices $X_{cris}$ solutions de l'�quation pr�c�dente.  Il n'existe pas de telle interpr�tation en caract�ristique z�ro.
\end{rema}

\section{L'isomorphisme conserve le degr� }\label{ruhgp}

Il s'agit de d�montrer que pour un choix convenable de $\Delta$ le diagramme suivant commute 
$$
\xymatrix{
\M_\infty^\D (K) \ar[rd] \ar[rr]^\sim &&  \M_\infty^{\LT} (K) \ar[ld] \\
& \Z
}
$$
o� les applications vers $\Z$ sont les applications hauteur renormalis�es  
 des quasi-isog�nies universelles. 
Cela implique en particulier que les tours de Lubin-Tate et Drinfeld
classiques, les fibres en hauteur z�ro, sont isomorphes. 

Plus pr�cis�ment, si $f$ est une quasi-isog�nie entre $\O$-modules
formels on note $\text{ht}_\O (h) = \text{ht} (f) /[F:\Qp]$. Alors
l'application $\M_\infty^\D (K) \ldrt \Z$ est 
$$
(G,\rho_G,\eta_G)\longmapsto \text{ht}_\O (\rho_G) /n
$$
et l'application $\M_\infty^{\LT} (K)\ldrt \Z$ est 
$$
(H,\rho_H,\eta_H)\longmapsto \text{ht}_\O (\rho_H)
$$

On va appliquer le th�or�me \ref{det_periodes_unite} de l'appendice.
Afin de simplifier on se limite au cas $F=\Qp$, le cas g�n�ral �tant
laiss� au lecteur.
\\

Supposons que l'isomorphisme  $\DH_{\Q,0} \simeq L$ fix� au d�but de  la
section \ref{coeulop} provienne d'un
isomorphisme $\DH_0\simeq \O_L$. 

\begin{prop}\label{docyum1}
 Soit $(H,\rho_H,\eta_H)\in \M_\infty^{\LT} (K)$.
Soit $\xi : \Qp/\Zp \ldrt \Hb^n\otimes \O_K/p\O_K$ associ� � $\eta_H$, $\rho_H$ et la base canonique
de $\Zp^n$. Soit 
$$
\xi_* : B^+_{cris} \ldrt \DH_\Q^n\otimes_L B^+_{cris}
$$
le morphisme associ� sur l'�valuation des cristaux. 
 Soit $X_{cris} \in
 \M_n \left ( B^+_{cris} (\O_K)\right ) $ la matrice associ�e via
$$
\DH_\Q^n\otimes_L B^+_{cris} = \bigoplus_{j\in\Z/n\Z} \DH_{\Q,j}^n
\otimes_L B^+_{cris}
 \underset{\sim}{\xrig{\; \oplus_j
    \Pi^{-j}\; }} \bigoplus_{j\in \Z/n\Z} \DH_{\Q,0}^n\otimes_L B^+_{cris}
$$
Alors $\det \left ( X_{cris}\right )  = \l .t \in \Qp^\times .t$ et de plus
$$
v_p (\l) = -\text{ht} (\rho_H) - \frac{1}{2} n (n-1)
$$ 
\end{prop}
\dem
Soit $M_0 \subset \DH_\Q$ le module de Dieudonn� de $H\otimes_{\O_K} k$
$$
M_0 = \mathbb{D} (\rho_H^{-1}) \left ( \mathbb{D} (H_k)\right )
$$
D'apr�s le th�or�me \ref{det_periodes_unite} de l'appendice, dans
l'isomorphisme
$$
T_p (H) \otimes_{\Zp} B^+_{cris} \simeq M_0 \otimes_{\O_L} B^+_{cris}
$$
on a 
$$
\bigwedge^n T_p (H)\otimes \O_L = t. \bigwedge^n M_0
$$
De plus, $[M_0 : \DH ] = \text{ht} (\rho_H)$. Via l'isomorphisme 
$\DH_\Q \simeq \oplus_{j\in \Z/n\Z} \DH_{\Q,0}$ le r�seau $\DH$
s'envoit sur 
$$
\bigoplus_{j\in\Z/n\Z} \Pi^{-j} \DH_0
$$
Soit $W$ l'image de $T_p (H)$ dans $\oplus_j \DH_0 \otimes_{\O_L}
B^+_{cris}$. Alors
$$
\bigwedge^n W\otimes \O_L = p^{-\text{ht} (\rho_H)-\frac{1}{2} n (n-1)}
t. \DH_0$$
D'o� le r�sultat.
\qed

\begin{prop}\label{docyum2}
Soit $(G,\rho_G,\eta_G)\in\M_\infty^\D (K)$. Soit $\zeta=
\rho_G^{-1}\circ \eta_G (1) : \Qp/\Zp \ldrt \Gb\otimes \O_K/p\O_K$ et
$\xi =\Delta^{-1} \circ \zeta : \Qp/\Zp \ldrt \Hb^n\otimes
\O_K/p\O_K$. Soit $X_{cris}$ la matrice associ�e comme dans la
proposition pr�c�dente. Alors $\det ( X_{cris})= \l . t \in \Qp^\times
t$ et 
$$
v_p (\l) = -\text{ht} (\rho_G)/n - \text{ht} (\Delta)
$$
\end{prop}
\dem
La d�monstration est identique � celle de la proposition
pr�c�dente. On applique le th�or�me \ref{det_periodes_unite} de
l'appendice. La matrice des p�riodes de $G$ est $n$-copies de la
matrice $X_{cris}$. On en d�duit que $\det (X_{cris})^n$ est donn� par
la valeur annonc�e.
\qed

\begin{coro}
Si $\text{ht}_\O (\Delta) = \frac{1}{2} n (n-1)$ alors la bijection entre
$\M_\infty^{\LT} (K)$ et $\M_\infty^\D (K)$ respecte les hauteurs normalis�es.
\end{coro}


\begin{coro}
Soit $(H,\rho_H,\eta_H)\in \M_\infty (K)$ tel que $\text{ht}
(\rho_H)=0$. Alors, le couple $(G,\rho_G)$ associ� dans l'espace de
Rapoport-Zink sas  niveau est  l'�l�ment de $\Omega (K)
\subset \M^{\D} (K)$ donn� 
par le dual de la d�composition de Hodge-Tate de $H$ coupl� � $\eta_H$.
Plus g�n�ralement, soit $(G,\rho_G)$ le point de $\Omega (K)$ associ� � la d�composition de  Hodge-Tate de $H$ et � $\eta_H$. Le point de $\M^{\D} (K)$ 
 associ� par l'isomorphisme
de Faltings est alors 
$$
(G,\rho_G\circ \Pi^{\text{ht} (\rho_H)})
$$
\end{coro}

\section{Un point de vue diff�rent sur la bijection} \label{ptovue}

Nous allons red�montrer la bijection pr�c�dente d'un point de vue ``dual''.
 En particulier, au lieu de consid�rer des filtrations $\Fil_H\in
 \mathbb{P}^n, \Fil_G\in \Omega$ nous consid�rerons plut�t les
 quotients $K^n\twoheadrightarrow K^n/\Fil_H, K^n\twoheadrightarrow
 K^n/\Fil_G$. Ce point de vue se pr�te mieux lorsque l'on travaillera
 sur une base quelconque (c'est � dire plus sur un point comme dans
 cet article)  puisque
 que pour un fibr� vectoriel $\mathcal{E}$ il est plus
 commode de d�finir $\mathbb{P} (\mathcal{E})$ comme classifiant les
 quotients localement libres de rang $1$
 $\mathcal{E}\twoheadrightarrow \mathcal{L}$ (en tous cas cela est
 plus facile � platifier par �clatements). En effet, dans le cas
 d'une base quelconque l'approche des sections pr�c�dentes nous conduirait � d�finir $\Fil_H$
 comme sous-module engendr� par certaines sections ce qui est moins
 commode. De plus la matrice d�finissant ces sous-modules serait une
 section de  $\DH_\Q^n\otimes
 \O_\X \unp\simeq M_n  ( \O_\X \unp  )$ o� $\X$ est  l'espace de 
 Lubin-Tate ou de Drinfeld en niveau infini. Il faudrait donc proc�der
 � de nouveaux �clatements afin de rendre l'espace engendr� par les
 lignes et celui par les colonnes localement facteur direct entier 
(cette derni�re justification est quelque peu hypocrite puisque de
toutes fa�ons dans la d�monstration finale on devra � un endroit rendre
entier l'application des p�riodes). Le point de vue qui suit permet de
construire directement une application enti�re du sommet de la tour de
Lubin-Tate (resp. la tour de Drinfeld) vers le sch�ma formel de Drinfeld
(resp. $\widehat{\P}^{n-1}$). 


Commen�ons par faire le lien entre le point de vue pr�c�dent et celui
qui va suivre.

\subsection{Identification de $K^n\twoheadrightarrow K^n/\Fil_H$ avec
  l'application de Hodge-Tate de $G^D$}

Soit $(G,\rho_G,\eta_G)\in \M^{\D}_\infty (K)$. Rappelons qu'on a
d�fini une matrice $X$ telle que $\text{Im} X =\Fil_G$ et
$\text{Im}\,^t X =\Fil_H$. Tout repose sur une bidualisation,
l'exactitude de la suite de Hodge-Tate ainsi que
sur un analogue de
l'�nonc� d'alg�bre lin�aire suivant : soit $u:E_1\drt E_2$ une
application lin�aire entre deux $K$-espaces vectoriels de dimension
finie, il y a alors une identification canonique 
$$
\left [ E_1^*\twoheadrightarrow E_1^*/\text{Im} \,^t u\right ]
\simeq \left [ \ker u \hookrightarrow E_1 \right ]^*
$$
L'analogue est le suivant :  pour $E$ un $D\otimes_F K$-module de type
fini (� gauche ou � droite) posons 
$$
\Gamma (E) =\Hom_{D\otimes_F L}(E, \mathbb{D}(\mathbb{H})_{\Q})
$$
un $K$-espace vectoriel de dimension finie. Alors, 
\begin{eqnarray}\label{ergjk}
\forall u : E_1\drt E_2\;\;\; \left [
\Gamma (E_1)\twoheadrightarrow \Gamma (E_1)/ \text{Im} \,^\Gamma u
\right ] \simeq \Gamma \left [\ker u \hookrightarrow E_1\right ]  
\end{eqnarray}
Notons maintenant pour $W$ un $K$-e.v. $\Phi (W) =W^*$ le dual
usuel. Si $E$ est un $D\otimes_L K$-module de type fini � gauche,
resp. � droite, alors $\Phi (E)$ est naturellement un $D\otimes_L
K$-module de type fini � droite, resp. � gauche.

 Il y a alors un isomorphisme naturel de bidualit� pour $E$ comme ci-dessus 
$$
 \GG\circ \Phi (E) \simeq \mathbb{D} (\mathbb{H})_{\Q,0} \otimes_L E_0
$$
o�  comme d'habitude $E_0 = \{x\in E\; |\; \forall a\in F_n\;  a\otimes
1. x = 1\otimes a.x \;\}$. 

\begin{lemm}
Soit l'application $D\otimes_F K$-lin�aire compos�e
$$
\xymatrix@C=14mm{
u : D\otimes_F K  \ar[r]^{\eta_G}_{\sim} & V_p (G)\otimes_F K
\ar[r]^{\a_G} &
\mathbb{D}(\mathbb{G})_\Q\otimes_L K
}
$$
Proc�dons aux identifications suivantes :
\begin{eqnarray*}
\Gamma (D\otimes_F K) & \iso & \mathbb{D}(\mathbb{H})_\Q\otimes_L K \\
f &\longmapsto & f (1\otimes 1)
\end{eqnarray*}
et
\begin{eqnarray*}
\Gamma (\mathbb{D} (\mathbb{G})_\Q\otimes_L K) &\iso & \Hom_L (
\mathbb{D}(\mathbb{G})_{\Q,0},\mathbb{D}(\mathbb{H})_{\Q,0})\otimes_L
K \simeq K^n \\
f &\longmapsto & f_{|\mathbb{D}(\mathbb{G})_{\Q,0}\otimes K}
\end{eqnarray*}
via l'isomorphisme (\ref{out1}) et $\Delta$. Alors 
$$
\,^\Gamma u : K^n\ldrt \mathbb{D} ( \mathbb{H})_\Q\otimes K \;\;\;\;(\simeq K^n)
$$
s'identifie � $\,^t X$ et donc $\text{Im} (\,^\Gamma u) =\Fil_H$. 
\end{lemm}
\dem
Il suffit de retracer les diff�rentes identifications.
\qed

\begin{rema}
\'Etant donn� que le module de Tate de $G$ est trivialis� et que
$\det V_p (G)\simeq \Qp (1)$ on en d�duit que
$\Qp (1)$ est trivialis� et que donc l'application de
Hodge-Tate de $G^D$ est d�finie sur $K$ : $\a_{G^D} : V_p (G^D)
\ldrt \omega_G\otimes K$. En d'autres termes $\Qp
(\mu_{p^{\infty}})\subset K$.  
\end{rema}

\begin{coro}
Il y a des identifications canoniques 
\begin{eqnarray*}
\left [ \mathbb{D}(\mathbb{H})_\Q\otimes K \twoheadrightarrow
  \mathbb{D}(\mathbb{H})_\Q\otimes K/\Fil_H \right ] &\simeq &
\left [ (V_p (G^D)\otimes_F K)_0  \overset{\a_{G^D}}{\twoheadrightarrow}
  \omega_{G,0}\otimes K  \right ] (-1)\otimes_L \mathbb{D} (\mathbb{H})_{\Q,0} \\
&\simeq & \left [\mathbb{D}(\mathbb{H})_\Q\otimes K\twoheadrightarrow 
\omega_{G,0}(-1)\otimes_L  \mathbb{D}(\mathbb{H})_{\Q,0}\right ]
\end{eqnarray*}
o� $\a_{G^D} $ est l'application de Hodge-Tate de $G^D$.
\end{coro}
\dem
Soit 
$$
\left [ E_1 \xrig{\;\a_G\;} E_2 \right ] = \left [ V_p (G)\otimes_F K
  \xrig{\;\a_G\;} \mathbb{D} (\mathbb{G})_\Q\otimes_L K \right ]
$$
D'apr�s le lemme pr�c�dent
$$
\left [ \mathbb{D} (\mathbb{H})_\Q\otimes K \twoheadrightarrow
  \mathbb{D} (\mathbb{H})_\Q\otimes K/\Fil_H \right ]
\simeq 
\left [ \GG (E_1) \overset{\,^\GG \a_G}{\twoheadrightarrow} \GG
  (E_1)/\text{Im} (\,^\GG \a_G ) \right ]
$$
qui d'apr�s l'identification (\ref{ergjk}) est isomorphe �
$$
\GG \left [ \ker \a_G \hookrightarrow E_1 \right ]
$$
Mais d'apr�s la proposition \ref{relhtO} (d�composition de Hodge-Tate)
la suite
$$
0 \ldrt \omega_G^*\otimes K(-1) \xrig{\;\,^\Phi\a_{G^D} (-1)\;} V_p
(G)\otimes_F K \xrig{\; \a_G\; } \mathbb{D} (\mathbb{G} )_\Q\otimes_L
K 
$$
est exacte. Donc,
\begin{eqnarray*}
\simeq \GG \left [ \ker \a_G \hookrightarrow E_1 \right ]& \simeq&
\GG\circ \Phi \left [ V_p (G^D)\otimes_F K \twoheadrightarrow
  \omega_G\otimes K \right ](-1) \\
&\simeq & \left[ \left ( V_p (G^D)\otimes_F K \right )_0 (-1) \twoheadrightarrow
  \omega_{G,0}\otimes K(-1) \right ]\otimes_L\mathbb{D} (\mathbb{H})_{\Q,0}
\end{eqnarray*}
Le dernier isomorphisme dans l'�nonc� du corollaire provient de la
rigidification
$\eta : D\iso V_p (G)$ qui induit 
$$
\GG\circ \Phi \left ( V_p (G)\otimes_F K\right ) \iso \mathbb{D}
  (\mathbb{H})_{\Q}\otimes K
$$
\qed

\subsection{Identification de $K^n\twoheadrightarrow K^n/\Fil_G$ avec
  l'application de Hodge-Tate de $H^D$}

Soit $(H,\rho_H,\eta_H)\in \M_\infty^{\LT} (K)$. On proc�de comme dans
la section pr�c�dente. Pour $E$ un $K$-espace vectoriel posons
$$
\Psi (E) = \Hom_L (E,\DH_{\Q,0} )
$$
\begin{lemm}
Soit l'application compos�e 
$$
 \xymatrix{
v:K^n \ar[r]^(.4){\eta_H}_(.4){\sim} & V_p (H)\otimes_F K \ar[r] &
 \DH_\Q\otimes_L K
}
$$
Proc�dons aux identifications suivantes :
\begin{eqnarray*}
\Psi (K^n)&\simeq& \DH_{\Q,0}^n\otimes K \simeq \DG_{\Q,0}\otimes
K\text{   via } \Delta \\
\Psi ( \DH_\Q\otimes_L K) &\simeq & \Hom ( \DH_\Q,\DH_{\Q,0})\otimes K
\simeq K^n
\end{eqnarray*}
o� la second identification utilise
$$
\DH_\Q = \bigoplus_{j\in\Z/n\Z} \DH_{\Q,j} \underset{\sim}{\xrig{\oplus_i
    \Pi^{-i}}}  \DH_{\Q,0}^n\simeq L^n
$$
Alors $\,^\Psi v : K^n \ldrt \DG_{\Q,0} \otimes K$ s'identifie � la
matrice
 $X$ et donc $\text{Im} (\,^\Psi v)=\Fil_G$. 
\end{lemm}

\begin{coro}
Il y a des identifications 
\begin{eqnarray*}
\left [ \DG_{\Q,0}\otimes K \twoheadrightarrow  \DG_{\Q,0}\otimes
  K / \Fil_G \right ] & \simeq &  \left [ V_p (H^D)
  \xrig{\;\a_{H^D}\;}\omega_H\otimes K\right ](-1) \otimes_L \DH_{\Q,0} \\
 & \simeq & \left [ \DG_{\Q,0}\otimes K \twoheadrightarrow
   \omega_H\otimes K(-1) \otimes_L \DH_{\Q,0} \right ]
\end{eqnarray*}
\end{coro}
\dem
Soit 
$$
\left [ E_1\xrig{\;\a_{H}\;} E_2\right ] = \left [ V_p (H)\otimes_F K
  \xrig{\;\a_H\;} \DH\otimes_L K \right ]
$$
Alors
\begin{eqnarray*}
\left [ \DG_{\Q,0}\otimes K \twoheadrightarrow \DG_{\Q,0}\otimes
  K / \Fil_G\right ] & \simeq & \left [ \Psi (E_1) \twoheadrightarrow
  \Psi ( E_2) \right ] \\ 
& \simeq & \Psi \left [ \ker \a_H \hookrightarrow E_1 \right ] \\
& \simeq & \Psi\circ \Phi \left [ V_p (H^D)\otimes_F K(-1)
  \xrig{\;\a_{H^D} (-1)\;} \omega_H\otimes K(-1) \right ] \\
& \simeq & \left [ V_p (H^D)\otimes_F K
  \overset{\a_{H^D}}{\twoheadrightarrow} \omega_H\otimes K \right
](-1) \otimes_L \DH_{\Q,0} 
\end{eqnarray*}
o� on a utilis� l'exactitude de la suite de Hodge-Tate pour $H$
(proposition \ref{relhtO}).
\qed


\subsection{L'application $\M^\D_\infty (K)\ldrt \M^{\LT}_\infty (K)$} \label{dltisog2}

Soit $(G,\rho_G,\eta_G)\in \M_\infty^\D (K)$. 

\subsubsection{Premi�re �tape : on  met une structure d'isocristal sur le
  module de Tate}


Posons  
$$
N=\Hom_D ( V_p (G), \mathbb{D} (\Hb)_\Q ) 
$$
un isocristal relativement � l'extension $L|F$ si on  le munit de $\ph : N\iso N$ d�fini par $\ph.f=\ph \circ f$.
 
\subsubsection{Deuxi�me �tape : la rigidification du module de Tate
  induit une  rigidification de l'isocristal}
 
L'isomorphisme de $D$-modules $\eta_G : D\iso V_p (G)$ induit un isomorphisme d'isocristaux
$$
\mathbb{D} (\Hb)_\Q\iso ( N,\ph)
$$

\subsubsection{Troisi�me �tape : la filtration de Hodge-Tate induit une
  filtration du module de Dieudonn�} 

Consid�rons l'application de Hodge-Tate de $G^D$ tordue par $K(-1)$
$$
(\mathcal{S}) = \left [ V_p (G)^*\otimes_F K \overset{\a_{G^D}(-1)}{\twoheadrightarrow}
  \omega_G\otimes K(-1) \right ] = \bigoplus_{j\in \Z/n\Z} \left [ 
\left ( V_p (G)^*\otimes_F L\right )_j\otimes_L K \twoheadrightarrow
  \omega_{G,j}\otimes K(-1) \right ]
$$
Tensorisons cette suite
$$
(\mathcal{S})\otimes_{D\otimes_F L} \DH_\Q \simeq \left [ N\otimes_F
  L\twoheadrightarrow \omega_{G,0}(-1)\otimes_L \DH_{\Q,0} \right ]
$$
qui fournit donc via la deuxi�me �tape un �l�ment
$$
\Fil_H\in \mathbb{P} \left ( \DH_\Q \right ) (K)
$$
On obtient ainsi un couple $[(H,\rho_H)]\in \M^{\LT} (K)/\sim$.

\subsubsection{Quatri�me �tape :   construction d'�l�ments dans le module de Tate de $H$}

Construisons un morphisme 
$$
\Psi : \Hom_ {\O_D} (\Gb, \Hb)\unp \ldrt V_p (H)
$$
Soit 
$$
\zeta_G \in \Hom (F/\O_F, \Gb\otimes \O_K/p\O_K)\unp
$$
comme dans le th�or�me \ref{descDri}. Soit $f\in \Hom_{\O_D}
(\Gb,\Hb)\unp$. Consid�rons $$f\circ \zeta_G \in \Hom (F/\O_F, \Hb
\otimes \O_K/p\O_K)\unp$$
 Pour le morphisme induit sur les cristaux
�valu�s sur l'�paississement $\O_K\twoheadrightarrow \O_K/p\O_K$
$$
(f\circ \zeta_G)_* : K \ldrt \DH_\Q\otimes K
$$
montrons que $(f\circ \zeta_G)_* (1) \in \Fil_H$. 
\\
Via $\eta_G : D\iso V_p (G)$ le morphisme $f_* : \DG_\Q\otimes K \ldrt
\DH_\Q\otimes K$ s'identifie �
$$
\left ( V_p (G)^*\otimes_F K \right )\otimes_{D\otimes L} \left [ 
\DG_\Q \xrig{\; \mathbb{D} (f)\;}  \DH_\Q \right ]
$$ 
On doit montrer que $\zeta_{G*} (1) \in \left ( V_p (G)^* \otimes
  K\right )\otimes_{D\otimes L} \DG_\Q$ s'envoit sur z�ro par la
compos�e donn�e par la ligne  pointill�es diagonale dans le diagramme suivant 
$$
\xymatrix@C=4mm@R=6mm{\left ( V_p(G)^*\otimes K \right
  )\ar[dd]^{\a_{G^D}(-1)}  &  \otimes_{D\otimes L} 
    [ \DG_\Q \ar[r]^(0.6){\mathbb{D}(f)} \ar@<3ex>[dd]^{Id} \ar@{-->}@<1.5ex>[rdd] &
    \DH_\Q\ar[dd]^{Id}  ] \\
 & &  \\
\omega_G\otimes K(-1) &     \otimes_{D\otimes L} 
    [ \DG_\Q \ar[r]^{\mathbb{D}(f)} &  \DH_\Q  ]
}
$$
Il r�sulte de ce diagramme qu'il suffit de v�rifier que l'image de
$\zeta_{G*} (1)$  par l'application 
$$
\a_{G^D} (-1) \otimes Id :  \left ( V_p(G)^*\otimes K \right
  )   \otimes_{D\otimes L} \DG_\Q \ldrt \omega_G\otimes K(-1)    \otimes_{D\otimes L} 
     \DG_\Q 
$$
est nulle.
Mais si $\iota : \widetilde{\omega}_{G^D} \otimes K \hookrightarrow \DG_\Q\otimes
K$ et $\,^t \a_{G} : \widetilde{\omega}^*_{G^D}\otimes K \ldrt V_p (G)^*\otimes K$
est l'application de gauche dans la suite de Hodge Tate de $G^D$
tordue par $K(-1)$, $\,^t \a_{G} \in V_p
(G)^*\otimes K \otimes \omega_{G^D} $, alors
$$
\zeta_{G*}(1) = (Id \otimes \iota) \left (\,^t\a_G \right )
$$
Le r�sultat se d�duit donc du fait que dans la suite de Hodge-Tate de
$G^D$ la compos�e des deux applications est nulle : $\,^t \a_{G} \circ
\a_{G^D} (-1) = 0$. 
On a donc bien d�fini l'application $\Psi$.


\subsubsection{Sixi�me �tape : l'application $\psi$ est un isomorphisme}

Il suffit de d�montrer qu'elle est injective. Soit donc $f$ tel que
$\psi (f)=0$. On v�rifie alors sur l'�valuation des cristaux que cela
implique que pour $\mathbb{D} (f) : \DG_\Q\ldrt \DH_\Q$ 
$$
\mathbb{D} (f)_{|\widetilde{\omega}_{G^D}\otimes K} =0
$$
Mais 
$$
\xymatrix@R=2mm{
\mathbb{D} (f) \in \Hom_{D,\ph} \left ( \mathbb{D} (\Gb)_\Q,\mathbb{D}
  (\Hb)_\Q\right ) \ar[r]^\sim & \Hom\left (\mathbb{D}
  (\Gb)_{\Q,0}^{V=\Pi},\DH_{\Q,0}^{V=\Pi}\right ) \\
 h \ar@{|->}[r]  & h_{|\DG_{\Q,0}^{V= \Pi}}
}
$$
or 
$$
\left [  \mathbb{D} (\Gb)_{\Q,0}^{V=\Pi}\otimes K \twoheadrightarrow
  \DG_{\Q,0} \otimes K/ \widetilde{\omega}_{G^D,0}\otimes K
 \right ]\in \Omega (K) \subset \mathbb{P}
\left ( \mathbb{D} (\Gb)_{\Q,0}^{V=\Pi}\right ) (K)
$$
Donc, $\mathbb{D} (f)_{|\omega_{G^D}\otimes K}=0 \impl \mathbb{D} (f)=0$ et donc $f=0$.
\\

La quasi-isog�nie $\Delta$ induit un isomorphisme 
$$
F^n \iso \Hom_{\O_D} (\Gb,\Hb)\unp
$$
et
on obtient donc une rigidification $\eta_H$ de $[(H,\rho_H)]$ ce qui
d�termine le triplet $(H,\rho_H,\eta_H)$ d'apr�s le th�or�me \ref{derhj}.

\subsection{L'application $\M_\infty^{\LT} (K) \ldrt \M_\infty^\D (K)$}

Soit maintenant $(H,\rho_H,\eta_H)\in \M_\infty^{\LT} (K)$. 

\subsubsection{Premi�re �tape : On met une structure d'isocristal sur le module de Tate}

Soit 
$$
N=\Hom_F ( V_p (H), \mathbb{D} (\Hb)_\Q)
$$
qui est muni d'une structure d'isocristal en posant $\ph.f= \ph\circ f$. Notons que cet isocristal est muni d'une action de $D$
puisque c'est le cas de $\mathbb{D} (\Hb)_\Q$.

\paragraph{Deuxi�me �tape : $\eta_H$ rigidifie l'isocristal}

L'isomorphisme $\eta_H:F^n \iso V_p (H)$ coupl� � la quasi-isog�nie $\Delta$ 
 induit un isomorphisme d'isocristaux munis d'une action de $D$ 
$$
\mathbb{D} ( \Gb)_\Q \simeq \mathbb{D} (\Hb)_{\Q}^n \iso N
$$


\subsubsection{Troisi�me �tape : la filtration de Hodge-Tate induit une
  du module  de Dieudonn�}

Consid�rons l'application de Hodge-Tate de $H^D$ tordue par $K(-1)$ 
$$
(\mathcal{T})=\left [ V_p (H)^*\otimes K \twoheadrightarrow \omega_H
  \otimes K(-1) \right ]
$$
Apr�s application de $-\otimes_F \DH_{\Q}$ on obtient via la deuxi�me
partie une filtration $D$-invariante
$$
(\mathcal{T})\otimes_L \DH_\Q \simeq \left [ \DG_{\Q}\otimes K
  \twoheadrightarrow \omega_H\otimes K(-1) \otimes \DH_\Q \right ]
$$
La partie ``indice z�ro'' de cette application est obtenue par 
$$
(\mathcal{T})\otimes_L \DH_{\Q,0} \simeq \left [ \DG_{\Q,0}\otimes K
  \twoheadrightarrow \omega_H\otimes K(-1) \otimes \DH_{\Q,0} \right ]
$$
qui d�finit $\Fil_G\in \mathbb{P} (\DG_{\Q,0}) (K)$. La quasi-isog�nie
$\Delta$ coupl�e � $\eta_H$ induit un isomorphisme 
$$
V_p (H)^*\otimes_F \DH_{\Q,0}^{V^{-1}\Pi} \iso \DG_{\Q,0}^{V^{-1}
  \Pi}
$$
D'apr�s le corollaire \ref{DansOmega} $(\mathcal{T}) \in \Omega (K)
\subset \mathbb{P} (V_p (H)^*)(K)$. Donc 
$$
\Fil_G \in \Omega (K)\subset \mathbb{P} \left ( \DG_{\Q,0}^{V^{-1}\Pi}
\right ) (K)
$$
On obtient donc ainsi un couple $[(G,\rho_G)]\in \M_\infty^{\D} (K)/\sim$.


\subsubsection{ Quatri�me �tape :  Construction d'�l�ments dans le module
  de Tate de $G$}

A la rigidification $\eta_H: F^n \iso V_p (H)$ est associ�e un �l�ment
$$
\xi \in \Hom (F/\O_F,\Hb^n\otimes \O_K/p\O_K)\unp
$$
qui compos� avec $\Delta$ fournit $\zeta_G\in \Hom (F/\O_F,\Gb\otimes
\O_K/p\O_K)\unp$.
Il s'agit de montrer que sur l'�valuation des cristaux
$$
\zeta_{G*}(1)   \in \bigoplus_{j\in \Z/n\Z} \Pi^j \Fil_G\subset
\DG_\Q\otimes K
$$
Pour cela il suffit de v�rifier que 
$$
\xi_* (1) \in \ker \left [ \DH_\Q^n\otimes K \overset{\eta_H}{\simeq}
  V_p (H)^*\otimes K \otimes \DH_\Q \twoheadrightarrow \omega_H\otimes
  K(-1) \otimes \DH_\Q \right ]
$$
Or cela r�sulte de ce que $\xi_* (1) \in V_p (H)^*\otimes K\otimes
\DH_\Q$ est donn� par 
$$
V_p (H) \xrig{\; \a_H \;} \DH_\Q\otimes K
$$
et de ce que $\a_{H^D}(-1)\circ \a_H=0$ dans la suite de Hodge-Tate de
$H^D$. Donc, $\zeta_G$ d�finit un �l�ment de $V_p (G)$.



\paragraph{Cinqui�me �tape : Rigidification }

Il suffit de montrer que $\zeta_G$ est non-nul mais cela est clair. 
On obtient donc d'apr�s le th�or�me \ref{descDri} un triplet
$(G,\rho_G,\eta_G)\in \M_\infty^\D (K)$. 

\subsection{Les deux applications sont inverses l'une de l'autre}

Cela est moins clair que dans la premi�re description de
l'isomorphisme. 
\\

Partons de $(G,\rho_G,\eta_G)\in \M_\infty^\D (K)$ et soit
$(H,\rho_H,\eta_H)\in \M_\infty (K)$ le triplet associ�. Soit 
$(G',\rho_{G'},\eta_{G'})\in\M_\infty^\D (K)$ le triplet associ� �
$(H,\rho_H,\eta_H)$. Rappelons que la filtration de $\DG_{\Q}\otimes
K$ 
 d�finissant
$(G',\rho_{G'})\in \M^\D (K)/\sim$ s'identifie �
$$
\left [ V_p (H)^*\otimes K \twoheadrightarrow \omega_H\otimes K(-1)
\right ] \otimes_L \DH_\Q
$$
via 
$$
V_p (H)^* \otimes \DH_\Q \underset{\text{via }\eta_H}{\xrig{\;\;\sim\;\;}}
\DH_\Q^n \xrig{\;\mathbb{D} (\Delta)\;} \DG_\Q
$$
Rappelons que l'on a un isomorphisme  
$$
\Hom_{\O_D} ( \Gb,\Hb) \iso V_p (H)
$$
et qu'alors l'identification ci-dessus se r�sume �
$$
\xymatrix@R=2mm{
\DG_\Q \ar[r]^(.24)\sim & \Hom_F \left ( \Hom_{\O_D} (\Gb,\Hb)\unp,
  \DH_\Q\right )
  & \ar[l]_(.34)\sim  V_p (H)^*\otimes \DH_\Q \\
x \ar@{|->}[r] & \left [ f \longmapsto \mathbb{D} (f) (x) \right ]
}
$$
D'apr�s l'exactitude de la suite de Hodge-Tate de $H^D$
$$
\ker \left ( V_p (H)^*\otimes K\twoheadrightarrow \omega_G\otimes
  K(-1) 
\right)\otimes_L \DH_\Q = \{ \;h :V_p (H)\otimes K\ldrt \DH_\Q\otimes K
\; |\; \a_H (x) =0 \impl h(x) =0 \;\}
$$
Mais via l'identification $\Hom_{\O_D} (\Gb,\Hb)\unp \simeq V_p (H)$
l'application $\a_H$ est 
$$
f\longmapsto \left ( \mathbb{D} (f) \otimes Id \right ) ( \zeta_{G*}
(1) )
$$
o� $\mathbb{D} (f)\otimes Id : \DG\otimes K\ldrt \DH\otimes K$,
$\zeta_G= \rho_G \circ \eta_G (1)$ et $\zeta_{G*}$ est l'application
induite sur les cristaux. 
On en d�duit que la filtration d�finissant $(G',\rho_{G'})$ sur
$\DG_\Q\otimes K$ est 
$$
\{\, x\in \DG_\Q\otimes K \; |\; \forall f \in \Hom_{D,\ph} \left (
  \DG_\Q,\DH_\Q \right ) \; (f\otimes Id) (\zeta_{G*} (1))=0 \impl
(f\otimes Id) (x) =0 \;\} =\left ( Im (\a_G)^\perp \right )^\perp
$$
qui est donc �gal � $Im \a_G $ qui par surjectivit� de l'application de
Hodge-Tate de $G$ est la filtration d�finissant $G$.
Donc $(G',\rho_{G'}) = (G,\rho_G)$.

Il est maintenant ais� de v�rifier que les rigidifications des modules
de Tate de $G'$ et $G$ co�ncident puisqu'il suffit de v�rifier
qu'elles co�ncident modulo $p$, dans $\Hom (F/\O_F, \Gb\otimes
\O_K/p\O_K)$ ce qui est imm�diat. Donc $(G',\rho_{G'},\eta_{G'}) =
(G,\rho_G, \eta_G)$.
\\

On v�rifie de la m�me fa�on que l'application compos�e 
$$
\M_\infty^{\LT} (K) \ldrt \M_\infty^\D (K) \ldrt \M_\infty^{\LT} (K)
$$
est l'identit�. 



\appendix

\section{Th�or�mes de comparaison entiers relatifs pour les groupes
  $p$-divisibles d'apr�s Faltings}

Dans cet appendice on explique les r�sultats auxquels on peut parvenir
� partir des m�thodes de  \cite{Faltings1} pour les p�riodes
cristallines et de Hodge-Tate des
groupes $p$-divisibles sur les anneaux d'entiers de corps
non-archim�diens. Les d�monstrations seront donn�es dans
\cite{Periodes}. 


\subsection{Groupes p-divisibles sur les anneaux d'entiers de corps non-archim�diens}

Soit $K|\Qp$ un corps valu� complet pour une valuation de rang $1$,
c'est � dire � valeurs dans $\R$, �tendant celle de $\Qp$. On note
$\O_{K}$ son anneau des entiers et $k$ son corps r�siduel. Fixons
$\O_{K_0}\subset \O_{K}$ un anneau de Cohen. On a des extensions
valu�es $K|K_0 |\Qp$ . 
 Le choix de l'anneau de Cohen fixe en particulier une section $\e$ du morphisme $\O_{K}/p\O_{K}
\twoheadrightarrow k$. 
  Si $k$ est parfait $\O_{K_0}\simeq W(k)$.

Par d�finition un groupe $p$-divisible sur $\spf (\O_K)$ est un
syst�me compatible de groupes $p$-divisibles sur les $(\spec
(\O_{K}/p^n \O_{K}))_{n\geq 1}$ (cf. le d�but de la section 1 de \cite{Cellulaire}). 

\begin{lemm}
Soit $G$ un groupe $p$-divisible sur $\spf (\O_K)$. 
Son �quivalents :
\begin{itemize}
\item $G\otimes_{\O_{K}} \O_{K}/p \O_{K}$ est isog�ne � un groupe constant $H$ sur $k$ : $$G\otimes_{\O_{K}} \O_{K}/p \O_{K}\sim H\otimes_{k,\e} 
\O_{K}/p \O_{K}$$
\item Il existe un nombre r�el $\l \geq 1$ et $H'$ un groupe p-divisible  sur $k$ tels que 
si $\mathfrak{m}_{K,\l}=\{ x \in K \;|\; v_p (x)\geq \l \;\}$ alors
$$
G\otimes \O_{K}/ \mathfrak{m}_{K,\l} \simeq H'\otimes_{k,\e}  \O_{K}/ \mathfrak{m}_{K,\l}
$$
\item Soit $R\simeq \O_{K_0}[[x_i]]_{i\in I}$ l'anneau universel des
  d�formations du groupe $G\otimes k$ sur des $\O_{K_0}$-alg�bres locales compl�tes et $G^{univ}$ la d�formation universelle. 
Il existe un morphisme
$$
x : \spf (\O_{K}) \ldrt \spf ( R)
$$
i.e. $x\in  \spf ( R)^{an} (K)$ o� $\,^{an}$ d�signe la fibre g�n�rique au sens des espaces de Berkovich, tel que $G\simeq x^* G^{univ}$
\end{itemize}
\end{lemm}
\begin{proof}    
Elle ne pose pas de probl�me.
\end{proof}

On remarquera que si les conditions du lemme pr�c�dent sont v�rifi�es
alors n�cessairement $H'\simeq G_k$ et on peut choisir $H=G_k$. 


\begin{defi}
Un groupe p-divisible satisfaisant les conditions �quivalentes du
lemme pr�c�dent sera dit isotrivial mod $p$.
\end{defi}

\begin{rema}
En utilisant des morphismes non-continus $\O_{K_0}[[x_i]]_{i\in I}
\ldrt \O_{\Cp}$ on peut construire des groupes $p$-divisibles
non-isotriviaux mod $p$ sur $\O_{\Cp}$.
\end{rema}

\subsection{Th�or�mes de comparaison}

On reprend les notations de la section pr�c�dente. On fixe un rel�vement de Frobenius $\s:  \O_{K_0}\drt  \O_{K_0}$. Soit $G$ un groupe p-divisible sur $\spf (\O_{K})$. 
On note $M$ l'alg�bre de Lie de l'extension vectorielle universelle de $G$. Celle-ci est filtr�e :
$$
0 \ldrt \omega_{G^D} \ldrt M \ldrt \omega_G^* \ldrt 0
$$
On note $\text{Fil}\, M = \omega_{G^D}$. On note $\mathcal{E}$ le cristal de Messing (covariant)
 de $G\otimes \O_{K}/ p \O_{K}$ sur le gros site cristallin nilpotent
 de \cite{BBM} $$
NCRIS(\spec (\O_{K}/p \O_{K})/ \spec (\O_{K_0}))
$$ 
o� $\spec (\O_{K_0}) \ldrt \spec (\O_{K}/p \O_{K})$ est d�fini via la
section $\e$, 
et  
$$
M_0 = \mathcal{E}_{\O_{K_0}\twoheadrightarrow k}
$$
le module de Dieudonn� ``classique'' de $G\otimes k$ si $k$ est
parfait. Il est muni d'une application $\s$-lin�aire $\varphi:M_0\ldrt
M_0$ associ�e au rel�vement de Frobenius $\s$.  

Rappelons (\cite{Periodes}) que l'on dispose d'une $\O_{K_0}$-alg�bre $A_{cris} (\O_{K})$ augment�e via $\theta : A_{cris} (\O_{K}) \twoheadrightarrow \mathcal{O}_{\widehat{\overline{K}}}$. On note $\varphi $ le Frobenius cristallin sur $A_{cris}$. 

L'�valuation 
$$
E = \mathcal{E}_{ A_{cris} \twoheadrightarrow \mathcal{O}_{\widehat{\overline{K}}}}
$$
est un $A_{cris}$-module libre muni d'un morphisme $\varphi$-lin�aire $\varphi : E \ldrt E$ tel que $$E\otimes_{\theta} \mathcal{O}_{\widehat{\overline{K}}} \simeq M\otimes_{\O_{K}} \otimes \mathcal{O}_{\widehat{\overline{K}}}$$ ce qui permet de filtrer $E$ via 
$\text{Fil}\, E = \theta^{-1} (\text{Fil}\, M \otimes \mathcal{O}_{\widehat{\overline{K}}})$. On a donc un $\varphi$-module filtr� $(E,\varphi, \text{Fil}\, E)$. 

\begin{theo}[\cite{Periodes}]\label{crop}
Il y a un isomorphisme naturel $\Gal (\overline{K}|K)$-�quivariant 
$$
T_p (G) \iso \left ( \text{Fil}\; E \right )^{\varphi =p}
$$
\end{theo}


\begin{theo}[\cite{Periodes}]\label{bouqibouc}
Il y a deux inclusions naturelles strictement compatibles aux filtrations et � l'action de Galois
$$
t E \subset T_p (G)\otimes_{\Zp} A_{cris} \subset E 
$$
Elles sont compatibles aux Frobenius cristallins lorsque l'on munit $T_p (G) \otimes A_{cris}$ de $p\otimes \ph$.
\end{theo}

\begin{rema}
Dans le th�or�me pr�c�dent la filtration est index�e de la fa�on
suivante 
\begin{eqnarray*}
\Fil^{\;i} \left ( T_p (G)\otimes A_{cris}\right ) &=& T_p (G)\otimes \Fil^{\; i} A_{cris} \\
\forall i\leq -1 \;\Fil^{\;i}\, E &=& E \\
\Fil^{\; 0}\, E &= & \theta^{-1} (\text{Fil} \,M \otimes \mathcal{O}_{\widehat{\overline{K}}}) \\
\forall i\geq 1\; \Fil^{\; i}\, E &=& \Fil^{\; i} A_{cris}. \Fil^{\; 0} 
\end{eqnarray*}
\end{rema}

Lorsque le groupe $p$-divisible $G$ est isotrivial mod $p$ son isocristal
est engendr� par ses section horizontales. On en d�duit le th�or�me suivant.

\begin{theo}\label{comp_modulaire}
Supposons de plus que $G$ est isotrivial mod $p$. Il y a alors des isomorphismes 
$$
M_0 \unp \otimes_{K_0} K \simeq M \unp
$$
et 
$$
E \unp \simeq M_0 \unp \otimes_{K_0} B^+_{cris}
$$
comme $\varphi$-modules o� $B^+_{cris} = A_{cris} \unp$. 

Il y a donc des inclusions strictement compatibles aux filtrations 
$$
t M_0 \unp \otimes_{K_0} B^+_{cris} \subset V_p (G) \otimes_{\Qp} B^{+}_{cris} \subset M_0 \unp \otimes_{K_0} B^+_{cris} 
$$
 un isomorphisme 
$$
M_0\unp\otimes_{K_0} B_{cris} \simeq V_p (G) \otimes_{\Qp} B_{cris}
$$
avec $B_{cris} =B^+_{cris} \unp$ et un autre isomorphisme
$$
V_p (G) \iso \Fil \left ( M_0\unp \otimes_{K_0} B^+_{cris}\right )^{\varphi = p }
$$
o� sur $M_0\otimes B^+_{cris}$, $\varphi= \varphi \otimes \varphi$ et $\Fil$ est la filtration associ�e 
� celle de $M\unp$ via l'isomorphisme $M_0\unp \otimes_{K_0} K \simeq M\unp$ et 
$\theta$. 
\end{theo}

\subsection{Le d�terminant des p�riodes divis� par $2i\pi$ est une unit�
  $p$-adique}

\subsubsection{\'Enonc� et d�vissage au cas C.M.} 

Soit $K$ comme pr�c�demment et supposons de plus que son corps
r�siduel est alg�briquement clos (ce que l'on peut toujours r�aliser
quitte � �tendre les scalaires). 
Soit $G$ un groupe $p$-divisible modulaire sur $\spf (\O_{K})$ de
  dimension $d$ et hauteur $h$. 
  L'isomorphisme de $B_{cris}$-modules
$$ 
V_p (G) \otimes_{\Qp} B_{cris} \iso M_0 \unp \otimes_{K_0} B_{cris}
$$
du th�or�me \ref{comp_modulaire} induit un isomorphisme $\ph$-�quivariant
$$ \a: 
\det V_p (G) \otimes_{\Qp} B_{cris} \iso ( \det M_0 )\unp \otimes_{K_0} B_{cris}
$$
Plus pr�cis�ment, il y a une inclusion de $B^+_{cris}$-modules
compatible aux filtrations et Frobenius 
$$
u : T_p (G) \otimes B^+_{cris} \hookrightarrow M_0\otimes_{\O_{K_0}} B^+_{cris}
$$
de conoyau annul� par $t$, d'o� une inclusion
$$
\det u : \det T_p (G) \otimes_{\Zp} B^+_{cris} \hookrightarrow \left (
  \det M_0 \right ) \otimes_{\O_{K_0}} B^+_{cris}
$$
 Via l'application de r�duction modulo $\Fil^1 B^+_{cris}$ et
l'identification $M_0 \otimes_{\O_{K_0}} \widehat{\overline{K}} \simeq
M \otimes_{\O_K} \widehat{\overline{K}}$ (o� $M=\Lie\, E (G)$)
$$
\left ( M_0 \otimes_{\O_{K_0}} B^+_{cris} \right ) / \Fil^1
B^+_{cris}.\left ( M_0 \otimes_{\O_{K_0}} B^+_{cris} \right )
\simeq M \otimes_{\O_K} \widehat{\overline{K}}
$$
et $\Fil\left ( M_0\otimes B^+_{cris}\right ) $ est l'image r�ciproque de
  $\Fil \, M \otimes  \widehat{\overline{K}}$ (o� $\Fil\, M =
  \omega_{G^D}$).
Il existe donc d'apr�s le lemme de Nakayama une base $(e_1,\dots,e_n)$
du $B^+_{cris}$-module $M_0\otimes B^+_{cris}$ telle que 
$$
\Fil \left ( M_0\otimes_{\O_{K_0}} B^+_{cris}\right ) = B^+_{cris}
e_1\oplus \dots \oplus B^+_{cris} e_{n-d-1} \oplus \Fil^1 B^+_{cris}
e_{n-d} \oplus \dots \Fil^1 B^+_{cris} e_n
$$
L'image de $u$ est incluse dans $\Fil\left (M_0\otimes B^+_{cris}\right
)$. On en d�duit que 
$$
\det u : \det T_p (G) \otimes B^+_{cris} \hookrightarrow \det M_0
\otimes_{\O_{K_0}} \Fil^d B^+_{cris}
$$
qui d�finit donc un �l�ment 
$$
\beta \in \left ( \det T_p (G)^{-1} \otimes_{\Zp} \det M_0
  \otimes_{\O_{K_0}} \Fil^d\, B^+_{cris} \right )^{\ph = Id} 
$$
o� rappelons que $\ph$ agit par la multiplication par $p$ sur $T_p
(G)$ (cf. th�or�me \ref{bouqibouc}).
Mais le corps r�siduel de $K$ �tant alg�briquement clos 
$$
(\det M_0, \det \ph) \simeq (\O_{K_0}, p^{h-d} \s)
$$
Donc, 
$$
\beta \in \det (T_p (G))^{-1} \otimes_{\Zp} \left ( \det ( M_0)\right
)^{\ph= p^{h-d}}
\otimes_{\Zp} \left (\Fil^d\,  B^+_{cris} \right )^{\ph = p^d}
$$
Mais puisque  (cf. \cite{Periodes}) 
$$
\left (\Fil^d\,  B^+_{cris} \right )^{\ph = p^d} = \Qp.t^d
$$
Donc
$$
\beta \in \left ( \det T_p (G)\right )^{-1}\otimes \left ( \det
  M_0\right )^{\ph= p^{h-d}} \otimes \Qp.t^d
$$
Les structures enti�res  $\det T_p (G) \simeq \Zp$, $\det M_0 \simeq \O_{K_0}$ induisent 
une $\Zp$-structure sur $\Qp t^d$. L'�l�ment $\beta$ fournit donc un �l�ment de 
$
\Qp^\times/\Zp^\times. t^d
$

\begin{prop} [Faltings] \label{det_periodes_unite}
 L'�l�ment $\beta$ est entier : $\beta \in \Zp^\times.t^d$. 
\end{prop}
\dem
 Le groupe $G$ �tant modulaire on peut le mettre en famille : pour un
 morphisme 
$x:\spf (\O_K)\drt \spf (\O_{K_0} [[x_i]]_{1\leq i\leq d(h-d)})$, $G=x^*G^{univ}$
o� $G^{univ}$ d�signe la d�formation universelle de la fibre sp�ciale
de $G$.  
 Il existe de plus
un rationnel $\a\in\Q_{>0}$ tel que $\forall i \; v_p ( x^* (x_i))\geq \a$. Le morphisme 
$x$ se factorise donc en 
$$
x: \spf (\O_{K}) \ldrt \mathcal{C} \ldrt \spf (\O_{K_0} [[x_i]]_i)
$$
o� $\mathcal{C}=\spf (R)$ est un mod�le formel $p$-adique normal sans
$p$-torsion sur $\spf (O_{K_0})$ de la boule rigide form�e
des �l�ments de valuation sup�rieure ou �gale � $\a$. Il y a donc un morphisme de sp�cialisation
$A_{cris} (R)\twoheadrightarrow A_{cris} (\O_{K})$. 
Sur $\spec (R/pR)$ le groupes $H\otimes R/pR$ est isog�ne au groupe d�finissant l'espace des d�formations.
 Donc, 
si $H$ d�signe le
groupe $p$-divisible restriction de $G^{univ}$ �  $\mathcal{C}$ il y a un isomorphisme de comparaison 
$$ 
V_p (H) \otimes_{\Qp} B_{cris} (R) \iso M_0 \unp \otimes_{K_0} B_{cris} (R)
$$ 
(cf. \cite{Periodes}). 
On obtient comme pr�c�demment un �l�ment  
$$
\beta'\in  \left ( ( \det T_p (H))^{-1} \otimes_{\Zp} \det M_0 \otimes_{\O_{K_0}} \Fil^d\, B_{cris}^+(R)\right )^{\ph = Id} \simeq \Qp t^d
$$
o� la derni�re �galit� r�sulte de \cite{Periodes}.
 Et bien s�r, via $A_{cris} (R) \twoheadrightarrow A_{cris} (\O_{K})$, $\beta'\mapsto \beta$. 

L'�nonc� du th�or�me est donc invariant par transport parall�le : on peut transporter $\beta$ parall�lement en n'importe quel point du disque unit� $\spf (\O_{K_0}[[x_i]]_i)^{an}$ (quitte � agrandir 
le rayon de la boule).
Le mieux est de choisir un point pour lequel la matrice des p�riodes est diagonalisable. 
 On peut par exemple prendre un point C.M. ayant multiplication complexe
par $\Z_{p^h}$ o� $h$ est la hauteur de $G$. En effet, l'action de $\Z_{p^h}$ permet de diagonaliser la matrice des p�riodes si l'on prend des bases de vecteurs propres pour cette action. 
 Le r�sultat est  d�montr� dans la section suivante
dans  ce cas particulier.
\qed

\subsubsection{�tude des p�riodes enti�res des groupes p-divisibles ayant multiplication complexe par un ordre maximal  non-ramifi�}\label{CM}

Nous �tudions ici les p�riodes des groupes p-divisible C.M. les plus simples, ceux ayant multiplication
complexe par l'anneau des entiers d'une extension non-ramifi�e de $\Qp$. 
Soit donc $G$ un groupe p-divisible de hauteur $h$ et dimension $d$ 
sur $\Z_{p^h}$ muni d'une action  $\iota:\Z_{p^h}\drt \End (G)$. On pourra par exemple prendre lorsque $d=1$ le groupe formel d'exponentielle 
$$
f(T)=\sum_{n\geq 0} \frac{T^{p^{nh}}}{p^n}
$$
qui est bien muni d'une action de $\Z_{p^h}$ puisque $\forall \zeta \in \mu_{p^h-1}\;\; f(\zeta T) =\zeta f(T)$ ou n'importe quel groupe de Lubin-Tate de hauteur $1$ pour l'extension $\Q_{p^h}$.

Notons 
$$
\chi: \Gal(\Qpb |{\Q_{p^h}}) \ldrt \Z_{p^h}^\times
$$
le caract�re de Lubin-Tate. Notons $\s \in \Gal (\Q_{p^h}|\Qp)$ le Frobenius et $\forall i\; \chi^{\s^i}= \s^i \circ \chi$. Il r�sulte de la classification des repr�sentations cristallines abeliennes (Fontaine, cf. \cite{Wintemberger1}) qu'il
existe des entiers $a_i$, $0\leq a_i \leq d$ tels que 
$$
V_p (G)= \prod_{i=0}^{h-1} \chi^{a_i \s^i}
$$
o� $\sum_i a_i = d$ et $a_i=\text{rg}_{\Z_{p^h}} \text{Lie} (G)_i$
avec
$$
\Lie G = \bigoplus_{i\in \Z/h\Z} \Lie (G)_i
$$
$\iota (\Z_{p^h})$ agissant sur 
$ \text{Lie} (G)_i$ via $\s^i$. 

Consid�rons l'application de comparaison 
$$
T_p (G) \otimes_{\Zp} A_{cris} (\Z_{p^h}) \hookrightarrow M_0\otimes_{\Z_{p^h}} A_{cris} (\Z_{p^h})
$$
o� $M_0$ est le module de Dieudonn� de la fibre sp�ciale de $G$. 
L'action $\iota$ permet de d�composer 
\begin{eqnarray*}
T_p (G) \otimes_{\Zp} A_{cris} (\Z_{p^h}) &=& \bigoplus_{i\in \Z/ h\Z} \left (T_p (G) \otimes_{\Zp} A_{cris} (\Z_{p^h})\right )_i \\
M_0 &=& \bigoplus_{i\in \Z/h \Z} M_{0,i}
\end{eqnarray*}
o� $\iota (\Z_{p^h})$ agit sur la composante index�e par $i$ via $\s^i$. La naturalit� du morphisme de comparaison 
implique que celui-ci est somme directe de morphismes 
$$
\left (
T_p (G) \otimes_{\Zp} A_{cris} (\Z_{p^h}) \right )_i \hookrightarrow M_{0,i} \otimes_{\Z_{p^h}} A_{cris} (\Z_{p^h})
$$
Apr�s choix d'une base de $T_p (G)$ et $M_{0,i}$ comme $\Z_{p^h}$-modules ce morphisme est donn�e par la 
multiplication par un �l�ment $x_i \in A_{cris}$ bien d�fini modulo $\Z_{p^h}^\times$. 
D'apr�s la compatibilit� stricte aux filtrations du morphisme de comparaison si $a_i=0, x_i\notin \Fil^1 A_{cris}$ et $x_i \in \Fil^1 A_{cris}$ sinon. 
Notons alors $y_i\in \O_{\C_p}$ l'image de $x_i$ dans $\text{Gr}^0 A_{cris}$, resp. $\text{Gr}^1 A_{cris}$. 

\begin{prop}
Supposons $d=1$ et soit $i_0$ l'unique indice tel que $a_{i_0}\neq 0$. Alors,
\begin{eqnarray*}
\forall i<i_0 \; v(y_i) &=& \frac{p^{h+i- i_0}}{p^h-1} \\
\forall i\geq i_0 \; v(y_i) &=& \frac{p^{i-i_0}}{p^h -1}
\end{eqnarray*}
\end{prop}
\dem
La compatibilit�  du morphisme de comparaison � l'action de $\Gal(\Qpb
| {\Q_{p^h}})$ est �quivalente � ce que 
$$
\forall \tau \in G_{\Q_{p^h}}\;\;\; x_i^\tau =\chi_G (\tau)^{\s^i} x_i 
$$
o� $\chi_G$ d�signe le caract�re galoisien associ� � $V_p (G)$. 
Puisque $d=1$, $\chi_G=\chi^{\s^{i_0}}$. Consid�rons maintenant le lemme suivant : 
\begin{lemm}
Soit $z\in \O_{\C_p}$ tel que $\forall \tau \in \Gal (\Qpb|\Q_{p^h}) \;\; z^\tau = \chi (\tau)^{\s^i} z$. Alors, 
$$
\exists j\in \N\;\; v(z)\in \frac{p^i}{p^{jh} (p^h -1)} + \Z
$$
\end{lemm}
\dem 
Pour $\l \in \Q$ notons $\O_{\C_p,\geq \l}$, resp. $\O_{\C_p,> \l}$, les �l�ments de valuations sup�rieure � $\l$, resp. strictement sup�rieure � $\l$. Notons $q=p^h$. D�crivons l'action de $\Gal(\Qpb|\Q_{p^h})$ sur 
$\O_{\C_p,\geq \l}/\O_{\C_p,> \l} \simeq \overline{\Fp}$. Fixons
$p^\l\in \Qpb$ un �l�ment tel  que si 
$\l=\frac{r}{s}$ avec $r\wedge s=1$ 
 on ait $
(p^\l)^s = p^r$. Soit $\tau_0\in \Gal (\Qpb | \Q_{p^h}(p^\l))$ un
rel�vement du Frobenius $x\mapsto x^{p^h}$.
 L'inertie $I_{\Q_{p^h}}$ agit sur $\O_{\C_p,\geq \l}/\O_{\C_p,> \l}$ via le caract�re mod�r� 
$$
\tau \mapsto \frac{\tau (p^\l)}{p^\l} \text{ mod } \O_{\C_p,> \l} \in \overline{\Fp}^\times
$$
�crivons $z= u p^\l$ o� $u\in \O_{\C_p}^\times$. Alors, modulo $\O_{\C_p,> \l}$
\begin{eqnarray*}
\forall \tau \in I_{\Q_{p^h}}\; \forall k\in \Z\; \; \frac{\tau_0^k\tau (z)}{z} &\equiv &\frac{\tau_0^k (u)}{u} . \frac{\tau_0^k \tau (p^\l)}{p^\l}  \;\text{ car } \frac{\tau (u)}{u} \equiv 1  \\
&\equiv & u^{q^k-1} \left ( \frac{\tau (p^\l)}{p^\l} \right )^{q^k} \;\text{ car } \tau_0 (p^\l)=p^\l
\end{eqnarray*}
Quant au caract�re $\chi$ il v�rifie la congruence 
$$
\forall \tau'\in \Gal (\Qpb| \Q_{p^h})\;\; \chi ( \tau') \equiv \frac{\tau' (p^{\frac{1}{q-1}})}{p^{\frac{1}{q-1}}} \in \mu_{q-1}
$$
L'hypoth�se du lemme implique que
$$
\forall k\in \Z\; \forall \tau\in I_{\Q_{p^h}} \;\; u^{q^k-1} \frac{\tau ( p^{q^k \l-\frac{p^i}{q-1}})}{
 p^{q^k \l-\frac{p^i}{q-1}}} \equiv 1 
$$
ce qui implique d'abord avec $\tau= Id$ que $\bar{u}\in {\mathbb{F}_q}^\times$ et que l'on peut donc supposer que $u=1$ dans
la congruence ci-dessus. De plus, pour $\mu \in\Q$, le caract�re mod�r�
\begin{eqnarray*}
I_{\Q_{p^h}}&\ldrt & \overline{\Fp}^\times \\
\tau & \longmapsto & \frac{\tau(p^\mu)}{p^\mu}
\end{eqnarray*}
est trivial ssi $\mu\in \Z [ \frac{1}{p}]$. Donc, $\forall k\in \Z\; q^k \l -\frac{p^i}{q-1} \in \Z[\frac{1}{q}]$ ce qui implique facilement le lemme.
\qed

Il r�sulte du lemme pr�c�dent que 
\begin{eqnarray*}
\forall i>i_0\; \exists j\in \N\; v_p (y_i)\in \frac{p^{i-i_0}}{q^j ( q-1)} + \Z \\
\text{ et } \forall i<i_0\; \exists j\in \N\; v_p (y_i)\in \frac{p^{h+i - i_0}}{q^j (q-1)}+\Z 
\end{eqnarray*}
Quant � $y_{i_0}$, �tant donn� que dans $\text{Gr}^1 A_{cris}$ $t$ se transforme via $N_{\Q_{p^h}/\Qp} \circ \chi$ et que $v(t)=\frac{1}{p-1}$, 
$$
\exists j\in \N\; v_p (y_{i_0})\in \frac{1}{q^j (q-1)} + \Z 
$$
Le morphisme de comparaison poss�de un quasi-inverse tel qu'avec composition avec celui-ci on obtienne 
la multiplication par $t$ qui est de valuation $1/(p-1)$. On en d�duit que 
\begin{eqnarray*}
\forall i \leq i_0 \;\; 0 \leq v(y_i) \leq \frac{p^{i-i_0}}{q-1}  \\
\forall i <i_0 \; \;  0 \leq v(y_i) \leq \frac{p^{h+i-i_0}}{q-1}
\end{eqnarray*}
Remarquons maintenant que 
$$
\prod_i x_i = \beta t 
$$
o� $\beta \in \Zp$, et 
$$
v(\beta) + \frac{1}{p-1} = \sum_i v_p (y_i) \leq \frac{1}{p-1}
$$
et donc $v(\beta)=0$ i.e. $\beta \in \Zp^\times$ et les valuations des $y_i$ sont celle annonc�es. 
\qed

Il r�sulte donc de la d�monstration de la proposition pr�c�dente que 

\begin{coro}
L'�nonc� du th�or�me \ref{det_periodes_unite} est vrai dans le cas de dimension $1$ et de multiplication complexe par $\Z_{p^h}$� 
\end{coro}

Attaquons maintenant le cas de dimension $d$ quelconque. Commen�ons par remarquer qu'il r�sulte de l'�tude du cas de dimension $1$  et du th�or�me de Tate, $H^0 (G_{\Q_{p^h}},\C_p)=\Q_{p^h}$, 
 que 

\begin{coro}
Pour tout entier $i$ compris entre $0$ et $h-1$, 
$$
H^0 (G_{\Q_{p^h}}, \C_p (\chi^{-\s^i}))=\Q_{p^h}.z_i
$$
o� $z_i\in \C_p$ est un �l�ment de valuation $\dpt{\frac{p^i}{p^h-1}}$. 
\end{coro}

Il en r�sulte que l'on a une majoration des valuations des �l�ments $y_i$ (les p�riodes partielles).
Sachant que $\prod_i y_i = \beta $ on en d�duit le r�sultat facilement. 
\qed

On renvoie �galement � l'article \cite{Colmez1}.


\bibliographystyle{plain}
\bibliography{biblio}
\end{document}

Points.bbl
\begin{thebibliography}{10}

\bibitem{BBM}
P.~Berthelot, L.~Breen, and W.~Messing.
\newblock {\em Th�orie de Dieudonn� cristalline. II}, volume 930.
\newblock Springer-Verlag, Berlin, Lecture Notes in Mathematics, 1982.

\bibitem{Colmez1}
P.~Colmez.
\newblock P�riodes des vari�t�s ab�liennes � multiplication complexe.
\newblock {\em Ann. of Math.}, 138(3):625--683, 1993.

\bibitem{Faltings1}
G.~Faltings.
\newblock Integral crystalline cohomology over very ramified valuation rings.
\newblock {\em J. Amer. Math. Soc.}, 12(1):117--144, 1999.

\bibitem{Faltings8}
G.~Faltings.
\newblock A relation between two moduli spaces studied by {V}. {G}. {D}rinfeld.
\newblock In {\em Algebraic number theory and algebraic geometry}, volume 300
  of {\em Contemp. Math.}, pages 115--129, 2002.

\bibitem{Rami}
L.~Fargues.
\newblock Application de {H}odge-{T}ate duale d'un groupe de {L}ubin-{T}ate,
  immeuble de {B}ruhat-{T}its du groupe lin�aire et filtrations de
  ramification.
\newblock {\em preprint}.

\bibitem{Cellulaire}
L.~Fargues.
\newblock L'isomorphisme entre les tours de {L}ubin-{T}ate et de {D}rinfeld :
  d�composition cellulaire de la tour de {L}ubin-{T}ate.
\newblock {\em preprint}.

\bibitem{iso4}
L.~Fargues.
\newblock L'isomorphisme entre les tours de {L}ubin-{T}ate et de {D}rinfeld :
  d�monstration du r�sultat principal.
\newblock {\em preprint}.

\bibitem{Periodes}
L.~Fargues.
\newblock Periodes cristallines enti�res des familles de groupes $p$-divisibles
  sur des bases g�n�rales et applications.
\newblock {\em En pr�paration}.

\bibitem{Fontaine1}
J.-M. Fontaine.
\newblock Formes diff�rentielles et modules de {T}ate des vari�t�s ab�liennes
  sur les corps locaux.
\newblock {\em Invent. Math.}, 65(3):379--409, 1981/82.

\bibitem{HopkinsGross}
M.~J. Hopkins and B.~H. Gross.
\newblock Equivariant vector bundles on the {L}ubin-{T}ate moduli space.
\newblock In {\em Topology and representation theory (Evanston, IL, 1992)},
  volume 158 of {\em Contemp. Math.}, pages 23--88. Amer. Math. Soc.,
  Providence, RI, 1994.

\bibitem{Messing1}
W.~Messing.
\newblock The crystals associated to {B}arsotti-{T}ate groups: with
  applications to abelian schemes.
\newblock {\em Lecture Notes in Mathematics}, 264, 1972.

\bibitem{RZ}
M.~Rapoport, Th.~Zink.
\newblock {\em Period spaces for $p$-divisible groups.}
\newblock Number 141 in Annals of Mathematics Studies. Princeton University
  Press, Princeton, NJ, 1996.

\bibitem{Ray1}
M.~Raynaud.
\newblock Sch�mas en groupes de type $(p,\dots, p)$.
\newblock {\em Bull. Soc. Math. France}, 102:241--280, 1974.

\bibitem{Wintemberger1}
J.P. Wintenberger.
\newblock Torseurs pour les motifs et pour les repr�sentations $p$-adiques
  potentiellement de type {CM}.
\newblock {\em Math. Ann.}, 288(1):1--8.

\end{thebibliography}
