Fibr�s paraboliques et champ des racines \\(version pr�liminaire)
Niels Borne
ParRac.tex
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\bibliographystyle{tocplain} 
\author{Niels Borne}
\title{Fibr�s paraboliques et champ des racines \\(version pr�liminaire)}
 
 \maketitle
 %\tableofcontents

\section{Introduction}

\subsection{R�sultats}

Soit $X$ une courbe projective et lisse sur un corps
alg�briquement clos $k$, et $x$ un point ferm�. Un
faisceau localement libre $\mathcal E$ sur $X$ est dit \emph{fini}
s'il existe deux polyn�mes distincts $P,Q$ � coefficients entiers positifs
tels que $P(\mathcal E)\simeq Q(\mathcal E)$, l'exemple classique
�tant donn� par les faisceaux inversibles sur $X$ dont une puissance
tensorielle est triviale. Nous nous conformerons � la tradition en
parlant de \emph{fibr�s} finis. Nous nous int�ressons aux liens bien
connus que ces fibr�s ont avec le groupe fondamental de
$(X,x)$, ce par quoi nous entendrons toujours groupe
fondamental profini (\cite{SGA1}).


Dans \cite{NoriRFG}, Nori utilise la correspondance due �
A.Weil, lorsque $\car k =0$, entre fibr�s finis sur $X$ et
repr�sentations de $\pi_1(X,x)$, pour d�finir par
extension en caract�ristique arbitraire, le \emph{sch�ma en groupe
fondamental de $(X,x)$}, comme groupe fondamental
$\pi(X,x)$ de la cat�gorie tannakienne des fibr�s
essentiellement finis sur $X$, munie du foncteur fibre d�fini par
$x$. Ce nom est justifi� par le fait que le groupe
proalg�brique $\pi(X,x)$ classifie les torseurs point�s
sur $X$, de groupe structurel un sch�ma en groupe fini sur $k$.

Dans un travail publi� ult�rieurement (\cite{NoriFGS}), Nori
montre que la notion de sch�ma en groupe fondamental a encore un
sens pour une courbe point�e $(X,D)$, ce groupe �tant cette fois
d�fini comme le groupe fondamental de la cat�gorie tannakienne des
fibr�s \emph{paraboliques} essentiellement finis sur $X$. Il utilise
ici sa propre d�finition des fibr�s paraboliques, la d�crivant comme
"une l�g�re modification de celle de Seshadri". Il d�montre, en suivant 
l'analogie avec le cas des courbes compl�tes, que ce groupe
fondamental classifie de m�me les torseurs point�s sur $X-D$, de
groupe structurel un sch�ma en groupe fini sur $k$.

Ce r�sultat a de l'int�r�t m�me en caract�ristique z�ro,
puisqu'il donne une r�interpr�tation alg�brique du groupe
fondamental �tale de $X-D$, comme groupe de Tannaka de la cat�gorie
des fibr�s paraboliques finis sur $(X,D)$. Ceci permet de reformuler
le probl�me classique (�voqu� dans \cite{SGA1}) d'une preuve
"alg�brique" (disons, sans utiliser de th�or�me de type GAGA) des
th�or�mes de structure des groupes fondamentaux des courbes
alg�briques. Par exemple, on peut essayer de comprendre
l'�quivalence entre les fibr�s paraboliques finis sur $({\mathbb
P}^1,\{0,1,\infty\})$ et repr�sentations de $\widehat{F_2}$, le
compl�t� profini du groupe libre � deux g�n�rateurs, m�me si ce
probl�me reste probablement tr�s difficile.

Aussi notre attention s'est-elle concentr�e sur deux probl�mes : d�terminer si le th�or�me de Nori sur les fibr�s paraboliques se g�n�ralise en dimension sup�rieure, au moins en caract�ristique z�ro, et �claircir le lien entre sa d�finition des fibr�s paraboliques et celle, classique, due � Seshadri. Nous ne r�solvons que le second probl�me dans ce travail (nous comptons revenir sur le premier dans un prochain article).

Nous montrons essentiellement deux r�sultats, qui sont valables en dimension quelconque. Donn�s un entier $r\geq 1$, un sch�ma (noeth�rien) $X$ muni d'un diviseur de Cartier effectif $D$, le premier �nonc� (th�or�me \ref{thmprinc}) 
stipule qu'il y a une �quivalence de cat�gories tensorielles entre fibr�s paraboliques (au sens de Seshadri) � poids multiples de $\frac{1}{r}$ et faisceaux localement libres sur un certain champ de Deligne-Mumford $\mathfrak X$ sur $X$, qu'on peut appeler le champ des racines $r$-i�mes de $D$, o�, comme on l'imagine, la structure de champ est concentr�e le long du support de $D$. 
Le second r�sultat (th�or�me \ref{thmdeg}) affirme que s'il l'on suppose de plus $X$ et $D$ projectifs et lisses 
sur un corps alg�briquement clos de caract�ristique premi�re � $r$, 
la notion de degr� parabolique (d�finie dans ce cadre de g�n�ralit� par Maruyama et Yokogawa, \cite{MY}) co�ncide avec la notion usuelle de degr� pour le faisceau correspondant sur $\mathfrak X$.

Ces deux r�sultats permettent de ramener les questions concernant les fibr�s paraboliques � des questions concernant des fibr�s usuels. Dans le paragraphe \ref{courb}, nous montrons comment les notions usuelles sur les fibr�s paraboliques sur une courbe marqu�e $(X,D)$ s'interpr�tent naturellement lorsque l'on consid�re le(s) champ(s) associ�(s). Il s'ensuit par exemple que les fibr�s paraboliques finis sont semi-stables de degr� $0$, la preuve pour les fibr�s usuels sur une courbe compl�te s'adaptant au cas d'une orbicourbe compl�te. Ceci permet d'obtenir des informations sur la structure des fibr�s paraboliques finis sur la droite projective (th�or�me \ref{strucfibparfindrproj}). Ce r�sultat est en fait une cons�quence du th�or�me de Nori, mais nous n'en faisons pas vraiment usage ici.




\subsection{Origines}

La d�finition de Nori (voir \cite{NoriFGS}) d'un fibr� parabolique sur $(X,D)$ est, grossi�rement, la donn�e d'un fibr� usuel sur $X-D$ auquel on recolle des fibr�s d�finis sur un rev�tement ramifi� d'un voisinage des points du support de $D$. Dans l'esprit, c'est une d�finition tr�s proche de celle des fibr�s sur le champ $\mathfrak X$, qui est en quelque sorte le rev�tement ramifi� minimal de $X$ sur lequel on peut voir tous les fibr�s paraboliques � poids multiples de $\frac{1}{r}$ sur $X$ comme des fibr�s usuels. 

L'id�e d'associer � un rev�tement galoisien ramifi� de courbes $Y\rightarrow X$, de groupe $G$, et � un $G$-faisceau coh�rent sur $Y$, un faisceau parabolique sur $(X,D)$, o� $D$ est le diviseur de branchement du rev�tement, semble due � Biswas (\cite{Biswasorb}). C'est la proc�dure que nous adoptons, pour le ``rev�tement ramifi�'' $\mathfrak X\rightarrow X$,  pour associer � un fibr� sur $\mathfrak X$ un fibr� parabolique sur $(X,D)$. Biswas d�crit �galement une proc�dure en sens inverse, et il est mentionn� dans \cite{BBN} qu'il en r�sulte une �quivalence tensorielle entre certains $G$-faisceaux sur $Y$ et les faisceaux paraboliques sur $(X,D)$. Nous nous distinguons ici de (\cite{Biswasorb}) en donnant, dans le cadre plus g�n�ral des champs de racines, une expression plus explicite et intrins�que de l'�quivalence r�ciproque, en termes de cofins (``coends''). Cette expression rend d'ailleurs le caract�re tensoriel �vident.

Le champ des racines $r$-i�mes d'un faisceau inversible munis d'une section sur $X$ de Cadman et Vistoli (\cite{Cadman}, \cite{AGV}) est un outil essentiel. Tout aussi indispensables nous sont les rev�tements cycliques uniformes de Arsie-Vistoli (\cite{AV}), dont les champs quotient sont les mod�les locaux du champ des racines $r$-i�mes (voir th�or�me \ref{root}).

La d�finition des fibr�s paraboliques que nous adoptons ici est due � Maruyama-Yokogawa (\cite{MY}, \cite{Yokogawa}), c'est une adaptation de celle de Seshadri sur les courbes (\cite{Seshadri}, voir aussi appendice \ref{defSeshadri}) � la dimension quelconque.

Notre preuve de l'�galit� du degr� d'un faisceau parabolique avec le degr� du faisceau associ� sur le champ des racines $r$-i�mes repose de mani�re essentielle sur la formule de Grothendieck-Riemann-Roch pour les champs de Deligne-Mumford due � To�n (\cite{ToenThese},\cite{Toen}). Nous regroupons les r�sultats que nous utilisons dans un long appendice (\ref{GRR}).

Enfin c'est une note de Edixhoven (\cite{Edix}) qui a �veill� notre attention sur la structure des fibr�s paraboliques finis sur la droite projective.  

\subsection{Limites de cet article, et possibles applications}
\label{sec:limites}

Le th�or�me \ref{thmprinc} permet de r�interpr�ter et de compl�ter certains travaux ant�rieurs sur les fibr�s paraboliques dans le cadre plus g�n�ral des champs de Deligne-Mumford. Voici deux exemples. La d�finition des fibr�s principaux � structure parabolique de groupe structurel donn� de \cite{BBN} s'interpr�te comme celle des fibr�s principaux de m�me groupe structurel sur un champ de racines (et cette interpr�tation nous semble plus naturelle que la d�finition originelle en termes de foncteurs tensoriels). Second exemple : on peut utiliser les diff�rentes th�ories des anneaux de Chow pour les champs de Deligne-Mumford (par exemple celle de \cite{VistInv}) pour donner une d�finition des classes de Chern des fibr�s paraboliques �galement plus naturelle que celle de \cite{BisChern}. Mentionnons � ce sujet que le ``caract�re de Chern � coefficient dans les repr�sentations'' de \cite{Toen} permet de calculer la $K$-th�orie de la cat�gorie des fibr�s paraboliques (dont les poids ont des d�nominateurs born�s) en termes d'anneaux de Chow d'un champ de Deligne-Mumford (le champ d'inertie du champ des racines), ce qui semble hors de port�e des seules techniques paraboliques. 

Toutefois, nous ne prenons pas le soin de d�crire ces applications en d�tail, � la fois par manque de place, par volont� de se concentrer sur le lien entre fibr�s paraboliques et groupe fondamental, et surtout parce qu'il appara�t a posteriori que la d�finition des fibr�s paraboliques adopt�e ici (celle de \cite{Yokogawa}) ne soit correcte que dans le cas d'un diviseur lisse (et il nous semble � pr�sent que l'�quivalence tensorielle de \cite{Biswasorb}, \cite{BBN} n'est valable que dans ce cadre).  En d'autres termes, bien que le th�or�me \ref{thmprinc} soit vrai pour un diviseur quelconque, elle n'est int�ressante que pour un diviseur lisse. Nous comptons revenir sur le probl�me de la d�finition des fibr�s paraboliques relatifs � un diviseur � croisements normaux dans un article ult�rieur.
Il serait aussi tr�s souhaitable de comprendre le th�or�me \ref{thmprinc} non 
seulement comme une �quivalence de cat�gories, mais comme un �quivalence de
champs, puisque cela permettrait de voir \cite{Yokogawa} sous un jour
nouveau. 

Mentionnons enfin le lien avec les structures logarithmiques et en particulier avec le travail de Matsuki et Olsson \cite{MatOls}, qu'il faudrait aussi expliciter.



\subsection{Remerciements}

Je tiens � remercier les nombreux math�maticiens  qui m'ont permis de mener �
bien cet article, et parmi eux, sp�cialement  I.Biswas et D. S.Nagaraj, pour
leurs patientes explications sur les fibr�s paraboliques, B.To�n, pour de
multiples �claircissements, A.Chiodo, pour d'int�ressantes discussions sur les
champs de racines, et enfin, de mani�re g�n�rale, M.Emsalem et A.Vistoli. 





 \section{Fibr�s paraboliques  : la d�finition de Maruyama-Yokogawa}

On fixe un sch�ma noeth�rien $X$, et un diviseur de Cartier effectif $D$ sur $X$, et $r\geq 1$ un entier.

\subsection{Poids � d�nominateurs multiples d'un entier donn�}
On identifie tout ensemble ordonn� � la cat�gorie correspondante.

On appelle $\MOD(X)$ la cat�gorie des faisceaux quasi-coh�rents sur $X$.

Soit $\mathcal E_{\cdot} :
(\frac{1}{r}\mathbb Z)^{op}\rightarrow \MOD(X)$ un foncteur.
Pour  $i\in \frac{1}{r}\mathbb Z$
on dispose alors du d�calage (shift) $\mathcal E[i]_\cdot$ d�fini sur
les objets par la formule
usuelle   $\mathcal E[i]_{j}=\mathcal E_{i+j}$, et pour $i\geq j$
de la transformation naturelle $\mathcal E[i]_\cdot\rightarrow
\mathcal E[j]_\cdot$.



\begin{defi}[\cite{Yokogawa}]
  \label{defYok}
  On d�finit la cat�gorie $\PAR_{\frac{1}{r}}(X,D)$ des fibr�s paraboliques de
  poids multiples de $\frac{1}{r}$ comme ayant pour objets les
  couples  $(\mathcal E_{\cdot},j)$, o� $\mathcal E_{\cdot} :
(\frac{1}{r}\mathbb Z)^{op}\rightarrow \MOD(X)$ est un foncteur, et
  $j:\mathcal E_{\cdot}\otimes_{\mathcal O_X}\mathcal
O_X(-D)\simeq \mathcal E[1]_\cdot$ est une transformation naturelle
  faisant commuter le diagramme :

 \begin{center}
\xymatrix@R=2pt{
  &\mathcal E_{\cdot}\otimes_{\mathcal O_X}\mathcal
O_X(-D)\ar[rr]^j\ar[dr]&& \mathcal E[1]_\cdot\ar[dl]& \\
  &&\mathcal E_{\cdot}&&}
\end{center}

Les morphismes de $(\mathcal E_{\cdot},j)$ � $(\mathcal
  E'_{\cdot},j')$ sont les transformations naturelles
  $\alpha :\mathcal E_{\cdot}\rightarrow \mathcal E'_{\cdot}$ telles
  que le diagramme suivant commute :

\xymatrix@R=2pt{
 && &\mathcal E_{\cdot}\otimes_{\mathcal O_X}\mathcal
O_X(-D)\ar[r]^{j}\ar[ddd]_{\alpha\otimes 1} & \mathcal
  E[1]_\cdot\ar[ddd]^{\alpha[1]} & \\
&&&&&\\&&&&&\\
  && &\mathcal E'_{\cdot}\otimes_{\mathcal O_X}\mathcal
O_X(-D)\ar[r]_{j'} & \mathcal E'[1]_\cdot&}

 \end{defi}

Pour all�ger les notations, on omettra souvent de mentionner $j$ pour
d�signer les objets de  $\PAR_{\frac{1}{r}}(X,D)$.

Lorsque $r=1$, il est clair que le foncteur d'oubli $\mathcal E_\cdot\rightarrow \mathcal E_0$ (ou �valuation en
z�ro) $\PAR_1(X,D)\rightarrow \MOD(X)$ est une �quivalence, dont une
�quivalence r�ciproque est donn�e par $\mathcal F \rightarrow \mathcal F
\otimes_{\mathcal O_X}\mathcal O_X(-\cdot D)$.

La cat�gorie  $\PAR_{\frac{1}{r}}(X,D)$ est munie de $\Hom$ internes.
Soient en effet $\mathcal E_{\cdot}$ et $\mathcal E'_{\cdot}$ deux
objets, on dispose d�j� du faisceau
$\HOM(\mathcal E_{\cdot},\mathcal E'_{\cdot})$ d�fini par, pour tout ouvert $U$
de $X$ :
$\HOM(\mathcal E_{\cdot},\mathcal E'_{\cdot})(U)=\Hom(\mathcal
{E_{\cdot}}_{|U},{\mathcal E'_{\cdot}}_{|U})$.
On d�finit le faisceau parabolique $\HOM(\mathcal
E_{\cdot},\mathcal E'_{\cdot})_{\cdot}$ en posant pour tout $i\in
\frac{1}{r}\mathbb Z$ :

$$\HOM(\mathcal
E_{\cdot},\mathcal E'_{\cdot})_i= \HOM(\mathcal E_{\cdot},\mathcal E'_{\cdot}[i])$$

On d�finit alors le produit tensoriel $\mathcal
E_{\cdot}\otimes_{\mathcal O_X}\mathcal E'_{\cdot}$
de deux fibr�s paraboliques $\mathcal E_{\cdot}$ et
$\mathcal E'_{\cdot}$ par la formule habituelle :

$$\HOM(\mathcal
E_{\cdot}\otimes_{\mathcal O_X}\mathcal E'_{\cdot}, \mathcal
E''_{\cdot})_ {\cdot}
\simeq \HOM(\mathcal E_{\cdot},\HOM(\mathcal E'_{\cdot},\mathcal E''_{\cdot})_{\cdot})_{\cdot}$$



On d�signe par $\Vect(X)$ la sous-cat�gorie pleine de $\MOD(X)$ dont
les objets sont les faisceaux localement libres (de rang fini).

\begin{defi}[\cite{Yokogawa}]
  La cat�gorie $\Par_{\frac{1}{r}}(X,D)$ des $r$-fibr�s paraboliques
 localement libres (de rang fini) est la sous-cat�gorie pleine de
 $\PAR_{\frac{1}{r}}(X,D)$ dont les objets sont les couples
 $(\mathcal E_{\cdot},j)$ v�rifiant :

 \begin{enumerate}
   \item  $\mathcal E_{\cdot} : (\frac{1}{r}\mathbb Z)^{op}\rightarrow
   \MOD(X)$ se factorise en $(\frac{1}{r}\mathbb Z)^{op}\rightarrow \Vect(X)$.
   \item Pour $i\leq i' < i+1 $, $\coker(\mathcal E_{i'} \rightarrow \mathcal E_i)$
  est localement libre comme $\mathcal O_D$-module.
 \end{enumerate}

\end{defi}
  \begin{rem}[\cite{Yokogawa}]
\label{remfibrpar}  Donn�s $(\mathcal E_{\cdot},j)$ et $(\mathcal E'_{\cdot},j')$ deux
  objets de $\Par_{\frac{1}{r}}(X,D)$,
  la compatibilit� des transformations naturelles de
  $\mathcal E_{\cdot}$ vers $\mathcal E'_{\cdot}$ avec $j$ et $j'$ est
  automatique.
\end{rem}

\subsection{Poids rationnels quelconques}
Si $r|r'$, l'inclusion $(\frac{1}{r}\mathbb
Z)\subset(\frac{1}{r'}\mathbb Z)$ admet pour adjoint � gauche
le foncteur d�fini sur les objets par :
$\frac{l'}{r'}\rightarrow -\frac{1}{r}[-\frac{rl'}{r'}]$.


Ce dernier induit un foncteur fid�lement plein
$\PAR_{\frac{1}{r}}(X,D)\rightarrow \PAR_{\frac{1}{r'}}(X,D)$, adjoint
� gauche du foncteur de restriction $\PAR_{\frac{1}{r'}}(X,D)\rightarrow
\PAR_{\frac{1}{r }}(X,D)$.  En particulier pour $r=1$ on obtient un
foncteur $\MOD (X)\rightarrow \PAR_{\frac{1}{r'}}(X,D)$, adjoint �
gauche du foncteur d'oubli (ou �valuation en z�ro)
$\PAR_{\frac{1}{r'}}(X,D) \rightarrow \MOD (X)$. Ceci permet de poser :

\begin{defi}
On d�finit
  la cat�gorie $\PAR(X,D)$ des fibr�s paraboliques �
  poids rationnels comme

 $$\PAR(X,D)=\lim_{\stackrel{\longrightarrow}{r\in\mathbb N}} \PAR_{\frac{1}{r}}(X,D)$$

\end{defi}

\begin{rem}
  On peut aussi d�finir directement les objets de $\PAR(X,D)$ comme des
  couples  $(\mathcal E_{\cdot},j)$, o� $\mathcal E_{\cdot} :
(\mathbb Q)^{op}\rightarrow \MOD(X)$ est un foncteur, et
  $j:\mathcal E_{\cdot}\otimes_{\mathcal O_X}\mathcal
O_X(-D)\simeq \mathcal E[1]_\cdot$ une transformation naturelle
  v�rifiant la m�me relation de commutativit�, avec la condition
  suppl�mentaire que la longueur de la filtration $(\mathcal
  E_{\alpha})_{\alpha \in [0,1]}$ est finie.
\end{rem}


On munit $\PAR(X,D)$ des Homs internes et du produit tensoriel induit
par ceux des $\PAR_{\frac{1}{r}}(X,D)$, qui sont �videmment
compatibles entre eux.

On d�finit la cat�gorie des fibr�s paraboliques
 localement libres (de rang fini) sur $(X,D)$ de la mani�re �vidente,
 � savoir :  $$\Par(X,D)=\lim_{\stackrel{\longrightarrow}{r\in\mathbb N}} \Par_{\frac{1}{r}}(X,D)$$

Comme on l'a vu, le foncteur d'oubli (ou �valuation en z�ro)
$\Par(X,D)\rightarrow \Vect(X)$ a un adjoint � gauche, qu'on explicite :

\begin{defi}
Pour $\mathcal F\in \obj \Vect (X)$, on dispose du fibr� parabolique
localement libre sur $(X,D)$, dit \emph{� structure sp�ciale}, et not�
$\underline{\mathcal F}.$, d�fini sur les objets par :
$$\underline{\mathcal F}_\cdot=   \mathcal F
\otimes_{\mathcal O_X}\mathcal O_X([-\cdot] D)$$
\end{defi}

L'utilit� des structures sp�ciales vient en partie du fait classique suivant.

\begin{thm}

  \label{LocStrPar}
  Soit $\mathcal E_\cdot \in \obj \Par(X,D)$. Pour tout point $x\in
  X$, il existe un voisinage ouvert (pour la topologie de Zariski) 
$U$ de $X$, il existe une famille
  finie de nombres rationnels $(\alpha_a)_{a\in A}$ telle que

  $$(\mathcal E_\cdot)_{|U}\simeq \oplus_{a\in A}
  \underline{\mathcal O_U}_\cdot [\alpha_a]$$
\end{thm}

\begin{proof}
La d�monstration est tr�s proche de celle de la proposition \ref{StrucLoc}, que nous d�taillons par la suite.
\end{proof}

 \subsection{Fibr�s paraboliques et rev�tements}

\begin{defi}[\cite{AV}]\label{RCU}
Soit $X$ un sch�ma noeth�rien. Un
\emph{rev�tement cyclique uniforme de degr� $r$} de $X$ est
un morphisme de sch�mas $\pi \colon Y \rightarrow X$, et une action du
sch�ma en groupes $\boldsymbol{\mu}_r$ sur $Y$, tels que pour tout
point $x$ de $X$, il existe un voisinage affine $U =  \Spec R$
de  $x$ dans $X$, un �l�ment $s \in R$ qui n'est pas un diviseur de
z�ro, et un isomorphisme de $U$-sch�mas $\pi^{-1}(U) \simeq
\Spec R[t]/(t^r - s)$ qui est $\boldsymbol{\mu}_r$-�quivariant, o� le
membre de droite est �quip� de l'action �vidente.
\end{defi}

L'ensemble de tels couples $(U,s)$ (resp. $(\pi^{-1}(U),t)$),
pour $U$ variant sur un recouvrement de $X$, d�finit un diviseur de
Cartier effectif $D$ sur $X$ (resp. $E$ sur $Y$),
que l'on appelle \emph{le diviseur de branchement}
(resp. \emph{le diviseur de ramification}) de $\pi$. Ils v�rifient la
relation $\pi^*D=rE$.

\begin{rem}[\cite{AV}]\label{remRCU}
Donn� $\pi \colon Y \rightarrow X$ un rev�tement cyclique uniforme de
degr� $r$, $\pi_*\mathcal O_Y$ est muni d'une $\mathbb Z/r$-graduation
naturelle, qu'on �crit
$\pi_*\mathcal O_Y =\mathcal L_0\oplus \mathcal L_1\oplus \cdots
\mathcal L_{r-1}$. En regardant localement on voit que les $\mathcal
L_j$ sont des faisceaux inversibles, et que le morphisme
canonique $\mathcal L_1^{\otimes r}\rightarrow \mathcal L_0
\simeq  \mathcal O_X$ est un
monomorphisme d'image $\mathcal O_X(-D)$.
Ainsi le faisceau $\mathcal L= \mathcal O_X(D)$ est-il muni d'une
racine $r$-i�me canonique.

R�ciproquement la donn�e d'un faisceau inversible  $\mathcal L_1$ sur
$X$ et d'un monomorphisme  $\mathcal L_1^{\otimes r}\rightarrow
\mathcal O_X$ permet de d�finir un rev�tement cyclique uniforme de
degr� $r$ sur $X$, en consid�rant le sch�ma affine sur $X$
associ� au faisceau d'alg�bres $\frac{\Sym \mathcal L_1}{\mathcal L_1^{\otimes r}\rightarrow \mathcal O_X}$.

\end{rem}

\begin{defi}
  Soit $S$ un sch�ma de base.
  Soit $Y$ un $S$-sch�ma muni d'une action d'un $S$-sch�ma en groupes
  $G$. Un \emph{$G$-faisceau localement libre sur $Y$} est un
  morphisme de $S$-champs $[Y|G]\rightarrow \VECT S$, o� $ \VECT S$
  est le champ des faisceaux localement libres (de rang fini) sur $S$.

  On note $G\Vect(Y)$ la cat�gorie des $G$-faisceaux localement libres sur $Y$.

\end{defi}



\begin{prop}
  \label{corrloc}
  Soit $X$ un sch�ma noeth�rien,
  $\pi : Y\rightarrow X$ un rev�tement cyclique uniforme de degr�
  $r$, $\mathcal F$ un $\boldsymbol{\mu}_r$-faisceau localement
  libre sur $Y$. Soit $D$ le diviseur de
  branchement et $E$ le diviseur de ramification de $\pi$.
  Alors l'association
\xymatrix@R=2pt{
  &&(\frac{1}{r}\mathbb Z)^{op}\ar[r] &\Vect(X)\\
   &&\frac{l}{r} \ar[r] & \pi_*^{\boldsymbol{\mu}_r}(\mathcal F\otimes_{\mathcal
    O_Y} \mathcal O_Y(-lE))}

  d�finit de mani�re naturelle un $r$-fibr� parabolique sur $(X,D)$.
\end{prop}

\begin{rem}

  \begin{enumerate}

\item Ce type d'association est du � I.Biswas (\cite{Biswasorb}).

  \item
    Posons $\mathcal E_{\cdot}=\pi_*^{\boldsymbol{\mu}_r}(\mathcal
  F\otimes_{\mathcal O_Y} \mathcal O_Y(-\cdot r E))$. Pour ne pas
  alourdir la proposition nous n'avons d�fini $\mathcal E_{\cdot}$ que
  sur les objets. La d�finition sur les fl�ches est claire : pour
  $l\leq l'$, le morphisme $\mathcal E_{\frac{l'}{r}} \rightarrow \mathcal E_{\frac{l}{r}}$
  est induit par la multiplication par $t^{l'-l}$, o� $t:\mathcal O_Y\rightarrow \mathcal O_Y(E)$ est la section canonique. Le morphisme
  $j:\mathcal E_{\cdot}\otimes_{\mathcal O_X}\mathcal O_X(-D)\simeq
  \mathcal E[1]_\cdot$ est donn� par la relation $\pi^*D=rE$ et la
  formule de projection pour les $\boldsymbol{\mu}_r$-faisceaux. Enfin
  le fait que $j$ v�rifie la condition de commutativit� de la
  d�finition \ref{defYok} vient de la relation $\pi^* s=t^r$.

\item Nous verrons que cette op�ration d�finit un foncteur
  $\boldsymbol{\mu}_r\Vect(Y)\rightarrow \Par_{\frac{1}{r }}(X,D)$
  qui est en fait une �quivalence de cat�gories tensorielles.

  \end{enumerate}
  \end{rem}

\begin{proof}[D�monstration de la proposition \ref{corrloc}]
  On commence par remarquer que
  pour $\mathcal F$ un ${\boldsymbol{\mu}_r}$-faisceau
 localement libre sur $Y$, $\pi_*^{\boldsymbol{\mu}_r}\mathcal F$
 est localement libre sur $X$ : en effet ${\boldsymbol{\mu}_r}$ �tant diagonalisable c'est un facteur direct de
 $\pi_*\mathcal F$, qui est localement libre car $\mathcal F$ l'est,
  $\pi$ est fini et plat, et $X$ est noeth�rien.

Il reste � voir que  $l\leq l' < l+r $,
$\coker(\mathcal E_{\frac{l'}{r}} \rightarrow \mathcal E_{\frac{l}{r}})$
  est localement libre comme $\mathcal O_D$-module. Cela r�sulte
  clairement du lemme suivant :

  \begin{lem}
    Pour tout $\boldsymbol{\mu}_r$-faisceau  $\mathcal F$ localement
  libre sur $Y$, pour tout $0\leq l< r$, le
  faisceau  $\pi_*^{\boldsymbol{\mu}_r}(\mathcal
  F\otimes_{\mathcal O_Y} \mathcal O_{lE})$ est localement libre comme
  $\mathcal O_D$-module.
  \end{lem}
\begin{proof}
  La propri�t� � d�montrer est locale sur $X$ et on peut donc supposer
  $X=\Spec R$, $Y=\Spec R[t]/(t^r - s)$ comme dans la d�finition \ref{RCU}.
On consid�re le diagramme commutatif suivant :
\begin{center}
\xymatrix@R=2pt@L=4pt{
  &&&lE \ar[ddd]_p\ar[r]^j & Y\ar[ddd]^{\pi}\\
  &&&&\\
  &&&&\\
   &&&D\ar[r]_i & X}
\end{center}
On a $\pi_*^{\boldsymbol{\mu}_r}(\mathcal
  F\otimes_{\mathcal O_Y} \mathcal O_{lE})=
  \pi_*^{\boldsymbol{\mu}_r}(j_*j^*\mathcal
  F)=i_*(p_*^{\boldsymbol{\mu}_r}j^*\mathcal F)$. Il s'agit donc de
  voir que $p_*^{\boldsymbol{\mu}_r}j^*\mathcal F$ est localement
  libre sur $D$. Or c'est un facteur direct de
  $p_*j^*\mathcal F$, qui est localement libre sur $D$, car
  $p: lE=\Spec \frac{R}{s}[t]/t^l \rightarrow \Spec \frac{R}{s}=D$ est
  fini et plat, $D$ est noeth�rien, et  $j^*\mathcal F$ est localement
  libre sur $lE$.
\end{proof}
\end{proof}


\section{Champ des racines $r$-i�mes d'un faisceau inversible muni d'une section}

On fixe un entier $r\geq 1$, un sch�ma noeth�rien
    $X\rightarrow\Spec \mathbb Z[r^{-1}]$, $\mathcal L$ un faisceau
    inversible sur $X$, $s\in H^0(X, \mathcal L)$.

\subsection{D�finition}

\begin{defi}[\cite{Cadman}]

  On d�finit une cat�gorie $X_{(\mathcal L,s,r)}$ fibr�e en groupo�des
  sur $\Spec \mathbb Z[r^{-1}]$ par
\begin{enumerate}
\item  les objets de $X_{(\mathcal L,s,r)}$ sont les quadruplets
    $(f,\mathcal M, t, \phi)$ o� $f:S\rightarrow X$ est un morphisme
    de sch�mas, $\mathcal M$ un faisceau inversible sur $S$,
    $t\in H^0(S, \mathcal M)$, et $\phi : \mathcal M^{\otimes
    r} \simeq f^*\mathcal L$ un isomorphisme tel que $\phi(t^{\otimes
    r})=f^*s$,
\item les morphismes de $(f,\mathcal M, t, \phi)$ (au dessus de
  $S$) � $(g,\mathcal N, u, \psi)$ (au dessus de
  $T$) sont les couples $(h, \rho)$, o� $h:S\rightarrow T$ est un
  morphisme de sch�mas tel que $g\circ h =f$, et $\rho : \mathcal
  M\simeq h^*\mathcal N$ est un isomorphisme de faisceaux tel que
  $\rho(t)=h^*(u)$ et le diagramme suivant commute :
\begin{center}
\xymatrix@R=2pt@L=4pt{
  &&&\mathcal M^{\otimes r} \ar[ddd]_{\phi}\ar[r]^{\rho^{\otimes r}}
  & h^*\mathcal N^{\otimes r} \ar[ddd]^{h^*\psi}\\
  &&&&\\
  &&&&\\
   &&&f^*\mathcal L\ar@{=}[r] & h^*g^*\mathcal L }
\end{center}

\end{enumerate}
  \end{defi}

\begin{thm}[\cite{Cadman}, Theorem 2.2]
$X_{(\mathcal L,s,r)}$ est un champ de Deligne-Mumford
  (pour la topologie �tale) sur $\Spec \mathbb Z[r^{-1}]$.
 \end{thm}

On appellera $X_{(\mathcal L,s,r)}$  le \emph{champ des racines $r$-i�mes} de
  $(\mathcal L,s)$.

\begin{prop}[\cite{Cadman}, Proposition 2.4]
Si $f:X'\rightarrow X$ est un morphisme de sch�mas alors
il existe un isomorphisme naturel
$X'\times_X X_{(\mathcal L,s,r)}\simeq X'_{(f^*\mathcal L,f^*s,r)}$.
\end{prop}



\begin{thm}[\cite{Cadman}, version 1, Proposition 3.2]\label{root}
Supposons qu'il existe un faisceau inversible $\mathcal N$ sur $X$
et un isomorphisme $\psi :\mathcal N^{\otimes r}\simeq \mathcal L$.

Si $Y=\SPEC (\frac{\Sym(\mathcal N^{\vee})}{{\mathcal N^{\vee}}^{\otimes r}\simeq \mathcal L^{\vee}})$, o� la structure d'alg�bre est d�finie par
$\psi^{\vee}$ et $s^{\vee}$, alors il existe un isomorphisme naturel
$[Y| {\boldsymbol{\mu}_r}]\simeq  X_{(\mathcal L,s,r)}$.
\end{thm}

\begin{proof}
  On rappelle bri�vement le principe de la preuve.

  Soit $\pi : Y\rightarrow X$ le morphisme structurel, $u:\mathcal
  O_Y\rightarrow \pi^*\mathcal N$
  la section canonique. Alors $\xi:(\pi, \pi^*\mathcal N, u, \pi^*
  \psi)$ d�finit un objet de $X_{(\mathcal L,s,r)}(Y)$.

Donn� un objet $(p,h)$ de $[Y| {\boldsymbol{\mu}_r}](S)$, compos�
d'un ${\boldsymbol{\mu}_r}$-torseur $p:T\rightarrow S$, et d'un
morphisme ${\boldsymbol{\mu}_r}$-�quivariant $h:T\rightarrow Y$, on
dispose donc d'un objet ${\boldsymbol{\mu}_r}$-�quivariant $h^*\xi$.
Comme $X_{(\mathcal L,s,r)}$ est un champ celui-ci se descend en un
objet $\eta$ de $X_{(\mathcal L,s,r)}(S)$.

R�ciproquement fixons un objet $(f,\mathcal M, t, \phi)$ de
$X_{(\mathcal L,s,r)}(S)$. L'isomorphisme $\mathcal M^{\otimes
  r}\simeq f^*\mathcal L\simeq f^*\mathcal N^{\otimes
  r}$ d�duit de $\phi$ et $f^*\psi$ d�finit un
  ${\boldsymbol{\mu}_r}$-torseur sur $S$



$$T=\SPEC (\frac{\Sym(\mathcal M \otimes f^*\mathcal N^{\vee})}{\mathcal M^{\otimes r}\simeq f^*\mathcal N^{\otimes r}})$$

  et $t:\mathcal O_S\rightarrow \mathcal M$ induit un morphisme
  ${\boldsymbol{\mu}_r}$-�quivariant $T\rightarrow Y$. On dispose donc
  d'un objet de $[Y| {\boldsymbol{\mu}_r}](S)$, et on v�rifie que ces
  deux constructions d�finissent des �quivalences de cat�gories
  r�ciproques l'une de l'autre.

\end{proof}



\begin{cor}
  \label{strucloc}

  Pour tout point $x$ de $X$, il existe un voisinage affine $U =  \Spec R$
de  $x$ dans $X$, un �l�ment $\sigma \in R$ et un isomorphisme naturel de $U$-champs :
$$[\Spec (\frac{R[\tau]}{\tau^r - \sigma})| {\boldsymbol{\mu}_r}]\simeq U_{(\mathcal
  L_{|U},s_{|U},r)}$$
\end{cor}

\begin{cor}
\label{pipropre}
Le morphisme canonique $\pi : X_{(\mathcal L,s,r)}\rightarrow X$ est fini. 
\end{cor}

\begin{proof}
On doit montrer que $\pi$ est quasi-fini et propre.

Commen�ons par la quasi-finitude :  d'apr�s \cite{Cadman}, on dispose d'un
atlas �tale $U\rightarrow X_{(\mathcal L,s,r)}$ de type fini sur $X$, donc $\pi$ est de type fini. Donn� un point g�om�trique $\Spec \Omega\rightarrow X$, 
on sait que $\Spec \Omega\times_ X X_{(\mathcal L,s,r)}\simeq 
\Spec \Omega_{(\mathcal L_{|\Spec \Omega},s_{|\Spec \Omega},r)}$, et d'apr�s le th�or�me \ref{root}, ce champ admet bien un atlas �tale fini sur $\Spec \Omega$. Donc 
$\pi$ est quasi-fini.

Prouvons que $\pi$ est propre. On s'assure ais�ment que $\pi$ v�rifie le crit�re valuatif usuel (\cite{VistInv}) pour les morphismes universellement ferm�s.
Reste � voir que $\pi$ est s�par�, ou de mani�re �quivalente que le morphisme diagonal $X_{(\mathcal L,s,r)}\rightarrow X_{(\mathcal L,s,r)}\times_X X_{(\mathcal L,s,r)}$ est propre. Soit $(X_i\rightarrow X)$ un rev�tement Zariski de $X$ trivialisant $\mathcal L$, et $\mathcal L_i$, $s_i$ les restrictions. D'apr�s (\cite{VistDesc}), Proposition 2.36, il suffit de montrer que  
${X_i}_{(\mathcal L_i,s_i,r)}\rightarrow {X_i}_{(\mathcal L_i,s_i,r)}\times_{X_i}{X_i}_{(\mathcal L_i,s_i,r)}$ est propre. On peut donc supposer $\mathcal L$ trivial, et 
d'apr�s le th�or�me \ref{root}, que 
$X_{(\mathcal L,s,r)}\simeq [Y| {\boldsymbol{\mu}_r}]$, o� $Y\rightarrow X$
est fini. 

Le changement de base du morphisme diagonal 
$[Y| {\boldsymbol{\mu}_r}]\rightarrow
[Y| {\boldsymbol{\mu}_r}]\times_X[Y| {\boldsymbol{\mu}_r}]$ par l'atlas �tale
$Y \times_X Y$ de $[Y| {\boldsymbol{\mu}_r}]\times_X[Y| {\boldsymbol{\mu}_r}]$
donne le morphisme $(a,pr_2): {\boldsymbol{\mu}_r}\times Y\rightarrow
Y\times_X Y$, o� $a$ d�signe le morphisme d'action.
Or celui-ci est fini (et donc propre), car fini compos� avec 
$pr_2:  Y\times_X Y\rightarrow Y$, qui est s�par� car obtenu par changement de
base � partir du morphisme affine $Y\rightarrow X$. 
\end{proof}
 
\begin{cor}
$X_{(\mathcal L,s,r)}$ admet $X$ comme espace des modules grossier.
\end{cor}

\begin{proof}
C'est un cons�quence imm�diate du fait que $X_{(\mathcal L,s,r)}\rightarrow X$ est s�par�, donc admet un espace des modules grossier (voir \cite{KM}), et que $X$ est un quotient cat�gorique pour $X_{(\mathcal L,s,r)}$ (i.e. est universel pour les morphismes de $X_{(\mathcal L,s,r)}$ vers un sch�ma) comme montr� dans \cite{Cadman}, \S 2.4.
\end{proof}

  \begin{cor}
 \label{quotunif}
  Soit $\pi : Y\rightarrow X$ un rev�tement cyclique uniforme de degr�
  $r$. Soit $D$ le diviseur (resp. $E$) de branchement (resp. de
   ramification), et $s$ (resp. $t$) la section canonique de
   $\mathcal L =\mathcal O_X(D)$ (resp.  $\mathcal N=\mathcal O_Y(E)$).
Soit de plus $\phi : \mathcal N^{\otimes r} \simeq \pi^* \mathcal L$
   le morphisme d�coulant de l'�galit� $\pi^* D =rE$.


 Alors le morphisme $Y \rightarrow  X_{(\mathcal L,s,r)}$ d�fini par
 $(\pi,\mathcal N, t,\phi)$ induit un isomorphisme de $X$-champs
 $[Y| {\boldsymbol{\mu}_r}]\simeq  X_{(\mathcal L,s,r)}$
\end{cor}

  \begin{proof}

Cela d�coule du th�or�me \ref{root} et de la remarque \ref{remRCU}.
\end{proof}

 \begin{cor}
\label{pilisse}
Supposons que $s:\mathcal O_X\rightarrow \mathcal L$ est un monomorphisme, et notons $D=\Div(s)$. Supposons de plus donn� un morphisme lisse $X\rightarrow S_0$, o� $S_0\rightarrow \Spec \mathbb Z[r^{-1}]$ est une base, tel que $D$ est lisse sur $S_0$. Alors $X_{(\mathcal L,s,r)}$ est lisse sur $S_0$.
\end{cor}

\begin{proof}
La lissit� est une propri�t� locale, il s'agit donc de voir que 
$X_{(\mathcal L,s,r)}$ admet un atlas lisse sur $S_0$. Quitte � recouvrir $X$ par des ouverts trivialisant $\mathcal L$, on peut se ramener, d'apr�s le th�or�me \ref{root}, au cas o� $X_{(\mathcal L,s,r)}\simeq [Y| {\boldsymbol{\mu}_r}]$, o� $Y\rightarrow X$  est un rev�tement cyclique uniforme. Mais alors 
$[Y| {\boldsymbol{\mu}_r}]$ admet $Y\rightarrow [Y| {\boldsymbol{\mu}_r}]$ 
comme atlas �tale, et $Y\rightarrow S_0$ est lisse d'apr�s \cite{AV}, Proposition 2.5. 

\end{proof}

\begin{lem}
\label{CartDisj}
  Soient $D,D'$ deux diviseurs de Cartier effectifs � supports disjoints,
 $\mathcal L =\mathcal O_X(D)$, $\mathcal L' =\mathcal O_X(D')$, et $s$, $s'$ 
les sections canoniques. Il existe un isomorphisme canonique
$X_{(\mathcal L,s,r)}\times_X X_{(\mathcal L',s',r)}\simeq 
X_{(\mathcal L\otimes_{\mathcal O_X} \mathcal L',s\otimes s',r)}$.
\end{lem}

\begin{proof}
  Le morphisme canonique $X_{(\mathcal L,s,r)}\times_X X_{(\mathcal
    L',s',r)}\rightarrow X_{(\mathcal L\otimes_{\mathcal O_X} \mathcal
    L',s\otimes s',r)}$ est un isomorphisme au dessus de $U=X-\supp(D)$ et
$U'=X-\supp(D')$, qui par hypoth�se recouvrent $X$. 

\end{proof}
  \subsection{Faisceaux inversibles sur ce champ}

  Sur $X_{(\mathcal L,s,r)}$ on dispose d'un faisceau inversible canonique
$\mathcal N$  d�fini par $(f,\mathcal M, t, \phi)\rightarrow \mathcal
M$. Il est muni d'une section canonique $u : \mathcal
O_{X_{(\mathcal L,s,r)}}\rightarrow \mathcal N$ d�finie localement par
$t:\mathcal O_S \rightarrow \mathcal M$.

De plus, il existe un isomorphisme canonique $\psi : \mathcal N^{\otimes
  r}\simeq \pi^* \mathcal L$, d�fini localement par $\phi: \mathcal M^{\otimes
  r}\simeq f^* \mathcal L$, il v�rifie $\psi(u^ {\otimes
  r})=\pi^* s$.

 
  \begin{lem}
  \label{PartEnt}
  On suppose que $\Div s$ est un diviseur de Cartier effectif.
  Pour tout entier $l$ le morphisme naturel :
  $$\mathcal L^{\otimes[l/r]}\rightarrow \pi_*(\mathcal N^{\otimes l}) $$
est un isomorphisme.
\end{lem}

\begin{proof}
  D'apr�s la formule de projection, on a pour tout entiers $a,b$ :
  $\pi_*(\mathcal N^{\otimes ar+b})\simeq \mathcal L^{\otimes a}
  \pi_*(\mathcal N^{\otimes b})$, on
  peut donc se contenter de montrer la formule pour $r$ entiers
  cons�cutifs.

  Soit $0< l \leq r$. La suite exacte

$$0\rightarrow \mathcal N^{\otimes-l}\rightarrow\mathcal O_{X_{(\mathcal L,s,r)}}
\rightarrow  \mathcal O_{X_{(\mathcal L,s,r)}}/\mathcal
N^{\otimes-l}\rightarrow 0$$



correspond localement � une suite de ${\boldsymbol{\mu}_r}$-faisceaux

$$0\rightarrow\frac{t^lR[t]}{t^r-s}\rightarrow
\frac{R[t]}{t^r-s}\rightarrow \frac{R/s[t]}{t^l}\rightarrow 0$$



En prenant les fixes il vient
$$0\rightarrow(\frac{t^lR[t]}{t^r-s})^{\boldsymbol{\mu}_r}\rightarrow
R\rightarrow R/s\rightarrow 0$$



Comme $s$ est l'�quation locale d�finissant $\mathcal L$, on en d�duit
que $\pi_* (\mathcal N^{\otimes-l})=\mathcal L^{\otimes-1}$, d'o� la conclusion.


\end{proof}


\subsection{Faisceaux localement libres sur ce champ}

Pour $\mathfrak X$ un champ de Deligne-Mumford sur le sch�ma $X$,
un faisceau localement libre sur $\mathfrak X$ est par d�finition un
morphisme de champs $\mathfrak X\rightarrow \VECT X$, o� $\VECT X$ est
le champ des faisceaux localement libres sur $X$.
On note $\Vect \mathfrak X$ la cat�gorie des faisceaux localement
libres sur $\mathfrak X$.


\subsubsection{Situation locale}

 \begin{prop}
  \label{StrucLoc}
  On suppose que $\Div s$ est un diviseur de Cartier effectif.
Soit $\mathcal F$ un faisceau localement libre sur $X_{(\mathcal L,s,r)}$.
Pour tout point $x$ de $X$, il existe un voisinage $U$ (pour la topologie de Zariski) de $x$ tel que
$\mathcal F_{|\pi^{-1}U}$ est une somme de faisceaux inversibles.
\end{prop}

 \begin{proof}
 D'apr�s le corollaire \ref{strucloc}, on peut identifier
 $X_{(\mathcal L,s,r)}\rightarrow X$ � $[(\Spec R[t]/(t^r - s))|
 {\boldsymbol{\mu}_r}]\rightarrow \Spec R$, pour $R$ un anneau, $s$ un
 �l�ment de $R$ ne divisant pas z�ro. Soit $R'= R[t]/(t^r - s)$.
La donn�e de $\mathcal F$ �quivaut � celle d'un $R'$-module libre $M$,
 avec une $\mathbb Z/r$-graduation compatible avec celle de $R'$ et
 l'action de $R'$ sur $M$, on la notera $M=M_0\oplus M_1\oplus \cdots
 \oplus M_{r-1}$.

On peut de plus supposer que $R$
 est un anneau local, d'id�al maximal $\mathfrak m$.
Si $s\notin \mathfrak m$ il n'y a rien � d�montrer, puisque alors
 ${\boldsymbol{\mu}_r}$ agit librement sur $\Spec R[t]/(t^r - s)$ et
 donc $[(\Spec R[t]/(t^r - s))|{\boldsymbol{\mu}_r}]\simeq \Spec R$.

 On peut donc supposer que $s\in \mathfrak m$. Alors $R'= R[t]/(t^r -
 s)$ est aussi local. En effet, si $\mathfrak n$ est un id�al maximal
 de $R'$, alors $R'/R$ �tant finie, on a $R\cap \mathfrak n=\mathfrak
 m$, et donc $s\in \mathfrak n$. Donc $t\in \mathfrak n$,
 et $\mathfrak n$ peut-�tre vu comme
 un id�al maximal de $R'/t$, comme $R'/t\simeq R/s$ est local, $ \mathfrak n$
 est unique.

 Notons que pour $l$ entier, on a un isomorphisme naturel
 de $R'$-modules gradu�s $R'[l]\simeq t^lR'$, en particulier
 pour $l=1$ on obtient un isomorphisme :

 $$\frac{M}{tM}\simeq \oplus_j\frac{M_j}{M_{j+1}}$$

 de $R'/t$-modules libres, respectant la graduation. Pour chaque $j$,
 choisissons un $n_j$-uplet $(e_1^j,\cdots,e_{n_j}^j)$ dans $M_j$ tel que
 son image forme une base de $\frac{M_j}{M_{j+1}}$, et soit
 $(e_1,\cdots,e_n)$ le $n$-uplet obtenu par concat�nation.

 Comme  $M_j\simeq \Hom_{R'}( R'[j], M)$ (morphismes de $R'$-modules
 gradu�s) ce $n$-uplet d�finit un morphisme de $R'$-modules gradu�s

 $$\oplus_j R'[j]^{\oplus n_j}\rightarrow M$$

 Comme $R'$ est local, et $t\in \mathfrak n$, le lemme de Nakayama
 implique que ce morphisme est surjectif. Comme les deux $R'$-modules
 sont libres de m�me rang ce doit �tre un isomorphisme de
 $R'$-modules, et donc un isomorphisme de $R'$-modules gradu�s.


 \end{proof}

\subsubsection{Situation globale}

\begin{thm}
\label{thmprinc}
   Soit $r$ un entier naturel,
   $X\rightarrow\Spec \mathbb Z[r^{-1}]$ un sch�ma noeth�rien,
 $D$ un diviseur de Cartier effectif, $\mathcal L=\mathcal O_X(D)$, $s$ la
 section canonique, alors le foncteur $F$ :

\xymatrix@R=2pt{
  &&\Vect (X_{(\mathcal L,s,r)})\ar[r]&\Par_{\frac{1}{r}} (X,D)& \\
  &&\mathcal F\ar[r] & ((\frac{1}{r}\mathbb Z)^{op}  \ar[r]
  &\Vect(X))\\
&&& \frac{l}{r}\ar[r] & \pi_* (\mathcal N^{\otimes -l}\otimes_{\mathcal O_{X_{(\mathcal L,s,r)}}} \mathcal F)}

est une �quivalence de cat�gories tensorielles.
\end{thm}







\subsection{Preuve}

\subsubsection{$F$ est bien d�fini}

\begin{lem}
 Pour tout faisceau $\mathcal F$ localement libre sur $X_{(\mathcal
  L,s,r)}$, le foncteur $ \frac{l}{r}\rightarrow  \pi_* (\mathcal
  N^{\otimes -l}\otimes_{\mathcal O_{X_{(\mathcal L,s,r)}}} \mathcal F)$
  d�finit un $r$-fibr� parabolique sur $(X,D)$.
\end{lem}

\begin{proof}


Posons $\mathcal E_{\frac{l}{r}}= \pi_* (\mathcal
  N^{\otimes-l}\otimes_{\mathcal O_{X_{(\mathcal L,s,r)}}} \mathcal F)$.
Il s'agit de voir que $\mathcal E_{\frac{l}{r}}$ est localement libre
  sur $X$
et que pour $l\leq l' < l+r $, $\coker(\mathcal E_{\frac{l'}{r}} \rightarrow
\mathcal E_{\frac{l}{r}})$ est localement libre comme $\mathcal O_D$-module.
Ce sont des affirmations locales sur $X$. En trivialisant $\mathcal L$
on se ram�ne au cas o� $X_{(\mathcal L,s,r)}$ est un champ quotient
issu d'un rev�tement cyclique uniforme, comme dans le corollaire
\ref{strucloc}, et on peut alors appliquer la proposition \ref{corrloc}.

\end{proof}

\subsubsection{D�finition d'un foncteur quasi-inverse $G$}

Pour les bouts, voir l'appendice \ref{Bout}.



\begin{prop}
  \label{BoutExist}
  Soit $\mathcal E_\cdot \in \obj \Par_{\frac{1}{r}} (X,D)$.

  Le bout universel $\int^{\frac{1}{r}\mathbb Z}\mathcal N^{\otimes l}
  \otimes_{\mathcal O_{X_{(\mathcal L,s,r)}}}\pi^*(\mathcal
  E_{\frac{l}{r}})$ existe dans $\Vect (X_{(\mathcal L,s,r)})$.
\end{prop}

\begin{proof}

On commence par remarquer que la question a un sens : en effet
$(\frac{l}{r},\frac{l'}{r}) \rightarrow \mathcal N^{\otimes l'}
  \otimes_{\mathcal O_{X_{(\mathcal L,s,r)}}}\pi^*(\mathcal
  E_{\frac{l}{r}})$ d�finit un foncteur de variance mixte
$(\frac{1}{r}\mathbb Z)^{op}\times \frac{1}{r}\mathbb Z \rightarrow
  \Vect (X_{(\mathcal L,s,r)})$, la contravariance en la premi�re variable
  venant de la structure de $r$-faisceau parabolique de $\mathcal
  E_\cdot$, et la covariance en la seconde venant de la multiplication
  par une puissance convenable de $u : \mathcal
O_{X_{(\mathcal L,s,r)}}\rightarrow \mathcal N$.

Un bout universel est une colimite (\cite{MacLane}), et on peut donc
la construire localement : en effet, le caract�re universel
des limites locales rend les conditions de recollement
automatiques. Plus pr�cis�ment, on utilise le lemme folklorique suivant, qu'on
donne ici sans d�monstration.

\begin{lem}
Soit $\mathfrak X$ un champ alg�brique, $\mathcal E :I \rightarrow \Vect \mathfrak X$ un diagramme, $(\mathfrak X_\alpha \rightarrow \mathfrak X)_\alpha $ un
recouvrement par des ouverts.
Si $$\lim_{\stackrel{\rightarrow}{I}} {\mathcal E_i}_{|\mathfrak X_\alpha}$$ existe dans
$\Vect \mathfrak X_\alpha$ pour tout $\alpha$, alors
 $$\lim_{\stackrel{\rightarrow}{I}} {\mathcal E_i}$$
  existe dans $\Vect \mathfrak X$.
\end{lem}

Gr�ce au th�or�me \ref{LocStrPar}, en raisonnant localement sur $X$,
on peut donc se contenter de montrer
l'existence de $\int^{\frac{1}{r}\mathbb Z}\mathcal N^{\otimes l}
  \otimes_{\mathcal O_{X_{(\mathcal L,s,r)}}}\pi^*(\mathcal
  E_{\frac{l}{r}})$ lorsque $\mathcal E_\cdot =
  \underline{\mathcal O_X}_\cdot [\frac{m}{r}]$, i.e. $\mathcal
  E_\cdot$ est un d�cal� du faisceau structurel muni de la structure
  sp�ciale. Or $\underline{\mathcal O_X}_\cdot [\frac{m}{r}]$ est
  d�fini sur les objets par
  $(\underline{\mathcal O_X}_\cdot
  [\frac{m}{r}])_{\frac{l}{r}}=\mathcal L ^{\otimes [-\frac{l+m}{r}]}$ et sur
  les fl�ches par multiplication par une puissance convenable de $s
  :\mathcal O_X \rightarrow  \mathcal L$. Il
  reste � prouver le lemme suivant :

  \begin{lem}
    \label{reduc}
$$\int^{\frac{1}{r}\mathbb Z}\mathcal N^{\otimes l}
  \otimes_{\mathcal O_{X_{(\mathcal L,s,r)}}}\pi^*\mathcal L^{\otimes [-\frac{l+m}{r}]}
\simeq \mathcal N^{\otimes -m}$$
  \end{lem}


\begin{proof}
  L'isomorphisme $\psi : \mathcal N^{\otimes
  r}\simeq \pi^* \mathcal L$, et la relation $\psi(u^ {\otimes
  r})=\pi^* s$, montrent que les foncteurs $(l,l')\rightarrow \mathcal N^{\otimes l'}
  \otimes_{\mathcal O_{X_{(\mathcal L,s,r)}}}\pi^*\mathcal L
  ^{\otimes [-\frac{l+m}{r}]}$ et $(l,l')\rightarrow \mathcal N^{\otimes l'+
  r[-\frac{l+m}{r}]}$ sont isomorphes (les fl�ches du second sont
  d�finies par multiplication par une puissance convenable de $u : \mathcal
O_{X_{(\mathcal L,s,r)}}\rightarrow \mathcal N$).
Or pour tout $l$ entier on a : $ -m-r<l+r[-\frac{l+m}{r}]\leq -m$, et la
  multiplication par $u$ fournit un morphisme $\mathcal N^{\otimes l+
  r[-\frac{l+m}{r}]}\rightarrow \mathcal N^{\otimes -m}$, �videmment dinaturel. Comme
  $l+r[-\frac{l+m}{r}]$ prend la valeur $-m$ lorsque $l$ varie, ce
  bout est universel, d'o�
$\int^{\frac{1}{r}\mathbb Z}\mathcal N^{\otimes l+
  r[-\frac{l+m}{r}]}\simeq \mathcal N^{\otimes -m}$, et la conclusion.
\end{proof}

\end{proof}

La proposition \ref{BoutExist} permet de poser
$G(\mathcal E_\cdot)=\int^{\frac{1}{r}\mathbb Z}\mathcal N^{\otimes l}
  \otimes_{\mathcal O_{X_{(\mathcal L,s,r)}}}\pi^*(\mathcal
  E_{\frac{l}{r}})$. La dinaturalit� du bout rend cette expression
  fonctorielle en $\mathcal E_\cdot$, si bien qu'on a d�fini un
  foncteur $G :\Par_{\frac{1}{r}} (X,D)  \rightarrow \Vect
  (X_{(\mathcal L,s,r)})$.

\subsubsection{Preuve de l'�quivalence}

\boxed{G\circ F \simeq 1}

On doit construire un
isomorphisme $$\int^{\frac{1}{r}\mathbb Z}\mathcal N^{\otimes l}
  \otimes_{\mathcal O_{X_{(\mathcal L,s,r)}}}\pi^*
\pi_* (\mathcal N^{\otimes -l}\otimes_{\mathcal O_{X_{(\mathcal L,s,r)}}}
\mathcal F)\rightarrow \mathcal F$$
naturel en $\mathcal F\in \obj \Vect (X_{(\mathcal L,s,r)})$.

L'existence d'un morphisme naturel est donn� par le lemme suivant.

\begin{lem}
Soit $adj : \Hom(\pi^* \mathcal E, \mathcal F)\simeq \Hom(\mathcal E,
\pi_*\mathcal F)$ le morphisme
d'adjonction. La famille de morphismes
$$1\otimes adj^{-1}(1) : \mathcal N^{\otimes l}
  \otimes_{\mathcal O_{X_{(\mathcal L,s,r)}}}\pi^*
\pi_* (\mathcal N^{\otimes -l}\otimes_{\mathcal O_{X_{(\mathcal L,s,r)}}}
\mathcal F) \rightarrow \mathcal F$$ est dinaturelle en $l\in \obj
\mathbb Z$.
\end{lem}

\begin{proof}
Il s'agit de voir la commutativit� du diagramme suivant :

\begin{center}
\xymatrix@R=4pt{
&&\mathcal N^{\otimes l}
  \otimes\pi^*
\pi_* (\mathcal N^{\otimes -l}\otimes
\mathcal F)\ar[drr]_{1\otimes adj^{-1}(1)}  && \\
\mathcal N^{\otimes l'}
  \otimes\pi^*
\pi_* (\mathcal N^{\otimes -l}\otimes
\mathcal F)\ar[urr]^{u^{l-l'}\otimes 1}\ar[drr]^{1\otimes \pi^*\pi_*(u^{l-l'}\otimes 1)}&&& &\mathcal F\\
&&\mathcal N^{\otimes l'}
  \otimes\pi^*
\pi_* (\mathcal N^{\otimes -l'}\otimes
\mathcal F)\ar[urr]^{1\otimes adj^{-1}(1)}  &&}
\end{center}

ou de mani�re �quivalente celle du diagramme :

\begin{center}
\xymatrix@R=2pt{
&&\mathcal N^{\otimes l-l'}
  \otimes\pi^*
\pi_* (\mathcal N^{\otimes -l}\otimes
\mathcal F)\ar[drr]_{1\otimes adj^{-1}(1)}  && \\
\pi^*\pi_* (\mathcal N^{\otimes -l}\otimes
\mathcal F)\ar[urr]^{u^{l-l'}}\ar[drr]^{\pi^*\pi_*(u^{l-l'}\otimes 1)}&&& &\mathcal N^{\otimes -l'}
  \otimes\mathcal F\\
&&\pi^*
\pi_* (\mathcal N^{\otimes -l'}\otimes
\mathcal F)\ar[urr]_{adj^{-1}(1)}  &&}
\end{center}

ce qui �quivaut encore � celle du diagramme :

\begin{center}
\xymatrix@R=2pt{
&&\mathcal N^{\otimes -l}
  \otimes\mathcal F \ar[drr]^{u^{l-l'}\otimes 1}  && \\
\pi^*\pi_* (\mathcal N^{\otimes -l}\otimes
\mathcal F)\ar[urr]^{adj^{-1}(1)}\ar[drr]^{\pi^*\pi_*(u^{l-l'}\otimes 1)}&&& &\mathcal N^{\otimes -l'}
  \otimes\mathcal F\\
&&\pi^*
\pi_* (\mathcal N^{\otimes -l'}\otimes
\mathcal F)\ar[urr]_{adj^{-1}(1)}  &&}
\end{center}

Or $adj$ envoie ces deux fl�ches sur $\pi_*(u^{l-l'}\otimes 1)$,
d'o� la conclusion.
\end{proof}

V�rifier que le morphisme naturel :
$\int^{\frac{1}{r}\mathbb Z}\mathcal N^{\otimes l}
  \otimes_{\mathcal O_{X_{(\mathcal L,s,r)}}}\pi^*
\pi_* (\mathcal N^{\otimes -l}\otimes_{\mathcal O_{X_{(\mathcal L,s,r)}}}
\mathcal F)\rightarrow \mathcal F$
est un isomorphisme est une question locale, et on peut donc supposer
que $X=\Spec R$, o� $R$ est un anneau local. On peut aussi supposer 
que $\mathcal F$ est un faisceau inversible d'apr�s la proposition \ref{StrucLoc}. 
Or $R$ �tant local, $\Pic(X_{(\mathcal
  L,s,r)})$ est cyclique d'ordre $r$, et engendr� par $\mathcal N$. On
peut donc prendre $\mathcal F=\mathcal N^{\otimes -m}$.


Finalement d'apr�s le lemme \ref{PartEnt}
$\int^{\frac{1}{r}\mathbb Z}\mathcal N^{\otimes l}
  \otimes \pi^*\pi_* \mathcal N^{\otimes -l-m}\simeq
  \int^{\frac{1}{r}\mathbb Z}\mathcal N^{\otimes l} \otimes\pi^*\mathcal
  L^{\otimes [-\frac{l+m}{r}]}$ et on peut conclure � l'aide du lemme \ref{reduc}.

  \ \\
\boxed{F\circ G \simeq 1}

On doit montrer l'existence d'un inverse pour le morphisme naturel :

$$\pi_*(\mathcal N^{\otimes -m}\otimes_{\mathcal O_{X_{(\mathcal L,s,r)}}}
\int^{\frac{1}{r}\mathbb Z}\mathcal N^{\otimes l}
  \otimes_{\mathcal O_{X_{(\mathcal L,s,r)}}}\pi^*(\mathcal
E_{\frac{l}{r}}))\leftarrow \mathcal
E_{\frac{m}{r}}$$


Le foncteur $\mathcal N^{\otimes -l}\otimes_{\mathcal O_{X_{(\mathcal
      L,s,r)}}}\cdot $ �tant une �quivalence on a :

$$\pi_*(\mathcal N^{\otimes -m}\otimes_{\mathcal O_{X_{(\mathcal L,s,r)}}}
\int^{\frac{1}{r}\mathbb Z}\mathcal N^{\otimes l}
  \otimes_{\mathcal O_{X_{(\mathcal L,s,r)}}}\pi^*(\mathcal
E_{\frac{l}{r}}))\simeq
\pi_*(\int^{\frac{1}{r}\mathbb Z}\mathcal N^{\otimes l-m}
  \otimes_{\mathcal O_{X_{(\mathcal L,s,r)}}}\pi^*(\mathcal
E_{\frac{l}{r}}))$$


Comme ${\boldsymbol{\mu}_r}$ est diagonalisable,
$\pi_*$ est exact � droite, et commute aux sommes
finies, donc aux colimites finies, et on a donc :

$$\pi_*(\int^{\frac{1}{r}\mathbb Z}\mathcal N^{\otimes l-m}
  \otimes_{\mathcal O_{X_{(\mathcal L,s,r)}}}\pi^*(\mathcal
E_{\frac{l}{r}}))\simeq
\int^{\frac{1}{r}\mathbb Z}\pi_*(\mathcal N^{\otimes l-m}
  \otimes_{\mathcal O_{X_{(\mathcal L,s,r)}}}\pi^*(\mathcal
E_{\frac{l}{r}}))$$

Comme $\mathcal
E_{\frac{l}{r}}$ est localement libre, on a d'apr�s la formule de
projection :

$$
 \int^{\frac{1}{r}\mathbb Z}\pi_*(\mathcal N^{\otimes l-m}
  \otimes_{\mathcal O_{X_{(\mathcal L,s,r)}}}\pi^*(\mathcal
E_{\frac{l}{r}}))\simeq \int^{\frac{1}{r}\mathbb Z}\pi_*(\mathcal N^{\otimes l-m})
  \otimes_{\mathcal O_X}\mathcal
E_{\frac{l}{r}}$$

Le lemme \ref{PartEnt} donne

$$
\int^{\frac{1}{r}\mathbb Z}\pi_*(\mathcal N^{\otimes l-m})
  \otimes_{\mathcal O_X}\mathcal
E_{\frac{l}{r}}\simeq \int^{\frac{1}{r}\mathbb Z}
\mathcal L^{\otimes [\frac{l-m}{r}]} \otimes_{\mathcal O_X}\mathcal
E_{\frac{l}{r}}$$

Finalement, $\mathcal E_\cdot$ est un fibr� parabolique, donc muni
d'un isomorphisme $\mathcal L^{\otimes-1}\otimes _{\mathcal O_X}\mathcal
E_\cdot\simeq \mathcal E_\cdot[1]$, qui induit

$$\int^{\frac{1}{r}\mathbb Z}
\mathcal L^{\otimes [\frac{l-m}{r}]} \otimes_{\mathcal O_X}\mathcal
E_{\frac{l}{r}}\simeq \int^{\frac{1}{r}\mathbb Z} \mathcal
E_{\frac{l}{r}-[\frac{l-m}{r}]}$$

Finalement le fait que le morphisme naturel

$$ \int^{\frac{1}{r}\mathbb Z} \mathcal
E_{\frac{l}{r}-[\frac{l-m}{r}]}\leftarrow\mathcal E_{\frac{m}{r}}$$


est un isomorphisme r�sulte du fait que
  ${\frac{l}{r}-[\frac{l-m}{r}]}$ prend la valeur ${\frac{m}{r}}$
  lorsque $l$ varie, et de l'unicit� des bouts universels.


\subsubsection{Preuve du caract�re tensoriel}


D'apr�s \cite{Saav}, I 4.4 on peut se contenter de montrer que le
foncteur $G$ est compatible avec le produit tensoriel. On commence par 
r�interpr�ter le produit tensoriel des fibr�s paraboliques en termes de bout. 

\begin{lem}
Soient $\mathcal E_\cdot$, $\mathcal E'_\cdot$ deux objets de
$\Par_{\frac{1}{r}} (X,D)$. Alors

$$(\mathcal E_\cdot\otimes\mathcal E'_\cdot)_{\frac{l}{r}}
\simeq\int^{\frac{1}{r}\mathbb Z} \mathcal
E_{\frac{m}{r}}\otimes_{\mathcal O_X} \mathcal
E'_{\frac{l-m}{r}}$$

\end{lem}


\begin{proof}
  D'apr�s la remarque \ref{remfibrpar}, on peut plonger 
$\Par_{\frac{1}{r}} (X,D)$ comme une sous-cat�gorie pleine de la cat�gorie de 
foncteurs $\Func((\frac{1}{r}\mathbb Z)^{op},\MOD X)$, cat�gorie dans laquelle on peut donc calculer le produit tensoriel $\mathcal E_\cdot\otimes\mathcal E'_\cdot$.
La formule de convolution donn�e r�sulte alors de \cite{Day}, \S 4.
\end{proof}
Il s'agit de comparer

$$G(\mathcal E_\cdot)\otimes G(\mathcal E'_\cdot)=
\int^{\frac{1}{r}\mathbb Z}\mathcal N^{\otimes l}
  \otimes\pi^*(\mathcal
  E_{\frac{l}{r}})\otimes
  \int^{\frac{1}{r}\mathbb Z}\mathcal N^{\otimes l'}
  \otimes\pi^*(\mathcal
  E'_{\frac{l'}{r}})
  \simeq
  \int^{\frac{1}{r}\mathbb Z}\int^{\frac{1}{r}\mathbb Z}\mathcal N^{\otimes l+l'}\otimes \pi^*(\mathcal
  E_{\frac{l}{r}}\otimes \mathcal
  E'_{\frac{l'}{r}})$$

  et
 $$G(\mathcal E_\cdot \otimes \mathcal E'_\cdot)=
  \int^{\frac{1}{r}\mathbb Z}\mathcal N^{\otimes l}
  \otimes\pi^*((\mathcal E_\cdot\otimes\mathcal
  E'_\cdot)_{\frac{l}{r}})\simeq
\int^{\frac{1}{r}\mathbb Z}\mathcal N^{\otimes l}
  \otimes\pi^*( \int^{\frac{1}{r}\mathbb Z} \mathcal
E_{\frac{m}{r}}\otimes_{\mathcal O_X} \mathcal
E'_{\frac{l-m}{r}})
  $$

$\pi^*$ est adjoint � gauche, donc commute aux colimites, et donc

$$G(\mathcal E_\cdot \otimes \mathcal E'_\cdot)\simeq \int^{\frac{1}{r}\mathbb Z}\int^{\frac{1}{r}\mathbb Z} \mathcal N^{\otimes l}
  \otimes\pi^*( \mathcal
E_{\frac{m}{r}}\otimes_{\mathcal O_X} \mathcal
E'_{\frac{l-m}{r}})
  $$

On peut donc conclure en appliquant le th�or�me de Fubini pour les
bouts universels (th�or�me \ref{Fubini} de l'appendice \ref{Bout}).


\section{Degr�s}

Dans toute cette partie, on fixe $r\geq 1$ un entier naturel,
$X$ une vari�t� projective lisse sur un corps $k$ alg�briquement clos de
caract�ristique premi�re � $r$. On note $\mathcal O(1)$ un faisceau inversible tr�s ample sur $X$. On se fixe de plus $D$ un diviseur de Cartier effectif sur $X$, lisse sur $k$. On note $n$ la dimension de $X$.

\subsection{D�finitions}

\subsubsection{Degr� parabolique}

\begin{defi}[\cite{MY}]\label{degpar}
Soit $\mathcal E_\cdot$ un objet de $\Par_{\frac{1}{r}} (X,D)$, de rang $\rho$.
On d�finit sa \emph{caract�ristique d'Euler parabolique} par :
$$\chi_{par}(\mathcal E_\cdot)=\frac{1}{r}\sum_{l=1}^{r}\chi(X,\mathcal E_\frac{l}{r})$$
Son \emph{degr� parabolique} $\deg_{par}(\mathcal E_\cdot)$ est par d�finition le nombre rationnel d�fini par:
$$\deg_{par}(\mathcal E_\cdot)=(n-1)!\times \{\text{coefficient de } m^{n-1} \text{dans}\;  \chi_{par}(\mathcal E_\cdot(m))- \chi_{par}(\underline{\mathcal O_X}_\cdot^{\oplus \rho}(m)) \}$$
\end{defi}

\subsubsection{Degr� sur un champ de Deligne-Mumford projectif}

\begin{defi}
Soit $\mathfrak X\rightarrow S$ un champ de Deligne-Mumford s�par�, $\pi : \mathfrak X\rightarrow M$ le morphisme vers son espace des modules grossier,
qu'on suppose projectif sur $S$, de dimension $n$, et muni d'un faisceau inversible tr�s ample $\mathcal O(1)$. On note alors, pour $\mathcal F$ un faisceau localement libre sur $\mathfrak X$ :
$$\deg_{\mathfrak X}(\mathcal F)=\int_{\mathfrak X}^{et} c_1^{et}(\mathcal F)\cdot \pi^* c_1^{et}(\mathcal O(1))^{n-1}$$
\end{defi}

Pour des d�tails sur la th�orie de l'intersection utilis�e ici,
on renvoie � \ref{homcohom}. Intuitivement on peut comprendre ceci de la mani�re suivante : $\pi^* : \Pic M\otimes_{\mathbb Z} \mathbb Q\rightarrow \Pic \mathfrak X\otimes_{\mathbb Z} \mathbb Q$ est un isomorphisme, et l'on peut voir $\deg_{\mathfrak X}$ d�fini gr�ce � $\deg_M$.


\subsubsection{Comparaison des deux notions}

\begin{thm}
\label{thmdeg}
$r\geq 1$ un entier naturel, $X$ une vari�t� projective lisse sur $k$ alg�briquement clos de caract�ristique premi�re � $r$, $\mathcal O(1)$ un faisceau inversible tr�s ample sur $X$, $D$ un diviseur de Cartier effectif sur $X$, lisse sur $k$, $\mathcal L=\mathcal O_X(D)$, $s$ la section canonique, $\mathfrak X=X_{(\mathcal L,s,r)}$ le champ des racines $r$-i�mes,  $\mathcal E_\cdot$ un objet de $\Par_{\frac{1}{r}} (X,D)$, $\mathcal F=G(\mathcal E_\cdot)$ le faisceau localement libre sur $\mathfrak X$ associ� via la correspondance du th�or�me \ref{thmprinc}. Alors on a :

$$ \deg_{par}(\mathcal E_\cdot)=\deg_{\mathfrak X}(\mathcal F)$$


\end{thm}

\begin{rem}
On peut �crire formellement $\deg_{par}(\mathcal E_\cdot)=\int_{-1}^0 \deg(\mathcal E_t) dt$, ce qui a un sens, en d�finissant convenablement la mesure $dt$, ou bien en red�finissant $\mathcal E_\cdot$ comme une fonction localement constante. On retrouve alors la d�finition \ref{degpar}. Malgr� l'analogie des notations, je n'ai pas trouv� de d�monstration simple du th�or�me \ref{thmdeg} en inversant les signes $\int$.
\end{rem}

\begin{cor}
Soient $\mathcal E_\cdot$,  $\mathcal E'_\cdot$ deux objets de
$\Par_{\frac{1}{r}} (X,D)$. On a :

$$\deg_{par}(\mathcal E_\cdot\otimes\mathcal E'_\cdot)=
\rk\mathcal E_\cdot \deg_{par}(\mathcal E'_\cdot)+\rk\mathcal E'_\cdot
 \deg_{par}(\mathcal E_\cdot)$$
\end{cor}

\begin{rem}
Lorsque $\dim X=1$, ce corollaire est �nonc� comme une facile (?)
cons�quence de la d�finition du produit tensoriel des fibr�s paraboliques
dans \cite{Biswas}.
\end{rem}

\subsection{Preuve}

\subsubsection{Expression champ�tre de  $\chi_{par}(\mathcal E_\cdot)$}

\begin{lem}
\label{intcarpar}
Avec les notations du th�or�me \ref{thmdeg}, si de plus $\mathcal N$ est la racine $r$-i�me canonique de $\mathcal L$ sur le champ $\mathfrak X=X_{(\mathcal L,s,r)}$, on a alors :
$$\chi_{par}(\mathcal E_\cdot)=\frac{1}{r}\chi(\mathfrak X,\mathcal F  \otimes
\oplus_{l=1}^r\mathcal N^{\otimes -l})$$
\end{lem}

\begin{proof}
Il suffit d'observer que si $F: \Vect (X_{(\mathcal L,s,r)})\rightarrow\Par_{\frac{1}{r}} (X,D)$ d�signe la correspondance du th�or�me \ref{thmprinc}, alors on a $F(\mathcal F\otimes \mathcal N^{\otimes -l})=F(\mathcal F)[\frac{l}{r}]$.
\end{proof}

\begin{rem}
On suppose que l'on est dans la situation du corollaire \ref{quotunif}, i.e. que l'on dispose d'un morphisme $p:Y\rightarrow \mathfrak X$, o� $Y$ est un sch�ma, tel que le morphisme compos� $\pi\circ p:Y\rightarrow X$ est un rev�tement cyclique uniforme, induisant un isomorphisme $[Y| {\boldsymbol{\mu}_r}]\simeq \mathfrak X$. Alors la formule de projection et le lemme \ref{intcarpar}
donnent $\chi_{par}(\mathcal E_\cdot)
=\frac{1}{r}\chi(Y,p^*(\mathcal F  \otimes \mathcal N^{\otimes -1}))$, ce dont on conclut $ \deg_{par}(\mathcal E_\cdot)=\frac{1}{r}\deg_{Y}(p^*\mathcal F)$ (o�
$\deg_{Y}(\cdot)$ est pris relativement � l'image r�ciproque sur $Y$ du fibr� tr�s ample $\mathcal O(1)$ sur $X$), d'o� le th�or�me \ref{thmdeg} dans ce cas. Toutefois, en l'absence d'une telle pr�sentation de $\mathfrak X$, on est contraint de proc�der autrement.
\end{rem}


\subsubsection{Application de GRR}

Le th�or�me de Grothendieck-Riemann-Roch pour les champs de Deligne-Mumford, du � B.To�n (\cite{Toen}, voir aussi appendice \ref{GRR}),
permet d'obtenir une premi�re expression pour $\deg_{par}(\mathcal E_\cdot)$.

Pr�cisons tout d'abord une notation : l'isomorphisme de sch�mas 
$I_X\simeq X$ (voir \ref{inertie}) induit en cohomologie un isomorphisme d'alg�bres $H_{et}^*(X)\simeq H_{et}^*(I_X)=H_{rep}^*(X)$, et pour $x\in K_0(X)$, on notera $c_i^{rep}(x)$ l'image de $c_i^{et}(x)$ par cet isomorphisme (c'est seulement dans ce cas que l'on s'autorisera � parler de classes de Chern � coefficients dans les repr�sentations).

\begin{lem}
$$\deg_{par}(\mathcal E_\cdot)=\frac{1}{r}
\int_{\mathfrak X}^{rep}\td^{rep}(\mathfrak X)\cdot(\ch^{rep}(\mathcal F)-
\ch^{rep}(\mathcal O_{\mathfrak X}^{\oplus \rho}))\cdot\ch^{rep}(\oplus_{l=1}^r\mathcal N^{\otimes -l})\cdot\pi^* c_1^{rep}(\mathcal O(1))^{n-1} $$
\end{lem}

\begin{proof}
On note tout d'abord que puisque $\mathcal F=G(\mathcal E_{\cdot})$, 
on a $G(\mathcal E_{\cdot}(m))\simeq \mathcal F\otimes \pi^*\mathcal O(m)$.
D'apr�s les corollaires \ref{pipropre}, \ref{pilisse}, le morphisme 
$\mathfrak X \rightarrow \Spec k$ est propre et lisse.
 La formule donn�e est donc une cons�quence directe de la d�finition \ref{degpar}, du lemme \ref{intcarpar}, du corollaire \ref{HRRDM} de l'appendice \ref{GRR},
et de l'expression standard
$$\ch^{et}(\mathcal O(m))=\sum_{l=0}^{n}c_1^{et}(\mathcal O(1))^l\frac{m^l}{l!}$$
\end{proof}

Posons pour simplifier

$$x=\td^{rep}(\mathfrak
X)\cdot(\ch^{rep}(\mathcal F)- \ch^{rep}(\mathcal O_{\mathfrak X}^{\oplus
  \rho}))\cdot\ch^{rep}(\oplus_{l=1}^r\mathcal N^{\otimes -l})\cdot
\pi^*c_1^{rep}(\mathcal O(1))^{n-1}$$


On sait d'apr�s \ref{competrep} que :

$$\int_{\mathfrak X}^{rep} x=\int_{I_{\mathfrak X}}^{et}x=
\int_{\mathfrak X}^{et}x_1+\int_{I_{\mathfrak X}-\mathfrak X}^{et}x_{\neq 1}$$

Le premier terme se laisse facilement calculer :

\begin{lem}
$$\int_{\mathfrak X}^{et}x_1=r\deg_{\mathfrak X}\mathcal F$$
\end{lem}

\begin{proof}
Rappelons que $y\rightarrow y_1$ est un morphisme d'anneaux.
Le lemme r�sulte donc des lemmes \ref{chrepchet} et \ref{tdreptdet} de l'appendice \ref{GRR}, ainsi que du fait facile 
$(\pi^*c_1^{rep}(\mathcal O(1))^{n-1})_1=\pi^*c_1^{et}(\mathcal O(1))^{n-1}$.
\end{proof}


Le th�or�me \ref{thmdeg} r�sultera donc de la preuve de $\int_{I_{\mathfrak X}-\mathfrak X}^{et}x_{\neq 1}=0$.






\subsubsection{�tude du champ d'inertie}

Pour analyser l'expression ci-dessus on a besoin de comprendre la g�om�trie du champ d'inertie $I_{\mathfrak X}$ (voir \ref{inertie}) du champ $\mathfrak X=X_{(\mathcal L,s,r)}$. Pour ceci, on peut travailler dans un cadre plus g�n�ral.

On fixe un entier $r$, et comme sch�ma de base $S_0=\Spec (\mathbb Z[r^{-1}](\boldsymbol{\mu}_r))$.
Donn� un sch�ma noeth�rien $X\rightarrow S$, $\mathcal L$ un faisceau inversible sur $X$, on peut lui associer sa gerbe (sur $X$) des racines $r$-i�mes  de la mani�re suivante : on reprend la d�finition de
$X_{(\mathcal L,s,r)}$ en oubliant la condition sur les sections, c'est-�-dire :



\begin{defi}[\cite{Cadman}]

  On d�finit une cat�gorie $X_{(\mathcal L,r)}$ fibr�e en groupo�des
  sur $S$ par
\begin{enumerate}
\item  les objets de $X_{(\mathcal L,r)}$ sont les triplets
    $(f,\mathcal M,\phi)$ o� $f:S\rightarrow X$ est un morphisme
    de sch�mas, $\mathcal M$ un faisceau inversible sur $S$,
et $\phi : \mathcal M^{\otimes r} \simeq f^*\mathcal L$ un isomorphisme,
\item les morphismes de $(f,\mathcal M,\phi)$ � $(g,\mathcal N,\psi)$ (tous deux au dessus de $S$) sont les isomorphisme de faisceaux $\nu : \mathcal
  M\simeq \mathcal N$ tels que $\psi \circ \nu^{\otimes r}=\phi$.
\end{enumerate}
  \end{defi}

On peut � pr�sent �noncer une proposition � propos de  $I_{\mathfrak X}$ :

\begin{prop}
\label{strucinert}
Soit $r$ un entier, $X$ un sch�ma noeth�rien sur $S=\Spec (\mathbb Z[r^{-1}](\boldsymbol{\mu}_r))$, $\mathcal L$ un faisceau inversible sur $X$,
$s$ une section globale de $\mathcal L$, $D=Z(s)$ le lieu des z�ros,
$\mathfrak X=X_{(\mathcal L,s,r)}$ le champ des racines $r$-i�mes de $\mathcal L$ sur $X$, $\mathfrak D=D_{(\mathcal L_{|D},r)}$ la gerbe
des racines $r$-i�mes de $\mathcal L_{|D}$ sur $D$.
On a alors un isomorphisme canonique :

$$I_{\mathfrak X} \simeq \mathfrak X \coprod \mathfrak D^{\amalg \boldsymbol{\mu}_r(S_0)-\{1\}}$$


\end{prop}

\begin{proof}

On note tout d'abord qu'on a un morphisme canonique
$\mathfrak i :\mathfrak D \rightarrow \mathfrak X$ compos� des morphismes �vidents
$D_{(\mathcal L_{|D},r)}\rightarrow D_{(\mathcal L_{|D},0,r)}$ et de
$D_{(\mathcal L_{|D},0,r)}\rightarrow X_{(\mathcal L,s,r)}$, comme les deux sont des immersions ferm�es ($D_{(\mathcal L_{|D},0,r)}$ est le $r$-i�me voisinage infinit�simal de $D_{(\mathcal L_{|D},r)}$ dans $X_{(\mathcal L,s,r)}$, voir \cite{Cadman})
$\mathfrak D \rightarrow \mathfrak X$ l'est aussi.
Il en r�sulte un morphisme canonique $I_{\mathfrak D} \rightarrow I_{\mathfrak X}$, c'est d'ailleurs �galement une immersion ferm�e (car en fait obtenue par changement de base � partir de la pr�c�dente).

On note d'autre part qu'on a un morphisme canonique $I_{\mathfrak X}\rightarrow
\boldsymbol{\mu}_{r,S}$. En effet soit un objet $(f,\mathcal M,t,\phi)$ de $\mathfrak X$ au dessus de $f:S\rightarrow X$, alors l'isomorphisme canonique $a_\mathcal M :\HOM(\mathcal M,\mathcal M)\simeq \mathcal O_S$
induit un morphisme de sch�mas en groupes sur $S$ :
$$ \AUT_S(f,\mathcal M,t,\phi)\rightarrow \boldsymbol{\mu}_{r,S}$$

On en d�duit le morphisme recherch�, en associant � l'objet
$((f,\mathcal M,t,\phi),\nu)$ de $I_{\mathfrak X}$ au dessus de
$f:S\rightarrow X$ l'�l�ment $a_\mathcal M(S)(\nu)$ de $\boldsymbol{\mu}_{r}(S)$.

Pour $\zeta : S_0\rightarrow \boldsymbol{\mu}_{r,S}$ on note
$I_{\mathfrak D}^{\zeta} \rightarrow I_{\mathfrak X}^{\zeta}$ la fibre correspondante
de $I_{\mathfrak D} \rightarrow I_{\mathfrak X}$. Vu le choix de la base $S_0$,
$\boldsymbol{\mu}_{r,S}$ est constant sur $S_0$, et donc $I_{\mathfrak X}=\coprod_{\zeta \in \boldsymbol{\mu}_{r}(S_0)}I_{\mathfrak X}^{\zeta}$.
Il est clair que $I_{\mathfrak X}^1$ est l'image de la section canonique $\mathfrak X\rightarrow I_{\mathfrak X}$. On v�rifie d'autre part facilement que pour tout $\zeta$ dans  $\boldsymbol{\mu}_{r}(S_0)$, le compos�
$I_{\mathfrak D}^{\zeta}\rightarrow I_{\mathfrak D} \rightarrow \mathfrak D$ est un isomorphisme (on a un inverse �vident).
Il reste donc � v�rifier que pour $\zeta\neq 1$ dans
$\boldsymbol{\mu}_{r}(S_0)$, le morphisme $I_{\mathfrak D}^{\zeta} \rightarrow I_{\mathfrak X}^{\zeta}$ est un isomorphisme. Au dessus de $S$, ce morphisme est donn� par $((g,\mathcal M,\phi),\nu)\rightarrow ((i\circ g,\mathcal M,0,\phi),\nu)$
o� $g :S\rightarrow D$ est un morphisme de sch�mas et $i:D\rightarrow X$ est l'inclusion canonique. Ceci d�finit clairement un foncteur fid�lement plein
$I_{\mathfrak D}^{\zeta}(S) \rightarrow I_{\mathfrak X}^{\zeta}(S)$. Pour v�rifier qu'il est essentiellement surjectif, on fixe un objet $((f,\mathcal M,t,\phi),\nu)$ dans $I_{\mathfrak X}^{\zeta}(S)$. Donc $a_\mathcal M(S)(\nu)$ vaut $\zeta$ sur chaque composante connexe de $S$, et comme $1-\zeta$ est inversible sur $S_0$, $\id-\rho$ est inversible. On d�duit alors de $\rho(t)=t$ le fait que $t=0$, et en cons�quence $f^*s=t^{\otimes r}=0$, donc $f:S\rightarrow X$ se factorise � travers $i:D\rightarrow X$, comme souhait�.

\end{proof}

\subsubsection{R�duction}

Il r�sulte de la proposition \ref{strucinert} que l'immersion ferm�e
$\mathfrak i :\mathfrak D \rightarrow \mathfrak X$ induit un isomorphisme
$\tilde{\mathfrak i}=I\mathfrak i_{|I_{\mathfrak D}-\mathfrak D}:I_{\mathfrak D}-\mathfrak
D\rightarrow I_{\mathfrak X}-\mathfrak X$ et donc

$$\int_{I_{\mathfrak X}-\mathfrak X}^{et}x_{\neq 1}=
\int_{I_{\mathfrak D}-\mathfrak D}^{et}\tilde{\mathfrak i}^*(x_{\neq 1})=
\int_{I_{\mathfrak D}-\mathfrak D}^{et}({\mathfrak i}^*x)_{\neq 1}
$$

Or il est clair que $\int_{\mathfrak D}^{et}({\mathfrak i}^*x)_1=0$, en effet
ceci r�sulte du fait que $\dim \mathfrak D = n-1$, de 
$(\mathfrak i^*\pi^*c_1^{rep}(\mathcal O(1))^{n-1})_1=\mathfrak i^*\pi^*c_1^{et}(\mathcal O(1))^{n-1}$, et du lemme \ref{chrepchet}
qui entra�ne $(\ch^{rep}(\mathfrak i^*\mathcal F)-
\ch^{rep}(\mathcal O_{\mathfrak D}^{\oplus \rho}))_1=
\ch^{et}(\mathfrak i^*\mathcal F)-\ch^{et}(\mathcal O_{\mathfrak D}^{\oplus
\rho})$, expression dont la composante de degr� $0$ est nulle.
On conclut que $\int_{I_{\mathfrak X}-\mathfrak X}^{et}x_{\neq 1}=
\int_{\mathfrak D}^{rep}{\mathfrak i}^*x$, et il ne reste donc qu'� montrer la
nullit� de cette derni�re expression.

Cela r�sultera du lemme suivant. Remarquons que d'apr�s preuve de 
la proposition
\ref{strucinert}, il existe un isomorphisme canonique $I_{\mathfrak D} \simeq
\mathfrak D^{\amalg \boldsymbol{\mu}_r(S_0)}$, qui induit un
isomorphisme $H^*_{rep}(\mathfrak D)\simeq H^*_{et}(\mathfrak D)^{\boldsymbol{\mu}_r(S_0)}$.

\begin{lem}
\label{lemcle}
Soit $\chi$ le caract�re de la repr�sentation canonique
$\boldsymbol{\mu}_r\subset \mathbb G_m$, et $\Lambda=\mathbb Q(\boldsymbol{\mu}_{\infty})$. Pour tout entier $l\in\mathbb Z$, l'isomorphisme canonique
$H^*_{rep}(\mathfrak D)_\Lambda\simeq H^*_{et}(\mathfrak D)_\Lambda^{\boldsymbol{\mu}_r(S_0)}$
envoie $\ch^{rep}(\mathfrak i^*\mathcal N^{\otimes l})$ sur
$\chi^l\ch^{et}(\mathfrak i^*\mathcal N^{\otimes l})$.
\end{lem}
\begin{proof}
Notons $\mathfrak i^*\mathcal N=\mathcal N_{|\mathfrak D}$, et $\pi_{\mathfrak
  D}:I_{\mathfrak D}\rightarrow {\mathfrak D}$ la projection canonique.
Pour calculer $\ch^{rep}(\mathcal N_{|\mathfrak D}^{\otimes l})$ on doit
essentiellement d�terminer la d�composition de  $\pi_{\mathfrak
  D}^*\mathcal N_{|\mathfrak D}^{\otimes l}$ en sous-fibr�s propres.
On note celle-ci $$\pi_{\mathfrak
  D}^*\mathcal N_{|\mathfrak D}^{\otimes l}
=\oplus_{\zeta'\in\boldsymbol{\mu}_{\infty}}(\pi_{\mathfrak D}^*\mathcal N_{|\mathfrak D}^{\otimes l})^{(\zeta')}$$

Le lemme alors r�sulte de la d�finition de $\ch^{rep}(\cdot)$ (et plus particuli�rement de celle du caract�re de Frob�nius \ref{carfrob}) et du sous-lemme :
\begin{lem}
$$(\pi_{\mathfrak D}^*\mathcal N_{|\mathfrak D}^{\otimes
  l})^{(\zeta')}_{|I_{\mathfrak D}^{\zeta}}=
\left\{ \begin{array}{cr}
\mathcal N_{|I_{\mathfrak D}^{\zeta}}^{\otimes
  l}  & {\rm si}\;\; \zeta'=\zeta^l \\ \\
0 & {\rm sinon}
\end{array} \right .$$


\end{lem}

\begin{proof}
C'est � peu pr�s tautologique vu que l'action de $\zeta$ (vu comme
automorphisme de $\mathfrak D$) sur $\mathcal N_{|I_{\mathfrak D}^{\zeta}}$ se
fait par multiplication par $\zeta$ (vu comme �l�ment de $\Lambda$), et ceci d'apr�s les d�finitions de $I_{\mathfrak D}$ et $\mathcal N$.
\end{proof}
\end{proof}


On peut achever la d�monstration du th�or�me \ref{thmdeg}. 
En effet,
le lemme \ref{lemcle} implique que l'image de 
$\ch^{rep}(\oplus_{l=1}^r \mathfrak i^*\mathcal N^{\otimes
-l})$ par le morphisme d'anneaux compos� 
$H^*_{rep}(\mathfrak D)_\Lambda\simeq H^*_{et}(\mathfrak D)_\Lambda^{\boldsymbol{\mu}_r(S_0)}\rightarrow H^0_{et}(\mathfrak D)_\Lambda^{\boldsymbol{\mu}_r(S_0)}$ est le caract�re de la repr�sentation r�guli�re de $\boldsymbol{\mu}_r$. D'autre part, le lemme \ref{chrepchet} montre que l'image de $(\ch^{rep}(\mathfrak i^*\mathcal
F)-\ch^{rep}(\mathcal O_{\mathfrak D}^{\oplus \rho}))$ par ce m�me morphisme s'annule en $1$. On en conclut que le produit 
$\ch^{rep}(\oplus_{l=1}^r \mathfrak i^*\mathcal N^{\otimes
-l})\cdot (\ch^{rep}(\mathfrak i^*\mathcal
F)-\ch^{rep}(\mathcal O_{\mathfrak D}^{\oplus \rho}))$ s'envoie sur $0$ par 
$H^*_{rep}(\mathfrak D)_\Lambda\rightarrow H^0_{rep}(\mathfrak D)_\Lambda$, 
ce qui suffit � montrer
que $\int_{\mathfrak D}^{rep}{\mathfrak i}^*x=0$, comme souhait�.

\section{Fibr�s paraboliques sur les courbes}

\label{courb}

Dans cette partie, on fixe $r\geq 1$ un entier, $X$ une courbe
projective et lisse sur un corps alg�briquement clos $k$, $D$ un
diviseur effectif r�duit sur $X$, $\mathcal L=\mathcal O_X(D)$, $s=s_D$
la section canonique, $\mathfrak X=X_{(\mathcal L,s,r)}$ le champ
des racines $r$-i�mes.

\subsection{Fibr�s paraboliques semi-stables}

\begin{defi}
\label{sousfib}
Soit $\mathcal F$, $\mathcal F'$ deux faisceaux localement libres sur
$\mathfrak X$, et $\mathcal F'\rightarrow \mathcal F$ un
monomorphisme. On dit que $\mathcal F'$ est un \emph{sous-fibr�} de
$\mathcal F$ si $\mathcal F/\mathcal F'$ est localement libre.
\end{defi}

\begin{rem}
\label{fibquot}
Pour conserver un vocabulaire sym�trique (alors que la situation ne
l'est pas!) on parlera de \emph{fibr� quotient} pour tout faisceau
localement libre $\mathcal F''$ quotient de $\mathcal F$.
\end {rem}

\begin{defi}
Soit $\mathcal F$ un faisceau localement libre sur $\mathfrak X$. On
d�finit sa \emph{pente} par $\mu(\mathcal F)=\deg_\mathfrak
X\mathcal F/\rk\mathcal F$. On dit que $\mathcal F$ est
\emph{semi-stable} s'il v�rifie l'une des deux conditions �quivalentes
suivantes :
\begin{enumerate}
\item pour tout sous-fibr� $\mathcal F'$ de $\mathcal F$, on a  $\mu(\mathcal F')\leq \mu(\mathcal F)$,
\item pour tout fibr� quotient $\mathcal F''$ de $\mathcal F$, on a  $\mu(\mathcal F)\leq \mu(\mathcal F'')$.
\end{enumerate}
\end{defi}




\begin{defi}
\label{fibeng} Soient $\mathcal F$, $\mathcal F'$ deux faisceaux
localement libres sur $\mathfrak X$, et $i :\mathcal F'\rightarrow
\mathcal F$ un monomorphisme. On d�signe par $\mathcal
F'^{\hookrightarrow \mathcal F}$ le plus petit sous-fibr� de
$\mathcal F$ contenant $\mathcal F'$.
\end{defi}

On peut d�finir $\mathcal F'^{\hookrightarrow \mathcal F}$ de
mani�re �quivalente par $\mathcal F'^{\hookrightarrow \mathcal
F}=\ker(\mathcal F \twoheadrightarrow \coker i/\mathcal T (\coker
i)) $, o� $\mathcal T(\cdot)$ d�signe le sous-faisceau de torsion.
Donc l'injection $\mathcal F' \rightarrow \mathcal
F'^{\hookrightarrow \mathcal F}$ est g�n�riquement un isomorphisme, et en particulier
 $\rk \mathcal F'^{\hookrightarrow \mathcal F}=\rk \mathcal F'$.
De plus, si $\pi : \mathfrak X\rightarrow X$ d�signe la projection
canonique, on a : $\pi_*(\mathcal F'^{\hookrightarrow \mathcal
F})=(\pi_*\mathcal F')^{\hookrightarrow \pi_*\mathcal F}$.

\begin{lem}
\label{lemdeg}
Avec les notations de la d�finition \ref{fibeng} on a
: $\mu( \mathcal F')\leq \mu(\mathcal F'^{\hookrightarrow \mathcal
F})$
\end{lem}
\begin{proof}
Cela r�sulte du lemme suivant :
\begin{lem}
\label{lemdegbis}
Soit $\mathcal K'\rightarrow\mathcal K$ un monomorphisme de
faisceaux inversibles sur $\mathfrak X$. Alors $ \deg_\mathfrak
X\mathcal K'\leq\deg_\mathfrak X\mathcal K$.
\end{lem}
\begin{proof}
On peut supposer que $\mathcal K'=\mathcal O_\mathfrak X$. Notons
$D=P_1+\cdots P_m$, o� les $P_i$ sont les points de $X$ dans le
support de $D$, $\mathcal L_i=\mathcal O_X(P_i)$ et $s_i$ les
sections canoniques correspondantes. D'apr�s le lemme \ref{CartDisj}, on a 
$\mathfrak X\simeq  X_{\mathcal L_1,s_1,r}\times_X\cdots\times_X  X_{\mathcal
  L_m,s_m,r}$. Soit $\mathcal N_i$ l'image
r�ciproque de la racine $r$-i�me canonique de $\mathcal L_i$ par
le morphisme $\mathfrak X\rightarrow X_{\mathcal
L_i,s_i,r}$. On peut v�rifier de mani�re �l�mentaire l'existence 
d'entiers $r_i$, $1\leq i\leq m$, tels que $\mathcal K\simeq
\pi^*\pi_* \mathcal K\otimes \otimes_{i=1}^m \mathcal N_i^{\otimes
r_i}$ (ou encore utiliser le th�or�me \ref{thmprinc}). 
D'apr�s le lemme \ref{PartEnt}, chaque $r_i$ est un entier compris entre $0$
et $r-1$, uniquement d�termin� par cette �criture. Le monomorphisme $\mathcal
O_\mathfrak X\rightarrow\mathcal K$ donne en projection un
monomorphisme $\mathcal O_X\rightarrow\pi_*\mathcal K$, et le th�or�me de
Riemann-Roch sur $X$ implique $\deg_X\pi_*\mathcal K\geq 0$. 
Donc $ \deg_\mathfrak X\mathcal
K=\deg_X\pi_*\mathcal K+\sum_{i=1}^m\frac{r_i}{r}\geq 0$.


\end{proof}

\begin{rem}
Pour mesurer le confort donn� par les champs, on pourra comparer cette preuve � sa version parabolique dans \cite{Boden}, Lemma 3.7.
\end{rem}


\end{proof}

\begin{defi}
Soit $\mathcal F$ un faisceau localement libre sur $\mathfrak X$.
\begin{enumerate}
\item Soit $\mathcal E$ un faisceau localement libre sur $X$ et
$\mathcal E\rightarrow \pi_*\mathcal F$ un monomorphisme vers le
faisceau sous-jacent � $\mathcal F$. On appelle \emph{sous-fibr�
induit par  $\mathcal E$} le sous-fibr� de $\mathcal F$ :
$\pi^*\mathcal E^{\hookrightarrow \mathcal F}$.
\item Soit $\mathcal E'$ un faisceau localement libre sur $X$ qui est quotient
$\pi_*\mathcal F\twoheadrightarrow \mathcal E'$ du faisceau
sous-jacent � $\mathcal F$. On appelle \emph{fibr� quotient induit
par $\mathcal E'$} et on note $\pi^* \mathcal E'_{\twoheadleftarrow
\mathcal F}$ le fibr� quotient de $\mathcal F$ : $\coker(\pi^*\mathcal E^{\hookrightarrow \mathcal F}\rightarrow \mathcal F)$, o� $\mathcal E=\ker(\pi_*\mathcal F\twoheadrightarrow \mathcal E')$.
\end{enumerate}
\end{defi}

\begin{rem}
\begin{enumerate}
\item
Il est clair que $\pi_*(\pi^*\mathcal E^{\hookrightarrow \mathcal F})=
\mathcal E^{\hookrightarrow \pi_*\mathcal F}$ et $\pi_*(\pi^*
\mathcal E'_{\twoheadleftarrow \mathcal F})=\mathcal E'$. Il est facile de se convaincre qu'on retrouve les notions de sous-fibr� parabolique induit et fibr�
parabolique quotient induit de \cite{Seshadri}, voir d�finitions 
\ref{sousfibparind} et \ref{fibparquotind} de l'appendice \ref{defSeshadri}.
\item
\label{remsscomp}
  Le th�or�me \ref{thmdeg} et la remarque \ref{degcomp} de l'appendice 
\ref{defSeshadri} montrent que $\mathcal F$ est semi-stable si et
  seulement si le faisceau parabolique $\mathcal E_{\cdot}$ sur $(X,D)$ associ� 
est semi-stable au sens de Seshadri. 
\end{enumerate}
\end{rem}

\subsection{Fibr�s paraboliques finis}

\begin{defi}[\cite{NoriRFG}]
Un faisceau localement libre $\mathcal F$ sur $\mathfrak X$ est dit
\emph{fini} s'il existe deux polyn�mes \emph{distincts} $P,Q\in
\mathbb N[X]$ tels que $P(\mathcal F)\simeq Q(\mathcal F)$.
\end{defi}

\begin{prop}
Tout faisceau localement libre fini sur $\mathfrak X$ est semi-stable de
degr� $0$.
\end{prop}

\begin{proof}
La preuve est mot pour mot celle des courbes usuelles \cite{NoriRFG}, \S 3, gr�ce � l'aide du lemme \ref{lemdeg}.
\end{proof}

On suppose d�sormais que $X=\mathbb P^1$, la droite projective, et
que $D=P_1+\cdots +P_m$.

\begin{thm}
\label{strucfibparfindrproj}
Soit $\mathcal E_\cdot$ un fibr� parabolique \emph{fini} sur $(\mathbb
P^1,D)$, o� $D$ est un diviseur effectif r�duit de degr� $m$.
Supposons que les poids associ�s � $\mathcal E_\cdot$ ont des
d�nominateurs premiers � la caract�ristique du corps de base $k$ et
que le faisceau sous-jacent se d�compose sous la forme

$$\mathcal E_0=\oplus_{j=1}^{\rk \mathcal E}\mathcal O(d_j)$$

Alors pour tout $j$ on a : $-m<d_j\leq 0$.

\end{thm}

\begin{proof}
Le principe de la preuve suivante m'a �t� communiqu� par I.Biswas.


Soit $\mathcal F$ le faisceau sur $\mathfrak X$ correspondant �
$\mathcal E_\cdot$. Il est fini, donc semi-stable de degr� $0$.
L'hypoth�se est donc que $\pi_*\mathcal F\simeq \oplus_{j=1}^{\rk \mathcal E}\mathcal O(d_j)$. Fixons $j$. On consid�re d'une part $\pi^* \mathcal O(d_j)^{\hookrightarrow \mathcal F}$ le sous-fibr� de $\mathcal F$ induit par $\mathcal O(d_j)$. La semi-stabilit� donne $\mu(\pi^*\mathcal O(d_j)^{\hookrightarrow \mathcal F})\leq 0$, ce qui implique, au vu du lemme \ref{lemdeg}, 
que $d_j\leq 0$. Soit d'autre part
$\pi^*\mathcal O(d_j)_{\twoheadleftarrow \mathcal F}$ le fibr� quotient induit par $\mathcal O(d_j)$.
Le fait que $\mathcal F$ soit semi-stable de degr� $0$ implique que
$\mu(\pi^*\mathcal O(d_j)_{\twoheadleftarrow \mathcal F})\geq 0$, ce qui implique, en �crivant comme dans la d�monstration du lemme \ref{lemdegbis} 
$\pi^*\mathcal O(d_j)_{\twoheadleftarrow \mathcal F}\simeq
\pi^*\mathcal O(d_j)\otimes \otimes_{i=1}^m \mathcal N_i^{\otimes r_i}$, que $d_j>-m$.
\end{proof}






\appendix







\section{Fibr�s paraboliques  : la d�finition de Seshadri}
\label{defSeshadri}
Dans cette partie, $X$ est une courbe projective et lisse sur un corps
alg�briquement clos $k$, $D$ un diviseur effectif r�duit sur $X$.

\subsection{D�finition locale}
 \begin{defi}[\cite{Seshadri}]
   \label{def1}
   Un faisceau \emph{parabolique} $(\mathcal E,F_*,\alpha_*)$ sur
   $(X,D)$ est la donn�e d'un faisceau localement libre $\mathcal E$ sur $X$,
   pour tout point $P$ du support de $D$ d'un drapeau de la
   fibre r�siduelle $E_P:={\mathcal
   E}_P\otimes_{\mathcal{O}_{X,P}}k(P)$ :

   $$E_P=F_1(E_P)\supset F_2(E_P)\supset \cdots \supset F_{n_P}(E_P)
   \supset F_{n_P+1}(E_P) =0$$

   et une suite de nombres
   rationnels (poids) $(\alpha_{P,i})_{1\leq i\leq n_P}$ v�rifiant
   $$ 0\leq \alpha_{P,1}<\cdots< \alpha_{P,n_P}<1$$


 $n_P$ est la longueur de la filtration en $P$ et si
   $m_{P,i}=\dim_{k(P)} (F_{i}(E_P)/F_{i+1}(E_P))$ alors
   la suite $(m_{P,i})_{1\leq i\leq n_P}$ est la suite des
   multiplicit�s en $P$.

    \end{defi}

\begin{defi}[\cite{Seshadri}]
   Soient $(\mathcal E,F_*,\alpha_*)$ et $(\mathcal E',F'_*,\alpha'_*)$
   deux faisceaux paraboliques sur $(X,D)$. Un morphisme $\phi
   :(\mathcal E,F_*,\alpha_*)\rightarrow (\mathcal E',F'_*,\alpha'_*)$
   de fibr�s paraboliques est un morphisme $\phi :\mathcal
   E\rightarrow \mathcal E'$ de faisceaux v�rifiant :

   $$\forall P\in |D|\;\; \forall i,j \;\;\;
   \alpha_{i,P}>\alpha'_{j,P} \implies \phi(F_i(E_P))\subset
   F'_{j+1}(E'_P)$$


  \end{defi}

\subsection{Filtration associ�e}


Soit $(\mathcal E,F_*,\alpha_*)$ un fibr� parabolique sur
   $(X,D)$.

Il est bien connu (et apparemment du � C.Simpson, voir \cite{BodYok}) 
qu'on peut lui associer canoniquement une filtration
descendante $\mathcal E_\cdot=(\mathcal E_\alpha)_{\alpha\in \mathbb
  Q}$ de la mani�re suivante.

Pour $P\in |D|$ on pose par convention $\alpha_{0,P}=\alpha_{n_P,P}-1$
et $\alpha_{n_P+1}=1$.
On pose alors pour $1\leq i\leq n_P$ et   $\alpha_{i-1,P}<\alpha\leq
\alpha_{i,P}$ : $\mathcal E_\alpha^P =\ker (\mathcal E \rightarrow
E_P/F_i(E_P))$, puis

$$\mathcal E_\alpha = \cap_{P\in |D|} \mathcal E_\alpha^P$$
puis on �tend la d�finition � tout $\alpha$ dans $\mathbb Q$ en
imposant $\mathcal E_{\alpha +l}=\mathcal E_\alpha(-lD)$ pour $l$ entier.

\begin{rem}
  Soient $(\mathcal E,F_*,\alpha_*)$ et $(\mathcal E',F'_*,\alpha'_*)$
   deux fibr�s paraboliques sur $(X,D)$,
   $\mathcal E_\cdot$ et $\mathcal E'_\cdot$ les filtrations
   associ�es. Un morphisme de faisceaux $\phi :\mathcal
   E\rightarrow \mathcal E'$  d�finit un morphisme de faisceaux
   paraboliques si et seulement si
 $\forall \alpha  \in \mathbb Q \;\;\phi (\mathcal E_\alpha)\subset
   \mathcal E'_\alpha$.
\end{rem}

\subsection{Sous-faisceau parabolique et faisceau parabolique quotient induits}
On donne la version de Maruyama-Yokogawa, en termes des filtrations associ�es. 

\begin{defi}[\cite{MY}]
\label{sousfibparind}
Soit $\mathcal E_\cdot$ un faisceau parabolique sur $(X,D)$ et $\mathcal E'$ un sous-fibr� de $\mathcal E_0$ (i.e. $\mathcal E'$ est un sous-faisceau de $\mathcal E_0$ et $\mathcal E_0/\mathcal E'$ est localement libre). Le \emph{sous-fibr� parabolique induit} $\mathcal E'_\cdot$  est d�fini par 
$\mathcal E'_\cdot=\mathcal E'\cap\mathcal E_\cdot $.  
\end{defi}

\begin{defi}[\cite{MY}]
\label{fibparquotind}
Soit $\mathcal E_\cdot$ un faisceau parabolique sur $(X,D)$ et $g:\mathcal E_0\rightarrow \mathcal E''$ un �pimorphisme vers le faisceau localement libre $\mathcal E''$. Le \emph{fibr� parabolique quotient induit} $\mathcal E'_\cdot$ est d�fini par $\mathcal E''_\cdot=g(\mathcal E_\cdot) $.
\end{defi}






\subsection{Faisceau parabolique semi-stable}

\begin{defi}[\cite{Seshadri}]
 Soit $(\mathcal E,F_*,\alpha_*)$ un fibr� parabolique sur $(X,D)$.
 On d�finit
 \begin{enumerate}
   \item son \emph{degr�} par $\deg\mathcal E_\cdot=\deg \mathcal E+\sum_{P\in |D|}
  \sum_{i=1}^{n_P}m_{P,i}\alpha_{P,i} $

   \item sa \emph{pente} par $\mu(\mathcal E_\cdot) = \frac{\deg\mathcal
   E_\cdot}{\rk \mathcal E}$.
 \end{enumerate}
\end{defi}

\begin{rem}
\label{degcomp}
  Il est facile de v�rifier que cette d�finition est compatible avec la
  d�finition \ref{degpar}. 
\end{rem}

\begin{defi}[\cite{Seshadri}]
Un fibr� parabolique  $(\mathcal E,F_*,\alpha_*)$ sur $(X,D)$ est dit
\emph{semi-stable} s'il v�rifie l'une des deux conditions �quivalentes
suivantes :

\begin{enumerate}
\item Pour tout sous-fibr� parabolique induit $\mathcal E'_\cdot$
  de $\mathcal E_\cdot$, on a $\mu(\mathcal E'_\cdot)\leq \mu(\mathcal E_\cdot)$
\item Pour tout fibr� parabolique quotient induit $\mathcal E''_\cdot$
  de $\mathcal E_\cdot$, on a  $\mu(\mathcal E''_\cdot)\geq\mu(\mathcal E_\cdot)$.
\end{enumerate}

\end{defi}

\begin{rem}
Ce n'est pas exactement la d�finition de \cite{Seshadri}, mais cela lui est imm�diatement �quivalent, comme c'est d'ailleurs pr�cis� dans la remarque 1. suivant la d�finition 6., p.69. La raison que nous avons d'�viter la premi�re forme de la d�finition est qu'elle utilise une notion de sous-fibr� parabolique (resp. fibr� parabolique quotient) qui est n'est pas compatible (en fait plus g�n�rale) avec la d�finition champ�tre pr�cis�e par la d�finition \ref{sousfib} (resp. par la remarque \ref{fibquot}).
\end{rem}

\section{Bouts}
\label{Bout}
On rappelle quelques notions tir�es de (\cite{MacLane}).
\begin{defi}
  Soient $\mathcal I$, $\mathcal C$ deux cat�gories, $F:\mathcal
  I^{op}\times \mathcal I \rightarrow \mathcal C$ un foncteur de
  variance mixte.
\begin{enumerate}
  \item Un \emph{bout (wedge)} de $F$ � un objet $C$ de $\mathcal C$
  est une collection de fl�ches $\alpha_I : F(I,I)\rightarrow C$ dans
  $\mathcal C$ \emph{dinaturelle} au sens que pour tout fl�che
  $f:I\rightarrow J$ dans $\mathcal I$, le diagramme suivant
  commute :
  \begin{center}
\xymatrix@R=2pt{
 &&& & F(I,I)\ar[dr]^{\alpha_I} & \\
 &&& F(J,I)\ar[ur]^{F(f,1)}\ar[dr]_{F(1,f)} && C \\
 &&& & F(J,J)\ar[ur]_{\alpha_J} & }
\end{center}

  \item Si un bout universel existe, on le note
 $\int^{I}F(I,I)$.
\end{enumerate}

\end{defi}

\begin{prop}[Fubini pour les bouts universels]

\label{Fubini}
Soient $\mathcal I$, $\mathcal J$ et $\mathcal C$ trois cat�gories,
$F:\mathcal I^{op}\times \mathcal I\times \mathcal J^{op}\times \mathcal J \rightarrow \mathcal C$ un
foncteur.
Si les bouts universels suivants existent, on a des isomorphismes
naturels :

$$\int^\mathcal I\int^\mathcal J F(I,I,J,J)\simeq \int^{\mathcal I \times\mathcal J}F(I,I,J,J)
\simeq \int^\mathcal J\int^\mathcal I F(I,I,J,J)$$
\end{prop}

\section{Grothendieck-Riemann-Roch pour les champs de Deligne-Mumford}
\label{GRR}

On r�sume les r�sultats de \cite{ToenThese}, \cite{Toen} que nous utilisons.
On note $\mathfrak X$ un champ de Deligne-Mumford noeth�rien.

\subsection{K-th�orie}

La cat�gorie exacte $\Vect(\mathfrak X)$ permet de d�finir deux spectres de $K$-th�orie, le spectre de $K$-th�orie usuel $K(\mathfrak X)$ et le spectre de $K$-th�orie �tale $K_{et}(\mathfrak X)=H(\mathfrak X_{et},\underline K)$, o� $H(\mathfrak X_{et},\cdot)$ d�signe la cohomologie (g�n�ralis�e) d'un pr�faisceau de spectres $\cdot$ sur $\mathfrak X_{et}$ et $\underline K$ le pr�faisceau de spectres de $K$-th�orie sur $\mathfrak X_{et}$. Ils sont reli�s par un morphisme canonique $\can : K(\mathfrak X)\rightarrow K_{et}(\mathfrak X)$.

On consid�rant � la place de $\Vect(\mathfrak X)$ la cat�gorie exacte $\Coh(\mathfrak X)$ des faisceaux coh�rents sur $ \mathfrak X$ on obtient de mani�re analogue le spectre de $G$-th�orie $G(\mathfrak X)$ et le spectre de $G$-th�orie �tale $G_{et}(\mathfrak X)$.

On dispose de morphismes de spectres canoniques $K(\mathfrak X)\rightarrow G(\mathfrak X)$ et $K_{et}(\mathfrak X)\rightarrow G_{et}(\mathfrak X)$.



\subsection{Th�orie homologique-cohomologique}
\label{GRRet}
\subsubsection{Cohomologie}
\label{homcohom}
Soit $\mathcal K_i$ le faisceau associ� au pr�faisceau de groupes ab�liens
$U\rightarrow  K_i(U)$ sur $\mathfrak X_{et}$.
On pose $$H^i_{et}(\mathfrak X)=H^i(\mathfrak X_{et},\mathcal K_i\otimes \mathbb Q)$$ On dispose alors d'une $\mathbb Q$-alg�bre commutative gradu�e $H^*_{et}(\mathfrak X)$. $H^*_{et}(\mathfrak X)$ est contravariant en $\mathfrak X$.

La construction universelle de Gillet \cite{Gillet} donne des classes de Chern $c_{i}^{et}: K_{0,et}(\mathfrak X)\rightarrow H^i_{et}(\mathfrak X)$, et on d�finit un caract�re de Chern $\ch^{et} : K_{0,et}(\mathfrak X)\rightarrow H^*_{et}(\mathfrak X)$ et une classe de Todd $\td^{et} : K_{0,et}(\mathfrak X)\rightarrow H^*_{et}(\mathfrak X)$ par les formules habituelles.

\subsubsection{Homologie}
On d�finit par ailleurs des groupes d'homologie de la mani�re suivante.

Pour un sch�ma $S$, et un entier $i$, soit :
$$\mathcal R^i(S) :\oplus_{x\in S^{(0)}}K_i(k(x))\rightarrow \oplus_{x\in S^{(1)}}K_{i-1}(k(x))\rightarrow \cdots\rightarrow \oplus_{x\in S^{(i)}}K_0(k(x))$$
le complexe de Gersten concentr� en degr�s $[-i,0]$. 
On note $\mathcal R^i$ le pr�faisceau de complexes $S\rightarrow \mathcal R^i(S)$ sur 
$\mathfrak X_{et}$.
On pose : $H_i^{et}(\mathfrak X)= \mathbb H(\mathfrak X_{et},\mathcal 
R^i\otimes \mathbb Q)$.





On dispose de $H_*^{et}(\mathfrak X)$ qui est un $H^*_{et}(\mathfrak X)$-module gradu�. $H_*^{et}(\mathfrak X)$ est covariant pour les morphismes propres.



Lorsque $\mathfrak X$ est lisse, il y a un isomorphisme naturel
$H^*_{et}(\mathfrak X)\simeq H_*^{et}(\mathfrak X)$, ce qui entra�ne en
particulier que $H^i_{et}(\mathfrak X)=0$ pour $i>\dim \mathfrak X$.

Lorsque $p : \mathfrak X \rightarrow \Spec k$ est propre, on d�signe $p_*$ par
$\int_{\mathfrak X}^{et}$ (noter que $H_*^{et}(\Spec k)\simeq \mathbb Q$).
Lorsque $\mathfrak X$ est de plus lisse, �quidimensionel de dimension $n$, et muni d'un faisceau tr�s ample $\mathcal O(1)$, ceci permet de d�finir le degr� d'un faisceau localement libre $\mathcal F$ sur $X$ comme �tant le nombre
rationnel : $$\deg_{\mathfrak X}(\mathcal F)=\int_{\mathfrak X}^{et} c_{1}^{et}(\mathcal F)\cdot c_{1}^{et}(\mathcal O(1))^{n-1}$$

Par ailleurs, on dispose d'un th�or�me de Grothendieck-Riemann-Roch pour la $G$-th�orie \emph{�tale} (\cite{ToenThese}, Th�or�me 3.33), qui peut s'�noncer ainsi : il existe une transformation naturelle (``caract�re de Chern homologique �tale'') $$\tau_{ \mathfrak X}^{et}:  G_{0,et}(\mathfrak X)\rightarrow H_*^{et}(\mathfrak X)$$ qui vaut $x\rightarrow \td^{et}(\mathcal T_{ \mathfrak X})\ch^{et}(x)$ si $\mathfrak X$ est lisse, o� $\mathcal T_{ \mathfrak X}$ est le fibr� tangent,
et qui est covariant pour les morphismes propres (non n�cessairement repr�sentables) de champs alg�briques quasi-projectifs
$\mathfrak X\rightarrow\mathfrak X'$.


Ce th�or�me est essentiellement �quivalent au th�or�me usuel pour les espaces de modules sous-jacents. La remarque cl� due � B.To�n est que le morphisme 
$G_0(\mathfrak X)\rightarrow G_{0,et}(\mathfrak X)$ n'est pas covariant en g�n�ral, mais qu'il est par contre possible de d�finir une transformation de type Riemann-Roch de $G_0(\mathfrak X)$ � $G_{0,et}(I_{\mathfrak X})$, o� $I_{\mathfrak X}$ d�signe le \emph{champ d'inertie} de $\mathfrak X$ : c'est ce que B.To�n nomme Lefschetz-Riemann-Roch, et que nous d�taillons � pr�sent.


\subsection{Lefschetz-Riemann-Roch}
\label{LRR}
\subsubsection{Champ d'inertie}
\label{inertie}
Le champ d'inertie $I_{\mathfrak X}$ de $\mathfrak X$ est d�fini par
$$I_{\mathfrak X}=\mathfrak X\times_ {\mathfrak X\times \mathfrak X}\mathfrak X$$

Moins formellement, il s'agit d'une cat�gorie fibr�e en groupo�des, dont les objets au-dessus d'un sch�ma $S$ sont les couples $(s,h)$, avec $s$ un objet de $\mathfrak X(S)$, et $h$ un �l�ment de $\Hom_{\mathfrak X(S)}(s,s)$, et dont les fl�ches de $(s,h)$ vers $(s',h')$ ($s$, $s'$ objets de  $\mathfrak X(S)$) sont les morphismes $u\in \Hom_{\mathfrak X(S)}(s,s')$ tels que $u^{-1}h'u=h$.

$I_{\mathfrak X}$ est un champ en groupes sur $\mathfrak X$, et donc muni d'une section canonique $\mathfrak X\rightarrow I_{\mathfrak X}$ envoyant l'objet $s$
sur l'objet $(s,\id)$.

Lorsque $\mathfrak X=[Y|G]$ est un champ quotient, ce � quoi on peut se ramener localement, on a le diagramme commutatif suivant dont toutes les faces sont cart�siennes :

\xymatrix@R=2pt{
&G_Y\ar[ddd]\ar[ddr]\ar[rr]&&Y\ar[ddd]\ar[ddr]&\\
&&&&\\
&&G\times Y\ar[rr]\ar[ddd]&&Y\times Y\ar[ddd]\\
&I_{\mathfrak X}\ar[ddr]\ar[rr]&&\mathfrak X\ar[ddr]&\\
&&&& \\
&& \mathfrak X\ar[rr]&&\mathfrak X\times \mathfrak X}

Par d�finition, $G_Y$ est le stabilisateur de $Y\rightarrow Y$, un $Y$-groupe.
Ceci donne une pr�sentation de $I_{\mathfrak X}=[G_Y|G]$ (noter que $G$ agit par conjugaison sur le premier facteur de $G_Y\subset G\times Y$, l'action pr�serve donc la structure de $Y$-groupe de $G_Y$, si bien que $I_\mathfrak X$ est un $\mathfrak X$-groupe). On peut encore d�tailler cette expression en d�composant $G_Y$ en ses composantes connexes.


\subsubsection{Caract�re de Frob�nius}
\label{carfrob}
Par la suite, on fait l'hypoth�se simplificatrice suivante : on se donne un corps $k$ contenant les racines de l'unit� et un champ $\mathfrak X \rightarrow \Spec k$ \emph{mod�r�}, i.e. l'ordre d'inertie de tout point de $ \mathfrak X$ est premier � la caract�ristique de $k$.

Tout faisceau localement libre $\mathcal F$ sur $I_{\mathfrak X}$
se d�compose canoniquement sous la forme $$\mathcal F=\oplus_{\zeta \in
\boldsymbol{\mu}_{\infty}}\mathcal F^{(\zeta)}$$
o�  $\mathcal F^{(\zeta)}$ est le sous-fibr� d�fini en restriction � $(s,h):
U\rightarrow\mathcal I_{\mathfrak X}$ de la mani�re suivante : l'action de $h$ sur $\mathcal F_{|U}$ est diagonalisable, et $\mathcal F^{(\zeta)}_{|U}$ est le sous-fibr� propre pour la valeur propre $\zeta$.

En posant $\Lambda=\mathbb Q(\boldsymbol{\mu}_{\infty})$ et pour un groupe ab�lien $A$, $A_\Lambda=A\otimes_{\mathbb Z}\mathbb Q(\boldsymbol{\mu}_{\infty})$, on peut alors
d�finir un morphisme $\rho_{\mathfrak X}:K_0 (I_{\mathfrak X})_\Lambda\rightarrow
K_0 (I_{\mathfrak X})_\Lambda$ en posant $$\rho_{\mathfrak X}([\mathcal F])=
\sum_{\zeta \in \boldsymbol{\mu}_{\infty}}\zeta[\mathcal F^{(\zeta)}]$$

On d�finit alors le caract�re de Frob�nius $\phi_{\mathfrak X}$ de ${\mathfrak X}$ comme �tant le compos�

 \begin{center}
\xymatrix@R=2pt{
\phi_{\mathfrak X}:K_0 (\mathfrak X)_\Lambda\ar[r]^{\pi_{\mathfrak X}^*}&K_0 (I_{\mathfrak X})_\Lambda\ar[r]^{\rho_{\mathfrak X}}&K_0 (I_{\mathfrak X})_\Lambda\ar[r]^{can}&K_{0,et} (I_{\mathfrak X})_\Lambda
}
\end{center}
o� $\pi_{\mathfrak X}^*$ est l'image r�ciproque via la projection
$\pi_{\mathfrak X} : I_{\mathfrak X} \rightarrow {\mathfrak X}$.

\subsubsection{Caract�re de Frob�nius homologique}

On d�finit ensuite l'analogue d'un caract�re de Todd :
si $\Omega^1_{I_{\mathfrak X}/{\mathfrak X}}$ d�signe le fibr� conormal du morphisme non ramifi� $\pi_{\mathfrak X} : I_{\mathfrak X} \rightarrow {\mathfrak X}$,
on pose $$\alpha_{\mathfrak X}=can\circ \rho_{\mathfrak X}(\lambda_{-1}([\Omega^1_{I_{\mathfrak X}/{\mathfrak X}}])) \in K_{0,et}(I_{\mathfrak X})_\Lambda$$

o� comme d'habitude $\lambda_{-1}(x)=\sum_i(-1)^i\lambda_i(x)$. On v�rifie que c'est un �l�ment inversible de $K_{0,et}(I_{\mathfrak X})_\Lambda$.

Le th�or�me de Lefschetz-Riemann-Roch peut s'�noncer ainsi (voir \cite{ToenThese} Th�or�me 3.25 pour les d�tails). Il existe, pour $\mathfrak X \rightarrow \Spec k$ quasi-projectif, un caract�re de Frob�nius homologique
$\phi_{\mathfrak X}: G_0 (\mathfrak X)_\Lambda \rightarrow G_{0,et}(I_{\mathfrak X})_\Lambda$, qui vaut $x\rightarrow \alpha_{\mathfrak X}^{-1}\phi_{\mathfrak X}(x)$ lorsque
${\mathfrak X}$ est lisse, et qui est covariant pour les morphismes propres
 $\mathfrak X\rightarrow\mathfrak X'$ de dimension cohomologique finie lorsque $\mathfrak X$ est lisse.

\subsection{Grothendieck-Riemann-Roch}
\label{GRRT}
En combinant les deux transformations de Riemann-Roch de \ref{GRRet} et \ref{LRR} on est conduit aux d�finitions suivantes.

\subsubsection{Cohomologie et homologie � coefficients dans les repr�sentations}


On pose donc logiquement $H^i_{rep}(\mathfrak X)=H^i_{et}(I_{\mathfrak X})$ et
$H_i^{rep}(\mathfrak X)=H_i^{et}(I_{\mathfrak X})$. Ces groupes h�ritent des propri�t�s de fonctorialit� de leur analogues �tales. En particulier lorsque $p:\mathfrak X\rightarrow \Spec k$ est propre, on d�finit $\int_{\mathfrak X}^{rep}=p_*$, comme d'habitude.


Le caract�re de Chern $\ch^{rep}: K_0 (\mathfrak X)\rightarrow
H^*_{rep}(\mathfrak X)_\Lambda$ est d�fini par

$$\ch^{rep}(x)=\ch^{et}(\phi_{\mathfrak X}(x))$$

La classe de Todd est elle d�finie comme l'�l�ment de
$H^*_{rep}(\mathfrak X)_\Lambda$ :

$$\td^{rep}(\mathfrak X)=\ch^{et}(\alpha_{\mathfrak X}^{-1})
\td^{et}(\mathcal T_{I_{\mathfrak X}})$$



\subsubsection{Caract�re de Chern homologique � coefficients dans les repr�sentations}

Dans cette section, on suppose de plus que l'espace des modules $M$ de $\mathfrak X$ est quasi-projectif, et ce pour tous les champs consid�r�s.

Le th�or�me de Grothendieck-Riemann-Roch peut se r�sumer ainsi : il existe un
``caract�re de Chern homologique � coefficients dans les repr�sentations'' :
$$\tau_{ \mathfrak X}^{rep}:  G_{0}(\mathfrak X)_{\Lambda}\rightarrow H_*^{rep}(\mathfrak X)_{\Lambda}$$

qui vaut $x\rightarrow \td^{rep}(\mathfrak X)\ch^{rep}(x)$ si $\mathfrak X$ est lisse, qui est covariant pour les morphismes propres $\mathfrak X\rightarrow\mathfrak X'$.

En particulier on a :

\begin{cor}[Hirzebruch-Riemann-Roch pour les champs de Deligne-Mumford]
\label{HRRDM}
Soit $\mathcal F$ un faisceau coh�rent sur un champ de Deligne-Mumford
$\mathfrak X\rightarrow \Spec k$ propre et lisse. Alors on a
$$\chi(\mathfrak X,\mathcal F)=\int_{\mathfrak X}^{rep}\td^{rep}(\mathfrak X)\ch^{rep}(\mathcal F)
$$
\end{cor}

\subsubsection{Lien entre cohomologie usuelle et cohomologie � coefficients
  dans les repr�sentations}

\label{competrep}

Dans cette section, on �num�re un certain nombre de faits techniques que nous
avons utilis�s.

On note d'abord que les morphismes image r�ciproque le long de la section
unit� $1:\mathfrak X\rightarrow I_{\mathfrak X}$ et de l'inclusion
$I_{\mathfrak X}-\mathfrak X\rightarrow  I_{\mathfrak X}$ induisent un
isomorphisme d'anneaux

$$H^*_{rep}(\mathfrak X)=H^*_{et}(I_{\mathfrak X})\simeq H^*_{et}(\mathfrak
X)\oplus H^*_{et}(I_{\mathfrak X}-\mathfrak X)$$

Pour $x\in H^*_{rep}(\mathfrak X)$ on notera $x=x_1+ x_{\neq 1}$ la
d�composition correspondante.


On a une d�composition analogue du groupe d'homologie
$H_*^{rep}(\mathfrak X)$, compatible avec la pr�c�dente via les isomorphismes
de Poincar� $H^*_{rep}(\mathfrak X)\simeq H_*^{rep}(\mathfrak X)$ lorsque $\mathfrak X$ est lisse.

Si $p:\mathfrak X\rightarrow \Spec k$ est propre, il en d�coule que :

 $$\int_{\mathfrak X}^{rep} x=\int_{I_{\mathfrak X}}^{et}x=
\int_{\mathfrak X}^{et}x_1+\int_{I_{\mathfrak X}-\mathfrak X}^{et}x_{\neq 1}$$


\begin{lem}
\label{chrepchet}
 Pour tout $y$ dans $K_0(\mathfrak X)_\Lambda$ et tout $i\geq 0$ on a :
$$\ch^{rep}(y)_1=\ch^{et}(y)$$
\end{lem}

\begin{proof}

Vu la d�finition des caract�res de Chern, tout revient � montrer que
le diagramme suivant commute.

\xymatrix@R=2pt{
&&&K_0(\mathfrak X)_\Lambda\ar[r]^{\pi_{\mathfrak X}^*}\ar[ddr]_{id} & K_0(I_{\mathfrak X})_\Lambda \ar[r]^{\rho_{\mathfrak X}}&  K_0(I_{\mathfrak
  X})_\Lambda \ar[ldd]^{1^*}\ar[dd]^{can}\\
&&&&& \\
&&&&K_0(\mathfrak X)_\Lambda\ar[dd]^{can}&K_{0,et}(I_{\mathfrak X})_\Lambda\ar[dd]^{\ch^{et}} \\
&&&&& \\
&&&&K_{0,et}(\mathfrak X)_\Lambda\ar[dd]^{\ch^{et}}& H_{et}^*(I_{\mathfrak X})_\Lambda
\ar[ldd]^{1^*}\\
&&&&& \\
&&&&H_{et}^*(\mathfrak X)_\Lambda&
}

Il est clair que le parall�logramme du bas commute, quant au triangle du haut,
sa commutativit� d�coule de la d�finition de $\rho_{\mathfrak X}$.

\end{proof}


\begin{lem}
\label{tdreptdet}
$$\td^{rep}(\mathfrak X)_1=\td^{et}(\mathfrak X)$$
\end{lem}

\begin{proof}
En effet $(\alpha_{\mathfrak X})_1=1^*can\circ \rho(\lambda_{-1}([\Omega^1_{I_{\mathfrak X}/{\mathfrak X}}]))=can\lambda_{-1}(0)=1$.
\end{proof}
\bibliography{ParRac}

\end{document}

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