Enveloppes inf�\�rieures de fonctions admissibles sur l'espace projectif complexe. Cas dissym\�trique.
\em Adn\�ne Ben Abdesselem et Brahim Dridi
math0604073.tex
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
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\newtheorem{theorem}{Th\�or\`{e}me}
\newtheorem{lem}{Lemme}
\newtheorem{proposition}{Proposition}
\newtheorem{coro}{Corollaire}
\newtheorem{definition}{D\�finition}
\newtheorem{remark}{Remarque}
\newtheorem{prop}{Proposition}
\begin{document}
\title{Enveloppes inf�\�rieures de fonctions admissibles sur l'espace projectif complexe.
 Cas dissym\�trique.}
\author {\em Adn\�ne Ben Abdesselem et Brahim Dridi}
\date{\em Universit\� Paris 6, U.F.R.929, 4, place Jussieu, 75005, Paris,\\  
et L.I.M. Ecole Polytechnique de Tunisie.}


\maketitle {\em RESUME. Cet article g\�n\�ralise les
r\�sultats du premier auteur concernant les fonctions
admissibles sur certaines vari\�t\�s de Fano
\cite{B},\cite{B1}. On \�tudie ici une classe plus large de
fonctions, ces derni\�res pouvant pr\�senter un d\�faut
de sym\�trie, et on montre l'existence d'une fonction limite
donnant pr\�cis\�ment l'invariant de Tian sur les
vari\�t\�s consid\�r\�es et minorant toutes les
fonctions admissibles dont le sup est \�gal \`{a} z\�ro.}

\maketitle {\em ABSTRACT. This paper generalizes the first
author's preceding works concerning admissible functions on
certain Fano manifolds \cite{B},  \cite{B1}. Here, we study a
larger class of functions which can be less symmetric than the
ones studied before. When the sup of these functions is null, we
prove that they admit a lower bound, giving precisely Tian
invariant on these manifolds. } %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
{\section{Introduction.}\label{i}} Dans un travail
pr\�c\�dent \cite{B1}, le premier auteur a prouv\�
l'existence d'une fonction minorant toutes les fonctions
admissibles \`{a} sup \�gal \`{a} z\�ro sur certains
projectifs \�clat\�s et invariantes par un groupe
d'automorphismes bien choisi. Ce dernier s'obtient \`{a} partir de
celui de $\proj_{m}\complex$ et contient en particulier les
automorphismes \�changeant deux coordonn\�es homog\�nes
entre elles. Dans cet article les projectifs \�clat\�s
consid\�r\�es ne peuvent, de par leur g\�om\�trie,
avoir un groupe d'automorphismes aussi riche. On montre alors le
r\�sultat ci-dessous expos\� sur $\proj_{m}\complex$ en
consid\�rant le groupe d'automorphismes ad�\�quat, nous
permettant, \`{a} l'instar de ce qui a \�t\� fait dans
\cite{B1}, d'�\�tendre la m�\�thode aux espaces X et Y
�\�tudi�\�s dans  \cite{BC}.

Rappelons dans un premier temps la d\�finition des espaces,
m�\�triques, et groupes d'automorphismes que l'on
consid�\�rera. On adoptera les notations utilis�\�es dans
\cite{BC}. D\�signons par $[z_{0},z_{1},..,z_{m}]$ les
coordonn\�es homog\�nes de l'espace projectif complexe
$\proj_{m}\complex$
de dimension complexe $m\geq2$.\\
Munissons $\proj_{m}\complex$ de la m\�trique $g$ ayant pour
composantes, dans la carte $\{z_{0}\neq 0\}$,
$$g_{\lambda\overline{\mu}}=(m+1){\partial}_{\lambda
\bar{\mu}}\ln (1+ x_{1}+..+x_{m})$$ o\`{u} $x_{i}=\mid z_{i}
\mid^{2}$ et ${\partial}_{\lambda
\bar{\mu}}=\frac{\partial^{2}}{\partial
z_{\lambda}\partial\overline{z}_{\mu}}$ .

Fixons pour le reste de l'article l'entier $k\in\{1,...,m-1\}$, et
rappelons la d\�finition des vari\�t\�s $X$ et $Y$
utilis\�es dans \cite{BC}.

$X$ est l'�\�clat�\� de $\proj_{m}\complex$ au dessus du
sous-ensemble $\{[0,..,0,z_{k+1},..,z_{m}]\}$ qui s'identifie
\`{a} l'espace $\proj_{m-k-1}\complex$; $Y$ est l'\�clat\�
de $\proj_{m}\complex$ au dessus des sous-ensembles
$\{[z_{0},..,z_{k},0,..,0]\}$ et $\{[0,..,0,z_{k+1},..,z_{m}]\}$
qui s'identifient respectivement \`{a} $\proj_{k}\complex$ et
$\proj_{m-k-1}\complex$.

$X$ est alors la sous vari�\�t�\� de $\proj_{m}\complex
\times\proj_{k}\complex$ constitu\�e des points
$$([z_{0},..,z_{k},z_{k+1},..,z_{m}],[\zeta_{0},..,\zeta_{k}])\in
\proj_{m}\complex \times\proj_{k}\complex$$ tels que les deux
vecteurs $(z_{0},..,z_{k})$ et $(\zeta_{0},..,\zeta_{k})$ de
$\complex^{k+1}$ soient colin\�aires.

On consid\�re alors les projections $\pi_{1}$ et $\pi_{2}$ de
$X$ respectivement sur $\proj_{m}\complex$ et $\proj_{k}\complex$.
En utilisant les m\�triques de Fubini-Study $g_{m}$ de
$\proj_{m}\complex$ et $g_{k}$ de $\proj_{k}\complex$, on
d\�finit la m\�trique $\tilde{g}$ sur $X$ par
$$\tilde{g}=(m+1-k)\pi_{1}^{*}g_{m} + k\pi_{2}^{*}g_{k}.$$ Ses composantes
dans la carte dense de $X$ constitu\�e des points :
$$([1,z_{1},..,z_{m}], [1,z_{1},..,z_{k}]); (z_{1},..,z_{m}) \in
\complex ^{m},$$ sont donn\�es par
$$\tilde{g}_{\lambda\overline{\mu}}=(m+1-k){\partial}_{\lambda
\bar{\mu}}\ln (1+ x_{1}+..+x_{m}) + k{\partial}_{\lambda
\bar{\mu}}\ln (1+ x_{1}+..+x_{k})$$


De m\^{e}me, $Y$ est la sous-vari\�t�\� de
$\proj_{m}\complex\times\proj_{k}\complex\times\proj_{m-k-1}\complex$
constitu\�e de points
$$([z_{0},..,z_{k},z_{k+1},..,z_{m}],[\zeta_{0},..,\zeta_{k}],[\eta_{k+1},..,\eta_{m}])
\in\proj_{m}\complex\times\proj_{k}\complex\times\proj_{m-k-1}\complex$$
tels que les vecteurs $(z_{0},..,z_{k})$ et $(z_{k+1},..,z_{m})$
sont respectivement proportionnels \`{a}
$(\zeta_{0},..,\zeta_{k})$ et $(\eta_{k+1},..,\eta_{m})$. Comme
pour $X$, on consid\�re les projections $\pi_{1}$, $\pi_{2}$ et
$\pi_{3}$ de $Y$ respectivement sur $\proj_{m}\complex$,
$\proj_{k}\complex$ et $\proj_{m-k-1}\complex$. Alors
$$\hat{g}=2\pi_{1}^{*}g_{m} +
k\pi_{2}^{*}g_{k}+(m-k-1)\pi_{3}^{*}g_{m-k-1}$$ est une
m\�trique dans $Y$ qui a pour composantes
$$\hat{g}_{\lambda\overline{\mu}}=2{\partial}_{\lambda
\bar{\mu}}\ln (1+ x_{1}+..+x_{m}) + k{\partial}_{\lambda
\bar{\mu}}\ln (1+ x_{1}+..+x_{k}) + (m-k-1){\partial}_{\lambda
\bar{\mu}}\ln (x_{k+1}+..+x_{m})$$ dans la carte dense de $Y$
$$\{([1,z_{1},..,z_{m}],[1,z_{1},..,z_{k}],[z_{k+1},..,z_{m}]),(z_{1},..,z_{m})\in
\complex^{m} \mbox{ et } (z_{k+1},..,z_{m})\neq 0 \}$$

On rappelle que $\tilde{g}$ et $\hat{g}$ sont respectivement dans
la premi\�re classe de Chern de $X$ et de $Y$ (voir \cite{BC});
et par cons\�quent, $X$ et $Y$ sont de Fano.

On consid\�re le groupe d'automorphismes $G$ sur
$\proj_{m}\complex$ engendr\� par les automorphismes
$\sigma_{i,j}$, $\varphi_{p,q}$ $\tau_{l,\theta}$ d\�finies
$\forall$ $i,j \in \{0,1,..,k\}$, $p,q \in \{k+1,..,m\}$, $l
\in\{0,1,..,m\}$ et $\theta \in [0,2\pi]$ par
\\$$\sigma_{i,j}([z_{0},..,z_{i},..,z_{j},..,z_{k},..z_{m}])
=[z_{0},..,z_{j},..,z_{i},..,z_{k},..,z_{m}]$$
$$\varphi_{p,q}([z_{0},..,z_{k},..,z_{p},..,z_{q},..z_{m}])
=[z_{0},..,z_{k},..,z_{q},..,z_{p},..z_{m}]$$ et
$$\tau_{l,\theta}([z_{0},..,z_{l},..,z_{m}])=
[z_{0},..,z_{l}e^{i\theta},..,z_{m}].$$%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\\Ce groupe engendre des groupes d'automorphismes
naturels de $X$ et $Y$ que l'on notera encore $G$ dans les deux
cas.

On d\�finit sur
$\complex^{m+1}\backslash\bigcup_{p}\{z_{p}=0\}$ la fonction
 $\psi =\inf(\psi_1,\psi_2)$, o\`{u}
$$\psi_1=\ln \frac{(\mid z_{0}\mid...\mid z_{k}\mid
)^{2{(m+1)}/(k+1)}}{(\mid z_{0}\mid^{2}+...+\mid
z_{m}\mid^{2})^{(m+1)}}$$ et $$\psi_2=\ln \frac{(\mid
z_{k+1}\mid...\mid z_{m}\mid )^{2{(m+1)}/(m-k)}}{(\mid
z_{0}\mid^{2}+...+\mid z_{m}\mid^{2})^{(m+1)}}.$$\\
$\psi_1$ et $\psi_2$ sont homog\�nes de degr\� z\�ro sur
$\complex^{m+1}$, chacune d'entre elles induit alors une fonction
sur $\proj_{m}\complex$. La fonction $\psi_1$ atteint son maximum
\'egal \`a $-(m+1)\ln (k+1)$ en les points
$[1,e^{i\theta_{1}},..,e^{i\theta_{k}},0,..,0]
\in\proj_{m}\complex$ et tend vers moins l'infini lorsque l'une
des coordonn\�es homog\�nes $z_{0},..,z_{k}$ tend vers
z\�ro ou vers l'infini, ce qui correspond aux fronti\�res
des cartes denses d\�finies par $\{z_{i}\neq 0, 0\leq i\leq k\}$.\\
$\psi_{2}$ atteint son maximum \'egal \`a $-(m+1)\ln (m-k)$ en les
points\\ $[0,..,0,
e^{i\theta_{k+1}},..,e^{i\theta_{m}}]\in\proj_{m}\complex$ et tend
vers moins l'infini lorsque l'une des coordonn\�es
homog\�nes $z_{k+1},..,z_{m}$ tend vers z\�ro ou vers
l'infini, c'est-\`{a}-dire aux fronti\�res des cartes denses
d\�finies par $\{z_{j}\neq 0, k+1\leq j\leq m\}$.
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

Pour d\�crire la fonction extr\�male $\tilde{\psi}$ sur $X$,
on consid\�re $\tilde{\psi_{1}}$ et $\tilde{\psi_{2}}$
d\�finies sur
$(\complex^{m+1}\backslash\bigcup_{i}\{z_{i}^{(0)}=0\})\times(\complex^{k+1}\backslash
\bigcup_{j}\{z_{j}^{(1)}=0\})$ par
$$\tilde{\psi_{1}}
=\ln\frac{(\mid z_{0}^{(0)}\mid...\mid
z_{k}^{(0)}\mid)^{\frac{2(m+1-k)}{k+1}}\times(\mid
z_{0}^{(1)}\mid...\mid z_{k}^{(1)}\mid)^{\frac{2k}{k+1}}}{(\mid
z_{0}^{(0)}\mid^{2}+...+\mid
z_{m}^{(0)}\mid^{2})^{(m+1-k)}\times(\mid
z_{0}^{(1)}\mid^{2}+...+\mid z_{k}^{(1)}\mid^{2})^{k}}
$$et $$\tilde{\psi_{2}}
=\ln\frac{(\mid z_{k+1}^{(0)}\mid...\mid
z_{m}^{(0)}\mid)^{\frac{2(m+1-k)}{m-k}}\times(\mid
z_{0}^{(1)}\mid...\mid z_{k}^{(1)}\mid)^{\frac{2k}{k+1}}}{(\mid
z_{0}^{(0)}\mid^{2}+...+\mid
z_{m}^{(0)}\mid^{2})^{(m+1-k)}\times(\mid
z_{0}^{(1)}\mid^{2}+...+\mid z_{k}^{(1)}\mid^{2})^{k}},$$ o\`{u}
$(z_{0}^{(0)},..,z_{m}^{(0)})$ sont les coordonn\�es de
$\complex^{m+1}$ et $(z_{0}^{(1)},..,z_{k}^{(1)})$ sont celles  de
$\complex^{k+1}$. Elles sont s\�par\�ment homog\�nes de
degr\� z\�ro en les composantes de chacun des vecteurs de
$\complex^{m+1}$ et $\complex^{k+1}$. Elles d\�finissent alors
deux fonctions sur $\complex^{m+1}\times\complex^{k+1}$ et donc
sur $X$, par restriction. On pose $\tilde{\psi}=\inf
(\tilde{\psi_{1}},\tilde{\psi_{2}})$.

De m\^{e}me pour $Y$, on consid\�re les fonctions
\begin{eqnarray}
\hat{\psi_{1}}=\ln\{\frac{(\mid z_{0}^{(0)}\mid...\mid
z_{k}^{(0)}\mid)^{\frac{4}{k+1}}}{(\mid
z_{0}^{(0)}\mid^{2}+...+\mid z_{m}^{(0)}\mid^{2})^{2}} \times
\frac{(\mid z_{0}^{(1)}\mid...\mid
z_{k}^{(1)}\mid)^{\frac{2k}{k+1}}} {(\mid
z_{0}^{(1)}\mid^{2}+...+\mid z_{k}^{(1)}\mid^{2})^{k}}
\nonumber\\
\times\frac{(\mid z_{0}^{(2)}\mid...\mid
z_{m-k-1}^{(2)}\mid)^{\frac{2(m-k-1)}{m-k}}} {{(\mid
z_{0}^{(2)}\mid^{2}+...+\mid
z_{m-k-1}^{(2)}\mid^{2})^{(m-k-1)}}}\}\nonumber
\end{eqnarray}

et
\begin{eqnarray}
\hat{\psi_{2}}=\ln\{\frac{(\mid z_{k+1}^{(0)}\mid...\mid
z_{m}^{(0)}\mid)^{\frac{4}{m-k}}}{(\mid
z_{0}^{(0)}\mid^{2}+...+\mid z_{m}^{(0)}\mid^{2})^{2}} \times
\frac{(\mid z_{0}^{(1)}\mid...\mid
z_{k}^{(1)}\mid)^{\frac{2k}{k+1}}} {(\mid
z_{0}^{(1)}\mid^{2}+...+\mid z_{k}^{(1)}\mid^{2})^{k}}
\nonumber\\
\times\frac{(\mid z_{0}^{(2)}\mid...\mid
z_{m-k-1}^{(2)}\mid)^{\frac{2(m-k-1)}{m-k}}} {{(\mid
z_{0}^{(2)}\mid^{2}+...+\mid
z_{m-k-1}^{(2)}\mid^{2})^{(m-k-1)}}}\}.\nonumber
\end{eqnarray}
$\hat{\psi_{1}}$ et $\hat{\psi_{2}}$ sont deux fonctions sur
$$(\complex^{m+1}\backslash\bigcup_{i}\{z_{i}^{(0)}=0\})
\times(\complex^{k+1}\backslash\bigcup_{j}\{z_{j}^{(0)}=0\})
\times(\complex^{m-k}\backslash\bigcup_{q}\{z_{q}^{(0)}=0\})$$
o\`{u} $(z_{i}^{(0)})_{0\leq i\leq m}$, $(z_{j}^{(1)})_{0\leq
j\leq k}$ et $(z_{q}^{(2)})_{0\leq q\leq m-k-1}$ sont
respectivement les coordonn\�es sur $\complex^{m+1}$,
$\complex^{k+1}$ et $\complex^{m-k}$. Elles sont
s\�par\�ment homog\�nes de degr\� z\�ro en les
variables de $\complex^{m+1}$, $\complex^{k+1}$ et
$\complex^{m-k}$. Elles d\�finissent des fonctions sur
$\proj_{m}\complex\times\proj_{k}\complex\times\proj_{m-k-1}\complex$,
et donc, par restriction, sur $Y$. On pose alors
$\hat{\psi}=\inf(\hat{\psi_{1}},\hat{\psi_{2}})$

Enon\c{c}ons \`a pr\'esent les
principaux r\�sultats de cet article.\\
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{theorem}\label{th1}
Soit $\varphi\in C^{\infty}(\proj_{m}\complex)$ une fonction
$g$-admissible et $G$-invariante, v\�rifiant $\sup\varphi = 0$
sur $\proj_{m}\complex$. On a alors $\varphi \geq \psi$.
\end{theorem}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
On en d\�duit le corollaire suivant.
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{coro}\label{coro1} Pour tout $\alpha <
\inf(\frac{k+1}{m+1},\frac{m-k}{m+1})$, on a l'in\�galit\�
de type H\H{o}rmander suivante (voir \cite{H} th. 4.4.5):
$$\int_{\proj_{m}\complex} \exp(-\alpha\varphi ) dv \leq Cst,$$
pour toute fonction $\varphi\in C^{\infty}(\proj_{m}\complex)$,
$g$-admissible, G-invariante, v\�rifiant \\$\sup \varphi =0$
sur $\proj_{m}\complex$. $dv$ est l'\�l\�ment de volume sur
$\proj_{m}$ relatif \`{a} la m\�trique $g$.
\end{coro}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{theorem}\label{th2}
Soit $\varphi\in C^{\infty}(X)$ une fonction
$\tilde{g}$-admissible et $G$-invariante, v\�rifiant
$\sup\varphi = 0$ sur $X$. On a alors $\varphi \geq \tilde{\psi}$.
\end{theorem}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{coro}\label{coro2} Pour tout $\alpha <
\inf(\frac{k+1}{m+1},\frac{m-k}{m-k+1})$, on a l'in\�galit\�
$$\int_{X} \exp(-\alpha\varphi ) d\tilde{v} \leq Cst,$$
pour toute fonction $\varphi\in C^{\infty}(X)$,
$\tilde{g}$-admissible, G-invariante, v\�rifiant $\sup \varphi
=0$ sur $X$. $d\tilde{v}$ est l'\�l\�ment de volume sur $X$
relatif \`{a} la m\�trique $\tilde{g}$.
\end{coro}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{theorem}\label{th3}
Soit $\varphi\in C^{\infty}(Y)$ une fonction $\hat{g}$-admissible
et $G$-invariante, v\�rifiant $\sup\varphi = 0$ sur $Y$. On a
alors $\varphi \geq\hat{\psi}$.
\end{theorem}
\begin{coro}\label{coro3} Pour tout $\alpha <1/2$, on a
l'in\�galit\�
$$\int_{Y} \exp(-\alpha\varphi ) d\hat{v} \leq Cst,$$
pour toute fonction $\varphi\in C^{\infty}(Y)$,
$\hat{g}$-admissible, G-invariante, v\�rifiant $\sup \varphi
=0$ sur $Y$. $d\hat{v}$ est l'\�l\�ment de volume sur $Y$
relatif \`{a} la m\�trique $\large\hat{g}$.
\end{coro}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

{\section{Preuve des r\�sultats sur
$\proj_{m}\complex$.}\label{p}} {\subsection{Preuve du
th\�or\�me \ref{th1}.}} Pour le th\�or\�me \ref{th1},
on utilisera l'invariance des fonctions $\varphi
([z_{0},...,z_{m}])$ par le groupe $G$, afin de les
consid\�rer, au lemme \ref{lem1}, comme des fonctions $\varphi
([1,x_{1},...,x_{m}])$ des variables r\'eelles $ x_{i} =\mid z_{i}
\mid$, $i\in\{1,..,m\}$, puis, au lemme \ref{lem2}, comme des
fonctions $\varphi ([x_{0},...,x_{k},1,x_{k+2},..,x_{m}])$ des
variables r\'eelles $ x_{i} =\mid z_{i} \mid$,
$i\in\{0,..,k,k+2,..,m\}$.
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{lem}\label{lem1}
Soit une fonction $\varphi\in C^{\infty}(\proj_{m}\complex)$,
$g$-admissible, G-invariante. \\Si $x_{i}=\mid z_{i} \mid >0$ pour
tout $i$, dans la carte $\{z_{0}\neq 0\}$, on a
\begin{eqnarray}\label{eq1}
(\varphi -\psi )([1,x_{1},..,x_{m}])\geq (\varphi -\psi
)([1,x_{1},..,x_{k};\zeta^{[m-k]}]),
\end{eqnarray}
o\`u $\zeta=(x_{k+1}...x_{m})^{1/(m-k)}$ et $\zeta^{[m-k]}=(\zeta
,..,\zeta)\in \complex^{m-k}$.
\end{lem}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
{\bf Preuve.} La d\�monstration se fait par r\�currence.
Supposons que pour $k+1\leq p < m$ et pour tout $(x_{1},..,x_{m})
\in\reel^{m}$ avec $x_{i}>0$ on ait
\begin{eqnarray}\label{eq2}
&&(\varphi -\psi )([1,x_{1},..,x_{m}])\geq \nonumber \\&& (\varphi
-\psi )([1,x_{1},..,x_{k};(x_{k+1}...x_{p})^{\frac{1}{p-k}},..,
(x_{k+1}...x_{p})^{\frac{1}{p-k}},x_{p+1},..x_{m}]).
\end{eqnarray}
Cette propri\�t\� est claire pour $p=k+1$. Si
l'in\�galit\� (\ref{eq2}) n'\�tait pas satisfaite au rang
$p+1$, il existerait alors un point
$(x_{1}^{0},..,x_{m}^{0})\in\reel^{m}$ avec $x_{i}^{0}>0$ pour
tout $i$, tel que
\begin{eqnarray}\label{eq3}
&&(\varphi -\psi )([1,x_{1}^{0},..,x_{m}^{0}])< \nonumber \\&&
(\varphi
-\psi)([1,x_{1}^{0},..,x_{k}^{0};(x_{k+1}^{0}...x_{p+1}^{0})^
{\frac{1}{p+1-k}},..,(x_{k+1}^{0}...x_{p+1}^{0})^{\frac{1}{p+1-k}},x_{p+2}^{0},..,x_{m}^{0}].
\end{eqnarray}

En utilisant la continuit\� de $(\varphi -\psi)$, on peut
supposer, quitte \`{a} en modifier l\�g\�rement les
coordonn\�es, que le point $([1,x_{1}^{0},..,x_{m}^{0}])$ de
l'in\�galit\� (\ref{eq3}), v\�rifie
$$(x_{1}^{0}..x_{k}^{0})^{1/(k+1)}\neq
(x_{k+1}^{0}..x_{m}^{0})^{1/(m-k)},$$propri\�t\� dont on
aura besoin plus loin. En utilisant la $G$-invariance de
$\varphi$, on peut supposer que $x_{k+1}^{0}\leq ...\leq
x_{m}^{0}$. D'autre part, en tenant encore compte de la $G$
invariance de $\varphi$ et de l'hypoth\�se de r\�currence
(\ref{eq2}) en les points
$$[1,x_{1}^{0},..,x_{k}^{0};x_{k+1}^{0},x_{k+2}^{0},..,x_{p}^{0},
x_{p+1}^{0},x_{p+2}^{0},..,x_{m}^{0}]$$ et
$$[1,x_{1}^{0},..,x_{k}^{0};x_{k+2}^{0},
x_{k+3}^{0},..,x_{p}^{0},x_{p+1}^{0},x_{k+1}^{0},x_{p+2}^{0},..,x_{m}^{0}],$$
on peut \�crire
\begin{eqnarray}\label{eq4}&&(\varphi-\psi )([1,x_{1}^{0},..,x_{m}^{0}])\geq\nonumber\\
&& (\varphi-\psi
)([1,x_{1}^{0},..,x_{k}^{0};(x_{k+1}^{0}...x_{p}^{0})
^{\frac{1}{p-k}},..,(x_{k+1}^{0}...x_{p}^{0})^
{\frac{1}{p-k}},x_{p+1}^{0},x_{p+2}^{0},..,x_{m}^{0}]
\end{eqnarray}
et
\begin{eqnarray}\label{eq5}
&&(\varphi-\psi)([1,x_{1}^{0},..,x_{k}^{0};x_{k+2}^{0},..,x_{p+1}^{0},x_{k+1}^{0},
x_{p+2}^{0},..,x_{m}^{0}])\geq
\nonumber \\&&
(\varphi-\psi)([1,x_{1}^{0},..,x_{k}^{0};(x_{k+2}^{0}..x_{p+1}^{0})
^{\frac{1}{p-k}},..,(x_{k+2}^{0}..x_{p+1}^{0})^{\frac{1}{p-k}},x_{k+1}^{0},
x_{p+2}^{0},..,x_{m}^{0}].
\end{eqnarray}
Consid\�rons maintenant la courbe $C$ d'\�quation
$$t^{p-k}x=x_{k+1}^{0}...x_{p+1}^{0}$$ dans le plan r\�el
$\{[1,x_{1}^{0},..,x_{k}^{0},t,..,t,x,x_{p+2}^{0},..,x_{m}^{0}]\}$
param\�tr\� par les variables $t$ et $x$. Les points
$$P_{1}=[1,x_{1}^{0},..,x_{k}^{0};(x_{k+1}^{0}...x_{p}^{0})^
{\frac{1}{p-k}},..,(x_{k+1}^{0}...x_{p}^{0})^{\frac{1}{p-k}},
x_{p+1}^{0},x_{p+2}^{0},..,x_{m}^{0}]$$ et
$$P_{2}=[1,x_{1}^{0},..,x_{k}^{0};(x_{k+2}^{0}...x_{p+1}^{0})
^{\frac{1}{p-k}},..,(x_{k+2}^{0}...x_{p+1}^{0})
^{\frac{1}{p-k}},x_{k+1}^{0},x_{p+2}^{0},..,x_{m}^{0}]$$
appartiennent \`{a} la courbe $C$.Notons que les r\�els
$x_{i}^{0}$ pour $k+1\leq i\leq p+1$ ne sont pas tous \�gaux,
sinon (\ref{eq3})deviendrait une \�galit\�.\\ Par suite,
sachant que l'on a choisi $x_{k+1}^{0}\leq ...\leq x_{p+1}^{0}$,
les points distincts $P_{1}$ et $P_{2}$ se trouvent strictement de
part et d'autre de la diagonale $t=x$ du plan pr\�c\�dent.
\\Or la courbe $C$ coupe cette diagonale en le point

$$P_{3}=[1,x_{1}^{0},..,x_{k}^{0};
(x_{k+1}^{0}...x_{p+1}^{0})^{\frac{1}{p+1-k}},..,
(x_{k+1}^{0}...x_{p+1}^{0})^{\frac{1}{p+1-k}},x_{p+2}^{0},..,x_{m}^{0}]$$
qui intervient dans l'in\�galit\� (\ref{eq3}). D'autre part,
en utilisant les relations (\ref{eq3}), (\ref{eq4}) et (\ref{eq5})
on obtient :$$ (\varphi - \psi)(P_{3})> (\varphi - \psi
)(P_{1})\mbox{ et }(\varphi - \psi )(P_{3})> (\varphi - \psi
)(P_{2}),$$ ce qui prouve que la fonction $(\varphi - \psi )$
admet un maximum local sur la courbe $C$. En cons\�quence, la
restriction de la fonction $G$-invariante $(\varphi - \psi )$
\`{a} la courbe holomorphe (toujours not\'ee $C$) d'\�quation
$\xi^{p-k}z=x_{k+1}^{0}...x_{p+1}^{0}$ du plan complexe
${[1,x_{1}^{0},..,x_{k}^{0};\xi,..,\xi,z,x_{p+2}^{0},..,x_{m}^{0}]}$
atteint un maximum local en un point $P=C(\zeta)$. Posons
$C(\zeta)=[1,C^{1}(\zeta),..,C^{m}(\zeta)]$ et
$\dot{C}^{\lambda}(\xi)=\frac{d C^{\lambda}}{d \xi}(\xi) \mbox{ et
} \dot{C}^{\overline{\mu}}(\xi)=\overline{\dot{C}^{\mu}(\xi)}.$



Sachant que l'on a choisi le point $[1,x_{1}^{0},..,x_{m}^{0}]$ de
sorte que $$(x_{1}^{0}...x_{k}^{0})^{1/(k+1)}\neq
(x_{k+1}^{0}...x_{m}^{0})^{1/(m-k)},$$ l'\�quation de la
courbe $C$ et les d\�finitions de $\psi_{1}$ et $\psi_{2}$ montrent 
qu'en tout point de $C$ 
$$ \psi_{1}([1,x_{1}^{0},..,x_{k}^{0};\xi,..,\xi,z,
x_{p+2}^{0},..,x_{m}^{0}])\neq
\psi_{2}([1,x_{1}^{0},..,x_{k}^{0};\xi,..,\xi,z,x_{p+2}^{0},..,x_{m}^{0}]).$$
On peut alors supposer que $\psi=\psi_{1}$ dans un voisinage de $P$, 
la preuve \�tant identique si l'on suppose $\psi=\psi_{2}$ dans
ce voisinage. On a donc :

$$\frac {\partial^{2}}{\partial \xi\partial \overline{\xi}}
\{(\varphi -\psi_{1})(C(\zeta))\} =\frac{\partial^{2}(\varphi
-\psi_{1})}{\partial z_{\lambda}
\partial \overline{z}_{\mu} }(C(\zeta))\dot{C}^{\lambda}(\zeta)
\dot{C}^{\overline{\mu}}(\zeta)$$ est n\�gatif ou nul.
Comme $-\frac{\partial^{2}\psi_{1}}{\partial z_{\lambda}
\partial \overline{z}_{\mu}}= g_{\lambda\overline{\mu}},$
ceci exprime que la forme hermitienne de matrice:
$$(g_{\lambda\overline{\mu}}+\frac{\partial^{2}\varphi}{\partial
z_{\lambda}
\partial \overline{z}_{\mu}})_{\lambda ,\mu}=(\frac{\partial^{2}(\varphi -\psi_{1} )}
{\partial z_{\lambda}
\partial \overline{z}_{\mu}})_{\lambda,\mu}$$
est n\�gative en $P = C(\zeta)$. On en
d\�duit une contradiction avec la $g$-admissibilit\� de
$\varphi$ en $P$. D'o\`u l'in\'egalit\'e (\ref{eq2}) au rang $p+1$ et, par
cons\'equent, le lemme \ref{lem1}.

\begin{lem}\label{lem2}
Soit une fonction $\varphi\in
C^{\infty}(\proj_{m}\complex)$, $g$-admissible, G-invariante.// Si
$x_{i}=\mid z_{i}\mid >0$ pour tout $i$, dans la carte
$\{z_{k+1}\neq 0\}$ on a
\begin{eqnarray}\label{eq6}
(\varphi -\psi )([x_{0},x_{1},..,x_{k};1,x_{k+2},..,x_{m}])\geq
(\varphi -\psi )([\eta,\eta,..,\eta;1,x_{k+2},..,x_{m}]),
\end{eqnarray}
o\`u $\eta=(x_{0}x_{1}...x_{k})^{1/(k+1)}$.
\end{lem}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
{\bf Preuve.} Comme dans le lemme \ref{lem1}, la preuve s'effectue
par r\�currence. Supposons que pour $0\leq p < k$ et
pour tout $(x_{0},..,x_{k};x_{k+2},..,x_{m}) \in\reel^{m}$ avec
$x_{i}>0$, on ait
\begin{eqnarray}\label{eq7}
&&(\varphi -\psi )([x_{0},..,x_{k},1,x_{k+2},..,x_{m}])\geq
\nonumber
\\&& (\varphi -\psi
)([(x_{0}...x_{p})^{\frac{1}{p+1}},..,
(x_{0}...x_{p})^{\frac{1}{p+1}},x_{p+1},..,x_{k};1,x_{k+2},..,x_{m}]).
\end{eqnarray}
Cette hypoth\�se est v\�rifi\�e pour $p=0$. Si
l'in\�galit\� (\ref{eq7}) n'\�tait pas satisfaite au rang
$p+1$, il existerait un point
$(x_{0}^{0},..,x_{k};x_{k+2},..,x_{m}^{0})\in\reel^{m}$ avec
$x_{i}^{0}>0$ pour tout $i$, tel que :
\begin{eqnarray}\label{eq8}
&&(\varphi -\psi
)([x_{0}^{0},..,x_{k}^{0};1,x_{k+2}^{0},..,x_{m}^{0}])< \nonumber
\\&& (\varphi
-\psi)([(x_{0}^{0}..x_{p+1}^{0})^{\frac{1}{p+2}},..,(x_{0}^{0}..x_{p+1}^{0})^{\frac{1}{p+2}},
x_{p+2}^{0},...,x_{k}^{0};1,x_{k+2}^{0},..,x_{m}^{0}]).
\end{eqnarray}
Comme au lemme \ref{lem1}, on peut supposer que le point
$[x_{0}^{0},..,x_{k}^{0};1,x_{k+2}^{0},..,x_{m}^{0}]$ v\�rifie
$$(x_{0}^{0}..x_{k}^{0})^{1/(k+1)}\neq
(x_{k+2}^{0}..x_{m}^{0})^{1/(m-k)},$$ et que $x_{0}^{0}\leq
...\leq x_{p+1}^{0}$. D'autre part, en tenant compte de la $G$-invariance 
de $\varphi$ et de l'hypoth\�se de r\�currence
(\ref{eq7}) en les points 
$$[x_{0}^{0},x_{1}^{0},..,x_{p}^{0},x_{p+1}^{0},..,x_{k}^{0};1,x_{k+2}^{0},..,x_{m}^{0}]$$
et
$$[x_{1}^{0},..,x_{p+1}^{0},x_{0}^{0},..,x_{k}^{0};1,x_{k+2}^{0},..,x_{m}^{0}],$$
on a 
\begin{eqnarray}\label{eq9}
&&(\varphi-\psi )([x_{0}^{0},..,x_{k}^{0};1,x_{k+2}^{0},
..,x_{m}^{0}])\geq\nonumber\\&& (\varphi-\psi
)([(x_{0}^{0}..x_{p}^{0})^{\frac{1}{p+1}},..,(x_{0}^{0}..x_{p}^{0})^{\frac{1}{p+1}},
x_{p+1}^{0},..,x_{k}^{0};1,x_{k+2}^{0},..,x_{m}^{0}]) 
\end{eqnarray}
et
\begin{eqnarray}\label{eq10}
&&(\varphi-\psi)([x_{1}^{0},..,x_{p+1}^{0},x_{0}^{0},..,x_{k}^{0};1,x_{k+2}^{0},..,x_{m}^{0}])\geq
\nonumber \\&&
 (\varphi-\psi)([(x_{1}^{0}..x_{p+1}^{0})^{\frac{1}{p+1}},..,(x_{1}^{0}..x_{p+1}^{0})^
{\frac{1}{p+1}},
x_{0}^{0},x_{p+2}^{0},..,x_{k}^{0};1,x_{k+2}^{0},..,x_{m}^{0}]).
\end{eqnarray}
Consid\�rons maintenant la courbe $C$ d'\�quation
$$t^{p+1}x=x_{0}^{0}...x_{p+1}^{0}$$ du plan r\�el
$\{[t,..,t,x,x_{p+2}^{0},..,x_{k}^{0};1,x_{k+2}^{0},..,x_{m}^{0}]\}$
param\�tr\� par les variables $t$ et $x$. Les points 
$$Q_{1}=[(x_{0}^{0}..x_{p}^{0})^{\frac{1}{p+1}},..,
(x_{0}^{0}..x_{p}^{0})^{\frac{1}{p+1}},x_{p+1}^{0},x_{p+2}^{0},..,x_{k}^{0};1,
x_{k+2}^{0},..,x_{m}^{0}]$$ et
$$Q_{2}=[(x_{1}^{0}..x_{p+1}^{0})^{\frac{1}{p+1}},..,(x_{1}^{0}..x_{p+1}^{0})^{\frac{1}{p+1}},
x_{0}^{0},x_{p+2}^{0},..,x_{k}^{0};1,x_{k+2}^{0},..,x_{m}^{0}]$$
appartiennent \`{a} la courbe $C$.\\D'autre part 
 les r\�els $x_{i}^{0}$ pour $0\leq i\leq p+1$ ne sont pas tous
\�gaux, sinon (\ref{eq8}) serait une \�galit\�.\\
Par suite, sachant que l'on a choisi $x_{0}^{0}\leq ...\leq
x_{p+1}^{0}$, les points distincts $Q_{1}$ et $Q_{2}$ se trouvent strictement 
de part et
d'autre de la diagonale $t=x$ du plan pr\�c\�dent. \\Or la
courbe $C$ coupe cette diagonale en le point 

$$Q_{3}=[(x_{0}^{0}...x_{p+1}^{0})^{\frac{1}{p+2}},..,
(x_{0}^{0}...x_{p+1}^{0})^{\frac{1}{p+2}},x_{p+2}^{0},..,x_{k}^{0};
1,x_{k+2}^{0},..,x_{m}^{0}]$$ qui intervient dans
l'in\�galit\� (\ref{eq8}). D'autre part, les relation
(\ref{eq8}), (\ref{eq9}) et (\ref{eq10}) donnent 
$$ (\varphi -
\psi)(Q_{3})> (\varphi - \psi )(Q_{1})\mbox{ et }(\varphi - \psi
)(Q_{3})> (\varphi - \psi )(Q_{2}),$$ ce qui prouve que la
fonction $(\varphi - \psi )$ admet un maximum local sur la courbe
$C$.\\
Sachant que l'on a choisi le point
$[x_{0}^{0},..,x_{k}^{0};1,x_{k+2}^{0},..,x_{m}^{0}]$ de sorte que
$$(x_{0}^{0}..x_{k}^{0})^{1/(k+1)}\neq
(x_{k+2}^{0}..x_{m}^{0})^{1/(m-k)},$$
on conclut de la
m\^{e}me mani\�re qu'au lemme pr\�c\�dent en consid\'{�}rant la restriction de 
$(\varphi -\psi)$ \`{a} une courbe holomorphe convenable.
\begin{lem}\label{coro4}
Etant donn\�e une fonction $\varphi\in
C^{\infty}(\proj_{m}\complex)$, $g$-admissible, G-invariante, si 
$x_{i}=\mid z_{i}\mid >0$ pour tout $i$, on a 
\begin{eqnarray}\label{eq11}
(\varphi -\psi )([1,x_{1},..,x_{k};x_{k+1},x_{k+2},..,x_{m}])\geq
(\varphi -\psi )([1^{[k+1]};\nu^{[m-k]}]),
\end{eqnarray}
o\`u
$\nu=(x_{1}...x_{k})^{-1/(k+1)}(x_{k+1}...x_{m})^{1/(m-k)}$.
\end{lem}
{\bf Preuve}. D'apr\�s le lemme \ref{lem1}, on a 
\begin{eqnarray*}
   & & (\varphi -\psi
)([1,x_{1},..,x_{k};x_{k+1},x_{k+2},..,x_{m}])\nonumber\\ \\
  &\geq& (\varphi -\psi
)([1,x_{1},..,x_{k};(x_{k+1}...x_{m})^{1/(m-k)},..,(x_{k+1}...x_{m})^{1/(m-k)}])\nonumber \\
  &=& (\varphi -\psi )([\frac{1}{(x_{k+1}...x_{m})^{1/(m-k)}},
\frac{x_{1}}{(x_{k+1}...x_{m})^{1/(m-k)}},..,
\frac{x_{k}}{(x_{k+1}...x_{m})^{1/(m-k)}};1,..,1]).\nonumber
\end{eqnarray*}
La $(k+2)$-i\�me composante homog\�ne de ce dernier point \�tant
\�gale \`{a} $1$, le 
lemme \ref{lem2} nous permet d'\�crire 
\begin{eqnarray*}
   && (\varphi -\psi
)([1,x_{1},..,x_{k};x_{k+1},x_{k+2},..,x_{m}])\nonumber \\
   &\geq& (\varphi -\psi )([\frac{1}{(x_{k+1}...x_{m})^{1/(m-k)}},
\frac{x_{1}}{(x_{k+1}...x_{m})^{1/(m-k)}},..,
\frac{x_{k}}{(x_{k+1}...x_{m})^{1/(m-k)}};1,..,1])\nonumber \\
   &\geq& (\varphi -\psi
)([\frac{(x_{1}...x_{k})^{1/(k+1)}}{(x_{k+1}...x_{m})^{1/(m-k)}},..,
\frac{(x_{1}...x_{k})^{1/(k+1)}}{(x_{k+1}...x_{m})^{1/(m-k)}};1,..,1])\nonumber \\
  &=& (\varphi -\psi
)([1,..,1;\frac{(x_{k+1}...x_{m})^{1/(m-k)}}{(x_{1}...x_{k})^{1/(k+1)}},..,
\frac{(x_{k+1}...x_{m})^{1/(m-k)}}{(x_{1}...x_{k})^{1/(k+1)}}]),\nonumber
\end{eqnarray*}
d'o\`{u} la minoration (\ref{eq11}).

Pour la suite de la preuve du th\�or\�me \ref{th1},
pr\�cisons que la $G$ invariance ne nous permet pas d'aller
plus loin, contrairement \`{a} ce qui a \�t\� fait dans
\cite{B1} o\`{u} le groupe d'automorphismes est plus gros. 
C'est pour cette raison que l'on ne peut
pas conserver ici la fonction extr\�male de \cite{B1}. Celle qui appara�t 
dans cet article nous permet de passer directement du
lemme \ref{coro4} \`{a} la derni\�re \�tape, \`{a}
savoir le lemme suivant :
\begin{lem}\label{lem4}
Etant donn\�e une fonction $\varphi\in
C^{\infty}(\proj_{m}\complex)$, $g$-admissible, G-invariante 
et telle que $\sup=0$ sur $\proj_{m}\complex$, alors pour tout $\zeta >0$, on a 
\begin{eqnarray}\label{eq12}
(\varphi -\psi )([1^{[k+1]};\zeta^{[m-k]}])\geq 0,
\end{eqnarray}
\end{lem}
{\bf Preuve.} On raisonne sur la position du point $P_{0}\in\proj_{m}\complex$
o\`{u} $\varphi$ atteint son maximum. En vertu de la $G$-invariance
de $\varphi$, on peut supposer qu'il s'\�crit sous la forme 
$$P_{0}=[y^{0}_{0},..,y^{0}_{k};y^{0}_{k+1},..,y^{0}_{m}],$$
o\`{u} les $y^{0}_{i}$ sont des r\�els positifs v\�rifiant 
$y^{0}_{0}\geq y^{0}_{1}\geq..\geq y^{0}_{k}$ et $y^{0}_{k+1}\geq
y^{0}_{k+2}\geq..\geq y^{0}_{m}$. Deux cas se pr\�sentent : ou
bien l'un des $y^{0}_{0},..,y^{0}_{k}$ est non nul, ou bien tous
les $y^{0}_{0},..,y^{0}_{k}$ sont nuls.
\\{\bf{Cas A}} :
l'un des $y^{0}_{0},..,y^{0}_{k}$ est non nul. On peut alors se
placer dans la carte $\{z_{0}\neq 0\}$ et \�crire le point
$P_{0}$ sous la forme 
$$P_{0}=[1,x^{0}_{1},..,x^{0}_{k};x^{0}_{k+1},..,x^{0}_{m}],$$
o\`{u} les r\�els positifs $x^{0}_{i}$ v\�rifient :
$1\geq x^{0}_{1}\geq..\geq x^{0}_{k}$ et $x^{0}_{k+1}\geq ...\geq
x^{0}_{m}$.

Raisonnons par l'absurde, et supposons qu'il existe un point
$P_{1}=[1^{[k+1]};\zeta_{0}^{[m-k]}]$ tel que
l'on ait $\zeta_{0}>0$ et 
\begin{equation}\label{p1}
(\varphi -\psi )(P_{1})<0.
\end{equation}
 On envisage alors les deux sous-cas suivants : $x^{0}_{k+1}<\zeta_{0}$ 
puis $x^{0}_{k+1}\geq \zeta_{0}$.
\begin{itemize}
    \item \underline{$x^{0}_{k+1}<\zeta_{0}$}.
\end{itemize}
On introduit alors la fonction auxiliaire
$$\psi_{0}=\log\frac{\mid z_{0}\mid^{2(m+1)}}{
    (\mid z_{0}\mid^{2}+...+\mid z_{m}\mid^{2})^{m+1}}.$$
D'une part, puisque $\varphi\leq 0$,
\begin{equation}\label{p}
(\varphi -\psi_{0})([1,0,...,0])=\varphi ([1,0,...,0])\leq 0.
\end{equation}
De plus, sachant que $\varphi (P_{0})=0$ et $\psi_{0}\leq 0$, on a
\begin{equation}\label{p3}
(\varphi -\psi_{0})(P_{0})\geq 0.
\end{equation}
Si $P_{0}\neq [1,0,..,0]$, $\psi_{0}(P_{0})< 0$ et l'in\�galit\� (\ref{p3}) est
alors stricte. Si $P_{0}= [1,0,..,0]$, 
quitte \`{a} se placer en un point $P$ arbitrairement voisin de
$P_{0}$, on peut supposer $(\varphi -\psi_{0})(P)> 0$. En effet, si dans
un voisinage de $P_{0}$ on avait $(\varphi -\psi_{0})\leq 0$, comme 
$(\varphi -\psi_{0})(P_{0})= 0$, $(\varphi -\psi_{0})$ admettrait
alors un maximun local en $P_{0}$, ce qui mettrait en
d\�faut l'admissibilit\� de $\varphi$ en ce point, sachant que 
$$\partial_{\lambda\overline{\mu}}(\varphi -\psi_{0})(P_{0})=
(g_{\lambda\overline{\mu}}+\partial_{\lambda\overline{\mu}}\varphi )(P_{0}).$$ Dans tous les cas, 
on peut
donc affirmer qu'il existe un point $P'_{0}=[1,{a}_{1},..,{a}_{m}]$
v\�rifiant
\begin{equation}\label{p3'}
(\varphi -\psi_{0})(P'_{0})> 0.
\end{equation}
Par continuit\� et $G$-invariance de $\varphi$, on peut supposer $1>a_{1}\geq...\geq a_{k}>0$ et 
$\zeta_{0}> a_{k+1}\geq...\geq a_{m}>0$.
D'autre part, l'in\�galit\� (\ref{p1}) jointe aux d\'efinitions de $P_1$, $\psi_0$, $\psi_1$ 
et $\psi=\inf (\psi_1 , \psi_2)$ implique
\begin{equation}\label{p1'}
(\varphi -\psi_{0})(P_{1})=(\varphi -\psi_{1})(P_{1})\leq(\varphi
-\psi)(P_{1})< 0.
\end{equation}

La courbe :
$$[0,1]\ni t\rightarrow [1,t,t^{(\ln a_{2})/(\ln a_{1})},..,t^{(\ln a_{k})/(\ln a_{1})};
\zeta_{0}t^{\frac{\ln(a_{k+1}/\zeta_{0})}{\ln
a_{1}}},..,\zeta_{0}t^{\frac{\ln(a_{m}/\zeta_{0})}{\ln
a_{1}}}]$$ passe par $[1,0,..,0]$ en $t=0$ puis par ${P'}_{0}$
en $t=a_{1}$ et enfin par le point $P_{1}$ en $t=1$, valeurs
en lesquelles, d'apr\�s (\ref{p}), (\ref{p3'}) et (\ref{p1'}),
$(\varphi-\psi_{0})$ est respectivement n\�gative, positive
puis \`{a} nouveau n\�gative. L'invariance de cette fonction
par l'action des $\exp(i\theta)$, permet donc de d\�duire que
$(\varphi-\psi_{0})$ atteint un maximum sur la courbe holomorphe,
complexifi\�e de la courbe d\�crite plus haut, ce qui
contredit encore une fois l'admissibilit\� de $\varphi$.
\begin{itemize}
\item \underline{$x^{0}_{k+1}\geq\zeta_{0}$}.
\end{itemize}
D\�signons dans ce cas par $p\in \{1,..,m-k\}$ l'entier pour
lequel on a $$x^{0}_{k+1}\geq ...\geq x^{0}_{k+p}>\zeta_{0} \mbox{
et } \zeta_{0}\geq x^{0}_{k+p+1}\geq ...\geq x^{0}_{m},$$ et
consid\�rons la fonction auxiliaire

$$\psi_{k+1}=\log\frac{\mid z_{k+1}\mid^{2(m+1)}}{
    (\mid z_{0}\mid^{2}+...+\mid z_{m}\mid^{2})^{m+1}}.$$
On a
\begin{equation}\label{p3''}
(\varphi -\psi_{k+1})(P_{0})> 0.
\end{equation}
La fonction $(\varphi -\psi_{k+1})$ \�tant continue, quitte
\`{a} se placer en un point voisin de $P_{0}$, on peut supposer
tous les $x_{i}^{0}$ non nuls. Posons alors:
$$\alpha_{2}=\frac{\ln x_{2}^{0}}{\ln x_{1}^{0}},..,\alpha_{k}=\frac{\ln x_{k}^{0}}{\ln x_{1}^{0}};
\alpha_{k+1}=\frac{\ln(x_{k+1}^{0}/\zeta_{0})}{\ln x_{1}^{0}},..,
\alpha_{m}=\frac{\ln(x_{m}^{0}/\zeta_{0})}{\ln x_{1}^{0}}.$$
Sachant que l'on a $1\geq x_{1}^{0}\geq..\geq x_{k}^{0}$;
$x_{k+1}^{0}\geq..\geq x_{k+p}^{0}\geq\zeta_{0}$ et $\zeta_{0}\geq
x_{k+p+1}^{0}\geq..\geq x_{m}^{0}$, on en d\�duit que 
$\alpha_{2},..,\alpha_{k}\geq 0$, $\alpha_{k+1}\leq ...\leq
\alpha_{p+k}\leq 0$ et $\alpha_{p+k+1},..,\alpha_{m}\geq 0$, d'o\`{u}, en notant 
$P_{\varepsilon}=[1,\varepsilon,\varepsilon^{\alpha_{2}},..,\varepsilon^{\alpha_{k}},
\zeta_{0}\varepsilon^{\alpha_{k+1}},..,\zeta_{0}\varepsilon^{\alpha_{m}}]$, on a 
\begin{eqnarray*}
\lim_{\varepsilon\rightarrow
0}\psi_{k+1}(P_{\varepsilon }) 
&=& \lim_{\varepsilon\rightarrow
0}\ln\frac{\zeta_{0}^{2(m+1)}\varepsilon^{2\alpha_{k+1}(m+1)}}
{[1+\varepsilon^{2}+\varepsilon^{2\alpha_{2}}+..+\varepsilon^{2\alpha_{k}}+
\zeta_{0}^{2}(\varepsilon^{2\alpha_{k+1}}+..+\varepsilon^{2\alpha_{m}})]^{m+1}}  \\
&=&\ln\lim_{t\rightarrow
\infty}\frac{\zeta_{0}^{2(m+1)}t^{-2\alpha_{k+1}(m+1)}}
{[\zeta_{0}^{2}(t^{-2\alpha_{k+1}}+t^{-2\alpha_{k+2}}+..+t^{-2\alpha_{p}})]^{(m+1)}}
= \ln 1=0,
\end{eqnarray*} 
$-\alpha_{k+1}$ \�tant la plus grande puissance intervenant au
d\�nominateur. Sachant que $\varphi ([P_{\varepsilon}])\leq 0$ et compte tenu de (\ref{p3''}) il
existe $\varepsilon_{0}$ tel que l'on ait
\begin{equation}\label{p4}
(\varphi
-\psi_{k+1})(P_{\varepsilon_{0} })\leq -\psi_{k+1}(P_{\varepsilon_{0} })<
(\varphi -\psi_{k+1})(P_{0}).
\end{equation}
D'autre part, l'in\'egalit\'e (\ref{p1}), jointe aux d\'efinitions de $P_1$, $\psi_{k+1}$, $\psi_{2}$ 
et $\psi = \inf (\psi_{1},\psi_{2})$ donne~: 
\begin{equation}\label{p5}
(\varphi
-\psi_{k+1})(P_{1})= (\varphi-\psi_{2})(P_{1})\leq
(\varphi -\psi)(P_{1})<0.
\end{equation}
La courbe
$$[\varepsilon_{0},1]\ni t\rightarrow [1,t,t^{\alpha_{2}},..,t^{\alpha_{k}},
\zeta_{0}t^{\alpha_{k+1}},..,\zeta_{0}t^{\alpha_{m}}],$$ passe par
$P_{\varepsilon_{0}}$
en $t=\varepsilon_{0}$ puis par $P_{0}$ en $t=x_{1}^{0}$ et enfin
par $P_{1}$ en $t=1$, ce qui, en vertu de 
(\ref{p4}), (\ref{p3''}) et (\ref{p5}) prouve l'existence d'un maximum local pour la 
fonction $(\varphi-\psi_{k+1})$ sur la
courbe pr\�cit\�e. Ceci contredit, \`{a} l'instar du cas
pr\�c\�dent, l'hypoth\�se d'admissibilit\� de la
fonction $\varphi$.

{\bf{Cas B :}}  $y^{0}_{0}=...=y^{0}_{k}=0$. On se
place alors dans la carte $\{z_{k+1}\neq 0\}$, de sorte que
le point $P_{0}$ o\`u $\varphi$ atteint son maximum \'egal \`a z\'ero puisse 
s'\'ecrire sous la forme 
$$P_{0}=[0,0,..,0;1,x_{k+2}^{0},..,x_{m}^{0}].$$
On peut aussi supposer, en utilisant la $G$-invariance de $\varphi$, que 
$1\geq x_{k+2}^{0}\geq..\geq x_{m}^{0}$. On montrera une version \'equivalente du lemme \ref{lem4}, \`a savoir que
\begin{equation}\label{equ0}
(\varphi -\psi )([\zeta^{[k+1]};1^{[m-k]}])\geq 0
\end{equation}
pour tout $\zeta >0$. 
Raisonnons par l'absurde, et supposons qu'il existe un point
$P_{k+1}=[\zeta_{0}^{[k+1]};1^{[m-k]}]$ tel que
l'on ait $\zeta_{0}>0$ et 
\begin{equation}\label{equ1}
(\varphi -\psi )(P_{k+1})<0.
\end{equation}
On consid\`ere alors la fonction auxiliaire
$\psi_{k+1}$ introduite plus haut.
Sachant que $\varphi\leq 0$, on a 
\begin{equation}\label{equ2}
(\varphi -\psi_{k+1})([0^{[k+1]};1,0,..,0])=\varphi ([0^{[k+1]};1,0,..,0])\leq 0.
\end{equation}
D'autre part, sachant que $\varphi (P_{0})=0$ et $\psi_{k+1}\leq 0$, on a
\begin{equation}
(\varphi -\psi_{k+1})(P_{0})=-\psi_{k+1}(P_{0})\geq 0.
\end{equation}
Cette in\'egalit\'e est stricte d\`es que $P_{0}\neq [0^{[k+1]};1,0,..,0]$. Si 
$P_{0} = [0^{[k+1]};1,0,..,0]$, quitte \`a se placer en un point arbitrairement voisin de 
$P_{0}$, on peut supposer la derni\`ere in\'egalit\'e stricte. En effet, si dans un voisinage de $P_{0}$, on avait 
$\varphi -\psi_{k+1}\leq 0$, alors $\varphi -\psi_{k+1}$ admettrait un maximum local en  
$P_{0}$, ce qui contredirait l'admissibilit\'e de $\varphi$ en $P_{0}$. A l'instar du cas A, 
il existe donc un point  $P'_{0}=[{c}_{0},..,{c}_{k};1,{c}_{k+2},..,{c}_{m}]$
v\�rifiant
\begin{equation}\label{equ3}
(\varphi -\psi_{k+1})(P'_{0})> 0.
\end{equation}
Par continuit\� et $G$-invariance de $\varphi$, on peut supposer 
$\zeta_{0}> c_{0}\geq...\geq c_{k}>0$ et $1>c_{k+2}\geq...\geq c_{m}>0$. 
D'autre part, l'in\�galit\� (\ref{equ1}) jointe aux d\'efinitions de $P_{k+1}$, $\psi_{k+1}$, $\psi_2$ 
et $\psi=\inf (\psi_1 , \psi_2)$ implique
\begin{equation}\label{equ4}
(\varphi -\psi_{k+1})(P_{k+1})=(\varphi -\psi_{2})(P_{k+1})\leq(\varphi
-\psi)(P_{k+1})< 0.
\end{equation}

La courbe :
$$[0,1]\ni t\rightarrow [\zeta_{0}t^{\frac{\ln(c_{0}/\zeta_{0})}{\ln
c_{k+2}}},..,\zeta_{0}t^{\frac{\ln(c_{k}/\zeta_{0})}{\ln
c_{k+2}}};1,t,t^{(\ln c_{k+3})/(\ln c_{k+2})},..,t^{(\ln c_{m})/(\ln c_{k+2})}]$$ 
passe par $[0^{[k+1]},1,0,..,0]$ en $t=0$ puis par ${P'}_{0}$
en $t=c_{k+2}$ et enfin par le point $P_{k+1}$ en $t=1$, valeurs
en lesquelles, d'apr\�s (\ref{equ2}), (\ref{equ3}) et (\ref{equ4}),
$(\varphi-\psi_{k+1})$ est respectivement n\�gative, positive
puis n\�gative. L'invariance de cette fonction
par l'action des $\exp(i\theta)$, permet donc de d\�duire que
$(\varphi-\psi_{0})$ atteint un maximum sur la courbe holomorphe,
d\'eduite de la courbe d\�crite plus haut, ce qui
contredit l'admissibilit\� de $\varphi$, d'o\`u (\ref{equ0}) 
et le lemme \ref{lem4}.


{\subsection{Preuve du corollaire \ref{coro1}.}}

Soit $\varphi\in C^{\infty}(\proj_{m}\complex )$ une fonction
$g$-admissible et $G$-invariante, dont le $\sup$ sur
$\proj_{m}\complex$ est nul. D'apr\`es le th\'eor\`eme \ref{th1},
on a $\varphi \geq \psi$ et par suite, pour tout $\alpha \geq 0$,
$$\int_{\proj_{m}\complex} \exp(-\alpha\varphi ) dv \leq
\int_{\proj_{m}\complex}\exp(-\alpha\psi )dv .$$ Cherchons les
valeurs de $\alpha$ pour lesquelles cette derni\`ere int\'egrale
converge. Pour ce faire, on estimera
$\int_{\proj_{m}\complex}\exp(-\alpha\psi_{1} )dv$ et
$\int_{\proj_{m}\complex}\exp(-\alpha\psi_{2} )dv$ dans la carte
dense d\'efinie par $\{z_{0}=1\}$. Dans cette carte, l'\'el\'ement
de volume est donn\'e par 
$$dv=(i)^{m}\frac{dz_{1}\wedge d\overline{z}_{1}\wedge ...\wedge
dz_{m}\wedge d\overline{z}_{m}} {(1+\mid z_{1}\mid^{2}+...+\mid
z_{m}\mid^{2})^{m+1}}.$$ En utilisant la d\'efinition de $\psi_{1}$ qui
ne d\'epand que des $\mid z_{p}\mid$, par le changement
de variables $u_{p}=\mid z_{p}\mid^{2}$ on obtient~:
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{eqnarray}
\int_{\proj_{m}\complex}\exp(-\alpha\psi_{1} )dv  = Cst
\int_{0}^{+\infty}...\int_{0}^{+\infty}\frac{
(u_{1}...u_{k})^{-\alpha(m+1)/(k+1)}du_{1}...du_{m}} {(1+
u_{1}+...+u_{m})^{(1-\alpha)(m+1)}}.\nonumber
\end{eqnarray}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
Cette int\�grale converge en z\�ro si et seulement si~: 
$1-\frac{\alpha(m+1)}{k+1}>0$, 
c'est \`a dire $\alpha < (k+1)/(m+1)$. 
En l'infini, le passage en
coordonn\�es polaires ram\�ne l'\�tude \`{a} la
convergence de
$$\int_{a>0}^{\infty}r^{\frac{-\alpha k(m+1)}{k+1}}r^{(\alpha-1)(m+1)}
r^{m-1}dr,$$ ce qui donne la condition : $$\frac{-\alpha k(m+1)}{k+1}+
(\alpha-1)(m+1)+(m-1)+1<0,$$ et donc encore $\alpha < (k+1)/(m+1)$.
Ainsi 
$\int_{\proj_{m}\complex}\exp(-\alpha\psi_{1} )dv$ converge si et seulement si $\alpha <
\frac{k+1}{m+1}.$ D'autre part,
\begin{eqnarray}
\int_{\proj_{m}\complex}\exp(-\alpha\psi_{2} )dv  = Cst
\int_{0}^{+\infty}..\int_{0}^{+\infty}\frac{
(u_{k+1}..u_{m})^{-\alpha(m+1)/(m-k)}du_{1}..du_{m}}
{(1+u_{1}+..+u_{k}+u_{k+1}+..+u_{m})^{(1-\alpha)(m+1)}}.\nonumber
\end{eqnarray}
La convergence en z\�ro exige $\frac{\alpha(m+1)}{m-k}<1$,
c'est \`{a} dire $\alpha < \frac{m-k}{m+1}$. En l'infini, le
passage en coordonn\�es polaires ram\�ne l'\�tude \`{a}
la convergence de $$\int_{a>0}^{\infty}r^{-\alpha
(m+1)}r^{(\alpha-1)(m+1)} r^{m-1}dr=\int_{a>0}^{\infty}r^{-2}dr,$$ int\�grale convergente
quelle que soit la valeur de $\alpha$. D'o\`{u} la
convergence de $\int_{\proj_{m}\complex}\exp(-\alpha\psi_{2} )dv$
pour $\alpha < \frac{m-k}{m+1}$ et le corollaire \ref{coro1}.

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{\subsection{Preuve du th\�or\�me \ref{th2}.}} Comme pour le
th\�or\�me \ref{th1}, on utilisera l'invariance par le
groupe $G$ d\�fini dans l'introduction, des fonctions $\varphi
([z_{0},..,z_{k},z_{k+1},..,z_{m}],[\zeta_{0},..,\zeta_{k}])$
o\`{u} $(z_{0},..,z_{k})$ et $(\zeta_{0},..,\zeta_{k})$ sont
colin\�aires. Cel\`{a} nous permettra de les consid\�rer,
dans le lemme \ref{lem21} comme des fonctions $\varphi
([1,x_{1},...,x_{m}],[1,x_{1},...,x_{k}])$ des variables r\'eelles
$ x_{i} =\mid z_{i} \mid >0$, $i\in\{1,..,m\}$, puis, dans le lemme
\ref{lem22} comme des fonctions $$\varphi
([x_{0},...,x_{k},1,x_{k+2},..,x_{m}],[x_{0},...,x_{k}])$$ des
variables r\'eelles $ x_{i} =\mid z_{i} \mid >0 $, $i\in\{0,..,k,k+2,..,m\}$.
Notons que ces rep\�rages ne contiennent pas l'\�clatement, les $x_{i}$ \�tant non nuls 
dans l'\�nonc\� de ces deux lemmes.
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{lem}\label{lem21}
Etant donn\�e une fonction $\varphi\in C^{\infty}(X)$,
$\tilde{g}$-admissible, G-invariante. Si $x_{i}=\mid z_{i}\mid >0$ pour
tout $i$:
\begin{eqnarray}\label{eq21}
(\varphi -\tilde{\psi}
)([1,x_{1},..,x_{m}],[1,x_{1},..,x_{k}])\geq (\varphi
-\tilde{\psi}
)([1,x_{1},..,x_{k};\zeta^{[m-k]}],[1,x_{1},..,x_{m}]),
\end{eqnarray}
o\`u $\zeta^{[m-k]}=(\zeta ,..,\zeta)\in \complex^{m-k}$ et
$\zeta=(x_{k+1}...x_{m})^{1/(m-k)}$.
\end{lem}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
{\bf Preuve.} La d\�monstration se fait par r\�currence, comme pour le lemme \ref{lem1}.
Supposons que pour $k+1\leq p < m$ et pour tout $(x_{1},..,x_{m})
\in\reel^{m}$ avec $x_{i}>0$ on ait
\begin{eqnarray}\label{eq22}
&&(\varphi -\tilde{\psi})([1,x_{1},..,x_{m}],[1,x_{1},..,x_{k}])\geq \nonumber \\
&& (\varphi -\tilde{\psi} )([1,x_{1},..,x_{k};(x_{k+1}...x_{p})^{\frac{1}{p-k}},..,
(x_{k+1}...x_{p})^{\frac{1}{p-k}},x_{p+1},..x_{m}],\nonumber\\
&&[1,x_{1},..,x_{k}]).
\end{eqnarray}
Cette propri\�t\� est claire pour $p=k+1$. Si 
l'in\�galit\� (\ref{eq22}) n'\�tait pas satisfaite au rang
$p+1$, il existerait alors un point
$(x_{1}^{0},..,x_{m}^{0})\in\reel^{m}$ avec $x_{i}^{0}>0$ pour
tout $i$, tel que
\begin{eqnarray}\label{eq23}
&&(\varphi -\tilde{\psi} )([1,x_{1}^{0},..,x_{m}^{0}],[1,x_{1}^{0},..,x_{k}^{0}])< \nonumber \\
&&(\varphi -\tilde{\psi})([1,x_{1}^{0},..,x_{k}^{0};(x_{k+1}^{0}...x_{p+1}^{0})^
{\frac{1}{p+1-k}},..,(x_{k+1}^{0}...x_{p+1}^{0})^{\frac{1}{p+1-k}},x_{p+2}^{0},..,x_{m}^{0}],\nonumber\\
&&[1,x_{1}^{0},..,x_{k}^{0}]).
\end{eqnarray}

En utilisant la continuit\� de $(\varphi -\tilde{\psi})$, on peut
supposer, quitte \`{a} en modifier l\�g\�rement les
coordonn\�es, que le point $([1,x_{1}^{0},..,x_{m}^{0}],[1,x_{1}^{0},..,x_{k}^{0}])$ de
l'in\�galit\� (\ref{eq23}), v\�rifie
$$(x_{1}^{0}..x_{k}^{0})^{1/(k+1)}\neq
(x_{k+1}^{0}..x_{m}^{0})^{1/(m-k)},$$ propri\�t\� dont on
aura besoin plus loin. En utilisant la $G$-invariance de
$\varphi$, on peut supposer que $x_{k+1}^{0}\leq ...\leq
x_{m}^{0}$. D'autre part, en tenant encore compte de la $G$
invariance de $\varphi$ et de l'hypoth\�se de r\�currence
(\ref{eq22}) en les points
$$([1,x_{1}^{0},..,x_{k}^{0};x_{k+1}^{0},x_{k+2}^{0},..,x_{p}^{0},
x_{p+1}^{0},x_{p+2}^{0},..,x_{m}^{0}],[1,x_{1}^{0},..,x_{k}^{0}])$$ et
$$([1,x_{1}^{0},..,x_{k}^{0};x_{k+2}^{0},
x_{k+3}^{0},..,x_{p}^{0},x_{p+1}^{0},x_{k+1}^{0},x_{p+2}^{0},..,x_{m}^{0}],
[1,x_{1}^{0},..,x_{k}^{0}]),$$
on peut \�crire
\begin{eqnarray}\label{eq24}
&&(\varphi-\tilde{\psi} )([1,x_{1}^{0},..,x_{m}^{0}],[1,x_{1}^{0},..,x_{k}^{0}])\geq\nonumber\\
&& (\varphi-\tilde{\psi}
)([1,x_{1}^{0},..,x_{k}^{0};(x_{k+1}^{0}...x_{p}^{0})
^{\frac{1}{p-k}},..,(x_{k+1}^{0}...x_{p}^{0})^
{\frac{1}{p-k}},x_{p+1}^{0},x_{p+2}^{0},..,x_{m}^{0}],\nonumber\\
&&[1,x_{1}^{0},..,x_{k}^{0}])
\end{eqnarray}
et
\begin{eqnarray}\label{eq25}
&&(\varphi-\tilde{\psi})([1,x_{1}^{0},..,x_{k}^{0};x_{k+2}^{0},..,x_{p+1}^{0},x_{k+1}^{0},
x_{p+2}^{0},..,x_{m}^{0}],[1,x_{1}^{0},..,x_{k}^{0}])\geq \nonumber \\
&& (\varphi-\tilde{\psi})([1,x_{1}^{0},..,x_{k}^{0};(x_{k+2}^{0}..x_{p+1}^{0})
^{\frac{1}{p-k}},..,(x_{k+2}^{0}..x_{p+1}^{0})^{\frac{1}{p-k}},x_{k+1}^{0},
x_{p+2}^{0},..,x_{m}^{0}],\nonumber\\
&&[1,x_{1}^{0},..,x_{k}^{0}]).
\end{eqnarray}
Consid\�rons maintenant la courbe $C$ d'\�quation
$$t^{p-k}x=x_{k+1}^{0}...x_{p+1}^{0}$$ dans le plan r\�el
$\{[1,x_{1}^{0},..,x_{k}^{0},t,..,t,x,x_{p+2}^{0},..,x_{m}^{0}],[1,x_{1}^{0},..,x_{k}^{0}]\}$
param\�tr\� par les variables $t$ et $x$. Les points
\begin{eqnarray}
\tilde{P}_{1}=([1,x_{1}^{0},..,x_{k}^{0};(x_{k+1}^{0}...x_{p}^{0})^
{\frac{1}{p-k}},..,(x_{k+1}^{0}...x_{p}^{0})^{\frac{1}{p-k}},
x_{p+1}^{0},x_{p+2}^{0},..,x_{m}^{0}],[1,x_{1}^{0},..,x_{k}^{0}])\nonumber
\end{eqnarray} 
et
\begin{eqnarray}
&&\tilde{P}_{2}=([1,x_{1}^{0},..,x_{k}^{0};(x_{k+2}^{0}...x_{p+1}^{0})
^{\frac{1}{p-k}},..,(x_{k+2}^{0}...x_{p+1}^{0})
^{\frac{1}{p-k}},x_{k+1}^{0},x_{p+2}^{0},..,x_{m}^{0}],\nonumber \\ &&[1,x_{1}^{0},..,x_{k}^{0}])\nonumber
\end{eqnarray}
appartiennent \`{a} la courbe $C$. Notons que les r\�els
$x_{i}^{0}$ pour $k+1\leq i\leq p+1$ ne sont pas tous \�gaux, 
sinon (\ref{eq23}) deviendrait une \�galit\�.\\ Par suite,
sachant que l'on a choisi $x_{k+1}^{0}\leq ...\leq x_{p+1}^{0}$,
les points distincts $\tilde{P}_{1}$ et $\tilde{P}_{2}$ se trouvent strictement de
part et d'autre de la diagonale $t=x$ du plan pr\�c\�dent.
\\Or la courbe $C$ coupe cette diagonale en le point

$$\tilde{P}_{3}=([1,x_{1}^{0},..,x_{k}^{0};
(x_{k+1}^{0}...x_{p+1}^{0})^{\frac{1}{p+1-k}},..,
(x_{k+1}^{0}...x_{p+1}^{0})^{\frac{1}{p+1-k}},x_{p+2}^{0},..,x_{m}^{0}],[1,x_{1}^{0},..,x_{k}^{0}])$$
qui intervient dans l'in\�galit\� (\ref{eq23}). D'autre part,
en utilisant les relations (\ref{eq23}), (\ref{eq24}) et (\ref{eq25})
on obtient :$$ (\varphi - \tilde{\psi})(\tilde{P}_{3})> (\varphi - \tilde{\psi}
)(\tilde{P}_{1})\mbox{ et }(\varphi - \tilde{\psi} )(\tilde{P}_{3})> (\varphi - \tilde{\psi}
)(\tilde{P}_{2}),$$ ce qui prouve que la fonction $(\varphi - \tilde{\psi} )$
admet un maximum local sur la courbe $C$. En cons\�quence, la
restriction de la fonction $G$-invariante $(\varphi - \tilde{\psi} )$
\`{a} la courbe holomorphe (toujours not\'ee $C$) d'\�quation
$\xi^{p-k}z=x_{k+1}^{0}...x_{p+1}^{0}$ du plan complexe
$\{([1,x_{1}^{0},..,x_{k}^{0};\xi,..,\xi,z,x_{p+2}^{0},..,x_{m}^{0}],
[1,x_{1}^{0},..,x_{k}^{0}])\}$
atteint un maximum local en un point $\tilde{P}=C(\zeta)$. Posons
$$C(\zeta)=([1,C^{1}(\zeta),..,C^{m}(\zeta)],[1,C^{1}(\zeta),..,C^{k}(\zeta)]),$$
$$\dot{C}^{\lambda}(\xi)=\frac{d C^{\lambda}}{d \xi}(\xi) \mbox{ et
} \dot{C}^{\overline{\mu}}(\xi)=\overline{\dot{C}^{\mu}(\xi)}.$$



Sachant que l'on a choisi le point $([1,x_{1}^{0},..,x_{m}^{0}],[1,x_{1}^{0},..,x_{k}^{0}])$ de
sorte que $$(x_{1}^{0}...x_{k}^{0})^{1/(k+1)}\neq
(x_{k+1}^{0}...x_{m}^{0})^{1/(m-k)},$$ l'\�quation de la
courbe $C$ et les d\�finitions de $\tilde{\psi}_{1}$ et $\tilde{\psi}_{2}$ montrent 
qu'en tout point de $C$ 
\begin{eqnarray} 
\tilde{\psi}_{1}([1,x_{1}^{0},..,x_{k}^{0};\xi,..,\xi,z,
x_{p+2}^{0},..,x_{m}^{0}],[1,x_{1}^{0},..,x_{k}^{0}])\neq\nonumber\\ 
\tilde{\psi}_{2}([1,x_{1}^{0},..,x_{k}^{0};\xi,..,\xi,z,x_{p+2}^{0},..,x_{m}^{0}],[1,x_{1}^{0},..,x_{k}^{0}]).
\end{eqnarray}
On peut alors supposer que $\tilde{\psi}=\tilde{\psi}_{1}$ dans un voisinage de $\tilde{P}$, 
la preuve \�tant identique si l'on suppose $\tilde{\psi}=\tilde{\psi}_{2}$ dans
ce voisinage. On a donc :

$$\frac {\partial^{2}}{\partial \xi\partial \overline{\xi}}
\{(\varphi -\tilde{\psi}_{1})(C(\zeta))\} =\frac{\partial^{2}(\varphi
-\tilde{\psi}_{1})}{\partial z_{\lambda}
\partial \overline{z}_{\mu} }(C(\zeta))\dot{C}^{\lambda}(\zeta)
\dot{C}^{\overline{\mu}}(\zeta)$$ est n\�gatif ou nul.
Comme $-\frac{\partial^{2}\tilde{\psi}_{1}}{\partial z_{\lambda}
\partial \overline{z}_{\mu}}= \tilde{g}_{\lambda\overline{\mu}},$
ceci exprime que la forme hermitienne de matrice:
$$(\tilde{g}_{\lambda\overline{\mu}}+\frac{\partial^{2}\varphi}{\partial
z_{\lambda}
\partial \overline{z}_{\mu}})_{\lambda ,\mu}=(\frac{\partial^{2}(\varphi -\tilde{\psi}_{1} )}
{\partial z_{\lambda}
\partial \overline{z}_{\mu}})_{\lambda,\mu}$$
est n\�gative en $\tilde{P} = C(\zeta)$. On en
d\�duit une contradiction avec la $\tilde{g}$-admissibilit\� de
$\varphi$ en $\tilde{P}$. D'o\`u l'in\'egalit\'e (\ref{eq22}) au rang $p+1$ et, par
cons\'equent, le lemme \ref{lem21}. 

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\begin{lem}\label{lem22}
Etant donn\�e une fonction $\varphi\in C^{\infty}(X)$,
$\tilde{g}$-admissible, G-invariante. Si $x_{i}=\mid z_{i}\mid >0$ pour
tout $i$, on a:
\begin{eqnarray}\label{eq26}
(\varphi -\tilde{\psi}
)([x_{0},x_{1},..,x_{k};1,x_{k+2},..,x_{m}],
[x_{0},x_{1},..,x_{k}])\geq\nonumber\\ (\varphi -\tilde{\psi}
)([\eta,\eta,..,\eta;1,x_{k+2},..,x_{m}],[1^{[k+1]}]),
\end{eqnarray}
o\`u $\eta=(x_{0}x_{1}...x_{k})^{1/(k+1)}$.
\end{lem}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
{\bf Preuve.} Comme dans le lemme \ref{lem21}, la preuve s'effectue
par r\�currence. Supposons que pour $0\leq p < k$ et
pour tout $(x_{0},..,x_{k};x_{k+2},..,x_{m}) \in\reel^{m}$ avec
$x_{i}>0$, on ait
\begin{eqnarray}\label{eq27}
&&(\varphi -\tilde{\psi} )([x_{0},..,x_{k},1,x_{k+2},..,x_{m}],[x_{0},..,x_{k}])\geq
\nonumber\\
&&(\varphi -\tilde{\psi}
)([(x_{0}...x_{p})^{\frac{1}{p+1}},..,
(x_{0}...x_{p})^{\frac{1}{p+1}},x_{p+1},..,x_{k};1,x_{k+2},..,x_{m}],\nonumber\\
&&[(x_{0}...x_{p})^{\frac{1}{p+1}},..,
(x_{0}...x_{p})^{\frac{1}{p+1}},x_{p+1},..,x_{k}]).
\end{eqnarray}
Cette hypoth\�se est v\�rifi\�e pour $p=0$. Si
l'in\�galit\� (\ref{eq27}) n'\�tait pas satisfaite au rang
$p+1$, il existerait un point
$(x_{0}^{0},..,x_{k};x_{k+2},..,x_{m}^{0})\in\reel^{m}$ avec
$x_{i}^{0}>0$ pour tout $i$, tel que :
\begin{eqnarray}\label{eq28}
&&(\varphi -\tilde{\psi}
)([x_{0}^{0},..,x_{k}^{0};1,x_{k+2}^{0},..,x_{m}^{0}],[x_{0}^{0},..,x_{k}^{0}])< \nonumber\\
&& (\varphi
-\tilde{\psi})([(x_{0}^{0}..x_{p+1}^{0})^{\frac{1}{p+2}},..,(x_{0}^{0}..x_{p+1}^{0})^{\frac{1}{p+2}},
x_{p+2}^{0},...,x_{k}^{0};1,x_{k+2}^{0},..,x_{m}^{0}],\nonumber\\
&&[(x_{0}^{0}..x_{p+1}^{0})^{\frac{1}{p+2}},..,(x_{0}^{0}..x_{p+1}^{0})^{\frac{1}{p+2}},
x_{p+2}^{0},...,x_{k}^{0}]).
\end{eqnarray}
Comme au lemme \ref{lem21}, on peut supposer que le point
$$([x_{0}^{0},..,x_{k}^{0};1,x_{k+2}^{0},..,x_{m}^{0}],[x_{0}^{0},..,x_{k}^{0}])\in X $$ v\�rifie
$$(x_{0}^{0}..x_{k}^{0})^{1/(k+1)}\neq
(x_{k+2}^{0}..x_{m}^{0})^{1/(m-k)},$$ et que $x_{0}^{0}\leq
...\leq x_{p+1}^{0}$. D'autre part, en tenant compte de la $G$-invariance 
de $\varphi$ et de l'hypoth\�se de r\�currence
(\ref{eq27}) en les points 
$$([x_{0}^{0},x_{1}^{0},..,x_{p}^{0},x_{p+1}^{0},..,x_{k}^{0};1,x_{k+2}^{0},..,x_{m}^{0}],
[x_{0}^{0},x_{1}^{0},..,x_{p}^{0},x_{p+1}^{0},..,x_{k}^{0}])$$
et
$$([x_{1}^{0},..,x_{p+1}^{0},x_{0}^{0},..,x_{k}^{0};1,x_{k+2}^{0},..,x_{m}^{0}],
[x_{1}^{0},..,x_{p+1}^{0},x_{0}^{0},..,x_{k}^{0}]),$$
on a 
\begin{eqnarray}\label{eq29}
&&(\varphi-\tilde{\psi} )([x_{0}^{0},..,x_{k}^{0};1,x_{k+2}^{0},
..,x_{m}^{0}],[x_{0}^{0},..,x_{k}^{0}])\geq\nonumber\\
&& (\varphi-\tilde{\psi}
)([(x_{0}^{0}..x_{p}^{0})^{\frac{1}{p+1}},..,(x_{0}^{0}..x_{p}^{0})^{\frac{1}{p+1}},
x_{p+1}^{0},..,x_{k}^{0};1,x_{k+2}^{0},..,x_{m}^{0}],\nonumber\\
&&[(x_{0}^{0}..x_{p}^{0})^{\frac{1}{p+1}},..,(x_{0}^{0}..x_{p}^{0})^{\frac{1}{p+1}},
x_{p+1}^{0},..,x_{k}^{0}]) 
\end{eqnarray}
et
\begin{eqnarray}\label{eq210}
&&(\varphi-\tilde{\psi})([x_{1}^{0},..,x_{p+1}^{0},x_{0}^{0},..,x_{k}^{0};1,x_{k+2}^{0},..,x_{m}^{0}],
[x_{1}^{0},..,x_{p+1}^{0},x_{0}^{0},..,x_{k}^{0}])\geq
\nonumber \\
&&(\varphi-\tilde{\psi})([(x_{1}^{0}..x_{p+1}^{0})^{\frac{1}{p+1}},..,(x_{1}^{0}..x_{p+1}^{0})^
{\frac{1}{p+1}},
x_{0}^{0},x_{p+2}^{0},..,x_{k}^{0};1,x_{k+2}^{0},..,x_{m}^{0}],\nonumber\\
&&[(x_{1}^{0}..x_{p+1}^{0})^{\frac{1}{p+1}},..,(x_{1}^{0}..x_{p+1}^{0})^
{\frac{1}{p+1}},
x_{0}^{0},x_{p+2}^{0},..,x_{k}^{0}]).
\end{eqnarray}
Consid\�rons maintenant la courbe $C$ d'\�quation
$$t^{p+1}x=x_{0}^{0}...x_{p+1}^{0}$$ du plan r\�el
$\{([t,..,t,x,x_{p+2}^{0},..,x_{k}^{0};1,x_{k+2}^{0},..,x_{m}^{0}],[t,..,t,x,x_{p+2}^{0},..,x_{k}^{0}])\}$
param\�tr\� par les variables $t$ et $x$. Les points 
\begin{eqnarray}
&&\tilde{Q}_{1}=([(x_{0}^{0}..x_{p}^{0})^{\frac{1}{p+1}},..,
(x_{0}^{0}..x_{p}^{0})^{\frac{1}{p+1}},x_{p+1}^{0},x_{p+2}^{0},..,x_{k}^{0};1,
x_{k+2}^{0},..,x_{m}^{0}],\nonumber\\
&&[(x_{0}^{0}..x_{p}^{0})^{\frac{1}{p+1}},..,
(x_{0}^{0}..x_{p}^{0})^{\frac{1}{p+1}},x_{p+1}^{0},x_{p+2}^{0},..,x_{k}^{0}])\nonumber
\end{eqnarray} 
et
\begin{eqnarray}
&&\tilde{Q}_{2}=([(x_{1}^{0}..x_{p+1}^{0})^{\frac{1}{p+1}},..,(x_{1}^{0}..x_{p+1}^{0})^{\frac{1}{p+1}},
x_{0}^{0},x_{p+2}^{0},..,x_{k}^{0};1,x_{k+2}^{0},..,x_{m}^{0}],\nonumber\\
&&[(x_{1}^{0}..x_{p+1}^{0})^{\frac{1}{p+1}},
..,(x_{1}^{0}..x_{p+1}^{0})^{\frac{1}{p+1}},
x_{0}^{0},x_{p+2}^{0},..,x_{k}^{0}])\nonumber
\end{eqnarray} 
appartiennent \`{a} la courbe $C$.\\D'autre part 
 les r\�els $x_{i}^{0}$ pour $0\leq i\leq p+1$ ne sont pas tous
\�gaux, sinon (\ref{eq28}) serait une \�galit\�.\\
Par suite, sachant que l'on a choisi $x_{0}^{0}\leq ...\leq
x_{p+1}^{0}$, les points distincts $\tilde{Q}_{1}$ et $\tilde{Q}_{2}$ se trouvent strictement 
de part et
d'autre de la diagonale $t=x$ du plan pr\�c\�dent. \\Or la
courbe $C$ coupe cette diagonale en le point 

\begin{eqnarray}
&&\tilde{Q}_{3}=([(x_{0}^{0}...x_{p+1}^{0})^{\frac{1}{p+2}},..,
(x_{0}^{0}...x_{p+1}^{0})^{\frac{1}{p+2}},x_{p+2}^{0},..,x_{k}^{0};
1,x_{k+2}^{0},..,x_{m}^{0}],\nonumber\\
&&[(x_{0}^{0}...x_{p+1}^{0})^{\frac{1}{p+2}},..,
(x_{0}^{0}...x_{p+1}^{0})^{\frac{1}{p+2}},x_{p+2}^{0},..,x_{k}^{0}])\nonumber
\end{eqnarray} qui intervient dans
l'in\�galit\� (\ref{eq28}). D'autre part, les relation
(\ref{eq28}), (\ref{eq29}) et (\ref{eq210}) donnent 
$$ (\varphi -
\tilde{\psi})(\tilde{Q}_{3})> (\varphi - \tilde{\psi} )(\tilde{Q}_{1})\mbox{ et }(\varphi - \tilde{\psi}
)(\tilde{Q}_{3})> (\varphi - \tilde{\psi} )(\tilde{Q}_{2}),$$ ce qui prouve que la
fonction $(\varphi - \tilde{\psi} )$ admet un maximum local sur la courbe
$C$.\\
Sachant que l'on a choisi le point
$$([x_{0}^{0},..,x_{k}^{0};1,x_{k+2}^{0},..,x_{m}^{0}],[x_{0}^{0},..,x_{k}^{0}])$$ de sorte que
$$(x_{0}^{0}..x_{k}^{0})^{1/(k+1)}\neq
(x_{k+2}^{0}..x_{m}^{0})^{1/(m-k)},$$
on conclut de la
m\^{e}me mani\�re qu'au lemme pr\�c\�dent en consid\�rant la restriction de 
$(\varphi -\tilde{\psi})$ \`{a} une courbe holomorphe convenable.

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A l'instar du lemme \ref{coro4}, les lemmes \ref{lem21} et \ref{lem22} permettent d'\�tablir le
\begin{lem}\label{coro24}
Etant donn\�e une fonction $\varphi\in C^{\infty}(X)$,
$\tilde{g}$-admissible, G-invariante, avec $x_{i}=\mid z_{i}\mid >0$ pour
tout $i$, on a :
\begin{eqnarray}\label{eq211}
&&(\varphi -\tilde{\psi}
)([1,x_{1},..,x_{k};x_{k+1},x_{k+2},..,x_{m}],[1,x_{1},..,x_{k}])\nonumber\\
&&\geq(\varphi -\tilde{\psi} )([1^{[k+1]};\nu^{[m-k]}],[1^{[k+1]}]),
\end{eqnarray}
o\`u
$\nu=\frac{(x_{k+1}...x_{m})^{1/(m-k)}}{(x_{1}...x_{k})^{1/(k+1)}}$.
\end{lem}
Montrons maintenant le 

\begin{lem}\label{lem24}
Etant donn\�e une fonction $\varphi\in C^{\infty}(X)$,
$\tilde{g}$-admissible, G-invariante, $\forall \zeta >0$, on a :
\begin{eqnarray}\label{eq212}
(\varphi -\tilde{\psi} )([1^{[k+1]};\zeta^{[m-k]}],[1^{[k+1]}])\geq 0,
\end{eqnarray}
\end{lem}

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{\bf Preuve.} On raisonne sur la position du point $\tilde{R}_{0}\in\proj_{m}\complex$
o\`{u} $\varphi$ atteint son maximum. En vertu de la $G$-invariance
de $\varphi$, on peut supposer qu'il s'\�crit sous la forme 
$$\tilde{R}_{0}=([y^{0}_{0},..,y^{0}_{k};y^{0}_{k+1},..,y^{0}_{m}],[\rho ^{0}_{0},..,\rho ^{0}_{k}]),$$
o\`{u} les $y^{0}_{i}$ et $\rho ^{0}_{i}$ sont des r\�els positifs v\�rifiant 
$y^{0}_{0}\geq y^{0}_{1}\geq..\geq y^{0}_{k}$, $y^{0}_{k+1}\geq
y^{0}_{k+2}\geq..\geq y^{0}_{m}$, $\rho ^{0}_{0}\geq..\geq\rho ^{0}_{k}$ et o\� $(\rho ^{0}_{0},..,\rho ^{0}_{k})$ et 
$(y^{0}_{0},..,y^{0}_{k})$ sont 
parall\�les. Deux cas se pr\�sentent : ou
bien l'un des $y^{0}_{0},..,y^{0}_{k}$ est non nul, ou bien tous
les $y^{0}_{0},..,y^{0}_{k}$ sont nuls.
\\{\bf{Cas A}} :
l'un des $y^{0}_{0},..,y^{0}_{k}$ est non nul. On peut alors se
placer dans la carte de $X$ d\�crite par les points 
$$([z_{0},..,z_{k},z_{k+1},..,z_{m}],[\xi_{0},..,\xi_{k}])\in
\proj_{m}\complex \times\proj_{k}\complex$$ 
tels que $z_{0}\neq 0$.
Ceci permet d'\�crire le point
$\tilde{R}_{0}$ sous la forme 
$$\tilde{R}_{0}=([1,x^{0}_{1},..,x^{0}_{k};x^{0}_{k+1},..,x^{0}_{m}],[1,x^{0}_{1},..,x^{0}_{k}]),$$
o\`{u} les r\�els positifs $x^{0}_{i}$ v\�rifient :
$1\geq x^{0}_{1}\geq..\geq x^{0}_{k}$ et $x^{0}_{k+1}\geq ...\geq
x^{0}_{m}$.
Raisonnons par l'absurde, et supposons qu'il existe un point
$$\tilde{R}_{1}=([1^{[k+1]};\zeta_{0}^{[m-k]}],[1^{[k+1]}])$$ tel que
l'on ait $\zeta_{0}>0$ et 
\begin{equation}\label{p21}
(\varphi -\tilde{\psi} )(\tilde{R}_{1})<0.
\end{equation}
On envisage alors les deux sous-cas suivants : $x^{0}_{k+1}<\zeta_{0}$ 
puis $x^{0}_{k+1}\geq \zeta_{0}$.
\begin{itemize}
    \item \underline{$x^{0}_{k+1}<\zeta_{0}$}.
\end{itemize}
On introduit alors la fonction auxiliaire
$$\tilde{\psi}_{0}=\log\frac{\mid z_{0}\mid^{2(m+1-k)}\mid \xi_{0}\mid^{2k}}{
    (\mid z_{0}\mid^{2}+...+\mid z_{m}\mid^{2})^{m+1-k}(\mid \xi_{0}\mid^{2}+...+\mid \xi_{k}\mid^{2})^{k}}.$$
D'une part, puisque $\varphi\leq 0$,
\begin{equation}\label{p20}
(\varphi -\tilde{\psi}_{0})([1,0^{[m]}],[1,0^{[k]}])=\varphi 
([1,0^{[m]}],[1,0^{[k]}])\leq 0.
\end{equation}
De plus, sachant que $\varphi (\tilde{R}_{0})=0$ et $\tilde{\psi}_{0}\leq 0$, on a
\begin{equation}\label{p23}
(\varphi -\tilde{\psi}_{0})(\tilde{R}_{0})\geq 0.
\end{equation}
Si $\tilde{R}_{0}\neq ([1,0^{[m]}],[1,0^{[k]}])$, $\tilde{\psi}_{0}(\tilde{R}_{0})< 0$ et l'in\�galit\� (\ref{p23}) est
alors stricte. Si $\tilde{R}_{0} = ([1,0^{[m]}],[1,0^{[k]}])$, 
quitte \`{a} se placer en un point $\tilde{R}$ arbitrairement voisin de
$\tilde{R}_{0}$, on peut supposer $(\varphi -\tilde{\psi}_{0})(\tilde{R})> 0$. En effet, si dans
un voisinage de $\tilde{R}_{0}$ on avait $(\varphi -\tilde{\psi}_{0})\leq 0$, comme 
$(\varphi -\tilde{\psi}_{0})(\tilde{R}_{0})= 0$, $(\varphi -\tilde{\psi}_{0})$ admettrait
alors un maximun local en $\tilde{R}_{0}$, ce qui mettrait en
d\�faut l'admissibilit\� de $\varphi$ en ce point, sachant que 
$$\partial_{\lambda\overline{\mu}}(\varphi -\tilde{\psi}_{0})(\tilde{R}_{0})=
(\tilde{g}_{\lambda\overline{\mu}}+\partial_{\lambda\overline{\mu}}\varphi )(\tilde{R}_{0}).$$ Dans tous les cas, 
on peut
donc affirmer qu'il existe un point $$\tilde{R}'_{0}=([1,{a}_{1},..,{a}_{m}],[1,{a}_{1},..,{a}_{k}])$$
v\�rifiant
\begin{equation}\label{p23'}
(\varphi -\tilde{\psi}_{0})(\tilde{R}'_{0})> 0.
\end{equation}
Par continuit\� et $G$-invariance de $\varphi$, on peut supposer $1>a_{1}\geq...\geq a_{k}>0$ et 
$\zeta_{0}> a_{k+1}\geq...\geq a_{m}>0$.
D'autre part, l'in\�galit\� (\ref{p21}) jointe aux d\'efinitions de $\tilde{R}_1$, $\tilde{\psi}_0$, $\tilde{\psi}_1$ 
et $\tilde{\psi}=\inf (\tilde{\psi}_1 , \tilde{\psi}_2)$ implique
\begin{equation}\label{p21'}
(\varphi -\tilde{\psi}_{0})(\tilde{R}_{1})=(\varphi -\tilde{\psi}_{1})(\tilde{R}_{1})\leq(\varphi
-\tilde{\psi})(\tilde{R}_{1})< 0.
\end{equation}

La courbe :
\begin{eqnarray}
&[0,1]\ni t\rightarrow ([1,t,t^{(\ln a_{2})/(\ln a_{1})},..,t^{(\ln a_{k})/(\ln a_{1})};
\zeta_{0}t^{\frac{\ln(a_{k+1}/\zeta_{0})}{\ln
a_{1}}},..,\zeta_{0}t^{\frac{\ln(a_{m}/\zeta_{0})}{\ln
a_{1}}}],&\nonumber\\
&[1,t,t^{(\ln a_{2})/(\ln a_{1})},..,t^{(\ln a_{k})/(\ln a_{1})}])&
\nonumber
\end{eqnarray} 
passe par $([1,0^{[m]}],[1,0^{[k]}])$ en $t=0$ puis par ${\tilde{R}'}_{0}$
en $t=a_{1}$ et enfin par le point $\tilde{R}_{1}$ en $t=1$, valeurs
en lesquelles, d'apr\�s (\ref{p20}), (\ref{p23'}) et (\ref{p21'}),
$(\varphi-\tilde{\psi}_{0})$ est respectivement n\�gative, positive
puis \`{a} nouveau n\�gative. L'invariance de cette fonction
par l'action des $\exp(i\theta)$, permet donc de d\�duire que
$(\varphi-\tilde{\psi}_{0})$ atteint un maximum sur la courbe holomorphe,
complexifi\�e de la courbe d\�crite plus haut, ce qui
contredit encore une fois l'admissibilit\� de $\varphi$.
\begin{itemize}
\item \underline{$x^{0}_{k+1}\geq\zeta_{0}$}.
\end{itemize}
D\�signons dans ce cas par $p\in \{1,..,m-k\}$ l'entier pour
lequel on a $$x^{0}_{k+1}\geq ...\geq x^{0}_{k+p}>\zeta_{0} \mbox{
et } \zeta_{0}\geq x^{0}_{k+p+1}\geq ...\geq x^{0}_{m},$$ et
consid\�rons la fonction auxiliaire

$$\tilde{\psi}_{k+1}=\log\frac{\mid z_{k+1}\mid^{2(m+1-k)}\mid\xi_{0}\mid^{2k}}{
(\mid z_{0}\mid^{2}+...+\mid z_{m}\mid^{2})^{m+1-k}(\mid \xi_{0}\mid^{2}+...+\mid \xi_{k}\mid^{2})^{k}}.$$
On a
\begin{equation}\label{p23''}
(\varphi -\tilde{\psi}_{k+1})(\tilde{R}_{0})> 0.
\end{equation}
La fonction $(\varphi -\tilde{\psi}_{k+1})$ \�tant continue, quitte
\`{a} se placer en un point voisin de $\tilde{R}_{0}$, on peut supposer
tous les $x_{i}^{0}$ non nuls. Posons alors:
$$\alpha_{2}=\frac{\ln x_{2}^{0}}{\ln x_{1}^{0}},..,\alpha_{k}=\frac{\ln x_{k}^{0}}{\ln x_{1}^{0}};
\alpha_{k+1}=\frac{\ln(x_{k+1}^{0}/\zeta_{0})}{\ln x_{1}^{0}},..,
\alpha_{m}=\frac{\ln(x_{m}^{0}/\zeta_{0})}{\ln x_{1}^{0}}.$$
Sachant que l'on a $1\geq x_{1}^{0}\geq..\geq x_{k}^{0}$;
$x_{k+1}^{0}\geq..\geq x_{k+p}^{0}\geq\zeta_{0}$ et $\zeta_{0}\geq
x_{k+p+1}^{0}\geq..\geq x_{m}^{0}$, on en d\�duit que 
$\alpha_{2},..,\alpha_{k}\geq 0$, $\alpha_{k+1}\leq ...\leq
\alpha_{p+k}\leq 0$ et $\alpha_{p+k+1},..,\alpha_{m}\geq 0$, d'o\`{u}, en notant 
$$\tilde{R}_{\varepsilon}=([1,\varepsilon,\varepsilon^{\alpha_{2}},..,\varepsilon^{\alpha_{k}},
\zeta_{0}\varepsilon^{\alpha_{k+1}},..,\zeta_{0}\varepsilon^{\alpha_{m}}],
[1,\varepsilon,\varepsilon^{\alpha_{2}},..,\varepsilon^{\alpha_{k}}]),$$ on a 
\begin{eqnarray*}
\lim_{\varepsilon\rightarrow
0}\tilde{\psi}_{k+1}(\tilde{R}_{\varepsilon }) 
&=& \lim_{\varepsilon\rightarrow
0}\ln\frac{\zeta_{0}^{2(m+1-k)}\varepsilon^{2(m+1-k)\alpha_{k}}}
{[1+\varepsilon^{2}+\varepsilon^{2\alpha_{2}}+..+\varepsilon^{2\alpha_{k}}+
\zeta_{0}^{2}(\varepsilon^{2\alpha_{k+1}}+..+\varepsilon^{2\alpha_{m}})]^{m+1-k}}  \\
&=&\ln\lim_{t\rightarrow
\infty}\frac{\zeta_{0}^{2(m+1-k)}t^{-2\alpha_{k+1}(m+1-k)}}
{[\zeta_{0}^{2}(t^{-2\alpha_{k+1}}+t^{-2\alpha_{k+2}}+..+t^{-2\alpha_{p}})]^{(m+1-k)}}
= \ln 1=0,
\end{eqnarray*} 
$-\alpha_{k+1}$ \�tant la plus grande puissance intervenant au
d\�nominateur. Sachant que $\varphi ([\tilde{R}_{\varepsilon}])\leq 0$ et compte tenu de (\ref{p23''}) il
existe $\varepsilon_{0}$ tel que l'on ait
\begin{equation}\label{p24}
(\varphi
-\tilde{\psi}_{k+1})(\tilde{R}_{\varepsilon_{0} })\leq -\tilde{\psi}_{k+1}(\tilde{R}_{\varepsilon_{0} })<
(\varphi -\tilde{\psi}_{k+1})(\tilde{R}_{0}).
\end{equation}
D'autre part, l'in\'egalit\'e (\ref{p21}), jointe aux d\'efinitions de $\tilde{R}_1$, $\tilde{\psi}_{k+1}$, $\tilde{\psi}_{2}$ 
et $\tilde{\psi} = \inf (\tilde{\psi}_{1},\tilde{\psi}_{2})$ donne~: 
\begin{equation}\label{p25}
(\varphi
-\tilde{\psi}_{k+1})(\tilde{R}_{1})= (\varphi-\tilde{\psi}_{2})(\tilde{R}_{1})\leq
(\varphi -\tilde{\psi})(\tilde{R}_{1})<0.
\end{equation}
La courbe
$$[\varepsilon_{0},1]\ni t\rightarrow ([1,t,t^{\alpha_{2}},..,t^{\alpha_{k}},
\zeta_{0}t^{\alpha_{k+1}},..,\zeta_{0}t^{\alpha_{m}}],
[1,t,t^{\alpha_{2}},..,t^{\alpha_{k}}]),$$ passe par
$\tilde{R}_{\varepsilon_{0}}$
en $t=\varepsilon_{0}$ puis par $\tilde{R}_{0}$ en $t=x_{1}^{0}$ et enfin
par $\tilde{R}_{1}$ en $t=1$, ce qui, en vertu de 
(\ref{p24}), (\ref{p23''}) et (\ref{p25}) prouve l'existence d'un maximum local pour la 
fonction $(\varphi-\tilde{\psi}_{k+1})$ sur la
courbe pr\�cit\�e. Ceci contredit, \`{a} l'instar du cas
pr\�c\�dent, l'hypoth\�se d'admissibilit\� de la
fonction $\varphi$.

{\bf{Cas B :}}  $y^{0}_{0}=...=y^{0}_{k}=0$. On peut alors se
placer dans la carte de $X$ d\�crite par les points 
$$([z_{0},..,z_{k};z_{k+1},..,z_{m}],[\xi_{0},..,\xi_{k}])\in
\proj_{m}\complex \times\proj_{k}\complex$$ 
tels que $z_{k+1}\neq 0$ et $\xi_{0}\neq 0$, de sorte que
le point $\tilde{R}_{0}$ o\`u $\varphi$ atteint son maximum \'egal \`a z\'ero puisse 
s'\'ecrire sous la forme 
$$\tilde{R}_{0}=([0,0,..,0;1,x_{k+2}^{0},..,x_{m}^{0}],[1,u_{1}^{0},..,u_{k}^{0}]).$$
On peut aussi supposer, en utilisant la $G$-invariance de $\varphi$, que 
$1\geq x_{k+2}^{0}\geq..\geq x_{m}^{0}$ et $1\geq u_{1}^{0}\geq..\geq u_{k}^{0}$. 
On montrera une version \'equivalente du lemme \ref{lem24}, \`a savoir que
\begin{equation}\label{equ20}
(\varphi -\tilde{\psi} )([\zeta^{[k+1]};1^{[m-k]}],[1^{[k+1]}])\geq 0
\end{equation}
pour tout $\zeta >0$. 

Raisonnons par l'absurde, et supposons qu'il existe un point
$$\tilde{R}_{k+1}=([\zeta_{0}^{[k+1]};1^{[m-k]}],[1^{[k+1]}])$$ de $X$ tel que
l'on ait $\zeta_{0}>0$ et 
\begin{equation}\label{equ21}
(\varphi -\tilde{\psi} )(\tilde{R}_{k+1})<0.
\end{equation}
On consid\`ere alors la fonction auxiliaire
$\tilde{\psi}_{k+1}$ introduite plus haut.
Sachant que $\varphi\leq 0$, on a 
\begin{equation}\label{equ22}
(\varphi -\tilde{\psi}_{k+1})([0^{[k+1]};1,0,..,0],[1,0^{[k]}])=\varphi ([0^{[k+1]};1,0,..,0],[1,0^{[k]}])\leq 0.
\end{equation}
D'autre part, sachant que $\varphi (\tilde{R}_{0})=0$ et $\tilde{\psi}_{k+1}\leq 0$, on a

\begin{equation}
(\varphi -\tilde{\psi}_{k+1})(\tilde{R}_{0})=-\tilde{\psi}_{k+1}(\tilde{R}_{0})\geq 0.
\end{equation}
Cette in\'egalit\'e est stricte d\`es que $$\tilde{R}_{0}\neq ([0^{[k+1]};1,0,..,0],[1,0^{[k]}]).$$ Si 
$\tilde{R}_{0} = ([0^{[k+1]};1,0,..,0],[1,0^{[k]}])$, quitte \`a se placer en un point arbitrairement voisin de 
$\tilde{R}_{0}$, on peut supposer la derni\`ere in\'egalit\'e stricte. En effet, si dans un voisinage de $\tilde{R}_{0}$, on avait 
$\varphi -\tilde{\psi}_{k+1}\leq 0$, alors $\varphi -\tilde{\psi}_{k+1}$ admettrait un maximum local en  
$\tilde{R}_{0}$, ce qui contredirait l'admissibilit\'e de $\varphi$ en $\tilde{R}_{0}$. A l'instar du cas A, 
il existe donc un point  $$\tilde{R}'_{0}=([{c}_{0},..,{c}_{k};1,{c}_{k+2},..,{c}_{m}],[{c}_{0},..,{c}_{k}])$$
v\�rifiant
\begin{equation}\label{equ23}
(\varphi -\tilde{\psi}_{k+1})(\tilde{R}'_{0})> 0.
\end{equation}
Par continuit\� et $G$-invariance de $\varphi$, on peut supposer 
$\zeta_{0}> c_{0}>...> c_{k}>0$ et $1>c_{k+2}>...> c_{m}>0$. 
D'autre part, l'in\�galit\� (\ref{equ21}) jointe aux d\'efinitions de $\tilde{R}_{k+1}$, $\tilde{\psi}_{k+1}$, $\tilde{\psi}_2$ 
et $\tilde{\psi}=\inf (\tilde{\psi}_1 , \tilde{\psi}_2)$ implique
\begin{equation}\label{equ24}
(\varphi -\tilde{\psi}_{k+1})(\tilde{R}_{k+1})=(\varphi -\tilde{\psi}_{2})(\tilde{R}_{k+1})\leq(\varphi
-\tilde{\psi})(\tilde{R}_{k+1})< 0.
\end{equation}

La courbe de $X$~:
\begin{eqnarray}
&[0,1]\ni t\rightarrow ([\zeta_{0}t^{\frac{\ln(c_{0}/\zeta_{0})}{\ln
c_{k+2}}},..,\zeta_{0}t^{\frac{\ln(c_{k}/\zeta_{0})}{\ln
c_{k+2}}};1,t,t^{(\ln c_{k+3})/(\ln c_{k+2})},..,t^{(\ln c_{m})/(\ln c_{k+2})}],&\nonumber\\
&[1,t^{\frac{\ln(c_{1}/c_{0})}{\ln
c_{k+2}}},..,t^{\frac{\ln(c_{k}/c_{0})}{\ln
c_{k+2}}}])&\nonumber
\end{eqnarray} 
passe par $([0^{[k+1]},1,0,..,0],[1,0^{[k]}])$ en $t=0$ puis par $\tilde{R}_{0}$
en $t=c_{k+2}$ et enfin par le point $\tilde{R}_{k+1}$ en $t=1$, valeurs
en lesquelles, d'apr\�s (\ref{equ22}), (\ref{equ23}) et (\ref{equ24}),
$(\varphi-\tilde{\psi}_{k+1})$ est respectivement n\�gative, positive
puis n\�gative. L'invariance de cette fonction
par l'action des $\exp(i\theta)$, permet donc de d\�duire que
$(\varphi-\tilde{\psi}_{0})$ atteint un maximum sur la courbe holomorphe,
d\'eduite de la courbe d\�crite plus haut, ce qui
contredit l'admissibilit\� de $\varphi$, d'o\`u (\ref{equ20}) 
et le lemme \ref{lem24}.

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{\subsection{Preuve du corollaire \ref{coro2}.}}

Soit $\varphi\in C^{\infty}(X)$ une fonction
$\tilde{g}$-admissible et $G$-invariante, dont le $\sup$ sur
$X$ est nul. D'apr\`es le th\'eor\`eme \ref{th2},
on a $\varphi \geq \tilde{\psi}$ et par suite, pour tout $\alpha \geq 0$,
$$\int_{X} \exp(-\alpha\varphi ) dv \leq
\int_{X}\exp(-\alpha\tilde{\psi} )dv .$$ Cherchons les
valeurs de $\alpha$ pour lesquelles cette derni\`ere int\'egrale
converge. Pour ce faire, on estimera
$\int_{X}\exp(-\alpha\tilde{\psi}_{1} )dv$ et $\int_{X}\exp(-\alpha\tilde{\psi}_{2} )dv$ 
dans la carte
dense correspondant \� la param\�trisation 
$$([1,z_{1},..,z_{m}],[1,z_{1},..,z_{k}]).$$ Dans cette carte,
l'\'el\'ement de volume est donn\'e par (c.f. \cite{BC})~: 
$$dv=\det((\tilde{g}_{\lambda \overline{\mu}}))dz_{1}\wedge d\overline{z}_{1}\wedge ...\wedge
dz_{m}\wedge d\overline{z}_{m},$$ o\�
\begin{eqnarray}
&&\det((\tilde{g}_{\lambda \overline{\mu}}))=(-1)^{m}\frac{(m+1-k)^{m-k}} {(1+\mid z_{1}\mid^{2}+...+\mid
z_{k}\mid^{2})^{k}(1+\mid z_{1}\mid^{2}+...+\mid
z_{m}\mid^{2})^{m+1}}\nonumber\\
&&\times [k(1+\mid z_{1}\mid^{2}+...+\mid
z_{m}\mid^{2})+(m-k+1)(1+\mid z_{1}\mid^{2}+...+\mid
z_{k}\mid^{2})]^{k}.\nonumber
\end{eqnarray} 
En utilisant le
fait que $\tilde{\psi}_{1}$ et $\tilde{\psi}_{2}$ ne d\'ependent que des $\mid
z_{p}\mid$, le changement de variables $u_{p}=\mid z_{p}\mid^{2}$
donne~:
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{eqnarray}
&&\int_{X}\exp(-\alpha\tilde{\psi}_{1} )dv= Cst\sum_{i=0}^{k}C^{i}_{k}\times\nonumber\\
&&\int_{0}^{+\infty}..\int_{0}^{+\infty}\frac{
(u_{1}...u_{k})^{-\alpha(m+1)/(k+1)}du_{1}...du_{m}} {(1+
u_{1}+...+u_{m})^{(1-\alpha)(m+1-k)+i}
(1+u_{1}+..+u_{k})^{(1-\alpha)k-i}}\nonumber\\
&&= \int_{0}^{+\infty}...
\int_{0}^{+\infty}\frac{
(u_{1}...u_{k})^{-\alpha(m+1)/(k+1)}du_{1}...du_{k}} {(1+
u_{1}+...+u_{m})^{(1-\alpha)(m+1)-(m-k)}}.\nonumber
\end{eqnarray}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
qui converge, ind\�pendemment de $i$ pour $\alpha < (k+1)/(m+1)$. D'autre part, 
\begin{eqnarray}
&&\int_{X}\exp(-\alpha\tilde{\psi}_{2} )dv= Cst\sum_{i=0}^{k}C^{i}_{k}\times\nonumber\\
&&\int_{0}^{+\infty}..\int_{0}^{+\infty}\frac{
(u_{1}...u_{k})^{-\alpha k/(k+1)}(u_{k+1}...u_{m})^{-\alpha(m+1-k)/(m-k)}du_{1}...du_{m}} {(1+
u_{1}+...+u_{m})^{(1-\alpha)(m+1-k)+i}
(1+u_{1}..+u_{k})^{(1-\alpha)k-i}}.\nonumber
\end{eqnarray}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
Pour cette derni\�re int\�grale, la convergence en z\�ro exige la condition 
$$\alpha <\inf\{ \frac{k}{k+1},\frac{m-k}{m-k+1}\}.$$  En l'infini, un changement 
sph\�rique de coordonn\�es ram\�ne l'\�tude \� la convergence de 
\begin{eqnarray}
&&\int_{a>0}^{+\infty}\frac{
r^{-\alpha k^{2}/(k+1)}r^{-\alpha(m+1-k)}r^{m-1}} {r^{(1-\alpha)(m+1-k)+i}
r^{(1-\alpha)k-i}}dr=\int_{a>0}^{+\infty}
r^{-\alpha k^{2}/(k+1)}r^{\alpha k-2}dr;\nonumber
\end{eqnarray} 
int�grale convergente pour $\alpha < \frac{k+1}{k}$. Cette derni\�re condition 
\�tant toujours v\�rifi\�e, le corollaire \ref{coro2} est alors \�tabli.


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{\subsection{Preuve du th\�or\�me \ref{th3}.}} Comme pour l'espace $X$, 
l'invariance par le
groupe $G$, des fonctions $\varphi
([z_{0},..,z_{k},z_{k+1},..,z_{m}],[\zeta_{0},..,\zeta_{k}],
[\zeta_{k+1}',..,\zeta_{m}'])$
(o\`{u} $(z_{0},..,z_{k})$ et $(\zeta_{0},..,\zeta_{k})$ ainsi que 
$(z_{k+1},..,z_{m})$ et $(\zeta_{k+1}',..,\zeta_{m}')$ sont
colin\�aires), nous permettra de les consid\�rer,
dans le lemme \ref{lem31} comme des fonctions $$\varphi
([1,x_{1},...,x_{m}],[1,x_{1},...,x_{k}],[x_{k+1},...,x_{m}])$$ 
des variables r\'eelles
$ x_{i} =\mid z_{i} \mid > 0$, $i\in\{1,..,m\}$, puis, dans le lemme
\ref{lem32} comme des fonctions $$\varphi
([x_{0},...,x_{k},1,x_{k+2},..,x_{m}],[x_{0},...,x_{k}],[1,x_{k+2},...,x_{m}])$$ des
variables r\'eelles $ x_{i} =\mid z_{i} \mid >0$.
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\begin{lem}\label{lem31}
Etant donn\�e une fonction $\varphi\in C^{\infty}(Y)$,
$\hat{g}$-admissible, G-invariante. Si $x_{i}=\mid z_{i}\mid >0$ pour
tout $i$:
\begin{eqnarray}\label{eq31}
&&(\varphi -\hat{\psi}
)([1,x_{1},..,x_{m}],[1,x_{1},..,x_{k}],[x_{k+1},..,x_{m}])\nonumber\\ 
&&\geq (\varphi
-\hat{\psi}
)([1,x_{1},..,x_{k};\zeta^{[m-k]}],[1,x_{1},..,x_{m}],[1^{[m-k]}]),
\end{eqnarray}
o\`u $\zeta^{[m-k]}=(\zeta ,..,\zeta)\in \complex^{m-k}$ et
$\zeta=(x_{k+1}...x_{m})^{1/(m-k)}$.
\end{lem}
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{\bf Preuve.} A l'instar du lemme \ref{lem21}, nous proc\�derons par r\�currence.
Supposons que pour $k+1\leq p < m$ et pour tout $(x_{1},..,x_{m})
\in\reel^{m}$ avec $x_{i}>0$ on ait
\begin{eqnarray}\label{eq32}
&&(\varphi -\hat{\psi})([1,x_{1},..,x_{m}],[1,x_{1},..,x_{k}],[x_{k+1},..,x_{m}])\geq \nonumber \\
&& (\varphi -\hat{\psi} )([1,x_{1},..,x_{k};(x_{k+1}...x_{p})^{\frac{1}{p-k}},..,
(x_{k+1}...x_{p})^{\frac{1}{p-k}},x_{p+1},..x_{m}],\nonumber\\
&&[1,x_{1},..,x_{k}],[(x_{k+1}...x_{p})^{\frac{1}{p-k}},..,
(x_{k+1}...x_{p})^{\frac{1}{p-k}},x_{p+1},..x_{m}]).
\end{eqnarray}
Cette propri\�t\� est claire pour $p=k+1$. Si 
l'in\�galit\� (\ref{eq32}) n'\�tait pas satisfaite au rang
$p+1$, il existerait alors un point
$(x_{1}^{0},..,x_{m}^{0})\in\reel^{m}$ avec $x_{i}^{0}>0$ pour
tout $i$, tel que
\begin{eqnarray}\label{eq33}
&&(\varphi -\hat{\psi} )([1,x_{1}^{0},..,x_{m}^{0}],[1,x_{1}^{0},..,x_{k}^{0}],[x_{k+1}^{0},..,x_{m}^{0}])< \nonumber \\
&&(\varphi -\hat{\psi})([1,x_{1}^{0},..,x_{k}^{0};(x_{k+1}^{0}...x_{p+1}^{0})^
{\frac{1}{p+1-k}},..,(x_{k+1}^{0}...x_{p+1}^{0})^{\frac{1}{p+1-k}},x_{p+2}^{0},..,x_{m}^{0}],\nonumber\\
&&[1,x_{1}^{0},..,x_{k}^{0}],[(x_{k+1}^{0}...x_{p+1}^{0})^
{\frac{1}{p+1-k}},..,(x_{k+1}^{0}...x_{p+1}^{0})^{\frac{1}{p+1-k}},x_{p+2}^{0},..,x_{m}^{0}]).
\end{eqnarray}

En utilisant la continuit\� de $(\varphi -\hat{\psi})$, on peut
supposer, quitte \`{a} en modifier l\�g\�rement les
coordonn\�es, que le point $$([1,x_{1}^{0},..,x_{m}^{0}],[1,x_{1}^{0},..,x_{k}^{0}],
[x_{k+1}^{0},..,x_{m}^{0}])$$ de
l'in\�galit\� (\ref{eq33}), v\�rifie
$$(x_{1}^{0}..x_{k}^{0})^{1/(k+1)}\neq
(x_{k+1}^{0}..x_{m}^{0})^{1/(m-k)}.$$ En utilisant la $G$-invariance de
$\varphi$, on peut supposer que $x_{k+1}^{0}\leq ...\leq
x_{m}^{0}$. D'autre part, en tenant encore compte de la $G$
invariance de $\varphi$ et de l'hypoth\�se de r\�currence
(\ref{eq32}) en les points
\begin{eqnarray}
&&([1,x_{1}^{0},..,x_{k}^{0};x_{k+1}^{0},x_{k+2}^{0},..,x_{p}^{0},
x_{p+1}^{0},x_{p+2}^{0},..,x_{m}^{0}],\nonumber\\
&&[1,x_{1}^{0},..,x_{k}^{0}],
[x_{k+1}^{0},x_{k+2}^{0},..,x_{p}^{0},
x_{p+1}^{0},x_{p+2}^{0},..,x_{m}^{0}])\nonumber
\end{eqnarray} 
et 
\begin{eqnarray}
&&([1,x_{1}^{0},..,x_{k}^{0};x_{k+2}^{0},
x_{k+3}^{0},..,x_{p}^{0},x_{p+1}^{0},x_{k+1}^{0},x_{p+2}^{0},..,x_{m}^{0}],\nonumber\\
&&[1,x_{1}^{0},..,x_{k}^{0}],
[x_{k+2}^{0},
x_{k+3}^{0},..,x_{p}^{0},x_{p+1}^{0},x_{k+1}^{0},x_{p+2}^{0},..,x_{m}^{0}]),\nonumber
\end{eqnarray}
de $Y$, on peut \�crire
\begin{eqnarray}\label{eq34}
&&(\varphi-\hat{\psi} )([1,x_{1}^{0},..,x_{m}^{0}],[1,x_{1}^{0},..,x_{k}^{0}],
[x_{k+1}^{0},..,x_{m}^{0}])\geq\nonumber\\
&& (\varphi-\hat{\psi}
)([1,x_{1}^{0},..,x_{k}^{0};(x_{k+1}^{0}...x_{p}^{0})
^{\frac{1}{p-k}},..,(x_{k+1}^{0}...x_{p}^{0})^
{\frac{1}{p-k}},x_{p+1}^{0},x_{p+2}^{0},..,x_{m}^{0}],\nonumber\\
&&[1,x_{1}^{0},..,x_{k}^{0}],[(x_{k+1}^{0}...x_{p}^{0})
^{\frac{1}{p-k}},..,(x_{k+1}^{0}...x_{p}^{0})^
{\frac{1}{p-k}},x_{p+1}^{0},x_{p+2}^{0},..,x_{m}^{0}])
\end{eqnarray}
et
\begin{eqnarray}\label{eq35}
&&(\varphi-\hat{\psi})([1,x_{1}^{0},..,x_{k}^{0};x_{k+2}^{0},..,x_{p+1}^{0},x_{k+1}^{0},
x_{p+2}^{0},..,x_{m}^{0}],[1,x_{1}^{0},..,x_{k}^{0}],\nonumber\\
&&[x_{k+2}^{0},..,x_{p+1}^{0},x_{k+1}^{0},
x_{p+2}^{0},..,x_{m}^{0}])\geq \nonumber \\
&& (\varphi-\hat{\psi})([1,x_{1}^{0},..,x_{k}^{0};(x_{k+2}^{0}..x_{p+1}^{0})
^{\frac{1}{p-k}},..,(x_{k+2}^{0}..x_{p+1}^{0})^{\frac{1}{p-k}},x_{k+1}^{0},
x_{p+2}^{0},..,x_{m}^{0}],\nonumber\\
&&[1,x_{1}^{0},..,x_{k}^{0}],[(x_{k+2}^{0}..x_{p+1}^{0})
^{\frac{1}{p-k}},..,(x_{k+2}^{0}..x_{p+1}^{0})^{\frac{1}{p-k}},x_{k+1}^{0},
x_{p+2}^{0},..,x_{m}^{0}]).
\end{eqnarray}
Consid\�rons maintenant la courbe $C$ d'\�quation
$$t^{p-k}x=x_{k+1}^{0}...x_{p+1}^{0}$$ dans le plan r\�el
$$\{[1,x_{1}^{0},..,x_{k}^{0};t,..,t,x,x_{p+2}^{0},..,x_{m}^{0}],[1,x_{1}^{0},..,x_{k}^{0}],
[t,..,t,x,x_{p+2}^{0},..,x_{m}^{0}]\}$$
param\�tr\� par les variables $t$ et $x$. Les points
\begin{eqnarray}
&&\hat{P}_{1}=([1,x_{1}^{0},..,x_{k}^{0};(x_{k+1}^{0}...x_{p}^{0})^
{\frac{1}{p-k}},..,(x_{k+1}^{0}...x_{p}^{0})^{\frac{1}{p-k}},
x_{p+1}^{0},x_{p+2}^{0},..,x_{m}^{0}],\nonumber\\
&&[1,x_{1}^{0},..,x_{k}^{0}],[(x_{k+1}^{0}...x_{p}^{0})^
{\frac{1}{p-k}},..,(x_{k+1}^{0}...x_{p}^{0})^{\frac{1}{p-k}},
x_{p+1}^{0},x_{p+2}^{0},..,x_{m}^{0}])\nonumber
\end{eqnarray} 
et
\begin{eqnarray}
&&\hat{P}_{2}=([1,x_{1}^{0},..,x_{k}^{0};(x_{k+2}^{0}...x_{p+1}^{0})
^{\frac{1}{p-k}},..,(x_{k+2}^{0}...x_{p+1}^{0})
^{\frac{1}{p-k}},x_{k+1}^{0},x_{p+2}^{0},..,x_{m}^{0}],\nonumber\\ 
&&[1,x_{1}^{0},..,x_{k}^{0}],[(x_{k+2}^{0}...x_{p+1}^{0})
^{\frac{1}{p-k}},..,(x_{k+2}^{0}...x_{p+1}^{0})
^{\frac{1}{p-k}},x_{k+1}^{0},x_{p+2}^{0},..,x_{m}^{0}])\nonumber
\end{eqnarray}
appartiennent \`{a} la courbe $C$. Notons que les r\�els
$x_{i}^{0}$ pour $k+1\leq i\leq p+1$ ne sont pas tous \�gaux, 
sinon (\ref{eq33}) deviendrait une \�galit\�.\\ Par suite,
sachant que l'on a choisi $x_{k+1}^{0}\leq ...\leq x_{p+1}^{0}$,
les points distincts $\hat{P}_{1}$ et $\hat{P}_{2}$ se trouvent strictement de
part et d'autre de la diagonale $t=x$ du plan pr\�c\�dent.
\\Or la courbe $C$ coupe cette diagonale en le point

\begin{eqnarray}
&&\hat{P}_{3}=([1,x_{1}^{0},..,x_{k}^{0};
(x_{k+1}^{0}...x_{p+1}^{0})^{\frac{1}{p+1-k}},..,
(x_{k+1}^{0}...x_{p+1}^{0})^{\frac{1}{p+1-k}},x_{p+2}^{0},..,x_{m}^{0}],\nonumber\\
&&[1,x_{1}^{0},..,x_{k}^{0}],[(x_{k+1}^{0}...x_{p+1}^{0})^{\frac{1}{p+1-k}},..,
(x_{k+1}^{0}...x_{p+1}^{0})^{\frac{1}{p+1-k}},x_{p+2}^{0},..,x_{m}^{0}])\nonumber
\end{eqnarray}
qui intervient dans l'in\�galit\� (\ref{eq33}). D'autre part,
en utilisant les relations (\ref{eq33}), (\ref{eq34}) et (\ref{eq35})
on obtient :$$ (\varphi - \hat{\psi})(\hat{P}_{3})> (\varphi - \hat{\psi}
)(\hat{P}_{1})\mbox{ et }(\varphi - \hat{\psi} )(\hat{P}_{3})> (\varphi - \hat{\psi}
)(\hat{P}_{2}),$$ ce qui prouve que la fonction $(\varphi - \hat{\psi} )$
admet un maximum local sur la courbe $C$. En cons\�quence, la
restriction de la fonction $G$-invariante $(\varphi - \hat{\psi} )$
\`{a} la courbe holomorphe (toujours not\'ee $C$) d'\�quation
$\xi^{p-k}z=x_{k+1}^{0}...x_{p+1}^{0}$ du plan complexe
$\{([1,x_{1}^{0},..,x_{k}^{0};\xi,..,\xi,z,x_{p+2}^{0},..,x_{m}^{0}],
[1,x_{1}^{0},..,x_{k}^{0}])\}$
atteint un maximum local en un point $\hat{P}=C(\zeta)$. Posons
$$C(\zeta)=([1,C^{1}(\zeta),..,C^{m}(\zeta)],[1,C^{1}(\zeta),..,C^{k}(\zeta)]
,[C^{k+1}(\zeta),..,C^{m}(\zeta)]),$$ 
$$\dot{C}^{\lambda}(\xi)=\frac{d C^{\lambda}}{d \xi}(\xi) \mbox{ et
} \dot{C}^{\overline{\mu}}(\xi)=\overline{\dot{C}^{\mu}(\xi)}.$$
Sachant que l'on a choisi le point $([1,x_{1}^{0},..,x_{m}^{0}],[1,x_{1}^{0},..,x_{k}^{0}],
[x_{k+1}^{0},..,x_{m}^{0}])$ de
sorte que $$(x_{1}^{0}...x_{k}^{0})^{1/(k+1)}\neq
(x_{k+1}^{0}...x_{m}^{0})^{1/(m-k)},$$ l'\�quation de la
courbe $C$ et les d\�finitions de $\hat{\psi}_{1}$ et $\hat{\psi}_{2}$ montrent 
qu'en tout point de $C$ 
\begin{eqnarray} 
\hat{\psi}_{1}([1,x_{1}^{0},..,x_{k}^{0};\xi,..,\xi,z,
x_{p+2}^{0},..,x_{m}^{0}],[1,x_{1}^{0},..,x_{k}^{0}])\neq\nonumber\\ 
\hat{\psi}_{2}([1,x_{1}^{0},..,x_{k}^{0};\xi,..,\xi,z,x_{p+2}^{0},..,x_{m}^{0}],[1,x_{1}^{0},..,x_{k}^{0}]).
\end{eqnarray}
On peut alors supposer que $\hat{\psi}=\hat{\psi}_{1}$ dans un voisinage de $\hat{P}$, 
la preuve \�tant identique si l'on suppose $\hat{\psi}=\hat{\psi}_{2}$ dans
ce voisinage. On a donc :

$$\frac {\partial^{2}}{\partial \xi\partial \overline{\xi}}
\{(\varphi -\hat{\psi}_{1})(C(\zeta))\} =\frac{\partial^{2}(\varphi
-\hat{\psi}_{1})}{\partial z_{\lambda}
\partial \overline{z}_{\mu} }(C(\zeta))\dot{C}^{\lambda}(\zeta)
\dot{C}^{\overline{\mu}}(\zeta)$$ est n\�gatif ou nul.
Comme $-\frac{\partial^{2}\hat{\psi}_{1}}{\partial z_{\lambda}
\partial \overline{z}_{\mu}}= g_{\lambda\overline{\mu}},$
ceci exprime que la forme hermitienne de matrice:
$$(g_{\lambda\overline{\mu}}+\frac{\partial^{2}\varphi}{\partial
z_{\lambda}
\partial \overline{z}_{\mu}})_{\lambda ,\mu}=(\frac{\partial^{2}(\varphi -\hat{\psi}_{1} )}
{\partial z_{\lambda}
\partial \overline{z}_{\mu}})_{\lambda,\mu}$$
est n\�gative en $\hat{P} = C(\zeta)$. On en
d\�duit une contradiction avec la $g$-admissibilit\� de
$\varphi$ en $\hat{P}$. D'o\`u l'in\'egalit\'e (\ref{eq32}) au rang $p+1$ et, par
cons\'equent, le lemme \ref{lem31}. 

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\begin{lem}\label{lem32}
Etant donn\�e une fonction $\varphi\in C^{\infty}(Y)$,
$\hat{g}$-admissible, G-invariante. Si $x_{i}=\mid z_{i}\mid >0$ pour
tout $i$, on a:
\begin{eqnarray}\label{eq36}
(\varphi -\hat{\psi}
)([x_{0},x_{1},..,x_{k};1,x_{k+2},..,x_{m}],
[x_{0},x_{1},..,x_{k}],[1,x_{k+2},..,x_{m}])\geq\nonumber\\ (\varphi -\hat{\psi}
)([\eta,\eta,..,\eta;1,x_{k+2},..,x_{m}],[1^{[k+1]}],[1,x_{k+2},..,x_{m}]),
\end{eqnarray}
o\`u $\eta=(x_{0}x_{1}...x_{k})^{1/(k+1)}$.
\end{lem}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
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{\bf Preuve.} Comme dans le lemme \ref{lem31}, la preuve s'effectue
par r\�currence. Supposons que pour $0\leq p < k$ et
pour tout $(x_{0},..,x_{k};x_{k+2},..,x_{m}) \in\reel^{m}$ avec
$x_{i}>0$, on ait
\begin{eqnarray}\label{eq37}
&&(\varphi -\hat{\psi} )([x_{0},..,x_{k},1,x_{k+2},..,x_{m}],[x_{0},..,x_{k}],
[1,x_{k+2},..,x_{m}])\geq
\nonumber\\
&&(\varphi -\hat{\psi}
)([(x_{0}...x_{p})^{\frac{1}{p+1}},..,
(x_{0}...x_{p})^{\frac{1}{p+1}},x_{p+1},..,x_{k};1,x_{p+2},..,x_{m}],\nonumber\\
&&[(x_{0}...x_{p})^{\frac{1}{p+1}},..,
(x_{0}...x_{p})^{\frac{1}{p+1}},x_{p+1},..,x_{k}],[1,x_{p+2},..,x_{m}]).
\end{eqnarray}
Cette hypoth\�se est v\�rifi\�e pour $p=0$. Si
l'in\�galit\� (\ref{eq37}) n'\�tait pas satisfaite au rang
$p+1$, il existerait un point
$(x_{0}^{0},..,x_{k};x_{k+2},..,x_{m}^{0})\in\reel^{m}$ avec
$x_{i}^{0}>0$ pour tout $i$, tel que :
\begin{eqnarray}\label{eq38}
&&(\varphi -\hat{\psi}
)([x_{0}^{0},..,x_{k}^{0};1,x_{k+2}^{0},..,x_{m}^{0}],[x_{0}^{0},..,x_{k}^{0}],[
1,x_{k+2}^{0},..,x_{m}^{0}])< \nonumber\\
&& (\varphi
-\hat{\psi})([(x_{0}^{0}..x_{p+1}^{0})^{\frac{1}{p+2}},..,(x_{0}^{0}..x_{p+1}^{0})^{\frac{1}{p+2}},
x_{p+2}^{0},...,x_{k}^{0};1,x_{k+2}^{0},..,x_{m}^{0}],\nonumber\\
&&[(x_{0}^{0}..x_{p+1}^{0})^{\frac{1}{p+2}},..,(x_{0}^{0}..x_{p+1}^{0})^{\frac{1}{p+2}},
x_{p+2}^{0},...,x_{k}^{0}],[1,x_{k+2}^{0},..,x_{m}^{0}]).
\end{eqnarray}
Comme au lemme \ref{lem31}, on peut supposer que le point
$$([x_{0}^{0},..,x_{k}^{0};1,x_{k+2}^{0},..,x_{m}^{0}],[x_{0}^{0},..,x_{k}^{0}],
[1,x_{k+2}^{0},..,x_{m}^{0}])\in Y $$ v\�rifie
$$(x_{0}^{0}..x_{k}^{0})^{1/(k+1)}\neq
(x_{k+2}^{0}..x_{m}^{0})^{1/(m-k)},$$ et que $x_{0}^{0}\leq
...\leq x_{p+1}^{0}$. D'autre part, en tenant compte de la $G$-invariance 
de $\varphi$ et de l'hypoth\�se de r\�currence
(\ref{eq37}) en les points 
$$([x_{0}^{0},x_{1}^{0},..,x_{p}^{0},x_{p+1}^{0},..,x_{k}^{0};1,x_{k+2}^{0},..,x_{m}^{0}],
[x_{0}^{0},x_{1}^{0},..,x_{p}^{0},x_{p+1}^{0},..,x_{k}^{0}],[1,x_{k+2}^{0},..,x_{m}^{0}])$$
et
$$([x_{1}^{0},..,x_{p+1}^{0},x_{0}^{0},..,x_{k}^{0};1,x_{k+2}^{0},..,x_{m}^{0}],
[x_{1}^{0},..,x_{p+1}^{0},x_{0}^{0},..,x_{k}^{0}],[1,x_{k+2}^{0},..,x_{m}^{0}]),$$
on a 
\begin{eqnarray}\label{eq39}
&&(\varphi-\hat{\psi} )([x_{0}^{0},..,x_{k}^{0};1,x_{k+2}^{0},
..,x_{m}^{0}],[x_{0}^{0},..,x_{k}^{0}],[1,x_{k+2}^{0},
..,x_{m}^{0}])\geq\nonumber\\
&& (\varphi-\hat{\psi}
)([(x_{0}^{0}..x_{p}^{0})^{\frac{1}{p+1}},..,(x_{0}^{0}..x_{p}^{0})^{\frac{1}{p+1}},
x_{p+1}^{0},..,x_{k}^{0};1,x_{k+2}^{0},..,x_{m}^{0}],\nonumber\\
&&[(x_{0}^{0}..x_{p}^{0})^{\frac{1}{p+1}},..,(x_{0}^{0}..x_{p}^{0})^{\frac{1}{p+1}},
x_{p+1}^{0},..,x_{k}^{0}],[1,x_{k+2}^{0},..,x_{m}^{0}]) 
\end{eqnarray}
et
\begin{eqnarray}\label{eq310}
&&(\varphi-\hat{\psi})([x_{1}^{0},..,x_{p+1}^{0},x_{0}^{0},..,x_{k}^{0};1,x_{k+2}^{0},..,x_{m}^{0}],\nonumber\\
&&[x_{1}^{0},..,x_{p+1}^{0},x_{0}^{0},..,x_{k}^{0}],[1,x_{k+2}^{0},..,x_{m}^{0}])\geq
\nonumber \\
&&(\varphi-\hat{\psi})([(x_{1}^{0}..x_{p+1}^{0})^{\frac{1}{p+1}},..,(x_{1}^{0}..x_{p+1}^{0})^
{\frac{1}{p+1}},
x_{0}^{0},x_{p+2}^{0},..,x_{k}^{0};1,x_{k+2}^{0},..,x_{m}^{0}],\nonumber\\
&&[(x_{1}^{0}..x_{p+1}^{0})^{\frac{1}{p+1}},..,(x_{1}^{0}..x_{p+1}^{0})^
{\frac{1}{p+1}},
x_{0}^{0},x_{p+2}^{0},..,x_{k}^{0}],[1,x_{k+2}^{0},..,x_{m}^{0}]).
\end{eqnarray}
Consid\�rons maintenant la courbe $C$ d'\�quation
$$t^{p+1}x=x_{0}^{0}...x_{p+1}^{0}$$ du plan r\�el
$$\{([t,..,t,x,x_{p+2}^{0},..,x_{k}^{0};1,x_{k+2}^{0},..,x_{m}^{0}],[t,..,t,x,x_{p+2}^{0},..,x_{k}^{0}],
[1,x_{k+2}^{0},..,x_{m}^{0}])\}$$
param\�tr\� par les variables $t$ et $x$. Les points 
\begin{eqnarray}
&&\hat{Q}_{1}=([(x_{0}^{0}..x_{p}^{0})^{\frac{1}{p+1}},..,
(x_{0}^{0}..x_{p}^{0})^{\frac{1}{p+1}},x_{p+1}^{0},x_{p+2}^{0},..,x_{k}^{0};1,
x_{k+2}^{0},..,x_{m}^{0}],\nonumber\\
&&[(x_{0}^{0}..x_{p}^{0})^{\frac{1}{p+1}},..,
(x_{0}^{0}..x_{p}^{0})^{\frac{1}{p+1}},x_{p+1}^{0},x_{p+2}^{0},..,x_{k}^{0}],[1,
x_{k+2}^{0},..,x_{m}^{0}])\nonumber
\end{eqnarray} 
et
\begin{eqnarray}
&&\hat{Q}_{2}=([(x_{1}^{0}..x_{p+1}^{0})^{\frac{1}{p+1}},..,(x_{1}^{0}..x_{p+1}^{0})^{\frac{1}{p+1}},
x_{0}^{0},x_{p+2}^{0},..,x_{k}^{0};1,x_{k+2}^{0},..,x_{m}^{0}],\nonumber\\
&&[(x_{1}^{0}..x_{p+1}^{0})^{\frac{1}{p+1}},
..,(x_{1}^{0}..x_{p+1}^{0})^{\frac{1}{p+1}},
x_{0}^{0},x_{p+2}^{0},..,x_{k}^{0}],[1,
x_{k+2}^{0},..,x_{m}^{0}])\nonumber
\end{eqnarray} 
appartiennent \`{a} la courbe $C$.\\D'autre part 
 les r\�els $x_{i}^{0}$ pour $0\leq i\leq p+1$ ne sont pas tous
\�gaux, sinon (\ref{eq38}) serait une \�galit\�.\\
Par suite, sachant que l'on a choisi $x_{0}^{0}\leq ...\leq
x_{p+1}^{0}$, les points distincts $\hat{Q}_{1}$ et $\hat{Q}_{2}$ se trouvent strictement 
de part et
d'autre de la diagonale $t=x$ du plan pr\�c\�dent. \\Or la
courbe $C$ coupe cette diagonale en le point 

\begin{eqnarray}
&&\hat{Q}_{3}=([(x_{0}^{0}...x_{p+1}^{0})^{\frac{1}{p+2}},..,
(x_{0}^{0}...x_{p+1}^{0})^{\frac{1}{p+2}},x_{p+2}^{0},..,x_{k}^{0};
1,x_{k+2}^{0},..,x_{m}^{0}],\nonumber\\
&&[(x_{0}^{0}...x_{p+1}^{0})^{\frac{1}{p+2}},..,
(x_{0}^{0}...x_{p+1}^{0})^{\frac{1}{p+2}},x_{p+2}^{0},..,x_{k}^{0}],[1,
x_{k+2}^{0},..,x_{m}^{0}])\nonumber
\end{eqnarray} qui intervient dans
l'in\�galit\� (\ref{eq38}). D'autre part, les relation
(\ref{eq38}), (\ref{eq39}) et (\ref{eq310}) donnent 
$$ (\varphi -
\hat{\psi})(\hat{Q}_{3})> (\varphi - \hat{\psi} )(\hat{Q}_{1})\mbox{ et }(\varphi - \hat{\psi}
)(\hat{Q}_{3})> (\varphi - \hat{\psi} )(\hat{Q}_{2}),$$ ce qui prouve que la
fonction $(\varphi - \hat{\psi} )$ admet un maximum local sur la courbe
$C$.\\
Sachant que l'on a choisi le point
$$([x_{0}^{0},..,x_{k}^{0};1,x_{k+2}^{0},..,x_{m}^{0}],[x_{0}^{0},..,x_{k}^{0}],[1,
x_{k+2}^{0},..,x_{m}^{0}])$$ de sorte que
$$(x_{0}^{0}..x_{k}^{0})^{1/(k+1)}\neq
(x_{k+2}^{0}..x_{m}^{0})^{1/(m-k)},$$
on conclut de la
m\^{e}me mani\�re qu'au lemme pr\�c\�dent en consid\�rant la restriction de 
$(\varphi -\hat{\psi})$ \`{a} une courbe holomorphe convenable.

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A l'instar du lemme \ref{coro24}, les lemmes \ref{lem31} et \ref{lem32} permettent d'\�tablir le
\begin{lem}\label{coro34}
Etant donn\�e une fonction $\varphi\in C^{\infty}(Y)$,
$\hat{g}$-admissible, G-invariante, avec $x_{i}=\mid z_{i}\mid >0$ pour
tout $i$, on a :
\begin{eqnarray}\label{eq311}
&&(\varphi -\hat{\psi}
)([1,x_{1},..,x_{k};x_{k+1},x_{k+2},..,x_{m}],[1,x_{1},..,x_{k}],[x_{k+1},x_{k+2},..,x_{m}])\nonumber\\
&&\geq(\varphi -\hat{\psi} )([1^{[k+1]};\nu^{[m-k]}],[1^{[k+1]}],[1^{[m-k]}]),
\end{eqnarray}
o\`u
$\nu=\frac{(x_{k+1}...x_{m})^{1/(m-k)}}{(x_{1}...x_{k})^{1/(k+1)}}$.
\end{lem}
Montrons maintenant le 

\begin{lem}\label{lem34}
Etant donn\�e une fonction $\varphi\in C^{\infty}(Y)$,
$\hat{g}$-admissible, G-invariante, $\forall \zeta >0$, on a :
\begin{eqnarray}\label{eq312}
(\varphi -\hat{\psi} )([1^{[k+1]};\zeta^{[m-k]}],[1^{[k+1]}],[1^{[m-k]}])\geq 0,
\end{eqnarray}
\end{lem}

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{\bf Preuve.} On raisonne sur la position du point $\hat{R}_{0}\in\proj_{m}\complex$
o\`{u} $\varphi$ atteint son maximum. En vertu de la $G$-invariance
de $\varphi$, on peut supposer qu'il s'\�crit sous la forme 
$$\hat{R}_{0}=([y^{0}_{0},..,y^{0}_{k};y^{0}_{k+1},..,y^{0}_{m}],
[\rho ^{0}_{0},..,\rho ^{0}_{k}],[\varrho^{0}_{k+1},..,\varrho^{0}_{m}]),$$
o\`{u} les $y^{0}_{i}$, $\rho^{0}_{i}$, $\varrho ^{0}_{i}$ sont des r\�els positifs v\�rifiant 
$y^{0}_{0}\geq y^{0}_{1}\geq..\geq y^{0}_{k}$, $y^{0}_{k+1}\geq
y^{0}_{k+2}\geq..\geq y^{0}_{m}$, $\rho ^{0}_{0}\geq..\geq\rho ^{0}_{k}$ et 
$\varrho ^{0}_{k+1}\geq..\geq\varrho ^{0}_{m}$ et o\� $(\rho ^{0}_{0},..,\rho ^{0}_{k})$ et 
$(y^{0}_{0},..,y^{0}_{k})$ sont  
parall\�les, ainsi que $(\varrho ^{0}_{k+1},..,\varrho ^{0}_{m})$ et 
$(y^{0}_{k+1},..,y^{0}_{m})$.
Trois cas se pr\�sentent : ou
bien l'un des $y^{0}_{0},..,y^{0}_{k}$ et l'un des $y^{0}_{k},..,y^{0}_{m}$ sont non nuls, ou bien tous
les $y^{0}_{0},..,y^{0}_{k}$ sont nuls, ou bien enfin tous les $y^{0}_{k},..,y^{0}_{m}$. Ces deux derniers 
cas\�tant sym\�triques, ils se traitent de mani\�re similaire.
\\{\bf{Cas A}} :
l'un des $y^{0}_{0},..,y^{0}_{k}$ et l'un des $y^{0}_{k},..,y^{0}_{m}$ sont non nuls. On se
place alors dans la carte de $Y$ d\�crite par les points 
$$([z_{0},..,z_{k},z_{k+1},..,z_{m}],[\xi_{0},..,\xi_{k}],[\xi_{k+1},..,\xi_{m}])\in
\proj_{m}\complex \times\proj_{k}\complex\times\proj_{m-k-1}\complex$$ 
tels que $z_{0}\neq 0, \xi_{0}\neq 0$.
Ceci permet de rep\�rer 
$\hat{R}_{0}$ par  
$$\hat{R}_{0}=([1,x^{0}_{1},..,x^{0}_{k};x^{0}_{k+1},..,x^{0}_{m}],[1,x^{0}_{1},..,x^{0}_{k}],[
x^{0}_{k+1},..,x^{0}_{m}]),$$
o\`{u} les r\�els positifs $x^{0}_{i}$ v\�rifient :
$1\geq x^{0}_{1}\geq..\geq x^{0}_{k}$ et $x^{0}_{k+1}\geq ...\geq
x^{0}_{m}$.
Raisonnons par l'absurde, et supposons qu'il existe un point
$$\hat{R}_{1}=([1^{[k+1]};\zeta_{0}^{[m-k]}],[1^{[k+1]}],[1^{[m-k]}])$$ tel que
l'on ait $\zeta_{0}>0$ et 
\begin{equation}\label{p31}
(\varphi -\hat{\psi} )(\hat{R}_{1})<0.
\end{equation}
On envisage alors les deux sous-cas suivants : $x^{0}_{k+1}<\zeta_{0}$ 
puis $x^{0}_{k+1}\geq \zeta_{0}$.
\begin{itemize}
    \item \underline{$x^{0}_{k+1}<\zeta_{0}$}.
\end{itemize}
On introduit alors la fonction auxiliaire
$$\hat{\psi}_{0}=\log\frac{\mid z_{0}\mid^{4}\mid \xi_{0}\mid^{2k}\mid \xi_{k+1}\mid^{2(m-k-1)}}{
    (\mid z_{0}\mid^{2}+...+\mid z_{m}\mid^{2})^{2}(\mid \xi_{0}\mid^{2}+...+\mid \xi_{k}\mid^{2})^{k}
(\mid \xi_{k+1}\mid^{2}+...+\mid \xi_{m}\mid^{2})^{m-k-1}}.$$
D'une part, puisque $\varphi\leq 0$,
\begin{equation}\label{p30}
(\varphi -\hat{\psi}_{0})([1,0^{[m]}],[1,0^{[k]}],[1,0^{[m-k-1]}])=\varphi 
([1,0^{[m]}],[1,0^{[k]}],[1,0^{[m-k-1]}])\leq 0.
\end{equation}
De plus, sachant que $\varphi (\hat{R}_{0})=0$ et $\hat{\psi}_{0}\leq 0$, on a
\begin{equation}\label{p33}
(\varphi -\hat{\psi}_{0})(\hat{R}_{0})\geq 0.
\end{equation}
Si $\hat{R}_{0}\neq ([1,0^{[m]}],[1,0^{[k]}],[1,0^{[m-k-1]}])$, $\hat{\psi}_{0}(\hat{R}_{0})< 0$ 
et l'in\�galit\� (\ref{p33}) est
alors stricte. Si $\hat{R}_{0} = ([1,0^{[m]}],[1,0^{[k]}],[1,0^{[m-k-1]}])$, 
quitte \`{a} se placer en un point $\hat{R}$ arbitrairement voisin de
$\hat{R}_{0}$, on peut supposer $(\varphi -\hat{\psi}_{0})(\hat{R})> 0$. En effet, si dans
un voisinage de $\hat{R}_{0}$ on avait $(\varphi -\hat{\psi}_{0})\leq 0$, comme 
$(\varphi -\hat{\psi}_{0})(\hat{R}_{0})= 0$, $(\varphi -\hat{\psi}_{0})$ admettrait
alors un maximun local en $\hat{R}_{0}$, ce qui mettrait en
d\�faut l'admissibilit\� de $\varphi$ en ce point, sachant que 
$$\partial_{\lambda\overline{\mu}}(\varphi -\hat{\psi}_{0})(\hat{R}_{0})=
(g_{\lambda\overline{\mu}}+\partial_{\lambda\overline{\mu}}\varphi )(\hat{R}_{0}).$$ Dans tous les cas, 
on peut
donc affirmer qu'il existe un point $$\hat{R}'_{0}=([1,{a}_{1},..,{a}_{m}],[1,{a}_{1},..,{a}_{k}]
,[{a}_{k+1},..,{a}_{m}])$$
v\�rifiant
\begin{equation}\label{p33'}
(\varphi -\hat{\psi}_{0})(\hat{R}'_{0})> 0.
\end{equation}
Par continuit\� et $G$-invariance de $\varphi$, on peut supposer $1>a_{1}>...> a_{k}>0$ et 
$\zeta_{0}> a_{k+1}>...> a_{m}>0$.
D'autre part, l'in\�galit\� (\ref{p31}) jointe aux d\'efinitions de $\hat{R}_1$, $\hat{\psi}_0$, $\hat{\psi}_1$ 
et $\hat{\psi}=\inf (\hat{\psi}_1 , \hat{\psi}_2)$ implique
\begin{equation}\label{p31'}
(\varphi -\hat{\psi}_{0})(\hat{R}_{1})=(\varphi -\hat{\psi}_{1})(\hat{R}_{1})\leq(\varphi
-\hat{\psi})(\hat{R}_{1})< 0.
\end{equation}

La courbe :
\begin{eqnarray}
&[0,1]\ni t\rightarrow ([1,t,t^{(\ln a_{2})/(\ln a_{1})},..,t^{(\ln a_{k})/(\ln a_{1})};
\zeta_{0}t^{\frac{\ln(a_{k+1}/\zeta_{0})}{\ln
a_{1}}},..,\zeta_{0}t^{\frac{\ln(a_{m}/\zeta_{0})}{\ln
a_{1}}}],&\nonumber\\
&[1,t,t^{(\ln a_{2})/(\ln a_{1})},..,t^{(\ln a_{k})/(\ln a_{1})}],[1,t^{\frac{\ln(a_{k+2}/a_{k+1})}{\ln
a_{1}}},..,t^{\frac{\ln(a_{m}/a_{k+1})}{\ln
a_{1}}}])&
\nonumber
\end{eqnarray} 
passe par $([1,0^{[m]}],[1,0^{[k]}],[1,0^{[m-k-1]}])$ en $t=0$ puis par ${\hat{R}'}_{0}$
en $t=a_{1}$ et enfin par le point $\hat{R}_{1}$ en $t=1$, valeurs
en lesquelles, d'apr\�s (\ref{p30}), (\ref{p33'}) et (\ref{p31'}),
$(\varphi-\hat{\psi}_{0})$ est respectivement n\�gative, positive
puis \`{a} nouveau n\�gative. L'invariance de cette fonction
par l'action des $\exp(i\theta)$, permet donc de d\�duire que
$(\varphi-\hat{\psi}_{0})$ atteint un maximum sur la courbe holomorphe,
complexifi\�e de la courbe d\�crite plus haut, ce qui
contredit encore une fois l'admissibilit\� de $\varphi$.
\begin{itemize}
\item \underline{$x^{0}_{k+1}\geq\zeta_{0}$}.
\end{itemize}
D\�signons dans ce cas par $p\in \{1,..,m-k\}$ l'entier pour
lequel on a $$x^{0}_{k+1}\geq ...\geq x^{0}_{k+p}>\zeta_{0} \mbox{
et } \zeta_{0}\geq x^{0}_{k+p+1}\geq ...\geq x^{0}_{m},$$ et
consid\�rons la fonction auxiliaire

$$\hat{\psi}_{k+1}=\log\frac{\mid z_{k+1}\mid^{4}\mid\xi_{0}\mid^{2k}\mid\xi_{k+1}\mid^{2(m-k-1)}}{
(\mid z_{0}\mid^{2}+...+\mid z_{m}\mid^{2})^{2}(\mid \xi_{0}\mid^{2}+...+\mid \xi_{k}\mid^{2})^{k}
(\mid \xi_{k+1}\mid^{2}+...+\mid \xi_{m}\mid^{2})^{m-k-1}}.$$
On a
\begin{equation}\label{p33''}
(\varphi -\hat{\psi}_{k+1})(\hat{R}_{0})> 0.
\end{equation}
La fonction $(\varphi -\hat{\psi}_{k+1})$ \�tant continue, quitte
\`{a} se placer en un point voisin de $\hat{R}_{0}$, on peut supposer
tous les $x_{i}^{0}$ non nuls. Posons alors:
$$\alpha_{2}=\frac{\ln x_{2}^{0}}{\ln x_{1}^{0}},..,\alpha_{k}=\frac{\ln x_{k}^{0}}{\ln x_{1}^{0}};
\alpha_{k+1}=\frac{\ln(x_{k+1}^{0}/\zeta_{0})}{\ln x_{1}^{0}},..,
\alpha_{m}=\frac{\ln(x_{m}^{0}/\zeta_{0})}{\ln x_{1}^{0}}.$$
Sachant que l'on a $1\geq x_{1}^{0}\geq..\geq x_{k}^{0}$;
$x_{k+1}^{0}\geq..\geq x_{k+p}^{0}\geq\zeta_{0}$ et $\zeta_{0}\geq
x_{k+p+1}^{0}\geq..\geq x_{m}^{0}$, on en d\�duit que 
$\alpha_{2},..,\alpha_{k}\geq 0$, $\alpha_{k+1}\leq ...\leq
\alpha_{p+k}\leq 0$ et $\alpha_{p+k+1},..,\alpha_{m}\geq 0$, d'o\`{u}, en notant 
$$\hat{R}_{\varepsilon}=([1,\varepsilon,\varepsilon^{\alpha_{2}},..,\varepsilon^{\alpha_{k}};
\zeta_{0}\varepsilon^{\alpha_{k+1}},..,\zeta_{0}\varepsilon^{\alpha_{m}}],
[1,\varepsilon,\varepsilon^{\alpha_{2}},..,\varepsilon^{\alpha_{k}}],
[\varepsilon^{\alpha_{k+1}},..,\varepsilon^{\alpha_{m}}]),$$ on a 
\begin{eqnarray*}
\lim_{\varepsilon\rightarrow
0}\hat{\psi}_{k+1}(\hat{R}_{\varepsilon }) 
&=& \lim_{\varepsilon\rightarrow
0}\{\ln\frac{\zeta_{0}^{4}\varepsilon^{4\alpha_{k+1}}}
{[1+\varepsilon^{2}+\varepsilon^{2\alpha_{2}}+..+\varepsilon^{2\alpha_{k}}+
\zeta_{0}^{2}(\varepsilon^{2\alpha_{k+1}}+..+\varepsilon^{2\alpha_{m}})]^{2}}  \\
&&\times\frac{\varepsilon^{2(m-k-1)\alpha_{k+1}}}
{(\varepsilon^{2\alpha_{k+1}}+..+\varepsilon^{2\alpha_{m}})^{m-k-1}}\}\\
&=&\ln\lim_{t\rightarrow
\infty}\frac{t^{-2\alpha_{k+1}(m+1-k)}}
{(t^{-2\alpha_{k+1}}+t^{-2\alpha_{k+2}}+..+t^{-2\alpha_{p}})^{(m+1-k)}}
= \ln 1=0,
\end{eqnarray*} 
$-\alpha_{k+1}$ \�tant la plus grande puissance intervenant au
d\�nominateur. Sachant que $\varphi ([\hat{R}_{\varepsilon}])\leq 0$ et compte tenu de (\ref{p33''}) il
existe $\varepsilon_{0}$ tel que l'on ait
\begin{equation}\label{p34}
(\varphi
-\hat{\psi}_{k+1})(\hat{R}_{\varepsilon_{0} })\leq -\hat{\psi}_{k+1}(\hat{R}_{\varepsilon_{0} })<
(\varphi -\hat{\psi}_{k+1})(\hat{R}_{0}).
\end{equation}
D'autre part, l'in\'egalit\'e (\ref{p31}), jointe aux d\'efinitions de $\hat{R}_1$, $\hat{\psi}_{k+1}$, $\hat{\psi}_{2}$ 
et $\hat{\psi} = \inf (\hat{\psi}_{1},\hat{\psi}_{2})$ donne~: 
\begin{equation}\label{p35}
(\varphi
-\hat{\psi}_{k+1})(\hat{R}_{1})= (\varphi-\hat{\psi}_{2})(\hat{R}_{1})\leq
(\varphi -\hat{\psi})(\hat{R}_{1})<0.
\end{equation}
La courbe
$$[\varepsilon_{0},1]\ni t\rightarrow ([1,t,t^{\alpha_{2}},..,t^{\alpha_{k}},
\zeta_{0}t^{\alpha_{k+1}},..,\zeta_{0}t^{\alpha_{m}}],
[1,t,t^{\alpha_{2}},..,t^{\alpha_{k}}],
[t^{\alpha_{k+1}},..,t^{\alpha_{m}}]),$$ passe par
$\hat{R}_{\varepsilon_{0}}$
en $t=\varepsilon_{0}$ puis par $\hat{R}_{0}$ en $t=x_{1}^{0}$ et enfin
par $\hat{R}_{1}$ en $t=1$, ce qui, en vertu de 
(\ref{p34}), (\ref{p33''}) et (\ref{p35}) prouve l'existence d'un maximum local pour la 
fonction $(\varphi-\hat{\psi}_{k+1})$ sur la
courbe pr\�cit\�e. Ceci contredit, \`{a} l'instar du cas
pr\�c\�dent, l'hypoth\�se d'admissibilit\� de la
fonction $\varphi$.

{\bf{Cas B :}}  $y^{0}_{0}=...=y^{0}_{k}=0$. On peut alors se
placer dans la carte de $Y$ d\�crite par les points 
$$([z_{0},..,z_{k};z_{k+1},..,z_{m}],[\xi_{0},..,\xi_{k}],[\xi_{k+1},..,\xi_{m}])\in
\proj_{m}\complex \times\proj_{k}\complex\times\proj_{m-k-1}\complex$$ 
tels que $z_{k+1}\neq 0$ et $\xi_{0}\neq 0$, de sorte que
le point $\hat{R}_{0}$ o\`u $\varphi$ atteint son maximum \'egal \`a z\'ero puisse 
s'\'ecrire sous la forme 
$$\hat{R}_{0}=([0,0,..,0;1,x_{k+2}^{0},..,x_{m}^{0}],[1,u_{1}^{0},..,u_{k}^{0}],
[1,x_{k+2}^{0},..,x_{m}^{0}]).$$
On peut aussi supposer, en utilisant la $G$-invariance de $\varphi$, que 
$1\geq x_{k+2}^{0}\geq..\geq x_{m}^{0}$ et $1\geq u_{1}^{0}\geq..\geq u_{k}^{0}$. 
On montrera une version \'equivalente du lemme \ref{lem34}, \`a savoir que
\begin{equation}\label{equ30}
(\varphi -\hat{\psi} )([\zeta^{[k+1]};1^{[m-k]}],[1^{[k+1]}],[1^{[m-k]}])\geq 0
\end{equation}
pour tout $\zeta >0$. 

Raisonnons par l'absurde, et supposons qu'il existe un point
$$\hat{R}_{k+1}=([\zeta_{0}^{[k+1]};1^{[m-k]}],[1^{[k+1]}],[1^{[m-k]}])$$ de $Y$ tel que
l'on ait $\zeta_{0}>0$ et 
\begin{equation}\label{equ31}
(\varphi -\hat{\psi} )(\hat{R}_{k+1})<0.
\end{equation}
On consid\`ere alors la fonction auxiliaire
$\hat{\psi}_{k+1}$.
Sachant que $\varphi\leq 0$, on a 
\begin{eqnarray}\label{equ32}
&&(\varphi -\hat{\psi}_{k+1})([0^{[k+1]};1,0,..,0],[1,0^{[k]}],[1,0^{[m-k-1]}])=\nonumber\\
&&\varphi ([0^{[k+1]};1,0,..,0],[1,0^{[k]}],[1,0^{[m-k-1]}])\leq 0.
\end{eqnarray}
D'autre part, sachant que $\varphi (\hat{R}_{0})=0$ et $\hat{\psi}_{k+1}\leq 0$, on a

\begin{equation}
(\varphi -\hat{\psi}_{k+1})(\hat{R}_{0})=-\hat{\psi}_{k+1}(\hat{R}_{0})\geq 0,
\end{equation}
in\'egalit\'e stricte d\`es que $$\hat{R}_{0}\neq ([0^{[k+1]};1,0,..,0],[1,0^{[k]}],[1,0^{[m-k-1]}]).$$ Si 
$\hat{R}_{0} = ([0^{[k+1]};1,0,..,0],[1,0^{[k]}],[1,0^{[m-k-1]}])$, quitte \`a se placer en un point arbitrairement voisin de 
$\hat{R}_{0}$, on peut supposer la derni\`ere in\'egalit\'e stricte. En effet, si dans un voisinage de $\hat{R}_{0}$, on avait 
$\varphi -\hat{\psi}_{k+1}\leq 0$, alors $\varphi -\hat{\psi}_{k+1}$ admettrait un maximum local en  
$\hat{R}_{0}$, ce qui contredirait l'admissibilit\'e de $\varphi$ en $\hat{R}_{0}$. A l'instar du cas A, 
il existe donc un point  $$\hat{R}'_{0}=([{c}_{0},..,{c}_{k};1,{c}_{k+2},..,{c}_{m}],[{c}_{0},..,{c}_{k}]
,[1,{c}_{k+2},..,{c}_{m}])$$
v\�rifiant
\begin{equation}\label{equ33}
(\varphi -\hat{\psi}_{k+1})(\hat{R}'_{0})> 0.
\end{equation}
Par continuit\� et $G$-invariance de $\varphi$, on peut supposer 
$\zeta_{0}> c_{0}>...> c_{k}>0$ et $1>c_{k+2}>...> c_{m}>0$. 
D'autre part, l'in\�galit\� (\ref{equ31}) jointe aux d\'efinitions de 
$\hat{R}_{k+1}$, $\hat{\psi}_{k+1}$, $\hat{\psi}_2$ 
et $\hat{\psi}=\inf (\hat{\psi}_1 , \hat{\psi}_2)$ implique
\begin{equation}\label{equ34}
(\varphi -\hat{\psi}_{k+1})(\hat{R}_{k+1})=(\varphi -\hat{\psi}_{2})(\hat{R}_{k+1})\leq(\varphi
-\hat{\psi})(\hat{R}_{k+1})< 0.
\end{equation}

La courbe de $Y$~:
\begin{eqnarray}
&[0,1]\ni t\rightarrow ([\zeta_{0}t^{\frac{\ln(c_{0}/\zeta_{0})}{\ln
c_{k+2}}},..,\zeta_{0}t^{\frac{\ln(c_{k}/\zeta_{0})}{\ln
c_{k+2}}};1,t,t^{(\ln c_{k+3})/(\ln c_{k+2})},..,t^{(\ln c_{m})/(\ln c_{k+2})}],&\nonumber\\
&[1,t^{\frac{\ln(c_{1}/c_{0})}{\ln
c_{k+2}}},..,t^{\frac{\ln(c_{k}/c_{0})}{\ln
c_{k+2}}}],[1,t,t^{(\ln c_{k+3})/(\ln c_{k+2})},..,t^{(\ln c_{m})/(\ln c_{k+2})}])&\nonumber
\end{eqnarray} 
passe par $([0^{[k+1]},1,0,..,0],[1,0^{[k]}])$ en $t=0$ puis par $\hat{R}_{0}$
en $t=c_{k+2}$ et enfin par le point $\hat{R}_{k+1}$ en $t=1$, valeurs
en lesquelles, d'apr\�s (\ref{equ32}), (\ref{equ33}) et (\ref{equ34}),
$(\varphi-\hat{\psi}_{k+1})$ est respectivement n\�gative, positive
puis n\�gative. L'invariance de cette fonction
par l'action des $\exp(i\theta)$, permet donc de d\�duire que
$(\varphi-\hat{\psi}_{0})$ atteint un maximum sur la courbe holomorphe,
d\'eduite de la courbe d\�crite plus haut, ce qui
contredit l'admissibilit\� de $\varphi$, d'o\`u (\ref{equ30}).

{\bf{Cas C :}} Les $y^{0}_{0},..,y^{0}_{k}$ sont tous nuls. On peut alors se
placer dans la carte de $Y$ d\�crite par les points 
$$([z_{0},..,z_{k};z_{k+1},..,z_{m}],[\xi_{0},..,\xi_{k}],[\xi_{k+1},..,\xi_{m}])\in
\proj_{m}\complex \times\proj_{k}\complex\times\proj_{m-k-1}\complex$$ 
tels que $z_{0}\neq 0$ et $\xi_{k+1}\neq 0$, de sorte que
le point $\hat{R}_{0}$ o\`u $\varphi$ atteint son maximum \'egal \`a z\'ero puisse 
s'\'ecrire sous la forme 
$$\hat{R}_{0}=([1,x_{1}^{0},..,x_{k}^{0};0,0,..,0],[1,x_{1}^{0},..,x_{k}^{0}],
[1,u_{k+2}^{0},..,u_{m}^{0}]).$$
On peut aussi supposer, en utilisant la $G$-invariance de $\varphi$, que 
$1\geq x_{1}^{0}\geq..\geq x_{k}^{0}$ et $1\geq u_{k+2}^{0}\geq..\geq u_{m}^{0}$.

Raisonnons par l'absurde, et supposons qu'il existe un point que l'on notera encore 
$$\hat{R}_{k+1}=([1^{[k+1]};\zeta_{0}^{[m-k]}],[1^{[k+1]}],[1^{[m-k]}])$$ de $Y$ tel que
l'on ait $\zeta_{0}>0$ et 
\begin{equation}\label{equ31'}
(\varphi -\hat{\psi} )(\hat{R}_{k+1})<0.
\end{equation}
On consid\`ere alors la fonction auxiliaire
$\hat{\psi}_{0}$ d\�finie plus haut.
Sachant que $\varphi\leq 0$, on a 
\begin{eqnarray}\label{equ32'}
&&(\varphi -\hat{\psi}_{0})([1,0,..,0;0^{[m-k]}],[1,0^{[k]}],[1,0^{[m-k-1]}])=\nonumber\\
&&\varphi ([1,0^{[k]};0^{[m-k]}],[1,0^{[k]}],[1,0^{[m-k-1]}])\leq 0.
\end{eqnarray}
D'autre part, sachant que $\varphi (\hat{R}_{0})=0$ et $\hat{\psi}_{k+1}\leq 0$, on a

\begin{equation}
(\varphi -\hat{\psi}_{0})(\hat{R}_{0})=-\hat{\psi}_{k+1}(\hat{R}_{0})\geq 0,
\end{equation}
in\'egalit\'e stricte d\`es que $$\hat{R}_{0}\neq ([1,0^{[k]};0^{[m-k]}],[1,0^{[k]}],[1,0^{[m-k-1]}]).$$ Si 
$([1,0^{[k]};0^{[m-k]}],[1,0^{[k]}],[1,0^{[m-k-1]}])$, quitte \`a se placer en un point arbitrairement voisin de 
$\hat{R}_{0}$, on peut supposer la derni\`ere in\'egalit\'e stricte. En effet, si dans un voisinage de $\hat{R}_{0}$, on avait 
$\varphi -\hat{\psi}_{k+1}\leq 0$, alors $\varphi -\hat{\psi}_{k+1}$ admettrait un maximum local en  
$\hat{R}_{0}$, ce qui contredirait l'admissibilit\'e de $\varphi$ en $\hat{R}_{0}$.  
Il existe donc un point  $$\hat{R}'_{0}=([1,{c}_{1},..,{c}_{k};{c}_{k+1},..,{c}_{m}],[1,{c}_{1},..,{c}_{k}]
,[{c}_{k+1},..,{c}_{m}])$$
v\�rifiant
\begin{equation}\label{equ33'}
(\varphi -\hat{\psi}_{0})(\hat{R}'_{0})> 0.
\end{equation}
Par continuit\� et $G$-invariance de $\varphi$, on peut supposer 
$\zeta_{0}> c_{k+1}>...> c_{m}>0$ et $1>c_{1}>...> c_{k}>0$. 
D'autre part, l'in\�galit\� (\ref{equ31'}) jointe aux d\'efinitions de 
$\hat{R}_{k+1}$, $\hat{\psi}_{0}$, $\hat{\psi}_1$ 
et $\hat{\psi}=\inf (\hat{\psi}_1 , \hat{\psi}_2)$ implique
\begin{equation}\label{equ34'}
(\varphi -\hat{\psi}_{0})(\hat{R}_{k+1})=(\varphi -\hat{\psi}_{1})(\hat{R}_{k+1})\leq(\varphi
-\hat{\psi})(\hat{R}_{k+1})< 0.
\end{equation}

La courbe de $Y$~:
\begin{eqnarray}
&[0,1]\ni t\rightarrow ([1,t,t^{(\ln c_{2})/(\ln c_{1})},..,t^{(\ln c_{k})/(\ln c_{1})};
\zeta_{0}t^{\frac{\ln(c_{k+1}/\zeta_{0})}{\ln
c_{1}}},..,\zeta_{0}t^{\frac{\ln(c_{m}/\zeta_{0})}{\ln
c_{1}}}],&\nonumber\\
&[1,t,t^{(\ln c_{2})/(\ln c_{1})},..,t^{(\ln c_{k})/(\ln c_{1})}],[1,t^{\frac{\ln(c_{k+2}/c_{k+1})}{\ln
c_{1}}},..,t^{\frac{\ln(c_{m}/c_{k+1})}{\ln
c_{1}}}])&
\nonumber
\end{eqnarray} 
passe par $([1,0,..,0],[1,0^{[k]}],[1,0^{[m-k]}])$ en $t=0$ puis par $\hat{R}_{0}$
en $t=c_{1}$ et enfin par le point $\hat{R}_{k+1}$ en $t=1$, valeurs
en lesquelles, d'apr\�s (\ref{equ32'}), (\ref{equ33'}) et (\ref{equ34'}),
$(\varphi-\hat{\psi}_{k+1})$ est respectivement n\�gative, positive
puis n\�gative. L'invariance de cette fonction
par l'action des $\exp(i\theta)$, permet donc de d\�duire que
$(\varphi-\hat{\psi}_{0})$ atteint un maximum sur la courbe holomorphe,
d\'eduite de la courbe d\�crite plus haut, ce qui
contredit l'admissibilit\� de $\varphi$, d'o\`u 
et le lemme \ref{lem34}.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


{\subsection{Preuve du corollaire \ref{coro3}.}}


Soit $\varphi\in C^{\infty}(Y)$ une fonction
$\hat{g}$-admissible et $G$-invariante, dont le $\sup$ sur
$Y$ est nul. D'apr\`es le th\'eor\`eme \ref{th3},
on a $\varphi \geq \hat{\psi}$ et par suite, pour tout $\alpha \geq 0$,
$$\int_{Y} \exp(-\alpha\varphi ) dv \leq
\int_{Y}\exp(-\alpha\hat{\psi} )dv .$$ Afin d'obtenir les
valeurs de $\alpha$ pour lesquelles cette derni\`ere int\'egrale
converge, on estimera
$\int_{Y}\exp(-\alpha\hat{\psi}_{1} )dv$ et $\int_{Y}\exp(-\alpha\hat{\psi}_{2} )dv$ 
dans la carte
dense correspondant \� la param\�trisation 
$$([1,z_{1},..,z_{m}],[1,z_{1},..,z_{k}],[z_{k+1},..,z_{m}]).$$ Dans cette carte,
l'\'el\'ement de volume est donn\'e par (c.f. \cite{BC})~: 
$$dv=\det((\hat{g}_{\lambda \overline{\mu}}))dz_{1}\wedge d\overline{z}_{1}\wedge ...\wedge
dz_{m}\wedge d\overline{z}_{m},$$ o\�
\begin{eqnarray}
\det((\hat{g}_{\lambda \overline{\mu}}))=2(-1)^{m}\frac{[(k+2)(1+\mid z_{1}\mid^{2}+...+\mid
z_{k}\mid^{2})+k(\mid z_{k+1}\mid^{2}+...+\mid
z_{m}\mid^{2})]^{k}} {(1+\mid z_{1}\mid^{2}+...+\mid
z_{k}\mid^{2})^{k}(\mid z_{k+1}\mid^{2}+...+\mid
z_{m}\mid^{2})^{m-k-1}}\nonumber\\
\times \frac {[(m-k-1)(1+\mid z_{1}\mid^{2}+...+\mid
z_{k}\mid^{2})+(m-k+1)(\mid z_{k+1}\mid^{2}+...+\mid
z_{m}\mid^{2})]^{m-k-1}}{(1+\mid z_{1}\mid^{2}+...+\mid
z_{m}\mid^{2})^{m+1}}.\nonumber
\end{eqnarray} 
Si $u_{p}=\mid z_{p}\mid^{2}$, en z\�ro et en l'infini on a l'\�quivalence~: 
$$ dv\sim \frac{Cst(>0)}{(1+u_{1}+..+u_{k})^{k}(u_{k+1}+..+u_{m})^{m-k-1}(1+u_{1}+..+u_{m})^{2}}.$$
La convergence de $\int_{Y}\exp(-\alpha\hat{\psi}_{1})dv$ est donc \�quivalente \� celle de
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{eqnarray}
\int_{0}^{+\infty}..\int_{0}^{+\infty}\frac{
(u_{1}...u_{k})^{-\alpha(k+2)/(k+1)}(u_{k+1}...u_{m})^{-\alpha(m-k-1)/(m-k)}} {(1+
u_{1}+...+u_{m})^{2(1-\alpha)}
(1+u_{1}+..+u_{k})^{(1-\alpha)k}}\nonumber\\
\times\frac{du_{1}...du_{m}}{(u_{k+1}+..+u_{m})^{(1-\alpha)(m-k-1)}},
\end{eqnarray}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
qui converge en z\�ro pour $\alpha<(k+1)/(k+2)$. En l'infini en effectuant en changement de 
coordonn\�es sph\�riques on ram\�ne l'\�tude \� celle de 
\begin{eqnarray}
\int_{a>0}^{+\infty}\frac{
r^{-\alpha k(k+2)/(k+1)}r^{-\alpha(m-1-k)}r^{m-1}} {r^{2(1-\alpha)}r^{k(1-\alpha)}
r^{(1-\alpha)(m-k-1)}}dr,
\end{eqnarray} 
qui converge pour $\alpha < (k+1)/(k+2)$. 
De m\�me, la convergence de $\int_{Y}\exp(-\alpha\hat{\psi}_{2})dv$ est \�quivalente \� celle de
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{eqnarray}
\int_{0}^{+\infty}..\int_{0}^{+\infty}\frac{
(u_{1}...u_{k})^{-\alpha k/(k+1)}(u_{k+1}...u_{m})^{-\alpha(m-k+1)/(m-k)}} {(1+
u_{1}+...+u_{m})^{2(1-\alpha)}
(1+u_{1}+..+u_{k})^{(1-\alpha)k}}\nonumber\\
\times\frac{du_{1}...du_{m}}{(u_{k+1}+..+u_{m})^{(1-\alpha)(m-k-1)}},
\end{eqnarray}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
qui converge en z\�ro pour $\alpha<1/2$. En l'infini, cela revient \� \�tudier la convergence de
\begin{eqnarray}
\int_{a>0}^{+\infty}
r^{-\alpha k^{2}/(k+1)}r^{-\alpha (m-k+1)}r^{-(1-\alpha)(m+1)} r^{m-1}dr,
\end{eqnarray} 
qui converge pour $\alpha < (k+1)/k$, condition toujours v\�rifi\�e, d'o\� le corollaire \ref{coro3}.













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Monge-Amp\�re sur les vari\�t\�s K\"{a}hl\�riennes
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{\em Springer-Verlag, Berlin, 1998.}

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1987, 225-246.}

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{\sc X. Zhu}-- K\"{a}hler-Ricci solitons on Toric Fano varieties,
{\em IHES/M/00/58, 2000.}




\end{thebibliography}
\begin{center}
--------------------------

Universit\'e Pierre et Marie Curie, Paris, France.

e-mail: benabdes@math.jussieu.fr \\
           dridi@math.jussieu.fr

\end{center}


\end{document}

math0604073.extracted_bib
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