Sur la compactification de Thurston \\ de l'espace de Teichm�ller
Fr�d�ric Paulin
The aim of these lecture notes is, after having quickly described various compactifications of the Teichm\"uller space of a compact connected oriented surface minus finitely many points, to give a construction, by the equivariant Gromov topology introduced by the author, of Thurston's compactification of this Teichm\"uller space. \footnote{ {AMS codes: } 57M50, 30F60, 32M50. {Keywords: } Riemann surface; Thurston compactification; Teichm�ller space; hyperbolic surface; equivariant Gromov topology. }
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\title{Sur la compactification de Thurston \\
de l'espace de Teichm�ller}

\author{Fr�d�ric Paulin}

%\date{\today}
\date{}

\begin{document}
\maketitle
\begin{abstract}
The aim of these lecture notes is, after having quickly described
various compactifications of the Teichm\"uller space of a
compact connected oriented surface minus finitely many points, to give
a construction, by the equivariant Gromov topology introduced by the
author, of Thurston's compactification of this Teichm\"uller space.  
\footnote{ {\bf AMS codes: } 57M50, 30F60, 32M50.  {\bf Keywords: }
    Riemann surface; Thurston compactification; Teichm�ller space;
    hyperbolic surface; equivariant Gromov topology.  }
\end{abstract} 

\bigskip
Le but de ces notes d'expos�s est de donner une construction, par la
topologie de Gromov �quivariante introduite dans \cite{Pau2}, de la
compactification de Thurston de l'espace de \tei\ $\ts$ d'une surface
$S$ orient�e connexe compacte priv�e d'un nombre fini de points.

\bigskip
Il existe de nombreuses compactifications (g�om�triquement
int�ressantes) de l'espace de \tei\ de $S$. Avant de donner en d�tail
notre approche de la compactification de Thurston, nous d�crivons,
pour la culture et de mani�re non exhaustive, les principales
compactifications de $\ts$, de mani�re bri�ve (et donc sans pouvoir
donner toutes les explications n�cessaires, pour lesquelles nous
renvoyons � la bibliographie), ainsi que leurs relations, en supposant
pour simplifier que $S$ est compacte.

\medskip
\begin{itemize}
\item[$\bullet$] {\bf Les compactifications de \tei} (voir
  \cite{Abi,Gar,Nag}). Il y en a une pour toute structure de surface
  de Riemann $X$ fix�e sur $S$, par l'espace des points � l'infini des
  rayons de \tei\ issus de (l'image encore not�e $X$ dans $\ts$ de)
  $X$. La distance de \tei\ est finsl�rienne compl�te sur la vari�t�
  diff�rentielle $\ts$, et ces rayons de \tei\ sont les rayons
  g�od�siques issus de $X$ pour cette m�trique, ce qui fournit la
  compactification de \tei\ de $\ts$ associ�e � $X$. Le bord
  s'identifie avec l'espace $\Q_1(X)$ des formes diff�rentielles
  quadratiques holomorphes de norme $1$ sur $X$, qui s'identifie � la
  sph�re unit� de l'espace cotangent de $\ts$ en $X$.

\item[$\bullet$] {\bf Les compactifications de Bers} (voir par exemple
  \cite{Ber,Nag,Bro,McM}). Il y en a une pour toute structure de
  surface de Riemann $X$ fix�e sur $S$, construite comme suit. La
  surface de Riemann $X$ est isomorphe � la surface de Riemann
  quotient $\Ga_X\backslash\HH$ o� $\HH\subset\CC$ est le demi-plan
  sup�rieur, et $\Ga_X$ un sous-groupe discret sans torsion du groupe
  ${\rm Aut}(\HH)\simeq {\rm PSL}_2(\RR)\subset{\rm PSL}_2(\CC) $ des
  automorphismes complexes de $\HH$.  Pour toute autre structure de
  surface de Riemann $Y$ sur $S$, soit $h:X\ra Y$ un hom�omorphisme
  quasi-conforme homotope � l'identit� envoyant la structure de $X$
  sur celle de $Y$.  Sa diff�rentielle de Beltrami
  $\overline{\partial} h/\partial h$, qui est presque partout d�finie,
  se rel�ve en une diff�rentielle de Beltrami $\Ga_X$-invariante sur
  $\HH$, qui �tendue par $0$ sur la sph�re de Riemann $\widehat{\CC}$,
  donne une diff�rentielle de Beltrami $\mu$ sur $\widehat{\CC}$, qui
  est $\Ga_X$-invariante. Le th�or�me d'Ahlfors-Bers dit qu'il existe
  un hom�omorphisme quasi-conforme $f_\mu:
  \widehat{\CC}\ra\widehat{\CC}$, de diff�rentielle de Beltrami $\mu$,
  uniquement d�fini modulo conjugaison au but par un �l�ment de ${\rm
    Aut}(\widehat{\CC})$, qui conjugue $\Ga_X$ � un sous-groupe
  (encore discret et sans torsion) de ${\rm Aut}(\widehat{\CC})\simeq
  PSL_2(\CC)$.  Ainsi l'application $$Y\mapsto \{\ga\mapsto f_\mu\circ
  \ga\circ f_\mu^{-1}\}$$ induit un hom�omorphisme sur son image, de
  l'espace de \tei\ de $S$, vu comme l'espace quotient de l'espace des
  structures de surfaces de Riemann sur $S$ modulo l'action de ${\rm
    Diff}_0(S)$, � valeurs dans l'espace topologique quotient (non
  s�par�) ${\rm Hom}(\Ga_X,{\rm PSL}_2(\CC))/{\rm PSL}(\CC)$, dont
  l'image est d'adh�rence (s�par�e et) compacte, ce qui fournit une
  compactification de $\ts$.

\item[$\bullet$] {\bf La compactification naturelle de Thurston} (voir
  \cite{Thu0, FLP} pour la construction originale, ainsi que les
  rappels ci-dessous). Le bord est l'espace $\P\M\F(S)$ des classes
  d'�quivalence de feuilletages transversalement mesur�s �
  singularit�s de type selle � $k\geq 3$ branches, modulo isotopies,
  op�rations de Whitehead et multiplication par une constante
  strictement positive de la mesure transverse.  Une propri�t�
  cruciale de la compactification de Thurston est qu'elle est
  naturelle (au sens rappel� ci-dessous) pour l'action du groupe
  modulaire de \tei\ ${\rm Mod}(S)$.  Voir aussi \cite{Wol1,EL} pour
  une description de cette compactification par les applications
  harmoniques, et \cite{Wol2} pour la relation entre les applications
  harmoniques et les actions de groupes de $\pi_1S$ sur les arbres
  (r�els). Kaimanovich et Mazur \cite{KM} ont montr� que le bord de
  Poisson de nombreuses cha\^{\i}nes de Markov sur l'espace de \tei\
  est le bord de Thurston muni d'une mesure de probabilit� ad�quate.

\item[$\bullet$] {\bf La compactification naturelle de Morgan-Shalen}
  (voir \cite{MS1}). Soit $X$ une composante irrr�ductible de
  l'ensemble alg�brique affine complexe $${\rm
    Hom}(\pi_1S,SL_2(\CC))//SL_2(\CC)\;,$$ qui est le quotient
  alg�bro-g�om�trique (voir \cite{MF}, et \cite{CS} pour une
  description simple) de l'ensemble alg�brique affine complexe ${\rm
    Hom}(\pi_1S,SL_2(\CC))$ des morphismes de groupes de $\pi_1S$ dans
  $SL_2(\CC)$, par l'action par conjugaison au but de $SL_2(\CC)$.
  Pour tout $\ga$ dans $\pi_1S-\{1\}$, l'application polynomiale de
  ${\rm Hom}(\pi_1S,SL_2(\CC))$ dans $\CC$, d�finie par $\rho\mapsto
  {\rm trace}\;\rho(\ga)$, induit une application $f_\ga:X\ra \CC$,
  ind�pendante de la classe de $\ga$ dans l'ensemble $\C$ des classes
  de conjugaison d'�l�ments non triviaux de $\pi_1S$.  Si $\widehat X$
  est le compactifi� d'Alexandrov de $X$, alors Morgan et Shalen
  \cite{MS1} montrent que l'application de $X$ dans $\widehat
  X\times\PP({\RR_+}^\C)$, d�finie par $x\mapsto
  (x,\RR_+^*(\log(|f_\ga(x)|+2))_{\ga\in\C})$, est un hom�omorphisme
  sur son image, qui est ouverte dans son adh�rence, et d'adh�rence
  compacte.  L'espace de \tei\ de $S$ est hom�omorphe, de mani�re
  �quivariante par ${\rm Mod}(S)$, � une composante connexe de
  l'ensemble des points r�els d'une composante irr�ductible $X$ de
  ${\rm Hom}(\pi_1S,SL_2(\CC))//SL_2(\CC)$. Morgan et Shalen
  obtiennent ainsi une compactification naturelle de $\ts$. Il n'est
  pas difficile de montrer avec cette d�finition qu'elle est isomorphe
  � la compactification de Thurston.  Morgan et Shalen \cite{MS1}
  montrent aussi (en version plus �labor�e) que tout point du bord est
  de la forme $(\infty, \RR_+^*(\max\{0,-v(f_\ga)\})_{[\ga]\in\C})$ o�
  $\infty$ est le point � l'infini de $\widehat X$ et $v:F^\times\ra
  \RR$ est une valuation r�elle (pas forc�ment dis\-cr�te) sur le
  corps des fonctions $F$ de $X$, ainsi que de la forme $$(\infty,
  \RR_+^*(\min_{x\in T} d(x,\ga x) )_{[\ga]\in\C})$$ o� $T$ est un
  arbre (r�el) muni d'une action isom�trique de $\pi_1S$, construit �
  partir de l'arbre de Bruhat-Tits de ${\rm SL}_2$ sur le corps valu�
  $(F,v)$.  Le passage des feuilletages transversalement mesur�s sur
  $S$ aux actions de $\pi_1S$ sur des arbres (r�els) se fait par la
  notion d'arbre dual, d�velopp�e dans \cite{MO,MS2}, voir aussi
  \cite{Sko,Ota,LP} par exemple.

\item[$\bullet$] {\bf La compactification naturelle de Bestvina}
  \cite{Bes} {\bf et de l'auteur} \cite{Pau1,Pau2}, qui est isomorphe
  � celle de Thurston. La pr�sentation ci-dessous, utilisant la
  topologie de Gromov �quivariante, correspond � une partie non
  publi�e de la th�se de l'auteur \cite{Pau1}, mais il est possible de
  la retrouver aussi en partie dans la litt�rature actuelle (voir par
  exemple \cite{Ota,Kap}).

\item[$\bullet$] {\bf La compactification naturelle de Brumfiel}
  \cite{Bru}, voir aussi \cite{Bouz}. Elle utilise comme celle de
  Morgan-Shalen la description alg�brique de l'espace de \tei, avec de
  plus la th�orie du spectre r�el des anneaux commutatifs. La
  compactification de Thurston est l'image par une surjection
  continue, �quivariante par ${\rm Mod}(S)$, de cette
  compactification.
\item[$\bullet$] {\bf La compactification naturelle de Bonahon} par
  les courants g�od�siques \cite{Bon1}, qui est isomorphe � celle de
  Thurston. Le plongement fonctionnel de Thurston de l'espace de
  Teichm�ller, d�crit ci-dessous, n'est sans doute pas le plus
  int�ressant du point du vue analytique. Le plongement de Bonahon
  \cite{Bon1} semble plus appropri� au calcul infinit�simal (voir
  \cite{Bon2,Bon3}). Ce plongement est d�fini de la mani�re suivante.
  Soit $\partial \wt S$ le bord � l'infini de $\wt S$ pour la m�trique
  $\wt\sigma_0$, relev�e par un rev\^etement universel $\wt S\ra S$
  d'une m�trique hyperbolique fix�e $\sigma_0$ sur $S$, muni de son
  action du groupe de rev�tement $\pi_1 S$.  Remarquons qu'�
  hom�omorphisme �quivariant pr�s, cet espace ne d�pend pas de la
  m�trique choisie $\sigma_0$.  Notons $\partial_2 \wt S$ l'espace
  topologique (m�trisable s�parable) localement compact des paires de
  points distincts de $\partial \wt S$, muni de l'action diagonale de
  $\pi_1 S$, et
  $$\M(\partial_2 \wt S)_{\pi_1S}$$ %
  l'espace vectoriel topologique (pour la topologie vague) des mesures
  de Radon $\pi_1S$-in\-va\-rian\-tes sur $\partial_2 \wt S$.  Pour
  tout �l�ment $\sigma$ de $\ts$, le fibr� unitaire tangent de la
  m�trique relev�e (d'un repr�sentant) de $\sigma$ sur $\wt S$,
  quotient� par le changement de signe $v\mapsto -v$, s'envoie dans
  $\partial_2 \wt S$ par la fibration principale, de fibre $\RR$ pour
  l'action du flot g�od�sique, qui � un vecteur unitaire tangent
  associe la paire d'extr�mit�s de la g�od�sique qu'il dirige.  Le
  relev� � $T^1\wt S$ de la mesure de Liouville de $(S,\sigma)$, qui
  est invariant par le flot g�od�sique, donne donc un �l�ment
  $\lambda_\sigma$ de $\M(\partial_2 \wt S)_{\pi_1S}$.  Le plongement
  de Bonahon est l'application $\sigma\mapsto \lambda_\sigma$ de $\ts$
  dans $\M(\partial_2 \wt S)_{\pi_1S}$. La compactification de Bonahon
  est alors obtenue en projectifiant et en prenant l'adh�rence.
\item[$\bullet$] Pour des surfaces particuli�res, il existe d'autres
  compactifications bien �tudi�es, telle la {\bf compactification de
    Maskit} de $\ts$ si $S$ est un tore priv� d'un point (voir par
  exemple \cite{KS}, ses dessins et ses r�f�rences).
\end{itemize}

\medskip Il n'est pas connu de l'auteur si deux compactifications de
\tei\ de $\ts$ ni si deux compactifications de Bers de $\ts$ (pour
deux choix de structures de surface de Riemann non isomorphes sur $S$)
sont isomorphes ou non. Il est montr� dans \cite{Ker} (voir aussi
\cite{Mas}) que la compactification de Thurston n'est isomorphe �
aucune compactification de \tei. Certes, le bord de Teichm\"uller
s'envoie contin\^ument dans le bord de Thurston par l'application qui
� une forme diff�rentielle quadratique holomorphe associe son
feuilletage transversalement mesur� horizontal (voir par exemple
\cite{Gar}). Mais cette application ne s'�tend pas contin\^ument en un
isomorphisme de la compactification de \tei\ consid�r�e sur celle de
Thurston. Il est montr� dans \cite{KT} (voir aussi \cite{Bro}) que la
compactification de Thurston n'est pas isomorphe � au moins l'une des
compactifications de Bers (parce que pour au moins un des plongements
de Bers de l'espace de \tei, l'action du groupe modulaire ne s'�tend
pas au bord).



\medskip
\begin{center}
+ --------------------------- +
\end{center}






\medskip Apr�s cette disgression, entrons dans le vif du sujet.  Soit
$X$ un espace topologique localement compact (respectivement un espace
topologique localement compact muni d'une action par hom�omorphismes
d'un groupe $G$). Une {\it compactification} (respectivement {\it
  compactification naturelle}) de $X$ est un couple $(i,Y)$ (ou par
abus $Y$) o� $Y$ est un espace topologique compact, et $i:X\ra Y$ un
hom�omorphisme sur son image, (par lequel on identifie $X$ et son
image dans $Y$) d'image ouverte et dense, (respectivement un tel
couple $(i,Y)$ tel que l'action de $G$ sur $X$ s'�tende continuement
en une action par hom�omorphismes de $G$ sur $Y$).  Deux
compactifications (respectivement compactifications naturelles) $Y,Y'$
de $X$ sont {\it isomorphes} si l'identit� de $X$ dans $X$ s'�tend
continuement en un hom�omorphisme (respectivement un hom�omorphisme
�quivariant pour les actions de $G$) de $Y$ dans $Y'$.

Par exemple, les compactifications d'Alexandrov et de Stone-Cech (voir
par exemple \cite{Dug}) d'un espace localement compact $X$ sont
naturelles pour l'action du groupe $G$ de tous les hom�omorphismes de
$X$.  Outre sa naturalit�, l'int�r\^et de la compactification de Thurston
des espaces de \tei\ est qu'elle apporte des informations
int�ressantes sur les d�g�n�rescences g�om�triques des structures
hyperboliques sur les surfaces.




\bigskip Soit $\HH^2_\RR$ le mod�le du demi-espace sup�rieur du plan
hyperbolique r�el, et ${\rm Isom_+}(\HH^2_\RR)$ le groupe des
isom�tries pr�servant l'orientation de $\HH^2_\RR$. L'action par
homographies de ${\rm SL}_2(\RR)$ sur $\HH^2_\RR$ induit un
isomorphisme (de groupes de Lie) de ${\rm PSL}_2(\RR)={\rm
  SL}_2(\RR)/\{\pm{\rm Id}\}$ avec ${\rm Isom_+}(\HH^2_\RR)$, par
lequel nous identifions ${\rm PSL}_2(\RR)$ et ${\rm
  Isom_+}(\HH^2_\RR)$.

Soit $S$ une surface compacte (sans bord) connexe orient�e de classe
$\cinf$ priv�e d'un nombre fini de points, et de caract�ristique
d'Euler strictement n�gative. En particulier, $S$ admet au moins une
{\it m�trique hyperbolique} (i.e.~m�trique riemannienne � courbure
constante $-1$) compl�te de volume fini (voir par exemple
\cite{FLP,Bus}).  Notons $\widetilde {S}\ra S$ un rev\^etement
universel de $S$, et $\pi_1S$ son groupe des automorphismes de
rev\^etement, qui, pour un choix fix� de point base dans $\wt S$,
s'identifie au groupe fondamental de $S$ en l'image $x_0$ de ce point
base dans $S$. Un �l�ment de $\pi_1S-\{1\}$ sera dit {\it parabolique}
s'il est repr\'esentable par un lacet librement homotope dans tout
voisinage de l'un des bouts de $S$.


Notons ${\rm Diff}(S)$ le groupe des diff�omorphismes $f$ de classe
$\cinf$ de $S$, muni de la topologie $\cinf$ (voir par exemple
\cite{Hir}), et ${\rm Diff}_0(S)$ le sous-groupe distingu� ouvert des
diff�omorphismes de $S$ isotopes � l'identit�. Tout diff�omorphisme
$f$ de $S$ induit un isomorphisme de groupes de $\pi_1(S,x_0)$ dans
$\pi_1(S,f(x_0))$, donc (par changement de point base, possible par
connexit�) un isomorphisme $f_*:\pi_1S\ra\pi_1S$ bien d�fini modulo
conjugaison. De plus, si $f$ est isotope � l'identit�, alors
$f_*:\pi_1S\ra\pi_1S$ est une conjugaison.

Rappelons qu'une m�trique riemannienne sur $S$ est une section $\cinf$
du fibr�, not� $\otimes^2T^*S$, des formes bilin�aires sur les espaces
tangents aux points de $S$. Notons $\wts$ l'ensemble des m�triques
hyperboliques $\sigma$ sur $S$, compl�tes et de volume fini, muni de
la topologie induite par la topologie $\cinf$ sur
$\cinf(S,\otimes^2T^*S)$. Le groupe ${\rm Diff}(S)$ agit sur $\wts$
par l'action naturelle sur les champs de tenseurs sur $S$
$$(f,\sigma)\mapsto \left(f_*\sigma: x\in S\mapsto \{(u,v)\in
  (T_xS)^2\mapsto
  \sigma_{f^{-1}(x)}((T_xf)^{-1}(u),(T_xf)^{-1}(v))\}\right)\;.$$

L'{\it espace de Teichm�ller} $\ts$ de $S$ est l'espace topologique
quotient de $\wts$ par l'action de ${\rm Diff}_0(S)$. Le {\it groupe
  modulaire de Teichm�ller} (ou \og mapping class group \fg) de $S$
est le groupe discret quotient $${\rm Mod}(S)={\rm Diff}(S)/{\rm
  Diff}_0(S)\;.$$ %
L'action de ${\rm Diff}(S)$ sur $\wts$ induit une action du groupe
modulaire de Teichm�ller de $S$ sur l'espace de Teichm�ller de $S$.
Par abus, nous noterons de la m�me mani�re un �l�ment $\sigma$ de
$\wts$ et son image dans $\ts$, ainsi qu'un �l�ment $\sigma$ de $\ts$
et l'un de ses relev�s dans $\wts$. Notons ${\rm Diff}_+(S)$ le
sous-groupe de ${\rm Diff}(S)$ pr�servant l'orientation et ${\rm
  Mod}_+(S)={\rm Diff}_+(S)/{\rm Diff}_0(S)$.

Par le th�or�me de Cartan-Hadamard (voir par exemple \cite{GHL}), pour
tout �l�ment $\sigma$ de $\wts$, il existe une isom�trie $i$
pr�servant l'orientation entre le relev� $\widetilde{\sigma}$ au
rev�tement universel orient� de $S$ de la m�trique $\sigma$ et le plan
hyperbolique r�el $\HH^2_\RR$.  La conjugaison par une telle isom�trie
$i$ fournit une {\it repr�sentation fid�le et discr�te} (i.e.~un
morphisme de groupes injectif d'image discr�te)
$\rho=\rho_\sigma:\pi_1 S\ra {\rm Isom_+}(\HH^2_\RR)={\rm
  PSL}_2(\RR)$, appel�e une {\it repr�sentation d'holonomie} de
$\sigma$, et cette isom�trie $i$ induit par passage au quotient une
isom�trie pr�servant l'orientation de $(S,\sigma)$ sur la vari�t�
hyperbolique quotient $\rho(\pi_1 S)\backslash \HH^2_\RR$.  La
repr�sentation d'holonomie $\rho$ de $\sigma$ est ind�pendante du
choix de $i$ modulo conjugaison au but par un �l�ment de ${\rm
  PSL}_2(\RR)$.  De plus, $\rho$ {\it pr�serve les paraboliques},
i.e.~envoie un �l�ment parabolique de $\pi_1 S$  sur un �l�ment
parabolique de ${\rm Isom_+}(\HH^2_\RR)$, ceci par la structure des
bouts des surfaces hyperboliques de volume fini (voir par exemple
\cite{Bus,Rat}).  Pour tout $f$ dans ${\rm Diff}(S)$, les
repr�sentations $\rho_{f_*\sigma}$ et $\rho_\sigma\circ f_*$ sont
conjugu�es. En particulier, si $\sigma$ et $\sigma '$ sont dans la
m�me orbite sous ${\rm Diff}_0(S)$, alors leurs repr�sentations
d'holonomie sont conjugu�es dans ${\rm PSL}_2(\RR)$ (car un
diff�omorphisme isotope � l'identit� induit une conjugaison sur
$\pi_1S$).


Consid�rons l'espace 
$$\rfd$$ 
des orbites, pour l'action par conjugaison au but de ${\rm PSL}_2
(\RR)$, des repr�sentations fid�les et discr�tes, pr�servant les
paraboliques, de $\pi_1 S$ dans ${\rm PSL}_2(\RR)$. Munissons-le de la
topologie quotient de la topologie de la convergence simple.
L'application $(f,\rho)\mapsto \rho\circ f_*$, pour $f$ dans ${\rm
  Diff}(S)$ et $\rho:\pi_1S\ra{\rm PSL}_2(\RR)$, induit donc une
action par hom�omorphismes du groupe ${\rm Mod}(S)$ sur l'espace
$\rfd$.

On a une application de $\ts$ � valeurs dans cet espace, qui �
$\sigma$ associe la classe de conjugaison d'une repr�sentation
d'holonomie de $\sigma$.


\bprop \label{pro:carcrepholo} (Voir par exemple \cite{Gol2}) 
Cette application est un hom�omorphisme sur l'une des deux composantes
connexes de $\rfd$. Elle est �quivariante pour l'action de ${\rm
  Mod}_+(S)$. \cqfd 
\eprop

L'un des points de la preuve de cette proposition est le suivant.



\blemm 
Une limite de repr�sentations fid�les et discr�tes,
pr�servant les paraboliques, de $\pi_1 S$ dans ${\rm PSL}_2(\RR)$ est
encore fid�le et discr�te, pr�servant les paraboliques.  
\elemm


\dem Soit $(\rho_i)_{i\in\NN}$ une suite de telles repr�sentations,
qui converge vers $\rho$. Nous renvoyons par exemple � \cite{GM}
pour le caract�re fid�le et la discr�tude de $\rho$.  Comme un
�l�ment $\pm A$ de ${\rm PSL}_2(\RR)$ est parabolique ou
l'identit� si et seulement si $|{\rm tr}\;A|=2$, le fait que $\rho$
pr�serve les paraboliques en d�coule par continuit� de la trace.  
\cqfd

\medskip Notons $\C$ l'ensemble des classes de conjugaison des
�l�ments non paraboliques de $\pi_1S-\{1\}$, qui s'identifie avec
l'ensemble des classes d'homotopie libre de lacets de $S$,
homotopiquement non triviaux, et non librement homotopables dans tout
voisinage d'un des bouts de $S$.
%, ou de mani�re
%�quivalente, l'ensemble des classes de conjugaison des �l�ments $\ga$
%de $\pi_1S-\{1\}$ tels que si $\rho$ est une repr�sentation
%d'holonomie d'un �l�ment quelconque de $\ts$, alors $\rho(\ga)$ soit
%parabolique).  
Pour tout $\alpha$ dans $\C$ et tout $\sigma$ dans $\ts$, on note
$\ell_\sigma(\alpha)$ la longueur de l'unique g�od�sique ferm�e pour
$\sigma$ dans la classe d'homotopie libre $\alpha$ (voir par exemple
\cite{Bus} pour l'existence et l'unicit� de cette g�od�sique).  Donc
$\ell_\sigma(\alpha)>0$ est �gale � la {\it distance de translation}
$$\ell_\sigma(\alpha)=\inf_{x\in\HH^2_\RR} d(x,\rho(\ga)x)$$
de $\rho(\ga)$ dans $\HH^2_\RR$, pour $\rho$ une repr�sentation
d'holonomie de $\sigma$ et pour n'importe quel $\ga\in\pi_1S$ dans la
classe $\alpha$. Il n'est pas difficile de montrer que, pour tout
$\ga$ dans $\C$, l'application $\sigma\mapsto\ell_\sigma(\alpha)$ de
$\ts$ dans $\RR$ est continue (un moyen rapide est d'utiliser, outre
la d�finition de la topologie de $\ts$, le lemme de fermeture d'Anosov
\cite{Ano}, enfin une version tr�s simplifi�e disant qu'une courbe
ferm�e presque g�od�sique est � distance de Hausdorff petite d'une
g�od�sique ferm�e, voir par exemple \cite{BH}).


En notant $\RR_+=[0,+\infty[$, on a donc une application
$$\begin{array}[b]{cccc}
\ell:&\ts & \ra & \RR_+\mbox{}^{\C}-\{0\}\\
&\sigma & \mapsto & \left(\ell_\sigma(\alpha)\right)_{\alpha\in\C}
\end{array}\;.
$$ %
Notons $\pi:(\RR_+\mbox{}^{\C}-\{0\})\ra \PP(\RR_+\mbox{}^{\C})=
\left(\RR_+\mbox{}^{\C}-\{0\}\right)/\sim$ la projection canonique
pour la relation d'�quivalence d�finie par $(x_\alpha)_ \alpha\sim
(y_\alpha)_\alpha$ si et seulement s'il existe $\lambda>0$ tel que
$x_\alpha=\lambda y_\alpha$ pour tout $\alpha$. On munit l'espace
produit $\RR_+\mbox{}^{\C}$ de la topologie produit, et l'espace
quotient $\PP(\RR_+\mbox{}^{\C})$ de la topologie quotient. Le groupe
des diff�omorphismes de $S$ agit sur $\C$, par l'application qui �
$(f,\alpha)\in{\rm Diff}(S)\times\C$ associe la classe d'homotopie
libre de $f(\ga)$ pour n'importe quel lacet $\ga$ dans la classe
d'homotopie libre $\alpha$, et l'action de ${\rm Diff}_0(S)$ est
triviale. Par cons�quent ${\rm Mod}(S)$ agit sur $\C$, donc agit par
hom�omorphismes sur $\RR_+\mbox{}^{\C}$ par permutation des
coordonn�es, et donc agit par hom�omorphismes sur
$\PP(\RR_+\mbox{}^{\C})$ par passage au quotient.


\btheo \label{theo:benouaisquoi} (W.~Thurston \cite{Thu0})
L'application $\pi\circ\ell:\ts\ra\PP(\RR_+\mbox{}^{\C})$ est un
hom�omorphisme sur son image, qui est relativement compacte, et
ouverte dans son adh�rence. Elle est �quivariante pour les actions de
${\rm Mod}(S)$.  
\etheo


Ainsi, le couple $(\pi\circ\ell,\,\ov{\pi\circ\ell(\ts)}\;)$ est une
compactification de $\ts$, appel�e la {\it compactification de
  Thurston} de l'espace de Teichm�ller, qui est naturelle pour
l'action de ${\rm Mod}(S)$.

Dans cet �nonc�, nous pourrions remplacer l'ensemble $\C$ par
l'ensemble des classes d'homotopie libre de lacets simples, non
homotopes � $0$, ni homotopables dans tout voisinage d'un point enlev�
de $S$, comme dans \cite{FLP}, ou par l'ensemble de toutes les classes
de conjugaison non triviales de $\pi_1 S$, i.e.~de toutes les classes
d'homotopie libre de lacets non homotopes � $0$. Les r�sultats de
\cite{FLP} impliquent les deux autres versions dans ce qui suit.






\bigskip 
\noindent {\bf Preuve du th�or�me \ref{theo:benouaisquoi}. } 
Nous n'utiliserons pas l'approche originale de Thurston \cite{Thu0}
expos�e compl�tement dans \cite{FLP}, mais celle de
\cite{Bes,Pau1,Pau2}, aussi pr�sent�e sous une forme un peu diff�rente
dans \cite{Ota}. Voir \cite{Par} pour de profondes g�n�ralisations.

Nous admettrons (voir par exemple \cite{FLP,Bus}) ce qui concerne la
description interne de l'espace de Teichm�ller, r�sum� dans le fait
suivant.
%,qui a essentiellement fait l'objet des expos�s de L.~Funar et
%V.~Sergiescu.


\btheo \label{theo:admisflp} %
Il existe un nombre fini $\ga_1,\dots,\ga_N$ d'�l�ments de $\C$ (que
l'on peut m�me choisir repr�sentables par des lacets simples) tels que
l'application $\ts\ra{\RR_+}^N$ d�finie par
$$\sigma\mapsto (\ell_\sigma(\ga_1),\dots,\ell_\sigma(\ga_N))$$ soit
continue, injective, propre, donc un hom�omorphisme sur son image. En
particulier, $\ts$ est m�trisable, s�parable, et localement compact.
De plus $\ts$ est hom�omorphe � $\RR^{6g-6+2b}$ si $g$ est le genre de
$S$ et $b$ le nombre de points enlev�s de $S$.  
\cqfd 
\etheo



En particulier, l'application continue $\ell:\ts\ra
\RR_+\mbox{}^{\C}-\{0\}$ est un hom�omorphisme propre sur son image.

\bprop 
L'application $\pi\circ\ell:\ts\ra\PP(\RR_+\mbox{}^{\C})$ est
un hom�omorphisme sur son image, �quivariant pour les actions de
${\rm Mod}(S)$. 
\eprop


\medskip \dem (Voir \cite[expos� 7]{FLP}.) Pour montrer l'injectivit�
de $\pi\circ\ell$, supposons par l'absurde qu'il existe des �l�ments
$\sigma$ et $\sigma'$ dans $\ts$ et $t>1$ tels que $\ell_{\sigma'} =
t\ell_\sigma$. Soient $a,b$ dans $\pi_1 S$ tels que
$\rho_\sigma(a),\rho_\sigma(b),\rho_\sigma(ab), \rho_\sigma(a^{-1}b)$
soient des �l�ments hyperboliques, avec
$\rho_\sigma(a),\rho_\sigma(b)$ d'axes de translation
(transversalement) s�cants, et tels que
$\rho_\sigma(a),\rho_\sigma(b)$ se rel�vent en des matrices $A,B$ de
${\rm SL}_2(\RR)$ telles que les traces ${\rm tr}(A),{\rm tr}(B),{\rm
  tr}(AB),{\rm tr}(A^{-1}B)$ soient strictement positives, et de
m\^eme en rempla�ant $\sigma$ par $\sigma'$.

Ceci est possible pour $\sigma$, par exemple en fixant $a$ d'image par
$\rho_\sigma$ hyperbolique, et en prenant pour $b$ une puissance $N$
suffisamment grande d'un �l�ment de $\pi_1S$ d'image par $\rho_\sigma$
hyperbolique, dont le point attractif de l'image par $\rho_\sigma$
soit dans un voisinage $U_+$ suffisamment petit de celui de $a$, et le
point fixe r�pulsif soit dans un voisinage $U_-$ suffisamment petit,
et du bon c�t�, de celui de $a$. Ceci est possible par densit� des
couples de points fixes d'�l�ments hyperboliques de
$\rho_\sigma(\pi_1S)$ dans l'ensemble des couples de points du bord �
l'infini de $\HH^2_\RR$ (voir par exemple \cite{Gro} dans un cadre
bien plus g�n�ral). Rappelons que les actions de $\rho_\sigma(\pi_1S)$
et $\rho_{\sigma'}(\pi_1S)$ sur le cercle � l'infini $\SS^1_\infty$ de
$\HH^2_\RR$ sont conjugu�es, par l'extension continue � l'infini du
relev� � $\HH^2_\RR$ de l'application identit� de $S$ dans $S$ par les
rev\^etements universels riemanniens $\HH^2_\RR\ra (S,\sigma)$ et
$\HH^2_\RR\ra (S,\sigma')$ (voir par exemple \cite{ET} pour une preuve
de cette extension y compris en dimension sup�rieure, souvent
faussement attribu�e � Mostow qui s'en sert dans \cite{Mos}, et qui
dans le cas de $\HH^2_\RR$ devait \^etre d�j� connue). Donc en
choisissant $N$ suffisamment grand et $U_+,U_-$ suffisamment petits, on
obtient bien les m\^emes propri�t�s pour $\sigma'$.


\blemm 
La distance de translation $\ell(A)$ dans $\HH^2_\RR$ d'un
�l�ment hyperbolique $A$ de ${\rm SL}_2(\RR)$ v�rifie
$$\cosh \frac{\ell(A)}{2} =  \left|\frac{{\rm tr}(A)}{2}\right|\;.$$
Si $A$ et $B$ sont deux �l�ments de ${\rm SL}_2(\RR)$, alors
$$ {\rm tr}(AB)+{\rm tr}(A^{-1}B)={\rm tr}(A){\rm tr}(B)\;.$$
\elemm


\dem Le premier r�sultat d�coule du fait que $A$ est conjugu�e � une
matrice de la forme $\pm \left(\begin{array}{cc} \lambda & 0 \\ 0&
    \lambda^{-1}\end{array}\right)$ o� $\lambda>1$, et que la distance
de translation de cette matrice vaut $2\log \lambda$ (par unicit�
d'une g�od�sique translat�e, son axe de translation est l'axe
vertical).

Pour montrer le second r�sultat, le th�or�me de Cayley-Hamilton
implique que $$A^2 - {\rm tr}(A) A + {\rm Id}=0\;,$$ donc $A+A^{-1} =
{\rm tr}(A){\rm Id}$, d'o� le r�sultat en multipliant par $B$ � droite
et en prenant la trace.  
\cqfd



\medskip %
Maintenant, comme $\ell_{\sigma'} = t\ell_\sigma$, en notant $\ell_1,
\ell_2,\ell_3,\ell_4$ la distance de translation de
$\rho_\sigma(a),\rho_\sigma(b),\rho_\sigma(ab)$,
$\rho_\sigma(a^{-1}b)$ respectivement, on d�duit du lemme pr�c�dent
que
$$\cosh (\frac{\ell_3}{2}) +
\cosh (\frac{\ell_4}{2})=2\cosh (\frac{\ell_1}{2})\cosh
(\frac{\ell_2}{2})=\cosh (\frac{\ell_1+\ell_2}{2})+\cosh
(\frac{\ell_1-\ell_2}{2})\;.$$

Le fait suivant est laiss� en exercice au lecteur.

\blemm %
Soient $u,v,w,x,t$ des nombres r�els strictement positifs, 
avec $t>1$, tels que
$$\cosh u +\cosh v = \cosh w +\cosh x, \;\;\;
\cosh tu +\cosh tv = \cosh tw +\cosh tx\;.$$ 
Alors $\{u,v\}=\{w,x\}$.
\cqfd
\elemm


Maintenant, on aurait, quitte � �changer $ab$ et $a^{-1}b$, l'�galit�
$\ell_3=\ell_1+\ell_2$. Comme les axes de translation (des images par
$\rho_\sigma$) de $a$ et de $b$ se coupent (transversalement), ceci
contredit la minimalit� de la distance de translation $\ell_3$.
L'injectivit� de $\pi\circ\ell$ en d�coule.


\medskip Supposons qu'il existe une suite $(\sigma_i)_{i\in\NN}$ dans
$\ts$, un �l�ment $\sigma$ dans $\ts$ et une suite de r�els
strictement positifs $(t_i)_{i\in\NN}$, tels que $t_i\ell_{\sigma_i}$
converge vers $\ell_\sigma$ dans $\RR_+\mbox{}^{\C}$.  Si
$(t_i)_{i\in\NN}$ convergeait vers $+\infty$, alors par la propret�
dans le th�or�me \ref{theo:admisflp}, quitte � extraire, la suite
$(\sigma_i)_{i\in\NN}$ convergerait vers un �l�ment $\sigma'$ de $\ts$
tel que $\ell_{\sigma'}=0$, ce qui est impossible.  Donc quitte �
extraire, $t_i$ converge vers $t\geq 0$. Soit $s$ la borne inf�rieure
des $\ell_{\sigma}(\alpha)$ pour $\alpha$ dans $\C$, qui est
strictement positive, par le lemme de Zassenhauss, voir par exemple
\cite{Rag}, (le lemme de Zassenhauss n'est qu'un cas tr�s particulier
(et ant�rieur) pour les espaces localement sym�triques du lemme de
Margulis, voir par exemple \cite{BK}). Comme le volume de $\sigma_i$
est constant (�gal � $2\pi|\chi(S)|$), la borne inf�rieure des
$\ell_{\sigma_i}(\alpha)$ pour $\alpha$ dans $\C$ est major�e
uniform�ment en $i$, donc $t>0$.  Par cons�quent, la suite
$(\ell_{\sigma_i})_{i\in\NN}$ converge vers $\frac{1}{t}\ell_\sigma$.
Par la propret� dans le th�or�me \ref{theo:admisflp}, quitte �
extraire, $(\sigma_i)_{i\in\NN}$ converge vers un �l�ment $\sigma'$
dans $\ts$. Par continuit�, nous avons
$\ell_{\sigma'}=\frac{1}{t}\ell_\sigma$.  Par l'injectivit� montr�e
ci-dessus, nous avons $t=1$, et $(\sigma_i)_{i\in\NN}$ converge vers
$\sigma'=\sigma$.





Ceci implique que l'application continue injective $\pi\circ\ell$ est
un hom�omorphisme sur son image.  La naturalit� est �vidente.
\cqfd




\bigskip %
Soit $\Ga$ un groupe, et $\E$ un ensemble d'espaces m�triques munis
d'une action isom�trique de $\Ga$. Pour tout $X$ dans $\E$, pour toute
partie finie $K$ de $X$, pour tout $\epsilon >0$ et toute partie finie
$P$ de $\Ga$, notons $\V_{\epsilon,P,K}(X)$ l'ensemble des �l�ments
$X'$ de $\E$ tels qu'il existe une partie finie $K'$ de $X'$, et une
relation $\R\subset K\times K'$, dont les deux projections sur $K$ et
$K'$ sont surjectives, telles que
$$\forall\; x,y\in K,\;\forall\; x',y'\in K',\;\forall\; \ga\in
P,\;\;{\rm si}\;\;x\,\R\, x'\;\,{\rm et}\;\,y\,\R\, y'\;\;
{\rm alors}\;\; |d(x,\ga y)-d(x',\ga y')|<\epsilon\;.$$


%\begin{enumerate}
%\item[$\bullet$] $\forall\; x\in K,\forall\; x'\in K',\forall\; \ga\in
%  P,\;\;{\rm si}\;\;x\,\R\, x'\;\;{\rm et}\;\;\ga x\in K\;\;\;{\rm
%    alors}\;\;\; \ga x'\in K'\;\;{\rm et}\;\;\ga x\,\R\,\ga x'$,
%\item[$\bullet$] 
%$\forall\; x,y\in K,\;\forall\; x',y'\in K',\;\forall\; \ga\in
%  P,\;\;{\rm
%    si}\;\;x\,\R\, x'\;,\;y\,\R\, y'\;\;{\rm alors}\;\;
%|d(\ga x,y)-d(\ga x',y')|<\epsilon$.
%\end{enumerate}


\noindent %
La {\it topologie de Gromov �quivariante} sur $\E$ est la
topologie sur $\E$ (qui existe, voir \cite{Pau2}) dont l'ensemble des
$\V_{\epsilon,P,K}(X)$ est un syst�me fondamental de voisinages de
$X$, pour tout $X$ dans $\E$.

Par exemple, l'ensemble $\wts$ s'identifie, par l'application de
rel�vement $\sigma\mapsto\wt\sigma$, � l'ensemble des m�triques
hyperboliques compl�tes sur le rev�tement universel $\wt S$ de $S$,
invariantes par l'action du groupe de rev�tement $\pi_1S$, telles que
tout �l�ment parabolique de $\pi_1S$ agisse par une isom�trie
parabolique sur $\wt S$.

\bprop \label{pro:coincidtopos}
(F.~Paulin \cite[Prop.~6.2]{Pau2}) La topologie quotient sur $\ts$ de 
la topologie de Gromov sur $\wts$ co\"incide avec la topologie
usuelle de $\ts$.
\eprop



\dem Il est imm�diat que la topologie de Gromov �quivariante quotient
est moins fine que la topologie usuelle. En effet, supposons que deux
m�triques hyperboliques compl�tes de volume fini sur $S$ soient
proches. Alors elles ont des voisinages de bouts proches qui sont
isom�triques, par la structure des bouts des surfaces hyperboliques.
Et sur le compact restant, les distances riemanniennes sont proches.
Par passage au rev�tement universel, on montre bien que pour toute
partie finie $K$ de $\wt S$, pour toute partie finie $P$ de $\pi_1S$
et tout $\epsilon>0$, si $\sigma'$ est suffisamment proche de $\sigma$
dans $\ts$, alors $(\wt S,\wt\sigma')$ appartient �
$\V_{\epsilon,P,K}((\wt S,\wt\sigma))$.

R�ciproquement, montrons que pour tout $\epsilon >0$ et tout $\alpha$
dans $\C$, si $(\wt S,\wt\sigma')$ est suffisamment proche de $(\wt
S,\wt\sigma)$ pour la topologie de Gromov �quivariante, alors
$|\ell_{\sigma'}(\alpha)-\ell_\sigma(\alpha)|<\epsilon$. Comme
$\ell:\ts\ra \RR_+\mbox{}^{\C}-\{0\}$ est un hom�omorphisme sur son
image, ceci montrera le r�sultat.  En effet, soit $\ga\in\pi_1 S$ un
repr�sentant de $\alpha$, et $x$ un point de l'axe de translation de
$\rho_\sigma(\ga)$. Posons $K=\{x\}$ et $P=\{\ga,\ga^2\}$. Si $(\wt
S,\wt\sigma')$ appartient � $\V_{\eta,P,K}((\wt S,\wt\sigma))$, alors
il existe un point $x'$ de $\wt S$ tel que, en notant $d_{\wt\sigma'}$
la distance de la vari�t� riemanienne $(\wt S,\wt\sigma')$, on ait
$$|d_{\wt\sigma'}(x',\ga x')-\ell_\sigma(\alpha)|<\eta$$
et 
$$|d_{\wt\sigma'}(x',\ga x')+d_{\wt\sigma'}(\ga x',\ga^2
x')-d_{\wt\sigma'}( x',\ga^2 x')|<3\eta\;.$$ %
Par de petites estim�es de g�om�trie hyperbolique (en fait valable
dans n'importe quel espace m�trique CAT$(-1)$, comme les arbres
(r�els) d�finis ci-dessous, voir par exemple \cite{BH}), un chemin
g�od�sique par morceaux, dont la longueur totale est proche (par
rapport � la longueur des morceaux) de la distance entre ses
extr�mit�s, est proche de la g�od�sique entre ses extr�mit�s. Ceci
implique en it�rant par $\gamma$ que le chemin g�od�sique par morceaux
$c=\bigcup_{n\in\ZZ}\;[\ga^n x',\ga^{n+1}x']$ a ses deux points �
l'infini distincts, et est proche de la g�od�si\-que $\overline c$
entre ces deux points. Comme $c$ est invariante par $\ga$, il en est
de m\^eme de $\overline c$. Ceci implique (ainsi que dans n'importe
quel espace m�trique CAT$(-1)$, comme les arbres (r�els)), lorsque
$\eta$ est assez petit, que $\rho_{\wt\sigma'}(\ga)$ est hyperbolique,
que le point $x'$ est proche de l'axe de translation de
$\rho_{\wt\sigma'}(\ga)$, et donc que la distance de translation de
$\rho_{\wt\sigma'}(\ga)$ est proche de celle de
$\rho_{\wt\sigma}(\ga)$.  \cqfd

\bigskip Le r�sultat clef dans l'�tude des d�g�n�rescences de
structures hyperboliques sur les surfaces est le th�or�me
\ref{theo:dichotomiequoi} suivant, voir \cite{Bes,Pau2}. La preuve de
ce th�or�me est essentiellement tir�e de \cite{Pau4} (qui donne un
r�sultat bien plus g�n�ral pour des actions proprement discontinues de
groupes de type fini sur des espaces sym�triques de type non
compact). Donnons d'abord quelques d�finitions.

\medskip
Un {\it arbre (r�el)} est un espace m�trique $T$ {\it g�od�sique}
(i.e.~pour tous $x,y$ dans $T$, il existe une isom�trie (appel�e,
ainsi que son image, un {\it segment g�od�sique} entre $x$ et $y$)
$[a,b]\ra T$ envoyant $a$ sur $x$ et $b$ sur $y$), et {\it
  $0$-hyperbolique} (i.e.~pour tous $x,y,z$ dans $T$, pour tous les
segment g�od�siques $[x,y]$, $[y,z]$, $[x,z]$ entre respectivement $x$
et $y$, $y$ et $z$, $x$ et $z$, le segment $[x,y]$ est contenu dans la
r�union $[y,z]\cup [x,z]$).

\medskip Rappelons (voir par exemple \cite{Tit}) que dans un arbre
(r�el) $T$, toute isom�trie $g$ ou bien admet un point fixe (et on dit
que $g$ est {\it elliptique} dans $T$) ou bien $T$ poss�de une unique
droite g�od�sique (appel�e l'{\it axe de translation} de $g$) sur
laquelle $g$ agit par translation de distance
$\ell_T(g)=\min\{d(x,gx)\;:x\in T\}>0$ (appel�e la {\it distance de
  translation} de $g$ dans $T$). Cet axe de translation est construit
ainsi : pour tout $x$ dans $T$, les segments $[x,gx]$ et $[gx,g^2x]$
se rencontrent en un segment $[gx,gu]$ pour $u\in[x,gx]$ par
$0$-hyperbolicit�, et l'axe de translation est alors la r�union des
segments d'int�rieurs disjoints $[g^ku, g^{k+1}u]$. Toute isom�trie de
$T$ conjugu�e � $g$ poss�de la m�me distance de translation que $g$.

Une action de $\pi_1 S$ sur un arbre (r�el) $T$ est dite {\it � petits
  stabilisateurs d'ar�te} si c'est une action isom�trique, sans point
fixe global, dont les fixateurs des segments g�od�siques non r�duits �
un point sont triviaux ou infinis cycliques, et telle que tout �l�ment
parabolique de $\pi_1 S$ agisse par une isom�trie elliptique sur
$T$. Ceci est une d�finition adapt�e � la classe des groupes
(munis d'une classe de sous-groupes) que nous consid�rons.

Voir par exemple \cite{BT,Tit,MS1,MS2,Sha1,Sha2,Mor,Bes2,Pau5,Chi,FJ}
pour plus d'informations sur les arbres (r�els).

\medskip
Pour $X$ un espace m�trique de distance $d$, et $\epsilon >0$, 
notons $\epsilon X$ l'espace m�trique $(X,\epsilon d)$.




\btheo \label{theo:dichotomiequoi}  %
Soit $(\sigma_i)_{i\in\NN}$ une suite dans $\ts$. Alors, quitte �
extraire, ou bien $(\sigma_i)_{i\in\NN}$ converge vers un �l�ment
$\sigma$ de $\ts$, ou bien il existe une suite
$(\epsilon_i)_{i\in\NN}$ de nombres r�els strictement positifs tendant
vers $0$, et un arbre (r�el) $T$ muni d'une action � petits
stabilisateurs d'ar�te, de $\pi_1S$, tels que la suite
$(\epsilon_i\HH^2_\RR, \rho_{\sigma_i})$ converge vers $T$ pour la
topologie de Gromov �quivariante.  
\etheo


\dem
Soit $\{s_1,\dots,s_p\}$ une partie g�n�ratrice finie de
$\pi_1S$. 

\blemm \label{lem:bestvina}(Voir \cite{Bes}) %
Soit $\rho:\pi_1S\ra{\rm PSL}_2(\RR)$ une repr�sentation
fid�le et discr�te. Alors il existe un point $x$ de $\HH^2_\RR$
qui minimize la distance $f_\rho(x) = \max_{1\leq j\leq p}
d(x,\rho(s_j)x)$.  
\elemm


\dem %
Soit $(x_i)_{i\in\NN}$ une suite dans $\HH^2_\RR$ telle que la suite
$f_\rho(x_i)$ converge vers la borne inf�rieure de $f_\rho$ sur
$\HH^2_\RR$.  Si $x_i$ reste dans un compact de $\HH^2_\RR$, alors,
quitte � extraire, $x_i$ converge vers un point $x$ qui convient.
Sinon, quitte � extraire, $x_i$ converge vers un point � l'infini $x$,
qui est fixe par $\rho(\pi_1S)$, ce qui est impossible, car le
stabilisateur dans ${\rm PSL}_2(\RR)$ d'un point � l'infini de
$\HH^2_\RR$ est r�soluble, et $\pi_1S$ contient au moins un groupe
libre de rang $2$.  \cqfd


\medskip
Notons $\rho_{i}=\rho_{\sigma_i}$, et 
$$\lambda_i=\min_{x\in\HH^2_\RR}f_{\rho_{i}}(x)\;.$$ Fixons $*_i$ un
point de $\HH^2_\RR$ tel que $f_{\rho_i}(*_i)=\lambda_i$.  Alors,
quitte � extraire, ou bien la suite $(\lambda_i)_{i\in\NN}$ est
born�e, disons par $M$, ou bien elle converge vers $+\infty$.

Dans le premier cas, quitte � conjuguer $\rho_i$, nous pouvons
supposer que $*_i$ est un point fix� $*_0$ de $\HH^2_\RR$.  Par
compacit� de l'ensemble des isom�tries de $\HH^2_\RR$ bougeant $*_0$
d'une distance au plus $M$, quitte � extraire, les $\rho_i(s_j)$ pour
$1\leq j\leq p$ convergent. Donc la suite $(\rho_i)_{i\in\NN}$
converge, et la proposition \ref{pro:carcrepholo} montre que la suite
$(\sigma_i)_{i\in\NN}$ converge (il suffit aussi de remarquer que la
suite $(\ell_{\sigma_i})_{i\in\NN}$, qui ne d�pend que de
$(\rho_i)_{i\in\NN}$, converge, et d'utiliser le commentaire suivant
le th�or�me \ref{theo:admisflp}).


\bigskip
Supposons maintenant que la suite $(\lambda_i)_{i\in\NN}$ converge
vers $+\infty$.

Posons $(X_i,d_i)=\frac{1}{\lambda_i}\HH^2_\RR$. Soit $\omega$ un
ultrafiltre sur $\NN$, plus fin que le filtre de Fr�chet des
compl�mentaires des parties finies (voir par exemple \cite{Bou}).
Pour toute suite $(x_i)_{i\in \NN}$ dans un espace topologique, notons
$\lim_\omega x_i$ une limite de cette suite pour le filtre image de
$\omega$ (voir par exemple \cite{Bou}), si elle existe (ce qui est le
cas si la suite $(x_i)_{i\in \NN}$ est relativement compacte; cette
limite est alors unique dans une partie compacte (donc s�par�e)
contenant la suite, et c'est une valeur d'adh�rence de la suite).
Posons
$$X_\infty=\{x=(x_i)_{i\in\NN}\in\prod_{i\in\NN} X_i\;:\; \lim_\omega
d_i(x_i,*_i) <+\infty\}\;,$$
muni de la pseudo-distance
$$d_\infty(x,y)=\lim_\omega \;d_i(x_i,y_i)\;.$$ %
Notons $(X_\omega,d_\omega,*_\omega)$ l'espace m�trique point�
quotient de $(X_\infty,d_\infty,(*_i)_{i\in\NN})$ par la relation
d'�quivalence d�finie par $x\sim y$ si $x$ et $y$ sont �
pseudo-distance nulle.  Pout tout $\gamma$ dans $\pi_1S$, l'isom�trie
$\rho_i(\ga)$ de $\frac{1}{\lambda_i}\HH^2_\RR$ bouge le point $*_i$
d'une distance born�e (au plus $1$ si $\ga\in\{s_1,\dots,s_p\}$) pour
la distance $d_i$, donc au plus $n$ si $\ga$ s'�crit comme un mot
de longueur $n$ en $s_1,\dots, s_n$ et leurs inverses. Donc l'action
diagonale $(\ga,(x_i)_{i\in\NN})\mapsto (\rho_i(\ga)x_i)_{i\in\NN}$ de
$\pi_1S$ sur $X_\infty$ pr�serve $X_\infty$, est isom�trique pour la
pseudo-distance $d_\infty$, donc induit une action isom�trique
$\rho_\omega$ de $\pi_1S$ sur $X_\omega$.

Un petit calcul de g�om�trie hyperbolique montre que tout c�t� d'un
triangle g�od�sique de $\HH^2_\RR$ est � distance au plus
$\log(1+\sqrt{2})$ de la r�union des deux autres c�t�s. Donc tout c�t�
d'un triangle g�od�sique de $(X_i,d_i)$ est � distance au plus
$\log(1+\sqrt{2})/\lambda_i$ de la r�union des deux autres c�t�s.
C'est alors un exercice (voir par exemple \cite{KL}) de montrer que
l'espace m�trique $(X_\omega,d_\omega)$ est g�od�sique, et
$0$-hyperbolique, donc est un arbre (r�el). Le m\^eme argument montre
que toute limite, pour la topologie de Gromov �quivariante, d'une
suite d'actions isom�triques d'un groupe fix� sur des arbres (r�els),
est encore une action isom�trique de ce groupe sur un arbre (r�el). Il
n'est pas difficile non plus de montrer que, pour la topologie de
Gromov �quivariante,
$$\lim_\omega \;(X_i,d_i,\rho_i)= (X_\omega,d_\omega,\rho_\omega)\;.$$





\blemm\label{lem:limptstabar} %
L'action de $\pi_1S$ sur l'arbre (r�el)
$X_\omega$ est � petits stabilisateurs d'ar�te.  
\elemm

\dem Par continuit�, le point $*_\omega$ est un point boug� le moins
par les g�n�rateurs, et il est boug� au moins d'une distance de $1$
par l'un des g�n�rateurs, donc l'action n'a pas de point fixe global.

Supposons par l'absurde qu'il existe deux points distincts $x$ et $y$
de $X_\omega$, qui soient fix�s par un sous-groupe non trivial, non
infini cyclique de $\pi_1 S$. Alors ils sont fix�s par des �l�ments
$\alpha,\beta$ qui engendrent un sous-groupe libre sur $\alpha,\beta$
dans $\pi_1 S$.

Soit $\eta>0$, $P$ l'ensemble des mots en $\alpha,\beta$ de longueur
au plus $6$, et $K=\{x,y\}$. Pour tout $i$ suffisamment grand (pour
l'ultrafiltre $\omega$), le triplet $(X_i,d_i,\rho_i)$ appartient �
$\V_{\epsilon,P,K}((X_\omega,d_\omega,*_\omega))$, donc si $x$ est en
relation (voir la d�finition de la topologie de Gromov �quivariante)
avec $x_i\in X_i$ et $y$ avec $y_i\in X_i$, alors pour tout $\ga$ dans
$P$,
$$d_{\HH^2_\RR}(x_i,\ga x_i)\leq \lambda_i \eta\;\;\;{\rm et}\;\;\;
d_{\HH^2_\RR}(x_i,y_i)\geq \lambda_i(d_\omega(x,y)- \eta)\;.$$ En
particulier, si $\eta$ a �t� choisi assez petit devant
$d_\omega(x,y)$, alors $\alpha$ et $\beta$ agissent presque comme des
translations le long d'un segment de longueur $6\lambda_i\eta$ centr�
au milieu $m$ du segment g�od�sique $[x_i,y_i]$. Ceci implique que les
�l�ments $[\alpha,\beta], [\alpha,\beta^2]$, qui engendrent un groupe
libre, bougent le point $m$ d'une distance au plus $\eta$.  Si $\eta$
est assez petit, ceci contredit le lemme de Zassenhauss.  


Supposons par l'absurde qu'il existe un �l�ment parabolique $\gamma$
de $\pi_1S$ qui ne soit pas elliptique dans $X_\omega$. Soit $x$ un
point de l'axe de translation de $\gamma$ dans $X_\omega$. Soient
$\eta>0$, $K=\{x\}$ et $P=\{\ga,\ga^2\}$. Alors, pour $i$ suffisamment
grand (pour $\omega$), l'�l�ment $(X_i,d_i,\rho_i)$ appartient �
$\V_{\eta,P,K}((X_\omega,d_\omega,\rho_\omega))$. Il existe donc $x_i$
dans $X_i$ tel que
$$|d_i(x_i,\rho_i(\ga) x_i)-\ell_{X_\omega}(\ga)|<\eta$$
et
$$|d_i(x_i,\rho_i(\ga) x_i)+d_i(\rho_i(\ga)x_i,\rho_i(\ga^2) x_i
)-d_i( x_i,\rho_i(\ga^2) x_i)|<3\eta\;.$$ %
Si $\eta$ est choisi petit devant $\ell_{X_\omega}(\ga)$, ceci
implique, comme dans la fin de la preuve de la proposition
\ref{pro:coincidtopos}, que $\rho_i(\ga)$ est hyperbolique, ce 
qui est une contradiction.  
\cqfd


\medskip
Ceci termine la preuve du th�or�me \ref{theo:dichotomiequoi}.
\cqfd


\medskip Si $T$ est un arbre (r�el), muni d'une action isom�trique du
groupe $\pi_1S$, telle que tout �l�ment parabolique de $\pi_1S$ soit
elliptique dans $T$, alors notons $\ell_T\in \RR_+\mbox{}^{\C}$
l'application $\alpha\mapsto \ell_T(g)$ o� $g\in\pi_1S$ appartient �
la classe $\alpha$.

Si $\lim_\omega (X_i,d_i,\rho_i)$ est un arbre (r�el) $T$ muni d'une
action de isom�trique de $\pi_1S$, alors le m�me argument que pour
montrer la r�ciproque de la proposition \ref{pro:coincidtopos} montre
que la suite $(\frac{1}{\lambda_i} \ell_{\sigma_i}(\alpha))
_{\alpha\in\C}$ converge vers l'�l�ment $\ell_T$ dans ${\RR_+}^\C$.


Par m�trisabilit� de $\PP(\RR_+\mbox{}^{\C})$, ceci montre que l'image
de $\pi\circ\ell$ est d'adh�rence compacte. Montrons qu'elle est
ouverte dans son adh�rence.

\medskip
Il d�coule par exemple de \cite{CM} que si $(T_i)_{i\in\NN}$ est
une suite d'arbres (r�els) munis d'une action isom�trique de $\pi_1S$
� petits stabilisateurs d'ar\^ete, si la suite
$(\ell_{T_i})_{i\in\NN}$ converge vers $\ell$ dans ${\RR_+}^\C$, alors
il existe un arbre (r�el) $T$, muni d'une action isom�trique de $\pi_1S$
� petits stabilisateurs d'ar\^ete, tel que $\ell=\ell_T$.

\blemm \label{lem:disttransdiff}
Si $T$ est un arbre (r�el) $T$, muni d'une action isom�trique
de $\pi_1S$ � petits stabilisateurs d'ar\^ete, et si $\sigma$
appartient � $\ts$, alors $\ell_T\neq \ell_\sigma$.  
\elemm

\dem Il existe (voir par exemple \cite{CM,Pau3}) deux �l�ments $g$ et
$h$ de $\pi_1S$ qui sont hyperboliques dans $T$ et d'axes de
translation disjoints. Donc $g$ et $h$ sont des �l�ments non triviaux,
non paraboliques dans $\pi_1S$, et n'appartiennent pas � un m�me
groupe cyclique. De plus (voir par exemple \cite{CM,Pau3}), pour tous
$n,m$ dans $\ZZ-\{0\}$, la quantit�
$\ell_T(g^nh^m)-\ell_T(g^n)-\ell_T(g^m)$ est �gale � la distance entre
les axes de translation de $g$ et de $h$ dans $T$, donc est
strictement positive et ind�pendante de $n$ et $m$.



Notons $A_g$ et $A_h$ les axes de translations de $g$ et $h$
respectivement dans $(\wt S,\wt \sigma)$. S'ils sont disjoints dans
$\wt S$, alors ils n'ont pas de point commun � l'infini par discr�tude
de $\rho_\sigma(\pi_1S)$, et d'apr�s \cite[Theo.~7.38.3]{Bea}, pour
tous $n,m$ dans $\ZZ-\{0\}$ avec $|n|$ et $|m|$ assez grands, {\small
$$\cosh \frac{1}{2}\ell_\sigma(g^nh^m)=\left|\;\cosh d(A_g,A_h)\;
\sinh \frac{1}{2}\ell_\sigma(g^n)\; 
\sinh \frac{1}{2}\ell_\sigma(h^m)+
\epsilon\cosh \frac{1}{2}\ell_\sigma(g^n)\; 
\cosh \frac{1}{2}\ell_\sigma(h^m)\;\right|\;,$$} 
 o� $\epsilon$ vaut $+1$ ou $-1$ suivant que $g^n$ et $h^m$
translatent dans la m\^eme direction ou pas. Si $A_g$ et $A_h$ se
rencontrent dans $\wt S$, comme $g$ et $h$ ne sont pas dans un m\^eme
groupe cyclique, leurs axes de translation se coupent avec un angle
$\theta$ tel que $0<\theta<\pi$, et d'apr�s \cite[Theo.~7.38.6]{Bea},
{\small
$$\cosh \frac{1}{2}\ell_\sigma(g^nh^m)=\epsilon\cos \theta\;
\sinh \frac{1}{2}\ell_\sigma(g^n)\; \sinh \frac{1}{2}\ell_\sigma(h^m)+
\cosh \frac{1}{2}\ell_\sigma(g^n)\; \cosh
\frac{1}{2}\ell_\sigma(h^m)\;,$$}
 o� $\epsilon$ vaut $+1$ ou $-1$ suivant que $\theta$ mesure
l'angle entre les points attractifs de $g^n$ et de $h^m$ ou l'angle
entre le point attractif de $g^n$ et le point r�pulsif de $h^m$. Si
$\ell_T= \ell_\sigma$, ces deux formules contredisent le fait que
$$\ell_\sigma(g^nh^m)-\ell_\sigma(g^n)-\ell_\sigma(g^m)$$ 
soit ind�pendants de $n,m$ dans $\ZZ-\{0\}$.  
\cqfd


\medskip 
Puisque $\PP(\RR_+\mbox{}^{\C})$ est m�trisable, ce lemme et
l'alin�a le pr�c�dant montrent que l'image de $\pi\circ\ell$ est
ouverte dans son adh�rence, car ils impliquent que pour toute suite
convergente dans la fronti�re de l'image, sa limite n'est pas dans
l'image.

Le th�or�me \ref{theo:benouaisquoi} en d�coule. \cqfd




\medskip
\begin{center}
+ --------------------------- +
\end{center}




\medskip 
Montrons maintenant comment construire la compactification de
Thurston de l'espace de Teichm�ller directement par la topologie de
Gromov �quivariante.

Soit ${\rm Hyp}(S)$ l'ensemble des classes d'isom\'etrie
\'equivariante de couples $(X,\alpha)$, o\`u $X$ est une vari\'et\'e
riemannienne compl\`ete simplement connexe de dimension $2$ \`a
courbure sectionnelle strictement n\'egative constante, et $\alpha$
une action propre et libre de $\pi_1 S$ telle que tout �l�ment
parabolique de $\pi_1 S$ agisse par une isom�trie parabolique sur $X$.
Munissons ${\rm Hyp}(S)$ de la topologie de Gromov �quivariante.

Soit ${\rm Arb}(S)$ l'ensemble des classes d'isom\'etrie
\'equivariante de couples $(X,\alpha)$, o\`u $X$ est un arbre (r�el)
et $\alpha$ une action isom�trique de $\pi_1 S$ sur $X$, � petits
stabilisateurs d'ar�te (donc en particulier sans point fixe global, et
telle que tout �l�ment parabolique de $\pi_1 S$ agisse par une
isom�trie elliptique sur $X$), et {\it minimale} (i.e.~sans sous-arbre
invariant propre non trivial). (Cet ensemble porte d'autres noms dans
la litt�rature, voir par exemple \cite{CM,Sha1,Sha2,Bes2,Mor,Pau4}).
Munissons ${\rm Arb}(S)$ de la topologie de Gromov �quivariante.


Munissons l'ensemble somme disjointe ${\rm Hyp}(S)\sqcup{\rm Arb}(S)$
de la topologie de Gromov �quivariante, qui induit sur chacun des
sous-ensembles ${\rm Hyp}(S)$ et ${\rm Arb}(S)$ leur topologie de
Gromov �quivariante. L'action de ${\rm Mod}(S)$ sur cet ensemble,
d�finie par l'application $(f,(X,\alpha))\mapsto (X,\alpha\circ f_*)$,
est une action par hom�omorphismes. Le groupe topologique $\RR_+^*$
agit contin�ment sur ${\rm Hyp}(S)\sqcup{\rm Arb}(S)$ par
l'application $(t,(X,\alpha))\mapsto(tX,\alpha)$, et les actions de
$\RR_+^*$ et de ${\rm Mod}(S)$ commutent. Notons $${\rm K}(S)=(\,{\rm
Hyp}(S)\sqcup{\rm Arb}(S)\,)\,/\;\RR_+^*$$ l'espace topologique
quotient, muni de l'action quotient de ${\rm Mod}(S)$. La projection
canonique $p:{\rm Hyp}(S)\sqcup{\rm Arb}(S)\ra {\rm K}(S)$ est
ouverte. Notons $\Theta:{\rm Hyp}(S)\sqcup{\rm
Arb}(S)\ra{\RR_+}^\C-\{0\}$ l'application d�finie par
$$(X,\alpha)\mapsto ([\ga]\mapsto \min\{d(x,\alpha(\ga,x))\;:x\in
X\})\;,$$ qui est �quivariante pour les actions de ${\rm Mod}(S)$, et
$\overline\Theta:{\rm K}(S)\ra\PP({\RR_+}^\C)$ l'application obtenue
par passage au quotient, qui est aussi �quivariante pour les actions
de ${\rm Mod}(S)$.


Notons $\iota:\ts\ra {\rm Hyp}(S)\sqcup{\rm Arb}(S)$ l'application
d�finie par $\sigma\mapsto (\HH^2_\RR,\rho_\sigma)$, et
$\overline\iota:\ts\ra {\rm K}(S)$ l'application quotient, qui est
�quivariante pour les actions de ${\rm Mod}(S)$.

\btheo (F.~Paulin \cite{Pau1}) L'espace ${\rm K}(S)$ est m�trisable
compact. L'application $\overline\iota:\ts\ra {\rm K}(S)$ est un
hom�omorphisme sur son image, celle-ci �tant ouverte et dense dans
${\rm K}(S)$. Donc $(\,\overline\iota,{\rm K}(S)\,)$ est une
compactification de $\ts$ naturelle pour le groupe modulaire ${\rm
  Mod}(S)$.

L'application $\overline\Theta:{\rm K}(S)\ra\PP({\RR_+}^\C)$ est un
hom�omorphisme sur son image, telle que
$\overline\Theta\circ\overline\iota=\pi\circ\ell$, donc la
compactification naturelle ci-dessus est isomorphe � la
compactification de Thurston.  
\etheo

En utilisant les travaux d'A.~Parreau \cite{Par}, un r�sultat
semblable pour des espaces sym�triques de type non compact est
possible (sauf peut-\^etre la densit� de l'image).

\medskip
\dem D'apr�s un th�or�me d'Urysohn (voir par exemple \cite{Dug} page
233), pour montrer qu'un espace topologique $Y$ est m�trisable compact,
il suffit de montrer qu'il est s�par�, � base d�nombrable d'ouverts,
et {\it s�quentiellement compact} (i.e.~que de toute suite
(d\'enombrable) dans $Y$, on peut extraire une sous-suite
convergente).



Munissons $\RR_+^*\times \ts$ de la topologie produit des topologies
usuelles, et de l'action par hom�omorphismes �vidente de $\RR_+^*$,
d�finie par $t\cdot(t',\sigma)=(tt',\sigma)$, ainsi que celle de ${\rm
  Mod}(S)$, d�finie par $f\cdot (t',\sigma)=(t',f\cdot\sigma)$. En
utilisant la proposition \ref{pro:coincidtopos}, il n'est pas
difficile de montrer que l'application de $\RR_+^*\times \ts$ dans
${\rm Hyp}(S)$, qui � $(\lambda,\sigma)$ associe $(\lambda\HH^2_\RR,
\rho_\sigma)$ est un hom�omorphisme. Elle induit par passage au
quotient un hom�omorphisme de $\ts$ sur $p({\rm Hyp}(S))$ �quivariant
pour les actions de ${\rm Mod}(S)$. En particulier, $p({\rm Hyp}(S))$
est s�parable.

Il est montr� dans \cite{Pau4} que l'application de ${\rm Arb}(S)$
dans ${\RR_+}^\C-\{0\}$, qui � $T$ associe $\ell_T$, est un hom�omorphisme
sur son image. Elle commute avec les actions de $\RR_+^*$ et de ${\rm
  Mod}(S)$. (En fait, dans cette r�f�rence \cite{Pau4}, on ne
demandait pas que les distances de translation des �l�ments
paraboliques de $\pi_1S$ soient nulles, et on avait $\pi_1S$ � la
place de $\C$, et on travaillait avec des groupes plus g�n�raux que
$\pi_1S$, mais le r�sultat �nonc� ci-dessus d�coule de ce cas
g�n�ral.)  Donc l'application $T\mapsto\ell_T$ induit un
hom�omorphisme sur son image de $p({\rm Arb}(S))$ dans
$\PP({\RR_+}^\C)$, et son image est m�trisable.  Par une preuve de
m�me sch�ma que pour le th�or�me \ref{theo:dichotomiequoi}, il est
facile de montrer que $p({\rm Arb}(S))$ est s�quentiellement compact :
l'analogue du lemme \ref{lem:bestvina} est obtenu par le fait qu'une
action � petits stabilisateurs d'ar\^ete de $\pi_1S$ sur un arbre
(r�el) ne fixe pas de point � l'infini de l'arbre (voir par exemple
\cite{CM,Pau3}); et l'analogue de la premi�re contradiction dans la
preuve du lemme \ref{lem:limptstabar} est obtenue par le fait que si
$\eta$ est assez petit, alors $[\alpha,\beta]$ et $[\alpha,\beta^2]$
fixent un segment non trivial dans un arbre approchant. Donc $p({\rm
  Arb}(S))$ est m�trisable compact (et en particulier s�parable).
(Voir \cite{Pau2} pour une autre preuve; on retrouvait ainsi dans
\cite{Pau2} la compacit� de l'image de $p({\rm Arb}(S))$ dans
$\PP({\RR_+}^\C)$, ce qui est un r�sultat de \cite[Theo.~5.3]{CM}.)

Tout arbre (r�el) muni d'une action isom�trique, sans point fixe
global et minimale, d'un groupe est r�union de ses axes de
translation (voir par exemple \cite{CM}), donc est s�parable si le
groupe est d�nombrable. Dans tout ensemble $\E$ d'espaces m�triques
s�parables munis d'une action isom�trique d'un groupe d�nombrable
$\Ga$, tout �l�ment $X$ poss�de un syst�me fondamental d�nombrable de
voisinages pour la topologie de Gromov �quivariante, puisqu'il suffit
de prendre les $V_{\epsilon,K,P}(X)$ pour $\epsilon$ dans $\QQ$ et $K$
une partie (finie) d'une partie d�nombrable dense fix�e de $X$.  Comme
$p$ est ouverte, tout �l�ment de l'espace ${\rm K}(S)$ admet donc un
syst�me fondamental d�nombrable de voisinages. L'espace ${\rm K}(S)$
est de plus s�parable, car $p({\rm Hyp}(S))$ et $p({\rm Arb}(S))$ le
sont.  Donc il est � base d�nombrable d'ouverts.

Par un argument similaire � celui de la r�ciproque dans la preuve de
la proposition \ref{pro:coincidtopos}, l'application $\Theta$ est
continue.  Donc $\overline\Theta$ est continue. Elle est injective,
car injective en restriction � $p({\rm Hyp}(S))$ et $p({\rm Arb}(S))$,
et par le lemme \ref{lem:disttransdiff}. Comme $\overline\Theta$ est
continue, injective � valeurs dans un espace s�par�, l'espace ${\rm
  K}(S)$ est s�par�. (Voir aussi \cite[Chap.~IV.2]{Pau1} pour une
preuve directe de la s�paration de la topologie de Gromov �quivariante
sur l'ensemble ${\rm Hyp}(S)\sqcup{\rm Arb}(S)$.)

Remarquons que si une suite d'actions isom�triques de $\pi_1S$ sur des
espaces m�triques converge, pour la topologie de Gromov �quivariante,
vers un arbre (r�el) muni d'une action sans point fixe global, elle
converge aussi pour la topologie de Gromov �quivariante vers tout
sous-arbre invariant, et en particulier vers son unique sous-arbre
minimal (qui est la r�union de ses axes de translations, voir par
exemple \cite{CM,Pau3}).

L'espace ${\rm K}(S)$ est s�quentiellement compact, car $p({\rm
Arb}(S))$ l'est, et par le th�or�me \ref{theo:dichotomiequoi} et la
remarque ci-dessus.

Par le th�or�me d'Urysohn suscit�, ${\rm K}(S)$ est donc compact.
L'application $\overline\Theta$, qui est continue injective d'un
espace compact dans un espace s�par�, est donc un hom�omorphisme sur
son image. Comme $p({\rm Arb}(S))$ est compact dans ${\rm K}(S)$
s�par� (ou parce qu'une limite d'une suite d'actions isom�triques d'un
groupe fix� sur des arbres (r�els) est encore une action isom�trique
de ce groupe sur un arbre (r�el)), le sous-espace $p({\rm Arb}(S))$
est ferm�, et donc $p({\rm Hyp}(S))$ est ouvert. Donc $\overline\iota$
est un hom�omorphisme sur son image. Par un th�or�me de Skora
\cite{Sko} (voir aussi \cite{Ota}, ce r�sultat n'�tait pas disponible
au moment de l'�criture de \cite{Pau1}), l'image de $\overline\iota$
est dense dans ${\rm K}(S)$. Par cons�quent, le couple
$(\,\overline\iota, \,{\rm K}(S)\,)$ est bien une compactification de
$\ts$. La naturalit� et la relation
$\overline\Theta\circ\overline\iota=\pi\circ\ell$ �tant claires par
construction, le r�sultat en d�coule.  \cqfd




\bigskip Nous n'avons d�crit dans ces notes que l'aspect topologique
de la compactification de Thurston de l'espace de Teichm�ller.  Une
interpr�tation des points du bord comme des feuilletages
transversalement mesur�s (ou des laminations g�od�siques
transversalement mesur�es), duale � l'interpr�tation par les arbres
r�els, est cruciale pour de plus amples informations (voir par exemple
\cite{FLP,Bon3}).





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\bigskip
{\small
\noindent 
\begin{tabular}{l}
D�partement de Math�matiques et Applications\\
UMR 8553 CNRS\\
�cole Normale Sup�rieure\\
45 rue d'Ulm\\
75230 PARIS Cedex 05, FRANCE.\\
{\it e-mail: Frederic.Paulin@ens.fr}
\end{tabular}
}
 
\end{document}






math0604184.extracted_bib
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