Nombres de Betti des surfaces elliptiques r\'eelles
Mouadh Akriche et Fr\'ed\'eric Mangolte
Nous donnons une nouvelle borne pour le nombre de composantes connexes d'une surface elliptique r�guli�re r�elle avec section r�elle et nous montrons que cette borne est optimale. De plus, toutes les valeurs possibles des nombres de Betti pour de telles surfaces sont atteintes.
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${#1}$}}}

%%%%%%%%%%% Special macros for xr and xc

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%%% Special macro
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{#3} \\ {#4} & \mapsto & {#5}\end{eqnarray*}}

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%%%%%% Bibliography
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%%%%%% Environments
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%%%%%%%%%% Starting text

\begin{document}

\title[Surfaces elliptiques r�elles]{Nombres de Betti des surfaces elliptiques r\'eelles}
\author{Mouadh Akriche  et Fr\'ed\'eric Mangolte } 

\address{Mouadh Akriche, Laboratoire de Math\'ematiques,
Universit\'e de Savoie, 73376 Le Bourget du Lac Cedex, France,  Fax: +33 (0)4 79 75 81 42} 

\address{Fr\'ed\'eric Mangolte, Laboratoire de Math\'ematiques,
Universit\'e de Savoie, 73376 Le Bourget du Lac Cedex, France, Phone:
+33 (0)4 79 75 86 60, Fax: +33 (0)4 79 75 81 42}
\email{mangolte@univ-savoie.fr}




%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{abstract} Nous donnons une nouvelle borne pour le nombre de composantes connexes d'une surface elliptique r�guli�re r�elle avec section r�elle et nous montrons que cette borne est optimale. De plus, toutes les valeurs possibles des nombres de Betti pour de telles surfaces sont atteintes.
\end{abstract}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\maketitle


%\begin{center}
%Email: mangolte@univ-savoie.fr\quad
%Fax: +33 (0)4 79 75 81 42
%\end{center}
%\bigskip



\begin{quote}\small
\textit{MSC 2000:} 14P25 14J27
\par\medskip\noindent
\textit{Keywords:} surface elliptique, nombre de Betti, surface alg�brique r�elle
\end{quote}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Introduction}\label{sec:intro}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

Dans cet article, une surface elliptique est un morphisme $\pi \colon X\longrightarrow \mathbb{P}^1$ o� $X$ est une surface analytique complexe compacte, et tel que, � l'exception d'un nombre fini de points $t \in \mathbb{P}^1$,  la fibre $X_t = \pi^{-1}(t)$ est une courbe non singuli�re de genre 1. 
Sous l'hypoth�se que $\pi$ admet au moins une fibre singuli�re, la surface $X$ est alors r�guli�re, c'est-�-dire qu'elle v�rifie $H^1(X,\ox)=\{0\}$. 

La fibration $\pi$ est relativement minimale si aucune courbe exceptionnelle n'est contenue dans une fibre.

Lorsqu'une surface $X$ est munie d'une structure r�elle, c'est-�-dire une involution antiholomorphe $\sigma \colon X \to X$, nous disons que le couple  $(X,\sigma)$ est une surface r�elle. 
Dans ce cas, l'ensemble des points fixes $X^{\sigma}$ est not� $\xr$, c'est la partie r�elle de $(X,\sigma)$. 
Il existe deux structures r�elles sur $\mathbb{P}^1$, nous notons $\operatorname{conj} \colon \mathbb{P}^1 \to \mathbb{P}^1$ la conjugaison complexe.
Lorque $\pi \colon X\longrightarrow \mathbb{P}^1$ est elliptique, nous disons que $(X,\sigma)$ (ou plus bri�vement $X$) est une surface elliptique r�elle si la fibration $\pi \colon X\longrightarrow \mathbb{P}^1$ v�rifie $\pi\circ \sigma = \operatorname{conj}\circ \pi$. 
Si $\pi$ admet une section r�elle, on en d�duit en particulier que $\xr \ne \emptyset$.

Sur $\cc$, les surfaces elliptiques r�guli�res sans fibres multiples sont classifi�es par leur caract�ristique d'Euler holomorphe $\chiox$. 
Plus pr�cisement, si deux telles surfaces sont relativement minimales, elles sont d�formations l'une de l'autre si et seulement si elles ont m�me caract�ristique d'Euler holomorphe, cf.~\cite{Kas77}.

\medskip
Dans cette note, nous montrons que le nombre de composantes connexes de la partie r�elle d'une surface elliptique r�guli�re r�elle $\pi \colon X\longrightarrow \mathbb{P}^1$ v�rifie l'in�galit�~:
\begin{equation}\label{eq:comp}
 \# X(\mathbb{R}) \leq 5\chiox 
\end{equation}
lorsque $\pi$ admet une section r�elle (Th�or�me~\ref{theo:bornecompo}).

\medskip
Le premier nombre de Betti de la partie r�elle d'une surface elliptique r�guli�re r�elle relativement minimale et sans fibres multiples est soumis � l'in�galit�~:
\begin{equation}
 h_1(\xr) \leq 10\chiox \;.
\end{equation}

Cette in�galit� se d�duit directement du Th�or�me~\ref{theo:rv} d� � Kharlamov qui affirme qu'une telle surface v�rifie l'in�galit� de Ragsdale-Viro~(\ref{eq:rv}). 
Nous prouvons la majoration (\ref{eq:comp}) gr�ce � une certaine sym�trie sur l'ensemble des nombres de Betti des surfaces elliptiques avec section  r�elle, cf. Th�or�me~\ref{theo:dual}.

\newpage
Dans l'article \cite{Ma00}, le second auteur a montr� que l'in�galit� de Ragsdale-Viro �tait optimale pour toute famille complexe de surfaces elliptiques r�guli�res sans fibres multiples. 
Nous montrons dans la Section~\ref{sec:opti} que l'in�galit� (\ref{eq:comp}) est optimale elle aussi.

\medskip
Sous les hypoth�ses consid�r�es, la caract�ristique d'Euler holomorphe v�rifie $\chiox \geq  1$. Lorsque $\chiox = 1$ (resp. $\chiox = 2$), la surface $X$ est rationnelle (resp. K3). 
Pour ces deux familles, la classification compl�te des types topologiques de structures r�elles est connue, voir l'ouvrage \cite{DIK00} qui contient une bibliographie d�taill�e.

Pour $\chiox \geq 3$, peu de r�sultats sont connus. Une surface elliptique r�guli�re $X$ telle que $\chiox \geq 3$ est une surface elliptique propre et en particulier, la fibration $\pi$ est unique. Si $\sigma$ est une structure r�elle sur $X$, on a n�cessairement  $\pi\circ \sigma = \operatorname{conj}\circ \pi$. 

En appliquant � une surface elliptique r�guli�re r�elle avec section r�elle les in�galit�s et congruences habituelles sur les surfaces alg�briques r�elles cf. e.g. \cite[II.3.9]{Si89} ou \cite{DIK00}, nous obtenons une majoration
\begin{equation}\label{eq:class}
\# X(\mathbb{R}) \leq 5\chiox +\frac {\chiox -\nu}2
\end{equation}
o� $\nu \leq 3$ d�pend de la classe modulo 8 de $\chiox$.
Pour $\chiox < 4$,  les deux majorations (\ref{eq:class}) et (\ref{eq:comp}) co�ncident. D�s que $\chiox \geq 4$, la majoration (\ref{eq:comp}) est meilleure que (\ref{eq:class}).

\medskip
Une partie des r�sultats expos�s dans cet article sont issus de la th�se du premier auteur. Nous remercions vivement J.~Huisman et I. Itenberg pour leurs nombreux conseils. Nous remercions F.~Bihan et J.~van~Hamel pour leurs encouragements durant la th�se.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Mod�le de Weierstrass et r�duction au cas � fibres nodales}\label{sec:weierstrass}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\bigskip
Pour faciliter la lecture de ce qui suit, nous rappelons une construction classique du mod�le de  Weierstrass d'une fibration elliptique avec section \cite{Kas77b}.
Pour que cette construction, � l'origine sur $\cc$, soit valable sur $\rr$, il suffit que la section soit {\em r�elle}.

Dans cette partie, une surface elliptique n'est pas forc�ment lisse, elle peut admettre au pire des points doubles rationnels.  

\bigskip
Soit $\pi \colon X \longrightarrow \mathbb{P}^1$ une surface elliptique r�guli�re r�elle. 
Supposons que $\pi$ admette une section r�elle $s \colon \mathbb{P}^1 \to X$ et notons  $S = s(\mathbb{P}^1)$ la courbe image.
Munie de la restriction de $\sigma$, $S$ est une courbe d�finie sur $\rr$.

Supposons la fibration $\pi$ relativement minimale. D'apr�s la classification de Kodaira des fibres singuli�res possibles \cite[II]{Ko60}, nous savons alors que  la configuration form�e par les composantes irr�ductibles d'une fibre singuli�re qui ne rencontrent pas $S$ est celle d'une r�solution de point double rationnel. 
Notons $\hat X$ la surface obtenue en contractant ces configurations et $\hat \pi \colon \hat X  \longrightarrow \mathbb{P}^1$ la fibration induite, $\hat X$ est alors une surface elliptique �ventuellement singuli�re. 
La section �tant r�elle, l'ensemble des configurations contract�es est globalement stable par $\sigma$ qui induit donc naturellement une structure r�elle sur $\hat X$ que nous noterons encore $\sigma$.


Les fibres de $\hat \pi$ sont donc irr�ductibles et sont  de ce fait isomorphes � des cubiques planes.
Une surface elliptique avec section dont toutes les fibres sont irr�ductibles est une {\em surface de Weierstrass} et $\hat X$ est le {\em mod�le de Weierstrass} de $X$.
Ce mod�le est determin� de fa�on unique aux automorphismes fibr�s pr�s.
Par hypoth�se, les fibres r�elles de $\hat \pi$ poss�dent un point r�el et sont donc isomorphes sur $\rr$ � des cubiques planes.

\medskip
Notons $k = \chiox$ et $L = (\pi_*N_{S\vert X})^{-1}$ le fibr� dual du fibr� normal.
Le fibr� $L$ est un fibr� en droites de degr� $k$ sur $\mathbb{P}^1$ qui est d�fini sur $\rr$. 

Il existe des sections r�elles $p \in H^0(\mathbb{P}^1, L^{\otimes 4})$ et $q \in H^0(\mathbb{P}^1, L^{\otimes 6})$ telle que $\hat X$ soit donn�e par l'�quation 
\begin{equation}\label{eq:cubic}
y^2z = x^3 +pxz^2 +q
\end{equation}
dans $\pp( L^{\otimes 2} \oplus  L^{\otimes 3} \oplus \calO_{\mathbb{P}^1})$.

Par construction, ces sections satisfont les conditions suivantes :
\begin{enumerate}
\item[(i)] Le discriminant $\Delta = 4p^3 + 27 q^2$ (qui est une section de $L^{\otimes 12}$) n'est pas identiquement nul.
\item[(ii)] Pour tout $a \in \pp^1, \min\{3v_a(p), 2v_a(q)\} < 12$  (o� $v_a(g)$ est la multiplicit� de la section $g$ au point $a$).
\end{enumerate}

Le couple $(p,q)$ est d�fini de fa�on unique � l'action de $\cc^*$ suivante pr�s :
\begin{equation}\label{eq:c*action}
\lambda (p,q) = (\lambda^4 p, \lambda^6 q) \;.
\end{equation}

R�ciproquement, consid�rons un triplet de Weierstrass r�el $(L,p,q)$. 
C'est-�-dire que $L\to \pp^1 $ est un fibr� en droites d�fini sur $\rr$  et $p \in H^0(\mathbb{P}^1, L^{\otimes 4})$ et $q \in H^0(\mathbb{P}^1, L^{\otimes 6})$ sont des sections r�elles qui satisfont les conditions (i) et (ii) pr�c�dentes. 
Alors l'�quation (\ref{eq:cubic}) d�finit une surface elliptique r�elle $\hat X \to \pp^1$ avec �ventuellement des points doubles rationnels dont la r�solution minimale $X$ est  une surface elliptique r�elle relativement minimale.
La section $S$ est alors la courbe d'�quation $x =z =0, y = 1$.

\medskip

Notons $D$ le disque unit�  muni de la conjugaison complexe $\operatorname{conj}$. Soit $f \colon \mathcal{M} \longrightarrow D$ une famille de surfaces complexes compactes \cite[I.10]{BPV}. Cette famille est {\em r�elle} si 
$\mathcal{M}$ est munie d'une involution anti-holomorphe $\sigma_\mathcal{M}$ telle que $f \circ \sigma_\mathcal{M} = \operatorname{conj} \circ f$. La famille $f \colon \mathcal{M} \longrightarrow D$ est une famille r�elle de surfaces elliptiques s'il existe une application holomorphe $\pi \colon \mathcal{M} \longrightarrow  \mathbb{P}^1\times D$ telle que  $\pi \circ \sigma_\mathcal{M} =  \operatorname{conj} \circ \pi$ et qui v�rifie les conditions suivantes :
\begin{itemize}
\item $\pi$ admet une section $s$, $s \circ \pi = \operatorname{id}_{\mathbb{P}^1\times D}$, qui commute avec les structures r�elles.
\item $\forall t \in D, \pi_t \colon f^{-1}(t) \to \pp^1$ est une surface elliptique dont la fibration elliptique est induite par $\pi$.
\end{itemize}


\begin{defin} Soient $\pi_X \colon X \to \pp^1$ et $\pi_Y \colon Y \to \pp^1$ des surfaces elliptiques r�elles avec section r�elle.
Nous dirons que $X$ est une {\em d�formation r�elle} de $Y$ s'il existe une famille r�elle de surfaces elliptiques $f \colon \mathcal{M} \longrightarrow D$ et des r�els $t \in D$ et $t' \in D$ tels que $\pi_t \colon f^{-1}(t) \to \pp^1$ est isomorphe � $\pi_X \colon X \to \pp^1$ et  $\pi_{t'}\colon f^{-1}(t') \to \pp^1$ est isomorphe � $\pi_Y \colon Y \to \pp^1$.
\end{defin}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\section{R�duction  au cas des fibres singuli�res nodales}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\medskip

La plus simple des fibres singuli�res pouvant appara�tre dans une fibration elliptique est une fibre nodale c'est-�-dire une courbe rationnelle avec un point double ordinaire. Lorsqu'une surface elliptique non singuli�re est de Weierstrass (c'est-�-dire � fibres irr�ductibles), les seules fibres singuli�res possibles sont les fibres nodales et les courbes rationnelles avec un cusp.

Soit $\pi \colon X \longrightarrow \mathbb{P}^1$ une surface elliptique r�guli�re r�elle relativement minimale avec section r�elle. Notons $k = \chiox$. D'apr�s ce qui pr�c�de, la surface $X$ est alors d�\-termi\-n�e par le choix de deux sections r�elles $p \in  H^0(\pp^1, \calO_{\pp^1}(4k))$ et $q \in  H^0(\pp^1, \calO_{\pp^1}(6k))$ satisfaisant les conditions (1) et (2), modulo l'action (\ref{eq:c*action}) de $\cc^*$. 
L'ensemble $V$ des couples r�els $(p,q) \in H^0(\pp^1, \calO_{\pp^1}(4k)) \times H^0(\pp^1, \calO_{\pp^1}(6k))$ satisfaisant les conditions (i) et (ii) est un ouvert de Zariski non vide.

Gr�ce � une analyse au cas par cas des types de singularit�s possibles, Kas \cite{Kas77b} a montr� que  la surface $X$ est � fibres singuli�res nodales si et seulement si le nombre de z�ros distincts deux � deux de $\Delta$ est sup�rieur ou �gal � $12k -1$ . 
De telles surfaces forment donc un sous-ensemble ouvert dense de $V$. Nous obtenons en particulier~:

\begin{theo}\label{theo:nodal}
Soit $\pi \colon X \longrightarrow \mathbb{P}^1$ une surface elliptique r�guli�re r\'eelle
relativement minimale. 
Supposons que $\pi$ admet une section r\'eelle, alors $X$ peut �tre d\'eform\'ee en restant parmi les surfaces elliptiques r\'eelles avec sections r\'eelles en une surface dont les fibres singuli\`eres r\'eelles sont toutes nodales. 
\end{theo}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Sym�trie sur l'ensemble des nombres de Betti}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

Une fibre singuli�re nodale complexe est not�e $I_{1}$ par Kodaira \cite{Ko60}. On distingue deux types
r�els pour une fibre singuli�re nodale complexe (toujours sous l'hypoth�se d'existence d'une section r�elle).

\begin{prop} Soit $\pi \colon X \longrightarrow \mathbb{P}^1$ une surface elliptique r�elle avec section r\'eelle.
Une fibre singuli�re r�elle $F$ de type complexe $I_{1}$ admet
\begin{itemize}
\item soit deux tangentes r�elles en son point double, $F(\rr)$ est alors connexe et nous notons son type r�el par $I_{1}^-$, 
\item soit deux tangentes imaginaires conjugu�es, $F(\rr)$ est alors non connexe et son type r�el est not� $I_{1}^+$.
\end{itemize}
\end{prop}

Voir \cite [Chap.~VII]{Si89} pour les configurations g�om�triques de tous les types de fibres
singuli�res r�elles d'une fibration elliptique r�elle. 

\begin{lem}\label{lem:car}
Soit $\pi \colon X\longrightarrow \pp^1$ une surface elliptique r�guli�re r\'eelle relativement minimale dont les fibres singuli\`eres r\'eelles sont nodales. Alors 
$$
\chi_{top}(\xr) = [I_1^+]-[I_1^-]
$$ 
o� $[I_1^+]$ d�signe le nombre des fibres singuli�res de type r�el $I_1^+$ et $[I_1^-]$ est le nombre des fibres singuli�res de type r�el  $I_1^-$.
\end{lem}

\begin{demo}{Preuve}
La caract�ristique d'Euler topologique de la partie r�elle $X(\mathbb{R})$ d'une surface elliptique r�elle $\pi \colon X\longrightarrow \pp^1$ est la somme des caract�ristiques d'Euler des parties r�elles des fibres singuli�res r�elles.
Soit $F$ une fibre singuli�re r�elle nodale, si $F$ est de type r�el $I_{1}^+$, $\chi_{top}(F(\rr)) = 1$, sinon, $\chi_{top}(F(\rr)) = -1$.
\end{demo}

\medskip
La topologie de $\xr$ est facile � d�terminer dans le cas o� les fibres singuli�res r�elles sont toutes, soit de type r\'eel $I_{1}^+$, soit de type r�el $I_{1}^-$, car lorsque $\pi$ admet au moins une fibre singuli�re r�elle, la pr�sence d'une section r�elle implique qu'au plus une composante connexe est non sph�rique, cf. \ref{lem:or}. 


\begin{theo}\label{theo:dual}
Soit $\pi \colon X \longrightarrow \mathbb{P}^1$ une surface elliptique r�guli�re r�elle, relativement minimale, avec section  r\'eelle. 
Alors, il existe une surface $\pi' \colon X' \longrightarrow \mathbb{P}^1$ elliptique r�guli�re r�elle avec section r�elle telle que $\chiox = \chi(\mathcal{O}_{X'})$,
$$ 
h_1(X'(\rr)) = 2 \# X(\rr)
$$
et
$$
\# X'(\rr) =\frac{1}{2} h_1(X(\rr))\;.
$$
\end{theo}

\begin{demo}{Preuve du Th�or�me~\ref{theo:dual}}
D'apr�s le Th�or�me~\ref{theo:nodal}, nous pouvons supposer que les fibres singuli�res r�elles $X$ sont nodales sans changer de famille complexe ni de type topologique. Il suffit alors de consid�rer un triplet de Weierstrass r�el $(L,p,q)$ associ� � $X$, cf. Section~\ref{sec:weierstrass}, et de consid�rer la surface $X'$ associ�e au triplet $(L,p,-q)$.  Les surfaces $X$ et $X'$ sont isomorphes sur $\cc$ et la structure r�elle de $X'$ est un {\em twist} de la structure r�elle de $X$.

Lorsque $X_c = \pi^{-1}(c)$ est une fibre r�elle non singuli�re, $X_c(\rr)$ et  $X'_c(\rr)$ ont le m�me nombre de composantes connexes. En effet, $\#X_c(\rr)$ est d�termin� par le signe du discriminant $\Delta(c) = 4p^3(c) + 27 q^2(c)$.
Lorsque $X_c$ est une fibre r�elle singuli�re, les types r�els de $X_c(\rr)$ et $X'_c(\rr)$ sont �chang�s, $I_1^+$ devient $I_1^-$ et vice versa, cf. e.g. \cite[Chap.~VII]{Si89}. 

Montrons que les sommes totales des nombres de Betti $h_*(\xr)$ et $h_*(X'(\rr))$ sont �gales. La partie r�elle de la base de la fibration est un cercle et nous pouvons d�couper ce cercle en arcs $[a,b] \subset \pp^1(\rr)$ tels que $X_a$ et $X_b$ sont des fibres r�elles nodales et $X_c$ est une fibre r�elle non singuli�re pour tout $c \in ]a,b[$. 

Notons $arc^+(X)$ (resp. $arc^-(X)$) le nombre d'arcs tels que pour tout $c \in ]a,b[$, $\#X_c(\rr) = 2$ et $X_a$ et $X_b$ sont de type $I_1^+$ (resp. $I_1^-$). Il est clair que $arc^+(X') = arc^-(X)$ et $arc^-(X') = arc^+(X)$. D'autre part, sachant que le nombre de composantes connexes de la partie r�elle d'une fibre r�elle non singuli�re change au voisinage d'une fibre r�elle nodale, on peut se convaincre sans difficult� que  $h^*(X) = 2 + 2 (arc^+ + arc^-)$. 

Par ailleurs $\chi_{top}(X'(\rr)) = - \chi_{top}(\xr)$ d'apr�s le Lemme~\ref{lem:car} d'o� la conclusion sur les nombres de Betti. \end{demo}

\begin{rem}
La deuxi�me partie de la preuve de \ref{theo:dual} pourrait aussi se prouver � partir de l'invariant $j$ r�el d�fini par J.~Huisman dans \cite{Hu01}.
\end{rem}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Majoration des nombres de Betti}\label{sec:majo}\label{sec:opti}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

Soit $\xsig$ une surface alg�brique r�elle.
Notons $B_i(X) = \dim  H_i(X , \zz )$ le $i$\ieme\ nombre de Betti modulo 2 de $X$ et par
$$
	h_i(\xr) = \dim  H_i(\xr , \zz)
$$
le $i$\ieme\ nombre de Betti modulo 2 de $\xr$. Soit $h_*(\xr) = \sum h_i(\xr)$ et $B_*(X) = \sum B_i(X)$.

\begin{theo}\label{theo:rv}(Kharlamov)
 Soit $\pi\colon X \longrightarrow \mathbb{P}^1$ une surface
 elliptique r�guli�re r�elle  sans fibres multiples, alors
 \begin{equation}\label{eq:rv}
 h_1(\xr) \leq h^{1,1}(X) \;.
\end{equation}
\end{theo}

Ce r�sultat et l'id�e de sa preuve ont �t� communiqu�s au second auteur par V.~Kharlamov en 1997. Nous n'en connaissons pas de version publi�e. Pour le confort du lecteur, nous en proposons ici une r�daction succincte.

\medskip
\begin{demo}{Preuve de \ref{theo:rv}}
Dans le cas o� $\pi$ n'admet pas de fibres multiples on v�rifie imm�\-diate\-ment, en utilisant par exemple la classification des fibres singuli�res r�elles \cite{Si89}, que  
$$
h_1(\xr) \leq  h_1(\operatorname{Jac}(X)(\rr))
$$
o�  $\operatorname{Jac}(X)$ est la fibration jacobienne associ�e � $X$. Par construction, cette fibration est une surface elliptique r�elle avec section r�elle telle que $h^{1,1}(\operatorname{Jac}(X)) = h^{1,1}(X)$.
Nous supposerons  donc dor�navant que  $\pi$ admet une section r�elle sans perdre en g�n�ralit�.

L'involution $\sigma$ induit une involution $\sigma_*$ sur $H_2(X , \z)$. Consid�rons les invariants homologiques suivants :

Le rang du sous-module invariant par $\sigma_*$
$$
l^+ = \operatorname{rg} H_2(X , \z)^{\sigma_*} = \operatorname{rg} \ker(1-\sigma_*)
$$
et la caract�ristique de Comessatti
$$
 \lambda = \operatorname{rg} \left( (1 + \sigma_*) H_2(X , \z) \right) = \operatorname{rg} \im(1+\sigma_*)\;.
$$

Comme  la fibration $\pi \colon X \to \pp^1$ admet une section, elle n'admet pas de fibres multiples et les nombres de Betti $B_1(X)$ et $B_3(X)$ sont nuls. D'apr�s le th�or�me de Krasnov, cf. \cite{Kr83}, la surface $\xsig$ est donc {\em Galois-Maximale}. De ce fait, cf. e.g. \cite[Chap. 1]{Si89},
la caract�ristique de Comessatti correspond � 
$$
2\lambda = B_*(X) - h_*(\xr)
$$ 
et le premier nombre de Betti de $\xr$ �
\begin{equation}\label{eq:h1}
h_1(\xr) = B_2(X) - l^+ - \lambda \;.
\end{equation}

Si aucune fibre singuli�re de $\pi$ n'est r�elle, $\xr$ est la r�union de deux tores ou de deux bouteilles de Klein car $\pi$ est munie d'une section r�elle. Dans ce cas, l'in�galit� \ref{eq:rv} est v�rifi�e. Si $\pi$ admet au moins une fibre singuli�re r�elle, $\xr$ poss�de une seule composante connexe non simplement connexe et un nombre fini d'autres composantes qui sont toutes hom�omorphes � des sph�res. Notons $c^+$ le nombre de composantes sph�riques. La somme des nombres de Betti de $\xr$ est alors $h_*(\xr) = 2 + 2 c^ + + h_1(\xr)$ et la caract�ristique de Comessatti devient
\begin{equation}\label{eq:lambda}
\lambda = l^+ - 2 c^+ \;.
\end{equation}

\medskip
Gr�ce � un joli raisonnement bas� sur la signature de la forme d'intersection, cf. e.g. \cite[Expos�~XIV]{X} ou \cite[3.1.3]{DK00}, $l^+$ est soumis � la majoration
$$
h^{2,0}(X) + c^+ \leq l^+ \;.
$$

De l'�quation \ref{eq:lambda}, nous tirons $h^{2,0}(X) - c^+ \leq \lambda$ et la formule \ref{eq:h1} nous permet de conclure~:
$$
h_1(\xr) \leq B_2(X) - 2 h^{2,0}(X)\;.
$$

\end{demo}

\medskip
Dans \cite{Ma00}, le second auteur a montr� que la borne pr�c�dente est optimale :
 
 \begin{theo}\label{theo:ma}\cite[Th�or�me~1.2]{Ma00} Toute surface elliptique r�guli�re sans fibres multiples peut �tre d�form�e sur $\cc$ en une surface elliptique $X$ admettant une structure r�elle telle que 
 $$
 h_1(\xr) = h^{1,1}(X)\;.
 $$
 
 De plus, $X$ admet une fibration elliptique r�elle avec une section r�elle.
 \end{theo} 

Le premier nombre de Chern d'une surface elliptique relativement minimale $X$ v�rifie $c_1^2(X) = 0$ et la formule de Noether donne
\begin{equation}\label{eq:noether}
\chi_{top}(X) = 12\chiox \;.
\end{equation}

Comme  $\pi \colon X \to \pp^1$ n'admet pas de fibre multiple, les nombres de Betti $B_1(X)$ et $B_3(X)$ sont nuls et
\begin{equation}\label{eq:h11}
h^{1,1}(X) = 10 \chiox\;.
\end{equation}


Le th�or�me principal de cet article est une contrepartie aux deux th�or�mes pr�c�dents.

\begin{theo}\label{theo:bornecompo}
 Soit $\pi\colon X \longrightarrow \mathbb{P}^1$ une surface
 elliptique r\'eguli\`ere r\'eelle  avec une section  r\'eelle. Alors
 $$
 \# X(\mathbb{R}) \leq 5\chiox \;.
 $$

De plus, pour tout $k \geq 1$, il existe une surface elliptique r�guli�re r�elle $X$ avec section  r\'eelle telle que 
$\chiox = k$ et
$$
 \# X(\mathbb{R}) = 5\chiox \;.
 $$
\end{theo}

\begin{demo}{Preuve} La caract�ristique d'Euler holomorphe �tant un invariant birationnel, il suffit de v�rifier l'in�galit� pour une fibration relativement minimale. 
En effet, la contraction d'une courbe exceptionnelle r�elle ne change pas le nombre de composantes connexes et la contraction d'une paire de courbes exceptionnelles imaginaires conjugu�es disjointes non plus. 
Supposons donc que $\pi\colon X \longrightarrow \mathbb{P}^1$ est relativement minimale. D'apr�s le Th�o\-r�me~\ref{theo:dual}, il existe une surface $X'$ de m�me caract�ristique holomorphe et de premier nombre de Betti $h_1(X'(\rr))=2\#\xr$. Comme $h^{1,1}$ est invariant par d�formation, nous d�duisons de \ref{theo:rv} la majoration $2\#\xr  \leq h^{1,1}(X)$. D'o� la conclusion par \ref{eq:h11}.

Pour montrer que cette borne est atteinte dans une famille complexe donn�e, consid�rons une surface elliptique r�elle $\tilde Y$ telle que $\chi(\mathcal{O}_{\tilde Y}) = k$ et $ h_1(\tilde Y(\rr)) = h^{1,1}(\tilde Y)$. L'existence de $\tilde Y$ est assur�e par le Th�or�me~\ref{theo:ma}. Notons $Y$ un mod�le relativement minimal de $\tilde Y$. Notons $\eta$ le nombre d'�clatements de points successifs n�cessaires pour r�aliser $\tilde Y \to Y$. Comme $Y$ admet une fibration elliptique r�elle avec section r�elle, la sym�trie \ref{theo:dual} nous assure qu'il existe une surface  elliptique r\'eguli\`ere r\'eelle relativement minimale $X$ telle que $ \# \xr = \frac 12 h^{1,1}( X) = 5\chi(\mathcal{O}_{Y})$. Pour obtenir finalement une surface dans la famille complexe de $\tilde Y$, �clatons $\eta$ points sur $X$ et  notons $\tilde X$ le r�sultat. En appliquant un th�or�me de Kodaira, cf. \cite{Ko60} ou \cite[Th.~5.4]{Ma00}, $\tilde X$ et $\tilde Y$ sont alors dans la m�me famille complexe. De l�, $\chi(\mathcal{O}_{\tilde X}) = \chi(\mathcal{O}_{Y})$ et $\# \tilde X(\rr) = \# \xr = 5 \chi(\mathcal{O}_{\tilde X})$.
\end{demo}

\begin{rem}
Dans sa th�se, le premier auteur � d�montr� une version plus g�n�rale du Th�or�me~\ref{theo:dual}. Il a obtenu le m�me r�sultat de sym�trie sur les nombres de Betti pour une fibration elliptique relativement minimale � courbe de base de genre quelconque sous l'hypoth�se suppl�mentaire que l'invariant fonctionnel $J$ soit non constant. En effet, lorsque le genre de la base est non nul,  l'�quivalent du Th�or�me~\ref{theo:nodal} est faux sans cette hypoth�se suppl�mentaire. La preuve, bas�e sur un th�or�me de Moishezon \cite{Mo77}, est technique et nous avons pr�f�r� utiliser ici une approche plus directe valable uniquement pour les surfaces elliptiques r�guli�res.
\end{rem}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Types topologiques}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

Tous les types topologiques possibles pour la partie r�elle d'une surface elliptique r�guli�re r�elle avec section r�elle ont �t� construits dans \cite{BM06} gr�ce � une strat�gie m�lant  la m�thode du patchwork combinatoire de Viro et une technique d'Orevkov  de construction de courbes trigonales via les dessins d'enfants. 

Dans cette partie, nous pr�sentons sans donner de d�tails, les types topologiques construits par le premier auteur dans sa th�se ant�rieurement � \cite{BM06}.

\begin{lem}
Le  premier nombre de Betti de la partie r�elle d'une surface elliptique r�guli�re r�elle relativement minimale et sans fibres multiples est pair.
\end{lem}

\begin{demo}{Preuve}
D'apr�s la th�orie de Smith, pour une vari�t� alg�brique r�elle $X$, la diff�rence $B_*(X) - h_*(\xr)$ est toujours paire. Par ailleurs, pour une surface projective $X$, $B_*(X)$, $\chi_{top}(X)$ et $B_2(X)$ ont m�me parit�. D'apr�s la formule de Noether, cf.~\ref{eq:noether}, $B_2(X)$ est donc pair pour une surface elliptique r�guli�re r�elle relativement minimale et sans fibres multiples. Pour terminer, rappelons que $h_1(\xr)$ est de m�me parit� que $h_*(\xr)$.
\end{demo}

\begin{prop}\label{prop:h1possible}
Soit $k$ un entier positif non nul, pour tout entier {\em pair}
$l$, $ l \leq 10k$, il existe  une surface elliptique r�guli�re r�elle sans fibres multiples $Y_{k,l}$ de partie r�elle connexe et telle que 
$$
\chi(\mathcal{O}_{Y_{k,l}}) = k,\quad  h^{1,1}(Y_{k,l}) = 10k \quad \textrm{ et } \quad h_1(Y_{k,l}(\rr)) = l \;.
$$

De plus, chacune de ces surfaces admet une fibration ellitique avec section r�elle d�s que $l\ne 0$.
\end{prop}

Par application du Th�or�me~\ref{theo:dual}, on obtient imm�diatement :

\begin{cor}\label{prop:compopossible}
Soit $k$ un entier positif non nul, pour tout entier  $l$,  
$ l\leq 5k$, il existe une surface elliptique r\'eguli\`ere r�elle
 $X_{k,l}$ telle que 
$$
 \chi(\mathcal{O}_{X_{k,l}}) = k \quad \textrm{ et } \quad \#X_{k,l}(\rr) = l \;.
$$

De plus, chacune de ces surfaces admet une fibration ellitique avec section r�elle d�s que $l\ne 0$.
\end{cor}



On note $S_g$ la surface lisse orientable de genre $g$ et
$V_q$ la surface non-orientable de caract\'eristique d'Euler
$2-q$, $V_q$ est diff�omorphe � la somme connexe de $q$ copies de $\pp^2(\rr)$.


\begin{prop}\label{prop:top}
Lorsque $k$ est pair, on a $X_{k,l}(\rr) = (l-1)S_0 \sqcup S_1$ et $Y_{k,l}(\rr) = S_l$. Lorsque $k$ est impair, on a  $X_{k,l}(\rr)  = (l-1)S_0 \sqcup V_2$ et $Y_{k,l}(\rr) = V_{2l}$.
\end{prop}

\begin{demo}{Preuve de \ref{prop:top}}
Soit $X$ l'une des surfaces consid�r�es. Cette surface poss�de une section r�elle et au moins une fibre singuli�re r�elle. Sa partie r�elle $\xr$ contient donc exactement une composante connexe non simplement connexe $M$ et un nombre fini de composantes hom�omorphes � des sph�res. Pour d�terminer l'orientabilit� de $M$ on utilise le lemme suivant qui est un corollaire de \cite[Prop. 6.1]{Ma00}.
\end{demo}

\begin{lem}\label{lem:or} 
Soit $X\to\pp^1$ une surface elliptique r�guli�re r�elle relativement minimale avec section r�elle, alors $\xr$ est orientable si et seulement si $\chiox$ est pair.
\end{lem}


La Proposition~\ref{prop:h1possible} � �t� d�montr�e par le premier auteur dans sa th�se. Pour cela, il a introduit une m�thode de transformation de
surfaces elliptiques r�elles appell�e {\em $I_0^*$-Transformation}. Cette transformation augmente la caract�ristique l'Euler holomorphe de 1 tout en permettant un contr�le de  la topologie de la partie r�elle.

Cette m�thode permet par exemple, de construire une surface elliptique r�elle birationnelle � une surface $K3$ � partir d'une surface elliptique r�elle rationnelle.

C'est en it�rant ce proc�d� que les surfaces elliptiques r�elles de caract�ristique d'Euler holomorphe quelconque et � nombres de Betti fix�s ont �t� obtenues � partir de surfaces rationnelles elliptiques r�elles.
\medskip

Soit $\pi\colon X\longrightarrow \mathbb{P}^1$ une surface elliptique
 r�elle   relativement minimale avec section r�elle et $(L,p,q)$ un triplet de Weierstrass r�el de $X$. Notons encore $p$ et $q$ les fonctions rationnelles induites par une trivialisation de $L$ au dessus d'un ouvert affine $U$ de $\pp^1$ tel que $\sigma(U)=U$ et au dessus duquel $\pi$ n'admet que des fibres non singuli�res. Notons $\delta_X = 4p^3+27q^2$ le discriminant. 
 
 Soient $a$ et $b$ deux nombres r�els qui ne sont ni des p�les ni des
z�ros de $p$ et $q$.
Notons $\pi_Y \colon Y\longrightarrow \mathbb{P}^1$ l'unique mod�le non singulier relativement minimal de la surface d�finie birationnellement par l'�quation 
$$
y^2z=x^3+p(u)
\frac{(u-a)^2}{(u-b)^2}xz^2+q(u)
\frac{(u-a)^3}{(u-b)^3}z^3
$$
dans
$\mathbb{P}^2\times U$ munie de la fibration �vidente.
La surface obtenue $\pi_Y \colon Y\longrightarrow
\mathbb{P}^1$ est elliptique r�elle avec section r�elle.

\begin{defin}
La surface $\pi_Y \colon Y\longrightarrow \mathbb{P}^1$ est la
 { \em $I_0^*$-transform�e} de $\pi \colon X\longrightarrow \mathbb{P}^1$ par
  $(a,b)$.

\end{defin}


\begin{prop}\label{prop:typereel}
La  $I_0^*$-transform�e de $X$ par $(a,b)$ admet
la m�me liste de fibres singuli�res complexes que $\pi \colon X \longrightarrow
\mathbb{P}^1$ � laquelle on ajoute exactement 2 fibres singuli�res
de type $I_0^*$. En particulier, $\chioy = \chiox + 1$.

Soit $\pi^{-1}(c)$ une fibre r�elle nodale de $\pi$, avec $c \notin \{a,b\}$, alors $\pi_Y^{-1}(c)$ est de type r�el diff�rent de $\pi^{-1}(c)$ si et seulement si $c\in ]a,b[$.
\end{prop}

\begin{demo}{Preuve}
Le discriminant de $Y$ est
$$
\delta_Y= \frac{(u-a)^6}{(u-b)^6}\delta_X
$$ 
et son invariant fonctionnel $j_Y = j_X = 4p^3/27q^2$.

Chaque fibre singuli�re de $X$ admet le m�me type topologique qu'une
fibre singuli�re de $Y$. Les deux fibres singuli�res de $Y$ au-desssus des
points $u = a$ et $u = b$ sont de type complexe $I_0^*$. Or
$\chi_{top}(I_0^*) = 6$, d'o�
$$
\chi_{top}(Y) = 12+\chi_{top}(X) \;.
$$
Nous concluons gr�ce � la formule de Noether, 
$
\chioy = \chiox + 1\;.
$

\medskip
Notons $F=\pi^{-1}(c)$ et $F'=\pi_Y^{-1}(c)$ les fibres nodales.
Les valuations des fonctions rationnelles $u \mapsto q(u)$ et $u \mapsto q(u).\frac{(u-a)^3}{(u-b)^3}$ en
$c$ sont �gales. D'apr�s le Th�or�me \cite[Theorem~VII.1.5]{Si89}, les types complexes de
$F$ et de $F'$ sont donc les m�mes.
Par ailleurs, les signes de $q(c)$ et  de $q(c).\frac{(c-a)^3}{(c-b)^3}$ sont
oppos�s si et seulement si $c$ appartient � $[a,b]$. Le type r�el de $F'$ est donc 
diff�rent du type r�el de $F$ si et seulement si $c\in [a,b]$.
\end{demo}

\medskip


\begin{rem}
Dans \cite{Mi90}, R. Miranda a introduit la notion de $*$-transform�e
d'une surface rationnelle elliptique complexe. 
Cette transformation
�change, par exemple, une fibre singuli�re de type $I_m$ en une fibre
singuli�re de type $I_m^*$. 
Une $*$-transforma\-tion pr�serve la
caract�ristique d'Euler holomorphe et est donc
diff�rente d'une $I_0^*$-transformation.
\end{rem}

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math0604131.extracted_bib
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