dissertacaofinal.tex
\documentclass[a4paper,12pt]{report}
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\begin{document}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
{\large{Universidade de S�o Paulo\\
Instituto de F�sica}}

\vspace{2cm}
{\bf \Large{An�lise de Buracos Negros Esfericamente
Sim�tricos em modelos de Mundo Brana}}\\
\vspace{2cm}
{\bf Alan Bendasoli Pavan\\

Orientador: Prof. Dr. �lcio Abdalla}
%\vspace{1cm}
\end{center}
\vspace{1cm}
\hfill\
\begin{flushright}
\begin{minipage}[t]{8cm}
\hrulefill

Disserta��o de mestrado apresentada ao Instituto de F�sica da Universidade de S�o
Paulo para a obten��o do t�tulo de Mestre em Ci�ncias

\hrulefill
\end{minipage}
\end{flushright}
\vspace{3cm}
{\bf Comiss�o Examinadora:}\\
Prof. Dr. �lcio Abdalla (IF-USP)\\
Prof. Dr. Lu�s Raul Weber Abramo (IF-USP)\\ 
Prof. Dr. George Emanuel Avraam Matsas (IFT-UNESP)
\vspace{2cm}
\begin{center}
S�o Paulo\\
2006
\end{center}
\newpage
\thispagestyle{empty}
\vspace*{2cm}
\begin{center}
{\bf
\Large{FICHA CATALOGR�FICA} \\
\large{Preparada pelo Servi�o de Biblioteca e Informa��o}\\
\large{do Instituto de F�sica da Universidade de S�o Paulo}\\}
\vspace{2mm}
\begin{tabular}{|p{135mm}|}
\hline
\\ 
\hspace{13mm} \large Pavan, Alan Bendasoli\\ 
\\
\hspace{13mm} \large An�lise de buracos negros esfericamente sim�tricos em\\ 
\hspace{13mm} \large modelos de Mundo Brana.\ \ \ \ \ \ S�o Paulo, 2006.\\
%\hspace{13mm} \large \\ 
\\
\hspace{13mm} \large Disserta��o (Mestrado) - Universidade de S�o Paulo.\\
\hspace{13mm} \large Instituto de F�sica - Depto. de F�sica Matem�tica.\\
\\
\hspace{13mm} \large Orientador: Prof. Dr. �lcio Abdalla\\
\hspace{13mm} \large �rea de Concentra��o: F�sica\\
\\
\hspace{13mm} \large Unitermos:\\
\\ 
\hspace{13mm} \large 1. Buracos Negros;\\
\hspace{13mm} \large 2. Relatividade-Mundo Brana;\\
\hspace{13mm} \large 3. Relatividade-Estabilidade de Buracos Negros.\\
\\
\\
%\vspace{12mm}
%\hspace{11mm} 
\large USP/IF/SBI-017/2006
\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\newpage
%--------------------------------------------------------------------------
{\large \bf Resumo}\\
\\
\\
%Neste trabalho estudou-se a evolu��o de campos, a estabilidade e
%termodin�mica de uma classe de buracos negros esfericamente
%sim�tricos localizados sobre uma 3-brana. Os buracos negros
%estudados (BN-CFM e BN-SM )foram obtidos por Casadio
%\cite{Casadio1} e por Bronnikov \cite{Bronnikov2} respectivamente.\\
%A forma exata do bulk � desconhecida, o que nos impede de
%especificar a proje��o do tensor de Weyl 5-D $E_{ij}$. Entretanto
%o teorema de Campbell-Magaard \cite{campbell} sobre imers�es em
%altas dimens�es nos garante a exist�ncia de uma solu��o
%5-dimensional que tem
%como proje��o sobre a brana a classe de solu��es apresentadas.\\
%A equa��o de Einstein no v�cuo sobre uma brana derivada
%por Maeda {\it et al} \cite{Maeda} tem como solu��o uma classe de buracos negros esfericamente
%sim�tricos que possuem um par�metro livre $\gamma$. Esse par�metro pode assumir
%qualquer valor a princ�pio.\\
%Perturba��es escalares, gravitacionais axiais e eletromagn�ticas foram efetuadas sobre
%os buracos negros (BN-CFM e BN-SM ), permitindo a an�lise de seus comportamentos
%assint�ticos, sua estabilidade e o c�lculo de suas freq�encias quasi-normais de oscila��o.\\
%A an�lise do limite superior da entropia $S_{m}$ de um corpo
%absorvido pelos BN-CFM e BN-SM foi realizada, observando-se que
%ambos os buracos negros satisfazem esse limite e que ele independe
%dos par�metros do {\it bulk}.
%\\
%(melhorar e acrescentar alguns detalhes colocar parte da conclus�o).
O estudo de objetos compactos e suas propriedades f�sicas tem sido alvo de constantes investiga��es nos �ltimos 90 anos. Com o surgimento da Teoria de Cordas e os modelos de Mundo Brana como alternativas de descri��o do nosso Universo, cresceu o interesse no estudo de buracos negros nesses contextos. Neste trabalho � desenvolvido um estudo de buracos negros em modelos de Mundo Brana. Uma classe de buracos negros esfericamente sim�tricos na brana � investigada. Crit�rios de estabilidade s�o estabelecidos. Proprie-dades termodin�micas e a exist�ncia de modos quasi-normais de oscila��o tamb�m s�o abordadas. Os buracos negros estudados s�o o Buraco Negro tipo CFM e o Buraco Negro tipo SM (sem massa), obtidos por Casadio {\it et al.} e Bronnikov {\it et al.}, respectivamente. A geometria do {\it bulk} no qual a brana est� imersa � desconhecida. Entretanto, o teorema de Campbell-Magaard nos garante a exist�ncia de uma solu��o 5-dimensional no {\it bulk} que tem como proje��o sobre a brana a classe de buracos negros estudados. Eles mostraram-se est�veis quando submetidos a perturba��es do tipo escalar. A exist�ncia de modos quasi-normais de oscila��o foi observada tanto para o Buraco Negro tipo CFM quanto para o Buraco Negro tipo SM. As caudas das perturba��es apresentaram comportamentos semelhantes. O limite superior da entropia de um corpo absorvido pelos buracos negros estudados foi calculado mostrando que esse limite independe dos par�metros dos buracos negros, sugerindo novamente sua universalidade.
\newpage

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
{\large \bf Abstract}\\
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\\
\\
Research on black holes and their physical proprieties has been active on last 90 years. With the appearance of the String Theory and the Braneworld models as alternative descriptions of our Universe, the interest on black holes, in these context, increased. In this work we studied black holes in Braneworld models. A class of spherically symmetric black holes is investigaded as well its stability under general perturbations. Thermodynamic proprieties and quasi-normal modes are discussed. The black holes studied are the SM (zero mass) and CFM solutions, obtained by Casadio {\it et al.} and Bronnikov {\it et al.}. The geometry of bulk is unknown. However the Campbell-Magaard Theorem guarantees the existence of a 5-dimensional solution in the bulk whose projection on the brane is the class of black holes considered. They are stable under scalar perturbations. Quasi-normal modes were observed in both models. The tail behavior of the perturbations is the same. The entropy upper bound of a body absorved by the black holes studied was calculated. This limit turned out to be independent of the black hole parameters. 
\newpage
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
{\large \bf Dedicat�ria}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\vspace{18cm}
\begin{flushright}
\begin{minipage}[t]{10cm}
``Ao Esp�rito Imortal que indicou o caminho pelo qual eu deveria seguir."
\end{minipage}  
\end{flushright}
\newpage
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
{\large \bf Agradecimentos}\\
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\\
� todos os Esp�ritos que j� caminharam  ou ainda caminham comigo durante essa etapa da minha exist�ncia.\\
\\
Ao amigo e orientador Prof Elcio Abdalla pela oportunidade de trabalho, pela paci�ncia e pelas conversas descontra�das sobre a vida.\\
\\
Aos amigos e companheiros de trabalho, Bertha e Prof Carlos, pelo aux�lio e pela aten��o dedicada a este trabalho. Sem a ajuda de voc�s esse trabalho n�o seria poss�vel.\\
\\
� minha grande fam�lia em Ribeir�o Preto e aqui em S�o Paulo, especialmente aos amigos e irm�os do apartamento 132, Thiago, Mineiro, Bruno e Rodrigo.\\
\\
� fam�lia do Departamento de F�sica-Matem�tica que me acolheu com tanto carinho, aten��o e respeito: Am�lia, Simone, Bete, Rodrigo, J�ferson, Fl�vio, Carlos Eduardo, Carlos, Bertha, Michele, Arlene, Cec�lia, David, Karl�cio e muitos outros que por l� passaram.\\
\\
Aos meus pais pela oportunidade da exist�ncia, pelo carinho e pelo desmedido amor.\\
\\
� minha irm� por tudo aquilo que ela representa em minha vida.\\
\\
Aos meus av�s por serem modelos no qual pretendo sempre me espelhar.\\
\\
� FAPESP pelo apoio a Ci�ncia no Brasil e pelo apoio a este trabalho.
  


\newpage
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\vspace{19cm}
%\begin{flushright}
%\begin{minipage}[!b]{10cm}
%``Tudo posso Naquele que me fortalece". - Cor�ntios 
%\end{minipage}  
%\end{flushright}
%\newpage

\tableofcontents
\newpage





%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\chapter[Introdu��o]{Introdu��o}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

Eis que continua a longa jornada do homem, em busca daquilo que �
o Universo. Do in�cio do caminho at� os dias de hoje grandes
mentes contribuiram na constru��o, ou melhor seria dizer, no
entendimento do espa�o e do tempo em que nos encontramos
inseridos.

Desvendar os mist�rios do Criador para aqueles que Nele acreditam
ou simplesmente entender a Natureza, eis a nossa busca, quem sabe
nosso mart�-rio, quem sabe nossa reden��o. Sigamos ent�o pela
estrada do conhecimento na tentativa de contribuir ou tornar mais
claro pequenos pontos do nosso misterioso Universo.

Nossa jornada come�a em 1915. O surgimento da Teoria da
Relatividade Geral de Albert Einstein nos traz um novo
entendimento do que � o espa�o e o tempo e os transforma em um
espa�o-tempo.

Essa entidade na qual repousamos, adquire din�mica, movimento, e
ent�o as fronteiras do nosso entendimento sobre o mundo se largam.
Todo o Universo surge novo e das pr�prias equa��es que descrevem
essa din�mica surgem mundos at� ent�o impensados, no m�ximo
sonhados. E o Universo come�a a n�o ser mais algo est�tico,
eterno, e passa a se movimentar completamente fora do nosso
limitado controle. Ent�o surgem novos e muitos Universos.
Universos vazios e parados, Universos cheios, de mat�ria e luz, a
girar, Universos que se expandem e tem come�o, meio e fim. E neste
ponto at� parece que nos aproximamos do Criador mostrando que o
Universo pode ter tido um in�cio, um Grande In�cio; afinal n�o
estamos brincando de criar tamb�m.

E desses Universos, talvez aqueles, que mais nos causaram espanto
a princ�pio por descreverem algo novo, foram os que hoje
conhecemos pelo nome de {\it buracos negros}.

O objetivo deste trabalho � trilhar duramente a jornada que no
conduz ao entendimento desses objetos estranhos, os buracos negros,
que surgiram com a Relatividade Geral em $(3+1)$ dimens�es e
aparecem at� hoje como desenvolvimentos dos mais intrigantes e
motivantes em teorias mais recentes tais como a Teoria de Cordas e
o Mundo Brana com suas v�rias dimens�es extras.

Na verdade, a id�ia de um objeto com um campo gravitacional t�o
forte que fosse capaz de impedir at� a luz de escapar � uma id�ia
antiga, anterior � Relatividade Geral, que foi estudada por Michel
\cite{Michel} e Laplace \cite{Laplace}. A princ�pio esse objeto
recebeu o nome de {\it estrela escura} pois se tratava de uma
estrela que n�o emitia luz nenhuma. Foi Wheeler, em 1968, quem
batizou tais objetos como buracos negros.

A primeira solu��o exata (esfericamente sim�trica) das equa��es de
Einstein foi obtida por Schwarzschild em 1916. Al�m de possuir uma
singularidade f�sica em $r=0$, essa solu��o possu�a uma outra
singularidade em $r=2M$ devido ao sistema de coordenadas adotado.
A partir deste momento muitas outras solu��es das equa��es de
Einstein foram obtidas por in�meros pesquisadores.

Entres elas destacamos a solu��o obtida por Snyder e Oppenheimer
em 1939, que mostra que um buraco negro � obtido como resultado do
colapso gravitacional de uma estrela massiva, a solu��o de Reisner
(1916) e Nordstrom (1918) para um buraco negro com carga el�trica,
a solu��o de Kerr em 1963, para um buraco negro em rota��o.

Ao longo desses desenvolvimentos uma importante quest�o surgiu, a
respeito dos buracos negros. Seriam eles objetos est�veis quando
submetidos a alguma perturba��o?

O estudo da estabilidade de buracos negros surgiu com Regge e
Wheeler em 1957. Eles submeteram o buraco negro de Schwarzschild a
uma perturba��o linear na m�trica e verificaram que ele era
est�vel. Estudos com outros tipos de perturba��es tais como
perturba��es escalares, eletromagn�ticas e de {\it spin} $1/2$
tamb�m foram realizados para o buraco negro de Schwarzschild,
confirmando sua estabilidade. Depois desses trabalhos muitos
outros foram realizados, complementando e extendendo os resultados
obtidos para outros buracos negros.

Nos anos 60 os primeiros ind�cios da possibilidade de detec��o de
buracos negros surgiram no cen�rio astrof�sico. O estudo de
acre��o de mat�ria e sistemas bin�rios onde um dos constituintes
era um buraco negro mostrou que tais sistemas seriam poderosas
fontes de raio-X. Medidas realizadas posteriormente mostraram
alguns poss�veis candidatos a buracos negros.

Mais recentemente com a descoberta de que buracos negros emitem
ondas gravitacionais surgiu a possibilidade das primeiras medidas
atrav�s de antenas gravitacionais, de propriedades de tais
objetos. Essa descoberta motivou uma corrida entre equipes de
pesquisadores pela primeira medi��o de uma onda gravitacional.

Al�m do interesse por tais medidas, cresceu tamb�m o interesse no
estudo de modelos capazes de descrever o comportamento das ondas
gravitacionais emitidas por buracos negros.

Neste contexto � que surge o conceito de {\it freq��ncias
quasi-normais} de objetos massivos introduzido por Press
\cite{Press} em um trabalho de 1971. Resultado de perturba��es no
exterior de um buraco negro, as freq��ncias quasi-normais s�o
freq��ncias complexas de oscila��o do espa�o-tempo no exterior do
buraco negro. Essas perturba��es se propagam na forma de ondas e
tem dura��o limitada no tempo pois s�o atenuadas exponencialmente.

A caracter�stica interessante desses modos quasi-normais de
oscila��o � que eles independem do tipo de perturba��o inicial
dependendo apenas dos par�metros do buraco negro.

Portanto a an�lise dos modos quasi-normais de buracos negros ganha
acentuada import�ncia uma vez que atrav�s dela podemos dizer se a
onda gravitacional que medimos � provinda de um buraco negro em
rota��o ou um buraco negro est�tico, por exemplo.

Outro grande desenvolvimento na f�sica de buracos negros surgiu
com o trabalho de Hawking \cite{Hawking1} sobre a propaga��o de
campos qu�nticos no exterior de um buraco negro estacion�rio. Ele
mostrou que um buraco negro estacion�rio irradiava para o infinito
todas as esp�cies de part�culas com um espectro de corpo negro
perfeito, � uma temperatura $T_{H}=\kappa/2\pi$.

Esse trabalho de certo modo, p�s fim a um empasse que existia, a
respeito da analogia entre a f�sica de buracos negros e a
termodin�mica ordin�ria.

Esta analogia foi desenvolvida sistematicamente por Bardeen,
Hawking e Carter \cite{BHC} al�m de Bekenstein
\cite{Beken3,Beken1} que prop�s uma Segunda Lei da Termodin�mica
Generalizada. Todas essas inova��es impulsionaram o estudo de
buracos negros em um contexto qu�ntico.

Com o advento da Teoria de Cordas, o interesse por buracos negros
se renovou  e abriu novas oportunidades, devido a possibilidade da
exist�ncia de dimens�es espaciais extras. Iniciou-se ent�o o
estudo de solu��es do tipo buraco negro em cen�rios com dimens�es
mais altas. Diversos cen�rios surgiram como alternativas de como
poder�amos enxergar o nosso Universo, entre eles os mais
conhecidos s�o os Modelos Randall-Sundrum (RS) \cite{RS1, RS2} e o
Modelo ADD \cite{ADD}.

Os Modelos de Mundo Brana continuam gerando grandes contribui��es
no entendimento da f�sica em altas dimens�es. Avan�os no contexto
de Mundo Brana tem sido feitos, tais como os realizados por
Hawking \cite{cordanegra} que obteve uma solu��o tipo corda negra
, Maartens \cite{Germani} que obteve uma solu��o que descreve uma
estrela de densidade uniforme sobre a brana, Visser \cite{Visser2}
com uma solu��o que descreve planetas s�lidos sobre a brana,
Casadio \cite{Casadio2,Casadio1} com uma solu��o tipo ``cigarro
negro" e solu��es tipo buracos negros e buracos de minhoca e
Bronnikov \cite{Bronnikov1,Bronnikov2} com uma classe geral de
buracos negros e buracos de minhoca. Algumas dessas solu��es
apresentaram regimes inst�veis quando submetidas a
perturba��es \cite{gregorilaflamme}, outras ainda n�o foram
estudadas at� agora, o que nos motiva ao estudo da estabilidade
dessas solu��es.

Interessante notar que grande parte dos formalismos desenvolvidos
no contexto da Relatividade Geral funcionam sem grandes altera��es
no contexto de dimens�es mais altas.

Por exemplo, os modos quasi-normais, tem se mostrado uma
ferramenta eficaz no entendimento dos Mundos Brana. Em um trabalho
recente Maartens \cite{Maartens1} prop�em a utiliza��o de modos
quasi-normais como uma ferramenta na detec��o de dimens�es extras.
Abdalla {\it et al} \cite{elcio} utilizaram t�cnicas n�mericas
desenvolvidas no contexto de Relatividade Geral para o c�lculo de
modos quasi-normais de buracos negros em branas. Neste trabalho
tamb�m foi analisada a estabilidade desses buracos negros e o
limite superior da entropia $S_{m}$ de um corpo absorvido por um
buraco negro localizado sobre a brana.

Inspirados nesta abordagem de adaptarmos um formalismo s�lido
vindo da Relatividade Geral ao Mundo Brana desenvolvemos esta
disserta��o.\\
\\
Este trabalho se divide em duas grandes �reas: buracos negros no
contexto da Relatividade Geral e buracos negros no contexto de
Mundo Brana. Os primeiros 5 cap�tulos tratam dos desenvolvimentos
realizados no estudo de buracos negros em Relatividade Geral. Os
cap�tulos finais tratam do estudo de buracos negros no Mundo
Brana.

No cap�tulo 2 apresentaremos um resumo sobre buracos negros em
(3+1) dimens�es. No cap�tulo 3 estudaremos o formalismo aplicado
no estudo de perturba��es de buracos negros esfericamente
sim�tricos. No cap�tulo 4 estudaremos os crit�rios de estabilidade
e os modos quasi-normais de oscila��o de um buraco negro
esfericamente sim�trico. No cap�tulo 5 estudaremos as propriedades
termodin�micas de buracos negros esfericamente sim�tricos. No
cap�tulo 6 apresentaremos uma introdu��o ao Mundo Brana e o
desenvolvimento do estudo de buracos negros neste contexto. No
cap�tulo 7 adaptamos o formalismo desenvolvido nos cap�tulos 3, 4
e 5, para buracos negros localizados sobre uma brana. No cap�tulo
8 s�o apresentados os resultados obtidos no trabalho assim como o
m�todo num�rico utilizado para a solu��o das equa��es obtidas. No
cap�tulo 9 apresentamos as conclus�es do trabalho desenvolvido
nesta disserta��o. Nos Ap�ndices se encontram as nota��es adotadas
neste trabalho e algumas demonstra��es de interesse.
\newpage


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\chapter[Buracos Negros em 3+1 dimens�es]{Buracos Negros em 3+1 dimens�es}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

{\it Aqui come�a nossa jornada}.\\
\\

A compreens�o de que espa�o e tempo � uma estrutura coesa,
din�mica e intrincada � uma conquista da Relatividade Geral. No
contexto da Relatividade Geral, espa�o e tempo s�o tratados em p�
de igualdade formando uma �nica entidade chamada espa�o-tempo.

Para representarmos um evento no espa�o-tempo, como por exemplo um
raio que cai em um determinado ponto de S�o Paulo, utilizamos
quatro coordenadas, $(x,y,z,t)$. Aqui o tempo n�o � mais tratado
como absoluto e a cada evento associamos um tempo.

Portanto dois eventos {\bf A} e {\bf B} devem ser representados no
espa�o-tempo por $(x_{a},y_{a},z_{a},t_{a})$ e
$(x_{b},y_{b},z_{b},t_{b})$ respectivamente.

Assim para medirmos o intervalo $ds$ entre os eventos {\bf A} e
{\bf B} usamos o conceito do tensor m�trico $g_{ij}$ que nos diz
como esses dois eventos devem ser relacionados.

O intervalo $ds$ � dado por
\begin{eqnarray}
\label{BN01} ds^2=g_{ij}dx^{i}dx^{j}\ .
\end{eqnarray}
Outro aspecto que surge da Relatividade � que o espa�o-tempo
possui uma din�mica pr�pria.

Como sabemos, as equa��es que governam a din�mica do espa�o-tempo
s�o as conhecidas equa��es de campo de Einstein. Entre muitos
outros aspectos elucidativos, as equa��es de Einstein cont�m em si
a informa��o de como campos de mat�ria afetam a geometria em que
est�o contidos. Ali�s a compreens�o de que a gravidade nada mais �
do que o efeito da deforma��o do espa�o-tempo por um corpo � fruto
destas equa��es.

As equa��es de campo de Einstein escrita na forma covariante s�o
\cite{Weinberg}
\begin{eqnarray}
\label{BN02} R_{ij}-\frac{1}{2}g_{ij}R=-8\pi\ T_{ij}\ .
\end{eqnarray}
O termo do lado esquerdo da equa��o (\ref{BN02}) representa a
parte relacionada com a geometria do espa�o-tempo onde
identificamos o tensor de Ricci $R_{ij}$ e o escalar de curvatura
$R$.

O termo da direita representa o conte�do material presente no
espa�o-tempo. Esse conte�do � representado pelo tensor
momento-energia $T_{ij}$. � o tensor momento-energia que nos dir�
como o espa�o-tempo ser� deformado. Toda vez que introduzimos
algum conte�do no espa�o-tempo devemos especificar seu tensor
momento-energia.

Tomemos um caso bem geral onde introduziremos um campo
eletromagn�tico livre de fonte que � governado pelas equa��es de
Maxwell e cujo tensor momento-energia � dado por
$F_{ij}^{Max}=\frac{1}{4\pi}\left(-g^{ab}F_{ia}F_{jb}+\frac{1}{4}g_{ij}F_{ab}F^{ab}\right)
$, um flu�do de mat�ria que possui caracter�sticas de um flu�do
perfeito com $T^{\ mat}_{ij}=pg_{ij}+(p+\rho)u_{i}u_{j}$ onde $p$
e $\rho$ s�o a press�o e a densidade e $u_{i}$ � a
quadri-velocidade das part�culas que comp�em o flu�do e por fim um
termo chamado constante cosmol�gica $\lambda$.

Nesta situa��o as equa��es de campo de Einstein ser�o
\begin{eqnarray}
\label{BN03} R_{ij}-\frac{1}{2}g_{ij}R-\lambda g_{ij}=-8\pi\
(T_{ij}^{\ mat}+F_{ij}^{Max})\ .
\end{eqnarray}
Ao resolvermos esse conjunto de equa��es obteremos equa��es que
descrevem como esses campos deformam o espa�o-tempo.\\
Podemos calcular ainda, as equa��es de Einstein para o v�cuo.
Neste caso o termo � direita da equa��o (\ref{BN02}) � nulo e a
equa��o resultante ser�
\begin{eqnarray}
\label{BN04} R_{ij}-\frac{1}{2}g_{ij}R=0\ .
\end{eqnarray}
Quando nos propomos a estudar uma estrela, por exemplo, devemos
resolver as equa��es de Einstein para dois regimes diferentes, que
correspondem ao interior da estrela, o qual possui mat�ria e
portanto $T_{ij}\neq 0$, e o exterior da estrela que corresponde
ao v�cuo. A solu��o obtida para o interior da estrela deve ser
ent�o ``colada" � solu��o obtida para o v�cuo para que o conjunto
tenha sentido f�sico e possa descrever adequadamente uma estrela.

Podemos ent�o nos fazer uma pergunta. Qual � o significado de
calcularmos as equa��es de Einstein para o v�cuo, sem entretanto
possuir uma ``fonte de mat�ria"?

Como resposta ao significado f�sico desta opera��o, foram obtidos
dentre outros objetos com diversas simetrias, os objetos mais
estranhos e ex�ticos da Relatividade Geral: {\it buracos negros} e
{\it buracos de minhoca}.

De um modo bem simpl�rio podemos dizer que um buraco negro � o
resultado do colapso de uma estrela massiva quando seu
combust�vel nuclear se estingue e a press�o interna se torna incapaz de sustentar a
atra��o gravitacional fazendo a estrela implodir. Quando a estrela
implode ela gera um ponto de densidade infinita, uma {\it
singularidade}. Um observador localizado a grande dist�ncia pode
observar a implos�o da estrela at� que o raio da estrela seja
igual a duas vezes sua massa. Neste ponto o desvio para o vermelho
da luz emitida pela estrela � infinito e a estrela ``some" para um
observador distante. Ap�s esse ponto a estrela continua a colapsar
at� que seu raio seja zero.

O objeto remanescente do colapso gravitacional da estrela �
conhecido como buraco negro, ou seja, � um objeto com um campo
gravitacional t�o intenso que nem mesmo a luz � capaz de escapar.
De fato, nem sempre o colapso gravitacional de uma estrela resulta
em um buraco negro. Se a estrela possui uma massa $M\lesssim 1.2
M_{\odot}$ o colapso da estrela resulta em uma estrela do tipo
{\it an� branca}. Esse limite � conhecido como limite de
Chandrasekhar. Se a estrela possui uma massa $M\lesssim
0.7M_{\odot}$ o colapso da estrela resulta em uma {\it estrela de
n�utrons}. Esse limite para a massa da estrela � conhecido como
limite de Oppenheimer-Volkoff. Pode acontecer ainda que a massa da
estrela seja grande o suficiente para que o seu colapso resulte em
uma supernova, ou seja, uma explos�o que expulsa o excesso de
mat�ria e tem por resultado ou uma estrela de n�utrons ou uma an�
branca.

Um buraco de minhoca pode ser descrito como um atalho atrav�s do
espa�o-tempo. Eles podem ser dividos em {\it buracos de minhoca
inter-universo} que conectam ``nosso" universo a um ``outro"
universo e {\it buracos de minhoca intra-universo} que conectam
duas regi�es distintas de um �nico universo \cite{Visser}. Buracos
de minhoca n�o ser�o abordados neste trabalho.

Como foi dito acima, diversas solu��es para a equa��o (\ref{BN04})
foram obtidas para algumas simetrias tais como simetria esf�rica,
cil�ndrica e c�nica. Neste trabalho nos restringiremos apenas a espa�os-tempos com simetria esf�rica arbitr�ria.

Adotemos um espa�o-tempo que preserve a simetria esf�rica podendo
conter mat�ria e campos f�sicos no seu interior.

� sabido que existe um sistema de coordenadas
$(x^0,x^1,\theta,\phi)$ em um espa�o-tempo esfericamente sim�trico
tal que a m�trica dele tenha a forma
\begin{eqnarray}
\label{BN05}
ds^2&=&g_{00}(x^0,x^1)(dx^0)^2+2g_{01}(x^0,x^1)dx^1dx^0+\nonumber\\
\nonumber\\
&+&g_{11}(x^0,x^1)(dx^1)^2+g_{22}(x^0,x^1)(d\theta^2+sen\theta^2d\phi^2)\
.
\end{eqnarray}
Como ainda existe liberdade na escolha das coordenadas, podemos
fazer uma transforma��o de coordenadas para eliminar o termo
$g_{01}$ e torna a m�trica diagonal. Fazendo a seguinte
transforma��o de coordenadas
\begin{eqnarray}
\label{BN06} \tilde{x}^0=\tilde{x}^0(x^0,x^1)\ , \qquad
\tilde{x}^1=\tilde{x}^1(x^0,x^1)\ , \qquad \tilde{\theta}=\theta\
, \qquad \tilde{\phi}=\phi\ ,
\end{eqnarray}
a m�trica (\ref{BN05}) toma a forma diagonal dada por
\begin{eqnarray}
\label{BN07}
ds^2&=&g_{00}(x^0,x^1)(dx^0)^2+g_{11}(x^0,x^1)(dx^1)^2+\nonumber\\
\nonumber\\
&+&g_{22}(x^0,x^1)(d\theta^2+sen\theta^2d\phi^2)\ .
\end{eqnarray}
Podemos ent�o, devido � liberdade de coordenadas remanescente,
escolher um novo sistema de coordenadas. Se o gradiente da fun��o
$g_{22}(x^0,x^1)$ n�o se anula em alguma regi�o, esta fun��o pode
ser escolhida como uma nova coordenada que chamaremos $x^1$.

Neste sistema de coordenadas a m�trica esfericamente sim�trica
toma a forma
\begin{eqnarray}
\label{BN08}
ds^2&=&g_{00}(x^0,x^1)(dx^0)^2+g_{11}(x^0,x^1)(dx^1)^2+\nonumber\\
\nonumber\\
&+&(x^1)^2(d\theta^2+sen\theta^2d\phi^2)\ .
\end{eqnarray}
Se fixarmos os valores de $x^0$ e $x^1$ a m�trica (\ref{BN08})
ser� a m�trica de uma esfera bidimensional cuja a �rea da
superf�cie � $A=4\pi(x^1)^2$.

Portanto reescrevendo a equa��o (\ref{BN08}) de uma maneira mais agrad�vel
teremos
\begin{eqnarray}
\label{BN09}
ds^2=g_{tt}(t,r)dt^2+g_{rr}(t,r)dr^2+r^2(d\theta^2+sen\theta^2d\phi^2)\
,
\end{eqnarray}
onde as componentes $g_{tt}$ e $g_{rr}$ s�o fun��es arbitr�rias
dependentes das coordenadas $r$ e $t$.

Isso posto, passemos ao estudo de solu��es da equa��o de Einstein
quando adotamos simetria esf�rica.\\
\\
{\bf Buraco Negro de Schwarzschild }\\
\\

Uma das solu��es das equa��es de Einstein mais famosas foi obtida
em 1916 por Schwarzschild. Essa solu��o das equa��es de Einstein
para o v�cuo descreve um espa�o-tempo esfericamente sim�trico,
est�tico e assintoticamente plano. Diversos autores demonstraram a
solu��o de Schwarzschild de muitas maneiras diferentes.

Nesta demonstra��o seguiremos de perto o m�todo adotado por
Weinberg \cite{Weinberg}. As equa��es de campo de Einstein para o
v�cuo s�o dadas por
\begin{eqnarray}
\label{BNS01} R_{ij}-\frac{1}{2}g_{ij}R=0\ .
\end{eqnarray}
O valor do escalar de curvatura, $R$, para esse caso, � obtido
atrav�s de uma contra��o da equa��o (\ref{BNS01}) com a m�trica
$g^{ij}$
\begin{eqnarray}
\label{BNS02}
g^{ij}R_{ij}-\frac{1}{2}g^{ij}g_{ij}R=0\ ,\nonumber\\
\nonumber\\
R-2R=0\ ,\nonumber\\\
\nonumber\\
R=0\ .
\end{eqnarray}
Portanto devido ao fato do escalar de curvatura $R$ ser nulo a
equa��o (\ref{BNS01}) pode ser reescrita como
\begin{eqnarray}
\label{BNS03} R_{ij}=0\ .
\end{eqnarray}
Se impusermos que a solu��o da equa��o (\ref{BNS03}) possua
simetria esf�rica e seja est�tica podemos utilizar a m�trica
(\ref{BN09}) como {\it Ansatz} para simplificar as contas.

A m�trica ent�o ser�
\begin{eqnarray}
\label{BNS04}
ds^2=-A(r)dt^2+B(r)dr^2+r^2(d\theta^2+sen\theta^2d\phi^2)\ .
\end{eqnarray}
Para a m�trica (\ref{BNS04}) as componentes n�o-nulas do tensor de Ricci $R_{ij}$ ser�o
\begin{eqnarray}
\label{BNS05}
R_{rr}&=&\frac{A''(r)}{2A(r)}-\frac{1}{4}\left(\frac{A'(r)}{A(r)}\right)\left(\frac{B'(r)}{B(r)}+\frac{A'(r)}{A(r)}\right)-\frac{1}{r}\frac{B'(r)}{B(r)}\ ,\nonumber\\
\nonumber\\
R_{\theta\theta}&=&-1+\frac{r}{2B(r)}\left(-\frac{B'(r)}{B(r)}+\frac{A'(r)}{A(r)}\right)+\frac{1}{B(r)}\ ,\nonumber\\
\\
R_{\phi\phi}&=&sen^2\theta\ R_{\theta\theta}\ ,\nonumber\\
\nonumber\\
R_{tt}&=&-\frac{A''(r)}{2B(r)}+\frac{1}{4}\left(\frac{A'(r)}{B(r)}\right)\left(\frac{B'(r)}{B(r)}+\frac{A'(r)}{A(r)}\right)-\frac{1}{r}\frac{A'(r)}{B(r)}\
,\nonumber
\end{eqnarray}
onde $(\ '\ )$ corresponde a uma diferencia��o com respeito a $r$.

As equa��es que ir�o nos interessar ser�o $R_{rr}=0$, $R_{tt}=0$ e
$R_{\theta\theta}=0$. Podemos ver que
\begin{eqnarray}
\label{BNS06}
\frac{R_{rr}}{B}+\frac{R_{tt}}{A}=-\frac{1}{rA}\left(\frac{B'}{B}+\frac{A'}{A}\right)\
.
\end{eqnarray}
Como as componentes $R_{rr}$ e $R_{tt}$ devem ser nulas devido �
equa��o (\ref{BNS03}) temos que
\begin{eqnarray}
\label{BNS07}
\frac{B'}{B}&=&-\frac{A'}{A}\ ,\nonumber\\
\nonumber\\
\frac{d}{dr}\ln\ B&=&-\frac{d}{dr}\ln\ A\ ,\nonumber\\
\nonumber\\
A(r)\ B(r)&=&\ C_{1}\ .
\end{eqnarray}
A constante $C_{1}$ ser� fixada pelo comportamento assint�tico das
fun��es $A(r)$ e $B(r)$. Como queremos recuperar o espa�o-tempo de
Minkowski longe do buraco negro de modo que a Relatividade
Restrita seja v�lida, podemos supor a seguinte condi��o de
contorno
\begin{eqnarray}
\label{BNS08} \lim_{r\rightarrow \infty}\ A(r)=\lim_{r\rightarrow
\infty}\ B(r) =1\ .
\end{eqnarray}
Desta forma teremos
\begin{eqnarray}
\label{BNS09} B(r)=\frac{1}{A(r)}\ .
\end{eqnarray}
Ainda precisamos fazer com que $R_{\theta\theta}$ e $R_{rr}$ sejam
nulos para termos nossa solu��o completa. Se usarmos a equa��o
(\ref{BNS09}) nas equa��es (\ref{BNS05}) teremos
\begin{eqnarray}
\label{BNS10}
R_{\theta\theta}=-1+A'(r)r+A(r)\ ,\nonumber\\
\nonumber\\
R_{rr}=\frac{A''(r)}{2A(r)}+\frac{A'(r)}{rA(r)}=\frac{R'_{\theta\theta}(r)}{2rA(r)}\
.
\end{eqnarray}
De modo que se tivermos $R_{\theta\theta}=0$ a componente $R_{rr}$
ser� nula.

Portanto
\begin{eqnarray}
\label{BNS11}
-1+A'(r)r+A(r)=0\ ,\nonumber\\
\nonumber\\
\frac{d}{dr}\left(r\ A(r)\right)=1\ .
\end{eqnarray}
Integrando a equa��o (\ref{BNS11}) teremos como solu��o
\begin{eqnarray}
\label{BNS12}
r\ A(r)= r+C_{2}, \nonumber\\
\nonumber\\
A(r)=\left(1+\frac{C_{2}}{r}\right)\ .
\end{eqnarray}
A constante $C_{2}$ � fixada utilizando o fato de que a grandes
dist�ncias da massa central $M$, a componente $g_{tt}=-A(r)$ deve
se aproximar de $-(1+2\phi)$ onde $\phi=-M/r$. Essa aproxima��o
� conhecida {\it aproxima��o de campo fraco}, ou seja, um
observador que est� longe do buraco negro, enxerga-o como se fosse
um corpo de massa $M$.

Desta forma nossa solu��o final ser�
\begin{eqnarray}
\label{BNS13} A(r)=\left(1-\frac{2M}{r}\right)\ ,\\
\nonumber\\
B(r)=\frac{1}{\left(1-\frac{2M}{r}\right)}\ .
\end{eqnarray}
Assim temos como resultado a m�trica de Schwarzschild dada por
\begin{eqnarray}
\label{BNS14}
ds^2=-\left(1-\frac{2M}{r}\right)dt^2+\frac{1}{\left(1-\frac{2M}{r}\right)}dr^2+r^2d\Omega^2\
.
\end{eqnarray}
Se realizarmos uma investiga��o na m�trica (\ref{BNS14}) veremos
que existe dois valores de $r$ para o qual ao menos uma das
componentes da m�trica diverge. Esses valores s�o $r= 0,2M$.
Entretanto podemos realizar uma investiga��o um pouco mais precisa
para saber se esses dois pontos s�o realmente singularidades
f�sicas. Pode ser que esses pontos singulares sejam apenas resultado do sistema de coordenadas adotado. Portanto precisamos avaliar
quantidades escalares as quais s�o invariantes por transforma��o
de coordenadas. Se algum desses escalares for infinito sobre algum
ponto ent�o podemos dizer que aquele ponto � uma singularidade
f�sica. Se eles forem finitos ent�o � poss�vel remover a
singularidade por um transforma��o de coordedanadas.

Os escalares mais relevantes s�o: o escalar de Ricci ou de
curvatura, o escalar dado pelo quadrado do tensor de Ricci e o
escalar dado pelo quadrado do tensor de Riemann.

Para o caso do buraco negro de Schwarzschild teremos
\begin{eqnarray}
\label{BNS15}
R&=&0\ ,\\
\nonumber\\
R_{ij}R^{ij}&=&0\ ,\\
\nonumber\\
R_{ijkl}R^{ijkl}&=&\frac{48M^2}{r^6}\ .
\end{eqnarray}
Como podemos ver, para $r=2M$ os escalares possuem valores finitos
o que nos diz que ele n�o � um ponto singular. A �nica
singularidade f�sica na m�trica de Schwarzschild se encontra em
$r=0$.

J� que $r=2M$ n�o � uma singularidade, de que modo podemos mudar
nosso sistema de coordenadas para que possamos remover essa
singularidade aparente? 

Um sistema de coordenadas que resolve esse
problema foi obtido por Eddington (1924) e Finkelstein (1958).

Primeiramente precisamos saber qual � o comportamento de
geod�sicas nulas radiais no caso de Schwarzschild. Usando o
formalismo do princ�pio variacional \cite{dinverno}, teremos a
seguinte equa��o
\begin{eqnarray}
\label{BNS16} \frac{dt}{dr}=\pm \frac{r}{r-2M}\ .
\end{eqnarray}
Se adotarmos o sinal positivo e integrarmos a equa��o (\ref{BNS16}) teremos
\begin{eqnarray}
\label{BNS17}
t=r+2M\ ln|r-2M|+constante.
\end{eqnarray}
Analisando essa solu��o vemos que para a regi�o onde $r>2M$, a
equa��o (\ref{BNS16}) � positiva. Desta forma $r$ cresce com o
aumento de $t$. Por esse motivo as curvas dadas pela equa��o
(\ref{BNS17}) s�o congru�ncias de geod�sicas radiais nulas tipo
{\it outgoing}, ou seja, elas iniciam perto de $r=2M$ e se dirigem
para um $r$ maior.

De forma an�loga se tomarmos o sinal negativo na equa��o
(\ref{BNS16}) sua solu��o ser�
\begin{eqnarray}
\label{BNS18}
t=-(r+2M\ ln|r-2M|+constante).
\end{eqnarray}
Neste caso $r$ decresce com $t$. Portanto as curvas dadas pela
equa��o (\ref{BNS18}) s�o congru�ncias de geod�sicas radiais nulas
tipo {\it ingoing}, ou seja, elas iniciam em um $r$ grande e se
dirigem para um valor de $r$ menor.

Isto posto, a id�ia de Eddington e Finkelstein consistia em
definir uma nova coordenada temporal no qual geod�sicas radiais
nulas do tipo {\it ingoing} se tornassem linhas retas. Observando
a equa��o (\ref{BNS18}) vemos que a melhor escolha para nossos
prop�sitos � fazer
\begin{eqnarray}
\label{BNS19} \bar{t}=t+2M\ ln(r-2M)\ ,
\end{eqnarray}
pois para o intervalo $r \in (2M,\infty)$ no novo sistema de
coordenadas $(\bar{t},r,\theta,\phi)$ nossa nova coordenada
temporal ser�
\begin{eqnarray}
\label{BNS20} \bar{t}=-r+constante\ ,
\end{eqnarray}
a qual forma uma linha reta que faz $-45^{o}$ com o eixo $r$.

Diferenciando a equa��o (\ref{BNS19}) e susbtituindo na m�trica
(\ref{BNS14}) teremos a m�trica de Schwarzschild em termos das
coordenadas de Eddington-Finkelstein
\begin{eqnarray}
\label{BNS21}
ds^2=-\left(1-\frac{2M}{r}\right)d\bar{t}^2+\frac{4M}{r}d\bar{t}dr+\left(1-\frac{2M}{r}\right)dr^2+r^2d\Omega^2\
.
\end{eqnarray}
Neste sistema de coordenada o ponto $r=2M$ � regular. De fato essa
transforma��o extende o intervalo em que a m�trica  � regular
mapeando o intervalo $0<r<\infty$.

Podemos reescrever a m�trica (\ref{BNS21}) de uma outra forma  se
introduzirmos uma coordenada nula
\begin{eqnarray}
\label{BNS23} v=\bar{t}+r\ ,
\end{eqnarray}
o que resulta ent�o, na m�trica em coordenadas avan�adas de Eddington-Finkelstein
\begin{eqnarray}
\label{BNS24}
ds^2=-\left(1-\frac{2M}{r}\right)dv^2+2dvdr+r^2d\Omega^2.
\end{eqnarray}
A superf�cie formada por $r=2M$ faz o papel de uma membrana que
conduz todas as curvas tipo luz e tipo tempo de fora para dentro
evitando que nada saia para fora desse limite. Por isso esse ponto
� conhecido como {\it horizonte de eventos}.

Podemos obter uma outra solu��o se introduzirmos uma nova
coordenada temporal
\begin{eqnarray}
\label{BNS22} t^{*}=t-2M\ ln(r-2M)\ ,
\end{eqnarray}
o qual torna as geod�sicas nulas radiais do tipo {\it outgoing} linhas retas.
Atrav�s dela podemos escrever a coordenada nula $u$ com par�metro de tempo retardado
\begin{eqnarray}
\label{BNS25} u=t^{*}-r\ ,
\end{eqnarray}
e escrever a m�trica (\ref{BNS14}) em coordenadas retardadas de
Eddington-Finkelstein como
\begin{eqnarray}
\label{BNS26}
ds^2=-\left(1-\frac{2M}{r}\right)du^2-2dudr+r^2d\Omega^2\ .
\end{eqnarray}
\\
\\
{\bf Buraco Negro de Reissner-Nordstrom}\\
\\
Uma outra solu��o esfericamente sim�trica para as equa��es de
Einstein na presen�a de carga el�trica � a solu��o de
Reissner-Nordstrom. Sendo solu��o das equa��es de Einstein-Maxwell
ela descreve um espa�o-tempo esfericamente sim�trico, est�tico,
assintoticamente plano e com um campo el�trico radial.

Como neste problema temos um campo eletromagn�tico inserido no
espa�o-tempo o tensor momento-energia $T_{ij}$ � n�o-nulo. A
m�trica obtida como solu��o tamb�m deve ser solu��o das equa��es
de Maxwell.

Assim as equa��es de Einstein-Maxwell ser�o
\begin{eqnarray}
\label{BNRN01} R_{ij}-\frac{1}{2}g_{ij}R=-8\pi \ T_{ij}\ ,
\end{eqnarray}
onde \cite{dinverno}
\begin{eqnarray}
\label{BNRN02}
T_{ij}=\frac{1}{4\pi}\left(-g^{ab}F_{ia}F_{jb}+\frac{1}{4}g_{ij}F_{ab}F^{ab}\right)\
.
\end{eqnarray}
Como solu��o das equa��es (\ref{BNRN01}) teremos a m�trica de
Reissner-Nordstrom que � dada por
\begin{eqnarray}
\label{BNRN03}
ds^2=-\left(1-\frac{2M}{r}+\frac{Q^2}{r^2}\right)dt^2+\frac{1}{\left(1-\frac{2M}{r}+\frac{Q^2}{r^2}\right)}dr^2+r^2d\Omega^2\
.
\end{eqnarray}
Para discuss�es adicionais e desenvolvimentos recentes, a respeito
do estudo de buracos negros em $(3+1)$ dimens�es, ver
\cite{Novikov}.

\newpage



















%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\chapter[Perturba��es Gerais em Buracos Negros (3+1) dimensionais]{Perturba��es Gerais em Buracos Negros (3+1) dimensionais}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
{\it E como em toda jornada cruzamos estradas perigosas e pontes estreitas. Ao nos depararmos com uma ponte pergutamo-nos. O quanto ela � resistente?}\\
\\
Ainda que buracos negros sejam objetos ex�ticos  contendo
singuralidades, o estudo da evolu��o de campos no
exterior de tais objetos pode revelar-se surpreendentemente
simples e bastante instrutivo.

Quando colocamos algum campo, seja ele um campo escalar ou um
campo eletromagn�tico ou ainda um campo gravitacional, para
evoluir no exterior de um buraco negro, o campo perturba o espa�o
ao seu redor. Essas perturba��es ainda que inicialmente pequenas,
que ser� o caso tratado neste trabalho, podem ganhar tal propor��o
com o passar do tempo que podem ser capazes de tornar o objeto
inst�vel e destru�-lo. Portanto uma compreens�o da evolu��o de
tais campos pode nos fornecer uma grande quantidade de
informa��es sobre os objetos que ser�o perturbados.

O formalismo desenvolvido neste cap�tulo ser� estendido para o
caso de buracos negros localizados sobre branas no cap�tulo 7.
Ser�o necess�rias algumas adapta��es para o novo modelo mas em
ess�ncia o procedimento ser� o mesmo.




%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Perturba��es Escalares}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
Como se sabe, campos escalares n�o-massivos n�o descrevem objetos
f�sicos. Entretanto alguns conceitos b�sicos sobre a teoria de
perturba��es de buracos negros podem ser obtidos de perturba��es
escalares. Uma informa��o interessante que pode ser obtida da
perturba��o escalar � sobre a estabilidade do buraco negro. Se um
buraco negro � inst�vel quando submetido a uma perturba��o escalar
ele tamb�m ser� inst�vel quando submetido a uma perturba��o
gravitacional. Como os c�lculos da perturba��o escalar s�o mais
simples eles podem dar-nos dicas preciosas sem precisarmos de
grande sofistica��o matem�tica.

A evolu��o de campos escalares em um espa�o-tempo 4-dimensional �
regida pela equa��o de Klein-Gordon. Para espa�os-tempos
esfericamente sim�tricos essa equa��o pode ser escrita de uma
forma mais generalizada devido ao desacoplamento das coordenadas
angulares e as coordenadas radial e temporal. A equa��o de
Klein-Gordon para um campo escalar n�o-massivo $\Psi$ �
\begin{equation}
\label{pe1} \Box \Psi(t,r,\theta,\phi)= 0\ ,
\end{equation}
que escrita explicitamente � dada por
\begin{equation}
\label{pe2}
\frac{1}{\sqrt{-g}}\partial_{i}(\sqrt{-g}g^{ij}\partial_{j})\Psi=0\
,
\end{equation}
onde $(i ,j=0,\dots,3)$ e $g=det\ g_{ij}$ � o determinante da m�trica.

Tomemos uma m�trica esfericamente sim�trica 4-dimensional dada por
\begin{equation}
\label{pe3} ds^2=-A(r)dt^2+B(r)dr^2+r^2d\Omega^2\ ,
\end{equation}
onde as fun��es $A(r)$ e $B(r)$ s�o, a princ�pio, gerais.

Assim para calcularmos a perturba��o, em uma m�trica esfericamente
sim�trica, causada por um campo $\Psi$, precisamos calcular
algumas
quantidades relevantes � opera��o.

O determinante da m�trica (\ref{pe3}) ser�
\begin{equation}
\label{pe4} det\ g_{ij}=-A(r)B(r)r^4 sen^2\theta\ ,
\end{equation}
e conseq�entemente
\begin{equation}
\label{pe5} \sqrt{-g}=r^2\ sen\theta \ \sqrt{A(r)B(r)}\ .
\end{equation}
Apresentaremos abaixo as derivadas relevantes e n�o-nulas para os
c�lculos:
\begin{eqnarray}
\label{pe6}
\partial_{1}\sqrt{-g}&=&2r sen\theta \ \sqrt{AB}\left(1+\frac{r}{4}\left[\frac{1}{A}\frac{dA}{dr}+\frac{1}{B}\frac{dB}{dr}\right]\right)\ ,\\
\nonumber\\
\frac{1}{\sqrt{-g}}\partial_{1}\sqrt{-g}&=&\frac{2}{r}\left(1+\frac{r}{4}\frac{d}{dr}\left[ln(AB)\right]\right)\ ,\\
\nonumber\\
\partial_{2}\sqrt{-g}&=&cos\theta \ r^2\sqrt{AB}\ ,\\
\nonumber\\
\frac{1}{\sqrt{-g}}\partial_{2}\sqrt{-g}&=&\frac{cos\theta}{sen\theta}\ ,\\
\nonumber\\
\partial_{2}\ g^{11}&=&-\frac{1}{B^2}\frac{dB}{dr}\ .
\end{eqnarray}
Devido �s simetrias do problema em quest�o (esf�rica, sem rota��o)
a nossa m�trica torna-se dependente apenas das coordenadas $r$ e
$\theta$ o que reduz a equa��o (\ref{pe2}) � seguinte
\begin{eqnarray}
\label{pe7}
g^{00}\partial_{0}^2\Psi+
\frac{1}{\sqrt{g}}\left(\partial_{1}\sqrt{g}\right)g^{11}\partial_{1}\Psi+\left(\partial_{1}g^{11}\right)\partial_{1}\Psi
+g^{11}\partial_{1}^2\Psi&+&\nonumber
\\+g^{22}\partial_{2}^2\Psi+\frac{1}{\sqrt{g}}\left(\partial_{2}\sqrt{g}\right)g^{22}\partial_{2}\Psi+g^{33}\partial_{3}^2\Psi&=&0\
.
\end{eqnarray}
Substituindo as derivadas calculadas na equa��o (\ref{pe7}) teremos
\begin{eqnarray}
\label{pe8}
g^{00}\frac{\partial^2\Psi}{\partial t^2}&+&\left[\frac{2}{r}+\frac{1}{2A}\frac{dA}{dr}-\frac{1}{2B}\frac{dB}{dr}\right]g^{11}\frac{\partial \Psi}{\partial r}+g^{11}\frac{\partial^2\Psi}{\partial r^2}+\nonumber\\
&+&\frac{1}{r^2}\left[\frac{1}{sen\theta}\frac{\partial}{\partial
\theta}\left(sen\theta\frac{\partial \Psi}{\partial
\theta}\right)+\frac{1}{sen^2\theta}\frac{\partial^2\Psi}{\partial
\phi^2}\right]=0\ .
\end{eqnarray}
Utilizando a seguinte substitui��o
\begin{equation}
\label{pe9} \Psi(t,r,\theta,\phi)=Z(r,t)Y_{lm}(\theta,\phi)\ ,
\end{equation}
onde $Y_{lm}(\theta,\phi)$ s�o os chamados Harm�nicos Esf�ricos e
solu��o da equa��o
\begin{equation}
\label{pe10} \frac{1}{sen\theta}\frac{\partial}{\partial
\theta}\left(sen\theta\frac{\partial Y_{lm}}{\partial
\theta}\right)+\frac{1}{sen^2\theta}\frac{\partial^2
Y_{lm}}{\partial \phi^2}+\ell(\ell + 1)Y_{lm}=0\ ,
\end{equation}
teremos uma equa��o diferencial de segunda ordem que depende
apenas de $r$ e $t$ dada por
\begin{eqnarray}
\label{pe11} -\frac{\partial^2 Z}{\partial
t^2}&+&\frac{A}{B}\frac{\partial^2 Z}{\partial
r^2}+\left[\frac{2}{r}+\frac{1}{2A}\frac{dA}{dr}-\frac{1}{2B}\frac{dB}{dr}\right]\frac{A}{B}\frac{\partial
Z}{\partial r}+\nonumber\\
&=&A\left(\frac{\ell(\ell+1)}{r^2}\right)Z\ .
\end{eqnarray}
Essa equa��o diferencial pode ser solucionada numericamente se
pudermos escrev�-la em um modo mais agrad�vel. Isso pode ser feito
atrav�s da substitui��o da coordenada radial $r$ pela coordenada
$r_{*}$ (ver Ap�ndice \ref{sec:coordtartaruga}).

Para isso fa�amos as seguintes substitui��es
\begin{eqnarray}
\label{pe12} Z(r,t)=R(r,t)\ b(r)\ , \qquad f(r)=\frac{A}{B}\ ,
\qquad r=r(r_{*})\ ,
\end{eqnarray}
na equa��o(\ref{pe11}), resultando em
\begin{eqnarray}
\label{pe13}
&-&\frac{\partial^2 R}{\partial t^2}\ b+\left[\frac{2}{r}+\frac{1}{2}\frac{\partial r_{*}}{\partial r}\frac{\partial }{\partial r_{*}}(ln \ f)\right] f\ \frac{\partial r_{*}}{\partial r}\frac{\partial }{\partial r_{*}}(R \ b)+\nonumber\\
\nonumber\\
&+& f\ \frac{\partial r_{*}}{\partial r}\frac{\partial }{\partial
r_{*}}\left[\frac{\partial r_{*}}{\partial r}\frac{\partial
}{\partial r_{*}}(\chi \ b)\right]= A R b
\left[\frac{\ell(\ell+1)}{r^2}\right]\ .
\end{eqnarray}
Reescrevendo a equa��o (\ref{pe13}) e dividindo-a por $b(r)$
teremos
\begin{eqnarray}
\label{pe14}
-\frac{\partial^2 R}{\partial t^2}+\frac{f}{b}\dot{r}_{*}\dot{r}_{*}'\left[R'\ b+b'\ R\right]+\frac{f}{b}\dot{r}_{*}^2\left[R''\ b+2b'R'+b''\ R\right]+\nonumber\\
\nonumber\\
+\left[\frac{2}{r}+\frac{1}{2}\frac{\dot{r}_{*}}{f}f'\right]\frac{f}{b}\dot{r}_{*}\left[R'\
b+R\ b'\right]=A R\left[\frac{\ell(\ell+1)}{r^2}\right]\ ,
\end{eqnarray}
onde $(\ '\ )$ e $(\ \dot{}\ )$ representam diferencia��o com
respeito a $r_{*}$ e $r$ respectivamente.

Escrevendo a equa��o (\ref{pe14}) de modo mais conveniente temos
\begin{eqnarray}
\label{pe15} -\frac{\partial^2 R}{\partial t^2}+f
\dot{r}_{*}^2\frac{\partial^2 R}{\partial r_{*}^2}+\frac{\partial
R}{\partial
r_{*}}\left(f\dot{r}_{*}\dot{r}_{*}'+2f\dot{r}_{*}^2\frac{b'}{b}+\left[\frac{2}{r}+\frac{\dot{r}_{*}f'}{2f}\right]f\dot{r}_{*}\right)+\nonumber\\
\nonumber\\
+R\left[f\dot{r}_{*}\dot{r}_{*}'\frac{b'}{b}+f\dot{r}_{*}^2\frac{b''}{b}+\left[\frac{2}{r}+\frac{\dot{r}_{*}f'}{2f}\right]f\dot{r}_{*}\frac{b'}{b}\right]=A
R\left[\frac{\ell(\ell+1)}{r^2}\right]\ .
\end{eqnarray}
Como queremos que equa��o (\ref{pe15}) tome a seguinte forma
\begin{eqnarray}
\label{pe16} -\frac{\partial^2 R}{\partial
t^2}(r,t)+\frac{\partial^2 R}{\partial r_{*}^2}(r,t)=
V_{ef}(r)R(r,t)\ ,
\end{eqnarray}
as seguintes condi��es devem ser satisfeitas:
\begin{eqnarray}
\label{pe17}
f(r)\dot{r}_{*}\dot{r}_{*}'+2f(r)\dot{r}_{*}^2\frac{b'}{b}&+&\left[\frac{2}{r}+\frac{\dot{r}_{*}f'}{2f}\right]f\dot{r}_{*}=0\ ,\\
\nonumber\\
\label{pe18} f(r)\dot{r}_{*}^2&=&1\ .
\end{eqnarray}
Solucionando a equa��o (\ref{pe18}) teremos
\begin{eqnarray}
\label{pe19}
\dot{r}_{*}=\frac{1}{\sqrt{f}} \qquad &\Longrightarrow & \qquad \frac{d}{dr_{*}}=\sqrt{f}\frac{d}{dr}\ ,\\
\nonumber\\
\label{pe20}
\frac{d}{dr_{*}}&=&\sqrt{\frac{A}{B}}\frac{d}{dr}\ ,\\
\nonumber\\
 r_{*}&=&\int \frac{1}{\sqrt{f}}\ dr\ .
\end{eqnarray}
Substituindo as equa��es (\ref{pe19}) e (\ref{pe20}) na equa��o
(\ref{pe17}) encontraremos a fun��o $b(r)$
\begin{eqnarray}
\label{pe21}
\dot{r}_{*}'+2\dot{r}_{*}\frac{b'}{b}+\left[\frac{2}{r}+\frac{\dot{r}_{*}f'}{2f}\right]=0\nonumber\\
\nonumber\\
\label{pe22}
-\frac{1}{2f}\frac{df}{dr}+\frac{2}{b}\frac{db}{dr}+\frac{2}{r}+\frac{1}{2f}\frac{df}{dr}=0\nonumber\\
\nonumber\\
\label{pe22a} \frac{db}{dr}=-\frac{b}{r}\qquad \Longrightarrow
\qquad b(r)=\frac{1}{r}\ .
\end{eqnarray}
Para finalizar, o potencial efetivo ser� dado por
\begin{eqnarray}
\label{pe23}
V_{ef}(r)=A(r)\left[\frac{\ell(\ell+1)}{r^2}\right]-V(r)\ ,
\end{eqnarray}
onde
\begin{eqnarray}
\label{pe24}
V(r)=\left[f\dot{r}_{*}\dot{r}_{*}'\frac{b'}{b}+f\dot{r}_{*}^2\frac{b''}{b}+\left[\frac{2}{r}+\frac{\dot{r}_{*}f'}{2f}\right]f\dot{r}_{*}\frac{b'}{b}\right]\
.
\end{eqnarray}
Substituindo as equa��es (\ref{pe22a}) e (\ref{pe19}) na equa��o
(\ref{pe24}) teremos o potencial $V(r)$
\begin{eqnarray}
\label{pe25}
V(r)&=&f\dot{r}_{*}r\left[\frac{d}{dr}\left(\sqrt{f}\left(-\frac{1}{r^2}\right)\right)+\frac{2}{r}\sqrt{f}\left(-\frac{1}{r^2}\right)\right]\nonumber\\
\nonumber\\
V(r)&=&fr\left(\frac{1}{\sqrt{f}}\right)\left(-\frac{1}{2r^2\sqrt{f}}\frac{df}{dr}\right)\nonumber\\
\nonumber\\
V(r)&=&-\frac{1}{2r}\frac{df}{dr}\ .
\end{eqnarray}
Desta forma, nossa equa��o para a perturba��o causada por um campo
escalar n�o-massivo em um espa�o-tempo esfericamente sim�trico, ser�
reduzida a uma equa��o tipo-Schroedinger dependente de $t$ e
$r=r(r_{*})$ com um potencial efetivo $V_{ef}(r)$ dados por
\begin{eqnarray}
\label{pe26}
-\frac{\partial^2 R}{\partial t^2}(r,t)+\frac{\partial^2 R}{\partial r_{*}^2}(r,t)= V_{ef}(r)R(r,t)\ ,\\
\nonumber\\
\label{pe27}
V_{ef}(r)=A(r)\left[\frac{\ell(\ell+1)}{r^2}\right]+\frac{1}{2r}\frac{df}{dr}\
.
\end{eqnarray}
A fun��o de onda que descreve a evolu��o do campo escalar nesse
espa�o-tempo ser�
\begin{equation}
\label{pe28} \Psi
(t,r,\theta,\phi)=\sum_{lm}\frac{R(t,r)}{r}Y_{lm}(\theta,\phi)\ .
\end{equation}
\newpage
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Perturba��es Eletromagn�ticas}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

Um campo de grande interesse a ser estudado � o campo
eletromagn�tico pois ele representa um campo de mat�ria com algum
sentido f�sico. Quando estivermos estudando o caso de buracos
negros na brana a evolu��o do campo eletromagn�tico ser� de grande
interesse uma vez que ele pernamece confinado na brana. Mas por
enquanto nos restringiremos a buracos negros em (3+1) dimens�es.

A evolu��o de um campo de Maxwell eletromagn�tico sem fonte em
um espa�o-tempo esfericamente sim�trico s�o regidas pelas equa��es
de Maxwell
\begin{eqnarray}
\label{pele01}
F^{ij}_{\phantom{ ij}{;j}}=0,\qquad F_{ij}=A_{ j;i}-A_{ i;j},
\end{eqnarray}
onde $A_{i}$ � potencial vetor associado ao campo.\\
Para uma m�trica esfericamente sim�trica dada por
\begin{eqnarray}
\label{pele02}
ds^2=-A(r)dt^2+B(r)dr^2+r^2d\Omega^2,
\end{eqnarray}
podemos expandir $A_{i}$ em termos dos harm�nicos esf�ricos
vetoriais $(Y_{lm})_{i}(\theta,\phi)$ (ver \cite{Ruffini}):
\begin{displaymath}
A_{i}(t,r,\theta,\phi)=\sum_{l,m}\left( \left[{\small
\begin{array}{c}
0\\
0\\
\frac{a^{lm}(t,r)}{sen\theta} \ \partial_{\phi}Y_{lm}\\
-a^{lm}(t,r)\ sen\theta\ \partial_{\theta}Y_{lm}
\end{array} }\right]\right.
+\left.\left[{\small\begin{array}{c}
f^{lm}(t,r)\ Y_{lm}\\
h^{lm}(t,r)\ Y_{lm}\\
k^{lm}(t,r)\ \partial_{\theta}Y_{lm}\\
k^{lm}(t,r)\ \partial_{\phi}Y_{lm}
\end{array}}\right]\right)
%\Bigg)
\end{displaymath}
onde o primeiro termo � direita tem paridade $(-1)^{\ell+1}$ e o
segundo termo tem paridade $(-1)^{\ell}$, $m$ � o n�mero azimutal
e $\ell$ � o n�mero de momento angular orbital.

Se substituirmos essa expans�o acima no tensor $F^{ij}$ teremos
como resultado dois conjuntos de equa��es. Um para a paridade
$(-1)^{\ell+1}$ e outro para a paridade $(-1)^{\ell}$. As
componentes n�o-nulas do tensor $F^{ij}$ de paridade
$(-1)^{\ell+1}$ s�o
\begin{eqnarray}
\label{pele03}
F^{t\phi}_{l,m}&=& - \frac{g^{tt}a^{lm}_{\phantom{lm}{,t}}Y^{lm}_{\phantom{lm}{,\theta}}}{r^2\ sen\theta};\qquad F^{r\phi}_{l,m}= - \frac{g^{rr}a^{lm}_{\phantom{lm}{,r}}Y^{lm}_{\phantom{lm}{,\theta}}}{r^2\ sen\theta},\nonumber\\
\nonumber\\
F^{t\theta}_{l,m}&=& \frac{g^{tt}a^{lm}_{\phantom{lm}{,t}}Y^{lm}_{\phantom{lm}{,\phi}}}{r^2\ sen\theta};\qquad \ \ F^{r\theta}_{l,m}= \frac{g^{rr}a^{lm}_{\phantom{lm}{,r}}Y^{lm}_{\phantom{lm}{,\phi}}}{r^2\ sen\theta},\nonumber\\
\nonumber\\
F^{\theta\phi}_{l,m}&=&\frac{\ell(\ell+1)\ a^{lm}\ Y^{lm}_{\phantom{lm}}}{r^4\ sen\theta}\nonumber.
\end{eqnarray}
Substituindo as componentes acima na equa��o (\ref{pele01}) obteremos uma equa��o diferencial radial
\begin{eqnarray}
\label{pele04} -\frac{1}{A}\frac{\partial^2a^{lm}}{\partial t^2}
+\frac{a^{lm}_{\phantom{lm}{,r}}}{2B}\left(ln\
A/B\right)_{,r}+\frac{a^{lm}_{\phantom{lm}{,rr}}}{B}-\frac{\ell(\ell+1)}{r^2}a^{lm}=0\
,
\end{eqnarray}
e outras equa��es que ser�o satisfeitas identicamente ou ser�o
equivalentes � equa��o (\ref{pele04}).

Como no caso da perturba��o escalar, a equa��o (\ref{pele04}) pode
ser escrita em uma forma mais compacta se utilizarmos a coordenada
tartaruga $r_{*}$ e fizermos a substui��o
\begin{eqnarray}
\label{pele09} a^{lm}(t,r)=\mathcal{A}(t,r), \qquad
f(r)=\frac{A}{B}, \qquad \frac{d}{dr_{*}}=\sqrt{f}\frac{d}{dr}.
\end{eqnarray}
Assim a equa��o (\ref{pele04}) pode ser reescrita como
\begin{eqnarray}
\label{pele10}
-\frac{\partial^2\mathcal{A}}{\partial t^2}+\frac{\partial^2\mathcal{A}}{\partial r_{*}^2}=V_{eletro}(r)\ \mathcal{A}
\end{eqnarray}
onde
\begin{eqnarray}
\label{pele11} V_{eletro}(r)= A(r)\frac{\ell(\ell+1)}{r^2}.
\end{eqnarray}
Essa ser� nossa equa��o para componente axial da perturba��o
eletromagn�tica sobre um espa�o-tempo esfericamente sim�trico.\\
De modo semelhante as componentes n�o-nulas do tensor $F^{ij}$ de
paridade $(-1)^{\ell}$ s�o
\begin{eqnarray}
\label{pele05}
F^{r\theta}_{l,m}&=&g^{rr}(k^{lm}_{\phantom{lm}{,r}}-h^{lm})\frac{Y^{lm}_{\phantom{lm}{,\theta}}}{r^2}; \qquad F^{r\phi}_{l,m}=g^{rr}(k^{lm}_{\phantom{lm}{,r}}-h^{lm})\frac{Y^{lm}_{\phantom{lm}{,\phi}}}{r^2\ sen\theta}\nonumber\\
\nonumber\\
F^{tr}_{l,m}&=& g^{tt}\ g^{rr} (h^{lm}_{\phantom{lm}{,t}}-f^{lm}_{\phantom{lm}{,r}})Y^{lm};\qquad \ \ \ F^{t\theta}_{l,m}=g^{tt}(k^{lm}_{\phantom{lm}{,t}}-f^{lm})\frac{Y^{lm}_{\phantom{lm}{,\theta}}}{r^2},\nonumber\\
\nonumber\\
F^{t\phi}_{l,m}&=&g^{tt}(k^{lm}_{\phantom{lm}{,t}}-f^{lm})\frac{Y^{lm}_{\phantom{lm}{,\phi}}}{r^2\ sen\theta}.\nonumber
\end{eqnarray}
Substituindo essas componentes na equa��o (\ref{pele01}) obtemos
um conjunto de equa��es diferenciais radiais dados por
\begin{eqnarray}
\label{pele06}
g^{rr}[r^2(f^{lm}_{\phantom{lm}{,r}}-h^{lm}_{\phantom{lm}{,t}})]_{,r}+\ell(\ell+1)(f^{lm}-k^{lm}_{\phantom{lm}{,t}})+\nonumber\\
\nonumber\\
+\frac{(f^{lm}_{\phantom{lm}{,r}}-h^{lm}_{\phantom{lm}{,t}})}{2}g^{rr}r^2\left[(ln\ AB)_{,r}\right]=0\\
\nonumber\\
\nonumber\\
\label{pele08}
[(h^{lm}-k^{lm}_{\phantom{lm}{,r}})g^{rr}]_{,r}-(k^{lm}_{\phantom{lm}{,t}}-f^{lm})_{,t}g^{tt}-\nonumber\\
\nonumber\\
-\frac{1}{2}(ln\ AB)_{,r}g^{rr}(k^{lm}_{\phantom{lm}{,r}}-h^{lm})=0\\
\nonumber\\
\nonumber\\
\label{pele07}
\frac{1}{A}(h^{lm}_{\phantom{lm}{,t}}-f^{lm}_{\phantom{lm}{,r}})_{,t}-\frac{\ell(\ell+1)}{r^2}(k^{lm}_{\phantom{lm}{,r}}-h^{lm})=0
\end{eqnarray}
e o restante das equa��es ou s�o identicamente satisfeitas ou s�o
equivalentes ao conjunto acima.

Essas s�o as tr�s equa��es da componente polar da perturba��o
eletromagn�tica.

No caso da m�trica (\ref{pele02}) ser a m�trica de Schwarzschild,
ou seja, $A=\frac{1}{B}$ as equa��es (\ref{pele06}),
(\ref{pele08}) e (\ref{pele07}) se desacoplam, ap�s uma
substitui��o conveniente, e se reduzem a uma �nica equa��o que
possuir� a mesma forma da equa��o (\ref{pele04}). No caso mais
geral ainda n�o sabemos se � possivel esse desacoplamento das
equa��es.

\newpage
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Perturba��es Gravitacionais}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

As perturba��es gravitacionais de fato, s�o o caso mais
interessante a ser estudado, principalmente no que se refere �
estabilidade de solu��es das equa��es de Einstein. Ao contr�rio
das perturba��es escalares e eletromagn�ticas, perturba��es
gravitacionais, afetam levemente a m�trica fundo.

A evolu��o de campos gravitacionais em um espa�o-tempo
esfericamente sim�trico � governada pelas equa��es de Einstein. A
perturba��o causada por campos gravitacionais pode ser dividida em
axiais e polares devido � simetria esf�rica do problema. Essa
nomenclatura deve-se ao modo como elas se transformam sobre uma
invers�o espacial em $\phi$ e foi introduzida por Chandrasekhar em
1983 \cite{Chandra}.

Perturba��es {\it{axiais}}, se transformam como $(-1)^{\ell+1}$ e
induz um efeito de rota��o no buraco negro.

Perturba��es {\it{polares}}, se transformam como $(-1)^{\ell}$ e
como independem do sinal da coordenada $\phi$ n�o induzem rota��o.

Nesse trabalho trataremos apenas das perturba��es axiais e
consideraremos perturba��es em $1^{a}$ ordem na m�trica
$\breve{g}_{ij}$. Como realizado para a perturba��o escalar,
calcularemos a perturba��o para uma m�trica esfericamente
sim�trica  t�o geral quanto poss�vel e depois especificaremos caso
a caso.\\
\\
Nossa m�trica esfericamente sim�trica � dada por
\begin{eqnarray}
\label{pg00} ds^2=-A(r)dt^2+B(r)dr^2+r^2d\Omega^2\ ,
\end{eqnarray}
com $A(r)$ e $B(r)$ sendo duas fun��es em princ�pio arbitr�rias.

As equa��es de Einstein 4-dimensionais para o v�cuo, ou seja, o
exterior de uma estrela ou buraco negro, ser�o
\begin{eqnarray}
\label{pg01}
\breve{R}_{ij}-\frac{1}{2}\breve{g}_{ij}\
\breve{R}\ =\ \breve{T}_{ij}\ ,\nonumber\\
\nonumber\\
\breve{R}_{ij}-\frac{1}{2}\breve{g}_{ij}\ \breve{R}=0\ .
\end{eqnarray}
A nota��o $(\ \breve{} \ )$ indica que o objeto ser� calculado com
respeito � m�trica fundo $\breve{g}_{ij}$, ou seja, o
objeto n�o � perturbado.

O escalar de Ricci ser� obtido quando contra�mos o tensor de Ricci
$\breve{R}_{ij}$ com $\breve{g}^{ij}$. Entretanto ele tamb�m pode
ser calculado quando contra�mos a equa��o (\ref{pg01}) com a
m�trica. No caso do espa�o-tempo vazio, o escalar de Ricci ser�
\begin{eqnarray}
\label{pg01a}
\breve{g}^{ij}\breve{R}_{ij}-\frac{1}{2}
\breve{g}^{ij}\breve{g}_{ij}\
\breve{R}\ =0\ ,\nonumber\\
\nonumber\\
\breve{R}-\frac{1}{2}\delta^{i}_{i}\
\breve{R}\ =0\ ,\nonumber\\
\nonumber\\
\breve{R}\ =0\ .
\end{eqnarray}
Conseq�entemente nossa equa��o (\ref{pg01}) se reduz a
\begin{eqnarray}
\label{pg01b} \breve{R}_{ij}=0\ .
\end{eqnarray}
A equa��o (\ref{pg01b}) ser� a equa��o que perturbaremos.

Quando estivermos estudando o caso de buracos negros na brana
nossa equa��o de Einstein ser� um pouco diferente devido �
influ�ncia do {\it bulk}.

Para uma perturba��o em $1^{a}$ ordem a nova m�trica pode ser
escrita como
\begin{eqnarray}
\label{pg02} q_{ij}=\breve{g}_{ij}+ \ h_{ij}\ , \qquad
q^{ij}=\breve{g}^{ij}-\ h^{ij}, \qquad q_{ib}\
q^{bj}&=&\delta_{i}^{j}+ \mathcal{O}(h^2),
\end{eqnarray}
onde $h_{ij} \ll \ \breve{g}_{ij}$. Como essa perturba��o �
pequena os termos de $2^{a}$ ordem, $\mathcal{O}(h^{2})$, podem
ser desprezados por serem muito menores que a perturba��o. As
derivadas covariantes das quantidades perturbadas ser�o efetuadas
com os s�mbolos de Christoffel $\breve{\Gamma}^{a}_{ij}$ n�o
perturbados. Entretanto para calcular o tensor de Ricci perturbado
precisaremos dos s�mbolos de Christoffel perturbados
$\Gamma^{a}_{ij}$.

Os s�mbolos de Christoffel perturbados s�o dados por
\begin{eqnarray}
\label{pg03}
\Gamma^{a}_{ij}=\frac{1}{2}q^{ab}(q_{bi,j}+q_{bj,i}-q_{ij,b})=
\breve{\Gamma}^{a}_{ij}+\delta \Gamma^{a}_{ij}+\mathcal{O}(h^2),
\end{eqnarray}
onde o termo $\delta \Gamma^{a}_{ij}$ pode ser escrito
da seguinte maneira
\begin{eqnarray}
\label{pg04} \delta
\Gamma^{a}_{ij}=\frac{1}{2}\breve{g}^{ab}(h_{bi;j}+h_{bj;i}-h_{ij;b}).
\end{eqnarray}
O tensor de Ricci perturbado � dado pelas equa��es
\begin{eqnarray}
\label{pg05} \delta R_{ij}= \delta \Gamma^{a}_{ia;j}-\delta
\Gamma^{a}_{ij;a}\ .
\end{eqnarray}
Assim, substituindo a nova m�trica $q_{ij}$ na equa��o
(\ref{pg01b}), e identificando-a com o tensor de Ricci perturbado
teremos as equa��es de campo perturbadas para o v�cuo como sendo
\begin{eqnarray}
\label{pg06}
R_{ij}=\breve{R}_{ij}+\delta R_{ij}=0\ ,\nonumber\\
\nonumber\\
\delta R_{ij}= \delta \Gamma^{a}_{ia;j}-\delta
\Gamma^{a}_{ij;a}=0\ ,\nonumber\\
\nonumber\\
\delta R_{ij}=0\ .
\end{eqnarray}
Essa � a equa��o que governa a propaga��o de campos gravitacionais
no v�cuo de um espa�o-tempo esfericamente sim�trico.

No contexto da Relatividade Geral a �nica solu��o da equa��es de
Einstein que satisfaz a condi��es de um espa�o-tempo est�tico,
vazio e esfericamente sim�trico � a solu��o de Schwarzschild. Entretanto, no
contexto de branas, a influ�ncia do {\it bulk} adicionando um
termo de ``mat�ria"  no tensor momento-energia $T_{ij}$, permite
uma classe de solu��es est�ticas, vazias e esfericamente sim�tricas.
Tomaremos mais adiante a m�trica de Schwarzschild como exemplo
para explicitarmos as equa��es que governam a propaga��o de campos
gravitacionais neste espa�o-tempo. Neste trabalho restringiremos
nossa aten��o � componente axial das perturba��es gravitacionais.
Para o caso de Schwarzschild, por exemplo, as perturba��es
gravitacionais polares
s�o bem explicadas e desenvolvidas em \cite{Chandra,Edelstein}.\\
\\
{\bf Perturba��es gravitacionais axiais}\\
\\
O c�lculo de perturba��es gravitacionais � um assunto que j� foi
amplamente estudado no contexto da Relatividade Geral. Entretanto
para os nossos prop�sitos dois formalismos s�o de interesse. O
primeiro deles foi desenvolvido por Regge e Wheeler \cite{Regge} e
o segundo por Chandrasekhar \cite{Chandra}.

Para o nosso c�lculo das perturba��es gravitacionais axiais em uma
m�trica dada pela equa��o (\ref{pg00}), utilizaremos o m�todo
desenvolvido por Regge e Wheeler.

Como a simetria do nosso problema � esf�rica podemos decompor o
nosso tensor $h_{ij}$ em uma parte angular, em termos de
harm�nicos esf�ricos tensoriais (ver Ap�ndices \ref{sec:Dectensorial} e \ref{sec:ConsHET}), e uma parte dependente das
coordenadas $r$ e $t$.

Utilizando os resultados do trabalho Regge e Wheeler podemos ver
que a componente axial da perturba��o gravitacional para a m�trica
em estudo � dada por
\begin{displaymath}
\left[\begin{array}{cccc}
0& 0& -\frac{h_{0}(t,r)}{sen\theta}\frac{\partial Y_{lm}}{\partial \phi}&\scriptstyle h_{0}(t,r)sen\theta\frac{\partial Y_{lm}}{\partial \theta}\\
0& 0& -\frac{h_{1}(t,r)}{sen\theta}\frac{\partial Y_{lm}}{\partial
\phi}&\scriptstyle h_{1}(t,r)sen\theta\frac{\partial Y_{lm}}{\partial \theta}\\
sim&sim&\scriptstyle h_{2}(t,r)\left[\frac{1}{sen\theta}\frac{\partial^{2}}{\partial \theta
\partial\phi}-\frac{cos\theta}{sen^{2}\theta}\frac{\partial}{\partial \phi}
\right]Y_{lm}&sim\\
sim&sim&\scriptstyle \frac{1}{2}h_{2}(t,r)\left[\frac{1}{sen\theta}\frac{\partial^{2}}{\partial
\phi \partial\phi}+cos\theta \frac{\partial}{\partial \theta}-sen\theta
\frac{\partial^{2}}{\partial \theta \partial \theta}\right]Y_{lm}&\scriptstyle -h_{2}(t,r)
\left[sen\theta\ \frac{\partial^{2}}{\partial \theta \partial \phi}-cos\theta \frac{\partial}{\partial \phi}\right]Y_{lm}\\
\end{array}\right]\ .
\label{pg14}
\end{displaymath}
Trabalharemos com a condi��o de $m=0$ pois qualquer que seja o
valor de $m$ e $l$ teremos a mesma equa��o radial. A vantagem de
usarmos $m=0$ � eliminarmos a coordenada $\phi$ dos c�lculos das
perturba��es.

Isso se d� pois
\begin{eqnarray}
\label{pg15} L_{z}\ Y_{lm}(\theta,\phi)=\ mY_{lm}(\theta,\phi)
\qquad \Longrightarrow \qquad \frac{\partial Y}{\partial
\phi}(\theta,\phi)=0\ .
\end{eqnarray}
O nosso tensor $h_{ij}$ ainda � um tanto quanto complicado.
Portanto para simplific�-lo um pouco utilizaremos o gauge de
Regge-Wheeler para perturba��es axiais.

Para isso faremos um deslocamento infinitesimal na coodernada
$x^{a}$ tal que
\begin{eqnarray}
\label{pg16} x'^{a}=x^{a}+\xi^{a}\ , \qquad (\xi^{a}\ll x^{a})
\end{eqnarray}
onde $\xi^{a}$ se transforma como um vetor.

O nosso novo tensor perturba��o $h_{ij}^{\phantom{ij}{novo}}$ ser�
dado por
\begin{eqnarray}
\label{pg17} h_{ij}^{\phantom{ij}{novo}}=
h_{ij}+\xi_{i;j}+\xi_{j;i}\ .
\end{eqnarray}
Desta forma o gauge de Regge-Wheeler que simplifica nossa
perturba��o axial para $l$ e $m$ arbitr�rios ser�
\begin{eqnarray}
\label{pg18} \xi^{0}=0,\quad \xi^{1}=0, \quad
\xi^{i}=\Lambda(r,t)\epsilon^{ij}\frac{\partial}{\partial
x^{j}}Y_{lm}(\theta,\phi), \qquad (i,j=3,4).
\end{eqnarray}
Substituindo o gauge (\ref{pg18}) na equa��o (\ref{pg17}),
adotando uma depend�ncia temporal harm�nica $e^{-i\omega t}$ e
fazendo $m=0$ sem perda de generalidade, nosso tensor resultante
para perturba��es axiais ser�\\
\begin{displaymath}
h_{ij}^{\phantom{ij}{axiais}}=\left[\begin{array}{cccc}
0&0&0&h_{0}(r)\\
0&0&0&h_{1}(r)\\
0&0&0&0\\
sim&sim&0&0
\end{array}\right] \times e^{-i\omega t}\ sen\theta \frac{\partial}{\partial
\theta}P_{l}(cos\theta)\ .
\end{displaymath}
Substituindo o tensor $h_{ij}^{\phantom{ij}{axiais}}$, na equa��o
(\ref{pg06}), teremos como resultado tr�s equa��es acopladas. N�s
utilizaremos o resultado obtido por Edelstein e Vishveshwara
\cite{Edelstein}, pela generalidade por eles adotada e porque as
equa��es obtidas por Regge e Wheeler n�o satisfaziam as equa��es
de Einstein.

Assim as componentes n�o-nulas da equa��o (\ref{pg06}) s�o
\begin{eqnarray}
\label{pg20}
\delta R_{\theta\phi}&=& -\frac{1}{2}\left(i\omega \frac{h_{0}}{A}+B\left[\frac{1}{2}\frac{d}{dr}(ln(A/B))h_{1}+\frac{dh_{1}}{dr}\right]\right)\nonumber\\
\nonumber\\
&\times& \left(cos\theta \frac{d}{d\theta}-sen\theta\frac{d^{2}}{d\theta^{2}}\right)P_{l}(cos\theta)e^{-i\omega t}=0;\\
\nonumber\\
\nonumber\\
\label{pg21}
\delta R_{r\phi}&=&\frac{1}{2}\bigg\{\bigg[\frac{\ell(\ell+1)}{r^{2}}-\frac{\omega^{2}}{A}+\frac{1}{Br}\left(\frac{d}{dr}(ln(B/A))-\frac{2}{r}\right)\bigg]h_{1}\nonumber\\
\nonumber\\
&+&\frac{i\omega}{A}\left(\frac{dh_{0}}{dr}-\frac{2h_{0}}{r}\right)\bigg\}\times sen\theta\frac{dP_{l}}{d\theta}(cos\theta)e^{-i\omega t}=0;\\
\nonumber\\
\nonumber\\
\label{pg22}
\delta R_{t\phi}&=&-\bigg\{\frac{1}{2B}\frac{d^{2}h_{0}}{dr^{2}}+i\omega\left[\frac{1}{2B}\frac{dh_{1}}{dr}+\frac{h_{1}}{Br}-\frac{1}{4B}\frac{d}{dr}(ln(AB))h_{1}\right]\nonumber\\
\nonumber\\
&-&\frac{1}{4B}\frac{d}{dr}(ln(AB))h_{1}\frac{dh_{0}}{dr}+\left(\frac{1}{Br}\frac{d}{dr}(ln(A))-\frac{\ell(\ell+1)}{2r^2}\right)h_{0}\bigg\}\nonumber\\
\nonumber\\
&\times& sen\theta\frac{dP_{l}}{d\theta}(cos\theta)e^{-i\omega
t}=0.
\end{eqnarray}
Essas equa��es podem ser simplificadas se levarmos em conta as propriedades dos
Polin�mios de Legendre $P_{l}(cos\theta)$, ou seja, se analisarmos os �ndices de
multipolo $l$.

Para $l = 0$ temos que $P_{0}=1$ e por conseq��ncia, a parte
angular das tr�s equa��es acima s�o identicamente nulas.

Para $l = 1$ temos que $P_{1}=-sen\theta$. Nesse caso a equa��o
$\delta R_{\theta \phi}$ � identicamente nula.

Como esses �ndices de multipolo $l=0,1$ s�o menores que o valor do
spin da perturba��o $s=2$ eles n�o s�o modos din�micos, ou seja,
eles n�o evoluem no tempo. Eles correspondem a quantidades
conservadas.

Uma perturba��o gravitacional com �ndice $l=0$ descreve uma
mudan�a na massa do buraco negro. J� uma perturba��o com �ndice
$l=1$ corresponde a um deslocamento al�m de gerar um pequeno
incremento de momento angular, fazendo o buraco negro girar.

Nosso interesse se concentra naqueles �ndices de multipolo que s�o
capazes de se propagar por um intervalo de tempo suficientemente grande
de modo que possamos medir tal onda com nossos detectores.
Portanto apenas multipolos com $l\geq 2$ s�o relevantes.

Para $l\geq 2$ temos $P_{l\ \geq 2}\ \neq 0$. Desta forma os
fatores entre chaves nas equa��es devem se anular para que elas
sejam satisfeitas, resultando em tr�s equa��es
radiais.

A parte radial da equa��o $\delta R_{t\phi}=0$ pode ser escrita
como uma combina��o das outras duas equa��es se a seguinte condi��o
for satisfeita
\begin{eqnarray}
\label{pg23}
\frac{d^2}{dr^2}\left(ln\
\frac{A}{B}\right)&+&\frac{1}{2}\left(\frac{d}{dr}\left(ln\
\frac{A}{B}\right)\right)^2-\frac{1}{2}\left[\left(\frac{d}{dr}ln\
A\right)^2-\left(\frac{d}{dr}ln\ B \right)^2\right]+\nonumber\\
\nonumber\\
&+&\frac{1}{r}\left(\frac{d}{dr}\left(ln\ A-3\ ln\
B\right)\right)=0\ .
\end{eqnarray}
Se a equa��o (\ref{pg23}) for satisfeita poderemos eliminar
$h_{0}$ das equa��es de $1^{a}$ ordem e obter uma �nica equa��o
radial de $2^{a}$ ordem
\begin{eqnarray}
\label{pg24}
\frac{d^2h_{1}}{dr^2}+\left[\frac{3}{2}\frac{d}{dr}\left(ln\
\frac{A}{B}\right)-\frac{2}{r}\right]\frac{dh_{1}}{dr}&+&\Bigg[
\frac{1}{2}\frac{d^2}{dr^2}\left(ln\
\frac{A}{B}\right)+\frac{1}{2}\left(\frac{d}{dr}\left(ln\
\frac{A}{B}\right)\right)^2\nonumber\\
\nonumber\\
&-&B\frac{\ell(\ell+1)}{r^2}+\omega^2\frac{B}{A}+\frac{2}{r^2}\Bigg]h_{1}=0.
\end{eqnarray}
Caso contr�rio teremos duas equa��es de $2^{a}$ ordem acopladas
que devem ser resolvidas para $h_{0}$ e $h_{1}$.

Neste momento � necess�rio que especifiquemos nossa m�trica para
prosseguir no desenvolvimento dos c�lculos. Como a m�trica de
Schwarzschild satisfaz a equa��o (\ref{pg23}) tomemo-a como
exemplo.

A m�trica de Schwarzschild � dada por
\begin{eqnarray}
\label{pgSch} ds^2=-A(r)dt^2+B(r)dr^2+r^2d\Omega^2\ ,
\end{eqnarray}
onde
\begin{eqnarray}
\label{pgSch1}
A(r)=\left(1-\frac{2M}{r}\right), \qquad B(r)=\frac{1}{\left(1-\frac{2M}{r}\right)}.
\end{eqnarray}
Se definirmos
\begin{eqnarray}
\label{pg25} Q(r)=\left(1-\frac{2M}{r}\right)\frac{h_{1}}{r}\ ,
\end{eqnarray}
e a coordenada tartaruga como
\begin{eqnarray}
\label{pg26} dr^{*}=\frac{1}{\left(1-\frac{2M}{r}\right)}\ dr \qquad \Longrightarrow \qquad
\frac{d}{dr^{*}}=\left(1-\frac{2M}{r}\right)\frac{d}{dr},
\end{eqnarray}
e substituirmos na equa��o (\ref{pg24}) juntamente com os valores de $A(r)$ e $B(r)$
obteremos uma equa��o tipo-Schroedinger dada por
\begin{eqnarray}
\label{pg27}
\frac{d^2Q}{dr^{*}}+\left(\omega^2-V_{eff}^{axial}\right)Q=0\ ,
\end{eqnarray}
onde
\begin{eqnarray}
\label{pg28}
V_{ef}^{axial}=\left(1-\frac{2M}{r}\right)\frac{\ell(\ell+1)}{r^2}-\frac{3}{r}\frac{d}{dr^{*}}\left(1-\frac{2M}{r}\right).
\end{eqnarray}
Essa � nossa equa��o para perturba��o gravitacional axial para o
buraco negro de Schwarzschild. Essa equa��o tamb�m � conhecida
como {\it equa��o de Regge-Wheeler}.
\newpage
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\chapter[Estabilidade e Modos Quasi-normais]{Estabilidade e Modos Quasi-Normais de um Buraco
Negro}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
{\it As surpresas de uma viagem tornam-na mais emocionante.
Entretanto n�o podemos correr o risco de cruzar uma ponte e a
mesma cair. N�o podemos continuar nossa jornada sem saber se nossa
ponte � est�vel, segura. Que caracter�sticas da ponte podem nos
dizer sobre sua estabilidade? Suas cordas? Seu piso?}

\section{Estabilidade}
Como foi visto no cap�tulo anterior, a evolu��o de campos no
exterior de um buraco negro causa perturba��es no espa�o-tempo.
Portanto podemos nos perguntar como essas perturba��es afetam o
pr�prio buraco negro.

Assim uma pergunta merece aten��o. Buracos negros s�o est�veis,
quando submetidos a algum tipo de perturba��o?

Para responder tal pergunta � necess�rio saber se solu��es da
equa��es de Einstein tipo buraco negro s�o est�veis, ou seja, se
eles existem realmente e podem ser perturbados.

O in�cio desses estudos sobre estabilidade de buracos negros
remontam ao ano de 1957 com o trabalho de Regge e Wheeler sobre a
estabilidade da singularidade de Schwarzschild \cite{Regge}.

Neste trabalho Regge e Wheeler analisaram se, perturba��es
gravitacionais sobre o buraco negro de Schwarzschild, cresciam
exponencialmente com o tempo. Isso n�o foi observado do que eles
concluiram que o buraco negro de Schwarzschild era est�vel sobre
aquele tipo de perturba��o. Quando estivermos estudando buracos
negros sobre a brana, utilizaremos o mesmo crit�rio de
estabilidade, ou seja, estudaremos se as perturba��es crescem
exponencialmente no tempo. Mas por enquanto voltemos nossa aten��o
ao caso de buracos negros em (3+1) dimens�es.\\
Como estudado anteriormente, quase todas as equa��es que governam
a evolu��o de campos no exterior de um buraco negro esfericamente
sim�trico podem ser escritas na forma de uma equa��o diferencial
de $2^{a}$ ordem do tipo-Schroedinger quando assumimos uma
depend�ncia temporal do tipo $e^{-i\omega t}$. Desta depend�ncia
temporal podemos ver que se $\omega$ � puramente imagin�rio
$(\omega=i\alpha)$, a exponencial $e^{+\alpha t}$ cresce com o
tempo causando a instabilidade. Nessa descri��o o estudo das
perturba��es de um buraco negro � an�logo ao estudo do problema de
propaga��o de onda em uma barreira de potencial em mec�nica
qu�ntica.

Quando tratamos as equa��es de perturba��o dessa maneira o termo
$\omega^2$  faz o papel da energia da onda na equa��o de
Schroedinger. A quantidade resultante de
$(\omega^2-V(r))$ pode ser interpretada como o potencial efetivo.

Assim nossa aten��o se reduz ao estudo da equa��o
\begin{eqnarray}
\label{est01}
\frac{d^2Q}{dr^{*}}+\left(\omega^2-V(r)\right)Q=0.
\end{eqnarray}
sobre um dado potencial $V(r)$, que depende do tipo da perturba��o
realizada sobre o buraco negro , com condi��es de contorno
apropriadas. Portanto a forma do potencial $V(r)$ tem papel
decisivo na estabilidade do buraco negro.\\
Tomemos o caso do buraco negro de Schwarzschild novamente como
exemplo.\\
Para perturba��es gravitacionais axiais, o potencial $V(r)$ � dado
por
\begin{eqnarray}
\label{est02}
V(r)=\left(1-\frac{2M}{r}\right)\left[\frac{\ell(\ell+1)}{r^2}-\frac{6M}{r^3}\right]\
,
\end{eqnarray}
e o comportamento da solu��o geral � dado por \cite{Regge}
\begin{eqnarray}
\label{est03} Q&\sim&
c_{1}e^{i\delta}\left(\frac{r}{2M}-1\right)^{2i\omega
M}+c_{1}e^{-i\delta}\left(\frac{r}{2M}-1\right)^{-2i\omega
M}\ \ r\rightarrow 2M,\\
\nonumber\\
Q&\sim& c_{2}sen(\omega r+\eta) \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad
\qquad \qquad \ \ r \rightarrow \infty.
\end{eqnarray}
Investigando o comportamento do potencial $V(r)$ podemos ver que
ele � igual a zero sobre o raio de Schwarzschild cresce at� um
m�ximo em $(r=3M)$ e ent�o cai a zero novamente para grandes
valores de $r$. Em outras palavras ele � um potencial positivo
definido, ou seja, em nenhum momento ao longo do intervalo
estabelecido $r \in (2M,\infty)$, o valor do potencial muda de
sinal. Esse comportamento divide a nossa regi�o de estudo em $3$
regimes diferentes.

No regime 1, onde $\omega^2 > V(r)$, a solu��o � oscilat�ria em
todo o espa�o, ou seja, temos uma onda gravitacional se propagando
livremente.

No regime 2, $\omega^2 < V(r)$, ou seja, $\omega^2$ � ainda
positivo, mas menor que a altura da barreira. Nesse regime temos
duas condi��es diferentes onde as ondas gravitacionais podem
diminuir ou crescer exponencialmente na regi�o da barreira.

A condi��o $2a$ corresponde a ondas gravitacionais que nunca
escapam para grandes valores de $r$, ou seja, elas passam pela
barreira mas decaem rapidamente com o aumento de $r$.

A condi��o $2b$ corresponde a ondas gravitacionais que atravessam
a barreira e emergem maiores do lado de fora da barreira. Estas
duas solu��es s�o como no caso do regime 1, ou seja, s�o ondas
gravitacionais que se propagam livremente.

O regime 3 ser� quando $\omega^2 < 0$. Neste regime se $\omega$
for puramente imagin�rio teremos instabilidades. A solu��o
aceit�vel que cai a zero para grandes valores de $r$, tamb�m cai
a zero em $r=2M$. Portanto n�o h� possibilidade de col�-la
suavemente a uma solu��o ``na outra metade da barreira de
potencial". Assim podemos concluir que n�o existe solu��o inst�vel
para ondas geradas pelas perturba��es gravitacionais axiais, ou
seja, o buraco negro de Schwarzschild � est�vel sobre perturba��es
gravitacionais axiais.

De modo um pouco mais rigoroso podemos estabelecer um crit�rio de
estabilidade atrav�s de uma integral tipo-energia. Para um buraco
negro com simetria esf�rica e componentes $g_{tt}$ e $g_{rr}$
dependentes apenas da coordenada radial $r$ podemos utilizar a
equa��o (\ref{pe26}). Tomemos a derivada temporal do complexo
conjugado da fun��o de onda $\partial_{t} \bar{R}$,
 multipliquemos pela equa��o (\ref{pe26}) e somemos a equa��o
resultante ao complexo conjugado dessa equa��o. Teremos ent�o
\begin{eqnarray}
\label{est04} \frac{\partial \bar{R}}{\partial
t}\left(-\frac{\partial^2 R}{\partial t^2}+ \frac{\partial^2
R}{\partial r_{*}^2}- VR\right)+ \frac{\partial R}{\partial
t}\left(-\frac{\partial^2 \bar{R}}{\partial t^2}+ \frac{\partial^2
\bar{R}}{\partial r_{*}^2}- V\bar{R}\right)=0\ .
\end{eqnarray}
Usaremos ent�o as seguintes rela��es:
\begin{eqnarray}
\label{est05}
\frac{\partial}{\partial t}\left|\frac{\partial R}{\partial t}\right|^2&=&\frac{\partial R}{\partial t}\ \frac{\partial^2\bar{R}}{\partial t^2}+\frac{\partial \bar{R}}{\partial t}\ \frac{\partial^2 R}{\partial t^2};\\
\nonumber\\
\frac{\partial}{\partial t}|R|^2&=&\frac{\partial \bar{R}}{\partial t}\ R+\frac{\partial R}{\partial t}\ \bar{R};\\
\nonumber\\
\frac{\partial}{\partial t}\left|\frac{\partial R}{\partial r_{*}}\right|^2&=&\frac{\partial R}{\partial r_{*}}\  \frac{\partial^2\bar{R}}{\partial t\partial r_{*}}+\frac{\partial \bar{R}}{\partial r_{*}}\ \frac{\partial^2 R}{\partial t\partial r_{*}};\\
\nonumber\\
\frac{\partial}{\partial r_{*}}\left(\frac{\partial \bar{R}}{\partial t}\ \frac{\partial R}{\partial r_{*}}\right)&=&\frac{\partial R}{\partial r_{*}}\ \frac{\partial^2\bar{R}}{\partial t\partial r_{*}}+\frac{\partial \bar{R}}{\partial t}\ \frac{\partial^2 R}{\partial r_{*}^2};\\
\nonumber\\
\frac{\partial}{\partial r_{*}}\left(\frac{\partial R}{\partial
t}\ \frac{\partial \bar{R}}{\partial
r_{*}}\right)&=&\frac{\partial \bar{R}}{\partial r_{*}}\
\frac{\partial^2 R}{\partial t\partial r_{*}}+\frac{\partial
R}{\partial t}\ \frac{\partial^2 \bar{R}}{\partial r_{*}^2}.
\end{eqnarray}
Relacionando as equa��es acima e substituindo na equa��o
(\ref{est04}), teremos
\begin{eqnarray}
\label{est06} -\frac{\partial}{\partial
t}\left\{\left|\frac{\partial R}{\partial
t}\right|^2+\left|\frac{\partial R}{\partial
r_{*}}\right|^2+V|R|^2\right\}=-\frac{\partial}{\partial
r_{*}}\left(\frac{\partial R}{\partial t}\ \frac{\partial
\bar{R}}{\partial r_{*}}+\frac{\partial \bar{R}}{\partial t}\
\frac{\partial R}{\partial r_{*}}\right)\ .
\end{eqnarray}
Se integrarmos a equa��o (\ref{est06}) em rela��o a $r_{*}$ sobre
o intervalo de $-\infty$ a $+\infty$ o termo a direita da equa��o
ser� nulo e assim teremos a seguinte condi��o
\begin{eqnarray}
\label{est07} \frac{\partial}{\partial
t}\left[\int_{-\infty}^{+\infty}\left(\left|\frac{\partial
R}{\partial t}\right|^2+\left|\frac{\partial R}{\partial
r_{*}}\right|^2+V|R|^2\right)\ dr_{*}\right]&=&0\ ,\nonumber\\
\nonumber\\
\int_{-\infty}^{+\infty}\left(\left|\frac{\partial R}{\partial
t}\right|^2+\left|\frac{\partial R}{\partial
r_{*}}\right|^2+V|R|^2\right)\ dr_{*}&=&\ C_{1}\ .
\end{eqnarray}
Como queremos uma condi��o de estabilidade, precisamos que a
constante $C_{1}$ seja positiva e finita.

Se observarmos a equa��o (\ref{est07}) podemos ver que os termos
$|R|^2$ e $|\frac{\partial R}{\partial r_{*}}|^2$ s�o limitados e
positivos. Conseq�entemente se quisermos que $C_{1}$ seja positiva
e finita devemos avaliar o comportamento do potencial $V$.

Se $V$ for positivo definido, o termo $|\frac{\partial R}{\partial
t}|^2$ deve ser positivo e finito para que $C_{1}$ tamb�m o seja,
o que acaba excluindo todas as solu��es de $R(t,r)$ que crescem
exponencialmente com o tempo. Conseq�entemente o sistema ser�
est�vel.
Se o potencial $V$ apresentar alguma regi�o onde ele possa
assumir valores negativos nada podemos dizer a respeito da
estabilidade do
sistema pois a constante $C_{1}$ pode assumir qualquer valor.

Por exemplo, se assumirmos uma depend�ncia temporal $e^{-i\omega
t}$ teremos
\begin{eqnarray}
\label{est08} R(r,t)&=&R(r)e^{-i\omega t}\ ,\\
\nonumber\\
\left|\frac{\partial R}{\partial t}\right|^2&=&\frac{\partial
R}{\partial t}\frac{\partial \bar{R}}{\partial
t}=(-i\omega)(i\omega)|R(r)|^2=\omega^2|R(r)|^2\ .\\
\end{eqnarray}
Sendo $V$ positivo definido, $\omega^2$ deve ser positivo para que
$C_{1}$ seja positiva e limitada. Se $\omega=i\alpha$ fosse
puramente imagin�rio $\omega^2=-\alpha^2$ seria negativo o que
faria com que n�o pudessemos garantir que $C_{1}$ fosse positiva e
limitada. Neste caso a solu�ao cresce exponencialmente com o tempo
$e^{\ \alpha t}$.
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Modos quasi-normais}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
Em nossa busca, por uma confirma��o experimental da exist�ncia de
buracos negros em nosso Universo, o estudo dos modos quasi-normais
tem um papel fundamental.

Esse estudo surge como uma ferramenta extremamente �til para dar
base te�rica � an�lise de ondas gravitacionais uma vez que as
freq��ncias quasi-normais de oscila��o de um buraco negro est�o
contidas em tais ondas.

Como os modos quasi-normais est�o intimamente ligados a
propriedades tais como, a carga $Q$, a massa $M$ e o momento
angular $L$ do buraco negro, eles podem ser utilizados para
identificar se um buraco negro tem rota��o ou se est�
eletricamente carregado.

Os modos quasi-normais de oscila��o possuem esse nome pois
diferentemente dos modos normais eles n�o s�o estacion�rios e
possuem dura��o limitada. A parte imagin�ria da freq��ncia
quasi-normal amortece a oscila��o limitando-a no tempo.

Formalmente falando, modos quasi-normais s�o definidos como
solu��es das equa��es de perturba��es, que possuem freq��ncias
caracter�sticas complexas e satisfazem condi��es de contorno
espec�ficas. Ver Nollert \cite{Nollert}, Kokkotas \cite{Kokkotas}
e Cardoso \cite{Cardoso} para maiores detalhes.

Esse comportamento de amortecimento � um tanto quanto estranho uma
vez que n�o existe nenhum material nem dentro nem fora do buraco
negro capaz de causar tal amortecimento.

O formalismo utilizado no estudo de modos-normais para sistemas
oscilat�rios ser� ent�o aplicado ao estudo dos modos quasi-normais
para observarmos em que condi��es tal estranho comportamento �
observado.

Na an�lise de modos normais de um sistema oscilat�rio, geralmente
temos um sistema de equa��es diferenciais ordin�rias com condi��es
de contorno para que o efeito da oscila��o se anule fora de uma
regi�o finita do espa�o. No nosso caso teremos a equa��o
diferencial
\begin{eqnarray}
\label{mqn01}
\frac{d^2Q}{dr^{*}}+\left(\omega^2-V(r)\right)Q=0,
\end{eqnarray}
governando nossas perturba��es. Entretanto, perturba��es em
buracos negros geram ondas gravitacionais que se propagam por todo
espa�o impedindo-nos de impor um condi��o de modo que ela se anule
fora de uma regi�o finita.

Portanto, devido ao car�ter especial dos buracos negros, imporemos as seguintes condi��es de contorno:
\begin{itemize}
\item nada sai do infinito espacial.

\item nada sai do horizonte de eventos do buraco negro.
\end{itemize}
Essas condi��es geram solu��es conhecidas como puramente
emergentes {\it (outgoing solutions)}. Dizendo de outra maneira
queremos ter apenas ondas gravitacionais, entrando no horizonte de
eventos, e entrando no infinito espacial. Essas exig�ncias fazem
sentido pois queremos estudar a resposta da m�trica fora do buraco
negro e n�o queremos que nenhuma onda gravitacional vinda do
infinito continue a perturbar o buraco negro.

Devemos por isso avaliar o comportamento da nossa equa��o
(\ref{mqn01}) nos limites quando $r_{*}\rightarrow \pm \infty$ para
obtermos o comportamento da nossa solu��o sobre os contornos do
problema.

Novamente, de acordo com a forma do potencial $V(r)$, nossas
condi��es gerar�o solu��es distintas.

Se aplicarmos tais condi��es para a equa��o que governa a
perturba��o gravitacional axial de Schwarzschild  que pode ser
representada pela equa��o (\ref{mqn01}) e o potencial $V(r)$ dado
pela equa��o (\ref{est02}) teremos que
\begin{eqnarray}
\label{mqn02}
Q(\omega,r_{*})\sim e^{i\omega r_{*}} \qquad quando\
r_{*}\rightarrow -\infty,\\
\nonumber\\
Q(\omega,r_{*})\sim e^{-i\omega r_{*}} \qquad quando\
r_{*}\rightarrow +\infty.
\end{eqnarray}
Sob essas condi��es as perturba��es do buraco negro de
Schwarzschild adquirem o comportamento agora n�o t�o estranho
descrito acima que caracterizam os modos quasi-normais.

A maioria dos estudos desenvolvidos nesta �rea se utiliza de
solu��es num�ricas para a equa��o (\ref{mqn01}). Ching, {\it et al} \cite{Ching} obtiveram algumas solu��es anal�ticas para comportamentos assint�ticos. Recentemente Fiziev \cite{Fiziev} obteve uma solu��o anal�tica para a equa��o de Regge-Wheeler com o uso das fun��es de Heun.

Neste trabalho n�s utilizaremos do c�lculo n�merico para obter a
solu��o da equa��o (\ref{mqn01}) para os buracos negros
estudados.

O estudo de modos quasi-normais tem se mostrado muito �til tamb�m
no estudo de propriedades qu�nticas e termodin�micas de buracos
negros tais como a temperatura Hawking \cite{Hod3} e �rea qu�ntica
m�nima \cite{Beken4, Karlucio} do buraco negro.

Estudos de perturba��es de sistemas com constante cosmol�gica
\cite{Abdalla,Wang} e com carga \cite{Saa} t�m mostrado a exist�ncia
de modos quasi-normais de oscila��o.

Em um trabalho recente Maartens \cite{Maartens1} prop�em a
utiliza��o de modos quasi-normais como uma ferramenta na detec��o
de dimens�es extras. Neste trabalho � realizada uma espectroscopia
da onda gravitacional emitida por uma corda negra ``{black
string}" onde � poss�vel identificar os modos massivos do gr�viton
com os picos obtidos, gerando assim um mecanismo capaz de
identificar uma ``impress�o digital" da dimens�o extra.
\newpage
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\chapter[Termodin�mica de Buracos Negros]{Termodin�mica de Buracos Negros}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
{\it Ap�s a travessia da ponte, fa�amos uma merecida parada para observar a paisagem e aquecer um caf�. }\\
\\
A poss�vel rela��o existente entre a mec�nica de buracos negros e
a termodin�mica ordin�ria surgiu na verdade de uma poss�vel
viola��o da termodin�mica por processos f�sicos envolvendo buracos
negros.
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Leis da Termodin�mica de Buracos Negros}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
Wheeler notou que a exist�ncia de buracos negros na teoria cl�ssica
da gravita��o contradizia a segunda lei da termodin�mica que diz
que a entropia de uma sistema isolado nunca pode diminuir qualquer
que seja o processo f�sico envolvido.

Imaginemos, por exemplo, um buraco negro que acaba de absorver um
corpo quente que possui uma certa quantidade de entropia. Um
observador localizado no infinito nos dir� que a entropia total,
do mundo acess�vel � observa��o dele diminuiu, uma vez que nenhuma
informa��o sobre a entropia do corpo absorvido escapa do buraco
negro.

Outro problema que surgia da teoria cl�ssica da gravita��o era que
a temperatura de um buraco negro era zero absoluto. Esse fato
descartava qualquer poss�vel rela��o entre uma temperatura f�sica
e algum par�metro do buraco negro.

Portanto utilizando apenas argumentos cl�ssicos a rela��o entre a
mec�ni-ca de buracos negros e a termodin�mica ordin�ria tornava-se
invi�vel. Foi necess�rio ent�o, a ajuda de mecanismos qu�nticos
tais como efeito termal de cria��o de part�culas originado do
estudo de propaga��o de campos qu�nticos no exterior de buracos
negros e reformula��es mais precisas das leis da termodin�mica
para consolidar-se de
forma mais rigorosa a rela��o entre essas duas �reas.

Em 1973, Bekenstein \cite{Beken1} foi o primeiro a perceber uma
rela��o entre leis satisfeitas por buracos negros e a
termodin�mica ordin�ria. Ele notou que o teorema da �rea de
buracos negros \cite{Hawking2}, da Relatividade Geral cl�ssica,
que declara que a �rea $A$ de um buraco negro nunca diminui por
qualquer que seja o processo f�sico
\begin{eqnarray}
\label{termo1} \Delta A \geq 0,
\end{eqnarray}
era an�logo � declara��o da segunda lei da termodin�mica que diz
que a entropia total $S$ de um sistema fechado nunca diminui
qualquer que seja o processo f�sico
\begin{eqnarray}
\label{termo2}
 \Delta S \geq 0.
\end{eqnarray}
Bekenstein prop�s ent�o que a �rea do buraco negro deveria ser
interpretada como uma entropia f�sica.

Pouco tempo depois a analogia entre a termodin�mica e certas leis
da f�sica de buracos negros foi desenvolvida sistematicamente por
Bardeen, Hawking e Carter \cite{BHC}. Eles mostraram que em
Relatividade Geral a gravidade superficial, $\kappa$, de um buraco
negro estacion�rio deve ser constante sobre o horizonte de
eventos.

Eles notaram que este resultado era an�logo a declara��o da Lei
Zero da termodin�mica que diz que a temperatura, $T$, deve ser
uniforme sobre um corpo em equil�brio t�rmico. Eles demonstraram
tamb�m a Primeira Lei da mec�nica de buracos negros que, para o
v�cuo, declara que a diferen�a de massa, $M$, de �rea, $A$, e de
momento angular, $J$, de dois buracos negros estacion�rios
pr�ximos, deve ser
\begin{eqnarray}
\label{termo3} \delta M=\frac{1}{8\pi}\kappa \delta A+\Omega
\delta J\ ,
\end{eqnarray}
onde $\Omega$ � a velocidade angular do horizonte de eventos. Eles
perceberam que esta lei � an�loga � primeira lei da termodin�mica,
que declara que a diferen�a na energia, $E$, na entropia, $S$ e em
outros par�metros de dois estados pr�ximos do equil�brio t�rmico
de um sistema � dado por
\begin{eqnarray}
\label{termo4} \delta E=T \delta S+ ``termos \ de\  trabalho".
\end{eqnarray}
Fazendo uma compara��o entre a lei zero, a primeira e segunda leis
da termodin�mica e as correspondentes leis da f�sica de buracos
negros podemos ver que as quantidades an�logas s�o
\begin{eqnarray}
\label{termo5} E \longleftrightarrow M,\qquad T\longleftrightarrow
\alpha \kappa, \qquad S\longleftrightarrow \frac{A}{8\pi \alpha},
\end{eqnarray}
onde $\alpha$ � uma constante indeterminada. Entretanto, essa
analogia entre as quantidades pareciam ser apenas coincid�ncias
matem�ticas desprovida de qualquer significado f�sico pois
classicamente, a rela��o entre $T$ e $\kappa$ n�o fazia sentido, o
que acabava inviabilizando tamb�m a rela��o entre a entropia e a �rea.

Com isso a id�ia dessa analogia perdeu for�a. Foi necess�rio a
utiliza��o de conceitos qu�nticos para resolver esses problemas.

Em 1975 o cen�rio modificou-se com a importante descoberta de
Hawking \cite{Hawking1}. Em seus estudos sobre propaga��o de
campos qu�nticos no exterior de buracos negros ele descobriu que
devido ao efeito qu�ntico de cria��o de part�culas, um buraco
negro irradiava para o infinito todas as esp�cies de part�culas
com um espectro de corpo negro perfeito, � uma temperatura
\begin{eqnarray}
\label{termo6} T_{H}=\frac{\kappa}{2\pi}\ ,
\end{eqnarray}
chamada Temperatura Hawking do buraco negro. Com isso, a rela��o
entre $T$ e $\kappa$ ganhou sentido f�sico pois $\kappa/2\pi$ � a
temperatura f�sica do buraco negro.

Isso confirmou a id�ia de que um buraco negro estacion�rio era um
estado de equil�brio t�rmico.

Havia ainda o problema da diminui��o da entropia quando um corpo
era absorvido pelo buraco negro. Esse problema foi contornado por
Bekenstein ao reformular a segunda lei da termodin�mica. Ele
prop�s uma segunda lei generalizada \cite{Beken3,Beken1} onde a
entropia total do sistema (buraco negro $+$ objeto) nunca diminui
qualquer que seja o processo f�sico. Com esses desenvolvimentos
restam agora poucas d�vida de que as leis da f�sica de buracos
negros correspondem � leis da termodin�mica aplicada a sistemas
constitu�dos de buracos
negros.

As leis da termodin�mica de buracos negros podem ser assim
declaradas\\
\\
{\bf Lei Zero}\\
\\
{\it A gravidade superficial $\kappa$ de um buraco negro
estacion�rio � constante em todo lugar, sobre a superf�cie do
horizonte de
eventos.}\\
\\
{\bf Primeira Lei}\\
\\
{\it Quando um sistema que possui um buraco negro muda de um
estado estacion�rio para outro, sua massa muda por}
\begin{eqnarray}
\label{termo7} dM=T\ dS_{BN}+\Omega_{BN}\
dJ_{BN}+\Phi_{BN}dQ+\delta q
\end{eqnarray}
{\it onde $dJ_{BN}$ e $dQ$ s�o as mudan�as no momento angular
total e da carga el�trica do buraco negro, respectivamente. O
termo $\delta q$ � a contribui��o na massa total devida � mudan�a
na distribui��o estacion�ria de mat�ria fora do buraco negro e
$\Phi_{BN}$ � o potencial el�trico do buraco negro.}\\
\\
{\bf Segunda Lei}\\
\\
{\it Em qualquer processo cl�ssico, a �rea de um buraco negro,
$A$, e conseq�entemente sua entropia $S_{BN}$}, nunca diminui:
\begin{eqnarray}
\label{termo8} \Delta S_{BN}\geq 0 \qquad onde\qquad S_{BN}=\frac{A}{4}.
\end{eqnarray}
{\it A lei de n�o diminui��o da �rea do buraco negro nos diz que a
fra��o da energia interna do buraco negro que n�o pode ser
extra�da aumenta com o tempo.}\\
\\
{\bf Segunda Lei Generalizada - SLG}\\
\\
{\it Qualquer que seja o processo f�sico envolvendo buracos
negros, a entropia total generalizada, $\widetilde{S}$, nunca
diminui:}
\begin{eqnarray}
\label{termo9} \Delta \widetilde{S}=\Delta S_{BN}+\Delta S_{m}\geq
0.
\end{eqnarray}
{\it onde $S_{BN}$ � a entropia do buraco negro e $S_{m}$ a
entropia da radia��o e mat�ria fora do buraco negro.}\\
\\
Existe ainda uma lei an�loga � terceira lei da termodin�mica, mas
omitiremos tal lei por n�o a utilizarmos durante o trabalho.

\section{C�lculo do limite superior da
entropia de um corpo caindo em um BN Esfericamente Sim�trico}

Assumindo a validade da (SLG) uma nova condi��o sobre a entropia
$S_{m}$ da radia��o e da mat�ria fora do buraco negro � estabelecida.

Quando um corpo de energia $E$ e raio efetivo $R$ � absorvido por
um buraco negro, a �rea da superf�cie do buraco negro aumenta por
um valor $8\pi ER$ \cite{Beken2}. Se quisermos que esse aumento
seja m�nimo, a (SLG) ser� violada se a entropia do corpo $S_{m}$
for maior que $2\pi ER$. Dessa forma um limite superior para
entropia $S_{m}$ � gerado. Vamos calcul�-lo formalmente.

Vamos considerar um corpo neutro com massa de repouso $m$ e raio
pr�prio $R$ caindo em um buraco negro esfericamente sim�trico onde
a m�trica � dada por
\begin{eqnarray}
\label{entropia01}
ds^2=g_{ij}dx^{i}dx^{j}=-A(r)dt^2+B(r)dr^2+r^2d\Omega^2
\end{eqnarray}
e cujo horizonte de eventos � dado pela seguinte condi��o
\begin{eqnarray}
\label{entropia01a} g_{tt}|_{r=r_{h}}=0 \qquad \Longrightarrow
A(r_{h})=0 \qquad para \ r=r_{h}.
\end{eqnarray}
A gravidade superficial $\kappa$ para esse buraco negro sobre o
horizonte de eventos � dada por
\begin{eqnarray}
\label{entropia01b} \left. \kappa
=\frac{1}{2\sqrt{|g_{tt}|g_{rr}}}\
\frac{d|g_{tt}|}{dr}\right|_{r=r_{h}}\ .
\end{eqnarray}
As constantes de movimento associadas
a $t$ e a $\phi$ s�o
\begin{eqnarray}
\label{entropia02} E=\pi_{t}=g_{tt}\dot{t},\qquad J=-\pi_{\phi}=
g_{\phi\phi}\dot{\phi}.
\end{eqnarray}
O quadrado da massa � dado por
\begin{eqnarray}
\label{entropia03} m^{2}=-\pi_{i}\pi^{i}.
\end{eqnarray}
Sem perda de generalidade consideraremos apenas o movimento
equatorial do corpo, isto �, $\theta=\pi/2$.

A equa��o quadr�tica para a energia conservada $E$ do corpo � dada
por
\begin{eqnarray}
\label{entropia04}
 - m^{2}=\frac{E^2}{g_{tt}}+\frac{J^2}{r^2},\\
\nonumber\\
\alpha E^2-2\beta E +\sigma=0\ ,
\end{eqnarray}
com
\begin{eqnarray}
\label{entropia05}
\alpha&=&1\nonumber\\
\nonumber\\
\beta&=& 0\\
\nonumber\\
\sigma&=&g_{tt}\left(\frac{J^2}{r^2}+m^2\right)\nonumber\ .
\end{eqnarray}
Como nosso corpo possui um raio pr�prio n�o-nulo, $R$ e sabendo
que a equa��o (\ref{entropia04}) descreve o movimento do centro de
massa do corpo precisamos calcular o novo ponto de captura do
corpo pelo buraco negro.

Isso se faz necess�rio pois quando parte do corpo j� atravessou o
horizonte de eventos o centro de massa ainda est� do lado de fora.
Portanto o novo ponto de captura ser� dado por $r=r_{h}+\delta$
onde $\delta$ � dado por
\begin{eqnarray}
\label{entropia06} \int_{r_{h}}^{r_{h}+\delta(R)}\ \sqrt{g_{rr}}\
dr=\ R\ .
\end{eqnarray}
Integrando a equa��o (\ref{entropia06}) teremos uma express�o para
$\delta$. Se estivessemos em um espa�o-tempo chato, ter�amos $\delta=R$.

Resolvendo a equa��o (\ref{entropia04}) para a energia e
calculando seu valor sobre o ponto de captura $r=r_{h}+\delta$
teremos a energia de captura que � dada por
\begin{eqnarray}
\label{entropia07} \left. E_{cap}=
\sqrt{-g_{tt}\left(\frac{J^2}{r^2}+m^2\right)}\
\right|_{r=r_{h}+\delta}\ .
\end{eqnarray}
O valor $E_{cap}$ que minimiza o aumento da �rea da superf�cie do
buraco negro � obtido quando $J=0$ de modo que
\begin{eqnarray}
\label{entropia08} \left. E_{min}=m\ \sqrt{-g_{tt}}\
\right|_{r=r_{h}+\delta}\ .
\end{eqnarray}
Da Primeira Lei da Termodin�mica de Buracos Negros sabemos que
\begin{eqnarray}
\label{entropia09} dM=\frac{\kappa}{2}\ dA_{r}
\end{eqnarray}
onde $A_{r}=A/4\pi$ e $dM=E_{min}$ � a mudan�a na massa do buraco
negro devido a assimila��o do corpo. Assim usando a equa��o
(\ref{entropia01b}) n�s deveremos obter que
\begin{eqnarray}
\label{entropia10} dA_{r}=2mR\ ,
\end{eqnarray}
a menos que as componentes da m�trica produzam alguma corre��o.
Hod mostrou que para corpos carregados eletricamente esse limite �
diferente e depende da carga $Q$ \cite{Hod2} do corpo absorvido.

Assumindo a validade da Segunda Lei Generalizada,
$S_{bn}(M+dM)\geq S_{bn}(M)+S_{m}$, obtemos um limite superior
para a entropia $S_{m}$ associada a um corpo com energia pr�pria
$E$, absorvido pelo buraco negro, que � dado por
\begin{eqnarray}
\label{entropia11}
\frac{A+dA}{4}&\geq& \frac{A}{4}+S_{m}\nonumber\\
\nonumber\\
\frac{dA}{4}&\geq& S_{m}\nonumber\\
\nonumber\\
\frac{4\pi \ dA_{r}}{4}&\geq& S_{m}\nonumber\\
\nonumber\\
S_{m}&\leq& 2\pi ER\ .
\end{eqnarray}
Portanto se a (SLG) for v�lida, um observador localizado no
infinito que v� um corpo caindo em um buraco negro esfericamente
sim�trico dir� que houve um aumento da entropia generalizada e
nenhuma viola��o � constatada.

Esse limite � portanto considerado universal no sentido de que ele
depende apenas dos par�metros do corpo absorvido sendo
independente dos par�metros que caracterizam o buraco negro.
\newpage

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\chapter[Mundo Brana]{Mundo Brana}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
{\it Ap�s a parada, sigamos agora para fora dos nossos limites, rumo ao espa�o desconhecido.}\\
\\
O uso de dimens�es extras na tentativa de uma descri��o unificada
do nosso mundo f�sico n�o � uma id�ia nova. Em meados dos anos 20
Kaluza e Klein \cite{Kaluza} conseguiram unificar o eletromagnetismo e a
gravita��o utilizando-se de um dimens�o extra espacial. Desde
ent�o a utiliza��o de dimens�es extras em modelos f�sicos tem
ganhado for�a devido a sua capacidade de explicar muitos fen�menos
f�sicos e gerar novas descri��es do mundo em que vivemos. A
maioria dos desenvolvimentos recentes em F�sica Te�rica baseiam-se
no uso de dimens�es extras, onde se destaca a Teoria de Cordas.\\
\\
{\bf Teoria de Cordas}\\
\\
Atualmente sabemos que sob altas energias, a Teoria da
Relatividade Geral falha pois perde sua capacidade de predi��o.
Para um entendimento de processos f�sicos nesse n�vel de energia
faz-se necess�rio o desenvolvimento de uma teoria qu�ntica da
gravita��o.

Uma candidata promissora, capaz de gerar uma descri��o unificada
dos campos de mat�ria do Modelo Padr�o e da gravita��o, � a Teoria
de Cordas.

A Teoria de Cordas prev� que o espa�o-tempo em que vivemos �
composto de 10 dimens�es sendo 1 dimens�o temporal e 9 espaciais.
Esse espa�o-tempo 10-dimensional recebe o nome de {\it bulk}. Como
at� agora, o mundo f�sico observ�vel � 4-dimensional, ela assume
que as outras 6 dimens�es espaciais s�o pequenas e compactas, ou
seja, est�o enroladas de modo que um observador n�o seja capaz de
observ�-las diretamente mas seja capaz de sentir seus efeitos no
seu mundo observ�vel. Uma analogia interessante utilizada para
explicar essa id�ia � a analogia da mangueira de jardim.

Se olharmos de perto, para uma mangueira de jardim, estendida no
ch�o, observaremos que ela � um objeto tridimensional com largura,
espessura e comprimento. Agora se observarmos essa mesma mangueira
de muito longe veremos apenas uma linha estendida no ch�o e assim
nada podemos dizer se aquele objeto possui mais dimens�es.

Outra previs�o da Teoria de Cordas � a exist�ncia de subvariedades
$p+1$ dimensionais do espa�o-tempo 10-dimensional que recebem o
nome de $p$-branas. Um importante subconjunto das $p$-branas s�o
as $D$-branas.

$D$-branas s�o hipersuperf�cies que funcionam como condi��es de
contorno do espa�o-tempo 10-dimensional onde a extremidade de
cordas abertas s�o presas.

Na Teoria de Cordas os gr�vitons s�o representados por cordas
fechadas que podem se propagar pelo {\it bulk}. J� os campos de
calibre do modelo padr�o s�o representados pelas extremidades de
cordas abertas que podem se mover apenas sobre as $p$-branas. Isto
�, os campos de calibre permanecem confinados �s $p$-branas.\\
\\
{\bf Problema da Hierarquia}\\
\\
O problema da Hierarquia surge da grande diferen�a entre as
escalas eletrofraca $E_{ef}\sim 10^{3}\ GeV$ e a escala de Planck
4-dimensional $E_{p}\sim 10^{19}\ GeV$. Essa grande diferen�a
torna-se um problema quando se faz necess�rio um tratamento
unificado da gravita��o e da mec�nica qu�ntica para um determinado
processo f�sico.\\
\\
Os conceitos apresentados acima inspiraram os modelos de Mundo
Brana conhecidos. Atualmente existem diversos modelos de Mundo
Brana com caracter�sticas bem espec�ficas.\\
Apresentaremos na se��o a seguir dois modelos bem conhecidos: ADD e Randall-Sundrum.
Estes dois modelos impulsionaram avan�os na f�sica de part�culas e mesmo na cosmologia.
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Um olhar sobre o Mundo Brana}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
Essa se��o sobre Mundo Brana foi inspirada nos trabalhos
realizados por Michele F. Ferraz \cite{Michele} e Adenauer G. Casali \cite{Adenauer}.
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Modelo ADD}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
A motiva��o do modelo ADD \cite{ADD} repousa na solu��o do
problema da hierarquia fazendo uso de dimens�es extras.

Este modelo � constitu�do de um espa�o-tempo $(4+d)$ dimensional,
onde campos de mat�ria est�o confinados a uma brana 4-dimensional
de ``espessura" $E_{ef}^{\phantom{ef}{-1}}$ e apenas a gravidade �
livre para se propagar por todo o {\it bulk} $(4+d)$ dimensional.
As $d$ dimens�es extras s�o compactas com raio $R$, ou seja,
limitada por condi��es de contorno que as tornam finitas, e podendo
assumir topologias diversas. Para o caso de $d=2$ por exemplo,
podemos ter uma 2-esfera ou um toros com raio interno nulo. Neste
modelo existe a possibilidade de campos de mat�ria sairem para o
{\it bulk} carregando energia.

Entretanto, carga el�trica, por exemplo, deve se conservar n�o
podendo assim escapar para o {\it bulk}.

Seguindo esses conceitos, a proposta do trabalho \cite{ADD}, �
mostrar que para um mundo com 6 dimens�es o problema da hierarquia
� solucionado e pode ser confirmado experimentalmente em breve.

Podemos mostrar pela Lei de Gauss em $(4+d)$ dimens�es que o
potencial em torno de uma massa pontual $M$ � dado por
\begin{eqnarray}
\label{MBADD01}
V(r)= \frac{G_{4+d}M}{r^{1+d}}
\end{eqnarray}
onde $G_{4+d}$ � a escala gravitacional em $(4+d)$ dimens�es.

Tomando $r$ como a dist�ncia entre um ponto qualquer e a massa
pontual, e $R$ a largura das dimens�es extras temos que se $r<R$,
ent�o o potencial $V(r)$ ser�
\begin{eqnarray}
\label{MBADD02} V(r)\sim r^{-(1+d)}\ .
\end{eqnarray}
A essa dist�ncia as dimens�es extras influem no comportamento do
potencial como pode ser visto.

Para uma dist�ncia $r>R$ vemos que as dimens�es extras n�o
influenciam fortemente o potencial de modo que recuperamos o
potencial 4-dimensional
\begin{eqnarray}
\label{MBADD03} V(r)=\frac{G_{4+d}M}{rR^{d}}\ .
\end{eqnarray}
Disto podemos escrever a escala gravitacional 4-dimensional como
\begin{eqnarray}
\label{MBADD04}
G_{4}=\frac{G_{4+d}}{R^{d}}
\end{eqnarray}
ou em termos da Massa de Planck,
\begin{eqnarray}
\label{MBADD05}
M_{PL}^{2}=M_{4+d}^{d+2}R^{d}.
\end{eqnarray}
Se supusermos $M_{4+d}$ da ordem da escala eletrofraca
$(E_{ef}\sim 10^{3}\ GeV)$ e $M_{PL}\sim 10^{19}\ GeV$ teremos da
equa��o (\ref{MBADD05}) que
\begin{eqnarray}
\label{MBADD06}
R=\frac{M_{PL}^{2/d}}{M_{4+d}^{\frac{d+2}{d}}}=10^{(32/d)-17}cm.
\end{eqnarray}
Se tivermos $d=1$ o raio da dimens�o extra ser� $R\sim 10^{15} cm$
o que implicaria em viola��es na gravita��o em dist�ncias da ordem
do sistema solar.

Se adotarmos entretanto $d=2$ com uma topologia tipo toros o valor
do raio das dimens�es extras ser�
\begin{eqnarray}
\label{MBADD07}
R\approx 1mm.
\end{eqnarray}
Como experimentos, que medem a validade do potencial
$V(r)\sim\frac{1}{r}$, tem precis�o at� a ordem de $0,1\ mm$, fica
aberta a possibilidade de termos uma nova lei do potencial. Novos
experimentos com maior precis�o poder�o nos dizer como se comporta
o potencial gravitacional a pequenas dist�ncias e assim validar ou
n�o as hip�teses do modelo ADD.
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Modelos Randall-Sundrum}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
Como o modelo ADD, os modelos de Randall-Sundrum (RS)
\cite{RS1,RS2} foram inicialmente propostos no intuito de fornecer
um novo mecanismo para solucionar o problema da hierarquia.
Entretanto muitas outras aplica��es foram dadas a esses modelos
posteriormente, tais como o estudo de cosmologia de branas,
buracos negros em branas, etc.

Diferentemente do modelo ADD os modelos RS se utilizam apenas de
uma �nica dimens�o extra espacial. Os modelos RS constituem um
espa�o-tempo 5-dimensional onde apenas a gravidade pode
propagar-se livrevemente, podendo ter duas (RS-I) ou uma brana
(RS-II), onde os campos de mat�ria permanecem
confinados.\\
Nestes modelos a m�trica � n�o fator�vel de modo que a m�trica de
Minkowski � multiplicada por um fator de deforma��o que depende da
dimens�o extra. � esse fator que atenua a gravidade e corrige a
escala de Planck resolvendo o Problema da Hierarquia.\\
\\
{\bf RS-I}\\
\\
O modelo RS-I \cite{RS1} consiste em um espa�o 5-dimensional com
constante cosmol�gica $\Lambda_{5D}$ negativa, denominado {\it
bulk}, onde a quinta dimens�o � espacial e compacta. A dimens�o
extra � representada pela coordenada $y$ e possui raio de
compactifica��o $r_{c}$ de modo que $-\pi r_{c}\leq y\leq \pi
r_{c}$.

Duas branas s�o utilizadas neste modelo e correspondem a pontos
fixos no {\it bulk}, ou seja, s�o condi��es de contorno do espa�o
5-dimensional.

Adotaremos a simetria $Z_{2}$, $y\rightarrow -y$, ou seja, as
branas funcionar�o como espelhos dividindo o {\it bulk} em duas
partes id�nticas. Por isso podemos restringir o intervalo que
nossa coordenada extra cobre para $0\leq y \leq \pi r_{c}$. Podemos
ent�o localizar a brana vis�vel, que corresponde ao nosso universo
4-dimensional, sobre $y=0$ e a segunda brana escondida sobre o
ponto $y=\pi r_{c}$. Assim teremos as m�tricas sobre as branas
como sendo
\begin{eqnarray}
\label{MBRSI01}
g^{ab}_{vis}&=&G^{\mu\nu}(y=0)\delta^{a}_{\mu}\delta^{b}_{\nu},\\
\nonumber\\
g^{ab}_{esc}&=&G^{\mu\nu}(y=\pi
r_{c})\delta^{a}_{\mu}\delta^{b}_{\nu},
\end{eqnarray}
com $\mu,\nu=0\dots 4$ e $a,b=0\dots 3$.\\
O cen�rio adotado neste modelo � descrito pela seguinte a��o cl�ssica
\begin{eqnarray}
\label{MBRSI02} S=S_{5D}+S_{vis}+S_{esc}\ ,
\end{eqnarray}
onde
\begin{eqnarray}
\label{MBRSI03}
S_{5D}&=&\int \ \sqrt{|G|}\left[-\Lambda_{5D}+2M^{3}_{5D}R\right]\ d^{4}xdy\ ,\\
\nonumber\\
S_{vis}&=&\int \ \sqrt{|g_{vis}|}\left[\mathcal{L}_{vis}-2\lambda_{vis}\right]\delta (y)\ d^{4}xdy\ ,\\
\nonumber\\
S_{esc}&=&\int \
\sqrt{|g_{esc}|}\left[\mathcal{L}_{esc}-2\lambda_{esc}\right]\delta
(y-\pi r_{c})\ d^{4}xdy\ ,
\end{eqnarray}
onde $M_{5D}$ � a escala de Planck em 5-D, $\lambda_{vis}$ e
$\lambda_{esc}$ s�o as tens�es nas branas que atuam como origens
gravitacionais na aus�ncia de excita��es de part�culas. As
Lagrangeanas das branas s�o dadas por $\mathcal{L}$ entretanto
seus detalhes n�o s�o relevantes para a determina��o da m�trica
5-dimensional.

Efetuando uma varia��o na a��o (\ref{MBRSI02}) e lembrando que,
nas fronteiras $\delta g_{ab}=\delta
G_{\mu\nu}\delta_{a}^{\mu}\delta_{b}^{\nu}$ e o termo $\delta
R_{\mu\nu}$ pode ser deprezado, obteremos as seguintes equa��es de
campo
\begin{eqnarray}
\label{MBRSI04}
\sqrt{|G|}(R^{\mu\nu}-\frac{1}{2}G^{\mu\nu}R)=-\frac{1}{4M^{3}_{5D}}\left[2\sqrt{|g_{vis}|}\ g_{vis}^{ab}\ \delta_{a}^{\mu}\delta_{b}^{\nu}\ \lambda_{vis}\ \delta(y)\right.\nonumber\\
\nonumber\\
+\sqrt{|G|}G^{\mu\nu}\Lambda_{5D}+\left. 2\sqrt{|g_{esc}|}\
g_{esc}^{ab}\ \delta_{a}^{\mu}\delta_{b}^{\nu}\ \lambda_{esc}\
\delta(y-\pi r_{c})\right]\ .
\end{eqnarray}
Usando como {\it Ansatz} a m�trica n�o fator�vel
\begin{eqnarray}
\label{MBRSI05} ds^2=e^{2\sigma(y)}\eta_{ab}dx^{a}dx^{b}+dy^2
\end{eqnarray}
e aplicando-o na equa��o (\ref{MBRSI04}) teremos as equa��es
\begin{eqnarray}
\label{MBRSI06}
6\sigma'^2&=&-\frac{\Lambda_{5D}}{4M_{5D}^{3}},\\
\nonumber\\
\label{MBRSI07}
3\sigma''&=&\frac{\lambda_{vis}\delta(y)}{2M_{5D}^{3}}+\frac{\lambda_{esc}\delta(y-\pi r_{c})}{2M_{5D}^{3}}.
\end{eqnarray}
A solu��o consistente com a simetria do problema $y\rightarrow -y$ para a equa��o (\ref{MBRSI06}) �
\begin{eqnarray}
\label{MBRSI08} \sigma =\pm
|y|\sqrt{-\frac{\Lambda_{5D}}{24M_{5D}^{3}}}.
\end{eqnarray}
Nesta etapa podemos observar que a �nica solu��o fisicamente
aceit�vel � uma constante cosmol�gica $\Lambda_{5D}$ negativa o
que caracteriza um {\it bulk}  do tipo $AdS_{5}$. Portanto o
espa�o-tempo entre as duas branas � uma fatia de uma geometria
$AdS_{5}$.

Derivando a equa��o (\ref{MBRSI08}) e lembrando que supusemos uma
condi��o de periodicidade para a coordenada $y$ temos
\begin{eqnarray}
\label{MBRSI09}
\sigma'' =\pm 2r_{c}\sqrt{-\frac{\Lambda_{5D}}{24M_{5D}^{3}}}\left\{\delta(y)-\delta(y-\pi r_{c})\right\}.
\end{eqnarray}
Comparando-a com a equa��o (\ref{MBRSI06}) vemos que, para que a
m�trica (\ref{MBRSI05}) seja solu��o das equa��es de campo devemos
ter as seguintes rela��es \cite{Michele,Adenauer}
\begin{eqnarray}
\label{MBRSI10}
\lambda_{vis}=-\lambda_{esc}=\mp 12M_{5D}^{3}k;\qquad \Lambda_{5D}=-24 M_{5D}^{3}k^2.
\end{eqnarray}
Desta forma podemos escrever a m�trica (\ref{MBRSI05}) como
\begin{eqnarray}
\label{MBRSI11} ds^2=e^{\pm 2k|y|}\eta_{ab}dx^{a}dx^{b}+dy^2\ .
\end{eqnarray}
O sinal positivo na m�trica (\ref{MBRSI11}) corresponde ao modelo
RS-I onde o crescimento da exponencial na dimens�o extra � barrado
pela brana escondida. Neste modelo a brana vis�vel possui tens�o
negativa e a brana escondida tens�o positiva. Esse fato �
problem�tico, pois induz uma gravidade repulsiva na brana vis�vel.
Esse efeito � observado pois a constante de Newton 4-dimensional
depende de $\lambda_{vis}$
\begin{eqnarray}
\label{MBRSI12} G_{4D}=\frac{\lambda_{vis}}{6M_{5D}^{6}}\ .
\end{eqnarray}
\\
{\bf RS-II}\\
\\
O modelo RS-II \cite{RS2} � constru�do de maneira muito similar ao
modelo RS-I exceto pelos fatos de que a dimens�o extra n�o � mais
compacta mas sim infinita $(r_{c}\rightarrow \infty)$ e que temos
agora uma �nica brana com tens�o positiva.

A simetria $Z_{2}$ � mantida neste modelo e o {\it bulk} ainda �
descrito por um espa�o-tempo $AdS_{5}$. O m�todo para a dedu��o
dessa solu��o � semelhante ao descrito anteriormente de modo que
omitiremos os detalhes.

Para o modelo RS-II a m�trica que satisfaz as equa��es de campo
ser�
\begin{eqnarray}
\label{MBRSII01}
ds^2=e^{- 2k|y|}\eta_{ab}dx^{a}dx^{b}+dy^2,
\end{eqnarray}
que corresponde a equa��o (\ref{MBRSI11}) com sinal negativo. Esse
modelo apresenta algumas vantagens sobre o modelo RS-I. Neste
modelo a tens�o positiva na brana fornece uma gravidade atrativa
como esperado, al�m de possuir um estado ligado do gr�viton
4-dimensional n�o massivo que n�o se propaga para a dimens�o
extra.

Uma propriedade v�lida aos modelos RS � que eles podem ser
escritos na forma conformalmente plana se fizermos a seguinte
transforma��o de coordenadas
\begin{eqnarray}
\label{MBRSII02}
z=l\  e^{\ y/l}
\end{eqnarray}
onde $l$ � o raio $AdS$.
Desta forma a m�trica (\ref{MBRSII01}), por exemplo, ser� escrita como
\begin{eqnarray}
\label{MBRSII03}
ds^2=\frac{\ell}{z}\left[\eta_{ab}dx^{a}dx^{b}+dz^2\right].
\end{eqnarray}
Disso podemos notar que se a m�trica de Minkowski for trocada por
qualquer m�trica do tipo Ricci plana, ela ainda ser� solu��o das
equa��es (\ref{MBRSI04}).\\
Com isso podemos substituir qualquer solu��o da Relatividade Geral
em um cen�rio do tipo RS podendo assim estudar o comportamento de
buraco negros sobre a brana (ver teorema Campbell-Magaard
\cite{campbell}).

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Equa��o de Einstein projetada sobre a brana}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
Como o intuito deste trabalho � estudar buracos negros sobre a
brana precisamos saber como a influ�ncia do {\it bulk} afeta as
equa��es de movimento na brana.

A proje��o das equa��es de Einstein em uma 3-brana foi estudada
por Maeda, Sasaki e Shiromizu \cite{Maeda}.

A id�ia b�sica � utilizar as equa��es de Gauss-Codazzi que projeta
a curvatura 5-dimensional ao longo da brana. Apresentaremos esses
c�lculos com certo detalhe pois consideramo-lo �til no
entendimento das se��es seguintes quando estudaremos buracos
negros sobre a brana.

A princ�pio, n�o suporemos nenhuma propriedade especial para o {\it
bulk}, a n�o ser que ele � formado por um espa�o-tempo
5-dimensional, onde temos 4 dimens�es espaciais e 1 dimens�o
temporal.

Neste trecho do trabalho a nota��o ser� alterada. Os indices $i,j$
correm de $0\dots 4$ representando o espa�o-tempo 5-dimensional.
Quando tivermos objetos 4-dimensionais os �ndices $i,j$ correm de
$0\dots 3$.

No Mundo Brana nosso universo 4-D � descrito por uma 3-brana,
hipersuperf�cie $\mathcal{M}$ com (3+1) dimens�es e m�trica
induzida $q_{ij}$ embebida em um espa�o-tempo 5-dimensional $V$ e
m�trica $g_{ij}$. O vetor unit�rio $n^{i}$ normal a brana
$\mathcal{M}$ � do tipo espa�o de modo que a rela��o entre a
m�trica do {\it bulk} e a m�trica da brana ser�
\begin{eqnarray}
\label{MBEB01} q_{ij}=g_{ij}-n_{i}n_{j}\ ; \qquad
q^{ij}=g^{ij}-n^{i}n^{j}\ ;\qquad
q_{i}^{\phantom{i}{j}}=g_{i}^{\phantom{i}{j}}-n_{i}n^{j}\ .
\end{eqnarray}
Como $n^{i}$ � normal � brana temos tamb�m
\begin{eqnarray}
\label{MBEB02}n^{i}n_{i}=1;\qquad g_{ij}\ n^{i}n^{j}=1;\qquad
q_{ij}\ n^{i}=0\ .
\end{eqnarray}
As equa��es que governam a rela��o entre a brana e o {\it bulk}
s�o as equa��es de Gauss-Codazzi \cite{Maeda}
\begin{eqnarray}
\label{MBEB03}
^{4}R^{\ a}_{\phantom{a}{\ bcd}}=\ ^{5}R^{\
f}_{\phantom{f}{\ ghi}}\ q_{f}^{\phantom{f}{a}}q_{b}^{
\phantom{b}{g}}q_{c}^{\phantom{c}{h}}q_{d}^{\phantom{d}{i}}&+&
K^{a}_{\phantom{a}{c}}K_{bd}-K^{a}_{\phantom{a}{d}}K_{bc},\\
\nonumber\\
\label{MBEB04}
 K_{\phantom{g}{f;\ g}}^{g}-K_{;\ f}&=&\ ^{5}R_{hi}\
n^{i}\ q_{f}^{\phantom{f}{h}}
\end{eqnarray}
onde $K_{ij}=q_{a}^{\phantom{a}{i}}q_{b}^{\phantom{b}{j}}\nabla_{a}n_{b}$
� a curvatura extr�nseca de $\mathcal{M}$, cujo o tra�o � dado por
$K=K_{i}^{i}$ e $(\ ;\ )$ representa a derivada covariante com respeito a
m�trica induzida $q_{ij}$.

A partir dessas equa��es construiremos as equa��es de Einstein
sobre a brana de modo a levar em considera��o a influ�ncia
geom�trica do {\it bulk}. Para tanto precisamos do tensor de Ricci
e o escalar de Ricci 4-dimensional que podem ser calculados da
equa��o (\ref{MBEB03}).

Se contrairmos os �ndices $a$ e $c$ e lembrarmos das propriedades
(\ref{MBEB01}) e (\ref{MBEB02}) n�s teremos o tensor de Ricci
4-dimensional
\begin{eqnarray}
^{4}R_{bd}&=&\ ^{5}R^{\ f}_{\phantom{f}{\ ghi}}\
q_{f}^{\phantom{f}{a}}q_{a}^{\phantom{a}{h}}q_{b}^{\phantom{b}{g}}q_{d}^{\phantom{d}{i}}+
K^{a}_{\phantom{a}{a}}K_{bd}-K^{a}_{\phantom{a}{d}}K_{ba}\nonumber\\
\nonumber\\
^{4}R_{bd}&=&\ ^{5}R^{\ f}_{\phantom{f}{\ ghi}}\
(g_{f}^{\phantom{f}{a}}-n_{f}n^{a})(g_{a}^{\phantom{a}{h}}-n_{a}n^{h})\
q_{b}^{\phantom{b}{g}}q_{d}^{\phantom{d}{i}}+ K\
K_{bd}-K^{a}_{\phantom{a}{d}}K_{ba}\nonumber\\
\nonumber\\
^{4}R_{bd}&=&\ ^{5}R^{\ f}_{\phantom{f}{\ ghi}}\
(g_{f}^{\phantom{f}{a}}g_{a}^{\phantom{a}{h}}-n_{f}n^{h})\
q_{b}^{\phantom{b}{g}}q_{d}^{\phantom{d}{i}}+ K\
K_{bd}-K^{a}_{\phantom{a}{d}}K_{ba}\nonumber\\
\nonumber\\
\nonumber\\
\label{MBEB05}
^{4}R_{bd}&=&\ ^{5}R_{gi}\
q_{b}^{\phantom{b}{g}}q_{d}^{\phantom{d}{i}}-\ ^{5}R^{\
f}_{\phantom{f}{\ ghi}}\ n_{f}n^{h}\
q_{b}^{\phantom{b}{g}}q_{d}^{\phantom{d}{i}}+ K\
K_{bd}-K^{a}_{\phantom{a}{d}}K_{ba}
\end{eqnarray}
Calculemos agora o escalar de Ricci 4-dimensional contraindo a
equa��o (\ref{MBEB05}) com $q^{bd}$
\begin{eqnarray}
\label{MBEB06}
 ^{4}R &=& q^{bd}\ ^{4}R_{bd}\nonumber\\
\nonumber\\
^{4}R&=&\ ^{5}R_{gi}\ q^{gi} -q^{bd}\ ^{5}R^{\ f}_{\phantom{f}{\
ghi}}\ n_{f}n^{h}\ q_{b}^{\phantom{b}{g}}q_{d}^{\phantom{d}{i}}+
q^{bd}\ K\ K_{bd}-q^{bd}\ K^{a}_{\phantom{a}{d}}K_{ba}\nonumber\\
\nonumber\\
\nonumber\\
^{4}R&=&\ ^{5}R_{gi}\ q^{gi} -q^{bd}\ ^{5}R^{\ f}_{\phantom{f}{\
ghi}}\ n_{f}n^{h}\ q_{b}^{\phantom{b}{g}}q_{d}^{\phantom{d}{i}}+
K^{2}- K^{ab}K_{ab}
\end{eqnarray}
Com isso podemos escrever o tensor de Einstein $G_{km}$
4-dimensional como
\begin{eqnarray}
\label{MBEB07}
 ^{4}G_{km}&=&\ ^{4}R_{km}-\frac{1}{2}q_{km}\ ^{4}R\nonumber\\
\nonumber\\
^{4}G_{km}&=&\ ^{5}R_{gi}\
q_{k}^{\phantom{k}{g}}q_{m}^{\phantom{m}{i}}-\ ^{5}R^{\
f}_{\phantom{f}{\ ghi}}\ n_{f}n^{h}\
q_{k}^{\phantom{k}{g}}q_{m}^{\phantom{m}{i}}+ K\
K_{km}-K^{a}_{\phantom{a}{m}}K_{ka}-\nonumber\\
\nonumber\\
&-&\frac{1}{2}q_{km}\left\{\ ^{5}R_{rs}\ q^{rs} -q^{bd}\ ^{5}R^{\
t}_{\phantom{t}{\ rls}}\ n_{t}n^{l}\
q_{b}^{\phantom{b}{r}}q_{d}^{\phantom{d}{s}}+ K^{2}-
K^{jc}K_{jc}\right\}\nonumber\\
\nonumber\\
\nonumber\\
^{4}G_{km}&=&\left(\ ^{5}R_{gi}\
q_{k}^{\phantom{k}{g}}q_{m}^{\phantom{m}{i}}-\frac{1}{2}q_{km}\
^{5}R_{rs}\ q^{rs}\right)-\widetilde{E}_{km}+K\
K_{km}-K^{a}_{\phantom{a}{m}}K_{ka}-\nonumber\\
\nonumber\\
&-&\frac{1}{2}q_{km}\left[ K^{2}- K^{jc}K_{jc}-q^{bd}\ ^{5}R^{\
t}_{\phantom{t}{\ rls}}\ n_{t}n^{l}\
q_{b}^{\phantom{b}{r}}q_{d}^{\phantom{d}{s}}\right]\nonumber\\
\end{eqnarray}
\begin{eqnarray}
^{4}G_{km}&=&\left(\
^{5}R_{gi}-\frac{1}{2}(g_{gi}-n_{g}n_{i})\left[\ ^{5}R-\
^{5}R_{rs}n^{r}n^{s} \right]
\right)q_{k}^{\phantom{k}{g}}q_{m}^{\phantom{m}{i}}-\widetilde{E}_{km}+K\
K_{km}\nonumber\\
\nonumber\\
&-&K^{a}_{\phantom{a}{m}}K_{ka}-\frac{1}{2}q_{km}\left[ K^{2}-
K^{jc}K_{jc}-q^{bd}\ ^{5}R^{\ t}_{\phantom{t}{\ rls}}\ n_{t}n^{l}\
q_{b}^{\phantom{b}{r}}q_{d}^{\phantom{d}{s}}\right]\nonumber\\
\nonumber\\
\nonumber\\
^{4}G_{km}&=&\left(\ ^{5}R_{gi}-\frac{1}{2}g_{gi}\
^{5}R\right)q_{k}^{\phantom{k}{g}}q_{m}^{\phantom{m}{i}}+\frac{1}{2}\
^{5}R_{rs}\ q_{km}\ n^{r}n^{s}-\widetilde{E}_{km}+K\
K_{km}-\nonumber\\
\nonumber\\
&-&K^{a}_{\phantom{a}{m}}K_{ka}-\frac{1}{2}q_{km}\left[ K^{2}-
K^{jc}K_{jc}-\ ^{5}R^{\ t}_{\phantom{t}{\ rls}}\ n_{t}n^{l}\ q^{rs}\right]\nonumber\\
\nonumber\\
\nonumber\\
^{4}G_{km}&=&\ ^{5}G_{gi}\
q_{k}^{\phantom{k}{g}}q_{m}^{\phantom{m}{i}}-\widetilde{E}_{km}+K\
K_{km}-K^{a}_{\phantom{a}{m}}K_{ka}-\frac{1}{2}q_{km}\left[ K^{2}-
K^{jc}K_{jc}\right]\nonumber\\
\nonumber\\
&+&\frac{1}{2}q_{km}\left[\ ^{5}R_{rs}\ n^{r}n^{s}+
\ ^{5}R_{prls}\ n^{p}n^{l}\ q^{rs}\right] \nonumber\\
\nonumber\\
\nonumber\\
^{4}G_{km}&=&\ ^{5}G_{gi}\
q_{k}^{\phantom{k}{g}}q_{m}^{\phantom{m}{i}}-\widetilde{E}_{km}+K\
K_{km}-K^{a}_{\phantom{a}{m}}K_{ka}-\frac{1}{2}q_{km}\left[ K^{2}-
K^{jc}K_{jc}\right]\nonumber\\
\nonumber\\
&+&\frac{1}{2}q_{km}\left[\ ^{5}R_{rs}\ n^{r}n^{s}+\ ^{5}R_{rs}\
n^{r}n^{s}-\ ^{5}R_{rpsl}\ n^{p}n^{l}n^{r}n^{s}\right]
\end{eqnarray}
Como $R_{rpsl}$ � um tensor anti-sim�trico e
$n^{p}n^{l}n^{r}n^{s}$ � sim�trico, o termo acima $\ ^{5}R_{rpsl}\
n^{p}n^{l}n^{r}n^{s}$ se anula.

Assim teremos o tensor de Einstein 4-dimensional como sendo
\begin{eqnarray}
\label{MBEB08} ^{4}G_{km}&=&\ ^{5}G_{gi}\
q_{k}^{\phantom{k}{g}}q_{m}^{\phantom{m}{i}}-\widetilde{E}_{km}+K\
K_{km}-K^{a}_{\phantom{a}{m}}K_{ka}\nonumber\\
\nonumber\\
&+&q_{km}\ ^{5}R_{rs}\ n^{r}n^{s}-\frac{1}{2}q_{km}\left[ K^{2}-
K^{jc}K_{jc}\right]
\end{eqnarray}
onde
\begin{eqnarray}
\label{MBEB09} \widetilde{E}_{km}=\ ^{5}R^{\ f}_{\phantom{f}{\
ghi}}\ n_{f}n^{h}\ q_{k}^{\phantom{k}{g}}q_{m}^{\phantom{m}{i}}\ .
\end{eqnarray}
Como pretendemos obter as equa��es de Einstein sobre a brana com a
menor quantidade de objetos 5-dimensionais, precisamos reescrever o
tensor de Einstein 5-dimensional. Para isso usaremos as equa��es de
Einstein 5-dimensionais
\begin{eqnarray}
\label{MBEB10} ^{5}R_{gi}-\frac{1}{2}g_{gi}\ ^{5}R=k_{5}^{2}\
^{5}T_{gi},
\end{eqnarray}
e do tensor de Weyl $\ ^{5}C_{abcd}$
\begin{eqnarray}
\label{MBEB11} ^{5}C_{abcd}=\
^{5}R_{abcd}&-&\frac{1}{3}\left(g_{ac}\ ^{5}R_{db}-g_{ad}\
^{5}R_{cb}-g_{bc}\ ^{5}R_{da}+g_{bd}\
^{5}R_{ca}\right)\nonumber\\
\nonumber\\
&+&\frac{1}{12}\left(g_{ac}g_{db}-g_{ad}g_{cb}\right)\ ^{5}R\ .
\end{eqnarray}
Da equa��o (\ref{MBEB10}) obtemos, ap�s alguma �lgebra, o escalar de
Ricci e o tensor de Ricci 5-D em termos do tensor momento-energia
$\ ^{5}T_{gi}$
\begin{eqnarray}
\label{MBEB12} ^{5}R=-\frac{2}{3}k_{5}^{2}\ ^{5}T;\qquad
^{5}R_{gi}=\frac{k_{5}^{2}}{3}\left(3\ ^{5}T_{gi}-\
^{5}Tg_{gi}\right)\ .
\end{eqnarray}
Substituindo as equa��es (\ref{MBEB12}) na equa��o (\ref{MBEB08})
teremos
\begin{eqnarray}
\label{MBEB13} ^{4}G_{km}&=&k_{5}^{2}\ ^{5}T_{gi}\
q_{k}^{\phantom{k}{g}}q_{m}^{\phantom{m}{i}}-\widetilde{E}_{km}+K\
K_{km}-K^{a}_{\phantom{a}{m}}K_{ka}\nonumber\\
\nonumber\\
&+&q_{km}\frac{k_{5}^{2}}{3}\left(3\ ^{5}T_{rs}-\
^{5}Tg_{rs}\right)n^{r}n^{s}-\frac{1}{2}q_{km}\left[ K^{2}-
K^{jc}K_{jc}\right].
\end{eqnarray}
Usando a equa��o (\ref{MBEB11}) podemos achar uma rela��o para
$\widetilde{E}_{km}$ em fun��o do tensor de Weyl,
\begin{eqnarray}
\label{MBEB14} \widetilde{E}_{km}&=&\frac{1}{3}\left(\ ^{5}R_{rs}\
q_{k}^{\phantom{k}{r}}q_{m}^{\phantom{m}{s}}+\ ^{5}R_{ig}\
n^{i}n^{g}\ g_{rs}\
q_{k}^{\phantom{k}{r}}q_{m}^{\phantom{m}{s}}\right)\nonumber\\
\nonumber\\
&-&\frac{1}{12}\ ^{5}R\ g_{rs}\
q_{k}^{\phantom{k}{r}}q_{m}^{\phantom{m}{s}}+\ ^{5}C_{irgs}\
n^{i}n^{g}\ q_{k}^{\phantom{k}{r}}q_{m}^{\phantom{m}{s}}\ .
\end{eqnarray}
Reescrevendo $\widetilde{E}_{km}$ em termos do tensor
momento-energia e seu tra�o teremos
\begin{eqnarray}
\label{MBEB15} \widetilde{E}_{km}&=&\frac{k_{5}^{2}}{3}\
^{5}T_{rs}\ q_{k}^{\phantom{k}{r}}q_{m}^{\phantom{m}{s}}
-\frac{k_{5}^{2}}{6}\ ^{5}T\ q_{rs}+E_{km}\nonumber\\
\nonumber\\
&+&\frac{k_{5}^{2}}{3}\left(\ ^{5}T_{gi}\ n^{i}n^{g}\right)q_{km}
\end{eqnarray}
onde
\begin{eqnarray}
\label{MBEB16} E_{km}=\ ^{5}C_{irgs}\ n^{i}n^{g}\
q_{k}^{\phantom{k}{r}}q_{m}^{\phantom{m}{s}}\ .
\end{eqnarray}
Substituindo a equa��o (\ref{MBEB15}) nas equa��es de Einstein
4-dimensionais teremos
\begin{eqnarray}
\label{MBEB17} ^{4}G_{km}&=&k_{5}^{2}\ ^{5}T_{gi}\
q_{k}^{\phantom{k}{g}}q_{m}^{\phantom{m}{i}}\left(1-\frac{1}{3}\right)+
\frac{k_{5}^{2}}{3}\left(2\ ^{5}T_{rs}n^{r}n^{s}-\frac{\ ^{5}T}{2}
\right)q_{km}\nonumber\\
\nonumber\\
&-&E_{km}+K\
K_{km}-K^{a}_{\phantom{a}{m}}K_{ka}-\frac{1}{2}q_{km}\left[ K^{2}-
K^{jc}K_{jc}\right]\ .
\end{eqnarray}
Portanto as equa��es de Einstein 4-dimensionais projetadas sobre uma
brana ser�o
\begin{eqnarray}
\label{MBEB18} ^{4}G_{km}&=&\frac{2k_{5}^{2}}{3}\left(\
^{5}T_{rs}\
q_{k}^{\phantom{k}{r}}q_{m}^{\phantom{m}{s}}+\left[^{5}T_{rs}\
n^{r}n^{s}-\frac{\
^{5}T}{4}\right]q_{km}\right)\nonumber\\
\nonumber\\
&-&E_{km}+K\
K_{km}-K^{a}_{\phantom{a}{m}}K_{ka}-\frac{1}{2}q_{km}\left[ K^{2}-
K^{jc}K_{jc}\right].
\end{eqnarray}
Podemos observar na equa��o acima que temos, al�m de termos que
dependem do tensor momento-energia $\ ^{5}T_{km}$, termos que s�o
puramente geom�tricos fazendo papel de ``mat�ria" e curvando o
espa�o-tempo. Esse resultado nos permite trabalhar com buracos
negros com ``mat�ria geom�trica", ou seja, uma ``mat�ria" induzida pelo {\it bulk}.

Se usarmos a equa��o de Codazzi e a equa��o de Einstein
5-dimensional teremos
\begin{eqnarray}
\label{MBEB19}
 K_{\phantom{g}{f;\ g}}^{g}-K_{;\ f}&=&\frac{k_{5}^{2}}{3}
 \left(3\ ^{5}T_{hi}-\ ^{5}T\ g_{hi}\
\right)n^{i}\ q_{f}^{\phantom{f}{h}}\nonumber\\
\nonumber\\
K_{\phantom{g}{f;\ g}}^{g}-K_{;\ f}&=&k_{5}^{2}\ ^{5}T_{hi}n^{i}\
q_{f}^{\phantom{f}{h}}-\frac{k^{2}_{5}}{3}\ ^{5}T\ n_{h}\
q_{f}^{\phantom{f}{h}}\nonumber\\
\nonumber\\
K_{\phantom{g}{f;\ g}}^{g}-K_{;\ f}&=&k_{5}^{2}\ ^{5}T_{hi}\
n^{i}\ q_{f}^{\phantom{f}{h}}\ .
\end{eqnarray}
De agora em diante suporemos v�lidas algumas das propriedades do
mundo brana. Utilizaremos uma �nica brana e chamaremos a
coordenada extra de $\chi$ tal que $n_{i}dx^{i}=d\chi$ de modo que
a brana se
encontre sobre o ponto $\chi=0$.

Portanto a m�trica que descreve o espa�o-tempo 5-dimensional ser�
do tipo
\begin{eqnarray}
\label{MBEB20} ds^2=d\chi^2+q_{ij}dx^{i}dx^{j}\ .
\end{eqnarray}
Em geral, modelos de mundo brana n�o admitem mat�ria no {\it bulk}.
Portanto nosso tensor momento-energia 5-dimensional ser� dado por
\begin{eqnarray}
\label{MBEB21}
\ ^{5}T_{ij}&=&-\Lambda_{5}g_{ij}+S_{ij}\delta(\chi),\\
\nonumber\\
S_{ij}&=&-\lambda q_{ij}+\tau_{ij}
\end{eqnarray}
onde $\Lambda_{5}$ � a constante cosmol�gica do {\it bulk}, $\lambda$ e $\tau_{ij}$ s�o a tens�o na brana e seu tensor
momento-energia respectivamente.

Como o tensor momento-energia possui um comportamento singular
precisamos saber como a brana se conecta no {\it bulk} uma vez que
ela divide o {\it bulk}  em duas partes quebrando a simetria de
transla��o na dire��o da coordenada extra. Semelhante situa��o
aparece no estudo de uma casca esf�rica, de modo que existe uma
regi�o de transi��o no espa�o-tempo que deve ter solu��o de
continuidade. Essa conex�o � dada pelas condi��es de jun��o de
Israel \cite{Israel}
\begin{eqnarray}
\label{MBEB22}
[q_{ij}]&=&0\\
\nonumber\\
\left[K_{ij}\right]&=&-k_{5}^{2}\left(S_{ij}-\frac{1}{3}q_{ij}S\right)
\end{eqnarray}
onde a opera��o $[A]$ corresponde a
\begin{eqnarray}
\label{MBEB23} [A]:=\lim_{\chi \rightarrow +0}A-\lim_{\chi
\rightarrow -0}A= A^{+}-A^{-}\ .
\end{eqnarray}
Inspirados nos modelos RS podemos impor simetria $Z_{2}$ no nosso
problema tomando a brana como o ponto fixo. Fazendo isso obtemos
das condi��es de jun��o o comportamento da curvatura extr�nseca
\begin{eqnarray}
\label{MBEB24}
K_{ij}^{+}=-K_{ij}^{-}=-\frac{1}{2}k_{5}^{2}\left(S_{ij}-\frac{1}{3}q_{ij}S\right)\
.
\end{eqnarray}
Substituindo a equa��o (\ref{MBEB24}) na equa��o (\ref{MBEB18})
obteremos as equa��es de campo sobre a brana na forma
\begin{eqnarray}
\label{MBEB25}
\ ^{4}G_{ij}=-\Lambda_{4}q_{ij}+8\pi G_{N}\tau_{ij}+k_{5}^{2}\pi_{ij}-E_{ij},
\end{eqnarray}
onde
\begin{eqnarray}
\label{MBEB26}
\Lambda_{4}&=&\frac{1}{2}k_{5}^{2}\left(\Lambda_{5}+\frac{1}{6}k_{5}^{2}\lambda^{2}\right),\\
\nonumber\\
G_{N}&=&\frac{k_{5}^{4}\lambda}{48\pi}\ ,\\
\nonumber\\
\pi_{ij}&=&-\frac{1}{4}\tau_{ia}\tau_{j}^{\phantom{j}{a}}+\frac{1}{12}\tau\tau_{ij}+\frac{1}{8}q_{ij}\tau_{ab}\tau^{ab}-\frac{1}{24}q_{ij}\tau^2\
.
\end{eqnarray}
Alguns coment�rios a respeito do tensor $E_{ij}$ merecem destaque.

O tensor $E_{ij}$ � a proje��o do tensor de Weyl 5-dimensional e
carrega a informa��o de como o campo gravitacional fora da brana
se comporta e atua sobre ela. Portanto ele depende fortemente da
forma do espa�o-tempo no {\it bulk}. Ele n�o � especificado
livremente mas sua diverg�ncia � vinculada ao conte�do de mat�ria
na brana que modo que atrav�s das identidades de Bianchi
contra�das $G_{ij;}^{\phantom{ij;}{i}}=0$ teremos
\begin{eqnarray}
\label{MBEB27}
E_{ij;}^{\phantom{ij;}{i}}=\frac{1}{4}k_{5}^{4}\left[\tau^{ab}(\tau_{ab;j}-\tau_{ja;b})+\frac{1}{3}(\tau_{ij}-q_{ij}\tau)\tau_{;}^{\phantom{;}{i}}\right]\
.
\end{eqnarray}
Podemos decompor $E_{ij}$ em uma parte transversa sem tra�o
$E_{ij}^{TT}$ e uma parte longitudinal $E_{ij}^{L}$, com a parte
longitudinal sendo determinada completamente pela mat�ria presente
na brana. Conseq�entemente se $E_{ij}^{TT}$ n�o estiver presente,
as equa��es se fecham apenas com elementos presentes na brana.
Entretanto como a parte $E_{ij}^{TT}$ corresponde aos gr�vitons
nas 5 dimens�es, ela vai acabar excitando a mat�ria presente na
brana o que por sua vez acaba excitando o {\it bulk}. Isto implica
que para resolver completamente as equa��es de movimento sobre a
brana � necess�rio resolver ao mesmo tempo as equa��es no {\it
bulk}.

Uma an�lise interessante em \cite{Maeda} mostra que o tensor
$E_{ij}$ � negligenci�vel a baixas energias. Isso nos mostra que
no limite de baixas energias os efeitos do {\it bulk} s�o
desprez�veis e assim recuperamos a equa��o de Einstein
convecional. Quando tratarmos de perturba��es gravitacionais em
buracos negros em branas discutiremos um pouco mais a respeito do
tensor $E_{ij}$.














%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Buracos Negros no Mundo Brana}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
Como foi discutido no cap�tulo anterior, existem grandes chances
de que nosso universo seja uma brana imersa em um espa�o-tempo de
dimens�o mais alta. Portanto, t�o importante quanto a verifica��o
desses argumentos, � o entendimento de estruturas estelares e
buracos negros neste contexto.

Como motiva��o extra podemos salientar um resultado, que
contribui para a solidifica��o da correspond�ncia $AdS/CFT$,
obtido em 2005 \cite{CutoffADS} que apresenta evid�ncias
significativas em favor de uma conjectura \cite{citadoemCutoffADS}
que diz que buracos negros 4-D localizados sobre a brana que s�o
obtidos como solu��o cl�ssica de um {\it bulk} $AdS_{5}$ s�o na
verdade buracos negros com corre��es qu�nticas.

Diversos avan�os no contexto de Mundo Brana tem sido feitos, tais
como os realizados por Hawking \cite{cordanegra} que obteve uma
solu��o tipo corda negra, Maartens \cite{Germani} que obteve uma
solu��o que descreve uma estrela de densidade uniforme sobre a
brana, Visser \cite{Visser2} com uma solu��o que descreve planetas
s�lidos sobre a brana, Casadio \cite{Casadio2,Casadio1} com uma
solu��o tipo ``charuto negro" e solu��es tipo buracos negros e
buracos de minhoca e Bronnikov \cite{Bronnikov1,Bronnikov2} com
uma classe geral de buracos negros e buracos de minhoca. Algumas
dessas solu��es apresentaram regimes inst�veis quando submetidas a
perturba��es \cite{gregorilaflamme}, outras ainda n�o foram
estudadas at� agora, o que nos motiva ao estudo da estabilidade
dessas solu��es.

Examinando a equa��o (\ref{MBEB25}) podemos observar que ela
apresenta termos extras no tensor momento-energia que surgem da
presen�a do {\it bulk}. Isso faz com que nossas equa��es de
Einstein sobre a brana dependa do {\it bulk} e portanto n�o formem
um conjunto de equa��es fechadas se n�o conhecemos a extens�o da
solu��o no {\it bulk}. Entretanto essa quest�o pode ser tratada
sob dois aspectos diferentes. O primeiro deles diz respeito a um
teorema sobre imers�es de hipersuperf�cies em espa�os-tempo de
mais alta dimens�o. Esse teorema � conhecido como o Teorema de
Campbell-Magaard \cite{campbell}.

Ele declara que qualquer variedade $n$-dimensional pode ser
localmente embebida em um espa�o de Einstein $(n+1)$
dimensional.

Uma vers�o generalizada desse teorema foi obtida por Wesson
\cite{campbell}. Essa vers�o generalizada inclui a aplica��o do
teorema a modelos de Mundo Brana e � constru�da sobre tr�s
quantidades: a m�trica induzida $q_{ij}$, a curvatura extr�nseca
$K_{ij}$, e o tensor $E_{ij}$. As equa��es que descrevem a
din�mica na brana, obtidas na se��o anterior dependem dessas
quantidades. Portanto n�o podemos especificar arbitrariamente
$q_{ij}$ e $K_{ij}$ e resolver as equa��es de v�nculo. Isso acaba
implicando em restri��es sobre as
imers�es.

Se adotarmos o modelo RS como base, o que implica em assumirmos
simetria $Z_{2}$ e confinarmos os campos de mat�ria na brana ,
teremos a restri��o de que, especificado o tensor momento-energia
sobre a brana, a m�trica induzida � obtida dinamicamente.

Portanto para a vers�o generalizada do teorema para Mundo Brana
temos que qualquer solu��o $(3+1)$ dimensional pode ser
representada por uma brana no cen�rio RS.

O segundo deles � extender a solu��o obtida na brana para o {\it
bulk}. Essa extens�o � realizada de maneira an�loga � decomposi��o
padr�o em $(3+1)$ dimens�es de variedades globalmente hiperb�licas
na Relatividade Geral, ou seja, o formalismo ADM \cite{Wald}.

Neste caso a solu��o na brana funciona como uma ``hipersuperf�cie
inicial" que � evolu�da na dire��o da dimens�o extra construindo a
solu��o 5-dimensional. Esse mecanismo foi utilizado por Casadio
\cite{Casadio2} para construir sua solu��o tipo ``charuto negro".
Neste trabalho abordaremos apenas o primeiro aspecto.

Portanto ignoraremos a forma dos buracos negros no {\it bulk}
invocando o teorema de Campbell-Magaard. Isso implica que n�o nos
importaremos com a forma expl�cita do tensor $E_{ij}$.

A �nica coisa que precisamos saber a respeito do {\it bulk} � que
ele � solu��o das equa��es de Einstein 5-dimensionais para o v�cuo e
com cosntante cosmol�gica $\Lambda_{5}$ que � dada por
\begin{eqnarray}
\label{BNBa}
\mathcal{R}_{\mu\nu}-\frac{1}{2}g_{\mu\nu}\mathcal{R}=\Lambda_{5}\
g_{\mu\nu}
\end{eqnarray}
onde $(\mu,\nu = 0,\dots ,4)$.\\
Utilizando os resultados obtidos na se��o anterior podemos
escrever as equa��es de Einstein projetadas na brana como
\begin{eqnarray}
\label{BNBb} G_{ij}=-\Lambda_{4} q_{ij}+8\pi
G_{N}\tau_{ij}+k_{5}^{4}\pi_{ij}-E_{ij}\ ,
\end{eqnarray}
com
\begin{eqnarray}
\label{BNBc}
\Lambda_{4}&=&\frac{1}{2}k_{5}^{2}\left(\Lambda_{5} +\frac{1}{6}k_{5}^{2}\lambda^2\right)\ ,\\
\nonumber\\
G_{N}&=&\frac{k_{5}^{4}\lambda}{48\pi}\ ,\\
\nonumber\\
\pi_{ij}&=&-\frac{1}{4}\tau_{ia}\tau_{j}^{\phantom{j}
a}+\frac{1}{12}\tau
\tau_{ij}+\frac{1}{8}q_{ij}\tau_{ab}\tau^{ab}-\frac{1}{24}q_{ij}\tau^2\
.
\end{eqnarray}
onde $\Lambda_{4}$ � a constante cosmol�gica 4-D, $\tau_{ij}$ � o
tensor momento-energia sobre a brana, $G_{N}$  � a constante
gravitacional de Newton, $\pi_{ij}$ s�o pot�ncias quadr�ticas do
tensor momento-energia e $E_{ij}$ � a proje��o ``el�trica" do
tensor de Weyl 5-D $C_{\mu\nu\alpha\beta}$ sobre a brana.

Se introduzirmos coordenadas normais Gaussianas $x^{i}\
(i=0,\dots,3)$ e $z$ (com $z=0$ sobre a brana) e considerarmos
aus�ncia de mat�ria sobre brana ($\pi_{ij}=\tau_{ij}=0$), vamos
obter como �nica combina��o das equa��es de Einstein (\ref{BNBa})
que podem ser escritas sobre a brana sem ambig�idades e sem
especificar $E_{ij}$ as seguintes equa��es de v�nculo
\begin{eqnarray}
\label{BNBd} \mathcal{R}_{iz}=0, \qquad R=4\Lambda_{4}\ .
\end{eqnarray}
Deste ponto em diante faremos $\Lambda_{4}=0$ fazendo o ajuste
apropriado entre $\Lambda_{5}$ e a tens�o na brana e respeitando
as condi��es de jun��o necess�rias \cite{Israel}.\\
Se supusermos que nossa solu��o deve ser est�tica e possuir
simetria esf�rica podemos escrever nossa m�trica como
\begin{eqnarray}
\label{BNBe} ds^2=-A(r)dr^2+B(r)dr^2 +r^2d\Omega^2\ .
\end{eqnarray}
Desta forma podemos obter a m�trica sobre a brana de forma completa solucionando
a equa��o
\begin{eqnarray}
\label{BNBf}
R=\frac{1}{2}\frac{A''}{A}-\frac{1}{4}\left(\frac{A'}{A}\right)^2
-\frac{1}{4}\frac{A'}{A}\frac{B'}{B}-\frac{1}{r}\left(\frac{B'}{B}
-\frac{A'}{A}\right)-\frac{1}{r^2}(B-1)=0.
\end{eqnarray}
Portanto, para uma dada fun��o $A(r)$ a equa��o (\ref{BNBf})
sempre ter� uma solu��o de modo que a fun��o $B(r)$ resultante,
ser� especificada totalmente a menos de uma constante de
integra��o.

Os buracos negros estudados neste trabalho s�o dois: BN-CFM e
BN-SM.

A solu��o BN-CFM foi obtida por Casadio \cite{Casadio1} e de
maneira diferente por Maartens \cite{Germani} como solu�ao
exterior de uma estrela na brana e por Bronnikov \cite{Bronnikov2}
como uma solu��o particular de uma classe
geral de solu��es.
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Buraco Negro tipo CFM}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
A m�trica que descreve o BN-CFM tem a forma
\begin{eqnarray}
\label{BNB01}
ds^2=-\left(1-\frac{2M}{r}\right)dt^2+\frac{\left(1-\frac{3M}{2r}\right)}
{\left(1-\frac{2M}{r}\right)\left(1-\frac{M\gamma}{2r}\right)}\ dr^2+r^2d\Omega^2\
.
\end{eqnarray}
Apesar da constante $\gamma$ poder assumir qualquer valor positivo
ou negativo n�s restringiremos seu valor neste trabalho devido �
mudan�a da estrutura do buraco negro causada pela mudan�a no
intervalo de valores de $\gamma$.

Para valores de $\gamma >4$ a solu��o CFM descreve um buraco negro
n�o-singular com um buraco de minhoca dentro do horizonte de
eventos. O diagrama de Penrose dessa solu��o � o mesmo de um
buraco negro de Kerr n�o extremo (ver figura \ref{fig01a}).
\begin{figure}[!ht]
\begin{center}
%\resizebox{1\linewidth}{!}
%{\includegraphics*{BHCFM1.eps}}
\epsfig{file = BHCFM2.eps, width=0.45 \linewidth, clip=}
\end{center}
\caption{Diagrama de Penrose do BN-CFM para $\gamma >3$.}
\label{fig01a}
\end{figure}

Para valores de $\gamma < 4$ a solu��o CFM descreve um buraco
negro tipo Schwarzschild com a singularidade f�sica deslocada.

Deste ponto em diante assumiremos a condi��o $\gamma <4$.

Se analisarmos as escalares invariantes do BN-CFM, veremos que
\begin{eqnarray}
\label{BNB02}
R&=&0\ ,\\
\nonumber\\
R_{ij}R^{ij}&\sim& \frac{1}{(2r-3M)^4 r^4}\ ,\\
\nonumber\\
R_{ijkl}R^{ijkl}&\sim& \frac{1}{(2r-3M)^4 r^6}\ ,
\end{eqnarray}
ou seja, os escalares explodem para $r=0,3M/2$. Como $r=3M/2 >
r=0$ o espa�o compreendido entre $0<r<3M/2$ n�o pertence ao nosso
universo. Portanto nosso universo � definido pelo intervalo $r \in
(3M/2,\infty)$. Sob $r=2M$ os escalares permanecem regulares.

O diagrama de Penrose para este buraco tem a mesma forma que para
Schwarzschild, exceto pelo fato de que a singularidade f�sica foi
deslocada de $r=0$ para $r=\frac{3M}{2}$.
%\newpage
O horizonte de eventos
continua sendo sobre $r=2M$ (ver figura \ref{fig02}).\\
\begin{figure}[!ht]
\begin{center}
\epsfig{file=BHCFM1.eps, width=0.8 \linewidth, clip=}
%\resizebox{1\linewidth}{!}
%{\includegraphics*{BHCFM.eps}}
\end{center}
\caption{Diagrama de Penrose para o BN-CFM para $\gamma <4$. A
singularidade f�sica se encontra sobre $r=3M/2$. O horizonte de
eventos se d� sobre $r=2M$.}
\label{fig02}
\end{figure}

Se fizermos $r \rightarrow \infty$ na m�trica (\ref{BNB01})
observaremos que esse universo � assintoticamente plano.
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Buraco Negro tipo SM}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
A solu��o BN-SM foi obtida por Bronnikov \cite{Bronnikov2}. Ela representa
um buraco negro com massa zero.\\
A m�trica que descreve o BN-SM tem a forma
\begin{eqnarray}
\label{BNB03}
ds^2=-\left(1-\frac{h^2}{r^2}\right)dt^2+\frac{1}{\left(1-\frac{h^2}{r^2}\right)
\left(1+\frac{C-h}{\sqrt{2r^2-h^2}}\right)}\ dr^2+r^2d\Omega^2\ .
\end{eqnarray}
onde $h$ � uma constante positiva. A constante $C$ obtida como
resultado da integra��o da equa��o (\ref{BNBf}) pode assumir
qualquer valor positivo ou negativo. Entretanto, devido aos mesmos
motivos citados para o caso do BN-CFM, assumiremos que $C>h$ daqui
pra frente.\\
Se $C>h$ a estrutura causal do buraco negro � do tipo Schwarzschild. A
figura \ref{fig03} representa o diagrama de Penrose para essa
solu��o.
\begin{figure}[!ht]
\begin{center}
\epsfig{file=BHSM.eps, width=0.6 \linewidth, clip=}
%{\includegraphics{BHSM.eps}}
\end{center}
\caption{Diagrama de Penrose para o BN-SM para $C>h$. A
singularidade f�sica se encontra em $r=h/\sqrt{2}$.}
\label{fig03}
\end{figure}

Se observarmos os invariantes escalares desse buraco negro,
veremos que
\begin{eqnarray}
\label{BNB04}
R&=&0\ ,\\
\nonumber\\
R_{ij}R^{ij}&\sim& \frac{1}{(2r^2-h^2)^3r^8}\ ,\\
\nonumber\\
R_{ijkl}R^{ijkl}&\sim& \frac{1}{(2r^2-h^2)^3r^8}\ .
\end{eqnarray}
Deste modo vemos que para os valores $r=0,h/\sqrt{2}$ os
escalares explodem, caracterizando esses valores como
singularidades f�sicas. Investigando a componente $g_{tt}$ da
m�trica vemos que o horizonte de eventos se d� sobre $r=h$. 

Portanto esse universo se encerra sobre $r=h/\sqrt{2}$ sendo definido pelo o intervalo $r \in (h/\sqrt{2},\infty)$.\\
Se fizermos $r \rightarrow \infty$ na m�trica (\ref{BNB03})
observaremos que esse universo � assintoticamente plano.







%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\chapter{Evolu��o de Campos, Estabilidade e Termodin�mica de BN's Esfericamente Sim�tricos sobre a brana}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
{\it No espa�o onde tudo parece distante, buscamos alguma
refer�ncia. � neste momento que nos deparamos com a sua fronteira.
Continuemos pois na explora��o deste universo.}\\
\\
O formalismo desenvolvido nas se��es anteriores ser� aplicado �
dois tipos de buracos negros esfericamente sim�tricos localizados
sobre uma brana.

Os buracos negros estudados neste trabalho foram
\begin{itemize}
\item Buraco negro CFM

\item Buraco negro ``sem massa" SM
\end{itemize}
Apresentaremos abaixo as m�tricas do buracos negros estudados
assim como algumas quantidades relevantes aos c�lculos realizados
nas se��es posteriores.\\
\\
{\bf Buraco Negro-CFM}\\
\\
A m�trica de um buraco negro tipo CFM localizado sobre uma brana �
dada por
\begin{eqnarray}
\label{BNMB01A} ds^2=
-\left(1-\frac{2M}{r}\right)dt^2+\frac{\left(1-\frac{3M}{2r}\right)}{\left(
1-\frac{2M}{r}\right)\left(1- \frac{M\gamma}{2r}\right)}\
dr^2+r^2d\Omega^2\ ,
\end{eqnarray}
com $d\Omega^2=d\theta^2+sen\theta^2d\phi^2$.

A raiz quadrada do determinante da m�trica covariante $g_{ij}$
ser�
\begin{eqnarray}
\label{BNMB02A} \sqrt{-g}= \sqrt{\frac{(2r-3M)}{(2r-M\gamma)}}\
r^2 sen\theta\ .
\end{eqnarray}
A coordenada tartaruga $r_{*}$ para esse buraco negro � dada por
\begin{eqnarray}
\label{BNMB03A}
r_{*}&=&\int \frac{1}{\sqrt{f}}\ dr\nonumber\\
\nonumber\\
r_{*}(r)&=&T_{1}(r)+T_{2}(r)+T_{3}(r),
\end{eqnarray}
onde
\begin{eqnarray}
\label{BNMB04A}
T_{1}(r)&=&\frac{\sqrt{(2r-\gamma M)(2r-3M)}}{2},\\
\nonumber\\
T_{2}(r)&=&\frac{M(5+\gamma)}{4}\ ln\left(4r-M(3+\gamma)+2\ T_{1}\ \right),\\
\nonumber\\
T_{3}(r)&=&-\frac{2M}{\sqrt{(4-\gamma)}}\ ln\left(T_{4}\right),\nonumber\\
\nonumber\\
T_{4}(r)&=&\frac{M\sqrt{4-\gamma}\ T_{1}+M(5-\gamma)r-M^2(6-\gamma)}{(r-2M)}.
\end{eqnarray}
Vejamos o comportamento da coordenada tartaruga $r_{*}$ para
alguns valores de $\beta$ na figua \ref{figtarCFM1}.\\
\begin{figure}[!ht]
\begin{center}
%\resizebox{1\linewidth}{!}{\includegraphics*{g1.eps}}
\epsfig{file = g1.eps, width=0.9 \linewidth, clip=}
\end{center}
\caption{Comportamento da coordenada tartaruga $r_{*}$, com $\gamma =\beta +3$ e $M=1$}
\label{figtarCFM1}
\end{figure}

Portanto, com essa mudan�a de coordenadas mapeamos o intervalo semi-infinito
$(2M,+\infty)$ que corresponde ao exterior do BN-CFM no intervalo
infinito $(-\infty,+\infty)$.

Observando o limite quando $r\rightarrow 2M$ vemos que $r_{*}\rightarrow -\infty$. No limite de $r \gg 2M$ a coordenada $r_{*}$ cresce linearmente. Analisaremos esses limites mais detalhadamente.

Utilizando-se  do formalismo descrito no Ap�ndice \ref{sec:coordtartaruga} podemos
definir uma fun��o $h(r)$ para o BN-CFM como sendo
\begin{eqnarray}
\label{BNMB05A}
h(r)=\frac{r-2M}{r}\sqrt{\frac{2r-\gamma M}{2r-3M}}.
\end{eqnarray}
Nesta forma � f�cil ver que o horizonte de eventos se encontra sobre $r=r_{h}=2M$. Para que este seja um horizonte simples, ou seja, um zero simples, temos que fun��o $P(r)$, definida abaixo, como
\begin{eqnarray}
\label{BNMB06A}
h(r)=(r-r_{h})P(r)\qquad \textrm{com}\qquad P(r)=\frac{1}{r}\sqrt{\frac{2r-\gamma M}{2r-3M}},
\end{eqnarray}
deve ser anal�tica e n�o-nula em $r=r_{h}=2M$. Isso de fato �
observado pois
\begin{eqnarray}
\label{BNMB07A}
P(r_{h})=\frac{\sqrt{4-\gamma}}{2M}.
\end{eqnarray}
Portanto, se $\gamma < 4$, $P(r_{h})$ � anal�tica e n�o-nula, e
$r=2M$ � um zero simples de $h(r)$.

Observando a equa��o (\ref{BNMB03A}), analisemos o comportamento de
$r_{*}$ quando $r \rightarrow \infty$. Neste caso $r_{*}(r)$
diverge linearmente, j� que neste limite temos
\begin{eqnarray}
\label{BNMB08A}
T_{1}(r)&\approx& r,\\
\nonumber\\
T_{2}(r)&\approx& \frac{M(5+\gamma)}{4}\ ln(r),\\
\nonumber\\
T_{3}(r)&\approx& constante,
\end{eqnarray}
e desta forma
\begin{eqnarray}
\label{BNMB09A}
r_{*}(r)\approx r+\frac{M(5+\gamma)}{4}\ ln(r).
\end{eqnarray}
Interessante notar que a forma da fun��o $r_{*}(r)$ no caso do BN-CFM � mesma do caso do BN-Schwarzschild
\begin{eqnarray}
\label{BNMB10A} r_{*}(r)\approx r+2M\ ln(r)\ ,
\end{eqnarray}
no limite de $r$ grande.

No limite de $r\rightarrow 2M$ podemos usar os resultados obtidos
no Ap�ndice \ref{sec:coordtartaruga}. Como $h(r)$ possui um zero simples, a forma de
$r_{*}(r)$, pr�ximo do horizonte de eventos, � dada por
\begin{eqnarray}
\label{BNMB11A}
r_{*}(r)=\frac{1}{P(r_{h})}\ ln(r-r_{h})\qquad \Longrightarrow \ \ r_{*}(r)=\frac{2M}{\sqrt{4-\gamma}}\ ln(r-2M).
\end{eqnarray}
Vemos ent�o que pr�ximo do horizonte de eventos $r_{*}$ diverge logaritimicamente.\\
\\
{\bf Buraco Negro-SM}\\
\\
A m�trica de um buraco negro tipo SM localizado sobre uma brana �
dada por
\begin{eqnarray}
\label{BNMB01B} ds^2=
-\left(1-\frac{h^2}{r^2}\right)dt^2+\frac{1}{\left(
1-\frac{h^2}{r^2}\right)\left(1+
\frac{C-h}{\sqrt{2r^2-h^2}}\right)}\ dr^2+r^2d\Omega^2.
\end{eqnarray}
A raiz quadrada do determinante da m�trica covariante $g_{ij}$
 neste caso ser�
\begin{eqnarray}
\label{BNMB02B}
 \sqrt{-g}= \sqrt{1+\frac{C-h}{\sqrt{2r^2-h^2}}}\ r^2
sen\theta\ .
\end{eqnarray}
A coordenada tartaruga $r_{*}$ para esse buraco negro � dada por
\begin{eqnarray}
\label{BNMB03B}
r_{*}=\int_{h}^{\infty}\frac{1}{\left(1-\frac{h^2}{r^2}\right)
\sqrt{1+\frac{C-h}{\sqrt{2h^2-r^2}}}}\ dr\ .
\end{eqnarray}
A equa��o (\ref{BNMB03B}) ser� integrada numericamente devido a
dificuldade em encontrarmos uma solu��o anal�tica. Vejamos o comportamento da coordenada tartaruga $r_{*}$ para alguns valores de $C$ na figura \ref{figtartSM1}.

Com essa mudan�a de coordenadas mapeamos o intervalo $(h,+\infty)$
no intervalo $(-\infty,+\infty)$.
Observando o limite quando $r\rightarrow h$ vemos que $r_{*}\rightarrow -\infty$. No limite de $r \gg h$ a coordenada $r_{*}$ tamb�m cresce linearmente como no caso do BN-CFM. Analisaremos esses limites mais detalhadamente.

\begin{figure}[!ht]
\begin{center}
%\resizebox{1\linewidth}{!}{\includegraphics*{g1.eps}}
\epsfig{file = g1SM.eps, width=0.8 \linewidth, clip=}
\end{center}
\caption{{\small Comportamento da coordenada tartaruga $r_{*}$,  para $h=1$}}
\label{figtartSM1}
\end{figure}

Utilizando-se  do formalismo descrito no Ap�ndice \ref{sec:coordtartaruga} podemos
definir uma fun��o $h(r)$ para o BN-SM como sendo
\begin{eqnarray}
\label{BNMB04B}
h(r)=(r-h)\frac{(r+h)}{r^2}\sqrt{1+\frac{C-h}{\sqrt{2r^2-h^2}}}.
\end{eqnarray}
Temos ent�o que $r=r_{h}=h$ � um candidato a horizonte (simples) de eventos, desde que a fun��o
\begin{eqnarray}
\label{BNMB05B}
P(r)=\frac{(r+h)}{r^2}\sqrt{1+\frac{C-h}{\sqrt{2r^2-h^2}}},
\end{eqnarray}
seja anal�tica e n�o-nula em $r=r_{h}=h$. Explicitamente,
\begin{eqnarray}
\label{BNMB06B}
P(r_{h})=\frac{2}{h}\sqrt{\frac{C}{h}}.
\end{eqnarray}
Desta forma, se $C>0$ ent�o $h(r)$ possui uma raiz simples em $r=h$, e a fun��o $r_{*}$ diverge logaritimicamente pr�ximo ao horizonte de eventos:
\begin{eqnarray}
\label{BNMB07B}
r_{*}(r)=\frac{h}{2}\sqrt{\frac{h}{C}}\ ln(r-h).
\end{eqnarray}
Por outro lado, se $C=0$ ent�o $P(r_{h})=0$. Neste caso, a fun��o $h(r)$ possui zero duplo o que implica que $r_{*}$ diverge como lei de pot�ncia
\begin{eqnarray}
\label{BNMB08B}
r_{*}(r)\propto -\frac{1}{(r-h)}
\end{eqnarray}
em $r=h$. Suporemos que $C>0$ daqui para frente.

Vejamos o comportamento de $r_{*}$ para $r$ grande. Neste caso a integra��o expl�cita n�o � simples. Podemos entretanto expandir $h(r)$ em pot�ncias de $1/r$ obtendo\\
\begin{eqnarray}
\label{BNMB09B}
h(r)\approx 1+\left(\frac{(C-h)\sqrt{2}}{4}\right)\frac{1}{r}.
\end{eqnarray}
Usando este resultado teremos
\begin{eqnarray}
\label{BNMB10B}
r_{*}(r)\approx r-\frac{\sqrt{2}(C-h)}{4}\ ln(r).
\end{eqnarray}
A fun��o $r_{*}$ para o BN-SM, tamb�m diverge linearmente com $r \rightarrow \infty$. Entretanto, o termo subdominante ser� diferente do caso do BN-CFM se, $C\geq h$.\\
Neste trabalho assumiremos a condi��o $C\geq h$.
Essa mudan�a no comportamento assint�tico, acarretar� altera��es no comportamento das caudas nas perturba��es.










%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Evolu��o de campos em BN-CFM e BN-SM}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
Nesta se��o apresentaremos as equa��es que descrevem a evolu��o de
campos no exterior dos BN-CFM e BN-SM. A solu��o destas equa��es
foram obtidas numericamente atrav�s do m�todo de integra��o com
condi��es iniciais caracter�sticas e ser�o apresentadas e
discutidas no cap�tulo 8.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Perturba��o Escalar no exterior do BN-CFM e do BN-SM}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
Considerando que trabalharemos com campos escalares localizados
apenas sobre a brana, ou seja, que n�o se propagam para o {\it
bulk}, a evolu��o de um campo escalar n�o massivo
$\Psi(t,r,\theta,\phi)$ no exterior de um buraco negro sobre a
brana � governada pelas equa��es (\ref{pe26}) e (\ref{pe27}). Para
o caso do BN-CFM temos que a fun��o $f(r)$ e sua derivada
$\frac{df}{dr}$ s�o
\begin{eqnarray}
\label{BNMBpertescalar01A}
f&=&\frac{(r-2M)^2(2r-M\gamma)}{r^2(2r-3M)}\\
\nonumber\\
\frac{df}{dr}&=&\frac{d}{dr}\left[\left(1-\frac{2M}{r}\right)^2\left(\frac{2r-M\gamma}{2r-3M}\right)\right]\nonumber\\
\nonumber\\
\frac{df}{dr}&=&2\left(1-\frac{2M}{r}\right)\left\{\frac{2M}{r^2}\left(\frac{2r-M\gamma}{2r-3M}\right)+\right.\nonumber\\
\nonumber\\
&+&\left.\left(1-\frac{2M}{r}\right)\left[\frac{(2r-3M)-(2r-M\gamma)}{(2r-3M)^2}\right]\right\}\
.
\end{eqnarray}
Substituindo $\gamma=\beta+3$ teremos
\begin{eqnarray}
\label{BNMBpertescalar02A}
\frac{df}{dr}&=&2\left(1-\frac{2M}{r}\right)\left\{\frac{2M}{r^2}+\frac{M\beta}{(2r-3M)^2}\left[1-\frac{6M}{r}+\frac{6M^2}{r^2}\right]\right\}.
\end{eqnarray}
Substituindo a equa��o (\ref{BNMBpertescalar02A}) na equa��o
(\ref{pe27}) obtemos o potencial efetivo $V_{esc}^{CFM}$ para o
BN-CFM. Desta forma a equa��o que governa a perturba��o escalar de
um BN-CFM ser�
\begin{eqnarray}
\label{BNMBpertescalar03A}
&-&\frac{\partial^2 R}{\partial t^2}(r,t)+\frac{\partial^2 R}{\partial r_{*}^2}(r,t)= V_{esc}^{CFM}(r)R(r,t)
\end{eqnarray}
onde
\begin{eqnarray}
\label{BNMBpertescalar04A}
V_{esc}^{CFM}(r)&=&\left(1-\frac{2M}{r}\right)\left\{\frac{\ell(\ell+1)}{r^2}+\frac{2M}{r^3}+\right.\\
\nonumber\\
&+&\left.
\frac{M\beta}{r(2r-3M)^2}\left[1-\frac{6M}{r}+\frac{6M^2}{r^2}\right]\right\}\
.
\end{eqnarray}
Como podemos observar na equa��o acima, se fizermos, $\beta =0$,
recuperamos a equa��o que governa a perturba��o escalar para
Schwarzschild, uma vez que para esse valor de $\beta$ a m�trica do
BN-CFM se torna a m�trica de Schwarzschild. O caso do BN-SM pode
ser tratado de modo an�logo ao BN-CFM. Para o caso do BN-SM a
fun��o $f(r)$ e sua derivada $\frac{df}{dr}$ ser�o
\begin{eqnarray}
\label{BNMBpertescalar01B}
f&=&\left(1-\frac{h^2}{r^2}\right)^2\left(1+\frac{C-h}{\sqrt{2r^2-h^2}}\right)\\
\nonumber\\
\frac{df}{dr}&=&\frac{d}{dr}\left[\left(1-\frac{h^2}{r^2}\right)^2\left(1+\frac{C-h}{\sqrt{2r^2-h^2}}\right)\right]\nonumber\\
\nonumber\\
\label{BNMBpertescalar02B}
\frac{df}{dr}&=&2\left(1-\frac{h^2}{r^2}\right)\left\{\frac{2h^2}{r^3}+\right. \nonumber\\
\nonumber\\
&+&\left.
\frac{C-h}{\sqrt{2r^2-h^2}}\left[\frac{2h^2}{r^3}-\frac{r^2-h^2}{r(2r^2-h^2)}\right]\right\}\
.
\end{eqnarray}
Agora, substituindo a equa��o (\ref{BNMBpertescalar02B}) na
equa��o (\ref{pe27}) obtemos o potencial efetivo $V_{esc}^{SM}$
para o BN-SM. A equa��o que governar� a perturba��o escalar de um
BN-SM ser�
\begin{eqnarray}
\label{BNMBpertescalar03B}
&-&\frac{\partial^2 R}{\partial t^2}(r,t)+\frac{\partial^2 R}{\partial r_{*}^2}(r,t)= V_{esc}^{SM}(r)R(r,t)
\end{eqnarray}
onde
\begin{eqnarray}
\label{BNMBpertescalar04B}
V_{esc}^{SM}(r)&=&\left(1-\frac{h^2}{r^2}\right)\left\{\frac{\ell(\ell+1)}{r^2}+\frac{2h^2}{r^4}\right.\nonumber\\
\nonumber\\
&+&\left.
\frac{C-h}{\sqrt{2r^2-h^2}}\left[\frac{2h^2}{r^4}-\frac{r^2-h^2}{r^2(2r^2-h^2)}\right]\right\}\
.
\end{eqnarray}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Perturba��o Eletromagn�tica no exterior do BN-CFM e do BN-SM}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
Nesta se��o trataremos da evolu��o de um campo de Maxwell no
exterior de um buraco negro sobre a brana. Perturba��es
eletromagn�ticas s�o de grande interesse, j� que, no contexto da
conjectura $AdS/CFT$ elas podem ser vistas como perturba��es para
algum campo de calibre em supergravidade. Como o campo de Maxwell
� um campo de mat�ria ele permanece confinado na brana. Portanto
n�o precisamos resolver as equa��es relativas ao {\it bulk}. Desta
forma a evolu��o de um campo de Maxwell
$\mathcal{A}(t,r,\theta,\phi)$ no exterior de um buraco negro na
brana � dada pelas equa��es (\ref{pele10}) e (\ref{pele11}).

A propaga��o de um campo de Maxwell no exterior do BN-CFM ser�
dada pela equa��o
\begin{eqnarray}
\label{BNMBperteletro01A} -\frac{\partial^2\mathcal{A}}{\partial
t^2}+\frac{\partial^2\mathcal{A}}{\partial
r_{*}^2}=V_{el}^{CFM}(r)\ \mathcal{A}
\end{eqnarray}
onde o potencial efetivo $V_{el}^{CFM}$ para o BN-CFM ser�
\begin{eqnarray}
\label{BNMBperteletro02A} V_{el}^{CFM}(r)=
\left(1-\frac{2M}{r}\right)\frac{\ell(\ell+1)}{r^2}\ .
\end{eqnarray}
Interessante notar que apesar do BN-CFM ter, como um caso
particular a solu��o de Schwarzschild, o potencial efetivo para
perturba��es eletromagn�ticas neste buraco negro � id�ntico ao
potencial do buraco negro de Schwarzschild. Novamente o processo �
repetido para o caso do BN-SM.

Assim a propaga��o de um campo de Maxwell no exterior do BN-SM
ser� dada pela equa��o
\begin{eqnarray}
\label{BNMBperteletro01B}
 -\frac{\partial^2\mathcal{A}}{\partial
t^2}+\frac{\partial^2\mathcal{A}}{\partial
r_{*}^2}=V_{el}^{SM}(r)\ \mathcal{A}
\end{eqnarray}
onde o potencial efetivo $V_{el}^{SM}$ para o BN-SM ser�
\begin{eqnarray}
\label{BNMBperteletro02B}
 V_{el}^{SM}(r)=
\left(1-\frac{h^2}{r^2}\right)\frac{\ell(\ell+1)}{r^2}\ .
\end{eqnarray}







%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Perturba��es Gravitacionais no exterior do BN-CFM e do BN-SM}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
O c�lculo de perturba��es gravitacionais, no contexto de Mundo
Brana, revela-se um pouco mais complicado do que em $(3+1)$
dimens�es, devido a exist�ncia do {\it bulk}.

Diferentemente das perurba��es escalares e eletromagn�ticas que
permanecem confinadas na brana, as perturba��es gravitacionais
al�m de perturbar a brana perturbam o {\it bulk}.
Conseq�entemente, o tensor $E_{ij}$ ser� perturbado acrescentando
alguma contribui��o no tensor-momento energia perturbado.

Como foi mencionado anteriormente na se��o 6.2, n�o conhecemos a
extens�o, dos buracos negros estudados, no {\it bulk}. Isso
poderia inviabilizar o c�lculo das perturba��es gravitacionais
pois n�o poder�amos contabilizar a contribui��o do tensor
$E_{ij}$.

Entretanto como estamos interessados apenas nas ondas que se
propagam sobre a brana assumiremos algumas condi��es adicionais
como hip�tese de trabalho para contornar o problema de solucionar
as equa��es perturbadas no {\it bulk}. Consideraremos apenas
perturba��es axiais e em $1^{a}$ ordem na m�trica $q_{ij}$. Como
realizado para a perturba��o escalar, calcularemos a perturba��o
para uma m�trica esfericamente sim�trica  t�o geral
quanto poss�vel e depois especificaremos caso a caso.\\
\\
As equa��es de Einstein 4-dimensionais para o v�cuo, sobre a brana s�o dadas por
\begin{eqnarray}
\label{pgb01} R_{ij}-\frac{1}{2}q_{ij}R=-\Lambda_{4} \
q_{ij}-E_{ij}\ .
\end{eqnarray}
Faremos $\Lambda_{4} =0$ daqui para frente o que implica em um ajuste ente $\Lambda_{5}$ e a tens�o na brana que � dada pela equa��o (\ref{BNBc}). Assim a equa��o que devemos perturbar ser�
\begin{eqnarray}
\label{pgb02} R_{ij}-\frac{1}{2}q_{ij}R=-E_{ij}\ .
\end{eqnarray}
Para uma perturba��o em $1^{a}$ ordem a nova m�trica pode ser
escrita como
\begin{eqnarray}
\label{pgb03}
e_{ij}=q_{ij}+h_{ij} \qquad e^{ij}=q^{ij}-h^{ij}
\end{eqnarray}
onde $h_{ij}<< q_{ij}$ e $e_{ib}\ e^{bj}=\delta_{i}^{j}$.

Observando nossa equa��o de Einstein n�o-perturbada temos os
seguintes resultados
\begin{eqnarray}
\label{pgb04}
\stackrel{\circ}{R}_{ij}&=& -\stackrel{\circ}{E}_{ij}\ ,\\
\nonumber\\
\stackrel{\circ}{E}_{i}^{i}&=&\stackrel{\circ}{E}\ =0\ , \\
\nonumber\\
\stackrel{\circ}{R}&=&0\ ,
\end{eqnarray}
onde o tensor $E_{ij}$ tem tra�o nulo devido �s simetrias do
tensor de Weyl e a nota��o $(\ \circ \ )$ inidica que o objeto
ser� calculado com respeito � m�trica fundo $q_{ij}$.

A equa��o de Einstein perturbada ser� dada pela substitui��o da
equa��o (\ref{pgb03}) na equa��o (\ref{pgb02})
\begin{eqnarray}
\label{pgb05}
R_{ij}&-&\frac{1}{2}e_{ij}R=-E_{ij}\\
\nonumber\\
\stackrel{\circ}{R}_{ij}&+&\delta
R_{ij}-\frac{1}{2}(q_{ij}+h_{ij})(\stackrel{\circ}{R}+\delta
R)=-(\stackrel{\circ}{E}_{ij}+\delta E_{ij})\ .
\end{eqnarray}
O escalar de Ricci perturbado ser� dado pela contra��o da m�trica
perturbada com o tensor de Ricci perturbado
\begin{eqnarray}
\label{pgb06}
e^{ij}R_{ij}-\frac{1}{2}e^{ij}e_{ij}R&=&-e^{ij}E_{ij}\ ,\nonumber\\
\nonumber\\
R-2R&=&-E\ ,\nonumber\\
\nonumber\\
R&=&E\ .
\end{eqnarray}
Como temos
\begin{eqnarray}
\label{pgb06a}
\stackrel{\circ}{E}=E=0,
\end{eqnarray}
devido �s simetrias do tensor de Weyl, podemos reescrever a equa��o (\ref{pgb05}) na forma
\begin{eqnarray}
\label{pgb06b}
R_{ij}&=&-E_{ij}\ ,\\
\nonumber\\
\label{pgb06bb} \delta R_{ij}&=&-\delta E_{ij}\ .
\end{eqnarray}
Desta forma se conhecermos $\delta E_{ij}$ poderemos escrever a
equa��o completamente. Entretanto n�o conhecemos a forma exata do
{\it bulk} o que nos impede de calcular $\delta E_{ij}$ explicitamente.
Neste ponto do trabalho assumiremos algumas condi��es de trabalho.
Assumiremos a seguinte a hip�tese de trabalho.
\begin{eqnarray}
\label{pgb06c} \delta E_{ij}=0
\end{eqnarray}
O motivo que nos leva a tal declara��o repousa no fato de que
nossa perturba��o gravitacional � realizada sobre a 3-brana.

Sabemos que uma parte das perturba��es gravitacionais se
propagar�o para o {\it bulk} perturbando-o tamb�m. Essa perturba��o
afetar� o tensor $E_{ij}$ fazendo com que $\delta E_{ij}$ seja
n�o-nulo. Entretanto o efeito do {\it bulk} sobre a brana pode ser considerado secund�rio.

Como a informa��o sobre a perturba��o leva um tempo finito para
chegar ao {\it bulk} e esse tamb�m leva um tempo finito para transmitir
essa informa��o ao tensor de Weyl e conseq�entemente ao tensor
$E_{ij}$, podemos em primeira aproxima��o desconsiderar os
efeitos do {\it bulk}.

Um ponto importante a ser acrescentado � que essa condi��o quase
n�o afeta o valor das freq��ncias quasi-normais se essas fossem
calculadas com a presen�a de $\delta E_{ij}$. O maior efeito de
$\delta E_{ij}$ ser� observado nas caudas da perturba��o pois
nesse intervalo de tempo posterior o efeito da perturba��o j�
alcan�ou a 3-brana. Esse comportamento j� era esperado pois se
observarmos o comportamento da perturba��o gravitacional de uma
black string veremos que o efeito dos modos massivos do gr�viton
aparecem apenas na cauda.

Portanto, recuperando nossa equa��o (\ref{pgb06bb}) e substituindo
nela a equa��o (\ref{pgb06c}), teremos
\begin{eqnarray}
\label{pgb12} \delta R_{ij}=0\ ,
\end{eqnarray}
onde
\begin{eqnarray}
\label{pgb13} \delta R_{ij}=\delta \Gamma_{ij\
;b}^{\phantom{i}{b}}-\delta \Gamma_{ib\ ;j}^{\phantom{i}{b}}\ .
\end{eqnarray}
Essa � a equa��o a ser resolvida para uma perturba��o
gravitacional de uma 3-brana embebida em um espa�o 5-dimensional $AdS$.

Para o c�lculo das perturba��es gravitacionais axiais utilizaremos
o m�todo desenvolvido por Chandrasekhar. A mudan�a no m�todo se
deve ao fato que Chandrasekhar desenvolve um formalismo mais geral
que Regge e Wheeler por assumir condi��es mais fracas de
depend�ncia das equa��es acopladas. Isso ficar� um pouco mais
claro a seguir. A nota��o utilizada neste c�lculo segue a nota��o
de Chandrasekhar \cite{Chandra}.

Assumiremos uma m�trica axialmente sim�trica de modo que ela
represente nossa escolha de {\it gauge}. A m�trica ser� dada por
\begin{eqnarray}
\label{pgb14}
ds^2=-e^{2\nu}dt^2&+&e^{2\psi}(dx^{1}+\omega dt+q_{2}dx^2+q_{3}dx^3)^2\nonumber\\
\nonumber\\
&+&e^{2\mu_{2}}(dx^{2})^2+e^{2\mu_{3}}(dx^{3})^2,
\end{eqnarray}
onde temos:
\begin{eqnarray}
t&\rightarrow& 0 \qquad e^{2\nu}\ =A(r),\nonumber\\
\phi &\rightarrow& 1 \qquad e^{2\mu_{2}}=B(r),\nonumber\\
r &\rightarrow& 2 \qquad e^{2\mu_{3}}= r^2,\nonumber\\
\theta &\rightarrow& 3 \qquad e^{2\psi}\ =r^2sin(\theta)^2.\nonumber
\end{eqnarray}
As perturba��es axiais na m�trica s�o representadas pelas fun��es
$\omega$, $q_{1}$ e $q_{2}$ que dependem das coordenadas
$(t,r,\theta,\phi)$. Substituindo a m�trica (\ref{pgb14}) na
equa��o (\ref{pgb12}) temos como resultado apenas 3 equa��es que
dependem linearmente de $\omega$, $q_{1}$ e $q_{2}$. Como estamos
interessados apenas em perturba��es de $1^{a}$ ordem, elas j� s�o
suficiente. Assim, as componentes da equa��o (\ref{pgb12}) que
caracterizam perturba��es axiais de primeira ordem s�o dadas por
\begin{eqnarray}
\label{pgb15}
\delta R_{12}=0,\\
\nonumber\\
\delta R_{13}=0,\\
\nonumber\\
\delta R_{10}=0.
\end{eqnarray}
Entretanto esse sistema de equa��es ainda pode ser simplificado.
Podemos mostrar que a equa��o $\delta R_{10}=0$ � uma combina��o
das duas primeiras e pode ser escrita como (ver Ap�ndice~\ref{sec:desacoplamento})
\begin{equation}
\label{pgb16}
\delta R_{10,0}=\delta R_{12,2}+\delta R_{13,3}
\end{equation}
Assim se as duas primeiras equa��es forem satisfeitas a terceira
equa��o � satisfeita automaticamente. Portanto basta solucionarmos as equa��es $\delta R_{13}=0$ e $\delta R_{12}=0$.

Nossas duas equa��es podem ser explicitadas como
\begin{eqnarray}
\label{pgb17}
(e^{3\psi +\nu-\mu_{2}-\mu_{3}}Q_{23})_{,3}&=&-(e^{3\psi-\nu+\mu_{3}-\mu_{2}}Q_{02})_{,0}\ ,\\
\nonumber\\
(e^{3\psi
+\nu-\mu_{2}-\mu_{3}}Q_{23})_{,2}&=&(e^{3\psi-\nu-\mu_{3}+\mu_{2}}Q_{03})_{,0}\
,
\end{eqnarray}
onde
\begin{eqnarray}
\label{pgb18} Q_{AB}=q_{A,B}-q_{B,A} \qquad
Q_{A0}=q_{A,0}-\omega_{,A}\ .\nonumber
\end{eqnarray}
Como todas as componentes da m�trica dependem apenas de $r$ e $\theta$ podemos reescrever as equa��es acima como:
\begin{eqnarray}
\label{pgb19}
(e^{3\psi +\nu-\mu_{2}-\mu_{3}}Q_{23})_{,3}&=& -e^{3\psi-\nu+\mu_{3}-\mu_{2}} Q_{02,0}\\
\nonumber\\
(e^{3\psi +\nu-\mu_{2}-\mu_{3}}Q_{23})_{,2}&=&
e^{3\psi-\nu-\mu_{3}+\mu_{2}} Q_{03,0}\ .
\end{eqnarray}
Reescrevendo as equa��es e substituindo os valores de $Q_{02}$ e $Q_{03}$ temos
\begin{eqnarray}
\label{pgb20}%\label{eq1}
(e^{3\psi +\nu-\mu_{2}-\mu_{3}}Q_{23})_{,3} e^{-3\psi+\nu-\mu_{3}+\mu_{2}}&=& - (\omega_{,2}-q_{2,0})_{,0}\\
\nonumber\\
\label{pgb21}%\label{eq2}
(e^{3\psi
+\nu-\mu_{2}-\mu_{3}}Q_{23})_{,2}e^{-3\psi+\nu+\mu_{3}-\mu_{2}}&=&
(\omega_{,3}-q_{3,0})_{,0}\ .
\end{eqnarray}
Se chamarmos
\begin{eqnarray}
\label{pgb22}
Q(r,\theta,t)= e^{3\psi +\nu-\mu_{2}-\mu_{3}}Q_{23}\nonumber\\
\nonumber\\
Q(r,\theta,t)= r^2 sin(\theta)^3\sqrt{\frac{A(r)}{B(r)}} Q_{23}
\end{eqnarray}
e substituirmos nas equa��es (\ref{pgb20}) e (\ref{pgb21}) temos
\begin{eqnarray}
\label{pgb23}
\frac{\partial Q}{\partial \theta}e^{-3\psi+\nu-\mu_{3}+\mu_{2}}&=&- (\omega_{,2}-q_{2,0})_{,0}\\
\nonumber\\
\frac{\partial Q}{\partial r}e^{-3\psi+\nu+\mu_{3}-\mu_{2}}&=&
(\omega_{,3}-q_{3,0})_{,0}\ .
\end{eqnarray}
Nossas equa��es ser�o ent�o
\begin{eqnarray}
\label{pgb24}%\label{eq3}
\frac{1}{r^4 sin(\theta)^3} \sqrt{A(r)B(r)} \frac{\partial Q}{\partial \theta}&=&- (\omega_{,2}-q_{2,0})_{,0}\ ,\\
\nonumber\\
\label{pgb25}%\label{eq4}
\frac{1}{r^2 sin(\theta)^3} \sqrt{\frac{A(r)}{B(r)}}\frac{\partial
Q}{\partial r}&=& (\omega_{,3}-q_{3,0})_{,0}\ .
\end{eqnarray}
Derivando a equa��o (\ref{pgb24}) em rela��o a $\theta$ e equa��o (\ref{pgb25}) em rela��o a $r$ temos
\begin{eqnarray}
\label{pgb26}%\label{eq5}
\frac{\sqrt{A(r)B(r)}}{r^4} \frac{\partial}{\partial \theta}\left(\frac{1}{sin(\theta)^3}\frac{\partial Q}{\partial \theta}\right)&=&- \omega_{,2,0,3}+q_{2,0,0,3}\ ,\\
\nonumber\\
\label{pgb27}%\label{eq6}
\frac{1}{sin(\theta)^3}\frac{\partial}{\partial
r}\left(\frac{1}{r^2} \sqrt{\frac{A(r)}{B(r)}}\frac{\partial
Q}{\partial r}\right)&=& \omega_{,3,0,2}-q_{3,0,0,2}\ .
\end{eqnarray}
Somando as duas equa��es teremos
\begin{eqnarray}
\label{pgb28}%\label{eq7}
\frac{\sqrt{A(r)B(r)}}{r^4} \frac{\partial}{\partial \theta}\left(\frac{1}{sin(\theta)^3}\frac{\partial Q}{\partial \theta}\right)&+&\frac{1}{sin(\theta)^3}\frac{\partial}{\partial r}\left(\frac{1}{r^2}\sqrt{\frac{A(r)}{B(r)}}\frac{\partial Q}{\partial r}\right)=\nonumber\\
\nonumber\\
&=& (q_{2,3}-q_{3,2})_{,0,0}=(Q_{23})_{,0,0}\ .
\end{eqnarray}
Substituindo $Q_{23}$ ficaremos com
\begin{eqnarray}
\label{pgb29}%\label{eq8}
\frac{\sqrt{A(r)B(r)}}{r^4} \frac{\partial}{\partial \theta}\left(\frac{1}{sin(\theta)^3}\frac{\partial Q}{\partial \theta}\right)&+&\frac{1}{sin(\theta)^3}\frac{\partial}{\partial r}\left(\frac{1}{r^2}\sqrt{\frac{A(r)}{B(r)}}\frac{\partial Q}{\partial r}\right)=\nonumber\\
\nonumber\\
&=&\frac{1}{r^2
sin(\theta)^3}\sqrt{\frac{A(r)}{B(r)}}\frac{\partial^2 Q}{\partial
t^2}.
\end{eqnarray}
Rearranjando os termos da equa��o (\ref{pgb29}) teremos
\begin{eqnarray}
\label{pgb30}%\label{eq9}
\frac{r^4}{\sqrt{A(r)B(r)}}\frac{\partial}{\partial r}\left(\frac{1}{r^2}\sqrt{\frac{A(r)}{B(r)}}\frac{\partial Q}{\partial r}\right)-\frac{r^2}{A(r)}\frac{\partial^2 Q}{\partial t^2}=\nonumber\\
\nonumber\\
=-sin(\theta)^3\frac{\partial}{\partial
\theta}\left(\frac{1}{sin(\theta)^3}\frac{\partial Q}{\partial
\theta}\right)\ .
\end{eqnarray}
As vari�veis $r$, $t$, $\theta$ da equa��o (\ref{pgb30}) podem ser
separadas fazendo a substitui��o
\begin{equation}
\label{pgb31}%\label{eq10}
Q(r,t,\theta)= Q(r,t)C^{-3/2}_{l+2}(\theta)
\end{equation}
onde $C^{\nu}_{n}$ � a fun��o de Gegenbauer que � solu��o da equa��o
\begin{equation}
\label{pgb32}
\left[\frac{d}{d\theta}\left(sin(\theta)^{2\nu}\frac{d}{d\theta}\right)+n(n+2\nu)sin(\theta)^{2\nu}\right]C^{\nu}_{n}(\theta)=0\
.
\end{equation}
Em nosso caso
\begin{equation}
\label{pgb33}%\label{eq11}
sin(\theta)^3\frac{d}{d\theta}\left(\frac{1}{sin(\theta)^3}\frac{dC^{-3/2}_{l+2}(\theta)}{d\theta}\right)=
-(l+2)(l-1)C^{-3/2}_{l+2}(\theta)\ .
\end{equation}
Substituindo (\ref{pgb31}) e (\ref{pgb33}) em (\ref{pgb30}) teremos a seguinte equa��o
\begin{eqnarray}
\label{pgb34}%\label{eq12}
\frac{r^4}{\sqrt{A(r)B(r)}}\frac{\partial}{\partial r}\left(\frac{1}{r^2}\sqrt{\frac{A(r)}{B(r)}}\frac{\partial Q}{\partial r}\right)C^{-3/2}_{l+2}(\theta)-\frac{r^2}{A(r)}\frac{\partial^2 Q}{\partial t^2}C^{-3/2}_{l+2}(\theta)=\nonumber\\
\nonumber\\
=C^{-3/2}_{l+2}(\theta)(l+2)(l-1)Q,\\
\nonumber\\
\frac{r^4}{\sqrt{A(r)B(r)}}\frac{\partial}{\partial
r}\left(\frac{1}{r^2}\sqrt{\frac{A(r)}{B(r)}}\frac{\partial
Q}{\partial r}\right)-\frac{r^2}{A(r)}\frac{\partial^2 Q}{\partial
t^2}-Q(l+2)(l-1) = 0.
\end{eqnarray}
Rearranjando mais uma vez a equa��o temos
\begin{eqnarray}
\label{pgb35}%\label{eq13}
r^2\sqrt{\frac{A(r)}{B(r)}}\frac{\partial}{\partial r}\left(\frac{1}{r^2}\sqrt{\frac{A(r)}{B(r)}}\frac{\partial Q}{\partial r}\right)-\frac{\partial^2 Q}{\partial t^2}-\nonumber\\
\nonumber\\
-\frac{A(r)}{r^2}Q(l+2)(l-1) = 0\ .
\end{eqnarray}
Neste ponto faremos a seguinte mudan�a de vari�vel
\begin{equation}
\label{pgb36}%\label{eq14}
Q(r,t)=\chi(r,t)b(r), \qquad r=r(r_{*}), \qquad \Delta =
r^2\sqrt{\frac{A(r)}{B(r)}}\ .
\end{equation}
Dessa forma nossa equa��o (\ref{pgb35}) ficar� da seguinte maneira
\begin{eqnarray}
\label{pgb37}%\label{eq15}
\Delta \frac{\partial}{\partial r}\left(\frac{\Delta}{r^4}\frac{\partial}{\partial r}(\chi b)\right)-\frac{A(r)}{r^2}(l+2)(l-1)\chi b - b\frac{\partial^2 \chi}{\partial t^2}=0\\
\nonumber\\
\frac{\Delta}{b} \frac{\partial r_{*}}{\partial
r}\frac{\partial}{\partial
r_{*}}\left(\frac{\Delta}{r^4}\frac{\partial r_{*}}{\partial
r}\frac{\partial}{\partial r_{*}}(\chi
b)\right)-\frac{A(r)}{r^2}(l+2)(l-1)\chi - \frac{\partial^2
\chi}{\partial t^2}=0\ .
\end{eqnarray}
Usando a nota��o
\begin{equation}
\label{pgb38} \frac{\partial a}{\partial r}=\dot{a}, \qquad
\frac{\partial a}{\partial r_{*}}=a'\ .
\end{equation}
Nossa equa��o pode ser reescrita como
\begin{eqnarray}
\label{pgb39}%\label{eq16}
\frac{\Delta}{b} \dot{r}_{*}\frac{\partial}{\partial
r_{*}}\left(\frac{\Delta}{r^4}\dot{r}_{*}(\chi'
b+b'\chi)\right)-\frac{A(r)}{r^2}(l+2)(l-1)\chi - \frac{\partial^2
\chi}{\partial t^2}=0\ .
\end{eqnarray}
Realizando as derivadas e reagrupando os termos temos
\begin{eqnarray}
\label{pgb40}%\label{eq17}
\frac{\Delta^2}{r^4}\dot{r}_{*}^2 \chi''+\chi'\left(\Delta \dot{r}_{*}^2\left[\frac{\Delta}{r^4}\right]'+\frac{\Delta^2}{r^4}\dot{r}_{*}\dot{r}_{*}'+\frac{2\Delta^2}{r^4}\dot{r}_{*}^2\frac{b'}{b}\right)+\nonumber\\
\nonumber\\
+ \chi \left[\frac{\Delta}{b} \dot{r}_{*}^2\left[\frac{\Delta}{r^4}\right]'b'+\frac{\Delta^2}{r^4}\dot{r}_{*}\dot{r}_{*}'\frac{b'}{b}+\frac{\Delta^2}{r^4}\dot{r}_{*}^2\frac{b''}{b}\right]-\nonumber\\
\nonumber\\
-\frac{A(r)}{r^2}(l+2)(l-1)\chi - \frac{\partial^2 \chi}{\partial
t^2}=0\ .
\end{eqnarray}
Queremos transformar a equa��o (\ref{pgb40}) em uma equa��o do
tipo
\begin{equation}
\label{pgb41} -\frac{\partial^2 \chi}{\partial
t^2}+\frac{\partial^2 \chi}{\partial r_{*}^2}= V(r_{*})\chi\ .
\end{equation}
Para tal, a equa��o (\ref{pgb40}) deve satisfazer as seguintes
condi��es
\begin{equation}
\label{pgb42}%\label{eq18}
\frac{\Delta^2}{r^4}\dot{r}_{*}^2 =1\ ,
\end{equation}
\begin{equation}
\label{pgb43}%\label{eq19}
\left(\Delta
\dot{r}_{*}^2\left[\frac{\Delta}{r^4}\right]'+\frac{\Delta^2}{r^4}\dot{r}_{*}\dot{r}_{*}'+\frac{2\Delta^2}{r^4}\dot{r}_{*}^2\frac{b'}{b}\right)=0\
.
\end{equation}
Resolvendo a equa��o (\ref{pgb42}) teremos
\begin{eqnarray}
\label{pgb44}%\label{eq19b}
\dot{r}_{*}=\frac{r^2}{\Delta} \qquad &\Longrightarrow &\qquad dr_{*}=\frac{r^2}{\Delta}dr\ ,\\
\nonumber\\
\label{pgb45}%\label{eq19c}
\frac{d}{dr_{*}}=\frac{\Delta}{r^2}\frac{d}{dr}\qquad
&\Longrightarrow &\qquad
\frac{d}{dr_{*}}=\sqrt{\frac{A(r)}{B(r)}}\frac{d}{dr}\ .
\end{eqnarray}
Resolvendo a equa��o (\ref{pgb43}) teremos
\begin{eqnarray}
\label{pgb46}
\left(\Delta \dot{r}_{*}^2\left[\frac{\Delta}{r^4}\right]'+\frac{\Delta^2}{r^4}\dot{r}_{*}\dot{r}_{*}'+\frac{2\Delta^2}{r^4}\dot{r}_{*}^2\frac{b'}{b}\right)=0\nonumber\\
\nonumber\\
r^2\left[\frac{1}{r^4}\frac{d\Delta}{dr}-\frac{4\Delta}{r^5}\right]+\frac{\Delta^2}{r^4}\left[\frac{2r}{\Delta}-\frac{r^2}{\Delta^2}\frac{d\Delta}{dr}\right]+2\frac{\Delta}{r^2}\frac{db}{dr}\frac{1}{b}=0\nonumber\\
\nonumber\\
-\frac{2\Delta}{r^3}+\frac{2\Delta}{r^2}\frac{db}{dr}\frac{1}{b}=0\nonumber\\
\nonumber\\
\frac{db}{dr}=\frac{b}{r}\qquad \Longrightarrow \qquad b(r)=r\ .
\end{eqnarray}
Dessa maneira nossa fun��o de onda ser�
\begin{equation}
\label{pgb47} Q(r,\theta,t)=r\ \chi(r,t)\ C^{-3/2}_{l+2}(\theta)\ .
\end{equation}
Nossa equa��o ser� ent�o
\begin{eqnarray}
\label{pgb48}%\label{eq20}
-\frac{\partial^2\chi}{\partial t^2}&+&\frac{\partial^2\chi}{\partial r_{*}^2}+
\chi \left[\frac{\Delta}{b} \dot{r}_{*}^2\left[\frac{\Delta}{r^4}\right]'b'+\frac{\Delta^2}{r^4}\dot{r}_{*}\dot{r}_{*}'\frac{b'}{b}+\frac{\Delta^2}{r^4}\dot{r}_{*}^2\frac{b''}{b}\right]-\nonumber\\
\nonumber\\
&-&\frac{A(r)}{r^2}(l+2)(l-1)\chi=0\ .
\end{eqnarray}
Chamemos
\begin{eqnarray}
\label{pgb49}%\label{eq21}
\widetilde{V}(r)= \left[\frac{\Delta}{b}
\dot{r}_{*}^2\left[\frac{\Delta}{r^4}\right]'b'+\frac{\Delta^2}{r^4}\dot{r}_{*}\dot{r}_{*}'\frac{b'}{b}+\frac{\Delta^2}{r^4}\dot{r}_{*}^2\frac{b''}{b}\right]-\frac{A(r)}{r^2}(l+2)(l-1).
\end{eqnarray}
Substituindo (\ref{pgb44}) e (\ref{pgb45}) na equa��o (\ref{pgb49}) teremos
\begin{eqnarray}
\label{pgb50}
\widetilde{V}(r)=\frac{\Delta}{b}\frac{d}{dr}\left(\frac{\Delta}{r^4}\right)\frac{db}{dr}&+&\frac{\Delta^3}{r^6}\frac{1}{b}\frac{d}{dr}\left(\frac{r^2}{\Delta}\right)\frac{db}{dr}+\frac{\Delta}{br^2}\frac{d}{dr}\left(\frac{\Delta}{r^2}\frac{db}{dr}\right)-\nonumber\\
\nonumber\\
&-&\frac{A(r)}{r^2}(l+2)(l-1)\ .
\end{eqnarray}
Usando o fato de que $b(r)=r$ temos
\begin{eqnarray}
\label{pgb51}
\widetilde{V}(r)=\frac{\Delta}{r}\left[\frac{1}{r^4}\frac{d\Delta}{dr}-\frac{4\Delta}{r^5}\right]&+&\frac{\Delta^3}{r^6}\frac{1}{r}\left[\frac{2r}{\Delta}-\frac{r^2}{\Delta^2}\frac{d\Delta}{dr}\right]+\frac{\Delta}{r^3}\left[\frac{1}{r^2}\frac{d\Delta}{dr}-\frac{2\Delta}{r^3}\right]-\nonumber\\
\nonumber\\
&-&\frac{A(r)}{r^2}(l+2)(l-1)\ .
\end{eqnarray}
Rearranjando os termos, nossa equa��o final para a perturba��o gravitacional axial sobre a brana ser�
\begin{equation}
\label{pgb52}
-\frac{\partial^2 \chi}{\partial t^2}+\frac{\partial^2 \chi}{\partial r_{*}^2}+ \widetilde{V}(r)\chi=0
\end{equation}
com
\begin{equation}
\label{pgb53} \widetilde{V}(r)=
\frac{\Delta}{r^5}\frac{d\Delta}{dr}-\frac{4\Delta^2}{r^6}-\frac{A(r)}{r^2}(l+2)(l-1)\
.
\end{equation}
Especificaremos agora cada caso estudado.\\
\\
\\
Para o caso do BN-CFM temos que a fun��o $\Delta$ � dada por
\begin{eqnarray}
\label{pgbCFM01}
\Delta = r(r-2M)\sqrt{\frac{2r-M\gamma}{2r-3M}}.
\end{eqnarray}
A fun��o de onda que descreve a evolu��o do campo gravitacional ser�
\begin{eqnarray}
\label{pgbCFM02}
Q(r,t,\theta)=\chi(r,t)r\ C^{-3/2}_{\ell+2}(\theta),
\end{eqnarray}
onde $C^{-3/2}_{\ell+2}$ � a fun��o de Gegenbauer.

O potencial $\widetilde{V}(r)^{CFM}$ fica
\begin{eqnarray}
\label{pgbCFM04}
\widetilde{V}(r)&=&\frac{(r-2M)}{r^4}\left\{\left(\frac{2r-M\gamma}{2r-3M}\right)(6M-2r)-\right.\nonumber \\
\nonumber \\
&-&\left.\left[(\ell+2)(\ell-1)r+\frac{r(r-2M)M(3-\gamma)}{(2r-3M)^2}\right]\right\}\
.
\end{eqnarray}
Substituindo $\gamma=\beta+3$ teremos
\begin{eqnarray}
\label{pgbCFM05}
\widetilde{V}(r)&=&\left(1-\frac{2M}{r}\right)\left\{\frac{6M-(\mu+2)r}{r^3}-\right.\nonumber\\
\nonumber\\
&-&\left.
\frac{M\beta}{r^3(2r-3M)}\left[\frac{(2r-3M)(6M-2r)-r(r-2M)}{(2r-3M)}\right]\right\}
\end{eqnarray}
onde $\mu =(\ell+2)(\ell-1)$ e $\ell$ s�o os �ndices de
multipolos.

Assim a equa��o que governa a evolu��o do campo gravitacional no
exterior do BN-CFM � dada por
\begin{equation}
\label{pgbCFM03} -\frac{\partial^2 \chi}{\partial
t^2}+\frac{\partial^2 \chi}{\partial r_{*}^2}+
\widetilde{V}(r)\chi=0\ ,
\end{equation}
com
\begin{eqnarray}
\label{pgbCFM06}
\widetilde{V}(r)&=&\left(1-\frac{2M}{r}\right)\left\{\frac{6M-(\mu+2)r}{r^3}-\right.\nonumber\\
\nonumber\\
&-&\left.
\frac{M\beta}{r^3(2r-3M)}\left[\frac{(2r-3M)(6M-2r)-r(r-2M)}{(2r-3M)}\right]\right\}
\end{eqnarray}
\\
\\
Para o caso do BN-SM a fun��o $\Delta$ � dada por
\begin{eqnarray}
\label{pgbSM01}
\Delta = (r^2-h^2)\sqrt{1+\frac{C-h}{\sqrt{2r^2-h^2}}}.
\end{eqnarray}
A fun��o de onda que descreve a evolu��o do campo gravitacional ser�
\begin{eqnarray}
\label{pgbSM02}
Q(r,t,\theta)=\chi(r,t)r\ C^{-3/2}_{\ell+2}(\theta),
\end{eqnarray}
onde $C^{-3/2}_{\ell+2}$ � a fun��o de Gegenbauer.

O potencial $\widetilde{V}(r)^{SM}$ torna-se
\begin{eqnarray}
\label{pgbSM03}
\widetilde{V}(r)&=&\frac{(r^2-h^2)}{r^5}\sqrt{1+\frac{C-h}{\sqrt{2r^2-h^2}}}\left\{\ \sqrt{1+\frac{C-h}{\sqrt{2r^2-h^2}}}\left(\frac{h^2-2r^2}{r}\right)-\right.\nonumber \\
\nonumber \\
&-&\left.\left(1+\frac{C-h}{\sqrt{2r^2-h^2}}\right)^{-1/2}\left(\mu r+\frac{r(C-h)(r^2-h^2)}{(2r^2-h^2)^{3/2}}\right)\ \right\}\ ,\nonumber\\
\nonumber\\
\nonumber\\
\widetilde{V}(r)&=&\frac{(r^2-h^2)}{r^5}\left\{\ \left(1+\frac{C-h}{\sqrt{2r^2-h^2}}\right)\left(\frac{h^2-2r^2}{r}\right)-\right.\nonumber\\
\nonumber\\
&-&\left. \left(\mu
r+\frac{r(C-h)(r^2-h^2)}{(2r^2-h^2)^{3/2}}\right)\ \right\}\ ,
\end{eqnarray}
onde $\mu =(\ell+2)(\ell-1)$ e $\ell$ s�o os �ndices de
multipolos.

Portanto a equa��o que governa a evolu��o do campo gravitacional
no exterior do BN-SM � dada por
\begin{equation}
\label{pgbSM04}
-\frac{\partial^2 \chi}{\partial t^2}+\frac{\partial^2 \chi}{\partial r_{*}^2}+ \widetilde{V}(r)\chi=0
\end{equation}
com
\begin{eqnarray}
\label{pgbSM05}
\widetilde{V}(r)&=&\frac{(r^2-h^2)}{r^5}\left\{\ \left(1+\frac{C-h}{\sqrt{2r^2-h^2}}\right)\left(\frac{h^2-2r^2}{r}\right)-\right.\nonumber\\
\nonumber\\
&-&\left.\left(\mu
r+\frac{r(C-h)(r^2-h^2)}{(2r^2-h^2)^{3/2}}\right)\ \right\}\ .
\end{eqnarray}



\newpage








%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Estabilidade de um BN-CFM e BN-SM}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
Nesta se��o faremos uma an�lise sobre a estabilidade do BN-CFM e
do BN-SM quando submetidos � perturba��o de um campo  escalar
$\Psi$ n�o-massivo. Para tal usaremos o mesmo procedimento adotado no exemplo dado no
cap�tulo 4. A pergunta a ser respondida por nossa an�lise ser� se a
perturba��o sobre o buraco negro cresce arbitrariamente com o
tempo. Se a resposta for positiva o buraco negro � inst�vel, ou
seja, uma leve perturba��o � capaz de destru�-lo.\\
\\
{\bf BN-CFM}\\
\\
Para o estudo da estabilidade do BN-CFM utilizaremos duas an�lises diferentes. Se for poss�vel encontrar valores de $\beta$ para
o qual o potencial efetivo seja positivo definido podemos garantir
a estabilidade dos buracos negros pelos argumentos apresentados no
cap�tulo 4. Se o potencial efetivo apresentar alguma regi�o onde ele possa
assumir valores negativos, qualquer que seja o valor de $\beta$,
precisaremos utilizar os resultados da solu��o num�rica para
observar se o campo decai com o tempo, o que indicaria a
estabilidade do buraco negro.

A equa��o radial que governar� a evolu��o da perturba��o escalar
no exterior do BN-CFM ser�
\begin{eqnarray}
\label{BNMBest02A} \frac{\partial^2 R}{\partial
r_{*}^2}+(\omega^2- V_{esc}^{CFM}(r))R=0
\end{eqnarray}
onde
\begin{eqnarray}
\label{BNMBest03A}
V_{esc}^{CFM}(r)&=&\left(1-\frac{2M}{r}\right)\left\{\frac{\ell(\ell+1)}{r^2}+\frac{2M}{r^3}+\right.\\
\nonumber\\
&+&\left.
\frac{M\beta}{r(2r-3M)^2}\left[1-\frac{6M}{r}+\frac{6M^2}{r^2}\right]\right\}\ .
\end{eqnarray}
Investigando o potencial $V^{CFM}_{esc}$ para $M=1$ por exemplo, veremos que ele apresenta
tr�s regimes distintos dependendo dos valores de $\beta$.

O primeiro acontece quando ele � positivo definido,
independentemente do �ndice de multipolo $\ell$. Verificamos, via inspe��o direta que este regime se d� quando $ 1 > \beta \gtrsim -8$, ou seja, para valores pequenos de $\beta$.\\
\newpage
Observemos o comportamento do potencial $V_{esc}^{CFM}$ na figura (\ref{figestCFM3}) para valores pequenos de $\beta$
\begin{figure}[!ht]
\begin{center}
%\resizebox{1\linewidth}{!}{\includegraphics*{g4.eps}}
\epsfig{file = g4.eps, width=1.0 \linewidth, clip=}
\end{center}
\caption{{\small Evolu��o do campo escalar no BN-CFM com $M=1$
sobre $r_{*}=0$.}} \label{figestCFM3}
\end{figure}

Podemos ver que o potencial � nulo sobre o horizonte de eventos,
cresce at� um m�ximo e vai a zero para valores de $r$ grandes. Portanto para esse intervalo de valores de $\beta$ podemos
garantir a estabilidade dos buracos negros devido ao fato do
potencial ser positivo definido. Os resultados obtidos numericamente no cap�tulo 8 concordam com
nosso crit�rio de estabilidade uma vez que para esse intervalo de
valores de $\beta$ o campo decai com tempo.

O segundo regime acontece quando o potencial � inicialmente
positivo, mas apresenta um comportamento do tipo po�o para valores
mais altos de $r$. Neste caso o potencial vai a zero para $r$ grande
por baixo. Esse comportamento se d� quando $\beta \lesssim -8$
dependendo do valor de $\ell$.

Neste caso precisaremos dos resultados num�ricos para sabermos se
o campo decai com o tempo.
\newpage
Vejamos na figura (\ref{figestCFM1}) exemplos onde, o potencial
apresenta o comportamento referido anteriormente.
\begin{figure}[!ht]
\begin{center}
%\resizebox{1\linewidth}{!}{\includegraphics*{g2.eps}}
\epsfig{file = g2.eps, width=0.6 \linewidth, clip=}\\
\epsfig{file =g3.eps, width=0.6 \linewidth, clip=}
\end{center}
\caption{{\small Evolu��o do campo escalar no BN-CFM com $M=1$,
$\beta=-390$ e $\ell=1$ sobre $r_{*}=0$ (acima) e $M=1$,
$\beta=-15$ e $\ell=0$ sobre $r_{*}$=0 (embaixo).}}
\label{figestCFM1}
\end{figure}

O potencial � zero sobre o horizonte de eventos, crescendo at� um
m�ximo, caindo at� um ponto de min�mo e indo a zero para valores
de $r$ grande. Nos detalhes das figuras podemos ver que os po�os
de potenciais s�o bem rasos quando comparados com os m�ximos dos
potenciais. Para os respectivos casos acima mostrados temos as
seguintes rela��es de propor��o entre os m�ximos e m�nimos dos
potenciais:
\begin{eqnarray}
\label{BNMBest04A}
\left|\frac{V_{min}^{CFM}}{V_{max}^{CFM}}\right|\approx 10^{-3} \qquad
\left|\frac{V_{min}^{CFM}}{V_{max}^{CFM}}\right|\approx 10^{-2}\ .
\end{eqnarray}
Essa diferen�a de magnitude explica porque, mesmo apresentando
regi�es onde os potenciais s�o negativos, os buracos negros
estudados devem ser est�veis. Como os po�os s�o muito rasos os potenciais podem ser encarados
como ``quase" positivos definidos entrando assim no crit�rio de
estabilidade. Mais uma vez, a evolu��o num�rica do campo mostrada
no cap�tulo 8 confirma a estabilidade dos buracos negros em
quest�o uma vez que os campos decaem a zero com o tempo.

H� ainda um terceiro regime quando o potencial parte do zero
crescendo at� um ponto de m�ximo prim�rio, apresentando em seguida
uma regi�o intermedi�ria do tipo po�o que cresce novamente at�
alcan�ar um ponto de m�ximo secund�rio caindo a zero para valores
altos de $r$. Esse regime se d� quando, $\beta$ assume valores
grandes e negativos e um certo valor de $\ell$ � assumido. Neste
caso tamb�m precisaremos dos resultados num�ricos para sabermos se
o campo decai com o tempo.

Vejamos na figura (\ref{figestCFM2}) um exemplo onde, o potencial
apresenta o comportamento referido anteriormente.
\begin{figure}[!h]
\begin{center}
\epsfig{file =g7.eps, width=0.6 \linewidth, clip=}
\end{center}
\caption{{\small Evolu��o do campo escalar no BN-CFM com $M=1$,
$\beta=-500$ e $\ell=5$ sobre $r_{*}=0$}}
\label{figestCFM2}
\end{figure}

Observamos no detalhe da figura que o po�o de potencial � raso em
compara��o com o valor do m�ximo prim�rio. Neste caso a rela��o de
propor��o entre o m�ximo e o m�nimo �
\begin{eqnarray}
\label{BNMBest05A}
\left|\frac{V_{min}^{CFM}}{V_{max}^{CFM}}\right|\approx 10^{-2}.
\end{eqnarray}
Entretanto, como declarado no regime anterior, nada podemos dizer
sobre a estabilidade desse buraco negro sem avaliar os resultados
num�ricos da evolu��o do campo escalar.\\
\\
{\bf BN-SM}\\
\\
Para o estudo da estabilidade do BN-SM utilizaremos novamente o
mesmo procedimento adotado para o BN-CFM.

Se for poss�vel valores de $C$ para
o qual o potencial efetivo seja positivo definido podemos garantir
a estabilidade dos buracos negros pelos argumentos apresentados no
cap�tulo 4.

Se o potencial efetivo apresentar alguma regi�o onde ele possa
assumir valores negativos, qualquer que seja o valor de $C$,
precisaremos utilizar os resultados da solu��o num�rica para
observar se o campo decai com o tempo, o que indicaria a
estabilidade do buraco negro.\\
A equa��o radial que governar� a evolu��o da perturba��o escalar
no exterior do BN-SM ser�
\begin{eqnarray}
\label{BNMBest02B} \frac{\partial^2 R}{\partial
r_{*}^2}+(\omega^2- V_{esc}^{SM}(r))R=0
\end{eqnarray}
onde
\begin{eqnarray}
\label{BNMBest03B}
V_{esc}^{SM}(r)&=&\left(1-\frac{h^2}{r^2}\right)\left\{\frac{\ell(\ell+1)}{r^2}+\frac{2h^2}{r^4}\right.\nonumber\\
\nonumber\\
&+&\left.
\frac{C-h}{\sqrt{2r^2-h^2}}\left[\frac{2h^2}{r^4}-\frac{r^2-h^2}{r^2(2r^2-h^2)}\right]\right\}\ .
\end{eqnarray}
Investigando o potencial $V^{SM}_{esc}$ veremos que ele tamb�m
apresenta tr�s regimes distintos dependendo dos valores de $C$.

Diferentemente do potencial $V_{esc}^{CFM}$, o comportamento do
potencial $V_{esc}^{SM}$ depende mais fortemente dos valores
adotados para $h$ e $\ell$. Essa influ�ncia pode ser observada no �ltimo termo do potencial.
Dependendo do ajuste entre $C$ e $h$ esse termo pode ser negativo
ou positivo podendo alterar o comportamento assint�tico de
$V_{esc}^{SM}$ quando $r\rightarrow \infty$.

Portanto precisamos estudar caso a caso para sabermos se algum
buraco negro dessa classe � est�vel.

Apresentaremos apenas um exemplo para ilustrar o comportamento dos
potenciais. Estudaremos o caso para $h=1$.

O primeiro regime acontece quando o potencial � positivo definido.
No caso desse buraco negro esse regime s� aparece para $C=h=1$ de
modo independente do valor de $\ell$.
\newpage
Observemos o comportamento do potencial $V_{esc}^{SM}$ nesta
condi��o.
\begin{figure}[!ht]
\begin{center}
%\resizebox{1\linewidth}{!}{\includegraphics*{g4.eps}}
\epsfig{file = g4SM.eps, width=0.6 \linewidth, clip=}
\end{center}
\caption{{\small Evolu��o do campo escalar no BN-SM com $h=1$, $\ell=0$, $C=1$
sobre $r_{*}=0$.}} \label{figestSM1}
\end{figure}

Podemos ver que o potencial � nulo sobre o horizonte de eventos $h$,
cresce at� um m�ximo e vai a zero para valores de $r$ grandes.

Como o potencial � positivo definido, o buraco negro com $C=1$ pode ser considerado est�vel. Os resultados num�ricos da evolu��o do campo
obtida no cap�tulo 8 confirmam a estabilidade do buraco negro para
esses valores de $h$, $C$ e $\ell$.

O segundo regime acontece quando o potencial � inicialmente
positivo, mas apresenta um comportamento do tipo po�o para valores
mais altos de $r$. Neste caso o potencial vai a zero para $r$ grande
por baixo. Ele se d� para valores de $C>1$ dependendo do valor de $\ell$. 

Esse regime � ilustrado na figura (\ref{figestSM2}).
\begin{figure}[!ht]
\begin{center}
%\resizebox{1\linewidth}{!}{\includegraphics*{g4.eps}}
\epsfig{file = g3SM.eps, width=0.6 \linewidth, clip=}
\end{center}
\caption{{\small Evolu��o do campo escalar no BN-SM com $h=1$, $\ell=0$, $C=30$
sobre $r_{*}=0$.}} \label{figestSM2}
\end{figure}

Podemos ver que o potencial � zero sobre o horizonte de eventos,
crescendo at� um m�ximo, caindo em seguida at� um ponto de m�nimo
e indo a zero para valores de $r$ grande. No detalhe da figura
(\ref{figestSM2}) podemos ver, novamente como no caso do BN-CFM,
que o po�o de potencial � raso quando comparado com o m�ximo do
potencial.

Para este caso temos a seguinte rela��o de propor��o entre o m�ximo e m�nimo do potencial:
\begin{eqnarray}
\label{BNMBest04B}
\left|\frac{V_{min}^{CFM}}{V_{max}^{CFM}}\right|\approx 10^{-2}\ .
\end{eqnarray}
Como o po�o � muito raso o potencial pode ser encarado como
``quase" positivo definido entrando assim no crit�rio de
estabilidade.

Entretanto apenas uma investiga��o mais profunda da evolu��o do
campo escalar com tempo pode definir se esses buracos negros s�o
est�veis. Neste caso precisaremos dos resultados num�ricos para
sabermos se o campo cai com o tempo.

H� ainda um terceiro regime quando o potencial � nulo sobre o horizonte de eventos crescendo at� um ponto de m�ximo prim�rio, apresentando em seguida
uma regi�o intermedi�ria do tipo po�o que cresce novamente at�
alcan�ar um ponto de m�ximo secund�rio caindo a zero para valores
altos de $r$. Esse regime se d� quando, $C > 34$ e um certo valor de $\ell$ � assumido.

Neste caso tamb�m precisaremos dos resultados num�ricos para
sabermos se o campo cai com o tempo.

Vejamos na figura (\ref{figestSM3}) um exemplo onde, o potencial
apresenta o comportamento referido anteriormente.
\begin{figure}[!h]
\begin{center}
\epsfig{file =g2SM.eps, width=0.6 \linewidth, clip=}
\end{center}
\caption{{\small Evolu��o do campo escalar no BN-CFM com $h=1$, $C=500$ e $\ell=5$ sobre $r_{*}=0$}}
\label{figestSM3}
\end{figure}

Novamente observamos que o po�o de potencial � raso em compara��o
com o valor do m�ximo prim�rio. Neste caso a rela��o de propor��o
entre o m�ximo e o m�nimo �
\begin{eqnarray}
\label{BNMBest05B}
\left|\frac{V_{min}^{CFM}}{V_{max}^{CFM}}\right|\approx 10^{-3}.
\end{eqnarray}
Entretanto, como declarado no regime anterior, nada podemos dizer
sobre a estabilidade desse buraco negro sem avaliar os resultados
num�ricos da evolu��o do campo escalar.







%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Termodin�mica de BN-CFM e BN-SM}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
O tratamento termodin�mico apresentado no cap�tulo 5 ser�
utilizado nesta se��o para o c�lculo do limite superior da
entropia $S_{m}$ de um corpo arbitr�rio caindo no BN-CFM e  no
BN-SM que est�o localizados sobre a brana. O formalismo
desenvolvido n�o necessita de nenhuma adapta��o no contexto de
branas diferentemente da evolu��o de
campos.\\
\\
{\bf Buraco Negro-CFM}\\
\\
Seja um corpo de raio pr�prio $R$ e massa pr�pria $m$ caindo livremente no BN-CFM.
O horizonte de eventos $r_{h}$ para o BN-CFM � dado por
\begin{eqnarray}
\label{BNMBtermo00A}
g_{tt}|_{r=r_{h}}=0 \qquad \Longrightarrow \left(1-\frac{2M}{r}\right)=0 \qquad \Longrightarrow r_{h}=2M\ .
\end{eqnarray}
A gravidade superficial $\kappa$ para esse buraco negro sobre seu
horizonte de eventos ser�
\begin{eqnarray}
\label{BNMBtermo01A} \kappa=\frac{1}{2M}\sqrt{1-\frac{\gamma}{4}}.
\end{eqnarray}
As constantes de movimento associadas a $t$ e $\phi$ quando
consideramos o movimento do corpo no plano equatorial
$\theta=\pi/2$ ser�o
\begin{eqnarray}
\label{BNMBtermo02A}
E&=&-\left(1-\frac{2M}{r}\right)\dot{t},\\
\nonumber\\
J&=&-r^2\dot{\phi}.
\end{eqnarray}
Portanto a equa��o quadr�tica para a energia conservada $E$ do
corpo que est� caindo no buraco negro ser�
\begin{eqnarray}
\label{BNMBtermo03A}
\alpha E^2-2\beta E +\sigma=0
\end{eqnarray}
com
\begin{eqnarray}
\alpha&=&r^4,\nonumber\\
\beta&=&0,\nonumber\\
\sigma&=&-r(r-2M)(m^2r^2+J^2)\ .\nonumber
\end{eqnarray}
Como nosso corpo n�o � uma part�cula, ele possui dimens�o e
conseq�entemente um centro de massa. Portanto obtemos o novo ponto
de captura $r=2M+\delta$ calculando $\delta$ como
\begin{eqnarray}
\label{BNMBtermo04A} \int_{2M}^{2M+\delta}\
\sqrt{\frac{r(r-3M/2)}{(r-2M)(r-M\gamma/2)}}\ dr=\ R\ .
\end{eqnarray}
Integrando a equa��o (\ref{BNMBtermo04A}) e realizando uma expans�o em s�rie teremos
\begin{eqnarray}
\label{BNMBtermo05A}
\delta=\frac{R^2}{4M^2}\left(2M-\frac{M\gamma}{2}\right)\ .
\end{eqnarray}
Igualando a energia $E$ sobre o ponto de captura $r=2M+\delta$
teremos ap�s uma expans�o at� ordem de $\delta^{1/2}$, o valor da
energia de captura $E_{cap}$
\begin{eqnarray}
\label{BNMBtermo06A}
E_{cap}=\left[\frac{(m^24M^2+J^2)(2M-M\gamma/2)}{(2M)^5}\right]^{1/2}R\ .
\end{eqnarray}
Conseq�entemente a energia m�nima $E_{min}$, que � obtida quando
$J=0$, ser�
\begin{eqnarray}
\label{BNMBtermo07A}
E_{min}=\left[\frac{m^2(2M-M\gamma/2)}{(2M)^3}\right]^{1/2}R\ .
\end{eqnarray}
Da Primeira Lei da termodin�mica de buracos negros temos
\begin{eqnarray}
\label{BNMBtermo08A}
dM=\frac{\kappa}{2}\ dA_{r}\ .
\end{eqnarray}
Lembrando que da equa��o de Einstein $E=mc^2$ temos, $dM=E_{min}$
e substituindo o valor de $\kappa$ sobre o horizonte de eventos na
equa��o acima teremos
\begin{eqnarray}
\label{BNMBtermo09A}
E_{min}&=&\frac{1}{4M}\sqrt{1-\frac{\gamma}{4}}\ dA_{r}\ ,\nonumber\\
\nonumber\\
\label{BNMBtermo10A}
\left[\frac{m^2(2M-M\gamma/2)}{(2M)^3}\right]^{1/2}R&=&\frac{1}{4M}\sqrt{1-\frac{\gamma}{4}}\ dA_{r}\ ,\nonumber\\
\nonumber\\
dA_{r}&=&2mR\ .
\end{eqnarray}
Por fim assumindo ser v�lida a Segunda Lei Generalizada,
$S_{bn}(M+dM)\geq S_{bn}(M)+S_{m}$, obtemos um limite superior
para a entropia $S_{m}$ associada a um corpo com energia pr�pria
$E$, absorvido pelo BN-CFM, que � dado por
\begin{eqnarray}
\label{BNMBtermo11A}
\frac{A+dA}{4}&\geq& \frac{A}{4}+S_{m}\ ,\nonumber\\
\nonumber\\
\frac{dA}{4}&\geq& S_{m}\ ,\nonumber\\
\nonumber\\
\frac{4\pi \ dA_{r}}{4}&\geq& S_{m}\ ,\nonumber\\
\nonumber\\
\label{BNMBtermo12A}
S_{m}&\leq& 2\pi ER\ .
\end{eqnarray}
Como podemos observar, a influ�ncia do {\it bulk} n�o se manifesta
no limite superior da entropia $S_{m}$, uma vez que o limite
independe do par�metro $\beta$. Isso confirma a universalidade
desse limite no sentido de que o limite depende apenas dos
par�metros do corpo em queda, independendo dos par�metros do
buraco negro.\\
\\
{\bf Buraco Negro-SM}\\
\\
Seja um corpo de raio pr�prio $R$ e massa pr�pria $m$ caindo livremente no BN-SM.
Calculemos o horizonte de eventos $r_{h}$ para o BN-SM
\begin{eqnarray}
\label{BNMBtermo00B}
g_{tt}|_{r=r_{h}}=0 \qquad \Longrightarrow \left(1-\frac{h^2}{r^2}\right)=0 \qquad \Longrightarrow r_{h}= h\ .
\end{eqnarray}
A gravidade superficial $\kappa$ para BN-SM sobre seu
horizonte de eventos ser�
\begin{eqnarray}
\label{BNMBtermo01B}
\kappa=\frac{1}{h}\sqrt{\frac{C}{h}}\ .
\end{eqnarray}
As constantes de movimento associadas a $t$ e $\phi$ quando
consideramos o movimento do corpo no plano equatorial
$\theta=\pi/2$ ser�o
\begin{eqnarray}
\label{BNMBtermo02B}
E&=&-\left(1-\frac{h^2}{r^2}\right)\dot{t}\ ,\\
\nonumber\\
J&=&-r^2\dot{\phi}\ .
\end{eqnarray}
Portanto a equa��o quadr�tica para a energia conservada $E$ do
corpo que est� caindo no BN-SM ser�
\begin{eqnarray}
\label{BNMBtermo03B}
\alpha E^2-2\beta E +\sigma=0\
\end{eqnarray}
com
\begin{eqnarray}
\alpha&=&r^4\ ,\nonumber\\
\beta&=&0\ ,\nonumber\\
\sigma&=&-(r^2-h^2)(m^2r^2+J^2)\ .\nonumber
\end{eqnarray}
Como nosso corpo n�o � uma part�cula, ele possui dimens�o e
conseq�entemente um centro de massa. Portanto o ponto de captura
do corpo ser� $r=r_{h}+\delta$. O valor de $\delta$ � dado por
\begin{eqnarray}
\label{BNMBtermo04B} \int_{h}^{h+\delta}\
\sqrt{\frac{1}{\left(1-\frac{h^2}{r^2}\right)\left(1+\frac{C-h}{\sqrt{2r^2-h^2}}\right)}}\ dr=\ R\nonumber\\
\end{eqnarray}
onde ap�s uma integra��o e uma expans�o s�rie at� a ordem de $\delta^{1/2}$ teremos
\begin{eqnarray}
\label{BNMBtermo05B}
\delta=\frac{CR^2}{2h^2}\ .
\end{eqnarray}
Igualando a energia $E$ sobre o ponto de captura $r=h+\delta$
teremos o valor da energia de captura $E_{cap}$ que foi calculado
de maneira an�loga ao buraco negro anterior ap�s uma expans�o em
s�rie
\begin{eqnarray}
\label{BNMBtermo06B}
E_{cap}=\left[\frac{(m^2h^2+J^2)CR^2}{h^5}\right]^{1/2}\ .
\end{eqnarray}
Conseq�entemente a energia m�nima $E_{min}$, que � obtida quando
$J=0$, ser�
\begin{eqnarray}
\label{BNMBtermo07B}
E_{min}=\left[\frac{CR^2m^2}{h^3}\right]^{1/2}\ .
\end{eqnarray}
Da Primeira Lei da termodin�mica de buracos negros temos
\begin{eqnarray}
\label{BNMBtermo08B} dM=\frac{\kappa}{2}\ dA_{r}\ .\nonumber\\
\end{eqnarray}
Lembrando que $dM=E_{min}$ e substituindo o valor de $\kappa$ sobre
o horizonte de eventos na equa��o acima teremos
\begin{eqnarray}
\label{BNMBtermo09B}
E_{min}&=&\frac{1}{2h}\sqrt{\frac{C}{h}}\ dA_{r}\ ,\nonumber\\
\nonumber\\
\label{BNMBtermo10B}
\sqrt{\frac{m^2CR^2}{h^3}}&=&\frac{1}{2h}\sqrt{\frac{C}{h}}\ dA_{r}\ ,\nonumber\\
\nonumber\\
dA_{r}&=&2mR\ .
\end{eqnarray}
Por fim supondo ser v�lida a Segunda Lei Generalizada,
$S_{bn}(M+dM)\geq S_{bn}(M)+S_{m}$, obtemos um limite superior
para a entropia $S_{m}$ associada a um corpo com energia pr�pria
$E$, absorvido pelo BN-SM, que � dado por
\begin{eqnarray}
\label{BNMBtermo11B}
\frac{A+dA}{4}&\geq& \frac{A}{4}+S_{m}\ ,\nonumber\\
\nonumber\\
\frac{dA}{4}&\geq& S_{m}\ ,\nonumber\\
\nonumber\\
\frac{4\pi \ dA_{r}}{4}&\geq& S_{m}\ ,\nonumber\\
\nonumber\\
\label{BNMBtermo12B}
S_{m}&\leq& 2\pi ER\ .
\end{eqnarray}
Apesar deste buraco negro possuir propriedades um tanto quanto
ex�ticas como n�o possuir uma massa de Schwarzschild, ele tamb�m
obedece ao limite superior sendo independente das caracter�sticas
do {\it bulk}.
\newpage









%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\chapter[Resultados N�mericos]{Resultados Num�ricos}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
{\it Encerrando nossa jornada observamos que, a m�quina bem dirigida, aliada ao esp�rito de investiga��o, nos proporciona grandes desenvolvimentos no entendimento do Universo e permite-nos  trilhar novos caminhos com alguma seguran�a.}\\
\\
Neste cap�tulo apresentaremos os resultados obtidos para a
evolu��o dos campos no exterior do BN-CFM e do BN-SM e o m�todo num�rico utilizado.




%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Apresenta��o do M�todo Num�rico}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
O m�todo n�merico utilizado para a solu��o das equa��es
diferenciais que descrevem a evolu��o dos campos no exterior dos
buracos negros estudados � o mesmo utilizado em \cite{Carlos}.

\subsection{Problema de Condi��es Iniciais Caracter�sticas}
Trata-se do m�todo de integra��o com condi��es iniciais caracter�sticas, baseado na especifica��o de condi��es iniciais em hipersuperf�cies nulas.\\
Neste trabalho utilizamos um esquema espec�fico que � conhecido como ``problema das duplas coordenadas nulas".

Como as equa��es que governam a evolu��o dos campos no exterior do buraco negro se reduziram a uma equa��o em $(1+1)$ dimens�es devemos utilizar um esquema compat�vel com essas condi��es.

A equa��o de movimento, escrita usando as coordenadas nulas $u=t-r_{*}$ e $v=t+r_{*}$, ser�
\begin{eqnarray}
\label{MN01}
\frac{\partial^2\psi(u,v)}{\partial u\partial v}=-\frac{1}{4}V(r(u,v))\psi(u,v).
\end{eqnarray}
Esse esquema consiste em especificarmos o campo $\psi$ na fronteira de um �ngulo delimitado pelas semi-retas $u=u_{0}(v\geq v_{0})$ e $v_{0}=v_{0}(u \geq u_{0})$, que se interceptam no ponto $(u_{0},v_{0})$ conforme pode ser visto na figura \ref{fignm1}
\begin{figure}[h]
\begin{center}
%\resizebox{1\linewidth}{!}{\includegraphics*{metnume.eps}}
\epsfig{file = graf.eps, width=0.5 \linewidth, clip=}
\end{center}
\caption{Ilustra��o do esquema de duplas coordenadas nulas.}
\label{fignm1}
\end{figure}
\subsection{Discretiza��o}
Passemos ao m�todo para a discretiza��o do plano $u-v$.

Uma poss�vel forma de obten��o deste m�todo � transformar a equa��o (\ref{MN01}) em uma equa��o integral. Integrando a equa��o (\ref{MN01}) em um ret�ngulo nulo do plano $u-v$ delimitado pelos pontos $N$, $S$, $E$, $W$ teremos
\begin{eqnarray}
\label{MN02}
\int \frac{\partial^2\psi(u,v)}{\partial u\partial v}\ du\ dv =-\frac{1}{4}\int V(u,v)\psi(u,v)\ du\ dv.
\end{eqnarray}
Escrevemos as integrais de superf�cie como
\begin{eqnarray}
\label{MN03}
\int_{v_{0}}^{v_{1}} \left[\int_{u_{0}}^{u_{1}}\frac{\partial^2\psi(u,v)}{\partial u\partial v}\ du\right]\ dv =-\frac{1}{4}\int_{v_{0}}^{v_{1}} \left[\int_{u_{0}}^{u_{1}}  V(u,v)\psi(u,v)\ du\right]\ dv.
\end{eqnarray}
Resolvendo o lado esquerdo da equa��o (\ref{MN03}) teremos
\begin{eqnarray}
\label{MN04}
\int_{v_{0}}^{v_{1}} \left[\int_{u_{0}}^{u_{1}}\frac{\partial^2\psi(u,v)}{\partial u\partial v}\ du\right]\ dv &=&\int_{v_{0}}^{v_{1}} \frac{\partial}{\partial v}\left[\int_{u_{0}}^{u_{1}}\frac{\partial \psi(u,v)}{\partial u}\ du\right]\ dv \nonumber\\
\nonumber\\
&=& \psi(u_{1},v_{1})-\psi(u_{1},v_{0})-\psi(u_{0},v_{1})+\psi(u_{0},v_{0})\nonumber\\
\nonumber\\
&=& \psi(N)-\psi(W)-\psi(E)+\psi(S)\ .
\end{eqnarray}
Assim a equa��o (\ref{MN02}) se reduz a
\begin{eqnarray}
\label{MN05}
\psi(N)-\psi(W)-\psi(E)+\psi(S)=-\frac{1}{4}\int_{v_{0}}^{v_{1}}\ \int_{u_{0}}^{u_{1}}  V(u,v)\psi(u,v)\ du\ dv.
\end{eqnarray}
Definiremos uma fun��o $p(u,v)$ como
\begin{eqnarray}
\label{MN06}
p(u,v)=V(u,v)\psi(u,v)
\end{eqnarray}
de forma que
\begin{eqnarray}
\label{MN07}
\int_{v_{0}}^{v_{1}}\ \int_{u_{0}}^{u_{1}}  V(u,v)\psi(u,v)\ du\ dv=\int_{v_{0}}^{v_{1}}\ \int_{u_{0}}^{u_{1}}  p(u,v)\ du\ dv.
\end{eqnarray}
Sem perda de generalidade, escolheremos a origem do plano $u-v$ de modo que o ponto $(0,0)$ esteja sobre o centro do ret�ngulo. Desta forma a integral (\ref{MN07}) fica
\begin{eqnarray}
\label{MN08}
\int_{v_{0}}^{v_{1}}\ \int_{u_{0}}^{u_{1}}  p(u,v)\ du\ dv=\int_{-\Delta v/2}^{+\Delta v/2}\ \int_{-\Delta u/2}^{+\Delta u/2}  p(u,v)\ du\ dv.
\end{eqnarray}
Usando o teorema do valor m�dio teremos
\begin{eqnarray}
\label{MN09}
\int_{-\Delta v/2}^{+\Delta v/2}\ \int_{-\Delta u/2}^{+\Delta u/2}  p(u,v)\ du\ dv = p(u',v')\Delta u\Delta v,
\end{eqnarray}
onde $(u',v')\in [-\Delta u/2,+\Delta u/2]\otimes[-\Delta v/2,+\Delta v/2]$. Supondo que $p(u,v)$ seja pelo menos diferenci�vel duas vezes em $u$ e $v$, podemos expandir $p(u',v')$ em termos de $p(0,0)$, de forma que
\begin{eqnarray}
\label{MN10}
p(u',v')=p(0,0)+\left. \frac{\partial p}{\partial u}\right|_{(0,0)} u'+\left. \frac{\partial p}{\partial v}\right|_{(0,0)} v'+\ o(\Delta^2)\ .
\end{eqnarray}
Ent�o podemos reescrever a equa��o (\ref{MN09}) na forma
\begin{eqnarray}
\label{MN11}
\int_{-\Delta v/2}^{+\Delta v/2}\ \int_{-\Delta u/2}^{+\Delta u/2}  p(u,v)\ du\ dv &=& p(0,0)\Delta u\ \Delta v+\Delta v \int_{-\Delta u/2}^{+\Delta u/2}  u' du\nonumber\\
&+&\Delta u \int_{-\Delta v/2}^{+\Delta v/2}  v'\ dv+O(\Delta^4)\nonumber\\
\nonumber\\
&=&p(0,0)\Delta u\ \Delta v+o(\Delta^4).
\end{eqnarray}
Substituindo a equa��o (\ref{MN11}) na equa��o integral de movimento (\ref{MN05}) teremos
\begin{eqnarray}
\label{MN12}
\psi(N)-\psi(W)-\psi(E)+\psi(S)=-\frac{1}{4}\ V(C)\psi(C)\Delta u\ \Delta dv + o(\Delta^4).
\end{eqnarray}
Por outro lado, podemos fazer a seguinte considera��o
\begin{eqnarray}
\label{MN13}
\psi(C)=\frac{1}{2}\left[\psi(E)+\psi(W)\right]+ o(\Delta^4).
\end{eqnarray}
Lembrando que o potencial depende apenas de $r$ e que conseq�entemente ele tem o mesmo valor nos pontos $C$ e $S$
\begin{eqnarray}
\label{MN14}
V(C)=V(S),
\end{eqnarray}
podemos escrever nossa equa��o de movimento de forma discretizada como
\begin{eqnarray}
\label{MN15}
\psi(N)=\psi(E)+\psi(W)-\psi(S)-\frac{V(S)\Delta u\Delta v}{8}\left[\psi(E)+\psi(W)\right]+ o(\Delta^4)
\end{eqnarray}
A equa��o (\ref{MN15}) � a base do m�todo num�rico utilizado neste
trabalho assim como do trabalho \cite{elcio}.
\newpage
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Resultados}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
Nesta se��o apresentaremos a evolu��o dos campos, obtidas das
solu��es das equa��es de perturba��o atrav�s do c�lculo
num�rico. A estabilidade dos buracos negros, os regimes quasi-normais e os
comportamentos assint�ticos s�o discutidos.\\
\\
{\bf BN-CFM}\\
\\
A fun��o de onda que representa a evolu��o do campo escalar n�o
massivo $\Psi $ no exterior do BN-CFM � dada por
\begin{eqnarray}
\label{resultCFM01}
\Psi(r,t,\theta,\phi)=\frac{R(r,t)}{r}Y_{\ell m}(\theta,\phi)\ .
\end{eqnarray}
O comportamento de $R(r,t)$, que � solu��o da parte radial da
equa��o de Klein-Gordon, no exterior do BN-CFM � apresentado na figura \ref{figevCFM2} para valores de
$\ell=1,2$.
\begin{figure}[!ht]
\begin{center}
%\resizebox{1\linewidth}{!}{\includegraphics*{g6.eps}}
\epsfig{file= g6.eps, width=0.9 \linewidth, clip=}
\end{center}
\caption{Evolu��o temporal do campo escalar dado por $R(r,t)$ em
$r_{*}=0$ com $\beta =-1$.} \label{figevCFM2}
\end{figure}

Como podemos observar, a evolu��o do campo escalar possui tr�s regimes distintos.

Inicialmente o campo apresenta uma fase transiente. Logo ap�s temos a fase quasi-normal, sendo
atenuada exponencialmente. Essa atenua��o exponencial �
representada pela reta decrescente tracejada no gr�fico. Nesta fase o campo
oscila com freq��ncia quasi-normal $\omega=\omega_{R}+i\ \omega_{i}$
onde a parte imagin�ria da freq��ncia $\omega_{i}$ � respons�vel
pelo atenuamento.

Ap�s essa fase o campo apresenta um decaimento na forma de lei de
pot�ncias. Essa fase posterior � conhecida como a cauda da
perturba��o. Como podemos observar, a influ�ncia do {\it bulk} n�o alterou a
forma do comportamento do campo. Diferentemente da perturba��o
escalar de uma corda negra, o comportamento assint�tico, para
tempos suficientemente grandes, do BN-CFM, � id�ntico ao buraco
negro de Schwarzschild $(3+1)$ dimensional.

O comportamento das caudas da perturba��o escalar para o BN-CFM
com $\beta =-1$ sobre o horizonte de eventos � apresentado na
figura \ref{figevCFM1}\\
\begin{figure}[!ht]
\begin{center}
%\resizebox{1\linewidth}{!}{\includegraphics*{g5.eps}}
\epsfig{file= g5.eps, width=0.8 \linewidth, clip=}
\end{center}
\caption{\small{Caudas para o BN-CFM com $M=1$, $\beta=-1$, $r_{*}=0$ e multipolos $\ell=0,1,2$.}}
\label{figevCFM1}
\end{figure}

Esse decaimento como lei de pot�ncia � devido � forma do potencial
$V^{CFM}_{esc}$.\\
Ching \cite{Ching} demonstrou analiticamente que potenciais que
possuem a forma assint�tica, do tipo
\begin{eqnarray}
\label{resultCFM2} V(r)\approx
\frac{\ell(\ell+1)}{r_{*}^2}+\frac{K_{1}}{r_{*}^{\alpha}}\
log\left(\frac{r_{*}}{a}\right)\qquad \textrm{quando}\ r_{*}
\rightarrow \infty,
\end{eqnarray}
onde $K_{1}$ e $a$ s�o constantes, geram uma cauda que decai na
forma de $t^{-(2\ell+\alpha)}$ para valores de $\alpha<2\ell +3$. No caso do potencial
$V_{esc}^{CFM}$ a forma assint�tica satisfaz a equa��o
(\ref{resultCFM2}) para $\alpha=3$ e $\ell\neq 0$. Neste mesmo trabalho Ching mostra tamb�m que se o potencial tem a forma
\begin{eqnarray}
\label{resultCFM2a}
 V(r)\approx
\frac{K_{1}}{r_{*}^{\alpha}}\qquad \textrm{quando}\ r_{*}
\rightarrow \infty,
\end{eqnarray} 
a cauda decai na forma de $t^{-\alpha}$ se $\alpha >2$ e real. No caso do potencial $V_{esc}^{CFM}$ a forma assint�tica satisfaz a equa��o (\ref{resultCFM2a}) para $\alpha=3$ e $\ell=0$.
 
 
Portanto as caudas da perturba��o escalar decaem como 
\begin{eqnarray}
\label{resultCFM2b}
t^{-(2\ell+3)}\qquad &\textrm{quando}& \ell \neq 0\\
\nonumber\\
t^{-3}\qquad &\textrm{quando}& \ell = 0
\end{eqnarray}
Como podemos ver na figura \ref{figevCFM1} e nas equa��es acima, esse decaimento depende do �ndice
de multipolo $\ell$. O decaimento � mais r�pido para valores de
$\ell$ mais altos.

As figuras \ref{figevCFM2} e \ref{figevCFM1} mostram que o
campo escalar decai com o tempo o que nos sugere que o BN-CFM �
est�vel quando submetido a perturba��es escalares. Essa estabilidade � preservada mesmo para os casos onde o
potencial $V_{esc}^{CFM}$ apresenta regi�es negativas.\\
\\
{\bf BN-SM}\\
\\
Novamente apresentaremos apenas um exemplo para ilustrar a evolu��o do campo escalar. Estudaremos o caso para $h=1$.

A fun��o de onda que representa a evolu��o do campo escalar n�o-massivo $\Psi $ no exterior do BN-CFM � dada por
\begin{eqnarray}
\label{resultSM01}
\Psi(r,t,\theta,\phi)=\frac{R(r,t)}{r}Y_{lm}(\theta,\phi)\ .
\end{eqnarray}
O comportamento de $R(r,t)$, que � solu��o da parte radial da
equa��o de Klein-Gordon, no exterior do BN-SM � apresentado na figura \ref{figevSM2} para valores de
$\ell=0,1,2$.
\newpage
\begin{figure}[!ht]
\begin{center}
%\resizebox{1\linewidth}{!}{\includegraphics*{g6.eps}}
\epsfig{file= fig_alan.eps, width=0.9 \linewidth, clip=}
\end{center}
\caption{Evolu��o temporal do campo escalar dado por $R(r,t)$ em
$r_{*}=0$ com $C=1$ e $h=1$.}
\label{figevSM2}
\end{figure}
%\newpage
%\begin{figure}[!ht]
%\begin{center}
%\resizebox{1\linewidth}{!}{\includegraphics*{g6.eps}}
%\epsfig{file= g6SM.eps, width=0.7 \linewidth, clip=}
%\end{center}
%\caption{Evolu��o temporal do campo escalar dado por $R(r,t)$ em
%$r_{*}=0$ com $C=2$ e $h=1$.}
%\label{figevSM3}
%\end{figure}

Como podemos observar na figura acima, a evolu��o do campo escalar neste buraco negro tamb�m possui tr�s regimes distintos. Inicialmente o campo apresenta uma fase de trasiente. Logo ap�s temos uma fase quasi-normal, sendo atenuada exponencialmente. Ap�s essa fase o campo apresenta um decaimento na forma de lei de pot�ncias. Igualmente para o BN-SM podemos escrever o comportamento das caudas utilizando o formalismo de Ching.

Para o BN-SM teremos $\alpha=4$ de modo que as caudas da perturba��o escalar decaem como
\begin{eqnarray}
\label{resultSM2b}
t^{-(2\ell+4)}\qquad &\textrm{quando}& \ell \neq 0\\
\nonumber\\
t^{-4}\qquad &\textrm{quando}& \ell = 0
\end{eqnarray}

%Entretanto essa lei de pot�ncia parece n�o se encaixar em nenhuma das formas anal�ticas conhecidas. Portanto podemos apenas colecionar os comportamentos  delas.

A figura (\ref{figevSM2}) mostra que o campo escalar decai com o tempo o que nos diz que o BN-SM para esse valore de $C$ � est�vel quando submetido a perturba��es escalares.\\
\\
\\
\\
Os gr�ficos com a evolu��o dos campos eletromagn�ticos e
gravitacionais dos BN-CFM e BN-SM ainda est�o sendo feitos e ser�o
apresentados no artigo \cite{elcio} a ser submetido.

\newpage





%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\chapter{Conclus�es}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
{\it E no fim da jornada percebemos que novos caminhos florescem
 � nossa frente. Seguiremos }\\
 \\
O formalismo desenvolvido para o estudo de perturba��es de buracos negros em
$(3+1)$ dimens�es pode ser aplicado, sem grandes dificuldades t�cnicas, para o estudo perturba��es de buracos negros em branas com {\it bulk} do tipo $AdS_{5}$.
Observamos que m�tricas que n�o satisfazem a condi��o $g_{tt}=-\frac{1}{g_{rr}}$, geram dificuldades no desacoplamento das equa��es que governam a evolu��o dos campos no exterior dos buracos negros, especialmente nos casos onde a paridade � $(-1)^{\ell}$, ou seja, nos casos polares.

De modo geral os buracos negros tipo-CFM e tipo-SM mostraram-se est�veis quando submetidos a perturba��es escalares, mesmo quando os valores de $\beta$ e $C$ geravam regi�es negativas nos potenciais efetivos. Atribu�mos esse comportamento ao fato de que os po�os de potenciais eram rasos quando comparados aos m�ximos dos potenciais.

Uma an�lise mais ampla sobre o conjunto de par�metros $M$, $C$, $h$, $\ell$, $\beta$ � necess�ria para estimar-se melhor as condi��es limite dos buracos negros e assim poder realizar declara��es mais precisas sobre a estabilidade da classe de buracos negros estudados.

Quanto a termodin�mica, ambos os buracos negros se mostraram em acordo com o limite superior da entropia $S_{m}$ de um corpo absorvido por eles. Isso refor�a um pouco mais a universalidade desse limite uma vez que ele independe dos par�metros do {\it bulk}.


A evolu��o do campo escalar no exterior do Buraco Negro-CFM e do Buraco Negro-SM apresentou comportamento semelhante na fase quasi-normal aos buracos negros em $(3+1)$ dimens�es. O atenuamento exponencial das oscila��es s�o observados. O comportamento das caudas mostraram-se semelhantes. 

Para o buraco negro tipo-CFM, as caudas decaem como uma lei de pot�ncia do tipo $t^{-(2\ell+3)}$. Apesar do potencial $V_{esc}^{CFM}$ apresentar corre��es quando comparado ao potencial de Schwarzschild  $V_{esc}^{Sch}$ as caudas decaem da mesma maneira.

Para o buraco negro tipo-SM, as caudas tamb�m decaem como lei de pot�ncia do tipo $t^{-(2\ell+4)}$. O comportamento das caudas dependem fortemente dos par�metros $C$, $h$ e $\ell$.


O estudo das componentes polares das perturba��es eletromagn�ticas e gravitacionais, assim como novas propriedades termodin�micas e o estabelecimento de freq��ncias quasi-normais para esses e outros buracos negros sobre a brana, ser�o alvo de investiga��es futuras.


\newpage



\appendix
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\chapter{Ap�ndices}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
Os ap�ndices deste trabalho constituem-se de, nota��es e coven��es
adotadas ao longo do trabalho assim como alguns c�lculos mais
detalhados que julgamos ser relevantes para um maior
esclarecimento dos assuntos abordados.
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Nota��es e Conven��es}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\label{sec:NC}

Certos tensores, tais como, o tensor de Ricci $R_{ij}$ e o tensor
de Einstein $G_{ij}$, podem apresentar conve��es de sinal
distintas se compararmos livros ou artigos diferentes. O cuidado
em sermos consistentes com uma �nica conven��o de sinal adotada
deve ser mantido para evitarmos erros ou conclus�es equivocadas. A conven��o adotada neste trabalho segue abaixo.

Letras latinas min�sculas $(i,j)$ representam o espa�o-tempo
4-dimensional e correm de $0\dots 3$. Letras gregas min�sculas
$\mu,\nu$ representam o espa�o-tempo 5-D e correm de $0\dots
4$, salvo quando especificado outra nota��o.

Unidades geom�tricas s�o assumidas, onde temos $c=\hbar=k=1$. A assinatura das m�tricas utilizadas ser� $(-,+,+,+)$.

A nota��o de Einstein � assumida nesse trabalho, ou seja, para
�ndices repetidos que significam soma sobre todo intervalo, a somat�ria � omitida.
\begin{eqnarray}
A^{j}&=&\sum_{i=0}^{3}\ R_{i}R^{ij}\nonumber\\
\nonumber\\
A^{j}&=&R_{0}R^{0j}+R_{1}R^{1j}+R_{2}R^{2j}+R_{3}R^{3j}=R_{i}R^{ij}
\end{eqnarray}
A conex�o $\Gamma^{\ b}_{ij}$ � dada por
\begin{eqnarray}
\label{apI1}
\Gamma^{\ b}_{ij}= \frac{1}{2}g^{ba}\left(\frac{\partial g_{ia}}{\partial
x^{j}}+\frac{\partial g_{ja}}{\partial x^{i}}-\frac{\partial g_{ij}}{\partial
x^{a}}\right).
\end{eqnarray}
A derivada covariante de um tensor $V_{ij}$ que � representada por
$(\ ;\ )$ � definida como
\begin{eqnarray}
\label{apI2}
 V_{ij;a}=V_{ij,a}-\Gamma^{\ b}_{ia}\ V_{bj}-\Gamma^{\ b}_{ja}\ V_{ib}\ .
\end{eqnarray}
A v�rgula $(\ ,\ )$ denota uma derivada ordin�ria sobre o tensor
\begin{eqnarray}
\label{apI3}
 V_{ij,a}=\frac{\partial V_{ij}}{\partial x^{a}}\ .
\end{eqnarray}
O tensor de Ricci $R_{ij}$ adota a seguinte conven��o de sinal
\begin{eqnarray}
\label{apI4} R_{ij}= \Gamma^{a}_{ia,j}\ -\Gamma^{a}_{ij,a}+\Gamma^{b}_{ia}\
\Gamma^{a}_{jb} - \Gamma^{b}_{ij}\ \Gamma^{a}_{ab}\ .
\end{eqnarray}
\newpage
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Decomposi��o tensorial de $h_{ij}$}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\label{sec:Dectensorial}
Um estudo do momento angular sobre um espa�o-tempo (3+1) dimens�es
esfericamente sim�trico pode ser feito, se realizarmos rota��es
sobre a variedade 2-dimensional formada por $r=const$ e $t=const$.
Tal estudo � necess�rio para sabermos como se comporta a parte
angular de nosso problema. Sobre tais rota��es ao redor da origem
a componentes de $h_{ij}$ se transformam de maneira particular.
Nesse caso ao rotacionarmos nosso referencial $S$ at� um
referencial $S'$ os versores dos sistemas se transformar�o como
\begin{eqnarray}
\label{Apdecom1}
 \hat{r}\longrightarrow \hat{r}',\quad \hat{t}\longrightarrow \hat{t}', \quad
\hat{\theta}\longrightarrow \hat{\theta}', \quad
\hat{\phi}\longrightarrow \hat{\phi}'.
\end{eqnarray}
Como $r$ e $t$ s�o constantes $ \hat{r}= \hat{r}'$ e $
\hat{t}=\hat{t}'$. Conseq�entemente
\begin{eqnarray}
\label{Apdecom2}
 \frac{\partial r}{\partial r'}=1, \qquad
\frac{\partial t}{\partial t'}=1.
\end{eqnarray}
Um tensor de ordem 2 quando rotacionado se transforma como
\begin{eqnarray}
\label{Apdecom3}
h_{ij}=\Lambda_{i}^{\phantom{i}{a}}\Lambda_{j}^{\phantom{j}{b}}h_{ab}',\nonumber\\
\nonumber\\
h_{ij}=\frac{\partial x'^{a}}{\partial x^{i}}\frac{\partial
x'^{b}}{\partial x^{j}}\ h_{ab}',
\end{eqnarray}
Adotaremos a seguinte nota��o para as coordenadas
\begin{eqnarray}
\label{Apdecom4} x^{0}=t, \quad x^{1}=r, \quad x^{2}=\theta, \quad
x^{3}=\phi.
\end{eqnarray}
Desta forma podemos calcular como cada componente de $h_{ij}$ se
transforma.\\
As componentes $h_{00}$, $h_{11}$ e $h_{01}$ se transformam como
escalares pois satisfazem a seguinte condi��o
\begin{eqnarray}
\Phi(r,t,\theta,\phi)=\Phi'(r',t',\theta',\phi')
\end{eqnarray}
Tomemos $h_{00}$ como exemplo
\begin{eqnarray}
\label{Apdecom5} h_{00}=\frac{\partial x'^{a}}{\partial
x^{0}}\frac{\partial x'^{b}}{\partial x^{0}}\
h_{ab}'&=&\frac{\partial x'^{0}}{\partial x^{0}}\frac{\partial
x'^{0}}{\partial x^{0}}\ h_{00}'\nonumber\\
\nonumber\\
h_{00}&=&h_{00}'
\end{eqnarray}
Isso se deve ao fato de que as coordenadas $x'^{2}$ e $x'^{3}$
dependem apenas de $x^{2}$ e $x^{3}$ uma vez que $r$ e $t$ s�o
mantidas constantes.\\
As componentes ($h_{02},h_{03}$) e ($h_{12},h_{13}$) se
transformam como 2 vetores, ou seja, satisfazem a condi��o
\begin{eqnarray}
V_{i}=\frac{\partial x'^{a}}{\partial x^{i}}\ V_{a}.
\end{eqnarray}
Tomemos ($h_{02},h_{03}$) como exemplo de um vetor com componentes $(V_{2},V_{3})$.\\
A componente $h_{02}$ ser�
\begin{eqnarray}
\label{Apdecom6}
h_{02}&=&\frac{\partial x'^{a}}{\partial
x^{0}}\frac{\partial x'^{b}}{\partial x^{2}}\ h_{ab}',\nonumber\\
\nonumber\\
h_{02}&=& \frac{\partial x'^{0}}{\partial x^{0}}\frac{\partial
x'^{2}}{\partial x^{2}}\ h_{02}'+\frac{\partial x'^{0}}{\partial
x^{0}}\frac{\partial
x'^{3}}{\partial x^{2}}\ h_{03}', \nonumber\\
\nonumber\\
h_{02}&=&\frac{\partial x'^{2}}{\partial
x^{2}}h_{02}'+\frac{\partial x'^{3}}{\partial x^{2}}h_{03}'.
\end{eqnarray}
A componente $h_{03}$ ser�
\begin{eqnarray}
\label{Apdecom7}
h_{03}&=&\frac{\partial x'^{a}}{\partial
x^{0}}\frac{\partial
x'^{b}}{\partial x^{3}}\ h_{ab}',\nonumber\\
\nonumber\\
h_{03}&=&\frac{\partial x'^{0}}{\partial x^{0}}\frac{\partial
x'^{2}}{\partial x^{3}}\ h_{02}'+\frac{\partial x'^{0}}{\partial
x^{0}}\frac{\partial
x'^{3}}{\partial x^{3}}\ h_{03}'\nonumber,\\
\nonumber\\
h_{03}&=&\frac{\partial x'^{2}}{\partial
x^{3}}h_{02}'+\frac{\partial x'^{3}}{\partial x^{3}}h_{03}'.
\end{eqnarray}
Podemos observar que $h_{02}$ corresponde � componente $V_{2}$ e
$h_{3}$ � componente $V_{3}$ do nosso vetor.
\begin{displaymath}
\left(\begin{array}{c}
V_{2}\\
V_{3}
\end{array}\right)=\
\left(\begin{array}{cc}
\alpha & \beta\\
\gamma & \sigma
\end{array}\right)
\ \left(\begin{array}{c}
V'_{2}\\
V'_{3}
\end{array}\right)
%h_{02}=\alpha \ h_{02}'+\beta \ h_{03}'\nonumber\\
%\nonumber\\
%h_{03}=\gamma \ h_{02}'+\sigma \ h_{03}'\nonumber
\end{displaymath}
Portanto se transformam como um vetor sobre uma rota��o.

As componentes ($h_{22},h_{33},h_{23},h_{32}$) se tranformam como
um tensor de $2^{a}$ ordem $2\times 2$, ou seja satisfazem a
seguinte condi��o
\begin{eqnarray}
h_{ij}=\frac{\partial x'^{a}}{\partial x^{i}}\frac{\partial
x'^{b}}{\partial x^{j}}\ h_{ab}',
\end{eqnarray}
Tomemos como exemplo a componente $h_{22}$ do nosso tensor
\begin{eqnarray}
\label{Apdecom8}
h_{22}&=&\frac{\partial x'^{a}}{\partial
x^{2}}\frac{\partial x'^{b}}{\partial x^{2}}\ h_{ab}'\nonumber\\
\nonumber\\
h_{22}&=& \frac{\partial x'^{2}}{\partial x^{2}}\frac{\partial
x'^{2}}{\partial x^{2}}\ h_{22}'+\frac{\partial x'^{2}}{\partial
x^{2}}\frac{\partial x'^{3}}{\partial x^{2}}\
h_{23}'+\frac{\partial x'^{3}}{\partial x^{2}}\frac{\partial
x'^{2}}{\partial x^{2}}\ h_{32}'+\nonumber\\
\nonumber\\
&+&\frac{\partial x'^{3}}{\partial x^{2}}\frac{\partial
x'^{3}}{\partial x^{2}}\ h_{33}'
\end{eqnarray}
Portanto $h_{22}$ se transforma como uma componente de um tensor
de $2^{a}$ ordem.

Agora j� sabemos como cada componente do tensor $h_{ij}$ se
transforma.

Assim podemos escrever uma matriz $h$ como
\begin{displaymath}
h=\left(\begin{array}{cccc}
E&E&V_{2}&V_{3}\\
E&E&V_{2}&V_{3}\\
V_{2}&V_{2}&T_{22}&T_{23}\\
V_{3}&V_{3}&T_{32}&T_{33}
\end{array}\right)\ .
\end{displaymath}
Desta forma podemos separar $h_{ij}$ de modo geral como a
multiplica��o de duas fun��es, cada uma dependendo de $r,t$ e
$\theta, \phi$ respectivamente
\begin{eqnarray}
h_{ij}=\sum_{l=0}^{\infty}\ \sum_{m=-l}^{l}\ \sum_{n=1}^{10}
C_{lm}^{n}(t,r)(Y_{lm}^{n})_{ij}(\theta,\phi)\ .
\end{eqnarray}
\newpage

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Constru��o dos Harm�nicos Esf�ricos Tensoriais}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\label{sec:ConsHET}
A constru��o dos harm�nicos esf�ricos tensoriais pode ser
realizada se utilizarmos os harm�nicos esf�ricos escalares
$Y^{lm}(\theta,\phi)$ como base e operarmos com gradientes e
``pseudogradientes" sobre ele de modo a obtermos vetores  e
tensores.

Nesta constru��o obteremos objetos com paridade distintas
$(-1)^{\ell}$ e $(-1)^{\ell+1}$. Esta distin��o nos diz que
teremos 2 tipos de ondas geradas por nossa perturba��o.

A parte escalar do nosso tensor � dada obviamente por
\begin{eqnarray}
\label{Apcon1} \phi^{lm}=const\ Y^{lm}(\theta,\phi)\ .
\end{eqnarray}
Este termos pertence a uma onda de paridade $(-1)^{\ell}$ e
momento angular $\ell$ cuja a proje��o sobre o eixo $z$ � $m$.

A constru��o dos vetores � dada pela opera��o do gradiente e do
pseudogradiente em $Y_{lm}$. Desta opera��o obteremos dois vetores
com paridades opostas
\begin{eqnarray}
\label{Apcon2} \psi^{lm}_{\phantom{lm}{,i}}&=&const\
\frac{\partial}{\partial
 x^{i}}Y^{lm},\qquad \ \ \ paridade (-1)^{\ell};\\
\nonumber\\
\phi^{lm}_{\phantom{lm}{,i}}&=&const\
\epsilon_{i}^{\phantom{i}{a}}\frac{\partial}{\partial
 x^{a}}Y^{lm}, \qquad paridade (-1)^{\ell+1}.
\end{eqnarray}
Aqui os �ndices $i$ e $a$ correm sobre os valores 2 e 3, quando
$x^{2}=\theta$ e $x^{3}=\phi$; e $\epsilon_{i}^{\phantom{i}{a}}$ �
um tensor totalmente anti-sim�trico que representa as quantidades
$\epsilon_{2}^{\phantom{2}{2}}=\epsilon_{3}^{\phantom{3}{3}}=0$;
$\epsilon_{2}^{\phantom{2}{3}}=-1/sen\theta$ e
$\epsilon_{3}^{\phantom{3}{2}}=sen\theta$.

Por fim construiremos tr�s tensores fundamentais. Eles s�o obtidos quando
utilizamos a deriva��o covariante sobre $Y^{lm}$, quando aplicamos
a m�trica da esfera $\gamma_{ij}=g_{ij}/r^2$ sobre $Y^{lm}$ e
quando operamos com o pseudogradiente sobre o tensor obtido na
primeira opera��o. S�o eles
\begin{eqnarray}
\psi_{\phantom{lm}{ia}}^{lm}&=&const\ Y^{lm}_{\phantom{lm}{;ia}}\ ,
\qquad \qquad \qquad \ \ \ \ \ \ \ paridade (-1)^{\ell}\\
\nonumber\\
\phi^{lm}_{\phantom{lm}{ia}}&=&const\ \gamma_{ia}\ Y^{lm}\ ,\qquad
\qquad \qquad \ \ \ \ paridade (-1)^{\ell}\\
\nonumber\\
\chi_{\phantom{lm}{ia}}^{lm}&=&\frac{1}{2}\ const\
[\epsilon_{i}^{\phantom{i}{b}}
\psi^{lm}_{\phantom{lm}{ba}}+\epsilon_{a}^{\phantom{a}{b}}
\psi^{lm}_{\phantom{lm}{bi}}]\ .\qquad paridade (-1)^{\ell+1}\
\end{eqnarray}
onde as componentes da m�trica sobre a esfera s�o dadas por
$\gamma_{22}=1$, $\gamma_{23}=\gamma_{32}=0$ e
$\gamma_{33}=sen\theta$.
Desta forma fica completa a constru��o dos Harm�nicos Esf�ricos Tensoriais.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Coment�rios a respeito do comportamento da coordenada tartaruga $r_{*}$}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\label{sec:coordtartaruga}
Ser� de interesse ao nosso estudo sobre as propriedades da evolu��o de campos, alguns coment�rios sobre o comportamento assint�tico da coordenada tartaruga $r_{*}$.

Tomemos uma m�trica esfericamente sim�trica dada por
\begin{eqnarray}
\label{Aptar01}
ds^2=-A(r)dt^2+B(r)dr^2+r^2(d\theta^2+sen\theta^2d\phi^2).
\end{eqnarray}
A exist�ncia de um horizonte de eventos nesse espa�o-tempo implica em um zero da fun��o $A(r)$. Seja $r_{h}$ um zero de $A(r)$.\\
Definindo a fun��o $h(r)$ como
\begin{eqnarray}
\label{Aptar02}
h(r)=\sqrt{\frac{A(r)}{B(r)}}\ ,
\end{eqnarray}
percebemos que o ponto $r=r_{h}$ tamb�m � um zero da fun��o $h(r)$.

A coordenada tartaruga $r_{*}$ pode ser definida como
\begin{eqnarray}
\label{Aptar03}
r_{*}=\int \frac{1}{h(r)}dr\ .
\end{eqnarray}
De modo geral , a fun��o $r_{*}(r)$ � monotonicamente crescente. Se calcularmos a derivada de $r_{*}$ veremos que
\begin{eqnarray}
\label{Aptar05}
\frac{dr_{*}(r)}{dr}= \frac{d}{dr}\left[\int \frac{1}{h(r)}dr\right]=\frac{1}{h(r)}\ .
\end{eqnarray}
Analisando as fun��es $A(r)$ e $B(r)$ vemos que, para o intervalo de interesse $(\ ]r_{h},\infty[\ )$, temos
\begin{eqnarray}
\label{Aptar06}
A(r)>0,\qquad B(r)>0 \qquad \Longrightarrow  h(r)>0\ .
\end{eqnarray}
Desta forma a derivada de $r_{*}$ � crescente
\begin{eqnarray}
\label{Aptar07}
\frac{dr_{*}(r)}{dr}>0\ .
\end{eqnarray}
O comportamento de $r_{*}$ pr�ximo ao horizonte de eventos pode ser estudado se soubermos de que tipo s�o os zeros da fun��o $h(r)$ em $r=r_{h}$.

Vamos supor que $h(r_{h})=0$ � um zero simples, ou seja, que $h(r)$ pode ser escrita como
\begin{eqnarray}
\label{Aptar08}
h(r)=(r-r_{h})P(r)\ ,
\end{eqnarray}
onde $P(r)$ � um polin�mio de $r$ e respeite a condi��o $P(r_{h})\neq 0$.
Sob essas condi��es  temos
\begin{eqnarray}
\label{Aptar09}
r_{*}(r)=\int \frac{dr}{(r-r_{h})P(r)}\ .
\end{eqnarray}
Se estivermos pr�ximos o suficiente do horizonte de eventos podemos escrever a equa��o (\ref{Aptar09}) como
\begin{eqnarray}
\label{Aptar10}
r_{*}(r)=\frac{1}{P(r_{h})}\int \frac{dr}{(r-r_{h})}=\frac{1}{P(r_{h})}ln(r-r_{h})\ .
\end{eqnarray}
Lembrando que a gravidade superficial em $r=r_{h}$ � dada por
\begin{eqnarray}
\label{Aptar11}
\kappa_{h}=\frac{1}{2}\left. \frac{dh(r)}{dr}\right|_{r=r_{h}}=\frac{P(r_{h})}{2}\ ,
\end{eqnarray}
podemos reescrever a equa��o (\ref{Aptar10}) pr�ximo do horizonte de eventos como
\begin{eqnarray}
\label{Aptar12}
r_{*}(r)=\frac{1}{2\kappa_{h}}ln(r-r_{h})\ .
\end{eqnarray}
Neste caso a fun��o $r_{*}$ diverge logaritmicamente quando $r\rightarrow r_{h}$ sendo
\begin{eqnarray}
\label{Aptar13}
\lim_{r\rightarrow r_{h}}r_{*}(r)\rightarrow -\infty
\end{eqnarray}
Neste limite � poss�vel inverter a fun��o $r_{*}(r)$ de modo que a forma anal�tica de $r(r_{*})$ ser�
\begin{eqnarray}
\label{Aptar14}
r=r_{h}+e^{2\kappa_{h}r_{*}}\ .
\end{eqnarray}
Agora se supusermos que $h(r_{h})=0$ � um zero duplo, ou seja, que $h(r)$ pode ser escrita como
\begin{eqnarray}
\label{Aptar15}
h(r)=(r-r_{h})^2Q(r)\ ,
\end{eqnarray}
onde $Q(r_{h})\neq 0$, teremos
\begin{eqnarray}
\label{Aptar16}
\kappa_{h}=0,
\end{eqnarray}
\begin{eqnarray}
\label{Aptar16b}
r_{*}(r)=\frac{1}{Q(r_{h})}\int \frac{dr}{(r-r_{h})}\propto -\frac{1}{r-r_{h}}.
\end{eqnarray}
Desta forma, pr�ximo ao horizonte teremos
\begin{eqnarray}
\label{Aptar17}
r_{*}=-\frac{1}{2Q(r_{h})(r-r_{h})}\ .
\end{eqnarray}
Neste caso a fun��o $r_{*}(r)$ diverge como uma lei de pot�ncia quando $r\rightarrow r_{h}$.\\
Invertendo $r_{*}(r)$ teremos
\begin{eqnarray}
\label{Aptar18}
r(r_{*})=r_{h}-\frac{1}{2Q(r_{h})r_{*}}\ .
\end{eqnarray}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{C�lculo do desacoplamento das equa��es $\delta R_{12}$, $\delta R_{10}$ e $\delta R_{13}$.}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\label{sec:desacoplamento}
As equa��es $\delta R_{12}$, $\delta R_{10}$ e $\delta R_{13}$ podem ser obtidas em \cite{Chandra} e s�o dadas por
\begin{eqnarray}
\label{Apdesac01}
R_{10}=\frac{e^{-2\psi-\mu_{2}-\mu_{3}}}{2}\left[\left(e^{3\psi-\nu-\mu_{2}+\mu_{3}}Q_{20}\right)_{,2}+\left(e^{3\psi-\nu-\mu_{3}+\mu_{2}}Q_{30}\right)_{,3}\right]=0;\\
\nonumber\\
R_{12}=\frac{e^{-2\psi-\nu-\mu_{3}}}{2}\left[\left(e^{3\psi+\nu-\mu_{2}-\mu_{3}}Q_{32}\right)_{,3}-\left(e^{3\psi-\nu+\mu_{3}-\mu_{2}}Q_{02}\right)_{,0}\right]=0;\\
\nonumber\\
R_{13}=\frac{e^{-2\psi-\nu-\mu_{2}}}{2}\left[\left(e^{3\psi+\nu-\mu_{3}-\mu_{2}}Q_{23}\right)_{,2}-\left(e^{3\psi-\nu-\mu_{3}+\mu_{2}}Q_{03}\right)_{,0}\right]=0.
\end{eqnarray}
onde $R_{ij}$ corresponde a $\delta R_{ij}$.

O fator multiplicativo de cada equa��o pode ser ignorado uma vez que todas as equa��es s�o iguais a zero.

Assim se fizermos a seguinte opera��o
\begin{eqnarray}
\label{Apdesac02}
\delta R_{10,0}=\delta R_{12,2}+\delta R_{13,3}
\end{eqnarray}
teremos uma identidade de modo que a equa��o $\delta R_{10}$ pode ser escrita como uma combina��o da outras duas equa��es.

Tomando ent�o as derivadas apropriadas teremos
\begin{eqnarray}
\label{Apdesac03}
\left(e^{3\psi-\nu-\mu_{2}+\mu_{3}}Q_{20}\right)_{,2,0}&+&\left(e^{3\psi-\nu-\mu_{3}+\mu_{2}}Q_{30}\right)_{,3,0}=\nonumber\\
\nonumber\\
\left(e^{3\psi+\nu-\mu_{2}-\mu_{3}}Q_{32}\right)_{,3,2}&-&\left(e^{3\psi-\nu+\mu_{3}-\mu_{2}}Q_{02}\right)_{,0,2}+\nonumber\\
\nonumber\\
+\left(e^{3\psi+\nu-\mu_{3}-\mu_{2}}Q_{23}\right)_{,2,3}&-&\left(e^{3\psi-\nu-\mu_{3}+\mu_{2}}Q_{03}\right)_{,0,3}
\end{eqnarray}
Lembrando que
\begin{eqnarray}
\label{Apdesac04}
Q_{AB}=q_{A,B}-q_{B,A}\ ,\qquad Q_{A0}=q_{A,0}-\omega_{,A}\ ,\qquad Q_{0A}=\omega_{,A}-q_{A,0}\ ,
\end{eqnarray}
e aplicando essas condi��es  na equa��o (\ref{Apdesac03}) teremos
\begin{eqnarray}
\label{Apdesac05}
\left(e^{3\psi-\nu-\mu_{2}+\mu_{3}}Q_{20}\right)_{,2,0}&+&\left(e^{3\psi-\nu-\mu_{3}+\mu_{2}}Q_{30}\right)_{,3,0}=\nonumber\\
\nonumber\\
=\left(e^{3\psi+\nu-\mu_{2}-\mu_{3}}Q_{32}\right)_{,3,2}&+&\left(e^{3\psi-\nu+\mu_{3}-\mu_{2}}Q_{20}\right)_{,2,0}-\nonumber\\
\nonumber\\
-\left(e^{3\psi+\nu-\mu_{3}-\mu_{2}}Q_{32}\right)_{,3,3}&+&\left(e^{3\psi-\nu-\mu_{3}+\mu_{2}}Q_{30}\right)_{,3,0}\nonumber\\
\nonumber\\
0&=&0.
\end{eqnarray}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
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gr-qc0605032.extracted_bib
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