������� ����� ������������ ������������� ���������� �������������� ��������� ���������: ������ ������ ������ ����� �� ������������ ������
�.\
�.\
����������� \thanks{��� ��. �.\
�.~����������
email: vasilevskiy.boris@gmail.com
���������� ������������ ������������� ������������� ���������� �������������� ��� ����� ������� ��������� ����������. �� ������ ��� ���� ������� ����� � ���� ����� ������� � �������� ��������� �� ������������ ������� �� ������������ ������ �� �������������, ������������ �� �������� ������� � ������������ � ���. ��������� ������� ��������������� ������ �� ����������� � ��������� ����� ��� ������ �������� ��������� ��������� ������� ����� � ��������� ������������ �� �������������.
1402.2732.tex
\documentclass[11pt]{article}

\usepackage[T2A]{fontenc}
\usepackage[cp1251]{inputenc}
\usepackage[english,russian]{babel}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsthm}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amscd}
\usepackage[dvips]{graphicx}
\usepackage{wrapfig}
\usepackage{titlesec}

\usepackage{graphicx}
\usepackage{floatflt}
\usepackage{indentfirst}

\textwidth 6in
\textheight 8.5in
\topmargin=-1cm
\leftmargin-2cm
\oddsidemargin=0.8cm

\theoremstyle{plain}
\newtheorem{Theorem}{�������}
\newtheorem{Lemma}{�����}
\newtheorem{Definition}{�����������}
\newtheorem{Statement}{�����������}

\theoremstyle{definition}
\newtheorem{Example}{������}
\newtheorem {Remark}{���������}

\newenvironment{Proof}{\par\noindent\textbf{��������������.}}{\hfill$\scriptstyle\blacksquare$\vspace{3mm}}

\DeclareMathOperator{\const}{const}
\DeclareMathOperator{\sgn}{sgn}

% russian
\renewcommand\Re{\mathop{\mathrm{Re}}}
\renewcommand\Im{\mathop{\mathrm{Im}}}
\renewcommand\le{\leqslant}
\renewcommand\ge{\geqslant}
\renewcommand\phi{\varphi}

\def\d#1#2{\frac{\partial#1}{\partial#2}}
\def\dd#1#2{\frac{\partial^2#1}{(\partial#2)^2}}
\def\ddd#1#2{\frac{\partial^3#1}{(\partial#2)^3}}

\newcommand\abs[1]{\left|#1\right|}
\newcommand\res[1]{\mathop\mathrm{res}\limits_{#1}}
\newcommand\Og{\Omega(\gamma)}
\newcommand\tOg{\tilde\Omega(\gamma, \mu, \nu, \tilde\mu, \tilde\nu)}
\newcommand\Ps{\Psi_{\mu, \nu}(\gamma)}
\newcommand\tPs{\Psi^+_{\tilde\mu, \tilde\nu}(\gamma)}
\newcommand\tmu{\tilde\mu}
\newcommand\tnu{\tilde\nu}
\newcommand\Abel[1]{\vec A({#1})}
\newcommand\eps{\varepsilon}

\title{
    ������� ����� ������������ ������������� ���������� �������������� ��������� ���������: ������ ������ ������ ����� �� ������������ ������
}
% The Green's function of a five-point discretization of a two-dimensional finite-gap Schr\"{o}dinger operator: the case of four singular points of the spectral curve
\author{
    �.\,�.\,����������� \thanks{��� ��. �.\,�.~����������, email: vasilevskiy.boris@gmail.com}
}
\date{6 �������� 2013}

\begin{document}

\maketitle
\begin{abstract}
    ���������� ������������ ������������� ������������� ���������� �������������� ��� ����� ������� ��������� ����������. �� ������ ��� ���� ������� ����� � ���� ����� ������� � �������� ��������� �� ������������ ������� �� ������������ ������ �� �������������, ������������ �� �������� ������� � ������������ � ���. ��������� ������� ��������������� ������ �� ����������� � ��������� ����� ��� ������ �������� ��������� ��������� ������� ����� � ��������� ������������ �� �������������.
\end{abstract}
% Consider a five-point discretization of a two-dimensional finite-gap for a fixed energy Schr\"{o}dinger operator. We construct the Green's function of the operator. In appears as the explicit formula in terms of the integral by the specific contour on the spectral curve of the differential which is constructed by the wave function and its double. The formula is parametrized by the point on the spectral curve and for almost every parameter value it gives the Green's function with known growth at infinity.

\section{��������}
    � ��������� ����� ����� �� ������� ����������� ����� �������������� ������ �������� ���������� ������������� ���������� �������� ����������� ������������� ������. ������� ������ � �������� ��������� ��� ������ 1960-� ����� � ����������� ������ ���������.

    � ����������� ������ �������� �� ��������� ������� �.\,�.\,�������� � �.\,�.\,���������, �.\,�.\,���������, �.\,�.\,��������. ������� � ����� ������~\cite{LABmethod} �������, ��� ��� ��������� ������ ���������� ���������� ���� ����� �������� $L, A, B$-������. ��������, �������� � �������~\cite{periodicShredinger} �������� ��������������� ���������� ������������� �������������� ��������� ��������� ��� ������������� ������� ��������� ������������� ������. ��������� ������ ��� ��� ���������� � ������� �.\,�.\,�������� � �.\,�.\,��������~\cite{finitShredinger}, � ������� ������ ����� ������� �� ������������� ������������ ������, ��������������� �������� ���������� ����. �� ���������� � ������� ��������� ����� ��������� �������� ��������-��������, ����������� ����������� ������� ��������� ��� ������ ���������.

    � ���������� ������ ��������� ������� (�� ������ ����� �������������) �������� ������ ��������� ��� ���������� ��������� ��������� ��� ����� �������. ������������� (��������� �������� ������������ �������������� � ������������� ������) ��������������� ������������� ���� ������� �.\,�.\,����������~\cite{giperbolDiscr}. �����, � ������ �.\,������, �.\,���������, �.\,���������� � �.\,�������~\cite{4authors} ���� �������� ������������� ������������� �� ����������� �������� ��������������� �������������. ��� �������� � �������� ������������ ������ ��������� ����� ������ �� �������� � ������� �������� � ��������~\cite{finitShredinger}. � ���������, �� ������������ ������ ��������� ������� ����������� ��������� � ����� ������������ �������.

    ������ ���� � ���� ����������� ����� � ����������� ��������� �� ��������� ����������� �������� �������� �����������, �������� �.\,���~\cite{Fay}. ��� �������� �������� � ����������~\cite{KG}, ������������� �������, ����������� �~\cite{4authors}, �������� ��������� ������������ ����. ������� ������ ��������� �������� ������������ ������, � ������� ��������� �� ����� ����������� �����. �� ����� ��~\cite{4authors} �� ����� ������������� ��������� ������ c ����� ������������ �������.

    �������� ����� ���������� �������� ��������� �����������, �� ������� ����������� ��������� � ������ ������ ���������� �����. ������ �������� ��������� ������, ����� ��� ����� ����� ���������, ���, ��� ������������, ������� ����� 4 ������ �����. �� ����������� �� ���.

    �������� �������� �� ������~\cite{4authors}, ����������� ��� ���������� ������������� �������������� ��������� � ��� �������� �������. ��� ���� �� ����� ����� ������������� ������ ������ 4 ������ �����. ������� ���� ������ ������ --- ����� ������� ��� ������� ����� ����� ���������.

    ����� �������, ��� � ��� �������:
    \begin{enumerate}
        \item ����������, ���������� �������� ����������� ���� $g$.
        \item ������������� ����� $R_1$ �� $\Gamma$ --- ����� ���������� ��� �������� ������� $\Psi(\gamma, m, n)$.
        \item $g$ ����� $\gamma_1, \ldots, \gamma_g$ �� $\Gamma$ --- ������� ������� �������� �������.
        \item ������ ���������� ����� $P^+$, $P^-$, $Q^+$, $Q^-$.
    \end{enumerate}
    �� ������� ������-����, ��� ������ ������ ��������� � ��� ����� ����� $m$, $n$ ���������� ������������ ������� $\Psi(\gamma, m, n)$, $\gamma \in \Gamma$, �� ���������� ����������:
    \begin{enumerate}
    \item $\Psi(\gamma, m, n)$ �������� ����������� �������� �� $\gamma$ �� $\Gamma$.
    \item $\Psi$ ����� ������ �� ����� ������� ������� � ������ $\gamma_1, \ldots, \gamma_g$, ����� �� ����� $m$-�� ������� � ����� $P^+$, ����� �� ����� $n$-�� ������� � ����� $Q^+$ � �� ����� ������� ������ ������������.
    \item $\Psi$ ����� ���� �� ������� ���� $m$-�� ������� � ����� $P^-$ � ���� �� ������� ���� $n$-�� ������� � ����� $Q^-$.
    \item $\Psi(R_1, m, n) = 1$.
    \end{enumerate}
    �� ������� ������-���� ����� ������� �������������� ���������
    \begin{gather}\label{common4point}
        \Psi(\gamma, m + 1, n + 1) + \alpha_1(m, n)\Psi(\gamma, m + 1, n) + \alpha_2(m, n)\Psi(\gamma, m, n + 1) + \alpha_3\Psi(\gamma, m, n) = 0,
    \end{gather}
    ��� ������������ $\alpha_j(m, n)$ �������� ���������
    \begin{gather*}
        \alpha_1(m, n) = -\lim\limits_{\gamma \to P^+} \frac{\Psi(\gamma, m + 1, n + 1)}{\Psi(\gamma, m + 1, n)},\\
        \alpha_2(m, n) = -\lim\limits_{\gamma \to Q^+} \frac{\Psi(\gamma, m + 1, n + 1)}{\Psi(\gamma, m, n + 1)},\\
        \alpha_3(m, n) = -1 - \alpha_1(m, n) - \alpha_2(m, n).
    \end{gather*}

    ���������� ��������������� ���������� �������� ���������� ��� �������� ���������� �~\cite{giperbolDiscr}.

    ����� ������ �� $\Gamma$ ���������� ����������� ��������� $\sigma$ ����� � ����� ������������ ������� $R_+ = R_1$, $R_-$ �
    ���������� ����������:
    \begin{enumerate}
    \item �� $\Gamma$ ���������� ����������� ������������ $\Omega$ � ����� �������� ������� ������� � $R_+$, $R_-$ � $2g$ ������ �
        $\gamma_1, \ldots, \gamma_g, \sigma\gamma_1, \ldots, \sigma\gamma_g$.
    \item $\sigma P^+ = P^-$, $\sigma Q^+ = Q^-$.
    \end{enumerate}

    ����� 16~\cite{4authors} ������, ��� � ����� ������
    \begin{gather}\label{eq2}
        \Psi(R_-, m, n) = (-1)^{m + n}, \quad \alpha_1(m, n) + \alpha_2(m, n) = 0, \quad \alpha_3(m, n) = -1,
    \end{gather}
    � �������� ������� $\Psi$ ������������� 4-��������� ���������
    \begin{gather}
        \Psi(m + 1, n + 1) - \Psi(m, n) = if(m, n)\bigl(\Psi(m + 1, n) - \Psi(m, n + 1)\bigr),\label{4point}\\
        f(m, n) = i\alpha_1(m, n) = -i\alpha_2(m, n).\label{ef}
    \end{gather}

    �������������, ��� �� ������������� ����� ��������� � ������ ��������
    \begin{equation}
        \begin{split}\label{firstL}
                         &\tfrac{1}{f(m, n)}(\Psi(m + 1, n + 1) - \Psi(m, n)) +\\
                         &f(m, n - 1)(\Psi(m + 1, n - 1) - \Psi(m, n)) +\\
                         &f(m - 1, n)(\Psi(m - 1, n + 1) - \Psi(m, n)) +\\
                         &\tfrac{1}{f(m - 1, n - 1)}(\Psi(m - 1, n - 1) - \Psi(m, n)) = 0.
        \end{split}
    \end{equation}
    ��� ������� ��� �� ������� ������-����, ��� � �������� �� ����������� 2~\cite{4authors}. ����� �������� �� ������ ����������
    \begin{gather*}
        m = \mu - \nu,\quad n = \mu + \nu, \quad \Psi_{\mu, \nu} = \Psi(m, n) = \Psi(\mu - \nu, \mu + \nu),\\
        a_{\mu, \nu} = \tfrac{1}{f(m, n)}, \quad a_{\mu - 1, \nu} = \tfrac{1}{f(m - 1, n - 1)},\\
        b_{\mu, \nu} = f(m - 1, n), \quad b_{\mu, \nu - 1} = f(m, n - 1),\\
        c_{\mu, \nu} = a_{\mu, \nu} + a_{\mu - 1, \nu} + b_{\mu, \nu} + b_{\mu, \nu - 1},
    \end{gather*}
    ������������ �������� ��������� � ��������� ����
    \begin{gather}\label{L}
    (L\Phi)_{\mu, \nu} = a_{\mu, \nu}\Phi_{\mu + 1, \nu} + a_{\mu - 1, \nu}\Phi_{\mu - 1, \nu} +
    b_{\mu, \nu}\Phi_{\mu, \nu + 1} + b_{\mu, \nu - 1}\Phi_{\mu, \nu - 1} - c_{\mu, \nu}\Phi_{\mu, \nu}
    \end{gather}

    ����� ������� ���������� $\Omega(\gamma)$ �����, ��� ��� ������ � ������ $R_+$, $R_-$ ����� �������������� $+\tfrac12$, $-\tfrac12$.

    ������������ �������� ������� ������������ ��� $\Psi^+(\gamma, m, n) = \Psi(\sigma\gamma, m, n)$. ��� �� ������� �������� ������������
    $$
        \tilde\Omega(\gamma, m, n, \tilde m, \tilde n) = \Psi(\gamma, m, n)\Psi^+(\gamma, \tilde m, \tilde n)\Omega.
    $$
    ����� ����������� ���������� ��~\cite{4authors} ������� $\mu \leftrightarrow \tmu$ � $\nu \leftrightarrow \tnu$, ��� ��������� �������� ��������� ������������� ������. ��� ������ $\tilde\Omega$ �� ����� ������� ������� ����� ��� ��������� $L$.

    �� ����� ��������� ������������� �� $\Gamma$ ��������������� ��������� $\tau$, ����� ���
    \begin{enumerate}
        \item $\tau$ � $\sigma$ �����������.
        \item $\tau R_+ = R_-$.
        \item ����� $P^+, P^-, Q^+, Q^-$ �������� ������������ ��� $\tau$.
        \item ������� $\gamma_1, \ldots, \gamma_g$ ����������� ������������ $\tau$.
    \end{enumerate}
    � ���� ������ �� ����� 17~\cite{4authors}
    \begin{gather}
        f(m, n) \in \mathbb{R}, \label{fIsReal} \\
        \Psi(\tau\gamma, m, n) = (-1)^{m + n}\overline{\Psi(\gamma, m, n)}. \label{psiTauR}
    \end{gather}

    \begin{Example}
        ���������� ������ ����� ������. ����� $P^\pm = \pm 1$, $Q^\pm = \pm i$, $R_+ = \infty$, $R_- = 0$. �������� ������� ��������� ���
        $$
            \Psi(z, m, n) = \left(\frac{z + 1}{z - 1}\right)^m \left(\frac{z + i}{z - i}\right)^n.
        $$
        ������ �����, ��� $f(m, n) \equiv 1$, �� ���� $\Psi$ ������������� ���������������� ���������
        $$
            \phi_{m + 1, n + 1} - \phi_{mn} = i(\phi_{m + 1, n} - \phi_{m, n + 1}).
        $$
        ��������� ��������� � ������������ $\Omega$:
        $$
            \sigma z = -z, \quad \Omega = -\frac{dz}{2z}, \quad \tau z = \frac{1}{\overline{z}}.
        $$
        �� ������������� $\sigma$, $\Omega$ ���������� �������, ��� $\Psi$ �������� ����� �������� �������������� ���������
        $$
            \phi_{m + 1, n + 1} + \phi_{m + 1, n - 1} + \phi_{m - 1, n + 1} + \phi_{m - 1, n - 1} - 4\varphi_{mn} = 0.
        $$
        �������, ��� �� $\Gamma$ ���� ������ ���� ������������ ���� (��������� �����, ������������ ������������ $\tau$) $|z| = 1$, �� ��� ����� ��� ���� ���������� ����� $P^\pm$, $Q^\pm$.
    \end{Example}

\section{���� �������� �������}
    ������ � ���, ��� ����� ���� $\abs{\Psi(\gamma, m, n)}$ ��� ������������� $\gamma$, ����� ����� ��� ������ ����� ������� �����, ����������� � ������ ������. ��� ������������ � �������������� ������� ��� ����������� ��������� ������� ������ ��������� ������������.
    \def\K1{\sum\limits_{k=1}^{g}\Abel{\gamma_k} - \vec{K}}
    \newcommand\FTheta[3]{\theta\left(\Abel{#1} + #2\vec{\Delta}_P + #3\vec{\Delta}_Q - \K1\right)}
    \newcommand\Expint[1]{\int\limits_{R_+}^{\gamma}\Omega(#1^+, #1^-)}
    \newcommand\ScalarP[2]{\langle #1, #2 \rangle}
    \newcommand\ExpintMN{\exp\left( m\Expint{P} + n\Expint{Q} \right)}

    ������� �� $\Gamma$ ������������ ����� ������ $a_1, \dots, a_g, b_1, \dots, b_g$ � ����� ����������� �������������� $\omega_1, \dots, \omega_g$, ������������� ��������� �������:
    $$
        \oint\limits_{a_k} \omega_j = \delta_{jk}.
    $$
    ��� ����������� ����-������� ������ ����������� $\Gamma$, ������� ������������ �����
    $$
        \theta(z|B) = \sum\limits_{N \in \mathbb{Z}^g} \exp\left( \pi i \ScalarP{BN}{N} + 2\pi i \ScalarP{N}{z} \right),
    $$
    ��� $\ScalarP{\cdot}{\cdot}$ --- ��������� ��������� ������������, � $B$ --- ������� $b$-�������� ����������� ��������������
    $$
        \oint\limits_{b_k} \omega_j = B_{jk}.
    $$
    ������� ����������� ����� ���
    \begin{gather}\label{defAbel}
        \Abel{\gamma} = \left( \int\limits_{R_+}^\gamma \omega_1, \dots, \int\limits_{R_+}^\gamma \omega_g \right).
    \end{gather}
    ��������, ��� ��� ��������� ������������ ����������� $\Gamma \xrightarrow{A} J(\Gamma)$, ��� $J(\Gamma)$ --- ������������ �����, ${J(\Gamma) = \mathbb{C}^g / \{M + BN\}}$ ��� $M, N \in \mathbb{Z}^g$.

    ��� ���� ��������� ����� $P$, $Q$ ��������� ����������� ���������� ����������� ������������ $\Omega(P, Q)$ � �������� ������� ������� � $P$, $Q$ � �������� $-1$ � $1$ ��������������, �� ������� ������ ������������. �� ������� ������� ��������� ���� �� ���� $a$-������, ��������� �������� $\Omega(P, Q)$ ������������ ����������. �� �������������� ���������������� �������������� ������� ������������� �������� ����.

    ��� �������� ������� $\Psi$ ���� ������� � ����� ���� (5.2~\cite{4authors}), ������ ��� ����� ����� $m$, $n$:
    \begin{gather}\label{psiExplicitFormula}
        \Psi(\gamma, m, n) = \ExpintMN \times\\
        \times \frac{\FTheta{\gamma}{m}{n}}{\theta\left( \Abel{\gamma} - \K1 \right)} \times \frac{\theta\left( \Abel{R_+} - \K1 \right)}{\FTheta{R_+}{m}{n}},\notag
    \end{gather}
    ��� $\vec{\Delta}_P = \Abel{P^-} - \Abel{P^+}$, $\vec{\Delta}_Q = \Abel{Q^-} - \Abel{Q^+}$. ���� �� ���� ���������� ������� �����������. ��������, ���~\eqref{psiExplicitFormula} ����� ����������� �� $\Gamma$ �������. ���� ���� �� �������������� $\gamma$ ���������� �� ��������� ����, ������������ $\sum_{j = 1}^{g} (N_j a_j + M_j b_j)$, $\vec{N}, \vec{M} \in \mathbb{Z}^g$, �� ��������� $\theta$-������� ��������� �� $t = \exp(-2\pi i \ScalarP{\vec{M}}{m\vec{\Delta}_P + n\vec{\Delta}_Q})$. �� ������ ��������� ������������ ��� ��������, ���
    \begin{gather}\label{omegaRelation}
        \oint\limits_{b_k} \Omega(P^+, P^-) = 2\pi i \int\limits_{P^+}^{P^-} \omega_k, \quad \oint\limits_{b_k} \Omega(Q^+, Q^-) = 2\pi i \int\limits_{Q^+}^{Q^-} \omega_k,
    \end{gather}
    � �������������, ���������� ��������� �� $t^{-1}$.

    ����� $\Gamma$ �������� �-������, �� ���� ��������� $\tau$ ����� $g + 1$ ����������� ���� $a_1, a_2, \dots, a_g, c$.
    \begin{Theorem}\label{thPsiGrowth}
        ����� $\Gamma$ �������� �-������, ���������� ����� $P^\pm$, $Q^\pm$ �������� �� ���� $c$, �� ��������� ����� �������� �� ����� ����� $\gamma$-��������: $\gamma_j \in a_j$, $j = 1, \dots, g$. ����� ������������ ����� ������ � ���� �������������� �� $\Gamma$ ����� ������� ����� �������, ��� ��� ������ �������������� $\gamma \in \Gamma \setminus (a_1 \cup \dots \cup a_g \cup c)$ ����������� ����������� ��� ���� ����� $m$, $n$:
        \begin{gather}
            \abs{\Psi(\gamma, m, n)} \le R(\gamma)\abs{\ExpintMN}, \label{growthRaw}
        \end{gather}
        ��� $R: \Gamma \to \mathbb{R}$ --- ������� �� $\Gamma \setminus (a_1 \cup \dots \cup a_g \cup c)$ �������.
    \end{Theorem}
    ������� �������, ����� ���� $\gamma \in \Gamma$ ���� ���������� �������� $\Psi(m, n)$ ������� ������ �� $\Omega(P^+, P^-)$, $\Omega(Q^+, Q^-)$.
    \begin{Proof}
        \newcommand\vdelta{\vec{\Delta}}
        ��������� ������������ $\gamma_j$ ��� ���� $\Psi(\gamma, m, n)$ ��� ����� $m$, $n$ ������������� ������ �� ����������� ������ $a_1, \dots, a_g, c$. �������������, �� ������ �� $a_j$ ($j = 1, \dots, g$), ������� $\Psi(\gamma, m, n)$ ������������ ��� ����� ������~\eqref{psiTauR} � ����� ����� ������� �������. ����� �� $a_j$ �������� � ���� �� ������� ���� ������� �������. ������� �������� $(mP^- - mP^+ + nQ^- - nQ^+ - \gamma_1 - \dots - \gamma_g)$ ����� $(-g)$ � �� ���������� � $\Psi(\gamma, m, n)$ ��� ������� ��� ����� ����� ��������. �������������, ��� ���� �� $a_j$ ����� ������ ������� � ����� �� $\Gamma$ ����� � $\Psi(\gamma, m, n)$ ���.

        ���������� ����� �������~\eqref{psiExplicitFormula}. ����� $\gamma \in \Gamma \setminus (a_1 \cup \dots \cup a_g \cup c)$, ����� �� ���� �� $\theta$-������� �� ���������� � ����. �� ������� ������������� ������� $R_{min}(\gamma) > 0$ � $R_{max}(\gamma) > 0$, ����� ��� ��� ����� $m$, $n$ �����������
        $$
            R_{min}(\gamma) \le \abs{\FTheta{\gamma}{m}{n}} \le R_{max}(\gamma).
        $$
        ������� ������ ����� ����������� ���
        $$
            R(\gamma) = \frac{R_{max}(\gamma)}{R_{min}(R_+)} \frac{\abs{\theta\left(\Abel{R_+} - \K1\right)}}{\abs{\theta\left(\Abel{\gamma} - \K1\right)}}.
        $$

        ������� � �������� $a$-������ ������������� ������ ����������� ����� $\tau$ � ������� $\gamma$-�������� $a_1, \dots, a_g$. ��������� ������ ������ �� �������� ����� ��� �������.

        ��� ������� $j = 1, \dots, g$ ������������ $\overline{\tau \omega_j}$ �������� ����������� � ����� �� �� ����������, ��� � $\omega_j$. �������������, $\tau\omega_j = \overline{\omega}_j$ � $\omega_j$ ��������� ������������ �������� �� ����������� ������ $\tau$.

        ������������ ������ ������������ ����� $\Re J(\Gamma)$ ������� ������������ $J(\Gamma)$ ������� ��������������� � ������������� ��������������� $\vec{x} + B\vec{M}$, ��� $\vec{x} \in \mathbb{R}^g$, $\vec{M} \in \mathbb{Z}^g$.

        ��������, ��� ��� ��������� $m$, $n$ ��������� $\theta$-������� ���������� �� $\vdelta_P = \Abel{P^-} - \Abel{P^+}$, $\vdelta_Q = \Abel{Q^-} - \Abel{Q^+}$ ��������������. ����� �� �������������� $\omega_j$ �� ����������� ������ � �����������
        \begin{gather*}
            (\vdelta_P)_j = \int\limits_{P^+}^{P^-} \omega_j, \quad (\vdelta_Q)_j = \int\limits_{Q^+}^{Q^-} \omega_j
        \end{gather*}
        ������� $\vdelta_P \in \Re J(\Gamma)$, $\vdelta_Q \in \Re J(\Gamma)$, ��� ��� �� ������������� ������� ��� ����� ���������� ������ �� ������� ������������ �����.

        ��������� $\lambda \in \Gamma \setminus (a_1 \cup \dots \cup a_g \cup c)$ � ���������� ��������� ���� �������� ���������� ��������������� $\theta$-������� ��� ��������� $m$, $n$
        $$
            V(\lambda) = \left\{\left. \Abel{\lambda} + m\vec{\Delta}_P + n\vec{\Delta}_Q - \K1 \right| m, n \in \mathbb{Z} \right\}.
        $$
        �������, ��� ��������� $V(\lambda)$ � $J(\Gamma)$ �� �������� ����� $\theta$-�������. ����� ����� ���� $z \in J(\Gamma)$ ���-���� �������. ����� �������� $z - \left(\Abel{\lambda} - \K1\right)$ ����� ������ ������������ ������ $m\vdelta_P + n\vdelta_Q \in \Re J(\Gamma)$ � �� ����������� ���� ����������� $\Re J(\Gamma)$. �������������, �������� ����� $\lambda_0 \in \Gamma$, $\tau\lambda_0 = \lambda_0$, ��� �� $J(\Gamma)$ ����������� ��������� $z = \Abel{\lambda_0} - \K1$, ������ ������� $\Abel{\lambda_0} - \Abel{\lambda} \in \Re J(\Gamma)$.
        ������������� ������ ������������ ������� ���� �������������� � �������� �������������� ��������� ��������: $\Abel{\lambda_0} - \Abel{\lambda} \in \mathbb{R}^g$. �� $\tau\omega_j = \overline{\omega}_j$ ��������
        $$
            \Abel{\lambda_0} - \Abel{\tau\lambda} = \overline{\Abel{\lambda_0} - \Abel{\lambda}},
        $$
        � �� �������������� ������ ����� $\Abel{\lambda} = \Abel{\tau\lambda}$. ��������� $\tau\lambda \ne \lambda$, ����� ����� ���� ������ �� ����� $g = 0$, ��� ������������ ������ ����������.

        �� ���������� ����� � ��������� $V(\lambda) \subset J(\Gamma)$ � ������������ ���������� ������� ������������� ������� $R_{min}(\lambda)$, $R_{max}(\lambda)$ ��� ���� $\lambda \notin \left( a_1 \cup \dots \cup a_h \cup c \right)$, ���� � ����������� ��������������.
    \end{Proof}
    \begin{Remark}\label{remarkPsiGrowth}
        ����� ����� �������������� � �������� ������������� ������ ${\vec{\Delta}_P \in \mathbb{R}^g}$, ${\vec{\Delta}_Q \in \mathbb{R}^g}$, ������� ��~\eqref{omegaRelation} ��������� �� $\Omega(P^+, P^-)$, $\Omega(Q^+, Q^-)$ �� ������ ����� �������� �������������.
    \end{Remark}
    \begin{Remark}
        �� ���� ���������, ������~\eqref{growthRaw} ����������� ����� ����� � � ����� ����� ������, ����� $\Gamma$ �� �������� M-������. �� ������� �������������� ������� ����� ��������� �������. ��� ������ --- ���� ��� ���������� ������������.
    \end{Remark}

\section{�������������}
    ������������� �������������� $dp_m$, $dp_n$ ������������ �� �������� �~\cite{KdVandFiniteZone}. � ������, ��� ����������� ������������� �������� ����; $dp_m$ ����� ������ $i$, $-i$ � ������ $P^+$, $P^-$ ��������������, $dp_n$~--- ����� �� ������ � ������ $Q^+$, $Q^-$ ��������������. ������������� �������������� ���������� ������������ �������� �������������� ���������� �� ���� ��������. ���� ������������� ������������ ���
    \begin{gather}
        p_m(\gamma) = \int\limits_{R_+}^{\gamma} dp_m, \quad p_n(\gamma) = \int\limits_{R_+}^{\gamma} dp_n
    \end{gather}
    � �������� ������������� �� $\Gamma$, ������ �� ������ ����� $\Im p_m(\gamma)$, $\Im p_n(\gamma)$ ��� �������� ������������ �� $\Gamma$.

    �� ���������~\ref{remarkPsiGrowth} � �������������� �������������� �������������� �������, ��� ��� ������ ������������� ������ ������ � ����� �������������� ��� � �������~\ref{thPsiGrowth} ����������� $\Omega(P^+, P^-) = -idp_m$, $\Omega(Q^+, Q^-) = -idp_n$. ������� ������~\eqref{growthRaw} ����� ���� ���������� � �������� ��������������:
    \begin{gather}\label{growth}
        \abs{\Psi(\gamma, m, n)} \le R(\gamma) e^{m \Im p_m(\gamma)} e^{n \Im p_n(\gamma)}.
    \end{gather}
    �������, ��� ��������� � ����� �����, � ������������� ��� �� ������� �� ������ ������ ��� ����� ����������, �� ������� $R(\gamma)$ ����� �� ������� �� ���.

    ������ ���������� �������� ������������ �������� ������� ���������� ������� $\gamma$ �� $\sigma\gamma$
    $$
        \abs{\Psi^+(\gamma, m, n)} \le R(\sigma\gamma) e^{m \Im p_m(\sigma\gamma)} e^{n \Im p_n(\sigma\gamma)}.
    $$
    ������������ $-dp_m(\sigma\gamma)$ ����� ������ � $P^+$, $P^-$ � �������� �������������� $+i$, $-i$, � ����� �������� �� ���� �� ������ ������� �������� ������������. �������������, $dp_m(\sigma\gamma) = -dp_m$. ��������� ����������, ������� $dp_n(\sigma\gamma) = -dp_n$. ������� ��������� ����������� ����� ���������� � ����
    \begin{gather}\label{growthPlus}
        \abs{\Psi^+(\gamma, m, n)} \le R(\sigma\gamma) e^{-m \Im p_m(\gamma)} e^{-n \Im p_n(\gamma)}.
    \end{gather}

    ��� �������� ����� $\Psi$ �� ����� ������������� ��������� ����
    $$
        C_\lambda = \{\gamma: \Im p_n(\gamma) = \Im p_n(\lambda)\}, \quad \lambda \in \Gamma.
    $$
    ������ ���� ������� �������� ��� � ������ ��������� � ��������~\cite{KN}.

    \begin{Example} ��������� ������������ ������ $g = 0$. � �������� �������������� �������������� ��������
        $$
            dp_m = \frac{i dz}{z - 1} - \frac{i dz}{z + 1}, \quad dp_n = \frac{i dz}{z - i} - \frac{i dz}{z + i}.
        $$
        �������������, ������ ����� �������������� ���������� ������������:
        $$
            p_m = i\ln\left(\frac{z - 1}{z + 1}\right), \quad p_n = i\ln\left(\frac{z - i}{z + i}\right),
        $$
        $$
            \Im p_m = \ln\left|\frac{z - 1}{z + 1}\right|, \quad \Im p_n = \ln\left|\frac{z - i}{z + i}\right|.
        $$
        �� ����� ������ ������� $\Im p_m = \const$, $\Im p_n = \const$ ������������ ����� ���������� � �������� � $P^\pm$, $Q^\pm$ ��������������. �������, ��� ����� $P^\pm$, $R_\pm$ ����� �� ����� ������� $\Im p_n = 0$.

        ������~\eqref{growth} �~\eqref{growthPlus} � ������ ����� ���������� � ��������� ��� $R \equiv 1$.
    \end{Example}

    ���������� ������ ��� ��� � ������� �������� ������� $C_\lambda$. ��� ������ �������, ��� ��� $\lambda = Q^\pm$ �� ����������� � �����.
    \begin{Lemma}\label{mainCountourRegularity}
        ��� ���� $\lambda \in \Gamma \setminus \{ Q^+, Q^- \}$ ����� ��������� ��������.
        \begin{enumerate}
        \item[1)] $C_\lambda$ �������� ������������ ���������� ���������� �������-������� ��������� ������,
        \item[2)] $C_\lambda$ ����������� �����,
        \item[3)] ����� $R_+$, $R_-$ ����� �� ���� ������� ������������ $C_\lambda$, ����� $Q^+$, $Q^-$ --- �� ������.
        \end{enumerate}
    \end{Lemma}
    \begin{Proof}
        1) ������������ $dp_n$ ����� $2g$ ����� �� $\Gamma$ � ������ ����������. ���� $C_\lambda$ ����� ��� �� ��������, �� �� ������� � ������� ������� � ����������� ������ ����� ����� $C_\lambda$ ������������ ����� ������� �������� ������. ��� ����������� ����� ���� ������ ����� �������� ���������, �� ��� �������� �����������. �� ������������ $\Gamma$ ������� ����������� ������� ����.

        2) �������������� ����� $C_\lambda$ ������� �� ����, ��� �� �������� �������� ��������������� � ����� $\{\gamma: \Im p_n(\gamma) \le \Im p_n(\lambda)\}$, �������� ����� ��� ���� $\lambda$.

        3) ����������� � $Q^+$, $Q^-$ ������� �� $\Im p_n(Q^+) = -\infty$, $\Im p_n(Q^-) = +\infty$. � ���� ���������� ������� ���������� ��������, ��� $\Im p_n(R_-) = \Im p_n(R_+) = 0$.

        ��� ������ �������, ��� ������������ $-\overline{\tau(dp_n)}$ �������� �����������, ����� ������� ������ � $Q^+$, $Q^-$ � �������� $i$ � $-i$ ��������������, � ����� �������� �� ���� �� ������ ������� �������� ������������. ����� �� �������������� $\tau(dp_n) = -\overline{dp_n}$. ��������� $\tau R_+ = R_-$ � �������������� ���������� �� ��������, ��������
        $$
            \Im\int\limits_{R_+}^{R_-} dp_n = -\Im\int\limits_{R_+}^{R_-} \overline{\tau(dp_n)} = -\Im\int\limits_{R_-}^{R_+} \overline{dp_n} = \Im\int\limits_{R_+}^{R_-} \overline{dp_n} \quad\Rightarrow\quad \Im\int\limits_{R_+}^{R_-} dp_n = 0,
        $$
        ��� � �����������.
    \end{Proof}

\section{������� ����� ��������� $L$}
    ��� ���������� ����� ������� $G(\lambda, \mu, \nu, \tilde\mu, \tilde\nu)$, ��� ��� ������ �������������� $\lambda \in \Gamma$
    \begin{gather}\label{eq1}
        LG =
        \begin{cases}
            1, & \text{���� $\mu = \tilde\mu$ � $\nu = \tilde\nu$,}\\
            0 & \text{�����},
        \end{cases}
    \end{gather}
    ���
    \begin{gather}
        LG = a_{\mu, \nu}G(\lambda, \mu + 1, \nu, \tmu, \tnu) + a_{\mu - 1, \nu}G(\lambda, \mu - 1, \nu, \tmu, \tnu) + \notag\\
        b_{\mu, \nu}G(\lambda, \mu, \nu + 1, \tmu, \tnu) + b_{\mu, \nu - 1}G(\lambda, \mu, \nu - 1, \tmu, \tnu) - c_{\mu, \nu}G(\lambda, \mu, \nu, \tmu, \tnu).
    \end{gather}
    ������� ������, ������, ��� ����� ��� ���� $\lambda$ ��� ��������� ������� ���������
    \begin{gather}\label{greenAsympt}
        \abs{G(\lambda, \mu, \nu, \tmu, \tnu)} \le R_1(\lambda) e^{(\mu - \tmu)\Im p_\mu(\lambda)} e^{(\nu - \tnu)\Im p_\nu(\lambda)},
    \end{gather}
    ���
    \begin{gather}\label{defQuasiMuNu}
        p_\mu = p_n + p_m, \quad p_\nu = p_n - p_m
    \end{gather}
    � $R_1: \Gamma \to \mathbb{R}$ --- ������� � ������ ���������� �����������. ������� �������, ����� ����� ���� ���������� �������� $G$ ����� ��, ��� � $\Psi$.

    ������������� �.\,�.\,��������� ����������� � ���, ��� ������� ����� ����� ����� �������� � ����� �� ����, ��� � � ����������� ������ (��.~\cite{decrPlusFinite}). ����� �� ������� �������������� �������������. ������� $G$ ����� ������� � ��� ����: ������� �������� ����������������� ������� $G_0$, ���������������~\eqref{eq1}, � ����� ��������� �, ����� ���������� ������ ����~\eqref{greenAsympt}.

\subsection{����������������� ������� ����� �� �-�������}
    ������ ��� ������������� �������� ������� �������, ������� ��������� ����.
    \begin{Lemma}\label{lemmaTechRes}
        ��� $\mu - \nu = \tmu - \tnu$ �����������
        \begin{gather}\label{lemmaTechResEquality}
            \res{P^+} a_{\mu, \nu}\Psi_{\mu + 1, \nu}(\gamma)\tPs\Og = -\res{P^+}b_{\mu, \nu - 1}\Psi_{\mu, \nu - 1}\tPs\Og.
        \end{gather}
    \end{Lemma}
    \begin{Proof}
        ��������� ������� ������ � $P^+$ � ������ �������������. ������� $\Psi_{\mu + 1, \nu}(\gamma)$ ����� � $P^+$ ����� �� ����� ��� $\mu - \nu + 1$ �������, $\tPs$ ����� � $P^+$ ���� �� ����� ��� $\tmu - \tnu$ �������; � ��������� � �������� ����� ��� ��������, ��� ����� ������������ ����� � $P^+$ ����� �� ����� ��� 1 �������. ���������� ��������, ��� � � ������� ������������� � $P^+$ ����� �� ����� ��� 1 �������. �������������, ��� ���������� ������� �� ����� ������������ $\res{\gamma_0}\omega(\gamma) = \lim\limits_{\gamma \to \gamma_0} (\gamma - \gamma_0)\omega(\gamma)$.
        ������� � ������������ $m = \mu - \nu$, $n = \mu + \nu$
        $$
            a_{\mu, \nu} = \frac{1}{f(m, n)} = i\lim\limits_{\gamma \to P^+}\frac{\Psi(\gamma, m + 1, n)}{\Psi(\gamma, m + 1, n + 1)},
        $$
        $$
            b_{\mu, \nu - 1} = f(m, n - 1) = -i\lim\limits_{\gamma \to P^+}\frac{\Psi(\gamma, m + 1, n)}{\Psi(\gamma, m + 1, n - 1)}.
        $$
        �� ������� $\tilde m = m$, ����� ����� �����~\eqref{lemmaTechResEquality} �����
        $$
            \lim\limits_{\gamma \to P^+} (\gamma - P^+) i\frac{\Psi(\gamma, m + 1, n)}{\Psi(\gamma, m + 1, n + 1)} \Psi(\gamma, m + 1, n + 1)\Psi^+(\gamma, m, \tilde n)\Og.
        $$
        �������� ����� �� ������� ������ �����, ������� ����� ���������� ����������� �����.
    \end{Proof}

    ��������, ��� ����� $\tOg$ �� ���������� ������������ $\Ps\tPs\Og$.
    \begin{Lemma}\label{lemmaOmegaRes}
        ��� ����� $\mu$, $\nu$ �����������
        \begin{gather}
            \res{Q^+}a_{\mu, \nu}\tilde\Omega(\gamma, \mu + 1, \nu, \mu, \nu) = i
        \end{gather}
    \end{Lemma}
    \begin{Proof}
        ��� ����������� �������� ��� � 5.2~\cite{4authors}. ��������� $a_{\mu, \nu} = 1/f(m, n)$, �� � ������������ $m$, $n$ ��� �������� ���
        $$
            \res{Q^+}\Psi(m + 1, n + 1)\Psi^+(m, n)\Og = if(m, n).
        $$
        ��� �������������� ���������� 4-�������� ���������~\eqref{4point}, �������� ��� �� $\Psi^+(m, n)\Og$ � ������ ������ � ����� $Q^+$
        $$
            \res{Q^+}\left(\Psi(m + 1, n + 1) - \Psi(m, n)\right) \Psi^+(m, n)\Og = if(m, n)\res{Q^+}\bigl(\Psi(m + 1, n) - \Psi(m, n + 1)\bigr)\Psi^+(m, n)\Og,
        $$
        $$
            \res{Q^+}\Psi(m + 1, n + 1)\Psi^+(m, n)\Og = -if(m, n) \res{Q^+} \Psi(m, n + 1)\Psi^+(m, n)\Og.
        $$
        ������������ $\Psi(m, n + 1)\Psi^+(m, n)\Og$ ����� ������ � ������ $R_+$, $R_-$, $Q^+$. ��~\eqref{eq2}, ��� ������ � $R_+$, $R_-$ ����� $\tfrac12$, ������� $\res{Q^+} \Psi(m, n + 1)\Psi^+(m, n)\Og = -1$. ��������� ���� ��������� � ������� ����, ������� ����������� �����.
    \end{Proof}

    \begin{Definition}
        ����������� $\alpha$ ���������� ���������� ��������� �������-������� ������ �� $\Gamma$ ����� ������� \textbf{�--��������}, ����
        \begin{itemize}
        \item $\alpha$ ����������� ������������ ����, �� ���� ��������� $\Gamma$ �� ��� ����� � �������� �� $\alpha$ ����� ����� �������;
        \item ����� $R_+$ � $R_-$ ����� �� ���� ������� ������������ ����, ����� $Q^+$ � $Q^-$ ����� �� ������ ������� ������������ ����, ����� $P^\pm$ �� ����� �� ���;
        \item ���������� ������ ����������� ��������� ��������:
            \begin{gather}\label{orientation}
                \oint\limits_\alpha dp_n = +2\pi.
            \end{gather}
        \end{itemize}
    \end{Definition}
    �� �����~\ref{mainCountourRegularity} ������ $C_\lambda$ � ��������� ��������� ����������� ����� ��� ���� $\lambda \in \Gamma$ �������� C--��������.

    \begin{Lemma}\label{lemmaKernel}
        ����� $\alpha$ �������� �--��������. ����� �������
        \begin{gather}
            K(\mu, \nu, \tmu, \tnu) = \oint\limits_\alpha \Ps \tPs \Og = \oint\limits_\alpha \tOg,
        \end{gather}
        ���������� ���������� $L$ �� ���������� $\mu$, $\nu$. ����� ����, $K(\mu, \nu, \tmu, \tnu) = 0$ ��� $\mu - \nu = \tmu - \tnu$.
    \end{Lemma}
    \begin{Proof}
        ������ ����������� ����� ������� �� $L\Ps \equiv 0$.

        � ���������������� ������������� $\tOg$ ��� $\mu - \nu = \tmu - \tnu$ ������� ������ ��� ������ --- $R_+$, $R_-$ � ���� $Q^+$, ���� $Q^-$ � ����������� �� ����� $\tmu + \tnu - \mu - \nu = \tilde n - n$. �� ����������� �~\eqref{eq2} �������, ��� ������ � $R_+$ � $R_-$ � $\tilde\Omega$ ����� �������������� $+\tfrac12$ � $-\tfrac12$, ��� � $\Omega$. ������� ����� � ������� ������ ����� ����. ��������� $R_+$ � $R_-$ ����� �� ���� ������� ������������ $\alpha$, � $\alpha$ ����������� �����, �� $\oint_\alpha \tOg = 0$, ��� � �����������.
    \end{Proof}

    \begin{Theorem}[����������������� ������� ����� �� C-�������]\label{thG0}
        �������
        \begin{gather}\label{G0}
            G_0(\mu, \nu, \tilde\mu, \tilde\nu) = \frac{1}{4\pi} \sgn(\mu - \nu + \tnu - \tmu) K(\mu, \nu, \tmu, \tnu)
        \end{gather}
        ������������� �������~\eqref{eq1}.
    \end{Theorem}
    \begin{Proof}
        ����� ������� $\mu - \nu \ne \tmu - \tnu$. ��������� $\delta_m = (\mu - \nu) - (\tmu - \tnu)$, $\delta_m \ne 0$, � $K(\mu, \nu) = K(\mu, \nu, \tmu, \tnu)$. �����
        \begin{gather*}
            4\pi (LG_0)_{\mu, \nu} = \sgn(\delta_m + 1)a_{\mu, \nu}K(\mu + 1, \nu) + \sgn(\delta_m - 1)b_{\mu, \nu - 1}K(\mu, \nu - 1) +\\
             + \sgn(\delta_m - 1)a_{\mu - 1, \nu}K(\mu - 1, \nu) + \sgn(\delta_m - 1)b_{\mu, \nu}K(\mu, \nu + 1) - \sgn(\delta_m)c_{\mu, \nu}K(\mu, \nu)
        \end{gather*}
        ��������� ���� ������ ����� ������� �� �����~\ref{lemmaKernel}. �������������, ���� $\sgn$ ��� �����-���� ��������� ���������� � ����, �� �� ����� � $K = 0$. ������� $\sgn$ ����� ������� �� �������� $L$, �� ���� $4\pi LG_0 = \sgn(\delta_m) (LK)_{\mu, \nu} \equiv 0$.

        ����� ������ $\mu - \nu = \tmu - \tnu$. �� �����~\ref{lemmaKernel} ������� $K(\mu, \nu, \tmu, \tnu) = 0$. �����
        \begin{gather}
            LG_0 = \frac{1}{4\pi}\left( a_{\mu, \nu}K(\mu + 1, \nu) + b_{\mu, \nu - 1}K(\mu, \nu - 1) - a_{\mu - 1, \nu}K(\mu - 1, \nu) - b_{\mu, \nu}K(\mu, \nu + 1) \right)
        \end{gather}
        �������� � ������ ����� $LK \equiv 0$, ��������� � �������� ����������, � � ������� --- ��������� �� 2
        \begin{gather}
            LG_0 = \frac{1}{2\pi}\oint\limits_\alpha a_{\mu, \nu}\tilde\Omega(\gamma, \mu + 1, \nu, \tmu, \tnu) + b_{\mu, \nu - 1}\tilde\Omega(\gamma, \mu, \nu - 1, \tmu, \tnu).
        \end{gather}
        ������ �������� ����� ����� ������� �� �������������� ���� C--������� $\alpha$. ������������� $\tilde\Omega(\gamma, \mu + 1, \nu, \tmu, \tnu)$, $\tilde\Omega(\gamma, \mu, \nu - 1, \tmu, \tnu)$ ����� ������ � ������ $R_+$, $R_-$, $P^+$, � ������ �� ��� ����� ����� ����� � $Q^+$ ��� $Q^-$ � ����������� �� $\mu + \mu - \tmu - \tnu = n - \tilde n$. � ������ $R_+$, $R_-$ ������ ����� $+\tfrac12$ � $-\tfrac12$. �������������, ����� ������� �� ���� ��������� ������� ����� 0.

        ��������� $R_\pm$ ����� �� ���� ������� ������������ $\alpha$, ������ ��� ���� ������� �����. �� �����~\ref{lemmaTechRes} ����� � ����� $P^+$ ����� $\omega = a_{\mu, \nu}\tilde\Omega(\gamma, \mu + 1, \nu, \tmu, \tnu) + b_{\mu, \nu - 1}\tilde\Omega(\gamma, \mu, \nu - 1, \tmu, \tnu)$ ����� ����, ������� $P^+$ ����� �� ������ �� �������� �����.

        ���� $\mu + \mu \ne \tmu + \tnu$, �� � $\omega$ ����� ������ ������. �������������, � � ��������� ������ � ���� ����� ����� ����� ����, ��� ���������� $LG_0 = 0$.

        ����, ������� ������, ����� $\mu = \tmu$, $\nu = \tnu$. ������� �� ���������� � �������. �� ���������� ����, ������ $R_\pm$, $P^+$ ���� ������� �����. � ������ $Q^+$, $Q^-$ � $\omega$ ������ ������� �������. ��������� ��� ����� �� ������ ������� ������������ $\alpha$, � ��������� ����� �������� ����� �� ���. �� ���������� �������~\eqref{orientation} ��������� ��� ������ � $Q^+$ ����� $-2\pi i$. ��������� �����~\ref{lemmaOmegaRes}, �������
        \begin{gather}
            LG_0 = -i\res{Q^+}\omega = -i\res{Q^+}a_{\mu, \nu}\tilde\Omega(\mu + 1, \nu, \mu, \nu) = -i^2 = 1.
        \end{gather}
        �� ��������, ��� $G_0$ �������������~\eqref{eq1}, ��� � �����������.
    \end{Proof}

    \begin{Example}
        \begin{figure}[h]
            \centering
            \begin{picture}(400,120)
              \put(0,22.5){\vector(1,0){400}}
              \put(400,25){$m$}
              \put(204,120){\vector(0,-1){120}}
              \put(207,0){$n$}

              \multiput(81,20)(80,0){4}{$\circ$}
              \multiput(41,60)(80,0){5}{$\circ$}
              \multiput(81,100)(80,0){4}{$\circ$}

              \multiput(40,20)(80,0){5}{$\times$}
              \multiput(80,60)(80,0){4}{$\times$}
              \multiput(40,100)(80,0){5}{$\times$}

              \multiput(46,26)(80,0){5}{$0$}
              \multiput(166,66)(80,0){2}{$\tfrac12$}
              \multiput(86,66)(240,0){2}{$-\tfrac12$}
              \multiput(46,106)(320,0){2}{$-4$}
              \multiput(126,106)(160,0){2}{$2$}
              \multiput(206,106)(0,0){1}{$0$}
            \end{picture}
            \caption{�������� $G_0(m, n, 0, 0)$ � ������ �����.}
        \end{figure}
        � ������ ����� �� ���������� �������� � �������� C-������� ����� ����� ����� ���������� $O_\eps$ ������� � $Q^+ = i$ � ����������� �� ������� �������. ��� ��������� ����� ������������ ����������� $m = \mu - \nu$, $\nu = \mu + \nu$, $(m + n)$ ������. ������� $G_0$ ����� ���
        $$
            G_0(m, n, \tilde m, \tilde n) = \frac{1}{4\pi}\int\limits_{O_\eps} \sgn(m - \tilde m) \left(\frac{z + 1}{z - 1}\right)^{m - \tilde m} \left(\frac{z + i}{z - i}\right)^{n - \tilde n} \left(-\frac{dz}{2z}\right).
        $$
        �����������, ��� $\tilde m = \tilde n = 0$. �� ���������� $O_\eps$ ����� � ����� $i$ ������ � ������ ����� �� ������ �����:
        $$
            G_0(m, n, 0, 0) = \frac{i}{2}\sgn(m) \res{z = i} \left[ \left(\frac{z + 1}{z - 1}\right)^m \left(\frac{z + i}{z - i}\right)^n \frac{dz}{2z} \right].
        $$
        ��������, ��� $G_0(m, n, 0, 0) = 0$ ��� $n \ge 0$. ������ ����������� ����������
        $$
            G_0(m, -1, 0, 0) = -\tfrac12\sgn(m) (-i)^{m + 1}, \quad G_0(m, -2, 0, 0) = -\sgn(m)m(-i)^m.
        $$

        �� ������� ��� $G_0(m, n, 0, 0)$ �����, ��� ���� $G_0$ �� ��������� ����������� � �������~\eqref{greenAsympt} �� �����������.
    \end{Example}

\subsection{��������������� ������� �����}
    ���������� ��� ������������� ��������� $C_\lambda = \{\gamma: \Im p_n(\gamma) = \Im p_n(\lambda)\}$. ��� ��� �����������, $C_\lambda$ �������� ���������� ����� ��� ���� $\lambda \in \Gamma$. �������������, ��� $\alpha = C_\lambda$ ������� $G_0$ �� �������~\ref{thG0} �������������~\eqref{eq1}.

    ���������� �������
    $$
        Z(\lambda, \mu, \nu, \tmu, \tnu) = \frac{1}{4\pi}\oint\limits_{C_\lambda} \sgn(\Im p_m(\lambda) - \Im p_m(\gamma))
        \Ps \tPs \Og
    $$
    ��������� ���� �������������� �� ������� �� ���������� ����������, $LZ = 0$. �������� $Z$ � ����������� $G_0$. ��������� ������� ����������, ��� ���������� ������� �������� �������. ����� �� ������������ ��������, �� ����������� �� � �������������� ����� ������������ ������ $\mu$, $\nu$ � $m = \mu - \nu$, $n = \mu + \nu$.
    \newcommand\SpecSgnSum{\biggl( \sgn(m - \tilde m) + \sgn(\Im p_m(\lambda) - \Im p_m(\gamma)) \biggr)}
    \begin{Theorem}
        ����� ��������� ������� �������~\ref{thPsiGrowth}. ����� �������
        \begin{gather}\label{G}
            G(\lambda, \mu, \nu, \tmu, \tnu) = \frac{1}{4\pi}\oint\limits_{C_\lambda}
                \SpecSgnSum \Ps \tPs \Og
        \end{gather}
        �������� �������� ����� ��������� $L$ � ����� ��� ���� $\lambda \in \Gamma$ ��� ��� ����������� ������� �� ����~\eqref{greenAsympt}.
    \end{Theorem}
    \begin{Proof}
        ��������� $\lambda$. ��� ���� ������� ����, $G = G_0 + Z$, ��� � �������� $\alpha$ ���� ������ $C_\lambda$. ������� $G$ ��������� ������� ������������� �������~\eqref{eq1}.

        ��������� ����� $C'_\lambda$ ��������� $C_\lambda$ ��� ����������� ����� ��������� $\tau$. ��������� ��������� ����� � $C_\lambda$ ���� ����, �� �� ������ $C_\lambda$ �� $C'_\lambda$ ��������~\eqref{G} �� ���������. ��� ����� $C'_\lambda$ ��� ����������� �������~\ref{thPsiGrowth}. ������ ��������~\eqref{G} ����������� ��������
        \begin{gather*}
            \abs{G(\lambda, \mu, \nu, \tmu, \tnu)} \le \frac{1}{4\pi} \oint\limits_{C_\lambda} \abs{\Omega(\gamma)} \times \\
            \times \sup\limits_{\gamma \in C'_\lambda} \abs{\SpecSgnSum \Ps \tPs \Og}.
        \end{gather*}
        �������� ������� �� ���� �������� �������~\eqref{growth} � ������������ � ���~\eqref{growthPlus}:
        $$
            \abs{\Psi_{\mu,\nu}(\gamma)} \le R(\gamma) e^{m\Im p_n(\gamma) + n\Im p_n(\gamma)},
        $$
        $$
            \abs{\Psi^+_{\tmu,\tnu}(\gamma)} \le R(\sigma\gamma) e^{-\tilde m \Im p_m(\gamma) - \tilde n \Im p_n(\gamma)}.
        $$
        �� $\gamma \in C_\lambda$ ����� $\Im p_n(\gamma) = \Im p_n(\lambda)$. ����� $m > \tilde m$, ����� ����������� ������ $\Im p_m(\gamma) \le \Im p_m(\lambda)$, � ������� $\exp((m - \tilde m)\Im p_m(\gamma)) \le \exp((m - \tilde m)\Im p_m(\lambda))$. ����� ������ $m < \tilde m$, ����� $\Im p_m(\gamma) \ge \Im p_n(\lambda)$ � ��� �� ����������� ����� ���������.

        �� ����������� ����������� ��������, ��� ������� �����������~\eqref{greenAsympt} ����������� ���
        \begin{gather}\label{greensR1}
            R_1(\lambda) = \frac{1}{4\pi} \oint\limits_{C_\lambda} \abs{\Omega(\gamma)}
            \sup\limits_{\gamma \in C'_\lambda} \left( 2R(\gamma)R(\sigma\gamma) \right).
        \end{gather}
    \end{Proof}
    % TODO?: ������ � ������ �����, ������������ ����������� �����, �������� �������

\newpage
    ������� ������� ������������� ������ �������� ������������ �.\,�.\,��������� �� ���������� ������ � �� ������ ������ �� ������ �� �������.

\begin{thebibliography}{0}
    \bibitem{LABmethod} �.\,�.\,�������,
        \textit{����� �������� ������ ��������� � ��������� ������������ ���������},
        --- ���, 31 ���.5 (1976), 245-246.
    \bibitem{periodicShredinger} �.\,�.\,��������, �.\,�.\,��������, �.\,�.\,�������
        \textit{��������� ���������� � ������������� ���� � �������� �����������}
        --- ������ �� ����, 229(1976), 15-18.
    \bibitem{finitShredinger} �.\,�.\,�������, �.\,�.\,�������
        \textit{������������� ��������� ��������� ����������. ����� ������� � ������������ ���������} --- ������ �� ����, 279:1(1984), 20-24. \textit{������������� ��������� ��������� ����������. ������������� ���������} --- ������ �� ����, 279:4(1984), 784-788.
    \bibitem{giperbolDiscr} �.\,�.\,��������
        \textit{��������� ������������� ���������� ��������� � �������������� ���������} --- ��� ����, 285:1 (1985), 31-36.
    \bibitem{4authors} A.\,Doliwa, P.\,Grinevich, M.\,Nieszporski, P.\,M.\,Santini \textit{Integrable lattices and their sub-lattices: from the discrete Moutard (discrete Cauchy-Riemann) 4-point equation to the self-adjoint 5-point scheme} --- Journal of Mathematical Physics, 48:1 (2007), 013513
    \bibitem{KG} S.\,Grushevsky, I.\,Krichever
        \textit{Integrable discrete Schr\"{o}dinger equations and a characterization of Prym varieties by a pair of quadrisecants} --- Duke Math. J. Volume 152, Number 2, 317-371 (2010).
    \bibitem{Fay} J.\,Fay
        \textit{Theta Functions on Riemann Surfaces} --- Lecture Notes in Mathematics, V. 352, Springer�Verlag (1973).
    \bibitem{KN} �.\,�.\,��������, �.\,�.\,�������
        \textit{������� ���� ��������, �������� ����������� � ��������� ������ ���������} --- �������������� ������ � ��� ����������, 21:2 (1987), 46--63.
    \bibitem{KdVandFiniteZone} �. �. ��������, �. �. �������, �. �. �������
        \textit{���������� ��������� ���� ������������ �����, ������������� �������� ��������� � ������� ������������} --- �., ������ �������������� ����, 31:1(187) (1976),  55�136.
    \bibitem{decrPlusFinite} �.\,�.\,��������
        \textit{��������������� ���������� �� ���� ������������� � -�������� �� ��������� ������������} --- �����. ������ � ��� ����., 23:4 (1989), 79�80.
\end{thebibliography}

\end{document}

1402.2732.extracted_bib
{LABmethod �.\,�.\,�������, ����� �������� ������ ��������� � ��������� ������������ ���������, --- ���, 31 ���.5 (1976), 245-246.
1402.2732.extracted_bib
{periodicShredinger �.\,�.\,��������, �.\,�.\,��������, �.\,�.\,������� ��������� ���������� � ������������� ���� � �������� ����������� --- ������ �� ����, 229(1976), 15-18.
1402.2732.extracted_bib
{finitShredinger �.\,�.\,�������, �.\,�.\,������� ������������� ��������� ��������� ����������. ����� ������� � ������������ ��������� --- ������ �� ����, 279:1(1984), 20-24. ������������� ��������� ��������� ����������. ������������� ��������� --- ������ �� ����, 279:4(1984), 784-788.
1402.2732.extracted_bib
{giperbolDiscr �.\,�.\,�������� ��������� ������������� ���������� ��������� � �������������� ��������� --- ��� ����, 285:1 (1985), 31-36.
1402.2732.extracted_bib
{4authors A.\,Doliwa, P.\,Grinevich, M.\,Nieszporski, P.\,M.\,Santini Integrable lattices and their sub-lattices: from the discrete Moutard (discrete Cauchy-Riemann) 4-point equation to the self-adjoint 5-point scheme --- Journal of Mathematical Physics, 48:1 (2007), 013513
1402.2732.extracted_bib
{KG S.\,Grushevsky, I.\,Krichever Integrable discrete Schr\"{odinger equations and a characterization of Prym varieties by a pair of quadrisecants --- Duke Math. J. Volume 152, Number 2, 317-371 (2010).
1402.2732.extracted_bib
{Fay J.\,Fay Theta Functions on Riemann Surfaces --- Lecture Notes in Mathematics, V. 352, Springer�Verlag (1973).
1402.2732.extracted_bib
{KN �.\,�.\,��������, �.\,�.\,������� ������� ���� ��������, �������� ����������� � ��������� ������ ��������� --- �������������� ������ � ��� ����������, 21:2 (1987), 46--63.
1402.2732.extracted_bib
{KdVandFiniteZone �. �. ��������, �. �. �������, �. �. ������� ���������� ��������� ���� ������������ �����, ������������� �������� ��������� � ������� ������������ --- �., ������ �������������� ����, 31:1(187) (1976), 55�136.
1402.2732.extracted_bib
{decrPlusFinite �.\,�.\,�������� ��������������� ���������� �� ���� ������������� � -�������� �� ��������� ������������ --- �����. ������ � ��� ����., 23:4 (1989), 79�80.