Introduction � l'�quation de Burgers stochastique \\ et � la Burgulence
Takfarinas Kela� \& Sergei Kuksin
Cet article propose une introduction � l'�quation de Burgers visqueuse stochastique unidimensionnelle p�riodique, perturb�e par une force al�atoire de type bruit blanc en temps, et suffisamment r�guli�re en espace. Nous prouvons des r�sultats classiques sur l'existence et l'unicit� des solutions, nous �tudions leur r�gularit� et nous discutons leurs propri�t�s quand le temps tend vers l'infini ou quand la viscosit� $\nu$ tend vers z�ro. La derni�re limite d�crit la turbulence dans l'�quation de Burgers, nomm�e burgulence par U. Frisch. Notre article sert d'introduction �l�mentaire aux m�thodes modernes de l'analyse des �quations aux d�riv�es partielles stochastiques.
1504.00395.tex
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\newtheorem{theorem}{Th�or�me}[section]
\newtheorem{acknowledgement}{Acknowledgement}[section]
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\newtheorem{case}{Case}[section]
\newtheorem{claim}{Affirmation}[section]
\newtheorem{conclusion}{Conclusion}[section]
\newtheorem{condition}{Condition}[section]
\newtheorem{conjecture}{Conjecture}[section]
\newtheorem{corollary}{Corollaire}[section]
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\newtheorem{definition}{D�finition}[section]
\newtheorem{example}{Example}[section]
\newtheorem{exercise}{Exercice}[section]
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\newtheorem{notation}{Notation}[section]
\newtheorem{problem}{Probl�me}[section]
\newtheorem{proposition}{Proposition}[section]
\newtheorem{remark}{Remarque}
\newtheorem{solution}{Solution}[section]
\newtheorem{summary}{Sommaire}[section]
\numberwithin{equation}{section}
\renewcommand{\proofname}{{D\'emonstration}}
\def\abstractname{R\'esum\'e}
\setcounter{tocdepth}{1}
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\def\listtablename{Liste des Tables}
\def\contentsname {Table des mati\`eres}


\begin{document}
\title[Introduction � l'�quation de Burgers stochastique et � la Burgulence]
{Introduction � l'�quation de Burgers stochastique \\ et � la Burgulence}
\author{Takfarinas Kela� \& Sergei Kuksin}
\address{Institut de Math�matiques de Jussieu-Paris Rive Gauche, UMR 7586, Univ. Paris
Diderot, Sorbonne Paris Cit�, Sorbonne Universit�s, UPMC Univ. Paris 06,
F-75013, Paris, France}
\email{takfarinas.kelai@imj-prg.fr}
\address{CNRS, Institut de Math�matiques de Jussieu-Paris Rive Gauche, UMR 7586, Univ.
Paris Diderot, Sorbonne Paris Cit�, Sorbonne Universit�s, UPMC Univ. Paris 06,
F-75013, Paris, France}
\email{sergei.kuksin@imj-prg.fr}
\date{\today}
\maketitle

\begin{abstract}
Cet article propose une introduction � l'�quation de Burgers visqueuse
stochastique unidimensionnelle p�riodique, perturb�e par une force al�atoire
de type bruit blanc en temps, et suffisamment r�guli�re en espace. Nous
prouvons des r�sultats classiques sur l'existence et l'unicit� des solutions,
nous �tudions leur r�gularit� et nous discutons leurs propri�t�s quand le temps tend
vers l'infini ou quand la viscosit� $\nu$ tend vers z�ro. La derni�re limite
d�crit la turbulence dans l'�quation de Burgers, nomm�e burgulence par U.
Frisch. Notre article sert d'introduction �l�mentaire aux m�thodes
modernes de l'analyse des �quations aux d�riv�es partielles stochastiques.

\end{abstract}
\tableofcontents


\section{Introduction}

On se propose d'�tudier les propri�t�s qualitatives de l'�quation de Burgers
visqueuse stochastique avec une force al�atoire $\eta^{\omega}:$
\begin{equation}
\left\{
\begin{array}
[c]{c}%
%
%
\operatorname{u}%
%
_{t}(t,x)+%
%
%
\operatorname{u}%
%
(t,x)%
%
%
\operatorname{u}%
%
_{x}(t,x)-\nu%
%
%
\operatorname{u}%
%
_{xx}(t,x)=\eta^{\omega}(t,x),\\
t\geq0,\text{ }x\in\mathbb{S}^{1}=%
%
%
\mathbb{R}
%
/%
%
%
\mathbb{Z}
%
.
\end{array}
\right. \tag{B}\label{B}%
\end{equation}
Ici $\nu\in(0,1]$ est la \textit{viscosit�}. On suppose que pour tout $t\geq0$
:%
\[
\int_{\mathbb{S}^{1}}\eta^{\omega}(t,x)dx=\int_{\mathbb{S}^{1}}%
%
%
\operatorname{u}%
%
(0,x)dx=0.
\]
D'ici et d'apr�s (\ref{B}), on a pour tout $t\geq0$%
\[
\int_{\mathbb{S}^{1}}%
%
%
\operatorname{u}%
%
(t,x)dx=0.
\]
On note $H$ l'espace de Hilbert d�fini par
\[
H=\{v\in L_{2}(\mathbb{S}^{1}):\int_{\mathbb{S}^{1}}v(x)dx=0\},
\]
muni de la norme usuelle et du produit scalaire de $L_{2}$ qu'on notera
$||\cdot||$ et $\langle\cdot,\cdot\rangle,$ et de la base Hilbertienne
$\{e_{k}(x),k\in%
%
%
\mathbb{Z}
%
^{\ast}\}$ avec%
\begin{equation}
\left\{
\begin{array}
[c]{c}%
e_{s}=\sqrt{2}\cos(2\pi sx)\\
e_{-s}=\sqrt{2}\sin(2\pi sx)
\end{array}
\right.  s\in%
%
%
\mathbb{N}
%
^{\star}.\label{base}%
\end{equation}
Notons que si $%
%
%
\operatorname{u}%
%
(x)=\underset{s\in%
%
%
\mathbb{Z}
%
^{\ast}}{\sum}%
%
%
\operatorname{u}%
%
_{s}e_{s}(x)$ alors
\begin{equation}%
%
%
\operatorname{u}%
%
(x)=\underset{s\in%
%
%
\mathbb{Z}
%
^{\ast}}{\sum}\widehat{%
%
%
\operatorname{u}%
%
}_{s}e^{2i\pi sx},\quad\widehat{%
%
%
\operatorname{u}%
%
}_{s}=\overline{\widehat{%
%
%
\operatorname{u}%
%
}}_{-s}=\left(  \sqrt{2}\right)  ^{-1}\left(
%
%
\operatorname{u}%
%
_{s}-i%
%
%
\operatorname{u}%
%
_{-s}\right)  \text{ pour tout }s\in%
%
%
\mathbb{N}
%
^{\star}.\label{expforme}%
\end{equation}
Dans la suite, on donne $\eta^{\omega}$ de la forme :%
\begin{equation}
\eta^{\omega}(t,x)=\partial_{t}\xi^{\omega}(t,x),\quad\text{et }\xi^{\omega
}(t,x)=\sum_{s\in%
%
%
\mathbb{Z}
%
^{\ast}}b_{s}\beta_{s}^{\omega}(t)e_{s}(x),\label{B*}%
\end{equation}
o� $b_{s}\in%
%
%
\mathbb{R}
%
$ et $\beta_{s}^{\omega}$ sont des processus de Wiener standard ind�pendants
(appendice A), d�finie sur un espace de probabilit� standard $(\Omega
,\mathcal{F},\mathbb{P})$ \cite{KaS}, \cite{Shir}. Pour tout $m\geq0 $, on
pose
\begin{equation}
B_{m}=\underset{s\in%
%
%
\mathbb{Z}
%
^{\ast}}{\sum}|s|^{2m}b_{s}^{2}\leq+\infty.\label{B_m}%
\end{equation}
Nous supposerons toujours que $B_{0}<\infty.$ On appelle la force al�atoire
$\eta^{\omega}$ le \textit{Bruit blanc}\emph{\ }dans l'espace $H$ et
$\xi^{\omega}$ le \textit{processus de Wiener dans }$H.$ On dit que $%
%
%
\operatorname{u}%
%
^{\omega}$ est une solution de (\ref{B}), (\ref{B*})$,$ si
\[%
%
%
\operatorname{u}%
%
^{\omega}(t,x)-%
%
%
\operatorname{u}%
%
^{\omega}(0,x)+\int_{0}^{t}\left(
%
%
\operatorname{u}%
%
(s,x)%
%
%
\operatorname{u}%
%
_{x}(s,x)-\nu%
%
%
\operatorname{u}%
%
_{xx}(s,x)\right)  ds=\xi^{\omega}(t,x)-\xi^{\omega}(0,x),
\]
pour tout $t\geq0,$ $x\in\mathbb{S}^{1},$ et pour tout $\omega\notin Q,$ o�
$Q$ est un ensemble n�gligeable (C'est-�-dire, $Q\in\mathcal{F}$ tel que $\mathbb{P(}%
Q\mathbb{)=}0).$

L'�quation (\ref{B}), (\ref{B*}) est un mod�le populaire en physique th�orique
moderne \cite{BK07}. Nous �tudions le probl�me de Cauchy relatif � (\ref{B}),
ainsi que les propri�t�s qualitatives de ses solutions. � savoir, dans les
sections 2-6, nous prouvons les propri�t�s d'existence et d'unicit� des
solutions de (\ref{B}) et discutons les processus de Markov correspondants.
Puis, dans les sections 7-8, nous obtenons des bornes sup�rieures et inf�rieures
pour les normes Sobolev des solutions, lesquelles sont asymptotiquement
pr�cises quand $\nu\rightarrow0$. Dans la section 9, nous d�duisons de ces
estimations que l'�chelle d'espace pour les solutions de (\ref{B}) est �gale �
$\nu$. Les r�sultats des sections 7-9 sont bas�s sur les th�ses \cite{Birphd},
\cite{Borphd} (voir aussi \cite{Biry01}, \cite{Bor}), o� les m�thodes
sugg�r�es dans \cite{Kuk97}, \cite{Kuk99} pour �tudier l'�quation de
Ginzburg-Landau complexe, sont appliqu�es � (\ref{B}). Dans les sections
10-12, nous �tudions les propri�t�s de m�lange de l'�quation de Burgers,
utilisant l'approche du couplage de D�blin et suivant \cite{Bor},
\cite{KuShir}. Enfin, dans les sections 13-14, on montre que les estimations
des sections 7-8 entra�nent que le spectre de l'energie des solutions de
(\ref{B}) est de la forme de la loi de Kolmogorov \cite{Frisch}, $E_{k}\sim
k^{-2}$. L�, nous suivons \cite{Borphd}, \cite{Bor}, o� la d�rivation
heuristique du spectre, sugg�r�e dans \cite{AFLV92}, est rigoureusement
justifi�e, ceci �tant bas� sur les r�sultats des sections pr�c�dentes.

Cet article est bas� sur les notes de cours pour la seconde ann�e de Master de
Math�matiques Fondamentales � l'universit� de Paris Diderot, donn� par S. K
lors des ann�es universitaires 2012/2013 et 2014/2015.

\section{Estimations de la force $\xi^{\omega}$\label{sectionksi}}

Pour $T>0$, notons par $X^{T}$ l'espace de Banach $\mathcal{C}(0,T;H),$ muni
de la norme $||\xi||_{X^{T}}=\underset{t\in\lbrack0,T]}{\sup}||\xi(t)||.$

\begin{theorem}
\label{th1}Il existe une ensemble n�gligeable $Q\in\mathcal{F}$ tel que si
$\omega\notin Q$, alors pour tout $T>0$ nous avons $\xi^{\omega}\in X^{T}$. De
plus, il existe $\alpha(T,B_{0})>0,$ $C^{\prime}(T,B_{0})>0,$ et pour chaque
$p\geq1,$ il existe $C(p,T,B_{0})>0$ telle que%
\begin{align}
\mathbb{E[}e^{\alpha||\xi^{\omega}(t)||^{2}}\mathbb{]} &  \leq C^{\prime
},\label{aa}\\
\mathbb{E}[\sup_{t\in(0,T)}||\xi^{\omega}(t)||]^{p} &  \leq C.\label{bb}%
\end{align}

\end{theorem}

Si $\omega\in Q$, alors on red�finit $\xi^{\omega}$ par $\xi^{\omega}=0$.
Ainsi $\xi^{\omega}\in X^{T}$ pour tout $\omega.$

\begin{proof}
\textit{�tape 1 : troncature. Fixons }$T>0$ et posons pour tout $N\in%
%
%
\mathbb{N}
%
:$%
\[
H^{(N)}=vect\{e_{j},|j|\leq N\}\subset H\text{ et }\xi^{N\omega}%
(t,x)=\sum_{|s|\leq N}b_{s}\beta_{s}^{\omega}(t)e_{s}(x).
\]
Alors $\xi^{N\omega}$ est un processus al�atoire continu dans $H^{(N)}%
$\footnote{C'est � dire, pour presque tout $\omega$, l'application $t\longmapsto
\xi^{N\omega}(t)$ $\in H^{(N)}$ est continue.}. Pour $t\geq0,$ on a%
\[
||\xi^{N\omega}(t)||^{2}=\sum_{|s|\leq N}b_{s}^{2}\beta_{s}^{\omega}(t)^{2}%
\]
Maintenant on va estimer les moments exponentiels de $\underset{t\in
(0,T)}{\sup}||\xi^{N\omega}(t)||.$ On a imm�diatement pour tout $\alpha>0:$
\[
\mathbb{E}[e^{\alpha||\xi^{N\omega}(T)||^{2}}]=\mathbb{E}\left[
e^{\alpha\underset{|s|\leq N}{\sum}b_{s}^{2}\beta_{s}^{\omega}(T)^{2}}\right]
=%
{\displaystyle\prod\limits_{|s|\leq N}}
%
\mathbb{E}[e^{\alpha b_{s}^{2}\beta_{s}^{\omega}(T)^{2}}],
\]
car les processus $\{\beta_{s}\}$ sont ind�pendants. Comme $\beta
_{s}(T)=\mathcal{N}(0,\sqrt{T}),$ nous avons que%
\[
\mathbb{E}[e^{\alpha b_{s}^{2}\beta_{s}^{\omega}(T)^{2}}]=\frac{1}{\sqrt{2\pi
T}}\int_{%
%
%
\mathbb{R}
%
}e^{\alpha b_{s}^{2}x^{2}}e^{-\frac{x^{2}}{2T}}dx=\frac{1}{\sqrt{1-2T\alpha
b_{s}^{2}}},\quad\text{si }\alpha<\frac{1}{2Tb_{s}^{2}}.
\]
En notant $b_{\max}=\sup_{s\geq1}|b_{s}|,$ on obtient que%
\begin{equation}
\mathbb{E}[e^{\alpha||\xi^{N\omega}(T)||^{2}}]=e^{-\frac{1}{2}\underset
{|s|\leq N}{\sum}\ln(1-2T\alpha b_{s}^{2})},\text{ si }\alpha<\frac
{1}{2Tb_{\max}^{2}}.\label{Mexp2}%
\end{equation}
Comme pour tout $|x|\leq\frac{1}{2}$ nous avons $-\ln(1-x)\leq2x$, alors
(\ref{Mexp2}) implique
\begin{equation}
\mathbb{E}[e^{\alpha||\xi^{N\omega}(T)||^{2}}]\leq e^{\underset{|s|\leq
N}{\sum}2T\alpha b_{s}^{2}}=e^{2T\alpha B^{(N)}},\text{ si }\alpha<\frac
{1}{2Tb_{\max}^{2}},\label{C}%
\end{equation}
avec $B^{(N)}=\underset{|s|\leq N}{\sum}b_{s}^{2}\leq B_{0}.$ Or, pour tout
$p\geq1$ et $\alpha>0$ il existe $C(p,\alpha)>0$ telle que pour chaque $x\geq0$,
on a $x^{p}\leq Ce^{\alpha x^{2}}$. Donc, en utilisant l'in�galit� (\ref{C}), nous
obtenons
\[
\mathbb{E}[||\xi^{N\omega}(T)||^{p}]\leq C(p,T,B_{0}).
\]
Par l'in�galit� de Doob (\ref{doob}) (appendice A), cette in�galit� implique que :
\begin{equation}
\mathbb{E}[\sup_{t\in(0,T)}||\xi^{N\omega}(t)||]^{p}\leq C^{\prime}%
(p,T,B_{0}),\quad\text{pour }p>1.\label{C'}%
\end{equation}
L'in�galit� pour $p=1$ suit de (\ref{C'}) avec $p=2.$

\textit{�tape 2 : passage � la limite}. Pour $N<M,$ consid�rons
\[
\xi_{N}^{M}:=\xi^{M\omega}-\xi^{N\omega}=\underset{N<|s|\leq M}{\sum}%
b_{s}\beta_{s}^{\omega}e_{s}.
\]
Comme $\mathbb{E}||\xi_{N}^{M}(t)||^{2}=\underset{N<|s|\leq M}{\sum}b_{s}^{2}%
$, alors par l'in�galit� de Doob, nous avons
\begin{equation}
\mathbb{E}\left[  ||\xi_{N}^{M}||_{X^{T}}^{2}\right]  =\mathbb{E}\left[
\sup_{t\in\lbrack0,T]}||\xi_{N}^{M}(t)||^{2}\right]  \leq4\underset{N<|s|\leq
M}{\sum}b_{s}^{2}.\label{NM}%
\end{equation}
On consid�re l'espace de Hilbert $\mathbb{L}_{2}=L_{2}(\Omega;X^{T}).$ Par
(\ref{NM}), pour $N<M,$ on a $||\xi^{M\omega}-\xi^{N\omega}||_{\mathbb{L}_{2}%
}^{2}\leq4\underset{N<|s|\leq M}{\sum}b_{s}^{2}.$ Comme $\sum b_{s}^{2}%
=B_{0}<\infty$, alors $\{\xi^{M\omega}\}\subset\mathbb{L}_{2}$ est une suite
de Cauchy et $\xi^{M\omega}\rightarrow\xi^{\omega}\in\mathbb{L}_{2}$ quand
$M\rightarrow+\infty.$ Comme la convergence dans $\mathbb{L}_{2}$ implique la
convergence p.p pour une sous-suite, alors, il existe un ensemble
n�gligeable $Q^{T}$ tel que $\xi^{M_{j}\omega}\rightarrow\xi^{\omega}$ dans
$X^{T}$ pour une sous-suite $M_{j}\rightarrow+\infty$ et $\omega\notin Q^{T}.$
Soit $Q=Q^{1}\cup Q^{2}\cup\cdots.$ Par le proc�d� diagonale de Cantor, on
construit une suite $M_{j}\rightarrow+\infty$ telle que $\xi^{M_{j}\omega
}\rightarrow\xi^{\omega}=:\underset{s\in%
%
%
\mathbb{Z}
%
^{\ast}}{\sum}b_{s}\beta_{s}^{\omega}e_{s}$ dans $X^{T}$, $T=1,2,\cdots$ et
pour tout $\omega\notin Q.$

En utilisant cette convergence, la relation (\ref{C}) et le th�or�me de Beppo-Levi,
on obtient l'in�galit� (\ref{aa}). De m�me, (\ref{C'}) et le th�or�me de
Beppo-Levi nous donnent (\ref{bb}).
\end{proof}

Dans la suite, on d�signe par $H^{m}$ l'espace de Sobolev d�fini par%
\[
H^{m}=\{v\in H,v^{(m)}\in H\},
\]
o� $u^{(m)}:=\partial_{x}^{m}u$ repr�sente la d�riv�e faible en $x$ � l'ordre
$m$ de $u.$ On munit $H^{m}$ du produit scalaire homog�ne
\[
\langle u,v\rangle_{m}=\int_{\mathbb{S}^{1}}u^{(m)}(x)v^{(m)}(x)dx,
\]
On note par $||\cdot||_{m}$ la norme associ�e au produit scalaire. Notons que
$\partial_{x}:H^{m+1}\rightarrow H^{m}$ est un isomorphisme et $||\partial
_{x}^{k}u||_{m}=||u||_{m+k},$ pour tout $m,k\in%
%
%
\mathbb{N}
%
.$

Si $u\in H$ alors $u$ s'�crit dans la base trigonom�trique (\ref{base}) comme
$u(x)=\underset{s\in%
%
%
\mathbb{Z}
%
^{\ast}}{\sum}u_{s}e_{s}(x),$ et la norme de $u$ dans $H^{m}$ est%
\[
||u||_{m}^{2}=(2\pi)^{m}\sum_{s\in%
%
%
\mathbb{Z}
%
^{\ast}}|s|^{2m}|u_{s}|^{2}.
\]
On utilise cette caract�risation pour d�finir $H^{m}$ pour tout $m\geq0:$%
\[
H^{m}=\{u\in H,||u||_{m}<\infty\}.
\]
Pour $m<0$, on d�finit $H^{m}$ comme le compl�t� de $H$ par rapport � la norme
$||\cdot||_{m}.$\newline On rappelle l'injection de Sobolev :%
\begin{equation}
H^{m}\hookrightarrow\mathcal{C}^{k}(\mathbb{S}^{1})\Longleftrightarrow
m>k+\frac{1}{2},\label{sob}%
\end{equation}
et que l'espace $H^{m}$ pour $m>\frac{1}{2}$ est une alg�bre Hilbertienne :%
\begin{equation}
||uv||_{m}\leq c_{m}||u||_{m}||v||_{m}.\label{alg}%
\end{equation}
Pour $T>0,$ on note par $X_{m}^{T}$ l'espace de Banach $\mathcal{C}%
(0,T;H^{m})$ muni de la norme $||u||_{X_{m}^{T}}=\underset{t\in\lbrack
0,T]}{\sup}||u(t)||_{m}$. Avec ces notations, on a le th�or�me suivant :

\begin{theorem}
\label{th2}Soit $m\in%
%
%
\mathbb{N}
%
$ et supposons que $B_{m}<\infty.$ Alors pour chaque $\omega\in\Omega$ et pour
tout $T>0$ nous avons $\xi^{\omega}\in X_{m}^{T}$, et il existe $\alpha
(T,B_{m})>0$ telle que%
\begin{align}
\mathbb{E[}e^{\alpha||\xi^{\omega}(T)||_{m}^{2}}\mathbb{]} &  \leq
C_{m}^{\prime},\label{csqfern}\\
\mathbb{E}[\sup_{t\in(0,T)}||\xi^{\omega}(t)||_{m}]^{p} &  \leq C_{m}%
^{\prime\prime},\quad\forall p\geq1,
\end{align}
pour des constantes convenables $C_{m}^{\prime}(T,B_{m})>0$, $C_{m}%
^{\prime\prime}(p,T,B_{0})>0.$
\end{theorem}

Ici, comme pour le th�or�me \ref{th1}, nous avons modifi� $\xi^{\omega}$ sur
un ensemble n�gligeable.

La d�monstration est similaire � celle du th�or�me \ref{th1}.

\section{Probl�me de Cauchy}

Dans cette section on �tudie le probl�me aux limites p�riodique (\ref{B}),
(\ref{B*}) avec la condition initiale.%
\begin{equation}%
%
%
\operatorname{u}%
%
(0,x)=%
%
%
\operatorname{u}%
%
_{0}(x).\label{B2}%
\end{equation}


\subsection{Pr�liminaires\label{preliminaire}}

Soit $m\in%
%
%
\mathbb{N}
%
$. On consid�re l'�quation de la chaleur
\begin{equation}
\left\{
\begin{array}
[c]{c}%
v_{t}(t,x)-\nu v_{xx}(t,x)=\xi_{t}(t,x),\quad\xi\in X_{m}^{T}\\
v(0,x)=%
%
%
\operatorname{u}%
%
_{0}(x).
\end{array}
\right. \tag{CH}\label{CH}%
\end{equation}
On dit que $v\in X_{m}^{T}$ est une solution de (\ref{CH}) si pour tout
$t\in\lbrack0,T]:$%
\[
v(t)-\nu\int_{0}^{t}v_{xx}(s)ds=%
%
%
\operatorname{u}%
%
_{0}+\xi(t).
\]


Le lemme suivant est un r�sultat �l�mentaire des �quations aux d�riv�es
partielles paraboliques. Pour le d�montrer, on d�compose la force $\xi$ et $v$
dans la base trigonom�trique (\ref{base}) et on retrouve les coefficients de
Fourier de $v.$

\begin{lemma}
\label{lem3}Soit $m\geq0$ et $T>0.$ Alors pour tout $\xi\in X_{m}^{T}$ et $%
%
%
\operatorname{u}%
%
_{0}\in H^{m}$, il existe une unique solution $v$ $\in X_{m}^{T}$ de
(\ref{CH}). De plus l'application $H^{m}\times X_{m}^{T}\rightarrow X_{m}%
^{T},$ $(%
%
%
\operatorname{u}%
%
_{0},\xi)\longmapsto v$ est lin�aire et continue.
\end{lemma}

\subsection{D�composition des solutions de (\ref{B})}

On �crit maintenant une solution $%
%
%
\operatorname{u}%
%
$ de (\ref{B}), (\ref{B2}) comme%
\[%
%
%
\operatorname{u}%
%
(t,x)=w(t,x)+v(t,x),
\]
o� $v$ est la solution de (\ref{CH}). Ainsi, $w$ v�rifie l'�quation de Burgers
perturb�e :%
\begin{equation}
\left\{
\begin{array}
[c]{c}%
w_{t}-\nu w_{xx}+\frac{1}{2}((w+v)^{2})_{x}=0,\\
w(0)=0.
\end{array}
\right. \tag{BP}\label{BP}%
\end{equation}
L'avantage de se ramener de l'�quation (\ref{B}) � (\ref{BP}) est le fait que
tous les coefficients de cette derni�re sont r�guliers. Dans la suite on
r�sout l'�quation (\ref{BP}). On commence par deux lemmes qui portent sur des
in�galit�s fonctionnelles.

\begin{lemma}
\label{GNtermeL}(in�galit� de Gagliardo-Niremberg \cite{Tay3})

Pour tout $(m,(r,q))\in%
%
%
\mathbb{N}
%
^{\ast}\times\lbrack1,\infty]^{2}$ et $\beta\in\lbrack0,m-1],$ il existe
$C(\beta,q,r,m)>0$ telle que
\begin{equation}
|w^{(\beta)}|_{r}\leq C||w||_{m}^{\theta}|w|_{q}^{1-\theta},\quad\theta
(\beta,q,r,m)=\frac{\beta+\frac{1}{q}-\frac{1}{r}}{m+\frac{1}{q}-\frac{1}{2}%
}.\label{GN}%
\end{equation}

\end{lemma}

\begin{lemma}
\label{GNtermeNL}Soit $m\in%
%
%
\mathbb{N}
%
^{\ast}$, $q\in\lbrack1,\infty]$ et $w\in H^{m+1}$. Alors, il existe $C(m)>0$
telle que%
\begin{equation}
|\langle\partial_{x}^{2m}w,\partial_{x}w^{2}\rangle|\leq C||w||_{m+1}%
^{1+\theta}|w|_{q}^{2-\theta},\quad\theta(m,q)=\frac{m+\frac{2}{q}-\frac{1}%
{2}}{m+\frac{1}{q}+\frac{1}{2}},\label{GNNL}%
\end{equation}

\end{lemma}

\begin{proof}
Par la formule de Leibniz, nous avons%
\begin{equation}
|\langle\partial_{x}^{2m}w,\partial_{x}w^{2}\rangle|\leq C(m)\sum_{n=0}%
^{m}\int|w^{(n)}w^{(m-n)}w^{(m+1)}|dx.\label{leibnizI1}%
\end{equation}
Nous majorons l'int�grale du membre de droite de (\ref{leibnizI1}) par
l'in�galit� de H�lder. On obtient
\[
\int|w^{(n)}w^{(m-n)}w^{(m+1)}|dx\leq|w^{(n)}|_{p_{1}}|w^{(m-n)}|_{p_{2}%
}||w||_{m+1},
\]
avec $\frac{1}{p_{1}}+\frac{1}{p_{2}}=\frac{1}{2}.$ D'o� en utilisant (\ref{GN}) avec
$m:=m+1,$ et $r=n$ puis $r=m-n,$ nous avons
\[
\int|w^{(n)}w^{(m-n)}w^{(m+1)}|dx\leq C||w||_{m+1}^{1+\theta}|w|_{q}%
^{2-\theta},
\]
o� $\theta=\theta(n,q,p_{1},m+1)+\theta(m-n,q,p_{2},m+1)=\frac{m+\frac{2}%
{q}-\frac{1}{2}}{m+\frac{1}{q}+\frac{1}{2}}.$ De cette derni�re in�galit� et de
la relation (\ref{leibnizI1}), on d�duit (\ref{GNNL}).
\end{proof}

\begin{theorem}
\label{thwhm}Soit $m\geq1$, $B_{m}<\infty$, $T>0$ et $v\in X_{m}^{T}$. Alors
il existe une unique solution $w\in X_{m}^{T}$ de (\ref{BP}) et il existe
$C_{m}(T,\nu,||v||_{X_{m}^{T}})>0$ telle que
\begin{equation}
||w(t)||_{X_{m}^{T}}+\int_{0}^{T}||w(t)||_{m+1}^{2}dt\leq C_{m}.\label{wHm}%
\end{equation}

\end{theorem}

\begin{proof}
\textit{�tape 0 : unicit�. }Soient $w^{\prime},w^{\prime\prime}\in X_{m}^{T}$
solutions de (\ref{BP}) et $v\in X_{m}^{T}$. Alors $w:=w^{\prime}%
-w^{\prime\prime}$ v�rifie l'�quation%
\[
w_{t}-\nu w_{xx}=\frac{1}{2}((w^{\prime}+w^{\prime\prime}+2v)w)_{x},\quad
w(0)=0.
\]
En prenant le produit scalaire $L_{2}$ de cette �quation avec $w$, et en
faisant des int�grations par partie, nous obtenons
\[
\frac{1}{2}\frac{d}{dt}||w(t)||^{2}+\nu||w(t)||_{1}^{2}=-\frac{1}{2}%
\int(w^{\prime}(t)+w^{\prime\prime}(t)+2v(t))w(t)w_{x}(t)dx.
\]
En utilisant l'in�galit� de Cauchy-Schwarz puis l'injection de $H^{1}$ dans
$L_{\infty},$ et l'in�galit� de Young, le membre � droite est major� par
\begin{align*}
\int|(w^{\prime}(t)+w^{\prime\prime}(t)+2v)w(t)w_{x}(t)|dx  & \leq
||(w^{\prime}(t)+w^{\prime\prime}(t)+2v(t))w(t)||\cdot||w_{x}(t)||\\
& \leq C(\frac{C}{2\nu}||w(t)||^{2}+\frac{\nu}{2C}||w(t)||_{1}^{2}).
\end{align*}

Donc $\frac{d}{dt}||w(t)||^{2}\leq C_{1}||w(t)||^{2}$. 
Comme $w(0)=0,$ le lemme de Gronwall implique que $||w(t)||^{2}=0$. D'o� l'unicit�.

\textit{�tape 1 : estimations � priori.} Supposons que$\ v\in X_{m}^{T}$ et
que $w\in X_{m}^{T}$ est la solution de (\ref{BP}) et montrons d'abord
l'in�galit� (\ref{wHm}), o� � gauche, $m$ est remplacer par $m=0$. Apr�s avoir multipli� (\ref{BP}) par $w$
et int�gr� en espace, le membre de gauche s'�crit comme
\[
\int(w_{t}-\nu w_{xx})wdx=\frac{1}{2}\frac{d}{dt}||w(t)||^{2}+\nu
||w(t)||_{1}^{2},
\]
et le membre de droite devient%
\[
-\frac{1}{2}\int((w+v)^{2})_{x}wdx=\frac{1}{2}\int(w^{2}w_{x}+v^{2}%
w_{x}+2vww_{x})dx=\frac{1}{2}\int(v^{2}w_{x}+2vww_{x})dx.
\]
Par l'in�galit� de Cauchy-Schwarz puis celle de Young, et utilisant
(\ref{sob}) avec $k=0$, nous obtenons que le terme � droite est born� par
\begin{equation}
\frac{\nu}{4}||w(t)||_{1}^{2}+c||v||_{X_{1}^{T}}^{4}+\frac{\nu}{4}%
||w(t)||_{1}^{2}+c||v||_{X_{1}^{T}}^{2}||w(t)||^{2},\quad c=c(\nu).\nonumber
\end{equation}
Donc, on a
\[
\frac{d}{dt}||w(t)||^{2}+\nu||w(t)||_{1}^{2}\leq c_{1}||v||_{X_{1}^{T}}%
^{2}||w(t)||^{2}+c_{2}||v||_{X_{1}^{T}}^{4}.
\]
Par le lemme de Gronwall, il en r�sulte que
\begin{equation}
||w(t)||^{2}\leq tc_{2}||v||_{X_{1}^{T}}^{4}e^{c_{1}||v||_{X_{1}^{T}}^{2}%
t}\leq c_{0}(T),\quad0\leq t\leq T.\label{estimationwm=0}%
\end{equation}
Maintenant, on va utiliser (\ref{estimationwm=0}) pour estimer $||w(t)||_{m}.
$ Multiplions l'�quation dans (\ref{BP}) par $w^{(2m)}.$ Alors, par une
int�gration par parties en espace, nous obtenons%
\begin{align*}
& \frac{1}{2}\frac{d}{dt}||w(t)||_{m}^{2}+\nu||w(t)||_{m+1}^{2}\leq\left\vert
\langle\frac{d^{m}}{dx^{m}}(w(t)+v(t))^{2},\frac{d^{m+1}}{dx^{m+1}}%
w(t)\rangle\right\vert \\
& \leq\underset{=:I_{1}}{\underbrace{\left\vert \langle w^{2}(t)^{(1)}%
,w(t)^{(2m)}\rangle\right\vert }}+2\underset{=:I_{2}}{\underbrace{\left\vert
\langle(wv)(t)^{(m)},w(t)^{(m+1)}\rangle\right\vert }}\underset{=:I_{3}%
}{+\underbrace{\left\vert \langle v^{2}(t)^{(m)},w(t)^{(m+1)}\rangle
\right\vert }}.
\end{align*}
Par (\ref{GNNL}) (avec $\theta=\theta(m,2)$), nous avons%
\[
|I_{1}|\leq C_{1}||w(t)||_{m+1}^{1+\theta}||w(t)||^{2-\theta},\quad
\theta=\frac{2m+1}{2m+2}.
\]
L'in�galit� de Young appliqu�e au membre � droite de cette in�galit� implique que
\[
I_{1}\leq\frac{\nu}{4}||w(t)||_{m+1}^{2}+C_{1}^{^{\prime}}||w(t)||^{c_{1}%
^{\prime}}.
\]
Nous avons aussi%
\[
I_{2}\leq\frac{\nu}{4}||w(t)||_{m+1}^{2}+C_{2}^{^{\prime}}(||v||_{X_{m}^{T}%
})||w(t)||^{c_{2}^{\prime}},\quad I_{3}\leq\frac{\nu}{4}||w(t)||_{m+1}%
^{2}+C_{3}^{^{\prime}}(||v||_{X_{m}^{T}})||w(t)||^{c_{3}^{\prime}}.
\]
Pour estimer $I_{2}=2\langle wv(t),w_{x}(t)\rangle_{m},$ on utilise
(\ref{alg}) et (\ref{GN}) :
\begin{align*}
2\langle wv(t),w_{x}(t)\rangle_{m}  & \leq C||wv(t)||_{m}||w(t)||_{m+1}\leq
C_{1}||w(t)||_{m}||v(t)||_{m}||w(t)||_{m+1}\\
& \leq C_{m}||v(t)||_{m}||w(t)||^{1-\frac{m}{m+1}}||w(t)||_{m+1}^{1+\frac
{m}{m+1}},
\end{align*}
et on conclut par l'in�galit� de Young. De mani�re similaire, on d�rive une
estimation du m�me type pour $I_{3}.$ En utilisant (\ref{estimationwm=0}), on a
\begin{equation}
\frac{1}{2}\frac{d}{dt}||w(t)||_{m}^{2}+\frac{\nu}{4}||w(t)||_{m+1}^{2}\leq
C^{^{\prime}}(||v||_{X_{m}^{T}})c_{0}(T)^{c^{\prime}}.\label{gronwallpret}%
\end{equation}
Finalement, l'int�gration de cette relation sur $[0,T]$ permet de conclure �
la validit� de (\ref{wHm}) pour tout $m\geq1.$

\textit{�tape 2 : approximation de Galerkin. }Pour tout $N\in%
%
%
\mathbb{N}
%
,$ soit
\[
H^{(N)}=vect\{e_{j},|j|\leq N\}\subset H,
\]
et $\{w^{N}\}$ la suite des solutions approch�es de Galerkin du probl�me
(\ref{BP}) d�finie par
\[
w^{N}(t)=\sum_{|s|\leq N}\alpha_{s}(t)e_{s},
\]
o� les $\alpha_{s}(t)$ sont � d�terminer. En effet, en substituant $w^{N}$
dans l'�quation de (\ref{BP}) et en prenant le produit scalaire $L_{2}$ dans
les deux membres de l'�galit� avec $e_{j}$, $|j|\leq N,$ nous obtenons une EDO
de la forme :%
\begin{equation}
\frac{d\alpha_{j}}{dt}(t)=-(2\pi j)^{2}\alpha_{j}(t)+P_{j}(\alpha
(t),t),\quad\alpha_{j}(0)\equiv0,\quad|j|\leq N,\label{edo}%
\end{equation}
o� $P_{j}(\alpha,t)$ est un polyn�me fini en $\alpha=(\alpha_{k})_{|k|\leq N}$
et en $(v_{k}(t))_{k\in%
%
%
\mathbb{Z}
%
^{\ast}}.$ Donc, $P_{j}(\alpha,t)$ est une fonction lisse en $\alpha$ et
continue en $t$, on conclut � l'existence d'une unique solution $w^{N}%
\in\mathcal{C}^{1}([0,T^{N}[;H^{(N)})$ de (\ref{edo}) , o� $T^{N}$ est le
temps maximal d'existence.

Exactement comme dans l'�tape 1, on montre que $w^{N}$ v�rifie l'in�galit�
(\ref{wHm}) et donc $||w^{N}(t)||$ est born� uniform�ment en $N$. En
particulier $\underset{t\rightarrow T^{N}}{\lim\sup}||w^{N}(t)||<\infty$ ce
qui implique que $T^{N}=T$.

\textit{�tape 3 : Convergence. }En utilisant l'�quation (\ref{BP}), on trouve
que $\{w^{N}\}$ est born� dans l'espace de Hilbert
\[
W^{m}=\{u\in L_{2}(0,T;H^{m+1}):u_{t}\in L_{2}(0,T;H^{m-1})\}.
\]
Comme $W^{m}\Subset L_{2}(0,T;H^{m})$ \cite[Th�or�me 5.1]{Lions}, alors il
existe une sous-suite $\left\{  w^{N_{j}}\right\}  $ qui converge vers $w\in
W^{m}$ faiblement dans $W^{m}$ et fortement dans $L_{2}(0,T;H^{m}).$ On
proc�de comme dans \cite{Lions} pour v�rifier que $w$ est solution de
(\ref{BP}) et satisfait bien les estimations � priori. De plus, $W^{m}\subset
X_{m}^{T}$ \cite{LM}, donc $w\in X_{m}^{T}$.
%
%
%


La suite $\{w^{N}\}$ est born�e dans $X_{m}^{T}$ et $H^{m}$ est relativement
compact dans $H^{m-1}$%
%
%
%
. Comme $\{\partial_{t}w^{N}\}$ est born� dans $L_{2}(0,T;H^{m-1})$, alors la
suite $\{w^{N}\}$ est �quicontinue dans $H^{m-1}$. Donc, par le th�or�me
d'Ascoli, $\{w^{N}\}$ est pr�compact dans $X_{m-1}^{T}$, et $\left\{
w^{N_{j}}\right\}  $ converge vers $w$ dans $X_{m-1}^{T}$ (Nous utiliserons
cette convergence plus tard).
\end{proof}

\begin{remark}
\label{nlch}Une version simplifi�e de cet argument nous montre que pour tout
$T>0,$ $m\geq1,$ $v\in X_{m}^{T}$ et $z\in X_{m-1}^{T}$, l'�quation lin�aire
\begin{equation}
\left\{
\begin{array}
[c]{c}%
w_{t}-\nu w_{xx}+(vw)_{x}=z,\\
w_{|t=0}=0,
\end{array}
\right. \label{pnll}%
\end{equation}
admet une unique solution $w\in X_{m}^{T}$ v�rifiant :%
\begin{equation}
||w||_{X_{m}^{T}}\leq C||z||_{X_{m-1}^{T}},\quad C=C(\nu,T,||v||_{X_{m}^{T}%
}).\label{estipnll}%
\end{equation}

\end{remark}

\subsection{Existence et unicit� pour Burgers}

D'apr�s le lemme \ref{lem3} et le th�or�me \ref{thwhm} on peut �noncer le r�sultat
suivant :

\begin{theorem}
\label{burgersok}Pour tout $T>0$ $m\geq1$, $%
%
%
\operatorname{u}%
%
_{0}\in H^{m}$ et $\xi\in X_{m}^{T}$ il existe une unique solution $%
%
%
\operatorname{u}%
%
$ dans $X_{m}^{T}$ de (\ref{B}), (\ref{B*}),(\ref{B2}). De plus, $%
%
%
\operatorname{u}%
%
$ satisfait%
\begin{equation}
||%
%
%
\operatorname{u}%
%
||_{X_{m}^{T}}^{2}+\int_{0}^{T}||%
%
%
\operatorname{u}%
%
(t)||_{m+1}^{2}dt\leq C_{m},\quad C_{m}=C_{m}(T,\nu,||%
%
%
\operatorname{u}%
%
_{0}||_{m},||\xi||_{X_{m}^{T}})>0
\end{equation}

\end{theorem}

\subsection{Analyticit� du flot}

D�sormais, nous �tudions la r�gularit� de l'application
\[
H^{m}\times X_{m}^{T}\rightarrow X_{m}^{T},(%
%
%
\operatorname{u}%
%
_{0},\xi)\longmapsto%
%
%
\operatorname{u}%
%
\]
o� $%
%
%
\operatorname{u}%
%
$ est la solution de (\ref{B}), (\ref{B2}) avec $\eta=\partial_{t}\xi$.

Consid�rons l'�quation de la chaleur
\begin{equation}
w_{t}-\nu w_{xx}=z,\text{\quad}w_{|t=0}=0.\label{pnl}%
\end{equation}
Par la remarque \ref{nlch}, si $m\geq1$ et $z\in X_{m-1}^{T}$ alors
(\ref{pnl}) a une unique solution $w\in X_{m}^{T}$ et
\begin{equation}
||w||_{X_{m}^{T}}\leq C||z||_{X_{m-1}^{T}},\quad C=C(m,\nu,T).\label{estipnl}%
\end{equation}
Soit $m\geq1$ et notons par $X_{m,0}^{T} l'ensemble \{w\in X_{m}^{T}:w(0)=0\},$ et soit
$\mathcal{L}$ l'application d�finie par
\[
\mathcal{L}:X_{m+1,0}^{T}\cap\mathcal{C}^{1}(0,T;H^{m-1})\rightarrow
X_{m-1}^{T},\text{\quad}w\longmapsto w_{t}-\nu w_{xx}.
\]
Par (\ref{estipnl}), l'application $\mathcal{L}^{-1}:X_{m-1}^{T}\rightarrow
X_{m,0}^{T}$ est une immersion continue. On d�finit l'espace $Z_{m}%
^{T}=\mathcal{L}^{-1}(X_{m-1}^{T})$ muni de la norme $||w||_{Z_{m}^{T}%
}=||\mathcal{L}w||_{X_{m-1}^{T}}$ qui est un espace de Banach. Cet espace
s'injecte contin�ment dans $X_{m,0}^{T}$ et $\mathcal{L}$ d�finit une
isom�trie entre $Z_{m}^{T}$ et $X_{m-1}^{T}.$

Consid�rons l'�quation (\ref{BP}) avec $v\in X_{m}^{T}.$ Par le th�or�me
\ref{thwhm} la solution $w\in X_{m}^{T}.$ Donc, $\partial_{x}((w+v)^{2})\in
X_{m-1}^{T}$ et $w=\mathcal{L}^{-1}\left(  -\frac{1}{2}\partial_{x}%
((w+v)^{2})\right)  \in Z_{m}^{T}.$ �crivons (\ref{BP}) comme%

\begin{equation}
\Phi(w,v)=0,\quad\Phi(w,v)=w+\frac{1}{2}\mathcal{L}^{-1}\circ\partial
_{x}((w+v)^{2}).\label{phi=0}%
\end{equation}
Notons que pour chaque $v\in X_{m}^{T}$ l'�quation $\Phi(w,v)=0$ poss�de une
unique solution $w\in Z_{m}^{T}.$

\begin{lemma}
\label{phianaly}Pour tout $T>0$ et $m\geq1$, $\Phi$ d�finit une application
analytique de $Z_{m}^{T}\times X_{m}^{T}$ dans $Z_{m}^{T}$.
\end{lemma}

\begin{proof}
L'application $X_{m}^{T}\rightarrow X_{m}^{T},w\longmapsto(v+w)^{2}$ est
analytique car polynomiale et continue \cite{Car}. Comme $Z_{m}^{T}%
\hookrightarrow X_{m,0}^{T}$ alors l'application
\[
Z_{m}^{T}\times X_{m}^{T}\rightarrow Z_{m}^{T},(w,v)\longmapsto(v+w)^{2}%
\longmapsto\partial_{x}((w+v)^{2})\longmapsto\mathcal{L}^{-1}\circ\partial
_{x}((w+v)^{2})
\]
est aussi analytique. Donc $\Phi$ est analytique.
\end{proof}

Pour tout $(w,v)\in Z_{m}^{T}\times X_{m}^{T}$, la diff�rentielle de $\Phi$ en
$w\in Z_{m}^{T}$ �valu�e en $h\in Z_{m}^{T}$ est l'application $d_{w}%
\Phi(w,v)(h):Z_{m}^{T}\rightarrow Z_{m}^{T},$ telle que $d_{w}\Phi
(w,v)(h)=h+\mathcal{L}^{-1}\circ\partial_{x}(w+v)h$ \cite{Car}. Cette
application est continue par le lemme \ref{phianaly}.

\begin{lemma}
\label{isomorphisme}Pour tout $T>0,$ $m\geq1$ et $(w,v)\in Z_{m}^{T}\times
X_{m}^{T}$, $d_{w}\Phi$ est un isomorphisme de $Z_{m}^{T}.$
\end{lemma}

\begin{proof}
Il est clair que pour tout $w,h,g\in Z_{m}^{T}$ et $v\in X_{m}^{T},$ on a
$d_{w}\Phi(h)=g$ si et seulement si
\begin{equation}
h_{t}-\nu h_{xx}+\partial_{x}(w+v)h=\mathcal{L}g.\label{equaLh}%
\end{equation}
Comme $(w+v,$ $\mathcal{L}g)\in X_{m}^{T}\times X_{m-1}^{T}$, la remarque
\ref{nlch} implique qu'il existe une unique solution $h\in X_{m,0}^{T}$ de
(\ref{equaLh}) et que l'application $X_{m}^{T}\rightarrow X_{m,0}^{T},$
$\mathcal{L}g\longmapsto h$ est continue.
\end{proof}

Finalement, par les lemmes \ref{phianaly} et \ref{isomorphisme}, et la version
analytique du th�or�me des fonctions implicites \cite[Appendix B]{PT}, nous
obtenons que l'unique solution $w\in Z_{m}^{T}$ de l'�quation $\Phi(w,v)=0$
est une fonction analytique de $v\in X_{m}^{T}.$ Comme nous avons �crit la
solution $%
%
%
\operatorname{u}%
%
$ de l'�quation de Burgers comme $%
%
%
\operatorname{u}%
%
=v+w,$ on a par le lemme \ref{lem3}, le

\begin{theorem}
\label{th6}Soit $m\geq1$ et $T>0$. Si $%
%
%
\operatorname{u}%
%
$ est la solution de (\ref{B}),(\ref{B2}) avec $\eta=\partial_{t}\xi$, alors
l'application $\mathcal{M}:H^{m}\times X_{m}^{T}\rightarrow X_{m}^{T},(%
%
%
\operatorname{u}%
%
_{0},\xi)\longmapsto%
%
%
\operatorname{u}%
%
$ est analytique. En particulier $\mathcal{M}$ est continue.
\end{theorem}

On munit l'espace $H^{m}\times X_{m}^{T}$ de la norme :
\[
|||(f,h)|||=||f||_{H^{m}}+||h||_{X_{m}^{T}}\text{.}%
\]


\begin{proposition}
\label{Mlip}l'application $\mathcal{M}$ du th�or�me \ref{th6} est localement
Lipschitzienne\footnote{C'est � dire, il existe une fonction $C\in\mathcal{C}(%
%
%
\mathbb{R}
%
^{+};%
%
%
\mathbb{R}
%
^{+})$ telle que pour tout $%
%
%
\operatorname{u}%
%
_{0}%
%
%
\operatorname{u}%
%
_{0}^{^{\prime}}\in H^{m}$ et $\xi,\xi^{^{\prime}}\in X_{m}^{T}:$
\[
||\mathcal{M}(%
%
%
\operatorname{u}%
%
_{0},\xi)-\mathcal{M}(%
%
%
\operatorname{u}%
%
_{0}^{^{\prime}},\xi^{^{\prime}})||_{X_{m}^{T}}\leq C(\max(|||%
%
%
\operatorname{u}%
%
_{0},\xi|||,|||%
%
%
\operatorname{u}%
%
_{0}^{\prime},\xi^{\prime}|||)|||(%
%
%
\operatorname{u}%
%
_{0},\xi)-(%
%
%
\operatorname{u}%
%
_{0}^{^{\prime}},\xi^{^{\prime}})|||.
\]
}.
\end{proposition}

\begin{proof}
Soit $m\geq1$ et $T>0$. Nous notons par $H^{m%
%
%
\mathbb{C}
%
}$ l'espace de Sobolev complexe (la complixification de l'espace $H^{m}$). On
d�finit $X_{m}^{T%
%
%
\mathbb{C}
%
}$ et $Z_{m}^{T%
%
%
\mathbb{C}
%
}$ comme les analogues complexes des espaces $X_{m}^{T}$ et $Z_{m}^{T}.$

En utilisant la version analytique complexe du th�or�me des fonctions
implicites \cite[Appendix B]{PT}, nous trouvons que si $w^{\prime}\in Z_{m}^{T%
%
%
\mathbb{C}
%
}$, $v^{\prime}\in X_{m}^{T%
%
%
\mathbb{C}
%
}$ et $\Phi(w^{\prime},v^{\prime})=0$ (cf. (\ref{phi=0})) alors $w^{\prime}$
est une fonction analytique de $v^{\prime}$, et il existe $\varepsilon
=\varepsilon(v^{\prime})>0$ telle que l'application $v^{\prime}\longmapsto
w^{\prime}(v^{\prime})$ v�rifiant $\Phi(w^{\prime}(v^{\prime}),v^{\prime})=0$
se prolonge en une application analytique complexe :%
\[
\Phi:B_{v^{\prime}}^{\varepsilon}:=\{v\in X_{m}^{T%
%
%
\mathbb{C}
%
}:||v-v^{\prime}||_{X_{m}^{T%
%
%
\mathbb{C}
%
}}<\varepsilon\}\rightarrow Z_{m}^{T%
%
%
\mathbb{C}
%
},
\]
qui est born�e en norme par une constance $K(v^{\prime})>0.$ De plus, nous
pouvons choisir $\varepsilon=\varepsilon(||v^{\prime}||_{X_{m}^{T%
%
%
\mathbb{C}
%
}})$ et $K=K(||v^{\prime}||_{X_{m}^{T%
%
%
\mathbb{C}
%
}})$ telles que $\varepsilon,K$ soient des fonctions continues positives. Donc,
il existe $\widetilde{\varepsilon},\widetilde{K}\in\mathcal{C}(%
%
%
\mathbb{R}
%
^{+},%
%
%
\mathbb{R}
%
^{+})$ tels que l'application $\mathcal{M}$ du th�or�me \ref{th6} se prolonge
en une application analytique complexe :%
\begin{equation}
\mathcal{M}:\mathcal{O}^{%
%
%
\mathbb{C}
%
}\rightarrow X_{m}^{T%
%
%
\mathbb{C}
%
},\label{MM}%
\end{equation}
o� $\mathcal{O}^{%
%
%
\mathbb{C}
%
}=\{%
%
%
\operatorname{u}%
%
_{0}\in H^{m%
%
%
\mathbb{C}
%
}:||\operatorname{Im}%
%
%
\operatorname{u}%
%
_{0}||_{m}\leq\widetilde{\varepsilon}(||\operatorname{Re}%
%
%
\operatorname{u}%
%
_{0}||_{m})\}\times\{\xi\in X_{m}^{T%
%
%
\mathbb{C}
%
}:||\operatorname{Im}\xi||_{X_{m}^{T%
%
%
\mathbb{C}
%
}}\leq\widetilde{\varepsilon}(||\operatorname{Re}\xi||_{X_{m}^{T%
%
%
\mathbb{C}
%
}})\}$, et telle que $||\mathcal{M}(%
%
%
\operatorname{u}%
%
_{0},\xi)||_{X_{m}^{T%
%
%
\mathbb{C}
%
}}\leq\widetilde{K}(||%
%
%
\operatorname{u}%
%
_{0}||_{H^{m%
%
%
\mathbb{C}
%
}}+||\xi||_{X_{m}^{T%
%
%
\mathbb{C}
%
}}).$ Chaque couple $(%
%
%
\operatorname{u}%
%
_{0},\xi)\in H^{m}\times X_{m}^{T}$ se plonge dans $\mathcal{O}^{%
%
%
\mathbb{C}
%
}\subset H^{m%
%
%
\mathbb{C}
%
}\times X_{m}^{T%
%
%
\mathbb{C}
%
}$ avec son voisinage complexe de rayon $\widetilde{\varepsilon}(|||(%
%
%
\operatorname{u}%
%
_{0},\xi)|||)$. Donc, par l'analyticit� de (\ref{MM}) et l'in�galit� de Cauchy
\cite[Section VII.A]{KP}, nous avons que pour tout $%
%
%
\operatorname{u}%
%
_{0}\in H^{m}$ et $\xi\in X_{m}^{T}:$%
\[
||d\mathcal{M}(%
%
%
\operatorname{u}%
%
_{0},\xi)||_{H^{m}\times X_{m}^{T},X_{m}^{T}}\leq\min\left(  \widetilde
{\varepsilon}(||%
%
%
\operatorname{u}%
%
_{0}||_{m}),\widetilde{\varepsilon}(||\xi||_{X_{m}^{T}})\right)
^{-1}\widetilde{K}(||%
%
%
\operatorname{u}%
%
_{0}||_{H^{m%
%
%
\mathbb{C}
%
}}+||\xi||_{X_{m}^{T%
%
%
\mathbb{C}
%
}}).
\]
Donc, $\mathcal{M}_{t}$ est localement Lipschitzienne.
\end{proof}

Pour $t\in\lbrack0,T]$ et $m\geq1$, nous notons par $\mathcal{M}_{t}$
l'application
\begin{equation}
\mathcal{M}_{t}:H^{m}\times X_{m}^{T}\rightarrow H^{m},(%
%
%
\operatorname{u}%
%
_{0},\xi)\longmapsto%
%
%
\operatorname{u}%
%
(t)=\mathcal{M}_{|t=\text{const}}\text{.}\label{Mt}%
\end{equation}
Elle est analytique par le th�or�me \ref{th6}.

Parfois, on notera 
\[\operatorname{u}(\cdot;\operatorname{u}_{0},\xi)=\mathcal{M}(\operatorname{u}_{0},\xi)\] 
la solution de (\ref{B}), (\ref{B2}) avec $\eta=\partial_{t}\xi$, et
on notera \[%
%
%
\operatorname{u}%
%
^{\omega}(\cdot;%
%
%
\operatorname{u}%
%
_{0})=\mathcal{M}(%
%
%
\operatorname{u}%
%
_{0},\xi^{\omega})\] la solution de (\ref{B}), (\ref{B*}), (\ref{B2}).

\section{Principe du maximum de Kru\v{z}kov}

Le but de cette section est d'estimer $%
%
%
\operatorname{u}%
%
,$ $%
%
%
\operatorname{u}%
%
_{x}$ et $%
%
%
\operatorname{u}%
%
_{x}^{+}:=\max(0,%
%
%
\operatorname{u}%
%
_{x})$, en se basant sur la m�thode de Kru\v{z}kov \cite{Kru64}. Commen�ons
avec un lemme �vident.

\begin{lemma}
\label{lem18}Si $f\in\mathcal{C}^{1}(\mathbf{S}^{1};%
%
%
\mathbb{R}
%
)$ telle que $\int_{\mathbb{S}^{1}}f(x)dx=0$ et $f^{\prime}(x)\leq c^{\ast}$
pour tout $x$. Alors $|f|_{\infty}\leq c^{\ast}$ et $|f^{\prime}|_{1}%
\leq2c^{\ast}.$
\end{lemma}

Le th�or�me suivant nous fournit des estimations portant sur $%
%
%
\operatorname{u}%
%
_{x}^{+}(t),$ $%
%
%
\operatorname{u}%
%
(t)$ dans $L_{\infty},$ et sur $%
%
%
\operatorname{u}%
%
_{x}(t)$ dans $L_{1}.$

\begin{theorem}
\label{th17}Soit $B_{4}<\infty,$ $T>0,$ $t\in\lbrack0,T]$ et $%
%
%
\operatorname{u}%
%
(t,x)$ solution de (\ref{B}), (\ref{B2}) avec $\eta(t,x)=\partial_{t}\xi
(t,x)$, $\xi\in X_{4}^{T}$ et $%
%
%
\operatorname{u}%
%
(0)\in H^{1}$. Alors, il existe $C(T)>0$ ind�pendante de $%
%
%
\operatorname{u}%
%
_{0}$ et de $\nu\in(0,1],$ telle que pour tout $\theta\in(0,T]$%
\begin{align}
\sup_{\theta\leq t\leq T}|%
%
%
\operatorname{u}%
%
_{x}^{+}(t,\cdot)|_{\infty} &  \leq C\theta^{-1}(1+||\xi||_{X_{4}^{T}%
}),\label{a}\\
\sup_{\theta\leq t\leq T}(|%
%
%
\operatorname{u}%
%
(t,\cdot)|_{\infty}+|%
%
%
\operatorname{u}%
%
_{x}(t,\cdot)|_{1}) &  \leq C\theta^{-1}(1+||\xi||_{X_{4}^{T}}).\label{b}%
\end{align}

\end{theorem}

\begin{proof}
Pour simplifier les notations, nous supposons que $T=2$. Supposons d'abord que
$%
%
%
\operatorname{u}%
%
(0)\in H^{4}.$ Alors, le th�or�me \ref{burgersok} implique que $%
%
%
\operatorname{u}%
%
\in X_{4}^{T}$. On se propose d'�crire la solution $%
%
%
\operatorname{u}%
%
$ de (\ref{B}), (\ref{B*}),(\ref{B2}) comme
\[%
%
%
\operatorname{u}%
%
=\xi+v.
\]
Par cons�quent, $v$ est solution de
\begin{equation}
v_{t}+%
%
%
\operatorname{u}%
%%
%
%
\operatorname{u}%
%
_{x}-\nu v_{xx}=\nu\xi_{xx}.\label{equa_v}%
\end{equation}
On d�rive cette �quation par rapport � $x$ et on multiplie par $t,$ on trouve%
\begin{equation}
tv_{tx}+t(%
%
%
\operatorname{u}%
%
_{x}^{2}+%
%
%
\operatorname{u}%
%%
%
%
\operatorname{u}%
%
_{xx})=\nu tv_{xxx}+\nu t\xi_{xxx}.\label{tv_x}%
\end{equation}
On pose $w:=tv_{x}$ et on r��crit (\ref{tv_x}) comme%
\begin{equation}
(w_{t}-v_{x})+t%
%
%
\operatorname{u}%
%
_{x}^{2}+(t%
%
%
\operatorname{u}%
%
\xi_{xx}+%
%
%
\operatorname{u}%
%
w_{x})=\nu w_{xx}+\nu t\xi_{xxx}.\label{equaw=tv_x}%
\end{equation}
Maintenant, on consid�re la fonction $w(t,x)$ sur le cylindre $Q=[0,2]\times
\mathbb{S}^{1}.$ Comme $w_{|t=0}=0$ et $\int w(x)dx=0$ alors, soit $w$ est
identiquement nulle, soit $w$ atteint son maximum $M>0$ en $(t_{1},x_{1})\in Q$
avec $t_{1}>0.$ Si $w$ est identiquement nulle alors $v_{x}(t,x)\equiv0,$ et
$v(t,x)=0$ sur $Q.$ D'o� (\ref{a}) et (\ref{b}). Maintenant, supposons que $w$
atteint son maximum $M>0$ en $(t_{1},x_{1})\in Q$ et notons%
\begin{equation}
K:=\max(1,\max_{0\leq t\leq2}|\xi(t,\cdot)|_{\mathcal{C}^{3}(\mathbb{S}^{1}%
)}).\label{KmaxC3}%
\end{equation}
Alors%
\[
K\leq\max(1,C||\xi(t,\cdot)||_{X_{4}^{T}})<\infty,\quad C>0
\]
D�montrons que
\begin{equation}
M\leq9K.\label{claim M<=9K}%
\end{equation}
Par un raisonnement par l'absurde, supposons que $M>9K.$ Comme $\xi,%
%
%
\operatorname{u}%
%
\in X_{4}^{T}$, on trouve de l'�quation (\ref{equaw=tv_x}) que $w_{t}%
,w_{x},w_{xx}\in\mathcal{C}(Q)$ \cite{Evans}. Alors les conditions
d'optimalit� impliquent que
\begin{equation}
w_{t}\geq0,\text{ }w_{x}=0\text{ et }w_{xx}\leq0\quad\text{au point }%
(t_{1},x_{1}).\label{op}%
\end{equation}
Par (\ref{op}) et (\ref{equaw=tv_x}), on a au point $(t_{1},x_{1}),$ la
relation%
\[
-v_{x}+t%
%
%
\operatorname{u}%
%
_{x}^{2}+t%
%
%
\operatorname{u}%
%
\xi_{xx}\leq\nu t\xi_{xxx}.
\]
On multiplie cette derni�re in�galit� par $t$ et en utilisant le fait que
$w(t_{1},x_{1})=M$ et $t^{2}%
%
%
\operatorname{u}%
%
_{x}^{2}=(w+t\xi_{x})^{2}$, nous avons au point $(t_{1},x_{1})$,
\begin{equation}
-M+(M+t\xi_{x})^{2}+t^{2}%
%
%
\operatorname{u}%
%
\xi_{xx}\leq\nu t^{2}\xi_{xxx}.\label{Op}%
\end{equation}
Comme $t\leq2$, par (\ref{KmaxC3}) on a
\begin{equation}
|t\partial_{x^{j}}^{j}\xi|\leq2K,\quad j=0,\ldots,3.\label{|tksi_(j)|<2K}%
\end{equation}
De plus,%
\begin{equation}
(M+t\xi_{x})^{2}\geq(M-2K)^{2},\quad\text{au point }(t_{1},x_{1}),\label{M-2K}%
\end{equation}
car $M>2K.$ De plus, $\int_{\mathbb{S}^{1}}tv(x)dx=0$ et $tv_{x}=w\leq M$,
alors le lemme \ref{lem18} implique que $|tv|\leq M$, ce qui entra�ne
\begin{equation}
|t%
%
%
\operatorname{u}%
%
|\leq|t\xi|+M\leq2K+M,\quad\forall(t,x)\in Q,\label{|tu|<2K+M}%
\end{equation}
et
\[
|t^{2}%
%
%
\operatorname{u}%
%
\xi_{xx}|=|(t%
%
%
\operatorname{u}%
%
)(t\xi_{xx})|\leq(2K+M)(2K),\quad\forall(t,x)\in Q.
\]
Comme $\nu t^{2}\xi_{xxx}\leq4K,$ alors en utilisant (\ref{|tu|<2K+M}), on en d�duit que%
\[
-M+(M-2K)^{2}\leq2K(2K+M)+4K,
\]
Cette derni�re relation implique que $M<6K+2.$ Comme $M>9K$ et $K\geq1$ alors
$6K+2<9K.$ D'o� la contradiction, et (\ref{claim M<=9K}) est �tabli.

Comme $t%
%
%
\operatorname{u}%
%
_{x}=w+t\xi_{x}$ et $M\leq9K,$ alors pour tout $(t,x)\in Q, $ on a $t%
%
%
\operatorname{u}%
%
_{x}\leq11K.$ Donc, $%
%
%
\operatorname{u}%
%
$ satisfait (\ref{a}) si $%
%
%
\operatorname{u}%
%
(0)\in H^{4}$. Encore une fois, le lemme \ref{lem18} implique que
\[
t|%
%
%
\operatorname{u}%
%
|_{\infty},t|%
%
%
\operatorname{u}%
%
_{x}|_{1}\leq22K\leq22(1+||\xi||_{X_{4}^{T}}),
\]
c'est-�-dire, $%
%
%
\operatorname{u}%
%
$ satisfait (\ref{b}) si $%
%
%
\operatorname{u}%
%
(0)\in H^{4}$.

Maintenant, supposons que $%
%
%
\operatorname{u}%
%
(0)\in H^{1}$ est montrons que la solution $%
%
%
\operatorname{u}%
%
\in H^{1}$ de (\ref{B}) v�rifie bien (\ref{a}) et (\ref{b}). Choisissons une
suite $\{%
%
%
\operatorname{u}%
%
^{j}(0)\}_{j\in%
%
%
\mathbb{N}
%
}$ $\in H^{4}$ qui converge vers $%
%
%
\operatorname{u}%
%
(0)$ dans $H^{1}$. Pour chaque $j\in%
%
%
\mathbb{N}
%
,$ $%
%
%
\operatorname{u}%
%
^{j}(0)$ d�finit une solution $%
%
%
\operatorname{u}%
%
^{j}\in H^{4}$ de (\ref{B}) qui satisfait (par ce qui pr�c�de) (\ref{a}) et
(\ref{b}). Par cons�quent, pour tout $x\in\mathbb{S}^{1}$%
\begin{equation}
|%
%
%
\operatorname{u}%
%
_{x}^{+}(t,x)|\leq|%
%
%
\operatorname{u}%
%
_{x}^{+}(t,x)-%
%
%
\operatorname{u}%
%
_{x}^{j+}(t,x)|+C(1+||\xi||_{X_{4}^{T}}),\quad C>0.\label{ux+H1}%
\end{equation}
Par le th�or�me \ref{th6} avec $m=1,$
\begin{equation}%
%
%
\operatorname{u}%
%
^{j}(t,\cdot)\rightarrow%
%
%
\operatorname{u}%
%
(t,\cdot)\text{ dans }H^{1}.\label{**}%
\end{equation}
D'ici $\{%
%
%
\operatorname{u}%
%
_{x}^{j}(t,x)\}$ converge (� extraction d'une sous-suite) vers $%
%
%
\operatorname{u}%
%
_{x}(t,x)$ p.p en $x.$ En passant � la limite dans (\ref{ux+H1}) quand
$j\rightarrow+\infty$ nous obtenons que $|%
%
%
\operatorname{u}%
%
_{x}^{+}(t,x)|\leq C(1+||\xi||_{X_{4}^{T}})$ p.p, et (\ref{a}) est v�rifi�e.

La convergence (\ref{**}) et le fait que (\ref{b}) est vrai pour $%
%
%
\operatorname{u}%
%
^{j}$ implique que (\ref{b}) reste vrai pour $%
%
%
\operatorname{u}%
%
.$
\end{proof}

Par le th�or�me \ref{th2} et le th�or�me \ref{th17}, nous avons imm�diatement
le :

\begin{corollary}
\label{cor17}Si $B_{4}<\infty$ et $%
%
%
\operatorname{u}%
%
(0)\in H^{1}$, alors pour tout $p\geq1$ et $0<\theta\leq T,$ il existe
$C(p,T,B_{4})>0$ telle que
\begin{align*}
\mathbb{E}[\sup_{\theta\leq t\leq T}|%
%
%
\operatorname{u}%
%
_{x}^{+}(t,\cdot)|_{\infty}^{p}] &  \leq C\theta^{-p},\\
\mathbb{E}[\sup_{\theta\leq t\leq T}(|%
%
%
\operatorname{u}%
%
(t,\cdot)|_{\infty}^{p}+|%
%
%
\operatorname{u}%
%
_{x}(t,\cdot)|_{1}^{p})] &  \leq C\theta^{-p}.
\end{align*}

\end{corollary}

\section{Loi de la solution $%
%
%
\operatorname{u}%
%
$ et les deux semi groupes de Markov}

Soit $(X,\mathcal{B}_{X})$ et $(Y,\mathcal{B}_{Y})$ deux espaces mesurables.
Par exemple, $X$ et $Y$ sont deux sous-ensembles ferm�s d'espaces de Banach,
munis de leurs tribus Bor�liennes \cite{Shir}. Soit $F:X\rightarrow Y$ une
application mesurable. Notons par $\mathcal{P}(X,\mathcal{B}_{X})$ (resp.
$\mathcal{P}(Y,\mathcal{B}_{Y})$) l'espace des mesures de probabilit�s sur
$(X,\mathcal{B}_{X})$ (resp. $(Y,\mathcal{B}_{Y})$). Rappelons \cite{Shir} que
$F$ d�finit l'application
\[
F_{\ast}:\mathcal{P}(X,\mathcal{B}_{X})\rightarrow\mathcal{P}(Y,\mathcal{B}%
_{Y}),\quad m\longmapsto F\circ m,
\]
o� pour tout $Q\in$ $\mathcal{B}_{Y}:(F\circ m)(Q)=m(F^{-1}(Q)).$
L'application $F_{\ast}$ est lin�aire dans le sens o�:%
\begin{equation}
F_{\ast}(am_{1}+(1-a)m_{2})=aF_{\ast}(m_{1})+(1-a)F_{\ast}(m_{2}%
),\label{F_*lineaire}%
\end{equation}
pour tout $m_{1},m_{2}\in\mathcal{P}(X,\mathcal{B}_{X})$ et $a\in\lbrack0,1].$

\begin{lemma}
\label{loi}\cite{Shir} Soient $X$ et $Y$ deux espaces de Banach s�parables et
$\mu\in\mathcal{P}(X)$. Alors, il existe une variable al�atoire $\varsigma
:\Omega\rightarrow X$ telle que sa loi, not�e $\mathcal{D}(\varsigma),$ est �gale
� $\mu.$ De plus, si $F:X\rightarrow Y$ est une application mesurable, alors
$F\circ\mu=\mathcal{D}(F\circ\varsigma).$
\end{lemma}

Soit $m\geq0$. On munit l'espace de Banach s�parable $X_{m}^{T}$ de sa tribu
Bor�lienne $\mathcal{B}:\mathcal{=B}_{X_{m}^{T}}.$ On note par $\mathcal{P}%
(X_{m}^{T})$ l'espace des mesures de probabilit� Bor�liennes sur $(X_{m}%
^{T},\mathcal{B}),$ et par $\mathcal{C}_{b}(X_{m}^{T})$ l'espace des fonctions
continues et born�es sur $X_{m}^{T}$ muni de la norme de convergence uniforme
\cite{Dud}. On rappelle (th�or�me \ref{th2}) que si $B_{m}<\infty,$ $m\geq1$,
alors $\xi^{\omega}$ d�finit une variable al�atoire $\xi:\Omega\rightarrow
X_{m}^{T}.$ Sa loi, not�e $\mathcal{D}(\xi^{\omega}),$ est la mesure $\pi
=\xi\circ\mathbb{P}$, c'est-�-dire, la mesure telle que pour tout $Q\in\mathcal{B}%
(X_{m}^{T}):\pi(Q)=\mathbb{P}\{\omega:\xi^{\omega}\in Q\}.$ Alors, pour tout
$f\in\mathcal{C}_{b}(X_{m}^{T})$, on a
\[
\langle f,\pi\rangle:=\int_{X_{m}^{T}}f(\xi)\pi(d\xi)=\int_{\Omega}%
f(\xi^{\omega})\mathbb{P}(d\omega)=\mathbb{E}[f(\xi^{\omega})]\text{,}%
\]
(voir \cite{Shir}). Soit $f\in(X_{m}^{T})^{\ast},$ c'est-�-dire, $f$ est une forme
lin�aire continue sur $X_{m}^{T}$.$\ $Comme les processus $\{\beta_{s}\}$ sont
ind�pendants, alors
\[
f\circ\pi=\mathcal{D}\left(  f\left(  \sum_{s\in%
%
%
\mathbb{Z}
%
^{\ast}}b_{s}\beta_{s}^{\omega}(t)e_{s}(x)\right)  \right)  =\mathcal{D}%
\left(  \sum_{s\in%
%
%
\mathbb{Z}
%
^{\ast}}b_{s}f(\beta_{s}^{\omega}(t)e_{s}(x))\right)  =\pi_{1}\star\pi
_{2}\star\cdots.
\]
Ici $\pi_{j}=\mathcal{D}\left(  b_{j}f(e_{j}\beta_{j}^{\omega})\right)  $ et
$\star$ est la convolution des mesures. Comme les $\pi_{j}$ sont des mesures
Gaussiennes alors $f\circ\pi$ l'est aussi \cite{Shir}. C'est � dire, $\pi$ est
une mesure Gaussienne dans l'espace de Banach $X_{m}^{T}$ \cite{Bog},
\cite{Kuo}. Comme $\pi_{j}$ d�pend seulement de $f,b_{s}$ et de la loi de
$\beta_{s}^{\omega}$ alors
\begin{equation}
\pi\text{ d�pend seulement de la suite }\{b_{k},k\in%
%
%
\mathbb{Z}
%
^{\ast}\}.\label{mesure}%
\end{equation}
Notons qu'on peut obtenir (\ref{csqfern}) comme cons�quence du c�l�bre
th�or�me de \textit{Fernique\ }qui affirme que si $\mu$ est une mesure
Gaussienne dans un espace de Banach $X$, alors il existe un r�el positif
$\alpha$ tel que
\[
\int_{X}e^{(\alpha||x||_{X})}\mu(dx)<\infty\text{ (voir \cite{Bog},
\cite{Kuo})}.
\]


Soit $B_{m}<\infty,$ $m\geq1.$ Consid�rons le probl�me de Cauchy (\ref{B}),
(\ref{B*}), (\ref{B2}). Soit $m_{0}\in\mathcal{P}(H^{m})$ et $%
%
%
\operatorname{u}%
%
_{0}^{\omega}\in H^{m}$ une variable al�atoire ind�pendante de $\xi^{\omega}$,
telle que $\mathcal{D}(%
%
%
\operatorname{u}%
%
_{0}^{\omega})=m_{0}$ (lemme \ref{loi}). Alors
\[
\mathcal{P}(H^{m}\times X_{m}^{T})\ni\mathcal{D}(%
%
%
\operatorname{u}%
%
_{0}^{\omega},\xi^{\omega})=m_{0}\times\mathcal{D}(\xi^{\omega}).
\]
On note dans la suite $\mathcal{D}(\xi^{\omega})$ par $\pi$. On
supposera $\pi$ fix� et on �tudie la d�pendance de la loi de la solution $%
%
%
\operatorname{u}%
%
^{\omega}(t,x)$ du probl�me de Cauchy par rapport � $m_{0}.$ On d�signe par $%
%
%
\operatorname{u}%
%
^{\omega}(t;%
%
%
\operatorname{u}%
%
_{0}^{\omega})$ la solution issue de $%
%
%
\operatorname{u}%
%
_{0}^{\omega}$ � l'instant $t$, et on construit l'application $S_{t}^{\ast}$ d�finie par :%
\begin{equation}
S_{t}^{\ast}:\mathcal{P}(H^{m})\rightarrow\mathcal{P}(H^{m}),\quad
m_{0}\mapsto\mathcal{M}_{t}\circ(m_{0}\times\pi):=\mathcal{D}(%
%
%
\operatorname{u}%
%
^{\omega}(t;%
%
%
\operatorname{u}%
%
_{0}^{\omega})),\nonumber
\end{equation}
(cf. th�or�me \ref{th6} et (\ref{Mt})). L'application $S_{t}^{\ast}$ est
lin�aire (cf. (\ref{F_*lineaire})).

\begin{lemma}
\label{00}Soient $\widetilde{%
%
%
\operatorname{u}%
%
}^{\omega}$ une solution de (\ref{B}) avec $\widetilde{\eta}^{\omega}%
=\partial_{t}\widetilde{\xi}^{\omega},$ $\widetilde{\xi}^{\omega
}(t,x)=\underset{s\in%
%
%
\mathbb{Z}
%
^{\ast}}{\sum}b_{s}\widetilde{\beta}_{s}^{\omega}(t)e_{s}(x),$ et
$\{\widetilde{\beta}_{s}^{\omega}(t),$ $s\in%
%
%
\mathbb{Z}
%
^{\ast}\}$ sont des processus de Wiener standard ind�pendants. Soit
$\widetilde{%
%
%
\operatorname{u}%
%
}^{\omega}(0)=\widetilde{%
%
%
\operatorname{u}%
%
}_{0}^{\omega}\in H^{m} $ une variable al�atoire ind�pendante de
$\widetilde{\xi}^{\omega}$ telle que $\mathcal{D}(\widetilde{%
%
%
\operatorname{u}%
%
}_{0}^{\omega})=m_{0}. $ Alors $\mathcal{D}(\widetilde{%
%
%
\operatorname{u}%
%
}(t))=S_{t}^{\ast}(m_{0}), $ pour tout $t\in(0,T).$
\end{lemma}

\begin{proof}
Par le th�or�me \ref{th6}, nous avons $\widetilde{%
%
%
\operatorname{u}%
%
}^{\omega}(t)=\mathcal{M}_{t}(\widetilde{%
%
%
\operatorname{u}%
%
}_{0}^{\omega},\widetilde{\xi}^{\omega})$, et par le lemme \ref{loi}, nous
obtenons que $\mathcal{D}(\widetilde{%
%
%
\operatorname{u}%
%
}(t))=\mathcal{M}_{t}\circ\mathcal{D}(\widetilde{%
%
%
\operatorname{u}%
%
}_{0}^{\omega},\widetilde{\xi}^{\omega}).$ �tant donn� (\ref{mesure}) et comme
$\widetilde{%
%
%
\operatorname{u}%
%
}_{0}^{\omega}$ est ind�pendante de $\widetilde{\xi}^{\omega}$, alors%
\[
\mathcal{D}(\widetilde{%
%
%
\operatorname{u}%
%
}_{0}^{\omega},\widetilde{\xi}^{\omega})=\mathcal{D}(\widetilde{%
%
%
\operatorname{u}%
%
}_{0}^{\omega})\times\mathcal{D}(\widetilde{\xi}^{\omega})=m_{0}\times\pi.
\]
Donc, $\mathcal{D}(\widetilde{%
%
%
\operatorname{u}%
%
}(t))=\mathcal{M}_{t}\circ(m_{0}\times\pi)=S_{t}^{\ast}(m_{0})$.
\end{proof}

Si $%
%
%
\operatorname{u}%
%
_{0}:=v\in H^{m}$ est ind�pendante de $\omega$, alors $\mathcal{D}(%
%
%
\operatorname{u}%
%
_{0})=\delta_{v}\in\mathcal{P}(H^{m})$ est la mesure de Dirac et $S_{t}^{\ast
}(\delta_{v})=\mathcal{D}(%
%
%
\operatorname{u}%
%
(t;v)).$ On consid�re l'application
\[
\Sigma:%
%
%
\mathbb{R}
%
^{+}\times H^{m}\rightarrow\mathcal{P}(H^{m}),\quad(t,v)\mapsto S_{t}^{\ast
}(\delta_{v})=\mathcal{D}(%
%
%
\operatorname{u}%
%
(t;v))=\Sigma_{t}(v).
\]
Elle est appel�e : \textit{la fonction de transition de Markov.}

\begin{theorem}
\label{th7}$S_{0}^{\ast}=Id$ et pour tout $t_{1},t_{2}\geq0:$%
\begin{equation}
S_{t_{1}}^{\ast}\circ S_{t_{2}}^{\ast}=S_{t_{1}+t_{2}}^{\ast}%
.\label{St*semigroupe}%
\end{equation}

\end{theorem}

On dit que $\{S_{t}^{\ast}\}_{t\geq0}$ est \textit{le semi groupe de Markov dans
}$\mathcal{P}(H^{m})$ de l'�quation (\ref{B}).

\begin{proof}
La premi�re affirmation est �vidente. Pour d�montrer la derni�re, on fixe
$t_{1},t_{2}\geq0$ et on pose $\mu_{i}:=\mathcal{D}(%
%
%
\operatorname{u}%
%
^{\omega}(t_{i};%
%
%
\operatorname{u}%
%
_{0}^{\omega}))$ pour $i=1,2.$ Notons $v(t,x)=u(t_{1}+t;%
%
%
\operatorname{u}%
%
_{0}^{\omega}).$ Alors $v$ v�rifie le probl�me de Cauchy
\[
\left\{
\begin{array}
[c]{c}%
v_{t}+vv_{x}-\nu v_{xx}=\widetilde{\eta}^{\omega},\\
v(0,x)=v_{0},
\end{array}
\right.
\]
o� $\widetilde{\eta}^{\omega}(t,x)=\eta^{\omega}(t_{1}+t,x)$ et $v_{0}=%
%
%
\operatorname{u}%
%
(t_{1};%
%
%
\operatorname{u}%
%
_{0}^{\omega}).$ C'est � dire,
\[
\widetilde{\eta}^{\omega}(t,x)=\partial_{t}(\xi^{\omega}(t_{1}+t,x))=\partial
_{t}(\xi^{\omega}(t_{1}+t,x)-\xi^{\omega}(t_{1},x)):=\partial_{t}%
(\widetilde{\xi}^{\omega}(t,x)).
\]
et
\[
\widetilde{\xi}^{\omega}(t,x)=\sum_{s\in%
%
%
\mathbb{Z}
%
^{\ast}}b_{s}(\mathbb{\beta}_{s}^{\omega}(t+t_{1})-\mathbb{\beta}_{s}^{\omega
}(t_{1}))e_{s}(x).
\]
Comme $\{\mathbb{\beta}_{s}^{\omega}\}$ sont des processus de Wiener standards
ind�pendants alors $\{\mathbb{\beta}_{s}^{\omega}(t+t_{1})-\mathbb{\beta}%
_{s}^{\omega}(t_{1})\}$ l'est aussi (appendice A). Ainsi, nous avons que
$\mathcal{D}(\widetilde{\xi}^{\omega})=\mathcal{D}(\xi^{\omega})$. La variable
al�atoire $v_{0}^{\omega}=%
%
%
\operatorname{u}%
%
(t_{1},%
%
%
\operatorname{u}%
%
_{0}^{\omega})$ ne d�pend que de $%
%
%
\operatorname{u}%
%
_{0}^{\omega}$ et $(\xi^{\omega}(t),0\leq t\leq t_{1}).$ Par cons�quent, elle est
ind�pendante des incr�ments $(\xi^{\omega}(t_{1}+t)-\xi^{\omega}(t_{1}%
),t\geq0)$ (qui sont ind�pendants de $%
%
%
\operatorname{u}%
%
_{0}^{\omega}$ et des $(\xi^{\omega}(t),0\leq t\leq t_{1})$). Donc, par le
lemme \ref{00}, on a que
\begin{equation}
\mathcal{D}(v(t_{2}))=S_{t_{2}}^{\ast}(\mu_{1})=S_{t_{2}}^{\ast}\circ
S_{t_{1}}^{\ast}(m_{0}).\nonumber
\end{equation}
Comme $\mathcal{D}(v(t_{2}))=\mathcal{D}(%
%
%
\operatorname{u}%
%
(t_{1}+t_{2});%
%
%
\operatorname{u}%
%
_{0})=S_{t_{1}+t_{2}}^{\ast}(\mu_{1}),$ alors nous obtenons
(\ref{St*semigroupe}).
\end{proof}

Notons par $L_{b}(H^{m})$ l'espace vectoriel des fonctions born�es sur $H^{m}
$, et pour tout $t\geq0$, consid�rons l'application $S_{t}:\mathcal{C}%
_{b}(H^{m})\rightarrow L_{b}(H^{m})$ d�finie par%
\begin{equation}
S_{t}f\left(  v\right)  :=\mathbb{E[}f(%
%
%
\operatorname{u}%
%
(t;v)],\text{\quad}f\in\mathcal{C}_{b}(H^{m}),\text{ }v\in H^{m}.\label{Stdef}%
\end{equation}
Par d�finition de $S_{t}$, on a
\begin{equation}
S_{t}f\left(  v\right)  =\langle f,\mathcal{D}(%
%
%
\operatorname{u}%
%
(t;v))\rangle=\langle f,\mathcal{M}_{t}\circ(\delta_{v}\times\pi
)\rangle=\langle f,\Sigma_{t}(v))\rangle.\label{Stf(v)1}%
\end{equation}


\begin{theorem}
\label{th8}Soit $m\geq1$ et $t\geq0.$ Alors

\begin{enumerate}
\item $S_{t}(\mathcal{C}_{b}(H^{m}))\subset\mathcal{C}_{b}(H^{m}).$

\item L'application $S_{t}$ est lin�aire et positive.

\item L'application $S_{t}:\mathcal{C}_{b}(H^{m})\rightarrow\mathcal{C}%
_{b}(H^{m})$ est continue et sa norme est �gale � 1.

\item Pour tout $f\in\mathcal{C}_{b}(H^{m})$ et $\mu$ dans $\mathcal{P}%
(H^{m})$ nous avons que%
\begin{equation}
\langle S_{t}f,\mu\rangle=\langle f,S_{t}^{\ast}(\mu)\rangle.\label{dual}%
\end{equation}

\end{enumerate}
\end{theorem}

\begin{proof}
1) Si $f\in\mathcal{C}_{b}(H^{m})$ alors par (\ref{Stdef}) :%
\[
S_{t}f(v)=\mathbb{E}[f(%
%
%
\operatorname{u}%
%
(t;v)]=\mathbb{E}[f\circ\mathcal{M}_{t}(v,\xi^{\omega})].
\]
Si $v_{n}\rightarrow v$ dans $H^{m}$ alors pour chaque $\omega,$
$f\circ\mathcal{M}_{t}(v_{n},\xi^{\omega})\rightarrow f\circ\mathcal{M}%
_{t}(v,\xi^{\omega})$ dans $H^{m}$ (car $f\circ\mathcal{M}_{t}$ est
continue)$.$ Alors, par le th�or�me de convergence domin�e de Lebesgue :
$S_{t}f(v_{n})\rightarrow S_{t}f(v)$, donc $S_{t}f\in\mathcal{C}_{b}(H^{m})$.

2) La lin�arit� et la positivit� de $S_{t}$ sont �videntes.

3) La relation $S_{t}\boldsymbol{1}=\boldsymbol{1}$ ou $\boldsymbol{1}(u)=1$
pour tout $u$ est triviale. Soit $f$ dans $\mathcal{C}_{b}(H^{m})$ et notons
par $d=||f||.$ Alors%
\[
-d\boldsymbol{1}\leq f\leq d\boldsymbol{1.}%
\]
En utilisant la positivit� de $S_{t}$ et cette relation nous avons que
$-d\boldsymbol{1}\leq S_{t}f\leq d\boldsymbol{1}$, d'ici $||S_{t}f||\leq||f||$. Donc $|S_{t}|_{\mathcal{C}_{b},\mathcal{C}_{b}}\leq1,$ et $S_{t}$ est
continue. Finalement, comme $S_{t}\boldsymbol{1}=\boldsymbol{1}$ alors
$|S_{t}|_{\mathcal{C}_{b},\mathcal{C}_{b}}=1$.

3) Nous avons
\[
\langle f,S_{t}^{\ast}(\mu)\rangle=\langle f,\mathcal{M}_{t}\circ(\mu\times
\pi)\rangle=\langle f\circ\mathcal{M}_{t},\mu\times\pi\rangle.
\]
Puis par le th�or�me de Fubini :%
\[
\langle f\circ\mathcal{M}_{t},\mu\times\pi\rangle=\int_{H^{m}}\underset
{(S_{t}f)v}{\underbrace{\int_{H^{m}}(f\circ\mathcal{M}_{t})(v,\xi)\pi(d\xi)}%
}\mu(dv)=\langle S_{t}f,\mu\rangle.
\]

\end{proof}

On d�montre dans ce qui suit que la famille d'op�rateurs $\{S_{t},t\geq0\}$
forment un semi groupe.

\begin{theorem}
\label{th9}Nous avons $S_{0}=Id$ et pour tout $t_{1},t_{2}\geq0$%
\begin{equation}
S_{t_{1}}\circ S_{t_{2}}=S_{t_{1}+t_{2}}.\label{Stsemigroupe}%
\end{equation}

\end{theorem}

On dit que $\{S_{t}\}_{t\geq0}$ est \textit{le semi groupe de Markov dans
}$\mathcal{C}_{b}(H^{m})$ de l'�quation (\ref{B}).

\begin{proof}
Soit $t_{1},t_{2}>0$, $f\in\mathcal{C}_{b}(H^{m})$ et $v\in H^{m}.$ Par le
th�or�me \ref{th8}, on a $(S_{t_{1}+t_{2}}f)v=\langle f,S_{t_{1}+t_{2}}^{\ast
}(\delta_{v})\rangle$ et par le th�or�me \ref{th7} $\langle f,S_{t_{1}+t_{2}%
}^{\ast}(\delta_{v})\rangle=\langle f,S_{t_{1}}^{\ast}\circ S_{t_{2}}^{\ast
}(\delta_{v})\rangle$. Encore une fois par le th�or�me \ref{th8} $\langle
f,S_{t_{1}}^{\ast}\circ S_{t_{2}}^{\ast}(\delta_{v})\rangle=\langle S_{t_{1}%
}f,S_{t_{2}}^{\ast}(\delta_{v})\rangle=\langle S_{t_{2}}\circ S_{t_{1}%
}f,\delta_{v}\rangle$. Finalement $(S_{t_{1}+t_{2}}f)v=(S_{t_{2}}\circ
S_{t_{1}}f)v.$
\end{proof}

\begin{theorem}
\label{p10}\label{KCH}(Relation de Kolmogorov-Chapman)

Pour tout $t_{1},t_{2}\geq0,$ $m\geq1$ et $v\in H^{m}$, on a
\begin{equation}
\Sigma_{t_{1}+t_{2}}(v)=\int\left(  \Sigma_{t_{2}}(u)\right)  \Sigma_{t_{1}%
}(v)\left(  du\right)  .\label{m0}%
\end{equation}
Ici, l'int�grale de droite est l'int�grale de la fonction $u\longmapsto
\Sigma_{t_{2}}(u)\in\mathcal{P}(H^{m})$ par rapport � la mesure $\Sigma
_{t_{1}}(v)$ \cite{Bourba}. Alors, pour tout $f\in\mathcal{C}_{b}(H^{m}):$%
\begin{equation}
S_{t_{1}+t_{2}}f(v)=\langle\Sigma_{t_{1}+t_{2}}(v),f\rangle=\int\langle
\Sigma_{t_{2}}(u),f\rangle\Sigma_{t_{1}}(v)(du).\label{m1}%
\end{equation}

\end{theorem}

\begin{proof}
L'int�grale � droite de (\ref{m1}) est �gale � $\int S_{t_{2}}f(u)\Sigma
_{t_{1}}(v)(du)=\left(  S_{t_{1}}\circ S_{t_{2}}f\right)  (v)$. Alors,
(\ref{m1}) est une cons�quence de (\ref{Stsemigroupe}). Comme les termes �
gauche et � droite de (\ref{m1}) sont les int�grales d'une fonction arbitraire $f\in {\mathcal{C}}_{b}(H^{m})$ par rapport aux deux
mesures d�finies dans (\ref{m0}), alors (\ref{m0}) est une cons�quence de
(\ref{m1}).%

%
%
%

\end{proof}

Le th�or�me \ref{KCH} peut �tre g�n�ralis� :

\begin{proposition}
\label{KCHgen}Pour tout $t_{1},t_{2}\geq0,$ $m\geq1$ et $v\in H^{m}$, si
$f\in\mathcal{C}_{b}(H^{m})$ et $\Phi$ est une fonction born�e et mesurable
sur $X_{m}^{t_{1}},$ alors
\begin{equation}
\mathbb{E}[\Phi(%
%
%
\operatorname{u}%
%
(\tau;v)_{|\tau\in\lbrack0,t_{1}]})f(%
%
%
\operatorname{u}%
%
(t_{1}+t_{2};v))]=\mathbb{E}[\Phi(%
%
%
\operatorname{u}%
%
(\tau;v)_{|\tau\in\lbrack0,t_{1}]})\langle\Sigma_{t_{2}}(%
%
%
\operatorname{u}%
%
(t_{1};v)),f\rangle].\label{m2}%
\end{equation}

\end{proposition}

Notons que (\ref{m2}) est �gale � (\ref{m1}) si $\Phi\equiv1.$

\begin{proof}
Nous raisonnons comme dans la d�monstration du th�or�me \ref{th7}. Consid�rons
des espaces de probabilit� $\left(  \Omega_{i},\mathcal{F}_{i},\mathbb{P}%
_{i}\right)  ,$ $i=1,2,$ et $(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P})=(\Omega_{1}%
\times\Omega_{2},,\mathcal{F}_{1}\times\mathcal{F}_{2},\mathbb{P}_{1}%
\times\mathbb{P}_{2}).$ Soit $\{\beta_{s}^{\omega_{i}},$ $s\in%
%
%
\mathbb{Z}
%
^{\ast}\},$ $i=1,2,$ des processus de Wiener standard ind�pendants d�finies
sur $\left(  \Omega_{i},\mathcal{F}_{i},\mathbb{P}_{i}\right)  ,$ $i=1,2.$
Pour $t_{1},t_{2}\geq0$ et $\omega=(\omega_{1},\omega_{2})\in\Omega,$ on pose
:%
\[
\beta_{s}^{\omega}(t)=\left\{
\begin{array}
[c]{c}%
\beta_{s}^{\omega_{1}}(t),\quad0\leq t\leq t_{1}\\
\beta_{s}^{\omega_{1}}(t_{1})+\beta_{s}^{\omega_{2}}(t-t_{1}),\quad t_{1}\leq
t\leq t_{2},
\end{array}
\right.
\]
qui sont des processus de Wiener standard ind�pendants. On choisit cette
forme de $\{\beta_{s}^{\omega},$ $s\in%
%
%
\mathbb{Z}
%
^{\ast}\}$ pour la force $\xi$ (voir (\ref{B*})). Dans ce cas, pour $0\leq
t\leq t_{1,}$ la solution $%
%
%
\operatorname{u}%
%
^{\omega}(t;v)=%
%
%
\operatorname{u}%
%
^{\omega_{1}}(t;v)$ ne d�pend pas de $\omega_{2},$ et pour $t_{1}\leq t\leq
t_{2}$, l'�quation pour $%
%
%
\operatorname{u}%
%
^{\omega}(t;v)$ d�pend seulement de $\omega_{2}.$ Donc,
\[%
%
%
\operatorname{u}%
%
^{\omega}(t_{1}+t;v)=%
%
%
\operatorname{u}%
%
^{\omega_{2}}(t;%
%
%
\operatorname{u}%
%
^{\omega_{1}}(t_{1};v)),
\]
et l'int�grale � gauche de (\ref{m2}) s'�crit :
\begin{align*}
& \int_{\Omega}\Phi(%
%
%
\operatorname{u}%
%
^{\omega}(\tau;v)_{|\tau\in\lbrack0,t_{1}]})f(%
%
%
\operatorname{u}%
%
^{\omega}(t_{1}+t_{2};v)\mathbb{P}(d\omega)\\
& =\int_{\Omega_{1}}\int_{\Omega_{2}}\Phi(%
%
%
\operatorname{u}%
%
^{\omega_{1}}(\tau;v)_{|\tau\in\lbrack0,t_{1}]})f(%
%
%
\operatorname{u}%
%
^{\omega_{1},\omega_{2}}(t_{1}+t_{2};v)\mathbb{P}_{1}(d\omega_{1}%
)\mathbb{P}_{2}(d\omega_{2})\\
& =\int_{\Omega_{1}}\left(  \int_{\Omega_{2}}f(%
%
%
\operatorname{u}%
%
^{\omega_{2}}(t_{2};%
%
%
\operatorname{u}%
%
^{\omega_{1}}(t_{1};v))\mathbb{P}_{2}(d\omega_{2})\right)  \Phi(%
%
%
\operatorname{u}%
%
^{\omega_{1}}(\tau;v)_{|\tau\in\lbrack0,t_{1}]})\mathbb{P}_{1}(d\omega_{1})\\
& =\int_{\Omega}\langle\Sigma_{t_{2}}(%
%
%
\operatorname{u}%
%
(t_{1};v)),f\rangle\Phi(%
%
%
\operatorname{u}%
%
^{\omega}(\tau;v)_{|\tau\in\lbrack0,t_{1}]})\mathbb{P}(d\omega).
\end{align*}
Et (\ref{m2}) est v�rifi�.
\end{proof}

Le th�or�me \ref{th7} et (\ref{m1}) impliquent que pour $0<t_{1}<t_{1}+t_{2}$ et
pour chaque donn�e initiale $%
%
%
\operatorname{u}%
%
_{0}^{\omega}$ ind�pendante de la force $\eta^{\omega}$ de la forme
(\ref{B*})$,$ la loi de la solution $%
%
%
\operatorname{u}%
%
(t_{1}+t_{2};%
%
%
\operatorname{u}%
%
_{0})$ est une fonction qui d�pend seulement de la loi de $%
%
%
\operatorname{u}%
%
(t_{1};%
%
%
\operatorname{u}%
%
_{0}).$ On appelle cela : \textit{la propri�t� de Markov. }C'est la raison
pour laquelle il est plus facile d'�tudier l'�quation de Burgers stochastique
avec une force $\eta^{\omega}$ qui est un bruit blanc plut�t qu'avec une autre
force al�atoire.

\section{Convergence faible de mesures}

On rappelle ici quelques r�sultats sur la notion de convergence faible de mesures \cite{Billi}, \cite{Dud}, \cite{Shir}. Soit $X$ un espace
de Banach s�parable, $O_{X}\subset X$ un ferm� (par exemple, $O_{X}=X$). On
note
\[
L(O_{X}):=\{f\in\mathcal{C}_{b}(O_{X}):Lip(f)<\infty\},
\]
o� $Lip(f)$ d�signe la constante de Lipschitz de $f.$ L'espace $L(O_{X})$ muni
de la norme
\[
||f||_{L}=||f||_{L(X)}:=||f||+Lip(f)
\]
est un espace de Banach non s�parable \cite{Dud},\cite{KuShir}.

\begin{definition}
\label{def11}On dit qu'une suite $\{\mu_{n}\}\subset\mathcal{P}(O_{X})$
converge faiblement vers $\mu$ $\in\mathcal{P}(O_{X})$, et on note $\mu
_{n}\rightharpoonup\mu$, si et seulement si%
\[
\forall f\in\mathcal{C}_{b}(O_{X}):\langle\mu_{n},f\rangle\rightarrow
\langle\mu,f\rangle.
\]

\end{definition}

La convergence $\mu_{n}\rightharpoonup\mu$ n'implique pas la convergence de
$\mu_{n}(Q)$ vers $\mu(Q),$ $Q\in\mathcal{B}(O_{X}).$ Pourtant%
\begin{equation}
\mu_{n}(Q)\geq\lim_{n\rightarrow+\infty}\sup\mu_{n}(Q),\text{ si }Q\text{ est
ferm� et }\mu_{n}\rightharpoonup\mu\text{ (voir \cite{Billi}, \cite{Dud},
\cite{Shir}).}\label{ferme}%
\end{equation}


\begin{definition}
\label{def12}Si $\mu$ et $\nu$ sont des �l�ments de $\mathcal{P}(O_{X}),$
alors la distance Lipschitz-duale (ou Lip-duale) entre $\mu$ et $\nu$ est
d�finie par
\[
||\mu-\nu||_{L(X)}^{\ast}:=\sup_{||f||_{L(X)}\leq1}(\langle f,\mu
\rangle-\langle f,\nu\rangle).
\]

\end{definition}

Le th�or�me suivant d� � Kantorovitch caract�rise la convergence faible de
mesures par la distance Lipschitz-duale \cite{Dud}.

\begin{theorem}
\label{th13}\label{kantrovich}Soit $X$ un espace de Banach s�parable,
$O_{X}\subset X$ un ferm�. Alors

\begin{enumerate}
\item $(\mathcal{P}(O_{X}),||\cdot||_{L(X)}^{\ast})$ est un espace m�trique complet.

\item Si $\{\mu_{n}\}$ $\subset\mathcal{P}(O_{X})$ et $\mu$ $\in
\mathcal{P}(O_{X})$ alors
\[
\mu_{n}\rightharpoonup\mu\Longleftrightarrow||\mu_{n}-\mu||_{L(X)}^{\ast
}\rightarrow0.
\]

\end{enumerate}
\end{theorem}

\begin{theorem}
\label{th14}\label{ST*continuefaible}Pour tout $t\geq0$ et $m\geq1$,
l'application $S_{t}^{\ast}:\mathcal{P}(H^{m})\rightarrow\mathcal{P}(H^{m}) $
est faiblement continue, c'est-�-dire, si $\mu_{n}\rightharpoonup\mu$ alors
$S_{t}^{\ast}\mu_{n}\rightharpoonup S_{t}^{\ast}\mu.$
\end{theorem}

\begin{proof}
Soit $\mu_{n}\rightharpoonup\mu$ et $f\in\mathcal{C}_{b}(H^{m}).$ On a par
(\ref{dual}) : $\langle S_{t}^{\ast}\mu_{n},f\rangle=\langle\mu_{n}%
,S_{t}f\rangle$ et $\langle S_{t}^{\ast}\mu,f\rangle=\langle\mu,S_{t}%
f\rangle.$ Comme $S_{t}f\in\mathcal{C}_{b}(H^{m}),$ on a $\langle\mu_{n}%
,S_{t}f\rangle\rightarrow\langle\mu,S_{t}f\rangle.$ Donc, $S_{t}^{\ast}\mu
_{n}\rightharpoonup S_{t}^{\ast}\mu.$
\end{proof}

\begin{definition}
\label{def15}Soit $M$ un ensemble de mesures de $\mathcal{P}(O_{X}).$

\begin{enumerate}
\item $M$ est dit tendu, si pour tout $\varepsilon>0$, il existe un compact
$K_{\varepsilon}\subset O_{X}$ tel que%
\[
\mu(K_{\varepsilon})\geq1-\epsilon,\text{\quad}\forall\mu\in M.
\]


\item $M$ est dit faiblement relativement compact, si toute suite $\{\mu
_{n}\}\subset M$ admet une sous-suite faiblement convergente dans
$\mathcal{P}(O_{X}).$
\end{enumerate}
\end{definition}

Le th�or�me suivant d� � Prokhorov caract�rise les ensembles de mesures
faiblement relativement compact \cite{Billi}, \cite{Dud}, \cite{Shir}.

\begin{theorem}
\label{th16}\label{prochorov}Un ensemble de mesures $M\subset\mathcal{P}%
(O_{X})$ est tendu si et seulement si $M$ est faiblement relativement compact.
\end{theorem}

\section{Bornes sup�rieures pour les normes Sobolev de $%
%
%
\operatorname{u}%
%
$}

Dans la suite nous supposerons toujours que $B_{4}<\infty.$

Le but de cette section est d'estimer l'esp�rance math�matique des normes
$\mathbb{E}[||%
%
%
\operatorname{u}%
%
(t)||_{m}^{2}],$ $m\geq1$, de la solution $%
%
%
\operatorname{u}%
%
(t)$ de (\ref{B}) uniform�ment en $\nu\in(0,1]$ et en $%
%
%
\operatorname{u}%
%
_{0}\in H^{1}.$

On se donne $%
%
%
\operatorname{u}%
%
$ $\in X_{m}^{T}$ solution de (\ref{B}), et on rappelle bri�vement la formule
d'It� \cite{Gall}, \cite{KaS}, \cite{Oks}. Soit $f$ une fonction sur $H^{m}$
de classe $\mathcal{C}^{2}$. Alors la formule d'It� implique que\footnote{Dans
le sens o� la relation (\ref{ito}) est l'esp�rance de la formule d'It�.}
\begin{equation}
\frac{d}{dt}\mathbb{E}[f(%
%
%
\operatorname{u}%
%
(t))]=\mathbb{E}\left[  df(%
%
%
\operatorname{u}%
%
(t))L(%
%
%
\operatorname{u}%
%
(t))+\frac{1}{2}\sum_{s\in%
%
%
\mathbb{Z}
%
^{\ast}}b_{s}^{2}d^{2}f(%
%
%
\operatorname{u}%
%
(t))(e_{s},e_{s})\right]  ,\label{ito}%
\end{equation}
o� $L(%
%
%
\operatorname{u}%
%
)=\nu%
%
%
\operatorname{u}%
%
_{xx}-%
%
%
\operatorname{u}%
%%
%
%
\operatorname{u}%
%
_{x}.$ La relation (\ref{ito}) est une �galit� formelle. Elle devient une
affirmation rigoureuse si on suppose des restrictions sur $f$ \cite[Appendix
A7]{KuShir}. Nous discuterons cela plus tard.

Soit $x\in%
%
%
\mathbb{R}
%
^{+}$, on note par $\lceil x\rceil$ la partie enti�re par exc�s de $x:$%
\[
\lceil x\rceil=\min\{l\in%
%
%
\mathbb{N}
%
:l\geq x\}.
\]


\begin{theorem}
\label{th19}Soit $T>\theta>0$, $m\geq1$ et $\nu\in(0,1]$. Si $B_{\lceil
m\rceil}<\infty$, alors il existe $C_{m}(\theta,B_{\lceil m\rceil},B_{4})>0$
telle que pour tout $%
%
%
\operatorname{u}%
%
_{0}\in H^{1}$, la solution $%
%
%
\operatorname{u}%
%
$ de (\ref{B}), (\ref{B*}), (\ref{B2}) satisfait%
\begin{equation}
\mathbb{E}[||%
%
%
\operatorname{u}%
%
(t)||_{m}^{2}]\leq C_{m}\nu^{-(2m-1)},\quad\forall\theta\leq t\leq
T.\label{esperence<visco}%
\end{equation}

\end{theorem}

\begin{proof}
Par $C_{mj},$ $c_{m}^{^{\prime}},$ $C_{mj}^{\prime},$ $\ldots$ etc, nous
notons des constantes positives qui ne d�pendent que de $m,$ $\theta,$ $B_{4}$
et $B_{\lceil m\rceil}$. On supposera d'abord que $m\in%
%
%
\mathbb{N}
%
^{\ast}.$

i) En premier lieu, nous pr�sentons une preuve bas�e sur une application
formelle de la formule (\ref{ito}) et nous expliquerons plus tard comment
convertir cet argument en une preuve rigoureuse. Supposons d'abord que $%
%
%
\operatorname{u}%
%
_{0}\in H^{m},$ alors la solution $%
%
%
\operatorname{u}%
%
=%
%
%
\operatorname{u}%
%
^{\omega}\in X_{m}^{T}$ (cf. th�or�me \ref{burgersok}) pour chaque $\omega.$

On applique (\ref{ito}) � la fonction $f(%
%
%
\operatorname{u}%
%
)=||%
%
%
\operatorname{u}%
%
||_{m}^{2}=\langle(-\Delta)^{m}%
%
%
\operatorname{u}%
%
,%
%
%
\operatorname{u}%
%
\rangle.$ On a $df(%
%
%
\operatorname{u}%
%
)v=2\langle(-\Delta)^{m}u,v\rangle$ et $d^{2}f(%
%
%
\operatorname{u}%
%
)(e_{s},e_{s})=2\langle(-\Delta)^{m}e_{s},e_{s}\rangle=(2\pi s)^{2m}\langle
e_{s},e_{s}\rangle=(2\pi s)^{2m}$, donc (\ref{ito}) s'�crit comme%
\begin{equation}
\frac{d}{dt}\mathbb{E}[||%
%
%
\operatorname{u}%
%
||_{m}^{2}]=-\mathbb{E}[\langle(-\Delta)^{m}%
%
%
\operatorname{u}%
%
,\partial_{x}%
%
%
\operatorname{u}%
%
^{2}\rangle]-2\nu\mathbb{E}[\langle(-\Delta)^{m}%
%
%
\operatorname{u}%
%
,(-\Delta)%
%
%
\operatorname{u}%
%
\rangle]+B_{m}^{^{\prime}},\label{ito2}%
\end{equation}
o� $B_{m}^{^{\prime}}=(2\pi)^{2m}B_{m}=\underset{s\in%
%
%
\mathbb{Z}
%
^{\ast}}{\sum}b_{s}^{2}(2\pi s)^{2m}.$

Par le lemme \ref{GNtermeNL} (avec $q=\infty$), et le fait que $|%
%
%
\operatorname{u}%
%
|_{\infty}\leq|%
%
%
\operatorname{u}%
%
_{x}|_{1},$ nous avons
\begin{equation}
|\mathbb{E}[\langle(-\Delta)^{m}%
%
%
\operatorname{u}%
%
,\partial_{x}%
%
%
\operatorname{u}%
%
^{2}\rangle]|\leq C_{m}\mathbb{E[}||%
%
%
\operatorname{u}%
%
||_{m+1}^{\alpha+1}|%
%
%
\operatorname{u}%
%
_{x}|_{1}^{2-\alpha}],\quad\alpha=\frac{2m-1}{2m+1}.\label{iuinfinimm+1}%
\end{equation}
L'in�galit� de H�lder\ appliqu�e au membre � droite avec $p=\frac{2m+1}{2m}$,
et le corollaire \ref{cor17} impliquent que pour tout $\theta^{\prime}%
:=\frac{\theta}{2}\leq t\leq T:$
\[
\mathbb{E[}|%
%
%
\operatorname{u}%
%
_{x}|_{1}^{2-\alpha}||%
%
%
\operatorname{u}%
%
||_{m+1}^{\alpha+1}]\leq\left(  \mathbb{E}[|%
%
%
\operatorname{u}%
%
_{x}|_{1}^{(2-\alpha)q_{m}}]\right)  ^{\frac{1}{q_{m}}}\left(  \mathbb{E}[||%
%
%
\operatorname{u}%
%
||_{m+1}^{2}]\right)  ^{\frac{1}{p}}\leq C_{m}\left(  \mathbb{E}[||%
%
%
\operatorname{u}%
%
||_{m+1}^{2}]\right)  ^{\frac{2m}{2m+1}}.
\]
On pose $X_{j}(t)=\mathbb{E}[||%
%
%
\operatorname{u}%
%
||_{j}^{2}],$ $j\in%
%
%
\mathbb{N}
%
^{\ast}.$ D'apr�s les estimations pr�c�dentes, la relation (\ref{ito2}) s'�crit
\begin{equation}
\frac{d}{dt}X_{m}(t)\leq B_{m}^{^{\prime}}-2\nu X_{m+1}(t)+C_{m}%
X_{m+1}(t)^{\frac{2m}{2m+1}},\quad\theta^{\prime}\leq t\leq T.\label{diffHm}%
\end{equation}
Comme pr�c�demment, l'in�galit� (\ref{GN}) (avec $\theta(m,\infty,2,m+1)$),
celle de H�lder et le corollaire \ref{cor17} impliquent que :
\[
X_{m}(t)\leq C_{m1}X_{m+1}(t)^{\frac{2m-1}{2m+1}}\left(  \mathbb{E[}|%
%
%
\operatorname{u}%
%
_{x}|_{1}^{a}]\right)  ^{b}\leq C_{m2}X_{m+1}(t)^{\frac{2m-1}{2m+1}},
\]
pour des constantes convenables $a,b>0$, si $\theta^{\prime}\leq t\leq T$.
Alors%
\begin{equation}
X_{m+1}(t)\geq C_{m3}X_{m}(t)^{\frac{2m+1}{2m-1}},\quad\theta^{\prime}\leq
t\leq T.\label{IXY}%
\end{equation}
La relation (\ref{diffHm}) s'�crit pour tout $\theta^{\prime}\leq t\leq T:$%
\begin{equation}
\frac{d}{dt}X_{m}(t)\leq B_{m}^{^{\prime}}-X_{m+1}(t)^{\frac{2m}{2m+1}}\left(
2\nu X_{m+1}(t)^{\frac{1}{2m+1}}-C_{m}\right)  .\label{Xdiff}%
\end{equation}
Fixons $\beta>1$ et supposons que
\begin{equation}
\exists t_{\ast}\in(2\theta^{\prime},T]\text{ tel que }X_{m}(t_{\ast}%
)>\beta\nu^{-(2m-1)}=:Y.\label{H0}%
\end{equation}
Soit $s=t_{\ast}-t,$ $s\in\lbrack0,t_{\ast}].$ Alors, nous avons de
(\ref{Xdiff}) :%
\begin{equation}
\frac{d}{ds}X_{m}(s)\geq-B_{m}^{^{\prime}}+X_{m+1}(s)^{\frac{2m}{2m+1}}\left(
2\nu X_{m+1}(s)^{\frac{1}{2m+1}}-C_{m}\right)  .\label{Xdiff2}%
\end{equation}
Si $X_{m}(s)>Y,$ alors par (\ref{IXY})
\begin{align*}
2\nu X_{m+1}(s)^{\frac{1}{2m+1}}-C_{m}  & \geq2\nu\left(  C_{m3}%
X_{m}(s)^{\frac{2m+1}{2m-1}}\right)  ^{\frac{1}{2m+1}}-C_{m}\\
& \geq2C_{m3}^{\frac{1}{2m+1}}\beta^{\frac{1}{2m-1}}-C_{m}:=K_{m}(\beta).
\end{align*}
Choisissons $\beta_{0}\gg1$ telle que $K_{m}(\beta)>1$ pour tout $\beta
>\beta_{0}.$ Alors, d'apr�s (\ref{IXY}) et (\ref{Xdiff2}), si $X_{m}(s)>Y$ on d�duit que\begin{equation}
\frac{d}{dt}X_{m}(s)\geq-B_{m}^{^{\prime}}+X_{m+1}(s)^{\frac{2m}{2m+1}}%
K_{m}(\beta)\geq-B_{m}^{^{\prime}}+C_{m3}^{\frac{2m}{2m+1}}X_{m}(s)^{\frac
{2m}{2m-1}}K_{m}(\beta)>0,\label{Xdiff3}%
\end{equation}
o� la derni�re in�galit� est valide si $\beta_{0}\gg1.$ D'apr�s (\ref{H0}) et (\ref{Xdiff3}), nous obtenons que%

\begin{equation}
\text{la fonction }s\longmapsto X_{m}(s)\text{ est croissante sur }[0,t_{\ast
}]\text{ et est minor�e par }Y.\label{5}%
\end{equation}
En effet, supposons que la fonction n'est pas minor�e par $Y$ partout, et
trouvons le premier temps $s_{1}$ tel que que $X_{m}(s_{1})=Y.$ Par
(\ref{H0}), $s_{1}>0.$ Donc $\frac{d}{ds}X_{m}(s)_{|s=s_{1}}\leq0,$ et ceci
contredit (\ref{Xdiff3}). Comme $X_{m}>Y,$ alors $s\longmapsto X_{m}(s)$ est
croissante par (\ref{Xdiff3}).

Par (\ref{5}), (\ref{Xdiff2}) et (\ref{Xdiff3}), nous avons pour tout
$s\in\lbrack0,t_{\ast}]:$%
\[
\frac{d}{dt}X_{m}(s)\geq-B_{m}^{^{\prime}}+C_{m3}^{\frac{2m}{2m+1}}%
X_{m}(s)^{\frac{2m}{2m-1}}K_{m}(\beta)\geq\frac{1}{2}C_{m3}^{\frac{2m}{2m+1}%
}X_{m}(s)^{\frac{2m}{2m-1}}K_{m}(\beta),
\]
si $\beta_{0}\gg1.$ Cette derni�re in�galit� implique que%
\[
\frac{d}{dt}\left(  X_{m}(s)^{\frac{-1}{2m-1}}\right)  \leq-\frac
{C_{m3}^{\frac{2m}{2m+1}}}{2(2m-1)}K_{m}(\beta)=:-C_{m4}K_{m}(\beta).
\]
En int�grant cette derni�re relation en temps entre $0$ et $s$ et en utilisant
(\ref{5}), on a
\[
X_{m}(s)^{\frac{-1}{2m-1}}\leq-C_{m4}K_{m}(\beta)s+X_{m}(0)^{\frac{-1}{2m-1}%
}\leq-C_{m4}K_{m}(\beta)s+\beta^{\frac{-1}{2m-1}}\nu.
\]
Comme $\nu\leq1$, nous pouvons trouver un $s^{\prime}\in(0,t_{\ast}]$
tel que $X_{m}(s^{\prime})^{\frac{-1}{2m-1}}=0,$ si $\beta_{0}\gg1$. D'o� la
contradiction, car $X_{m}(s^{\prime})^{\frac{-1}{2m-1}}>0$. Donc, (\ref{H0})
est fausse si $\beta$ est suffisamment grand. Ainsi, nous obtenons
(\ref{esperence<visco}) avec $C_{m}=\beta,$ si $%
%
%
\operatorname{u}%
%
_{0}\in H^{m}.$%

%
%
%


ii) Supposons que $%
%
%
\operatorname{u}%
%
_{0}\in H^{1}.$ Alors il existe une suite $\{%
%
%
\operatorname{u}%
%
_{0}^{j}\}_{j\in%
%
%
\mathbb{N}
%
}\subset H^{m}$ qui converge fortement vers $%
%
%
\operatorname{u}%
%
_{0}$ dans $H^{1}.$ Par le th�or�me \ref{th6}, pour chaque $\omega$, la solution $%
%
%
\operatorname{u}%
%
(t,%
%
%
\operatorname{u}%
%
_{0}^{j})$ converge fortement dans $H^{1}$ vers la solution $%
%
%
\operatorname{u}%
%
(t;%
%
%
\operatorname{u}%
%
_{0})$ pour tout $0\leq t\leq T.$ Par i), la relation (\ref{esperence<visco})
est d�j� v�rifi�e pour les solutions $%
%
%
\operatorname{u}%
%
(t,%
%
%
\operatorname{u}%
%
_{0}^{j}). $ Pour $N\in%
%
%
\mathbb{N}
%
$, notons par $\Pi_{N}$ le \textit{projecteur de Galerkin }tel que
\[
\Pi_{N}(%
%
%
\operatorname{u}%
%
(x))=\sum_{|s|\leq N}u_{s}e_{s}(x),
\]
et consid�rons la fonction $f_{N}(%
%
%
\operatorname{u}%
%
)=f\left(  \Pi_{N}(%
%
%
\operatorname{u}%
%
(x))\right)  \wedge N,$ $f(%
%
%
\operatorname{u}%
%
)=||%
%
%
\operatorname{u}%
%
||_{m}^{2}.$ Alors :

a) $f_{N}\in\mathcal{C}_{b}(H^{1})$ et $f_{N}\geq0,$

b) $f_{N}(%
%
%
\operatorname{u}%
%
)\underset{N\rightarrow+\infty}{\rightarrow}f(%
%
%
\operatorname{u}%
%
)\leq\infty,$ pour tout $%
%
%
\operatorname{u}%
%
\in H^{1}.$

Par i), a) et le th�or�me de convergence domin�e de Lebesgue, nous avons
\[
\mathbb{E}[f_{N}(%
%
%
\operatorname{u}%
%
(t;%
%
%
\operatorname{u}%
%
_{0})]=\lim_{j\rightarrow+\infty}[f_{N}(%
%
%
\operatorname{u}%
%
(t;%
%
%
\operatorname{u}%
%
_{0}^{j}))]\leq c_{m}^{^{\prime}}\nu^{-(2m-1)},\quad\forall N\in%
%
%
\mathbb{N}
%
.
\]
En utilisant cette relation et le lemme de Fatou, nous obtenons
\[
\mathbb{E}[||%
%
%
\operatorname{u}%
%
(t;%
%
%
\operatorname{u}%
%
_{0})||_{m}^{2}]\leq\lim_{N}\inf\mathbb{E}[f_{N}(%
%
%
\operatorname{u}%
%
(t;%
%
%
\operatorname{u}%
%
_{0})]\leq c_{m}^{\prime}\nu^{-(2m-1)}.
\]
iii) La d�monstration du th�or�me est finie, si $m\in%
%
%
\mathbb{N}
%
^{\ast}.$ Maintenant, on suppose que $m\geq1$ et $m\notin%
%
%
\mathbb{N}
%
^{\ast}.$ Alors, il existe $j\in%
%
%
\mathbb{N}
%
^{\ast}$ et $s\in(0,1)$ tels que $m=j+s$ et $\lceil m\rceil=j+1.$ Par
l'in�galit� d'interpolation et celle de H�lder, nous avons
\[
\mathbb{E}\left[  ||%
%
%
\operatorname{u}%
%
||_{m}^{2}\right]  \leq\mathbb{E}\left[  ||%
%
%
\operatorname{u}%
%
||_{j+1}^{2}\right]  ^{s}\mathbb{E}\left[  ||%
%
%
\operatorname{u}%
%
||_{j}^{2}\right]  ^{1-s}.
\]
Comme (\ref{esperence<visco}) est �tablie pour $m=j$ et $m=j+1,$ alors le
terme de droite de cette in�galit� est major� par $C_{m}\nu^{-\left(
(2\left[  j+1\right]  -1)s+\left[  2j-1\right]  \left[  1-s\right]  \right)
}=C_{m}\nu^{-(2m-1)}.$

iv) Il reste � justifier l'application de la formule de It� (\ref{ito}).
D'abord, soit $%
%
%
\operatorname{u}%
%
_{0}\in H^{m+2}$ et $B_{m+2}<\infty$. %
%
%
%
Soient $\{%
%
%
\operatorname{u}%
%
^{N},$ $N\geq1\}$ les approximations de Galerkin pour $%
%
%
\operatorname{u}%
%
$. Elles convergent faiblement vers $%
%
%
\operatorname{u}%
%
$ dans l'espace $X_{m+2}^{T}$ et fortement dans $X_{m+1}^{T}$, pour tout
$\omega$ (cf. preuve du th�or�me \ref{thwhm}). Consid�rons l'�quation
satisfaite par $%
%
%
\operatorname{u}%
%
^{N}:$%
\begin{equation}
\partial_{t}%
%
%
\operatorname{u}%
%
^{N}+\Pi_{N}\left(
%
%
\operatorname{u}%
%
^{N}%
%
%
\operatorname{u}%
%
_{x}^{N}\right)  -\nu%
%
%
\operatorname{u}^{N}%
%
_{xx}=\partial_{t}\Pi_{N}\xi^{\omega}.\label{G}%
\end{equation}
C'est une �quation stochastique dans $%
%
%
\mathbb{R}
%
^{2N}$ telle que l'�quation libre qui lui est associ�e poss�de une fonction de
Lyapunov quadratique $||%
%
%
\operatorname{u}%
%
^{N}||^{2}$. Alors, la formule d'It� appliqu�e � (\ref{G}) avec la
fonctionnelle quadratique $f(%
%
%
\operatorname{u}%
%
)=||%
%
%
\operatorname{u}%
%
||_{m}^{2}$ implique la relation (\ref{ito2}) avec $%
%
%
\operatorname{u}%
%
=%
%
%
\operatorname{u}%
%
^{N}$ et $B_{m}^{\prime}$ remplac� par $\underset{|s|\leq N}{\sum}b_{s}%
^{2}(2\pi s)^{2m}$, voir \cite{Khas}.%

%
%
%
Utilisant le lemme de Fatou, nous passons � la limite dans (\ref{G}) et
obtenons (\ref{esperence<visco}) si $%
%
%
\operatorname{u}%
%
_{0}\in H^{m+2}$ et $B_{m+2}<\infty.$

Finalement, si $%
%
%
\operatorname{u}%
%
_{0}\in H^{1}$ et $B_{m}<\infty$, alors nous approchons $%
%
%
\operatorname{u}%
%
_{0}$ par $\{%
%
%
\operatorname{u}%
%
_{0}^{j}\}\subset H^{m+2}$, et pour $j=1,2, ...$, nous d�finissons la suite $\{{b_{s}^{j}, s\in \mathbb{Z}^{*}}\}$ par la relation : $b_{s}^{j}=b_{s}$ si $|s|\leq j$, sinon $b_{s}^{j}=0$. Il est clair que $B_{m+2}\{(b_{s}^{j}\})<+\infty$ pour chaque $j$. On d�finit $\xi^{j\omega}$ utilisant la suite $b_{s}^{j}$. Par les r�sultats de la section 2, il existe une suite $n_{1}, n_{2}, ...$ telle que $\xi^{n^{j}\omega}$ converge p.p vers $\xi^{\omega}$ dans $X^{T}_{m}$ quand $n_{j}$ tend vers $+\infty$. Alors $\operatorname{u}(\cdot,\operatorname{u}_{0}^{n^{j}},\xi^{n^{j}\omega})$ converge p.p vers $\operatorname{u}(\cdot,\operatorname{u}_{0},\xi^{\omega})$ dans l'espace $X^{T}_{m}$ (voir le th�or�me \ref{th6}). Ainsi, la relation (\ref{esperence<visco}) est justifi�e pour les solutions $\operatorname{u}(\cdot,\operatorname{u}_{0}^{n^{j}},\xi^{n^{j}\omega})$. Nous passons � la limite $n_{j}\rightarrow+\infty$ (cf. ii)) pour obtenir le r�sultat.

\end{proof}

Par le th�or�me \ref{th19},
\begin{equation}
\text{si }B_{4},B_{\lceil m\rceil}<\infty,\text{ }m\geq1\text{, }%
%
%
\operatorname{u}%
%
_{0}\in H^{1}\text{ et }t>0,\text{ alors }\mathbb{P}(%
%
%
\operatorname{u}%
%
(t,%
%
%
\operatorname{u}%
%
_{0})\in H^{m})=1.\label{aussilissequelaforce}%
\end{equation}


\begin{corollary}
\label{momentksob}Sous les conditions du th�or�me \ref{th19}, pour tout
$m,k\geq1,$ il existe $C(k,m,\theta)>0$ telle que
\begin{equation}
\mathbb{E}\left[  ||%
%
%
\operatorname{u}%
%
(t)||_{m}^{k}\right]  \leq C\nu^{-\frac{k}{2}(2m-1)},\quad\forall t\geq
\theta.\label{inegmomentksob}%
\end{equation}

\end{corollary}

\begin{proof}
i) Supposons d'abord que $m \in \mathbb{N}^{*}$. Pour $\mathbb{N}^{*} \ni s>m$ et par le lemme \ref{GNtermeL}, nous avons
\[
\mathbb{E}\left[  ||%
%
%
\operatorname{u}%
%
(t)||_{m}^{k}\right]  \leq C\mathbb{E}\left[  ||%
%
%
\operatorname{u}%
%
(t)||_{s}^{k\lambda_{m}(s)}|%
%
%
\operatorname{u}%
%
(t)|_{\infty}^{k(1-\lambda_{m}(s))}\right], \quad \lambda_{m}(s)=\frac{2m-1}{2s-1},
\]
o� $C=C(m,k,s)>0$. Choisissons $s$ suffisamment grand tel que $k\lambda_{m}(s)<2$. Par l'in�galit� de H�lder, le terme
de droite est born� par
\[
C^{\prime}\mathbb{E}\left[  ||%
%
%
\operatorname{u}%
%
(t)||_{s}^{2}\right]  ^\frac{k\lambda_{m}(s)}{2}\mathbb{E}\left[  |%
%
%
\operatorname{u}%
%
(t)|_{\infty}^{a}\right]  ^{b},
\]
avec $C^{\prime}(m,k,s),a(m,k,s),b(m,k,s)>0.$ Donc, en utilisant
(\ref{esperence<visco}), nous obtenons (\ref{inegmomentksob}).

ii) Si $m$ n'est pas un entier, alors nous raisonnons comme dans l'�tape iii)
de la d�monstration du th�or�me \ref{th19}.%

%
%
%
%

\end{proof}

\section{Bilan de l'�nergie et bornes inf�rieures}

Si dans l'identit� d'It� (\ref{ito}) on prend $f(%
%
%
\operatorname{u}%
%
(t))=\frac{1}{2}||%
%
%
\operatorname{u}%
%
(t)||^{2},$ alors pour tout $t\geq0$%
\[
\frac{1}{2}\frac{d}{dt}\mathbb{E}[||%
%
%
\operatorname{u}%
%
(t)||^{2}]+\nu\mathbb{E}[||%
%
%
\operatorname{u}%
%
(t)||_{1}^{2}]=\frac{1}{2}B_{0}.
\]
On int�gre cette �galit� entre $T\geq1$ et $T+\sigma$ $(\sigma>0):$%
\begin{equation}
\frac{1}{2}\mathbb{E}[||%
%
%
\operatorname{u}%
%
(T+\sigma)||^{2}]-\frac{1}{2}\mathbb{E}[||%
%
%
\operatorname{u}%
%
(T)||^{2}]+\nu\int_{T}^{T+\sigma}\mathbb{E}[||%
%
%
\operatorname{u}%
%
(s)||_{1}^{2}]ds=\frac{\sigma}{2}B_{0}\label{BE}%
\end{equation}
La relation (\ref{BE}) est appel�e \textit{bilan de l'�nergie}. Le terme
$\frac{1}{2}\mathbb{E}[||%
%
%
\operatorname{u}%
%
(t)||^{2}]$ est appel� \textit{l'�nergie} de $%
%
%
\operatorname{u}%
%
(t),$ et $\mathbb{E}[||%
%
%
\operatorname{u}%
%
(s)||_{1}^{2}]$ est \textit{le taux de dissipation de l'�nergie}.

Le th�or�me suivant nous donne une encadrement du taux de dissipation de
l'�nergie$.$

\begin{theorem}
\label{th21}Soit $B_{4}<\infty$ et $%
%
%
\operatorname{u}%
%
(t)=%
%
%
\operatorname{u}%
%
(t;%
%
%
\operatorname{u}%
%
_{0}),$ $%
%
%
\operatorname{u}%
%
_{0}\in H^{1}.$ Alors, il existe $\sigma_{0}(B_{0},B_{4})>0$ telle que pour tout
$\sigma\geq\sigma_{0}$ et $T\geq1:$%
\[
\frac{1}{4}B_{0}\leq\frac{\nu}{\sigma}\int_{T}^{T+\sigma}\mathbb{E}[||%
%
%
\operatorname{u}%
%
(s)||_{1}^{2}]ds\leq\frac{3}{4}B_{0},
\]
uniform�ment en $0<\nu\leq1.$
\end{theorem}

\begin{proof}
Par la relation de Kolmogorov-Chapman (\ref{m0}) et le corollaire \ref{cor17} avec $T=\theta=1$ et $p=2$, et en
�crivant $t\geq1$ comme $t=\tau+1,$ $\tau\geq0$, nous avons
\begin{equation}
\mathbb{E}\left[  ||%
%
%
\operatorname{u}%
%
(t)||^{2}\right]  =\int_{H^{1}}||\operatorname{u}||^{2}\Sigma_{\tau+1}(%
%
%
\operatorname{u}%
%
_{0})(d%
%
%
\operatorname{u}%
%
)=\int_{H^{1}}\underset{=\mathbb{E}\left[  ||%
%
%
\operatorname{u}%
%
(1;w)||^{2}\right]  }{\underbrace{\langle ||\operatorname{u}||^{2},\Sigma_{1}(w)\rangle}}\Sigma_{\tau}(%
%
%
\operatorname{u}%
%
_{0})(dw)\leq C(B_{4}).\label{ccc}%
\end{equation}
Soit $\sigma\geq\frac{2C(B_{4})}{B_{0}}=:\sigma_{0}.$ Alors de (\ref{ccc}), on
obtient%
\[
\frac{1}{2\sigma}\mathbb{E}[||%
%
%
\operatorname{u}%
%
(T)||^{2}]\leq\frac{1}{4}B_{0},\quad\frac{1}{2\sigma}\mathbb{E}[||%
%
%
\operatorname{u}%
%
(T+\sigma)||^{2}]\leq\frac{1}{4}B_{0}.
\]
D'o� le r�sultat par (\ref{BE}).
\end{proof}

\begin{notation}
\label{not22}Fixons $T\geq1$ et $\sigma\geq\sigma_{0}$. Si $\xi^{\omega}(t)$ est
un processus al�atoire r�el, on pose
\[
\langle\langle\xi^{\omega}\rangle\rangle=\langle\langle\xi^{\omega}%
\rangle\rangle_{T,\sigma}=\frac{1}{\sigma}\int_{T}^{T+\sigma}\mathbb{E}%
[\xi^{\omega}(t)]dt.
\]

\end{notation}

Avec cette notation, l'in�galit� du th�or�me \ref{th21} a pour expression
\[
\frac{1}{4}B_{0}\nu^{-1}\leq\langle\langle||%
%
%
\operatorname{u}%
%
||_{1}^{2}\rangle\rangle\leq\frac{3}{4}B_{0}\nu^{-1}.
\]
Le th�or�me suivant fournit un encadrement pour $\langle\langle||%
%
%
\operatorname{u}%
%
||_{m}^{2}\rangle\rangle.$

\begin{theorem}
\label{th23}Soit $m\in%
%
%
\mathbb{N}
%
^{\ast},$ $B_{m}<\infty,$ $\sigma\geq\sigma_{0}>0$, $T\geq1$ et $%
%
%
\operatorname{u}%
%
_{0}\in H^{1}$. Il existe $C_{m}(\sigma_{0})>1$ tel que la solution $%
%
%
\operatorname{u}%
%
=%
%
%
\operatorname{u}%
%
(t;%
%
%
\operatorname{u}%
%
_{0})$ satisfait :%
\begin{equation}
C_{m}^{-1}\nu^{-(2m-1)}\leq\langle\langle||%
%
%
\operatorname{u}%
%
||_{m}^{2}\rangle\rangle\leq C_{m}\nu^{-(2m-1)},\label{encadrementth23}%
\end{equation}
uniform�ment en $0<\nu\leq1.$
\end{theorem}

\begin{proof}
L'in�galit� � droit� de (\ref{encadrementth23}) suit du th�or�me \ref{th19},
et pour $m=1,$ l'in�galit� � gauche est d�j� �tbalie. Maintenant, soit $m\in%
%
%
\mathbb{N}
%
$ et $m\geq2.$ Par l'in�galit� (\ref{GN})
%
%
%
%
, on a%
\[
||%
%
%
\operatorname{u}%
%
_{x}||\leq c||%
%
%
\operatorname{u}%
%
_{x}||_{m-1}^{\frac{1}{2m-1}}|%
%
%
\operatorname{u}%
%
_{x}|_{1}^{\frac{2m-2}{2m-1}},\quad c>0.
\]
Donc, en utilisant l'in�galit� de H�lder (appliqu�e � l'int�grale $\frac{1}{\sigma
}\int_{\Omega}\int_{T}^{T+\sigma}\cdot\cdot\cdot dt\mathbb{P}(d\omega)$) et le
corollaire \ref{cor17}, nous avons
\[
\langle\langle||%
%
%
\operatorname{u}%
%
||_{1}^{2}\rangle\rangle\leq c\langle\langle||%
%
%
\operatorname{u}%
%
||_{m}^{2}\rangle\rangle^{\frac{1}{2m-1}}\langle\langle|%
%
%
\operatorname{u}%
%
_{x}|_{1}^{2}\rangle\rangle^{\frac{2m-2}{2m-1}}\leq C_{m}\langle\langle||%
%
%
\operatorname{u}%
%
||_{m}^{2}\rangle\rangle^{\frac{1}{2m-1}}.
\]
C'est-�-dire :
\[
\langle\langle||%
%
%
\operatorname{u}%
%
||_{m}^{2}\rangle\rangle\geq C_{m}^{1-2m}\langle\langle||%
%
%
\operatorname{u}%
%
||_{1}^{2}\rangle\rangle^{2m-1}.
\]
Donc, d'apr�s les th�or�mes \ref{th19} et \ref{th21}, on obtient
(\ref{encadrementth23}).
\end{proof}

\begin{corollary}
\label{momentksobaveragecoro}Sous les conditions du th�or�me pr�c�dent, pour
tout $m\in%
%
%
\mathbb{N}
%
^{\ast}$ et $k\geq1,$ il existe $C(k,m,\sigma_{0})>0$ telle que
\begin{equation}
C^{-1}\nu^{-m+\frac{1}{2}}\leq\langle\langle||%
%
%
\operatorname{u}%
%
||_{m}^{k}\rangle\rangle^{\frac{1}{k}}\leq C\nu^{-m+\frac{1}{2}}%
.\label{momentksobaverage}%
\end{equation}

\end{corollary}

\begin{proof}
Apr�s moyennisation danss (\ref{inegmomentksob}), l'in�galit� de droite dans
(\ref{momentksobaverage}) est imm�diate. Si $k\geq2$, alors l'in�galit� de
gauche est une cons�quence de l'in�galit� de H�lder et de
(\ref{encadrementth23}). Maintenant, par l'in�galit� de H�lder, on a%
\[
\langle\langle||%
%
%
\operatorname{u}%
%
||_{m}^{2}\rangle\rangle=\langle\langle||%
%
%
\operatorname{u}%
%
||_{m}^{\frac{2}{3}}||%
%
%
\operatorname{u}%
%
||_{m}^{\frac{4}{3}}\rangle\rangle\leq\langle\langle||%
%
%
\operatorname{u}%
%
||_{m}\rangle\rangle^{\frac{2}{3}}\langle\langle||%
%
%
\operatorname{u}%
%
||_{m}^{4}\rangle\rangle^{\frac{1}{3}}.
\]
Alors, par (\ref{momentksobaverage}) avec $k=2$ et $k=4$,%
\[
\langle\langle||%
%
%
\operatorname{u}%
%
||_{m}\rangle\rangle\geq\langle\langle||%
%
%
\operatorname{u}%
%
||_{m}^{2}\rangle\rangle^{\frac{3}{2}}\langle\langle||%
%
%
\operatorname{u}%
%
||_{m}^{4}\rangle\rangle^{-\frac{1}{2}}\geq\left(  \frac{\nu^{-m+\frac{1}{2}}%
}{C(2,m,\sigma_{0})}\right)  ^{3}\left(  C(4,m,\sigma_{0})\nu^{-m+\frac{1}{2}%
}\right)  ^{-2}=:C^{-1}\nu^{-m+\frac{1}{2}},
\]
et (\ref{momentksobaverage}) est �tablie pour $k=1$. Finalement, pour
$k\in(1,2),$ l'in�galit� de gauche dans (\ref{momentksobaverage}) est une
cons�quence de celle avec $k=1$ et de l'in�galit� de H�lder.
\end{proof}

Consid�rons l'espace de probabilit�
\[
\left(  Q,\mathcal{T},\rho\right)  :=\left(  [T,T+\sigma]\times\Omega
,\mathcal{L}\times\mathcal{F},\frac{dt}{\sigma}\times\mathbb{P}\right)  ,
\]
o� $\sigma\geq\sigma_{0},$ $T\geq1,$ et $\mathcal{L}$ est la tribu Bor�lienne
sur $[T,T+\sigma].$ Avec cette notation, nous avons le corollaire suivant :

\begin{corollary}
\label{ensemble>0}Pour tout $m\in%
%
%
\mathbb{N}
%
^{\ast},$ il existe $\alpha(m,\sigma_{0}),C(m,\sigma_{0})>0$ telles que
\begin{equation}
\rho_{\nu,m}:=\rho\left(  \alpha\nu^{-m+\frac{1}{2}}\leq||%
%
%
\operatorname{u}%
%
^{\omega}(t)||_{m}\leq\alpha^{-1}\nu^{-m+\frac{1}{2}}\right)  \geq
C(m,\sigma_{0}),\label{ensembleinvariantennu}%
\end{equation}
uniform�ment en $0<\nu\leq1.$
\end{corollary}

\begin{proof}
Soient $\varepsilon>0$ et $Y_{\varepsilon}=\{(t,\omega)\in Q:||%
%
%
\operatorname{u}%
%
^{\omega}(t)||_{m}\leq\varepsilon\}.$ Le corollaire
\ref{momentksobaveragecoro} (avec $k=1$ et $k=2$) implique que
\begin{align*}
& C(1,m,\sigma_{0})^{-1}\nu^{-m+\frac{1}{2}}\leq\int_{Y_{\varepsilon}}||%
%
%
\operatorname{u}%
%
^{\omega}(t)||_{m}d\rho+\int_{Q\backslash Y_{\varepsilon}}||%
%
%
\operatorname{u}%
%
^{\omega}(t)||_{m}d\rho\\
& \leq\varepsilon+\left(  \int_{Q}||%
%
%
\operatorname{u}%
%
^{\omega}(t)||_{m}^{2}d\rho\right)  ^{\frac{1}{2}}\left(  \rho(Q\backslash
Y_{\varepsilon})\right)  ^{\frac{1}{2}}\leq\varepsilon+C(2,m,\sigma_{0}%
)\nu^{-m+\frac{1}{2}}\left(  \rho(Q\backslash Y_{\varepsilon})\right)
^{\frac{1}{2}}.
\end{align*}
On choisit $\varepsilon=\varepsilon_{\nu}=\frac{1}{2}C(1,m,\sigma_{0})^{-1}%
\nu^{-m+\frac{1}{2}}$, et on note par $Y=Y_{\varepsilon_{\nu}}.$ Alors
\begin{equation}
\rho\left(  ||%
%
%
\operatorname{u}%
%
^{\omega}(t)||_{m}>\varepsilon_{\nu}\right)  =\rho(Q\backslash Y)\geq\left(
\frac{1}{2}\left(  C(1,m,\sigma_{0})C(2,m,\sigma_{0})\right)  ^{-1}\right)
^{2}:=C_{m}^{\prime}.\label{rho}%
\end{equation}
Soit $\alpha^{-1}\geq2C(1,m,\sigma_{0}).$ D'apr�s (\ref{rho}),
(\ref{momentksobaverage}) (avec $k=1)$ et l'in�galit� de Tchebychev, nous
avons
\begin{equation}
\rho_{\nu,m}=\rho\left(  ||%
%
%
\operatorname{u}%
%
^{\omega}(t)||_{m}\geq\alpha\nu^{-m+\frac{1}{2}}\right)  -\rho\left(  ||%
%
%
\operatorname{u}%
%
^{\omega}(t)||_{m}\geq\alpha^{-1}\nu^{-m+\frac{1}{2}}\right)  \geq
C_{m}^{\prime}-\alpha C(1,m,\sigma_{0}).\nonumber
\end{equation}
Maintenant, on choisit $\alpha$ de sorte que le membre de droite soit
strictement positif, ce qui implique (\ref{ensembleinvariantennu}).
\end{proof}

\section{�chelle d'espace}

Soit $%
%
%
\operatorname{u}%
%
^{\nu}$ une fonction d�rivable sur $\mathbb{S}^{1}$ de moyenne nulle,
d�pendant du param�tre $0<\nu\ll1$ Notons par $M:=|%
%
%
\operatorname{u}%
%
^{\nu}|_{\infty}.$ Soit $\gamma\geq0.$ En physique, on dit que
\textit{l'�chelle d'espace de }$%
%
%
\operatorname{u}%
%
^{\nu}$ est �gale � $\nu^{\gamma}$ s'il existe des points $y\in\mathbb{S}%
^{1}$, tels que les incr�ments $%
%
%
\operatorname{u}%
%
(y+\nu^{\gamma})-%
%
%
\operatorname{u}%
%
(y)$ de $%
%
%
\operatorname{u}%
%
$ sont de l'ordre de $M$, et pour tout $\gamma^{\prime}>\gamma$, $%
%
%
\operatorname{u}%
%
(y+\nu^{\gamma})-%
%
%
\operatorname{u}%
%
(y)$ est toujours tr�s petit par rapport � $M.$

Soit $v$ une fonction telle que $v(x)=\underset{s\in%
%
%
\mathbb{Z}
%
^{\ast}}{%
%
%
{\displaystyle\sum}
%
}\widehat{v}_{s}e^{2i\pi sx}\in\mathcal{C}^{\infty}(\mathbb{S}^{1})$, non
identiquement nulle. On consid�re la fonction p�riodique $%
%
%
\operatorname{u}%
%
^{\nu}(x)=v(x\lceil\nu^{-\gamma}\rceil)$, $\gamma\geq0,$ o� $\lceil\cdot
\rceil$ est la fonction partie enti�re par exc�s. Il est facile de
v�rifier que l'�chelle d'espace de $%
%
%
\operatorname{u}%
%
^{\nu}$ est �gale � $\nu^{\gamma}.$ Notons par $\widehat{%
%
%
\operatorname{u}%
%
}_{s}^{\nu}$, $s\in%
%
%
\mathbb{Z}
%
^{\ast},$ les coefficients de Fourier de $%
%
%
\operatorname{u}%
%
^{\nu}$, et soit $k_{s}:=\frac{s}{\lceil
\nu^{-\gamma}\rceil}.$ Alors, pour tout $s\in%
%
%
\mathbb{Z}
%
^{\ast}:\widehat{%
%
%
\operatorname{u}%
%
}_{s}^{\nu}=\widehat{v}_{k_{s}}\chi_{\{k_{s}\in%
%
%
\mathbb{Z}
%
^{\ast}\}},$ o� $\chi_{\{k_{s}\in%
%
%
\mathbb{Z}
%
^{\ast}\}}$ est la fonction indicatrice de l'ensemble $\{k_{s}\in%
%
%
\mathbb{Z}
%
^{\ast}\}.$

�crivons le \textit{nombre d'onde }$s$ pour $%
%
%
\operatorname{u}%
%
^{\nu}(x)$ en utilisant l'�chelle logarithmique de base $\nu^{-1}:$%
\[
s=s_{\nu}(\alpha)=\lceil\nu^{-\alpha}\rceil,\quad\alpha>0,
\]
alors $\alpha=\alpha(s)$ est de l'ordre $\frac{\ln s}{\ln\nu^{-1}}.$ Soit
$\gamma_{0}>\gamma.$ Comme $v\in\mathcal{C}^{\infty}$, alors il est facile de
v�rifier que
\begin{equation}
\text{si }\alpha\geq\gamma_{0}\text{ et }s=s_{\nu}(\alpha)\text{, alors
}\forall N\in%
%
%
\mathbb{N}
%
^{\ast},\text{ }\exists C_{N}>0\text{ telle que }|\widehat{%
%
%
\operatorname{u}%
%
}_{s_{\nu}(\alpha)}^{\nu}|\leq C_{N}|s_{\nu}(\alpha)|^{-N},\label{0.2}%
\end{equation}
pour chaque $\nu$, et $C_{N}$ ne d�pendant pas de $\nu\in(0,1)$ (mais d�pend a priori de
$\gamma_{0}$).

De plus, nous avons aussi
\begin{equation}
\text{si }\gamma_{0}<\gamma\text{ alors (\ref{0.2}) n'est pas valide pour tout
}0<\nu\leq1.\label{0.3}%
\end{equation}
Pour v�rifier (\ref{0.3}), on peut choisir $\alpha=\gamma.$

Cette discussion motive la d�finition suivante

\begin{definition}
Soit $0<\nu\leq1$ et
\begin{equation}%
%
%
\operatorname{u}%
%
^{\nu}(x)=\underset{s\in%
%
%
\mathbb{Z}
%
^{\ast}}{%
%
%
{\displaystyle\sum}
%
}\widehat{%
%
%
\operatorname{u}%
%
}_{s}^{\nu}e^{2i\pi sx}\in\mathcal{C}^{1}(\mathbb{S}^{1}).\label{0.4}%
\end{equation}


\begin{enumerate}
\item Alors, l'�chelle d'espace de $%
%
%
\operatorname{u}%
%
^{\nu}$ est �gale � $\nu^{\gamma},$ $\gamma\geq0,$ si on a les deux affirmations suivantes :

i) (\ref{0.2}) est satisfaite pour tout $\gamma_{0}>\gamma.$

ii) si $\gamma>0$, alors (\ref{0.3}) est satisfaite.

\item Soient $t\geq0,$ $x\in\mathbb{S}^{1}$, $\omega\in\Omega$ et $%
%
%
\operatorname{u}%
%
^{\nu\omega}(t,x)$ un champ al�atoire continue en temps $t$, $\mathcal{C}^{1}$
en espace $x$, et de valeur moyenne nulle. On repr�sente $%
%
%
\operatorname{u}%
%
^{\nu\omega}$ comme dans (\ref{0.4}) avec $\widehat{%
%
%
\operatorname{u}%
%
}_{s}^{\nu}=\widehat{%
%
%
\operatorname{u}%
%
}_{s}^{\nu\omega}(t)$. Alors l'�chelle d'espace de $%
%
%
\operatorname{u}%
%
^{\nu\omega}$ est �gale � $\nu^{\gamma},$ $\gamma\geq0,$ si les conditions i)
et ii) sont v�rifi�es avec $|\widehat{%
%
%
\operatorname{u}%
%
}_{s}^{\nu}|$ remplac� par $\langle\langle|\widehat{%
%
%
\operatorname{u}%
%
}_{s}^{\nu}|^{2}\rangle\rangle^{\frac{1}{2}}.$
\end{enumerate}
\end{definition}

Soit $%
%
%
\operatorname{u}%
%
(t,x)$ une solution de (\ref{B}) repr�sent�e par sa s�rie de Fourier
(\ref{0.4}) avec $\widehat{%
%
%
\operatorname{u}%
%
}_{s}=\widehat{%
%
%
\operatorname{u}%
%
}_{s}^{\nu\omega}(t),$ cf. (\ref{expforme}). Par cons�quent,%
\[
||%
%
%
\operatorname{u}%
%
||_{m}^{2}=2\sum_{k=1}^{\infty}|\widehat{%
%
%
\operatorname{u}%
%
}_{k}(t)|^{2}k^{2m}.
\]
Comme $\widehat{%
%
%
\operatorname{u}%
%
}_{k}=\int_{\mathbb{S}^{1}}%
%
%
\operatorname{u}%
%
(x)e^{-2i\pi kx},$ alors par une int�gration par partie, nous trouvons que
\[
|\widehat{%
%
%
\operatorname{u}%
%
}_{k}(t)|\leq\frac{1}{2\pi k}|%
%
%
\operatorname{u}%
%
_{x}|_{1},\text{\quad}k\geq1.
\]
Donc, par le corollaire \ref{cor17}, si $\operatorname{u}(t,x)$ est une solution de (\ref{B}), alors 
\begin{equation}
\mathbb{E}[|\widehat{%
%
%
\operatorname{u}%
%
}_{k}(t)|^{2}]\leq Ck^{-2},\quad t\geq1.\label{espuk2k}%
\end{equation}


\begin{theorem}
\label{th24}Supposons que $B_{m}<\infty$ pour tout $m\in%
%
%
\mathbb{N}
%
^{\ast}.$ Alors, pour chaque $%
%
%
\operatorname{u}%
%
_{0}\in H^{1},$ l'�chelle d'espace de $%
%
%
\operatorname{u}%
%
=%
%
%
\operatorname{u}%
%
(t;%
%
%
\operatorname{u}%
%
_{0})$ est �gale � $\nu.$ C'est-�-dire, pour tout $\gamma_{0}>1$ et $N\in%
%
%
\mathbb{N}
%
^{\ast}:$%
\begin{equation}
\langle\langle|\widehat{%
%
%
\operatorname{u}%
%
}_{k}|^{2}\rangle\rangle\leq C_{N}k^{-N},\quad\text{si }k=\lceil\nu^{-\gamma
}\rceil,\text{ }\gamma>\gamma_{0},\text{ }\nu\in(0,1],\label{rel}%
\end{equation}
o� $C_{N}=C_{N}(\gamma_{0})>0$ ne d�pend ni de $\nu$, ni de $\gamma$. Par contre, si
$\gamma_{0}<1$, alors (\ref{rel}) n'est pas vrai pour tout $\gamma\geq
\gamma_{0}$ et $\nu\in(0,1],$ avec une certaine constante $C_{N}=C_{N}%
(\gamma_{0})>0$.
\end{theorem}

\begin{proof}
Par le th�or�me \ref{th23} on peut �crire%
\[
\langle\langle|\widehat{%
%
%
\operatorname{u}%
%
}_{k}|^{2}\rangle\rangle\leq C_{m}\nu(k\nu)^{-2m}.
\]
Si $k=k_{\nu}=\lceil\nu^{-\gamma}\rceil,$ $\gamma\geq\gamma_{0}>1$, nous
obtenons que%
\[
\langle\langle|\widehat{%
%
%
\operatorname{u}%
%
}_{k}|^{2}\rangle\rangle\leq C_{m}\nu(\nu^{1-\gamma})^{-2m}\leq C_{m}%
k^{-2m\frac{\gamma_{0}-1}{\gamma_{0}}},\text{\quad pour tout }m\in%
%
%
\mathbb{N}
%
^{\ast},
\]
d'o� (\ref{rel}). Maintenant, supposons (\ref{rel}) avec $\gamma_{0}<1$ et
�crivons $\langle\langle||%
%
%
\operatorname{u}%
%
||_{m}^{2}\rangle\rangle$ comme :%
\[
\langle\langle||%
%
%
\operatorname{u}%
%
||_{m}^{2}\rangle\rangle=\underset{=:J}{\underbrace{2\sum_{1\leq k\leq
\nu^{-\gamma_{0}}}\langle\langle|\widehat{%
%
%
\operatorname{u}%
%
}_{k}|^{2}\rangle\rangle k^{2m}}}+\underset{=:L}{\underbrace{2\sum
_{k>\nu^{-\gamma_{0}}}\langle\langle|\widehat{%
%
%
\operatorname{u}%
%
}_{k}|^{2}\rangle\rangle k^{2m}}}.
\]
Majorons les deux termes du membre de droite. Soit $k>\nu^{-\gamma_{0}}.$
Alors, nous pouvons �crire $k=\lceil\nu^{-\gamma}\rceil,$ $\gamma\geq
\gamma_{0}.$ La relation (\ref{rel}) implique $\langle\langle|\widehat{%
%
%
\operatorname{u}%
%
}_{k}|^{2}\rangle\rangle\leq C_{N}(\gamma_{0})k^{-N}$ pour tout $N\in%
%
%
\mathbb{N}
%
.$ Choisissons $N=2m+2,$ nous avons%
\[
L\leq C(\gamma_{0})\sum_{k>\nu^{-\gamma_{0}}}k^{-2}\leq C^{\prime}(\gamma
_{0})\nu^{\gamma_{0}}.
\]
Aussi, par le th�or�me \ref{th23} :%
\[
J\leq\nu^{-2\gamma_{0}}\sum_{1\leq k<\nu^{-\gamma_{0}}}(k)^{2m-2}%
\langle\langle|\widehat{%
%
%
\operatorname{u}%
%
}_{k}|^{2}\rangle\rangle\leq\nu^{-2\gamma_{0}}\langle\langle||%
%
%
\operatorname{u}%
%
||_{m-1}^{2}\rangle\rangle\leq c\nu^{-2m-2\gamma_{0}+3}.
\]
D'ici,%
\begin{equation}
\langle\langle||%
%
%
\operatorname{u}%
%
||_{m}^{2}\rangle\rangle\leq C_{m}(\gamma_{0})\nu^{-2m-2\gamma_{0}+3},\quad
\nu\in(0,1].\label{um<nugamma0}%
\end{equation}
D'apr�s le th�or�me \ref{th23} et (\ref{um<nugamma0}), on a pour tout
$1\geq\nu>0:c_{m}\nu^{-(2m-1)}\leq C_{m}(\gamma_{0})\nu^{-2m-2\gamma_{0}+3},$
ceci implique que $\gamma_{0}\geq1.$ La contradiction implique que $\gamma
_{0}\geq1.$
\end{proof}

\section{Lemmes de r�currence et L$_{1}$-contraction}

On rappelle que nous supposons $B_{4}<\infty.$

\begin{lemma}
\label{lem27}Soit $B_{m}<\infty,$ $m\geq1$ et $T>0.$ Alors pour tout
$\epsilon>0,$ il existe $\gamma_{\epsilon,T}>0$ telle que $\mathbb{P}%
(||\xi||_{X_{m}^{T}}<\epsilon)\geq\gamma_{\epsilon,T}.$
\end{lemma}

C'est un r�sultat classique sur la th�orie des mesures Gaussiennes dans les espaces de Banach
\cite[th�or�me 3.6.1]{Bog}, \cite[section 2, corollaire 1.1]{Kuo}.

\begin{lemma}
\label{lem28}Soit $%
%
%
\operatorname{u}%
%
_{0}$ dans $H^{1}.$ Pour tout $\epsilon>0,$ il existe $T_{\epsilon
}=T_{\varepsilon}(||%
%
%
\operatorname{u}%
%
_{0}||_{1})>0$ et $\delta_{\epsilon}=\delta_{\epsilon}(||%
%
%
\operatorname{u}%
%
_{0}||_{1})>0$ telles que
\begin{equation}
\mathbb{P}(||%
%
%
\operatorname{u}%
%
(T_{\epsilon};%
%
%
\operatorname{u}%
%
_{0})||<\epsilon)\geq\delta_{\epsilon}.\label{proba(u<epsilon)}%
\end{equation}

\end{lemma}

\begin{proof}
Supposons d'abord que $\xi=0$, $%
%
%
\operatorname{u}%
%
_{0}\in H^{1}$ et notons $%
%
%
\operatorname{u}%
%
^{0}(t)=\operatorname{u}(t;\operatorname{u}_{0},0)$. On multiplie par $%
%
%
\operatorname{u}%
%
^{0}$ l'�quation dans (\ref{B}) et on int�gre par parties en espace, nous
obtenons%
\[
\frac{1}{2}\frac{d}{dt}||%
%
%
\operatorname{u}%
%
^{0}(t)||^{2}=-\nu||%
%
%
\operatorname{u}%
%
_{x}^{0}(t)||^{2}\leq-\nu||%
%
%
\operatorname{u}%
%
^{0}(t)||^{2}.
\]
Donc, en utilisant le lemme de Gronwall, nous obtenons que $||%
%
%
\operatorname{u}%
%
^{0}(t)||^{2}\leq e^{-2\nu t}||%
%
%
\operatorname{u}%
%
_{0}||^{2}.$ Par cons�quent, il existe un $T_{\epsilon}=T_{\epsilon}(||%
%
%
\operatorname{u}%
%
_{0}||)>0$ tel que $||%
%
%
\operatorname{u}%
%
^{0}(T_{\epsilon})||\leq\frac{\epsilon}{2}.$ Par la proposition \ref{Mlip},
l'application $\mathcal{M}$ est Lipschitzienne sur les sous-ensembles born�s
de $H^{1}\times X_{1}^{T_{\varepsilon}}$. Donc, il existe
$\gamma_{\epsilon}=\gamma_{\epsilon}(||%
%
%
\operatorname{u}%
%
_{0}||_{1})>0$ tel que si $||\xi||_{X_{1}^{T}}\leq\gamma_{\epsilon}$ alors $||%
%
%
\operatorname{u}%
%
^{0}(T_{\epsilon})-\operatorname{u}(T_{\epsilon};\operatorname{u}_{0},\xi)||_{1}\leq\frac{\epsilon}{2}$. Ceci implique que si
$||\xi||_{X_{1}^{T}}\leq\gamma_{\epsilon}$ alors $||\operatorname{u}(T_{\epsilon};\operatorname{u}_{0},\xi)||<\epsilon,$ et par le lemme \ref{lem27} avec
$m=1$, on a $\mathbb{P(}||\xi||_{X_{1}^{T}}\leq\gamma_{\epsilon}%
\mathbb{)}=:\delta_{\varepsilon}>0.$ D'o� (\ref{proba(u<epsilon)}).
\end{proof}

\begin{lemma}
\label{th29}(R�currence)

Pour tout $%
%
%
\operatorname{u}%
%
_{0}$ dans $H^{1}$ et $\varepsilon>0$, on a
\begin{equation}
\pi(T,\varepsilon):=\mathbb{P}(\inf_{t\in\lbrack0,T[}||%
%
%
\operatorname{u}%
%
(t;%
%
%
\operatorname{u}%
%
_{0})||\geq\epsilon)\underset{T\rightarrow+\infty}{\rightarrow}%
0,\label{reccurence}%
\end{equation}
o� la convergence est uniforme en $%
%
%
\operatorname{u}%
%
_{0}.$
\end{lemma}

Dans la suite on note par \[B_{m}^{R}(v)=\{u:||u-v||_{m}\leq R\}.\]

\begin{proof}
Par l'in�galit� de Tchebychev et le corollaire \ref{cor17}, on a pour une
constante $c_{0}>0$ et pour tout $R>0:\mathbb{P}(||%
%
%
\operatorname{u}%
%
(1;%
%
%
\operatorname{u}%
%
_{0})||\geq R)\leq c_{0}^{-1}R.$ Si $R=2c_{0},$ alors $\mathbb{P}(||%
%
%
\operatorname{u}%
%
(1;%
%
%
\operatorname{u}%
%
_{0})||\leq R)\geq\frac{1}{2}.$

Par la relation de Kolmogorov-Chapman (\ref{m0}) appliqu�e � la fonction
caract�ristique de $B_{0}^{\varepsilon}(0)$, et par (\ref{proba(u<epsilon)}),
nous avons que
\[
\mathbb{P(}||%
%
%
\operatorname{u}%
%
(1+T_{\varepsilon};%
%
%
\operatorname{u}%
%
_{0})||<\varepsilon\mathbb{)\geq}\int_{B_{0}^{R}(0)}\mathbb{P(}||%
%
%
\operatorname{u}%
%
(T_{\varepsilon};v)||<\varepsilon)\Sigma_{1}(%
%
%
\operatorname{u}%
%
_{0})(dv)\geq\frac{1}{2}\delta_{\varepsilon},\quad\forall%
%
%
\operatorname{u}%
%
_{0}\in H^{1}.
\]
Alors
\begin{equation}
\mathbb{P(}||%
%
%
\operatorname{u}%
%
(1+T_{\varepsilon};%
%
%
\operatorname{u}%
%
_{0})||\geq\varepsilon\mathbb{)}\leq1-\frac{1}{2}\delta_{\varepsilon}%
,\quad\forall%
%
%
\operatorname{u}%
%
_{0}\in H^{1}.\label{9,7}%
\end{equation}
On note par $T^{j}=j(1+T_{\epsilon})$, par $Q_{j}$ l'�v�nement $\{||%
%
%
\operatorname{u}%
%
(T^{j})||\geq\varepsilon\}$ et par $Q^{N}=%
%
{\textstyle\bigcap\limits_{i=1}^{N}}
%
Q_{i}.$ Nous avons que $Q^{N}=\{\omega\in Q^{N-1}:||%
%
%
\operatorname{u}%
%
(T^{N})||\geq\varepsilon\}$. En utilisant la relation de Kolmogorov-Chapman sous
la forme (\ref{m2}), ainsi que (\ref{9,7}), nous obtenons :%
\begin{align*}
\mathbb{P}(Q^{N})  & =\mathbb{E}[\chi_{\{%
%
%
\operatorname{u}%
%
(\tau;%
%
%
\operatorname{u}%
%
_{0})_{|\tau\in\lbrack0,T^{N-1}]}\in Q^{N-1}\}}\mathbb{P}(||%
%
%
\operatorname{u}%
%
(1+T_{\varepsilon};%
%
%
\operatorname{u}%
%
(T^{N-1};%
%
%
\operatorname{u}%
%
_{0})||\geq\varepsilon)]\\
& \leq(1-\frac{1}{2}\delta_{\varepsilon})\mathbb{E}[\chi_{\{%
%
%
\operatorname{u}%
%
(\tau;%
%
%
\operatorname{u}%
%
_{0})_{|\tau\in\lbrack0,T^{N-1}]}\in Q^{N-1}\}}]=(1-\frac{1}{2}\delta
_{\varepsilon})\mathbb{P}(Q^{N-1}).
\end{align*}
Donc, nous avons par r�currence que $\mathbb{P}(Q^{N})\leq(1-\frac{1}%
{2}\delta_{\varepsilon})^{N}.$ Finalement, comme $\pi(T,\varepsilon
)\leq\mathbb{P}(Q^{N})$ si $T\geq T^{N},$ nous obtenons (\ref{reccurence}) en
passant � la limite $N\rightarrow+\infty.$
\end{proof}

\begin{lemma}
\label{th30}($L_{1}$-contraction)

Pour $j=1,2,$ fixons $%
%
%
\operatorname{u}%
%
_{j}(0)\in H^{1},$ et soit $\xi\in X_{1}^{T}$. Consid�rons la solution $%
%
%
\operatorname{u}%
%
_{j}(t)=%
%
%
\operatorname{u}%
%
(t;%
%
%
\operatorname{u}%
%
_{j}(0),\xi)\in H^{1}$. Alors
\[
|%
%
%
\operatorname{u}%
%
_{1}(t)-%
%
%
\operatorname{u}%
%
_{2}(t)|_{1}\leq|%
%
%
\operatorname{u}%
%
_{1}(0)-%
%
%
\operatorname{u}%
%
_{2}(0)|_{1},\quad\forall t\geq0.
\]

\end{lemma}

\begin{proof}
Soit $w=%
%
%
\operatorname{u}%
%
_{1}-%
%
%
\operatorname{u}%
%
_{2}$. Alors $w$ v�rifie
\begin{equation}
\left\{
\begin{array}
[c]{c}%
w_{t}+\frac{1}{2}(w(%
%
%
\operatorname{u}%
%
_{1}+%
%
%
\operatorname{u}%
%
_{2}))_{x}-\nu w_{xx}=0,\\
w(0)=%
%
%
\operatorname{u}%
%
_{1}(0)-%
%
%
\operatorname{u}%
%
_{2}(0)=:w_{0}.
\end{array}
\right. \label{equaw2}%
\end{equation}
Soit le probl�me de Cauchy conjugu� $:$%
\begin{equation}
\left\{
\begin{array}
[c]{c}%
\phi_{t}+\frac{1}{2}(%
%
%
\operatorname{u}%
%
_{1}+%
%
%
\operatorname{u}%
%
_{2})\phi_{x}+\nu\phi_{xx}=0,\\
\phi(T,x)=\phi_{T}(x),
\end{array}
\right. \label{CC}%
\end{equation}
o� $t\in\lbrack0,T],$ $\phi_{T}(x)\in\mathcal{C}^{0}$ et $|\phi_{T}|_{\infty
}=1.$ La th�orie des �quations parabolique implique qu'il existe une unique
solution $\phi$ au probl�me (\ref{CC}), et cette solution satisfait le
principe du maximum : $|\phi(t)|_{\infty}\leq1 $ pour tout $t\in[0,T]$
\cite{Evans}.

Apr�s avoir multipli� par $\phi$ l'�quation en $w$ dans (\ref{equaw2}),
int�gr� par parties sur $[0,T]\times\mathbb{S}^{1}$ puis en utilisant
l'�quation en $\phi$ dans (\ref{CC}), on obtient que $|\langle w(T),\phi
_{T}\rangle|=|\langle w_{0},\phi(0)\rangle|.$ Donc, nous avons%
\begin{equation}
|\langle w(T),\phi_{T}\rangle|\leq|w_{0}|_{1}=:K\label{wksiK},%
\end{equation}
car $|\phi(0)|_{\infty}\leq1$. Soit $\epsilon>0$ et $\chi_{\epsilon}$ la fonction d�finie par%
\[
\chi_{\epsilon}(t)=\left\{
\begin{array}
[c]{c}%
-1,\text{ }t\leq-\epsilon,\\
\frac{1}{\epsilon}t,\text{ }-\epsilon\leq t\leq\varepsilon,\\
1,\text{ }t\geq\epsilon,
\end{array}
\right.
\]
alors $\chi_{\epsilon}(t)\underset{\epsilon\rightarrow0}{\rightarrow}$sgn$(t)$
pour chaque $t$, et si $\phi_{T}^{\epsilon}=\chi_{\epsilon}(w(T,x)),$ alors
$\phi_{T}^{\epsilon}$ est continue et $|\phi_{T}^{\varepsilon}|_{\infty}=1$.
Donc, par (\ref{wksiK}) et en utilisant le th�or�me de convergence domin�e, nous avons
\[
|w(T)|_{1}=|\int w(T,x)\text{ sgn}(w(T,x))dx|=\lim_{\varepsilon\rightarrow
0}|\int w(T,x)\phi_{T}^{\epsilon}(x)dx|\leq K.
\]

\end{proof}

\section{Les mesures stationnaires et la m�thode de Bogoliubov-Krylov}

On rappelle que nous supposons $B_{4}<\infty.$

\begin{definition}
\label{def31}Soit $\mu\in\mathcal{P}(H^{m}),m\geq1.$

\begin{enumerate}
\item $\mu$ est dite mesure stationnaire de (\ref{B}) si pour tout
$t\geq0:S_{t}^{\ast}\mu=\mu$. C'est-�-dire, si $\mathcal{D}(%
%
%
\operatorname{u}%
%
_{0})=\mu$ alors $\mathcal{D}(%
%
%
\operatorname{u}%
%
(t;%
%
%
\operatorname{u}%
%
_{0}))\equiv\mu.$

\item Une solution $%
%
%
\operatorname{u}%
%
(t)$ de (\ref{B}) telle que $\mathcal{D}(%
%
%
\operatorname{u}%
%
(t;%
%
%
\operatorname{u}%
%
_{0}))\equiv\mu$ est dite solution stationnaire.
\end{enumerate}
\end{definition}

Le but de cette section est de d�montrer l'existence d'une mesure stationnaire
de (\ref{B}), (\ref{B*}), (\ref{B2}) par la \textit{m�thode de
Bogoliubov-Krylov.}

\begin{theorem}
\label{th32}\label{existencemesurestatio}Il existe une mesure stationnaire
$\mu\in\mathcal{P}(H^{1}).$
\end{theorem}

\begin{proof}
On note par $%
%
%
\operatorname{u}%
%
(t)=%
%
%
\operatorname{u}%
%
(t;0)$ la solution de (\ref{B}) issue de $%
%
%
\operatorname{u}%
%
_{0}=0,$ et par $\mu(t):=\mathcal{D}(%
%
%
\operatorname{u}%
%
(t)).$ Notons que $S_{\theta}^{\ast}(\mu(t))=\mathcal{D}(%
%
%
\operatorname{u}%
%
(t+\theta))=\mu(t+\theta) $ pour tout $t,\theta\geq0.$

Consid�rons \textit{l'ansatz de Bogoliubov-Krylov}. C'est-�-dire, pour tout $T\geq1$
d�finissons $m_{T}\in\mathcal{P}(H^{2})$ par
\[
m_{T}(\cdot)=\frac{1}{T}\int_{1}^{1+T}\mu(s)(\cdot)ds.
\]
Par le th�or�me \ref{th19} (avec $m=2$)$,$ on sait qu'il existe une constante
$C>0$ telle que $\mathbb{E}[||%
%
%
\operatorname{u}%
%
(t)||_{2}^{2}]<C$ pour chaque $t\geq1.$ L'in�galit� de Tchebychev implique que
$\mu(t)(B_{2}^{R}(0))=\mathbb{P}(||%
%
%
\operatorname{u}%
%
(t)||_{2}\leq R)\geq1-CR^{-1}$ si $t\geq1$. Donc, nous avons%
\begin{equation}
m_{T}(B_{2}^{R}(0))=\frac{1}{T}\int_{1}^{1+T}\mu(s)(B_{2}^{R}(0))ds\geq
1-\frac{C}{R},\quad\forall R>0.\label{m_Ttendue}%
\end{equation}
De plus, par le th�or�me de Rellich-Kondrachev, $B_{2}^{R}(0)$ est compact
dans $H^{1}$. Alors, par (\ref{m_Ttendue}), nous obtenons que l'ensemble
$M=\{m_{T}\}$ est tendu dans $\mathcal{P}(H^{1})$. Par le th�or�me \ref{th16},
cet ensemble est faiblement relativement compact. Donc, la suite $\{m_{1}%
,m_{2},\ldots\}\subset M$ admet une sous-suite $\{m_{j_{k}}\}$ qui converge
faiblement vers une limite $\mu\in\mathcal{P}(H^{1}).$

Il reste � prouver que $\mu$ est stationnaire. Calculons $S_{\theta}^{\ast
}(m_{j_{k}})$, pour tout $\theta>0.$ Comme $S_{t}^{\ast}$ est lin�aire et
v�rifie $S_{\theta}^{\ast}(\mu(t))=\mu(t+\theta)$, nous avons
\begin{align*}
S_{\theta}^{\ast}(m_{j_{k}}) &  =\frac{1}{j_{k}}\int_{1}^{1+j_{k}}S_{\theta
}^{\ast}(\mu(t))dt=\frac{1}{j_{k}}\int_{1}^{1+j_{k}}\mu(t+\theta)dt=\frac
{1}{j_{k}}\int_{1+\theta}^{1+j_{k}+\theta}\mu(t)dt\\
&  =\underset{:=I}{\underbrace{-\frac{1}{j_{k}}\int_{1}^{1+\theta}\mu(t)dt}%
}+\underset{=m_{j_{k}}}{\underbrace{\frac{1}{j_{k}}\int_{1}^{j_{k}+1}\mu
(t)dt}}+\underset{:=K}{\underbrace{\frac{1}{j_{k}}\int_{j_{k}+1}%
^{1+j_{k}+\theta}\mu(t)dt}}.
\end{align*}
Or, pour tout $f\in\mathcal{C}_{b}(H^{1}),$ les termes$|\langle K,f\rangle| $
et $|\langle I,f\rangle|$ sont born�s par $\frac{1}{j_{k}}|f|_{\infty}\theta$
et$\underset{j_{k}\rightarrow+\infty}{\lim}|\langle I,f\rangle|=\underset
{j_{k}\rightarrow+\infty}{\lim}|\langle K,f\rangle|=0.$ De plus, comme
$m_{j_{k}}\rightharpoonup\mu$ et $S_{\theta}^{\ast}$ est faiblement continue
(cf. th�or�me \ref{ST*continuefaible}), en passant � la limite dans l'�galit� ci
dessus, on a finalement $S_{\theta}^{\ast}\mu=\mu.$
\end{proof}

La mesure stationnaire du th�or�me \ref{existencemesurestatio} est aussi
lisse que la force $\eta^{\omega}$ dans (\ref{B}) :

\begin{proposition}
\label{p33}\label{Hmsupportemu}Soit $B_{m}<\infty,$ $m\geq1.$ Alors la mesure
stationnaire $\mu$ est support�e par l'espace $H^{m}:\mu(H^{m})=1.$
\end{proposition}

\begin{proof}
Si $B_{m}<\infty$ alors par (\ref{aussilissequelaforce}), $\mu(s)(H^{m})=1$
pour tout $s>0,$ et $m_{T}(H^{m})=1$ pour tout $T\geq1.$ Comme $H^{m}$ est un
sous-ensemble ferm� de $H^{1}$ et $m_{j_{k}}\rightharpoonup\mu$ dans $H^{1}$,
alors $\mu(H^{m})=1$ (cf. (\ref{ferme}))$.$
\end{proof}

Plus particuli�rement, nous avons aussi le

\begin{corollary}
Si $B_{m}<\infty$ pour tout $m\geq1,$ alors $\mu(\mathcal{C}^{\infty})=1. $
\end{corollary}

\section{L'unicit� de la mesure stationnaire et la propri�t� de m�lange}

On renvoie � \cite[p.101-103]{KuShir}, pour le cadre classique du
\textit{couplage de D�blin.} Il est remarquable que le couplage de D�blin
s'applique � l'�quation de Burgers avec des modifications minimales; nous
expliquerons cela dans cette section. Par contre, pour les �quations aux
d�riv�es partielles stochastiques plus complexes, l'id�e de D�blin est plus
d�licate � appliquer; elle s'emploie avec des modifications plus profondes
\cite[Section 3]{KuShir}.

Nous supposerons toujours que $B_{4}<+\infty$. Consid�rons deux copies
d'�quation de Burgers de conditions initiales $%
%
%
\operatorname{u}%
%
^{\prime},%
%
%
\operatorname{u}%
%
^{\prime\prime}\in H^{1}.$ C'est-�-dire :%
\begin{equation}
\left\{
\begin{array}
[c]{c}%
(%
%
%
\operatorname{u}%
%
_{1})_{t}+%
%
%
\operatorname{u}%
%
_{1}(%
%
%
\operatorname{u}%
%
_{1})_{x}-\nu(%
%
%
\operatorname{u}%
%
_{1})_{xx}=\eta,\quad%
%
%
\operatorname{u}%
%
_{1}(0)=%
%
%
\operatorname{u}%
%
^{\prime},\\
(%
%
%
\operatorname{u}%
%
_{2})_{t}+%
%
%
\operatorname{u}%
%
_{2}(%
%
%
\operatorname{u}%
%
_{2})_{x}-\nu(%
%
%
\operatorname{u}%
%
_{2})_{xx}=\eta,\quad%
%
%
\operatorname{u}%
%
_{2}(0)=%
%
%
\operatorname{u}%
%
^{\prime\prime},
\end{array}
\right. \label{copieB}%
\end{equation}
avec $\operatorname{u}^{\prime}$ et $\operatorname{u}^{\prime\prime}$ des variables al�atoires ind�pendantes de $\eta$. Soit $\operatorname{u}_{1}(t)=\operatorname{u}_{1}(t,\operatorname{u}^{\prime})$ et $\operatorname{u}_{2}(t)=\operatorname{u}_{2}(t,\operatorname{u}^{\prime\prime})$. Alors 
\[U(t)=(\operatorname{u}_{1}(t),\operatorname{u}_{2}(t))\]
est solution de (\ref{copieB}) telle que 
\[U(0)=(\operatorname{u}^{\prime},\operatorname{u}^{\prime\prime})=:U_{0}.\]

Si $\pi_{1}$ et ${\pi_{2}}$ sont les op�rateurs d�finies par :
\[\pi_{1}(\operatorname{u}_{1},\operatorname{u}_{2})=\operatorname{u}_{1},\quad \pi_{2}(\operatorname{u}_{1},\operatorname{u}_{2})=\operatorname{u}_{2},\]
alors $\pi_{j}\circ\mathcal{D}(U(t))=\mathcal{D}(\operatorname{u_{j}(t)})$, $j=1,2$. 
On dit que la mesure $\mathcal{D}(U(t))\in\mathcal{P}(H^{1}\times H^{1})$ est un $\textit{couplage}$ des mesures $\mathcal{D}(\operatorname{u_{1}(t)}$ et $\mathcal{D}(\operatorname{u_{2}(t)}$ (voir \cite{KuShir} pour cet important concept).

En r�p�tant le sch�ma de la d�monstration du lemme \ref{th29}, nous avons le

\begin{lemma}
\label{lem35}Pour tout $\varepsilon>0$ et $U_{0}\in H^{1}\times H^{1}:$
$\mathbb{P}(\inf_{t\in\lbrack0,T]}||U(t)||\geq\varepsilon)\underset
{T\rightarrow\infty}{\rightarrow}0$, uniform�ment en $U_{0}.$
\end{lemma}

\begin{lemma}
\label{lem36}Soit $m\geq1.$ Il existe $C(\nu)>0$ telle que si $%
%
%
\operatorname{u}%
%
^{\prime},%
%
%
\operatorname{u}%
%
^{\prime\prime}\in H^{1}$ et $|%
%
%
\operatorname{u}%
%
^{\prime}|_{1},|%
%
%
\operatorname{u}%
%
^{\prime\prime}|_{1}\leq\frac{1}{m},$ alors pour tout $t\geq1$, on a :
$||\Sigma_{t}(%
%
%
\operatorname{u}%
%
^{\prime})-\Sigma_{t}(%
%
%
\operatorname{u}%
%
^{\prime\prime})||_{L(H^{1})}^{\ast}\leq Cm^{-\frac{2}{5}}.$
\end{lemma}

\begin{proof}
Par l'in�galit� (\ref{GN})%
%
%
%
%
, nous avons
\[||\operatorname{u}_{1}(t)-\operatorname{u}_{2}(t)||_{1}\leq c|\operatorname{u}_{1}(t)-\operatorname{u}_{2}(t)|_{1}^{\theta}||\operatorname{u}_{1}(t)-\operatorname{u}_{2}(t)||_{2}^{1-\theta},\quad\theta=\frac{2}{5},\quad c>0.\]

Donc, pour tout $f\in\mathcal{C}_{b}(H^{1})$ tel que $||f||_{L(H^{1})}\leq1,$
on a%
\begin{align}
\left\vert \langle\Sigma_{t}(%
%
%
\operatorname{u}%
%
^{^{\prime}}),f\rangle-\langle\Sigma_{t}(%
%
%
\operatorname{u}%
%
^{\prime\prime}),f\rangle\right\vert 
= \left\vert \mathbb{E}(f(\operatorname{u}_{1}(t))-f(\operatorname{u}_{2}(t)))\right\vert 
& \leq\mathbb{E}[||%
%
%
\operatorname{u}%
%
_{1}(t)-%
%
%
\operatorname{u}%
%
_{2}(t)||_{1}]\nonumber\\
&  \leq c\mathbb{E}[|%
%
%
\operatorname{u}%
%
_{1}(t)-%
%
%
\operatorname{u}%
%
_{2}(t)|_{1}^{\theta}||%
%
%
\operatorname{u}%
%
_{1}(t)-%
%
%
\operatorname{u}%
%
_{2}(t)||_{2}^{1-\theta}].\label{gn2/7nvl}%
\end{align}
Comme $|%
%
%
\operatorname{u}%
%
_{1}(0)-%
%
%
\operatorname{u}%
%
_{2}(0)|_{1}\leq\frac{2}{m}$, alors $|%
%
%
\operatorname{u}%
%
_{1}^{\omega}(t)-%
%
%
\operatorname{u}%
%
_{2}^{\omega}(t)|_{1}\leq\frac{2}{m}$ pour tout $\omega$ (voir lemme
\ref{th30}). De plus, $(\alpha-\beta)^{1-\theta}\leq\alpha^{1-\theta}%
+\beta^{1-\theta}$ pour tout $\alpha,\beta\geq0,$ alors le membre de droite de
(\ref{gn2/7nvl}) est born� par
\[
c(\frac{2}{m})^{\theta}(\mathbb{E}[||%
%
%
\operatorname{u}%
%
_{1}(t)||_{2}^{1-\theta}]+\mathbb{E}[%
%
%
\operatorname{u}%
%
_{2}(t)||_{2}^{1-\theta}]).
\]
Par le th�or�me \ref{th19} et l'in�galit� de H�lder, on a $\mathbb{E}[||%
%
%
\operatorname{u}%
%
_{j}(t)||_{2}^{1-\theta}]\leq C_{2}(\nu^{-3})^{\frac{1-\theta}{2}} $, $j=1,2$
et $C_{2}>0$. Donc,
\[
\left\vert \langle\Sigma_{t}(%
%
%
\operatorname{u}%
%
^{\prime}),f\rangle-\langle\Sigma_{t}(%
%
%
\operatorname{u}%
%
^{\prime\prime}),f\rangle\right\vert \leq C\nu^{-\frac{3}{2}(1-\theta
)}m^{-\theta},\quad\text{si }||f||_{L(H^{1})}\leq1,
\]
et on obtient le r�sultat �nonc�.
\end{proof}

\begin{proposition}
\label{p34}Pour tout $%
%
%
\operatorname{u}%
%
^{\prime},%
%
%
\operatorname{u}%
%
^{\prime\prime}\in H^{1},$%
\[
||\Sigma_{t}(%
%
%
\operatorname{u}%
%
^{\prime})-\Sigma_{t}(%
%
%
\operatorname{u}%
%
^{\prime\prime})||_{L(H^{1})}^{\ast}\leq d_{t}^{0},\quad\forall t\geq0,
\]
o� $t\longmapsto d_{t}^{0}$ est une fonction positive ind�pendante de $%
%
%
\operatorname{u}%
%
^{\prime}$ et $%
%
%
\operatorname{u}%
%
^{\prime\prime}$, telle que $\underset{t\rightarrow+\infty}{\lim}d_{t}^{0}=0$.
\end{proposition}

\begin{proof}
On note $d_{t}(%
%
%
\operatorname{u}%
%
^{\prime},%
%
%
\operatorname{u}%
%
^{\prime\prime})=||\Sigma_{t}(%
%
%
\operatorname{u}%
%
^{\prime})-\Sigma_{t}(%
%
%
\operatorname{u}%
%
^{\prime\prime})||_{L(H^{1})}^{\ast}=\underset{||f||_{L}\leq1}{\sup}%
\langle\Sigma_{t}(%
%
%
\operatorname{u}%
%
^{\prime}),f\rangle-\langle\Sigma_{t}(%
%
%
\operatorname{u}%
%
^{\prime\prime}),f\rangle$. On a pour tout $f\in\mathcal{C}_{b}(H^{1})$
\[
\langle\Sigma_{t}(%
%
%
\operatorname{u}%
%
^{\prime}),f\rangle-\langle\Sigma_{t}(%
%
%
\operatorname{u}%
%
^{\prime\prime}),f\rangle=\mathbb{E}[f(%
%
%
\operatorname{u}%
%
_{1}(t))-f(%
%
%
\operatorname{u}%
%
_{2}(t))]=\mathbb{E}[F(U(t))]=:g(t;U_{0}).
\]
o� on a not� $f(%
%
%
\operatorname{u}%
%
_{1})-f(%
%
%
\operatorname{u}%
%
_{2})$ par $F(U),$ $U=(%
%
%
\operatorname{u}%
%
_{1},%
%
%
\operatorname{u}%
%
_{2})$. Donc $d_{t}$ s'�crit comme$\underset{||f||_{L}\leq1}{\sup}g(t;U_{0})$
et $g(t;U_{0})\leq d_{t}$. Soit $m\geq1$ et $O_{m}=\{u\in H^{1}:|u|_{1}%
\leq\frac{1}{m}\}$. Consid�rons \textit{le temps d'atteinte} pour $U^{\omega
}(t)$ dans l'ensemble $O_{m}\times O_{m}:$%
\[
\tau_{m,t}^{\omega}=\inf\{s\in\lbrack0,t]:U^{\omega}(s)\in O_{m}\times
O_{m}\}\quad\text{(cf. appendice B).}%
\]
i) Comme $|%
%
%
\operatorname{u}%
%
_{j}|_{1}\leq||%
%
%
\operatorname{u}%
%
_{j}||$ pour tout $j=1,2,$ le lemme \ref{lem35} implique que $\mathbb{P}%
\mathbb{(}\tau_{m,t}\geq t-1)\ $tend vers $0$, uniform�ment en $U_{0},$ quand
$t$ tend vers $+\infty.$\newline 
ii) Si $\tau_{m,t}<t$ alors $U(\tau_{m,t})\in
O_{m}\times O_{m}.$\newline 
iii) Comme $g(t;U_{0})\leq d_{t}$, en utilisant le
lemme \ref{lem36}, on obtient que si $U_{0}\in O_{m}\times O_{m}$ alors
$g(t;U_{0})\leq Cm^{-\frac{2}{5}}$, $t\geq1$. \newline
Par la propri�t� de Markov forte
(\ref{mf}), $\mathbb{E}[F(U(t))]=\mathbb{E}[g(t-\tau_{m,t};U(\tau_{m,t})].$
Donc%
\begin{equation}
\mathbb{E}[F(U(t))]=\mathbb{E}[\chi_{\{\tau_{m,t}\leq t-1\}}g(t-\tau_{m,t}%
;U(\tau_{m,t}))]+\mathbb{E}[\chi_{\{\tau_{m,t}\leq t-1\}}g(t-\tau_{m,t};U(\tau
_{m,t}))],\label{EFU(t)}%
\end{equation}
o� $\chi_{\cdot}$ est la fonction caract�ristique.
Par ii) et iii), si $\tau_{m,t}\leq t-1$ alors $U(\tau_{m,t})\in O_{m}\times
O_{m}$ et $g(t-\tau_{m,t};U(\tau_{m,t}))\leq Cm^{-\frac{2}{5}}$. Comme
$|F(U(t))|\leq2$, alors (\ref{EFU(t)}) implique que%
\[
\left\vert \mathbb{E}[F(U(t))]\right\vert \leq Cm^{-\frac{2}{5}}%
+2\mathbb{P}\{\tau_{m,t}>t-1\}=:d_{t}^{0}.
\]
Soit $\varepsilon>0$. On choisit $m=m_{\varepsilon}$ de sorte que
$Cm_{\varepsilon}^{-\frac{2}{5}}\leq\frac{1}{2}\varepsilon.$ Par i), nous
avons $2\mathbb{P}\{\tau_{m,t}>t-1\}\leq\frac{1}{4}\varepsilon$, si $t\geq
t_{m_{\varepsilon},\varepsilon}$ est suffisamment grand. Finalement, $\mathbb{E}[F(U(t))]\leq
\varepsilon$ pour tout $t\geq t_{m_{\varepsilon},\varepsilon},$ et $d_{t}(%
%
%
\operatorname{u}%
%
^{\prime},%
%
%
\operatorname{u}%
%
^{\prime\prime})\leq d_{t}^{0}\underset{t\rightarrow+\infty}{\rightarrow}0.$
\end{proof}

\begin{theorem}
\label{th37}La mesure stationnaire $\mu$ donn�e par le th�or�me \ref{th32} est
unique. De plus, pour tout $\lambda$ dans $\mathcal{P}(H^{1}):$%
\begin{equation}
\lim_{t\rightarrow+\infty}||S_{t}^{\ast}\lambda-\mu||_{L(H^{1})}^{\ast
}=0,\label{mel}%
\end{equation}
uniform�ment en $\lambda$. En particulier, pour tout $%
%
%
\operatorname{u}%
%
_{0}\in H^{1}$, on a $\underset{t\rightarrow+\infty}{\lim}||\Sigma_{t}(%
%
%
\operatorname{u}%
%
_{0})-\mu||_{L(H^{1})}^{\ast}=0$ uniform�ment en $%
%
%
\operatorname{u}%
%
_{0}.$
\end{theorem}

La propri�t� (\ref{mel}) est dite\textit{\ de m�lange} et $%
%
%
\operatorname{u}%
%
(t)$ est dit \textit{processus m�langeant}.

\begin{proof}
Soit $\mu$ la mesure stationnaire construite par l'ansatz de Bogoliubov-Krylov
(Th�or�me \ref{th32}) et $\mu_{1}$ une autre mesure stationnaire. Si la
relation (\ref{mel}) est vraie alors $||\mu_{1}-\mu||_{L(H^{1})}^{\ast
}=||S_{t}^{\ast}\mu_{1}-\mu||_{L(H^{1})}^{\ast}\underset{t\rightarrow+\infty
}{\rightarrow}0$ et par cons�quent $\mu_{1}=\mu$. � pr�sent, d�montrons la
relation (\ref{mel}). Soit $f\in\mathcal{C}_{b}(H^{1})$ tel que $||f||_{L}%
\leq1$ et $X_{t}:=|\langle f,S_{t}^{\ast}\lambda\rangle-\langle f,\mu
\rangle|=|\langle f,S_{t}^{\ast}\lambda\rangle-\langle f,S_{t}^{\ast}%
\mu\rangle|$. Nous avons
\[
\langle f,S_{t}^{\ast}\lambda\rangle=\langle S_{t}f,\lambda\rangle=\int
_{H^{1}}S_{t}f(u)\lambda(du)=\int_{H^{1}}\int_{H^{1}}S_{t}f(u)\lambda
(du)\mu(du^{\prime}).
\]
De m�me,
\[
\langle f,S_{t}^{\ast}\mu\rangle=\int_{H^{1}}\int_{H^{1}}S_{t}f(u^{\prime}%
)\mu(du^{\prime})\lambda(du).
\]
Ainsi,
\[
X_{t}\leq\int_{H^{1}}\int_{H^{1}}|S_{t}f(u)-S_{t}f(u^{\prime})|\lambda
(du)\mu(du^{\prime}).
\]
Par la proposition \ref{p34}, l'int�grande $|S_{t}f(u)-S_{t}f(u^{\prime
})|=|\langle\Sigma_{t}(%
%
%
\operatorname{u}%
%
^{\prime})-\Sigma_{t}(%
%
%
\operatorname{u}%
%
^{\prime\prime}),f\rangle|$ est born�e par $d_{t}^{0}$. Par cons�quent, $X_{t}\leq
d_{t}^{0}$. Donc, nous avons (\ref{mel}) dans la limite $t\rightarrow
+\infty.$
\end{proof}

L'analyse de la proposition \ref{p34} implique que%
\[
||\Sigma_{t}(%
%
%
\operatorname{u}%
%
^{\prime})-\Sigma_{t}(%
%
%
\operatorname{u}%
%
^{\prime\prime})||_{L(L_{1})}^{\ast}\leq Ct^{-\frac{1}{13}},\quad\forall
t\geq0,
\]
voir \cite{Bor}, \cite{Borphd}. Alors la solution $%
%
%
\operatorname{u}%
%
(t)$ est un processus \textit{alg�briquement m�langeant}. Or, si la force
$\eta$ d�finie dans (\ref{B*}) est \textit{non-d�g�n�r�e} :%
\begin{equation}
b_{s}\neq0,\quad\text{si }|s|\leq n_{\ast},\label{m.0}%
\end{equation}
avec $n_{\ast}\in%
%
%
\mathbb{N}^{\ast}$ convenable, 
alors $%
%
%
\operatorname{u}%
%
(t)$ est un processus \textit{exponentiellement m�langeant :}%
\begin{equation}
||\Sigma_{t}(%
%
%
\operatorname{u}%
%
^{\prime})-\Sigma_{t}(%
%
%
\operatorname{u}%
%
^{\prime\prime})||_{L(L_{1})}^{\ast}\leq Ce^{-ct},\quad\forall t\geq
0.\label{m.1}%
\end{equation}
Le th�or�me 3.1.7 de \cite{KuShir} implique (\ref{m.1}) si $n_{\ast}=n_{\ast
}(\nu)$ est suffisamment grand (par exemple, si $b_{s}\neq0,$ $\forall s$), et
la m�thode d�velopp�e dans \cite{HM} implique (\ref{m.1}) avec un certain $n_{\ast}$ qui ne d�pend pas de $\nu$. La relation
(\ref{m.1}) entra�ne que le processus $%
%
%
\operatorname{u}%
%
^{\omega}(t)$ est "bien ergodique". Pou illustrer, prenons $f\in
\mathcal{C}_{b}(H^{1})$ et consid�rons le processus $f(%
%
%
\operatorname{u}%
%
(t))$. On peut d�montrer que $f(%
%
%
\operatorname{u}%
%
(t))$ satisfait \textit{la loi forte des grands nombres} et \textit{le
th�or�me central limite \cite[Section 4]{KuShir}}. Le probl�me reste ouvert si
la relation (\ref{m.1}) est vraie avec des constantes $c$ et $C$ qui ne
d�pendent pas de $\nu\in(0,1].$

\section{Fonction de structure}

La \textit{fonction de structure }est l'un des objets principaux de la th�orie
de la turbulence hydrodynamique \cite{Frisch}. Pour un "fluide
unidimensionnel" qui est d�crit par l'�quation de Burgers, la fonction de
structure est d�finie comme suit :

\begin{definition}
\label{def25}Si $%
%
%
\operatorname{u}%
%
$ d�signe la solution de l'�quation de Burgers alors sa fonction de structure
de degr� $p>0$ est%
\begin{equation}
S_{p}(l)=\langle\langle\int_{\mathbb{S}^{1}}|%
%
%
\operatorname{u}%
%
(x+l)-%
%
%
\operatorname{u}%
%
(x)|^{p}dx\rangle\rangle,\text{\quad}l\in(0,1].\label{sp(l)}%
\end{equation}

\end{definition}

\begin{theorem}
\label{th26}Soit $B_{m}<\infty$ pour tout $m\in%
%
%
\mathbb{N}
%
^{\ast}$, $\nu\in(0,c_{\ast}]$, o� $c_{\ast}\leq1$ une constante qui d�pend
seulement de $B_{1},$ $B_{2},$ $\ldots.$

\begin{enumerate}
\item Soit $p>0$. Il existe $c_{p}>0$ telle que
\begin{equation}
S_{p}(l)\leq\left\{
\begin{array}
[c]{l}%
c_{p}l^{p},\text{\qquad\quad si }p\in(0,1),\\
c_{p}l^{p}\nu^{1-p},\text{\quad si }p\geq1,
\end{array}
\right.  \text{pour tout }l\in(0,1]\text{ et }\nu\in(0,1].\label{spl1}%
\end{equation}


\item Il existe des constantes $c_{1},c_{2}>0$, et pour chaque $p>0,$ il
existe $c_{p}^{\prime}(c_{1},c_{2})>0$ telle que
\begin{equation}
S_{p}(l)\geq\left\{
\begin{array}
[c]{l}%
c_{p}^{\prime}l^{p},\text{  si }p\in(0,1),\\
c_{p}^{\prime}l,\text{\quad si }p\geq1,
\end{array}
\right.  \text{pour tout }l\in\lbrack c_{1}\nu,c_{2}]\text{ et }\nu
\in(0,c_{\ast}].\label{spl2}%
\end{equation}

\end{enumerate}
\end{theorem}

\begin{proof}
1) Si $p\geq1$, alors%
\[
S_{p}(l)\leq\langle\langle\int|%
%
%
\operatorname{u}%
%
(x+l)-%
%
%
\operatorname{u}%
%
(x)|dx\cdot\max_{x}|%
%
%
\operatorname{u}%
%
(x+l)-%
%
%
\operatorname{u}%
%
(x)|^{p-1}\rangle\rangle.
\]
Par l'in�galit� de H�lder, on a
\[
S_{p}(l)\leq\underset{=:I}{\underbrace{\langle\langle\left(  \int|%
%
%
\operatorname{u}%
%
(x+l)-%
%
%
\operatorname{u}%
%
(x)|dx\right)  ^{p}\rangle\rangle^{1/p}}}\underset{=:J}{\underbrace
{\langle\langle\max_{x}|%
%
%
\operatorname{u}%
%
(x+l)-%
%
%
\operatorname{u}%
%
(x)|^{p}\rangle\rangle^{(p-1)/p}}}.%
\]
D'une part, remarquons que la moyenne de $x\mapsto%
%
%
\operatorname{u}%
%
(x+t)-%
%
%
\operatorname{u}%
%
(x)$ est nulle, donc par le lemme \ref{lem18}
\[
\int|%
%
%
\operatorname{u}%
%
(x+l)-%
%
%
\operatorname{u}%
%
(x)|dx\leq2\int(%
%
%
\operatorname{u}%
%
(x+l)-%
%
%
\operatorname{u}%
%
(x))^{+}dx\leq2\sup_{x}(%
%
%
\operatorname{u}%
%
_{x})^{+}\cdot l,
\]
et $I\leq2l\langle\langle\lbrack\sup_{x}(%
%
%
\operatorname{u}%
%
_{x})^{+}]^{p}\rangle\rangle^{1/p}.$ Donc, d'apr�s le corollaire \ref{cor17}, on
obtient que $I\leq c_{p}l.$ D'autre part,%
\[
J\leq\langle\langle l^{p}|%
%
%
\operatorname{u}%
%
_{x}|_{\infty}^{p}\rangle\rangle^{(p-1)/p}.
\]
De l'in�galit� (\ref{GN}) (avec $\theta(0,1,\infty,m-1)$) et celle de H�lder,
on obtient
\[
\langle\langle l^{p}|%
%
%
\operatorname{u}%
%
_{x}|_{\infty}^{p}\rangle\rangle^{\frac{p-1}{p}}\leq\left[  cl^{p}%
\langle\langle||%
%
%
\operatorname{u}%
%
||_{m}^{\frac{2p}{2m-1}}|%
%
%
\operatorname{u}%
%
_{x}|_{1}^{a}\rangle\rangle\right]  ^{\frac{p-1}{p}}\leq cl^{p-1}%
\langle\langle||%
%
%
\operatorname{u}%
%
||_{m}^{2}\rangle\rangle^{\frac{p-1}{2m-1}}\langle\langle|%
%
%
\operatorname{u}%
%
_{x}|_{1}^{b}\rangle\rangle^{c},
\]
pour certaines constantes $a,b,c>0.$ Maintenant, enutilisant le corollaire
\ref{cor17} et le th�or�me \ref{th23}, on obtient que
\[
J\leq c^{\prime}l^{p-1}\nu^{-(p-1)}.
\]
Finalement $S_{p}(l)\leq c_{p}l^{p}\nu^{1-p},$ si $p\geq1.$

Si $p\in(0,1),$ alors nous obtenons par l'in�galit� de H�lder et par
(\ref{spl1}) avec $p=1:$
\[
S_{p}(l)\leq\langle\langle\int|%
%
%
\operatorname{u}%
%
(x+l)-%
%
%
\operatorname{u}%
%
(x)|dx\rangle\rangle^{p}=S_{1}(l)^{p}\leq(c_{1}l)^{p}.
\]
Ceci ach�ve la preuve de (\ref{spl1}).

2) Notons par $Q_{1}$ l'�v�nement dans (\ref{ensembleinvariantennu}) avec
$m=1$. Alors $\rho(Q_{1})\geq C(1,\sigma_{0})$. Soit $M>0$ et
\[
Q_{2}=\{(t,\omega)\in Q_{1}:|%
%
%
\operatorname{u}%
%
_{x}^{\omega+}(t)|_{\infty}+|%
%
%
\operatorname{u}%
%
_{x}^{\omega}(t)|_{1}+\nu^{\frac{3}{2}}||%
%
%
\operatorname{u}%
%
^{\omega}(t)||_{2}+\nu^{\frac{5}{2}}||%
%
%
\operatorname{u}%
%
^{\omega}(t)||_{3}\}\leq M\}.
\]
Par le corollaire \ref{cor17}, (\ref{momentksobaverage}) et l'in�galit� de
Tchebychev :%
\[
\rho(Q_{2})\geq C(1,\sigma_{0})-C_{1}M^{-1}\geq\frac{1}{2}C(1,\sigma_{0}),
\]
pour tout $\nu\in(0,c_{\ast}]$ et si $M$ est suffisamment grand.

Soit $(t,\omega)\in Q_{2}$ et notons $v(x):=%
%
%
\operatorname{u}%
%
^{\omega}(t,x)$. Pour �tablir (\ref{spl2}), nous montrons que $v$ satisfait
\begin{equation}
\int|v(x+l)-v(x)|^{p}dx\geq Cl^{\min(1,p)},\quad l\in\lbrack c_{1}\nu
,c_{2}],\text{ }p>0\label{77.3},%
\end{equation}
uniform�ment en $\nu\in(0,1]$, o� $C=C(c_{1},c_{2},p)>0.$

D'abord, supposons que $p\geq1$. Notons que
\[
\alpha\nu^{-1}\leq\int|v_{x}|^{2}dx\leq|v_{x}|_{\infty}|v_{x}|_{1}\leq
M|v_{x}|_{\infty},
\]
o� $\alpha$ est d�finie dans le corollaire \ref{ensemble>0}. Donc%
\begin{equation}
|v_{x}|_{\infty}\geq\alpha M^{-1}\nu^{-1}=:\alpha_{2}\nu^{-1},\label{77.1}%
\end{equation}
uniform�ment en $\nu.$ Comme $|v_{x}^{+}|_{\infty}\leq M$, alors $|v_{x}%
^{+}|_{\infty}\leq\frac{1}{2}\alpha_{2}\nu^{-1}$, si $\nu\leq\frac{1}{2}%
\alpha_{2}M^{-1}=:c_{\ast}$. Ainsi, par (\ref{77.1}), on a
\[
|v_{x}^{+}|_{\infty}\leq\frac{1}{2}\alpha_{2}\nu^{-1},\quad\text{et }%
|v_{x}^{-}|_{\infty}\geq\alpha_{2}\nu^{-1},\quad\text{si }\nu\in
\lbrack0,c_{\ast}].
\]
Notons par $z=z(t,\omega)=\min\{x\in\lbrack0,1):v_{x}^{-}(x)\geq\alpha_{2}%
\nu^{-1}\}:$ $z$ est une fonction mesurable bien d�finie sur $Q_{2}$, si
$\nu\in\lbrack0,c_{\ast}].$

Nous avons
\begin{equation}
\int|v(x+l)-v(x)|^{p}dx\geq\int_{z-\frac{l}{2}}^{z}|\int_{x}^{x+l}v_{x}%
^{-}(y)dy-\int_{x}^{x+l}v_{x}^{+}(y)dy|^{p}dx.\label{strcturev}%
\end{equation}
Par le lemme \ref{GNtermeL}, on a $|%
%
%
\operatorname{u}%
%
_{xx}|_{\infty}\leq C_{2}||%
%
%
\operatorname{u}%
%
||_{2}^{\frac{1}{2}}||%
%
%
\operatorname{u}%
%
||_{3}^{\frac{1}{2}}$, ce qui implique que $|v_{xx}|_{\infty}\leq C_{2}%
M\nu^{-2}$. Donc, dans l'intervalle $[x,x+\alpha_{3}\nu]$, $\alpha_{3}>0$,
nous avons
\[
v_{x}^{-}\geq\alpha_{2}\nu^{-1}-\alpha_{3}C_{2}M\nu^{-1}=\frac{3}{4}\alpha
_{2}\nu^{-1},
\]
si $\alpha_{3}=\frac{\alpha_{2}}{4C_{1}M}$. Supposons que $l\geq\alpha_{3}%
\nu.$ Comme $v_{x}^{+}\leq M$, alors
\[
\int_{x}^{x+l}v_{x}^{-}(y)dy\geq\int_{x}^{x+\alpha_{3}\nu}v_{x}^{-}%
(y)dy\geq\frac{3}{4}\alpha_{2}\alpha_{3},\quad\text{et }\int_{x}^{x+l}%
v_{x}^{+}(y)dy\leq Ml.
\]
Donc, en utilisant (\ref{strcturev}), nous obtenons que
\[
\int|v(x+l)-v(x)|^{p}dx\geq\int_{z-\frac{l}{2}}^{z}|\frac{3}{4}\alpha
_{2}\alpha_{3}-Ml|^{p}dx\geq\frac{l}{2}\left(  \frac{1}{2}\alpha_{2}\alpha
_{3}\right)  ^{p},
\]
pourvu que $l\in\lbrack\alpha_{3}\nu,\frac{\alpha_{2}\alpha_{3}}{4M}]$ et
$\nu\in\lbrack0,c_{\ast}]$. Ainsi, la relation (\ref{spl2}) est �tablie avec
$c_{\ast}=\frac{1}{2}\alpha_{2}M^{-1}$, $c_{1}=\alpha_{3}$ et $c_{2}%
=\frac{\alpha_{2}\alpha_{3}}{4M}$, si $p\geq1$.

Maintenant, supposons que $p\in(0,1)$. Soit $f$ une fonction arbitraire positive.
Nous pouvons l'�crire comme $f=f^{\frac{2-2p}{2-p}}f^{\frac{p}{2-p}}$. Donc, d'apr�s l'in�galit� de H�lder, nous avons $\left(  \int f\right)  ^{2-p}\leq\left(
\int f^{2}\right)  ^{1-p}\left(  \int f^{p}\right)  $. Par cons�quent,
\begin{align*}
\int|v(x+l)-v(x)|^{p}dx  & \geq\int\left(  \left(  v(x+l)-v(x)\right)
^{+}\right)  ^{p}dx\\
& \geq\left(  \int\left(  \left(  v(x+l)-v(x)\right)  ^{+}\right)
^{2}dx\right)  ^{p-1}\left(  \int\left(  \left(  v(x+l)-v(x)\right)
^{+}\right)  dx\right)  ^{2-p}.
\end{align*}
Comme $v_{x}^{+}\leq M$, alors $\left(  v(x+l)-v(x)\right)  ^{+}\leq Ml$. De
plus, $p-1<0$, donc le premier terme du membre de droite de cette derni�re
in�galit� est minor� par $\left(  M^{2}l^{2}\right)  ^{p-1}$.

Remarquons que la fonction $v(\cdot+l)-v(\cdot)$ est de moyenne nulle. Par
cons�quent
\[
\int\left(  v(x+l)-v(x)\right)  ^{+}dx=\frac{1}{2}\int|v(x+l)-v(x)|dx,
\]
et utilisant (\ref{77.3}) avec $p=1$, nous obtenons que le second terme est
minor� par $Cl^{2-p}$. Finalement, (\ref{77.3}) est �tabli pour $p\in(0,1).$
\end{proof}

\section{Spectre de l'�nergie}

\begin{definition}
On appelle l'�nergie de nombre d'onde $k$ correspondant � la solution $%
%
%
\operatorname{u}%
%
$ de l'�quation de Burgers, la grandeur :%
\begin{equation}
E_{k}=\frac{1}{2k(M-M^{-1})}\sum_{M^{-1}k\leq|n|\leq Mk}\frac{1}{2}%
\langle\langle|%
%
%
\operatorname{u}%
%
_{n}|^{2}\rangle\rangle.\label{energyondek}%
\end{equation}
o� $M$ est une constante positive ind�pendante de $\nu.$ La fonction
$k\longmapsto E_{k}$ est le spectre de l'�nergie.
\end{definition}

Le th�or�me \ref{th24} dit que si $k$ est sup�rieur au \textit{seuil
critique} �gal � $\nu^{-1}$, alors le spectre de l'�nergie d�cro�t plus vite
que n'importe quelle puissance n�gative de $k$, et que cela n'est pas valide
si $k\ll\nu$.

Dans cette partie, nous continuons l'�tude du spectre de l'�nergie $E_{k}$
quand $k\lesssim\nu^{-1}.$

\begin{theorem}
\label{encadrementEk}Soit $M$ dans (\ref{energyondek}) suffisament grand, et
$c_{1},c_{2}>0$ les constantes du th�or�me \ref{th26}, alors il existe
$c_{3},c_{4}>0$ telles que pour tout $k$ satisfaisant la condition
\begin{equation}
c_{2}^{-1}\leq k\leq(c_{1}\nu)^{-1},\label{cond}%
\end{equation}
nous avons
\begin{equation}
c_{3}k^{-2}\leq E_{k}\leq c_{4}k^{-2}.\label{E_kcommek^2}%
\end{equation}

\end{theorem}

\begin{proof}
On pr�cise que les constantes $C,$ $C_{k},\ldots$etc, de cette preuve ne
d�pendent pas de $M.$ La relation (\ref{espuk2k}) implique que $\langle
\langle|%
%
%
\operatorname{u}%
%
_{k}|^{2}\rangle\rangle\leq Ck^{-2}.$ Notons que cette relation entra�ne la
seconde in�galit� de (\ref{E_kcommek^2}). Maintenant, nous v�rifions la
premi�re. Comme $\langle\langle|%
%
%
\operatorname{u}%
%
_{k}|^{2}\rangle\rangle\leq Ck^{-2}$, alors%
\begin{equation}
\sum_{|n|\leq M^{-1}k}|n|^{2}\langle\langle|%
%
%
\operatorname{u}%
%
_{n}(t)|^{2}\rangle\rangle\leq CM^{-1}k,\label{cm-1k}%
\end{equation}
et%
\begin{equation}
\sum_{|n|\geq Mk}\langle\langle|%
%
%
\operatorname{u}%
%
_{n}(t)|^{2}\rangle\rangle\leq C^{\prime}M^{-1}k^{-1},\label{cm-1k-1}%
\end{equation}
Posons $S=\underset{|n|\leq Mk}{\sum}|n|^{2}\langle\langle|%
%
%
\operatorname{u}%
%
_{n}(t)|^{2}\rangle\rangle.$ Comme $|\sin(\alpha)|\leq|\alpha|$, alors%
\begin{equation}
S\geq\frac{k^{2}}{\pi^{2}}\sum_{|n|\leq Mk}\sin^{2}(\frac{n\pi}{k}%
)\langle\langle|%
%
%
\operatorname{u}%
%
_{n}|^{2}\rangle\rangle=\frac{k^{2}}{\pi^{2}}\left(  \sum_{n\in%
%
%
\mathbb{Z}
%
^{\ast}}\sin^{2}(\frac{n\pi}{k})\langle\langle|%
%
%
\operatorname{u}%
%
_{n}|^{2}\rangle\rangle-\sum_{|n|>Mk}\sin^{2}(\frac{n\pi}{k})\langle\langle|%
%
%
\operatorname{u}%
%
_{n}|^{2}\rangle\rangle\right)  .\label{SS}%
\end{equation}
Notons que par l'identit� de Parseval, nous avons
\[
||%
%
%
\operatorname{u}%
%
(\cdot+y)-%
%
%
\operatorname{u}%
%
(\cdot)||^{2}=4\sum_{n\in%
%
%
\mathbb{Z}
%
^{\ast}}\sin^{2}(n\pi y)|%
%
%
\operatorname{u}%
%
_{n}|^{2}.
\]
Donc, (\ref{SS}) et (\ref{cm-1k-1}) impliquent que
\begin{equation}
S\geq\frac{k^{2}}{\pi^{2}}\left(  \frac{1}{4}\langle\langle||%
%
%
\operatorname{u}%
%
(\cdot+\frac{1}{k})-%
%
%
\operatorname{u}%
%
(\cdot)||^{2}\rangle\rangle-\sum_{|n|>Mk}\langle\langle|%
%
%
\operatorname{u}%
%
_{n}|^{2}\rangle\rangle\right)  \geq k^{2}C_{1}S_{2}(\frac{1}{k}%
)-CM^{-1}k.\label{Sbon}%
\end{equation}
Comme $k$ satisfait (\ref{cond}), alors par (\ref{Sbon}) et (\ref{spl2})
($p=2,$ $l=\frac{1}{k}$), nous avons
\begin{equation}
S\geq k^{2}C_{1}c_{2}^{\prime}k^{-1}-C^{^{\prime}}M^{-1}k=k(C^{\prime\prime
}-C^{\prime}M^{-1}).\label{diez'}%
\end{equation}
Notons que
\[
E_{k}\geq E_{k}^{-}=\frac{1}{4k^{3}M^{3}}\sum_{M^{-1}k\leq|n|\leq Mk}%
|n|^{2}\langle\langle|%
%
%
\operatorname{u}%
%
_{n}(t)|^{2}\rangle\rangle.
\]%
%
%
%
Donc, en utilisant (\ref{diez'}) et (\ref{cm-1k}), on obtient que
\[
E_{k}\geq\frac{1}{4k^{3}M^{3}}\left(  S-\sum_{|n|\leq M^{-1}k}|n|^{2}%
\langle\langle|%
%
%
\operatorname{u}%
%
_{n}|^{2}\rangle\rangle\right)  \geq\frac{C^{\prime\prime}-C^{\prime}%
M^{-1}-CM^{-1}}{4k^{2}M^{3}}>k^{-2}M^{-3}C_{3},\quad C_{3}>0
\]
si $M\gg1$. D'o� la premi�re in�galit� de (\ref{E_kcommek^2}).%
%
%
%

\end{proof}

En ignorant les constantes multiplicatives devant les puissances de $\nu$, les
physiciens �crivent le segment $[c_{2}^{-1},c_{1}^{-1}\nu^{-1}]$ comme
$[\nu^{0},\nu^{-1}]$ et l'appellent la \textit{zone inertielle}. Alors, le
th�or�me \ref{encadrementEk} dit que dans la zone inertielle l'�nergie $E_{k}
$ se comporte comme $k^{-2}.$ De m�me, on appelle le segment $[\nu
^{-1},+\infty)$ la \textit{zone dissipative}, et dans ce cas, le th�or�me
\ref{th26} se traduit par le fait que dans cette zone, l'�nergie d�cro�t plus
vite que toute puissance n�gative de $k$. On renvoie � \cite{Bor} pour une
assertion plus forte, qui justifie plus rigoureusement la d�finition de ces zones.

\section{Appendice A : Le processus de Wiener standard}

Soit $\mathcal{C}(%
%
%
\mathbb{R}
%
^{+})$ l'espace des fonctions continues d�finies sur $%
%
%
\mathbb{R}
%
^{+}=[0,+\infty\lbrack$, muni de la distance :%
\[
d(u,v)=\sum_{n=1}^{+\infty}2^{-n}\frac{\underset{0\leq t\leq n}{\max
}|u(t)-v(t)|}{1+\underset{0\leq t\leq n}{\max}|u(t)-v(t)|},
\]
$(\mathcal{C}(%
%
%
\mathbb{R}
%
^{+}),d)$ est un espace m�trique complet et s�parable. Soit $\mathcal{B}$ la
tribu Bor�lienne de $\mathcal{C}(%
%
%
\mathbb{R}
%
^{+})$ et soit $(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P})$ un espace probabilis� standard
\cite{Dud}. Par exemple, $\Omega=[0,1]$ muni de la tribu Bor�lienne
$\mathcal{F}$ et de la mesure de Lebesgue.

Consid�rons l'application mesurable $w:(\Omega,\mathcal{F})\rightarrow\left(
\mathcal{C}(%
%
%
\mathbb{R}
%
^{+}\right)  ,\mathcal{B}),$ $\omega\longmapsto w^{\omega}$, telle que :

\begin{enumerate}
\item $w^{\omega}(0)=0$,
\item pour tout $0\leq t_{1}\leq\ldots\leq t_{N},$ la variable al�atoire
$\omega\longmapsto(w^{\omega}(t_{1}),\ldots,w^{\omega}(t_{N}))\in%
%
%
\mathbb{R}
%
^{N}$ est Gaussienne,

\item pour chaque $t\geq0$, $\mathbb{E}[w^{\omega}(t)]=0$ et $\mathbb{E}%
[w^{\omega}(t)^{2}]=t$, et 

\item si $0\leq t_{1}\leq t_{2}\leq t_{3}\leq t_{4}$ $,$ alors les variables
al�atoires $w(t_{4})-w(t_{3})$ et $w(t_{2})-w(t_{1})$ sont ind�pendantes.
\end{enumerate}

On appelle une telle application mesurable sur $(\Omega,\mathcal{F}%
,\mathbb{P})$, un \textit{processus de Wiener standard}. Notons que si on pose
$\widetilde{w}(t)=w(\widetilde{t}+t)-w(\widetilde{t})$ pour $\widetilde{t}\geq0$ fix�,
alors $\widetilde{w}$ d�finit aussi un processus de Wiener standard. Il est
connu qu'on peut construire une famille d�nombrable $w_{1},w_{2},\ldots$ de
processus de Wiener standard ind�pendants \cite{Gall}, \cite{Kuo}.

La c�l�bre in�galit� maximale de Doob \cite{Gall}, \cite{KaS}, \cite{Shir},
appliqu�e � un processus de Wiener standard $w(t)$ dit que
\begin{equation}
\mathbb{E}[\left(  \sup_{0\leq t\leq T}|w(t)|^{2}\right)  ^{p}]\leq\left(
\frac{p}{p-1}\right)  ^{p}\mathbb{E}[\left(  |w(t)|^{2}\right)  ^{p}%
],\quad\forall p>1.\label{doob}%
\end{equation}
L'in�galit� (\ref{doob}) reste vraie si $|w(t)|=\left(  w_{1}(t)^{2}%
+\ldots+w_{N}(t)^{2}\right)  ^{1/2},$ et $w_{1},\ldots,w_{N}$ sont des
processus de Wiener standard ind�pendants.

\section{Appendice B : Les temps d'atteinte et d'arr�t, et la propri�t� de
Markov forte}

Soit $t,m\geq0,$ $B_{m}<\infty$ et $%
%
%
\operatorname{u}%
%
(t)\in H^{m},$ une solution de (\ref{B}). Soit $Q\subset H^{m}$ un sous-ensemble ferm�, et une constante $T>0$. Notons%
\[
\tau=\tau_{Q,T}^{\omega}=\inf\{0\leq t\leq T:%
%
%
\operatorname{u}%
%
^{\omega}(t)\in Q\}.
\]
Ici, $\tau=T$ si $%
%
%
\operatorname{u}%
%
^{\omega}(t)\notin Q$ pour $t\leq T.$ On appelle $\tau$ le \textit{temps
d'atteinte }(dans l'ensemble ferm� $Q$). C'est un cas particulier du
\textit{temps d'arr�t} \cite{Gall}, \cite{Oks}, \cite{KaS}. Notons que
$\tau=0$ si $Q=H^{m},$ et que $\tau=T$ si $Q=\varnothing.$

L'importance de ces concepts vient de la propri�t� des processus de Markov,
qu'on appelle : \textit{propri�t� de Markov forte}. Nous la formulons pour une
solution $%
%
%
\operatorname{u}%
%
(t)=%
%
%
\operatorname{u}%
%
^{\omega}(t;%
%
%
\operatorname{u}%
%
_{0}^{\omega})$ de (\ref{B}), o� $%
%
%
\operatorname{u}%
%
_{0}$ est une variable al�atoire dans $H^{1}$ ind�pendante de $\xi^{\omega}$
et telle que $\mathbb{E}[||%
%
%
\operatorname{u}%
%
_{0}||_{1}]<\infty.$ Soit $T_{1}\geq T$ et $f\in\mathcal{C}_{b}(H^{m}),$
alors
\begin{equation}
\mathbb{E}[f(%
%
%
\operatorname{u}%
%
(T_{1})]=\mathbb{E}[S_{T_{1}-\tau_{Q,T}^{\omega}}f(%
%
%
\operatorname{u}%
%
(\tau_{Q,T}^{\omega}))].\label{mf}%
\end{equation}
Ici, la fonction $S_{t}f(v)$ est d�fini dans (\ref{Stdef}) o� nous avons
remplac� $t$ par $T_{1}-\tau_{Q,T}^{\omega}$, et $v$ par $%
%
%
\operatorname{u}%
%
(\tau_{Q,T}^{\omega})$. Notons que si $\tau=T$ et $%
%
%
\operatorname{u}%
%
(0)=const,$ alors (\ref{mf}) co�ncide avec la propri�t� de Kolmogorov-Chapman
(\ref{m1}).

\section{Notation}

Soit $x\in\mathbb{S}^{1}$, $p\in\lbrack1,\infty]$ et $m\in%
%
%
\mathbb{R}
%
$. Pour une fonction $%
%
%
\operatorname{u}%
%
(x)$, nous notons par $|%
%
%
\operatorname{u}%
%
|_{p}$ sa norme dans l'espace de Lebesgue $L_{p}(\mathbb{S}^{1})$, et par $||%
%
%
\operatorname{u}%
%
||_{m}$ sa norme de Sobolev homog�ne d'ordre $m$. Si $m=0$, nous �crivons $||%
%
%
\operatorname{u}%
%
||:=||%
%
%
\operatorname{u}%
%
||_{0}=|%
%
%
\operatorname{u}%
%
|_{2}$.

Soit $\lambda>0$. Nous d�signons par $\lambda\gg1$ (resp. $\lambda\ll1$) si
$\lambda$ est suffisamment grand (resp. $\lambda$ est suffisamment petit).

L'abbreviation p.p d�signe "presque partout".

\begin{thebibliography}{99}                                                                                               %
\bibitem {AFLV92}Aurell, E., Frisch, U., Lutsko, J., Vergassola, M., 1992. On
the multifractal properties of the energy dissipation derived from turbulence
data. Journal of Fluid Mechanics 238, 467--486.

\bibitem {BK07}Bec, J., Khanin, K., 2007. Burgers turbulence. Physics Reports
447, 1--66.

\bibitem {Billi}Billingsley, P., 1999. Convergence of Probability Measures, John Wiley \& Sons, New York.

\bibitem {Biry01}Biryuk A., 2001. Spectral Properties of Solutions of Burgers
Equation with Small Dissipation. Functional Analysis and Its Applications.
Vol. 35., No 1.

\bibitem {Birphd}Biryuk, A., 2001. Estimates for Spatial Derivatives of
Solutions for Quasilinear Parabolic Equationswith Small Viscosity (PhD
thesis). Heriot-Watt University, Edinburgh, Scotland.

\bibitem {Bog}Bogachev, V.I., 1998. Gaussian Measures, Mathematical Surveys
and Monographs. AMS, Providence.

\bibitem {Bor}Boritchev, A., 2012. Sharp Estimates for Turbulence in
White-Forced Generalised Burgers Equation, Geometric and Functional Analysis, 23.

\bibitem {Borphd}Boritchev, A., 2012. Equation de Burgers g�n�ralis�e � force
al�atoire et � viscosit� petite (Th�se de doctorat). �cole polytechnique,
Palaiseau, France.

\bibitem {Bourba}Bourbaki, N, 1965. Integration. Livre VI. Paris, Hermann, 1965.

\bibitem {Car}Cartan, H., Takahashi, R., 1961. Th�orie �l�mentaire des
fonctions analytiques d'une ou plusieurs variables complexes. Hermann, Paris, France.

\bibitem {Dud}Dudley, R.M., 2002. Real analysis and probability, Cambridge
studies in advanced mathematics. Cambridge University Press, Cambridge, New York.

\bibitem {Evans}Evans, L.C., 2010. Partial differential equations, 2nd ed. ed,
Graduate studies in mathematics. American Mathematical Society, Providence, R.I.

\bibitem {Frisch}Frisch, U., 1995. Turbulence: the Legacy of A. N. Kolmogorov.
Cambridge University Press, Cambridge.

\bibitem {Gall}Le Gall, J.-F., 2013. Mouvement brownien, martingales et calcul
stochastique. Math�matiques et Applications. Springer-Verlag, Berlin; Heidelberg.

\bibitem {HM}Hairer, M., Mattingly, J., 2006. Ergodicity of the 2D
Navier--Stokes equations with degenerate stochastic forcing. Annals of
Mathematics 164, 993--1032.

\bibitem {KP}Kappeler, T., P�schel, J., 2003. KdV \& KAM. Springer-Verlag, Berlin; New York.

\bibitem {KaS}Karatzas, I., Shreve, S., 1991. Brownian Motion and Stochastic
Calculus, 2nd ed. Springer-Verlag, New York.

\bibitem {Khas}Khasminskii, R., 2012. Stochastic Stability of Differential
Equations. Springer-Verlag, Berlin; Heidelberg.

\bibitem {Kru64}Kru\v{z}kov, S.N., 1964. The Cauchy problem in the large for
non-linear equations and for certain first-order quasilinear systems with
several variables. Dokl. Akad. Nauk SSSR 155, 743--746.

\bibitem {Kuo}Kuo, H.-H., 1975. Gaussian Measures in Banach Spaces.
Springer-Verlag, Berlin.

\bibitem {Kuk97}Kuksin, S.B., 1997. On turbulence in nonlinear Shr�dinger
equation. Geometric and Functional Analysis 7, 338--363.

\bibitem {Kuk99}Kuksin, S.B., 1999. Spectral properties of solutions for
nonlinear PDEs in the turbulent regime. Geometric and Functional Analysis 9, 141--184.

\bibitem {KuShir}Kuksin, S., Shirikyan, A., 2012. Mathematics of
Two-Dimensional Turbulence. Cambridge University Press, Cambridge

\bibitem {Lions}Lions, J.-L., 1969. Quelques M�thodes de R�solution des
Probl�mes aux Limites Non Lin�aires. Gauthier-Villars, Paris.

\bibitem {LM}Lions, J.-L., Magenes, E., 1968. Probl�mes aux limites non
homog�nes et applications, Travaux et recherches math�matiques. Dunod, Paris, France.

\bibitem {Oks}�ksendal, B., 2003. Stochastic Differential Equations. An
introduction with applications. Springer-Verlag, Heidelberg; New York.

\bibitem {PT}Poschel, J., Trubowitz, E., 1987. Inverse Spectral Theory.
Academic Press, Boston.

\bibitem {Shir}Shiryaev, A.N., 1996. Probability. Springer-Verlag, Berlin.

\bibitem {Tay3}Taylor, M.E., 2011. Partial differential equations III, III. Springer-Verlag, New York.

\end{thebibliography}


\end{document}
1504.00395.extracted_bib
{AFLV92Aurell, E., Frisch, U., Lutsko, J., Vergassola, M., 1992. On the multifractal properties of the energy dissipation derived from turbulence data. Journal of Fluid Mechanics 238, 467--486.
1504.00395.extracted_bib
{BK07Bec, J., Khanin, K., 2007. Burgers turbulence. Physics Reports 447, 1--66.
1504.00395.extracted_bib
{BilliBillingsley, P., 1999. Convergence of Probability Measures, John Wiley \& Sons, New York.
1504.00395.extracted_bib
{Biry01Biryuk A., 2001. Spectral Properties of Solutions of Burgers Equation with Small Dissipation. Functional Analysis and Its Applications. Vol. 35., No 1.
1504.00395.extracted_bib
{BirphdBiryuk, A., 2001. Estimates for Spatial Derivatives of Solutions for Quasilinear Parabolic Equationswith Small Viscosity (PhD thesis). Heriot-Watt University, Edinburgh, Scotland.
1504.00395.extracted_bib
{BogBogachev, V.I., 1998. Gaussian Measures, Mathematical Surveys and Monographs. AMS, Providence.
1504.00395.extracted_bib
{BorBoritchev, A., 2012. Sharp Estimates for Turbulence in White-Forced Generalised Burgers Equation, Geometric and Functional Analysis, 23.
1504.00395.extracted_bib
{BorphdBoritchev, A., 2012. Equation de Burgers g�n�ralis�e � force al�atoire et � viscosit� petite (Th�se de doctorat). �cole polytechnique, Palaiseau, France.
1504.00395.extracted_bib
{BourbaBourbaki, N, 1965. Integration. Livre VI. Paris, Hermann, 1965.
1504.00395.extracted_bib
{CarCartan, H., Takahashi, R., 1961. Th�orie �l�mentaire des fonctions analytiques d'une ou plusieurs variables complexes. Hermann, Paris, France.
1504.00395.extracted_bib
{DudDudley, R.M., 2002. Real analysis and probability, Cambridge studies in advanced mathematics. Cambridge University Press, Cambridge, New York.
1504.00395.extracted_bib
{EvansEvans, L.C., 2010. Partial differential equations, 2nd ed. ed, Graduate studies in mathematics. American Mathematical Society, Providence, R.I.
1504.00395.extracted_bib
{FrischFrisch, U., 1995. Turbulence: the Legacy of A. N. Kolmogorov. Cambridge University Press, Cambridge.
1504.00395.extracted_bib
{GallLe Gall, J.-F., 2013. Mouvement brownien, martingales et calcul stochastique. Math�matiques et Applications. Springer-Verlag, Berlin; Heidelberg.
1504.00395.extracted_bib
{HMHairer, M., Mattingly, J., 2006. Ergodicity of the 2D Navier--Stokes equations with degenerate stochastic forcing. Annals of Mathematics 164, 993--1032.
1504.00395.extracted_bib
{KPKappeler, T., P�schel, J., 2003. KdV \& KAM. Springer-Verlag, Berlin; New York.
1504.00395.extracted_bib
{KaSKaratzas, I., Shreve, S., 1991. Brownian Motion and Stochastic Calculus, 2nd ed. Springer-Verlag, New York.
1504.00395.extracted_bib
{KhasKhasminskii, R., 2012. Stochastic Stability of Differential Equations. Springer-Verlag, Berlin; Heidelberg.
1504.00395.extracted_bib
{Kru64Kru\v{zkov, S.N., 1964. The Cauchy problem in the large for non-linear equations and for certain first-order quasilinear systems with several variables. Dokl. Akad. Nauk SSSR 155, 743--746.
1504.00395.extracted_bib
{KuoKuo, H.-H., 1975. Gaussian Measures in Banach Spaces. Springer-Verlag, Berlin.
1504.00395.extracted_bib
{Kuk97Kuksin, S.B., 1997. On turbulence in nonlinear Shr�dinger equation. Geometric and Functional Analysis 7, 338--363.
1504.00395.extracted_bib
{Kuk99Kuksin, S.B., 1999. Spectral properties of solutions for nonlinear PDEs in the turbulent regime. Geometric and Functional Analysis 9, 141--184.
1504.00395.extracted_bib
{KuShirKuksin, S., Shirikyan, A., 2012. Mathematics of Two-Dimensional Turbulence. Cambridge University Press, Cambridge
1504.00395.extracted_bib
{LionsLions, J.-L., 1969. Quelques M�thodes de R�solution des Probl�mes aux Limites Non Lin�aires. Gauthier-Villars, Paris.
1504.00395.extracted_bib
{LMLions, J.-L., Magenes, E., 1968. Probl�mes aux limites non homog�nes et applications, Travaux et recherches math�matiques. Dunod, Paris, France.
1504.00395.extracted_bib
{Oks�ksendal, B., 2003. Stochastic Differential Equations. An introduction with applications. Springer-Verlag, Heidelberg; New York.
1504.00395.extracted_bib
{PTPoschel, J., Trubowitz, E., 1987. Inverse Spectral Theory. Academic Press, Boston.
1504.00395.extracted_bib
{ShirShiryaev, A.N., 1996. Probability. Springer-Verlag, Berlin.
1504.00395.extracted_bib
{Tay3Taylor, M.E., 2011. Partial differential equations III, III. Springer-Verlag, New York.