$(\varphi, \Gamma)$-modules de de Rham et fonctions $L$ $p$-adiques
Joaqu\'in Rodrigues Jacinto
We develop a variant of Coleman and Perrin Riou's methods giving, for a de Rham $p$-adic Galois representation, a construction of $p$-adic $L$ functions from a compatible system of global elements. As a result, we construct analytic functions on an open set of the $p$-adic weight space containing all locally algebraic characters of large enough conductor. Applied to Kato's Euler system, this gives $p$-adic $L$-functions for elliptic curves with additive bad reduction and, more generally, for modular forms which are supercuspidal at $p$. In the case of dimension $2$, we prove a functional equation for our $p$-adic $L$-functions.
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% (phi, Gamma)-modules
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\title{$(\varphi, \Gamma)$-modules de de Rham et fonctions $L$ $p$-adiques}
%\date{October 31, 475}
\author{Joaqu\'in Rodrigues Jacinto}

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\begin{document}


\maketitle

%\begin{resume} r�sum� en fran�ais \end{resume}
%   \english
\selectlanguage{french}

\begin{abstract} On d�veloppe une variante des m�thodes de Coleman et Perrin-Riou permettant, pour une repr�sentation galoisienne de de Rham, construire des fonctions $L$ $p$-adiques � partir d'un syst�me compatible d'�l�ments globaux. On obtient de la sorte des fonctions analytiques sur un ouvert de l'espace des poids contenant les caract�res localement alg�briques de conducteur assez grand. Appliqu� au syst�me d'Euler de Kato, cela fournit des fonctions $L$ $p$-adiques pour les courbes elliptiques � mauvaise r�duction additive et, plus g�n�ralement, pour les formes modulaires supercuspidales en $p$. En dimension $2$, nous prouvons une �quation fonctionnelle pour nos fonctions $L$ $p$-adiques.
\end{abstract}

\selectlanguage{english}
\begin{abstract} We develop a variant of Coleman and Perrin Riou's methods giving, for a de Rham $p$-adic Galois representation, a construction of $p$-adic  $L$ functions from a compatible system of global elements. As a result, we construct analytic functions on an open set of the $p$-adic weight space containing all locally algebraic characters of large enough conductor. Applied to Kato's Euler system, this gives $p$-adic $L$-functions for elliptic curves with additive bad reduction and, more generally, for modular forms which are supercuspidal at $p$.  In the case of dimension $2$, we prove a functional equation for our $p$-adic $L$-functions. \end{abstract}
  % \french


\selectlanguage{french}
\setcounter{tocdepth}{3}
\tableofcontents

%\newpage
\section*{Introduction}

Cette article est consacr� � l'�tude des fonctions $L$ $p$-adiques associ�es aux formes modulaires. En utilisant la th�orie des $(\varphi, \Gamma)$-modules et en g�n�ralisant certains r�sultats de Perrin-Riou, on montre comment construire des fonctions $L$ $p$-adiques associ�es � une repr�sentation $p$-adique du groupe de Galois absolu $\mathscr{G}_\qp$ de $\qp$ (possiblement � mauvaise r�duction en $p$) munie d'un syst�me compatible de classes de cohomologie. En particulier, ceci fournit des fonctions $L$ $p$-adiques pour une forme modulaire supercuspidale en $p$ tordue par des caract�res suffisamment ramifi�s.

Soit \[ f = \sum_{n = 1}^{+\infty} a_n q^n \in S_k(\Gamma_1(N), \omega_f) \otimes \C \] une forme primitive (i.e cuspidale, nouvelle, propre pour les op�rateurs de Hecke et normalis�e) de poids $k \geq 2$, niveau $N$ et caract�re $\omega_f: (\Z / N\Z)^\times \to \C^\times$. Pour $\eta$ un caract�re de Dirichlet, notons \[ L(f, \eta, s) = \sum_{n = 1}^{+\infty} a_n \eta(n) n^{-s} \] la fonction $L$ complexe associ�e � $f$ et $\eta$. La s�rie d�finissant $L(f, \eta, s)$ converge pour $\mathrm{Re} \; s > 1$, admet un prolongement analytique � tout le plan complexe et elle satisfait une �quation fonctionnelle reliant les valeurs $L(f, \eta, s)$ et $L(\check{f}, \eta^{-1}, k - s)$, o� $\check{f} = \sum_{n \geq 1} \overline{a}_n q^n \in S_k(\Gamma_1(N), \omega_f^{-1})$ est la forme conjugu�e � $f$. La th�orie des symboles modulaires permet de montrer l'existence des p�riodes complexes $\Omega^+_f$ et $\Omega^-_f$ telles que, si $\eta$ est un caract�re de Dirichlet, $j$ est un entier tel que $1 \leq j \leq k - 1$ et $\pm$ est tel que $\eta(-1) (-1)^j = \pm 1$, alors
\[ \frac{\Gamma(j)}{(2 i \pi)^j} \frac{L(f, \eta, j)}{\Omega_f^\pm} \in \overline{\Q} . \]
Ceci permet, en fixant une immersion $\overline{\Q} \subseteq \overline{\Q}_p$ et en notant $\Lambda_\infty(f, \eta, s) = \frac{\Gamma(s)}{(2 i \pi)^s} L(f, \eta, s)$, de voir ces valeurs dans le monde $p$-adique en posant \[ \iota_p(\Lambda_\infty(f, \eta, j)) = \frac{\Lambda_\infty(f, \eta, j)}{\Omega^\pm_f} \in \overline{\Q}_p. \]

Les fonctions $L$ $p$-adiques peuvent �tre vues naturellement comme des fonctions rigides analytiques sur l'espace des poids $p$-adiques $\mathfrak{X}$ \footnote{L'espace $\mathfrak{X}$ est un espace analytique rigide dont les $L$-points, pour $L$ une extension finie de $\qp$, sont donn�s par $\mathfrak{X}(L) = \mathrm{Hom}_{\mathrm{cont}}(\zpe, L)$. Il est une union de boules ouvertes et donc quasi-Stein. Par un th�or�me d'Amice, les distributions sur $\zpe$ correspondent aux fonctions (rigides) analytiques sur $\mathfrak{X}$.}. Si $\eta: \zpe \to \cpe$ est un caract�re d'ordre fini, une telle fonction $L_p \in \mathcal{O}(\mathfrak{X})$ est d�termin�e par ses valeurs sur les caract�res de la forme $x \mapsto \eta(x)x^k$, $k \in \Z$. En particulier, si l'on pose, pour $s \in \zp$ et $x \in \zpe$, $\langle x \rangle^s = \exp(s \log x)$, une fonction analytique sur l'espace des poids donne naissance � une famille de fonctions $L_p(\eta, s)$ d'une variable $p$-adique $s \in \zp$, pour $\eta$ parcourant les caract�res d'ordre fini.

Fixons un isomorphisme $\overline{\mathbf{Q}}_p \cong \C$ et notons \[ X^2 - a_p X + \omega_f(p) p^{k - 1} \] le polyn�me de Hecke en $p$ de la forme $f$ et $\alpha, \beta \in \overline{\Q}_p$ ses racines. On dit que $f$ est de pente finie si au moins une de ces racines est non nulle. Remarquons simplement que, si $p \nmid N$, alors $f$ est de pente finie, et que, si $p$ divise $N$, alors $f$ est de pente finie si et seulement si $a_p \neq 0$. Une des premi�res constructions de la fonction $L$ $p$-adique de $f$ d�pend du choix d'une racine non nulle, disons $\alpha$, du polyn�me de Hecke en $p$ de la forme $f$.

\begin{theorem} [\cite{Manin}, \cite{AmiceVelu}, \cite{Visik}, \cite{MTT}, \cite{P-S}, \cite{Bellaiche}, \cite{Delbourgo}] \label{MTT} Soient $f$ de pente finie et $\alpha$ comme ci-dessus. Il existe une (unique si $v_p(\alpha) < k - 1$) fonction $L_{p, \alpha}(f) \in \mathcal{O}(\mathfrak{X})$, d'ordre $v_p(\alpha)$, telle que, si $\eta \colon \zpe \to \C_p^\times$ est un caract�re de Dirichlet de conducteur $p^n$ et $j$ un entier tel que $ 0 \leq j \leq	 k - 2$, on a
\[ L_{p, \alpha}(f)(\eta \chi^j) = e_{p, \alpha}(f, \eta, j) \frac{p^{n (j + 1)}}{G(\eta^{-1})} \cdot \iota_p(\Lambda_\infty(f, \eta^{-1}, j + 1)) \]
o� $G(\eta^{-1}) = \sum_{a = 0}^{p^n - 1} \eta^{-1}(a) \exp({\frac{2 i \pi a}{p^n}}) \in \overline{\Q}_p$ d�note la somme de Gauss du caract�re $\eta^{-1} $ et le facteur $e_{p, \alpha}(f, \eta, j)$ est d�fini par la formule \[ e_{p, \alpha}(f, \eta, j) = \left\{ 
\begin{array}{l l}
  \alpha^{-n}  & \quad \text{si $n > 0$}\\
  (1 - \alpha^{-1} \omega_f(p) p^{k - 2 - j})(1 - \alpha^{-1} p^j) & \quad \text{si $n = 0$.} \\ \end{array} \right. \]
\end{theorem}

La construction peut �tre adapt�e (\cite{Delbourgo}) � la situation o� $f$ est de pente infinie mais $f \otimes \xi$ est de pente finie pour un certain caract�re $\xi$. Si $f \otimes \xi$ n'est pas de pente finie pour aucun caract�re $\xi$, on dit que la forme $f$ est \textit{supercuspidale}. Cette condition correspond (\cite[Prop. 2.8]{L-W}) � ce que la repr�sentation lisse de $\mathrm{GL}_2(\qp)$ associ�e � $f$ soit supercuspidale.

%\begin{theorem}
%Il existe une unique distribution $\mu_{f, \alpha} \in \mathscr{D}(\qp, \overline{\mathbf{Q}})$ d'ordre $v_p(\alpha)$ telle que, quel que soit $\phi \in \mathrm{LC}(\zp, \overline{\mathbf{Q}})$ et $1 \leq j \leq k - 1$, on a
%\[ \int_\zp \phi(x) x^{j-1} \mu_{f, \alpha} = L^{\mathrm{alg}}(f_\alpha, \hat{\phi}, j), \] o� $\hat{\phi}$ d�note la transform�e de Fourier de $\phi$. De plus, $\mu_{f, \alpha}$ satisfait l'�quation $\varphi(\mu_{f, \alpha}) = \alpha^{-1} \mu_{f, \alpha}$.
%\end{theorem}
%
%On d�finit la fonction $L$ $p$-adique associ�e � $f$ et $\alpha$ par la formule $$ L_{p, \alpha}(f, \xi) = \int_{\zpe} \xi x^{-1} \mu_{f, \alpha}. $$ La d�finition �tant justifi�e par
%
%\begin{proposition}
%Soit $1 \leq j \leq k - 1$ et $\eta$ un carac�re de Dirichlet de conducteur $p^n$. On a 
%\[ L_{p, \alpha}(f, \eta \chi^j) =  \left\{ 
%\begin{array}{l l}
%  (1 - \frac{p^{j-1}}{\alpha}) \cdot (1 - \frac{\beta}{p^j}) \cdot L^{\mathrm{alg}}(f, \eta^{-1}, j) & \quad \text{si $n > 0$}\\
%  \frac{p^{nj}}{\alpha^n \mathrm{G}(\eta^{-1})} \cdot L^{\mathrm{alg}}(f, \eta^{-1}, j) & \quad \text{si $n = 0$}\\ \end{array} \right. \]%
%\end{proposition}	


\subsection{Le syst�me d'Euler de Kato} 

Il existe une construction alternative (\cite{Kato}, \cite{ColmezBourbaki}) de la fonction $L$ $p$-adique, qui est moins �l�mentaire mais a pourtant l'avantage de permettre de relier les valeurs en certains points entiers de la fonction $L$ $p$-adique � des quantit�s de nature cohomologique, ce qui permet, par exemple, de d�montrer des instances de la conjecture de Birch et Swinnerton-Dyer $p$-adique et la conjecture principale d'Iwasawa pour les repr�sentations galoisiennes attach�es aux formes modulaires. Nous rappelons dans ce qui suit la construction de Kato de la fonction $L$ $p$-adique dans le cas o� $p$ est un nombre premier ne divisant pas le niveau $N$ de $f$ \footnote{cf. \cite{ColmezBourbaki} pour les modifications n�cessaires dans le cas semi-stable et \cite{Delbourgo} pour le cas o� la repr�sentation d�vient cristalline sur une extension ab�lienne de $\qp$.}.

Soit $L$ une extension finie de $\qp$ contenant les coefficients de Fourier de la forme $f$ et notons $\mathscr{O}_L$ l'anneau des entiers de $L$. Soit $V(f)$ la $L$-repr�sentation du groupe de Galois absolu $\mathscr{G}_\mathbf{Q}$ de $\mathbf{Q}$ associ�e � $f$ par Shimura-Deligne: elle est de dimension $2$, non ramifi�e en dehors $Np$, de Rham en $p$ et caract�ris�e par le fait que, pour tout $\ell \nmid Np$, alors $$ \mathrm{det}(1 - \mathrm{Frob}_\ell^{-1}X | V(f)^{I_\ell}) = 1 - a_\ell X + \ell^{k-1} \omega_f(\ell) X^2, $$ o� $\mathrm{Frob}_\ell$ d�signe le Frobenius arithm�tique en $\ell$ et $I_\ell \subseteq \mathscr{G}_{\Q_\ell} \subseteq \mathscr{G}_{\Q}$ d�note le groupe d'inertie du groupe de Galois absolu $\mathscr{G}_{\Q_\ell} = \mathrm{Gal}(\overline{\Q}_\ell / \Q_\ell)$ de $\Q_\ell$ vu dedans $\mathscr{G}_\Q$ comme un groupe de d�composition. Notons aussi par $V(f)$ la restriction de $V(f)$ au groupe $\mathscr{G}_\qp$, qui est une repr�sentation de dimension $2$, de Rham (cristalline si $p \nmid N$) � poids de Hodge-Tate $0$ et $1 - k$.

Soient $F_\infty = \cup_n \qp(\mu_{p^n})$ l'extension cyclotomique de $\qp$, $\Gamma_n = \mathrm{Gal}(F_\infty / \qp(\mu_{p^n})) \subseteq \Gamma = \mathrm{Gal}(F_\infty / \qp)$ et $\chi: \Gamma \xrightarrow{\sim} \zpe$ le caract�re cyclotomique. La construction de Kato repose sur la construction d'un syst�me d'Euler \footnote{Les �l�ments z�ta de Kato d�pendent d'un certain nombre de choix que l'on ignore dans cette introduction afin de simplifier l'exposition.} $\mathbf{z}_{\rm Kato}$ attach� � $f$ dans la repr�sentation $V = V(f)^*(1) = V(\check{f})(k)$ (qui est de Rham � poids de Hodge-Tate $1$ et $k$ en $p$) et dont les niveaux en les diff�rentes puissances de $p$ fournissent un �l�ment, aussi not� $\mathbf{z}_{\mathrm{Kato}}$, de la cohomologie d'Iwasawa de la repr�sentation $V$ d�finie par
\[ H_{\rm Iw}^1(\qp, V) = \varprojlim_n H^1(\qp(\mu_{p^n}), T) \otimes \qp \cong H^1(\mathscr{G}_{\qp}, \Lambda \otimes V), \]
o� $T$ d�note n'importe quel $\mathscr{O}_L$-r�seau de $V$ stable par $\mathscr{G}_\qp$, $\Lambda = \zp[[\Gamma]]$ d�note l'alg�bre d'Iwasawa de $\Gamma$ et o� la limite projective est prise par rapport aux applications de corestriction (le dernier isomorphisme �tant une cons�quence du lemme de Shapiro).

%Dans le dernier isomorphisme, qui est une cons�quence du lemme de Shapiro, $\mathscr{D}_0(\Gamma, V)$ d�note l'espace des mesures sur $\Gamma$ � valeurs dans $V$, c'est � dire le $L$-dual continu de l'espace de Banach des fonctions continues sur $\Gamma$ � valeurs dans $V$.

%Soit $\xi: \zpe \to L^\times \in \mathfrak{X}(L)$. L'int�gration fournit des applications de sp�cialisation envoyant un �l�ment $\mu \in H^1(\qp, \mathscr{D}_0(\Gamma, V))$ sur $$ \int_\Gamma \xi \cdot \mu \in H^1(\qp, V(\xi)), $$ o� $V(\xi)$ est la tordue de $V$ par le caract�re $\xi$, vu comme caract�re de $\mathscr{G}_\qp$ via la projection $\mathscr{G}_\qp \to \Gamma \xrightarrow{\chi} \zpe$.

%Notons $\DdR(V)$ le module de de Rham de $V$ de la th�orie de Hodge $p$-adique. On a une application exponentielle $$ \exp: \DdR(V) \to H^1(\qp, V) $$ construite par Bloch et Kato (\cite{BK}) � partir de la suite exacte fondamentale de la th�orie de Hodge $p$-adique, et une exponentielle duale $$ \exp^*: H^1(\qp, V) \to \DdR(V), $$ adjointe de l'application exponentielle pour les dualit�s induites par la dualit� locale de Tate. Ces applications jouent un r�le tr�s important dans la th�orie d'Iwasawa des repr�sentations $p$-adiques. Le syst�me d'Euler de Kato a la propri�t� remarquable suivante:

%\begin{theorem}[Kato]
%Pour tout $j \in \{1, \dots, k - 1 \}$ et tout caract�re $\eta \colon \zpe \to L$ d'ordre fini, on a l'�galit� suivante dans $L \otimes \mathrm{Fil}^{-j} \DdR(V) \cong L \otimes \qp \cdot f$:
%\[ t^{-j} \cdot \mathrm{exp}^*(\int_{\zpe} \eta \chi^{-j} \cdot \mathbf{z}_{\rm Kato}) = \frac{1}{j!} \iota_p(\Lambda_\infty(f, \eta, j)) \cdot f, \] o� $t$ d�note l'�l�ment $2 i \pi$ de Fontaine.
%\end{theorem}

%Le th�or�me ci-dessus s'interpr�te comme suit. Si $p^n$ est le conducteur de $\eta$, le terme de gauche s'exprime comme combinaison lin�aire des valeurs $\exp^*( \int_{\Gamma_n} \chi^{-j} \cdot (\sigma_a(\mathbf{z}_{\rm Kato}))) \in L_n \otimes \DdR(V(-j))$, $a \in (\Z / p^n \Z)^\times$. Le $L$-espace vectoriel filtr� $L \otimes \DdR(V)$ est de dimension $2$ et $f$ est un g�n�rateur canonique de la droite qui engendre cette filtration. L'application $t^{-j} \exp^*$ tombe sur $L \otimes t^{-j} \mathrm{Fil}^{0} \DdR(V(-j))$ qui est canoniquement isomorphe � $L \otimes \mathrm{Fil}^{-j} \DdR(V)$ si $1 \leq j \leq k - 1$. Ces valeurs sont donc des multiples de $f$, et le th�or�me dit que leurs coefficients sont exprim�s en termes des valeurs sp�ciales de la fonction $L$ complexe de $f$.

Un th�or�me fondamental de Kato (\cite[Thm. 12.5]{Kato}) montre que l'�l�ment $\mathbf{z}_{\rm Kato}$ est intimement li� aux valeurs sp�ciales de la fonction $L$ complexe de la forme $f$. Si $p \nmid N$ (i.e si $V(f)$ est cristalline), ce th�or�me permet � Kato d'appliquer la machine � fonctions $L$ $p$-adiques de Perrin-Riou (\cite{PerrinRiou1}, \cite{PerrinRiou2}, \cite{Kato})
\[ \mathrm{Log}_{V} \colon H^1_{\rm Iw}(\qp, V) \otimes_{\Lambda(\Gamma)} \mathscr{D}(\Gamma) \to \mathcal{O}(\mathfrak{X}) \otimes \Dcris(V), \]
o� $\mathscr{D}(\Gamma)$ d�note l'alg�bre de distributions sur $\Gamma$ \footnote{D'apr�s un th�or�me d'Amice, $\mathscr{D}(\Gamma)$ et $\mathscr{O}(\mathfrak{X})$ sont isomorphes, or on garde la notation $\mathscr{D}(\Gamma)$, qui est plus souvent utilis�e.}, interpolant $p$-adiquement les applications exponentielles et (d'apr�s un th�or�me de Colmez, Benois et Kato-Kurihara-Tsuji) exponentielles duales de Bloch-Kato pour des diff�rentes tordues de la repr�sentation en question, pour obtenir une nouvelle construction de la fonction $L$ $p$-adique de $f$.

\begin{theorem} [ {\cite[Thm. 16.6]{Kato}} ] Soit $e_\alpha \in \Dcris(V(f)) = \Dcris(V^*(1))$ un vecteur propre du Frobenius cristallin de valeur propre $\alpha$. On a alors $$ L_{p,\alpha}(f) = \langle \mathrm{Log}_V(\mathbf{z}_{\mathrm{Kato}}), e_{\alpha} \rangle, $$ o� $\langle \, , \, \rangle : \Dcris(V) \times \Dcris(V^*(1)) \to L$ d�note l'accouplement de Poincar�.
\end{theorem}


Remarquons que l'on dispose dans tous les cas d'un syst�me d'Euler $\mathbf{z}_{\rm Kato}$ et que l'application de Perrin-Riou a �t� g�n�ralis�e pour les repr�sentations de de Rham par des travaux de Colmez (\cite{ColmezIw1}) et Cherbonnier-Colmez (\cite{ColmezIw2}) et, pour un $(\varphi, \Gamma)$-module sur l'anneau de Robba $\Robba$, par Nakamura (\cite{Nakamura}). Or ces applications ne s'expriment pas naturellement en termes de fonctions analytiques sur l'espace des poids et ne fournissent malheureusement (ou heureusement) pas si simplement des fonctions $L$ $p$-adiques.


\subsection{Le cas supercuspidal}

%On ne dispose pas au pr�sent, lorsque $f$ est une forme supercuspidale, d'une construction de la fonction $L$ $p$-adique associ�e � $f$. Dans cette situation, l'approche classique de la construction de la fonction $L$ $p$-adique s'appuyant sur la th�orie des symboles modulaires (surconvergents) ne marche plus. On n'a d'ailleurs pas d'interpr�tation de l'application de Perrin-Riou en termes de distributions et on ne peut donc pas en tirer l'existence facilement � partir du syst�me d'Euler de Kato. Il n'y a pourtant aucune raison de penser qu'une telle fonction n'existe pas...


%\subsubsection{R�sultat principal}

%Le premier r�sultat principal de cet article est la construction, pour tout caract�re $\eta: \zpe \to L^\times$ de conducteur assez grand, des fonctions $s \mapsto \Lambda_p(f, \eta, s)$ analytiques sur $\zp$, interpolant, en tout entier $j \in \Z$, des valeurs sp�ciales, d�ment interpr�t�es $p$-adiquement, de la fonction $L$ complexe de $f$. Le caract�re $\eta$ �tant fix�, on ne dispose d'un r�sultat d'alg�bricit� que pour un nombre fini des valeurs $\Lambda_\infty(f, \eta, j)$, et on a donc a priori seulement un nombre fini de candidats � interpoler. Cela ne suffit bien s�r pas pour d�terminer une fonction analytique, mais la connaissance des valeurs aux caract�res $\eta \chi^j$, pour $j < 0$ \footnote{Ou bien pour n'importe quel ensemble d'entiers denses dans $\zp$.}, oui. Le probl�me est alors de donner un sens $p$-adique � ces nombres complexes, ce que nous ferons en utilisant leur interpr�tation motivique: les valeurs $L(f, \eta, j)$, $j < 0$, sont des r�gulateurs d'�l�ments motiviques, comme l'a remarqu� Beilinson (\cite{Beilinson}), et Gealy (\cite{Gealy2}) a reli� ces �l�ments au syst�me d'Euler de Kato.

D�crivons bri�vement le r�sultat principal de cet article. L'isomorphisme $\overline{\mathbf{Q}}_p \cong \C$ que l'on a fix� permet de voir $\eta \colon \zpe \to L^\times$ comme un caract�re de Dirichlet de conducteur $p^n$, $n \geq 0$, et on note $f \otimes \eta^{-1}$ la forme tordue de $f$ par $\eta^{-1}$, qui est aussi une forme primitive (de niveau $Np^{2n}$ et caract�re $\omega_f \eta^{-2}$, au moins si $n$ est assez grand). Rappelons que l'on a pos� \[ \Lambda_\infty(f, \eta^{-1}, s) = \frac{\Gamma(s)}{(2 i \pi)^s} \cdot L(f, \eta^{-1}, s) \] et que la forme $f$ donne lieu � une repr�sentation automorphe $\pi(f) = {\prod'_{v}} \pi_v(f)$ de $\mathrm{GL}_2(\mathbf{A}_\Q)$, o� $v$ parcourt l'ensemble des places de $\Q$ et $\pi_{v}(f)$ est une repr�sentation lisse de $\mathrm{GL}_2(\Q_v)$. Pour $\eta$ un caract�re de Dirichlet, vu comme un caract�re des ad�les, et $v$ une place de $\Q$, on note $\epsilon(\pi_v(f) \otimes \eta)$ les facteurs epsilon des composantes locales de la repr�sentation $\pi(f) \otimes \eta$ \footnote{On a $\epsilon(\pi_\infty(f)) = i^k$.}, de sorte que le facteur epsilon global associ� � $f$ et $\eta$ est donn� par la formule \[ \epsilon(\pi(f) \otimes \eta) = \epsilon(\pi_\infty(f)) \cdot \prod_{\ell \mid N} \epsilon(\pi_\ell(f) \otimes \eta). \] La fonction $\Lambda_\infty(f, \eta^{-1}, s)$ satisfait alors l'�quation fonctionnelle \[ \Lambda_\infty(f, \eta^{-1}, j) = i^k (-1)^{j} \epsilon(\pi(f) \otimes \eta^{-1} \otimes | \cdot |^{j - \frac{k - 1}{2}}) \cdot \Lambda_\infty (f, \eta, k - j), \;\;\; j \in \Z \] On obtient le th�or�me suivant:


\begin{theorem} [def. \ref{defplong} + thm. \ref{propfina} + lemme \ref{eaea2} + thm. \ref{eqfonct4}] \label{eaealala}
Soit $f \in S_k(\Gamma_1(N), \omega_f)$ une forme primitive et soit $V = V(\check{f})(k - 1)$. Il existe des plongements naturels \[ \Lambda_\infty(f, \eta^{-1}, j) \mapsto \iota_p(\Lambda_\infty(f, \eta^{-1}, j)) \in \DdR(V), \;\;\; j \leq k-1, \] un ouvert $\mathfrak{U}_f \subseteq \mathfrak{X}$ ne d�pendant que de la puissance de $p$ divisant le niveau $N$ de la forme $f$ et contenant tous les caract�res d'ordre $p^n$ pour $n$ assez grand, et une unique fonction rigide analytique $\Lambda_p(f) \in \mathcal{O}(\mathfrak{U}_f) \otimes \DdR(V)$ telle que, si $\eta \colon \zpe \to L^\times$ est un caract�re de conducteur $p^n$ et $j < k-1$ sont tels que $\eta x^j \in \mathfrak{U}_f$, alors
\[ \Lambda_p(f)(\eta x^j) = \frac{p^{n( j + 1)}}{G(\eta^{-1})} \cdot \iota_p(\Lambda_\infty(f, \eta^{-1}, j + 1)). \]

De plus, la fonction $\Lambda_p(f)$ satisfait une �quation fonctionnelle de la forme \footnote{La formulation de l'�quation fonctionnelle est l�g�rement impr�cise, cf. th�or�me \ref{eqfonct4}.} \[ \Lambda_p(f)(\eta x^j) = C(f, \eta, j) \cdot \Lambda_p(\check{f})(\eta^{-1} x^{k - 2 - j}), \] o�
\[ C(f, \eta, j) =  p^n \, \epsilon(\eta \otimes | \cdot |^{-j + \frac{k - 1}{2}})^2 \epsilon(\pi_p(\check{f}) \otimes \eta \otimes | \cdot |^{-j + k - 1})^{-1} \cdot \prod_{\ell \mid N'} \epsilon(\pi_\ell(\check{f}) \otimes \eta^{-1} \otimes |\cdot|^{-j + \frac{k - 1}{2}})^{-1}, \] o� $N'$ d�note la partie de $N$ premi�re � $p$ et $\epsilon(\eta \otimes | \cdot |^s) = p^{-ns} \eta(p)^n G(\eta^{-1})$.
% Vieille \[ C(f, \eta, j) =  G(\eta^{-1})^2 \cdot \epsilon \big( \pi_p(f) \otimes \eta, \frac{k-1}{2} \big)^{-1} \cdot \prod_{\ell \mid N'} \epsilon \big( \pi_\ell(f) \otimes \eta,  j + \frac{k - 1}{2} \big).\]

Finalement, si $p \nmid N$ alors $\mathfrak{U}_f = \mathfrak{X}$ et, si $\alpha$ est une valeur propre du polyn�me de Hecke en $p$ de $f$ et $e_\alpha \in \Dcris(V(f)) = \Dcris(V)^*$ est un vecteur propre du Frobenius cristallin de valeur propre $\alpha$, on a \[ L_{p, \alpha}(f) = \langle \Lambda_{p}(f), e_\alpha \rangle. \]
\end{theorem}

\begin{remarque}
 Les m�thodes du th�or�me fournissent, plus g�n�ralement, pour toute repr�sentation $V \in \mathrm{Rep}_L \mathscr{G}_\qp$ de Rham de dimension $d$ et tout $z \in H^1_{\rm Iw}(\qp, V)$, un ouvert $\mathfrak{U}_V \subseteq \mathfrak{X}$, ne d�pendant que de la valuation $p$-adique du discriminant de la plus petite extension finie galoisienne $K / \qp$ sur laquelle $V$ d�vient semi-stable, et une unique fonction $\Lambda_{V, z} \in \mathcal{O}(\mathfrak{U}_V)$ interpolant des exponentielles et exponentielles duales de diff�rentes sp�cialisations de l'�l�ment $z$. Dans le cas g�n�ral, on n'a pas, h�las! une interpr�tation si satisfaisante des valeurs interpol�es.
%\end{itemize}
\end{remarque}

%\begin{remarque} \leavevmode
%\begin{itemize}
%\item Une description des valeurs conjecturales interpol�es aux caract�res de la forme $\chi^j$, $j \leq 0$, pourrait, en ajoutant certains d�terminants du Frobenius cristallin sur le module $\Dcris(V)$ (i.e des facteurs d'Euler), �tre formul�e. Bien s�r, si la forme est supercuspidale en $p$, ce module est nul, or nos m�thodes s'appliquent toute de m�me au cas de pente finie (� quelques modifications pr�s pour ce qui concerne l'�quation fonctionnelle en dimension $2$ �nonc�e ci-bas).
%\item Le th�or�me ci-dessus permet de donner une interpr�tation conceptuelle, tr�s probablement bien connue des experts, des facteurs d'interpolation apparaissant dans la formule \[ L_{p, \alpha}(f)(\eta \chi^j) = \frac{p^{n (j + 1)}}{G(\eta^{-1})} \frac{\Gamma(j+1)}{(-2 i \pi)^{j+1}} L(f, \eta^{-1}, j + 1) \] du th�or�me \ref{MTT}:
%\begin{itemize}
%\item Le facteur $\Gamma^*(j + 1)$ correspond �videment � $\Gamma(j + 1)$.
%\item La version $p$-adique du terme $2 \pi i$ est l'�l�ment $t$ de Fontaine et le facteur $\frac{p^{n (j + 1)}}{G(\eta^{-1})} \frac{1}{(2 \pi i)^{j + 1}}$ correspond \footnote{$\epsilon(\eta \otimes |\cdot|^{j + 1}) = p^{- n (j + 1)} G(\eta^{-1})$ est le facteur $\epsilon$ du caract�re $\eta \otimes |\cdot|^{j + 1}$, vu comme repr�sentation de $\qpe = \mathrm{GL}_1(\qp)$, par rapport au caract�re additif de $\qp$ induit par le choix d'un g�n�rateur du module $\zp(1)$.} au terme $\frac{p^{n (-j + 1)}}{G(\eta^{-1})} t^{j + 1} = \epsilon(\eta \otimes |\cdot|^{j+1})^{-1} t^{j + 1}$ qui est le coefficient (renormalis� par une puissance de $p$) de l'�l�ment $\mathbf{e}^{\rm dR, \vee}_{\eta^{-1}, j+1}$ permettant de voyager entre les diff�rents modules de de Rham.
%\end{itemize}
%\item Les m�thodes du th�or�me fournissent, plus g�n�ralement, pour toute repr�sentation $V \in \mathrm{Rep}_L \mathscr{G}_\qp$ de Rham de dimension $d$ et tout $z \in H^1_{\rm Iw}(\qp, V)$, un ouvert $\mathfrak{U}_V \subseteq \mathfrak{X}$, ne d�pendant que de la plus petite extension finie galoisienne $K / \qp$ sur laquelle $V$ d�vient semi-stable, et une unique fonction $\Lambda_{V, z} \in \mathcal{O}(\mathfrak{U}_V)$ interpolant des exponentielles et exponentielles duales de diff�rentes sp�cialisations de l'�l�ment $z$. Dans le cas g�n�ral, on n'a pas, h�las! une interpr�tation si satisfaisante des valeurs interpol�es.
%\end{itemize}
%\end{remarque}

\subsection{D�monstration}

%On d�crit � continuation les lignes g�n�rales de la d�monstration du th�or�me.
%
%\subsubsection{Groupes de cohomologie associ�s � une forme modulaire} Soit $Y_1(N)$ la courbe modulaire de niveau $\Gamma_1(N)$ et notons $\mathcal{KS}_{\Gamma_1(N)}^{k-2}$ la $k-2$-i�me vari�t� de Kuga-Sato de niveau $\Gamma_1(N)$ et $\epsilon$ l'idempotent usuel (\cite{Scholl}). Soit $M = M(f \otimes \eta^{-1})$ le motif associ� � la forme $f \otimes \eta^{-1}$ et consid�rons \[ M^*(1+j) = M(\check{f} \otimes \eta)(k+j), \] dont $V(\eta \chi^{j + 1})$ est la r�alisation $p$-adique.
%
%Notons $\mathbf{T}$ l'alg�bre engendr�e par les op�rateurs de Hecke de niveau premier � $N$ et $\overline{\lambda} \colon \mathbf{T} \to L$ le caract�re associ� � $\check{f} \otimes \eta$. On a une description (cf. \cite{Scholl}, \cite{Sch-Den}, \cite{Gealy2})
%\[ H^1(M^*(1+j)) = H_{\mathscr{M}}^{k}(\mathcal{KS}_{\Gamma_1(N)}^{k-2}, k + j)(\epsilon) \otimes_{\mathbf{T}} \overline{\lambda}, \]
%\[ H^1_{\mathscr{D}}(M^*(1+j)) = H_{\mathscr{D}}^{k}(\mathcal{KS}_{\Gamma_1(N)}^{k - 2}, \R(k + j))(\epsilon) \otimes_{\mathbf{T}} \overline{\lambda}, \]
%\[ H^1_{\text{�t}}(M^*(1+j)) = H^1(\Q, H^k_{\text{�t}}(\mathcal{KS}_{\Gamma_1(N), \overline{\Q}}^{k-2}, \qp)(k + j)(\epsilon) \otimes_{\mathbf{T}} \overline{\lambda}), \]
%des groupes de cohomologie motivique, de Deligne et �tale, respectivement, du motif $M^*(1 + j)$, ainsi que des r�gulateurs \[ r_\infty \colon H^1(M^*(1+j)) \otimes_\Q \R \to H^1_{\mathscr{D}}(M^*(1+j)), \] \[  r_{\text{�t}} \colon H^1(M^*(1+j)) \otimes_\Q \qp \to H^1_{\text{�t}}(M^*(1+j)). \]
%
%Gr�ce aux travaux de Gros (\cite{Gros}), Niziol (\cite{Niziol}), Besser (\cite{Besser}), et Nekovar-Niziol (\cite{NN}), on dispose aussi des r�gulateurs $p$-adiques \[ r_p \colon H^1(M^*(1 + j)) \to \DdR(V(\eta \chi^{j + 1})), \] qui satisfont la relation de commutativit� \[ r_{\text{�t}} = \exp \circ \; r_p, \] o� $\exp$ est l'exponentielle de Bloch-Kato.
%
%%Le choix d'un entier $1 \leq r \leq k - 1$ et d'un �l�ment $\xi \in \mathrm{SL}_2(\Z)$ d�finit un symbole modulaire $\delta(f \otimes \eta^{-1}, r, \xi) \in H^1_{\mathscr{D}}(M^*(1+j))$ et, 
%%En utilisant les symboles d'Eisenstein d�finis par Beilinson (\cite{Beilinson2}), on peut construire \footnote{Comme la construction du syst�me d'Euler de Kato, les constructions ci-dessous d�pendent toutes du choix d'un symbole modulaire, choix que l'on suppose ad�quatement fait et donc implicite, renvoyant le lecteur au corps du texte pour une formulation pr�cise des �nonc�s.} des �l�ments (cf. \cite{Gealy}, \S 3.2) \[ \mathscr{Z}(\check{f} \otimes \eta, j) \in H^1(M^*(1+j)). \] On sait, d'apr�s les conjectures de Beilinson (\cite{Sch-Den}), que ces �l�ments sont reli�s aux valeurs sp�ciales de la fonction $L$ de $f \otimes \eta^{-1}$ et on a, plus pr�cis�ment, la variante suivante de la conjecture de Bloch-Kato:
%
%%\begin{theorem} [\cite{Gealy2}, thm. 4.1.1] \label{Gealy1a} Il existe une $\Q$-structure naturelle de $H^1_{\mathscr{D}}(M^*(1+j))$ et une base $\delta$ \footnote{Cette base d�pend du choix du symbole modulaire. Elle ne d�pend pas du caract�re $\eta$ et elle d�pend en $j$ par un facteur $(2 i \pi)^j$, cf. \cite{Gealy2}, \S 3.1.} de cette structure telle que, pour tout $j > 0$, on a \[ r_\infty (\mathscr{Z}(\check{f} \otimes \eta, j)) = L^{(N), *}(f, \eta^{-1}, -j) \cdot \delta, \] o� $L^{(N), *}(f, \eta^{-1}, -j)$ d�note le coefficient principal de la s�rie de Laurent en $s = -j$ de la fonction $L(f, \eta^{-1}, s)$ \footnote{Il faut faire un minimum d'attention car la forme $f \otimes \eta^{-1}$ peut ne pas �tre primitive, mais elle l'est (\cite{Atkin}, thm. 4.1) d�s que le conducteur de $\eta$ est assez grand.} sans ses facteurs aux places divisant $N$. 
%\end{theorem}

Disons quelques mots sur la d�monstration du th�or�me.

\subsubsection{Plongements $p$-adiques des valeurs sp�ciales}

Soit $M = M(f \otimes \eta^{-1})$ le motif associ� � la forme $f \otimes \eta^{-1}$ et consid�rons, pour $j \geq 0$, \[ M^*(1+j) = M(\check{f} \otimes \eta)(k+j), \] dont $V(\eta \chi^{j + 1})$ est la r�alisation $p$-adique. En utilisant les symboles d'Eisenstein d�finis par Beilinson (\cite{Beilinson2}), on peut construire des �l�ments (cf. \cite[\S 3.2]{Gealy2}) $ \mathscr{Z}(\check{f} \otimes \eta, j) \in H^1(M^*(1+j))$ et un r�sultat de Gealy (\cite[Thm. 4.1.1]{Gealy2}) montre qu'ils satisfont une variante de la conjecture de Bloch-Kato.

Par ailleurs, gr�ce aux travaux de Gros (\cite{Gros}), Niziol (\cite{Niziol}), Besser (\cite{Besser}), et Nekovar-Niziol (\cite{NN}), on dispose aussi des r�gulateurs $p$-adiques \[ r_p \colon H^1(M^*(1 + j)) \to \DdR(V(\eta \chi^{j + 1})), \] qui satisfont la relation de commutativit� \[ r_{\text{�t}} = \exp \circ \; r_p, \] o� $\exp$ est l'exponentielle de Bloch-Kato.

Le r�sultat de Gealy mentionn� ci-dessus sugg�re de consid�rer les r�gulateurs $p$-adiques des �l�ments $\mathscr{Z}(\check{f} \otimes \eta, j)$ comme les valeurs $p$-adiques naturels � interpoler. Notons que les �l�ments $r_p(\mathscr{Z}(\check{f} \otimes \eta, j)) \in \DdR(V(\eta \chi^{j + 1}))$ vivent dans des modules diff�rents. Nous allons expliquer comment les voir tous naturellement comme des �l�ments dans $\DdR(V)$.

%\subsubsection{Bases et modules de de Rham}

Si $\eta \colon \zpe \to L^\times$ est un caract�re d'ordre fini, $G(\eta)$ d�note sa somme de Gauss et $a \in \zpe$, alors $\sigma_a(G(\eta)) = \eta(a)^{-1} G(\eta)$ et, si $e_\eta$ d�note une base du module $L(\eta)$ \footnote{$L(\eta)$ d�note le $L$-espace vectoriel de dimension $1$ sur lequel $\mathscr{G}_\qp$ agit � travers $\eta$.}, le groupe $\Gamma$ (et donc aussi $\mathscr{G}_\qp$) agit trivialement sur l'�l�ment $\mathbf{e}^{\rm dR}_\eta = G(\eta) \cdot e_\eta \in \BdR \otimes L(\eta)$ et est donc une base du $L$-espace vectoriel $\DdR(L(\eta))$. Si $j \in \Z$, il en est de m�me de $\mathbf{e}^{\rm dR}_j = t^{-j} e_j \in \BdR \otimes L(\chi^j)$. Notons \[ \mathbf{e}^{\rm dR}_{\eta, j} =  \mathbf{e}^{\rm dR}_\eta \otimes \mathbf{e}^{\rm dR}_j = G(\eta) e_\eta \otimes t^{-j} e_j \] qui est une base du module $\DdR(L(\eta \chi^j))$ et, pour $e_\eta^\vee = e_{\eta^{-1}}$ et $e_{-j}$ les �l�ments duaux de $e_\eta$ et $e_j$, on note \[ \mathbf{e}^{\rm dR, \vee}_{\eta, j} = G(\eta)^{-1} e_\eta^\vee \otimes t^j e_{-j}, \] qui est une base du module $\DdR(L(\eta \chi^j)^*)$.

Si $V \in \mathrm{Rep}_L \mathscr{G}_\qp$ est de Rham, alors $V(\eta \chi^j)$ l'est aussi et on a, par ce qui pr�c�de, \[ \DdR(V(\eta \chi^j)) = (\BdR \otimes V \otimes L(\eta \chi^j))^{\mathscr{G}_\qp} = (\BdR \otimes V)^{\mathscr{G}_\qp} \otimes \mathbf{e}^{\rm dR}_{\eta, j} = \DdR(V) \otimes \mathbf{e}^{\rm dR}_{\eta, j}, \] de sorte que l'application $x \mapsto x \otimes \mathbf{e}^{\rm dR, \vee}_{\eta, j}$ induit un isomorphisme \[ \DdR(V(\eta \chi^j)) \xrightarrow{\sim} \DdR(V). \]

Notons \[ \Gamma^*(j+1) = \left\{
  \begin{array}{c c}
    j! & \quad \text{ si $j \geq 0$} \\
    \frac{(-1)^{j-1}}{(-j - 1)!} & \quad \text{si $j < 0$}  \\
   \end{array} \right. \] le coefficient principal de la s�rie de Laurent de la fonction $\Gamma(s)$ en $s = j + 1$. On pose, pour $j \geq 0$,
\[ \iota_p(\Lambda_\infty(f, \eta^{-1}, -j)) =\Gamma^*(j) \, G(\eta) \cdot r_p( \mathscr{Z}(\check{f} \otimes \eta, j)) \otimes \mathbf{e}^{\rm dR, \vee}_{\eta, j + 1} \in \DdR(V). \] Remarquons que, dans la formule d�finissant $\iota_p(\Lambda_\infty(f, \eta^{-1}, -j))$, on "multiplie" et "divise" par $G(\eta)$, de sorte que son introduction n'a moralement aucun effet. La valeur $\Gamma^*(j)$ correspond donc � $\Gamma(j)$ et la puissance $t^{j + 1}$ correspond � la puissance de $2 i \pi$ dans la d�finition de $\Lambda_\infty(f, \eta^{-1}, -j)$.

\subsubsection{Interpolation: un premier exemple}

La construction de la fonction $L$ locale repose sur la th�orie des $(\varphi, \Gamma)$-modules, et est inspir�e de la ressemblance entre celle-ci et l'analyse fonctionnelle $p$-adique, via le dictionnaire d'analyse fonctionnelle $p$-adique de Colmez, qui est aussi � la base m�me de la construction de la correspondance de Langlands $p$-adique pour $\mathrm{GL}_2(\qp)$.

%\begin{remarque} Si $p \nmid N$, la repr�sentation $V = V(f)(k - 1)$ est cristalline \footnote{En travaillant un peu plus, ce qui suit peut �tre adapt� aux repr�sentations cristab�lines.} � poids de Hodge-Tate $0$ et $k - 1$, et la formule de Berger (\cite{Berger02})  \[ (\D_{\rm rig}(V)[1/t])^{\psi = 1} = (\Robba[1/t] \otimes_\qp \Dcris(V))^{\psi = 1} \] permet d'interpr�ter (cf. \cite{ColmezBourbaki}, prop. 4.10) le module $D^{\psi = 1} = \D_{\rm rig}(V)^{\psi = 1}$ en termes de distributions sur $\zp$ � valeurs dans $\Dcris(V)$. On retrouve ainsi le logarithme de Perrin-Riou, construit par interpolation des exponentielles de Bloch-Kato, ce qui permet de retrouver (\cite{ColmezBourbaki}), � partir de l'�l�ment $\mathbf{z}_{\rm Kato} \in H^1_{\rm Iw}(\zp, V)$, des distributions $\mu_\alpha$ et $\mu_\beta$, par la formule \[ \mathrm{Exp}^*(\mathbf{z}_{\rm Kato}) = \mathscr{A}_{\mu_\alpha} \cdot t^{1- k} f_\alpha \oplus \mathscr{A}_{\mu_\beta} \cdot t^{1-k} f_\beta, \] o� $\{ f_\alpha, f_\beta \}$ est une base de $\Dcris(V)$ form�e par des vecteurs propres pour le Frobenius cristallin et $\mathscr{A}_{\mu_\alpha}$ (resp. $\mathscr{A}_{\mu_\beta}$) d�note la transform�e d'Amice de la distribution $\mu_\alpha$ (resp. $\mu_\beta$). On r�cup�re ainsi les fonctions $L$ $p$-adiques $L_{p, \alpha}(f)$ et $L_{p, \beta}(f)$ de la forme $f$ d�pendant du choix d'une valeur propre du Frobenius cristallin. 
%
%Si $V$ n'est pas cristab�line, on n'a pas une telle interpr�tation et il faut proc�der autrement. L'id�e pour contourner ce probl�me est d'imiter, en utilisant les techniques du dictionnaire d'analyse fonctionnelle $p$-adique (\cite{ColmezMirabolique}, \cite{ColmezPhiGamma}), les op�rations usuelles sur les distributions en termes de $(\varphi, \Gamma)$-modules, de sorte � pouvoir "int�grer" un caract�re par rapport � l'�l�ment $\mathrm{Exp}^*(\mathbf{z}_{\rm Kato})$.
%\end{remarque}

Soit $\mathrm{LA}(\zp, L)$ l'espace des fonctions localement analytiques sur $\zp$ � valeurs dans $L$ et $\mathscr{D}(\zp, L)$, son $L$-dual topologique, l'espace des distributions sur $\zp$. Si $\phi \in\mathrm{LA}(\zp, L)$ et $\mu \in \mathscr{D}(\zp, L)$, on note $\int_\zp \phi \cdot \mu$ l'�valuation de $\mu$ en $\phi$. On a des actions du groupe $\Gamma$ et des op�rateurs $\varphi$ et $\psi$ sur l'espace de distributions d�finis par les formules
\small{\[ \int_\zp \phi(x) \cdot \sigma_a(\mu) = \int_\zp \phi(ax) \cdot \mu, \;\;\; \int_\zp \phi(x) \cdot \varphi(\mu) = \int_\zp \phi(px) \cdot \mu, \;\;\; \int_\zp \phi(x) \cdot \psi(\mu) = \int_{p \zp} \phi(x /p) \cdot \mu, \]}\normalsize
et une op�ration de "multiplication par $x$" d�finie par $\int_\zp \phi(x) \cdot m_x(\mu) = \int_\zp \phi(x) x \cdot \mu$. Notons que $\psi(\mu) = 0$ si et seulement si la distribution $\mu$ est support�e sur $\zpe$ et que, si $\psi(\mu) = \mu$, alors $(1 - \varphi) \mu$ est la restriction � $\zpe$ de $\mu$.

La transform�e d'Amice \[ \mu \mapsto \mathscr{A}_\mu = \int_\zp (1 + T)^x \cdot \mu \] induit un isomorphisme $\mathscr{D}(\zp, L) \xrightarrow{\sim} \Robba^+$, o� $\Robba^+ = \Robba \cap L[[T]]$. L'op�rateur diff�rentiel $\partial = (1 + T) \frac{d}{dT}$ sur $\Robba$ correspond � la multiplication par $x$ sur les distributions au sens que $\partial \mathscr{A}_\mu = \mathscr{A}_{m_x(\mu)}$ et les actions de $\varphi$ et de $\sigma_a \in \Gamma$ correspondent � $\varphi(T) = (1 + T)^p - 1$ et $\sigma_a(T) = (1 + T)^a- 1$. En fixant un syst�me compatible $(\zeta_{p^n})_{n \in \N}$ de racines primitives de l'unit� (c'est-�-dire, $\zeta_{p^n} \in \overline{\Q}_p$ est une racine primitive $p^n$-i�me de $1$ et $\zeta_{p^{n + 1}}^p = \zeta_{p^n}$ pour tout $n \in \N$), on peut d�finir des applications de "localisation" \[ \varphi^{-n} \colon \E^{]0, r_n]} \to L_\infty[[t]]: \;\;\;  T \mapsto \zeta_{p^n} e^{t / p^n} - 1, \] o� $\E^{]0, r_n]}$ d�note les �l�ments de $\Robba$ qui convergent sur la couronne $0 < v_p(z) \leq r_n = \frac{1}{p^{n - 1}(p - 1)}$ et $L_\infty[[t]] = \varinjlim L_n[[t]]$. L'op�rateur $\partial$ stabilise $\E^{]0, r_n]}$ et on a l'identit� $\varphi^{-n} \circ \partial = p^n \frac{d}{dt} \circ \varphi^{-n}$. Si $x = \sum_{l \in \N} a_l t^l \in L_\infty[[t]]$, on note $[x]_0 = a_0$. Le lemme suivant nous permet de r��crire l'int�gration $p$-adique en termes des applications de localisation.

\begin{lemme} \label{lemmeintro} %[prop \ref{prop1} + cor. \ref{coro3}] \label{lemmeintro}
Pour tout $f \in \Robba^{\psi = 0}$, il existe une unique fonction analytique $\kappa \mapsto \kappa(\partial) f \colon \mathfrak{X} \to \Robba^{\psi = 0}$ interpolant les valeurs $\partial^j f$, $j \in \Z$, aux caract�res $x^j$. De plus, si $\mu \in \mathscr{D}(\zp, L)^{\psi = 1}$, $\eta \colon \zpe \to L^\times$ est un caract�re de conducteur $p^n$, $n > 0$, et $\kappa \in \mathfrak{X}$, alors \footnote{Si $a \in (\Z / p^n \Z)^\times$, on note $\sigma_a \in \Gamma_n$ l'�l�ment lui correspondant par le caract�re cyclotomique.} \[  \int_\zpe \eta^{-1} \kappa \cdot \mu = G(\eta)^{-1} \sum_{a \in (\Z / p^n \Z)^\times} \eta(a) \sigma_a [\varphi^{-n} \kappa(\partial) (1 - \varphi) \mathscr{A}_\mu]_0. \]
\end{lemme}

L'avantage du lemme ci-dessus est que le terme de droite a un sens, pour tout $(\varphi, \Gamma)$-module $D$ de de Rham, si l'on remplace $\mathscr{A}_\mu$ par $z \in \Nrig(D)^{\psi = 1}$, o� $\Nrig(D)$ est l'�quation diff�rentielle $p$-adique associ�e � $D$ par Berger, d�s que $n$ est assez grand, comme on le verra � continuation.

\subsubsection{Interpolation: le cas g�n�ral}

Comme sugg�r� par les r�sultats de Kato, la construction de $\Lambda_p(f)$ demande � �tendre la construction du logarithme de Perrin-Riou aux $(\varphi, \Gamma)$-modules de de Rham.

Soit $V \in \mathrm{Rep}_L \mathscr{G}_\qp$ et notons $D = \D_{\rm rig}(V)$ le $(\varphi, \Gamma)$-module sur l'anneau de Robba $\Robba$ qui lui est associ� par l'�quivalence de cat�gories de Fontaine \cite{Fontaine90}, Cherbonnier-Colmez \cite{CC} et Kedlaya \cite{Kedlaya}. On a un isomorphisme, d� � Fontaine et Pottharst (\cite{ColmezIw2}, \cite{Pottharst}), \[ \mathrm{Exp}^* \colon H^1(\qp, \mathscr{D}(\Gamma) \otimes V)) \xrightarrow{\sim} \D_{\rm rig}(V)^{\psi = 1}. \]

Suppposons $V$ de Rham et notons $\Delta = \Nrig(D)$ l'�quation diff�rentielle $p$-adique associ�e � $D$ par Berger (\cite{Berger02}, \cite{Berger03}). Si $D$ est � poids de Hodge-Tate positifs, on a $D \subseteq \Delta$. On dispose d'un op�rateur de connexion $\partial$ sur $\Delta$ au-dessus de l'op�rateur $\partial = (1 + T) \frac{d}{dT}$ de "multiplication par $x$" sur $\Robba$.

Pour $n \gg 0$, il existe des sous-$\E^{]0, r_n]}$-modules $\Delta^{]0, r_n]} \subseteq \Delta$ tels que $\Delta^{]0, r_n]} \otimes_{\E^{]0, r_n]}} \Robba = \Delta$. Ces modules sont stables par l'action de $\Gamma$ et satisfont $\varphi(\Delta^{]0, r_n]}) \subseteq \Delta^{]0, r_{n + 1}]}$. On a, pour tout $n \gg 0$, des applications de localisation \[ \varphi^{-n} \colon \Delta^{]0, r_n]} \to L_n[[t]] \otimes \DdR(V), \]
et on note $[\cdot]_0 \colon L_n[[t]] \otimes \DdR(V) \to L_n \otimes \DdR(V)$ l'application $\sum_l a_l t^l \otimes d_l \mapsto a_0 \otimes d_0$. L'op�rateur stabilise $\Delta^{]0, r_n]}$ et on a $ \varphi^{-n} \circ \partial = p^n \frac{d}{dt} \circ \varphi^{-n}. $ 

Si $z \in D^{\psi = 1} \subseteq \Delta^{\psi = 1}$, $\eta$ est un caract�re de conducteur $p^n$, $n \gg 0$ et $j \geq 0$, on a l'�galit� suivante dans $L_n \otimes \DdR(D)$, qui est l'analogue, en termes de th�orie d'Iwasawa, de l'�galit� du lemme \ref{lemmeintro} ci-dessus:
\small{\begin{equation} \label{eq1} G(\eta)^{-1} \sum_{a \in (\Z / p^n \Z)^\times} \eta(a) \sigma_a [\varphi^{-n} \partial^j (1- \varphi) z]_0 = p^{n(j + 1)} \, \Gamma^*(j + 1) \cdot \exp^* (\int_{\zpe} \eta \chi^{-j} \mu_z) \otimes \mathbf{e}^{\rm dR, \vee}_{\eta, -j},
\end{equation}}\normalsize
o� $\exp^* \colon H^1(\qp, V(\eta \chi^{-j})) \to \DdR(V(\eta \chi^{-j})) = \DdR(V) \otimes \mathbf{e}^{\rm dR}_{\eta, -j}$ d�note l'exponentielle duale de Bloch-Kato. La proposition suivante permet de prolonger analytiquement le terme de gauche de cette �galit�.

\begin{proposition} [prop. \ref{prop4}]
Pour tout $z \in \Delta^{\psi = 0}$, il existe une unique fonction rigide analytique $\kappa \mapsto \kappa(\partial)z \colon \mathfrak{X} \to \Delta^{\psi = 0}$ interpolant les valeurs $\partial^j z$, $j \in \Z$, aux caract�res $x^j$.
\end{proposition}

La restriction � $\zpe$ (i.e l'application de l'op�rateur $1 - \varphi$) permet d'interpoler $p$-adiquement l'op�rateur $\partial$ mais, en revanche, l'application de sp�cialisation $\varphi^{-n}$ n'est pas d�finie sur tout le module $\Delta^{\psi = 0}$. Une �tude du rayon de convergence de l'�l�ment $\kappa(\partial)$, pour un caract�re $\kappa \in \mathfrak{X}(L)$, montre que le terme de gauche de l'�quation \label{eq2} d�finit bien une fonction analytique sur une boule ouverte autour $\eta$ dans l'espace des poids. Le th�or�me suivant, qui est une g�n�ralisation du Logarithme de Perrin-Riou et le r�sultat principal de cet article, appliqu� � $D = \Drig(V(f)(k - 1))$, fournit la construction de la fonction $\Lambda_p(f)$. On renvoie au texte pour les notations qui n'ont pas encore �t� introduites.
%On a, sur un $(\varphi, \Gamma)$-module, une notion de rayon de surconvergence permettant de d�finir les applications de localisation $\varphi^{-n}$

\begin{theorem} [thm. \ref{propfina}] \label{propfinaintro}
Soient $D$ un $(\varphi, \Gamma)$-module qui est de Rham � poids de Hodge-Tate positifs et $z \in D^{\psi = 1}$. Notons $\mu_z = \mathrm{Exp}^*(z) \in H^1_{\rm Iw}(\qp, D)$. Il existe un ouvert $\mathfrak{U}_D \subseteq \mathfrak{X}$, ne d�pendant que du module $\D_{\rm pst}(D)$, et une unique fonction analytique $\Lambda_{D, z} \in \mathcal{O}(\mathfrak{U}_D) \otimes \DdR(D)$ telle que, pour tout $\eta \chi^j \in \mathfrak{U}_D$, o� $\eta$ est un caract�re de conducteur $p^n$ et $j \in \Z$, on a
\[ \Lambda_{D, z} (\eta \chi^j) = p^{n(j + 1)} \Gamma^*(j + 1) \cdot \left\{ \begin{array}{l l}
  \exp^{-1} (\int_{\Gamma} \eta \chi^{-j} \cdot \mu_z)  \otimes \mathbf{e}^{\rm dR, \vee}_{\eta, -j}  & \quad \text{si $j \ll 0$} \\
  \exp^* (\int_{\Gamma} \eta \chi^{-j} \cdot \mu_z)  \otimes \mathbf{e}^{\rm dR, \vee}_{\eta, -j} & \quad \text{si $j \geq 0$.} \\ \end{array} \right. \] 
\end{theorem}

Ce th�or�me, accoupl� � un deuxi�me r�sultat de Gealy reliant les �l�ments motiviques du th�or�me \ref{GealyBK} et le syst�me d'Euler de Kato (cf. prop. \ref{Gealy2}), permet de d�montrer l'existence de l'application $\Lambda_p(f)$ du th�or�me \ref{eaealala}. Le fait que dans le cas cristallin l'on r�cup�re la fonction $L$ $p$-adique classique associ�e � la forme $f$ suit du fait que notre application est une g�n�ralion du Logaritme de Perrin-Riou et de la description de la fonction $L$ $p$-adique de $f$ en termes du syst�me d'Euler de Kato.



\subsubsection{L'�quation fonctionnelle en dimension $2$ et valeurs aux entiers positifs}

Il est naturel de se demander si ce que la fonction $\Lambda_p(f)$ interpole aux entiers positifs s'interpr�te aussi en termes de valeurs sp�ciales de la fonction $L$ complexe. Rappelons que, dans la bande critique $1 \leq j \leq k - 1$, les valeurs $L(f, \eta, j)$ sont naturellement interpr�t�es $p$-adiquement en les divisant par les p�riodes complexes de la forme $f$. Si $j > k - 2$, une �quation fonctionnelle purement locale demontr�e dans \cite{epsilonKato}, accoupl�e avec une �quation fonctionnelle satisfaite par le syst�me d'Euler de Kato demontr�e par Nakamura (prop. \ref{eqfonctNakamura}), fournit l'�quation fonctionnelle du th�or�me \ref{eaealala}.

%L'�quation fonctionnelle de la fonction $L$ $p$-adique provient d'une �quation fonctionnelle locale plus g�n�rale reliant l'involution $w$ et la th�orie d'Iwasawa de la forme modulaire. Ce lien avait d�j� �t� remarqu� par Dospinescu et par Nakamura (\cite{Nakamura2}), qui s'est en servi pour d�montrer des instances de la conjecture $\epsilon$ de Kato.
%
%Soit $V \in \mathrm{Rep}_L \mathscr{G}_\qp$ de dimension $2$, de Rham, non trianguline et � poids de Hodge-Tate $0$ et $k \geq 0$. Soit $\check{V} = V^*(1)$ le dual de Tate de $V$, qui est isomorphe (car $V$ est de dimension $2$) � $V \otimes \omega_V^\vee$, o� $\omega_V = \det_V \otimes \chi^{-1}$. Notons $\pi$ la repr�sentation lisse de $\mathrm{GL}_2(\qp)$ associ�e � $V$ par la correspondance de Langlands classique. La correspondance de Langlands $p$-adique (\cite{ColmezPhiGamma}) nous permet de construire une involution \[ w \colon H^1_{\rm Iw}(\qp, V) \to H^1_{\rm Iw}(\qp, \check{V}). \] %On sait, d'apr�s la dualit� de Poincar�, que $\check{V} = V(2 - k)$. 
%Rappelons finalement que, pour $j \in \Z$, on dispose des isomorphismes canoniques $H^1_{\rm Iw}(\qp, V) \xrightarrow{\sim} H^1_{\rm Iw}(\qp, V(j))$. Si $z \in H^1_{\rm Iw}(\qp, V)$, on note $z \otimes e_j \in H^1_{\rm Iw}(\qp, V(j))$ son image par cet isomorphisme. Le th�or�me suivant, dont la preuve, inspir�e largement des techniques introduites par Nakamura et Dospinescu (\cite{Nakamura2}) et Colmez (\cite{ColmezPoids}), repose sur la correspondance de Langlands $p$-adique et des calculs sur les mod�les de Kirillov, est le deuxi�me r�sultat principal de ce travail.
%
%
%\begin{theorem} [thm. \ref{eqfonct1b}] \label{eaeaeqfonctintro}
%Soit $\mu \in H^1_{\rm Iw}(\qp, V)$ et notons $\check{\mu} = w_V(\mu) \in H^1_{\rm Iw}(\qp, \check{V})$. Alors, pour tout $j \geq 1$, on a \[ \exp^*(\int_\Gamma \eta \chi^{-j} \cdot \check{\mu}) \otimes \mathbf{e}^{\rm dR, \vee}_{-j, \eta, \omega_D^\vee} = C(D, \eta, j) \cdot \exp^{-1}(\int_\Gamma \eta^{-1} \chi^{j} \cdot \mu) \otimes \mathbf{e}^{\rm dR, \vee}_{j, \eta^{-1}}, \] o� \[ C(D, \eta, j) = \Omega^{-1} \frac{(-1)^{j}}{(j + k - 1)! (j - 1)!} \, \epsilon(\eta^{-1})^{-2}  \epsilon(\pi \otimes \eta^{-1} \otimes |\cdot|^j). \]
%\end{theorem}
%
%
%Comme on l'a d�j� remarqu�, les m�thodes de cet article permettent de construire une fonction $\Lambda_{V, z}$ pour n'importe quel �l�ment $z \in H^1_{\rm Iw}(\qp, V)$ et, pour $V = V(f)(k-1)$, on peut en particulier consid�rer la fonction $\Lambda_{\check{V}(k - 2), w(\mathbf{z}_{\rm Kato}) \otimes e_{k - 2}} = \Lambda_{V, w(\mathbf{z}_{\rm Kato}) \otimes e_{k - 2}}$. On montre d'abord, comme corollaire du th�or�me \ref{eaeaeqfonctintro}, une �quation fonctionnelle reliant les valeurs de $\Lambda_{V, \mathbf{z}_{\rm Kato}}$ et de $\Lambda_{V, w(\mathbf{z}_{\rm Kato}) \otimes e_{k - 2}}$. Par un th�or�me de Nakamura, on peut exprimer l'�l�ment $w(\mathbf{z}_{\rm Kato}) \otimes e_{k - 2}$ en termes de $\mathbf{z}_{\rm Kato}$. Ces deux r�sultats permettent de montrer l'�quation fonctionnelle du th�or�me \ref{eaealala}.

%suivante, tr�s ressemblante � celle du monde complexe, de la fonction $L$ locale de $f$:
%
%\begin{theorem} [thm. \ref{eqfonct4}] \label{eqfonct3intro}
%Soient $\eta \colon \zpe \to L^\times$ d'ordre fini et $j > 0$ tels que $\eta \chi^j \in \mathfrak{U}_f$. Alors
%\[ \Lambda_{V, \mathbf{z}_{\rm Kato}}(\eta \chi^{j}) =  C(f, \eta, j) \cdot \Lambda_{V, \mathbf{z}_{\rm Kato}}(\eta^{-1} \chi^{-j+k-2}), \] o� \[ C(f, \eta, j) =  G(\eta^{-1})^2 \cdot \epsilon(\pi_p(f) \otimes \eta, \frac{k-1}{2})^{-1} \cdot \prod_{l \mid N'} \epsilon(\pi_l(f) \otimes \eta,  j + \frac{k - 1}{2}).\]
%\end{theorem}


\subsection{Plan de l'article}

L'organisation de l'article ne reflet pas celle de l'introduction. Les premi�res sections pr�sentent des r�sultats purement locaux, reportant l'application aux formes modulaire � la fin.

Le premier chapitre contient le premier r�sultat principal de la th�se, � savoir l'extension analytique (partielle) de l'application Logarithme de Perrin-Riou pour les repr�sentations de de Rham, fournissant des fonctions rigides analytiques sur des ouverts de l'espace des poids interpolant les applications exponentielle et exponentielle duale de Bloch et Kato. On y trouvera aussi des rappels et g�n�ralit�s sur les $(\varphi, \Gamma)$-modules, ainsi qu'une estimation pr�cise du rayon de convergence de $\Delta$ en termes du module $\D_{\rm pst}(D)$, permettant de d�crire l'ouvert $\mathfrak{U}_D$ du th�or�me \ref{propfinaintro}. Dans le cas �tale de dimension $2$, en utilisant le r�sultat principal de \cite{epsilonKato}, on obtient une �quation fonctionnelle pour notre fonction $L$ locale.

Finalement, on montre, � l'aide d'un th�or�me de M. Gealy et des conjectures de Bloch-Kato pour les formes modulaires, comment la construction de la fonction $L$ locale peut �tre utilis�e pour donner une construction de la fonction $L$ $p$-adique d'une forme modulaire, sans aucune hypoth�se sur sa pente, et montrer qu'elle interpole des valeurs sp�ciales de la forme (d�ment interpr�t�es $p$-adiquement) en tout caract�re alg�brique de composante finie suffisament ramifi�e.

\subsection{Remerciements}

Le travail pr�sent fait partie de ma th�se de doctorat r�alis�e � l'Institut de Math�matiques de Jussieu-Paris Rive Gauche (IMJ-PRG) sous la direction de Pierre Colmez. Je tiens � lui exprimer mes plus grands et sinc�res remerciements pour tout ce qu'il m'a appris et pour tout le temps qu'il a investi dans ma formation math�matique, avec disponibilit� et bonne humeur. Je remercie aussi Arthur-C�sar Le Bras, Gabriel Dospinescu et Shanwen Wang, avec qui j'ai partag� des nombreuses discussions qui ont beaucoup aid� � ma compr�hension du sujet. Je remercie finalement les rapporteurs pour ses remarques et corrections.

%\newpage
\section*{Notations} On fixe certaines notations:

\begin{itemize}
\item Soient $p$ un nombre premier, $\qp$ le corps des nombres $p$-adiques, $\zp \subseteq \qp$ l'anneau des entiers de $\qp$, $\zpe$ le groupe des unit�s et $\cp$ la compl�tion $p$-adique de la cl�ture alg�brique $\overline{\Q}_p$ de $\qp$.

\item On fixe un syst�me $(\zeta_{p^n})_{n \in \N}$, o� $\zeta_{p^n} \in \overline{\Q}_p$, de racines $p^n$-i�mes primitives de l'unit� satisfaisant la relation $\zeta_{p^{n+1}}^p = \zeta_{p^n}$ d�s que $n \geq 0$. Si $n \in \N$, on note $F_n = \qp(\zeta_{p^n})$ le $n$-i�me niveau de la tour cyclotomique et $F_\infty = \cup_n F_n$.

\item Soit $\mathscr{G}_{\qp} = \mathrm{Gal}(\overline{\Q}_p / \qp)$ le groupe de Galois absolu de $\qp$. On d�finit le caract�re cyclotomique $\chi \colon \mathscr{G}_\qp \to \zpe$ par la formule $g(\zeta_{p^n}) = \zeta_{p^n}^{\chi(g)}$, pour tout $n \in \N$, et on note $\mathscr{H} = \mathscr{H}_\qp$ le noyau de $\chi$, qui s'identifie au groupe de Galois absolu de $F_\infty$, et $\Gamma = \Gamma_\qp = \mathscr{G}_\qp / \mathscr{H}_\qp$ qui s'identifie � $\mathrm{Gal}(F_\infty / \qp)$. Le caract�re cyclotomique induit un isomorphisme $\chi \colon \Gamma \xrightarrow{\sim} \zpe$. Si $a \in \zpe$, on note $\sigma_a \in \Gamma$ son inverse par $\chi$.

\item Soit $L$ une extension finie de $\qp$, qui sera notre corps de coefficients, et notons $L_n = L \otimes F_n = L(\mu_{p^n})$ et $L_\infty = \cup_n L_n$. On note $\mathrm{Rep}_L(\mathscr{G}_\qp)$ la cat�gorie des $L$-espaces vectoriels de dimension finie munis d'une action $L$-lin�aire continue du groupe $\mathscr{G}_\qp$. On omettra souvent $L$ des notations, cependant il faut �tre conscient que $L$ est le corps sous-jacent et qu'il change au fur et � mesure des besoins. Par exemple, si $\eta$ est un caract�re de $\mathscr{G}_\qp$ et si on note $\qp(\eta)$ la repr�sentation de dimension $1$ engendr�e par un �l�ment $e_\eta$ sur lequel l'action de $\mathscr{G}_\qp$ est d�finie par la formule $g(e_\eta) = \eta(g) e_\eta$, on sous-entendra que le corps $L$ de coefficients contient les valeurs prises par $\eta$.
\end{itemize}

\subsubsection{Anneaux des s�ries de Laurent}

Commen�ons par quelques d�finitions classiques.

\begin{itemize}
\item On d�finit le corps $\E$ par $$ \E = \big\lbrace \sum_{k \in \Z} a_k T^k: \; a_k \in L; \;  \liminf_{k \to +\infty} v_p(a_k) > -\infty; \; \lim_{k \to -\infty} v_p(a_k) = + \infty \big\rbrace,  $$ muni de la valuation donn�e par $v_\E(\sum_{k \in \Z} a_k T^k) = \inf_k v_p(a_k)$, ce qui fait de $\E$ un corps valu� de dimension $2$ dont on note $\mathscr{O}_\E$ l'anneau des entiers.	
\item Si $0 < r < s$, on d�finit $\E^{[r, s]}$ comme l'anneau des fonctions analytiques � valeurs dans $L$ sur la couronne $C_{[r, s]} = \{ z \in \cp: \; r \leq v_p(z) \leq s \}$. On a $$ \E^{[r, s]} = \big\lbrace \sum_{k \in \Z} a_k T^k: a_k \in L, \lim_{k \to -\infty} v_p(a_k) + k s = +\infty, \; \mathrm{et} \; \lim_{k \to +\infty} v_p(a_k) + k r = +\infty \big\rbrace. $$ L'anneau $\E^{[r, s]}$ est principal, de Banach pour la valuation $v^{[r,s]}$ d�finie par $$ v^{[r,s]}(\sum_{k \in \Z} a_k T^k) = \inf_{r \leq v_p(z) \leq s} v_p(f(z)) = \min\{ \inf_{k \in \Z}(v_p(a_k) + kr), \inf_{k \in \Z}(v_p(a_k) + ks) \}.$$
\item Pour $0 < r < s$ on note $$ \E^{]r, s]} = \varprojlim_{t > r} \E^{[t, s]} $$ l'anneau de fonctions analytiques sur la couronne $C_{]r, s]} = \{ z \in \cp: r < v_p(z) \leq s \},$ qui est un anneau de Fr�chet pour la famille de valuations $v^{[t, s]}$ pour $t \in ]r, s]$.
\item  Soit $r_n = \frac{1}{p^{n-1}(p - 1)} = v_p(\zeta_{p^n} - 1)$. On note $$ \E^{]0, r_n]} = \E^{]0, r_n]}, \;\;\; \Robba = \varinjlim_{s > 0} \E^{]0, s]} $$ l'anneau de Robba et $\E^\dagger \subseteq \Robba$ son sous-anneau d'�l�ments born�s. C'est l'anneau des s�ries de Laurent (resp. des s�ries de Laurent � coefficients born�s) qui convergent sur une couronne $C_{]0, s]}$ pour $s$ assez petit (qui d�pend de chaque fonction). On remarquera que l'on obtient $\E$ et $\Robba$ en compl�tant $\E^\dagger$, respectivement, par la topologie $p$-adique et par la topologie de Fr�chet d�finie par la famille de normes $v^{[r,s]}$, $0 < r < s$.
\end{itemize}

Si $\mathscr{A}$ est un des anneaux d�finis ci-haut, on note $\mathscr{A}^+$ son intersection avec $L[[T]]$. On a, par exemple, $\E^+ = \mathscr{O}_L[[T]][\frac{1}{p}]$ et $\Robba^+$ s'identifie � l'anneau des fonctions analytiques sur la boule ouverte unit�.  On a une action de $\Gamma$ sur tous les anneaux d�finis et une action de l'op�rateur $\varphi$ sur les anneaux $\E$, $\E^\dagger$ et $\Robba$, d�finies par les formules $$ \sigma_a(T) = (1 + T)^a - 1 \; \; \; \; \varphi(T) = (1 + T)^p - 1. $$

Tous ces anneaux portent des topologies naturelles pour lesquelles les actions de $\Gamma$ et $\varphi$ sont continues. Posons $\mathscr{A} \in \{ \E, \Robba \}.$ L'anneau $\mathscr{A}$ est muni d'une action de l'op�rateur $\psi$: $\mathscr{A}$ est une extension de degr� $p$ de $\varphi(\mathscr{A})$ avec une base form�e par les �l�ments $(1 + T)^i$, $i = 0, \hdots, p - 1$, et on pose $\psi(\sum_{i = 0}^{p - 1} (1 + T)^i \varphi (f_i)) = f_0$. Ceci peut �tre �crit comme $$ \psi = p^{-1} \varphi^{-1} \circ \mathrm{tr}_{\mathscr{A} / \varphi(\mathscr{A})}. $$ L'op�rateur $\psi$ ainsi construit est un inverse � gauche de $\varphi$.

Pour $\mathscr{A}$ comme ci-dessus, on note $\Phi \Gamma(\mathscr{A})$ la cat�gorie des $(\varphi, \Gamma)$-modules sur $\mathscr{A}$.

\begin{comment}
\subsubsection{Dictionnaire d'analyse fonctionnelle $p$-adique}

Soit $X \subseteq \PP^1(\qp)$ un ouvert (par exemple $\qp, \zp$ ou $\zpe$). On note $$ \mathrm{LC}(\mathrm{X}, L) \subseteq \mathrm{LA}(X, L) \subseteq \mathscr{C}^0(\mathrm{X}, L) $$ les espaces des fonctions sur $X$ � valeurs dans $L$ qui sont, respectivement, localement constantes, localement analytiques et continues. Le premier espace est ferm� dans le deuxi�me, qui est un espace de type compact \footnote{Un espace de type compact est une limite inductive d'espaces de Banach dont les applications de transition sont compactes (l'image de la boule unit� a une adh�rence compacte)}, et ceci est dense dans le dernier. Les $L$-duaux topologiques respectifs sont $\mathrm{LC}(\mathrm{X}, L)^*$, les distributions $\mathscr{D}(\zp, L)$ et les mesures $\mathscr{D}_0(\zp, L)$. Si $L$ est un anneau, ces espaces sont naturellement des alg�bres en d�finissant la multiplication comme la convolution de mesures. 

Si $\mu \in \{ \mathscr{D}_0(\zp, L), \mathscr{D}(\zp, L) \}$, on d�finit sa transform�e d'Amice par la formule \[ \mathscr{A}_\mu = \int_\zp (1 + T)^x \cdot \mu = \sum_{n = 0}^{+\infty} (\int_\zp {x \choose n} \cdot \mu) T^n \] et, pour $f \in \{ \E, \Robba \}$, on pose \[ \phi_f = \mathrm{r\acute{\mathrm{e}}s}_0 ( f (1 + T)^{-x} \frac{dT}{1+T}), \] o�, pour $s \in \zp$, $(1 + T)^s = \sum_{n \geq 0} {s \choose n} T^n$ et $\mathrm{r\acute{\mathrm{e}}s}_0(\sum_{n \in \Z} a_n T^n \frac{dT}{1 + T}) = a_{-1}$. Rappelons que les ${x \choose n}$ forment une base de Banach de $\mathscr{C}^0(\zp, L)$ et que, si $f \in \mathscr{C}^0(\zp, L)$, ses coefficients de Mahler $a_n(f)$ sont d�finis par la formule $f(x) = \sum_{n = 0}^{+\infty} a_n(f) {x \choose n}$.

\begin{theorem}[Mahler, Amice, Colmez] \label{Amice-Colmez} Les applications $\mu \mapsto \mathscr{A}_\mu$ et $f \mapsto \phi_f$ induisent des isomorphismes $ \mathscr{D}_0(\zp, L) \cong \E^+$, $ \mathscr{D}(\zp, L) \cong \Robba^+$, $\mathscr{C}^0(\zp, L) \cong \E / \E^+$, $\mathrm{LA}(\zp, L) \cong \Robba / \Robba^+$. De plus, si $f \in \Robba$ (resp. $\E$) et $\mu \in \mathscr{D}(\zp, L)$ (resp. $\mathscr{D}_0(\zp, L)$) alors $\int_\zp \phi_f \cdot \mu = \mathrm{r\acute{\mathrm{e}}s}_0(\mathscr{A}_\mu f \frac{dT}{1 + T})$. 
\end{theorem}

Tous ces espaces sont munis d'une action du groupe mirabolique $\mathrm{P}^+ = \matrice{\zp - \{ 0 \}}{\zp}{0}{1}$: pour $k \in \N$, $a \in \zpe$, $b \in \zp$
\begin{itemize}
\item Si $\mu \in \{ \mathscr{D}(\zp, L), \mathscr{D}_0(\zp, L) \}$, alors $\int_{\zp} \phi(x) \cdot ({\matrice {p^k a} b 0 1} \cdot \mu) = \int_\zp \phi(p^k a x + b) \cdot \mu$.
\item Si $\phi \in \{ \mathrm{LA}(\zp, L), \mathscr{C}^0(\zp, L) \}$, alors $({\matrice {p^ka} b 0 1} \cdot \phi)(x) = \left\{ \begin{array}{l l}
  \phi(\frac{x - b}{p^k a})  & \quad \text{si $x \in b + p^k \zp$}\\
  0 & \quad \text{si $x \notin b + p^k \zp$}\\ \end{array} \right.. $
\item Si $f \in \{ \Robba, \E \}$, alors ${\matrice {p^k a} b 0 1} \cdot f = (1 + T)^b \varphi^k \sigma_a(f)$.
\end{itemize}
On voit tout caract�re continu $\delta \colon \qpe \to L^\times$ comme un caract�re de $P^+$ en posant $\delta ({\matrice {a p^k} b 0 1}) = \delta(a p^k) = \delta(a) \delta(p)^k$ et, si $M$ est un $P^+$-module, on note $M \otimes \delta$ ou $M(\delta)$ le m�me module $M$ muni de l'action de $P^+$ sur $M$ tordue par $\delta$. Le th�or�me ci-dessus induit des suites exactes de $P^+$-modules topologiques $$0 \to \mathscr{D}_0(\zp, L) \to \E \to \mathscr{C}^0(\zp, L) \otimes \chi^{-1} \to 0, $$ $$ 0 \to \mathscr{D}(\zp, L) \to \Robba \to \mathrm{LA}(\zp, L) \otimes \chi^{-1} \to 0.$$

L'action de l'op�rateur $\psi$ induite par les suites exactes ci-dessus est donn�e par les formules suivantes
\[ \int_{\zp} \phi(x) (\psi \cdot \mu) = \int_{p \zp} \phi(x / p)  \;\;\; ( \mu \in \{ \mathscr{D}(\zp, L), \mathscr{D}_0(\zp, L) \}). \]
\[ (\psi \cdot \phi)(x) = \phi(p x) \;\;\; ( \phi \in \{ \mathrm{LA}(\zp, L), \mathscr{C}^0(\zp, L) \}). \] 
Les sous-module $(\E^+)^{\psi = 0}$ (resp. $(\Robba^+)^{\psi = 0}$) de $\E^+$ (resp. $\Robba^+$) correspond aux mesures (resp. distributions) � support dans $\zpe$ et l'application $f \mapsto \phi_f$ envoie un �l�ment $f \in \{ \E^{\psi = 0}, \Robba^{\psi = 0} \}$ sur une fonction support�e dans $\zpe$. Le suites exactes ci-dessus induisent des suites exactes $$0 \to \mathscr{D}_0(\zpe) \to \E^{\psi = 0} \to \mathscr{C}^0(\zpe) \otimes \chi^{-1} \to 0, $$ $$ 0 \to \mathscr{D}(\zpe) \to \Robba^{\psi = 0} \to \mathrm{LA}(\zpe) \otimes \chi^{-1} \to 0.$$

Si $\alpha \in \mathscr{C}^0(\zp, L)$ (resp. $\alpha \in \mathrm{LA}(\zp, L)$), on d�finit l'op�rateur $m_\alpha$ de "multiplication par $\alpha$" par les formules \[ \int_\zp \phi(x) \cdot m_\alpha(\mu) = \int_\zp \alpha(x) \phi(x) \cdot \mu, \;\;\; \mu \in \mathscr{D}_0(\zp, L) \text{ (resp. } \mathscr{D}(\zp, L)), \] \[ m_\alpha(\phi)(x) = \alpha(x) \phi(x), \;\;\; \phi \in \mathscr{C}^0(\zp, L) \text{ (resp. } \mathrm{LA}(\zp, L)) . \] La multiplication par la fonction $x$ correspond � l'op�rateur de d�rivation $\partial = (1 + T) \frac{d}{dT}$ sur $\E$ et $\Robba$: si $f \in \{ \E, \Robba \}$ et $\mu \in \{ \mathscr{D}_0(\zp, L), \mathscr{D}(\zp, L)\}$, alors \[ \phi_{\partial f} = m_x(\phi_f), \;\;\; \mathscr{A}_{m_x(\mu)} = \partial \mathscr{A}_\mu. \]

Si $f \in \Robba$, l'�criture des op�rateurs de restriction en termes de l'action du mirabolique permet de d�finir $$ \mathrm{Res}_{a + p^k \zp}(f) = (1 + T)^a \varphi^k \circ \psi^k (1 + T)^{-a} \cdot f. $$ Cette expression a un sens pour n'importe quel $(\varphi, \Gamma)$-module sur $\Robba$ et les op�rateurs ainsi d�finis sont des projecteurs qui permettent de voir $\Robba$ comme un faisceau $P^+$-�quivariant sur $\zp$ dont on note $\Robba \boxtimes U$ les sections sur un ouvert compact $U \subseteq \zp$.
\end{comment}

\subsubsection{Caract�res de $\zpe$} Soit $\eta \colon \zpe \to \cpe$ un caract�re de conducteur $p^n$. On d�finit, pour $b \in \zp$, $G(\eta, b) = \sum_{a = 1}^{p^n -1} \eta(a) \zeta_{p^n}^{ab}$ la somme de Gauss tordue et on note $G(\eta) = G(\eta, 1)$. On note $\eta^{-1}$ le caract�re de Dirichlet modulo $p^n$, d�fini par $\eta^{-1}(n) = \eta(n)^{-1}$ pour $n \in (\Z / p^n \Z)^\times$. Rappelons deux r�sultats classiques de la th�orie des caract�res:

\begin{prop} Soit $\eta \colon \zpe \to \cpe$ un caract�re de conducteur $p^n$. Alors
\begin{itemize}
\item $G(\eta, b) = \eta^{-1}(b) G(\eta, 1)$ pour tout $b \in \zp$.
\item $G(\eta) G(\eta^{-1}) = \eta(-1) p^n.$
\end{itemize}
\end{prop}

Si $f \in \mathrm{LC}_c(\qp, \cp)$ est une fonction localement constante modulo $p^n$ et � support compact, on peut d�finir sa transform�e de Fourier discr�te par la formule $$ \hat{f}(x) = p^{-m} \sum_{y \; \mathrm{mod} \; p^m} f(y) e^{- 2 \pi i x y}, $$ o� $m$ est un entier arbitraire tel que $m \geq \sup{(n, - v_p(x))}$, et $e^{- 2 \pi i x y}$ est la racine de l'unit� d'ordre une puissance de $p$ d�finie par l'application $\qp \to \qp / \zp \cong \Z[\frac{1}{p}] / \Z$ et par le choix du syst�me $(\zeta_{p^n})_{n \in \N}$ de racines de l'unit�: si $k \in \N$ est tel que $a = p^k y x\in \zp$, alors $e^{- 2 \pi i x y} = \zeta_{p^k}^{-a}$. Si $\eta$ est un caract�re de Dirichlet de conducteur $p^n$, on a 
\[ \hat{\eta}(x) = \left\{ 
  \begin{array}{l l}
    \frac{1}{G(\eta^{-1})} \eta^{-1}(p^n x) & \quad \text{si $n > 0$}\\
    \mathbf{1}_{\zp}(x) - p^{-1} \mathbf{1}_{p^{-1}\zp}(x) & \quad \text{si $n = 0$.}
  \end{array} \right.\]
En particulier, on observe que $\hat{\eta}$ est � support dans $p^{-n} \zpe$ (resp. $p^{-1}\zp$) si $n > 0$ (resp. si $n = 0$).

\subsubsection{L'espace des poids $p$-adiques} \label{poids}

On note $\mathfrak{X} = \mathrm{Hom}(\zpe, \mathbf{G}_m)$ l'espace des poids $p$-adiques. Il est un espace rigide analytique, dont les $L$ points, pour une extension finie $L$ de $\qp$, param�trent les caract�res continus de $\zpe$ � valeurs dans $L^\times$. Posons $q = p$ si $p > 2$ et $q = 4$ si $p = 2$. On a $\zpe = (\Z / q \Z)^\times \times (1 + q \zp)$. L'application logarithme induit un isomorphisme de groupes $(1 + q \zp, \times) \xrightarrow{\sim} (q \zp, +)$, d'inverse l'application exponentielle. On a un isomorphisme \[ \mathfrak{X} \xrightarrow{\sim} {( (\Z / q \Z)^\times)}^\wedge \times \mathrm{B(1, 1^-)}: \;\;\; \eta \mapsto (\eta|_{(\Z / q \Z)^\times}, \eta(\exp(q))), \] o� $B(1, 1^-)$ est la boule unit� ouverte centr�e en $1$. L'inverse de cet isomorphisme envoie $(\chi, z) \in ( (\Z / q \Z)^\times)^\wedge \times \mathrm{B(1, 1^-)}$ sur le caract�re $x \mapsto \chi(\bar{x}) z^{\frac{\log(x)}{q}} \in \mathfrak{X}$, ou $\bar{x}$ d�note la r�duction modulo $p$ (resp. $2p$ si $p = 2$) de $x$.

Si $\eta \colon \zpe \to L \in \mathfrak{X}$, on note $z_\eta = \eta(\exp(q)) \in \mathrm{B}(1, 1^-)$ la deuxi�me coordonn� de l'image de $\eta$ par l'isomorphisme ci-dessus et on note $\omega_\eta = \eta'(1) = \frac{\log(z_\eta)}{q}$ son \emph{poids}.

%Le th�or�me \ref{Amice-Colmez} implique le fait suivant tr�s utile: les caract�res de la forme $x \mapsto x^k$, pour $k \in \Z$, sont denses dans $\mathfrak{X}$ pour sa topologie d'espace rigide associ�e: \textit{une fonction rigide s'annulant sur les caract�res de la forme $x^k$ est identiquement nulle}.

L'espace $\mathfrak{X}$ admet un recouvrement croissant admissible $\mathfrak{X} = \cup_n \mathfrak{X}_n$ par des ouverts affino�des $\mathfrak{X}_n = {( (\Z / q \Z)^\times)}^\wedge \times \mathrm{B}(1, p^{-\frac{1}{n}})$, ce qui fait de $\mathfrak{X}$ un espace quasi Stein. On note $\mathcal{O}(\mathfrak{X})$ et $\mathcal{O}(\mathfrak{X}_n)$ les anneaux des fonctions analytiques de ces espaces. On a \[ \mathcal{O}(\mathfrak{X}) = \varprojlim_n \mathcal{O}(\mathfrak{X}_n). \] 

On dispose (\cite{AmiceVelu}) d'un isomorphisme, d� � Amice, \[ \mathscr{D}(\zpe, L) \xrightarrow{\sim} \mathcal{O}_L(\mathfrak{X}), \] envoyant $\mu \in \mathscr{D}(\zpe, L)$ sur la fonction analytique $F_\mu  \in \mathcal{O}_L(\mathfrak{X})$ d�finie par $F_\mu(\eta) =  \int_\zpe \eta(x) \cdot \mu$. Comme les polyn�mes sont denses dans l'espace des fonctions localement analytiques, l'isomorphisme pr�c�dent montre qu'une fonction $F \in \mathcal{O}(\mathfrak{X})$ s'annulant sur les caract�res $x \mapsto x^k$, $k \in \Z$, est identiquement nulle. On exprime ceci en disant que \textit{les caract�res de la forme $x \mapsto x^k$, $k \in \Z$, sont Zariski denses dans $\mathfrak{X}$}.

On d�finit $$ \mathcal{O}(\mathfrak{X}) \widehat{\otimes} \Robba = \varprojlim_{n > 0} \varinjlim_{s>0} \varprojlim_{0 < r < s} \mathcal{O}(\mathfrak{X}_n) \widehat{\otimes} \E^{[r, s]}, $$ o� le produit tensoriel � droite c'est le produit tensoriel compl�t� usuel entre deux espaces de Banach. On peut, plus g�n�ralement, consid�rer des distributions � valeurs dans une limite inductive de Fr�chets quelconque par les m�mes formules. On dira que $f$ est une fonction analytique sur $\mathfrak{X}$ � valeurs dans $\Robba$ si elle appartient � $\mathcal{O}(\mathfrak{X}) \widehat{\otimes} \Robba$.
%On note $$ \mathscr{D}(\zpe, \Robba) = \mathcal{\D}(\zpe, L) \widehat{\otimes} \Robba =  \varprojlim_n \mathcal{O}(\mathfrak{X}_n) \widehat{\otimes} \varinjlim_{s > 0} \varprojlim_{0 < r < s} \E^{[r, s]} = \mathcal{O}(\mathfrak{X}) \widehat{\otimes} \Robba, $$ o� les �galit�s aux extr�mit�s sont des d�finitions. Ceci permet de parler indistinctement de distributions sur $\zpe$ et de fonctions analytiqu{es sur $\mathfrak{X}$ � valeurs dans $\Robba$.



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\def\thesection{\Roman{section}}
\def\thesubsection{\thesection.\arabic{subsection}}
\def\thesubsubsection{\Roman{section}.\arabic{subsection}.\arabic{subsubsection}}


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%\newpage
%\section{La fonction $L$ locale}
%
%L'objet de cette section est d'appliquer les calculs faits jusqu'� pr�sent � une repr�sentation galoisienne cristalline afin d'interpr�ter les constructions de Perrin-Riou en termes du prolongement analytique de l'application $k \mapsto \partial^k$ et des application de sp�cialisation.
%
%\subsection{Rappels}
%
%\subsubsection{Th�orie de Hodge $p$-adique}
%
%Rappelons que $\mathrm{Rep}_L \mathscr{G}_\qp$ d�note la cat�gorie des $L$-repr�sentations du groupe de Galois absolu $\mathscr{G}_\qp$ de $\qp$. Soient $\mathbf{B}_{\mathrm{cris}} \subseteq \mathbf{B}_{\mathrm{dR}}$ les anneaux de Fontaine de la th�orie de Hodge $p$-adique. Pour $V \in \mathrm{Rep}_L \mathscr{G}_\qp$, on consid�re $$ \Dcris(V) = (\Bcris \otimes_\qp V)^{\mathscr{G}_\qp}, \;\;\; \DdR(V) = (\BdR \otimes_\qp V)^{\mathscr{G}_\qp}, $$ les modules cristallin et de de Rham associ�s � $V$. Le module $\Dcris(V)$ est un $L$-espace vectoriel de dimension finie muni d'un op�rateur de Frobenius et d'une filtration, et $\DdR(V)$ est un $L$-espace vectoriel filtr�. On a $\dim_L \Dcris(V) \leq \dim_L \DdR(V) \leq \dim_L V$ et on dit que $V$ est une repr�sentation cristalline (resp. de de Rham) si $\mathrm{dim}_L \Dcris(V) = \mathrm{dim}_L V$ (resp. $\mathrm{dim}_L \DdR(V) = \mathrm{dim}_L V$). Si $K / \qp$ est une extension finie, on pose $\D_{\mathrm{dR}}^K(V) = (\BdR \otimes_\qp V)^{\mathscr{G}_K} = K \otimes_\qp \DdR(V). $
%
%Si $j \in \Z$, on note $V({\j}) = V \otimes \chi^{\j}$ et $x \mapsto x \otimes e_j$ l'isomorphisme de $L$-espace vectoriels $V \to V(j)$. Notons $x \mapsto x \otimes t^{-j} e_j$ l'isomorphisme $\DdR(V) \to \DdR(V(j))$ (resp. $\Dcris(V) \to \Dcris(V({\j}))$), envoyant un �l�ment de la forme $x = \sum_i f_i \otimes v_i$, $f \in \BdR$ (resp. $\Bcris$), $v \in V$, sur $\sum_i t^{-j} f_i \otimes (v_i \otimes e_j)$.
%
%%Pour $V$ une repr�sentation de de Rham, on a des applications exponentielles et exponentielles duales de Bloch-Kato, et une application exponentielle de Perrin-Riou interpolant ces deux applications pour des diff�rents twists de $V$ � coefficients dans des diff�rents corps de la tour cyclotomique. Quand la repr�sentation est celle associ�e � une forme modulaire, les applications duales, �valu�es sur certains �l�ments cohomologiques associ�s au syst�me d'Euler de Kato, interpolent des valeurs sp�ciales de la fonction $L$ classique de la forme modulaire, et on peut donc voir ces applications comme une machine qui � un syst�me d'Euler lui associent une fonction $L$ $p$-adique. On suppose dans cette section, � mention explicite pr�s, que $V$ est une repr�sentation cristalline de $\mathscr{G}_\qp$, et on adopte largement les notation de \cite{Berger03}, dont les r�sultats sont essentiels pour ce qui nous int�resse.
%
%\subsubsection{Application exponentielle de Bloch-Kato et sa duale}
%
%Rappelons la suite exacte fondamentale de la th�orie de Hodge $p$-adique \[ 0 \to \qp \to \mathbf{B}_{\rm cris}^{\varphi = 1} \oplus \BdRp \xrightarrow{\alpha} \BdR \to 0, \] o� $\alpha(x, y) = x + y$. Si $K / \qp$ est un extension finie et si $V \in \mathrm{Rep}_L \mathscr{G}_K$ est de Rham, en prenant le produit tensoriel de cette suite par $V$ et les invariants sur l'action de $\mathscr{G}_K$, on obtient une suite longue de cohomologie dont le premier morphisme de connexion fournit une application exponentielle $$ \mathrm{exp}_{V, K}: \D_{\mathrm{dR}}^K(V) \to \H^1(K, V) $$ et une application exponentielle duale $$ \mathrm{exp}^*_{ V, K}: \H^1(K, V) \to \D_{\mathrm{dR}}^K(V), $$ transpos� de $\exp_{V^*(1), K}$ pour les accouplements parfaits fournis par la dualit� locale \footnote{C'est-�-dire, $\langle \exp^*x, y \rangle = (x, \exp y)$ pour tous $x \in H^1(K, V)$, $y \in \D_{\mathrm{dR}}^K(V^*(1))$, o� le premier est l'accouplement naturel $\langle \;,\; \rangle: \D_{\mathrm{dR}}^K(V) \otimes \D_{\mathrm{dR}}^K(V^*(1)) \to L$ et le deuxi�me es l'accouplement local de Tate $(\;,\;): H^1(K, V) \times H^1(K, V^*(1)) \to H^1(K, \qp(1)) \cong K \xrightarrow{\mathrm{Tr}_{K / \qp}} \qp$.}. Notons que $\exp_{V, K}$ se factorise � travers le quotient $\D_{\mathrm{dR}}^K(V) / \mathrm{Fil}^0 \D_{\mathrm{dR}}^K(V)$ et que l'image de $\exp^*_{V, K}$ est incluse dans $\mathrm{Fil}^0 \D_{\mathrm{dR}}^K(V)$.
%
%Le morphisme $\alpha: \DdR(V) \to H^1(\qp, \BdR \otimes_\qp V)$ envoyant $x$ sur le cocycle $[\gamma \to x \cup \log \chi(\gamma)] \in H^1(\qp, \BdR \otimes_\qp V)$ induit un isomorphisme et une loi de r�ciprocit� de Kato dit que l'application $\exp^*_{V, \qp}$ est aussi obtenue via la composition $H^1(\qp, V) \to H^1(\qp, \BdR \otimes_\qp V) \xrightarrow{\sim} \DdR(V)$. Mentionnons que, si $j \gg 0$, alors $\mathrm{exp}_{V(j), \qp}$ est un isomorphisme de $\D_{\mathrm{dR}}(V(j))$ sur $\H^1(\qp, V(j))$ et de m�me pour $\exp^*_{V(-j), \qp}: \H^1(\qp, V(-j)) \to \D_{\mathrm{dR}}(V(-j))$.
%
%On omettra dans la suite, d�s que le contexte le permet, les indices des applications exponentielles et on notera tout simplement $\exp: \D_{\mathrm{dR}}^K(V) \to H^1(K, V)$, $\exp^*: H^1(K, V) \to \D_{\mathrm{dR}}^K(V)$.
%
%\subsubsection{Cohomologie d'Iwasawa}
%
%Soient $F_n = \qp(\mu_{p^n})$, $F_\infty = \cup F_n$, $\Gamma = \mathrm{Gal}(F_\infty / \qp)$ et $\Gamma_n = \mathrm{Gal}(F_n / \qp)$. Soit $\Lambda = \zp[[\Gamma]] = \varprojlim \zp[\Gamma_n]$ l'alg�bre d'Iwasawa, vue comme l'alg�bre des mesures sur $\Gamma$ � valeurs dans $\zp$ (la multiplication �tant donn�e par la convolution des mesures).
%
%Si $V \in \mathrm{Rep}_L \mathscr{G}_\qp$, ses groupes de cohomologie d'Iwasawa sont d�finis par $$ H^i_{\mathrm{Iw}}(\qp, V) = \varprojlim_n H^i(F_n, T) \otimes_\zp \qp, $$ o� $T \subseteq V$ est un $\zp$-r�seau de $V$ stable par $\mathscr{G}_\qp$ (qui existe par compacit� de $\mathscr{G}_\qp$), et la limite projective est prise par rapport aux applications de corestriction. Le lemme de Shapiro (\cite{ColmezIw1} prop. II.1.1) montre que \[ H^i_{\mathrm{Iw}}(\qp, V) \cong H^i(\qp, \Lambda \otimes_\zp V) \] comme $\Lambda$-modules. Ces modules ont �t� �tudi�s par Perrin-Riou (cf. \cite{PerrinRiou1}) et on a le r�sultat suivant
%
%\begin{theorem}[Perrin-Riou]
%Soit $V \in \mathrm{Rep}_L \mathscr{G}_\qp$. Alors
%\begin{enumerate}
%\item $H^i_{\mathrm{Iw}}(\qp, V) = 0$ si $i \notin \{ 1, 2 \}$.
%\item $H^2_{\mathrm{Iw}}(\qp, V)$ est isomorphe � $V(-1)^{\mathscr{G}_{F_\infty}}$ comme $\Lambda$-module.
%\item La suite d'inflation restriction $$ 0 \to H^1(\Gamma, \Lambda \otimes V^{\mathscr{G}_{F_\infty}}) \to H^1_{\mathrm{Iw}}(\qp, V) \to  H^1(F_\infty, \Lambda \otimes V)^{\Gamma} \to 0 $$ est une suite exacte de $\Lambda$-modules. De plus, $H^1(\Gamma, \Lambda \otimes V^{\mathscr{G}_{F_\infty}})$ est le sous-$\Lambda$-module de torsion de $H^1_{\mathrm{Iw}}(\qp, V)$ et il est isomorphe, comme $\Lambda$-module, � $V^{\mathscr{G}_{F_\infty}}$ et $H^1(F_\infty, \Lambda \otimes V)^{\Gamma}$ est un $\Lambda$-module libre de rang $\mathrm{dim}_\qp V$.
%\end{enumerate}
%\end{theorem}
%
%L'int�gration d'une mesure fournit, pour ${\j} \in \Z$ et $n \geq 0$, des morphismes naturels de projection \[ \H^1_{\mathrm{Iw}}(\qp, V) \to \H^1(F_n, V({\j})), \] qui envoient un cocycle $\sigma \mapsto \mu_\sigma$ vers $\sigma \mapsto \int_{\Gamma_n} \chi(x)^{\j} \cdot \mu_\sigma \otimes e_{\j}$. Le groupe $\H^1_{\rm Iw}(\qp, V) = H^1(\qp, \Lambda \otimes V)$ est muni d'une structure de module sur l'alg�bre d'Iwasawa, d�finie par les formules \[ \int_\Gamma f(x) (\sigma \mu) = \int_\Gamma f(\sigma^{-1} x) \cdot \mu, \;\;\; \sigma \in \Gamma. \]
%%On a aussi une action de $\mathscr{G}_\qp$ d�finie par la formule $\int_\Gamma f(x) (\sigma \mu) = \sigma (\int_\Gamma f(x \overline{\sigma}) \mu)$, o� $\overline{\sigma}$ d�note l'image de $\sigma$ dans $\Gamma$.
%
%Plus g�n�ralement, soit $\eta: \zpe \to \cpe$ un caract�re continu et notons encore $\eta: \mathscr{G}_\qp \to \cpe$ le caract�re de Galois associ� que l'on obtient en composant $\eta$ avec la projection $\mathscr{G}_\qp \to \Gamma \cong \zpe$. Un petit calcul montre qu'un �l�ment $\sigma \in \mathscr{G}_\qp$ agit sur la somme de Gauss $G(\eta)$ via multiplication par $\eta^{-1}(\sigma)$ et, si $V \in \mathrm{Rep}_L \mathscr{G}_\qp$ est de Rham, alors $V(\eta) = V \otimes_\qp \eta$ est aussi une repr�sentation de de Rham et \[ \DdR(V(\eta)) = \DdR(V) \otimes L \cdot G(\eta) e_\eta. \] Si $\mu \in  H^1_{\rm Iw}(\qp, V)$, l'application qui envoie un cocycle $\sigma \mapsto \mu_\sigma$ vers $\sigma \mapsto (\int_{\Gamma} \eta(x) \cdot \mu_\sigma) \otimes \eta$ induit, pour tout $\eta$ comme ci-dessus, des sp�cialisations $H^1_{\rm Iw}(\qp, V) \to H^1(\qp, V(\eta))$.
%
%\subsubsection{$(\varphi, \Gamma)$-modules}
%
%Un $(\varphi, \Gamma)$-module sur $\mathscr{A} \in \{ \E, \E^\dagger, \Robba \}$ est un $\mathscr{A}$-module libre $D$ de rang fini muni d'actions continues semi-lin�aires de $\Gamma$ et $\varphi$ tel que $\varphi(D)$ engendre $D$ comme $\mathscr{A}$-module.  L'int�r�t des ces objets r�side dans le th�or�me suivant
%
%\begin{theorem}[Fontaine, Cherbonier-Colmez, Kedlaya]
%La cat�gorie des $(\varphi, \Gamma)$-modules �tales sur $\mathscr{A}$ est �quivalente � la cat�gorie $\mathrm{Rep}_L \mathscr{G}_\qp$.
%\end{theorem}
%
%Si $V \in \mathrm{Rep}_L \mathscr{G}_\qp$, on notera $\D(V)$, $\D^\dagger(V)$ et $\D_{\mathrm{rig}}(V)$ les $(\varphi, \Gamma)$-modules sur $\E$, $\E^\dagger$ et $\Robba$ qui lui sont associ�s par le th�or�me. On peut se demander comment retrouver les diff�rents invariants arithm�tiques de la repr�sentation � partir de son $(\varphi, \Gamma)$-module. Voici quelques exemples d�j� classiques.
%
%\begin{theorem}[\cite{Herr}] \label{Herr} Soient $V \in \mathrm{Rep}_L \mathscr{G}_\qp$ et $\gamma$ un g�n�rateur topologique de $\Gamma$ \footnote{Si $p = 2$, il faut consid�rer $\Gamma' \subseteq \Gamma$ la $p$-partie du sous-groupe de torsion de $\Gamma$, $\gamma \in \Gamma$ dont l'image dans le quotient $\Gamma / \Gamma'$ soit un g�n�rateur topologique, et prendre les invariants par $\Gamma'$ dans tous les modules de la suite ci-dessous. }. Alors le complexe $$ 0 \to \D(V) \xrightarrow{x \mapsto ((1-\varphi) x, (1 - \gamma) x)} \D(V) \oplus \D(V) \xrightarrow{(x, y) \mapsto (1 - \gamma) x - (1 - \varphi) y} \D(V) \to 0 $$ calcule la cohomologie galoisienne de $V$.
%\end{theorem}
%
%\begin{theorem}[\cite{Berger02}] \label{compBerger} Soit $V \in \mathrm{Rep}_L \mathscr{G}_\qp$. Alors $$ \Dcris(V) = (\D_{\mathrm{rig}}(V)[1/t])^\Gamma, $$ o� $t = \log(1 + T)$ d�note le $2 i \pi$ de Fontaine. De plus, si $V$ est � poids de Hodge-Tate n�gatifs, alors $\Dcris(V) = \D_{\mathrm{rig}}(V)^\Gamma $
%\end{theorem}
%
%\begin{theorem} [\cite{ColmezIw2}] Si $V \in \mathrm{Rep}_L \mathscr{G}_\qp$, la cohomologie du complexe $$ [ \D(V) \xrightarrow{1 - \psi} \D(V) ] $$ calcule les groupes de cohomologie d'Iwasawa de $V$. En particulier, on a un isomorphisme $$ \mathrm{Exp}^*: H^1_{\mathrm{Iw}}(\qp, V) \xrightarrow{\sim} \D(V)^{\psi = 1}. $$
%\end{theorem}
%
%
%\subsubsection{La loi de r�ciprocit� de Cherbonnier-Colmez}
%
%Soient $V \in \mathrm{Rep}_L \mathscr{G}_\qp$ de Rham de $\mathscr{G}_\qp$ et $\mu \in \H^1_{\mathrm{Iw}}(\qp, V)$. L'�l�ment $\mathrm{Exp}^*(\mu)$ appartient � $\D(V)^{\psi=1} = \D^\dagger(V)^{\psi = 1}$ et il est donc surconvergent. On a, pour $n$ assez grand, $\varphi^{-n}(\mathrm{Exp}^*(\mu)) \in (\mathbf{B}_{\mathrm{dR}} \otimes V)^{\mathscr{H}_\qp}$. Les traces de Tate normalis�es $\lim_{m \to \infty}p^{-m} \mathrm{Tr}_{L_m / L_n} x$ permettent de descendre cet �l�ment � $L_n((t)) \otimes \D_{\mathrm{dR}}(V)$, pour n'importe quel $n \in \N$, et on a le r�sultat suivant:
%
%\begin{theorem} \label{recexpCC} [cf. \cite{ColmezIw2}, thm. IV.2.1] 
%Soient $V \in \mathrm{Rep}_L \mathscr{G}_\qp$ de Rham, $\mu \in \H^1_{\mathrm{Iw}}(\qp, V)$ et $n \in \N$. Alors $ p^{-m} \mathrm{Tr}_{L_m / L_n} (\varphi^{-m} \, \mathrm{Exp}^*(\mu))$ ne d�pend pas de $m$ assez grand et on a $$ p^{-m} \mathrm{Tr}_{L_m / L_n} (\varphi^{-m} \mathrm{Exp}^*(\mu)) = \sum_{{\j} \in \Z} \exp^*_{V(-{\j}), F_n} \left( \int_{\Gamma_n} \chi(x)^{-{\j}} \mu \right). $$ De plus, il existe $m(V)$ tel que, pour $n \geq m(V)$ et $m$ assez grand, $p^{-m} \mathrm{Tr}_{L_m / L_n} (\varphi^{-m} \mathrm{Exp}^*(\mu)) = p^{-n} \varphi^{-n}(\mathrm{Exp}^* \mu)$.
%\end{theorem}
%
%\subsubsection{La loi de r�ciprocit� de Perrin-Riou}
%
%Soit $V \in \mathrm{Rep}_L \mathscr{G}_\qp$ une repr�sentation cristalline et soit $h \geq 1$ un entier tel que $\mathrm{Fil}^{-h} \Dcris(\V) = \Dcris(\V)$. L'action de $\Gamma$ sur $\Robba$ s'�tend en une action de l'alg�bre de distributions $\mathscr{D}(\Gamma) = \Robba^+(\Gamma)$ \footnote{Si $\gamma$ un g�n�rateur topologique de $\Gamma$, on d�finit l'anneau $\Robba^+(\Gamma)$ de la m�me mani�re que $\Robba^+$ en rempla�ant $T$ par $\gamma - 1$.}. Soit \[ \nabla = \frac{\log(\gamma)}{\log_p(\chi(\gamma))} \in \Robba^+(\Gamma). \]  On a aussi l'�galit� $\nabla = t (1 + T) \frac{d}{dT}$ d'op�rateurs.
%
%Si $v_1, \hdots, v_d$ est une base de $\Dcris(v)$ et $z = \sum_{i=1}^d f_i \otimes v_i \in (\Robba^+ \otimes \Dcris(V))^{\psi = 1}$, alors \[ \nabla_h \cdot z = (\nabla - (h -1)) \circ \hdots \circ (\nabla - 1) \nabla (z) = \sum_{i = 1}^d t^h \partial^h f_i \otimes d_i \] et, si $h \geq 1$ est tel que $\mathrm{Fil}^{-h} \, \Dcris(\V) = \Dcris(\V)$, cet �l�ment appartient � $\Drig(V) \subseteq \Drig(V)[1/t] \cong \Robba[1/t] \otimes \Dcris(V)$. Ceci induit une application (cf. \cite{Berger03}) \[ \nabla_h: (\Robba^+ \otimes \Dcris(V))^{\psi = 1} \to \Drig(V)^{\psi = 1}, \] \[ z \mapsto \nabla_h z. \]
%
%L'isomorphisme $\mathrm{Exp}^*$ s'�tend (cf. \cite{Pottharst}, voir aussi \ref{cohomIw} plus loin) en un isomorphisme \[ \mathrm{Exp}^*: \H^1(\qp, \mathscr{D}(\Gamma, V)) \xrightarrow{\sim} \D_{\mathrm{rig}}(\V)^{\psi = 1}, \] dont on note $z \mapsto \mu_z$ l'application inverse. Ceci permet de d�finir (voir aussi \cite{Berger03}, prop. 1.8), pour $j \in \Z$ et $n \geq 0$, des applications de sp�cialisation \[ \Drig(V)^{\psi = 1} \to \otimes H^1(F_n, V(j)): z \mapsto \int_{\Gamma_n}  \chi^j \cdot \mu_z. \] En termes des distributions, on a $$ (\mathrm{Exp}^*)^{-1} \circ \nabla_h: \mathscr{D}(\zp, \Dcris(V))^{\psi = 1} \to H^1(\qp, \mathscr{D}(\Gamma, V)), $$ o� on fait agir $\psi$ sur une distribution par la formule $ \int_\zp f(x) \psi (\mu) = \varphi^{-1}( \int_{p \zp} f(x / p) \mu )$. Le th�or�me \ref{recexpP} ci-dessous montre que cette compos�e permet de retrouver l'application de p�riodes de Perrin-Riou (\cite{PerrinRiou1}).
%
%Si $z \in \Robba^+ \otimes \Dcris(V)$ et $n \geq 0$, on note $[\varphi^{-n} z]_0 \in \Dcris(V)$ le coefficient ind�pendant de la s�rie $\varphi^{-n} z$ en $t$, image de $z$ par l'application \[ \varphi^{-n}: \Robba^+ \otimes \Dcris(V) \to L_n[[t]] \otimes \Dcris(V); \;\;\; T \mapsto \zeta_{p^n} e^{t / p^n} - 1. \]
%
%Enfin, notons \[ \Gamma^*(j+1) = \left\{
%  \begin{array}{c c}
%    j! & \quad \text{ si $j \geq 0$} \\
%    \frac{(-1)^{j-1}}{(-j - 1)!} & \quad \text{si $j < 0$}  \\
%   \end{array} \right. \] le coefficient principal de la s�rie de Laurent de la fonction $\Gamma(s)$ en $s = j + 1$.
%
%\begin{theorem} [\cite{Berger03}, thm. II.10] \label{recexpP} 
%Soit $z \in (\Robba^+ \otimes \Dcris(V))^{\psi = 1}$. Si $h + {\j} \geq 1$, et $z_{\j} \in (\Robba^+ \otimes \Dcris(V))^{\psi = p^{-j}}$ est tel que $\partial^{\j} z_{\j} = z$, on a 
%\[ \int_{\Gamma_n} \chi(x)^{{\j}} \cdot \mu_{\nabla_h z} = \frac{p^{n (j - 1)}}{\Gamma^*(-j - h + 1)} \cdot \left\{ \begin{array}{l l}
%  \exp_{V({\j}), F_n} ([\varphi^{-n} (z_{\j})]_0 \otimes t^{-j} e_j) , & \quad \text{si $n > 0$}\\
%  \exp_{V({\j}), \qp} ( (1 - p^{-1} \varphi^{-1}) [ z_{\j} ]_0 \otimes t^{-j}  e_j) & \quad \text{si $n = 0$}\\ \end{array} \right.  \]
%et, si $j \leq -h$,
%\[ \exp^*_{V(-{\j}), F_n} (\int_{\Gamma_n} \chi(x)^j \cdot \mu_{\nabla_h z}) = \frac{p^{n (j - 1)}}{\Gamma^*(-j - h + 1)} \cdot \left\{ \begin{array}{l l}
% [\varphi^{-n} (\partial^{-j} z)]_0 \otimes t^{-j} e_j , & \quad \text{si $n > 0$}\\
% (1 - p^{-1} \varphi^{-1}) [\partial^{-j} z ]_0 \otimes t^{-j} e_j & \quad \text{si $n = 0$} \\ \end{array} \right. \]
%\end{theorem}
%
%%Le lien entre ces deux applications exponentielles est d�crit par le r�sultat suivant
%%
%%\begin{proposition}
%%Soit $z \in (\Robba^+ \otimes \Dcris(V))^{\psi = 1}$ et $\mu = \mathrm{Exp}_{V, h}(z)$.  Si $\int_{\Gamma_n} \mu = H^1_e(\qp, V) = \mathrm{ker}(H^1(\qp, V) \to H^1(\qp, V \otimes \Bcris^{\varphi = 1}))$, alors
%%\[ p^{-m} \varphi^{-m}(\mathrm{Exp}^*(\mu)) = \]
%%\end{proposition}
%
%On aura besoin du lemme suivant
%
%\begin{lemme} [\cite{Berger03}, lemme II.1 ] \label{lemme13}
%Soient $z \in (\Robba^+[1/t] \otimes \Dcris(V))^{\psi = 1}$ et $n, m \geq 0$ des entiers. On a l'�galit� suivante dans $L_n \otimes \Dcris(V)$:
%$$ p^{-m}\mathrm{Tr}_{L_m / L_n} [\varphi^{-m} z]_0 = \left\{ \begin{array}{l l}
% p^{-n} [\varphi^{-n}(z)]_0 , & \quad \text{si $n > 0$}\\
% (1 - p^{-1} \varphi^{-1}) [ z ]_0 & \quad \text{si $n = 0$.} \\ \end{array} \right. $$
%En particulier, le terme de gauche ne d�pend pas de $m \gg 0$.
%\end{lemme}
%
%\subsection{La fonction $L$ locale}
%
%\subsubsection{Distributions � valeurs dans $\Dcris(V)$} \label{distcrist0} Soit $\V \in \mathrm{Rep}_L \mathscr{G}_{\qp}$ de dimension $d$, cristalline et \textit{� poids de Hodge-Tate n�gatifs} et soit $D = \D_{\mathrm{rig}}(V) \subseteq \Robba \otimes_\qp \D_{\mathrm{cris}}(\V)$ son $(\varphi, \Gamma)$-module sur $\Robba$ associ�. Supposons que le Frobenius cristallin agit de mani�re semi-simple et soit $(v_i)_{1 \leq i \leq d}$ une base de $\D_{\mathrm{cris}}(V)$ sur $L$ constitu�e de vecteurs propres du Frobenius dont on note $\alpha_1, \ldots, \alpha_d$ les valeurs propres correspondantes. On voit, en utilisant le thm. \ref{compBerger}, la base $(v_i)_{1 \leq i \leq d}$ comme une famille g�n�ratrice de $D$ sur $\Robba$ \footnote{Les calculs suivants marchent, plus g�n�ralement, sans hypoth�ses sur les poids de Hodge-Tate, soit en tordant convenablement, soit en tenant compte des puissances de $t$ dans l'isomorphisme $\Drig(V)[1/ t] \cong \Robba[1/t] \otimes \Dcris(V)$. Mais cette hypoth�se simplifie un peu la situation, permettant toute de m�me de montrer les id�es qui apparaitront plus tard dans le cas de Rham.}.
%
%Soient $f_i \in \Robba^+$, $1 \leq i \leq d$. Par le th�or�me d'Amice, il existe des distributions $\lambda_i \in \mathscr{D}(\zp, L)$ telles que $\mathscr{A}(\lambda_i) = f_i$. Consid�rons l'�l�ment $z = \sum_{i = 1}^d \mathscr{A}_{\lambda_i} \otimes v_i \in \Robba^+ \otimes \Dcris(V) \subseteq D$. On note $\lambda \in \mathscr{D}(\zp, \Dcris(V))$ la distribution sur $\mathbf{Z}_p$ � valeurs dans $\Dcris(V)$ d�finie par $\int_{\mathbf{Z}_p} \phi(x) \cdot \lambda = \sum_{i = 1}^d (\int_{\mathbf{Z}_p} \phi(x) \cdot \lambda_i) \cdot v_i,$ et on dit que $z$ est la transform�e d'Amice de $\lambda$. Si les $\lambda_i$ appartiennent � $(\Robba^+)^{\psi = 0}$, on dit que la distribution $\lambda$ est � support dans $\zpe$. Remarquons finalement que la condition $z \in D^{\psi = 1}$ se traduit par $\psi(\lambda_i) = \alpha_i \lambda_i$ pour tout $i = 1, \hdots, d$.
%
%Rappelons que l'on dispose d'un isomorphisme $\mathrm{Exp}^*: H^1(\qp, \mathscr{D}(\Gamma, V)) \xrightarrow{\sim} D^{\psi = 1}$, de sorte qu'� toute distribution $ \lambda \in \mathscr{D}(\zp, \Dcris(V))^{\psi = 1}$ lui correspond un �l�ment $\mu = (\mathrm{Exp}^*)^{-1} \mathscr{A}_\lambda \in H^1(\qp, \mathscr{D}(\Gamma, V))$.  Observons que $(1 - \varphi) \mathrm{Exp}^* \mu = (1-  \varphi) \sum_i \mathscr{A}_{\lambda_i} \cdot v_i = \sum_i (1 - \varphi \alpha_i) \lambda_i \cdot v_i = \sum_i \mathscr{A}_{\mathrm{Res_\zpe} \lambda_i} \cdot v_i$ (car $\psi(\lambda_i) = \alpha_i \lambda_i$) correspond alors � la restriction � $\zpe$ de $\lambda$.
%
%%Si $z \in (\Robba \otimes \Dcris(V))^{\psi = 0}$, il peut �tre �crit sous la forme $z = \sum_{i = 1}^d f_i \otimes v_i$, o� $f_i \in \Robba^{\psi = 0}$. On d�finit, pour $m \geq 0$, \[ \Lambda_{V, z} \in \mathcal{O}(\mathfrak{X}) \otimes \Dcris(V) \] par la formule \[ \xi \in \mathfrak{X} \mapsto \Lambda^{(m)}_{V, z}(\xi) = \sum_{a \in (\Z / p^n \Z)^\times} \eta(a) \sigma_a [\varphi^{-m} \xi(\partial) z ]_0. \]
%%
%%\begin{lemme} \label{lemme9} Soient $\mu_i \in \mathscr{D}(\zpe)$ et $z = \sum_{i = 1}^d \mathscr{A}_{\mu_i} \otimes v_i \in (\Robba^+ \otimes \Dcris(V))^{\psi = 0} \subseteq D^{\psi = 0}$, $m \geq 0$ et $\xi \in \mathfrak{X}$, alors $$ \Lambda^{(m)}_{V, z}(\xi) = \sum_{i = 1}^d  (\int_\zpe \xi(x) \mu_i) \alpha_i^{-m} \cdot v_i. $$
%%\end{lemme}
%%
%%\begin{proof} On a
%%\begin{eqnarray*}
%%[ \varphi^{-m} \int_\zpe \xi(x) \zeta_{p^m}^{-x} \cdot \lambda_z ]_0 &=& [ \sum_{i = 1}^d \varphi^{-m} (\int_\zpe \xi(x) \zeta_{p^m}^{-x} (1 + T)^x \cdot \mu_i \cdot v_i)]_0 \\
%%&=& \sum_{i = 1}^d [ \int_\zpe \xi(x) \zeta_{p^m}^{-x} \zeta_{p^m}^x e^{\frac{tx}{p^m}} \cdot \mu_i ]_0  \alpha_i^{-m} \cdot v_i \\
%%&=& \sum_{i = 1}^d (\int_\zpe \xi(x) \cdot \mu_i) \alpha_i^{-m} \cdot v_i,
%%\end{eqnarray*}
%%o� la derni�re �galit� suit de la proposition \ref{prop2}.
%%\end{proof}
%%
%%Remarquons que les valeurs propres du Frobenius interviennent dans les formules. Dans ce qui suit, on calcule les valeurs interpol�es par l'application $\Lambda^{(m)}_{V, z}$ sur les caract�res de la forme $\xi(x) = \eta(x) \chi^{\j}$, o� $\eta$ est un caract�re d'ordre fini et ${\j} \in \Z$.
%
%%\begin{proposition}
%%�crire le lien entre ces distributions es les valeurs sp�ciales de la fonction $L$ $p$-adique dans le cas cristallin (voir article Colmez).
%%\end{proposition}
%
%%On rappelle le suivant r�sultat de Berger.
%%
%%\begin{theorem}
%%Il existe un sous $\Robba^+$-module $\mathbf{N}(D)$ de $D$, libre de rang $d$, tel que:
%%
%%$(i)$ $\mathbf{N}(D) \otimes_{\Robba^+} \Robba = D.$
%%
%% $(ii)$ $\mathbf{N}(D)$ est stable sous l'action de $\Gamma$ et $\Gamma$ agit trivialement sur $\mathbf{N}(D) / T \cdot \mathbf{N}(D).$
%%
%%$(iii)$ $\mathbf{N}(D)$ est stable sur l'action de $\varphi$.
%%\end{theorem}
%
%\subsubsection{Bases et modules de de Rham} \label{basesdeRham}
%
%On aura besoin, dans les sections suivantes (et dans le reste de la th�se), de comparer des �l�ments vivant dans les modules de de Rham des tordues d'une repr�sentation par des caract�res de la forme $\eta \chi^j \in \mathfrak{X}$, o� $\eta: \zpe \to L^\times$ est un caract�re d'ordre fini et $j \in \Z$. Pour ce faire, il s'av�re utile de fixer certaines bases des modules $\DdR(L(\eta \chi^j))$ de sorte de pouvoir transf�rer ais�ment des �l�ments entre ces diff�rents modules.
%
%Rappelons que, si $\eta: \zpe \to L^\times$ est d'ordre fini, $G(\eta)$ d�note sa somme de Gauss et $a \in \zpe$, alors $\sigma_a(G(\eta)) = \eta(a)^{-1} G(\eta)$ et, si $e_\eta$ d�note une base de $L(\eta)$, le groupe $\Gamma$ (et donc aussi $\mathscr{G}_\qp$) agit trivialement sur l'�l�ment $\mathbf{e}^{\rm dR}_\eta = G(\eta) \cdot e_\eta \in \BdR \otimes L(\eta)$ et est donc une base du $L$-espace vectoriel $\DdR(L(\eta))$. Si $j \in \Z$, on a d�j� vu qu'il est de m�me de $\mathbf{e}^{\rm dR}_j = t^{-j} e_j \in \BdR \otimes L(\chi^j)$. Notons \[ \mathbf{e}_{\eta, j} = e_\eta \otimes e_j, \] qui est une base de $L(\eta \chi^j)$, de sorte que l'�l�ment \[ \mathbf{e}^{\rm dR}_{\eta, j} =  \mathbf{e}^{\rm dR}_\eta \otimes \mathbf{e}^{\rm dR}_j = G(\eta) t^{-j} \cdot \mathbf{e}_{\eta, j} = G(\eta) e_\eta \otimes t^{-j} e_j \] constitue une base du module $\DdR(L(\eta \chi^j))$.
%
%Si $V \in \mathrm{Rep}_L \mathscr{G}_\qp$ est de Rham, alors $V(\eta \chi^j)$ l'est aussi et on a, par ce qui pr�c�de, \[ \DdR(V(\eta \chi^j)) = (\BdR \otimes V \otimes L(\eta \chi^j))^{\mathscr{G}_\qp} = (\BdR \otimes V)^{\mathscr{G}_\qp} \otimes L \cdot \mathbf{e}^{\rm dR}_{\eta, j} = \DdR(V) \otimes L \cdot \mathbf{e}^{\rm dR}_{\eta, j}. \] L'application $x \mapsto x \otimes \mathbf{e}^{\rm dR}_{\eta, j}$ induit donc un isomorphisme $\DdR(V) \xrightarrow{\sim} \DdR(V(\eta \chi^j))$.
%
%Enfin, on note $e_\eta^\vee = e_{\eta^{-1}}$, $e_j^\vee = e_{-j}$ les �l�ments duaux, respectivement, de $e_\eta$ et $e_j$, ainsi que \[ \mathbf{e}^{\rm dR, \vee}_{\eta, j} = G(\eta)^{-1} \cdot e_\eta^\vee \otimes t^j e_j^\vee, \] base du module $\DdR(L(\eta^{-1} \chi^{-j}))$. L'application $x \mapsto x \otimes \mathbf{e}^{\rm dR, \vee}_{\eta, j}$ induit un isomorphisme $\DdR(V(\eta \chi^j)^*) \xrightarrow{\sim} \DdR(V)$ et on a $x \otimes \mathbf{e}^{\rm dR}_{\eta, j} \otimes \mathbf{e}^{\rm dR, \vee}_{\eta, j} = x$ pour tout $x \in \DdR(V)$.
%
%
%\subsubsection{Interpolation des exponentielles duales}
%
%Soit $V \in \mathrm{Rep}\;\mathscr{G}_\qp$ une repr�sentation cristalline. Le module d'Iwasawa (analytique) $H^1(\qp, \mathscr{D}(\Gamma, V))$ est isomorphe � $\D_{\rm rig}(V)^{\psi = 1}$ et ce dernier s'exprime, gr�ce au th�or�me \ref{compBerger}, en termes de distributions � valeurs dans $\Dcris(V)$. Le but de ce qui reste du chapitre est de d�crire le lien entre la th�orie d'Iwasawa (c�t� $H^1_{\rm Iw}(\qp, V)$ ou bien $H^1(\qp, \mathscr{D}(\Gamma, V))$), les applications de localisation (c�t� $\D_{\rm rig}(V)^{\psi = 1}$) et l'analyse fonctionnelle $p$-adique (c�t� distributions).
%
%%, en appliquant la construction du corollaire \ref{coro1} � l'�l�ment $(1 - \varphi) \mathrm{Exp}^* \mu \in D^{\psi = 0}$, on obtient une distribution $\lambda_{(1 - \varphi) \mathrm{Exp}^* \mu} \in \mathscr{D}(\zpe, D^{\psi = 0})$ qui, par d�finition, satisfait
%%
%%\begin{lemme} \label{lemme3}
%%Soient $\mu \in \H^1_{\mathrm{Iw}}(\qp, \V)$ et ${\j}, m \geq 0$ des entiers. Alors on a $$ \varphi^{-m} \int_{\zpe} x^{\j} \cdot \lambda_{(1 - \varphi) \mathrm{Exp}^* \mu} = \varphi^{-m} \partial^{\j} (1 - \varphi) \mathrm{Exp}^* \mu =  p^{m{\j}} \partial^{\j} (\varphi^{-m} \mathrm{Exp}^* \mu- \varphi^{-(m-1)} \mathrm{Exp}^* \mu). $$
%%\end{lemme}
%
%
%\begin{lemme} \label{lemme1} Soient $\mu \in H^1(\qp, \mathscr{D}(\Gamma, V))$, $\eta$ un caract�re constant modulo $p^n$ et $m \geq n$. On a alors l'�galit� suivante (dans $L_n \otimes H^1(\qp, V(-{\j}))$)
%$$\int_{\Gamma} \eta \chi^{-j} \cdot \mu = \sum_{a \in (\Z / p^m \Z)^{\times}} \eta(a) a^{-{\j}} \cdot (\int_{\Gamma_m} \chi^{-j} \cdot \sigma_a(\mu)). $$
%De plus, si $V$ est de Rham, on a une �galit� (dans $L_n \otimes \DdR(V(-j))$) $$\exp^* (\int_{\Gamma} \eta \chi^{-j} \cdot \mu ) \otimes \mathbf{e}^{\rm dR, \vee}_\eta = G(\eta)^{-1} \sum_{a \in (\Z / p^m \Z)^{\times}} \eta(a) a^{-{\j}} \exp^* (\int_{\Gamma_m} \chi^{-j} \cdot \sigma_a(\mu)). $$
%\end{lemme}
%
%\begin{proof}
%
%En utilisant la d�composition $\Gamma = \sqcup_{\sigma_a \in (\Z / p^m \Z)^\times} \sigma_a \cdot \Gamma_m$, le fait que $\eta$ est constant sur $\Gamma_n$, et la formule pour l'action de $\Gamma$ sur $\H^1_{\mathrm{Iw}}(\qp, \V)$, on a
%\begin{eqnarray*}
%\int_{\Gamma} \eta \chi^{-j} \cdot \mu &=& \sum_{a \in (\Z / p^m \Z)^{\times}} \eta(a) \int_{\sigma_a \cdot \Gamma_m} \chi(x)^{-j} \cdot \mu \\
%&=& \sum_{a \in (\Z / p^m \Z)^{\times}} \eta(a) \int_{\Gamma} \mathbf{1}_{\sigma_a \cdot \Gamma_m}(x) \chi(x)^{-{\j}} \cdot \mu \\
%&=& \sum_{a \in (\Z / p^m \Z)^{\times}} \eta(a) a^{-{\j}} \int_{\Gamma} \mathbf{1}_{\Gamma_m}(\sigma_a^{-1} x) \chi(\sigma_a^{-1} x)^{-{\j}} \cdot \mu \\
%&=& \sum_{a \in (\Z / p^m \Z)^{\times}} \eta(a) a^{-{\j}} \int_{\Gamma_m} \chi^{-{\j}} \cdot \sigma_a(\mu).
%\end{eqnarray*}
%
%La deuxi�me assertion est une cons�quence de la formule, pour $W = V(\eta \chi^{-{\j}}), V({\j})$, $L = \qp, F_n$, de $\exp^*$ comme la composition $H^1(L, W) \to H^1(L, W \otimes_\qp \BdR) \xrightarrow{\sim} H^0(L, W \otimes_\qp \BdR) = \DdR(W) \otimes L$, l'inverse du dernier isomorphisme �tant donn�e par $x \mapsto [ \sigma \mapsto \log \sigma x]$, cf. \ref{lemme1b} pour une d�monstration dans le cas de Rham.
%\end{proof}
%
%\begin{lemme} \label{lemme2}
%Soient $\lambda = \sum_{i = 1}^d \lambda_i \cdot v_i \in \mathscr{D}(\zp, \Dcris(V))^{\psi = 1}$ et $z = \mathscr{A}_\lambda \in \Drig(V)^{\psi = 1}$. Soient $\eta$ un caract�re de Dirichlet de conducteur $p^n$, $n > 0$, et $m \geq 0$. Alors
%\begin{enumerate}
%\item Si $m < n$, on a $$ \sum_{a \in (\Z / p^n \Z)^\times} \eta(a) \sigma_a(\left[ \partial^{\j} \varphi^{-m} z \right]_0 ) = 0, $$
%\item Si $m \geq n$, on a $$ \sum_{a \in (\Z / p^m \Z)^\times} \frac{\eta(a)}{p^m} \sigma_a( \left[ \partial^{\j} \varphi^{-m} z \right]_0 ) =  \frac{G(\eta)}{p^{n({\j}+1)}} \sum_{i = 1}^d ( \int_\zpe \eta^{-1} x^{\j} \cdot \lambda_i) \alpha_i^{-n} \cdot v_i, $$ et, en particulier, la formule ne d�pend pas de $m \geq n$.
%\end{enumerate}
%\end{lemme}
%
%\begin{proof}
%Si $l = \mathrm{sup}\{ n, m\}$, on a
%\begin{eqnarray*}
%\sum_{a \in (\Z / p^l \Z)^\times} \eta(a) \sigma_a ( \left[ \partial^{\j} \varphi^{-m} z \right]_0 ) &=& \sum_{i = 1}^d \sum_{a \in (\Z / p^l \Z)^\times} \eta(a) \sigma_a( [ \partial^{\j} \int_{\zp} \zeta_{p^m}^x e^{\frac{tx}{p^m}} \cdot \lambda_i ]_0 ) \cdot \alpha_i^{-m} v_i \\
%&=& \sum_{i = 1}^d \frac{1}{p^{m{\j}}} \int_{\zp} ( \sum_{a \in (\Z / p^l \Z)^\times} \eta(a) \zeta_{p^m}^{a x} ) x^{\j} \cdot \lambda_i \cdot \alpha_i^{-m} v_i
%\end{eqnarray*}
%Or, $\sum_{a \in (\Z / p^l \Z)^\times} \eta(a) \zeta_{p^m}^{a x} = p^l \hat{\eta}(- p^{-m} x)$. On d�duit le point $(1)$ du fait que $\hat{\eta}$ est � support dans $p^{-n}\zpe$ et donc $\hat{\eta}(\frac{-x}{p^m}) = 0$ sur $\zp$. En ce qui concerne la deuxi�me affirmation, si $l = m \geq n$, on a
%\begin{eqnarray*}
%\sum_{a \in (\Z / p^m \Z)^\times} \eta(a) \sigma_a ( \left[ \partial^{\j} \varphi^{-m} z \right]_0 ) &=& \sum_{i = 1}^d \frac{p^m}{p^{m{\j}}} (\int_{\zp} \hat{\eta}(\frac{-x}{p^m}) x^{\j} \cdot \lambda_i)  \cdot \alpha_i^{-m} v_i \\
%%&=& \frac{p^m}{p^{m{\j}}} \int_{{p^{m - n} \zpe}} \hat{\eta}(\frac{-x}{p^m}) x^{\j} \mu \\
%&=& \sum_{i = 1}^d \frac{p^m}{p^{m{\j}}} \frac{\eta^{-1}(-1)}{G(\eta^{-1})} (\int_{{p^{m - n} \zpe}} \eta^{-1}(\frac{x}{p^{m - n}}) x^{\j} \cdot \lambda_i) \cdot \alpha_i^{-m} v_i \\
%&=& \sum_{i = 1}^d \frac{p^{m - n} G(\eta)}{p^{n{\j}}}  (\int_\zpe \eta^{-1}(x) x^{\j} \cdot \psi^{m - n}(\lambda_i)) \cdot \alpha_i^{-m} v_i \\
%&=& \sum_{i = 1}^d \frac{p^{m - n} G(\eta)}{p^{n{\j}}} (\int_\zpe \eta^{-1} x^{\j} \cdot \lambda_i) \cdot \alpha_i^{-m} v_i, \\
%\end{eqnarray*}
%o� l'on a utilis� successivement les identit�s $$ \hat{\eta}(-\frac{x}{p^m}) = \frac{\eta^{-1}(-1)}{\mathrm{G}(\eta^{-1})} \mathbf{1}_{p^{m - n} \zpe}(x)\eta^{-1}(\frac{x}{p^{m - n}}), $$ $$G(\eta) G(\eta^{-1}) = \eta(-1) p^n, $$ $$ \psi^{m - n}(\lambda_i) = \alpha_i^{m - n} \lambda. $$
%\end{proof}
%
%%\begin{corollary}
%%Si $\mu \in H^1_{\rm Iw}(\zp, V)$, l'application $\Lambda_{V, (1 - \varphi)(\mathrm{Exp}^*) \mu}^{(m)}$ ne d�pend pas de $m > 0$.
%%\end{corollary}
%
%\begin{prop} \label{prop3} Soient $\lambda \in \mathscr{D}(\zp, \Dcris(V))^{\psi = 1}$, $z = \mathscr{A}_\lambda \in \Drig(V)^{\psi = 1}$ et $\mu = (\mathrm{Exp}^*)^{-1} z \in H^1(\qp, \mathscr{D}(\Gamma, V))$. Soient $\eta$ un caract�re de conducteur $p^n$, $n > 0$, et $j > 0$. On a alors une �gali� entre les trois �l�ments de $L_n \otimes \Dcris(V)$ suivants
%\[ \frac{\Gamma^*(j+1)}{p^{n(-j + 1)}} \exp^*(\int_{\Gamma} \eta \chi^{-j} \cdot \mu) \otimes \mathbf{e}^{\rm dR, \vee}_{\eta, -j} =  G(\eta)^{-1} \sum_{a \in (\Z / p^n \Z)} \eta(a)\sigma_a [ \varphi^{-n} \partial^j (1 - \varphi) z ]_0 = \sum_{i = 1}^d (\int_\zpe \eta^{-1} x^j \cdot \lambda_i) \cdot \alpha_i^{-n} v_i \]
%\end{prop}
%
%%\footnote{Le domain de $\exp_{\qp, \V^*(1 + {\j})}^*$ �tant $\H^1(\qp, V(-{\j}))$, on regarde $\int_{\Gamma} \eta(x) \chi(x)^{-{\j}} z$ comme un �l�ment dans $V(-{\j})$, suit � tordre une deuxi�me fois pour tomber dans $D$, ce qui devrait �tre not� $(\int_{\Gamma} \eta(x) \chi(x)^{-{\j}} z)(-{\j})$ comme dans la notation de \cite{ColmezIw2}.II.1, ou $\int_{\Gamma} \eta(x) \chi(x)^{-{\j}} z \otimes e_{-{\j}}$ comme on le fait dans la section suivante, ou $\int_{\Gamma} \eta(x) (\chi(x) t)^{-{\j}} z $ comme dans \cite{ColmezBourbaki} si on ne craint pas les ambigu�t�s. }
%
%\begin{proof} Une application du lemme \ref{lemme1} et de la loi de r�ciprocit� explicite de Cherbonnier-Colmez \ref{recexpCC} donne
%\begin{eqnarray*}
%\mathrm{exp}^* ( \int_{\Gamma} \eta \chi^{-{\j}} \cdot \mu ) \otimes \mathbf{e}^{\rm dR, \vee}_\eta &=& G(\eta)^{-1} \sum_{a \in (\Z / p^n \Z)^\times} \eta(a) a^{-{\j}} \mathrm{exp}^* ( \int_{\Gamma_n} \chi^{-j} \cdot \sigma_a(\mu)) \\
%&=& G(\eta)^{-1} \sum_{a \in (\Z / p^n \Z)^\times} \eta(a) a^{-{\j}} \left[ p^{-m} \mathrm{Tr}_{L_m / L_n} \varphi^{-m} \mathrm{Exp}^*(\sigma_a \mu) \right]_{\j} \\
%&=& G(\eta)^{-1} \sum_{a \in (\Z / p^n \Z)^\times} \frac{\eta(a)}{{\j}! p^m} \mathrm{Tr}_{L_m / L_n} \sigma_a \left[ \partial^{\j} \varphi^{-m} z \right]_0 \otimes t^{j} e_{-j}, \\
%\end{eqnarray*}
%o� $m \in \N$ est un entier assez grand. Or, on a (cf. lemme \ref{lemme13})
%$$ \sum_{a \in (\Z / p^n \Z)^\times} \frac{\eta(a)}{{\j}! p^m} \mathrm{Tr}_{L_m / L_n} \sigma_a \left[ \partial^{\j} \varphi^{-m} z \right]_0 = \left\{ \begin{array}{l l}
%  \sum_{a \in (\Z / p^n \Z)^\times} \frac{\eta(a)}{{\j}! p^n} \sigma_a \left[ \partial^{\j} \varphi^{-n} z \right]_0, & \quad \text{si $n > 0$}\\
%  (1 - p^{-1} \varphi^{-1}) [z]_0 & \quad \text{si $n = 0$}\\ \end{array} \right. $$
%En utilisant le $(2)$ du lemme \ref{lemme2} ci-dessus (avec $m = n$), on obtient
%\[ \sum_{a \in (\Z / p^n \Z)} \frac{\eta(a)}{{\j}! p^n} \sigma_a \left[ \partial^{\j} \varphi^{-n} z \right]_0 = \frac{\mathrm{G}(\eta)}{{\j}! p^{n({\j}+1)}} \sum_{i = 1}^d (\int_\zpe \eta^{-1} x^{\j} \cdot \lambda_i) \cdot \alpha_i^{-n} v_i. \]
%
%Notons finalement que, par le $(1)$ du lemme \ref{lemme2}, le terme de gauche de la formule ci-dessus ne change pas si l'on remplace $z$ par $(1 - \varphi) z$, ce qui permet de conclure.
%
%
%%On observe, en utilisant le lemme [\ref{lemme3}], que les deux quantit�s de l'�nonc� sont aussi �gales � $ [ \varphi^{-m}(\int_{\zpe} \eta^{-1}(x) \zeta_{p^m}^{-x} x^{\j} \lambda_z) ]_0, $ et en plus l'expression (est bien d�finie et) elle ne d�pend pas de $m \gg 0$
%\end{proof}
%
%\begin{remarque} Comme l'on observe dans la d�monstration, on peut aussi modifier un peu les formules pour traiter le cas o� $\eta$ est le caract�re trivial (qui s'av�re en fait tr�s important), mais vu que notre m�thode ne nous permet pas de traiter ce cas en g�n�ral, on l'ignore pour le moment.
%\end{remarque}
%
%\subsubsection{Interpolation des exponentielles}
%
%Le m�me genre de calculs permettent de traiter le cas des puissances positives de $\chi$. Dans le lemme suivant on ne fait pas d'hypoth�se sur les poids de Hodge-Tate de $V$.
%
%\begin{prop} \label{prop3b} Soient $\V$ une repr�sentation cristalline et $h$ tel que $\mathrm{Fil}^{-h} \Dcris(\V) = \Dcris(\V)$. Soient $\lambda \in \mathscr{D}(\zp, \Dcris(V))^{\psi = 1}$, $z = \mathscr{A}_\lambda \in \Drig(V)^{\psi = 1}$ et $\mu = (\mathrm{Exp}^*)^{-1} z \in H^1(\qp, \mathscr{D}(\Gamma, V))$. Soient $\eta: \zpe \to L^\times$ un caract�re de conducteur $p^n,$ $n > 0$, et ${\j} \geq 1 - h$ tel que l'�quation $\partial^{\j} z_{\j} = \mathscr{A}_\lambda$ ait une solution et tel que $\exp: \Dcris(V(j)) \to H^1(\qp, V(j))$ soit un isomorphisme. On a alors une �gali� entre les trois �l�ments de $L_n \otimes \Dcris(V)$ suivants
%\small{\[ \frac{\Gamma^*(-j-h+1)}{p^{n(-j+1)}} \exp^{-1}(\int_{\Gamma} \eta \chi^j \cdot \mu_{ \nabla_h z}) \otimes \mathbf{e}^{\rm dR, \vee}_{\eta, j} = \mathrm{G}(\eta)^{-1} \sum_{a \in (\Z / p^n \Z)} \eta(a)\sigma_a [ \varphi^{-n} \partial^{-j} (1 - \varphi) z ]_0 = \sum_{i = 1}^d (\int_\zpe \eta^{-1} x^{-j} \cdot \lambda_i) \cdot \alpha_i^{-n} v_i \] } \normalsize
%%[ \varphi^{-n}(\int_{\mathbf{Z}^*_p} \eta^{-1}(x) \zeta_{p^n}^{-x} x^{-{\j}} \cdot \lambda_\mu) ]_0. \]
%\end{prop}
%
%\begin{proof}
%Il suffit de reproduire les m�mes calculs que dans la preuve de la proposition \ref{prop3}, et utiliser la loi de r�ciprocit� explicite \ref{recexpP} de Perrin-Riou. Une d�monstration d�taill�e dans le cas de Rham est faite dans la proposition \ref{lemme5}.
%\end{proof}
%
%
%Finalement, on peut r�sumer les r�sultats de cette section dans la proposition suivante. Notons
%$$ \log(\int_{\Gamma} \eta \chi^{-j} \cdot \mu) = \left\{ 
%\begin{array}{l l}
%  \exp^*(\int_{\Gamma} \eta \chi^{-j} \cdot \mu) & \quad \text{si ${\j} \geq 0$}\\
%  \exp^{-1} (\int_{\Gamma} \eta \chi^{-j} \cdot \mu) & \quad \text{si ${\j} \ll 0$.}\\ \end{array} \right. $$
%
%\begin{proposition} \label{distcrist}
%Soient $V$ une repr�sentation cristalline de $\mathscr{G}_\qp$ � poids de Hodge-Tate n�gatifs. Soient $\lambda \in \mathscr{D}(\zp, \Dcris(V))^{\psi = 1}$, $z = \mathscr{A}_\lambda \in \Drig(V)^{\psi = 1}$ et $\mu = (\mathrm{Exp}^*)^{-1} z \in H^1(\qp, \mathscr{D}(\Gamma, V))$ et soit $\eta$ un caract�re de conducteur $p^n$, $n \geq 1$. L'application \[ \eta \kappa \mapsto \Lambda_{V, \mu}(\eta \kappa) = \sum_{a \in (\Z / p^n \Z)^\times} \eta(a) \sigma_a[\varphi^{-n} \kappa(\partial) (1 - \varphi) z ]_0 \] ne d�pend pas de $\eta$ et d�finit une fonction analytique $\Lambda_{V, \mu} \in \mathcal{O}(\mathfrak{X}) \otimes \Dcris(V)$  telle que, si ${\j} \in \Z$ est tel que $j \geq 0$ ou $j \ll 0$, alors
%\[ \Lambda_{V, \mu}(\eta \chi^{\j}) = \Gamma^*(j+1) p^{n (j + 1)} \cdot \log(\int_{\Gamma} \eta \chi^{-j} \cdot \mu) \otimes \mathbf{e}^{\rm dR, \vee}_{\eta, -j} \]
%\end{proposition}
%
%\begin{proof}
%La proposition est une cons�quence imm�diate des propositions \ref{prop3} et \ref{prop3b}. Notons que l'ind�pendance de $\eta$, ainsi que le fait que $\Lambda_{V, \mu}$ d�finit une fonction analytique sur tout l'espace des poids, suit du fait que l'on peut tout �crire en terme de la distribution $\lambda$, comme on le voit dans les �galit�s de droite des propositions. 
%\end{proof}

%\newpage

\section{La fonction $L$ locale d'un $(\varphi, \Gamma)$-module de de Rham}

Le pr�sent chapitre contient le premier r�sultat de cet article, encadr� dans l'�tude des fonctions $L$ $p$-adiques des $(\varphi, \Gamma)$-modules de de Rham associ�es � un syst�me d'Euler, comme d�marr� par Perrin-Riou (\cite{PerrinRiou1}). On construit (thm. \ref{propfin}), pour un $(\varphi, \Gamma)$-module $D$ de Rham sur $\Robba$, une extension analytique de l'application Logarithme de Perrin-Riou fournissant, � partir d'un �l�ment dans la cohomologie d'Iwasawa de $D$, une fonction $L$ $p$-adique, d�finie sur un ouvert de l'espace de poids.

\subsection{R�sultat principal} \label{sectresprinc}

On a besoin d'introduire quelques notations pour �noncer le r�sultat principal de cet article. Si $\xi, \delta \in \mathfrak{X}$ sont deux caract�res, on d�finit leur distance par $v_p(\xi - \delta) = v_p(z_\xi - z_\delta)$ si $\xi|_{(\Z / q\Z)^\times} =  \delta|_{(\Z / q\Z)^\times}$  et $v_p(\xi - \delta) = - \infty$ si non, o� $z_\xi$, $z_\delta \in B(1, 1^-)$ sont d�finis dans \ref{poids}. Si $\eta \in \mathfrak{X}$ est un caract�re d'ordre fini, on note $\mathrm{c}(\eta)$ la $p$-partie de son conducteur (de sorte que $\mathrm{cond}(\eta) = p^{\mathrm{c}(\eta)}$) et, pour $N \geq -\infty$, on d�finit \[ \mathfrak{B}(\eta, N) = \{ \xi \in \mathfrak{X} \; | \;  v_p( \xi - \eta )  > p^{N - \mathrm{c}(\eta)} \} \subseteq \mathfrak{X}. \] Rappelons que $\Gamma^*(j)$ d�note le coefficient principal de la s�rie de Laurent de la fonction $\Gamma(s)$ en $s = j$. Notons, pour $D \in \Phi\Gamma(\Robba)$ de Rham et $\mu \in H^1_{\rm Iw}(\qp, D)$,
$$ \log(\int_{\Gamma} \eta \chi^{-j} \cdot \mu) = \left\{ 
\begin{array}{l l}
  \exp^*(\int_{\Gamma} \eta \chi^{-j} \cdot \mu) & \quad \text{si ${\j} \geq 0$}\\
  \exp^{-1} (\int_{\Gamma} \eta \chi^{-j} \cdot \mu) & \quad \text{si ${\j} \ll 0$.}\\ \end{array} \right. $$ Enfin, on note $r_{m(D)}$, $m(D) \in \N$, le rayon de surconvergence de $D$ (cf. \S \ref{generalites} ci-dessous). Le r�sultat principal de ce chapitre est le suivant:

\begin{theorem} \label{propfina}
Soient $D \in \Phi\Gamma(\Robba)$ de Rham � poids de Hodge-Tate positifs, $z \in D^{\psi = 1}$, et notons $\mu_z = \mathrm{Exp}^*(z) \in H^1_{\rm Iw}(\qp, D)$. Il existe un entier $N(D)$ \footnote{L'entier $N(D)$ ne d�pend que du module $\D_{\rm pst}(D)$ et est born� en termes du conducteur de la plus petite extension galoisienne $K$ de $\qp$ tel que l'action de $\mathscr{G}_\qp$ sur $\D_{\rm pst}(D)$ se factorise � travers $\mathscr{G}_K$. Si $D = \Drig(V)$, o� $V \in \mathrm{Rep}_L \mathscr{G}_\qp$, la constante $N(D)$ est donc born�e en termes du conducteur de la plus petite extension $K / \qp$ sur laquelle $V$ d�vient semi-stable.}, et une unique fonction rigide analytique $\Lambda_{D, z} \in \mathcal{O}(\mathfrak{U}_D) \otimes \DdR(D)$, o� l'on a pos� $\mathfrak{U}_D = \cup_{\mathrm{c}(\eta) > m(D)} \mathfrak{B}(\eta, N(D))$, telle que, pour tout $\eta \chi^j \in \mathfrak{U}_D$, o� $\eta$ est un caract�re de conducteur $p^n$, $n > 0$, et $j \in \Z$ est tel que $j \geq 0$ ou $j \ll 0$ \footnote{Plus pr�cis�ment, $j$ doit �tre suffisamment petit de sorte que $\exp_{D(-j)} \colon \DdR(D(-j)) \to H^1_{\varphi, \gamma}(D(-j))$ soit un isomorphisme. Il suffirait donc de demander $j < h_0 - 2$, o� $h_0$ d�note le plus petit poids de Hodge-Tate de $D$ (cf. \cite[Thm. 0.9]{Berger02}).}, on a
\[ \Lambda_{D, z} (\eta \chi^{\j}) = \Gamma^*(j + 1) p^{n(j + 1)} \cdot \log (\int_{\Gamma} \eta \chi^{-j} \cdot \mu_z)  \otimes \mathbf{e}^{\rm dR, \vee}_{\eta, -j} . \]
\end{theorem}

Voici quelques remarques:

\begin{itemize}
\item On obtiendra ce th�or�me (thm. \ref{propfin}) comme cons�quence d'un r�sultat un peu plus g�n�ral �nonc� dans le th�or�me \ref{theo1}.

\item Comme les caract�res $\eta x^j$ sont Zariski denses dans $\mathfrak{X}$, la fonction $\Lambda_{D, z}$ est unique.

%\item Si $\mathrm{c}(\eta) > N$, l'ouvert $\mathfrak{B}(\eta, N)$ contient tous les caract�res de la forme $\eta \chi^{\j}$, ${\j} \in \Z$, ${\j} \equiv 0 \mod q$, ce qui implique que la fonction $\Lambda_{D, z}$ est unique

\item Si $D$ est cristallin, alors l'application $\Delta_{D,z}$ provient par restriction d'une fonction rigide analytique d�finie sur tout l'espace des poids $\mathfrak{X}$.

\item Comme corollaire de ce th�or�me, on obtiendra une construction partielle de la fonction $L$ $p$-adique associ�e � un syst�me d'Euler d'un $(\varphi, \Gamma)$-module de de Rham. Si $D = \D_{\rm rig}(V)$ est le $(\varphi, \Gamma)$-module associ� � la repr�sentation $p$-adique d'une forme modulaire, on verra comment ces valeurs s'interpr�tent en termes de valeurs sp�ciales de la fonction $L$ complexe de la forme modulaire.
\end{itemize}

Voici un bref r�sum� de ce chapitre. On commence par rappeler les outils et notations n�cessaires dont on aura besoin pour la preuve du th�or�me. On pourra consulter \cite{Nakamura} et \cite{Berger03}, qui sont les r�f�rences principales. La structure de la preuve du th�or�me \ref{propfina} est la suivante: Dans la section \ref{generalites}, on rappelle des g�n�ralit�s sur les $(\varphi, \Gamma)$-modules de de Rham sur l'anneau de Robba. Ensuite (\S \ref{prolan}) on d�finit la multiplication analytique par un caract�re sur un $(\varphi, \Gamma)$-module. Dans \ref{interpolation}, on d�finit la fonction $\Lambda_{D, z}$. Le Lemme \ref{lemme6} calcule le rayon de convergence de $\Lambda_{D, z}$, ce qui explique la d�finition de l'ouvert $\mathfrak{B}(N)$ du th�or�me. Les propositions \ref{lemme4} et \ref{lemme5} montrent, en utilisant la loi de r�ciprocit� explicite de Perrin-Riou comme d�montr�e par Nakamura, les propri�t�s d'interpolation de $\Lambda_{D, z}$, introduisant l'op�rateur diff�rentiel auxiliaire $\nabla_h$ dans les formules. Enfin, quand $D$ est � poids de Hodge-Tate positifs et $z \in D^{\psi = 1} \subseteq \Nrig(D)^{\psi = 1}$ on se d�barrasse (\S \ref{poidspositifs}) de l'op�rateur diff�rentiel $\nabla_h$ pour obtenir ainsi l'interpolation voulue.


\subsection{G�n�ralit�s sur les $(\varphi, \Gamma)$-modules} \label{phigammagen}

Notons $\Phi\Gamma(\Robba)$ la cat�gorie de $(\varphi, \Gamma)$-modules sur $\Robba$.

\subsubsection{Sous-modules naturels de $D$} \label{generalites}

Soit $D \in \Phi\Gamma(\Robba)$ de rang $d$. L'alg�bre de Lie de $\Gamma$ agit sur $D$ (cf. \cite[\S 5.1]{Berger02}) via l'op�rateur $L$-lin�aire $$ \nabla = \lim_{a \to 1} \frac{\sigma_a - 1}{a - 1} = \frac{\log (\gamma)}{\log (\chi(\gamma))} = \frac{1}{\log (\chi(\gamma))} \sum_{i = 1}^{+\infty} (-1)^{i + 1} \frac{(\gamma - 1)^i}{i}, $$ o� $\gamma \in \Gamma$ d�note n'importe quel �l�ment sans torsion de $\Gamma$, ce qui d�finit un op�rateur diff�rentiel au-dessus de l'op�rateur $\nabla = t (1 + T) \frac{d}{dT}$ agissant sur $\Robba$. 
%En utilisant les morphismes de localisation, on a l'�galit� $\varphi^{-n} \circ \nabla = t \frac{d}{dt} \circ \varphi^{-n}$ dans $F_n[[t]]$.

\begin{lemme} [{\cite[Thm. I.3.3]{Berger08}}] \label{subm1}
Il existe $\epsilon > 0$ et, pour tout $0 < s \leq \epsilon$, des uniques sous-$\E^{]0, s]}$-modules $D^{]0, s]}$ de $D$, satisfaisant
\begin{itemize}
\item $D = \Robba \otimes_{\E^{]0, s]}} D^{]0, s]}.$
\item $\varphi(D^{]0, s]}) \subseteq D^{]0, s/p]}$, et on a un isomorphisme $\E^{]0, s/p]} \otimes_{\E^{]0, s]}} D^{]0, s]} \to D^{]0, s/p]}: f \otimes x \mapsto f \varphi(x)$, pour tout $n$ tel que $r_n \leq \epsilon$.
\end{itemize}
De plus, les modules $D^{]0, s]}$ sont stables par $\Gamma$ et $\nabla$.
\end{lemme}

%\begin{proof}
%Soit $v_1, \hdots, v_D$ une base de $D$ sur $\Robba$. Soient $A$ et $B$ les matrices de $\Gamma$ et $\varphi$ dans cette base et soit $\epsilon$ tel que $A, B \in \mathrm{GL}_d(\E^{]0, \epsilon]})$. On peut voir que les sous $\E^{]0, s]}$-modules $D^{]0, s]} = \oplus_{i = 1}^d \E^{]0, s]} v_i$ de $D$ satisfont les propri�t�s du lemme.
%\end{proof}

On d�finit $m(D)$ comme le plus petit entier tel que le lemme \ref{subm1} est vrai avec $r_{m(D)} \leq \epsilon$ et on dit que $r_{m(D)}$ est le rayon de surconvergence de $D$. Pour $0 < r < s \leq r_{m(D)}$, on pose \[ D^{[r, s]} = \E^{[r, s]} \otimes_{\E^{]0, s]}} D^{]0, s]}. \] On a alors \[ D = \varinjlim_{s > 0} \varprojlim_{0 < r < s} D^{[r, s]}, \] ce qui montre que $D$ est un espace de type $\mathrm{LF}$ (i.e limite inductive d'espaces de Fr�chet). 

Rappelons que l'on a des morphismes de localisation \[ \varphi^{-n} \colon \E^{]0, r_n]} \hookrightarrow L_n[[t]] \] envoyant $T$ sur $\zeta_{p^n} e^{t / p^n} - 1$. Pour $n \geq m(D)$ on d�finit \[ \D^+_{\mathrm{dif}, n}(D) = L_n[[t]] \otimes_{\varphi^{-n}, \E^{]0, r_n]}} D^{]0, r_n]}, \] \[ \D_{\mathrm{dif}, n}(D) = L_n((t)) \otimes_{L_n[[t]]} \D^+_{\mathrm{dif}, n}(D), \] qui sont des $L_n[[t]]$ et $L((t))$-modules, respectivement, libres de rang $d$ et munis d'une action semi-lin�aire de $\Gamma$. Finalement, on d�finit $$ \D_{\mathrm{dif}}(D) = \varinjlim_n \D_{\mathrm{dif}, n}(D) \; \;\; \D^+_{\mathrm{dif}}(D) = \varinjlim_n \D^+_{\mathrm{dif}, n}(D), $$ qui sont, respectivement, des $L_\infty((t)) = \cup_n L_n((t))$ et $L_\infty[[t]] = \cup_n L_n[[t]]$-modules libres de rang  $d$.

\subsubsection{Th�orie de Hodge $p$-adique}

Comme l'on a d�j� remarqu�, la plupart des objets de la th�orie de Hodge $p$-adique peuvent �tre exprim�s purement en terme des $(\varphi, \Gamma)$-modules. Suivant ce programme, commenc� par Fontaine \cite{Fontaine90}, on d�finit les invariants suivants:

\begin{definition}
Soit $D \in \Phi\Gamma(\Robba)$ de rang $d$. On d�finit $$ \Dcris(D) = (D[1 / t])^\Gamma = (D \otimes_\Robba \Robba[1/t])^\Gamma \;\;\;\; \DdR(D) = (\D_{\mathrm{dif}}(D))^\Gamma, $$ qui sont des $L$-espaces vectoriels de dimension finie.
\end{definition}

On munit $\DdR(D)$ de sa filtration de Hodge, donn�e par $ \mathrm{Fil}^i \, \DdR(D) = \DdR(D) \cap t^i \D_{\mathrm{dif}}^+ = (t^i \D_{\mathrm{dif}}^+)^\Gamma$. On observe que $\Dcris(D)$ est muni d'une action bijective du Frobenius $\varphi$ ainsi que d'une filtration induite par l'inclusion $\Dcris(D) \subseteq \DdR(D)$ d�finie par $x \in \Dcris(D) \mapsto \iota_n (\varphi^n(x)) \in \DdR(D)$, o� on a not� $\iota_n = \varphi^{-n} \colon D^{]0, r_n]}[1/t] \to \Ddif(D)$ l'application de localisation \footnote{Il existe ici un petit abus �vident en notant par $\varphi^{-n}$ deux applications diff�rentes, l'une �tant l'application de localisation not�e usuellement $\iota_n$ et l'autre l'inverse de l'op�rateur $\varphi$ agissant sur $\Dcris(D)$, mais cela ne devrait pas causer de probl�mes de lecture.}. On a $$ \dim_L \Dcris(D) \leq \dim_L \DdR(D) \leq \mathrm{rang}_\Robba \; D,  $$ o� la premi�re in�galit� est �vidente par ce qui pr�c�de et la derni�re suit en remarquant que $\Ddif(D)$ est un $L_\infty((t))$-espace vectoriel de rang $d = \mathrm{rang}_\Robba \; D$ et $\DdR(D) = (\Ddif(D))^\Gamma$ est donc un $(L_\infty((t)))^\Gamma = L$-espace vectoriel de rang $\leq d$.  

\begin{definition}
Soit $D$ un $(\varphi, \Gamma)$-module sur $\Robba$. On dit que $D$ est \textit{cristallin} (resp. \textit{de Rham}) si l'in�galit� $\dim_\qp \Dcris(D) \leq \mathrm{rang}_\Robba \; D$ (resp. $\dim_\qp \DdR(D) \leq \mathrm{rang}_\Robba \; D$) est une �galit�.
\end{definition}

Si $D$ est de Rham, on d�finit ses \textit{poids de Hodge-Tate} comme les oppos�s des entiers o� la filtration change, c'est-�-dire l'ensemble $\{ -h \in \Z: \mathrm{Fil}^h \, \DdR(D) / \mathrm{Fil}^{h + 1} \, \DdR(D) \neq 0 \}$.

\subsubsection{L'�quation diff�rentielle $p$-adique $\Nrig(D)$} \label{eqdiff}

Rappelons la construction de Berger (cf. \cite{Berger02}, \cite{Berger08}) de l'�quation diff�rentielle $p$-adique $\Nrig(D)$ associ�e � un  $(\varphi, \Gamma)$-module de de Rham $D$ sur $\Robba$.

\begin{proposition} [{\cite[Thm. III.2.3]{Berger08}}] \label{Ndifprop}
Soit $D \in \Phi\Gamma(\Robba)$ de rang $d$, de Rham, et, pour chaque $n \geq m(D)$, posons $$ \mathbf{N}_{\mathrm{rig}}^{]0, r_n]}(D) = \{ x \in D^{]0, r_n]}[1/t] : \text{ $\varphi^{-m}(x) \in L_m[[t]] \otimes_L \DdR(D)$ pour tout $m \geq n$} \}, $$ et $\mathbf{N}_{\mathrm{rig}}(D) = \varinjlim_n \mathbf{N}_{\rm rig}^{]0, r_n]}(D)$. Alors, $\Nrig(D)$ est un $(\varphi, \Gamma)$-module sur $\Robba$, de rang $d$, qui satisfait
\begin{itemize}
\item $\Nrig(D)[1/t] = D[1/t]. $
\item $\mathbf{D}_{\mathrm{dif}, n}^+(\Nrig(D)) = L_n[[t]] \otimes_L \mathbf{D}_{\mathrm{dR}}(D)$ pour tout $n \geq m(D)$.
\item $\nabla(\Nrig(D)) \subseteq t \Nrig(D).$
\end{itemize}
\end{proposition}

Le $(\varphi, \Gamma)$-module $\Nrig(D)$ ainsi obtenu est de Rham � poids de Hodge-Tate tous nuls. Remarquons que l'on peut reconstruire $D$, � partir de la donn�e de $\Nrig(D)$ et de la filtration de Hodge sur $\DdR(D)$, en utilisant la formule $$ D = \{ x \in \Nrig(D)[1/t] \; : \; \varphi^{-n}(x) \in \mathrm{Fil}^0(L_n((t)) \otimes_\qp \DdR(D)) \;\;\; \forall n \gg 0 \}. $$ Si les poids de Hodge-Tate de $D$ sont contenus dans $[a, b]$, on a des inclusions $t^{-a} D \subseteq \Nrig(D) \subseteq t^{-b} D$.

%Ceci implique en particulier que, si les poids de Hodge-Tate de $D$ sont n�gatifs (resp. positifs), alors $\DdR(D) = \mathrm{Fil}^0 \, \DdR(D)$ (resp. $\mathrm{Fil}^1 \, \DdR(D) = 0$), d'o� $L_m[[t]] \otimes_\qp \DdR(D) \subseteq \mathrm{Fil}^0(L_n((t)) \otimes_\qp \DdR(D))$ (resp. $\mathrm{Fil}^0(L_n((t)) \otimes_\qp \DdR(D)) \subseteq L_m[[t]] \otimes_\qp \DdR(D)$) et donc $\Nrig(D) \subseteq D$ (resp. $D \subseteq \Nrig(D)$). Plus g�n�ralement, si les poids de Hodge-Tate de $D$ sont contenus dans $[a, b]$, on a des inclusions $t^{-a} D \subseteq \Nrig(D) \subseteq t^{-b} D$. Par exemple, si $D$ est � poids de Hodge-Tate $1, k$, avec $k > 1$, on a $ D \subseteq t \Nrig(D) \subseteq t^{1 - k} D$.

La troisi�me propri�t� de la proposition \ref{Ndifprop} caract�risant $\Nrig(D)$ permet de d�finir un op�rateur diff�rentiel $$ \partial := \frac{1}{t} \nabla \colon \Nrig(D) \to \Nrig(D), $$ satisfaisant les identit�s $\partial \circ \varphi = p \; \varphi \circ \partial$ et $\partial \circ \sigma_a = a \; \sigma_a \circ \partial $. Si $D$ est un $(\varphi, \Gamma)$-module de de Rham sur $\Robba$, on notera $\Delta = \Nrig(D)$.

\subsubsection{Les anneaux de Fontaine}

Rappelons la construction des anneaux de Fontaine associ�s � une extension galoisienne finie $K$ de $\qp$. Notons $K_n = K F_n = K(\mu_{p^n})$, $n \geq 1$, $K_\infty = K F_\infty = \cup_{n \geq 1} K_n$, $K_0 = K \cap \mathbf{Q}_p^{\mathrm{nr}}$ la plus grande sous-extension de $K$ non ramifi�e et $K'_0$ la plus grande extension non ramifi�e de $K_0$ dans $K_\infty$. Notons $\mathscr{H}_K = \mathrm{Gal}(\overline{\Q}_p / K_\infty)$, $\Gamma_K = \mathrm{Gal}(K_\infty / K)$.

La th�orie du corps des normes (cf., par exemple, \cite{ColmezEV} ou \cite[\S I.2]{Berger08}) permet de construire des extensions �tales $\E_K^\dagger / \E_\qp^\dagger$ de degr� $[K_\infty: F_\infty]$, munies d'une action du Frobenius $\varphi$ et du groupe $\Gamma_K$. Plus pr�cis�ment, soit $\widetilde{\mathbf{E}} = \varprojlim_{x \mapsto x^p} \C_p = \C_p^\flat$ le corps bascul� de $\cp$. Il est un corps de caract�ristique $p$, alg�briquement clos et muni d'une valuation $v_\mathrm{E}(x) = v_p(x^{(0)})$ pour laquelle il est complet. Notons $1 \neq \epsilon = (1, \epsilon^{(1)}, \hdots) \in \widetilde{\mathbf{E}}$, et $\widetilde{\mathbf{E}}^+$ l'anneau des entiers de $\widetilde{\Ebf}$, qui s'identifie � la limite projective $\varprojlim_{x \mapsto x^p} \mathscr{O}_{\C_p} / \mathfrak{a}$ pour n'importe quel id�al $\mathfrak{a} \subseteq \mathscr{O}_{\C_p}$ contenant $p$ et diff�rent de l'id�al maximal de $\mathscr{O}_{\C_p}$. Soient $\mathbf{E}_\qp = \F_p((\epsilon - 1))$ et $\mathbf{E}$ la cl�ture s�parable de $\mathbf{E}_\qp$ dans $\widetilde{\mathbf{E}}$. La th�orie du corps des normes permet aussi de montrer que $\mathrm{Gal}(\mathbf{E} / \mathbf{E}_\qp) \cong \mathscr{H}_\qp$. Si $K / \qp$ est une extension finie galoisienne de $\qp$, on pose $\mathbf{E}_K = \mathbf{E}^{\mathscr{H}_K}$. On dispose d'une application bien d�finie et injective $\varprojlim_{x \mapsto N_{K_n / K_{n-1}}(x)} \mathscr{O}_{K_n} \to \widetilde{\mathbf{E}}^+$ d'image l'anneau des entiers $\mathbf{E}_K^+$ de $\mathbf{E}_K$, qui fournit une uniformisante $\overline{\pi}_K$ de l'extension $\mathbf{E}_K / \mathbf{E}_\qp$ (l'image d'un syst�me compatible $(\omega_n)_{n \in \N}$ o� $\omega_n$ est une uniformisante de $K_n$ pour $n$ assez grand). Soit $\overline{P}(X) = X^{d_{K_\infty}} + \overline{a}_{{d_{K_\infty}} - 1} X^{d_{K_\infty} - 1} + \hdots + \overline{a}_0 \in \mathbf{E}_\qp[X]$, o� $d_{K_\infty} = [K_\infty : F_\infty]$ et $\overline{a}_i \in \mathbf{E}_\qp$, le polyn�me minimal de $\overline{\pi}_K$ sur $\mathbf{E}_\qp$. Enfin, si $P \in \zp[[T]][X]$ est tel que sa r�duction modulo $p$ �valu�e en $T = \epsilon - 1$ est $\overline{P}(X)$, alors $\E^\dagger_K = \E^\dagger_\qp [X] / P(X)$ et on note $\pi_K$ l'image de $X$ dans ce quotient, dont la r�duction modulo $p$ est $\overline{\pi}_K$.

L'anneau $\E_K^\dagger$ s'identifie � l'anneau des s�ries formelles $f(T_K) = \sum_{k \in \Z} a_k T_K^k$, $a_k \in K'_0$, � coefficients born�s, qui convergent sur une couronne $0 < v_p(T_K) \leq r$ pour un $r$ assez petit (qui d�pend de $f$). On peut de la sorte d�finir les anneau $\E_K^{[r, s]}$, qui s'identifient � l'espace des s�ries de Laurent � coefficients dans $K'_0$, convergentes sur la couronne $C_{[r / e, s / e]} = \{ z \in \cp: \; r / e \leq v_p(z) \leq s / e \}$, o� $e$ d�note l'indice de ramification de l'extension $K_\infty / F_\infty$, muni de la norme spectrale $v^{[r, s]}$, ainsi que $\E^{]0, s]}_K$, $\E^{\dagger, r}_K$, etc. En compl�tant $\E^\dagger_K$ pour la famille de normes $v^{[r,s]}$, on obtient une extension �tale $\Robba_K / \Robba_\qp$ et on a $$ \mathrm{Gal}(\Robba_K / \Robba_\qp) = \mathrm{Gal}(\E^\dagger_K / \E^\dagger_\qp) = \mathrm{Gal}(K_\infty / F_\infty). $$

On a un op�rateur de d�rivation $\partial$ agissant sur $\Robba_K$: si $K / \qp$ est une extension non ramifi�e, on a $T_K = T$ et $\partial f(T) = (1 + T) f'(T)$ pour $f(T) \in \Robba_K$; si $K / \qp$ est ramifi�e et $P \in \zp[[T]][X]$ d�note le polyn�me minimal de $T_K \in \E^\dagger_K$ sur $\E^\dagger_\qp$ comme ci-dessus, l'identit� $P(T_K) = 0$ et le fait que $\partial$ est une d�rivation donnent la formule \[ \partial  T_K = - P'(T_K)^{-1} (\partial  P)(T_K), \] o�, si $P = \sum f_i X^i \in \zp[[T]][X]$, $\partial P = \sum \partial f_i \cdot X^i$.

Enfin, soit $\ell_T = \log (T)$ une variable formelle et �tendons les actions $\varphi$ et $\Gamma_K$ sur $\Robba_K$ � des actions sur $\Robba_K[\ell_T]$ par les formules $$ \varphi(\ell_T) = p \ell_T + \log (\varphi(T) / T^p), \;\;\; \gamma(\ell_T) = \ell_T + \log (\gamma(T) / T). $$ La d�rivation $\partial$ agit sur $\ell_T$ par $\partial \ell_T = T^{-1} \partial T = 1 + T^{-1}$. On d�finit un op�rateur de monodromie sur $\Robba_K[\ell_T]$ comme la d�rivation $\Robba_K$-lin�aire $N$ telle que $N(\ell_T) = -p / (p - 1)$.

%On aura besoin de quelques r�sultats classiques sur ces anneaux.

\subsubsection{Th�or�me de monodromie $p$-adique et surconvergence}

Soit \[ \mathfrak{d}_{\Ebf_K / \Ebf_\qp} \subseteq \Ebf_K \] la diff�rente de l'extension $\Ebf_K / \Ebf_\qp$ et posons $\delta_K = d_{K_\infty} \cdot v_\Ebf(\mathfrak{d}_{\Ebf_K / \Ebf_\qp}) \in \N$, o� $d_{K_\infty} = [\Ebf_K : \Ebf_\qp] = [K_\infty: F_\infty]$ comme plus haut. Rappelons (cf. \cite[Prop. 4.12]{ColmezEV}) que, si $c(K)$ d�note le conducteur de $K$ \footnote{Le conducteur de $K$ est la borne inf�rieure de l'ensemble des $t$ tels que le groupe de ramification sup�rieure $\mathscr{G}_\qp^{(t)}$ agit trivialement sur $K$.} et $n \geq c(K) + 1$ est un entier, alors $[K_n:F_n] = d_{K_\infty}$ et $\delta_K = d_{K_\infty} p^n v_p(\mathfrak{d}_{K_n / F_n})$. En particulier, si $K$ a suffisamment de racines de l'unit�, dans la terminologie de \cite{CN}, alors $v_K = [K:\qp] v_p(\mathfrak{d}_{K/\qp})$. On aura besoin des faits suivants:

\begin{lemme} [{\cite[Lem. 2.17]{CN}}] \label{CN} Si $s < (\delta_K + 1)^{-1}$, alors $\partial T_K \in T^{-\delta_K} \mathscr{O}_{\E^{\dagger, s}_K}^\times$ et on a $v^{[r, s]}(\partial T_K) \geq -1$ pour tout $0 < r < s$.
\end{lemme}

%\begin{proof}
%Soit $F'$ l'extension maximale non-ramifi�e de $\qp$ dans $K_\infty$ et soient $Q(X) = \sum_{i = 0}^e a_i X^i \in \mathscr{O}_{F'}[[T]][X]$ le polyn�me minimal de $T_K$ sur $\E_{F'}^\dagger$ et $\overline{Q}(X) = \sum_{i = 0}^e \overline{a}_i X^i \in \F_p[[\epsilon - 1]][X] \subseteq \Ebf_\qp[X]$ sa r�duction modulo $p$, qui est par construction le polyn�me minimal de $\pi_K$ sur $\Ebf_{F'}$. C'est un polyn�me d'Eisenstein de d�gr�e $e = e(K_\infty / F_\infty)$. Notons aussi $f = f(F_\infty / F_\infty)$. Comme $v_\Ebf(\overline{a}_i) \in \N$ pour tout $i$ et $v_\Ebf(\pi_K) = 1 / e$, la valuation de chaque terme de $\overline{Q}'(\pi)$ et on a $$ v_{\mathbf{E}}(\mathfrak{d}_{\Ebf_K / \Ebf_\qp}) = v_{\Ebf}(\overline{Q}'(\pi_K)) = \inf_{(i,p) = 1} \{ v_\Ebf (\overline{a}_i) + \frac{i - 1}{e} \}. $$ Soit $i_0$ tel que $\delta_K = v_\Ebf (\overline{a}_{i_0}) + \frac{i_0 - 1}{e}$. On a donc, pour $i < i_0$, $v_\Ebf (\overline{a}_i) >  \delta_K - \frac{i - 1}{e} $. Ceci implique que, pour $c > 0$ assez petit, le polyn�me $\overline{P}'(X)$ est congru � $\alpha X^{i_0}$ modulo l'id�al $(\{ x \in \Ebf: v_\Ebf(x) > \delta_K - \frac{i_0 - 1}{e}  + c\}, X^{i_0 + 1})$, pour $\alpha$ une unit� dans $\Ebf_\qp^+$.
%
%On en d�duit que $T_K^{-i_0} Q'(T_K)$ est un �l�ment inversible dans $\mathscr{O}_{F'}[[T_K, \frac{p^{c_0}}{T_K^{i_0}}]]$, o� on a not� $c_0 = \delta_K - \frac{i_0 - 1}{e}  + c$. Or, l'�l�ment $p^{c_0}T_K^{-i_0}$ appartient � $\mathscr{O}_{\R^{\dagger, r}_K}$ si et seulement si $\delta_K - \frac{i_0 - 1}{e}  + c \geq i_0 r$, ou bien, vu que $c$ est arbitrairement petit, $\delta_K - \frac{i_0 - 1}{e}  < i_0 r$, ce qui est vrai d�s que $r < \frac{\delta_K - 1}{e}$. Ceci finit la preuve du lemme.
%\end{proof}

%\begin{corollary} Soit $r < $. Alors $\partial \mathscr{O}_{\E^{\dagger, r}_K} \subseteq ??.$
%\end{corollary}

%\begin{lemme}
%L'�l�ment $\varphi(T_K)$ appartient � $\mathscr{O}_{\E_K^{\dagger, r}}$ pour tout $r < ... $.
%\end{lemme}
%
%\begin{proof}
%L'�l�ment $\varphi(T_K)$ est l'unique solution dans $\mathscr{O}_{\E^\dagger_K}$ congruente � $T_K^p$ modulo $p$ � l'�quation $\varphi Q (Z) = 0$, o� $\varphi Q$ est le polyn�me que l'on obtient en appliquant $\varphi$ aux coefficients de $Q$.
%
%On peut �crire $\varphi(T_K) = T_K^p + p U_1$ et le d�veloppement au premier ordre autour $T_K^p$ du polyn�me $\varphi Q$ donne $$ \varphi Q(T_K^p) + \varphi Q'(T_K^p) p U_1 \equiv 0 \text{ mod } p^2, $$ d'o� il existe $V_1 \in (\varphi Q')(T_K^p)^{-1} \mathscr{O}_{\Ebf_K}$ tel que $V_1 \equiv U_1$ modulo $p$.
%
%�crivons donc $\varphi(T_K) = T_K + p V_1 + p^2 U_2$. Un autre d�veloppement autour $T_K^p$ (d'ordre $1$ et autour $T_K^p + p V_1$) donne $ \varphi Q(T_K + p V_1) + \varphi Q'(T_K^p + p V_1) p^2 U_2 \equiv 0 \text{ mod } p^3 $ et, comme $\varphi Q'(T_K^p + p V_1) \equiv \varphi Q'(T_K^p)$ mod $p$, on en d�duit $$ \varphi Q(T_K + p V_1) + \varphi Q'(T_K^p) p^2 U_2 \equiv 0 \text{ mod } p^3. $$ Comme $\varphi Q(T_K + p V_1) \in p^2 (\varphi Q')(T_K^p)^{-2} \mathscr{O}_{\Ebf_K}$ , il existe $V_2 \in (\varphi Q')(T_K^p)^{-3} \mathscr{O}_{\Ebf_K}$ tel que $V_2 \equiv U_2$ mod $p$.
%
%On peut donc �crire $\varphi(T_K) = T_K^p + p V_1 + p^2 V_2 + p^3 U_3$ et on montre par r�currence que $\varphi(T_K) = T_K^p + \sum_{i \geq 1} p^i V_i$ avec $V_i \in (\varphi Q')(T_K^p)^{- 2i - 1} \mathscr{O}_{\Ebf_K}$.
%
%Enfin, le m�me raisonement que dans le lemme \ref{stabpartial} montre que $\varphi Q'(T_K^p)^{-1}$ est une unit� dans $\mathscr{O}_{F'}[[T_K, ]]$ et a fortiori il l'est aussi dans $\mathscr{O}_{F'}[[T_K, ]] \subseteq \mathscr{O}_{\E^{\dagger, r}_K}$ pour tout $r < $, ce qui permet de conclure. 
%\end{proof}

Soit $D \in \Phi \Gamma(\Robba)$ de Rham et notons $\Delta = \Nrig(D)$. D'apr�s le th�or�me de monodromie $p$-adique (cf. \cite[Thm. III.2.1]{Berger08}), il existe une extension galoisienne finie $K$ de $\qp$ tel que l'on a un isomorphisme $$ \Robba_K[\ell_T] \otimes_{K_0} (\Robba_K[\ell_T] \otimes_{\Robba} \Delta)^{\Gamma_K} \cong \Robba_K[\ell_T] \otimes_{\Robba} \Delta. $$ On note \[ D_{\mathrm{pst}} = (\Robba_K[\ell_T] \otimes_{\Robba} \Delta)^{\Gamma_K} \] l'espace des $\Gamma_K$-solutions de $\Delta$. C'est un $(\varphi, N, \mathrm{Gal}(K / \qp))$-module filtr� (la filtration d�pend de la donn�e de $D$). Le r�sultat suivant permet de reconstruire $\Delta$ � partir de $D_{\rm pst}$. 

\begin{proposition}[{\cite[Thm. III.2.1, Thm. C]{Berger08}}] \label{monodrom} Soient $D$ et $D_{\mathrm{pst}}$ comme ci-dessus. Si $K$ est une extension galoisienne finie de $\qp$ telle que $\mathscr{G}_\qp$ agit sur $D_{\rm pst}$ � travers $\mathrm{Gal}(K / \qp)$, alors $$ \Delta = (\Robba_K[\ell_T] \otimes_{K_0} D_{\mathrm{pst}})^{\mathrm{Gal}(K_\infty / F_\infty), N = 0}, $$ le groupe $\mathrm{Gal}(K_\infty / F_\infty)$ agissant sur $D_{\mathrm{pst}}$ � travers $\mathrm{Gal}(K / (K \cap F_\infty)) \subseteq \mathrm{Gal}(K / \qp)$, et sur $\Robba_K$ � travers $\mathrm{Gal}(K_\infty / F_\infty) = \mathrm{Gal}(\Robba_K / \Robba_\qp)$ (il agit trivialement sur l'�l�ment $\ell_T$).
\end{proposition}

On r�cup�re l'action de $\Gamma$ via l'action r�siduelle du groupe $\Gamma_K$ sur le module $\Delta$, l'action de $\varphi$ via son action (diagonale) sur le produit tensoriel et l'action de l'op�rateur $\partial$ � travers celle sur $\Robba_K[l_K]$. Le lemme suivant sera tr�s utile pour nos constructions futures.

\begin{lemme} \label{lemme11}
Il existe, pour tout  $0 < s < (\delta_K + 1)^{-1} $, des sous-$\E_\qp^{]0, s]}$-modules $\Delta^{]0, s]}$ de $\Delta$, munis d'une famille de valuations $(v^{[r, s]})_{0 < r < s}$, satisfaisant les conditions du lemme \ref{subm1}, et de sorte que, pour tout $0 < r < s$, la norme $v^{[r, s]}$ de l'op�rateur $\partial$ sur $\Delta^{]0, s]}$ soit $\geq - s - 1$.
\end{lemme}

\begin{proof}
D�barrassons-nous d'abord de l'op�rateur $N$. Le module $M = K_0[\ell_T] \otimes_{K_0} D_{\rm pst}$ est un $K_0[\ell_T]$-module libre de rang $d$ muni d'une action de $G = \mathrm{Gal}(K_\infty / F_\infty)$ (agissant sur le facteur de droite) et de $N$ (agissant diagonalement) et on affirme qu'il contient un syst�me libre de g�n�rateurs $w_1, \hdots, w_d$ tu�s par $N$. En effet, notons $\alpha = - \frac{p}{p-1}$ la valeur de $N$ sur $\ell_T$ et posons, pour $v_1, \hdots, v_d$ une base quelconque de $D_{\rm pst}$, \[ w_i = \sum_{k = 0}^{+\infty} (-1)^k \frac{\alpha^{-k}}{k!} \ell_T^k \otimes N^k v_i , \;\;\; 1 \leq i \leq d, \] chaque somme �tant une somme finie car $N$ est nilpotent. Alors les $w_i$ sont par construction tu�s par $N$ et ils forment un syst�me libre de g�n�rateurs de $M$, car l'op�rateur $ \sum_{k = 0}^{+\infty} (-1)^k \frac{\alpha^{-k}}{k!} \ell_T^k \otimes N^k$ est inversible, $N$ �tant nilpotent. Le module $W = (K_0[\ell_T] \otimes D_{\rm pst})^{N = 0}$ est donc un $(K_0[\ell_T])^{N = 0} = K_0$-espace vectoriel de dimension $d$, muni d'une action de $G$, et on a \[ K_0[\ell_T] \otimes_{K_0} W = K_0[\ell_T]  \otimes_{K_0} D_{\rm pst}. \]

Soit $v_1, \hdots, v_d$ une base de $D_{\rm pst}$ de sorte que la matrice de l'op�rateur $N$ soit � coefficients entiers \footnote{Ceci est possible gr�ce au fait que $N$ est nilpotent: si $v_1, \hdots, v_d$ est une base de $D_{\rm pst}$ de sorte que la matrice de $N$ soit triangulaire sup�rieure avec des z�ros sous la diagonale, alors on peut choisir des entiers $0 < n_2 < n_3 < \hdots < n_d$ de sorte que la matrice de $N$ dans la base $v_1, p^{n_2} v_2, \hdots, p^{n_d} v_d$ soit � coefficients entiers comme on voulait.}, et soient $w_1, \hdots, w_d$ les �l�ments associ�s � cette base formant une base de $W$ fournis par le paragraphe pr�c�dent. Posons, pour $0 < s < (\delta_K + 1)^{-1}$,  \[ \Delta^{]0, s]} = (\E_K^{]0, s]} \otimes W)^G \subseteq \E_K^{]0, s]} \otimes W \subseteq \Robba_K \otimes W. \]

On a $G \cong \mathrm{Gal}(\Robba_K / \Robba_\qp)$, et le th�or�me de Hilbert $90$ implique que $H^1(G, \mathrm{GL}_d(\Robba_K)) = 1$. Le module $W$ est donc $\Robba_K$-admissible au sens de Fontaine et on a un isomorphisme $$ \Robba_K \otimes_{\Robba_{\qp}} (\Robba_K \otimes_{K_0} W)^G \cong \Robba_K \otimes_{K_0} W, $$ induit par $f \otimes (g \otimes x) \mapsto f g \otimes x$, de $\Robba_K$-modules topologiques de rang $d$ munis d'une action de $G$. Cet isomorphisme est en outre compatible avec les structures pr�sentes sur $\Robba_K$. Cela veut dire en particulier que le $\Robba_\qp$-module $(\Robba_K \otimes_{K_0} W)^G$ est de dimension $d$.

Si $s < (\delta_K + 1)^{-1}$, alors $\Robba_K = \Robba_\qp \otimes_{\E^{]0, s]}_\qp} \E_K^{]0, s]}$ \footnote{Comme on le voit, par exemple, en notant que, si $s < (\delta_K + 1)^{-1}$, $\E_K^{]0, s]}$ est un $\E_\qp^{]0, s]}$-module libre de rang $d_{K_\infty}$, dont une base est form�e par $1, T_K, \hdots, T^{d_{K_\infty} - 1}$, et donc $\Robba_\qp \otimes_{\E^{]0, s]}_\qp} \E_K^{]0, s]} = \oplus_i \Robba_\qp \otimes_{\E^{]0, s]}_\qp} \E_\qp^{]0, s]} \cdot T_K^i = \oplus_i \Robba_\qp \cdot T_K^i = \Robba_K$. }, d'o� \[ (\Robba_K \otimes_{K_0} W)^G = (\Robba_\qp \otimes_{\E^{]0, s]}_\qp} \E_K^{]0, s]} \otimes_{K_0} W)^G = \Robba_\qp \otimes_{\E^{]0, s]}_\qp} (\E_K^{]0, s]} \otimes_{K_0} W)^G, \] ce qui montre que \[ \Delta = \Robba \otimes_{\E^{]0, s]}} \Delta^{]0, s]}. \] De plus, le fait que $\E_K^{]0, s/p]} \otimes_{\E_K^{]0, s]}} \varphi(\E_K^{]0, s]}) = \E_K^{]0, s/p]}$ et les formules pour l'action de $\varphi$ sur $\ell_T$ montrent que la deuxi�me condition du lemme \ref{subm1} est satisfaite.

Les modules $\E_K^{]0, s]} \otimes W$ sont des $\E^{]0, s]}_\qp$-modules libres, dont une base est donn�e par les �l�ments $(T_K^i \otimes w_j)_{0 \leq i \leq d_\infty, 1 \leq j \leq d}$, et ils sont munis d'une famille $(v^{[r, s]})_{0 < r < s}$ de valuations d�finies par \[ v^{[r, s]}(\sum_{i, j} f_{ij} \cdot T_k^i \otimes w_j) = \inf_{i, j} v^{[r, s]}(f_{ij}) \;\;\; (f_{ij} \in \E_\qp^{]0, s]}). \]

Calculons la norme de l'op�rateur $\partial$ sur la base d�crite ci-dessus pour une de ces valuations. On a $\partial(\ell_T) = 1 + T^{-1}$ et donc
\begin{eqnarray*}
\partial(w_i) &=& \partial( \sum_{k = 0}^{+\infty} (-1)^k \frac{\alpha^{-k}}{k!} \ell_T^k \otimes N^k v_i) \\
&=& (1 + T^{-1}) \sum_{k = 1}^{+\infty} (-1)^k \frac{\alpha^{-k}}{(k-1)!} \ell_T^{k-1} \otimes N^k v_i \\
&=& - \alpha^{-1} (1 + T^{-1}) \sum_{k = 0}^{+\infty} (-1)^k \frac{\alpha^{-k}}{k!} \ell_T^k \otimes N^k (N v_i) \\
&=& \sum_{l = 1}^d - a_l \alpha^{-1} (1 + T^{-1}) \sum_{k = 0}^{+\infty} (-1)^k \frac{\alpha^{-k}}{k!} \ell_T^k \otimes N^k v_l \\
&=& \sum_{l = 1}^d - a_l \alpha^{-1} (1 + T^{-1}) w_l, \\
\end{eqnarray*}
o� $N v_i = \sum_{l = 1}^d a_l \cdot v_l$, avec $v_p(a_l) \geq 0$ pour tout $l$, par le choix de la base $v_1, \hdots, v_d$ de $D_{\rm pst}$. On en d�duit que, si $A$ d�note l'anneau des entiers de $K_0$ et $W_0$ d�note le $A$-module engendr� par les �l�ments $w_1, \hdots, w_d$, alors (rappelons que $\alpha = - \frac{p}{ p - 1}$) \[ \partial(W_0) \subseteq p^{-1} (1 + T^{-1})\cdot W_0. \] On en d�duit
% \begin{eqnarray*}
% v^{[r, s]}(\partial(T_K^i \otimes w_j)) &=& v^{[r, s]}( i \partial(T_K) T_K^{i-1} \otimes \partial w_j) \\
% &\geq & v^{[r, s]}(\partial(T_K) T^{-1} p^{-1}) \\
% & \geq & - s - 2.
% \end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*}
v^{[r, s]}(\partial(T_K^i \otimes w_j)) &=& v^{[r, s]}( i \partial(T_K) T_K^{i-1} \otimes w_j + T_K^{i} \otimes \partial w_j) \\
&\geq & \inf\{ v^{[r, s]}( i \partial(T_K) T_K^{i-1} \otimes w_j), v^{[r, s]}(p^{-1} (1 + T^{-1})) \} \\
&\geq & \inf\{ -1 , -1 - s \} \\
& = & - s - 1,
\end{eqnarray*}
o� dans la premi�re �galit� on a utilis� la d�finition de $\partial$, dans la deuxi�me l'in�galit� triangulaire et l'inclusion $\partial(W_0) \subseteq p^{-1} (1 + T^{-1})\cdot W_0$ et dans la troisi�me l'estimation du lemme \ref{CN} et le fait que $ v^{[r, s]}(p^{-1} (1 + T^{-1})) = -1 - s$.

Vu que l'on a born� la norme de l'op�rateur $\partial$ sur une base de $\E_K^{]0, s]} \otimes W$, un petit calcul montre que \[ v^{[r, s]}(\partial z) \geq v^{[r, s]}(z) - s - 1 \] pour tout $z \in \E_K^{]0, s]} \otimes W$. En effet, �crivons $z = \sum_{i, j} f_{ij} \cdot T_k^i \otimes w_j$, $f_{ij} \in \E^{]0, s]}_\qp$,  de sorte que $\partial(z) = \sum_{i, j} \partial f_{ij} \cdot T_k^i \otimes w_j + f_{ij} \cdot \partial(T_k^i \otimes w_j)$. On a alors
 \begin{align*}
  v^{[r, s]}(\partial z) &\geq \inf \big\{ v^{[r, s]}(\sum_{ij} (\partial f_{ij}) (T_K^i \otimes w_j)), v^{[r, s]}( \sum_{ij} f_{ij} \partial(T_K^i \otimes w_j)) \big\} \\
  &= \inf \big\{ \inf_{ij} v^{[r, s]}(\partial f_{ij}), v^{[r, s]}( \sum_{ij} f_{ij} \partial(T_K^i \otimes w_j)) \big\} \\
  &\geq \inf \big\{ \inf_{ij} v^{[r, s]}(f_{ij}) - s, \inf_{ij} v^{[r, s]}( f_{ij}) - s - 1 \big\} \\
  &= \inf_{ij} v^{[r, s]}(f_{ij}) - s - 1 = v^{[r, s]}(z) - s - 1,
 \end{align*}
 o� la premi�re ligne suit de l'in�galit� triangulaire, la deuxi�me suit de la d�finition de $v^{[r, s]}$ sur $\E_K^{]0, s]} \otimes W$, la troisi�me de l'in�galit� (sur $\E^{]0, s]}_\qp$) $v^{[r, s]}(\partial f_{ij}) \geq v^{[r, s]}(f_{ij}) - s$ et du calcul du paragraphe pr�c�dent et la derni�re suit en appliquant la d�finition de $v^{[r, s]}$ une autre fois.
 
 Enfin, $\Delta^{]0, s]} \subseteq \E_K^{]0, s]} \otimes W$ est stable par $\partial$, il est muni par restriction d'une famille de valuations $v^{[r, s]}$ et, par ce qui pr�c�de, la norme $v^{[r, s]}$ de $\partial$ agissant sur $\Delta^{]0, s]}$ est born�e par $-s - 1$, ce qui permet de conclure.



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%Ensuite, on a $\mathrm{Gal}(\E_K^\dagger / \E_\qp^\dagger) \cong G$ et le th�or�me de Hilbert $90$ implique $H^1(G, \mathrm{GL}_d(\E_K^\dagger)) = 1$. Le module $W$ est donc $\E^\dagger_K$-admissible au sens de Fontaine et on a un isomorphisme $$ \E_K^\dagger \otimes_{\E_{\qp}^\dagger} (\E_K^\dagger \otimes_{K_0} W)^G \cong \E_K^\dagger \otimes_{K_0} W $$ de $\E_K^\dagger$-modules topologiques de rang $d$ munis d'une action de $G$, induit par $f \otimes (g \otimes x) \mapsto f g \otimes x$ et l'isomorphisme est compatible avec les structures pr�sentes sur $\Robba_K$ stabilisant $\E_K^\dagger \subseteq \Robba_K$. Cela veut dire que le $\E_K^\dagger$-espace vectoriel $\E_K^\dagger \otimes_{K_0} W$ (de dimension $d$) contient une base fixe par $G$.
%
%Soit $A = \mathscr{O}_{K_0}$ l'anneau des entiers de $K_0$ et soit $W^+ \subseteq W$ un $A$-r�seau stable par $G$ (qui existe car $G$ est un groupe fini). Si $r < (\delta_K + 1)^{-1}$, on a (\textbf{r�f�rence??}) $\E^\dagger_K = \E^\dagger \otimes_{\mathscr{O}_{\E^{\dagger, r}}} \mathscr{O}_{\E^{\dagger, r}_K}$, d'o� \[ (\E_K^\dagger \otimes_A W^+)^G = (\E^\dagger \otimes_{\mathscr{O}_{\E^{\dagger, r}}} \mathscr{O}_{\E^{\dagger, r}_K} \otimes_A W^+)^G = \E^\dagger \otimes_{\mathscr{O}_{\E^{\dagger, r}}} (\mathscr{O}_{\E^{\dagger, r}_K} \otimes_A W^+)^G \] et on peut donc trouver dans $(\mathscr{O}_{\E^{\dagger, r}_K} \otimes_{A} W^+)$ un syst�me libre de g�n�rateurs du $\E^\dagger_K$-module  fixes par $G$. Posons $$ \Delta^{\dagger, r} = (\mathscr{O}_{\E^{\dagger, r}_K} \otimes_{A} W^+)^G $$ qui, d'apr�s les deux paragraphes pr�c�dents, est un $\mathscr{O}_{\E_\qp^{\dagger, r}}$-r�seau du $\E^\dagger_K[\ell_T]$-module (libre de rang $d$) $\E^\dagger_K[\ell_T] \otimes_{K_0} D_{\rm pst}$, c'est-�-dire, tel que $$ \E_K^\dagger[\ell_T] \otimes_{\mathscr{O}_{\E_\qp^{\dagger, r}}} \Delta^{\dagger, r} = \E_K^\dagger[\ell_T] \otimes_{K_0} D_{\rm pst}. $$ 
%
%Par le th�or�me de monodromie $p$-adique on a
%\begin{eqnarray*}
%\Delta &=& (\Robba_K[\ell_T] \otimes_{K_0} D_{\mathrm{pst}})^{G, N = 0} = (\Robba_K[\ell_T] \otimes_{\E_K^{\dagger}[\ell_T]} (\E_K^{\dagger}[\ell_T] \otimes_{K_0} D_{\mathrm{pst}}))^{G, N = 0} \\
%&=& (\Robba_K[\ell_T] \otimes_{\E_K^{\dagger}[\ell_T]} (\E_K^\dagger[\ell_T] \otimes_{\mathscr{O}_{\E_\qp^{\dagger, r}}} \Delta^{\dagger, r}))^{G, N = 0} \\
%&=& (\Robba_K[\ell_T] \otimes_{\mathscr{O}_{\E_\qp^{\dagger, r}}} \Delta^{\dagger, r})^{G, N = 0} = \Robba_\qp \otimes_{\mathscr{O}_{\E_\qp^{\dagger, r}}}  \Delta^{\dagger, r}.
%\end{eqnarray*}
%
%Enfin, il reste � montrer la derni�re affirmation. Pour ce faire, il faut montrer que, si $f(T_K) \in \mathscr{O}_{\E_K^{\dagger, r}}$, alors $\partial f(T_K) \in P'(T_K)^{-1} \cdot \mathscr{O}_{\E_K^{\dagger, r}}$. Or, si on �crit formellement $f(X) = \sum_{n \in \Z} a_n X^n$, $f'(X) = \sum_{n \in \Z} a_n n X^n$, on a $\partial f(T_K) = \partial T_K \cdot f'(T_K) = - P'(T_K)^{-1} \cdot (\partial P)(T_K) \cdot f'(T_K) $, ce qui permet de conclure car $(\partial P)(T_K), f'(T_K) \in \mathscr{O}_{\E_K^{\dagger, r}}$.
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%Voici une esquisse d'un autre argument qui donne � la fois le r�sultat et la majoration des coefficients de $\partial$ dans la base $G$-invariante et tu�e par $N$. Comme pr�c�demment, on trouve d'abord une base de $K_0[\ell_T] \otimes D_{\rm pst}$ tu�e par $N$ et on pose $W = (K_0[\ell_T] \otimes D_{\rm pst})^{N = 0}$, qui est une repr�sentation de $G$ et se d�compose non-canoniquement comme somme de repr�sentations irr�ductibles $M$ de $G$ (avec multiplicit�). Il suffit de montrer le r�sultat pour chaque sous-repr�sentation irr�ductible $M$ de $W$.
%
%Soit $\mathrm{Reg} = \mathrm{Hom}(G, K_0)$ la repr�sentation r�guli�re de $G$ et choisissons une injection de $M$ dans $\mathrm{Reg}$. On affirme qu'il suffit de montrer le r�sultat pour la repr�sentation r�guli�re. En effet, supposons qu'il existe un syst�me libre de g�n�rateurs $f_1, \hdots, f_N$ de $\E^{\dagger, r}_K \otimes \mathrm{Reg}$ fix�e par $G$ et dont la matrice de $\partial$ est � coefficients born�s par une certaine valeur $C$. L'inclusion du sous-module $\E_K^{\dagger, r} \otimes_{K_0} M$ dans $\E^{\dagger, r}_K \otimes \mathrm{Reg}$ est scind�e et on peut construite une projection au niveau de $G$ repr�sentations, c'est-�-dire � coefficients dans $K_0$. Alors, en appliquant cette projection au syst�me $f_1, \hdots, f_N$ ci-dessus, on obtient un syst�me de g�n�rateurs de $\E^{\dagger, r}_K \otimes \mathrm{Reg}$ qui ont le m�me rayon de convergence que les $f_N$ et tel que les coefficeints de la matrice de $\partial$ sont aussi born�s par $C$.
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%\begin{eqnarray*}
%\Delta &=& (\Robba_K[\ell_T] \otimes_{K_0} D_{\mathrm{pst}})^{G, N = 0} = (\Robba_K[\ell_T] \otimes_{K_0[\ell_T]} ( K_0[\ell_T] \otimes_{K_0} D_{\mathrm{pst}}))^{G, N = 0} \\
%&=& (\Robba_K[\ell_T] \otimes_{K_0[\ell_T]} ( K_0[\ell_T] \otimes_{K_0} W))^{G, N = 0} = (\Robba_K[\ell_T] \otimes_{K_0} W)^{G, N = 0} = (\Robba_K \otimes_{K_0} W)^{G}\\
%&=& (\Robba_K \otimes_{\E^{\dagger, r}_K} ( \E^{\dagger, r}_K \otimes_{K_0} W))^G =  (\Robba_K \otimes_{\E^{\dagger, r}} \Delta^{\dagger, r} )^G \\
%&=& \Robba \otimes_{\E^{\dagger, r}} \Delta^{\dagger, r}.
%\end{eqnarray*}


%La stabilit� par $\varphi, \Gamma, N$ et $G$ sont des �vidences (pour $\varphi$ et $\Gamma$, presque tous les coefficients des s�ries d�finissant leur actions sont des entiers). Les formules $\partial  T_K = P'(T_K)^{-1} (\partial  P)(T_K)$, $\partial \ell_T = T_K^{-1} \partial T_K$ permettent de se ramener � montrer la stabilit� de $\E_\qp \subseteq \Robba_\qp$ par $\partial$. La stabilit� de $\E$ par $\partial$ suit par continuit� de $\partial$ et la formule $\partial (1 + T)^i = i! (1 + T)^i$, ce qui montre la stabilit� par $\partial$ du sous module dense $\qp[T][T^{-1}] \subseteq \E^\dagger$.

% i.e $\E_K^\dagger \otimes_{K_0} D_{\mathrm{pst}} \cong (\E^\dagger_K)^d$ comme $G$-modules. En particulier, il est $\Robba_K$-admissible et on a $$ (\Robba_K \otimes_{K_0} D_{\mathrm{pst}})^G \cong \Robba^d \cong \Robba \otimes_{\E^\dagger} (\E^\dagger)^d \cong \Robba \otimes_{\E^\dagger} (\E_K^\dagger \otimes_{K_0} D_{\mathrm{pst}})^G, $$ ce qui permet de conclure en posant $\Delta^\dagger = (\E_K^\dagger \otimes_{K_0} D_{\mathrm{pst}})^G$.

%Cela revient � montrer que $(\Robba_K^{\psi = 0} \otimes_{K_0} D_{\mathrm{pst}})^{\mathrm{Gal}(K_\infty / F_\infty)} = \Robba^{\psi = 0} \otimes_{(\E^\dagger)^{\psi = 0}} ((\E^\dagger_K)^{\psi = 0} \otimes_{K_0} D_{\mathrm{pst}})^{\mathrm{Gal}(K_\infty / F_\infty)}$, o� on pose $\Delta^{\dagger, \psi = 0} = ((\E^\dagger_K)^{\psi = 0} \otimes_{K_0} D_{\mathrm{pst}})^{\mathrm{Gal}(K_\infty / F_\infty)}$.
%
%Soit $G = \mathrm{Gal}(K_\infty \ F_\infty)$. Il s'agit de montrer que l'application $H^1(G, \mathrm{GL}_d((\E^\dagger)^{\psi = 0})) \to H^1(G, \mathrm{GL}_d(\Robba^{\psi = 0}))$ est injective. Si $K = F$ (i.e si $G$ est le groupe trivial) alors il n'y a rien � dire. Supposons que $G \neq 1$ et soit $\sigma \mapsto c_\sigma \in H^1(G, \mathrm{GL}_d((\E^\dagger)^{\psi = 0}))$ un cocycle qui devient trivial sur $H^1(G, \mathrm{GL}_d(\Robba^{\psi = 0}))$. Il existe $b \in \mathrm{GL}_d(\Robba^{\psi = 0})$ tel que $c_\sigma = (\sigma - 1) b$ ($\sigma$ agit sur chaque coefficient). Mais $(sigma - 1)$ est inversible sur $\Robba^{\psi = 0}$ (ainsi que sur $(\E^\dagger)^{\psi = 0})$ et donc $b = (\sigma - 1)^{-1} c_\sigma \in (\E^\dagger)^{\psi = 0}$ et donc le cocycle est trivial sur $H^1(G, \mathrm{GL}_d((\E^\dagger)^{\psi = 0}))$.
\end{proof}

\begin{remarque} \leavevmode
\begin{itemize}
\item Si $0 < r < s < (\delta_K + 1)^{-1}$, les modules \[ \Delta^{[r, s]} = \E_\qp^{[r, s]} \otimes_{\E_\qp^{]0, s]}} \Delta^{]0, s]} = (\E_K^{[r, s]} \otimes W)^G, \] compl�t�s de $\Delta^{]0, s]}$ pour la valuation $v^{[r, s]}$, sont des $\E^{[r, s]}$-modules de rang $d$, munis de la valuation $v^{[r, s]}$ pour les quelles la norme de $\partial$ est $\geq -s - 1$. On a \[ \Delta = \varinjlim_{s > 0} \varprojlim_{0 < r < s} \Delta^{[r, s]}. \]
\item Le lemme \ref{lemme11} ci-dessus montre que le rayon de surconvergence du module $\Delta$ peut �tre major� en termes du conducteur de la plus petite extension galoisienne $K / \qp$ telle que $\mathscr{G}_K$ agit trivialement sur $D_{\rm pst}$. Si $V \in \mathrm{Rep}_L \mathscr{G}_\qp$ est de Rham, ceci permet de borner le rayon de surconvergence de $\Delta = \Nrig(V)$ en termes de la plus petite extension (galoisienne) $K$ de $\qp$ sur laquelle $V$ d�vient semi-stable.
\end{itemize}
\end{remarque}

%\begin{corollary}
%Si $r < (\delta_K + 1)^{-1}$, il existe une base $v_1, \hdots, v_d$ de $\Delta$ dans laquelle la matrice de $\partial$ est � coefficients dans $\E^{\dagger, r}$ et dont la valuation pour la norme $v^{]0, r]}$ est $\geq -1$.
%\end{corollary}
%
%\begin{proof}
%Reprenons les notations de la preuve du lemme \ref{lemme11} ci-dessus. Consid�rons le groupe $G = \mathrm{Gal}(K_\infty / F_\infty) \subseteq \mathrm{Gal}(K / \qp)$ agissant sur $D_{\rm pst}$. On a $W = (K_0[\ell_T] \otimes D_{\rm pst})^{N = 0}$, qui est un $G$-module de dimension $d$ sur $K_0$. Si $r < (\delta_K + 1)^{-1}$, on a pos� $\Delta^{[r, s]} = (\E_K^{[r, s]} \otimes W)^G \subseteq \E_K^{[r, s]} \otimes W$. Or, 
%\end{proof}

\subsubsection{$(\varphi, \Gamma)$-modules relatifs} \label{phiGammarel} Soit $A$ une alg�bre affino\"ide sur $\qp$. L'anneau de Robba $\Robba_A$ relatif � $A$ est d�fini en posant, pour $0 < r < s$, $$ \Robba_A^{[r, s]} = \Robba^{[r, s]} \widehat{\otimes} A; \;\;\; \Robba_A^{]0, s]} = \varprojlim_{0 < r < s} \Robba_A^{[r, s]}; \; \; \; \Robba_A = \varinjlim_{s > 0} \Robba_A^{]0, s]}, $$ o� le premier produit tensoriel est le produit tensoriel compl�t� entre deux espaces de Banach. On peut montrer que $\Robba_A = \Robba_\qp \widehat{\otimes} A$ (produit tensoriel compl�t� inductif ou projectif entre deux espaces topologiques localement convexes). Ceci s'interpr�te en termes de fonctions analytiques sur des espaces rigides: si $I \subseteq [0, 1[$ est un intervalle d'extremit�s dans $p^\Q$ et $\mathbb{A}^1 = \mathrm{Sp}(\qp \langle T \rangle)$ d�note la droite affine rigide de param�tre $T$, en notant $B_I$ l'ouvert admissible de $\mathbb{A}^1$ d�fini par $v_A(T) \in I$ ($v_A = - \log_p |\cdot|_A$ d�note la valuation de l'alg�bre aff\"inoide $A$), on a un isomorphisme naturel $$ \Robba^I_A \cong \mathcal{O}(\mathrm{Sp}(A) \times B_I). $$ On a aussi une interpr�tation en termes de s�ries de Laurent (resp. de puissances si $0 \in I$) � coefficients dans $A$ de la mani�re �vidente. On a un endomorphisme $A$-lin�aire d'anneaux $\varphi \colon \Robba_A^{]0, s]} \to \Robba_A^{]0, s / p]}$, qui envoie $T$ sur $(1 + T)^p - 1$, induisant une action de $\varphi$ sur $\Robba_A$ et on a une action continue du groupe $\Gamma$, agissant par $\sigma_a(T) = (1 + T)^a - 1$, $a \in \zpe$, sur tous les anneaux d�finis ci-dessus.

Pour un module $D^{]0, s]}$ sur $\Robba_A^{]0, s]}$ et $0 < s' < s$, on note $D^{]0, s']} = D^{]0, s]} \otimes_{\Robba_A^{]0, s]}} \Robba_A^{]0, s']}$ et $\varphi^*(D^{]0, s]}) = D^{]0, s]} \otimes_{\Robba_A^{]0, s]}, \varphi} \Robba_A^{]0, s/p]}$. Un \textit{$(\varphi, \Gamma)$-module sur $\Robba_A^{]0, s]}$} est un module projectif de type fini $D^{]0, s]}$ sur $\Robba_A^{]0, s]}$, muni d'un isomorphisme $\E^{]0, s/p]}$-lin�aire $\tilde{\varphi} \colon \varphi^*(D^{]0, s]}) \to D^{]0, s/p]}$ et d'une action semi-lin�aire de $\Gamma$, commutant avec $\tilde{\varphi}$ dans le sens �vident. L'isomorphisme $\varphi^*(D^{]0, s]}) \to D^{]0, s/p]}$ induit, pour tout $0 < s' < s$, des op�rateurs semi-lin�aires $\varphi \colon D^{]0, s']} \to D^{]0, s'/p]}$, d�finis comme la compos�e \[ D^{]0, s']} = D^{]0, s]} \otimes_{\Robba_A^{]0, s]}} \Robba_A^{]0, s']} \to \varphi^*(D^{]0, s]}) \otimes_{\Robba_A^{]0, s]}} \Robba_A^{]0, s']} \to D^{]0, s/p]} \otimes_{\Robba_A^{]0, s]}} \Robba_A^{]0, s'/p]} = D^{]0, s'/p]}, \] la premi�re fl�che �tant celle induite par $D^{]0, s]} \to \varphi^*(D^{]0, s]}) \colon x \mapsto x \otimes 1$ et la deuxi�me �tant $\tilde{\varphi} \otimes \varphi$.

Un \textit{$(\varphi, \Gamma)$-module sur $\Robba_A$} est un $\Robba_A$-module (projectif de type fini) $D$ tel qu'il existe $s > 0$ et un $(\varphi, \Gamma)$-module $D^{]0, s]}$ sur $\Robba_A^{]0, s]}$ tel que $D \cong D^{]0, s]} \otimes_{\Robba_A^{]0, s]}} \Robba_A$.

Plus g�n�ralement, si $X$ est un espace rigide analytique sur $\qp$ et $r \geq 0$, on d�finit $\Robba_X^{]0, r]}$ comme le faisceau des fonctions rigides analytiques sur $X \times B_{]0, r]}$, $\Robba_X = \varinjlim_{r < 0} \Robba_X^{]0, r]}$ et un $(\varphi, \Gamma)$-module sur $\Robba_X$ est une collection compatible de $(\varphi, \Gamma)$-modules sur $\Robba_A$ pour chaque ouvert admissible $A$ de $X$.

\subsubsection{Cohomologie des $(\varphi, \Gamma)$-modules}

Si $V \in \mathrm{Rep}_L \mathscr{G}_\qp$ est une repr�sentation $p$-adique de $\mathscr{G}_\qp$ et $\gamma$ est un g�n�rateur topologique de $\Gamma$ \footnote{Si $p = 2$, il faut consid�rer $\Gamma' \subseteq \Gamma$ la $p$-partie du sous-groupe de torsion de $\Gamma$, $\gamma \in \Gamma$ dont l'image dans le quotient $\Gamma / \Gamma'$ soit un g�n�rateur topologique, et prendre les invariants par $\Gamma'$ dans tous les modules de la suite ci-dessous. }, le complexe $$ 0 \to \D(V) \xrightarrow{x \mapsto ((1-\varphi) x, (1 - \gamma) x)} \D(V) \oplus \D(V) \xrightarrow{(x, y) \mapsto (1 - \gamma) x - (1 - \varphi) y} \D(V) \to 0 $$ calcule la cohomologie galoisienne de $V$ en termes de son $(\varphi, \Gamma)$-module $\D(V)$ sur $\E_\qp$ associ� (cf. \cite{Herr}). D'apr�s \cite{Liu} et \cite{KPX}, on peut d�finir la cohomologie des $(\varphi, \Gamma)$-modules sur l'anneau de Robba $\Robba_A$ relatif � une alg�bre aff\"inoide $A$ sur $\qp$ (et, plus g�n�ralement, sur un espace analytique rigide sur une extension finie de $\qp$), retrouvant les constructions de Herr dans le cas d'un $(\varphi, \Gamma)$-module �tale au-dessus d'un point.

Soient $A$ une alg�bre aff\"inoide sur $\qp$ et $D$ un $(\varphi, \Gamma)$-module sur $\Robba_A$. On note $\Gamma' \subseteq \Gamma$ la partie de $p$-torsion de $\Gamma$ (qui est triviale si $p \neq 2$, et cyclique d'ordre $2$ quand $p = 2$). Soit $\gamma \in \Gamma$ tel que son image dans $\Gamma / \Gamma'$ en est un g�n�rateur topologique. On pose $\gamma_0 = \gamma$ et, pour $n \geq 1$, $\gamma_n$ un g�n�rateur topologique de $\Gamma_n$. Pour $\delta \in \{ \varphi, \psi \}$ et $\gamma' \in \{ \gamma_n : n \geq 0\}$, on note $D' = D^{\Gamma'}$ si $n = 0$ et $D' = D$ si $n \geq 1$, et on d�finit le complexe $$ \mathscr{C}^\bullet_{\delta, \gamma'}(D): 0 \to D' \to D' \oplus D' \to D' \to 0, $$ o� les fl�ches sont donn�es, respectivement, par $x \mapsto ((\delta - 1)x, (\gamma' - 1)x)$ et $(x, y) \mapsto (\gamma' - 1)x - (\delta - 1) y$. Les modules $H_{\delta, \gamma'}^\bullet(D)$ sont d�finis comme les groupes de cohomologie de ce complexe. Quand $n = 0$, on note $H_{\delta, \gamma}^i(D) = H_{\delta, \gamma_0}^i(D)$. 
%Si $K = F_n$, $n \geq 0$, on notera $ H^i(K, D) = H^i_{\varphi, \gamma_n}(D). $

\begin{proposition} [{\cite[Prop. 2.3.6, Thm. 4.4.2]{KPX}}] \label{KPX}
Soient $A$ une alg�bre aff\"inoide sur $\qp$ et $D$ un $(\varphi, \Gamma)$-module sur $\Robba_A$. Les complexes $\mathscr{C}_{\varphi, \gamma'}(D)$ et $\mathscr{C}_{\psi, \gamma'}(D)$ sont quasi-isomorphes et les groupes de cohomologie $H^i_{\varphi, \gamma'}(D)$ sont des $A$-modules de type fini, compatibles au changement de base. On a une dualit� locale et une formule de Euler-Poincar�.
\end{proposition}


\subsubsection{Cohomologie d'Iwasawa des $(\varphi, \Gamma)$-modules} \label{cohomIw}

%Soit $\Lambda = \zp[[\Gamma]] = \varprojlim_n \zp[[\Gamma / \Gamma_n]]$ l'alg�bre d'Iwasawa de $\Gamma$. On d�compose $\Gamma = \Gamma^{\rm tors} \times \Gamma^{\rm st}$, o� $\Gamma^{\rm tors}$ et $\Gamma^{\rm st}$ d�signent, respectivement, la partie de torsion et sans torsion de $\Gamma$, ce qui fournit un isomorphisme $\Lambda \cong \zp[\Gamma^{\rm tors}] \otimes_\zp \zp[[\Gamma^{\rm st}]]$. Soit $\gamma$ un g�n�rateur topologique de $\Gamma^{\rm st}$ et notons $[\gamma]$ son image dans $\Lambda$. On obtient un isomorphisme $\Lambda \cong \zp[\Gamma^{\rm tors}] \otimes_\zp \zp[[T]]$ en envoyant $[\gamma]$ sur $1+T$.

Soit $\Lambda = \zp[[\Gamma]]$ l'alg�bre d'Iwasawa de $\Gamma$. On d�compose $\Gamma = \Gamma^{\rm tors} \times \widetilde{\Gamma}$, o� $\Gamma^{\rm tors}$ d�signe la partie de torsion de $\Gamma$ et $\widetilde{\Gamma} \cong 1 + 2p \zp$ via le caract�re cyclotomique, et on obtient un isomorphisme $\Lambda \cong \zp[\Gamma^{\rm tors}] \otimes_\zp \zp[[\widetilde{\Gamma}]]$. Soit $\gamma$ un g�n�rateur topologique de $\widetilde{\Gamma}$ et notons $[\gamma]$ son image dans $\Lambda$. On obtient un isomorphisme $\Lambda \cong \zp[\Gamma^{\rm tors}] \otimes_\zp \zp[[T]]$ en envoyant $[\gamma]$ sur $1+T$.

Soit $\Lambda_\infty = \Robba^+(\Gamma)$ l'alg�bre alg�bre de distributions sur $\Gamma$. Pr�cis�ment, on obtient $\Robba^+(\Gamma)$ en rempla�ant la variable $T$ par $[\gamma] - 1$ dans la d�finition de $\Robba^+$. On peut de la sorte d�finir les anneaux $\Lambda_n = \Robba^{[r_n, +\infty]}(\Gamma)$ et on a $ \Lambda_\infty = \varprojlim_n \Lambda_n. $ Le choix de l'isomorphisme $\Lambda \cong \zp[\Gamma^{\rm tors}] \otimes_\zp \zp[[T]] $ fait que $\Lambda_n$ s'identifie aux fonction analytiques sur la boule $v_p(T) \geq r_n$ et $\Lambda_\infty$ � celui des fonctions analytiques sur la boule ouverte unit�. Ce dernier espace s'identifie � l'anneau $H^0(\mathfrak{X}, \mathcal{O})$ des sections globales sur l'espace des poids $p$-adiques, et aussi, par le th�or�me d'Amice (cf. \cite[Th. 2.2]{S-T}) au $L$-dual continu des fonctions localement analytiques sur $\zpe$.

%Pr�cis�ment, si $\mathfrak{m} \subseteq \Lambda$ est l'id�al maximal de $\Lambda$ (c'est l'id�al $(p, T)$ si l'on choisit un isomorphisme $\Lambda \cong \zp[\Gamma^{\rm tors}] \otimes_\zp \zp[[\Gamma^{\rm st}]]$) et, pour $n \geq 1$, on pose $\Lambda_n = \Robba^{[r_n, +\infty]}(\Gamma) = \Lambda[\frac{\mathfrak{m}^{1/r_n}}{p}]^\wedge$ la compl�tion $p$-adique de $\Lambda[\frac{\mathfrak{m}^{1/r_n}}{p}]$, qui est une alg�bre affino�de sur $\qp$, alors l'application naturelle $\Lambda[\frac{\mathfrak{m}^{1/ r_{n+1}}}{p}] \to \Lambda[\frac{\mathfrak{m}^{1/r_n}}{p}]$ induit $\Lambda_{n+1} \to \Lambda_n$ et on a $$ \Lambda_\infty = \varprojlim_n \Lambda_n \otimes_\zp \qp. $$ Le choix de l'isomorphisme $\Lambda \cong \zp[\Gamma^{\rm tors}] \otimes_\zp \zp[[T]] $ fait que $\Lambda_n = \zp[\Gamma^{\rm tors}] \otimes_\zp \zp[[T]][\frac{T^{1/r_n}}{p}]^\wedge$ s'identifie aux fonction analytiques sur la boule $v_p(T) \geq r_n$, d'o� un isomorphisme $\Lambda_\infty \cong \qp[\Gamma^{\rm tors}] \otimes_\qp \Robba^+$. Ce dernier espace s'identifie � l'anneau $H^0(\mathfrak{X}, \mathcal{O})$ des sections globales sur l'espace des poids $p$-adiques, qui, par le th�or�me d'Amice, s'identifie aussi � l'alg�bre des distributions $\mathscr{D}(\Gamma)$ sur $\Gamma$.

On note (cf. \cite[Def. 4.4.7]{KPX}) $\Lambda_n^\iota$ le module $\Lambda_n$ muni de l'action de $\Gamma$ via $\gamma(f) = [\gamma^{-1}] \cdot f$, $\gamma \in \Gamma$ et $f \in \Lambda_n$. On d�finit $$ \mathbf{Dfm} = \varprojlim_{n} \Lambda_n^\iota \widehat{\otimes}_\qp \Robba = \varprojlim_{n} \varinjlim_{s > 0} \varprojlim_{r < s} \Robba^{[s, r]} \widehat{\otimes} \Lambda_n^\iota. $$
%qui, dans la notation de la section \ref{poids}, n'est rien d'autre que l'espace des distributions $\mathscr{D}(\Gamma, \Robba)$ sur $\Gamma$ � valeurs dans $\Robba$.
Plus g�n�ralement, si $D$ est un $(\varphi, \Gamma)$-module sur $\Robba$, on d�finit sa d�formation cyclotomique par 
\[ \mathbf{Dfm}(D) = D \widehat{\otimes}_\qp \Lambda_\infty^\iota = \varprojlim_n \varinjlim_{s > 0} \varprojlim_{r < s} D^{[r, s]} \widehat{\otimes} \Lambda_n^\iota. \]
Les actions $\varphi$, $\psi$ et $\Gamma$ sont donn�es par les formules \[ \varphi(x \otimes \lambda) = \varphi(x) \otimes \lambda, \;\;\; \psi(x \otimes \lambda) = \psi(x) \otimes \lambda, \;\;\; \gamma(x \otimes \lambda) = \gamma(x) \otimes [\gamma^{-1}] \lambda, \] pour $x \in D$, $\lambda \in \Lambda_\infty$ et $\gamma \in \Gamma$. Le module $\mathbf{Dfm}(D)$ est un $(\varphi, \Gamma)$-module sur l'anneau $\Robba_\mathfrak{X} = \varprojlim_{n} \Robba_{\mathfrak{X}_n}$ de Robba relatif � l'espace des poids.

On d�finit la cohomologie d'Iwasawa de $D$ comme $$ H^i_{\rm Iw}(D) = H^i_{\psi, \gamma}(\mathbf{Dfm}(D)). $$ Ce sont, d'apr�s le th�or�me \ref{KPX}, des $\Lambda_\infty$-modules de type fini. On peut donc voir les groupes de cohomologie d'Iwasawa comme des groupes de cohomologie � valeurs dans $\mathscr{D}(\zpe, D)$.

%Si $\eta \colon \Gamma \to L^\times$ est un caract�re, on note aussi $\eta \colon \Lambda_\infty \to L$ le morphisme induit, et on a un isomorphisme $$\mathbf{Dfm}(D) \otimes_{\Lambda_\infty, \eta} L \xrightarrow{\sim} D(\eta^{-1}). $$Si $\mu \in H^i_{\rm Iw}(D)$, cet isomorphisme induit des morphismes de sp�cialisation $$ H^i_{\rm Iw}(\qp, D) \to H^i_{\psi, \gamma}(D(\eta)): \; \; \; \mu \mapsto \int_\Gamma \eta \cdot \mu, $$ la notation �tant justifi�e par l'interpr�tation de la cohomologie d'Iwasawa en termes de distributions.

Si $\eta \colon \Gamma \to L^\times$ est un caract�re, le changement de base par rapport � $f_\eta \colon \Lambda_\infty \to L : [\gamma] \mapsto \eta^{-1}(\gamma)$ fournit un isomorphisme $$\mathbf{Dfm}(D) \otimes_{\Lambda_\infty, f_\eta} L \xrightarrow{\sim} D(\eta). $$Si $\mu \in H^i_{\rm Iw}(D)$, cet isomorphisme induit des morphismes de sp�cialisation $$ H^i_{\rm Iw}(D) \to H^i_{\psi, \gamma}(D(\eta)): \; \; \; \mu \mapsto \int_\Gamma \eta \cdot \mu, $$ la notation �tant justifi�e par l'interpr�tation classique de la cohomologie d'Iwasawa en termes des distributions.

Si $D \in \Phi\Gamma(\Robba)$, on d�finit le complexe $\mathscr{C}^\bullet_\psi(D)$, concentr� en $[1, 2]$, par $$ [D \xrightarrow{\psi - 1} D]. $$ Le complexe $\mathscr{C}^\bullet_{\psi}(D)$ appartient � $\D^{[0, 2]}_{\rm perf}(\Lambda_\infty)$ \footnote{Rappelons que, pour un anneau $R$, $\D^{[0, 2]}_{\rm perf}(R)$ d�note la sous-cat�gorie de la cat�gorie d�riv�e de la cat�gorie des modules sur $R$ dont les objets sont quasi-isomorphes � un complexe born� form� par des $R$-modules projectifs finis et tel que leur cohomologie est concentr�e en d�gr�es $[0, 2]$.} et calcule la cohomologie d'Iwasawa de $D$ (cf. \cite[Thm. 4.4.8]{KPX}). On a, en particulier, un isomorphisme $$ \mathrm{Exp}^* \colon H^1_{\rm Iw}(D) \to D^{\psi = 1} $$ dont l'inverse est donn�e par $ z \mapsto [\frac{p-1}{p} \log(\chi(\gamma)) (z \otimes 1), 0]$ \footnote{Si $p = 2$, il faut appliquer � $z$ le projecteur naturel sur le sous espace d'�l�ments $\Gamma'$-invariants. On �vitera ce cas-ci, se traitant de la m�me mani�re mais avec une complication technique suppl�mentaire. }. Si $z \in D^{\psi = 1}$, on note, afin d'all�ger les notation, $\mu_z$ l'�l�ment $(\mathrm{Exp}^*)^{-1}(z) \in H^1_{\rm Iw}(D)$. Si $n \geq 0$, on a (cf. \cite[\S VIII.1.3]{ColmezPhiGamma} ou \cite[\S 2.2.3, Eq. (6)]{Nakamura2}) la formule pour la sp�cialisation $$\int_{\Gamma_n} \eta \cdot \mu_z = [\tau_n(\gamma_n) (z \otimes e_\eta), 0] \in H^1_{\psi, \gamma_n}(D(\eta)), $$ o� $\tau_n(\gamma_n) = p^{-n} \log(\chi(\gamma_n))$, si $n \geq 1$ et $\tau_0(\gamma_0) = \frac{p - 1}{p} \log(\chi(\gamma_0))$.

Terminons en mentionnant que $\eta$ induit un automorphisme sur $\Lambda_\infty$ donn� par $\eta([\gamma]) = \eta(\gamma)^{-1} \cdot [\gamma]$, ce qui induit un isomorphisme de $(\varphi, \Gamma)$-modules $\mathbf{Dfm}(D) \cong \mathbf{Dfm}(D(\eta))$, donn� par $x \otimes [\gamma] \mapsto (x \otimes e_\eta) \otimes \eta(\gamma)^{-1} [\gamma]$, et donc un isomorphisme de $\Lambda_\infty$-modules \[ H^i_{\rm Iw}(D) \to H^i_{\rm Iw}(D(\eta)): \;\;\; \mu \mapsto \mu \otimes e_\eta. \] On a, par exemple, $$ \int_\Gamma \eta \cdot \mu = \int_\Gamma 1 \cdot (\mu \otimes e_\eta). $$
 
%L'application naturelle $\Lambda[\frac{\mathfrak{m}^{n + 1}}{p}] \to \Lambda[\frac{\mathfrak{m}^n}{p}]$ induit $D \widehat{\otimes} \Lambda_{n+1}^\iota \to D \widehat{\otimes} \Lambda_n^\iota$ et aussi des applications $H^i(\qp, D \widehat{\otimes} \Lambda_{n+1}^\iota) \to H^i(\qp, D \widehat{\otimes} \Lambda_n^\iota)$ pour tout $i \geq 0$.
%
%\begin{definition} Soit $D$ un $(\varphi, \Gamma)$-module sur $\Robba$ et $i \geq 0$. On d�finit le $i$-�me groupe de cohomologie d'Iwasawa analytique de $D$ par $$ \H^i_{\mathrm{Iw}}(\qp, D) = \varprojlim_n H^i(\qp, D \widehat{\otimes} \Lambda_n^\iota). $$
%\end{definition}
  
%Ces groupes sont des $\Lambda_\infty$ modules et si $D$ est de pente $0$ correspondant � la repr�sentation $p$-adique $V$, on a $H^1_{\mathrm{Iw}}(\qp, D) = \H^1_{\mathrm{Iw}}(\qp, V) \otimes_\Lambda \Lambda_\infty$. On montre les analogues des r�sultats classiques sur la cohomologie d'Iwasawa, et en particulier on dispose d'un isomorphisme canonique $ \mathrm{Exp}^*: \H^1_{\mathrm{Iw}}(K, D) \to D^{\psi = 1}. $ Plus g�n�ralement, on montre que cette cohomologie coincide avec la cohomologie du complexe $[D \xrightarrow{\psi - 1} D].$ Si $\mu \in \H^1_{\mathrm{Iw}}(K , D), $ $n \geq 0$ et ${\j} \in \Z$, on a des applications de sp�cialisation $\int_{\Gamma_n} \chi(x)^{\j} \mu \otimes e_{\j} \in \H^1(F_n, D({\j})) $ ($\mathrm{pr}_{F_n, D({\j})}$ dans la notation de \cite{Nakamura} section 3.1). On dispose aussi, pour ${\j} \in \Z$, des isomorphismes canoniques $\H^1_{\mathrm{Iw}}(K, D) \cong \H^1_{\mathrm{Iw}}(K, D({\j}))$
%
%Remarquons que par construction, le groupe $H^0_{\mathrm{Iw}}(\qp, D)$ peut �tre vu comme les sections globales d'une certaine famille de $(\varphi, \Gamma)$-modules sur l'anneau de Robba relative � l'espace de poids $p$-adique. En effet, soit $\Robba_\mathfrak{X}^\iota$ le $(\varphi, \Gamma)$-module sur l'anneau de Robba $\Robba_\mathfrak{X} = \Robba \widehat{\otimes}_\qp \mathcal{O}(\mathfrak{X})$ relative � $\mathfrak{X}$ d�finit par $\Robba_\mathfrak{X}^\iota = \varprojlim_n \Robba_{\mathfrak{X}_n}^\iota$ o� $\Robba_{\mathfrak{X}_n}^\iota$ est le $(\varphi, \Gamma)$-module $\Lambda_n^\iota \widehat{\otimes}_\qp \Robba$ sur $\Robba_{\mathfrak{X}_n} = \Robba \widehat{\otimes}_\qp \mathcal{O}(\mathfrak{X}_n)$ de base $1 \otimes \mathbf{e}$ et les actions de $\varphi$ et $\Gamma$ donn�es par $\varphi(1 \otimes \mathbf{e}) = 1 \otimes \mathbf{e}$, $\gamma(1 \otimes \mathbf{e}) = [\gamma^{-1}] \otimes \mathbf{e}$. Si $\eta \in \mathfrak{X}_n$ est un point ferm� correspondant � $\mathfrak{m}_\eta \in \mathrm{Sp}(\Lambda_n)$, on a $\Robba_\mathfrak{X}^\iota / \mathfrak{m}_\eta = \Robba(\eta^{-1})$ comme $(\varphi, \Gamma)$-module sur $\Robba$. Si $D$ est un $(\varphi, \Gamma)$-module sur $\Robba$, on d�finit sa d�formation cyclotomique $D_{\mathrm{cycl}}$ par $D_{\mathrm{cycl}} = D \widehat{\otimes}_\Robba \Robba_\mathfrak{X}^\iota = \varprojlim_n D \widehat{\otimes}_\Robba \Robba_{\mathfrak{X}_n}^\iota$, qui est un $(\varphi, \Gamma)$-module sur $\Robba_\mathfrak{X}$. On a par construction $H^0_{\mathrm{Iw}} = \varprojlim_n H^0(\qp, D \widehat{\otimes} \Lambda^\iota) = H^0(\qp, D_{\mathrm{cycl}})$, et plus g�n�ralement
%
%\begin{theorem} [cf. \cite{Pottharst}, thm 2.6 (3)] 
%Le complexe $C^\bullet_{\psi, \gamma}(D_{\mathrm{cycl}})$ calcule la cohomologie d'Iwasawa de $D$.
%\end{theorem}


\subsubsection{Applications exponentielles}

Si $D \in \Phi\Gamma(\Robba)$ est de Rham et $n \geq 0$, on note $$ \exp_{D, F_n} \colon L_n \otimes \DdR(D) \to \H^1_{\varphi, \gamma_n}(D), $$ $$ \exp^*_{D, F_n} \colon \H^1_{\varphi, \gamma_n}(D) \to L_n \otimes \DdR(D), $$ les applications exponentielle et exponentielle duale de Bloch-Kato comme d�finies dans \cite[\S 2.3; \S 2.4]{Nakamura}. Quand cela ne pose pas de probl�mes, on omettra les indices dans les notations des applications exponentielles.

%
%Soit $V \in \mathrm{Rep}_\qp(\mathscr{G}_\qp)$. En tensorisant la suite exacte fondamentale $$ 0 \to \qp \to \mathbf{B}_{\rm cris}^{\varphi = 1} \oplus \BdRp \to \BdR \to 0 $$ par $V$ on obtient une suite longue de cohomologie
%\begin{eqnarray*}
%0 &\to& H^0(\qp, V) \to \Dcris(V)^{\varphi = 1} \oplus \mathrm{Fil}^0 \; \DdR(V) \to \DdR(V) \to \\
%&\to&  H^1(\qp, V) \to H^1(\qp, V \otimes_\qp \mathbf{B}_{\mathrm{cris}}^{\varphi = 1}) \oplus H^1(\qp, V \otimes_\qp \mathbf{B}_{\mathrm{dR}}^+) \to \hdots 
%\end{eqnarray*} 
%et l'exponentielle $\exp_V$ est d�finie comme le premier morphisme de connexion de cette suite.

%Si $M$ est un module muni d'une action de $\Gamma$, et $\gamma' \in \{ \gamma_n: n \geq 0 \}$, on pose \footnote{Comme pr�c�demment, $M' = M^{\Gamma'}$ si $\gamma' = \gamma_0$ et $M' = M$ autrement.} $$ C^\bullet_{\gamma'}(M) = [M' \xrightarrow{\gamma' - 1} M'], $$ et on d�finit les groupes de cohomologie $H^i_{\gamma'}(M) = H^i(C^\bullet_{\gamma'}(M))$. Par exemple, si $D \in \Phi\Gamma(\Robba)$ et $n \geq 0$, alors $$ H^0_{\gamma_n}(\Ddif(D)) = \Ddif(D)^{\Gamma_n} = L_n \otimes \D_{\rm dR}(D). $$

%Si $V \in \mathrm{Res}_L \mathscr{G}_\qp$ et $D = \Drig(V)$, on a les isomorphismes suivants (cf. \cite{Nakamura}, thm. $2.21$)
%\begin{itemize}
%\item $H^i(\qp, V) = H^i_{\varphi, \gamma}(\D_{\rm rig}(V))$,
%\item $H^i(\qp, \mathbf{B}_{\mathrm{cris}}^{\varphi = 1} \otimes_\qp V) = H^i_{\varphi, \gamma}(\D_{\rm rig}(V)[1/t])$,
%\item $H^i(\qp, \mathbf{B}_{\mathrm{dR}}^+ \otimes_\qp V) = H^i_\gamma(\D_{\mathrm{dif}}^+(\D_{\rm rig}(V)))$,
%\item $H^i(\qp, \mathbf{B}_{\mathrm{dR}} \otimes_\qp V) = H^i_{\gamma}(\D_{\mathrm{dif}}(\D_{\rm rig}(V)))$.
%\end{itemize}

%\begin{prop} [\cite{Nakamura}, Theorem 2.8] \label{thmexp}
%Soient $D \in \Phi\Gamma(\Robba)$ et $n \geq 0$. Il existe une suite exacte canonique et fonctorielle
%\begin{eqnarray*}
%0 &\to& H^0_{\varphi, \gamma_n}(D) \to H^0_{\varphi, \gamma_n}(D[1/t]) \oplus H^0_{\gamma_n}(\D_{\mathrm{dif}}^+(D)) \to H^0_{\gamma_n}(\Ddif(D)) \to \\
%&\xrightarrow{\delta_{1, D}}&  H^1_{\varphi, \gamma_n}(D) \to H^1_{\varphi, \gamma_n}(D[1/t]) \oplus H^1_{\gamma_n}(\D_{\mathrm{dif}}^+(D))) \to H^1_{\gamma_n}(\Ddif(D)) \to \\
%&\to&  H^2_{\varphi, \gamma_n}(D) \to H^2_{\varphi, \gamma_n}(D[1/t]) \to 0.
%\end{eqnarray*}
%\end{prop}
%On d�finit $$ \exp_{D, F_n} \colon L_n \otimes_\qp \DdR(D) \to H^1_{\varphi, \gamma_n}(D) $$ comme le morphisme de connexion $\delta_{1, D}$ de la suite de la proposition \ref{thmexp} ci-dessus.

Explicitement (\cite[Lem. 2.12(1)]{Nakamura}), si $x \in \DdR(D) = (\D_{\mathrm{dif}}(D))^\Gamma$, alors il existe $m$ tel que $x \in \D_{\mathrm{dif}, m}(D)$, et il existe aussi $\tilde{x} \in D^{]0, r_m]}[1/t]$ tel que $\varphi^{-k}(\tilde{x}) - x \in \D_{\mathrm{dif}, k}^+(D)$ pour tout $k \geq m$. Alors on a $$ \exp_{D, F_n}(x) = [(\gamma_n - 1) \tilde{x}, (\varphi - 1) \tilde{x} ] \in H^1_{\varphi, \gamma_n}(D). $$ On remarquera que l'application $\exp_D$ est nulle sur $\mathrm{Fil}^0 \, \DdR(D)$.

Si $M$ est un module muni d'une action de $\Gamma$, et $\gamma' \in \{ \gamma_n: n \geq 0 \}$, on pose \footnote{Comme pr�c�demment, $M' = M^{\Gamma'}$ si $\gamma' = \gamma_0$ et $M' = M$ autrement.} $$ C^\bullet_{\gamma'}(M) = [M' \xrightarrow{\gamma' - 1} M'], $$ et on d�finit les groupes de cohomologie $H^i_{\gamma'}(M) = H^i(C^\bullet_{\gamma'}(M))$. Par exemple, si $D \in \Phi\Gamma(\Robba)$ et $n \geq 0$, alors $$ H^0_{\gamma_n}(\Ddif(D)) = \Ddif(D)^{\Gamma_n} = L_n \otimes \D_{\rm dR}(D). $$

Si $D \in \Phi\Gamma(\Robba)$ est de Rham et $n \geq 0$, on a un isomorphisme $L_\infty((t)) \otimes_{L_n} (L_n \otimes \DdR(D)) \cong \D_{\mathrm{dif}}(D)$ et l'application $L_n \otimes \DdR(D) \to H^1_{\gamma_n}(\D_{\mathrm{dif}}(D))$ qui envoie $x \in L_n \otimes \DdR(D)$ vers la classe de cohomologie $[\log \chi(\gamma_n) (1 \otimes x)] \in H^1_{\gamma_n}(\D_{\mathrm{dif}}(D))$ est un isomorphisme (cf. \cite{Nakamura}, juste avant le lemme 2.14). De plus, on a une application naturelle $H^1_{\varphi, \gamma_n}(D) \to H^1_{\gamma_n}(\Ddifp(D)) \to H^1_{\gamma_n}(\Ddif(D))$ d�finie par $[(x, y)] \mapsto [\varphi^{-m} x]$, o� $m \gg 0$ et $[ \cdot ]$ d�note la classe de cohomologie correspondante.
%Cette application est bien d�finie: si $(x, y) \in D \oplus D$ est un cocycle repr�sentant une classe de cohomologie dans $H^1_{\varphi, \gamma_n}(D)$, alors $(1 - \varphi) x = (1 - \gamma_n) y$ et donc $\varphi^{-m} x - \varphi^{-(m - 1)} x = (1 - \gamma_n) \varphi^{-m} y$, ce qui implique que les images de $\varphi^{-m} x$ et $\varphi^{-(m - 1)}x$ dans $H^1_{\gamma_n}(\D_{\rm dif}^+(D)) = \D_{\rm dif}^+(D)' / (1 - \gamma_n) \D_{\rm dif}^+(D)'$ \footnote{Rappelons une derni�re fois que si $M$ est un $\Gamma$-module et $n \geq 0$, on note $M' = M^{\Gamma'}$ si $n = 0$ et $M'$ si non.} co�ncident.
On d�finit $$ \exp^*_{D, F_n} \colon H^1_{\varphi, \gamma_n}(D) \to L_n \otimes \DdR(D) $$ comme la composition $H^1_{\varphi, \gamma_n}(D) \to H^1_{\gamma_n}(\Ddifp(D)) \to H^1_{\gamma_n}(\Ddif(D))  \xrightarrow{\sim} L_n \otimes_\qp \DdR(D)$. Remarquons que, par construction, l'image de $\exp^*_{D, F_n}$ tombe dans $L_n \otimes \mathrm{Fil}^0 \, \DdR(D)$.

%Si $D = \D_{\rm rig}(V)$, on a $\exp_{D, F_n} = \exp_{V, F_n}$ et $\exp^*_{D, F_n} = \exp^*_{V, F_n}$ via les isomorphismes $L_n \otimes \DdR(D) = L_n \otimes \DdR(V)$ et $H^i_{\varphi, \gamma_n}(D) \cong H^i(F_n, V)$. Enfin, les applications $\exp$ et $\exp^*$ sont l'une l'adjointe de l'autre: si $x \in \DdR(D)$ et $y \in H^1_{\varphi, \gamma}(D^*(1))$, on a $$ \langle x, \exp^*_{D^*(1)}(y) \rangle = \exp_{D}(x) \cup y, $$ o� l'accouplement de gauche $ \langle \;,\; \rangle \colon \DdR(D) \times \DdR(D^*(1)) \to \qp$ est induit par $\DdR(D) \times \DdR(D^*(1)) \to \DdR(\Robba(1)) \cong \qp$ et celui de droite est l'accouplement local de cohomologie. Quand cela ne pose pas de probl�mes, on omettra les indices dans les notations des applications exponentielles.

\subsubsection{Exponentielle de Perrin-Riou} \label{expPR}

Rappelons la formulation de l'application exponentielle de Perrin-Riou pour un $(\varphi, \Gamma)$-module de de Rham (cf. \cite{Nakamura}, \cite{Berger03}) et la loi de r�ciprocit�. On d�finit, pour $h \geq 0$ \footnote{Dans la formule ci-dessous, $\nabla_0$ d�note simplement l'identit� et $\nabla_1 = \nabla$.}, l'op�rateur diff�rentiel $$ \nabla_h = (\nabla - h + 1) \circ (\nabla - h + 2) \circ \hdots \circ \nabla \in \Lambda_\infty. $$

\begin{lemme} [{\cite[Lem. 3.6]{Nakamura}}]
Soit $D \in \Phi \Gamma(\Robba)$ de Rham et soit $h \geq 1$ tel que $\mathrm{Fil}^{-h} \, \DdR(D) = \DdR(D)$. Alors $\nabla_h (\Nrig(D)) \subseteq D$ et il induit un op�rateur $\Lambda_\infty$-lin�aire $$ \nabla_h \colon \Nrig(D)^{\psi = 1} \to D^{\psi = 1}. $$
\end{lemme}

Si $x \in \Nrig(D)^{\psi = 1}$ et $n\geq 0$, l'expression $[\varphi^{-n} x]_j$ \footnote{Rappelons que, si $x \in D^{]0, r_n]}$, l'�l�ment $\varphi^{-n}(x)$ appartient � $L_n((t)) \otimes_\qp \DdR(D)$, s'�crit donc sous la forme $\varphi^{-n} x = \sum_j d_j t^j$, $d_j \in L_n \otimes \DdR(D)$ et on note $[\varphi^{-n}x]_j = d_j \in L_n \otimes \DdR(D) $.}, pour $j \in \N$, n'est d�finie que pour $n$ assez grand. Pourtant, l'identit� $\mathrm{Tr}_{L_m / L_n} \circ \varphi^{-m} = \varphi^{-m} \circ \psi^{m-n}$, $m \geq n \geq 0$, nous permet de lui donner toujours un sens en utilisant les traces et en consid�rant les valeurs $p^{-m} \mathrm{Tr}_{L_m / L_n} [\varphi^{-m} x]_j$, o� $m$ est n'importe quel entier assez grand.

% Efin, notons \[ \Gamma^*(j+1) = \left\{
%   \begin{array}{c c}
%     j! & \quad \text{ si $j \geq 0$} \\
%     \frac{(-1)^{j-1}}{(-j - 1)!} & \quad \text{si $j < 0$}  \\
%    \end{array} \right. \] le coefficient principal de la s�rie de Laurent de la fonction $\Gamma(s)$ en $s = j + 1$.


%On remarque que $(\nabla - h + 1) \circ \hdots \circ (\nabla - 1) (\sum_{i \geq 0} a_i t^i) = (-1)^{h - 1} (h - 1)! a_0 + t^h z_h, $ o� $z_h =  \sum_{k \geq h} a_k (k - 1) (k - 2) \hdots (k - h + 1) t^{k - h}$. L'op�rateur $ (\nabla - h + 1) \circ \hdots (\nabla -1) $ fixe donc le coefficient constant et ''pousse'' le reste. Cette observation est le germe du th�or�me suivant:

\begin{theorem} [{\cite[Thm. 3.10]{Nakamura}}] \label{recPR}
Soient $D \in \Phi\Gamma(\Robba)$ de Rham, $h \geq 1$ un entier tel que $\mathrm{Fil}^{-h} \, \DdR(D) = \DdR(D)$, $z \in \Nrig(D)^{\psi = 1}$ et $n \geq 0$. On a

$(i)$ Si ${\j} > 0$ et si il existe $z_{\j} \in \Nrig(D)^{\psi = p^{-j}}$ v�rifiant $\partial^{\j} z_{\j} = z$, ou si $-(h-1) \leq j \leq 0$ et $z_{\j} = \partial^{-{\j}} z$, alors, on a, pour $m \gg 0$, \[ \int_{\Gamma_n} \chi^{\j} \cdot \mu_{\nabla_h z} = \frac{p^{m (j - 1)}}{\Gamma^*(- j - h + 1)}  \exp ( \mathrm{Tr}_{L_m / L_n}  [\varphi^{-m} z_j]_0 \otimes t^{-{\j}} e_j), \]

$(ii)$ Si ${\j} \geq h$, on a, pour $m \gg 0$, \[ \exp^* (\int_{\Gamma_n} \chi^{-{\j}} \cdot \mu_{\nabla_h z} ) = \frac{p^{m (-j - 1)}}{\Gamma^*(- j - h + 1)} \mathrm{Tr}_{L_m / L_n} [ \varphi^{-m} \partial^{\j} z]_0 \otimes t^{\j} e_{-j}. \]
\end{theorem}

\begin{remarque} \leavevmode
\begin{itemize}
\item Rappelons que, pour $j \in \Z$, l'�l�ment $e_j$ d�note une base du $L$-espace vectoriel $L(j)$ muni d'actions de $\Gamma$ et $\varphi$ par les formules $\sigma_a(e_j) = a^j \cdot e_j$, $a \in \zpe$, et $\varphi(e_j) = e_j$. Si $D$ est un $(\varphi, \Gamma)$-module, on note $D(j) = D \otimes_L L(j)$ la tordue de $D$ par la $j$-i�me puissance du caract�re cyclotomique. Si $D$ est de Rham, $D(j)$ l'est aussi et on a $\DdR(D(j)) = \DdR(D) \otimes \DdR(\Robba(j)) = \DdR(D) \otimes L \cdot (t^{-j} e_j) = \DdR(D) \otimes L \cdot \mathbf{e}^{\rm dR}_j$, dans la notation de \S \ref{basesdeRham2}. Le terme $[\varphi^{-m} z_{\j}]_0$ appartient � $L_m \otimes \DdR(D)$ et $x \mapsto x \otimes t^{-j} e_j$ induit un isomorphisme $\DdR(D) \xrightarrow{\sim} \DdR(D(j))$. La premi�re �galit� a lieu dans $L_n \otimes H^1_{\varphi, \gamma}(D(j))$ (ou $H_{\varphi, \gamma_n}(D(j))$) et la deuxi�me dans $L_n \otimes_\qp \DdR(D(-j))$.

\item Notons que $\mu \mapsto \mu \otimes e_j$ induit, pour $j \in \Z$, un isomorphisme $H^1_{\rm Iw}(D) \xrightarrow{\sim} H^1_{\rm Iw}(D(j))$ et on a donc, pour $z \in \Nrig(D)^{\psi = 1}$, $\int_{\Gamma_n} \chi(x)^{-j} \cdot \mu_z = \int_{\Gamma_n} 1 \cdot (\mu_z \otimes e_{-j})$. Si $j \geq 0$, l'�l�ment $\varphi^{-n} (z \otimes e_{-j}) \in L_n[[t]] \otimes \DdR(D(-j))$ s'�crit sous la forme $t^{-j} \varphi^{-n} z \otimes t^{j} e_{-j}$ et, si on �crit $\varphi^{-n} z = \sum_l d_l t^l \in L_n[[t]] \otimes \DdR(D)$, l'expression $[\varphi^{-n}(z \otimes e_{-j})]_0$ d�note l'�l�ment $d_j \otimes t^{-j} e_j$, qui n'est autre que $\frac{p^{-nj}}{j!}[\varphi^{-n}\partial^{j} z]_0 \otimes t^{j} e_{-j}$. Le deuxi�me point du th�or�me est donc une paraphrase de la loi de r�ciprocit� de Cherbonnier-Colmez. Pour $j < 0$, le r�sultat est (au moins pour l'auteur) un peu plus myst�rieux  car l'op�rateur $\partial^{j}$, devenant un op�rateur d'int�gration, fait appara�tre des termes qu'on ne voyait pas directement dans le d�veloppement de $\varphi^{-n} z$.

\item Si $j \gg 0$ l'application $\exp_{D(j), F_n}$ est bijective et on peut reformuler le r�sultat en disant que, si $j \geq 0$ ou $j \ll 0$, alors, pour $m \gg 0$, on a \[ \mathrm{Tr}_{L_m / L_n} [ \varphi^{-m} \partial^{\j} z]_0 =   \frac{\Gamma^*(- j - h + 1)}{p^{m (-j - 1)}} \cdot \log (\int_{\Gamma_n} \chi^{-j} \cdot \nabla_h \mu_z) \otimes \mathbf{e}^{\rm dR, \vee}_{-j}, \] o� $\log$ d�note $\exp^{-1}$ ou $\exp^*$ selon que $j \ll 0$ ou que $j \geq 0$.

\item Si $n \geq m(\Delta)$ ($\Delta = \Nrig(D)$), alors l'introduction de $m$ dans les formules est superflue et, comme $\psi(z) = z$, alors $z \in D^{]0, r_n]}$ et on a \[ p^{-m(j + 1)} \mathrm{Tr}_{L_m / L_n} [\varphi^{-m} \partial^j z ]_0 =  \frac{[L_m: L_n]}{p^{m - n}} [\varphi^{-n(j+1)} \partial^j z]. \] On remarque que $\frac{[L_m: L_n]}{p^{m - n}} = 1$ si $n > 0$ et $\frac{[L_m: L]}{p^{m}} = \frac{p - 1}{p}$.

%\item Si $V \in \mathrm{Rep}_L(\mathscr{G}_\qp)$ est une repr�sentation cristalline, on a un isomorphisme $\Robba \otimes_\qp \Dcris(V) \cong \Nrig(V)$ d�fini par $f(T) \otimes x \mapsto f(T) x$. On peut composer la restriction de $\nabla_h$ � $(\Robba^+ \otimes_\qp \Dcris(V))^{\psi = 1} \cong \mathscr{D}(\zp, \Dcris(V))^{\psi = 1}$ avec l'inverse de l'isomorphisme de Fontaine-Pottharst $\mathrm{Exp}^* \colon H^1_{\rm Iw}(\qp, V) \otimes_{\zp[[\Gamma]]} \Lambda_\infty \to \D_{\rm rig}(V)^{\psi = 1}$ et l'application $$ (\mathrm{Exp}^*)^{-1} \circ \nabla_h \colon \mathscr{D}(\zp, \Dcris(V))^{\psi = 1} \to H^1_{\rm Iw}(\qp, V) \otimes_{\zp[[\Gamma]]} \Lambda_\infty $$ ainsi obtenue co\"incide avec l'application de p�riodes de Perrin-Riou (cf., par exemple, \cite{Nakamura}, \S $3.5$).
\end{itemize}
\end{remarque}

On se servira de la version suivante de la loi de r�ciprocit� de Cherbonnier-Colmez, qui est un des ingr�dients de la preuve du th�or�me pr�c�dent, mais pour lequel on n'a pas trouv� de r�f�rence pr�cise.

\begin{proposition} \label{recPRcomp} Soient $D \in \Phi\Gamma(\Robba)$ de Rham, $z \in D^{\psi = 1}$, $n \geq 0$ et $j \geq 0$. Alors, pour $m \gg 0$, on a l'�galit� suivante dans $L_n \otimes \DdR(D)$:
\[ \exp^*(\int_{\Gamma_n} \chi^{-j} \cdot \mu_z ) \otimes t^{-j} e_j = \frac{1}{j!} p^{-m(j + 1)} \mathrm{Tr}_{L_m/ L_n}([\varphi^{-m} \partial^j z]_0). \]
\end{proposition}

\begin{proof}
La formule $\exp^*(\int_{\Gamma_n} \chi^{-j} \cdot \mu_z ) = \exp^*(\int_{\Gamma_n} 1 \cdot \mu_{z \otimes e_{-j}} )$ permet de nous ramener au cas $j = 0$. En outre, la formule $\mathrm{Tr}_{L_{n + 1} / L_n} (\exp^*(x)) = \exp^*(\mathrm{cor}_{F_{n+1} / F_n}(x))$ \footnote{Si $[x, y] \in H^1_{\psi, \gamma_{n+1}}(D)$, sa corestriction est d�finie par la formule $\mathrm{cor}_{F_{n+1} / F_n}([x, y]) = [\frac{1 - \gamma_{n+1}}{1 - \gamma_n}x, y] \in H^1_{\psi, \gamma_n}(D)$, cf. \cite[Lem. II.2.1]{ColmezIw2}.} nous ram�ne � montrer le r�sultat pour $n$ assez grand. En particulier on peut consid�rer $n > 0$ de sorte que $z \in D^{]0, r_n]}$ et on doit donc montrer \[ \exp^*(\int_{\Gamma_n} 1 \cdot \mu_z ) = p^{-n} [\varphi^{-n} z]_0. \]

On a la formule pour la sp�cialisation $\int_{\Gamma_n} 1 \cdot \mu_{z} = [\tau_n(\gamma_n) (z \otimes 1), 0] \in H^1_{\psi, \gamma}(D)$, o� $\tau_n(\gamma_n) = p^{-n} \log(\chi(\gamma_n))$ (car on suppose $n > 0$). Rappelons que l'application $\exp^*$ est d�finie comme la composition du morphisme $H^1_{\varphi, \gamma_n}(D) \to H^1_{\gamma_n}(\Ddif(D))$ avec l'inverse de l'isomorphisme $L_n \otimes \DdR(D) \xrightarrow{\sim} H^1_{\gamma_n}(\Ddif(D))$ donn� par $x \mapsto [\log (\chi(\gamma_n)) (1 \otimes x)]$.

Si $z \in D^{\psi = 1}$, la classe de cohomologie $[z, 0] \in H^1_{\psi, \gamma_n}(D)$ correspond � la classe $[z, (1 - \gamma_n)^{-1} (1 - \varphi) z] \in H^1_{\varphi, \gamma}$ sous l'isomorphisme entre ces deux modules. L'image du cocycle $[ \tau_n(\gamma_n) (z \otimes 1), 0] $ par le morphisme $H^1_{\varphi, \gamma_n}(D) \to H^1_{\gamma_n}(\Ddif(D))$ est donc donn�e par $ [ \tau_n(\gamma_n) \varphi^{-n} z]$.

Or, $\varphi^{-n} z = \sum_{l \geq 0} a_l t^l$, $a_l \in L_n[[t]] \otimes \DdR(D)$ et $[ \tau_n(\gamma_n) \sum_{l \geq 0} a_l t^l] = [\tau_n(\chi(\gamma_n)) a_0]$ (dans $H_{\gamma_n}^1(\Ddif(D))$), car tous les autres termes sont dans l'image de $(1 - \gamma_n)$ (en effet, si $l \neq 0$, $a_l t^l = (1-  \gamma_n) ( (1 - \chi(\gamma_n)^l)^{-1} a_l t^l$...), ce qui permet de conclure car $a_0 = [\varphi^{-n} z]_0$.
\end{proof}

\subsection{La fonction $L$ locale}

\subsubsection{Distributions � valeurs dans un espace de type $\mathrm{LF}$}

On reprend les constructions de \S \ref{poids}. Si $M = \varinjlim_s \varprojlim_r M^{[r, s]}$ est un espace de type $\mathrm{LF}$, on pose $$ \mathcal{O}(\mathfrak{X}) \widehat{\otimes} M = \varprojlim_{n} \varinjlim_{s > 0} \varprojlim_{0 < r < s} \mathcal{O}(\mathfrak{X}_n) \widehat{\otimes} M^{[r, s]}, $$ o� le dernier produit tensoriel est le produit tensoriel usuel entre deux espaces de Banach. On dit que $f$ est une fonction analytique sur $\mathfrak{X}$ � valeurs dans $M$ si $f$ est un �l�ment de $\mathcal{O}(\mathfrak{X}) \widehat{\otimes} M$.
%On a $$ \mathscr{D}(\zpe, M) = \mathscr{D}(\zpe) \widehat{\otimes} M = \varprojlim_n \mathcal{O}(\mathfrak{X}_n) \widehat{\otimes} \varinjlim_{s > 0} \varprojlim_{r < s} M^{[r, s]} = \varprojlim_n \varinjlim_s \varprojlim_r \mathcal{O}(\mathfrak{X}_n) \widehat{\otimes} M^{[r,s]}, $$ o� les �galit�s des extr�mit�s sont des d�finitions. Ceci nous permettrait de parler indistinctement de distributions sur $\zpe$ et de fonctions analytiques sur $\mathfrak{X}$ � valeurs dans $M$.

\subsubsection{Prolongement analytique de $k \mapsto \partial^k$} \label{prolan}

Soit $D \in \Phi \Gamma(\Robba)$ de rang $d$, de Rham, et notons $\Delta = \Nrig(D)$. Rappelons que, d'apr�s le lemme \ref{lemme11}, si $K / \qp$ d�note la plus petite extension galoisienne telle que $\mathscr{G}_\qp$ agit sur $\D_{\rm pst}(D)$ � travers $\mathrm{Gal}(K / \qp)$ et si l'on note $r(\Delta) = (\delta_K + 1)^{-1}$, il existe, pour tout $s < r(\Delta)$, des sous-$\E^{]0, s]}$-modules $\Delta^{]0, s]}$ de $\Delta$, munis d'une famille de valuations $v^{[r, s]}$, $0 < r < s < r(\Delta)$, pour lesquelles la norme de l'op�rateur $\partial$ satisfait \[ v^{[r, s]}(\partial) \geq -s - 1 \geq - (\delta_K + 1)^{-1} - 1. \] \textit{On supposera dor�navant, et par commodit�, que $m(\Delta)$ est tel que $r_{m(\Delta)} < r(\Delta)$}. De plus, pour $s < r(\Delta)$, les op�rateurs \[ \varphi \colon \Delta^{]0, s]} \to \Delta^{]0, s/p]}, \;\;\; \psi \colon \Delta^{]0, s/p]} \to \Delta^{]0, s]}, \] agissent de fa�on continue pour les valuations $v^{[r, s]}$. Rappelons aussi que l'on a \[ \Delta = \varinjlim_{s > 0} \Delta^{]0, s]} = \varinjlim_{s > 0} \varprojlim_{0 < r < s} \Delta^{[r, s]}. \]

Si $z \in \Delta^{\psi = 0}$ et $N > 0$, on peut �crire $z = \sum_{i \in (\Z / p^N \Z)^\times} (1 + T)^i \varphi^N(z_i)$, $z_i = \psi^N( (1 + T)^{-i} z)$. La formule de Leibnitz et l'identit� $\partial \circ \varphi = p \, \varphi \circ \partial$ donnent, pour $k \geq 0$, \[ \partial^k  z = \sum_{i \in (\Z / p^n \Z)^\times} \sum_{j = 0}^k {k \choose j} i^{k - j} (1 + T)^i p^{Nj} \varphi^N( \partial^j z_i). \] Enfin, rappelons que, si $\eta \in \mathfrak{X}(L)$ alors $\omega_\eta$ d�note son poids (cf. \S \ref{poids}) et que le poids du caract�re $x \mapsto x^k$ est $k$. L'identit� de la formule ci-dessus sugg�re la proposition suivante, qui est le point de d�part des constructions de cet article.


%Soit $v_1, \hdots, v_d$ une base de $\Delta$ tel que la matrice de l'action $\partial$ sur cette base soit � coefficients born�s (cf. lemme \ref{lemme11}) et soit $r(\Delta)$ telle que le $\epsilon$ du lemme \ref{subm1} soit plus petit que $r_{m(\Delta)} = \frac{1}{(p - 1) p^{m(\Delta) - 1}}$. Pour $0 < r < s \leq r_{m(\Delta)}$ et $z = \sum_i f_i v_i \in \Delta^{[r, s]}$, on pose $v^{[r, s]}(z) = \inf_{i = 1, \hdots, d} v^{[r, s]}(f_i)$, qui en fait un espace de Banach. La valuation d�pend de la base choisie mais si l'on change cette base, on obtient une valuation �quivalente. La proposition suivante est l'analogue pour $\Delta^{\psi = 0}$ de la proposition \ref{prop1}

\begin{proposition} \label{prop4}
Soient $\kappa \in \mathfrak{X}$ et $z \in \Delta^{\psi = 0}$. Alors, la s�rie \begin{equation} \label{form2}  \sum_{i \in (\Z / p^N \Z)^\times} \sum_{j = 0}^{+\infty} {\omega_\kappa \choose j} \kappa(i) i^{-j} (1+T)^i p^{Nj} \varphi^N(\partial^j z_i)  \end{equation} converge, pour $N \gg 0$, dans $\Delta^{\psi = 0}$, et la somme ne d�pend ni de $N$ ni du choix du syst�me de repr�sentants de $(\Z / p^N \Z)^\times$. L'application $\kappa \mapsto \kappa(\partial) z$ ainsi d�finie est une fonction rigide analytique sur $\mathfrak{X}$ � valeurs dans $\Delta^{\psi = 0}$.
\end{proposition}
%
%On aura besoin du lemme suivant
%
%\begin{lemme} \label{lemme10} Soient $z = \sum_{i = 1}^d f_i v_i \in \Delta^{[r, s]}$ avec $r < s \leq r(\Delta)$ et $N, j \geq 0$. Il existe alors des constantes $C^\partial_{\Delta, s}, C^\varphi_{\Delta, r, s, N},  C^\psi_{\Delta, r, s, N} \geq 0, $ telles que
%
%$(i)$ $v^{[r, s]}(\partial^j z) \geq  v^{[r, s]}(z) - j s - j C^\partial_{\Delta,s}. $
%
%$(ii)$ $v^{[r / p^N, s / p^N]}(\varphi^N z) \geq v^{[r, s]}(z) - C^\varphi_{\Delta, r, s, N}. $ 
%
%$(iii)$ Si $s < r_{n(\Delta) + N}$, $v^{[r p^N, s p^N]}(\psi^N z) \geq v^{[r, s]}(z) - N - C^\psi_{\Delta, r, s, N}. $ 
%\end{lemme}
%
%\begin{proof}
%$(i)$ Soit $B = (b_{ij})_{1 \leq i, j \leq d} \in \mathrm{M}_{d}(\E^\dagger)$ la matrice de l'op�rateur $\partial: v_i \mapsto \sum_{j = 1}^d b_{ij} v_j$ dans la base $(v_i)_{i = 1, \hdots, d}$ et, pour $z = \sum f_i v_i$, notons $z = \langle f, v \rangle$. Par la formule de Leibnitz on a $\partial^j z = \sum_{a + b = j} {j \choose a} \langle \partial^a f, \partial^b v \rangle. $ Une r�currence en utilisant toujours la formule de Leibnitz montre que $\partial^b v$ est une combinaison lin�aire � coefficients entiers de termes de la forme $(\partial^{k_1} B)^{j_1} B^{i_1} (\partial^{k_2} B)^{j_2} B^{i_2} \cdot \hdots \cdot (\partial B)^{j_n} B^{i_n} \cdot v$, avec $n, i_h, j_h \geq 0$, $k_h \geq 1$, $\sum_{h = 1}^{n} i_h + j_h (k_h + 1)  = b$. Soit $M = (c_{ij})_{i,j} = (\partial^{k_1} B)^{j_1} B^{i_1} (\partial^{k_2} B)^{j_2} B^{i_2} . \hdots . (\partial B)^{j_n} B^{i_n}$ et notons $\alpha = \inf_{i,j}{ v^{[r,s]} (b_{ij}) }$. On a $$ v^{[r, s]}(c_{ij}) \geq \sum_{h = 1}^n j_h (\alpha - k_h s) + i_h \alpha \geq \min(0, b \alpha) - b s. $$ On en d�duit le r�sultat en utilisant le lemme \ref{lemme8} et en prenant  $$ C^\partial_{\Delta} = \max(- \inf_{0 < r < s}\inf_{i, j} v^{[r, r_{m(\Delta)}]}(b_{ij}), 0), $$ qui est fini car on a choisi la base pour que les coefficients de $B$ appartiennent � $\E^\dagger$, ce qui �tait possible gr�ce au lemme \ref{lemme11}.
%
%$(ii)$ Soit $A(N) = (a(N)_{ij})_{1 \leq i, j \leq d} \in \mathrm{M}_{d}(\Robba)$ la matrice de $\varphi^N: \Delta^{[r, s]} \to \Delta^{[r/p^N, s / p^N]}$. On a $\varphi^N v_i = \sum_{j = 1}^d a(N)_{ij} v_j$ et $\varphi^N z = \sum_i \varphi^N(f_i) \sum_j a(N)_{ij} v_j = \sum_j (\sum_i a(N)_{ij} \varphi^N(f_i)) v_j$. Il suffit donc de poser $ C^\varphi_{\Delta, r, s, N} = \inf_{1 \leq i,j \leq d} v^{[r/p^N, s/p^N]}(a(N)_{ij}) $
%
%%$(ii)$ Soit $A = (a_{ij})_{1 \leq i, j \leq d} \in \mathrm{M}_{d}(\Robba)$ la matrice du Frobenius. On a $\varphi v_i = \sum_{j = 1}^d a_{ij} v_j$ et $\varphi^N z = \langle \varphi^N(f), \varphi^{N-1}(A) \varphi^{N-2}(A) . \hdots . \varphi(A) A \cdot v \rangle$. Or, si $0 \leq h < n$ et $\varphi^h(A) = (a^h_{ij})_{ij}$, on a $v^{[r/p^N, s/p^N]}(a^h_{ij}) =v^{[r / p^{N - h}, s/p^{N - h}]}(a_{ij}) \geq v^{[r / p^N, s]}(a_{ij})$.  Par le lemme \ref{lemme8}, le r�sultat en suit en prenant $C^\varphi_{\Delta, r, s, N} = \inf_{1 \leq i,j \leq d} v^{[r/p^N, s]}(a_{ij})$.
%
%$(iii)$ Par d�finition, $(v)_{i=1, \hdots, d}$ forme une base de $\Delta^{[p^Nr, p^Ns]}$ et donc $(\varphi^N(v_i))_{i = 1, \hdots, d}$ forme aussi une base de $\Delta^{[r, s]}$. On a $z = \sum_{i = 1}^d f_i v_i = \sum_{i = 1}^d f_{N, i} \varphi^N(v_i)$, $f_i, f_{N, i} \in \Robba^{[r, s]}$. Soit $C = (c_{ij}) \in \mathrm{GL}_d(\Robba^{[r, s]})$ la matrice de changement de base de $(v_i)$ � $(\varphi^N(v_i))$. Posons $C^\psi_{\Delta, r, s, N} = \inf_{1 \leq i, j \leq d} v^{[r, s]}(c_{ij})$ ce qui fait que $\inf_{i} v^{[r, s]} (f_{N, i}) \geq \inf_{i} v^{[r, s]} (f_i) - C^\psi_{\Delta, r, s, N}$. On a $\psi^N (z) = \sum \psi^N(f_{N, i}) v_i$ et donc 
%\begin{eqnarray*}
%v^{[p^Nr, p^Ns]}(\psi^N z) &=& \inf_{i}  v^{[p^Nr, p^Ns]}(\psi^N(f_{N, i})) \\
%&\geq&  \inf_{i}  v^{[r, s]}(f_{N, i}) - N \\
%&\geq& \inf_{i} v^{[r, s]}(f_i) - C^\psi_{\Delta, r, s, N} - N \\
%&=& v^{[r,s]}(z) - C^\psi_{\Delta, r, s, N} - N.
%\end{eqnarray*}
%\end{proof}

\begin{proof}
Notons, pour $N > 0$ et $0 < r < s < r(\Delta) p^{-N}$, $C^{[r, s]}_{\varphi^N}$ et $C^{[r, s]}_{\psi^N}$ les normes, relatives aux valuations $v^{[r, s]}$ et $v^{[p^N r, p^N s]}$, des op�rateurs \[ \varphi^N \colon \Delta^{]0, p^N s]} \to \Delta^{]0, s]}, \;\;\; \psi^N \colon \Delta^{]0, s]} \to \Delta^{]0, p^N s]}, \] et, pour $N > 0$ et $0 < r < s < r(\Delta)$, $C^{[r, s]}_\partial$ la norme de l'op�rateur $\partial$ pour la valuation $v^{[r, s]}$, de sorte que $C_{\varphi^N}^{[r, s]}, C_{\psi^N}^{[r,s]} > -\infty$ et $C^{[r, s]}_\partial \geq - s - 2$.

Pour $i \in (\Z / p^N \Z)^\times$, on pose  $$g_j(\kappa) = {\omega_\kappa \choose j} \kappa(i) i^{-j} (1+T)^i p^{Nj} \varphi^N(\partial^j z_i).  $$ Supposons $s < r(\Delta) p^{-N}$, on a alors
\begin{eqnarray*}
v^{[r, s]}(\varphi^N (\partial^j z_i)) &\geq& v^{[p^Nr, p^Ns]}(\partial^j \psi^N ((1 + T)^{-i} z)) + C^{[r, s]}_{\varphi^N} \\
&\geq& v^{[p^Nr, p^Ns]}(\psi^N ((1 + T)^{-i} z)) + C^{[r, s]}_{\varphi^N} + j C^{[p^N r, p^N s]}_\partial \\
&\geq& v^{[r, s]}(z) + C^{[r, s]}_{\varphi^N} + j C^{[p^N r, p^N s]}_\partial + C^{[r, s]}_{\psi^N} \\
&\geq& v^{[r, s]}(z) + C^{[r, s]}_{\varphi^N} + j (- p^N s - 1) + C^{[r, s]}_{\psi^N}.
\end{eqnarray*}

Remarquons d'ailleurs les estimations suivantes �videntes:
\begin{itemize}
\item $v^{[r,s]}((T + 1)^i) = 0.$
\item $v^{[r,s]}({\omega_\kappa \choose j}) = v_p({\omega_\kappa \choose j}) \geq j(\inf(v_p(\omega_\kappa), 0) - \frac{1}{p - 1}) = j C_\kappa. $ Or $ \omega_\kappa = \frac{\log z_\kappa}{q}$ et donc \[ v_p(\omega_\kappa) \geq \inf_{k \geq 0} \{ p^k v_p(z_\kappa - 1) - k \} -  v_p(q). \] Or, si $\kappa \in \mathfrak{X}_n$, la constante $C_\kappa$ est born�e en fonction de $n$. En effet, si $v_p(z_\kappa - 1) \geq \frac{1}{n}$, la formule pour $\omega_\kappa$ donne $C_\kappa \geq C_n = \min ( \inf_{k \geq 0} \{ \frac{p^k}{n} - k\} - v_p(q), 0) - \frac{1}{p - 1}$. On en d�duit donc \[ v_p({\omega_\kappa \choose j}) \geq j C_n .\]
\item $v^{[r,s]}(i^{-j}) = v_p(i^{-j}) = 0.$
\item $v^{[r,s]}(\kappa(i)) = v_p(\kappa(i)) = 0.$
\end{itemize}

On en d�duit:
\[ \inf_{\kappa \in \mathfrak{X}_n} v^{[r,s]}(g_j(\kappa)) \geq v^{[r, s]}(z) + C^{[r, s]}_{\varphi^N} + C^{[r, s]}_{\psi^N} + j (C_n + N - p^N s - 1). \]

Par d�finition de fonction analytique sur $\mathfrak{X}$ � valeurs dans $\Delta$, il faut montrer que, pour tout $n > 0$, il existe $s > 0$ et $N > 0$ tel que, pour tout $r \in ]0, s]$, l'expression (\ref{form2}) est convergente pour la valuation naturelle de $\mathcal{O}(\mathfrak{X}_n) \widehat{\otimes} \Delta^{[r,s]}$, et que les �l�ments dans $\mathcal{O}(\mathfrak{X}_n) \widehat{\otimes} \Robba$ ainsi d�finis ne d�pendent ni de $N$ ni du syst�me de repr�sentants de $(\Z / p^N \Z)^\times$ et sont compatibles par rapport aux applications naturelles de restriction $\mathcal{O}(\mathfrak{X}_{n+1}) \widehat{\otimes} \Robba \to \mathcal{O}(\mathfrak{X}_n) \widehat{\otimes} \Robba$.

Fixons $n$ et choisissons $N$ assez grand et $s < r(\Delta) p^{-N}$ assez petit de sorte que $(C_n + N - p^N s - 1) > 0$. On observe qu'aucun choix ne d�pend de $r$. Ceci montre que la somme des $g_j(\kappa)$ converge sur $\mathcal{O}(\mathfrak{X}_n) \widehat{\otimes} \Delta^{[r, s]}$ pour tout $r < s$ et d�finit, pour chaque $n \geq 0$, un �l�ment dans $\mathcal{O}(\mathfrak{X}_n) \widehat{\otimes} \Delta$.

On montre maintenant que l'expression ne d�pend ni de $N$ ni du choix du syst�me de repr�sentants de $(\Z / p^N \Z)^\times$. Si l'on fixe $n > 0$, $N > 0$ et $s > 0$ comme ci-dessus et un syst�me de repr�sentants de $(\Z / p^N \Z)^\times$, l'expression \eqref{form2} d�finit une fonction rigide analytique sur $\mathfrak{X}_n$. De plus, les valeurs de ces fonctions aux caract�res $x^k \in \mathfrak{X}_n$, $k \in \Z$, ne d�pendent pas du choix de $N$. On conclut en remarquant que ces caract�res sont Zariski denses dans $\mathfrak{X}_n$.


Enfin, les fonctions d�finies ne d�pendent �videment pas de $n$, et on conclut donc que (\ref{form2}) d�finit un �l�ment de $\mathcal{O}(\mathfrak{X}) \widehat{\otimes} \Delta^{\psi = 0}.$
\end{proof}

\begin{corollary} \label{coro2}
Soit $N(n)$ le plus petit $N$ qui fait que la formule \eqref{form2} soit bien d�finie sur $\mathfrak{X}_n$ et soit $\kappa \in \mathfrak{X}_n$. Alors, pour tous $0 < r < s < r(\Delta) p^{-N(n)}$, $\kappa(\partial)$ stabilise $\Delta^{[r, s]}$.
\end{corollary}

\subsubsection{Bases et modules de de Rham} \label{basesdeRham2}

Les �l�ments d�finis ci-dessous permettront de simplifier consid�rablement les notations futures ainsi que de clarifier certains facteurs apparaissant dans les formules d'interpolation  (on y reviendra dans \S \ref{basesdeRham3}).

Si $\xi \colon \qpe \to L^\times$ est un caract�re, on note $e_\xi$ une base du $L$-espace vectoriel $L(\xi)$ de dimension $1$ muni d'actions de $\varphi$ et $\Gamma$ via les formules $\varphi(e_\xi) = \xi(p) \cdot e_\xi$ et $\sigma_a(e_\xi) = \xi(a) \cdot e_\xi$, $a \in \zpe$. Si $D$ est un $(\varphi, \Gamma)$-module, on note $D(\xi) = D \otimes \xi$ le module $D \otimes_L L(\xi)$ (c'est le tordu de $D$ par $\xi$). Le choix de $e_\xi$ fournit un isomorphisme de $L$-espaces vectoriels $D \xrightarrow{\sim} D(\xi): x \mapsto x \otimes e_\xi$. Si $\eta \colon \zpe \to L^\times$ est un caract�re, les m�mes constructions s'appliquent sur $\eta$ en regardant $\eta$ comme un caract�re sur $\qpe$ en posant $\eta(p) = 1$.

Soit $\eta \colon \zpe \to L^\times$ un caract�re localement constant. L'�l�ment $G(\eta) e_\eta \in L_\infty(\eta)$ est fix� par l'action de $\Gamma$ et on a donc un isomorphisme $\DdR(\Robba(\eta)) = (L_\infty((t)) \cdot e_\eta)^\Gamma = L \cdot G(\eta) e_\eta$, ce qui nous fournit un g�n�rateur $\mathbf{e}^{\rm dR}_\eta = G(\eta) e_\eta$ de ce module. Si $j \in \Z$, on rappelle que l'on a not� $e_j = e_{\chi^j}$ une base du module $L(\chi^j)$, de sorte que $\mathbf{e}^{\rm dR}_j =  t^{-j} e_j$ est une base de $\DdR(\Robba(\chi^j))$. Notons \[ \mathbf{e}_{\eta, j} = e_\eta \otimes e_j, \] qui est une base de $L(\eta \chi^j)$. L'�l�ment \[ \mathbf{e}^{\rm dR}_{\eta, j} =  \mathbf{e}^{\rm dR}_\eta \otimes \mathbf{e}^{\rm dR}_j = G(\eta) t^{-j} \cdot \mathbf{e}_{\eta, j} = G(\eta) e_\eta \otimes t^{-j} e_j \] constitue une base du module $\DdR(\Robba(\eta \chi^j))$.

Si $D \in \Phi\Gamma(\Robba)$ est de Rham, alors $D(\eta \chi^j)$ l'est aussi et on a, par ce qui pr�c�de, \[ \DdR(D(\eta \chi^j)) = \Ddif( D \otimes L(\eta \chi^j))^\Gamma = \DdR(D) \otimes L \cdot \mathbf{e}^{\rm dR}_{\eta, j}, \] de sorte que l'application $x \mapsto x \otimes \mathbf{e}^{\rm dR}_{\eta, j}$ induit un isomorphisme $\DdR(D) \xrightarrow{\sim} \DdR(D(\eta \chi^j))$.

Enfin, on note $e_\eta^\vee = e_{\eta^{-1}}$, $e_j^\vee = e_{-j}$ les �l�ments duaux, respectivement, de $e_\eta$ et $e_j$, ainsi que \[ \mathbf{e}^{\rm dR, \vee}_{\eta, j} = G(\eta)^{-1} \cdot e_\eta^\vee \otimes t^j e_j^\vee, \] base du module $\DdR(\Robba(\eta^{-1} \chi^{-j}))$. L'application $x \mapsto x \otimes \mathbf{e}^{\rm dR, \vee}_{\eta, j}$ induit un isomorphisme $\DdR(D(\eta \chi^j)) \xrightarrow{\sim} \DdR(D)$ et on a $x \otimes \mathbf{e}^{\rm dR}_{\eta, j} \otimes \mathbf{e}^{\rm dR, \vee}_{\eta, j} = x$ pour tout $x \in \DdR(D)$.


\subsubsection{Interpolation} \label{interpolation}

Soient $D \in \Phi \Gamma(\Robba)$ de Rham, $\Delta = \Nrig(D)$, $\eta$ un caract�re de Dirichlet de conducteur $p^m$, $m \geq m(\Delta)$ et $\kappa(x) = z_{\kappa}^{\frac{\log x}{q}}$. On pose
%\footnote{Comparer cette d�finition avec les formules des propositions \ref{prop3} et \ref{prop3b}}
\begin{equation} \label{forminterp}
\Lambda_{D, z}(\eta \kappa) = \mathrm{G}(\eta)^{-1} \sum_{a \in (\Z / p^m \Z)^\times} \eta(a) \sigma_a [ \varphi^{-m} \kappa(\partial) (1 - \varphi) z ]_0.
\end{equation}

L'application $\varphi^{-m}$ est d�finie sur $\Delta^{]0, r_m]}$ et l'expression ci-dessus n'a donc un sens que pour les caract�res $\kappa$ tels que $\kappa(\partial)(1 - \varphi) z \in \Delta^{]0, r_m]}$ et, dans ce cas, on a  $\Lambda_{D, z}(\eta \kappa) \in L_m \otimes \DdR(D)$. Nous allons montrer que $\Lambda_{D, z}$ est bien d�finie d�s que $\eta$ est un caract�re de Dirichlet assez ramifi� et $\kappa$ est un caract�re vivant dans un certain voisinage ouvert du caract�re trivial et que les valeurs interpol�es par $\Lambda_{D, z}$ aux caract�res sp�ciaux $\eta \chi^{\j}$, ${\j} \in \Z$, sont reli�es � des valeurs arithm�tiquement int�ressantes. Le th�or�me principal de ce chapitre est le suivant:

\begin{theorem} \label{theo1}
Soient $D \in \Phi\Gamma(\Robba)$ de Rham, $z \in \Delta^{\psi = 1}$ et $h \in \Z$ tel que $\mathrm{Fil}^{-h} \, \D_{\mathrm{dR}}(D) = \D_{\mathrm{dR}}(D)$. Il existe une constante $N(D)$ (ne d�pendant que de l'extension $K$ fournie par le th�or�me de monodromie $p$-adique et de $p$) \footnote{cf. le lemme \ref{lemme6} ci-dessous pour le calcul de la constante.}, telle que la formule \eqref{forminterp} d�finit une fonction rigide analytique $\Lambda_{D, z} \in \mathcal{O}( \mathfrak{U}_D ) \otimes \DdR(D)$, o� $\mathfrak{U}_D = \cup_{\mathrm{c}(\eta) > m(\Delta)} \mathfrak{B}(\eta, N(D))$ (cf. \S \ref{sectresprinc}). De plus, pour tout caract�re $\eta \chi^j \in \mathfrak{U}_D$, o� $\eta$ est un caract�re de conducteur $p^n$, $n > 0$, et $j \in \Z$, on a

\[ \Lambda_{D, z} (\eta \chi^{\j}) = \Gamma^*(j - h + 1) p^{n(j + 1)} \cdot \left\{ 
  \begin{array}{l l}
   \exp^*(\int_{\Gamma} \eta \chi^{-j} \cdot \mu_{\nabla_h z}) \otimes \mathbf{e}^{\rm dR, \vee}_{\eta, -j} & \quad \text{si ${\j} \geq h$} \\
 \exp^{-1}(\int_{\Gamma} \eta \chi^{-j} \cdot \mu_{\nabla_h z}) \otimes \mathbf{e}^{\rm dR, \vee}_{\eta, -j}  & \quad \text{si ${\j} \ll 0$,}
  \end{array} \right.\] De plus, si $D$ est cristallin, l'application $\Lambda_{D, z}$ provient par restriction d'une fonction rigide analytique d�finie sur tout l'espace des poids. 
\end{theorem}

\begin{remarque} \leavevmode
\begin{itemize}
\item L'application $\mathrm{Exp}^*$ �tant $\Lambda_\infty$-lin�aire, on a $\mu_{\nabla_h z} = \nabla_h \mu_z$.
\item La preuve du th�or�me conste de trois parties. Dans la section \ref{calculrayon}, on calcule la constante $N(D)$, qui fournit l'ouvert de d�finition de $\Lambda_{D, z}$, et, dans les sections \ref{interexpd} et \ref{interexp}, on montre les propri�t�s d'interpolation. Notons que, si l'on d�finit $\log$ comme $\exp^{-1}$ ou $\exp^*$ selon le cas, on obtient un �nonc� d'interpolation uniforme pour tous les entiers $j \in \Z$. 
\end{itemize}
\end{remarque}

\subsubsection{Calcul du rayon de convergence} \label{calculrayon}

Si $\eta$ est un caract�re de conducteur $p^m$, $\kappa(x) = z_{\kappa}^{\frac{\log x}{q}}$ alors, pour que la formule \eqref{forminterp} d�finissant l'application $\Lambda_{D, z}(\eta \kappa)$ ait un sens, il suffit que $\kappa(\partial)(1 - \varphi) z \in \Delta^{]0, r_m]}$. Ceci impose des conditions sur la valeur de $N$ dans la d�finition de $\kappa(\partial)$, comme le montre le corollaire \ref{coro2}. Le lemme suivant calcule, pour un $\eta$ fixe, le rayon de convergence autour $\eta$ de cette formule, ce qui d�crit l'ouvert $\mathfrak{U}_D$ de d�finition de l'application $\Lambda_{D, z}$.

%$\varphi^{-m}(\int_{\mathbf{Z}^*_p} \hat{\eta}(\frac{-x}{p^m}) \zeta_{p^m}^{-x} \kappa(x) t^k \lambda_z) \in F_m[[t]], $ ce qui est �quivalent � demander que  $\varphi^{-m}(\int_{\mathbf{Z}^*_p} \kappa(x) t^k \lambda_z) \in F_m[[t]], $ $\hat(\eta)$ �tant d'ordre fini et $\zeta_{p^m}^x$ �tant une unit�.

\begin{lemme} \label{lemme6}
Soient $z \in \Delta^{\psi = 1}$ et $\eta \colon \zpe \to L^\times$ un caract�re de conducteur $p^m$, $m > m(\Delta)$. Il existe une constante $N(D) = C_p + m(\Delta)$, o� $C_p$ est une constante qui ne d�pend que de $p$, telle que la formule d�finissant $\Lambda_{D, z}(\eta \kappa)$ est bien d�finie d�s que $v_p(z_{\kappa} - 1) > p^{N(D) - m}$.
\end{lemme}

\begin{proof}
L'�l�ment $\kappa(\partial) (1 - \varphi) z$ est d�fini comme somme des $$ g_j(\kappa) =  {\omega_\kappa \choose j} \kappa(a) a^{-j} (1+T)^a p^{Nj} \varphi^N(\partial^j z_a), $$ pour $N$ assez grand. Ces �l�ments appartiennent \footnote{Rappelons que, comme $z \in \Delta^{\psi = 1}$, alors $z \in \Delta^{]0, r_{m(\Delta)}]}$, et donc $\varphi^N(\partial^j z_a) \in \Delta^{]0, r_{m(\Delta) + N + 1}]}$.} � $\Delta^{]0, r_m]}$ si $N < m - m(\Delta)$. Prenons donc $N = m - m(\Delta) - 1$.

Soit $N(D) =  C_p +  m(\Delta)$, avec \[ C_p = - 1 / \log p - \log \log p + v_p(q) + \frac{1}{p - 1} + 3, \] et montrons que, si $v_p(z_{\kappa} - 1) > p^{N(D) - m}$, la somme d�finissant $\kappa(\partial) (1 - \varphi) z$ converge.

Par la d�monstration de la proposition \ref{prop4}, on a \[ v^{[r, r_m]}(g_j(\kappa)) \geq C + j (\frac{1}{j} v_p \big( {\omega_\kappa \choose j} \big) + N + C_\partial^{[p^N r, p^N r_m]}), \] o� $C$ est une constante qui ne d�pend pas de $j$ et $C_\partial^{[p^N r, p^N r_m]} \geq - p^N r_m - 1 = - r_{m(\Delta) + 1} - 1$. On se ram�ne donc � montrer que $$ \frac{1}{j} v_p\big( {\omega_\kappa \choose j} \big) > m(\Delta) - m + r_{m(\Delta) + 1} + 2. $$

On a $\omega_\kappa = \frac{\log \kappa( \exp(q))}{ q } = \frac{\log z_\kappa}{ q }$, donc $v_p(\omega_\kappa) = v_p( \log z_\kappa ) - v_p(q) \geq \inf \{ v_p (z_\kappa - 1) p^k - k \} - v_p(q)$. On a deux cas:

\begin{itemize}
\item Si $v_p(\omega_\kappa) \geq 0$, alors la condition est automatiquement satisfaite d�s que $m > m(\Delta) + 3$ .
\item Supposons que $v_p(\omega_\kappa) < 0$. On a $ v_p\big( {\omega_\kappa \choose j} \big) = j v_p(\omega_\kappa) - v_p(j!) \geq j(v_p(\omega_\kappa) - \frac{1}{p - 1})$. Pour montrer l'in�galit� ci-dessus, il suffit donc de montrer que $$ \inf_{k \geq 0} \{ v_p(z_\kappa - 1) p^k - k \} > v_p(q) + \frac{1}{p - 1} +  m(\Delta) - m + r_{m(\Delta) + 1} + 2. $$

Ceci revient � montrer que, pour tout $k \geq 0$, on a $v_p(z_\kappa - 1) p^k - k > v_p(q) + \frac{1}{p - 1} +  m(\Delta) - m + r_{m(\Delta) + 1} + 2$, ou, de mani�re �quivalente, $$ v_p(z_\kappa - 1) > p^{-k}(v_p(q) + \frac{1}{p - 1} +  m(\Delta) - m + r_{m(\Delta) + 1} + 2 + k) = p^{-k}(C + k). $$ La fonction d'une variable r�elle $f(x) = p^{-x}(C + x)$ atteint son maximum absolu en $x = 1/ \log p - C$. On a donc $$ p^{-k}(v_p(q) + \frac{1}{p - 1} +  m(\Delta) - m + r_{m(\Delta) + 1} + 2 + k) \leq p^{m(\Delta) + C_p - m}, $$ ce qui permet de conclure.
\end{itemize}
\end{proof}

\begin{remarque} \leavevmode
\begin{itemize}
\item Le lemme ci-dessus nous permet de d�crire l'ouvert $\mathfrak{U}_D \subseteq \mathfrak{X}$ de d�finition de $\Lambda_{D, z}$: il est une union de boules centr�es sur les points $\zeta_{p^m}$, $m > m(\Delta)$, de rayon $p^{-p^{N(D) - m}}$ (qui tend vers $1$ quand $\mathrm{c}(\eta) \to +\infty$).
\item Si $\zeta_{p^m}^b$, $\zeta_{p^m}^a$, $1 \neq a, b \in (\Z / p^m \Z)^\times$, sont deux racines primitives de l'unit� (correspondant au choix de deux caract�res d'ordre fini du m�me conducteur), alors $v_p(\zeta_{p^m}^b - \zeta_{p^m}^a) = v_p(\zeta_{p^m}^{b - a} - 1) = \frac{1}{p^{m - 1 - v_p(b - a)}(p - 1)} = p^{v_p(b - a)} r_{m}$. On en d�duit que les boules sont disjointes d�s que $v_p(b - a) < N(D)$.
%qui est, sauf peut �tre � quelques exceptions pr�s, $ < p^{N(D) - m}$, et donc les boules sont disjointes...
\item Un entier $j \in \Z$, $j \equiv 0 \text{ (mod } p - 1)$, correspond au caract�re $\chi^j$ et $z_{j} = z_{\chi^j} = (1 + 2p)^j$ \footnote{On a pos� $z_{\chi^j} = (\exp q)^j$, mais cela ne change rien si l'on choisit un autre g�n�rateur de $1 + 2p \zp$, comme par exemple $1 + 2p$.}. On en d�duit que $v_p(z_j - 1) > p^{N - \mathrm{c}(\eta)}$ si $v_p(j) \geq p^{N - \mathrm{c}(\eta)}$. L'ouvert $\mathfrak{B}(\eta, N)$ contient alors tous les caract�res de la forme $\eta \chi^j$, $v_p(j) \geq p^{N - \mathrm{c}(\eta)}$. En particulier, si $N - \mathrm{c}(\eta) < 0$, il contient tous les caract�res $\eta \chi^j$, avec $(p - 1)p \mid j$.
\end{itemize}
\end{remarque}


% Demonstration ordre inverse...
%Revenant aux propositions \ref{prop1} et \ref{prop4} et � la formule (\ref{forminterp}), pour que l'expression $\varphi^{-m} \int_{\zpe} \kappa(x) \lambda_{(1 - \varphi) z} = \varphi^{-m} \kappa(\partial) z$ appartienne � $F_m[[t]] \otimes_K \D_{\mathrm{dR}}(D)$, il faut que les deux conditions suivantes soient satisfaites:
%\begin{enumerate}
%\item $\kappa(\partial) (1 - \varphi) z$ est bien d�fini, c'est-�-dire que l'expression de la proposition \ref{prop4} soit convergente.
%\item $\kappa(\partial) (1 - \varphi) z \in \mathrm{N}_{\mathrm{rig}}^{]0, r_m]}. $
%\end{enumerate}
%
%La deuxi�me condition entraine $n(\Delta) + N \leq m$. On peu donc supposer $N = m - n(\Delta)$ (et en particulier on a $m \geq n(\Delta)$).
%
%Par ailleurs, $\kappa(\partial) z$ est d�fini comme somme des $$ g_j(\kappa) =  {\omega_\kappa \choose j} \kappa(a) a^{-j} (1+T)^a p^{Nj} \varphi^N(\partial^j z_a). $$ Par la d�monstration de la proposition \ref{prop4}, on a $$ v^{[r, r_m]}(g_j) \geq C + j (\frac{1}{j} v_p{\omega_\kappa \choose j} + N - p^N r_m - C^\partial_\Delta), $$ o� $C$ est une constante qui ne d�pend pas de $j$, et on se ram�ne � �tudier les conditions que l'on doit imposer sur $\kappa$ pour qu'on ait $$ \frac{1}{j} v_p{\omega_\kappa \choose j} > n(\Delta) - m + r_{n(\Delta)} + C^\partial_\Delta. $$
%
%%D'abord, $N(1 - \frac{1}{j}) - p^N r_m - C^\partial_\Delta > 0$ �quivaut (car $j \gg 0$) � $N - p^N r_m > C^\partial_\Delta 0,$ soit $m > n(\Delta) + r_{n(D)} + C^\partial_D$. Comme tous les termes sont entiers et $r_{n(D)} < 1$, ceci �quivaut � $m > n(\Delta) + C^\partial_D$.  Il s'agit donc de voir pour quel $\kappa$ on a $ m - n(D) - C^\partial_D + \frac{1}{j} v_p {\omega_\kappa \choose j } > 0, $ c'est-�-dire, pour quel $\kappa$ on a $\frac{1}{j} v_p {\omega_\kappa \choose j} > n(D) + C^\partial_D - m$.
%
%On a $\omega_\kappa = \frac{\log \kappa( \exp(q))}{ q } = \frac{\log z_\kappa}{ q }$, donc $v_p(\omega_\kappa) = v_p( \log z_\kappa ) - v_p(q) \geq \inf \{ v_p (z_\kappa - 1) p^k - k \} - v_p(q)$.
%
%Supposons que $v_p(\omega_\kappa) < 0$ (si $v_p(\omega_\kappa) \geq 0$ la condition est automatiquement satisfaite pour $m$ assez grand), alors $ v_p{\omega_\kappa \choose j}$ est asymptotiquement �gale � $j(v_p(\omega_\kappa) - \frac{1}{p - 1})$. Pour que l'on ait $\frac{1}{j} v_p { \omega_\kappa \choose j} >  n(\Delta) - m + r_{n(\Delta)} + C^\partial_\Delta$ il suffit donc d'avoir $$ \inf_{k \geq 0} \{ v_p(z_\kappa - 1) p^k - k \} > v_p(q) + \frac{1}{p - 1} +  n(\Delta) - m + r_{n(\Delta)} + C^\partial_\Delta. $$
%
%Or, $v_p(z_\kappa - 1) p^k - k < v_p(q) + \frac{1}{p - 1} +  n(\Delta) - m + r_{n(\Delta)} + C^\partial_\Delta$ si et seulement si $v_p(z_\kappa - 1) < p^{-k}(v_p(q) + \frac{1}{p - 1} +  n(\Delta) - m + r_{n(\Delta)} + C^\partial_\Delta + k) = p^{-k}(C + k)$. Vu que la fonction $f(k) = p^{-k}(C + k)$ atteint son maximum en $k = 1/ \log p - C$, il suffit de demander $v_p(z_\kappa - 1) >  \frac{p^{N(\Delta)}}{p^m}$, o� $N(\Delta) = - 1 / \log p - \log^2 p + v_p(q) + \frac{1}{p - 1} +  n(\Delta) + r_{n(\Delta)} + C^\partial_\Delta$ ne d�pend que du $(\varphi, \Gamma)$-module.	

%\subsubsection{Explicitation des constantes}
%
%Les constructions que l'on a faites fournissent, d�s que l'exposant $m$ du conducteur du caract�re $\eta$ fix� satisfait $m > N(\Delta) = m(\Delta) + C_\Delta^\partial + C_p$, une application $\Lambda_{D, z}$ . Il est naturel d'expliciter dans la mesure du possible ces constantes. Si $D = \D(V)$ est le $(\varphi, \Gamma)$-module associ� � une repr�sentation de de Rham $V$, la constante $m(\Delta)$ est li�e au rayon de convergence de $D$, qui s'exprime en termes de la plus petite extension $F$ de $\qp$ telle $\mathscr{G}_F$ agit trivialement sur la r�duction modulo $p$ d'un $\zp$-r�seau $T \subseteq V$ stable par $\mathscr{G}_\qp$; et la constante $C_\Delta^\partial$ s'exprime naturellement en termes de la plus petite extension $K$ telle que $\mathscr{G}_K$ agit trivialement sur $\D_{\rm pst}(V)$.


\subsubsection{Interpolation des applications exponentielles duales} \label{interexpd}

On commence par quelques r�sultats pr�liminaires. On pourra comparer le lemme suivant avec \cite[Lem. II.1]{Berger03} (pour le cas cristallin et le caract�re trivial).

\begin{lemme} \label{lemme7}
Soient $D \in \Phi\Gamma(\Robba)$ de Rham, $z \in \Delta^{\psi = 1}$ et $\eta \colon \zpe \to L^\times$ un caract�re de conducteur $p^n$, $n \geq m(\Delta)$ et $m \geq 0$. Alors

$(i)$ Si $m(\Delta) \leq m < n$, on a $$ \sum_{a \in (\Z / p^n \Z)^\times} \eta(a) \sigma_a(\left[ \partial^{\j} \varphi^{-m} z \right]_0 ) = 0, $$

$(ii)$ L'expression $ \sum_{a \in (\Z / p^m \Z)^\times} \eta(a) \sigma_a( p^{- m} \mathrm{Tr}_{L_{m} / L_n} \left[ \partial^{\j} \varphi^{-m} z \right]_0 )$ ne d�pend pas de $m \geq n$.
\end{lemme}

\begin{proof}
Par d�finition de $\Delta$, on a $ \varphi^{-m} z \in L_m[[t]] \otimes \DdR(D)$ et $ p^{-k} \mathrm{Tr}_{L_{m+k} / L_m} \varphi^{-(m+k)} z = \varphi^{-m} z$ car $z$ est fix� par $\psi$, d'o� $\varphi^{-m} z$ peut �tre exprim� comme $\sum_{h \geq 0} \sum_{b \in (\Z / p^m \Z)} (\zeta_{p^m}^b \otimes d_{h, b}) t^h$, avec $d_{h, b} \in \DdR(D)$ (l'expression n'est �videment pas unique).

Montrons le premier point. Il suffit, par lin�arit�, de montrer le r�sultat sous l'hypoth�se que $[\partial^{\j} \varphi^{-m} z]_0 = \zeta_{p^m}^b \otimes d$, avec $0 \leq b \leq p^m - 1, d \in \DdR(D)$. Or, $$ \sum_{a \in (\Z / p^n \Z)^\times} \eta(a) \sigma_a( \zeta_{p^m}^b \otimes d )  = \sum_{a \in (\Z / p^n \Z)^\times} \eta(a) \zeta_{p^m}^{ab} \otimes d = p^n \hat{\eta}(-b / p^{m}) \otimes d. $$ On en d�duit le r�sultat en remarquant que $\hat{\eta}$ est une fonction � support dans $p^{-n} \zpe$ et que $v_p(-b / p^{m}) > -n$.

En ce qui concerne le dernier point, on peut supposer par lin�arit� que $\mathrm{Tr}_{L_{m} / L_n} [ \partial^{\j} \varphi^{-m} z ]_0 = \zeta_{p^n}^b \otimes d$, o� $b \in (\Z / p^n \Z)$ et $d \in \DdR(D)$. On a
$$ p^{-m} \sum_{a \in (\Z / p^m \Z)^\times} \eta(a) \sigma_a( \zeta_{p^n}^b \otimes d )  = p^{-m} \sum_{a \in (\Z / p^m \Z)^\times} \eta(a) \zeta_{p^n}^{ab} \otimes d = \hat{\eta}(-b / p^n) \otimes d = p^{- n} G(\eta) \eta^{-1}(b) \otimes d. $$
L'expression ci-dessus ne d�pend pas de $m$, d'o� le r�sultat.
\end{proof}

\begin{remarque}
Si $D$ est cristallin, $z = \sum_k a_k T^k \in (\Robba^+ \otimes \Dcris(D))^{\psi = 1} \subseteq (\Delta[1/t])^{\psi = 1}$ et $n = 0$ dans le lemme ci-dessus, on a, d'apr�s \cite[Lem. II.1]{Berger03}, \[ p^{-m} \mathrm{Tr}_{L_m / L} [\varphi^{-m} z]_0 = (1 - p^{-1} \varphi^{-1}) a_0.\]
\end{remarque}

\begin{lemme} \label{lemme1b} Soient $z \in D^{\psi = 1}$, $\eta$ un caract�re constant modulo $p^n$ avec $n \geq m(\Delta)$ et $m \geq n$. On a alors l'�galit� suivante dans $L_m \otimes H^1_{\varphi, \gamma}(D(-{\j}))$:
$$\int_{\Gamma} \eta \chi^{-j} \cdot \mu_z = \sum_{a \in (\Z / p^m \Z)^{\times}} \eta(a) a^{-{\j}} \int_{\Gamma_m} \chi^{-j} \cdot \mu_{\sigma_a(z)}. $$
De plus, si $D$ est de Rham, on a l'�galit� (dans $L_m \otimes \DdR(D(-j))$) $$ \exp^* (\int_{\Gamma} \eta \chi^{-j} \cdot \mu_z ) \otimes \mathbf{e}^{\rm dR, \vee}_\eta = G(\eta)^{-1} \sum_{a \in (\Z / p^m \Z)^{\times}} \eta(a) a^{-{\j}} \exp^*_{D(-{\j})} (\int_{\Gamma_m} \chi^{-j} \cdot \mu_{\sigma_a(z)}). $$
\end{lemme}

\begin{proof}
%Ce lemme est une reformulation de \ref{lemme1} et se d�montre de la m�me mani�re.
Montrons seulement le deuxi�me point, vu que les m�mes techniques seront utilis�es plus tard. %Notons $T_\qp = \lim_{m \to +\infty}p^{-m} \mathrm{Tr}_{L_m / L}$ la trace de Tate normalis�e.
Par la proposition \ref{recPRcomp} (appliqu�e � $D(\eta \chi^{-j})$, $j = 0$ et $n = 0$), on a
\begin{eqnarray*}
\exp^*(\int_\Gamma \eta \chi^{-j} \cdot \mu_z ) &=& p^{-m} \mathrm{Tr}_{L_m / L} ([\varphi^{-m}(z \otimes e_\eta \otimes e_{-j}) ]_0) \\
&=&p^{-m} \mathrm{Tr}_{L_m / L}(G(\eta)^{-1} [t^{-j} \varphi^{-m} z]_0) \otimes G(\eta) e_\eta \otimes t^j e_{-j},
\end{eqnarray*}
o� on a utilis� que l'�l�ment $\mathbf{e}^{\rm dR}_{\eta, -j} = G(\eta) e_\eta \otimes t^j e_{-j}$ est fix� par $\Gamma$ et commute donc � la trace. Notons que $[t^{-j} \varphi^{-m} z]_0 = [\varphi^{-m} z]_j$. La somme de Gauss s'�crit comme $$ G(\eta)^{-1} = p^{-n} \eta(-1) G(\eta^{-1}) = p^{-n} \eta(-1) \sum_{a \in (\Z / p^n \Z)^\times} \eta^{-1}(a) \zeta_{p^n}^a $$ et on a
\begin{eqnarray*} 
\mathrm{Tr}_{L_m / L}(G(\eta)^{-1}[\varphi^{-m} z]_j) &=& \eta(-1) p^{-n} \sum_{b \in (\Z / p^m \Z)^\times} \eta(b) \sum_{a \in (\Z / p^n \Z)^\times} \eta^{-1}(ab) \zeta_{p^n}^{ab} \sigma_b[\varphi^{-m} z]_j \\
&=& G(\eta)^{-1} \sum_{b \in (\Z / p^m \Z)^\times} \eta(b) \sigma_b[\varphi^{-m} z]_j \\
\end{eqnarray*}
o� on a utilis� la formule pour la trace et encore une fois la formule reliant $G(\eta)$ et $G(\eta^{-1})$. On en d�duit
\[ \exp^* (\int_\Gamma \eta \chi^{-j} \cdot \mu_z ) = p^{-m} G(\eta)^{-1} \sum_{b \in (\Z / p^m \Z)^\times} \eta(b) \sigma_b([\varphi^{-m} z]_j) \otimes G(\eta) e_\eta \otimes t^j e_{-j}. \] Or $\sigma_b[ \varphi^{-m} z ]_j = b^{-j} [\varphi^{-m} \sigma_b z]_j$ et, par la loi de r�ciprocit� encore une fois (pour $D$, $j$ et $m$), on sait que $p^{-m} [\varphi^{-m} \sigma_b z]_j \otimes t^j e_{-j} = \exp^*(\int_{\Gamma_m} \chi^{-j} \cdot \mu_{\sigma_b(z)})$, d'o�
\[ \exp^* (\int_\Gamma \eta \chi^{-j} \cdot \mu_z ) \otimes \mathbf{e}^{\rm dR, \vee}_\eta = G(\eta)^{-1} \sum_{b \in (\Z / p^m \Z)^\times} \eta(b) b^{-j} \exp^*(\int_{\Gamma_m} \chi^{-j} \mu_{\sigma_b(z)}) ,\]
ce qui permet de conclure.
\end{proof}

\begin{proposition} \label{lemme4} Soient $D \in \Phi\Gamma(\Robba)$ de Rham, $z \in \Delta^{\psi = 1}$, $h \in \Z$ tel que $\mathrm{Fil}^{-h} \, \D_{\mathrm{dR}}(D) = \D_{\mathrm{dR}}(D)$, $\eta \colon \zpe \to L^\times$ un caract�re de conducteur $p^n$, $n \geq m(\Delta)$, et $j \geq h$ un entier. On a alors l'�galit� suivante dans $L_n \otimes \DdR(D)$
$$ \Lambda_{D, z}(\eta \chi^{\j}) = (-h + {\j})! p^{n({\j} + 1)} \cdot \exp^* (\int_{\Gamma} \eta \chi^{-j} \cdot \mu_{\nabla_h z}) \otimes \mathbf{e}^{\rm dR, \vee}_{\eta, -j}. $$
\end{proposition}

\begin{proof}
La preuve du lemme \ref{lemme1b} appliqu� � $\nabla_h z \in D^{\psi = 1}$ donne
\[ \exp^*(\int_{\Gamma} \eta \chi^{-j} \cdot \mu_{\nabla_h z}) \otimes \mathbf{e}^{\rm dR, \vee}_{\eta, -j} = G(\eta)^{-1} p^{-n} \sum_{a \in (\Z / p^n \Z)^\times} \eta(a) \sigma_a [\varphi^{-n} \nabla_h z]_j. \]
Or, on remarque que $(\nabla - h + 1) \circ \hdots \circ (\nabla - 1) \circ \nabla (\sum_{j \geq 0} a_j t^j) = \sum_{j \geq h} a_j j (j - 1) (j - 2) \hdots (j - h + 1) t^j$. L'op�rateur $ (\nabla - h + 1) \circ \hdots (\nabla -1) $ a donc l'effet de tuer les coefficients plus petits que $h - 1$. Comme $j \geq h$, on a
\[ [\varphi^{-n} \nabla_h z]_j = \frac{j!}{(j - h)!} [\varphi^{-n} z]_j = \frac{p^{-nj}}{(j - h)!} [\varphi^{-n} \partial^j z]_0 \]
Par ailleurs, en utilisant, respectivement, le lemme \ref{lemme7} et la d�finition de $\Lambda_{D, z}$ (cf. \S \ref{interpolation}, \eqref{forminterp}), on obtient
\begin{eqnarray*}
\sum_{a \in (\Z / p^n \Z)^\times} \eta(a) \sigma_a [\varphi^{-n} \partial^{\j} z]_0 &=& \sum_{a \in (\Z / p^n \Z)^\times} \eta(a) \sigma_a [\varphi^{-n} \partial^{\j} z - p \varphi^{-(n-1)} \partial^{\j} z]_0 \\
&=& \sum_{a \in (\Z / p^n \Z)^\times} \eta(a) \sigma_a[\varphi^{-n} \partial^{\j} (1 - \varphi) z ]_0\\
&=& \mathrm{G}(\eta) \cdot \Lambda_{D, z}(\eta \chi^{\j}),
\end{eqnarray*}
ce qui permet de conclure.
\end{proof}

%\begin{proof}
%C'est une cons�quence de la d�finition de $\Lambda_{D, z}$ et de (la preuve de) la proposition \ref{prop3}. Reproduisons-on les calculs. On a
%\begin{eqnarray*}
%\exp_{D(\eta \chi^{-{\j}})}^*(\int_{\Gamma} \eta(x) \chi(x)^{-{\j}} \cdot \mu_{\nabla_h z}) \otimes G(\eta)^{-1} e_\eta^\vee &=& G(\eta)^{-1} \sum_{a \in (\Z / p^n \Z)^\times} \eta(a) a^{-{\j}} \exp_{D(-{\j})}^* ( \int_{\Gamma_n} \chi(x)^{-{\j}} \cdot \mu_{\nabla_h \sigma_a \mu_z}) \\
%&=& \frac{G(\eta)^{-1}}{(-h + {\j})! p^{n({\j}+1)}} \sum_{a \in (\Z / p^n \Z)^\times} \eta(a) a^{-{\j}} [\varphi^{-n} (\partial^{\j} \sigma_a z)]_0 \otimes t^{\j} e_{-j}\\
%&=& \frac{ G(\eta)^{-1}}{(-h + {\j})! p^{n({\j}+1)}} \sum_{a \in (\Z / p^n \Z)^\times} \eta(a) \sigma_a [\varphi^{-n} \partial^{\j} z]_0 \otimes t^{\j} e_{-j}
%\end{eqnarray*}
%o� on a utilis�, respectivement, le lemme \ref{lemme1b}, la loi de r�ciprocit� de Perrin-Riou \ref{recPR} et la formule $\partial^{\j} \circ \sigma_a = a^{\j} \sigma_a \circ \partial$. Une application des lemme \ref{lemme7} et \ref{lemme12} et la d�finition de $\Lambda_{D, z}$ donnent:
%\begin{eqnarray*}
%\sum_{a \in (\Z / p^n \Z)^\times} \eta(a) \sigma_a [\varphi^{-n} \partial^{\j} z]_0 &=& \sum_{a \in (\Z / p^n \Z)^\times} \eta(a) \sigma_a [\varphi^{-n} \partial^{\j} z - p \varphi^{-(n-1)} \partial^{\j} z]_0 \\
%&=& \sum_{a \in (\Z / p^n \Z)^\times} \eta(a) [\varphi^{-n} \partial^{\j} (1 - \varphi) z ]_0\\
%&=& \sum_{a \in (\Z / p^n \Z)^\times} \eta(a) [\varphi^{-n} \int_\zpe x^{\j} \lambda_{(1 - \varphi) z} ]_0\\
%&=& \mathrm{G}(\eta) \cdot \Lambda_{D, z}(\eta x^{\j}),
%\end{eqnarray*}
%ce qui permet de conclure.
%\end{proof}


\subsubsection{Interpolation des applications exponentielles} \label{interexp}

Des calculs du m�me genre montrent que

\begin{proposition} \label{lemme5} Soient $D \in \Phi\Gamma(\Robba)$ de Rham, $z \in \Delta^{\psi = 1}$, $h \in \Z$ tel que $\mathrm{Fil}^{-h} \, \D_{\mathrm{dR}}(D) = \D_{\mathrm{dR}}(D)$, $\eta \colon \zpe \to L^\times$ un caract�re de conducteur $p^n$ tel que $n \geq m(\Delta)$ et ${\j} \geq -h + 1$ un entier tel que l'�quation $\partial^{\j} z_{\j} = z$ a une solution dans $\Delta$ et tel que $\exp_{D({\j})} \colon \DdR(D({\j})) \to H^1_{\varphi, \gamma}(D({\j}))$ soit un isomorphisme. On a alors l'�galit� suivante dans $L_n \otimes \DdR(D)$
$$ \Lambda_{D, z}(\eta \chi^{-{\j}}) =  \Gamma^*(-h - j + 1) p^{n(-j + 1)} \cdot \exp^{-1}(\int_{\Gamma} \eta \chi^{\j} \cdot \mu_{\nabla_h z}) \otimes \mathbf{e}^{\rm dR, \vee}_{\eta, j}.$$
\end{proposition}

\begin{proof}
De la m�me fa�on que dans le lemme \ref{lemme1b}, on montre que
$$ \exp^{-1}(\int_{\Gamma} \eta \chi^{\j} \cdot \mu_{\nabla_h z}) \otimes \mathbf{e}^{\rm dR, \vee}_\eta = G(\eta)^{-1} \sum_{a \in (\Z / p^n \Z)^\times} \eta(a) a^{\j} \exp^{-1} (\int_{\Gamma_n} \chi^j \cdot \mu_{\nabla_h \sigma_a(z)} ). $$
Observons que, si $\partial^{\j} z_{\j} = z$, alors $\partial^{\j} (a^{-{\j}} \sigma_a z_{\j}) = \sigma_a z$. En appliquant la loi de r�ciprocit� (th�or�me \ref{recPR}), on voit que l'expression ci-dessus est �gale �
$$ G(\eta)^{-1} \frac{p^{n(j - 1)}}{\Gamma^*(-j - h + 1)} \sum_{a \in (\Z / p^n \Z)^\times} \eta(a) [\varphi^{-n}( \sigma_a z_{\j} )]_0 \otimes t^{-j} e_j. $$ D'o�
\[ \Gamma^*(-h-j+1) p^{n(-j + 1)} \cdot \exp^{-1}(\int_{\Gamma} \eta \chi^{\j} \cdot \mu_{\nabla_h z}) \otimes \mathbf{e}^{\rm dR, \vee}_{\eta, j} = G(\eta)^{-1} \sum_{a \in (\Z / p^n \Z)^\times} \eta(a) [\varphi^{-n}( \sigma_a z_{\j} )]_0. \] 

Par le lemme \ref{lemme7} et par le fait que $\partial$ est inversible sur $\Delta^{\psi = 0}$ et qu'on a donc le droit d'�crire $(1 - p^{-{\j}} \varphi) z_{\j} = \partial^{-{\j}} (1 - \varphi) z$, on a

\begin{eqnarray*}
 \sum_{a \in (\Z / p^n \Z)^\times} \eta(a) \sigma_a [\varphi^{-n}(z_{\j})]_0 &=& \sum_{a \in (\Z / p^n \Z)^\times} \eta(a) \sigma_a [\varphi^{-n}((1 - p^{-{\j}} \varphi) z_{\j})]_0 \\
&=&  \sum_{a \in (\Z / p^n \Z)^\times} \eta(a) \sigma_a [\varphi^{-n} (\partial^{-{\j}} (1 - \varphi) z)]_0 \\
&=& \mathrm{G}(\eta) \cdot \Lambda_{D, z}(\eta \chi^{-{\j}}),
\end{eqnarray*}
ce qui permet de conclure.
\end{proof}

Ceci finit la preuve du th�oreme \ref{theo1}.

\subsubsection{Le cas des poids de Hodge-Tate positifs} \label{poidspositifs}

Soit $D \in \Phi \Gamma(\Robba)$ de Rham � poids de Hodge Tate positifs et notons toujours $\Delta = \Nrig(D)$. Fixons un entier $h$ tel que $\mathrm{Fil}^{-h} \, \DdR(D) = \DdR(D)$. On a donc $D \subseteq \Delta$ et, si $z \in D^{\psi = 1}$, on peut appliquer la construction faite ci-dessus � l'�l�ment $z$ (et $h$) pour obtenir une application $ \Lambda_{D, z} $. On commence avec quelques remarques

\begin{lemme} \label{lemmeconv} Soient $z \in D^{\psi = 1}$, $\eta \colon \Gamma \to L^\times$ un caract�re localement analytique et ${\j} \in \Z$. On a $$ \int_\Gamma \eta \chi^{{\j}} \cdot \mu_{\nabla_h  z} = (- \omega_\eta - {\j} - h + 1) (- \omega_\eta - {\j} - h + 2) \hdots (- \omega_\eta - {\j})  \int_\Gamma \eta \chi^{{\j}} \cdot \mu_z. $$ En particulier, si $\eta$ est localement constant, on a $$ \int_\Gamma \eta \chi^{j} \cdot \mu_{\nabla_h z} = (- {\j} - h + 1) (- {\j} - h + 2) \hdots (-{\j})  \int_\Gamma \eta \chi^{j} \cdot \mu_z. $$
\end{lemme}

\begin{proof}
Si $a \in \zpe$, par d�finition de l'action de $\Gamma$ sur $D^{\psi = 1}$, on a $$ \int_\Gamma \eta \chi^{j} \cdot \sigma_a \mu_z = \eta(a)^{-1} a^{-{\j}} \int_\Gamma \eta \chi^{j} \cdot \mu_z, $$ et, si $i \in \Z$, la formule $\nabla = \lim_{a \to 1} \frac{\sigma_a - 1}{a - 1}$ donne $$ \int_\Gamma \eta \chi^{j} (\nabla - i) \cdot \mu_z = \bigg( \lim_{a \to 1} \frac{\eta(a)^{-1} a^{-{\j}} - 1}{a - 1} - i \bigg) \int_\Gamma \eta \chi^{j} \cdot \mu_z = (- \eta'(1) - {\j} - i) \int_\Gamma \eta \chi^{j} \cdot \mu_z, $$ ce qui permet de conclure car $\nabla_h = (\nabla - h + 1) \circ \hdots \circ (\nabla - 1) \circ \nabla$.
\end{proof}

% \begin{remarque} La proposition ci-dessus se g�n�ralise de la fa�on suivante. Soit $\lambda \in \Robba^+(\Gamma)$ un �l�ment de l'alg�bre de distributions sur $\Gamma$. Alors $D^{\psi = 1}$ est un $\Robba^+(\Gamma)$-module et, si $\xi \colon \Gamma \to L^\times$ est un caract�re, on a $$ \int_\Gamma \xi(\gamma) \cdot \mu_{\lambda  \cdot z} = (\int_\Gamma \xi(\gamma) \cdot \lambda) \cdot (\int_\Gamma \xi(\gamma) \cdot \mu_z). $$
% \end{remarque}

\begin{lemme}
Soient $z \in D^{\psi = 1}$, $\eta$ un caract�re de Dirichlet de conducteur $p^n$ et ${\j} \geq 0$ assez grand \footnote{Il suffit que $j$ soit plus grand que le plus grand poids de Hodge-Tate et assez grand de sorte que $\exp_{D(j)}$ soit bijective.}. Alors
$$ \Lambda_{D, z}(\eta \chi^{-{\j}}) = \Gamma^*(-j + 1) p^{n(-j + 1)} \cdot \exp^{-1}(\int_{\Gamma} \eta \chi^j \cdot \mu_z) \otimes \mathbf{e}^{\rm dR, \vee}_{\eta, j}. $$
\end{lemme}

\begin{proof}
C'est une cons�quence directe de la proposition \ref{lemme5} et du lemme \ref{lemmeconv} ci-dessus.
\end{proof}

\begin{lemme}
Soient $z \in D^{\psi = 1}, $ $\eta$ et ${\j} \geq 0$ comme dans la proposition \ref{lemme4}. Alors
$$ \Lambda_{D, z}(\eta \chi^{\j}) = \Gamma^*(j + 1) p^{n(j + 1)} \cdot \exp^* (\int_{\Gamma} \eta \chi^{-j} \cdot \mu_z) \otimes \mathbf{e}^{\rm dR, \vee}_{\eta, -j}. $$
\end{lemme}

\begin{proof}
Si l'on part de $z \in D^{\psi = 1}$, les calculs faits dans la preuve de la proposition \ref{lemme4} marchent en posant $h = 0$ et donnent exactement le r�sultat cherch�.
\end{proof}

En notant, comme pr�c�demment, par $\log$ l'application $\exp^{-1}$ ou $\exp^*$ selon le cas, on peut r�sumer ces r�sultats dans la forme �nonc�e au d�but de du chapitre:

\begin{theorem} \label{propfin}
Soient $D \in \Phi \Gamma(\Robba)$ de Rham � poids de Hodge-Tate positifs et $z \in D^{\psi = 1}$. Il existe une fonction rigide analytique $\Lambda_{D, z} \in \mathcal{O}(\mathfrak{U}_D) \otimes \DdR(D)$ telle que, si $\eta \chi^j \in \mathfrak{U}_D$, o� $\eta$ est un caract�re de conducteur $p^n$ et $j \in \Z$ est tel que $j \geq 0$ ou $j \ll 0$, alors

\[ \Lambda_{D, z} (\eta \chi^{\j}) = \Gamma^*(j + 1) p^{n(j + 1)} \cdot \log (\int_{\Gamma} \eta \chi^{-j} \cdot \mu_z) \otimes \mathbf{e}^{\rm dR, \vee}_{\eta, -j}. \]
\end{theorem}

\subsubsection{Le cas cristallin}

Soit $D \in \Phi \Gamma(\Robba)$ cristallin de rang $d$. Supposons que les pentes de $\varphi$ sur $\Dcris(D)$ sont $< 0$. On a $\Delta \cong \Robba \otimes \Dcris(D)$ (cf. \cite[Lem. 3.16]{Nakamura}) et, si $z \in \Delta^{\psi = 1}$, alors $z \in \Robba^+ \otimes \Dcris(D)$ (cf. \cite[Prop. 2.5.2]{BergerBreuil}). Notons $\alpha_1, \hdots, \alpha_d \in L$ les valeurs propres de $\varphi$ et choisissons une base $e_i$, $1 \leq i \leq d$, de $\Dcris(D)$ telle que $\varphi(e_i) = \alpha_i e_i$ pour tout $i$. On peut alors �crire \[ z = \sum_{i = 1}^d \mathscr{A}_{\lambda_i} \otimes e_i \] pour certaines distributions $\lambda_i \in \mathscr{D}(\zp, L)$ v�rifiant $\psi(\lambda_i) = \alpha_i \lambda_i$, $1 \leq i \leq d$. Quelques calculs classiques nous permettent de montrer le r�sultat suivant

\begin{prop}
Soient $\eta \colon \zpe \to L^\times$ un caract�re de conducteur $p^n$, $n > 0$, et $j > 0$. On a alors
\[ \Lambda_{D, z} (\eta \chi^{\j}) = \sum_{i = 1}^d (\int_\zpe \eta^{-1} x^j \cdot \lambda_i) \otimes \alpha_i^{-n} e_i. \]
\end{prop}

En regardant le terme de droite de cette proposition, on en d�duit

\begin{cor}
Soit $D \in \Phi \Gamma(\Robba)$ cristallin, alors la fonction $\Lambda_{D, z}$ provient par restriction d'une fonction d�finie sur tout l'espace des poids.
\end{cor}

%%\subsection{Fonction $L$ locale et accouplement d'Iwasawa} \label{lienaccoup}
%%
%%Dans la suite du chapitre, on �tudie la fonction $L$ $p$-adique associ�e � un �l�ment dans la cohomologie d'Iwasawa en termes de l'accouplement d'Iwasawa sur les $(\varphi, \Gamma)$-modules d�fini par Colmez. On construit une distribution associ�e � un �l�ment $z \in D^{\psi = 1}$ (ou $\check{D}$ d�note le dual de Tate) qui d�pend du choix d'un �l�ment $\alpha \in \Nrig(\check{D})^{\psi = 1}$ (par exemple, si $D = \D_{\rm rig}(V(f))^*(1)$, o� $V(f)$ est la repr�sentation galoisienne associ�e � une forme modulaire, cet �l�ment joue le r�le du choix d'une racine du polyn�me de Hecke en $p$ de la forme, soit le choix d'une valeur propre du Frobenius cristallin). Cette construction est une g�n�ralisation directe de la construction de la fonction $L$ $p$-adique d'une repr�sentation dans le cas cristallin via les m�thodes de Perrin-Riou. On montre finalement que la fonction ainsi construite satisfait une �quation fonctionnelle comme cons�quence de la loi de r�ciprocit�.
%%
%%Commen�ons par rappeler certaines op�rations sur les $(\varphi, \Gamma)$-modules dont on aura besoin dans la suite, notamment un certain nombre d'accouplements jouant chacun un r�le important dans la correspondance de Langlands $p$-adique et dans les calculs qui suivent. Pour toute r�f�rence on renvoie le lecteur � \cite{ColmezMirabolique} et \cite{ColmezPhiGamma}. On aura besoin de travailler avec des $(\varphi, \Gamma)$-modules sur $\Robba$ et sur $\E$. Dans tout ce qui suit, $D$ d�notera un $(\varphi, \Gamma)$-module �tale de rang $d$ sur $\E$, $D^\dagger$ le $(\varphi, \Gamma)$-module sur l'anneau $\E^\dagger$ d'�l�ments surconvergents de $\E$ associ� � $D$ par le th�or�me de surconvergence de Cherbonnier-Colmez, de sorte que $D = D^\dagger \otimes_{\E^\dagger} \E$, et $D_{\rm rig} = D^\dagger \otimes_{\E^\dagger} \Robba \in \Phi\Gamma^{\text{�t}}(\Robba)$. 
%%%On note $V = \mathbf{V}(D) \in \mathrm{Rep}_L(\mathscr{G}_\qp)$ la repr�sentation galoisienne qui lui correspond.
%%
%%\subsubsection{Faisceaux $P$-�quivariants} Les op�rateurs de projection $\mathrm{Res}_{i + p^n \zp} = (1 + T) \varphi^n \circ \psi^n (1 + T)^{-i}$ sont compatibles dans un sens �vident et permettent de voir naturellement tout $(\varphi, \Gamma)$-module comme un faisceaux $P$-�quivariant sur $\zp$, o� $P = {\matrice {\zp - \{ 0 \}} \zp 1 0}$ d�note le mirabolique de $\mathrm{GL}_2(\zp)$. Si $U \subseteq \zp$, on note $D \boxtimes U$ (resp. $\D_{\rm rig} \boxtimes U$) ses sections sur $U$. On a en particulier $D \boxtimes \zpe = D^{\psi = 0}$ (resp. $D_{\rm rig} \boxtimes \zpe = D_{\rm rig}^{\psi = 0}$).
%%
%%\subsubsection{Multiplicaton par une fonction continue} Si $\phi: \zp \to L$ est une fonction continue, $U \subseteq \zp$ un ouvert compact et $z \in D \boxtimes U$, la formule $$ m_\phi(z) = \lim_{n \to +\infty} \sum_{i \in U \; \rm{mod} \; p^n} \phi(i) \mathrm{Res}_{i + p^n \zp}(z) $$ est bien d�finie et satisfait les propri�t�s que l'on esp�re par analogie avec la multiplication d'une mesure par une fonction.
%%
%%Si $\delta \in \mathfrak{X}(L)$ est un caract�re, on a construit sur $D_{\rm rig}^{\psi = 0}$ un op�rateur analytique $\delta(\partial)$ de multiplication par $\delta$ que l'on note aussi $m_\delta = \delta(\partial)$.
%%
%%\subsubsection{Alg�bres de distribution} Soit $\gamma$ un g�n�rateur topologique de $\Gamma$. On d�finit les anneaux $\E(\Gamma)$, $\Robba(\Gamma)$, $\Robba^{[0, r_n]}(\Gamma)$, etc. de la m�me mani�re que $\E, \Robba, \Robba^{[0, r_n]}$, en rempla�ant $T$ par $\gamma - 1$.
%%
%%\subsubsection{Dual de Tate} \label{Tate} On d�finit le dual de Tate $\check{D}$ de $D$ (resp. $\check{D}_{\rm rig}$ de $D_{\rm rig}$) par la formule $\check{D} = \mathrm{Hom}_{\varphi, \Gamma}(D, \E \frac{dT}{1 + T})$ (resp. $\check{D}_{\rm rig} = \mathrm{Hom}_{\varphi, \Gamma}(D_{\rm rig}, \Robba \frac{dT}{1 + T})$), o� $\mathscr{E} \frac{dT}{1 + T}$ (resp. $\Robba \frac{dT}{1 + T}$) est le $(\varphi, \Gamma)$-module �tale de rang $1$ de base $\frac{dT}{1 + T}$ sur lequel $\varphi$ et $\Gamma$ agissent par les formules $ \gamma (\frac{dT}{1 + T}) = \chi(\gamma) \frac{dT}{1 + T}$ si $\gamma \in \Gamma$, $\varphi(\frac{dT}{1 + T}) = \frac{dT}{1 + T} $. On note $$ \langle \; , \; \rangle: \check{D} \times D \to \E \frac{dT}{1+T} \;\;\; (\text{resp. }  \langle \; , \; \rangle: \check{D}_{\rm rig} \times D_{\rm rig} \to \Robba \frac{dT}{1+T})$$ l'accouplement naturel. Si $V = \mathbf{V}(D)$ est la repr�sentation galoisienne associ�e � $D$, on a $\check{D} = \D(V^*(1))$.
%%
%%Si $\mathscr{A} \in \{ \E, \E^\dagger, \Robba \}$, tout $(\varphi, \Gamma)$-module �tale de rang $1$ est de la forme $\mathscr{A}(\delta)$ pour un certain caract�re (unitaire) $\delta: \qpe \to L^\times$. On note $\det_D$ le caract�re $\delta$ d�fini par $\wedge^d D \cong \mathscr{A}(\delta)$ et on pose $\omega_D(x) = (x|x|)^{-1} \det_D$. Dans le cas o� $D$ est de rang $2$, on a une identification naturelle $D \otimes \omega_D^{-1} \xrightarrow{\sim} \check{D}$ \footnote{On a $D \otimes \omega_D^{-1} = D \otimes L \cdot e_{\omega_D^{-1}}$, o� $e_{\omega_D^{-1}}$ d�note un �l�ment muni d'une action du groupe $\Gamma$ et d'un op�rateur $\varphi$ par les formules $\sigma_a(e_{\omega_D^{-1}}) = \omega_D^{-1}(a) \cdot e_{\omega_D^{-1}}$, $\varphi(e_{\omega_D^{-1}}) = \omega_D^{-1}(p) \cdot e_{\omega_D^{-1}}$}  donn�e par la formule \[ x \otimes e_{\omega_D^{-1}} \mapsto [y \mapsto (x \wedge y) \otimes e_{\omega_D^{-1}}] . \]
%%
%%\subsubsection{R�sidus} Rappelons que l'on a d�fini, pour $f =\sum_{n \in \Z} a_n T^n \in \{ \E, \Robba \}$, une application de r�sidu $\mathrm{r\acute{\mathrm{e}}s}_0(f dT) = a_{-1}$. Si $x \in \check{D}_{(\rm rig)}$ et $y \in D_{(\rm rig)}$, la formule $$ \{x,y\} = \mathrm{r\acute{\mathrm{e}}s}_0(\langle \sigma_{-1} x, y \rangle) $$ d�finit un accouplement parfait $ \{ \; , \; \}: \check{D}_{(\rm rig)} \times D_{(\rm rig)} \to L$ identifiant $\check{D}_{(\rm rig)}$ au dual topologique $D^*_{(\rm rig)}$ de $D_{(\rm rig)}$.
%%
%%Si $D$ est de dimension $2$, on a, sous l'identification $\check{D} = D \otimes \omega_D^{-1}$, la formule \footnote{On voit ici l'�l�ment $e_{\omega_D^{-1}}$ comme $e_{\det_D}^{-1} dT$, de sorte que, si $\sigma_{-1}(x) \wedge y = f \cdot e_{\det_D}$, alors $(\sigma_{-1}(x) \wedge y) \otimes e_{\omega_D^{-1}} = f dT$.} \[ \{ x \otimes e_{\omega_D^{-1}}, y \} = \mathrm{r\acute{\mathrm{e}}s}_0((\sigma_{-1}(x) \wedge y) \otimes e_{\omega_D^{-1}}). \]
%%
%%
%%\subsubsection{Produit de convolution} \label{convolution} Soit $D \in \Phi \Gamma^{\text{�t}}(\E)$. En imitant la convolution entre deux mesures \footnote{Si $\mu_1, \mu_2$ sont deux mesures, son produit de convolution est d�fini par la formule $\int_{\zpe} f (\mu_1 * \mu_2) = \int_{\zpe \times \zpe} f(xy) \mu_1(x) \mu_2(y)$. On pourrait aussi d�finir la convolution de deux mesures comme $\int_{\zpe} f (\mu_1 * \mu_2) = \int_{\zpe \times \zpe} f(x^{-1}y) \mu_1(x) \mu_2(y)$, ce qui donnerait des r�sultats compl�tement analogues.}, pour toute application $\E$-bilin�aire et $\varphi, \Gamma$-�quivariante $M: D_1 \times D_2 \to D_3 $, la formule $$ M_{\zpe}(x, y) = \lim_{n \to +\infty} \sum_{i, j \in (\Z / p^n \Z)^\times} (1 + T)^{ij} \varphi^n(M(\sigma_i \cdot \psi^n ((1 + T)^{-j} x), \sigma_j \cdot \psi^n ( (1 + T)^{-i} y)) $$ d�finit une application $\E(\Gamma)$-bilin�aire $$ M_{\zpe}: (D_1 \boxtimes \zpe) \times (D_2 \boxtimes \zpe) \to D_3 \boxtimes \zpe. $$ Si $D_1 =  D_2$ et $M$ est sym�trique (resp. antisym�trique), il en est de m�me pour $M_{\zpe}$.
%%
%%L'accouplement $\langle \; , \; \rangle: \check{D} \times D \to \E \frac{dT}{1 + T}$ et $D \times D \to \wedge D$ induit en particulier un accouplement $\E(\Gamma)$-bilin�aire $$ \langle \; , \; \rangle_{\zpe}: (\check{D} \boxtimes \zpe) \times (D \boxtimes \zpe) \to \E \frac{dT}{1+T} \boxtimes \zpe $$
%%%$$ \wedge_{\zpe}: (D \boxtimes \zpe) \times (D \boxtimes \zpe) \to \wedge D \boxtimes \zpe. $$ Ces deux accouplements sont li�s par la formule $ \langle m_\delta(x) \otimes \delta, y \rangle_\zpe = m_\delta(x \wedge_{\zpe} y) \otimes \delta, $ pour $x, y \in D \boxtimes \zpe$ et $\delta \in \mathfrak{X}(L)$. 
%%
%%%Si $D_i \in \Phi \Gamma^{\text{�t}}(\Robba)$, les �galit�s $D \boxtimes \zpe = \Robba(\Gamma) \otimes_{\E^\dagger(\Gamma)} (D_i^\dagger \boxtimes \zpe)$ permettent d'�tendre par lin�arit� toutes les accouplements d�finis ci-dessus � des accouplements $\Robba(\Gamma)$-bilin�aires.
%%
%%\subsubsection{Dualit� locale}
%%
%%Soit $n \geq 0$ et rappelons que l'on a pos� $\tau_n(\gamma_n) = p^{-n} \log \chi(\gamma_n)$, $\tau_0(\gamma_0) = \frac{p-1}{p} \log \chi(\gamma_0)$. Notons $\gamma = \gamma_0$ dans la suite. Notons, pour $i \in \{ 0, 1\}$, $n \in \N$, $$ \cup: H^i_{\varphi, \gamma_n}(\check{D}_{(\rm rig)}) \times H^{2- i}_{\varphi, \gamma_n}(D_{(\rm rig)}) \to L $$ l'accouplement local, et rappelons que, si $V = \mathbf{V}(D)$, il co�ncide (via les isomorphismes $H^i(F_n, V) \cong H^1_{\varphi, \gamma_n}(D_{(\rm rig)})$) avec la dualit� locale de Poitou-Tate. Si $\check{z} \in \check{D}_{(\rm rig)}^{\psi = 1}$, $z \in D_{(\rm rig)}^{\psi = 1}$ et $\eta: \Gamma \to L^\times$ est un caract�re continu, un calcul avec le complexe de Herr et l'isomorphisme de Fontaine montre que $$ (\int_{\Gamma_n} \eta^{-1} \cdot \mu_{\check{z}}) \cup (\int_{\Gamma_n} \eta \cdot \mu_{z}) = \{ (1 - \varphi) \check{z}, \frac{\tau_n(\gamma_n)}{\eta(\chi(\gamma_n)) \gamma_n - 1} \cdot (1 - \varphi) z \}. $$
%%
%%\subsubsection{Accouplement d'Iwasawa} \label{accIw} Soient $\mathscr{C} = \mathscr{C}(D) = (1 - \varphi) D \subseteq D^{\psi = 0}$ le c\oe{}ur de $D$ et $\check{\mathscr{C}} = (1 - \varphi) \check{D}^{\psi = 1}$ celui de $\check{D}$. Ce sont des sous-$\Lambda$-modules libres de rang $d$ et l'application naturelle $\E(\Gamma) \otimes_\Lambda \mathscr{C} \to D \boxtimes \zpe$ (resp. $\E(\Gamma) \otimes_\Lambda \check{\mathscr{C}} \to \check{D} \boxtimes \zpe$) est un isomorphisme. Ces espaces sont les orthogonaux l'un de l'autre pour l'accouplement $\{ \; , \; \}$. Pour $x \in \check{\mathscr{C}}$, $y \in \mathscr{C}$, la formule $$ \langle x, y \rangle_{\mathrm{Iw}} = \lim_{n \to + \infty} \sum_{i \in (\Z / p^n \Z)^\times}\{ \frac{\tau_n(\gamma_n) \sigma_i}{\gamma_n - 1} \cdot x , y \} $$ d�finit un accouplement $\langle \; , \; \rangle_{\rm Iw}: \check{\mathscr{C}} \times \mathscr{C} \to \Lambda$ qui identifie $\check{\mathscr{C}}$ � $\mathrm{Hom}_\Lambda(\mathscr{C}, \Lambda)$. Cet accouplement est l'analogue de l'accouplement usuel dans la th�orie d'Iwasawa $(\; , \; )_{\rm Iw} : H^1_{\rm Iw}(\qp, \check{V}) \times H^1_{\rm Iw}(\qp, V) \to \Lambda$ dans le sens que $$ ((\mathrm{Exp}^*)^{-1} z, (\mathrm{Exp}^*)^{-1} z')_{\rm Iw} = \langle (1 - \varphi)z, (1 - \varphi)z'\rangle_{\rm Iw} $$ pour tous $z \in \check{D}^{\psi = 1}$, $z' \in D^{\psi = 1}$ et o�, rappelons-le, $\mathrm{Exp}^*: H^1_{\rm Iw}(\qp, V) \to D^{\psi = 1}$ d�note l'isomorphisme de Fontaine.
%%
%%Si $\eta \in \mathfrak{X}(L)$, l'application \footnote{Les �l�ments $e_\eta$ et $e_{\eta^{-1}}$ d�notent des bases des modules $L(\eta)$ $L(\eta^{-1})$, munies d'une action triviale de $\varphi$ et d'une action de $\Gamma$ donn�e par $\sigma_a(e_{\eta}) = \eta(a) \cdot e_\eta$, $\sigma_a(e_{\eta^{-1}}) = \eta^{-1}(a) \cdot e_{\eta^{-1}}$, $a \in \zpe$. Ces �l�ments appara�tront tr�s souvent dans le texte.} $x \mapsto x \otimes e_\eta$ (resp. $x \mapsto x \otimes e_\eta^{-1}$) induit un isomorphisme de $\mathscr{C}(D)$ (resp. $\check{\mathscr{C}}(D)$) sur $\mathscr{C}(D \otimes \eta)$ (resp. $\check{\mathscr{C}}(D \otimes \eta))$ et on a $$\langle x \otimes e_{\eta^{-1}}, y \otimes e_\eta \rangle_{\rm Iw} = m_{\eta^{-1}} \cdot \langle x, y \rangle_{\rm Iw}. $$ Les isomorphismes $D \boxtimes \zpe \cong \E(\Gamma) \otimes_\Lambda \mathscr{C}$ et $\check{D} \boxtimes \zpe \cong \E(\Gamma) \otimes_\Lambda \check{\mathscr{C}}$ permettent d'�tendre l'accouplement d�fini ci-dessus en un accouplement $$ \langle \; , \; \rangle_{\rm Iw}: (\check{D} \boxtimes \zpe) \times (D \boxtimes \zpe) \to \E(\Gamma). $$ 
%%
%%Notons $\mathscr{C}_{\rm rig} = (1 - \varphi) D_{\rm rig}$ et  $\check{\mathscr{C}}_{\rm rig} = (1 - \varphi) \check{D}_{\rm rig}$. On a des isomorphismes naturels $\mathscr{C}_{\rm rig} \cong \Robba^+(\Gamma) \otimes_\Lambda \mathscr{C}$ et $D_{\rm rig} \boxtimes \zpe \cong \Robba(\Gamma) \otimes_{\Robba^+(\Gamma)} \mathscr{C}_{\rm rig} \cong \Robba(\Gamma) \otimes_\Lambda \mathscr{C}$ (et ses correspondants $\check{\mathscr{C}}_{\rm rig} \cong ... $) qui permettent d'�tendre par lin�arit� les diff�rents accouplements d�finis ci-dessus en des accouplements $$ \langle \; , \; \rangle_{\zpe}: (\check{D}_{\rm rig} \boxtimes \zpe) \times (D_{\rm rig} \boxtimes \zpe) \to \Robba \frac{dT}{1+T} \boxtimes \zpe $$ 
%%%$$ \wedge_{\zpe}: (D_{\rm rig} \boxtimes \zpe) \times (D_{\rm rig} \boxtimes \zpe) \to (\wedge D_{\rm rig} \boxtimes \zpe). $$ 
%%$$ \langle \; , \; \rangle_{\rm Iw}: (\check{D}_{\rm rig} \boxtimes \zpe) \times (D_{\rm rig} \boxtimes \zpe) \to \Robba(\Gamma). $$ 
%%
%%Enfin, si $\eta: \Gamma \to L^\times$ est un caract�re continu, on note $$ \langle \; , \; \rangle_{\rm dR}: \DdR(\check{D}_{(\rm rig)}(\eta^{-1})) \times \DdR(D_{(\rm rig)}(\eta)) \to L $$ l'accouplement induit par la dualit� entre $\check{D}_{(\rm rig)}$ et $D_{(\rm rig)}$ compos� avec la trace de Tate normalis�e.
%%
%%\begin{lemme} \label{lemme26} Soient $\check{z} \in \check{D}_{\rm rig}^{\psi = 1}$, $z \in D_{\rm rig}^{\psi = 1}$ et $\eta: \Gamma \to L^\times$ un caract�re continu. On a $$ \int_\Gamma \eta^{-1} \chi^j \cdot \langle (1 - \varphi) \check{z}, (1 - \varphi) z \rangle_{\rm Iw} = \left\{ \begin{array}{l l} \langle \exp^*(\int_\Gamma \eta \chi^{-j} \cdot \mu_{\check{z}}), \exp^{-1} (\int_\Gamma \eta^{-1} \chi^j \cdot \mu_z )\rangle_{\rm dR} & \quad \text{si ${\j} \gg 0$} \\
%%\langle \exp^{-1}(\int_\Gamma \eta \chi^{-j} \cdot \mu_{\check{z}}), \exp^* (\int_\Gamma \eta^{-1} \chi^j \cdot \mu_z )\rangle_{\rm dR} & \quad \text{si ${\j} \ll 0$}. \\
%%\end{array} \right.$$
%%\end{lemme}
%%
%%\begin{proof}
%%On a
%%\begin{eqnarray*}
%%\int_\Gamma \eta^{-1} \chi^{\j} \cdot \langle \check{z} , z \rangle_{\rm Iw} &=& \{ \check{z} , \frac{ - \log(\gamma)}{\eta^{-1}(\gamma) \chi(\gamma)^{\j} \gamma  - 1} \cdot z \} \\
%%&=& \{ (1 - \varphi) \check{z}, \frac{ - \log(\gamma)}{\eta^{-1}(\gamma) \chi(\gamma)^{\j} \gamma  - 1} \cdot (1 - \varphi) z \} \\
%%&=& (\int_\Gamma \eta \chi^{-{\j}} \cdot \mu_{\check{z}}) \cup (\int_\Gamma \eta^{-1} \chi^j \cdot \mu_z),
%%\end{eqnarray*}
%%o� la derni�re �galit� suit de la description explicite de l'accouplement de Tate en termes de $(\varphi, \Gamma)$-modules. Le r�sultat suit du fait que, quand ${\j} \gg 0$ (resp. ${\j} \ll 0$), l'application exponentielle (resp. exponentielle duale) de Bloch-Kato est bijective, ce qui nous permet, en utilisant la loi de r�ciprocit� de Kato, d'exprimer l'accouplement de Tate en termes de l'accouplement $\langle \; , \; \rangle_{\rm dR}$.
%%\end{proof}
%%
%%\subsubsection{Involution et loi de r�ciprocit�} \label{involution}
%%
%%L'involution d�crite � continuation est � la base de la construction de la correspondance de Langlands $p$-adique et, comme nous le verrons plus loin, elle est �troitement li�e au facteur epsilon de $D$. La formule $$ w_* = \lim_{n \to +\infty} \sum_{i \in (\Z / p^n \Z)^\times} {\matrice {-i^{-2}} {i^{-1}} 0 1} \varphi^n \circ \psi^n((1 + T)^{-i} z) $$ d�finit une involution sur $D \boxtimes \zpe = D^{\psi = 0}$. %et on pose $$ w_\delta(z) = m_{\delta^{-1}} \circ w_*(z) = \lim_{n \to +\infty} \sum_{i \in (\Z / p^n \Z)^\times} \delta(i) {\matrice {-i^{-2}} {i^{-1}} 0 1} \varphi^n \circ \psi^n((1 + T)^{-i} z). $$
%%
%%Si $D$ est de dimension $2$, un r�sultat crucial affirme que l'involution $w_*$ stabilise $D^\dagger \boxtimes \zpe$ et s'�tend, par continuit�, en une involution, aussi not�e $w_*$, sur $D_{\rm rig} \boxtimes \zpe$.
%%
%%%identit� $D_{\rm rig}^{\psi = 0} = \Robba(\Gamma) \otimes_{\E(\Gamma)} D^{\psi = 0}$ nous permet d'�tendre l'involution $w_*$ agissant sur $D \boxtimes \zpe$ en une involution que l'on note encore $w_*$ sur $D_{\rm rig} \boxtimes \zpe$ par la formule $[\lambda] \otimes x \mapsto [\lambda^{-1}] \otimes w_*(x)$. 
%%
%%Remarquons que $w_*$ agit sur $\mathscr{D}_0(\zp)$ et sur $\mathscr{C}_0(\zp)$ via les formules $$ \int_\zp \phi(x) \cdot (w_*\mu) = \int_\zp \phi(x^{-1}) \cdot \mu, \; \; (w_* \phi)(x) = - x^{-2} \phi(x^{-1}). $$
%%
%%% --- Cas de dimension 2!
%%%On a l'identit� $w_* \circ \sigma_a = \delta(a) \sigma_{a^{-1}} \circ w_\delta$ pour tout $a \in \zpe$, ce qui fait que $w_D = w_{\omega_D^{-1}}$ induise un isomorphisme $\Robba(\Gamma)$-antilin�aire $$w_D \otimes \omega_D^{-1}: D^{\psi = 0} \to \check{D}^{\psi = 0}. $$ La formule ci-dessus pour l'involution sur $D \boxtimes \zpe$ montre qu'elle s'exprime en termes de l'action du Borel sup�rieure. Pourtant, une mauvaise convergence \footnote{La formule ne converge par exemple pas sur $\Robba$ et son extension � $D \in \Phi \Gamma^{\text{�t}}(\Robba)$ mentionn�e dans ce paragraphe est loin d'�tre triviale.} rend toute preuve concernant $w_\delta$ assez d�tourn�e. Deux m�thodes dont on dispose qui se sont av�r�s tr�s fructueux sont les lois de r�ciprocit� (que l'on introduira � continuation) et l'action de l'alg�bre de Lie (\cite{Dospinescu}).
%%
%%Identifions $\Robba(\Gamma)$ � $\Robba \boxtimes \zpe$ en �tendant par lin�arit� l'isomorphisme d'Amice $ \Robba^+(\Gamma) \cong \Robba^+ \boxtimes \zpe$ d�fini par $\mu \mapsto \int_\Gamma (1 + T)^x \cdot \mu$ et notons $f \mapsto df = \partial f \frac{dT}{1 + T}$ l'isomorphisme $\Gamma$-�quivariant de $\Robba \boxtimes \zpe$ sur $\Robba \frac{dT}{1 + T} \boxtimes \zpe$. Le r�sultat suivant permet d'�tudier l'involution $w_*$.
%%
%%\begin{theorem} [\cite{ColmezPhiGamma}, thm. I.5.5] \label{recip}
%%Si $\check{z} \in \check{D} \boxtimes \zpe$ et $z \in D \boxtimes \zpe$, alors $$ d(\langle \check{z},  z \rangle_{\rm Iw}) = - \langle w_* \check{z}, z \rangle_\zpe. $$
%%\end{theorem}
%%
%%\subsubsection{Une fonction analytique sur l'espace des poids}
%%
%%%Continuons avec les m�mes notations et soient $D \in \Phi \Gamma^{\text{�t}}(\E)$ de dimension $d$, de Rham � poids de Hodge-Tate $1$ et $k \geq 2$, $\check{D}$ son dual de Tate, $D_{\rm rig}, \check{D}_{\rm rig}$ les modules sur l'anneau de $\Robba$ correspondants et notons $\check{\Delta} = \Nrig(\check{D}) \in \Phi \Gamma(\Robba)$. Fixons un �l�ment $\alpha \in \check{\Delta}^{\psi = 1}$. Notons que $\check{D}$ est � poids de Hodge-Tate $0$ et $1 - k$, et donc $\mathrm{Fil}^0 \; \DdR(\check{D}) = \DdR(\check{D})$. Soit $\eta: \zpe \to L$ un caract�re assez ramifi� de sorte qu'il satisfait les hypoth�ses du th�or�me \ref{theo1}. Posons $$ L_{z, \alpha}(\eta, s) = - p^{-n} s^{-1} \langle  \Lambda_{\check{D}, \sigma_{-1}(\alpha)}(\eta \chi^s) , \Lambda_{D, z}(\eta^{-1} \chi^{-s}) \rangle_{\rm dR}. $$ L'expression qui d�finit $L_{z, \alpha}(\eta, s)$ n'a � priori pas de sens mais on verra qu'elle d�finit en fait une fonction analytique sur l'espace de poids.
%%%
%%%\begin{proposition}
%%%On a un �galit� $$ L_{z, \alpha}(\eta, s) = \int_\gamma \eta^{-1} \chi^s \langle \alpha, z \rangle_{\rm Iw} $$
%%%\end{proposition}
%%%
%%%\begin{proof}
%%%Si ${\j} \gg 0$, les propositions \ref{lemme4} et \ref{propfin} donnent \[ \Lambda_{\check{D}, \sigma_{-1}(\alpha)}(\eta \chi^j) = \Gamma^*(j+1) p^{n(j+1)} \eta(-1) (-1)^j \cdot \exp^*(\int_\Gamma \eta \chi^{-j} \cdot \mu_\alpha) \otimes \mathbf{e}^{\rm dR, \vee}_{\eta, -j}, \] \[ \Lambda_{D, z}(\eta^{-1} \chi^{-j}) = \Gamma^*(-j+1) p^{n(-j+1)} \cdot \exp^{-1}(\int_\Gamma \eta^{-1} \chi^j \cdot \mu_z) \otimes \mathbf{e}^{\rm dR, \vee}_{\eta^{-1}, j}.\] En utilisant la formule $G(\eta) G(\eta^{-1}) = \eta(-1) p^n$, on voit que $ \langle  \Lambda_{\check{D}, \alpha}(\eta^{-1} \chi^{\j}) , \Lambda_{D, z}(\eta \chi^{-{\j}}) \rangle_{\rm dR}$ co�ncide avec $$ - p^{n} j \langle \exp^* (\int_{\Gamma} \eta^{-1}(x) \chi(x)^{-{\j}} \cdot \mu_{\alpha}), \exp^{-1}(\int_{\Gamma} \eta(x) \chi(x)^{\j} \cdot \mu_z ) \rangle_{\rm dR}, $$ et on conclut en appliquant le lemme \ref{lemme26} et la d�finition de $L_{z, \alpha}(\eta, s)$.
%%%\end{proof}
%%%
%%%Comme l'accouplement d'Iwasawa fournit des distributions, on en d�duit:
%%%
%%%\begin{corollary} \label{prolong}
%%%La fonction $L_{z, \alpha}$ admet un prolongement analytique $L_{z, \alpha} \in \mathcal{O}(\mathfrak{X})$ � tout l'espace des poids.
%%%\end{corollary}
%%%
%%%\begin{remarque}
%%%Si $D$ est cristallin, l'isomorphisme $ \check{\Delta} \cong \Robba \otimes_\qp \Dcris(\check{D})$ nous fournit un choix particuli�rement simple de $\check{z}$, � savoir $\mathrm{Dir}_1 \otimes \lambda$ o� $\lambda \in \Dcris(\check{D})$ est un vecteur propre pour le Frobenius cristallin \footnote{L'�l�ment $\lambda$ n'est pas fixe par $\psi$ mais tout marche en posant $\Lambda_{\check{D}, \sigma_{-1}(\alpha)} = \Lambda_{\check{D}, (1 - \lambda_\alpha^{-1} \varphi) \sigma_{-1}(\alpha)}$, o� $\lambda_\alpha$ d�note la valeur propre associ�e � $\alpha$ (rappelons que la construction de la fonction $\Lambda$ d�pend du choix d'un �l�ment dans $\check{\Delta}^{\psi = 0}$).}.
%%%\end{remarque}
%%
%%Continuons avec les m�mes notations et soient $D \in \Phi \Gamma^{\text{�t}}(\E)$ de dimension $d$, de Rham � poids de Hodge-Tate $0$ et $k \geq 1$, $\check{D}$ son dual de Tate, $D_{\rm rig}, \check{D}_{\rm rig}$ les modules sur l'anneau de $\Robba$ correspondants et notons $\check{\Delta} = \Nrig(\check{D}) \in \Phi \Gamma(\Robba)$. Soit $z \in D^{\psi = 1}$ et fixons un �l�ment $\check{z} \in \check{\Delta}^{\psi = 1}$. On note $\alpha = \nabla \check{z} \in \check{D}^{\psi = 1}$ (notons que $\check{D}$ est � poids de Hodge-Tate $1$ et $1 - k$ et donc $\mathrm{Fil}^{-1} \; \DdR(\check{D}) = \DdR(\check{D})$). Soit $\eta: \zpe \to L$ un caract�re assez ramifi� de sorte qu'il satisfait les hypoth�ses du th�or�me \ref{theo1}. Posons $$ L_{z, \alpha}(\eta, s) = p^{-n} \langle  \Lambda_{\check{D}, \sigma_{-1}(\alpha)}(\eta \chi^s) , \Lambda_{D, z}(\eta^{-1} \chi^{-s}) \rangle_{\rm dR} $$ qui est, d'apr�s les hypoth�ses que l'on a fait sur $\eta$, une fonction localement analytique en $s$.
%%
%%\begin{proposition}
%%On a un �galit� $$ L_{z, \alpha}(\eta, s) = \int_\gamma \eta^{-1} \chi^s \langle \alpha, z \rangle_{\rm Iw} $$
%%\end{proposition}
%%
%%\begin{proof}
%%Si ${\j} \gg 0$, en rempla�ant chaque terme par ce que donne les propositions \ref{lemme4} et \ref{propfin} et en utilisant la formule $G(\eta) G(\eta^{-1}) = \eta(-1) p^n$, on voit que $ \langle  \Lambda_{\check{D}, \alpha}(\eta^{-1} \chi^{\j}) , \Lambda_{D, z}(\eta \chi^{-{\j}}) \rangle_{\rm dR}$ co�ncide avec $$ p^{n} (-1)^{\j} \eta(-1) \langle \exp^* (\int_{\Gamma} \eta^{-1} \chi^{-j} \cdot \mu_{\alpha}), \exp^{-1}(\int_{\Gamma} \eta \chi^j \cdot \mu_z ) \rangle_{\rm dR}, $$ et on conclut en appliquant le lemme \ref{lemme26} et la d�finition de $L_{z, \alpha}(\eta, s)$.
%%\end{proof}
%%
%%\begin{corollary} \label{prolong}
%%La fonction $L_{z, \alpha}$ admet un prolongement analytique $L_{z, \alpha} \in \mathcal{O}(\mathfrak{X})$ � tout l'espace des poids.
%%\end{corollary}
%%
%%\begin{remarque}
%%Si $D$ est cristallin, les isomorphismes \[ (\Robba \otimes_\qp \Dcris(\check{D}))^{\psi = 0} = \check{\Delta}^{\psi = 0} = \Robba(\Gamma) \otimes_{\Robba^+(\Gamma)} (1 - \varphi) \check{\Delta}^{\psi = 1} \] nous fournissent un choix particuli�rement simple de $\check{z}$, � savoir le terme dans le module de droite correspondant � $\mathrm{Dir}_1 \otimes \lambda$, o� $\mathrm{Dir}_1$ d�note la masse de Dirac en $1$ et $\lambda \in \Dcris(\check{D})$ est un vecteur propre pour le Frobenius cristallin.
%%\end{remarque}
%%
%%\subsubsection{Une premi�re �quation fonctionnelle}
%%
%%%Enfin, on d�finit l'accouplement $$ [ \; , \; ]_{\rm Iw}: (D \boxtimes \zpe) \times (D \boxtimes \zpe) \to \Robba(\Gamma) $$ par la formule $[x, y]_{\rm Iw} = \langle w_D(x) \otimes \delta, y \rangle_{\rm Iw}$. Cet accouplement est $\Robba(\Gamma)$-bilin�aire et antisym�trique. On a la formule $$ d([x, y]_{\rm Iw}) = -(\delta(-1) m_\delta(x \wedge_\zpe y)) \otimes \delta. $$
%%
%%On s'attend � que la fonction $L_{z, \alpha}$ satisfasse une �quation fonctionnelle. Celle de la proposition \ref{eqfonct0} est la premi�re et plus simple parmi une s�rie d'�quations fonctionnelles que l'on trouvera dans les chapitres ult�rieurs, elles sont toutes �troitement li�s � l'involution $w_*$ et donc a la correspondance de Langlands $p$-adique, ce qui explique que les r�sultats en toute g�n�ralit� ne seront d�montr�s qu'en dimension $2$, qui est pour l'instant le seul cas o� on connait une telle correspondance.
%%
%%On aura besoin dans la suite de travailler au niveau entier. Le $(\varphi, \Gamma)$-module $D$ poss�de un $\mathscr{O}_\E$-r�seau stable et, en multipliant par une puissance ad�quate de $p$, on peut supposer que ce r�seau contient les �l�ments $z$ et $\alpha$ choisis plus haut.
%%
%%\begin{lemme} \label{forminv}
%%Soit $D \in \Phi\Gamma^{\text{�t}}(\mathscr{O}_\E)$ et soient $x \in \check{D} \boxtimes \zpe, y \in D \boxtimes \zpe$. Alors $$ w_* \langle x, y \rangle_\zpe = \langle w_* x, w_* y \rangle_\zpe. $$
%%\end{lemme}
%%
%%\begin{proof}
%%Si $x \in \check{D} \boxtimes \zpe$ et $y \in D \boxtimes \zpe$, on a (\ref{convolution}) \[ \langle x, y \rangle_\zpe = \lim_{n \to +\infty} \sum_{i, j \in (\Z / p^n \Z)^\times} (1 + T)^{ij} \langle \sigma_i (1 + T)^{-j} \mathrm{Res}_{j + p^n \zp}(x), \sigma_j (1 + T)^{-i} \mathrm{Res}_{i + p^n \zp}(y) \rangle \] et, pour $z \in \{ \check{D} \boxtimes \zpe, D \boxtimes \zpe, \mathscr{O}_\E \frac{dT}{1 + T} \boxtimes \zpe \}$, on a (\ref{involution}) \[ w_* z = \lim_{n \to + \infty} \sum_{a \in (\Z / p^n \Z)^\times} (1 + T)^{a^{-1}} \sigma_{-a^{-2}} \mathrm{Res}_{p^n \zp}((1 + T)^{-a} z). \]
%%
%%Les deux identit�s ci-dessus donnent
%%\[ \langle w_* x, w_* y \rangle_\zpe  = \lim_{n \to +\infty} \sum_{i, j \in (\Z / p^n \Z)^\times} (1 + T)^{ij} \langle \sigma_i (1 + T)^{-j} \mathrm{Res}_{j + p^n \zp}(w_* x), \sigma_j (1 + T)^{-i} \mathrm{Res}_{i + p^n \zp}(w_* y) \rangle \]
%%et, vu que chaque terme de la somme d�finissant $w_* x$ (resp. $w_* y$) est support�e dans $a^{-1} + p^n \zp$, on a $ \mathrm{Res}_{j + p^n \zp}(w_* x) = (1 + T)^j \sigma_{-j^2} \mathrm{Res}_{p^n \zp}((1 + T)^{-j^{-1}} x)$ (resp. $ \mathrm{Res}_{i + p^n \zp}(w_* y) = (1 + T)^i \sigma_{-i^2} \mathrm{Res}_{p^n \zp}((1 + T)^{-i^{-1}} y)$). On en d�duit la formule
%%\[ \langle w_* x, w_* y \rangle_\zpe = \lim_{n \to +\infty} \sum_{i, j \in (\Z / p^n \Z)^\times} (1 + T)^{ij} \langle \sigma_{-ij^2} \mathrm{Res}_{p^n \zp}((1 + T)^{-j^{-1}} x), \sigma_{-ji^2} \mathrm{Res}_{p^n \zp}((1 + T)^{-i^{-1}} y) \rangle \]
%%
%%Par ailleurs,
%%\begin{eqnarray*}
%%w_* \langle x, y \rangle_\zpe &=& \lim_{n \to + \infty} \sum_{a \in (\Z / p^n \Z)^\times} (1 + T)^{a^{-1}} \sigma_{-a^{-2}} \mathrm{Res}_{p^n \zp}((1 + T)^{-a} \langle x, y \rangle_\zpe) \\
%%&=& \lim_{n \to + \infty} \sum_{a \in (\Z / p^n \Z)^\times} (1 + T)^{a^{-1}} \sigma_{-a^{-2}} (1 + T)^{-a} \mathrm{Res}_{a + p^n \zp}(\langle x, y \rangle_\zpe),
%%\end{eqnarray*}
%%o� la deuxi�me �galit� suit de l'identit� $\mathrm{Res}_{a + p^n \zp}((1 + T)^b z) = (1 + T)^b \mathrm{Res}_{a - b + p^n \zp}(z)$, $a, b \in \zp / p^n \zp$. Or,
%%\begin{eqnarray*}
%%\mathrm{Res}_{a + p^n \zp}(\langle x, y \rangle_\zpe) &=& \sum_{i, j} (1 + T)^{ij} \mathrm{Res}_{a - ij + p^n \zp} \langle \sigma_i (1 + T)^{-j} \mathrm{Res}_{j + p^n \zp}(x), \sigma_j (1 + T)^{-i} \mathrm{Res}_{i + p^n \zp}(y) \rangle \\
%%&=& \sum_{ij = a} (1 + T)^{ij} \langle \sigma_i (1 + T)^{-j} \mathrm{Res}_{j + p^n \zp}(x), \sigma_j (1 + T)^{-i} \mathrm{Res}_{i + p^n \zp}(y), \rangle
%%\end{eqnarray*} o� on a utilis� le fait que le terme $\langle \sigma_i (1 + T)^{-j} \mathrm{Res}_{j + p^n \zp}(x), \sigma_j (1 + T)^{-i} \mathrm{Res}_{i + p^n \zp}(y) \rangle$ est support� dans $p^n \zp$ et seulement le terme $ij = a$ survit dans la somme. On en d�duit donc la formule
%%\begin{eqnarray*}
%%w_* \langle x, y \rangle_\zpe &=& \lim_{n \to + \infty} \sum_{a, i \in (\Z / p^n \Z)^\times} (1 + T)^{a^{-1}} \sigma_{-a^{-2}} \langle \sigma_i (1 + T)^{-a i^{-1}} \mathrm{Res}_{a i^{-1} + p^n \zp}(x), \sigma_{a i^{-1}} (1 + T)^{-i} \mathrm{Res}_{i + p^n \zp}(y) \rangle \\
%%&=& \lim_{n \to + \infty} \sum_{a, i \in (\Z / p^n \Z)^\times} (1 + T)^{a^{-1}} \langle \sigma_{-i a^{-2}} \mathrm{Res}_{p^n \zp}( (1 + T)^{-a i^{-1}} x), \sigma_{- (ai)^{-1}} \mathrm{Res}_{p^n \zp}( (1 + T)^{-i} y) \rangle
%%\end{eqnarray*}
%%et on conclut en faisant le changement de variables $(i, a) \mapsto (i^{-1}, a^{-1} i)$.
%%\end{proof}
%%
%%\begin{lemme} \label{inveaea} Soient $D \in \Phi\Gamma(\mathscr{O}_\E)$ et $z \in D \boxtimes \zpe$. Alors 
%%\begin{itemize}
%%\item Pour $\delta: \qpe \to \mathscr{O}_L^\times$ un caract�re continu, on a $$ w_*(z \otimes e_\delta) = (\delta(-1) m_{\delta^2} \circ w_*(z)) \otimes e_\delta. $$
%%\item $w_* \circ \partial = \partial^{-1} \circ w_*$.
%%\end{itemize}
%%\end{lemme}
%%
%%\begin{proof}
%%Le premier point est le corollaire V.5.2 de \cite{ColmezMirabolique}. Le deuxi�me suit de \cite{ColmezPoids}, prop 3.6 (voir aussi \ref{propinv} plus loin).
%%\end{proof}
%%
%%
%%\begin{proposition} \label{eqfonct0} Soit $D \in \Phi\Gamma^{\text{�t}}(\E)$ de dimension $2$. Soient $z \in D^{\psi = 1}$, $\check{z} \in \check{D}^{\psi = 1}$ et $\alpha = \nabla \check{z}$ comme ci-dessus. Notons $L_{w_* z, w_* \alpha}$ la fonction que l'on obtient en accouplent $\Lambda_{D, w_*((1 - \varphi)z)}$ et $\Lambda_{\check{D}, w_*((1 - \varphi) \alpha)}$. Alors, pour tout $\xi \in \mathfrak{X}$, on a
%%$$ L_{z, \alpha}(\xi) = - L_{w_* z, w_* \alpha}(\xi^{-1}) $$
%%\end{proposition}
%%
%%\begin{proof}
%%Par densit� de Zariski, il suffit de montrer le r�sultat pour les caract�res de la forme $\chi^j$. Notons que $D^{\psi = 1} \subseteq (D^\dagger)^{\psi = 1} \subseteq D_{\rm rig}^{\psi = 1}$. On a
%%$$
%%L_{z, \alpha}(\chi^j) = \int_\Gamma \chi^s \langle \alpha, z \rangle_{\rm Iw}
%%= \int_\Gamma \chi^{-j} w_* \langle \alpha, z \rangle_{\rm Iw}. 
%%$$
%%Notons $y = (1 - \varphi) z \in D^{\psi = 0}$, $y' = (1 - \varphi) \alpha \in \check{D}^{\psi = 0}$. On a alors
%%\begin{eqnarray*}
%%d \langle w_* y', w_* y \rangle_{\rm Iw} &=& - \langle y', w_* y \rangle_\zpe \;\;\; (\text{th�or�me \ref{recip}}) \\
%%&=& - w_* \langle w_* y', y \rangle_\zpe  \;\;\; (\text{lemme \ref{forminv}})\\
%%&=& w_*( \partial \langle y', y \rangle_{\rm Iw} \otimes e_\chi) \;\;\; (\text{th�or�me \ref{recip} encore})\\
%%&=& (\chi(-1) m_{\chi^2} \circ w_*(\partial \langle y', y \rangle_{\rm Iw}) \otimes e_\chi \;\;\; (\text{lemme \ref{inveaea}})\\
%%&=& - m_{\chi^2} \partial^{-1} w_* \langle y', y \rangle_{\rm Iw} \frac{dT}{1 + T} \;\;\; (\text{lemme \ref{inveaea}}) \\
%%&=& - \partial w_* \langle y', y \rangle_{\rm Iw} \frac{dT}{1 + T} \;\;\; (\text{$\partial$ co�ncide avec la multiplication par $\chi$ sur $\zpe$})
%%\end{eqnarray*}
%%%Or $d \langle w_* z', w_* z \rangle_{\rm Iw} = - \langle z', w_* z \rangle_\zpe = - w_* \langle w_* z', z \rangle_\zpe = w_*( \partial \langle z', z \rangle_{\rm Iw} \otimes e_\chi) = (\chi(-1) m_{\chi^2} \circ w_*(\partial \langle z', z \rangle_{\rm Iw}) \otimes e_\chi = - m_{\chi^2} \partial^{-1} w_* \langle z', z \rangle_{\rm Iw} \frac{dT}{1 + T} = - \partial w_* \langle z', z \rangle_{\rm Iw} \frac{dT}{1 + T} $ o� on a utilis�, respectivement: le th�or�me \ref{recip}, le lemme \ref{forminv}, le th�or�me \ref{recip} encore, et les deux points du lemme \ref{inveaea} et le fait que $\partial$ co�ncide avec la multiplication par $\chi$ sur $\zpe$ pour les trois derni�re �galit�s
%%(notons que l'on voit $\frac{dT}{1+T}$ comme $e_\chi$ et vice-versa). Ceci implique (car $\partial$ est injectif sur $\Robba \frac{dT}{1 + T} \boxtimes \zpe$) que \[ \langle w_* y', w_* y \rangle_{\rm Iw} = - w_*  \langle y', y \rangle_{\rm Iw}. \] On a donc
%%\[ L_{z, \alpha}(\eta, j) = \int_\Gamma \eta \chi^{-j} \cdot w_* \langle \alpha, z \rangle_{\rm Iw} = \int_\Gamma \eta \chi^{-j} \cdot w_* \langle y', y \rangle_{\rm Iw} = - \int_\Gamma \eta \chi^{-j} \cdot \langle w_* y', w_* y \rangle_{\rm Iw} = - L_{w_* z, w_* \alpha} (\eta^{-1}, -j), \] ce qui permet de conclure.
%%\end{proof}
%
%\begin{remarque} \leavevmode
%\begin{itemize}
%\item L'argument ci-dessus ne marche qu'en dimension deux � cause de l'absence d'une involution sur $D_{\rm rig} \boxtimes \zpe$. On ne sait pas si l'involution $w_*$ sur $D \boxtimes \zpe$ pr�serve ou non la surconvergence.
%\item On remarque l'�galit� suivante, qui a �t� d�montr�e dans la preuve de la proposition \ref{eqfonct0} ci-dessus, et peut avoir un int�r�t ind�pendant du reste des calculs : \[ \langle w_* (1 - \varphi) \check{z}, w_* (1 - \varphi) z \rangle_{\rm Iw} = - w_* \langle \check{z}, z\rangle_{\rm Iw}, \;\;\; \check{z} \in \check{D}^{\psi = 0}, z \in D^{\psi = 0}. \]
%\end{itemize}
%\end{remarque}

\subsection{�quation fonctionnelle en dimension $2$} \label{equationfonctionnelle}

Dans cette section, nous utilisons le r�sultat principal de \cite{epsilonKato} (o� on pourra trouver une exposition plus d�taill�e des r�sultats ainsi que ses preuves) pour en d�duire une �quation fonctionnelle satisfaite par la fonction $L$ locale quand le $(\varphi, \Gamma)$-module est de dimension $2$, de Rham et non-triangulin. On commence par fixer un certain nombre de notations.

\subsubsection{Notations} \label{basesdeRham3} Soit $D \in \Phi\Gamma^{\text{�t}}(\Robba)$ de dimension $2$, de Rham � poids de Hodge-Tate $0$ et $k$ que l'on suppose non triangulin \footnote{D'apr�s Kedlaya, tout $(\varphi, \Gamma)$ module sur $\Robba$ est �tale � torsion pr�s par un caract�re ou triangulin. Dans ce dernier cas les calculs qui suivent sont d�j� connus et l'hypoth�se de non triangularit� n'est donc pas vraiment restrictive.} et notons $\Delta = \Nrig(D)$, qui est � poids de Hodge-Tate tous nuls. 

�tendons un peu les notations de \ref{basesdeRham2}. Si $\delta \colon \qpe \to L^\times$ est un caract�re, on note $e_\delta$ une base du module $L(\delta)$ muni d'actions de $\varphi$ et $\Gamma$ via les formules $\varphi(e_\delta) = \delta(p) \cdot e_\delta$ et $\sigma_a(e_\delta) = \delta(a) \cdot e_\delta$, $a \in \zpe$. On note $D(\delta) = D \otimes \delta$ le module $D \otimes_L L(\delta)$. Le choix de $e_\delta$ fournit un isomorphisme de $L$-espaces vectoriels $D \xrightarrow{\sim} D(\delta): x \mapsto x \otimes e_\delta$.

Soit $\check{D} = \mathrm{Hom}_{\varphi, \Gamma}(D, \Robba \frac{dT}{1 + T})$ le dual de Tate de $D$, o� $\Robba \frac{dT}{1 + T}$ est le $(\varphi, \Gamma)$-module �tale libre de rang $1$ de base $\frac{dT}{1 + T}$ sur lequel $\varphi$ et $\Gamma$ agissent par les formules $\gamma (\frac{dT}{1 + T}) = \chi(\gamma) \frac{dT}{1 + T}$ si $\gamma \in \Gamma$, $\varphi(\frac{dT}{1 + T}) = \frac{dT}{1 + T} $. On note \[ \langle \; , \; \rangle \colon \check{D}_{\rm rig} \times D_{\rm rig} \to \Robba \frac{dT}{1+T} \] l'accouplement naturel. Soient $\omega_D = (\det_D) \chi^{-1}$ et $\omega_\Delta = (\det_\Delta) \chi^{-1}$. Le fait que $D$ soit de dimension $2$ nous permet d'identifier $\check{D} = D \otimes \omega_D^{-1}$. Comme les poids de Hodge-Tate de $D$ sont $0$ et $k$, et ceux de $\Delta$ sont nuls, le caract�re $\det_\Delta$ est localement constant et $\omega_D = \omega_\Delta x^k$ (et $\det_D = x^k \det_\Delta$). Notons $e_D = e_{\det_D}$.

Soit $\eta \colon \zpe \to L^\times$ est un caract�re localement constant, vu comme un caract�re de $\qpe$ en posant $\eta(p) = 1$. Rappelons que l'on a un g�n�rateur $\mathbf{e}^{\rm dR}_\eta = G(\eta) e_\eta$ du module $\DdR(\Robba(\eta))$, que $e_\eta^\vee = e_{\eta^{-1}}$ d�note la base de $L(\eta)^*$ duale de $e_\eta$, et que $\DdR(\Robba(\eta)^*) =  L \cdot G(\eta)^{-1} e_\eta^\vee = L \cdot G(\eta^{-1}) e_{\eta^{-1}}$. Ceci fournit deux bases $\mathbf{e}^{\rm dR, \vee}_\eta = G(\eta)^{-1} e_\eta^\vee$ et $\mathbf{e}^{\rm dR}_{\eta^{-1}} = G(\eta^{-1}) e_{\eta^{-1}}$ du module $\DdR(\Robba(\eta)^*) = \DdR(\Robba(\eta^{-1}))$, reli�es par la formule $p^n \eta(-1) \mathbf{e}^{\rm dR, \vee}_\eta = \mathbf{e}^{\rm dR}_{\eta^{-1}}$. 

On aura besoin de jongler un peu avec des �l�ments habitant dans le module de de Rham des diff�rents tordus de $D$ et de son dual de Tate et les identifications suivantes permettent de voir tous ces �l�ments dans $\DdR(D)$. Fixons une base $f_1, f_2$ de $\DdR(D)$ et notons $$ \langle \;,\; \rangle_{\rm dR} \colon \DdR(D) \times \DdR(D) \to L, $$ le produit scalaire d�fini par la formule $\langle a_1 f_1 + a_2 f_2, b_1 f_1 + b_2 f_2 \rangle_{\rm dR} = a_1 b_1 + a_2 b_2$.

L'isomorphisme $\wedge^2 D = (\Robba \frac{dT}{1 + T}) \otimes \omega_D$ induit un isomorphisme $\wedge^2 \DdR(D) = \DdR((\Robba \frac{dT}{1 + T}) \otimes \omega_D) = (t^{-k} L_\infty e_D)^\Gamma$. On d�finit $\Omega \in L_\infty$ par la formule $f_1 \wedge f_2 = (t^k \Omega)^{-1} e_{D}$, ce qui nous permet de fixer les bases $(t^k \Omega)^{-1} e_D$ et $t^k \Omega e_D^\vee$ du module $\DdR(\wedge^2 D)$ et de son dual. On fixe aussi les bases $\mathbf{e}^{\rm dR}_{\omega_D} = (t^{k-1} \Omega)^{-1} e_{\omega_D}$ et $\mathbf{e}^{\rm dR, \vee}_{\omega_D} = (t^{k-1} \Omega) e_{\omega_D}^\vee$ du module $\DdR(\Robba(\omega_D))$ et de son dual.

%Avec les notations introduites ci-dessus, on a des isomorphismes $$ \DdR(D) \xrightarrow{\sim} \DdR(\check{D}(\eta \chi^{-{\j}})); \;\;\; x \mapsto x \otimes G(\eta) e_{\eta} \otimes t^{{\j}} e_{-{\j}} \otimes  \Omega t^{k-1}  e_{\omega_D}^\vee $$ $$ \DdR(D) \xrightarrow{\sim} \DdR(D(\eta^{-1} \chi^{\j})) ; \;\;\; x \mapsto x \otimes G(\eta^{-1}) e_{\eta^{-1}} \otimes t^{-{\j}} e_{\j}. $$ 

Enfin, afin d'all�ger les notations dans les calculs futurs, notons, pour $\eta$ comme ci-dessus et $j \in \Z$,
$$ \mathbf{e}_{\eta, j, \omega_D^\vee} \defeq e_\eta \otimes e_j \otimes e_{\omega_D}^\vee, \; \; \; \mathbf{e}_{\eta, j} \defeq e_\eta \otimes e_j, $$
bases de $L(\eta \chi^j \omega_D^{-1})$ et $L(\eta \chi^j)$ respectivement, et leurs duales
$$ \mathbf{e}^\vee_{\eta, j, \omega_D^\vee} \defeq e_\eta^\vee \otimes e_{-j} \otimes e_{\omega_D}, \; \; \; \mathbf{e}^\vee_{\eta, j} \defeq e_\eta^\vee \otimes e_{-j}, $$
ainsi que des bases des module $\DdR(\Robba(\eta \chi^j \omega_D^{-1}))$ et $\DdR(\Robba(\eta \chi^j))$
$$ \mathbf{e}^{\rm dR}_{\eta, j, \omega_D^\vee} \defeq G(\eta) e_\eta \otimes t^{-j} e_j \otimes t^{k-1} \Omega e_{\omega_D}^\vee = \mathbf{e}^{\rm dR}_\eta \otimes \mathbf{e}^{\rm dR}_j \otimes \mathbf{e}^{\rm dR, \vee}_{\omega_D}, $$
$$ \mathbf{e}^{\rm dR}_{\eta, j} \defeq G(\eta) e_\eta \otimes t^{-j} e_j = \mathbf{e}^{\rm dR}_\eta \otimes \mathbf{e}^{\rm dR}_j $$
et leurs duales
$$ \mathbf{e}^{\rm dR, \vee}_{\eta, j, \omega_D^\vee} \defeq G(\eta)^{-1} e_\eta^\vee \otimes t^{j} e_{-j} \otimes (t^{k-1} \Omega)^{-1} e_{\omega_D} = \mathbf{e}^{\rm dR, \vee}_\eta \otimes \mathbf{e}^{\rm dR}_{-j} \otimes \mathbf{e}^{\rm dR}_{\omega_D}, $$
$$ \mathbf{e}^{\rm dR, \vee}_{\eta, j} \defeq G(\eta)^{-1} e_\eta^\vee \otimes t^j e_{-j} = \mathbf{e}^{\rm dR, \vee}_\eta \otimes \mathbf{e}^{\rm dR}_{-j}, $$ et les variantes �videntes que l'on puisse imaginer.

Par exemple, si $\eta \colon \zpe \to L^\times$ est un caract�re d'ordre fini, si $j \geq 0$ et si $x \in \DdR(\check{D}(\eta \chi^{-{\j}}))$, on �crira $x \otimes \mathbf{e}^{\rm dR, \vee}_{\eta, -j, \omega_D^\vee} \in \DdR(D)$ l'image de $x$ par l'isomorphisme $$ \DdR(\check{D}(\eta \chi^{-{\j}})) \xrightarrow{\sim} \DdR(D); \;\;\; x \mapsto x \otimes G(\eta)^{-1} e_\eta^\vee \otimes t^{-j} e_{j} \otimes (t^{k - 1} \Omega)^{-1} e_{\omega_D} $$ et de m�me, si $x \in \DdR(D(\eta^{-1} \chi^{\j}))$, on notera $x \otimes \mathbf{e}^{\rm dR, \vee}_{\eta^{-1}, j} \in \DdR(D)$ l'image de $x$ par l'isomorphisme $$ \DdR(D(\eta^{-1} \chi^j)) \xrightarrow{\sim} \DdR(D); \;\;\; x \mapsto x \otimes G(\eta^{-1})^{-1} e_{\eta^{-1}}^\vee \otimes t^j e_{-j}. $$

\begin{remarque} \leavevmode
\begin{itemize}
\item Les bases des modules de de Rham ainsi d�finies h�ritent une action de l'op�rateur $\varphi$. On a, par exemple, \[ \varphi(\mathbf{e}^{\rm dR}_\eta) = \mathbf{e}^{\rm dR}_\eta, \;\;\; \varphi(\mathbf{e}^{\rm dR}_j) = p^{-j} \mathbf{e}^{\rm dR}_j, \] \[ \varphi(\mathbf{e}^{\rm dR}_{\eta, j, \omega_D^\vee}) = p^{-j + k - 1} \omega_D^{-1}(p) \cdot \mathbf{e}^{\rm dR}_{\eta, j,\omega_D^\vee} = p^{-j - 1} \omega_\Delta^{-1}(p) \cdot \mathbf{e}^{\rm dR}_{\eta, j,\omega_D^\vee}. \]
\item Il faut faire un peu d'attention et distinguer le caract�re identit� $x$ et le caract�re cyclotomique $\chi = x |x|$. Les deux co�ncident sur $\zpe$ mais $\chi(p) = 1$, tandis que le premier prend la valeur $p$. Par exemple, $\Gamma$ agit trivialement sur l'�l�ment $e_j \otimes e_{x^j}^\vee$ mais $\varphi(e_j \otimes e_{x^j}^\vee) = p^{-j} \; e_j \otimes e_{x^j}^\vee$.
\end{itemize}
\end{remarque}

\subsubsection{Facteurs epsilon pour $\mathrm{GL}_1$} \label{replisses}

Commen�ons par rappeler la d�finition des facteurs locaux associ�s � un caract�re. Soit $\eta \colon \qpe \to L^\times$ un caract�re continu. On dit que $\eta$ est non ramifi� si sa restriction � $\zpe$ est triviale et il est ramifi� dans le cas contraire. On d�finit son conducteur par $0$ s'il est non ramifi�, et par $p^n$, o� $n$ est le plus petit entier tel que la restriction $\eta \mid_{1 + p^n \zp}$ soit triviale, dans le cas contraire. Notons (cf. \cite{BH}, \S 6.23, \cite[\S 1.1]{Schmidt})
$$ \epsilon(\eta, s) = \left\{
  \begin{array}{cc}
    1 & \quad \text{ si $\eta$ n'est pas ramifi�} \\
    p^{-ns} \eta(p)^n G(\eta^{-1}) & \quad \text{si $\eta$ est ramifi�}  \\
  \end{array}
\right. $$
le facteur epsilon associ� au caract�re $\eta$. Il satisfait l'�quation fonctionnelle $$ \epsilon(\eta, s) \epsilon(\eta^{-1}, 1 - s) = \eta(-1). $$ On notera dans la suite $\epsilon(\eta) := \epsilon(\eta, 1/2) = p^{-n/2} \eta(p)^n G(\eta^{-1})$. 

% Le choix d'un syst�me compatible $(\zeta_{p^n})_{n \geq 0}$ de racines de l'unit� nous permet de fixer un caract�re additif $\psi \in \mathrm{Hom}(\qp, L^\times_\infty)$ de niveau $0$ (i.e $\ker \psi= \zp$) par la formule $\psi(x) = \zeta_{p^n}^{p^n x}$ pour n'importe quel $n \geq v_p(x)$. Fixons aussi $d \mu$ la mesure de Haar sur $\qp$ telle que $\mu(\zp) = 1$. Soit $\mu^*$ une mesure de Haar de $\qpe$.

%Pour $\phi \in \mathrm{LC}_{\rm c}(\qp, L)$ une fonction localement constante � support compact dans $\qp$, la fonction $$ \zeta(\phi, \eta, s) = \int_{\qpe} \phi(x) \eta(x) |x|^s \cdot d\mu^*(x) $$ converge pour $\mathrm{Re} \; s \gg 0$ et admet un prolongement analytique � $\C$ tout entier. Les facteurs $L$ et $\epsilon$ associ�s � $\eta$ sont donn�s par les formules \footnote{ cf. \cite{BH} 23.4 pour la premi�re formule et 23.5 thm. et lemme 1 pour se ramener au cas du caract�re $\psi$ de niveau zero pour la deuxi�me.} $$ L(\eta, s) = \left\{
%  \begin{array}{cc}
%    (1 - \eta(p) p^{-s})^{-1} & \quad \text{ si $\eta$ n'est pas ramifi�} \\
%    1 & \quad \text{si $\eta$ est ramifi�}  \\
%  \end{array}
%\right. $$
%
%$$ \epsilon(\eta, s) = \left\{
%  \begin{array}{cc}
%    1 & \quad \text{ si $\eta$ n'est pas ramifi�} \\
%    p^{-ns} \eta(p)^n G(\eta^{-1}) & \quad \text{si $\eta$ est ramifi�}  \\
%  \end{array}
%\right. $$
%Le facteur epsilon satisfait l'�quation fonctionnelle $$ \epsilon(\eta, s) \epsilon(\eta^{-1}, 1 - s) = \eta(-1). $$ Enfin, on a une �quation fonctionnelle pour tout $\phi \in \mathrm{LC}_{\rm c}(\qp, L)$, o� les deux membres sont des polyn�mes en $p^{-s}$, $$ \frac{\zeta(\hat{\phi}, \eta^{-1}, 1 - s)}{L(\eta^{-1}, 1 - s)} = \epsilon(\eta, s) \frac{\zeta(\phi, \eta, s)}{L(\eta, s)}, $$ o� $\hat{\phi} = \int_\qp \phi(y) \psi(xy) d \mu(y)$ d�note la transform�e de Fourier de $\phi$. On notera dans la suite $\epsilon(\eta) := \epsilon(\eta, 1/2) = p^{-n/2} \eta(p)^n G(\eta^{-1})$. 
 
\subsubsection{Facteurs epsilon pour $\mathrm{GL}_2$} Soit $\pi$ une repr�sentation lisse irr�ductible de $\mathrm{GL}_2(\qp)$ et notons $\check{\pi}$ sa contragr�diente. On note (cf. \cite[\S 6]{BH}) $\epsilon(\pi) \in L$ le facteur epsilon de la repr�sentation $\pi$, ainsi que $\epsilon(\pi, s) = p^{- c(\pi) (s-1/2)} \epsilon(\pi), $ o� $c(\pi)$ est le conducteur de $\pi$ \footnote{Le conducteur $c(\pi)$ est d�fini comme le plus petit entier $n$ tel que $\pi$ poss�de un �l�ment fixe par les matrices de la forme $K_n = \{ {\matrice a b c d} \in \mathrm{M}_2(\zp)$, $c = d - 1 = 0$ mod $p^n \}$. On a $\dim_L \pi^{K_{c(\pi)}} = 1$. }. Observons que, si $j \in \Z$, alors $\epsilon(\pi, j + 1/2) = p^{-c(\pi) j} \epsilon(\pi) = \epsilon(\pi \otimes | \cdot |^j)$ \footnote{On note $| \cdot |^j := | \det ( \cdot ) |^j$ le caract�re non-ramifi� de $\mathrm{GL}_2(\qp)$ envoyant ${\matrice a b c d}$ vers $| ad - bc |^j$.}. Le facteur epsilon satisfait une �quation fonctionnelle $$ \epsilon(\pi, s) \epsilon(\check{\pi}, 1 - s) = \omega_\pi(-1), $$ o� $\omega_\pi$ est le caract�re central de la repr�sentation $\pi$.

%Notons $K = \mathrm{M}_2(\zp)$ et $A = \mathrm{M}_2(\qp)$, $\mathrm{LC}_{\rm c}(A, L)$ les fonctions localement constantes � support compact dans $A$ et $\mathfrak{C}(\pi)$ l'espace des coefficients de la repr�sentation $\pi$: c'est le $L$ espace vectoriel engendr� par les fonctions $g \in G \mapsto \langle \check{v}, g \cdot v \rangle$, $v \in \pi, \check{v} \in \check{\pi}$. Si $\eta \colon \qpe \to L^\times$ est un caract�re localement constant, on note $\pi \otimes \eta$ \footnote{On voit $e_\eta$ comme un g�n�rateur du $L$ espace vectoriel de dimension $1$ que l'on munit d'une action de $G$ par la formule $g \cdot e_\eta = \eta(\det g) \; e_\eta$. On a un isomorphisme d'espaces vectoriels $v \mapsto c \otimes e_\eta$ de $\pi$ sur $\pi \otimes \eta$.} la tordue de $\pi$ par $\eta$: si $v \in \pi$ et $g \in G$ alors $g (v \otimes e_\eta) = \eta(\det g) (gv \otimes e_\eta)$. On suppose dans la suite que $\pi$ est une repr�sentation supercuspidale (ce qui explique l'absence des facteurs $L$ dans la suite).
%
%Fixons $d\mu$ la mesure de Haar sur $A$ normalis�e par $\mu(K) = 1$. La transform�e de Fourier, d�finie par $$ \phi \in \mathrm{LC}_{\rm c}(A, L) \mapsto \hat{\phi}(g) = \int_A \phi(h) \psi(\mathrm{tr}(gh)) d \mu(h), $$ est alors auto-duale: $\hat{\hat{\phi}}(x) = \phi(-x)$. Enfin, si $f \in \mathfrak{C}(\pi)$, la formule $\check{f}(g) = f(g^{-1})$ d�finit un �l�ment $\check{f}$ dans $\mathfrak{C}(\hat{\pi})$. La fonction $$ \zeta(\phi, f, s) = \int_G \phi(g) f(g) || \det g ||^s \cdot d\mu^*(g), \;\;\; \phi \in \mathrm{LC}_{\rm c}, f \in \mathfrak{C}(\pi), $$ o� $\mu^*$ est une mesure de Haar sur $G$, converge pour $\mathrm{Re} \; s \gg 0$ et d�finit une fonction rationnelle en la variable $p^{-s}$.

%Il existe $\epsilon(\pi) \in L$ tel que, si l'on pose $\epsilon(\pi, s) = p^{- c(\pi) (s-1/2)} \epsilon(\pi), $ o� $c(\pi)$ est le conducteur de $\pi$ \footnote{Le conducteur $c(\pi)$ est d�fini comme le plus petit entier $n$ tel que $\pi$ poss�de un �l�ment fixe par les matrices de la forme $K_n = \{ {\matrice a b c d} \in K$, $c = d - 1 = 0$ mod $p^n \}$. On a $\dim_L \pi^{K_{c(\pi)}} = 1$. }, alors pour tous $\phi \in \mathrm{LC}_{\rm c}(A, L)$ et $f \in \mathfrak{C}(\pi)$, on a une �quation fonctionnelle $$ \zeta(\hat{\phi}, \check{f}, \frac{3}{2} - s) = \epsilon(\pi, s) \zeta(\phi, f, \frac{1}{2} + s). $$ Observons que, si $j \in \Z$, alors $\epsilon(\pi, j + 1/2) = p^{-c(\pi) j} \epsilon(\pi) = \epsilon(\pi \otimes | \cdot |^j)$. La fonction $\epsilon(\pi, s)$ est le facteur epsilon associ� � la repr�sentation $\pi$. Lui aussi satisfait une �quation fonctionnelle $$ \epsilon(\pi, s) \epsilon(\check{\pi}, 1 - s) = \omega_\pi(-1), $$ o� $\omega_\pi$ est le caract�re central de la repr�sentation $\pi$.

% \begin{proposition} \label{BHepsilon} Soit $\eta$ un caract�re de $\qpe$ de conducteur $p^n$ pour $n > c(\pi)$ et soit $c_\eta \in \qpe$ satisfaisant $\eta(1 + x) = \psi(c_\eta x)$ pour $x \in p^{\left\lfloor \frac{n}{2} \right \rfloor + 1}$. Alors $$ \epsilon(\pi \otimes \eta, s) = \omega_\pi(c_\eta)^{-1} \epsilon(\eta, s)^2. $$
% \end{proposition}
% 
% \begin{proof}
% Par \cite[\S 25.7 Thm.]{BH}, on a $\epsilon(\pi \otimes \eta, s) = \omega_\pi(c_\eta)^{-1} \epsilon(\eta \circ \det, s)$. Or, la repr�sentation $\eta \circ \det$ appara�t comme facteur irr�ductible de l'induite unitaire lisse $\mathbf{\iota}_B^G(|x|^{1/2} \eta \otimes |x|^{-1/2} \eta) = \mathrm{Ind}_B^G(\eta \otimes \eta)$ de la repr�sentation $|x|^{1/2} \eta \otimes |x|^{-1/2} \eta$ de $B$ (cf. \cite[\S 9.11]{BH}), et \cite[\S 26.1, Thm.]{BH} implique que $\epsilon(\eta \circ \det, s) = \epsilon(|x|^{1/2} \eta, s) \epsilon(|x|^{-1/2} \eta, s)$. On conclut en remarquant que $\epsilon(|x|^{1/2} \eta, s) = p^{-n/2} \epsilon(\eta, s)$  et $\epsilon(|x|^{-1/2} \eta, s) = p^{-n/2} \epsilon(\eta, s)$, comme on le voit de la formule $\epsilon(|x|^{\pm 1/2} \eta, s) = p^{-ms} \eta(p)^m |p|^{\pm m/2} G(|x|^{\pm 1/2} \eta)$, o� $m = \mathrm{cond}(|x|^{\pm 1/2} \eta)$, et en remarquant que $m = \mathrm{cond}(\eta) = n$ et $G(|x|^{\pm 1/2} \eta) = G(\eta)$ car la restriction � $\zpe$ de $|x|^{\pm 1/2}$ est triviale.
% \end{proof}

%\subsubsection{Autour de la correspondance de Langlands $p$-adique pour $\mathrm{GL}_2(\qp)$}
%
%Rappelons bri�vement la construction de la correspondance de Langlands $p$-adique (cf. \cite{ColmezMirabolique}, \cite{ColmezPhiGamma}, \cite{ColmezPoids}). Soit $D \in \Phi\Gamma^{\text{�t}}(\mathscr{O}_\E)$. Rappelons que $D^\sharp$ d�signe le plus grand sous-$\mathscr{O}_L[[T]]$-module compact de $D$ stable par $\psi$ et sur lequel $\psi$ est surjectif, et $D^\natural$ est le plus petit sour-$\mathscr{O}_L[[T]]$-module compact de $D$ stable par $\psi$ et engendrant $D$. Si $D \in \Phi\Gamma^{\text{�t}}(\E)$ et $D_0 \subseteq D$ est un $\mathscr{O}_\E$-r�seau stable par $\varphi$ et $\Gamma$, on pose $D^\sharp = L \otimes_{\mathscr{O}_L} D_0^\sharp$, $D^\natural = L \otimes_{\mathscr{O}_L} D_0^\natural$. Si $D$ est absolument irr�ductible, on a $D^\natural = D^\sharp$.
%
%Soit $G = \mathrm{GL}_2(\qp)$. Rappelons que $D$ peut �tre vu naturellement comme un faisceau �quivariant pour l'action du mirabolique. Soient $w_D = m_{\omega_D^{-1}} \circ w_* \colon D \boxtimes \zpe \to D \boxtimes \zpe$, o� $m_{\omega_D^{-1}}$ est la multiplication par $\omega_D^{-1}$, et $w_* \colon D \boxtimes \zpe \to D \boxtimes \zpe$ sont d�finies dans \cite{ColmezPhiGamma}, \S V.2.1 et \S V.1. En s'inspirant des formules provenant de l'analyse $p$-adique, on construit un faisceau $G$-�quivariant $U \mapsto D \boxtimes U$ sur $\PP^1(\qp)$ dont les sections globales sont donn�es par $$ D \boxtimes \PP^1 = \{ (z_1, z_2) \in D \times D : w_D(\mathrm{Res}_\zpe(z_1)) = \mathrm{Res}_\zpe(z_2) \} $$ et les sections sur $\zp$ sont $D \boxtimes \zp = D$. On d�finit le module $D^\natural \boxtimes \PP^1 = \{ z \in D \boxtimes \PP^1: \mathrm{Res}_\zp( {\matrice {p^n} 0 0 1} \cdot z) \in D^\natural \;\;\; \forall n \in \Z \}$. Ce module est stable par l'action de $G$ et on pose $$ \Pi(D) = D \boxtimes \PP^1 / D^\natural \boxtimes \PP^1, $$ qui est une $L$-repr�sentation de Banach admissible et topologiquement irr�ductible de $G$. La repr�sentation $\Pi(D)$ est celle associ�e � $D$ par la correspondance de Langlands $p$-adique. On a une suite exacte de $G$-modules topologiques $$ 0 \to \Pi(D)^* \otimes \omega_D \to D \boxtimes \PP^1 \to \Pi(D) \to 0. $$ 
%
%Le sous-module $D^\dagger \boxtimes \PP^1$ (d�fini comme $D^\sharp \boxtimes \PP^1$ en rempla�ant $\sharp$ par $\dagger$) de $D \boxtimes \PP^1$ est stable par $G$ et l'action de $G$ s'�tend par continuit�, ce qui permet de d�finir un faisceau $G$-�quivariant $U \mapsto D_{\rm rig} \boxtimes U$ sur $\PP^1(\qp)$. On a alors une suite exacte $$ 0 \to (\Pi(D)^{\rm an})^* \otimes \omega_D \to D_{\rm rig} \boxtimes \PP^1 \to \Pi(D)^{\rm an} \to 0, $$ o� $\Pi(D)^{\rm an}$ d�note les vecteurs localement analytiques de la repr�sentation $\Pi(D)$, ce qui rend naturel, si $D_{\rm rig} = D^\dagger \otimes_{\E^\dagger} \Robba \in \Phi \Gamma^{\text{�t}}(\Robba)$ d�note le $(\varphi, \Gamma)$-module associ� � $D$, de poser $\Pi(D_{\rm rig}) = \Pi(D)^{\rm an}$.
%
%Plus g�n�ralement, si $D \in \Phi \Gamma(\Robba)$ n'est pas triangulin, il est isocline et il existe un caract�re $\delta$ tel que $D(\delta)$ soit �tale. On d�finit alors $U \mapsto D \boxtimes U$ et $\Pi(D)$ par torsion � partir de $D(\delta) \boxtimes U$ et $\Pi(D(\delta))$; en particulier $\Pi(D) = \Pi(D(\delta)) \otimes (\delta^{-1} \circ \det)$. On obtient ainsi une $L$-repr�sentation localement analytique $\Pi = \Pi(D)$ de caract�re central $\omega_D$ et une suite exacte comme ci-dessus.

\subsubsection{Une �quation fonctionnelle locale} \label{eqfonctknot}

Soit $D \in \Phi \Gamma^{\text{\'et}}(\Robba)$ \'etale de dimension $2$, de Rham non triangulin � poids de Hodge-Tate $0$ et $k \geq 0$. Soit $\omega_D = \det_D \, \chi^{-1}$ de sorte que $\check{D} = D \otimes \omega_D^{-1}$. Rappelons que la correspondance de Langlands permet (cf. \cite[Prop. V.2.1]{ColmezPhiGamma}, \cite[Rem. V.14]{ColmezDosp}, \cite[\S 2.5]{epsilonKato}) de construire une involution \[ w_D \colon D^{\psi = 1} \to \check{D}^{\psi = 1}. \] Plus pr�cisement, notre $(\varphi, \Gamma)$-module $D$ peut �tre vu comme un faisceau ${\matrice {\zp - \{0\}} {\zp} 0 1}$-�quivariant \footnote{L'action de $\varphi$, $\sigma_a$ et la multiplication par $(1 + T)^b$, $a \in \zpe, b \in \zp$, correspondant � ${\matrice p 0 0 1}$, ${\matrice a 0 0 1}$ et ${\matrice 1 b 0 1}$ respectivement.} $U \mapsto D \boxtimes U$ sur $\zp$ dont les sections globales sont donn�es par $D \boxtimes \zp = D$ et la construction (cf. \cite{ColmezPhiGamma}) de la repr�sentaiton $\Pi(D)$ de $\mathrm{GL}_2(\qp)$ associ�e � $D$ par la correspondance de Langlands $p$-adique est fond�e sur l'extension de ce faisceaux en un faisceau $G$-�quivariant $U \mapsto D \boxtimes U$ sur $\PP^1 = \PP^1(\qp)$. On a un accouplement parfait et $G$-�quivariant $[\; , \; ]_{\PP^1}$ sur $D \boxtimes \PP^1$ et la suite exacte fondamentale de $G$-modules suivante:
\[ 0 \to \Pi(D)^* \otimes \omega_D \to D \boxtimes \PP^1 \to \Pi(D) \to 0. \]
De plus, on a un isomorphisme
\[ \mathrm{Res}_\zp : (\Pi(D)^* \otimes \omega_D)^{{\matrice p 0 0 1} = 1} \xrightarrow{\sim} D^{\psi = 1}. \] Si $z \in D^{\psi = 1}$, on note $\tilde{z}$ l'image inverse de $z$ par cet isomorphisme. En notant $w = {\matrice 0 1 1 0}$, l'�l�ment $w \cdot \tilde{z}$ appartient donc � $(\Pi(D)^* \otimes \omega_D)^{{\matrice p 0 0 1} = \omega_D(p)}$. On pose alors
\[ w_D(z) \defeq \mathrm{Res}_\zp(w_D(\tilde{z})) \otimes e_{\omega_D}^\vee \in \check{D}^{\psi = 1}. \]
L'�quation fonctionnelle suivante est le r�sultat principal de \cite{epsilonKato}.

\begin{theorem} \label{eqfonct1b}
Soit $z \in D^{\psi = 1}$ et notons $\check{z} = w_D(z) \in \check{D}^{\psi = 1}$. On a \[ \exp^*(\int_\Gamma \eta \chi^{-j} \cdot \mu_{\check{z}}) \otimes \mathbf{e}^{\rm dR, \vee}_{\eta, -j, \omega_D^\vee} = C(D, \eta,  j) \cdot \exp^{-1}(\int_\Gamma \eta^{-1} \chi^{j} \cdot \mu_z) \otimes \mathbf{e}^{\rm dR, \vee}_{\eta^{-1}, j}, \] o� \[ C(D, \eta, j) = - \Omega^{-1} \, \frac{\Gamma^*(-j + 1)}{\Gamma^*(j +k)}  \, \epsilon(\eta^{-1})^{-2} \epsilon(\pi \otimes \eta^{-1} \otimes | \cdot |^j) \] pour tout $j \geq 1$, o� $\pi$ d�note la repr�sentation lisse de $\mathrm{GL}_2(\qp)$ associ�e � (la repr�sentation galoisienne associ�e �) $D$ par la correspondance de Langlands classique.
\end{theorem}

\subsubsection{�quation fonctionnelle de la fonction $L$ locale}

Le th�or�me \ref{eqfonct1b} nous permet de montrer une �quation fonctionnelle pour la fonction $\Lambda_{D, z}$.

\begin{theorem} \label{eqfonct3}
Soit $D \in \Phi\Gamma^{\mathrm{\acute{e}t}}(\Robba)$ \'etale de dimension $2$, de Rham � poids de Hodge-Tate $0$ et $k \geq 0$. Soient $z \in D^{\psi = 1}$ et $\check{z} = w_D(z) \in \check{D}^{\psi = 1}$. Soit $\eta \colon \zpe \to L^\times$ un caract�re de conducteur $p^n$ avec $n \geq m(\Delta)$. Soient $\mathfrak{U}_\Delta \subseteq \mathfrak{X}$ l'ouvert fourni par le th�or�me \ref{theo1} et $\kappa$ tel que $\eta \kappa \in \mathfrak{U}_\Delta$. Alors
\[ \Lambda_{\check{D}(k-1), \check{z}(k-1)}(\eta \chi^j) \otimes \mathbf{e}^{\rm dR, \vee}_{k-1, \omega_D^\vee} = -  \Omega^{-1} p^{n(k-1)} \epsilon(\eta^{-1} \otimes | \cdot |^{j - k + 1})^{-2} \epsilon(\pi \otimes \eta^{-1} \otimes | \cdot |^{j - k + 1}) \cdot \Lambda_{D, z}(\eta^{-1} \chi^{-j + k-1}). \]
\end{theorem}

\begin{proof}
Par le th�or�me \ref{propfin}, on sait que
\[ \Lambda_{\check{D}(k-1), \check{z}(k-1)}(\eta \chi^j) \otimes \mathbf{e}^{\rm dR, \vee}_{k-1, \omega_D^\vee} = \Gamma^*(j + 1) \, p^{n(j + 1)} \cdot \exp^*(\int_\Gamma \eta \chi^{-j + k - 1} \cdot \mu_{\check{z}}) \otimes \mathbf{e}^{\rm dR, \vee}_{\eta, -j+k-1, \omega_D^\vee}, \]
L'�quation fonctionnelle du th�or�me \ref{eqfonct1b} nous dit que
\[ \exp^*(\int_\Gamma \eta \chi^{-j + k - 1} \cdot \mu_{\check{z}}) \otimes \mathbf{e}^{\rm dR, \vee}_{\eta, -j+k-1, \omega_D^\vee} = C(D, \eta, j - k + 1) \cdot \exp^{-1}(\int_\Gamma \eta^{-1} \chi^{j - k + 1} \cdot \mu_z) \otimes \mathbf{e}^{\rm dR, \vee}_{\eta^{-1}, j - k + 1}. \]
Finalement, en appliquant encore une fois le th�or�me \ref{propfin}, on obtient
\[ \exp^{-1}(\int_\Gamma \eta^{-1} \chi^{j - k + 1} \cdot \mu_z) \otimes \mathbf{e}^{\rm dR, \vee}_{\eta^{-1}, j - k + 1} = \big( \Gamma^*(-j + k) \, p^{n(-j + k)} \big)^{-1} \cdot \Lambda_{D, z}(\eta^{-1} \chi^{-j + k - 1}). \]
Ces trois �quations et un petit calcul permettent de conclure.
\end{proof}

% \begin{remarque}
% En utilisant la proposition \ref{BHepsilon}, l'�quation fonctionnelle prend la forme suivante:
% \[ \Lambda_{\check{D}(k-1), \check{z}(k-1)}(\eta \chi^j) \otimes \mathbf{e}^{\rm dR, \vee}_{k-1, \omega_D^\vee} = - \Omega^{-1} p^{n(k - 1)} \omega_\pi(c_{\eta^{-1}})^{-1} \cdot \Lambda_{D, z}(\eta^{-1} \chi^{-j + k-1}). \]
% \end{remarque}

%%%% ----- TOUTE CETTE SECTION EST MAINTENANT COMMENT�E 
\begin{comment}
\newpage
\section{Correspondance de Langlands $p$-adique et �quation fonctionnelle en dimension $2$} \label{equationfonctionnelle}

En s'inspirant des id�es de Nakamura (\cite{Nakamura2}) et des techniques de changement de poids (\cite{ColmezPoids}), nous d�montrons dans cette partie une �quation fonctionnelle satisfaite par la fonction $\Lambda_{D, z}$, quand $D$ est de dimension $2$ et non triangulin. Cette �quation fonctionnelle sera cons�quence d'une autre plus g�n�rale, au niveau de la th�orie d'Iwasawa, qui aura aussi des applications � la conjecture epsilon locale de Kato (\cite{epsilonKato}).

\subsection{Notations} \label{basesdeRham3} Soit $D \in \Phi\Gamma^{\text{�t}}(\Robba)$ de dimension $2$, de Rham � poids de Hodge-Tate $0$ et $k$ que l'on suppose non triangulin \footnote{D'apr�s Kedlaya, tout $(\varphi, \Gamma)$ module sur $\Robba$ est �tale � torsion pr�s par un caract�re ou triangulin. Dans ce dernier cas les calculs qui suivent sont d�j� connus et l'hypoth�se de non triangularit� n'est donc pas vraiment restrictive.} et notons $\Delta = \Nrig(D)$, qui est � poids de Hodge-Tate tous nuls. 

�tendons un peu les notations de \ref{basesdeRham2}. Si $\delta \colon \qpe \to L^\times$ est un caract�re, on note $e_\delta$ une base du module $L(\delta)$ muni d'actions de $\varphi$ et $\Gamma$ via les formules $\varphi(e_\delta) = \delta(p) \cdot e_\delta$ et $\sigma_a(e_\delta) = \delta(a) \cdot e_\delta$, $a \in \zpe$. On note $D(\delta) = D \otimes \delta$ le module $D \otimes_L L(\delta)$. Le choix de $e_\delta$ fournit un isomorphisme de $L$-espaces vectoriels $D \xrightarrow{\sim} D(\delta): x \mapsto x \otimes e_\delta$.

Soit $\check{D} = \mathrm{Hom}_{\varphi, \Gamma}(D, \Robba \frac{dT}{1 + T})$ le dual de Tate de $D$, o� $\Robba \frac{dT}{1 + T}$ est le $(\varphi, \Gamma)$-module �tale libre de rang $1$ de base $\frac{dT}{1 + T}$ sur lequel $\varphi$ et $\Gamma$ agissent par les formules $\gamma (\frac{dT}{1 + T}) = \chi(\gamma) \frac{dT}{1 + T}$ si $\gamma \in \Gamma$, $\varphi(\frac{dT}{1 + T}) = \frac{dT}{1 + T} $. On note \[ \langle \; , \; \rangle \colon \check{D}_{\rm rig} \times D_{\rm rig} \to \Robba \frac{dT}{1+T} \] l'accouplement naturel. Soient $\omega_D = (\det_D) \chi^{-1}$ et $\omega_\Delta = (\det_\Delta) \chi^{-1}$. Le fait que $D$ soit de dimension $2$ nous permet d'identifier $\check{D} = D \otimes \omega_D^{-1}$. Comme les poids de Hodge-Tate de $D$ sont $0$ et $k$, et ceux de $\Delta$ sont nuls, le caract�re $\det_\Delta$ est localement constant et $\omega_D = \omega_\Delta x^k$ (et $\det_D = x^k \det_\Delta$). Notons $e_D = e_{\det_D}$.

Si $\eta \colon \zpe \to L^\times$ est un caract�re localement constant, vu comme un caract�re de $\qpe$ en posant $\eta(p) = 1$, rappelons que l'on a un g�n�rateur $\mathbf{e}^{\rm dR}_\eta = G(\eta) e_\eta$ du module $\DdR(\Robba(\eta))$, que $e_\eta^\vee = e_{\eta^{-1}}$ d�note la base de $L(\eta)^*$ duale de $e_\eta$, et que $\DdR(\Robba(\eta)^*) =  L \cdot G(\eta)^{-1} e_\eta^\vee = L \cdot G(\eta^{-1}) e_{\eta^{-1}}$. Ceci fournit deux bases $\mathbf{e}^{\rm dR, \vee}_\eta = G(\eta)^{-1} e_\eta^\vee$ et $\mathbf{e}^{\rm dR}_{\eta^{-1}} = G(\eta^{-1}) e_{\eta^{-1}}$ du module $\DdR(\Robba(\eta)^*) = \DdR(\Robba(\eta^{-1}))$, reli�es par la formule $p^n \eta(-1) \mathbf{e}^{\rm dR, \vee}_\eta = \mathbf{e}^{\rm dR}_{\eta^{-1}}$. 

On aura besoin de jongler un peu avec des �l�ments habitant dans le module de de Rham des diff�rents tordus de $D$ et de son dual de Tate et les identifications suivantes permettent de voir tous ces �l�ments dans $\DdR(D)$. Fixons une base $f_1, f_2$ de $\DdR(D)$ et notons $$ \langle \;,\; \rangle_{\rm dR} \colon \DdR(D) \times \DdR(D) \to L, $$ le produit scalaire d�fini par la formule $\langle a_1 f_1 + a_2 f_2, b_1 f_1 + b_2 f_2 \rangle_{\rm dR} = a_1 b_1 + a_2 b_2$.

L'isomorphisme $\wedge^2 D = (\Robba \frac{dT}{1 + T}) \otimes \omega_D$ induit un isomorphisme $\wedge^2 \DdR(D) = \DdR((\Robba \frac{dT}{1 + T}) \otimes \omega_D) = (t^{-k} L_\infty e_D)^\Gamma$. On d�finit $\Omega \in L_\infty$ par la formule $f_1 \wedge f_2 = (t^k \Omega)^{-1} e_{D}$, ce qui nous permet de fixer les bases $(t^k \Omega)^{-1} e_D$ et $t^k \Omega e_D^\vee$ du module $\DdR(\wedge^2 D)$ et de son dual. On fixe aussi les bases $\mathrm{e}^{\rm dR}_{\omega_D} = (t^{k-1} \Omega)^{-1} e_{\omega_D}$ et $\mathbf{e}^{\rm dR, \vee}_{\omega_D} = (t^{k-1} \Omega) e_{\omega_D}^\vee$ du module $\DdR(\Robba(\omega_D))$ et de son dual.

%Avec les notations introduites ci-dessus, on a des isomorphismes $$ \DdR(D) \xrightarrow{\sim} \DdR(\check{D}(\eta \chi^{-{\j}})); \;\;\; x \mapsto x \otimes G(\eta) e_{\eta} \otimes t^{{\j}} e_{-{\j}} \otimes  \Omega t^{k-1}  e_{\omega_D}^\vee $$ $$ \DdR(D) \xrightarrow{\sim} \DdR(D(\eta^{-1} \chi^{\j})) ; \;\;\; x \mapsto x \otimes G(\eta^{-1}) e_{\eta^{-1}} \otimes t^{-{\j}} e_{\j}. $$ 

Enfin, afin d'all�ger les notations dans les calculs futurs, notons, pour $\eta$ comme ci-dessus et $j \in \Z$, $$ \mathbf{e}_{\eta, j, \omega_D^\vee} = e_\eta \otimes e_j \otimes e_{\omega_D}^\vee, \; \; \; \mathbf{e}_{\eta, j} = e_\eta \otimes e_j, $$ bases de $L(\eta \chi^j \omega_D^{-1})$ et $L(\eta \chi^j)$ respectivement, et leurs duales $$ \mathbf{e}^\vee_{\eta, j, \omega_D^\vee} = e_\eta^\vee \otimes e_{-j} \otimes e_{\omega_D}, \; \; \; \mathbf{e}^\vee_{\eta, j} = e_\eta^\vee \otimes e_{-j}, $$ ainsi que des bases des module $\DdR(\Robba(\eta \chi^j \omega_D^{-1}))$ et $\DdR(\Robba(\eta \chi^j))$ $$ \mathbf{e}^{\rm dR}_{\eta, j, \omega_D^\vee} = G(\eta) e_\eta \otimes t^{-j} e_j \otimes t^{k-1} \Omega e_{\omega_D}^\vee = \mathbf{e}^{\rm dR}_\eta \otimes \mathbf{e}^{\rm dR}_j \otimes \mathbf{e}^{\rm dR, \vee}_{\omega_D}, $$ $$ \mathbf{e}^{\rm dR}_{\eta, j} = G(\eta) e_\eta \otimes t^{-j} e_j = \mathbf{e}^{\rm dR}_\eta \otimes \mathbf{e}^{\rm dR}_j $$ et leurs duales $$ \mathbf{e}^{\rm dR, \vee}_{\eta, j, \omega_D^\vee} = G(\eta)^{-1} e_\eta^\vee \otimes t^{j} e_{-j} \otimes (t^{k-1} \Omega)^{-1} e_{\omega_D} = \mathbf{e}^{\rm dR, \vee}_\eta \otimes \mathbf{e}^{\rm dR}_{-j} \otimes \mathbf{e}^{\rm dR, \vee}_{\omega_D^\vee}, $$ $$ \mathbf{e}^{\rm dR, \vee}_{\eta, j} = G(\eta)^{-1} e_\eta^\vee \otimes t^j e_{-j} = \mathbf{e}^{\rm dR, \vee}_\eta \otimes \mathbf{e}^{\rm dR}_{-j}, $$ et les variantes �videntes que l'on puisse imaginer.

Par exemple, si $\eta \colon \zpe \to L^\times$ est un caract�re d'ordre fini, si $j \geq 0$ et si $x \in \DdR(\check{D}(\eta \chi^{-{\j}}))$, on �crira $x \otimes \mathbf{e}^{\rm dR, \vee}_{\eta, -j, \omega_D^\vee} \in \DdR(D)$ l'image de $x$ par l'isomorphisme $$ \DdR(\check{D}(\eta \chi^{-{\j}})) \xrightarrow{\sim} \DdR(D); \;\;\; x \mapsto x \otimes G(\eta)^{-1} e_\eta^\vee \otimes t^{-j} e_{j} \otimes (t^{k - 1} \Omega)^{-1} e_{\omega_D} $$ et de m�me, si $x \in \DdR(D(\eta^{-1} \chi^{\j}))$, on notera $x \otimes \mathbf{e}^{\rm dR, \vee}_{\eta^{-1}, j} \in \DdR(D)$ l'image de $x$ par l'isomorphisme $$ \DdR(D(\eta^{-1} \chi^j)) \xrightarrow{\sim} \DdR(D); \;\;\; x \mapsto x \otimes G(\eta^{-1})^{-1} e_{\eta^{-1}}^\vee \otimes t^j e_{-j}. $$

\begin{remarque} \leavevmode
\begin{itemize}
\item Les bases des modules de de Rham ainsi d�finies h�ritent une action de l'op�rateur $\varphi$. On a, par exemple, \[ \varphi(\mathbf{e}^{\rm dR}_\eta) = \mathbf{e}^{\rm dR}_\eta, \;\;\; \varphi(\mathbf{e}^{\rm dR}_j) = p^{-j} \mathbf{e}^{\rm dR}_j, \] \[ \varphi(\mathbf{e}^{\rm dR}_{\eta, j, \omega_D^\vee}) = p^{-j + k - 1} \omega_D^{-1}(p) \cdot \mathbf{e}^{\rm dR}_{\eta, j,\omega_D^\vee} = p^{-j - 1} \omega_\Delta^{-1}(p) \cdot \mathbf{e}^{\rm dR}_{\eta, j,\omega_D^\vee}. \]
\item Il faut faire un peu d'attention et distinguer le caract�re identit� $x$ et le caract�re cyclotomique $\chi = x |x|$. Les deux co�ncident sur $\zpe$ mais $\chi(p) = 1$, tandis que le premier prend la valeur $p$. Par exemple, $\Gamma$ agit trivialement sur l'�l�ment $e_j \otimes e_{x^j}^\vee$ mais $\varphi(e_j \otimes e_{x^j}^\vee) = p^{-j} \; e_j \otimes e_{x^j}^\vee$.
\end{itemize}
\end{remarque}
%de sorte que l'on obtient un isomorphisme $$ \DdR(\check{D}(\eta \chi^{-{\j}})) \to \DdR(D(\eta^{-1} \chi^{\j})) \; : \; x \mapsto t^{-2{\j}} e_{2{\j}} \otimes (G(\eta)^{-1} e_{\eta^{-2}})^{\otimes 2} \otimes (\Omega t^{k-1})^{-1} e_{\omega_D} \otimes x, $$ qui nous permet d'identifier ces espaces.

%\subsubsection{}
%
%%\begin{proposition} \label{eqfonct1}
%%Soit $D \in \Phi\Gamma_{�t}(\Robba)$ de dimension $2$, de Rham � poids de Hodge-Tate $0, k-1$ et soit $z \in D$. Soit $\eta: \Gamma \to L^\times$ un caract�re localement analytique et ${\j} \gg 0$ un entier. On a alors $$ \exp^{-1}( \int_\Gamma \eta^{-1} \chi^r \cdot w_{\omega_D}  z) = \frac{(-1)^r r!}{(k - r - 1)!} \frac{L(D(-r)(\delta)}{L(\check{D}(r)(\delta^{-1})} \frac{\epsilon_L(D(-r)(\delta))}{\Omega} \exp^{*}(\int_\Gamma \eta \chi^{-r} \cdot z) $$
%%\end{proposition}
%%
%%\begin{corollary} Si $D$ n'est pas triangulin et si $\eta$ est suffisament ramifi�, alors $$ \exp^*( \int_\Gamma \eta \chi^{-{\j}} \cdot w_{\omega_D} z) = \frac{(-1)^{\j} {\j}!}{(k - {\j} - 1)!} \frac{\epsilon_L(D(-r)(\delta))}{\Omega} G(\eta)^2 \exp^{-1}(\int_\Gamma \eta^{-1} \chi^{\j} \cdot z) $$
%%\end{corollary}
%
%\begin{lemme} Soit $z \in D^{\psi = 1}$ et ${\j}$ un entier. Alors
%$$ ... $$
%\end{lemme}
%
%\begin{proof} Rappelons que par la loi de r�ciprocite explicite on a, pour ${\j} \gg 0$,
%$$ \exp^{-1} (\int_\Gamma \eta^{-j} \chi^{\j} \cdot w_{D} z) =  (-1)^{{\j}-1} ({\j} - 1)! \frac{p-1}{p} [\varphi^{-n} ( \partial^{-j} (m_{\omega_D^{-1}} w_* z \otimes \omega_D^{-1}) \otimes t^{-j} e_j )]_0 $$ En utilisant les formules $$ \partial (z \otimes \delta) = \kappa(\delta) (\partial z \otimes \delta) $$ $$ w_*(z \otimes \delta) = \delta(-1) (m_{\delta^2} \circ w_*(z)) \otimes \delta $$ et le fait que $w_* \circ \partial = \partial^{-1} \circ w_*$ on a 
%$$ [\varphi^{-n} \partial^{-j} ((m_{\omega_D^{-1}} w_* z) \otimes \omega_D^{-1})]_0  = \kappa(\omega_D^{-1})^{-j} \omega_D^{-1}(-1) [\varphi^{-n} w_*( (m_{\omega_D^{-1}} \partial^j z) \otimes \omega_D^{-1}) ]_0. $$ \textbf{Par les calculs de Gabriel, on a} $ [\varphi^{-n} w_* z]_0 = \epsilon(\chi^{-1} \pi, \frac{1}{2}, (\zeta_{p^n})_n) \alpha^{\mathrm{cond}(\chi^{-1} \pi)} [\varphi^{-n} z]_0$, o� $\pi = \Pi(D)^{\rm lisse}$ et $\alpha = ?$. En utilisant encore une fois la formule $ \partial (z \otimes \delta) = \kappa(\delta) (\partial z \otimes \delta) $ et la loi de r�ciprocit� explicite, le fait que $\kappa(\delta^{-1}) = - \kappa(\delta)$ et que si $z \in D^{\psi = 1}$ et $\delta$ est un caract�re, on a $\int_\Gamma \delta \cdot z = \int_\Gamma 1 \cdot (z \otimes \delta) \in H^1(\qp, D(\delta))$, ce dernier terme s'exprime comme $$ \kappa(\omega_D)^{-2j} \omega_D^{-1}(-1) j! p^{n(j+1)}  t^{-j} \exp^*( \int_\Gamma \omega_D^{-2} \chi^{-j} \cdot z). $$ D'o� on d�duit $$ \frac{(-1)^{j-1}}{ (j - 1)! p^{n (j - 1)}} t^j \exp^{-1} (\int_\Gamma \chi^j \cdot w_{\omega_D} z) = \kappa(\omega_D)^{-2j} \omega_D^{-1}(-1) j! p^{n(j+1)}  t^{-j} \exp^*( \int_\Gamma \omega_D^{-2} \chi^{-j} \cdot z) $$ 
%
%
%\end{proof}

\subsection{Repr�sentations lisses de $\mathrm{GL}_2(\qp)$}


\subsubsection{Facteurs epsilon pour $\mathrm{GL}_1$} \label{replisses}

Commen�ons par rappeler la d�finition des facteurs locaux associ�s � un caract�re. Soit $\eta \colon \qpe \to L^\times$ un caract�re continu. On dit que $\eta$ est non ramifi� si sa restriction � $\zpe$ est triviale et il est ramifi� dans le cas contraire. On d�finit son conducteur par $0$ s'il est non ramifi�, et par $p^n$, o� $n$ est le plus petit entier tel que la restriction $\eta \mid_{1 + p^n \zp}$ soit triviale, dans le cas contraire. Le choix d'un syst�me compatible $(\zeta_{p^n})_{n \geq 0}$ de racines de l'unit� nous permet de fixer un caract�re additif $\psi \in \mathrm{Hom}(\qp, L^\times_\infty)$ de niveau $0$ (i.e $\ker \psi= \zp$) par la formule $\psi(x) = \zeta_{p^n}^{p^n x}$ pour n'importe quel $n \geq v_p(x)$. Fixons aussi $d \mu$ la mesure de Haar sur $\qp$ telle que $\mu(\zp) = 1$. Soit $\mu^*$ une mesure de Haar de $\qpe$. Pour $\phi \in \mathrm{LC}_{\rm c}(\qp, L)$ une fonction localement constante � support compact dans $\qp$, la fonction $$ \zeta(\phi, \eta, s) = \int_{\qpe} \phi(x) \eta(x) |x|^s \cdot d\mu^*(x) $$ converge pour $\mathrm{Re} \; s \gg 0$ et admet un prolongement analytique � $\C$ tout entier. Les facteurs $L$ et $\epsilon$ associ�s � $\eta$ sont donn�s par les formules \footnote{ cf. \cite{BH} 23.4 pour la premi�re formule et 23.5 thm. et lemme 1 pour se ramener au cas du caract�re $\psi$ de niveau zero pour la deuxi�me.} $$ L(\eta, s) = \left\{
  \begin{array}{cc}
    (1 - \eta(p) p^{-s})^{-1} & \quad \text{ si $\eta$ n'est pas ramifi�} \\
    1 & \quad \text{si $\eta$ est ramifi�}  \\
  \end{array}
\right. $$

$$ \epsilon(\eta, s) = \left\{
  \begin{array}{cc}
    1 & \quad \text{ si $\eta$ n'est pas ramifi�} \\
    p^{-ns} \eta(p)^n G(\eta^{-1}) & \quad \text{si $\eta$ est ramifi�}  \\
  \end{array}
\right. $$
Le facteur epsilon satisfait l'�quation fonctionnelle $$ \epsilon(\eta, s) \epsilon(\eta^{-1}, 1 - s) = \eta(-1). $$ Enfin, on a une �quation fonctionnelle pour tout $\phi \in \mathrm{LC}_{\rm c}(\qp, L)$, o� les deux membres sont des polyn�mes en $p^{-s}$, $$ \frac{\zeta(\hat{\phi}, \eta^{-1}, 1 - s)}{L(\eta^{-1}, 1 - s)} = \epsilon(\eta, s) \frac{\zeta(\phi, \eta, s)}{L(\eta, s)}, $$ o� $\hat{\phi} = \int_\qp \phi(y) \psi(xy) d \mu(y)$ d�note la transform�e de Fourier de $\phi$. On notera dans la suite $\epsilon(\eta) := \epsilon(\eta, 1/2) = p^{-n/2} \eta(p)^n G(\eta^{-1})$. 
 
\subsubsection{Facteurs epsilon pour $\mathrm{GL}_2$} Soit $\pi$ une repr�sentation lisse irr�ductible de $G = \mathrm{GL}_2(\qp)$ et notons $\check{\pi}$ sa contragr�diente. Notons $K = \mathrm{M}_2(\zp)$ et $A = \mathrm{M}_2(\qp)$, $\mathrm{LC}_{\rm c}(A, L)$ les fonctions localement constantes � support compact dans $A$ et $\mathfrak{C}(\pi)$ l'espace des coefficients de la repr�sentation $\pi$: c'est le $L$ espace vectoriel engendr� par les fonctions $g \in G \mapsto \langle \check{v}, g \cdot v \rangle$, $v \in \pi, \check{v} \in \check{\pi}$. Si $\eta \colon \qpe \to L^\times$ est un caract�re localement constant, on note $\pi \otimes \eta$ \footnote{On voit $e_\eta$ comme un g�n�rateur du $L$ espace vectoriel de dimension $1$ que l'on munit d'une action de $G$ par la formule $g \cdot e_\eta = \eta(\det g) \; e_\eta$. On a un isomorphisme d'espaces vectoriels $v \mapsto c \otimes e_\eta$ de $\pi$ sur $\pi \otimes \eta$.} la tordue de $\pi$ par $\eta$: si $v \in \pi$ et $g \in G$ alors $g (v \otimes e_\eta) = \eta(\det g) (gv \otimes e_\eta)$. On suppose dans la suite que $\pi$ est une repr�sentation supercuspidale (ce qui explique l'absence des facteurs $L$ dans la suite).

Fixons $d\mu$ la mesure de Haar sur $A$ normalis�e par $\mu(K) = 1$. La transform�e de Fourier, d�finie par $$ \phi \in \mathrm{LC}_{\rm c}(A, L) \mapsto \hat{\phi}(g) = \int_A \phi(h) \psi(\mathrm{tr}(gh)) d \mu(h), $$ est alors auto-duale: $\hat{\hat{\phi}}(x) = \phi(-x)$. Enfin, si $f \in \mathfrak{C}(\pi)$, la formule $\check{f}(g) = f(g^{-1})$ d�finit un �l�ment $\check{f}$ dans $\mathfrak{C}(\hat{\pi})$. La fonction $$ \zeta(\phi, f, s) = \int_G \phi(g) f(g) || \det g ||^s \cdot d\mu^*(g), \;\;\; \phi \in \mathrm{LC}_{\rm c}, f \in \mathfrak{C}(\pi), $$ o� $\mu^*$ est une mesure de Haar sur $G$, converge pour $\mathrm{Re} \; s \gg 0$ et d�finit une fonction rationnelle en la variable $p^{-s}$.

Il existe $\epsilon(\pi) \in L$ tel que, si l'on pose $\epsilon(\pi, s) = p^{- c(\pi) (s-1/2)} \epsilon(\pi), $ o� $c(\pi)$ est le conducteur de $\pi$ \footnote{Le conducteur $c(\pi)$ est d�fini comme le plus petit entier $n$ tel que $\pi$ poss�de un �l�ment fixe par les matrices de la forme $K_n = \{ {\matrice a b c d} \in K$, $c = d - 1 = 0$ mod $p^n \}$. On a $\dim_L \pi^{K_{c(\pi)}} = 1$. }, alors pour tous $\phi \in \mathrm{LC}_{\rm c}(A, L)$ et $f \in \mathfrak{C}(\pi)$, on a une �quation fonctionnelle $$ \zeta(\hat{\phi}, \check{f}, \frac{3}{2} - s) = \epsilon(\pi, s) \zeta(\phi, f, \frac{1}{2} + s). $$ Observons que, si $j \in \Z$, alors $\epsilon(\pi, j + 1/2) = p^{-c(\pi) j} \epsilon(\pi) = \epsilon(\pi \otimes | \cdot |^j)$. La fonction $\epsilon(\pi, s)$ est le facteur epsilon associ� � la repr�sentation $\pi$. Lui aussi satisfait une �quation fonctionnelle $$ \epsilon(\pi, s) \epsilon(\check{\pi}, 1 - s) = \omega_\pi(-1), $$ o� $\omega_\pi$ est le caract�re central de la repr�sentation $\pi$.

\begin{proposition} \label{BHepsilon} Soit $\eta$ un caract�re de $\qpe$ de conducteur $p^n$ pour $n > c(\pi)$ et soit $c_\eta \in \qpe$ satisfaisant $\eta(1 + x) = \psi(c_\eta x)$ pour $x \in p^{\left\lfloor \frac{n}{2} \right \rfloor + 1}$. Alors $$ \epsilon(\pi \otimes \eta, s) = \omega_\pi(c_\eta)^{-1} \epsilon(\eta, s)^2. $$
\end{proposition}

\begin{proof}
Par \cite{BH}, 25.7 thm., on a $\epsilon(\pi \otimes \eta^{-1}, s) = \omega_\pi(c_\eta)^{-1} \epsilon(\eta \circ \det, s)$. Or, la repr�sentation $\eta \circ \det$ appara�t comme facteur irr�ductible de l'induite unitaire lisse $\mathbf{\iota}_B^G(|x|^{1/2} \eta \otimes |x|^{-1/2} \eta) = \mathrm{Ind}_B^G(\eta \otimes \eta)$ de la repr�sentation $|x|^{1/2} \eta \otimes |x|^{-1/2} \eta$ de $B$ (cf. \cite{BH}, 9.11), et \cite{BH}, 26.1, thm. implique que $\epsilon(\eta \circ \det, s) = \epsilon(|x|^{1/2} \eta, s) \epsilon(|x|^{-1/2} \eta, s)$. On conclut en remarquant que $\epsilon(|x|^{1/2} \eta, s) = p^{-n/2} \epsilon(\eta, s)$  et $\epsilon(|x|^{-1/2} \eta, s) = p^{-n/2} \epsilon(\eta, s)$, comme on le voit de la formule $\epsilon(|x|^{\pm 1/2} \eta, s) = p^{-ms} \eta(p)^m |p|^{\pm m/2} G(|x|^{\pm 1/2} \eta)$, o� $m = \mathrm{cond}(|x|^{\pm 1/2} \eta)$, et en remarquant que $m = \mathrm{cond}(\eta) = n$ et $G(|x|^{\pm 1/2} \eta) = G(\eta)$ car la restriction � $\zpe$ de $|x|^{\pm 1/2}$ est triviale.
\end{proof}


\subsubsection{Mod�le de Kirillov} \label{Kirillovaa}

Rappelons qu'un mod�le de Kirillov d'une repr�sentation lisse $\pi$ de caract�re central $\omega_\pi$ est une injection $B$-�quivariante de $\pi$ dans l'espace $\mathrm{LC}_{\rm rc}(\qpe, L_\infty)$ des fonctions localement constantes sur $\qpe$ � support compact dans $\qp$\footnote{$\mathrm{rc}$ d�note "relativement compact".}. L'action du Borel sur ce dernier espace est donn�e par la formule $$ ({\matrice a b 0 d} \cdot \phi)(x) = \omega_\pi(d) \psi(bx/d) \phi(ax/d). $$ La d�composition de Bruhat $G = B \cup BwN$ montre que l'action de $G$ est d�termin�e par celle du mirabolique et par l'action de l'involution $w = {\matrice 0 1 1 0}$.

Si $\eta \colon \qpe \to L^\times$ est un caract�re localement constant et $m \in \Z$, on d�finit une fonction $\xi_{\eta, m} \in \mathrm{LC}_{c}(\qpe, L_\infty)$ par la formule $$ \xi_{\eta, m}(x) = \left\{
  \begin{array}{ccc}
    \eta(x) & \quad \text{ si } v_p(x) = m \\
    0 & \quad \text{sinon}  \\
  \end{array}
\right. $$ 
%Dans la formule, $\eta(x)$ est consid�r� comme un �l�ment de $L$ (que l'on peut toujours supposer assez grand de sorte qu'il contient ces valeurs) et $G(\eta)^{-1}$ comme �l�ment de $F_\infty$. On a donc $({\matrice a 0 0 1} \xi_{\eta, m})(x) = \xi_{\eta, m}(ax) = G(\eta)^{-1} \eta(ax) = \eta(a) G(\eta)^{-1} \eta(x)= \sigma_a(G(\eta)^{-1} \eta(x))$, d'o� $\xi_{\eta, m} \in \mathrm{LA}_{c}(\qpe, L_\infty)^\Gamma$ (elle est en fait localement constante).

\begin{prop} [\cite{BH}, thm. $37.3$] \label{BHeqfonct}
Soit $\eta \colon \qpe \to L^\times$ un caract�re et soit $m \in \Z$. Alors $$ w \cdot \xi_{\eta, m} = \eta(-1) \epsilon(\pi \otimes \eta^{-1}) \, \xi_{\eta^{-1}\omega_\pi, -c(\pi \otimes \eta^{-1}) - m}. $$
\end{prop}

\begin{remarque}
La formule de \cite{BH}, thm. $37.3$ est \[ {\matrice 0 1 {-1} 0} \cdot \xi_{\eta, m} = \epsilon(\pi \circ \eta^{-1}) \; \xi_{\eta^{-1} \omega_\pi, -c(\pi \otimes \eta^{-1}) - m}. \]
Observons que ${\matrice 0 1 {-1} 0} = {\matrice {-1} 0 0 {-1}} {\matrice {-1} 0 0 1} w $, et que les matrices ${\matrice {-1} 0 0 {-1}}$ et ${\matrice {-1} 0 0 1}$ agissent, respectivement, par multiplication par $\omega_\pi(-1)$ et par $({\matrice {-1} 0 0 1} \cdot \phi)(x) = \phi(-x)$, d'o� 
\begin{eqnarray*}
w \cdot \xi_{\eta, m} &=& \epsilon(\pi \circ \eta^{-1}) \; {\matrice {-1} 0 0 {-1}} {\matrice {-1} 0 0 1} \cdot \xi_{\eta^{-1} \omega_\pi, -c(\pi \otimes \eta^{-1}) - m} \\
&=& \epsilon(\pi \circ \eta^{-1}) \omega_\pi(-1) \eta(-1) \; {\matrice {-1} 0 0 {-1}} \cdot \xi_{\eta^{-1} \omega_\pi, -c(\pi \otimes \eta^{-1}) - m} \\
&=& \eta(-1) \epsilon(\pi \circ \eta^{-1}) \; \xi_{\eta^{-1} \omega_\pi, -c(\pi \otimes \eta^{-1})}.
\end{eqnarray*}
\end{remarque}

\subsection{Autour de la correspondance de Langlands $p$-adique pour $\mathrm{GL}_2(\qp)$}

\subsubsection{La correspondance}

Rappelons bri�vement la construction de la correspondance de Langlands $p$-adique (cf. \cite{ColmezMirabolique}, \cite{ColmezPhiGamma}, \cite{ColmezPoids}). Soit $D \in \Phi\Gamma^{\text{�t}}(\mathscr{O}_\E)$. Rappelons que $D^\sharp$ d�signe le plus grand sous-$\mathscr{O}_L[[T]]$-module compact de $D$ stable par $\psi$ et sur lequel $\psi$ est surjectif, et $D^\natural$ est le plus petit sour-$\mathscr{O}_L[[T]]$-module compact de $D$ stable par $\psi$ et engendrant $D$. Si $D \in \Phi\Gamma^{\text{�t}}(\E)$ et $D_0 \subseteq D$ est un $\mathscr{O}_\E$-r�seau stable par $\varphi$ et $\Gamma$, on pose $D^\sharp = L \otimes_{\mathscr{O}_L} D_0^\sharp$, $D^\natural = L \otimes_{\mathscr{O}_L} D_0^\natural$. Si $D$ est absolument irr�ductible, on a $D^\natural = D^\sharp$.

Soit $G = \mathrm{GL}_2(\qp)$. Rappelons que $D$ peut �tre vu naturellement comme un faisceau �quivariant pour l'action du mirabolique. Soient $w_D = m_{\omega_D^{-1}} \circ w_* \colon D \boxtimes \zpe \to D \boxtimes \zpe$, o� $m_{\omega_D^{-1}}$ est la multiplication par $\omega_D^{-1}$, et $w_* \colon D \boxtimes \zpe \to D \boxtimes \zpe$ sont d�finies dans \cite{ColmezPhiGamma}, \S V.2.1 et \S V.1. En s'inspirant des formules provenant de l'analyse $p$-adique, on construit un faisceau $G$-�quivariant $U \mapsto D \boxtimes U$ sur $\PP^1(\qp)$ dont les sections globales sont donn�es par $$ D \boxtimes \PP^1 = \{ (z_1, z_2) \in D \times D : w_D(\mathrm{Res}_\zpe(z_1)) = \mathrm{Res}_\zpe(z_2) \} $$ et les sections sur $\zp$ sont $D \boxtimes \zp = D$. On d�finit le module $D^\natural \boxtimes \PP^1 = \{ z \in D \boxtimes \PP^1: \mathrm{Res}_\zp( {\matrice {p^n} 0 0 1} \cdot z) \in D^\natural \;\;\; \forall n \in \Z \}$. Ce module est stable par l'action de $G$ et on pose $$ \Pi(D) = D \boxtimes \PP^1 / D^\natural \boxtimes \PP^1, $$ qui est une $L$-repr�sentation de Banach admissible et topologiquement irr�ductible de $G$. La repr�sentation $\Pi(D)$ est celle associ�e � $D$ par la correspondance de Langlands $p$-adique. On a une suite exacte de $G$-modules topologiques $$ 0 \to \Pi(D)^* \otimes \omega_D \to D \boxtimes \PP^1 \to \Pi(D) \to 0. $$ 

Le sous-module $D^\dagger \boxtimes \PP^1$ (d�fini comme $D^\sharp \boxtimes \PP^1$ en rempla�ant $\sharp$ par $\dagger$) de $D \boxtimes \PP^1$ est stable par $G$ et l'action de $G$ s'�tend par continuit�, ce qui permet de d�finir un faisceau $G$-�quivariant $U \mapsto D_{\rm rig} \boxtimes U$ sur $\PP^1(\qp)$. On a alors une suite exacte $$ 0 \to (\Pi(D)^{\rm an})^* \otimes \omega_D \to D_{\rm rig} \boxtimes \PP^1 \to \Pi(D)^{\rm an} \to 0, $$ o� $\Pi(D)^{\rm an}$ d�note les vecteurs localement analytiques de la repr�sentation $\Pi(D)$, ce qui rend naturel, si $D_{\rm rig} = D^\dagger \otimes_{\E^\dagger} \Robba \in \Phi \Gamma^{\text{�t}}(\Robba)$ d�note le $(\varphi, \Gamma)$-module associ� � $D$, de poser $\Pi(D_{\rm rig}) = \Pi(D)^{\rm an}$.

Plus g�n�ralement, si $D \in \Phi \Gamma(\Robba)$ n'est pas triangulin, il est isocline et il existe un caract�re $\delta$ tel que $D(\delta)$ soit �tale. On d�finit alors $U \mapsto D \boxtimes U$ et $\Pi(D)$ par torsion � partir de $D(\delta) \boxtimes U$ et $\Pi(D(\delta))$; en particulier $\Pi(D) = \Pi(D(\delta)) \otimes (\delta^{-1} \circ \det)$. On obtient ainsi une $L$-repr�sentation localement analytique $\Pi = \Pi(D)$ de caract�re central $\omega_D$ et une suite exacte comme ci-dessus.

\subsubsection{Le mod�le de Kirillov, d'apr�s Colmez}

Soit $D \in \Phi \Gamma(\Robba)$ irr�ductible de rang $2$ et soit $\Pi = \Pi(D)$ la repr�sentation de $G$ d�crite dans la section pr�c�dente. Notons $B = {\matrice * * 0 *} \subseteq \mathrm{GL}_2(\qp)$ le Borel sup�rieur et soit $\mathscr{Y}$ un $L_\infty[[t]]$-module muni d'une action de l'alg�bre de distributions $\mathscr{D}(\Gamma) = \mathscr{Robba}^+(\Gamma)$ de $\Gamma$. On d�finit $$ \mathrm{LA}_{\mathrm{rc}}(\qpe, \mathscr{Y})^\Gamma $$ comme l'espace des fonctions $\phi \colon \qpe \to \mathscr{Y}$ localement analytiques � support compact dans $\qp$ (i.e $\phi(p^{-n} \zpe) = 0$ pour tout $n \gg 0$), v�rifiant $\sigma_a(\phi(x)) = \phi(ax)$ pour tout $a \in \zpe$. On munit $\mathrm{LA}_{\mathrm{rc}}(\qp, \mathscr{Y})^\Gamma$ d'une action de $B$ par la formule \footnote{Si $r \in \qp$ et $n \in \N$ est tel que $rp^n \in \zp$, on pose $[\epsilon^{r}] = \varphi^{-n}((1 + T)^{p^n r}) \in L_n[[t]]$.} $$ ({\matrice a b 0 d} \cdot \phi)(x) = \omega_D(d) [\epsilon^{bx / d}] \phi(ax/d). $$

Soit $Y$ un $B$-module de caract�re central $\omega_D$. On dit que $Y$ admet un mod�le de Kirillov s'il existe un $B$-module $\mathscr{Y}$ comme ci-dessus et une injection $B$-�quivariante de $Y$  dans $\mathrm{LA}_{\mathrm{rc}}(\qpe, \mathscr{Y})^\Gamma$. Si $Y$ admet un mod�le de Kirillov, on note $Y_{\rm c}$ l'image inverse dans $Y$ du sous-espace des fonctions $\phi \in \mathrm{LA}_{\mathrm{c}}(\qpe, \mathscr{Y})^\Gamma \subseteq \mathrm{LA}_{\mathrm{rc}}(\qpe, \mathscr{Y})^\Gamma$ dont le support est compact dans $\qpe$ ($\phi(p^n \zpe) = 0$ pour tout $|n| \gg 0$).

Rappelons que l'alg�bre de Lie $\mathfrak{g} = \mathfrak{gl}_2$ de $G$ agit sur le module $D \boxtimes \PP^1$ (cf. \cite{Dospinescu}) et l'action de $u^+ = {\matrice 0 1 0 0} \in \mathfrak{g}$ sur $D$ est donn�e par $ u^+ z = tz$. Notons $\Pi^{u^+-\mathrm{fini}}$ l'ensemble des $v \in \Pi$ tu�s par une puissance de $u^+$, qui en est un sous $B$-module. Si $v \in \Pi^{u^+-\mathrm{fini}}$ et $\tilde{v} \in D \boxtimes \PP^1$ en est un rel�vement, la condition $v \in \Pi^{u^+-\mathrm{fini}}$ se traduit donc par l'existence de $N, k \geq 0$ tels que $({\matrice 1 {p^N} 0 1} - 1)^k \tilde{v} \in \Pi^* \otimes \omega_D$.

Notons $D_{\rm dif} = \Ddif(D)$, $D_{\rm dif}^+ = \Ddifp(D)$ et $D_{\rm dif}^- = D_{\rm dif} / D_{\rm dif}^+$ et rappelons que l'on dispose des applications de localisation $\varphi^{-n} \colon D^{]0, r_n]} \to D_{\rm dif}$. Une remarque importante est que l'image de $\Pi^* \otimes \omega_D$ dans $D$ par l'application $\mathrm{Res}_\zp$ est incluse dans $D^{]0, r_{m(D)}]}$ (en effet, elle est incluse dans $D^{]0, r_a]}$ pour un certain $a$, car elle est l'image d'un Fr�chet dans une limite inductive de Fr�chets, et stable par $\psi$ car $\Pi$ l'est par ${\matrice {p^{-1}} 0 0 1}$). Ceci nous permet de poser, pour $n \geq m(D)$ et $N, k$ comme ci-dessus, 
\[ \varphi^{-n}(\mathrm{Res}_\zp( {\matrice {{p^j} a} 0 0 1} \tilde{v})) = \frac{1}{\varphi^{N + j - n}(\sigma_a(T))^k} \varphi^{-n}(\mathrm{Res}_\zp({\matrice {{p^j} a} 0 0 1} ({\matrice 1 {p^N} 0 1} - 1)^k \tilde{v})) \in t^{-k} D_{\mathrm{dif}, n}^+. \]
Si $x \in \qpe$, l'image de $\varphi^{-n}(\mathrm{Res}_\zp( {\matrice {{p^n} x} 0 0 1} \tilde{v}))$ dans $D_{\mathrm{dif}}^-$ ne d�pend ni du choix de $\tilde{v}$ (car un autre rel�vement de $v$ dans $D \boxtimes \PP^1$ diff�re de $\tilde{v}$ pour un �l�ment dans $\Pi(D)^* \otimes \omega_\Delta$ et l'image par $\varphi^{-n}$ de sa restriction � $\zp$ appartient � $\varphi^{-n}(D^{]0, r_n]}) \subseteq D_{\rm dif}^+$) ni du choix de $n$ assez grand (car l'action de $\Gamma$ est localement analytique). On a donc une application bien d�finie $$ x \mapsto \mathscr{K}_v(x) \in \mathrm{LA}_{\rm rc}(\qpe, D_{\rm dif}^-)^\Gamma. $$

\begin{prop} [\cite{ColmezPoids}, prop. 2.10] L'application $\mathscr{K}_v$ ci-dessus d�finit un mod�le de Kirillov pour $\Pi^{u^+ - \text{fini}}$. 
%De plus, l'alg�bre enveloppante $U(\mathfrak{gl})$ de $\mathfrak{gl}_2$ stabilise $\Pi^{u^+-\text{fini}}$ et, si $\lambda \in U(\mathfrak{gl})$, alors $$ \mathscr{K}_{\lambda v}(x) = {\matrice x 0 0 1} \lambda {\matrice {x^{-1}} 0 0 1} \cdot \mathfrak{K}_v(x). $$
\end{prop}

\subsubsection{Dualit� et mod�le de Kirillov} Le choix d'un isomorphisme $\wedge^2 D = (\Robba \frac{dT}{1 + T}) \otimes \omega_D$ induit un isomorphisme $\wedge^2 D_{\rm dif} = (L_\infty((t)) dt) \otimes \omega_D$  de $L_\infty((t))$-espaces vectoriels munis d'une action de $\Gamma$ \footnote{L'action de $\Gamma$ sur $dt$ est donn�e par $\sigma_a(dt) = a \, dt$.}. On note 
\[ [\;,\;]_{\rm dif} \colon D_{\rm dif} \times D_{\rm dif} \to L \]
l'accouplement d�fini par la formule $$ [x, y]_{\rm dif} = \text{r�s}_L( (\sigma_{-1} (x) \wedge y) \otimes e_{\omega_D}^\vee ), $$ o� $\text{r�s}_L \colon L_\infty((t)) dt \to L$ est d�fini comme la compos�e de l'application r�sidu $L_\infty((t)) \to L_\infty$ et la trace de Tate normalis�e $T_L := \lim_{n \to +\infty} \frac{1}{[L_n:L]} \mathrm{Tr}_{L_n / L} \colon L_\infty \to L$. L'accouplement $[\;,\;]_{\rm dif}$ satisfait $[\sigma_a x, \sigma_a y]_{\rm dif} = \omega_D(a) [x, y]_{\rm dif}$ et on a donc aussi 
\begin{equation} \label{accdif}
[x, y]_{\rm dif} = \omega_D(-1) \text{r�s}_L( (x  \wedge \sigma_{-1} (y)) \otimes e_{\omega_D}^\vee ).
\end{equation}
Comme $[D_{\rm dif}^+, D_{\rm dif}^+]_{\rm dif} = 0$, l'accouplement $[\;,\;]_{\rm dif}$ induit un accouplement $$ [\;,\;]_{\rm dif} \colon D_{\rm dif}^+ \times D_{\rm dif}^- \to L. $$

Si $\phi \in \mathrm{LA}_{\rm c}(\qpe, D_{\rm dif}^-)^\Gamma$, $z \in \Pi^* \otimes \omega_D$ et $N \gg 0$, la formule 
\begin{equation} \label{formulemagique} [z, \phi] = \sum_{i \in \Z} \omega_D(p^{-i}) [\varphi^{-N} \big( \mathrm{Res}_\zp \big( {\matrice {p^{i + N}} 0 0 1} z \big) \big), \phi(p^i)]_{\rm dif}
\end{equation} ne d�pend pas de $N$ (assez grand), d�finit une forme lin�aire continue (car la somme est finie, $\phi$ �tant � support compact) sur $\Pi^* \otimes \omega_D$ et fournit donc un plongement $ \iota \colon \mathrm{LA}_{\rm c}(\qpe, D_{\rm dif}^-)^\Gamma \to \Pi $ caract�ris� par $$ [z, \iota(\phi)]_{\PP^1} = [z, \phi] $$ pour tout $z \in \Pi^* \otimes \omega_D$.

\begin{prop} [\cite{ColmezPoids}, prop. $2.13$]
L'image de $\iota$ est incluse dans $\Pi^{u^+-\text{fini}}$ et la composition \[ \mathscr{K} \circ \iota \colon \mathrm{LA}_{\rm c}(\qpe, D_{\rm dif}^-)^\Gamma \to \mathrm{LA}_{\rm rc}(\qpe, D_{\rm dif}^-)^\Gamma \] est l'inclusion naturelle.
\end{prop}

Terminons en remarquant (cf. \cite{ColmezPoids}, rem. $2.14$) que, si $D$ est de Rham non triangulin, alors $$ \Pi(D)^{u^+-\text{fini}} = \mathrm{LA}_{\rm c}(\qpe, D_{\rm dif}^-)^\Gamma. $$ 

\subsubsection{$(\varphi, \Gamma)$-modules de de Rham non triangulins de dimension $2$}

Soit $M$ un $(\varphi, N, \mathscr{G}_\qp)$-module irr�ductible de rang $2$: $M$ est un $L \otimes K_0$-module libre de rang $2$ muni d'une action semi-lin�aire de $\varphi$, d'un op�rateur lin�aire $N \colon M \to M$ v�rifiant $N \circ \varphi = p \, \varphi \circ N$ et d'une action semi-lin�aire de $\mathscr{G}_\qp$ (agissant � travers le groupe fini $\mathscr{G}_\qp / \mathscr{G}_K$), commutant avec $\varphi$ et $N$ et telle que l'action du groupe d'inertie de $\mathscr{G}_\qp$ soit absolument irr�ductible. Soit $$ \Delta = \Delta(M) = (\Robba_K \otimes_{K_0} M)^{\mathrm{Gal}(K_\infty / F_\infty)}, $$ qui est un $(\varphi, \Gamma)$-module de rang $2$ sur $\Robba$, de Rham � poids de Hodge-Tate $0$ et $0$ (cf. \S \ref{eqdiff}).

Notons $$ M_{\rm dR} = (K \otimes_{K_0} M)^{\mathscr{G}_\qp}, $$ qui est un $L$-espace vectoriel de dimension $2$. On a $\D_{\rm dif, n}^+(\Delta) = L_n[[t]] \otimes M_{\rm dR}$ pour $n \geq m(\Delta)$. Si $k \geq 1$ et $\mathscr{L} \subseteq M_{\rm dR}$ est une droite, on pose $$ \Delta_{k, \mathscr{L}} = \{ z \in \Delta[1/t]: \varphi^{-n}(z) \in L_n[[t]] \otimes \mathscr{L} + t^k L_n[[t]] \otimes M_{\rm dR} \text{ pour } n \gg 0 \}, $$ qui est un $(\varphi, \Gamma)$-module de rang $2$ sur $\Robba$, de Rham � poids de Hodge-Tate $0$ et $k$.

%Soit $D \in \Phi\Gamma(\Robba)$ de Rham, non-triangulin, de dimension $2$ et � poids de Hodge-Tate $0, k \geq 1$, et notons $\Delta = \Nrig(D)$, $M_{\rm dR} = \DdR(D)$. Comme on l'a d�j� remarqu� (cf. \ref{eqdiff}), le $(\varphi, \Gamma)$-module $D$ est uniquement d�termin� par la donn�e de son deuxi�me poids $k \geq 1$ et de sa filtration de Hodge $\mathscr{L} \subseteq M_{\rm dR}$ par la formule $$ D = \{ z \in \Delta[1/t]: \varphi^{-n}(z) \in L_n[[t]] \otimes \mathscr{L} + t^k L_n[[t]] \otimes M_{\rm dR} \text{ pour } n \gg 0 \}. $$ Notons, pour $\Delta$, $\mathscr{L}$ et $k$ comme ci-dessus, $\Delta_{k, \mathscr{L}}$ le $(\varphi, \Gamma)$-module (de dimension $2$, de Rham et � poids de Hodge-Tate $0, k \geq 1$) que l'on obtient en appliquant cette recette.

\subsubsection{Techniques de changement de poids} \label{Changement}

Nous aurons besoin dans la suite de certains r�sultats de Colmez concernant les vecteurs localement alg�briques des repr�sentations de $\mathrm{GL}_2(\qp)$ associ�es aux repr�sentations de de Rham par la correspondance de Langlands $p$-adique (\cite{ColmezPoids}). Dans \cite{ColmezPoids} (cf., par exemple, thm. 0.6), on construit, pour $k \in \Z$, une repr�sentation localement analytique irr�ductible $\Pi(\Delta, k)$ de $G$, � caract�re central $x^k \omega_\Delta$, en tordant convenablement l'action de $G$ sur le module $\Delta \boxtimes \PP^1$. Plus pr�cis�ment, si $a, c \in \qp$ ne sont pas tous les deux nuls, on montre que l'op�rateur $c \partial + a$ agissant sur $\Delta \boxtimes \PP^1$ est bijectif et on d�finit, pour n'importe quel entier $k \in \Z$, une action de $G$ sur $\Delta \boxtimes \PP^1$ par la formule \footnote{Dans \cite{ColmezPoids}, la formule donn�e pour l'action de $G$ est $ {\matrice a b c d} \ast_k v = (-c \partial + a)^k \cdot ({\matrice a b c d } \cdot v)$. Le changement de signe ci-dessous est justifi� par les diff�rentes normalisations entre \cite{ColmezPoids} et ce travail (qui reprend plut�t les normalisations de \cite{ColmezPhiGamma}!) pour la repr�sentation $\mathrm{Sym}^{k-1}$. Ce changement �limine certaines nuisances des signes. } $$ {\matrice a b c d} \ast_k v = (c \partial + a)^k \cdot ({\matrice a b c d } \cdot v). $$ Par exemple, si $w = {\matrice 0  1 1 0}$ d�note l'involution, on a \[ w \ast_k v = \partial^k \cdot (w \cdot v). \] On note $(\Delta \boxtimes \PP^1)[k]$ le $G$-module $\Delta \boxtimes \PP^1$ muni de l'action $\ast_k$. Le sous-module $\Pi(\Delta)^* \otimes \omega_\Delta$ de $\Delta \boxtimes \PP^1$ est stable par l'action $\ast_k$ de $G$ et on note $\Pi(\Delta, k)$ le quotient de $(\Delta \boxtimes \PP^1)[k]$ par $\Pi(\Delta)^* \otimes \omega_\Delta$, qui est une repr�sentation de $G$ de type analytique \footnote{Une repr�sentation de type analytique de $G$ est un espace de type \textrm{LF} (limite inductive d'espaces de Fr�chet), muni d'une action continue de $H$ qui s'�tend en une action de l'alg�bre $\mathscr{D}(H)$ des distributions sur $H$.}.

La repr�sentation $\Pi(\Delta, k)$ v�rifie les propri�t�s suivantes:
\begin{itemize}
\item $\Pi(\Delta)^* \otimes \omega_\Delta$, vu comme sous-module de $(\Delta \boxtimes \PP^1)[k]$, est isomorphe � $\Pi(\Delta, -k)^* \otimes \omega_\Delta$, d'o� une suite exacte de $G$-modules $$ 0 \to \Pi(\Delta, -k)^* \otimes \omega_\Delta \to (\Delta \boxtimes \PP^1)[k] \to \Pi(\Delta, k) \to 0. $$
%\item Les injections naturelles $t^k \Delta \boxtimes_{x^k \omega_\Delta} \PP^1 \subseteq D_i \boxtimes_{\delta_{D_i}} \PP^1$ et $\D_i \boxtimes_{\delta_{D_i}} \PP^1$ envoient $\Pi(\Delta, -k)^* \otimes x^k \omega_\Delta$ dans $\Pi(D_i)^* \otimes \delta_{D_i}$ et $\Pi(D_i)^* \otimes \delta_{D_i}$ dans $\Pi(\Delta, k)^* \otimes x^k \omega_\Delta$.
\item Il existe une repr�sentation lisse  $\mathrm{LL}_p(\Delta)$ de $G$, qui ne d�pend ni du poids ni de la filtration, de caract�re central $x \omega_\Delta$, telle que $$ \Pi(\Delta, k)^{\rm alg} = (\mathrm{LL}_p(\Delta) \otimes \mathrm{Sym}^{k - 1}) \otimes M_{\rm dR}, $$ o� $\Pi(\Delta, k)^{\rm alg}$ d�note les vecteurs localement alg�briques de la repr�sentation $\Pi(\Delta, k)$, et $\mathrm{Sym}^{k-1}$ est la puissance sym�trique de la repr�sentation �vidente de $G$.
\item $\Pi(\Delta_{k, \mathscr{L}}) = \Pi(\Delta, k) / ((\mathrm{LL}_p(\Delta) \otimes \mathrm{Sym}^{k - 1}) \otimes \mathscr{L}) $.
\item $\Pi(\Delta_{k, \mathscr{L}})^{\rm alg} = (\mathrm{LL}_p(\Delta) \otimes \mathrm{Sym}^{k - 1}) \otimes (M_{\rm dR} / \mathscr{L})$.
\end{itemize}

\subsubsection{Mod�les de Kirillov} \label{Kirillovtordu}

Les repr�sentations $\Pi(\Delta)$ et $\Pi(\Delta, k)$ sont isomorphes, � torsion par un caract�re pr�s, en tant que $B$-repr�sentations et l'application $v \mapsto \mathscr{K}_v$ de la section pr�c�dente fournit donc un mod�le de Kirillov pour $\Pi(\Delta, k)^{u^+-\text{fini}}$ dans $\mathrm{LA}_{\rm rc}(\qpe, \Delta_{\rm dif}^-)^\Gamma$ muni d'une action de $B$ d�finie par la formule
\begin{equation} \label{actionk}
({\matrice a b 0 d} \ast_k \phi)(x) = a^k \omega_\Delta(d) [\epsilon^{bx / d}] \phi(ax/d).
\end{equation} Ceci induit aussi des mod�les de Kirillov pour $\Pi(\Delta, k)^{\rm alg}$, ainsi que pour $\mathrm{LL}_p(\Delta)$ et $\Pi(D)^{\rm alg}$.

Soient $\mathscr{L}_1, \mathscr{L}_2 \subseteq M_{\rm dR}$ deux droites et soit $W_{\mathscr{L}_i} = \ker(\Pi(\Delta, k) \to \Pi(\Delta_{k, \mathscr{L}_i}))$, qui est une repr�sentation localement alg�brique de $G$. On a $\Pi(\Delta, k)^{\rm alg} = W_{\mathscr{L}_1} \oplus W_{\mathscr{L}_2}$ et $W_{\mathscr{L}_i} = \mathrm{LL}_p(\Delta) \otimes \mathrm{Sym}^{k - 1} \otimes \mathscr{L}_i$. Enfin, on a le diagramme commutatif suivant, o� les fl�ches horizontales sont des injections et les verticales des isomorphismes de $G$-modules, qui met en sc�ne tous les personnages introduits ci-dessus et qui sera tr�s utile pour nos calculs futurs.

\begin{equation} \label{Kirillovdiag}
\xymatrix{
    W_{\mathscr{L}_i} \ar[r] \ar[d]^\wr & \Pi(\Delta, k)^{\rm alg} \ar[r] \ar[d]^\wr & \Pi(\Delta, k)^{u^+-\text{fini}} \ar[d]^\wr \\
    \mathrm{LA}_{\rm c}(\qpe, L^{-k}_\infty \otimes \mathscr{L}_i) ^\Gamma\ar[r] & \mathrm{LA}_{\rm c}(\qpe, L^{-k}_\infty \otimes M_{\rm dR}) ^\Gamma \ar[r] & \mathrm{LA}_{\rm c}(\qpe, \Delta_{\rm dif}^-) ^\Gamma, }
\end{equation}
o� l'on a not� $L^{-k}_\infty = (t^{-k} L_\infty[t] / L_\infty[t])$.

%Remarquons les identit�s: $$ (t^k \Delta)_{\rm dif}^- = \Delta_{\rm dif} / t^k \Delta^+_{\rm dif} = (L_\infty((t)) / t^k L_\infty[[t]]) \otimes M_{\rm dR}, \;\;\; \Delta_{\rm dif}^+ / t^k \Delta^+_{\rm dif} = (L_\infty[t] / t^k) \otimes M_{\rm dR}. $$

\begin{remarque} \label{kiralg} Si $e_1, e_2$ la base canonique de $L^2$ sur $L$, on a $ \mathrm{Sym}^{k - 1} = \oplus_{j = 0}^{k - 1} L \cdot e_1^j e_2^{k - 1 - j}$ et l'action de $G$ est donn�e par $$ {\matrice a b c d} \cdot e_1^j e_2^{k-1-j} = (a e_1 + c e_2)^j (b e_1  + d e_2)^{k-1-j}. $$ En particulier, on a \[ w \cdot e_1^j e_2^{k - 1 - j} = e_1^{k - 1 - j} e_2^j. \] On a, pour chaque $i = 1, 2$, un isomorphisme $B$-�quivariant (cf. \cite{ColmezPhiGamma} VI.2.5) \[ \iota_i \colon \mathrm{LC}_{\rm c}(\qpe, L_\infty)^\Gamma \otimes \mathrm{Sym}^{k - 1} \otimes \det^{-k} \xrightarrow{\sim} \mathrm{LA}_{\rm c}(\qpe, L^{-k}_\infty \otimes \mathscr{L}_i)^\Gamma  , \] \[ \phi \otimes e_1^j e_2^{k - 1 - j} \mapsto [x \mapsto (k - 1 - j)! \phi(x) (xt)^{j-k} \otimes f_i], \] o� $B$ agit sur $\mathrm{LC}_{\rm c}(\qpe, L_\infty)^\Gamma$ via la formule $$ ({\matrice a b 0 d} \cdot \phi)(x) = (x \omega_\Delta)(d) \psi(bx/d) \phi(ax/d) $$ et sur le module de droite par l'action $\ast_k$ d�crite dans la formule \eqref{actionk}. Cet isomorphisme devient un isomorphisme $G$-�quivariant si l'on munit ces espaces d'une action de $G$ via les bijections $\mathrm{LL}_p(\Delta) \xrightarrow{\sim} \mathrm{LC}_{\rm c}(\qpe, L_\infty)^\Gamma$ et $W_{\mathscr{L}_i} \xrightarrow{\sim} \mathrm{LA}_{\rm c}(\qpe, L^{-k}_\infty \otimes \mathscr{L}_i)^\Gamma$ \footnote{Observons que $\mathrm{LA}_{\rm c}(\qpe, L^{-k}_\infty \otimes \mathscr{L}_i)^\Gamma = \mathrm{LP}_{\rm c}(\qpe, L^{-k}_\infty \otimes \mathscr{L}_i)^\Gamma$.}.
\end{remarque}

\begin{lemme} \leavevmode \label{propinv} Soient $k, j \in \Z$. Alors
\begin{enumerate}
\item On a $w \cdot \partial = \partial^{-1} \cdot w$ sur $\Delta \boxtimes \PP^1$.
\item $[g \ast_{-k} x, y ]_{\PP^1} = \omega_\Delta(\det \; g) [x, g^{-1} \ast_k y ]_{\PP^1}, $ pour $x, y \in \Delta \boxtimes \PP^1$, $g \in G$.
\end{enumerate}
\end{lemme}

\begin{proof}
Le premier point est \cite{ColmezPoids}, prop. 3.6. Le deuxi�me point est une r��criture de  la formule $[g \ast_{-k} x, g \ast_{k} y]_{\PP^1} = [g \cdot x, g \cdot y]_{\PP^1}$ de \cite{ColmezPoids}, prop. 3.13.iii � l'aide de l'identit� $[g \cdot x, g \cdot y]_{\PP^1} = \omega_\Delta(\det \; g) [x, y]_{\PP^1}$. En effet, on a
\begin{eqnarray*}
[ g \ast_{-k} x, y]_{\PP^1} &=& [ g \ast_{-k} x, g \ast_k (g^{-1} \ast_k y)]_{\PP^1} \\
&=& [g \cdot x, g \cdot (g^{-1} \ast_k y)]_{\PP^1} \\
&=& \omega_\Delta(\det \; g) [ x, g^{-1} \ast_{-k} y]_{\PP^1} \\
\end{eqnarray*}
\end{proof}

\subsection{Une �quation fonctionnelle locale: pr�liminaires}

Cette section contient les calculs techniques qui sont � la base des d�monstrations des r�sultats principaux de ce chapitre (th�or�mes \ref{eqfonct1}, \ref{eqfonct2}, \ref{eqfonct1b} et \ref{eqfonct3}).

\subsubsection{Vecteurs propres de $\psi$}

\begin{lemme}  [\cite{ColmezDosp}, rem. V.14]
Si $D \in \Phi\Gamma^{\text{�t}}(\Robba)$ et $\alpha \in \mathscr{O}_L^\times$, l'application $\mathrm{Res}_{\zp}$ induit un isomorphisme $$ (\Pi(D)^* \otimes \omega_D)^{{\matrice p 0 0 1} = \alpha^{-1}} \to D^{\psi = \alpha}. $$
\end{lemme}

%\begin{proof}
%Notons \footnote{La preuve du lemme pour le cas �tale se trouve dans \cite{ColmezDosp}, rem. V.14. On donne quand m�me l'argument ci-dessous.} $D_{0} \in \Phi \Gamma^{\text{�t}}(\E)$ le $(\varphi, \Gamma)$-module correspondant � $D$, i.e $(D_0)_{\rm rig} = D$. Si $z \in D_0^{\psi = \alpha}$, l'�l�ment $(z)_{n \geq 0}$ appartient � $(D_0^\natural \boxtimes \qp)^{{\matrice p 0 0 1} = \alpha^{-1}}$ et, par \cite{ColmezMirabolique}, prop. II.5.6, l'application $x \mapsto \mathrm{Res}_\zp(x)$ d�finit un isomorphisme $$ (D_0^\sharp \boxtimes \qp)^{{\matrice p 0 0 1} = \alpha^{-1}} = (D_0^\natural)^{\psi = \alpha} \to D_0^{\psi = \alpha}. $$ Si $D_0$ est absolument irr�ductible, alors $D_0^\natural = D_0^\sharp$ et, par \cite{ColmezDosp}, prop. III.23 (voir ainsi la remarque III.8), l'application $x \mapsto (\mathrm{Res}_\zp({\matrice {p^n} 0 0 1} x))_{n \geq 0}$ induit un isomorphisme $$ D_0^\natural \boxtimes \PP^1 \to D_0^\natural \boxtimes \qp, $$  ce qui permet conclure que $\mathrm{Res}_\zp$ induit un isomorphisme $$ (\Pi(D_0)^* \otimes \omega_D)^{{\matrice p 0 0 1} = \alpha} \to D_0^{\psi = \alpha}. $$
%
%Par \cite{ColmezPhiGamma}, prop. $V.1.18$, on a $D^{\psi = 1} = \Robba^+(\Gamma) \otimes_\Lambda D_{0}^{\psi = 1}, $ ce qui implique la surjectivit� de la restriction $\mathrm{Res}_\zp: (\Pi(\Delta)^* \otimes \omega_\Delta)^{{\matrice p 0 0 1} = \alpha^{-1}} \to D^{\psi = \alpha}$. Comme elle est aussi injective (cf. par exemple \cite{ColmezPoids}, prop. 2.20), on en d�duit qu'elle est un isomorphisme, ce qui finit la d�monstration.
%\end{proof}

\begin{lemme} \label{psidist}
Soit $\Delta \in \Phi\Gamma(\Robba)$ irr�ductible, de rang $2$ et de Rham. Alors, si $v_p(\omega_\Delta(p)) \in 2 \cdot \Z$, $\alpha \in \mathscr{O}_L^\times$ et $r \in \Z$, l'application $\mathrm{Res}_{\zp}$ induit un isomorphisme $$ (\Pi(\Delta)^* \otimes \omega_\Delta)^{{\matrice p 0 0 1} = \alpha^{-1} p^{-r}} \to \Delta^{\psi = \alpha p^r}. $$
\end{lemme}

\begin{proof}
Remarquons d'abord que, si $\Delta$ est irr�ductible, l'op�rateur $\partial^r$ induit (cf. \cite{ColmezPoids}, prop. 3.16 et prop. 3.6) des bijections $$ (\Pi(\Delta)^* \otimes \omega_\Delta)^{{\matrice p 0 0 1} = \alpha^{-1}} \to (\Pi(\Delta)^* \otimes \omega_\Delta)^{{\matrice p 0 0 1} = \alpha^{-1} p^{-r}} $$ et des bijections \[ \Delta^{\psi = \alpha} \to \Delta^{\psi = \alpha p^r}, \] car $\partial$ est bijective sur $\Delta$ (cf. \cite{ColmezPoids}, Remarque 1.4 ainsi que \S 3.2) et on a la relation $\psi \circ \partial = p \cdot \partial \circ \psi$.
%montre le r�sultat quand $\Delta$ est �tale, car l'op�rateur $\partial$ commute � la restriction (\cite{ColmezPoids}, Lemme 1.5).

Soit $\delta$ tel que $\Delta \otimes \delta$ est �tale. On sait alors que $\omega_{\Delta(\delta)} = \omega_\Delta \otimes \delta^2$ est unitaire et donc $v_p(\delta(p)) = - \frac{1}{2} v_p(\omega_\Delta(p)) \in \Z$. Alors $\Pi(\Delta) = \Pi(\Delta(\delta)) \otimes \delta^{-1}$ et $\Pi(\Delta)^* = \Pi(\Delta(\delta))^* \otimes \delta$, d'o� on d�duit que \[ (\Pi(\Delta)^* \otimes \omega_\Delta)^{{\matrice p 0 0 1} = \beta^{-1}} = (\Pi(\Delta(\delta))^* \otimes \omega_{\Delta(\delta)} \otimes \delta^{-1})^{{\matrice p 0 0 1} = \beta^{-1}} = (\Pi(\Delta(\delta))^* \otimes \omega_{\Delta(\delta)})^{{\matrice p 0 0 1} = \beta^{-1} \delta(p)} \otimes \delta^{-1}, \] pour tout $\beta \in L$. En posant $\beta = \beta' \cdot p^{v_p(\delta(p))}$, $\beta' \in \mathscr{O}_L^\times$ (de sorte que $\beta^{-1} \delta(p) \in \mathscr{O}_L^\times$) dans l'�galit� ci-dessus, on d�duit du lemme pr�c�dent que $\mathrm{Res}_\zp$ induit un isomorphisme \[ (\Pi(\Delta)^* \otimes \omega_\Delta)^{{\matrice p 0 0 1} = \beta^{-1}} \to \Delta^{\psi = \beta}, \] pour tout $\beta = \beta' \cdot p^{v_p(\delta(p))}$, $\beta' \in \mathscr{O}_L^\times$. Enfin, comme $v_p(\delta(p)) \in \Z$, on conclut en posant $\beta' = \alpha$ et en appliquant $\partial^{-v_p(\delta(p)) + r}$ aux deux c�t�s.
\end{proof}

\begin{remarque}
La condition du lemme est vrai d�s que l'on sait qu'il existe $D \in \Phi\Gamma^{\text{�t}}(\Robba)$ tel que $\Delta = \Nrig(D)$, ce qui est toujours le cas que l'on consid�re dans ce texte.

\end{remarque}

%Si $D \in \Phi\Gamma^{\text{�t}}(\E)$ et si $z \in D^{\psi = 1}$, l'�l�ment $(z)_{n \geq 0}$ appartient � $(D^\natural \boxtimes \qp)^{{\matrice p 0 0 1} = 1}$ et l'application $x \mapsto \mathrm{Res}_\zp(x)$ d�finit un isomorphisme (cf. \cite{ColmezDosp}, prop. III.23 ainsi que ainsi que la remarque III.8) $$ (D^\natural \boxtimes \qp)^{{\matrice p 0 0 1} = 1} \to D^{\psi = 1}. $$ Si $D$ est absolument irr�ductible, alors $D^\natural = D^\sharp$ et l'application $x \mapsto (\mathrm{Res}_\zp({\matrice {p^n} 0 0 1} x))_{n \geq 0}$ induit un isomorphisme $$ D^\natural \boxtimes \PP^1 \to D^\natural \boxtimes \qp. $$ On note $\tilde{z} \in D^\natural \boxtimes_{\omega_D} \PP^1$ la pr�image de $z$ par la composition de ces isomorphismes.
%
%Si $D_{\rm rig} \in \Phi\Gamma^{\text{�t}}(\Robba)$ correspond � $D$, on utilise l'identit� $D_{\rm rig}^{\psi = 1} = D^{\psi = 1} \otimes_{\zp[[\Gamma]]} \mathscr{D}(\Gamma)$ et l'action de l'alg�bre de distributions sur $\Pi(D_{\rm rig})^*$ pour relever un �l�ment $z \in D_{\rm rig}^{\psi = 1}$ en un �l�ment $\tilde{z} \in (\Pi(D_{\rm rig})^*)^{{\matrice p 0 0 1} = 1}.$ Plus pr�cis�ment, si $z = \sum z_i \otimes \lambda_i$, $z_i \in D^{\psi = 1}, \lambda_i \in \mathscr{D}(\Gamma)$, on a $\tilde{z} = \sum \tilde{z}_i \otimes \lambda_i$.

\subsubsection{Th�orie d'Iwasawa tordue}

Si $\alpha \in L^\times$ et $z \in \Delta^{\psi = \alpha}$, les valeurs $$ \lim_{m \to +\infty} \alpha^{-m} p^{-m} \, \mathrm{Tr}_{L_m / L}([\varphi^{-m} z]_0) $$ ne d�pendent pas de $m$ assez grand et, pour $\eta \colon \zpe \to L^\times$ un caract�re localement constant et $j > 0$, on pose 
\[ \exp^* (\int_\Gamma \chi^{-j} \cdot \mu_z) := \lim_{m \to +\infty} \alpha^{-m} p^{-m} \, \mathrm{Tr}_{L_m / L}([\varphi^{-m} (z \otimes e_{-j})]_0) \in \DdR(\Delta(\chi^{-j})) = M_{\rm dR} \otimes \mathbf{e}^{\rm dR}_{-j}. \]
Observons que $\varphi^{-m} (z \otimes e_{-j}) = \varphi^{-m} z \otimes e_{-j}$ et que, si $\varphi^{-n} z = \sum_{l \geq 0} a_l t^l$, $a_l \in L_m \otimes \DdR(\Delta)$, alors \[ [\varphi^{-m} z \otimes e_{-j}]_0 = a_j \otimes t^j e_{-j} = a_j \otimes \mathbf{e}^{\rm dR}_{-j} \in L_m \otimes M_{\rm dR} \otimes \mathbf{e}^{\rm dR}_{-j}. \] Remarquons que si $\alpha = 1$ on obtient la formule de la proposition \ref{recPRcomp}. De m�me, on pose
$$ \exp^{-1}(\int_\Gamma \chi^j \cdot \mu_z) = (-1)^j (j-1)! \lim_{m \to +\infty} \alpha^{-m} p^{-m} \, \mathrm{Tr}_{L_m / L} ( [\varphi^{-m} (\partial^{-j} z \otimes t^{-j} e_j)]_0) \in \DdR(\Delta(\chi^j)) = M_{\rm dR} \otimes \mathbf{e}^{\rm dR}_{j}, $$ o�, si $\varphi^{-m} (\partial^{-j} z) = \sum_{l \geq 0} b_l t^l$, $b_l \in L_m \otimes \DdR(\Delta)$, on a \[ [ \varphi^{-m}(\partial^{-j} z \otimes t^{-j} e_j)]_0 = p^{mj} \, b_0 \otimes \mathbf{e}^{\rm dR}_j \in L_m \otimes M_{\rm dR} \otimes \mathbf{e}^{\rm dR}_j . \] Notons que, gr�ce � la loi de r�ciprocit� \ref{recPR}, ceci est coh�rent si $\alpha = 1$.

\subsubsection{Dualit� et mod�le de Kirillov (encore)}

Consid�rons dans la suite le mod�le de Kirillov de $\Pi(\Delta)^{u^+-\text{fini}}$ � valeurs dans $\mathrm{LA}_{\rm c}(\qpe, \Delta_{\rm dif}^+)^\Gamma$. Si $\alpha = \alpha_0 p^r \in L^\times$, $\alpha_0 \in \mathscr{O}_L^\times$, $r \in \Z$, et si $z \in \Delta^{\psi = \alpha}$, l'image de $z$ par l'inverse de l'isomorphisme du lemme \ref{psidist} est un �l�ment de $(\Pi(\Delta)^* \otimes \omega_\Delta)^{{\matrice p 0 0 1} = \alpha^{-1}}$ que l'on note $\tilde{z}$. On a donc $\mathrm{Res}_\zp({\matrice {p^{i + n}} 0 0 1} \tilde{z}) = \mathrm{Res}_\zp(\alpha^{-(i+n)} \tilde{z}) = \alpha^{-(i+n)} z$ et, si $\phi \in \mathrm{LA}_{\rm c}(\qpe, \Delta_{\rm dif}^-)^\Gamma$, la formule \eqref{formulemagique} pour l'accouplement prend la forme tr�s simple suivante:
\[ [\tilde{z}, \phi] = \sum_{i \in \Z} \omega_\Delta(p^{-i}) \alpha^{-(i+n)} [\varphi^{-n}(z), \phi(p^i) )]_{\rm dif}, \;\;\; (n \gg 0) \]
Plus g�n�ralement, si $j \in \Z$, on peut appliquer $\partial^{\j}$ � $\tilde{z}$ pour obtenir un �l�ment dans $(\Pi(\Delta)^* \otimes \omega_\Delta)^{{\matrice p 0 0 1} = \alpha^{-1}p^{-j}}$ et on a
\begin{equation} \label{formulemagique2}
[\partial^{\j} \tilde{z}, \phi] = \sum_{i \in \Z} \omega_\Delta(p^{-i}) \alpha^{-(i + n)} p^{-j (i + n)} [\varphi^{-n} \partial^{\j} z, \phi(p^i) )]_{\rm dif}.
\end{equation}

Rappelons que l'on a fix� une base $f_1, f_2$ de $M_{\rm dR}$. Les �l�ments $1 \otimes f_1, 1 \otimes f_2$ forment une base du $L_\infty((t))$-espace vectoriel $\Delta_{\rm dif} = L_\infty((t)) \otimes M_{\rm dR}$ et l'on identifie $(1 \otimes f_1) \wedge (1 \otimes f_2) = \Omega^{-1} dt \otimes e_{\omega_\Delta}$ sous l'isomorphisme $\wedge^2 D_{\rm dif} = (L_\infty((t)) dt) \otimes \omega_D$.

\subsubsection{Exponentielle duale et accouplement $[\;,\;]_{\PP^1}$}

Suivant Nakamura (cf. \cite{Nakamura2}), on d�finit, pour $\eta \colon \zpe \to L^\times$ un caract�re d'ordre fini, $k \geq 1$, $i \in \{1, 2\}$ et $m \in \Z$, la fonction $f^i_{\eta, k, m} \in \mathrm{LA}_{\mathrm{c}}(\qpe, \Delta_{\rm dif}^-)^\Gamma$ par la formule $$ f^i_{\eta, k, m}(p^n a) = \left\{
  \begin{array}{c c}
   (-1)^{i + 1} (k-1)! \sigma_a (G(\eta)^{-1} t^{-k}) \otimes f_i & \quad \text{ si $n = m$} \\
    0 & \quad \text{si $n \neq m$,}  \\
  \end{array}
\right. $$ o� $a \in \zpe$, $n \in \Z$. Notons que, pour $a \in \zpe$, on a tout simplement \[ f^i_{\eta, k, m}(p^m a) = (-1)^{i+1} (k-1)! \eta(a) a^{-k} G(\eta)^{-1} t^{-k} \otimes f_i. \]

\begin{prop} \label{formexpd} Soient $\alpha \in L^\times$ tel que $v_p(\alpha) \in \Z$, $z \in \Delta^{\psi = \alpha \omega_\Delta^{-1}(p)}$, $\eta \colon \zpe \to L^\times$ un caract�re d'ordre fini, $k \geq 1$ un entier, $j \in \Z$ tel que $j > -k$, $i \in \{ 1, 2 \}$ et $m \in \Z$. Notons $\check{z} = z \otimes e_{\omega_\Delta}^\vee \in \check{\Delta}^{\psi = \alpha}$. Alors $$ \langle \exp^*(\int_\Gamma \eta \chi^{-j-k} \cdot \mu_{\check{z}}) \otimes \mathbf{e}^{\rm dR, \vee}_{\eta, -j-k, \omega_\Delta^\vee}, f_i \rangle_{\rm dR} = \frac{p-1}{p} \alpha^m p^{mj} \eta(-1) \frac{\omega_\Delta(-1) (-1)^k}{(j+k-1)!} [ \partial^{\j} \tilde{z}, f^{3-i}_{\eta, k, m}]_{\PP^1}. $$
\end{prop}

\begin{proof}
Traitons le cas $i = 1$, l'autre �tant �videment analogue. On a, pour $n \gg 0$,
\begin{eqnarray*} \exp^*(\int_\Gamma \eta \chi^{-j-k} \cdot \mu_{\check{z}}) &=& \exp^*(\int_\Gamma 1 \cdot (\mu_z \otimes e_\eta \otimes e_{-j-k} \otimes e_{\omega_\Delta}^\vee )) \\
&=& \alpha^{-n} p^{-n} \, \mathrm{Tr}_{L_n / L}( [\varphi^{-n} (z \otimes \mathbf{e}_{\eta, -j-k, \omega_\Delta^\vee} )]_0), \\
\end{eqnarray*}
Comme $ \varphi^{-n}(\mathbf{e}_{\eta, -j-k, \omega_\Delta^\vee}) = \omega_\Delta(p)^n \mathbf{e}_{\eta, -j-k, \omega_\Delta^\vee}$, on a $$ [ \varphi^{-n} (z \otimes \mathbf{e}_{\eta, -j-k, \omega_\Delta^\vee}) ]_0 = \omega_\Delta(p)^n [ \varphi^{-n} z \otimes \mathbf{e}_{\eta, -j-k, \omega_\Delta^\vee}]_0. $$ Clarifions la notation utilis�e. L'�l�ment $\varphi^{-n} z \otimes \mathbf{e}_{\eta, -j-k, \omega_\Delta^\vee}$ appartient � $$ L_n[[t]] \otimes \DdR(\Delta(\eta \chi^{-j-k} \omega_\Delta^{-1})) = L_n[[t]] \otimes M_{\rm dR} \otimes L \cdot \mathbf{e}^{\rm dR}_{\eta, -j-k, \omega_\Delta^\vee}$$ et peut �tre exprim� sous la forme $ x \otimes \mathbf{e}^{\rm dR}_{\eta, -j-k, \omega_\Delta^\vee}$, $x = G(\eta)^{-1} t^{1-k-j} \Omega^{-1} \varphi^{-n} z \in L_n((t)) \otimes M_{\rm dR}$. Si on �crit $\varphi^{-n} z$ sous la forme $\sum_{l \geq 0} a_l t^l$, $a_l \in L_n \otimes M_{\rm dR}$, on a alors $$[\varphi^{-n} z \otimes \mathbf{e}_{\eta, -j-k, \omega_\Delta^\vee}]_0 = G(\eta)^{-1} \Omega^{-1} a_{j+k-1} \otimes \mathbf{e}^{\rm dR}_{\eta, -j-k, \omega_\Delta^\vee}. $$ Notons que l'�l�ment $\mathbf{e}^{\rm dR}_{\eta, -j-k, \omega_\Delta^\vee}$ est invariant par $\Gamma$ et commute donc � $\mathrm{Tr}_{L_n / L}$. On en d�duit
$$ \mathrm{Tr}_{L_n / L} ( [\varphi^{-n} (z \otimes \mathbf{e}_{\eta, -j-k, \omega_\Delta^\vee})]_0) = \omega_\Delta(p)^n \, \mathrm{Tr}_{L_n / L} ( G(\eta)^{-1} \Omega^{-1} [ t^{-j -k + 1} \varphi^{-n} z ]_0) \otimes \mathbf{e}^{\rm dR}_{\eta, -j-k, \omega_\Delta^\vee} $$
En utilisant la formule $[ t^{-{\j} -k + 1} \varphi^{-n} z ]_0 = [ \varphi^{-n} z ]_{{\j} + k - 1} = \frac{p^{-n({\j} + k - 1)}}{({\j} + k -1)!} [\varphi^{-n} \partial^{{\j} + k - 1} z]_0$ on en d�duit 
$$ \exp^*(\int_\Gamma \eta \chi^{-j-k} \cdot \mu_{\check{z}}) \otimes \mathbf{e}^{\rm dR, \vee}_{\eta, -j-k, \omega_\Delta^\vee} = \frac{\omega_\Delta(p)^n}{(j + k -1)!} \cdot \alpha^{-n} p^{-n({\j} + k)} \, \mathrm{Tr}_{L_n / L} ( G(\eta)^{-1} \Omega^{-1} [ \varphi^{-n} \partial^{{\j} + k - 1} z ]_0). $$ Enfin, en projetant vers la droite engendr�e par $f_1$ on obtient la formule
\small{\begin{equation} \label{eaea12}
\langle \exp^*(\int_\Gamma \eta \chi^{-{\j}} \cdot \mu_{\check{z}}) \otimes \mathbf{e}^{\rm dR, \vee}_{\eta, -j, \omega_\Delta^\vee} , f_1 \rangle_{\rm dR} =\frac{\omega_\Delta(p)^n}{({\j} + k -1)!} \cdot \alpha^{-n} p^{-n({\j} + k)} \mathrm{Tr}_{L_n / L} ( G(\eta)^{-1} \Omega^{-1} \, \langle [ \varphi^{-n} \partial^{{\j} + k - 1} z ]_0 , f_1 \rangle_{\rm dR} ).
\end{equation}} \normalsize

%d'o� $$ \langle \exp^*(\int_\Gamma \eta \chi^{-k} \cdot z) \otimes G(\eta)^{-1} e_{\eta}^\vee \otimes t^{-k} e_k, f_1 \rangle_{\rm dR} =  \frac{G(\eta)^{-1} \Omega t^k }{p^{n(k + 1)} k!}   ( ([\varphi^{-n} \partial^k z]_0) \wedge f_2 ). $$

Par ailleurs, $z \in \Delta^{\psi = \alpha \omega_\Delta^{-1}(p)}$, $\tilde{z} \in (\Pi(\Delta)^* \otimes \omega_\Delta)^{{\matrice p 0 0 1} = \alpha^{-1} \omega_\Delta(p)}$ est l'�l�ment correspondant par le Lemme \ref{psidist} \footnote{et donc, rappelons-le, $ \partial^{\j} \tilde{z} \in (\Pi(\Delta)^* \otimes \omega_\Delta)^{{\matrice p 0 0 1} = \alpha^{-1} \omega_\Delta(p) p^{-{\j}}}$}, et, si $n \gg 0$, on a
\small{\begin{eqnarray*}
[ \partial^{\j} \tilde{z}, f^2_{\eta, k, m}]_{\PP^1} &=& \sum_{i \in \Z} \omega_\Delta(p)^n \alpha^{-i-n} p^{-j(i+n)} [\varphi^{-n} \partial^{\j} z,  f^2_{\eta, k, m}(p^i) )]_{\rm dif} \\
&=& - \omega_\Delta(p)^n \alpha^{-m-n} p^{-j(m+n)} (k-1)! [ \varphi^{-n} \partial^{\j} z, G(\eta)^{-1} t^{-k} \otimes f_2 ]_{\rm dif},
%&=& \omega_\Delta(p)^n \alpha^{-m-n} p^{-j(m+n)} \omega_\Delta(-1) \eta(-1) (-1)^k (k-1)! \text{r�s}_L( (\varphi^{-n} \partial^{\j} z \wedge (G(\eta)^{-1} t^{-k} \otimes f_2)) \otimes e_{\omega_\Delta}^\vee), \\
\end{eqnarray*}}\normalsize
o� la premi�re �galit� suit de la formule \eqref{formulemagique2} et la deuxi�me �galit� du fait que $f_{\eta,k, m}^2(p^i) = 0$ d�s que $i \neq m$. Par d�finition de l'accouplement $[ \;,\;]_{\rm dif} $ (cf. formule \eqref{accdif}), et en notant que $\sigma_{-1}(G(\eta)^{-1}t^{-k} \otimes f_2) = \eta(-1)(-1)^k (G(\eta)^{-1} t^{-k} \otimes f_2$, on a aussi
\[ [ \varphi^{-n} \partial^{\j} z, G(\eta)^{-1} t^{-k} \otimes f_2 ]_{\rm dif} = \omega_\Delta(-1) \eta(-1) (-1)^k \text{r�s}_L( (\varphi^{-n} \partial^{\j} z \wedge (G(\eta)^{-1} t^{-k} \otimes f_2)) \otimes e_{\omega_\Delta}^\vee). \] On en d�duit
\small \begin{equation} \label{eaea11}
[ \partial^{\j} \tilde{z}, f^2_{\eta, k, m}]_{\PP^1} = - \omega_\Delta(p)^n \alpha^{-m-n} p^{-j(m+n)} \omega_\Delta(-1) \eta(-1) (-1)^k (k-1)! \text{r�s}_L( (\varphi^{-n} \partial^{\j} z \wedge (G(\eta)^{-1} t^{-k} \otimes f_2)) \otimes e_{\omega_\Delta}^\vee).
\end{equation} \normalsize

Nous �tendons l'accouplement $\langle \;,\; \rangle_{\rm dR}$ par $L_\infty((t))$-lin�arit� en un accouplement \footnote{Rappelons que $\Delta_{\rm dif} = L_\infty((t)) \otimes M_{\rm dR}$.} $\langle \;,\; \rangle_{\rm dR} \colon \Delta_{\rm dif} \times \Delta_{\rm dif} \to L_\infty((t))$ satisfaisant \[ x \wedge (h \otimes f_i) = h \langle x, 1 \otimes f_{3-i} \rangle_{\rm dR} ((1 \otimes f_{3-i}) \wedge (1 \otimes f_i)) = h \langle x, 1 \otimes f_{3-i} \rangle_{\rm dR} (-1)^{i + 1} \Omega^{-1} dt \otimes e_{\omega_\Delta}, \] pour $x \in \Delta_{\rm dif}$, $h \in L_\infty((t))$ et $i = 1, 2$. Ceci donne
%Le choix de la base $f_1, f_2$ de $\DdR(D)$ nous permet de d�finir un accouplement $\langle \;,\; \rangle_{\rm dR}: \Delta_{\rm dif} \times M_{\rm dR} \to \Delta_{\rm dif}$ par la formule $x \wedge f_i = \langle x, f_{3-i} \rangle_{\rm dR} (f_1 \wedge f_2) = \langle x, f_{3-i} \rangle_{\rm dR} \Omega^{-1} e_\Delta$, $i = 1, 2$. Cela nous donne
\begin{eqnarray*}
\text{r�s}_L( (\varphi^{-n} \partial^{\j} z \wedge (G(\eta)^{-1} t^{-k} \otimes f_2) \otimes e_{\omega_\Delta}^\vee) &=& - \text{r�s}_L( G(\eta)^{-1} \Omega^{-1} t^{-k+1} \langle \varphi^{-n} \partial^{\j} z, 1 \otimes f_1 \rangle_{\rm dR} t^{-1} dt) \\
&=& - T_L( G(\eta)^{-1} \Omega^{-1} \langle [ \varphi^{-n} \partial^{\j} z]_{k - 1}, f_1 \rangle_{\rm dR}).
\end{eqnarray*}
Enfin, la formule \eqref{eaea11}, l'identit� $[\varphi^{-n} z]_{k - 1} = \frac{p^{-n(k - 1)}}{(k - 1)!} [\varphi^{-n} \partial^{k - 1} z]_0$, l'�galit� $T_L = \frac{p}{p-1} p^{-n} \mathrm{Tr}_{L_n / L}$ et la formule \eqref{eaea12} en donnent
\small{ \begin{eqnarray*} 
[ \partial^{\j} \tilde{z}, f^2_{\eta, k, m}]_{\PP^1} &=& \frac{p}{p-1} \omega_\Delta(p)^n \alpha^{-m-n} p^{-j(m+n)} \omega_\Delta(-1) \eta(-1)(-1)^k p^{-n k} \mathrm{Tr}_{L_n / L} \big(  G(\eta)^{-1} \Omega^{-1} \langle [  \varphi^{-n} \partial^{{\j}+k-1} z]_0, f_1 \rangle_{\rm dR} \big) \\
&=& \frac{p}{p-1} \alpha^{-m} p^{-m{\j}} \omega_\Delta(-1) \eta(-1) (-1)^k (j + k - 1)! \langle \exp^*(\int_\Gamma \eta \chi^{-{\j}} \cdot \mu_{\check{z}}) \otimes \mathbf{e}^{\rm dR, \vee}_{\eta, -j, \omega_\Delta^\vee} , f_1 \rangle_{\rm dR}
\end{eqnarray*}} \normalsize ce qui permet de conclure.
\end{proof}

\subsubsection{Exponentielle et accouplement $[\;,\;]_{\PP^1}$}

On d�finit, pour $\eta$ un caract�re d'ordre fini, $i = 1, 2$ et $m \in \Z$, la fonction $g^i_{\eta, m} \in \mathrm{LA}_{\mathrm{c}}(\qp, \Delta_{\rm dif}^-)^\Gamma$ par la formule $$ g^i_{\eta, m}(p^n a) = \left\{
  \begin{array}{c c}
    (-1)^{i + 1} \sigma_a (G(\eta)^{-1} \Omega t^{-1}) \otimes f_i & \quad \text{ si $n = m$} \\
    0 & \quad \text{si $n \neq m$}  \\
  \end{array}
\right. $$
Pour $a \in \zpe$, on a donc \[ g^i_{\eta, m}(p^m a) = (-1)^{i + 1} \eta(a) \det_\Delta(a) \cdot (G(\eta)^{-1} \Omega) \cdot (at)^{-1} \otimes f_i. \] 

\begin{prop} \label{formexp} Soient $\alpha \in L^\times$ tel que $v_p(a) \in \Z$, $z \in \Delta^{\psi = \alpha}$, $\eta \colon \zpe \to L^\times$ un caract�re d'ordre fini, $i \in \{ 1, 2\}$ et ${\j} \geq 1$. Alors $$ \langle \exp^{-1}(\int_\Gamma \eta \chi^{\j} \cdot \mu_z) \otimes \mathbf{e}^{\rm dR, \vee}_{\eta, j} , f_i \rangle_{\rm dR} = \frac{p - 1}{p} (-1)^{j} (j - 1)! \eta(-1) \omega_\Delta(p)^m \alpha^m p^{-jm} [ \partial^{-j} \tilde{z}, g^{3 - i}_{\eta, m}]_{\PP^1}. $$
\end{prop}

\begin{proof}
On a, pour $n \gg 0$,
\begin{eqnarray*}
\exp^{-1}(\int_\Gamma \eta \chi^{\j} \cdot \mu_z) &=& \exp^{-1}(\int_\Gamma \chi^{\j} \cdot (\mu_z \otimes e_\eta)) \\
&=& (-1)^{\j} ({\j}-1)! \alpha^{-n} p^{-n} \, \mathrm{T}_{L_n / L} ( [\varphi^{-n} (\partial^{-j} z \otimes e_\eta \otimes t^{-j} e_j)]_0) \\
\end{eqnarray*}
et, comme $\varphi^{-n}(e_\eta \otimes t^{-j} e_j) = p^{nj} \, e_\eta \otimes t^{-j} e_j$, on a $$ \mathrm{T}_{L_n / L} ( [\varphi^{-n} (\partial^{-{\j}} z \otimes e_\eta \otimes t^{-j} e_j)]_0) = p^{nj} \, \mathrm{T}_{L_n / L} ( [\varphi^{-n} \partial^{-{\j}} z \otimes e_\eta \otimes t^{-j} e_j]_0). $$ 
Comme pr�c�demment, l'�l�ment $\varphi^{-n} \partial^{-{\j}} z \otimes e_\eta \otimes t^{-j} e_j$ appartient � $L_n[[t]] \otimes \DdR(\Delta(\eta\chi^{\j})) = L_n[[t]] \otimes M_{\rm dR} \otimes L \cdot \mathbf{e}^{\rm dR}_{\eta, j} $ et peux donc �tre exprim� sous la forme $ x \otimes \mathbf{e}^{\rm dR}_{\eta, j}$, avec $x = G(\eta)^{-1} \varphi^{-n} \partial^{-j} z \in L_n[[t]] \otimes M_{\rm dR}$. On a alors $$ [\varphi^{-n} \partial^{-{\j}} z \otimes e_\eta \otimes t^{-{\j}} e_{\j}]_0 = G(\eta)^{-1} [\varphi^{-n} \partial^{-j} z]_0 \otimes \mathbf{e}^{\rm dR}_{\eta, j}. $$ Notons finalement que l'�l�ment $\mathbf{e}^{\rm dR}_{\eta, j}$ est invariant par $\Gamma$ et commute donc � la trace, ce qui donne
$$ \mathrm{T}_{L_n / L} ( [\varphi^{-n} (\partial^{-{\j}} z \otimes e_\eta \otimes t^{-{\j}} e_{\j})]_0) = p^{n{\j}} \, \mathrm{T}_{L_n / L}( G(\eta)^{-1} [\varphi^{-n} \partial^{-{\j}} z]_0) \otimes \mathbf{e}^{\rm dR}_{\eta, j}, $$ et, en accouplant avec $f_1$, on en d�duit la formule 
\begin{equation} \label{eaea1} \langle \exp^{-1}(\int_\Gamma \eta \chi^{\j} \cdot \mu_z) \otimes \mathbf{e}^{\rm dR, \vee}_{\eta, j}, f_1 \rangle_{\rm dR}  = (-1)^{\j} ({\j}-1)! \alpha^{-n} p^{n(j-1)}  \mathrm{T}_{L_n / L} ( G(\eta)^{-1} \langle [\varphi^{-n} \partial^{-{\j}} z]_0, f_1 \rangle_{\rm dR}).
\end{equation}
%d'o� $$ \langle \exp^{-1}(\int_\Gamma \eta \chi^{\j} \cdot z) \otimes G(\eta)^{-1} e_{\eta}^\vee \otimes t^{\j} e_{-{\j}}, f_1 \rangle_{\rm dR} = (-1)^{\j} ({\j}-1)! p^{n({\j} - 1)} G(\eta)^{-1} \Omega ( ([\varphi^{-n} \partial^{\j} z]_0) \wedge f_2 ).

Par ailleurs, $\tilde{z} \in (\Pi(\Delta)^* \otimes \omega_\Delta)^{{\matrice p 0 0 1} = \alpha^{-1}}$, $\partial^{-{\j}} \tilde{z} \in (\Pi(\Delta)^* \otimes \omega_\Delta)^{{\matrice p 0 0 1} = \alpha^{-1} p^j}$ et on a, pour $n \gg 0$,
\begin{eqnarray*} [ \partial^{-{\j}} \tilde{z}, g^2_{\eta, m}]_{\PP^1} &=& \sum_{i \in \Z} \omega_\Delta(p^{-i}) \alpha^{-i-n} p^{j(i + n)} [\varphi^{-n} \partial^{-j} z,  g^2_{\eta, m}(p^i) )]_{\rm dif} \\
&=& - \omega_\Delta(p)^{-m} \alpha^{-m-n} p^{j(m + n)} [ \varphi^{-n} \partial^{-j} z, G(\eta)^{-1} \Omega t^{-1} \otimes f_2 )]_{\rm dif},
%&=& \omega_\Delta(p)^{-m} \alpha^{-m-n} p^{j(m + n)} \omega_\Delta(-1) \text{r�s}_L( (  \varphi^{-n} \partial^{-{\j}} z \wedge  \sigma_{-1} (G(\eta)^{-1} \Omega t^{-1} \otimes f_2) ) \otimes e_{\omega_\Delta}^\vee),
\end{eqnarray*}
o� la premi�re �galit� est la formule pour l'accouplement $[\;,\;]_{\PP^1}$ en termes du mod�le de Kirillov (cf. formule \eqref{formulemagique2}), et la deuxi�me suit de ce que $g^2_{\eta, m}(p^i) = 0$ d�s que $i \neq m$. Par d�finition de l'accouplement $[\;,\;]_{\rm dif}$ (cf. formule \eqref{accdif}), et en notant que $\sigma_{-1}(G(\eta)^{-1}) = \eta(-1) G(\eta)^{-1}$, $\sigma_{a}(\Omega t^{-1}) = \det_\Delta(a) a^{-1} \Omega t^{-1} = \omega_\Delta(a) \, \Omega t^{-1}$, on obtient 
\[ [ \varphi^{-n} \partial^{-j} z, G(\eta)^{-1} \Omega t^{-1} \otimes f_2 )]_{\rm dif}  = \eta(-1) \, \text{r�s}_L \big( (  \varphi^{-n} \partial^{-j} z \wedge (G(\eta)^{-1} \Omega t^{-1} \otimes f_2 )) \otimes e_{\omega_\Delta}^\vee \big). \]
%$$ \text{r�s}_L( (  \varphi^{-n} \partial^{-j} z \wedge  \sigma_{-1} (G(\eta)^{-1} \Omega t^{-1} \otimes f_2) ) \otimes e_{\omega_\Delta}^\vee) = \omega_\Delta(-1) \eta(-1) \text{r�s}_L( (  \varphi^{-n} \partial^{-j} z \wedge (G(\eta)^{-1} \Omega t^{-1} \otimes f_2 )) \otimes e_{\omega_\Delta}^\vee). $$
Or, la formule \[ x \wedge (h \otimes f_i) = h \langle x, 1 \otimes f_{3-i} \rangle_{\rm dR} ((1 \otimes f_{3-i}) \wedge (1 \otimes f_i)) = h \langle x, 1 \otimes f_{3-i} \rangle_{\rm dR} (-1)^{i + 1} \Omega^{-1} dt \otimes e_{\omega_\Delta}, \] $x \in \Delta_{\rm dif}$, $h \in L_\infty((t))$ et $i = 1, 2$, et la d�finition de $\text{r�s}_L$ comme la compos�e du r�sidu avec la trace de Tate normalis�e donnent
$$ \text{r�s}_L \big( (  \varphi^{-n} \partial^{-j} z \wedge (G(\eta)^{-1} \Omega t^{-1} \otimes f_2 )) \otimes e_{\omega_\Delta}^\vee \big) = - \frac{p}{p-1} p^{-n} \, \mathrm{Tr}_{L_n / L} ( G(\eta)^{-1} \langle  [ \varphi^{-n} \partial^{-j} z ]_0, f_1 \rangle_{\rm dR}). $$ On conclut alors que
$$ [ \partial^{-{\j}} \tilde{z}, g^2_{\eta, m}]_{\PP^1} = \frac{p}{p-1} \omega_\Delta(p)^{-m} \alpha^{-m-n} p^{j(m + n)} \eta(-1) p^{-n} \, \mathrm{Tr}_{L_n / L}( G(\eta)^{-1} \langle [\varphi^{n} \partial^{-j} z]_0, f_1 \rangle_{\rm dR} ). $$
Enfin, en comparant avec la formule (\ref{eaea1}) on conclut que $$ [ \partial^{-{\j}} \tilde{z}, g^2_{\eta, m}]_{\PP^1} = \frac{p}{(p-1)} \frac{(-1)^{\j}}{ ({\j} - 1)! } \eta(-1) \omega_\Delta(p)^{-m} \alpha^{-m} p^{jm} \langle \exp^{-1}(\int_\Gamma \eta \chi^{\j} \cdot \mu_z) \otimes \mathbf{e}^{\rm dR, \vee}_{\eta, j}, f_1 \rangle_{\rm dR}, $$
et on finit la preuve.
\end{proof}

%Soit $i \in \{1, 2 \}$. On dispose d'un isomorphisme $$ \mathrm{LA}_{\rm c}(\qpe, L_\infty)^\Gamma \otimes \mathrm{Sym}^{k - 1} \xrightarrow{\sim} \mathrm{LC}_{\rm c}(\qpe, (L_\infty[[t]] / t^k) \otimes \mathscr{L}_i)^\Gamma $$ donn� par $$ \phi \otimes e_1^i e_2^{k - 1 - i} \mapsto [x \mapsto (k - 1 - i)! \phi(x) (xt)^i \otimes f_i]. $$ Sous cet isomorphisme, la fonction $f^i_{\eta, m}$ correspond � $$ \frac{1}{(k - 1)!} G(\eta)^{-1} \xi_{\eta, m} \otimes e_1^0 e_2^{k - 1} $$ et la fonction $h^i_{\eta^{-1}, m}$ correspond � $$ (\omega_\pi(p) p^{k - 1})^m \cdot (G(\eta^{-1})^{-1} \Omega) \cdot \xi_{\eta^{-1} \omega_\pi, m} \otimes e_1^{k - 1} e_2^0. $$

\subsubsection{Vecteurs localement alg�briques}

La repr�sentation $\Pi(\Delta)$ ne poss�de pas de vecteurs localement alg�briques et on va tordre l'action de $G$ de sorte que l'on fasse en appara�tre, ce qui nous permettra de regarder les fonctions $f^i_{\eta, k, m}$ et $g^i_{\eta, m}$ comme des �l�ments du mod�le de Kirillov d'une certaine repr�sentation localement alg�brique.

Reprenons les notations de la section \ref{Changement} et notons $\pi = \mathrm{LL}_p(\Delta)$ dans la suite. Rappelons qu'on a la relation $\omega_\pi = x \omega_\Delta$ entre les caract�res centraux de $\Pi(\Delta)$ et $\pi$. Soit $k \geq 1$ et soit $i \in \{1, 2\}$. On peut regarder les fonctions $f^i_{\eta, k, m}$ et $g^i_{\eta, m}$ comme des �l�ments de $\mathrm{LA}_{\rm c}(\qpe, L_\infty^{-k} \otimes M_{\rm dR})^{\Gamma}$ qui, d'apr�s le diagramme (\ref{Kirillovdiag}), s'identifie aux vecteurs localement alg�briques $\Pi(\Delta, k)^{\rm alg}$ de la repr�sentation $\Pi(\Delta, k)$.  Rappelons que l'on dispose des isomorphisme de $G$-modules (cf. remarque \ref{kiralg}) \[ \iota_i \colon \mathrm{LC}_{\rm c}(\qpe, L_\infty)^\Gamma \otimes \mathrm{Sym}^{k - 1} \otimes \det^{-k} \xrightarrow{\sim} \mathrm{LA}_{\rm c}(\qpe, L^{-k}_\infty \otimes M_{\rm dR})^\Gamma  , \] \[ \phi \otimes e_1^j e_2^{k - 1 - j} \mapsto [x \mapsto (k - 1 - j)! \phi(x) (xt)^{j-k} \otimes f_i], \;\;\; 0 \leq j \leq k - 1. \] Alors
\begin{itemize}
\item On a \footnote{Observons que $\eta$ est vu comme un caract�re sur $\qpe$ en posant $\eta(p) = 1$.} $f^i_{\eta, k, m}(p^n a) = 0$ si $n \neq m$ et \begin{eqnarray*} (-1)^{i + 1} \, f^i_{\eta, k, m}(p^m a) &=& (k-1)! G(\eta)^{-1} \eta(a) (a t)^{-k} \otimes f_i \\
&=& (k-1)! p^{mk} G(\eta)^{-1} \eta(p^m a) (p^mat)^{-k} \otimes f_i \end{eqnarray*} et donc $$ \iota_i^{-1}(f^i_{\eta, k, m}) = (-1)^{i + 1} p^{mk} G(\eta)^{-1} \xi_{\eta, m} \otimes e_1^0 e_2^{k - 1}, $$ o� $\xi_{\eta, m}$ est la fonction d�finie dans \S \ref{Kirillovaa}. 
\item On a $g^i_{\eta^{-1}, m}(p^n a) = 0$ si $n \neq m$ et
\begin{eqnarray*}
(-1)^{i + 1} \, g^i_{\eta^{-1}, m}(p^m a) &=& (G(\eta^{-1})^{-1} \Omega) \cdot \eta^{-1}(a) \mathrm{det}_\Delta(a) \cdot (a t)^{-1} \otimes f_i \\
&=& (\mathrm{det}_\Delta(p) p^{-1})^{-m} \cdot (G(\eta^{-1})^{-1} \Omega) \cdot \eta^{-1}(p^m a) \mathrm{det}_\Delta(p^m a) \cdot (p^m a t)^{- 1} \otimes f_i \\
&=& \omega_\Delta(p)^{-m} \cdot (G(\eta^{-1})^{-1} \Omega) \cdot \eta^{-1}(p^m a) \omega_\pi(p^m a) \cdot (p^m a t)^{- 1} \otimes f_i,
\end{eqnarray*}
o� pour la derni�re �galit� on a utilis� $\det_\Delta(a) = \omega_\pi(a)$. D'o� $$ \iota_i^{-1}(g^i_{\eta^{-1}, m}) = (-1)^{i + 1} \omega_\Delta(p)^{-m} \cdot (G(\eta^{-1})^{-1} \Omega) \cdot \xi_{\eta^{-1} \omega_\pi, m} \otimes e_1^{k - 1} e_2^0. $$
\end{itemize}

\begin{lemme} \label{formkir}
Soient $k \geq 1$ et $i \in \{ 1, 2 \}$. On a $$ w \ast_k f^i_{\eta, k, m} = (-1)^k p^{mk} \eta(-1) \omega_\Delta(p)^{-c(\pi \otimes \eta^{-1}) - m} \Omega^{-1} \frac{G(\eta^{-1})}{G(\eta)} \epsilon(\pi \otimes \eta^{-1}) g^i_{\eta^{-1}, -c(\pi \otimes \eta^{-1}) - m} $$
\end{lemme}

\begin{proof}
Par la discussion pr�c�dente et la proposition \ref{BHeqfonct}, on a \footnote{Le facteur $(-1)^k$ vient de l'action de $w$ sur le facteur $\det^{-k}$ du terme de gauche de l'isomorphisme $\iota_i$.}
\begin{eqnarray*}
w \ast_k f^i_{\eta, k, m} &=& \iota \left( {\matrice 0 1 1 0} \cdot \big( (-1)^{i + 1} p^{mk} G(\eta)^{-1} \, (\xi_{\eta, m} \otimes e_1^0 e_2^{k - 1}) \big) \right) \\
&=& (-1)^k (-1)^{i + 1} p^{mk} \eta(-1) G(\eta)^{-1} \epsilon(\pi \otimes \eta^{-1}) \iota \big( \xi_{\eta^{-1}\omega_\pi, -c(\pi \otimes \eta^{-1}) - m} \otimes e_1^{k - 1} e_2^0 \big) \\
&=& (-1)^k p^{mk} \eta(-1) \omega_\Delta(p)^{-c(\pi \otimes \eta^{-1}) - m} \Omega^{-1} \frac{G(\eta^{-1})}{G(\eta)} \epsilon(\pi \otimes \eta^{-1}) g^i_{\eta^{-1}, -c(\pi \otimes \eta^{-1}) - m},
\end{eqnarray*}
o�, dans la deuxi�me �galit� on a utilis� le fait que $\det {\matrice 0  1 1 0} = -1.$ Ceci permet de conclure.
\end{proof}

\subsection{L'�quation fonctionnelle: le cas de poids de Hodge-Tate nuls}

\subsubsection{C�t� Iwasawa}

Si $\alpha \in L^\times$ et $z \in \Delta^{\psi = \alpha}$, on note $w_\Delta(z) = \mathrm{Res}_\zp(w \cdot \tilde{z}) \in \Delta^{\psi = \alpha \omega_\Delta^{-1}(p)}$. L'�l�ment $w_\Delta(z)$ est aussi l'unique �l�ment $x \in \Delta^{\psi = \alpha \omega_\Delta^{-1}(p)}$ tel que $(1 - \alpha \omega_\Delta^{-1}(p) \varphi) x = w_\Delta^*((1 - \alpha \varphi) z)$, o� $w_\Delta^* \colon \Delta^{\psi = 0} \to \Delta^{\psi = 0}$ est l'involution d�finie dans \cite{ColmezPhiGamma}, \S V.2.2 (pour le cas �tale, et tordant convenablement en g�n�rale). On est maintenant en condition de montrer le r�sultat principal de cette section

% Vieille version
%\begin{theorem} \label{eqfonct1}
%Soient $\alpha \in L^\times$ tel que $v_p(\alpha) \in \Z$, $z \in \Delta^{\psi = \alpha}$ et notons $\check{z} = w_\Delta(z) \otimes e_{\omega_\Delta}^\vee \in \check{\Delta}^{\psi = \alpha}$. Soient $\eta \colon \zpe \to L^\times$ un caract�re d'ordre fini, $i \in \{ 1, 2 \}$ et $m \in \Z$. Alors \[ \exp^*(\int_\Gamma \eta \chi^{-j} \cdot \mu_{\check{z}}) \otimes \mathbf{e}^{\rm dR, \vee}_{\eta, -j, \omega_\Delta^\vee} = C(\Delta, \eta, j) \cdot \exp^{-1}(\int_\Gamma \eta^{-1} \chi^{j} \cdot \mu_z) \otimes \mathbf{e}^{\rm dR, \vee}_{\eta^{-1}, j}, \] o� \[ C(\Delta, \eta, j) = \eta(-1) \frac{(-1)^{j}}{(j - 1)!^2} \Omega^{-1} \alpha^{c(\pi \otimes \eta^{-1})} \frac{G(\eta^{-1})}{G(\eta)} \epsilon(\pi \otimes \eta^{-1} \otimes | \cdot |^j) , \] pour tout $j \geq 1$.
%\end{theorem}

\begin{theorem} \label{eqfonct1}
Soient $\alpha \in L^\times$ tel que $v_p(\alpha) \in \Z$, $z \in \Delta^{\psi = \alpha}$ et notons $\check{z} = w_\Delta(z) \otimes e_{\omega_\Delta}^\vee \in \check{\Delta}^{\psi = \alpha}$. Soient $\eta \colon \zpe \to L^\times$ un caract�re d'ordre fini, $i \in \{ 1, 2 \}$ et $m \in \Z$. Alors \[ \exp^*(\int_\Gamma \eta \chi^{-j} \cdot \mu_{\check{z}}) \otimes \mathbf{e}^{\rm dR, \vee}_{\eta, -j, \omega_\Delta^\vee} = C(\Delta, \eta, j) \cdot \exp^{-1}(\int_\Gamma \eta^{-1} \chi^{j} \cdot \mu_z) \otimes \mathbf{e}^{\rm dR, \vee}_{\eta^{-1}, j}, \] o� \[ C(\Delta, \eta, j) = \Omega^{-1} \alpha^{c(\pi \otimes \eta^{-1})} \frac{(-1)^{j}}{(j - 1)!^2} \, \epsilon(\eta^{-1})^{-2} \epsilon(\pi \otimes \eta^{-1} \otimes | \cdot |^j) \] pour tout $j \geq 1$.
\end{theorem}

\begin{proof}
Il suffit de montrer le r�sultat en projetant sur $f_i$, pour $i \in \{ 1, 2 \}$. Soient $j \geq 0$ et $k \geq 1$ et notons \[ A_i = \langle \exp^*(\int_\Gamma \eta \chi^{-j-k} \cdot \mu_{\check{z}}) \otimes \mathbf{e}^{\rm dR, \vee}_{\eta, -j-k, \omega_\Delta^\vee}, f_i \rangle_{\rm dR}, \] \[ B_i = \langle \exp^{-1}(\int_\Gamma \eta^{-1} \chi^{j + k} \cdot \mu_z) \otimes \mathbf{e}^{\rm dR, \vee}_{\eta^{-1}, j+k} , f_i \rangle_{\rm dR}. \]

En posant $m = 0$ dans la formule de la proposition \ref{formexpd} on obtient
\[  A_i = \frac{p-1}{p} \eta(-1) \frac{\omega_\Delta(-1) (-1)^k}{(j+k-1)!} [ \partial^{\j} w \cdot \tilde{z}, f^{3-i}_{\eta, k, 0}]_{\PP^1}. \]
Or, on a
\[ \partial^j w \cdot \tilde{z} = w \cdot \partial^{-j} \tilde{z} = w \cdot \partial^k \partial^{-j-k} \tilde{z} = w \ast_{-k} \partial^{-j-k} \tilde{z} \]
et, en utilisant la formule $[g \ast_{-k} x, y]_{\PP^1} = \omega_\Delta(\det \; g)[x, g^{-1} \ast_k y]_{\PP^1}$ du lemme \ref{propinv}, on en d�duit
\[ [ \partial^{\j} w \cdot \tilde{z}, f^{3-i}_{\eta, k, 0}]_{\PP^1} = \omega_\Delta(-1) [ \partial^{-j-k} \tilde{z}, w \ast_k f^{3-i}_{\eta, k, 0}]_{\PP^1}. \]
Gr�ce au lemme \ref{formkir}, on sait que
\[ [ \partial^{-j-k} \tilde{z}, w \ast_k f^{3-i}_{\eta, k, 0}]_{\PP^1} = (-1)^k \eta(-1) \omega_\Delta(p)^{-c(\pi \otimes \eta^{-1})} \Omega^{-1} \frac{G(\eta^{-1})}{G(\eta)} \epsilon(\pi \otimes \eta^{-1}) [ \partial^{-j-k} \tilde{z}, g^{3 - i}_{\eta^{-1}, -c(\pi \otimes \eta^{-1})}]_{\PP^1}. \]
Enfin, en appliquant le lemme \ref{formexp} avec $j = j + k$, on a
\[ [ \partial^{-j-k} \tilde{z}, g^{3 - i}_{\eta^{-1}, -c(\pi \otimes \eta^{-1})}]_{\PP^1} = \frac{p}{p-1} \frac{(-1)^{j + k}}{(j + k - 1)!} \eta(-1) (\omega_\Delta(p) \alpha p^{- j- k})^{c(\pi \otimes \eta^{-1})} B_i . \] Observons que $\epsilon(\pi \otimes \eta^{-1}) p^{-c(\pi \otimes \eta^{-1})(j + k)} = \epsilon(\pi \otimes \eta^{-1} \otimes | \cdot |^{j + k})$. En simplifiant toutes ces jolies formules, et en utilisant la formule $\eta(-1) \frac{G(\eta^{-1})}{G(\eta)} = p^n G(\eta)^{-2} = \epsilon(\eta^{-1})^{-2}$, on obtient \[ A_i = \Omega^{-1} \alpha^{c(\pi \otimes \eta^{-1})} \frac{(-1)^{j+k}}{(j + k - 1)!^2} \, \epsilon(\eta^{-1})^{-2} \epsilon(\pi \otimes \eta^{-1} \otimes | \cdot |^{j + k}) \cdot B_i. \] Comme $j \geq 0$ et $k \geq q$ on �t� choisis arbitrairement, ceci ach�ve la d�monstration.


%En posant $m = 0$ dans la premi�re formule ci-dessus et en appliquant le troisi�me point du lemme \ref{propinv}, on obtient \footnote{Notons que, si bien l'on note $g \ast_{k}$ l'action de $G$ sur une fonction dans le mod�le de Kirillov dans la formule ci-dessous, cette action a �t� not�e juste $g \cdot $, vu que le $k$ est implicite dans l'espace et on n'a pas de risque de se tromper...}
%\[ \langle \exp^*(\int_\Gamma \eta \chi^{-{\j}} \cdot \mu_{\check{z}}) \otimes \mathbf{e}^{\rm dR, \vee}_{\eta, -j, \omega_D^\vee}, f_i \rangle_{\rm dR} = (p-1) \frac{(k - 1)!}{({\j} + k -1)!} \eta(-1) \omega_\Delta(-1) [\partial^{-{\j}} \tilde{z}, w \ast_{k} f^{3 - i}_{\eta, 0} ]_{\PP^1}. \]
%Par le lemme \ref{formkir}, cette expression co�ncide avec
%\[ = \frac{ \eta(-1) \omega_\Delta \omega_\pi(-1)}{(k - 1)!} \omega_D(p)^{-c(\pi \otimes \eta^{-1})} \Omega^{-1} G(\eta^{-1}) G(\eta)^{-1} \epsilon(\pi \otimes \eta^{-1}) [\partial^{-j} \tilde{z}, g^{3 - i}_{\eta^{-1}, - c(\pi \otimes \eta^{-1})} ]_{\PP^1} \]
%Or 
%\small{\[ [\partial^{-{\j}} \tilde{z}, g^{3 - i}_{\eta^{-1}, - c(\pi \otimes \eta^{-1})} ]_{\PP^1} = \frac{1}{p-1} \frac{(-1)^{\j}}{({\j} - 1)!} p^{-c(\pi \otimes \eta^{-1}) {\j}} \omega_D(-1) \omega_D(p)^{n(\eta^{-1}{\j})} \eta(-1) \langle \exp^{-1}(\int_\Gamma \eta^{-1} \chi^{\j} \cdot \mu_z) \otimes \mathbf{e}^{\rm dR, \vee}_{\eta^{-1}, j}, f_i \rangle_{\rm dR}. \]} En simplifiant toutes ces jolies formules on obtient
%\[ \langle \exp^*(\int_\Gamma \eta \chi^{-{\j}} \cdot \mu_{\check{z}}) \otimes \mathbf{e}^{\rm dR, \vee}_{\eta, -j, \omega_D^\vee}, f_i \rangle_{\rm dR} \] \[ = \frac{(-1)^{\j} \eta(-1)}{({\j} + k - 1)! ({\j} - 1)!} \cdot (\omega_D \omega_\Delta \omega_\pi (-1)) \cdot \Omega^{-1} \frac{G(\eta^{-1})}{G(\eta)} \cdot p^{- c(\pi \otimes \eta^{-1}) {\j}} \epsilon(\pi \otimes \eta^{-1}) \cdot \langle \exp^{-1}(\int_\Gamma \eta^{-1} \chi^{\j} \cdot \mu_z) \otimes \mathbf{e}^{\rm dR, \vee}_{\eta^{-1}, j}, f_i \rangle_{\rm dR} \]
%Enfin, on sait que $\omega_D \omega_\Delta \omega_\pi (-1) = (-1)^k \omega_\pi(-1) $ et que $$ p^{- c(\pi \otimes \eta^{-1}) {\j}} \epsilon(\pi \otimes \eta^{-1})  = \epsilon(\pi \otimes \eta^{-1}, {\j} + 1/2). $$ De plus, comme l'�galit� ci-dessus est vraie pour $i \in \{1, 2\}$, on peut omettre le produit scalaire et on en d�duit
%\[ \exp^*(\int_\Gamma \eta \chi^{-{\j}} \cdot \mu_{\check{z}}) \otimes \mathbf{e}^{\rm dR, \vee}_{\eta, -j, \omega_D^\vee} \] \[ = \frac{(-1)^{\j + k} \omega_\pi(-1) \eta(-1)}{({\j} + k - 1)! ({\j} - 1)!} \cdot \Omega^{-1} \frac{G(\eta^{-1})}{G(\eta)} \epsilon(\pi \otimes \eta^{-1}, {\j} + 1/2) \cdot \exp^{-1}(\int_\Gamma \eta^{-1} \chi^{\j} \cdot \mu_z) \otimes \mathbf{e}^{\rm dR, \vee}_{\eta^{-1}, j}, \]
%ce qui finit la d�monstration.
%%permet de conclure en remarquant que $\int_\Gamma \eta^{-1} \chi^{-j} \mu_{\sigma_{-1}(z)} = (-1)^j \eta(-1) \int_\Gamma \eta^{-1} \chi^{-j} \mu_z. $
\end{proof}

\begin{remarque} \leavevmode
\begin{itemize}
\item Le m�me genre de calculs ont �t� faits par Nakamura (cf. \cite{Nakamura2}, proposition $3.15$) dans la bande critique, ce qui lui permet de d�montrer la conjecture $\epsilon$ locale de Kato (cf. \cite{Nakamura2} thm. 1.1) pour les repr�sentations de de Rham de dimension $2$ � poids de Hodge-Tate $k_1 \leq 0$ et $k_2 \geq 1$. Les calculs ci-dessus permettent, de la m�me mani�re, prouver cette conjecture pour toute repr�sentation de de Rham de dimension $2$, cf. \cite{epsilonKato}.
\item Si $\eta \colon \zpe \to L^\times$ est le caract�re trivial, la constante $C(\Delta, \eta, j)$ d�vient \[ C(\Delta, \eta, j) = \frac{(-1)^{j}}{(j - 1)!^2} \Omega^{-1} \alpha^{c(\pi)} \epsilon(\pi \otimes | \cdot |^j). \]
\item La valeur $\Omega^{-1}$ n'est que superflue car elle appara�t aussi dans le terme de gauche comme facteur dans $\mathbf{e}^{\rm dR, \vee}_{\eta, -j, \omega_\Delta^\vee}$. L'�quation fonctionnelle du th�or�me ne d�pend donc pas du choix de la base $f_1$ et $f_2$ de $\DdR(\Delta)$.
\end{itemize}
\end{remarque}

\subsubsection{C�t� analytique}

Le th�or�me \ref{eqfonct1} nous permet de montrer une �quation fonctionnelle pour la fonction $\Lambda_{D, z}$.

% Vieille preuve avec le r�sultat de BH

%\begin{theorem} \label{eqfonct2} Soient $z \in \Delta^{\psi = 1}$, $\check{z} = w_\Delta(z) \otimes e_{\omega_\Delta^\vee} \in \check{\Delta}^{\psi = 1}$ et notons $\check{z}(-1) = \check{z} \otimes e_{-1}$. Soit $\eta \colon \zpe \to L^\times$ un caract�re de conducteur $p^n$, $n > m(\Delta)$, et soit $c_\eta \in \qpe$ tel que $\eta(1 + x) = \psi(c_\eta x)$ d�s que $v_p(x) > n/2$ (cf. prop. \ref{BHepsilon}). Soient $\mathfrak{U}_\Delta$ l'ouvert fourni par le th�or�me \ref{theo1} et $\kappa$ tel que $\eta \kappa \in \mathfrak{U}_\Delta$. Alors
%\[ \Lambda_{\check{\Delta}(-1), \check{z}(-1)}(\eta \kappa \chi^{- 1}) \otimes \mathbf{e}^{\rm dR, \vee}_{-1, \omega_\Delta^\vee} = - p^{-n} \Omega^{-1} \omega_\pi(c_\eta)^{-1}\Lambda_{\Delta, z}(\eta^{-1} \kappa^{-1}). \]
%\end{theorem}

%\begin{proof}
%Le r�sultat est une paraphrase du th�or�me \ref{eqfonct1} en termes de la fonction $\Lambda_{\Delta, z}$. Par densit� de Zariski des caract�res $\eta \chi^j$ dans $\mathfrak{B}(\eta, N(\Delta))$, il suffit de montrer le r�sultat pour les caract�res de la forme $\eta \chi^{j} \in \mathfrak{U}_\Delta$, $j \geq 1$.
%
%Sous l'hypoth�se sur le conducteur de $\eta$, on a $c(\pi \otimes \eta^{-1}) = 2n$ et, par la proposition \ref{BHepsilon}, \[ \epsilon(\pi \otimes \eta^{-1}) = \omega_\pi(c_\eta)^{-1} \epsilon(\eta^{-1})^2 = \omega_\pi(c_\eta)^{-1} p^{-n} G(\eta)^2. \] En utilisant la formule $\frac{G(\eta^{-1})}{G(\eta)} = \eta(-1) p^n G(\eta)^{-2}$ la constante $C(\Delta, \eta, j)$ du th�or�me \ref{eqfonct1} d�vient \[ C(\Delta, \eta, j) = \frac{(-1)^{j}}{(j - 1)!^2} \cdot \Omega^{-1} \omega_\pi(c_\eta)^{-1} p^{-2nj} . \]
%
%Par ailleurs, on a, par les formules du th�or�me \ref{propfin} (noter que $\Delta$ et $\check{\Delta}(-1)$ sont tous les deux � poids de Hodge Tate positifs), on a \small{\begin{eqnarray*}
%\exp^*(\int_\Gamma \eta \chi^{-j} \cdot \mu_{\check{z}}) \otimes \mathbf{e}^{\rm dR, \vee}_{\eta, -j} &=& \exp^*(\int_\Gamma \eta \chi^{-j+1} \cdot \mu_{\check{z}(-1)}) \otimes \mathbf{e}^{\rm dR, \vee}_{\eta, -j} \\
%&=& \frac{1}{(j - 1)!} p^{-nj} \Lambda_{\check{\Delta}(-1), \check{z}(-1)}(\eta \chi^{j-1}) \otimes \mathbf{e}^{\rm dR}_1 \in \DdR(\check{\Delta}) = M_{\rm dR} \otimes \mathbf{e}^{\rm dR}_{\omega_\Delta^\vee},
%\end{eqnarray*}}
%et
%\[ \exp^{-1}(\int_\Gamma \eta^{-1} \chi^{j} \cdot \mu_z) \otimes \mathbf{e}^{\rm dR, \vee}_{\eta^{-1}, j} = (j - 1)! (-1)^{j - 1} p^{n(j - 1)} \Lambda_{\Delta, z}(\eta \chi^{- j}) \in M_{\rm dR}. \] \normalsize On en d�duit \[ \Lambda_{\check{\Delta}(-1), \check{z}(-1)}(\eta \chi^{j - 1}) \otimes \mathbf{e}^{\rm dR, \vee}_{-1, \omega_\Delta^\vee} = C(\Delta, \eta, j) \cdot p^{n(2j- 1)} (-1)^{j - 1} (j - 1)!^2 \Lambda_{\Delta, z}(\eta^{-1} \chi^{-j}), \] et donc \[ \Lambda_{\check{\Delta}(-1), \check{z}(-1)}(\eta \chi^{j - 1}) \otimes \mathbf{e}^{\rm dR, \vee}_{-1, \omega_\Delta^\vee} = - p^{-n} \Omega^{-1} \omega_\pi(c_\eta)^{-1}\Lambda_{\Delta, z}(\eta^{-1} \chi^{-j}), \] et ceci conclut la preuve.
%
%%$c(\pi \otimes \eta) = 2n$, d'o� $p^{2n(j + \frac{k -1}{2})}  \epsilon(\pi \otimes \eta^{-1}, j + 1/2) = \epsilon(\pi \otimes \eta^{-1}, 1 - k/2)$ et . Comme le caract�re central $\omega_{\pi \otimes \eta^{-1}}$ de $\pi \otimes \eta^{-1}$ est $\omega_\pi \eta^{-2}$, on a $\omega_{\pi \otimes \eta^{-1}} (-1) = \omega_{\pi}(-1)$, et on en d�duit $\omega_\pi(-1) \epsilon(\pi \otimes \eta^{-1}, 1 - k/2) = \epsilon(\check{\pi} \otimes \eta, \frac{2 - k}{2})^{-1}$. L'�galit� ci-dessus d�vient donc \[ \Lambda_{D, z}(\eta^{-1} \chi^{-j}) = (-1)^{k+1} \eta(-1) \Omega \epsilon(\check{\pi} \otimes \eta, 1 - k/2)  \Lambda_{\check{D}(k-1), \check{z}(k-1)}(\eta \chi^{j+k-1}) \otimes \mathbf{e}^{\mathrm{dR}, \vee}_{k-1, \omega_D^\vee}.\]
%\end{proof}

\begin{theorem} \label{eqfonct2} Soient $z \in \Delta^{\psi = 1}$, $\check{z} = w_\Delta(z) \otimes e_{\omega_\Delta^\vee} \in \check{\Delta}^{\psi = 1}$ et notons $\check{z}(-1) = \check{z} \otimes e_{-1}$. Soit $\eta \colon \zpe \to L^\times$ un caract�re de conducteur $p^n$, $n > m(\Delta)$, et soit $c_\eta \in \qpe$ tel que $\eta(1 + x) = \psi(c_\eta x)$ d�s que $v_p(x) > n/2$ (cf. prop. \ref{BHepsilon}). Soient $\mathfrak{U}_\Delta$ l'ouvert fourni par le th�or�me \ref{theo1} et $\kappa$ tel que $\eta \kappa \in \mathfrak{U}_\Delta$. Alors
\[ \Lambda_{\check{\Delta}(-1), \check{z}(-1)}(\eta \chi^{j - 1}) \otimes \mathbf{e}^{\rm dR, \vee}_{-1, \omega_\Delta^\vee} = - p^{-n} \Omega^{-1} \epsilon(\eta^{-1} \otimes | \cdot |^{j})^{-2} \epsilon(\pi \otimes \eta^{-1} \otimes | \cdot |^{j}) \cdot \Lambda_{\Delta, z}(\eta^{-1} \chi^{-j}), \]
\end{theorem}

\begin{proof}
Le r�sultat est une paraphrase du th�or�me \ref{eqfonct1} en termes de la fonction $\Lambda_{\Delta, z}$. Par densit� de Zariski des caract�res $\eta \chi^j$ dans $\mathfrak{B}(\eta, N(\Delta))$, il suffit de montrer le r�sultat pour les caract�res de la forme $\eta \chi^{j} \in \mathfrak{U}_\Delta$, $j \geq 1$.

On a, par les formules du th�or�me \ref{propfin} (noter que $\Delta$ et $\check{\Delta}(-1)$ sont tous les deux � poids de Hodge Tate positifs), \small{\begin{eqnarray*}
\exp^*(\int_\Gamma \eta \chi^{-j} \cdot \mu_{\check{z}}) \otimes \mathbf{e}^{\rm dR, \vee}_{\eta, -j} &=& \exp^*(\int_\Gamma \eta \chi^{-j+1} \cdot \mu_{\check{z}(-1)}) \otimes \mathbf{e}^{\rm dR, \vee}_{\eta, -j} \\
&=& \frac{1}{(j - 1)!} p^{-nj} \Lambda_{\check{\Delta}(-1), \check{z}(-1)}(\eta \chi^{j-1}) \otimes \mathbf{e}^{\rm dR}_1 \in \DdR(\check{\Delta}) = M_{\rm dR} \otimes \mathbf{e}^{\rm dR}_{\omega_\Delta^\vee},
\end{eqnarray*}}
et
\[ \exp^{-1}(\int_\Gamma \eta^{-1} \chi^{j} \cdot \mu_z) \otimes \mathbf{e}^{\rm dR, \vee}_{\eta^{-1}, j} = (j - 1)! (-1)^{j - 1} p^{n(j - 1)} \Lambda_{\Delta, z}(\eta \chi^{- j}) \in M_{\rm dR}. \] \normalsize On en d�duit, en utilisant le th�or�me \ref{eqfonct1}, \[ \Lambda_{\check{\Delta}(-1), \check{z}(-1)}(\eta \chi^{j - 1}) \otimes \mathbf{e}^{\rm dR, \vee}_{-1, \omega_\Delta^\vee} = C(\Delta, \eta, j) \cdot p^{n(2j- 1)} (-1)^{j - 1} (j - 1)!^2 \Lambda_{\Delta, z}(\eta^{-1} \chi^{-j}), \] et donc, en utilisant la formule $\epsilon(\eta^{-1})^{-2} p^{2nj} = (\epsilon(\eta^{-1}) p^{-nj})^{-2} = \epsilon(\eta^{-1} \otimes | \cdot |^{j})^{-2}$, \[ \Lambda_{\check{\Delta}(-1), \check{z}(-1)}(\eta \chi^{j - 1}) \otimes \mathbf{e}^{\rm dR, \vee}_{-1, \omega_\Delta^\vee} = - p^{-n} \Omega^{-1} \epsilon(\eta^{-1} \otimes | \cdot |^{j})^{-2} \epsilon(\pi \otimes \eta^{-1} \otimes | \cdot |^{j}) \cdot \Lambda_{\Delta, z}(\eta^{-1} \chi^{-j}), \] et ceci conclut la preuve.

%$c(\pi \otimes \eta) = 2n$, d'o� $p^{2n(j + \frac{k -1}{2})}  \epsilon(\pi \otimes \eta^{-1}, j + 1/2) = \epsilon(\pi \otimes \eta^{-1}, 1 - k/2)$ et . Comme le caract�re central $\omega_{\pi \otimes \eta^{-1}}$ de $\pi \otimes \eta^{-1}$ est $\omega_\pi \eta^{-2}$, on a $\omega_{\pi \otimes \eta^{-1}} (-1) = \omega_{\pi}(-1)$, et on en d�duit $\omega_\pi(-1) \epsilon(\pi \otimes \eta^{-1}, 1 - k/2) = \epsilon(\check{\pi} \otimes \eta, \frac{2 - k}{2})^{-1}$. L'�galit� ci-dessus d�vient donc \[ \Lambda_{D, z}(\eta^{-1} \chi^{-j}) = (-1)^{k+1} \eta(-1) \Omega \epsilon(\check{\pi} \otimes \eta, 1 - k/2)  \Lambda_{\check{D}(k-1), \check{z}(k-1)}(\eta \chi^{j+k-1}) \otimes \mathbf{e}^{\mathrm{dR}, \vee}_{k-1, \omega_D^\vee}.\]
\end{proof}

\begin{remarque} Observons que, par la proposition \ref{BHepsilon}, on a, pour $n \gg 0$, $\epsilon(\pi \otimes \eta^{-1} \otimes | \cdot |^j) = \omega_\pi(c_{\eta^{-1}})^{-1} \epsilon(\eta^{-1} \otimes | \cdot |^j)^2$, d'o� l'�quation fonctionnelle du th�or�me s'�crit aussi sous la forme
\[ \Lambda_{\check{\Delta}(-1), \check{z}(-1)}(\eta \kappa \chi^{- 1}) \otimes \mathbf{e}^{\rm dR, \vee}_{-1, \omega_\Delta^\vee} = - p^{-n} \Omega^{-1} \omega_\pi(c_{\eta^{-1}})^{-1} \cdot \Lambda_{\Delta, z}(\eta^{-1} \kappa^{-1}). \]
\end{remarque}

\subsection{L'�quation fonctionnelle: cas de poids de Hodge-Tate $0$ et $k$} \label{eqeq}


Les �quations fonctionnelles des th�or�ms \ref{eqfonct1} et \ref{eqfonct2} peuvent �tre tordues pour obtenir des �quations fonctionnelles analogues quand le $(\varphi, \Gamma)$-module est de Rham � poids de Hodge-Tate $0, k \geq 1$.

\subsubsection{Notations} \label{eqfonctknot}

Soient $k \geq 1$, $\mathscr{L} \subseteq M_{\rm dR}$ une droite et notons $D = \Delta_{k, \mathscr{L}}$. On a alors $\omega_D = \omega_\Delta x^k$ et l'involution $w_D$ sur $D^{\psi = 0}$ est donn�e par (la restriction � $D^{\psi = 0}$ de) l'action $w_\Delta \ast_{-k} z =  \partial^{-k} w_\Delta \cdot z =  w_\Delta \partial^k \cdot z$, $z \in D^{\psi = 0}$. Notons \[ \check{\Delta}[k] = \Delta \otimes \omega_\Delta^{-1} x^{-k}. \] Ce module contient tous les duaux de Tate des $(\varphi, \Gamma)$-modules de la forme $\Delta_{k, \mathscr{L}}$. Le module $D$ est � poids de Hodge-Tate $0$ et $k$ et les poids de Hodge-Tate de $\check{D}$ sont dont $1 - k$ et $1$, d'o� $\check{D}(k-1)$ est � poids $0, k$.

Soit $z \in D^{\psi = 1} \subseteq \Delta^{\psi = 1}$ et soit $y = (1 - \varphi) z \in D^{\psi = 0}$. Posons
\[ \check{y} = w_\Delta(y) \otimes e_{\omega_\Delta}^\vee \in \check{\Delta}^{\psi = 0}; \;\;\; \check{z} = \mathrm{Res}_\zp (w_\Delta(\tilde{z})) \otimes e_{\omega_\Delta}^\vee \in \check{\Delta}^{\psi = 1}, \]
\[ \check{y}[k] = w_D(y) \otimes e_{\omega_D}^\vee \in \check{\Delta}[k]^{\psi = 0} ; \;\;\; \check{z}[k] = \mathrm{Res}_\zp (w_D(\tilde{z})) \otimes e_{\omega_D}^\vee \in \check{\Delta}[k]^{\psi = 1}, \] On a bien \footnote{$(1 - \varphi) \check{z} = (1 - \varphi) (\mathrm{Res}_\zp (w_\Delta(\tilde{z})) \otimes e_{\omega_\Delta}^\vee ) = (1 - \omega_\Delta(p)^{-1} \varphi) \mathrm{Res}_\zp (w_\Delta(\tilde{z})) \otimes e_{\omega_\Delta}^\vee  = \mathrm{Res}_\zpe \mathrm{Res}_\zp (w_\Delta(\tilde{z})) \otimes e_{\omega_\Delta}^\vee = w_\Delta(\mathrm{Res}_\zpe(z)) \otimes e_{\omega_\Delta}^\vee = \check{y}$.} \[ \check{y} = (1 - \varphi) \check{z}, \;\;\; \check{y}[k] = (1 - \varphi) \check{z}[k]. \]

\subsubsection{C�t� Iwasawa}

L'�quation fonctionnelle du th�or�me \ref{eqfonct1} en poids de Hodge-Tate positifs prend la forme suivante:

% Vieille version
%\begin{theorem} \label{eqfonct1b}
%Avec les notations de \S \ref{eqfonctknot}, on a \[ \exp^*(\int_\Gamma \eta \chi^{-j} \cdot \mu_{\check{z}[k]}) \otimes \mathbf{e}^{\rm dR, \vee}_{\eta, -j, \omega_D^\vee} = C(D, \eta,  j) \cdot \exp^{-1}(\int_\Gamma \eta^{-1} \chi^{j} \cdot \mu_z) \otimes \mathbf{e}^{\rm dR, \vee}_{\eta^{-1}, j} \] o� \[ C(D, \eta, j) = - \eta(-1)  \frac{\Gamma^*(-j + 1)}{\Gamma^*(j +k)}  \, \Omega^{-1} \frac{G(\eta^{-1})}{G(\eta)} \epsilon(\pi \otimes \eta^{-1} \otimes | \cdot |^j) \] pour tout $j \geq 1$.
%\end{theorem}
%
%\begin{proof}
%Rappelons que l'op�rateur $\partial$ commute � la restriction et l'on a donc $\check{z}[k] = \partial^{-k} \mathrm{Res}_\zp(w_\Delta(\tilde{z})) \otimes e_{\omega_\Delta}^\vee \otimes e_{x^{-k}} = \partial^{-k} \check{z} \otimes e_{x^{-k}}$. On a alors, pour $n \gg 0$,
%\begin{eqnarray*}
%\exp^*(\int_\Gamma \eta \chi^{-j} \cdot \mu_{\check{z}[k]}) &=&  p^{-n} \, \mathrm{Tr}_{L_n / L}([\varphi^{-n}(\partial^{-k} \check{z} \otimes e_\eta \otimes e_{-j} \otimes e_{x^{-k}})]_0) \\
%&=&  p^{-n} \, \mathrm{Tr}_{L_n / L}([ t^{-k} \partial^{-k} \varphi^{-n} (\check{z} \otimes e_\eta \otimes e_{-j}) ]_0) \otimes t^k e_{x^{-k}}.
%\end{eqnarray*}
%Observons que, comme dans les d�monstrations des propositions \ref{formexpd} et \ref{formexp}, le terme $[ t^{-k} \partial^{-k} \varphi^{-n} (\check{z} \otimes e_\eta \otimes e_{-j}) ]_0$ appartient � $\DdR(\Delta \otimes \omega_{\Delta}^\vee \otimes \eta \chi^{-j}) = \DdR(D) \otimes \mathbf{e}_{\eta, -j, \omega_\Delta^\vee}^{\rm dR}$. Si $\varphi^{-n} (\mathrm{Res}_\zp(w_\Delta(\tilde{z}))) = \sum_n a_l t^l$, en utilisant l'�galit� $t^{-k} \partial^{-k} (a_l t^l) = \frac{1}{(l+1) (l + 2) \hdots (l + k)} a_l t^l$ pour $l \geq 0$, on en d�duit
%%\begin{eqnarray*}
%\[
%[ t^{-k} \partial^{-k} \varphi^{-n} (\check{z} \otimes e_\eta \otimes e_{-j}) ]_0 = \frac{1}{j (j+1) \cdots (j +k -1)} [ \varphi^{-n} (\check{z} \otimes \eta \otimes e_{-j}) ]_0 \]
%%&=& \omega_\Delta(p)^n G(\eta)^{-1} \Omega [t^{-k} \partial^{-k} \sum_l a_l t^l ]_{j - 1} \otimes \mathbf{e}^{\rm dR}_{\eta, -j, \omega_\Delta^\vee} \\
%%&=& \omega_\Delta(p)^n G(\eta)^{-1} \Omega \frac{1}{j (j+1) \cdots (j +k -1)} a_{j - 1} \otimes \mathbf{e}^{\rm dR}_{\eta, -j, \omega_\Delta^\vee} \\
%%&=& \frac{1}{j (j+1) \cdots (j +k -1)} [ \varphi^{-n} (\check{z} \otimes \eta \otimes e_{-j}) ]_0.
%%\end{eqnarray*}
%Comme $\mathbf{e}^{\rm dR, \vee}_{\eta, -j, \omega_D^\vee} \otimes t^k e_{x^{-k}} = \mathbf{e}^{\rm dR, \vee}_{\eta, -j, \omega_\Delta^\vee}$, on en d�duit
%\[ \exp^*(\int_\Gamma \eta \chi^{-j} \cdot \mu_{\check{z}[k]}) \otimes \mathbf{e}^{\rm dR, \vee}_{\eta, -j, \omega_D^\vee} = \frac{1}{ j (j+1) \cdots (j + k - 1)} \exp^*(\int_\Gamma \eta \chi^{-j} \cdot \mu_{\check{z}}) \otimes \mathbf{e}^{\rm dR, \vee}_{\eta, -j, \omega_\Delta^\vee}, \]
%
%Par le th�or�me \ref{eqfonct1}, on a 
%\[ \exp^*(\int_\Gamma \eta \chi^{-j} \cdot \mu_{\check{z}}) \otimes \mathbf{e}^{\rm dR, \vee}_{\eta, -j, \omega_\Delta^\vee} = C(\Delta, \eta, j) \cdot \exp^{-1}(\int_\Gamma \eta^{-1} \chi^{j} \cdot \mu_z) \otimes \mathbf{e}^{\rm dR, \vee}_{\eta^{-1}, j}, \] o� \[ C(\Delta, \eta, j) = \eta(-1) \frac{(-1)^{j}}{(j - 1)!^2} \Omega^{-1} \frac{G(\eta^{-1})}{G(\eta)} \epsilon(\pi \otimes \eta^{-1} \otimes | \cdot |^j), \]
%d'o�
%\small{ \[ \exp^*(\int_\Gamma \eta \chi^{-j} \cdot \mu_{\check{z}[k]}) \otimes \mathbf{e}^{\rm dR, \vee}_{\eta, -j, \omega_D^\vee} = \eta(-1) \frac{(-1)^{j}}{(j + k - 1)! (j - 1)!} \Omega^{-1} \frac{G(\eta^{-1})}{G(\eta)} \epsilon(\pi \otimes \eta^{-1} \otimes | \cdot |^j) \cdot  \exp^{-1}(\int_\Gamma \eta^{-1} \chi^{j} \cdot \mu_z) \otimes \mathbf{e}^{\rm dR, \vee}_{\eta^{-1}, j}, \]} \normalsize ce qui montre le lemme.
%\end{proof}

\begin{theorem} \label{eqfonct1b}
Avec les notations de \S \ref{eqfonctknot}, on a \[ \exp^*(\int_\Gamma \eta \chi^{-j} \cdot \mu_{\check{z}[k]}) \otimes \mathbf{e}^{\rm dR, \vee}_{\eta, -j, \omega_D^\vee} = C(D, \eta,  j) \cdot \exp^{-1}(\int_\Gamma \eta^{-1} \chi^{j} \cdot \mu_z) \otimes \mathbf{e}^{\rm dR, \vee}_{\eta^{-1}, j}, \] o� \[ C(D, \eta, j) = - \Omega^{-1} \, \frac{\Gamma^*(-j + 1)}{\Gamma^*(j +k)}  \, \epsilon(\eta^{-1})^{-2} \epsilon(\pi \otimes \eta^{-1} \otimes | \cdot |^j) \] pour tout $j \geq 1$.
\end{theorem}

\begin{proof}
Rappelons que l'op�rateur $\partial$ commute � la restriction et l'on a donc $\check{z}[k] = \partial^{-k} \mathrm{Res}_\zp(w_\Delta(\tilde{z})) \otimes e_{\omega_\Delta}^\vee \otimes e_{x^{-k}} = \partial^{-k} \check{z} \otimes e_{x^{-k}}$. On a alors, pour $n \gg 0$,
\begin{eqnarray*}
\exp^*(\int_\Gamma \eta \chi^{-j} \cdot \mu_{\check{z}[k]}) &=&  p^{-n} \, \mathrm{Tr}_{L_n / L}([\varphi^{-n}(\partial^{-k} \check{z} \otimes e_\eta \otimes e_{-j} \otimes e_{x^{-k}})]_0) \\
&=&  p^{-n} \, \mathrm{Tr}_{L_n / L}([ t^{-k} \partial^{-k} \varphi^{-n} (\check{z} \otimes e_\eta \otimes e_{-j}) ]_0) \otimes t^k e_{x^{-k}}.
\end{eqnarray*}
Observons que, comme dans les d�monstrations des propositions \ref{formexpd} et \ref{formexp}, le terme $[ t^{-k} \partial^{-k} \varphi^{-n} (\check{z} \otimes e_\eta \otimes e_{-j}) ]_0$ appartient � $\DdR(\Delta \otimes \omega_{\Delta}^\vee \otimes \eta \chi^{-j}) = \DdR(D) \otimes \mathbf{e}_{\eta, -j, \omega_\Delta^\vee}^{\rm dR}$. Si $\varphi^{-n} (\mathrm{Res}_\zp(w_\Delta(\tilde{z}))) = \sum_n a_l t^l$, en utilisant l'�galit� $t^{-k} \partial^{-k} (a_l t^l) = \frac{1}{(l+1) (l + 2) \hdots (l + k)} a_l t^l$ pour $l \geq 0$, on en d�duit
%\begin{eqnarray*}
\[
[ t^{-k} \partial^{-k} \varphi^{-n} (\check{z} \otimes e_\eta \otimes e_{-j}) ]_0 = \frac{1}{j (j+1) \cdots (j +k -1)} [ \varphi^{-n} (\check{z} \otimes \eta \otimes e_{-j}) ]_0 \]
%&=& \omega_\Delta(p)^n G(\eta)^{-1} \Omega [t^{-k} \partial^{-k} \sum_l a_l t^l ]_{j - 1} \otimes \mathbf{e}^{\rm dR}_{\eta, -j, \omega_\Delta^\vee} \\
%&=& \omega_\Delta(p)^n G(\eta)^{-1} \Omega \frac{1}{j (j+1) \cdots (j +k -1)} a_{j - 1} \otimes \mathbf{e}^{\rm dR}_{\eta, -j, \omega_\Delta^\vee} \\
%&=& \frac{1}{j (j+1) \cdots (j +k -1)} [ \varphi^{-n} (\check{z} \otimes \eta \otimes e_{-j}) ]_0.
%\end{eqnarray*}
Comme $\mathbf{e}^{\rm dR, \vee}_{\eta, -j, \omega_D^\vee} \otimes t^k e_{x^{-k}} = \mathbf{e}^{\rm dR, \vee}_{\eta, -j, \omega_\Delta^\vee}$, on en d�duit
\[ \exp^*(\int_\Gamma \eta \chi^{-j} \cdot \mu_{\check{z}[k]}) \otimes \mathbf{e}^{\rm dR, \vee}_{\eta, -j, \omega_D^\vee} = \frac{1}{ j (j+1) \cdots (j + k - 1)} \exp^*(\int_\Gamma \eta \chi^{-j} \cdot \mu_{\check{z}}) \otimes \mathbf{e}^{\rm dR, \vee}_{\eta, -j, \omega_\Delta^\vee}, \]

Par le th�or�me \ref{eqfonct1}, on a 
\[ \exp^*(\int_\Gamma \eta \chi^{-j} \cdot \mu_{\check{z}}) \otimes \mathbf{e}^{\rm dR, \vee}_{\eta, -j, \omega_\Delta^\vee} = C(\Delta, \eta, j) \cdot \exp^{-1}(\int_\Gamma \eta^{-1} \chi^{j} \cdot \mu_z) \otimes \mathbf{e}^{\rm dR, \vee}_{\eta^{-1}, j}, \] o� \[ C(\Delta, \eta, j) = \Omega^{-1} \, \frac{(-1)^{j}}{(j - 1)!^2} \, \epsilon(\eta^{-1})^{-2} \epsilon(\pi \otimes \eta^{-1} \otimes | \cdot |^j), \]
d'o� le r�sultat.
%\small{ \[ \exp^*(\int_\Gamma \eta \chi^{-j} \cdot \mu_{\check{z}[k]}) \otimes \mathbf{e}^{\rm dR, \vee}_{\eta, -j, \omega_D^\vee} = \eta(-1) \frac{(-1)^{j}}{(j + k - 1)! (j - 1)!} \Omega^{-1} \frac{G(\eta^{-1})}{G(\eta)} \epsilon(\pi \otimes \eta^{-1} \otimes | \cdot |^j) \cdot  \exp^{-1}(\int_\Gamma \eta^{-1} \chi^{j} \cdot \mu_z) \otimes \mathbf{e}^{\rm dR, \vee}_{\eta^{-1}, j}, \]} \normalsize ce qui montre le lemme.
\end{proof}

\begin{remarque}
Si $\eta \colon \zpe \to L^\times$ est le caract�re trivial, la constante $C(D, \eta, j)$ du th�or�me \ref{eqfonct1b} d�vient \[ C(D, \eta, j) = - \Omega^{-1} \, \frac{\Gamma^*(-j + 1)}{\Gamma^*(j +k)} \, \epsilon(\pi \otimes | \cdot |^j). \]
\end{remarque}

\subsubsection{C�t� analytique}

\begin{lemme} \label{dicttorsion} Notons $\check{z}[k](k-1) = \check{z}[k] \otimes e_{k-1} \in \check{D}(k - 1)^{\psi = 1}$. Alors
\[ \Lambda_{\check{D}(k-1), \check{z}[k](k-1)}(\eta \chi^j) =  p^{nk} \Lambda_{\check{\Delta}(-1), \check{z}(-1)}(\eta \chi^{j - k}) \otimes \mathbf{e}^{\rm dR}_k \otimes t^k e_{x^{-k}}. \]
\end{lemme}

\begin{proof}
Ce r�sultat un peu tautologique suit directement de la d�finition de l'application $\Lambda$. On a
\begin{eqnarray*}
\Lambda_{\check{D}(k-1), \check{z}[k](k-1)}(\eta \chi^j) &=& \sum_{a \in (\Z / p^n \Z)^\times} \eta(a) \sigma_a[\varphi^{-n} \big( \partial^j (1 - \varphi)(\partial^{-k} \check{z} \otimes e_{x^{-k}} \otimes e_{k-1}) \big)]_0 \\
&=& \sum_{a \in (\Z / p^n \Z)^\times} \eta(a) \sigma_a[\varphi^{-n} \big( (\partial^j (1 - p^{-k} \varphi) \partial^{-k} \check{z}(-1)) \otimes t^{- k}e_{k} \otimes t^k e_{x^{-k}} \big)]_0 \\
&=& p^{nk} \sum \eta(a) \sigma_a[\varphi^{-n} \big( \partial^{j-k} (1 - \varphi) \check{z}(-1) \big)]_0 \otimes \mathbf{e}^{\rm dR}_k \otimes t^k e_{x^{-k}} \\
&=& p^{nk} \Lambda_{\check{\Delta}(-1), \check{z}(-1)}(\eta \chi^{j - k}) \otimes \mathbf{e}^{\rm dR}_k \otimes t^k e_{x^{-k}}.
\end{eqnarray*}
\end{proof}


\begin{theorem} \label{eqfonct3}
Soit $D \in \Phi\Gamma(\Robba)$ de Rham � poids de Hodge-Tate $0$ et $k \geq 0$. Soient $z \in D^{\psi = 1}$ et $\check{z} = \mathrm{Res}_\zp(w_D(\tilde{z})) \otimes e_{\omega_D}^\vee \in \check{D}^{\psi = 1}$. Soit $\eta \colon \zpe \to L^\times$ un caract�re de conducteur $p^n$ avec $n \geq m(\Delta)$ et soit $c_\eta \in \qpe$ comme dans la proposition \ref{BHepsilon}. Soient $\mathfrak{U}_\Delta \subseteq \mathfrak{X}$ l'ouvert fourni par le th�or�me \ref{theo1} et $\kappa$ tel que $\eta \kappa \in \mathfrak{U}_\Delta$. Alors
\[ \Lambda_{\check{D}(k-1), \check{z}(k-1)}(\eta \chi^j) \otimes \mathbf{e}^{\rm dR, \vee}_{k-1, \omega_D^\vee} = -  \Omega^{-1} p^{n(k-1)} \epsilon(\eta^{-1} \otimes | \cdot |^{j - k + 1})^{-2} \epsilon(\pi \otimes \eta^{-1} \otimes | \cdot |^{j - k + 1}) \cdot \Lambda_{D, z}(\eta^{-1} \chi^{-j + k-1}). \]
\end{theorem}

\begin{proof}
C'est une simple traduction du th�or�me \ref{eqfonct2} � l'aide du lemme \ref{dicttorsion} ci-dessus.
\end{proof}

\begin{remarque}
En utilisant la proposition \ref{BHepsilon}, l'�quation fonctionnelle prend la forme suivante:
\[ \Lambda_{\check{D}(k-1), \check{z}(k-1)}(\eta \chi^j) \otimes \mathbf{e}^{\rm dR, \vee}_{k-1, \omega_D^\vee} = - \Omega^{-1} p^{n(k - 1)} \omega_\pi(c_{\eta^{-1}})^{-1} \cdot \Lambda_{D, z}(\eta^{-1} \chi^{-j + k-1}). \]
\end{remarque}

%\begin{remarque}
%Soit $z \in D^{\psi = 1}$ et notons $\check{z} = \mathrm{Res}_\zp(w_D(\tilde{z})) \otimes e_{\omega_D}^\vee \in \check{D}^{\psi = 1}$ et $y = (1 - \varphi) z$, $\check{y} = w_D(y) \otimes e_{\omega_D}^\vee$. Rappelons que $w_D = m_{\omega_D^{-1}} \circ w_*$. La formule (cf. \cite{ColmezMirabolique}, cor. V.5.2) \[ w_*(\check{y} \otimes e_\delta) = (\delta(-1) m_{\delta^2} \circ w_*(\check{y})) \otimes e_\delta \] appliqu�e � $\delta = \chi^{k-1}$ et la relation $\omega_{\check{D}(k-1)} = \chi^{2 (k-1)} \omega_{\check{D}}$ donnent
%\begin{eqnarray*}
%w_{\check{D}(k - 1)}(\check{y} \otimes e_{k-1}) &=& m_{\omega_{\check{D}(k-1)}^{-1}} \circ w_*(\check{y} \otimes e_{k-1}) \\
%&=& m_{\chi^{-2(k-1)} \omega_{\check{D}}^{-1}} \circ w_*(\check{y} \otimes e_{k-1}) \\
%&=& ((-1)^{k-1} \cdot m_{\chi^{-2(k-1)} \omega_{\check{D}}^{-1}} \circ m_{\chi^{2(k-1)}} \circ w_*(\check{y}) ) \otimes e_{k-1} \\
%&=& (-1)^{k-1} w_{\check{D}}(\check{y}) \otimes e_{k-1},
%\end{eqnarray*}
%d'o� $$ \check{\check{y}} = w_{\check{D}(k-1)}(\check{y} \otimes e_{k-1}) \otimes e_{\omega_{\check{D}(k-1)}}^\vee = (-1)^{k-1} w_{\check{D}}(\check{y}) \otimes e_{\omega_{\check{D}}}^\vee, $$ et comme  $\omega_{\check{D}} \cdot \omega_D = 1$ et $e_{\omega_D}^\vee \otimes e_{\omega_{\check{D}}}^\vee = 1$, on a
%\begin{eqnarray*}
%w_{\check{D}}(\check{y}) \otimes e_{\omega_{\check{D}}}^\vee &=& m_{\omega_{\check{D}}^{-1}} \circ w_*(w_D(y) \otimes e_{\omega_D}^\vee) \otimes e_{\omega_{\check{D}}}^\vee \\
%&=& \omega_D(-1) m_{\omega_D^{-1}} \circ w_*(w_D(y)) \otimes e_{\omega_D}^\vee \otimes e_{\omega_{\check{D}}}^\vee \\
%&=& \omega_D(-1) w_D(w_D(y)) \otimes e_{\omega_D}^\vee \otimes e_{\omega_{\check{D}}}^\vee \\
%&=& \omega_D(-1) y,
%\end{eqnarray*} et on en d�duit la formule \footnote{Voir les remarques faites juste avant le lemme \ref{dicttorsion} pour la premi�re �galit�.} \[ \check{\check{z}} = (1 - \varphi)^{-1}(\check{\check{y}}) = \omega_D(-1) (-1)^{k-1} z = \omega_\pi(-1) z. \]
%
%En appliquant deux fois le th�or�me \ref{eqfonct3}, on obtient donc
%\begin{eqnarray*}
%\Lambda_{D, z}(\eta^{-1} \chi^j) &=& C(D, \eta)^{-1} \cdot \Lambda_{\check{D}(k-1), \check{z}(k-1)}(\eta \chi^{-j+k-1}) \otimes \mathbf{e}^{\rm dR, \vee}_{k-1, \omega_D^\vee} \\
%&=& \omega_\pi(-1) C(D, \eta)^{-1} \cdot C(\check{D}(k-1), \eta^{-1})^{-1} \cdot \Lambda_{D, z}(\eta^{-1} \chi^j) \otimes \mathbf{e}^{\rm dR, \vee}_{k-1, \omega_{\check{D}(k-1)}^\vee} \otimes \mathbf{e}^{\rm dR, \vee}_{k-1, \omega_D^\vee},
%\end{eqnarray*} o� on a not� \footnote{Dans les formules ci-dessous, $\pi$ est la repr�sentation lisse associ�e � $D$ et $\pi(\check{D}(k-1))$ celle associ�e � $\check{D}(k-1)$. } \[ C(D, \eta) = - p^{n(k - 1)} \cdot \Omega_D^{-1} \omega_\pi(c_\eta)^{-1} \] \[ C(\check{D}(k-1), \eta^{-1}) = - p^{n(k - 1)} \cdot \Omega_{\check{D}(k-1)}^{-1} \omega_{\pi(\check{D}(k-1))}(c_{\eta^{-1}})^{-1}. \] Observons que, comme $|c_\eta| = p^n$ (comme on le voit sur la formule $\eta(1 + x) = \psi(c_\eta x)$), $\omega_\pi(c_\eta) = c_\eta^{1-k} \omega_D(c_\eta)$, et $\omega_D(c_\eta) \in \mathscr{O}_L^\times$, alors $p^{n(k-1)} \omega_\pi(c_\eta)^{-1} = p^{n(k-1)} c_\eta^{k-1} \omega_D(c_\eta)^{-1} \in \mathscr{O}_L^\times$ et donc $C(D, \eta) \in \mathscr{O}_L^\times$, et de m�me $C(\check{D}(k-1), \eta^{-1}) \in \mathscr{O}_L^\times$. Or, \[ \mathbf{e}^{\rm dR, \vee}_{k-1, \omega_{\check{D}(k-1)}^\vee} \otimes \mathbf{e}^{\rm dR, \vee}_{k-1, \omega_D^\vee} = t^{k-1} e_{1 - k} \otimes (\Omega_{\check{D}(k-1)} t^{k-1})^{-1} e_{\omega_{\check{D}(k-1)}} \otimes t^{k-1} e_{1 - k} \otimes (\Omega_{D} t^{k-1})^{-1} e_{\omega_D} \] et, comme $\omega_{\check{D}(k-1)} = \omega_D^{-1} \chi^{2(k-1)}$ et donc $e_{\omega_{\check{D}(k-1)}} = e_{\omega_D}^\vee \otimes e_{k-1}^{\otimes 2}$, on peut identifier \[ \mathbf{e}^{\rm dR, \vee}_{k-1, \omega_{\check{D}(k-1)}^\vee} \otimes \mathbf{e}^{\rm dR, \vee}_{k-1, \omega_D^\vee} = \Omega_{\check{D}(k-1)} \cdot \Omega_{D}. \] En simplifiant l'�quation fonctionnelle ci-dessus on obtient
%\[ 1 = \omega_\pi(-1) p^{-2n(k - 1)} \cdot \omega_\pi(c_\eta) \omega_{\pi(\check{D}(k-1))}(c_{\eta^{-1}}). \] Enfin, on sait que $\pi(\check{D}(k-1)) = \check{\pi} \otimes | \det |^{k-1}$ et $\omega_{\pi(\check{D}(k-1))} = \omega_{\check{\pi}} \cdot |x|^{2(k-1)}$ et $\omega_{\check{\pi}} = \omega_\pi^{-1}$. De plus, $c_{\eta^{-1}} = - c_\eta$ (car $\eta^{-1}(1 + x) = \eta(1 - x) = \psi(-c_{\eta} x)$ pour tout $x$ tel que $v_p(x) \geq \lfloor n/2 \rfloor + 1$, $1-x$ �tant l'inverse de $1+x$ modulo $p^n$), et comme $|c_\eta| = p^n$, on a alors \[ 1 = \omega_\pi(-1) \omega_\pi(c_\eta) \omega_{\check{\pi}}(c_{\eta^{-1}}) = \omega_\pi(-c_\eta) \omega_{\check{\pi}}(-c_{\eta}) = 1. \;\;\; (!) \]
%\end{remarque}
\end{comment}



%\newpage
%\section{La conjecture $\epsilon$ locale de Kato en dimension $2$}
%
%La conjecture $\epsilon$ locale de Kato (cf. \cite{Kato2b}, \cite{FukayaKato} \cite{Nakamura2}) pr�dit l'existence d'une trivialisation canonique du d�terminant de la cohomologie des repr�sentations galoisiennes � coefficients dans un anneau $p$-adiquement complet $A$, interpolant des trivialisations standard (qui font intervenir les facteurs epsilon de la repr�sentaiton, d'o� le nom de la conjecture) quand $A$ est une extension finie de $\qp$. Elle peut donc �tre vue comme une interpolation $p$-adique des facteurs locaux des repr�sentations de de Rham. Ce court chapitre a pour objectif montrer comment les m�thodes d�velopp�es dans le chapitre pr�c�dent permettent de compl�ter les r�sultats de Nakamura pour d�montrer cette conjecture pour le cas de dimension $2$ pour une certaine classe d'anneaux $A$, en montrant que l'isomorphisme $\epsilon$ construit dans \cite{Nakamura2} interpole l'isomorphisme $\epsilon$ de de Rham pour tout $(\varphi, \Gamma)$-module de Rham.
%
%\subsection{Notations}
%
%Fixons les notations dont on aura besoin dans la suite, pour lesquelles on renvoie aux r�f�rences d�j� cit�es.
%\begin{itemize}
%\item Soit $A$ une $\zp$-alg�bre commutative satisfaisant l'une des deux conditions suivantes
%\begin{itemize}
%\item $A$ est un anneau semi-local noeth�rien complet pour la topologie d�finie pour son id�al de Jacobson.
%\item $A = L$ est une extension finie de $\qp$.
%\end{itemize}
%Si $A$ satisfait une des ces conditions, on dit que $A$ est une $\zp$-alg�bre de type (*). Pour un tel $A$, on note $\Robba_A$ l'anneau de Robba relatif sur $A$ (cf. \ref{phiGammarel}) et notons $\Phi\Gamma^{\text{�t}}(\Robba_A)$ la cat�gorie de $(\varphi, \Gamma)$-modules sur �tales sur $\Robba_A$.
%
%\item Soit $\D_{\rm perf}(A)$ la cat�gorie de complexes de $A$-modules parfaits (i.e quasi-isomorphes � un complexe born� de $A$-modules projectifs de type fini). On note \[ \mathrm{Det}_A: \D_{\rm perf}(A) \to \mathfrak{Inv}_A \] le foncteur d�terminant vers la cat�gorie de $A$-modules inversibles (i.e localement libres de rang $1$). si $P$ est un $A$-module projectif, on a $\mathrm{Det}_A(P) = \wedge_A^{r_P} P$, o� $r_P: \mathrm{Spec}\;A \to \Z$ d�note le rang de $P$. On note $\mathbf{1}_A = \mathrm{Det}_A(0) = A$ est l'objet unit� (pour le produit induit par le produit tensoriel).
%
%\item Soit $D \in \Phi\Gamma^{\text{�t}}(\Robba_A)$ de rang $2$ et de Rham. On pose \[ \Delta_{A, 1}(D) = \mathrm{Det}_A(\mathscr{C}^\bullet_{\varphi, \gamma}(D)) \] le d�terminant de la $\varphi, \gamma$-cohomologie de $D$, o� $\mathscr{C}^\bullet_{\varphi, \gamma}(D)$ d�note le complexe qui calcule la cohomologie de $D$. Soit $\E_A$ d�finit comme pr�c�demment si $A = L$ est une extension finie de $\qp$ et $\E_A = \varprojlim A / \mathrm{Jac}(A)^n [[T]][T^{-1}]$ autrement. Notons $D_0 \in \Phi\Gamma^{\text{�t}}(\E_A)$ le $(\varphi, \Gamma)$-module correspondant � $D$. On d�finit \[ \mathscr{L}_A(D) = \{ x \in \det_{\Robba_A} D_0 \mid \varphi(x) = \det_D(p), \; \sigma_a(x) = \det_D(a) \cdot x, \;\;\; a \in \zpe \} = A \cdot e_D, \] et on pose \[ \Delta_{A, 2}(D) = \mathscr{L}_A(D). \] Enfin, on d�finit la droite fondamentale locale de $D$ comme \[ \Delta_{A}(D) = \Delta_{A, 1}(D) \otimes \Delta_{A, 2}(D). \] Cette droite est compatible au changement de base, multiplicative pour les suites exactes courtes et se comporte bien sous la dualit�.
%
%\item Si $T \in \mathrm{Rep}_A \mathscr{G}_\qp$, on on peut d�finir des modules $\Delta_{A, ?}(T) \in \mathfrak{Inv}_A$ (cf. \cite{Kato2b}, \cite{Nakamura2}, \cite{Nakamura3}) et on a des isomorphismes canoniques $\Delta_{A, ?}(T) \cong \Delta_{A, ?}(\D_{\rm rig}(T))$, pour $? \in \{ 1, 2 \}$.
%\end{itemize}
%
%\subsection{L'isomorphisme $\epsilon^{\rm dR}_{L, \zeta}$}
%
%Soient $A = L$ une extension finie de $\qp$, $D \in \Phi\Gamma^{\text{�t}}(\Robba_L)$ de Rham et $\zeta = (\zeta_{p^n})_{n \in \N}$ un syst�me de racines $p^n$-i�mes de l'unit� tel que $\zeta_{p} \neq 1$, $\zeta_{p^{n+1}}^p = \zeta_{p^n}$. On a besoin de trois ingr�dients pour d�finir l'isomorphisme $\epsilon^{\rm dR}_{L, \zeta}$:
%
%\begin{itemize}
%\item La suite exacte fondamentale et les propri�t�s d'adjonction entre les applications exponentielle et exponentielle duale induisent la suite exacte 
%\begin{eqnarray*} 0 &\to& H^0_{\varphi, \gamma}(D) \to \Dcris(D) \to \Dcris(D) \oplus t_D \to H^1_{\varphi, \gamma}(D) \\
%&\to& \Dcris(\check{D})^* \oplus t_{\check{D}}^* \to \Dcris(\check{D})^* \to H^0_{\varphi, \gamma}(\check{D})^* \to 0
%\end{eqnarray*}
%Par dualit�, on sait que $H^0_{\varphi, \gamma}(\check{D})^* = H^2_{\varphi, \gamma}(D)$ et $(t_{\check{D}})^* = \mathrm{Fil}^0 \DdR(D)$. Le d�terminant du complexe ci-dessus nous fournit donc d'un isomorphisme \[ \theta_L(D): \mathbf{1}_L \xrightarrow{\sim} \Delta_{L, 1}(D) \otimes \mathrm{Det}_L(\DdR(D)). \]
%
%\item On note, pour $r \in \Z$, $n_r = \dim_L \mathrm{gr}^{-r} \DdR(D)$ et on d�finit \[ \Gamma_L(D) = \prod_{r \in \Z} \Gamma^*(r)^{-n_r}, \] o� on rappelle que $ \Gamma^*(r) = \left\{
%  \begin{array}{c c}
%    (r - 1)! & \quad \text{ si $r > 0$} \\
%    \frac{(-1)^r}{(-r)!} & \quad \text{si $r \leq 0$}  \\
%  \end{array}
%\right. $
%
%\item Soit $h_D = \sum_{r \in \Z} r \cdot \dim_L \mathrm{gr}^{-r} \DdR(D)$. On a un isomorphisme (o� on voit les deux espaces dans $\mathrm{Det}_{L_\infty((t))}(D_{\rm dif}))$ \[ \theta_{\rm dR, L}(D, \zeta): \mathrm{Det}_L (\DdR(D)) \xrightarrow{\sim} \mathscr{L}_L(D), \;\;\; x \mapsto \epsilon(\D_{\rm pst}(D), \zeta) \cdot t^{h_D} \cdot x, \] o� $\D_{\rm pst}(D) = (\Robba_K[\ell_T] \otimes_{\Robba} \Delta)^{\Gamma_K}$ est le $(\varphi, N, \mathscr{G}_\qp)$-module filtr� associ� � $D$ (cf. \ref{eqdiff}) et $ \epsilon(\D_{\rm pst}(D), \zeta)$ d�note le facteur local de la repr�sentation de Weil-Deligne (\cite{Deligne}) \footnote{Comme on l'a remarqu�, on sait, gr�ce � la compatibilit� locale-globale dans la correspondance de Langlands $p$-adique, que les facteurs locaux des repr�sentations de Weil-Deligne co�ncident avec les facteurs locaux des repr�sentations lisses fournies par la th�orie du mod�le de Kirillov. On pourrait donc d�finir les isomorphismes $\epsilon$ de de Rham en utilisant ces derniers et, dans ce cas-l�, la preuve de la conjecture present�e dans ce chapitre ne d�pendrait pas de telle compatibilit�.}. 
%\end{itemize}
%
%Avec les applications d�finies ci-dessus, on d�finit
%\[ \epsilon^{\rm dR}_{L, \zeta}: \mathbf{1}_L \xrightarrow{\Gamma_L(D) \cdot \theta_L(D)} \Delta_{L, 1}(D) \otimes \mathrm{Det}(\DdR(D)) \xrightarrow{1 \otimes \theta_{\rm dR, L}(D, \zeta)} \Delta_L(D). \]
%
%\subsection{�nonc� de la conjecture}
%
%Rappelons la conjecture en question.
%
%\begin{conjecture} Il existe une unique famille d'isomorphismes \[ \epsilon_{A, \zeta}(D): \mathbf{1}_A \xrightarrow{\sim} \Delta_A(D), \] pour tout triplet $(A, D , \zeta)$ tel que $A$ est une $\zp$ alg�bre de type (*), $D \in \Phi\Gamma^{\text{�t}}(\Robba_A)$ est de Rham et $\zeta = (\zeta_{p^n})_{n \in \N}$ est un syst�me compatible de racine $p^n$-i�mes de l'unit�, satisfaisant les propri�t�s suivantes
%\begin{enumerate}
%\item Pour tout morphisme $A \to A'$ de $\zp$-alg�bres, on a \[ \epsilon_{A, \zeta}(D) \otimes 1_{A'} = \epsilon_{A', \zeta}(D \otimes_A A'). \]
%\item Pour toute suite exacte $0 \to D' \to D \to D'' \to 0$ on a \[ \epsilon_{A, \zeta}(D) = \epsilon_{A, \zeta}(D') \otimes \epsilon_{A, \zeta}(D''). \]
%\item Pour tout $a \in \zpe$, on a \[ \epsilon_{A, \sigma_a(\zeta)}(D) = \det_D(a) \cdot \epsilon_{A, \zeta}(D). \]
%\item La composition \[ \mathbf{1}_A \xrightarrow{\epsilon_{A, \zeta(D)}} \Delta_A(D) \xrightarrow{\sim} \Delta_A(\check{D})^* \xrightarrow{\epsilon_{A, \zeta^{-1}}(\check{D})^*} \mathbf{1}_A \] donne l'identit�, o� l'isomorphisme au milieu est celui induit par la dualit� locale.
%\item Pour tout triplet $(L, D, \zeta)$ tel que $D$ est de Rham, on a \[ \epsilon_{L, \zeta}(D) = \epsilon_{L, \zeta}^{\rm dR}(D). \]
%\end{enumerate}
%\end{conjecture}
%
%\subsection{Construction de l'isomorphisme}
%
%Dans \cite{Nakamura2}, Nakamura construit, pour tout triplet $(A, D, \zeta)$ comme ci-dessus, un candidat pour l'isomorphisme $\epsilon_{A, \zeta}: \mathbf{1}_A \xrightarrow{\sim} \Delta_A(D)$ et il d�montre le r�sultat suivant:
%
%\begin{theorem} [\cite{Nakamura2}, thm. 3.1]
%Les isomorphismes $\epsilon_{A, \zeta}(D)$, pour $(A, D, \zeta)$ tel que $D$ est de rang $\leq 2$, satisfont les propri�t�s $(1), (2)$ et $(3)$ et $(4)$ de la conjecture. De plus, si $(A, D, \zeta) = (L, D, \zeta)$ est tel que $D$ est de Rham et triangulin ou non-triangulin et � poids de Hodge-Tate $k_1 \leq 0$ et $k_2 > 0$, alors $\epsilon_{L, \zeta}(D) = \epsilon_{L, \zeta}^{\rm dR}(D)$.
%\end{theorem}
%
%Rappelons bri�vement la construction de l'isomorphisme (cf. \cite{Nakamura2} pour les d�tails). Soit $D \in \Phi\Gamma^{\text{�t}}(\Robba_A)$ absolument irr�ductible et notons $\mathbf{Dfm}(D) \in \Phi\Gamma^{\text{�t}}(\Robba^+_A(\Gamma))$ sa d�formation cyclotomique comme dans \ref{cohomIw} et $\Delta_{A, ?}^{\rm Iw}(D) = \Delta_{\Robba^+_A(\Gamma), ?}(\mathbf{Dfm}(D))$, pour $ ? \in \{ 1, 2 \}$. L'op�rateur $1 - \varphi$ induit un isomorphisme de $\Robba_A(\Gamma)$-modules $D^{\psi = 1} \otimes_{\Robba_A^+(\Gamma)} \Robba_A(\Gamma) \xrightarrow{\sim} D^{\psi = 0}$ et donc un isomorphisme \[ \Delta_{A, 1}^{\rm Iw}(D) \otimes_{\Robba^+_A(\Gamma)} \Robba_A(\Gamma) \xrightarrow{\sim} \mathrm{Det}_{\Robba_A(\Gamma)}(D^{\psi = 0})^{-1}. \] Comme $\mathscr{L}_{\Robba^+_A(\Gamma)}(\mathbf{Dfm}(D)) = \mathscr{L}_A(D) \otimes_A \Robba^+_A(\Gamma)$, l'isomorphisme ci-dessus induit \[ \Delta_{A}^{\rm Iw}(D) \otimes_{\Robba^+(\Gamma)} \Robba_A(\Gamma) \xrightarrow{\sim} (\mathrm{Det}_{\Robba_A(\Gamma)}(D^{\psi = 0}) \otimes_A \mathscr{L}_A(D) )^{-1}. \] Enfin, l'accouplement d'Iwasawa (cf. \ref{accIw}) nous permet de trivialiser ce dernier module en d�finissant un isomorphisme \[ \mathrm{Det}_{\Robba_A(\Gamma)}(D^{\psi = 0}) \otimes_A \mathscr{L}_A(D)^\vee \xrightarrow{\sim} \Robba_A(\Gamma) \] par $(x \wedge y) \otimes z^\vee \mapsto [\sigma_{-1}] \langle w_D(x) \otimes z^\vee \otimes e_1, y \rangle_{\rm Iw}.$ Ceci induit donc \[ \eta_{A, \zeta}(D): \mathbf{1}_{\Robba_A(\Gamma)} \xrightarrow{\sim} \Delta_A^{\rm Iw}(D) \otimes_{\Robba^+_A(\Gamma)} \Robba_A(\Gamma). \]
%
%On montre (cf. \cite{Nakamura2} prop. 3.4) que l'isomorphisme $\eta_{A, \zeta}(D)$ descend en un isomorphisme \[ \epsilon^{\rm Iw}_{A, \zeta}(D): \mathbf{1}_{\Robba_A^+(\Gamma)} \xrightarrow{\sim} \Delta_A^{\rm Iw}(D), \] et, pour $\delta: \zpe \to A^\times$ un caract�re localement analytique, on d�finit \[ \epsilon_{A, \zeta}(D(\delta)) = \epsilon^{\rm Iw}_{A, \zeta}(D(\delta)) \otimes_{\Robba^+(\Gamma), f_\delta} 1_A: \mathbf{1}_A \xrightarrow{\sim} \Delta_A^{\rm Iw}(D) \otimes_{\Robba^+_A(\Gamma), f_\delta} A \xrightarrow{\sim} \Delta_A(D), \] o� on note $f_\delta: \Robba^+_A(\Gamma) \to A$ le morphisme induit par $[\gamma] \mapsto \delta(\gamma)$, $\gamma \in \Gamma$.
%
%Si on d�roule les d�finitions ci-dessus (cf. aussi \cite{Nakamura2}, rem. 3.9), on voit que la trivialisation du module $\Delta_A^{\rm Iw}(D) = \mathrm{Det}(D^{\psi = 1}) \otimes_A \mathscr{L}_A^\vee(D)$ induite par l'isomorphisme $\epsilon_{A, \zeta}(D(\delta))$ est donn�e par \[ (x \wedge y) \otimes z^\vee \mapsto \int_\Gamma \delta \cdot \mu_{[\sigma_{-1}] \langle w_D((1 - \varphi)x \otimes z^\vee), (1 - \varphi) y \rangle_{\rm Iw}}. \]
%
%
%\subsection{Interpolation}
%
%Le th�or�me \ref{conjepsilon} ci-dessous compl�te la d�monstration de Nakamura de la conjecture $\epsilon$ locale de Kato pour les repr�sentations galoisiennes de rang au plus $2$
%
%Reprenons les notations de \ref{eqeq} et soient $D \in \Phi\Gamma^{\text{�t}}(\Robba)$ de Rham non-triangulin � poids de Hodge-Tate $0$ et $k \geq 0$, $\mathscr{L} \subseteq \DdR(D)$ sa filtration de Hodge et $\Delta = \Nrig(D) \in \Phi\Gamma(\Robba)$ qui est de Rham � poids de Hodge-Tate nuls de sorte que $D = \Delta_{k, \mathscr{L}}$.
%
%Pour $j \in \Z$, notons \footnote{Par un petit abus de notation, on note par $\langle \;,\; \rangle_{\rm dif}$ l'accouplement pour tous le diff�rents tordus de $D$.} \[ \langle \;,\; \rangle_{\rm dif}: \DdR(\check{D}(-j)) \times \DdR(D)(j) \to L \] l'accouplement naturel induit par la restriction l'accouplement $\langle \;,\; \rangle_{\rm dif}$ entre $\Ddif(\check{\Delta}(-j))$ et $\Ddif(\Delta(j))$ d�fini par $\langle x \otimes e_{-j}, y \otimes e_j \rangle_{\rm dif} \mapsto p^{-n} T_{L_n / L}(\mathrm{r\acute{\mathrm{e}}s}_0(\langle x, y \rangle))$ pour $n \gg 0$, $x \in \check{\Delta}, y \in \Delta$ (cf. \cite{ColmezPhiGamma} VI.3.4). D'apr�s \cite{ColmezPhiGamma}, lemme VI.4.16, l'application $x \mapsto t^{k - 1} x \otimes e_{\omega_{D(k)}}^\vee$ induit un isomorphisme de $\Delta_{\rm dif}^+$ sur son $L_\infty[[t]] \cdot dt$-r�seau dual dans $\check{D}_{\rm dif}$.
%
%Rappelons que l'on a fix� une base $\{ f_1, f_2 \}$ de $\DdR(V)$, ce qui permet de fixer des bases $\{ f_1 \otimes \mathbf{e}^{\rm dR}_{j}, f_2 \otimes \mathbf{e}^{\rm dR}_{j} \}$ des modules $\DdR(\Delta(j)) = \DdR(\Delta) \otimes L \cdot \mathbf{e}^{\rm dR}_j$. Ce choix induit un produit scalaire \[ \langle \;,\; \rangle_{\rm dR}: \DdR(\Delta(j)) \times \DdR(\Delta(j)) \to L \] d�fini par la formule $x = \sum_{i = 1, 2} \langle x, f_i \otimes \mathbf{e}^{\rm dR}_j \rangle \cdot (f_i \otimes \mathbf{e}^{\rm dR}_j)$. Rappelons aussi que $\Omega$ est d�fini par la formule $ f_1 \wedge f_2 = t^{-1} (\Omega^{-1} t^{-k + 1} e_{\omega_{D}}) \cdot dt$. On aura besoin du lemme suivant
%
%\begin{lemme} \label{lemmeacc} Sous les identifications faites ci-dessus, on a, pour $x \in \DdR(\check{\Delta}(-j))$, \[ \langle x, f_{i} \otimes \mathbf{e}^{\rm dR}_j \rangle_{\rm dif} = (-1)^{i-1} \langle x \otimes \mathbf{e}^{\rm dR, \vee}_{-j, \omega_D^\vee}, f_i \rangle_{\rm dR}. \]
%\end{lemme}
%
%\begin{proof}
%Observons d'abord que $\langle x, f_{i} \otimes \mathbf{e}^{\rm dR}_j \rangle_{\rm dif} = \langle x \otimes \mathbf{e}^{\rm dR}_j, f_{i} \rangle_{\rm dif}$. Notons \footnote{On voit tous ces �l�ments dans $D_{\rm dif} = \Delta_{\rm dif}$ et $\check{D}_{\rm dif} = \Delta_{\rm dif} \otimes \omega_{D}^\vee$. } $y = x \otimes \mathbf{e}^{\rm dR}_j \in \DdR(D)$ et $y' = t^{1 - k} (y \otimes e_{\omega_{D}})$ de sorte que $y = t^{k - 1} y' \otimes e_{\omega_D}^\vee$. On a alors
%\begin{eqnarray*} 
%\langle y, f_i \rangle_{\rm dif} &=& \langle t^{k - 1} y' \otimes e_{\omega_D}^\vee, f_i \rangle_{\rm dif} \\
%&=& \mathrm{r\acute{\mathrm{e}}s}_0(t^{k - 1} \cdot (y' \wedge f_i) \otimes e_{\omega_D}^\vee)
%\end{eqnarray*}
%Or, \[ y' \wedge f_i = \langle y', f_{3- i} \rangle_{\rm dR} \cdot (f_{3 - i} \wedge f_{i}) = (-1)^{i-1} \Omega^{-1} t^{-k} \cdot \langle y', f_{3- i} \rangle_{\rm dR} \cdot e_{\omega_D} \cdot dt. \] On en d�duit
%\[ \langle x, f_i \otimes \mathrm{e}^{\rm dR}_j \rangle_{\rm dif} = (-1)^{i-1} \Omega^{-1} t^{1 - k} \cdot \langle x \otimes \mathbf{e}^{\rm dR, \vee}_{-j} \otimes e_{\omega_D^\vee}^\vee, f_i \rangle_{\rm dR} = (-1)^{i-1} \cdot \langle x \otimes \mathbf{e}_{-j, \omega_D^\vee}^{\rm dR, \vee}, f_i \rangle_{\rm dR}, \] ce qui permet de conclure.
%\end{proof}
%
%\begin{theorem} \label{conjepsilon}
%Soit $D \in \Phi \Gamma^{\text{�t}}(\Robba)$ de Rham non-triangulin. Alors \[ \epsilon_{L, \zeta}(D) = \epsilon_{L, \zeta}^{\rm dR}(D). \]
%\end{theorem}
%
%\begin{proof}
%Soient $D \in \Phi\Gamma^{\text{�t}}(\Robba)$, de Rham non-triangulin � poids de Hodge-Tate $0$ et $k \geq 0$. Pour montrer le th�or�me, il suffit de montrer que les isomorphismes epsilon co�ncident sur $D(j)$ pour tout $j \in \Z$. La preuve du th�or�me consiste � expliciter les deux isomorphismes en question pour se ramener � montrer une version tordue de l'�quation fonctionnelle du th�or�me \ref{eqfonct1}.
%
%La suite exacte d�finissant le morphisme $\theta_L(D)$ acquiert, dans le cas non-triangulin, la forme suivante  \[ 0 \to \DdR(D(\xi)) / \mathrm{Fil}^0 \DdR(D(j)) \xrightarrow{\exp} H^1_{\varphi, \gamma}(D(j)) \xrightarrow{\exp^*} \mathrm{Fil}^0 \DdR(D(j)) \to 0. \] De plus, on sait que $H^0_{\varphi, \gamma}(D(j)) = H^2_{\varphi, \gamma}(D(j) = 0$ et donc $\mathrm{Det}(\mathscr{C}^\bullet_{\varphi, \gamma}(D(j)) = \mathrm{Det}(H^1_{\varphi, \gamma}(D(j))$. On a trois situations possibles:
%\begin{enumerate}
%\item Soit $\mathrm{Fil}^0 \DdR(D(j)) = 0$ (le cas de poids de Hodge-Tate positifs).
%\item Soit $\dim_L \mathrm{Fil}^0 \DdR(D(j)) = 1$ (le cas de poids de Hodge-Tate $k_1 \leq 0$ et $k_2 > 0$).
%\item Soit $\mathrm{Fil}^0 \DdR(D(j)) = \DdR(D(j))$ (le cas de poids de Hodge-Tate n�gatifs).
%\end{enumerate}
%Comme on a remarqu�, le deuxi�me cas a �t� trait� par Nakamura, et les deux autres cas sont en dualit�. On se place dans la suite dans le premier des cas, le troisi�me s'en d�duisant par dualit� (condition $(4)$ de la conjecture).
%
%\begin{lemme}
%Le morphisme $\beta_{L, \zeta}^{\rm dR}(D(j)): \mathrm{Det}( H^1_{\varphi, \gamma}(D(j))) \to \mathscr{L}_L(D(j))$ d�duit de $\epsilon^{\rm dR}_{L, \zeta}(D(j))$ satisfait \[ \beta^{\rm dR}_{L, \zeta}(D(j)) \left( (\int_\Gamma \chi^j \cdot \mu_z) \wedge \exp (f_i \otimes \mathbf{e}^{\rm dR}_j) \right) = (-1)^{i-1} \cdot C_1 \cdot e_{D(j)}, \] o� \[ C_1 = \Gamma_L(D(j)) \cdot \Omega^{-1} \cdot \epsilon(D_{\rm pst}(D(j))) \cdot \langle \exp^{-1}(\int_\Gamma \chi^j \cdot \mu_z) \otimes \mathbf{e}^{\rm dR, \vee}_j, f_{3 - i} \rangle. \]
%\end{lemme}
%
%\begin{proof}
%On a
%\begin{eqnarray*}
%\theta_{1}'(D(j))\left( (\int_\Gamma \chi^j \cdot \mu_z) \wedge \exp(f_i \otimes \mathbf{e}^{\rm dR}_j) \right) &=& \exp^{-1}(\int_\Gamma \chi^j \cdot \mu_z) \wedge (f_i \otimes \mathbf{e}^{\rm dR}_j) \\
%&=& \langle \exp^{-1}(\int_\Gamma \chi^j \cdot \mu_z), f_{3 - i} \otimes \mathbf{e}^{\rm dR}_j \rangle \cdot (f_{3 - i} \otimes \mathbf{e}^{\rm dR}_j \wedge f_i \otimes \mathbf{e}^{\rm dR}_j) \\
%\end{eqnarray*}
%Observons que $(f_{3 - i} \otimes \mathbf{e}^{\rm dR}_j \wedge f_i \otimes \mathbf{e}^{\rm dR}_j) = (f_{3 - i} \wedge f_i) \otimes \mathbf{e}^{\rm dR, \otimes 2}_j = (-1)^{i-1} \Omega^{-1} t^{-k -2j} e_{D(j)}$, d'o� la derni�re expression est �gale �
%\[ (-1)^{i-1} \Omega^{-1} \cdot t^{-k - 2j} \cdot \langle \exp^{-1}(\int_\Gamma \chi^j \cdot \mu_z) \otimes \mathbf{e}^{\rm dR, \vee}_j, f_{3 - i} \rangle \cdot e_{D(j)} \]
%
%On conclut � partir de la formule $\beta^{\rm dR}_{L, \zeta} = \theta_2 \circ \theta_1 = \Gamma_L \cdot \theta_2 \circ \theta_1'$ que $\beta^{\rm dR}_{L, \zeta}(D(j) \left( (\int_\Gamma \chi^j \cdot \mu_z) \wedge (f_i \otimes \mathbf{e}^{\rm dR}_j) \right)$ est donn� par \[ (-1)^{i-1} \Gamma_L(D(j)) \cdot \Omega^{-1} \cdot \epsilon(D_{\rm pst}(D(j))) \cdot \langle \exp^{-1}(\int_\Gamma \chi^j \cdot \mu_z) \otimes \mathbf{e}^{\rm dR, \vee}_j, f_{3 - i} \rangle \cdot e_{D(j)}, \] ce qui finit la preuve du lemme.
%\end{proof}
%
%
%\begin{lemme}
%Le morphisme $\beta_{L, \zeta}(D(j)): \mathrm{Det}( H^1_{\varphi, \gamma}(D(j))) \to \mathscr{L}_L(D(j))$ d�duit de $\epsilon_{L, \zeta}(D(j))$ satisfait \[ \beta_{L, \zeta}(D(j)) \left( (\int_\Gamma \chi^j \cdot \mu_z) \wedge \exp (f_i \otimes \mathbf{e}^{\rm dR}_j) \right) = (-1)^{i-1} \cdot C_2 \cdot e_{D(j)}.\] o�
%\[ C_2 = (-1)^j \langle \exp^*(\int_\Gamma \chi^{-j} \cdot \mu_{\check{z}}) \otimes \mathbf{e}^{\rm dR, \vee}_{-j, \omega_D^\vee}, f_{3 - i} \rangle_{\rm dR}. \]
%\end{lemme}
%
%\begin{proof}
%Soit $z' \in D^{\psi = 1}$ tel que $\int_\Gamma \chi^j \cdot \mu_{z'} = \exp( f_i \otimes \mathbf{e}^{\rm dR}_j)$. On a, par d�finition de $\beta_{L, \zeta}(D(j))$,
%\begin{eqnarray*}
%\beta_{L, \zeta}(D(j)) \left( (\int_\Gamma \chi^j \cdot \mu_z) \wedge \exp (f_i \otimes \mathbf{e}^{\rm dR}_j) \right) &=& \int_\Gamma \chi^j \cdot \langle \sigma_{-1}((1 - \varphi) \check{z}), (1 - \varphi)  z' \rangle_{\rm Iw} \cdot e_{D(j)} \\
%&=& \langle \exp^*(\int_\Gamma \chi^{-j} \cdot \mu_{\sigma_{-1}(\check{z})}), \exp^{-1}(\int_\Gamma \chi^j \cdot \mu_{z'}) \rangle_{\rm dif} \cdot e_{D(j)} \\ 
%&=& (-1)^j \langle \exp^*(\int_\Gamma \chi^{-j} \cdot \mu_{\check{z}}), f_i \otimes \mathbf{e}^{\rm dR}_j \rangle_{\rm dif} \cdot e_{D(j)} \\ 
%\end{eqnarray*}
%o� la deuxi�me �galit� suit du lemme \ref{lemme26}, et la derni�re suit par d�finition de l'action de $\Lambda$ sur la cohomologie d'Iwasawa. Par le lemme \ref{lemmeacc} ci-dessus, cette derni�re expression co�ncide avec
%\[ (-1)^{i-1} (-1)^j \langle \exp^*(\int_\Gamma \chi^{-j} \cdot \mu_{\check{z}}) \otimes \mathbf{e}^{\rm dR, \vee}_{-j, \omega_D^\vee}, f_{3 - i} \rangle_{\rm dR} \cdot e_{D(j)}, \]
%ce qui permet de conclure.
%\end{proof}
%
%Les poids de Hodge-Tate de la repr�sentation $D(j)$ sont $j$ et $k+j$ et on a \[ \Gamma(D(j)) = \Gamma^*(j)^{-1} \cdot \Gamma^*(k+j)^{-1} = \frac{1}{(j+k-1)! (j-1)!} = (-1)^{j-1} \frac{\Gamma^*(-j + 1)}{\Gamma^*(j + k)}. \] Enfin, la compatibilit� locale-globale dans la correspondance de Langlands $p$-adique montre que \[ \epsilon(D_{\rm pst}(D(j))) = p^{-c(\pi) j} \epsilon(\pi) = \epsilon(\pi \otimes | \cdot |^j). \] Le th�or�me est donc �quivalent � l'identit�
%\[ \exp^*(\int_\Gamma \chi^{-j} \cdot \mu_{\check{z}}) \otimes \mathbf{e}^{\rm dR, \vee}_{-j, \omega_D^\vee} = - \frac{\Gamma^*(-j + 1)}{\Gamma^*(j + k)} \cdot \Omega^{-1} \cdot \epsilon(\pi \otimes | \cdot |^j) \cdot \exp^{-1}(\int_\Gamma \chi^j \cdot \mu_z) \otimes \mathbf{e}^{\rm dR, \vee}_j. \] \normalsize
%Le lemme \ref{eqfonct1b} (voir aussi la remarque apr�s sa d�monstration) permet de finir la preuve du th�or�me et donc de la conjecture $\epsilon$.
%\end{proof}



%\newpage
\section{Fonction $L$ $p$-adique d'une forme modulaire}

Pour terminer, on applique les r�sultats obtenus � la repr�sentation associ�e � une forme modulaire et au syst�me d'Euler de Kato pour obtenir une construction (partielle) de la fonction $L$ $p$-adique de la forme modulaire en question.

Soit \[ f = \sum_{n = 1}^{+\infty} a_n q^n \in \mathrm{S}_k(\Gamma_1(N), \omega_f) \otimes \C \] une forme primitive (cuspidale, propre pour les op�rateurs de Hecke, nouvelle et normalis�e) de poids $k \geq 2$, niveau $N$ et caract�re $\omega_f \colon (\Z / N \Z)^\times \to \C^\times$. Les op�rateurs de Hecke $T_n$ agissent sur $f$ par $T_n f = a_n f$. On note $F = \Q(a_1, a_2, \hdots)$ le corps de nombres engendr� par les coefficients de $f$ et $\check{f} = \sum_{n = 1}^{+\infty} \overline{a}_n q^n \in \mathrm{S}_k(\Gamma_1(N), \omega_f^{-1}) \otimes \C$ la forme conjugu�e � $f$. On note \[ \Lambda_\infty(f, \eta^{-1}, s) = \frac{\Gamma(s)}{(2 i \pi)^s} L(f, \eta^{-1}, s) \] la normalisation de la fonction $L$ complexe de la forme $f$. Soit $v$ une place de $F$ au-dessus de $p$ et soit $L = F_v$. Notons $V(f) \in \mathrm{Rep}_L \mathscr{G}_\Q$ la repr�sentation galoisienne de dimension $2$ attach�e � $f$ (\cite[\S 6.3]{Kato}) et $D = \D_{\rm rig}(V(f)|_{\mathscr{G}_\qp})(k - 1) \in \Phi\Gamma^{\text{�t}}(\Robba)$, qui est de Rham � poids de Hodge-Tate $0$ et $k - 1$.

En appliquant une version $p$-adique de la conjecture de Bloch-Kato, on construit (cf. \S \ref{transmutation}), pour tout $\eta \colon \zpe \to L$ (que l'on voit comme un caract�re de Dirichlet de conducteur une puissance de $p$) et tout $j \geq 0$, un plongement $p$-adique naturel \[ \Lambda_\infty(f, \eta^{-1}, -j) \mapsto \iota_p(\Lambda_\infty(f, \eta^{-1}, -j)) \in \DdR(D) \] des valeurs sp�ciales aux entiers n�gatifs de la fonction $L$ complexe (normalis�e) de la forme modulaire. Rappelons que, dans la bande critique $1 \leq j \leq k - 1$, les valeurs $\Lambda_\infty(f, \eta^{-1}, j)$ sont naturellement interpr�t�s (cf. par exemple \cite[Thm. 16.2]{Kato}) $p$-adiquement en les multipliant par les p�riodes complexes de la forme $f$.
%Si $j \geq k$, l'�quation fontionnelle satisfaite par la fonction $L$ $p$-adique (th�or�me \ref{eqfonct4}) et l'�quation fonctionnelle de la fonction $L$ complexe nous fournissent aussi (cf. \ref{entierspositifs}) une interpr�tation $p$-adique des valeurs $\Lambda_\infty(f, \eta^{-1}, j)$ et on note donc, pour $j > 0$, \[ \Lambda_\infty(f, \eta^{-1}, j) \mapsto \iota_p(\Lambda_\infty(f, \eta^{-1}, j)) \in \DdR(D) \] les plongements ainsi construits.
Le th�or�me final (annonc� dans l'introduction) de ce texte peut �tre �nonc� sous la forme suivante:

\begin{theorem} \label{thmeaea}
Il existe un ouvert $\mathfrak{U}_f \subseteq \mathfrak{X}$, ne d�pendant que de l'extension sur laquelle la repr�sentation galoisienne associ�e � $f$ d�vient semi-stable, et contenant tous les caract�res d'ordre fini assez ramifi�s, et une fonction rigide analytique $L_p(f) \in \mathcal{O}(\mathfrak{U}_f) \otimes \DdR(D)$ telle que, si $\eta \chi^j \in \mathfrak{U}_f$, o� $\eta \colon \zpe \to L^\times$ est un caract�re de conducteur $p^n$ et $j \in \Z$ est tel que $0 \leq j \leq k - 2$ ou $j \ll 0$, alors
\[L_p(f)(\eta \chi^j) =p^{n(j + 1)} G(\eta)^{-1} \cdot \iota_p(\Lambda_\infty(f, \eta^{-1}, j + 1)). \]

De plus, la fonction $L_p(f)$ satisfait une �quation fonctionnelle de la forme
\[ L_p(f)(\eta \chi^{j}) =  C(f, \eta, j) \cdot L_p(\check{f})(\eta^{-1} \chi^{-j+k-2}) \otimes \mathbf{e}^{\rm dR, \vee}_{k-1, \omega_D^{-1}}, \] o� \[ C(f, \eta, j) = \Omega \, p^n \, \epsilon(\eta \otimes | \cdot |^{-l + \frac{k - 1}{2}})^2 \epsilon(\pi_p(\check{f}) \otimes \eta \otimes | \cdot |^{-j + k - 1})^{-1} \cdot \prod_{\ell \mid N'} \epsilon(\pi_\ell(\check{f}) \otimes \eta^{-1} \otimes |\cdot|^{-j + \frac{k - 1}{2}})^{-1}. \]

%\[ L_p(f)(\eta \chi^j) = C(f, \eta, j) \cdot L_p(\check{f})(\eta^{-1} \chi^{k - 2 - j}), \] o�
%\[ C(f, \eta, j) =  p^n \, \epsilon(\eta \otimes | \cdot |^{-l + \frac{k - 1}{2}})^2 \epsilon(\pi_p(\check{f}) \otimes \eta \otimes | \cdot |^{-j + k - 1})^{-1} \cdot \prod_{l \mid N'} \epsilon(\pi_l(\check{f}) \otimes \eta^{-1} \otimes |\cdot|^{-j + \frac{k - 1}{2}})^{-1}.\]
%% Vieille \[ C(f, \eta, j) =  G(\eta^{-1})^2 \cdot \epsilon \big( \pi_p(f) \otimes \eta, \frac{k-1}{2} \big)^{-1} \cdot \prod_{\ell \mid N'} \epsilon \big( \pi_\ell(f) \otimes \eta,  j + \frac{k - 1}{2} \big).\]

Finalement, si $p \nmid N$ \footnote{Plus g�n�ralement, si la repr�sentation associ�e � $f$ est cristab�line.}, $\alpha$ est une valeur propre du polyn�me de Hecke de $p$ de $f$ et $e_\alpha \in \Dcris(V(f)) = \Dcris(V)^*$ est un vecteur propre du Frobenius cristallin de valeur propre $\alpha$, alors $\mathfrak{U}_f = \mathfrak{X}$ et on a \[ L_{p, \alpha}(f) = \langle L_p(f), e_\alpha \rangle. \]
\end{theorem}

%\begin{theorem} \label{thmeaea}
%Il existe un ouvert $\mathfrak{U} \subseteq \mathfrak{X}$, ne d�pendant que de l'extension sur laquelle la repr�sentation galoisienne associ�e � $f$ d�vient semi-stable, et contenant tous les caract�res d'ordre fini assez ramifi�s, et une fonction rigide analytique $\Lambda_f \in \mathcal{O}(\mathfrak{U)} \otimes \DdR(D)$ telle que, si $\eta \in \mathfrak{U}$ est un caract�re de conducteur $p^n$ et $j \in \Z$ \footnote{On doit, comme pr�c�demment, supposer que $j \geq 0$ ou $j \ll 0$ pour �tre pr�cis.}, alors
%\[\Lambda_f(\eta \chi^j) =p^{n(j + 1)} G(\eta)^{-1} \cdot \iota_p(\Lambda_\infty(f, \eta^{-1}, j + 1)) \]
%\end{theorem}

\begin{remarque} \leavevmode
\begin{itemize}
\item Si $N = N' p^r$, $(N, N') = 1$, on devrait pouvoir trouver un lien entre l'exposant $r$ et le discriminant de l'extension $K$ sur laquelle la $L$-repr�sentation $V_L(f)$ d�vient semi-stable, c'est-�-dire, entre $r$ et le rayon de surconvergence de l'�quation diff�rentielle $p$-adique associ�e � $V(f)$. L'ouvert du th�or�me ne devrait donc d�pendre que de $r$.
\item La derni�re affirmation suit de la construction de Kato de la fonction $L$ $p$-adique de $f$ en utilisant le Logarithme de Perrin-Riou, et du fait que la construction men�e dans ce travail est une g�n�ralisation directe de celui-ci.
\end{itemize}
\end{remarque}

%\begin{remarque} \leavevmode
%\begin{itemize}
%\item Il semble naturel normaliser les bases des modules de de Rham que l'on a fix� de la forme suivante afin d'obtenir des �nonc�s plus limpides: si l'on posait 
%\[ \Gamma^*(j+1) = \left\{
%  \begin{array}{c c}
%    j! \cdot t^{-j} & \quad \text{ si $j \geq 0$} \\
%    \frac{(-1)^{j-1}}{(-j - 1)!} \cdot t^{-j} & \quad \text{si $j < 0$}  \\
%   \end{array} \right. \] et \[ \mathbf{e}^{\rm dR}_{\eta, j} = \mathbf{e}^{\rm dR}_{\eta \otimes \mid\cdot\mid^{j+1}} \otimes \mathbf{e}^{\rm dR}_j =  \epsilon(\eta^{-1}, j + 1) \cdot e_\eta \otimes \Gamma^*(j+1) \cdot e_j, \] alors le th�or�me ci-dessus s'�noncerait comme \[ \Lambda_f(\eta \chi^j) = \iota_p(L(f, \eta, j)) \] pour tout $j \in \Z$ et tous les facteurs d'interpolation de la fonction $L$ $p$-adique s'interpr�tent simplement en termes p�riodes des bases des modules $\DdR(\Robba(\eta \chi^j))$ induisant des isomorphismes des modules $\DdR(D(\eta \chi^j))$ vers $\DdR(D)$.
%\end{itemize}
%\end{remarque}

\subsection{Notations et compl�ments} \label{repgal}

\subsubsection{Conjecture de Bloch-Kato pour les formes modulaires} Soit $Y_1(N)$ la courbe modulaire de niveau $\Gamma_1(N)$ et notons $\mathcal{KS}_{\Gamma_1(N)}^{k-2}$ la $k-2$-i�me vari�t� de Kuga-Sato de niveau $\Gamma_1(N)$ et $\epsilon$ l'idempotent usuel (cf. \cite[\S 1.1; \S 11.1]{Kato} ou \cite{Scholl}). Soit $M = M(f \otimes \eta^{-1})$ le motif associ� � la forme $f \otimes \eta^{-1}$ (cf. \cite{Gealy2}, \cite{Scholl}) et consid�rons \[ M^*(1+j) = M(\check{f} \otimes \eta)(k+j), \] dont $V(\eta \chi^{j + 1})$ est la r�alisation $p$-adique.

Notons $\mathbf{T}$ l'alg�bre engendr�e par les op�rateurs de Hecke de niveau premier � $N$ et $\overline{\lambda} \colon \mathbf{T} \to L$ le caract�re associ� � $\check{f} \otimes \eta$. On a une description (cf. \cite{Scholl}, \cite{Sch-Den}, \cite{Gealy2})
\[ H^1(M^*(1+j)) = H_{\mathscr{M}}^{k}(\mathcal{KS}_{\Gamma_1(N)}^{k-2}, k + j)(\epsilon) \otimes_{\mathbf{T}} \overline{\lambda}, \]
\[ H^1_{\mathscr{D}}(M^*(1+j)) = H_{\mathscr{D}}^{k}(\mathcal{KS}_{\Gamma_1(N)}^{k - 2}, \R(k + j))(\epsilon) \otimes_{\mathbf{T}} \overline{\lambda}, \]
\[ H^1_{\text{�t}}(M^*(1+j)) = H^1(\Q, H^{k-1}_{\text{�t}}(\mathcal{KS}_{\Gamma_1(N), \overline{\Q}}^{k-2}, \qp)(k + j)(\epsilon) \otimes_{\mathbf{T}} \overline{\lambda}), \]
des groupes de cohomologie motivique, de Deligne et �tale, respectivement, du motif $M^*(1 + j)$, ainsi que des r�gulateurs \[ r_\infty \colon H^1(M^*(1+j)) \otimes_\Q \R \to H^1_{\mathscr{D}}(M^*(1+j)), \] \[  r_{\text{�t}} \colon H^1(M^*(1+j)) \otimes_\Q \qp \to H^1_{\text{�t}}(M^*(1+j)). \]

%Le choix d'un entier $1 \leq r \leq k - 1$ et d'un �l�ment $\xi \in \mathrm{SL}_2(\Z)$ d�finit un symbole modulaire $\delta(f \otimes \eta^{-1}, r, \xi) \in H^1_{\mathscr{D}}(M^*(1+j))$ et, 
%En utilisant les symboles d'Eisenstein d�finis par Beilinson (cf. \cite{Beilinson2}), on construit,pour $1 \leq r \leq k - 1$, des �l�ments (cf. \cite{Gealy}, \S 3.2, o� les �l�ments sont not�s $\overline{\xi}_r$) \[ \mathscr{Z}(\check{f} \otimes \eta, j) \in H^1(M^*(1+j)). \] On sait, d'apr�s les conjectures de Beilinson (cf. \cite{Sch-Den}), que ces �l�ments sont reli�s aux valeurs sp�ciales de la fonction $L$ de $f \otimes \eta^{-1}$ et on a, plus pr�cis�ment, la variante suivante de la conjecture de Bloch-Kato:
%
%\begin{theorem} [\cite{Gealy2}, thm. 4.1.1] \label{Gealy1a} Pour tout $j > 0$, il existe une $\Q$-structure naturelle de $H^1_{\mathscr{D}}(M^*(1+j))$ et une base $\delta$ \footnote{Cette base d�pend du choix d'un symbole modulaire. Elle d�pend naturelement en $\eta$ et $f$ et elle d�pend en $j$ par un facteur $(2 i \pi)^j$, cf. \cite{Gealy2}, \S 3.1 et chap. 4.} de cette structure telle que l'on ait \[ r_\infty (\mathscr{Z}(\check{f} \otimes \eta, j)) = L^{(N), *}(f, \eta^{-1}, -j) \cdot \delta, \] o� $L^{(N), *}(f, \eta^{-1}, -j)$ d�note le coefficient principal de la s�rie de Laurent en $s = -j$ de la fonction $L(f, \eta^{-1}, s)$ \footnote{Il faut faire un minimum d'attention car la forme $f \otimes \eta^{-1}$ peut ne pas �tre primitive, mais elle l'est (\cite{Atkin}, thm. 4.1) d�s que le conducteur de $\eta$ est assez grand.} sans ses facteurs aux places divisant $N$. 
%\end{theorem}


En utilisant les symboles d'Eisenstein d�finis par Beilinson (cf. \cite{Beilinson2}), on construit,pour $1 \leq r \leq k - 1$, des �l�ments (cf. \cite[\S 3.2]{Gealy}, o� les �l�ments sont not�s $\overline{\xi}_r$) \[ \mathscr{Z}(k, j, r) \in H^{k}_{\mathscr{M}}(\mathcal{KS}_{\Gamma_1(N)}^{k-2}, k + j) (\epsilon). \] Si $\xi \in \mathrm{SL}_2(\Z)$, on pose \[ \mathscr{Z}(\check{f} \otimes \eta, j, r, \xi) = \xi^* ( \mathscr{Z}(k, j, r) ) \otimes_{\mathbf{T}} \overline{\lambda} \in H^1(M^*(1 + j)). \] Enfin, on sait (\cite[Thm. 13.6]{Kato}) que les symboles modulaires $\delta(\check{f} \otimes \eta, r, \xi) \in V_{F}(\check{f} \otimes \eta)$, $1 \leq r \leq k -1$, $\xi \in \mathrm{SL }_2(\Z)$ engendrent $V_{F}(\check{f} \otimes \eta))$ sur $F$, ce qui nous permet, en prenant des combinaisons lin�aires des �l�ments $\mathscr{Z}(\check{f} \otimes \eta, j, r, \xi)$, de d�finir, pour tout $\gamma \in V_F(\check{f})$, \[ \mathscr{Z}(\check{f} \otimes \eta, j, \gamma) \in H^1(M^*(1 + j)). \] 

\begin{proposition} [{\cite[Thm. 4.1.1]{Gealy2}}] \label{GealyBK}  Soit $\gamma \in V_F(\check{f})$. Alors \[ r_\infty (\mathscr{Z}(\check{f} \otimes \eta, j, \gamma)) = L^{(N), *}(f, \eta^{-1}, -j) \cdot \gamma, \] o� $L^{(N), *}(f, \eta^{-1}, -j)$ d�note le coefficient principal de la s�rie de Taylor en $s = -j$ de la fonction $L$ de $f$ sans ses facteurs en les places divisant $N$. 
\end{proposition}

%%%%% BIG COMMENT
\begin{comment}

\subsubsection{Courbes modulaires} Soient $N \geq 3$ et $Y(N)$ (resp. $Y_1(N)$) la courbe modulaire ouverte sur $\Q$ de niveau $N$ (resp. $\Gamma_1(N)$). La courbe $Y(N)$ (resp. $Y_1(N)$) est l'espace de module dont les $S$-points, pour $S$ un sch�ma, param�trent les classes d'isomorphismes de triplets $(E, e_1, e_2)$, o� $E$ est une courbe elliptique sur $S$ et $e_1, e_2$ sont des $S$-points constituant une base des points de $N$-torsion de $E$ (resp. des paires $(E, e_1)$, o� $e_1$ est un $S$-point engendrant un sous-groupe de $N$-torsion). Il s'agit des courbes affines irr�ductibles et lisses dont on note $X(N)$ et $X_1(N)$ leurs compactifications obtenues en rajoutant les pointes, et $j \colon Y(N) \to X(N)$, $j \colon Y_1(N) \to X_1(N)$ les inclusions naturelles.

%Soit, pour $M, N \geq 1$, $Y(M, N)$ la courbe modulaire sur $\Q$ de niveau dont les $S$-points, pour $S$ un sch�ma, param�trent les classes d'isomorphisme de triplets $(E, e_1, e_2)$, o� $E$ est une courbe elliptique sur $S$ et $e_1, e_2$ sont des $S$-points ind�pendants de $E$ de $M$ et $N$-torsion respectivement. Il s'agit d'une courbe affine irr�ductible et lisse. On a �videment $Y(N, N) = Y(N)$ et $Y(1, N) = Y_1(N)$ si $N \geq 3$. Si $M + N \geq 5$ et $M | L$, $N | L$, alors $Y(M, N) \cong G \backslash Y(L)$, o� $G = \{ \matrice a b c d \in \mathrm{GL}_2(\Z): a -1 \equiv b \equiv 0 \; \mathrm{mod} \; M \; \mathrm{et} \;  c \equiv d-1 \equiv 0 \; \mathrm{mod} \; N \}$. Le morphisme canonique $Y(L) \to Y(M, N)$ et donn� sur le probl�me de module par $(E, e_1, e_2) \mapsto (E, (L / M) e_1, (L / N)e_2)$. On note $X(M, N)$ la compactification de $Y(M, N)$ en ajoutant les pointes et $j: Y(M, N) \to X(M, N)$ l'inclusion naturelle.

\subsubsection{Courbe elliptique universelle et repr�sentations galoisiennes} Notons $\lambda \colon \E_{\Gamma(N)} \to Y(N)$ ($\lambda \colon \E_{\Gamma_1(N)} \to Y_1(N)$) la courbe elliptique universelle sur $Y(N)$ (resp. $Y_1(N)$). Pour $Y \in \{ Y(N), Y_1(N) \}$, on d�finit un syst�me local $\mathscr{H}^1$, localement isomorphe � $\Z^2$ sur $Y$, par $$ \mathscr{H}^1 = \mathrm{R}^1 \lambda_*(\Z). $$ Notons $\mathscr{H}^1_p = \mathscr{H}^1 \otimes \zp$. Si $T_p \E$ d�note le module de Tate de $\E$ vu sur $Y$, on a alors, par dualit�, $T_p \E \cong \mathscr{H}^1_p(1)$ et, en particulier, $\mathrm{Sym}^a \; T_p \E = \mathrm{Sym}^a(\mathscr{H}_p^1(1)) = (\mathrm{Sym}^a \mathscr{H}^1_p)(a)$. On pose, pour $A$ un anneau quelconque,
\[ V_{k, A}(Y) = H^1(Y(\C), \mathrm{Sym}^{k - 2} (\mathscr{H}^1) \otimes_\Z A), \]
\[ V_{k, A}(X) = H^1(Y(\C), j_* \mathrm{Sym}^{k - 2} (\mathscr{H}^1) \otimes_\Z A), \] o� $X$ d�note la compactification de $Y$ comme ci-dessus et o� les $H^i$ d�notent les groupes de cohomologie singuli�re. Les th�or�mes de comparaison nous fournissent un isomorphisme \[ V_{k, \zp}(Y) \cong H^1_{\text{�t}}(Y_{\overline{\Q}}, \mathrm{Sym}^{k - 2}_\zp (\mathscr{H}^1_p)), \] d'o� une action de $\mathscr{G}_\Q$ sur $V_{k, \zp}(Y)$, qui est non ramifi�e en toute place ne divisant pas $pN$. On a aussi une action de la conjugaison complexe $\iota$ et, pour un �l�ment $ \gamma \in V_{k, A}(Y)$, on note $\gamma^+ = 1/2(\gamma + \iota(\gamma))$ (resp. $\gamma^- = 1/2(\gamma - \iota(\gamma))$) sa composante o� la conjugaison agit comme l'identit� (resp. moins l'identit�).

Les op�rateurs de Hecke agissent sur $V_{k, F}(Y(N))$ de la mani�re usuelle et on d�finit $$ V_F(f) = V_{k, F}(Y_1(N)) / \langle T_n - a_n \rangle, $$ qui est un $F$-espace vectoriel de dimension $2$ (c'est le plus grand quotient de $V_{k, F}(Y_1(N))$ o� les op�rateurs de Hecke agissent par multiplication par $a_n$). Pour $A$ une $F$-alg�bre, on pose $V_A(f) = V_F(f) \otimes_F A$. Si $A = \C$,  on a une action de la conjugaison complexe sur $V_\C(f)$ et, si $\pm \in \{ \pm 1 \}$, on note $V_\C(f)^\pm$ le sous-espace o� la conjugaison complexe agit par multiplication par $\pm$. Rappelons que, si $v$ est une place de $F$ au dessus de $p$, on a pos� $L = F_v$. On a \[ V(f) = V_L(f) = V_{F}(f) \otimes_F L \] qui est un $L$-espace vectoriel de dimension $2$ muni d'une action de Galois. Finalement, on note \[ T(f) = V_{\mathscr{O}_L}(f) \subseteq V_L(f) \] le $\mathscr{O}_L$-module engendr� par l'image de $V_{\zp}(Y_1(N))$ dans $V_L(f)$, qui est un $\mathscr{O}_L$-module libre de rang $2$ muni d'une action $\mathscr{O}_L$-lin�aire de $\mathscr{G}_\Q$. On d�finit aussi \[ S(f) = S_k(\Gamma_1(N)) / \langle T_n - a_n \rangle \] l'espace (de dimension $1$ sur $F$) des co-invariants de l'alg�bre de Hecke associ� � $f$. On observe que $V(f)^*(1) \cong V(\check{f})(k)$. 

\subsubsection{Symboles modulaire}

Rappelons bri�vement la th�orie des symboles modulaires (cf. \cite{Kato} \S $2.7$, \S $4.7$, \S $5.5$ et \S $6.3$). La dualit� de Poincar� induit un isomorphisme
\[ H^1(Y(N)(\C), \Z) \cong H_1(X(N)(\C), \{ \mathrm{cusps} \}, \Z), \] et on d�finit $\delta_{N} \in H^1(Y(N)(\C), \Z)$ comme l'image de la classe de homologie d�finie par la g�od�sique $\varphi \colon (0, \infty) \to X(N)(\C)$, $\varphi(y) = iy$ qui joint les pointes $0$ et $\infty$. On d�finit \[ \delta_{N}(k, r) \in H^1(Y(N)(\C), \mathrm{Sym}^{k - 2} (\mathscr{H}^1))  \;\;\; (1 \leq r \leq k - 1), \] en tirant en arri�re le faisceau des puissances sym�triques de l'homologie des courbes elliptiques le long du chemin $\varphi$ (cf. \cite{Kato} \S $2.7$, cela revient � choisir une section $e_1^{r - 1} e_2^{k - r - 1}$ de $\Gamma((0, \infty), \varphi^{-1}(\mathrm{Sym}^{k - 2}_\Z (\mathscr{H}_1)))$ o� $\mathscr{H}_1 = \mathrm{Hom}(\mathscr{H}^1, \Z)$ est le syst�me local dont les germes  en un point s'identifient au premier groupe de homologie de la courbe elliptique associ�e et $e_1, e_2$ forment une base du faisceau $\varphi^{-1}(\mathscr{H}_1)$ libre de rang $2$ sur $(0, \infty)$ dont les germes au point $y \in (0, \infty)$ s'identifient � $yi$ et $1$ respectivement). Finalement, pour $\xi \in \mathrm{SL}_2(\Z)$ on d�finit $\delta_{N}(k, r, \xi) \in V_{k, \Q}(Y_1(N))$ comme la trace de $\xi^*(\delta_{L}(k, r))$ pour n'importe quel $L$ tel que $N \mid L$ et $\delta(\check{f}, r, \xi) \in V(\check{f})$ en projetant sur la partie correspondante � $\check{f}$. Par un th�or�me de Ash-Stevens, les �l�ments $\xi^* \delta_N(k, r)$ (resp. $\delta(\check{f}, r, \xi)$), pour $1 \leq r \leq k - 1$ et $\xi \in \mathrm{SL}_2(\Z)$, engendrent $V_{k, \Z}(Y(L))$ (resp. $V(\check{f})$).

\subsubsection{Vari�t� de Kuga-Sato} Notons $\E_{X(N)} \to X(N)$ la courbe elliptique universelle au-dessus de $X(N)$ et $\E^{(k - 2)}_{X(N)}$ le produit au-dessus de $X(N)$ de $(k - 2)$ copies de $\E_{X(N)}$. Soit $\mathcal{KS}_{\Gamma(N)}^{(k - 2)}$ la d�singularisation canonique de $\E_{X(N)}^{(k - 2)}$ construite par Deligne. La vari�t� $\E^{(k - 2)}_{\Gamma(N)}$ est un ouvert dans $\mathcal{KS}_{\Gamma(N)}^{(k - 2)}$ et son compl�mentaire, qui co�ncide avec l'image inverse des pointes de $X(N)$, est un diviseur � croisements normaux dans $\mathcal{KS}_{\Gamma(N)}^{(k - 2)}$.

Le groupe \footnote{$\mathfrak{S}_{k-2}$ d�note le groupe sym�trique de degr� $k - 2$ et $\mu_2 = \{ \pm \}$ le groupe � deux �l�ments.} $G = (\mathfrak{S}_{k - 2} \rtimes \mu_2^{k - 2}) \rtimes (\Z / N \Z)^2$ agit (cf. \cite{Kato}, \S $11$) sur $\E_{\Gamma(N)}^{(k - 2)}$ et sur $\mathcal{KS}_{\Gamma(N)}^{(k - 2)}$ ($\mathfrak{S}_{k - 2}$ agit en permutant les facteurs, $ \mu_2^{k - 2}$ par multiplication sur chaque coordonn�e et $(\Z / N \Z)^2$ par translation via la structure de niveau sur $\E_{\Gamma(N)}$). Soit $\epsilon \colon G \to \mu_2$ l'homomorphisme qui agit comme la signature sur $\mathcal{S}_{k - 2}$, le produit sur $\mu_2^{k - 2}$ et trivialement sur $(\Z / N \Z)^2$. Notons, pour $M$ un $G$-module quelconque, $M(\epsilon)$ l'ensemble des �l�ments sur lesquels $G$ agit � travers $\epsilon$. 

On dispose (cf. \cite{Scholl}) des identifications suivantes de $\Q[\mathrm{Gal}(\C / \R)]$-modules
\[ V_{k, \Q}(X(N)) \cong H^{k - 1}(\mathcal{KS}_{\Gamma(N)}^{(k - 2)}(\C), \Q)(\epsilon), \]
\[ V_{k, \Q}(Y(N)) \cong H^{k - 1}(\E_{\Gamma(N)}^{(k - 2)}(\C), \Q)(\epsilon), \]
et de $\qp$-repr�sentations de $\mathscr{G}_\Q$
\[ V_{k, \qp}(X(N)) \cong H^{k - 1}_{\text{�t}}(\mathcal{KS}^{(k - 2)}_{{\Gamma(N)}, {\overline{\mathbf{Q}}}}, \qp)(\epsilon), \]
\[ V_{k, \qp}(Y(N)) \cong H^{k - 1}_{\text{�t}}(\E^{(k - 2)}_{{\Gamma(N)}, \overline{\mathbf{Q}}}, \qp)(\epsilon). \]

Notons $H^*_{\mathrm{dR}}(-)$ la cohomologie de de Rham. On a (cf. \cite{Kato}, \S 11.2)
\[\mathrm{Fil}^i \, H^{k - 1}_{\mathrm{dR}}(\mathcal{KS}_{\Gamma(N)}^{(k - 2)})(\epsilon) = \left\{ 
\begin{array}{l l}
  H^{k - 1}_{\mathrm{dR}}(\mathcal{KS}_{\Gamma(N)}^{(k - 2)})(\epsilon) & \quad \text{si $i \leq 0$}\\
  S_k(X(N)) & \quad \text{si $1 \leq i \leq k - 1$} \\
  0 & \quad \text{si $i \geq k$}\\ \end{array} \right. \]
%\[\mathrm{Fil}^i H^{w - 1}_{\mathrm{log-dR}}(KS_N^{(w - 2)})(\epsilon) = \left\{ 
%\begin{array}{l l}
%  H^{w - 1}_{\mathrm{dR}}(KS_N^{(w - 2)})(\epsilon) & \quad \text{si $i \leq 0$}\\
%  M_k(X(N)) & \quad \text{si $1 \leq i \leq w - 1$} \\
%  0 & \quad \text{si $i \geq w$}\\ \end{array} \right. \]
En appliquant les morphismes de comparaison entre la cohomologie de Betti et la cohomologie de de Rham, on obtient un morphisme de p�riodes
\[ \mathrm{per} \colon S_k(X(N)) \otimes \C \to V_k(Y(N)) \otimes \C \]
qui commute aux op�rateurs de Hecke. C'est le morphisme de p�riodes de la th�orie d'Eichler-Shimura. En sp�cialisant en $f$ on a aussi
\[ \mathrm{per}_f \colon S(f) \otimes \C \to V_\C(f). \]
Finalement, si $\eta \colon (\Z/p^n\Z)^\times \to \C^\times$ est un caract�re de Dirichlet, $1 \leq r \leq k - 1$  et $\pm = (-1)^{k - r - 1} \eta(-1)$, on d�finit  $\mathrm{per}_{f, \eta} \colon S(f) \otimes_\Q \Q(\zeta_{p^n}) \to V_\C(f)^{\pm}$ par la formule
\[ \mathrm{per}_{f, \eta}(x \otimes y) = \sum_{a \in (\Z / p^n \Z)^\times} \eta(a) \sigma_a(y) \mathrm{per}_f(x)^\pm,  \]
o� $\mathrm{per}_f(x)^\pm = 1/2 (1 \pm \iota) \mathrm{per}_f(x)$ est la projection sur $V_\C(f)^\pm$.

On a de m�me des versions $p$-adiques de ce qui pr�c�de: $H^i_{\text{�t}}(\mathcal{KS}^{(k - 2)}_{\Gamma(N), \overline{\mathbf{Q}}_p}, \qp)$ est une repr�sentation de de Rham de $\mathscr{G}_\qp$ et on a un isomorphisme 

\begin{equation} \label{moddeRham} \DdR(H^i_{\text{�t}}(\mathcal{KS}^{(k - 2)}_{\Gamma(N), \overline{\mathbf{Q}}_p}, \qp)) \cong H^i_{\mathrm{dR}}(\mathcal{KS}_{\Gamma(N)}^{(k - 2)}) \otimes \qp
\end{equation}
respectant les filtrations. On a donc 
\[\mathrm{Fil}^i \, \DdR(V_{k, \qp}(X(N))) = \left\{ 
\begin{array}{l l}
  \DdR(V_{k, \qp}(X(N))) & \quad \text{si $i \leq 0$}\\
  S_k(X(N)) \otimes \qp & \quad \text{si $1 \leq i \leq k - 1$} \\
  0 & \quad \text{si $i \geq k$}\\ \end{array}. \right. \]


\subsubsection{Le syst�me d'Euler de Kato}

Le th�or�me suivant r�sume la construction de Kato du syst�me d'Euler associ� � une forme modulaire.

\begin{theorem}[\cite{Kato}, prop. 8.12, thm. 12.5] \label{thmKato} Soient $f \in S_k(\Gamma_1(N), \omega_f) \otimes \C$ comme ci-dessus, $r, j, c, d, m \in \Z$ tels que $m \geq 1$, $1 \leq r \leq k-1$ et $c, d \equiv 1$ modulo $N$, $(c, 6p) = (d, 6p) = 1$, $\xi \in \mathrm{SL}_2(\Z)$ et $S$ un ensemble fini de nombres premiers contenant $\mathrm{pr}(m N)$ \footnote{On note, pour $n \in \Z$, $\mathrm{pr}(n)$ l'ensemble des nombres premiers divisant $n$.}. Il existe alors des �l�ments \[ {}_{c, d} \mathbf{z}_m^{(p)}(\check{f}, j, r, \xi, S) \in H^1(\Q(\zeta_m), V_{\mathscr{O}_F}(\check{f})(k - j)) \] satisfaisant les propri�t�s suivantes:
\begin{enumerate}
\item Si $m' \geq 1$, $m | m'$ et $S'$ est un ensemble fini de nombres premiers contenant $S \cup \mathrm{pr}(m')$ tel que $\mathrm{pr}(cd) \cap S' = \emptyset$, alors l'application norme $$ H^1(\Q(\zeta_{m'}), V(\check{f})(k - j)) \to H^1(\Q(\zeta_{m}), V(\check{f})(k - j)) $$ envoie ${}_{c, d} \mathbf{z}_{m'}^{(p)}(\check{f}, j, r, \xi, S')$ vers \footnote{L'�l�ment $\sigma_l \in \mathrm{Gal}(\Q(\zeta_m) / \Q)$ correspond � la classe de $l$ modulo $m$.} $$ \big( \prod_{l \in S' - S} (1 - a_l \sigma_l^{-1} l^{-j} + \epsilon(l) \sigma_l^{-2} l^{k - 1 - 2j}) \big) \cdot {}_{c, d} \mathbf{z}_m^{(p)}(\check{f}, j, r, \xi, S). $$

\item Soit $\gamma = \delta(\check{f}, r, \xi)$ et notons, pour $\pm \in \{ \pm 1\}$, $\gamma^\pm \in V_\C(\check{f})^\pm$ sa projection. L'�l�ment $$ (c^2 - c^{k -r + 1} \sigma_c)^{-1} (d^2 - d^{r + 1} \sigma_d)^{-1} \big( \prod_{l | N} (1 - a_l l^{-k} \sigma_l^{-1})^{-1} \big) \cdot \big( {}_{c, d} \mathbf{z}_{p^n}^{(p)}(\check{f}, k, r, \xi, \mathrm{pr}(pN)) \big)_{n \geq 1} $$ ne d�pend pas du choix de $c$ et $d$ et d�finit un �l�ment \[ \mathbf{z}^{(p)}_{\gamma}(\check{f})(k - j) \in H^1_{\mathrm{Iw}}(\Q, V(\check{f})(k - j)) = \varprojlim_n H^1(\Q(\zeta_{p^n}), T(\check{f})(k-j)) \otimes L. \]

De plus, si l'on note $\mathbf{z}_\gamma^{(p)}(\check{f}) = \mathbf{z}^{(p)}_{\gamma}(\check{f})(0) \in H^1_{\mathrm{Iw}}(\Q, V(\check{f}))$, alors, pour tout $1 \leq j \leq k - 1$ et $n \geq 0$, l'�l�ment \[ \exp^*(\int_{\Gamma_n} \chi^{k - j} \cdot \mathbf{z}_\gamma^{(p)}(\check{f})) \in \mathrm{Fil}^{k-j} \, \DdR(V_{F_v}(\check{f})) =  S(\check{f}) \otimes_F L \otimes_\Q \Q(\zeta_{p^n}) \] appartient en fait � $S(\check{f}) \otimes_\Q \Q(\zeta_{p^n})$ et, pour tout caract�re $\eta \colon (\Z / p^n \Z)^\times \to \C^\times$ et $\pm = (-1)^{k - j - 1} \eta(-1)$, l'application $\mathrm{per}_{\check{f}, \eta}$ envoie son image vers $$ (2 \pi i)^{k - j - 1} \cdot L_{\{ p \} }(f, \eta, j) \cdot \gamma^{\pm}. $$
%Enfin, $\mathbf{z}_\gamma^{(p)}(\check{f})$ satisfait l'�quation $$ \mathbf{z}_{\iota(\gamma)}^{(p)}(\check{f}) = - \sigma_{-1}(\mathbf{z}_\gamma^{(p)})(\check{f}), $$ o� $\iota$ d�note l'action de la conjugaison complexe sur $V(\check{f})$.
\end{enumerate}

\end{theorem}

\begin{remarque} \leavevmode
\begin{itemize}
\item Par le lemme \ref{lemme1b}, on sait que l'image par l'application $\mathrm{per}_{\check{f}, \eta}$ de $ \exp^*(\int_{\Gamma_n} \chi^{k - j} \cdot \mathbf{z}_\gamma^{(p)}(\check{f}))$ n'est autre chose que \[ G(\eta)^{-1} \cdot \exp^* (\int_{\Gamma} \eta \chi^{k -j} \cdot \mathbf{z}_\gamma^{(p)}(\check{f}) ) \otimes \mathbf{e}^{\rm dR, \vee}_\eta, \] et la propri�t� du point $(2)$ du th�or�me se traduit par le fait que \[ G(\eta)^{-1} \cdot \exp^* (\int_{\Gamma} \eta \chi^{-j + 1} \cdot \mathbf{z}_\gamma^{(p)}(\check{f})(k - 1) ) \otimes \mathbf{e}^{\rm dR, \vee}_{\eta, -j + 1} = (2 \pi i)^{-j} L_{\{p\}}(f, \eta, j) \cdot (\check{f} \otimes \mathbf{e}^{\rm dR}_{k - 1}), \] o� $\check{f}$ est vu comme un g�n�rateur de $\mathrm{Fil}^1 \, \DdR(V(\check{f}))$ et donc $\check{f}  \otimes \mathbf{e}^{\rm dR}_{k - 1}$ est un g�n�rateur de $\mathrm{Fil}^1 \, \DdR(V(\check{f})(k - 1)) $.

\item La construction des �l�ments ${}_{c, d} \mathbf{z}_m^{(p)}(\check{f}, j, r, \xi, S)$ est faite dans \cite{Kato}, \S $8.11$, et le premier point est la proposition $8.12$ de \cite{Kato}. Le deuxi�me point est \cite{Kato}, th�or�me $12.5$, dont la d�monstration se trouve dans \cite{Kato}, \S $13.9$. Notons que dans \cite{Kato}, ce qu'ici on note $r$ y est not� $r'$ et $j$ y est not� $r$. L'�l�ment ${}_{c, d} \mathbf{z}_m^{(p)}(\check{f}, j, r, \xi, S)$ correspond donc, dans la notation de Kato, � ${}_{c, d} \mathbf{z}_m^{(p)}(\check{f}, r, r', \xi, S)$ dans la notation de \cite{Kato}.

%\item  Le premier point montre que $\mathbf{z}_\gamma^{(p)}(\check{f})$ d�finit un syst�me d'Euler, tandis que le deuxi�me fait le lien avec les valeurs sp�ciales de la fonction $L$ complexe, permettant de montrer que ce syst�me d'Euler n'est pas nul et de retrouver, � travers la machine de Perrin-Riou (cf. \cite{Kato}, \S $16$), la fonction $L$ $p$-adique de la forme modulaire $f$ en question.
%
%\item Les �l�ments $\delta(\check{f}, r, \xi)$ engendrent tout l'espace $V(\check{f})$ (th�or�me $13.6$ de \cite{Kato}), et, en prenant de combinaisons lin�aires, on peut d�finir une (unique) application $$ V(\check{f}) \to H^1_{\mathrm{Iw}}(V(\check{f})) \; \;  ; \; \; \gamma \mapsto \mathbf{z}_\gamma^{(p)}(\check{f}), $$ satisfaisant les propri�t�s de $(2)$.

%\item La construction des �l�ments z�ta (cf. \cite{Kato} \S $8.1$ - $8.11$) est assez universelle. On construit, � partir des unit�s dans la courbe modulaire (unit�s de Beilinson), des �l�ments dans les groupes de $K$-th�orie de ces courbes et on les fait descendre � la cohomologie galoisienne � coefficients dans $V_\zp(Y_1(N))$ par des morphismes de "classes de Chern". Tout ceci est ind�pendant de la forme $f$ et, finalement, on projette sur la composante correspondante. Cette ind�pendance en $f$ rend les syst�mes d'Euler compatibles si l'on varie la forme, dans un sens qui sera pr�cis� plus tard et qui nous permettra de passer d'une forme $f$ � ses twists par des caract�res de Dirichlet.
%
%\item Le lien entre le syst�me d'Euler et les valeurs sp�ciales de la fonction $L$ (cf. \cite{Kato} thm. 9.5, 9.6 et 9.7) est fait via une loi de r�ciprocit� de Kato (cf. \cite{Kato}, chap. 10.), en comparant deux applications exponentielles duales et en montrant que l'image par l'exponentielle duale de la version $p$-adique du syst�me d'Euler co�ncide avec le syst�me d'Euler sur l'espace des formes modulaires, ce dernier �tant reli� aux valeurs sp�ciales de la fonction z�ta de la courbe modulaire (ou de la fonction $L$ complexe de la forme modulaire). Ces calculs sont restreints au cas o� $1 \leq j \leq k-1$. Les r�sultats de Gealy que l'on verra plus loin permettent de compl�ter cette image en faisant le lien entre les �l�ments $\mathbf{z}^{(p)}_{\rm Kato}(\check{f}, -j, r, \xi, S)$, pour $j > 0$, et les valeurs sp�ciales de la fonction $L$ complexe en relevant ces �l�ments � la cohomologie motivique et en utilisant des r�sultats du style conjecture de Bloch-Kato.
\end{itemize}
\end{remarque}

\subsection{Conjecture de Bloch-Kato pour les formes modulaires, d'apr�s M. Gealy}

Soit \[ f = \sum_{n \geq 1} a_n q^n \in S_{k}(\Gamma_1(N), \omega_f) \otimes \C \] une forme primitive de niveau $\Gamma_0(N)$, $N \geq 5$, poids $k \geq 2$ et caract�re $\omega_f$. Nous d�crivons dans ce qui suit un r�sultat de M. Gealy (\cite{Gealy}) concernant la conjecture de Bloch-Kato pour le motif associ� � $f$. Ceci nous permettra, en utilisant les r�gulateurs $p$-adiques, de donner un sens $p$-adiques aux valeurs sp�ciales, en dehors de la bande critique, de la fonction $L$ complexe de la forme $f$. On aura besoin d'un certain nombre de rappels. 

\subsubsection{Motifs et cohomologie motivique}

Soit $K$ un corps de nombre dont on note $\mathscr{O}_K$ l'anneau des entiers et soient $X$ une vari�t� propre et lisse de dimension $d$ sur $K$, $S$ un ensemble de nombres premiers de sorte que $X$ ait bonne r�duction aux places $v$ de $K$ en dehors des �l�ments de $S$.

Soit $j > 0$. On s'attend � l'existence du motif $M(-j) = h^d(X)(-j)$ et de son dual $M^*(1 + j) = h^d(X)(d + 1 + j)$. En tout cas, on a des groupes de cohomologie motivique (cf. \cite{Voevodsky}, Lecture 3) bien d�finis $$ H^1(M^*(1 + j)) := H^{d + 1}_{\mathscr{M}}(X, d + 1 + j) = \mathbb{H}^{d + 1}_{\mathrm{Zar}}(X, \Q(d+1+j)), $$ o� $\Q(d+1+j)$ est le complexe de faisceaux motivique sur $X$ d�fini par Voevodsky et $\mathbb{H}^p_{\mathrm{Zar}}(X, -)$ d�note l'hypercohomologie pour la topologie de Zariski de ce complexe. Le groupe $H^1(M^*(1 + j))$ est un $\Q$-espace vectoriel conjecturalement de dimension finie. On pourrait aussi donner une d�finition en termes de $K$-th�orie en posant $H^{d + 1}_{\mathscr{M}}(X, d + 1 + j) = K_{d + 1 + 2j}(X)_\Q^{(d + 1 + j)}$ le $j$-i�me espace propre des op�rateurs d'Adams agissant sur le $\Q$-espace vectoriel $K_{d + 1 + 2j}(X)_\Q$ ou bien en termes de groupes de Chow sup�rieures.

\subsubsection{Cohomologie de Deligne}

Pour $q \geq 0$ un entier, consid�rons le complexe $$ \R(q)_\mathcal{D} = (2 \pi i)^q \R \to \mathcal{O}_{X_{\C, \rm an}} \to \Omega^1 \to \hdots \to \Omega^{q - 1} $$ support� en d�gr�es $[0, q]$, o� $X_{\C, \mathrm{an}}$ d�note l'analytification de $X_\C = X \times \mathrm{Spec} \; \C$. On d�finit la cohomologie de Deligne comme la hypercohomologie du complexe ci-haut: $$ H^p_\mathscr{D}(X_\C, \R(q)) := \mathbb{H}^p(X_{\C, \mathrm{an}}, \R(q)_\mathcal{D}), $$ et, si $X$ est d�finie sur $\R$, $$ H^p_\mathscr{D}(X, \R(q)) := \mathbb{H}^p_{\mathscr{D}}(X_{\C, \mathrm{an}}, \R(q))^+, $$ o� ${}^+$ d�note les �l�ments fixes par l'action diagonale de la conjugaison complexe agissant sur $X_{\C, \mathrm{an}}$ et sur $\R(q)_{\mathscr{D}}$. On pose $$ H^1_{\mathscr{D}}(M^*(1 + j)) := H^{d + 1}_\mathscr{D}(X, \R(d + 1 + j)). $$

Soient \footnote{$\Omega^\bullet$ d�note le complexe des formes diff�rentielles.}, pour $p, q \geq 0$ des entiers, $$ H^p_{\mathrm{B}}(X, \R(q)) = H^p_{\mathrm{sing}}(X_{\C, \mathrm{an}}, (2 \pi i)^q \R), $$ $$ H^p_{\mathrm{dR}}(X) = H^p_{\mathrm{Zar}}(X_{\C, \mathrm{an}}, \Omega^{\bullet}) $$ les groupes de cohomologie de Betti et les groupes de cohomologie de de Rham munis de leur filtration usuelle. On d�finit, comme pr�c�demment, les groupes \[ H^p_{\mathrm{B}}(X_\R, \R(q)) := H^p_{\mathrm{B}}(X, \R(q))^+, \;\;\; H^p_{\mathrm{dR}}(X_\R) := H^p_{\mathrm{dR}}(X)^+. \] On a alors une suite exacte courte 
\[ 0 \to \mathrm{Fil}^q \, H^p_{\mathrm{dR}}(X_\R) \to H^p_\mathrm{B}(X_\R, \R(q - 1)) \to H^{p+1}_\mathcal{D}(X, \R(q)) \to 0. \] En particulier, comme $j > 0$, en posant $p = d + 1, q = d + 1  + j$ dans la suite ci-dessus et en remarquant que $\mathrm{Fil}^{d + 1 + j} \, H^{d + 1}_{\mathrm{dR}}(X_\R) = 0$, on obtient une description de la cohomologie de Deligne $$ H^1_{\mathscr{D}}(M^*(1 + j)) = H^{d}_\mathrm{B}(X_\R, \R(d + j)). $$

%Enfin, la suite ci-dessus permet de munir $\mathrm{det} (H^{p+1}_\mathcal{D}(X, \R(q)))$ d'une $\Q$-structure $\mathcal{B}_{p, q}$ en posant $$ \mathcal{B}_{p, q} = \mathrm{det}(H^p_\mathrm{B}(X_\R, \Q(q - 1))) \otimes \mathrm{det}(F^q H^p_\mathrm{dR}(X_\R / \Q))^{-1}. $$

\subsubsection{Cohomologie �tale}

Soient \[ M_p(-j) = H^d_{\text{�t}}(X_{\overline{K}}, \qp(-j)), \] \[ M^*_p(1 + j) = H^d_{\text{�t}}(X_{\overline{K}}, \qp(d + 1 + j))\]  la r�alisation �tale $p$-adique du motif $M(-j)$ et celle de son dual. On note $$ H^1_{\text{�t}}(M^*(1 + j)) = H^1_{\text{�t}}(\mathscr{O}_K[1/Sp], M^*_p(1 + j)) $$ le premier groupe de cohomologie �tale du motif $M^*(1 + j)$.

\subsubsection{R�gulateurs}

Notons $$ r_\infty \colon H^1(M^*(1 + j)) \otimes_\Q \R \to H^1_{\mathscr{D}}(M^*(1 + j)), $$ $$  r_{\text{�t}} \colon H^1(M^*(1 + j)) \otimes_\Q \qp \to H^1_{\text{�t}}(M^*(1 + j)), $$ les r�gulateurs vers les cohomologies de Deligne et �tale du motif $M^*(1 + j)$.

\subsubsection{Fonction $L$ de $X$}

La fonction $L$ associ�e � $M$ est d�finie comme $$ L_S(M, s) = \prod_{v \nmid S} L_v(M, s)^{-1}, $$ o� $v$ parcourt les places de $K$ qui ne vivent pas au-dessus d'une place de $S$ et o� les facteurs locaux $L_v(M, s)$ sont d�finis par la formule $$ L_v(M, s) = \mathrm{det}(1 - \mathrm{Fr}_v (\mathbf{N}v)^{-s} | M_p^{I_v}) $$ pour une place $v \nmid p$, o� $I_v \subseteq \mathrm{Gal}(\overline{K}_v / K_v)$ est le sous-groupe d'inertie et $\mathrm{Fr}_v$ le Frobenius g�om�trique en $v$ et $$ L_v(M, s) = \det(1 - \varphi^{-1} (\mathbf{N} v)^{-s} | \Dcris(M_p)) $$ si $v \mid p$. On a les conjectures habituelles sur cette fonction $L$: ind�pendance en $p$ du facteur $L_l$, prolongement m�romorphe �  $\C$ et une �quation fonctionnelle reliant $L(M, s)$ et $L(M^*(1), 1 - s)$. En admettant ces conjectures, on a 
\[ \mathrm{ord}_{s = 0} \; L(M, s) = \mathrm{dim}_\R \; H^1_\mathscr{D}(M^*(1)). \] Si $j \geq 0$, on a $L(M(-j), s) = L(h(X), s - j)$ et, en rempla�ant $M$ par $M(-j)$, la formule ci-dessus donne l'ordre d'annulation de la fonction $L$ du motif $h(X)$ en $s = -j$ en termes de la dimension de $H^1_\mathscr{D}(M^*(1 + j))$.

%\subsubsection{Conjecture de Bloch-Kato}
%
%\begin{conjecture}
%Soient $X, S, j > 0$ comme pr�c�demment. Supposons que $L_S(M, s)$ ademet un prolongement analytique � $\C$ et que, pour tout $v \in S$, on a $L_v(M, 0) \neq 0$. Soit $\delta$ une base du $\Q$-espace vectoriel $H^{d + 1}_\mathrm{B}(X_\R, \Q(d + j)) \subseteq H^1_{\mathscr{D}}(M^*(1))$. Alors
%\begin{enumerate}
%\item $r_\infty$ et $r_{\text{�t}}$ sont des isomorphismes.
%\item $\dim_\Q H^1(M^*(1)) = \mathrm{ord}_{s = 0} L_S(M, s). $
%\item Il existe une base $\xi$ du $\Q$-espace vectoriel $H^1(M^*(1))$ telle que $$ r_\infty(\xi) = L_{S \cup \{ p \} }^*(M, 0) \cdot \delta, $$ o� $L_{S \cup \{p\} }^*(M, 0)$ d�note le premier coefficient non-nul du d�veloppement de Taylor de $L_{S \cup \{p\} }(M, s)$ en $s = 0$.
%\end{enumerate}
%\end{conjecture}

\subsubsection{Une variante de la conjecture de Bloch-Kato}

Soit $CH^d(X \times X) \otimes_\Z \Q$ le groupe de Chow des cycles de codimension $d$ de $X \times X$ modulo �quivalence rationnelle, vu comme le groupe d'endomorphismes du motif de Chow associ� � $X$. Soit $A$ une sous-$\Q$-alg�bre commutative stable par transposition de $CH^d(X \times X) \otimes_\Z \Q$. Soient $F$ un corps de nombres, $\lambda \colon A \to F$ un caract�re et $\overline{\lambda} \colon A \to F$ la compos�e de $\lambda$ avec la transposition. Fixons des immersions $F \to \C$ ainsi que $F \to \overline{\Q}_p$.

L'alg�bre $A$ agit sur les groupes de cohomologie associ�s au motif $M^*(1 + j)$ et on a, pour tout $j \geq 0$, des groupes $H^1_{?}(M^*(1 + j)) \otimes_A \overline{\lambda}$, pour $? \in \{ \mathscr{M}, \mathscr{D}, \text{�t} \}$, ainsi que $L_{S}(M \otimes_A \lambda, s)$ et des r�gulateurs $$ r_\infty \otimes_A \overline{\lambda} \colon (H^1_{\mathscr{M}}(M^*(1 + j)) \otimes_A \overline{\lambda}) \otimes \R \to  (H^1_{\mathscr{D}}(M^*(1 + j)) \otimes_A \overline{\lambda}), $$ $$ r_{\text{�t}} \otimes_A \overline{\lambda} \colon (H^1_{\mathscr{M}}(M^*(1 + j)) \otimes_A \overline{\lambda}) \otimes \qp \to  (H^1_{\text{�t}}(M^*(1 + j)) \otimes_A \overline{\lambda}). $$

\begin{conjecture}
Soient $X, S, A, \lambda, j \geq 0$ comme pr�c�demment. Supposons que $L_S(M \otimes_A \lambda, s)$ admet un prolongement analytique � $\C$ et que, pour tout $v \in S$, on a $L_v(M \otimes_A \lambda, 0) \neq 0$. Alors
\begin{enumerate}
\item $r_\infty \otimes_A \overline{\lambda}$ et $r_{\text{�t}} \otimes_A \overline{\lambda}$ sont des isomorphismes.
\item $\dim_\Q H^1(M^*(1 + j)) \otimes_A \overline{\lambda} = \mathrm{ord}_{s = -j} L_S(M \otimes_A \lambda, s). $
\item Soit $\delta$ une base du $\Q$-espace vectoriel $  H^{d}_\mathrm{B}(X_\R, \Q(d + j)) \subseteq H^{d}_\mathrm{B}(X_\R, \R(d + j)) = H^1_{\mathscr{D}}(M^*(1 + j)) $. Il existe une base $\xi$ du $\Q$-espace vectoriel $H^1(M^*(1 + j)) \otimes_A \overline{\lambda}$ telle que $$ (r_\infty \otimes_A \overline{\lambda}) (\xi) = L_{S \cup \{ p \} }^*(M \otimes_A \lambda, -j) \cdot (\delta \otimes_A \overline{\lambda}), $$ o� $L_{S \cup \{p\} }^*(M \otimes_A \lambda, -j)$ d�note le premier coefficient non nul du d�veloppement de Taylor de $L_{S \cup \{p\} }(M \otimes_A \lambda, s)$ en $s = -j$.
\end{enumerate}
\end{conjecture}


\subsubsection{Le motif d'une forme modulaire}

Soient $f = \sum_{n \geq 1} a_n q^n \in S_{k}(\Gamma_1(N), \omega_f) \otimes \C$, $\check{f} = \sum_{n \geq 1} \overline{a}_n q^n \in S_{k}(\Gamma_1(N), \omega_f^{-1}) \otimes \C$, $F = \Q(\{ a_n: n \geq 1\})$, $v$ une place de $F$ au dessus de $p$, $L = F_v$ comme pr�c�demment et soit $j > 0$ un entier. Notons $\mathbf{T}$ la $\Q$-alg�bre engendr�e par les op�rateurs de Hecke $T_l$, $l \nmid N$ et $\lambda \colon \mathbf{T} \to F$, $\overline{\lambda} \colon \mathbf{T} \to F$ les caract�res associ�s � $f$ et � $\check{f}$.

Rappelons que $Y_1(N)$ d�note la courbe modulaire de niveau $\Gamma_1(N)$ et notons $\mathcal{KS}_{\Gamma_1(N)}^{(k-2)}$ la $k-2$-i�me vari�t� de Kuga-Sato de niveau $\Gamma_1(N)$. Soit $\epsilon$ l'idempotent comme d�crit dans \ref{repgal}. On pose $M = M(f)$ le motif associ� � la forme $f$, de sorte que $M^*(1) = M(\check{f})(k)$. On a une description des groupes de cohomologie (cf. \cite{Scholl}, \cite{Sch-Den} ou \cite{Gealy2}, chap. 2)
\[ H^1(M^*(1 + j)) = H_{\mathscr{M}}^{k}(\mathcal{KS}_{\Gamma_1(N)}^{(k-2)}, k + j)(\epsilon) \otimes_{\mathbf{T}} \overline{\lambda}, \]
\[ H^1_{\mathscr{D}}(M^*(1 + j)) = H_{\mathscr{D}}^{k}(\mathcal{KS}_{\Gamma_1(N)}^{(k - 2)}, \R(k + j))(\epsilon) \otimes_{\mathbf{T}} \overline{\lambda}, \]
\[ H^1_{\text{�t}}(M^*(1 + j)) = H^1(\Q, H^{k-1}_{\text{�t}}(\mathcal{KS}_{\Gamma_1(N), \overline{\Q}}^{(k-2)}, \qp)(k + j)(\epsilon) \otimes_{\mathbf{T}} \overline{\lambda}), \]

On remarque qu'on a aussi

\[ H^1(M^*(1 + j)) = H_{\mathscr{M}}^{k}(\E_{\Gamma_1(N)}^{(k-2)}, k + j)(\epsilon) \otimes_{\mathbf{T}} \overline{\lambda}, \]
\[ H^1_{\mathscr{D}}(M^*(1 + j)) = H_{\mathscr{D}}^{k}(\E_{\Gamma_1(N)}^{(k - 2)}, \R(k + j))(\epsilon) \otimes_{\mathbf{T}} \overline{\lambda}, \]
\begin{eqnarray*}
H^1_{\text{�t}}(M^*(1 + j)) &=& H^1(\Q, H^{k-1}(\E_{\Gamma_1(N), \overline{\Q}}^{(k-2)}, \qp)(k + j)(\epsilon) \otimes_{\mathbf{T}} \overline{\lambda}), \\
&=& H^1(\Q, H^1(Y_1(N)_{\overline{\Q}}, \mathrm{Sym}^{k-2} \mathscr{H}_\qp)(k + j) \otimes_{\mathbf{T}} \overline{\lambda}.
\end{eqnarray*}


\subsubsection{�l�ments motiviques}

Soient $e_1, e_2$ les �l�ments de la base canonique de $\mathscr{E}_{\Gamma(N)}[N] \cong (\Z / N \Z)^2$ correspondant � la base canonique $(1, 0)$ et $(0, 1)$ de $(\Z / N \Z)^2$. On voit ces �l�ments dans l'alg�bre de groupe $\Q[(\Z / N \Z)^2]$. Si $l \geq 0$, on pose $$ \Q^{(l)}[(\Z / N \Z)^2] = \{ \psi \colon (\Z / N \Z)^2 \to \Q: \psi(-c, -d) = (-1)^l \psi(c, d) \}, $$ $$ \Q[\mathbf{Isom}]^{(l)} = \{ f \colon {\matrice * * 0 1} \backslash \mathrm{GL}_2(\Z / N \Z) \to \Q: f(-g) = (-1)^l f(g) \} . $$

Soit $$ \varrho^l \colon \Q^{(l)}[(\Z / N \Z)^2] \to \Q[\mathbf{Isom}]^{(l)} $$ l'application horosph�rique \footnote{cf. \cite{Gealy2}, chap. 3, et les r�f�rences indiqu�es l� pour tous les objets introduits dans la suite.} d�finie par $$ \varrho^l(\psi)(g) = \frac{N^l + 1}{l + 2} \sum_{t = (t_1, t_2) \in (\Z / N \Z)^2} \psi(g^{-1} t) B_{l + 2}(t_2 / N), $$ o� ${\matrice a b c d} (t_1, t_2) = (a t_1 + b t_2, c t_1 + d t_2)$ et $B_k$ est le $k$-i�me polyn�me de Bernoulli. Notons aussi \[ \varrho^l \colon \Q[(\Z / N \Z)^2] \to \Q^{(l)}[(\Z / N \Z)^2] \to \Q[\mathbf{Isom}]^{(l)}, \] o� la premi�re fl�che est la projection.

On a des applications de r�sidu $\mathrm{GL}_2$-�quivariantes \[ \mathrm{Res}^l \colon H_\mathscr{M}^{l + 1}(\mathscr{E}_{\Gamma(N)}^{(l)}, l + 1) \to \Q[\mathbf{Isom}]^{(l)} \] et une inverse � droite, les symboles d'Eisenstein \[ \mathrm{Eis}^l \colon \Q[\mathbf{Isom}]^{(l)} \to H_\mathscr{M}^{l + 1}(\mathscr{E}_{\Gamma(N)}^{(l)}, l + 1). \]

Enfin, notons, pour $k_1, k_2 \in \N$ tels que $k_1 + k_2 = k - 2$, $\pi_1 \colon \mathscr{E}_{\Gamma(N)}^{(k_1 + j + k_2)} \to \mathscr{E}_{\Gamma(N)}^{(k_1 + j)}, \pi_2 \colon\mathscr{E}_{\Gamma(N)}^{(k_1 + j + k_2)} \to \mathscr{E}_{\Gamma(N)}^{(j + k_2)}$ et $\pi \colon \mathscr{E}_{\Gamma(N)}^{(k_1 + j + k_2)} \to \mathscr{E}_{\Gamma(N)}^{(k_1+ k_2)}$ les projections, respectivement, sur les premi�res $k_1 + j$ coordonn�es, les derni�res $j + k_2$ coordonn�es, et les $k_1 + k_2$ coordonn�es des 'extr�mit�s' (i.e en omettant les $j$ coordonn�es du milieu). Soit $j \colon Y(N) \to Y_1(N)$ donn�e sur le probl�me de modules en oubliant la premi�re section canonique de torsion. Pour $1 \leq r \leq k-1$, fixons $k_1 = r - 1$ et $k_2$ tel que $k_1 + k_2 = k - 2$, et posons $$ \mathscr{Z}(k, j, r) = j_* \, \epsilon \circ \pi_*( \pi_1^* \mathrm{Eis}^{k_1 + j}(\varrho^{k_1 + j}(e_1)) \cup \pi_2^* (\mathrm{Eis}^{j + k_2} (\varrho^{j + k_2}(e_2) ) ) \in H^{k}_{\mathscr{M}}(\mathscr{E}_{\Gamma(N)}^{(k - 2)}, k + j) (\epsilon). $$

Si $\xi \in \mathrm{SL}_2(\Z)$, on pose \[ \mathscr{Z}(\check{f}, j, r, \xi) = \xi^* ( \mathscr{Z}(k, j, r) ) \otimes_{\mathbf{T}} \overline{\lambda} \in H^1(M^*(1 + j)). \] Enfin, comme dans \cite{Kato} (cf. les remarques apr�s le th�or�me \ref{thmKato}), on sait (\cite{Kato}, thm. 13.6) que les symboles modulaires $\delta(k, r, \xi)$ (resp. $\delta(\check{f}, r, \xi)$), $1 \leq r \leq k -1$, $\xi \in \mathrm{SL }_2(\Z)$ engendrent $V_{k, \Z}(Y(L))$ (resp. $V_{\mathscr{O}_L}(\check{f}))$ sur $\Z$ (resp. sur $\mathscr{O}_L$), ce qui nous permet, en prenant des combinaisons lin�aires des �l�ments $\mathscr{Z}(\check{f}, j, r, \xi)$, de d�finir, pour tout $\gamma \in V_L(\check{f})$, \[ \mathscr{Z}(\check{f}, j, \gamma) \in H^1(M^*(1 + j)). \] 

\begin{proposition} [\cite{Gealy2}, thm. 4.1.1] \label{GealyBK}  Soient $\xi \in \mathrm{SL}_2(\Z)$ et $\delta = \delta(\check{f}, r, \xi)$. Alors \[ r_\infty (\mathscr{Z}_{\rm Kato}(\check{f}, j, r, \xi)) = L^{(N), *}(f, \eta^{-1}, -j) \cdot \delta, \] o� $L^{(N), *}(f, \eta^{-1} -j)$ d�note le coefficient principal de la s�rie de Taylor en $s = -j$ de la fonction $L$ de $f$ sans ses facteurs en les places divisant $N$. 
\end{proposition}
\end{comment}
%%%%% END COMMENT

\subsubsection{Cohomologie syntomique} \label{plongement}

Les groupes de cohomologie syntomique $H^k_{\rm syn}(X_h, r)$ d'un schema s�par� de type fini $X$ sur un corps $p$-adique, ainsi que des morphismes de p�riodes syntomiques \[ \rho_\mathrm{syn} \colon \mathbf{R} \Gamma_{\mathrm{syn}}(X_h, r) \to \mathbf{R}\Gamma_{\textrm{�t}} (X_{\text{�t}}, \qp(r)), \] et des morphismes de r�alisation $p$-adiques (ou syntomiques) \[ r_p \colon H^i_{\mathscr{M}}(X, r) \to H^i_{\rm syn}(X_h, r), \] de la cohomologie motivique vers la cohomologie syntomique compatibles avec les morphismes de p�riodes syntomiques et les r�alisations �tales, ont �t� d�finis dans \cite{NN} (cf. \cite[Thm. A]{NN}).

Soient $X = \mathcal{KS}_{\Gamma_1(N)}^{k-2}$, $j \geq 0$ et $r = k + j$ (et donc $\mathrm{Fil}^r \, H^{k-1}_{\rm dR}(\mathcal{KS}_{\Gamma_1(N)}^{(k-2)}) = 0$). On a $H^k_{\rm syn}(X_h, r) \cong H^{k - 1}_{\rm dR}(X) = \DdR(H^{k - 1}_{\text{�t}}(X_{\overline{\Q}_p}, \qp))$ (cf. \cite[rem. 4.14]{NN} et le diagramme qui le pr�c�de pour la premi�re �galit� et \cite[Eq. 11.3.3]{Kato} pour la deuxi�me) et, en appliquant le projecteur $\epsilon$, en projetant sur la partie correspondante � la forme $\check{f} \otimes \eta$ et en tordant, on obtient des r�gulateurs $p$-adiques \[ r_p \colon H^1(M^*(1 + j)) \to \DdR(V(\eta \chi^{j + 1})). \] La proposition \cite[Prop. 4.13]{NN}, avec $q = k - 1$ (et $r = j + k$) se traduit alors en la relation \[ \exp \circ \; r_p = r_{\text{�t}}, \] qui nous sera tr�s utile dans la suite.

%Soit $i \geq 1$. La composition
%\[ H^{i - 1}_\mathrm{dR}(X) / \mathrm{Fil}^r \, H^{i - 1}_\mathrm{dR}(X) \xrightarrow{\partial} H^i_{\mathrm{syn}}(X_h, r) \xrightarrow{\rho_{\mathrm{syn}}} H^i_{\text{�t}}(X, \qp(r)) \to H^i_{\text{�t}}(X_{\overline{\Q}_p}, \qp(r)) \] est nulle et l'application qui se d�duit de la suite spectrale de Hochschild-Serre syntomique
%\[ H^{i-1}_{\mathrm{dR}}(X) / \mathrm{Fil}^r \, H^{i - 1}_\mathrm{dR}(X) \to H^1(K, H^{i - 1}_\text{�t}(X_{\overline{\Q}_p}, \qp(r))) \] co�ncide avec l'application exponentielle de Bloch-Kato de la repr�sentation $H^{i - 1}_\text{�t}(X_{\overline{\Q}_p}, \qp(r))$ du groupe de Galois absolu $\mathscr{G}_K$ de $K$.
%\begin{displaymath}
%    \xymatrix{
%    H^{d + 1}_{\mathrm{syn}}(X_{K, h}, j) \ar[r]^{\rho_{\mathrm{syn}}} \ar[d] & H^{d+1}_{\text{�t}}(X_{K, \text{�t}}, \qp(j)) \ar[d] \\
%    H^1_{\mathrm{st}}(\mathscr{G}_K, H^d_{\text{�t}}(X_{\overline{K}}, \qp(r)) ) \ar[r]^{\exp} & H^1(\mathscr{G}_K, H^d_{\text{�t}}(X_{\overline{K}}, \qp(r)) )  }
%\end{displaymath}

%Citons les r�sultats concernant la cohomologie syntomique des vari�t�s lisses dont on aura besoin.

%\begin{theorem} [\cite{NN}, thm. A, prop. 1.1 + prop. 4.13] \label{NN}
%Soit $K$ un corps $p$-adique et soit $X$ une vari�t� (i.e un sch�ma s�par� de type fini) sur $K$. Il existe une $\qp$-alg�bre gradu�e canonique $\mathbf{R} \Gamma _{\mathrm{syn}}(X_h, *)$ \footnote{$X_h$ d�note le fait que l'on prend la cohomologie dans la $h$-topologie: c'est la topologie plus grossi�re qui est plus fine que la topologie de Zariski et la topologie propre (recrouvrements par des morphismes propres), cf. \cite{NN}, \S $2.3$.}, commutative et gradu�e, satisfaisant les propri�t�s suivantes:
%\begin{enumerate}
%\item  $\mathbf{R} \Gamma _{\mathrm{syn}}(X_h, *)$ est fonctorielle en $X$.
%\item On a des morphismes fonctoriels de p�riodes syntomiques
%\[ \rho_\mathrm{syn} \colon \mathbf{R} \Gamma_{\mathrm{syn}}(X_h, r) \to \mathbf{R}\Gamma_{\textrm{�t}} (X_{\text{�t}}, \qp(r))\]
%\item On a des r�alisations fonctorielles \[ \mathrm{r}_{p} \colon H^i_{\mathscr{M}}(X, r) \to H^i_{\rm syn}(X_h, r), \] de la cohomologie motivique de Voevodsky vers la cohomologie syntomique compatibles avec le morphisme de p�riodes syntomique et les r�alisations �tales.
%\item Si $X = \mathrm{Spec}(K)$, alors $$ H^i_{\mathrm{syn}}(X_h, r) \cong H^i_{\mathrm{st}}(K, \qp(r)), $$ o� $H^i_{\mathrm{st}}(K, -)$ d�note $\mathrm{Ext}^i(\qp, -)$ dans la cat�gorie des repr�sentations potentiellement semi-stables de $\mathscr{G}_K$.
%\item On a une suite spectrale de Hochschild-Serre syntomique 
%\[ {}^\mathrm{syn} E^{i, j}_2 = H^i_{\mathrm{st}}(K, H^j_{\text{�t}}(X_{\overline{K}}, \qp(r)) ) \implies H^{i + j}_{\mathrm{syn}}(X_h, r) \] analogue � la suite spectrale �tale
%\[ {}^\text{�t} E^{i, j}_2 = H^i(K, H^j_{\text{�t}}(X_{\overline{K}}, \qp(r)) ) \implies H^{i + j}_{\text{�t}}(X, r) \]
%et un morphisme canonique de suites spectrales ${}^{\mathrm{syn}} E_k \to {}^{\text{�t}}E_k$ compatible avec le morphisme de p�riodes syntomiques.
%%\item On a des classes de Chern syntomiques $$ ch_{i, j}^{\mathrm{syn}}: K_j(X) \to H^{2i - j}_{\mathrm{syn}}(X_h, i) $$ compatibles avec les classes de Chern �tales via le morphisme de p�riodes syntomique
%\item Soit $i \geq 1$. La composition
%\[ H^{i - 1}_\mathrm{dR}(X) / \mathrm{Fil}^r \, H^{i - 1}_\mathrm{dR}(X) \xrightarrow{\partial} H^i_{\mathrm{syn}}(X_h, r) \xrightarrow{\rho_{\mathrm{syn}}} H^i_{\text{�t}}(X, \qp(r)) \to H^i_{\text{�t}}(X_{\overline{\Q}_p}, \qp(r)) \] est nulle et l'application qui se d�duit de la suite spectrale de Hochschild-Serre syntomique
%\[ H^{i-1}_{\mathrm{dR}}(X) / \mathrm{Fil}^r \, H^{i - 1}_\mathrm{dR}(X) \to H^1(K, H^{i - 1}_\text{�t}(X_{\overline{\Q}_p}, \qp(r))) \] co�ncide avec l'application exponentielle de Bloch-Kato de la repr�sentation $H^{i - 1}_\text{�t}(X_{\overline{\Q}_p}, \qp(r))$ du groupe de Galois absolu $\mathscr{G}_K$ de $K$.
%%\begin{displaymath}
%%    \xymatrix{
%%    H^{d + 1}_{\mathrm{syn}}(X_{K, h}, j) \ar[r]^{\rho_{\mathrm{syn}}} \ar[d] & H^{d+1}_{\text{�t}}(X_{K, \text{�t}}, \qp(j)) \ar[d] \\
%%    H^1_{\mathrm{st}}(\mathscr{G}_K, H^d_{\text{�t}}(X_{\overline{K}}, \qp(r)) ) \ar[r]^{\exp} & H^1(\mathscr{G}_K, H^d_{\text{�t}}(X_{\overline{K}}, \qp(r)) )  }
%%\end{displaymath}
%\end{enumerate}
%\end{theorem} 

%Remarquons que, pour une repr�sentation de de Rham $V$, le module $H^1_{\mathrm{st}}(\qp, V)$ des classes d'�quivalences d'extensions de repr�sentations de $\mathscr{G}_\qp$ de de Rham de $\qp$ par $V$ s'identifie au groupe de Selmer $H^1_{\mathrm{g}}(\qp, V) = \mathrm{ker}(H^1(\qp, V) \to H^1(\qp, V \otimes_\qp \BdR))$, qui n'est autre chose que le noyau de l'application exponentielle duale $\mathrm{exp}^*_{V} \colon H^1(\qp, V) \to \DdR(V)$, et s'identifie (au moins si $1$ n'est pas une valeur propre du Frobenius agissant sur $\Dcris(V)$) au dual de $\DdR(V) / \mathrm{Fil}^0 \DdR(V)$ vu dedans $H^1(\qp, V)$ via l'application exponentielle.

%En particulier, consid�rons $X = \mathcal{KS}_{\Gamma_1(N)}^{(k-2)}$ et $j > 0$, $i = k$ et $r = k + j$ (et donc $\mathrm{Fil}^r \, H^{i-1}_{\rm dR}(\mathcal{KS}_{\Gamma_1(N)}^{(k-2)}) = 0$). Alors $H^k_{\rm syn}(X_h, r) \cong H^{k - 1}_{\rm dR}(X) = \DdR(H^{k - 1}_{\text{�t}}(X_{\overline{Q}_p}, \qp))$ (cf. \cite{NN}, rem. 4.14 et le diagramme qui le pr�c�de pour la premi�re �galit� et \eqref{moddeRham} pour la deuxi�me) et, en appliquant le projecteur $\epsilon$ et en projetant sur la partie correspondante � la forme $\check{f}$, on obtient, pour $j \geq 0$, des r�gulateurs $p$-adiques \[ r_p \colon H^1(M^*(1 + j)) \to \DdR(M_p^*(1 + j)). \] Le dernier point du th�or�me \cite{NN} se traduit alors en \[ \exp \circ \; r_p = r_{\text{�t}}. \]

\subsection{Plongements $p$-adiques des valeurs sp�ciales} \label{transmutation}

Soient $f$ comme ci-dessus et $\eta \colon \zpe \to L^\times$ d'ordre fini, vu comme un caract�re de Dirichlet en fixant un isomorphisme entre $\overline{\Q}_p$ et $\C$. La proposition \ref{GealyBK} nous permet, en utilisant les r�gulateurs $p$-adiques, de donner un sens $p$-adique aux valeurs sp�ciales de la fonction $L$ complexe associ�e � $f$ en dehors de la bande critique.

%\subsubsection{Transmutation} 

Notons \[ D = D(\check{f})(k-1), \] qui est de Rham � poids de Hodge-Tate $0$ et $ k -1$. On a, inspir�s de la proposition \ref{GealyBK}, envie de voir les �l�ments $r_p ( \mathscr{Z}_{\rm Kato}(\check{f} \otimes \eta, j, r, \xi) ) \in \DdR(D(\eta \chi^{j + 1}))$ comme les transmutations des valeur sp�ciales $L(f, \eta^{-1}, j)$ en $p$-adique. Or, comme on l'a d�j� remarqu�, afin de construire une fonction interpolant ces valeurs, il faut les voir tous dans un m�me module. Rappelons que, pour $\eta$ un caract�re de Dirichlet, on a \[ \Lambda_\infty(f, \eta^{-1}, s) = \frac{\Gamma(s)}{(2 i \pi)^s} \cdot L(f, \eta^{-1}, s). \]

\begin{definition} \label{defplong} On pose \footnote{Notons que, dans la formule, on "mutiplie" et "divise" par la somme de Gauss de $\eta$, de sorte qu'elle n'a moralement aucun effet. Le terme $2 i \pi$ correspond, dans le monde $p$-adique, � l'�l�ment $t$ de Fontaine, apparaissant dans le facteur $\mathbf{e}^{\rm dR, \vee}_{\eta, j + 1}$. Enfin, le facteur $\Gamma^*(j)$ est le coefficient principal de la s�rie de Laurent de $\Gamma(s)$ en $s = -j$, o� elle a un p�le simple.}, pour $j \geq 0$, \[ \iota_p(\Lambda_\infty(f, \eta^{-1}, -j)) = \Gamma^*(-j) \cdot G(\eta) \cdot r_p ( \mathscr{Z}(\check{f} \otimes \eta, j, r, \xi) ) \otimes \mathbf{e}^{\rm dR, \vee}_{\eta, j + 1} \in \DdR(D). \]
\end{definition}

\subsection{Interpolation} Dans cette section, on d�montre que les constructions faites dans les chapitres pr�c�dents nous permettent d'interpoler les plongements $p$-adiques des valeurs sp�ciales de la fonction $L$ complexe de $f$ d�finis dans \ref{transmutation}. Ceci constitue la preuve du th�or�me \ref{thmeaea} annonc� au d�but du chapitre. On d�montre d'abord, en utilisant un deuxi�me r�sultat de Gealy reliant les classes de cohomologie motiviques $\mathscr{Z}(\check{f} \otimes \eta, j, r, \xi)$ au syst�me d'Euler de Kato et le th�or�me \ref{propfin}, les propri�t�s d'interpolation des valeurs sp�ciales aux entiers n�gatifs. On sait d�j�, d'apr�s les r�sultats de Kato, que les valeurs interpol�es par notre fonction dans la bande critique s'interpr�tent bien en termes des valeurs sp�ciales complexes. Finalement, en utilisant une �quation fonctionnelle du syst�me d'Euler de Kato �tablie par Nakamura et l'�quation fonctionnelle du th�or�me \ref{eqfonct3}, on obtiendra dans la section suivante une interpr�tation des valeurs sp�ciales aux entiers positifs $j \geq k - 1$, ce qui donne une image compl�te des valeurs interpol�es par la fonction $L$ $p$-adique d'une forme modulaire.

\subsubsection{Rel�vement motivique des �l�ments de Kato}
%
%Faisons encore quelques rappels sur les constructions des �l�ments de Kato. En partant des unit�s de Beilinson des courbes modulaires, Kato construit (cf. \cite{Kato}, 8.1), pour $N \geq 3$, $k \geq 2$, $j \in \Z$, $1 \leq r \leq k-1$ et pour des entiers auxiliaires $c, d$ tels que $(cd, 6pN) = 1$, des �l�ments \[ {}_{c, d} \mathbf{z}_N^{(p)}(k, j, r) \in H^1(\Q, V_{k, \zp}(Y(N))(k-j)), \] satisfaisant certaines relations par rapport aux normes quand l'on varie le niveau $N$ (cf. \cite{Kato}, prop. 8.7).

Rappelons que, pour chaque $\gamma \in V_L(\check{f})$, on a des �l�ments dans la cohomologie d'Iwasawa \[ \mathbf{z}_\gamma^{(p)}(\check{f})(k + j) =  (\mathbf{z}_{p^n}^{(p)}(\check{f}, -j, \gamma))_{n \geq 1}  \in H^1_{\rm Iw}(\Q, V(\check{f})(k + j)) \] construits par Kato (cf. \cite[Thm. 12.5]{Kato}).


\begin{proposition} [{\cite[Prop. 9.1.1]{Gealy2}}] \label{Gealy2} Soit $\gamma \in V_L(\check{f})$. Alors \[ r_{\text{�t}}(\mathscr{Z}(\check{f} \otimes \eta, j, \gamma)) = \int_\Gamma 1 \cdot \mathbf{z}_\gamma^{(p)}(\check{f} \otimes \eta)(k + j). \]
\end{proposition}

\begin{remarque} \leavevmode
\begin{itemize}
\item La proposition 9.1.1 de \cite{Gealy2} montre le r�sultat pour $\gamma = \delta(\check{f}, r, \mathrm{id})$. Le cas $\gamma = \delta(\check{f}, r, \xi)$ quelconque s'en d�duit des compatibilit�s des r�alisations par des correspondances alg�briques et de la d�finition des �l�ments z�ta, et le cas d'un �l�ment $\gamma$ quelconque suit par lin�arit�.
\item Remarquons que, par construction, $\mathbf{z}_\gamma^{(p)}(\check{f} \otimes \eta)(k + j) = \mathbf{z}_\gamma^{(p)}(\check{f})(k) \otimes e_\eta \otimes e_{j} $ et la proposition ci-dessus s'exprime donc aussi comme \[ r_{\text{�t}}(\mathscr{Z}(\check{f} \otimes \eta, j, \gamma)) = \int_\Gamma \eta \chi^{j} \cdot \mathbf{z}_\gamma^{(p)}(\check{f})(k). \] 
\end{itemize}
\end{remarque}

\subsubsection{Interpolation aux entiers n�gatifs}

Notons \[ D(f) = \D_{\rm rig}(V_L(f) \mid_{\mathscr{G}_\qp}),  \;\;\; D(\check{f})  = \D_{\rm rig}(V_L(\check{f}) \mid_{\mathscr{G}_\qp}) \in \Phi\Gamma^{\text{�t}}(\Robba) \] les $(\varphi, \Gamma)$-modules associ�s aux formes $f$ et $\check{f}$. Rappelons que l'on a pos� $D = D(\check{f})(k - 1)$, qui est de Rham � poids de Hodge-Tate $0$ et $k - 1$, et notons \[ \mathbf{z}_{\rm Kato} = \mathrm{Exp}^*(\mathbf{z}_\gamma^{(p)}(\check{f})(k - 1)) \in \Drig(V(\check{f})(k - 1)))^{\psi = 1} = D^{\psi = 1}. \]

\begin{lemme} \label{eaea2} Soit $j \geq 0$. On a \[ \Lambda_{D, \mathbf{z}_{\rm Kato}}(\eta \chi^{-j - 1}) = p^{-nj} \; G(\eta)^{-1} \cdot \iota_p(\Lambda_\infty(f, \eta^{-1}, -j)). \]
\end{lemme}

\begin{proof}

%Par construction du syst�me d'Euler, on sait que \[ \mathbf{z}_\gamma^{(p)}(\check{f} \otimes \eta)(k -j) =  \mathbf{z}_\gamma^{(p)}(\check{f})(k - 1) \otimes e_\eta \otimes e_{j + 1} = \mu_{\mathbf{z}_{\rm Kato}} \otimes e_\eta \otimes e_{j + 1}. \] 
En utilisant le th�or�me \ref{Gealy2} et la remarque qui le suit, on obtient
\[ \exp^{-1} (r_{\text{�t}} ( \mathscr{Z}(\check{f} \otimes \eta, j, \gamma))) = \exp^{-1}(\int_\Gamma \eta \chi^{j + 1} \cdot \mu_{\mathbf{z}_{\rm Kato}}). \]

%&=& \exp^{-1}(\int_\Gamma 1 \cdot \mu_{\mathbf{z}_\gamma^{(p)}(\check{f})(k + j)}) \\
%&=& \exp^{-1}(\int_\Gamma 1 \cdot \mu_{\mathbf{z}_{\rm Kato} \otimes e_\eta \otimes e_{j + 1}}) \\
%&=& \exp^{-1}(\int_\Gamma \eta \chi^{j + 1} \cdot \mu_{\mathbf{z}_{\rm Kato}}),
%\end{eqnarray*}
d'o�, par la compatibilit� entre le r�gulateur $p$-adique et le r�gulateur �tale, on en d�duit
\begin{eqnarray*}
\iota_p(\Lambda_\infty(f, \eta^{-j}, -j)) &=& \Gamma^*(-j) \; G(\eta) \cdot r_p ( \mathscr{Z}(\check{f} \otimes \eta, j, \gamma) ) \otimes \mathbf{e}^{\rm dR, \vee}_{\eta, j + 1} \\
&=& \Gamma^*(-j) \; G(\eta) \cdot \exp^{-1}(\int_\Gamma \eta \chi^{j + 1} \cdot \mathbf{z}_{\rm Kato}) \otimes \mathbf{e}^{\rm dR, \vee}_{\eta, j + 1}
\end{eqnarray*}

Par ailleurs, le th�or�me \ref{propfin} affirme que \[ \Lambda_{D, \mathbf{z}_{\rm Kato}}(\eta \chi^{-j - 1}) = p^{-nj} \; \Gamma^*(-j) \cdot \exp^{-1}(\int_\Gamma \eta \chi^{j + 1} \cdot \mu_{\mathbf{z}_{\rm Kato}}) \otimes \mathbf{e}^{\rm dR, \vee}_{\eta, j + 1}, \] d'o� le r�sultat.
\end{proof}

\subsubsection{La bande critique}

Si $0 \leq j \leq k -1$, on pose \[ \iota_p(\Lambda_\infty(f, \eta^{-1}, j + 1)) = \Gamma^*(j + 1) \; G(\eta) \cdot \exp^*(\int_\Gamma \eta \chi^{-j} \cdot \mu_{\mathbf{z}_{\rm Kato}}) \otimes \mathbf{e}^{\rm dR, \vee}_{\eta, -j}. \] On sait, d'apr�s \cite[Thm. 12.5]{Kato}, que les images de ces valeurs par l'application de p�riodes sont reli�es aux valeurs sp�ciales de la fonction $L$ de $f$. Le lemme suivant est imm�diat

\begin{lemme} Soit $0 \leq j \leq k-1$. Alors \[ \Lambda_{D, \mathbf{z}_{\rm Kato}}(\eta \chi^j) = p^{n(j + 1)} \; G(\eta)^{-1} \cdot \iota_p( \Lambda_\infty(f, \eta^{-1}, j + 1)). \]
\end{lemme}

\subsection{�quation fonctionnelle et valeurs aux entiers positifs}

Pour l'interpr�tation $p$-adique des valeurs $L(f, \eta, j)$, $j \geq k$, on fera appel � l'�quation fonctionnelle de la fonction $L$ locale, qui s'av�ra fortement ressemblante � l'�quation fonctionnelle complexe.

\subsubsection{L'�quation fonctionnelle complexe}

Notons $\mathbf{A}_\Q$ le groupe des ad�les de $\Q$. Soit $\eta \colon \zpe \to L^\times$ un caract�re d'ordre fini. On regarde $\eta$ comme un caract�re de Dirichlet (via $L^\times \subseteq \overline{\Q}_p^\times \cong \C^\times$) ainsi que comme un caract�re de Hecke de la fa�on usuelle \footnote{Si $\eta \colon \zpe \to L^\times$ est de conducteur $p^n$, il est vu comme un caract�re des id�les en utilisant la d�composition $\mathbf{A}_\Q = \Q^\times \times \R^{> 0} \times \widehat{\Z}^\times$. Le caract�re de $\qpe$ induit par $\eta$ est $\eta$ (avec $\eta(p) = 1$) et, si $\ell \neq p$, celui de $\Q_\ell^\times$ est l'unique caract�re non-ramifi� caract�re prenant la valeur $\eta^{-1}(\overline{\ell})$ en $\ell$, o� $\overline{\ell} \in \zpe$ est n'importe quel rel�vement de la classe de $\ell$ modulo $p^n$.}. La forme $f \otimes \eta$ est supercuspidale et on note \[ \pi(f \otimes \eta) = {\bigotimes}_\ell' \pi_\ell(f \otimes \eta) \] la repr�sentation automorphe de $\mathrm{GL}_2(\mathbf{A}_\Q)$ associ�e � $f \otimes \eta$. On a $\pi(f \otimes \eta) = \pi(f) \otimes \eta = {\bigotimes}'_\ell \pi_\ell(f) \otimes \eta$. Notons $\epsilon(\pi(f) \otimes \eta, s)$ le facteur epsilon global de la repr�sentation $\pi(f \otimes \eta)$ d�fini par \footnote{Le produit �tant fini car $\pi_\ell(f \otimes \eta)$ est non ramifi�e en presque toute place} \[ \epsilon(\pi(f)\otimes \eta, s) = \epsilon(\pi_\infty(f) \otimes \eta, s) \cdot \prod_\ell \epsilon(\pi_\ell(f) \otimes \eta, s), \] o� $\epsilon( \pi_\ell(f) \otimes \eta, s)$ est le facteur epsilon de la repr�sentation $\pi_\ell(f) \otimes \eta$ de $\mathrm{GL}_2(\Q_l)$, comme d�crit dans \S \ref{replisses}, et $\epsilon(\pi_\infty(f) \otimes \eta, s) = i^k$.

La fonction $L$ complexe satisfait l'�quation fonctionnelle \footnote{Le d�calage en $\frac{k-1}{2}$ provient du fait que les facteurs locaux des repr�sentations de $\mathrm{GL}_2$ sont normalis�s de sorte que le centre de sym�trie de l'�quation fonctionnelle des fonctions $L$ soit situ� en $1/2$, tandis que celui des fonctions $L$ automorphes l'est en $\frac{k}{2}$.} \[ \frac{\Gamma(s)}{(2 \pi)^s} \cdot L(f, \eta^{-1}, s) = \epsilon( \pi(f) \otimes \eta^{-1}, s - \frac{k-1}{2}) \cdot \frac{\Gamma(k - s)}{(2 \pi)^{k - s}} \cdot L(\check{f}, \eta, k - s). \] Si $j \geq k$ est un entier, on peut �crire l'�quation fonctionnelle sous la forme \[ \frac{\Gamma(j)}{(2 i \pi)^j} \cdot L(f, \eta^{-1}, j) = i^k (-1)^{-j} \epsilon( \pi(f) \otimes \eta^{-1} \otimes |\cdot|^{j - \frac{k-1}{2}}) \cdot \frac{\Gamma(k - j)}{(2 i \pi)^{k - j}} \cdot L(\check{f}, \eta, k - j), \] ou bien \[ \Lambda_\infty(f, \eta^{-1}, j) = i^k (-1)^{-j} \epsilon( \pi(f) \otimes \eta^{-1} \otimes |\cdot|^{j - \frac{k-1}{2}}) \cdot \Lambda_\infty(\check{f}, \eta, k - j).\] En d�composant le facteur epsilon, on peut r��crire l'�quation fonctionnelle sous la forme suivante:
\[ \Lambda_\infty(f, \eta^{-1}, j) = (-1)^{k-j} \epsilon(\pi_p(f) \otimes \eta^{-1} \otimes |\cdot|^{j - \frac{k-1}{2}}) \cdot \prod_{\ell \mid N' }\epsilon( \pi_\ell(f) \otimes \eta^{-1} \otimes |\cdot|^{j - \frac{k-1}{2}}) \cdot \Lambda_\infty(\check{f}, \eta, k - j).\] Remarquons pour finir que, si l'on �crit $N = N' p^r$, alors, pour $p \neq \ell \mid N$, on a l'�galit�
\[ \epsilon( \pi_\ell(f) \otimes \eta^{-1} \otimes |\cdot|^{j - \frac{k-1}{2}}) = \epsilon(\pi_\ell(f)) \, \eta(\ell)^{c(\pi_\ell(f))} \, \ell^{-c(\pi_\ell(f))(j - \frac{k-1}{2})}, \] 
et, en utilisant le fait que le conducteur de $\pi_\ell(f)$ est $\ell^{v_\ell(N)}$, on en d�duit
\[ \prod_{\ell \mid N'} \epsilon( \pi_\ell(f) \otimes \eta^{-1} \otimes |\cdot|^{j - \frac{k-1}{2}}) = \eta(N') (N')^{\frac{k-1}{2} - j} \, \prod_{\ell \mid N'} \epsilon(\pi_\ell(f)). \]

%D'apr�s le th�or�me de Gealy, on dispose aussi des �l�ments \[ \mathscr{Z}(f \otimes \eta^{-1}, j - k, r, \xi)  \in H^1(M(f \otimes \eta^{-1})(k)(j - k)) \] tels que \[ r_\infty (\mathscr{Z}(f, j - k, r, \xi)) = L^{(N), *}(\check{f}, \eta^{-1}, k - j) \cdot \delta^*, \] ce qui sugg�re d'utiliser, via l'�quation fonctionnelle complexe, ces �l�ments pour d�finir les plongements $p$-adiques des valeurs $L(f, \eta^{-1}, j)$, quand $j \geq k$.
%
%Notons que $r_p(\mathscr{Z}_{\rm Kato}(f, j - k, r, \xi)) \in \DdR(M_p(f \otimes \eta^{-1})(j)) = \DdR(\check{D}(\eta^{-1} \chi^j)) = \DdR(D) \otimes \mathbf{e}^{\rm dR}_{\eta^{-1}, j, \omega_D^{-1}}.$ Remarquons aussi que les facteurs locaux apparaissant dans l'�quation fonctionnelle peuvent, en rajoutant suffisamment de racines de l'unit� au corps $L$, �tre vus dans $L$. On pose alors, pour $j \geq k$,
%\begin{eqnarray*}
%\iota_p( \Lambda_\infty(f, \eta^{-1}, j)) &=& (-1)^{k - j} \epsilon( \pi(f) \otimes \eta \otimes |\cdot|^{j - \frac{k- 1}{2}}) \cdot \Omega \cdot \iota_p(\Lambda_\infty(\check{f}, \eta^{-1}, k - j)) \otimes \mathbf{e}^{\rm dR, \vee}_{\omega_D^{-1}} \\
%&=& C \cdot r_p( \mathscr{Z}(f \otimes \eta^{-1}, j - k, r^*, \xi^*)) \otimes \mathbf{e}^{\rm dR, \vee}_{\eta^{-1}, j, \omega_D^{-1}}
%\end{eqnarray*}
%o� \[ C = (-1)^{k - j} \epsilon( \pi(f) \otimes \eta \otimes |\cdot|^{j - \frac{k- 1}{2}}) \cdot G(\eta^{-1}) \cdot \Omega \cdot \Gamma^*(k - j).  \]


\subsubsection{L'�quation fonctionnelle du syst�me d'Euler de Kato, d'apr�s Nakamura}

�crivons $N = N'p^r$, $(N',N)=1$. Si $\gamma \in V(\check{f})$, notons $\check{\gamma} \in V(f)$ l'�l�ment dual � $\gamma \otimes e_k$ sous l'accouplement parfait $V(\check{f})(k) \times V(f) \to L$ donn� par la dualit� de Poincar�.

On note
\[ \mathbf{z}_{\rm Kato} = \mathrm{Exp}^*(\mathbf{z}_\gamma^{(p)}(\check{f})(k-1)) \in D(\check{f})(k-1)^{\psi = 1} = D^{\psi = 1}, \] 
\[ \check{\mathbf{z}}_{\rm Kato} = \mathrm{Exp}^*(\mathbf{z}_{\check{\gamma}}^{(p)}(f)(k-1)) \in D(f)(k-1)^{\psi = 1} = \check{D}(k-2)^{\psi = 1}, \] 
\[ \mathbf{z}_{\rm Kato}^* = w_D(\mathbf{z}_{\rm Kato}) \in \check{D}^{\psi = 1} \] les tordus des syst�mes d'Euler associ�s aux formes $\check{f}$ et $f$ et l'image par l'involution de $\mathbf{z}_{\rm Kato}$ (cf. \S \ref{eqfonctknot}), respectivement.

\begin{proposition} [{\cite[Conj. 4.4; Thm. 4.6; Prop. 4.7]{Nakamura2}}] \label{eqfonctNakamura} Notons $[N'] = \prod_{\ell \mid N'} [\sigma_\ell]^{v_\ell(N')} \in \Lambda$. Alors 
\[ \mathbf{z}_{\rm Kato}^* = - \prod_{\ell \mid N'} \epsilon(\pi_\ell(\check{f}) \otimes |\cdot|^{\frac{k - 1}{2}})^{-1} \cdot ([N'] \cdot (\check{\mathbf{z}}_{\rm Kato} \otimes e_{2-k})). \]
\end{proposition}

\begin{remarque} \leavevmode
\begin{itemize}
\item \cite[Conj. 4.4]{Nakamura2} est �nonc� en termes de facteurs epsilon des repr�sentations de Weil-Deligne. Sa d�monstration (dans le cas de Rham non triangulin) est bas�e sur la compatibilit� locale-globale dans la correspondance de Langlands $p$-adique et \cite[Prop. 3.14]{Nakamura2}. Cette derni�re proposition peut �tre �nonc�e naturellement (cf. thm. \ref{eqfonct1b}) en termes de facteurs locaux des repr�sentations de $\mathrm{GL}_2(\qp)$. La preuve de la proposition ne ferait donc pas usage de la compatibilit� locale-globale et elle resterait donc purement locale.

\item Il faut faire un peu d'attention car les normalisations des facteurs locaux dans ce travail ne co�ncident pas avec celles de \cite{Nakamura2}. Comme on l'a remarqu�, dans le texte pr�sent, les facteurs locaux des repr�sentations lisses sont normalis�s de sorte que l'�quation fonctionnelle de la fonction $L$ soit centr�e en $s = 1/2$, tandis que, dans \cite{Nakamura2}, elle est centr�e en $s = \frac{k}{2}$. La diff�rence entre les facteurs locaux est donc un twist par $| \cdot |^{\frac{k - 1}{2}}$.

%\item Le r�sultat ci-dessus devrait, dans le cas triangulin, pouvoir �tre d�duit de l'�quation fonctionnelle de la fonction $L$ $p$-adique de la forme modulaire (cf. \cite{MTT}, section 17, cor. 2). La construction d'un syst�me d'Euler de Kato universel permettrait, par des arguments de prolongement analytique, d'en d�duire la proposition � partir du cas triangulin.
\end{itemize}
\end{remarque}

\subsubsection{L'�quation fonctionnelle de la fonction $L$ $p$-adique} L'�quation fonctionnelle du syst�me d'Euler de Kato et l'�quation fonctionnelle \ref{eqfonct3} nous permettent d'interpr�ter les valeurs aux entiers positifs de la fonction $\Lambda_{D, \mathbf{z}_{\rm Kato}}$.

\begin{theorem} \label{eqfonct4}
Soit $j > 0$ un entier. Alors
\[ \Lambda_{D, \mathbf{z}_{\rm Kato}}(\eta \chi^{j}) =  C(f, \eta, j) \cdot \Lambda_{\check{D}(k-2), \check{\mathbf{z}}_{\rm Kato}}(\eta^{-1} \chi^{-j+k-2}) \otimes \mathbf{e}^{\rm dR, \vee}_{k-1, \omega_D^{-1}}, \]
o�
\[ C(f, \eta, j) = \Omega \, p^n \, \epsilon(\eta \otimes | \cdot |^{-j + \frac{k - 1}{2}})^2 \epsilon(\pi_p(\check{f}) \otimes \eta \otimes | \cdot |^{-j + k - 1})^{-1} \cdot \prod_{\ell \mid N'} \epsilon(\pi_\ell(\check{f}) \otimes \eta^{-1} \otimes |\cdot|^{-j + \frac{k - 1}{2}})^{-1}. \]
\end{theorem}

\begin{proof}
En appliquant le th�or�me \ref{eqfonct3} (avec $k - 1$ au lieu de $k$, $\eta^{-1}$ au lieu de $\eta$ et $-j + k - 2$ au lieu de $j$), on obtient
\begin{equation} \label{tratra1} \Lambda_{D, \mathbf{z}_{\rm Kato}}(\eta \chi^j) = C_1 \cdot \Lambda_{\check{D}(k-2), \mathbf{z}_{\rm Kato}^*(k - 2)}(\eta^{-1} \chi^{-j+k-2}) \otimes \mathbf{e}^{\rm dR, \vee}_{k-2, \omega_D^\vee},
\end{equation}
o� \[ C_1 = - \Omega \, p^{-n(k - 2)} \epsilon(\eta \otimes | \cdot |^{-j})^{2} \epsilon(\pi \otimes \eta \otimes | \cdot |^{-j})^{-1}. \] Observons que
\[ p^{-n(k - 2)} \epsilon(\eta \otimes | \cdot |^{-j})^{2} = p^n (p^{-n (\frac{k - 1}{2})} \epsilon(\eta \otimes | \cdot |^{-j}))^2 = p^n \epsilon(\eta \otimes | \cdot |^{-l + \frac{k - 1}{2}})^2. \]
Comme $\pi = \pi(D) = \pi_p(\check{f}) \otimes | \cdot |^{k - 1}$, on en d�duit
\[ C_1 = - \Omega \, p^n \, \epsilon(\eta \otimes | \cdot |^{-l + \frac{k - 1}{2}})^2 \epsilon(\pi_p(\check{f}) \otimes \eta \otimes | \cdot |^{-j + k - 1})^{-1}. \]

%Si le conducteur de $\eta$ est assez grand, alors le conducteur de $\pi \otimes \eta$ est $2n$, d'o� \[ C_1 = - \Omega \, \big(\epsilon(\eta)^{-2} \epsilon(\pi \otimes \eta \otimes | \cdot |^{\frac{k - 2}{2} - 1 }) \big)^{-1}. \]

D'apr�s le th�or�me \ref{propfin}, on a
\[ \Lambda_{\check{D}(k-2), \mathbf{z}_{\rm Kato}^*(k - 2)}(\eta^{-1} \chi^{-j+k-2}) = \Gamma^*(-j + k - 1) p^{n(-j + k - 1)} \cdot \log(\int_\Gamma \eta^{-1} \chi^{j - k + 2} \cdot \mu_{\mathbf{z}_{\rm Kato}^*(k - 2)}) \otimes \mathbf{e}^{\rm dR, \vee}_{\eta^{-1}, j - k + 2}.  \] On a
\begin{eqnarray*}
\int_\Gamma \eta^{-1} \chi^{j - k + 2} \cdot \mu_{\mathbf{z}_{\rm Kato}^*(k - 2)} &=& \int_\Gamma \eta^{-1} \chi^j \cdot \mu_{\mathbf{z}_{\rm Kato}^*} \\
&=&  - \prod_{\ell \mid N'} \epsilon(\pi_\ell(\check{f}) \otimes |\cdot|^{\frac{k - 1}{2}})^{-1} \cdot \int_\Gamma \eta^{-1} \chi^j \cdot \mu_{[N']( \check{\mathbf{z}}_{\rm Kato}(2 - k))} \\
&=& - \prod_{\ell \mid N'} \epsilon(\pi_\ell(\check{f}) \otimes |\cdot|^{\frac{k - 1}{2}})^{-1} \, \eta(N') (N')^{-j} \cdot \int_\Gamma \eta^{-1} \chi^{j-k+2} \cdot \mu_{\check{\mathbf{z}}_{\rm Kato}},
\end{eqnarray*}
o� on a utilis� la proposition \ref{eqfonctNakamura} dans la deuxi�me �galit�, et la d�finition de l'action de $\Lambda = \zp[[\zpe]]$ sur $D^{\psi = 1}$ dans la troisi�me. En utilisant l'�galit�
\[ \prod_{\ell \mid N'} \epsilon(\pi_\ell(\check{f}) \otimes |\cdot|^{\frac{k - 1}{2}}) \, \eta^{-1}(N') (N')^j = \prod_{\ell \mid N'} \epsilon(\pi_\ell(\check{f}) \otimes \eta^{-1} \otimes |\cdot|^{-j + \frac{k - 1}{2}}), \] on en d�duit
\begin{equation} \label{tratra2}
\Lambda_{\check{D}(k-2), \mathbf{z}_{\rm Kato}^*(k - 2)}(\eta^{-1} \chi^{-j+k-2}) = - \prod_{\ell \mid N'} \epsilon(\pi_\ell(\check{f}) \otimes \eta^{-1} \otimes |\cdot|^{-j + \frac{k - 1}{2}})^{-1} \cdot \Lambda_{\check{D}(k-2), \check{\mathbf{z}}_{\rm Kato}}(\eta^{-1} \chi^{-j+k-2}). 
\end{equation}

En rassemblant les formules \eqref{tratra1} et \eqref{tratra2}, on d�duit le r�sultat.
%on obtient
%\[ \Lambda_{D, \mathbf{z}_{\rm Kato}}(\eta \chi^{j}) = \Omega \, p^{n(2 - k)} \omega_{\pi(D)}(c_{\eta^{-1}}) \, \prod_{l \mid N'} \epsilon(\pi_l(\check{f}) \otimes \eta \otimes |\cdot|^{ j + \frac{k - 1}{2}}) \cdot \Lambda_{\check{D}(k-1), \check{\mathbf{z}}_{\rm Kato}}(\eta^{-1} \chi^{-j+k-2}) \otimes \mathbf{e}^{\rm dR, \vee}_{k-1, \omega_D^\vee}. \] 
%
%Remarquons finalement que, par la proposition \ref{BHepsilon}, $\omega_{\pi(D)}(c_\eta) = \epsilon(\eta)^2 \epsilon(\pi(D) \otimes \eta)^{-1}$, et, en utilisant que $\pi(D) = \pi_p(\check{f}) \otimes |\cdot|^{k-1}$ et le fait (cf. \cite{Atkin}, thm. 3.1) que le conducteur de $\pi_p(\check{f} \otimes \eta)$, pour $\eta$ de conducteur $p^n$, $n > r$, est $p^{2n}$, on en d�duit la formule \[ p^{-n(k - 1)} \epsilon(\pi(D) \otimes \eta)^{-1} = \epsilon(\pi_p(\check{f}) \otimes \eta \otimes |\cdot|^{\frac{k-1}{2}})^{-1}. \] Enfin, la formule $\epsilon(\eta)^{2} = p^{-n} G(\eta^{-1})^2$ permet de conclure.

%En appliquant le th�or�me \ref{eqfonct3} (noter que $D$ est � poids de Hodge-Tate $0$ et $k-1$ et donc le $k$ du th�or�me change!), on obtient
%\[ \Lambda_{D, \mathbf{z}_{\rm Kato}}(\eta \chi^j) = - \Omega \cdot p^{-n(k - 2)} \omega_{\pi(D)}(c_\eta) \cdot \Lambda_{\check{D}(k-1), \mathbf{z}_{\rm Kato}^* \otimes e_{k - 1}}(\eta^{-1} \chi^{-j+k-1}) \otimes \mathbf{e}^{\rm dR, \vee}_{k-1, \omega_D^{-1}}. \]
%Par ailleurs, par d�finition de l'action de $\Lambda = \zp[[\zpe]]$ sur $D^{\psi = 1}$, on sait que
%\begin{eqnarray*}
%\int_\Gamma \eta^{-1} \chi^{j-k+1} \cdot \mu_{([N'] \cdot \check{\mathbf{z}}_{\rm Kato} \otimes e_{2-k}) \otimes e_{k-1}} &=& \int_\Gamma \eta^{-1} \chi^{j} \cdot \mu_{[N'] \cdot (\check{\mathbf{z}}_{\rm Kato} \otimes e_{2-k})} \\
%&=& \eta(N') (N')^{-j} \int_\Gamma \eta^{-1} \chi^{j} \cdot \mu_{\check{\mathbf{z}}_{\rm Kato} \otimes e_{2-k}} \\
%&=& \eta(N') (N')^{-j} \int_\Gamma \eta^{-1} \chi^{j - k + 2} \cdot \mu_{\check{\mathbf{z}}_{\rm Kato}},
%\end{eqnarray*}
%d'o�, en utilisant la proposition \ref{eqfonctNakamura}, on d�duit \[ \Lambda_{\check{D}(k-1), \mathbf{z}_{\rm Kato}^* \otimes e_{k-1}}(\eta^{-1} \chi^{-j+k-1}) = - \prod_{l \mid N'} \epsilon(\pi_l(\check{f}) \otimes |\cdot|^{\frac{k - 1}{2}}) \cdot \eta(N') (N')^{-j} \cdot \Lambda_{\check{D}(k-1), \check{\mathbf{z}}_{\rm Kato}}(\eta^{-1} \chi^{-j+k-1}). \] En rassemblant ces formules, on obtient
%\[ \Lambda_{D, \mathbf{z}_{\rm Kato}}(\eta \chi^{j}) = \Omega \cdot p^{-n(k - 2)} \omega_{\pi(D)}(c_\eta) \cdot \prod_{l \mid N'} \epsilon(\pi_l(\check{f}) \otimes \eta \otimes |\cdot|^{ j + \frac{k - 1}{2}}) \cdot \Lambda_{\check{D}(k-1), \check{\mathbf{z}}_{\rm Kato}}(\eta^{-1} \chi^{-j+k-2}) \otimes \mathbf{e}^{\rm dR, \vee}_{k-1, \omega_D^{-1}}. \] 
%
%Remarquons finalement que, par la proposition \ref{BHepsilon}, $\omega_{\pi(D)}(c_\eta) = \epsilon(\eta)^2 \epsilon(\pi(D) \otimes \eta)^{-1}$, et, en utilisant que $\pi(D) = \pi_p(\check{f}) \otimes |\cdot|^{k-1}$ et le fait (cf. \cite{Atkin} thm. 3.1) que le conducteur de $\pi_p(\check{f} \otimes \eta)$, pour $\eta$ de conducteur $p^n$, $n > r$, est $p^{2n}$, on en d�duit la formule \[ p^{-n(k - 1)} \epsilon(\pi(D) \otimes \eta)^{-1} = \epsilon(\pi_p(\check{f}) \otimes \eta \otimes |\cdot|^{\frac{k-1}{2}})^{-1}. \] Enfin, la formule $\epsilon(\eta)^{2} = p^{-n} G(\eta^{-1})^2$ permet de conclure.
\end{proof}

\begin{remarque}
Notons que, pour $j > k - 2$, les valeurs du c�t� droite de la formule du th�or�me s'interpr�tent en termes des valeurs sp�ciales de la fonction $L$ complexe de $\check{f}$. En utilisant l'�quation fonctionnelle complexe on peut traduire ceci et donner une formule d'interpolation de la fonction $L$ $p$-adique en termes de valeurs sp�ciales complexes en tout entier $j \in \Z$.
\end{remarque}

%\subsubsection{Interpolation aux entiers $\geq k$} \label{entierspositifs}
%
%On obtient, comme corollaire de l'�quation fonctionnelle ci-dessus, le r�sultat suivant, qui donne une interpr�tation des valeurs interpol�s aux entiers positifs par la fonction $\Lambda_{D, \mathbf{z}_{\rm Kato}}$.
%
%\begin{lemme} \label{lala2} Soit $j \geq k$. Alors \[ \Lambda_{D, \mathbf{z}_{\rm Kato}}(\eta \chi^j) = p^{n(j + 1)} G(\eta)^{-1} \cdot C \cdot \iota_p(\Lambda_\infty(\check{f}, \eta, k - j - 1)) \otimes \mathbf{e}^{\rm dR}_{k - 1, \omega_D^{-1}}, \] o� \[ C = \eta(-1) \; \Omega \cdot \epsilon(\pi_p(\check{f}) \otimes \eta \otimes |\cdot|^{-j + k-1})^{-1} \cdot \prod_{l \mid N'} \epsilon(\pi_l(\check{f}) \otimes \eta \otimes |\cdot|^{j + \frac{k - 1}{2}}) . \]
%\end{lemme}
%
%\begin{proof}
%On a, par le lemme \ref{eaea2} appliqu� � $\check{\mathbf{z}}_{\rm Kato}$, \[ \Lambda_{\check{D}(k-1), \check{\mathbf{z}}_{\rm Kato}}(\eta^{-1} \chi^{-j + k - 2}) = p^{-n(j - k + 1)} \; G(\eta^{-1})^{-1}\cdot \iota_p(\Lambda_\infty(\check{f}, \eta, -j + k -1)). \] Par ailleurs, $G(\eta^{-1}) = G(\eta)^{-1} \eta(-1) p^n$ et on peut donc �crire \[ p^{-n(j - k + 1)} \; G(\eta^{-1}) \cdot \epsilon(\pi_p(\check{f}) \otimes \eta \otimes |\cdot|^{\frac{k-1}{2}})^{-1} = p^{n(j + 1)} \, G(\eta)^{-1} \, \eta(-1) \cdot \epsilon(\pi_p(\check{f}) \otimes \eta \otimes |\cdot|^{-j + k-1})^{-1}, \] ce qui permet de conclure.
%\end{proof}
%
%Le r�sultat ci-dessus nous am�ne � poser \[ \iota_p(\Lambda_\infty(f, \eta^{-1}, j + 1)) = C \cdot \iota_p(\Lambda_\infty(\check{f}, \eta, k - j - 1)) \otimes \mathbf{e}^{\rm dR}_{k - 1, \omega_D^{-1}}, \] \[ C = \eta(-1) \, \Omega \cdot \epsilon(\pi_p(\check{f}) \otimes \eta \otimes |\cdot|^{- j + k-1})^{-1} \cdot \prod_{l \mid N'} \epsilon(\pi_l(\check{f}) \otimes \eta \otimes |\cdot|^{j + \frac{k - 1}{2}}), \] et le lemme se traduit, par d�finition, en la formule \[ \Lambda_{D, \mathbf{z}_{\rm Kato}}(\eta \chi^j) = p^{-n(j + 1)} G(\eta)^{-1} \cdot \iota_p(\Lambda_\infty(f, \eta^{-1}, j + 1)), \;\;\; j \geq k. \]
%
%\subsubsection{La bande critique}
%
%Si $0 \leq j \leq k -1$, on pose \[ \iota_p(\Lambda_\infty(f, \eta^{-1}, j + 1)) = \Gamma^*(j) \; G(\eta) \cdot \exp^*(\int_\Gamma \eta \chi^{-j} \cdot \mu_{\mathbf{z}_{\rm Kato}}) \otimes \mathbf{e}^{\rm dR, \vee}_{\eta, -j}. \] On sait, d'apr�s le th�or�me \ref{thmKato} de Kato, que l'image de ces valeurs par l'application de p�riodes est donn�e par la valeur sp�ciale $\Lambda_\infty(f, \eta^{-1}, j + 1)$. Et, par ce qu'on a d�j� vu, le lemme suivant est imm�diat
%
%\begin{lemme} Soit $0 \leq j \leq k-1$. Alors \[ \Lambda_{D, \mathbf{z}_{\rm Kato}}(\eta \chi^j) = p^{n(j + 1)} \; G(\eta)^{-1} \cdot \iota_p( \Lambda_\infty(f, \eta^{-1}, j + 1)). \]
%\end{lemme}
%
%Ceci finit, enfin! la preuve du th�or�me \ref{thmeaea}.



%\subsection{Retour aux formes modulaires}
%
%\begin{proposition} La distribution $L_z, \alpha$ satisfait $$ L_{z, \alpha}(\eta \chi^{-k}) = \frac{(-1)^{k + 1}}{ (k - 1)! p^{n(k-1)} }  \frac{L'(\check{f}, \eta, -k)}{r_\infty(\check{f}, \eta, k)} \cdot r_{p, \alpha}(\check{f}, \eta, k) $$ pour tout caract�re $\eta$ suffisamment ramifi� et tout $k \gg 0$. De plus, pour $k $, on a
%\end{proposition}
%
%\begin{proposition}
%
%\end{proposition}


%\section{Conclusions/Questions}
%
%
%\begin{itemize}
%
%\item Remontant l'involution (?)
%
%\item Les r�sultats de Gealy font r�ver qu'un tel objet comme la cohomologie d'Iwasawa motivique peut �tre d�finie. Soit $$ H^w_{\mathrm{mot, \mathrm{Iw}}}(KS^{(w - 2)}, w) = \varprojlim H^{w}_{\mathrm{mot}}(KS_{Np^n}^{(w - 2)}, w), $$ o� la limite est prise par rapport aux traces... Dans le travaux de Lei-Loeffler-Zerbes la compatibilit� est montr�e au niveau de la cohomologie motivique car ils construisent explicitement le syst�me d'Euler. Par contre, dans Kings-Loeffler-Zerbes, o� ils travaillent avec des r�sidus comme Gealy, ils d�montrent seulement que l'on a bien relev� le premier niveau du syst�me d'Euler...
%
%\item On se pose pour simplifier dans le cas d'une forme de poids $2$. Soit $N, m \geq 0$ on a les morphismes naturels
%\begin{eqnarray*}
%\mathrm{CH}^1(Y(N) \otimes \Q(\mu_m)) &=& \mathrm{CH}^1(Y(N) \otimes \Q(\mu_m), 0) \\
%&\to& H^2(Y(N) \otimes \Q(\mu_m), \zp(1)) \\
%&\to& H^1(\Q, H^1_{\text{�t}}((Y(N) \otimes \Q(\mu_m))_{\overline{\Q}}, \zp(1))) \\
%&\to& H^1(\Q(\mu_m), H^1_{\text{�t}}(Y(N)_{\overline{\Q}}, \zp(1))), \\
%\end{eqnarray*}
%le terme de droite s'identifiant aux diviseurs de la courbe modulaire, la question est comment d�crire les diff�rents niveaux du syst�me d'Euler de Kato dans le groupe de Chow. Est-ce l'image de $\{ \infty \} - 0$?
%\end{itemize}


%%\subsection{Sur un r�sultat de G. Kings (d'apr�s M. Gealy)}
%%
%%Les r�sultats suivants, dus � M. Gealy, montrent que les �l�ments construits par Kato proviennent de certains �l�ments explicites dans la cohomologie motivique.
%%
%%%Comme la d�monstration ne se trouve pas dans la litt�rature, nous en donnons une preuve dans un appendice.
%%
%%Pour $\xi \in \mathrm{SL}_2(\Z)$ et $W = H^{w - 1}(KS^{(w - 2)}_{N, \overline{\mathbf{Q}}_p}, \qp)$, notons $\Psi_{\xi, \check{f}}$ la compos�e des morphismes de $\mathscr{G}_\qp$-repr�sentations
%%\[ W \xrightarrow{\xi^*} W \to H^{w - 1}(E^{(w - 2)}_{\overline{\mathbf{Q}}_p}, \qp) \to H^1(Y(N)_{\overline{\mathbf{Q}}}, \mathrm{Sym}^{w - 2} \mathscr{H}^1_p) \to H^1(Y_1(N)_{\overline{\mathbf{Q}}}, \mathrm{Sym}^{w-2} \mathscr{H}^1_p) \to V(\check{f}), \] et on d�note avec le m�me nom les morphismes induits par $\Psi_{\xi, \check{f}}$ en appliquant les foncteurs $H^1(\qp, (*)(w + r))$ et $\DdR((*)(w + r))$.
%% 
%% \begin{theorem} \label{thmgeally}
%%Soient $k, n \geq 0$. Il existe une classe motivique explicite donn�e en termes de symboles d'Eisenstein ${}_{c,d} \mathbf{Z}_{N p^n} (w, j, k) \in H^w_{\mathrm{mot}}(KS_{N p^n}^{(w - 2)}, w + k)$ telle que ${}_{c, d} \mathbf{z}_{p^n}^{(p)}(\check{f}, -k, j, \xi, \mathrm{pr}(Np))$ est l'image de ${}_{c,d} \mathbf{Z}_{Np^n} (w, j, k)$ par le morphisme 
%%\begin{eqnarray*} 
%%H^{w}_{\mathrm{mot}}(KS_{Np^n}^{(w - 2)}, w + k) & \xrightarrow{\mathrm{r}_{\rm syn}} &  H^{w}_{\mathrm{syn}}(KS_{Np^n}^{(w - 2)}, w + k) \\
%%&\to& H^{w-1}_{\mathrm{dR}}(KS_{Np^n}^{(w - 2)}) / \mathrm{Fil}^{w + k} H^{w-1}_{\mathrm{dR}}(KS_{Np^n}^{(w - 2)}) \\
%%&\xrightarrow{\exp}& H^1(\qp, H^{w -1}(KS^{(w - 2)}_{Np^n, \overline{\Q}_p}, \qp)(w + k)) \\
%%&\to& H^1(\qp, H^1_{\text{�t}}(Y(Np^n)_{\overline{\Q}}, \mathrm{Sym}^{(w - 2)}(\mathscr{H}^1_p))(w + k)) \\
%%&\to& H^1(\qp, H^1_{\text{�t}}(Y_1(N)_{\overline{\Q}} \otimes \Q(\zeta_{p^n}), \mathrm{Sym}^{(w - 2)}(\mathscr{H}^1_p))(w + k)) \\
%%&\xrightarrow{=}& H^1(\qp(\zeta_{p^n}), H^1_{\text{�t}}(Y_1(N)_{\overline{\Q}}, \mathrm{Sym}^{(w - 2)}(\mathscr{H}^1_p))(w + k)) \\
%%&\xrightarrow{\Psi_{\xi, \check{f}}}& H^1(\qp(\zeta_{p^n}), V(\check{f})(w + k)).
%%\end{eqnarray*}
%%
%%En d'autre termes, on a $$ {}_{c, d} \mathbf{z}_{p^n}^{(p)}(\check{f}, -k, j, \xi, \mathrm{pr}(Np)) = \exp_{V(\check{f})(w + k), F_n} \circ \;  \mathrm{r}_{\mathrm{syn}} (\Psi_{\xi, \check{f}}  ({}_{c,d} \mathbf{Z}_{Np^n}(w, j, k)) ). $$
%%\end{theorem}
%%
%%Ce th�or�me permet � Gealy de calculer les valeurs aux entiers n�gatifs de la fonction $L$ $p$-adique en termes des r�gulateurs syntomiques des rel�vements des �l�ments zeta de Kato dans la cohomologie motivique, obtenant ainsi des r�sultats $p$-adiques analogues aux conjectures de Beilinson.
%
%%
%%\begin{theorem} \label{thmgeally}
%%Soit $k \geq 0$, alors il existe une classe motivique explicite (donn�e en termes de symboles d'Eisenstein) ${}_{c,d} \mathbf{Z}_{N, w, j, k} \in H^w_{\mathrm{mot}}(KS_N^{(w - 2)}, w + k)$ telle que ${}_{c, d} \mathbf{z}_1^{(p)}(\check{f}, -k, j, \xi, \mathrm{pr}(Np))$ est l'image de ${}_{c,d} \mathbf{Z}_{N, w, j, k}$ par le morphisme 
%%\begin{eqnarray*} 
%%H^{w}_{\mathrm{mot}}(KS_N^{(w - 2)}, w + k) & \xrightarrow{\mathrm{r}_{\mathrm{syn}}} &  H^{w}_{\mathrm{syn}}(KS_N^{(w - 2)}, w + k) \\
%%&\to& H^{w-1}_{\mathrm{dR}}(KS_N^{(w - 2)}) / \mathrm{Fil}^{w + k} H^{w-1}_{\mathrm{dR}}(KS_N^{(w - 2)}) \\
%%&\xrightarrow{\exp}& H^1(\qp, H^{w -1}(KS^{(w - 2)}_{N, \overline{\Q}_p}, \qp)(w + k)) \\
%%&\xrightarrow{\Psi_{\xi, \check{f}}}& H^1(\qp, V(\check{f})(w + k)).
%%\end{eqnarray*}
%%
%%En d'autre termes, on a $$ {}_{c, d} \mathbf{z}_1^{(p)}(\check{f}, -k, j, \xi, \mathrm{pr}(Np)) = \exp_{V(\check{f})(w + k)} \circ \Psi_{\xi, \check{f}} \circ \mathrm{r}_{\mathrm{syn}} ({}_{c,d} \mathfrak{Z}_{N, w, j, k}). $$
%%\end{theorem}
%
%\subsection{Conjecture de Beilinson $p$-adique}
%
%Soit $f = \sum_{n \geq 0} a_n q^n \in S_w(\Gamma_1(N), \epsilon) \otimes \C$ comme pr�c�demment, $\eta \in \mathrm{LA}(\zpe, L)$ un caract�re de Dirichlet de conducteur $p^n$, $n \geq 1$ et $k \in \Z_{\geq 0}$. On note $N = N' p^r$ avec $r \geq 1$ et on suppose $2n \geq r$ (c'est toujours le cas pour ce qui nous int�resse). Notons $\eta \otimes f = \sum_{n \geq 0} \eta(n) a_n q^n$. On sait que $\eta \otimes f \in S_w(N' p^{2n}, \epsilon \eta^2)$ et elle est une forme primitive (cf. \cite{Atkin}, thm $3.1$ et prop. $4.1$). On a de plus que $V_{\eta \otimes f} = V_f(\eta)$, o� l'on voit $\eta$ comme un caract�re de Galois via $\mathscr{G}_\Q \to \mathrm{Gal}(\Q(\mu_{p^n}) / \Q) \xrightarrow{\eta} L$, comme on le constate ais�ment en regardant les polyn�mes caract�ristiques des Frobenius en $l \nmid N$.
%
%Le but de la version $p$-adique des conjectures de Beilinson est de d�crire les valeurs sp�ciales de la fonction $L$ $p$-adique en dehors de la bande critique, o� le lien est � la base de la construction de cette fonction. On s'attend en g�n�rale (et ceci est vrai pour les motives de dimension $1$, ceux associ�s aux caract�res de Hecke, et les motifs associ�s aux formes modulaires � bonne r�duction en $p$) � la situation suivante: La fonction $L$ $p$-adique analytique associ� � un motif peut �tre obtenue en appliquant une application de p�riodes � un syst�me d'Euler et beaucoup de sp�cialisations de ce syst�me d'Euler co�ncident avec la r�alisation $p$-adique d'�l�ments motiviques construits � partir de symboles d'Eisenstein, eux m�mes reli�s aux valeurs sp�ciales de la fonction $L$ complexe � travers du r�gulateur de Deligne vers la cohomologie de qui porte le m�me nom.
%
%Rappelons que $$ \mathbf{z}_\gamma^{(p)} = (c^2 - c^{w + 1 - j} \sigma_c)^{-1} (d^2 - d^{j + 1} \sigma_d)^{-1} (\prod_{l | N} (1 - a_l l^{-w} \sigma_l^{-1})^{-1} ) ( {}_{c, d} \mathbf{z}_{p^n}^{(p)}(\check{f}, w, j, \xi, \mathrm{pr}(pN)) )_{n \geq 1} $$ d�finit le syst�me d'Euler associ� � $\gamma = \delta(\check{f}, j, \xi) \in V(\check{f})$. On fixe d�sormais un tel $\gamma$ tel que $\gamma^\pm \neq 0$. Suivant Kato (cf. \cite{Kato}, $16$), la fonction $L$ $p$-adique associ�e � $f$ est construite en consid�rant $\mathbf{z}_\gamma^{(p)}(w) \in H^1_{\mathrm{Iw}}(\qp, V(\check{f})(w)) \cong H^1_{\mathrm{Iw}}(\qp, V(f)^*(1))$. Si $\delta \in \mathfrak{X}(L)$ est un caract�re localement analytique, on note $\mathbf{z}_\gamma^{(p)}(\delta) \in H^1_{\rm Iw}(\qp, V(\check{f})(\delta))$ l'image de $\mathbf{z}_\gamma^{(p)}$ par le morphisme canonique $H^1_{\rm Iw}(\qp, V(\check{f})) \to H^1_{\rm Iw}(\qp, V(\check{f})(\delta))$ (o� on voit $\delta$ comme une repr�sentation de $\mathscr{G}_\qp$ via $\mathscr{G}_\qp \to \Gamma \xrightarrow{\delta} L$). En particulier, si $k$ est un entier et $\eta$ un caract�re d'ordre fini, on note $\mathbf{z}_\gamma^{(p)}(k + \eta) \in H^1_{\rm Iw}(\qp, V(\check{f})(k)(\eta))$ l'�l�ment $\mathbf{z}_\gamma^{(p)}( \chi^k \eta)$. En tordant l'expression ci-dessus on obtient:
%
%\begin{lemme} Soit $k \in \Z$. On a 
%\begin{eqnarray*} \mathbf{z}_\gamma^{(p)}(w - k + \eta) &=& (c^2 - c^{1 - j + k} \eta^{-1}(c) \sigma_c)^{-1} (d^2 - d^{j + 1 - w + k} \eta^{-1}(d) \sigma_d)^{-1} (\prod_{l | N} (1 - a_l \eta(l )l^{-k} \sigma_l^{-1})^{-1} ) \cdot \\
%&& \cdot \left( \sum_{a \in (\Z / p^n \Z)^\times} \eta(a) a^k \sigma_a ( {}_{c, d} \mathbf{z}_{p^n}^{(p)}(\check{f}, k, j, \xi, \mathrm{pr}(pN))) \right)_{n \geq 1}
%\end{eqnarray*}
%\end{lemme}
%
%Soit $k \geq 0$ et $\mathbf{z}_{\mathrm{Kato}} = \mathbf{z}_\gamma^{(p)}(w) \in H^1_\mathrm{Iw}(\qp, V(\check{f})(w))$. La multiplication dans l'alg�bre d'Iwasawa correspondant � la convolution de distributions, le lemme ci-dessus montre que
%\[ \int_\Gamma \eta(x) \chi(x)^k \mathbf{z}_\mathrm{Kato} = C \sum_{a \in (\Z / p^n \Z)^\times} \eta(a) a^k \cdot \sigma_a ({}_{c, d} \mathbf{z}_{p^n}^{(p)}(\check{f}, -k, j, \xi, \mathrm{pr}(Np))) \]
%o� $C = (c^2 - c^{1 - j + k} \eta^{-1}(c))^{-1} (d^2 - d^{j + 1 - w + k} \eta^{-1}(d))^{-1} (\prod_{l | N} (1 - a_l \eta(l) l^{-k} )^{-1} ).$
%
%%
%%D�finissons l'application $$ \mathrm{pr}_{\eta, \xi, \check{f}}: H^{w}_{\mathrm{mot}}(KS_N^{(w - 2)}, w + k) \to H^1(\qp, V(\check{f})(w + k + \eta)) $$ qui s'obtient en composant l'application du th�or�me \ref{thmgeally} avec la torsion par $\eta$ (vu comme un caract�re du groupe de Galois). Ce qui pr�c�de et le th�or�me \ref{thmgeally} se r�sument donc dans la formule suivante
%%\begin{eqnarray*} \int_\Gamma \eta(x) \chi(x)^k \mathbf{z}_\gamma^{(p)}(w) &=& (c^2 - c^{1 - j + k} \eta^{-1}(c))^{-1} (d^2 - d^{j + 1 - w + k} \eta^{-1}(d))^{-1} (\prod_{l | N} (1 - a_l \eta(l )l^{-k})^{-1} ) \cdot \\
%%&& \cdot \mathrm{pr}_{\eta, \xi, \check{f}} ({}_{c,d} \mathbf{Z}_{N, w, j, k})
%%\end{eqnarray*}
%%
%%\begin{proposition}
%%Soit $f$, $V_f$, $n \geq m(D)$, $\eta$ un caract�re de Dirichlet de conducteur $p^n$ et $k \gg 0$, on a
%%\begin{eqnarray*} \Lambda^{(n)}_{z_{\mathrm{Kato}}}(\eta \chi^{-k}) &=& C(c^2 - c^{1 - j + k} \eta^{-1}(c))^{-1} (d^2 - d^{j + 1 - w + k} \eta^{-1}(d))^{-1} (\prod_{l | N} (1 - a_l \eta(l )l^{-k})^{-1} ) \cdot \\
%%&& \cdot \mathrm{pr}_{\eta, \xi, \check{f}} ({}_{c,d} \mathbf{Z}_{N, w, j, k})
%%\end{eqnarray*} o� $$ C = \left( \frac{(-1)^{h + k - 1}}{(h + k - 1)! p^{n(k-1)} |\Gamma^n_{\mathrm{tors}}|} \right)^{-1}. $$
%%\end{proposition}
%%
%%\begin{proof}
%%C'est une traduction de la proposition \ref{lemme5} et du theor�me \ref{thmgeally}.
%%\end{proof}
%%
%%Comment lie-t-on cette derni�re expression avec une valeur sp�ciale?
%
%Kato montre que l'image de cette expression par l'application exponentielle duale donne (au moins dans la bande critique) les valeurs sp�ciales $L(f, \eta, k)$. Notons $\mathrm{pr}_{\check{f}, \xi, n}$ la composition des fl�ches du th�or�me \ref{thmgeally}. Pour $k \geq 0$, l'expression ci-dessus co�ncide avec 
%\[ C \sum_{a \in (\Z / p^n \Z)^\times} \eta(a) a^k \cdot \sigma_a (\mathrm{pr}_{\check{f}, \xi, n} ({}_{c, d} \mathbf{Z}_{Np^n}(w, j, k))) \]
%
%%On veut maintenant faire le lien entre cette derni�re expression et les valeurs sp�ciales de la fonction $L$ pour un $k$ arbitraire. Soit $\eta$ de conducteur $p^n$ comme pr�c�demment. 
%Comme on a remarqu�, on a $\eta \otimes \check{f} \in S_w(N' p^{2n})$ et la repr�sentation qui lui est associ�e se r�alise dans la cohomologie de la vari�t� de Kuga-Sato $H^{w - 1}_{\text{�t}}(KS_{N'p^{2n}, \overline{Q}}^{(w - 2)}, \qp)$. Elle se r�alise aussi dans le tordu de la cohomologie de la vari�t� en niveau $N$: $H^{w - 1}_{\text{�t}}(KS_{N, \overline{Q}}^{(w - 2)}, \qp)(\eta)$. Comme la d�coup�e de la repr�sentation se fait en utilisant l'action des op�rateurs de Hecke, on v�rifie qu'il y a une correspondance g�om�trique $KS_{N'p^{2n}} \to KS_{N}$ qui induit la torsion par $\eta$ au niveau des repr�sentations:
%\[ \Phi_\eta: H^{w - 1}_{\text{�t}}(KS_{N'p^{2n}, \overline{Q}}^{(w - 2)}, \qp) \to H^{w - 1}_{\text{�t}}(KS_{N, \overline{Q}}^{(w - 2)}, \qp)(\eta). \] Sous cette application, la repr�sentation $V(\eta \otimes \check{f})$ s'identifie avec $V(\check{f})(\eta)$.
%
%En appliquant le th�or�me de Gealy � la forme $\eta \otimes f$ de niveau $N' p^{2n}$ (on pose donc $n = 0$ dans le th�or�me), on obtient un �l�ment ${}_{c, d} \mathbf{Z}_{N' p^{2n}}(w, j, k) \in H^{w}_{\mathrm{mot}}(KS_{N' p^{2n}}^{(w - 2)}, w + k)$ qui se projette sur ${}_{c, d} \mathrm{z}_1^{(p)}(\eta \otimes \check{f}, -k, j, \xi, \mathrm{pr}(Np))$.
%
%\begin{lemme} \label{lemmecohom}
%L'image de ${}_{c, d} \mathbf{Z}_{N' p^{2n}}(w, j, k)$ dans $H^1(\qp(\zeta_{p^n}), V(\check{f})(\eta + w + k))$ co�ncide avec $\int_\Gamma \eta(x) \chi(x)^k \mathbf{z}_\mathrm{Kato}$.
%\end{lemme}
%
%\begin{proof}
%Ceci suit du diagramme commutatif suivant
%
%\begin{displaymath}
%    \xymatrix{ H^{w}_{\mathrm{mot}}(KS_{N' p^{2n}}^{(w - 2)}, w) \ar[r]^{\phi_\eta} \ar[d] & H^{w}_{\mathrm{mot}}(KS_{N}^{(w - 2)}, w) \ar[d] \\
%               H^1(\qp(\zeta_{p^n}), V(\eta \otimes \check{f})(w)) \ar[r]^{\cong} & H^1(\qp(\zeta_{p^n}), V(\check{f})(w)(\eta))}
%\end{displaymath}
%et du fait que $\mathbf{z}_\mathrm{Kato}(\eta \otimes f)$ co�ncide avec $\mathbf{z}_\mathrm{Kato}(f)$ par l'application naturelle (induite par celle ci-dessus entre les vari�t�s de Kuga-Sato) $\phi_\eta: H^1_\mathrm{Iw}(\Q, V(\eta \otimes \check{f}) \to H^1_\mathrm{Iw}(\Q, V(\check{f})(\eta))$.
%\end{proof}
%
%%Faisons un diagramme
%%
%%\begin{displaymath}
%%    \xymatrix{ H^{w}_{\mathrm{mot}}(KS_{N p^{2n}}^{(w - 2)}, w) \ar[r] \ar[d] & H^{w}_{\mathrm{mot}}(KS_{N' p^{2n}}^{(w - 2)}, w) \ar[r] \ar[d] & H^{w}_{\mathrm{mot}}(KS_{N p^{n}}^{(w - 2)}, w) \ar[r] \ar[d] & H^{w}_{\mathrm{mot}}(KS_{N}^{(w - 2)}, w) \ar[d] \\
%%               H^1(\qp(\zeta_{p^n}), V(\check{f})(w)) \ar[r] & H^1(\qp(\zeta_{p^n}), V(\check{f})(w)) \ar[r] & H^1(\qp(\zeta_{p^n}), V(\check{f})(w)) \ar[r] & H^1(\qp(\zeta_{p^n}), V(\check{f})(w)}
%%\end{displaymath}
%
%%\begin{lemme}
%%$\mathbf{z}_\gamma^{(p)}(\eta)$ est bien d�fini.
%%\end{lemme}
%%
%%\begin{proof}
%%- Diagramme commutative + $\gamma^\pm \neq 0$ pour $V(\check{f})$ et pour $V(\check{f})(\eta)$?
%%\end{proof}
%%
%%\begin{proposition}
%%Soit $f$, $V_f$, $n \geq m(D)$, $\eta$ un caract�re de Dirichlet de conducteur $p^n$ et $k \gg 0$, on a $$ \Lambda^{(n)}_{z_{\mathrm{Kato}}}(\eta \chi^{-k}) = C \cdot (\prod_{l | N} (1 - \eta(l) a_l l^{-w} \sigma_l^{-1}))^{-1} \pi_f \circ \mathrm{r}_{\mathrm{syn}} ({}_{c, d} \mathbf{Z}_{N, w, j, k}) $$ o� $$ C = \left( \frac{(-1)^{h + k - 1}}{(h + k - 1)! p^{n(k-1)} |\Gamma^n_{\mathrm{tors}}|} \right)^{-1}. $$
%%\end{proposition}
%
%\begin{theorem}
%Soit $f$, $V_f$, $n \geq m(D)$, $\eta$ un caract�re de Dirichlet de conducteur $p^n$ et $k \gg 0$, on a $$ \Lambda^{(n)}_{z_{\mathrm{Kato}}}(\eta \chi^{-k}) = C' \cdot C \cdot \Psi_{\xi, \eta \otimes \check{f}} \circ \mathrm{r}_{\mathrm{syn}} ({}_{c, d} \mathbf{Z}_{N' p^{2n}} (w, j, k)) $$ o� les constantes sont donn�es par $$ C = (c^2 - c^{1 - j + k} \eta^{-1}(c))^{-1} (d^2 - d^{j + 1 - w + k} \eta^{-1}(d))^{-1} (\prod_{l | N} (1 - a_l \eta(l )l^{-k}), $$ $$ C' = (-1)^{k - 1} (k - 1)! p^{n(k-1)} \mathrm{G}(\eta)^{-1} t^{ - k}. $$
%\end{theorem}
%
%\begin{proof}
%C'est une traduction de la proposition \ref{lemme5} avec $D = \D_\mathrm{rig}(V(\check{f})(w))$ (et $h = 0$ dans l'exponentielle de Perrin-Riou) $z \in D$ tel que $\mathrm{Exp}_{D, h} z = \mathbf{z}_{\mathrm{Kato}}$ et du theor�me \ref{thmgeally}.
%\end{proof}
%
%\subsection{Conjectures de Beilinson} On applique � continuation les conjectures de Beilinson aux �l�ments ${}_{c, d} \mathbf{Z}_{N' p^n}(\eta, w, j, k)$ pour interpr�ter nos r�sultats de la premi�re partie en termes d'interpolation $p$-adique des valeurs sp�ciales de la fonction $L$ d'une forme modulaire. On rappelle les �nonc�s de ces conjectures, qui ont �t� d�montr�es pour le motive associ� � une forme modulaire par Beilinson (\cite{Beilinson}) pour le cas de poids $2$ et par Scholl (non-publi�, cf. \cite{Sch-Den}) pour le cas g�n�ral.
%
%Commen�ons par d�finir les groupes de cohomologie n�cessaires pour l'�nonc� des conjectures de Beilinson. Soient $k$ un corps de caract�ristique $0$ (e.g $k = \Q$) et $X$ une vari�t� projective et lisse sur $k$. On dispose, pour $A$ un anneau, de groupes de cohomologie motivique $ H^p_{\mathrm{mot}}(X, A(q)) $ qui lui sont associ�s, d�finis par $$ H^p_{\mathrm{mot}}(X, A(q)) = \mathbf{H}^p_{\mathrm{Zar}}(X, \mathbf{Z}(q) \otimes A), $$ o� $\Z(q)$ est le complexe de faisceaux motivique sur $X$ d�finit par Voevodsky et $\mathbf{H}^p_{\mathrm{Zar}}(X, -)$ d�note la hypercomologie pour la topologie de Zariski de ce complexe. Pour $p, q \geq 0$, ces groupes co�ncident avec les groupes de Chow superieures: $$ H^p_{\mathrm{mot}}(X, \Z(q)) = \mathrm{CH}^q(X, 2q - p) \footnote{Si $A = \Q$ ses groupes s'expriment aussi en termes des groupes de $K$-th�orie.} , $$ o� les groupes $\mathrm{CH}^q(X, 2q - p)$ sont d�finis comme la cohomologie d'un certain complexe d�fini en termes de sous vari�t�s de codimension $q$ dans le produit de $X$ par le $n$-simplexe alg�brique $\Delta^n = \mathrm{Spec} k[X_0, \hdots, X_n] / (\sum_{i = 0}^n X_i - 1)$ (pour $n = 2p - q$) intersectant proprement les faces de $X \times \Delta^p$. Soit $\mathcal{X}$ un mod�le de $X$ propre et r�gulier  sur $\Z$, on pose $$ H^p_\mathrm{mot}(X, \Q(q))_\Z = \left\{ \begin{array}{l l}
%  H^p_{\mathrm{mot}}(X, \Q(q)) & \quad \text{si $ q > p$} \\
%  \mathrm{Im}(H^p_{\mathrm{mot}}(\mathcal{X}, \Q(p)) \to H^p_\mathrm{mot}(X, \Q(q))) & \quad \text{si $ q \leq p$}.\\ \end{array} \right. $$
%
%On introduit � continuation la cohomologie de Deligne de la vari�t� $X$. Soit $k = \Q$ dans ce qui suit. Pour $\Lambda \subseteq \C$ un sous-anneau, on pose $\Lambda(q) = (2 \pi i)^q \Lambda \subseteq \C$ et on consid�re le complexe $$ \R(q)_\mathcal{D} = \R(q) \to \mathcal{O}_{X_\C} \to \Omega^1 \to \hdots \to \Omega^{q - 1} $$ support� en d�gr�es $[0, q]$, o� $X_{\C, \mathrm{an}}$ d�note l'analityfication de $X_\C = X \times \mathrm{Spec} \; \C$. On d�finit la cohomologie de Deligne comme la hypercohomologie du complexe ci-haut: $$ H^p_\mathcal{D}(X_\C, \R(q)) = \mathbb{H}^p(X_{\C, \mathrm{an}}, \R(q)_\mathcal{D}). $$ La conjugaison complexe agissant sur $X_{\C, \mathrm{an}}$ et sur $\R(q) \subseteq \C$ induit une action sur $ H^p_\mathcal{D}(X_\C, \R(q))$ et on d�finit $$ H^p_\mathcal{D}(X, \R(q)) = H^p_\mathcal{D}(X_\C, \R(q))^+ $$ o� ${}^+$ d�note les �l�ments fixes par cette action. Enfin, on note $$ H^p_{\mathrm{B}}(X, \Lambda(q)) = H^p_{\mathrm{sing}}(X_{\C, \mathrm{an}}, \Lambda(q)), $$ $$ H^p_{\mathrm{dR}}(X) = H^p_{\mathrm{Zar}}(X_{\C, \mathrm{an}}, \Omega^{\bullet}) $$ les groupes de cohomologie de Betti et les groupes de cohomologie de de Rham munis de sa filtration usuelle. On dispose d'une suite exacte longe
%\[ \hdots \to H^p_{\mathcal{D}}(X, \R(q)) \to F^q H^p H_{\mathrm{dR}}(X_\R) \oplus H^p_\mathrm{B}(X_\R, \R(q)) \to H^p_{\mathrm{dR}}(X_\R) \to H^{p + 1}_\mathcal{D}(X, \Q(q)) \to \hdots \] et on peut montrer qu'elle induite la suite exacte courte 
%\[ 0 \to F^q H^p_{\mathrm{dR}}(X_\R) \to H^p_\mathrm{B}(X_\R, \R(q - 1)) \to H^{p+1}_\mathcal{D}(X, \R(q)) \to 0. \] Enfin, la suite ci-dessus permet de munir $\mathrm{det} (H^{p+1}_\mathcal{D}(X, \R(q)))$ d'une $\Q$-structure $\mathcal{B}_{p, q}$ en posant $$ \mathcal{B}_{p, q} = \mathrm{det}(H^p_\mathrm{B}(X_\R, \Q(q - 1))) \otimes \mathrm{det}(F^q H^p_\mathrm{dR}(X_\R / \Q))^{-1}. $$
% 
%Le dernier ingr�dient n�cessaire pour �noncer les conjectures de Beilinson est le r�gulateur de Deligne. Il est d�fini comme une application
%\[ r_\mathcal{D}: H^p_\mathrm{mot}(X, \Q(q)) \to H^p_\mathcal{D}(X, \R(q)) \] respectant le cup-produit, qui g�n�ralise les applications de cycles de la th�orie de groupes de Chow. Remarquons que pour $p  = q = 1$ on a $H^1_{\mathcal{D}}(X, \R(1)) = \mathrm{ker}(H^0(X_{\C, \mathrm{an}}, \mathcal{O} / \R(1)) \to H^0(X_{\C, \mathrm{an}}, \Omega^1))$ (par d�finition) et $H^1_{\mathrm{mot}}(X, \Q(1)) = \mathcal{O}(X) \otimes \Q$ et l'application $r_{\mathcal{D}}$ co�ncide avec le logarithme.
%
%On peut finalement �noncer les conjectures. Soir $X$ une vari�t� projective sur $\Q$. Sa $i$-i�me fonction $L$ est d�finie comme $$ L(H^i(X), s) = \prod_p P_p(H^i(X), p^{-s}), $$ o� $P_p(H^1(X), t) = \mathrm{det}(1 - \mathrm{Fr}_p t | H^i_{\text{�t}}(X_{\overline{\Q}_p}, \Q_l)^{I_p}) $ pour une place rationnelle $l$ diff�rente de $p$, $I_p \subseteq \mathscr{G}_{\qp}$ le sous-groupe d'inertie et $\mathrm{Fr}_p$ le Frobenius g�om�trique en $p$. On a 
%\[ \mathrm{ord}_{s = i + 1 - n} \; L(H^i(X), s) = \mathrm{dim} \; H^{i + 1}_\mathcal{D}(X_\R, \R(n)). \] On suppose vrais les conjectures habituelles sur cette fonction $L$: ind�pendance en $l$ du polyn�me $P_p$, prolongement m�romorphe �  $\C$ et �quation fonctionnelle reliant $L(H^i(X), s)$ et $L(H^i(X), i + 1 - s)$.
%
%\begin{conjecture}[Beilinson] Soit $n > i/2 + 1$, alors
%\begin{itemize}
%\item L'application $$ r_\mathcal{D} \otimes \R: H^{i + 1}_{\mathrm{mot}}(X, \Q(n))_\Z \otimes \R \to H^{i+1}_\mathcal{D}(X, \R(n)) $$ est un isomorphisme.
%\item On a $$ r_\mathcal{D}(\mathrm{det}(H^{i + 1}_{\mathrm{mot}}(X, \Q(n))_\Z)) = L^*(H^1(X), i + 1 - n) \cdot \mathcal{B}_{i, n}, $$ o� $L^*(H^1(X), i + 1 - n)$ d�note le premier coefficient non-nul du d�veloppent de Taylor en $s = i + 1 - n$ de la fonction $L$.
%\end{itemize} 
%\end{conjecture}
%
%\subsection{Conjectures de Beilinson pour une forme modulaire}
%
%Nous rappelons ci-dessous les r�sultats dont on dispose pour le cas d'un motif associ� � une forme modulaire. Pour donner un sens � la conjecture dans ce cas, il faut travailler dans le cadre des motives de Chow associ�s aux courbes modulaires (cf. par exemple \cite{Scholl}).
%
%Soit $f$ et $\eta$ comme avant, $F = \Q(\eta \otimes \check{f}) = \Q((\eta(n) \overline{a}_n)_{n \geq 0})$ et soit $k \geq 0$ un entier. Comme les formules de la section \ref{repgal} le refl�tent, le motif d'une forme modulaire est obtenu naturellement � partir du motif de la vari�t� de Kuga-Sato en �tendant les scalaires � $F$. Il existe (cf. \cite{Scholl}) un projecteur $\Pi_f$ (d�fini par des correspondances alg�briques de la vari�t� de Kuga-Sato) tel que $ V(\eta \otimes \check{f}) = \Pi_{\eta \otimes \check{f}}( H^{w - 1}_{\text{�t}}(KS_{N' p^{2n}, \overline{\Q}}^{w - 2}, \Q_p)). $
%
%Notons
%\[ r_\mathcal{D}: H^w_\mathrm{mot}(KS_{N' p^{2n}}^{(w - 2)}, w + k) \to H^w_\mathcal{D}(KS^{(w - 2)}_{N' p^{2n}, \R}, \R(w + k)) \]
%le r�gulateur de la cohomologie motivique vers la cohomologie de Deligne. Remarquons que dans ce cas particulier on a $$ H^w_\mathcal{D}(KS^{(w - 2)}_{N' p^{2n}, \R}, \R(w + k)) = H^{w-1}_\mathrm{B}(KS^{(w - 2)}_{N' p^{2n}, \C}, \R(w + k - 1))^+$$ (car $ F^{w + k} H^p_{\mathrm{dR}}(KS^{(w - 2)}_{N' p^{2n}, \R}) = 0$) et la $F$-structure sur cet espace est donc donn�e par $ \mathcal{B}_{p, q} = H^{w-1}_\mathrm{B}(KS^{(w +k)}_{N' p^{2n}, \R}, \Q(w + k - 1)) \otimes_\Q F$ et sa projection par $\Pi_{\eta \otimes \check{f}}$ co�ncide avec $ (H_\mathrm{B}(V(\eta \otimes \check{f})) \otimes_\Q \Q(w + k - 1))^+ \otimes_Q F$ qui est de dimension $1$ sur $F$ (c'est ce qu'on attend vu que la fonction $L(\check{f}, \eta, s)$ a un zero simple en $s = -k$).  
%
%\begin{theorem} [Beilinson, Scholl] Il existe un sous-espace $\mathcal{P} \subseteq H^w_\mathrm{mot}(KS_{N' p^{2n}}^{(w - 2)}, w + k)$ contenant les symboles d'Eisenstein tel que
%\[ \Pi_{\eta \otimes \check{f}}[ r_\mathcal{D}(\mathcal{P}) ] = L'(\check{f}, \eta, -k) \cdot \Pi_{\eta \otimes \check{f}} (\mathcal{B}_{p, q}). \]
%\end{theorem}


%
%.
%
%.
%
%.
%
%AAAAAAAAAAAAA FIN
%
%\subsection{Syst�me d'Euler de Kato}
%
%Pour les d�tails de la construction du syst�me d'Euler, on renvoi le lecteur � \cite{Kato}. Soit $N \geq 3$, $Y(N)$ la courbe modulaire (ouverte) sur $\Q$ de niveau $N$. $Y(N)$ est l'espace de module dont ses $S$-points, pour $S$ un sch�ma, param�trent les classes d'isomorphisme de triplets $(E, e_1, e_2)$, o� $E$ est une courbe elliptique sur $S$ et $e_1, e_2$ sont des $S$-points formant une base des points de $N$-torsion de $E$.  Il s'agit d'une courbe affine irr�ductible et lisse. Soit $X(N)$ sa compactification que l'on obtient en ajoutant les pointes.
%
%Soient $M, N \geq 1$, $Y(M, N)$ la courbe modulaire sur $\Q$ de niveau dont ses $S$-points, pour $S$ un sch�ma, param�trent les classes d'isomorphisme de triplets $(E, e_1, e_2)$, o� $E$ est une courbe elliptique sur $S$ et $e_1, e_2$ sont des $S$-points ind�pendants de $E$ de $M$ et $N$-torsion respectivement. Il s'agit d'une courbe affine irr�ductible et lisse. On a $Y(N, N) = Y(N)$ si $N \geq 3$. Si $M + N \geq 5$ et $M | L$, $N | L$, alors $Y(M, N) \cong G \backslash Y(L)$, o� $G = \{ \matrice a b c d \in \mathrm{GL}_2(\Z): a -1 \equiv b \equiv 0 \; \mathrm{mod} \; M \; \mathrm{et} \;  c -1 \equiv d \equiv 0 \; \mathrm{mod} \; N \}$. Le morphisme canonique $Y(L) \to Y(M, N)$ repr�sente $(E, e_1, e_2) \mapsto (E, (L / M) e_1, (L / N)e_2)$. On a en particulier et $Y(1, N) = Y_1(N)$ si $N \geq 4$. On note $X(M, N)$ la compactification de $Y(M, N)$ en ajoutant les pointes.
%
%%\subsubsection{Unit�s de Siegel}
%
%Toutes les constructions de Kato reposent sur le th�or�me suivant
%
%\begin{theorem}
%Soit $E$ une courbe elliptique sur un sch�ma $S$ avec $e: S \to E$ sa section identit�, $c > 1$ un entier premier � $6$ et inversible dans $S$. Il existe alors une unique section ${}_c \theta \in \mathcal{O}(E \backslash \ker{c})^\times$, compatible au changement de base, telle que
%
%$(i)$ $\mathrm{div} ( {}_c \theta) = c^2 (e) - \ker{c}$ sur $E$.
%
%$(ii)$ Si $a \in \Z$, $(a, c) = 1$, $[a]_* ({}_c \theta) = {}_c \theta$, o� $[a]: E \backslash \ker{c} \to E \backslash \ker{c}$ d�note la multiplication par $a$.
%\end{theorem}
%
%Soit $N \geq 3$, $(\alpha, \beta) = (\frac{a}{N}, \frac{b}{N}) \in (\frac{1}{N} \Z/ \Z)^2 \backslash \{(0, 0)\}$ et $c \in \Z$, $c$ premier � $6$ et � $N$. En appliquant le th�or�me ci-dessus � $S = Y(N)$ et $E$ la courbe elliptique universelle sur $Y(N)$, on d�finit $$ {}_c g_{\alpha, \beta} = \iota^*_{\alpha, \beta}({}_c \theta) \in \mathcal{O}(Y(N))^\times, $$ o� $\iota_{\alpha, \beta} = a e_1 + b e_2: Y(N) \to E \backslash \ker{c}$. Si de plus $c \equiv 1$ modulo $N$, $c \neq \pm 1$, alors $$g_{\alpha, \beta} = {}_c g_{\alpha, \beta} (c^2 - 1)^{-1} \in \mathcal{O}(Y(N))^\times \otimes \Q $$ ne d�pend pas de $c$.
%
%Remarquons que la formation des ${}_c g_{\alpha, \beta} \in \mathcal{O}(Y(N))^\times$ est compatible aux actions �videntes de $\mathrm{GL}_2(\Z / N \Z)$ sur $(\frac{1}{N} \Z / \Z)^2$ et sur $Y(N)$ au sens que $\sigma^*({}_c g_{\alpha, \beta}) = {}_c g_{\alpha', \beta'}$ o� $\sigma \in \mathrm{GL}_2(\frac{1}{N} \Z / \Z)$, $(\alpha', \beta') = (\alpha, \beta) \sigma$.
%
%Les �l�ments ${}_c g_{\alpha, \beta}$ satisfont aussi la propri�t� d'interpolation: si $a \in \Z \backslash \{0\}$, alors $$ {}_c g_{\alpha, \beta} = \prod_{\alpha', \beta'} {}_c g_{\alpha', \beta'} \in \cup_N \mathcal{O}(Y(N))^\times $$ pour tout $c$ premier � $a$ et aux ordres de $\alpha$ et $\beta$, et o� $\alpha', \beta'$ parcourent les �l�ments dans $\Q / \Z$ tels que $a \alpha' = \alpha$, $a \beta' = \beta$.
%
%Soit $\mathscr{H}$ le demi-plan de Poincar�. L'uniformisation $\nu: \mathscr{H} \to Y(N)(\C)$ nous permet de voir les �l�ments dans $\mathcal{O}(Y(N))^\times$ comme des fonctions sur $\mathscr{H}$ invariants par $\Gamma(N)$ et on a, pour $a, b \in \Z$, $0 \leq a < N$, $(a, b) \neq (0,0)$ mod $N$, $$ \nu^*( {}_c g_{a/ N, b / N}) = q^w \prod_{n \geq 0} (1 - q^n q^{a / N} \zeta_N^b) \prod_{n > 0} (1 - q^n q^{- a /N} \zeta_N^{-b}), $$ o� $w = 1/12 - a / 2N +a^2 / (2N^2)$ et $q = e^{2 \pi i z}$.
%
%\subsubsection{�l�ments zeta}
%
%Soient $M, N \geq 1$, $Y(M, N)$ la courbe modulaire sur $\Q$ de niveau dont ses $S$-points, pour $S$ un sch�ma, param�trent les classes d'isomorphisme de triplets $(E, e_1, e_2)$, o� $E$ est une courbe elliptique sur $S$ et $e_1, e_2$ sont des $S$-points ind�pendants de $E$ de $M$ et $N$-torsion respectivement. Il s'agit d'une courbe affine irr�ductible et lisse. On a $Y(N, N) = Y(N)$ si $N \geq 3$. Si $M + N \geq 5$ et $M | L$, $N | L$, alors $Y(M, N) \cong G \backslash Y(L)$, o� $G = \{ \matrice a b c d \in \mathrm{GL}_2(\Z): a -1 \equiv b \equiv 0 \; \mathrm{mod} \; M \; \mathrm{et} \;  c -1 \equiv d \equiv 0 \; \mathrm{mod} \; N \}$. Le morphisme canonique $Y(L) \to Y(M, N)$ repr�sente $(E, e_1, e_2) \mapsto (E, (L / M) e_1, (L / N)e_2)$. On a en particulier et $Y(1, N) = Y_1(N)$ si $N \geq 4$. On note $X(M, N)$ la compactification de $Y(M, N)$ en ajoutant les pointes.
%
%Les �l�ments suivants constituent des diff�rentes incarnations de la fonction zeta trouv�s par Kato dont on va s'en servir:
%$$ {}_{c,d} z_{N, M} \in K_2(Y(M, N)), $$
%$${}_{c, d} z^{(p)}_{M, N}(k, r, j) \in H^1(\Q, V_{k, \zp}(Y(M, N))(k - r)), $$
%$${}_{c, d} z^{(p)}_m(\check{f}, r, j, \xi, S) \in H^1(\Q(\zeta_m), V(f)(k - r)), $$
%o� les diff�rents indices seront d�finis dans la suite.
%
%
%\subsubsection{�l�ments zeta I}
%
%Soient $M, N \geq 3$ et $c, d \in \Z$ tels que $(c, 6M) = (d, 6N) = 1$, on d�finit $$ {}_{c,d} z_{M, N} = \{ {}_c g_{1/M, 0}, {}_d g_{0, 1/N} \} \in K_2(Y(M, N)). $$
%
%\begin{lemme} \label{lemme14}
%Soient $M, N, M', N'$ tels que $\mathrm{prime}(M') = \mathrm{prime}(M)$ et $\mathrm{prime}(N') = \mathrm{prime}(N)$. Alors l'application norme $K_2(Y(M', N')) \to K_2(Y(M, N))$ (resp. $K_1(Y(M, N')) \to K_1(Y(M, N))$) envoie ${}_{c, d} z_{M', N'}$ (resp. ${}_d g_{0, 1/N'}$) sur ${}_{c, d} z_{M, N}$ (resp. ${}_d g_{0, 1/N}$).
%\end{lemme}
%
%\subsubsection{�l�ments zeta II}
%
%Soit $\lambda: E \to Y(M, N)$ la courbe elliptique universelle. On d�finit un syst�me local $\mathscr{H}^1$ localement isomorphe � $\Z^2$ sur $Y(M, N)$ par $$ \mathscr{H}^1 = \mathrm{R}^1 \lambda_*(\Z). $$ Notons $\mathscr{H}^1_p = \mathscr{H}^1 \otimes \zp$. Si $T_p E$ d�note le module de Tate de $E$ vu sur $Y(M, N)$, par dualit� de Poincar� on a $T_p E \cong \mathscr{H}^1_p(1)$ et en particulier $\mathrm{Sym}^a T_p E = \mathrm{Sym}^a(\mathscr{H}_p^1(1)) = (\mathrm{Sym}^a \mathscr{H}^1_p)(a)$. On pose, pour $A$ un anneau, $$ V_{k, A}(Y(M, N)) = H^1(Y(M, N)(\C), \mathrm{Sym}^{k - 2}_\Z (\mathscr{H}^1 \otimes_\Z A)). $$ Les th�or�mes de comparaison nous fournissent un isomorphisme $$ V_{k, \zp}(Y(N)) \cong H^1_{\text{�t}}(Y(N)_{\overline{\Q}}, \mathrm{Sym}^{k-2}_\zp (\mathscr{H}^1 \otimes_\Z \zp)), $$ d'o� une action de $\mathscr{G}_\Q$ sur $V_{k, \zp}(Y(N))$, qui est non-ramifi�e sur toute place ne divisant pas $pMN$.
%
%Rappelons que $F = \Q(a_n: n \geq 1)$. Les op�rateurs de Hecke agissant sur $V_{k, F}(Y(N))$, on peut d�finir $V_F(f) = V_{k, F}(Y_1(N)) / \langle T_n - a_n \rangle$, qui est un $F$-espace vectoriel de dimension $2$. Si $A$ est un anneau sur $F$, on pose $V_A(f) = V_F(f) \otimes_F A$. En particulier, si $v$ est une place de $F$ au dessus de $p$, on a $V_{F_v}(f) = V_{F}(f) \otimes_F F_v$ qui est un $F_v$-espace vectoriel de dimension $2$. Finalement, on note $V_{\mathcal{O}_{F_v}}(f) \subseteq V_{F_v}(f)$ le $\mathcal{O}_{F_v}$-module engendr� par l'image de $V_{\zp}(Y_1(N))$ dans $V_{F_v}(f)$, qui est un $\mathcal{O}_{F_v}$-module libre de rang $2$ muni d'une action $\mathcal{O}_{F_v}$-lin�aire de $\mathscr{G}_\qp$.
%
%Par le lemme \ref{lemme14}, on a un �l�ment $$ ({}_{c, d} z_{Mp^n, Np^n})_{n \geq 1} \in \varprojlim_{n} K_2(Y(Mp^n, Np^n)), $$ o� la limite projective est prisse par rapport aux applications normes.
%
%On construit, pour $r \in \Z$ et $0 \leq j \leq k - 1$, une application $$ \mathrm{Ch}_{M, N}(k, r, j): \varprojlim_{n} K_2(Y(Mp^n, Np^n)) \to H^1(\Q, V_{k, \zp}(Y(M, N))(k - r)) $$ comme  les compositions suivantes:
%
%\begin{eqnarray*}
%\varprojlim_{n} K_2(Y(Mp^n, Np^n)) &\to& \varprojlim_{n} H^2(Y(Mp^n, Np^n), (\Z / p^n \Z)(2)) \\
%&\to& \varprojlim_{n} H^2(Y(Mp^n, Np^n), (\mathrm{Sym}^{k-2}(T_p E / p^n)) (2 - r)) \\
%&\xrightarrow{\cong}& \varprojlim_{n} H^2(Y(Mp^n, Np^n), (\mathrm{Sym}^{k-2}(\mathscr{H}^1_p / p^n)) (k - r)) \\
%&\to& \varprojlim_{n} H^2(Y(M, N), (\mathrm{Sym}^{k-2}(\mathscr{H}^1_p / p^n)) (k - r)) \\
%&\to& \varprojlim_{n} H^1(\Q, V_{k, \Z / p^n}(Y(M, N))(k - r)),
%\end{eqnarray*}
%o� les fl�ches sont, respectivement:
%
%- L'application classe de Chern: Si $X$ est un sch�ma o� $p$ est inversible et $f, g \in \mathcal{O}(X)^\times$, alors on a la suite exacte de Kummer $ 0 \to (\Z / p^n)(1) \to \mathcal{O}(X)^\times \xrightarrow{p^n} \mathcal{O}(X)^\times \to 0 $ et donc un morphisme de connexion $\alpha: \mathcal{O}(X)^\times \to H^1(X, (\Z / p^n)(1))$. L'application de Chern envoie $\{ f, g \}$ vers $\alpha(f) \cup \alpha(g) \in H^2(X, (\Z / p^n)(2))$.
%
%- La deuxi�me fl�che est le cup produit avec l'�l�ment $e_{1, n}^{\otimes (j - 1)} \otimes e_{2, n}^{\otimes k - j - 1} \otimes (\zeta_{p^n})^{-r}$, o� $(e_{1, n}, e_{2, n})$ est une base de $T_p E / p^n$ et $(\zeta_{p^n})$ la base fix�e de $\zp(1)$.
%
%- La troisi�me fl�che est l'isomorphisme que l'on obtient par dualit�.
%
%- La quatri�me fl�che est l'application norme
%
%- La derni�re fl�che est l'application d�duite de la suite spectrale de Hochschild-Serre $$ H^a(\Q, H^b(Y(M, N)_{\overline{\Q}}, *)) \implies H^{a + b}(Y(M, N), *) $$ et du fait que $Y(M, N)$ est de dimension $1$ et donc $H^q(Y(M, N)_{\overline{\Q}}, *) = 0$ pour $q > 1$.
%
%\begin{definition} [\cite{Kato}, $8.4$] On d�finit ${}_{c, d} z^{(p)}_{M, N}(k, r, j) \in H^1(\Q, V_{k, \zp}(Y(M, N))(k - r))$ comme l'image de $({}_{c,d} z_{Mp^n, Np^n})_{n \geq 1}$ par $\mathrm{Ch}_{M, N}(k, r, j)$.
%\end{definition}
%
%\begin{proposition}[\cite{Kato}, proposition $8.7$]
%$(i)$ Soient $M', N' \geq$ tels que $M | M'$, $N | N'$ $(c, M') = (d, N') = 1$, $\mathrm{pr}(pM) = \mathrm{pr}(pM')$ et $\mathrm{pr}(pN) = \mathrm{pr}(pN')$. Alors l'application norme $$ H^1(\Q, V_{k, \zp}(Y(M', N'))(k - r)) \to H^1(\Q, V_{k, \zp}(Y(M, N))(k - r)) $$ envoie ${}_{c, d} z^{(p)}_{M', N'}(k, r, j)$ vers ${}_{c, d} z^{(p)}_{M, N}(k, r, j)$.
%
%$(ii)$ Soit $l$ un nombre premier tel que $l \nmid M p c d$. Alors l'application norme $$ H^1(\Q, V_{k, \zp}(Y(Ml, Nl))(k - r)) \to H^1(\Q, V_{k, \zp}(Y(M, N))(k - r)) $$ envoie ${}_{c, d} z^{(p)}_{Ml, Nl}(k, r, j)$ vers $$ (1 - T'(l) {\matrice {1 /l} 0 0 1}^* \cdot l^{-r} + \delta(l, N) \matrice {1/l} 0 0 {1/l}^* \cdot l^{k - 1 - 2r}) \cdot {}_{c, d} z^{(p)}_{M, N}(k, r, j) $$ o� $\delta(l, N) = 1$ si $l \nmid N$ et $0$ si $l \mid N$.
%\end{proposition}
%
%\subsubsection{�l�ments zeta III}
%
%Soit $S$ un ensemble fini de nombres premiers tel que $\mathrm{pr}(mN) \subseteq S$, o� $\mathrm{pr}(n)$ d�note l'ensemble des nombres premiers qui divisent $n$, et $\xi = a(A)$ un symbol formel ($a, A \in \Z$, $A \geq 1$). 
%
%On d�finit � continuation, pour $A \geq 1$, les sch�mas $Y(M, N(A))$ et $Y(M(A), N)$ dont ses $S$-points, pour $S$ un sch�ma, param�trent les classes d'isomorphisme $(E, e_1, e_2, C)$, o� $(E, e_1, e_2)$ est un $S$-point de $Y(M, N)$ et $C$ est un sous-sch�ma cyclique d'ordre $AN$ (resp. $AM$) de $E$ tel qu'il contient $e_2$ (resp. $e_1$) et tel que l'application $\Z / M \Z \times C \to E; (x, y) \mapsto x e_1 + y$ (resp. $ C \times \Z / N \Z \to E; (x, y) \mapsto x + y e_2$ ) soit injective. Soit $L$ tel que $ppcm(M, AN) | L$ (reps. $ppcm(AM, N) | L$). $Y(M, N(A))$ (resp. $Y(M(A), N)$) est alors le quotient de $Y(L)$ par l'action du sous-groupe de $\mathrm{GL}_2(\Z / L \Z)$ form� par les matrices $\matrice a b c d$ telles que $a \equiv 1$ mod $M$, $b \equiv 0$ mod $M$ (resp. mod $AM$), $c \equiv 0$ mod $AN$ (resp. mod $N$) et $d \equiv 1$ mod $N$ . On a des projections canoniques $$ Y(M, AN) \to Y(M, N(A)) \to Y(M, N), $$ $$ Y(AM, N) \to Y(M(A), N) \to Y(M, N). $$ $Y(M, AN) \to Y(M, N(A))$ envoyant $(E, e_1, e_2) \mapsto (E, e_1, Ae_2, \Z e_2)$, et $Y(M, N(A)) \to Y(M, N)$ envoyant $(E, e_1, e_2, C)$ vers $(E, e_1, e_2)$.
%
%On a un isomorphisme $$ \varphi_A: Y(M, N(A)) \to Y(M(A), N) $$ donn� par $(E, e_1, e_2, C) \mapsto (E', e_1', e_2', C')$ o� $E' = E / NC$, $e_1'$ est l'image de $e_1$ dans $E'$ et $e_2'$ est l'image de $A^{-1} e_2 \cap C$ (o� $A^{-1} e_2$ denote l'image inverse de $e_2$ par la multiplication par $A$) dans $E'$. Si $\nu$ d�notes les uniformisations par le demi-plan de Poincar�, $\varphi_A$ est l'unique morphisme qui satisfait $\nu(A(\tau)) = \varphi_A(\nu(\tau))$ pour tout $\tau \in \mathscr{H}$. L'application $\varphi_A$ est utilis� pour d�finir les op�rateurs de Hecke sur $K_2(Y(M, N))$ (\cite{Kato}, 2.9).
%
%On d�finit maintenant les �l�ments ${}_{c, d} z^{(p)}_m(\check{f}, r, j, \xi, S) \in H^1(\Q(\zeta_m), V(f)(k - r))$ pour $m, N \geq 1$, $f = \sum_{n \geq 1} a_n q^n$ une forme primitive dans $S_k(X_1(N)) \otimes \C$, $\xi$ et $S$ comme ci-dessus, $r \in Z$, $0 \leq j \leq k - 1$, $c, d$ satisfaisant $\mathrm{pr}(c, d) \cap S = \emptyset$, $(c, 6pM) = (d, 6pN) = 1$.
%
%Soit $L \geq 4$ tel que $$ ppcm(mA, M, N) | L, \; \; \mathrm{pr}(M) = S, \; \; \mathrm{pr}(L) = S \cup \mathrm{pr}(N) $$ et soit $$ t_{m, a(A)}: V_{k, \qp}(Y(M, L)) \to V_{k, \qp}(Y_1(N) \otimes \Q(\zeta_m)) $$ l'application induite par $$ Y(M, L) \xrightarrow{\matrice 1 a 0 1} Y(M, L) \to Y(m(A), L) \xrightarrow{\varphi_A^{-1}} Y(m, L(A)) \to Y_1(N) \otimes \Q(\zeta_m), $$ et on a donc une application induite $$ t_{m , a(A)}: H^1(\Q, V_{k, \zp}(Y(M, L)) (k - r)) \to H^1(\Q, V_{k, \zp}(Y_1(N) \otimes \Q(\zeta_m)) (k - r))$$ $$\xrightarrow{\cong} H^1(\Q(\zeta_m), V_{k, \zp}(Y_1(N)) (k - r)) \to H^1(\Q(\zeta_m), V(f)(k - r))$$
%
%\begin{definition} On d�finit ${}_{c, d} z^{(p)}_m(\check{f}, r, j, \xi, S) \in H^1(\Q(\zeta_m), V_{F_v}(f)(k - r))$ comme $$ {}_{c, d} z^{(p)}_m(\check{f}, r, j, \xi, S) = t_{m, a(A)}({}_{c, d} z_{M, L}^{(p)}(k, r, j)). $$
%\end{definition}
% 
%%Soit $L$ tel que $mN | L$ et $\mathrm{pr}(L) = S$. L'application trace $V_{k, \qp}(Y(L)) \to V_{k, \qp}(Y_1(N) \otimes \Q(\zeta_m))$ induit
%%\begin{eqnarray*}
%%H^1(\Q, V_{k, \qp}(Y(L))(k - r)) &\to& H^1(\Q, V_{k, \qp}(Y_1(N) \otimes Q(\zeta_m))(k - r)) \\
%%&\cong& H^1(\Q(\zeta_m), V_{k, \qp}(Y_1(N)(k - r)) \\
%%&\cong& H^1(\Q(\zeta_m), V_{k, F_v}(f)(k - r))
%%\end{eqnarray*}
%%
%%\begin{definition}
%%On d�finit ${}_{c, d} z^{(p)}_m(\check{f}, r, j, \xi, S) \in H^1(\Q(\zeta_m), V_{k, F_v}(f)(k - r))$ comme l'image de $\xi^*({}_{c, d} z^{(p)}_{L, L}(k, r, j))$ par le morphisme ci-dessus.
%%\end{definition}
%
%\begin{proposition}
%Soit $m' \geq m$, $m | m'$, $S' \subseteq \mathcal{P}$ un ensemble fini tel que $S \cup \mathrm{m'} \subseteq S'$ et $\mathrm{cd} \cap S' = \emptyset$. L'application norme $H^1(\Q(\zeta_{m'}), V_{k, F_v}(f)) \to H^1(\Q(\zeta_m), V_{k, F_v(f)})$ envoie ${}_{c, d} z^{(p)}_{m'}(\check{f}, r, j, \xi, S')$ vers $$ (\prod_{l \in S' \backslash S} (1 - \overline{a}_l \sigma_l^{-1} \cdot l^{-r} + \overline{\epsilon}(l) \sigma_l^{-2} \cdot l^{k - 1 - 2r})) \cdot {}_{c, d} z^{(p)}_m(\check{f}, r, j, \xi, S). $$
%\end{proposition}
%
%\subsubsection{Valeurs sp�ciales des fonctions $L$}
%
%On fixe les notations pour le th�or�me suivant. Rappelons d'abord que l'on a, pour $V$ une repr�sentation $p$-adique, $k \in \Z$ et $n \geq 0$, un morphisme de projection $H^1_{\mathrm{Iw}}(, \qp, V) \to  H^1(\mathscr{G}_{F_n}, V)$ donn� par $\mu \mapsto \int_{Gamma_n} \chi^k(x) \mu$.
%
%Soit $S(f)$ le quotient de $S_k(X_1(N)) \otimes_\Q F$ par le $F$-module engendr� par les images des op�rateurs $T_n \otimes 1 - 1 \otimes a_n$, pour $n \geq 1$. On a (\cite{Kato} 4.10 et 5.4) une application de p�riodes $$ \mathrm{per}: M_k(X_1(N)) \to V_{k, \C}(Y_1(N)), $$ et sa restriction (\cite{Kato} 6.3) $$ \mathrm{per}_f: S(f) \to V_\C(f). $$ Ces applications permettent de faire le lien entre les diff�rents �l�ments zeta et les valeurs sp�ciales des fonctions $L$ (voir par exemple \cite{Kato} thm. 5.6 et 6.6).
%
%Si $x \otimes y \in S(f) \otimes_\Q F_n$ et $\chi: \Gamma_n \to \C^\times$ est un caract�re, on note $\pm = (-1)^{k - j = 1} \chi(-1)$ et on d�finit $$ \mathrm{per}_{f, \chi}(x \otimes y) = \sum_{\sigma \in \Gamma_n} \chi(\sigma) \sigma(y) \mathrm{per}_f(x)^\pm. $$
%
%\begin{theorem}[\cite{Kato}, thm. 12.5] Il existe une unique application $F_v$-lin�aire $$ V_{F_v}(f) \to H^1_{\mathrm{Iw}}(V_{F_v}(f)), \gamma \mapsto z_{\gamma}^{(p)}, $$ tel que pour tout $0 \leq j \leq k-1$, $n \geq 0$ et $\gamma \in V_{F_v}(f)$, l'image de $z_\gamma^{(p)}$ par l'application $$ H^1_{\mathrm{Iw}}(V_{F_v}(f)) \to H^1(F_n, V_{F_v}(f)(k - j)) \xrightarrow{\exp^*} S(f) \otimes_F F_v \otimes_\Q Q(\zeta_{p^n}) $$ appartient � $S(f) \otimes_\Q Q(\zeta_{p^n})$, et, pour tout caract�re $\chi: Gal(F_n / F) \to \C^\times$, l'application $\mathrm{per}_{f, \chi}$ envoie son image vers $$ (2 \pi i)^{k - r - 1} \cdot L_{\{ p \} }(\check{f}, \chi, r) \cdot \gamma^{\pm}. $$
%
%\end{theorem}
%
%\subsubsection{Le syst�me d'Euler }
%
%Soit $v$ una place de $F$ au dessus de $p$, $r \in \Z$ et consid�rons $V_{F_v}(f)(k - r)$.
%
%\begin{proposition}[\cite{Kato}, exemple 13.3, lemma 13.10 et lemma 13.11]
%%Soit $0 \leq j \leq k - 1$, et soient $a, A, c, d \in \Z$, $A \geq 1$ tels que $(c, 6pA) = (d, 6pN) = 1$. Alors $$ \{ {}_{c, d} z_{p^n}^{(p)}(\check{f}, k, j, \xi, \mathrm{pr}(pN)) \}_n $$ d�finit un syst�me d'Euler dans $H^1_{\mathrm{Iw}}(\qp, V(f))$. De plus, on a $$ ({}_{c, d} z_{p^n}^{(p)}(f, k, j, a(A), \mathrm{pr}(pA)))_{n \geq 1} = (\prod_{p \neq l|A} (1 - \overline{a}_l l^{-k} \sigma_l^{-1} + \overline{\epsilon}(l) l^{-k -1} \sigma_l^{-2})) \cdot$$ $$ (c^2 d^2 z_{\gamma_1}^{(p)} - c^{k+1-j} d^2 \sigma_c z_{\gamma_2}^{(p)}) - c^2 d^{j+1} \epsilon(d) \sigma_d z_{\gamma_3}^{(p)} + c^{k+1-j} d^{j+1} \epsilon(d) \sigma_{cd} z_{\gamma_4}^{(p)} ) $$ o� $\gamma_1 = \delta(f, j ,a(A))$, $\gamma_2 = \delta(f, j ,ac(A))$, $\gamma_3 = \delta(f, j ,ad^{-1}(A))$, $\gamma_1 = \delta(f, j ,acd^{-1}(A))$ ($d^{-1}$ et $c^{-1}$ d�notent l'inverse modulo $A$).
%
%Soit $0 \leq j \leq k - 1$, $\xi \in \mathrm{SL}_2(\Z)$ et $c, d$ des entiers tels que $c \equiv d \equiv 1$ mod $N$, $(c, 6p) = (d, 6p) = 1$. Alors $$ \{ {}_{c, d} z_{p^n}^{(p)}(\check{f}, k, j, \xi, \mathrm{pr}(pN)) \}_n $$ d�finit un �l�ment dans $H^1_{\mathrm{Iw}}(\qp, V(f))$. De plus, l'�l�ment $z_{\delta(\check{f}, j, \xi)}^{(p)} \in H^1_{\mathrm{Iw}}(\qp, V(f))$ d�finit par $$ z_{\delta(f, j, \xi)}^{(p)} = (c^2 - c^{k + 1 - j} \sigma_c)^{-1} (d^2 - d^{j+1} \sigma_d)^{-1} (\prod_{l | N} (1 - a_l l^{-k} \sigma_l^{-1}))^{-1} \{ {}_{c, d} z_{p^n}^{(p)}(f, k, j, \xi, \mathrm{pr}(pN)) \}_n $$ ne d�pend pas des choix de $c$ et $d$.
%\end{proposition}
%
%Les �l�ments $\mathbf{z}^{(p)}_{\delta(f, j, \xi)}$ engendrent $V(f)$ et, en prenant des combinaisons lin�aires, on peut d�finir $\mathbf{z}^{(p)}_\gamma$ pour n'importe quel $\gamma \in V(f)$.
%
%\subsection{Un r�sultat de G. Kings, d'apr�s M. Gealy}
%
%Les r�sultats suivants, dus � M. Gealy, montrent (dans le cas o� la forme modulaire n'est pas � bonne r�duction en $p$) que les �l�ments construits par Kato proviennent de certains �l�ments explicites dans la cohomologie motivique.
%
%\begin{proposition} Soit $e_1$ la section standard de $E[N]$ sur $Y(N)$, $p | N$ et $c < 1$, $(c, 6pN) = 1$. On voit $e_2$ comme un �l�ment dans $\qp[E[N]]$. On a alors l'�galit� suivante dans $H^1(Y(N), (\mathrm{Sym}^\lambda_\zp T)(1))$ $$ {}_c \mathbf{z}_{N, \lambda} = \frac{2 N^{\lambda + 2}}{\lambda! (\lambda + 2)} [c^2 \mathrm{Eis}^\lambda_p(\rho^\lambda(e_2)) - c^{-\lambda} \mathrm{Eis}^\lambda_p(\rho^\lambda(c e_2)) ]. $$
%\end{proposition}
%
%Les r�sidus des deux c�t�s �tant rationnels, on voit que les �l�ments ${}_c \mathbf{z}_{N, \lambda}$ s'expriment comme la r�alisation motivique de symboles d'Eisenstein.
%
%\begin{proposition}
%Soit $p | N$, $r \geq 0$. Alors ${}_{c, d} \mathbf{z}_{N, N}^(p)(k + j, -r, k)$ est la r�alisation $p$-adique de la classe de $H^{k + j}_{\mathrm{mot}}(E^{(K + j + 2)}, k + j + r)(\epsilon)$ suivante $$ C \cdot \epsilon \circ \pi_{\lambda} \left( \pi_1^* \gamma^* [ (c^2 - c^{1 - k - r} {\matrice 1 0 0 c}^*) \mathrm{Eis}^{k + r - 1}(\rho^{k + r - 1}(e_2)) ] \cup \pi_2^* (d^2 - d^{1 - j - r} {\matrice 1 0 0 d}^*) \mathrm{Eis}^{j + r - 1} (\rho^{j + r - 1}(e_2)) \right), $$ o� $$ C = \frac{2 N^{k + r  -1}}{(k + r - 1)! (k + r + 1)} \frac{2 N^{j + r - 1}}{ (j + r - 1)! (j + r + 1)}. $$
%\end{proposition}
%
%\begin{proposition}
%Soit $r \geq 0$. Il existe une classe motivique ${}_{c,d} \mathfrak{Z}_{N, k, j, r}$ telle que ${}_{c, d} \mathbf{z}_1^{(p)}(\check{f}, -r, j, \xi, \mathrm{pr}(Np))$ est l'image de ${}_{c,d} \mathfrak{Z}_{N, k, j, r}$ sous le morphisme $$ H^k_{\mathrm{mot}}(KS_N^{(k - 2)}, \qp(k + r)) \to H^1(\qp, W(k + r)) \xrightarrow{\Psi_{\xi, \check{f}}} H^1(\qp, V(\check{f})(k + 1)). $$
%\end{proposition}
%
%Comme $H^k_{\mathrm{syn}}(KS_N^{k - 2}, k + r) \cong \DdR(W(k + r))$ par Faltings, en appliquant les r�sultats de Besser-Niziol-Nekovar-Loeffler-Kings-Zerbes, on obtient le r�sultat principal de cette section
%
%\begin{theorem}
%On a $$ {}_{c, d} \mathbf{z}_1^{(p)}(\check{f}, -r, j, \xi, \mathrm{pr}(Np)) = \exp_{V(\check{f})(k + r)} \circ \Psi_{\xi, \check{f}} \circ r_{\mathrm{syn}} ({}_{c,d} \mathfrak{Z}_{N, k, j, r}). $$
%\end{theorem}
%
%
%\subsection{Conjecture de Beilinson $p$-adique}
%
%Soit $f = \sum_{n \geq 0} a_n q^n \in S_w(N)$, $\eta \in \mathrm{LA}(\zpe, L)$ un caract�re de Dirichlet de conducteur $p^n$, $n \geq 1$ et $k \in \Z$ comme pr�c�demment. On note $N = N' p^r$ avec $r \geq 1$ et on suppose $2n \geq r$ (c'est toujours le cas pour ce qui nous int�resse). Notons $\eta f = \sum_{n \geq 0} \eta(n) a_n q^n$. On sait que $\eta f \in S_w(N' p^{2n}, \eta^2)$ et elle est une forme primitive. On a de plus que $V_{\eta f} = V_f(\eta)$, o� l'on voit $\eta$ comme un caract�re de Galois via $\mathscr{G}_\qp \twoheadrightarrow \Gamma \xrightarrow{\chi} \zpe \xrightarrow{\eta} L$, comme on le voit en regardant les polyn�mes caract�ristiques des Frobenius en $l \nmid N$. Enfin, notons $\mathbf{z}_{\mathrm{Kato}}(\eta) \in H^1_{\mathrm{Iw}}(\qp, V(\eta))$ le syst�me d'Euler de Kato associ� � $\eta f$.
%
%Rappelons que $$ z_{\delta(f, j, \xi)}^{(p)} = (c^2 - c^{k + 1 - j} \sigma_c)^{-1} (d^2 - d^{j+1} \sigma_d)^{-1} (\prod_{l | N} (1 - a_l l^{-k} \sigma_l^{-1}))^{-1} \{ {}_{c, d} z_{p^n}^{(p)}(f, w, j, \xi, \mathrm{pr}(pN)) \}_n, $$ d�finit le syst�me d'Euler associ� � $\gamma = \delta(f, j, \xi) \in V(\check{f})$ ayant des composantes non-nulles sur les espaces propres par la conjugaison complexe.
%
%\begin{theorem}
%Soit $f$, $V_f$, $n \geq m(D)$, $\eta$ un caract�re de Dirichlet de conducteur $p^n$ et $k \ll 0$, on a $$ \Lambda^{(n)}_{z_{\mathrm{Kato}}}(\eta \chi^k) = (c^2 - c^{w + 1 - j} \sigma_c)^{-1} (d^2 - d^{j+1} \sigma_d)^{-1} (\prod_{l | N} (1 - a_l l^{-w} \sigma_l^{-1}))^{-1} \Psi_{\xi, \eta^{-1} \check{f}} \circ \mathfrak{r}_{\mathrm{syn}} ({}_{c, d} \mathcal{Z}_{N, w, j, k}). $$
%\end{theorem}
%
%\subsection{� faire}
%
%Dire quelques mots sur la conjecture de Beilinson $p$-adique (Bourbaki de Colmez + Perrin-Riou). En faire le lien (explicite?) avec la fonction $L$ complexe.
%
%\subsection{Lois de r�ciprocit� explicites}
%
%On �tudie le liens entre l'application $\Lambda_{D, z}$ et certains accouplements naturels d�finis sur les $(\varphi, \Gamma)$-modules. Plus sp�cifiquement: si $\eta \in \mathfrak{X}$, $D$ est un $(\varphi, \Gamma)$-module cristallin sur l'anneau de Robba et $\D_{\mathrm{cris}}(D)$ son module cristallin associ�, le choix d'un �l�ment $\mathbf{z}_0 \in \Dcris(D)$ d�finit, en composant $\Lambda_{D, z}$ avec $\mathrm{pr}_{\mathcal{L}}$, o� $\mathrm{pr}_{\mathcal{L}}: \Dcris(D) \to K$ est la projection sur la $L$-droite $\mathcal{L}$ d�finie par $\mathbf{z}_0$, une application lin�aire et continue $$ \mathrm{pr}_{\mathcal{L}} \circ \Lambda_{D, z}(\eta) : D^{\psi = 0} \to L, $$ d�finie par $z \mapsto \mathrm{pr}_{\mathcal{L}}(\Lambda_{D, z}(\eta))$. On note $\tilde{\eta} \in \mathrm{Hom}_{\mathrm{cont}}(D^{\psi = 0}, L)$ cette application.
%
%En utilisant l'isomorphisme entre le dual topologique de $D$ est on duale de Tate, on en d�duit l'existence d'un �l�ment $z_\eta$ dans le dual de $D^{\psi = 0}$ dans $D \otimes \mathbf{P}^1$ tel que $ \tilde{\eta}(z) = \{ z_\eta, z \}$ pour tout $z \in D^{\psi = 0}$. De plus, on sait que $D^{\psi = 0} \cong (\mathbf{\Pi}(D)^*)^{\matrice p 0 0 1 = 1},$ o� $\mathbf{\Pi}(D)$ est la repr�sentation localement analytique associ�e par la correspondance de Langlands $p$-adique. Donc, on peut voir $z_\eta$ comme en �l�ment dans $\mathbf{\Pi}(D)$ (plus sp�cifiquement, comme un �l�ment dans le dual de  $ (\mathbf{\Pi}(D)^*)^{\matrice p 0 0 1 = 1} $).
%
%Soit $D \cong \Robba$ le $(\varphi, \Gamma)$-module trivial. On dispose sur $D$ d'un �l�ment canonique $\mathbf{z}_0 = 1 \in D$. L'application $\mathrm{pr}_{\mathcal{L}} \circ \Lambda_{D, z}$ est donc donn�e par la formule $z \mapsto [\varphi^{-n} \int_{\zpe} \zeta_{p^n}^{-x} \eta(x) \lambda_z]_0$. Si $z = \mathscr{A}_\mu$ alors cette valeur elle co�ncide avec $\int_{\zpe} \eta(x) \mu$ et on sait, via le dictionnaire d'analyse fonctionnelle $p$-adique, que, si $f_\eta = \sum_{k = 1}^{+\infty} a_n(\eta) T^{-n} \in \Robba / \Robba^\natural$ est telle que $\phi_f = \mathrm{res}_0((1 + T)^x \phi(T) \frac{dT}{1 + T}) = \eta$, alors $\int_{\zpe} \eta(x) \mu = \mathrm{res}_0 (z f_\eta \frac{dT}{1 + T}) = \{ z, f_\eta\}$. On voit dans ce cas que la d�composition de Mahler, qui est une section (pas $\mathrm{P}^+$-�quivariante!) de la fleche $\Robba \to \Robba / \Robba^\natural$, donne une r�ponse � la question dans ce cas.
%
%En plus, on a certaines restrictions sur les $z_\eta$, � savoir
%\begin{itemize}
%\item $\phi_{\sigma_a f_\eta}(x) = a^{-1} \phi_f(a^1 x)$,
%\item $\phi_{\psi(f_\eta)} \eta(px) = 0$ et donc $\psi(f_\eta) \in \Robba^\natural$, ce qui implique (car $f_\eta \in \Robba^-$) que $f_\eta \in \Robba^{\psi = 0}$.
%\item $\phi_{\mathrm{Res}_U f_\eta} = \mathbf{1}_U \phi_{f_\eta}$,
%\item $\phi_{\partial f_\eta} = x \phi_{f_\eta}$,
%\item $\phi_{t f_\eta} = - \phi'_f$.
%\end{itemize}
%
%Dans le cadre g�n�ral, on aimerait bien avoir une fl�che $\mathfrak{X} \to D \otimes \zpe$ donn� par $\eta \mapsto f_{\eta, \mathbf{z}_0}$, de sorte que l'on ait $\mathrm{pr}_{\mathcal{L}} \circ \Lambda_{D, z} (\eta) = \{ z, f_\eta \}_{\mathbf{P}^1}$ pour tout $z \in D^{\psi = 0}$.
%
%
%%\subsection{A faire}
%%
%%- Loi de r�ciprocit� pour les $(\varphi, \Gamma)$-modules
%%
%%- Un bon r�sum� et une bonne comprehension de \cite{Colmezannals}.
%%
%%- Lien avec le cas classique
%%
%%- Unit�s cyclotomiques?
%%
%%- Le syst�me d'Euler de Kato
%%
%%- Transform�e de Mellin et exponentielle de Perrin-Riou (?)
%%
%%- cas de Rham...: Soit $D$ un $(\varphi, \Gamma)$-module sur l'anneau de de Rham.

\newpage
%\nocite{*}
\bibliographystyle{acm}
\bibliography{bibliography}

\end{document}

Fonctions_L_p-adiques_4.bbl
\def\Dbar{\leavevmode\lower.6ex\hbox to 0pt{\hskip-.23ex \accent"16\hss}D}
  \def\cfac#1{\ifmmode\setbox7\hbox{$\accent"5E#1$}\else
  \setbox7\hbox{\accent"5E#1}\penalty 10000\relax\fi\raise 1\ht7
  \hbox{\lower1.15ex\hbox to 1\wd7{\hss\accent"13\hss}}\penalty 10000
  \hskip-1\wd7\penalty 10000\box7}
  \def\cftil#1{\ifmmode\setbox7\hbox{$\accent"5E#1$}\else
  \setbox7\hbox{\accent"5E#1}\penalty 10000\relax\fi\raise 1\ht7
  \hbox{\lower1.15ex\hbox to 1\wd7{\hss\accent"7E\hss}}\penalty 10000
  \hskip-1\wd7\penalty 10000\box7}
\begin{thebibliography}{10}

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