La conjecture $\epsilon$ locale de Kato en dimension $2$
Joaqu\'in Rodrigues Jacinto
We show an Iwasawa functional equation for a two dimensional $p$-adic representation of the absolute Galois group of $\qp$. This allows us to complete Nakamura's proof of Kato's local $\epsilon$-conjecture in dimension $2$.
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\title{La conjecture $\epsilon$ locale de Kato en dimension $2$}
%\date{October 31, 475}
\author{Joaqu\'in Rodrigues Jacinto}

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\begin{document}


\maketitle

%\begin{resume} r�sum� en fran�ais \end{resume}
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\begin{abstract}
On d�montre une �quation fonctionnelle dans la th�orie d'Iwasawa d'une repr�sentation $p$-adique du groupe de Galois absolu de $\qp$ de dimension $2$. Ceci nous permet de compl�ter la preuve de Nakamura de la conjecture $\epsilon$ locale de Kato en dimension $2$.
\end{abstract}

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\begin{abstract} 
We show an Iwasawa functional equation for a two dimensional $p$-adic representation of the absolute Galois group of $\qp$. This allows us to complete Nakamura's proof of Kato's local $\epsilon$-conjecture in dimension $2$.
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\tableofcontents

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\section*{Introduction}

Soit $p$ un nombre premier. La conjecture $\epsilon$ locale de Kato \cite{Kato2b}, \cite{FukayaKato} \cite{Nakamura2} pr�dit l'existence d'une trivialisation canonique du d�terminant de la cohomologie des repr�sentations galoisiennes � coefficients dans un anneau $p$-adiquement complet $A$, interpolant des trivialisations standard (qui font intervenir les facteurs epsilon de la repr�sentation, d'o� le nom de la conjecture) quand $A$ est une extension finie de $\qp$ et la repr�sentation est de Rham. Elle peut donc �tre vue comme une interpolation $p$-adique des facteurs locaux des repr�sentations de de Rham.

Ce texte a pour objectif de montrer une �quation fonctionnelle dans la th�orie d'Iwasawa d'un $(\varphi, \Gamma)$-module sur l'anneau de Robba de rang $2$ et de Rham, ainsi que voir comment elle permet de compl�ter les r�sultats de Nakamura \cite{Nakamura2} pour d�montrer la conjecture $\epsilon$-locale de Kato pour le cas de dimension $2$ pour une certaine classe d'anneaux $A$, en montrant que l'isomorphisme $\epsilon$ construit dans \cite{Nakamura2} interpole l'isomorphisme $\epsilon$ de de Rham pour un tel $(\varphi, \Gamma)$-module (dans \cite{Nakamura2}, ceci a �t� montr� quand les poids de Hodge-Tate du $(\varphi, \Gamma)$-module sont $k_1 \leq 0$ et $k_2 \geq 1$).

\subsection{Une �quation fonctionnelle locale}

Voici une description un peu plus d�taill�e des r�sultats.

\subsubsection{Rappels et notations}

Soient $\qp$ le corps des nombres $p$-adiques et $\zp$ l'anneau des entiers $p$-adiques. Fixons une cl�ture alg�brique $\overline{\Q}_p$ de $\qp$ et notons $\mathscr{G}_\qp = \mathrm{Gal}(\overline{\Q}_p / \Q)$ le groupe de Galois absolu de $\qp$. Notons $\chi \colon \mathscr{G}_\qp \to \zpe$ le caract�re cyclotomique, d�fini par l'identit� $\sigma(\zeta) = \zeta^{\chi(\sigma)}$, o� $\sigma \in \mathscr{G}_{\qp}$ et $\zeta \in \mu_{p^\infty}$ est une racine de l'unit� d'ordre une puissance de $p$. On note $\mathscr{H} = \ker(\chi) = \mathrm{Gal}(\overline{\Q}_p / \qp(\mu_{p^\infty}))$ et $\Gamma = \mathscr{G}_\qp / \mathscr{H} = \mathrm{Gal}(\qp(\mu_{p^\infty}) / \qp) \cong \zpe$, le dernier isomorphisme �tant donn� par $\chi$. On fixe $(\zeta_{p^n})_{n \in \N}$ un syst�me de racines $p^n$-i�mes de l'unit� tel que $\zeta_{p} \neq 1$, $\zeta_{p^{n+1}}^p = \zeta_{p^n}$, $n \geq 1$

Soit $L$ une extension finie de $\qp$ \footnote{Le corps $L$ jouera le r�le du corps de coefficients. Il sera fixe mais l'on se permettra �ventuellement, si besoin, de remplacer $L$ par une extension finie de lui m�me. } et soit $V \in \mathrm{Rep}_L \mathscr{G}_\qp$ une $L$-repr�sentation continue du groupe $\mathscr{G}_\qp$, de dimension $2$, de Rham, non trianguline et � poids de Hodge-Tate $0$ et $k \geq 0$. Soit $\check{V} = V^*(1)$ le dual de Tate de $V$, qui est isomorphe (car $V$ est de dimension $2$) � $V \otimes \omega_V^\vee$, o� $\omega_V = \det_V \otimes \chi^{-1}$. Notons $\DdR(V) = (\BdR \otimes V)^{\mathscr{G}_\qp}$ le module de de Rham de la repr�sentation $V$ et consid�rons \[ \exp \colon \DdR(V) \to H^1(\qp, V), \] \[ \exp^* \colon H^1(\qp, V) \to \DdR(V) \] les applications exponentielle et exponentielle duale de Bloch-Kato.

On aura besoin de comparer des �l�ments habitant dans le module de de Rham des diff�rents tordus de $V$ et de son dual de Tate et les identifications suivantes permettront de voir tous ces �l�ments dans $\DdR(V)$. Si $\delta \colon \Q^\times_p \to L^\times$ est un caract�re continu unitaire, on note $L(\delta)$ la repr�sentation de dimension $1$ o� $\mathscr{G}_\qp$ agit � travers $\delta$ vu comme caract�re de $\mathscr{G}_\qp$ via la th�orie du corps de classes locale \footnote{Explicitement, si $g \in \mathscr{G}_\qp$ se r�duit modulo $p$ � la puissance $\mathrm{deg}(g) \in \Z$ du Frobenius absolu, alors $\delta(g) = \delta(p)^{- \mathrm{deg}(g)} \delta(\chi(g))$.}, dont on fixe $e_\delta$ une base. Si $\eta \colon \zpe \to L^\times$ est un caract�re constant modulo $p^n$, vu comme un caract�re de $\qpe$ en posant $\eta(p) = 1$, l'�l�ment $\mathbf{e}^{\rm dR}_\eta = G(\eta) e_\eta$ est un g�n�rateur du module $\DdR(L(\eta))$, o� $G(\eta) := \sum_{a \in (\Z / p^n \Z)^\times} \eta(a) \zeta_{p^n}^a$ d�note la somme de Gauss de $\eta$. Notons $e_\eta^\vee = e_{\eta^{-1}}$ la base de $L(\eta)^*$ duale de $e_\eta$, d'o� $\DdR(L(\eta)^*) =  L \cdot G(\eta)^{-1} e_\eta^\vee = L \cdot \mathbf{e}^{\rm dR, \vee}_{\eta}$. Si $j \in \Z$, on note aussi $\mathbf{e}^{\rm dR}_j = t^{-j} e_j = t^{-j} e_{\chi^j} \in \BdR \otimes L(\chi^j)$, qui est une base de $\DdR(L(\chi^j))$.
%Notons \[ \mathbf{e}^{\rm dR}_{\eta, j} =  \mathbf{e}^{\rm dR}_\eta \otimes \mathbf{e}^{\rm dR}_j = G(\eta) e_\eta \otimes t^{-j} e_j \] qui est une base du module $\DdR(L(\eta \chi^j))$ et, pour $e_\eta^\vee = e_{\eta^{-1}}$ et $e_{-j}$ les �l�ments duaux de $e_\eta$ et $e_j$, on note \[ \mathbf{e}^{\rm dR, \vee}_{\eta, j} = G(\eta)^{-1} e_\eta^\vee \otimes t^j e_{-j}, \] qui est une base du module $\DdR(L(\eta \chi^j)^*)$.

Fixons une base $f_1, f_2$ de $\DdR(V)$ et notons $$ \langle \;,\; \rangle_{\rm dR} \colon \DdR(V) \times \DdR(V) \to L, $$ le produit scalaire d�fini par la formule $\langle a_1 f_1 + a_2 f_2, b_1 f_1 + b_2 f_2 \rangle_{\rm dR} = a_1 b_1 + a_2 b_2$. L'isomorphisme $\wedge^2 V = L(\chi) \otimes \omega_V$ induit un isomorphisme $\wedge^2 \DdR(V) = \DdR(L(\chi) \otimes \omega_V) = (t^{-k} L_\infty \cdot e_V)^\Gamma$, o� $L_\infty = L(\mu_{p^\infty})$ et $e_V$ d�note une base de $L(\det_V)$. On d�finit $\Omega \in L_\infty$ par la formule $f_1 \wedge f_2 = (t^k \Omega)^{-1} e_V$, ce qui nous permet de fixer les bases $(t^k \Omega)^{-1} e_V$ et $t^k \Omega e_V^\vee$ du module $\DdR(\wedge^2 V)$ et de son dual. On fixe aussi les bases $\mathbf{e}^{\rm dR}_{\omega_V} = (t^{k-1} \Omega)^{-1} e_{\omega_V}$ et $\mathbf{e}^{\rm dR, \vee}_{\omega_V} = (t^{k-1} \Omega) e_{\omega_V}^\vee$ du module $\DdR(L(\omega_V))$ et de son dual.
%Avec les notations introduites ci-dessus, on a des isomorphismes $$ \DdR(D) \xrightarrow{\sim} \DdR(\check{D}(\eta \chi^{-{\j}})); \;\;\; x \mapsto x \otimes G(\eta) e_{\eta} \otimes t^{{\j}} e_{-{\j}} \otimes  \Omega t^{k-1}  e_{\omega_D}^\vee $$ $$ \DdR(D) \xrightarrow{\sim} \DdR(D(\eta^{-1} \chi^{\j})) ; \;\;\; x \mapsto x \otimes G(\eta^{-1}) e_{\eta^{-1}} \otimes t^{-{\j}} e_{\j}. $$ 

Enfin, notons, pour $\eta \colon \zpe \to L^\times$ et $j \in \Z$ comme ci-dessus,$$ \mathbf{e}^{\rm dR, \vee}_{\eta, j, \omega_V^\vee} = \mathbf{e}^{\rm dR, \vee}_\eta \otimes \mathbf{e}^{\rm dR}_{-j}  \otimes \mathbf{e}^{\rm dR}_{\omega_V}, $$ $$ \mathbf{e}^{\rm dR, \vee}_{\eta, j} = \mathbf{e}^{\rm dR, \vee}_\eta \otimes \mathbf{e}^{\rm dR}_{-j}, $$ des bases des duaux des modules $\DdR(L(\eta \chi^j \omega_D^{-1}))$ et $\DdR(L(\eta \chi^j))$. L'application $x \mapsto x \otimes \mathbf{e}^{\rm dR, \vee}_{\eta, -j, \omega_V^\vee}$ induit donc un isomorphisme $\DdR(\check{V}(\eta \chi^{-{\j}})) \xrightarrow{\sim} \DdR(\check{V}) $ et, de m�me, $x \mapsto x \otimes \mathbf{e}^{\rm dR, \vee}_{\eta^{-1}, j}$ induit isomorphisme $\DdR(V(\eta^{-1} \chi^j)) \xrightarrow{\sim} \DdR(V). $

Soit \[ H^1_{\rm Iw}(\qp, V) = \varprojlim_n H^1(\qp(\mu_{p^n}), T) \otimes_\zp \qp \] la cohomologie d'Iwasawa de la repr�sentation $V$, o� $T$ d�note n'importe quel $\zp$-r�seau de $V$ stable par $\mathscr{G}_\qp$ et o� la limite est prise par rapport aux applications de corestriction. On dispose des applications de sp�cialisation
\[ H^1_{\rm Iw}(\qp, V) \to H^1(\qp, V(\eta \chi^j)) : \mu \mapsto \int_\Gamma \eta \chi^j \cdot \mu. \]

La correspondance de Langlands $p$-adique \cite{ColmezPhiGamma} nous permet de construire une application \[ w_V \colon H^1_{\rm Iw}(\qp, V) \to H^1_{\rm Iw}(\qp, \check{V}). \] Cette application est d�finie � partir de l'action de la matrice $\matrice 0 1 1 0$ sur la repr�sentation de Banach de $\mathrm{GL}_2(\qp)$ associ�e � $V$ par la correspondance de Langlands $p$-adique pour $\mathrm{GL}_2(\qp)$ et, au m�me temps, aux facteurs $\epsilon$ d'une repr�sentation lisse admissible de $\mathrm{GL}_2(\qp)$ via la th�orie du mod�le de Kirillov, d'o� son importance.

Notons finalement $\pi$ la repr�sentation lisse de $\mathrm{GL}_2(\qp)$ associ�e � $V$ par la correspondance de Langlands classique, et $\epsilon(-)$ le facteur epsilon d'une repr�sentation lisse de $\mathrm{GL}_2(\qp)$.

\subsubsection{Le th�or�me principal}

Le th�or�me suivant, dont la preuve est inspir�e largement des techniques introduites par Nakamura \cite{Nakamura2}, Dospinescu et Colmez \cite{ColmezPoids}, d�crit le comportement de l'involution de Colmez en termes de la th�orie d'Iwasawa de la repr�sentation $V$.

\begin{theorem} [Th. \ref{eqfonct1b}] \label{eaeaeqfonctintro}
Soit $\mu \in H^1_{\rm Iw}(\qp, V)$ et notons $\check{\mu} = w_V(\mu) \in H^1_{\rm Iw}(\qp, \check{V})$. Alors, pour tout $j \geq 1$, on a \[ \exp^*(\int_\Gamma \eta \chi^{-j} \cdot \check{\mu}) \otimes \mathbf{e}^{\rm dR, \vee}_{\eta, -j, \omega_V^\vee} = C(V, \eta, j) \cdot \exp^{-1}(\int_\Gamma \eta^{-1} \chi^{j} \cdot \mu) \otimes \mathbf{e}^{\rm dR, \vee}_{\eta^{-1}, j}, \] o� \[ C(V, \eta, j) = \Omega^{-1} \frac{(-1)^{j}}{(j + k - 1)! (j - 1)!} \, \epsilon(\eta^{-1})^{-2}  \epsilon(\pi \otimes \eta^{-1} \otimes |\cdot|^j). \]
\end{theorem}

\begin{remarque}
D'apr�s la philosophie de Perrin-Riou et Bloch-Kato, si $\mu$ provient par restriction d'un syst�me d'Euler d'une repr�sentation globale, les valeurs que l'on compare dans le th�or�me \ref{eaeaeqfonctintro} ci-dessus sont �troitement li�es aux valeurs sp�ciales de la fonction $L$ $p$-adique associ�e � cette repr�sentation, et le th�or�me \ref{eaeaeqfonctintro} ci-dessus implique une �quation fonctionnelle pour cette fonction $L$ $p$-adique \cite{FonctLpadiques}.
\end{remarque}

La d�monstration du th�or�me \ref{eaeaeqfonctintro} est un long processus de traduction et occupe le deuxi�me chapitre de ce texte. L'id�e principale, comme dans \cite{Nakamura2}, est d'exprimer les deux termes du th�or�me \ref{eaeaeqfonctintro} en termes de la correspondance de Langlands $p$-adique et d'utiliser la compatibilit� locale-globale entre la correspondance de Langlands $p$-adique et classique, ce qui fait naturellement appara�tre le facteur epsilon de la repr�sentation lisse de $\mathrm{GL}_2(\qp)$ associ�e � $V$ quand on applique l'involution. De fait, nous utilisons les techniques de changement de poids de \cite{ColmezPoids} pour ramener aux calculs faits dans \cite{Nakamura2}.

Nous allons decrire les etapes principales du calcul. Soit $D = \D(V) \in \Phi \Gamma^{\text{�t}}(\Robba)$ le $(\varphi, \Gamma)$-module sur l'anneau de Robba \footnote{On renvoie le lecteur non familiaris� aux sections correspondantes du texte pour les d�finitions des objets introduits sans d�finition dans cette introduction.} associ� � la repr�sentation $V$ par les �quivalences de cat�gories de Fontaine, Cherbonnier-Colmez et Kedlaya (prop. \ref{equivPhiGamma}). On dispose aujourd'hui de toute une cosmogonie d'objets et applications permettant d'exprimer un grand nombre d'invariants arithm�tiques de la repr�sentation $V$ intrins�quement en termes de $D$.

\subsubsection{L'�quation diff�rentielle $p$-adique et le cas de poids nuls}

Soit $\Delta = \Nrig(D) \in \Phi \Gamma(\Robba)$ le module construit (cf. \S \ref{eqdiff}) par Berger. Le module $\Delta$ n'est pas �tale et il est de rang $2$, de Rham � poids de Hodge-Tate nuls. On a sur $\Delta$ un op�rateur de d�rivation $\partial$ au dessus de l'op�rateur $\partial = (1 + T) \frac{d}{dT}$ sur $\Robba$. Si $D$ est � poids de Hodge-Tate positifs, alors $D \subseteq \Delta$ et l'on peut donc voir l'�l�ment $z \in D^{\psi = 1}$ dans $\Delta^{\psi = 1}$.

Rappelons (cf. \S \ref{generalites}) qu'il existe un entier $m(\Delta) \geq 0$ et, pour tout $n \geq m(\Delta)$, des sous-$\Robba^{]0, r_n]}$-modules $\Delta^{]0, r_n]}$ libres de rang $2$ tels que $\Delta = \Robba \otimes_{\Robba^{]0, r_n]}} \Delta^{]0, r_n]}$, o� $r_n = \frac{1}{p^{n - 1} (p - 1)}$ et qu'on a des applications de localisation \[ \varphi^{-n} \colon \Delta^{]0, r_n]} \to L_n((t)) \otimes \DdR(\Delta), \] o� $t$ d�note le ``$2i\pi$'' de Fontaine et $L_n = L \cdot \qp(\mu_{p^n})$. L'op�rateur $\partial$ sur $\Delta$ satisfait la relation de commutation $\varphi^{-n} \circ \partial = \frac{d}{dt} \circ \varphi^{-n}$.

\subsubsection{La correspondance de Langlands $p$-adique pour $\mathrm{GL}_2(\qp)$}

Dans \cite{ColmezPoids}, Colmez construit (cf. \S \ref{LLpadique}) une repr�sentation localement analytique admissible $\Pi(\Delta)$ � caract�re centrale $\omega_\Delta := \det_\Delta \chi^{-1}$ de $G = \mathrm{GL}_2(\qp)$ et il explique comment retrouver la repr�sentation $\Pi(D)$ associ�e � $D$ par la correspondance de Langlands $p$-adique par des m�thodes de `changement de poids'. La repr�sentation $\Pi(\Delta)$ est irr�ductible mais elle est munie d'un op�rateur $\partial$ et, en tordant l'action de $G$ d'une mani�re appropri�e en utilisant $\partial$, l'on peut r�cup�rer les vecteurs localement alg�briques de $\Pi(D)$ et donc en particulier la repr�sentation lisse $\pi$ de $G$ associ�e � $V$ par la correspondance de Langlands classique.

Un $(\varphi, \Gamma)$-module peut �tre vu comme un faisceau ${\matrice {\zp - \{0\}} {\zp} 0 1}$-�quivariant \footnote{L'action de $\varphi$, $\sigma_a$ et la multiplication par $(1 + T)^b$, $a \in \zpe, b \in \zp$, correspondant � ${\matrice p 0 0 1}$, ${\matrice a 0 0 1}$ et ${\matrice 1 b 0 1}$ respectivement.} $U \mapsto \Delta \boxtimes U$ sur $\zp$ dont les sections globales sont donn�es par $\Delta \boxtimes \zp = \Delta$ et la construction de $\Pi(\Delta)$ est fond�e sur l'extension de ce faisceaux en un faisceau $G$-�quivariant $U \mapsto \Delta \boxtimes U$ sur $\PP^1 = \PP^1(\qp)$. On a un accouplement parfait et $G$-�quivariant $[\; , \; ]_{\PP^1}$ sur $\Delta \boxtimes \PP^1$ et la suite exacte fondamentale de $G$-modules suivante:
\[ 0 \to \Pi(\Delta)^* \otimes \omega_\Delta \to \Delta \boxtimes \PP^1 \to \Pi(\Delta) \to 0. \]

Dans \S \ref{psiinvsec}, on �tend des r�sultats classiques et on d�montre que, pour $\alpha = 1$ ou $\alpha = \omega_\Delta(p)$, l'on a un isomorphisme
\[ (\Pi(\Delta)^* \otimes \omega_\Delta)^{{\matrice p 0 0 1} = \alpha} \xrightarrow{\sim} \Delta^{\psi = \alpha^{-1}}. \] Si $z \in \Delta^{\psi = 1}$, on note $\tilde{z}$ l'image inverse de $z$ par cet isomorphisme. En notant $w = {\matrice 0 1 1 0}$, l'�l�ment $w \cdot \tilde{z}$ appartient donc � $(\Pi(\Delta)^* \otimes \omega_\Delta)^{{\matrice p 0 0 1} = \omega_\Delta(p)}$ et l'on note $\check{z} \in \Delta^{\psi = \omega_\Delta(p)^{-1}} = \check{\Delta}^{\psi = 1}$, o� $\check{\Delta} = \Delta^*(1)$ d�note le dual de Tate de $\Delta$, qui s'identifie (car $\Delta$ est de dimension $2$) � $\Delta \otimes \omega_\Delta^{-1}$.

On oublie pour l'instant notre $(\varphi, \Gamma)$-module $D$ (et en particulier que $k$ d�note un de ses poids de Hodge-Tate) et on va montrer une �quation fonctionnelle sur $\Delta$.

\subsubsection{Cohomologie d'Iwasawa}

Notons (cf. \S \ref{cohomIw}) $H^i_{\rm Iw}(\Delta)$ le premier groupe de cohomologie d'Iwasawa d�fini dans \cite{Pottharst}. On a un isomorphisme
\[ \mathrm{Exp}^* \colon H^1_{\rm Iw}(\Delta) \xrightarrow{\sim} \Delta^{\psi = 1}. \]
Notons $\mu_z = (\mathrm{Exp}^*)^{-1} (z) \in \Delta^{\psi = 1}$ et $\mu_{\check{z}} = (\mathrm{Exp}^*)^{-1} (\check{z}) \in \check{\Delta}^{\psi = 1} = \Delta^{\psi = \omega_\Delta(p)^{-1}}$.
%et $\check{z} = \mathrm{Exp}^* (\mu) \in \check{D}^{\psi = 1}$, o� $\check{D} = D^*(1) = \D(\check{V})$ d�note le dual de Tate de $D$, qui s'identifie (car $\Delta$ est de dimension $2$) � $D \otimes \omega_D^{-1}$.

\subsubsection{Lois de r�ciprocit�}

Les lois de r�ciprocit� (cf. \S \ref{loisrec}) nous permettent d'�crire les valeurs $\exp^*(\int_\Gamma \eta \chi^{-j} \cdot \check{\mu}) \otimes \mathbf{e}^{\rm dR, \vee}_{\eta, -j, \omega_\Delta^\vee}$ et $\exp^{-1}(\int_\Gamma \eta^{-1} \chi^{j} \cdot \mu) \otimes \mathbf{e}^{\rm dR, \vee}_{\eta^{-1}, j}$ en termes de $z$ et des applications de localisation. On commence par d�montrer (lemme \ref{expd1}) que, pour $m \gg 0$ et $j, k \in \Z$ tels que $j + k \geq 1$, on a \footnote{Notons que les deux variables $j$ et $k$ semblent �tre redondantes, mais elles seront utiles plus tard.}
\begin{equation} \label{eq1intro} \exp^*(\int_\Gamma \eta \chi^{-j - k} \cdot \mu_{\check{z}}) \otimes \mathbf{e}^{\rm dR, \vee}_{\eta, -j - k, \omega_\Delta^\vee} = * \cdot \mathrm{Tr}_{L_n / L} ( G(\eta)^{-1} \Omega^{-1} [ \varphi^{-n} \partial^{j + k - 1} \check{z} ]_0).
\end{equation}
%\[ \exp^* (\int_\Gamma \eta \chi^{-j} \cdot \mu) = p^{-m} \, \mathrm{Tr}_{L_m / L}([\varphi^{-m} (z \otimes e_\eta \otimes e_{-j})]_0) \in \DdR(V(\eta \chi^{-j})) = \DdR(V) \otimes \mathbf{e}^{\rm dR}_{\eta, j}, \]
o� $*$ est une constante explicite, $\mathrm{Tr}_{L_m / L} \colon L_n \to L$ d�note la trace et $[ \cdot ]_0 \colon L_n((t)) \to L_n$ d�note le coefficient du terme de degr� $0$ en $t$. On dispose d'une formule analogue pour les valeurs de l'exponentielle (lemma \ref{exp1}): pour $j \geq 1$, on a
\begin{equation} \label{eq1bintro} \exp^{-1}(\int_\Gamma \eta \chi^{\j} \cdot \mu_z) \otimes \mathbf{e}^{\rm dR, \vee}_{\eta, j} = * \cdot  \mathrm{Tr}_{L_n / L} ( G(\eta)^{-1} [\varphi^{-n} \partial^{-{\j}} z]_0).
\end{equation}

\subsubsection{Le mod�le de Kirillov}

L'�tape suivante consiste � exprimer les termes de droite des �quations \eqref{eq1intro} et \eqref{eq1bintro} en termes de la correspondance de Langlands $p$-adique. La th�orie du mod�le de Kirillov (\S \ref{Kirillov}) et une formule de Colmez (cf. \S \ref{dualKir}, eq. \eqref{formulemagique}) nous permettent (cf. \S \ref{dualKir}) de construire une injection $B$-�quivariante
\[ \mathrm{LA}_{\rm c}(\qpe, \Delta_{\rm dif}^-)^\Gamma \to \Pi(\Delta), \] o� $B = {\matrice * * 0 *} \subseteq G$ d�note le Borel de $G$, $\Delta_{\rm dif}^- = (L((t)) / L[[t]]) \otimes \DdR(\Delta)$ et $\mathrm{LA}_{\rm c}(\qpe, \Delta_{\rm dif}^-)^\Gamma$ d�note l'espace des fonctions localement analytiques $\phi \colon \qpe \to \Delta_{\rm dif}^-$ � support compact v�rifiant $\sigma_a(\phi(x)) = \phi(x)$, et il est muni d'une action de $B$ d�finie par la formule \footnote{Si $r \in \qp$ et $n \in \N$ est tel que $rp^n \in \zp$, on pose $[\epsilon^{r}] = \varphi^{-n}((1 + T)^{p^n r}) = \zeta_{p^n}^{p^n r} e^{tr} \in L_n[[t]]$.} $$ ({\matrice a b 0 d} \cdot \phi)(x) = \omega_\Delta(d) [\epsilon^{bx / d}] \phi(ax/d). $$

En suivant des id�es de Nakamura, on construit (cf. \S \ref{accexpd} et \S \ref{accexp}), pour $\eta \colon \zpe \to L^\times$ un caract�re d'ordre fini, $k \geq 1$, $i \in \{1, 2\}$ et $m \in \Z$, des fonctions $f^i_{\eta, k, m} \in \mathrm{LA}_{\mathrm{c}}(\qpe, \Delta_{\rm dif}^-)^\Gamma$ et $g^i_{\eta, m} \in \mathrm{LA}_{\mathrm{c}}(\qp, \Delta_{\rm dif}^-)^\Gamma$ et on d�montre (lemmes \ref{expd2} et \ref{exp2}) que
\begin{equation} \label{eq2intro}
\mathrm{Tr}_{L_n / L} \big(  G(\eta)^{-1} \Omega^{-1} \langle [  \varphi^{-n} \partial^{{\j}+k-1} \check{z}]_0, f_i \rangle_{\rm dR} \big) = * \cdot [ \partial^{\j} w \cdot \tilde{z}, f^{3 - i}_{\eta, k, 0}]_{\PP^1},
\end{equation}
\begin{equation} \label{eq2bintro} \mathrm{Tr}_{L_n / L}( G(\eta)^{-1} \langle [\varphi^{n} \partial^{-j} z]_0, f_i \rangle_{\rm dR} )  = * \cdot [ \partial^{-{\j}} \tilde{z}, g^{3 - i}_{\eta, m}]_{\PP^1}
\end{equation}
o� $(f_i)_{i = 1, 2}$ d�note une base fixe de $\DdR(\Delta)$ comme expliqu� avant.

\subsubsection{Apparition des vecteurs localement alg�briques, facteurs epsilon et fin de la preuve}

Plus pr�cis�ment, dans \cite{ColmezPoids} (cf. \S \ref{Changement}) on construit, pour tout $k \geq 1$, une repr�sentation $\Pi(\Delta, k)$ en tordant l'action de $G$ sur $\Pi(\Delta)$ � l'aide de l'op�rateur $\partial$. En identifiant $\Pi(\Delta, k)$ et $\Pi(\Delta)$ et en notant $\ast_k$ l'action tordue de $G$ sur $\Pi(\Delta)$ on a $w \ast_k v = \partial^k \circ w \cdot v$, $v \in \Pi(\Delta)$, et on voit que $\Pi(\Delta, k)$ poss�de des vecteurs localement alg�briques et que la repr�sentation lisse $\pi$ associ�e ne d�pend pas de $k$. Le miracle arrive quand on observe que les fonctions $f^i_{\eta, k, m}$ et $g^i_{\eta, m}$ sont des vecteurs localement alg�briques de $\Pi(\Delta, k)$ qui peuvent �tre exprim�s via des fonctions introduites dans \cite{BH} pour retrouver le facteur epsilon d'une repr�sentation lisse de $G$ via l'action de l'�l�ment $w$, ce qui nous permet (lemme \ref{formkir}) de d�montrer que
\begin{equation} \label{eq3intro} w \ast_k f^i_{\eta, k, m} = * \cdot \epsilon(\pi \otimes \eta^{-1}) \, g^i_{\eta^{-1}, -c(\pi \otimes \eta^{-1}) - m},
\end{equation}
o� $c(\pi \otimes \eta^{-1})$ d�note le conducteur de la repr�sentation $\pi \otimes \eta^{-1}$.

Enfin, en utilisant la $G$-�quivariance de l'accouplement $[\; , \;]_{\PP^1}$ (pour passer l'action de $w$ du c�t� de droite de l'accouplement dans la formule \eqref{eq2intro} et appliquer l'identit� \eqref{eq3intro}) et les �quations \eqref{eq1intro}, \eqref{eq1bintro}, \eqref{eq2intro} (avec $m = 0$) et \eqref{eq2bintro} (avec $m = -c(\pi \otimes \eta^{-1})$) ci-dessus, on obtient (th�or�me \ref{eqfonct1}) une �quation fonctionnelle en poids nuls et, en tordant cette �quation, on montre facilement (th�or�me \ref{eqfonct1b}) notre r�sultat principal.


\subsection{�quation fonctionnelle et conjecture $\epsilon$ locale de Kato}

Donnons une application du th�or�me pr�cedent � la conjecture $\epsilon$. Des cas particuliers de cette conjecture ont �t� montr�s: elle est connue en dimension $1$ \cite{Kato2b}, \cite{Nakamura3}, et pour certains types de repr�sentations gr�ce aux travaux de Benois-Berger \cite{BB}, Loeffler-Venjakob-Zerbes \cite{LVZ} et Nakamura \cite{Nakamura3}. Nakamura dans \cite{Nakamura2} a construit, en utilisant la th�orie des $(\varphi, \Gamma)$-modules et l'accouplement d'Iwasawa d�fini par Colmez, un candidat pour l'isomorphisme $\epsilon$ pour les $(\varphi, \Gamma)$-modules de rang $1$ ou $2$, et il a montr� que, dans certaines instances, cet isomorphisme interpole bien les trivialisations standards.

% (o� le cas particulier de $0 \leq j \leq k -1$ est montr�) \footnote{Pr�cisement, si $D$ est le $(\varphi, \Gamma)$-module � poids de Hodge-Tate $k_1 \leq 0$ et $k_2 \geq 1$ dans l'�nonce de \cite[Prop. 3.14]{Nakamura2}, alors la proposition suit en appliquant le th�or�me \ref{eaeaeqfonctintro} � $V(- k_1)$, et en posant $\eta = 1$ et $j = - k_1$, o� $V$ est la repr�sentation galoisienne associ�e � $D$.},
Le th�or�me \ref{eaeaeqfonctintro} ci-dessus est un complement de \cite[Prop. 3.14]{Nakamura2} \footnote{Dans les notations de ce texte, \cite[Prop. 3.14]{Nakamura2} est �quivalent � montrer une �quation fonctionnelle analogue � celle du th�or�me \ref{eaeaeqfonctintro} r�liant les valeurs $\exp^*(\int_\Gamma \eta \chi^{-j} \cdot \check{\mu}) \otimes \mathbf{e}^{\rm dR, \vee}_{\eta, -j, \omega_V^\vee}$ et $\exp^*(\int_\Gamma \eta^{-1} \chi^{j} \cdot \mu) \otimes \mathbf{e}^{\rm dR, \vee}_{\eta^{-1}, j}$ pour $1 -k \leq j \leq 0$. On peut facilement adapter les techniques de ce texte pour retrouver l'�nonc� de \cite[Prop. 3.14]{Nakamura2}, mais les nouvelles tehniques introduites ici ne ne sont pas n�cessaires dans ce cas.}, qui est le point cl� pour montrer que les isomorphismes construits dans \cite{Nakamura2} interpolent les isomorphismes $\epsilon$ classiques quand $V$ est de Rham et � poids de Hodge-Tate $k_1 \leq 0$ et $k_2 > 0$. Comme un corollaire de nos r�sultats et de ceux de Nakamura, on obtient

\begin{theorem} [Th. \ref{conjepsilon}]
La conjecture $\epsilon$ locale de Kato est vraie pour les repr�sentations galoisiennes de dimension $2$.
\end{theorem}

\subsection{Remerciement}

Ce travail fait partie de ma th�se de doctorat, r�alis�e � l'Institut de Math�matiques de Jussieu sous la direction de Pierre Colmez, � qui j'exprime ma plus sinc�re gratitude. Je remercie aussi Kentaro Nakamura et Gabriel Dospinescu, dont les travaux ont �t� une source constante d'inspiration. Je remercie finalement le rapporteur pour ses nombreuses remarques et corrections qui ont aid� � am�liorer consid�rablement la pr\'esentation de cet article.

\section{Notations et pr�liminaires}

Cette section contient les g�n�ralit�s sur les $(\varphi, \Gamma)$-modules dont on aura besoin dans l'article.

\subsection{Anneaux de Fontaine} \label{anneaux}

Fixons $L$ une extension finie de $\qp$ contenue dans $\overline{\Q}_p$ et notons:
\begin{itemize} 
\item $\mathscr{O}_\E$ l'anneau des s�ries de Laurent � coefficients dans $\mathscr{O}_L$ born�s dont les coefficients n�gatifs tendent vers $0$, i.e,  $\mathscr{O}_\E = \mathscr{O}_L[[T]][1/T]^\wedge$, o� la compl�tion est la $p$-adique;
\item $\E = \mathscr{O}_\E[1/p]$ le corps des fractions de $\mathscr{O}_\E$;
\item $\E^\dagger$ l'anneau constitu� des �l�ments de $\E$ convergents sur une couronne d'int�rieur non vide;
\item $\Robba^{[r, s]}$, $0 < r < s \leq +\infty$, l'anneau des s�ries de Laurent � coefficients dans $L$ et convergeant sur la couronne $r \leq v_p(T) \leq s$;
\item $\Robba^{]0, s]} := \varprojlim_{0 < r < s} \Robba^{[r , s]}$;
\item $\Robba = \varinjlim_{s > 0} \Robba^{]0, s]}$ l'anneau de Robba, form� des s�ries de Laurent (non n�cessairement born�es) convergentes sur une couronne non vide contenue dans la boule unit� ouverte.
\end{itemize}
On notera souvent $\Robba^+ = \Robba^{]0, +\infty]}$ l'anneau des fonctions analytiques sur la boule unit� ouverte. Rappelons que l'on obtient $\E$ (resp. $\Robba$) en compl�tant $\E^\dagger$ par rapport � sa topologie $p$-adique (resp. la topologie d�finie par la convergence uniforme sur des couronnes ferm�es).

\subsection{$(\varphi, \Gamma)$-modules}

Rappelons que, si  $\mathscr{A} \in \{ \mathscr{O}_\E, \E, \E^\dagger, \Robba \}$, un $(\varphi, \Gamma)$-module sur $\mathscr{A}$ est un $\mathscr{A}$-module de type fini muni d'actions semi-lin�aires continues de $\Gamma$ et d'un op�rateur $\varphi$, commutant entre elles. Si $D$ est un $(\varphi, \Gamma)$-module sur $\mathscr{O}_\E$, on dit que $D$ est �tale si $\varphi(D)$ engendre $D$ comme $\mathscr{O}_\E$-module. Un $(\varphi, \Gamma)$-module sur $\E$ est �tale s'il poss�de un $\mathscr{O}_\E$-r�seau stable par $\Gamma$ et $\varphi$ qui est �tale. Un $(\varphi, \Gamma)$-module $D$ sur $\E^\dagger$ est �tale si $D \otimes_{\E^\dagger} \E$ est �tale. Finalement, un $(\varphi, \Gamma)$-module $D$ sur $\Robba$ est dit �tale s'il contient un $(\varphi, \Gamma)$-module $D^\dagger$ �tale sur $\E^\dagger$ tel que $D = D^\dagger \otimes_{\E^\dagger} \Robba$.

Notons, pour $\mathscr{A} \in \{ \mathscr{O}_\E, \E, \E^\dagger, \Robba \}$, $\Phi \Gamma(\mathscr{A})$ (resp. $\Phi \Gamma^{\text{�t}}(\mathscr{A})$) la cat�gorie des $(\varphi, \Gamma)$-modules (resp. �tales) sur $\mathscr{A}$. L'int�r�t de ces objets r�side dans le r�sultat classique fondamental suivant:

\begin{prop} [\cite{Fontaine90}, \cite{CC}, \cite{Kedlaya}] \label{equivPhiGamma}
Il existe des �quivalences de cat�gories $\mathrm{Rep}_L \mathscr{G}_\qp \cong \Phi \Gamma^{\text{�t}}(\E) \cong \Phi \Gamma^{\text{�t}}(\E^\dagger) \cong \Phi \Gamma^{\text{�t}}(\Robba)$.
\end{prop}

Si $D \in \Phi \Gamma(\mathscr{A})$ et $\delta \colon \qpe \to L^\times$ est un caract�re, on note $e_\delta$ une base du module $L(\delta)$ muni d'actions de $\varphi$ et $\Gamma$ via les formules $\varphi(e_\delta) = \delta(p) e_\delta$ et $\sigma_a(e_\delta) = \delta(a) e_\delta$, $a \in \zpe$. On note $D(\delta) = D \otimes \delta$ le module $D \otimes_L L(\delta)$. Le choix de $e_\delta$ fournit un isomorphisme de $L$-espaces vectoriels $D \xrightarrow{\sim} D(\delta): x \mapsto x \otimes e_\delta$.

\subsection{Sous-modules naturels de $D$} \label{generalites}

Soit $D \in \Phi\Gamma(\Robba)$ de rang $d$. L'alg�bre de Lie de $\Gamma$ agit sur $D$ (cf. \cite[\S 5.1]{Berger02}) via l'op�rateur $L$-lin�aire $$ \nabla = \lim_{a \to 1} \frac{\sigma_a - 1}{a - 1} = \frac{\log (\gamma)}{\log (\chi(\gamma))} = \frac{1}{\log (\chi(\gamma))} \sum_{i = 1}^{+\infty} (-1)^{i + 1} \frac{(\gamma - 1)^i}{i}, $$ o� $\gamma \in \Gamma$ d�note un �l�ment assez proche de $1$, ce qui d�finit un op�rateur diff�rentiel au-dessus de l'op�rateur $\nabla = t (1 + T) \frac{d}{dT}$, o� $t = \log(1 + T)$ d�note le $2 i \pi$ de Fontaine, agissant sur $\Robba$. 
%En utilisant les morphismes de localisation, on a l'�galit� $\varphi^{-n} \circ \nabla = t \frac{d}{dt} \circ \varphi^{-n}$ dans $F_n[[t]]$.

Rappelons que, d'apr�s \cite[Th. I.3.3]{Berger08}, il existe $m(D) \geq 0$ et, pour tout $s \leq r_{m(D)} := \frac{1}{(p - 1) p^{m(D) - 1}}$, des uniques sous-$\E^{]0, s]}$-modules $D^{]0, s]}$ de $D$ tels que $D = \Robba \otimes_{\Robba^{]0, s]}} D^{]0, s]}$ et $\varphi(D^{]0, s]}) \subseteq D^{]0, s/p]}$ induit un isomorphisme $\Robba^{]0, s/p]} \otimes_{\varphi, \Robba^{]0, s]}} D^{]0, s]} \to D^{]0, s/p]}: f \otimes x \mapsto f \varphi(x)$. Pour $0 < r < s \leq r_{m(D)}$, on pose \[ D^{[r, s]} = \E^{[r, s]} \otimes_{\E^{]0, s]}} D^{]0, s]}. \] On a alors \[ D = \varinjlim_{s > 0} \varprojlim_{0 < r < s} D^{[r, s]}, \] ce qui montre que $D$ est un espace de type $\mathrm{LF}$ (i.e limite inductive d'espaces de Fr�chet). 

Rappelons que l'on a des morphismes de localisation \[ \varphi^{-n} \colon \Robba^{]0, r_n]} \hookrightarrow L_n[[t]] \] envoyant $T$ sur $\zeta_{p^n} e^{t / p^n} - 1$. Pour $n \geq m(D)$ on d�finit \[ \D^+_{\mathrm{dif}, n}(D) = L_n[[t]] \otimes_{\varphi^{-n}, \Robba^{]0, r_n]}} D^{]0, r_n]}, \] \[ \D_{\mathrm{dif}, n}(D) = L_n((t)) \otimes_{L_n[[t]]} \D^+_{\mathrm{dif}, n}(D), \] qui sont des $L_n[[t]]$ et $L_n((t))$-modules, respectivement, libres de rang $d$ et munis d'une action semi-lin�aire de $\Gamma$. Finalement, on d�finit $$ \D_{\mathrm{dif}}(D) = \varinjlim_n \D_{\mathrm{dif}, n}(D) \; \;\; \D^+_{\mathrm{dif}}(D) = \varinjlim_n \D^+_{\mathrm{dif}, n}(D), $$ qui sont, respectivement, des $L_\infty((t)) = \cup_n L_n((t))$ et $L_\infty[[t]] = \cup_n L_n[[t]]$-modules libres de rang  $d$.

\subsection{Th�orie de Hodge $p$-adique}

Soit $D \in \Phi\Gamma(\Robba)$ de rang $d$. On d�finit (cf. \cite[Def. 2.5]{Nakamura}) $$ \Dcris(D) = (D[1 / t])^\Gamma = (D \otimes_\Robba \Robba[1/t])^\Gamma \;\;\;\; \DdR(D) = (\D_{\mathrm{dif}}(D))^\Gamma, $$ qui sont des $L$-espaces vectoriels de dimension finie. On munit $\DdR(D)$ de sa filtration de Hodge, donn�e par $ \mathrm{Fil}^i \, \DdR(D) = \DdR(D) \cap t^i \D_{\mathrm{dif}}^+ = (t^i \D_{\mathrm{dif}}^+)^\Gamma$. On observe que $\Dcris(D)$ est muni d'une action bijective du Frobenius $\varphi$ ainsi que d'une filtration induite par l'inclusion $\Dcris(D) \subseteq \DdR(D)$ d�finie par $x \in \Dcris(D) \mapsto \iota_n (\varphi^n(x)) \in \DdR(D)$, o� on a not� $\iota_n = \varphi^{-n} \colon D^{]0, r_n]}[1/t] \to \Ddif(D)$ l'application de localisation \footnote{Il existe ici un petit abus �vident en notant par $\varphi^{-n}$ deux applications diff�rentes, l'une �tant l'application de localisation not�e usuellement $\iota_n$ et l'autre l'inverse de l'op�rateur $\varphi$ agissant sur $\Dcris(D)$, mais cela ne devrait pas causer probl�mes de lecture.}. On a $$ \dim_L \Dcris(D) \leq \dim_L \DdR(D) \leq \mathrm{rang}_\Robba \; D,  $$ o� la premi�re in�galit� est �vidente par ce qui pr�c�de et la derni�re suit en remarquant que $\Ddif(D)$ est un $L_\infty((t))$-espace vectoriel de rang $d = \mathrm{rang}_\Robba \; D$ et $\DdR(D) = (\Ddif(D))^\Gamma$ est donc un $(L_\infty((t)))^\Gamma = L$-espace vectoriel de rang $\leq d$.  

\begin{definition}
Soit $D$ un $(\varphi, \Gamma)$-module sur $\Robba$. On dit que $D$ est \textit{cristallin} (resp. \textit{de Rham}) si l'in�galit� $\dim_\qp \Dcris(D) \leq \mathrm{rang}_\Robba \; D$ (resp. $\dim_\qp \DdR(D) \leq \mathrm{rang}_\Robba \; D$) est une �galit�.
\end{definition}

Si $D$ est de Rham, on d�finit ses \textit{poids de Hodge-Tate} comme les oppos�s des entiers o� la filtration change, c'est-�-dire l'ensemble $\{ -h \in \Z: \mathrm{Fil}^h \, \DdR(D) / \mathrm{Fil}^{h + 1} \, \DdR(D) \neq 0 \}$.

\subsection{L'�quation diff�rentielle $p$-adique $\Nrig(D)$} \label{eqdiff}

Rappelons la construction de l'�quation diff�rentielle $p$-adique associ�e � un $(\varphi, \Gamma)$-module de de Rham.

\begin{proposition} [{\cite[Th. III.2.3]{Berger08}}]
Soit $D \in \Phi\Gamma(\Robba)$ de rang $d$, de Rham, et, pour chaque $n \geq m(D)$, posons
\[ \mathbf{N}_{\mathrm{rig}}^{]0, r_n]}(D) := \{ x \in D^{]0, r_n]}[1/t] : \text{ $\varphi^{-m}(x) \in L_m[[t]] \otimes_L \DdR(D)$ pour tout $m \geq n$} \}, \]
et $\mathbf{N}_{\mathrm{rig}}(D) := \varinjlim_n \Nrig^{]0, r_n]}(D)$. Alors, $\Nrig(D)$ est un $(\varphi, \Gamma)$-module sur $\Robba$, de rang $d$, qui satisfait
\begin{itemize}
\item $\Nrig(D)[1/t] = D[1/t]. $
\item $\mathbf{D}_{\mathrm{dif}, n}^+(\Nrig(D)) = L_n[[t]] \otimes_L \mathbf{D}_{\mathrm{dR}}(D)$ pour tout $n \geq m(D)$.
\item $\nabla(\Nrig(D)) \subseteq t \Nrig(D).$
\end{itemize}
\end{proposition}

Le $(\varphi, \Gamma)$-module $\Nrig(D)$ ainsi obtenu est de Rham � poids de Hodge-Tate tous nuls. Remarquons que l'on peut reconstruire $D$, � partir de la donn�e de $\Nrig(D)$ et de la filtration de Hodge sur $\DdR(D)$, en utilisant (cf. \cite[\S II.2]{Berger08} ou bien \cite[\S 3.1]{ColmezPoids}) la formule $$ D = \{ x \in \Nrig(D)[1/t] \; : \; \varphi^{-n}(x) \in \mathrm{Fil}^0(L_n((t)) \otimes_\qp \DdR(D)) \;\;\; \forall n \gg 0 \}. $$

La troisi�me propri�t� caract�risant $\Nrig(D)$ permet de d�finir un op�rateur diff�rentiel $$ \partial := \frac{1}{t} \nabla \colon \Nrig(D) \to \Nrig(D), $$ satisfaisant les identit�s $\partial \circ \varphi = p \; \varphi \circ \partial$ et $\partial \circ \sigma_a = a \; \sigma_a \circ \partial $.
%Si $D$ est un $(\varphi, \Gamma)$-module de de Rham sur $\Robba$, on notera g�n�ralement $\Delta = \Nrig(D)$.

\subsection{$(\varphi, \Gamma)$-modules relatifs} \label{phiGammarel} Soit $A$ une alg�bre affino\"ide sur $\qp$. L'anneau de Robba $\Robba_A$ relatif � $A$ est d�fini en posant, pour $0 < r < s \leq +\infty$, $$ \Robba_A^{[r, s]} = \Robba^{[r, s]} \widehat{\otimes} A; \;\;\; \Robba_A^{]0, s]} = \varprojlim_{0 < r < s} \Robba_A^{[r, s]}; \; \; \; \Robba_A = \varinjlim_{s > 0} \Robba_A^{]0, s]}, $$ o� le premier produit tensoriel est le produit tensoriel compl�t� entre deux espaces de Banach.

Si $0 < r < s \leq \frac{1}{p - 1}$, on a un endomorphisme $A$-lin�aire d'anneaux $\varphi \colon \Robba_A^{[r, s]} \to \Robba_A^{[r/p, s / p]}$ (resp. $\varphi \colon \Robba_A^{]0, s]} \to \Robba_A^{]0, s/p]}$ et $\varphi \colon \Robba_A \to \Robba_A$) qui envoie $T$ sur $(1 + T)^p - 1$, et une action continue du groupe $\Gamma$, agissant par $\sigma_a(T) = (1 + T)^a - 1$, $a \in \zpe$, sur tous les anneaux d�finis ci-dessus.

Si $0 < r < s$, l'anneau $\Robba_A^{[r/p, s/p]}$ est un $\varphi(\Robba_A^{[r, s]})$-module libre de rang $p$, ce qui permet de d�finir un inverse � gauche de $\varphi$ \[ \psi := p^{-1} \varphi^{-1} \circ \mathrm{Tr}_{\Robba_A^{[r/p, s/p]} / \varphi(\Robba_A^{[r, s]})} \colon \Robba_A^{[r/p, s/p]} \to \Robba_A^{[r, s]}. \] On note aussi $\psi \colon \Robba_A \to \Robba_A$ l'application qui s'en d�duit. 

Si $D^{]0, s]}$ est un $\Robba_A^{]0, s]}$-module et $0 < s' < s$, on note $D^{]0, s']} := D^{]0, s]} \otimes_{\Robba_A^{]0, s]}} \Robba_A^{]0, s']}$ et $\varphi^*(D^{]0, s]}) := D^{]0, s]} \otimes_{\Robba_A^{]0, s]}, \varphi} \Robba_A^{]0, s/p]}$.

\begin{definition}
Un \textit{$(\varphi, \Gamma)$-module sur $\Robba_A^{]0, s]}$} est un module projectif de type fini $D^{]0, s]}$ sur $\Robba_A^{]0, s]}$, muni d'un isomorphisme $\Robba^{]0, s/p]}$-lin�aire $\widetilde{\varphi} \colon \varphi^*(D^{]0, s]}) \to D^{]0, s/p]}$ et d'une action semi-lin�aire de $\Gamma$, commutant avec $\widetilde{\varphi}$ dans le sens �vident.

Un \textit{$(\varphi, \Gamma)$-module sur $\Robba_A$} est un $\Robba_A$-module projectif de type fini $D$ tel qu'il existe $s > 0$ et un $(\varphi, \Gamma)$-module $D^{]0, s]}$ sur $\Robba_A^{]0, s]}$ tel que $D \cong D^{]0, s]} \otimes_{\Robba_A^{]0, s]}} \Robba_A$.
\end{definition}

Soit $D^{]0, s]}$ un $(\varphi, \Gamma)$-module sur $\Robba_A^{]0, s]}$. L'isomorphisme $\widetilde{\varphi} \colon \varphi^*(D^{]0, s]}) \to D^{]0, s/p]}$ induit, pour tout $0 < s' < s$, des op�rateurs semi-lin�aires $\varphi \colon D^{]0, s']} \to D^{]0, s'/p]}$, d�finis comme la compos�e
\[ \varphi \colon D^{]0, s']} = D^{]0, s]} \otimes_{\Robba_A^{]0, s]}} \Robba_A^{]0, s']} \to \varphi^*(D^{]0, s]}) \otimes_{\Robba_A^{]0, s]}} \Robba_A^{]0, s']} \to D^{]0, s/p]} \otimes_{\Robba_A^{]0, s/p]}} \Robba_A^{]0, s'/p]} = D^{]0, s'/p]}, \]
la premi�re fl�che �tant celle induite par $D^{]0, s]} \to \varphi^*(D^{]0, s]}) \colon x \mapsto x \otimes 1$ et la deuxi�me �tant $\widetilde{\varphi} \otimes \varphi$. L'isomorphisme $\varphi^*(D^{]0, s']}) \cong D^{]0, s'/p]}$ induit un morphisme $A$-lin�aire $\psi \colon D^{]0, s'/p]} \cong \varphi(D^{]0, s']}) \otimes_{\varphi(\Robba_A^{]0, s']})} \Robba_A^{]0, s'/p]} \to D^{]0, s']}$ pour tout $0 < s' \leq s$, d�fini par $\psi(\varphi(z) \otimes f) = z \otimes \psi(f)$. Si $D$ est un $(\varphi, \Gamma)$-module sur $\Robba_A$, on a de m�me des op�rateurs $\varphi \colon D \to D$ et $\psi \colon D \to D$.

Plus g�n�ralement, si $X$ est un espace rigide analytique sur $\qp$ et $r \geq 0$, on d�finit $\Robba_X^{]0, r]}$ comme le faisceau des fonctions rigides analytiques sur $X \times B_{]0, r]}$, $\Robba_X = \varinjlim_{r < 0} \Robba_X^{]0, r]}$ et un $(\varphi, \Gamma)$-module sur $\Robba_X$ est une collection compatible de $(\varphi, \Gamma)$-modules sur $\Robba_A$ pour chaque ouvert admissible $\mathrm{Sp}(A)$ de $X$.

\subsection{Cohomologie des $(\varphi, \Gamma)$-modules} \label{cohomphigamma}

Soient $A$ une alg�bre aff\"inoide sur $\qp$ et $D \in \Phi \Gamma(\Robba_A)$. On note $\Gamma' \subseteq \Gamma$ la partie de $p$-torsion de $\Gamma$ (qui est triviale si $p \neq 2$ et cyclique d'ordre $2$ quand $p = 2$). Soit $\gamma \in \Gamma$ tel que son image dans $\Gamma / \Gamma'$ en est un g�n�rateur topologique. On pose $\gamma_0 = \gamma$ et, pour $n \geq 1$, $\gamma_n$ un g�n�rateur topologique de $\Gamma_n$. Pour $\delta \in \{ \varphi, \psi \}$ et $\gamma' \in \{ \gamma_n : n \geq 0\}$, on note $D' = D^{\Gamma'}$ si $n = 0$ et $D' = D$ si $n \geq 1$, et on d�finit le complexe $$ \mathscr{C}^\bullet_{\delta, \gamma'}(D): 0 \to D' \to D' \oplus D' \to D' \to 0, $$ o� les fl�ches sont donn�es, respectivement, par $x \mapsto ((\delta - 1)x, (\gamma' - 1)x)$ et $(x, y) \mapsto (\gamma' - 1)x - (\delta - 1) y$. Les modules $H_{\delta, \gamma'}^\bullet(\qp, D)$ sont d�finis comme les groupes de cohomologie de ce complexe.

\begin{proposition} [{\cite[Prop. 2.3.6 et Th. 4.4.2]{KPX}}] \label{KPX}
Soient $A$ une alg�bre aff\"inoide sur $\qp$ et $D$ un $(\varphi, \Gamma)$-module sur $\Robba_A$. Les complexes $\mathscr{C}_{\varphi, \gamma'}(D)$ et $\mathscr{C}_{\psi, \gamma'}(D)$ sont quasi-isomorphes et les groupes de cohomologie $H^i_{\varphi, \gamma'}(D)$ sont des $A$-modules de type fini, compatibles au changement de base. On a une dualit� locale et une formule de Euler-Poincar�.
\end{proposition}


\subsection{Cohomologie d'Iwasawa des $(\varphi, \Gamma)$-modules} \label{cohomIw}

%Soit $\Lambda = \zp[[\Gamma]]$ l'alg�bre d'Iwasawa de $\Gamma$. On d�compose $\Gamma = \Gamma^{\rm tors} \times \Gamma^{\rm st}$, o� $\Gamma^{\rm tors}$ et $\Gamma^{\rm st}$ d�signent, respectivement, la partie de torsion et sans torsion de $\Gamma$, ce qui fournit un isomorphisme $\Lambda \cong \zp[\Gamma^{\rm tors}] \otimes_\zp \zp[[\Gamma^{\rm st}]]$. Soit $\gamma$ un g�n�rateur topologique de $\Gamma^{\rm st}$ et notons $[\gamma]$ son image dans $\Lambda$. On obtient un isomorphisme $\Lambda \cong \zp[\Gamma^{\rm tors}] \otimes_\zp \zp[[T]]$ en envoyant $[\gamma]$ sur $1+T$.

Soit $\Lambda = \zp[[\Gamma]]$ l'alg�bre d'Iwasawa de $\Gamma$. Si l'on choisit un isomorphisme $\Gamma = \Gamma^{\rm tors} \times \widetilde{\Gamma}$, o� $\Gamma^{\rm tors}$ d�signe la partie de torsion de $\Gamma$ et $\widetilde{\Gamma} \cong 1 + 2p \zp$ via le caract�re cyclotomique, on obtient un isomorphisme $\Lambda \cong \zp[\Gamma^{\rm tors}] \otimes_\zp \zp[[\widetilde{\Gamma}]]$. Soit $\gamma$ un g�n�rateur topologique de $\widetilde{\Gamma}$ et notons $[\gamma]$ son image dans $\Lambda$. On obtient un isomorphisme $\Lambda \cong \zp[\Gamma^{\rm tors}] \otimes_\zp \zp[[T]]$ en envoyant $[\gamma]$ sur $1+T$.

Soit $\Lambda_\infty := \Robba^+(\Gamma)$ l'alg�bre de distributions sur $\Gamma$. Pr�cis�ment, on obtient $\Robba^+(\Gamma)$ en rempla�ant la variable $T$ par $[\gamma] - 1$ dans la d�finition de $\Robba^+$. On peut de la sorte d�finir les anneaux $\Lambda_n = \Robba^{[r_n, +\infty]}(\Gamma)$ et on a $ \Lambda_\infty = \varprojlim_n \Lambda_n. $ Le choix de l'isomorphisme $\Lambda \cong \zp[\Gamma^{\rm tors}] \otimes_\zp \zp[[T]] $ fait que $\Lambda_n$ s'identifie aux fonction analytiques sur la boule $v_p(T) \geq r_n$ et $\Lambda_\infty$ � celui des fonctions analytiques sur la boule ouverte unit�. Ce dernier espace s'identifie � l'anneau $H^0(\mathfrak{X}, \mathcal{O})$ des sections globales sur l'espace des poids $p$-adiques, et aussi, par le th�or�me d'Amice (cf. \cite[Th. 2.2]{S-T}) � l'espace des distributions $\mathscr{D}(\zpe, L)$ sur $\zpe$ � valeurs dans $L$ \footnote{Soit $\mathrm{LA}(\zpe, L) = \varinjlim_{n > 0} \mathrm{LA}_n(\zpe, L)$ l'espace des fonctions localement analytiques sur $\zpe$ � valeurs dans $L$, o� $\mathrm{LA}_n(\zpe, L)$ d�note l'espace des fonctions continues $f \colon \zpe \to L$ admettant, pour tout $x \in \zpe$, un d�veloppent en s�ries des puissances autour $x$ convergeant sur la boule $B(x, n) = \{ z \in \cp : v_p(z - x) \geq n \}$. Chaque $\mathrm{LA}_n(\zpe, L)$, muni de la valuation $v_{\mathrm{LA}_n}(f) := \inf_{x \in \zpe} \inf_{z \in B(x, n)} v_p(f(z))$, est un espace de Banach, et l'on munit $\mathrm{LA}(\zpe, L)$ de la topologie de la limite inductive. L'espace des distributions $\mathscr{D}(\zpe, L)$ est d�fini comme le dual continu de $\mathrm{LA}(\zpe, L)$, muni de la topologie forte. Si $\mu \in \mathscr{D}(\zpe, L)$ et $\phi \in \mathrm{LA}(\zpe, L)$, on note $\int_\zpe \phi \cdot \mu$ l'�valuation de $\mu$ en $\phi$. Cf. \cite[\S I.4]{Colmezfoncdunevariablepadique} pour plus de d�tails. }

\subsubsection{D�formation cyclotomique} On note (cf. \cite[Def. 4.4.7]{KPX}) $\Lambda_n^\iota$ le module $\Lambda_n$ muni de l'action de $\Gamma$ via $\gamma(f) = [\gamma^{-1}] f$, $\gamma \in \Gamma$ et $f \in \Lambda_n$. On d�finit 
\[ \mathbf{Dfm} = \varprojlim_{n} \Robba \widehat{\otimes}_\qp  \Lambda_n^\iota = \varprojlim_{n} \varinjlim_{s > 0} \varprojlim_{r < s} \Robba^{[s, r]} \widehat{\otimes} \Lambda_n^\iota . \] Plus g�n�ralement, si $D$ est un $(\varphi, \Gamma)$-module sur $\Robba$, on d�finit sa d�formation cyclotomique par
\[ \mathbf{Dfm}(D) = D \widehat{\otimes}_\qp \Lambda_\infty^\iota = \varprojlim_n \varinjlim_{s > 0} \varprojlim_{r < s} D^{[r, s]} \widehat{\otimes} \Lambda^\iota_n. \]
Les actions $\varphi$, $\psi$ et $\Gamma$ sont donn�es par les formules 
\[ \varphi(x \otimes \lambda) = \varphi(x) \otimes \lambda, \;\;\; \psi(x \otimes \lambda) = \psi(x) \otimes \lambda, \;\;\; \gamma(x \otimes \lambda) = \gamma(x) \otimes [\gamma^{-1}] \lambda, \]
pour $x \in D$, $\lambda \in \Lambda_\infty$ et $\gamma \in \Gamma$. Le module $\mathbf{Dfm}(D)$ est un $(\varphi, \Gamma)$-module sur l'anneau $\Robba_\mathfrak{X} = \varprojlim_{n} \Robba_{\mathfrak{X}_n}$ de Robba relatif � l'espace des poids \footnote{Rappelons d'abord que $\Robba_{\mathfrak{X}_n} = \Robba \widehat{\otimes} \Lambda_n = \varinjlim_s \varprojlim_r \Robba^{[r, s]} \widehat{\otimes} \Lambda_n$ et que $\Gamma$ agit trivialement sur le deuxi�me facteur. Si $x \otimes \lambda \in D \widehat{\otimes} \Lambda_n^\iota$, $f \otimes \mu \in \Robba_{\mathfrak{X}_n} \cong \Robba \widehat{\otimes} \Lambda_n$ et $\gamma \in \Gamma$, alors on a
\begin{eqnarray*} \gamma((f \otimes \mu) (x \otimes \lambda)) &=& \gamma(f x \otimes \mu \lambda) = \gamma(fx) \otimes [\gamma^{-1}] \lambda \mu \\
&=& (\gamma(f) \otimes \mu) (\gamma(x) \otimes [\gamma^{-1}] \lambda) = \gamma(f \otimes \mu) \gamma(x \otimes \lambda),
\end{eqnarray*}
ce qui montre que l'action de $\Gamma$ est semi-lin�aire, et donc $\mathbf{Dfm}(D)$ est bien un $(\varphi, \Gamma)$-module sur $\Robba_{\mathfrak{X}}$ comme d�fini dans \S \ref{phiGammarel}.}.

\subsubsection{Cohomologie d'Iwasawa analytique} On d�finit la cohomologie d'Iwasawa (analytique) de $D$ comme $$ H^i_{\rm Iw}(D) = H^i_{\psi, \gamma}(\mathbf{Dfm}(D)). $$ Ce sont, d'apr�s la proposition \ref{KPX}, des $\Lambda_\infty$-modules de type fini.

%Les groupes de cohomologie d'Iwasawa admettent une interpr�tation en termes des groupes de cohomologie � valeurs dans $\mathscr{D}(\zpe, D)$. Plus pr�cis�ment, si $M = \varinjlim_{s} \varprojlim_r M^{[r, s]}$ est une limite inductive des limites projectives d'espaces de Banach $p$-adiques, on d�finit l'alg�bre des distributions sur $\zpe$ � valeurs dans $M$ comme \[ \mathscr{D}(\zpe, M) := \varprojlim_n \varinjlim_s \varprojlim_r \mathscr{D}(\zpe, L) \widehat{\otimes} M^{[r, s]}, \] 

Si $\eta \colon \Gamma \to L^\times$ est un caract�re, le changement de base par rapport � $f_\eta \colon \Lambda_\infty \to L : [\gamma] \mapsto \eta^{-1}(\gamma)$ fournit un isomorphisme $$\mathbf{Dfm}(D) \otimes_{\Lambda_\infty, f_\eta} L \xrightarrow{\sim} D(\eta). $$Si $\mu \in H^i_{\rm Iw}(D)$, cet isomorphisme induit des morphismes de sp�cialisation $$ H^i_{\rm Iw}(D) \to H^i_{\psi, \gamma}(D(\eta)): \; \; \; \mu \mapsto \int_\Gamma \eta \cdot \mu, $$ la notation �tant justifi�e par l'interpr�tation classique de la cohomologie d'Iwasawa en termes des distributions \footnote{Rappelons que, si $V \in \mathrm{Rep}_L \mathscr{G}_\qp$ et si $D = \D_{\rm rig}(V) \in \Phi \Gamma^{\text{�t}}(\Robba)$ est le $(\varphi, \Gamma)$-module associ� � $V$ par l'�quivalence de cat�gories de Fontaine-Kedlaya, alors $H^i_{\rm Iw}(D) = H^i(\qp, \mathscr{D}(\Gamma, V))$ (cf. \cite[Cor. 4.4.11]{KPX} et \cite[Prop. II.1.8]{ColmezIw1}). Dans ce cas-l�, on peut voir un �l�ment dans $H^i_{\rm Iw}(D)$ comme un cocycle � valeurs dans $\mathscr{D}(\zpe, V)$ et, si $\eta \colon \Gamma \to L^\times$ est un caract�re continu, on en d�duit une application de sp�cialisation $H^i_{\rm Iw}(D) \to H^i(\qp, V(\eta)) \cong H^i(D(\eta))$ envoyant un cocycle $g \mapsto \mu_g$ vers le cocycle $g \mapsto \int_\Gamma \eta \cdot \mu_g$ (cf. \cite[\S II.1]{ColmezIw1} pour plus de d�tails).}

\subsubsection{Cohomologie d'Iwasawa et $(\varphi, \Gamma)$-modules} Si $D \in \Phi\Gamma(\Robba)$, on d�finit le complexe $\mathscr{C}^\bullet_\psi(D)$, concentr� en $[1, 2]$, par $$ [D \xrightarrow{\psi - 1} D]. $$ Le complexe $\mathscr{C}^\bullet_{\psi}(D)$ appartient � $\D^{[0, 2]}_{\rm perf}(\Lambda_\infty)$ et calcule la cohomologie d'Iwasawa de $D$ (cf. \cite[Th. 4.4.8]{KPX}). On a, en particulier, un isomorphisme $$ \mathrm{Exp}^* \colon H^1_{\rm Iw}(\qp, D) \to D^{\psi = 1} $$ dont l'inverse est donn�e par $ z \mapsto [\frac{p-1}{p} \log(\chi(\gamma)) (z \otimes 1), 0]$ \footnote{Si $p = 2$, il faut appliquer � $z$ le projecteur naturel sur le sous espace d'�l�ments $\Gamma'$-invariants. On �vitera ce cas-ci, se traitant de la m�me mani�re mais avec une complication technique suppl�mentaire. }.

Si $z \in D^{\psi = 1}$, on note, afin d'all�ger les notation, $\mu_z$ l'�l�ment $(\mathrm{Exp}^*)^{-1}(z) \in H^1_{\rm Iw}(\qp, D)$. Si $n \geq 0$, on a (cf. \cite[\S VIII.1.3]{ColmezPhiGamma} ou \cite[\S 2.2.3, Eq. (6)]{Nakamura2}) la formule pour la sp�cialisation
\[ \int_{\Gamma} \eta \cdot \mu_z = [ \frac{p - 1}{p} \log(\gamma) (z \otimes e_\eta), 0] \in H^1_{\psi, \gamma}(D(\eta)). \]
% o� $\tau_n(\gamma_n) = p^{-n} \log(\chi(\gamma_n))$, si $n \geq 1$ et $\tau_0(\gamma_0) = \frac{p - 1}{p} \log(\chi(\gamma_0))$.

Terminons en mentionnant que $\eta$ induit un automorphisme sur $\Lambda_\infty$ donn� par $\eta([\gamma]) = \eta(\gamma)^{-1} \cdot [\gamma]$, ce qui induit un isomorphisme de $(\varphi, \Gamma)$-modules $\mathbf{Dfm}(D) \cong \mathbf{Dfm}(D(\eta))$, donn� par $x \otimes [\gamma] \mapsto (x \otimes e_\eta) \otimes \eta(\gamma)^{-1} [\gamma]$, et donc un isomorphisme de $\Lambda_\infty$-modules \[ H^i_{\rm Iw}(\qp, D) \to H^i_{\rm Iw}(\qp, D(\eta)): \;\;\; \mu \mapsto \mu \otimes e_\eta. \] On a, par exemple, $$ \int_\Gamma \eta \cdot \mu = \int_\Gamma 1 \cdot (\mu \otimes e_\eta). $$

\subsection{Dual de Tate et r�sidus} \label{dual1}

Soit $\mathscr{A} \in \{ \E, \Robba \}$, soit $D \in \Phi \Gamma(\mathscr{A})$ et notons $\omega_D = (\det_D) \chi^{-1}$. On d�finit le dual de Tate de $D$ comme $\check{D} = \mathrm{Hom}_{\varphi, \Gamma}(D, \mathscr{A} \frac{dT}{1 + T})$, o� $\mathscr{A} \frac{dT}{1 + T}$ est le $(\varphi, \Gamma)$-module �tale libre de rang $1$ de base $\frac{dT}{1 + T}$ sur lequel $\varphi$ et $\Gamma$ agissent par les formules $\gamma (\frac{dT}{1 + T}) = \chi(\gamma) \frac{dT}{1 + T}$ si $\gamma \in \Gamma$, $\varphi(\frac{dT}{1 + T}) = \frac{dT}{1 + T} $. On note \[ \langle \; , \; \rangle \colon \check{D} \times D \to \mathscr{A} \frac{dT}{1+T} \] l'accouplement naturel. Si $D$ est de dimension $2$, on a une identification $\check{D} = D \otimes \omega_D^{-1}$. 

Si $f =\sum_{n \in \Z} a_n T^n \in \mathscr{A}$, on pose $\mathrm{r\acute{\mathrm{e}}s}_0(f dT) = a_{-1}$. Si $x \in \check{D}$ et $y \in D$, la formule $$ \{x,y\} = \mathrm{r\acute{\mathrm{e}}s}_0(\langle \sigma_{-1} x, y \rangle) $$ d�finit un accouplement parfait $ \{ \; , \; \}: \check{D} \times D \to L$ identifiant $\check{D}$ au dual topologique $D^*$ de $D$. Si $D$ est de dimension $2$, on a, sous l'identification $\check{D} = D \otimes \omega_D^{-1}$, la formule \footnote{On voit ici l'�l�ment $e_{\omega_D^{-1}}$ comme $e_{\det_D}^{-1} dT$, de sorte que, si $\sigma_{-1}(x) \wedge y = f \cdot e_{\det_D}$, alors $(\sigma_{-1}(x) \wedge y) \otimes e_{\omega_D^{-1}} = f dT$.} \[ \{ x \otimes e_{\omega_D^{-1}}, y \} = \mathrm{r\acute{\mathrm{e}}s}_0((\sigma_{-1}(x) \wedge y) \otimes e_{\omega_D^{-1}}), \] et on note $[x, y] := \{ x \otimes e_{\omega_D^{-1}}, y \}$.

\subsection{Dualit� locale}

Consid�rons, d'ici jusqu'� la fin de cette section, $D \in \Phi \Gamma^{\text{�t}}(\E)$ et $D_{\rm rig} \in \Phi \Gamma^{\text{�t}}(\Robba)$ correspondant � $D$ par l'�quivalence de cat�gories de Kedlaya entre $\Phi \Gamma^{\text{�t}}(\E)$ et $\Phi \Gamma^{\text{�t}}(\Robba)$. Les accouplements introduits ci-dessous seront utilis�s dans la derni�re partie de cet article. Pour une r�f�rence pour tout ce qui suit, cf. \cite{ColmezMirabolique} et \cite{ColmezPhiGamma}.
%Soit $n \geq 0$ et posons $\tau_n(\gamma_n) = p^{-n} \log \chi(\gamma_n)$, $\tau_0(\gamma_0) = \frac{p-1}{p} \log \chi(\gamma_0)$.
Notons $\gamma = \gamma_0$ dans la suite. Notons, pour $i \in \{ 0, 1\}$, $$ \cup: H^i_{\varphi, \gamma}(\check{D}_{(\rm rig)}) \times H^{2- i}_{\varphi, \gamma}(D_{(\rm rig)}) \to L $$ l'accouplement local. Un calcul avec le complexe de Herr et l'isomorphisme de Fontaine nous permet d'exprimer l'accouplement local en termes des $(\varphi, \Gamma)$-modules:

\begin{lemme} [{\cite[\S VIII.1.3]{ColmezPhiGamma}}] \label{lemmeIwacc} Soient $\check{z} \in \check{D}_{(\rm rig)}^{\psi = 1}$, $z \in D_{(\rm rig)}^{\psi = 1}$ et $\eta: \Gamma \to L^\times$ est un caract�re continu. Alors
%\[  (\int_{\Gamma_n} \eta^{-1} \cdot \mu_{\check{z}}) \cup (\int_{\Gamma_n} \eta \cdot \mu_{z}) = \{ (1 - \varphi) \check{z}, \frac{- \tau_n(\gamma_n)}{\eta(\chi(\gamma_n)) \gamma_n - 1} (1 - \varphi) z \}. \]
\[  (\int_{\Gamma} \eta^{-1} \cdot \mu_{\check{z}}) \cup (\int_{\Gamma} \eta \cdot \mu_{z}) = \{ (1 - \varphi) \check{z}, - \frac{p - 1}{p} \frac{\log(\gamma)}{\eta(\gamma) \gamma - 1} (1 - \varphi) z \}. \]
\end{lemme}

\subsection{Applications exponentielles} \label{appsexp}

Si $D \in \Phi\Gamma(\Robba)$ est de Rham et $n \geq 0$, on note $$ \exp_{D} \colon \DdR(D) \to \H^1_{\varphi, \gamma_n}(D), $$ $$ \exp^*_{D} \colon \H^1_{\varphi, \gamma_n}(D) \otimes \DdR(D), $$ les applications exponentielle et exponentielle duale de Bloch-Kato comme d�finies dans \cite[\S 2.3, \S 2.4.]{Nakamura}. Quand cela ne pose pas de probl�mes, on omettra les indices dans les notations des applications exponentielles.

\subsubsection{Description de l'application exponentielle} Explicitement (\cite[Lem. 2.12(1)]{Nakamura}), si $x \in \DdR(D) = (\D_{\mathrm{dif}}(D))^\Gamma$, alors il existe $m$ tel que $x \in \D_{\mathrm{dif}, m}(D)$, et il existe aussi $\tilde{x} \in D^{]0, r_m]}[1/t]$ tel que $\varphi^{-k}(\tilde{x}) - x \in \D_{\mathrm{dif}, k}^+(D)$ pour tout $k \geq m$. Alors on a $$ \exp_{D}(x) = [(\gamma - 1) \tilde{x}, (\varphi - 1) \tilde{x} ] \in H^1_{\varphi, \gamma}(D). $$ On remarque que l'application $\exp_D$ est nulle sur $\mathrm{Fil}^0 \, \DdR(D)$.

\subsubsection{Description de l'application exponentielle duale} Si $M$ est un module muni d'une action de $\Gamma$, et $\gamma' \in \{ \gamma_n: n \geq 0 \}$, on pose \footnote{Comme pr�c�demment, $M' = M^{\Gamma'}$ si $\gamma' = \gamma_0$ et $M' = M$ autrement.} $$ C^\bullet_{\gamma'}(M) = [M' \xrightarrow{\gamma' - 1} M'], $$ et on d�finit les groupes de cohomologie $H^i_{\gamma'}(M) = H^i(C^\bullet_{\gamma'}(M))$. Par exemple, si $D \in \Phi\Gamma(\Robba)$ et $n \geq 0$, alors $$ H^0_{\gamma_n}(\Ddif(D)) = \Ddif(D)^{\Gamma_n} = L_n \otimes \D_{\rm dR}(D). $$

Si $D \in \Phi\Gamma(\Robba)$ est de Rham et $n \geq 0$, on a un isomorphisme $L_\infty((t)) \otimes_{L_n} (L_n \otimes \DdR(D)) \cong \D_{\mathrm{dif}}(D)$ et l'application $L_n \otimes \DdR(D) \to H^1_{\gamma_n}(\D_{\mathrm{dif}}(D))$ qui envoie $x \in L_n \otimes \DdR(D)$ vers la classe de cohomologie $[\log \chi(\gamma_n) (1 \otimes x)] \in H^1_{\gamma_n}(\D_{\mathrm{dif}}(D))$ est un isomorphisme (cf. \cite{Nakamura}, juste avant le lemme 2.14). De plus, on a une application naturelle $H^1_{\varphi, \gamma_n}(D) \to H^1_{\gamma_n}(\Ddifp(D)) \to H^1_{\gamma_n}(\Ddif(D))$ d�finie par $[(x, y)] \mapsto [\varphi^{-m} x]$, o� $m \gg 0$ et $[ \cdot ]$ d�note la classe de cohomologie correspondante.
%Cette application est bien d�finie: si $(x, y) \in D \oplus D$ est un cocycle repr�sentant une classe de cohomologie dans $H^1_{\varphi, \gamma_n}(D)$, alors $(1 - \varphi) x = (1 - \gamma_n) y$ et donc $\varphi^{-m} x - \varphi^{-(m - 1)} x = (1 - \gamma_n) \varphi^{-m} y$, ce qui implique que les images de $\varphi^{-m} x$ et $\varphi^{-(m - 1)}x$ dans $H^1_{\gamma_n}(\D_{\rm dif}^+(D)) = \D_{\rm dif}^+(D)' / (1 - \gamma_n) \D_{\rm dif}^+(D)'$ \footnote{Rappelons une derni�re fois que si $M$ est un $\Gamma$-module et $n \geq 0$, on note $M' = M^{\Gamma'}$ si $n = 0$ et $M'$ si non.} co�ncident.
On d�finit $$ \exp^*_{D} \colon H^1_{\varphi, \gamma_0}(D) \to \DdR(D) $$ comme la composition $H^1_{\varphi, \gamma_0}(D) \to H^1_{\gamma_0}(\Ddifp(D)) \to H^1_{\gamma_0}(\Ddif(D))  \xrightarrow{\sim} \DdR(D)$. Remarquons que, par construction, l'image de $\exp^*_{D}$ tombe dans $\mathrm{Fil}^0 \, \DdR(D)$.

Les applications exponentielle et exponentielle duale sont l'une l'adjointe de l'autre par rapport � la dualit� de Tate et � la dualit� de Poincar�. Plus pr�cis�ment, on note
\[ \{ \; , \; \}_{\rm dR} \colon \DdR(\check{D}) \times \DdR(D) \to L \]
l'accouplement induit par la dualit� entre $\check{D}_{(\rm rig)}$ et $D_{(\rm rig)}$ compos� avec la trace de Tate normalis�e. On a alors le r�sultat suivant.

\begin{lemme} [{\cite[Prop. 2.16]{Nakamura}}] \label{adjonction} Soit $D \in \Phi \Gamma(\Robba)$ de de Rham et soient $x \in \DdR(\check{D})$, $y \in H^1_{\varphi, \gamma}(D)$. Alors
\[ \exp_{\check{D}}(x) \cup y = \{ x , \exp^*_D(y) \}_{\rm dR}. \]
\end{lemme}

%Si $D = \D_{\rm rig}(V)$, on a $\exp_{D, F_n} = \exp_{V, F_n}$ et $\exp^*_{D, F_n} = \exp^*_{V, F_n}$ via les isomorphismes $L_n \otimes \DdR(D) = L_n \otimes \DdR(V)$ et $H^i_{\varphi, \gamma_n}(D) \cong H^i(F_n, V)$. Enfin, les applications $\exp$ et $\exp^*$ sont l'une l'adjointe de l'autre: si $x \in \DdR(D)$ et $y \in H^1_{\varphi, \gamma}(D^*(1))$, on a $$ \langle x, \exp^*_{D^*(1)}(y) \rangle = \exp_{D}(x) \cup y, $$ o� l'accouplement de gauche $ \langle \;,\; \rangle \colon \DdR(D) \times \DdR(D^*(1)) \to \qp$ est induit par $\DdR(D) \times \DdR(D^*(1)) \to \DdR(\Robba(1)) \cong \qp$ et celui de droite est l'accouplement local de cohomologie. Quand cela ne pose pas de probl�mes, on omettra les indices dans les notations des applications exponentielles.

\subsection{Lois de r�ciprocit�} \label{loisrec}

On rappelle � continuation les formules permettant d'exprimer l'image par les applications exponentielle et exponentielle duale des diff�rentes sp�cialisations d'un �l�ment dans la cohomologie d'Iwasawa en termes des $(\varphi, \Gamma)$-modules, normalement connues sous le nom de `lois de r�ciprocit� explicite'.


Soit $D \in \Phi \Gamma(\Robba)$ de Rham. Si $z \in D^{\psi = 1}$, le diagramme commutatif
\[ \xymatrixcolsep{4pc} \xymatrix{
    D^{]0, r_{n+1}]} \ar[d]_{\psi} \ar[r]^{\varphi^{-(n+1)}} & L_{n+1}((t)) \otimes \DdR(D) \ar[d]^{p^{-1} \mathrm{Tr}_{L_{n+1} / L_n}} \\
    D^{]0, r_n]} \ar[r]^{\varphi^{-n}} & L_n((t)) \otimes \DdR(D), }
    \]
o� $n \geq m(D)$, montre que les valeurs 
\[ p^{-m} \, \mathrm{Tr}_{L_m / L}([\varphi^{-m} z]_0) \in \DdR(D) \]
ne d�pendent pas de $m$ assez grand, o�, pour $\sum_{n \in \Z} a_n t^n \in \DdR(D) \otimes L_n((t))$, l'on note $[\sum_{n \in \Z} a_n t^n]_0 = a_0$.

\begin{proposition} \label{loirecexpd}
Soit $h \in \Z$ tel que $\mathrm{Fil}^{-h} \, \DdR(D) = \DdR(D)$ et soient $z \in D^{\psi = 1}$ et $j \geq -h$. On a alors l'�galit� suivante dans $\DdR(D(-j))$: 
\[ \exp^* (\int_\Gamma \chi^{-j} \cdot \mu_z) = \lim_{m \to +\infty} p^{-m} \, \mathrm{Tr}_{L_m / L}([\varphi^{-m} (z \otimes e_{-j})]_0). \]
\end{proposition}

\begin{proof}
Voir \cite[Th. IV.2.1]{ColmezIw2} ou \cite[Th. II.6]{Berger03} ou \cite[Th. 3.10(2)]{Nakamura}.
\end{proof}

\begin{remarque}
On a une identification $\DdR(D(-j)) = \DdR(D) \otimes \mathbf{e}^{\rm dR}_{-j}$, o� $\mathbf{e}^{\rm dR}_{-j} = t^j e_{-j}$ est l'�l�ment d�fini dans l'introduction (cf. aussi \S \ref{basesdR} plus tard). Observons que $\varphi^{-m} (z \otimes e_{-j}) = \varphi^{-m} z \otimes e_{-j}$ et que, si $\varphi^{-n} z = \sum_{l \geq 0} a_l t^l$, $a_l \in L_m \otimes \DdR(D)$, alors \[ [\varphi^{-m} z \otimes e_{-j}]_0 = a_j \otimes t^j e_{-j} = a_j \otimes \mathbf{e}^{\rm dR}_{-j} \in L_m \otimes \DdR(D) \otimes \mathbf{e}^{\rm dR}_{-j}. \]
\end{remarque}


\begin{proposition} \label{loirecexp}
Supposons que $D$ est � poids de Hodge-Tate $0$ et $k \geq 0$ et soient $z \in D^{\psi = 1}$ et $j \geq 1$. On a alors l'�galit� suivante dans $\DdR(D(j))$: 
\[ \exp^{-1}(\int_\Gamma \chi^j \cdot \mu_z) = (-1)^j (j-1)! \lim_{m \to +\infty} p^{-m} \, \mathrm{Tr}_{L_m / L} ( [\varphi^{-m} (\partial^{-j} z \otimes t^{-j} e_j)]_0). \]
\end{proposition}

\begin{proof}
Voir \cite[Th. II.3]{Berger03} ou \cite[Th. 3.10(1)]{Nakamura}.
\end{proof}

\begin{remarque} %\leavevmode
%\begin{itemize}
On a une identification $\DdR(D(j)) = \DdR(D) \otimes \mathbf{e}^{\rm dR}_{j}$. Si $\varphi^{-m} (\partial^{-j} z) = \sum_{l \geq 0} b_l t^l$, $b_l \in L_m \otimes \DdR(D)$, on a \[ [ \varphi^{-m}(\partial^{-j} z \otimes t^{-j} e_j)]_0 = p^{mj} \, b_0 \otimes \mathbf{e}^{\rm dR}_j \in L_m \otimes \DdR(D) \otimes \mathbf{e}^{\rm dR}_j . \]
%\item Si $k - 1 \leq j \leq 0$, l'application $\exp_{D(j)}$ n'est pas inversible car $\mathrm{Fil}^0 \, D(j) = \mathrm{Fil}^j \, D = \mathscr{L}$. L'�galit� de la proposition s'interpr�te soit en passant l'exponentielle du c�t� droite ou bien en choisissant la base $f_1, f_2$  de $\DdR(D)$ de sorte que $f_1 \in \mathrm{Fil}^0 \, \DdR(D)$, ce qui d�finit une section $a \overline{f}_2 \mapsto a f_2$ de la projection $\DdR(D) \to \DdR(D) / \mathrm{Fil}^0 \, \DdR(D)$ (cf. \cite[\S 3.4.1]{Nakamura2}).
%\end{itemize}
\end{remarque}

\subsection{Accouplement d'Iwasawa} \label{accIw} Soit $D \in \Phi \Gamma^{\text{�t}}(\E)$ et soient $\mathscr{C} = \mathscr{C}(D) = (1 - \varphi) D^{\psi = 1} \subseteq D^{\psi = 0}$ le c\oe{}ur de $D$ et $\check{\mathscr{C}} = (1 - \varphi) \check{D}^{\psi = 1}$ celui de $\check{D}$. Ce sont des sous-$\Lambda$-modules libres de rang $d$ et l'application naturelle $\E(\Gamma) \otimes_\Lambda \mathscr{C} \to D^{\psi = 0}$ (resp. $\E(\Gamma) \otimes_\Lambda \check{\mathscr{C}} \to \check{D}^{\psi = 0}$) est un isomorphisme (cf. \cite[Corollaire VI.1.3(ii)]{ColmezMirabolique}). Ces espaces sont les orthogonaux l'un de l'autre pour l'accouplement $\{ \; , \; \} \colon \check{D} \times D \to L$ d�fini dans \S \ref{dual1} (\cite[Lem. VI.1.1]{ColmezMirabolique}). Pour $x \in \check{\mathscr{C}}$, $y \in \mathscr{C}$, la formule $$ \langle x, y \rangle_{\mathrm{Iw}} = \lim_{n \to + \infty} \sum_{i \in (\Z / p^n \Z)^\times}\{ \frac{\tau_n(\gamma_n) \sigma_i}{\gamma_n - 1} \cdot x , y \} [\sigma_i]$$ d�finit un accouplement
\[ \langle \; , \; \rangle_{\rm Iw}: \check{\mathscr{C}} \times \mathscr{C} \to \Lambda \]
qui identifie $\check{\mathscr{C}}$ � $\mathrm{Hom}_\Lambda(\mathscr{C}, \Lambda)$ (\cite[Prop. VI.1.2]{ColmezMirabolique}).

L'accouplement d�fini ci-dessus est l'analogue de l'accouplement usuel dans la th�orie d'Iwasawa $(\; , \; )_{\rm Iw} : H^1_{\rm Iw}(\qp, \check{V}) \times H^1_{\rm Iw}(\qp, V) \to \Lambda$ dans le sens que (\cite[Rem. VIII.1.5]{ColmezPhiGamma}) 
\[ ((\mathrm{Exp}^*)^{-1} z, (\mathrm{Exp}^*)^{-1} z')_{\rm Iw} = \langle (1 - \varphi)z, (1 - \varphi)z'\rangle_{\rm Iw} \]
pour tous $z \in \check{D}^{\psi = 1}$, $z' \in D^{\psi = 1}$ et o� $\mathrm{Exp}^*: H^1_{\rm Iw}(\qp, V) \to D^{\psi = 1}$ d�note l'isomorphisme de Fontaine (\cite[Th. II.1.3]{ColmezIw2}).

Si $\eta \in \mathfrak{X}(L)$, l'application \footnote{Les �l�ments $e_\eta$ et $e_{\eta^{-1}}$ d�notent des bases des modules $L(\eta)$ $L(\eta^{-1})$, munies d'une action triviale de $\varphi$ et d'une action de $\Gamma$ donn�e par $\sigma_a(e_{\eta}) = \eta(a) \cdot e_\eta$, $\sigma_a(e_{\eta^{-1}}) = \eta^{-1}(a) \cdot e_{\eta^{-1}}$, $a \in \zpe$. Ces �l�ments appara�tront tr�s souvent dans le texte.} $x \mapsto x \otimes e_\eta$ (resp. $x \mapsto x \otimes e_\eta^{-1}$) induit un isomorphisme de $\mathscr{C}(D)$ (resp. $\check{\mathscr{C}}(D)$) sur $\mathscr{C}(D \otimes \eta)$ (resp. $\check{\mathscr{C}}(D \otimes \eta))$ et on a (\cite[Prop. VI.1.4]{ColmezMirabolique})
\[ \langle x \otimes e_{\eta^{-1}}, y \otimes e_\eta \rangle_{\rm Iw} = m_{\eta^{-1}} \cdot \langle x, y \rangle_{\rm Iw}, \] o� $m_{\eta^{-1}}$ d�note la `multiplication par $\eta^{-1}$' d'une mesure, i.e., si $\big( \sum_{i \in \Z / p^n \Z} \alpha_{n, i} [\sigma_i] \big)_{n \in \N}  \in \Lambda$, alors on a $m_{\eta^{-1}} \big( \sum_{i \in \Z / p^n \Z} \alpha_{n, i} [\sigma_i] \big)_{n \in \N} = \big( \sum_{i \in \Z / p^n \Z} \eta^{-1}(i) \alpha_{n, i} [\sigma_i] \big)_{n \in \N}$.
%Les isomorphismes $D \boxtimes \zpe \cong \E(\Gamma) \otimes_\Lambda \mathscr{C}$ et $\check{D} \boxtimes \zpe \cong \E(\Gamma) \otimes_\Lambda \check{\mathscr{C}}$ permettent d'�tendre l'accouplement d�fini ci-dessus en un accouplement $$ \langle \; , \; \rangle_{\rm Iw}: (\check{D} \boxtimes \zpe) \times (D \boxtimes \zpe) \to \E(\Gamma). $$ 

Notons $\mathscr{C}_{\rm rig} = (1 - \varphi) D_{\rm rig}^{\psi = 1}$ et  $\check{\mathscr{C}}_{\rm rig} = (1 - \varphi) \check{D}_{\rm rig}^{\psi = 1}$. On a des isomorphismes $\mathscr{C}_{\rm rig} \cong \Robba^+(\Gamma) \otimes_\Lambda \mathscr{C}$, $\mathscr{\check{C}}_{\rm rig} \cong \Robba^+(\Gamma) \otimes_\Lambda \mathscr{\check{C}}$ (\cite[Prop. V.1.18]{ColmezPhiGamma}), qui permettent d'�tendre par lin�arit� l'accouplement d'Iwasawa en un accouplement 
%$$ \langle \; , \; \rangle_{\zpe}: (\check{D}_{\rm rig} \boxtimes \zpe) \times (D_{\rm rig} \boxtimes \zpe) \to \Robba \frac{dT}{1+T} \boxtimes \zpe $$ 
%$$ \wedge_{\zpe}: (D_{\rm rig} \boxtimes \zpe) \times (D_{\rm rig} \boxtimes \zpe) \to (\wedge D_{\rm rig} \boxtimes \zpe). $$ 
$$ \langle \; , \; \rangle_{\rm Iw}: \mathscr{\check{C}} \times \mathscr{C} \to \Robba^+(\Gamma). $$

% CHANGED
%Notons $\mathscr{C}_{\rm rig} = (1 - \varphi) D_{\rm rig}$ et  $\check{\mathscr{C}}_{\rm rig} = (1 - \varphi) \check{D}_{\rm rig}$. On a des isomorphismes $\mathscr{C}_{\rm rig} \cong \Robba^+(\Gamma) \otimes_\Lambda \mathscr{C}$ (\cite[Prop. V.1.18]{ColmezPhiGamma}) et $D_{\rm rig} \boxtimes \zpe \cong \Robba(\Gamma) \otimes_{\Robba^+(\Gamma)} \mathscr{C}_{\rm rig} \cong \Robba(\Gamma) \otimes_\Lambda \mathscr{C}$ (et ses correspondants $\check{\mathscr{C}}_{\rm rig} \cong ... $) (\cite[Corollaire V.1.13(iii)]{ColmezPhiGamma}) qui permettent d'�tendre par lin�arit� l'accouplement d'Iwasawa en un accouplement 
%%$$ \langle \; , \; \rangle_{\zpe}: (\check{D}_{\rm rig} \boxtimes \zpe) \times (D_{\rm rig} \boxtimes \zpe) \to \Robba \frac{dT}{1+T} \boxtimes \zpe $$ 
%%$$ \wedge_{\zpe}: (D_{\rm rig} \boxtimes \zpe) \times (D_{\rm rig} \boxtimes \zpe) \to (\wedge D_{\rm rig} \boxtimes \zpe). $$ 
%$$ \langle \; , \; \rangle_{\rm Iw}: (\check{D}_{\rm rig} \boxtimes \zpe) \times (D_{\rm rig} \boxtimes \zpe) \to \Robba(\Gamma). $$

Le lemme suivant nous fournit une description des diff�rentes sp�cialisations de l'accouplement d'Iwasawa en termes des $(\varphi, \Gamma)$-modules:

\begin{lemme} [{\cite[Corollaire VI.1.5]{ColmezMirabolique}}] \label{accIwphiGamma} Soient $x \in \check{\mathscr{C}}_{\rm rig}$, $y \in \mathscr{C}_{\rm rig}$ et $\eta \colon \Gamma \to L^\times$ un caract�re continu. Alors
\[ \int_\Gamma \eta \cdot \langle x , y \rangle_{\rm Iw} = \{  x, - \frac{p - 1}{p} \frac{ \log(\gamma)}{\eta(\gamma) \gamma  - 1} y \}. \]
\end{lemme}

%si $\eta: \Gamma \to L^\times$ est un caract�re continu, on note $$ \langle \; , \; \rangle_{\rm dR}: \DdR(\check{D}_{(\rm rig)}(\eta^{-1})) \times \DdR(D_{(\rm rig)}(\eta)) \to L $$ l'accouplement induit par la dualit� entre $\check{D}_{(\rm rig)}$ et $D_{(\rm rig)}$ compos� avec la trace de Tate normalis�e.

On aura besoin plus tard du lemme suivant:

\begin{lemme} \label{lemme26} Soient $\check{z} \in \check{D}_{\rm rig}^{\psi = 1}$, $z \in D_{\rm rig}^{\psi = 1}$ et $\eta: \Gamma \to L^\times$ un caract�re localement constant. On a
\small{ \[ \int_\Gamma \eta^{-1} \chi^j \cdot \langle (1 - \varphi) \check{z}, (1 - \varphi) z \rangle_{\rm Iw} = \left\{ \begin{array}{l l} \{ \exp^*(\int_\Gamma \eta \chi^{-j} \cdot \mu_{\check{z}}), \exp^{-1} (\int_\Gamma \eta^{-1} \chi^j \cdot \mu_z ) \}_{\rm dR} & \quad \text{si $j \gg 0$} \\
\{ \exp^{-1}(\int_\Gamma \eta \chi^{-j} \cdot \mu_{\check{z}}), \exp^* (\int_\Gamma \eta^{-1} \chi^j \cdot \mu_z )\}_{\rm dR} & \quad \text{si $j \ll 0$}. \\
\end{array} \right. \]} \normalsize
\end{lemme}

\begin{proof}
Par le lemme \ref{accIwphiGamma}, on a
\[ \int_\Gamma \eta^{-1} \chi^j \cdot \langle (1 - \varphi) \check{z} , (1 - \varphi) z \rangle_{\rm Iw} = \{ (1 - \varphi) \check{z}, -\frac{p - 1}{p} \frac{ \log(\gamma)}{\eta^{-1}(\gamma) \chi(\gamma)^j \gamma  - 1} (1 - \varphi) z \}. \]
En utilisant le lemme \ref{lemmeIwacc}, on obtient
\[  \{ (1 - \varphi) \check{z}, -\frac{p - 1}{p} \frac{ \log(\gamma)}{\eta^{-1}(\gamma) \chi(\gamma)^j \gamma  - 1} (1 - \varphi) z \} = (\int_\Gamma \eta \chi^{-j} \cdot \mu_{\check{z}}) \cup (\int_\Gamma \eta^{-1} \chi^j \cdot \mu_z). \]
Or, si $j \ll 0$ (resp. $j \gg 0$), l'application exponentielle (resp. exponentielle duale) de Bloch-Kato pour $\check{D}(\eta \chi^{-j})$ est bijective. Si, par exemple, $j \ll 0$, ceci nous permet d'�crire
\begin{eqnarray*} (\int_\Gamma \eta \chi^{-j} \cdot \mu_{\check{z}}) \cup (\int_\Gamma \eta^{-1} \chi^j \cdot \mu_z) &=& \big( \exp_{\check{D}(\eta \chi^{-j})} (\exp^{-1}_{\check{D}(\eta \chi^{-j})} (\int_\Gamma \eta \chi^{-j} \cdot \mu_{\check{z}} )) \big) \cup \big( \int_\Gamma \eta^{-1} \chi^j \cdot \mu_z \big) \\
&=& \{ \exp^{-1}_{\check{D}(\eta \chi^{-j})} (\int_\Gamma \eta \chi^{-j} \cdot \mu_{\check{z}}), \exp^*_{D(\eta^{-1} \chi^j)} (\int_\Gamma \eta^{-1} \chi^j \cdot \mu_z ) \}_{\rm dR},
\end{eqnarray*}
o� la derni�re �galit� suit de l'adjonction (lemme \ref{adjonction} appliqu� � $D(\eta^{-1} \chi^j)$, dont le dual de Tate s'identifie � $\check{D}(\eta \chi^{-j})$) entre les applications exponentielles. Le cas $\j \gg 0$ se traitant de la m�me mani�re, ceci nous permet de conclure.
\end{proof}

%\begin{proof}
%On a
%\begin{eqnarray*}
%\int_\Gamma \eta^{-1} \chi^j \cdot \langle \check{z} , z \rangle_{\rm Iw} &=& \{ \check{z} , \frac{ - \log(\gamma)}{\eta^{-1}(\gamma) \chi(\gamma)^j \gamma  - 1} \cdot z \} \\
%&=& \{ (1 - \varphi) \check{z}, \frac{ - \log(\gamma)}{\eta^{-1}(\gamma) \chi(\gamma)^j \gamma  - 1} \cdot (1 - \varphi) z \} \\
%&=& (\int_\Gamma \eta \chi^{-j} \cdot \mu_{\check{z}}) \cup (\int_\Gamma \eta^{-1} \chi^j \cdot \mu_z),
%\end{eqnarray*}
%o� la derni�re �galit� suit de la description explicite de l'accouplement de Tate en termes de $(\varphi, \Gamma)$-modules. Le r�sultat suit du fait que, quand $j \gg 0$ (resp. $j \ll 0$), l'application exponentielle (resp. exponentielle duale) de Bloch-Kato est bijective, ce qui nous permet, en utilisant la loi de r�ciprocit� de Kato, d'exprimer l'accouplement de Tate en termes de l'accouplement $\langle \; , \; \rangle_{\rm dR}$.
%\end{proof}


%\newpage
\section{Correspondance de Langlands $p$-adique et �quation fonctionnelle en dimension $2$} \label{equationfonctionnelle}

Nous nous inspirons des id�es de Nakamura (\cite{Nakamura2}) et des techniques de changement de poids de Colmez (\cite{ColmezPoids}) pour d�montrer, dans cette section, une �quation fonctionnelle au niveau de la th�orie d'Iwasawa d'un $(\varphi, \Gamma)$-module de rang $2$.

\subsection{Notations} \label{basesdeRham3} Soit $D \in \Phi\Gamma(\Robba)$ de dimension $2$, de Rham � poids de Hodge-Tate $0$ et $k$ que l'on suppose non triangulin \footnote{Rappelons qu'un $(\varphi, \Gamma)$-module sur $\Robba$ de rang $2$ est dit \textit{triangulin} si il est obtenu comme extension de deux $(\varphi, \Gamma)$-modules de rang $1$. D'apr�s \cite{Kedlaya}, tout $(\varphi, \Gamma)$ module de rang $2$ sur $\Robba$ est �tale � torsion pr�s par un caract�re ou triangulin. Comme on le verra dans le texte (cf. la preuve du th�or�me \ref{conjepsilon}), le th�or�me principal de cet article (th�or�me \ref{eqfonct1}) est �quivalent au fait que l'isomorphisme propos� par Nakamura interpole l'isomorphisme de de Rham (cf. Conjecture \ref{eaeaconj}(5) ainsi que \S \ref{constructionisom}); pour le cas d'un $(\varphi, \Gamma)$-module triangullin, la conjecture, et donc nos r�sultats, sont connus (\cite[Corollay 3.12]{Nakamura3}, \cite[Corollary 3.10]{Nakamura2}) pour n'importe quel $(\varphi, \Gamma)$-module triangulin, ce qui fait que l'hypoth�se de non triangularit� ne soit pas vraiment restrictive.} et notons $\Delta = \Nrig(D)$, qui est � poids de Hodge-Tate tous nuls. Comme les poids de Hodge-Tate de $D$ sont $0$ et $k$, et ceux de $\Delta$ sont nuls, le caract�re $\det_\Delta$ est localement constant et $\omega_D = \omega_\Delta x^k$ (et $\det_D = x^k \det_\Delta$). Notons $e_D = e_{\det_D}$.

%Soit $\check{D} = \mathrm{Hom}_{\varphi, \Gamma}(D, \Robba \frac{dT}{1 + T})$ le dual de Tate de $D$, o� $\Robba \frac{dT}{1 + T}$ est le $(\varphi, \Gamma)$-module �tale libre de rang $1$ de base $\frac{dT}{1 + T}$ sur lequel $\varphi$ et $\Gamma$ agissent par les formules $\gamma (\frac{dT}{1 + T}) = \chi(\gamma) \frac{dT}{1 + T}$ si $\gamma \in \Gamma$, $\varphi(\frac{dT}{1 + T}) = \frac{dT}{1 + T} $. On note \[ \langle \; , \; \rangle \colon \check{D}_{\rm rig} \times D_{\rm rig} \to \Robba \frac{dT}{1+T} \] l'accouplement naturel. Soient $\omega_D = (\det_D) \chi^{-1}$ et $\omega_\Delta = (\det_\Delta) \chi^{-1}$. Le fait que $D$ soit de dimension $2$ nous permet d'identifier $\check{D} = D \otimes \omega_D^{-1}$. Comme les poids de Hodge-Tate de $D$ sont $0$ et $k$, et ceux de $\Delta$ sont nuls, le caract�re $\det_\Delta$ est localement constant et $\omega_D = \omega_\Delta x^k$ (et $\det_D = x^k \det_\Delta$). Notons $e_D = e_{\det_D}$.

\subsubsection{Bases et modules de de Rham} \label{basesdR} On aura besoin de jongler un peu avec des �l�ments habitant dans le module de de Rham des diff�rents tordus de $D$ et de son dual de Tate et les identifications suivantes permettront de voir tous ces �l�ments dans $\DdR(D)$. Soit $\eta \colon \zpe \to L^\times$ un caract�re localement constant (vu comme un caract�re de $\qpe$ en posant $\eta(p) = 1$). L'�l�ment $G(\eta) e_\eta \in L_\infty$ est fix� par l'action de $\Gamma$ et on a donc un isomorphisme $\DdR(\Robba(\eta)) = (L_\infty((t)) \cdot e_\eta)^\Gamma = L \cdot G(\eta) e_\eta$, ce qui nous fournit un g�n�rateur $\mathbf{e}^{\rm dR}_\eta = G(\eta) e_\eta$ de ce module. Si $j \in \Z$, on rappelle que l'on a not� $e_j = e_{\chi^j}$ une base du module $L(\chi^j)$, de sorte que $\mathbf{e}^{\rm dR}_j =  t^{-j} e_j$ est une base de $\DdR(\Robba(\chi^j))$. Notons \[ \mathbf{e}_{\eta, j} = e_\eta \otimes e_j, \] qui est une base de $L(\eta \chi^j)$. L'�l�ment \[ \mathbf{e}^{\rm dR}_{\eta, j} =  \mathbf{e}^{\rm dR}_\eta \otimes \mathbf{e}^{\rm dR}_j = G(\eta) t^{-j} \cdot \mathbf{e}_{\eta, j} = G(\eta) e_\eta \otimes t^{-j} e_j \] constitue une base du module $\DdR(\Robba(\eta \chi^j))$.

Si $D \in \Phi\Gamma(\Robba)$ est de Rham, alors $D(\eta \chi^j)$ l'est aussi et on a, par ce qui pr�c�de, \[ \DdR(D(\eta \chi^j)) = \Ddif( D \otimes L(\eta \chi^j))^\Gamma = \DdR(D) \otimes L \cdot \mathbf{e}^{\rm dR}_{\eta, j}, \] de sorte que l'application $x \mapsto x \otimes \mathbf{e}^{\rm dR}_{\eta, j}$ induit un isomorphisme $\DdR(D) \xrightarrow{\sim} \DdR(D(\eta \chi^j))$.

\subsubsection{Bases et duaux} Enfin, on note $e_\eta^\vee = e_{\eta^{-1}}$, $e_j^\vee = e_{-j}$ les �l�ments duaux, respectivement, de $e_\eta$ et $e_j$, ainsi que \[ \mathbf{e}^{\rm dR, \vee}_{\eta, j} = G(\eta)^{-1} \cdot e_\eta^\vee \otimes t^j e_j^\vee, \] base du module $\DdR(\Robba(\eta^{-1} \chi^{-j}))$. L'application $x \mapsto x \otimes \mathbf{e}^{\rm dR, \vee}_{\eta, j}$ induit un isomorphisme $\DdR(D(\eta \chi^j)^*) \xrightarrow{\sim} \DdR(D)$ et on a $x \otimes \mathbf{e}^{\rm dR}_{\eta, j} \otimes \mathbf{e}^{\rm dR, \vee}_{\eta, j} = x$ pour tout $x \in \DdR(D)$.

%Si $\eta \colon \zpe \to L^\times$ est un caract�re localement constant, vu comme un caract�re de $\qpe$ en posant $\eta(p) = 1$, rappelons que l'on a un g�n�rateur $\mathbf{e}^{\rm dR}_\eta = G(\eta) e_\eta$ du module $\DdR(\Robba(\eta))$, que $e_\eta^\vee = e_{\eta^{-1}}$ d�note la base de $L(\eta)^*$ duale de $e_\eta$, et que $\DdR(\Robba(\eta)^*) =  L \cdot G(\eta)^{-1} e_\eta^\vee = L \cdot G(\eta^{-1}) e_{\eta^{-1}}$. Ceci fournit deux bases $\mathbf{e}^{\rm dR, \vee}_\eta = G(\eta)^{-1} e_\eta^\vee$ et $\mathbf{e}^{\rm dR}_{\eta^{-1}} = G(\eta^{-1}) e_{\eta^{-1}}$ du module $\DdR(\Robba(\eta)^*) = \DdR(\Robba(\eta^{-1}))$, reli�es par la formule $p^n \eta(-1) \mathbf{e}^{\rm dR, \vee}_\eta = \mathbf{e}^{\rm dR}_{\eta^{-1}}$. 

Fixons une base $f_1, f_2$ de $\DdR(D)$ et notons $$ \langle \;,\; \rangle_{\rm dR} \colon \DdR(D) \times \DdR(D) \to L, $$ le produit scalaire d�fini par la formule $\langle a_1 f_1 + a_2 f_2, b_1 f_1 + b_2 f_2 \rangle_{\rm dR} = a_1 b_1 + a_2 b_2$.

L'isomorphisme $\wedge^2 D = (\Robba \frac{dT}{1 + T}) \otimes \omega_D$ induit un isomorphisme $\wedge^2 \DdR(D) = \DdR((\Robba \frac{dT}{1 + T}) \otimes \omega_D) = (t^{-k} L_\infty e_D)^\Gamma$. On d�finit $\Omega \in L_\infty$ par la formule $f_1 \wedge f_2 = (t^k \Omega)^{-1} e_{D}$, ce qui nous permet de fixer les bases $(t^k \Omega)^{-1} e_D$ et $t^k \Omega e_D^\vee$ du module $\DdR(\wedge^2 D)$ et de son dual. On fixe aussi les bases $\mathrm{e}^{\rm dR}_{\omega_D} = (t^{k-1} \Omega)^{-1} e_{\omega_D}$ et $\mathbf{e}^{\rm dR, \vee}_{\omega_D} = (t^{k-1} \Omega) e_{\omega_D}^\vee$ du module $\DdR(\Robba(\omega_D))$ et de son dual.

%Avec les notations introduites ci-dessus, on a des isomorphismes $$ \DdR(D) \xrightarrow{\sim} \DdR(\check{D}(\eta \chi^{-{\j}})); \;\;\; x \mapsto x \otimes G(\eta) e_{\eta} \otimes t^{{\j}} e_{-{\j}} \otimes  \Omega t^{k-1}  e_{\omega_D}^\vee $$ $$ \DdR(D) \xrightarrow{\sim} \DdR(D(\eta^{-1} \chi^{\j})) ; \;\;\; x \mapsto x \otimes G(\eta^{-1}) e_{\eta^{-1}} \otimes t^{-{\j}} e_{\j}. $$ 

Afin d'all�ger les notations dans les calculs futurs, notons, pour $\eta$ comme ci-dessus et $j \in \Z$, $$ \mathbf{e}_{\eta, j, \omega_D^\vee} = e_\eta \otimes e_j \otimes e_{\omega_D}^\vee, \; \; \; \mathbf{e}_{\eta, j} = e_\eta \otimes e_j, $$ bases de $L(\eta \chi^j \omega_D^{-1})$ et $L(\eta \chi^j)$ respectivement, et leurs duales $$ \mathbf{e}^\vee_{\eta, j, \omega_D^\vee} = e_\eta^\vee \otimes e_{-j} \otimes e_{\omega_D}, \; \; \; \mathbf{e}^\vee_{\eta, j} = e_\eta^\vee \otimes e_{-j}, $$ ainsi que des bases des module $\DdR(\Robba(\eta \chi^j \omega_D^{-1}))$ et $\DdR(\Robba(\eta \chi^j))$ $$ \mathbf{e}^{\rm dR}_{\eta, j, \omega_D^\vee} = G(\eta) e_\eta \otimes t^{-j} e_j \otimes t^{k-1} \Omega e_{\omega_D}^\vee = \mathbf{e}^{\rm dR}_\eta \otimes \mathbf{e}^{\rm dR}_j \otimes \mathbf{e}^{\rm dR, \vee}_{\omega_D}, $$ $$ \mathbf{e}^{\rm dR}_{\eta, j} = G(\eta) e_\eta \otimes t^{-j} e_j = \mathbf{e}^{\rm dR}_\eta \otimes \mathbf{e}^{\rm dR}_j $$ et leurs duales $$ \mathbf{e}^{\rm dR, \vee}_{\eta, j, \omega_D^\vee} = G(\eta)^{-1} e_\eta^\vee \otimes t^{j} e_{-j} \otimes (t^{k-1} \Omega)^{-1} e_{\omega_D} = \mathbf{e}^{\rm dR, \vee}_\eta \otimes \mathbf{e}^{\rm dR}_{-j} \otimes \mathbf{e}^{\rm dR, \vee}_{\omega_D^\vee}, $$ $$ \mathbf{e}^{\rm dR, \vee}_{\eta, j} = G(\eta)^{-1} e_\eta^\vee \otimes t^j e_{-j} = \mathbf{e}^{\rm dR, \vee}_\eta \otimes \mathbf{e}^{\rm dR}_{-j}, $$ et les variantes �videntes que l'on puisse imaginer.

Par exemple, si $\eta \colon \zpe \to L^\times$ est un caract�re d'ordre fini, si $j \geq 0$ et si $x \in \DdR(\check{D}(\eta \chi^{-{\j}}))$, on �crira $x \otimes \mathbf{e}^{\rm dR, \vee}_{\eta, -j, \omega_D^\vee} \in \DdR(D)$ l'image de $x$ par l'isomorphisme $$ \DdR(\check{D}(\eta \chi^{-{\j}})) \xrightarrow{\sim} \DdR(D); \;\;\; x \mapsto x \otimes G(\eta)^{-1} e_\eta^\vee \otimes t^{-j} e_{j} \otimes (t^{k - 1} \Omega)^{-1} e_{\omega_D} $$ et de m�me, si $x \in \DdR(D(\eta^{-1} \chi^{\j}))$, on notera $x \otimes \mathbf{e}^{\rm dR, \vee}_{\eta^{-1}, j} \in \DdR(D)$ l'image de $x$ par l'isomorphisme $$ \DdR(D(\eta^{-1} \chi^j)) \xrightarrow{\sim} \DdR(D); \;\;\; x \mapsto x \otimes G(\eta^{-1})^{-1} e_{\eta^{-1}}^\vee \otimes t^j e_{-j}. $$

\begin{remarque} \leavevmode
\begin{itemize}
\item Les bases des modules de de Rham, vues comme des �l�ments dans $L_\infty((t)) \cdot e_{\xi}$ pour un certain caract�re $\xi \colon \qpe \to L^\times$, h�ritent une action de l'op�rateur $\varphi$ (y agissant sur $L_\infty((t))$ $L_\infty$-lin�airement et via $\varphi(t) = p t$ et sur $e_\xi$ par $\varphi(e_\xi) = \xi(p) e_\xi$). On a, par exemple, \[ \varphi(\mathbf{e}^{\rm dR}_\eta) = \mathbf{e}^{\rm dR}_\eta, \;\;\; \varphi(\mathbf{e}^{\rm dR}_j) = p^{-j} \mathbf{e}^{\rm dR}_j, \] \[ \varphi(\mathbf{e}^{\rm dR}_{\eta, j, \omega_D^\vee}) = p^{-j + k - 1} \omega_D^{-1}(p) \cdot \mathbf{e}^{\rm dR}_{\eta, j,\omega_D^\vee} = p^{-j - 1} \omega_\Delta^{-1}(p) \cdot \mathbf{e}^{\rm dR}_{\eta, j,\omega_D^\vee}. \]
\item Il faut faire un peu d'attention et distinguer le caract�re identit� $x$ et le caract�re cyclotomique $\chi = x |x|$. Les deux co�ncident sur $\zpe$ mais $\chi(p) = 1$, tandis que le premier prend la valeur $p$. Par exemple, $\Gamma$ agit trivialement sur l'�l�ment $e_j \otimes e_{x^j}^\vee$ mais $\varphi(e_j \otimes e_{x^j}^\vee) = p^{-j} \; e_j \otimes e_{x^j}^\vee$.
\end{itemize}
\end{remarque}
%de sorte que l'on obtient un isomorphisme $$ \DdR(\check{D}(\eta \chi^{-{\j}})) \to \DdR(D(\eta^{-1} \chi^{\j})) \; : \; x \mapsto t^{-2{\j}} e_{2{\j}} \otimes (G(\eta)^{-1} e_{\eta^{-2}})^{\otimes 2} \otimes (\Omega t^{k-1})^{-1} e_{\omega_D} \otimes x, $$ qui nous permet d'identifier ces espaces.

%\subsubsection{}
%
%%\begin{proposition} \label{eqfonct1}
%%Soit $D \in \Phi\Gamma_{�t}(\Robba)$ de dimension $2$, de Rham � poids de Hodge-Tate $0, k-1$ et soit $z \in D$. Soit $\eta: \Gamma \to L^\times$ un caract�re localement analytique et ${\j} \gg 0$ un entier. On a alors $$ \exp^{-1}( \int_\Gamma \eta^{-1} \chi^r \cdot w_{\omega_D}  z) = \frac{(-1)^r r!}{(k - r - 1)!} \frac{L(D(-r)(\delta)}{L(\check{D}(r)(\delta^{-1})} \frac{\epsilon_L(D(-r)(\delta))}{\Omega} \exp^{*}(\int_\Gamma \eta \chi^{-r} \cdot z) $$
%%\end{proposition}
%%
%%\begin{corollary} Si $D$ n'est pas triangulin et si $\eta$ est suffisament ramifi�, alors $$ \exp^*( \int_\Gamma \eta \chi^{-{\j}} \cdot w_{\omega_D} z) = \frac{(-1)^{\j} {\j}!}{(k - {\j} - 1)!} \frac{\epsilon_L(D(-r)(\delta))}{\Omega} G(\eta)^2 \exp^{-1}(\int_\Gamma \eta^{-1} \chi^{\j} \cdot z) $$
%%\end{corollary}
%
%\begin{lemme} Soit $z \in D^{\psi = 1}$ et ${\j}$ un entier. Alors
%$$ ... $$
%\end{lemme}
%
%\begin{proof} Rappelons que par la loi de r�ciprocite explicite on a, pour ${\j} \gg 0$,
%$$ \exp^{-1} (\int_\Gamma \eta^{-j} \chi^{\j} \cdot w_{D} z) =  (-1)^{{\j}-1} ({\j} - 1)! \frac{p-1}{p} [\varphi^{-n} ( \partial^{-j} (m_{\omega_D^{-1}} w_* z \otimes \omega_D^{-1}) \otimes t^{-j} e_j )]_0 $$ En utilisant les formules $$ \partial (z \otimes \delta) = \kappa(\delta) (\partial z \otimes \delta) $$ $$ w_*(z \otimes \delta) = \delta(-1) (m_{\delta^2} \circ w_*(z)) \otimes \delta $$ et le fait que $w_* \circ \partial = \partial^{-1} \circ w_*$ on a 
%$$ [\varphi^{-n} \partial^{-j} ((m_{\omega_D^{-1}} w_* z) \otimes \omega_D^{-1})]_0  = \kappa(\omega_D^{-1})^{-j} \omega_D^{-1}(-1) [\varphi^{-n} w_*( (m_{\omega_D^{-1}} \partial^j z) \otimes \omega_D^{-1}) ]_0. $$ \textbf{Par les calculs de Gabriel, on a} $ [\varphi^{-n} w_* z]_0 = \epsilon(\chi^{-1} \pi, \frac{1}{2}, (\zeta_{p^n})_n) \alpha^{\mathrm{cond}(\chi^{-1} \pi)} [\varphi^{-n} z]_0$, o� $\pi = \Pi(D)^{\rm lisse}$ et $\alpha = ?$. En utilisant encore une fois la formule $ \partial (z \otimes \delta) = \kappa(\delta) (\partial z \otimes \delta) $ et la loi de r�ciprocit� explicite, le fait que $\kappa(\delta^{-1}) = - \kappa(\delta)$ et que si $z \in D^{\psi = 1}$ et $\delta$ est un caract�re, on a $\int_\Gamma \delta \cdot z = \int_\Gamma 1 \cdot (z \otimes \delta) \in H^1(\qp, D(\delta))$, ce dernier terme s'exprime comme $$ \kappa(\omega_D)^{-2j} \omega_D^{-1}(-1) j! p^{n(j+1)}  t^{-j} \exp^*( \int_\Gamma \omega_D^{-2} \chi^{-j} \cdot z). $$ D'o� on d�duit $$ \frac{(-1)^{j-1}}{ (j - 1)! p^{n (j - 1)}} t^j \exp^{-1} (\int_\Gamma \chi^j \cdot w_{\omega_D} z) = \kappa(\omega_D)^{-2j} \omega_D^{-1}(-1) j! p^{n(j+1)}  t^{-j} \exp^*( \int_\Gamma \omega_D^{-2} \chi^{-j} \cdot z) $$ 
%
%
%\end{proof}

\subsection{Repr�sentations lisses de $\mathrm{GL}_2(\qp)$}

Dans cette section, on �nonce quelques r�sultats classiques de la th�orie des repr�sentations lisses de $\mathrm{GL}_2(\qp)$ dont on aura besoin dans la suite. La r�f�rence principale est \cite{BH}.

\subsubsection{Facteurs epsilon pour $\mathrm{GL}_1$} \label{replisses}

Commen�ons par rappeler la d�finition des facteurs locaux associ�s � un caract�re. Soit $\eta \colon \qpe \to L^\times$ un caract�re continu. On dit que $\eta$ est non ramifi� si sa restriction � $\zpe$ est triviale et il est ramifi� dans le cas contraire. On d�finit son conducteur par $1$ s'il est non ramifi�, et par $p^n$, o� $n$ est le plus petit entier tel que la restriction $\eta \mid_{1 + p^n \zp}$ soit triviale, dans le cas contraire. Le choix d'un syst�me compatible $(\zeta_{p^n})_{n \geq 0}$ de racines de l'unit� nous permet de fixer un caract�re additif $\psi \in \mathrm{Hom}(\qp, L^\times_\infty)$ de niveau $0$ (i.e $\ker \psi= \zp$) par la formule $\psi(x) = \zeta_{p^n}^{p^n x}$ pour n'importe quel $n \geq - v_p(x)$. Fixons aussi $\mu$ la mesure de Haar sur $\qp$ telle que $\mu(\zp) = 1$. Soit $\mu^*$ une mesure de Haar de $\qpe$. Pour $\phi \in \mathrm{LC}_{\rm c}(\qp, L)$ une fonction localement constante � support compact dans $\qp$, la fonction \footnote{On fixe un isomorphisme $\overline{\Q}_p \cong \C$, de sorte que l'on puisse voir une extension finie $L$ de $\qp$ comme un sous-corps de $\C.$}
$$ \zeta(\phi, \eta, s) = \int_{\qpe} \phi(x) \eta(x) |x|^s \cdot d\mu^*(x) $$
converge pour $\mathrm{Re} \; s \gg 0$ et admet un prolongement analytique � $\C$ tout entier. Les facteurs $L$ et $\epsilon$ associ�s � $\eta$ sont donn�s par les formules \footnote{ cf. \cite[\S 23.4]{BH} pour la premi�re formule et \cite[\S 23.5 Th., Lem. 1]{BH} pour se ramener au cas du caract�re $\psi$ de niveau zero pour la deuxi�me.} $$ L(\eta, s) = \left\{
  \begin{array}{cc}
    (1 - \eta(p) p^{-s})^{-1} & \quad \text{ si $\eta$ n'est pas ramifi�} \\
    1 & \quad \text{si $\eta$ est ramifi�}  \\
  \end{array}
\right. $$

$$ \epsilon(\eta, s) = \left\{
  \begin{array}{cc}
    1 & \quad \text{ si $\eta$ n'est pas ramifi�} \\
    p^{-ns} \eta(p)^n G(\eta^{-1}) & \quad \text{si $\eta$ est ramifi�}  \\
  \end{array}
\right. $$
Le facteur epsilon satisfait l'�quation fonctionnelle $$ \epsilon(\eta, s) \epsilon(\eta^{-1}, 1 - s) = \eta(-1). $$ Enfin, on a une �quation fonctionnelle pour tout $\phi \in \mathrm{LC}_{\rm c}(\qp, L)$, o� les deux membres sont des polyn�mes en $p^{-s}$, $$ \frac{\zeta(\hat{\phi}, \eta^{-1}, 1 - s)}{L(\eta^{-1}, 1 - s)} = \epsilon(\eta, s) \frac{\zeta(\phi, \eta, s)}{L(\eta, s)}, $$ o� $\hat{\phi} = \int_\qp \phi(y) \psi(xy) d \mu(y)$ d�note la transform�e de Fourier de $\phi$. On notera dans la suite $\epsilon(\eta) := \epsilon(\eta, 1/2) = p^{-n/2} \eta(p)^n G(\eta^{-1})$. 
 
\subsubsection{Facteurs epsilon pour $\mathrm{GL}_2$} Soit $\pi$ une repr�sentation lisse irr�ductible de $G = \mathrm{GL}_2(\qp)$ � coefficients dans $\C$ et notons $\check{\pi}$ sa contragr�diente. Notons $K = \mathrm{M}_2(\zp)$ et $A = \mathrm{M}_2(\qp)$, $\mathrm{LC}_{\rm c}(A, L)$ les fonctions localement constantes � support compact dans $A$ et $\mathfrak{C}(\pi)$ l'espace des coefficients de la repr�sentation $\pi$: c'est le $L$ espace vectoriel engendr� par les fonctions $g \in G \mapsto \langle \check{v}, g \cdot v \rangle$, $v \in \pi, \check{v} \in \check{\pi}$. Si $\eta \colon \qpe \to L^\times$ est un caract�re localement constant, on note $\pi \otimes \eta$ \footnote{On voit $e_\eta$ comme un g�n�rateur du $L$ espace vectoriel de dimension $1$ que l'on munit d'une action de $G$ par la formule $g \cdot e_\eta = \eta(\det g) \; e_\eta$. On a un isomorphisme d'espaces vectoriels $v \mapsto c \otimes e_\eta$ de $\pi$ sur $\pi \otimes \eta$.} la tordue de $\pi$ par $\eta$: si $v \in \pi$ et $g \in G$ alors $g (v \otimes e_\eta) = \eta(\det g) (gv \otimes e_\eta)$. On suppose dans la suite que \textit{$\pi$ est une repr�sentation supercuspidale} \footnote{Rappelons qu'une repr�sentation lisse irr�ductible $\pi$ de $\mathrm{GL}_2(\qp)$ est dite supercuspidale si elle n'est pas une sous-repr�sentation d'une induite parabolique ou, ce qui revient au m�me (\cite[\S 9.1 Prop.]{BH}), si son module de Jacquet $V_N := V / V(N)$, o� $V$ d�note l'espace ambiant de $\pi$ et $V(N)$ est le sous espace engendr� par les vecteurs de la forme $v - {\matrice 1 x 0 1} v$, $x \in \qp$, est nul.}.

Fixons $d\mu$ la mesure de Haar sur $A$ normalis�e par $\mu(K) = 1$. La transform�e de Fourier, d�finie par $$ \phi \in \mathrm{LC}_{\rm c}(A, L) \mapsto \hat{\phi}(g) = \int_A \phi(h) \psi(\mathrm{tr}(gh)) d \mu(h), $$ est alors auto-duale: $\hat{\hat{\phi}}(x) = \phi(-x)$. Enfin, si $f \in \mathfrak{C}(\pi)$, la formule $\check{f}(g) = f(g^{-1})$ d�finit un �l�ment $\check{f}$ dans $\mathfrak{C}(\hat{\pi})$. La fonction $$ \zeta(\phi, f, s) = \int_G \phi(g) f(g) || \det g ||^s \cdot d\mu^*(g), \;\;\; \phi \in \mathrm{LC}_{\rm c}, f \in \mathfrak{C}(\pi), $$ o� $\mu^*$ est une mesure de Haar sur $G$, converge pour $\mathrm{Re} \; s \gg 0$ et d�finit une fonction rationnelle en la variable $p^{-s}$ (\cite[\S 24.2 Th. 1]{BH}).

Il existe (\cite[\S 24.2 Th. 2 + Corollary]{BH}) une constante $\epsilon(\pi) \in L$ tel que, si l'on pose $\epsilon(\pi, s) = p^{- c(\pi) (s-1/2)} \epsilon(\pi), $ o� $c(\pi)$ est le conducteur de $\pi$ \footnote{Le niveau $c(\pi)$ de $\pi$ est d�fini comme le plus petit entier $n$ tel que $\pi$ poss�de un �l�ment fixe par les matrices de la forme $K_n = \{ {\matrice a b c d} \in K$, $c = d - 1 = 0$ mod $p^n \}$. On a $\dim_L \pi^{K_{c(\pi)}} = 1$ et on appelle $p^{c(\pi)}$ le \textit{conducteur} de la repr�sentation $\pi$. }, alors pour tous $\phi \in \mathrm{LC}_{\rm c}(A, L)$ et $f \in \mathfrak{C}(\pi)$, on a une �quation fonctionnelle $$ \zeta(\hat{\phi}, \check{f}, \frac{3}{2} - s) = \epsilon(\pi, s) \zeta(\phi, f, \frac{1}{2} + s). $$ Observons que, si $j \in \Z$, alors $\epsilon(\pi, j + 1/2) = p^{-c(\pi) j} \epsilon(\pi) = \epsilon(\pi \otimes | \cdot |^j)$. La fonction $\epsilon(\pi, s)$ est le facteur epsilon associ� � la repr�sentation $\pi$ et elle satisfait l'�quation fonctionnelle $$ \epsilon(\pi, s) \epsilon(\check{\pi}, 1 - s) = \omega_\pi(-1), $$ o� $\omega_\pi$ est le caract�re central de la repr�sentation $\pi$.

%\begin{proposition} \label{BHepsilon} Soit $\eta$ un caract�re de $\qpe$ de conducteur $p^n$ pour $n > c(\pi)$ et soit $c_\eta \in \qpe$ satisfaisant $\eta(1 + x) = \psi(c_\eta x)$ pour $x \in p^{\left\lfloor \frac{n}{2} \right \rfloor + 1}$. Alors $$ \epsilon(\pi \otimes \eta, s) = \omega_\pi(c_\eta)^{-1} \epsilon(\eta, s)^2. $$
%\end{proposition}
%
%\begin{proof}
%Par \cite{BH}, 25.7 thm., on a $\epsilon(\pi \otimes \eta^{-1}, s) = \omega_\pi(c_\eta)^{-1} \epsilon(\eta \circ \det, s)$. Or, la repr�sentation $\eta \circ \det$ appara�t comme facteur irr�ductible de l'induite unitaire lisse $\mathbf{\iota}_B^G(|x|^{1/2} \eta \otimes |x|^{-1/2} \eta) = \mathrm{Ind}_B^G(\eta \otimes \eta)$ de la repr�sentation $|x|^{1/2} \eta \otimes |x|^{-1/2} \eta$ de $B$ (cf. \cite{BH}, 9.11), et \cite{BH}, 26.1, thm. implique que $\epsilon(\eta \circ \det, s) = \epsilon(|x|^{1/2} \eta, s) \epsilon(|x|^{-1/2} \eta, s)$. On conclut en remarquant que $\epsilon(|x|^{1/2} \eta, s) = p^{-n/2} \epsilon(\eta, s)$  et $\epsilon(|x|^{-1/2} \eta, s) = p^{-n/2} \epsilon(\eta, s)$, comme on le voit de la formule $\epsilon(|x|^{\pm 1/2} \eta, s) = p^{-ms} \eta(p)^m |p|^{\pm m/2} G(|x|^{\pm 1/2} \eta)$, o� $m = \mathrm{cond}(|x|^{\pm 1/2} \eta)$, et en remarquant que $m = \mathrm{cond}(\eta) = n$ et $G(|x|^{\pm 1/2} \eta) = G(\eta)$ car la restriction � $\zpe$ de $|x|^{\pm 1/2}$ est triviale.
%\end{proof}


\subsubsection{Mod�le de Kirillov et facteurs locaux} \label{Kirillovaa}

Rappelons qu'un mod�le de Kirillov d'une repr�sentation lisse $\pi$ de caract�re central $\omega_\pi$ est une injection $B$-�quivariante de $\pi$ dans l'espace $\mathrm{LC}_{\rm rc}(\qpe, L_\infty)$ des fonctions localement constantes sur $\qpe$ � support compact dans $\qp$ (i.e $\phi(p^{-n} \zpe) = 0$ pour tout $n \gg 0$) \footnote{$\mathrm{rc}$ d�note "relativement compact".}. L'action du Borel sur ce dernier espace est donn�e par la formule $$ ({\matrice a b 0 d} \cdot \phi)(x) = \omega_\pi(d) \psi(bx/d) \phi(ax/d). $$ La d�composition de Bruhat $G = B \cup BwB$ montre que l'action de $G$ est d�termin�e par celle du Borel et par l'action de l'involution $w = {\matrice 0 1 1 0}$, et c'est un fait remarquable que ce dernier op�rateur puisse �tre d�crit en termes des facteurs locaux de la repr�sentation, comme on le verra � continuation.

Si $\eta \colon \qpe \to L^\times$ est un caract�re localement constant et $m \in \Z$, on d�finit une fonction $\xi_{\eta, m} \in \mathrm{LC}_{c}(\qpe, L_\infty)$ par la formule $$ \xi_{\eta, m}(x) = \left\{
  \begin{array}{ccc}
    \eta(x) & \quad \text{ si } v_p(x) = m \\
    0 & \quad \text{sinon}  \\
  \end{array}
\right. $$ 
%Dans la formule, $\eta(x)$ est consid�r� comme un �l�ment de $L$ (que l'on peut toujours supposer assez grand de sorte qu'il contient ces valeurs) et $G(\eta)^{-1}$ comme �l�ment de $F_\infty$. On a donc $({\matrice a 0 0 1} \xi_{\eta, m})(x) = \xi_{\eta, m}(ax) = G(\eta)^{-1} \eta(ax) = \eta(a) G(\eta)^{-1} \eta(x)= \sigma_a(G(\eta)^{-1} \eta(x))$, d'o� $\xi_{\eta, m} \in \mathrm{LA}_{c}(\qpe, L_\infty)^\Gamma$ (elle est en fait localement constante).

\begin{prop} [{\cite[Th. 37.3]{BH}}] \label{BHeqfonct}
Soit $\eta \colon \qpe \to L^\times$ un caract�re et soit $m \in \Z$. Alors $$ w \cdot \xi_{\eta, m} = \eta(-1) \epsilon(\pi \otimes \eta^{-1}) \, \xi_{\eta^{-1}\omega_\pi, -c(\pi \otimes \eta^{-1}) - m}. $$
\end{prop}

\begin{proof}
La formule de \cite[Th. 37.3]{BH} donne \[ {\matrice 0 1 {-1} 0} \cdot \xi_{\eta, m} = \epsilon(\pi \circ \eta^{-1}) \; \xi_{\eta^{-1} \omega_\pi, -c(\pi \otimes \eta^{-1}) - m}. \]
Observons que ${\matrice 0 1 {-1} 0} = {\matrice {-1} 0 0 {-1}} {\matrice {-1} 0 0 1} w $, et que les matrices ${\matrice {-1} 0 0 {-1}}$ et ${\matrice {-1} 0 0 1}$ agissent, respectivement, via multiplication par $\omega_\pi(-1)$ et par $({\matrice {-1} 0 0 1} \cdot \phi)(x) = \phi(-x)$, d'o� 
\begin{eqnarray*}
w \cdot \xi_{\eta, m} &=& \epsilon(\pi \circ \eta^{-1}) \; {\matrice {-1} 0 0 {-1}} {\matrice {-1} 0 0 1} \cdot \xi_{\eta^{-1} \omega_\pi, -c(\pi \otimes \eta^{-1}) - m} \\
&=& \epsilon(\pi \circ \eta^{-1}) \omega_\pi(-1) \eta(-1) \; {\matrice {-1} 0 0 {-1}} \cdot \xi_{\eta^{-1} \omega_\pi, -c(\pi \otimes \eta^{-1}) - m} \\
&=& \eta(-1) \epsilon(\pi \circ \eta^{-1}) \; \xi_{\eta^{-1} \omega_\pi, -c(\pi \otimes \eta^{-1})}.
\end{eqnarray*}
\end{proof}

\subsection{Autour de la correspondance de Langlands $p$-adique pour $\mathrm{GL}_2(\qp)$} \label{LLpadique}

Dans cette section, on rappelle certains r�sultats concernant la correspondance de Langlands $p$-adique pour $\mathrm{GL}_2(\qp)$, notamment, la th�orie du mod�le de Kirillov-Colmez et les techniques de `changement de poids' introduites dans \cite{ColmezPoids}, qui seront cruciales dans la preuve de notre r�sultat principal.

\subsubsection{La correspondance}

Rappelons bri�vement la construction de la correspondance de Langlands $p$-adique (\cite{ColmezMirabolique}, \cite{ColmezPhiGamma}, \cite{ColmezPoids}). Soit $D \in \Phi\Gamma^{\text{�t}}(\mathscr{O}_\E)$ de dimension $2$. Rappelons que $D^\sharp$ d�signe le plus grand sous-$\mathscr{O}_L[[T]]$-module compact de $D$ stable par $\psi$ et sur lequel $\psi$ est surjectif (\cite[\S II.4]{ColmezMirabolique}), et $D^\natural$ est le plus petit sous-$\mathscr{O}_L[[T]]$-module compact de $D$ stable par $\psi$ et engendrant $D$ (\cite[\S II.5]{ColmezMirabolique}). Si $D \in \Phi\Gamma^{\text{�t}}(\E)$ et $D_0 \subseteq D$ est un $\mathscr{O}_\E$-r�seau stable par $\varphi$ et $\Gamma$, on pose $D^\sharp = L \otimes_{\mathscr{O}_L} D_0^\sharp$, $D^\natural = L \otimes_{\mathscr{O}_L} D_0^\natural$. Si $D$ est absolument irr�ductible de dimension $\geq 2$, on a (\cite[Cor. II.5.21]{ColmezMirabolique}) $D^\natural = D^\sharp$.

Soit $G = \mathrm{GL}_2(\qp)$. Rappelons (\cite[\S III.1.2]{ColmezMirabolique}) que, si $U \subseteq \zp$ est un ouvert compact, en traduisant les op�rations de restriction d'une mesure, on peut d�finir des op�rateurs de restriction $\mathrm{Res}_U$ sur $D$. Ces op�rateurs nous fournissent un faisceau ${\matrice {\zp - \{0\}} \zp 0 1}$-�quivariant $U \mapsto D \boxtimes U$ sur $\zp$, et on a $D = D \boxtimes \zp$, $D \boxtimes \zpe = D^{\psi = 0}$. Soient $w_D = m_{\omega_D^{-1}} \circ w_* \colon D \boxtimes \zpe \to D \boxtimes \zpe$, o� $m_{\omega_D^{-1}}$ est la multiplication par $\omega_D^{-1}$, et $w_* \colon D \boxtimes \zpe \to D \boxtimes \zpe$ sont d�finies dans \cite[\S V.2.1 et \S V.1]{ColmezPhiGamma}. En s'inspirant des formules provenant de l'analyse $p$-adique, on construit (\cite[\S II.1]{ColmezPhiGamma}) un faisceau $G$-�quivariant $U \mapsto D \boxtimes U$ sur $\PP^1(\qp)$ dont les sections globales sont donn�es par $$ D \boxtimes \PP^1 = \{ (z_1, z_2) \in D \times D : w_D(\mathrm{Res}_\zpe(z_1)) = \mathrm{Res}_\zpe(z_2) \} $$ et les sections sur $\zp$ sont $D \boxtimes \zp = D$. On d�finit (\cite[\S II.2]{ColmezPhiGamma}) le module $D^\natural \boxtimes \PP^1 = \{ z \in D \boxtimes \PP^1: \mathrm{Res}_\zp( {\matrice {p^n} 0 0 1} \cdot z) \in D^\natural \;\;\; \forall n \in \Z \}$. Ce module est stable par l'action de $G$ (\cite[Th. II.3.1(i)]{ColmezPhiGamma}) et on pose $$ \Pi(D) = D \boxtimes \PP^1 / D^\natural \boxtimes \PP^1, $$ qui est une $L$-repr�sentation de Banach admissible et topologiquement irr�ductible de $G$. La repr�sentation $\Pi(D)$ est celle associ�e � $D$ par la correspondance de Langlands $p$-adique. L'accouplement $[\; , \;]$ sur $D$ s'�tend (\cite[Lem. II.1.12]{ColmezPoids}) en un accouplement parfait et $G$-�quivariant $[\; , \; ]_{\PP^1}$ sur $D \boxtimes \PP^1$ en posant
\[ [z, z']_{\PP^1} = [\mathrm{Res}_\zp(z), \mathrm{Res}_\zp (z')] + \omega_\Delta(-1) [\mathrm{Res}_{p \zp} (w \cdot z), \mathrm{Res}_{p \zp} (w \cdot z')], \]
pour lequel $\Pi(D)^* \otimes \omega_D$ est son propre orthogonal (\cite[\S 2.1]{ColmezPoids}). On a (\cite[Th. II.3.1(ii)]{ColmezPhiGamma}) une suite exacte de $G$-modules topologiques
\[ 0 \to \Pi(D)^* \otimes \omega_D \to D \boxtimes \PP^1 \to \Pi(D) \to 0. \]

Soient $D^\dagger \in \Phi \Gamma^{\text{�t}}(\E^\dagger)$ et $D_{\rm rig} = \Robba \otimes_{\E^\dagger} D^\dagger \in \Phi \Gamma^{\text{�t}} (\Robba)$ les modules correspondants � $D$ par l'�quivalence de cat�gories de la proposition \ref{equivPhiGamma} (cf. \cite[\S V.1.1]{ColmezPhiGamma} pour des rappels des constructions). Le sous-module $D^\dagger \boxtimes \PP^1 = \{ (z_1, z_2) \in D \boxtimes \PP^1 : z_1, z_2 \in D^\dagger\}$ de $D \boxtimes \PP^1$ est stable par l'action de $G$ (\cite[Prop. V.2.8]{ColmezPhiGamma}) et l'action de $G$ s'�tend par continuit� (\cite[Prop. V.2.9]{ColmezPhiGamma}) en une action sur \[ D_{\rm rig} \boxtimes \PP^1 := \{ (z_1, z_2) \in D_{\rm rig} \times D_{\rm rig} : w_D(\mathrm{Res}_\zpe(z_1)) = \mathrm{Res}_\zpe(z_2) \}, \] o� l'action de $w_D$ sur $D_{\rm rig} \boxtimes \zpe = D_{\rm rig}^{\psi = 0}$ est d�finie par $\Gamma$-antilin�arit� en utilisant l'identit� $D_{\rm rig} \boxtimes \zpe = \Robba(\Gamma) \otimes_{\E^\dagger(\Gamma)} D^\dagger \boxtimes \zpe$ . Ceci permet de d�finir un faisceau $G$-�quivariant $U \mapsto D_{\rm rig} \boxtimes U$ sur $\PP^1(\qp)$ et on a (\cite[Th. V.2.20]{ColmezPhiGamma}) une suite exacte
\[ 0 \to (\Pi(D)^{\rm an})^* \otimes \omega_D \to D_{\rm rig} \boxtimes \PP^1 \to \Pi(D)^{\rm an} \to 0, \]
o� $\Pi(D)^{\rm an}$ d�note les vecteurs localement analytiques de la repr�sentation $\Pi(D)$, ce qui rend naturel de poser $\Pi(D_{\rm rig}) = \Pi(D)^{\rm an}$.

Plus g�n�ralement, si $D \in \Phi \Gamma(\Robba)$ n'est pas triangulin, il est isocline et il existe un caract�re $\delta$ tel que $D(\delta)$ soit �tale. On d�finit alors $U \mapsto D \boxtimes U$ et $\Pi(D)$ par torsion � partir de $D(\delta) \boxtimes U$ et $\Pi(D(\delta))$; en particulier $\Pi(D) = \Pi(D(\delta)) \otimes (\delta^{-1} \circ \det)$. On obtient ainsi une $L$-repr�sentation localement analytique $\Pi = \Pi(D)$ de caract�re central $\omega_D$ et une suite exacte comme ci-dessus.

\subsubsection{Le mod�le de Kirillov, d'apr�s Colmez} \label{Kirillov}

D�crivons le mod�le de Kirillov construit dans \cite[\S 2.4.1-2]{ColmezPoids}. Soit $D \in \Phi \Gamma(\Robba)$ irr�ductible de rang $2$ et soit $\Pi = \Pi(D)$ la repr�sentation de $G$ d�crite dans la section pr�c�dente. Notons $B = {\matrice * * 0 *} \subseteq \mathrm{GL}_2(\qp)$ le Borel sup�rieur et soit $\mathscr{Y}$ un $L_\infty[[t]]$-module muni d'une action de l'alg�bre de distributions $\mathscr{D}(\Gamma) = \mathscr{Robba}^+(\Gamma)$ de $\Gamma$. On d�finit $$ \mathrm{LA}_{\mathrm{rc}}(\qpe, \mathscr{Y})^\Gamma $$ comme l'espace des fonctions $\phi \colon \qpe \to \mathscr{Y}$ localement analytiques � support compact dans $\qp$, v�rifiant $\sigma_a(\phi(x)) = \phi(ax)$ pour tout $a \in \zpe$. On munit $\mathrm{LA}_{\mathrm{rc}}(\qp, \mathscr{Y})^\Gamma$ d'une action de $B$ par la formule \footnote{Si $r \in \qp$ et $n \in \N$ est tel que $rp^n \in \zp$, on pose $[\epsilon^{r}] = \varphi^{-n}((1 + T)^{p^n r}) \in L_n[[t]]$.} $$ ({\matrice a b 0 d} \cdot \phi)(x) = \omega_D(d) [\epsilon^{bx / d}] \phi(ax/d). $$

Soit $Y$ un $B$-module de caract�re central $\omega_D$. On dit que $Y$ admet un mod�le de Kirillov s'il existe un $B$-module $\mathscr{Y}$ comme ci-dessus et une injection $B$-�quivariante de $Y$  dans $\mathrm{LA}_{\mathrm{rc}}(\qpe, \mathscr{Y})^\Gamma$. Si $Y$ admet un mod�le de Kirillov, on note $Y_{\rm c}$ l'image inverse dans $Y$ du sous-espace des fonctions $\phi \in \mathrm{LA}_{\mathrm{c}}(\qpe, \mathscr{Y})^\Gamma \subseteq \mathrm{LA}_{\mathrm{rc}}(\qpe, \mathscr{Y})^\Gamma$ dont le support est compact dans $\qpe$ ($\phi(p^n \zpe) = 0$ pour tout $|n| \gg 0$).

Rappelons que l'alg�bre de Lie $\mathfrak{g} = \mathfrak{gl}_2$ de $G$ agit sur le module $D \boxtimes \PP^1$ (cf. \cite{Dospinescu}) et l'action de $u^+ = {\matrice 0 1 0 0} \in \mathfrak{g}$ sur $D$ est donn�e par $ u^+ z = tz$. Notons $\Pi^{u^+-\mathrm{fini}}$ l'ensemble des $v \in \Pi$ tu�s par une puissance de $u^+$, qui en est un sous $B$-module. Si $v \in \Pi^{u^+-\mathrm{fini}}$ et $\tilde{v} \in D \boxtimes \PP^1$ en est un rel�vement, la condition $v \in \Pi^{u^+-\mathrm{fini}}$ se traduit donc par l'existence de $N, k \geq 0$ tels que $({\matrice 1 {p^N} 0 1} - 1)^k \tilde{v} \in \Pi^* \otimes \omega_D$.

Notons $D_{\rm dif} = \Ddif(D)$, $D_{\rm dif}^+ = \Ddifp(D)$ et $D_{\rm dif}^- = D_{\rm dif} / D_{\rm dif}^+$ et rappelons que l'on dispose des applications de localisation $\varphi^{-n} \colon D^{]0, r_n]} \to D_{\rm dif}$. L'image de $\Pi^* \otimes \omega_D$ dans $D$ par l'application $\mathrm{Res}_\zp$ est incluse dans $D^{]0, r_{m(D)}]}$ (en effet, elle est incluse dans $D^{]0, r_a]}$ pour un certain $a$, car elle est l'image d'un Fr�chet dans une limite inductive de Fr�chets, et stable par $\psi$ car $\Pi$ l'est par ${\matrice {p^{-1}} 0 0 1}$). Ceci nous permet de poser, pour $n \geq m(D)$ et $N, k$ comme ci-dessus, 
\[ \varphi^{-n}(\mathrm{Res}_\zp( {\matrice {{p^j} a} 0 0 1} \tilde{v})) = \frac{1}{\varphi^{N + j - n}(\sigma_a(T))^k} \varphi^{-n}(\mathrm{Res}_\zp({\matrice {{p^j} a} 0 0 1} ({\matrice 1 {p^N} 0 1} - 1)^k \tilde{v})) \in t^{-k} D_{\mathrm{dif}, n}^+. \]
Si $x \in \qpe$, l'image de $\varphi^{-n}(\mathrm{Res}_\zp( {\matrice {{p^n} x} 0 0 1} \tilde{v}))$ dans $D_{\mathrm{dif}}^-$ ne d�pend ni du choix de $\tilde{v}$ ni du choix de $n$ assez grand (cf. \cite[\S 2.4.2]{ColmezPoids}). On a donc une application bien d�finie $$ x \mapsto \mathscr{K}_v(x) \in \mathrm{LA}_{\rm rc}(\qpe, D_{\rm dif}^-)^\Gamma. $$


%Si $x \in \qpe$, l'image de $\varphi^{-n}(\mathrm{Res}_\zp( {\matrice {{p^n} x} 0 0 1} \tilde{v}))$ dans $D_{\mathrm{dif}}^-$ ne d�pend ni du choix de $\tilde{v}$ (car un autre rel�vement de $v$ dans $D \boxtimes \PP^1$ diff�re de $\tilde{v}$ pour un �l�ment dans $\Pi(D)^* \otimes \omega_\Delta$ et l'image par $\varphi^{-n}$ de sa restriction � $\zp$ appartient � $\varphi^{-n}(D^{]0, r_n]}) \subseteq D_{\rm dif}^+$) ni du choix de $n$ assez grand (car l'action de $\Gamma$ est localement analytique). On a donc une application bien d�finie $$ x \mapsto \mathscr{K}_v(x) \in \mathrm{LA}_{\rm rc}(\qpe, D_{\rm dif}^-)^\Gamma. $$

\begin{prop} [{\cite[Prop. 2.10]{ColmezPoids}}] L'application $\mathscr{K}_v$ ci-dessus d�finit un mod�le de Kirillov pour $\Pi^{u^+ - \text{fini}}$. 
%De plus, l'alg�bre enveloppante $U(\mathfrak{gl})$ de $\mathfrak{gl}_2$ stabilise $\Pi^{u^+-\text{fini}}$ et, si $\lambda \in U(\mathfrak{gl})$, alors $$ \mathscr{K}_{\lambda v}(x) = {\matrice x 0 0 1} \lambda {\matrice {x^{-1}} 0 0 1} \cdot \mathfrak{K}_v(x). $$
\end{prop}

\subsubsection{Dualit� et mod�le de Kirillov} \label{dualKir} Le choix d'un isomorphisme $\wedge^2 D = (\Robba \frac{dT}{1 + T}) \otimes \omega_D$ induit un isomorphisme $\wedge^2 D_{\rm dif} = (L_\infty((t)) dt) \otimes \omega_D$  de $L_\infty((t))$-espaces vectoriels munis d'une action de $\Gamma$ \footnote{L'action de $\Gamma$ sur $dt$ est donn�e par $\sigma_a(dt) = a \, dt$.}. On note 
\[ [\;,\;]_{\rm dif} \colon D_{\rm dif} \times D_{\rm dif} \to L \]
l'accouplement d�fini par la formule $$ [x, y]_{\rm dif} = \text{r�s}_L( (\sigma_{-1} (x) \wedge y) \otimes e_{\omega_D}^\vee ), $$ o� $\text{r�s}_L \colon L_\infty((t)) dt \to L$ est d�fini comme la compos�e de l'application r�sidu $L_\infty((t)) \to L_\infty : \sum_{n \in \Z} a_n t^n \mapsto a_{-1}$ et la trace de Tate normalis�e $T_L := \lim_{n \to +\infty} \frac{1}{[L_n:L]} \mathrm{Tr}_{L_n / L} \colon L_\infty \to L$. L'accouplement $[\;,\;]_{\rm dif}$ satisfait $[\sigma_a x, \sigma_a y]_{\rm dif} = \omega_D(a) [x, y]_{\rm dif}$ et on a donc aussi 
\begin{equation} \label{accdif}
[x, y]_{\rm dif} = \omega_D(-1) \text{r�s}_L( (x  \wedge \sigma_{-1} (y)) \otimes e_{\omega_D}^\vee ).
\end{equation}
Comme $[D_{\rm dif}^+, D_{\rm dif}^+]_{\rm dif} = 0$, l'accouplement $[\;,\;]_{\rm dif}$ induit un accouplement $$ [\;,\;]_{\rm dif} \colon D_{\rm dif}^+ \times D_{\rm dif}^- \to L. $$

Si $\phi \in \mathrm{LA}_{\rm c}(\qpe, D_{\rm dif}^-)^\Gamma$, $z \in \Pi^* \otimes \omega_D$ et $N \gg 0$, la formule (cf. \cite[\S 2.4.3]{ColmezPoids}) 
\begin{equation} \label{formulemagique} [z, \phi] = \sum_{i \in \Z} \omega_D(p^{-i}) [\varphi^{-N} \big( \mathrm{Res}_\zp \big( {\matrice {p^{i + N}} 0 0 1} z \big) \big), \phi(p^i)]_{\rm dif}
\end{equation} est bien d�finie pour $N \geq m(D)$, ne d�pend pas du choix $N$ et d�finit une forme lin�aire continue (car la somme est finie, $\phi$ �tant � support compact) sur $\Pi^* \otimes \omega_D$ et fournit donc un plongement $ \iota \colon \mathrm{LA}_{\rm c}(\qpe, D_{\rm dif}^-)^\Gamma \to \Pi $ caract�ris� par $$ [z, \iota(\phi)]_{\PP^1} = [z, \phi] $$ pour tout $z \in \Pi^* \otimes \omega_D$ (cf. \cite[\S 2.4.3]{ColmezPoids}).

\begin{prop} [{\cite[Prop. $2.13$]{ColmezPoids}}]
L'image de $\iota$ est incluse dans $\Pi^{u^+-\text{fini}}$ et la composition \[ \mathscr{K} \circ \iota \colon \mathrm{LA}_{\rm c}(\qpe, D_{\rm dif}^-)^\Gamma \to \mathrm{LA}_{\rm rc}(\qpe, D_{\rm dif}^-)^\Gamma \] est l'inclusion naturelle.
\end{prop}

Terminons en remarquant (cf. \cite[Rem. 2.14]{ColmezPoids}) que, si $D$ est de Rham non triangulin, alors $$ \Pi(D)^{u^+-\text{fini}} = \mathrm{LA}_{\rm c}(\qpe, D_{\rm dif}^-)^\Gamma. $$ 

\subsubsection{$(\varphi, \Gamma)$-modules de de Rham non triangulins de dimension $2$} \label{phiGammadR}

Rappelons que, d'apr�s \S \ref{eqdiff}, on a une recette permettant de reconstruire, � partir de l'�quation diff�rentielle $\Nrig(D)$ et de la filtration de Hodge, tout $(\varphi, \Gamma)$-module $D \in \Phi \Gamma(\Robba)$ de rang $2$ qui est de Rham � poids de Hodge-Tate $0$ et $k \geq 1$. Pr�cis�ment, on a
\[ D = \{ z \in \Nrig(D): \varphi^{-n}(z) \in L_n[[t]] \otimes \mathscr{L} + t^k L_n[[t]] \otimes \DdR(D) \text{ pour } n \gg 0 \}, \] o� $\mathscr{L} := \mathrm{Fil}^0 \, \DdR(D) \subseteq \DdR(D)$ d�note la droite de la filtration de Hodge de $D$.

%Soient $K$ une extension finie de $\qp$ et $K_0 = K \cap \Q^{\rm nr}_p$ la sous extension maximale non ramifi�e de $K$. Soit $M$ un $(\varphi, \mathscr{G}_\qp)$-module irr�ductible de rang $2$: $M$ est un $L \otimes K_0$-module libre de rang $2$ muni d'une action semi-lin�aire de $\varphi$ et d'une action semi-lin�aire de $\mathscr{G}_\qp$ (agissant � travers le groupe fini $\mathscr{G}_\qp / \mathscr{G}_K$), commutant entre elles et telle que l'action du groupe d'inertie de $\mathscr{G}_\qp$ soit absolument irr�ductible. Soit 
%\[ \Delta = \Delta(M) = (\Robba_K \otimes_{K_0} M)^{\mathrm{Gal}(K_\infty / \qp(\mu_{p^\infty}))}, \]
%qui est un $(\varphi, \Gamma)$-module de rang $2$ sur $\Robba$, de Rham � poids de Hodge-Tate $0$ et $0$.

R�ciproquement, soit $\Delta \in \Phi \Gamma(\Robba)$ de rang $2$, de Rham, non triangulin � poids de Hodge-Tate $0$ et $0$, et notons dor�navant $$ M_{\rm dR} := \DdR(\Delta), $$ qui est un $L$-espace vectoriel de dimension $2$ (sans filtration). On a $\D_{\rm dif, n}^+(\Delta) = L_n[[t]] \otimes M_{\rm dR}$ pour $n \geq m(\Delta)$. Si $k \geq 1$ et $\mathscr{L} \subseteq M_{\rm dR}$ est une droite, on pose 
\[ \Delta_{k, \mathscr{L}} = \{ z \in \Delta: \varphi^{-n}(z) \in L_n[[t]] \otimes \mathscr{L} + t^k L_n[[t]] \otimes M_{\rm dR} \text{ pour } n \gg 0 \}, \]
qui est un $(\varphi, \Gamma)$-module de rang $2$ sur $\Robba$, de Rham � poids de Hodge-Tate $0$ et $k$ tel que $\Nrig(\Delta_{k, \mathscr{L}}) = \Delta$. Tout $(\varphi, \Gamma)$-module $D$ de rang $2$ sur $\Robba$, de Rham, pas triangulin et � poids de Hodge-Tate distincts est (\cite[\S 3.1]{ColmezPoids}), � torsion pr�s par une puissance du caract�re cyclotomique, de la forme $\Delta_{k, \mathscr{L}}$ pour un unique choix de $\Delta$, $k$ et $\mathscr{L}$.

\begin{remarque} \label{dpst}
D'apr�s \cite[Th. V.2.3]{Berger08} (cf. aussi \cite[\S 3.1]{ColmezPoids}), la donn�e de $\Delta = \Nrig(D)$ est �quivalente � la donn�e d'un $(\varphi, N, \mathscr{G}_\qp)$-module $M$ (dit \textit{l'espace de solutions} de $\Delta$, dans la terminologie de \textit{loc. cit.}). Si $D$ est �tale et $V = \mathbf{V}(D) \in \mathrm{Rep}_L \mathscr{G}_\qp$ est la repr�sentation galoisienne associ�e � $D$ par l'�quivalence de cat�gories de la proposition \ref{equivPhiGamma}, alors le $(\varphi, N, \mathscr{G}_\qp)$-module $M$ en question n'est rien d'autre que le module potentiellement semi-stable $\D_{\rm pst}(V)$ de $V$ de la th�orie de Hodge $p$-adique. Le $(\varphi, \Gamma)$-module $\Delta$ est non triangulin si et seulement si l'action de l'inertie de $\mathscr{G}_\qp$ sur $M$ est absolument irr�ductible.
\end{remarque}

%Notons $$ M_{\rm dR} = (K \otimes_{K_0} M)^{\mathscr{G}_\qp}, $$ qui est un $L$-espace vectoriel de dimension $2$. On a $\D_{\rm dif, n}^+(\Delta) = L_n[[t]] \otimes M_{\rm dR}$ pour $n \geq m(\Delta)$. Si $k \geq 1$ et $\mathscr{L} \subseteq M_{\rm dR}$ est une droite, on pose $$ \Delta_{k, \mathscr{L}} = \{ z \in \Delta[1/t]: \varphi^{-n}(z) \in L_n[[t]] \otimes \mathscr{L} + t^k L_n[[t]] \otimes M_{\rm dR} \text{ pour } n \gg 0 \}, $$ qui est un $(\varphi, \Gamma)$-module de rang $2$ sur $\Robba$, de Rham � poids de Hodge-Tate $0$ et $k$.

%Soit $D \in \Phi\Gamma(\Robba)$ de Rham, non-triangulin, de dimension $2$ et � poids de Hodge-Tate $0, k \geq 1$, et notons $\Delta = \Nrig(D)$, $M_{\rm dR} = \DdR(D)$. Comme on l'a d�j� remarqu� (cf. \ref{eqdiff}), le $(\varphi, \Gamma)$-module $D$ est uniquement d�termin� par la donn�e de son deuxi�me poids $k \geq 1$ et de sa filtration de Hodge $\mathscr{L} \subseteq M_{\rm dR}$ par la formule $$ D = \{ z \in \Delta[1/t]: \varphi^{-n}(z) \in L_n[[t]] \otimes \mathscr{L} + t^k L_n[[t]] \otimes M_{\rm dR} \text{ pour } n \gg 0 \}. $$ Notons, pour $\Delta$, $\mathscr{L}$ et $k$ comme ci-dessus, $\Delta_{k, \mathscr{L}}$ le $(\varphi, \Gamma)$-module (de dimension $2$, de Rham et � poids de Hodge-Tate $0, k \geq 1$) que l'on obtient en appliquant cette recette.

\subsubsection{Techniques de changement de poids} \label{Changement}

Nous aurons besoin dans la suite de certains r�sultats de Colmez (\cite{ColmezPoids}) concernant l'�tude des vecteurs localement alg�briques des repr�sentations de $\mathrm{GL}_2(\qp)$ associ�es aux repr�sentations de de Rham par la correspondance de Langlands $p$-adique.

Soit $\Delta \in \Phi \Gamma(\Robba)$ de rang $2$, de Rham, non triangulin � poids de Hodge-Tate nuls comme dans \S \ref{phiGammadR}. Dans \cite{ColmezPoids} (cf., par exemple, \cite[Th. 0.6]{ColmezPoids}), on construit, pour $k \in \Z$, une repr�sentation localement analytique irr�ductible $\Pi(\Delta, k)$ de $G$, � caract�re central $x^k \omega_\Delta$, en tordant convenablement l'action de $G$ sur le module $\Delta \boxtimes \PP^1$. Plus pr�cis�ment, si $a, c \in \qp$ ne sont pas tous les deux nuls, on montre que l'op�rateur $\partial$ sur $\Delta$ s'�tend en un op�rateur sur $\Delta \boxtimes \PP^1$ (\cite[Lem. 3.3(i)]{ColmezPoids}) et que $c \partial + a$ y est bijectif (\cite[Rem. 3.5]{ColmezPoids}) et on d�finit (\cite[Lem. 3.9]{ColmezPoids}), pour n'importe quel entier $k \in \Z$, une action de $G$ sur $\Delta \boxtimes \PP^1$ par la formule \footnote{Dans \cite{ColmezPoids}, la formule donn�e pour l'action de $G$ est $ {\matrice a b c d} \ast_k v = (-c \partial + a)^k \cdot ({\matrice a b c d } \cdot v)$. Le changement de signe ci-dessous est justifi� par les diff�rentes normalisations entre \cite{ColmezPoids} et ce travail (qui reprend plut�t les normalisations de \cite{ColmezPhiGamma}!) pour la repr�sentation $\mathrm{Sym}^{k-1}$. Ce changement �limine certaines nuisances des signes. } $$ {\matrice a b c d} \ast_k v = (c \partial + a)^k \cdot ({\matrice a b c d } \cdot v). $$ Par exemple, si $w = {\matrice 0  1 1 0}$ d�note l'involution, on a \[ w \ast_k v = \partial^k \cdot (w \cdot v). \] On note $(\Delta \boxtimes \PP^1)[k]$ le $G$-module $\Delta \boxtimes \PP^1$ muni de l'action $\ast_k$. Le sous-module $\Pi(\Delta)^* \otimes \omega_\Delta$ de $\Delta \boxtimes \PP^1$ est stable par l'action $\ast_k$ de $G$ (\cite[Corollaire 3.17]{ColmezPoids}) et on note $\Pi(\Delta, k)$ le quotient de $(\Delta \boxtimes \PP^1)[k]$ par $\Pi(\Delta)^* \otimes \omega_\Delta$, qui est une repr�sentation de $G$ de type analytique \footnote{Une repr�sentation de type analytique de $G$ est un espace de type \textrm{LF} (limite inductive d'espaces de Fr�chet), muni d'une action continue de $H$ qui s'�tend en une action de l'alg�bre $\mathscr{D}(H)$ des distributions sur $H$.}.

La repr�sentation $\Pi(\Delta, k)$ v�rifie les propri�t�s suivantes (cf. \cite[Lem. 3.19]{ColmezPoids} pour le premier point et \cite[Th. 3.31]{ColmezPoids} pour les autres):
\begin{itemize}
\item $\Pi(\Delta)^* \otimes \omega_\Delta$, vu comme sous-module de $(\Delta \boxtimes \PP^1)[k]$, est isomorphe � $\Pi(\Delta, -k)^* \otimes \omega_\Delta$, d'o� une suite exacte de $G$-modules $$ 0 \to \Pi(\Delta, -k)^* \otimes \omega_\Delta \to (\Delta \boxtimes \PP^1)[k] \to \Pi(\Delta, k) \to 0. $$
%\item Les injections naturelles $t^k \Delta \boxtimes_{x^k \omega_\Delta} \PP^1 \subseteq D_i \boxtimes_{\delta_{D_i}} \PP^1$ et $\D_i \boxtimes_{\delta_{D_i}} \PP^1$ envoient $\Pi(\Delta, -k)^* \otimes x^k \omega_\Delta$ dans $\Pi(D_i)^* \otimes \delta_{D_i}$ et $\Pi(D_i)^* \otimes \delta_{D_i}$ dans $\Pi(\Delta, k)^* \otimes x^k \omega_\Delta$.
\item Il existe une repr�sentation lisse  $\mathrm{LL}_p(\Delta)$ de $G$, qui ne d�pend ni du poids ni de la filtration, de caract�re central $x \omega_\Delta$, telle que $$ \Pi(\Delta, k)^{\rm alg} = (\mathrm{LL}_p(\Delta) \otimes \mathrm{Sym}^{k - 1}) \otimes M_{\rm dR}, $$ o� $\Pi(\Delta, k)^{\rm alg}$ d�note les vecteurs localement alg�briques de la repr�sentation $\Pi(\Delta, k)$, et $\mathrm{Sym}^{k-1}$ est la puissance sym�trique de la repr�sentation standard de $G$ (cf. remarque \ref{kiralg} ci-dessous).
\item $\Pi(\Delta_{k, \mathscr{L}}) = \Pi(\Delta, k) / ((\mathrm{LL}_p(\Delta) \otimes \mathrm{Sym}^{k - 1}) \otimes \mathscr{L}) $.
\item $\Pi(\Delta_{k, \mathscr{L}})^{\rm alg} = (\mathrm{LL}_p(\Delta) \otimes \mathrm{Sym}^{k - 1}) \otimes (M_{\rm dR} / \mathscr{L})$.
\end{itemize}

\subsubsection{Mod�les de Kirillov} \label{Kirillovtordu}

Les repr�sentations $\Pi(\Delta)$ et $\Pi(\Delta, k)$ sont isomorphes, � torsion par un caract�re pr�s, en tant que $B$-repr�sentations et l'application $v \mapsto \mathscr{K}_v$ de la section pr�c�dente fournit donc un mod�le de Kirillov pour $\Pi(\Delta, k)^{u^+-\text{fini}}$ dans $\mathrm{LA}_{\rm rc}(\qpe, \Delta_{\rm dif}^-)^\Gamma$ muni d'une action de $B$ d�finie par la formule
\begin{equation} \label{actionk}
({\matrice a b 0 d} \ast_k \phi)(x) = a^k \omega_\Delta(d) [\epsilon^{bx / d}] \phi(ax/d).
\end{equation} Ceci induit aussi des mod�les de Kirillov pour $\Pi(\Delta, k)^{\rm alg}$, ainsi que pour $\mathrm{LL}_p(\Delta)$ et $\Pi(D)^{\rm alg}$.

Soient $\mathscr{L}_1, \mathscr{L}_2 \subseteq M_{\rm dR}$ deux droites distinctes et soit $W_{\mathscr{L}_i} = \ker(\Pi(\Delta, k) \to \Pi(\Delta_{k, \mathscr{L}_i})) = (\mathrm{LL}_p(\Delta) \otimes \mathrm{Sym}^{k - 1}) \otimes \mathscr{L}_i \subseteq \Pi(\Delta, k)^{\rm alg}$, qui est une repr�sentation localement alg�brique de $G$. On a $\Pi(\Delta, k)^{\rm alg} = W_{\mathscr{L}_1} \oplus W_{\mathscr{L}_2}$ et $W_{\mathscr{L}_i} = \mathrm{LL}_p(\Delta) \otimes \mathrm{Sym}^{k - 1} \otimes \mathscr{L}_i$. Enfin, on a le diagramme commutatif suivant, o� les fl�ches horizontales sont des injections et les verticales des isomorphismes de $G$-modules, qui met en sc�ne tous les personnages introduits ci-dessus et qui sera tr�s utile pour nos calculs futurs.

\begin{equation} \label{Kirillovdiag}
\xymatrix{
    W_{\mathscr{L}_i} \ar[r] \ar[d]^\wr & \Pi(\Delta, k)^{\rm alg} \ar[r] \ar[d]^\wr & \Pi(\Delta, k)^{u^+-\text{fini}} \ar[d]^\wr \\
    \mathrm{LA}_{\rm c}(\qpe, L^{-k}_\infty \otimes \mathscr{L}_i) ^\Gamma\ar[r] & \mathrm{LA}_{\rm c}(\qpe, L^{-k}_\infty \otimes M_{\rm dR}) ^\Gamma \ar[r] & \mathrm{LA}_{\rm c}(\qpe, \Delta_{\rm dif}^-) ^\Gamma, }
\end{equation}
o� l'on a not� $L^{-k}_\infty = (t^{-k} L_\infty[t] / L_\infty[t])$.

%Remarquons les identit�s: $$ (t^k \Delta)_{\rm dif}^- = \Delta_{\rm dif} / t^k \Delta^+_{\rm dif} = (L_\infty((t)) / t^k L_\infty[[t]]) \otimes M_{\rm dR}, \;\;\; \Delta_{\rm dif}^+ / t^k \Delta^+_{\rm dif} = (L_\infty[t] / t^k) \otimes M_{\rm dR}. $$

\begin{remarque} \label{kiralg} Si $e_1, e_2$ la base canonique de $L^2$ sur $L$, on a $ \mathrm{Sym}^{k - 1} = \oplus_{j = 0}^{k - 1} L \cdot e_1^j e_2^{k - 1 - j}$ et l'action de $G$ est donn�e par $$ {\matrice a b c d} \cdot e_1^j e_2^{k-1-j} = (a e_1 + c e_2)^j (b e_1  + d e_2)^{k-1-j}. $$ En particulier, on a \[ w \cdot e_1^j e_2^{k - 1 - j} = e_1^{k - 1 - j} e_2^j. \] On a (cf. \cite[\S VI.2.5]{ColmezPhiGamma}), pour chaque $i = 1, 2$, un isomorphisme $B$-�quivariant \[ \iota_i \colon \mathrm{LC}_{\rm c}(\qpe, L_\infty)^\Gamma \otimes \mathrm{Sym}^{k - 1} \otimes \det^{-k} \xrightarrow{\sim} \mathrm{LA}_{\rm c}(\qpe, L^{-k}_\infty \otimes \mathscr{L}_i)^\Gamma  , \] \[ \phi \otimes e_1^j e_2^{k - 1 - j} \mapsto [x \mapsto (k - 1 - j)! \phi(x) (xt)^{j-k} \otimes f_i], \] o� $B$ agit sur $\mathrm{LC}_{\rm c}(\qpe, L_\infty)^\Gamma$ via la formule $$ ({\matrice a b 0 d} \cdot \phi)(x) = (x \omega_\Delta)(d) \psi(bx/d) \phi(ax/d) $$ et sur le module de droite par l'action $\ast_k$ d�crite dans la formule \eqref{actionk}. Cet isomorphisme devient un isomorphisme $G$-�quivariant si l'on munit ces espaces d'une action de $G$ via les bijections $\mathrm{LL}_p(\Delta) \xrightarrow{\sim} \mathrm{LC}_{\rm c}(\qpe, L_\infty)^\Gamma$ et $W_{\mathscr{L}_i} \xrightarrow{\sim} \mathrm{LA}_{\rm c}(\qpe, L^{-k}_\infty \otimes \mathscr{L}_i)^\Gamma$.
%\footnote{Observons que $\mathrm{LA}_{\rm c}(\qpe, L^{-k}_\infty \otimes \mathscr{L}_i)^\Gamma = \mathrm{LP}_{\rm c}(\qpe, L^{-k}_\infty \otimes \mathscr{L}_i)^\Gamma$ sont des fonctions localement polynomiales.}.
\end{remarque}

\begin{lemme} \leavevmode \label{propinv} Soient $k, j \in \Z$. Alors
\begin{enumerate}
\item On a $w \cdot \partial = \partial^{-1} \cdot w$ sur $\Delta \boxtimes \PP^1$.
\item $[g \ast_{-k} x, y ]_{\PP^1} = \omega_\Delta(\det \; g) [x, g^{-1} \ast_k y ]_{\PP^1}, $ pour $x, y \in \Delta \boxtimes \PP^1$, $g \in G$.
\end{enumerate}
\end{lemme}

\begin{proof}
Le premier point est \cite[Prop. 3.6]{ColmezPoids}. Le deuxi�me point est une r��criture de  la formule $[g \ast_{-k} x, g \ast_{k} y]_{\PP^1} = [g \cdot x, g \cdot y]_{\PP^1}$ de \cite[Prop. 3.13.(iii)]{ColmezPoids} � l'aide de l'identit� $[g \cdot x, g \cdot y]_{\PP^1} = \omega_\Delta(\det \; g) [x, y]_{\PP^1}$. En effet, on a
\begin{align*}
[ g \ast_{-k} x, y]_{\PP^1} &= [ g \ast_{-k} x, g \ast_k (g^{-1} \ast_k y)]_{\PP^1} \\
&= [g \cdot x, g \cdot (g^{-1} \ast_k y)]_{\PP^1} \\
&= \omega_\Delta(\det \; g) [ x, g^{-1} \ast_{-k} y]_{\PP^1}.  \qedhere \\
\end{align*}
\end{proof}


%%%%% SECTION COMMENT�: A REMPLACER
%\subsection{Une �quation fonctionnelle locale: pr�liminaires}
%
%Cette section contient les calculs techniques qui sont � la base des d�monstrations des r�sultats principaux de ce chapitre (th�or�mes \ref{eqfonct1} et \ref{eqfonct1b}).
%
%\subsubsection{Vecteurs propres de $\psi$}
%
%\begin{lemme}  [{\cite[Remarque V.14]{ColmezDosp}}]
%Si $D \in \Phi\Gamma^{\text{�t}}(\Robba)$ et $\alpha \in \mathscr{O}_L^\times$, l'application $\mathrm{Res}_{\zp}$ induit un isomorphisme $$ (\Pi(D)^* \otimes \omega_D)^{{\matrice p 0 0 1} = \alpha^{-1}} \to D^{\psi = \alpha}. $$
%\end{lemme}
%
%%\begin{proof}
%%Notons \footnote{La preuve du lemme pour le cas �tale se trouve dans \cite{ColmezDosp}, rem. V.14. On donne quand m�me l'argument ci-dessous.} $D_{0} \in \Phi \Gamma^{\text{�t}}(\E)$ le $(\varphi, \Gamma)$-module correspondant � $D$, i.e $(D_0)_{\rm rig} = D$. Si $z \in D_0^{\psi = \alpha}$, l'�l�ment $(z)_{n \geq 0}$ appartient � $(D_0^\natural \boxtimes \qp)^{{\matrice p 0 0 1} = \alpha^{-1}}$ et, par \cite{ColmezMirabolique}, prop. II.5.6, l'application $x \mapsto \mathrm{Res}_\zp(x)$ d�finit un isomorphisme $$ (D_0^\sharp \boxtimes \qp)^{{\matrice p 0 0 1} = \alpha^{-1}} = (D_0^\natural)^{\psi = \alpha} \to D_0^{\psi = \alpha}. $$ Si $D_0$ est absolument irr�ductible, alors $D_0^\natural = D_0^\sharp$ et, par \cite{ColmezDosp}, prop. III.23 (voir ainsi la remarque III.8), l'application $x \mapsto (\mathrm{Res}_\zp({\matrice {p^n} 0 0 1} x))_{n \geq 0}$ induit un isomorphisme $$ D_0^\natural \boxtimes \PP^1 \to D_0^\natural \boxtimes \qp, $$  ce qui permet conclure que $\mathrm{Res}_\zp$ induit un isomorphisme $$ (\Pi(D_0)^* \otimes \omega_D)^{{\matrice p 0 0 1} = \alpha} \to D_0^{\psi = \alpha}. $$
%%
%%Par \cite{ColmezPhiGamma}, prop. $V.1.18$, on a $D^{\psi = 1} = \Robba^+(\Gamma) \otimes_\Lambda D_{0}^{\psi = 1}, $ ce qui implique la surjectivit� de la restriction $\mathrm{Res}_\zp: (\Pi(\Delta)^* \otimes \omega_\Delta)^{{\matrice p 0 0 1} = \alpha^{-1}} \to D^{\psi = \alpha}$. Comme elle est aussi injective (cf. par exemple \cite{ColmezPoids}, prop. 2.20), on en d�duit qu'elle est un isomorphisme, ce qui finit la d�monstration.
%%\end{proof}
%
%\begin{lemme} \label{psidist}
%Soit $\Delta \in \Phi\Gamma(\Robba)$ irr�ductible, de rang $2$ et de Rham. Alors, si $v_p(\omega_\Delta(p)) \in 2 \cdot \Z$, $\alpha \in \mathscr{O}_L^\times$ et $r \in \Z$, l'application $\mathrm{Res}_{\zp}$ induit un isomorphisme $$ (\Pi(\Delta)^* \otimes \omega_\Delta)^{{\matrice p 0 0 1} = \alpha^{-1} p^{-r}} \to \Delta^{\psi = \alpha p^r}. $$
%\end{lemme}
%
%\begin{proof}
%Remarquons d'abord que, si $\Delta$ est irr�ductible, l'op�rateur $\partial^r$ induit (cf. \cite[Prop. 3.16, Prop. 3.6]{ColmezPoids}) des bijections $$ (\Pi(\Delta)^* \otimes \omega_\Delta)^{{\matrice p 0 0 1} = \alpha^{-1}} \to (\Pi(\Delta)^* \otimes \omega_\Delta)^{{\matrice p 0 0 1} = \alpha^{-1} p^{-r}} $$ et des bijections \[ \Delta^{\psi = \alpha} \to \Delta^{\psi = \alpha p^r}, \] car $\partial$ est bijective sur $\Delta$ (cf. \cite[Remarque 1.4]{ColmezPoids}, ainsi que \cite[\S 3.2]{ColmezPoids}) et on a la relation $\psi \circ \partial = p \cdot \partial \circ \psi$.
%%montre le r�sultat quand $\Delta$ est �tale, car l'op�rateur $\partial$ commute � la restriction (\cite{ColmezPoids}, Lem. 1.5).
%
%Soit $\delta$ tel que $\Delta \otimes \delta$ est �tale. On sait alors que $\omega_{\Delta(\delta)} = \omega_\Delta \otimes \delta^2$ est unitaire et donc $v_p(\delta(p)) = - \frac{1}{2} v_p(\omega_\Delta(p)) \in \Z$. Alors $\Pi(\Delta) = \Pi(\Delta(\delta)) \otimes \delta^{-1}$ et $\Pi(\Delta)^* = \Pi(\Delta(\delta))^* \otimes \delta$, d'o� on d�duit que \[ (\Pi(\Delta)^* \otimes \omega_\Delta)^{{\matrice p 0 0 1} = \beta^{-1}} = (\Pi(\Delta(\delta))^* \otimes \omega_{\Delta(\delta)} \otimes \delta^{-1})^{{\matrice p 0 0 1} = \beta^{-1}} = (\Pi(\Delta(\delta))^* \otimes \omega_{\Delta(\delta)})^{{\matrice p 0 0 1} = \beta^{-1} \delta(p)} \otimes \delta^{-1}, \] pour tout $\beta \in L$. En posant $\beta = \beta' \cdot p^{v_p(\delta(p))}$, $\beta' \in \mathscr{O}_L^\times$ (de sorte que $\beta^{-1} \delta(p) \in \mathscr{O}_L^\times$) dans l'�galit� ci-dessus, on d�duit du lemme pr�c�dent que $\mathrm{Res}_\zp$ induit un isomorphisme \[ (\Pi(\Delta)^* \otimes \omega_\Delta)^{{\matrice p 0 0 1} = \beta^{-1}} \to \Delta^{\psi = \beta}, \] pour tout $\beta = \beta' \cdot p^{v_p(\delta(p))}$, $\beta' \in \mathscr{O}_L^\times$. Enfin, comme $v_p(\delta(p)) \in \Z$, on conclut en posant $\beta' = \alpha$ et en appliquant $\partial^{-v_p(\delta(p)) + r}$ des deux c�t�s.
%\end{proof}
%
%%\begin{remarque}
%%La condition du lemme est vrai d�s que l'on sait qu'il existe $D \in \Phi\Gamma^{\text{�t}}(\Robba)$ tel que $\Delta = \Nrig(D)$, ce qui est toujours le cas que l'on consid�re dans ce texte.
%%\end{remarque}
%
%%Si $D \in \Phi\Gamma^{\text{�t}}(\E)$ et si $z \in D^{\psi = 1}$, l'�l�ment $(z)_{n \geq 0}$ appartient � $(D^\natural \boxtimes \qp)^{{\matrice p 0 0 1} = 1}$ et l'application $x \mapsto \mathrm{Res}_\zp(x)$ d�finit un isomorphisme (cf. \cite{ColmezDosp}, prop. III.23 ainsi que ainsi que la remarque III.8) $$ (D^\natural \boxtimes \qp)^{{\matrice p 0 0 1} = 1} \to D^{\psi = 1}. $$ Si $D$ est absolument irr�ductible, alors $D^\natural = D^\sharp$ et l'application $x \mapsto (\mathrm{Res}_\zp({\matrice {p^n} 0 0 1} x))_{n \geq 0}$ induit un isomorphisme $$ D^\natural \boxtimes \PP^1 \to D^\natural \boxtimes \qp. $$ On note $\tilde{z} \in D^\natural \boxtimes_{\omega_D} \PP^1$ la pr�image de $z$ par la composition de ces isomorphismes.
%%
%%Si $D_{\rm rig} \in \Phi\Gamma^{\text{�t}}(\Robba)$ correspond � $D$, on utilise l'identit� $D_{\rm rig}^{\psi = 1} = D^{\psi = 1} \otimes_{\zp[[\Gamma]]} \mathscr{D}(\Gamma)$ et l'action de l'alg�bre de distributions sur $\Pi(D_{\rm rig})^*$ pour relever un �l�ment $z \in D_{\rm rig}^{\psi = 1}$ en un �l�ment $\tilde{z} \in (\Pi(D_{\rm rig})^*)^{{\matrice p 0 0 1} = 1}.$ Plus pr�cis�ment, si $z = \sum z_i \otimes \lambda_i$, $z_i \in D^{\psi = 1}, \lambda_i \in \mathscr{D}(\Gamma)$, on a $\tilde{z} = \sum \tilde{z}_i \otimes \lambda_i$.
%
%\subsubsection{Th�orie d'Iwasawa tordue}
%
%Soit $\Delta \in \Phi \Gamma(\Robba)$ de Rham. Si $\alpha \in L^\times$ et $z \in \Delta^{\psi = \alpha}$, le diagramme commutatif
%\[ \xymatrixcolsep{4pc} \xymatrix{
%    \Delta^{]0, r_{n+1}]} \ar[d]_{\psi} \ar[r]^{\varphi^{-(n+1)}} & L_{n+1}[[t]] \otimes \DdR(\Delta) \ar[d]^{p^{-1} \mathrm{Tr}_{L_{n+1} / L_n}} \\
%    \Delta^{]0, r_n]} \ar[r]^{\varphi^{-n}} & L_n[[t]] \otimes \DdR(\Delta), }
%    \]
%o� $n \geq m(\Delta)$, montre que les valeurs 
%\[ \alpha^{-m} p^{-m} \, \mathrm{Tr}_{L_m / L}([\varphi^{-m} z]_0) \]
%ne d�pendent pas de $m$ assez grand et, pour $\eta \colon \zpe \to L^\times$ un caract�re localement constant et $j > 0$, on pose 
%\begin{equation} \label{ssss}
%\exp^* (\int_\Gamma \chi^{-j} \cdot \mu_z) := \lim_{m \to +\infty} \alpha^{-m} p^{-m} \, \mathrm{Tr}_{L_m / L}([\varphi^{-m} (z \otimes e_{-j})]_0) \in \DdR(\Delta(\chi^{-j})) = M_{\rm dR} \otimes \mathbf{e}^{\rm dR}_{-j}.
%\end{equation}
%Observons que $\varphi^{-m} (z \otimes e_{-j}) = \varphi^{-m} z \otimes e_{-j}$ et que, si $\varphi^{-n} z = \sum_{l \geq 0} a_l t^l$, $a_l \in L_m \otimes \DdR(\Delta)$, alors \[ [\varphi^{-m} z \otimes e_{-j}]_0 = a_j \otimes t^j e_{-j} = a_j \otimes \mathbf{e}^{\rm dR}_{-j} \in L_m \otimes M_{\rm dR} \otimes \mathbf{e}^{\rm dR}_{-j}. \] De m�me, on pose
%\small{\begin{equation} \label{ssss2}
%\exp^{-1}(\int_\Gamma \chi^j \cdot \mu_z) := (-1)^j (j-1)! \lim_{m \to +\infty} \alpha^{-m} p^{-m} \, \mathrm{Tr}_{L_m / L} ( [\varphi^{-m} (\partial^{-j} z \otimes t^{-j} e_j)]_0) \in \DdR(\Delta(\chi^j)) = M_{\rm dR} \otimes \mathbf{e}^{\rm dR}_{j},
%\end{equation} } \normalsize
%o�, si $\varphi^{-m} (\partial^{-j} z) = \sum_{l \geq 0} b_l t^l$, $b_l \in L_m \otimes \DdR(\Delta)$, on a \[ [ \varphi^{-m}(\partial^{-j} z \otimes t^{-j} e_j)]_0 = p^{mj} \, b_0 \otimes \mathbf{e}^{\rm dR}_j \in L_m \otimes M_{\rm dR} \otimes \mathbf{e}^{\rm dR}_j . \]
%
%\begin{remarque}
%Remarquons que les formules \eqref{ssss} et \eqref{ssss2} sont des d�finitions, et leurs membres de gauche ne sont que des notations. Toutefois, si $\alpha = 1$, ils ont alors un sens (en effet, $\mu_z = (\mathrm{Exp}^*)^{-1} z \in H^1_{\rm Iw}(D)$, on dispose des applications de sp�cialisation $\int_\Gamma \chi^j \cdot \mu_z \in H^1_{\varphi, \gamma}(D(\chi^j))$ et des applications exponentielle duale $\exp^*$ et, au moins quand $j$ est assez grand, un inverse de l'application exponentielle), et les d�finitions sont coh�rentes, au sens que l'on a une �galit� entre les deux membres. En effet, pour l'�quation \eqref{ssss}, ceci suit de la loi de r�ciprocit� explicite de Cherbonnier-Colmez (cf. \cite[Th. IV.2.1]{ColmezIw2} ou \cite[Th. II.6]{Berger03} ou \cite[Th. 3.10(2)]{Nakamura}) et, dans le cas de l'�quation \eqref{ssss2}, il suit de \cite[Th. II.3]{Berger03} ou \cite[Th. 3.10(1)]{Nakamura}.
%\end{remarque}
%
%\subsubsection{Dualit� et mod�le de Kirillov (encore)}
%
%Soit $\Delta \in \Phi \Gamma(\Robba)$ comme dans \S \ref{phiGammadR}. Consid�rons dans la suite le mod�le de Kirillov de $\Pi(\Delta)^{u^+-\text{fini}}$ � valeurs dans $\mathrm{LA}_{\rm c}(\qpe, \Delta_{\rm dif}^+)^\Gamma$. Si $\alpha = \alpha_0 p^r \in L^\times$, $\alpha_0 \in \mathscr{O}_L^\times$, $r \in \Z$, et si $z \in \Delta^{\psi = \alpha}$, l'image de $z$ par l'inverse de l'isomorphisme du lemme \ref{psidist} est un �l�ment de $(\Pi(\Delta)^* \otimes \omega_\Delta)^{{\matrice p 0 0 1} = \alpha^{-1}}$ que l'on note $\tilde{z}$. On a donc $\mathrm{Res}_\zp({\matrice {p^{i + n}} 0 0 1} \tilde{z}) = \mathrm{Res}_\zp(\alpha^{-(i+n)} \tilde{z}) = \alpha^{-(i+n)} z$ et, si $\phi \in \mathrm{LA}_{\rm c}(\qpe, \Delta_{\rm dif}^-)^\Gamma$, la formule \eqref{formulemagique} pour l'accouplement prend la forme tr�s simple suivante:
%\[ [\tilde{z}, \phi] = \sum_{i \in \Z} \omega_\Delta(p^{-i}) \alpha^{-(i+n)} [\varphi^{-n}(z), \phi(p^i) )]_{\rm dif}, \;\;\; (n \gg 0) \]
%Plus g�n�ralement, si $j \in \Z$, on peut appliquer $\partial^{\j}$ � $\tilde{z}$ pour obtenir un �l�ment dans $(\Pi(\Delta)^* \otimes \omega_\Delta)^{{\matrice p 0 0 1} = \alpha^{-1}p^{-j}}$ et on a
%\begin{equation} \label{formulemagique2}
%[\partial^{\j} \tilde{z}, \phi] = \sum_{i \in \Z} \omega_\Delta(p^{-i}) \alpha^{-(i + n)} p^{-j (i + n)} [\varphi^{-n} \partial^{\j} z, \phi(p^i) )]_{\rm dif}.
%\end{equation}
%
%Rappelons que l'on a fix� une base $f_1, f_2$ de $M_{\rm dR}$. Les �l�ments $1 \otimes f_1, 1 \otimes f_2$ forment une base du $L_\infty((t))$-espace vectoriel $\Delta_{\rm dif} = L_\infty((t)) \otimes M_{\rm dR}$ et l'on identifie $(1 \otimes f_1) \wedge (1 \otimes f_2) = \Omega^{-1} dt \otimes e_{\omega_\Delta}$ sous l'isomorphisme $\wedge^2 D_{\rm dif} = (L_\infty((t)) dt) \otimes \omega_D$.

\subsection{Une �quation fonctionnelle locale: pr�liminaires}

Cette section contient les calculs techniques qui sont � la base des d�monstrations des r�sultats principaux de cet article (th�or�mes \ref{eqfonct1} et \ref{eqfonct1b}).

\subsubsection{Vecteurs propres de $\psi$} \label{psiinvsec}

% On ne l'utilise pas...
%\begin{lemme} \label{vectprop1}
%Si $D \in \Phi \Gamma^{\text{�t}}(\Robba)$ n'est pas triangulin et $\alpha \in \mathscr{O}_L^\times$, l'application $\mathrm{Res}_{\zp}$ induit un isomorphisme $$ (\Pi(D)^* \otimes \omega_D)^{{\matrice p 0 0 1} = \alpha^{-1}} \to D^{\psi = \alpha}. $$
%\end{lemme}
%
%%\begin{proof}
%%Si $D_0 \in \Phi \Gamma^{\text{�t}}(\E)$, alors, par \cite[Remarque V.14]{ColmezDosp}, on a... Le r�sultat suit alors du fait que $\Pi(D)^* = \Robba \otimes_{\Lambda} \Pi(D_0)^*$ et $D^{\psi = 1} = D_0^{\psi = 1} \otimes_\Lambda \Robba(\Gamma)$.
%%\end{proof}
%
%\begin{proof}
%La preuve du lemme pour le cas �tale se trouve dans \cite[Rem. V.14]{ColmezDosp}. On esquisse leur argument: Notons $D_{0} \in \Phi \Gamma^{\text{�t}}(\E)$ le $(\varphi, \Gamma)$-module correspondant � $D$ par la correspondance de la proposition \ref{equivPhiGamma}. Si $z \in D_0^{\psi = 1}$, l'�l�ment $(z)_{n \geq 0}$ appartient \footnote{Rappelons (\cite[\S III.1.1]{ColmezMirabolique}) que, pour un $\mathscr{O}_L$-module topologique $M$ muni d'une action continue du sous-groupe $P(\qp) := {\matrice * * 0 1}$ de $\mathrm{GL}_2(\qp)$ et d'un op�rateur $\mathscr{O}_L$-lin�aire continu $\psi$, surjectif, commutant � l'action de ${\matrice \zpe 0 0 1}$ et tel que $\psi( {\matrice 1 {pb} 0 1} z) = {\matrice 1 b 0 1} \psi(z)$, $b \in \zp$ et $z \in M$, on d�finit $M \boxtimes \qp$ comme l'ensemble des suites $(x^{(n)})_{n \in \N}$ telles que $\psi( x^{(n + 1)}) = x^{(n)}$, $n \in \N$. Le module $M \boxtimes \qp$ est muni (\cite[Prop. III.1.1]{ColmezMirabolique}) d'une action de $P(\qp)$ et on a ${\matrice p 0 0 1} \cdot (x^{(n)})_{n \in \N} = (x^{(n + 1)})_{n \in \N}$. } � $(D_0^\natural \boxtimes \qp)^{{\matrice p 0 0 1} = 1}$. Si $D_0$ est absolument irr�ductible, alors $D_0^\natural = D_0^\sharp$ (\cite[Corollaire II.5.21]{ColmezMirabolique}) et, par \cite[Prop. II.5.6]{ColmezMirabolique} (en posant $P(X) = X - 1$), l'application $x \mapsto \mathrm{Res}_\zp(x)$ d�finit un isomorphisme
%\[ (D_0^\natural \boxtimes \qp)^{{\matrice p 0 0 1} = 1} = (D_0^\natural)^{\psi = 1} \to D_0^{\psi = 1}. \]
%Enfin, par \cite[Prop. III.23]{ColmezDosp} (voir ainsi \cite[Rem. III.8]{ColmezDosp}), l'application $x \mapsto (\mathrm{Res}_\zp({\matrice {p^n} 0 0 1} x))_{n \geq 0}$ induit un isomorphisme
%\[ D_0^\natural \boxtimes \PP^1 \xrightarrow{\sim} D_0^\natural \boxtimes \qp, \]
%ce qui implique que $\mathrm{Res}_\zp$ induit un isomorphisme
%\begin{equation} \label{asdasdasd}
%(\Pi(D_0)^* \otimes \omega_{D_0})^{{\matrice p 0 0 1} = 1} \xrightarrow{\sim} D_0^{\psi = 1}.
%\end{equation}
%
%Par \cite[Prop. $V.1.18$]{ColmezPhiGamma} on a $D^{\psi = 1} = \Robba^+(\Gamma) \otimes_\Lambda D_{0}^{\psi = 1}, $ ce qui implique, en tensorisant l'isomorphisme de l'�quation \eqref{asdasdasd} ci-dessus par $\Robba^+(\Gamma)$, la surjectivit� de la restriction $\mathrm{Res}_\zp \colon (\Pi(D)^* \otimes \omega_D)^{{\matrice p 0 0 1} = 1} \to D^{\psi = 1}$. Comme elle est aussi injective (cf. par exemple \cite[Prop. 2.20]{ColmezPoids}), on en d�duit qu'elle est un isomorphisme, ce qui montre le r�sultat quand $\alpha = 1$.
%
%On conclut le r�sultat en appliquant le cas $\alpha = 1$ � $D(\delta)$, o� $\delta$ est le caract�re non ramifi� $\delta \colon \qpe \to \mathscr{O}_L^\times$ satisfaisant $\delta(p) = \alpha$.
%\end{proof}

%\begin{lemme} \label{psidist}
%Soit $D \in \Phi \Gamma^{\text{�t}}(\Robba)$ de rang $2$, non triangulin, de Rham � poids de Hodge-Tate $0$ et $k \geq 1$ avec $k$ un nombre \textit{pair} et soit $\Delta = \Nrig(D)$. Alors, pour tout $\alpha \in L^\times$ tel que $v_p(\alpha) \in \Z$, l'application $\mathrm{Res}_{\zp}$ induit un isomorphisme $$ (\Pi(\Delta)^* \otimes \omega_\Delta)^{{\matrice p 0 0 1} = \alpha^{-1}} \to \Delta^{\psi = \alpha}. $$
%\end{lemme}
%
%\begin{proof}
%Remarquons d'abord que, si $\Delta$ est irr�ductible, l'op�rateur $\partial^r$, $r \in \Z$, induit (cf. \cite[Prop. 3.16 et Prop. 3.6]{ColmezPoids}) des bijections
%\[ (\Pi(\Delta)^* \otimes \omega_\Delta)^{{\matrice p 0 0 1} = \alpha^{-1}} \to (\Pi(\Delta)^* \otimes \omega_\Delta)^{{\matrice p 0 0 1} = \alpha^{-1} p^{-r}} \]
%et des bijections
%\[ \Delta^{\psi = \alpha} \to \Delta^{\psi = \alpha p^r}, \] car $\partial$ est bijective sur $\Delta$ (cf. \cite[Rem. 1.4]{ColmezPoids}, ainsi que \cite[\S 3.2]{ColmezPoids}) et on a la relation $\psi \circ \partial = p \cdot \partial \circ \psi$. Ceci permet de supposer $\alpha \in \mathscr{O}_L^\times$.
%%montre le r�sultat quand $\Delta$ est �tale, car l'op�rateur $\partial$ commute � la restriction (\cite{ColmezPoids}, Lem. 1.5).
%
%Soit $\delta \colon \qpe \to L^\times$ tel que $\Delta \otimes \delta$ est �tale. On sait alors que $\omega_{\Delta(\delta)} = \omega_\Delta \otimes \delta^2$ est unitaire. Comme $\omega_\Delta = \omega_D x^{-k}$ et $D$ est �tale, alors $v_p(\omega_\Delta(p)) = -k \in 2 \cdot \Z$. On en d�duit que $v_p(\delta(p)) = - \frac{1}{2} v_p(\omega_\Delta(p)) \in \Z$. Alors $\Pi(\Delta) = \Pi(\Delta(\delta)) \otimes \delta^{-1}$ et $\Pi(\Delta)^* = \Pi(\Delta(\delta))^* \otimes \delta$, d'o� on d�duit que \[ (\Pi(\Delta)^* \otimes \omega_\Delta)^{{\matrice p 0 0 1} = \beta^{-1}} = (\Pi(\Delta(\delta))^* \otimes \omega_{\Delta(\delta)} \otimes \delta^{-1})^{{\matrice p 0 0 1} = \beta^{-1}} = (\Pi(\Delta(\delta))^* \otimes \omega_{\Delta(\delta)})^{{\matrice p 0 0 1} = \beta^{-1} \delta(p)} \otimes \delta^{-1}, \] pour tout $\beta \in L$.
%
%En posant $\beta = \beta' \cdot p^{v_p(\delta(p))}$, $\beta' \in \mathscr{O}_L^\times$ (de sorte que $\beta^{-1} \delta(p) \in \mathscr{O}_L^\times$) dans l'�galit� ci-dessus, on d�duit du lemme \ref{vectprop1} que $\mathrm{Res}_\zp$ induit un isomorphisme \[ (\Pi(\Delta)^* \otimes \omega_\Delta)^{{\matrice p 0 0 1} = \beta^{-1}} \to \Delta^{\psi = \beta}, \] pour tout $\beta = \beta' \cdot p^{v_p(\delta(p))}$, $\beta' \in \mathscr{O}_L^\times$. Enfin, comme $v_p(\delta(p)) \in \Z$, on conclut en posant $\beta' = \alpha$ et en appliquant $\partial^{-v_p(\delta(p))}$ des deux c�t�s.
%\end{proof}
%
%\begin{remarque}
%Il serait int�ressant et utile de montrer le lemme \ref{psidist} sans l'hypoth�se de parit� sur les poids de Hodge-Tate, i.e. que, pour $D \in \Phi \Gamma(\Robba)$ de rang $2$, de Rham, non triangulin et $\alpha \in L^\times$, on a $(\Pi(D) \otimes \omega_D)^{{\matrice p 0 0 1} = 1} = D^{\psi = 1}$.
%\end{remarque}

Dans toute cette sous-section, on consid�re $D \in \Phi \Gamma^{\text{�t}}(\Robba)$ de rang $2$, de Rham non triangulin et � poids de Hodge-Tate $0$ et $k \geq 1$ et on note $\Delta = \Nrig(D)$. On aura besoin d'�tablir le lien entre $\Delta^{\psi = 1}$ et la repr�sentation $\Pi(\Delta)^* \otimes \omega_\Delta$.

\begin{lemme} \label{dualiteinv}
L'image de $(1 - \varphi) \Delta^{\psi = 1}$ par l'involution $w_\Delta$ est �gale � $(1 - \omega_\Delta(p)^{-1} \varphi) \Delta^{\psi = \omega_\Delta(p)^{-1}}$ \footnote{Ce dernier module s'identifiant � $(1 - \varphi) \check{\Delta}^{\psi = 1}$ via l'identification entre $\check{\Delta}$ et $\Delta \otimes \omega_\Delta^{-1}$.}.
\end{lemme}

\begin{proof}
Les ingr�dients pour d�montrer ce lemme se trouvent d�j� dans \cite[\S VI]{ColmezPhiGamma}, o� on renvoie le lecteur pour les d�tails techniques des r�sultats cit�s. Rappelons d'abord que l'on a (cf. \S \ref{eqdiff}) des inclusions $t^k \Delta \subseteq D \subseteq \Delta$.

Soit $\nabla_k = \prod_{j = 0}^{k - 1} (\nabla - j)$, o� $\nabla$ est l'op�rateur introduit dans \S \ref{generalites}. Cet op�rateur joue un grand r�le dans l'�tude des vecteurs localement alg�briques de la repr�sentation de $\mathrm{GL}_2(\qp)$ associ�e � $D$ dans \cite[\S VI]{ColmezPhiGamma} et donc dans la preuve de la compatibilit� entre la correspondance de Langlands classique et $p$-adique. On a les propri�t�s suivantes:
\begin{itemize}
\item $w_D \circ \nabla_k = (-1)^k \nabla_k \circ w_D$ sur $D \boxtimes \zpe$ (\cite[Lem. VI.4.3(ii)]{ColmezPhiGamma}).
\item D'apr�s \cite[Lem. VI.6.14]{ColmezPhiGamma}. l'op�rateur $\nabla_k$ induit des isomorphismes $(1 - \varphi) \Delta^{\psi = 1} \xrightarrow{\sim} (1 - \varphi) (t^k \Delta)^{\psi = 1}$ et $(1 - \omega_D(p)^{-1} \varphi) \Delta^{\psi = \omega_D(p)^{-1}} \xrightarrow{\sim} (1 - \varphi) (t^k \Delta)^{\psi = \omega_D(p)^{-1}}$. Notons que les modules $(1 - \varphi) (t^k \Delta)^{\psi = 1}$ et $(1 - \varphi) (t^k \Delta)^{\psi = \omega_D(p)^{-1}}$ sont inclus dans $D^{\psi = 0}$.
\item On a $w_D((1 - \varphi) (t^k \Delta)^{\psi = 1}) = (1 - \varphi) (t^k \Delta)^{\psi = \omega_D(p)^{-1}}$ (\cite[Th. VI.6.8 et Lem. VI.6.14]{ColmezPhiGamma}).
\item Dans les notations de \S \ref{Changement}, on a $D = \Delta_{k, \mathscr{L}}$, o� $\mathscr{L} = \mathrm{Fil}^0 \, \DdR(D)$, et on sait que $w_\Delta = \partial^k \circ w_D$, $\omega_D = \omega_\Delta x^k$, et que $\partial^k$ induit (car il est bijectif sur $\Delta$, cf. \cite[\S 3.2]{ColmezPoids}) un isomorphisme
\[ (1 - \omega_D(p)^{-1} \varphi) \Delta^{\psi = \delta_D(p)^{-1}} \xrightarrow{\sim} (1 - \omega_D(p)^{-1} p^k \varphi) \Delta^{\psi = \omega_D(p)^{-1} p^k} = (1 - \omega_\Delta(p)^{-1} \varphi) \Delta^{\psi = \omega_\Delta(p)^{-1}}. \]
\end{itemize}

Si $z \in (1 - \varphi) \Delta^{\psi = 1}$, l'action de $w_\Delta$ sur $z$ est donc donn�e par la compos�e
\begin{align*} 
w_\Delta \colon (1 - \varphi) \Delta^{\psi = 1} &\xrightarrow{(-1)^k \nabla_k} (1 - \varphi) (t^k \Delta)^{\psi = 1} \xrightarrow{w_D} (1 - \omega_D(p)^{-1} \varphi) (t^k \Delta)^{\psi = \omega_D(p)^{-1}} \\
&\xrightarrow{\nabla_k^{-1}} (1 - \omega_D(p)^{-1} \varphi) \Delta^{\psi = \omega_D(p)^{-1}} \xrightarrow{\partial^k} (1 - \omega_\Delta(p)^{-1} \varphi) \Delta^{\psi = \omega_\Delta(p)^{-1}},
\end{align*}
ce qui permet de conclure.
%Soient \[ \mathscr{C}_{\rm e} = \nabla_k (1 - \varphi) \nabla^{\psi = 1}; \;\;\; \mathscr{C}'_{\rm e} = \nabla_k (1 - \omega_D(p)^{-1} \varphi) \Delta^{\psi = \omega_D(p)^{-1}}, \] des sous-modules de $\nabla^{\psi = 1}$. 
\end{proof}

\begin{lemme} \label{phiinv2}
On a $\Pi(D)^{{\matrice p 0 0 1} = p^{-r}} = 0$ pour tout $r > 0$.
\end{lemme}

\begin{proof}
Par dualit�, il suffit de montrer que l'adh�rence de $({\matrice p 0 0 1} - p^{-r}) (\Pi(D)^* \otimes \omega_D)$ dans $\Pi(D)^* \otimes \omega_D$ est �gal au module $\Pi(D)^* \otimes \omega_D$ tout entier. Il suffit donc de montrer que $\Pi(D)^* \otimes \omega_D$ contient un sous-espace dense sur lequel ${\matrice p 0 0 1} - p^{-r}$ agit de mani�re surjective.

Consid�rons (cf. \cite[\S V.1.2]{ColmezPhiGamma}) le module \footnote{Soit $\widetilde{\mathbf{E}}_\qp^+$ le compl�t� de la cl�ture radicielle de $\F_p((T))$, $\widetilde{\mathbf{A}}_\qp^+ = W(\widetilde{\mathbf{E}}_\qp^+)$ son anneau des vecteurs de Witt et posons $\widetilde{\mathscr{O}}^+_\E = \mathscr{O}_L \cdot \widetilde{\mathbf{A}}^+_\qp$. L'anneau $\widetilde{\mathbf{E}}_\qp^+$ est muni naturellement d'actions de $\varphi$ et $\Gamma$ commutant entre elles (et co�ncidant avec celles sur $\F_p((T))$ inclus dans le corps r�siduel $k_L((T))$ de $\mathscr{O}_\E$), qui s'�tendent de mani�re unique � $\widetilde{\mathbf{A}}_\qp^+$ et par $\mathscr{O}_L$-lin�arit� � $\widetilde{\mathscr{O}}^+_\E$, l'action de $\varphi$ devenant bijective, et $\mathscr{O}_\E$ s'identifie naturellement au sous-anneau de $\widetilde{\mathscr{O}}^+_\E$ engendr� topologiquement par $[1 + T] - 1$ (que l'on identifie � $T \in \mathscr{O}_\E$) et son inverse. De la m�me mani�re que l'on obtient $\Robba$ � partir de $\mathscr{O}^+_\E = \mathscr{O}_L[[T]]$ ($\Robba = \cup_{b \geq 1} \cap_{a \geq b} \E^{[r_a, r_b]}$, o� $\E^{[r_a, r_b]} = \mathscr{O}_\E^+[\frac{T^{n_a}}{p}, \frac{p}{T^{n_b}}]^\wedge[1/p]$, o� $n_a = r_a^{-1}, n_b = r_b^{-1}$ et la compl�tion est prise par rapport � la topologie $p$-adique, cf. \S \ref{anneaux} ou bien \cite[\S I.1.2]{ColmezPhiGamma}), l'on d�finit l'anneau $\widetilde{\Robba}$ � partir de $\widetilde{\mathscr{O}}^+_\E$. L'int�r�t de ces objets r�side dans le fait qu'� partir d'eux l'on peut construire des objets o� $\varphi$ d�vient inversible. cf. \cite[\S V.1.1]{ColmezPhiGamma} pour plus de d�tails et des exemples.} \footnote{Un ensemble $X$ dans un espace vectoriel topologique sur $L$ est born� si pour tout voisinage $U$ de zero il existe $\alpha \in L$ tel que $X \subseteq \alpha U$. En particulier, si une suite $(x_n)_{n \in \N}$ est born�e, alors $p^n x_n \to 0$ quand $n \to +\infty$.} \[ \widetilde{D}^+ := \{ x \in \widetilde{\Robba} \otimes D : (\varphi^n(x))_n \text{ est une suite born�e } \} \subseteq \Pi(D)^* \otimes \omega_D. \] Alors $\widetilde{D}^+$ est dense (cf. \cite[note (65)]{ColmezPhiGamma}, ceci suit essentiellement de l'irr�ductibilit� de $D$ et de \cite[Lem. IV.2.2]{ColmezMirabolique}), et ${\matrice p 0 0 1} - p^{-r}$, qui agit comme $\varphi - p^{-r}$, y est surjectif, car il admet un inverse d�fini par $\sum_{i \geq 0} p^{ir} \varphi^i$ (qui converge sur $\widetilde{D}^+$ car le terme g�n�ral de la s�rie tend vers $0$, les $\varphi^i(x)$ �tant born�s). Ceci permet de conclure.
\end{proof}

\begin{lemme} \label{phiinv}
On a $\Pi(\Delta)^{{\matrice p 0 0 1} = 1} = 0$.
\end{lemme}

\begin{proof}
Soit $\mathscr{L} = \mathrm{Fil}^0 \, \DdR(D)$ de sorte que $D = \Delta_{k, \mathscr{L}}$. L'op�rateur $\partial^{-k - 1}$ induit une bijection entre $\Pi(\Delta)^{{\matrice p 0 0 1} = 1}$ et $\Pi(\Delta)^{{\matrice p 0 0 1} = p^{-k - 1}}$ et il suffit donc de montrer que ce dernier module est nul. D'apr�s \S \ref{Changement} (voir l'avant dernier point dans la liste de propri�t�s), on a une suite exacte
\[ 0 \to \mathscr{L} \otimes (\mathrm{LL}_p(\Delta) \otimes \mathrm{Sym}^{k-1}) \to \Pi(\Delta, k) \to \Pi(D) \to 0. \] Comme $ \Pi(\Delta, k)$ s'identifie (\cite[Rem. 3.18]{ColmezPoids}) � $\Pi(\Delta)$ muni de l'action d�finie par ${\matrice a b c d} \cdot_k v := (\partial c + a)^k ({\matrice a b c d} \cdot v)$, on a une identification $\Pi(\Delta)^{{\matrice p 0 0 1} = p^{-k - 1}} = \Pi(\Delta, k)^{{\matrice p 0 0 1} = p^{-1}}$. Il suffit donc de montrer que $W_\mathscr{L}^{{\matrice p 0 0 1} = p^{-1}} = \Pi(D)^{{\matrice p 0 0 1} = p^{-1}} = 0$, o� l'on a not� $W_\mathscr{L} = \mathscr{L} \otimes (\mathrm{LL}_p(\Delta) \otimes \mathrm{Sym}^{k-1})$.

Le mod�le de Kirillov induit un isomorphisme entre $W_\mathscr{L}$ et $\mathrm{LA}_{\rm c}(\qpe, L^{-k}_\infty \otimes \mathscr{L}_i)$, qui n'a �videment pas de vecteurs satisfaisant ${\matrice p 0 0 1} \cdot v = p v$ (si $\phi \in \mathrm{LA}_{\rm c}(\qpe, L^{-k}_\infty \otimes \mathscr{L}_i)$ est telle que ${\matrice p 0 0 1} \cdot \phi = p \phi$, alors $\phi(x) = p^n ({\matrice p 0 0 1}^n \phi)(x) = p^{2n} \phi(p^n x) = 0$ si $n \gg 0$ car $\phi$ est � support compact). On conclut en utilisant le lemme \ref{phiinv2}.
\end{proof}

\begin{cor} \label{invphicor}
On a $(\Pi(\Delta)^* \otimes \omega_\Delta)^{{\matrice p 0 0 1} = 1} = (\Delta \boxtimes \PP^1)^{{\matrice p 0 0 1} = 1}$.
\end{cor}

\begin{proof}
Il suffit de prendre les invariants par ${\matrice p 0 0 1}$ de la suite exacte \[ 0 \to \Pi(\Delta)^* \otimes \omega_\Delta \to \Delta \boxtimes \PP^1 \to \Pi(\Delta) \to 0 \] et utiliser le lemme \ref{phiinv} ci-dessus.
\end{proof}

Rappelons que l'action de $\mathrm{GL}_2(\qp)$ sur $\Delta \boxtimes \PP^1$ est d�termin�e par le \textit{squelette d'action} (\cite[II.1.2]{ColmezPhiGamma}). En particulier, si $z = (z_1, z_2) \in \Delta \boxtimes \PP^1$, on a
\[ {\matrice p 0 0 1} \cdot z = (\varphi(z_1) + \omega_\Delta(p) w_\Delta( \mathrm{Res}_\zpe (\psi(z_2)), \omega_\Delta(p) \psi(z_2)). \]
On en d�duit que $z$ est invariant par ${\matrice p 0 0 1}$ si et seulement si $z_2 \in \Delta^{\psi = \omega_\Delta(p)^{-1}}$ et $(1 - \varphi) z_1 = w_\Delta ( (1 - \omega_\Delta(p)^{-1} \varphi) z_2)$.

\begin{lemme} \label{psidist}
L'application $\mathrm{Res}_{\zp}$ induit un isomorphisme $$ (\Pi(\Delta)^* \otimes \omega_\Delta)^{{\matrice p 0 0 1} = 1} \xrightarrow{\sim} \Delta^{\psi = 1}. $$
\end{lemme}

\begin{proof}
Comme l'on a d�j� mentionn�, l'injectivit� suit de \cite[Prop. 2.20]{ColmezPoids}. Si $z \in \Delta^{\psi = 1}$ alors, par le lemme \ref{dualiteinv} ci-dessus, $w_\Delta((1 - \varphi) z) \in (1 - \omega_\Delta(p)^{-1} \varphi) \Delta^{\psi = \omega_\Delta(p)^{-1}}$ et il existe donc $z' \in \Delta^{\psi = \omega_\Delta(p)^{-1}}$ tel que $w_\Delta ((1 - \varphi) z) = (1 - \omega_\Delta(p)^{-1} \varphi) z'$. Alors $\tilde{z} = (z, z') \in (\Delta \boxtimes \PP^1)^{{\matrice p 0 0 1} = 1} = (\Pi(\Delta)^* \otimes \omega_\Delta)^{{\matrice p 0 0 1} = 1}$ (corollaire \ref{invphicor}) et satisfait $\mathrm{Res}_\zp(\tilde{z}) = z$, ce qui permet de conclure.

%Par injectivit� de $(1 - \varphi) \colon \Delta^{\psi = 1} \to \Delta^{\psi = 0}$, il suffit de montrer que l'application $\mathrm{Res}_\zpe$ induit une surjection de $(\Pi(\Delta)^* \otimes \omega_\Delta)^{{\matrice p 0 0 1} = 1}$ sur $(1 - \varphi) \Delta^{\psi = 1}$.
%
%Soit $z \in \Delta^{\psi = 1}$, alors $\nabla_k (1 - \varphi) z \in (1 - \varphi) (t^k \Delta)^{\psi = 1} \subseteq (1 - \varphi) D^{\psi = 1}$ et, pour le r�sultat dans les cas �tale, il existe $\tilde{z}' \in (\Pi(D)^* \otimes \omega_D)^{{\matrice p 0 0 1} = 1} \subseteq (\Pi(\Delta)^* \otimes \omega_\Delta)^{{\matrice p 0 0 1} = 1}$ tel que $\mathrm{Res}_\zpe (\tilde{z}') = \nabla_k (1 - \varphi) z$. Si $\tilde{z} = \nabla_k^{-1} \tilde{z}'$, alors $\mathrm{Res}_\zpe (\tilde{z}) = (1 - \varphi) z$, ce qui permet de conclure.
\end{proof}

\begin{remarque} 
Soit $\alpha \in L^\times$ tel que $v_p(\alpha) \in \Z$. En appliquant $\partial^{-r}$, $r = v_p(\alpha)$, et en tordant par le caract�re non-ramifi� $\delta \colon \qpe \to \mathscr{O}_L^\times$ tel que $\delta(p) = \alpha^{-1} p^r$ � l'�galit� du lemme \ref{psidist} (ou bien en r�p�tant la m�me preuve), on montre que $\mathrm{Res}_{\zp}$ induit un isomorphisme
\[ (\Pi(\Delta)^* \otimes \omega_\Delta)^{{\matrice p 0 0 1} = \alpha} \xrightarrow{\sim} \Delta^{\psi = \alpha^{-1}}. \] Ceci s'applique en particulier � $\alpha = \omega_\Delta(p)^{-1} = \omega_D(p)^{-1} p^k$ car $\omega_D(p) \in \mathscr{O}_L^\times$ (car $D$ est �tale et donc son caract�re centrale est unitaire). Pour un tel $z \in \Delta^{\psi = \alpha^{-1}}$, on notera $\tilde{z} \in (\Pi(\Delta)^* \otimes \omega_\Delta)^{{\matrice p 0 0 1} = \alpha}$ l'�l�ment correspondant.
\end{remarque}

%\begin{remarque}
%La condition du lemme est vrai d�s que l'on sait qu'il existe $D \in \Phi\Gamma^{\text{�t}}(\Robba)$ tel que $\Delta = \Nrig(D)$, ce qui est toujours le cas que l'on consid�re dans ce texte.
%\end{remarque}

%Si $D \in \Phi\Gamma^{\text{�t}}(\E)$ et si $z \in D^{\psi = 1}$, l'�l�ment $(z)_{n \geq 0}$ appartient � $(D^\natural \boxtimes \qp)^{{\matrice p 0 0 1} = 1}$ et l'application $x \mapsto \mathrm{Res}_\zp(x)$ d�finit un isomorphisme (cf. \cite{ColmezDosp}, prop. III.23 ainsi que ainsi que la remarque III.8) $$ (D^\natural \boxtimes \qp)^{{\matrice p 0 0 1} = 1} \to D^{\psi = 1}. $$ Si $D$ est absolument irr�ductible, alors $D^\natural = D^\sharp$ et l'application $x \mapsto (\mathrm{Res}_\zp({\matrice {p^n} 0 0 1} x))_{n \geq 0}$ induit un isomorphisme $$ D^\natural \boxtimes \PP^1 \to D^\natural \boxtimes \qp. $$ On note $\tilde{z} \in D^\natural \boxtimes_{\omega_D} \PP^1$ la pr�image de $z$ par la composition de ces isomorphismes.
%
%Si $D_{\rm rig} \in \Phi\Gamma^{\text{�t}}(\Robba)$ correspond � $D$, on utilise l'identit� $D_{\rm rig}^{\psi = 1} = D^{\psi = 1} \otimes_{\zp[[\Gamma]]} \mathscr{D}(\Gamma)$ et l'action de l'alg�bre de distributions sur $\Pi(D_{\rm rig})^*$ pour relever un �l�ment $z \in D_{\rm rig}^{\psi = 1}$ en un �l�ment $\tilde{z} \in (\Pi(D_{\rm rig})^*)^{{\matrice p 0 0 1} = 1}.$ Plus pr�cis�ment, si $z = \sum z_i \otimes \lambda_i$, $z_i \in D^{\psi = 1}, \lambda_i \in \mathscr{D}(\Gamma)$, on a $\tilde{z} = \sum \tilde{z}_i \otimes \lambda_i$.

\subsubsection{Lois de r�ciprocit� (encore)}

Dans cette section, on paraphrase les lois des r�ciprocit� de \S \ref{loisrec} sous une forme appropri�e pour les calculs futurs. Plus pr�cis�ment, on tient compte de toutes les identifications faites entre les modules de de Rham d'un $(\varphi, \Gamma)$, de son dual de Tate et de ses diff�rents tordus par des caract�res localement alg�briques. Ceci nous permettra de comparer tous ces �l�ments sans peine dans un m�me module de de Rham.

Soit $\Delta \in \Phi \Gamma(\Robba)$ de rang $2$, de Rham non triangulin � poids de Hodge-Tate tous nuls comme dans \S \ref{phiGammadR}.

\begin{lemme} \label{expd1}
Soient $z \in \Delta^{\psi = \omega_\Delta(p)^{-1}}$, $\eta \colon \zpe \to L^\times$ un caract�re d'ordre fini, $k \geq 1$ un entier, $j \in \Z$ tel que $j \geq -k$ et $m \in \Z$. Notons $\check{z} = z \otimes e_{\omega_\Delta}^\vee \in \check{\Delta}^{\psi = 1}$. Alors
\[ \exp^*(\int_\Gamma \eta \chi^{-j-k} \cdot \mu_{\check{z}}) \otimes \mathbf{e}^{\rm dR, \vee}_{\eta, -j-k, \omega_\Delta^\vee} = \frac{\omega_\Delta(p)^n}{(j + k -1)!} p^{-n({\j} + k)} \, \mathrm{Tr}_{L_n / L} ( G(\eta)^{-1} \Omega^{-1} [ \varphi^{-n} \partial^{{\j} + k - 1} z ]_0). \]
\end{lemme}

\begin{proof}
Par la proposition \ref{loirecexpd} on a, pour $n \gg 0$,
\begin{eqnarray*} \exp^*(\int_\Gamma \eta \chi^{-j-k} \cdot \mu_{\check{z}}) &=& \exp^*(\int_\Gamma 1 \cdot (\mu_z \otimes e_\eta \otimes e_{-j-k} \otimes e_{\omega_\Delta}^\vee )) \\
&=& p^{-n} \, \mathrm{Tr}_{L_n / L}( [\varphi^{-n} (z \otimes \mathbf{e}_{\eta, -j-k, \omega_\Delta^\vee} )]_0), \\
\end{eqnarray*}
Comme $ \varphi^{-n}(\mathbf{e}_{\eta, -j-k, \omega_\Delta^\vee}) = \omega_\Delta(p)^n \mathbf{e}_{\eta, -j-k, \omega_\Delta^\vee}$, on a $$ [ \varphi^{-n} (z \otimes \mathbf{e}_{\eta, -j-k, \omega_\Delta^\vee}) ]_0 = \omega_\Delta(p)^n [ \varphi^{-n} z \otimes \mathbf{e}_{\eta, -j-k, \omega_\Delta^\vee}]_0. $$ Clarifions la notation utilis�e. L'�l�ment $\varphi^{-n} z \otimes \mathbf{e}_{\eta, -j-k, \omega_\Delta^\vee}$ appartient � $$ L_n[[t]] \otimes \DdR(\Delta(\eta \chi^{-j-k} \omega_\Delta^{-1})) = L_n[[t]] \otimes M_{\rm dR} \otimes L \cdot \mathbf{e}^{\rm dR}_{\eta, -j-k, \omega_\Delta^\vee}$$ et peut �tre exprim� sous la forme $ x \otimes \mathbf{e}^{\rm dR}_{\eta, -j-k, \omega_\Delta^\vee}$, $x = G(\eta)^{-1} t^{1-k-j} \Omega^{-1} \varphi^{-n} z \in L_n((t)) \otimes M_{\rm dR}$. Si on �crit $\varphi^{-n} z$ sous la forme $\sum_{l \geq 0} a_l t^l$, $a_l \in L_n \otimes M_{\rm dR}$, on a alors $$[\varphi^{-n} z \otimes \mathbf{e}_{\eta, -j-k, \omega_\Delta^\vee}]_0 = G(\eta)^{-1} \Omega^{-1} a_{j+k-1} \otimes \mathbf{e}^{\rm dR}_{\eta, -j-k, \omega_\Delta^\vee}. $$ Notons que l'�l�ment $\mathbf{e}^{\rm dR}_{\eta, -j-k, \omega_\Delta^\vee}$ est invariant par $\Gamma$ et commute donc � $\mathrm{Tr}_{L_n / L}$. On en d�duit
$$ \mathrm{Tr}_{L_n / L} ( [\varphi^{-n} (z \otimes \mathbf{e}_{\eta, -j-k, \omega_\Delta^\vee})]_0) = \omega_\Delta(p)^n \, \mathrm{Tr}_{L_n / L} ( G(\eta)^{-1} \Omega^{-1} [ t^{-j -k + 1} \varphi^{-n} z ]_0) \otimes \mathbf{e}^{\rm dR}_{\eta, -j-k, \omega_\Delta^\vee} $$
En utilisant la formule $[ t^{-{\j} -k + 1} \varphi^{-n} z ]_0 = [ \varphi^{-n} z ]_{{\j} + k - 1} = \frac{p^{-n({\j} + k - 1)}}{({\j} + k -1)!} [\varphi^{-n} \partial^{{\j} + k - 1} z]_0$ on en d�duit 
$$ \exp^*(\int_\Gamma \eta \chi^{-j-k} \cdot \mu_{\check{z}}) \otimes \mathbf{e}^{\rm dR, \vee}_{\eta, -j-k, \omega_\Delta^\vee} = \frac{\omega_\Delta(p)^n}{(j + k -1)!} p^{-n({\j} + k)} \, \mathrm{Tr}_{L_n / L} ( G(\eta)^{-1} \Omega^{-1} [ \varphi^{-n} \partial^{{\j} + k - 1} z ]_0), $$
ce qui permet de conclure.
\end{proof}

\begin{lemme} \label{exp1}
Soient $z \in \Delta^{\psi = 1}$, $\eta \colon \zpe \to L^\times$ un caract�re d'ordre fini et ${\j} \geq 1$. Alors
\[ \exp^{-1}(\int_\Gamma \eta \chi^{\j} \cdot \mu_z) \otimes \mathbf{e}^{\rm dR, \vee}_{\eta, j} = (-1)^{\j} ({\j}-1)! p^{n(j-1)}  \mathrm{Tr}_{L_n / L} ( G(\eta)^{-1} [\varphi^{-n} \partial^{-{\j}} z]_0). \]
\end{lemme}

\begin{proof}
Par la proposition \ref{loirecexp} on a, pour $n \gg 0$,
\begin{eqnarray*}
\exp^{-1}(\int_\Gamma \eta \chi^{\j} \cdot \mu_z) &=& \exp^{-1}(\int_\Gamma \chi^{\j} \cdot (\mu_z \otimes e_\eta)) \\
&=& (-1)^{\j} ({\j}-1)! p^{-n} \, \mathrm{Tr}_{L_n / L} ( [\varphi^{-n} (\partial^{-j} z \otimes e_\eta \otimes t^{-j} e_j)]_0) \\
\end{eqnarray*}
et, comme $\varphi^{-n}(e_\eta \otimes t^{-j} e_j) = p^{nj} \, e_\eta \otimes t^{-j} e_j$, on a $$ \mathrm{Tr}_{L_n / L} ( [\varphi^{-n} (\partial^{-{\j}} z \otimes e_\eta \otimes t^{-j} e_j)]_0) = p^{nj} \, \mathrm{Tr}_{L_n / L} ( [\varphi^{-n} \partial^{-{\j}} z \otimes e_\eta \otimes t^{-j} e_j]_0). $$ 
Comme pr�c�demment, l'�l�ment $\varphi^{-n} \partial^{-{\j}} z \otimes e_\eta \otimes t^{-j} e_j$ appartient � $L_n[[t]] \otimes \DdR(\Delta(\eta\chi^{\j})) = L_n[[t]] \otimes M_{\rm dR} \otimes L \cdot \mathbf{e}^{\rm dR}_{\eta, j} $ et peux donc �tre exprim� sous la forme $ x \otimes \mathbf{e}^{\rm dR}_{\eta, j}$, avec $x = G(\eta)^{-1} \varphi^{-n} \partial^{-j} z \in L_n[[t]] \otimes M_{\rm dR}$. On a alors $$ [\varphi^{-n} \partial^{-{\j}} z \otimes e_\eta \otimes t^{-{\j}} e_{\j}]_0 = G(\eta)^{-1} [\varphi^{-n} \partial^{-j} z]_0 \otimes \mathbf{e}^{\rm dR}_{\eta, j}. $$ Notons finalement que l'�l�ment $\mathbf{e}^{\rm dR}_{\eta, j}$ est invariant par $\Gamma$ et commute donc � la trace, ce qui donne
$$ \mathrm{Tr}_{L_n / L} ( [\varphi^{-n} (\partial^{-{\j}} z \otimes e_\eta \otimes t^{-{\j}} e_{\j})]_0) = p^{n{\j}} \, \mathrm{Tr}_{L_n / L}( G(\eta)^{-1} [\varphi^{-n} \partial^{-{\j}} z]_0) \otimes \mathbf{e}^{\rm dR}_{\eta, j}, $$ ce qui donne
\[ \exp^{-1}(\int_\Gamma \eta \chi^{\j} \cdot \mu_z) \otimes \mathbf{e}^{\rm dR, \vee}_{\eta, j} = (-1)^{\j} ({\j}-1)! p^{n(j-1)}  \mathrm{Tr}_{L_n / L} ( G(\eta)^{-1} [\varphi^{-n} \partial^{-{\j}} z]_0), \]
et permet de conclure.
\end{proof}


\subsubsection{Dualit� et mod�le de Kirillov (encore)}

On revient � la situation de \S \ref{psiinvsec} et on consid�re $D \in \Phi \Gamma^{\text{�t}}(\Robba)$ de rang $2$, de Rham non triangulin � poids de Hodge-Tate distincts et on note $\Delta = \Nrig(D)$. Consid�rons dans la suite le mod�le de Kirillov de $\Pi(\Delta)^{u^+-\text{fini}}$ � valeurs dans $\mathrm{LA}_{\rm c}(\qpe, \Delta_{\rm dif}^+)^\Gamma$. Soit $\alpha \in L^\times$ et soit $z \in \Delta^{\psi = \alpha}$ obtenu par restriction � $\zp$ d'un �l�ment $ \tilde{z} \in (\Pi(\Delta)^* \otimes \omega_\Delta)^{{\matrice p 0 0 1} = \alpha^{-1}}$, i.e. $z = \mathrm{Res}_\zp (\tilde{z})$. On a donc $\mathrm{Res}_\zp({\matrice {p^{i + n}} 0 0 1} \tilde{z}) = \mathrm{Res}_\zp(\alpha^{-(i+n)} \tilde{z}) = \alpha^{-(i+n)} z$ et, si $\phi \in \mathrm{LA}_{\rm c}(\qpe, \Delta_{\rm dif}^-)^\Gamma$, la formule \eqref{formulemagique} pour l'accouplement prend la forme tr�s simple suivante:
\[ [\tilde{z}, \phi] = \sum_{i \in \Z} \omega_\Delta(p^{-i}) \alpha^{-(i+n)} [\varphi^{-n}(z), \phi(p^i) )]_{\rm dif} \;\;\; (n \gg 0). \]
Plus g�n�ralement, si $j \in \Z$, on peut appliquer $\partial^{\j}$ � $\tilde{z}$ pour obtenir un �l�ment dans $(\Pi(\Delta)^* \otimes \omega_\Delta)^{{\matrice p 0 0 1} = \alpha^{-1}p^{-j}}$ et on a
\begin{equation} \label{formulemagique2}
[\partial^{\j} \tilde{z}, \phi] = \sum_{i \in \Z} \omega_\Delta(p^{-i}) \alpha^{-(i + n)} p^{-j (i + n)} [\varphi^{-n} \partial^{\j} z, \phi(p^i) )]_{\rm dif}.
\end{equation}

Rappelons que l'on a fix� une base $f_1, f_2$ de $M_{\rm dR}$. Les �l�ments $1 \otimes f_1, 1 \otimes f_2$ forment une base du $L_\infty((t))$-espace vectoriel $\Delta_{\rm dif} = L_\infty((t)) \otimes M_{\rm dR}$ et l'on identifie $(1 \otimes f_1) \wedge (1 \otimes f_2) = \Omega^{-1} dt \otimes e_{\omega_\Delta}$ sous l'isomorphisme $\wedge^2 \Delta_{\rm dif} = (L_\infty((t)) dt) \otimes \omega_\Delta$. Nous �tendons l'accouplement $\langle \;,\; \rangle_{\rm dR}$ par $L_\infty((t))$-lin�arit� en un accouplement $\langle \;,\; \rangle_{\rm dR} \colon \Delta_{\rm dif} \times \Delta_{\rm dif} \to L_\infty((t))$ satisfaisant
\begin{equation} \label{accdR} x \wedge (h \otimes f_i) = h \langle x, 1 \otimes f_{3-i} \rangle_{\rm dR} ((1 \otimes f_{3-i}) \wedge (1 \otimes f_i)) = h \langle x, 1 \otimes f_{3-i} \rangle_{\rm dR} (-1)^{i} \Omega^{-1} dt \otimes e_{\omega_\Delta},
\end{equation}
pour $x \in \Delta_{\rm dif}$, $h \in L_\infty((t))$ et $i = 1, 2$. 


\subsubsection{Exponentielle duale et accouplement $[\;,\;]_{\PP^1}$} \label{accexpd}

En s'inspirant de Nakamura (\cite[\S 3.4.5]{Nakamura2}) et de la formule de la proposition \ref{BHeqfonct} permettant de retrouver les facteurs epsilon d'une repr�sentation lisse � partir de son mod�le de Kirillov, on d�finit, pour $\eta \colon \zpe \to L^\times$ un caract�re d'ordre fini, $k \geq 1$, $i \in \{1, 2\}$ et $m \in \Z$, la fonction $f^i_{\eta, k, m} \in \mathrm{LA}_{\mathrm{c}}(\qpe, \Delta_{\rm dif}^-)^\Gamma$ par la formule $$ f^i_{\eta, k, m}(p^n a) = \left\{
  \begin{array}{c c}
   (-1)^{i + 1} (k-1)! \sigma_a (G(\eta)^{-1} t^{-k}) \otimes f_i & \quad \text{ si $n = m$} \\
    0 & \quad \text{si $n \neq m$,}  \\
  \end{array}
\right. $$ o� $a \in \zpe$, $n \in \Z$. Notons que, pour $a \in \zpe$, on a tout simplement \[ f^i_{\eta, k, m}(p^m a) = (-1)^{i+1} (k-1)! \eta(a) a^{-k} G(\eta)^{-1} t^{-k} \otimes f_i. \]

\begin{lemme} \label{expd2}
Soient $z \in \Delta^{\psi = \omega_\Delta(p)^{-1}}$, $\eta \colon \zpe \to L^\times$ un caract�re d'ordre fini, $k \geq 1$ un entier, $j \in \Z$ tel que $j > -k$, $i \in \{ 1, 2 \}$ et $m \in \Z$. Notons $\check{z} = z \otimes e_{\omega_\Delta}^\vee \in \check{\Delta}^{\psi = 1}$. Alors \footnote{Rappelons que $\tilde{z} \in (\Pi(\Delta)^* \otimes \omega_\Delta)^{{\matrice p 0 0 1} = \omega_\Delta(p)}$ l'�l�ment correspondant par le lemme \ref{psidist}}
%$$ \langle \exp^*(\int_\Gamma \eta \chi^{-j-k} \cdot \mu_{\check{z}}) \otimes \mathbf{e}^{\rm dR, \vee}_{\eta, -j-k, \omega_\Delta^\vee}, f_i \rangle_{\rm dR} = \frac{p-1}{p} \alpha^m p^{mj} \eta(-1) \frac{\omega_\Delta(-1) (-1)^k}{(j+k-1)!} [ \partial^{\j} \tilde{z}, f^{3-i}_{\eta, k, m}]_{\PP^1}. $$
\small{
\begin{equation*} 
[ \partial^{\j} \tilde{z}, f^{3 - i}_{\eta, k, m}]_{\PP^1} = (-1)^{i + 1} \frac{p}{p-1} \omega_\Delta(p)^n p^{-j(m+n)} \omega_\Delta(-1) \eta(-1)(-1)^k p^{-n k} \mathrm{Tr}_{L_n / L} \big(  G(\eta)^{-1} \Omega^{-1} \langle [  \varphi^{-n} \partial^{{\j}+k-1} z]_0, f_i \rangle_{\rm dR} \big).
\end{equation*}
} \normalsize
\end{lemme}

\begin{proof}
Traitons le cas $i = 1$, l'autre �tant �videment analogue. Rappelons que $\partial^{\j} \tilde{z} \in (\Pi(\Delta)^* \otimes \omega_\Delta)^{{\matrice p 0 0 1} = \omega_\Delta(p) p^{-{\j}}}$ et que, si $n \gg 0$, on a
\small{\begin{eqnarray*}
[ \partial^{\j} \tilde{z}, f^2_{\eta, k, m}]_{\PP^1} &=& \sum_{i \in \Z} \omega_\Delta(p)^n p^{-j(i+n)} [\varphi^{-n} \partial^{\j} z,  f^2_{\eta, k, m}(p^i) )]_{\rm dif} \\
&=& - \omega_\Delta(p)^n p^{-j(m+n)} (k-1)! [ \varphi^{-n} \partial^{\j} z, G(\eta)^{-1} t^{-k} \otimes f_2 ]_{\rm dif},
%&=& \omega_\Delta(p)^n \alpha^{-m-n} p^{-j(m+n)} \omega_\Delta(-1) \eta(-1) (-1)^k (k-1)! \text{r�s}_L( (\varphi^{-n} \partial^{\j} z \wedge (G(\eta)^{-1} t^{-k} \otimes f_2)) \otimes e_{\omega_\Delta}^\vee), \\
\end{eqnarray*}}\normalsize
o� la premi�re �galit� suit de la formule \eqref{formulemagique2} et la deuxi�me �galit� du fait que $f_{\eta,k, m}^2(p^i) = 0$ d�s que $i \neq m$. Par d�finition de l'accouplement $[ \;,\;]_{\rm dif} $ (cf. formule \eqref{accdif}), et en notant que $\sigma_{-1}(G(\eta)^{-1}t^{-k} \otimes f_2) = \eta(-1)(-1)^k (G(\eta)^{-1} t^{-k} \otimes f_2$, on a aussi
\[ [ \varphi^{-n} \partial^{\j} z, G(\eta)^{-1} t^{-k} \otimes f_2 ]_{\rm dif} = \omega_\Delta(-1) \eta(-1) (-1)^k \text{r�s}_L( (\varphi^{-n} \partial^{\j} z \wedge (G(\eta)^{-1} t^{-k} \otimes f_2)) \otimes e_{\omega_\Delta}^\vee). \] On en d�duit
\small \begin{equation} \label{eaea11}
[ \partial^{\j} \tilde{z}, f^2_{\eta, k, m}]_{\PP^1} = - \omega_\Delta(p)^n p^{-j(m+n)} \omega_\Delta(-1) \eta(-1) (-1)^k (k-1)! \text{r�s}_L( (\varphi^{-n} \partial^{\j} z \wedge (G(\eta)^{-1} t^{-k} \otimes f_2)) \otimes e_{\omega_\Delta}^\vee).
\end{equation} \normalsize
En utilisant la formule de l'�quation \eqref{accdR}, on peut �crire
%Le choix de la base $f_1, f_2$ de $\DdR(D)$ nous permet de d�finir un accouplement $\langle \;,\; \rangle_{\rm dR}: \Delta_{\rm dif} \times M_{\rm dR} \to \Delta_{\rm dif}$ par la formule $x \wedge f_i = \langle x, f_{3-i} \rangle_{\rm dR} (f_1 \wedge f_2) = \langle x, f_{3-i} \rangle_{\rm dR} \Omega^{-1} e_\Delta$, $i = 1, 2$. Cela nous donne
\begin{eqnarray*}
\text{r�s}_L( (\varphi^{-n} \partial^{\j} z \wedge (G(\eta)^{-1} t^{-k} \otimes f_2) \otimes e_{\omega_\Delta}^\vee) &=& - (-1)^{i + 1} \text{r�s}_L( G(\eta)^{-1} \Omega^{-1} t^{-k+1} \langle \varphi^{-n} \partial^{\j} z, 1 \otimes f_1 \rangle_{\rm dR} t^{-1} dt) \\
&=& - (-1)^{i + 1} T_L( G(\eta)^{-1} \Omega^{-1} \langle [ \varphi^{-n} \partial^{\j} z]_{k - 1}, f_1 \rangle_{\rm dR}).
\end{eqnarray*}
Enfin, la formule \eqref{eaea11}, l'identit� $[\varphi^{-n} z]_{k - 1} = \frac{p^{-n(k - 1)}}{(k - 1)!} [\varphi^{-n} \partial^{k - 1} z]_0$ et l'�galit� $T_L = \frac{p}{p-1} p^{-n} \mathrm{Tr}_{L_n / L}$ en donnent
\small{ \begin{equation*} 
[ \partial^{\j} \tilde{z}, f^2_{\eta, k, m}]_{\PP^1} = (-1)^{i + 1} \frac{p}{p-1} \omega_\Delta(p)^n p^{-j(m+n)} \omega_\Delta(-1) \eta(-1)(-1)^k p^{-n k} \mathrm{Tr}_{L_n / L} \big(  G(\eta)^{-1} \Omega^{-1} \langle [  \varphi^{-n} \partial^{{\j}+k-1} z]_0, f_1 \rangle_{\rm dR} \big),
\end{equation*}
} \normalsize ce qui permet de conclure.
\end{proof}

\begin{prop} \label{formexpd} Soient $z \in \Delta^{\psi = \omega_\Delta^{-1}(p)}$, $\eta \colon \zpe \to L^\times$ un caract�re d'ordre fini, $k \geq 1$ un entier, $j \in \Z$ tel que $j \geq -k$, $i \in \{ 1, 2 \}$ et $m \in \Z$. Notons $\check{z} = z \otimes e_{\omega_\Delta}^\vee \in \check{\Delta}^{\psi = 1}$. Alors $$ \langle \exp^*(\int_\Gamma \eta \chi^{-j-k} \cdot \mu_{\check{z}}) \otimes \mathbf{e}^{\rm dR, \vee}_{\eta, -j-k, \omega_\Delta^\vee}, f_i \rangle_{\rm dR} = (-1)^{i + 1} \frac{p-1}{p} p^{mj} \eta(-1) \frac{\omega_\Delta(-1) (-1)^k}{(j+k-1)!} [ \partial^{\j} \tilde{z}, f^{3-i}_{\eta, k, m}]_{\PP^1}. $$
\end{prop}

\begin{proof}
En projetant l'�galit� du lemme \ref{expd1} sur la droite engendr�e par $f_i$ on obtient la formule
\small{\begin{equation} \label{eaea12}
\langle \exp^*(\int_\Gamma \eta \chi^{-{\j}} \cdot \mu_{\check{z}}) \otimes \mathbf{e}^{\rm dR, \vee}_{\eta, -j, \omega_\Delta^\vee} , f_i \rangle_{\rm dR} = \frac{\omega_\Delta(p)^n}{({\j} + k -1)!} p^{-n({\j} + k)} \mathrm{Tr}_{L_n / L} ( G(\eta)^{-1} \Omega^{-1} \, \langle [ \varphi^{-n} \partial^{{\j} + k - 1} z ]_0 , f_i \rangle_{\rm dR} ).
\end{equation}} \normalsize

%d'o� $$ \langle \exp^*(\int_\Gamma \eta \chi^{-k} \cdot z) \otimes G(\eta)^{-1} e_{\eta}^\vee \otimes t^{-k} e_k, f_1 \rangle_{\rm dR} =  \frac{G(\eta)^{-1} \Omega t^k }{p^{n(k + 1)} k!}   ( ([\varphi^{-n} \partial^k z]_0) \wedge f_2 ). $$

%Par ailleurs, $z \in \Delta^{\psi = \alpha \omega_\Delta^{-1}(p)}$, $\tilde{z} \in (\Pi(\Delta)^* \otimes \omega_\Delta)^{{\matrice p 0 0 1} = \alpha^{-1} \omega_\Delta(p)}$ est l'�l�ment correspondant par le Lemme \ref{psidist} \footnote{et donc, rappelons-le, $ \partial^{\j} \tilde{z} \in (\Pi(\Delta)^* \otimes \omega_\Delta)^{{\matrice p 0 0 1} = \alpha^{-1} \omega_\Delta(p) p^{-{\j}}}$}, et, si $n \gg 0$, on a
%\small{\begin{eqnarray*}
%[ \partial^{\j} \tilde{z}, f^2_{\eta, k, m}]_{\PP^1} &=& \sum_{i \in \Z} \omega_\Delta(p)^n \alpha^{-i-n} p^{-j(i+n)} [\varphi^{-n} \partial^{\j} z,  f^2_{\eta, k, m}(p^i) )]_{\rm dif} \\
%&=& - \omega_\Delta(p)^n \alpha^{-m-n} p^{-j(m+n)} (k-1)! [ \varphi^{-n} \partial^{\j} z, G(\eta)^{-1} t^{-k} \otimes f_2 ]_{\rm dif},
%%&=& \omega_\Delta(p)^n \alpha^{-m-n} p^{-j(m+n)} \omega_\Delta(-1) \eta(-1) (-1)^k (k-1)! \text{r�s}_L( (\varphi^{-n} \partial^{\j} z \wedge (G(\eta)^{-1} t^{-k} \otimes f_2)) \otimes e_{\omega_\Delta}^\vee), \\
%\end{eqnarray*}}\normalsize
%o� la premi�re �galit� suit de la formule \eqref{formulemagique2} et la deuxi�me �galit� du fait que $f_{\eta,k, m}^2(p^i) = 0$ d�s que $i \neq m$. Par d�finition de l'accouplement $[ \;,\;]_{\rm dif} $ (cf. formule \eqref{accdif}), et en notant que $\sigma_{-1}(G(\eta)^{-1}t^{-k} \otimes f_2) = \eta(-1)(-1)^k (G(\eta)^{-1} t^{-k} \otimes f_2$, on a aussi
%\[ [ \varphi^{-n} \partial^{\j} z, G(\eta)^{-1} t^{-k} \otimes f_2 ]_{\rm dif} = \omega_\Delta(-1) \eta(-1) (-1)^k \text{r�s}_L( (\varphi^{-n} \partial^{\j} z \wedge (G(\eta)^{-1} t^{-k} \otimes f_2)) \otimes e_{\omega_\Delta}^\vee). \] On en d�duit
%\small \begin{equation} \label{eaea11}
%[ \partial^{\j} \tilde{z}, f^2_{\eta, k, m}]_{\PP^1} = - \omega_\Delta(p)^n \alpha^{-m-n} p^{-j(m+n)} \omega_\Delta(-1) \eta(-1) (-1)^k (k-1)! \text{r�s}_L( (\varphi^{-n} \partial^{\j} z \wedge (G(\eta)^{-1} t^{-k} \otimes f_2)) \otimes e_{\omega_\Delta}^\vee).
%\end{equation} \normalsize
%
%Nous �tendons l'accouplement $\langle \;,\; \rangle_{\rm dR}$ par $L_\infty((t))$-lin�arit� en un accouplement \footnote{Rappelons que $\Delta_{\rm dif} = L_\infty((t)) \otimes M_{\rm dR}$.} $\langle \;,\; \rangle_{\rm dR} \colon \Delta_{\rm dif} \times \Delta_{\rm dif} \to L_\infty((t))$ satisfaisant \[ x \wedge (h \otimes f_i) = h \langle x, 1 \otimes f_{3-i} \rangle_{\rm dR} ((1 \otimes f_{3-i}) \wedge (1 \otimes f_i)) = h \langle x, 1 \otimes f_{3-i} \rangle_{\rm dR} (-1)^{i + 1} \Omega^{-1} dt \otimes e_{\omega_\Delta}, \] pour $x \in \Delta_{\rm dif}$, $h \in L_\infty((t))$ et $i = 1, 2$. Ceci donne
%%Le choix de la base $f_1, f_2$ de $\DdR(D)$ nous permet de d�finir un accouplement $\langle \;,\; \rangle_{\rm dR}: \Delta_{\rm dif} \times M_{\rm dR} \to \Delta_{\rm dif}$ par la formule $x \wedge f_i = \langle x, f_{3-i} \rangle_{\rm dR} (f_1 \wedge f_2) = \langle x, f_{3-i} \rangle_{\rm dR} \Omega^{-1} e_\Delta$, $i = 1, 2$. Cela nous donne
%\begin{eqnarray*}
%\text{r�s}_L( (\varphi^{-n} \partial^{\j} z \wedge (G(\eta)^{-1} t^{-k} \otimes f_2) \otimes e_{\omega_\Delta}^\vee) &=& - \text{r�s}_L( G(\eta)^{-1} \Omega^{-1} t^{-k+1} \langle \varphi^{-n} \partial^{\j} z, 1 \otimes f_1 \rangle_{\rm dR} t^{-1} dt) \\
%&=& - T_L( G(\eta)^{-1} \Omega^{-1} \langle [ \varphi^{-n} \partial^{\j} z]_{k - 1}, f_1 \rangle_{\rm dR}).
%\end{eqnarray*}
%Enfin, la formule \eqref{eaea11}, l'identit� $[\varphi^{-n} z]_{k - 1} = \frac{p^{-n(k - 1)}}{(k - 1)!} [\varphi^{-n} \partial^{k - 1} z]_0$, l'�galit� $T_L = \frac{p}{p-1} p^{-n} \mathrm{Tr}_{L_n / L}$ et la formule \eqref{eaea12} en donnent
L'�galit� du lemme \ref{expd2} et la formule \eqref{eaea12} ci-dessus donnent
\small{ \begin{eqnarray*} 
[ \partial^{\j} \tilde{z}, f^{3 - i}_{\eta, k, m}]_{\PP^1} &=& (-1)^{i + 1} \frac{p}{p-1} \omega_\Delta(p)^n p^{-j(m+n)} \omega_\Delta(-1) \eta(-1)(-1)^k p^{-n k} \mathrm{Tr}_{L_n / L} \big(  G(\eta)^{-1} \Omega^{-1} \langle [  \varphi^{-n} \partial^{{\j}+k-1} z]_0, f_i \rangle_{\rm dR} \big) \\
&=& (-1)^{i + 1} \frac{p}{p-1} p^{-m{\j}} \omega_\Delta(-1) \eta(-1) (-1)^k (j + k - 1)! \langle \exp^*(\int_\Gamma \eta \chi^{-{\j}} \cdot \mu_{\check{z}}) \otimes \mathbf{e}^{\rm dR, \vee}_{\eta, -j, \omega_\Delta^\vee} , f_i \rangle_{\rm dR},
\end{eqnarray*}} \normalsize ce qui permet de conclure.
\end{proof}

\subsubsection{Exponentielle et accouplement $[\;,\;]_{\PP^1}$} \label{accexp}

On d�finit, pour $\eta$ un caract�re d'ordre fini, $i = 1, 2$ et $m \in \Z$, la fonction $g^i_{\eta, m} \in \mathrm{LA}_{\mathrm{c}}(\qp, \Delta_{\rm dif}^-)^\Gamma$ par la formule $$ g^i_{\eta, m}(p^n a) = \left\{
  \begin{array}{c c}
    (-1)^{i + 1} \sigma_a (G(\eta)^{-1} \Omega t^{-1}) \otimes f_i & \quad \text{ si $n = m$} \\
    0 & \quad \text{si $n \neq m$}  \\
  \end{array}
\right. $$
Pour $a \in \zpe$, on a donc \[ g^i_{\eta, m}(p^m a) = (-1)^{i + 1} \eta(a) \det_\Delta(a) \cdot (G(\eta)^{-1} \Omega) \cdot (at)^{-1} \otimes f_i. \] 

\begin{lemme} \label{exp2}
Soient $z \in \Delta^{\psi = 1}$, $\eta \colon \zpe \to L^\times$ un caract�re d'ordre fini, $i \in \{ 1, 2\}$ et ${\j} \geq 1$. Alors \footnote{Rappelons une derni�re fois que $\tilde{z} \in (\Pi(\Delta)^* \otimes \omega_\Delta)^{{\matrice p 0 0 1} = 1}$ l'�l�ment correspondant � $z$ par le lemme \ref{psidist}.}
\[ [ \partial^{-{\j}} \tilde{z}, g^{3 - i}_{\eta, m}]_{\PP^1} = (-1)^{i + 1} \frac{p}{p-1} \omega_\Delta(p)^{-m} p^{j(m + n)} \eta(-1) p^{-n} \, \mathrm{Tr}_{L_n / L}( G(\eta)^{-1} \langle [\varphi^{n} \partial^{-j} z]_0, f_i \rangle_{\rm dR} ). \]
\end{lemme}

\begin{proof}
Il suffit de traiter le cas $i = 1$. On a $\tilde{z} \in (\Pi(\Delta)^* \otimes \omega_\Delta)^{{\matrice p 0 0 1} = 1}$, $\partial^{-{\j}} \tilde{z} \in (\Pi(\Delta)^* \otimes \omega_\Delta)^{{\matrice p 0 0 1} = p^j}$ et on a, pour $n \gg 0$,
\begin{eqnarray*} [ \partial^{-{\j}} \tilde{z}, g^2_{\eta, m}]_{\PP^1} &=& \sum_{i \in \Z} \omega_\Delta(p^{-i}) p^{j(i + n)} [\varphi^{-n} \partial^{-j} z,  g^2_{\eta, m}(p^i) )]_{\rm dif} \\
&=& - \omega_\Delta(p)^{-m} p^{j(m + n)} [ \varphi^{-n} \partial^{-j} z, G(\eta)^{-1} \Omega t^{-1} \otimes f_2 )]_{\rm dif},
%&=& \omega_\Delta(p)^{-m} \alpha^{-m-n} p^{j(m + n)} \omega_\Delta(-1) \text{r�s}_L( (  \varphi^{-n} \partial^{-{\j}} z \wedge  \sigma_{-1} (G(\eta)^{-1} \Omega t^{-1} \otimes f_2) ) \otimes e_{\omega_\Delta}^\vee),
\end{eqnarray*}
o� la premi�re �galit� est la formule pour l'accouplement $[\;,\;]_{\PP^1}$ en termes du mod�le de Kirillov (cf. formule \eqref{formulemagique2}), et la deuxi�me suit de ce que $g^2_{\eta, m}(p^i) = 0$ d�s que $i \neq m$. Par d�finition de l'accouplement $[\;,\;]_{\rm dif}$ (cf. formule \eqref{accdif}), et en notant que $\sigma_{-1}(G(\eta)^{-1}) = \eta(-1) G(\eta)^{-1}$, $\sigma_{a}(\Omega t^{-1}) = \det_\Delta(a) a^{-1} \Omega t^{-1} = \omega_\Delta(a) \, \Omega t^{-1}$, on obtient 
\[ [ \varphi^{-n} \partial^{-j} z, G(\eta)^{-1} \Omega t^{-1} \otimes f_2 )]_{\rm dif}  = \eta(-1) \, \text{r�s}_L \big( (  \varphi^{-n} \partial^{-j} z \wedge (G(\eta)^{-1} \Omega t^{-1} \otimes f_2 )) \otimes e_{\omega_\Delta}^\vee \big). \]
%$$ \text{r�s}_L( (  \varphi^{-n} \partial^{-j} z \wedge  \sigma_{-1} (G(\eta)^{-1} \Omega t^{-1} \otimes f_2) ) \otimes e_{\omega_\Delta}^\vee) = \omega_\Delta(-1) \eta(-1) \text{r�s}_L( (  \varphi^{-n} \partial^{-j} z \wedge (G(\eta)^{-1} \Omega t^{-1} \otimes f_2 )) \otimes e_{\omega_\Delta}^\vee). $$
Or, la formule \[ x \wedge (h \otimes f_i) = h \langle x, 1 \otimes f_{3-i} \rangle_{\rm dR} ((1 \otimes f_{3-i}) \wedge (1 \otimes f_i)) = h \langle x, 1 \otimes f_{3-i} \rangle_{\rm dR} (-1)^{i} \Omega^{-1} dt \otimes e_{\omega_\Delta}, \] $x \in \Delta_{\rm dif}$, $h \in L_\infty((t))$ et $i = 1, 2$, et la d�finition de $\text{r�s}_L$ comme la compos�e du r�sidu avec la trace de Tate normalis�e donnent
$$ \text{r�s}_L \big( (  \varphi^{-n} \partial^{-j} z \wedge (G(\eta)^{-1} \Omega t^{-1} \otimes f_2 )) \otimes e_{\omega_\Delta}^\vee \big) = - \frac{p}{p-1} p^{-n} \, \mathrm{Tr}_{L_n / L} ( G(\eta)^{-1} \langle  [ \varphi^{-n} \partial^{-j} z ]_0, f_1 \rangle_{\rm dR}). $$ On conclut alors que
$$ [ \partial^{-{\j}} \tilde{z}, g^2_{\eta, m}]_{\PP^1} = \frac{p}{p-1} \omega_\Delta(p)^{-m} p^{j(m + n)} \eta(-1) p^{-n} \, \mathrm{Tr}_{L_n / L}( G(\eta)^{-1} \langle [\varphi^{n} \partial^{-j} z]_0, f_1 \rangle_{\rm dR} ), $$ ce qui finit la preuve du lemme.
\end{proof}

\begin{prop} \label{formexp} Soient $z \in \Delta^{\psi = 1}$, $\eta \colon \zpe \to L^\times$ un caract�re d'ordre fini, $i \in \{ 1, 2\}$ et ${\j} \geq 1$. Alors $$ \langle \exp^{-1}(\int_\Gamma \eta \chi^{\j} \cdot \mu_z) \otimes \mathbf{e}^{\rm dR, \vee}_{\eta, j} , f_i \rangle_{\rm dR} = (-1)^{i + 1} \frac{p - 1}{p} (-1)^{j} (j - 1)! \eta(-1) \omega_\Delta(p)^m p^{-jm} [ \partial^{-j} \tilde{z}, g^{3 - i}_{\eta, m}]_{\PP^1}. $$
\end{prop}

\begin{proof}
%On a, pour $n \gg 0$,
%\begin{equation} \label{asdasd1}
%\exp^{-1}(\int_\Gamma \eta \chi^{\j} \cdot \mu_z) = (-1)^{\j} ({\j}-1)! \alpha^{-n} p^{-n} \, \mathrm{Tr}_{L_n / L} ( [\varphi^{-n} (\partial^{-j} z \otimes e_\eta \otimes t^{-j} e_j)]_0).
%\end{equation}
%et, comme $\varphi^{-n}(e_\eta \otimes t^{-j} e_j) = p^{nj} \, e_\eta \otimes t^{-j} e_j$, on a $$ \mathrm{Tr}_{L_n / L} ( [\varphi^{-n} (\partial^{-{\j}} z \otimes e_\eta \otimes t^{-j} e_j)]_0) = p^{nj} \, \mathrm{Tr}_{L_n / L} ( [\varphi^{-n} \partial^{-{\j}} z \otimes e_\eta \otimes t^{-j} e_j]_0). $$ 
%Comme pr�c�demment, l'�l�ment $\varphi^{-n} \partial^{-{\j}} z \otimes e_\eta \otimes t^{-j} e_j$ appartient � $L_n[[t]] \otimes \DdR(\Delta(\eta\chi^{\j})) = L_n[[t]] \otimes M_{\rm dR} \otimes L \cdot \mathbf{e}^{\rm dR}_{\eta, j} $ et peux donc �tre exprim� sous la forme $ x \otimes \mathbf{e}^{\rm dR}_{\eta, j}$, avec $x = G(\eta)^{-1} \varphi^{-n} \partial^{-j} z \in L_n[[t]] \otimes M_{\rm dR}$. On a alors $$ [\varphi^{-n} \partial^{-{\j}} z \otimes e_\eta \otimes t^{-{\j}} e_{\j}]_0 = G(\eta)^{-1} [\varphi^{-n} \partial^{-j} z]_0 \otimes \mathbf{e}^{\rm dR}_{\eta, j}. $$ Notons finalement que l'�l�ment $\mathbf{e}^{\rm dR}_{\eta, j}$ est invariant par $\Gamma$ et commute donc � la trace, ce qui donne
%$$ \mathrm{Tr}_{L_n / L} ( [\varphi^{-n} (\partial^{-{\j}} z \otimes e_\eta \otimes t^{-{\j}} e_{\j})]_0) = p^{n{\j}} \, \mathrm{Tr}_{L_n / L}( G(\eta)^{-1} [\varphi^{-n} \partial^{-{\j}} z]_0) \otimes \mathbf{e}^{\rm dR}_{\eta, j}, $$ et,
En accouplant la formule du lemme \ref{exp1} avec $f_i$, on en d�duit la formule 
\begin{equation} \label{eaea1} \langle \exp^{-1}(\int_\Gamma \eta \chi^{\j} \cdot \mu_z) \otimes \mathbf{e}^{\rm dR, \vee}_{\eta, j}, f_i \rangle_{\rm dR}  = (-1)^{\j} ({\j}-1)! p^{n(j-1)}  \mathrm{Tr}_{L_n / L} ( G(\eta)^{-1} \langle [\varphi^{-n} \partial^{-{\j}} z]_0, f_i \rangle_{\rm dR}).
\end{equation}
%d'o� $$ \langle \exp^{-1}(\int_\Gamma \eta \chi^{\j} \cdot z) \otimes G(\eta)^{-1} e_{\eta}^\vee \otimes t^{\j} e_{-{\j}}, f_1 \rangle_{\rm dR} = (-1)^{\j} ({\j}-1)! p^{n({\j} - 1)} G(\eta)^{-1} \Omega ( ([\varphi^{-n} \partial^{\j} z]_0) \wedge f_2 ).

Par ailleurs, $\tilde{z} \in (\Pi(\Delta)^* \otimes \omega_\Delta)^{{\matrice p 0 0 1} = 1}$, $\partial^{-{\j}} \tilde{z} \in (\Pi(\Delta)^* \otimes \omega_\Delta)^{{\matrice p 0 0 1} = p^j}$ et, par le lemme \ref{exp2} on a, pour $n \gg 0$,
%\begin{eqnarray*} [ \partial^{-{\j}} \tilde{z}, g^2_{\eta, m}]_{\PP^1} &=& \sum_{i \in \Z} \omega_\Delta(p^{-i}) \alpha^{-i-n} p^{j(i + n)} [\varphi^{-n} \partial^{-j} z,  g^2_{\eta, m}(p^i) )]_{\rm dif} \\
%&=& - \omega_\Delta(p)^{-m} \alpha^{-m-n} p^{j(m + n)} [ \varphi^{-n} \partial^{-j} z, G(\eta)^{-1} \Omega t^{-1} \otimes f_2 )]_{\rm dif},
%%&=& \omega_\Delta(p)^{-m} \alpha^{-m-n} p^{j(m + n)} \omega_\Delta(-1) \text{r�s}_L( (  \varphi^{-n} \partial^{-{\j}} z \wedge  \sigma_{-1} (G(\eta)^{-1} \Omega t^{-1} \otimes f_2) ) \otimes e_{\omega_\Delta}^\vee),
%\end{eqnarray*}
%o� la premi�re �galit� est la formule pour l'accouplement $[\;,\;]_{\PP^1}$ en termes du mod�le de Kirillov (cf. formule \eqref{formulemagique2}), et la deuxi�me suit de ce que $g^2_{\eta, m}(p^i) = 0$ d�s que $i \neq m$. Par d�finition de l'accouplement $[\;,\;]_{\rm dif}$ (cf. formule \eqref{accdif}), et en notant que $\sigma_{-1}(G(\eta)^{-1}) = \eta(-1) G(\eta)^{-1}$, $\sigma_{a}(\Omega t^{-1}) = \det_\Delta(a) a^{-1} \Omega t^{-1} = \omega_\Delta(a) \, \Omega t^{-1}$, on obtient 
%\[ [ \varphi^{-n} \partial^{-j} z, G(\eta)^{-1} \Omega t^{-1} \otimes f_2 )]_{\rm dif}  = \eta(-1) \, \text{r�s}_L \big( (  \varphi^{-n} \partial^{-j} z \wedge (G(\eta)^{-1} \Omega t^{-1} \otimes f_2 )) \otimes e_{\omega_\Delta}^\vee \big). \]
%%$$ \text{r�s}_L( (  \varphi^{-n} \partial^{-j} z \wedge  \sigma_{-1} (G(\eta)^{-1} \Omega t^{-1} \otimes f_2) ) \otimes e_{\omega_\Delta}^\vee) = \omega_\Delta(-1) \eta(-1) \text{r�s}_L( (  \varphi^{-n} \partial^{-j} z \wedge (G(\eta)^{-1} \Omega t^{-1} \otimes f_2 )) \otimes e_{\omega_\Delta}^\vee). $$
%Or, la formule \[ x \wedge (h \otimes f_i) = h \langle x, 1 \otimes f_{3-i} \rangle_{\rm dR} ((1 \otimes f_{3-i}) \wedge (1 \otimes f_i)) = h \langle x, 1 \otimes f_{3-i} \rangle_{\rm dR} (-1)^{i + 1} \Omega^{-1} dt \otimes e_{\omega_\Delta}, \] $x \in \Delta_{\rm dif}$, $h \in L_\infty((t))$ et $i = 1, 2$, et la d�finition de $\text{r�s}_L$ comme la compos�e du r�sidu avec la trace de Tate normalis�e donnent
%$$ \text{r�s}_L \big( (  \varphi^{-n} \partial^{-j} z \wedge (G(\eta)^{-1} \Omega t^{-1} \otimes f_2 )) \otimes e_{\omega_\Delta}^\vee \big) = - \frac{p}{p-1} p^{-n} \, \mathrm{Tr}_{L_n / L} ( G(\eta)^{-1} \langle  [ \varphi^{-n} \partial^{-j} z ]_0, f_1 \rangle_{\rm dR}). $$ On conclut alors que
$$ [ \partial^{-{\j}} \tilde{z}, g^{3 - i}_{\eta, m}]_{\PP^1} = (-1)^{i + 1} \frac{p}{p-1} \omega_\Delta(p)^{-m} p^{j(m + n)} \eta(-1) p^{-n} \, \mathrm{Tr}_{L_n / L}( G(\eta)^{-1} \langle [\varphi^{n} \partial^{-j} z]_0, f_i \rangle_{\rm dR} ). $$
Enfin, en comparant avec la formule (\ref{eaea1}) on conclut que
$$ [ \partial^{-{\j}} \tilde{z}, g^{3 - i}_{\eta, m}]_{\PP^1} = (-1)^{i + 1} \frac{p}{(p-1)} \frac{(-1)^{\j}}{ ({\j} - 1)! } \eta(-1) \omega_\Delta(p)^{-m} p^{jm} \langle \exp^{-1}(\int_\Gamma \eta \chi^{\j} \cdot \mu_z) \otimes \mathbf{e}^{\rm dR, \vee}_{\eta, j}, f_i \rangle_{\rm dR}, $$
et on finit la preuve.
\end{proof}

%Soit $i \in \{1, 2 \}$. On dispose d'un isomorphisme $$ \mathrm{LA}_{\rm c}(\qpe, L_\infty)^\Gamma \otimes \mathrm{Sym}^{k - 1} \xrightarrow{\sim} \mathrm{LC}_{\rm c}(\qpe, (L_\infty[[t]] / t^k) \otimes \mathscr{L}_i)^\Gamma $$ donn� par $$ \phi \otimes e_1^i e_2^{k - 1 - i} \mapsto [x \mapsto (k - 1 - i)! \phi(x) (xt)^i \otimes f_i]. $$ Sous cet isomorphisme, la fonction $f^i_{\eta, m}$ correspond � $$ \frac{1}{(k - 1)!} G(\eta)^{-1} \xi_{\eta, m} \otimes e_1^0 e_2^{k - 1} $$ et la fonction $h^i_{\eta^{-1}, m}$ correspond � $$ (\omega_\pi(p) p^{k - 1})^m \cdot (G(\eta^{-1})^{-1} \Omega) \cdot \xi_{\eta^{-1} \omega_\pi, m} \otimes e_1^{k - 1} e_2^0. $$

\subsubsection{Vecteurs localement alg�briques} \label{vectlalg}

La repr�sentation $\Pi(\Delta)$ ne poss�de pas de vecteurs localement alg�briques et on va tordre l'action de $G$ de sorte que l'on fasse en appara�tre, ce qui nous permettra de regarder les fonctions $f^i_{\eta, k, m}$ et $g^i_{\eta, m}$ comme des �l�ments du mod�le de Kirillov d'une certaine repr�sentation localement alg�brique.

Reprenons les notations de la section \S \ref{Changement} et notons $\pi = \mathrm{LL}_p(\Delta)$ dans la suite. Rappelons qu'on a la relation $\omega_\pi = x \omega_\Delta$ entre les caract�res centraux de $\Pi(\Delta)$ et $\pi$. Soit $k \geq 1$ et soit $i \in \{1, 2\}$. On peut regarder les fonctions $f^i_{\eta, k, m}$ et $g^i_{\eta, m}$ comme des �l�ments de $\mathrm{LA}_{\rm c}(\qpe, L_\infty^{-k} \otimes M_{\rm dR})^{\Gamma}$ qui, d'apr�s le diagramme (\ref{Kirillovdiag}), s'identifie aux vecteurs localement alg�briques $\Pi(\Delta, k)^{\rm alg}$ de la repr�sentation $\Pi(\Delta, k)$.  Rappelons que l'on dispose des isomorphisme de $G$-modules (cf. remarque \ref{kiralg}) \[ \iota_i \colon \mathrm{LC}_{\rm c}(\qpe, L_\infty)^\Gamma \otimes \mathrm{Sym}^{k - 1} \otimes \det^{-k} \xrightarrow{\sim} \mathrm{LA}_{\rm c}(\qpe, L^{-k}_\infty \otimes M_{\rm dR})^\Gamma  , \] \[ \phi \otimes e_1^j e_2^{k - 1 - j} \mapsto [x \mapsto (k - 1 - j)! \phi(x) (xt)^{j-k} \otimes f_i], \;\;\; 0 \leq j \leq k - 1. \] Alors
\begin{itemize}
\item On a \footnote{Observons que $\eta$ est vu comme un caract�re sur $\qpe$ en posant $\eta(p) = 1$.} $f^i_{\eta, k, m}(p^n a) = 0$ si $n \neq m$ et \begin{eqnarray*} (-1)^{i + 1} \, f^i_{\eta, k, m}(p^m a) &=& (k-1)! G(\eta)^{-1} \eta(a) (a t)^{-k} \otimes f_i \\
&=& (k-1)! p^{mk} G(\eta)^{-1} \eta(p^m a) (p^mat)^{-k} \otimes f_i \end{eqnarray*} et donc $$ \iota_i^{-1}(f^i_{\eta, k, m}) = (-1)^{i + 1} p^{mk} G(\eta)^{-1} \xi_{\eta, m} \otimes e_1^0 e_2^{k - 1}, $$ o� $\xi_{\eta, m}$ est la fonction d�finie dans \S \ref{Kirillovaa}. 
\item On a $g^i_{\eta^{-1}, m}(p^n a) = 0$ si $n \neq m$ et
\begin{eqnarray*}
(-1)^{i + 1} \, g^i_{\eta^{-1}, m}(p^m a) &=& (G(\eta^{-1})^{-1} \Omega) \, \eta^{-1}(a) \mathrm{det}_\Delta(a) \, (a t)^{-1} \otimes f_i \\
&=& (\mathrm{det}_\Delta(p) p^{-1})^{-m} \, (G(\eta^{-1})^{-1} \Omega) \, \eta^{-1}(p^m a) \mathrm{det}_\Delta(p^m a) \, (p^m a t)^{- 1} \otimes f_i \\
&=& \omega_\Delta(p)^{-m} \, (G(\eta^{-1})^{-1} \Omega) \, \eta^{-1}(p^m a) \, \omega_\pi(p^m a) \, (p^m a t)^{- 1} \otimes f_i,
\end{eqnarray*}
o� pour la derni�re �galit� on a utilis� $\det_\Delta(a) = \omega_\pi(a)$. D'o� $$ \iota_i^{-1}(g^i_{\eta^{-1}, m}) = (-1)^{i + 1} \omega_\Delta(p)^{-m} \cdot (G(\eta^{-1})^{-1} \Omega) \cdot \xi_{\eta^{-1} \omega_\pi, m} \otimes e_1^{k - 1} e_2^0. $$
\end{itemize}

\begin{lemme} \label{formkir}
Soient $k \geq 1$ et $i \in \{ 1, 2 \}$. On a $$ w \ast_k f^i_{\eta, k, m} = (-1)^k p^{mk} \eta(-1) \omega_\Delta(p)^{-c(\pi \otimes \eta^{-1}) - m} \Omega^{-1} \frac{G(\eta^{-1})}{G(\eta)} \epsilon(\pi \otimes \eta^{-1}) g^i_{\eta^{-1}, -c(\pi \otimes \eta^{-1}) - m} $$
\end{lemme}

\begin{proof}
Par la discussion pr�c�dente et la proposition \ref{BHeqfonct}, on a \footnote{Le facteur $(-1)^k$ vient de l'action de $w$ sur le facteur $\det^{-k}$ du terme de gauche de l'isomorphisme $\iota_i$.}
\begin{eqnarray*}
w \ast_k f^i_{\eta, k, m} &=& \iota \left( {\matrice 0 1 1 0} \cdot \big( (-1)^{i + 1} p^{mk} G(\eta)^{-1} \, (\xi_{\eta, m} \otimes e_1^0 e_2^{k - 1}) \big) \right) \\
&=& (-1)^k (-1)^{i + 1} p^{mk} \eta(-1) G(\eta)^{-1} \epsilon(\pi \otimes \eta^{-1}) \iota \big( \xi_{\eta^{-1}\omega_\pi, -c(\pi \otimes \eta^{-1}) - m} \otimes e_1^{k - 1} e_2^0 \big) \\
&=& (-1)^k p^{mk} \eta(-1) \omega_\Delta(p)^{-c(\pi \otimes \eta^{-1}) - m} \Omega^{-1} \frac{G(\eta^{-1})}{G(\eta)} \epsilon(\pi \otimes \eta^{-1}) g^i_{\eta^{-1}, -c(\pi \otimes \eta^{-1}) - m},
\end{eqnarray*}
o�, dans la deuxi�me �galit� on a utilis� le fait que $\det {\matrice 0  1 1 0} = -1.$ Ceci permet de conclure.
\end{proof}

\subsection{L'�quation fonctionnelle: le cas de poids de Hodge-Tate nuls}

%\subsubsection{C�t� Iwasawa}

Soit $\Delta \in \Phi \Gamma(\Robba)$ De Rham, non triangulin et � poids de Hodge-Tate nuls comme dans \S \ref{phiGammadR}. Si $z \in \Delta^{\psi = 1}$, on note $w_\Delta(z) = \mathrm{Res}_\zp(w \cdot \tilde{z}) \in \Delta^{\psi = \omega_\Delta^{-1}(p)}$. L'�l�ment $w_\Delta(z)$ est aussi (cf. lemme \ref{dualiteinv}) l'unique �l�ment $x \in \Delta^{\psi = \omega_\Delta^{-1}(p)}$ tel que $(1 - \omega_\Delta^{-1}(p) \varphi) x = w_\Delta((1 - \varphi) z)$, o� $w_\Delta \colon \Delta^{\psi = 0} \to \Delta^{\psi = 0}$ est l'involution d�finie par restriction � $\zpe$ de l'action de ${\matrice 0 1 1 0}$ sur $\Delta \boxtimes \PP^1$.
%dans \cite[\S V.2.2]{ColmezPhiGamma} pour le cas �tale, et tordant convenablement en g�n�rale \footnote{Plus pr�cis�ment, si $\delta \colon \qp \to L^\times$ est tel que $\Delta(\delta)$ est �tale, alors $w_\Delta (z) := \delta(-1) (w_{\Delta(\delta)}(z \otimes e_\delta)) \otimes e_{\delta^{-1}}$. }.

On est maintenant en condition de montrer le r�sultat principal de cette section:

% Vieille version
%\begin{theorem} \label{eqfonct1}
%Soient $\alpha \in L^\times$ tel que $v_p(\alpha) \in \Z$, $z \in \Delta^{\psi = \alpha}$ et notons $\check{z} = w_\Delta(z) \otimes e_{\omega_\Delta}^\vee \in \check{\Delta}^{\psi = \alpha}$. Soient $\eta \colon \zpe \to L^\times$ un caract�re d'ordre fini, $i \in \{ 1, 2 \}$ et $m \in \Z$. Alors \[ \exp^*(\int_\Gamma \eta \chi^{-j} \cdot \mu_{\check{z}}) \otimes \mathbf{e}^{\rm dR, \vee}_{\eta, -j, \omega_\Delta^\vee} = C(\Delta, \eta, j) \cdot \exp^{-1}(\int_\Gamma \eta^{-1} \chi^{j} \cdot \mu_z) \otimes \mathbf{e}^{\rm dR, \vee}_{\eta^{-1}, j}, \] o� \[ C(\Delta, \eta, j) = \eta(-1) \frac{(-1)^{j}}{(j - 1)!^2} \Omega^{-1} \alpha^{c(\pi \otimes \eta^{-1})} \frac{G(\eta^{-1})}{G(\eta)} \epsilon(\pi \otimes \eta^{-1} \otimes | \cdot |^j) , \] pour tout $j \geq 1$.
%\end{theorem}

\begin{theorem} \label{eqfonct1}
Soient $z \in \Delta^{\psi = 1}$ et notons $\check{z} = w_\Delta(z) \otimes e_{\omega_\Delta}^\vee \in \check{\Delta}^{\psi = 1}$. Soient $\eta \colon \zpe \to L^\times$ un caract�re d'ordre fini, $i \in \{ 1, 2 \}$ et $m \in \Z$. Alors \[ \exp^*(\int_\Gamma \eta \chi^{-j} \cdot \mu_{\check{z}}) \otimes \mathbf{e}^{\rm dR, \vee}_{\eta, -j, \omega_\Delta^\vee} = C(\Delta, \eta, j) \cdot \exp^{-1}(\int_\Gamma \eta^{-1} \chi^{j} \cdot \mu_z) \otimes \mathbf{e}^{\rm dR, \vee}_{\eta^{-1}, j}, \] o� \[ C(\Delta, \eta, j) = \Omega^{-1} \frac{(-1)^{j}}{(j - 1)!^2} \, \epsilon(\eta^{-1})^{-2} \epsilon(\pi \otimes \eta^{-1} \otimes | \cdot |^j) \] pour tout $j \geq 1$.
\end{theorem}

\begin{proof}
Il suffit de montrer le r�sultat en projetant sur $f_i$, pour $i \in \{ 1, 2 \}$. Soient $j \geq 0$ et $k \geq 1$ et notons
\[ A_i = (-1)^{i + 1} \langle \exp^*(\int_\Gamma \eta \chi^{-j-k} \cdot \mu_{\check{z}}) \otimes \mathbf{e}^{\rm dR, \vee}_{\eta, -j-k, \omega_\Delta^\vee}, f_i \rangle_{\rm dR}, \]
\[ B_i = (-1)^{i + 1} \langle \exp^{-1}(\int_\Gamma \eta^{-1} \chi^{j + k} \cdot \mu_z) \otimes \mathbf{e}^{\rm dR, \vee}_{\eta^{-1}, j+k} , f_i \rangle_{\rm dR}. \]

En posant $m = 0$ dans la formule de la proposition \ref{formexpd} on obtient
\[  A_i = \frac{p-1}{p} \eta(-1) \frac{\omega_\Delta(-1) (-1)^k}{(j+k-1)!} [ \partial^{\j} w \cdot \tilde{z}, f^{3-i}_{\eta, k, 0}]_{\PP^1}. \]
Or, on a
\[ \partial^j w \cdot \tilde{z} = w \cdot \partial^{-j} \tilde{z} = w \cdot \partial^k \partial^{-j-k} \tilde{z} = w \ast_{-k} \partial^{-j-k} \tilde{z} \]
et, en utilisant la formule $[g \ast_{-k} x, y]_{\PP^1} = \omega_\Delta(\det \; g)[x, g^{-1} \ast_k y]_{\PP^1}$ du lemme \ref{propinv}, on en d�duit
\[ [ \partial^{\j} w \cdot \tilde{z}, f^{3-i}_{\eta, k, 0}]_{\PP^1} = \omega_\Delta(-1) [ \partial^{-j-k} \tilde{z}, w \ast_k f^{3-i}_{\eta, k, 0}]_{\PP^1}. \]
Gr�ce au lemme \ref{formkir}, on sait que
\[ [ \partial^{-j-k} \tilde{z}, w \ast_k f^{3-i}_{\eta, k, 0}]_{\PP^1} = (-1)^k \eta(-1) \omega_\Delta(p)^{-c(\pi \otimes \eta^{-1})} \Omega^{-1} \frac{G(\eta^{-1})}{G(\eta)} \epsilon(\pi \otimes \eta^{-1}) [ \partial^{-j-k} \tilde{z}, g^{3 - i}_{\eta^{-1}, -c(\pi \otimes \eta^{-1})}]_{\PP^1}. \]
Enfin, en appliquant la proposition \ref{formexp} avec $j = j + k$, on a
\[ [ \partial^{-j-k} \tilde{z}, g^{3 - i}_{\eta^{-1}, -c(\pi \otimes \eta^{-1})}]_{\PP^1} = \frac{p}{p-1} \frac{(-1)^{j + k}}{(j + k - 1)!} \eta(-1) (\omega_\Delta(p) p^{- j- k})^{c(\pi \otimes \eta^{-1})} B_i . \] Observons que $\epsilon(\pi \otimes \eta^{-1}) p^{-c(\pi \otimes \eta^{-1})(j + k)} = \epsilon(\pi \otimes \eta^{-1} \otimes | \cdot |^{j + k})$. En simplifiant toutes ces jolies formules, et en utilisant la formule $\eta(-1) \frac{G(\eta^{-1})}{G(\eta)} = p^n G(\eta)^{-2} = \epsilon(\eta^{-1})^{-2}$, on obtient \[ A_i = \Omega^{-1} \frac{(-1)^{j+k}}{(j + k - 1)!^2} \, \epsilon(\eta^{-1})^{-2} \epsilon(\pi \otimes \eta^{-1} \otimes | \cdot |^{j + k}) \cdot B_i. \] Comme $j \geq 0$ et $k \geq 1$ ont �t� choisis arbitrairement, ceci ach�ve la d�monstration.


%En posant $m = 0$ dans la premi�re formule ci-dessus et en appliquant le troisi�me point du lemme \ref{propinv}, on obtient \footnote{Notons que, si bien l'on note $g \ast_{k}$ l'action de $G$ sur une fonction dans le mod�le de Kirillov dans la formule ci-dessous, cette action a �t� not�e juste $g \cdot $, vu que le $k$ est implicite dans l'espace et on n'a pas de risque de se tromper...}
%\[ \langle \exp^*(\int_\Gamma \eta \chi^{-{\j}} \cdot \mu_{\check{z}}) \otimes \mathbf{e}^{\rm dR, \vee}_{\eta, -j, \omega_D^\vee}, f_i \rangle_{\rm dR} = (p-1) \frac{(k - 1)!}{({\j} + k -1)!} \eta(-1) \omega_\Delta(-1) [\partial^{-{\j}} \tilde{z}, w \ast_{k} f^{3 - i}_{\eta, 0} ]_{\PP^1}. \]
%Par le lemme \ref{formkir}, cette expression co�ncide avec
%\[ = \frac{ \eta(-1) \omega_\Delta \omega_\pi(-1)}{(k - 1)!} \omega_D(p)^{-c(\pi \otimes \eta^{-1})} \Omega^{-1} G(\eta^{-1}) G(\eta)^{-1} \epsilon(\pi \otimes \eta^{-1}) [\partial^{-j} \tilde{z}, g^{3 - i}_{\eta^{-1}, - c(\pi \otimes \eta^{-1})} ]_{\PP^1} \]
%Or 
%\small{\[ [\partial^{-{\j}} \tilde{z}, g^{3 - i}_{\eta^{-1}, - c(\pi \otimes \eta^{-1})} ]_{\PP^1} = \frac{1}{p-1} \frac{(-1)^{\j}}{({\j} - 1)!} p^{-c(\pi \otimes \eta^{-1}) {\j}} \omega_D(-1) \omega_D(p)^{n(\eta^{-1}{\j})} \eta(-1) \langle \exp^{-1}(\int_\Gamma \eta^{-1} \chi^{\j} \cdot \mu_z) \otimes \mathbf{e}^{\rm dR, \vee}_{\eta^{-1}, j}, f_i \rangle_{\rm dR}. \]} En simplifiant toutes ces jolies formules on obtient
%\[ \langle \exp^*(\int_\Gamma \eta \chi^{-{\j}} \cdot \mu_{\check{z}}) \otimes \mathbf{e}^{\rm dR, \vee}_{\eta, -j, \omega_D^\vee}, f_i \rangle_{\rm dR} \] \[ = \frac{(-1)^{\j} \eta(-1)}{({\j} + k - 1)! ({\j} - 1)!} \cdot (\omega_D \omega_\Delta \omega_\pi (-1)) \cdot \Omega^{-1} \frac{G(\eta^{-1})}{G(\eta)} \cdot p^{- c(\pi \otimes \eta^{-1}) {\j}} \epsilon(\pi \otimes \eta^{-1}) \cdot \langle \exp^{-1}(\int_\Gamma \eta^{-1} \chi^{\j} \cdot \mu_z) \otimes \mathbf{e}^{\rm dR, \vee}_{\eta^{-1}, j}, f_i \rangle_{\rm dR} \]
%Enfin, on sait que $\omega_D \omega_\Delta \omega_\pi (-1) = (-1)^k \omega_\pi(-1) $ et que $$ p^{- c(\pi \otimes \eta^{-1}) {\j}} \epsilon(\pi \otimes \eta^{-1})  = \epsilon(\pi \otimes \eta^{-1}, {\j} + 1/2). $$ De plus, comme l'�galit� ci-dessus est vraie pour $i \in \{1, 2\}$, on peut omettre le produit scalaire et on en d�duit
%\[ \exp^*(\int_\Gamma \eta \chi^{-{\j}} \cdot \mu_{\check{z}}) \otimes \mathbf{e}^{\rm dR, \vee}_{\eta, -j, \omega_D^\vee} \] \[ = \frac{(-1)^{\j + k} \omega_\pi(-1) \eta(-1)}{({\j} + k - 1)! ({\j} - 1)!} \cdot \Omega^{-1} \frac{G(\eta^{-1})}{G(\eta)} \epsilon(\pi \otimes \eta^{-1}, {\j} + 1/2) \cdot \exp^{-1}(\int_\Gamma \eta^{-1} \chi^{\j} \cdot \mu_z) \otimes \mathbf{e}^{\rm dR, \vee}_{\eta^{-1}, j}, \]
%ce qui finit la d�monstration.
%%permet de conclure en remarquant que $\int_\Gamma \eta^{-1} \chi^{-j} \mu_{\sigma_{-1}(z)} = (-1)^j \eta(-1) \int_\Gamma \eta^{-1} \chi^{-j} \mu_z. $
\end{proof}

\begin{remarque} \leavevmode
\begin{itemize}
%\item Le m�me genre de calculs ont �t� faits par Nakamura (cf. \cite{Nakamura2}, proposition $3.15$) dans la bande critique, ce qui lui permet de d�montrer la conjecture $\epsilon$ locale de Kato (cf. \cite{Nakamura2} thm. 1.1) pour les repr�sentations de de Rham de dimension $2$ � poids de Hodge-Tate $k_1 \leq 0$ et $k_2 \geq 1$. Les calculs ci-dessus permettent, de la m�me mani�re, prouver cette conjecture pour toute repr�sentation de de Rham de dimension $2$, cf. \cite{epsilonKato}.
\item Si $\eta \colon \zpe \to L^\times$ est le caract�re trivial, la constante $C(\Delta, \eta, j)$ d�vient \[ C(\Delta, \eta, j) = \frac{(-1)^{j}}{(j - 1)!^2} \Omega^{-1} \epsilon(\pi \otimes | \cdot |^j). \]
\item La valeur $\Omega^{-1}$ n'est que superflue car elle appara�t aussi dans le terme de gauche comme facteur dans $\mathbf{e}^{\rm dR, \vee}_{\eta, -j, \omega_\Delta^\vee}$. L'�quation fonctionnelle du th�or�me ne d�pend donc pas du choix de la base $f_1$ et $f_2$ de $\DdR(\Delta)$.
\end{itemize}
\end{remarque}

%\subsubsection{C�t� analytique}
%
%Le th�or�me \ref{eqfonct1} nous permet de montrer une �quation fonctionnelle pour la fonction $\Lambda_{D, z}$.
%
%% Vieille preuve avec le r�sultat de BH
%
%%\begin{theorem} \label{eqfonct2} Soient $z \in \Delta^{\psi = 1}$, $\check{z} = w_\Delta(z) \otimes e_{\omega_\Delta^\vee} \in \check{\Delta}^{\psi = 1}$ et notons $\check{z}(-1) = \check{z} \otimes e_{-1}$. Soit $\eta \colon \zpe \to L^\times$ un caract�re de conducteur $p^n$, $n > m(\Delta)$, et soit $c_\eta \in \qpe$ tel que $\eta(1 + x) = \psi(c_\eta x)$ d�s que $v_p(x) > n/2$ (cf. prop. \ref{BHepsilon}). Soient $\mathfrak{U}_\Delta$ l'ouvert fourni par le th�or�me \ref{theo1} et $\kappa$ tel que $\eta \kappa \in \mathfrak{U}_\Delta$. Alors
%%\[ \Lambda_{\check{\Delta}(-1), \check{z}(-1)}(\eta \kappa \chi^{- 1}) \otimes \mathbf{e}^{\rm dR, \vee}_{-1, \omega_\Delta^\vee} = - p^{-n} \Omega^{-1} \omega_\pi(c_\eta)^{-1}\Lambda_{\Delta, z}(\eta^{-1} \kappa^{-1}). \]
%%\end{theorem}
%
%%\begin{proof}
%%Le r�sultat est une paraphrase du th�or�me \ref{eqfonct1} en termes de la fonction $\Lambda_{\Delta, z}$. Par densit� de Zariski des caract�res $\eta \chi^j$ dans $\mathfrak{B}(\eta, N(\Delta))$, il suffit de montrer le r�sultat pour les caract�res de la forme $\eta \chi^{j} \in \mathfrak{U}_\Delta$, $j \geq 1$.
%%
%%Sous l'hypoth�se sur le conducteur de $\eta$, on a $c(\pi \otimes \eta^{-1}) = 2n$ et, par la proposition \ref{BHepsilon}, \[ \epsilon(\pi \otimes \eta^{-1}) = \omega_\pi(c_\eta)^{-1} \epsilon(\eta^{-1})^2 = \omega_\pi(c_\eta)^{-1} p^{-n} G(\eta)^2. \] En utilisant la formule $\frac{G(\eta^{-1})}{G(\eta)} = \eta(-1) p^n G(\eta)^{-2}$ la constante $C(\Delta, \eta, j)$ du th�or�me \ref{eqfonct1} d�vient \[ C(\Delta, \eta, j) = \frac{(-1)^{j}}{(j - 1)!^2} \cdot \Omega^{-1} \omega_\pi(c_\eta)^{-1} p^{-2nj} . \]
%%
%%Par ailleurs, on a, par les formules du th�or�me \ref{propfin} (noter que $\Delta$ et $\check{\Delta}(-1)$ sont tous les deux � poids de Hodge Tate positifs), on a \small{\begin{eqnarray*}
%%\exp^*(\int_\Gamma \eta \chi^{-j} \cdot \mu_{\check{z}}) \otimes \mathbf{e}^{\rm dR, \vee}_{\eta, -j} &=& \exp^*(\int_\Gamma \eta \chi^{-j+1} \cdot \mu_{\check{z}(-1)}) \otimes \mathbf{e}^{\rm dR, \vee}_{\eta, -j} \\
%%&=& \frac{1}{(j - 1)!} p^{-nj} \Lambda_{\check{\Delta}(-1), \check{z}(-1)}(\eta \chi^{j-1}) \otimes \mathbf{e}^{\rm dR}_1 \in \DdR(\check{\Delta}) = M_{\rm dR} \otimes \mathbf{e}^{\rm dR}_{\omega_\Delta^\vee},
%%\end{eqnarray*}}
%%et
%%\[ \exp^{-1}(\int_\Gamma \eta^{-1} \chi^{j} \cdot \mu_z) \otimes \mathbf{e}^{\rm dR, \vee}_{\eta^{-1}, j} = (j - 1)! (-1)^{j - 1} p^{n(j - 1)} \Lambda_{\Delta, z}(\eta \chi^{- j}) \in M_{\rm dR}. \] \normalsize On en d�duit \[ \Lambda_{\check{\Delta}(-1), \check{z}(-1)}(\eta \chi^{j - 1}) \otimes \mathbf{e}^{\rm dR, \vee}_{-1, \omega_\Delta^\vee} = C(\Delta, \eta, j) \cdot p^{n(2j- 1)} (-1)^{j - 1} (j - 1)!^2 \Lambda_{\Delta, z}(\eta^{-1} \chi^{-j}), \] et donc \[ \Lambda_{\check{\Delta}(-1), \check{z}(-1)}(\eta \chi^{j - 1}) \otimes \mathbf{e}^{\rm dR, \vee}_{-1, \omega_\Delta^\vee} = - p^{-n} \Omega^{-1} \omega_\pi(c_\eta)^{-1}\Lambda_{\Delta, z}(\eta^{-1} \chi^{-j}), \] et ceci conclut la preuve.
%%
%%%$c(\pi \otimes \eta) = 2n$, d'o� $p^{2n(j + \frac{k -1}{2})}  \epsilon(\pi \otimes \eta^{-1}, j + 1/2) = \epsilon(\pi \otimes \eta^{-1}, 1 - k/2)$ et . Comme le caract�re central $\omega_{\pi \otimes \eta^{-1}}$ de $\pi \otimes \eta^{-1}$ est $\omega_\pi \eta^{-2}$, on a $\omega_{\pi \otimes \eta^{-1}} (-1) = \omega_{\pi}(-1)$, et on en d�duit $\omega_\pi(-1) \epsilon(\pi \otimes \eta^{-1}, 1 - k/2) = \epsilon(\check{\pi} \otimes \eta, \frac{2 - k}{2})^{-1}$. L'�galit� ci-dessus d�vient donc \[ \Lambda_{D, z}(\eta^{-1} \chi^{-j}) = (-1)^{k+1} \eta(-1) \Omega \epsilon(\check{\pi} \otimes \eta, 1 - k/2)  \Lambda_{\check{D}(k-1), \check{z}(k-1)}(\eta \chi^{j+k-1}) \otimes \mathbf{e}^{\mathrm{dR}, \vee}_{k-1, \omega_D^\vee}.\]
%%\end{proof}
%
%\begin{theorem} \label{eqfonct2} Soient $z \in \Delta^{\psi = 1}$, $\check{z} = w_\Delta(z) \otimes e_{\omega_\Delta^\vee} \in \check{\Delta}^{\psi = 1}$ et notons $\check{z}(-1) = \check{z} \otimes e_{-1}$. Soit $\eta \colon \zpe \to L^\times$ un caract�re de conducteur $p^n$, $n > m(\Delta)$, et soit $c_\eta \in \qpe$ tel que $\eta(1 + x) = \psi(c_\eta x)$ d�s que $v_p(x) > n/2$ (cf. prop. \ref{BHepsilon}). Soient $\mathfrak{U}_\Delta$ l'ouvert fourni par le th�or�me \ref{theo1} et $\kappa$ tel que $\eta \kappa \in \mathfrak{U}_\Delta$. Alors
%\[ \Lambda_{\check{\Delta}(-1), \check{z}(-1)}(\eta \chi^{j - 1}) \otimes \mathbf{e}^{\rm dR, \vee}_{-1, \omega_\Delta^\vee} = - p^{-n} \Omega^{-1} \epsilon(\eta^{-1} \otimes | \cdot |^{j})^{-2} \epsilon(\pi \otimes \eta^{-1} \otimes | \cdot |^{j}) \cdot \Lambda_{\Delta, z}(\eta^{-1} \chi^{-j}), \]
%\end{theorem}
%
%\begin{proof}
%Le r�sultat est une paraphrase du th�or�me \ref{eqfonct1} en termes de la fonction $\Lambda_{\Delta, z}$. Par densit� de Zariski des caract�res $\eta \chi^j$ dans $\mathfrak{B}(\eta, N(\Delta))$, il suffit de montrer le r�sultat pour les caract�res de la forme $\eta \chi^{j} \in \mathfrak{U}_\Delta$, $j \geq 1$.
%
%On a, par les formules du th�or�me \ref{propfin} (noter que $\Delta$ et $\check{\Delta}(-1)$ sont tous les deux � poids de Hodge Tate positifs), \small{\begin{eqnarray*}
%\exp^*(\int_\Gamma \eta \chi^{-j} \cdot \mu_{\check{z}}) \otimes \mathbf{e}^{\rm dR, \vee}_{\eta, -j} &=& \exp^*(\int_\Gamma \eta \chi^{-j+1} \cdot \mu_{\check{z}(-1)}) \otimes \mathbf{e}^{\rm dR, \vee}_{\eta, -j} \\
%&=& \frac{1}{(j - 1)!} p^{-nj} \Lambda_{\check{\Delta}(-1), \check{z}(-1)}(\eta \chi^{j-1}) \otimes \mathbf{e}^{\rm dR}_1 \in \DdR(\check{\Delta}) = M_{\rm dR} \otimes \mathbf{e}^{\rm dR}_{\omega_\Delta^\vee},
%\end{eqnarray*}}
%et
%\[ \exp^{-1}(\int_\Gamma \eta^{-1} \chi^{j} \cdot \mu_z) \otimes \mathbf{e}^{\rm dR, \vee}_{\eta^{-1}, j} = (j - 1)! (-1)^{j - 1} p^{n(j - 1)} \Lambda_{\Delta, z}(\eta \chi^{- j}) \in M_{\rm dR}. \] \normalsize On en d�duit, en utilisant le th�or�me \ref{eqfonct1}, \[ \Lambda_{\check{\Delta}(-1), \check{z}(-1)}(\eta \chi^{j - 1}) \otimes \mathbf{e}^{\rm dR, \vee}_{-1, \omega_\Delta^\vee} = C(\Delta, \eta, j) \cdot p^{n(2j- 1)} (-1)^{j - 1} (j - 1)!^2 \Lambda_{\Delta, z}(\eta^{-1} \chi^{-j}), \] et donc, en utilisant la formule $\epsilon(\eta^{-1})^{-2} p^{2nj} = (\epsilon(\eta^{-1}) p^{-nj})^{-2} = \epsilon(\eta^{-1} \otimes | \cdot |^{j})^{-2}$, \[ \Lambda_{\check{\Delta}(-1), \check{z}(-1)}(\eta \chi^{j - 1}) \otimes \mathbf{e}^{\rm dR, \vee}_{-1, \omega_\Delta^\vee} = - p^{-n} \Omega^{-1} \epsilon(\eta^{-1} \otimes | \cdot |^{j})^{-2} \epsilon(\pi \otimes \eta^{-1} \otimes | \cdot |^{j}) \cdot \Lambda_{\Delta, z}(\eta^{-1} \chi^{-j}), \] et ceci conclut la preuve.
%
%%$c(\pi \otimes \eta) = 2n$, d'o� $p^{2n(j + \frac{k -1}{2})}  \epsilon(\pi \otimes \eta^{-1}, j + 1/2) = \epsilon(\pi \otimes \eta^{-1}, 1 - k/2)$ et . Comme le caract�re central $\omega_{\pi \otimes \eta^{-1}}$ de $\pi \otimes \eta^{-1}$ est $\omega_\pi \eta^{-2}$, on a $\omega_{\pi \otimes \eta^{-1}} (-1) = \omega_{\pi}(-1)$, et on en d�duit $\omega_\pi(-1) \epsilon(\pi \otimes \eta^{-1}, 1 - k/2) = \epsilon(\check{\pi} \otimes \eta, \frac{2 - k}{2})^{-1}$. L'�galit� ci-dessus d�vient donc \[ \Lambda_{D, z}(\eta^{-1} \chi^{-j}) = (-1)^{k+1} \eta(-1) \Omega \epsilon(\check{\pi} \otimes \eta, 1 - k/2)  \Lambda_{\check{D}(k-1), \check{z}(k-1)}(\eta \chi^{j+k-1}) \otimes \mathbf{e}^{\mathrm{dR}, \vee}_{k-1, \omega_D^\vee}.\]
%\end{proof}
%
%\begin{remarque} Observons que, par la proposition \ref{BHepsilon}, on a, pour $n \gg 0$, $\epsilon(\pi \otimes \eta^{-1} \otimes | \cdot |^j) = \omega_\pi(c_{\eta^{-1}})^{-1} \epsilon(\eta^{-1} \otimes | \cdot |^j)^2$, d'o� l'�quation fonctionnelle du th�or�me s'�crit aussi sous la forme
%\[ \Lambda_{\check{\Delta}(-1), \check{z}(-1)}(\eta \kappa \chi^{- 1}) \otimes \mathbf{e}^{\rm dR, \vee}_{-1, \omega_\Delta^\vee} = - p^{-n} \Omega^{-1} \omega_\pi(c_{\eta^{-1}})^{-1} \cdot \Lambda_{\Delta, z}(\eta^{-1} \kappa^{-1}). \]
%\end{remarque}

\subsection{L'�quation fonctionnelle: cas de poids de Hodge-Tate $0$ et $k \geq 1$} \label{eqeq}


L'�quation fonctionnelle du th�or�me \ref{eqfonct1} peut �tre tordue pour obtenir une �quation fonctionnelle analogue quand le $(\varphi, \Gamma)$-module est de Rham � poids de Hodge-Tate $0, k \geq 1$. Commen�ons par fixer quelques notations.

%\subsubsection{Notations} \label{eqfonctknot}

Soient $k \geq 1$, $\mathscr{L} \subseteq M_{\rm dR}$ une droite et notons $D = \Delta_{k, \mathscr{L}}$. On a alors $\omega_D = \omega_\Delta x^k$ et l'involution $w_D$ sur $D^{\psi = 0}$ est donn�e par (la restriction � $D^{\psi = 0}$ de) l'action $w_\Delta \ast_{-k} z =  \partial^{-k} w_\Delta \cdot z =  w_\Delta \partial^k \cdot z$, $z \in D^{\psi = 0}$. Notons \[ \check{\Delta}[k] = \Delta \otimes \omega_\Delta^{-1} x^{-k}. \] Ce module contient tous les duaux de Tate des $(\varphi, \Gamma)$-modules de la forme $\Delta_{k, \mathscr{L}}$ (en effet, comme $\Delta_{k, \mathscr{L}}$ est de dimension $2$, son dual de Tate s'identifie � $\Delta_{k, \mathscr{L}} \otimes \omega_{\Delta_{k, \mathscr{L}}}^{-1} = \Delta_{k, \mathscr{L}} \otimes \omega_\Delta^{-1} x^{-k} \subseteq \Delta \otimes \omega_\Delta^{-1} x^{-k}$). Le module $D$ est � poids de Hodge-Tate $0$ et $k$ et les poids de Hodge-Tate de $\check{D}$ sont dont $1 - k$ et $1$, d'o� $\check{D}(k-1)$ est � poids $0, k$.

Soit $z \in D^{\psi = 1} \subseteq \Delta^{\psi = 1}$ et soit $y = (1 - \varphi) z \in D^{\psi = 0}$. Posons
\[ \check{y} = w_\Delta(y) \otimes e_{\omega_\Delta}^\vee \in \check{\Delta}^{\psi = 0}; \;\;\; \check{z} = \mathrm{Res}_\zp (w_\Delta(\tilde{z})) \otimes e_{\omega_\Delta}^\vee \in \check{\Delta}^{\psi = 1}, \]
\[ \check{y}[k] = w_D(y) \otimes e_{\omega_D}^\vee \in \check{\Delta}[k]^{\psi = 0} ; \;\;\; \check{z}[k] = \mathrm{Res}_\zp (w_D(\tilde{z})) \otimes e_{\omega_D}^\vee \in \check{\Delta}[k]^{\psi = 1}, \] On a bien \[ \check{y} = (1 - \varphi) \check{z}, \;\;\; \check{y}[k] = (1 - \varphi) \check{z}[k]. \] En effet,
\begin{eqnarray*}
(1 - \varphi) \check{z} &=& (1 - \varphi) (\mathrm{Res}_\zp (w_\Delta(\tilde{z})) \otimes e_{\omega_\Delta}^\vee ) = (1 - \omega_\Delta(p)^{-1} \varphi) \mathrm{Res}_\zp (w_\Delta(\tilde{z})) \otimes e_{\omega_\Delta}^\vee  \\
&=& \mathrm{Res}_\zpe \mathrm{Res}_\zp (w_\Delta(\tilde{z})) \otimes e_{\omega_\Delta}^\vee = w_\Delta(\mathrm{Res}_\zpe(z)) \otimes e_{\omega_\Delta}^\vee = \check{y}.
\end{eqnarray*}

%\subsubsection{C�t� Iwasawa}

L'�quation fonctionnelle du th�or�me \ref{eqfonct1} en poids de Hodge-Tate positifs prend la forme suivante:

% Vieille version
%\begin{theorem} \label{eqfonct1b}
%Avec les notations de \S \ref{eqfonctknot}, on a \[ \exp^*(\int_\Gamma \eta \chi^{-j} \cdot \mu_{\check{z}[k]}) \otimes \mathbf{e}^{\rm dR, \vee}_{\eta, -j, \omega_D^\vee} = C(D, \eta,  j) \cdot \exp^{-1}(\int_\Gamma \eta^{-1} \chi^{j} \cdot \mu_z) \otimes \mathbf{e}^{\rm dR, \vee}_{\eta^{-1}, j} \] o� \[ C(D, \eta, j) = - \eta(-1)  \frac{\Gamma^*(-j + 1)}{\Gamma^*(j +k)}  \, \Omega^{-1} \frac{G(\eta^{-1})}{G(\eta)} \epsilon(\pi \otimes \eta^{-1} \otimes | \cdot |^j) \] pour tout $j \geq 1$.
%\end{theorem}
%
%\begin{proof}
%Rappelons que l'op�rateur $\partial$ commute � la restriction et l'on a donc $\check{z}[k] = \partial^{-k} \mathrm{Res}_\zp(w_\Delta(\tilde{z})) \otimes e_{\omega_\Delta}^\vee \otimes e_{x^{-k}} = \partial^{-k} \check{z} \otimes e_{x^{-k}}$. On a alors, pour $n \gg 0$,
%\begin{eqnarray*}
%\exp^*(\int_\Gamma \eta \chi^{-j} \cdot \mu_{\check{z}[k]}) &=&  p^{-n} \, \mathrm{Tr}_{L_n / L}([\varphi^{-n}(\partial^{-k} \check{z} \otimes e_\eta \otimes e_{-j} \otimes e_{x^{-k}})]_0) \\
%&=&  p^{-n} \, \mathrm{Tr}_{L_n / L}([ t^{-k} \partial^{-k} \varphi^{-n} (\check{z} \otimes e_\eta \otimes e_{-j}) ]_0) \otimes t^k e_{x^{-k}}.
%\end{eqnarray*}
%Observons que, comme dans les d�monstrations des propositions \ref{formexpd} et \ref{formexp}, le terme $[ t^{-k} \partial^{-k} \varphi^{-n} (\check{z} \otimes e_\eta \otimes e_{-j}) ]_0$ appartient � $\DdR(\Delta \otimes \omega_{\Delta}^\vee \otimes \eta \chi^{-j}) = \DdR(D) \otimes \mathbf{e}_{\eta, -j, \omega_\Delta^\vee}^{\rm dR}$. Si $\varphi^{-n} (\mathrm{Res}_\zp(w_\Delta(\tilde{z}))) = \sum_n a_l t^l$, en utilisant l'�galit� $t^{-k} \partial^{-k} (a_l t^l) = \frac{1}{(l+1) (l + 2) \hdots (l + k)} a_l t^l$ pour $l \geq 0$, on en d�duit
%%\begin{eqnarray*}
%\[
%[ t^{-k} \partial^{-k} \varphi^{-n} (\check{z} \otimes e_\eta \otimes e_{-j}) ]_0 = \frac{1}{j (j+1) \cdots (j +k -1)} [ \varphi^{-n} (\check{z} \otimes \eta \otimes e_{-j}) ]_0 \]
%%&=& \omega_\Delta(p)^n G(\eta)^{-1} \Omega [t^{-k} \partial^{-k} \sum_l a_l t^l ]_{j - 1} \otimes \mathbf{e}^{\rm dR}_{\eta, -j, \omega_\Delta^\vee} \\
%%&=& \omega_\Delta(p)^n G(\eta)^{-1} \Omega \frac{1}{j (j+1) \cdots (j +k -1)} a_{j - 1} \otimes \mathbf{e}^{\rm dR}_{\eta, -j, \omega_\Delta^\vee} \\
%%&=& \frac{1}{j (j+1) \cdots (j +k -1)} [ \varphi^{-n} (\check{z} \otimes \eta \otimes e_{-j}) ]_0.
%%\end{eqnarray*}
%Comme $\mathbf{e}^{\rm dR, \vee}_{\eta, -j, \omega_D^\vee} \otimes t^k e_{x^{-k}} = \mathbf{e}^{\rm dR, \vee}_{\eta, -j, \omega_\Delta^\vee}$, on en d�duit
%\[ \exp^*(\int_\Gamma \eta \chi^{-j} \cdot \mu_{\check{z}[k]}) \otimes \mathbf{e}^{\rm dR, \vee}_{\eta, -j, \omega_D^\vee} = \frac{1}{ j (j+1) \cdots (j + k - 1)} \exp^*(\int_\Gamma \eta \chi^{-j} \cdot \mu_{\check{z}}) \otimes \mathbf{e}^{\rm dR, \vee}_{\eta, -j, \omega_\Delta^\vee}, \]
%
%Par le th�or�me \ref{eqfonct1}, on a 
%\[ \exp^*(\int_\Gamma \eta \chi^{-j} \cdot \mu_{\check{z}}) \otimes \mathbf{e}^{\rm dR, \vee}_{\eta, -j, \omega_\Delta^\vee} = C(\Delta, \eta, j) \cdot \exp^{-1}(\int_\Gamma \eta^{-1} \chi^{j} \cdot \mu_z) \otimes \mathbf{e}^{\rm dR, \vee}_{\eta^{-1}, j}, \] o� \[ C(\Delta, \eta, j) = \eta(-1) \frac{(-1)^{j}}{(j - 1)!^2} \Omega^{-1} \frac{G(\eta^{-1})}{G(\eta)} \epsilon(\pi \otimes \eta^{-1} \otimes | \cdot |^j), \]
%d'o�
%\small{ \[ \exp^*(\int_\Gamma \eta \chi^{-j} \cdot \mu_{\check{z}[k]}) \otimes \mathbf{e}^{\rm dR, \vee}_{\eta, -j, \omega_D^\vee} = \eta(-1) \frac{(-1)^{j}}{(j + k - 1)! (j - 1)!} \Omega^{-1} \frac{G(\eta^{-1})}{G(\eta)} \epsilon(\pi \otimes \eta^{-1} \otimes | \cdot |^j) \cdot  \exp^{-1}(\int_\Gamma \eta^{-1} \chi^{j} \cdot \mu_z) \otimes \mathbf{e}^{\rm dR, \vee}_{\eta^{-1}, j}, \]} \normalsize ce qui montre le lemme.
%\end{proof}

\begin{theorem} \label{eqfonct1b}
Les notations comme ci-dessus. On a, pour tout $j \geq 0$, \[ \exp^*(\int_\Gamma \eta \chi^{-j} \cdot \mu_{\check{z}[k]}) \otimes \mathbf{e}^{\rm dR, \vee}_{\eta, -j, \omega_D^\vee} = C(D, \eta,  j) \cdot \exp^{-1}(\int_\Gamma \eta^{-1} \chi^{j} \cdot \mu_z) \otimes \mathbf{e}^{\rm dR, \vee}_{\eta^{-1}, j}, \] o� \[ C(D, \eta, j) = - \Omega^{-1} \, \frac{\Gamma^*(-j + 1)}{\Gamma^*(j +k)}  \, \epsilon(\eta^{-1})^{-2} \epsilon(\pi \otimes \eta^{-1} \otimes | \cdot |^j). \]
\end{theorem}

\begin{proof}
Rappelons que l'op�rateur $\partial$ commute � la restriction et l'on a donc $\check{z}[k] = \partial^{-k} \mathrm{Res}_\zp(w_\Delta(\tilde{z})) \otimes e_{\omega_\Delta}^\vee \otimes e_{x^{-k}} = \partial^{-k} \check{z} \otimes e_{x^{-k}}$. On a alors, pour $n \gg 0$,
\begin{eqnarray*}
\exp^*(\int_\Gamma \eta \chi^{-j} \cdot \mu_{\check{z}[k]}) &=&  p^{-n} \, \mathrm{Tr}_{L_n / L}([\varphi^{-n}(\partial^{-k} \check{z} \otimes e_\eta \otimes e_{-j} \otimes e_{x^{-k}})]_0) \\
&=&  p^{-n} \, \mathrm{Tr}_{L_n / L}([ t^{-k} \partial^{-k} \varphi^{-n} (\check{z} \otimes e_\eta \otimes e_{-j}) ]_0) \otimes t^k e_{x^{-k}}.
\end{eqnarray*}
Observons que, comme dans les d�monstrations des propositions \ref{formexpd} et \ref{formexp}, le terme $[ t^{-k} \partial^{-k} \varphi^{-n} (\check{z} \otimes e_\eta \otimes e_{-j}) ]_0$ appartient � $\DdR(\Delta \otimes \omega_{\Delta}^\vee \otimes \eta \chi^{-j}) = \DdR(D) \otimes \mathbf{e}_{\eta, -j, \omega_\Delta^\vee}^{\rm dR}$. Si $\varphi^{-n} (\mathrm{Res}_\zp(w_\Delta(\tilde{z}))) = \sum_n a_l t^l$, en utilisant le fait que le terme de degr� $l$, $l \geq 0$, en $t$ de $t^{-k} \partial^{-k} (a_l t^l)$ est $\frac{1}{(l+1) (l + 2) \hdots (l + k)} a_l t^l$ on en d�duit
%\begin{eqnarray*}
\[
[ t^{-k} \partial^{-k} \varphi^{-n} (\check{z} \otimes e_\eta \otimes e_{-j}) ]_0 = \frac{1}{j (j+1) \cdots (j +k -1)} [ \varphi^{-n} (\check{z} \otimes \eta \otimes e_{-j}) ]_0 \]
%&=& \omega_\Delta(p)^n G(\eta)^{-1} \Omega [t^{-k} \partial^{-k} \sum_l a_l t^l ]_{j - 1} \otimes \mathbf{e}^{\rm dR}_{\eta, -j, \omega_\Delta^\vee} \\
%&=& \omega_\Delta(p)^n G(\eta)^{-1} \Omega \frac{1}{j (j+1) \cdots (j +k -1)} a_{j - 1} \otimes \mathbf{e}^{\rm dR}_{\eta, -j, \omega_\Delta^\vee} \\
%&=& \frac{1}{j (j+1) \cdots (j +k -1)} [ \varphi^{-n} (\check{z} \otimes \eta \otimes e_{-j}) ]_0.
%\end{eqnarray*}
Comme $\mathbf{e}^{\rm dR, \vee}_{\eta, -j, \omega_D^\vee} \otimes t^k e_{x^{-k}} = \mathbf{e}^{\rm dR, \vee}_{\eta, -j, \omega_\Delta^\vee}$, on en d�duit
\[ \exp^*(\int_\Gamma \eta \chi^{-j} \cdot \mu_{\check{z}[k]}) \otimes \mathbf{e}^{\rm dR, \vee}_{\eta, -j, \omega_D^\vee} = \frac{1}{ j (j+1) \cdots (j + k - 1)} \exp^*(\int_\Gamma \eta \chi^{-j} \cdot \mu_{\check{z}}) \otimes \mathbf{e}^{\rm dR, \vee}_{\eta, -j, \omega_\Delta^\vee}, \]

Par le th�or�me \ref{eqfonct1}, on a 
\[ \exp^*(\int_\Gamma \eta \chi^{-j} \cdot \mu_{\check{z}}) \otimes \mathbf{e}^{\rm dR, \vee}_{\eta, -j, \omega_\Delta^\vee} = C(\Delta, \eta, j) \cdot \exp^{-1}(\int_\Gamma \eta^{-1} \chi^{j} \cdot \mu_z) \otimes \mathbf{e}^{\rm dR, \vee}_{\eta^{-1}, j}, \] o� \[ C(\Delta, \eta, j) = \Omega^{-1} \, \frac{(-1)^{j}}{(j - 1)!^2} \, \epsilon(\eta^{-1})^{-2} \epsilon(\pi \otimes \eta^{-1} \otimes | \cdot |^j), \]
d'o� le r�sultat.
%\small{ \[ \exp^*(\int_\Gamma \eta \chi^{-j} \cdot \mu_{\check{z}[k]}) \otimes \mathbf{e}^{\rm dR, \vee}_{\eta, -j, \omega_D^\vee} = \eta(-1) \frac{(-1)^{j}}{(j + k - 1)! (j - 1)!} \Omega^{-1} \frac{G(\eta^{-1})}{G(\eta)} \epsilon(\pi \otimes \eta^{-1} \otimes | \cdot |^j) \cdot  \exp^{-1}(\int_\Gamma \eta^{-1} \chi^{j} \cdot \mu_z) \otimes \mathbf{e}^{\rm dR, \vee}_{\eta^{-1}, j}, \]} \normalsize ce qui montre le lemme.
\end{proof}

\begin{remarque}
Si $\eta \colon \zpe \to L^\times$ est le caract�re trivial, la constante $C(D, \eta, j)$ du th�or�me \ref{eqfonct1b} d�vient \[ C(D, \eta, j) = - \Omega^{-1} \, \frac{\Gamma^*(-j + 1)}{\Gamma^*(j +k)} \, \epsilon(\pi \otimes | \cdot |^j). \]
\end{remarque}

%\subsubsection{C�t� analytique}
%
%\begin{lemme} \label{dicttorsion} Notons $\check{z}[k](k-1) = \check{z}[k] \otimes e_{k-1} \in \check{D}(k - 1)^{\psi = 1}$. Alors
%\[ \Lambda_{\check{D}(k-1), \check{z}[k](k-1)}(\eta \chi^j) =  p^{nk} \Lambda_{\check{\Delta}(-1), \check{z}(-1)}(\eta \chi^{j - k}) \otimes \mathbf{e}^{\rm dR}_k \otimes t^k e_{x^{-k}}. \]
%\end{lemme}
%
%\begin{proof}
%Ce r�sultat un peu tautologique suit directement de la d�finition de l'application $\Lambda$. On a
%\begin{eqnarray*}
%\Lambda_{\check{D}(k-1), \check{z}[k](k-1)}(\eta \chi^j) &=& \sum_{a \in (\Z / p^n \Z)^\times} \eta(a) \sigma_a[\varphi^{-n} \big( \partial^j (1 - \varphi)(\partial^{-k} \check{z} \otimes e_{x^{-k}} \otimes e_{k-1}) \big)]_0 \\
%&=& \sum_{a \in (\Z / p^n \Z)^\times} \eta(a) \sigma_a[\varphi^{-n} \big( (\partial^j (1 - p^{-k} \varphi) \partial^{-k} \check{z}(-1)) \otimes t^{- k}e_{k} \otimes t^k e_{x^{-k}} \big)]_0 \\
%&=& p^{nk} \sum \eta(a) \sigma_a[\varphi^{-n} \big( \partial^{j-k} (1 - \varphi) \check{z}(-1) \big)]_0 \otimes \mathbf{e}^{\rm dR}_k \otimes t^k e_{x^{-k}} \\
%&=& p^{nk} \Lambda_{\check{\Delta}(-1), \check{z}(-1)}(\eta \chi^{j - k}) \otimes \mathbf{e}^{\rm dR}_k \otimes t^k e_{x^{-k}}.
%\end{eqnarray*}
%\end{proof}
%
%
%\begin{theorem} \label{eqfonct3}
%Soit $D \in \Phi\Gamma(\Robba)$ de Rham � poids de Hodge-Tate $0$ et $k \geq 0$. Soient $z \in D^{\psi = 1}$ et $\check{z} = \mathrm{Res}_\zp(w_D(\tilde{z})) \otimes e_{\omega_D}^\vee \in \check{D}^{\psi = 1}$. Soit $\eta \colon \zpe \to L^\times$ un caract�re de conducteur $p^n$ avec $n \geq m(\Delta)$ et soit $c_\eta \in \qpe$ comme dans la proposition \ref{BHepsilon}. Soient $\mathfrak{U}_\Delta \subseteq \mathfrak{X}$ l'ouvert fourni par le th�or�me \ref{theo1} et $\kappa$ tel que $\eta \kappa \in \mathfrak{U}_\Delta$. Alors
%\[ \Lambda_{\check{D}(k-1), \check{z}(k-1)}(\eta \chi^j) \otimes \mathbf{e}^{\rm dR, \vee}_{k-1, \omega_D^\vee} = -  \Omega^{-1} p^{n(k-1)} \epsilon(\eta^{-1} \otimes | \cdot |^{j - k + 1})^{-2} \epsilon(\pi \otimes \eta^{-1} \otimes | \cdot |^{j - k + 1}) \cdot \Lambda_{D, z}(\eta^{-1} \chi^{-j + k-1}). \]
%\end{theorem}
%
%\begin{proof}
%C'est une simple traduction du th�or�me \ref{eqfonct2} � l'aide du lemme \ref{dicttorsion} ci-dessus.
%\end{proof}
%
%\begin{remarque}
%En utilisant la proposition \ref{BHepsilon}, l'�quation fonctionnelle prend la forme suivante:
%\[ \Lambda_{\check{D}(k-1), \check{z}(k-1)}(\eta \chi^j) \otimes \mathbf{e}^{\rm dR, \vee}_{k-1, \omega_D^\vee} = - \Omega^{-1} p^{n(k - 1)} \omega_\pi(c_{\eta^{-1}})^{-1} \cdot \Lambda_{D, z}(\eta^{-1} \chi^{-j + k-1}). \]
%\end{remarque}

%\begin{remarque}
%Soit $z \in D^{\psi = 1}$ et notons $\check{z} = \mathrm{Res}_\zp(w_D(\tilde{z})) \otimes e_{\omega_D}^\vee \in \check{D}^{\psi = 1}$ et $y = (1 - \varphi) z$, $\check{y} = w_D(y) \otimes e_{\omega_D}^\vee$. Rappelons que $w_D = m_{\omega_D^{-1}} \circ w_*$. La formule (cf. \cite{ColmezMirabolique}, cor. V.5.2) \[ w_*(\check{y} \otimes e_\delta) = (\delta(-1) m_{\delta^2} \circ w_*(\check{y})) \otimes e_\delta \] appliqu�e � $\delta = \chi^{k-1}$ et la relation $\omega_{\check{D}(k-1)} = \chi^{2 (k-1)} \omega_{\check{D}}$ donnent
%\begin{eqnarray*}
%w_{\check{D}(k - 1)}(\check{y} \otimes e_{k-1}) &=& m_{\omega_{\check{D}(k-1)}^{-1}} \circ w_*(\check{y} \otimes e_{k-1}) \\
%&=& m_{\chi^{-2(k-1)} \omega_{\check{D}}^{-1}} \circ w_*(\check{y} \otimes e_{k-1}) \\
%&=& ((-1)^{k-1} \cdot m_{\chi^{-2(k-1)} \omega_{\check{D}}^{-1}} \circ m_{\chi^{2(k-1)}} \circ w_*(\check{y}) ) \otimes e_{k-1} \\
%&=& (-1)^{k-1} w_{\check{D}}(\check{y}) \otimes e_{k-1},
%\end{eqnarray*}
%d'o� $$ \check{\check{y}} = w_{\check{D}(k-1)}(\check{y} \otimes e_{k-1}) \otimes e_{\omega_{\check{D}(k-1)}}^\vee = (-1)^{k-1} w_{\check{D}}(\check{y}) \otimes e_{\omega_{\check{D}}}^\vee, $$ et comme  $\omega_{\check{D}} \cdot \omega_D = 1$ et $e_{\omega_D}^\vee \otimes e_{\omega_{\check{D}}}^\vee = 1$, on a
%\begin{eqnarray*}
%w_{\check{D}}(\check{y}) \otimes e_{\omega_{\check{D}}}^\vee &=& m_{\omega_{\check{D}}^{-1}} \circ w_*(w_D(y) \otimes e_{\omega_D}^\vee) \otimes e_{\omega_{\check{D}}}^\vee \\
%&=& \omega_D(-1) m_{\omega_D^{-1}} \circ w_*(w_D(y)) \otimes e_{\omega_D}^\vee \otimes e_{\omega_{\check{D}}}^\vee \\
%&=& \omega_D(-1) w_D(w_D(y)) \otimes e_{\omega_D}^\vee \otimes e_{\omega_{\check{D}}}^\vee \\
%&=& \omega_D(-1) y,
%\end{eqnarray*} et on en d�duit la formule \footnote{Voir les remarques faites juste avant le lemme \ref{dicttorsion} pour la premi�re �galit�.} \[ \check{\check{z}} = (1 - \varphi)^{-1}(\check{\check{y}}) = \omega_D(-1) (-1)^{k-1} z = \omega_\pi(-1) z. \]
%
%En appliquant deux fois le th�or�me \ref{eqfonct3}, on obtient donc
%\begin{eqnarray*}
%\Lambda_{D, z}(\eta^{-1} \chi^j) &=& C(D, \eta)^{-1} \cdot \Lambda_{\check{D}(k-1), \check{z}(k-1)}(\eta \chi^{-j+k-1}) \otimes \mathbf{e}^{\rm dR, \vee}_{k-1, \omega_D^\vee} \\
%&=& \omega_\pi(-1) C(D, \eta)^{-1} \cdot C(\check{D}(k-1), \eta^{-1})^{-1} \cdot \Lambda_{D, z}(\eta^{-1} \chi^j) \otimes \mathbf{e}^{\rm dR, \vee}_{k-1, \omega_{\check{D}(k-1)}^\vee} \otimes \mathbf{e}^{\rm dR, \vee}_{k-1, \omega_D^\vee},
%\end{eqnarray*} o� on a not� \footnote{Dans les formules ci-dessous, $\pi$ est la repr�sentation lisse associ�e � $D$ et $\pi(\check{D}(k-1))$ celle associ�e � $\check{D}(k-1)$. } \[ C(D, \eta) = - p^{n(k - 1)} \cdot \Omega_D^{-1} \omega_\pi(c_\eta)^{-1} \] \[ C(\check{D}(k-1), \eta^{-1}) = - p^{n(k - 1)} \cdot \Omega_{\check{D}(k-1)}^{-1} \omega_{\pi(\check{D}(k-1))}(c_{\eta^{-1}})^{-1}. \] Observons que, comme $|c_\eta| = p^n$ (comme on le voit sur la formule $\eta(1 + x) = \psi(c_\eta x)$), $\omega_\pi(c_\eta) = c_\eta^{1-k} \omega_D(c_\eta)$, et $\omega_D(c_\eta) \in \mathscr{O}_L^\times$, alors $p^{n(k-1)} \omega_\pi(c_\eta)^{-1} = p^{n(k-1)} c_\eta^{k-1} \omega_D(c_\eta)^{-1} \in \mathscr{O}_L^\times$ et donc $C(D, \eta) \in \mathscr{O}_L^\times$, et de m�me $C(\check{D}(k-1), \eta^{-1}) \in \mathscr{O}_L^\times$. Or, \[ \mathbf{e}^{\rm dR, \vee}_{k-1, \omega_{\check{D}(k-1)}^\vee} \otimes \mathbf{e}^{\rm dR, \vee}_{k-1, \omega_D^\vee} = t^{k-1} e_{1 - k} \otimes (\Omega_{\check{D}(k-1)} t^{k-1})^{-1} e_{\omega_{\check{D}(k-1)}} \otimes t^{k-1} e_{1 - k} \otimes (\Omega_{D} t^{k-1})^{-1} e_{\omega_D} \] et, comme $\omega_{\check{D}(k-1)} = \omega_D^{-1} \chi^{2(k-1)}$ et donc $e_{\omega_{\check{D}(k-1)}} = e_{\omega_D}^\vee \otimes e_{k-1}^{\otimes 2}$, on peut identifier \[ \mathbf{e}^{\rm dR, \vee}_{k-1, \omega_{\check{D}(k-1)}^\vee} \otimes \mathbf{e}^{\rm dR, \vee}_{k-1, \omega_D^\vee} = \Omega_{\check{D}(k-1)} \cdot \Omega_{D}. \] En simplifiant l'�quation fonctionnelle ci-dessus on obtient
%\[ 1 = \omega_\pi(-1) p^{-2n(k - 1)} \cdot \omega_\pi(c_\eta) \omega_{\pi(\check{D}(k-1))}(c_{\eta^{-1}}). \] Enfin, on sait que $\pi(\check{D}(k-1)) = \check{\pi} \otimes | \det |^{k-1}$ et $\omega_{\pi(\check{D}(k-1))} = \omega_{\check{\pi}} \cdot |x|^{2(k-1)}$ et $\omega_{\check{\pi}} = \omega_\pi^{-1}$. De plus, $c_{\eta^{-1}} = - c_\eta$ (car $\eta^{-1}(1 + x) = \eta(1 - x) = \psi(-c_{\eta} x)$ pour tout $x$ tel que $v_p(x) \geq \lfloor n/2 \rfloor + 1$, $1-x$ �tant l'inverse de $1+x$ modulo $p^n$), et comme $|c_\eta| = p^n$, on a alors \[ 1 = \omega_\pi(-1) \omega_\pi(c_\eta) \omega_{\check{\pi}}(c_{\eta^{-1}}) = \omega_\pi(-c_\eta) \omega_{\check{\pi}}(-c_{\eta}) = 1. \;\;\; (!) \]
%\end{remarque}

%\newpage
\section{La conjecture $\epsilon$ locale de Kato en dimension $2$}


\subsection{Notations}

Fixons les notations dont on aura besoin dans la suite, pour lesquelles on renvoie � \cite{Nakamura2}, \cite{Nakamura3}.

\begin{itemize}
\item Soit $A$ une $\zp$-alg�bre commutative satisfaisant l'une des deux conditions suivantes
\begin{itemize}
\item $A$ est un anneau semi-local noeth�rien complet pour la topologie d�finie pour son id�al de Jacobson $\mathrm{Jac}(A)$ et tel que $A / \ \mathrm{Jac}(A)$ est un anneau fini d'ordre une puissance de $p$.
\item $A = L$ est une extension finie de $\qp$.
\end{itemize}
Si $A$ satisfait une des ces conditions, on dit que $A$ est une $\zp$-alg�bre de type (*). Pour une telle $A$, on note $\Robba_A$ l'anneau de Robba relatif sur $A$ (cf. \S \ref{phiGammarel}) et notons $\Phi\Gamma^{\text{�t}}(\Robba_A)$ la cat�gorie des $(\varphi, \Gamma)$-modules �tales sur $\Robba_A$.

\item Soit $\D_{\rm perf}(A)$ la cat�gorie des complexes de $A$-modules parfaits (i.e quasi-isomorphes � un complexe born� de $A$-modules projectifs de type fini). On note \[ \mathrm{Det}_A: \D_{\rm perf}(A) \to \mathfrak{Inv}_A \] le foncteur d�terminant (cf. \cite[\S 3A]{Nakamura3}) vers la cat�gorie des $A$-modules inversibles (i.e localement libres de rang $1$). Si $P$ est un $A$-module projectif, on a $\mathrm{Det}_A(P) = \wedge_A^{r_P} P$, o� $r_P: \mathrm{Spec}\,A \to \Z$ d�note le rang de $P$. On note $\mathbf{1}_A = \mathrm{Det}_A(0) = A$ est l'objet unit� (relatif au produit induit par le produit tensoriel).

\item Soit $D \in \Phi\Gamma^{\text{�t}}(\Robba_A)$ de rang $2$ et de Rham. On pose \[ \Delta_{A, 1}(D) = \mathrm{Det}_A(\mathscr{C}^\bullet_{\varphi, \gamma}(D)) \] le d�terminant de la $\varphi, \gamma$-cohomologie de $D$ (cf. \S \ref{cohomphigamma}). Soit $\E_A$ d�finit comme pr�c�demment si $A = L$ est une extension finie de $\qp$ et $\E_A = \varprojlim A / \mathrm{Jac}(A)^n [[T]][T^{-1}]$ autrement. Notons $D_0 \in \Phi\Gamma^{\text{�t}}(\E_A)$ le $(\varphi, \Gamma)$-module correspondant � $D$. On d�finit
\[ \mathscr{L}_A(D) := \{ x \in \det_{\E_A} D_0 \mid \varphi(x) = \det_D(p) x, \; \sigma_a(x) = \det_D(a) \cdot x, \;\;\; a \in \zpe \} = A \cdot e_D, \] et on pose \[ \Delta_{A, 2}(D) = \mathscr{L}_A(D). \]
Enfin, on d�finit la droite fondamentale locale de $D$ comme \[ \Delta_{A}(D) = \Delta_{A, 1}(D) \otimes \Delta_{A, 2}(D). \] Cette droite est compatible au changement de base, multiplicative pour les suites exactes courtes et se comporte bien sous la dualit�.
\end{itemize}

Remarquons que, si $T \in \mathrm{Rep}_A \mathscr{G}_\qp$ et $i \in \{ 1, 2 \}$, on peut d�finir des modules $\Delta_{A, i}(T) \in \mathfrak{Inv}_A$ (cf. \cite[\S 1.7]{Kato2b}, \cite[\S 2.1.2]{Nakamura2}, \cite[\S 3B]{Nakamura3}) et on a (\cite[Corollary 3.2]{Nakamura3}, \cite[\S 2.2.2]{Nakamura2}) des isomorphismes canoniques
\[ \Delta_{A, i}(T) \cong \Delta_{A, i}(\D(T)). \]

\subsection{L'isomorphisme $\epsilon^{\rm dR}_{L}$}

Soient $A = L$ une extension finie de $\qp$ et $D \in \Phi\Gamma^{\text{�t}}(\Robba)$ de Rham. On a besoin (cf. \cite[\S 2.1.3]{Nakamura2}) de trois ingr�dients pour d�finir l'isomorphisme $\epsilon^{\rm dR}_{L}$:

\begin{itemize}
\item La suite exacte fondamentale et les propri�t�s d'adjonction entre les applications exponentielle et exponentielle duale induisent (\cite[\S 3C eq. (25)]{Nakamura3}) la suite exacte 
\begin{eqnarray*} 0 &\to& H^0_{\varphi, \gamma}(D) \to \Dcris(D) \to \Dcris(D) \oplus t_D \to H^1_{\varphi, \gamma}(D) \\
&\to& \Dcris(\check{D})^* \oplus t_{\check{D}}^* \to \Dcris(\check{D})^* \to H^0_{\varphi, \gamma}(\check{D})^* \to 0,
\end{eqnarray*}
o� $t_D = \DdR(D) / \mathrm{Fil}^0 \, \DdR(D)$. Par dualit�, on sait que $H^0_{\varphi, \gamma}(\check{D})^* = H^2_{\varphi, \gamma}(D)$ et $(t_{\check{D}})^* = \mathrm{Fil}^0 \, \DdR(D)$. Le d�terminant du complexe ci-dessus nous fournit donc un isomorphisme \[ \theta_L(D): \mathbf{1}_L \xrightarrow{\sim} \Delta_{L, 1}(D) \otimes \mathrm{Det}_L(\DdR(D)). \]

\item On note, pour $r \in \Z$, $n_r = \dim_L \mathrm{gr}^{-r} \DdR(D)$ et on d�finit \[ \Gamma_L(D) = \prod_{r \in \Z} \Gamma^*(r)^{-n_r}, \] o� $ \Gamma^*(r) = \left\{
  \begin{array}{c c}
    (r - 1)! & \quad \text{ si $r > 0$} \\
    \frac{(-1)^r}{(-r)!} & \quad \text{si $r \leq 0$}  \\
  \end{array}.
\right. $

\item Soit $h_D = \sum_{r \in \Z} r \, n_r$. On a un isomorphisme (o� on voit les deux espaces dans $\mathrm{Det}_{L_\infty((t))}(D_{\rm dif}))$
\[ \theta_{\rm dR, L}(D): \mathrm{Det}_L (\DdR(D)) \xrightarrow{\sim} \mathscr{L}_L(D), \;\;\; x \mapsto \epsilon(\D_{\rm pst}(D)) t^{h_D} x, \]
o� $\D_{\rm pst}(D) = \D_{\rm pst}(\mathbf{V}(D))$ est le $(\varphi, N, \mathscr{G}_\qp)$-module filtr� associ� � $D$ (cf. \cite[\S 3.2]{Berger08} et remarque \ref{dpst}) et $ \epsilon(\D_{\rm pst}(D))$ d�note le facteur local de la repr�sentation de Weil-Deligne (\cite{Deligne}) \footnote{La d�finition des facteurs epsilon d�pend du choix d'un caract�re additif ainsi que d'une mesure de Haar sur $\qp$ que l'on fixe comme dans \S \ref{replisses}. On sait, gr�ce � la compatibilit� locale-globale dans la correspondance de Langlands $p$-adique \cite{Emerton2}, que les facteurs locaux des repr�sentations de Weil-Deligne co�ncident avec les facteurs locaux des repr�sentations lisses fournies par la th�orie du mod�le de Kirillov. On pourrait donc d�finir les isomorphismes $\epsilon$ de de Rham en utilisant ces derniers et, dans ce cas-l�, la preuve de la conjecture pr�sent�e dans ce chapitre ne d�pendrait pas de telle compatibilit�, et elle serait en cons�quence purement locale.}. 
\end{itemize}

Avec les applications d�finies ci-dessus, on d�finit
\[ \epsilon^{\rm dR}_{L}: \mathbf{1}_L \xrightarrow{\Gamma_L(D) \theta_L(D)} \Delta_{L, 1}(D) \otimes \mathrm{Det}(\DdR(D)) \xrightarrow{1 \otimes \theta_{\rm dR, L}(D)} \Delta_L(D). \]

\subsection{�nonc� de la conjecture}

Rappelons (cf. \cite[\S 2.1.4]{Nakamura2}) la conjecture en question.

\begin{conjecture} \label{eaeaconj} Il existe une unique famille d'isomorphismes \[ \epsilon_{A}(D): \mathbf{1}_A \xrightarrow{\sim} \Delta_A(D), \] pour tout triplet $(A, D)$, avec $A$ une $\zp$ alg�bre de type (*) et $D \in \Phi\Gamma^{\text{�t}}(\Robba_A)$, satisfaisant les propri�t�s suivantes
\begin{enumerate}
\item Pour tout morphisme $A \to A'$ de $\zp$-alg�bres, on a
\[ \epsilon_{A}(D) \otimes 1_{A'} = \epsilon_{A'}(D \otimes_A A'). \]
\item Pour toute suite exacte $0 \to D' \to D \to D'' \to 0$ on a \[ \epsilon_{A}(D) = \epsilon_{A}(D') \otimes \epsilon_{A}(D''). \]
\item Pour tout $a \in \zpe$, si l'on remplace le syst�me $(\zeta_{p^n})_{n \in \N}$ par $(\sigma_a(\zeta_{p^n}))_{n \in \N} = (\zeta_{p^n}^a)_{n \in \N}$ et l'on note $\epsilon_{A, \sigma_a(\zeta)}$ la nouvelle famille d'isomorphismes ainsi obtenues, on a
\[ \epsilon_{A, \sigma_a(\zeta)}(D) = \det_D(a) \, \epsilon_{A, \zeta}(D). \]
\item La composition \[ \mathbf{1}_A \xrightarrow{\epsilon_{A, \zeta}(D)} \Delta_A(D) \xrightarrow{\sim} \Delta_A(\check{D})^* \xrightarrow{\epsilon_{A, \sigma_{-1}(\zeta)}(\check{D})^*} \mathbf{1}_A \] donne l'identit�, o� l'isomorphisme du milieu est celui induit par la dualit� locale.
\item Pour toute paire $(L, D)$, o� $L$ est une extension finie de $\qp$ et $D \in \Phi \Gamma^{\text{�t}}(\Robba_L)$ est de Rham, on a \[ \epsilon_{L}(D) = \epsilon_{L}^{\rm dR}(D). \]
\end{enumerate}
\end{conjecture}

\subsection{Construction de l'isomorphisme} \label{constructionisom}

Dans \cite{Nakamura2}, Nakamura construit, pour toute paire $(A, D)$ comme ci-dessus, un candidat pour l'isomorphisme $\epsilon_{A}: \mathbf{1}_A \xrightarrow{\sim} \Delta_A(D)$ et il d�montre le r�sultat suivant:

\begin{theorem} [{\cite[Th. 3.1]{Nakamura2}}]
Les isomorphismes $\epsilon_{A}(D)$, pour $(A, D)$ tel que $D$ est de rang $\leq 2$, satisfont les propri�t�s $(1), (2)$ et $(3)$ et $(4)$ de la conjecture. De plus, si $(A, D) = (L, D)$ est tel que $D$ est de Rham et soit triangulin soit non-triangulin � poids de Hodge-Tate $k_1 \leq 0$ et $k_2 \geq 1$, alors $\epsilon_{L}(D) = \epsilon_{L}^{\rm dR}(D)$.
\end{theorem}

Rappelons bri�vement la construction de l'isomorphisme (cf. \cite[\S 3.2.2]{Nakamura2} pour les d�tails). Soit $D \in \Phi\Gamma^{\text{�t}}(\Robba_A)$ absolument irr�ductible et notons $\mathbf{Dfm}(D) \in \Phi\Gamma^{\text{�t}}(\Robba^+_A(\Gamma))$ sa d�formation cyclotomique (\S \ref{cohomIw}) et
\[ \Delta_{A, i}^{\rm Iw}(D) = \Delta_{\Robba^+_A(\Gamma), i}(\mathbf{Dfm}(D)), \;\;\; i \in \{ 1, 2 \}. \]
L'op�rateur $1 - \varphi$ induit (\cite[Corollaire V.1.13(iii)]{ColmezPhiGamma}) un isomorphisme de $\Robba_A(\Gamma)$-modules $D^{\psi = 1} \otimes_{\Robba_A^+(\Gamma)} \Robba_A(\Gamma) \xrightarrow{\sim} D^{\psi = 0}$ et donc un isomorphisme
\[ \Delta_{A, 1}^{\rm Iw}(D) \otimes_{\Robba^+_A(\Gamma)} \Robba_A(\Gamma) \xrightarrow{\sim} \mathrm{Det}_{\Robba_A(\Gamma)}(D^{\psi = 0})^{-1}. \]
Comme $\mathscr{L}_{\Robba^+_A(\Gamma)}(\mathbf{Dfm}(D)) = \mathscr{L}_A(D) \otimes_A \Robba^+_A(\Gamma)$, l'isomorphisme ci-dessus induit
\[ \Delta_{A}^{\rm Iw}(D) \otimes_{\Robba^+(\Gamma)} \Robba_A(\Gamma) \xrightarrow{\sim} (\mathrm{Det}_{\Robba_A(\Gamma)}(D^{\psi = 0}) \otimes_A \mathscr{L}_A(D)^\vee )^{-1}. \]
Enfin, l'accouplement d'Iwasawa (cf. \S \ref{accIw}) nous permet de trivialiser ce dernier module en d�finissant un isomorphisme
\[ \mathrm{Det}_{\Robba_A(\Gamma)}(D^{\psi = 0}) \otimes_A \mathscr{L}_A(D)^\vee \xrightarrow{\sim} \Robba_A(\Gamma) \]
par $(x \wedge y) \otimes z^\vee \mapsto [\sigma_{-1}] \langle w_D(x) \otimes z^\vee \otimes e_1, y \rangle_{\rm Iw}.$ Ceci induit donc
\[ \eta_{A}(D): \mathbf{1}_{\Robba_A(\Gamma)} \xrightarrow{\sim} \Delta_A^{\rm Iw}(D) \otimes_{\Robba^+_A(\Gamma)} \Robba_A(\Gamma). \]

On montre (cf. \cite[Prop. 3.4]{Nakamura2}) que l'isomorphisme $\eta_{A}(D)$ descend en un isomorphisme
\[ \epsilon^{\rm Iw}_{A}(D): \mathbf{1}_{\Robba_A^+(\Gamma)} \xrightarrow{\sim} \Delta_A^{\rm Iw}(D) \]
et, pour $\delta: \zpe \to A^\times$ un caract�re localement analytique, on d�finit
\[ \epsilon_{A}(D(\delta)) = \epsilon^{\rm Iw}_{A}(D(\delta)) \otimes_{\Robba^+(\Gamma), f_\delta} 1_A: \mathbf{1}_A \xrightarrow{\sim} \Delta_A^{\rm Iw}(D) \otimes_{\Robba^+_A(\Gamma), f_\delta} A \xrightarrow{\sim} \Delta_A(D(\delta)), \]
o� on note $f_\delta: \Robba^+_A(\Gamma) \to A$ le morphisme induit par $[\gamma] \mapsto \delta(\gamma)$, $\gamma \in \Gamma$.

Si on d�roule les d�finitions ci-dessus (cf. aussi \cite[Rem. 3.8]{Nakamura2}), on voit que la trivialisation du module $\Delta_A^{\rm Iw}(D) = \mathrm{Det}(D^{\psi = 1}) \otimes_A \mathscr{L}_A(D)^\vee \xrightarrow{\sim} \mathrm{Det}_{\Robba_A(\Gamma)}(D^{\psi = 0}) \otimes_A \mathscr{L}_A(D)^\vee$ construite pour d�finir l'isomorphisme $\epsilon_{A}(D(\delta))$ est induite par
\[ (x \wedge y) \otimes z^\vee \mapsto \int_\Gamma \delta \cdot \mu_{[\sigma_{-1}] \langle w_D((1 - \varphi)x \otimes z^\vee), (1 - \varphi) y \rangle_{\rm Iw}}. \]


\subsection{Interpolation}

%Reprenons les notations de \S \ref{eqeq} et soient $D \in \Phi\Gamma^{\text{�t}}(\Robba)$ de dimension $2$, de Rham non-triangulin � poids de Hodge-Tate $0$ et $k \geq 0$, $\mathscr{L} = \mathrm{Fil}^0 \, \DdR(D) \subseteq \DdR(D)$ sa filtration de Hodge et $\Delta = \Nrig(D) \in \Phi\Gamma(\Robba)$ qui est de Rham � poids de Hodge-Tate nuls de sorte que $D = \Delta_{k, \mathscr{L}}$.

Soit $D \in \Phi\Gamma^{\text{�t}}(\Robba)$ de dimension $2$, de Rham non-triangulin � poids de Hodge-Tate $0$ et $k \geq 0$. Pour $j \in \Z$, notons \footnote{Par un petit abus de notation, on note par $\langle \;,\; \rangle_{\rm dif}$ l'accouplement pour tous le diff�rents tordus de $D$.}
\[ \langle \;,\; \rangle_{\rm dif} \colon \DdR(\check{D}(-j)) \times \DdR(D(j)) \to L \]
l'accouplement naturel induit par restriction de l'accouplement $\langle \;,\; \rangle_{\rm dif}$ entre $\Ddif(\check{D}(-j))$ et $\Ddif(D(j))$ d�fini par $\langle x, y \rangle_{\rm dif} := T_L(\mathrm{r\acute{\mathrm{e}}s}_0(\langle x, y \rangle))$ pour $n \gg 0$, $x \in \Ddif(\check{D}(-j)) = \mathrm{Hom}(\Ddif(D(j)), L_\infty((t)) dt), y \in \Ddif(D(j))$ (cf. \cite[\S VI.3.4]{ColmezPhiGamma}). Notons que l'accouplement ci-haut n'est rient d'autre que l'accouplement $\{ \; , \; \}_{\rm dR}$ d�fini dans \S \ref{appsexp}. Rappelons que l'on a une identification entre $D(j) \otimes \omega_{D(j)}^\vee$ et $\check{D}(-j)$, envoyant $x \otimes e_{\omega_{D(j)}^\vee}$ sur la forme lin�aire $y \mapsto (x \wedge y) \otimes e_{\omega_{D(j)}^\vee}$. On en d�duit des isomorphismes entre $\Ddif(D(j)) \otimes \omega_{D(j)}^\vee$ et $\Ddif(\check{D}(-j))$ envoyant $x \otimes e_{\omega_{D(j)}^\vee}$ sur la forme lin�aire $y \mapsto (x \wedge y) \otimes e_{D(j)}^\vee dt$.

Rappelons que l'on a fix� une base $\{ f_1, f_2 \}$ de $\DdR(D)$, ce qui permet de fixer des bases $\{ f_1 \otimes \mathbf{e}^{\rm dR}_{j}, f_2 \otimes \mathbf{e}^{\rm dR}_{j} \}$ des modules $\DdR(D(j)) = \DdR(D) \otimes L \cdot \mathbf{e}^{\rm dR}_j$. Ce choix induit un produit scalaire
\[ \langle \;,\; \rangle_{\rm dR} \colon \DdR(D(j)) \times \DdR(D(j)) \to L \]
d�fini par la formule $x = \sum_{i = 1, 2} \langle x, f_i \otimes \mathbf{e}^{\rm dR}_j \rangle \, (f_i \otimes \mathbf{e}^{\rm dR}_j)$. Rappelons aussi que $\Omega$ est d�fini par la formule $ f_1 \wedge f_2 =  \Omega^{-1} t^{-k} e_{\omega_{D}} \cdot dt$.

\begin{lemme} \label{lemmeacc} Sous les identifications faites ci-dessus, on a, pour $x \in \DdR(\check{D}(-j))$, \[ \langle x, f_{i} \otimes \mathbf{e}^{\rm dR}_j \rangle_{\rm dif} = (-1)^{i} \langle x \otimes \mathbf{e}^{\rm dR, \vee}_{-j, \omega_D^\vee}, f_i \rangle_{\rm dR}. \]
\end{lemme}

\begin{proof}
En �crivant $x = x' \otimes e_{\omega_{D(j)}^\vee}$, $x' \in \Ddif(D)$, on a
\[ \langle x, f_{i} \otimes \mathbf{e}^{\rm dR}_j \rangle_{\rm dif} = T_L(\mathrm{r\acute{\mathrm{e}}s}_0( (x' \wedge (f_i \otimes \mathrm{e}_j^{\rm dR})) \otimes e_{D(j)}^\vee dt). \]
Or, \[ (x' \wedge (f_i \otimes \mathrm{e}_j^{\rm dR})) = \langle x', f_{3 - 1} \otimes \mathbf{e}^{\rm dR}_j \rangle_{\rm dR}  ( (f_{3-i} \otimes \mathbf{e}^{\rm dR}_j) \wedge (f_i \otimes \mathbf{e}^{\rm dR}_i)), \] et, comme $(f_{3 - i} \otimes \mathbf{e}^{\rm dR}_j \wedge f_i \otimes \mathbf{e}^{\rm dR}_j) = (f_{3 - i} \wedge f_i) \otimes \mathbf{e}^{\rm dR, \otimes 2}_j = (-1)^{i} \Omega^{-1} t^{-k -2j} e_{D(j)}$, on en d�duit
\[ \mathrm{r\acute{\mathrm{e}}s}_0( (x' \wedge (f_i \otimes \mathrm{e}_j^{\rm dR})) \otimes e_{D(j)}^\vee dt = (-1)^i \langle x \otimes \mathbf{e}_{\omega_{D(j)}^\vee}^{\rm dR, \vee}, f_i \otimes \mathbf{e}_j^{\rm dR} \rangle_{\rm dR} = (-1)^i \langle x \otimes \mathbf{e}_{-j, \omega_{D}^\vee}^{\rm dR, \vee}, f_i \rangle_{\rm dR} , \] ce qui permet de conclure.
\end{proof}

%\begin{proof}
%Observons d'abord que $\langle x, f_{i} \otimes \mathbf{e}^{\rm dR}_j \rangle_{\rm dif} = \langle x \otimes \mathbf{e}^{\rm dR}_j, f_{i} \rangle_{\rm dif}$. Notons \footnote{On voit tous ces �l�ments dans $D_{\rm dif} = \Delta_{\rm dif}$ et $\check{D}_{\rm dif} = \Delta_{\rm dif} \otimes \omega_{D}^\vee$. } $y = x \otimes \mathbf{e}^{\rm dR}_j \in \DdR(\check{\Delta})$ et $y' = t^{1 - k} (y \otimes e_{\omega_{D}}) \in \Ddif(D)$ de sorte que $y = t^{k - 1} y' \otimes e_{\omega_D}^\vee$. D'apr�s \cite[Lem. VI.4.16]{ColmezPhiGamma}, l'application $x \mapsto t^{k - 1} x \otimes e_{\omega_{D}}^\vee$ induit un isomorphisme de $\Delta_{\rm dif}$ sur son $L_\infty[[t]] \cdot dt$-r�seau dual dans $\check{D}_{\rm dif}$. On a alors
%\begin{eqnarray*} 
%\langle y, f_i \rangle_{\rm dif} &=& \langle t^{k - 1} y' \otimes e_{\omega_D}^\vee, f_i \rangle_{\rm dif} \\
%&=& \mathrm{r\acute{\mathrm{e}}s}_0(t^{k - 1} (y' \wedge f_i) \otimes e_{\omega_D}^\vee).
%\end{eqnarray*}
%Or, \[ y' \wedge f_i = \langle y', f_{3- i} \rangle_{\rm dR} \cdot (f_{3 - i} \wedge f_{i}) = (-1)^{i-1} \Omega^{-1} t^{-k} \cdot \langle y', f_{3- i} \rangle_{\rm dR} \cdot e_{\omega_D} \cdot dt. \] On en d�duit
%\[ \langle x, f_i \otimes \mathrm{e}^{\rm dR}_j \rangle_{\rm dif} = (-1)^{i-1} \langle \Omega^{-1} t^{1 - k} x \otimes \mathbf{e}^{\rm dR, \vee}_{-j} \otimes e_{\omega_D^\vee}^\vee, f_i \rangle_{\rm dR} = (-1)^{i-1} \cdot \langle x \otimes \mathbf{e}_{-j, \omega_D^\vee}^{\rm dR, \vee}, f_i \rangle_{\rm dR}, \] ce qui permet de conclure.
%\end{proof}

\begin{theorem} \label{conjepsilon}
Soit $D \in \Phi \Gamma^{\text{�t}}(\Robba)$ de rang $2$, de Rham non-triangulin. Alors \[ \epsilon_{L}(D) = \epsilon_{L}^{\rm dR}(D). \]
\end{theorem}

\begin{proof}
Soit $D \in \Phi\Gamma^{\text{�t}}(\Robba)$ de rang $2$, de Rham non-triangulin � poids de Hodge-Tate $0$ et $k \geq 0$. Pour montrer le th�or�me, il suffit de montrer que les isomorphismes epsilon co�ncident sur $D(j)$ pour tout $j \in \Z$. La preuve du th�or�me consiste � expliciter les deux isomorphismes en question pour se ramener � l'�quation fonctionnelle des th�or�mes \ref{eqfonct1} et \ref{eqfonct1b}.

La suite exacte d�finissant le morphisme $\theta_L(D)$ acquiert, dans le cas non-triangulin, la forme suivante: 
\begin{equation} \label{suiteexatedR}
0 \to \DdR(D(j)) / \mathrm{Fil}^0 \, \DdR(D(j)) \xrightarrow{\exp} H^1_{\varphi, \gamma}(D(j)) \xrightarrow{\exp^*} \mathrm{Fil}^0 \, \DdR(D(j)) \to 0.
\end{equation}
De plus, on sait que $H^0_{\varphi, \gamma}(D(j)) = H^2_{\varphi, \gamma}(D(j)) = 0$ et donc $\mathrm{Det}(\mathscr{C}^\bullet_{\varphi, \gamma}(D(j)) = \mathrm{Det}(H^1_{\varphi, \gamma}(D(j))^\vee$. On a trois situations possibles:
\begin{enumerate}
\item Soit $\mathrm{Fil}^0 \, \DdR(D(j)) = 0$ (le cas de poids de Hodge-Tate strictement positifs).
\item Soit $\dim_L \mathrm{Fil}^0 \, \DdR(D(j)) = 1$ (le cas de poids de Hodge-Tate $k_1 \leq 0$ et $k_2 > 0$).
\item Soit $\mathrm{Fil}^0 \, \DdR(D(j)) = \DdR(D(j))$ (le cas de poids de Hodge-Tate n�gatifs).
\end{enumerate}
Comme on a remarqu�, le deuxi�me cas a �t� trait� par Nakamura, et les deux autres cas sont en dualit� (condition $(4)$ de la conjecture). Il suffit donc de montrer le r�sultat dans le premier cas. Les deux lemmes suivants explicitent les deux isomorphismes en jeu.

\begin{lemme}
Le morphisme $\beta_{L}^{\rm dR}(D(j)) \colon \mathrm{Det}( H^1_{\varphi, \gamma}(D(j))) \to \mathscr{L}_L(D(j))$ d�duit de $\epsilon^{\rm dR}_{L}(D(j))$ satisfait \[ \beta^{\rm dR}_{L}(D(j)) \left( (\int_\Gamma \chi^j \cdot \mu_z) \wedge \exp (f_i \otimes \mathbf{e}^{\rm dR}_j) \right) = (-1)^{i} C_1 \, e_{D(j)}, \] o� \[ C_1 = \Gamma_L(D(j)) \, \Omega^{-1} \, \epsilon(\D_{\rm pst}(D(j))) \, \langle \exp^{-1}(\int_\Gamma \chi^j \cdot \mu_z) \otimes \mathbf{e}^{\rm dR, \vee}_j, f_{3 - i} \rangle. \]
\end{lemme}

\begin{proof}
Notons $\theta_1'(D(j)) \colon \mathrm{Det}(H^1_{\varphi, \Gamma}(D(j))) \to \mathrm{Det}(\DdR(D(j)))$ le morphisme qui s'en d�duit en prenant le d�terminant de la suite exacte \eqref{suiteexatedR}. On a alors
\begin{eqnarray*}
\theta_1'(D(j))\left( (\int_\Gamma \chi^j \cdot \mu_z) \wedge \exp(f_i \otimes \mathbf{e}^{\rm dR}_j) \right) &=& \exp^{-1}(\int_\Gamma \chi^j \cdot \mu_z) \wedge (f_i \otimes \mathbf{e}^{\rm dR}_j) \\
&=& \langle \exp^{-1}(\int_\Gamma \chi^j \cdot \mu_z), f_{3 - i} \otimes \mathbf{e}^{\rm dR}_j \rangle \cdot (f_{3 - i} \otimes \mathbf{e}^{\rm dR}_j \wedge f_i \otimes \mathbf{e}^{\rm dR}_j). \\
\end{eqnarray*}
Comme $(f_{3 - i} \otimes \mathbf{e}^{\rm dR}_j \wedge f_i \otimes \mathbf{e}^{\rm dR}_j) = (-1)^{i} \Omega^{-1} t^{-k -2j} e_{D(j)}$, la derni�re expression est �gale �
\[ (-1)^{i} \Omega^{-1}  \, t^{-k - 2j} \, \langle \exp^{-1}(\int_\Gamma \chi^j \cdot \mu_z) \otimes \mathbf{e}^{\rm dR, \vee}_j, f_{3 - i} \rangle \, e_{D(j)}. \]

On conclut � partir de la formule $\beta^{\rm dR}_{L} = \theta_2 \circ \theta_1 = \Gamma_L \cdot \theta_2 \circ \theta_1'$ que $\beta^{\rm dR}_{L}(D(j) \left( (\int_\Gamma \chi^j \cdot \mu_z) \wedge (f_i \otimes \mathbf{e}^{\rm dR}_j) \right)$ est donn� par
\[ (-1)^{i} \Gamma_L(D(j)) \, \Omega^{-1} \, \epsilon(\D_{\rm pst}(D(j))) \, \langle \exp^{-1}(\int_\Gamma \chi^j \cdot \mu_z) \otimes \mathbf{e}^{\rm dR, \vee}_j, f_{3 - i} \rangle \, e_{D(j)}, \] ce qui finit la preuve du lemme.
\end{proof}


\begin{lemme}
Le morphisme $\beta_{L}(D(j)) \colon \mathrm{Det}( H^1_{\varphi, \gamma}(D(j))) \to \mathscr{L}_L(D(j))$ d�duit de $\epsilon_{L}(D(j))$ satisfait \[ \beta_{L}(D(j)) \left( (\int_\Gamma \chi^j \cdot \mu_z) \wedge \exp (f_i \otimes \mathbf{e}^{\rm dR}_j) \right) = (-1)^{i}  C_2 \, e_{D(j)}.\] o�
\[ C_2 = (-1)^j \langle \exp^*(\int_\Gamma \chi^{-j} \cdot \mu_{\check{z}}) \otimes \mathbf{e}^{\rm dR, \vee}_{-j, \omega_D^\vee}, f_{3 - i} \rangle_{\rm dR}. \]
\end{lemme}

\begin{proof}
Soit $z' \in D^{\psi = 1}$ tel que $\int_\Gamma \chi^j \cdot \mu_{z'} = \exp( f_i \otimes \mathbf{e}^{\rm dR}_j)$. On a, par d�finition de $\beta_{L}(D(j))$ (cf. la derni�re formule de \S \ref{constructionisom}),
\begin{eqnarray*}
\beta_{L}(D(j)) \left( (\int_\Gamma \chi^j \cdot \mu_z) \wedge \exp (f_i \otimes \mathbf{e}^{\rm dR}_j) \right) &=& \int_\Gamma \chi^j \cdot \langle \sigma_{-1}((1 - \varphi) \check{z}), (1 - \varphi)  z' \rangle_{\rm Iw} \, e_{D(j)} \\
&=& \langle \exp^*(\int_\Gamma \chi^{-j} \cdot \mu_{\sigma_{-1}(\check{z})}), \exp^{-1}(\int_\Gamma \chi^j \cdot \mu_{z'}) \rangle_{\rm dif} \, e_{D(j)} \\ 
&=& (-1)^j \langle \exp^*(\int_\Gamma \chi^{-j} \cdot \mu_{\check{z}}), f_i \otimes \mathbf{e}^{\rm dR}_j \rangle_{\rm dif} \, e_{D(j)}, \\ 
\end{eqnarray*}
o� la deuxi�me �galit� suit du lemme \ref{lemme26}, et la derni�re suit par d�finition de l'action de $\Lambda$ sur la cohomologie d'Iwasawa. Par le lemme \ref{lemmeacc} ci-dessus, cette derni�re expression co�ncide avec
\[ (-1)^{i} (-1)^j \langle \exp^*(\int_\Gamma \chi^{-j} \cdot \mu_{\check{z}}) \otimes \mathbf{e}^{\rm dR, \vee}_{-j, \omega_D^\vee}, f_{3 - i} \rangle_{\rm dR} \, e_{D(j)}, \]
ce qui permet de conclure.
\end{proof}

Revenons � la preuve du th�or�me. Les poids de Hodge-Tate de la repr�sentation $D(j)$ sont $j \geq 1$ et $k+j \geq 1$ et on a \[ \Gamma(D(j)) = \Gamma^*(j)^{-1} \Gamma^*(k+j)^{-1} = \frac{1}{(j+k-1)! (j-1)!} = (-1)^{j-1} \frac{\Gamma^*(-j + 1)}{\Gamma^*(j + k)}. \] Enfin, la compatibilit� locale-globale dans la correspondance de Langlands $p$-adique pour $\mathrm{GL}_2(\qp)$ (\cite{Emerton2}) montre que \[ \epsilon(\D_{\rm pst}(D(j))) = p^{-c(\pi) j} \epsilon(\pi) = \epsilon(\pi \otimes | \cdot |^j), \] o� $\pi = \mathrm{LL}_p(\Nrig(D))$ est comme dans \S \ref{Changement}. Le th�or�me est donc �quivalent � l'identit�
\[ \exp^*(\int_\Gamma \chi^{-j} \cdot \mu_{\check{z}}) \otimes \mathbf{e}^{\rm dR, \vee}_{-j, \omega_D^\vee} = - \frac{\Gamma^*(-j + 1)}{\Gamma^*(j + k)}  \, \Omega^{-1} \, \epsilon(\pi \otimes | \cdot |^j) \, \exp^{-1}(\int_\Gamma \chi^j \cdot \mu_z) \otimes \mathbf{e}^{\rm dR, \vee}_j. \] \normalsize
On conclut en utilisant le th�or�me \ref{eqfonct1b} (voir aussi la remarque apr�s sa d�monstration) si $k \neq 0$, ou le th�or�me \ref{eqfonct1} si $k = 0$.
\end{proof}


%\newpage
%\nocite{*}
\bibliographystyle{acm}
\bibliography{bibliography}

\end{document}

epsilonfinal.bbl
\def\Dbar{\leavevmode\lower.6ex\hbox to 0pt{\hskip-.23ex \accent"16\hss}D}
  \def\cfac#1{\ifmmode\setbox7\hbox{$\accent"5E#1$}\else
  \setbox7\hbox{\accent"5E#1}\penalty 10000\relax\fi\raise 1\ht7
  \hbox{\lower1.15ex\hbox to 1\wd7{\hss\accent"13\hss}}\penalty 10000
  \hskip-1\wd7\penalty 10000\box7}
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  \setbox7\hbox{\accent"5E#1}\penalty 10000\relax\fi\raise 1\ht7
  \hbox{\lower1.15ex\hbox to 1\wd7{\hss\accent"7E\hss}}\penalty 10000
  \hskip-1\wd7\penalty 10000\box7}
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