D�formations �quivariantes des courbes stables I �tude cohomologique
Sylvain Maugeais
Let $k$ be a field, $C\to \Spec k$ be a stable curve and let $G$ be a finite group acting faithfully on the curve $C\to \Spec k$. In this article, we compute the vector space $\Ext^1_G(\Omega_{C/k}, \O_C)$, the sheaf $\Omega_{C/k}$ being the sheaf of relative differentials. This vector space is naturally isomorphic to the set of first order $G$-equivariant deformations of $C$. The computation we do here will be used in a future article.
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%Definition des chapitres

%\def\thechapter{\Roman{chapter}}
%\renewcommand\thesection{\arabic{section}}

%% Definition des c�sures
\hyphenation{ca-rac-t�-ri-sti-que}
\hyphenation{iso-mor-phi-smes}


%% Definition des polices de carateres speciales
\DeclareMathAlphabet{\mathpzc}{OT1}{pzc}{m}{it}

%% Definition fin de lemme
%\newcommand{\Epl}{{\hfill $\lrcorner$ \medskip}}

%% Definition des coefficients binomiaux
\def\binome#1#2{
\left(\scriptstyle{#1}\atop \scriptstyle{#2}\right )}

%Definition des theoremes, propositions, ....
\newtheorem{theorem}{Th\'eor\`eme}[subsection]
\newtheorem{proposition}[theorem]{Proposition}
\newtheorem{corollary}[theorem]{Corollaire}
\newtheorem{lemma}[theorem]{Lemme}
\newtheorem{conjecture}[theorem]{Conjecture}
\theorembodyfont{\upshape}
\newtheorem{definition}[theorem]{D\'efinition}
\newtheorem{remark}[theorem]{Remarque}
\newtheorem{exemple}[theorem]{Exemple}

% Numerotation des equations
\numberwithin{equation}{subsection}

% Fin de preuve
\newcommand{\qed}{\hfill $\Box$ \medskip}

% Fin d'exemple 
\def\Eex{\hfill $\lrcorner$ \medskip}

%Definition des Ensembles
\newcommand{\NN}{{\mathbb N}}
\newcommand{\ZZ}{{\mathbb Z}}
\newcommand{\QQ}{{\mathbb Q}}
\newcommand{\RR}{{\mathbb R}}
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\newcommand{\PP}{{\mathbb P}}
\renewcommand{\AA}{{\mathbb A}}
\newcommand{\FF}{{\mathbb F}}

\font\curve=rsfs10 at 10pt

%Definition des faisceaux et des courbes
\renewcommand{\O}{{\cal O}}
\renewcommand{\L}{{\cal L}}
\newcommand{\C}{{\cal C}}
\newcommand{\D}{{\cal D}}
\newcommand{\Y}{{\cal Y}}
\newcommand{\M}{{\cal M}}
\newcommand{\K}{{\cal K}}

%Definition des sch\'ema
\newcommand{\Is}{{\EuScript I}}
\newcommand{\Ms}{{\EuScript M}}

%Definition des schemas en groupe
\newcommand{\GGa}{\ensuremath{\mathbb G}_a}
\newcommand{\GGm}{\ensuremath{\mathbb G}_m}
\newcommand{\GG}{\ensuremath{\mathbb G}}
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\newcommand{\aalpha}{\ensuremath{\boldsymbol \alpha}}%{\alpha \hskip -3pt \alpha}}


%Definition des fonctions mathematiques
\newcommand{\Spec}{{\operatorname{Spec}\kern 1pt}}
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% definition de buildrel
\def\buildrel#1\over#2{\mathrel{\mathop{\kern 0pt#2}\limits^#1}}


\newcommand{\Ext}{{\mathrm{Ext}}}
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%% Definition des sch\'emas
\newcommand{\X}{{\mathcal X}}
\newcommand{\V}{{\mathcal V}}
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%% Definition des points
\newcommand{\p}{{\mathfrak p}}
\newcommand{\q}{{\mathfrak q}}

%% Categorie dea algebres ``artiniennes''
\newcommand{\A}{{\mathfrak A}}

%% Ideal maximal
\newcommand{\m}{{\mathfrak m}}
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%% Faisceaux
\newcommand{\F}{{\mathcal F}}
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%% Differentes
\newcommand{\dif}{{\mathfrak d}}

%% Vecteur tangent
\def\d#1{{\partial \over \partial #1}}

%% Derivee
\def\der#1{{\partial_{#1}}}

%% Commande pour les diagramme
\newcommand{\cart}{\ar@{}[dr] |{\square}}
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\begin{document}


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\title{D�formations �quivariantes des courbes stables I  �tude
cohomologique}

\author{Sylvain Maugeais}

\maketitle


\selectlanguage{english}

\begin{abstract}
Let $k$ be a field, $C\to \Spec k$ be a stable curve and let $G$ be a finite group
acting faithfully on the curve $C\to \Spec k$. In this article, we compute the 
vector space $\Ext^1_G(\Omega_{C/k}, \O_C)$, the sheaf $\Omega_{C/k}$ being the sheaf
of relative differentials. This vector space is naturally isomorphic to the 
set of first order $G$-equivariant deformations of $C$. The computation we do here 
will be used in a future article.  
\end{abstract}

\selectlanguage{francais}

\section{Introduction}

Soient $k$ un corps alg�briquement clos de caract�ristique $p \ge 0$, $C\to
\Spec k$ une courbe stable et $G$ un groupe fini agissant fid�lement
sur $C$. Le but de cet article est de d�crire l'ensemble des
d�formations �quivariantes du couple $(C, G)$. Il est bien connu
que cet ensemble est naturellement isomorphe �
$\Ext^{1}_{G} (\Omega_{C/k}, \O_C)$ o� $\Omega_{C/k}$ d�signe le
faisceau des diff�rentielles relatives.


Lorsque $p$ ne divise pas l'ordre de $G$, il est assez facile de
d�crire l'espace vectoriel $\Ext^{1} (\Omega_{C/k}, \O_C)$ (cf. par
exemple \cite{Tuffery}). Les
vrais probl�mes apparaissent lorsque $p$ divise l'ordre de $G$. Sous
des hypoth�ses suppl�mentaires, ce probl�me a d�j� �t� �tudi�  par
plusieurs auteurs. Parmi ceux-ci, citons Laudal et L�nsted dans
\cite{Laudal_Lonsted} qui ont ainsi prouv� la lissit� de l'espace des
modules des courbes hyperelliptiques en caract�ristiques $2$ ; Bertin
et M�zard dans \cite{BertinMezard} qui ont �tudi� le cas g�n�ral des
courbes lisses munies d'une action d'un $p$-groupe cyclique ;
Cornelissen et Kato dans \cite{CornelissenKato} qui travaillent avec des
groupes g�n�raux et supposent que les courbes sont lisses et
ordinaires.


Lorsque $C\to \Spec k$ est une courbe stable, l'�tude se complique
pour plusieurs raisons. La premi�re est, bien s�r, l'existence de
singularit� et peut �tre trait�e de mani�re purement locale. La
deuxi�me vient du fait que $G$ peut op�rer trivialement sur certaines
composantes irr�ductibles. Ce dernier probl�me est donc plus subtil
car il est de nature globale.

D�crivons maintenant le plan de cet article. La deuxi�me section fixe
le cadre de l'�tude et �nonce des r�sultats classiques concernant les
d�formations �quivariantes. Dans la troisi�me section,  nous
nous concentrons sur le cas local. Tout d'abord nous pr�cisons
certains r�sultats obtenus par Bertin et M�zard dans le cas lisse.
Plus pr�cis�ment, dans le cas o� $G$ est un groupe cyclique, nous 
d�crivons l'existence d'une base de l'espace des champs de vecteurs ayant une trace 
nulle sous l'action de $G$ (cf. Th�or�me \ref{ElementNonNulTraceNulle}). 
Ce r�sultat est fondamental pour la suite 
et il appara�tra � plusieurs endroits. Nous passons ensuite au cas
singulier. L'id�e est de relier certaines d�formations �quivariantes �
l'�paississement de la singularit� et les autres aux d�formations
�quivariantes de la normalis�e de $C$ (cf. suite exacte \eqref{EquationPointDouble}).

Dans la deuxi�me partie, nous �tudions le cas global. Notons
$\pi:C\to C/G$ le morphisme quotient. Nous �tudions chaque terme du
diagramme suivant (dont les lignes et les colonnes sont exactes) :

\begin{footnotesize}
$$\xymatrix@C0.3cm{
 & & & 0 \ar[d] & \\
 & & & \H^0(C/G, \R^1 \pi_*^G \Omega_{C/k}^\vee)\ar[d] & \\
0 \ar[r] & \H^1(C/G, \ext^0_G(\Omega_{C/k}, \O_C)) \ar[r] & \Ext^1_G(\Omega_{C/k}, \O_C) \ar[r]\ar[rd]_{\textit{�p}} & \H^0(C/G, \ext^1_G(\Omega_{C/k}, \O_C)) \ar[r]\ar[d] & 0 \\
 & & & \H^0(C/G, \pi_*^G \ext^1(\Omega_{C/k}, \O_C)) & 
}$$
\end{footnotesize}

L'�tude du terme de gauche et du terme du haut (cf. Th�or�me
\ref{LienNormaliseGlobale}) est faite en se 
ramenant aux d�formations �quivariantes de la normalis�e et en
utilisant les r�sultats locaux obtenus dans la troisi�me
section. L'image de ${\textit{�p}}$ est le terme le plus compliqu�, son �tude 
n�cessite des m�thodes de recollement formel (contrairement � l'�tude
des autres termes qui repose seulement sur la cohomologie
�quivariante) et fait l'objet du th�or�me \ref{EpaississementPointdouble}. 

Cet article sera suivi d'une �tude de l'espace des modules des courbes
stables munies d'une action d'un groupe. Cette �tude utilisera les
r�sultats d�montr�s dans le pr�sent article et les illustrera. 

\medskip
\noindent{\bf Notations :} Soient $X$ un sch�ma, $G$ un groupe
agissant sur $X$ et $\p$ un point de $X$ (non n�cessairement ferm�). 
On notera $D_\p\subseteq G$ le stabilisateur de $\p$, $T_\p$ le
noyau de l'homomorphisme $D_\p \to \Aut(\Spec \O_{X, \p})$ et
$G_\p:=D_\p/T_\p$. 
 
Les formes diff�rentielles de $k[[x]]$ seront not�es $f(x) dx$, les champs
de vecteurs $f (x)\d x$ et la d�rivation par rapport � la variable $x$ sera
not�e $\der x$. 

La cohomologie �quivariante est le principal outil utilis� dans cet
article, les r�sultats utilis�s pourront �tre trouv�s dans \cite{Tohoku}.

\section{Rappels sur les d�formations �quivariantes}

\begin{definition}
Soient $G$ un groupe fini et $Y$ un sch�ma. Un \textit{$Y[G]$-sch�ma}
(ou $A[G]$-sch�ma si $Y=\Spec A$) est un couple $(X\to Y, i)$ o� $X$
est un $Y$-sch�ma et $i:G \to \Aut_Y(X)$ est un homomorphisme de
groupes. S'il  n'y a pas de confusion possible, on notera aussi $(X\to
Y, G)$, voire $(X, G)$, le couple $(X\to Y, i)$. Les $Y[G]$-sch�mas
forment une cat�gorie (les morphismes de $Y[G]$-sch�mas �tant les
morphismes de $Y$-sch�mas commutant � l'action de $G$). 
\end{definition}

Soient $k$ un corps, $G$ un groupe fini et $(X, G)$ un
$k[G]$-sch�ma. Notons $\A$ la cat�gorie des anneaux locaux artiniens
de corps r�siduel $k$. Une \textit{d�formation $G$-�quivariante} de
$(X, G)$ est un diagramme cart�sien (dans la cat�gorie des
$\ZZ[G]$-sch�mas) 
$$\xymatrix{
(X, G) \ar[r]\ar[d] & (\X, G) \ar[d]\\
\Spec \ k \ar[r] & \Spec A
}$$
o\`u $A$ est un objet de $\A$ et $\X \rightarrow \Spec A$ est un morphisme plat. Deux d�formations �quivariantes $(\X, G)$ et $(\X', G)$ au-dessus de $A$ sont dites isomorphes s'il existe un $A$-morphisme �quivariant $f:(\X, G) \rightarrow (\X', G)$ qui induit l'identit� sur $(X, G)$ (remarquons qu'alors $f$ induit un isomorphisme $\X \to \X'$ d'apr�s \cite{Deformation}, Lemma 3.3).

\begin{definition}\label{DefinitionRelevement}
Soient $A'$ un objet de $\A$ d'id�al maximal $\m_{A'}$ et ${\mathfrak
a} \subset A'$ un id�al tel que ${\m_{A'} \mathfrak a}=0$ ; notons
$A:=A'/{\mathfrak a}$. Soit $(\X, G)$ une d�formation $G$-�quivariante
de $(X, G)$ au-dessus de $\Spec A$. Un \textit{rel�vement �quivariant}
de $(\X, G)$ � $A'$ est une d�formation �quivariante $(\X', G)$ de
$(X, G)$ au-dessus de $\Spec A'$ telle que $(\X', G)\times _{\Spec A'}
\Spec A \cong (\X, G)$. 
\end{definition}

On a alors un r�sultat de classification des rel�vements �quivariants
en terme de groupes de cohomologie. 

\begin{theorem}[Illusie]
\label{EspaceTangent}
Soient $k$ un corps, $G$ un groupe fini, $X$ un $k$-sch�ma noe\-th�rien
r�duit et localement d'intersection compl�te muni d'une action de
$G$. Notons $\Omega_{X/k}$ le faisceau des diff�rentielles
relatives. Reprenons les notations de la d�finition
\ref{DefinitionRelevement} et supposons qu'il existe une d�formation
$G$-�quivariante $(\X, G)$ de $(X, G)$ au-dessus de $\Spec A$. 
\begin{enumerate}
\item Si $(\X', G)$ est un rel�vement �quivariant de $(\X, G)$ �
$\Spec A'$ alors le groupe des automorphismes (de rel�vement
�quivariant) de $(\X', G)$ est canoniquement isomorphe � $${\mathfrak
a} \otimes_k \Hom_{\O_X}(\Omega_{X/k}, \O_X)^G.$$ 
\item S'il existe un rel�vement de $(\X, G)$ � $\Spec A'$ alors il y a
une action canonique de ${\mathfrak a} \otimes_k
\Ext^1_G(\Omega_{X/k}, \O_X)$ sur l'ensemble des classes d'�quivalence
de rel�vements (modulo isomorphisme) de $(\X, G)$ � $\Spec A'$,
faisant de ce dernier un espace principal homog�ne. 
\end{enumerate}
De plus, si $X$ est le spectre d'un anneau local complet alors
$\Omega_{X/k}$ peut �tre remplac� par le module des diff�rentielles
compl�t�. 
\end{theorem}

Ce r�sultat est bien connu, on peut en trouver une preuve dans
\cite{IllusieI, IllusieII} o� dans \cite{DeformationWewers}.

L'ensemble des classes d'isomorphies de rel�vements de $(X, G)$ � 
$k[\varepsilon]/(\varepsilon^{2})$ (que nous appellerons 
\textit{d�formations du premier ordre}) s'identifie donc naturellement � 
$\Ext^1_G(\Omega_{X/k}, \O_X)$ car il existe une d�formation
�quivariante au-dessus de $\Spec k[\epsilon]/(\epsilon^2)$ (� savoir
la d�formation triviale $(X, G) \times_{\Spec k} \Spec
k[\epsilon]/(\epsilon^2)$). 

Nous nous limiterons � l'�tude de l'action des $p$-groupes en
caract�ristique $p >0$, cela �tant en partie justifi� par le lemme suivant.
\begin{lemma}
Soient $k$ un corps de caract�ristique $p > 0$, $X \to \Spec k$ un
morphisme de type fini et $G$ un groupe fini agissant sur $X \to \Spec
k$. Supposons que $G$ poss�de un unique sous-groupe de $p$-Sylow $H$
(en particulier, $H$ est distingu� dans $G$) alors on a un
isomorphisme canonique pour tout $i \ge 0$ 
$$\Ext^i_G(\Omega_{X/k}, \O_X) \to \Ext^i_H(\Omega_{X/k}, \O_X)^{G/H}.$$
\end{lemma}

\preuve On a une suite exacte
$$\textrm{III}_2^{j, \ell}=\H^j(G/H, \Ext^\ell_H(\Omega_{X/k},
\O_X))$$ qui converge vers $\Ext^{j+\ell}_G(\Omega_{X/k}, \O_X)$. Or
le cardinal de $G/H$ est inversible dans $k$ donc $\textrm{III}_2^{j,
\ell}=0$ pour tout $j \ge 1$. Le r�sultat est donc imm�diat. \qed 

Soit $C \to \Spec k$ une courbe semi-stable sur un corps
alg�briquement clos et munie de l'action d'un groupe fini $G$. Alors
on a, comme dans \cite{BertinMezard}, un morphisme local-global
reliant les d�formations �quivariantes globales du premier ordre aux
d�formations �quivariantes <<locales>> du premier ordre et s'ins�rant
dans une suite exacte 
\begin{multline*}
0 \to \H^1(C/G, \ext^0_G(\Omega_{C/k}, \O_C)) \to
\Ext^1_G(\Omega_{C/k}, \O_C) \to  \\ \to \H^0(C/G,
\ext^1_G(\Omega_{C/k}, \O_C))\to \H^2(C/G, \ext^0_G(\Omega_{C/k},
\O_C)). 
\end{multline*}
D'autre part, comme $C$ est une
courbe, on a $\H^2(C/G, \ext^0_G(\Omega_{C/k}, \O_C))=0$, ce qui donne
une premi�re filtration de $\Ext^1_G(\Omega_{C/k}, \O_C)$. Une
filtration de ce type a d�j� �t� utilis�e dans \cite{BertinMezard}
afin d'obtenir la surjectivit� du morphisme local-global. Toutefois,
dans le cas des courbes non irr�ductibles, le faisceau
$\ext^1_G(\Omega_{C/k}, \O_C)$ n'est pas, en g�n�ral, � support dans
un sous-sch�ma de dimension z�ro (ce sera le cas si l'action est libre
sur un ouvert dense) et ne fournit donc pas de morphisme
local-global. 

\section{�tude des d�formations locales}

Nous nous int�ressons dans cette section aux 
d�formations locales des courbes semi-stables. 

\subsection{D�formation des points lisses}
\label{DeformationPointLisse}
Soit $k$ un corps alg�briquement clos de caract�ristique $p>0$. Notons
$R=k[[x]]$, $X=\Spec R$, $\Omega=k[[x]] dx$ le module des
diff�rentielles compl�t� et $\nu_x$ la valuation normalis�e de $R$.  

L'une des notions fondamentales dans l'�tude  des d�formations
�quivariantes est celle de conducteur, et plus g�n�ralement celle de
suite de sauts de ramification.

\begin{definition}
\label{DefConducteurLisse}
Soit $G$ un $p$-groupe fini agissant sur $X=\Spec R$. Notons $G_0$
l'image de $G$ dans $\Aut X$ et  
$$G_i:=\{\sigma \in G_0 | \nu_x(\sigma(x)-x) \ge i+1\}$$ 
 les groupes de ramification sup�rieurs. La suite croissante $m_0,
\ldots, m_{n-1}$ des entiers $j \in \NN$ tels que $G_j \not = G_{j+1}$
sera appel�e la \textit{suite des sauts de ramification}. Si $G_0 \not
= \{Id\}$, l'entier $m_0$ sera appel� le \textit{conducteur} de $G$
(pour son action sur $R$). Dans le cas contraire, le conducteur de $G$
sera par convention $\infty$. 
\end{definition}

On remarquera que, dans la d�finition pr�c�dente, on ne suppose pas
que le groupe $G$ agit librement sur le corps des fractions. Les
groupes de ramification consid�r�s sont donc ceux de l'image de $G$
dans $\Aut X$. 

\begin{proposition}
\label{ProprieteConducteur}
Soit $G$ un $p$-groupe fini agissant sur $X=\Spec R$. Notons $G_0$
l'image de $G$ dans $\Aut X$ et supposons le non trivial. Alors la
suite $m_0, \ldots, m_{n-1}$ des sauts de ramification v�rifie les
propri�t�s suivantes : 
\begin{enumerate}[{\rm(i)}]
\item Pour tout $j \in \{1, \ldots, n-1\}$ on a $m_j = m_0 \mod p$.
\item On a $p \nmid m_0$.
\item Si $G$ est cyclique alors $|G_0| = p^{n}$.
\end{enumerate}
\end{proposition}

\preuve (i) cf. \cite{Corps_Locaux} Proposition IV.2.11. 
(ii) Soit $\sigma\in G$ d'ordre $p$. La th�orie d'Artin-Schreier
permet de voir que $m:=\nu_x(\sigma(x)-x)-1$ est premier � $p$. Le
r�sultat d�coule alors du point (i) car $m$ est un saut de la
filtration de ramification de $G$. 
(iii) Les groupes $G_i$ sont cycliques car $G$ est cyclique et comme
$G_i/G_{i+1}$ est un produit direct de groupes cycliques d'ordre $p$
d'apr�s \cite{Corps_Locaux} Corollaire IV.2.3, on a $G_i/G_{i+1}=0$ ou
$G_i/G_{i+1}=\ZZ/p\ZZ$. Le r�sultat est donc imm�diat. \qed 


\begin{exemple}
\label{ActionpCyclique}
Soient $k$ un corps de caract�ristique $p$ et $m$ un entier premier � $p$. Soit $\sigma$ un g�n�rateur de $\ZZ/p\ZZ$. D�finissons une action � gauche de $\ZZ/p\ZZ$ sur $k[[x]]$ par
$$\sigma^i(x)= {x \over (1+i x^m)^{1/m}}.$$
On montre ais�ment que ceci d�finit une action de $\ZZ/p\ZZ$ sur $k[[x]]$ de conducteur $m$. 
Notons $\d x$ la base de $\Hom_R(\Omega, R)$ telle que $\d x (dx)=1$. On a alors 
$$\sigma^i(dx)={1 \over (1+ix^m)^{1+1/m}} dx, \ \sigma^i\left(\d x\right) = (1+i x^m)^{1+1/m}\d x$$ 
(car $\left(\sigma^i\left(\d x\right)\right)(dx)=\sigma^i\left(\d x (\sigma^{-i}(dx))\right )$).
D'autre part on peut montrer que, quitte � changer d'uniformisante
$x$, toute action fid�le de $\ZZ/p\ZZ$ sur $k[[x]]$ ayant un
conducteur $m$ est de cette forme (cf. \cite{BertinMezard}, Lemme
4.2.1).  
\end{exemple}

Pour tout nombre r�el $\alpha$, notons $\lfloor \alpha \rfloor$ la
partie enti�re inf�rieure de $\alpha$ et $\lceil \alpha \rceil$ la
partie enti�re sup�rieure. On peut alors calculer la dimension de
l'espace tangent au foncteur des d�formations �quivariantes dans le
cas cyclique. 

\begin{theorem}[\cite{BertinMezard}, Th�or�me 4.1.1]
\label{DimensionLisse}
Soient $G$ un groupe cyclique d'ordre $p^n$ agissant fid�lement sur
$\Spec R$ et $\dif$ la valuation de la diff�rente de l'extension
$R/R^G$.  
On a 
$$\dim_k \Ext^1_G(\Omega, R)=\left\lfloor { 2 \dif \over p^n } \right\rfloor-\left\lceil { \dif \over p^n } \right\rceil.$$
\end{theorem}

Nous aurons besoin par la suite de savoir s'il existe des �l�ments de
$\Ext^1_G(\Omega, R)$ poss�dant certaines propri�t�s. Plus
pr�cis�ment, nous aurons besoin du r�sultat suivant.

\begin{theorem}
\label{ElementNonNulTraceNulle}
Soient $G$ un $p$-groupe cyclique agissant sur $X=\Spec R$, $G_0$
l'image de $G$ dans $\Aut X$ et $\dif$ la valuation de la diff�rente de l'extension
$R/R^G$. Alors il existe une base $\phi$ du $R$-module $\Hom(\Omega,
R)$ telle que $\Tr_G \phi = 0$ si et seulement si $2\dif+1 \not = 0
\mod |G_0|$ ou si $G \not = G_0$. 
\end{theorem}

Avant de passer � la d�monstration du th�or�me, nous
avons besoin de quelques r�sultats pr�liminaires.

\begin{lemma}
\label{TraceAdditive}
Soient $G \subset \Aut_k(R)$ un groupe fini et $H \subset G$ un
sous-groupe distingu�. Notons $y:= \prod_{\sigma \in H}
\sigma(x)$. Pour tout $\phi \in \Hom_{R}(\Omega,R)$ on a $$\Tr_G
\phi:=\sum_{\sigma \in G} \sigma. \phi = \Tr_{G/H} \left ( \left (
\Tr_{H} \phi \right)(dy)\d y \right ).$$  
\end{lemma}

\preuve C'est un corollaire imm�diat de la multiplicativit� de la
diff�rente (qui permet de voir que $\d x=\d x(dy) \d y$)  et du fait
que $\Tr_G = \Tr_{G/H} \circ \Tr_H$. \qed

\begin{lemma}
\label{CalculValuation}
Soient $G$ un groupe cyclique d'ordre $p^n$ agissant fid�lement sur
$R$ et $m_0, \ldots, m_{n-1}$ la suite des sauts de ramification. 
Soient $f \in R$, $\ell:=\nu_x(f)$ et  $z:=\prod_{\tau \in G}
\tau(x)$. Supposons que $2m_0+1 = 0 \mod p$ et que  
$$\ell+\sum_{i=0}^{n-2} p^i(2m_{n-i-1}+1)=0 \mod p^n$$
alors 
$$\nu_z \left ( \left ( \Tr_G f \d x \right ) (dz) \right )={1 \over
p^n}\left ( \ell+(p-1) \left ( \sum_{i=0}^{n-1} (2m_{n-1-i}+1)p^i
\right )\right ).$$  
\end{lemma}

\preuve On voit que cette propri�t� ne d�pend pas de l'uniformisante
$x$, on pourra donc s'autoriser � en changer.

Nous allons montrer ce lemme par r�currence sur $n$.
Supposons $n=1$, notons $\sigma$ un g�n�rateur de $G$ et �crivons
$f=\sum_{i=\ell}^\infty a_i x^i$. Les hypoth�ses du lemme impliquent que
$p | \ell$. 

Quitte � changer d'uniformisante, on peut supposer (cf. l'exemple
\ref{ActionpCyclique}) que l'action de $G$ est donn�e par  
$$\sigma(x)={x \over (1+x^{m_0})^{1/m_0}}.$$
On a donc $$\left ( \Tr_G  f \d x \right ) (dx) = \sum_{q=0}^{p-1}
\sum_{i=\ell}^\infty a_i x^i (1+qx^{m_0})^{1+1/m_0-i/m_0}.$$ 
Notons $\binome{\alpha}{n}$ les coefficients bin�miaux.
On a
\begin{eqnarray*}
\sum_{q=0}^{p-1}(1+qx^{m_0})^{1+1/m_0-i/m_0} & = & \sum_{j=0}^\infty
\binome{1+1/m_0-i/m_0}{j}x^{m_0j}
\underbrace{\sum_{q=0}^{p-1}q^{j}}_{\begin{tiny}
=\begin{cases}0 \textrm{ si } p-1 | j \\
1 \textrm{ sinon}\end{cases}\end{tiny}} \\ 
& = & -\sum_{j'=1}^\infty \binome{1+1/m_0-i/m_0}{(p-1)j'}x^{m_0(p-1)j'}.
\end{eqnarray*}

Le terme de degr� $m_0(p-1)+\ell$ de $\left ( \Tr_G f \d x \right )(dx)$ est donc
$$a_\ell \binome{1+1/m_0-\ell/m_0}{(p-1)}.$$ Ce terme est non nul car
$a_{\ell}\not=0$ et le terme bin�mial est non nul car $\ell=2m_{0}+1=0\mod p$.

En �crivant $dz=\d{x} (dz)dx$ et en utilisant la $k[[x]]$-lin�arit� de
$\Tr_{G} (f \d{x})$ on d�duit
\begin{eqnarray*}
\nu_x \left ( \left ( \Tr_G f \d x\right )(dz) \right )& = & \nu_x
\left ( \d x(dz)\right ) + \nu_x\left ( \left (\Tr_G  f\d x\right )
(dx)\right) \\ 
& = & (m_0+1)(p-1)+\ell+m_0(p-1).
\end{eqnarray*}
On a donc $\nu_z\left ( \left ( \Tr_G f \d x\right )(dz) \right ) = {1
\over p}(\ell+(2m_0+1)(p-1))$ car $k[[x]]/k[[z]]$ est totalement ramifi�e
de degr� $p$. 

\medskip

Supposons le r�sultat d�montr� au rang $n$ et montrons-le au rang
$n+1$. On a alors $$\ell+(p-1) \sum_{i=0}^{n-1} p^i (2m_{n-i}+1)=0 \mod
p^{n+1}$$ 
et $2m_n+1=0 \mod p$ car $m_n=m_0 \mod p$ (cf. proposition \ref{ProprieteConducteur}).
Notons $H$ un sous-groupe de $G$ d'ordre $p$ et $y:=\prod_{\sigma \in
H} \sigma(x)$. D'apr�s le calcul effectu� pour $n=1$ on trouve  
$$\nu_y\left ( \left (\Tr_H f \d x\right) (dy) \right)={1 \over
p}(\ell+(2m_n+1)(p-1))$$ (c'est bien un entier car $\ell+(p-1)(2m_n+1)=0
\mod p$). 

Notons $Q:=\left (\Tr_H f {\partial \over \partial x} \right ) (dy)$
et $\ell':=\nu_y(Q)$, on a  
$$\ell'+(p-1) \sum_{i=0}^{n-2} p^{i} (2m_{n-1-i}+1)=0 \mod p^{n}.$$    

On peut donc appliquer l'hypoth�se de r�currence � $Q \d y$ et on trouve 
$$\nu_z \left ( \left ( \Tr_{G/H} Q \d y \right )(dz) \right )={1
\over p^n}\left (\nu_y(Q)+(p-1) \sum_{i=0}^{n-1} p^i (2m_{n-i-1}+1)
\right )$$ car les sauts de ramification pour l'action de $G/H$ sur
$k[[y]]$ sont donn�s par la suite  $\{m_0, \ldots, m_{n-1}\}$ d'apr�s
\cite{Corps_Locaux} Corollaire IV.1. 
Le lemme \ref{TraceAdditive} permet d'�crire 
\begin{multline*}
\nu_z\left ( \left ( \Tr_G f \d x \right ) (dz) \right )  = \nu_z\left
( \left ( \Tr_{G/H} Q\d y \right )(dz) \right ) \\ 
 =  {1 \over p^n}\left ({1 \over p}(\ell+(p-1)(2m_n+1))+(p-1)
\sum_{i=0}^{n-1} p^i (2m_{n-i-1}+1) \right ) 
\end{multline*}
ce qui d�montre le r�sultat. \qed

\begin{lemma}
\label{ElementTraceNulleValuationFixee}
Soit $\sigma$ un automorphisme d'ordre $p$ de $k[[x]]$ de conducteur
$m<\infty$. Supposons que $2m+1 = 0 \mod p$ et donnons-nous $q \in \NN$
premier � $p$. Alors il existe $f \in k[[x]]$ tel que $\nu_x(f)=q$ et
$\Tr_{\langle \sigma \rangle} f {\partial \over \partial x} = 0$.  
\end{lemma}

\preuve Notons $z:=\prod_{i=0}^{p-1} \sigma^i(x)$ et 
$$\theta: \Hom_{k[[x]]}(k[[x]]dx, k[[x]]) \rightarrow
k[[z]]=k[[x]]^{\langle \sigma \rangle}$$ 
l'application d�finie par $\theta(\phi):=\left ( \Tr_{\langle \sigma
\rangle} \phi \right)(dz)$ 
(elle est bien � valeurs dans $k[[z]]$ car $\theta(\phi)$ est fixe sous $\sigma$).
L'application $\theta$ est un morphisme de $k[[z]]$-modules et son
image est un sous-$k[[z]]$-module de $k[[z]]$, donc $\Im \theta$ est
de la forme $z^{r} k[[z]]$. Montrons, par l'absurde, que $r={1 \over p}(2m+1)(p-1)$.  

D'apr�s le lemme \ref{CalculValuation} (cas $n=1$) on a ${1 \over
p}(2m+1)(p-1)=\nu_z\left ( \theta(\d x) \right ) $ et donc $r < {1
\over p}(2m+1)(p-1)$. Soit $h \in k[[x]]$ telle que  $\nu_z(\theta(h
\d x))=r$. On a n�cessairement $\nu_x(h) > 0$ car sinon le lemme
\ref{CalculValuation} imposerait $r=\nu_z(\theta(h \d x))={1 \over
p}(2m+1)(p-1)$ ce qui est absurde. Or $h+1$ est non nulle en z�ro donc
on a $\nu_z(\theta((h+1)\d x)))={1 \over p}(2m+1)(p-1)$ d'apr�s le
lemme \ref{CalculValuation}. Mais on a  
$$\nu_z\left(\theta\left((h+1)\d
x\right)\right)=\nu_z\left(\theta\left(h \d x\right)+\theta\left(\d
x\right)\right)=\nu_z\left(\theta\left(h \d x\right)\right)=r$$ 
car $\nu_z(\theta(h \d x)) = r < {1 \over p}(2m+1)(p-1)=\nu_z(\theta(
\d x))$. On a donc bien $r={1 \over p}(2m+1)(p-1)$. 

\medskip

Par suite, notons $q=q'+\ell p$ avec $1 \le q' \le p-1$. Posons
$h:=\theta(x^{q'} \d x)\in k[[z]]$. Alors $g:=h/\theta(\d x )\in
k[[z]]$ car $\theta\left( \d x\right)$ engendre l'image de $\theta$
(en tant que $k[[z]]$-module). Notons $f:=z^\ell(x^{q'}-g)\in k[[x]]$. On
a alors  
$$\theta\left (f\d x\right )=\theta\left (z^\ell (x^{q'}-g)\d x\right
)=z^\ell \left( h-g\theta\left(\d x\right)\right)=0,$$ 
c'est-�-dire $\Tr_{\langle \sigma \rangle} f \d x=0$ (car l'�valuation en $dz$ est injective). 
De plus, cela prouve que $\nu_z(g) > 0$ car dans le cas contraire on
aurait $\nu_x(x^{q'}-g)=0$ ce qui impose, par le lemme
\ref{CalculValuation}, que $$\nu_z\left(\theta\left((x^{q'}-g)\d
x\right)\right) = {1 \over p} (p-1)(2m+1) < \infty$$ ce qui est
absurde. On a donc $\nu_x(g) \ge p$ et  
$$\nu_x(f)=\nu_x(z^\ell (x^{q'}-g))=\nu_x(z^\ell)+\nu_x(x^{q'}-g)=p\ell+\nu_x(x^{q'})=q$$ car $q' < p \le \nu_x(g)$. \qed

\noindent \textit{Preuve du th�or�me \ref{ElementNonNulTraceNulle} :} Si $G_0 \not = G$ alors le r�sultat est trivial car $\Tr_G=0$. On peut donc supposer que $G=G_0$ (c'est-�-dire que l'action est fid�le).

Notons $m_0, \ldots, m_{n-1}$ la suite des sauts de ramification. On a alors 
$$\dif = (p-1)\sum_{i=0}^{n-1} p^i(m_{n-i-1}+1)$$
 (car $\dif=\sum_i \card(G_i)-1$, cf. par exemple \cite{Corps_Locaux}
Chap IV, \S 2, Proposition 4) et

$$2 \dif + 1=p^n+(p-1)\sum_{i=0}^{n-1} p^i(2m_{n-i-1}+1).$$ 
C'est sous cette forme que nous allons utiliser la diff�rente. 

Si $2\dif+1 = 0 \mod p^n$, donc $\sum_{i=0}^{n-1} p^i(2m_{n-i-1}+1)=0
\mod p^n$ (en particulier on a $2m_0+1=0 \mod p$), alors d'apr�s le
lemme \ref{CalculValuation}, pour tout $f \in k[[x]]$ inversible on a

$$\nu_z\left ( \left ( \Tr_G f {\partial  \over \partial x} \right )
(dz) \right )={1 \over p^n}\left ( (p-1) \left ( \sum_{i=0}^{n-1}
(2m_{n-1-i}+1)p^i \right )\right )< \infty,$$

et donc $\Tr_G\left( f \d x \right ) \not = 0$.
\medskip

Supposons maintenant que $\sum_{i=0}^{n-1} p^i(2m_{n-i-1}+1)\not =0
\mod p^n$.  Nous allons exhiber $\phi$ comme dans l'�nonc� du
th�or�me. Dans un premier temps, nous allons supposer de plus que
$2m_0+1 \not = 0 \mod p$. Soit $\sigma \in G$ un �l�ment d'ordre
$p$. Si $m_{n-1} = -1 \mod p$ alors on pose $b := -1$ et $a :=
(1+m_{n-1})/p \in \NN$ de sorte que $ap+bm_{n-1}=1$. Si $m_{n-1} \not
= -1 \mod p$ alors il existe $a, b \in \ZZ$ tel que $ap+bm_{n-1}=1$ et
$1 \le b < p-2$ (car $2m_{n-1}+1 \not = 0 \mod p$). Quitte � changer
d'uniformisante $x$, on peut supposer que l'action de $\sigma$ est
donn�e par

$$\sigma(x)={x \over (1+x^{m_{n-1}})^{1/m_{n-1}}}.$$ 
 Posons 
$$\phi:=\left(-1+x^{m_{n-1}(p-1)}\right)^{a/m_{n-1}} \d x.$$ 
On a
\begin{eqnarray*}
\left(\Tr_{\langle \sigma \rangle} \phi\right)(dx) & = &
\sum_{q=0}^{p-1} \left (-1+{x^{m_{n-1}(p-1)} \over (1+qx^{m_{n-1}})^{p-1}}\right )^{a/m_{n-1}} (1+qx^{m_{n-1}})^{1/m_{n-1}+1} \\
%& \hskip -5cm = & \hskip -2.5cm\sum_{q=0}^{p-1} \left (-(1+qx^{m_{n-1}})^p+(1+qx^{m_{n-1}})x^{m_{n-1}(p-1)}\right )^{a/m_{n-1}} (1+qx^{m_{n-1}})^{1+m_{n-1}-pa \over m_{n-1}} \\
& = & \left (-1+x^{m_{n-1}(p-1)}\right )^{a/m_{n-1}} \sum_{q=0}^{p-1} (1+qx^{m_{n-1}})^{(b+1)} \\
& = & \left (-1+x^{m_{n-1}(p-1)}\right )^{a/m_{n-1}} \sum_{i=0}^{b+1}
\binome{b+1}{i} x^{i m_{n-1}} \underbrace{\sum_{q=0}^{p-1} q^i.}_{=0
\textrm{ car } i\le b+1 < p-1}
\end{eqnarray*}
Or 
$$\Tr_G \phi = \Tr_{G/\langle \sigma \rangle} \left ( \Tr_{\langle
\sigma \rangle} \phi \right ) = 0$$ et comme $\phi$ est une base de
$\Hom(\Omega, R)$, on a prouv� le lemme dans le cas $2m_0+1=0 \mod
p$. 

\medskip
Supposons finalement que $\sum_{i=0}^{n-1} p^i(2m_{n-i-1}+1)\not =0
\mod p^n$  et que $2m_0+1 = 0 \mod p$. En particulier on a
$p^{n-1}(2m_0+1)= 0 \mod p^n$. Notons  
$$n_0:=\min\left\{1 \le j \le n-1 | \sum_{i=0}^{j-1} p^i(2m_{n-i-1}+1)
\not = 0 \mod p^{j+1}\right\},$$ 
l'ensemble de droite est non vide car il contient $n-1$. On a $n_0 >
1$ car $2m_{n-1}+1 =2m_0+1  = 0 \mod p$. Par minimalit� de $n_0$ (et
comme $n_0 > 1$) on a  
$$\sum_{i=0}^{n_0-2} p^i(2m_{n-i-1}+1) = 0 \mod p^{n_0}.$$
Notons $y:=\prod_{\sigma \in G_{n_0}} \sigma(x)$. Le lemme
\ref{CalculValuation} nous donne  
$$q:=\nu_y\left ( \left ( \Tr_{G_{n_0}} \d x \right ) (dy) \right )={1
\over p^{n_0}} \left ( (p-1)\sum_{i=0}^{n_0-1} p^i(2m_{n_0-1-i}+1)
\right )$$ 
et donc  $q\not = 0 \mod p$ par d�finition de $n_{0}$.
Soit $\sigma$ un automorphisme d'ordre $p$ de $G/G_{n_0}$ (il en
existe car $n_0 > 1$). Notons $h:=\left ( \Tr_{G_{n_0}} \d x \right )
(dy)$ et $f\in k[[y]]$ tel que $\nu_y(f)=q$ et $\Tr_{\langle \sigma
\rangle} f \d y = 0$ (il en existe d'apr�s le lemme
\ref{ElementTraceNulleValuationFixee}). Comme $h$ et $f$ ont m�me
valuation, $f/h$ est un inversible de $k[[y]]$ donc, en appliquant le
lemme \ref{TraceAdditive}, on a 
\begin{eqnarray*}
\Tr_{G_{n_0-1}} f/h \d x & = & \Tr_{\langle \sigma \rangle} \left (
\left( \Tr_{G_{n_0}} f/h \d x\right)(dy) \d y \right ) \\ 
& \hskip -2cm= & \hskip -1cm\Tr_{\langle \sigma \rangle} \left ( f/h
\left( \Tr_{G_{n_0}} \d x \right)(dy) \d y \right ) \textrm{ car } f/h
\in k[[x]]^{G_{n_0}}=k[[y]] \\ 
& = & \Tr_{\langle \sigma \rangle} \left ( f {\partial \over \partial y} \right ) \textrm{ par d�finition de  } h \\
& = & 0 \textrm{ par d�finition de } f.
\end{eqnarray*}
Par suite, on trouve que $\Tr_G\left ( f/h \d x \right )=0$. \qed

Si on suppose $G$ cyclique, les �l�ments $\phi \in \Hom_R(\Omega, R)$
tels que $\Tr_G \phi = 0$ poss�dent une interpr�tation simple.  
En effet, si $G$ est engendr� par $\sigma$ alors on a l'�galit�
$$\H^1(G, \Hom_R(\Omega, R))=\{ \phi \in \Hom_R(\Omega, R) | \Tr_G
\phi = 0 \} / \{\phi-\sigma \phi\}_\phi.$$ Notons $\X=\Spec
k[\epsilon]/(\epsilon^2)[[x]]$ et choisissons $\phi \in \Hom(\Omega,
R)$ tel que $\Tr_G \phi=0$. La d�formation �quivariante d�finie par
$\phi$ est donn�e par 
$$\sigma_{\phi}^i(x):=\sigma^i(x)+\epsilon \sum_{j=1}^i \sigma^j \left(\phi \right )(dx).$$
Par suite, si $\phi(dx)\not\in xk[[x]]$ alors $\sigma_\phi(x)\not\in
xk[\epsilon]/ (\epsilon^2) [[x]]$. D'autre part, si on a une
d�formation �quivariante d�finie par $\phi\in \H^1(G, \Hom_R(\Omega,
R))$ telle que $\sigma_\phi(x) \not\in xk[\epsilon]/ (\epsilon^2)
[[x]]$ alors $\phi(dx) \not \in xk[[x]]$. 

L'existence d'une base $\phi\in\Hom(\Omega, R)$ telle que $\Tr_G
\phi=0$ sera particuli�rement importante quand il s'agira d'�tudier
les d�formations �quivariantes du point double. 

\subsection{D�formation des points doubles}

Soit $k$ un corps alg�briquement clos de caract�ristique $p$.
Consid�rons l'anneau $R=k[[x, y]]/(xy)$ et notons $R'=k[[x]]\times
k[[y]]$ sa normalis�e, $X=\Spec R$, $X'=\Spec R'$, $\Omega$ le
compl�t� de $\Omega_{X/k}$ et $\Omega'$ le compl�t� de
$\Omega_{X'/k}$. 
 
\begin{definition}
Reprenons les notations ci-dessus.
Les composantes connexes de $X'$ seront appel�es \textit{branches} de $X$. 
\end{definition}


\begin{definition}
Soit $G$ un $p$-groupe agissant sur $X$. Notons $H$ le sous-groupe de
$G$ form� des �l�ments ne permutant pas les branches. Notons $m$ et
$m'$ les conducteurs de $H$ sur chaque branche de $X$ (voir la
d�finition \ref{DefConducteurLisse}), $\dif$ et $\dif'$ les
diff�rentes. Le couple $(m, m')$ sera appel� \textit{conducteur} de
$G$ sur $X$ et le couple $(\dif, \dif')$ la \textit{diff�rente} de $G$
sur $X$. 
\end{definition}

On peut remarquer que la notation pr�c�dente fait r�f�rence � un ordre
sur les branches. Dans les faits, la premi�re coordonn�e de chaque
couple sera toujours relative � l'action sur $x$ et la deuxi�me �
l'action sur $y$. 
 
\begin{exemple}
\label{ActionpCycliqueSingulier}
Soient $m, m'\in \NN$ deux entiers premiers � $p$ et $\sigma$ un
g�n�rateur de $\ZZ/p\ZZ$. D�finissons une action de $\ZZ/p\ZZ$ sur
$k[[x, y]]/(xy)$ par  
$\sigma^i(x)={x \over (1+ix^m)^{1/m}}$ et $\sigma^i(y)={y \over
(1+iy^{m'})^{1/m'}}$. On montre ais�ment que ceci d�finit une action
de $\ZZ/p\ZZ$ sur $X$ de conducteur $(m, m')$. De la m�me mani�re que
dans l'exemple \ref{ActionpCyclique}, on peut montrer que, quitte �
changer d'uniformisante, toutes les actions de $\ZZ/p\ZZ$ sur $X$ qui
sont fid�les sur chacune des branches de $X$ sont de cette forme.  
\end{exemple}

Nous aurons besoin dans la suite des expressions des automorphismes en
fonction des param�tres uniformisants, ceci est donn� par le lemme
suivant qui fixera �galement les notations. On prendra garde au fait
que l'action � gauche sur le sch�ma donne une action � droite sur
l'anneau de fonctions. Toutefois l'automorphisme $\sigma$ du sch�ma
sera encore not� $\sigma$ lorsqu'il agira sur l'anneau de fonctions
(pour ne pas alourdir les notations). 

\begin{lemma}
\label{CoordonneeAutomorphisme}
Soit $\sigma$ un $k$-automorphisme de $R$ qui fixe les branches. Alors
il existe des s�ries formelles uniques $P_0 \in xk[[x]]$ et $P_1 \in
yk[[y]]$ telles que $\sigma$ soit d�fini par  
$$\sigma(x)=P_0(x)\hskip 1cm \sigma(y)=P_1(y).$$
\end{lemma}

\preuve Comme $\sigma$ n'�change pas les branches, l'image de $x$ est
dans l'id�al premier engendr� par $x$ et comme $xy=0$, on obtient le
r�sultat. L'unicit� est imm�diate. \qed 

Pour un automorphisme $\sigma$ de $X$ ne permutant pas les branches,
le lemme pr�c�dent permet de consid�rer $\sigma(x)$
(resp. $\sigma(y)$) comme une s�rie formelle en $x$ (resp. en $y$). 
Si $\sigma$ est d'ordre $n$ on voit que le terme de degr� $1$
de la s�rie formelle $\sigma (x)$ est une racine $n$-i�me de l'unit�.

Nous allons r�partir les d�formations �quivariantes en deux classes de
nature diff�rente. Pour cela, souvenons-nous que toute d�formation
(non �quivariante) de $X$ au-dessus d'un anneau artinien $A$ dont le
corps r�siduel est $k$ est de la forme $\Spec A[[x, y]]/(xy-a)$ avec
$a \in A$ (cf. \cite{Deligne_Mumford}). Il est donc naturel de poser
la d�finition suivante. 

\begin{definition}
\label{DefTopTriv}
Soient $A$ un objet de $\A$ et $(\X\to\Spec A, G)$ une d�formation
�quivariante de $(X, G)$. On dira que $(\X, G)$ est une d�formation
\textit{topologiquement triviale} si $\X \cong \Spec A[[x, y]]/(xy)$
en tant que sch�ma.  
\end{definition}

La suite spectrale 
$\textrm{II}_2^{j,\ell}:=\H^j(G, \Ext^{\ell} (\Omega, R))$ fournit une
suite exacte
\begin{equation}
\label{EquationPointDouble}
0 \rightarrow \H^1(G, \Ext^0(\Omega, R)) \rightarrow \Ext^1_G(\Omega,
R) \overset{{\textit{�p}}}{\rightarrow} \H^0(G, \Ext^1(\Omega, R)). 
\end{equation}
Les d�formations �quivariantes du premier ordre dont l'image dans
$\Ext^1(\Omega, R)$ est nulle sont les d�formations topologiquement
triviales, celles-ci s'identifient donc avec le groupe $\H^1(G,
\Ext^0(\Omega, R))$.  

Nous allons maintenant d�crire l'espace $\H^1(G, \Ext^0(\Omega, R))$
en terme des d�formations de la normalis�e. Ensuite, nous calculerons
la dimension de $\Im {\textit{�p}}$. 

\subsubsection{Lien avec la normalis�e}
\label{LienNormaliseeLocal}

Soient $X=\Spec k[[x, y]]/(xy)$ et $G$ un $p$-groupe agissant sur $X$. 
Nous allons d�composer l'espace $\H^1(G, \Ext^0(\Omega, R))$ gr�ce �
la suite exacte \eqref{SuiteExacteDeformationToNormalisee} et aux
propositions \ref{LocalSingulier1} et \ref{LocalSingulier2}.  

\begin{lemma}%\label{SuiteExacteDeformationToNormalisee}
On a une suite exacte canonique
\begin{equation}
\label{MorphismeNormaliseeLocal}
0 \to \Hom_R(\Omega, R) \to \Hom_{R'}(\Omega', R') \to \Hom_R(\Omega, R'/R) \to 0.
\end{equation}
Notons $\d{x}$ (resp. $\d{y}$) l'�l�ment de $\Hom_{R'}(\Omega',
R')$ tel que $\d{x} (dx)=1$ et $\d{x} (dy)=0$ (resp. $\d{y} (dy)=1$ et
$\d{y} (dx)=0$). Alors on a une identification naturelle 
\begin{equation}\label{IdentificationDualOmega}
\Hom_R(\Omega, R)\cong xk[[x]]\d{x}\oplus yk[[y]]\d{y}.
\end{equation}
\end{lemma}

\preuve On montre ais�ment qu'on a un isomorphisme canonique
$$\Hom_R(\Omega', R') \rightarrow \Hom_{R}(\Omega, R').$$
D'autre part, on a une suite exacte de $R[G]$-modules
$$0 \to R \to R' \to R'/R\to 0.$$
En appliquant le foncteur $\Hom_R(\Omega, \bullet)$ � cette suite
exacte, on obtient une suite exacte longue
$$0 \to \Hom_R(\Omega, R) \to \Hom_{R'}(\Omega', R') \to
\Hom_R(\Omega, R'/R) \to \ldots$$
Il suffit donc de montrer que la derni�re fl�che est surjective. Or 
on voit que l'espace vectoriel $\Hom_{R}(\Omega, R'/R)$ est engendr�
par les images de $\d x$ et $\d y$. \qed 

La description pr�c�dente permet, dans une large mesure, de se ramener
au cas o� $G$ agit sur $X$ sans permuter les branches. En effet,
on a le corollaire suivant.

\begin{corollary}
\label{PermutteToNonPermutte}
Soient $G$ un groupe fini agissant sur $X$ et $H$ le sous-groupe de
$G$ constitu� des �l�ments ne permutant pas les branches de $X$. Alors
$H$ est distingu� dans $G$ et le morphisme canonique 
$$\Ext^1_G(\Omega, R) \to \Ext^1_H(\Omega, R)^{G/H}$$ est un
isomorphisme. 
\end{corollary}

\preuve Le fait que $H$ est un sous-groupe distingu� est �vident. La
suite spectrale $\textrm{III}_{2}^{j, \ell}:=\H^j(G/H, \Ext^{\ell} (\Omega,
R))$ fournit une suite exacte 
\begin{multline*}
0 \to \H^1(G/H, \Ext^0_H(\Omega, R)) \to \Ext^1_G(\Omega, R) \to
\H^0(G/H, \Ext^1_H(\Omega, R)) \to  \\ \H^2(G/H, \Ext^0_H(\Omega,
R)). 
\end{multline*}
Il est alors ais� de voir, gr�ce � l'isomorphisme
\eqref{IdentificationDualOmega}, que $\Ext^0_H(\Omega, R)$ 
est un $k[G/H]$-module libre car $G/H$ �change les branches
analytiques de $X/H$ (et ne fait que �a) donc pour $j \ge 1$ on a 
$$\H^j(G/H, \Ext^0_H(\Omega, R))=0.$$  \qed 

Nous nous limiterons donc d�sormais au cas o� les groupes agissent
sans permuter les branches (ce qui est le cas g�n�ral quand on se
restreint aux actions des $p$-groupes).

En consid�rant les �l�ments fixes sous l'action de $G$ dans la suite
exacte \eqref{MorphismeNormaliseeLocal}, on obtient une
suite exacte
\begin{multline*}
0 \to \Hom_R(\Omega, R)^G \to \Hom_{R'}(\Omega', R')^G \to
\Hom_R(\Omega, R'/R)^G  \to \\ 
\to \H^1(G, \Hom_R(\Omega, R)) \to \H^1(G, \Hom_{R'}(\Omega', R')) \to
\H^1(G, \Hom_R(\Omega, R'/R)). 
\end{multline*}

Notons $\phi_x$ et $\phi_y$ les $1$-cocycles $G \to \Hom_R(\Omega, R)$
d�finis par $\phi_x(\sigma)=\d x-\sigma \d x$ et $\phi_y(\sigma)=\d
y-\sigma \d y$ (dont on montre qu'ils sont effectivement � valeurs
dans $\Hom_R(\Omega, R)$).  
On voit alors que le morphisme
$$\Hom_R(\Omega, R'/R)^G  \to \H^1(G, \Hom_R(\Omega, R))$$
se factorise par  
$$\left ( k \phi_x \oplus k \phi_y \right )^G\to \H^1(G, \Hom_R(\Omega, R)).$$
Finalement, on a une suite exacte
\begin{multline}
\label{SuiteExacteDeformationToNormalisee}
\left(k \phi_x \oplus k \phi_y\right)^G \to \H^1(G, \Hom_R(\Omega, R))
\to \H^1(G, \Hom_{R'}(\Omega', R')) \to \\ \H^1(G, \Hom_R(\Omega,
R'/R)). 
\end{multline}
Nous allons maintenant pr�ciser le noyau du morphisme
$$\H^1(G, \Hom_R(\Omega, R)) \to \H^1(G, \Hom_{R'}(\Omega', R')).$$

\begin{proposition}
\label{LocalSingulier1}
Soit $G$ un $p$-groupe agissant sur $X$ avec conducteur $(m, m')$ et
sans permuter les branches. 
\begin{enumerate}[{\rm(i)}]
\item Si $m < \infty$ et $m+1 \not = 0 \mod p$ (resp. $m'< \infty$ et
$m'+1 \not = 0 \mod p$), alors $\phi_x$ (resp. $\phi_y$) est non nul
dans $\H^1(G,\Hom_R(\Omega, R))$.  
%%% Remarque : on a equivalence entre m_{n-1}=0 mod p^n et \phi_x = 0

De plus, si $m < \infty$, $m+1 \not = 0 \mod p$, $m'< \infty$  et
$m'+1 \not = 0 \mod p$ alors les images de $\phi_x$ et de $\phi_y$
dans $\H^1(G, \Hom_R(\Omega, R))$ sont lin�airement ind�pendantes. 
\item Si $G$ est un groupe $p$-cyclique et si $m+1=0 \mod p$ ou $m =
\infty$ alors $\phi_x$ est nul dans $\H^1(G, \Hom_R(\Omega, R))$. 
\end{enumerate}
\end{proposition}

\preuve D�montrons tout d'abord le point (i). Supposons que $m <
\infty$ et $m+1 \not = 0 \mod p$. Soit $\sigma\in G$ un �l�ment tel
que $\nu_x(\sigma(x)-x) = m+1$ (sur la normalis�e de $X$). Notons
$\sigma(x)=x+a_{m+1}x^{m+1}+\ldots$. On a alors  
$$\phi_x(\sigma)(dx)=1-{1 \over \der x
(\sigma(x))}=1-(1-(m+1)a_{m+1}x^m+\ldots)$$ 
et donc $\nu_x(\phi_x(\sigma)(dx))=\nu_x((m+1)a_{m+1}x^m)=m$.
Si $\phi_x$ est nul dans $$\H^1(G, \Hom_R(\Omega, R))$$ alors il
existe $f \in xk[[x]]$ tel que pour tout $\tau \in G$ on a
$\phi_x(\tau)=f \d x - \tau\left(f \d x \right )$ (car $\Hom_R(\Omega,
R)\cong xk[[x]] \d x \oplus y k[[y]] \d y$, cf. l'isomorphisme
\eqref{IdentificationDualOmega}). 
Soit $n > 0$, on a 
\begin{eqnarray*}
\left( x^n \d x - \sigma\left(x^n \d x \right )\right )(dx) & = & x^n
- {\sigma(x)^n \over \der x \sigma(x)} = {x^n \der x \sigma(x)-\sigma(x)^n \over \der x \sigma(x)} \\
& \hskip -2cm = & \hskip
-1cm{x^n(1+(m+1)a_{m+1}x^m-(1+a_{m+1}x^m+\ldots)^n) \over \der x
\sigma(x)} 
\end{eqnarray*}
Par suite, on trouve que 
$$\nu_x \left( x^n \d x - \sigma\left(x^n \d x \right )\right )(dx) \ge n+m$$
et par lin�arit�
$$\nu_x\left( \left ( f \d x - \sigma\left(f \d x \right ) \right)(dx)\right) > m$$
ce qui est absurde donc $\phi_x \not = 0$ dans $\H^1(G, \Hom_R(\Omega, R))$.

D'autre part, comme $\Hom_R(\Omega, R) \cong xk[[x]] \d x\oplus y
k[[y]]\d y$ et que $G$ n'�change pas les branches analytiques, si
$\phi_x$ et $\phi_y$ sont non nuls dans $\H^1(G, \Hom(\Omega, R))$
alors ils sont libres. 

Passons � la d�monstration du point (ii). Le cas $m=\infty$ est
trivial car alors $\phi_x=0$. Supposons $m+1=0 \mod p$. Quitte �
changer d'uniformisante, on peut supposer que $\sigma(x)={x \over
(1+x^m)^{1/m}}$ (cf. exemple \ref{ActionpCycliqueSingulier}). 
Posons $f:=(1-x^{m(p-1)})^{m+1 \over pm}-1$ (qui est bien d�finie car $p | m+1$). 
On a 
\begin{eqnarray*}
\sigma^i\left (f \d x\right ) & = & \left (1-{x^{m(p-1)} \over
(1+ix^m)^{p-1}} \right )^{m+1 \over pm} (1+ix^m)^{1+1/m}\d
x-\sigma^i\left( \d x\right ) \\ 
& = & (1-x^{m(p-1)})^{m+1 \over pm}(1+ix^m)^{1-p{m+1 \over pm}+1/m}
\d x -\sigma^i\left( \d x\right ) \\ 
& = &  f \d x + \d x - \sigma^i\left( \d x\right ).
\end{eqnarray*}
On a donc $f\in xR$ et 
$$f \d x - \sigma^i \left (f \d x\right ) = -\phi_x$$ 
ce qui prouve que $\phi_x$ est nul dans $\H^1(G, \Hom(\Omega, R))$. 
\qed

\begin{corollary}
\label{CalculDimensionF}
Soit $G$ un groupe $p$-cyclique agissant sur $X$ sans permuter les
branches et avec un conducteur $(m, m')$ ($m, m'\in \NN\cup
\{\infty\}$). Notons  
$$a=\begin{cases}
0 \textrm{ si } m < \infty \textrm{ et } m+1\not = 0 \mod p \\
1 \textrm{ sinon } \\
\end{cases}$$
$$a'=\begin{cases}
0 \textrm{ si } m' < \infty \textrm{ et } m'+1\not = 0 \mod p \\
1 \textrm{ sinon }. \\
\end{cases}$$
Alors le noyau du morphisme
$\Hom_R(\Omega, R'/R)^G  \to \H^1(G, \Hom_R(\Omega, R))$
est de dimension $a+a'.$
\end{corollary}

\preuve Le morphisme 
$\Hom_R(\Omega, R'/R)^G  \to \H^1(G, \Hom_R(\Omega, R))$ s'identifie
au morphisme compos� 
$$k \d x \oplus k \d y \to k \phi_x \oplus k\phi_y \to \H^1(G,
\Hom_R(\Omega, R)).$$  
Le r�sultat est donc un corollaire imm�diat de la proposition
pr�c�dente car $\phi_x$ est nul (en tant qu'application $G \to
\Hom(\Omega, R)$) si et seulement si $m=\infty$. \qed 

\begin{proposition}
\label{LocalSingulier2}
Soit $G$ un groupe cyclique agissant sur $X$ sans permuter les
branches et avec une diff�rente $(\dif, \dif')$. Notons $G_{x, 0}$
l'image de $G$ dans $\Aut\, k((x))$. Alors l'image du morphisme 
$$\H^1(G, \Hom_{k[[x]]}(k[[x]]dx, k[[x]])) \to \H^1(G,
\Ext^0_R(\Omega, R'/R))$$ est nulle si $2 \dif +1=0 \mod |G_{x, 0}|$
et si $G_{x, 0} = G$, et de dimension 1 sinon. 
De plus, les images de
$\H^1(G, \Hom_{k[[x]]}(k[[x]]dx, k[[x]]))$ et $\H^1(G, \Hom_{k[[y]]}(k[[y]]dy, k[[y]]))$
dans $\H^1(G, \Ext^0_R(\Omega, R'/R))$ sont en somme directe. 
\end{proposition}

\preuve D'apr�s le th�or�me \ref{ElementNonNulTraceNulle}, on peut
trouver un champ de vecteurs $f\d x \in \Hom_{k[[x]]}(k[[x]]dx,
k[[x]])$ avec $f(0) \not = 0$ et $\Tr_G\left(f \d x\right) =0$ si et
seulement si $2\dif+1\not = 0 \mod |G_{x, 0}|$ ou $G_{x, 0} \not =
G$. Supposons qu'il existe un tel �l�ment. Comme $G$ agit trivialement
sur $\Ext^0_R(\Omega, R'/R)$, on voit que l'image de $f \d x$ est non
nulle dans $\H^1(G, \Ext^0_R(\Omega, R'/R))$.  

D'autre part, comme $G$ est cyclique et agit trivialement sur
$\Ext^0_R(\Omega, R'/R)$, on a $\H^1(G, \Ext^0_R(\Omega, R'/R)) \cong
\Ext^0_R(\Omega, R'/R)$, l'image est donc au plus de dimension $1$.  

\medskip

La derni�re assertion est une cons�quence imm�diate de la description
de l'espace vectoriel $\Ext^0_R(\Omega, R'/R)$ provenant de l'isomorphisme
\eqref{IdentificationDualOmega} qui donne un isomorphisme canonique
$\H^1(G, \Ext^0_R(\Omega, R'/R))\cong k \d x \oplus k \d y.$
\qed

\begin{corollary}
\label{CalculCasCyclique}
 Soit $G$ un groupe $p$-cyclique agissant sur $X$ sans permuter les
branches et librement sur un ouvert dense (comme dans l'exemple
\ref{ActionpCycliqueSingulier}). Notons $(m, m')$ le conducteur de
$G$. Alors  
$$\dim_k \H^1(G, \Ext^0(\Omega, R))=m+m'+2+\left\lfloor {m \over p}
\right\rfloor-\left\lceil {2m+1 \over p} \right\rceil+\left\lfloor {m'
\over p} \right\rfloor-\left\lceil {2m'+1 \over p} \right\rceil.$$ 
\end{corollary}

\preuve C'est un cons�quence imm�diate du th�or�me
\ref{DimensionLisse} et des propositions \ref{LocalSingulier1} et
\ref{LocalSingulier2}. \qed 

\begin{remark}
On peut noter que, dans le cas g�n�ral, le $k$-espace vectoriel
$\H^1(G, \Hom_{R'}(\Omega', R'))$ n'est pas de dimension finie (il
l'est si l'action de $G$ n'est triviale sur aucune branche). 
\end{remark}

\subsubsection{�paississement de la singularit�}
\label{EpaississementSingulariteLocal}

Nous allons maintenant nous int�resser � l'�paississement de la
singularit�, c'est-�-dire � l'image du morphisme ${\textit{�p}}$ d�fini dans
la suite \eqref{EquationPointDouble}. Notre but est d'arriver au
th�or�me \ref{RelevementActionSingulier} qui d�crit l'existence de
rel�vements �quivariants non topologiquement triviaux. 

Comme d'habitude, nous nous pla�ons dans la cas o� $G$ est un
$p$-groupe. On voit alors ais�ment que $\H^0(G,\Ext^1(\Omega, R))$ est
un $k$-espace vectoriel de dimension $1$ �gal � $\Ext^{1}(\Omega, R)$.

Nous allons voir maintenant � quelles conditions un automorphisme peut 
se relever en un automorphisme d'une d�formation non topologiquement 
triviale. Avant cela,  nous avons besoin de quelques lemmes 
pr�liminaires.  

\begin{lemma}
\label{RelevementMorphisme}
Soient $\sigma$ un automorphisme de $X$ ne permutant pas les bran\-ches.  Notons 
$$\X=\Spec k[\epsilon]/(\epsilon^2)[[x, y]]/(xy-\epsilon).$$ 
Soit $\sigma_\epsilon$ un rel�vement de $\sigma$ � $\X$, alors il
existe $h_{\sigma, 0} \in xk[[x]]$ et $h_{\sigma, 1}\in yk[[y]]$ tels
que 
\begin{eqnarray}
\label{RelevementX}
\sigma_\epsilon(x)=\sigma(x)-\epsilon {\sigma(y)- y \over y\sigma(y)}+\epsilon h_{\sigma, 0}(x), \\
\label{RelevementY}
\sigma_\epsilon(y)=\sigma(y)-\epsilon {\sigma(x)- x \over x\sigma(x)}+\epsilon h_{\sigma, 1}(y).
\end{eqnarray}
De plus, pour tout $h_{\sigma, 0} \in xk[[x]]$ et $h_{\sigma, 1} \in ta[[y]]$, il existe un automorphisme $\sigma_\varepsilon:\X \rightarrow \X$ donn� par les �quations \eqref{RelevementX} et \eqref{RelevementY}.
\end{lemma}

\preuve Notons encore $\sigma(x)$ et $\sigma(y)$ les rel�vements
triviaux de $\sigma(x)$ et $\sigma(y)$ � $k[\epsilon][[x]]$ et
$k[\epsilon][[y]]$. Comme $\sigma_\epsilon$ rel�ve $\sigma$, on a
$\sigma_\epsilon(x)-\sigma(x)=0 \mod \varepsilon$. Par suite, il
existe $h_{\sigma, 0} \in xk[[x]]$ et $e_{\sigma, 0} \in k[[y]]$
uniques tels que  
$$\sigma_\epsilon(x)-\sigma(x)=\epsilon(e_{\sigma, 0}(y)-h_{\sigma, 0}(x)).$$ De m�me, il existe $h_{\sigma, 1} \in yk[[y]]$ et $e_{\sigma, 1} \in k[[x]]$ uniques tels que 
$$\sigma_\epsilon(y)-\sigma(y)=\epsilon(e_{\sigma, 1}(x)-h_{\sigma, 1}(y)).$$
Or $\sigma_\epsilon$ est un automorphisme de $k[\epsilon][[x,
y]]/(xy-\epsilon)$ donc $\sigma_\epsilon(xy-\epsilon)=0 \mod
(xy-\epsilon)$. En exprimant cette �galit�, on obtient les �quations
\eqref{RelevementX} et \eqref{RelevementY} en faisant un d�veloppement
limit� � l'ordre $1$.
La r�ciproque se d�montre de la m�me mani�re. \qed

Dans le cas de l'action d'un groupe, les s�ries formelles $h_{\sigma,
0}$ et $h_{\sigma, 1}$ du lemme pr�c�dent doivent v�rifier certaines
conditions de compatibilit� lorsque $\sigma$ varie dans $G$. Pour des
raisons techniques, il est plus commode de poser $f_{\sigma,
0}(x)=(\der x \sigma(x)) h_{\sigma, 0}(x)$ et $f_{\sigma, 1}(y)=(\der
y \sigma(y)) h_{\sigma, 1}(y)$. 

\begin{proposition}
\label{RelevementActionGroupe}
Soit $G$ un $p$-groupe fini agissant sur $X$ sans permuter les
bran\-ches. Pour tout $\sigma \in G$,
notons $v_{\sigma, 0}$ (resp. $v_{\sigma, 1}$) le terme de degr� $2$
dans la d�composition de $\sigma(x)$ (resp. $\sigma(y)$). Alors il
existe un rel�vement de l'action de $G$ � $\X$ si et seulement s'il
existe des s�ries formelles $f_{\sigma, 0} \in xk[[x]]$ et $f_{\sigma,
1} \in yk[[y]]$ pour tout $\sigma \in G$ v�rifiant 
\begin{eqnarray}
\label{RecurrenceX}
f_{\sigma\tau, 0}(x)=\left(1-{1 \over ( \der x \tau)(\sigma(x))}\right){v_{\sigma, 1} \over\der x \sigma(x)}+f_{\sigma, 0}(x) +{1 \over \der x \sigma(x)}f_{\tau, 0}(\sigma(x)) \\
\label{RecurrenceY}
f_{\sigma\tau, 1}(y)=\left(1-{1\over ( \der y \tau)(\sigma(y))}\right){v_{\sigma, 0} \over \der y \sigma(y)}+f_{\sigma, 1}(y)+{1 \over \der y \sigma(y)}f_{\tau, 1}(\sigma(y))
\end{eqnarray}
o� $(\der x \tau)(\sigma(x))$ d�signe l'�valuation de la s�rie formelle $\der x (\tau(x))$ en $\sigma(x)$.
\end{proposition}

\preuve Montrons que c'est une condition n�cessaire. Supposons qu'il
existe un rel�vement de l'action de $G$ � $\X$. Pour tout $\sigma\in
G$ notons $\sigma_\epsilon$ le rel�vement de $\sigma$ � $\X$ d�fini
par le rel�vement de $G$. D'apr�s le lemme \ref{RelevementMorphisme},
pour tout $\sigma \in G$ il existe $h_{\sigma, 0} \in xk[[x]]$ et
$h_{\sigma, 1} \in yk[[y]]$ telles que le rel�vement $\sigma_\epsilon$
de $\sigma$ � $\X$ v�rifie les �quations \eqref{RelevementX} et
\eqref{RelevementY}. 

De plus, comme on a suppos� que $G$ agit sur $\X$, on a, pour tout $\sigma, \tau \in G$
$$\left(\sigma \circ \tau\right )_\epsilon=\sigma_\epsilon \circ \tau_\epsilon.$$
Un d�veloppement limit� � l'ordre 1 (direct mais assez p�nible � cause des compositions de morphismes) permet de trouver
$$h_{\sigma\tau, 0}(x)=((\der x \tau)(\sigma(x))-1) {v_{\sigma, 1}}+h_{\sigma, 0}(x)(\der x \tau)(\sigma(x))+h_{\sigma, 0}(\sigma(x)). $$
Par suite, en posant $f_{\rho, 0}(x)={h_{\rho, 0}(x) \over \der x \rho(x)}$ pour tout $\rho \in G$ on trouve la formule \eqref{RecurrenceX}. Des calculs similaires conduisent � formule \eqref{RecurrenceY}.
Ces m�mes calculs montrent que les conditions \eqref{RecurrenceX} et \eqref{RecurrenceY} sont suffisantes pour relever l'action. \qed


\begin{proposition}
\label{RelevementActionGroupeCyclique}
Reprenons les notations de la proposition pr�c�dente et supposons de
plus que $G$ est cyclique d'ordre $n$. Soit $\sigma$ un g�n�rateur de
$G$. Alors il existe un rel�vement de l'action de $G$ � $\X$ si et
seulement s'il existe $f_{\sigma, 0} \in xk[[x]]$ et $f_{\sigma, 1}
\in yk[[y]]$ telles que 
\begin{equation}
\label{FormuleTrace}
\Tr_G \left(\left( f_{\sigma, 0}(x) +v_{\sigma, 1}\right)\d x \right )= 0= 
\Tr_G \left(\left(f_{\sigma, 1}(y) +v_{\sigma, 0} \right)\d y \right ).
\end{equation}
Si de tels �l�ments existent alors le rel�vement est donn� par les
formules \eqref{RelevementX} et \eqref{RelevementY} avec $h_{\sigma,
0}(x)={f_{\sigma, 0}(x) \der x \sigma(x)}$ et $h_{\sigma,
1}(y)={f_{\sigma, 1}(y) \der y \sigma(y) }$. 
\end{proposition}

\preuve Supposons qu'on puisse relever l'action de $G$ � $\X$. Soit $i
\in \NN$, on a, d'apr�s la formule \eqref{RecurrenceX}, 
$$f_{\sigma^{i+1}, 0}(x)=\left(1-{1 \over ( \der x
\sigma^i)(\sigma(x))}\right){v_{\sigma, 1} \over \der x
\sigma(x)}+f_{\sigma, 0}(x) +{1 \over \der x \sigma(x)}f_{\sigma^i,
0}(\sigma(x)).$$ 
Une r�currence imm�diate montre que
$$f_{\sigma^{i+1}, 0}(x) = v_{\sigma, 1} \left(\sum_{j=0}^i {1 \over
\der x \sigma^{j+1}(x)}-{i \over \der x \sigma^{i+1}(x)}\right
)+\sum_{j=0}^i {f_{\sigma, 0}(\sigma^j(x)) \over \der x
\sigma^{j}(x)}.$$ 
C'est-�-dire
\begin{multline*}
f_{\sigma^{i+1}, 0}(x)\d x = v_{\sigma, 1}\sum_{j=0}^i
\sigma^{j+1}\left (\d x \right )- {i \over \der x \sigma^{i+1}(x)}{\d
x}+\sum_{j=0}^i \sigma^j\left(f_{\sigma, 0}(x)\d x\right). 
\end{multline*}
Or par d�finition de $n$ on a $\sigma^n=Id$ donc $f_{\sigma^n, 0}=0$ ce qui impose 
$$0 = v_{\sigma, 1}\sum_{j=0}^{n-1} \sigma^{j+1}\left (\d x \right
)+\sum_{j=0}^{n-1} \sigma^j\left(f_{\sigma, 0}(x)\d x\right)$$ 
ce qui est bien le r�sultat annonc�. Des calculs similaires conduisent
� l'�quation sur l'autre branche. 

\medskip
R�ciproquement, supposons qu'il existe $f_{\sigma, 0}$ et $f_{\sigma,
1}$ v�rifiant les hypoth�ses de la proposition. Posons, pour tout $i
\in \{0, \ldots, n-1\}$,  
$$f_{\sigma^{i+1}, 0}(x):= v_{\sigma, 1} \left(\sum_{j=0}^i {1 \over
\der x \sigma^{j+1}(x)}-{i \over \der x \sigma^{i+1}(x)} \right
)+\sum_{j=0}^i {f_{\sigma, 0}(\sigma^j(x)) \over \der x \sigma^{j}(x)}$$ 
(et une formule semblable pour $f_{\sigma^{i+1}, 1}$). Par
construction, les $f_{\sigma^i, 0}$ et $f_{\sigma^i, 1}$ v�rifient les
�quations \eqref{RecurrenceX} et \eqref{RecurrenceY}. La proposition
\ref{RelevementActionGroupe} permet alors de relever l'action de $G$ �
$\X$. \qed 

Nous aurons besoin, lors de l'�tude globale, d'une description de
l'action sur chaque branche d'une d�formation du premier ordre du
point double. Ceci est donn� dans le lemme suivant. 

\begin{lemma}
\label{ActionSurAnneauDeFraction}
Soit $\X \to \Spec k[\epsilon]/(\epsilon^2)$ une d�formation
$G$-�quivariante de $X$. Re\-prenons les hypoth�ses et notations de la
proposition \ref{RelevementActionGroupe}. Alors pour tout $\sigma \in
G$ il existe $h_{\sigma, 0} \in xk[[x]]$, $h_{\sigma, 1} \in yk[[y]]$
et $\lambda \in k$ tels que l'action sur $k[\epsilon]((x))$ et sur
$k[\epsilon]((y))$ soit donn�e par 
$$\sigma_\epsilon(x)=\sigma(x)-\lambda \epsilon v_{\sigma, 1}+\epsilon h_{\sigma, 0}(x)$$
$$\sigma_\epsilon(y)=\sigma(y)-\lambda \epsilon v_{\sigma, 0}+\epsilon h_{\sigma, 1}(y).$$
De plus, $\lambda = 0$ si et seulement si $\X$ est une d�formation
topologiquement triviale. 
\end{lemma}

\preuve C'est une cons�quence imm�diate du lemme \ref{RelevementMorphisme}. \qed 

En particulier, on peut constater que les s�ries de Laurent
$\sigma_\epsilon(x)$ et $\sigma_\epsilon(y)$ n'ont pas de p�les. Cette
remarque sera tr�s utile lors de l'�tude des d�formations globales. 

\begin{definition}
\label{ActionRelevable}
Soit $G$ un groupe agissant sur $X=\Spec k[[x, y]]/(xy)$. On dira que
l'action de $G$ est \textit{relevable � l'ordre 1} s'il existe une
d�formation $G$-�quivariante de $X$ non topologiquement triviale. Dans
le cas contraire, elle sera dites \textit{non relevable � l'ordre 1}.  

Supposons que l'action est relevable � l'ordre 1. Notons $D_x$
(resp. $D_y$) le stabilisateur de $(x)$ (resp. $(y)$), $G_x$
(resp. $G_y$) l'image dans $\Aut_k(\Spec k((x)))$ (resp. $\Aut_k(\Spec
k((y)))$) de $D_x$ (resp. $D_y$) et $T_x$ (resp. $T_y$) le noyau du
morphisme $D_x \to G_x$ (resp. $D_y \to G_y$). Nous dirons que
l'action de $G$ est \textit{relevable inconditionnellement} s'il
existe une d�formation $G$-�quivariante $\X$ de $X$ non
topologiquement triviale telle que l'action induite de $T_x$ sur
$\Spec k[\epsilon]((x))$ (resp. $T_y$ sur $\Spec k[\epsilon]((y))$)
est triviale. Dans le cas contraire, l'action sera dite
\textit{relevable conditionnellement}. 
\end{definition}


\begin{theorem}
\label{RelevementActionSingulier}
Soit $G$ un $p$-groupe agissant sur $X=\Spec k[[x,y]]/(xy)$ sans
permuter les branches. Reprenons les notations de la d�finition
\ref{ActionRelevable}. 
\begin{enumerate}[{\rm(i)}]
\item Si le conducteur est diff�rent de $(1, m)$ et $(m, 1)$ (avec $m
\in \NN\cup\{\infty\}$), alors l'action de $G$ est relevable inconditionnellement. 
\item Supposons que $G$ est un $p$-groupe cyclique et que son
conducteur est $(m, 1)$ (avec $m \in \NN \cup 
\{\infty\}$ et $m \not = 1$). Notons $(\dif, \dif')$ sa
diff�rente. Alors l'action de $G$ est relevable si et seulement si
$2\dif+1 \not = 0 \mod |G_x|$ ou $G_x \not = G$. 
De plus, si l'action est relevable, alors elle l'est
inconditionnellement si et seulement si $2\dif+1 \not = 0 \mod |G_x|$.  
\item Si $G$ est un $p$-groupe cyclique agissant sur $X$ avec un
conducteur $(1, 1)$, alors l'action est 
relevable si et seulement si  
$$\begin{cases}
2\dif+1 \not = 0 \mod |G_x|$ ou $G_x \not = G \\
2\dif'+1 \not = 0 \mod |G_y|$ ou $G_y \not = G.
\end{cases}$$
De plus, l'action est relevable inconditionnellement si et seulement
si $2\dif+1 \not = 0 \mod |G_x|$ et $2\dif'+1 \not = 0 \mod |G_y|$. 
%\item Si $G$ permute les branches analytiques de $X$, notons $H$ le
%sous-groupe de $G$ form� des �l�ments ne permutant pas les branches
%analytiques. Alors l'action de $G$ est relevable inconditionnellement
%(resp. conditionnellement) si et seulement si celle de $H$ l'est. 
\end{enumerate}
\end{theorem}

\preuve Montrons d'abord le point (i). Pour tout $\sigma \in G$ on
voit que $v_{\sigma, 0} = 0$ et $v_{\sigma, 1}=0$. Par suite, posons
$f_{\sigma,0}=f_{\sigma, 1}=0$ pour tout $\sigma \in G$. On voit alors
que $\{f_{\sigma, 0}\}_{\sigma \in G}$ est solution des �quations
\eqref{RecurrenceX} et $\{f_{\sigma, 1}\}_{\sigma \in G}$ des
�quations \eqref{RecurrenceY} et donc qu'il existe un rel�vement
inconditionnel (par le lemme \ref{ActionSurAnneauDeFraction}) de $X$. 

\medskip

Passons � la d�monstration du point (ii). Supposons dans un premier
temps que $2\dif+1 \not = 0 \mod |G_x|$ ou $G_x \not = G$. 
Soit $f_{0} \in k[[x]]$ un �l�ment de trace nulle fourni par le
th�or�me (\ref{ElementNonNulTraceNulle}). Alors la proposition
\ref{RelevementActionGroupeCyclique} fournit un rel�vement (avec
$f_{\sigma, 0}=f_0$ et $f_{\sigma, 1}=0$ o� $\sigma$ est un g�n�rateur
de $G$).  
D'autre part, la proposition \ref{RelevementActionGroupeCyclique} et
le th�or�me \ref{ElementNonNulTraceNulle} fournissant des
�quivalences, la r�ciproque est d�montr�e. 

\medskip

Revenons au cas $2\dif+1 \not = 0 \mod |G_x|$. Alors on peut supposer
que $\Tr_{G_x} f_0 = 0$ d'apr�s le th�or�me
\ref{ElementNonNulTraceNulle}. On voit ainsi que l'action pr�c�demment
d�finie induit une action de $G_x$ sur $\Spec k[\epsilon]((x))$ et
donc que l'action est relevable inconditionnellement. 

R�ciproquement, supposons que l'action est relevable
inconditionnellement. Soit $(\X, G)$ une d�formation �quivariante de
$(X, G)$ non topologiquement triviale et telle que $G_x$ agisse sur
$\Spec k[\epsilon]((x))$. Notons $f_0$ l'�l�ment donn� par la
proposition \ref{RelevementActionGroupeCyclique}. Comme $G_x$ agit sur
$\Spec k[\epsilon]((x))$, on montre ais�ment que $\Tr_{G_x} f_0=0$ et
$f_0(0) \not = 0$ (comme dans la proposition
\ref{RelevementActionGroupeCyclique}). Le r�sultat vient alors du
th�or�me \ref{ElementNonNulTraceNulle}. 

\medskip

La d�monstration du point (iii) est similaire � celle du point (ii).\qed 


\section{�tude des d�formations globales}

Cette section a pour but l'�tude des d�formations �quivariantes des
courbes semi-stables. Nous ne supposons pas, except� dans la
sous-section \ref{DeformationCourbeLisse}, que l'action est libre sur
un ouvert dense. 

\subsection{D�formation des courbes lisses}
\label{DeformationCourbeLisse}
Soient $k$ un corps alg�briquement clos, $C \to \Spec k$ une courbe
lisse et $G$ un groupe agissant fid�lement sur $C$ (en particulier,
l'action est libre sur un ouvert dense). Notons $C_{ram}$ l'ensemble
des points poss�dant un stabilisateur non trivial. Pour tout $\p \in
C_{ram}$ nous noterons $\dif_\p$ la diff�rente de $G$ en $\p$. Pour
chaque classe $\alpha \in C_{ram}/G$, choisissons un
repr�sentant $\p_\alpha$ dans la classe $\alpha$. On a une suite
exacte provenant de la suite spectrale $\textrm{I}_{2}^{p,
q}:=\H^p(C/G, \ext_{G}^{q} (\Omega_{X/k}, \O_C))$
\begin{multline*}
0 \to \H^1(C/G, \ext^0_G(\Omega_{C/k}, \O_C)) \to \Ext^1_G(\Omega_{C/k}, \O_C) \to \\
\bigoplus_{\alpha \in C_{ram}/G}
\Ext^1_{D_{\p_\alpha}}(\hat\Omega_{C/k, \p_{\alpha}}, \hat\O_{C,
\p_\alpha}) \to 0 
\end{multline*}
(cf. \cite{BertinMezard}, Lemme 3.3.2). Un calcul similaire � celui de
la proposition 5.3.2 de \cite{BertinMezard} permet alors de montrer
que 
$$\dim_k \H^1(C/G, \ext^0_G(\Omega_{C/k}, \O_C)) =
3p_a(C/G)-3+\sum_{\alpha \in C_{ram}/G} \left\lceil { \dif_{\p_\alpha}
\over |D_{\p_\alpha}|} \right \rceil$$ 
(on prendra garde � la coquille qui s'est gliss�e dans l'�nonc� et
dans la preuve de la proposition 5.3.2 de \cite{BertinMezard} et qui
consiste en la transformation des parties enti�res sup�rieures en
parties enti�res inf�rieures). 
Dans le cas o� le stabilisateur en chaque point est cyclique on peut
donc calculer, gr�ce � \cite{BertinMezard}, Th�or�me 4.1.1, la
dimension de $\Ext^1_G(\Omega_{C/k}, \O_C)$ explicitement, ce qui
donne une g�n�ralisation imm�diate de la proposition 5.3.2 de
\cite{BertinMezard}. 
\begin{theorem}
\label{CalculGlobalCasLisse}
Soient $C\to \Spec k$ une courbe lisse sur un corps alg�briquement
clos de caract�ristique $p$ et $G$ un $p$-groupe fini agissant
fid�lement sur $C$ et tel que pour tout point ferm� $\p \in C$ le
stabilisateur $D_\p$ soit cyclique. Alors 
$$\dim_k \Ext^1_G(\Omega_{C/k}, \O_C)=3p_a(C/G)-3+\sum_{\alpha \in
C_{ram}/G} \left\lfloor { 2\dif_{\p_\alpha} \over |D_{\p_\alpha}|}
\right \rfloor.$$ 
\end{theorem}

\preuve D'apr�s la suite exacte pr�c�dente, on a
\begin{multline*}
\dim_k \Ext^1_G(\Omega_{C/k}, \O_C)=\dim_k \H^1(C/G,
\ext^0_G(\Omega_{C/k}, \O_C))+ \\\sum_{\alpha \in C_{ram}/G} \dim_k
\Ext^1_{D_{\p_\alpha}}(\hat\Omega_{C/k, \p_{\alpha}}, \hat\O_{C,
\p_\alpha}). 
\end{multline*}
Finalement, gr�ce au th�or�me \ref{DimensionLisse}, on obtient le r�sultat. \qed

\subsection{D�formation des courbes singuli�res}
\label{DeformationCourbeSinguliere}

Soient $C \to \Spec k$ une courbe semi-stable et $G$ un groupe fini
d'automorphismes de $C$.  
La suite spectrale $\textrm{I}_{2}^{p,q}:=\H^p(C/G, \ext_{G}^{q}
(\Omega_{X/k}, \O_C))$ donne une suite exacte 
\begin{multline*}
0 \to \H^1(C/G, \ext^0_G(\Omega_{C/k}, \O_C)) \to \Ext^1_G(\Omega_{C/k}, \O_C) \to  \\ \H^0(C/G, \ext^1_G(\Omega_{C/k}, \O_C)) \to  \H^2(C/G, \ext^0_G(\Omega_{C/k}, \O_C)).
\end{multline*}
Comme $C/G$ est une courbe, on a $\H^2(C/G, \ext^0_G(\Omega_{C/k}, \O_C))=0$. Par suite, calculer la dimension de $\Ext^1_G(\Omega_{C/k}, \O_C)$ revient � calculer celles des deux autres termes de la suite.

Consid�rons le diagramme commutatif suivant
$$\xymatrix{
\tilde C \ar[r]^\varphi\ar[d]_{\tilde \pi} & C \ar[d]^\pi \\
\tilde C/G \ar[r]_\psi & C/G,
}$$ les morphismes $\varphi$ et $\psi$ �tant les morphismes de normalisation et les morphismes $\pi$ et $\tilde \pi$ �tant les morphismes quotients.

La suite spectrale $\textrm{II}_{2}^{p, q}:=\R^p\pi_{*}^{G}\ext^{q}
(\Omega_{C/k}, \O_C)$ donne  une suite exacte
$$0 \to \left(\R^1 \pi_*^G \right)\Omega_{C/k}^\vee \to \ext^1_G(\Omega_C, \O_C) \to \pi_*^G(\ext^1(\Omega_{C/k}, \O_C)).$$
On a donc une suite exacte
\begin{multline*}
0 \to \H^0(C/G, \left(\R^1 \pi_*^G \right)\Omega_{C/k}^\vee) \to \H^0(C/G, \ext^1_G(\Omega_C, \O_C)) \to \\
\H^0(C, \ext^1(\Omega_{C/k}, \O_C))^G.
\end{multline*}
En r�sum�, on a le diagramme commutatif suivant (� ligne et colonne exactes)
\begin{footnotesize}
$$\xymatrix@C0.3cm@R0.5cm{
 & & & 0 \ar[d] & \\
 & & & \H^0(C/G, \R^1 \pi_*^G \Omega_{C/k}^\vee)\ar[d] & \\
0 \ar[r] & \H^1(C/G, \ext^0_G(\Omega_{C/k}, \O_C)) \ar[r] & \Ext^1_G(\Omega_{C/k}, \O_C) \ar[r]\ar[rd]_{\textit{�p}} & \H^0(C/G, \ext^1_G(\Omega_{C/k}, \O_C)) \ar[r]\ar[d] & 0 \\
 & & & \H^0(C/G, \pi_*^G \ext^1(\Omega_{C/k}, \O_C)) & 
}$$
\end{footnotesize}

Nous allons relier 
$\H^1(C/G, \ext^0_G(\Omega_{C/k}, \O_C))$ et $\H^0(C/G, \R^1
\pi_*^G\Omega_{C/k}^\vee)$ � des groupes similaires d�finis � partir
de $\tilde C$ (comme dans le cas local). Nous consid�rerons ensuite l'image du morphisme  
$${\textit{�p}}:\Ext^1_G(\Omega_{C/k}, \O_C) \to \H^0(C, \ext^1(\Omega_{C/k},
\O_C))^G.$$ 

\subsubsection{Lien avec la normalis�e}
\label{LienNormalisee}

Le but de cette partie est de montrer le th�or�me \ref{LienNormaliseGlobale}. Avant cela, nous avons besoin d'introduire quelques notations.

Pour tout sch�ma $Z$ nous noterons $\pi_0(Z)$ l'ensemble des composantes connexes de $Z$.
Soient $C \to \Spec k$ une courbe stable et $G$ un $p$-groupe fini
d'automorphismes de $C$. Pour tout $\beta \in \pi_0(\tilde C)/G$,
choisissons un repr�sentant $C_\beta$ dans la classe $\beta$ et notons
$D_\beta$ son stabilisateur, $T_\beta$ le noyau de l'homo\-morphisme  
$D_\beta \to \Aut(\Spec \kappa(C_\beta))$ et
$G_\beta:=D_\beta/T_\beta$. Notons de plus $\varphi_\beta:C_\beta \to
C$ le morphisme induit par la normalisation, $\pi_\beta:C_\beta \to
C_\beta / G_\beta$ le morphisme quotient et
$\psi_\beta:C_\beta/G_\beta \to C/G$. 
On a donc un diagramme commutatif
\begin{equation}\label{DefinitionMorphismesGlobaux}
\xymatrix{
C_\beta \ar@/^0.5cm/[rr]^{\varphi_\beta}\ar[r]\ar[d]_{\pi_\beta} & \tilde C \ar[r]_\varphi\ar[d]_{\tilde \pi} & C\ar[d]_{\pi} \\
C_\beta/G_\beta \ar[r]\ar@/_0.5cm/[rr]_{\psi_\beta} & \tilde C/G \ar[r]^\psi & C/G
}
\end{equation}

La suite exacte \eqref{MorphismeNormaliseeLocal} poss�de un analogue global (dont l'exactitude se d�montre de mani�re identique)
\begin{equation}
\label{SuiteLienNormaliseGlobal}
0 \to \Omega_{C/k}^\vee \to \varphi_* \Omega_{\tilde C/k}^\vee \to \hom(\Omega_{C/k}, \left( \varphi_* \O_{\tilde C} \right ) / \O_C) \to 0.
\end{equation}
Notons $$\Gg_\beta:=\Im\left(\R^1 \pi_{\beta, *}^{G_\beta}
\left(\varphi_\beta^* \varphi_* \Omega_{\tilde C/k}^\vee \right) \to
\R^1 \pi_{\beta, *}^{G_\beta} \left(\varphi_\beta^*
\hom(\Omega_{\tilde C/k}, \varphi_* \O_{\tilde C}/\O_C)
\right)\right)$$
(on remarque que les groupes
apparaissant dans la d�finition de $\Gg_\beta$ sont les $G_\beta$ et
non les $D_\beta$). 
On voit que le support de $\Gg_\beta$ est dans $\psi_\beta^{-1}(\pi(C_{sing}))$.

\begin{exemple}
\label{CalculExpliciteG}
Supposons que pour tout $\p \in C_{sing}$, $D_\p$ est cyclique et ne
permute pas les branches. Pour tout $\alpha \in C_{sing}/G$
choisissons un point $\p_\alpha$ dans la classe de $\alpha$ et notons
$(\dif_\alpha, \dif'_\alpha)$ la diff�rente de $D_{\p_\alpha}$. La
proposition \ref{LocalSingulier2} permet de voir que  
$$\sum_{\beta} \dim_k \H^0(C_\beta/G_\beta,
\Gg_\beta)=\left|\left\{\substack{\alpha \in C_{sing}/G \\
2\dif_\alpha+1 \not = 0 \mod |G_{\p_\alpha}|\\ \textrm{ou }
G_{\p_\alpha} \not =
D_{\p_\alpha}}\right\}\right|+\left|\left\{\substack{\alpha \in
C_{sing}/G \\ 2\dif'_\alpha+1 \not = 0 \mod |G_{\p_\alpha}|\\
\textrm{ou } G_{\p_\alpha} \not = D_{\p_\alpha}}\right\}\right|.$$  
\end{exemple}

De mani�re analogue, on d�finit
$$\Fg:= \ker \left(\pi_*^G\hom(\Omega_{C/k}, \left( \varphi_* \O_{\tilde C} \right ) / \O_C) \to \R^1 \pi_*^G \Omega_{C/k}^\vee \right).$$ \index{${\mathfrak F}$}
On voit que $\Fg$ est � support dans $\pi(C_{sing})$.
On peut pr�ciser la structure des fibres de $\Fg$ dans le cas g�n�ral. Ceci est donn� par la proposition suivante.

\begin{proposition}
Reprenons les notations pr�c�dentes. Soient $\q$ un point de $C/G$ et
$\p \in \pi^{-1}(\q)$.  Notons $D_\p$ le stabilisateur de $\p$, $T_\p$
le noyau de l'homomorphisme $D_\p \to \Aut(\Frac(\O_{C, \p}))$ et
$G_\p:=D_\p /T_p$. Alors  
$$\Fg_\q = \ker \left(\hom(\Omega_{C/k}, \varphi_* \O_{\tilde
C}/\O_C)_\p^{G_\p} \to  \H^1(G_\p, \Omega_{C/k, \p}^\vee)\right).$$ 
\end{proposition}

\preuve La d�finition de $\Fg$ et une d�composition selon les orbites
sous $D_{\p}$ (cf. \cite{CohomologyOfGroup}, 27.1)  permettent de voir que 
$$\Fg_\q = \ker \left(\hom(\Omega_{C/k}, \varphi_* \O_{\tilde
C}/\O_C)_\p^{G_\p} \to  \H^1(D_\p, \Omega_{C/k, \p}^\vee)\right).$$ 
Il est alors ais� de voir que le morphisme se factorise en fait par
$\H^1(G_\p, \Omega_{C/k, \p}^\vee)$ car $T_\p$ agit trivialement.
 \qed

\begin{exemple}
\label{CalculExpliciteF}
Supposons que pour tout $\p \in C_{sing}$ le stabilisateur $D_\p$ est
$p$-cyclique et agit sans �changer les branches. Pour tout $\alpha \in
C_{sing}/G$ choisissons un point $\p_\alpha$ dans la classe $\alpha$
et notons $(m_\alpha, m'_\alpha)$ le conducteur de
$D_{\p_\alpha}$. Le corollaire \ref{CalculDimensionF} nous donne 
$$\dim_k \H^0(C, \Fg)=\left|\left\{\substack{\alpha \in C_{sing}/G \\
m_\alpha+1 = 0 \mod p \\ \textrm{ou } m_\alpha =
\infty}\right\}\right|+\left|\left\{\substack{\alpha \in C_{sing}/G \\
m'_\alpha+1 = 0 \mod p \\ \textrm{ou } m'_\alpha =
\infty}\right\}\right|.$$ 
\end{exemple}

\begin{theorem}
\label{LienNormaliseGlobale}
Soient $C \to \Spec k$ une courbe stable et $G$ un groupe fini agissant sur $C \to \Spec k$.
Reprenons les notations pr�c�dentes.
Alors on a deux suites exactes
\begin{multline}
\label{SuiteNormaliseeTermeGlobal}
0 \to \Ext^0_G(\Omega_{\tilde C/k}, \O_{\tilde C}) \to \H^0(C/G, \Fg)
\to \H^1(C/G, \ext^0_G(\Omega_{C/k}, \O_C)) \to  \\ \H^1(\tilde C/G,
\ext^0_G(\Omega_{\tilde C/k}, \O_{\tilde C})) \to 0,  
\end{multline}
\begin{multline}
\label{SuiteNormaliseeTermeLocal}
\hskip -0.3cm 0 \to \H^0(C/G, \Fg) \to \H^0(C, \hom(\Omega_{C/k},
\left( \varphi_* \O_{\tilde C} \right ) / \O_C))^G \to  \H^0(C/G, \R^1
\pi_*^G \Omega_{C/k}^\vee) \\  \to \bigoplus_{\beta\in\pi_0(\tilde
C)/G}\H^0(C_\beta/G_\beta, \R^1 \tilde\pi_*^{G_\beta}
\Omega_{C_\beta/k}^\vee) \to \bigoplus_{\beta\in\pi_0(\tilde C)/G}
\H^0(C_\beta/G_\beta, \Gg_\beta) \to 0. 
\end{multline}
\end{theorem}

\preuve
Nous allons mener une �tude parall�le � celle de la section
\ref{LienNormaliseeLocal}. 

\medskip

En appliquant le foncteur $\pi_*^G$ � la suite
\eqref{SuiteLienNormaliseGlobal}, on obtient une suite exacte longue  
\begin{multline}
\label{SuiteExacteLongueGroupeFaisceaux}
0 \to \pi_*^G \Omega_{C/k}^\vee \to \psi_* \circ \tilde \pi_*^G
\Omega_{\tilde C/k}^\vee \to \pi_*^G\hom(\Omega_{C/k}, \left(
\varphi_* \O_{\tilde C} \right ) /\O_C) \to \left ( \R^1 \pi_*^G
\right )\Omega_{C/k}^\vee \\  
\to \psi_* \circ \left ( \R^1 \tilde \pi_*^G \right )\Omega_{\tilde
C/k}^\vee \to \left ( \R^1 \pi_*^G \right )\hom(\Omega_{C/k}, \left(
\varphi_* \O_{\tilde C} \right ) / \O_C) 
\end{multline}
car pour tout $i \ge 0$ on a
$$\psi_* \circ \R^i \tilde \pi_*^G=
\R^i\left(\psi \circ \tilde \pi \right)^G_*=
\R^i\left(\pi \circ \phi \right)_*^G =
(\R^i \pi_*^G) \circ \phi_*
$$
(ce qui d�coule de l'exactitude de $\varphi_*$ et de $\psi_*$).
Notons $\Hc$ le noyau du morphisme
$$\psi_* \circ \left ( \R^1 \tilde \pi_*^G \right )\Omega_{\tilde
C/k}^\vee \to \left ( \R^1 \pi_*^G \right )\hom(\Omega_{C/k}, \left(
\varphi_* \O_{\tilde C} \right ) / \O_C)$$  
de sorte qu'on a trois suites exactes
\begin{equation}
\label{SuiteExacteF}
0 \to \pi_*^G \Omega_{C/k}^\vee\to \psi_* \circ \tilde \pi_*^G
\Omega_{\tilde C/k}^\vee \to \Fg \to 0,  
\end{equation}
\begin{equation}
\label{SuiteExacteFH}
0 \to \pi_*^G\hom(\Omega_{C/k}, \left( \varphi_* \O_{\tilde C} \right ) / \O_C)/\Fg \to \left ( \R^1 \pi_*^G \right )\Omega_{C/k}^\vee \to \Hc \to 0,
\end{equation}
\begin{equation}
\label{SuiteExacteHG}
0 \to \Hc \to 
\psi_* \circ \left ( \R^1 \tilde \pi_*^G \right )\Omega_{\tilde
C/k}^\vee \to \ \left ( \R^1 \pi_*^G \right )\hom(\Omega_{C/k}, \left(
\varphi_* \O_{\tilde C} \right ) / \O_C). 
\end{equation}


En prenant la suite exacte longue de cohomologie des faisceaux
associ�e � la suite \eqref{SuiteExacteF} on obtient une suite exacte 
\begin{multline}
\label{SuiteExacteFGlobale}
0 \to \Ext^0_G(\Omega_{C/k}, \O_C) \to \Ext^0_G(\Omega_{\tilde C/k},
\O_{\tilde C}) \to \H^0(C/G, \Fg) \to  \\ \H^1(C/G,
\ext^0_G(\Omega_{C/k}, \O_C)) \to \H^1(\tilde C/G,
\ext^0_G(\Omega_{\tilde C/k}, \O_{\tilde C})) \to 0  
\end{multline}
car, $\Fg$ �tant � support de dimension $0$, on a $$\H^1(C/G, \Fg)=0.$$
Par suite, on trouve la suite \eqref{SuiteNormaliseeTermeGlobal} car
$C$ est stable et donc $\Ext^0(\Omega_{C/k}, \O_C)=0$ d'apr�s
\cite{Deligne_Mumford}, Lemma 1.4. 

D'autre part, la suite exacte longue de cohomologie associ�e � la
suite \eqref{SuiteExacteFH} nous donne, comme $\Fg$ et
$\pi_*^G\hom(\Omega_{C/k}, \left( \varphi_* \O_{\tilde C} \right ) /
\O_C)$ sont � support de dimension $0$, une suite exacte 
\begin{multline*}
0 \to \H^0(C/G, \Fg) \to \H^0(C, \hom(\Omega_{C/k}, \left( \varphi_*
\O_{\tilde C} \right ) / \O_C))^G \to  \\ \H^0(C/G, \R^1 \pi_*^G
\Omega_{C/k}^\vee) \to \H^0(C/G, \Hc) \to 0. 
\end{multline*}
De m�me, la suite exacte \eqref{SuiteExacteHG} nous donne une suite
exacte 
\begin{multline*}
0 \to \H^0(C/G, \Hc) \to \H^0(\tilde C/G, \R^1 \tilde\pi_*^G
\Omega_{\tilde C/k}^\vee) \to  \\ \H^0\left(C/G, \left ( \R^1 \pi_*^G
\right )\hom(\Omega_{C/k}, \left( \varphi_* \O_{\tilde C} \right ) /
\O_C)\right). 
\end{multline*}
On a donc une suite exacte
\begin{multline}
\label{SuiteNormalisee2}
\hskip-0.4cm 0 \to \H^0(C/G, \Fg) \to \H^0(C, \hom(\Omega_{C/k}, \left( \varphi_*
\O_{\tilde C} \right ) / \O_C))^G \to  \H^0(C/G, \R^1 \pi_*^G
\Omega_{C/k}^\vee)\\ \to \H^0(\tilde C/G, \R^1 \tilde\pi_*^G
\Omega_{\tilde C/k}^\vee) \to \H^0\left(C/G, \left ( \R^1 \pi_*^G
\right )\hom(\Omega_{C/k}, \left( \varphi_* \O_{\tilde C} \right ) /
\O_C)\right). 
\end{multline}
Il s'agit maintenant d'�tudier le morphisme 
$$\H^0(\tilde C/G, \R^1 \tilde\pi_*^G \Omega_{\tilde C/k}^\vee) \to \H^0\left(C/G, \left ( \R^1 \pi_*^G \right )\hom(\Omega_{C/k}, \left( \varphi_* \O_{\tilde C} \right ) / \O_C)\right).$$
Ce morphisme peut se d�composer, � l'aide de
\cite{CohomologyOfGroup}, 27.1, en une somme de termes <<locaux>> de la
forme 
\begin{multline*}
\bigoplus_{\beta\in\pi_0(\tilde C)/G} \H^0(C_\beta/G_\beta, \R^1 \tilde\pi_{\beta, *}^{D_\beta} \Omega_{C_\beta/k}^\vee) \to  \\ \bigoplus_{\beta\in\pi_0(\tilde C)/G} \H^0\left(C_\beta/G_\beta, \R^1 \pi_{\beta, *}^{D_\beta} \left(\varphi_\beta^* \hom(\Omega_{C/k}, \varphi_* \O_{\tilde C}/\O_C) \right)\right)
\end{multline*}
car 
$$\hom(\Omega_{C/k}, \varphi_* \O_{\tilde C}/\O_C) = \varphi_* \varphi^* \hom(\Omega_{C/k}, \varphi_* \O_{\tilde C}/\O_C)$$
(ce qui peut se voir � l'aide de la description locale explicite
donn�e dans la section \ref{LienNormaliseeLocal}). Il suffit donc
d'�tudier chacun de ces termes locaux. 
Soit $\beta \in \pi_0(\tilde C)/G$. La suite spectrale des extensions
de groupes $\textrm{III}_{2}^{p, q}:=\H^p(G_\beta, \H^q(T_\beta,M))$ (pour
tout $D_{\beta}$-module $M$) nous donne (comme $T_\beta$ agit trivialement et que
$G_\beta=D_\beta/T_\beta$) un diagramme commutatif � colonnes exactes 
\begin{small}
$$\xymatrix{
0\ar[d] & 0 \ar[d]\\
\H^0(C_\beta/G_\beta, \R^1 \tilde\pi_*^{G_\beta} \Omega_{C_\beta/k}^\vee)\ar[d]\ar[r]^(0.37){a_\beta} & 
\H^0\left(C_\beta/G_\beta, \R^1 \pi_{\beta, *}^{G_\beta} \left(\varphi_\beta^* \hom(\Omega_{C/k}, \varphi_* \O_{\tilde C}/\O_C) \right)\right) \ar[d]\\
\H^0(C_\beta/G_\beta, \R^1 \tilde\pi_*^{D_\beta} \Omega_{C_\beta/k}^\vee)\ar[d]\ar[r]^(0.37){b_\beta} & 
\H^0\left(C_\beta/G_\beta, \R^1 \pi_{\beta, *}^{D_\beta} \left(\varphi_\beta^* \hom(\Omega_{C/k}, \varphi_* \O_{\tilde C}/\O_C) \right)\right)\ar[d] \\
\H^0(C_\beta, \H^1(T_\beta, \Omega_{C_\beta/k}^\vee))\ar[r]^(0.37){c_\beta} &
\H^0\left(C_\beta, \H^1\left(T_\beta, \varphi_\beta^*
\hom(\Omega_{C/k}, \varphi_* \O_{\tilde C}/\O_C)\right)\right). 
}$$
\end{small}
De plus, on voit que $c_\beta$ est canoniquement isomorphe au morphisme
$$\H^1(T_\beta, \H^0(C_\beta, \Omega_{C_\beta/k}^\vee)) \to
\H^1(T_\beta, \H^0(C_\beta, \varphi_\beta^* \hom(\Omega_{\tilde C/k},
\varphi_* \O_{\tilde C}/\O_C)))$$ 
car $T_\beta$ agit trivialement sur $C_\beta$.

D'autre part, comme $C \to \Spec k$ est stable (en particulier,
$\Ext^0(\Omega_{C/k}, \O_C)=0$ d'apr�s \cite{Deligne_Mumford} Lemma
1.4) la suite exacte \eqref{SuiteLienNormaliseGlobal} montre (en
passant aux sections globales) que le morphisme 
$$\bigoplus_{C_0 \in \pi_0(\tilde C)} \Ext^0(\Omega_{C_0}, \O_{C_0})
\to \H^0(C, \hom(\Omega_{C/k}, \left( \varphi_* \O_{\tilde C} \right )
/ \O_C))$$ est injectif. Par suite, le morphisme $c_\beta$ est
injectif. 
Le noyau de $b_\beta$ est donc �gal au noyau de $a_\beta$ et la suite
exacte \eqref{SuiteNormalisee2} donne une suite exacte 
\begin{multline*}
\hskip -0.4cm 0 \to \H^0(C/G, \Fg) \to \H^0(C, \hom(\Omega_{C/k}, \left( \varphi_* \O_{\tilde C} \right ) / \O_C))^G \to  \H^0(C/G, \R^1 \pi_*^G \Omega_{C/k}^\vee) \\  \to \bigoplus_{\beta\in\pi_0(\tilde C)/G}\H^0(C_\beta/G_\beta, \R^1 \tilde\pi_*^{G_\beta} \Omega_{C_\beta/k}^\vee) \to \bigoplus_{\beta\in\pi_0(\tilde C)/G} \Im a_\beta \to 0.
\end{multline*}
Finalement, le faisceau $\R^1 \tilde\pi_*^{G_\beta}
\Omega_{C_\beta/k}^\vee$ �tant � support discret (car $G_\beta$ agit
librement sur un ouvert dense de $C_\beta$), l'image de $a_\beta$ est
�gale � $\H^0(C_\beta/G_\beta,
\Gg_\beta)$ (par d�finition de $\Gg_\beta$). On a donc la suite exacte
\eqref{SuiteNormaliseeTermeLocal}. \qed 

\begin{remark}
\label{LienNormaliseeGlobalGeneral}
On peut remarquer que dans le cas g�n�ral des courbes � singularit�s
doubles ordinaires, donc $C\to \Spec k$ pas forc�ment stable ni m�me
propre, les deux suites \eqref{SuiteExacteFGlobale} et
\eqref{SuiteNormalisee2} sont encore exactes. 
\end{remark}

\begin{corollary}
\label{CalculExplicite2Termes}
Reprenons les notations pr�c�dentes. On a
\begin{multline*}
\dim_k \H^1(C/G, \ext^0_G(\Omega_{C/k}, \O_C))+\dim_k \H^0(C/G, \R^1
\pi_*^G \Omega_{C/k}^\vee)= \\ 
\dim_k \H^0(C,  \hom(\Omega_{C/k}, \left( \varphi_* \O_{\tilde C}
\right ) / \O_C))^G-\sum_{\beta \in \pi_0(\tilde C)/G}\dim_k
\Hom(\Omega_{C_\beta/k}, \O_{C_\beta})^{G_\beta}\\ 
\sum_{\beta \in \pi_0(\tilde
C)/G}\dim_k\Ext^1_{G_\beta}(\Omega_{C_\beta}, \O_{C_\beta}) -\dim_k
\H^0(C_\beta/G_\beta, \Gg_\beta) 
\end{multline*}
\end{corollary}

\preuve Pour tout $\beta \in \pi_0(\tilde C)/G$ on a un isomorphisme canonique
$$\ext^1_{G_\beta}(\Omega_{C_\beta/k}, \O_{C_\beta}) \cong \R^1
\pi_{\beta, *}^{G_\beta} \Omega_{C_\beta/k}^\vee$$ 
(ceci provient de la suite spectrale
$\textrm{II}_{2}^{p,q}:=\R^p\pi_{\beta, *}^{G_{\beta}}\ext^{q}
(\Omega_{C_{\beta}/k}, \O_{C_\beta}))$ et de la lissit� de $C_{\beta}$).
La suite spectrale $\textrm{I}_{2}^{p, q}:=\H^p (C_{\beta}/G_{\beta},
\ext^{q} (\Omega_{C_{\beta}/k}, \O_{C_\beta}))$ fournit donc une suite exacte
\begin{multline*}
0 \to \H^1(C_\beta, \ext^0_{G_\beta}(\Omega_{C_\beta/k},
\O_{C_\beta})) \to \Ext^1_{G_\beta}(\Omega_{C/k}, \O_C) \to \\
\H^0(C_\beta/G_\beta, \R^1 \pi_{\beta, *}^{G_\beta}
\Omega_{C_\beta/k}^\vee) \to 0. 
\end{multline*}
On peut alors d�composer ces groupes en prenant un repr�sentant dans
chaque orbites sous l'action de $G$ via \cite{CohomologyOfGroup},
27.1, ce qui nous donne un isomorphisme
$$\Ext^0_G(\Omega_{\tilde C/k}, \O_{\tilde C}) \cong \bigoplus_{\beta
\in \pi_0(\tilde C)/G} \Ext^0(\Omega_{C_\beta/k},
\O_{C_\beta})^{G_\beta}$$ 
puis
$$\H^1(\tilde C/G, \ext^0_G(\Omega_{\tilde C/k}, \O_{\tilde C})) \cong
\bigoplus_{\beta \in \pi_0(\tilde C)/G}\H^1(C_\beta/G_\beta,
\ext^0_{G_\beta}(\Omega_{C_\beta/k}, \O_{C_\beta})).$$ 
Les suites exactes \eqref{SuiteNormaliseeTermeGlobal} et 
\eqref{SuiteNormaliseeTermeLocal} permettent alors de conclure. \qed 

\begin{exemple}
\label{ExempleGlobalCyclique}
Soient $C\to \Spec k$ une courbe stable sur un corps alg�briquement
clos de caract�ristique $p$ et $G$ un $p$-groupe cyclique agissant
fid�lement sur $C$. On ne suppose pas que le groupe $G$ agit librement
sur un ouvert dense de $C$. Supposons que les composantes connexes de
$\tilde C$ sont de genre $\ge 2$ et qu'en chaque point singulier $\p
\in C$, le groupe $D_\p$ agit sans permuter les branches. Pour tout
$\alpha \in C_{sing}/G$, choisissons un point $\p_\alpha$ dans la
classe $\alpha$ et notons $(\dif_\alpha, \dif'_\alpha)$ la diff�rente
de $D_{\p_\alpha}$. Notons $\tilde C_{ram}$ l'ensemble des points $\q$
de $\tilde C$ tels que $G_\q$ (i.e. l'image du stabilisateur $D_\q$
dans $\Aut(\Spec \O_{\tilde C, \q})$) soit non trivial, choisissons
pour tout $\gamma \in \tilde C_{ram}/G$ un �l�ment $\q_\gamma$ dans la
classe $\gamma$ et notons $\dif_{\gamma}$ la diff�rente de
$G_{\q_\gamma}$ (et non $D_{\q_\gamma}$) si $G_{\q_\gamma} \not =
\{Id\}$ et $0$ sinon. Le corollaire \ref{CalculExplicite2Termes}, le
th�or�me \ref{CalculGlobalCasLisse} et l'exemple
\ref{CalculExpliciteG} montrent qu'alors 
\begin{multline*}
\dim_k \H^1(C/G, \ext^0_G(\Omega_{C/k}, \O_C))+\dim_k \H^0(C/G, \R^1
\pi_*^G \Omega_{C/k}^\vee)=2 \left|C_{sing}/G\right|+ \\\sum_{\beta
\in \pi_0(\tilde C/G)} 3p_a(C_\beta/G)-3+\sum_{\gamma \in \tilde
C_{ram}/G} \left\lfloor{ 2\dif_{\gamma} \over |D_{\q_\gamma}|} \right
\rfloor-\\\left|\left\{\substack{\alpha \in C_{sing}/G \\
2\dif_\alpha+1 \not = 0 \mod |G_{\p_\alpha}|\\ \textrm{ou }
G_{\p_\alpha} \not =
D_{\p_\alpha}}\right\}\right|-\left|\left\{\substack{\alpha \in
C_{sing}/G \\ 2\dif'_\alpha+1 \not = 0 \mod |G_{\p_\alpha}|\\
\textrm{ou } G_{\p_\alpha} \not = D_{\p_\alpha}}\right\}\right| 
\end{multline*}
le calcul de $\dim_k \H^0(C,  \hom(\Omega_{C/k}, \left( \varphi_*
\O_{\tilde C} \right ) / \O_C))^G$ �tant imm�diat (cf. description
locale dans la section \ref{LienNormaliseeLocal}). 
\end{exemple}

\subsubsection{�paississement des points doubles}

Soient $k$ un corps alg�briquement clos, $C \to \Spec k$ une courbe
stable et $G$ un groupe agissant sur $C$. 
Le but de cette section est de pr�ciser l'image du morphisme
$$\Ext^1_G(\Omega_{C/k}, \O_C) \overset{{\textit{�p}}}{\to} \H^0(C,
\ext^1(\Omega_{C/k}, \O_C))^G.$$ 
Pour tout $\alpha \in C_{sing}/G$, choisissons un repr�sentant
$\p_\alpha$ dans la classe $\alpha$ et notons $D_\alpha$ son
stabilisateur, $T_\alpha$ le noyau de l'homomorphisme $D_\alpha\to
\Aut(\Frac(\O_{C, \p_\alpha}))$ et
$G_\alpha:=D_\alpha/T_\alpha$. D'apr�s \cite{CohomologyOfGroup} 27.1,
on a une d�composition
$$\H^0(C, \ext^1(\Omega_{C/k}, \O_C))^G=\bigoplus_{\alpha \in
C_{sing}/G} \Ext^1(\Omega_{C/k, \p_\alpha}, \O_{C,
\p_\alpha})^{D_\alpha}.$$ 

Le th�or�me \ref{RelevementActionSingulier} sugg�re de r�partir les
points singuliers selon la nature des rel�vements. Cela est fait dans
la d�finition suivante. 

\begin{definition}
Soient $\p$ un point singulier de $C$ et $D_\p$ son stabilisateur. Le
point $\p$ sera dit \textit{inconditionnellement relevable}
(resp. \textit{conditionnellement relevable}, resp. \textit{non
relevable}) si c'est le cas de l'action de $D_\p$ sur $\Spec \hat
\O_{C, \p}$ (cf. d�finition \ref{ActionRelevable}). 
\end{definition}

Gr�ce au th�or�me \ref{RelevementActionSingulier}, on voit que le
conducteur en un point conditionnellement relevable est de la forme
$(1, m)$ ou $(m, 1)$. Les points ayant un conducteur de cette forme
vont jouer un r�le particulier.  

Notons $\varphi:\tilde C \to C$ le morphisme de normalisation.
D�finissons le sous-ensem\-ble $C_{cond \ 1}$ de
$\varphi^{-1}(C_{sing})$ de la mani�re suivante : 
$$C_{cond \ 1} :=\left\{
 \begin{array}{l}
\q_{1} \in \varphi^{-1}(C_{sing})|\varphi(\q_{1})\textrm{ est relevable et si } \q_{2} \textrm{ est l'autre point de} \\ \varphi^{-1}(\varphi(\q_{1}))
\textrm{ alors le conducteur de } T_{\q_1} \textrm{ sur } \Spec \O_{\tilde C, \q_{2}} \textrm { est } 1
\end{array}\right\}$$
(en particulier, les points de $\varphi (C_{cond\ 1})$ sont
conditionnellement relevable d'apr�s le lemme \ref{ActionSurAnneauDeFraction}).
On d�finit alors deux diviseurs effectifs sur $\tilde C$  :

\begin{center}
$D_{sing}:=\displaystyle{\sum_{\q \in \pi^{-1}(C_{sing})}} \q,$ \ 
$D_{cond \ 1}:=\displaystyle{\sum_{\q_{1} \in C_{cond \ 1}}} \q_{1}. $ \
\end{center}
 
Pour tout $\beta \in \pi_0(\tilde C)/G$, choisissons un repr�sentant
$C_\beta$ dans la classe de $\beta$ et notons $D_\beta$ son groupe
d'inertie, $T_\beta$ le noyau de l'homomorphisme $D_\beta \to
\Aut(\C_\beta)$ et $G_\beta:=D_\beta/T_\beta$.  
Notons $$\Na_\beta:=\H^1(T_\beta, \H^0(C_\beta,
\Omega_{C_\beta/k}^\vee(-D_{sing}+D_{cond \ 1})))^{G_\beta}.$$ 
Si on suppose que $\deg(D_{sing}-D_{cond \ 1}) > 2-2p_a(C_\beta)$ (ce
qui est le cas g�n�ral et est toujours v�rifi� si $p_a(C_\beta) \ge
2$) on voit que $\Na_\beta=0$.  

\begin{theorem}
\label{EpaississementPointdouble}
Soient $C\to \Spec k$ une courbe stable sur un corps alg�briquement
clos de caract�ristique $p$ et $G$ un $p$-groupe fini agissant
fid�lement sur $C$. Pour tout $\alpha \in C_{sing}/G$ choisissons un
repr�sentant $\p_\alpha$ dans la classe de $\alpha$. Reprenons les
notations ci-dessus. On a une suite exacte canonique   
$$
0 \to \bigoplus_{\substack{\alpha \in C_{sing}/G \\ \p_\alpha \textrm{
inconditionnellement}\\\textrm{relevable}}} \Ext^1(\Omega_{C,
\p_\alpha}, \O_{C, \p_\alpha}) \to \Im {\textit{�p}} \overset{a}{\to}
\bigoplus_{\beta \in \pi_0(\tilde C)/G} \Na_\beta. 
$$
\end{theorem}

Contrairement aux d�monstrations pr�c�dentes, la d�monstration de ce
th�\-or�me n'est pas purement cohomologique mais repose �galement sur
des techniques de recollement (cf. \cite{Papier1}, Proposition 4.7).

\preuve Dans un premier temps, nous allons regarder le cas des points
inconditionnellement relevables. Ensuite nous construirons le
morphisme $a$ puis nous montrerons que la suite est exacte. 

\medskip

\noindent{\it Premi�re �tape : les points inconditionnellement relevables.}

Soit $\alpha \in C_{sing}/G$. Supposons que $\p_\alpha$ soit
inconditionnellement relevable.  
Nous allons construire une d�formation $G$-�quivariante $\C$ de $C$
qui est non topologiquement triviale en les points de $G.\p_\alpha$ et
topologiquement triviale en les points de $C_{sing}\setminus
G.\p_\alpha$. Ceci suffira � montrer qu'on a une inclusion
$$\bigoplus_{\substack{\alpha \in C_{sing}/G \\ \p_\alpha \textrm{
inconditionnellement}\\\textrm{relevable}}} \Ext^1(\Omega_{C,
\p_\alpha}, \O_{C, \p_\alpha}) \subset \Im {\textit{�p}}.$$ 


Notons $X=\Spec \hat\O_{C, \p_\alpha}$, $\eta$ et $\xi$ les deux
points g�n�riques de $X$, $G_\eta$ et $G_\xi$ les groupes
d'automorphismes induits par $D_{\p_\alpha}$ sur $\kappa(\eta)$ et
$\kappa(\xi)$. Posons $C_\xi=\overline{\{\xi\}}$,
$C_\eta=\overline{\{\eta\}}$ et $U=\left(C_\xi \cup C_\eta\right)
\setminus C_{sing}$ (les adh�rences �tant prises dans $C$ en
identifiant les points $\eta$ et $\xi$ � leur image dans $C$). En
particulier, on a une identification naturelle de $G_\eta$
(resp. $G_\xi$) avec un sous-groupe de $\Aut ( C_\eta)$
(resp. $\Aut (C_\xi)$). 

Par d�finition d'un point inconditionnellement relevable, il existe
une d�formation $D_{\p_\alpha}$-�quivariante $\X$ de $X$ telle que $G_\eta$
et $G_\xi$ soient les groupes d'auto\-morphimes induits par
$D_{\p_\alpha}$ sur $\Spec \O_{\X, \eta}$ et $\Spec \O_{\X, \xi}$ (on
identifie les points g�n�riques de $\X$ � ceux de $X$ via l'immersion
$X \to \X$). Comme il existe une unique d�formation $G_\xi$
(resp. $G_\eta$) �quivariante de $\Spec\kappa(\xi)$
(resp. $\Spec\kappa(\eta)$) (car les morphismes $\Spec
\kappa(\xi) \to \Spec \kappa(\xi)^{G_\xi}$ et $\Spec \kappa(\eta) \to
\Spec \kappa(\eta)^{G_\eta}$ sont �tales), il existe un isomorphismes
$G_\eta$-�quivariant  
$$\varphi_\eta:\Frac(\hat\O_{C_\eta, \p_\alpha}) \otimes_k k[\epsilon] \to \O_{\X, \eta}$$
et un isomorphisme $G_\xi$-�quivariant 
$$\varphi_\xi:\Frac(\hat\O_{C_\xi, \p_\alpha}) \otimes_k k[\epsilon] \to \O_{\X, \xi}.$$
En transportant ces isomorphismes � tous les points de $G.\p_\alpha$
via l'action de $G$ on peut construire, gr�ce � la proposition 4.7 de
\cite{Papier1}, une d�formation �quivariante $(\C, G)$ de $(C, G)$ qui
induit la d�formation triviale de $C\setminus G.\p_\alpha$ et une
d�formation non topologiquement triviale de $\Spec \widehat\O_{C,
\p_\alpha}$. 

En conclusion, on a une injection
$$\bigoplus_{\substack{\alpha \in C_{sing}/G \\ \p_\alpha \textrm{
inconditionnellement relevable}}} \Ext^1(\Omega_{C, \p_\alpha}, \O_{C,
\p_\alpha}) \to \Im {\textit{�p}}.$$ 

\medskip

\noindent{\it Deuxi�me �tape : construction de $a$.}

On peut remarquer que l'image de ${\textit{�p}}$ s'identifie avec l'image de
$$\H^0(C/G, \ext^1_G(\Omega_{C/k}, \O_C)) \to \H^0(C,
\ext^1(\Omega_{C/k}, \O_C))^G.$$ C'est ce dernier morphisme que nous
allons �tudier. 
Reprenons les notations de la section \ref{LienNormalisee} concernant
$C_\beta$, $\pi_\beta$, $\varphi_\beta$, ... (cf. diagramme \eqref{DefinitionMorphismesGlobaux})

La suite spectrale $\textrm{II}_{2}^{p, q}:=\R^p \pi_{*}^{G}\ext^{q}
(\Omega_{C/k}, \O_C)$ fournit une suite exacte
$$0 \to \R^1 \pi_*^G \Omega_{C/k}^\vee \to \ext^1_G(\Omega_{C/k},
\O_C) \to \pi_*^G \ext^1(\Omega_{C/k}, \O_C).$$ 
En particulier, si $U$ d�signe l'image dans $C/G$ du lieu lisse de $C$, on a un isomorphisme 
$$\left(\R^1 \pi_*^G \Omega_{C/k}^\vee \right) |_U \cong \ext^1_G(\Omega_{C/k}, \O_C) |_U.$$
En d�composant $\pi^{-1} (U)$ selon les orbites sous l'action de $G$ on peut
�crire, gr�ce � \cite{CohomologyOfGroup} 27.1, un isomorphisme 
$$\left(\R^1 \pi_*^G \Omega_{C/k}^\vee \right) |_U\cong\bigoplus_{\beta \in
\pi_0(\tilde C)/G}\left( \tilde \varphi_{\beta, *} \R^1\pi_{\beta,
*}^{D_\beta} \Omega_{C_\beta/k}^\vee \right) |_U.$$ 
Notons $\theta$ le morphisme compos�
\begin{multline*}
\ext^1_G(\Omega_{C/k}, \O_C) \to \ext^1_G(\Omega_{C/k}, \O_C)|_U
\overset{\sim}{\to} \left(\R^1 \pi_*^G \Omega_{C/k}^\vee \right)
|_U\overset{\sim}{\to} \\ \bigoplus_{\beta \in \pi_0(\tilde C)/G}
\left( \tilde \varphi_{\beta, *} \R^1\pi_{\beta, *}^{D_\beta}
\Omega_{C_\beta/k}^\vee\right) |_U 
\end{multline*}
et $\theta'$ le compos� de $\theta$ avec l'homomorphisme de changement de groupes
$$\bigoplus_{\beta \in \pi_0(\tilde C)/G} \left(\tilde \varphi_{\beta, *}
\R^1\pi_{\beta, *}^{D_\beta} \Omega_{C_\beta/k}^\vee \right) |_U \to
\bigoplus_{\beta \in \pi_0(\tilde C)/G} \left( \tilde \varphi_{\beta, *}
\pi_{\beta, *}^{G_\beta} \H^1(T_\beta, \Omega_{C_\beta/k}^\vee)\right) |_U.$$ 

Le morphisme $\theta$ peut se d�crire, localement, de mani�re explicite. En effet,
choisissons un point $\p\in C_{sing}$ et fixons une composante
$C_\beta \in \pi_0(\tilde C)$ telle que $\varphi^{-1}(\p)\cap C_\beta
\not = \emptyset$. Soit $\q \in \varphi^{-1}(\p)\cap C_\beta$. Toute
d�formation $G$-�quivariante du premier ordre $(\C\to\Spec
k[\epsilon], G)$ de $C$ induit une d�formation $D_\p$-�quivariante de
$\Spec \hat \O_{\C, \p}$. Pour tout $\sigma \in D_\p$, notons
$\sigma_\epsilon$ l'automorphisme de $\Spec \hat \O_{\C, \p}$
induit. Le lemme \ref{RelevementMorphisme} (dont on reprend les
notations, l'uniformisante $x$ correspondant � une uniformisante de
$C_\beta$ en $\q$) fournit alors la forme de $\sigma_\epsilon$ pour
tout $\sigma$. L'image par $\theta$ de $\C$ est alors donn�e
localement (via le lemme \ref{ActionSurAnneauDeFraction}) par le
morphisme de cocha�nes $\phi$ d�fini pour tout $\sigma \in D_\p\cap
D_\beta$ par  
\begin{equation}
\label{psiexplicite}
\phi:\sigma \mapsto {1 \over \der{x} \sigma(x)}\left( \lambda
v_{\sigma, 1}+ h_{\sigma, 0}(x) \right )\d x. 
\end{equation}
En particulier, on voit que pour tout $\sigma\in D_\p \cap D_\beta$ la s�rie de Laurent
$\phi(\sigma)(dx)$
n'a pas de p�le. Le morphisme $\theta$ se factorise donc par  
$$\theta_1:\ext^1_G(\Omega_{C/k}, \O_C) \to \bigoplus_{\beta \in
\pi_0(\tilde C)/G} \tilde \varphi_{\beta, *} \R^1\pi_{\beta,
*}^{D_\beta} \Omega_{C_\beta/k}^\vee.$$ De m�me, on voit que le
morphisme $\theta'$ se factorise par  
$$\theta'_1:\ext^1_G(\Omega_{C/k}, \O_C)\to \bigoplus_{\beta \in \pi_0(\tilde C)/G}
\tilde \varphi_{\beta, *}\pi_{\beta, *}^{G_\beta} \H^1(T_\beta,
\Omega_{C_\beta/k}^\vee)$$ et l'image par $\theta'_1$ de $\R^1 \pi_*^G
\Omega_{C/k}^\vee$ (dont les �l�ments correspondent aux d�formations
topologiquement triviales, i.e. $\lambda = 0$) est dans  
$$\bigoplus_{\beta \in \pi_0(\tilde C)/G}
\tilde \varphi_{\beta, *}\pi_{\beta, *}^{G_\beta} \H^1(T_\beta,
\Omega_{C_\beta/k}^\vee(-D_{sing})).$$ 
De plus, si $\sigma \in T_\beta$ et que  $\lambda$ est non nulle
(c'est-�-dire que la d�formation �quivariante de $\Spec \hat \O_{C,
\p}$ induite par $\C$ n'est pas topologiquement triviale) alors
$\phi(\sigma)(dx)$ poss�de un z�ro si et seulement si $\p \not\in
C_{cond \ 1}$. 
Par suite, on voit que le morphisme $\theta'_1$ se factorise par 
$$\theta'_2:\ext^1_G(\Omega_{C/k}, \O_C)\to\bigoplus_{\beta \in \pi_0(\tilde C)/G}
\tilde \varphi_{\beta, *}\pi_{\beta, *}^{G_\beta} \H^1(T_\beta,
\Omega_{C_\beta/k}^\vee(-D_{sing}+D_{cond \ 1})).$$ 
En r�sum�, on a un diagramme commutatif
$$\xymatrix{
\R^1 \pi_*^G \Omega_{C/k}^\vee \ar@{^(->}[d] \ar[r]^(.32){\theta'_2} &
\bigoplus_{\beta \in \pi_0(\tilde C)/G} \tilde \varphi_{\beta,
*}\pi_{\beta, *}^{G_\beta} \H^1(T_\beta,
\Omega_{C_\beta/k}^\vee(-D_{sing})) \ar@{^(->}[d] \\ 
\ext^1_G(\Omega_{C/k}, \O_C) \ar[r]_(.27){\theta'_2} & \bigoplus_{\beta \in \pi_0(\tilde C)/G}
\tilde \varphi_{\beta, *}\pi_{\beta, *}^{G_\beta} \H^1(T_\beta,
\Omega_{C_\beta/k}^\vee(-D_{sing}+D_{cond \ 1}))
}$$
En consid�rant la suite exacte longue de cohomologie (des faisceaux)
associ�e � chacune des colonnes, on trouve un diagramme commutatif �
colonnes exactes 
\begin{footnotesize}
$$\xymatrix{
0 \ar[d] & 0\ar[d]\\
\H^0(C/G, \R^1 \pi_*^G \Omega_{C/k}^\vee) \ar[d]
\ar[r]^(.37){\H^0(\theta'_2)} & \displaystyle\bigoplus_{\beta \in
\pi_0(\tilde C)/G} \H^1(T_\beta, \H^0(C_\beta,
\Omega_{C_\beta/k}^\vee(-D_{sing})))^{G_\beta} \ar[d] \\ 
\H^0(C/G, \ext^1_G(\Omega_{C/k}, \O_C))
\ar[d]\ar[r]^(.37){\H^0(\theta'_2)} & \displaystyle\bigoplus_{\beta
\in \pi_0(\tilde C)/G} 
 \H^1(T_\beta, \H^0(C_\beta, \Omega_{C_\beta/k}^\vee(-D_{sing}+D_{cond
\ 1})))^{G_\beta} \\ 
\Im {\textit{�p}} \ar[d]&  \\
0 & 
}$$
\end{footnotesize}
Comme $C$ est une courbe stable, on voit que pour tout $\beta \in
\pi_0(\tilde C)$ on a $$\deg \Omega_{C_\beta/k}^\vee(-D_{sing}) < 0$$
donc $\H^0(C_\beta, \Omega_{C_\beta/k}^\vee(-D_{sing}))=0.$
On a donc un morphisme canonique
$$a:\Im {\textit{�p}} \to \bigoplus_{\beta \in \pi_0(\tilde C)/G}
  \H^1(T_\beta, \H^0(C_\beta, \Omega_{C_\beta/k}^\vee(-D_{sing}+D_{cond \ 1})))^{G_\beta}$$
induit par $\H^0(\theta'_2)$.
En r�sum�, on a un diagramme commutatif
\begin{footnotesize}
$$\xymatrix{
\H^0(C/G, \ext^1_G(\Omega_{C/k}, \O_C)) \ar@{->>}[d]
\ar[rdd]^{\H^0(\theta'_1)} \ar[r]^{\H^0(\theta_1)}
\ar@/_1cm/[dd]_{\H^0(\theta_2')} & \bigoplus_{\beta}
\H^0(C_\beta/G_\beta, \R^1 \pi_{\beta, *}^{D_\beta}
\Omega_{C_\beta/k}^\vee) \ar[dd]\\ 
\Im {\textit{�p}} \ar[d]_{a}\\
 \bigoplus_{\beta}
  \H^1(T_\beta, \H^0(C_\beta,
\Omega_{C_\beta/k}^\vee(-D_{sing}+D_{cond \ 1})))^{G_\beta}
\ar@{^(->}[r] & \bigoplus_{\beta} 
  \H^1(T_\beta, \H^0(C_\beta, \Omega_{C_\beta/k}^\vee))^{G_\beta}
}$$
\end{footnotesize}

\medskip

\noindent{\it Troisi�me �tape : exactitude de la suite.} 

Soit $$f \in \bigoplus_{\substack{\alpha \in C_{sing}/G \\ \p_\alpha
\textrm{ inconditionnellement}\\\textrm{relevable}}} \Ext^1(\Omega_{C,
\p_\alpha}, \O_{C, \p_\alpha}).$$  
D'apr�s la construction explicite de la premi�re �tape de la preuve,
on peut trouver une d�formation �quivariante $(\C, G)$ de $(C, G)$
telle que pour tout $\beta \in \pi_0(\tilde C)/G$ et tout ouvert $U
\subset C_\beta \cap \varphi_{\beta}^{-1} (C_{lisse})$, le groupe
$T_\beta$ agit trivialement sur la d�formation �quivariante de $(U,
D_\beta)$ induite par $(\C, G)$. Ainsi, l'image de $(\C, G)$ (et donc
de $f$) dans $\Na_\beta$ est nulle. Le morphisme $a$ se factorise donc
par le conoyau $\mathfrak{I}$ du morphisme 
$$\bigoplus_{\substack{\alpha \in C_{sing}/G \\ \p_\alpha \textrm{
inconditionnellement}\\\textrm{relevable}}} \Ext^1(\Omega_{C,
\p_\alpha}, \O_{C, \p_\alpha}) \to \Im {\textit{�p}}.$$ 
Montrons maintenant que le morphisme induit par $a$
$$\mathfrak{I} \to \bigoplus_{\beta \in \pi_0(\tilde C)/G} \H^1(T_\beta,
\H^0(C_\beta, \Omega_{C_\beta/k}^\vee(-D_{sing}+D_{cond \
1})))^{G_\beta}$$ 
est injectif.

Soit $f \in \mathfrak{I}$ un �l�ment non nul. Alors par d�finition il existe une
d�formation �quivariante $(\C\to\Spec k[\epsilon], G)$ de $(C, G)$
dont l'image dans $\mathfrak{I}$ est $f$. Comme $f$ est non nul, il existe un
point $\p \in C_{sing}$ conditionnellement relevable tel que la
d�formation $D_\p$ �quivariante de $\Spec \widehat\O_{C, \p}$ induite
par $(\C, G)$ soit non topologiquement triviale. Le fait que le point
soit conditionnellement relevable impose que l'image de $f$ par
$a$ est non triviale (localement donc globalement). \qed 

\begin{remark}
Dans la cas o� les stabilisateurs en chaque point singulier  sont
cycliques et v�rifient certaines conditions (sur les conducteurs) il
est possibles de pr�ciser l'image de l'application $a$ d�finie dans le
th�or�me pr�c�dent (cf. \cite{These} Chap II, Th�or�me 4.2.9).
\end{remark}


\begin{exemple}
Reprenons les hypoth�ses et notations de l'exemple
\ref{ExempleGlobalCyclique}. En particulier, comme on a suppos� que
les composantes de $\tilde C$ sont de genre $\ge 2$, on a $\Na_\beta =
0$ pour tout $\beta \in \pi_0(\tilde C/G)$. Le th�or�me
\ref{EpaississementPointdouble} permet donc de voir que  
\begin{multline*}
\dim_k \Ext^1_G(\Omega_{C/k}, \O_C)=2 \left|C_{sing}/G\right|+
\\\sum_{\beta \in \pi_0(\tilde C/G)} 3p_a(C_\beta/G)-3+\sum_{\gamma
\in \tilde C_{ram}/G} \left\lfloor{ 2\dif_{\gamma} \over
|D_{\q_\gamma}|} \right \rfloor-\\\left|\left\{\substack{\alpha \in
C_{sing}/G \\ 2\dif_\alpha+1 \not = 0 \mod |G_{\p_\alpha}|\\
\textrm{ou } G_{\p_\alpha} \not =
D_{\p_\alpha}}\right\}\right|-\left|\left\{\substack{\alpha \in
C_{sing}/G \\ 2\dif'_\alpha+1 \not = 0 \mod |G_{\p_\alpha}|\\
\textrm{ou } G_{\p_\alpha} \not =
D_{\p_\alpha}}\right\}\right|+\left|\left\{\substack{\alpha \in
C_{sing}/G \\ \p_\alpha \textrm{
inconditionnellement}\\\textrm{relevable}}\right\}\right|. 
\end{multline*}

Dans le cas o� l'action est libre sur un ouvert dense (en particulier,
il n'y a pas de points contitionnellement relevables) mais qu'on
ne suppose pas que les composantes irr�ductibles de $\tilde C$ sont de
genre $\ge 2$, alors la formule ci-dessus reste vraie.
\end{exemple}

\providecommand{\bysame}{\leavevmode\hbox to3em{\hrulefill}\thinspace}
\begin{thebibliography}{Mau03}

\bibitem[Bab69]{CohomologyOfGroup}
A.~Babakhanian, \emph{Cohomology of finite groups}, Queen's University,
  Kingston, Ont., 1969.

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J.~Bertin and A.~M{\'e}zard, \emph{D\'eformations formelles des rev\^etements
  sauvagement ramifi\'es de courbes alg\'ebriques}, Invent. Math.
  \textbf{141}:1 (2000), 195--238.

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G.~Cornelissen and F.~Kato, \emph{Equivariant deformation of Mumford curves and
  of ordinary curves in positive characteristic}, \mbox{arXiv:math.AG/0103207},
  � para�tre dans Duke Math. Journal.

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P.~Deligne and D.~Mumford, \emph{The irreducibility of the space of curves of
  given genus}, Inst. Hautes \'Etudes Sci. Publ. Math.:36 (1969), 75--109.

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A.~Grothendieck, \emph{Sur quelques points d'alg\`ebre homologique}, T\^ohoku
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L.~Illusie, \emph{Complexe cotangent et d\'eformations. {I}}, Springer-Verlag,
  Berlin, 1971, Lecture Notes in Mathematics, Vol. 239.

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O.~A. Laudal and K.~L{\o}nsted, \emph{Deformations of curves. {I}. {M}oduli for
  hyperelliptic curves}, Algebraic geometry (Proc. Sympos., Univ. Troms\o,
  Troms\o, 1977), Lecture Notes in Math., vol. 687, Springer, Berlin, 1978,
  pp.~150--167.

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S.~Maugeais, \emph{Rel\`evement des rev\^etements p-cycliques des courbes
  rationnelles semi-stables}, Math. Ann. \textbf{327}:2 (2003), 365--393.

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S.~Maugeais, \emph{Th\'eorie des d\'eformations \'equivariantes des morphismes
  localement d'intersections compl\`etes}, 2003,
  \mbox{http://arXiv.org/abs/math.AG/0310136}, preprint.

\bibitem[Mau03c]{These}
S.~Maugeais, \emph{D\'eformations \'equivariantes des courbes stables}, Th\`ese
  de doctorat, Universit\'e de Bordeaux I, 2003.

\bibitem[Sch68]{Deformation}
M.~Schlessinger, \emph{Functors of {A}rtin rings}, Trans. Amer. Math. Soc.
  \textbf{130} (1968), 208--222.

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J.~P. Serre, \emph{Corps locaux}, Actualit\'es Sci. Indust., No. 1296. Hermann,
  Paris, 1962.

\bibitem[Tuf93]{Tuffery}
S.~Tuff{\'e}ry, \emph{D\'eformations de courbes avec action de groupe}, Forum
  Math. \textbf{5}:3 (1993), 243--259.

\bibitem[Wew]{DeformationWewers}
S.~Wewers, \emph{Formal deformation of curves with group scheme action},
  \mbox{arXiv:math.AG/0212145}, preprint.

\end{thebibliography}

\end{document}




math0310137.extracted_bib
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