{SUR LES $\ai$-CAT�GORIES}
{Kenji Lef�vre-Hasegawa}
UFR de Math�matiques
Universit� Paris 7
2
place Jussieu
75251 Paris Cedex 05
France
\hbox{www.math.jussieu.fr/$\tilde{\space}$ lefevre}
Ai_cat.tex
{\bf \noindent Plan du chapitre}\\


\noindent Une $\ai$-cat�gorie est une $\ai$-alg�bre avec plusieurs objets, et r�ciproquement, une
$\ai$-alg�bre est une $\ai$-cat�gorie avec un objet. Les probl�mes soulev�s
par l'augmentation du nombre d'objets sont nombreux et la g�n�ralisation des
r�sultats des chapitres pr�c�dents est parfois tr�s technique.

Dans la  section \ref{section_preliminaire_ai-categories},
nous fixons des notations qui codent la variation des ensembles d'objets des petites $\ai$-cat�gories.
Nous introduisons pour cela une bicat�gorie
$\sf C$ dont les objets sont les ensembles, puis nous d�finissons
une petite $\ai$-cat�gorie dont l'ensemble des objets est en bijection avec
un ensemble $\mathbb O$
comme une $\ai$-alg�bre dans la cat�gorie (mono�dale)
$\sf C(\mathbb O,\mathbb O).$ Nous d�finissons ensuite les $\ai$-foncteurs. 

 Dans la section \ref{section_categorie_dg_polydules}, nous d�finissons
les cat�gories diff�rentielles gradu�es des (bi)polydules sur des $\ai$-cat�gories.

Dans la section \ref{section_lemme_clef},
nous �tablissons un lemme (dit {\em lemme clef}) qui sera fondamental dans la construction de
l'$\ai$-foncteur de Yoneda (\ref{definition_ai-foncteur_de_Yoneda}) et celle de l'$\ai$-foncteur
de Yoneda g�n�ralis� (\ref{section_ai-foncteur_de_Yoneda_generalise}).







\section{D�finitions}
\label{section_preliminaire_ai-categories}






\subsection{Les cat�gories de base $\sf C({\mathbb O},{\mathbb O}')$ et $\sf C({\mathbb O})$} 
\label{section_categories_de_base_aicat}

Nous fixons des notations que nous utiliserons tout au long de cette partie.
Nous construisons une bicat�gorie $\sf C$ \indexnotation{C3} dont les objets sont les ensembles 
(voir \cite[Chap.~XII, �6]{MacLane98} pour les bicat�gories).\\

Soit $\corps$ un corps. Le produit tensoriel au-dessus de $\corps$ est
not� $\ts$.
Soit ${\mathbb O}$ un ensemble. \indexnotation{bbO}
Consid�rons le comme la {\em petite cat�gorie} dont
les objets sont en bijection avec ${\mathbb O}$ et dont l'espace des
morphismes $o \ra o'$ est vide si $o \neq o'$, et contient
uniquement le morphisme identit� $\id_o$ sinon. 

Soit ${\mathbb O}$, ${\mathbb O}'$ et ${\mathbb O}''$ trois ensembles.
Un {\em ${\mathbb O}'$-${\mathbb O}$-bimodule} \index{bimodule@{${\mathbb A}$-${\mathbb B}$-bimodule}}
(resp.~un {\em ${\mathbb O}$-module} \index{module@{${\mathbb A}$-module}}
� droite) est un foncteur
\[
M : {\mathbb O} \op \times {\mathbb O}' \ra \vect \corps,\quad \Big(\mbox{resp.}\quad M : {\mathbb O} \op  \ra \vect \corps\Big)
\]
o� $\vect \corps$ est la cat�gorie des $\corps$-espaces vectoriels.
Un {\em morphisme} de bimodules (resp.~de modules) est un morphisme de foncteurs.
Nous notons $\sf C({\mathbb O},{\mathbb O}')$ et $\sf C({\mathbb O})$ ces cat�gories.
Soit $M$ un objet de $\sf C({\mathbb O},{\mathbb O}')$ et $N$ un objet de $\sf C({\mathbb O}',{\mathbb O}'')$.
Le {\em produit tensoriel $M \tso_{{\mathbb O}'} N$ \indexnotation{tso}
au-dessus de ${\mathbb O}'$} est l'objet de $\sf C ({\mathbb O},{\mathbb O}'')$
d�fini par
\[
\Big(M \tso_{{\mathbb O}'} N\Big)(o'',o) = \bigoplus_{o'\in {\mathbb O}'}M(o',o) \ts  N(o'',o').
\]
Nous noterons simplement $\odot$ le tenseur au-dessus de ${\mathbb O}'$ lorsque cela ne pr�tera pas
� confusion.
Le produit tensoriel au-dessus de ${\mathbb O}'$ nous donne un foncteur
\[
\sf C({\mathbb O}',{\mathbb O}) \times \sf C({\mathbb O}'',{\mathbb O}')   \ra \sf C ({\mathbb O}'',{\mathbb O}'), \quad
(M, N )\mapsto M \tso_{{\mathbb O}'} N,
\]
et si ${\mathbb O}'''$ est un ensemble
et $T$ un objet de $\sf C({\mathbb O}'',{\mathbb O}'''),$ on a des contraintes d'associativit�
\[
(M \tso_{{\mathbb O}'} N) \tso_{{\mathbb O}''} T \arr{\sim} M \tso_{{\mathbb O}'} (N \tso_{{\mathbb O}''} T).
\]
Soit $f: {\mathbb O} \ra {\mathbb O}'$ une application.
On a un foncteur
\[
\sf C({\mathbb O}'',{\mathbb O}')  \longrightarrow   \sf C({\mathbb O}'',{\mathbb O}),
\]
qui envoie le ${\mathbb O}'$-${\mathbb O}''$-bimodule $M$ sur le ${\mathbb O}$-${\mathbb O}''$-bimodule
\[
\begin{array}{rcl} M_{f} : {\mathbb O} \op \times {\mathbb O}'' &\ra &\vect \corps\\
o \times  o'' & \mapsto & M(f o, o'').
\end{array}
\]
De mani�re similaire, si $g : {\mathbb O} \ra {\mathbb O}''$ est une application, on a un
foncteur
\[
\sf C({\mathbb O}'',{\mathbb O}')  \longrightarrow   \sf C({\mathbb O},{\mathbb O}'), \quad M \mapsto \lrus{g}{M}{}.
\]
La cat�gorie $\sf C({\mathbb O},{\mathbb O}')$ est $\corps$-lin�aire ab�lienne, semi-simple,
cocompl�te, aux co\-limites filtrantes exactes (i.e.~c'est une $\corps$-cat�gorie de Grothen\-dieck
semi-simple). 
Par la section \ref{categorie_de_base}, nous avons les cat�gories $\gr \sf C({\mathbb O},{\mathbb O}')$
des {\em bimodules gradu�s} et $\cc \sf C({\mathbb O},{\mathbb O}')$ des {\em bimodules diff�rentiels gradu�s}.
Remarquons que le produit tensoriel $\tso_{\mathbb O}$ et le bimodule
\[
e_{\mathbb O}(\?,\?) = \corps  \Hom_{{\mathbb O}}(\?,\?)
\]
d�finissent une structure de cat�gorie mono�dale sur $(\sf C({\mathbb O},{\mathbb O}),\tso ,e_{\mathbb O})$.
Le foncteur
\[
\sf C({\mathbb O}',{\mathbb O}') \ra \sf C({\mathbb O},{\mathbb O}), \quad M \mapsto \lrus{f}{M}{f},
\]
est compatible � la structure mono�dale.
Comme la cat�gorie $\sf C({\mathbb O})$ est isomorphe �  $\sf C(\{*\},{\mathbb O})$,
o� $\{*\}$ est un ensemble � un �l�ment,
nous obtenons une action � droite de la cat�gorie mono�dale $C({\mathbb O},{\mathbb O})$ sur $C({\mathbb O})$
\[
\sf C({\mathbb O})  \times  \sf C({\mathbb O},{\mathbb O}) \ra \sf C ({\mathbb O}), \quad
(M, N)\mapsto M \tso N.
\]





\begin{remarque}{\em
Soit $\ca$ une petite $\corps$-cat�gorie dont l'ensemble des objets est en bijection avec
un ensemble ${\mathbb A}$.
Le ${\mathbb A}$-${\mathbb A}$-bimodule
\[
\Hom_\ca : A \times A' \mapsto \Hom_\ca(A,A'),
\]
muni des morphismes
\[
\mu : \Hom_\ca \tso \Hom_\ca \ra \Hom_\ca \quad \mbox{et}
\quad \unite : e_{\mathbb A} \ra \Hom_\ca, \quad \id_A \mapsto \Id_A,
\]
donn�s par la composition de $\ca$ et par les morphismes identit� $\Id_A$ de $\ca$,
est une alg�bre unitaire dans la cat�gorie des ${\mathbb A}$-${\mathbb A}$-bimodules.
R�ciproquement, une alg�bre unitaire dans la cat�gorie des ${\mathbb A}$-${\mathbb A}$-bimodules d�finit une
petite $\corps$-cat�gorie dont l'ensemble des objets est en bijection avec ${\mathbb A}$.

Soit $\ca$ et $\cb$ deux petites $\corps$-cat�gories dont les ensembles des objets sont
en bijection avec des ensembles ${\mathbb A}$ et ${\mathbb B}.$
Soit $f : \ca \ra \cb$ un foncteur. On note
\[
\dot f  : \Obj \ca \ra \Obj \cb
\]
l'application qui envoie $A$ sur son image par le foncteur $f.$
Le foncteur $f$ induit un morphisme d'alg�bres unitaires
\[
\Hom_{\ca} \ra \lrus{\dot f}{\Hom_{\cb}}{\dot f}, \quad x \mapsto f(x),
\]
R�ciproquement, si $\Lambda$ et $\Lambda'$ sont deux alg�bres unitaires dans les cat�gories des
${\mathbb A}$-${\mathbb A}$-bimodules
et des ${\mathbb B}$-${\mathbb B}$-bimodules, une application  $\dot f : {\mathbb A} \ra {\mathbb B}$
et un morphisme d'alg�bres unitaires
$\Lambda \ra \lrus{\dot f}{\Lambda'}{\dot f}$ dans la cat�gorie $\sf C({\mathbb A},{\mathbb A})$
d�finissent un foncteur entre les $\corps$-cat�gories correspondantes.
 }\end{remarque}

\begin{definition}{\em Soit ${\mathbb A}$ un ensemble.
Une {\em (petite) cat�gorie diff�rentielle gradu�e sur ${\mathbb A}$}
\index{categorie@{cat�gorie}!diff�rentielle gradu�e} est
une alg�bre diff�rentielle gradu�e unitaire dans $\sf C({\mathbb A},{\mathbb A}).$
}\end{definition}


%
%
%
%
%
%
%! D�finitions
%
%
%
%
%
%
%
%


\subsection{D�finitions}
\label{section_definitions_ai-categories}












\begin{definition}{\em \label{definition_ai-categorie}
Soit ${\mathbb A}$ un ensemble.  \indexnotation{ca} \indexnotation{bbA}
Une {\em $\ai$-cat�gorie sur ${\mathbb A}$}
\index{A-infini categorie@{$\ai$-cat�gorie}} est une $\ai$-alg�bre dans la cat�gorie 
\[
(\gr \sf C({\mathbb A},{\mathbb A}),\tso, e_{\mathbb A}).
\]
}\end{definition}

\begin{remarque}{\em
Soit $\ca$ une $\ai$-cat�gorie.
Elle est d�termin�e par
\begin{itemize}
\item[-] un ensemble d'{\em objets} $\Obj \ca = {\mathbb A}$,
\item[-] pour tout couple $(A,A')$ d'objets de $\ca$, un espace gradu� de {\em morphismes}
\[
\Hom_{\ca}(A,A') = \ca(A,A'),
\]
\item[-] pour toute suite $(A_0,\hdots,A_n)$ d'objets de $\ca$,
des {\em compositions}
\[
m_n : \ca(A_{n-1},A_n) \ts \hdots \ts \ca (A_0,A_1) \ra \ca(A_0,A_n),
\]
 v�rifiant les �quations $(*_n)$, $n \geq 1$, de la d�finition \ref{definition_ai-algebre}, 
\end{itemize}
Si $\ca$ est homologiquement unitaire (en tant que $\ai$-alg�bre dans $\gr \sf C({\mathbb A},{\mathbb A})$)
alors, pour tout objet $A \in \ca$, nous avons un morphisme {\em identit�} \index{identit�!d'un objet}
$\id_A \in \ca(A,A)$  tel que
sa classe $[\id_A]$ dans $H^*\!\ca(A,A)$ v�rifie
\[
\mu (f,[\id_A]) = f, \quad f \in H^*\!\ca(A,A') \quad \mbox{et} \quad 
\mu ([\id_A],g) = g,  \quad g \in H^*\!\ca(A',A),
\]
o� $\mu$ est la composition de $H^*\!\ca$ induite par $m_2$.
}\end{remarque}

\begin{remarque}{\em
La composition $m_2$ induit une
composition associative
\[
\mu : H^0 \ca \tso H^0 \ca \ra H^0 \ca.
\]
Si $\ca$ est homologiquement unitaire alors $H^0 \ca$ est une cat�gorie au sens classique. Le morphisme
identit� d'un objet $A \in H^0 \ca$ est la classe $[\id_A].$
}\end{remarque}



\begin{lemme}\label{lemme_ai-categorie_fBf} \indexnotation{fBf}
Soit ${\mathbb B}$ un ensemble, $\cb$ une $\ai$-cat�gorie sur ${\mathbb B}$ homologiquement unitaire
et
\[
f : {\mathbb A} \ra {\mathbb B}
\]
une application.
Le ${\mathbb A}$-${\mathbb A}$-bimodule gradu� $\lrus{f}{\cb}{f}$ est une $\ai$-cat�gorie
homologiquement unitaire
pour les compositions et les morphismes identit� induits par ceux de $\ca.$
\findem
\end{lemme}


%
%
%
%
%        $\ai$-foncteurs
%
%
%
%





\begin{definition}{\em \label{definition_ai-foncteurs} \indexnotation{f} \indexnotation{dotf}
Soit ${\mathbb A}$ et ${\mathbb B}$ deux ensembles et $\ca$ et $\cb$ deux $\ai$-cat�gories
sur ${\mathbb A}$ et ${\mathbb B}$. Un {\em $\ai$-foncteur}
\index{A-infini foncteur@{$\ai$-foncteur}}
\[
f : \ca \ra \cb
\]
est la donn�e d'un couple $(\dot f,f_{\Hom})$ form� d'une application
\[
\dot f : {\mathbb A}\ra {\mathbb B}
\]
et d'un $\ai$-morphisme dans la cat�gorie $\gr \sf C({\mathbb A},{\mathbb A})$
\[
f_{\Hom} : \ca \ra \lrus{\dot f}{\cb}{\dot f}.
\]
Nous noterons souvent ce dernier $f$ au lieu de $f_\Hom$.
L'$\ai$-foncteur {\em identit� de $\ca$} \index{identit�!le foncteur} \indexnotation{Id}
est not�
\[
\Id_\ca : \ca \ra \ca.
\]
Attention � ne pas confondre ce symbole avec
$\id_{A}$, le morphisme identit� d'un objet $A \in \ca$. \indexnotation{id}
}\end{definition}




\begin{remarque}{\em
Soit $\ca$ et $\cb$ deux petites $\ai$-cat�gories.
Un $\ai$-foncteur $f : \ca \ra \cb$ est d�termin� par
\begin{itemize}
\item[-] une application
\[
\dot f : \Obj \ca \ra \Obj \cb,
\]
\item[-]  pour toute suite $(A_0,\hdots,A_n)$ d'objets de $\ca$,
des morphismes
\[
f_n : \ca(A_{n-1},A_n) \ts \hdots \ts \ca (A_0,A_1) \ra \cb(\dot f A_0,\dot f A_n),
\]
v�rifiant les �quations $(**_n)$, $n \geq 1$, de la d�finition \ref{definition_ai-morphisme}.
\end{itemize}
}\end{remarque}


\begin{remarque}{\em \label{remarque_ai-morphismes_ai-foncteurs}
Soit $\ca$ et $\cb$ deux petites $\ai$-cat�gories sur $\mathbb A$.
Un $\ai$-morphisme $f : \ca \ra \cb$ dans $\mathsf C(\mathbb A,\mathbb A)$
donne un $\ai$-foncteur
\[
(\Id_{\mathbb A}, f) : \ca \ra \cb, \quad x \mapsto f(x).
\]
R�ciproquement, un $\ai$-foncteur $(\dot f, f)$
dont l'application sous-jacente $\dot f$ est �gale � $\Id_{\mathbb A}$ donne un $\ai$-morphisme
$f : \ca \ra \cb$.
}\end{remarque}


{\noindent \bf Rappel sur la construction bar}\\

Soit $\ca$ et $\cb$ deux $\ai$-cat�gories et $f : \ca \ra \cb$ un $\ai$-foncteur.
Rappelons que les bijections de la section \ref{construction_bar_cobar},
\[
m_i \lra b_i \quad \Big(\mbox{resp.} \quad f_i  \lra F_i \Big), \quad i\geq 1,
\]
entre les espaces de morphismes
\[
\Hom_{\gr \sf C({\mathbb A},{\mathbb A})} \big(\ca \tpo i,\ca\big) \quad \mbox{et} \quad
\Hom_{\gr \sf C({\mathbb A},{\mathbb A})}\big((S\ca)\tpo i,S\ca\big)
\]
\[
\Big(\mbox{resp.} \quad
\Hom_{\gr \sf C({\mathbb A},{\mathbb A})}\big(\ca \tpo i,\lrus{\dot f}{\cb}{\dot f}\big) \quad \mbox{et} \quad
\Hom_{\gr \sf C({\mathbb A},{\mathbb A})}\big((S\ca)\tpo i, \lrus{\dot f}{\cb}{\dot f}\big) \Big)
\]
sont d�finies par les relations
\[
\si \circ b_i = -   m_i \circ \si \tpo i \quad \Big(\mbox{resp.} \quad
\si \circ F_{i} = (-1)^{|F_{i}|}f_{i} \circ \si \tpo{j} \Big),
\]
o� $F_i$ est un morphisme gradu� de degr� $|F_{i}|$ et $\si = s^{-1}$.
Un foncteur $f :\ca \ra \cb$ est la donn�e d'une application $\dot f : \Obj \ca \ra \Obj \cb$
et d'un morphisme diff�rentiel gradu�
\[
F  = Bf : B\ca \ra B\lrus{\dot f}{\cb}{\dot f}
\]
dans la cat�gorie $\cocog ({\mathbb A},{\mathbb A})$ des cog�bres cocompl�tes diff�rentielles gradu�es de $\sf C({\mathbb A},{\mathbb A})$.\\

%
%
%
%
%        $\ca$-polydules
%
%
%
%




\begin{definition}{\em
Soit ${\mathbb A}$ un ensemble et $\ca$ une $\ai$-cat�gorie sur ${\mathbb A}$.
Un {\em $\ca$-polydule} \index{polydule}
 est un $\ca$-polydule  dans $\gr \sf C({\mathbb A})$ (voir \ref{definition_ai-module}).
Il est donn� par un ${\mathbb A}$-module � droite
\[
M : {\mathbb A}^{op} \ra \gr \sf C
\]
muni de morphismes gradu�s de ${\mathbb A}$-modules � droite
\[
m_i : M \tso \ca ^{\tso i-1} \ra M, \quad i \geq 1,
\]
de degr� $2-i$, tels qu'une �quation $(*'_n)$, $n \geq 1$, de la m�me
forme que l'�quation $(*_n)$, $n \geq 1$, de la d�finition
\ref{definition_ai-algebre} est v�rifi�e.
}\end{definition}

\begin{remarque} \label{remarque1_polydules}{\em
Soit $V$ un objet de $\sf C({\mathbb A})$. Le ${\mathbb A}$-module $V \tso \ca$ muni des morphismes
\[
\Id_V \ts m_i : \big(V \tso \ca\big) \tso \ca \tpo{i-1} \ra V \tso \ca, \quad i\geq 1,
\]
est un $\ca$-polydule.
En particulier, si $A$ est un objet de $\ca$, le ${\mathbb A}$-module
\[
\ca(\?,A) = e(\?,A) \tso \ca
\]
est un $\ca$-polydules dans $\sf C({\mathbb A})$. On le notera $A \pw$.
}\end{remarque}


%
%
%
%
%        $\ca$-$\cb$-bipolydules
%
%
%
%







\begin{definition}{\em  
Soit ${\mathbb A}$ et ${\mathbb B}$ deux ensembles et
$\ca$ et $\cb$ deux $\ai$-cat�gories sur ${\mathbb A}$ et ${\mathbb B}$.
Un $\ca$-$\cb$-{\em bipolydule} \index{bipolydule} est un $\ca$-$\cb$-bipolydule
dans $\gr \sf C({\mathbb A},{\mathbb B})$ (voir \ref{definition_bipolydules}).
}\end{definition}




%
%
%
%
%
%
%
%! Cat�gorie diff�rentielle gradu�e
%
%
%
%
%
%
%
%


\section{Cat�gories diff�rentielles gradu�es des poly\-dules}

 \label{section_categorie_dg_polydules}


{\noindent \bf La cat�gorie $\cc_\infty \Ba \ca$}\\

Soit ${\mathbb A}$ un ensemble et $\ca$ une $\ai$-cat�gorie sur ${\mathbb A}$.
La {\em cat�gorie} $\cc_\infty \Ba \ca$
 a pour objets ceux de $\coModcu \Ba \ca$. Si $N$ et $N'$
sont deux objets de $\coModcu \Ba \ca$,
l'espace de morphismes 
\[
\Hom_{\cc_\infty \Ba \ca} (N,N')
\]
est l'espace des morphismes unitaires gradu�s de comodules $N \ra N'$ muni
de la diff�rentielle
\[
\delta :  F \mapsto b^{N'} \circ F - (-1)^{|F|} F \circ b^{N},
\]
o� $F$ est de degr� $|F|.$ C'est une cat�gorie diff�rentielle gradu�e.
Remarquons que la cat�gorie $\coModcu \Ba \ca$ est isomorphe �
la cat�gorie $Z^0\cc_\infty \Ba \ca$, i.~e.~la cat�gorie
dont les objets sont ceux de $\cc_\infty \Ba \ca$ et dont les morphismes
sont les z�ro-cycles des complexes de morphismes de $\cc_\infty \Ba \ca$.\\

{\noindent \bf La cat�gorie $\cn_\infty \ca$}\\

La {\em cat�gorie}  \indexnotation{cninftyA}
$\cn_\infty \ca$ est la cat�gorie diff�rentielle gradu�e 
dont les objets sont les $\ca$-polydules  et dont les espaces
de morphismes sont d�finis par
\[
\Hom_{\sz \cn_\infty \ca}(M,M') = \Hom_{\cc_\infty \Ba \ca}(BM ,BM'), \quad M,M' \in \cn_\infty \ca.
\]
Un morphisme $f : M \ra M'$ de degr� $n$ est donc donn� par une suite
de morphismes gradu�s de ${\mathbb A}$-module
\[
f_i : M \tso \ca \tpo{i-1} \ra M'
\]
de degr� $1-i+n.$ Les $\ai$-morphismes $f : M \ra M'$
sont les z�ro-cycles de $\Hom_{\cc_\infty \ca}(M,M').$
(La lettre $\cn$ se rapporte au ``$\cn$on'' dans ``$\ca$-polydules non unitaires''.)

\begin{remarque}{\em
Soit $\cb$ une $\ai$-cat�gorie et $X$ un $\cb$-$\ca$-bipolydules.
Nous avons un isomorphisme de complexes
\[
\Homi_{\ca}(X,M) = \Hom_{\sz \cn_\infty \ca}(X_\ca,M), \quad M \in \cn_\infty \ca,
\]
o� $\Homi_{\ca}(X,M)$ est d�fini en (\ref{section_foncteurs_standard}).
}\end{remarque}

{\noindent \bf La cat�gorie $\cc_\infty \ca$}\\

Supposons d�sormais que $\ca$ est strictement unitaire.
Si $M$ et $M'$ sont deux $\ca$-polydules strictement unitaires, un morphisme $f : M \ra M'$
de degr� $n$ est {\em strictement unitaire} s'il v�rifie les �quations
\[
f_i ( \Id \tp \alpha \ts \unite \ts \Id \tp \beta) = 0, \quad i\geq 2.
\]
Nous notons $\big(\cn_\infty \ca\big)_u$ \indexnotation{cninftyAu}
la {\em sous-cat�gorie} pleine de $\cn_\infty \ca$ form�e des $\ca$-polydules strictement unitaires et
$\cc_\infty \ca$ \indexnotation{ccinftyA}
la {\em sous-cat�gorie} non pleine de $\cn_\infty \ca$ form�e des $\ca$-polydules strictement unitaires dont
les morphismes sont les morphismes strictement unitaires.
Remarquons que si $\ca$ est augment�e, nous avons un isomorphisme de cat�gories
\[
\cc_\infty \ca \arr{\sim} \cn_\infty \b \ca.
\]

\begin{remarque}{\em \label{remarque_categorie_differentielle_graduee_polydules}
La cat�gorie $H^0\cc_\infty \ca$ est clairement isomorphe � $\ch_\infty \ca$
(voir la d�finition \ref{definition_categorie_derivee_generale}). Elle
est �quivalente � la cat�gorie $\cd_\infty \ca$ par le corollaire \ref{corollaire3_categorie_derivee}.
}\end{remarque}


\begin{proposition}\label{proposition_strictication_unitaire_polydules_graduee}
L'inclusion
\[
\cc_\infty \ca \ra \cn_\infty \ca
\]
induit un quasi-isomorphisme dans les espaces de morphismes.
\end{proposition}

\dem La d�monstration est la m�me que celle de la proposition
(\ref{proposition_strictication_unitaire_polydules}). Au lieu de consid�rer
uniquement les $\ai$-morphismes, i.~e.~les morphismes de $\cn_\infty \ca$ qui sont des cycles de degr� z�ro
et les homotopies entre $\ai$-morphismes,
nous consid�rons les morphismes de degr� quelconque qui sont des cycles. \findem\\


{\noindent \bf La cat�gorie $\cc_\infty (\ca,\cb)$} \label{section_categorie_dg_bipolydules}\\

Soit $\mathbb A$ et $\mathbb B$ deux ensembles et $\ca$ et $\cb$ des $\ai$-cat�gories sur $\mathbb A$
et $\mathbb B$.
La cat�gorie $\cn_\infty (\ca,\cb)$ est construite de mani�re strictement analogue � $\cn_\infty \ca$.
Soit la {\em cat�gorie} diff�rentielle gradu�e $\cc_\infty (\Ba \ca,\Ba \cb)$ dont les objets
sont ceux de $\coModcu (\Ba \ca,\Ba \cb)$. 
La {\em cat�gorie} $\cn_\infty (\ca,\cb)$ \indexnotation{cninftyAA'}
est la cat�gorie diff�rentielle gradu�e 
qui a les m�mes objets que que $\aiMod (\ca,\cb)$ et dont les espaces
de morphismes sont d�finis par le sous-espaces
\[
\Hom_{\sz \cn_\infty (\ca,\cb)}(M,M') = \Hom_{\cc_\infty (\Ba \ca,\Ba \cb)}(BM ,BM'),
\quad M,M' \in \cc_\infty(\ca,\cb).
\]

Si $\ca$ et $\cb$ sont strictement unitaires, on d�finit les cat�gories \indexnotation{cninftyAA'u}
$\big(\cn_\infty (\ca,\cb)\big)_u$ et $\cc_\infty(\ca,\cb)$ \indexnotation{ccinftyAA'}
de mani�re analogue aux cat�gories
$\big(\cn_\infty \ca\big)_u$ et $\cc_\infty \ca.$
La cat�gorie $\aiModu (\ca,\cb)$ est isomorphe � $Z^0\cc_\infty (\ca,\cb)$.


\begin{proposition} \label{proposition_strictication_unitaire_bipolydules_graduee}
L'inclusion
\[
\cc_\infty (\ca,\cb) \ra \cn_\infty (\ca,\cb)
\]
induit un quasi-isomorphisme dans les espaces de morphismes.
\findem
\end{proposition}

%
%
%
%
%
%! Lemme clef
%
%
%
%
%
%
%
%

\section{Lemme clef}
\label{section_lemme_clef}

Le lemme ci-dessous sera utile pour la construction
de l'$\ai$-foncteur de Yoneda (voir \ref{definition_ai-foncteur_de_Yoneda}).\\

Soit ${\mathbb A}$ et ${\mathbb B}$ deux ensembles, $M$ un objet gradu� de $\sf C({\mathbb A},{\mathbb B})$ et
$\ca$ et $\cb$ deux $\ai$-cat�gories sur ${\mathbb A}$ et ${\mathbb B}$. 
Soit une famille de morphismes gradu�s de ${\mathbb A}$-${\mathbb B}$-bimodules
\[
m_{i,j} : \ca \tpo{_{{\mathbb A}} i}  \tso_{{\mathbb A}} M \tso_{{\mathbb B}} \cb \tpo{_{{\mathbb B}} j} \ra M, \quad
i,j\geq 0,
\]
de degr� $1-i-j.$  
Munissons les cog�bres tensorielles co-augment�es $\ct S\cb$ et $\ct S\ca$ des diff�rentielles $b^\ca$
et $b^\cb$ des constructions bar co-augment�es. Les morphismes
\[
b_{0,j} : SM \tso_{{\mathbb B}} (S\cb) \tpo{_{{\mathbb B}} j} \ra SM,\quad j\geq 0,
\]
donn�s par les bijections $m_{0,j} \lra b_{0,j}$ de la section \ref{section_construction_bar_bipolydules},
se rel�vent (voir \ref{lemme_comodules_colibres}) en une unique cod�rivation de comodules
gradu�s dans $\sf C({\mathbb A},{\mathbb B})$
\[
D : SM \tso_{{\mathbb B}} \ct (S\cb)  \ra SM \tso_{{\mathbb B}} \ct (S\cb).
\]
Notons $\mathsf{End} = \mathsf{End}\Big(\big(SM \tso_{{\mathbb B}} \ct (S\cb)\Big)$
l'alg�bre des endomorphismes gradu�s de $\Ba \cb$-comodules dans la cat�gorie $C({\mathbb A},{\mathbb B})$.
Remarquons que cet un objet de la cat�gorie $\sf C({\mathbb A},{\mathbb A})$ est aussi d�fini par
\[
\mathsf{End}(A,A') = \Homi_\cb\big(M ,M(\?,A')\big)(A), \quad A,A' \in \mathbb A,
\]
o� $\Homi$ est le foncteur d�fini en (\ref{section_foncteurs_standard}).
Nous munissons $\mathsf{End}$
des trois morphismes
\[
\begin{array}{rclrcl}
 m_0 : e_{\mathbb A} & \ra & \mathsf{End},& 1 & \mapsto & -D^2\\
 m_1 : \mathsf{End}& \ra & \mathsf{End}, & f &\mapsto & D \circ f - (-1)^{r}f \circ D\\
 m_2 :  \mathsf{End} \tso_{\mathbb A} \mathsf{End} & \ra & \mathsf{End}, &
f \tso g & \mapsto & f \circ g,
\end{array}
\]
o� $f$ est un morphisme de degr� $r$. Ils v�rifient les �quations
\[
m_{1}\cdot m_{0} =0 , \quad m_{2}(m_{0}\tso \Id + \Id \tso m_{0}) + m_{1}^2
= 0
\]
\[
m_{2}(m_{1}\tso \Id +
\Id \tso m_{1}) - m_{1} m_{2} = 0 \quad \mbox{et} \quad m_2(\Id \tso m_2 - m_2 \tso \Id) = 0.
\]
Une alg�bre diff�rentielle gradu�e $(A,d, \mu)$ v�rifie clairement ces �quations pour $m_0 = 0$,
$m_1 = d$ et $m_2 = \mu.$ R�ciproquement, si $M$ est un objet gradu� muni de morphismes
$m_0$, $m_1$ et $m_2$ v�rifiant ces �quations,  $(M,m_1,m_2)$ est
une alg�bre diff�rentielle gradu� si $m_0$ est nul.

Soit les morphismes gradu�s de ${\mathbb A}$-${\mathbb A}$-bimodules
\[
f_{i} : \ca \tpo i \ra \mathsf{End}, \quad i\geq 1,
\]
de degr� $2-i$, d�finis par l'�quation
\[
F_{i}(\phi) = s(\Phi) \in 
S\mathsf{End},
\]
o� $F_i$ est donn� par la bijection $f_i \lra F_i$, o� $\phi$
est un �l�ment de $(S\ca)\tpo i$ de degr� $|\phi|$
et o�
le morphisme $\Phi$ est l'unique morphisme (voir \ref{lemme_comodules_colibres})
tel que la composition $p_1 \circ \Phi$ a pour composantes les morphismes
\[
\xymatrix{
SM \tso (S\cb)\tpo j \ar[rr]^(.4){(-1)^{|\phi|} \phi \tso \Id} & &
(S\ca)\tpo i \tso SM \tso (S\cb)\tpo j \ar[r]^(.75){b_{i,j}} &
SM,} \quad j \geq 0.
\]


\begin{lemme} \label{lemme_clef} \index{lemme clef}
Les �nonc�s suivants sont �quivalents.
\english \begin{itemize}
\item[a.] Le triplet $(\mathsf{End},m_1,m_2)$
est une alg�bre diff�rentielle gradu�e et
les morphismes $f_i$, $i \geq 1$, d�finissent un $\ai$-morphisme
\[
f : \ca \ra \mathsf{End},
\]
o� $\mathsf{End}$ est munie de l'$\ai$-structure de la remarque \ref{remarque_ai-structure_alg}.

\item[b.] Les morphismes $m_{i,j}$, $i,j \geq 0$, d�finissent une structure de
$\ca$-$\cb$-bipoly\-dule sur $M.$

\end{itemize} \francais
\end{lemme}

\dem
Supposons que l'�nonc� {\it a} est vrai.
Nous allons montrer qu'il est �quivalent aux �quations
\[
\sum_{k+\bullet+m=n} b_\bullet (\Id \tpo k \tso b_\bullet \tso \Id \tpo m) = 0, \quad n \geq 0,
\]
o� les symboles $b_\bullet$ doivent �tre interpr�t�s convenablement. Ces �quations sont �quivalentes
aux �quations $(*''_n)$, $n+1+n'\geq 1$, de la d�finition \ref{definition_bipolydules}.

Comme $(\mathsf{End},m_1,m_2)$ est une alg�bre diff�rentielle gradu�e,
le morphisme $m_0$ est nul. Ceci veut dire que $D$ est une diff�rentielle
de comodules. L'�quation $D^2 = 0$ est �quivalente aux �quations
\[
\sum_{1+j+k=n} b_{0,l}(b_{0,j}\tso \Id \tpo k)
+ \sum_{k+j+m=n} b_{0,l}(\Id \tpo k \tso b^{\cb}_{j}\tso \Id \tpo m) =
0, \quad n\geq 0.
\]


%
%
En vertu de la section \ref{construction_bar_cobar}, le fait que $f$ est un $\ai$-morphisme
se traduit par le fait que la suite des morphismes $F_i$, $i\geq 1$,
d�finit un morphisme de cog�bres diff�rentielles
gradu�es
\[
F : \Ba \ca \ra \Ba \mathsf{End}.
\]
Ceci �quivaut aux �quations $(**_n)$, $n \geq 1$:
\[
\sum_{i+j+k=n} F_l(\Id \tpo i \tso b^{\ca}_j \tso \Id \tpo k) -
b^{\mathsf{End}}_1(F_n) - \sum_{i + j =n}b^{\mathsf{End}}_2(F_{i}\tso F_{j}) = 0.
\]

On rappelle que la d�finition des bijections $m^{\mathsf{End}}_i \lra b^{\mathsf{End}}_i$, $i\geq 2$, implique
que
\[
b^{\mathsf{End}}_1 \circ s = - s \circ m_1^{\mathsf{End}}\quad \mbox{et} \quad
b_2^{\mathsf{End}} \circ s \tpo 2 = s \circ m_2^{\mathsf{End}}.
\]

%
%
Soit $m \tso y$ un �l�ment de de $SM \tso (S\cb)\tpo n$.
Calculons l'image de $m \tso y$ par $b^{\mathsf{End}}_2(F_{i}\tso F_{j})(\phi)$ o�
$\phi = \phi_j \tso \phi_i$
:\\[.3cm]
$
b^{\mathsf{End}}_2(F_{i}\tso F_{j})(\phi) (m \tso y)  = \ \ b^{\mathsf{End}}_2
(s\Phi_i \tso s\Phi_j)(m \tso y)\\[.08cm]
\hspace{2cm} = (-1)^{|\Phi_i|}b^{\mathsf{End}}_2(s\tso s)(\Phi_i \tso \Phi_j)(m \tso y) 
\\[.08cm]     =
(-1)^{|\Phi_i|}sm_2^{\mathsf{End}}(\Phi_i \tso \Phi_j)(m \tso y)\\[.08cm]   =
\sum_{k+l=n}(-1)^{|\Phi_i|+|\phi_i|+|\phi_j|}
sb_{i,l}(\phi_i \tso b_{j,k}(\phi_j \tso \Id_{SM} \tso \Id \tp{k})\tso \Id
\tpo{l})(m\tso y)\\[.08cm]
     =
\sum_{k+l=n}(-1)^{|\phi_j|+1}sb_{i,l}(\phi_i \tso b_{j,k}(\phi_j \tso
\Id_{SM} \tso \Id \tpo{k})\tso \Id
\tpo{l})(m \tso y)\\[.08cm]
=  \sum_{k+l=n} (-1)^{|\phi|+1}sb_{i,l}(\Id_{S\ca}\tpo i \tso
b_{j,j}(\Id_{S\ca}\tpo j \tso \Id_{SM} \tso
\Id \tpo{k})\tso \Id
\tp{l})(\phi \tso m \tso y),
$\\[.3cm]
puis $ b^{\mathsf{End}}_1(F_n)(\phi)(m \tso y)$ :\\[.3cm]
$
     b^{\mathsf{End}}_1(F_n)(\phi)(y) =   b^{\mathsf{End}}_1(s\Phi)(m \tso y)\\[.08cm]  =
- sm_1^{\mathsf{End}}(\Phi)(m \tso y)\\[.08cm]   =
- s(b \cdot\Phi -(-1)^{|\Phi|} \Phi \cdot b )(m \tso y)\\[.08cm]  =
- s\Big[ \sum_{k+l=n} (-1)^{|\phi|} b_{0,l}(b_{i+j,k}(\phi \tso \Id_{SM} \tso \Id \tpo{k}) \tso
\Id \tpo{l}) +\\
{\ \ \ }\sum_{u+v+l = n} -  (-1)^{|\phi|}
b_{i+j,u+1+l}(\phi \tso \Id_{SM} \tso \Id  \tpo{u} \tso b_{v}^\cb \tso \Id
\tpo{l}) +\\
{\ \ \ } -  (-1)^{|\phi|}
b_{i+j,u+1+l}(\phi \tso b_{0,n}(\Id_{SM} \tso \Id  \tpo{n})\Big] (m \tso y)
\\[.08cm]  =
(-1)^{|\phi|+1}
s\Big[\sum_{k+l=n} b_{0,l}(b_{i+j,k}(\Id_{S\ca}\tpo{i+j} \tso \Id_{SM} \tso
\Id \tpo{k}) \tso \Id \tpo{l}) +\\
{\ \ \ }\sum_{u+v+l = n}
b_{i+j,u+1+l}(\Id_{S\ca}\tpo{i+j} \tso \Id_{SM} \tso \Id  \tpo{u} \tso
b_{v}^\cb \tso \Id  \tpo{l}) +\\
{\ \ \ }b_{i+j,u+1+l}(\Id_{S\ca}\tpo{i+j} \tso b_{0,n}(\Id_{SM} \tso \Id
     \tpo{n})\Big] (\phi \tso m \tso y)
$\\[.3cm]
et enfin $F_l(\Id \tpo i \tso b^{\ca}_j \tso \Id \tpo k)(\phi)(m \tso y)$
:\\[.3cm]
$
F_l(\Id \tpo i \tso b^{\ca}_j \tso \Id \tpo k)(\phi) (m \tso y) = \\[.08cm]
\sum_{u+v+t = i+j}(-1)^{|\phi|+1}b_{u+1+t,n}
(\Id_{S\ca}\tpo u \tso b^\ca_{v}\tso \Id_{S\ca} \tpo t \tso \Id_{SM} \tso \Id^n)
(\phi \tso m \tso y).
$\\[.3cm]
Les �quations $(**_n)$, $n\geq 1$, et le fait que la cod�rivation $D$ est une diff�rentielle
sont donc �quivalents aux �quations
\[
\sum b_{\bullet}(\Id \tpo u \tso b_{\bullet} \tso \Id \tpo v) = 0
\]
o� les $b_{\bullet}$ et les $\Id$ doivent �tre interpr�t�s convenablement.
\findem \\



Soit $M$ un $\ca$-$\cb$-bipolydule.
Soit $A$ un objet de $\ca$.
On munit le ${\mathbb A}$-module $M(\?,A)$ de la structure de $\cb$-polydule donn�e par les
morphismes $m_j$, $j \geq 1$, de ${\mathbb B}$-modules
\[
m_{0,j-1}(\?,A) : \Big(M \tso \cb \tp {j-1}\Big) (\?,A) \ra M(\?,A), \quad j \geq 1.
\]


\begin{corollaire} \label{corollaire_lemme_clef}
L'application 
\[
\dot{\theta}_M : {\mathbb A} \ra \Obj \cn_\infty \cb, \quad A \mapsto M(\?,A)
\]
se compl�te de mani�re canonique en un $\ai$-foncteur
\[
\theta_M : \ca \ra \cn_\infty \cb.
\]
\end{corollaire}

\dem 
Le ${\mathbb A}$-${\mathbb A}$-bimodule 
\[
\Hom_{\cn_\infty \cb}(\dot{\theta_M}\?,\dot{\theta_M}\?)
\]
est par d�finition
l'alg�bre des endomorphismes
\[
\mathsf{End}_{\cn_\infty \Ba \cb}\big((?,\?) \ts \ct S\cb\big),
\]
c'est-�-dire, l'alg�bre $\mathsf{End}$ du lemme clef.
Le foncteur canoniquement associ� � $M$ est donn� par les morphismes
\[
f_i : \ca \tpo i \ra \Hom_{\cn_\infty \cb }(\dot{\theta_M}\?,\dot{\theta_M}\?), \quad i\geq 1,
\]
du lemme \ref{lemme_clef}. Ils d�finissent un $\ai$-foncteur car
\[
f : \ca \ra \mathsf{End}
\] 
est un $\ai$-morphisme.
\findem



\francais
\begin{corollaire} \label{corollaire2_lemme_clef}
L'application $M \mapsto \theta_M$ de la classe des $\ca$-$\cb$-bipolydules sur
la classe des $\ai$-foncteurs $\ca \ra \cn_\infty \cb$ est une bijection.
Son application inverse associe � un
$\ai$-foncteur
\[
(\dot g,g) : \ca \ra \cn_\infty \cb
\]
le ${\mathbb A}$-${\mathbb B}$-bimodule
\[
M(A,B) = (\dot g(A))(B)
\]
muni des multiplications $m_{i,j}$, $i,j \geq 0$, donn�es par
\[
m_{i,{j-1}} = (g_i)_j.
\]
\findem
\end{corollaire}
\francais


{\noindent \bf Le cas strictement unitaire}\\


Supposons d�sormais que $\ca$ et $\cb$ sont des $\ai$-cat�gories strictement unitaires.

\begin{remarque}{\em
Soit $M$ un $\ca$-$\cb$-bipolydule.
L'$\ai$-morphisme
\[
f : \ca \ra \mathsf{End}
\]
du lemme clef (\ref{lemme_clef})
est strictement unitaire si et seulement si les compositions
\[
m^M_{i,j}(\Id \tpo \alpha \tso \unite \tso \Id \tpo \beta \ts \Id_M \ts \Id \tp j), \quad i,j \geq 0,
\]
sont nulles pour $(i,j) \neq (1,0)$ et si elle est l'identit� si $(i,j) = (1,0).$
}\end{remarque}


\begin{remarque}{\em \label{remarque2_lemme_clef}
Si $M$ est un $\ca$-$\cb$-bipolydule strictement
unitaire, le $\cb$-polydules $M(\?,A)$, $A \in \mathbb A$, est strictement unitaire et l'$\ai$-foncteur
\[
\ca \ra \cn_\infty \cb
\]
du corollaire (\ref{corollaire_lemme_clef}) se factorise par
un foncteur
\[ 
\ca \ra \cc_\infty \cb.
\]
}\end{remarque}



\begin{remarque}{\em \label{remarque3_lemme_clef}
La bijection $M \mapsto \theta_M$ du corollaire (\ref{corollaire2_lemme_clef})
se restreint en une bijection
de la classe des $\ca$-$\cb$-bipolydules strictement unitaires sur
la classe des $\ai$-foncteurs strictement unitaires $\ca \ra \cc_\infty \cb$.
}\end{remarque}







Ai_equiv.tex
Ce chapitre est divis� en deux parties.
Dans la section \ref{section_ai-isomorphie},
nous d�finissons l'$\ai$-isomorphie dans une $\ai$-cat�gorie $\ca$ et nous montrerons
que cette notion est un rel�vement $\ai$-cat�gorique de l'isomorphie dans $H^0\ca$ au sens classique.
Dans la section \ref{section_ai-equivalences},
nous d�finissons les $\ai$-�quivalences et nous montrons qu'un $\ai$-foncteur $f$ est
une $\ai$-�quivalence si et seulement si $f_1$ est un quasi-isomorphisme et
$H^0f_1 : H^0 \ca \ra H^0 \cb$ est une �quivalence de cat�gories au sens classique.
Cette caract�risation des $\ai$-�quivalences a �t� �nonc�e par M.~Kontsevich \cite{Kontsevich98}.
K.~Fukaya l'a d�montr� de mani�re ind�pendante \cite[thm.~8.6]{Fukaya01a}, ainsi que
V.~Lyubashenko \cite{Lyubashenko02}.

\section{L'$\ai$-isomorphie}
\label{section_ai-isomorphie}

Soit $\mathbb O$ un ensemble. Consid�rons comme une cat�gorie de la mani�re
suivante : les objets sont en bijection avec $\mathbb O$ et, pour $i,j \in \mathbb \mathbb O$,
l'espace de morphismes $\Hom_{\mathbb O}(i,j)$ contient un unique �l�ment
not� $(i,j)$. La composition est alors n�cessairement donn�e par
\[
(j,k) \circ (i,j) = (i,k), \quad i,j,k \in \mathbb O.
\]
En particulier, l'identit� de $i \in \mathbb O$ est le morphisme $(i,i)$ et
tous les morphismes $(i,j)$ sont des isomorphismes.

\begin{definition}{\em \indexnotation{In}
Soit $n \geq 1.$  Consid�rons l'ensemble � $n$ �l�ments $\{1,\hdots ,n\}.$
Soit $\I_n$ la $\corps$-cat�gorie engendr�e par la cat�gorie $\{1,\hdots ,n\}.$
}\end{definition}



\begin{remarque}{\em \index{isomorphie}
Soit $n \geq 2$.
Soit $\ca$ une $\corps$-cat�gorie et des objets $A_i \in \Obj \ca$, $1 \leq i \leq n.$
Ils sont isomorphes si et seulement si il existe un foncteur
\[
f : \I_n \ra \ca
\]
qui envoie $i$ sur $A_i$. Nous disons alors que $f$ est un {\em foncteur d'isomorphie} pour
les objets $A_i \in \Obj \ca$, $1 \leq i \leq n.$
}\end{remarque}


\begin{definition}{\em \label{definition_ai-isomorphie}
Soit $n \geq 2$. \index{A-infini isomorphie@{$\ai$-isomorphie}}
Soit $\ca$ une $\ai$-cat�gorie strictement unitaire sur $\mathbb A$
et des objets $A_i \in \mathbb A$, $1 \leq i \leq n.$
Les objets $A_i \in \mathbb A$, $1 \leq i \leq n,$ sont {\em $\ai$-isomorphes} s'il existe
un $\ai$-foncteur strictement unitaire 
\[
f : \I_n \ra \ca
\]
qui envoie $i$ sur $A_i$. Nous disons alors que $f$ est un {\em $\ai$-foncteur d'$\ai$-isomorphie} pour
les objets $A_i \in \mathbb A$, $1 \leq i \leq n.$
}\end{definition}

Nous prouvons maintenant un lemme �non�� dans \cite{Kontsevich98} :

\begin{lemme} \label{lemme_ai-isomorphie}
Soit $\ca$ une $\ai$-cat�gorie strictement unitaire. Soit $n \geq 1$.
Des objets $A_i \in \mathbb A$, $1 \leq i \leq n,$ sont $\ai$-isomorphes dans $\ca$ si
et seulement ils sont isomorphes dans $H^0\ca$.
\end{lemme}


\dem
Comme $\ca$ est strictement unitaire, il existe (\ref{proposition_modele_minimal_strictement_unitaire})
un mod�le minimal strictement unitaire $H^*\ca$
pour $\ca$ et des $\ai$-foncteurs strictement unitaires
(\ref{remarque_proposition_modele_minimal_strictement_unitaire})
\[
i : H^* \ca \ra \ca \quad \mbox{et} \quad q : \ca \ra H^*\ca.
\]
Nous en d�duisons que des objets $A_i \in \mathbb A$, $1 \leq i \leq n,$ sont $\ai$-isomorphes dans $\ca$ si
et seulement si ils sont $\ai$-isomorphes dans $H^*\ca.$
Nous pouvons donc supposer que l'$\ai$-cat�gorie $\ca$ est minimale.

Soit $\ca$ une $\ai$-cat�gorie minimale. Montrons que l'$\ai$-isomorphie
dans $\ca$ entraine l'isomorphie dans $H^0\ca$.
Soit $f : \I_n \ra \ca$ un $\ai$-foncteur d'$\ai$-isomorphie pour $A_i \in \mathbb A$, $1 \leq i \leq n.$
Comme les $\ai$-cat�gories $\I_n$ et $\ca$ sont minimales,
$f_0 : \I_n \ra \ca^0 = H^0\ca$ d�finit un foncteur d'isomorphie pour
les objets $A_i \in \mathbb A$, $1 \leq i \leq n.$

Montrons que l'isomorphie dans $H^0\ca$ implique l'$\ai$-isomorphie dans $\ca$.
Soit $g : \I_n \ra H^0 \ca$ un foncteur d'isomorphie pour
les objets $A_i \in \Obj H^0\ca$, $1 \leq i \leq n.$
Nous cherchons un $\ai$-foncteur strictement unitaire
\[
f : \I_n \ra \ca
\]
tel que $f_1 = i \circ g$, o� $i$ est l'inclusion $\ca^0 \hookrightarrow \ca$.
D'apr�s le th�or�me (\ref{theoreme_unite_ai-morphisme}), il suffit de construire
un $\ai$-foncteur $f'$ (non n�cessairement strictement unitaire) tel que $f'_1 = f_1$.
Nous allons construire les $f'_r$, $r\geq 2$, par r�currence sur $r$.
Supposons donn� des morphismes gradu�s $f'_i$, $1 \leq i \leq r$, de degr� $1-i$,
d�finissant un $\rm{A}_r$-foncteur $\I_n \ra \ca$.
Soit $f'_{r+1}$ un morphisme de degr� $-r$. 
Le lemme (\ref{lemme_obstruction_structure_minimale_morphisme}) affirme que
la suite des $f'_i$, $1 \leq i \leq r+1,$
d�finit un $\rm{A}_{r+1}$-foncteur si nous avons l'�galit�
\[
\delta_{Hoch}(f'_{r+1}) = - r(f'_2, \hdots ,f'_r)
\]
o� $r(f'_2, \hdots ,f'_r)$ est un certain cycle du complexe de Hochschild
$C^*(\I_n, \lrus{\dot f'}{\ca}{\dot f'})$.
Comme la cat�gorie $\I_n$ est �quivalente � la cat�gorie triviale $\I_1$,
le complexe de Hochschild $C^*(\I_n, \lrus{\dot f}{\ca}{\dot f})$ est acyclique.
Il existe donc un morphisme $f'_{r+1}$
tel que les morphismes gradu�s $f'_i$, $1 \leq i \leq r+1$,
d�finissent un $\rm{A}_{r+1}$-foncteur $\I_n \ra \ca$.\findem




\section{La caract�risation des $\ai$-�quivalences}
\label{section_ai-equivalences}






\begin{definition}{\em \label{definition_ai-equivalence} \index{A-infini equivalence@{$\ai$-�quivalence}}
Deux $\ai$-cat�gories strictement unitaires $\ca$ et $\cb$ sur $\mathbb A$ et $\mathbb B$
sont {\em $\ai$-�quivalentes} s'il existe des $\ai$-foncteurs strictement unitaires
\[
f : \ca \ra \cb \quad \mbox{et} \quad g : \cb \ra \ca
\]
tels que $f \circ g$ et $\Id_{\cb}$ sont $\ai$-isomorphes dans $\Func(\cb,\cb)$ et $g \circ f$ et
$\Id_\ca$ sont $\ai$-isomorphes dans $\Func(\ca,\ca).$
Nous dirons alors que $f$ (ou $g$) est une {\em $\ai$-�quivalence} entre $\ca$ et $\cb$. 
}\end{definition}


\begin{definition}{\em \label{definition_quasi-equivalence}
Soit $\ca$ et $\cb$ deux cat�gories diff�rentielles gradu�e  unitaires sur $\mathbb A$ et $\mathbb B$.
Elles sont {\em �quivalentes} (au sens classique) s'il existe des foncteurs
\[
f : \ca \ra \cb \quad \mbox{et} \quad g : \cb \ra \ca
\]
et des isomorphismes des foncteurs
\[
\mu : f \circ g \ra \Id_\cb \quad \mbox{et} \quad  \nu : g \circ f  \ra \Id_\ca.
\]
Nous dirons alors que $f$ (ou $g$) est une {\em �quivalence} entre $\ca$ et $\cb$. 
}\end{definition}


\begin{remarque}{\em Soit $\ca$ et $\cb$ deux cat�gories diff�rentielles gradu�e  unitaires sur
$\mathbb A$ et $\mathbb B$. Supposons qu'elles sont �quivalentes.
Soit $f$ une �quivalence entre $\ca$ et $\cb$. Soit $g$, $\mu$ et $\nu$ comme dans la d�finition
(\ref{definition_quasi-equivalence}).
L'�l�ment $H \in \Hom_{\Func}(f \circ g,\Id_\cb)$ (resp.~$H' \in \Hom_{\Func}(g \circ f,\Id_\ca)$) d�fini par
\[
h_0 = \mu, \quad h_i = 0, \quad i \geq 1, \quad
\Big(\mbox{resp.}\quad h'_0 = \mu, \quad h'_i = 0, \quad  i \geq 1\Big)
\]
est un cycle dans $\Func(\cb,\cb)$ (resp.~dans $\Func(\ca,\ca)$).
Il induit un isomorphisme dans $H^0\Func(\cb,\cb)$ (resp.~$H^0\Func(\ca,\ca)$).
Ceci montre que $\ca$ et $\cb$ sont $\ai$-�quivalentes en tant que $\ai$-cat�gories.
}\end{remarque}

L'�nonc� du th�or�me suivant est du � M.~Kontsevich \cite{Kontsevich98}.

\begin{theoreme}[Voir aussi K.~Fukaya \cite{Fukaya01a} et V.~Lyubashenko \cite{Lyubashenko02}]
Soit $\ca$ et $\cb$ deux $\ai$-cat�gories strictement unitaires sur $\mathbb A$ et $\mathbb B$
et $f : \ca \ra \cb$ un $\ai$-foncteur strictement unitaire.
Les �nonc�s suivants sont �quivalents :
\english
\begin{itemize}
\item[a.] $f$ est une $\ai$-�quivalence.
\item[b.] $f_1$ induit une �quivalence $H^* \ca \ra H^* \cb,$ o� $H^*\ca$ et $H^*\cb$ sont la
cohomologie de $\ca$ et $\cb$ consid�r�es comme $\corps$-cat�gories gradu�es.
\item[c.] $f_1$ est un quasi-isomorphisme et induit une �quivalence $H^0 \ca \ra H^0 \cb.$
\end{itemize}\francais
\end{theoreme}


\dem

$ a \Ra b$ :  Supposons que $f$ est une $\ai$-�quivalence. Soit $g : \cb \ra \ca$ v�rifiant
les conditions de la d�finition (\ref{definition_ai-equivalence}). D'apr�s le lemme
(\ref{lemme_ai-isomorphie}), l'$\ai$-isomorphie dans $\Func(\cb,\cb)$ (resp.~dans $\Func(\ca,\ca)$)
est �quivalente � l'isomorphie dans $H^0 \Func(\cb,\cb)$ (resp.~dans $H^0\Func(\ca,\ca)$).
Comme $f \circ g$ et $\Id_\cb$ sont isormorphes dans $H^0\Func(\ca,\ca),$
il existe donc un �l�ment
\[
H  \in Z^0\Hom_{\Func}(g \circ f,\Id_\cb)
\]
induisant un isomorphisme dans $H^0 \Func(\cb,\cb).$
D'apr�s la proposition (\ref{proposition_equivalence_faible_d'ai-foncteurs}),
le morphisme $h_0$ induit un isomorphisme de foncteurs
\[
H^0(h_0) : H^*(g_1 \circ f_1) \ra H^*\Id_\cb.
\]
L'isomorphisme de foncteurs entre $H^*(f_1 \circ g_1)$ et $\Id_{H^*\ca}$ est construit de la m�me mani�re.

$ b \Ra c$ : C'est clair.

$c \Ra a$ : Nous allons montrer cette implication dans deux cas particuliers
puis nous montrerons que cela implique le cas g�n�ral.

{\em Premier cas : l'application $\dot f : \mathbb A \ra \mathbb B$ est une bijection.}\\
Nous pouvons consid�rer que $\mathbb A$ est �gal � $\mathbb B$ et que $\dot f$ est l'identit� de $\mathbb A.$
L'$\ai$-foncteur $f$ est ainsi (\ref{remarque_ai-morphismes_ai-foncteurs}) un $\ai$-morphisme
dans la cat�gorie $\sf C(\mathbb A,\mathbb A).$ D'apr�s le point {\it b} du corollaire
(\ref{corollaire_cmf_aia}), il existe un $\ai$-morphisme $g : \cb \ra \ca$ et des
homotopies $h$ et $h'$ de $f \circ g$ vers $\Id_\cb$ et de $g \circ f$ vers $\Id_\ca$.
Gr�ce � la proposition (\ref{proposition_ai-algebres_strictement_unitaires}), nous pouvons supposer
que l'$\ai$-morphisme $g$ et les homotopies $h$ et $h'$ sont strictement unitaires.
Soit $H$ l'�l�ment de $\Hom_{\Func}(f\circ g,\Id_\cb)$ donn� (voir \ref{remarque_ai-categorie_Func})
par les morphismes $h_i,$ $i\geq 1,$ et $h_A = \Id_A$, $A \in \mathbb A$.
Posons $Z = m_1^\Func (H)$. Il est donn�
par des morphismes $z_i$, $i \geq 0$. Montrons que $H$ est un cycle dans
$\Hom_{\Func}(\ca,\cb)$. Le morphisme $z_0$ est clairement nul.
Pour $n \geq 1$, nous v�rifions (en utilisant le fait
que $f\circ g$, $\Id_\cb$ et $h$ sont strictement unitaires) que 
\[
\begin{array}{rl}
z_n = & (f \circ g)_n - (\Id_\cb)_n \\ &  - \sum (-1)^s
m_{r+1+t} ((f\circ g)_{i_1}\ts \hdots \ts (f \circ g)_{i_r} \ts h_{k} \ts (\Id_\cb)_{j_1}\ts \hdots \ts
(\Id_\cb)_{i_t})\\
& - \sum (-1)^{jk+l}h_i(\Id^{\ts j}\ts m_k\ts \Id^{\ts l}).
\end{array}
\]
o� $s$ est le signe intervenant dans l'�quation $(***_n)$ de (\ref{definition_homotopie_ai-morphismes}).
Comme $h$ est une homotopie entre $f \circ g$ et $\Id_\cb$, le terme de droite est
nul. Ceci montre que $H$ est un cycle de $\Hom_{\Func}(f\circ g,\Id_\cb).$
Le morphisme $h_A$, $A \in \mathbb A$ valant $\Id_A,$ la proposition
(\ref{proposition_equivalence_faible_d'ai-foncteurs}) implique que $H$ induit un isomorphisme dans
$H^0\Func(\cb,\cb).$ Nous en d�duisons (\ref{lemme_ai-isomorphie}) que les $\ai$-foncteurs $\Id_\cb$ et $f \circ g$
sont $\ai$-isomorphes dans $\Func(\cb,\cb).$
L'$\ai$-isomorphie entre $g \circ f$ et $\Id_\ca$ se montre de la m�me mani�re.

\begin{remarque}{\em
En particulier, ceci implique qu'une $\ai$-cat�gorie strictement unitaire $\ca$ est $\ai$-�quivalente 
� son mod�le minimal (\ref{proposition_modele_minimal_strictement_unitaire}) et �
tout ses mod�les diff�rentiels gradu�s (\ref{proposition_modele_differentiel_gradue}).
}\end{remarque}


{\em Deuxi�me cas : $f$ est une inclusion $\ca \hookrightarrow \cb$ o� $\ca$ est une
sous-$\ai$-cat�gorie pleine de $\cb$.} Gr�ce � la remarque pr�c�dente,
Nous pouvons supposer que $\cb$ est diff�rentielle
gradu�e. Comme $H^0 f : H^0 \ca \ra H^0 \cb$ est une �quivalence,
il suffit de montrer le th�or�me dans le cas suivant : Choisissons dans chaque
classe d'isomorphie $[B]$ de $\cb$ un repr�sentant $B_0$. Soit $\mathbb A$ l'ensemble de
ces r�pr�sentants. Nous posons $\ca$ �gale � la sous-cat�gorie pleine de $\cb$ form�e des objets
$A \in \mathbb A.$ Soit
\[
r : \mathbb B \ra \mathbb A, \quad B  \mapsto r(B) = B_0.
\]
Soit $\ca'$ la cat�gorie diff�rentielle gradu�e
$\lrus{r}{\ca}{r}$ sur $\mathbb B$ (voir \ref{lemme_ai-categorie_fBf}).
Nous avons alors les �galit�s
\[
\ca'(B,B') = \ca(B_0,B'_0) = \cb(B_0,B'_0)
\]
et les cat�gories diff�rentielles gradu�es $\ca$ et $\ca'$ sont �quivalentes au
sens classique. Ils nous suffit donc de montrer que $\ca'$ et $\cb$ sont
$\ai$-�quivalentes. Soit $i : \ca \ra \ca'$ l'inclusion. Nous allons construire
une $\ai$-�quivalence
\[
g : \ca' \ra \cb
\]
tel que $f = g \circ i$. \\

{\em Construction de $g$ :}
Posons $\dot g = \Id_{\mathbb B}$.
L'$\ai$-foncteur $g$ est donc donn� par un $\ai$-morphisme
$\ca' \ra  \cb$ dans $\sf C(\mathbb B,\mathbb B).$
Par hypoth�se, tout �l�ment $B \in \mathbb B$ est $\ai$-isomorphe � $r(B).$
Pour chaque $B \in \mathbb B$, choisissons un �l�ment $\alpha_B$ de $\cb(r(B),B)$ qui
devient un isomorphisme dans $H^0\cb(r(B),B).$
Consid�rons le diagramme de $\mathbb B$-$\mathbb B$-bimodules diff�rentiels gradu�s
\[
\diagnum{I}{
\xymatrix{ & \cb(\?,?) \ar[d]^{\alpha^*} \\
\ca'(\?,?) = \cb(r(\?),r(?)) \ar[r]_(.65){\alpha_*} & \cb(r(\?),?).}}
\]
L'$\ai$-foncteur de Yoneda $y : \cb \ra \cc_\infty \cb$ (\ref{definition_ai-foncteur_de_Yoneda})
envoie le diagramme $(I)$ sur un diagramme quasi-isomorphe de $\mathbb B$-$\mathbb B$-bimodules
\[
\diagnum{I'}{\xymatrix{ & \cc_\infty \cb(y\?,y?) \ar[d]^{(y\alpha)^*} \\
\cc_\infty \cb(yr(\?),yr(?)) \ar[r]_{(y\alpha)_*} & \cc_\infty \cb(yr(\?),y?).}}
\]
Pour chaque $B \in \mathbb B$, le morphisme $\alpha_B$ devient un isomorphisme
dans $H^0\cb$. Comme le foncteur de Yoneda induit un quasi-isomorphisme 
dans les espaces de morphismes (\ref{lemme_Yoneda_quasi-isomorphisme}),
il induit un isomorphisme $H^0 \cb \ra H^0\cc_\infty \cb.$ Nous en d�duisons que
le morphisme $y\alpha_B$ est une �quivalence d'homotopie dans $\cc_\infty \cb.$
D'apr�s l'�quivalence entre les cat�gories de D3 et D4 (\ref{theoreme_categorie_derivee_strictement_unitaire}),
il est un quasi-isomorphisme.
Ceci implique que les fl�ches du diagramme $(I')$ sont des quasi-isomorphismes.
La cat�gorie $\cb$ �tant diff�rentielle gradu�e, les $\cb$-bipolydules $y(B)$, $B \in \mathbb B$,
sont des $\cb$-modules diff�rentiels gradu�s et le morphisme $y\alpha_B : y(r(B)) \ra y(B)$ est un morphisme
de $\cb$-modules diff�rentiels gradu�s.
L'axiome (CM5) de la cat�gorie $\Modu \cb$ nous donne
une factorisation de $y\alpha_B$ en une cofibration triviale et une fibration triviale
\[
\xymatrix{
yr(B) \ar@{ >->}^{i_B}[r] & m(B) \ar@{->>}[r]^{p_B} & yB.
}
\]
Gr�ce � l'axiome (CM4) de la cat�gorie $\Modu \cb$, il existe un quasi-isomorphisme $\sigma_B$
tel que $p_B \circ \sigma_B = \Id_{yB}.$
Le morphisme
\[
\cc_\infty \cb(y\?,y?) \ra \cc_\infty \cb(m\?,m?), \quad x \mapsto \sigma \circ x \circ p,
\]
est un quasi-isomorphisme d'alg�bres diff�rentielles gradu�es.
Le diagramme
\[
\diagnum{I''}{
\xymatrix{ & \cc_\infty \cb(m\?,m?) \ar@{->>}[d]^{i^*} \\
\cc_\infty \cb(yr(\?),yr(?)) \ar[r]_{(y\alpha)_*} & \cc_\infty \cb(yr(\?),y?)}}
\]
est ainsi quasi-isomorphe � $(I').$
Les cofibrations �tant des monomorphismes, la fl�che verticale du diagramme $(I'')$
est une surjection. 
Nous en d�duisons que les projections canoniques
\[
\cc_\infty \cb(yr(\?),yr(?)) \la P \ra \cc_\infty \cb(m\?,m?),
\]
o� $P$ est le produit fibr� au-dessus du diagramme $(I'')$ sont des quasi-isomorphismes.
Comme $\cc_\infty \cb(yr(\?),yr(?))$ et $\cc_\infty \cb(m\?,m?)$ sont des alg�bres diff�rentielles
gradu�es unitaires,  $P$ est une alg�bre diff�rentielle gradu�e unitaire et les projections
canoniques ci-dessus sont des morphismes d'alg�bres diff�rentielles gradu�es unitaires.
Nous avons ainsi construit une suite de quasi-isomorphisme d'alg�bres diff�rentielles gradu�es unitaires dans
$\sf C(\mathbb B,\mathbb B)$
\[
\ca' \ra \cc_\infty \cb(yr(\?),yr(?)) \la P \ra \cc_\infty \cb(m\?,m?) \la \cc_\infty \cb(y\?,y?) \la \cb.
\]
Les quasi-isomorphismes d'alg�bres �tant inversibles � homotopie pr�s dans la cat�gorie
$\aia$, nous obtenons un $\ai$-quasi-isomorphisme homologiquement unitaire 
\[
g' : \ca' \ra \cb. 
\]
D'apr�s la proposition \ref{proposition_ai-algebres_strictement_unitaires}, il 
existe un $\ai$-morphisme strictement unitaire $g$ homotope � $g'.$ En particulier, $g$ est un
$\ai$-quasi-isomorphisme. C'est une $\ai$-�quivalence (voir le premier cas.)

{\em Le cas g�n�ral :} Soit $\ca$ et $\cb$ deux $\ai$-cat�gories strictement unitaires sur
$\mathbb A$ et $\mathbb B$ et $f$ un $\ai$-foncteur tel que
$f_1$ est un quasi-isomorphisme et induit une �quivalence $H^0 \ca \ra H^0 \cb$.
Choisissons dans chaque classe d'$\ai$-isomorphie $[A]$ de $\ca$ un repr�sentant $A_0$
et notons $B_0$ son image par $\dot f$. Comme $H^0f : H^0 \ca \ra H^0 \cb$ est une
�quivalence, nous d�duisons du lemme (\ref{lemme_ai-isomorphie}) que toute classe
d'$\ai$-isomorphie $[B]$ dans $\cb$ admet un unique repr�sentant parmi les $B_0$.
Notons $\ca'$ (resp.~$\cb'$) la sous-cat�gorie pleine de $\ca$ (resp.~$\cb$)
form�e des $A_0$ (resp.~des $B_0$). L'inclusion 
\[
\ca' \ra \ca \quad \Big(\mbox{resp.}\quad \cb' \ra \cb\Big)
\]
est une $\ai$-�quivalence (voir le deuxi�me cas).
Pour montrer que $f$ est une $\ai$-�quivalence, il suffit donc de montrer que le foncteur
\[
f' : \ca' \ra \cb'
\]
induit par l'$\ai$-foncteur $f$ est une $\ai$-�quivalence.
Son application sous-jacente $\dot f'$ est une bijection et $f'_1$ est
un quasi-isomorphisme. Nous sommes donc dans le premier cas et $f'$ est une $\ai$-�quivalence.
 \findem













Ai_func.tex
{\bf \noindent Introduction}\\

\noindent 
Le but de ce chapitre est de construire l'analogue $\ai$ de la $2$-cat�gorie $\mathsf{cat}$
des petites cat�gories.
Nous construisons une $2$-cat�gorie $\aicat$ dont les
objets sont les $\ai$-cat�gories strictement unitaires.
La cat�gorie des espaces de morphismes
\[
\aicat (\ca,\cb), \quad \ca,\cb \in \Obj \aicat,
\]
sera d�finie comme l'homologie $H^0\Func (\ca,\cb)$ d'une $\ai$-cat�gorie dont les objets
sont les $\ai$-foncteurs strictement unitaires.


La cat�gorie $\Func (\ca,\cb)$ a �t� construite ind�pendamment par
K.~Fukaya \cite{Fukaya01a}, V.~Lyubashenko \cite{Lyubashenko02}  et
M.~Kontsevich et Y.~Soibelman \cite{Kontsevich02}, \cite{Kontsevich02a}.
Les compositions de $\Func(\ca,\cb)$ de V.~Lyubashenko,
bien qu'obtenues par une m�thode diff�rente, sont les m�mes que
les n�tres.\\

{\bf \noindent Plan du chapitre}\\




Soit $\ca$ et $\cb$ deux petites $\ai$-cat�gories (non n�cessairement unitaires).
Dans la section \ref{section_Nunc}, nous construisons une $\ai$-cat�gorie
$\Nunc (\ca,\cb)$ dont les objets sont les $\ai$-foncteurs $\ca \ra \cb$.
Les compositions de $\Nunc(\ca,\cb)$ seront
construites par un processus de torsion (voir le chapitre \ref{chapitre_torsion}).
Dans la section \ref{section_fonctorialite_Nunc}, nous montrons que $\Nunc(\ca,\cb)$ est fonctoriel
en $\ca$ et $\cb$ et nous d�finissons la cat�gorie $\ainat$ dont les objets
sont les $\ai$-cat�gories.
Dans la section \ref{section_Func}, nous montrons que toutes les constructions des deux sections
pr�c�dentes sont
compatibles aux $\ai$-structures strictement unitaires ($\ai$-cat�gories, $\ai$-foncteurs...)
et nous d�finissons la $2$-cat�gorie $\aicat$ comme une sous-cat�gorie non pleine de $\ainat$.


Dans la section (\ref{section_theorie_homotopie_ai-foncteurs}), nous construisons un $\ai$-foncteur
\[
z : \Func (\ca, \cb) \ra \cc_{\infty}(\ca,\cb), \quad \ca, \cb \in \aicat,
\]
o� $\cc_{\infty}(\ca,\cb)$ est la cat�gorie diff�rentielle
gradu�e des $\ca$-$\cb$-bipolydules strictement unitaires 
(\ref{section_ai-foncteur_de_Yoneda_generalise}).
Ce foncteur g�n�ralise l'$\ai$-foncteur de Yoneda construit en
(\ref{definition_ai-foncteur_de_Yoneda}). Nous montrerons que'il induit des quasi-isomorphismes
dans les espaces de morphismes. Dans la section \ref{section_equiv_faible_ai-foncteurs},
nous d�finissons les {\em �quivalences faibles} d'$\ai$-foncteurs
strictement unitaires (elles sont
l'analogue $\ai$-cat�gorique des {\em homotopies} entre $\ai$-morphismes) et nous les caract�riserons
� l'aide de leurs images par l'$\ai$-foncteur~$z$.





\section{L'$\ai$-cat�gorie des $\ai$-foncteurs}
\label{section_ai-categorie_des_ai-foncteurs}


\subsection{L'$\ai$-cat�gorie $\Nunc (\ca,\cb)$} \label{section_Nunc}

Soit $\mathbb A$ et $\mathbb B$ deux ensembles et $\ca$ et $\cb$
des $\ai$-cat�gories sur $\mathbb A$ et $\mathbb B$.
Nous construisons dans cette section, l'$\ai$-cat�gorie $\Nunc (\ca,\cb)$
des $\ai$-foncteurs non n�cessairement strictement unitaires. La lettre
$\mathsf N$ remplace la lettre $\sf F$ dans $\Func$ et
se rapporte au $\mathsf N$ de ``$\mathsf N$on unitaires''.\\


Soit $f_1$ et $f_2$ deux $\ai$-foncteurs $\ca \ra \cb$.
Nous rappelons que $\lrus{\dot f_2}{\cb}{\dot f_1}$ est le $\mathbb A$-$\mathbb A$-bimodule
\[
(A',A) \mapsto \cb(\dot f_1A',\dot f_2A).
\]

\begin{definition}{\em \label{definition_morphismes_ai-foncteurs}
Nous posons
\[
\Hom_{\Nunc}(f_1,f_2) =
\Hom_{\gr \sf C(\mathbb A,\mathbb A)}\big(\ct S \ca, \lrus{\dot f_2}{\cb}{\dot f_1}\big).
\]
Nous obtenons ainsi un objet gradu� dans la cat�gorie de base $\vect \corps$.
}\end{definition}


\begin{remarque}{\em \label{remarque_ai-categorie_Func}
Soit $H$ un �l�ment de degr� $r$ de $\Hom_{\Nunc}(f_1,f_2)$.
Pour tout entier $i\geq 0$, nous notons $\mathsf{incl}$ l'inclusion de $(S\ca)\tpo i$ dans $\ct S \ca$.
Soit $H_i$, $i\geq 0$, la composition
\[
(S\ca) \tpo i \arr{\mathsf{incl}} \ct S \ca \arr{h} 
\lrus{\dot f_2}{\cb}{\dot f_1}.
\]
Nous d�finissons les morphismes 
\[
h_i : \ca \tpo i \ra \lrus{\dot f_2}{\cb}{\dot f_1}, \quad i\geq 0,
\]
par les relations
\[
H_i \circ (\si \tpo i)^{-1} = (-1)^r  h_i, \quad i\geq 0.
\]
Les applications $H_i \mapsto h_i$, $i\geq 0$, sont clairement des bijections.
Le morphisme $H$ est donc d�termin� par des morphismes gradu�s
\[
h_i : \ca(A_{i-1},A_i) \ts \hdots \ts \ca (A_0,A_1) \ra \cb(\dot f_1A_0,\dot f_2A_i), \quad i \geq 0.
\]
de degr� $r-i$, pour toute suite $(A_0,\hdots,A_i)$ d'objets de $\ca$.
En particulier, si $i = 0$, nous avons un morphisme
\[
h_0 : e_{\mathbb A} \ra \lrus{\dot f_2}{\cb}{\dot f_1}, \quad \id_A \mapsto h_0(\id_A).
\]
Nous noterons souvent $h_A \in \Hom_{\cb}(\dot f_1A,\dot f_2A)$ l'�l�ment $h_0(\id_A)$.
}\end{remarque}

\begin{remarque}{\em \label{remarque1_ai-categorie_Func}
Soit  $f : \ca \ra \cb$ un $\ai$-foncteur. Posons  $h_i = f_i$ si $i\geq 1$ et $h_0 = 0.$
Ceci nous fournit un �l�ment $H$ de degr� $+1$ de $\Hom_{\Nunc}(f,f)$. 
Nous avons alors un diagramme commutatif
\[
\xymatrix{(S\ca)\tpo i \ar@{^(->}[r] \ar[rd]_{H_i} & \Ba \ca \ar[r]^F 
\ar[d]^H & \Ba \lrus{\dot f}{\cb}{\dot f} \ar[d]^{p_1} \\
 &  \lrus{\dot f}{\cb}{\dot f} &  S\lrus{\dot f}{\cb}{\dot f} \ar[l]^{\si}
}
\]
dont nous d�duisons les �galit�s
$H_i = \si \circ  F_i$, o� $F$ est la construction bar co-augment�e de $f$.
}\end{remarque}



{\noindent \bf Compositions na�ves de morphismes d'$\ai$-foncteurs}\\

Nous construisons dans ce paragraphe une $\ai$-cat�gorie $\cf(\ca,\cb) = \cf$ \indexnotation{cfcacb}
dont les objets sont les $\ai$-foncteurs $\ca \ra \cb$ et dont les espaces gradu�s de morphismes
sont les
\[
\Hom_{\cf}(f_1,f_2) =
\Hom_{\gr \sf C(\mathbb A,\mathbb A)}\big(\ct S\ca, \lrus{\dot f_2}{\cb}{\dot f_1}\big).
\]
Nous montrons que $\cf$ est munie d'une topologie pour laquelle elle est
une $\ai$-cat�gorie topologique. Nous construisons ensuite
un �l�ment tordant topologique de $\cf$ (voir \ref{section_torsion_II}).

Au lieu de construire les compositions $m_i^\cf$, $i\geq 1$, nous allons construire des
morphismes (voir les bijections $m_i \lra b_i$ dans la section \ref{construction_bar_cobar})
\[
b^\cf_i : S\cf \tpo i \ra S\cf, \quad i \geq 1,
\]
puis nous v�rifions que cela d�finit bien une $\ai$-cat�gorie.
Remarquons que nous avons un isomorphisme
\[
S\cf (f_1,f_2) \arr{\sim} \Hom_{\gr \sf C(\mathbb A,\mathbb A)}\big(\Ba \ca,
S\lrus{\dot f_2}{\cb}{\dot f_1}\big).
\]
Le morphisme
\[
b^\cf_1 : \Hom_{\gr \sf C(\mathbb A,\mathbb A)}\big(\Ba \ca, S\lrus{\dot f_2}{\cb}{\dot f_1}\big)
\ra \Hom_{\gr \sf C(\mathbb A,\mathbb A)}\big(\Ba \ca, S\lrus{\dot f_2}{\cb}{\dot f_1}\big)
\]
est la diff�rentielle de l'espaces de morphismes gradu�s entre complexes : elle est d�finie par
\[
 \varphi \mapsto b^\cb_1 \circ \varphi - (-1)^{|\varphi|} \varphi \circ b^{\Ba \ca},
\]
o� $\varphi$ est de degr� $|\varphi|$.
Soit $i\geq 2$ et $(f_0,\hdots, f_i)$ une suite d'$\ai$-foncteurs $\ca \ra \cb$. 
Le morphisme $b_i^\cf$ envoie un �l�ment
\[
g_i \tso \hdots \tso g_1 \in \Hom_{\gr \sf C(\mathbb A,\mathbb A)}
\big(\Ba \ca, S\lrus{\dot f_{i}}{\cb}{\dot f_{i-1}}\big)
\tso \hdots \tso \Hom_{\gr \sf C(\mathbb A,\mathbb A)}\big(\Ba \ca, S\lrus{\dot f_{1}}{\cb}{\dot f_0}\big)
\]
sur la composition
\[
\Ba \ca \arr{\Delta^{(i)}} (\Ba \ca)\tpo i \arr{g_i \tso \hdots \tso g_1} S\lrus{\dot f_{i}}{\cb}{\dot f_{i-1}}
\tso \hdots \tso S\lrus{\dot f_{1}}{\cb}{\dot f_{0}} \arr{b_i^\cb} S\lrus{\dot f_{i}}{\cb}{\dot f_{0}}.
\]

\begin{lemme}
Les morphismes $m^\cf_i$, $i \geq 1$, d�finissent une structure de $\ai$-cat�gorie sur $\cf$.
\end{lemme}

\dem
Nous avons clairement $b_1^\cf \circ b_1^\cf = 0.$ Soit $n \geq 2$ et soit
$g_i$, $1 \leq  i \leq n$, des �l�ments de $S\cf$ de degr� $|g_i|.$
Les termes de la somme
\[
\Big[\sum_{j+k+l = n}  b^{\cf}_i (\id \tpo j \tso  b^{\cf}_k \tso \id \tpo l)\Big]
(g_n \tso \hdots \tso g_1)
\]
sont des trois types : ceux o� $i=n$ et $k=1$, ceux o� $i=1$ et 
$k=n$ et ceux o� $i,j \neq 1.$ \\[.2cm]

\begin{itemize}
\item Lorsque $i=n$ et $k=1$ nous trouvons
\[
\begin{array}{cl}
& \big[  b^{\cf}_n (\id \tpo j \tso  b^{\cf}_1 \tso \id \tpo l)\big]
( g_n \tso \hdots \tso g_1) \\\\
= & (-1)^{\sum_{r < l+1}|g_r|}b^{\cf}_n 
( g_n \tso \hdots \tso b^{\cf}_1( g_{l+1}) \tso \hdots \tso g_1)\\\\
= & (-1)^{\sum_{r < l+1}|g_r|}b^{\cf}_n 
( g_n \tso \hdots \tso b^{\cb}_1 g_{l+1} \tso \hdots \tso g_1)\\
& - (-1)^{\sum_{r \leq l+1}|g_r|}b^{\cf}_n 
( g_n \tso \hdots \tso  g_{l+1} b^{\Ba \ca} \tso \hdots \tso g_1)\\\\
= & b^{\cb}_n (\id \tpo j \tso  b^{\cb}_1 \tso \id \tpo l)( g_n \tso \hdots \tso g_1)\Delta^{(n)}\\
& - (-1)^{\sum_{r}|g_r|}b^{\cb}_n 
( g_n \tso \hdots \tso  g_{l+1} \tso \hdots \tso g_1)(\id \tpo j \tso  b^{\Ba \ca} \tso \id \tpo l)\Delta^{(n)}\\\\
= & b^{\cb}_n (\id \tpo j \tso  b^{\cb}_1 \tso \id \tpo l)( g_n \tso \hdots \tso g_1)\Delta^{(n)}\\
& - (-1)^{\sum_{r}|g_r|}b^{\cb}_n 
( g_n \tso \hdots \tso  g_{l+1} \tso \hdots \tso g_1)\Delta^{(n)} b^{\Ba \ca}\\\\
= & b^{\cb}_n (\id \tpo j \tso  b^{\cb}_1 \tso \id \tpo l)( g_n \tso \hdots \tso g_1)\Delta^{(n)}\\
& - (-1)^{\sum_{r}|g_r|}b^{\cf}_n 
( g_n \tso \hdots \tso  g_{l+1} \tso \hdots \tso g_1) b^{\Ba \ca}
\end{array}
\]

\item  Lorsque $i=1$ et $k=n$ nous trouvons
\[
\begin{array}{cl}
&  b^{\cf}_1 \cdot b^{\cf}_n ( g_n \tso \hdots \tso g_1) \\\\
= & b^{\cb}_1 (b^{\cf}_n ( g_n \tso \hdots \tso g_1))\\
  & - (-1)^{1+\sum_{r}|g_r|}b^{\cf}_n ( g_n \tso \hdots g_{l+1} \tso \hdots \tso g_1) b^{\Ba \ca}\\\\
= & b^{\cb}_1 (b^{\cb}_n ( g_n \tso \hdots \tso g_1)\Delta^{(n)})\\
  & - (-1)^{1+\sum_{r} |g_r|}b^{\cf}_n  ( g_n \tso \hdots g_{l+1} \tso \hdots \tso g_1) b^{\Ba \ca}
\end{array}
\]

\item Lorsque $i\neq 1$ et $k \neq n$ nous trouvons
\[\hspace{-1cm}
\begin{array}{cl}
& \big[  b^{\cf}_i (\id \tpo j \tso  b^{\cf}_k \tso \id \tpo l)\big]
( g_n \tso \hdots \tso g_1) \\\\
= & (-1)^{\sum_{r < l+1}|g_r|}b^{\cf}_i 
( g_n \tso \hdots b^{\cf}_j( g_{l+j+1} \tso \hdots \tso  g_{l+1}) \tso \hdots \tso g_1)\\\\
= & (-1)^{\sum_{r < l+1}|g_r|}b^{\cf}_i 
( g_n \tso \hdots (b^{\cb}_j( g_{l+j+1} \tso \hdots \tso  g_{l+1})\Delta^{(k)}) \tso \hdots \tso g_1)\\\\
= & (-1)^{\sum_{r < l+1}|g_r|}b^{\cb}_i 
( g_n \tso \hdots (b^{\cb}_j( g_{l+j+1} \tso \hdots \tso  g_{l+1})\Delta^{(k)}) \tso \hdots \tso g_1)
\Delta^{(i)}\\\\
= & b^{\cb}_i  (\id \tpo j \tso b^{\cb}_j \tso \id \tpo l)
( g_n \tso \hdots  \tso g_1)
(\id \tpo j \tso \Delta^{(k)} \tso \id \tpo l)\Delta^{(i)}\\\\
= & b^{\cb}_i (\id \tpo j \tso b^{\cb}_j \tso \id \tpo l)
( g_n \tso  \hdots \tso g_1)
\Delta^{(n)}
\end{array}
\]
\end{itemize}

Les derni�res lignes des deux premiers cas se compensent gr�ce aux signes et
la somme de ce qui reste est nulle car $\cb$ est une $\ai$-cat�gorie. \findem

\begin{remarque}{\em
L'$\ai$-cat�gorie $\cf(\ca,\cb)$ ainsi construite est clairement fonctorielle en $\ca$ et $\cb.$
Si $f : \ca \ra \ca'$ est un $\ai$-foncteur, l'$\ai$-foncteur induit $\cf(\ca',\cb) \ra \cf(\ca,\cb)$
est strict. Il envoit $H \in \Hom_{\Nunc}(f_1,f_2)$ sur sa composition avec $Bf$.
Si $f : \cb \ra \cb'$ est un $\ai$-foncteur,  l'$\ai$-foncteur induit $\cf(\ca',\cb) \ra \cf(\ca,\cb)$
n'est plus strict. Notons le $g$. 
Soit $G$ sa construction bar. Le morphisme $G_1$ envoie $H \in \Hom_{\Nunc}(f_1,f_2)$
sur sa composition avec $F_1.$
Les formules d�finissant les $G_i$, $i\geq 2$, sont obtenues � partir des formules d�finissant les
$b_i^\cf$, $i \geq 2$, en remplacant les $b^\cb_i$ par des $F_i$. Les probl�mes de fonctorialit� seront
�tudi�s plus
en d�tails dans la section \ref{section_fonctorialite_Nunc}.
}\end{remarque}


{\noindent \bf Description concr�te}\\

Regardons ce que sont les compositions de morphismes d'$\ai$-cat�gories du point
de vue de la remarque \ref{remarque_ai-categorie_Func}. \\

Soit $H$ un �l�ment de $\Hom_\Nunc (f_1,f_2)$ de degr� $|H|$.
Le morphisme $m^\cf_1(H)$ est d�termin� par des morphismes
\[
h'_i : \ca \tpo i \ra \lrus{f_2}{\cb}{f_1}, \quad i \geq 0.
\]
Nous v�rifions que $h_i'$ est �gal � la somme
\[
m^\cb_1 \circ h_i - (-1)^{|H|}\sum (-1)^{l+kj} h_{j+1+l}(\Id \tpo j \tso m^{\ca}_k \tso \Id \tpo l).
\]


Soit $i\geq 2$.
Soit $f_0, \hdots ,f_i$ des $\ai$-foncteurs $\ca \ra \cb$. Pour tout $1 \leq t \leq i$, soit
$H_t$ un �l�ment de $\Hom_{\Nunc}(f_{t-1},f_t)$ de degr� $|H_t|$.
Notons $|H|$ la somme des degr�s $|H_t|.$
Soit $H'$ l'�l�ment de $\Hom_\Nunc (f_0,f_i)$ �gal � $m_i^\cf (H_n \tso \hdots \tso H_1)$.
Alors $H'$ est donn� par des morphismes gradu�s
\[
h'_n : \ca(A_{n-1},A_n) \ts \hdots \ts \ca (A_0,A_1) \ra \cb(\dot f_0A_0,\dot f_iA_n), \quad n \geq 0.
\]
de degr� $|H|-n$, pour toute suite $(A_0,\hdots,A_n)$ d'objets de $\ca$.
Soit $x_k \in \ca(A_{k-1},A_k)$, $1 \leq k \leq n.$
Nous notons $\mathsf{incl}$ l'inclusion de $(S\ca)\tpo i$ dans $\Ba \ca$.
L'�l�ment $h'_n (x_n \tso \hdots \tso x_1)$ est �gal �
\[
\begin{array}{cl}
  - \si \circ b^\cb_i \circ \big[(\si\tpo i)^{-1}(H_i \tso \hdots \tso H_1)\big] \circ \Delta^{(i)}
\circ \mathsf{incl} \circ (\si\tpo n)^{-1}  (x_n \tso \hdots \tso x_1)
\end{array}
\]
Prenons un exemple simple.

\begin{exemple}{\em \label{exemple}
Supposons que $i = 3$ et $n = 2$.
La composition $\Delta^{(3)}
\circ \mathsf{incl} \circ (\si\tpo 2)^{-1} (x_2\tso x_1)$ est �gale � la somme dans $\Ba \ca \tpo 3$
\[
\begin{array}{l}
\big[ \id_{A_2} \tso \id_{A_2} \tso (\si \tpo 2)^{-1} -  \id_{A_2} \tso (\si)^{-1} \tso (\si)^{-1} -\\
\hspace*{1cm} (\si)^{-1} \tso \id_{A_1} \tso (\si)^{-1} + \id_{A_2} \tso (\si \tpo 2)^{-1} \tso \id_{A_0}\\
\hspace*{1.5 cm} - (\si)^{-1} \tso (\si)^{-1} \tso \id_{A_0} 
+ (\si \tpo 2)^{-1} \tso \id_{A_0} \tso \id_{A_0}\big](x_2 \tso x_1).
\end{array}
\]
Nous trouvons donc que $m^\cf_3(h_3 \tso h_2 \tso h_1)(x_2 \tso x_1)$ est �gal � la somme des
�l�ments
\[
\begin{array}{l}
m^\cb_3 \Big(\pm (h_3)_{A_2} \tso (h_2)_{A_2} \tso (h_1)_2 \pm (h_3)_{A_2} \tso (h_2)_1 \tso (h_1)_1 \\
\hspace*{1cm} \pm (h_3)_{1} \tso (h_2)_{A_1} \tso (h_1)_{1} \pm (h_3)_{A_2} \tso (h_2)_{2} \tso (h_1)_{A_0} \\
\hspace*{1.5cm} \pm (h_3)_{1} \tso (h_2)_{1} \tso (h_1)_{A_0} \pm
(h_3)_{2} \tso (h_2)_{A_0} \tso (h_1)_{A_0}\Big)(x_2 \tso x_1).
\end{array}
\]
Le morphisme
\[
h'_2(x_2 \tso x_1) : f_0 A_0 \ra f_3 A_2
\]
est donc la somme des compositions (au signes pr�s) des suites de morphismes repr�sent�es par
un chemin de fl�ches menant de $f_0A_0$ � $f_3A_2$ dans le diagramme ci-dessous 
\begin{center}
\hspace{1cm} \input{figure1.pstex_t}\hspace{1.5cm}.
\end{center}
Remarquons qu'il n'y a aucune fl�che verticale (qui correspondrait � un $(f_j)_1(x_i)$ ou un
$(f_j)_2(x_2 \ts x_1)$) dans ces chemins de fl�ches.
}\end{exemple}

De fa�on g�n�rale, nous trouvons que l'�l�ment $H'$ de $\Hom_{\Nunc}(f_0,f_n)$ est donn� par 
\[
h'_n = \sum_{j_1 + .. + j_l = n} (-1)^{s} m^{\cb}_l\big((h_i)_{j_1} \tso \hdots \tso (h_1)_{j_l} \big), \quad n\geq 0,
\]
o� les entiers $j_\alpha$ sont $\geq 0$, et o� le signe est donn� par l'�galit�
\[
(-1)^{s} \big((H_i)_{j_1} \tso \hdots \tso (H_1)_{j_l} \big) \circ (\si \tpo n)
= \big((h_i)_{j_1} \tso \hdots \tso (h_1)_{j_l} \big).
\]

\begin{remarque}{\em
Soit $H$ l'�l�ment de $\Hom_\Nunc (f, f)$ construit � la remarque (\ref{remarque1_ai-categorie_Func}).
Si $f_t = f$, $0 \leq t \leq i$, et $H_t = H$, $ 1 \leq t \leq i$,
le signe $(-1)^s$ ci-dessus est le m�me que le signe
$(-1)^s$ de l'�quation $(**_n)$, $n\geq 1$, dans la d�finition
des $\ai$-foncteurs (\ref{definition_ai-foncteurs}). 
}\end{remarque}




{\noindent \bf Topologie sur $\cf$}\\

Nous munissons l'espace
\[
\Hom_{\cf}(f_1,f_2) = \Hom_{\gr \sf C(\mathbb A, \mathbb A)}(\Ba \ca, \lrus{\dot f_2}{\cb}{\dot f_1})
\]
de la topologie d�finie par la filtration d�croissante $F_i$, $i \geq 0$, o�
\[
F_i = \Hom_{\gr \sf C(\mathbb A, \mathbb A)}\Big(\bigoplus_{j\geq i}(S\ca)\tpo j,
\lrus{\dot f_2}{\cb}{\dot f_1}\Big).
\]
Cette topologie est s�par�e. La description ci-dessus montre que
les compositions de
$\cf$ sont des morphismes continus contractants (voir \ref{section_definitions_topologie}).
L'$\ai$-cat�gorie $\cf$ est donc topologique (\ref{definition_ai-algebres_topologiques}).\\


{\noindent \bf El�ment tordant de $\cf$}\\


Notons $\mathbb F$ l'ensemble des $\ai$-foncteurs $\ca \ra \cb.$
L'�l�ment tordant
\[
x : e_{\mathbb F} \ra \cf
\]
envoie le g�n�rateur $\id_{f}$ de $e_{\mathbb F}(f,f)$ sur l'�l�ment
$H$ de degr� $+1$ de $\Hom_\Nunc (f,f)$ construit � partir de $f$ (voir \ref{remarque1_ai-categorie_Func}).

V�rifions maintenant que $x$ est un �l�ment tordant topologique.
Comme le morphisme $h_0$ est nul, l'image de $x$ est dans le voisinage $\cf_1$.
La restriction de la somme
\[
\sum_{i \geq 1} m_i^{\cf} (H\tpo i)(\id_{f}) : \Ba \ca \ra \lrus{\dot f}{\cb}{\dot f}
\]
� $(S\ca)\tpo n$ est la somme
\[
- \sum (-1)^{jk+l}h_i(\Id^{\ts j}\ts m_k\ts \Id^{\ts l}) +
\sum_{j_1 + .. + j_l = n} (-1)^{s} m^{\cb}_l\big(h_{j_1} \tso \hdots \tso h_{j_l})
\]
Rappelons que $h_i = f_i$, $i\geq 1$. L'�quation de Maurer-Cartan appliqu�e � $\id_{f}$
est donc �quivalente
� l'ensemble de �quations $(**_n)$, $n \geq 1$, de la d�finition d'un $\ai$-foncteur
(\ref{definition_ai-foncteurs}).\\

{\noindent \bf L'$\ai$-cat�gorie $\Nunc (\ca,\cb)$}


\begin{definition}[Voir aussi \cite{Fukaya01a}, \cite{Lyubashenko02}  et
\cite{Kontsevich02}, \cite{Kontsevich02a}]
{\em  \label{definition_ai-cat_Nunc} \indexnotation{Nunc}
$\hspace{1cm}$ \newline L'{\em $\ai$-cat�gorie} $\Nunc (\ca, \cb)$ est la cat�gorie tordue $\cf_x$
(voir \ref{definition_torsion_ai-categories_II} pour la torsion).
}\end{definition}
%

Remarquons que les compositions $m^{\Nunc}_i$, $i\geq 1$, de \cite{Fukaya01a}, \cite{Lyubashenko02} sont
les m�mes mais obtenues de mani�re diff�rentes.\\


{\noindent \bf Description concr�te}\\

Donnons maintenant une description du morphisme 
\[
m^{\Nunc}_1 : \Hom_\Nunc (f_1,f_2) \ra \Hom_\Nunc (f_1,f_2).
\]
Soit $H$ un �l�ment de degr� $|H|$ de $\Hom_\Nunc (f_1,f_2).$
Le morphisme $H' = m^{\Nunc}_1(H)$ est d�termin� par des morphismes
\[
h'_i : \ca \tpo i \ra \lrus{f_2}{\cb}{f_1}, \quad i \geq 0.
\]
Nous v�rifions que $h'_i$ est �gal � la somme
\[
\begin{array}{l}
\sum_{j_1 + .. + j_l = n} (-1)^{s} m^\cb_l \big((f_2)_{j_1} \tso \hdots \tso (f_2)_{j_t} \tso h_{j_{t+1}}\tso (f_1)_{j_{t+1}}
\hdots \tso (f_1)_{j_l} \big) \\
\hspace*{2cm} - (-1)^{|h|+l+kj} h_{j+1+l}(\Id \tpo j \tso m^{\ca}_k \tso \Id \tpo l),
\end{array}
\]
o� l'exposant du signe $s$ est la somme du signe apparaissant dans la torsion
(\ref{section_torsion_ai-categories_I}) et du signe donn� par l'�galit�
\[
\begin{array}{l}
(-1)^{*}  \big((\si F_2)_{j_1} \tso \hdots \tso (\si F_2)_{j_t} \tso H_{j_{t+1}}\tso (\si F_1)_{j_{t+1}} 
\hdots \tso (\si F_1)_{j_l} \big) \circ (\si \tpo n)\\
\hspace*{2cm}= \big((f_2)_{j_1} \tso \hdots \tso (f_2)_{j_t} \tso h_{j_{t+1}}\tso (f_1)_{j_{t+1}} \hdots \tso (f_1)_{j_l} \big).
\end{array}
\]

La description des compositions sup�rieures $m^{\Nunc}_i$, $i\geq 2$, se fait de fa�on similaire.
Reprenons l'exemple \ref{exemple} et posons
\[
H'' = m_3^{\Nunc}(h_3 \tso h_2 \tso h_1) \in \Hom_{\Nunc}(f_0,f_3).
\]
Le morphisme
\[
h''_2(x_2 \tso x_1) : f_0 A_0 \ra f_3 A_2
\]
est la somme des compositions (au signes pr�s) des suites de morphismes repr�sent�es par
un chemin de fl�ches menant de $f_0A_0$ � $f_3A_2$ dans le diagramme ci-dessous 
\begin{center}
\hspace{1cm} \input{figure2.pstex_t}\hspace{1.5cm}.
\end{center}
Graphiquement, la torsion consiste donc � autoriser les fl�ches verticales dans les
chemins.


\begin{remarque}{\em
Si $\cb$ est une cat�gorie diff�rentielle gradu�e, la cat�gorie $\Nunc(\ca,\cb)$ est
aussi une cat�gorie diff�rentielle gradu�e car les compositions $m^{\Nunc}_i$, $i\geq 3$
sont nulles.
}\end{remarque}




\subsection{Fonctorialit� de $\Nunc(\ca,\cb)$} \label{section_fonctorialite_Nunc}





{\noindent \bf Fonctorialit� en $\ca$}\\

Soit $\ca$, $\ca'$, $\cb$ des petites $\ai$-cat�gories.
Soit $g \in \ca' \ra \ca$, $f_1, f_2 : \ca \ra \cb$ des $\ai$-foncteurs. 
Soit $H$ un �l�ment de $\Hom_\Nunc (f_1,f_2)$.
Nous d�finissons l'�l�ment
\[
H \star g \in \Hom_\Nunc((f_1 \circ g),(f_2 \circ g))
\]
comme la composition
\[
\Ba \ca' \arr{G} \Ba \lrus{\dot g}{\ca}{\dot g} \ra  \lrus{\dot f_2 \dot g}{\cb}{\dot f_1 \dot g}
\]
o� la seconde fl�che est induite par $H.$ Comme $G$ est un morphisme de cog�bres diff�rentielles
gradu�es, le morphisme de $\mathbb F$-$\mathbb F$-bimodules
\[
? \star g : \Nunc (f_1,f_2) \ra \Nunc((f_1 \circ g),(f_2 \circ g))
\]
est un $\ai$-foncteur strict.\\


{\noindent \bf Fonctorialit� en $\cb$}\\


Soit $\ca$, $\cb$ et $\cb'$ des petites $\ai$-cat�gories.
Soit $g \in \cb \ra \cb'$, $f_1, f_2 : \ca \ra \cb$ des $\ai$-foncteurs.
Soit $H$ un �l�ment de $\Hom_\Nunc (f_1,f_2)$. Nous allons construire un �l�ment
\[
g \star H \in \Hom_\Nunc((g \circ f_1),(g \circ f_2)).
\]
Cela nous fournira un $\ai$-foncteur strict
\[
g \, \star \, ? : \Nunc (f_1,f_2) \ra \Nunc((g \circ f_1),(g \circ f_2))
\]
Commen�ons par introduire quelques notions.

Soit $M$ un $\mathbb A$-$\mathbb A$-bimodule diff�rentiel gradu�.
Soit $C$, $C_1$ et $C_2$ des cog�bres cocompl�tes
dans la cat�gorie des cog�bres diff�rentielles gradu�es de la cat�gorie de base
$\sf C(\mathbb A,\mathbb A).$ Nous munissons le $\mathbb A$-$\mathbb A$-bimodule
$C_2 \tso M \tso C_1$ de la structure de $C_2$-$C_1$-bicomodule (cocomplet) induite par les
comultiplications de $C_2$ et $C_1$. Soit 
\[
F_1 : C \ra C_1 \quad \mbox{et} \quad F_2 : C \ra C_2
\]
des morphismes de cog�bres.

\begin{definition}{\em  \index{coderivation@{cod�rivation}}
Une {\em ($F_1$,$F_2$)-cod�rivation} est un morphisme de $\mathbb A$-$\mathbb A$-bimo\-dules
\[
K : C \ra C_2 \tso M \tso C_1
\]
tel que
\[
(\Delta^{C_2} \tso \Id \tso \Id) \circ K = (F_2 \tso K) \circ \Delta^C \quad \mbox{et} \quad
(\Id \tso \Id \tso \Delta^{C_1}) \circ K = (K \tso F_1) \circ \Delta^C.  
\]
}\end{definition}

\begin{lemme}
Soit $p_1$ la projection $C_2 \tso M \tso C_1$ sur $M.$
L'application $K \circ p_1 \circ K$ est une bijection de l'ensemble des $(F_1,F_2)$-cod�rivations
sur les morphismes de  $\mathbb A$-$\mathbb A$-bimodules $C \ra M.$
\findem
\end{lemme}
Soit $C_1$, $C_2$ et $C_3$ des cog�bres cocompl�tes
dans la cat�gorie des cog�bres diff�rentielles gradu�es de la cat�gorie de base
$\sf C(\mathbb A,\mathbb A).$ Le {\em produit cotensoriel} d'un $C_1$-$C_2$-bicomodule $M$
avec un $C_2$-$C_3$-bicomodule $N$ est le noyau \indexnotation{boxdot}
\[
M \boxdot N = \ker \Big(M \tso N \arr{\Delta \tso \Id - \Id \tso \Delta} M \tso C_2 \tso N\Big).
\]



Reprenons la construction de $H \star g.$
Nous rappelons que les $\mathbb A$-$\mathbb A$-bimodules
$\lrus{\dot f_1}{\cb}{\dot f_1}$ et $\lrus{\dot f_2}{\cb}{\dot f_2}$ sont des 
$\ai$-cat�gories sur $\mathbb A$.
Soit
\[
F_1 : \Ba \ca \ra \Ba \lrus{\dot f_1}{\cb}{\dot f_1} \quad \mbox{et} \quad
F_2 : \Ba \ca \ra \Ba \lrus{\dot f_2}{\cb}{\dot f_2}
\]
les constructions bar co-augment�es de $f_1$ et $f_2.$
Le morphisme
\[
H : \Ba \ca \ra \lrus{\dot f_2}{\cb}{\dot f_1}
\]
se rel�ve en une $(F_1,F_2)$-cod�rivation de comodules
\[
K : \Ba \ca \ra \Ba \lrus{\dot f_2}{\cb}{\dot f_2} \tso \lrus{\dot f_2}{\cb}{\dot f_1} \tso \Ba
\lrus{\dot f_1}{\cb}{\dot f_1}.
\]
L'$\ai$-foncteur $g : \cb \ra \cb'$ induit un morphisme $G$ de degr� $0$
\[
 \Ba \lrus{\dot f_2}{\cb}{\dot f_2} \tso \lrus{\dot f_2}{\cb}{\dot f_1} \tso \Ba
\lrus{\dot f_1}{\cb}{\dot f_1} \ra
\Ba \lrus{\dot g \dot f_2}{\cb}{\dot g \dot f_2} \tso \lrus{\dot g \dot f_2}{\cb}{\dot g \dot f_1} \tso \Ba
\lrus{\dot g \dot f_1}{\cb}{\dot g \dot f_1}.
\]
Nous v�rifions que la composition $G \circ K$ d�finit une $(GF_1,GF_2)$-cod�rivation
\[
\Ba \ca \ra \Ba \lrus{\dot g \dot f_2}{\cb}{\dot g \dot f_2} \tso
\lrus{\dot g \dot f_2}{\cb}{\dot g \dot f_1} \tso \Ba
\lrus{\dot g \dot f_1}{\cb}{\dot g \dot f_1}
\]
et nous d�finissons l'�l�ment $g \star H$ par la composition
\[
p_1 \circ (G \circ K) : \Ba \ca \ra \lrus{\dot g \dot f_2}{\cb}{\dot g \dot f_1}.
\]

Munissons  $\Ba \lrus{\dot f_2}{\cb}{\dot f_2} \tso \lrus{\dot f_2}{\cb}{\dot f_1} \tso \Ba
\lrus{\dot f_1}{\cb}{\dot f_1}$
de la diff�rentielle induite par les $b_i^\cb,$ $i\geq 1,$ et notons $D(f_2,f_1)$
le bicomodule diff�rentiel gradu� obtenu ainsi.
Nous pouvons consid�r� $D(f_1,f_2)$ comme la construction bar du
$\lrus{\dot f_2}{\cb}{\dot f_2}$-$\lrus{\dot f_1}{\cb}{\dot f_1}$-bipolydule 
$\lrus{\dot f_2}{\cb}{\dot f_1}.$


\begin{remarque}{\em
Soit $H$ un �l�ment de $\Hom_\Nunc (f_1,f_2)$ et $K$ la cod�rivation associ�e.
L'�l�ment $m^\Nunc_1 (H)$ correspond � la cod�rivation $\delta (K)$
dans l'espace diff�rentiel gradu� des morphismes gradu�s
\[
\Big( \Hom_{\gr \sf C(\mathbb A,\mathbb A)}
\big(\Ba \ca, D(f_2,f_1)\big), \delta\Big).
\]
}\end{remarque}


Soit $i\geq 2$.
Soit $f_0, \hdots ,f_i$ des $\ai$-foncteurs $\ca \ra \cb$. Pour tout $1 \leq t \leq i$, soit
$H_t$ un �l�ment de $\Hom_{\Nunc}(f_{t-1},f_t)$ de degr� $|H_t|$.
Notons $C_t$ la cog�bre diff�rentielle gradu�e $\Ba \lrus{\dot f_t}{\cb}{\dot f_t}$.
Le $C_i$-$C_0$-bicomodule
\[
D(f_i,f_{i-1}) \boxdot \hdots \boxdot D(f_1,f_{0})
\]
est isomorphe en tant qu'objet gradu� �
\[
C_i \tso \lrus{\dot f_i}{\cb}{\dot f_{i-1}} \tso 
C_{i-1}\tso \lrus{\dot f_{i-1}}{\cb}{\dot f_{i-2}} \tso C_{i-2} \tso \hdots \tso 
C_1\tso \lrus{\dot f_1}{\cb}{\dot f_0} \tso 
C_1.
\]
Nous le munissons de la diff�rentielle induite par les $b_i^\cb,$ $i\geq 1.$
L'�l�ment
\[
m_i (H_i \tso \hdots \tso H_1) : \Ba \ca \ra \lrus{\dot f_i}{\cb}{\dot f_{0}}
\]
correspond � la $F_i$-$F_1$-cod�rivation
\[
K : \Ba \ca \ra D(f_i,f_0)
\]
qui est le rel�vement
\[
\Ba \ca \arr{\Delta^{(i)}} (\Ba \ca)\tpo i \arr{K_i \boxdot \hdots \boxdot K_1}
D(f_i,f_{i-1}) \boxdot \hdots \boxdot D(f_1,f_{0})
\arr{q} \lrus{\dot f_i}{\cb}{\dot f_0},
\]
o� $q$ est induit par les $b_i^\cb,$ $i\geq 1.$

L'$\ai$-foncteur $g$ induit des morphismes
\[
D(f_i,f_{i-1}) \boxdot \hdots \boxdot D(f_1,f_{0}) \ra D(gf_i,gf_{i-1}) \boxdot \hdots \boxdot D(gf_1,gf_{0})
\]
et un rel�vement vers $D(gf_i,gf_0)$ de
\[
D(f_i,f_{i-1}) \boxdot \hdots \boxdot D(f_1,f_{0})
\arr{} \lrus{\dot g\dot f_i}{\cb}{\dot g\dot f_0}
\]
qui sont compatibles aux diff�rentielles.
Nous en d�duisons que le morphisme de $\mathbb F$-$\mathbb F$-bimodules
\[
g \, \star \,? : \Nunc (f_1,f_2) \ra \Nunc((g \circ f_1),(g \circ f_2))
\]
d�finit un $\ai$-foncteur strict.\\





{\noindent \bf La cat�gorie $\ainat$}\\


Soit $\ainat$ \indexnotation{ainat}
la {\em cat�gorie} dont les objets sont les petites $\ai$-cat�gories
(non n�cessairement strictement unitaires), dont les espaces
de morphismes sont les cat�gories (sans unit�s en g�n�ral)
\[
\ainat (\ca,\cb) = H^0\Nunc(\ca,\cb).
\]
Il r�sulte de la fonctorialit� de $\Nunc(\ca,\cb)$ que $\ainat$ est une ``$2$-cat�gorie
sans unit�s pour les $2$-morphismes''.
La lettre $\mathsf n$ remplace la lettre $\mathsf c$ de $\aicat$ et exprime
le fait que les objets de $\ainat$ sont les $\ai$-``$\mathsf{cat}$''�gories ``${\bf \mathsf n}$''on 
(n�cessairement) strictement unitaires.

\begin{remarque}{\em
Soit $f_1$ et $f_2$ in $\Nunc(\ca,\cb)$. Soit $H$ un morphisme de
$\Hom_\Nunc(f_1,f_2)$ qui est un z�ro cycle. Soit $x$ un �l�ment de
$\ca (A_0,A_1)$. Comme $H$ est un cycle, nous avons la relation
\[
m^\cb_1(h_1(x)) - m^\cb_2(h_{A_1} \tso f_1x) +
m^\cb_2( f_2x \tso h_{A_0}) = 0.
\]
Nous avons donc un diagramme commutatif dans $H^0\cb$
\[
\xymatrix{
\dot f_1 A_0 \ar[r]^{f_1x} \ar[d]_{h_{A_0}}  & \dot f_1 A_1 \ar[d]^{h_{A_1}}\\
f_2A_0 \ar[r]_{f_2x} & f_2A_1.
}
\]
}\end{remarque}



\subsection{L'$\ai$-cat�gorie $\Func (\ca,\cb)$} \label{section_Func}


Reprenons les notations de la section \ref{section_Nunc} mais supposons d�sormais
que $\ca$ et $\cb$ sont strictement unitaires. L'$\ai$-cat�gorie
$\Func (\ca,\cb)$ dont les objets sont les $\ai$-foncteurs strictement unitaires
est d�finie de la mani�re suivante :

Soit $f_1$ et $f_2$ deux $\ai$-foncteurs $\ca \ra \cb.$
Un �l�ment $H$ de $\Hom_{\Nunc}(f_1,f_2)$ est {\em strictement unitaire}
\index{strictement unitaire!element de $\Hom_{\Nunc}(f_1,f_2)$@{�l�ment de $\Hom_{\Nunc}(f_1,f_2)$}}
s'il v�rifie
\[
h_i (\Id \tpo \alpha \tso \unite \tso \Id \tpo \beta) = 0, \quad i\geq 1. 
\]
Les $\ai$-foncteurs strictement unitaires et les morphismes strictement unitaires d'$\ai$-foncteurs
strictement unitaires forment une sous-$\ai$-cat�gorie de $\Nunc(\ca,\cb).$
Nous la notons $\Func(\ca,\cb).$ \indexnotation{Func}
Nous v�rifions que $\Func(\ca,\cb)$ est fonctoriel
par rapport aux $\ai$-foncteurs strictement unitaires.\\

{\noindent \bf La 2-cat�gorie $\aicat$}\\

\begin{definition}{\em \label{definition_aicat} \indexnotation{aicat}
Soit $\aicat$ la {\em cat�gorie} dont les objets sont les petites $\ai$-cat�gories
strictement unitaires, dont les espaces
de morphismes sont les cat�gories 
\[
\aicat (\ca,\cb) = H^0\Func(\ca,\cb).
\]
Il r�sulte de la fonctorialit� de $\Func(\ca,\cb)$ que $\aicat$ est une $2$-cat�gorie.
}\end{definition}

\begin{remarque}{\em
Soit $f_1$ et $f_2 \in \Func(\ca,\cb)$. Soit $H$ un morphisme de
$\Hom_\Func(f_1,f_2)$ qui est un z�ro cycle. Soit $\id_A$ le morphisme identit� de $A \in \ca$.
Comme $H$ est un cycle, nous avons la relation
\[
m^\cb_1(h_1(\id_A)) - m^\cb_2(h_{A} \tso f_1\id_A) +
m^\cb_2( f_2\id_A \tso h_{A}) = 
\]
\[
 - m^\cb_2(h_{A} \tso \id_{f_1A}) +
m^\cb_2( \id_{f_2A} \tso h_{A}) = 0.
\]
Nous avons donc un diagramme commutatif dans $H^0\cb$
\[
\xymatrix{
\dot f_1 A \ar[r]^{\id} \ar[d]_{h_{A}}  & \dot f_1 A \ar[d]^{h_{A}}\\
f_2A \ar[r]_{\id} & f_2A.
}
\]
}\end{remarque}
























\section{Th�orie de l'homotopie des $\ai$-foncteurs}
\label{section_theorie_homotopie_ai-foncteurs}

\noindent Cette section est divis�e en deux sous-sections. 
Soit $\ca$ et $\cb$ deux $\ai$-cat�gories strictement unitaires sur $\mathbb A$ et $\mathbb B$.
Dans la premi�re, nous construisons une g�n�ralisation de l'$\ai$-foncteur de
Yoneda $y$ (\ref{definition_ai-foncteur_de_Yoneda}) : nous d�finissons un $\ai$-foncteur
\[
z : \Func(\ca,\cb) \ra \cc_\infty (\ca,\cb), \quad \ca,\cb \in \aicat,
\]
qui nous redonne l'$\ai$-foncteur de
Yoneda pour $\ca$ �gal � $e_{\mathbb B}$. Nous montrons ensuite que l'$\ai$-foncteur
de Yoneda g�n�ralis� $z$ induit un quasi-isomorphisme dans les espaces de morphismes.
Dans la seconde partie, nous d�finissons les �quivalences
faibles de l'$\ai$-cat�gorie $\Func(\ca,\cb)$ 
(elles sont l'analogue $\ai$-cat�gorique des {\em homotopies} entre $\ai$-morphismes)
et nous les caract�risons
� l'aide de leurs images par l'$\ai$-foncteur $z$.


\subsection{L'$\ai$-foncteur de Yoneda g�n�ralis�}
\label{section_ai-foncteur_de_Yoneda_generalise}

L'$\ai$-foncteur de Yoneda g�n�ralis� \indexnotation{z}
\[
z : \Func(\ca,\cb) \ra \cc_\infty (\ca,\cb)
\]
est d�fini comme la composition 
\index{Yoneda generalise (A-infini foncteur de)@{Yoneda g�n�ralis� ($\ai$-foncteur de)}}
\index{A-infini foncteur@{$\ai$-foncteur}!de Yoneda g�n�ralis�}
\[
\Func(\ca,\cb) \ra \Func(\ca,\cc_\infty \cb) \arr{\theta^{-1}}\cc_\infty (\ca,\cb)
\]
o� la premi�re fl�che est induite par le foncteur de Yoneda $y : \cb \ra \cc_\infty \cb$
du chapitre \ref{chapitre_objets_tordus} et o� $\theta$ est d�finie dans la proposition ci-dessous.

\begin{proposition} \label{proposition_Func_aiBimodu}
Soit $\ca$ et $\cb$ deux $\ai$-cat�gories sur $\mathbb A$ et $\mathbb B$.
Il existe un isomorphisme fonctoriel de cat�gories diff�rentielles gradu�es \indexnotation{theta}
\[
\theta : \cn_\infty(\ca,\cb) \arr{\sim} \Nunc(\ca,\cn_\infty \cb).
\]
Il se restreint en un isomorphisme 
\[
\theta : \cc_\infty(\ca,\cb) \arr{\sim} \Func(\ca,\cc_\infty \cb)
\]
si $\ca$ et $\cb$ sont strictement unitaires.
\end{proposition}

{\noindent \em D�monstration de la proposition (\ref{proposition_Func_aiBimodu}) :}\\

{\noindent \bf Le foncteur $\theta$}\\

Nous rappelons (\ref{corollaire2_lemme_clef}) que l'application
\[
\begin{array}{rcl}
\Obj \cn_\infty(\ca,\cb) & \ra & \Obj \Nunc(\ca,\cn_\infty \cb),\\
M & \mapsto & \theta_M,
\end{array}
\]
est une bijection.
Nous allons �tendre cette application
en un isomorphisme de cat�gories diff�rentielles gradu�es
\[
\theta : \cn_\infty (\ca,\cb) \ra \Nunc(\ca,\cn_\infty \cb).
\]
Soit $X$ et $X'$ deux $\ca$-$\cb$-bipolydules et
\[
f : X \ra X'
\]
un morphisme de $\cn(\ca,\cb)$. Il est donn� par des
morphismes
\[
f_{i,j} : \ca \tpo i \tso X \tso \cb \tpo j \ra X', \quad i,j \geq 0.
\]
Le morphisme
\[
\theta(f) \in \Hom_{\Nunc}(\theta_{X},\theta_{X'})
\]
est donn� par un morphisme
\[
\Ba \ca \ra \lrus{\theta_{X'}}{\big(\cn_\infty \cb \big)}{\theta_X} = \Hom_{\ct S\cb}(SX \tso \ct S\cb,SX' \tso \ct S\cb)
\]
qui envoie un �l�ment $\phi$ de $(S\ca)\tpo i$ de degr� $|\phi|$ sur l'unique
morphisme (voir \ref{lemme_comodules_colibres}) $\Upsilon$ tel que la composition $p_1 \circ \Upsilon$
a pour composantes les morphismes
\[
\xymatrix{
SX \tso (S\cb)\tpo j \ar[rr]^(.4){(-1)^{|\phi|} \phi \tso \Id} & &
(S\ca)\tpo i \tso SX \tso (S\cb)\tpo j \ar[r]^(.75){F_{i,j}} &
SX',} \quad j \geq 0.
\]
Remarquons que si $i = 0$, le morphisme
\[
\Upsilon : SX \tso \ct S\cb \ra SX' \tso \ct S\cb
\]
est le morphisme donn� par les morphismes $F_{0,j}$, $j \geq 0.$
Nous avons ainsi d�fini un isomorphisme d'objets gradu�s
\[
\Hom_{\cn_\infty (\ca,\cb)}\big(X,X'\big) \ra \Hom_{\Nunc(\ca,\cn_\infty \cb)}\big(\theta_X,\theta_{X'}\big).
\]
Montrons que cet isomorphisme d�finit un isomorphisme de cat�gories diff�rentielles gradu�es.
Soit $f$ de degr� $p.$
La compatibilit� � la composition $m_2$ est imm�diate.
Montrons la compatibilit� � $m_1$. 
Soit $\phi \in (S\ca)\tpo n$ de degr� $|\phi|$ et soit $\kappa \tso \psi \in SX \tso (S\cb)\tpo{n'}$.
Nous avons les �galit�s
(le calcul est le m�me que pour la d�monstration du lemme clef \ref{lemme_clef})
\[
\begin{array}{rl}
 & m^\cb_1(\theta(f))(\phi)(\kappa \tso \psi) \\
 = &  (-1)^{|\phi|+1}\big[ \sum b^{X'}_{0,\beta'}(f_{n,\beta} \tso \Id \tpo {\beta'})
   (\phi \tso \kappa \tso \psi)\\
 & -(-1)^{p}\sum f_{i,j}(\Id \tpo{n}\tso b_{0,\alpha}^X \tso \Id \tpo \beta ) (\phi \tso \kappa \tso \psi)\\
 & -(-1)^{p}\sum f_{i,j}(\Id \tpo{n}\tso \Id_X \ts \Id \tpo \alpha \tso b^\cb \tso \Id \tpo \beta )
     (\phi \tso \kappa \tso \psi)\\
 & -(-1)^{p} \sum f_{i,j}(\Id \tpo \alpha \tso b^\ca \tso \Id \tpo \beta \tso \Id_X \ts \Id \tpo{n'})
     (\phi \tso \kappa \tso \psi)\big],\\
\end{array}
\]
\[
\begin{array}{rl}
 & -m^\cb_2(\theta_{X'},\theta(f))(\phi)(\kappa \tso \psi) \\
 = &  (-1)^{|\phi|+1}\sum_{\alpha'>0} b^{X'}_{\alpha',\beta'}(\Id\tpo{\alpha'} \tso f_{\alpha,\beta} \tso \Id \tpo {\beta'})
   (\phi \tso \kappa \tso \psi),
\end{array}
\]
\[
\begin{array}{rl}
 & m^\cb_2(\theta(f),\theta_X)(\phi)(\kappa \tso \psi) \\
 = &  -(-1)^{p +|\phi|+1}
\sum_{\alpha >0} f_{\alpha',\beta'}(\Id\tpo{\alpha'} \tso b^{X}_{\alpha,\beta} \tso \Id \tpo {\beta'})
   (\phi \tso \kappa \tso \psi).
\end{array}
\]
Nous en d�duisons l'�galit�
\[
d(\theta(f)) = m_1^{\cf}(\theta(f)) - m^\cf_2(\theta_X' \tso \theta(f)) + m_2^\cf(\theta(f) \tso \theta_X) = \theta(d(f))
\]
et nous avons le r�sultat.\\


{\noindent \bf Compatibilit� de $\theta$ � la fonctorialit�}\\

Si $f : \ca' \ra \ca$ et $g : \cb \ra \cb'$ sont des $\ai$-foncteurs,
ils induisent clairement des morphismes qui rendent commutatifs les carr�s
\[
\begin{array}{rl}
\hspace*{-.3cm}\xymatrix{
\cn_\infty(\ca,\cb) \ar[r]^{f^*} \ar[d]_\theta & \cn_\infty (\ca',\cb) \ar[d]^\theta \\
\Nunc (\ca,\cn_\infty \cb) \ar[r]_{f^*} & \Nunc (\ca',\cn_\infty \cb)
} &
\xymatrix{
\cn_\infty(\ca,\cb) \ar[r]^{g_*} \ar[d]_\theta & \cn_\infty (\ca,\cb') \ar[d]^\theta \\
\Nunc (\ca,\cn_\infty \cb) \ar[r]_{g_*} & \Nunc (\ca,\cn_\infty \cb').
}
\end{array}
\]


{\noindent \bf Le cas strictement unitaire}\\

Supposons maintenant que $\ca$ et $\cb$ sont des $\ai$-cat�gories strictement unitaires.
Nous avons les sous-cat�gories (\ref{section_categorie_dg_polydules})
\[
\cc_\infty (\ca,\cb) \subset \cn_\infty (\ca,\cb) \quad \mbox{et} \quad \Nunc(\ca,\cc_\infty \cb)
\subset \Func(\ca,\cn_\infty \cb).
\]
Par la remarque (\ref{remarque3_lemme_clef}), la bijection
\[
\begin{array}{rcl}
\Obj \cn_\infty(\ca,\cb) & \ra & \Obj \Nunc(\ca,\cn_\infty \cb),\\
M & \mapsto & \theta_M,
\end{array}
\]
se restreint en une bijection
\[
\Obj \cc_\infty(\ca,\cb)  \ra  \Obj \Func(\ca,\cc_\infty \cb)
\]
et il est clair que, pour $X$ et $X'$ dans $\cc_\infty (\ca,\cb)$, l'application
$f \mapsto \theta(f)$ induit un isomorphisme
\[
\Hom_{\cc_\infty (\ca,\cb)}\big(X,X'\big) \arr{\sim} \Hom_{\Func(\ca,\cc_\infty \cb)}\big(\theta_X,\theta_{X'}\big).
\]
Nous avons donc un isomorphisme de cat�gories diff�rentielles gradu�es
\[
\theta : \cc_\infty (\ca,\cb) \arr{\sim} \Func(\ca,\cc_\infty \cb).
\]
\findem



\begin{theoreme} \label{theoreme_foncteur_de_Yoneda_generalise}
L'$\ai$-foncteur de Yoneda g�n�ralis�
\[
z : \Func(\ca,\cb) \ra \cc_\infty(\ca,\cb) 
\]
induit un quasi-isomorphisme dans les espaces de morphismes.
\end{theoreme}


 Commen�ons par quelques lemmes.\\




Soit $\big(\Nunc(\ca,\cb)\big)_u$ la {\em sous-cat�gorie} pleine de $\Nunc(\ca,\cb)$ form�e
des $\ai$-foncteurs strictement unitaires. \indexnotation{Nuncu}


\begin{lemme}\label{lemme1_theoreme_foncteur_de_Yoneda_generalise}
Le foncteur fid�le
\[
\Func(\ca,\cb) \ra \Nunc(\ca,\cb)
\]
induit un isomorphisme
\[
H^*\Func(\ca,\cb) \ra H^*\big(\Nunc(\ca,\cb)\big)_u.
\]
\end{lemme}

\dem Dans cette d�monstration, nous utilisons une filtration qui
est adapt�e de celle de J.~A.~Guccione et J.~J.~Guccione \cite{Guccione96}.

Soit $f_1$ et $f_2$ deux $\ai$-foncteurs strictement unitaires $\ca \ra \cb.$
Nous rappelons que l'espace des �l�ments strictement unitaires de
\[
\Hom_{\Nunc}(f_1,f_2) = \Hom_{\sf C(\mathbb A,\mathbb A)}(\ct S\ca ,\lrus{\dot f_2}{\cb}{\dot f_1})
\]
est form� des $H$ qui se factorisent par $\ct S\b \ca$, o� $\b \ca$ est le conoyau de l'unit� de $\ca$.
Nous avons donc l'�galit�
\[
\Hom_{\Func}(f_1,f_2) =  \Hom_{\sf C(\mathbb A,\mathbb A)}
\Big(\bigoplus_{0 \leq p} (S\b \ca)\tpo p, \lrus{\dot f_2}{\cb}{\dot f_1}\Big).
\]
Pour tout $p \geq 0$, nous posons
\[
F_p = \Hom_{\sf C(\mathbb A,\mathbb A)}
\Big(\bigoplus_{0 \leq i < p} (S\b \ca)\tpo i, \lrus{\dot f_2}{\cb}{\dot f_1}\Big)
\oplus \Hom_{\sf C(\mathbb A,\mathbb A)}\Big(\bigoplus_{0 \leq j}
(S\b \ca)\tpo p \tso (S\ca)\tpo j, \lrus{\dot f_2}{\cb}{\dot f_1}\Big).
\]
Nous avons clairement l'inclusion $F_{i+1} \subset F_i$, $i \geq 0$. 
La limite inverse des $F_p$, $p \geq 0,$ est l'espace  $\Hom_{\Func}(f_1,f_2)$
et $F_0$ est l'espace  $\Hom_{\Nunc}(f_1,f_2).$
Nous avons une injection d'espaces gradu�s
\[
J_p : F_p \hookrightarrow \Hom_{\sf C(\mathbb A,\mathbb A)}(\ct S\ca, \lrus{\dot f_2}{\cb}{\dot f_1}),
\quad p \geq 0.
\]
Munissons $\Hom_{\sf C(\mathbb A,\mathbb A)}(\ct S\ca, \lrus{\dot f_2}{\cb}{\dot f_1})$
de la diff�rentielle $m_1^\Nunc$ et montrons qu'elle induit une
diff�rentielle sur $F_p$, $ p\geq 1$.

Soit $p \geq 1$. Notons $Q_p$ la projection sur le conoyau de $J_p$. 
Soit $H \in \Hom_{\Nunc}(f_1,f_2)$ tel que $Q_p (H) = 0$. Cette condition est �quivalente
au fait que
les morphismes $h_i$, $i \geq 0$, (d�finis en \ref{remarque_ai-categorie_Func}) v�rifient les
�quations
\[
h_i ((\Id \tpo \alpha \tso \unite \tso \Id \tpo \beta) \tso \Id \tpo \gamma) = 0,
\quad \alpha + 1 + \beta + \gamma = i, \quad \alpha + 1 + \beta \leq p.
\]
Nous d�duisons de la description concr�te (\ref{definition_ai-cat_Nunc}) de l'�l�ment
$m_1^\Nunc (H)$ que la composition de $m_1^\Nunc (H)$ avec
\[
((\Id \tpo \alpha \tso \unite \tso \Id \tpo \beta) \tso \Id \tpo \gamma),
\quad \alpha + 1 + \beta + \gamma = i, \quad \alpha + 1 + \beta \leq p,
\]
s'annule.
Ceci montre que $Q_p(m_1^\Nunc (H)) = 0.$ 
Nous en d�duisons que la diff�rentielle $m_1^\Nunc$ induit une diff�rentielle sur
l'objet gradu� $F_p$, $p\geq 1$.


Montrons que le quotient de l'inclusion $F_{p+1} \subset F_p$, $p\geq 0$, est contractile.
Soit $G_p$ le conoyau de cette inclusion. Il est isomorphe �
\[
\Hom_{\sf C(\mathbb A,\mathbb A)}\Big(\bigoplus_{0 \leq j}
(Se)\tp p \tso (S\ca)\tpo j, \lrus{\dot f_2}{\cb}{\dot f_1}\Big) =
\Hom_{\sf C(\mathbb A,\mathbb A)}\Big((Se)\tpo p \tso \ct S\ca, \lrus{\dot f_2}{\cb}{\dot f_1}\Big)
\]
Soit $H$ un �l�ment de $F_i$ de degr� $|H|$. Nous d�duisons de la description concr�te (\ref{definition_ai-cat_Nunc})
de $m_1^\Nunc (H)(\phi)$, o� $\phi$ est un �l�ment de $(Se)\tpo p \tso \ct S\ca$,
l'�galit�
\[
m_1^{G_p}(H) = m_1^{\cf(\ca,\cb)}(H),
\]
o� $\cf (\ca,\cb)$ est la cat�gorie munie des compositions na�ves (\ref{section_Nunc}).
Par d�finition, l'�l�ment $m_1^{\cf(\ca,\cb)}(H)$ est �gal �
\[
b^{\Ba \ca} \circ H -(-1)^{|H|} H \circ m^\cb_1.
\]
Comme l'$\ai$-cat�gorie
$\ca$ est strictement unitaire, elle est $H$-unitaire (\ref{lemme_homologiqement_unitaire_H-unitaire}).
Sa construction bar est donc quasi-isomorphe � $0$. Nous en d�duisons que $G_p$ est contractile.

Montrons que l'inclusion
\[
J : \Hom_{\Func}(f_1,f_2) \hookrightarrow \Hom_{\Nunc}(f_1,f_2)
\]
est un quasi-isomorphisme.
Les complexes $G_p$, $p \geq 0$, sont tous contractiles.
Nous en d�duisons que le conoyau de l'injection $J_p$, $p\geq 0$, est isomorphe �
\[
\bigoplus_{0 \leq i \leq p} G_i.
\]
C'est un espace contractile.
L'espace $\Hom_{\Nunc}(f_1,f_2)$ est donc isomorphe �
\[
F_p \oplus \bigoplus_{0 \leq i \leq p} G_i, \quad p \geq 0.
\]
Le conoyau de $J$ est donc
\[
\prod_{0 \leq i} G_i.
\]
Il est clairement contractile, d'o� le r�sultat. \findem


\begin{lemme} \label{lemme2_theoreme_foncteur_de_Yoneda_generalise}
Soit $\ca'$ et $\cb'$ des $\ai$-cat�gories sur $\mathbb A$ et $\mathbb B$ et
\[
g : \ca \ra \ca' \quad \mbox{et} \quad g' : \cb \ra \cb'
\]
des $\ai$-quasi-isomorphismes dans $\sf C(\mathbb A,\mathbb A)$ et $\sf C(\mathbb B,\mathbb B)$.
Consid�rons les comme des $\ai$-foncteurs (\ref{remarque_ai-morphismes_ai-foncteurs}).
Les $\ai$-foncteurs
\[
g^* : \Nunc(\ca',\cb) \ra \Nunc(\ca,\cb) \quad \mbox{et} \quad g'_* : \Nunc(\ca,\cb) \ra \Nunc(\ca,\cb')
\]
induisent des quasi-isomorphismes dans les espaces de morphismes.
\end{lemme}

Nous d�duisons de ce lemme et du lemme (\ref{lemme1_theoreme_foncteur_de_Yoneda_generalise})
le corollaire suivant :

\begin{corollaire} \label{corollaire_lemme2_theoreme_foncteur_de_Yoneda_generalise}
Reprenons les hypoth�ses du lemme (\ref{lemme2_theoreme_foncteur_de_Yoneda_generalise}).
Si les $\ai$-cat�gories $\ca$, $\ca'$, $\cb$ et $\cb'$ sont strictement unitaires et que
les $\ai$-morphismes $g$ et $g'$ sont strictement unitaires,
les $\ai$-foncteurs restreints
\[
\Func(\ca',\cb) \ra \Func(\ca,\cb) \quad \mbox{et} \quad \Func(\ca,\cb) \ra \Func(\ca,\cb')
\]
induisent des quasi-isomorphismes dans les espaces de morphismes.
\findem
\end{corollaire}

{\em D�monstration du lemme \ref{lemme2_theoreme_foncteur_de_Yoneda_generalise} :}\\
Par la proposition (\ref{proposition_torsion_ai-foncteurs_equiv_faible_I}), il suffit de montrer
que les $\ai$-foncteurs induits par $g$ et $g'$
\[
\cf(\ca',\cb) \ra \cf(\ca,\cb) \quad \mbox{et} \quad \cf(\ca,\cb) \ra \cf(\ca,\cb'),
\]
o� $\cf (\ca',\cb),$ $\cf(\ca,\cb),$ $\cf(\ca,\cb)$ et $\cf(\ca,\cb')$
sont les cat�gories munies des compositions na�ves (voir \ref{section_Nunc}),
donnent des quasi-isomorphismes dans les espaces de morphismes.
Les espaces de morphismes
\[
\Hom_{\cf(\ca,\cb)}(f_1,f_2) = \Hom_{\sf C(\mathbb A,\mathbb A)}\big(\ct S \ca,\lrus{\dot f_2}{\cb}{\dot f_1}\big)
\]
sont munies de la diff�rentielle
\[
\delta  : H \mapsto m^\cb_1 \circ H - (-1)^{|H|} H \circ b^{\Ba \ca}.
\]
Comme les morphismes $g'_1 : \cb \ra \cb'$ et $\Ba g : \Ba \ca \ra \Ba \ca'$
sont des quasi-isomorphismes, nous avons le r�sultat.
\findem\\



{\em D�monstration du th�or�me (\ref{theoreme_foncteur_de_Yoneda_generalise}) : }\\

Nous allons d'abord montrer que nous pouvons se ramener au cas o� les $\ai$-cat�gories
strictement unitaires sont diff�rentielles gradu�es unitaires, puis nous prouverons le r�sultat en utilisant
des arguments d'alg�bre homologique classique.\\


La proposition (\ref{proposition_modele_differentiel_gradue})
nous donne des mod�les diff�rentiels gradu�s  unitaires $\ca'$ et $\cb'$ munis d'$\ai$-quasi-isomorphismes
strictement unitaires
\[
\ca \ra \ca' \quad \mbox{et} \quad \cb \ra \cb'.
\]
Le lemme \ref{lemme2_theoreme_foncteur_de_Yoneda_generalise} et son corollaire
\ref{corollaire_lemme2_theoreme_foncteur_de_Yoneda_generalise} nous donne un diagramme
\[
\xymatrix{
\Func(\ca,\cb) \ar[r]^z  \ar[d]_{}&  
\cc_\infty(\ca,\cb) \ar[d]^{} \\
\Func(\ca,\cb') \ar[r]^z &  \cc_\infty(\ca,\cb')\\
\Func(\ca',\cb') \ar[r]^{z} \ar[u]_{} & \cc_\infty(\ca',\cb')\ar[u]_{}\\
}
\]
dont toutes les fl�ches verticales induisent des quasi-isomorphismes dans les espaces
de morphismes. Ils nous suffit donc de montrer que
\[
z : \Func(\ca,\cb)\ra  \cc_\infty(\ca,\cb)
\]
est un quasi-isomorphismes dans le cas o� $\ca$ et $\cb$ sont diff�rentielles
gradu�es unitaires. Le lemme (\ref{lemme2_theoreme_foncteur_de_Yoneda_generalise})
et la proposition (\ref{proposition_strictication_unitaire_bipolydules_graduee})
montrent qu'il est �quivalent de montrer que
\[
z : \big(\Nunc(\ca,\cb)\big)_u \ra  \big(\cn_\infty(\ca,\cb)\big)_u
\]
est un quasi-isomorphisme.
Soit $f_1$ et $f_2$ des $\ai$-foncteurs strictement unitaires $\ca \ra \cb$.
Nous avons un isomorphisme
\[
\xymatrix{
\Hom_{\sf C(\mathbb A,\mathbb A)}(\Ba \ca, \lrus{\dot f_2}{\cb}{\dot f_1})
\ar[r] &
\Hom_{\ca\op \tso \ca}(\ca \tso \Ba \ca \tso \ca, \lrus{\dot f_2}{\cb}{\dot f_1}).
}
\]
Rappelons (\ref{lemme_Yoneda_quasi-isomorphisme}) que l'$\ai$-foncteur de Yoneda
\[
y : \cb \ra \cc_\infty \cb
\]
induit un quasi-isomorphisme dans les espaces de morphismes.
Nous avons donc un quasi-isomorphisme
\[
\xymatrix{
\Hom_{\ca\op \tso \ca}(\ca \tso \Ba \ca \tso \ca, \lrus{\dot f_2}{\cb}{\dot f_1})
\ar[d] \\
\Hom_{\ca\op \tso \ca}\big(\ca \tso \Ba \ca \tso \ca, \Hom_{\cc_\infty \cb}(y \circ f_1,y \circ 
f_2)\big).
}
\]
Notons $\mathbf R \Hom$ le foncteur d�riv� � droite qui calcule les groupes $\Ext^*.$
Le dernier terme ci-dessus se r�crit
\[
\mathbf R\Hom_{\ca\op \tso \ca}\big(\ca, \mathbf R\Hom_{\cb}(y\circ  f_1,y\circ  f_2)\big).
\]
Il est isomorphe �
\[
\mathbf R\Hom_{\ca\op \tso \cb}\big(y\circ  f_1,y\circ  f_2\big)
\]
qui est isomorphe � 
\[
\Hom_{\ca\op \tso \cb}
\big(\ca \tso \ct S\ca \tso  S(y \circ  f_1) \tso \ct S \cb \tso \cb, S(y \circ  f_2)\big) \iso
\]
\[
\Hom_{\sf C(\mathbb A,\mathbb B)}
\big(\ct S\ca \tso  S(y \circ  f_1) \tso \ct S \cb, S(y \circ  f_2)\big) \iso
\]
\[
\Hom_{(\ct S\ca)\op \tso (\ct S\cb) }
\big(B(y \circ  f_1), B(y \circ  f_2)\big).
\]
Comme nous avons des �galit�s de $\ca$-$\cb$-bipolydules
\[
y \circ f = z (f), \quad f \in \Nunc(\ca,\cb),
\]
le lemme (\ref{proposition_Func_aiBimodu}) montre que le dernier espace de morphismes ci-dessus est 
\[
\Hom_{\cn_{\infty}(\ca,\cb)}\big(z(f_1),z (f_2)\big).
\]
La composition de tous les (quasi-)isomorphismes ci-dessus �tant le morphisme
\[
z(f_1,f_2) : \Hom_{\Nunc(\ca,\cb)}(f_1,f_2) \ra \Hom_{\cn_\infty(\ca,\cb)}(f_1,f_2),
\]
nous avons le r�sultat.
\findem



\begin{remarque}{\em
Par construction, l'image de l'$\ai$-foncteur $z$ est form�e
des $\ca$-$\cb$-bipolydules qui sont de la
forme
\[
\cb (?,\dot f\?), \quad f \in \Func (\ca,\cb).
\]
Ils sont libres en tant que $\cb$-polydules.
}\end{remarque}


\subsection{Equivalences faibles d'$\ai$-foncteurs}
\label{section_equiv_faible_ai-foncteurs}

\noindent Les �quivalences faibles entre $\ai$-foncteurs sont
l'analogue $\ai$-cat�gorique des {\em homotopies} entre $\ai$-morphismes.

\begin{definition}{\em
Soit $\ca$ et $\cb$ deux $\ai$-cat�gories sur $\mathbb A$ et $\mathbb B$. Soit
$f$ et $g$ deux $\ai$-foncteurs $\ca \ra \cb$. 
Un �l�ment $H \in Z^0\Hom_{\Nunc}(f,g)$ est une {\em �quivalence faible}
\index{equivalence faible@{�quivalence faible}!d'A-infini foncteurs@{d'$\ai$-foncteurs}}
s'il devient un isomorphisme dans $H^0 \Nunc(\ca,\cb).$ Nous dirons alors que $f$ et $g$ sont
{\em faiblement �quivalents} et �crirons $f \sim g.$
}\end{definition}




\begin{remarque}{\em
Supposons que $\ca$ et $\cb$ sont strictement unitaires et $f$ et $g$ sont des $\ai$-foncteurs
strictement unitaires. D'apr�s le lemme (\ref{lemme1_theoreme_foncteur_de_Yoneda_generalise})
$f$ et $g$ sont faiblement �quivalents si et seulement si il existe un morphisme strictement
unitaire $H \in Z^0\Hom_{\Func}(f_1,f_2)$ qui devient
un isomorphisme dans $H^0 \Func(\ca,\cb).$
}\end{remarque}







\begin{proposition} \label{proposition_equivalence_faible_d'ai-foncteurs}
Soit $\ca$ et $\cb$ deux $\ai$-cat�gories strictement unitaires sur $\mathbb A$ et $\mathbb B$.
Soit $f$ et $g$ deux $\ai$-foncteurs strictement unitaires $\ca \ra \cb$. 
Un �l�ment $H \in Z^0\Hom_{\Nunc}(f,g)$ est une �quivalence faible
si et seulement si $h_0 : e_{\mathbb A} \ra \Hom_{\cb}(\dot f?,\dot g\?)$ induit un
isomorphisme de foncteurs $H^0 f \ra H^0 g$ de $H^0\ca$ dans $H^0\cb.$
\end{proposition}

\dem
D'apr�s le th�or�me (\ref{theoreme_foncteur_de_Yoneda_generalise}), nous avons un isomorphisme
\[
H^0\Func(\ca,\cb) \arr{\sim} H^0\cc_\infty (\ca,\cb).
\]
L'�l�ment $H$ est donc une �quivalence
faible si et seulement si le morphisme de $\ca$-$\cb$-bipolydules
\[
z(H) : z(f) \ra z(g)
\]
est une �quivalence d'homotopie dans $\cc_\infty (\ca,\cb),$ c'est-�-dire
(voir l'�quivalence entre D2 et D3 dans \ref{theoreme_categorie_derivee_strictement_unitaire})
si et
seulement si $z(H)$ est un $\ai$-quasi-isomorphisme de $\ca$-$\cb$-bipolydules.
Par d�finition des $\ai$-quasi-isomorphismes, ceci est �quivalent au fait que le
morphisme de $\sf C(\mathbb A,\mathbb B)$
\[
S^{-1}(z(H))_{0,0} : \cb(?,f \?) \ra \cb(? ,g\?)
\]
est un quasi-isomorphisme, c'est-�-dire qu'il devient un isomorphisme en cohomologie.
Comme le foncteur de Yoneda au sens classique
envoie la classe dans $H^*\cb$ de
\[
h_{A} = h_0(\id_A) : \dot fA \ra \dot gA, \quad A \in \mathbb A,
\]
sur
\[
S^{-1}(z(H))_{0,0} : H^*\cb(?,f A) \ra H^*\cb(? ,g A),
\]
$S^{-1}(z(H))_{0,0}$ est un quasi-isomorphisme si et seulement si 
$h_A$ induit un isomorphisme dans $H^*\cb$, ou de mani�re �quivalente dans $H^0\cb$.
\findem

Appendice_A.tex



%
%
%
%
% \chapter{Cat�gories de mod�les} \label{section_rappels_cmf}



Dans cet appendice, nous rappelons la d�finition, due � D. Quillen \cite{Quillen67},
d'une cat�gorie de mod�les (ferm�e), quelques
notions fondamentales (objets fibrants, cofibrants, homotopies, foncteurs de Quillen) et
quelques �nonc�s-cl�s. Nous rappelons ensuite
les exemples dont nous avons besoin dans ce manuscrit. Nous renvoyons au livre
de M. Hovey  \cite{Hovey99} et � l'article de W.~Dwyer et J.~Spalinski \cite{DwyerSpalinski95}
pour plus de d�tails.\\

{\noindent \bf D�finitions et propositions}

\begin{definition}{\em Soit $\sf E$ une cat�gorie. 
Un {\em rel�vement (de $g$ relatif � $f$)} \index{rel�vement}
dans le diagramme
\[
(1) \quad \begin{array}{c}\xymatrix{ A \ar@{->}[d]_i \ar@{->}[r]^f & B
 \ar@{->}[d]^p \\ C \ar@{->}[r]_g  &  D }\end{array}
\]
est un morphisme $\alpha : C \ra B$ tel que les deux triangles du diagramme
\[
 \begin{array}{c} \xymatrix{ A
 \ar@{->}[d]_i \ar@{->}[r]^f & B \ar@{->}[d]^p \\ C \ar@{->}[r]_g
 \ar@{.>}[ur]^\alpha &  D }\end{array}
\]
sont commutatifs.
Soit $i$ et $p$ deux morphismes dans $\sf E.$ Nous dirons que {\em $p$ a
la propri�t� de rel�vement � droite par rapport � $i$}  et que {\em $i$ a
la propri�t� de rel�vement � gauche par rapport � $p$} si tout diagramme
de la forme $(1)$ admet un rel�vement $\alpha$.

Soit $f : X \ra X'$ et $g : Y \ra Y'$ deux morphismes. Le morphisme $f$ est un {\em r�tract} de $g$ s'il
existe un diagramme commutatif
\[
\xymatrix{
X \ar[d]_f \ar[r] & Y \ar[d]_g \ar[r] & X \ar[d]^f \\
X' \ar[r] & Y' \ar[r] & X' }
\]
tel que les compositions horizontales sont l'identit� de $X$ et l'identit� de $X'$.
}
\end{definition}

%
\begin{definition} \label{definition_cmf} {\em 
Une {\em cat�gorie de mod�les} \index{categorie@{cat�gorie}!de mod�les} est un quadruplet 
\[(\sf E, \weq ,\fib , \cof),\] \indexnotation{weq}
o�
\english
\begin{itemize}
\item[-] $\sf E$ est une cat�gorie,
\item[-] $\weq$ est une classe de morphismes appel�s {\em �quivalences faibles}, 
\index{equivalence faible@{�quivalence faible}}
\item[-] $\fib$  est une classe de morphismes appel�s {\em fibrations} \index{fibration}
(elles sont repr�sent�es par des fl�ches � double t�te $\twoheadrightarrow$),
\item[-] $\cof$ est une classe de morphismes appel�s {\em cofibrations} \index{cofibration}
(elles sont repr�\-sent�es par des fl�ches avec une queue $\rightarrowtail$),
\end{itemize}
\francais
tel que les axiomes (CM1) -- (CM5) ci-dessous
sont v�rifi�s. Un morphisme appartenant � $\weq \cap \cof$
sera appel� une {\em cofibration triviale} \index{triviale (cofibration)} et un morphisme
de $\weq \cap \fib$ sera appel� une {\em fibration triviale} \index{triviale (fibration)}.
\begin{description}
%
\item[](CM1) La cat�gorie $\sf E$ admet toutes les limites finies et toutes les colimites finies.
% 
\item[](CM2) La classe des �quivalences faibles est {\em satur�e} \index{satur�e (classe)}, i.e.~si deux
morphismes parmi $f,g,fg$ sont des  �quivalences faibles, le
troisi�me l'est aussi.
%
\item[](CM3) Les trois classes de morphismes sont stables par r�tracts.
%
\item[](CM4) {\em rel�vement :} \\
{\em  a.} Les cofibrations
ont la propri�t� de rel�vement � gauche par rapport aux fibrations triviales,\\
%
{\em  b.} Les fibrations
ont la propri�t� de rel�vement � droite par rapport aux cofibrations triviales.
%
\item[](CM5) {\em factorisation :}\\
a. Tout morphisme $f:A \ra B$ se factorise en $f =pi$ o�
$i:A \rightarrowtail A'$ est une cofibration triviale
et $p : A' \twoheadrightarrow B $ est une fibration.\\ {\em
b.} Tout morphisme $f:A \ra B$ se factorise en $f =pi$ o�
$i:A \rightarrowtail B'$ est une cofibration  et
$p : B' \twoheadrightarrow B $ est une fibration
triviale.
%
\end{description}
}
\end{definition}
%
\begin{remarque}{\em 
Nous nous conformons � la terminologie de  \cite{DwyerSpalinski95} en appelant ``cat�gorie de mod�les'' ce que
Quillen \cite{Quillen67}, \cite{Quillen69} appelle ``cat�gorie de mod�les ferm�e''.
Notons que les axiomes sont auto-duaux.}
\end{remarque}

Soit $(\sf E,\weq ,\fib , \cof)$ une cat�gorie de mod�les. On a les propri�t�s suivantes :
\english \begin{itemize}
\item[-] La cat�gorie $\sf E$ a un objet initial $\emptyset$ et un
objet final $*$.
\item[-] Les fibrations sont exactement les morphismes ayant
la propri�t� de rel�vement � droite par rapport aux cofibrations
triviales.
\item[-]  Les fibrations triviales sont exactement les morphismes ayant
la propri�t� de rel�vement � droite par rapport aux cofibrations.
\item[-] Les cofibrations ont les propri�t�s de rel�vement duales.
\end{itemize} \francais


\begin{definition} \label{definition_homotopie_cmf}
{\em Soit $X$ un objet de $\sf E.$
Un {\em cylindre} \index{cylindre} pour
$X$ est un objet $X\wedge I$  muni de morphismes
$i : X \coprod X \ra X \wedge I$ et $p : X\wedge I \ra X$ tels que
\begin{enumerate}
\item le morphisme $p$ est une �quivalence faible,
\item la composition $p\circ i : X \coprod X \ra X\wedge I \ra X$ est
le morphisme 
\[
 [\Id, \Id] : X \coprod X \ra X.
\]
\end{enumerate}
Soit $X\wedge I$ un cylindre pour $X$.
Deux morphismes $f,g :X \ra Y$ de $\sf E$ sont {\em $X \wedge I$-homotopes �
gauche} si le morphisme
$[f, g] :X\coprod X \ra Y$ se factorise en 
\[
X\coprod X  \arr{i} X\wedge I \arr{H} Y
\]
pour un morphisme $H.$
Un tel morphisme $H$ est appel�
une {\em $X \wedge I$-homotopie � gauche}\index{homotopie!� gauche} de $f$ � $g$.
Les morphismes $f$ et $g$ sont {\em homotopes � gauche} s'ils sont
$X \wedge I$-homotopes pour un cylindre $X\wedge I$ pour $X$. Nous
�crirons alors
\[
f \sim_l g.
\]
La d�finition d'un {\em objet de chemins} \index{objet de chemins}
pour $X$ est duale de celle d'un
cylindre pour $X$. 
La notion d'{\em homotopie � droite}  (not�e $\sim_r$)
est duale de celle d'homotopie � gauche.

}
\end{definition}


\begin{definition}{\em
Un objet $X$ de $\sf E$ est {\em cofibrant} \index{cofibrant} si le morphisme
$\emptyset \ra X$ est une cofibration. Il est  {\em fibrant} \index{fibrant}
si le morphisme $X \ra *$ est une fibration. La sous-cat�gorie pleine des objets
fibrants est not�e $\sf E_{\sf{f}}$, celle des objets cofibrants $\sf E_{\sf{c}}$  et
celle des objets fibrants et cofibrants est not�e $\sf E_{\sf{cf}}$. \indexnotation{Ecf}
}
\end{definition}

\begin{definition}{\em
Soit $X$ un objet de $\sf E$. Une {\em r�solution cofibrante de $X$}
\index{r�solution cofibrante} est  une fibration triviale $X_{\sf c} \twoheadrightarrow
X$, o� $X_{\sf c}$ est cofibrant.
Une {\em r�solution fibrante de $X$} 
\index{r�solution fibrante}
est une cofibration triviale $Y \rightarrowtail
X_{\sf f}$, o�  $X_{\sf f}$  est fibrant.
}
\end{definition}


Il r�sulte de l'axiome (CM5) que tout objet admet une r�solution cofibrante et une
r�solution fibrante.

\begin{lemme} \label{lemme1_cmf}  Soit $X$ un objet
cofibrant et $Y$ un objet fibrant.
\english \begin{itemize}
\item[a.] La relation de $X\wedge I$-homotopie � gauche ne d�pend pas du choix du cylindre $X \wedge I.$
De m�me, la relation de $P Y $-homotopie � droite ne d�pend pas du choix de l'objet de chemins $P Y.$

\item[b.] Les relations d'homotopie � gauche et d'homotopie � droite co�ncident
sur $\sf E(X,Y)$.
On d�finit la {\em relation d'homotopie} $\sim$ comme �gale � ces deux relations.

\item[c.] La relation d'homotopie est une relation d'�quivalence sur $\sf E(X,Y)$.
\item[d.] Soit $X'$ un objet cofibrant et $Y'$ un objet fibrant.
La relation $f\sim g$ implique $fh \sim gh$ et $h'f \sim h'g$ quels que soient les morphismes
\[
h : X'\ra X\quad \mbox{ et } \quad h' : Y \ra Y'.
\]
\end{itemize} \francais
\findem
\end{lemme}

Le quotient
$\sf E_{\sf{cf}}/\sim$ est donc une cat�gorie. 
On d�finit la {\em cat�gorie homotopique}\index{categorie@{cat�gorie}!homotopique}
\indexnotation{HoE}
$\Ho \sf E$ comme la localisation $\sf  E [\weq^{-1}]$ 
de $\sf E$ par rapport � la classe des �quivalences faibles (voir \cite[I.1]{GabrielZisman67}).

\begin{proposition} \label{proposition_cmf}
\english \begin{itemize}
\item[a.] L'inclusion $\sf E_{\sf{cf}} \ra \sf E$ induit une �quivalence
\[
\sf E_{\sf{cf}}/\sim \ \arr{} \Ho \sf E.
\]
\item[b.] Soit $X$ et $Y$ deux objets de $\sf E$. Soit $X_{\sf c} \twoheadrightarrow X$
une r�solution cofibrante de $X$ et $Y \rightarrowtail Y_{\sf f}$ une r�solution
fibrante de $Y$. On a une bijection canonique
\[
\Ho \sf E\,(X,Y) \iso \sf E\,(X_{\sf c},Y_{\sf f})/\sim.
\]
\findem
\end{itemize}\francais
\end{proposition}


{\noindent \bf Equivalence de Quillen}



\begin{definition}\label{foncteurs_de_Quillen}{\em
Soit $\sf E$ et $\sf F$ deux cat�gories de mod�les.
Un foncteur $G :\sf E \ra \sf F$ est un {\em foncteur de Quillen � gauche}
\index{foncteur!de Quillen}
s'il admet un adjoint � droite et s'il pr�serve les cofibrations et les
cofibrations triviales. Un foncteur $D : \sf F \ra \sf E$ est un {\em foncteur
de Quillen � droite} s'il admet un adjoint � gauche et s'il pr�serve les fibrations
et les fibrations triviales.
Soit une paire de foncteurs adjoints $(G,D,\phi)$, c'est-�-dire que $G$ est adjoint � gauche
� $D$ et que $\phi$ est une bijection fonctorielle
\[
\Hom_{\sf F} (GX,Y) \arr{\sim} \Hom_{\sf E} (X,DY).
\]
On dira qu'elle est une {\em adjonction de Quillen}
\index{adjonction de Quillen} si $G$ est un foncteur de Quillen � gauche. 
(Ceci implique que $D$ est un foncteur de Quillen � droite.)
Une adjonction de Quillen est une {\em �quivalence de Quillen} 
\index{equivalence de Quillen@{�quivalence de Quillen}}
si, pour tout objet cofibrant
$X$ de $\sf E$ et tout objet fibrant $Y$ de $\sf F,$ un morphisme $f : GX \ra Y$ est une
�quivalence faible si et seulement si $\phi{f} : X \ra DY$ est une �quivalence faible. Nous
renvoyons � \cite[Sect.~9]{DwyerSpalinski95} pour les d�tails de la d�finition suivante.
}
\end{definition}

\begin{definition}\label{foncteurs_derives}\index{foncteur!derive@{d�riv�}} {\em
Soit $G$ un foncteur de Quillen � gauche. Le {\em foncteur  d�riv�  � gauche de $G$}
est le foncteur
\[
{\bf L} G : \Ho \sf E  \arr{} \Ho \sf F 
\] 
qui envoie un objet $X$ de $\sf E$ sur $GX_{\sf c}$, o� $X_{\sf c} \twoheadrightarrow X$ est
une r�solution cofibrante de $X$.
Soit $D$ un foncteur de Quillen � droite. Le {\em foncteur d�riv�  � droite de $D$}
est le foncteur
\[
{\bf R} D : \Ho \sf F  \arr{} \Ho \sf E 
\] 
qui envoie un objet $Y$ de $\sf F$ sur $GY_{\sf f}$, o� $Y \rightarrowtail Y_{\sf f}$ est
une r�solution fibrante de $Y$.}
\end{definition}

\begin{remarque}{\em 
Notons que si un foncteur $G$ (resp.~$D$) comme dans la d�finition pr�serve
les �quivalences faibles, alors il induit un foncteur entre les cat�gories
homotopiques, et ${\bf L} G$ (resp.~${\bf R} D$) est canoniquement isomorphe � ce
foncteur induit.
}
\end{remarque}

\begin{proposition} \label{proposition_equiv_Quillen}
Soit $(G,D,\phi)$ une adjonction de Quillen de $\sf E$ dans $\sf F.$
Les propositions suivantes sont �quivalentes
\begin{enumerate}
\item[a.] $(G,D,\phi)$ est une �quivalence de Quillen.
\item[b.] Les foncteurs ${\bf L} G$ et ${\bf R} D$ sont des �quivalences
inverses l'une de l'autre entre $\Ho \sf E$ et $ \Ho \sf F$.\\
\end{enumerate}
\end{proposition}

{\noindent \bf Exemples de cat�gories de mod�les}\\


\begin{exemple}[Complexes de $\sf C$]{\em \label{cmf_complexes} 
Soit $\sf C$ la cat�gorie de base (\ref{categorie_de_base}).
La cat�gorie $\cc \sf C$ de (\ref{complexes}) admet une structure
de cat�gorie de mod�les telle que 
\english \begin{itemize}
\item[-] la classe des �quivalences faibles est la classe $Qis$ des quasi-isomorphis\-mes
(notons que ce sont exactement les morphismes qui sont inversibles � homotopie pr�s),
\item[-] les fibrations sont les �pimorphismes (c'est-�-dire, les
morphismes dont les composantes sont des �pimorphismes),
\item[-] les cofibrations sont  les monomorphismes
(c'est-�-dire,  les morphismes dont les composantes sont des
monomorphismes).
\end{itemize} \francais
Tous les complexes sont fibrants et cofibrants pour cette structure.
La cat�gorie homotopique associ�e est $\ch \sf C.$
}
\end{exemple}




\begin{exemple}[Complexes de cha�nes non born�s]{\em 
Soit $R$ un anneau. Soit $\cc R$ la cat�gorie des complexes
de cha�nes
\[
\cdots \ra M^{p-1} \ra M^p \ra M^{p+1} \ra \cdots , \quad p \in \Z,
\]
de $R$-modules � droite. Les trois classes de morphismes
suivantes d�finissent une structure de cat�gorie de mod�les
sur $\cc R$ (voir \cite[Chap. 2]{Hovey99}). 
\english \begin{itemize}
\item[-] Les �quivalences faibles  sont les quasi-isomorphismes.
\item[-] Les fibrations sont les morphismes $f : X \ra Y$ tels que
$f^n$ est surjectif pour tout $n\in \Z.$
\item[-] Les cofibrations sont les morphismes qui ont la propri�t�
de rel�vement � gauche par rapport aux fibrations triviales.
\end{itemize} \francais
Tous les complexes sont fibrants pour cette structure. Si un
complexe $X$ est cofibrant,
alors toutes ses composantes $X^n$, $n\in \Z$, sont
projectives. La r�ciproque est fausse. Cependant, 
si on suppose que le complexe $X$ est born� � droite et
que ses composantes  sont toutes projectives, alors il est
cofibrant.
}
\end{exemple}

Appendice_B.tex

%
%
%
%
%
%  Des $A_n$-structures vers les $A_{n+1}$-structures
%
%
%
%
%
\section{Th�orie de l'obstruction pour les $\ai$-alg�bres}
\label{section_obstruction}



%
%
%
%
%
%
%
%
%
%
%
Nous �tudions la th�orie de l'obstruction des $\ai$-alg�bres.
Soit $\sf C$ une cat�gorie de base telle que dans le chapitre \ref{chapitre_Homot_aialg}.
$(A,m_1,\hdots , m_n)$ une $\rm{A}_n$-alg�bre. Il s'agit de mesurer
l'obstruction � l'existence d'un morphisme \index{obstruction}
$m_{n+1}:A^{\ts n+1}\ra A$ tel que $(A,m_1,\hdots ,m_{n+1})$ soit une $\rm{A}_{n+1}$-alg�bre
(\ref{extension_nstructure_algebres}).
Soit $A$ et $A'$ deux $\rm{A}_{n+1}$-alg�bres. Soit une famille de morphismes gradu�s
\[
f_i : A \tp i \ra B, \hspace{1cm} 1 \leq i \leq n,
\]
d�finissant un $\rm{A}_n$-morphisme $A \ra A'.$
Nous mesurons ensuite l'obstruction � l'existence d'un morphisme $f_{n+1} : A\tp{n+1} \ra A'$
tel que les $f_i$, $1 \leq i \leq n+1$, d�finissent un $\rm A_{n+1}$-morphisme $A \ra A'$
(\ref{extension_nstructure_morphismes}).
Nous montrerons que cette obstruction est
fonctorielle  par rapport aux $\rm{A}_{n+1}$-morphismes stricts (\ref{fonctorialite_obstruction}).

L'�tude des obstructions est un outil classique, voir par exemple T.~Kadei\-shvili \cite{Kadeishvili80},
A.~Prout� \cite{Proute85}. Elle doit son existence au fait que l'op�rade des $\ai$-alg�bres
est un mod�le cofibrant minimal au sens de M.~Markl \cite{Markl96}
pour l'op�rade des alg�bres associatives. Nous n'adoptons pas ici ce point de vue
lui pr�f�rant une approche na�ve.\\
%
%
%
%
%  Obstruction pour alg�bres
%
%
%
%
%
%

{\bf Les $\ai$-alg�bres}\\

Soit $V$ un objet gradu�.
Soit des morphismes gradu�s
\[
b_i : V\tp i \ra V,\hspace{1cm}1 \leq i \leq n+1,
\]
de degr� $+1$.
Notons $b$ la cod�rivation de $\pctr{n+1}V$ donn�e par la suite
\[
(b_1,\hdots ,b_n,b_{n+1}).
\]
Posons
\[
c(b_2,\hdots ,b_n) = \sum_{\substack{2 \leq i \leq n}} b_i(\Id \tp j \ts b_k \ts \Id \tp l)
\]
o� les entiers $j,k,l$ v�rifient $j+k+l = n+1$ et $j +1+ l = i$.
Rappelons que $i_1$ et $p_{n+1}$ d�signent les morphismes canoniques
\[
V \arr{} \pctr{n+1}V \hspace{1cm}\mbox{et} \hspace{1cm} \pctr{n+1} V \arr{} V\tp{n+1}.
\]

\begin{lemme}
Supposons que la cod�rivation de la cog�bre $\pctr{n}V$ donn�e par la suite
\[
(b_1,\hdots ,b_n)
\]
est une diff�rentielle.
\begin{enumerate}
\item[a.]La cod�rivation
\[
b^2 : \pctr{n+1}V \arr{} \pctr{n+1}V
\]
est �gale � $i_1 \circ \zeta \circ p_{n+1},$ o� $\zeta : V \tp{n+1} \ra V$ est donn�
par 
\[
\zeta = b_1 b_{n+1} + b_{n+1}b_1 + c(b_2,\hdots ,b_{n}) ;
\]
ici la derni�re occurrence de $b_1$ d�signe la diff�rentielle de $(V,b_1)\tp{n+1}.$
\item[b.] Le morphisme gradu� $c(b_2,\hdots,b_{n})$ est un cycle de
\[
(\Hom_{\gr \sf C} (V\tp{n+1},V),\delta),
\]
o� la diff�rentielle $\delta$ est induite par celle du complexe $(V,b_1).$
\end{enumerate}
En particulier, la cod�rivation $b$ est une diff�rentielle si et seulement
si le cycle $c(b_2,\hdots , b_{n})$ est �gal au bord $-\del{b_{n+1}}.$
\end{lemme}
%
%
%
%
\dem 
 {\it a.} Notre hypoth�se implique que le carr� $b^2$ se factorise par $p_{n+1}$.
L'image de la comultiplication
$\Delta$ est incluse dans \[
\pctr{n} V \ts \pctr{n} V \subset \pctr{n+1} V \ts \pctr{n+1} V.
\]
On a donc l'�galit�
\[
\Delta {b}^2 = (\Id \ts
{b}^2 + {b}^2 \ts \Id )\Delta = 0.
\]
On en d�duit que l'image de $b^2$ est incluse dans $ \ker \Delta = V.$
Ceci nous donne la factorisation par~$i_1.$ Un calcul direct nous donne
la formule pour $\zeta.$

{\it b.}  D'apr�s le premier point, on a
\[
b_1 \circ {b}^2 =  {b} \circ {b}^2 = {b}^2
\circ {b} = {b}^2 \circ b_1,
\]
o� la derni�re occurrence de $b_1$ d�signe la diff�rentielle de $(V,b_1)\tp{n+1}.$
Ceci montre que $\zeta$ est un cycle dans
le complexe
\[
(\Hom_{\gr \sf C} (V^{\ts n+1},V),\delta).
\]
Comme nous avons
\[
\zeta = \del{b_{n+1}} + c(b_2,\hdots,b_n)
\]
il en est de m�me pour $c(b_2,\hdots,b_n)$.\hfill $\Box$\\
%
\begin{corollaire} \label{extension_nstructure_algebres}
Soit $(A,m_1)$ un complexe. Soit des morphismes gradu�s 
\[
m_i :  A \tp i \ra A, \hspace{1cm}2 \leq i \leq n+1
\]
de degr�
$2-i$. Supposons que les morphismes $m_i$, $1 \leq i \leq n$, d�finissent
une structure de $\rm{A}_n$-alg�bre sur $A.$ La sous-expression
\[
\sum_{i,k \neq 1} (-1)^{jk+l}m_i(\Id^{\ts j}\ts m_k\ts \Id^{\ts l})
\]
de l'�quation $(*_{n+1})$ de (\ref{definition_ai-algebre})
d�finit un cycle de $(\Hom_{\gr \sf C}(A\tp{n+1},A),\delta).$
Nous le notons $r(m_2,\hdots, m_{n}).$
L'�quation $(*_{n+1})$ se r�crit alors
\[
r(m_2,\hdots, m_{n}) + \del{m_{n+1}} = 0.
\]
\end{corollaire}

\dem Nous appliquons le lemme pr�c�dent � l'espace gradu� $V = SA$ et aux
morphismes gradu�s $b_i$ d�finis � l'aide des bijections $b_i \lra m_i.$ 
Ces m�mes bijections envoient
le morphisme $r(m_2,\hdots, m_{n})$ sur le morphisme
 $c(b_2, \hdots ,b_n)$ et le morphisme $\del{m_{n+1}}$ sur
$\del{b_{n+1}}.$\findem \\
%
%
%
%
%  Obstruction pour morphismes
%
%
%
%
%
%

{\bf Les $\ai$-morphismes d'$\ai$-alg�bres}\\

Les lemmes suivant se montrent de mani�re similaire. \\


Soit $V$ et $W$ deux objets gradu�s. Soit $b$ et $b'$ des diff�rentielles
de cog�bres sur les cog�bres $\pctr{n+1} V$ et $\pctr{n+1} W.$ Soit une
famille de morphismes gradu�s
\[
F_i : V \tp i \ra W, \hspace{1cm} 1 \leq i \leq n+1,
\]
de degr� $0.$
Soit $F$ le morphisme de cog�bres
\[
\pctr{n+1} V \arr{} \pctr{n+1} W
\]
qui rel�ve les $F_i.$ Posons
\[
c(F_1,\hdots,F_n) = \sum_{k\geq 2} F_i(\Id^{\ts j}\ts b_k\ts \Id^{\ts l}) - \sum_{r\geq 2} 
b'_r (F_{i_1}\ts \hdots \ts F_{i_r}),
\]
o� les entiers $j,k,l$ de la somme de gauche v�rifient $j+k+l = n+1$ et $j+1+l =i$, et
o� la somme des entiers $i_r$ de la somme de droite vaut $n+1.$
%
%
%

\begin{lemme} 
Supposons que le morphisme 
\[
F \prim{n} : \pctr{n} V \ra \pctr{n} W
\]
induit par $F$ dans les $n$-primitifs est compatible aux diff�rentielles.
\begin{enumerate}
\item[a.] La $(F,F)$-cod�rivation
\[
b'F - Fb : \pctr{n+1}V \arr{} \pctr{n+1}W
\]
est �gale � $i_1 \circ \zeta \circ p_{n+1}$, o� $\zeta : V \tp{n+1} \ra W$ est donn�
par 
\[
\zeta = b_1 F_{n+1} + F_{n+1}b_1 + c(F_1,\hdots ,F_{n}) ;
\]
ici la derni�re occurrence de $b_1$ d�signe la diff�rentielle de $(V,b_1)\tp{n+1}.$
\item[b.] Le morphisme gradu� $c(F_1,\hdots,F_{n})$ est un cycle de
\[
(\Hom_{\gr \sf C} (V\tp{n+1},W),\delta),
\]
o� la diff�rentielle $\delta$ est induite par celles des complexes $(V,b_1)$ et $(W,b'_1).$
\end{enumerate}
En particulier, le morphisme $F$ est compatible aux diff�rentielles de cog�bres si et
seulement si on a
\[
\del{F_{n+1}} + c(F_1,\hdots ,F_n) = 0.
\]
\findem
\end{lemme}
%
%
%
%
%
%  Fonctorialit� de l'obstruction
%
%
%
%
%



Regardons maintenant le comportement de l'obstruction par rapport � la
composition des $\rm{A}_{n+1}$-morphismes.

Soit $V'$ et $W'$ deux objets gradu�s.
Soit $d$ et $d'$ deux diff�rentielles de cog�bres sur les cog�bres $\pctr{n+1}V'$ et
$\pctr{n+1}W'$. Soit deux morphismes de cog�bres diff�rentielles gradu�es
\[
G : \pctr{n+1}V'  \arr{} \pctr{n+1}V \hspace{1cm} \mbox{et} \hspace{1cm} H : \pctr{n+1}W
\arr{} \pctr{n+1}W'.
\]
Des calculs directs nous donnent le lemme suivant.

\begin{lemme} 
\begin{enumerate}
\item[a.] On a l'�galit�
\[
\hspace{-1cm} c({F_1},\hdots,{F_n}) \circ {G_1}\tp{n+1} + {F_{1}}\circ
{\delta(G_{n+1})} = c({(FG)_1},\hdots ,{(FG)_n})
\]
de morphismes de $(V')\tp{n+1}$ dans $W.$
\item[b.]  On a l'�galit�
\[
\hspace{-1cm}{\delta(H_{n+1})}\circ {F_{1}}\tp{n+1} + {H_1} \circ
c({F_1},\hdots,{F_n}) = c({(HF)_1},\hdots ,{(HF)_n})
\]
de morphismes de $V \tp{n+1}$ dans $W'.$
\findem
\end{enumerate}
\end{lemme}



\begin{corollaire} \label{extension_nstructure_morphismes}
Soit $A$ et $B$ deux $\rm{A}_{n+1}$-alg�bres. Soit des morphismes gradu�s
\[
f_i : A \tp i \ra B,\hspace{1cm} 1 \leq i \leq n+1,
\]
de degr� $1-i$. Supposons que les morphismes $f_i$, $1\leq i \leq n$,
d�finissent un  $A_n$-morphisme $A \ra B$. La sous-expression
\[
\sum_{k\neq 1} (-1)^{jk+l}f_i(\Id^{\ts j}\ts m_k\ts \Id^{\ts l}) - \sum_{r\neq 1} (-1)^s
m_r (f_{i_1}\ts \hdots \ts f_{i_r})
\]
de l'�quation $(**_{n+1})$ de (\ref{definition_ai-morphisme})
d�finit un cycle dans $(\Hom_{\gr \sf C} (A\tp{n+1},B),\delta).$ Nous le
notons $r(f_1,\hdots ,f_n).$
L'�quation $(**_{n+1})$ se r�crit
\[
r(f_1,\hdots ,f_n) + \del{f_{n+1}} = 0.
\]
\findem
\end{corollaire}

\begin{corollaire} \label{fonctorialite_obstruction}
Soit $A'$ et $B'$ deux $\rm{A}_{n+1}$-alg�bres. Soit $g : A' \ra A$ et 
$h : B \ra B'$ deux $\rm{A}_{n+1}$-morphismes stricts.
On a les �galit�s de morphismes
\begin{enumerate}
\item $ r({f_1},\hdots,{f_n}) \circ {g_1}\tp{n+1} =
r({(fg)_1},\hdots ,{(fg)_n}), $
\item $  {h_1} \circ r({f_1},\hdots,{f_n}) =
r({(hf)_1},\hdots ,{(hf)_n}).$
\end{enumerate}
\end{corollaire}
L'obstruction est donc fonctorielle par rapport aux morphismes
stricts. \\


\dem C'est la traduction du lemme \ref{fonctorialite_obstruction} appliqu�
aux constructions bar des alg�bres $A,A',B$ et $B'$. Les morphismes $g$ et $h$
�tant stricts, on a $H_{n+1} = 0$ et $G_{n+1} = 0.$ 
Les �quations de (\ref{fonctorialite_obstruction}) se traduisent alors par
celles du corollaire.
\findem









\section{Th�orie de l'obstruction pour les polydules}
\label{section_obstruction_polydules}

Les d�monstrations de cette section �tant presque identiques �
celles de la section \ref{construction_bar_cobar}, nous nous contentons
d'�noncer les r�sultats. Soit $\sf C$ et $\sf C'$ les cat�gories de base de
la section \ref{section_reduction_augmentation}.
\\

\begin{lemme} \label{obstruction_extension_polydules}
Soit $A$ une $\rm{A}_n$-alg�bre. Soit $(M,m_1^M)$ un complexe. Soit des morphismes
gradu�s
\[
m_i^M : M \ts A\tp{i-1} \ra M, \quad 2 \leq i \leq n+1,
\]
de degr� $2-i$. Supposons que les morphismes $m_i$, $1 \leq i \leq n,$ d�finissent une
structure de $\rm{A}_n$-module sur $M.$ La sous-expression
\[
\sum_{i,k \neq 1} (-1)^{jk+l}m_i(\Id^{\ts j}\ts m_k\ts \Id^{\ts l})
\]
de l'�quation $(*'_{n+1})$ de (\ref{definition_ai-module})
d�finit un cycle de $(\Hom_{\gr \sf C'}(M \ts A\tp{n},M),\delta),$ o� $\delta$ est induit
par $m^A_1$ et $m^M_1.$
Nous le notons $r(m_2,\hdots, m_{n}).$
L'�quation $(*'_{n+1})$ se r�crit alors
\[
r(m_2,\hdots, m_{n}) + \del{m_{n+1}} = 0.
\]
\findem
\end{lemme}


\begin{lemme} \label{extension_nstructure_morphismes_mod}
Soit $A$ une $\rm{A}_n$-alg�bre.
Soit $M$ et $N$ deux $\rm{A}_{n+1}$-modules sur $A$. Soit des morphismes gradu�s
\[
f_i : M \ts A \tp{i-1} \ra N,\hspace{1cm} 1 \leq i \leq n+1,
\]
de degr� $1-i$. Supposons que les morphismes $f_i$, $1\leq i \leq n$,
d�finissent un  $A_n$-morphisme $M \ra N$. La sous-expression
\[
\sum_{k \neq 1} (-1)^{jk+l}f_i(\Id^{\ts j}\ts m_k\ts \Id^{\ts l}) = \sum_{s \neq 0}
m_{s+1} (f_{r}\ts \Id\tp s)
\]
de l'�quation $(**'_{n+1})$ de (\ref{definition_ai-morphisme_mod})
d�finit un cycle dans 
\[(\Hom_{\gr \sf C'} (M \ts A\tp{n},N),\delta).
\]
Nous le
notons $r(f_1,\hdots ,f_n).$
L'�quation $(**'_{n+1})$ se r�crit alors
\[
r(f_1,\hdots ,f_n) + \del{f_{n+1}} = 0.
\]
\findem
\end{lemme}

\begin{lemme} \label{fonctorialite_obstruction_mod}
Soit $A$ une $\rm{A}_n$-alg�bre.
Soit $M'$ et $N'$ deux $\rm{A}_{n+1}$-modules. Soit $g : M' \ra M$ et 
$h : N \ra N'$ deux $\rm{A}_{n+1}$-morphismes stricts.
On a les �galit�s de morphismes
\begin{enumerate}
\item $ r({f_1},\hdots,{f_n}) \circ {g_1} \ts \Id \tp{n} =
r({(fg)_1},\hdots ,{(fg)_n}), $
\item $  {h_1} \circ r({f_1},\hdots,{f_n}) =
r({(hf)_1},\hdots ,{(hf)_n}).$
\end{enumerate}
\findem
\end{lemme}




\section{Th�orie de l'obstruction pour les bipolydules}
\label{section_obstruction_bipolydules}

Les d�monstrations de cette section
sont omises car elles sont similaires � celles de la section \ref{section_obstruction}.
Soit $\sf C$, $\sf C'$ et $\sf C''$ les cat�gories de base de la section
\ref{section_categorie_derivee_augmentee_bipolydules}.\\

Soit $A$ et $A''$ deux $\ai$-alg�bres dans $\sf C$ et $\sf C''.$
Dans ce qui suit, $r$ et $t$ d�signent deux entiers $\geq 0$ et
$\ce$ d�signe l'ensemble des couples d'entiers $(i,j)$
tels que $0 \leq i \leq r$ et $0 \leq j \leq t-1$, ou, $0 \leq i \leq r-1$ et $0 \leq j \leq t$
(voir le graphique ci-dessous). L'ensemble $\ce'$ est �gal � $\ce \setminus (0,0).$\\
\begin{tabular}{ccc}
& & \\
\input{grid1.pstex_t}
&  &
\input{grid2.pstex_t} \\
ensemble $\ce$ & & ensemble $\ce'$
\end{tabular}\vspace{.7cm}

Soit $M$ un objet diff�rentiel gradu� de $\sf C'.$ On note sa diff�rentielle
$m_{0,0}$. 
Soit
\[
m_{i,j} : A \tp i \ts M \ts A''\tp j \ra M \ra M, \quad 0 \leq j \leq t, \quad 0 \leq i \leq r,\quad
(i,j) \neq (0,0),
\]
un morphisme gradu� de degr� $1-i-j$ dans $\sf C'.$


\begin{lemme}
Supposons que les morphismes $m_{i,j}$, $(i,j) \in \ce',$ v�rifient les �quations
$(*''_{k,l})$, $(k,l) \in \ce,$ de la d�finition \ref{definition_A_n-A_m-bimodules}.
La sous-expression
\[
\sum_{\ast \notin \{1, (0,0), (r,t)\}} 
(-1)^{j + i(|m_\ast|)} m_{\bullet,\bullet}(\Id \tp i \ts m_{\ast} \ts \Id \tp j)
\]
de l'�quation $(*''_{r,t})$ d�finit un cycle de
\[
\Hom_{\gr \sf C'}(A \tp r \ts M \ts A'' \tp t, M).
\]
On le note $c\big(m_{i,j},\  (i,j) \in \ce'\big).$
Les morphismes $m_{i,j}$, $0 \leq j \leq t,$ $0 \leq i \leq r,$ v�rifient l'�quation
$(*''_{r,t})$ si et seulement si on a l'�galit�
\[
\delta (m_{r,t}) = c\big(m_{i,j},\ (i,j) \in \ce'\big).
\]
\findem
\end{lemme}



Soit $M$ et $N$ deux $A$-$A''$-bipolydules dans $\sf C'$.
Soit
\[
f_{i,j} : A \tp i \ts M \ts A''\tp j \ra M \ra M, \quad 0 \leq j \leq t, \quad 0 \leq i \leq r,
\]
un morphisme gradu� de degr� $-i-j$ dans $\gr \sf C'.$


\begin{lemme}
Supposons que les morphismes $f_{i,j}$, $(i,j) \in \ce,$ v�rifient les �quations
$(**''_{k,l})$, $(k,l) \in \ce,$ de la d�finition \ref{definition_A_n-A_m-bimodules}.
La sous-expression
\[
\begin{array}{c}
\sum_{(\alpha,\beta)\neq (0,0)}
(-1)^{\alpha(-i-j)} m_{\alpha,\beta}(\Id \tp \alpha \ts f_{k,l} \ts \Id \tp \beta) = \hspace*{4cm} \\
\hspace*{1cm} \sum_{\ast \notin \{1, (0,0)\}} (-1)^{j + i(|m_\ast|)}
f_{\bullet,\bullet}(\Id \tp i \ts m_{\ast} \ts \Id \tp j)
\end{array}
\]
de l'�quation $(**''_{r,t})$ est un cycle de
\[
\Hom_{\gr \sf C'}(A \tp r \ts M \ts A'' \tp t, N).
\]
On le note $c'\big(f_{i,j},\ (i,j) \in \ce\big).$
Les morphismes $f_{i,j}$, $0 \leq j \leq t,$ $0 \leq i \leq r,$ v�rifient l'�quation
$(**''_{r,t})$ si et seulement si on a l'�galit�
\[
\delta (f_{r,t}) = c'\big(f_{i,j},\  (i,j) \in \ce\big).
\] \findem
\end{lemme}

On regarde maintenant la compatibilt� de l'obstruction aux morphismes stricts.

Soit $M'$ et $N'$ deux $A$-$A'$-bipolydules et
\[
g : M' \ra M \quad \mbox{et} \quad h : N \ra N'
\]
deux $\ai$-morphismes stricts de bipolydules donn�s par des morphismes gradu�s de degr� $0$ dans $\gr \sf C'$
\[
g_{0,0} : M' \ra M \quad \mbox{et} \quad h_{0,0} : N \ra N'.
\]
On d�finit les morphismes
\[
(f \circ g)_{i,j} \quad \mbox{et} \quad (h \circ f)_{i,j}, \quad 0 \leq j \leq t, \quad 0 \leq i \leq r,
\]
par les m�mes formules que celles donnant la compositions des morphismes de bipolydules.

\begin{lemme} On a les �galit�s suivantes :
\english \begin{enumerate}
\item $c'\big(f_{i,j},\ (i,j) \in \ce\big) \circ (\Id \tp r \ts {g_{0,0}} \ts \Id \tp t) =
c'\big((f \circ g)_{i,j},\ (i,j) \in \ce\big), $
\item ${h_{0,0}} \circ c'\big(f_{i,j},\ (i,j) \in \ce\big) =
c'\big((h \circ f)_{i,j},\ (i,j) \in \ce\big).$
\end{enumerate}\francais \findem
\end{lemme}



\section{Cohomologie de Hochschild et th�orie de l'obstruction pour les $\ai$-structures mini\-males}
\label{section_obstruction_unite}

Dans cette section, on rappelle la cohomologie de Hochschild d'une alg�bre gradu�e � coefficients
dans un bimodule gradu�. Nous �tablissons ensuite une th�orie de l'obstruction des $\ai$-alg�bres
minimales (resp.~des $\ai$-morphismes entre $\ai$-alg�bres minimales et des homotopies entre ces
$\ai$-morphismes).\\






{\noindent \bf Rappel sur la cohomologie de Hochschild}\\

Soit $\sf C$ une cat�gorie de base telle que dans le chapitre \ref{chapitre_Homot_aialg}.
Soit $A \in \gr \sf C$ une alg�bre associative.
On consid�re $A$ comme une $\ai$-alg�bre dont $m_2 = \mu^A$ et $m_i = 0$ pour tout $i \neq 2.$
Rappellons que $(BA)\+$ est la construction bar co-augment�e de $A$. Soit
$\coder ((BA)\+)$ l'espace des cod�rivations $(BA)\+ \ra (BA)\+$. Il est gradu� par le degr� des cod�rivations.
L'application 
\[
\delta : D \mapsto b^A \circ D - (-1)^{|D|} D \circ b^A,
\]
o� $b^A$ est la diff�rentielle de $(BA)\+$ et $D$ est de degr� $|D|$,
d�finit une diff�rentielle sur $\coder ((BA)\+).$
Nous montrons (comme dans le lemme \ref{cogebres_tensorielles}) que nous avons une bijection naturelle
\[
\begin{array}{rcl}
\coder ((BA)\+) & \arr{\sim} & \Hom_{\sz \gr \sf C}((BA)\+,SA)\\
D & \mapsto & p_1 \circ D.
\end{array}
\]
Ainsi, une cod�rivation $D$ est d�termin�e par les composantes de $p_1 \circ D$
\[
D_i : (SA) \tp i \ra SA, \quad i\geq 0.
\]
Les bijections $b_i \lra m_i$, $i \geq 1$, de la section \ref{construction_bar_cobar} (compl�t�e
de la bijection qui associe au morphisme $b_0 : e \ra SA$ le morphisme $m_0 = - \si b_0 : e \ra A$)
nous donnent une bijection
\[
\Hom_{\sz \gr \sf C}((BA)\+,SA) \arr{\sim} \prod_{i\geq 0} \Hom_{\sz \gr \sf C}(A\tp i,A).
\] 
Le {\em complexe de Hochschild} \index{Hochschild!complexe} est d�fini par ces bijections comme
\[
C(A,A) = S^{-1}\prod_{i\geq 0}\Hom_{\sz \gr \sf C}(A\tp i,A).
\]
Sa diff�rentielle $\delta_{Hoch}$ \indexnotation{delHoch}
envoie un morphisme $f : A \tp n \ra A$ de degr� $r$
sur le morphisme 
\[
\delta_{Hoch}(f) : A \tp{n+1}  \arr{}  A
\]
donn� par la somme
\[
\sum (-1)^{r+n+k}f_{i}(\Id \tp j \ts \mu \ts \Id \tp k) + (-1)^{r + n + 1}\mu (\Id \ts f_i) + (-1)^{r}
\mu (f_i \ts \Id).
\] 
Si le degr� de $f$ est nul, nous retrouvons la d�finition habituelle
(voir par exemple \cite[Chap.~IX]{Cartan56}).
Soit $M\in \gr \sf C$ un $A$-$A$-bimodule. Le {\em complexe de Hochschild � coefficients dans $M$} est l'espace
\indexnotation{C(A,M)}
\[
C(A,M) = \prod_{i \geq 0} \Hom_{\sz \gr \sf C}(A \tp i, M),
\]
sa graduation est induite par la graduation de l'espace
\[
\prod_{i\geq 0}\Hom_{\sz \gr \sf C}((SA)\tp i,SM)
\]
et sa diff�rentielle $\delta_{Hoch}$ \indexnotation{delta_Hoch}
est d�finie par la m�me formule que pr�c�demment.
La {\em cohomologie de Hochschild de $A$ � coefficients dans $M$} est la cohomologie de $C(A,M)$.
Si $A$ est unitaire,
le complexe $C(A,M)$ est homotopiquement �quivalent au {\em sous-complexe de Hochschild r�duit}
\index{Hochschild!complexe r�duit} \indexnotation{bC(A,M)} (voir \cite[Chap.~IX]{Cartan56})
\[
\b C(A,M) = \prod_{i \geq 0} \Hom_{\sz \gr \sf C}(\b A \tp i, M),
\]
o� $\b A$ est le conoyau de l'unit� de $A.$ La diff�rentielle de $\b C(A,M)$
est induite par celle de $C(A,M).$\\



{\noindent \bf Obstruction � l'extension d'une $\rm{A}_n$-alg�bre minimale en une
$\rm{A}_{n+1}$-alg�bre minimale}




\begin{lemme}\label{lemme_obstruction_structure_minimale}
Soit $A$ une alg�bre gradu�e de $\gr \sf C.$ Soit des morphismes gradu�s
\[
m_i : A \tp i \ra A, \quad 3 \leq i \leq n,
\]
de degr� $2-i.$ Nous posons $m_2 = \mu^A$.
Supposons que les morphismes $m_i$, $2 \leq i \leq n - 1,$ d�finissent une
structure de $\rm{A}_{n}$-alg�bre minimale sur $A$. La sous-expression
\[
\sum_{i,k \notin \{1,2\}} (-1)^{j+kl}m_i(\Id^{\ts j}\ts m_k\ts \Id^{\ts l})
\]
de l'�quation $(*_{n+1})$ de (\ref{definition_ai-algebre})
d�finit un cycle de Hochschild. Nous le notons $r(m_3,\hdots ,m_{n-1}).$
L'�quation $(*_{n+1})$ se r�crit alors
\[
\delta_{Hoch}(m_{n}) + r(m_3,\hdots ,m_{n-1}) = 0.
\]
\end{lemme}


\dem 
Soit la suite des morphismes $b_i$, $2 \leq i \leq n$, donn�s par les bijections
$b_i \lra m_i$ (voir \ref{construction_bar_cobar}).
 On note $D$ la cod�rivation de $(BA)\+$
telle que les composantes de $p_1 \circ D$ sont donn�es par la suite
\[
(0,0,b_2, \hdots ,b_{n-1},b_{n},0,\hdots).
\]
Comme les $m_i$, $2 \leq i \leq n-1,$ d�finissent une
structure de $\rm{A}_{n}$-alg�bre minimale, le carr� de la cod�rivation $D$ restreint
� la sous-cog�bre $\pctr{n}SA$ est nul. On en d�duit que la composition
\[
\Delta \circ {D^2} = (\Id \ts D^2 + D^2 \ts \Id) \circ \Delta
\]
s'annule sur le sous-espace $(SA)\tp{n+1}.$ Il s'ensuit que l'image par $D^2$ du sous-espace
$(SA)\tp{n+1}$ est contenue dans $\ker \Delta = SA$ et que celle du
sous-espace $(SA)\tp{n+2}$ est contenue dans $(SA)\tp 2 \oplus SA$.
Ainsi, sur le sous-espace $(SA)\tp{n+2}$, on
a l'�galit�
\[
D^2 \circ b_2 = D^3 = b_2 \circ D^2.
\]
Ceci montre que l'�l�ment
\[
D^2|_{(SA)\tp{n+1}} \in \Hom ((SA)\tp{n+1},SA)
\]
est un cycle. La premi�re assertion du lemme est d�duite du fait que
l'�l�ment
\[
\si (D^2|_{(SA)\tp{n+1}}) 
\]
correspond � l'�l�ment $r(m_3,\hdots,m_{n-1})$ par l'isomorphisme de complexes
\[
S^{-1}\Hom_{\sz \gr \sf C}((BA)\+,SA) \arr{\sim} C(A,A).
\]
La derni�re assertion du lemme est imm�diate.\findem\\


{\noindent \bf Obstruction � l'extension d'un $\rm{A}_n$-morphisme entre $\ai$-alg�bres minimales
en un $\rm{A}_{n+1}$-morphisme}


\begin{lemme}\label{lemme_obstruction_structure_minimale_morphisme}
Soit $A$ et $A'$ deux $\ai$-alg�bres minimales. Soit
\[
g : (A,m_2) \ra (A',m_2')
\]
un morphisme d'alg�bres gradu�es. Soit des morphismes gradu�s
\[
f_i : A \tp i \ra A', \quad 2 \leq i \leq n,
\]
de degr� $1-i.$ Nous posons $f_1 = g$.
Supposons que les morphismes $f_i$, $1 \leq i \leq n-1,$ d�finissent un
 $\rm{A}_{n}$-morphisme $A \ra A'$. La sous-expression
\[
\sum_{k\notin \{1,2\}} (-1)^{jk+l}f_i(\Id^{\ts j}\ts m_k\ts \Id^{\ts l}) - \sum_{r\notin \{1,2\}} (-1)^s
m'_r (f_{i_1}\ts \hdots \ts f_{i_r})
\]
de l'�quation $(**_{n+1})$ de (\ref{definition_ai-morphisme})
d�finit un cycle de Hochschild dans $C(A,A')$; la structure de  $A$-bimodule sur
$A'$ est donn�e par $g$. Nous notons ce cycle $r(f_2,\hdots ,f_{n-1}).$
L'�quation $(**_{n+1})$ se r�crit alors
\[
\delta_{Hoch}(f_{n}) + r(f_2,\hdots ,f_{n-1}) = 0.
\]
\findem
\end{lemme}




{\noindent \bf Obstruction � l'extension d'une $\rm{A}_n$-homotopie entre $\ai$-morphismes
d'$\ai$-alg�bres minimales
en une $\rm{A}_{n+1}$-homotopie}

\begin{lemme}\label{lemme_obstruction_structure_minimale_homotopie}
Soit $A$ et $A'$ deux $\ai$-alg�bres minimales.
Soit $f$ et $g$ deux $\ai$-morphismes $A \ra A'$. Soit
des morphismes gradu�s
\[
h_i : A \tp i \ra A', \quad 2 \leq i \leq n,
\]
de degr� $-i.$ Posons $h_1 = 0.$
Supposons que les morphismes $h_i$, \hbox{$1 \leq i \leq n-1,$} d�finissent une
homotopie entre $f$ et $g$ consid�r�s comme $\rm{A}_{n}$-morphisme \hbox{$A \ra A'$}
(on a alors $f_1 = g_1$).
La sous-expression
\[
 \Bigg( -  \sum_{r+1+t \not \in \{1,2\}} (-1)^s
m_{r+1+t} (f_{i_1}\ts \hdots \ts f_{i_r} \ts h_{k} \ts g_{j_1}\ts \hdots \ts g_{i_t}) +
\]
\[
 - \sum_{k \not \in \{1,2\}} (-1)^{jk+l}h_i(\Id^{\ts j}\ts m_k\ts \Id^{\ts l}) + f_{n+1} - g_{n+1} \Bigg)
\]
de l'�quation $(***_{n+1})$ de la d�finition \ref{definition_homotopie_ai-morphismes}
d�finit un cycle de Hochschild dans $C(A,A')$; la structure de $A$-bimodule sur
$A'$ est donn�e par $f_1$ et $g_1$. Nous notons ce cycle $r(h_2,\hdots ,h_{n-1}).$
L'�quation $(***_{n+1})$ se r�crit alors
\[
\delta_{Hoch}(h_{n}) + r(h_2,\hdots ,h_{n-1}) = 0.
\]
\findem
\end{lemme}




Cat_der.tex
{\noindent \bf Introduction}\\

\noindent Soit $A$ une $\ai$-alg�bre {\em augment�e}.
Dans le chapitre \ref{chapitre_Homot_aimod}, nous avons montr� que la cat�gorie
d�riv�e $\cd_\infty A$ admet trois descriptions :
\[
\big(\aiModu A\big) [Qis^{-1}], \quad
\ch_\infty A = \aiModu A/\!\sim\, \quad \mbox{et} \quad \big(\aiModust A\big) [Qis^{-1}]
\]
o� $\sim$ est la relation d'homotopie.
Dans ce chapitre, nous d�finissons la cat�gorie d�riv�e $\cd_\infty A$ d'une $\ai$-alg�bre $A$ quelconque.
Nous montrons que les trois descriptions ci-dessus restent valables si $A$ est {\em strictement unitaire}.\\

{\bf \noindent Plan du chapitre}\\

\noindent 
Soit $B$, $B'$ deux $\corps$-alg�bres
associatives et $X$ un $B$-$B'$-bimodule.
Les foncteurs standard associ�s � $X$ sont les foncteurs adjoints
\[
\Hom_{B'}(X,\?)\quad \mbox{et} \quad ? \ts_B X.
\]
Maintenant, soit $A$ et $A'$ des $\ai$-alg�bres et $X$ un  $A$-$A'$-bipolydule.
Dans la section \ref{section_foncteurs_standard}, nous d�finissons les foncteurs standard
\[
\Homi_{A'}(X,\?)\quad \mbox{et} \quad ? \tsi_A X
\]
et nous montrons qu'ils forment une paire de foncteurs adjoints.

Dans la section \ref{section_categorie_derivee_generale}, nous d�finissons
la cat�gorie $\cd_\infty A$ d'une $\ai$-alg�bre quelconque
et nous la d�crivons dans le cas o� $A$ est $H$-unitaire (\ref{proposition_categorie_derivee_H-unitaire}).
Dans la section \ref{section_categorie_derivee_strictement_unitaire}, nous montrons
(\ref{theoreme_categorie_derivee_strictement_unitaire}) que
si $A$ est strictement unitaire, la cat�gorie $\cd_\infty A$
telle que d�finie dans la section pr�c�dente est �quivalente aux cat�gories
\[
\big(\aiModu A\big) [Qis^{-1}],\quad \ch_\infty A \quad \mbox{et} \quad \big(\aiModust A\big) [Qis^{-1}].
\]
En particulier, si $A$ est une $\ai$-alg�bre augment�e, les d�finitions de la cat�gorie d�riv�e du
chapitre \ref{chapitre_Homot_aimod} et de celui-ci sont �quivalentes.
Dans la section \ref{section_categorie_derivee_bipolydules}, nous
�tudions la cat�gorie d�riv�e $\cd_\infty (A,A')$,
o� $A$ et $A'$ sont deux $\ai$-alg�bres.







\section{La cat�gorie d�riv�e des polydules}
\label{section_categorie_derivee_polydules}



\subsection{Les foncteurs standard}  \label{section_foncteurs_standard}



{\noindent \bf Notations}\\

Soit $\sf C$ une bicat�gorie (voir \cite[Chap.~XII, �6]{MacLane98}). \indexnotation{C2}
Supposons que, pour tous $\mathbb O,\mathbb O' \in \Obj \sf C$,
la {\em cat�gorie}
\[
\sf C(\mathbb O,\mathbb O') = \Hom_{\sf C}(\mathbb O,\mathbb O')
\]
est une $k$-cat�gorie de Grothendieck semi-simple et que le foncteur
de composition (associatif � un isomorphisme donn� pr�s)
\[
\sf C(\mathbb O',\mathbb O'') \times \sf C(\mathbb O,\mathbb O') \ra \sf C(\mathbb O,\mathbb O''),
\quad (M,N) \mapsto M \circ N,
\]
o� $\mathbb O,\mathbb O', \mathbb O'' \in \Obj \sf C$,
est $k$-bilin�aire dans les espaces de morphismes.
Nous appelons {\em produit tensoriel au-dessus de $\mathbb O'$} ce foncteur
et notons \indexnotation{tsbbO}
\[
M \ts_{\mathbb O'} N = M \circ N.
\]
Supposons en outre que, pour tout objet $X$  de $\sf C(\mathbb O',\mathbb O'')$, le foncteur
\[
? \ts_{\mathbb O'} X : \sf C(\mathbb O,\mathbb O') \ra \sf C(\mathbb O,\mathbb O'')
\]
admet un adjoint � droite
\[
\Hom_{\mathbb O''}(X,?) : \sf C(\mathbb O,\mathbb O'') \ra \sf C(\mathbb O,\mathbb O').
\]
Remarquons que le produit tensoriel au-dessus de $\mathbb O$
\[
\sf C(\mathbb O,\mathbb O) \times \sf C(\mathbb O,\mathbb O) \ra \sf C(\mathbb O,\mathbb O),
\quad (M,N) \mapsto M \ts_{\mathbb O} N,
\]
o� $\mathbb O\in \Obj \sf C$, munit la cat�gorie $\sf C(\mathbb O,\mathbb O)$
\indexnotation{C(O,O')}
d'une structure de cat�gorie mono�dale. Notons $e_{\mathbb O}$ \indexnotation{ebbO} l'�l�ment neutre
pour le produit tensoriel.
Soit $\mathbb O', \mathbb O''$ des objets de $\sf C$.
La cat�gorie $\sf C(\mathbb O,\mathbb O)$ agit � droite sur la cat�gorie
$\sf C(\mathbb O',\mathbb O)$ et � gauche sur la cat�gorie $\sf C(\mathbb O,\mathbb O')$
par le produit tensoriel  $\ts_{\mathbb O}$.\\





L'exemple suivant appara�t naturellement dans l'�tude des $\ai$-cat�gories
(\ref{section_categories_de_base_aicat}).

\begin{exemple}{\em  
La bicat�gorie $\sf C$ a pour objets les ensembles consid�r�s comme des cat�gories discr�tes.
Soit $\mathbb A$ et $\mathbb B$ deux ensembles.
Nous d�finissons $\sf C( \mathbb A,\mathbb B)$ comme la cat�gorie des foncteurs
\[
\mathbb B\op \times \mathbb A \ra \vect \corps.
\]
La composition de $\sf C$ est donn�e par les produits
tensoriels au-dessus des cat�gories.
Le foncteur adjoint au foncteur
\[
\lrus{\mathbb A}{?}{\mathbb B} \ts_{\mathbb B} (\lrus{\mathbb{B}}{X}{\mathbb C})
: \sf C(\mathbb A,\mathbb B) \ra \sf C(\mathbb A,\mathbb C)
\]
se r�crit plus naturellement
\[
\Hom_{\mathbb C}(\lrus{\mathbb{B}}{X}{\mathbb C},\lrus{\mathbb A}{?}{\mathbb C}) :
\sf C(\mathbb A,\mathbb C) \ra \sf C(\mathbb A,\mathbb B).
\]
}\end{exemple}



{\noindent \bf Plan de la section}\\

Soit $\mathbb P$, $\mathbb O$ et $\mathbb O'$ des objets de $\sf C$.
Soit $A$ et $A'$ deux $\ai$-alg�bres
dans $\sf C(\mathbb O,\mathbb O)$ et $\sf C(\mathbb O',\mathbb O')$
et $X$ un $A$-$A'$-bipolydule dans $\sf C(\mathbb O,\mathbb O')$.
Nous allons construire un couple de foncteurs adjoints
\[
\big(? \tsi_{A} X , \Homi_{A'}(X,\?)\big) : \aiMod A \ra \aiMod A'.
\]
o� $\aiMod A$ est la cat�gorie des $A$-polydules dans $\sf C(\mathbb P,\mathbb O)$
et $\aiModu A'$ est la cat�gorie des $A'$-polydules dans $\sf C(\mathbb P,\mathbb O').$\\


{\noindent \bf Le foncteur $\Homi_{A'}(X,\?) : \aiMod A' \ra \aiMod A$}\index{foncteur!standard}
\indexnotation{Homi} \\

Soit $N'$ un $A'$-polydule. Remarquons que
$SX \ts \ct SA'$ est un objet de la cat�gorie $\sf C(\mathbb O,\mathbb O')$ et
que $SN' \ts \ct SA'$ est un objet de $\sf C(\mathbb P,\mathbb O')$.
Nous d�finissons l'objet gradu� de $\sf C(\mathbb P,\mathbb O)$ sous-jacent
� $\Homi_{A'}(X,N')$ comme
\[
\Hom_{\coModcu \ct SA'}(SX \ts \ct SA',SN' \ts \ct SA'),
\]
o� $\Hom$ d�signe le foncteur adjoint $\Hom_{\mathbb O'}$.
Sa diff�rentielle est le morphisme
\[
\delta : F \mapsto b^{BN'} \circ F - (-1)^{|F|} F \circ b^{BX_{A'}}
\]
o� $BX_{A'} = SX \ts \ct SA'$ est la construction bar de $X$ en tant que $A'\+$-polydule
et o� le morphisme $F$ est de degr� $|F|.$
C'est un module diff�rentiel gradu� sur
l'alg�bre diff�rentielle gradu�e 
\[
\mathsf{End}(BX_{A'}) = \Big(\Hom_{\gr \ct SA'}(SX \ts \ct SA',SX \ts \ct SA'),\delta \Big).
\]
La structure de $A$-polydule est donn�e par la restriction du $\mathsf{End}(BX_{A'})$-module
diff�rentiel gradu� 
$\Homi_{A'}(X,N')$ le long de l'$\ai$-morphisme
\[
A  \ra \mathsf{End}(BX_{A'})
\]
d�fini dans le lemme clef (\ref{lemme_clef}). Explicitons cette structure.
Le morphisme
\[
m^{\mathsf H}_i : \Homi_{A'}(X,N') \ts A \tp{i-1} \ra \Homi_{A'}(X,N'), \quad i \geq 1,
\]
est donn� par la diff�rentielle de l'espace si $i = 1$ et, sinon, par le morphisme
\[
\xymatrix{
S\Hom_{\coModcu \ct SA'}(SX \ts \ct SA',SN' \ts \ct SA') \ts (SA)\tp{i-1} \ar[d]^{b^{\mathsf H}_i} \\
 S\Hom_{\coModcu \ct SA'}(SX \ts \ct SA',SN' \ts \ct SA')
}\]
qui envoie un �l�ment $s\Gamma  \ts \phi \in S\Hom_{\coModcu \ct SA'}(SX \ts \ct SA',SN' \ts \ct SA') \ts (SA)\tp{i-1}$
sur
\[
b^{\mathsf{Comc}}_2 (s \Gamma \ts s \Phi) \in S\Hom_{\coModcu \ct SA'}(SX \ts \ct SA',SN' \ts \ct SA'),
\]
o� le morphisme $b^{\mathsf{Comc}}_2$ correspond � la composition de la cat�gorie $\coModcu \ct SA'$
et $\Phi$ est d�fini dans le lemme clef (\ref{lemme_clef}).
Un morphisme $f : N' \ra N''$ dans $\aiMod A'$
induit un morphisme de $\mathsf{End}(BX_{A'})$-modules
diff�rentiels gradu�s
\[
F_* : \Hom (SX \ts \ct SA',SN' \ts \ct SA') \ra \Hom(SX \ts \ct SA',SN'' \ts \ct SA'),
\]
o� $F_*$ est induit par la construction bar $F$ de $f$. Ainsi, le morphisme $F_*$ est strict en tant que
morphisme de $A$-polydules.
Ceci nous fournit un foncteur
\[
\Homi_{A'}(X,\?) : \aiMod A' \ra \aiModst A \hookrightarrow \aiMod A.
\]


\begin{remarque}{\em
Si $A$ sont strictement unitaire et si $X$ est un $A$-$A'$-bipolydule
strictement unitaire pour $A$, i.~e.~si la composition
\[
m_{i,j}(\Id \tpo \alpha \tso \unite \tso \Id \tpo \beta \ts \Id_M \ts \Id \tp j), \quad i,j \geq 0,
\]
est nulle si $(i,j) \neq (1,0),$ �gale � $\Id$ sinon,  le
$A$-polydule $\Homi_{A'}(X, N)$ est strictement unitaire.
Nous obtenons alors un foncteur
\[
\Homi_{A'}(X,\?) : \aiMod A' \ra \aiModust A \hookrightarrow \big(\aiMod A\big)_u,
\]
o�  $\big(\aiMod A\big)_{u}$ est la sous-cat�gorie pleine
de $\aiMod A$ form�e des objets strictement unitaires.
}\end{remarque}

{\noindent \bf Le foncteur $? \tsi_{A} X : \aiMod A \ra \aiMod A'$} \index{foncteur!standard}
\indexnotation{tsi}\\

Soit $N$ un $A$-polydule.
L'objet gradu� de  $\sf C(\mathbb P,\mathbb O')$ sous-jacent � $N \tsi_{A} X$ est
\[
N \ts \ct SA \ts X.
\]
La structure de $A'$-polydule sur $N \ts \ct SA \ts X$ est donn�e par une diff�rentielle $b$
sur
$S(N \ts \ct SA \ts X) \ts \ct SA'$. La suspension de ce $\ct SA'$-comodule diff�rentiel
gradu� s'identifie au {\em produit cotensoriel} \indexnotation{square}
\[
(SN \ts \ct SA) \tbox_{\ct SA} (\ct SA \ts SX \ts \ct SA'),
\]
c'est-�-dire au noyau
\[
\ker \big(BN \ts BX \arr{\Delta \ts \Id - \Id \ts \Delta^{L}} BN \ts \ct SA \ts BX\big),
\]
o� $BX = \ct SA \ts SX \ts \ct SA'$ est la construction bar de $X$ en tant que $A\+$-$A'\+$-bipolydule
strictement unitaire.
Un morphisme de $A$-polydules $f :  N \ra N'$ induit un morphisme strict
\[
\Big(\si \circ F \circ s\Big) \ts \Id_X : N \ts \ct SA \ts X \ra N' \ts \ct SA \ts X.
\]
Nous obtenons ainsi un foncteur
\[
? \tsi_{A} X : \aiMod A \ra \aiModst A' \hookrightarrow \aiMod A'.
\]


\begin{remarque}{\em \label{remarque_tsi_A_strictement_unitaire}
Si $A'$ sont strictement unitaire et si $X$ est un $A$-$A'$-bipolydule
strictement unitaire pour $A'$, i.~e.~si la composition
\[
m_{i,j}(\Id \tp i \ts \Id_M \ts \Id \tpo \alpha \tso \unite \tso \Id \tpo \beta ), \quad i,j \geq 0,
\]
est nulle si $(i,j) \neq (0,1),$ �gale � $\Id$ sinon, le
$A'$-polydule $N \tsi_{A} X$ est strictement unitaire.
Nous obtenons alors un foncteur
\[
? \tsi_{A} X : \aiMod A \ra \aiModust A' \hookrightarrow \big(\aiMod A'\big)_u.
\]
}\end{remarque}


\begin{lemme} \label{lemme_adjonction_foncteurs_standard}
Le foncteur $? \tsi_{A} X$ est adjoint � gauche au foncteur \hbox{$\Homi_{A'}(X, ?)$}
\end{lemme}

\dem Soit $L$ un objet de $\aiMod A$ et $R$ un objet de $\aiMod A'.$
Soit des morphismes gradu�s dans $\sf C(\mathbb O',\mathbb O')$ de degr� $2-i$
\[
f_{j} : L \ts \ct SA  \ts X \ts A' \tp j \ra R, \quad j \geq 0.
\]
Soit $F_j$, $j \geq 0$, les morphismes donn�s par les bijections $F_j \lra f_j.$
Ils sont donn�s par des morphismes de degr� $0$
\[
F_{i,j} : SL \ts (SA) \tp i \ts X \ts (SA') \tp j \ra SR, \quad i,j \geq 0.
\]
Soit $i \geq 0.$ Soit $g_i$ le morphisme gradu� de $\sf C(\mathbb P,\mathbb O)$ de degr� $1-i$
\[
g_i : L \ts A \tp i \ra \Hom_{\ct SA'}(SX \ts \ct SA', SR \ts \ct SA'))
\]
d�fini par l'�quation
\[
G_i (\lambda \ts \phi) = s (\Gamma) \in S\Hom_{\ct SA'}(SX \ts \ct SA', SR \ts \ct SA'))
\]
o� $\lambda \ts \phi$ est un �l�ment de  $SL \ts (SA) \tp i$ de degr� $r = |\lambda \ts \phi|$,
o� $G_i$ est donn� par les bijections
$g_i \lra G_i$ et o� le morphisme $\Gamma$ est l'unique morphisme (voir
\ref{lemme_comodules_colibres}) tel que la composition $p_1 \circ \Gamma$ a pour
composantes les morphismes
\[
\xymatrix{
SX \ts (SA') \tp j \ar[rr]^(.4){(-1)^{|r|} \lambda \ts \phi \ts \Id}& &
SN \ts (SA) \tp i \ts SX \ts (SA') \tp j \ar[r]^(.8){F'_{i,j}}&  SR ;
}
\]
ici le morphisme $F'_{i,j}$ est le morphisme $F_{i,j} \si.$
Nous devons montrer l'�quivalence entre les deux points suivants.
\english \begin{itemize}
\item[{\it a.}]
Les morphismes $g_{j}$ d�finissent un $\ai$-morphisme d'$A$-polydules
\[
L \ra \Homi_{A'}(X, R).
\]
\item[{\it b.}]
Les morphismes $f_{j}$ d�finissent un $\ai$-morphisme d'$A'$-polydules
\[
L \tsi_{A} X \ra R.
\]
\end{itemize} \francais

Supposons que l'�nonc� {\it a} est vrai : on a les �galit�s
\[
\sum_{k+l+m=n} G_{k+1+m} (\Id \tp k \ts b_l \ts \Id \tp m) = 
\sum_{k+m=n} b^{\mathsf H}_{1+m} (G_k \ts \Id \tp m), \quad n \geq 1,
\]
o� les symboles $b_l$ doivent �tre interpr�t�s convenablement.
Nous allons montrer que cela est �quivalent
aux �quations dans les espaces de morphismes
\[
\Hom_{\sf C(\mathbb P,\mathbb O')}\Big(S(L \tsi_{A} X) \ts (SA') \tp{n-1}, SR\Big) ,\quad n \geq 0,
\]
\[
\sum_{k+l+m=t} F_{k+1+m} (\Id \tp k \ts b_l \ts \Id \tp m) = 
\sum_{k+m=t} b_{1+m} (F_k \ts \Id \tp m), \quad t  \geq 1.
\]
Soit $\lambda \ts \phi \in SL \ts (SA) \tp{n-1}$ et $\kappa \ts \phi' \in SX \ts (SA')\tp{t-1}$.
Calculons
\[
G_{k+1+m} (\Id \tp k \ts b_l \ts \Id \tp m)(\lambda \ts \phi)(\kappa \ts \phi').
\]
Dans le cas o� $k = 0$, on a
\[
\begin{array}{rl}
  & G_{1+m} (b^R_l \ts \Id \tp m)(\lambda \ts \phi)(\kappa \ts \phi')\\
= & G_{1+m} (b^R_l (\lambda \ts \phi_{l-1}) \ts \phi_m)(\kappa \ts \phi'))\\
= &  s \Gamma (\kappa \ts \phi')\\
= & (-1)^{|\lambda \ts \phi_{l-1}|+1+|\phi_m|} F'_{1+m,t-1} 
     (b^R_l (\lambda \ts \phi_{l-1}) \ts \phi_m \ts \kappa \ts \phi'))\\
= & (-1)^{|\lambda \ts \phi|+1} F'_{1+m,t-1} (b^R_l \ts \Id\tp m \ts \Id \ts \Id \tp {t-1})
     (\lambda \ts \phi_{l-1} \ts \phi_m \ts \kappa \ts \phi')\\
= & (-1)^{|\lambda \ts \phi|+1} F'_{1+m,t-1} (b^R_l \ts \Id\tp m \ts \Id \ts \Id\tp {t-1})
(\lambda \ts \phi \ts \kappa \ts \phi'),
\end{array}
\]
o� $\phi_1 \ts \phi_2 = \phi$ et dans le cas o� $k \neq 0$, on a
\[
\begin{array}{rl}
  & G_{k+1+m} (\Id \tp k \ts b^A_l \ts \Id \tp m)(\lambda \ts \phi)(\kappa \ts \phi')\\
= & (-1)^{|\lambda| + |\phi_{k-1}|} G_{k+1+m}  (\lambda \ts \phi_{k-1} \ts b^A_l(\phi_l)
   \ts \phi_m)(\kappa \ts \phi'))\\
= & (-1)^{|\lambda| + |\phi_{k-1}|} s \Gamma(\kappa \ts \phi')\\
= & (-1)^{|\lambda| +|\phi_{k-1}|+|\lambda \ts \phi| +1} F'_{k+1+m,t-1}(\lambda \ts \phi_{k-1}
     \ts b^A_l(\phi_{l}) \ts \phi_{m} \ts \kappa \ts \phi')\\
= & (-1)^{|\lambda| +|\phi_{k-1}|+|\lambda \ts \phi|+1} F'_{k+1+m,t-1}(\Id\tp k \ts b^A_l
     \ts \Id\tp m \ts \Id \ts \Id \tp{t-1})\\
  &  \hspace*{9cm} (\lambda \ts \phi \ts \kappa \ts \phi')\\
= & (-1)^{|\lambda \ts \phi|+1}F'_{k+1+m,t-1}(\Id\tp k \ts b^A_l \ts \Id\tp m \ts \Id \ts \Id \tp{t-1})
(\lambda \ts \phi \ts \kappa \ts \phi'),\\
\end{array}
\]
o� $\phi_1 \ts \phi_2 \ts \phi_3 =  \phi.$
Le terme
\[
b^{\mathsf H}_{1} (G_n)(\lambda \ts \phi)(\kappa \ts \phi')
\]
vaut
\[
\begin{array}{rl}
  & b^{\mathsf H}_{1} (G_n (\lambda \ts \phi))(\kappa \ts \phi')\\
= & b^{\mathsf H}_{1} (s\Gamma) (\kappa \ts \phi')\\
= & - s m^{\mathsf H}_{1}(\Gamma) (\kappa \ts \phi')\\
= & - s [b \circ \Gamma - (-1)^{|\lambda + \phi|+1}\Gamma\circ b] (\kappa \ts \phi')\\
= & (b^L \circ s\Gamma ) (\kappa \ts \phi')  - (-1)^{|\lambda + \phi|+1} 
    (s\Gamma\circ b^{X_{A'}}) (\kappa \ts \phi')\\
= & (-1)^{|\lambda + \phi|+1} \sum  b^L_{\beta+1} (F'_{n-1,\alpha} 
    (\lambda \ts \phi \ts \kappa \ts \phi'_{\alpha})
        \ts \phi'_\beta)\\
  & + s\Gamma \sum (\id \tp{\gamma_1} \ts b_{\gamma_2} \ts \Id \tp {\gamma_3})(\kappa \ts \phi'_{\gamma_1} \ts
     \phi'_{\gamma_2} \ts \phi'_{\gamma_3})\\
= & (-1)^{|\lambda + \phi|+1} \sum  b^L_{\beta+1} (F'_{n-1,\alpha} \ts \Id\tp {\beta})
         (\lambda \ts \phi \ts \kappa \ts \phi')\\ 
  & \sum F'_{n-1,\gamma_1 + \gamma 3}(\lambda \ts \phi \ts \Id \tp{\gamma_1} 
       \ts b_{\gamma_2} \ts \Id \tp {\gamma_3})(\kappa \ts \phi')\\
= & (-1)^{|\lambda + \phi|+1} \sum  b^L_{\beta+1} (F'_{n-1,\alpha} \ts \Id\tp {\beta})
         (\lambda \ts \phi \ts \kappa \ts \phi')\\ 
  & + (-1)^{|\lambda + \phi|} \sum F'_{n-1,\gamma_1 + \gamma 3}
 (\Id \ts \Id\tp{n-1} \ts \Id \tp{\gamma_1} \ts b_{\gamma_2} \ts \Id \tp{\gamma_3})
   (\lambda \ts \phi \ts \kappa \ts \phi'),
\end{array}
\]
o� $\phi'_\alpha \ts \phi'_\beta = \phi$ et
les indices de la premi�re somme sont tels que $\alpha + \beta = t-1$, o� les indices de la
seconde somme sont tels que $\gamma_1 + \gamma_2 + \gamma_3 = t$ et les symboles $b_{\gamma_2}$ doivent �tre
interpr�t�s selon leur place par $b^X_{0,\gamma_2-1}$ ou par $b^{A'}_{\gamma_2}$.
Le terme
\[
b^{\mathsf H}_{1+m} (G_k \ts \Id \tp m)(\lambda \ts \phi)(\kappa \ts \phi')
\]
vaut
\[
\begin{array}{rl}
  & b^{\mathsf H}_{1+m} (G_k(\lambda \ts \phi_{k-1}) \ts \phi_m)(\kappa \ts \phi')\\
= &  b^{\mathsf H}_{1+m} (s\Gamma_{k-1} \ts \phi_m)(\kappa \ts \phi')\\
= & b^{\mathsf{Comc}}_2 (s\Gamma_{k-1} \ts s\Phi_m)(\kappa \ts \phi')\\
= & (-1)^{|\lambda + \phi_{k-1}| + 1}b^{\mathsf{Comc}}_2 (s \ts s)(\Gamma_{k-1} \ts \Phi_l)(\kappa \ts \phi')\\
= & (-1)^{|\lambda + \phi_{k-1}| + 1}sm^{\mathsf{Comc}}_2 (\Gamma_{k-1} \ts \Phi_l)(\kappa \ts \phi')\\
= & (-1)^{|\lambda + \phi_{k-1}| + 1}(s\Gamma_{k-1} \circ \Phi_l)(\kappa \ts \phi')\\
= & (-1)^{|\lambda + \phi_{k-1}| + 1 + |\lambda + \phi_{k-1}| + |\phi_m|}
\sum F'_{k,\beta}( \lambda \ts \phi_{k-1} \ts  b^X_{m,\alpha}(\phi_m \ts \kappa \ts \phi'_{m'}) \ts \phi'_{\beta})\\
= & (-1)^{1+ |\phi_m|} \sum F'_{k,\beta}( \lambda \ts \phi_{k-1} \ts  b^X_{m,\alpha}(\phi_m \ts \kappa \ts \phi'_{\alpha}) \ts \phi'_{\beta})\\
= & (-1)^{|\lambda| +|\phi| + 1} \sum F'_{k,\beta}( \Id  \ts \Id\tp{k-1} \ts  b^X_{m,\alpha}(\Id\tp m \ts \Id \ts \Id \tp \alpha)
 \ts \Id\tp \beta)\\
  & \hspace*{9cm}( \lambda \ts \phi \ts \kappa \ts \phi'),\\
\end{array}
\]
o� les indices de la somme sont tels que $\alpha + \beta = t-1.$
L'�galit� $F'_{i,j} = F_{i,j} \si$ nous donne l'�quivalence entre les points {\it a} et {\it b.}\findem



\begin{remarque}{\em
Si $A$ et $A'$ sont strictement unitaires et si $X$ est un $A$-$A'$-bipolydule strictement
unitaire, l'adjonction
\[
(? \tsi_{A} X,\Homi_{A'}(X,?) : \aiMod A \ra \aiMod A'
\]
ne se restreint pas aux sous-cat�gories $\aiModu A$ et $\aiModu A'$.
Cependant, la proposition (\ref{proposition_strictication_unitaire_polydules})
montre que les foncteurs restreints
\[
? \tsi_{A} X :  \aiModu A \ra \aiModu A' \quad \mbox{et} \quad
\Homi_{A'}(X,?) : \aiModu A' \ra \aiModu A 
\]
induisent des foncteurs adjoints dans les cat�gories d�riv�es $\cd_\infty A$ et $\cd_\infty A'$
(d�finies en \ref{section_categorie_derivee_strictement_unitaire}).
}\end{remarque}


Soit $A$ une $\ai$-alg�bre strictement unitaire.
Consid�rons $A$ comme un $A$-$A$-bipolydule strictement unitaire.
Notons aussi
\[
? \tsi_{A} X \quad \mbox{et}
 \quad
\Homi_{A}(X,?)
\]
les foncteurs standard restreints � la sous-cat�gorie $\big(\aiMod A\big)_{u}$ (voir la d�finition
en \ref{proposition_strictication_unitaire_polydules}).

\begin{lemme} \label{lemme2_adjonction_foncteurs_standard}
Consid�rons la cat�gorie des endofoncteurs de la cat�gorie
$(\aiMod A)_{u}$.\vspace{-.2cm}
\english \begin{itemize}
\item[{\it a.}]
Il existe un morphisme canonique de foncteurs
$? \tsi_{A}A \ra \Id$
qui est un quasi-isomorphisme.
\item[{\it b.}]
Il existe un morphisme canonique de foncteurs $\Id  \ra \Homi_{A}(A,?)$
qui est un quasi-isomorphisme.
\end{itemize}\francais
\end{lemme}


\dem Par l'adjonction
\[
(? \tsi_{A}A , \Homi_{A}(A,?)) : \big(\aiMod A\big)_u \ra \big(\aiMod A\big)_u,
\]
il suffit de montrer le point {\it a}.
Soit $M$ un $A$-polydule strictement unitaire. 
Nous avons un $\ai$-morphisme de $A$-polydules
\[
g : M \tsi_{A} A \ra M
\]
dont les $g_j,$ $j\geq 1$, sont d�finis par les morphismes
\[
m^M_{i+2+j-1}(\Id \ts \si\tp{i} \ts \Id \tp{j}) : M \ts (SA)\tp i \ts A \ts A \tp {j-1} \ra M,
\quad i\geq 0,j\geq 1.
\]
Montrons que le c�ne du morphisme
\[
g_1 : M \tsi_{A} A \ra M
\]
est acyclique. Nous v�rifions que le morphisme de degr� $-1$
\[
r : M \ts \ct SA \ts SA \ra M \ts \ct SA \ts SA
\]
donn� par le morphisme
\[
\Id \ts s\unite : M \ts (SA)\tp{i} \ts SA \ra M \ts (SA)\tp{i+1} \ts SA, \quad i\geq 0,
\]
o� $\unite$ est l'unit� de $A$, est une homotopie contractante du c�ne de $g_1$.
\findem\\


\begin{remarque}{\em \label{remarque_lemme2_adjonction_foncteurs_standard}
Le morphisme de $A$-polydules $g$
est clairement strictement unitaire.
Le morphisme de $A$-polydules
\[
f : M \ra \Homi_{A}(A,M)
\]
correspondant par l'adjonction au morphisme $g$
est d�fini de mani�re analogue au morphisme
\[
f : A \ra \mathsf{End} = \Homi_{A}(A,A)
\]
du lemme clef (\ref{lemme_clef}) du chapitre \ref{chapitre_ai_cat}.
Il est aussi strictement unitaire.
}\end{remarque}















\subsection{La cat�gorie d�riv�e d'une $\ai$-alg�bre} \label{section_categorie_derivee_generale}




Soit $\mathbb O$ et $\mathbb P$ deux objets de $\sf C.$
Soit $A$ une $\ai$-alg�bre dans $\sf C(\mathbb O,\mathbb O)$.
On rappelle que la cat�gorie $\aiMod A$ des $A$-polydules dans $\sf C(\mathbb P,\mathbb O)$
est isomorphe � la cat�gorie $\aiModu A\+$ des $A\+$-polydules
strictement unitaires o� $A\+$ est l'augmentation de $A$. 
Consid�rons l'objet $e = e_{\mathbb O}$ comme une $\ai$-alg�bre augment�e dans $\sf C(\mathbb O,\mathbb O)$.
Consid�rons l'objet $e$ comme un $A\+$-$e$-bipolydule strictement unitaire gr�ce
� l'augmentation $A\+ \ra e.$ Par la section \ref{section_foncteurs_standard}, nous avons un
foncteur
\[
? \tsi_{A\+} e : \aiModu A\+ \ra \aiModu e.
\]
Il induit un foncteur dans les cat�gories d�riv�es que nous notons de la m�me mani�re.

\begin{definition}{\em \label{definition_categorie_derivee_generale}
La {\em cat�gorie d�riv�e} d'une $\ai$-alg�bre est le noyau du foncteur
\index{categorie@{cat�gorie}!derivee@{d�riv�e}} \indexnotation{cdinftyA}
\[
? \tsi_{A\+} e : \cd_\infty A\+ \ra \cd_\infty e.
\]
}\end{definition}

\begin{remarque}{\em
Nous montrerons en (\ref{remarque1_polydules_H-unitaires})
qu'un $A\+$-polydule strictement unitaire est dans le noyau si et seulement si sa construction
bar est acyclique.
}\end{remarque}

\begin{remarque}{\em
Le th�or�me (\ref{theoreme_categorie_derivee_strictement_unitaire}) ci-dessous
montrera que cette d�finition �tend la d�finition
de la cat�gorie d�riv�e d'une $\ai$-alg�bre augment�e (voir \ref{definition_categorie_derivee_augmentee}).
En particulier, nous montrerons que
si $A$ est elle-m�me augment�e, nous avons une suite exacte de cat�gories triangul�es
\[
\cd_\infty A \ra \cd_\infty A\+ \ra \cd_\infty e.
\]
}\end{remarque}




\begin{theoreme} \label{theoreme_restriction_quasi-isomorphisme}
Soit $A$ et $A'$ deux $\ai$-alg�bres et $f : A \ra A'$ un $\ai$-quasi-isomorphisme.
La restriction le long de $f$ induit une �quivalence de cat�gories
\[
\cd_\infty A' \ra \cd_\infty A.
\]
\end{theoreme}


\dem Soit $f\+ : A\+ \ra A'\+$ le morphisme augment� associ� �~$f.$ C'est
un $\ai$-quasi-isomorphisme. Les foncteurs
\[
(\Res^{f\+}? )\tsi_{A\+} e  \quad \mbox{et} \quad ? \tsi_{A'\+} e : \aiModu A'\+ \ra \aiModu e
\]
sont donc quasi-isomorphes. Il suffit donc de montrer que la restriction le long de $f\+$
induit une �quivalence
\[
\cd_\infty A'\+ \ra \cd_\infty A\+.
\]
Le lemme (\ref{lemme_algebre_enveloppante}) implique que le morphisme entre les alg�bres enveloppantes
\[
\E (f\+) : \E (A\+) \ra \E (A'\+)
\]
est un quasi-isomorphisme.
Il s'ensuit \cite[6.1]{Keller94} que la restriction de long de $\E (f\+)$ est une �quivalence de cat�gories
\[
\cd \E(A'\+) \ra \cd \E (A\+).
\]
Nous d�duisons le r�sultat du lemme (\ref{lemme2_categorie_derivee}).
\findem \\

{\noindent \bf Cas des $\ai$-alg�bres $H$-unitaires}




\begin{definition}{\em
Une $\ai$-alg�bre {\em $H$-unitaire} \index{H-unitaire@{$H$-unitaire}} est une
$\ai$-alg�bre dont la construction bar non augment�e est quasi-isomorphe � $0.$
}\end{definition}

La notion d'alg�bre $H$-unitaire est due � M.~Wodzicki \cite{Wodzicki88}.
Il montre qu'une alg�bre est $H$-unitaire si et seulement si elle satisfait
la propri�t� d'excision (voir \cite{Wodzicki88}, \cite{Wodzicki89}). 




\begin{lemme}
Une $\ai$-alg�bre minimale (i.~e.~$m_1 = 0$) strictement unitaire est $H$-unitaire.
\end{lemme}

\dem Soit $(A,\unite)$ une $\ai$-alg�bre minimale strictement unitaire.
Le morphisme de degr�~$-1$
\[
h : BA \ra BA
\]
donn� par les morphismes
\[
\Id \ts (s\unite) : (SA)\tp i \ra (SA)\tp i \ts SA
\]
d�finit une homotopie contractante de $BA$. \findem

\begin{corollaire} \label{lemme1_H-unitaire}
Une $\ai$-alg�bre homologiquement unitaire 
(voir la d�finition dans la section \ref{section_definition_unites})
est $H$-unitaire.
\end{corollaire}

\dem
Soit $A$ une $\ai$-alg�bre homologiquement unitaire.
Le corollaire (\ref{corollaire_unite_ai-algebre}) montre que
$A$ admet un mod�le minimal strictement unitaire $A'$.
Comme $BA'$ est faiblement �quivalent � $BA$ et comme
les �quivalences faibles sont des quasi-isomorphismes, nous avons
le r�sultat. \findem\\


{\noindent \bf La sous-cat�gorie $\Tria A$}\\

Soit $x : \mathbb P \ra \mathbb O$
un morphisme de $\sf C$.
Le morphisme $x$ induit un foncteur
\[
x^* : \sf C(\mathbb P,\mathbb O) \ra \sf C(\mathbb P,\mathbb P), \quad M \mapsto M(x).
\]
On suppose que ce foncteur admet un adjoint � gauche
\[
x_! : \sf C(\mathbb P,\mathbb P) \ra \sf C(\mathbb P,\mathbb O).
\]


\begin{exemple}{\em  
Regardons l'exemple apparaissant dans l'�tude des $\ai$-cat�gories
(\ref{section_categories_de_base_aicat}). Soit $\mathbb P$  et $\mathbb O$ deux
ensembles et soit
\[
x : \mathbb P \ra \mathbb O, \quad p \mapsto x(p)
\]
une application.
Le foncteur $x^*$ envoie $M \in C(\mathbb P,\mathbb O)$ sur
\[
(p,p') \mapsto M(x(p),p').
\]
Le foncteur $x_!$ envoie un objet $V$ de $\sf C(\mathbb P,\mathbb P)$ sur le
$\mathbb P$-$\mathbb O$-bimodule
\[
(o,p) \mapsto V(?,p) \ts_{\mathbb P} e_{\mathbb O}(o,x(?)).
\]
Supposons maintenant que $\mathbb P$ est un ensemble � un �l�ment.
L'application $x$ est d�termin� par l'�l�ment de $o = x(p)$ de $\mathbb O.$
Soit $V = e_\mathbb P$. L'adjonction nous donne alors un isomorphisme
\[
\Hom_{\sf C(\mathbb P,\mathbb O)}(e_{\mathbb O}(?,o),M) \arr{\sim} M(o).
\]
\findem
}\end{exemple}


Soit $x : \mathbb P \ra \mathbb O$
un morphisme de $\sf C$. Soit $V$ un objet de $\sf C(\mathbb P,\mathbb P)$.
Munissons l'objet $x_!(V) \ts_{\mathbb O} A$ de la structure de $A$-polydule
donn�e par les multiplications de $A$. Comme nous avons un isomorphisme
\[
\Hom_{\sf C(\mathbb P,\mathbb P)}(x_!(V),M) \arr{\sim} \Hom_{\aiMod A}(x_!(V) \ts_{\mathbb O} A ,M),
\quad M \in \aiMod A,
\]
nous avons une adjonction
\[
(x_!(?) \ts_{\mathbb O} A,x^*) : \sf C(\mathbb P,\mathbb P) \ra \aiMod A.
\]


Notons $\Tria A$ la plus petite sous-cat�gorie triangul�e aux sommes
infinies de $\cd_\infty A\+$ contenant les
\[
x \pw = x_!(e_\mathbb P) \ts_{\mathbb O} A , \quad x \in {\sf C}(\mathbb P,\mathbb O).
\]

\begin{remarque}{\em 
Cette notation est justifi�e par le fait suivant. 
Dans l'exemple apparaissant dans l'�tude des $\ai$-cat�gories
(\ref{section_categories_de_base_aicat}),
si $\mathbb P$ est un ensemble � un �l�ment,
et $x$ est l'application donn� par un �l�ment $x$ de $\mathbb O,$
le $A$-polydule $x \pw$ est l'$\ai$-foncteur repr�sent� par $x$
\[
x \pw = A(?,x).
\]
}\end{remarque}


\begin{proposition} \label{proposition_categorie_derivee_H-unitaire}
Soit $A$ une $\ai$-alg�bre $H$-unitaire.
Nous avons une suite exacte de cat�gories triangul�es
\[
\Tria A \hookrightarrow \cd_\infty A\+ \ra \cd_\infty e.
\]
En particulier, la cat�gorie d�riv�e $\cd_\infty A$ est �gale � $\Tria A.$
\end{proposition}

Dans le cas des alg�bres diff�rentielles
gradu�es cette proposition est d�montr�e dans \cite{Keller94a}.
Dans la d�monstration ci-dessous, nous utilisons une filtration qui
est adapt�e de celle de J.~A.~Guccione et
J.~J.~Guccione \cite{Guccione96}. Elle leur permet de montrer astucieusement la propri�t� d'excision
des alg�bres diff�rentielles gradu�es $H$-unitaires.\\


\dem Montrons que la composition
\[
\Tria A \hookrightarrow \cd_\infty A\+ \ra \cd_\infty e
\]
est nulle. Comme $x \pw$ est le $A$-polydule $x_!(e) \ts_{\mathbb O} A$,
il suffit de montrer que $A \tsi_{A\+} e$ est
quasi-isomorphe � $0$ dans la cat�gorie $\sf C(\mathbb O,\mathbb O)$.
Nous d�finissons une filtration de $A \tsi_{A\+} e = A \ts \ct (SA\+) \ts e$ par
\[
F_p  = \Big[ \bigoplus_{0 \leq i < p} A \ts (SA\+) \tp i \Big] \oplus
\Big[ \bigoplus_{0 \leq r} A \ts (SA) \tp{r} \ts (SA\+)\tp p\Big], \quad p \geq 0.
\]
Les $F_p$, $p\geq 0$, sont des sous-complexes de $A \tsi_{A\+} e$. Les objets gradu�s
\[
\ogr_p{A \tsi_{A\+} e = A \ts \ct (SA\+) \ts e} = \bigoplus_{0 \leq r}A \ts (SA)\tp r \ts (Se) \tp p, \quad p \geq 0,
\]
sont isomorphes en tant que complexes �
\[
S^{-1}BA \ts (Se) \tp p, \quad p \geq 0.
\]
Ils sont donc acycliques, ce qui montre que $A \tsi_{A\+} e$ est acyclique.

Pour d�montrer qu'on a une suite exacte de cat�gories triangul�es, nous allons montrer
que l'inclusion de $\Tria A$ dans $\cd_\infty A\+$ a pour
adjoint � droite le foncteur
\[
? \tsi_{A\+} A : \cd_\infty A\+ \ra \Tria A. 
\]
Ceci revient � montrer que pour chaque $X \in \aiModu A\+$,
le triangle
\[
X \tsi_{A\+} A \ra X \ra X \tsi_{A\+} e \ra S(X \tsi_{A\+} A)
\]
est tel que l'objet $X \tsi_{A\+} e \in \Tria e$ est $(\Tria A)$-local, i.~e.~
\[
\Hom_{\cd_\infty A\+}(L,X \tsi_{A\+} e ) = 0, \quad L \in \Tria A.
\]
Comme $A \tsi_{A\+} e$ est quasi-isomorphe � $0$, la seconde fl�che du triangle
de $\mathbb O$-$\mathbb O$-bimodules
\[
A \tsi_{A\+} e \ra A\+ \tsi_{A\+} e \ra e \tsi_{A\+} e \ra S(A \tsi_{A\+} e)
\]
est un isomorphisme dans la cat�gorie d�riv�e des $A\+$-polydules
dans $\sf C(\mathbb O,\mathbb O).$  Par ailleurs, le morphisme
\[
 A\+ \tsi_{A\+} e \ra e
\]
est un quasi-isomorphisme car son c�ne, qui est la construction bar $BA\+ = \ct (SA\+)$,
est acyclique (\ref{lemme1_H-unitaire}). Ceci implique que
\[
e \ra e \tsi_{A\+} e
\]
est un isomorphisme de $A\+$-$A\+$-bipolydules dans $\sf C(\mathbb O,\mathbb O)$.
Soit $X \in \cd_\infty A\+$.
Montrons que l'objet $X \tsi_{A\+} e \in \Tria e$ est $(\Tria A)$-local.
Soit $L$ un objet de $\Tria A$ et un morphisme 
\[
f : L \ra X \tsi_{A\+} e.
\]
Nous avons un diagramme commutatif
\[
\xymatrix{
L \ar[r] \ar[d] & X \tsi_{A\+}e \ar[d]^{\sim} \\
L \tsi_{A\+} e \ar[r] & X \tsi e_{A\+} \tsi_{A\+} e,}
\]
o� la fl�che verticale de droite repr�sente un isomorphisme de $\cd_\infty A\+$ et
o� $L \tsi_{A\+} e$ est quasi-isomorphe � $0.$ Le morphisme $f$ est donc nul. \findem












\subsection{La cat�gorie d�riv�e d'une $\ai$-alg�bre strictement unitaire}
\label{section_categorie_derivee_strictement_unitaire}


Soit $A$ une $\ai$-alg�bre strictement unitaire.
Dans cette section, nous donnons  plusieurs descriptions de la cat�gorie
d�riv�e $\cd_\infty A$ de (\ref{definition_categorie_derivee_generale}).
Plus pr�cis�ment, nous allons montrer le th�or�me suivant :

\begin{theoreme} \label{theoreme_categorie_derivee_strictement_unitaire}
Les cat�gories suivantes sont �quivalentes~:
\english \begin{itemize}
\item[{\rm D1.}] la cat�gorie d�riv�e $\cd_\infty A$ de (\ref{definition_categorie_derivee_generale}), c'est-�-dire,
la sous-cat�gorie triangul�e $\Tria A$ de $\cd_\infty A\+$ (\ref{proposition_categorie_derivee_H-unitaire}),
\item[{\rm D2.}] la cat�gorie (dont nous montrerons qu'elle est bien d�finie) \indexnotation{chinftyA}
\[
\ch_\infty A : \aiModu A/\!\sim\,
\]
o� $\sim$ est la relation d'homotopie (\ref{definition_polydules_strictement_unitaires}),
\item[{\rm D3.}] la cat�gorie localis�e
\[
\big(\aiModu A \big)[Qis^{-1}]
\]
o� $Qis$ est la classe des $\ai$-quasi-isomorphismes de $\aiModu A$,
\item[{\rm D4.}] la cat�gorie homotopique
\[
\Ho \aiModust A
\]
de la cat�gorie de mod�les $\aiModust A$ (d�finie plus bas).
\end{itemize} \francais
\end{theoreme}


Il en r�sulte de ce th�or�me que si $A$ est augment�e, la d�finition de $\cd_\infty A$ donn�e dans
(\ref{definition_categorie_derivee_augmentee}) est �quivalente � celle de
(\ref{definition_categorie_derivee_generale}).


\begin{remarque}{\em \label{remarque_fin_categorie_derivee_II}
Les diff�rentes descriptions de $\cd_\infty A$ montrent que les r�sultats de la
proposition (\ref{corollaire2_categorie_derivee})
restent valides.
}\end{remarque}



{\noindent \bf L'�quivalence entre les cat�gories de D1 et D2}\\


Comme $A$ est strictement unitaire, nous avons un
$\ai$-morphisme strictement unitaire d'$\ai$-alg�bres
\[
r = \Big[ \begin{array}{c} i \\ \unite
\end{array} \Big]: A\+ = A \oplus e \ra A
\]
o� $\unite$ est l'unit� de $A$.
On a un foncteur restriction
\[
\Res : \aiModu A \ra \aiModu A\+
\]
qui est fid�le.
Nous savons que l'isomorphisme de cat�gories (\ref{section_augmentation_reduction})
\[
\aiMod A \arr{\sim} \aiModu A\+
\]
est compatible � l'homotopie. La proposition (\ref{proposition_strictication_unitaire_polydules})
montre que le foncteur restriction induit un isomorphisme
\[
\Hom_{\aiModu A}(M,M')/\!\sim \, \arr{} \Hom_{\aiModu A\+}(\Res M,\Res M')/\!\sim, \quad M,M' \in \aiModu A,
\]
o� $\sim$ est la relation d'homotopie (\ref{definition_polydules_strictement_unitaires}).
Le corollaire (\ref{corollaire2_categorie_derivee})
dit que la relation d'homotopie (\ref{definition_polydules_strictement_unitaires}) dans $\aiModu A\+$
est une relation d'�quivalence compatible � la composition.
Ceci montre que la relation d'homotopie dans dans $\aiModu A$
est une relation d'�quivalence compatible � la composition. Nous avons donc une
cat�gorie bien d�finie
\[
\ch_\infty A = \aiModu A/\!\sim\,
\]
et un foncteur pleinement fid�le
\[
J : \ch_\infty A \hookrightarrow \ch_\infty A\+ \iso \cd_\infty A\+.
\]

\begin{proposition} \label{propostion_D1_D2}
Le foncteur restriction
\[
\Res : \aiModu A \ra \aiModu A\+
\]
induit une �quivalence de cat�gorie
\[
\ch_\infty A \ra \Tria A.
\]
\end{proposition}


Commen�ons par introduire quelques notions.


\begin{definition}{\em 
Un $A\+$-polydule est {\em $H$-unitaire} \index{H-unitaire@{$H$-unitaire}}si son image par le foncteur
\[
B : \aiModu A\+ \ra \coModcu \Ba A\+
\]
est quasi-isomorphe � $0.$
}\end{definition}

\begin{remarque}{\em \label{remarque1_polydules_H-unitaires}
Un $A\+$-polydule $M$ est $H$-unitaire si et seulement si l'objet $M \tsi_{A\+} e$ est quasi-isomorphe
� 0. La sous-cat�gories des $A\+$-polydules $H$-unitaires est donc �gale � la cat�gorie $\Tria A$ par
la proposition (\ref{proposition_categorie_derivee_H-unitaire}).
}\end{remarque}


\begin{remarque}{\em
Dans le cas o� $A$ est une alg�bre associative unitaire et
$M$ un module unitaire, le complexe $BM$ est le c�ne de l'augmentation $\rp M \ra M$,
o� $\rp M$ est la r�solution bar de $M$ (voir par exemple \cite[IX.6]{Cartan56}).
En particulier, tout $A$-module unitaire
est un $A\+$-module $H$-unitaire. 
}\end{remarque}



\begin{lemme}\label{lemme_homologiqement_unitaire_H-unitaire}
Un $A\+$-polydule est $H$-unitaire si et seulement si il est homologiquement unitaire en tant
que $A$-polydule.
\end{lemme}

\dem 
Soit $M$ un $A$-polydule homologiquement unitaire. Il existe
une structure de $A$-polydule (n�cessairement homologiquement unitaire)
sur $H^*M$ et un $\ai$-quasi-isomorphisme $H^*M \ra M$. Par le corollaire
\ref{theoreme1_strictification_unite_polydules}, nous pouvons choisir
$H^* M$ strictement unitaire. Nous avons alors une �quivalence faible
\[
B(H^*M) \ra BM.
\]
Comme les �quivalences faibles sont des quasi-isomorphismes, il nous suffit de
montrer que $B(H^*M)$ est quasi-isomorphe � $0$.
Nous v�rifions que le morphisme
\[
r : SH^*M \ts \Ba (A\+) \ra SH^*M \ts \Ba (A\+),
\]
d�fini par les morphismes
\[
(\id \ts s\unite) : SH^*M \ts (SA) \tp i \ra SH^*M \ts (SA) \tp{i} \ts SA, \quad i\geq 0,
\]
o� $\unite : e \ra A$ est l'unit� stricte de $A$, est une homotopie contractante
de $B(H^*M)$. 

Pour d�montrer la r�ciproque nous introduisons quelques notions suppl�mentaires.\\




{\noindent \bf Les cocha�nes tordantes g�n�ralis�es}\\

Soit $C$ un objet de $\cocoga$ et $A'$ un objet de $\aiaa.$
Une {\em cocha�ne tordante g�n�ralis�e} \index{cocha�ne tordante!g�n�ralis�e}
$\tau : C \ra A'$ est
un morphisme gradu� de degr� $+1$ qui s'annule sur la 
co-augmentation $\coaugmentation^C$, qui se factorise par 
$\ker (A\+ \ra e)$ et qui v�rifie
\[
\sum_{i\geq 1} m_i\circ  (\tau \tp i) \circ \Delta^{(i)} = 0.
\]
Remarquons que la somme infinie est bien d�finie car
$\tau$ s'annule sur la co-augmentation et $C$ est cocompl�te.

Soit $M$ un objet de $\aiModu A'.$ Nous munissons le produit tensoriel
$M \ts C$ du morphisme de degr� $+1$ qui est la somme (bien d�finie) de la diff�rentielle
du produit tensoriel et des morphismes
\[
M \ts C \arr{\Id \ts \Delta^{(i)}} M \ts C \tp i \arr{\Id \ts \tau \tp {i-1} \ts \Id}
M \ts A'{}\tp{i-1} \ts C \arr{m_{i} \ts \Id} M \ts C, \quad i\geq 1.
\]
Nous v�rifions que ce morphisme de degr� $+1$ est une diff�rentielle de $M \ts C$.
Nous notons $M \tw C$ le produit tensoriel muni de cette diff�rentielle.
Soit $N$ un objet de $\coModcu C.$ Nous munissons le produit tensoriel
$N \ts A$ de la diff�rentielle qui est la somme (bien d�finie) de la diff�rentielle
du produit tensoriel et des morphismes
\[
(\Id \ts m_{i} ) \circ (\Id \ts \tau \tp {i-1} \ts \Id) \circ (\Delta^{(i)} \ts \Id ) :
N \ts A' \ra N\ts A', \quad i \geq 1.
\]
Nous munissons $N \ts A'$ du morphisme $m_1$ donn�e par la diff�rentielle ci-dessus et
des morphismes $m_i$, $i\geq 2$, valant $\Id_N \ts m_i^{A'}.$ Ces morphismes d�finissent
une structure de $A'$-polydule sur $N \ts A'.$ Notons ce $A'$-polydule $N \tw A'.$
Ceci nous donne deux foncteurs
\[
\? \tw A' : \coModcu C \ra \aiModu A' \quad \mbox{et} \quad \? \tw C : \aiModu A' \ra \coModcu C
\]
appel�s les {\em produits tensoriels tordus g�n�ralis�s}. \index{produit tensoriel tordu}\\


{\em Fin de la d�monstration du lemme (\ref{lemme_homologiqement_unitaire_H-unitaire})} :
Soit $M$ un $A\+$-polydule $H$-unitaire. Nous voulons montrer qu'il est homologiquement unitaire
en tant que $A$-polydule.
Nous v�rifions que la composition
\[
\Ba A\+ = \ct SA \arr{p_1} SA \arr{\si} A \hookrightarrow A\+
\]
est un �l�ment tordant g�n�ralis�.
Nous avons un morphisme de $A\+$-polydules
\[
\unite^{\Ba A\+} \ts \coaugmentation^{A\+} : \Ba A\+ \tw A\+ \ra e
\]
donn� par l'unit� de $\Ba A\+$ et la co-augmentation de $A\+.$
Le morphisme
\[
M \tw (\unite^{\Ba A\+} \ts \coaugmentation^{A\+}) : M \tw \Ba A\+ \tw A\+ \ra M = M\tw e
\]
est un quasi-isomorphisme (l'homotopie contractante de la d�monstration du lemme 
\ref{lemme_acyclicite_cochaines_universelles}
d�finit une homotopie contractante de son c�ne).
La co-augmentation $A\+ \ra e$ induit une suite exacte
\[
0 \ra M \tw \Ba A\+ \tw A \arr{i} M \tw \Ba A\+ \tw A\+ \ra M\tw \Ba A\+ \tw e \ra 0.
\]
Le $A\+$-polydule $M$ �tant $H$-unitaire,
l'objet $M\tw \Ba A\+ \tw e$ est quasi-isomorphe � $0$ car isomorphe �  $S^{-1}BM$.
Il en r�sulte que le morphisme $i$ est un quasi-isomorphisme. Le $A\+$-polydule
$M$ qui est quasi-isomorphe �  $M \tw \Ba A\+ \tw A\+ $ est donc quasi-isomorphe
� $M \tw \Ba A\+ \tw A$. Comme ce dernier est strictement unitaire sur $A$,
$M$ est homologiquement
unitaire sur $A$.
\findem \\




{\em D�monstration de la proposition (\ref{propostion_D1_D2})}\\
Nous savons que le foncteur
\[
J : \ch_\infty A \hookrightarrow \ch_\infty A\+ \iso \cd_\infty A\+
\]
est pleinement fid�le. Il faut montrer que son image est form�e des objets
de $\Tria A$.
Le lemme (\ref{lemme_homologiqement_unitaire_H-unitaire})
montre que tout objet de $\aiModu A$ est dans $\Tria A$. R�ciproquement,
si un $A\+$-polydule $M$ est dans $\Tria A$, il est homologiquement unitaire
sur $A$. Il est donc (\ref{corollaire_strictification_unite_polydules})
quasi-isomorphe � un objet strictement unitaire. \findem\\

Nous munissons la cat�gorie $\ch_\infty A$ de la structure triangul�e
induite par l'�quivalence
\[
\ch_\infty A \ra \Tria A.
\]


{\noindent \bf Equivalence entre les cat�gories de D2 et D3}\\


Le foncteur
\[
J : \ch_\infty A \ra \ch_\infty A\+
\]
est pleinement fid�le et nous avons un isomorphisme de cat�gories
(\ref{corollaire3_categorie_derivee})
\[
\ch_\infty A\+ \arr{\sim} \cd_\infty A\+.
\]
Les $\ai$-quasi-isomorphismes sont donc les isomorphismes dans $\ch_\infty A$.
Comme
\[
\aiModu A \ra \ch_\infty A
\]
est un foncteur localisation (par rapport aux �quivalences d'homotopie),
nous avons un isomorphisme
\[
\big(\aiModu A\big)[Qis^{-1}] \arr{\sim} \ch_\infty A.
\]


{\noindent \bf Equivalence entre les cat�gories de D3 et D4}\\


Commen�ons par montrer quelques r�sultats sur la cat�gorie d�riv�e d'une
alg�bre diff�rentielle gradu�e.



\begin{lemme} \label{lemme_categorie_derivee_algebre_differentielle_graduee_unitaire}
Soit $A$ une alg�bre diff�rentielle gradu�e unitaire.
L'inclusion
\[
J : \Modu A \ra \aiModu A 
\]
induit une �quivalence
\[
\cd A \ra \big(\aiModu A\big)[Qis^{-1}].
\]
L'inverse est donn� par le foncteur $? \tsi_{A}A$.
\end{lemme}

\dem
Consid�rons $A$ comme un $A$-$A$-bipolydule.
Nous lui associons (\ref{remarque_tsi_A_strictement_unitaire}) le foncteur
\[
? \tsi_{A} A : \aiModu A \ra \Modu A.
\]
Nous savons par le lemme (\ref{lemme2_adjonction_foncteurs_standard}) que
l'$\ai$-morphisme
\[
g_M : M \tsi_{A} A \ra M, \quad M \in \aiModu A,
\]
est un $\ai$-quasi-isomorphisme. Si $M$ est un module diff�rentiel gradu� sur $A$,
les multiplications $m^M_i$, $i \geq 3$, sont nulles et l'$\ai$-morphisme $g_M$
(construit dans la d�monstration du lemme (\ref{lemme2_adjonction_foncteurs_standard}))
est strict. L'$\ai$-morphisme $g_M$ est alors un morphisme de $A$-modules diff�rentiels gradu�s.
Ceci montre que les foncteurs $J$ et $? \tsi_{A} A$ induisent des foncteurs
quasi-inverses l'un de l'autre entre les cat�gories
\[
\cd A \quad \mbox{et} \quad \big(\aiModu A\big)[Qis^{-1}].
\]
\findem

\begin{definition}{\em
Soit $A$ une alg�bre diff�rentielle gradu�e (non n�cessairement unitaire).
La {\em cat�gorie d�riv�e} $\cd A$ \index{categorie@{cat�gorie}!derivee@{d�riv�e}} est le
noyau de
\[
? \stackrel{\bf L}{\ts} e : \cd A\+ \ra \cd e. 
\]
}\end{definition}

\begin{remarque}{\em
Dans le cas o� $A$ est unitaire, la cat�gorie d�riv�e d�finie ci-dessus est �quivalente � la cat�gorie
d�riv�e d�finie en (\ref{structure_triangulee_Ho_coModcu}).
}\end{remarque}

\begin{corollaire} \label{corollaire_categorie_derivee_algebre_differentielle_graduee}
Soit $A$ une alg�bre diff�rentielle gradu�e (non n�cessairement unitaire).
Les cat�gories d�riv�es $\cd_\infty A$ et $\cd A$ sont �quivalentes.
\end{corollaire}

\dem C'est une cons�quence du lemme (\ref{lemme_categorie_derivee_algebre_differentielle_graduee_unitaire})
et du fait que le foncteur $? \stackrel{\bf L}{\ts} e$ est exactement le
foncteur $? \tsi_{A} e$. \findem\\



{\noindent \bf La cat�gorie de mod�les $\aiModust A$}\\


Nous utilisons ci-dessous les notations et la terminologie standard des op�rades
diff�rentielles gradu�es (voir par exemple \cite{Hinich97c}). 


Une {\em op�rade asym�trique} est une suite d'objets $\co (n)$, $n \geq 0$, de $\cc \sf C$
munie d'une composition $\mu$ v�rifiant les m�mes conditions d'associativit�
que la composition d'une op�rade au sens habituel. Notons $\frak S_n$, $n \geq 1,$ le groupe
sym�trique. La suite $\corps \frak S_n \ts_{\corps} \co(n)$, $n\geq 0$,
est un $S$-module dans $\cc \sf C$ et $\mu$ induit une structure d'op�rade sur ce $S$-module.
L'op�rade $\Ass$ des alg�bres associative est �gale � $\corps \frak S_n \ts_{\corps} \Ass'(n)$, $n\geq 0$,
o� $\Ass'$ est une op�rade asym�trique.

Soit $\co$ {\em l'op�rade asym�trique des $\ai$-alg�bres strictement unitaires}.
On note $\E(\co,A) = \E(A)$ l'alg�bre enveloppante \index{algebre@{alg�bre}!enveloppante}
de $A$ relativement � l'op�rade $\co$.
La cat�gorie $\aiModust A$ des $A$-polydules strictement unitaires
dont les morphismes sont les $\ai$-morphismes stricts est bien s�r isomorphe � la
cat�gorie des modules (� droite) sur la $\co$-alg�bre $A$.
Nous avons donc un isomorphisme de cat�gories
\[
\Modu \E(A) \arr{\sim} \aiModust A.
\]
Nous d�duisons du th�or�me (\ref{theoreme_cmf_Modu}) le r�sultat suivant.


\begin{proposition}
Les trois classes de morphismes ci-dessous d�finissent une structure de cat�gorie de mod�les
sur $\aiModust A$ :
\english \begin{itemize}
\item[-] la classe $\weq$ form�e des $\ai$-quasi-isomorphismes stricts,
\item[-] la classe $\fib$ form�e des morphismes $f : M \ra M'$ tels que
$f^n$ est un �pimorphis\-me pour tout $n \in \Z,$
\item[-] la classe $\cof$ form�e des morphismes qui ont la propri�t� de rel�vement
� gauche par rapport aux morphismes appartenant � $Qis \cap \fib$.
\end{itemize} \francais
\findem
\end{proposition}


Nous rappelons que la cat�gorie d�riv�e $\cd \E (A)$ est isomorphe � la cat�gorie localis�e
\[
\Ho \big(\aiModust A\big).
\]


\begin{remarque}{\em
Si $A$ est une $\ai$-alg�bre augment�e, l'alg�bre enveloppante $\E(A)$ est isomorphe �
$\Oma \Ba A$ (voir \ref{definition_algebre_enveloppante}).
}\end{remarque}


\begin{proposition} \label{proposition_D3_D4}
Soit $A$ une $\ai$-alg�bre strictement unitaire.
L'inclusion
\[
J : \aiModust A \ra \aiModu A
\]
induit une �quivalence
\[
\Ho \big(\aiModust A\big) \ra \big(\aiModu A\big)[Qis^{-1}].
\]
\end{proposition}



\dem 

{\em Premier cas : $A$ est une alg�bre diff�rentielle gradu�e unitaire.}
La suite d'inclusions
\[
\Modu A \hookrightarrow \aiModust A \hookrightarrow \aiModu A
\]
induit une suite de foncteurs fid�les
\[
\cd A \ra \Ho \big(\aiModust A\big) \ra \big(\aiModu A\big)[Qis^{-1}].
\]
Le lemme (\ref{lemme_categorie_derivee_algebre_differentielle_graduee_unitaire})
nous donne la pleine fid�lit� de la composition. Le second foncteur est
donc plein et nous avons le r�sultat.


{\em Deuxi�me cas : $A$ est une $\ai$-alg�bre strictement unitaire quelconque.} \\
D'apr�s la proposition (\ref{proposition_modele_differentiel_gradue}), il
existe un mod�le diff�rentiel gradu� unitaire $A'$ et une cofibration triviale
\[
i : A \ra A'
\]
strictement unitaire.
Le lemme
(\ref{lemme_(co)fibrations_triviales_strictement_unitaires}) montre qu'il
existe une fibration triviale $q : A' \ra A$ telle que $q \circ i = \Id_A$
et $i \circ q$ est homotope � $\Id_{A'}$.
Les foncteurs restriction $\Res^i$ et $\Res^q$ induisent des foncteurs $i^*$ et $q^*$
entre les cat�gories homotopiques
\[
\Ho \big(\aiModust A\big) \quad \mbox{et} \quad \Ho \big(\aiModust A'\big).
\]
Nous avons clairement $i^* \circ q^* = \Id$. Montrons que $q^* \circ i^*$ est isomorphe au foncteur
identit� de $\Ho \big(\aiModust A'\big).$

Soit $A'\+$ l'augmentation de $A'$. Son alg�bre enveloppante $\E(A'\+)$
est l'alg�bre diff�rentielle gradu�e $\Oma \Ba A'\+$ (voir \ref{A-polydules_EA-modules}).
Soit $j : A'\+ \ra \E(A'\+)$ l'$\ai$-morphisme universel construit en \ref{lemme_algebre_enveloppante}.
Comme il est un $\ai$-quasi-isomorphisme strictement unitaire augment�, il induit
une �quivalence
\[
\cd_\infty \E(A'\+)  \ra \cd_{\infty} A'\+
\]
compatible aux foncteurs
\[
\cd_\infty A'\+ \ra \cd_\infty e \quad \mbox{et} \quad \cd_\infty \E(A'\+) \ra \cd_\infty e.
\]
La sous-cat�gorie $\cd_\infty A' = \Tria A'$ est ainsi �quivalente � la sous-cat�gorie
$\cd_\infty \b \E(A'\+) = \Tria \b \E(A'\+)$ (l'alg�bre $\b \E(A'\+) = \Omega \Ba A'\+$ est la r�duction
de $\E(A'\+)$).
Notons $f$ l'$\ai$-morphisme compos� $i \circ q.$ Soit $f\+ : A'\+ \ra A'\+$
le morphisme augment� associ� � $f$.  Notons $g$ le morphisme 
\[
\Oma \Ba f\+ : \E(A'\+) \ra \E(A'\+).
\]
Le morphisme $g$ est un morphisme d'alg�bres diff�rentielles gradu�es unitaires.
Pour montrer que $\Res^f$ induit un endofoncteur de $\Ho \aiModust A'$
qui est isomorphe au foncteur identit�, il suffit de montrer que $\Res^g$
induit un endofoncteur de $\cd \E(A'\+)$ isomorphe au foncteur identit�.
Le morphisme $g$ est clairement homotope � $\Id$ dans
la cat�gorie $\aia$. Les morphismes $g$ et $\Id$ deviennent donc
�gaux dans $\alg [Qis^{-1}]$ (voir \ref{corollaire_cmf_aia}).
Comme $\Oma \Ba A'\+$ est une alg�bre presque libre co-augment�e,
elle est un objet fibrant et cofibrant de la cat�gorie de mod�les $\alg$ (voir \ref{section_cmf_alg}).
Il existe donc une homotopie � droite entre $\Id$ et $g$.
Le lemme (\ref{lemme_homotopie_foncteur_restriction}) ci-dessous montre que l'endofoncteur $g^*$
de $\cd \b \E(A'\+)$ induit par $\Res^g$ est isomorphe
� l'identit�. \findem



\begin{lemme} \label{lemme_homotopie_foncteur_restriction}
Soit $A$ et $B$ deux alg�bres diff�rentielles gradu�es unitaires.
Soit $g$ et $g'$ deux morphismes $A \ra B$ unitaires homotopes � droite.
Les foncteurs restriction le long de $g$ et $g'$ induisent des foncteurs
isomorphes
\[
\cd B \ra \cd A.
\]
\end{lemme}



\dem 
On rappelle qu'une alg�bre de chemins $B^I$, c'est-�-dire un objet de chemins
pour $B$ dans la cat�gorie de mod�les $\alg$, est un objet de $\alg$
muni de morphismes
\[
B \arr{i} B^I \arr{p} B_0 \times B_1,
\]
o� $B_0$ et $B_1$ sont �gales � $B$, tels que $i$ est une �quivalence
faible et $p \circ i$ est une factorisation de la diagonale $B \ra B_0 \times B_1$.
Notons $p_0$ et $p_1$ les morphismes compos�s
\[
B^I \arr{p} B_0 \times B_1 \ra B_0 \quad \mbox{et} \quad B^I \arr{p} B_0 \times B_1 \ra B_1.
\]
Nous avons les �galit�s $p_0 \circ i = p_1 \circ i = \Id$.


Les morphismes $g$ et $g'$ sont homotopes � droite relativement � l'alg�bre de chemins
$B^I$, il existe donc un morphisme $H : A \ra B^I$
tel que $p_0 \circ H = g$ et $p_1 \circ H = g'$.
Ceci montre que
\[
\Res^{g} = \Res^{H} \circ \Res^{p_0} \quad \mbox{et} \quad \Res^{g'} = \Res^{H} \circ \Res^{p_1}.
\]
Pour montrer que $\Res^{g}$ et $\Res^{g'}$ induisent des foncteurs isomorphes dans les cat�gories
d�riv�es, il suffit de montrer que $\Res^{p_0}$ et $\Res^{p_1}$ induisent des foncteurs
isomorphes dans les cat�gories d�riv�es. Nous avons les �galit�s
\[
\Id = \Res^i \circ \Res^{p_0} = \Res^i \circ \Res^{p_1}.
\]
Comme $i$ est un quasi-isomorphisme, $\Res^i$ induit une �quivalence dans les cat�gories
d�riv�es. Nous en d�duisons que $\Res^{p_0}$ et $\Res^{p_1}$ induisent des foncteurs
isomorphes dans les cat�gories d�riv�es. \findem







\section{La cat�gorie d�riv�e des bipolydules}
\label{section_categorie_derivee_bipolydules}


Les d�monstrations de cette section sont omises car similaires
� celles de la section \ref{section_categorie_derivee_polydules}.\\

{\noindent \bf Le foncteur $M \tsi \,? \tsi M''$}\\

Soit $\mathbb O$, $\mathbb O'$, $\mathbb O''$ et $\mathbb O'''$ des objets de $\sf C.$
Soit $A$ (resp.~$A'$, $A''$, $A'''$) une $\ai$-alg�bre dans $\sf C(\mathbb O, \mathbb O)$
(resp.~$\sf C(\mathbb O', \mathbb O')$, $\sf C(\mathbb O'', \mathbb O'')$, $\sf C(\mathbb O''', \mathbb O''')$).
Soit $M$ (resp.~$M''$) un $A$-$A'$-bipolydule
(resp.~$A''$-$A'''$-bipolydule) dans $\sf C(\mathbb O, \mathbb O')$
(resp.~$\sf C(\mathbb O'', \mathbb O''')$).
On d�finit le foncteur
\[
\aiMod (A',A'') \ra \aiMod (A,A'''), \quad M' \mapsto M \tsi M' \tsi M,
\]
par l'�galit� de $\Ba A$-$\Ba A'''$-bicomodules diff�rentiels gradu�s 
\[
B(M \tsi M' \tsi M) = BM \tbox_{\Ba A'} BM' \tbox_{\Ba A''} BM,
\]
o� $\tbox$ d�signe le produit cotensoriel (voir \ref{section_foncteurs_standard}).\\


{\noindent \bf La cat�gorie d�riv�e $\cd_\infty (A,A')$}\\


Soit $e_\mathbb O$ et $e_{\mathbb O'}$ les �l�ments neutres de $\sf C(\mathbb O,\mathbb O)$
et $\sf C(\mathbb O',\mathbb O')$ consid�r�s comme des $\ai$-alg�bres augment�es.
Consid�rons $e_\mathbb O$ et $e_{\mathbb O'}$ comme un $e_\mathbb O$-$A\+$-bipolydule
et un $A'\+$-$e_{\mathbb O'}$-bipolydule.


\begin{definition}{\em \label{definition_categorie_derivee_bipolydules_generale}
La {\em cat�gorie d�riv�e}  $\cd_\infty (A',A'')$ est le noyau du foncteur
\index{categorie@{cat�gorie}!derivee@{d�riv�e}}
\[
e_\mathbb O \tsi_{A'\+} \, ? \tsi_{A''\+} e_{\mathbb O'} : \cd_\infty (A'\+,A''\+) \ra \cd_\infty 
(e_\mathbb O,e_{\mathbb O'}).
\]
}\end{definition}

\newpage
{\noindent \bf La sous-cat�gorie $\Tria (A , A')$}\\


Supposons que la cat�gorie $\sf C$ admet un objet final $\mathbb P.$
Soit $x : \mathbb P \ra \mathbb O$ un morphisme de $\sf C$.
Le morphisme $x$ induit un foncteur
\[
x_* : \sf C(\mathbb O,\mathbb P) \ra \sf C(\mathbb P,\mathbb P), \quad M \mapsto M(x).
\]
Nous supposons que ce foncteur admet un adjoint � gauche
\[
\lrus{!}{x}{} : \sf C(\mathbb P,\mathbb P) \ra \sf C(\mathbb P,\mathbb O).
\]
Nous avons un $A$-polydule � gauche
\[
x^\vee = A \ts_{\mathbb O} \lrus{!}{x}{}(e_{\mathbb P}),
\]
dont la structure est donn�e par les multiplications de $A$.

\begin{remarque}{\em 
Cette notation est justifi�e par le fait suivant. 
Dans l'exemple apparaissant dans l'�tude des $\ai$-cat�gories
(\ref{section_categories_de_base_aicat}), un objet final est
un ensemble � un �l�ment. Soit  $\mathbb P$ un tel ensemble et
$\mathbb O$ un ensemble.
Soit $x$ une l'application $\mathbb P \ra \mathbb O$ donn�e par
un �l�ment (not� aussi $x$) de $\mathbb O.$
le $A$-polydule $x^\vee$ est l'$\ai$-foncteur corepr�sent� par $x$
\[
x^\vee = A(x,?).
\]
\findem
}\end{remarque}

Soit $x : \mathbb P \ra \mathbb O$ et $y : \mathbb P \ra \mathbb O'$ des morphismes de $\sf C$.
Le $\mathbb O$-$\mathbb O'$-bimodule
\[
x^\vee \ts_{\mathbb P} y \pw = A \ts_{\mathbb O'} \lrus{!}{x}{}(e_{\mathbb P})
\ts_{\mathbb P} y_!(e_{\mathbb P}) \ts_{\mathbb O'} A'
\]
est un $A$-$A'$-bipolydule.
La cat�gorie $\Tria (A , A')$ est la sous-cat�gorie triangul�e de $\cd_\infty (A\+,A'\+)$ engendr�e par
les
\[
 x^\vee \ts_{\mathbb P} y \pw ,\quad x \in \sf C(\mathbb P,\mathbb O), \quad y \in \sf C(\mathbb P,\mathbb O').
\]


\begin{proposition} \label{proposition_categorie_derivee_bipolydules_H-unitaire}
Soit $A$ et $A'$ des $\ai$-alg�bres $H$-unitaires.
Nous avons une suite exacte de cat�gories triangul�es
\[
\Tria (A , A') \hookrightarrow \cd_\infty (A\+,A'\+) \ra \cd_\infty (e_\mathbb O,e_\mathbb O').
\]
En particulier, la cat�gorie d�riv�e $\cd_\infty A$ est �gale � $\Tria (A , A').$
\findem
\end{proposition}






\begin{theoreme} \label{theoreme_categorie_derivee_strictement_unitaire_bipolydules}
Soit $A$ et $A'$ deux $\ai$-alg�bres strictement unitaires.
Les cat�gories suivantes sont �quivalentes~:
\english \begin{itemize}
\item[{\rm D1.}] la cat�gorie d�riv�e $\cd_\infty (A,A')$ de
(\ref{definition_categorie_derivee_bipolydules_generale}), c'est-�-dire,
la sous-cat�gorie triangul�e $\Tria (A , A')$ de $\cd_\infty (A\+,A'\+)$
(\ref{proposition_categorie_derivee_H-unitaire}),
\item[{\rm D2.}] la cat�gorie (bien d�finie) \indexnotation{chinftyAA'}
\[
\ch_\infty (A,A') = \aiModu (A,A')/\!\sim\,
\]
o� $\sim$ est la relation d'homotopie,
\item[{\rm D3.}] la cat�gorie localis�e \indexnotation{cdinftyAA'}
\[
\big(\aiModu (A,A') \big)[Qis^{-1}]
\]
o� $Qis$ est la classe des $\ai$-quasi-isomorphismes de $\aiModu (A,A')$,
\item[{\rm D4.}] la cat�gorie localis�e
\[
\big(\aiModust (A,A')\big)[Qis^{-1}]
\]
de la cat�gorie $\aiModust (A,A').$
\end{itemize} \francais
\end{theoreme}

\dem
Les �quivalences entre les cat�gories de D1, D2 et D3 se montrent de la m�me mani�re
que dans le th�or�me (\ref{theoreme_categorie_derivee_strictement_unitaire}).
L'�quivalence entre les cat�gories de D3 et D4 dans
le cas o� $A$ et $A'$ sont des alg�bres diff�rentielles gradu�es
unitaires se prouve comme dans la proposition (\ref{proposition_D3_D4}).
Si $A$ et $A'$ dont des $\ai$-alg�bres strictement unitaires quelconques, nous proc�dons
de la mani�re suivante. On montre comme dans la proposition (\ref{proposition_D3_D4}) que
l'inclusion
\[
\Modu (\E(A),\E(A')) \hookrightarrow \aiModu (A,A')
\]
induit une �quivalence
\[
\Ho \big(\Modu (\E(A),\E(A'))\big) \ra \big(\aiModu (A,A') \big)[Qis^{-1}].
\]
Comme cette �quivalence est la composition des foncteurs fid�les
\[
\Ho \big(\Modu (\E(A),\E(A'))\big) \ra \big(\aiModust (A,A') \big)[Qis^{-1}] \arr{K} \big(\aiModu (A,A') \big)[Qis^{-1}]
\]
le foncteur $K$ est plein. Il est donc une �quivalence.
\findem

Homot_aialg.tex
{\noindent \bf Introduction}\\

\noindent Rappelons trois r�sultats classiques
sur les $\ai$-alg�bres :
\english \begin{itemize}
\item[{\it 1.}]{\it (Relation d'homotopie)}
La relation d'homotopie sur les $\ai$-morphis\-mes est une relation d'�quivalence
(\ref{corollaire_cmf_aia}~{\it a}).
\item[{\it 2.}] {\it ($\ai$-quasi-isomorphisme)} 
Tout $\ai$-quasi-isomorphisme d'$\ai$-alg�bres est inversible � homotopie
pr�s (\ref{corollaire_cmf_aia}~{\it b}).
\item[{\it 3.}] {\it (Mod�le minimal)} Toute $\ai$-alg�bre admet un mod�le minimal
(\ref{corollaire_modele_minimal}).
\end{itemize}\francais
Dans la litt�rature, les r�sultats {\it 1} et {\it 2} sont d�montr�s pour les $\ai$-alg�bres v�rifiant
certaines conditions sur leur graduation ou leur connexit�
(voir les r�f�rences figurant dans le corps du chapitre).
Le but de ce chapitre est de les g�n�raliser aux $\ai$-alg�bres quelconques.\\

{\noindent \bf Plan du chapitre}\\

\noindent Le chapitre est divis� en quatre sections.
Dans la section \ref{section_notations}, on fixe les notations
et on d�finit les alg�bres libres et les cog�bres tensorielles.

Dans la section \ref{section_definition_ai-algebres}, on d�finit les $\ai$-alg�bres, les
$\ai$-morphismes et les homotopies entre $\ai$-morphismes.
On rappelle les constructions bar et cobar (\ref{construction_bar_cobar}). 
% On �tudie ensuite la th�orie de l'obstruction des $\ai$-alg�bres.
% Il s'agit de mesurer l'obstruction � la construction par r�currence des
% morphismes gradu�s $m_i $, $i\geq 1,$ d�finissant une $\ai$-structure sur un objet gradu�
% (\ref{extension_nstructure_algebres}). De mani�re analogue, on �tudie l'obstruction � la construction
% par r�currence des $\ai$-morphismes (\ref{extension_nstructure_morphismes}).
% Cette obstruction est fonctorielle par rapport aux morphismes stricts (\ref{fonctorialite_obstruction}). 
% La th�orie de l'obstruction doit son existence au fait que l'op�rade des $\ai$-alg�bres
% est un mod�le cofibrant minimal au sens de M.~Markl \cite{Markl96}
% pour l'op�rade des alg�bres associatives. Cependant nous n'adopterons pas ce point de
% vue lui pr�f�rant une approche na�ve.

Dans la section \ref{section_cmf_cocog}, nous montrons le r�sultat principal (\ref{theoreme_cmf_cocog})
de ce chapitre :\\

{\em \noindent La cat�gorie $\cocog$ des cog�bres diff�rentielles gradu�es cocompl�tes admet une structure
de cat�gorie de mod�les qui la rend Quillen-�quivalente � la cat�gorie de mod�les $\alg$ des
alg�bres diff�rentielles gradu�es. Tous les objets de $\cocog$ sont cofibrants et les objets
fibrants de $\cocog$ sont ceux qui, en tant que cog�bres gradu�es, sont isomorphes � des cog�bres
tensorielles r�duites}.\\

\noindent 
La d�monstration du fait que la cat�gorie $\cocog$ admet une telle structure
nous a �t� inspir�e du travail de V.~Hinich \cite{Hinich01}.
Nous consid�rons des objets filtr�s et �tudions dans ce cadre les propri�t�s des constructions
bar et cobar.
La caract�risation des objets cofibrants sera imm�diate car les cofibrations sont
les injections. La caract�risation des objets fibrants sera un r�sultat plus
profond, cons�quence du th�or�me (\ref{theoreme_cmf_aia}) :
{\em la cat�gorie des $\ai$-alg�bres $\aia$ admet une structure de ``cat�gorie
de mod�les sans limites'' dont la classe des �quivalences faibles est form�e
des $\ai$-quasi-isomorphismes.}

Notre d�monstration de ce r�sultat sera enti�rement bas�e sur la th�orie de l'obstruction
(voir appendice \ref{section_obstruction}). Elle peut donc �tre interpr�t�e comme une
cons�quence du fait que l'op�rade des $\ai$-alg�bres est un mod�le
cofibrant minimal au sens de M.~Markl \cite{Markl96}
pour l'op�rade des alg�bres associatives.



Les $\ai$-alg�bres s'identifient par la construction bar aux objets
fibrants et cofibrants de $\cocog$. Les r�sultats {\it 1} et {\it 2} cit�s plus
haut appara�tront alors comme des cas particuliers de r�sultats fondamentaux de l'alg�bre
homotopique de Quillen (voir appendice \ref{section_rappels_cmf}).



Dans la section \ref{section_transfert_structures}, nous remontrons (\ref{corollaire_modele_minimal})
le r�sultat {\it 3} (mod�le minimal).
Notre d�monstration utilisera la th�orie de l'obstruction.
Ensuite, nous comparons (\ref{lemme_modele_minimal_I}) un mod�le minimal obtenu ainsi avec celui
obtenu gr�ce au lemme de perturbation (voir par ex.~\cite{Huebschmann91a}). 


%
%
%
%
%
%
%



\section{Rappels et notations} \label{section_notations}


\subsection{Objets diff�rentiels gradu�s}

\noindent Nous fixons des notations que nous utiliserons tout au long de ce chapitre.\\


{\noindent \bf La cat�gorie de base}\\ \label{categorie_de_base}

\noindent Soit $\corps$ \indexnotation{corps} un corps. Soit $\sf C$ \indexnotation{C0}
une cat�gorie $\corps$-lin�aire ab�lienne, semi-simple,
cocompl�te, aux colimites filtrantes exactes (i.e.~une $\corps$-cat�gorie de Grothen\-dieck
semi-simple). Nous supposons en outre que $\sf C$ est munie d'une structure de
cat�gorie mono�dale $\corps$-bilin�aire donn�e par un foncteur \indexnotation{ts}
\[
\ts : \sf C \times \sf C  \ra \sf C,
\]
un objet neutre \indexnotation{e}  $e$,  et des contraintes d'associativit� et d'unitarit�
\[
X\ts (Y \ts Z) \iso (X \ts Y) \ts Z,  \hspace{1cm} X \ts e \iso X  \iso e \ts X, \hspace{1cm} X,Y,Z \in \sf C.
\]
Nous supposons que pour tout objet $X$ de $\sf C$, les foncteurs $X \ts \?$ et $\? \ts X$
sont exacts et commutent aux colimites filtrantes.

La cat�gorie des $\corps$-espaces vectoriels v�rifie bien s�r ces hypoth�ses. La raison pour
laquelle nous travaillons dans un cadre plus g�n�ral est l'apparition naturelle d'autres
exemples dans l'�tude des $\ai$-cat�gories (voir le chapitre \ref{chapitre_ai_cat}).\\


{\noindent \bf Objets gradu�s}\\

\noindent Un {\em objet gradu�} \index{objet gradu�}
(sur $\sf C$) est une suite $M = (M^p)_{p\in \Z}$ d'objets de $\sf C$.
Soit deux objets gradu�s $M$ et $L$. 
La {\em cat�gorie}  $\gr \sf C$ \indexnotation{grC} des objets gradu�s a pour 
espace des morphismes de $M$ dans $L$
l'espace vectoriel $\Z$-gradu� de composantes
\[
\Hom_{\gr \sf C} (M,L)^r = \prod_p \Hom_{\scriptsize \sf C}(M^p, L^{p+r}), \hspace{1cm} r \in \Z.
\]
On appelle {\em morphismes gradu�s de degr� $r$} les �l�ments de la $r$-i�me composante.
Le {\em produit tensoriel} de deux objets gradu�s $M$ et $L$ a pour
composantes
\[
(M\ts L)^n = \bigoplus_{p+q=n} M^p \ts L^q, \hspace{1cm} n \in \Z.
\]
Soit $f : M \ra M'$ et $g : L \ra L'$ deux morphismes gradu�s de degr� $r$ et $s$.
Le {\em produit tensoriel}
\[
f \ts g : M \ts L \ra M' \ts L'
\] 
est le morphisme de degr� $r+s$ dont la $n$-i�me composante est induite par les morphismes
\[
(-1)^{ps} f^p \ts g^q : M^p \ts L^q \ra M'^{p+r} \ts L'^{q+s}, \hspace{1cm} p+q = n.
\]
%
L'�l�ment neutre pour le produit tensoriel gradu� est l'objet gradu� dont toutes
les composantes sont nulles sauf la $0$-i�me, qui vaut $e$. Nous le notons aussi $e.$
La cat�gorie $\gr \sf C$ est ainsi munie d'une structure de cat�gorie mono�dale.
On d�finit le {\em foncteur suspension} \index{suspension} \indexnotation{S}
$S : \gr \sf C \ra \gr \sf C$ par
\[
(SM)^i = M^{i+1}, \hspace{1cm} i \in \Z.
\]
Nous notons \indexnotation{s}
\[
s_M : M \ra SM
\]
le {\em morphisme gradu� fonctoriel} de degr� $-1$ de composantes
\[
s_M^i = \Id_{M^i} : M^i \ra (SM)^{i-1}, \hspace{1cm} i\in \Z.
\]
Le morphisme $s^{-1}$ est not� $\si.$ \indexnotation{si} Remarquons l'�galit�
\[
\si \tp i \circ s \tp i = (-1)^{\frac{i(i-1)}{2}} \Id_{M \tp i}.
\]

{\noindent \bf Objets diff�rentiels gradu�s}\\ \label{complexes}

%
%
%  Complexes
%


\noindent Un {\em objet diff�rentiel gradu�} (ou {\em complexe})\index{complexe}
 est un couple $(M,d)$, o� $M$ est un  objet
gradu� et  $d$ est une {\em diff�rentielle}, c'est-�-dire un
endomorphisme de $M$ de degr� $+1$, tel que $d^2 = 0$.
Le {\em sous-objet}  $Z^iM = \ker d^i$ de $M^i$ 
est l'objet des {\em cycles} \label{cycle} de degr� $i$ du complexe $M$.
Le {\em sous-objet}  $B^iM = \im  d^{i-1}$ de $Z^iM$ 
est l'objet des {\em bords} \label{bord} de degr� $i$ du complexe $M$.
Si $(M,d_M)$ et
$(L,d_L)$ sont deux complexes, nous munissons l'espace des morphismes gradu�s
$\Hom_{\gr \sf C} (M,L)$ de la diff�rentielle  $\delta$ \label{delta} 
\indexnotation{del} dont les
composantes sont
\[
\begin{array}{rccl}
\delta^r  : & \Hom_{\gr \sf C} (M,L)^r & \ra & \Hom_{\gr \sf C} (M,L)^{r+1}, \hspace{1cm} r \in \Z.\\
& f & \mapsto &  d_L \circ f - (-1)^r f \circ d_M
\end{array}
\]
La {\em cat�gorie} $\cc \sf C$ \indexnotation{ccC}
a pour objets les complexes  et pour espaces de morphismes
\[
\Hom_{\sz \cc \sf C} (M,L) = Z^0 (\Hom_{\gr \sf C} (M,L),\delta).
\]
Si $M$ et $L$ sont deux complexes, on munit le produit tensoriel gradu�
$M \ts L$ de la diff�rentielle 
\[
d_{M\ts L} = d_M \ts \Id_L + \Id_M \ts d_L.
\]
Nous avons ainsi muni $\cc \sf C$ d'une structure de cat�gorie mono�dale
d'objet neutre l'objet gradu� $e$ muni de la diff�rentielle nulle.
Si $M$ est un complexe, nous munissons sa suspension $SM$ de la diff�rentielle
\[
d_{SM}=-s_M \circ  d_M \circ s_M^{-1}.
\]

%
%
%     Homologie
%
Le foncteur {\em homologie} $H : \cc \sf C \ra \gr \sf C$ envoie un complexe $M$
sur l'objet gradu� $HM$ de composantes
\[
H^i M = Z^iM / B^iM, \hspace{1cm} i\in \Z.
\]
Un {\em quasi-isomorphisme} de $\cc \sf C$
est un morphisme qui induit un isomorphisme en homologie. 
Un complexe est {\em acyclique} s'il est quasi-isomorphe � l'objet
nul.
%
%
%     Homotopie 
%
Deux morphismes de complexes $f,g : M\ra L$ sont
{\em homotopes} \index{homotopie} s'il existe un
morphisme $r : M \ra L$ de degr� $-1$ tel que $\del r = f - g$.
L'homotopie est une relation d'�quivalence.
La {\em cat�gorie}  $\ch \sf C$ a pour objets les complexes et pour
espaces de morphismes de $M$ dans $L$ les classes d'homotopie de morphismes de
la cat�gorie $\cc \sf C$ :
\[
\Hom_{\scriptsize \ch \sf C} (M,L) = H^0(\Hom_{\gr \sf C} (M,L),\delta).
\]
Nous notons encore $H : \ch \sf C \ra \gr \sf C$ le foncteur induit par
le foncteur homologie.
%
%
%
%
%   subsection{Alg�bres et cog�bres}
%
%
%
%

\subsection{Alg�bres et cog�bres}


%
%
%
%
{\noindent \bf  Alg�bres}\\

%
%
%
%
%
Soit $\sf M$ l'une des cat�gories  $\sf C$, $\gr \sf C$ ou $\cc \sf C$.
Une {\em alg�bre}\index{algebre@{alg�bre}} $(A,\mu)$ dans $\sf M$
est un objet $A$ muni d'une
multiplication $\mu : A \ts A \ra A$ associative (et de degr� $0$ si $\sf M = \gr \sf C$). 
D�finissons $\mu^{(2)} = \mu$, et pour tout $n\geq 3$,
$ \mu^{(n)} :  A\tp n \ra A$ par
\[
\mu^{(n)} = \mu (\Id \ts \mu^{(n-1)}).
\]
Pour $n\geq 1$, on appelle $\coker \mu^{(n+1)}$ l'{\em alg�bre des $n$-irr�ductibles}
\index{irr�ductible} de $A$.


%
Soit $f,g: A\ra B$ deux morphismes d'alg�bres.
Une {\em $(f,g)$-d�rivation} \index{derivation@{d�rivation}}
est un morphisme $D : A\ra B$  v�rifiant la r�gle de Leibnitz
\[
D \circ \mu = \mu \circ (f\ts D + D \ts g).
\]
Une {\em d�rivation} de l'alg�bre $A$  est une $(\Id_A ,\Id_A)$-d�rivation.


%
%
%  D�finitions : Alg�bres libres
%
%
%
%
%
%
%
Soit $V$ un objet gradu� de $\sf M.$ L'{\em alg�bre tensorielle r�duite sur $V$}
\index{tensorielle r�duite (alg�bre)} \index{algebre@{alg�bre}!tensorielle r�duite} \indexnotation{bTV}
est l'objet 
\[
\b TV = \bigoplus_{i\geq 1} V\tp i
\]
muni de la multiplication $\mu$ dont les composantes
\[
V \tp i \ts V\tp j \ra V\tp{i+j} \ra \b TV
\]
sont donn�es par la contrainte d'associativit� de la cat�gorie mono�dale
$\sf M.$ 
Une alg�bre $A$ de $\sf M$ est {\em
libre}\index{algebre@{alg�bre}!libre} \index{libre!alg�bre}
si elle est isomorphe � $\b TV$ pour un objet $V$ de $\sf M.$
Nous avons alors $V \iso \coker \mu_A.$

%
\begin{lemme}[propri�t� universelle de l'alg�bre tensorielle]
\label{algebres_libres} \hspace*{1cm}\\
Soit $(A,\mu)$ une alg�bre. Pour $n\geq 1$, nous notons $j_n : V\tp n \ra \b T(V)$
l'injection canonique.
\begin{enumerate}
\item[a.] L'application $f \mapsto f \circ j_1$ est une bijection de l'ensemble
des morphismes d'alg�bres $\b T(V) \ra A$ sur l'ensemble des morphismes $V \ra A$ de $\sf M$
(de degr� $0$ si $\sf M = \gr \sf C$). 
L'application inverse associe � $g : V \ra A$ le morphisme
d'alg�bres $\mor g : \b TV \ra A$ dont la $n$-i�me  composante est 
\[
 V\tp n \arr{g\tp n} A \tp n \arr{\mu ^{(n)}} A, \hspace{1cm} n \geq 1.
\]
\item[b.] Soit $f,g : A \ra B$ deux morphismes d'alg�bres.
L'application $D \mapsto D \circ j_1$ est une bijection de l'ensemble des
$(f,g)$-d�rivations sur l'ensemble des morphismes $V \ra A$ de $\sf M$. 
 L'application inverse associe � $h : V \ra A$ la $(f,g)$-d�rivation
$\der h : \b TV \ra A$ dont dont la $n$-i�me  composante est 
\[
\mu^{(n)}\circ  \left(  \sum_{l+1+j=n}(f^{\ts l}\ts h\ts g^{\ts
j})\right), \hspace{1cm} n \geq 1.
\]
\hspace*{1cm} \findem
\end{enumerate}
\end{lemme}
%
%
%
Une {\em alg�bre gradu�e} \index{algebre@{alg�bre}!gradu�e} (resp.~{\em diff�rentielle gradu�e})
\index{algebre@{alg�bre}!diff�rentielle gradu�e} \label{definition_alg} est une alg�bre de la cat�gorie $\gr \sf C$
(resp.~de la cat�gorie $\cc \sf C$). 
Nous notons $\alg$ \indexnotation{alg} la cat�gorie des
alg�bres diff�rentielles gradu�es. Un morphisme de $\alg$
est un {\em quasi-isomorphisme} s'il induit un isomorphisme
en homologie.
Une alg�bre diff�rentielle gradu�e est
{\em presque libre}\index{algebre@{alg�bre}!presque libre} \index{presque libre!algebre@{alg�bre}}
si elle est libre en tant qu'alg�bre gradu�e.
Deux morphismes $f,g :A \ra B$ de $\alg$ sont
{\em homotopes}{\index{homotopie}} s'il
existe  une $(f,g)$-d�rivation  $H :A \ra B$ gradu�e de degr�
$-1$ telle que
\[
f - g = dH + Hd.
\]
Il r�sultera de la proposition \ref{proposition_cmf}
appliqu�e � l'exemple \ref{cmf_algebres} que, si l'alg�bre $A$ est presque libre,
la relation d'homotopie est
une relation d'�quiva\-lence sur l'ensemble des morphismes d'alg�bres de $A$ dans $B$. \\
%
%
%
%
%
%     Cog�bres
%
%
%

{\noindent \bf Cog�bres}\\

Une {\em cog�bre} \index{cogebre@{cog�bre}} dans  $\sf M$
est la  donn�e d'un objet $C$  muni  d'une comultiplication
$\Delta:C\ra C\ts C$ co-associative, i.~e.~$(\Delta \ts \Id)\Delta = (\Id \ts
\Delta) \Delta $. D�finissons $\Delta^{(2)} = \Delta$ et, pour tout $n\geq 3$,
$\Delta ^{(n)} : C \ra C  \tp{n}$ par
\[
\Delta ^{(n)} = (\Id \tp{n-2} \ts \Delta)\circ \Delta^{(n-1)}.
\]
Soit $n \geq 1.$ Le noyau $C \prim{n} = \ker \Delta^{(n+1)}$ est une sous-cog�bre de $C$ ; nous
l'appelons la {\em sous-cog�bre des $n$-primitifs} \label{primitifs} \indexnotation{prim}
\index{primitifs@{$n$-primitifs}}
de $C.$ La suite croissante de sous-cog�bres
\[
C \prim{1} \subset C \prim{2} \subset C \prim{3} \subset \cdots
\]
est la {\em filtration primitive}
\index{filtration!primitive} de la cog�bre
$C.$ La cog�bre $C$ est  {\em cocompl�te}\index{cocompl�te (cog�bre)}
\index{cogebre@{cog�bre}!cocompl�te}
si l'on~a
\[
\colim C \prim{i} = C.
\]
%
Soit $f$ et $g:C\ra B$ deux morphismes  de cog�bres. Une {\em
$(f,g)$-cod�rivation}\index{coderivation@{cod�rivation}}
est un morphisme $ D:C\ra B$  v�rifiant l'identit� duale de
la r�gle de Leibniz
\[
\Delta \circ D = (f\ts D+D \ts g)\circ \Delta .
\] 
Une {\em cod�rivation} de
$C$ est une $(\Id_C ,\Id_C)$-cod�rivation. \\

%
%
%
%  D�finition :  Cog�bres tensorielles r�duites
%
%
%
%
%
Soit $V$ un objet de $\sf M$. La {\em cog�bre tensorielle r�duite sur $V$}
\index{tensorielle r�duite (cog�bre)} \index{cogebre@{cog�bre}!tensorielle r�duite} \indexnotation{ctr}
est l'objet
\[
\ctr V = \bigoplus_{i\geq
1} V \tp i
\]
muni de la comultiplication dont la $n$-i�me composante
\[
V\tp{n} \arr{} \oplus_{i+j=n}V \tp i \ts V\tp j \arr{} \ctr V \ts \ctr V,
\]
est la somme des morphismes $V\tp{n} \ra V \tp i \ts V\tp j$ donn�s par
la contrainte d'associativit� de la structure mono�dale de $\sf M.$
Remarquons que si $C$ est isomorphe � une cog�bre
tensorielle r�duite, elle est isomorphe � $\ctr (C \prim{1})$. Les
cog�bres tensorielles  r�duites sont cocompl�tes.  \\
%
\begin{lemme}[propri�t� universelle de la cog�bre tensorielle]
\label{cogebres_tensorielles} \hspace*{1cm} \\
Soit $C$ une cog�bre cocompl�te. Pour $n \geq 1$, nous notons
$p_n:\ctr (V)\ra V^{\ts n}$ la
projection canonique.
\english
\begin{itemize}
\item[a.] L'application $f \mapsto p_1\circ f$ est une bijection de l'ensemble
des morphismes de cog�bres
sur l'ensemble des morphismes  $C \ra V$ de $\sf M$ (de degr� $0$ si $\sf M = \gr \sf C$).
L'application inverse associe � $g:C \ra V$ le morphisme de cog�bres
$\mor g : C \ra \ctr V$  dont la $n$-i�me composante est
\[
C \arr{\Delta^{(n)}} C \tp n \arr{g \tp n} V\tp n, \hspace{1cm} n\geq 1.
\]

\item[b.] Soit $f,g : C \ra \ctr V$ deux morphismes de cog�bres.
L'application $D\mapsto p_1\circ D$ est une bijection de l'ensemble des
$(f,g)$-cod�rivations $C \ra \ctr V$ sur l'ensemble des morphismes $C \ra V$.
L'application inverse associe  � $h:C\ra V$ la
$(f,g)$-cod�rivation $\cod{h} : C \ra \ctr V$ 
dont la $n$-i�me composante est
\[
\left( \sum_{l+1+j=n}(f^{\ts l}\ts h\ts
g^{\ts j})\right) \circ \Delta^{(n)}, \hspace{1cm} n\geq 1.
\]
\hspace*{1cm} \findem
\end{itemize}
\francais
\end{lemme}

\begin{remarque}{\em
L'isomorphisme canonique 
\[
e \arr{\sim} e \ts e
\]
fait de $C = e$ une cog�bre. Elle n'est pas cocompl�te. Aucun morphisme
non nul $C \ra V$ ne se rel�ve en un morphisme de cog�bres $C\ra \ctr V.$
}\end{remarque}

%
%
%
Nous notons $\cog $ \label{cog} la cat�gorie des cog�bres diff�rentielles
gradu�es et  $\cocog$ \label{cogc} la sous-cat�gorie de $\cog$ form�e des cog�bres
cocompl�tes.
Deux morphismes $f,g :C \ra B$ de cog�bres diff�rentielles gradu�es
sont {\em homotopes}\index{homotopie} s'il
existe  une $(f,g)$-cod�rivation gradu�e  $H :C \ra B$ de degr� $-1$ 
telle que 
\[
f - g = dH + Hd.
\]
Il r�sultera du th�or�me \ref{theoreme_cmf_cocog} et du lemme \ref{lemme1_cmf}
que, si la cog�bre gradu�e sous-jacente � $B$ est isomorphe � une cog�bre gradu�e
tensorielle r�duite, l'homotopie est une relation d'�quivalence sur l'ensemble des morphismes
de cog�bres de $C$ dans $B.$
%
%
%
%
%
%
%      section{$\ai $-alg�bres et $\ai$-cog�bres}
%
%
%
%
%
%

\section{$\ai $-alg�bres et $\ai$-cog�bres} \label{section_definition_ai-algebres}

% \lhead[\thepage]{{\sl \thesection : $\ai $-alg�bres et $\ai$-cog�bres}}

%
%
%
%
\subsection{D�finitions}


%
%
%
\begin{definition} \label{definition_ai-algebre} {\em 
Soit $n$ un entier $\geq 1.$ Une {\em $\rm{A}_n$-alg�bre}
\index{A-n alg�bre@{$\rm{A}_n$-alg�bre}}
 est un objet $A$ de $\gr \sf C$ muni d'une famille de morphismes
gradu�s
\[
m_i:A^{\ts i}\ra A, \hspace{1cm} 1 \leq i \leq n,
\] 
de degr� $2-i$ v�rifiant, pour tout $1 \leq m\leq n$, l'�quation
\[
 (*_m) \hspace{1cm}\sum (-1)^{jk+l}m_i(\Id^{\ts j}\ts m_k\ts \Id^{\ts l})= 0 
\]
dans $\Hom_{\gr \sf C} (A\tp{m}, A)$, o� les entiers $i,j,k,l$ sont  tels que
$j+k+l=m$ et $i=j+1+l$.
Une {\em $\ai$-alg�bre} \index{A-infini algebre@{$\ai$-alg�bre}}
 (ou {\em alg�bre fortement homotopiquement
associative}) 
est un objet $A$ de $\gr \sf C$ muni de morphismes gradu�s $m_i:A^{\ts i}\ra A$, $i\geq 1$,
de degr� $2-i$ v�rifiant l'�quation $(*_m)$ pour tout $m\geq 1$. 
}
\end{definition}
%
%
%
\begin{definition} \label{definition_ai-morphisme} {\em 
Un {\em $\rm{A}_n$-morphisme} d'$\rm{A}_n$-alg�bres
\index{A-n morphisme@{$\rm{A}_n$-morphisme}}
$f:A \ra B$  est une famille de morphismes gradu�s 
\[
f_i:A^{\ts i}\ra B, \hspace{1cm} 1 \leq i \leq n ,
\]
de degr�  $1-i$ v�rifiant, pour tout $1 \leq m \leq n$,
l'�quation
\[
 (**_m) \hspace{1cm}\sum (-1)^{jk+l}f_i(\Id^{\ts j}\ts m_k\ts \Id^{\ts l}) = \sum (-1)^s
m_r (f_{i_1}\ts \hdots \ts f_{i_r}) 
\]
dans $\Hom_{\gr \sf C} (A\tp{m},B)$, o� les entiers $i,j,k,l$ dans la somme de
gauche sont tels que $j+k+l=m$ et $i=j+1+l$ et
\[
s = \sum_{2\leq u\leq r}\Big((1-i_u)\sum_{1\leq v \leq u}i_v\Big).
\]
Un $\rm{A}_n$-morphisme $f$
 est {\em strict}
\index{strict (A-infini morphisme)@{strict ($\ai$-morphisme)}}
\index{A-infini morphisme@{$\ai$-morphisme}!strict}
si $f_i = 0$ pour tout $i \geq 2$.
 La {\em composition} d'un $\rm{A}_n$-morphisme $f:A \ra B$ avec un $\rm{A}_n$-morphisme
$g:B \ra C$ est d�finie par
\[
(gf)_m = \sum_r \sum_{i_1+..+i_r=m} (-1)^s g_r(f_{i_1}\ts \hdots \ts
f_{i_r})
\]
en tant que morphisme de $A\tp{m}$ sur $C$, o� $s$ est le m�me signe que
pr�c�demment.
L'{\em identit�} de l'$\rm{A}_n$-alg�bre $A$ est le $\rm{A}_n$-morphisme
tel que $f_1 = \Id_A$ et $f_i = 0$ si $2 \leq i\leq m$.
Un {\em $\ai$-morphisme} 
\index{A-infini morphisme@{$\ai$-morphisme}}
est une famille de morphismes gradu�s $f_i:A^{\ts i}\ra B$, $i \geq 1$, de degr� $1-i$
v�rifiant l'�quation $(**_m)$ pour tout $m \geq 1.$
Pour les $\ai$-alg�bres, les composantes de la composition et
de l'identit� sont d�finies
par les m�mes formules que pour les $\rm{A}_n$-alg�bres..
}
\end{definition}








%
Il r�sultera de la section \ref{construction_bar_cobar} qu'on obtient
ainsi une cat�gorie.
Notons $\aia$ \indexnotation{aia} la {\em cat�gorie des $\ai$-alg�bres}. De m�me, pour
tout $n \geq 1$, on obtient la {\em cat�gorie $\alg_n$ des $\rm{A}_n$-alg�bres}.
\\[.2cm]
%
\begin{remarque}\label{remarque1_definition_aia} {\em
La d�finition des $\ai$-alg�bres implique les
formules suivantes  qui expliquent l'autre appellation d'une
${\ai}$-alg�bre: alg�bre fortement homotopiquement associative.
L'�galit�
\[
(*_1)  \hspace{1cm} m_1 \,m_1=0
\]
montre que $(A,m_1)$ est un complexe. L'�galit�
\[
(*_2)  \hspace{1cm} m_1 \, m_2 = m_2 \,(m_1 \ts \Id + \Id\ts m_1)
\]
de morphismes  $A\tp{2} \ra A$ signifie que la diff�rentielle $m_1$ est une
d�rivation  pour la  multiplication $m_2$.
L'�galit�
\[
(*_3)  \hspace{.5cm}  m_2 (m_2 \ts \Id - \Id\ts m_2) = 
 m_1 m_3 + m_3\, (m_1 \ts \Id \ts \Id + \Id\ts m_1 \ts \Id + \Id \ts \Id\ts m_1)
\] 
de morphismes $A\tp{3} \ra A$ exprime que le
d�faut d'associativit� de $m_2$ est �gal au bord de
$m_3$  dans le complexe 
\[
\Hom_{\gr \sf C}((A,m_1)\tp{3},(A,m_1)).
\]
Ceci signifie que l'objet gradu� $A$ muni de la multiplication $m_2$
est une {alg�bre dont la multiplication est associative � homotopie pr�s}.


 De m�me, la d�finition d'un $\ai$-morphisme $f:A\ra B$ implique les
formules suivantes. L'�galit� 
\[
(**_1)  \hspace{1cm} f_1 m_1= m_1 f_1
\]
signifie que le morphisme gradu�
$f_1$ est un morphisme de complexes. L'�galit� 
\[
(**_2)   \hspace{1cm} f_1 m_2 = m_2 \, (f_1 \ts f_1) + m_1 f_2 + f_2 \, (m_1 \ts \Id
+ \Id\ts m_1)
\]
signifie que le
d�faut de compatibilit� de $f_1$ aux multiplications de $A$ et $B$
est mesur� par le bord de $f_2$ dans 
\[
\Hom_{\gr \sf C}((A,m_1)\tp{2},(B,m_1)).
\]
}
\end{remarque}
%
%
%
%
%
%
%


\begin{remarque}\label{remarque_ai-structure_complexe}
{\em 
Si $(V,d)$ est un complexe,
les morphismes 
\[
m_1 = d, \hspace{1cm} m_i = 0\quad  \rm{ pour }\quad i \geq 2
\]
d�finissent une structure d'$\ai$-alg�bre sur $V$.
La cat�gorie $\cc \sf C$ des complexes est
une sous-cat�gorie non pleine de $\aia$.}
\end{remarque}



\begin{remarque}\label{remarque_ai-structure_alg}{\em 
Si $((A,d),m)$ est une alg�bre diff�rentielle gradu�e,
les morphismes 
\[
m_1 = d, \hspace{1cm} m_2 = m, \hspace{1cm} m_i = 0\quad  \rm{ pour } \quad i \geq 3
\]
d�finissent une structure d'$\ai$-alg�bre sur $A$.
R�ciproquement, si dans une $\ai$-alg�bre
$A$, les multiplications $m_i$ sont nulles pour $i\geq 3$, le complexe
$(A,m_1)$ muni de la multiplication $m_2 : A \ts A \ra A$ est une alg�bre diff�rentielle
gradu�e. La cat�gorie $\alg$ des alg�bres diff�rentielles gradu�es est
une sous-cat�gorie non pleine de $\aia$.}
\end{remarque}

%
\begin{definition}
{\em Un {\em $\ai$-quasi-isomorphisme}
\index{A-infini quasi-isomorphisme@{$\ai$-quasi-isomorphisme}}
 $f$ est un $\ai$-morphisme tel
que $f_{1}$ est un quasi-isomorphisme de complexes.}
\end{definition}


\begin{definition}\label{definition_homotopie_ai-morphismes}
{\em
Soit $A$ et $A'$ deux $\ai$-alg�bres.
Soit $f$ et $g$ deux $\ai$-morphismes $A \ra A'.$
Une {\em homotopie entre $f$ et $g$}
\index{homotopie!A-infini-morphismes@{$\ai$-morphismes}}
est une famille de morphismes
\[
h_i:A^{\ts i}\ra B, \hspace{1cm} 1 \leq i ,
\]
de degr�  $-i$ v�rifiant, pour tout $1 \leq n$,
l'�quation $(***_n)$
\[
\begin{array}{rcl}
 f_n - g_n & = & \sum (-1)^s
m_{r+1+t} (f_{i_1}\ts \hdots \ts f_{i_r} \ts h_{k} \ts g_{j_1}\ts \hdots \ts g_{i_t})\\ 
& & + \sum (-1)^{jk+l}h_i(\Id^{\ts j}\ts m_k\ts \Id^{\ts l})
\end{array}
\]
dans $\Hom_{\gr \sf C} (A\tp{n},B)$, o� la somme des entiers $i_1, 
\hdots i_r, k, j_1, \hdots j_t$ vaut $n$, o� $j+k+l = n$ et
o�
\[
s = t + \sum_{1\leq \alpha \leq t}(1-j_{\alpha})(n-\sum_{u\geq \alpha}j_u) + k \sum_{1 \leq u \leq r}i_u
+ \sum_{2\leq \alpha \leq r}(1-i_{\alpha})\sum_{u < \alpha}i_u.
\]
Deux $\ai$-morphismes d'$\ai$-alg�bres $f$ et $g$ sont {\em homotopes} si il existe une homotopie
entre $f$ et $g$. 
}
\end{definition}

%
%
%
%
%
%
%
%  D�finition :  $\ai$-cog�bres
%
%
%
%
%
%
%
%
\begin{definition}\label{definition_ai-cogebre} {\em 
 Une {\em $\ai$-cog�bre}\index{A-infini cog�bre
@{$\ai$-cog�bre}} (ou {\em
cog�bre fortement homotopiquement co-associative}) est un objet  $C$ de $\gr \sf C$
muni d'une famille de morphismes gradu�s
\[
\Delta_i : C \ra C \tp i, \hspace{1cm} i \geq 1,
\]
de degr� $2-i$ telle que le morphisme
\[
S^{-1}C \arr{} \prod_{i\geq 1}(S^{-1}C)\tp i
\]
dont les composantes sont les
\[
- \si \tp i \circ \Delta_i \circ s \hspace{1cm} (\mbox{o�}  \hspace{.3cm} \si = s^{-1})
\]
se factorise par le monomorphisme
\[
\bigoplus_{i\geq 1}(S^{-1}C)\tp i \arr{} \prod_{i\geq 1}(S^{-1}C)\tp i
\]
et que, pour tout $m\geq 1$, on a
\[
\sum (-1)^{i+jk}(\Id \tp i \ts \Delta_j \ts \Id \tp k)\Delta_l = 0,
\]
o� les les entiers $i,j,k,l$ dans la somme de
gauche sont tels que $i+j+k=m$ et $l=i+1+k$. 

La construction cobar ci-dessous permettra de mieux comprendre cette d�finition.
}
\end{definition}



%
%
%
%
%
%
%
\subsection{Constructions bar et cobar} \label{construction_bar_cobar}
%
%
%
%
%
%
%
La construction bar est due � S.~Eilenberg et S.~Mac Lane \cite{Eilenberg53} pour les alg�bres diff�rentielles
gradu�es (voir aussi \cite{Cartan55}) et � J. Stasheff \cite{Stasheff63b} pour les $\ai$-alg�bres.
Elle permet, entre autres, de reformuler la d�finition des $\ai$-structures.
Elle donne aussi une explication (\ref{remarque_signes}) des signes apparaissant dans les �quations
$(*_m)$ de la d�finition des $\ai$-alg�bres.
La construction cobar est l'analogue de la construction bar
dans le cas des $\ai$-cog�bres \cite{Adams56}.\\
%
%
%
%
%


{\noindent \bf Construction bar}\\


Soit $A$ un objet gradu�. Soit une famille de morphismes gradu�s
\[
m_i : A \tp i \ra A, \hspace{1cm} i\geq 1,
\]
de degr� $2-i.$ Pour tout $i\geq 1$,
nous d�finissons une bijection
\[
\begin{array}{rcl}
\Hom_{\gr \sf C} (A\tp i ,A) &\ra &\Hom_{\gr \sf C}((SA)\tp i, SA) \\
m_i & \mapsto & b_i
\end{array}
\]
par la relation
\[
b_i = - s \circ m_i \circ \si \tp i \hspace{1cm} \mbox{o�}  \hspace{1cm} \si = s^{-1}.
\]
% par le diagramme commutatif
% \[
% \xymatrix{A\tp i \ar[r]^{m_i} \ar[d]_{s\tp i} & A \ar[d]^s\\
% (SA)\tp i \ar[r]_{b_i} & SA .
% }
% \]
Remarquons que le morphisme
$b_i$ est de degr� $+1.$\\

Soit $\ctr (SA)$ la cog�bre tensorielle r�duite gradu�e sur $SA$.
En vertu du lemme \ref{cogebres_tensorielles}, le morphisme
\[
\bigoplus_{i\geq 1} (SA) \tp i \ra SA
\]
de composantes les $b_i$ se rel�ve en une unique cod�rivation
\[
b : \ctr (SA) \arr{} \ctr (SA).
\]

\begin{lemme}[J.~Stasheff \cite{Stasheff63b}] \label{bar}
Les propositions suivantes sont �quivalentes :
\begin{enumerate}
\item[a.] Les $m_i$ d�finissent une structure de $\ai$-alg�bre sur $A$.
\item[b.] Pour chaque $m\geq 1$, l'�quation suivante est v�rifi�e
\[
\sum_{\substack{j+k+l = m\\j+1+l = i}} b_i(\Id \tp j \ts b_k \ts \Id \tp l) = 0.
\]
\item[c.] La cod�rivation $b$ est une diff�rentielle, i.~e.~$b^2 = 0$.
\end{enumerate} 
\end{lemme}
%
%
%
%
\dem L'�quivalence entre les deux premiers points r�sulte des
�galit�s suivantes dans $\Hom_{\gr \sf C}(A\tp i ,SA)$ 
\[
\begin{array}{ccl}
b_i \circ (\Id\tp{j} \ts b_k \ts \Id\tp{l}) & = & s m_i \si \tp i \circ (\Id\tp{j} \ts
s m_k \si \tp k \ts \Id\tp{l})\\ & = &
(-1)^l\ s m_i \circ (\si \tp{j} \ts (m_k\circ \si \tp{k}) \ts \si \tp{l})\\ & = &
(-1)^{l+jk}\
s m_i \circ (\Id\tp{j} \ts m_k \ts \Id\tp{l}) \circ \si \tp n. 
\end{array}
\]
Comme la cod�rivation $b$ est de degr� impair, son carr� est encore une cod�rivation. Par
le lemme \ref{cogebres_tensorielles}, nous avons donc $b^2 = 0$ si et seulement si $p_1b^2 = 0.$
Ceci montre l'�quivalence des deux derniers points.
\findem \\





\begin{remarque}[signes]{\em \label{remarque_signes}
Le choix de la bijection $m_i \lra b_i$  n'est
pas canonique. Un autre choix donnerait d'autres signes dans les �quations
$(*_m)$ de la d�finition \ref{definition_ai-algebre}.
}
\end{remarque} 


\begin{definition}\label{definition_construction_bar}{\em
La cog�bre diff�rentielle gradu�e $(\ctr(SA),b)$ associ�e � une
$\ai$-alg�bre $A$ est not�e $BA$ et s'appelle la {\em construction bar}
\index{construction bar} \indexnotation{B} \indexnotation{b} de $A.$}
\end{definition}


Soit $A$ et $A'$ deux $\ai$-alg�bres. 
Pour tout $i\geq 1$, nous d�finissons une bijection
\[
\begin{array}{rcl}
\Hom_{\gr \sf C} (A\tp i ,A') &\ra &\Hom_{\gr \sf C}((SA)\tp i, SA') \\
\end{array}
\]
par la relation
\[
\si \circ F_i = (-1)^{|F_i|} f_i \circ \si \tp i
\]
o� $F_i$ est un morphisme gradu� de degr� $|F_i|.$
% par le diagramme commutatif
% \[
% \xymatrix{A\tp i \ar[r]^{f_i} \ar[d]_{s\tp i} & A' \ar[d]^s\\
% (SA)\tp i \ar[r]_{F_i} & SA' .
% }
% \]
Soit une famille de morphismes gradu�s
\[
f_i : A \tp i \ra A', \hspace{1cm} i\geq 1,
\]
de degr� $1-i.$
Soit
\[
F : BA \arr{} BA'
\]
le morphisme de cog�bres gradu�es qui rel�ve le morphisme
\[
\bigoplus_{i\geq 1}(SA) \tp i \arr{} SA'
\]
de composantes les $F_i.$ Une d�monstration similaire � celle du lemme
\ref{bar} montre que les $f_i$ d�finissent un morphisme d'$\ai$-alg�bres si
et seulement si $F$ est compatibles aux diff�rentielles.
Ainsi, les �quations $(**_m)$ sont la traduction du fait que la $(F,F)$-cod�rivation
$F \circ b_{BA} - b_{BA'} \circ F$ s'annule.\\


% construction bar pour l'homotopie entre les morphismes



Soit $A$ et $A'$ deux $\ai$-alg�bres.
Soit $f$ et $g$ deux $\ai$-morphismes d'$\ai$-alg�bres. Notons $F$ et $G$ les
morphismes de cog�bres $BA \ra BA'$ correspondant � $f$ et $g.$ Soit
$H : BA \ra BA'$ une $(F,G)$-cod�rivation de degr� $-1$. Elle est d�termin�e
(\ref{cogebres_tensorielles}) par sa compos�e avec la projection sur $SA'$
\[
p_1 \circ H : BA \ra SA'.
\]
dont les composantes  sont not�es
\[
H_i : (SA)\tp i \ra SA', \quad i \geq 1.
\]
Les bijections $F_i \lra f_i$ envoient les morphismes $H_i$ sur des morphismes
$h_i : A \tp i \ra A'$, $i\geq 1$. Ceci d�finit une bijection de
l'ensemble des $(F,G)$-cod�rivations de degr� $-1$ vers le produit des espaces de morphismes gradu�s
$A \tp i \ra A'$, $i\geq 1$, de degr� $-i.$
Cette bijection envoie une homotopie
$H : BA \ra BA'$ entre les morphismes de cog�bres $F$ et $G$ sur l'homotopie entre
les $\ai$-morphismes $f$ et $g$ d�finie par la famille
\[
h_i : A \tp i \ra A', \quad i \geq 1.
\]
Les �quations $(***_m)$ de la d�finition \ref{definition_homotopie_ai-morphismes}
sont la traduction de l'�quation $F - G = \del H.$\\



On obtient ainsi un foncteur $B : \aia \ra \cocog$ appel�
le foncteur {\em construction bar}. Il envoie des $\ai$-morphismes
homotopes sur des morphismes homotopes de cog�bres.
La construction bar induit une �quivalence entre la cat�gorie des $\ai$-alg�bres et la
sous-cat�gorie pleine de $\cocog$ form�e
des cog�bres diff�rentielles gradu�es dont la cog�bre gradu�e sous-jacente est
isomorphe � une cog�bre gradu�e tensorielle r�duite.\\


Soit $V$ un objet gradu� et $n\geq 1$. La sous-cog�bre des $n$-primitifs de $\ctr V$ a
pour espace gradu� sous-jacent
\[
\bigoplus_{1 \leq i \leq n} V\tp i.
\]
Nous notons $\pctr{n}V$ \indexnotation{pctr}
cette cog�bre. Un raisonnement analogue � celui que nous venons de faire
pour les $\ai$-alg�bres permet de construire un foncteur pleinement fid�le
\[
B_n :\alg_n \ra \cocog
\]
qui envoie une $\rm{A}_n$-alg�bre $A$ sur la cog�bre
diff�rentielle gradu�e $(\pctr n (SA),b)$, o� $b$ est la diff�rentielle
construite � l'aide de la bijection  $b_i \lra m_i.$ \\




%
%
%
%
%
%
%
%
%
%
%
%
%
%
%
%
%
%  Constructions COBAR
%
%
%
%
%
%
%
%
%
%
%
{\noindent \bf Construction cobar}\\

Soit $C$ un objet gradu�. 
Pour $i\geq 1$, d�finissons la bijection
\[
\begin{array}{rcl}
\Hom_{\gr \sf C} (C , C \tp i) & \arr{\sim} & \Hom_{\gr \sf C} (S^{-1}C,(S^{-1}C)\tp i)\\
\Delta_i & \mapsto & {D_i}
\end{array} 
\]
par la relation
\[
D_i = - \si \tp i \circ \Delta_i \circ s.
\]
% \[
% \xymatrix{S^{-1}C \ar[r]^{D_i} \ar[d]_{s} & (S^{-1}C)\tp i \ar[d]^{s\tp i}\\
% C \ar[r]_{\Delta_i} & C\tp i .
% }
% \]
Soit une famille de morphismes gradu�s
\[
\Delta_i : C \ra C \tp i, \hspace{1cm} i \geq 1,
\]
de degr� $2-i$ telle que le morphisme
\[
S^{-1}C \arr{} \prod_{i\geq 1}(S^{-1}C)\tp i
\]
dont les composantes sont les $D_i$, $i\geq 1$,
se factorise par le monomorphisme
\[
\bigoplus_{i\geq 1}(S^{-1}C)\tp i \arr{} \prod_{i\geq 1}(S^{-1}C)\tp i.
\] 
Gr�ce au lemme \ref{algebres_libres}, le morphisme gradu� $S^{-1}C \ra \b TS^{-1}C$
obtenue ainsi
s'�tend en une unique d�rivation d'alg�bres de $\b TS^{-1}C.$
A l'aide du lemme \ref{algebres_libres}, nous montrons qu'on a $D^2 = 0$ si et
seulement si les $\Delta_i$ d�finissent une structure d'$\ai$-cog�bre sur $C.$
Ainsi, les diff�rentielles de l'alg�bre $\b TS^{-1}C$ sont en bijection avec
les structures d'$\ai$-cog�bre
sur l'objet gradu� $C$.

\begin{definition}\label{definition_construction_cobar}{\em 
On note $\Omega C$ l'alg�bre diff�rentielle gradu�e $(\b TS^{-1}C,D)$ associ�e �
une $\ai$-cog�bre $C$. Elle s'appelle la {\em construction cobar}
\index{construction cobar} \indexnotation{Omega} de $C$.}
\end{definition}
La cat�gorie $\aic$ \indexnotation{aic} des $\ai$-cog�bres a pour objets les $\ai$-cog�bres. On d�finit
ses morphismes de telle mani�re que la construction cobar
\[
\Omega : \aic \arr{} \alg
\]
devienne un foncteur pleinement fid�le. La cat�gorie des cog�bres diff�rentielles
gradu�es s'identifie alors � une sous-cat�gorie (non pleine) de la cat�gorie des
$\ai$-cog�bres.

On note encore $B$ (resp.~$\Omega$) la restriction de la construction
bar (resp.~cobar) aux alg�bres (resp.~cog�bres cocompl�tes) diff�rentielles gradu�es.
%
%
%
%
\begin{lemme}\label{adjonction_bar_cobar}
Le foncteur $\Omega : \cocog \ra \alg$ est adjoint � gauche
au foncteur $B : \alg \ra \cocog.$
\end{lemme}

%
%
\dem Ce lemme est bien connu.
Soit $A$ une alg�bre et $C$ une cog�bre cocompl�te. Il s'agit de montrer
que nous avons un isomorphisme fonctoriel
\[
\Hom_{\sz \cocog}(C,BA) \arr{\sim} \Hom_{\sz \alg}(\Omega C,A).
\]
Soit $F : C \ra BA$ un morphisme de cog�bres. Comme $BA$ est une cog�bre tensorielle
r�duite en tant que cog�bre gradu�e, la donn�e de $F$ �quivaut (\ref{cogebres_tensorielles})
� celle de
\[
f = p_1F : C \ra SA.
\]
Posons $\tau = \si \circ f.$
La condition $d_{BA} \circ F - F \circ d_C = 0$ se traduit par le fait
que $\tau$ est une
{\em 
cocha�ne tordante}\index{cocha�ne tordante}, c'est-�-dire que l'on a
\[
 d_A \circ \tau + \tau \circ d_C +  m   \circ \tau \tp 2 \circ \Delta = 0.
\]
Le morphisme gradu�  $f' = \tau \circ s$ s'�tend de mani�re unique (\ref{algebres_libres})
en un morphisme
d'alg�bres $F' : \Omega C \ra A$ car $\Omega C$ est
libre sur $S^{-1}C$ en tant qu'alg�bre gradu�e.
La compatibilit� de $F'$ � la diff�rentielle est �quivalente au
fait que $\tau$ est une cocha�ne tordante. \findem








%
%
%
%
%
%
%
%
%
%
%  Th�orie de l'homotopie sur $\aia$
%
%
%
%
%
%
\section{$\cocog$ comme cat�gorie de mod�les} \label{section_cmf_cocog}

% \lhead[\thepage]{{\sl \thesection : $\cocog$ comme cat�gorie de mod�les}}
%
%

{\noindent \bf Plan de la section}\\

\noindent Cette section est divis�e en cinq sous-sections.

Dans la premi�re sous-section (\ref{section_cmf_alg}), nous rappelons \cite{Hinich97c}
la structure de cat�gorie de mod�les sur
la cat�gorie $\alg$ des alg�bres diff�rentielles gradu�es. Nous �non�ons
le th�or�me principal (\ref{theoreme_cmf_cocog}) et en d�duisons {\em
th�or�me des $\ai$-quasi-isomorphismes} (\ref{corollaire_cmf_aia}.~{\it a}) et le {\em th�or�me de l'homotopie}
(\ref{corollaire_cmf_aia}.~{\it b}).

Dans la deuxi�me sous-section \ref{section_theoreme_cmf_cocog}, nous montrons le
th�or�me principal (\ref{theoreme_cmf_cocog}). Pour la caract�risation des objets fibrants
de $\cocog$, nous aurons besoin de
certains r�sultats de la sous-section suivante.

Dans la sous-section \ref{section_cmf_aia}, nous montrons que la cat�gorie $\aia$ admet une structure
de ``cat�gorie de mod�les sans limites'' (\ref{theoreme_cmf_aia}). Nous montrons ensuite que
la construction bar $B : \aia \ra \cocog$
est compatible aux structures de cat�gorie de mod�les (``sans limites'')
de $\aia$ et $\cocog$ (\ref{proposition1_cmf_aia}).

Dans la sous-section \ref{section_homotopie}, nous comparons 
l'homotopie � gauche (au sens des cat�gories de mod�les)
avec l'homotopie ``au sens classique'' sur les morphismes de cog�bres
diff�rentielles gradu�es cocompl�tes.

Dans la sous-section \ref{section_equiv_qis}, nous comparons
les �quivalences faibles de $\cocog$ avec les quasi-isomorphismes de $\cocog$.




\subsection{Le th�or�me principal}
\label{section_theoreme_cmf_cocog}




Le lecteur qui n'est pas familier avec les cat�gories de mod�les au sens de
Quillen trouvera dans l'appendice \ref{section_rappels_cmf} quelques rappels de certains �nonc�s clefs
et les r�f�rences classiques.\\

\noindent{\bf La cat�gorie de mod�les $\alg$}\\
\label{section_cmf_alg}



Dans la cat�gorie $\alg$ des alg�bres diff�rentielles $\Z$-gradu�es (\ref{alg}),
consid�rons les trois classes de morphismes suivantes :
\english \begin{itemize}
\item[-] la classe $Qis$ des quasi-isomorphismes,
\item[-] la classe $\fib$ des morphismes $f : A \ra B$ tels que
$f^n$ est un �pimorphisme pour tout $n \in \Z,$
\item[-] la classe $\cof$ des morphismes qui ont la propri�t� de rel�vement
� gauche par rapport aux morphismes appartenant � $Qis \cap \fib$.
\end{itemize} \francais
Soit $\sf E$  l'une des sous-cat�gories pleines de $\alg$ dont les objets sont
respectivement
\begin{description}
\item[(I)] les alg�bres $A$ telles que $A^p = 0$ pour tout $p > 0$,
\item[(II)] les alg�bres $A$ telles que $A^p = 0$ pour tout $p \leq 0$.
\end{description}
H. Munkholm a d�montr� dans \cite{Munkholm78} que $\sf E$  devient
une cat�gorie de mod�les si on la munit de $\sf E \cap Qis$, $\sf E \cap \fib$ 
 et de la
classe des morphismes de $\sf E$ qui ont la propri�t� de rel�vement 
� gauche par rapport aux morphismes de $\sf E \cap Qis \cap \fib$.
Le r�sultat de H.~Munkholm a �t� renforc� par V.~Hinich :

\begin{theoreme}[Hinich \cite{Hinich97c}] \label{cmf_algebres}
La cat�gorie $\alg$ munie des classes de morphismes d�finies ci-dessus
est une cat�gorie de mod�les. Les alg�bres cofibrantes sont
les alg�bres qui sont isomorphes � une alg�bre presque libre.
Toutes les alg�bres sont fibrantes. \findem
\end{theoreme}
%
 Le cas plus g�n�ral o� l'anneau de base n'est pas
un corps est d� � J.~F.~Jardine \cite{Jardine97}. S. Schwede et B. Shipley \cite{SchwedeShipley02}
ont g�n�ralis� ces r�sultats � des cat�gories d'alg�bres dans des cat�gories de
mod�les mono�dales\footnote{``mono�dales'' se rapporte � ``cat�gories'' ("mod�le" est masculin).}.\\


%
%
%
%
%
%
%!      cocog comme cat�gorie de mod�le   
%
%
%
%
%
%
%
%
%
%
%
%
%


% \subsection{$\cocog$ comme cat�gorie de mod�les} \label{section_theoreme_cmf_cocog}

\noindent{\bf Le th�or�me principal et ses cons�quences}\\


Dans la cat�gorie $\cocog$ des cog�bres cocompl�tes
diff�rentielles gradu�es, nous consid�rons les trois classes de morphismes
suivantes :

\english \begin{itemize}
\item[-] la classe $\weq $ des {\em �quivalences
faibles} est form�e des morphismes $f : C\ra D$ tels que
 $\Omega F : \Omega C \ra \Omega D$ est un quasi-isomorphisme 
d'alg�bres,

\item[-] la classe $\cof$ des {\em cofibrations} est form�e des morphismes
$f : C \ra D$ qui, en tant que morphismes de complexes, sont des
monomorphismes,

\item[-] la classe $\fib$ des {\em fibrations} est form�e des morphismes
qui ont la propri�t� de rel�vement � droite par rapport aux cofibrations triviales.
\end{itemize} \francais



Il s'av�re que la classe des �quivalences faibles est strictement incluse dans la
classe des quasi-isomorphismes de cog�bres (voir \ref{section_equiv_qis}). 
De l'autre
c�t�, il est bien connu (et nous le red�montrerons, voir la proposition \ref{proposition_equiv_qis})
qu'un quasi-isomorphisme entre cog�bres cocompl�tes
est une �quivalence faible si les deux cog�bres sont concentr�es en degr�s $<-1$ ou en degr�s
$\geq 0$.



\begin{theoreme} \label{theoreme_cmf_cocog}
\english \begin{itemize}
\item[a.]
La cat�gorie $\cocog$ munie des trois classes de morphismes ci-dessus est une cat�gorie de mod�les.
Tous ses objets sont cofibrants. Un objet de $\cocog$ est fibrant si et seulement
si sa cog�bre gradu�e sous-jacente est isomorphe � une cog�bre
tensorielle r�duite.
\item[b.]
Munissons la cat�gorie $\alg$ de la structure de cat�gorie de
mod�les du th�or�me \ref{cmf_algebres}.
La paire de foncteurs adjoints $(\Omega, B)$ de $\cocog$ dans $\alg$ est une
�quivalence de Quillen.
\end{itemize} \francais
\end{theoreme}

\dem Voir la section suivante \ref{section_demonstration_thm_principal}. \findem \\

Le point {\it b} du th�or�me renforce 
des th�or�mes classiques (voir \cite{Moore70}, \cite[th.~4.4 et 4.5]{Husemoller74}).
Il semble �tre nouveau sous la forme que nous donnons. Notre d�monstration est
une adaptation de celle de Hinich \cite{Hinich01}, bas�e � son tour sur celle
de Quillen \cite{Quillen69}. Le fait que les foncteurs
bar et cobar induisent des �quivalences inverses
l'une de l'autre dans les cat�gories homotopiques est non trivial mais sa
d�monstration n'est pas tr�s difficile.  D�duisons maintenant, gr�ce aux techniques d'alg�bre
homotopique de Quillen (voir appendice \ref{section_rappels_cmf})
le {\em th�or�me des $\ai$-quasi-isomorphismes}, le {\em th�or�me de l'homotopie}
et la g�n�ralisation du th�or�me \cite[Thm.~6.2]{Munkholm78} de H.~J.~Munkholm.











\begin{corollaire} \label{corollaire_cmf_aia}
\english \begin{itemize}
\item[a.] La relation d'homotopie (voir \ref{definition_homotopie_ai-morphismes})
dans $\aia$ est une relation d'�qui\-valence.
\item[b.] Un quasi-isomorphisme d'$\ai$-alg�bres est une �quivalence d'homotopie (i.~e.~un
isomorphisme dans la cat�gorie quotient de $\aia$ par la relation d'homotopie).
\item[c.] Soit $\mathsf{dash}$ la sous-cat�gorie pleine  de $\aia$ form�e des alg�bres diff�ren\-tielles
gradu�es. Notons $\sim$ la relation d'homotopie sur $\mathsf{dash}$. L'inclu\-sion 
$\alg \hookrightarrow \mathsf{dash}$ induit une �quivalence
\[
\alg[Qis^{-1}] \arr{\sim} \mathsf{dash}/\!\sim.
\] 
\end{itemize} \francais
\end{corollaire}

L'id�e du point {\it c} remonte � J.~Stasheff et S.~Halperin \cite{Stasheff70}. Il a �t�
d�montr� sous les conditions {\bf (I)} ou {\bf (II)} (voir en haut de cette section) par H.~J.~Munkholm
\cite{Munkholm78}. Les points {\it a} et {\it b} sont connus (surtout parmi les
sp�cialistes de l'homotopie rationnelle) depuis le d�but des ann�es 80, au moins pour des
$\ai$-alg�bres connexes (i.~e.~concentr�es en degr�s homologiques $\geq 1$),
voir par exemple A.~Prout� \cite[chap.~4]{Proute85} ou T.~V.~Kadeishvili
\cite{Kadeishvili87}.\\

\dem 
Par la section \ref{construction_bar_cobar}, nous savons que deux morphismes
d'$\ai$-alg�bres 
\[
f,g :A\ra A'
\]
sont homotopes si et seulement si $Bf$ et $Bg$ sont des
morphismes de cog�bres homotopes. Par le th�or�me principal (\ref{theoreme_cmf_cocog}),
la cog�bre $BA'$ est fibrante dans $\cocog$ et tout objet de $\cocog$ est cofibrant.
Acceptons provisoirement (voir \ref{proposition1_homotopie} plus bas)
le r�sultat suivant : la relation d'homotopie au sens classique
sur $\Hom_{\sz \cocog}(BA,BA')$ est �gale � la
relation d'homotopie � gauche pour la cat�gorie de mod�les $\cocog$.


{\it a.} C'est le lemme \ref{lemme1_cmf} appliqu� � la cat�gorie de
mod�les ferm�e $\cocog$.

{\it b.} Un $\ai$-quasi-isomorphisme $f : A \ra A'$ induit (voir \ref{proposition1_cmf_aia}
plus bas) un morphisme 
\[
Bf : BA \ra BA',
\]
qui est une �quivalence faible de $\cocog$ entre objets
fibrants et cofibrants. Il est donc inversible � homotopie pr�s dans $\cocog$
(voir la proposition \ref{proposition_cmf}).

{\it c.} Par le th�or�me principal \ref{theoreme_cmf_cocog}, le foncteur
 $B$ induit une �quivalence
\[
\alg[Qis^{-1}] = \Ho \alg \arr{\sim} \Ho \cocog.
\]
Nous avons l'�quivalence (voir \ref{proposition_cmf})
\[
\cocog_{\sf{cf}}/\!\sim \, \arr{\sim} \Ho \cocog.
\]
Le foncteur $B$ prend ses valeurs dans $\cocog_{\sf{cf}}$.
Il induit donc une �quivalence
\[
\alg[Qis^{-1}] \arr{\sim} \cocog_{\sf{cf}}/\!\sim.
\]
Son image est isomorphe � $\sf{dash}/\!\sim$. \findem






\subsection{D�monstration du th�or�me principal}
\label{section_demonstration_thm_principal}






Notre d�monstration du th�or�me principal \ref{theoreme_cmf_cocog} n�cessite l'�tude pr�alable des alg�bres
et des cog�bres filtr�es.\\
 

%
%
%
%
%
%!        Objets filtr�s
%
%
%
%
%
%
%


 {\noindent \bf Objets filtr�s}\\

Soit $\sf M$ l'une des cat�gories $\gr \sf C$ ou $\cc \sf C$.
Une {\em filtration  d'un objet $X$} \index{filtration} de $\sf M$  est une suite croissante
\[
X_0 \subset X_1 \subset \cdots \subset X_i \subset X_{i+1}\subset \cdots, \quad i\in \N
\]
de sous-objets de $X$.
Elle est {\em exhaustive} \index{exhaustive (filtration)} \index{filtration!exhaustive}si l'on a
\[
\colim X_i = X.
\]
Elle est {\em admissible} \index{admissible!filtration} \index{filtration!admissible}
si elle est exhaustive et si $X_0 = 0$.
Un {\em objet filtr�} \index{objet filtr�}de $\sf M$ est un objet de $\sf M$ muni d'une
filtration. Soit $X$ et $Y$ deux objets filtr�s.
L'{\em objet gradu� $\ogr X$ associ� � $X$} est d�fini par la suite d'objets de $\sf M$
\[
\ogr_0 = X_0,\quad {\ogr}_iX = X_i/X_{i-1},\quad i\geq 1.
\]
Un morphisme $f : X \ra Y$ de $\sf M$ est un {\em morphisme d'objets filtr�s}
si on a
\[
f(X_i) \subset Y_i
\]
pour tout $i \in \N$.
Le produit tensoriel $X \ts Y$ 
est muni de la filtration d�finie par la suite
\[
(X \ts Y)_i = \sum_{p+q=i} X_p \ts Y_q, \quad i \in \N. 
\]
Ceci munit la cat�gorie des objets filtr�s de $\sf M$ d'une structure
de cat�gorie mono�dale dont l'�l�ment neutre est l'objet $e$ muni de la filtration
$e_i = e$, $i \in \N.$ 
La suspension $SX$ de l'objet de $\sf M$ sous-jacent � $X$ est munie de la
filtration donn�e par $(SM)_i = SM_i$, $i\in \N$.\\

Un {\em complexe filtr�} \index{complexe!filtr�} est un objet filtr� de $\cc \sf C.$

\begin{definition}{\em 
Soit $X$ et $Y$ deux complexes filtr�s.
Un morphisme  $f : X\ra Y$ est un {\em quasi-isomorphisme filtr�} \index{quasi-isomorphisme filtr�}
si  les morphismes 
\[
\ogr_i C \ra \ogr_i D,  \quad i\in \N,
\]
induits par $f$
sont des quasi-isomorphismes de complexes.
}
\end{definition}




Une {\em alg�bre filtr�e} (resp.~{\em cog�bre filtr�e})
est une alg�bre (resp.~cog�bre) dans la cat�gorie des complexes filtr�s.
Une {\em cog�bre filtr�e admissible} \index{admissible!cog�bre} \index{cogebre@{cog�bre}!admissible}
est une cog�bre $C$ munie d'une filtration
admissible. Notons qu'on a alors
\[
\Delta C_{i+1} \subset C_i \ts C_i, \quad i\in \N.
\]
Nous montrerons   (\ref{lemme4_cmf_cocog}) que tout  quasi-isomorphisme filtr� entre cog�bres filtr�es
admissibles est une �quivalence faible de $\cocog$.\\



Soit $C$ une cog�bre filtr�e, cocompl�te en tant que cog�bre.
La filtration de $C$ induit une filtration sur chaque puissance tensorielle
de $S^{-1}C$. Nous obtenons ainsi une filtration d'alg�bre sur la construction
cobar $\Omega C$.
Soit $C$ et $D$ deux cog�bres filtr�es cocompl�tes. Munissons les constructions cobar $\Omega C$
 et $\Omega D$ des filtrations induites par celles de $C$ et $D$.
La construction cobar envoie un morphisme de cog�bres filtr�es $f : C\ra D$ sur un
morphisme d'alg�bres filtr�es $\Omega f : \Omega C \ra \Omega D.$

Soit $A$ une alg�bre filtr�e. La filtration de $A$ induit une filtration de
cog�bre sur la construction bar $BA$ de $A.$ Soit $A$ et $A'$ deux alg�bres
filtr�es. Munissons les constructions bar $BA$ et $BA'$ des filtrations induites par
celles de $A$ et de $A'.$ La construction bar envoie un morphisme d'alg�bres
filtr�es $f :A \ra A'$ sur un morphisme de cog�bres filtr�es $Bf :BA \ra BA'.$



Soit $C$ une cog�bre cocompl�te. La {\em filtration primitive} \index{filtration!primitive}
de la cog�bre $C$ est d�finie
par la suite des sous-cog�bres des $i$-primitifs  $C \prim{i}$, $i\geq 1$, compl�t�e par $C \prim{0} = 0$.
Comme la cat�gorie de base $\sf C$ est semi-simple, la filtration primitive de $C$ est une
filtration de cog�bre. 
Elle est admissible
et induit une filtration sur $\Omega C$, qui induit
une filtration sur la construction bar $B \Omega C.$ Nous appelons cette derni�re
filtration la  {\em filtration $C$-primitive } \index{filtration!C-primitive@{$C$-primitive}} de $B\Omega C$.  







%
%
%
%
%
%!         Lemme technique pour d�monstration du th�or�me cmf cog
%
%
%
%
%
%
%

\begin{lemme}\label{lemme4_cmf_cocog}
Un quasi-isomorphisme filtr� de cog�bres filtr�es admissibles est une �quivalence faible.
\end{lemme}

\dem Soit $C$ et $D$ deux cog�bres admissibles et $f : C \ra D$ un quasi-isomorphisme
filtr�. Nous allons montrer que le morphisme d'alg�bre
\[
\Omega f : \Omega C \ra \Omega D
\]
est un quasi-isomorphisme filtr� pour les filtrations de $\Omega C$ et $\Omega D$
induites par celles de $C$ et $D$. On rappelle que la diff�rentielle de $\Omega C$ est l'unique
cod�rivation $d$ qui rel�ve le morphisme 
\[
S^{-1}C \ra \Omega C
\]
de composantes non nulles $\si d_C s$ et
$\si  \Delta s\tp 2.$
Munissons  $\Omega C$ de la filtration
induite par celle de $C$. Soit $i \geq 1.$ Comme la filtration de $C$ est admissible,
$\ogr_i (C\tp j) = 0$ si $j > i.$
Munissons
\[
\ogr_i \Omega  C = \ogr_i \Big(\bigoplus_{1\leq j\leq i}C\tp j \Big)
\]
de la filtration
\[
F_l = \ogr_i\Big(\bigoplus_{i-l\leq j\leq i}C\tp j\Big), \quad l\geq 0.
\]
La contribution de $\si \Delta s\tp 2$ dans la diff�rentielle $d$ de $\ogr_i \Omega  C$
fait d�cro�tre la filtration. Ainsi, seul le morphisme $\si d_C s$ contribue
� la diff�rentielle de l'objet gradu� associ� au $F_l$, $l\geq 1$.
Le morphisme
\[
\ogr_i \Omega  C  \arr{}
\ogr_i \Omega  D 
\]
est  filtr� pour cette filtration et il induit clairement un quasi-isomorphisme
dans les objets gradu�s. \findem


% Ceci implique que la contribution de $\si \Delta s\tp 2$ dans la diff�rentielle $d$
% fait d�cro�tre la filtration de $\Omega C$. Ainsi, seul le morphisme $\si d_C s$ contribue
% � la diff�rentielle de l'objet gradu� 
% \[
% \ogr \Omega C \arr{\sim} \Omega \ogr C.
% \]
% Clairement,
% un quasi-isomorphisme filtr� $f : C \ra D$ induit un quasi-isomor\-phisme








\begin{lemme}\label{lemme1_cmf_cocog}
\english \begin{itemize}
\item[a.] Soit $A$ et $A'$ deux alg�bres diff�rentielles gradu�es.
La construction bar envoie un quasi-isomorphisme d'alg�bres $f :A \ra A'$
sur un quasi-isomorphisme filtr� $f : BA \ra BA'$ pour la filtration primitive.
 
\item[b.] Soit $A$ une alg�bre diff�rentielle gradu�e. Le morphisme d'adjonction
\[
\phi : \Omega B A \arr{} A
\]
est un quasi-isomorphisme d'alg�bres.
\item[c.] Soit $C$ une cog�bre cocompl�te. Munissons $C$ de la filtration 
primitive et $B\Omega C$ de la filtration $C$-primitive. Le morphisme d'adjonction
\[
\psi : C \arr{} B \Omega C
\]
est un quasi-isomorphisme filtr�.
\end{itemize} \francais
\end{lemme}

\dem {a.} La filtration primitive de $BA$ a pour objet gradu� associ�
\[
\ogr_i(BA) = (SA)\tp i,\quad i \in \N.
\]
Par le th�or�me de K�nneth, un quasi-isomorphisme $f : A \ra A'$ induit un quasi-isomorphisme
dans ces sous-quotients.

{b.} Nous allons donner des filtrations exhaustives sur $A$ et $\Omega B A$ de fa�on �
ce que le morphisme d'adjonction devienne un quasi-isomorphisme filtr�.
Soit la filtration de $A$ d�finie par $A_i = A,$ $i \geq 1$ et
$A_0 = 0.$ Munissons $\Omega BA$ de la filtration induite  par
la filtration primitive de $BA.$ Le morphisme d'adjonction
\[
\phi : \Omega B A \arr{} A
\]
est clairement un morphisme filtr�. Il induit un morphisme 
\[
\ogr_i (\Omega B A) \arr{} \ogr_i A ,\quad i \in \N,
\]
dans les objets gradu�s qui est l'identit� de $A$ si $i =1$, et qui
est nul si $i \geq 2.$ Pour montrer que le morphisme d'adjonction
est un quasi-isomorphisme, il suffit donc de montrer que, pour $i \geq 2$,
le complexe $\ogr_i (\Omega B A)$
est contractile. Soit le complexe $V = SA$.
Remarquons que nous avons un isomorphisme de complexes
\[
\bigoplus_{i\geq 1} \ogr_i (\Omega B A) \arr{\sim } \Omega \ctr{V}
\]
 qui identifie � la composante
$\ogr_i (\Omega B A)$, $i \geq 1$, � la somme des
\[
S^{-1}V\tp{i_1} \ts \hdots \ts S^{-1}V\tp{i_k} \subset (S^{-1}\ctr{V})\tp k,
\]
o� $k \geq 1$ et o� $i_1 + \hdots + i_k = i.$
Soit $i \geq 2.$
Soit  le morphisme gradu� $r :\ogr_i  (\Omega B A)\ra \ogr_i  (\Omega B A)$
de degr� $-1$ donn� par les morphismes
\[
S^{-1}V\tp{ i_1} \ts S^{-1}V\tp{i_2}\ts \hdots \ts S^{-1}V\tp{ i_{k} }
\ra S^{-1}V\tp{ i_1+i_2} \ts \hdots \ts S^{-1}V\tp {i_{k}}
\]
que nous d�finissons comme nuls si $i_1 \neq 1$ et valant $\eta \circ (s \ts \Id \tp k)$ sinon ;
ici $\eta$ est l'isomorphisme naturel
\[
V \ts S^{-1}V\tp{i_2} \ts \hdots \ts S^{-1}V\tp{i_{k}} \arr{\sim}S^{-1}V\tp{1+i_2} \ts \hdots 
\ts S^{-1}V\tp{i_{k}}.
\]
Nous v�rifions que le morphisme gradu� $r$ est une homotopie contractante du complexe $\ogr_i  (\Omega B A)$.


{\it c.} Nous devons montrer que le morphisme de complexes
\[
\psi : \ogr C \ra \ogr (B\Omega C)
\]
est un quasi-isomorphisme. Posons $W = \ogr (S^{-1}C)$. Comme $C$ est
admissible, la comultiplication de $\ogr C$ est nulle et
\[
\ogr (B\Omega C) \arr{\sim} B \Omega (\ogr C)
\]
est la somme des complexes
\[
V_i = \bigoplus SW \tp{i_1} \ts  \hdots \ts SW\tp{i_k}, \quad i \geq 1,
\]
o� $k \geq 1$ et $i_1 + \hdots + i_k = i.$ La compos�e du morphisme
\[
\ogr C \ra \ogr B \Omega C
\]
avec la projection sur les $V_i$ est nulle si $i \geq 2$ et c'est l'identit�
de $\ogr C$ si $i = 1$. Il reste � montrer que $V_i$ est contractile pour
$i \geq 2$.
Soit $i \geq 2.$
Soit  $r : V_i \ra V_i$ le morphisme gradu� de degr� $-1$
d�fini par les
 morphismes 
\[
\xymatrix{
SW \tp{i_1 + i_2} \ts  \hdots \ts SW\tp{i_k} \ar[r] & 
SW \tp{i_1} \ts SW \tp{i_2} \ts  \hdots \ts SW\tp{i_k}}
\]
que nous d�finissons comme nuls si $i_1 \neq 1$ et, comme $\eta  \circ (s\ts \Id \tp {i-1})$ sinon ; ici
$\eta$ est l'isomorphisme naturel
\[
 S^{-1}W\tp{1+i_2} \ts \hdots 
\ts S^{-1}W\tp{i_{k}}\arr{\sim} W \ts S^{-1}W\tp{i_2} \ts \hdots \ts S^{-1}W\tp{i_{k}}.
\]
Nous v�rifions que le morphisme $r$ est une homotopie contractante de $V_i.$
\findem \\


{\noindent \bf D�monstration du th�or�me principal \ref{theoreme_cmf_cocog}}\\

Commen�ons par quelques lemmes pr�liminaires.


\begin{lemme} \label{lemme2_cmf_cocog}
Soit $C$ une cog�bre et $C'$ une sous-cog�bre de $C$ telle que
$\Delta C \subset C' \ts C'.$
La construction
cobar envoie l'inclusion $C' \hookrightarrow C$ sur une cofibration
standard (\ref{cofibration_standard}).
\end{lemme}


Pour d�montrer ce lemme et le suivant, nous aurons besoin de la description suivante \cite{Hinich97c}
des cofibrations de $\alg$ : notons $A^\sharp$ le complexe sous-jacent
� une alg�bre diff�rentielle gradu�e $A$ et $FV = \b TV$ l'alg�bre diff�rentielle
gradu�e libre sur le complexe $V$.
Soit $A$ une alg�bre diff�rentielle gradu�e et $M$ un complexe.
Soit $\alpha : M \ra A^{\sharp}$ un morphisme de complexes.
On note $C(\alpha)$ le c�ne de $\alpha$ dans la
cat�gorie $\cc\sf C$. Notons
$A\langle M,\alpha\rangle $ \label{A<M,a>} la colimite dans $\alg$ du diagramme
\[
A \la F(A^{\sharp}) \ra FC(\alpha).
\]

\begin{definition}{\em  \label{cofibration_standard}
Un morphisme $f : A \ra B$ est une {\em cofibration standard}
\index{cofibration standard (de $\alg$)}
 s'il est la colimite
d'une suite de morphismes compos�s
\[
A = A_0 \ra A_1 \ra \hdots \ra A_{n-1} \ra A_n, \quad n\geq 1,
\]
o� toutes les fl�ches $A_i \ra A_{i+1}$ sont donn�es par les morphismes canoniques 
\[
A_i \ra A_i\langle M_i,\alpha_i\rangle = A_{i+1}
\]
pour des morphismes de complexes $\alpha_i : M_i \ra A_i^{\sharp}$. 
Une {\em cofibration standard triviale}
est une cofibration standard telle que
tous les complexes $M_i$ sont contractiles (i.~e.~isomorphes � $0$ dans 
$\ch \sf C.$)
}
\end{definition}

Les faits suivants sont d�montr�s dans $\cite{Hinich97c}$ :
Toute cofibration est r�tract d'une cofibration
standard. De m�me, toute cofibration triviale est r�tract d'une
cofibration standard triviale.\\

{\em D�monstration du lemme \ref{lemme2_cmf_cocog}} :
Soit $E$ le conoyau dans la cat�gorie des complexes
de l'inclusion $C' \hookrightarrow C.$ Choisissons une section de $C \ra E$
dans la cat�gorie gradu�e pour obtenir un isomorphisme
\[
C' \oplus E \arr{\sim} C
\]
d'objets gradu�s.
En tant qu'alg�bre gradu�e,
la construction cobar $\Omega C = \Omega (C' \oplus E )$ est
isomorphe au coproduit d'alg�bres gradu�es
\[
FS^{-1} C' \amalg FS^{-1} E,
\]
o� $F = \b T$ comme dans (\ref{section_cmf_alg}).
La diff�rentielle de $\Omega C$ est induite par 
la comultiplication de $C$ et la diff�rentielle du complexe  $C$.
Selon la d�composition $C = C' \oplus E$, la comultiplication de $C$ est donn�e par deux
composantes 
\[
\Delta_{C'} : C' \ra C' \ts C' \quad \mbox{et} \quad \Delta_{E} : E \ra C' \ts C',
\]
et la diff�rentielle de $C$ est donn�e par la diff�rentielle de $C'$, celle de $E$ et un morphisme
gradu� $d : E \ra C'$ de degr� $+1$.
Soit le morphisme de complexes
\[
[D_1,D_2] : S^{-2}E \arr{}  S^{-1}C'\oplus \left(S^{-1}C' \ts S^{-1}C' \right)
\]
dont les composantes sont d�finies par  $s \tp 2 \circ D_2  = \Delta_E \circ s^2$ et
par $s \circ D_1  = d \circ s^2.$
Nous notons
\[
D : S^{-2}E \arr{} FS^{-1} C' \amalg FS^{-1} E
\]
sa composition avec l'injection de $ S^{-1}C'\oplus \left(S^{-1}C' \ts S^{-1}C' \right)$
dans $ FS^{-1} C' \amalg FS^{-1} E.$
Par construction, l'alg�bre diff�rentielle gradu�e
\[
\Omega C'\langle S^{-2}E, D \rangle
\]
est l'alg�bre gradu�e $ FS^{-1} C' \amalg FS^{-1} E$ dont la diff�rentielle est
induite par la comultiplication de $C'$, les
diff�rentielles des complexes $C'$ et $E$,  le morphisme $\Delta_{E}$ et le morphisme
$d$. Elle est donc isomorphe � $\Omega C$ en tant qu'alg�bre diff�rentielle gradu�e. 
\findem




\begin{lemme} \label{lemme3_cmf_cocog}
\english \begin{itemize}
\item[a.] La construction cobar pr�serve les cofibrations et les
�quivalences faibles.
\item[b.] La construction bar pr�serve les fibrations et les
�quivalences faibles.
\end{itemize} \francais
\end{lemme}

\dem {\it a.} Soit $i : C \rightarrowtail D$ une cofibration de cog�bres.
Soit la filtration de $D$ d�finie par la suite des $D_i = i(C) + D\prim i$, $i\in \N$.
Remarquons que $D_0$ est isomorphe � $C$ et que, pour tout $i \geq 1$, on a
\[
\Delta (D_{i+1}) \subset D_i \ts D_i.
\]
Nous pouvons donc appliquer le lemme \ref{lemme2_cmf_cocog}. Il certifie
que $\Omega D_i \ra \Omega D_{i+1}$ est une cofibration standard.
Le morphisme $\Omega C \ra \Omega D$ est la composition d�nombrable
des cofibrations standard $\Omega D_i \rightarrowtail \Omega D_{i+1}$. Il est donc aussi une
cofibration standard. La construction cobar pr�serve les �quivalences faibles
par d�finition des �quivalences faibles de $\cocog$.

{\it b.} Soit $p : A \twoheadrightarrow A'$ une fibration d'alg�bres. Le morphisme
$Bf$ est une fibration s'il v�rifie la propri�t� de rel�vement � droite par rapport
aux cofibrations triviales $i : C \ra D$ de cog�bres. Gr�ce � l'adjonction entre les constructions
bar et cobar, cette propri�t� est �quivalente au fait que $\Omega i$ ait la propri�t� de
rel�vement � gauche par rapport � $p.$ Mais ceci est toujours vrai par le point {\it a.}
Le morphisme $Bf$ est donc une fibration de $\cocog$.

Soit $f : A \arr{\sim} A'$ un quasi-isomorphisme d'alg�bres. Nous voulons montrer que
$Bf$ est une �quivalence faible, c'est-�-dire que $\Omega Bf$ est un quasi-isomorphisme.
Gr�ce au point {\it b} du lemme \ref{lemme1_cmf_cocog}, les fl�ches verticales
du diagramme commutatif
\[
\xymatrix{ A \ar[r]^f & A' \\
\Omega B A \ar[u] \ar[r] & \Omega BA' \ar[u]
}
\]
sont des quasi-isomorphismes. Par la propri�t� de saturation des quasi-isomor\-phismes,
le morphisme $\Omega Bf$ est aussi un quasi-isomorphisme. \findem \\



%
%
%
%
%
%!        D�monstration th�or�me cmf cog
%
%
%
%
%
%
%


{\em D�monstration du point {\em a} du th�or�me \ref{theoreme_cmf_cocog}} :\\

(CM1) Les colimites de diagrammes finis de cog�bres sont donn�es par les colimites des dia\-grammes
de complexes sous-jacents. Les constructions de produits et d'�galisateurs dans la cat�gorie
des cog�bres cocompl�tes sont duales de celles de coproduits et de co-�galisateur
dans la cat�gorie des alg�bres, qui sont d�crites dans $\cite[3.3]{Munkholm78}$.\\


(CM2) Ceci est une cons�quence de la d�finition des �quivalences faibles et
 de l'axiome (CM2) pour la structure
de cat�gorie de mod�les sur $\alg$.\\

(CM3) Les cofibrations sont stables par r�tract car elles sont les mono\-morphismes.
Les �quiva\-lences faibles aussi car le foncteur $\Omega$ envoie un r�tract sur un
r�tract. Pour les fibrations, on rappelle qu'un morphisme $p$ est une fibration
s'il a la propri�t� de rel�vement � droite par rapport aux cofibrations triviales.
On v�rifie qu'un r�tract d'un tel morphisme $p$ a la m�me propri�t�
de rel�vement.\\

(CM4) Apr�s (CM5).\\

(CM5) {\em factorisation : }\\
Soit $f : C \ra D$ un morphisme de $\cocog.$ Par l'axiome (CM5)  pour la structure
de cat�gorie de mod�les sur $\alg$,  nous avons une factorisation de $\Omega f$
en
\[
\xymatrix{
  \Omega C \ar@{ >->}[rd]_i \ar[rr]^{f} & & \Omega D\\
 & A \ar@{->>}[ur]_p,}
\]
o� la cofibration $i$ (resp.~la fibration $p$) de $\alg$ est un quasi-isomorphisme.
Ainsi, le morphisme $B \Omega f:B \Omega C \ra B \Omega D$ se factorise
en $Bp \circ Bi .$
Soit le diagramme suivant dans $\cocog$
\[
\xymatrix{     & BA\prod_{B\Omega D}D \ar[dr]^q
\ar@{}[dddr]|{cart.}  \ar[dd]|\hole   &   \\ C % \ar@{..>}[ur]^(.4){\tilde \imath}
\ar[rr]^(.7){f} \ar[dd]^{\in \ce q}  & & D
\ar[dd]^{\in \ce q}\\ &  BA \ar[dr]^{Bp} &  \\ 
B\Omega C \ar[ur]^{Bi} \ar[rr]_{B\Omega f}&  & B\Omega D. }
\]
Comme il est commutatif, le morphisme
$f : C \ra D$ et la composition 
\[
C \ra B \Omega C \arr{Bi} BA
\]
 d�terminent
un morphisme  $ \tilde \imath : C \ra BA\prod_{B\Omega D}D $. Nous allons montrer
que
\[
\xymatrix{
 & BA\prod_{B\Omega D}D \ar[dr]^q
   &   \\ C  \ar[ur]^{\tilde \imath} \ar[rr]_{f} & & D
}
\]
fournit une factorisation du morphisme $f$ dans $\cocog$, o�  $\tilde{\imath}$  est une
cofibration et $q$ est une fibration. Nous montrerons ensuite que
la cofibration $\tilde \imath$ (resp.~la fibration $q$) est triviale.


D'apr�s le point {\it b} du lemme \ref{lemme3_cmf_cocog}, le morphisme
$Bp$ est une fibration dans $\cocog$.
La projection $q : BA\prod_{B\Omega D}D \ra D $ est aussi une fibration car 
les fibrations sont stables par changement de base.
Admettons pour l'instant que nous savons que
$BA\prod_{B\Omega D}D \ra BA$ est cofibration (voir le
lemme \ref{lemmecle_cmf_cocog} ci-dessous). Le morphisme
$\tilde{\imath}$  est un monomorphisme (c'est-�-dire une �quivalence faible dans $\cocog$)
puisque la composition
\[
C \ra B \Omega C \arr{Bi} BA
\]
en est une.
Il reste �  montrer que la cofibration $\tilde{\imath}$ (resp.~la fibration~$q$)
 est une �quivalence faible dans $\cocog$.  Admettons pour l'instant que nous savons que
$BA\prod_{B\Omega D}D \ra BA$ est �quivalence faible (voir le
lemme \ref{lemmecle_cmf_cocog} ci-dessous).
%
Nous savons par le point {\it b} du lemme \ref{lemme3_cmf_cocog}
que le morphisme $Bi$ (resp.~$Bp$)  est une �quivalence faible.
Comme le morphisme $C \ra B\Omega C$ (resp.~$D \ra B\Omega D$) est
une �quivalence faible, $\tilde{\imath}$ (resp.~$q$) en est aussi une par
la propri�t� de saturation de la classe des �quivalences faibles de $\cocog$.\\

(CM4) {\em rel�vement : }\\
{\it a.}
Soit le diagramme
commutatif dans $\cocog$
\[
\xymatrix{ E \ar@{ >->}[d]_u \ar@{->}[r] & C \ar@{->>}[d]^t \\
F\ar@{->}[r]  &  D }
\]
o� $t$ est une fibration triviale et $u$ une
cofibration.
Nous cherchons un morphisme $\alpha $ tel que les deux triangles du diagramme
\[
\xymatrix{ E \ar@{ >->}[d]_u \ar@{->}[r] & C \ar@{->>}[d]^t \\ F
\ar@{->}[r] \ar@{.>}[ur]^\alpha &  D}
\]
soient commutatifs.
En utilisant la construction de la d�monstration de (CM5), nous
 factorisons $t$ 
en $q\circ \tilde{\imath}$, o� le morphisme $q:BA \prod_{B\Omega D}D \ra D$
est une fibration  et o� le morphisme $\tilde{\imath}:C \ra BA \prod_{B\Omega D}D$ est
une cofibration. Par la propri�t� de saturation de la classe $\weq$, les morphismes
$\tilde \imath$ et $q$  sont tous les deux des �quivalences faibles.
Les fibrations �tant les morphismes ayant la
propri�t� de rel�vement  � droite par rapport aux cofibrations
triviales, il existe un rel�vement $r : BA  
\prod_{B\Omega D}D \ra C$ dans
le diagramme de $\cocog$
\[
\xymatrix{ C \ar@{ >->}[d]_{\tilde \imath} \ar@{->}[r]^{\Id} &
C\ar@{->>}[d]^t \\
BA \prod_{B\Omega D}D \ar@{->}[r]_(.7)q &  D. }
\]
 Il nous suffit
donc de trouver un rel�vement dans le diagramme
\[
\xymatrix{ E \ar@{ >->}[d]_u \ar@{->}[r] & BA \prod_{B\Omega D}D
\ar@{->>}[d]^q \\ F \ar@{->}[r]
\ar@{.>}[ur] &  D,}
\]
ou de mani�re �quivalente dans le diagramme.
\[
\xymatrix{ E \ar@{ >->}[d]_u \ar@{->}[r] & BA \prod_{B\Omega D}D
\ar@{->>}[d] \ar@{->}[r] & BA \ar@{->>}[d]^{Bp}\\ F \ar@{->}[r]
\ar@{.>}[urr] &  D \ar@{}[ur]|{cart.}\ar@{->}[r] & B\Omega D.}
\]
Un tel rel�vement existe gr�ce � l'adjonction entre $\Omega$ et $B$
et gr�ce � l'axiome de rel�vement (CM4) de la structure de cat�gorie de mod�les
ferm�e sur $\alg$. \\
%


%
%
%
%
%
%!         Objets fibrants et cofibrants 
%
%
%
%
%
%
%



{\noindent \bf Objets cofibrants et fibrants}\\

Tous les objets de $\cocog$ sont cofibrants puisque les
cofibrations sont les monomorphismes.

Montrons qu'un objet de $\cocog$
est fibrant si et seulement si il
est isomorphe, en tant que cog�bre gradu�e, � une cog�bre tensorielle
r�duite.

 Soit $C$ un objet fibrant de $\cocog$. Par l'axiome de rel�vement (CM4), la
cofibration triviale $\psi : C \ra B \Omega C$ admet une r�traction $r$
dans $\cocog$. Notons $p_1 : B\Omega C \ra (B\Omega C)\prim 1$ la projection
canonique et posons $p_1^C = r \prim 1 \circ p_1 \circ \psi$. nous v�rifions
facilement que le morphisme $p_1^C : C \ra C \prim 1$ est universel parmi
les morphismes d'objets gradu�s $C' \ra C\prim 1$, o� $C'$ est une cog�bre
gradu�e cocompl�te. Ainsi $p_1^C$ induit un isomorphisme de cog�bres
gradu�es
\[
C \arr{\sim} \ctr({C\prim 1}).
\]

La r�ciproque utilise les r�sultats de la section \ref{section_cmf_aia}.
Enon�ons les deux r�sultats de cette section qui nous seront utiles ici.\\
(\ref{theoreme_cmf_aia}) {\em La cat�gorie $\aia$ peut �tre munie d'une structure de cat�gorie de mod�les
dont la classe des �quivalences faibles est exactement celle des $\ai$-quasi-isomorphismes et dont
la classe des cofibrations (resp.~des fibrations) est form�e des morphismes $f : A \ra A'$, o� $A, A'$ sont des $\ai$-alg�bres,
tel que $f_1$ est un monomorphisme (resp.~un �pimorphisme)}.\\
(\ref{proposition1_cmf_aia}.~{\it a}) {\em Un morphisme $f$ est une �quivalence faible de $\aia$ si et
seulement si sa construction bar $B f$ est une �quivalence faible de $\cocog$}.\\
Notre d�monstration de (\ref{theoreme_cmf_aia}) est bas�e sur la th�orie de l'obstruction
(voir \ref{section_obstruction}).
On peut donc interpr�ter la r�ciproque que nous allons montrer comme une
cons�quence du fait que l'op�rade des $\ai$-alg�bres est le mod�le minimal cofibrant
au sens de M.~Markl \cite{Markl96} de celle des alg�bres associatives (voir l'introduction
� l'appendice \ref{section_obstruction}).\\


Supposons que $C$ est une cog�bre isomorphe,
en tant que cog�bre gradu�e,
� une cog�bre tensorielle r�duite. Nous voulons montrer qu'elle est fibrante. On rappelle que
la sous-cat�gorie de $\cocog$ form�e de telles cog�bres
est �qui\-valente � la cat�gorie $\aia$ des $\ai$-alg�bres.
La cog�bre $B\Omega C$ appartient elle aussi � cette sous-cat�gorie.
Le morphisme $C \ra B \Omega C$ est une �quivalence faible de $\cocog$.
Par la proposition (\ref{proposition1_cmf_aia}.~{\it a}), il induit un
quasi-isomorphisme dans les primitifs.
L'axiome (CM4) du th�or�me (\ref{theoreme_cmf_aia}) nous donne un rel�vement dans le diagramme
\[
\xymatrix{
C \ar@{ >->}[d] \ar[r]^\Id &  C \ar[d]\\
B \Omega C \ar@{..>}[ur] \ar[r] & 0.
}
\]
La cog�bre $C$ est donc un r�tract de $B \Omega C$. Comme la construction
bar conserve les fibrations et comme $\Omega C$ est
une alg�bre fibrante, la cog�bre $B \Omega C$ est une cog�bre fibrante.
Le r�tract d'une cog�bre fibrante
�tant aussi fibrant, la cog�bre $C$ est fibrante.\\

%
%
%
%


{\em D�monstration du point {\em b} du th�or�me \ref{theoreme_cmf_cocog}} : 

C'est un corollaire du lemme \ref{lemme1_cmf_cocog} qui nous dit
que les morphismes d'adjonction $C \ra B\Omega C$, o� $C$ est une cog�bre,
et $\Omega B A\ra A$,
o� $A$ est une alg�bre, sont des �quivalences faibles dans $\cocog$ et dans $\alg.$ \findem \\

Le lemme suivant compl�te la d�monstration ci-dessus.










%
%
%
%
%
%!         Lemme cl�
%
%
%
%
%
%
%



\begin{lemme} \label{lemmecle_cmf_cocog}
Soit $A$ une alg�bre et $D$ une cog�bre. Soit une fibration $p : A \twoheadrightarrow \Omega D$ de $\alg$.
Le morphisme  $j : BA \prod_{B\Omega D}D \ra BA $ de cog�bres du diagramme cart�sien 
\[
\xymatrix{ BA \prod_{B\Omega D}D
\ar[d]_{j} \ar@{->}[r] & D \ar[d]\\ 
  BA  \ar@{}[ur]|{cart.}\ar@{->}[r]_{Bp} & B\Omega D.}
\]
est une cofibration triviale de $\cocog$. 
\end{lemme}

\dem Nous allons donner des filtrations sur les cog�bres 
\[
BA \prod_{B\Omega D}D \quad \quad \mbox{ et} \quad \quad BA
\]
 telles
qu'elles soient des cog�bres filtr�es admissibles et telles que $j$ soit un quasi-isomorphisme
filtr�. 

Soit la suite exacte de complexes
\[
0 \ra K \ra A \stackrel{p}{\twoheadrightarrow} \Omega D \ra 0.
\]
Comme l'alg�bre $\Omega D$ est libre, nous avons un scindage
de $p$ dans la cat�gorie des alg�bres gradu�es. La diff�rentielle
de 
\[
A \arr{\sim } K \oplus \Omega D
\]
est alors donn�e par une matrice
\[\left[
\begin{array}{cc}
d_K & d' \\ 0 & d_{\Omega D}
\end{array}
\right].
\]
Le scindage nous  donne des isomorphismes
de cog�bres gradu�es
\[
BA  \arr{\sim} BK \prod B\Omega D,
\]
\[
BA \prod_{B\Omega D}D \arr{\sim} BK \prod D.
\]
Munissons la cog�bre $B\Omega D$ de la filtration $D$-primitive.
Nous d�finissons des filtrations sur $BA$ et $BA \prod_{B\Omega D}D$
par les suites
\[
(BA)_j =  \sum_{p+q = j} (BK)\prim p \prod (B\Omega D)_q, \quad j \in \N,
\]
\[
(BA \prod_{B\Omega D}D)_j = \sum_{p+q = j} (BK)\prim p \prod D\prim q ,\quad j \in \N.
\]
Elles sont admissibles et respectent les diff�rentielles des cog�bres $BA$ et $BA \prod_{B\Omega D}D$.
Pour ces filtrations, le morphisme $j$ est un morphisme filtr�. 
Soit $j \geq 1$.
En tant qu'objet gradu�, le complexe
$\ogr(BA)$ est la somme des
\[
\diagnum{I}{
\ogr (B\Omega D)\ts K\tp{p_1}\ts \hdots  \ts
\ogr (B\Omega D)\ts K\tp{p_{k}}}, \quad k \geq 1.
\]
La diff�rentielle
de $\ogr(BA)$ est construite � partir des diff�rentielles de $K$, $\ogr D$ et
du morphisme $d' : \Omega D \ra K.$
En tant qu'objet gradu�, le complexe 
\[
\ogr (BA \prod_{B\Omega D} D) \arr{\sim} \ogr(BA) \prod \ogr D
\]
est la somme  des
\[\diagnum{II}{
\ogr D\ts K\tp{p_1}\ts \hdots  \ts
\ogr D\ts K\tp{p_{k}}}, \quad k \geq 1.
\]
La diff�rentielle
de $\ogr (BA \prod_{B\Omega D} D) $
est construite � partir des diff�rentielles de $K$, $\ogr (B\Omega D)$ et
du morphisme $d' : \Omega D \ra K.$ Ainsi, la diff�rentielle ``na�ve'' sur la
somme des termes (I), respectivement (II), est perturb�e par la contribution
de $d' : \Omega D \ra K.$ Pour montrer que $j$ induit n�anmoins un
quasi-isomorphisme entre les sommes, nous introduisons une filtration
suppl�mentaire telle que dans les objets gradu�s associ�s, la contribution de
$d' : \Omega D \ra K$ s'annule.
Soit la filtration $F_l\ogr (BA)$, $l \in \N$, de $\ogr (BA)$  induite par la suite
\[
(BA)_{l} = BK \prod (B\Omega D)\prim l, \quad l \in \N. 
\]
Soit la filtration $F_l \ogr (BA \prod_{B\Omega D}D)$, $l \in \N$, de $ \ogr (BA \prod_{B\Omega D}D)$
dont le \mbox{$l$-i�me} sous-objet, $l \in \N$, est la somme des objets de type (II)
comprenant un nombre de termes $\ogr D$ inf�rieur ou �gal � $l$.
Le morphisme 
\[
\ogr j : \ogr (BA \prod_{B\Omega D}D) \ra \ogr (BA)
\]
induit des morphismes
\[
F_l\ogr (BA \prod_{B\Omega D}D) \ra F_l \ogr (BA), \quad l \in \N.
\]
Il induit donc un morphisme
entre les objets gradu�s associ�s aux filtrations selon l'indice $l$. Ce dernier a
pour composantes les morphismes de complexes (avec les diff�rentielles ``na�ves'')
\[
\xymatrix{
\ogr_{q_1}D\ts K\tp{p_1}\ts \hdots  \ts \ogr_{q_{k-1}}D \ts K\tp{p_{k}}
 \ar[d] \\
 \ogr_{q_1} (B\Omega D)\ts K\tp{p_1}\ts \hdots  \ts
\ogr_{q_{k-1}}(B\Omega D) \ts K\tp{p_{k}}}
\]
qui sont des quasi-isomorphismes (voir \ref{lemme1_cmf_cocog}). 
Le morphisme 
\[
\ogr j : \ogr(BA \prod_{B\Omega D}D) \arr{\sim} \ogr(BA)
\]
est donc un quasi-isomorphisme.
Nous venons ainsi de montrer
que $j$ est un quasi-isomorphisme filtr� de cog�bres admissibles.
Par le lemme \ref{lemme4_cmf_cocog}, le morphisme $j$ est une �quivalence faible.
Il est une cofibration car il est clairement un monomorphisme. \findem






%
%
%
%
%
%
%
%
%
%!            $\aia$ comme cat�gorie de mod�les sans limites.
%
%
%
%
%
%
%


\subsection{$\aia$ comme ``cat�gorie de mod�les sans limites''}
\label{section_cmf_aia}




Dans la cat�gorie $\aia$ des $\ai$-alg�bres, nous consid�rons les trois
classes de morphismes suivantes~:

\english \begin{itemize}
\item[-] la classe $\weq$ est form�e des {\em �quivalences faibles}, c'est-�-dire des
morphismes $f : A \ra A'$ tels que $f_1$ est un quasi-isomorphisme,
\item[-] la classe $\cof$ est form�e des {\em cofibrations}, c'est-�-dire des morphismes
 $f : A \ra A'$ tels que $f_1$  un monomorphisme,
\item[-] la classe $\fib$ est form�e des {\em fibrations}, c'est-�-dire des morphismes
 $f : A \ra A'$ tels que $f_1$  un �pimorphisme.
\end{itemize} \francais


\begin{theoreme} \label{theoreme_cmf_aia}
La cat�gorie $\aia$, munie des trois classes d�finies ci-dessus, v�rifie
l'axiome  (A) ci-dessous et les axiomes (CM2) -- (CM5) de la d�finition
\ref{definition_cmf}. Tous les objets sont fibrants et cofibrants. 
\end{theoreme}


\english \begin{itemize}
\item[(A)] Soit $ q : A \twoheadrightarrow A'$ une fibration et $f:A'' \ra A'$ un
morphisme. Il existe  un produit fibr� au-dessus de
\[
\xymatrix{A \ar@{->>}[r]^q & A' & A'' \ar[l]_f}.
\]
\end{itemize} \francais
L'axiome (A) est un affaiblissement de l'axiome (CM1) de la d�finition
\ref{definition_cmf}. 
Notre d�monstration de ce th�or�me est enti�rement bas�e sur la th�orie de l'obstruction
(\ref{section_obstruction}).





\begin{lemme} \label{lemme1_cmf_aia}
Soit $A$ une $\ai$-alg�bre et $K$ un complexe consid�r� comme
$\ai$-alg�bre (\ref{remarque_ai-structure_complexe}).
Supposons que le complexe $K$ est contractile.
Soit $g : (A,m^A_1)\ra (K,m^K_1)$ un morphisme de complexes.
Il existe un morphisme d'$\ai$-alg�bres
\[
f : A \arr{} K
\]
tel que $f_1 = g$.
\end{lemme}

\dem 
Nous construisons  par r�currence les morphismes
\[
f_i : A \tp i \ra K, \quad i \geq 1.
\]
 Soit $f_1 = g$.
Supposons que nous avons d�j� construit des morphismes $f_i$, $1 \leq i \leq n$, 
qui d�finissent un ${\rm A}_n$-morphisme $A \ra K$. Nous cherchons un morphisme
$f_{n+1}$ dont le bord est le cycle $-r(f_1,\hdots ,f_n)$, i.~e.
\[
\del{f_{n+1}} + r(f_1,\hdots ,f_n) = 0 \quad \mbox{(voir 
\ref{extension_nstructure_morphismes})}.
\]
Comme $(K,m^K_1)$ est contractile, il existe bien un tel morphisme
$f_{n+1}$.
  \findem




\begin{lemme} \label{lemme2_cmf_aia}
\begin{enumerate}
\item[a.] Soit $j :A \ra D$ une cofibration de $\aia$. Il existe une $\ai$-alg�bre $D'$
 et un isomorphisme d'$\ai$-alg�bres
 $k:D \ra D'$ tels que
  la composition $k\circ j:A \ra D'$ est un morphisme strict.
\item[b.] Soit $q : C \ra E$ une fibration de $\aia$. Il existe  une $\ai$-alg�bre $C'$
 et un isomorphisme $l : C' \ra C$ tels que la composition $q\circ l:C' \ra E$
 est un morphisme strict.
\end{enumerate}
\end{lemme}

\dem 

{\it a.} 
Nous construisons par r�currence 
des morphismes
\[
k_i : D \tp i \ra D,\quad i\geq 1,
\]
homog�nes de degr� $1-i$
tels que $k \circ j$ est un morphisme strict.
Posons $k_1 = \Id_{D}$. Supposons que nous avons d�j� construit des 
morphismes $k_i$, $1 \leq i \leq n$, tels que l'�quation
\[
(eq_m) \quad \sum_{1 \leq l \leq m} \ \sum_{\sum i_r = m} (-1)^s k_l \circ (j_{i_1} \ts \hdots \ts j_{i_l}) = 0,
\quad 2 \leq m  \leq n,
 \]
o� $s$ est le signe apparaissant dans \ref{definition_ai-morphisme}, est v�rifi�e pour tout
$ 2 \leq m \leq n$.
Soit $r$ une r�traction dans $\gr \sf C$ de $j_1 : A \ra D$. 
Soit $k_{n+1} $ le morphisme  d�fini par la somme
\[
- \left[\sum_{1 \leq l \leq n} \ \sum_{\sum i_r = n+1}
(-1)^s  k_l \circ (j_{i_1} \ts \hdots \ts j_{i_l})\right]\circ r\tp{n+1}.
\]
La suite $(k_1, \hdots , k_{n+1})$ v�rifie l'�quation $(eq_m)$ pour $2 \leq m \leq n+1$.
Comme $k_1$ est un isomorphisme d'objets gradu�s, les morphismes $k_i$, $i \geq 1$, induisent
un isomorphisme
\[
K : \ctr (SD) \arr{\sim} \ctr (SD).
\]
Nous d�finissons $D'$ comme l'$\ai$-alg�bre dont l'objet gradu� sous-jacent est $D$ et dont
les multiplications $m'_i$, $i\geq 1$, sont d�finies gr�ce aux bijections
$m'_i \lra b'_i$ (voir \ref{construction_bar_cobar}), par les �galit�s
\[
b'_i = (K\circ b \circ K^{-1})_i,\quad i \geq 1.
\]
Alors le morphisme $ k: D \ra D'$ est clairement un isomorphisme de $\aia$ et la compos�e $k \circ j$
est stricte par construction de $k$.


 {\it b.} La d�monstration est similaire. Il faut utiliser une section de $q_1$ au lieu
 d'une r�traction de $j_1.$ \findem\\


{\em D�monstration du th�or�me \ref{theoreme_cmf_aia} : } \\

(A) : Soit $ q : A \twoheadrightarrow A'$ une fibration et
$f :  A'' \ra A'$ un morphisme de $\aia$. La construction bar envoie
les morphismes $q$ et $f$ sur les morphismes $Q : BA \ra BA'$ et $F : BA'' \ra BA'$.
Nous allons montrer que le produit fibr� de $\cocog$ au-dessus
de 
\[
\xymatrix{BA \ar@{->>}[r]^Q & BA' & BA'' \ar[l]_F}
\]
est encore une cog�bre tensorielle r�duite dans $\gr \sf C.$
Une section de $Q_1$ dans  $\gr \sf C$
induit un isomorphisme 
\[
SA \arr{\sim} SA'  \oplus K,
\]
o� $K$ est le noyau de $Q_1.$ 
Le produit fibr� $BA \prod_{BA'} BA''$ est
isomorphe, en tant que cog�bre gradu�e, � 
\[
\ctr K \prod \ctr (SA'') \arr{\sim}\ctr (K \oplus SA'').
\]




(CM2) et (CM3) :  imm�diat.\\



(CM4) {\em rel�vement} :  Soit un diagramme d'$\ai$-alg�bres
\[  \diagnum{I}{
\xymatrix{
A \ar[r]^f \ar@{ >->}[d]_j & C \ar@{->>}[d]^q \\
D \ar[r]_g & E,}}
\]
o� $q$ est une fibration et $j$ est une cofibration.
 Par le lemme
\ref{lemme2_cmf_aia}, quitte � remplacer ce diagramme par
un diagramme isomorphe, 
nous pouvons supposer que les morphismes $j$ et $q$ sont stricts.
Supposons que la fibration $q$  (resp.~la cofibration $j$)
est triviale. Nous cherchons un rel�vement
$\alpha$ qui rend commutatifs les deux triangles du diagramme
\[
\diagnum{I^+}{
\xymatrix{
A \ar[r]^f \ar@{ >->}[d]_j & C \ar@{->>}[d]^q \\
D \ar[r]_g \ar[ur]^\alpha & E.
}}
\]
Nous allons construire par r�currence les morphismes correspondants
\[
\alpha_i : D\tp i \ra C, \quad i \geq 1.
\]
Gr�ce au point {\it a} de l'axiome (CM4) pour la cat�gorie de mod�les
$\cc \sf C$, il existe un rel�vement $\alpha_1$ qui rend commutatifs les deux triangles
\[\diagnum{II}{
\xymatrix{
(A,m^A_1) \ar[r]^{f_1} \ar@{ >->}[d]_{j_1} & (C,m^C_1) \ar@{->>}[d]^{q_1} \\
(D,m^D_1) \ar@{..>}[ur]^{\alpha_1}\ar[r]_{g_1} & (E,m^E_1).}}
\] 
Supposons que nous avons d�j� construit des morphismes $\alpha_i$, $1 \leq i \leq n$,
tels que le diagramme $(I^+)$ commute dans la cat�gorie des ${\rm A}_n$-alg�bres.
Nous devons trouver un $\alpha_{n+1}$ tel que 
\[ 
\begin{array}{rll}
(1) & &\del{\alpha_{n+1}} + r({\alpha_{1}},\hdots ,{\alpha_{n}}) = 0, \quad
\mbox{(voir \ref{extension_nstructure_morphismes})}\\
(2) & & \alpha_{n+1} \cdot j_{1}\tp{n+1} = f_{n+1},  \\
(3) & &  q_{1}\cdot 
\alpha_{n+1} = g_{n+1}.
\end{array}
\]
Choisissons une solution $\beta$ de $(2)$ et $(3)$. Par exemple, 
si $\rho$ est une r�traction de $j_1$ et $\sigma$ une section de $q_1$
dans $\gr \sf C$, nous pouvons choisir
\[
\beta = f_{n+1}  \rho \tp{n+1} + \sigma  g_{n+1} - \sigma q_1 f_{n+1} \rho \tp{n+1}.
\]
Le morphisme $j$ est strict. Par le lemme \ref{fonctorialite_obstruction},
nous avons donc
\[
(\delta(\beta) + r(\alpha_1,\hdots ,\alpha_n))\circ j_1  =
\delta(\beta\circ j_1) + r(\alpha_1 \circ j_1,\hdots ,\alpha_n\circ j_1\tp n),
\]
et le terme de droite est �gal �
\[
\delta(f_{n+1}) + r(f_1 \circ j_1,\hdots ,f_n) = 0.
\]
De m�me, nous avons $q_1 \circ (\delta(\beta) + r(\alpha_1,\hdots ,\alpha_n)) = 0.$
Le cycle  
$\del{\beta} + r({\alpha_{1}},\hdots ,{\alpha_{n}})$ se
factorise donc en
\[
D\tp{n+1} \arr{p} \coker j_1\tp{n+1} \arr{c'}\ker q_1 \arr{i} C,
\]
o� $p$ est la projection canonique et $i$ l'injection canonique.
Comme $\ker q_1$ (resp.~$\coker (j_1\tp{n+1})$) est contractile, le cycle $c'$ est le bord
d'un morphisme $h'$. Le morphisme $\alpha_{n+1} = \beta - i \circ h' \circ p$
v�rifie alors les �quations $(1)$, $(2)$ et $(3).$

\begin{remarque}{\em \label{remarque_theoreme_cmf_aia}
La d�monstration de l'axiome de rel�vement (CM4) montre que pour tout rel�vement
$\alpha_1$ dans la cat�gorie $\cc \sf C$ du diagramme $(\mathrm{II})$,
on a un rel�vement  $\alpha : D \ra C$ dans le diagramme $(\mathrm I)$.
}\end{remarque}
 
(CM5) {\em factorisation : } Soit $f : A \ra B$ un morphisme d'$\ai$-alg�bres.

{\it a.} Soit $C = B \oplus S^{-1}B $ le c�ne de l'identit� de $S^{-1}B.$
Consid�rons le complexe $C$ comme une $\ai$-alg�bre (voir \ref{remarque_ai-structure_complexe}).
Soit $j : A \ra A \prod C$ le morphisme d'$\ai$-alg�bres de composantes $\Id_A$ et $0$.
Le morphisme  $q_1 : A \oplus C \ra B$ 
de  composantes le morphisme $f$ et la projection canonique $C \ra B$ 
est un rel�vement du diagramme de $\cc \sf C$
\[
\xymatrix{
A \ar[r]^{f_1} \ar@{ >->}[d]^{j_1} & B \ar@{->>}[d] \\
A \oplus C \ar@{..>}[ur] \ar[r] & 0.
}
\]
La remarque \ref{remarque_theoreme_cmf_aia} appliqu�e au point {\it a} de l'axiome (CM4) nous
donne un rel�vement dans le diagramme de $\aia$
\[
\xymatrix{
A \ar[r]^f \ar@{ >->}[d]^j & B \ar@{->>}[d] \\
A \prod C \ar@{..>}[ur]^q \ar[r] & 0.
}
\]
Dans la factorisation $f = q \circ j$,
$j$ est une cofibration triviale et $q$ est une fibration.

{\it b.} Soit $C= SA \oplus A$ le c�ne de l'identit� du complexe $(A,m_1)$.
Consid�rons $C$ comme une $\ai$-alg�bre.
Par le lemme \ref{lemme1_cmf_aia},
il existe un morphisme d'$\ai$-alg�bres $i : A \ra C$ tel que $i_1$ est l'injection
canonique $A \ra C.$
Soit $j : A \ra B \prod C$ le morphisme d'$\ai$-alg�bres de composantes $f$ et $i.$ C'est une
cofibration triviale. Notons $q$ la projection canonique $B \prod C \ra B.$
C'est une fibration et le
morphisme $f$ se factorise en $q\circ j.$

\findem\\





{\noindent \bf Liens entre la ``cat�gories de mod�les sans limites''
$\aia$ et la cat�gorie de mod�les $\cocog$}\\

Soit $\cogtr$ la sous-cat�gorie de
$\cocog$ form�e des cog�bres qui sont tensorielles r�duites en tant que cog�bres gradu�es.
La construction bar induit un isomorphisme de cat�gories $\aia \ra \cogtr.$
Munissons $\cogtr$ de la structure de ``cat�gorie de mod�les sans limites'' donn�e par
cet isomorphisme. Les �quivalences faibles (resp.~les cofibrations, resp.~les
fibrations) sont donc les morphismes $F : (\ctr V,b)\ra (\ctr V',b')$ qui induisent dans les primitifs
 un quasi-isomorphisme $F_1 : (V,b_1)\ra (V',b'_1)$ (resp.~un monomorphisme, resp.~un �pimorphisme).



\begin{proposition} \label{proposition1_cmf_aia}
Soit $A$ et $A'$ deux $\ai$-alg�bres.
\english \begin{itemize}
\item[a.]
Un morphisme  $f : BA \ra BA'$ est une �quivalence faible
de $\cogtr$ si et seulement si c'est une �quivalence faible de
$\cocog$.
\item[b.] Un morphisme $j : BA \ra BA'$ est une cofibration de $\cogtr$
 si et seulement si c'est une cofibration de
$\cocog$. 
\item[c.]  Un morphisme $q : BA \ra BA'$ est une fibration de $\cogtr$
 si et seulement si c'est une fibration de
$\cocog$.  
\end{itemize} \francais
\end{proposition}

Commen�ons par un lemme.

\begin{lemme} \label{lemme3_cmf_aia} 
Soit $A$ une $\ai$-alg�bre.
Le morphisme $\phi : BA \ra  B \Omega BA$ est une �quivalence faible de $\cogtr$.
\end{lemme}

\dem  Il s'agit de montrer
que le morphisme $\phi \prim 1$ est un quasi-isomorphisme ou, de fa�on �quivalente,
que le morphisme
\[
S^{-1}\phi\prim 1 : (A,m_1) \ra \Omega B A 
\]
est un quasi-isomorphisme. Le morphisme $S^{-1}\phi\prim 1$ est l'injection canonique
de $A$ dans $\Omega BA.$ Munissons $\Omega BA$ de la filtration 
induite par la filtration
primitive de $BA.$ Tout comme � la fin de la d�monstration du point {\it b}
du lemme \ref{lemme1_cmf_cocog}, nous montrons que 
\[
\ogr_0 (\Omega BA) = A \quad \mbox{et} \quad \ogr_i (\Omega BA) = 0 \quad \mbox{pour} \quad i\geq 1.
\]
\hspace*{1cm} \findem


{\em D�monstration de la proposition \ref{proposition1_cmf_aia}}

{\it a.}
Soit $f : BA \ra BA'$ une �quivalence faible de $\cogtr$. Le morphisme
$f$ est clairement un quasi-isomorphisme filtr� pour la filtration primitive.
Il est donc une �quivalence faible de $\cocog$.
Supposons que $f$ est une �quivalence faible
de $\cocog$. Par d�finition des �quivalences faibles de $\cocog$, le morphisme
$\Omega f$ est un quasi-isomorphisme et, par suite, le morphisme
$B\Omega f$ est une �quivalence faible de $\cogtr.$
Par le lemme \ref{lemme3_cmf_aia},
les deux fl�ches horizontales du diagramme commutatif 
\[
\xymatrix{BA \ar[r] \ar[d]_f & B \Omega BA \ar[d]^{B\Omega f}\\
BA' \ar[r] & B\Omega B'A',
}
\]
sont des �quivalences faibles de $\cogtr$, et $f$ est donc aussi une �quivalence faible de $\cogtr.$


{\it b.} Comme les cofibrations de $\cocog$ sont les monomorphismes,
une cofibration de $\cogtr$ est  une
cofibration de $\cocog$. R�ciproquement,
si $j : BA \ra BA'$ est une cofibration de $\cocog$, sa restriction aux primitifs $(BA) \prim 1
= SA$ est un monomorphisme. Comme nous avons $f ((BA) \prim 1) \subset (BA') \prim 1$, le morphisme
$j \prim 1 : SA \ra SA'$ est un monomorphisme et $j$ est donc une cofibration de
$\cogtr$.


{\it c.}
On rappelle que  les fibrations d'une cat�gorie de mod�les
sont les morphismes ayant la propri�t� de rel�vement
par rapport aux cofibrations triviales. Ce fait r�sulte
des axiomes (CM5) et (CM3) et vaut donc aussi pour
$\cogtr.$  Par les points {\it a} et {\it b},
une fibration de $\cocog$ est une fibration
de $\cogtr$. Supposons que $q$ est fibration de $\cogtr.$ 
Soit le diagramme de $\cocog$
\[
\xymatrix{C \ar@{ >->}[d]_j \ar[r]^f & BA \ar[d]^q\\
C' \ar[r]_g & BA',
}
\] 
o� $j$ est une cofibration triviale de $\cocog.$ Nous cherchons un rel�vement de
$g$ relatif � $f$. Dans le diagramme de $\cocog$ ci-dessous
\[
\xymatrix{C \ar@{ >->}[dd]_j \ar[rr]^f \ar@{ >->}[rd]_{\phi} & & BA \ar[dd]^q\\
& B\Omega C  \ar@{ >->}[dd]& \\
C' \ar[rr]^(.7)g|(.475){\ }  \ar@{ >->}[rd] & & BA',\\
& B\Omega C'  & 
}
\]
$\phi$ est une cofibration triviale de $\cocog$ et $BA$ est fibrant dans $\cocog$.
Nous avons donc une factorisation de $f$ en $f' \circ \phi$ pour un morphisme
$f' : B \Omega C \ra BA$. Comme $\Omega j$ est un monomorphisme et un quasi-isomorphisme,
le morphisme $B\Omega j$ est une cofibration  triviale de $\cogtr$. L'objet $BA'$
�tant cofibrant dans $\cogtr$, le morphisme $q \circ f'$ se factorise en $g' \circ B \Omega f$
pour un morphisme $g' : B\Omega C' \ra BA'$.
Il suffit donc de trouver un rel�vement de $g'$ relatif � $f'.$
Par l'axiome (CM4) pour la cat�gorie $\cogtr$, il en existe un. \findem



%
%
%
%!       Homotopie au sens classique
%
%
%
%
%
%
%
%


\subsection{Homotopie au sens classique} \label{section_homotopie}
\index{homotopie}

Soit $C$ et $C'$ deux cog�bres cocompl�tes.
Soit $f$ et $g$ deux morphismes de cog�bres $C \ra C'$.
Ils sont {\em homotopes au sens
classique} 
s'il existe une $(f,g)$-cod�rivation $h : C \ra C'$ de degr�
$-1$ tel que $\del h = f - g$. 
% Nous notons $\sim_c$ la relation d'homotopie au sens
% classique.
 Nous comparons cette notion � la notion
d'homotopie au sens des cat�gories de mod�les (voir l'appendice \ref{section_rappels_cmf}). \\



\begin{proposition} \label{proposition1_homotopie}
Soit $C$ et $C'$ deux cog�bres cocompl�tes et $f,g$ deux morphismes $C \ra C'.$
\english \begin{itemize}
\item[a.] Si $f$ et $g$ sont homotopes au sens classique, ils sont homotopes
� gauche (voir la d�finition \ref{definition_homotopie_cmf}).
\item[b.] Si la cog�bre $C'$ est fibrante, alors $f$ et $g$ sont homotopes au sens
classique si et seulement si ils sont homotopes � gauche.
\end{itemize} \francais
\end{proposition}

\dem \\
{\it a.}
Nous allons construire un cylindre $C \wedge I$ pour la cog�bre
$C$, puis nous allons montrer que la notion
d'homotopie classique est �quivalente � la notion de $C \wedge I$-homotopie � gauche.

Nous notons $I$ le complexe dont la composante de degr� $0$ est
$e \oplus e$, la composante de degr� $-1$ est $e$, toutes les autres
composantes sont nulles. Nous notons $e_0$ et $e_1$ les composantes
de $I_0$. La diff�rentielle $d : I \ra I$ est donn�e par
\[
d_1 = \left[\begin{matrix}\Id \\ -\Id
\end{matrix}\right] : e\ra e_0\oplus e_1  .
\] 
Soit $\Delta :  I \ra I \ts I$  le morphisme dont les composantes 
non nulles sont les morphismes
\[
e_0 \arr{\sim} e_0 \ts e_0,\quad e_1 \arr{\sim} e_1 \ts e_1,
\quad e \arr{\sim} e_0\ts e, \quad e \arr{\sim} e\ts e_1
\]
donn�s par la
contrainte d'unitarit� de la cat�gorie mono�dale de base (\ref{categorie_de_base}).
Ceci d�finit sur $I$ une structure de
cog�bre co-associative diff�rentielle gradu�e.

Soit $C$ une cog�bre cocompl�te.
Le produit tensoriel $C\ts I$ de complexe h�rite naturellement
d'une structure de cog�bre diff�rentielle gradu�e par la
comultiplication $C\ts I \ra (C\ts I)\ts C\ts I \iso C\ts C\ts I\ts
I$. Elle est cocompl�te. Nous notons $C_0$ et $C_1$ les composantes de $C \coprod C.$
Nous d�finissons le cylindre $C \wedge I = C \ts I$ pour $C$ par les deux morphismes
de cog�bres diff�rentielles gradu�es $i$ et $p$
\[
C_0\coprod C_1 \arr{i} C\ts I \arr{p} C,
\]
o� le morphisme $i$ a pour composantes non nulles
\[
C_0 \arr{\sim} C \ts e_0, \quad C_1 \arr{\sim} C \ts e_1,
\]
et o�
le morphisme $p$ a pour composantes non nulles
\[
C \ts e_0 \arr{\sim} C, \quad C \ts e_1 \arr{\sim} C,
\]
donn�es par les contraintes d'unitarit� de la cat�gorie de base.
Le morphisme $i$ est une
cofibration et le morphisme $p$ une �quivalence faible.\\
%
Soit $C'$ une cog�bre cocompl�te. Soit $f , g$ et $h$ trois morphismes 
gradu�s $C \ra C'$ respectivement de degr� z�ro, z�ro et -1.\\
%
Soit le morphisme gradu� de degr� nul $H :C\ts I \ra B$ dont les composantes sont les trois
morphismes gradu�s
\[
 C \ts e_0 \iso C \arr{f} C', \quad C \ts e_1 \iso C \arr{g} C' 
\]
\[
\mbox{et} \quad C \ts e \iso C \arr{h} C'.
\]
%
Le morphisme $H : C\ts I \ra C'$ est un morphisme de cog�bres si et
seulement~si
%
\english \begin{itemize}
\item[-] les morphismes $f$ et $g$ sont des morphismes de cog�bres $C \ra C'$,
\item[-] le morphisme $h : C \ra C'$  est une $(f,g)$-cod�rivation.
\end{itemize} \francais
%
Il est compatible aux diff�rentielles si et seulement si
%
\english \begin{itemize}
\item[-] les morphismes $f$ et $g$ sont des morphismes de complexes $C \ra C'$
\item[-] le morphisme $h : C \ra C'$
r�alise une homotopie entre les morphismes de complexes $f$ et $g$.
\end{itemize} \francais
%
Pour finir, nous v�rifions que le morphisme $H$ est bien une $C \wedge I$-homotopie entre
$f$ et $g.$\\

{\it b.}
Soit $C'$ une cog�bre fibrante.
Soit $f$ et $g : C \ra C'$ deux morphismes  homotopes au sens
des cat�gories de mod�les. Notons toujours $C \wedge I$ le cylindre
construit ci-dessus. Par le lemme \ref{lemme1_cmf}, il existe
une $C \wedge I$-homotopie � gauche $H : C \wedge I \ra C'$ entre
$f$ et $g$. Par la d�monstration du point {\it a},
il existe une homotopie $h : C \ra C'$
au sens classique entre $f$ et $g.$ \findem



%
%
%
%
%
%
%
%
%
%!     Corollaire
%
%
%
%
%
%
%






%
%
%
%
%
%
%
%
%
%!     Equivalences faibles et quasi-isomorphismes
%
%
%
%
%
%
%


\subsection{Equivalences faibles et quasi-isomorphismes} \label{section_equiv_qis}


Nous notons $Qis$ la classe des quasi-isomorphismes de $\cocog$ \indexnotation{Qis} et
$\mbox{\it Qisf\,}$ \indexnotation{Qisf} la classe des morphismes $f : C \ra D$ de $\cocog$ tels que
$C$ et $D$ admettent des filtrations admissibles pour lesquelles
$f$ est un quasi-isomorphisme filtr�.

Cette section est consacr�e � la comparaison des trois classes $\weq$, $Qis$ et $\mbox{\it Qisf\,}$.
Nous allons montrer en particulier les inclusions  suivantes 
\[
\mbox{\it Qisf\,} \subseteq \weq \subset Qis.
\]


\begin{proposition} \label{proposition_equiv_qis}
\english \begin{itemize}
\item[a.] Nous avons l'inclusion $\mbox{\it Qisf\,} \subseteq \weq$.
De l'autre c�t�, le foncteur canonique
\[
\cocog[\mbox{\it Qisf\,}^{-1}] \arr{}\cocog[\weq^{-1}] = \Ho \cocog
\]
est une �quivalence.
\item[b.] Les �quivalences faibles de $\cocog$ sont des quasi-isomorphismes.
\item[c.] La classe $\weq$ est strictement incluse dans la classe $Qis.$
\item[d.] Soit $C$ et $D$ deux objets de $\cocog$ concentr�s en degr�s $< -1.$
Tout quasi-isomorphisme de cog�bres $C \ra D$ est une �quivalence faible.
\item[e.] Soit $C$ et $D$ deux objets de $\cocog$ concentr�s en degr�s $\geq 0.$
Tout quasi-isomorphisme de cog�bres $C \ra D$ est une �quivalence faible.
\end{itemize} \francais
\end{proposition}

\dem 

{\it a.}
On rappelle (\ref{lemme4_cmf_cocog}) qu'un quasi-isomorphisme filtr� de cog�bres
est une �quivalence faible de $\cocog.$ Il nous faut donc montrer que  les �quivalences faibles
deviennent des isomorphismes dans la cat�gorie localis�e $\cocog[\mbox{\it Qisf\,}^{-1}]$.
Soit $f : C \ra C'$ une �quivalence faible de $\cocog.$ Le morphisme
\[
\Omega f : \Omega C \ra \Omega C'
\]
est donc un quasi-isomorphisme d'alg�bre. Par le lemme
\ref{lemme1_cmf_cocog}, le morphisme $B \Omega f : B\Omega C \ra B \Omega C'$ est
un quasi-isomorphisme filtr�. On rappelle (\ref{lemme1_cmf_cocog}) que les morphismes d'adjonction
$C\ra B \Omega C$ et $D \ra B \Omega D$ sont des quasi-isomorphismes filtr�s.
Nous d�duisons du diagramme commutatif de $\cocog$
\[
\xymatrix{
C \ar[r] \ar[d]_f & B \Omega C \ar[d]^{B\Omega f} \\
C'\ar[r]  & B \Omega C' }
\]
que le morphisme $f$
devient un isomorphisme dans la cat�gorie 
$\cocog [\mbox{\it Qisf\,}^{-1}].$

{\it b.} Les quasi-isomorphismes filtr�s sont des quasi-isomorphismes.
La propri�t� de saturation de la classe $Qis$, appliqu� au diagramme ci-dessus
montre qu'une �quivalence faible
est un quasi-isomorphisme. 


{\it c.}
Nous allons construire un exemple de cog�bre qui est acyclique mais qui
n'est pas faiblement �quivalente � la cog�bre nulle. 

Soit $A$ une alg�bre unitaire non nulle de la cat�gorie de base $\sf C$.
Consid�rons $A$ comme une alg�bre associative (dont on oublie l'unit�), c'est-�-dire
comme un objet de la cat�gorie $\alg$ du th�or�me (\ref{theoreme_cmf_cocog})
Comme $A$ n'est pas quasi-isomorphe � l'alg�bre nulle,
la cog�bre $BA = (\ctr SA,b)$ n'est pas faiblement �quivalente � la cog�bre nulle (\ref{theoreme_cmf_cocog}, {\it b}).
Or, elle est bien quasi-isomorphe � la cog�bre nulle :
en effet, le complexe sous-jacent � $S^{-1}BA$ est le complexe
\[
\cdots \ra A \ts A \ts A \ra A \ts A \ra A \ra 0,
\]
qui est isomorphe � la r�solution bar de l'alg�bre $A$.
Ce complexe est acyclique car $A$ est unitaire (voir \cite[IX.6]{Cartan56} o� ce complexe
se nomme ``r�solution standard''). 


{\it d.} Soit $C$ et $D$ deux cog�bres cocompl�tes concentr�es en degr�s $<-1$.
Nous allons montrer que le morphisme $\Omega f : \Omega C \ra \Omega D$ est un
quasi-isomorphisme de $\alg.$ Munissons $\Omega C$ (resp.~$\Omega D$) de la filtration
d�croissante donn�e par
\[
F_l \Omega C = \bigoplus_{p \geq l} (S^{-1}C)\tp p  \quad \left(\mbox{resp.~}
F_l \Omega D = \bigoplus_{p \geq l} (S^{-1}D)\tp p \right), \quad l \in \N.
\]
Par notre hypoth�se, le morphisme $\Omega f$ induit des quasi-isomorphismes
dans les sous-quotients de ces filtrations. Il en r�sulte que, pour tout $n \in \N$,
il induit un isomorphisme en $H^{-n}$, car nous avons
\[
(F_l  \Omega C)^n = (F_l  \Omega D)^n = 0 \quad \mbox{pour} \quad l > n,
\]
d'apr�s l'hypoth�se sur $C$ et $D$.

{\it e.} La d�monstration est la m�me que pour le point {\it d}. Il suffit de remarquer
que le complexe $S^{-1}C$ est concentr� en
degr�s $>0$ (au lieu de $<0$). \hspace*{1cm}\findem


%
%
%
%
%
%
%
%
%
%!           Transfert de structure le long d'�quivalences d'homotopie
%
%
%
%
%
%
%


\section{Transfert de structures le long d'�quivalences d'homo\-topie} \label{section_transfert_structures}


Le but de cette section est de (re)montrer le {\em th�or�me du mod�le minimal} 
(\ref{corollaire_modele_minimal}).


\subsection{Mod�le minimal}

\begin{theoreme} \label{theoreme_transfert_structures}
Soit $A$  une $\ai$-alg�bre. 
Soit une �quivalence d'homotopie dans $\cc \sf C$
\[
g : (V,d) \ra (A,m^A_1),
\]
o� $(V,d)$ est un complexe.
Il existe une structure d'$\ai$-alg�bre sur $V$ telle que $m^V_1 = d$
et un morphisme d'$\ai$-alg�bres 
\[
f: V \ra A
\]
telle que $f_1 = g$. 
\end{theoreme}

Ce r�sultat est connu depuis les ann�es 70 dans le cas d'une $\ai$-alg�bre connexe
(i.~e.~concentr�es en degr�s homologiques $\geq 1$) et d'un complexe $(V,d)$
o� la diff�rentielle $d$ est nulle
($V$ est alors isomorphe � $H^*A$).
Il y a deux m�thodes pour montrer ce th�or�me, celle utilisant la ``m�thode des obstructions''
 \cite{Chen77a}, \cite{Chen77b}, \cite{Kadeishvili80}, \cite{Smirnov80}, \cite{Gugenheim82}
et celle utilisant ``l'astuce du tenseur'' \cite{Huebschmann86}, \cite{Gugenheim86},  \cite{Gugenheim89},
\cite{Gugenheim91}, \cite{Huebschmann91a}, \cite{Merkulov99}, \cite{Kontsevich01}.
L'article \cite{Johansson01} pr�sente l'unification de ces diff�rentes m�thodes. Nous donnons ici
une d�monstration utilisant les obstructions. \\


\dem Par l'axiome (CM5) pour la  cat�gorie de mod�les  $\cc \sf C$,
le morphisme $g$ se factorise en $q\circ j$, o� $q$ est une fibration triviale et o� $j$
est une cofibration triviale. Il suffit donc de montrer
le th�or�me dans le cas o� l'�quivalence d'homotopie
est un �pimorphisme et dans le cas o� elle est un monomorphisme.

Supposons que $g$ est une fibration triviale de $\cc \sf C.$ Soit $K$ le noyau de $g.$ 
Comme $K$ est contractile, nous
pouvons scinder $g$ dans la cat�gorie des complexes. Ce scindage induit un isomorphisme de complexes
\[
V \arr{\sim} K \oplus A
\]
par lequel  le morphisme $g$ s'identifie � la projection $K \oplus A \ra A.$
Consid�rons $K$ comme une $\ai$-alg�bre (voir \ref{remarque_ai-structure_complexe}).
Munissons l'objet gradu� sous-jacent � $V$ de la structure d'$\ai$-alg�bre de $K \prod A.$
Le morphisme $f$ est le morphisme canonique $K \prod A \ra A$ de $\aia.$

Supposons que $g$ est une cofibration triviale de $\cc \sf C.$ Soit $K$ le conoyau de $g.$
Comme il est contractile, on
peut scinder $g$ dans la cat�gorie des complexes. Ce scindage induit un isomorphisme de $\cc \sf C$
\[
A \arr{\sim} K \oplus V
\]
par lequel le morphisme $g$ s'identifie � l'injection $V \ra K \oplus V.$
Consid�rons $K$ comme une $\ai$-alg�bre.
Par le lemme \ref{lemme1_cmf_aia}, il existe un morphisme d'$\ai$-alg�bres $h : A \ra K$ tel que
$h_1$ est la projection $K \oplus V \ra K$ dans $\cc \sf C.$ Gr�ce � l'axiome (A) du th�or�me
\ref{theoreme_cmf_aia}, morphisme $h$ admet un noyau dans la cat�gorie $\aia$. L'objet
gradu� sous-jacent � $\ker h$ est $V$. Nous avons ainsi muni $V$ d'une structure d'$\ai$-alg�bre
telle que $m^V_1$ est la diff�rentielle de $V.$ Le morphisme canonique
$V \ra A$ est tel que $f_1 = g$. \findem \\

\newpage

{\noindent \bf Mod�le minimal}

\begin{definition}\label{definition_ai-algebre_minimale}{\em
Une $\ai$-alg�bre est {\em minimale}
si $m_1 = 0$. Soit $A$ une $\ai$-alg�bre.
Un {\em mod�le minimal pour $A$} \index{modele minimal@{mod�le minimal}}
est un $\ai$-quasi-isomorphisme d'$\ai$-alg�bres
$A' \ra A$
o� $A'$ est minimale.}
\end{definition}


\begin{remarque}{\em
Cette utilisation du terme ``mod�le minimal'', due � M.~Kontsevich, est diff�rente
de l'usage conventionnel en homotopie rationnelle (mod�le minimal de Sullivan).
On peut la justifier par le fait que la construction bar
$BA'$ est un mod�le minimal au sens de H.~J.~Baues et J.-M.~Lemaire \cite{Baues77} de
la cog�bre $BA$. Remarquons qu'un mod�le minimal de $BA$ ne donne pas en
g�n�ral un mod�le minimal de $A$ : soit $(\ctr SV,b)$ une cog�bre 
tensorielle r�duite sur $SV$ dont la diff�rentielle $b$ induit
z�ro dans les $1$-primitifs ; si $(\ctr SV,b)$ est un mod�le minimal 
de $BA$, c'est-�-dire si on a un {\em quasi-isomorphisme} de cog�bres
\[
F : (\ctr SV,b) \ra BA,
\]
l'$\ai$-alg�bre $V$ telle que $BV = (\ctr SV,b)$
n'est pas en g�n�ral un mod�le minimal pour l'$\ai$-alg�bre $A.$
Cependant, si $F$ est une {\em �quivalence faible} de $\cocog$,
$V$ est un mod�le minimal de l'$\ai$-alg�bre $A$.
}\end{remarque}


\begin{corollaire} \label{corollaire_modele_minimal}
Soit $A$ une $\ai$-alg�bre. Il existe une structure d'$\ai$-alg�bre sur son homologie
$H^*A$ telle que
\english \begin{itemize}
\item[a.] $m_1 = 0$ et $m_2$ est induite par $m^A_2$,
\item[b.] il existe un morphisme d'$\ai$-alg�bres $H^*A \ra A$ relevant l'identit� de
$H^*A$.
\end{itemize} \francais
Cette structure est unique � un isomorphisme (non unique) pr�s.
\end{corollaire}

\dem Comme la cat�gorie de base $\sf C$ est semi-simple,
nous avons un isomorphisme dans la cat�gorie des complexes
\[
(A,m^A_1) \arr{\sim} H^*A \oplus K
\]
pour un complexe contractile $K.$ Le r�sultat est d�duit du th�or�me
\ref{theoreme_transfert_structures} appliqu� � l'injection canonique
\[
g : H^* A \arr{} A.
\]
L'unicit� de la structure provient du fait qu'un morphisme $f$ entre $\ai$-alg�bres
minimales est un quasi-isomorphisme si et seulement si $f_1$ est un isomorphisme si et
seulement si $f$ est un isomorphisme.
\findem\\



\subsection{Lien avec le lemme de perturbation}
\index{lemme de perturbation}

Une {\em perturbation} \index{perturbation} 
$\delta$ de la diff�rentielle $d$ d'un complexe filtr� $W$
est un morphisme gradu� $\delta : W \ra W$
de degr� $+1$ qui diminue la filtration et
tel que $d + \delta$ est encore une diff�rentielle, c'est-�-dire, tel que
\[
d \circ \delta + \delta \circ d + \delta^2 = 0.
\]
Une {\em contraction} \index{contraction}
\cite{Eilenberg53} (voir aussi \cite{Huebschmann91a} et les
r�f�rences donn�es dans \cite{Huebschmann91a})
\[
\big(\xymatrix{
V \ar@<-1ex>[r]_{i} & W \ar@<-1ex>[l]_{\rho}
}, H \big)
\]
est donn�e par deux complexes $V$ et $W$, deux morphismes de complexes
$i : V \ra W$ et $\rho : V \ra W$ et un morphisme gradu� $H : W \ra W$
de degr� $-1$
tels que
\[
\rho \circ i = \Id_V, \quad i \circ \rho = \Id_W + \delta (H), \quad H \circ i = 0, \quad
\rho \circ H = 0 \quad   \mbox{et} \quad H^2 = 0.
\]
On dit aussi que $W$ {\em se contracte sur} $V.$
Si  les complexes sont filtr�s,
la contraction est {\em filtr�e} si les morphismes sont filtr�s relativement
� ces filtrations.


Soit $V$ et $W$ des complexes munis de filtrations exhaustives et soit
\[
\big(\xymatrix{
(V,d_V) \ar@<-1ex>[r]_{i} & (W,d_W) \ar@<-1ex>[l]_{\rho}
}, H \big)
\]
une contraction filtr�e et $\delta$ une perturbation de la diff�rentielle $d_W.$
Le lemme de perturbation (\cite{Gugenheim72}, \cite{Huebschmann91a})
donne une nouvelle diff�rentielle $d_V^\delta$ de $V$ et des morphismes $i^\delta$, $\rho^\delta$ et
$H^\delta$ tels que
\[
\big(\xymatrix{
(V,d_V^\delta) \ar@<-1ex>[r]_(.4){i^\delta} & (W,d_W + \delta) \ar@<-1ex>[l]_(.6){\rho^\delta}
}, H^\delta \big)
\]
est une contraction filtr�e. Supposons que la contraction filtr�e ci-dessus est une
{\em contraction filtr�e de cog�bres} : les objets
$V$ et $W$ sont des cog�bres diff�rentielles gradu�es filtr�es,
les morphismes $i$ et $\rho$ sont des morphismes de cog�bres filtr�es,
$H$ est une $\Id$-$(i \rho)$-cod�rivation filtr�e de $W$. Supposons aussi
que la perturbation $\delta$ est une perturbation d'une diff�rentielle de cog�bres,
i.~e.~$\delta$ est une $\Id$-$\Id$-cod�rivation de $W$.
Le lemme de perturbation produit alors une contraction de cog�bres
(\cite{Huebschmann91a},
\cite{Gugenheim86},  \cite{Gugenheim89}, \cite{Gugenheim91}, \cite{Merkulov99}).\\




Soit $A$ une $\ai$-alg�bre et soit
\[
\xymatrix{
0 \ar[r] & (V,d_V) \ar@<-1ex>[r]_{i} & (A,m_1) \ar@<-1ex>[r]_{p} \ar@<-1ex>[l]_{\rho}
& (K,d_K) \ar@<-1ex>[l]_{\sigma} \ar[r] & 0
}
\]
 une suite exacte scind�e de complexes telle que
\[
\rho \circ \sigma = 0 \quad \mbox{et} \quad i \circ \rho + \sigma \circ p = \Id_A.
\]
Soit $h$ une homotopie contractante de $K$ telle que $h^2 = 0$.
A partir de ces donn�es, nous avons deux mani�res naturelles
de d�finir une structure d'$\ai$-alg�bre sur $V$ et un $\ai$-morphisme
\[
V \ra A
\]
dont le premi�re composante est $i.$\\



{\em Premi�re m�thode : le lemme de perturbation}\\
Nous appliquons le lemme de perturbation � la contraction filtr�e et � la perturbation
de cog�bres
\[
\xymatrix{
\Big(
\ctr S(V,d_V) \ar@<-1ex>[r]_{F} & \ctr S(A,m_1) \ar@<-1ex>[l]_{R}
}, H\Big) \quad \mbox{et} \quad \delta : \ctr SA \ra \ctr SA,
\]
o� $F = \ctr Si$, $R =\ctr S\rho$,
$H$ est l'unique $\Id$-$(FR)$-cod�rivation relevant $\sigma \circ h \circ p$  et 
$\delta = b - b_1$ (ici $b$ est la diff�rentielle de $BA$).
Nous obtenons une nouvelle diff�rentielle $b'$ sur $\ctr SV$ et un morphisme de cog�bres
\[
F^\delta : (\ctr SV,b') \ra (\ctr SA,b).
\]
Nous obtenons une structure d'$\ai$-alg�bre sur $V$
(notons cette $\ai$-alg�bre $V^\delta$) et un $\ai$-morphisme
\[
f^\delta : V^\delta \ra A.
\]



{\em Deuxi�me m�thode : le noyau d'un $\ai$-morphisme $g$}\\
D�finissons par r�currence des morphismes
\[
g_i :  A \tp i \ra K, \quad i \geq 1,
\]
en posant
\[
g_1 = p \quad \mbox{et} \quad g_i = - h \circ r(g_1,\hdots,g_{i-1}) , \quad i \geq 2,
\]
o� $r(g_1,\hdots,g_{i-1})$ est le cycle du lemme (\ref{extension_nstructure_morphismes}).
Le lemme (\ref{extension_nstructure_morphismes}) montre qu'ils d�finissent
un $\ai$-morphisme $g : A \ra K$ (o� $K$ est le complexe $K$
consid�r� comme $\ai$-alg�bre). L'axiome (A) du th�or�me (\ref{theoreme_cmf_aia}) montre
qu'il existe un noyau de $g$ dans la cat�gorie $\aia$
\[
V^g = \ker g \ra A.
\]
Comme l'objet gradu� sous-jacent de l'$\ai$-alg�bre $V^g$ est $V$,
cela d�finit une $\ai$-structure sur $V$ et un $\ai$-morphisme
\[
f^g : V^g \ra A.
\]


\begin{lemme}{\em  \label{lemme_modele_minimal_I}
Nous avons un isomorphisme $\theta : V^\delta \ra V^g$ tel que
$\theta_1 = \Id$ et  $f^\delta  = f^g \circ \theta$.
}\end{lemme}

\dem 
Rappelons les descriptions de l'$\ai$-structure de $V^\delta$
et de $f^\delta$ en terme d'arbres due � M.~Kontsevich et Y.~Soibelman
\cite[6.4]{Kontsevich01}. 

L'$\ai$-structure de $V^\delta$ est d�finie par les formules suivantes :
\[
m^\delta_1 = 0, \quad m^\delta_2 = \rho \circ m_2 \circ (i \ts i), \quad m^\delta_i = \sum_{T \in \mathcal T}
(-1)^s m_{i,T}, \quad i \geq 3,
\]
o� $s$ et $T$, $\mathcal T$ et $m_{i,T}$ sont d�finis ainsi :
Consid�rons l'ensemble $\mathcal T$ des arbres planaires orient�s $T$ avec $i+1$ sommets terminaux
(la racine et les feuilles),
tels que l'arit� $|v|$ de tout sommet interne $v \in T$ (i.~e.~le nombre de fl�ches arrivant
� $v$) est $\geq 2.$
Pour d�crire le morphisme
\[
m_{i,T} : (V^\delta) \tp i \ra V^\delta, \quad i \geq 3, \quad T \in \mathcal T,
\]
on a besoin de consid�rer l'arbre $\b T$ construit � partir de $T$ en
rajoutant un sommet interne au milieu de chaque ar�te interne. L'arbre $\b T$
est ainsi constitu� de deux types de sommets internes : 
les {\em anciens} qui correspondent aux sommets internes de $T$
et les {\em nouveaux} que l'on vient de rajouter.
On colorie les sommets de $\b T$ par les morphismes suivants :
\english\begin{itemize}
\item[-] $\rho$ sur la racine,
\item[-] $i$ sur les feuilles,
\item[-] $m_{|v|}$ sur les sommets internes anciens $v$ (dont l'arit� est $|v|$),
\item[-] $H$ sur les sommets internes nouveaux.
\end{itemize}\francais
A chaque arbre $\b T$ ainsi colori�, on associe le morphisme $m_{i,T}$
qui consiste � composer les coloriages en descendant le long de l'arbre des feuilles vers
la racine. Voici un exemple :
\begin{center}
\input{konts1.pstex_t}\hspace{1.5cm}
 \input{konts2.pstex_t}.
\end{center}
Le morphisme $m_{6,T}$ vaut
\[
\rho \circ m_2 \circ (H \ts \Id) \circ (m_3 \ts \Id ) \circ (\Id \ts H \ts \Id \tp 2)
\circ (\Id \ts m_3 \ts \Id \tp 2)\circ (i \tp 6).
\]
Le signe $(-1)^s$ associ� � $T$ est donn� par l'�galit�
\[
\begin{array}{c}
\rho \circ m_2 \circ (H \ts \Id) \circ (m_3 \ts \Id ) \circ (\Id \ts H \ts \Id \tp 2)
\circ (\Id \ts m_3 \ts \Id \tp 2)\circ (i \tp 6) \circ (\si \tp 6) = \\
(-1)^{s}\si \circ \rho' \circ b_2 \circ (H' \ts \Id) \circ (b_3 \ts \Id ) \circ (\Id \ts H' \ts \Id \tp 2)
\circ (\Id \ts b_3 \ts \Id \tp 2)\circ (i \tp 6),
\end{array}
\]
o�
\[
\rho' = s \circ \rho \circ \si ,\quad  H' = - s \circ H \circ \si
\quad \mbox{et} \quad i' = s\circ i \circ \si.
\]
Le signe dans le cas g�n�ral s'obtient de la m�me mani�re.

Le morphisme $f^\delta : V^\delta \ra A$ est donn� par les formules
\[
f^\delta_1 = i , \quad f^\delta_i = \sum_{T \in \mathcal T} (-1)^s f_{i,T}, \quad i \geq 2,
\]
o� les morphismes $f_{i,T}$ et le signe $s$ sont construits de la m�me mani�re en coloriant
la racine de l'arbre $\b T$ par $H$ au lieu de $\rho$.
La remarque (\ref{remarque1_lemme_perturbation}) ci-dessous montrera que
les morphismes $m^\delta_i$, $i\geq 1,$ et $f^\delta_i$, $i\geq 1$,
d�finissent bien des $\ai$-structures.

Remarquons que les signes ci-dessus sont tels que
\[
b^\delta_i = \sum_{T \in \mathcal T} b_{i,T} \quad \mbox{et} \quad F^\delta_i = \sum_{T \in \mathcal T}
F_{i,T},
\quad i\geq 1,
\]
o� $b_{i,T}$ et $F_{i,T}$ sont obtenus en coloriant les sommets des arbres $\b T$ par des $b_i$
(resp.~$i'$, $\rho'$, $H'$) sur les sommets qui
�taient pr�c�demment de couleur $m_i$ (resp.~$i$, $\rho$, $H$).

Nous allons  maintenant expliciter l'$\ai$-morphisme
\[
g : A \ra K
\]
en terme d'arbres.
Un calcul facile (nous utilisons le fait que $h^2 = 0$)
montre que le morphisme $g_i$, $i\geq 1$, est donn� par les formules
\[
g_1 = p \quad \mbox{et} \quad g_i = - p \circ h \circ  m_i, \quad i \geq 2.
\]
Comme $h\circ p = p\circ H$, les morphismes $g_i$ correspondent aux arbres colori�s (ils n'appartiennent
pas n�cessairement � $\mathcal T$)
\begin{center}
\input{konts2.4.pstex_t}\hspace{2cm} \input{konts2.5.pstex_t}.
\end{center}
Le signe intervenant dans la formule pour $g$ implique
les �galit�s
\[
G_1 = p' \quad \mbox{et} \quad G_i = - p' \circ H' \circ  b_i, \quad i \geq 2,
\]
o� $p' = s \circ p \circ \si$.

Montrons que la composition $g \circ f^\delta$ est nulle.
Il suffit de montrer les �galit�s
\[
\sum_{\sum \alpha_k =n} G_{i}(F^\delta_{\alpha_1} \ts \hdots \ts F^\delta_{\alpha_i}) = 0, \quad n \geq 1.
\]
Soit $n \geq 1$. Comme les $G_i$ et les $F^\delta_{\alpha_k}$ sont des sommes de compositions
associ�es � des arbres colori�s,
la somme ci-dessus est la somme de compositions associ�es aux arbres colori�s concat�n�s.
Nous v�rifions que les arbres colori�s concat�n�s intervenant dans les sommes
\[
\sum_{\sum \alpha_k =n,\ i\geq 2} G_{i}(F^\delta_{\alpha_1} \ts \hdots \ts F^\delta_{\alpha_i})
\quad \mbox{et} \quad G_1 \circ F^\delta_n 
\]
sont les m�mes. Dans la premi�re somme, le signe intervenant
devant chaque composition associ�e � un arbre colori� concat�n� est n�gatif
car, pour $i \geq 2$, nous avons $G_i = - p' \circ H' \circ  b_i$. Dans la seconde somme,
il est positif car $G_1 = p'$. Nous avons donc $G \circ F^\delta = 0.$
Le morphisme $f^\delta$ se factorise en $f^g \circ \theta$.
Comme $f^\delta_1 = f^g_1$, nous avons $\theta_1 = \Id_V$. Il s'ensuit
que $\theta : V^\delta \ra V^g$ est un isomorphisme.
 \findem

\begin{remarque}{\em \label{remarque1_lemme_perturbation}
La d�monstration montre  que les morphismes $m^\delta_i$, $i\geq 1,$ et $f^\delta_i$, $i\geq 1$,
d�finis en terme d'arbres d�finissent bien des $\ai$-structures
(voir \cite[6.4]{Kontsevich01} pour
une autre preuve).
}\end{remarque}



\begin{remarque}{\em
Si $A$ est une alg�bre diff�rentielle gradu�e, l'$\ai$-morphis\-me
\[
g : A \ra K
\]
n'a que deux composantes non nulles $g_1$ et $g_2.$ La complexit�
des formules pour
les $m^\delta_i$, $i\geq 1$, provient donc de la complexit�
des formules des $f^\delta_i$, $i\geq 1$, d�finissant le noyau de $g$ dans $\aia$
\[
f^\delta : V^\delta \hookrightarrow A.
\]
}\end{remarque}


\begin{remarque}{\em \label{remarque3_lemme_perturbation}
Le lemme de perturbation nous donne, outre $V^\delta$ et $f^\delta$, une
contraction d'$\ai$-alg�bres
\[
\big(\xymatrix{
V^\delta \ar@<-1ex>[r]_(.6){f^\delta} & A \ar@<-1ex>[l]_(.4){q^\delta}
}, H^\delta \big).
\]
Remarquons que l'$\ai$-morphisme $q^\delta$ est le conoyau de l'$\ai$-morphisme
\[
j : K \ra A
\]
donn� par les formules
\[
j_1 = \sigma, \quad j_i = - m_i \circ (\sigma \tp i) \circ (h \ts \Id \tp{i-1}), \quad i\geq 2.
\]
\findem
}\end{remarque}




\begin{remarque}{\em
Soit $V$ et $W$ des complexes munis de filtrations exhaustives et soit
\[
\big(\xymatrix{
(V,d_V) \ar@<-1ex>[r]_{i} & (W,d_W) \ar@<-1ex>[l]_{\rho}
}, H \big)
\]
une contraction filtr�e de complexes.
Alors il existe une suite exacte scind�e de complexes
\[
\xymatrix{
0 \ar[r] & (V,d_V) \ar@<-1ex>[r]_{i} & (W,d_W) \ar@<-1ex>[r]_{p} \ar@<-1ex>[l]_{\rho}
& (K,d_K) \ar@<-1ex>[l]_{\sigma} \ar[r] & 0
}
\]
telle que
\[
\rho \circ \sigma = 0 \quad \mbox{et} \quad i \circ \rho + \sigma \circ p = \Id_A
\]
et une homotopie contractante $h$ de $K$ telle que
\[
h^2 = 0 \quad \mbox{et} \quad H = \sigma \circ h \circ p.
\]
Le complexe contractile $K$ est donc un facteur direct de $W.$
Soit $\delta$ une perturbation de la diff�rentielle $d_W.$
Le lemme de perturbation produit une contraction filtr�e de complexes
\[
\big(\xymatrix{
(V,d_V^\delta) \ar@<-1ex>[r]_(.4){i^\delta} & (W,d_W + \delta) \ar@<-1ex>[l]_(.6){\rho^\delta}
}, H^\delta \big).
\]
Un calcul montre que les morphismes
\[
(p - pH\delta) : (W,d_W + \delta) \ra (K,d_K) \quad \mbox{et} \quad
(\sigma - \delta H \sigma)  :  (K,d_K) \ra (W,d_W + \delta)
\]
sont des morphismes de complexes et qu'ils sont
le conoyau et le noyau de $i^\delta$ et $\rho^\delta$.
La composition
\[
(p - p H \delta) \circ (\sigma - \delta H \sigma )  : (K,d_K) \ra (K,d_K)
\]
induit un isomorphisme dans les objets gradu�s associ�s � la filtration.
C'est donc un isomorphisme. Le complexe contractile$(K,d_K)$ est donc aussi
un facteur direct du complexe perturb�  $(W,d_W + \delta)$ et l'inclusion
\[
\sigma : K \ra W
\]
est ``perturb�e'' en $\sigma - \delta H \sigma$ pour devenir compatible �
$d_W + \delta.$
}
\end{remarque}

Homot_aimod.tex
{\bf \noindent Introduction}\\

\noindent Soit $A$ une $\ai$-alg�bre augment�e. Rappelons que dans cette th�se les structures
commun�ment appel�es $\ai$-modules sur $A$ sont appel�es {\em $A$-polydules}
(``poly'' car la structure est donn�e par plusieurs
multiplications).
Le but de ce chapitre est de d�crire la cat�gorie d�riv�e
$\cd_\infty A$ dont les objets sont les $A$-polydules strictement
unitaires. Nous utiliserons pour cela les outils de l'alg�bre homotopique
de Quillen (voir l'appendice \ref{section_rappels_cmf})
en adaptant les m�thodes du chapitre 1 aux
polydules.
La cat�gorie d�riv�e d'une $\ai$-alg�bre quelconque sera �tudi�e au chapitre \ref{chapitre_Cat_der}.\\

{\bf \noindent Plan du chapitre}\\



\noindent Ce chapitre est divis� en deux parties. 

La premi�re partie qui compos�e des sections 
(\ref{section_reduction_augmentation}) et (\ref{section_cmf_coModcu}) ne traitera pas
des $\ai$-structures proprement dites. Dans la premi�re section (\ref{section_reduction_augmentation}),
on d�finit les (co)modules diff�rentiels
gradu�s (co)unitaires. Dans la section \ref{section_cmf_coModcu},
nous d�montrons le th�or�me (\ref{theoreme_cmf_coModcu}) :

{\em \noindent 
 Soit $C$ une cog�bre diff�rentielle gradu�e cocompl�te co-augment�e.
La cat�gorie $\coModcu C$ des $C$-comodules diff�rentiels gradu�s co-unitaires cocomplets admet
une unique structure de cat�gorie de mod�les telle que, pour toute 
alg�bre diff�rentielle gradu�e augment�e $A$ et toute cocha�ne
tordante admissible acyclique $\tau : C \ra A$, le couple de foncteurs
adjoints
\[
(? \tw A, \? \tw C) : \coModcu C \ra \Modu A
\]
est une �quivalence de Quillen. Tous les objets de $\coModcu C$ sont cofibrants.
}

\noindent Nous caract�risons ensuite l'acyclicit� des cocha�nes tordantes
(\ref{caracterisation_cochaines_acycliques}).\\

La deuxi�me partie est consacr�e aux $\ai$-structures concern�es par ce chapitre :
les (bi)polydules strictement unitaires sur des $\ai$-alg�bres augment�es.
Dans la section \ref{section_definition_ai-modules}, on d�finit les polydules,
leurs suspensions, les $\ai$-morphismes et les homotopies entre $\ai$-morphis\-mes.
Nous d�finissons ensuite la notion d'unitarit� stricte pour les $\ai$-structures.
Cette notion sera �tudi�e plus pr�cis�ment dans le chapitre \ref{chapitre_Unite}.
On rappelle ensuite les constructions bar et cobar et l'alg�bre enveloppante.
Dans la section \ref{section_categorie_derivee_augmentee}, nous affinons le th�or�me
(\ref{theoreme_cmf_coModcu}) pr�cit�. Nous montrons que, si la
cog�bre $C$ est isomorphe, en tant que cog�bre gradu�e, � une cog�bre tensorielle
co-augment�e, les objets fibrants de $\coModcu C$ sont exactement les facteurs directs des
$C$-comodules presque colibres.
En particulier, dans le cas o� $C$ est �gale � la construction bar d'une $\ai$-alg�bre
augment�e $A$, la cat�gorie des objets fibrants et cofibrants de $\coModcu C$ est l'image
essentielle par la
construction bar des $A$-polydules strictement unitaires.
Nous d�duirons de ce r�sultat plusieurs descriptions de la cat�gorie d�riv�e
\[
\cd_\infty A = \aiModu A [Qis^{-1}],
\]
o� $\aiModu A$ d�signe la cat�gorie des $A$-polydules strictement unitaires.

Dans la section \ref{section_categorie_derivee_augmentee_bipolydules},
nous �tudions la cat�gorie d�riv�e $\cd_\infty (A,A')$ des
bipolydules strictement unitaires sur $A$ et $A'$, deux $\ai$-alg�bres augment�es.
Les m�thodes �tant similaires, les d�tails seront omis.
Les bipolydules seront utiles dans l'�tude des
$\ai$-cat�gories.


\section{Rappels et notations} \label{section_reduction_augmentation}


Soit $(\sf C,\ts,e)$ une $\corps$-cat�gorie de Grothendieck semi-simple mono�dale
et $\sf C'$ \indexnotation{C1}
une $\corps$-cat�gorie de Grothendieck semi-simple (non n�cessairement 
mono�dale).
Nous supposons que la cat�gorie mono�dale $\sf C$ agit �
droite sur $\sf C'$, i.~e.~$\sf C'$ est munie d'un foncteur
\[
\sf C' \times \sf C \ra \sf C', \quad 
(M,A) \mapsto M \ts A
\]
tel que
\[
\Hom_{\sf C'}(M,M') \times \Hom{\sf C}(A,A') \ra \Hom_{\sf C'}(M\ts A,M' \ts A'),
\]
o� $A,A'$ sont dans $\sf C$ et $M,M'$ sont dans $\sf C',$ est $\corps$-bilin�aire. Nous demandons en
outre que cette action soit associative et unitaire � des isomorphismes donn�s pr�s
(voir \cite[chap.~XI]{MacLane98}).



\subsection{Modules sur une alg�bre augment�e} \label{section_modules_augmentes}

Soit $\sf M$ (resp.~$\sf M'$) l'une des cat�gories  $\gr \sf C$ ou $\cc \sf C$
(resp.~$\gr \sf C'$ ou $\cc \sf C'$) d�finies � la section \ref{categorie_de_base}.
La cat�gorie $\sf M$ est mono�dale et agit clairement sur $\sf M'$. \\

{\noindent \bf Alg�bres augment�es, r�duites}\\


Une alg�bre  $(A,\mu)$ dans $\sf M$ est {\em unitaire}  si elle est munie
d'un morphisme $\eta : e \ra A$ tel que $\mu (\Id \ts \eta) = \mu
(\eta \ts \Id) = \Id$. On appelle le morphisme $\unite$ l'{\em unit�}  \indexnotation{unite}
de $A.$
Si $A$ et $A'$ sont des alg�bres unitaires,
un {\em morphisme} d'alg�bres unitaires $f :A \ra A'$ est un morphisme d'alg�bres
$f$ tel que $f  \unite_A = \unite_{A'}.$
Le morphisme $e \ts e \ra e$ donn� par la contrainte d'unitarit� de
la cat�gorie de base (\ref{categorie_de_base}) d�finit une structure d'alg�bre unitaire
sur l'objet neutre
$e$.
Une alg�bre $A$ est {\em augment�e} 
si elle est unitaire et munie d'un morphisme
d'alg�bres unitaires \indexnotation{augmentation_mor}
\[
\epsilon : A \ra e.
\]
Le morphisme $\epsilon$ s'appelle l'{\em augmentation} \index{augmentation} de $A$.
Si $A$ et $A'$ sont des alg�bres augment�es,
un {\em morphisme} d'alg�bres augment�es $f :A \ra A'$ est un morphisme d'alg�bres
unitaires $f$ tel que $\epsilon_{A'}  f  = \epsilon_A.$


Si $A$ est une alg�bre augment�e de $\sf M$,
l'{\em alg�bre r�duite} \index{r�duite (alg�bre)} \index{algebre@{alg�bre}!reduite@{r�duite}}
\indexnotation{reduction}
$\b A $ associ�e � $A$ est  le noyau de l'augmentation.
Si $A$ est une alg�bre de $\sf M$,
l'{\em alg�bre augment�e} \indexnotation{augmentation}
associ�e � $A$ est l'alg�bre $A\+$ dont l'objet sous-jacent
est $e \oplus A$, et dont la multiplication est d�finie par les morphismes
\[
e \ts e \ra e, \quad e \ts A \ra A,\quad A \ts e \ra A\quad \mbox{et} \quad A \ts A \arr{\mu} A,
\]
o� les trois premiers morphismes sont donn�s par la contrainte d'unitarit� de la
cat�gorie de base. L'augmentation de $A\+$ est la projection canonique
$A\+ \ra e$.
On note $\alga$ \indexnotation{alga} la {\em cat�gorie} des alg�bres augment�es de $\cc \sf C.$
Le foncteur 
\[
 \alg \arr{} \alga, \quad A \mapsto A\+,
\]
est une �quivalence dont le quasi-inverse est le foncteur $A \mapsto \b A.$\\


{\noindent \bf Modules}\\

Soit $A$ une alg�bre dans $\sf M$. Un {\em $A$-module (� droite) \index{module}
dans $\sf M'$} est un objet $M$ de $\sf M'$
muni d'un morphisme $\mu^M : M \ts A \ra M$ (de degr� $0$ si $\sf M' = \gr \sf C'$)
tel que
\[
\mu^M (\mu^M \ts \Id) = \mu^M (\Id \ts \mu^A).
\]
On appelle $\mu^M$ la {\em multiplication de $M$.}
Si $M$ et $N$ sont deux modules, un {\em morphisme} de modules $f : M \ra N$
est un morphisme $f$ tel que 
\[
f  \mu^M = \mu^N (f \ts \Id).
\]
Si l'alg�bre $A$ est unitaire, un $A$-module $M$ est {\em unitaire} 
si on a 
\[
\mu^M (\Id \ts \unite^A) = \Id_M.
\]
%
%
Soit $A$ une alg�bre gradu�e (resp.~diff�rentielle gradu�e).
Un $A$-{\em module gradu�} \index{module!gradu�} (resp.~{\em diff�rentiel gradu�})
\index{module!diff�rentiel gradu�} est un $A$-module dans
la cat�gorie $\gr \sf C'$ (resp.~$\cc \sf C'$).
Si $A$ est une alg�bre diff�rentielle gradu�e,
un $A$-module diff�rentiel gradu� est donc un objet $M$ de $\gr \sf C'$, muni d'une multiplication
$\mu^M : M\ts A\ra M$ et d'une diff�rentielle $d^M : M \ra M$ telle que
\[
d^M (\mu^M) = \mu^M (d^M \ts \Id_A + \Id_M \ts d^A).
\]
Si $(M,\mu^M)$ est un $A$-module gradu�, une {\em d�rivation de modules}
\index{derivation@{d�rivation}} est un morphisme $d^M : M \ra M$ v�rifiant l'�quation ci-dessus.
Une {\em diff�rentielle de module} est une d�rivation de degr� $+1$ et de carr� nul.
Si $A$ est une alg�bre diff�rentielle gradu�e unitaire,
on note $\Modu A$ \label{Modu}la {\em cat�gorie} des $A$-modules dif\-f�rentiels gradu�s
unitaires.


Soit $f :  A \ra A'$ un morphisme de $\alg$. La {\em restriction le long de $f$}
\index{restriction} d'un $A'$-module $M$
est le $A$-module dont l'objet sous-jacent est $M$ et dont la
multiplication est $\mu^M (f \ts \Id).$ Le {\em $A'$-module induit par $f$}
\index{induction} d'un $A$-module $M$ a pour objet sous-jacent
$M \ts_{A} A'$ et pour multiplication  $\Id \ts \mu^{A'}$.
Soit $A$ une alg�bre augment�e et soit  $i : \b A \ra A$ l'injection canonique. 
Le {\em foncteur restriction}
est une �quivalence de $\Modu A$ sur la cat�gorie des modules diff�rentiels gradu�s sur $\b A$,
son quasi-inverse
est le {\em foncteur induction}.\\

Soit $A$ une alg�bre diff�rentielle gradu�e et $M$ et $N$ deux modules diff�rentiels gradu�s.
Si $f$ et $g$ sont deux morphismes $M \ra N$, une {\em homotopie} \index{homotopie}
entre $f$ et $g$ est un morphisme gradu� de $A$-modules $h : M \ra N$ de degr� $-1$ tel que
$h \circ d + d \circ h = f - g.$ Deux morphismes $f$ et $g$ sont {\em homotopes} s'il existe une homotopie
entre $f$ et $g.$\\


{\noindent \bf Modules libres}\\

Soit $A$ une alg�bre de $\sf M$. Soit $V$ un objet de $\sf M'.$ Le morphisme $\Id_V \ts \mu^A$
d�finit une structure de $A$-module sur $V \ts A$.
Un $A$-module $M$ est {\em libre sur $V$} \index{libre!module} \index{module!libre}s'il existe un isomorphisme
de $A$-modules $M \arr{\sim} V \ts A$.
%
Un module diff�rentiel gradu� est {\em presque libre} \index{module!presque libre} \index{presque libre!module}
s'il est libre en tant que module gradu�.


\begin{lemme} \label{lemme_modules_libres}
Soit $A$ un objet de $\alga$.
Soit $M$ un objet de $\Modu A$ et $V$ un objet de $\gr \sf C'$.
\english \begin{itemize}
\item[a.] L'application $f \mapsto f (\Id \ts \unite)$ est une bijection de l'ensemble
des morphismes de modules gradu�s $V\ts A \ra M$ vers l'ensemble des morphismes
gradu�s $V \ra M$. L'application inverse associe � $g : V \ra M$ le morphisme
de modules 
\[
V \ts A \arr{g \ts \Id} M \ts A \arr{\mu^M} M.
\]
\item[b.] L'application $d \mapsto d (\Id \ts \unite)$ est une bijection de l'ensemble $\ce$
des d�rivations du modules gradu�s $V\ts A$ vers l'ensemble des morphismes
gradu�s $g : V \ra V \ts A$.
L'application inverse associe � $g : M \ra N$ la diff�rentielle
\[
\Id \ts d^A + (\Id \ts \mu^A)(g \ts \Id).
\]
Cette bijection fait correspondre le sous-ensemble de $\ce$
form� des diff�rentielles de modules au morphismes de degr� $+1$ tel que 
\[
(\Id_V \ts \mu^A)(g \ts \Id)g + (\Id \ts d^A)g = 0.
\]
\end{itemize} \francais \findem
\end{lemme}


\subsection{Comodules co-augment�s}

{\noindent \bf Cog�bres co-augment�es, r�duites}\\

Une cog�bre $(C,\Delta)$ de $\sf M$ est {\em co-unitaire} \index{co-unitaire} si elle est munie d'un morphisme
$\counite : C \ra e$ tel que $(\Id \ts \counite)\Delta = (\counite \ts \Id )\Delta = \Id$. Le morphisme
$\counite$ s'appelle la {\em co-unit�} \indexnotation{counite} de $C$. Si $C$ et $C'$ sont
deux cog�bres co-unitaires, un {\em morphisme} de cog�bres co-unitaires $f : C \ra C'$ est un morphisme
de cog�bres $f$ tel que $\counite_{C'}  f = \counite_C.$ 
Le morphisme $e \ra e \ts e$ donn� par la contrainte d'unitarit� de la cat�gorie de base
d�finit une structure de cog�bre co-unitaire sur l'objet neutre $e.$
Une cog�bre $C$ est {\em co-augment�e}  si elle est munie d'un
morphisme de cog�bres co-unitaires \indexnotation{coaugmentation_mor}
\[
\coaugmentation : e \ra C.
\]
Le morphisme $\coaugmentation$ s'appelle la {\em co-augmentation} \index{co-augmentation} de la cog�bre $C.$
Si $C$ et $C'$ sont deux cog�bres co-augment�es, un {\em morphisme} de cog�bres co-augment�es
$f : C\ra C'$ est un morphisme de cog�bres unitaires $f$ tel que $f  \coaugmentation_C = 
\coaugmentation_{C'}$.



Si $C$ est une cog�bre co-augment�e de $\sf M$, la {\em cog�bre r�duite} \index{r�duite (cog�bre)}
\index{cogebre@{cog�bre}!reduite@{r�duite}}
$\b C$ \indexnotation{reduction_cog} est le conoyau
de la co-augmentation.
Si $C$ est une cog�bre de $\sf M$, la {\em cog�bre co-augment�e} \index{co-augment�e (cog�bre)}
\index{cogebre@{cog�bre}!co-augmentee@{co-augment�e}}
$C\+$ \indexnotation{coaugmentation} est la cog�bre 
dont l'objet sous-jacent est $C \oplus e$ et dont la comultiplication est le morphisme d�fini par
les composantes
\[
e \ra e \ts e,\quad C \ra e \ts C, \quad C \ra C \ts e \quad \mbox{et} \quad C \arr{\Delta}C \ts C,
\]
o� les trois premiers morphismes sont d�finis par la contrainte d'unitarit� de la cat�gorie de base.
La co-augmentation de $C\+$ est l'injection canonique $e \ra C\+.$ 
Si $V$ est un objet gradu� de $\sf C$, on note $\ct V$ la cog�bre \indexnotation{ct} $(\ctr V)\+.$
Soit $\cocoga$ \label{cocoga} la {\em cat�gorie}
des cog�bres co-augment�es de $\cc \sf C$ dont les cog�bres r�duites sont
cocompl�tes.
Le foncteur
\[
\cocog \ra \cocoga, \quad C \mapsto C\+,
\]
est une �quivalence dont le quasi-inverse est le foncteur $C \ra \b C.$\\


{\bf \noindent Comodules}\\

Soit $C$ une cog�bre de $\sf M.$ Un $C$-{\em comodule (� droite) dans $\sf M'$ } \index{comodule}
est un objet gradu� $N$ de $\sf M'$ muni
d'un morphisme $\Delta^N : N \ra N \ts C$ (de degr� $0$ si $\sf M' = \gr \sf C'$) tel que
\[
(\Id \ts \Delta^C) \Delta^N = (\Delta^N \ts \Id) \Delta^N.
\]
Si $N$ et $N'$ sont deux $C$-comodules, un {\em morphisme} de $C$-comodules $f : N \ra N'$
est un morphisme de $\sf M'$ tel que $\Delta^{N'}  f = (f \ts \Id)  \Delta^N$.
Si la cog�bre $C$ est co-unitaire, un $C$-comodule $N$ est
{\em co-unitaire} \index{co-unitaire} si $\Delta^N (\Id \ts \counite) = \Id_N.$


Soit $C$ une cog�bre gradu�e (resp.~diff�rentielle gradu�e).
Un $C$-{\em comodule gradu�} \index{comodule!gradu�} (resp.~{\em diff�rentiel gradu�})
\index{comodule!diff�rentiel gradu�} est un $C$-comodule dans la
cat�gorie $\gr \sf C'$ (resp.~$\cc \sf C'$).
Si $C$ est une cog�bre diff�rentielle gradu�e,
un comodule diff�ren\-tiel gradu� est donc un objet $N$ de $\gr \sf C'$, muni d'une comultiplication
$\Delta^N : N \ra N \ts C$ et d'une diff�rentielle $d^N : N \ra N$ telle que
\[
\Delta^N d^N  = (d^N \ts \Id_A + \Id_N \ts d^A) \Delta^N.
\]
Si $(N,\Delta^N)$ est un $C$-comodule gradu�, une {\em cod�rivation de comodules}
\index{coderivation@{cod�rivation}} est un morphisme $d^N : N \ra N$ v�rifiant l'�quation ci-dessus.
Une {\em diff�rentielle de comodule} est une cod�rivation de degr� $+1$ et de carr� nul.
Si la cog�bre $C$ est co-unitaire, on note $\coModu C$ \indexnotation{comC}
la cat�gorie des comodules diff�rentiels gradu�s co-unitaires. 



Soit $f : C \ra C'$ un morphisme de $\cog.$ La {\em corestriction le long de $f$}
\index{corestriction} d'un
$C$-comodule $N$ est le $C'$-comodule dont l'objet sous-jacent est $N$ et dont
la comultiplication est $(\Id \ts f) \Delta^N.$ 
Le {\em $C$-comodule co-induit par $f$} \index{co-induction}
associ� � un $C'$-comodule $N$ a pour objet sous-jacent le noyau
\[
\ker ( N\ts C \arr{u} N \ts C' \ts C),
\]
o� $u = \Delta^N  \ts \Id_C - (\Id_N \ts f \ts \Id_C)(\Id_N \ts \Delta^C)$,
et pour comultiplication le morphisme induit par $\Id^N \ts \Delta^C : N \ts C \ra N\ts C \ts C$.

 
Soit $C$ une cog�bre co-augment�e et soit  $p : C \ra \b C$ la projection canonique. 
Le {\em foncteur corestriction}
est une �quivalence de la cat�gorie $\coModu C$ sur la cat�gorie des $\b C$-comodules diff�rentiels
gradu�s.
Son quasi-inverse
est le {\em foncteur co-induction}.\\

Soit $C$ une cog�bre diff�rentielle gradu�e et soit $N$ et $N'$ deux comodules diff�rentiels gradu�s.
Si $f$ et $g$ sont deux morphismes $N \ra N'$, une {\em homotopie} \index{homotopie}
entre $f$ et $g$ est un morphisme gradu� de $C$-comodules $h : N \ra N'$ de degr� $-1$ tel que
$h \circ d + d \circ h = f - g.$ Deux morphismes $f$ et $g$ sont {\em homotopes} s'il existe une homotopie
entre $f$ et $g.$\\


{\noindent \bf Comodules cocomplets}\\


Soit $C$ une cog�bre co-augment�e de $\sf M$ et $N$ un $C$-comodule co-unitaire dans $\sf M'$.
On d�finit $\Delta^{(2)} = \Delta^N$
et, pour tout $n\geq 3$, on d�finit
$\Delta ^{(n)} : N \ra N  \ts C\tp{n-1}$ par
\[
\Delta ^{(n)} = (\Id \tp{n-2} \ts \Delta^C) \Delta^{(n-1)}.
\]
Soit $n \geq 1.$ Le noyau $N\prim n$ \indexnotation{primN} du morphisme
\[
N \arr{\Delta^{(n+1)}} N \ts C\tp{n} \arr{\Id \ts p\tp{n}} N \ts \b C \tp{n}
\]
(o� $p : C \ra \b C$ est la projection canonique) est un sous-comodule de $N.$
Il s'appelle le {\em sous-comodule des $n$-primitifs}
\index{primitifs@{$n$-primitifs}} de $N.$
Pour $n = 1$, on obtient le sous-comodule des {\em primitifs} de $N$.
La suite croissante de sous-comodules
\[
N_{[1]} \subset N_{[2]} \subset N_{[3]} \subset \cdots
\]
est la {\em filtration primitive}
\index{filtration!primitive} du comodule
$N.$
Si $C$ est un objet de $\cocoga$,
un $C$-comodule diff�rentiel gradu� co-unitaire $N$ est {\em cocomplet} \index{cocomplet (comodule)}
\index{comodule!cocomplet}
si sa filtration primitive est exhaustive. On note $\coModcu C$ \indexnotation{comcC} la cat�gorie des
comodules cocomplets.\\

{\noindent \bf Comodules colibres}\\

Soit $C$ une cog�bre co-augment�e dans $\sf M$. Soit $V$ un objet de $\sf M'.$ Le
morphisme 
\[
\Id \ts \Delta^C : V\ts C \ra V \ts C \ts C
\]
munit $V \ts C$
d'une structure de $C$-comodule. Son sous-comodule des primitifs est le comodule $V \ts e.$
Pour $n \geq 2$, son sous-comodule des $n$-primitifs est le $C$-comodule
$V \ts C\prim {n-1}.$ Le $C$-comodule $V\ts C$ est
donc cocomplet si $C$ est un objet de $\cocoga$. Un $C$-module
$N$ est {\em colibre sur $V$} \index{colibre (comodule)} \index{comodule!colibre} s'il existe
un isomorphisme de $C$-comodules $N \arr{\sim} V \ts C.$
Si $C$ est un objet de $\cocoga$, un comodule diff�rentiel gradu� est
{\em presque colibre} \index{comodule!presque colibre} \index{presque colibre (comodule)}
s'il est libre en tant que comodule gradu�.
La {\em sous-cat�gorie} de $\coModcu C$ form�e des objets presque colibres est not�e $\colibre C.$

\begin{lemme} \label{lemme_comodules_colibres}
Soit $C$ une cog�bre diff�rentielle gradu�e co-unitaire,
$N$ un objet dans $\coModu C$ et $V$ un objet gradu�.
\english \begin{itemize}
\item[a.] L'application $f \mapsto (\Id \ts \counite^C) f$ est une bijection de l'ensemble
des morphismes de comodules gradu�s $N \ra V\ts C$ sur l'ensemble des morphismes gradu�s
$N \ra V.$ L'application inverse envoie $g : N \ra V$ sur le morphisme de $C$-comodules
\[
N \arr{\Delta} N \ts C \arr{g \ts \Id} V \ts C.
\]
\item[b.]
L'application $d \mapsto (\Id \ts \counite^C) d$ est une bijection de l'ensemble 
\[
\coder(V \ts C)
\]
des cod�rivations du comodules $V \ts C$ sur l'ensemble des morphismes gradu�s
$g : V \ts C \ra V$.
L'application inverse envoie $g$ sur la cod�rivation
\[
(g \ts \Id )(\Id_V \ts \Delta^C) + \Id_V \ts d^C.
\]
Cette bijection fait correspondre les diff�rentielles de comodules
aux morphismes gradu�s
de degr� $+1$ tels que
\[
g (\Id_V \ts d^C) + g (g \ts \Id_C )(\Id_V \ts \Delta^C) = 0.
\]
\end{itemize} \francais \findem
\end{lemme}








%
%
%
%
%
%
%
%
%!          $coModu C$ comme cat�gorie de mod�les
%
%
%
%
%
%

\section{$\coModcu C$ comme cat�gorie de mod�les}  \label{section_cmf_coModcu}
%
%
%
%
%
%
%
%!           Cocha�ne tordante et produit tensoriel tordu
%
%
%
%
%
%
%







\subsection{Cocha�ne tordante et produits tensoriels tordus} 
\label{section_cochaines_tordantes}



\begin{definition}{\em 
Soit $C$ une cog�bre diff�rentielle gradu�e et $A$ une al\-g�bre diff�rentielle
gradu�e. Une {\em cocha�ne tordante}\index{cocha�ne tordante} \indexnotation{tau}
est un morphisme gradu� $\tau : C \ra A$
de degr� $+1$ tel que 
\[
d_A \tau + \tau d_C + m (\tau \ts \tau) \Delta = 0.
\]
Si $f: A \ra A'$ est un morphisme dans $\alg$ (resp.~si $g : C' \ra C$ est un morphisme
dans $\cog$) la composition $f \circ \tau$ (resp.~$\tau \circ g$) est encore une cocha�ne
tordante. Ainsi, une cocha�ne tordante $\tau : C \ra A$ induit une cocha�ne tordante
$\tau \+ = i \circ \tau \circ p : C\+ \ra A\+$, o� $i$ est l'injection canonique $A \ra A\+$
et $p$ la projection canonique $C\+ \ra C$.
Soit $A$ un objet de $\alga$ et $C$ un objet de $\coga$. Une cocha�ne tordante
$ C \ra A$ est {\em admissible} \index{admissible!cocha�ne} \index{cocha�ne tordante!admissible}
si elle est induite par une cocha�ne tordante $\b C \ra \b A$.
}\end{definition}




Soit $A$ une alg�bre diff�rentielle gradu�e augment�e et $C$ une cog�bre diff�rentielle
gradu�e co-augment�e.
Soit $\tau : C \ra A$ une cocha�ne tordante admissible.
Soit $M$ un objet de $\Modu A$. Soit le morphisme $t_\tau :  M \ts C \ra M \ts C$ d�fini comme la composition
\[
M \ts C \arr{\Id \ts \Delta} M \ts C \ts C \arr{\Id \ts \tau \ts \Id} M \ts A \ts C
\arr{\mu^M \ts \Id} M \ts C.
\]
Comme $\tau$ est une cocha�ne tordante, la somme
\[
b_\tau = b + t_\tau : M\ts C \arr{} M \ts C
\]
o� $b$ est la diff�rentielle du produit tensoriel $M\ts C$,
donne une diff�rentielle sur le $C$-comodule gradu� co-unitaire $M \ts C.$
Le produit tensoriel $M \ts C$ muni de la {\em diff�rentielle tordue (par $\tau$) $b_\tau$}
\index{diff�rentielle tordue} \index{produit tensoriel tordu} est not� $M \tw C.$
Si $M$ et $M'$ sont deux objets de $\Modu A$, un morphisme $f : M \ra M'$
induit un morphisme de $C$-comodules gradu�s co-unitaires
$f \ts \Id_C: M \tw C\ra M' \tw C$ compatible aux diff�rentielles. 
Nous obtenons ainsi un {\em foncteur}\indexnotation{RM}
\[
R_\tau : \Modu A \ra \coModu C, \hspace{1cm} M \mapsto M \tw C.
\]
Lorsqu'il n'y aura pas d'ambiguit� nous noterons ce foncteur $R.$

De mani�re duale, si $N$ est $C$-comodule diff�rentiel gradu� co-unitaire,
le {\em morphisme} $T_\tau$ est d�fini
comme la composition
\[
N \ts A \arr{\Delta^N \ts \Id} N \ts C \ts A \arr{\Id \ts \tau \ts \Id} N \ts A \ts A
\arr{\Id \ts \mu^A} N \ts C.
\]
La somme de la diff�rentielle $D$ du produit tensoriel $N \ts A$ et du morphisme $T_\tau$ d�finit
une nouvelle diff�rentielle sur le $A$-module gradu� unitaire $N \ts A$. 
Le produit tensoriel $N \ts A$ muni de
la {\em diff�rentielle tordue (par $\tau$)  $D_\tau = D + T_\tau$} 
est not� $N \tw A.$ \indexnotation{produit_tens_tordu}
Si $N$ et $N'$ sont deux
objets de $\coModcu C$, un morphisme $f : N \ra N'$ induit un morphisme de $A$-modules gradu�s unitaires
$f \ts \Id_A : N \tw A \ra N' \tw A$ compatible aux diff�rentielles.
Nous obtenons ainsi un {\em foncteur}  \indexnotation{LN}
\[
L_\tau : \coModu C \ra \Modu A, \hspace{1cm} N \ra N \tw A
\]
que nous noterons $L$ lorsqu'il n'y aura pas d'ambiguit�.

\begin{lemme}
Le foncteur $L : \coModu C \ra \Modu A$ est adjoint � gauche au foncteur $R : \Modu A \ra \coModu C.$
\end{lemme}

\dem  Soit $N$ un objet de $\coModu C$ et $M$ un objet de $\Modu A$. Nous allons donner la bijection
fonctorielle
\[
\phi : \Hom_{\sz \Modu A} (LN,M) \arr{} \Hom_{\sz \coModu C}(N,RM) .
\]
Soit $f : LN \ra M$ un morphisme de $\Modu A$. Par le lemme \ref{lemme_modules_libres}, il est
d�termin� par sa composition $\alpha = f \circ (\Id_N \ts \unite^A) : N \ra M.$ Par le lemme
\ref{lemme_comodules_colibres}, le morphisme $\alpha$ d�termine � son tour un morphisme gradu�
de $C$-comodules co-unitaires
$\phi (f) : N \ra RM$ tel que $(\Id \ts \counite^C) \phi(f) = \alpha.$ On v�rifie que la condition 
$b_\tau \phi (f) - \phi  (f)  d_N = 0$ �quivaut � la condition $d_M f - f D_\tau = 0.$ \findem


\begin{definition}{\em 
Une cocha�ne tordante admissible $\tau : C \ra A$ est {\em acyclique} \index{acyclique (cocha�ne)}
\index{cocha�ne tordante!acyclique}si, 
pour tout objet $M$ de $\Modu A$, le morphisme d'adjonction
\[
\phi : LR M \ra M
\]
est un quasi-isomorphisme (voir la proposition \ref{caracterisation_cochaines_acycliques}
ci-dessous pour des conditions �quivalentes).
}\end{definition}



\begin{notation}[Construction bar et cobar]{\em
Soit $A$ un objet de $\alga$. Nous notons $\Ba A$ la cog�bre co-augment�e
$(B\b A)\+$, o� $\b A$ est l'alg�bre r�duite associ�e � $A$. Attention � ne pas
confondre les cog�bres co-augment�es $\Ba A$ et $(BA)\+.$ \index{construction bar}
\indexnotation{Ba1}
Soit $C$ un objet de $\cocoga$. Nous notons $\Oma C$ l'alg�bre augment�e
$(\Omega \b C)\+$, o� $\b C$ est le cog�bre r�duite associ�e � $C$. Elle n'est pas
isomorphe � $(\Omega C)\+$. \index{construction cobar} \indexnotation{Oma}
\indexnotation{Oma1}
}\end{notation}


\begin{lemme}
\label{cochaines_universelles} 
\english \begin{itemize}
\item[a.] Soit $A$ un objet de $\alga$. Soit $p : B\b A \ra S\b A$ la projection
canonique. La composition
\[ 
\tau_A : \Ba A \ra B\b A \arr{\si \circ p} \b A \ra A, 
\]
o� la premi�re fl�che est la projection canonique et la derni�re l'injection canonique,
est une cocha�ne tordante admissible. La cocha�ne
$\tau_A$ est universelle parmi les cocha�nes tordantes admissibles
de but $A$, i.~e.~si $C$ est un objet de $\coga$ et $\tau : C \ra A$ est une cocha�ne tordante admissible, il
existe un unique morphisme $g_\tau$ tel que $\tau_A \circ g_\tau = \tau.$

\item[b.] De fa�on duale, nous associons � un objet $C$ de $\cocoga$ une cocha�ne tordante admissible
\[ 
\tau_C : C \ra \b C \arr{i \circ \si} \Omega \b C \ra \Oma C
\]
o� $i : S^{-1}\b C \ra \Omega \b C$ est l'injection canonique.
La cocha�ne
$\tau_C$ est universelle parmi les cocha�nes tordantes admissibles
de source $C$, i.~e.~si $\tau : C \ra A$ est une cocha�ne tordante admissible, il existe un unique morphisme
$f_\tau$ tel que $f_\tau \circ \tau_C = \tau.$

\end{itemize} \francais
\end{lemme}

\dem 
Soit $C$ un objet de $\cocoga$ et $A$ un objet de $\alga$. 
Soit $\tau : C \ra A$ un morphisme gradu� de degr� $+1$ dont la composition avec la co-augmentation
de $C$ et l'augmentation de $A$ est nulle.
Soit 
\[
f_\tau : \Oma C \ra A
\]
le morphisme gradu� d'alg�bres augment�es relevant (\ref{algebres_libres})
la composition $\tau \circ s$ et 
\[
g_\tau : C \ra \Ba A
\]
le morphisme gradu� de cog�bres co-augment�es relevant
(\ref{cogebres_tensorielles}) la composition $s \circ \tau$. 
Par la d�monstration du lemme \ref{adjonction_bar_cobar}, le morphisme gradu� $\tau$ est
une cocha�ne tordante si et seulement si $f_\tau$ est compatible aux diff�rentielles
si et seulement si $g_\tau$ est compatible aux diff�rentielles.

{\it a.} La composition $\si \circ p : B\b A \ra \b A$ est une cocha�ne tordante car le rel�vement
(\ref{cogebres_tensorielles}) de $p : B \b A \ra S\b A$
est l'identit� de la cog�bre $B\b A$ (et cette derni�re
commute �videmment � la diff�rentielle de $B \b A$). L'universalit� est imm�diate. 

{\it b.} Idem.
\findem



\begin{definition}{\em 
On appelle $\tau_A$ la {\em cocha�ne tordante universelle de $A$} \index{universelle (cocha�ne)}
\index{cocha�ne tordante!universelle}
\indexnotation{tauA} et $\tau_C$
la {\em cocha�ne tordante universelle de $C$.}
}\end{definition}

\begin{remarque}{\em
Dans \cite{Husemoller74}, le foncteur
\[
R_{\tau_A} : \Modu A \ra \coModcu \Ba A, \hspace{1cm} M \mapsto M \ts_{\tau_A} \Ba A,
\]
est not� $B_A M.$ \findem }\end{remarque}


\noindent Notons
\[
\Res : \Modu A \ra \Modu \Oma C
\] 
le foncteur restriction le long de $f_\tau$ et 
\[
\Ind :  \Modu \Oma C \ra \Modu A
\]
le foncteur induction.
On sait que $(\Ind , \Res)$ est une paire de foncteurs adjoints de la cat�gorie
$\Modu \Oma C$ vers la cat�gorie $\Modu A$. 
Notons
\[
\Res^{op} : \coModcu C \ra \coModcu \Ba A
\] 
le foncteur corestriction le long de $g_\tau$ et 
\[
\Ind^{op} :  \coModcu \Ba A \ra \coModcu C
\]
le foncteur co-induction.
On sait que $(\Res^{op} , \Ind^{op})$ est une paire de foncteurs adjoints de la cat�gorie
$\coModcu C$ vers la cat�gorie $\coModcu \Ba A$. 


\begin{lemme} \label{lemme_composition_adjonction}
\english \begin{itemize}
\item[a.] La paire de foncteurs adjoints $(L_\tau, R_\tau)$ de la cat�gorie $\Modu A$ vers la
cat�gorie  $\coModcu C$ est
la composition de la paire $(\Ind , \Res)$ avec la paire
$(L_{\tau_C}, R_{\tau_C}).$
\item[b.] La paire de foncteurs adjoints $(L_\tau, R_\tau)$ de la cat�gorie $\Modu A$ vers la
cat�gorie  $\coModcu C$ est
la composition de la paire $(L_{\tau_A}, R_{\tau_A})$ avec la paire $(\Res^{op} , \Ind^{op})$.
\findem
\end{itemize} \francais
\end{lemme}

\begin{lemme} \label{lemme_acyclicite_cochaines_universelles} 
\english \begin{itemize}
\item[a.] Soit $A$ un objet de $\alga$. La cocha�ne tordante universelle $\tau_A$ est
acyclique.
\item[b.] Soit $C$ un objet de $\cocoga$. La cocha�ne tordante universelle $\tau_C$
est acyclique.
\end{itemize} \francais
\end{lemme}

\dem 
{\it a.} Soit $M$ un objet de $\Modu A$.
Montrons que $LRM = (M \ts \Ba A \ts A, d)$ est une r�solution (dite r�solution bar normalis�e)
de $M$ 
\[
bar_A(M) = \cdots \ra M \ts \b A \tp i \ts A \ra \cdots \ra M \ts \b A \ts A \ra M\ts A,
\]
et que le morphisme $\Phi$ correspondant au morphisme $bar_A(M) \ra M$ est un quasi-isomorphisme.
Comme dans le cas o� $M$ est concentr� en degr� $0,$ (voir \cite[IX.6]{Cartan56} o� ce
complexe se nomme le complexe standard normalis�) les morphismes
\[
h_{i-1} = \Id \tp i \ts p \ts \epsilon : M \ts \b A \tp {i-1} \ts A \ra M \ts \b A \tp i \ts A,
\]
o� $p$ est la projection canonique, d�finissent une homotopie contractante du complexe
\[
\cdots \ra M \ts \b A \tp i \ts A \ra \cdots \ra M \ts \b A \ts A \ra M\ts A \ra M \ra 0.
\]


{\it b.} Soit $M$ un objet de $\Modu{\Oma C}$.
Montrons que $\Phi : LRM \ra M$ est un quasi-isomorphisme filtr�.  Munissons $\Omega \b C$ de la filtration
induite par la filtration primitive de $\b C$ consid�r� comme cog�bre. Nous avons alors une
filtration de $\Oma C$ d�finie par la suite
\[
\left(\Oma C\right)_i = (\Omega \b C)_i \oplus e, \quad i\geq 0. 
\]
Munissons $C$, consid�r� comme objet de $\coModu C$, de sa filtration primitive
de $C$-module (nous la compl�tons par $C\prim 0 = e$). 
Munissons $M$ de la filtration d�finie par la suite $M_i = M$, $i \geq 0.$
Ces filtrations induisent sur $LRM = (M \ts C \ts \Oma C)$ une filtration
de complexes.
Le morphisme $\Phi : LRM \ra M$ devient un morphisme filtr� pour ces filtrations.
Il induit un morphisme
\[
\ogr_0 (LRM) \ra \ogr_0 M
\]
qui est l'identit� de $M.$
Comme $\ogr_i M = 0$ pour tout $i \geq 1$, il nous suffit de montrer que
\[
 \ogr_i (LRM), \quad i\geq 1,
\]
est contractile. Soit $i \geq 1.$ Par construction, nous avons un isomorphisme d'objets gradu�s
\[
 \ogr_i (LRM) =  M \ts e \ts \ogr_i\Oma C \oplus 
\bigg(\bigoplus_{i_1 + i_2 =i\above 0pt i_1 \neq 0}
M \ts \ogr_{i_1}C \ts \ogr_{i_2}\Oma C\bigg).
\]
La diff�rentielle a pour matrice
\[
\left[\begin{array}{cc}
0 &  \rho \\
0 & 0
\end{array}\right]
\] 
o� $\rho$ est le morphisme induit par $T_{\tau_C}$
\[
\bigoplus_{i_1 + i_2 =i\above 0pt
i_1 \neq 0} M \ts \ogr_{i_1}C \ts \ogr_{i_2}\Oma C 
\arr{} M \ts e \ts \ogr_i\Oma C.
\]
Ce dernier est un isomorphisme car il est induit par l'isomorphisme
\[
\bigoplus_{i_1 + i_2 =i\above 0pt
i_1 \neq 0} \ogr_{i_1}C \ts \ogr_{i_2}\Oma C 
\arr{} \ogr_i\Oma C
\]
\findem


%
%
%
%
%
%
%
%!          $\coModcu C$ comme cat�gorie de mod�les
%
%
%
%
%
%



\subsection{$\coModcu C$ comme cat�gorie de mod�les}


Soit $C$ un objet de $\cocoga$. Dans cette section, nous allons munir $\coModcu C$
d'une structure de cat�gorie de mod�les. Nous commen�ons par rappeler la structure
de cat�gorie de mod�les sur $\Modu A$, o� $A$ est un objet de $\alga$ et nous
�non�ons ensuite le th�or�me principal (\ref{theoreme_cmf_coModcu}). Nous ne d�taillerons
pas toute sa d�monstration car elle est similaire � celle de (\ref{theoreme_cmf_cocog}).
Seul les points qui diff�rent seront d�velopp�s.\\



%
%
%
%
%
%
%
%!          Rappels sur la cat�gorie $\Modu A$
%
%
%
%
%
%
% \label{section_cmf_Modu}

{\noindent \bf Rappels sur la cat�gorie $\Modu A$}\\

Soit $A$ une alg�bre diff�rentielle gradu�e unitaire.
Dans la cat�gorie $\Modu A$,
consid�rons les trois classes de morphismes suivantes
\english \begin{itemize}
\item[-] la classe $Qis$ des quasi-isomorphismes,
\item[-] la classe $\fib$ des morphismes $f : M \ra M'$ tels que
$f^n$ est un �pimorphis\-me pour tout $n \in \Z,$
\item[-] la classe $\cof$ des morphismes qui ont la propri�t� de rel�vement
� gauche par rapport aux morphismes appartenant � $Qis \cap \fib$.
\end{itemize} \francais

\begin{theoreme}[Hinich \cite{Hinich97c}]\label{theoreme_cmf_Modu}
La cat�gorie $\Modu A$ munie des classes de morphismes d�finies ci-dessus
est une cat�gorie de mod�les. 
Tous les objets sont fibrants. Les objet cofibrants sont d�crits dans
la remarque \ref{remarque_objets_cofibrants_Modu} ci-dessous.
\end{theoreme}

%  On d�finit les {\em cofibrations standard} (resp.~{\em triviales)} de $\Modu A$
% \index{cofibration standard (de $\Modu A$)}
% comme dans la d�finition \ref{cofibration_standard},
% � la diff�rence pr�s que $M^\sharp$ d�signe le complexe
% sous-jacent �  un objet $M$ de $\Modu A$ et que $FV$ d�signe le module diff�rentiel gradu� libre sur 
% un complexe $V.$ On a alors la m�me description des
%  cofibrations (resp.~triviales) de $\Modu A$ � partir des cofibrations standards
% (resp.~triviales).\\

{\noindent \bf Le th�or�me principal}\\

Soit $A$ un objet de $\alga$ et $C$ un objet de $\cocoga$.
Soit $\tau : C \ra A$ une cocha�ne tordante admissible acyclique.
Dans la cat�gorie $\coModcu C$ des comodules
diff�rentiels gradu�s co-unitaires cocomplets,
nous consid�rons les trois classes de morphismes suivantes :

\english \begin{itemize}
\item[-] la classe $\weq $ des {\em �quivalences
faibles} est form�e des morphismes $f : N\ra N'$ tels que
 $L f : LN \ra LN'$ est un quasi-isomorphisme 
de modules,

\item[-] la classe $\cof$ des {\em cofibrations} est form�e des morphismes
$f : N \ra N'$ qui, en tant que morphismes de complexes, sont des
monomorphismes,

\item[-] la classe $\fib$ des {\em fibrations} est form�e des morphismes
qui ont la propri�t� de rel�vement � droite par rapport aux cofibrations triviales.
\end{itemize} \francais




\begin{theoreme} \label{theoreme_cmf_coModcu}
\english \begin{itemize}
\item[a.]
La cat�gorie $\coModcu C$ munie des trois classes de morphismes ci-dessus est une cat�gorie de mod�les.
Tous ses objets sont cofibrants. Un objet de $\coModcu C$ est fibrant si et seulement si il est un facteur
direct d'un objet $RM$, o� $M$ est un objet de $\Modu A$.
\item[b.]
Munissons la cat�gorie $\Modu A$ de la structure de cat�gorie de
mod�les du th�or�me \ref{theoreme_cmf_Modu}.
La paire de foncteurs adjoints $(L, R)$ de $\coModcu C$ dans $\Modu A$ est une
�quivalence de Quillen.
\item[c.] La structure de cat�gorie de mod�les sur $\coModcu C$ ne d�pend pas de la cocha�ne
tordante admissible acyclique $\tau$.
\end{itemize} \francais
\end{theoreme}

En particulier, la cat�gorie $\Ho \coModcu C$ est �quivalente � la cat�gorie d�riv�e
$\cd A$ (voir la d�finition dans \ref{structure_triangulee_Ho_coModcu}).
Le th�or�me \ref{theoreme_cmf_coModcu} et le lemme \ref{lemme_acyclicite_cochaines_universelles} implique
le corollaire suivant :

\begin{corollaire} \label{corollaire_theoreme_cmf_coModcu}
La cat�gorie $\coModcu C$ admet une unique structure de cat�gorie de mod�les
telle que pour toute cocha�ne tordante admissible acyclique $\tau : C \ra A$, o� $A$
est un objet de $\alga$, le couple de foncteurs adjoints $(L,R)$ est une �quivalence
de Quillen.
\findem
\end{corollaire}

\begin{definition}{\em \label{definition_cmf_canonique_coModcu}
Nous appelons la structure de cat�gorie de mod�les sur $\coModcu C$ du
corollaire la {\em structure  canonique}.
}\end{definition}

Pour montrer le th�or�me \ref{theoreme_cmf_coModcu}, nous avons besoin 
(comme pour la d�monstration du th�or�me \ref{theoreme_cmf_cocog}) d'introduire des
filtrations.\\


Si l'alg�bre $A$ (resp.~la cog�bre $C$) est filtr�e,
un {\em $A$-module diff�rentiel gradu� filtr�} (resp.~{\em $C$-comodule diff�rentiel gradu� filtr�})
est un $A$-module (resp.~$C$-comodule) dans la cat�gorie des complexes filtr�s.
Un $C$-comodule filtr� $M$ est {\em admissible} \index{admissible!comodule}
\index{comodule!admissible}
si sa filtration est exhaustive et si $M_0 = 0.$ Par d�finition, tous les objets de $\coModcu C$,
munis de leur filtration primitive sont admissibles.

\begin{lemme} \label{lemme1_cmf_coModcu}
Si $C$ est munie d'une filtration exhaustive de cog�bres telle que $C_0 = e$,
un quasi-isomorphisme filtr� de $C$-comodules admissibles est une �quivalence faible.
\end{lemme}

\dem  Soit $f : N \ra N'$ un quasi-isomorphisme filtr� de $C$-comodules admissibles.
La filtration de $N$ induit une filtration de $A$-module d�finie par la suite
\[
(LN)_i = N_i \ts A, \quad i \geq 0.
\]
La diff�rentielle de $(LN)_i$, $i\geq 0$, est la somme de la diff�rentielle
du produit tensoriel $N_i \ts A$ et
de la contribution de $D_\tau$. Comme la filtration de $N$ est admissible
et que la cocha�ne $\tau : C \ra A$ est admissible, la contribution de $D_\tau$
fait d�cro�tre la filtration de $LN.$ Ainsi, la diff�rentielle de
\[
\ogr LN \arr{\sim} \ogr N \ts A
\]
est celle du produit tensoriel $\ogr N \ts A$ et le morphisme $Lf$ est bien
un quasi-isomorphisme de $A$-modules.  \findem



\begin{lemme} \label{lemme0_cmf_coModcu}
\english \begin{itemize}
\item[a.] Soit $M$ et $M'$ deux objets de $\Modu A$. Le foncteur $R$ envoie un quasi-isomorphisme
$f : M \ra M'$ sur une �quivalence faible $Rf : RM \ra RM'$ dans $\coModcu C$.
\item[b.] Soit $M$ un objet de $\Modu A$. Le morphisme d'adjonction
\[
\Phi : LR M \arr{} M
\]
est un quasi-isomorphisme de $A$-modules.
\item[c.] Soit $N$ un objet de $\coModcu C$. Le morphisme d'adjonction
\[
\Psi : N \arr{} RL N
\]
est une �quivalence faible de $\coModcu C$.
\end{itemize} \francais
\end{lemme}

\dem 

{\it b.} La cocha�ne $\tau $ est acyclique.

{\it a.} Le morphisme $Rf$ est une �quivalence faible si et seulement si $LRf$ est un quasi-isomorphisme.
Par le point {\it b}, $\Phi$ est un quasi-isomorphisme. Par ailleurs, on~a 
\[
\Phi_M \circ f = LRf \circ \Phi_{M'}.
\]
La saturation des quasi-isomorphismes dans $\Modu A$ nous donne le r�sultat.

{\it c.} Nous voulons montrer que $\Psi $ est une �quivalence faible, c'est-�-dire que $L\Psi : LN \ra LRLN$
est un quasi-isomorphisme. Nous savons que 
\[
\Phi_{LN} \circ L\Psi_N = \Id_{LN}
\]
et que $\Phi$ est un
quasi-isomorphisme. Le morphisme $L \Psi$ est donc aussi un quasi-isomorphisme. 
\findem\\


Rappelons la description de \cite{Hinich97c} des cofibrations de $\Modu A$.
Les {\em cofibrations standard} (resp.~{\em triviales)} de $\Modu A$
\index{cofibration standard (de $\Modu A$)} sont d�finies
comme dans la d�finition \ref{cofibration_standard},
� la diff�rence pr�s que $M^\sharp$ d�signe le complexe
sous-jacent �  un objet $M$ de $\Modu A$ et que $FV$ d�signe le module diff�rentiel gradu� libre sur 
un complexe $V.$ Nous avons alors la m�me description (voir juste dessous \ref{cofibration_standard}) des
 cofibrations (resp.~triviales) de $\Modu A$ � partir des cofibrations standard
(resp.~triviales).

\begin{lemme} \label{lemme2_cmf_coModcu}
Soit $N$ un objet de $\coModcu C$ et $N'$ un sous-objet de $N$ tel que
$\Delta N \subset N \ts e \oplus N' \ts  C.$
Le foncteur $L$ envoie l'inclusion $N' \hookrightarrow N$ sur une cofibration
standard.
\end{lemme}

\dem 
Soit $E$ le conoyau de l'inclusion $N' \hookrightarrow N$. Choisissons un scindage
dans la cat�gorie des objets gradu�s
\[
N \arr{\sim} N' \oplus E.
\]
Selon cette d�composition, la comultiplication $\Delta^N$ est donn�e par deux composantes
\[
\Delta^{N'} : N' \ra N' \ts C \quad \mbox{et} \quad \Delta^E = \left[\begin{array}{c}\Delta^E_1
\\ \Delta^E_2 \end{array}\right]
: E \arr{}  N \ts e \oplus N' \ts C,
\]
et la diff�rentielle est donn�e par la diff�rentielle de $N'$, celle de $E$ et un morphisme
\[
d' : E \arr{} N'.
\]
Nous avons un isomorphisme d'objets gradu�s
\[
LN \arr{\sim} LN' \oplus LE.
\]
La diff�rentielle est la somme de celle de $LN' \oplus LE$, du morphisme 
\[
d' \ts \Id : E \ts A \ra N' \ts A
\]
et du morphisme $d_\tau'$ qui est la composition
\[
E \ts A \arr{\Delta^E_2 \ts \Id} N' \ts C \ts A \arr{\Id \ts \tau \ts \Id }
N' \ts A \ts A \arr{\Id \ts \mu^A} N' \ts A.
\]
Remarquons qu'il n'y a pas de contribution de $\Delta^E_1$ car la cocha�ne $\tau$
est admissible. Posons 
\[D' = (d' \ts \Id + d'_\tau)s : S^{-1}E \ra N' \ts A.
\]
Nous v�rifions que 
$LN$ est isomorphe �
\[
LN' \langle S^{-1}E , D' \rangle.
\]
\findem



\begin{lemme} \label{lemme3_cmf_coModcu}
\english \begin{itemize}
\item[a.] Le foncteur $L$ pr�serve les cofibrations et les
�qui\-valences faibles.
\item[b.] Le foncteur $R$ pr�serve les fibrations et les
�quivalences faibles.
\end{itemize} \francais
\end{lemme}

\dem 

{\it a.} Soit $j : N' \rightarrowtail N$ une cofibration de $\coModcu C$. Soit
la filtration de $N$ donn�e par la suite
\[
N_i = j(N') + N\prim i, \quad i\geq 0,
\]
o� $N\prim i$, $i\geq 1$, est la filtration primitive de $N$ (compl�t�e par $N_0 = 0$).
Remarquons que, pour tout $i \geq 1$, nous avons
\[
\Delta N_i \subset N_i \ts e \oplus N_{i-1} \ts C.
\]
Nous pouvons donc appliquer le lemme \ref{lemme2_cmf_coModcu}. Il certifie que $LN_i \ra LN_{i+1}$
est une cofibration standard. Le morphisme $Lj : LN' \ra LN$ est ainsi la composition d�nombrable
des cofibrations standard $LN_i \ra LN_{i+1}$, il est donc une cofibration.
Par d�finition des �quivalences faibles dans $\coModcu C$, le foncteur $L$ pr�serve les
�quivalences faibles.

{\it b.} Par le point {\it a} et l'adjonction $(L,R,\phi)$ de $\coModcu C$ dans $\Modu A$, le
foncteur $R$ conserve les fibrations. Le fait qu'il conserve les �quivalences faibles est le
point {\it a} du lemme \ref{lemme0_cmf_coModcu}. \findem


\begin{lemme} \label{lemmecle_cmf_coModcu}
Soit $M$ un objet de $\Modu A$ et $N$ un objet de $\coModcu C$.
Soit une fibration $p : M \twoheadrightarrow L N$ de $\Modu A$.
Le morphisme  $j : RM \prod_{RL N}N \ra RM $ de comodules du diagramme cart�sien 
\[
\xymatrix{ RM \prod_{RLN} N
\ar[d]_{j} \ar@{->}[r] & N \ar[d]^{\Psi}\\ 
  RM  \ar@{}[ur]|{cart.}\ar@{->}[r]_{Rp} & RLN.}
\]
est une cofibration triviale de $\coModcu C$. 
\end{lemme}

\dem Soit $K$ le noyau de $p$. Nous avons des isomorphismes d'objets gradu�s
\[
RM \arr{\sim} RK \oplus RLN, \quad RM \prod_{RLN} N \arr{\sim} RK \oplus N.
\]
Le morphisme $j$ s'�crit alors
\[
\left[\begin{array}{cc} \Id & * \\ 0 & \Psi \end{array}\right].
\]
Nous avons donc un diagramme de $\Modu A$
\[
\xymatrix{
0 \ar[r] & LRK \ar[r] \ar[d]_{L\Id} &L\Big( RM \prod_{RLN} N \Big)  \ar[d]^{Lj} \ar[r] & LN \ar[d]^{L\Psi}
\ar[r] & 0\\
0 \ar[r] & LRK \ar[r] & RM  \ar[r] & LRLN \ar[r] & 0,
}
\]
o� les lignes sont exactes et o� la fl�che verticale de droite et celle de gauche sont des
quasi-isomorphismes. Le morphisme $Lj$ est donc un quasi-isomorphisme, et $j$ est une �quivalence
faible de $\coModcu C$. Il est clairement un monomorphisme, donc une cofibration de $\coModcu C$.
\findem\\



{\noindent \bf D�monstration du th�or�me \ref{theoreme_cmf_coModcu}}\\




Par les lemmes ci-dessus, 
la d�monstration du fait que les classes $\weq$, $\cof$ et $\fib$ d�finissent une
structure de cat�gorie de mod�les  est la m�me que celle du th�or�me \ref{theoreme_cmf_cocog}.\\


{\noindent \bf Objets cofibrants et objets fibrants de $\coModcu C$}\\

Tous les objets de $\coModcu C$ sont cofibrants puisque les cofibrations sont les
monomorphismes.

Montrons qu'un objet de $\coModcu C$ est fibrant si et seulement si il est un facteur
direct d'un objet $RM$, o� $M$ est un objet de $\Modu A$. Nous rappelons (\ref{theoreme_cmf_Modu})
que tous les objets de $\Modu A$ sont fibrants.
Par le lemme \ref{lemme3_cmf_coModcu}, l'image du foncteur $R$ est donc form� d'objets
fibrants de $\coModcu C.$ Ainsi, tous les objets de la forme $RM$ et leurs facteurs
directs sont fibrants. 
R�ciproquement si $N$ est fibrant, par l'axiome (CM4), le
morphisme $\Psi : N \ra RLN$ (qui est une cofibration triviale) est scind�. 
L'objet $N$ est donc un facteur direct de $RLN$
%
\begin{remarque} \label{remarque_objets_cofibrants_Modu}{\em
La dualisation de cette d�monstration montre que les objets cofibrants de
$\Modu A$ sont les facteurs directs des $LN$, $N \in \coModcu C$.}
\end{remarque}
 
Le point {\it b} du th�or�me \ref{theoreme_cmf_coModcu}
est un corollaire du lemme \ref{lemme1_cmf_coModcu}. Il nous reste � montrer le point
{\it c.}\\
 

{\noindent \bf Unicit� de la structure de cat�gorie de mod�les sur $\coModcu C$}\\


Soit $A'$ un objet de $\alga.$ Soit 
$\tau' : A' \ra C$ une cocha�ne tordante admissible acyclique. Nous voulons montrer
que la structure de
cat�gorie de mod�les sur $\coModcu C$ (d�finie au point {\it a} de \ref{theoreme_cmf_coModcu})
relative � $\tau$ est la m�me que celle relative � $\tau'.$


Il suffit de le montrer dans le cas o� $\tau'$ est la cocha�ne universelle $\tau_C.$
Nous allons montrer que les classes des cofibrations et les classes des �quivalences
faibles relatives aux deux structures co�ncident.
C'est vrai pour les cofibrations puisqu'elles sont les monomorphismes.
Nous rappelons (\ref{lemme_composition_adjonction}) que 
la paire de foncteurs adjoints $(L_\tau, R_\tau)$ de $\Modu A$ vers $\coModcu C$ est
la composition de la paire $(\Ind , \Res)$ avec la paire
$(L_{\tau_C}, R_{\tau_C}).$ 
Comme le foncteur $\Res$  induit une
�quivalence entre les localisations
de $\Modu A$ et $\Modu \Oma C$ par rapport aux quasi-isomorphismes
(voir \cite[exple 6.1]{Keller94}), 
les �quivalences faibles des deux
structures sur $\coModcu C$ co�ncident par le point {\it b} du th�or�me \ref{theoreme_cmf_coModcu}.
\findem \\




{\noindent \bf Quasi-isomorphismes filtr�s et �quivalences faibles}\\

Nous notons $\mbox{\it Qisf\,}$ la classe des morphismes $f : N \ra N'$ tels que
$C$ admet une filtration exhaustive de cog�bre telle que $C_0 = e$ et tels que $N$ et $N'$
admettent des filtrations admissibles de $C$-comodules pour lesquelles $f$ est un quasi-isomorphisme
filtr�. Le lemme \ref{lemme1_cmf_coModcu} montre que nous avons une inclusion
\[
\mbox{\it Qisf\,} \subset \weq.
\]
On rappelle (voir appendice \ref{section_rappels_cmf}) que la {\em cat�gorie homotopique} $\Ho \coModcu C$
est la localisation
\[
\Big(\coModcu C\Big)[\weq^{-1}].
\]

\begin{lemme} \label{lemme_Qisf_weq}
Le foncteur canonique
\[
\Big(\coModcu C\Big) [\mbox{\it Qisf\,}^{-1}] \arr{\sim} \Ho \coModcu C
\]
est une �quivalence.
\end{lemme}

\dem La d�monstration est similaire � celle du point {\it a} de la proposition \ref{proposition_equiv_qis}.
Nous v�rifions que le morphisme d'adjonction 
\[
\Psi : N \ra R_{\tau_C} L_{\tau_C}N
\]
est
un morphisme quasi-isomorphisme filtr� pour la filtration primitive sur $N$ et la filtration
sur $R_{\tau_C} L_{\tau_C}N$ induite par les filtrations primitives de $N$ et $C$.
Le morphisme $R_{\tau_C} L_{\tau_C}f$
est clairement un quasi-isomorphisme filtr�. La propri�t�
de saturation des quasi-isomorphismes filtr�s appliqu�e �
l'�galit� $RLf \circ \Psi_N = \Psi_{N'} \circ f$ nous donne le r�sultat.  \findem





%
%
%
%
%
%
%
%!         Structure triangul�e sur HocoModcu C
%
%
%
%
%
%

\newpage

\subsection{Structure triangul�e sur $\Ho\coModcu C$} \label{structure_triangulee_Ho_coModcu}

{\bf \noindent Rappel sur la structure triangul�e sur $\Ho \Modu A$}\\

Rappelons qu'une cat�gorie de Frobenius \index{categorie@{cat�gorie}!de Frobenius}
est une cat�gorie exacte au
sens de Quillen \cite{Quillen73} qui poss�de assez d'injectifs et assez
de projectifs et dont la classe des projectifs co�ncide avec celle des
injectifs. Il est connu \cite{Heller60}, \cite{Happel87}, \cite{Keller87}
que le quotient d'une cat�gorie de Frobenius $\ca$ par l'id�al des morphismes
se factorisant par un projectif est une cat�gorie triangul�e \cite{Verdier77}.
On l'appelle la {\em cat�gorie stable} associ�e � $\ca.$ 
\index{categorie@{cat�gorie}!stable}


Soit $A$ une alg�bre diff�rentielle gradu�e unitaire. La cat�gorie $\Modu A$,
munie de la {\em classe} $\ce$ form�e des suites exactes
\[
0 \ra M' \arr{f} M \arr{g} M'' \ra 0
\]
qui sont scind�es dans la cat�gorie de modules gradu�s, est une cat�gorie
exacte.
La classe des objets injectifs est form�e des complexes de la forme
\[
IM = \Big(M\oplus SM,\left[\begin{array}{cc}0 & \si \\ 0 & 0\end{array}\right]\Big),
\quad M \in \Modu A.
\]
Elle co�ncide avec la classe des objets projectifs. La cat�gorie $\Modu A$ est donc
une cat�gorie de Frobenius.
Nous notons $\ch A$ la cat�gorie stable associ�e � $\Modu A.$
Elle est une cat�gorie triangul�e. Son foncteur suspension est le foncteur $M \mapsto SM$.
Ses triangles standard proviennent des suites exactes de $\ce$.
Les quasi-isomorphismes de $\Modu A$ sont
exactement les morphismes $f$ dont l'image $\b f$ par le foncteur canonique $\Modu A \ra \ch A$
s'ins�re dans un triangle
\[
N \ra M \arr{\b f} M' \ra SN,
\]
o� $N$ est acyclique.
La {\em cat�gorie d�riv�e} $\cd A$ \index{categorie@{cat�gorie}!derivee@{d�riv�e}}
\indexnotation{cdA}
est la localisation de la cat�gorie $\ch A$
par rapport aux quasi-isomorphismes.
Les {\em triangles standard} de $\cd A$ sont
l'image par le foncteur
\[
Q : \ch A\arr{} \cd A
\]
des triangles standard de $\ch A.$
La cat�gorie d�riv�e $\cd A$, munie de l'endofoncteur suspension est triangul�e pour la
classe des {\em triangles distingu�s}, i.~e.~les triangles isomorphes � des triangles standard.
Si $f$ est un morphisme de
$\Modu A$, on note $C(f)$ \indexnotation{Cf} son c�ne. Si
\[
0 \ra M' \arr{i} M \arr{p} M'' \ra 0
\]
est une suite exacte (non n�cessairement scind�e) de $\Modu A$,
le morphisme $[p,0] : C(i) \ra M''$ est un quasi-isomorphisme et la
suite
\[
M' \arr{Q \b i} M \arr{Q \b p} M'' \arr{\delta} SM',
\] 
o� le morphisme $\delta$ est le morphisme de $\cd A$ d�fini par
\[
M'' \larr{[p,0]} C(i) \arr{[-1,0]} SM',
\]
est un triangle distingu� de $\cd A.$
\\


{\noindent \bf Structure triangul�e sur $\Ho \coModcu C$}\\


Soit $C$ un objet de $\cocoga.$ La cat�gorie $\coModcu C$, munie de la classe $\cf$
des suites exactes courtes qui sont scind�es dans la cat�gorie des comodules
gradu�s, est une cat�gorie de Frobenius dont la classe des objets injectifs
est form�e des objets
\[
IN = \Big(N\oplus SN,\left[\begin{array}{cc}0 & \si \\ 0 & 0\end{array}\right]\Big),
\quad N \in \coModcu C.
\]
Nous notons $\ch C$ la cat�gorie stable associ�e.
Elle est triangul�e. Son foncteur suspension est $N \mapsto SN$.
Les suites exactes de $\cf$ donnent lieu aux {\em triangles standard}. Les triangles
distingu�s sont les triangles isomorphes aux triangles standard.

Soit $\tau : C \ra A$ une
cocha�ne tordante admissible acyclique o� $A$ est un objet de $\alga$.
Les foncteurs $L$ et $R$ forment un couple de foncteurs exacts entre
les cat�gories $\coModcu C$ et $\Modu A$ et pr�servent l'injectivit�.
Ils induisent donc un couple de foncteurs adjoints triangul�s entre
les cat�gories stables $\ch C$ et $\ch A.$ La {\em cat�gorie d�riv�e}
$\cd C$ \indexnotation{cdC}
est la cat�gorie localis�e $\big(\ch C\big)[\weq^{-1}].$ Elle est clairement
isomorphe � la cat�gorie $\Ho \coModcu C$.
Rappelons (thm \ref{theoreme_cmf_coModcu}) que les foncteurs $R$ et $L$
(d�finis en \ref{section_cochaines_tordantes})
induisent des �quivalences
inverses l'une de l'autre entre les cat�gories localis�es
\[
\cd A = \big(\ch A\big)[Qis^{-1}] \quad \mbox{et} \quad \big(\ch C\big)[\weq^{-1}] = \cd C.
\]
En particulier, le syst�me multiplicatif $\weq$ est compatible aux triangles
de $\ch C$ car il est l'image r�ciproque du syst�me multiplicatif des
isomorphismes de $\cd A$ par le foncteur triangul� compos�
\[
\ch C \arr{L} \ch A \arr{} \cd A.
\]
Il en r�sulte que $\cd C$ porte une structure triangul�e canonique et que les
�quivalences induites entre $\cd A$ et $\cd C$ sont des foncteurs triangul�s.


\subsection{Caract�risation de l'acyclicit� des cocha�nes tordantes}

Nous rappelons que le foncteur $\?\+ : \cocog \ra \cocoga$ est une �quivalence de cat�gories
(\ref{cocoga}).
Munissons $\cocoga$ de la structure de cat�gorie de mod�les induite par celle de
$\cocog$ (voir \ref{theoreme_cmf_cocog}).

\begin{proposition} \label{caracterisation_cochaines_acycliques}
Soit $A$ un objet de $\alga$ et $C$ un objet de $\cocoga$. Soit $\tau : C \ra A$
une cocha�ne tordante admissible. Les conditions suivantes sont �quivalentes.
\english \begin{itemize}
\item[a.] La cocha�ne tordante $\tau$ est acyclique, i.~e.~si $M$ est un objet de $\Modu A$, le morphisme d'adjonction 
\[
\Phi : LRM \ra M
\] est un quasi-isomorphisme de $\Modu A$.
\item[b.] Si $N$ est un objet de $\coModcu C$, le morphisme d'adjonction 
\[
\Psi : N \ra RLN
\]
est une �quivalence faible de $\coModcu C$.
\item[c.] Le morphisme d'adjonction
\[
LRA = A \tw C \tw A \arr{\Phi_A} A 
\]
est un quasi-isomorphisme de $\Modu A$.
\item[d.] Le morphisme
\[
\unite_A \ts \coaugmentation_C : e \ra A \tw C
\]
est une �quivalence faible de $\coModcu C.$
\item[e.] Le morphisme d'alg�bres $f_\tau$ (\ref{cochaines_universelles}) est un quasi-isomorphisme.
\item[f.] Le morphisme de cog�bres $g_\tau$ (\ref{cochaines_universelles}) est une �quivalence de $\cocoga.$
\end{itemize} \francais
\end{proposition}

\dem 

$a \Rightarrow b.$  C'est une cons�quence du point {\it b} du th�or�me \ref{theoreme_cmf_coModcu}.

$a \Rightarrow c.$ C'est clair.

$b \Rightarrow d.$ Nous avons l'�galit� $\Psi_e = \unite_A \ts \coaugmentation_C.$


$c \Rightarrow a.$ La sous-cat�gorie de $\cd A$ form�e des objets $M$ tel
que
\[
\Phi : LRM \ra M
\]
est un quasi-isomorphisme est une sous-cat�gorie triangul�e aux sommes infinies contenant
$A$ par hypoth�se. Elle co�ncide donc (voir \cite[4.2]{Keller94}) avec $\cd A.$



$d \Rightarrow e.$
Rappelons que $\tau_C : C \ra \Oma C$ est acyclique (\ref{lemme_acyclicite_cochaines_universelles}).
Cela implique que le  morphisme
\[
L_{\tau_C}e = \Oma C \arr{} L_{\tau_C}(A \tw C) = L_{\tau_C}R_{\tau_C}\Res A
\]
et le morphisme d'adjonction
\[
L_{\tau_C}R_{\tau_C}\Res A \ra \Res A
\]
sont des quasi-isomorphismes.
Le morphisme $f_\tau $ est un quasi-isomorphisme car il est �gal � la compos�e
\[
\Oma C \arr{} L_{\tau_C}R_{\tau_C}\Res A \arr{} \Res A.
\]

$e \Leftrightarrow f.$ C'est le point {\it b} du th�or�me \ref{theoreme_cmf_cocog}.

$e \Rightarrow a.$ Comme la cocha�ne $\tau_C$ est acyclique, le morphisme d'adjonction
\[
L_{\tau_C}R_{\tau_C} M = M \tw C \ts_{\tau_C} \Oma C \ra M
\]
est un quasi-isomorphisme. Par ailleurs, il est �gal � la compos�e
\[
M \tw C \ts_{\tau_C} \Oma C \arr{\phi_M} M \tw C \tw A \arr{\Phi_M} M.
\]
Il nous suffit donc de montrer que le morphisme $\phi_M$ induit par
le morphisme $f_\tau$ est un quasi-isomorphisme.
Munissons le comodule $M \tw C$ de sa filtration primitive.
Nous avons alors
\[
\ogr (M \tw C) = M \ts \ogr C 
\]
et des filtrations induites sur $M \tw C  \tw A$ et $M \tw C \tw \Oma C$ qui v�rifient
\[
\ogr (M \tw C  \tw A) = M \ts \ogr C \ts A \quad \mbox{et} \quad
\ogr (M \tw C \ts_{\tau_C} \Oma C) = M \ts \ogr C \ts \Oma C.
\]
Pour ces filtrations, le morphisme $\phi_M$ est un morphisme filtr� et
il induit des quasi-isomorphismes dans les objets gradu�s
car $f_\tau$ est un quasi-isomorphisme. Il est donc un
quasi-isomorphisme.\findem













%
%
%
%
%
%
%
%
%       $\ai$-modules et $\ai$-comodules
%
%
%
%
%
%
%
%
%
%

\section{Polydules} \label{section_definition_ai-modules}






\subsection{D�finitions}
%
%
%
%
%
%  D�finition des $\ai$-polydules sur une $\ai$-alg�bre
%
%
%
%
%
\begin{definition} {\em 
Soit $A$ une $\rm{A}_n$-alg�bre. Un {\em $\rm{A}_n$-module sur $A$ dans la cat�gorie $\gr \sf C'$}
\index{A-n module@{$\rm{A}_n$-module}} est un objet
gradu� $M$ dans $\gr \sf C'$ muni d'une famille de morphismes gradu�s
\[
m^M_i :  M \ts A\tp{i-1} \ra M, \quad  1 \leq i\leq n,
\]
de degr� $2-i$, telle qu'une �quation $(*'_m)$ de la m�me forme que
l'�quation $(*_m)$ de la d�finition
\ref{definition_ai-algebre} est v�rifi�e pour tout $1\leq m \leq n$.
Dans l'�quation 
$(*'_m)$, pour $j > 0$, les termes
\[
m_i(\Id^{\ts j}\ts m_k\ts \Id^{\ts l})
\]
de l'�quation $(*_m)$ doivent �tre interpr�t�s comme
\[
m^M_i(\Id^{\ts j}\ts m_k\ts \Id^{\ts l}): M \ts A\tp{m-1} \ra M,
\]
et, pour $j=0$, comme
\[
m_i^M( m_k^M \ts \Id^{\ts l}) : M \ts A\tp{m-1} \ra M.
\]}
\end{definition}


\begin{definition}{\em \label{definition_ai-module}
Soit $A$ une $\ai$-alg�bre. Un {\em $A$-polydule dans $\gr \sf C'$} (dans la litt�rature, cette
structure est commun�ment appel�e un {\em $\ai$-module sur $A$})
\index{A-infini module@{$\ai$-module}} \index{polydule}
est un objet
gradu� $M$ muni d'une famille de morphismes gradu�s
\[
m^M_i :  M \ts A\tp{i-1} \ra M, \quad  1 \leq i,
\]
de degr� $2-i$, telle que l'�quation $(*'_m)$ est v�rifi�e pour tout $1 \leq m.$
}
\end{definition}


\begin{definition}\label{definition_suspension_ai-module}{\em 
La {\em suspension} \index{suspension}
$SM$ d'un $A$-polydule est le $A$-polydule dont l'objet gradu� sous-jacent est la suspension
$SM$ et dont les multiplications
sont d�finies par 
\[
m_i^{SM} = (-1)^{i} s\circ m_i^M \circ (\si \ts \Id\tp{i-1}) , \quad i\geq 1.
\]
La section \ref{construction_bar_cobar_mod} nous certifiera que ceci d�finit bien un $A$-polydule.
}\end{definition}

\begin{definition}{\em
Soit $A$ une $\rm{A}_n$-alg�bre, et $M$ et $N$ deux $\rm{A}_n$-modules sur $A$.
Un {\em $\rm{A}_n$-morphisme} de $\rm{A}_n$-modules
\index{A-n morphisme@{$\rm{A}_n$-morphisme}}
$f:M \ra N$  est une famille de
morphismes gradu�s de $\sf C'$
\[
f_i :  M \ts A\tp{i-1} \ra N, \quad 1 \leq i \leq n,
\]
de degr� $1-i$, v�rifiant, pour tout $1\leq m \leq n$, l'�galit�
\[
(**'_m) \quad \sum (-1)^{jk+l}f_i(\Id^{\ts j}\ts m_k\ts \Id^{\ts l}) = \sum
 m_{s+1} (f_{r}\ts \Id\tp s)
\]
dans $ \Hom_{\sz \gr \sf C'}(M \ts A\tp{m-1},N)$, o�  $j+k+l=m$, $i=j+k+1$ et $r+s=m$. 
Un $\rm{A}_n$-morphisme $f$ est {\em strict} si $f_i = 0$ pour tout $i \geq 2.$
Soit $M$, $N$ et $T$ trois $\rm{A}_n$-modules sur $A$.
Soit $g : M\ra N $ et $f : N \ra T$ deux $\rm{A}_n$-morphismes de $\rm{A}_n$-modules.
La {\em composition} $f \circ g : M \ra T$ est d�finie par la suite
\[
(f\circ g)_i = \sum_{k+l = i} f_{1+l} (g_k \ts \Id \tp l), \quad 1 \leq i \leq n.
\]
}
\end{definition}

\begin{definition}\label{definition_ai-morphisme_mod} {\em
Soit $A$ une $\ai$-alg�bre et $M$ et $N$ deux $A$-polydules
Un {\em $\ai$-morphisme} \index{A-infini morphisme@{$\ai$-morphisme}}
$f : M \ra N$ est une famille de morphismes gradu�s
\[
f_i :  M \ts A\tp{i-1} \ra N, \quad  1 \leq i,
\]
de degr� $1-i,$ telle que l'�quation $(**'_m)$ est v�rifi�e pour tout $1 \leq m.$
La {\em composition} des $\ai$-morphismes est d�finie par les m�mes formules que celle
de la composition d'$\rm{A}_n$-morphismes. Un $\ai$-morphisme $f$ est {\em strict} si $f_i = 0$ pour tout $i \geq 2.$
\index{strict (A-infini morphisme)@{strict ($\ai$-morphisme)}}
\index{A-infini morphisme@{$\ai$-morphisme}!strict}
}
\end{definition}

Il r�sultera de la section \ref{construction_bar_cobar_mod} que nous obtenons bien ainsi une
cat�gorie. Nous la notons $\aiMod A$. \indexnotation{aiMod}
La lettre $\mathsf N$ remplace la lettre $\mathsf M$
de $\Modu$ et se rapporte au $\mathsf N$on dans ``$\ai$-module $\mathsf N$on unitaires''.
Notons $\aiModst A$ \indexnotation{aiModst}
la sous-cat�gorie de $\aiMod A$ dont les objets sont les $A$-polydules
et dont les morphismes sont les $\ai$-morphismes stricts.

\begin{remarque}{\em
Soit $A$ une $\ai$-alg�bre.
De mani�re analogue � la remarque \ref{remarque1_definition_aia}, si $M$ est
un $A$-polydule, 
\english \begin{itemize}
\item[-] $(M,m_1)$ est un complexe;
\item[-] le morphisme $m^M_2 : M \ts A \ra M$ d�finit une action � homotopie
pr�s de l'alg�bre
fortement homotopiquement  associative (\ref{remarque1_definition_aia}) $A$
sur $M$. Le d�faut de compatibilit� de la multiplication $m^A_2$ et de l'action
$m^M_2$ est �gal au bord de $m^M_3$ dans
\[
(\Hom_{\sz \gr \sf C'}(M \ts A\tp 2,M), \delta),
\]
o� $\delta$ est d�fini � l'aide de $m^M_1$ et $m^A_1.$
\item[-] Si $f : M \ra N$ est un $\ai$-morphisme de $A$-polydules, le morphisme $f_1$ est
un morphisme de complexes $(M,m^M_1) \ra (N,m^N_1).$
\end{itemize} \francais
}\end{remarque}

\begin{remarque}{\em
Soit $A$ une $\ai$-alg�bre.
Les morphismes $m^A_i$, $i \geq 1$,
d�finissent une structure de $A$-polydule sur l'objet sous-jacent � $A$.
}\end{remarque}

\begin{remarque}{\em 
Soit $A$ un objet de $\alg$ et $(M,d^M,\Delta^M)$ un $A$-module diff�rentiel gradu�.
Les morphismes
\[
m^M_1 = d^M, \quad m^M_2 = \Delta^M, \quad m^M_i =  0\quad  \rm{ pour }\quad i \geq 3
\]
d�finissent sur l'objet sous-jacent � $M$ une structure de $A$-polydule.
La cat�gorie des $A$-modules diff�rentiels gradu�s est une sous-cat�gorie non pleine
de la cat�gorie des $A$-polydules.
}\end{remarque}

\begin{definition}{\em
Soit $A$ une $\ai$-alg�bre et $M$ et $N$ deux $A$-polydules.
Un $\ai$-morphisme de $A$-polydules $f : M \ra N$ est un {\em $\ai$-quasi-isomorphisme}
\index{A-infini quasi-isomorphisme@{$\ai$-quasi-isomorphisme}}
si $f_1$ est un quasi-isomorphisme de complexes.
}\end{definition}



\begin{definition}\label{definition_homotopie_ai-morphismes_mod}
{\em
Soit $A$ une $\ai$-alg�bre et $M$ et $N$ deux $A$-polydules.
Soit $f$ et $g$ deux $\ai$-morphismes $M \ra N.$
Une {\em homotopie entre $f$ et $g$}
\index{homotopie!A-infini-morphismes@{$\ai$-morphismes}}
est une famille de morphismes
\[
h_i:M\ts A^{\ts i-1}\ra N, \hspace{1cm} 1 \leq i ,
\]
de degr�  $-i$ v�rifiant, pour tout $1 \leq m$,
l'�quation 
\[
\begin{array}{c}(***'_m) \\ \hspace*{1cm}\end{array} \quad
\begin{array}{rcl}
 f_m - g_m & = & \sum (-1)^{s}
m_{1+s} (h_{r} \ts \Id \tp s)\\ 
& & + \sum (-1)^{jk+l}h_i(\Id^{\ts j}\ts m_k\ts \Id^{\ts l})
\end{array}
\]
dans $\Hom_{\gr \sf C'} (M \ts A \tp{m-1},N)$, o� $r+s = m$ et $j+k+l = m$.
Deux $\ai$-morphismes d'$\ai$-alg�bres $f$ et $g$ sont {\em homotopes} s'il existe une homotopie
entre $f$ et $g$. 
}
\end{definition}


% % % % \begin{definition} {\em Soit $C$ une $\ai$-cog�bre.
% % % %  Un {\em $C$-copolydule}\index{A-infini comodule
% % % % @{$\ai$-comodule}} (ou {\em $\ai$-comodule sur $C$}) est un objet  $N$ de $\gr \sf C'$
% % % % muni d'une famille de morphismes gradu�s
% % % % \[
% % % % \Delta^N_i : N \ra N\ts C \tp {i-1}, \hspace{1cm} i \geq 1,
% % % % \]
% % % % de degr� $2-i$, telle que le morphisme
% % % % \[
% % % % S^{-1}N \arr{} \prod_{i\geq 1}S^{-1}N \ts (S^{-1}C)\tp{i-1}
% % % % \]
% % % % dont les composantes sont les
% % % % \[
% % % % - \si \tp i \circ \Delta^N_i \circ s
% % % % \]
% % % % se factorise par le monomorphisme
% % % % \[
% % % %  \bigoplus_{i\geq 1}S^{-1}N \ts (S^{-1}C)\tp{i-1} \arr{} \prod_{i\geq 1}S^{-1}N \ts (S^{-1}C)\tp{i-1}
% % % % \]
% % % % et que, pour tout $m \geq 1$, on a une �galit� dans l'espace des  morphismes gradu�s $N \ts C \tp{m-1} \ra N$,
% % % % du type de celle de la d�finition \ref{definition_ai-cogebre} (il faut interpr�ter convenablement les
% % % % $\Delta_i$ comme $\Delta^N_i$ ou $\Delta^C_i$). On obtient la d�finition des 
% % % % {\em $\ai$-morphismes de $C$-copolydules}
% % % % en dualisant la d�finition \ref{definition_ai-morphisme_mod}.
% % % % }
% % % % \end{definition}
% % % % %
% % % % %


\subsection{Unit�s strictes, augmentations et r�ductions} \label{section_augmentation_reduction}


Dans ce chapitre, nous �tudierons les polydules {\em strictement unitaires} sur des $\ai$-alg�bres
{\em augment�es}. Nous d�finirons donc ici un type d'unitarit� pour les $\ai$-structures : l'{\em
unitarit� stricte}. Cette structure nous permettra de g�n�raliser certaines
propri�t�s des modules unitaires aux polydules.
La pertinence de cette notion d'unitarit�
relativement � l'homotopie des $\ai$-structures fera l'objet du chapitre
\ref{chapitre_Unite}.



\begin{definition}{\em \label{definition_unite_stricte}
Une $\ai$-alg�bre $A$ est {\em strictement unitaire} \index{strictement unitaire!A-infini algebre@{$\ai$-alg�bre}}
si elle est munie d'un morphisme gradu�
$\unite : e \ra A$ de degr� $0$ tel que $m_i(\Id \hdots \Id \ts \unite \ts \Id \hdots \Id) = 0$ 
pour tout $i \neq 2$ et 
\[
m_2 (\Id_A \ts \unite) = m_2 (\unite \ts \Id_A ) = \Id_A.
\]
Le morphisme $\unite$ s'appelle l'{\em unit�} (stricte) \index{unite@{unit�}!stricte} de $A.$
Si $A$ et $A'$ sont deux $\ai$-alg�bres strictement unitaires, un  $\ai$-morphisme
$f : A \ra A'$ est {\em strictement unitaire} si $f_1 \unite^A  = \unite^{A'}$
et $f_i (\Id \hdots \Id \ts \unite \ts \Id \hdots \Id) = 0$ 
pour tout $i \geq 2.$}
\end{definition}

Par la remarque \ref{remarque_ai-structure_alg},
une alg�bre diff�rentielle gradu�e unitaire est une $\ai$-alg�bre strictement
unitaire. En particulier, l'alg�bre $e$ est une $\ai$-alg�bre strictement
unitaire.

\begin{definition}{\em
Une $\ai$-alg�bre $A$ est {\em augment�e} si elle est strictement unitaire et 
munie d'un $\ai$-morphisme
strict d'$\ai$-alg�bres strictement unitaires $\epsilon : A \ra e.$ Le morphisme
$\epsilon$ s'appelle l'{\em augmentation} \index{augmentation} de $A.$}
\end{definition}

L'{\em $\ai$-alg�bre r�duite} \index{reduction@{r�duction}} $\b A$ est le noyau de $\epsilon.$
Soit $A$ une $\ai$-alg�bre. L'{\em $\ai$-alg�bre augment�e} $A^+$
a pour objet sous-jacent $A \oplus e$, ses multiplications $m_i$, $i \geq 1$, sont telles que
l'injection canonique $e \ra A \oplus e$ est l'unit� stricte et telles qu'elles co�ncident
avec $m^A_i,$ $i\geq 1$, sur $A$. Son augmentation
est la projection canonique $A \oplus e \ra e$. Nous notons $\aiaa$ 
\indexnotation{aiaa}la {\em cat�gorie}
des $\ai$-alg�bres augment�es. Le {\em foncteur augmentation} \index{augmentation} $\aia \ra \aiaa$ est
une �quivalence dont le quasi-inverse est le {\em foncteur r�duction.} 


\begin{definition}{\em \label{definition_polydules_strictement_unitaires}
Soit $A$ une $\ai$-alg�bre strictement unitaire.
Un $A$-polydule $M$ est {\em strictement unitaire}
\index{strictement unitaire!polydule} si
$m^M_i(\Id_M \ts \Id \hdots \Id \ts \unite \ts \Id \hdots \Id) = 0$ 
pour tout $i \geq 3$ et 
\[
m^M_2 (\Id_M \ts \unite) = \Id_M.
\]
Un morphisme {\em strictement unitaire} de $A$-polydules strictement unitaires est un $\ai$-morphisme
$f$ de $A$-polydules
tel que
\[
f_i(\Id_M \ts \Id \hdots \Id \ts \unite \ts \Id \hdots \Id) = 0 , \quad i \geq 2.
\]
Si $f$ et $g$ sont deux morphismes strictement unitaires, une homotopie $h$
entre $f$ et $g$ est {\em strictement unitaire} si
\[
h_i(\Id_M \ts \Id \hdots \Id \ts \unite \ts \Id \hdots \Id) = 0 , \quad i \geq 2.
\]
Si $h$ est une homotopie strictement unitaire entre deux morphismes strictement
unitaires $f$ et $g$, on dit que $f$ et $g$ sont {\em homotopes} (relativement � $h$)
\index{homotopie!A-infini-morphismes@{$\ai$-morphismes}} et on note $f \sim g$.
Nous notons $\aiModu A$ \indexnotation{aiModu} la {\em cat�gorie} des $A$-polydules strictement unitaires dont les
morphismes sont les morphismes strictement unitaires et 
$\aiModust A$ \indexnotation{aiModust} la {\em cat�gorie} des $A$-polydules strictement unitaires
dont les morphismes sont les $\ai$-morphismes stricts et strictement unitaires.
}\end{definition}


Si $A$ est une $\ai$-alg�bre et $M$ un $A$-polydule, $M^+$ est l'{\em $A^+$-polydule}
(strictement unitaire) qui a pour objet sous-jacent $M$ et dont
la multiplication $m^{M^+}_i$, $i \geq 1$,
est telle que, restreinte � $A$, elle co�ncide avec $m^M_i$, $i \geq 1$ (en particulier le
$m_1$ ne change pas).
Ceci d�finit un isomorphisme
\[
{}\+ : \aiMod A \arr{\sim} \aiModu A\+
\]
compatible � l'homotopie.
Le quasi-inverse est donn� par le foncteur qui envoie $M$ sur
le $\b A$-polydule $\b M$ dont l'objet sous-jacent est $M$ et dont la multiplication
$m^{\b M}_i$, $i\geq 2$, est la restriction de $m^M_i$, $i\geq 2$, �
$M \ts A\tp{i-1}$.\\




% % % \noindent {\bf Co-unitarit� stricte}\\

% % % \noindent Une $\ai$-cog�bre $C$ est {\em strictement co-unitaire} \index{strictement co-unitaire}
% % % si elle est munie un morphisme gradu� $\unite : C \ra e$ de degr� $0$
% % % tel que $(\Id \hdots \Id \ts \unite \ts \Id \hdots \Id)\Delta_i = 0$ 
% % % pour tout $i \neq 2$ et 
% % % \[
% % %  (\Id_C \ts \unite) \Delta_2 =  (\unite \ts \Id_C ) \Delta_2= \Id_C.
% % % \]
% % % Le morphisme $\unite$ s'appelle la {\em co-unit� }(stricte) \index{co-unit� stricte} de $C.$
% % % Si $C$ et $C'$ sont deux $\ai$-cog�bres strictement co-unitaires, un {\em morphisme}
% % % $f : C \ra C'$ est un $\ai$-morphisme $f$ tel que $ \unite^A  = \unite^{A'}f_1$ et
% % % $(\Id \hdots \Id \ts \unite \ts \Id \hdots \Id)f_i = 0$ 
% % % pour tout $i \geq 2$. 
% % % Les cog�bres diff�rentielles gradu�es co-unitaires deviennent ainsi les $\ai$-cog�bres strictement
% % % co-unitaires dont les $\Delta_i$, $i \geq 3$, sont nuls.
% % % La cog�bre $e$ est donc une $\ai$-cog�bre strictement
% % % co-unitaire.
% % % Une $\ai$-cog�bre $C$ est {\em co-augment�e} 
% % % si elle est strictement co-unitaire et 
% % % munie d'un $\ai$-morphisme
% % % strict d'$\ai$-cog�bres strictement co-unitaires $\epsilon : e \ra C.$ Le morphisme
% % % $\epsilon$ s'appelle la {\em co-augmentation} \index{co-augmentation} de $C.$
% % % L'{\em $\ai$-cog�bre r�duite} \index{r�duite (cog�bre)} $\b C$ est le conoyau de $\epsilon.$
% % % Soit $C$ une $\ai$-cog�bre. L'{\em $\ai$-cog�bre co-augment�e}  $C^+$
% % % a pour objet sous-jacent $C \oplus e$, ses comultiplications sont telles que
% % % la projection canonique $C \oplus e \ra  e$ est la co-unit� stricte et telle que la composition
% % % de $\Delta^{C^+}_i,$ $i\geq 1$, avec la projection sur $C\tp i$ co�ncide avec $\Delta^C_i$, $i\geq 1$.
% % % Sa co-augmentation
% % % est l'injection canonique $e \ra C \oplus e$. On note $\aica$ la {\em cat�gorie} \indexnotation{aica}
% % % des $\ai$-cog�bres co-augment�es. Le {\em foncteur co-augmentation} $\aic \ra \aica$ est
% % % une �quivalence dont le quasi-inverse est le {\em foncteur r�duction.}

% % % Soit $C$ une $\ai$-cog�bre strictement co-unitaire.
% % % Un $C$-copolydule $N$ est {\em strictement co-unitaire} \index{strictement co-unitaire} si
% % % $(\Id_N \ts \Id \hdots \Id \ts \unite \ts \Id \hdots \Id) \Delta^N_i= 0$ 
% % % pour tout $i \geq 3$ et 
% % % \[
% % %  (\Id_N \ts \unite) \Delta^N_2  = \Id_N.
% % % \]
% % % Si $C$ est une $\ai$-cog�bre et $N$ un $C$-copolydule, $N^+$ est le {\em $C^+$-copolydule} (strictement
% % % co-unitaire) qui a pour objet sous-jacent $N$ et dont la comultiplication
% % % $\Delta^{N^+}_i$, $i \geq 1$, est telle que la composition avec la projection
% % % sur $N \ts C \tp{i-1}$ co�ncide avec $\Delta^N_i$, $i\geq 1$ (en particulier le
% % % $m_1$ ne change pas). 
% % % Ceci d�finit une �quivalence entre la {\em cat�gorie} $\aicoModu C^+$ des
% % % $C^+$-copolydules strictement unitaires et la cat�gorie des $C$-copolydules. Le quasi-inverse est donn� par
% % % le foncteur qui envoie $N$ 
% % % sur le $C$-copolydule $\b N$ dont l'objet sous-jacent est $N$ et dont la comultiplication
% % % $\Delta^{\b N}_i$, $i\geq 2$, est la composition de $\Delta^N_i$, $i\geq 2$, avec la projection
% % % \[
% % % N \ts (C^+)\tp {i-1}\arr{\Id_N \ts p\tp{i-1}} N \ts C\tp{i-1} , \quad i\geq 2,
% % % \]
% % % o� $p : A \ra A^+$ est la projection canonique.


%
%
%
%
%
%
%!              construction bar
%
%
%
%
%
%

\subsection{Construction bar} \label{construction_bar_cobar_mod}


Les d�monstrations de cette section �tant presque identiques �
celles de la section \ref{construction_bar_cobar}, nous nous contentons
d'�noncer les r�sultats.\\


{\noindent \bf Construction bar des polydules}\\

Soit $A$ et $M$ deux objets gradu�s. Pour chaque $i \geq 1$, nous d�finissons
une bijection
\[
\begin{array}{rcl}
\Hom_{\sz \gr \sf C'}(M \ts A \tp{i-1} ,M) & \ra &  \Hom_{\sz \gr \sf C'}(SM \ts (SA) \tp{i-1},SM)\\
m^M_i & \mapsto & b^M_i
\end{array}
\]
par la relation 
\[
\si \circ b^M_i = -  m^M_i \circ \si \tp i \hspace{1cm} (\mbox{o�}  \hspace{.3cm} \si = s^{-1}).
\]
Soit $A$ une $\ai$-alg�bre.
Nous rappelons (\ref{lemme_comodules_colibres})
qu'une diff�rentielle $b^M$ sur le $(BA)\+$-comodule (co-unitaire) gradu� $SM \ts (BA)\+$ est d�termin�e
par la composition
\[
(\Id \ts \counite^{(BA)\+}) \circ b^M : SM \ts (BA)\+ \ra SM
\]
dont nous notons les composantes $b^M_i$, $i\geq 1$.
Les bijections $m^M_i \lra b^M_i$ induisent une bijection de l'ensemble des structures
de $A$-polydule sur $M$  sur l'ensemble
des diff�rentielles $b^M$ sur le $(BA)\+$-comodule gradu� $SM \ts (BA)\+$.








Soit $A$, $M$ et $N$ trois objets gradu�s. Pour chaque $i \geq 1$, nous d�finissons
une bijection
\[
\begin{array}{rcl}
\Hom_{\sz \gr \sf C'}(M \ts A \tp{i-1} ,M) & \ra &  \Hom_{\sz \gr \sf C'}(SM \ts (SA) \tp{i-1},SM)\\
f_i & \ra & F_i
\end{array}
\]
par les relations  
\[
\si \circ F_i = (-1)^{|F_i|} f_i  \circ \si \tp i, \quad i \geq 1,
\]
o� $F_i$ est un morphisme gradu� de degr� $|F_i|.$
Soit $A$ une $\ai$-alg�bre.
On rappelle (\ref{lemme_comodules_colibres})
qu'un morphisme gradu� de $(BA)\+$-comodules (co-unitaires)
\[
F : SM \ts (BA)\+ \ra SN \ts (BA)\+
\]
est d�termin� par la composition
\[
(\Id \ts \counite^{(BA)\+}) \circ F : SM \ts (BA)\+ \ra SM
\]
dont nous notons les composantes $F_i$, $i\geq 1$.
Les bijections $f_i \lra F_i$ induisent une bijection du produit des ensembles de morphismes
gradu�s 
\[
f_i : M \ts A \tp {i-1} \ra N, \quad i\geq 1,
\]
de degr� $1-i+n$, sur l'ensemble
des morphismes gradu�s de $(BA)\+$-comodules $F : SM \ts (BA)\+ \ra SN \ts (BA)\+$
de degr� $n.$ Si $M$ et $N$ sont des $A$-polydules,
cette bijection envoie bijectivement l'ensemble des familles d�finissant un $\ai$-morphisme $f : M \ra N$ sur
l'ensemble des morphismes diff�rentiels gradu�s de $(BA)\+$-comodules
\[
F : SM \ts (BA)\+  \ra SN \ts (BA)\+ .
\]
Si $f$ et $g$ sont deux $\ai$-morphismes de $A$-polydules, la m�me bijection envoie
bijectivement l'ensemble des homotopies entre $f$ et $g$ sur l'ensemble des homotopies
entre les morphismes de $(BA)\+$-comodules $F$ et $G$ correspondant � $f$ et $g.$

Ceci nous donne un foncteur
\[
\aiMod A \ra \coModcu (BA)\+, \quad M \mapsto (SM \ts (BA)\+,b^M).
\]

{\noindent \bf Construction bar des polydules strictement unitaires sur une $\ai$-alg�bre augment�e}\\

Soit $A$ une $\ai$-alg�bre augment�e. Nous notons $\Ba A$ la cog�bre co-augment�e
$(B\b A)\+$, o� $\b A$ est l'$\ai$-alg�bre r�duite associ�e � $A$. Attention � ne pas
confondre les cog�bres co-augment�es $\Ba A$ et $(BA)\+.$ \index{construction bar}
\indexnotation{Ba}

Par la section \ref{section_augmentation_reduction},
le foncteur $N \mapsto \b N$ est un isomorphisme de cat�gories
\[
\aiModu A \arr{\sim} \aiMod \b A.
\]
Le foncteur compos�
\[
B_A : \aiModu A \arr{\sim} \aiMod \b A \ra \coModcu \Ba A
\]
est appel� le foncteur {\em construction bar}\index{construction bar}\indexnotation{BM}.
Nous le noterons souvent $B$.
La suspension $SM$ d'un polydule est envoy�e
par le construction bar sur $B SN = (S^2 N \ts \Ba A,b^{SN})$. Nous v�rifions que ce dernier est isomorphe
� $SBN$. Le foncteur construction bar
envoie des $\ai$-morphismes homotopes sur des morphismes homotopes de comodules et il induit une �quivalence
entre la cat�gorie $\aiModu A$ et la sous-cat�gorie $\colibre \Ba A$ de $\coModcu \Ba A$ form�e des objets
presque colibres.\\


% % % % {\noindent \bf Construction cobar des copolydules}\\



% % % % Soit $C$ et $N$ deux objets gradu�s. Pour chaque $i \geq 1$, nous d�finissons
% % % % une bijection
% % % % \[
% % % % \begin{array}{rcl}
% % % % \Hom_{\sz \gr \sf C'}(N \ts A \tp{i-1} ,N) & \ra &  
% % % % \Hom_{\sz \gr \sf C'}(S^{-1}N \ts (S^{-1}A) \tp{i-1},S^{-1}N)\\
% % % % \Delta^N_i & \mapsto & D^N_i
% % % % \end{array}
% % % % \]
% % % % par la relation
% % % % \[
% % % %  D^N_i \circ \si = - \si \tp i \circ \Delta^N_i
% % % % \]
% % % % Soit $C$ une $\ai$-cog�bre et $N$ un objet gradu�. Les bijections $\Delta^N_i \lra D_i^N$
% % % % induisent une bijection de l'ensemble des structures
% % % % de $C$-copolydule sur $N$  sur l'ensemble
% % % % des diff�rentielles $b^N$ sur le $(\Omega C)\+$-module gradu� $S^{-1}N \ts (\Omega C)\+$.\\



% % % % {\noindent \bf Construction cobar des copolydules strictement co-unitaires sur une $\ai$-cog�bre co-augment�e}\\


% % % % Soit $C$ une $\ai$-cog�bre co-augment�e. Nous notons $\Oma C$ l'alg�bre augment�e
% % % % $(\Omega \b C)\+$, o� $\b C$ est l'$\ai$-cog�bre r�duite associ�e � $C$. Elle n'est pas
% % % % isomorphe � $(\Omega C)\+$. \index{construction cobar}
% % % % \indexnotation{Oma}
% % % % Soit  $N$ un $C$-copolydule strictement co-unitaire. La {\em construction cobar de $N$} est  le $\Oma C$-module 
% % % % diff�rentiel gradu� unitaire
% % % % \[
% % % % \Omega N = (S^{-1}N \ts \Oma C,b^N)
% % % % \]
% % % % associ� par la bijection ci-dessus au $\b C$-polydule $\b N.$ 
% % % % On d�finit les $\ai$-morphismes de $C$-copolydules strictement co-unitaires de
% % % % fa�on � ce que $\Omega$ devienne un foncteur
% % % % \[
% % % % \Omega : \aicoModu C \arr{} \Modu \Oma C
% % % % \]
% % % % qui induit une �quivalence entre la cat�gorie $\aicoModu C$ et la sous-cat�gorie
% % % % de $\Modu \Oma C$ form�e des modules presque libres. On appelle le foncteur
% % % % $\Omega$ la {\em construction cobar}. \index{construction cobar}



%
%
%
%
%
%
%
%!         Alg�bre Enveloppante
%
%
%
%
%
%

\subsection{Alg�bre Enveloppante} \label{section_algebre_enveloppante}

Dans cette section,
nous d�finissons l'alg�bre enveloppante $\E A$
d'une $\ai$-alg�bre augment�e $A$ puis montrons que la cat�gorie $\Modu \E A$
est isomorphe � la cat�gorie $\aiModust A$. \\

Soit $V$ un espace gradu� (resp.~diff�rentiel gradu�). 
L'{\em alg�bre tensorielle (augment�e)}  \indexnotation{TV}
\index{tensorielle augmentee (algebre)@{tensorielle augment�e (alg�bre)}}
\index{algebre@{alg�bre}!tensorielle augment�e}
$TV$ est l'augmentation $(\b TV)\+$
de l'alg�bre tensorielle r�duite. Soit $i : V \ra TV$ l'injection canonique.


\begin{lemme} \label{lemme1_algebre_enveloppante}
Soit $M$ un objet gradu�.
L'application $\mu^M \mapsto \mu^M (\Id  \ts i)$ est une bijection de l'ensemble
des structures de $TV$-module unitaire sur $M$ sur l'ensemble des morphismes gradu�s
\[
M \ts V \ra M
\] de degr� $0$. L'application inverse associe � $g$ la multiplication
\[
\mu : M \ts TV \ra M
\]
dont la composante $M \ts e \ra M$ est l'identit� et la composante
$M \ts V \tp i \ra M$ est le morphisme $g \circ (g \ts \Id) \circ \cdots \circ (g \ts \Id \tp{i-1})$.
\end{lemme}


\begin{definition}{\em \label{definition_algebre_enveloppante}
Soit $A$ une $\ai$-alg�bre augment�e.
L'{\em alg�bre enveloppante} \index{algebre@{alg�bre}!enveloppante}
de $A$ est l'alg�bre diff�rentielle
gradu�e $\E A = \Oma \Ba  A$, c'est-�-dire l'alg�bre $(\Omega B \b A)\+$.} \indexnotation{EA}
\end{definition}
%
\begin{lemme}\label{lemme_algebre_enveloppante}
L'$\ai$-morphisme $A \ra \E A$ donn� par
le morphisme d'ad\-jonction 
\[
\Ba A \ra \Ba \E A = \Ba \Oma \Ba  A
\]
est un $\ai$-quasi-isomorphisme. Il est universel parmi les $\ai$-morphismes de $A$
vers une alg�bre diff�rentielle gradu�e.
\findem
\end{lemme}

\dem 
C'est un $\ai$-quasi-isomorphisme par le lemme \ref{lemme3_cmf_aia}.
L'universalit� est imm�diate gr�ce � l'adjonction $(\Omega, B)$.
\findem \\


% Soit  $\aiModust A$ la {\em sous-cat�gorie}
% de $\aiModu A$ dont les objets sont les $A$-polydules et les morphismes
% sont les $\ai$-morphismes stricts.


\begin{lemme} \label{A-polydules_EA-modules}
Nous avons un isomorphisme de cat�gories
\[
i : \Modu \E A \ra \aiModust A, \quad M \ra S^{-1}M.
\]
\end{lemme}

\dem  Soit $M$ un objet gradu�. Nous allons montrer que les structures de $\E A$-module unitaire
sur $SM$ sont les structures de $A$-polydule strictement unitaire sur $M$.
Soit $m^M_1$ une diff�rentielle sur $M$ et soit
\[
m^M_i : M \ts A \tp{i-1} \ra M, \quad i \geq 2,
\]
des morphismes gradu�s de degr� $2-i$. Nous d�finissons � l'aide 
des bijections $m^M_i \lra b^M_i$ de la section \ref{construction_bar_cobar},
un morphisme
\[
g : SM \ts (B\b A) \ra SM.
\]
Par le lemme \ref{lemme1_algebre_enveloppante}, le morphisme
\[
SM \ts S^{-1}(B\b A) \arr{\Id \ts s} SM \ts (B\b A) \arr{g} SM
\]
se rel�ve en une structure $\mu^{\E}$ de $\Oma \Ba A$-module gradu� unitaire sur $SM.$
Nous v�rifions que $(SM,\mu^{\E},Sm_1)$
d�finit un module diff�rentiel gradu� unitaire si et seulement si les $m^M_i$, $i\geq 1$,
d�finissent une structure de $A$-polydule strictement unitaire sur $M$.
Si $SM$ et $SN$ sont deux $\E A$-modules,
les morphismes de $\E A$-modules $SM \ra SN$ s'identifient clairement aux $\ai$-morphismes
stricts de $A$-polydules
$M \ra N$. \findem




%
%

%
%
%
%
%
%
%
%!         Cat�gorie d�riv�e des $\ai$-modules
%
%
%
%
%
%

\newpage

\section{Cat�gorie d�riv�e d'une $\ai$-alg�bre augment�e} \label{section_categorie_derivee_augmentee}


{\bf Introduction}\\


\noindent Soit $A$ une $\ai$-alg�bre augment�e.
Le but de cette section est de montrer que la cat�gorie d�riv�e
\[
\cd_\infty A = \aiModu A [Qis^{-1}]
\]
est �quivalente aux cat�gories
\[
\ch_\infty A = \aiModu A/\!\sim\, \quad \mbox{et} \quad \big(\aiModust A\big) [Qis^{-1}]
\]
o� $\sim$ est la relation d'homotopie.
La cat�gorie d�riv�e d'une $\ai$-alg�bre quelconque
est �tudi�e au chapitre \ref{chapitre_Cat_der}.\\

{\noindent \bf Plan de la section}\\

\noindent Cette section est divis�e en trois sous-sections.
Dans la sous-section \ref{section_objets_fibrants_coModcu}, nous d�montrons le th�or�me de
l'homotopie et celui des $\ai$-quasi-isomorphismes pour les polydules. Pour cela, nous
caract�riserons les objets fibrants de la cat�gorie de mod�les
$\coModcu \Ba A$ :
{\em ils sont exactement les facteurs directs des objets presque colibres} et nous montrons que
les th�or�mes ci-dessus  apparaissent alors comme des
cas particuliers de r�sultats fondamentaux de l'alg�bre homotopique de Quillen
(voir appendice \ref{section_rappels_cmf}). 
Dans la sous-section \ref{section_definition_categorie_derivee_augmentee_polydules},
nous montrons les �quivalences annonc�es dans l'introduction ci-dessus (toujours gr�ce �
l'alg�bre homotopique de Quillen).
Dans la section \ref{section_structure_triangulee}, nous
�tudions la structure triangul�e de $\cd_\infty A$. 











%
%
%
%
%
%
%!            La cat�gorie d�riv�e de $\aiModu A$
%
%
%
%
%
%
%
%
%


\subsection{Objets fibrants de $\coModcu \Ba A$}
\label{section_objets_fibrants_coModcu}

Soit $A$ un objet de $\aiaa.$ Le but de cette section est de montrer la proposition suivante :

\begin{proposition} \label{corollaire2_categorie_derivee}
\english \begin{itemize}
\item[a.] La relation d'homotopie (\ref{definition_polydules_strictement_unitaires}) dans $\aiModu A$
est une relation d'�qui\-valence compatible � la composition.
\item[b.] Un $\ai$-quasi-isomorphisme de $A$-polydules est une �quivalence d'homo\-topie.
\item[c.] Soit $A'$ un objet de $\alga$. Soit $\Modush A'$ la sous-cat�gorie pleine de $\aiModu A'$ form�e
des $A'$-modules diff�rentiels gradu�s unitaires. Notons $\sim$ la relation d'homotopie sur $\Modush A'$.
L'inclusion $\Modu A' \hookrightarrow \Modush A'$ induit une �quivalence
\[
\cd A' \arr{\sim} \Modush A'/\! \sim .
\]\end{itemize} \francais
\end{proposition}


\begin{remarque}{\em
Le point {\it c} reste vrai m�me dans le cas o� l'alg�bre diff�rentielle gradu�e unitaire $A'$ n'est
pas augment�e (voir \ref{lemme_categorie_derivee_algebre_differentielle_graduee_unitaire}).
}\end{remarque}


\dem La d�monstration est identique � celle du corollaire \ref{corollaire_cmf_aia}. Elle proc�de de
la m�me mani�re en utilisant (� la place du th�or�me principal \ref{theoreme_cmf_cocog})
le th�or�me \ref{theoreme_cmf_coModcu} et la proposition \ref{proposition2_categorie_derivee} ci-dessous.
\findem \\

{\noindent \bf Un raffinement de la caract�risation des objets fibrants du th�or�me
\ref{theoreme_cmf_coModcu}}\\

Soit $C$ un objet de $\cocoga.$
Munissons la cat�gorie $\coModcu C$ de sa structure canonique de cat�gorie de mod�les
(\ref{definition_cmf_canonique_coModcu}).
Soit $\tau : C \ra A'$ une cocha�ne tordante admissible
acyclique, o� $A'$ est un objet de $\alga$ (il existe toujours une telle cocha�ne gr�ce au lemme
\ref{lemme_acyclicite_cochaines_universelles}).
Le th�or�me \ref{theoreme_cmf_coModcu} dit que les objets fibrants de
$\coModcu C$ sont les facteurs directs d'objets de la forme $R_\tau M$, o�
$M$ est un objet de $\Modu A'$. En particulier,
les objets fibrants sont facteurs directs d'objets presque colibres de $\coModcu C.$
Montrons que la r�ciproque est vrai pour certaines cog�bres :

\begin{proposition}\label{proposition2_categorie_derivee}
Soit $C$ un objet de $\cocoga$ qui est isomorphe, en tant que cog�bre gradu�e, � une cog�bre
tensorielle.
Les objets fibrants de $\coModcu C$ sont exactement les facteurs directs d'objets presque colibres.
\end{proposition}

En particulier, puisque la cog�bre $C$ est isomorphe � la construction bar $\Ba A$ d'un objet $A$ de $\aiaa$
les objets fibrants de $\coModcu C$ sont exactement les facteurs directs de comodules qui sont l'image
par la construction bar d'un $A$-polydule. La d�monstration de ce r�sultat est report�e
� la fin de cette section. Nous d�montrons au pr�alable quelques propositions.\\




{\noindent \bf $\aiModu A$ comme ``cat�gorie de mod�les sans limites''}\\



Soit $A$ une $\ai$-alg�bre augment�e.
Dans la cat�gorie $\aiModu A$, nous consid�rons les trois
classes de morphismes suivantes :

\english \begin{itemize}
\item[-] la classe $\weq$ est form�e des {\em �quivalences faibles}, c'est-�-dire des
$\ai$-quasi-isomorphismes,
\item[-] la classe $\cof$ est form�e des {\em cofibrations}, c'est-�-dire des $\ai$-morphismes
 $j : M \ra M'$ tels que $j_1$ est un monomorphisme,
\item[-] la classe $\fib$ est form�e des {\em fibrations}, c'est-�-dire des $\ai$-morphismes
 $q : M \ra M'$ tels que $q_1$ est un �pimorphisme.
\end{itemize} \francais


\begin{theoreme} \label{theoreme_cmf_aiModu}
La cat�gorie $\aiModu A$, munie des trois classes d�finies ci-dessus, v�rifie
l'axiome  (A) du th�or�me \ref{theoreme_cmf_aia}
 et les axiomes (CM2) -- (CM5) de la d�finition
\ref{definition_cmf}. Tous les objets sont fibrants et cofibrants. 
\end{theoreme}

\dem Elle est identique � celle de \ref{theoreme_cmf_aia} car bas�e sur les lemmes d'obstruction
(voir appendice \ref{section_obstruction_polydules}). \findem \\




{\noindent \bf Liens entre la ``cat�gorie de mod�les sans limites'' $\aiModu A$ et la cat�gorie de mod�les
$\coModcu  \Ba A$ }




\begin{proposition} \label{proposition1_categorie_derivee}
Soit $M$ et $M'$ deux objets de $\aiModu A$.
\english \begin{itemize}
\item[a.]
Un $\ai$-morphisme  $f : M \ra M'$ est un $\ai$-quasi-isomorphisme
de $\aiModu A$ si et seulement si le morphisme $B f : B M \ra B M'$ est une �quivalence faible de
$\coModcu \Ba A$.
\item[b.] Un $\ai$-morphisme  $j : M \ra M'$ est une cofibration
de $\aiModu A$ si et seulement si $B j : B M \ra B M'$ est une cofibration de
$\coModcu \Ba A$.
\item[c.]  Un $\ai$-morphisme  $q : M \ra M'$ est une fibration
de $\aiModu A$ si et seulement si $B q : B M \ra B M'$ est une fibration de
$\coModcu \Ba A$.
\end{itemize} \francais
\end{proposition}

\dem 
Soit $\E A$ l'alg�bre enveloppante de $A$.
Rappelons (\ref{cochaines_universelles}) que la cocha�ne tordante
universelle
\[
\tau : \Ba A \ra \Oma \Ba A  = \E A
\]
est acyclique.
Par le corollaire \ref{corollaire_theoreme_cmf_coModcu}, nous avons une �quivalence de Quillen
\[
(L,R) : \coModcu \Ba A \ra \Modu \E A.
\]
{\it a.} Si $f$ est un $\ai$-quasi-isomorphisme, le morphisme
$B f$ est un quasi-isomorphisme filtr� pour les filtrations primitives.
Par le lemme \ref{lemme1_cmf_coModcu},
il est une �quivalence faible de $\coModcu \Ba A$. Supposons que $B f$ est
une �quivalence faible de $\coModcu \Ba A$. Soit le diagramme de $\coModcu \Ba A$
\[
\xymatrix{B M \ar[d]_{B f} \ar[r] & RL B M \ar[d]^{RL B f} \\
B M' \ar[r] & RL B M'.}
\]
Comme $R = B i$, ce diagramme est l'image par $B$ d'un diagramme
\[
\xymatrix{M \ar[d]_{f} \ar[r] & iL B M \ar[d]^{iL B f} \\
M' \ar[r] & iL B M'.}
\]
Comme $Bf$ est une �quivalence faible de $\coModcu \Ba A$, le morphisme $LB f$ est
un quasi-isomorphisme de $\Modu \E A$. Le morphisme (strict) $iLB f$ est
donc un $\ai$-quasi-isomorphisme dans $\aiModu A.$
Le lemme \ref{lemme1_categorie_derivee} ci-dessous montre que les fl�ches horizontales
du diagramme ci-dessus repr�sentent des $\ai$-quasi-isomorphismes. Par la propri�t� de
saturation des $\ai$-quasi-isomorphismes dans $\aiModu A$, $f$ est donc un $\ai$-quasi-isomorphisme.

{\it b} et {\it c.} M�me d�monstration que pour la proposition \ref{proposition1_cmf_aia}.
\findem

\begin{lemme}\label{lemme1_categorie_derivee}
Soit $M$ un objet de $\aiModu A$.
Le morphisme d'adjonction $B M \ra RLB M$ induit un quasi-isomorphisme
dans les primitifs.
\end{lemme}

\dem Il s'agit de montrer que le morphisme
\[
SM \ra SM \ts \Ba A \ts \E A
\]
est un quasi-isomorphisme. Notons $C$ la cog�bre $\Ba A$. Nous rappelons que
par d�finition $\Oma C = \Omega \b C.$
Il faut montrer que
\[
SM \ra SM \ts C \ts \Oma C
\]
est un quasi-isomorphisme. Munissons $\Oma C$  de la filtration
induite par la filtration primitive de $\b C$ consid�r� comme cog�bre. Nous avons alors une
filtration de $\Oma C$ d�finie par la suite
\[
\left(\Oma C\right)_i = (\Omega \b C)_i \oplus e, \quad i\geq 0. 
\]
Munissons $C$, consid�r� comme objet de $\coModu C$, de sa filtration primitive
de $C$-module (on la compl�te par $C\prim 0 = e$). 
Munissons $M$ de la filtration d�finie par la suite $M_i = M$, $i \geq 0.$
Ces filtrations induisent sur $SM \ts C \ts \Oma C$ une filtration
de complexes.
Tout comme � la fin de la d�monstration du point {\it b} du lemme
\ref{lemme_acyclicite_cochaines_universelles}, nous montrons que
\[
\ogr_0 (SM \ts C \ts \Oma C) = SM , \quad \ogr_i (SM \ts C \ts \Oma C) = 0 \quad
\mbox{pour} \quad i \geq 1.
\]
\findem \\

{\em D�monstration de la proposition \ref{proposition2_categorie_derivee}} : Nous pouvons supposer que $C$ est �gal � $\Ba A$, pour $A$ une $\ai$-alg�bre augment�e.
Soit $\tau$ la cocha�ne tordante universelle de $\Ba A$. Nous savons que les objets fibrants de
$\coModcu \Ba A$ sont les facteurs directs d'objets de la forme $R M = M \tw \Ba A$, o�
$M$ est un objet de $\Modu \Oma \Ba A$. Ils sont donc des facteurs directs des objets presque colibres.
R�ciproquement, si $N$ est un objet presque colibre,
il est isomorphe � l'image par la construction bar d'un objet $M$ de $\aiModu A$. Ce dernier �tant
fibrant dans $\aiModu A$, l'objet $N$ est fibrant dans $\coModcu \Ba A$ par le point {\it c} de la
proposition \ref{proposition1_categorie_derivee}.\findem


\subsection{Cat�gorie d�riv�e $\cd_\infty A$}
\label{section_definition_categorie_derivee_augmentee_polydules}

Dans cette section, nous d�finissons la cat�gorie d�riv�e $\cd_\infty A$ et en donnons plusieurs
descriptions.\\

Le point {\it a.} de la proposition \ref{corollaire2_categorie_derivee} montre que la d�finition suivante
a un sens.

\begin{definition}\label{definition_categorie_derivee_augmentee}{\em
Soit $A$ une $\ai$-alg�bre augment�e. Nous notons $\ch_\infty A$
la cat�gorie $\aiModu A/\! \sim \,,$ o� $\sim$ est la relation d'homotopie
(voir \ref{definition_polydules_strictement_unitaires}).
La {\em cat�gorie d�riv�e $\cd_\infty A$ de $\aiModu A$}
\index{categorie@{cat�gorie}!derivee@{d�riv�e}} est la localisation par rapport aux $\ai$-quasi-isomorphismes
de la cat�gorie $\aiModu A.$
}\end{definition}

La proposition (\ref{corollaire2_categorie_derivee}) entra�ne le r�sultat suivant :

\begin{corollaire} \label{corollaire3_categorie_derivee}
La projection canonique
\[
\ch_\infty A \ra \cd_\infty A
\]
est un isomorphisme.
\end{corollaire}

\dem Les $\ai$-quasi-isomorphismes �tant des �quivalences d'homotopie,
la projection canonique
\[
\ch_\infty A \ra \big(\ch_\infty A\big)[\weq^{-1}] \iso \cd_\infty A
\]
est une �quivalence. \findem


\begin{lemme}\label{lemme2_categorie_derivee}
La composition des foncteurs (voir \ref{A-polydules_EA-modules})
\[
J : \Modu \E A \arr{i} \aiModust A \hookrightarrow \aiModu A
\]
induit un isomorphisme $\cd \E A \ra \cd_\infty A.$
\end{lemme}

\dem Nous avons un diagramme commutatif
\[
\xymatrix{
\Modu \E A \ar[r]^{J} \ar[d]_{R} & \aiModust A \ar[d]^{\mathsf{incl.}} \\
\coModcu \Ba A & \aiModu A \ar[l]^{B}
}
\]
et les foncteurs $J$, $R$ et $B$ induisent des �quivalences entre les cat�gories
\[
\cd \E A, \quad \cd C, \quad (\aiModust A)[\weq^{-1}]\quad \mbox{et} \quad \cd_\infty A.
\]
 \findem

%
%
%
%
%
%
%
%!        Structure triangul�e sur $\cd_\infty A$
%
%
%
%
%
%
%
%
%
%



\subsection{Structure triangul�e sur $\cd_\infty A$}
\label{section_structure_triangulee}


{\noindent \bf Suites exactes de $\aiModu A$}\\  \label{suites_exactes_aiModu}

Le foncteur
\[
i : \Modu \E A \ra \aiModu A, \quad SM \mapsto M,
\]
identifie (voir \ref{A-polydules_EA-modules}) la cat�gorie $\Modu \E A$
� la sous-cat�gorie $\aiModust A$ de $\aiModu A$. Il envoie
la suspension d'un $\E A$-module sur la suspension d'un $A$-polydule
(voir \ref{definition_suspension_ai-module}).
Il identifie les suites exactes courtes de $\Modu \E A$ qui
sont scind�es dans la cat�gorie des modules gradu�s aux suites
de $\aiModu A$ form�es d'$\ai$-morphismes stricts
\[
(*) \hspace*{2cm} M' \arr{j} M \arr{q}  M'',
\]
telles que
\[
0 \ra M' \arr{j_1} M \arr{q_1}  M'' \ra 0
\]
est une suite exacte de $\cc \sf C'$ et telles qu'il existe une r�traction $\rho$ de $j_1$ 
dans $\gr \sf C'$ telle que, pour tout $i \geq 2$,
\[
\rho m^{M}_i = m^{M'}_i (\rho \ts \Id \tp{i-1}).
\]



{\noindent \bf Structure triangul�e sur $\cd_\infty A$}\\



Nous munissons la cat�gorie d�riv�e $\cd_\infty A$ de
l'unique structure triangul�e (unique � �quivalence triangul�e pr�s) pour laquelle l'�quivalence
\[
J : \cd \E A \ra \cd_\infty A
\]
du lemme \ref{lemme2_categorie_derivee} est triangul�e.
Comme les foncteurs
\[
R : \cd \E A \ra \cd \Ba A \quad \mbox{et} \quad B : \cd_\infty A \ra \cd \Ba A
\]
sont des foncteurs triangul�s nous en d�duisons le th�or�me suivant.

\begin{theoreme}
La structure triangul�e sur $\cd_\infty A$ a pour endo\-foncteur suspension celui d�fini en
 \ref{definition_suspension_ai-module}. Les triangles distingu�s
sont exactement ceux qui sont isomorphes aux triangles provenant de suites exactes de la
forme $(*)$ de $\aiModu A.$
\findem
\end{theoreme}



{\noindent \bf C�ne d'un $\ai$-morphisme.}\\


Si $f : M \ra M'$ est un $\ai$-morphisme de $A$-polydules, son {\em c�ne} 
\index{cone d'un $\ai$-morphisme@{c�ne d'un $\ai$-morphisme}}
$C(f)$ est
le $A$-polydule $M' \oplus SM$ dont les multiplications
\[
m^{C(f)}_i : (M' \oplus SM) \ts A \tp{i-1} \ra  M' \oplus SM, \quad i \geq 1,
\]
sont donn�es par les morphismes 
\[
m^{M'}_i, \quad m^{SM}_i\  \mbox{(voir 
\ref{definition_suspension_ai-module})} \quad \mbox{et} \quad
f_i \circ (\si \ts \Id \tp{i-1}).
\]
La construction bar envoie $C(f)$ sur le c�ne de $Bf.$ 


\begin{lemme}
Soit $A$ un objet de $\alga$. L'inclusion 
\[
\Modu A \hookrightarrow \aiModu A
\]
induit une �quivalence triangul�e
\[
\cd A \ra \cd_\infty A.
\]
\end{lemme}

\dem Comme $A \ra \E A$ (voir \ref{lemme3_cmf_aia}) est un quasi-isomor\-phisme,
nous avons une �quivalence triangul�e entre la cat�gorie
$\cd A$ et la cat�gorie $\cd \E A$. L'inclusion (\ref{A-polydules_EA-modules})
\[
i : \Modu \E A \ra \aiModu A
\]
induisant une �quivalence triangul�e
de $\cd \E A$ sur $\cd_\infty A,$ nous en d�duisons le r�sultat.
 \findem
















% \subsection{Exemple : les complexes mixtes} \label{section_complexes_mixtes}

% Cette exemple est tir� de l'article \cite{Kassel87}. \\


% Dans ce qui suit les cat�gories de base $\sf C$ et $\sf C'$ sont la cat�gorie des
% $\corps$-espaces vectoriels. Soit $A$ le complexe  dont toutes
% les composantes sont nulles sauf celle de degr� $-1$ qui est de dimension
% $1$. On note $\epsilon$ un g�n�rateur de $A$. On consid�re $A$ comme une
% alg�bre dont la multiplication est nulle. L'augmentation
% $\Lambda = A\+$ est isomorphe � la $\corps$-alg�bre
% \[
% \corps [\epsilon]/\langle \epsilon^2 \rangle, \quad \deg \epsilon = -1.
% \]
% La construction bar co-augment�e de $\Lambda$ est la cog�bre tensorielle
% \[
% \Ba \Lambda = \ct(\corps u), \quad  u = s(\epsilon).
% \]
% La cocha�ne tordante universelle (\ref{cochaines_universelles})
% associ�e � $\Lambda$ est le morphisme
% \[
% \tau : \Ba \Lambda \ra \Lambda, \quad u \mapsto \epsilon, \quad u \tp i \mapsto 0 \quad
% \mbox{ si } \quad i \neq 1.
% \]
% Un objet de $\Modu \Lambda$ est un complexe $(M,d)$ munie d'une action
% \[
% M \ts \Lambda \ra M.
% \]
% Cette derni�re est d�termin�e
% par un morphisme de degr� $0$
% \[
% M \ts \epsilon \ra M,
% \]
% c'est-�-dire, par un morphisme $D : M \ra M$ de degr� $-1$.
% Comme $(M,d)$ est un complexe et comme l'action est un morphisme diff�rentiel gradu�, on a les relations
% \[
% d^2 = 0 , \quad D^2 = 0 \quad \mbox{et} \quad d D + D d = 0.
% \]
% Le triplet $(M,d,D)$ est donc un  complexe mixte. R�ciproquement, un complexe mixte est clairement
% un objet de $\Modu \Lambda$.
% Un calcul montre que, si $M$ est un objet de $\Modu A$, le $\Ba A$-comodule $M \tw \Ba A$
% est isomorphe au complexe qui en tant qu'objet gradu� est la somme
% \[
% \cdots \oplus S^4M \oplus S^2M \oplus M
% \]
% et dont la diff�rentielle envoie un �l�ment $m \in S^{2i}M$ sur
% \[
% d(m) + D(\si^2(m)) \in S^{2i}M \oplus S^{2(i-1)}M.
% \]
% On appelle ce complexe {\em le complexe total $Tot(M)$} du complexe mixte $(M,d,D)$.
% On a clairement une suite exacte
% \[
% 0 \ra (M,d) \ra Tot(M) \arr{\Sigma} S^2Tot(M) \ra 0.
% \]
% Si $(M,d,D)$ et $(M',d',D')$ sont des complexes mixtes, un {\em $\Sigma$-morphisme}
% \[
% f :  (M,d,D) \ra (M',d',D')
% \]
% est un morphisme
% \[
% Tot(M) \ra Tot(M)
% \]
% qui commute au morphisme $\Sigma.$
% Les $\Sigma$-morphismes
% correspondent aux morphismes de $\Ba A$-comodules
% \[
% G : M \tw \Ba A \ra M' \tw \Ba A,
% \]
% c'est-�-dire aux $\ai$-morphismes de $A$-modules $g : M \ra M'.$
% Le th�or�me \ref{theoreme_cmf_coModcu} montre alors que
% $\Modu A$ et $\coModcu C$ sont Quillen-�quivalente. En particulier, les cat�gories
% $\Modush A/\!\sim$, $\cd_\infty A$ et $\cd_\infty C$ sont �quivalentes � la cat�gorie d�riv�e $\cd A$.













\section{Cat�gorie d�riv�e des bipolydules (le cas augment�)}


\label{section_categorie_derivee_augmentee_bipolydules}


{\bf \noindent Introduction }\\

Soit $A$ et $A''$ deux $\ai$-alg�bres augment�es.
Dans cette section, nous d�finissons la cat�gorie d�riv�e $\cd_\infty (A,A'')$ des $A$-$A''$-bipolydules
strictement unitaires et nous en donnons plusieurs descriptions.
Le cas o� $A$ et $A''$ sont quelconques sera trait� au chapitre 
\ref{chapitre_Cat_der}.\\

{\bf \noindent Notations}\\ 

Soit $(\sf C,\ts,e)$ et $(\sf C'',\ts,e)$ deux $\corps$-cat�gories de Grothendieck semi-simples mono�dales
et $\sf C'$ une $\corps$-cat�gorie de Grothendieck semi-simple (non n�cessairement 
mono�dale). Nous supposons que $\sf C$ est tress�e (voir \cite[Chap.~XI]{MacLane98}).
Nous notons $\ts\op$ le produit tensoriel de $\sf C$ d�fini par
\[
A \ts\op B = B \ts A.
\]
Supposons que la cat�gorie mono�dale $\sf C$ agit � gauche sur $\sf C'$ et la cat�gorie 
 mono�dale $\sf C''$ agit � droite sur $\sf C'$ de mani�re compa\-tible, i.~e.~$\sf C'$ est munie de deux
foncteurs ($\corps$-bilin�aires sur les espaces de morphismes)
\[
\begin{array}{rcl}
\sf C' \times \sf C''  & \ra & \sf C',\\
(M',A'') & \mapsto & M' \ts A''
\end{array} \quad \mbox{et} \quad
\begin{array}{rcl}
\sf C \times \sf C'  & \ra & \sf C',\\
(A,M') & \mapsto & A \ts M'
\end{array}
\]
associatifs et unitaires � des isomorphismes donn�s pr�s
(voir \cite[Chap.~XI]{MacLane98}) et tels que
\[
(A \ts M') \ts A'' = A \ts (M' \ts A'').
\]
Nous supposons en outre qu'on a une $\corps$-cat�gorie de Grothendieck
semi-simple mono�dale
$\sf C \ts \sf C''$, munie d'un foncteur mono�dal
\[
(\sf C,\ts\op) \times (\sf C'',\ts) \ra \sf C \ts \sf C'', \quad (A,A'') \mapsto A \ts A'',
\]
\[
\Hom_{\sf C}(A,B) \times \Hom_{\sf C''}(A'',B'') \ra \Hom_{\sf C \ts \sf C''}((A \ts A''),(B \ts B'')),
\]
bilin�aire sur les espaces de morphismes, d'une action sur $C'$ et d'un isomorphisme
\[
M \ts (A \ts A'')  = A \ts M \ts A''.
\]

L'exemple suivant appara�t naturellement dans l'�tude des $\ai$-cat�gories
(\ref{section_categories_de_base_aicat}).

\begin{exemple}{\em 
Soit $\mathbb A$ et $\mathbb B$ deux ensembles consid�r�s comme des cat�gories
discr�tes. 
Nous notons $\sf C( \mathbb A,\mathbb B)$ la cat�gorie des foncteurs
\[
\mathbb B\op \times \mathbb A \ra \vect \corps.
\]
Posons
\[
\sf C  =  \sf C(\mathbb A, \mathbb A), \quad
\sf  C'  =  \sf C(\mathbb A, \mathbb B) \quad \mbox{et} \quad
\sf  C''  =  \sf C(\mathbb B, \mathbb B).
\]
Les produits tensoriels au-dessus de $\mathbb A$ et de $\mathbb B$ d�finissent
les structures de cat�gories mono�dales (tress�es) sur $\sf C$ et $\sf C''$
et les actions de $\sf C$ et $\sf C''$ sur $\sf C'$.
La cat�gorie $\sf C \ts \sf C''$ est la cat�gorie
$\sf C( \mathbb A \times \mathbb B, \mathbb A \times \mathbb B)$
des foncteurs
\[
\big(\mathbb A \times \mathbb B\big)\op \times \big(\mathbb A \times \mathbb B\big) \ra \vect \corps.
\]
Le foncteur
\[
\sf C( \mathbb A,\mathbb A) \times \sf C( \mathbb B,\mathbb B) \ra
\sf C( \mathbb A \times \mathbb B, \mathbb A \times \mathbb B)
\]
envoie $(L,M)$ sur le foncteur
\[
(A,B,A',B') \mapsto L(A,A') \ts_{\corps} M(B,B').
\]
}\end{exemple}








\subsection{D�finitions des bipolydules} \label{section_definition_bipolydules}



Soit $A$ et $A''$ deux $\ai$-alg�bres de $\sf C$ et $\sf C''.$

\begin{definition}{\em \label{definition_A_n-A_m-bimodules}
Un $\mathrm A_n$-$\mathrm A_{n'}$-{\em bimodule sur $A$ et $A''$}
est un objet de $\gr \sf C'$
muni d'une famille de morphismes gradu�s dans $\gr \sf C'$
\[
m_{i,j} : A \tp i  \ts M \ts A'' \tp j \ra M,\quad
0 \leq i \leq n, \quad 0 \leq j \leq n',
\]
de degr� $1-i-j$, telles qu'une �quation $(*''_{r,t})$  de la m�me
forme que l'�quation $(*_{r+1+t})$, $r+1+t \geq 1$, de la d�finition
\ref{definition_ai-algebre} est v�rifi�e pour tous $0 \leq r \leq n$ et $0 \leq t \leq n'.$ 
Si $M$ et $M'$ sont deux $\mathrm A_n$-$\mathrm A_{n'}$-bimodule sur $A$ et $A''$, un {\em morphisme}
\[
f : M \ra M'
\]
est une famille de morphismes gradu�s dans $\gr \sf C'$
\[
f_{i,j} : A \tp i  \ts M \ts A'' \tp j \ra M',\quad
0 \leq i \leq n, \quad 0 \leq j \leq n',
\]
de degr� $-i-j$,
v�rifiant les �galit�s $(**'')_{r,t}$, $0 \leq r \leq n$ et $0 \leq t \leq n'$, 
des morphismes
\[
A^{\ts r}  \ts M \ts A''^{\tso t} \ra M', \quad 0 \leq r \leq n, \quad 0 \leq t \leq n',
\]
\[
\begin{array}{c}
\sum (-1)^{\alpha(-i-j)} m_{\alpha,\beta}(\Id \tp \alpha \ts f_{k,l} \ts \Id \tp \beta) = \hspace*{4cm} \\
\hspace*{1cm} \sum (-1)^{j + i(|m_\bullet|)} f_{\bullet,\bullet}(\Id \tp i \ts m_{\bullet} \ts \Id \tp j)
\end{array}
\]
o� $|m_\bullet|$ est le degr� de $m_\bullet$; il faut interpr�ter convenablement les $m_\bullet$
par des $m^A_{\bullet}$, $m^{A''}_{\bullet}$ ou $m_{\bullet,\bullet}$ selon leur place.
La composition $g\circ f$ de deux morphismes $f$ et $g$ est d�finie par la suite
\[
(g \circ f)_n = \sum (-1)^{\alpha(-i-j)}
g_{i,j}(\Id \tp \alpha \ts f_{k,l} \ts \Id \tp \beta), \quad n \geq 1.
\]
}\end{definition}


\begin{definition}{\em  
Un $A$-$A''$-{\em bipolydule dans $\sf C'$} \index{bipolydule} (appel� commun�ment {\em $\ai$-bimodule sur $A$ et $A''$} dans la litt�rature)
est un objet de $\gr \sf C'$
muni d'une famille de morphismes gradu�s dans $\gr \sf C'$
\[
m_{i,j} : A \tp i  \ts M \ts A'' \tp j \ra M,\quad
i,j\geq 0,
\]
de degr� $1-i-j$, telles que l'�quation $(*''_{n,n'})$, $n,n' \geq 0$ est v�rifi�e.
Si $M$ et $M'$ sont deux $A$-$A''$-polydules, un {\em morphisme}
\[
f : M \ra M'
\]
est une famille de morphismes gradu�s dans $\gr \sf C'$
tels que l'�galit� $(**'')_{n,n'}$, $n +1 +n'\geq 1$, est v�rifi�e.
La composition $g\circ f$ de deux $\ai$-morphismes $f$ et $g$ est d�finie
par les m�mes formules que dans le cas des morphismes de $\mathrm A_n$-$\mathrm A_{n'}$-bimodules
sur $A$ et $A''$. Nous obtenons ainsi une {\em cat�gorie} $\aiMod (A,A'')$.
\indexnotation{aiModAA'} La lettre $\mathsf N$ de
$\aiMod$ remplace la lettre $\mathsf M$ dans $\aiModu$ et se rapporte au $\mathsf N$ dans
``$\ai$-bimodules $\mathsf N$on (n�cessairement) unitaires''.
}\end{definition}



Nous supposons d�sormais que $A$ et ${A''}$ sont
augment�es.

\begin{definition}{\em  \label{definition_bipolydules}
Un $A$-${A''}$-{bipolydule} est {\em strictement unitaire}
\index{strictement unitaire!bipolydule}
si pour tous $i,j \geq 0$, on a
\[
m_{i,j} (\Id \tp \alpha \ts \unite \ts \Id \tp \beta) = 0, \quad \alpha \neq i, \quad 
(i,j) \notin \{(0,1),(1,0)\}
\]
et
\[
m_{1,0} \circ (\unite \ts \Id)  = m_{0,1} \circ (\Id \ts \unite) = \Id.
\]
Nous notons $\aiModu (A,{A''})$ \indexnotation{aiModuAA'}
la cat�gorie des $A$-${A''}$-bipolydules strictement unitaires.
Elle est isomorphe � la cat�gorie des $\b A$-$\b {A''}$-bipolydules, o� $\b A$ et $\b {A''}$ sont
les r�ductions de $A$ et ${A''}.$ 
}\end{definition}


{\noindent \bf Construction bar}\\ 
\label{section_construction_bar_bipolydules}

Nous d�finissons des bijections 
\[
\begin{array}{rcl}
\Hom ((S\b A)\tp{i} \ts SM \ts (S\b {A''})\tp{j}, SM) &
\arr{\sim} & \Hom (\b A \tp i \ts M \ts \b {A''} \tp{j}, M),\\
m_{i,j} & \mapsto & b_{i,j}
\end{array}
\]
\[
\begin{array}{rcl}
\Hom ((S\b A)\tp{i} \ts SM \ts (S\b {A''})\tp{j}, SM) &
\arr{\sim} & \Hom (\b A \tp i \ts M \ts \b {A''} \tp{j}, M),\\
f_{i,j} & \mapsto & F_{i,j}
\end{array}
\]
par les
relations
\[
\si \circ b_{i,j} = -  m_{i,j} \circ \si \tp{i+1+j} \quad \mbox{et} \quad
\si \circ F_{i,j} = (-1)^{|F_{i,j}|} f_{i,j} \circ \si \tp{i+1+j}.
\]
Ces bijections d�finissent le foncteur {\em construction bar}, pleinement fid�le,
\index{construction bar}
\[
B : \aiModu (A,{A''}) \arr{} \coModcu (\Ba A,\Ba {A''}),
\]
o� $\coModcu (\Ba A,\Ba {A''})$ est la {\em cat�gorie} des objets de $\gr \sf C'$
munis de structures de $\Ba A$-$\Ba A''$-bicomodule
co-unitaire diff�rentiel gradu� cocomplet.
Son image est form�e des objets qui sont presque colibres.


% \subsection{Th�orie de l'obstruction pour les bipolydules}
% \label{section_obstruction_bipolydules}

% Les d�monstrations de cette section
% sont omises car elles sont similaires � celles de la section \ref{section_obstruction}.

% Soit $A$ et $A''$ deux $\ai$-alg�bres dans $\sf C$ et $\sf C''.$
% Dans ce qui suit, $r$ et $t$ d�signent deux entiers $\geq 0$ et
% $\ce$ d�signe l'ensemble des couples d'entiers $(i,j)$
% tels que $0 \leq i \leq r$ et $0 \leq j \leq t-1$, ou, $0 \leq i \leq r-1$ et $0 \leq j \leq t$
% (voir le graphique ci-dessous). L'ensemble $\ce'$ est �gal � $\ce \setminus (0,0).$\\
% \begin{tabular}{ccc}
% & & \\
% \input{grid1.pstex_t}
% &  &
% \input{grid2.pstex_t} \\
% ensemble $\ce$ & & ensemble $\ce'$
% \end{tabular}\vspace{.7cm}

% Soit $M$ un objet diff�rentiel gradu� de $\sf C'.$ On note sa diff�rentielle
% $m_{0,0}$. 
% Soit
% \[
% m_{i,j} : A \tp i \ts M \ts A''\tp j \ra M \ra M, \quad 0 \leq j \leq t, \quad 0 \leq i \leq r,\quad
% (i,j) \neq (0,0),
% \]
% un morphisme gradu� de degr� $1-i-j$ dans $\sf C'.$


% \begin{lemme}
% Supposons que les morphismes $m_{i,j}$, $(i,j) \in \ce',$ v�rifient les �quations
% $(*''_{k,l})$, $(k,l) \in \ce,$ de la d�finition \ref{definition_A_n-A_m-bimodules}.
% La sous-expression
% \[
% \sum_{\ast \notin \{1, (0,0), (r,t)\}} 
% (-1)^{j + i(|m_\ast|)} m_{\bullet,\bullet}(\Id \tp i \ts m_{\ast} \ts \Id \tp j)
% \]
% de l'�quation $(*''_{r,t})$ d�finit un cycle de
% \[
% \Hom_{\gr \sf C'}(A \tp r \ts M \ts A'' \tp t, M).
% \]
% On le note $c\big(m_{i,j},\  (i,j) \in \ce'\big).$
% Les morphismes $m_{i,j}$, $0 \leq j \leq t,$ $0 \leq i \leq r,$ v�rifient l'�quation
% $(*''_{r,t})$ si et seulement si on a l'�galit�
% \[
% \delta (m_{r,t}) = c\big(m_{i,j},\ (i,j) \in \ce'\big).
% \]
% \findem
% \end{lemme}



% Soit $M$ et $N$ deux $A$-$A''$-bipolydules dans $\sf C'$.
% Soit
% \[
% f_{i,j} : A \tp i \ts M \ts A''\tp j \ra M \ra M, \quad 0 \leq j \leq t, \quad 0 \leq i \leq r,
% \]
% un morphisme gradu� de degr� $-i-j$ dans $\gr \sf C'.$


% \begin{lemme}
% Supposons que les morphismes $f_{i,j}$, $(i,j) \in \ce,$ v�rifient les �quations
% $(**''_{k,l})$, $(k,l) \in \ce,$ de la d�finition \ref{definition_A_n-A_m-bimodules}.
% La sous-expression
% \[
% \begin{array}{c}
% \sum_{(\alpha,\beta)\neq (0,0)}
% (-1)^{\alpha(-i-j)} m_{\alpha,\beta}(\Id \tp \alpha \ts f_{k,l} \ts \Id \tp \beta) = \hspace*{4cm} \\
% \hspace*{1cm} \sum_{\ast \notin \{1, (0,0)\}} (-1)^{j + i(|m_\ast|)}
% f_{\bullet,\bullet}(\Id \tp i \ts m_{\ast} \ts \Id \tp j)
% \end{array}
% \]
% de l'�quation $(**''_{r,t})$ est un cycle de
% \[
% \Hom_{\gr \sf C'}(A \tp r \ts M \ts A'' \tp t, N).
% \]
% On le note $c'\big(f_{i,j},\ (i,j) \in \ce\big).$
% Les morphismes $f_{i,j}$, $0 \leq j \leq t,$ $0 \leq i \leq r,$ v�rifient l'�quation
% $(**''_{r,t})$ si et seulement si on a l'�galit�
% \[
% \delta (f_{r,t}) = c'\big(f_{i,j},\  (i,j) \in \ce\big).
% \] \findem
% \end{lemme}

% On regarde maintenant la compatibilit� de l'obstruction aux morphismes stricts.

% Soit $M'$ et $N'$ deux $A$-$A'$-bipolydules et
% \[
% g : M' \ra M \quad \mbox{et} \quad h : N \ra N'
% \]
% deux $\ai$-morphismes stricts de bipolydules donn�s par des morphismes gradu�s de degr� $0$ dans $\gr \sf C'$
% \[
% g_{0,0} : M' \ra M \quad \mbox{et} \quad h_{0,0} : N \ra N'.
% \]
% On d�finit les morphismes
% \[
% (f \circ g)_{i,j} \quad \mbox{et} \quad (h \circ f)_{i,j}, \quad 0 \leq j \leq t, \quad 0 \leq i \leq r,
% \]
% par les m�mes formules que celles donnant la compositions des morphismes de bipolydules.

% \begin{lemme} On a les �galit�s suivantes :
% \english \begin{enumerate}
% \item $c'\big(f_{i,j},\ (i,j) \in \ce\big) \circ (\Id \tp r \ts {g_{0,0}} \ts \Id \tp t) =
% c'\big((f \circ g)_{i,j},\ (i,j) \in \ce\big), $
% \item ${h_{0,0}} \circ c'\big(f_{i,j},\ (i,j) \in \ce\big) =
% c'\big((h \circ f)_{i,j},\ (i,j) \in \ce\big).$
% \end{enumerate}\francais \findem
% \end{lemme}



\subsection{Cat�gorie d�riv�e des $\ai$-bimodules}


Soit $A$ et $A''$ deux $\ai$-alg�bres augment�es dans $\sf C$ et $\sf C''.$
Dans cette section, nous d�finissons la cat�gorie d�riv�e des
$A$-${A''}$-bipolydules strictement unitaires, puis nous en donnons plusieurs descriptions.\\

{\noindent \bf Structure de cat�gorie de mod�les sur $\coModcu (\Ba A,\Ba {A''})$}\\

Notons $(\Ba A)\op$ la cog�bre oppos�e de $\Ba A$ d�finie � l'aide du tressage de~$\sf C$.
L'objet  $(\Ba A)\op \ts\Ba {A''}$ de
$\sf C \ts \sf C''$ est une cog�bre diff�rentielle gradu�e cocompl�te.
Notons qu'elle n'est pas cotensorielle en g�n�ral. La cat�gorie
$\coModcu ((\Ba A)\op \ts \Ba {A''})$ est munie de sa structure canonique
de cat�gorie de mod�les (\ref{definition_cmf_canonique_coModcu}).
La cat�gorie $\coModcu (\Ba A,\Ba {A''})$
devient une cat�gorie de mod�les gr�ce � l'isomorphisme de cat�gories
\[
\coModcu (\Ba A,\Ba {A''}) \ra \coModcu ((\Ba A)\op \ts \Ba {A''}).
\]
Nous allons maintenant montrer que les objets fibrants de
$\coModcu (\Ba A,\Ba {A''})$ sont exactement les facteurs directs d'objets presque
colibres.\\



{\noindent \bf Une cocha�ne tordante acyclique}\\



Notons $(\E A)\op$ l'alg�bre oppos�e de $\E A$ d�finie � l'aide du tressage de~$\sf C$.
L'objet  $(\E A)\op \ts\E {A''}$ de
$\sf C \ts \sf C''$ est une alg�bre diff�rentielle gradu�e.
Munissons la cat�gorie $\Modu ((\E A)\op \ts \E {A''})$ de la structure
de cat�gorie de mod�les du th�or�me \ref{theoreme_cmf_Modu}.
Soit $\Modu (\E A, \E {A''})$ la {\em cat�gorie} des
bimodules diff�rentiels gradu�s unitaires. \indexnotation{ModuAA'}
La cat�gorie $\Modu (\E A,\E {A''})$
devient une cat�gorie de mod�les gr�ce � l'isomorphisme de cat�gories
\[
\Modu (\E A,\E {A''}) \ra \Modu ((\E A)\op \ts \E {A''}).
\]
Nous allons construire une cocha�ne tordante admissible acyclique
\[
\tau :  (\Ba A)\op \ts \Ba {A''} \ra (\E A)\op \ts \E {A''}.
\]
Il s'ensuivra (\ref{corollaire_theoreme_cmf_coModcu}) que le couple de foncteurs adjoints associ� � $\tau$ 
(voir \ref{section_cochaines_tordantes})
\[
(L,R) : \coModcu \big((\Ba A)\op \ts \Ba {A''}\big) \ra \Modu \big((\E A)\op \ts \E {A''}\big)
\]
est une �quivalence de Quillen .\\

La cocha�ne tordante universelle (\ref{cochaines_universelles})
\[
\tau_{\Ba A} : \Ba A \ra \Oma \Ba A = \E A
\]
induit une cocha�ne tordante
\[
\tau_{\Ba A}' : (\Ba A)\op \ra (\E A)\op.
\]
Nous v�rifions que
\[
\tau = \tau_{\Ba A} \ts \counite \circ \unite + \counite \circ \unite \ts \tau_{\Ba {A''}}
:  (\Ba A)\op \ts \Ba {A''} \ra (\E A)\op \ts \E {A''},
\]
o� les symboles $\unite$ d�signent les (co)unit�s de $\Ba A$, $\Ba {A''}$,
$\E A$ et $\E {A''}$, est une cocha�ne
tordante admissible. Par le crit�re d'acyclicit� des cocha�nes tordantes
(\ref{caracterisation_cochaines_acycliques}),
l'objet de $\sf C \ts \sf C''$
\[
\begin{array}{l}
\Big((\Ba A)\op \ts \Ba {A''}\Big) \tw \Big((\E A)\op \ts \E {A''}\Big) = \\
\hspace*{2cm}\Big( (\Ba A)\op \ts_{\tau'_{\Ba A}} (\E A)\op \ts
(\Ba {A''})\op \ts_{\tau_{\Ba {A''}}} \E {A''}\Big)
\end{array}
\]
est quasi-isomorphe � $e_{\sf C}\ts e_{\sf C''} = e_{\sf C \ts \sf C''}$.
La cocha�ne tordante $\tau$ est donc acyclique.\\

{\noindent \bf Objets fibrants de $\coModcu \big((\Ba A)\op \ts \Ba {A''}\big)$}\\

Comme dans le cas des polydules sur une $\ai$-alg�bre augment�e (voir \ref{theoreme_cmf_aiModu}),
nous montrons gr�ce � la th�orie de l'obstruction (\ref{section_obstruction_bipolydules})
que la cat�gorie des $A$-$A''$-bipolydules est munie d'une structure de
``cat�gorie de mod�les sans limites'' : les �quivalences faibles, les cofibrations et les fibrations sont
d�finies de la m�me mani�re que dans le cas des $A$-polydules (\ref{theoreme_cmf_aiModu}).
Par le m�me raisonnement que celui de la preuve de la proposition \ref{proposition2_categorie_derivee},
nous montrons que les objets fibrants de la cat�gorie de mod�les $\coModcu (\Ba A,\Ba A'')$
sont exactement les facteurs directs des comodules presque colibres.\\


{\noindent \bf La cat�gorie d�riv�e}\\

La construction bar
\[
B : \aiModu (A,{A''}) \ra \coModcu (\Ba A, \Ba {A''})
\]
est un foncteur pleinement fid�le. La cl�ture par r�tracts de son image est la
sous-cat�gorie des objets fibrants et cofibrants.
La proposition \ref{proposition_cmf} et la compatibilit� de la construction bar � l'homotopie et
aux �quivalences faibles montre que la d�finition suivante a un sens.

\begin{definition}
\label{definition_categorie_derivee_augmentee_bipolydules}{\em
La {\em cat�gorie} $\ch_\infty (A,A'')$ est la cat�gorie $\aiModu (A,A'')/\! \sim$, o� $\sim$
est la relation d'homotopie.
La {\em cat�gorie d�riv�e $\cd_\infty (A,A'')$}
\index{categorie@{cat�gorie}!derivee@{d�riv�e}} est la loca\-lisation par rapport aux $\ai$-quasi-isomorphismes
de la cat�gorie $\aiModu (A,A'').$
}\end{definition}
%
Par la proposition \ref{proposition_cmf}, nous avons un isomorphisme
\[
\ch_\infty (A,A'') \ra \cd_\infty (A,A'').
\]
Nous avons un foncteur pleinement fid�le
\[
I : \Modu (\E A,\E {A''}) \ra \aiModust (A,{A''}), \quad M \ra S^{-1}M,
\]
o� $\aiModust (A,{A''})$ \indexnotation{aiModustAA'}
est la cat�gorie des $A$-${A''}$-polydules strictement
unitaires dont les morphismes sont les $\ai$-morphismes stricts. L'image de ce foncteur est form�e
des $A$-$A''$-bipolydules $M$ dont les morphismes
\[
m_{i,j} : A \tp i \ts M \ts A'' \tp j \ra M, \quad i,j \geq 0,
\]
sont nuls si les deux entiers $i$ et $j$ sont diff�rents de $0.$
Rappelons que le foncteur analogue dans le cas des polydules est un isomorphisme
(\ref{A-polydules_EA-modules}).

\begin{lemme}
La composition des foncteurs 
\[
J : \Modu (\E A,\E A'') \arr{I} \aiModust (A,A'') \hookrightarrow \aiModu (A,A'')
\]
induit une �quivalence $\cd (\E A,\E A'') \ra \cd_\infty (A,A'').$
\end{lemme}

\dem 
Nous avons un diagramme commutatif
\[
\xymatrix{
\Modu (\E A,\E A'') \ar[r]^{I} \ar[d]_{R} & \aiModust (A,A'') \ar@{^(->}[d] \\
\coModcu (\Ba A,\Ba A'') & \aiModu (A,A'') \ar[l]^{B}
}
\]
o� $R$ et $B$ induisent des �quivalences dans les cat�gories d�riv�es.
Cela montre que le foncteur induit par $J$ est pleinement fid�le. Montrons
qu'il est essentiellement surjectif.
Soit $M$ un $A$-$A''$-bipolydule. Le morphisme d'adjonction
\[
BM \ra RL BM = \Ba A \ts_{\tau_{\Ba A}} \E A \ts_{\tau_{\Ba A}} BM \ts_{\tau_{\Ba A''}} \E A'' 
\ts_{\tau_{\Ba A''}} \Ba A''
\]
est une �quivalence faible. Le bicomodule $RL BM$ est la construction bar du $A$-$A''$-polydule
\[
M' = S^{-1}\big(\E A \ts_{\tau_{\Ba A}} BM \ts_{\tau_{\Ba A''}} \E A''\big).
\]
Nous avons alors un $\ai$-quasi-isomorphisme de $A$-$A''$-bipolydules
\[
M \ra  M'
\]
et, comme $M'$ est dans l'image de $J$, nous avons le r�sultat.\findem


Introduction.tex








\noindent 
Nous renvoyons � \cite{Keller01a} et \cite{Keller01b} pour une introduction
aux $\ai$-alg�bres et leurs modules. Cette th�se contient, entre autres, les
d�monstrations d�taill�es des �nonc�s de \cite{Keller01a}. Hormis \cite{Kontsevich98}
et \cite{Keller01a}, nous nous sommes appuy�s principalement sur l'article de V.~Hinich
\cite{Hinich01} et sur les travaux suivants : \cite{Stasheff63a}, \cite{Proute85},
\cite{Getzler90}, \cite{Huebschmann91a}, \cite{Gugenheim91},  \cite{Markl96}, \cite{Hinich97c}. 
Certains des r�sultats de cette th�se ont �t� obtenus r�cemment et de mani�re
ind�pendante par K.~Fukaya \cite{Fukaya01b}, P.~Seidel \cite{Seidel02}, A.~Lazarev \cite{Lazarev02},
V.~Lyubashenko \cite{Lyubashenko02} et M.~Kontsevich et Y.~Soibelmann \cite{Kontsevich02a},
\cite{Kontsevich02}. \\

{\bf \noindent Structures strictes et structures � homotopie pr�s}\\

\noindent Les structures de l'alg�bre classique que l'on appelle strictes,
par exemple les alg�bres associatives, commutatives ou les alg�bres de Lie, se sont
r�v�l�es insuffisantes en topologie car elles ne sont pas compatibles avec l'homotopie.
Ainsi, si $X$ est un espace de lacets et $Y$ est un espace topologique homotope � $X$,
il n'est pas toujours possible de transf�rer la structure de H-espace (qui est stricte)
de $X$ vers $Y$. C'est pour pallier ce d�faut que J.~Stasheff \cite{Stasheff63a}
a introduit la notion de structure $\ai$, qui est un assouplissement
de celle de semigroupe topologique. Les structures $\ai$ font partie des
{\em structures � homotopie pr�s}, c'est � dire des structures dont
``le d�faut de strictitude'' est contr�l� de mani�re
coh�rente par des {\em homotopies d'ordre sup�rieur}. Pour certaines structures � homotopie pr�s,
des homotopies d'ordre sup�rieur
sont connues de longue date comme les op�rations de Steenrod \cite{Steenrod47}, \cite{Steenrod52}
ou les produits de
Massey. Les structures � homotopie pr�s se comportent bien relativement aux �quivalences d'homotopie :
si un objet (topologique ou
diff�rentiel gradu�) est muni d'une structure � homotopie pr�s, on peut
sous certaines conditions la translater sur un autre objet quand 
ce dernier est homotope � l'objet de d�part. La premi�re partie de cette th�se
traitera des $\ai$-structures alg�briques, c'est-�-dire des $\ai$-structures
dans le cadre de l'alg�bre diff�rentielle gradu�e. Dans la deuxi�me partie nous
�tudierons leurs g�n�ralisations au cadre cat�gorique. \\


{\bf \noindent $\ai$-structures alg�briques}\\

\noindent Soit $\corps$ un corps.
Une {\em $\ai$-alg�bre} \cite{Stasheff63b} est un $\corps$-espace vectoriel $\Z$-gradu�
$A$ muni de morphismes gradu�s  
\[
m_i : A \tp i \ra A, \quad i \geq 1,
\]
de degr� $2-i$, v�rifiant des �quations dont la premi�re dit que $m_1$ est une
diff�rentielle, la deuxi�me que $m_1$ est une d�rivation pour la {\em multiplication
} $m_2$ et la troisi�me
\[
m_2(m_2 \ts \Id) - m_2 (\Id \ts m_2) = \del{m_3} 
\]
que le d�faut d'associativit� de $m_2$ est mesur� par
le bord de $m_3$ dans l'espace diff�rentiel gradu� $\Hom (A\tp 3,A)$. Intuitivement, 
une $\ai$-alg�bre est donc une ``alg�bre diff�rentielle gradu�e dont
le d�faut d'associativit� est contr�l� (au sens fort)
par des homotopies d'ordre sup�rieur''. Si $A$ et $A'$ sont deux $\ai$-alg�bres, un {\em $\ai$-morphisme}
$f : A \ra A'$
est une suite de morphismes gradu�s
\[
f_i : A \tp i \ra A' , \quad i \geq 1,
\]
de degr� $1-i$, v�rifiant des �quations dont les premi�res affirment que $f_1$ est un morphisme de complexes
qui est compatible aux multiplications $m_2$ et $m_2'$ � une homotopie $f_2$ pr�s.
De la m�me mani�re, si $f$ et $g$ sont des $\ai$-morphismes $A \ra A'$,
une {\em homotopie} $h$ entre $f$ et $g$ est une
suite de morphismes
\[
h_i : A \tp i \ra A', \quad i \geq 1,
\]
de degr� $-i$, qui v�rifient des �quations dont les deux
premi�res affirment que $h_1$ est une homotopie entre les ``morphismes d'alg�bres diff�rentielles
gradu�es''
\[
f_1 \quad \mbox{et} \quad g_1 : (A,m_1,m_2) \ra  (A',m_1',m_2').
\]
Soit $A$ une $\ai$-alg�bre.
Un {\em $A$-polydule} (appel� {\em $\ai$-module sur $A$} dans la litt�rature)
est un $\corps$-espace vectoriel
$\Z$-gradu� $M$ muni de morphismes gradu�s
\[
m_i^M : M \ts A \tp{i-1} \ra M , \quad i \geq 1,
\]
de degr� $2-i$, v�rifiant des �quations dont les premi�res affirment que $m^M_1$ est une diff�rentielle
et que $m^M_2$ d�finit une action de l'alg�bre (fortement homotopiquement) associative $A$
dont la compatibilit� � la multiplication
de $A$ est contr�l�e par l'homotopie d'ordre sup�rieur $m_3^M$.
Comme pour les $\ai$-alg�bres, on a des $\ai$-morphismes entres $A$-polydules et des homotopies
entre les $\ai$-morphismes.\\



{\bf \noindent Lien avec la th�orie des op�rades}\\

\noindent Certains arguments de la th�se sont li�s � la th�orie des op�rades
(par exemple, la th�orie de l'obstruction des $\ai$-alg�bres (\ref{section_obstruction})).
Nous n'utiliserons pas explicitement le formalisme des op�rades dans nos �nonc�s
(et leurs d�monstrations), lui pr�f�rant une approche na�ve. Rappelons n�anmoins quelques
faits et r�f�rences sur ce sujet.

Les complexes cellulaires de Stasheff  $\{K_i \times \Sigma_i\}_{i\geq 2}$ (voir \cite{Stasheff63a})
forment une op�rade topologique \cite{May72}.
Les complexes de cha�nes qui leur sont associ�s forment donc une op�rade
diff�rentielle gradu�e. C'est l'op�rade des $\ai$-alg�bres.
Les op�rades diff�rentielles gradu�es ont �t� �tudi�e abondamment au d�but des ann�es 90
\cite{Hinich93}, \cite{Getzler94}, \cite{Ginzburg94} pour expliciter 
le lien entre les structures strictes et les structures
� homotopie pr�s \cite{Ginzburg94}, \cite{Markl96}, \cite{Markl99}, \cite{Markl00}.
En ce qui concerne les structures $\ai$, on retiendra des op�rades deux r�sultats :
{\em l'op�rade des $\ai$-alg�bres est
le mod�le minimal cofibrant au sens de M.~Markl \cite{Markl96}
de l'op�rade des alg�bres associatives $\Ass$} ; {\em le dual de Koszul $\Ass^!$ de $\Ass$ est la co-op�rade
des cog�bres co-associatives.}\\


{\bf \noindent Chapitre \ref{chapitre_Homot_aialg} : une th�orie de l'homotopie des $\ai$-alg�bres.}\\





\noindent Rappelons pour commencer un r�sultat de H.~J.~Munkholm.
Soit $\mathsf{DA}$ la cat�gorie 
des alg�bres diff�rentielles gradu�es
(v�rifiant certaines conditions sur la graduation et sur la connexit�)
et $\Ho \mathsf{DA}$ la localisation de $\mathsf{DA}$ par rapport aux quasi-isomorphismes.
Soit $\mathsf{DASH}$ la cat�gorie
des alg�bres diff�rentielles gradu�es dont les morphismes sont les $\ai$-morphismes.
Utilisant les id�es de J.~Stasheff et S.~Halperin \cite{Stasheff70},
H.~J.~Munkholm \cite{Munkholm78} (voir aussi \cite{Munkholm76})
a montr�, premi�rement, que {\em la relation d'homo\-topie sur $\Hom_{\mathsf{DA}}(A,A')$, $A,A' \in DA$,
(qui n'est pas une relation d'�quivalence en g�n�ral) s'�tend en une relation
sur les espaces de morphismes $\Hom_{\mathsf{DASH}}(A,A')$ qui est une relation d'�quivalence
quelles que soient $A$ et $A'$,} et deuxi�mement, que
{\em la cat�gorie $\Ho \mathsf{DA}$ est �quivalente au quotient de
$\mathsf{DASH}$ par cette relation d'�quivalence}.
En d'autres termes, quitte � augmenter le nombre de morphismes entre alg�bres
diff�rentielles gradu�es, la localisation par rapport
aux quasi-isomorphismes est �quivalente au passage au quotient par rapport � l'homotopie.
Dans la premi�re partie de ce chapitre, nous g�n�raliserons les r�sultats de \cite{Munkholm78} 
aux $\ai$-alg�bres. Un {\em $\ai$-quasi-isomorphisme}
$f$ est un $\ai$-morphisme tel que $f_1$ est un quasi-isomorphisme.
Nous montrons les r�sultats suivants :\\

 \noindent (Th�or�me de l'homotopie) {\it La relation d'homotopie sur 
les $\ai$-morphismes est une relation d'�quiva\-lence
(\ref{corollaire_cmf_aia}~{\it a})}. \\


\noindent (Th�or�me des $\ai$-quasi-isomorphismes) {\it 
Tout $\ai$-quasi-isomorphisme d'$\ai$-alg�bres est inversible � homotopie pr�s
(\ref{corollaire_cmf_aia}~{\it b})}.\\


\noindent 
L'analogue topologique du th�or�me des $\ai$-quasi-isomorphismes
est d� � M.~Fuchs \cite{Fuchs76} (voir aussi \cite{Fuchs65}).
Dans sa th�se \cite{Proute85}, A.~Prout� a montr� les deux th�or�mes
sous des conditions sur la graduation ou la connexit� (voir aussi \cite{Kadeishvili87}).
La n�c�ssit� de g�n�raliser ces r�sultats est due fait que
dans les constructions de K.~Fukaya et al.~de
$\ai$-alg�bres ($\ai$-cat�gories), des composantes non nulles peuvent appara�tre en
tout degr� entier.
Dans le cas g�n�ral, nous d�duirons les th�or�mes ci-dessus des r�sultats suivants~: 
{\em la construction bar $B$
est une �quivalence de cat�gories entre $\aia$, la cat�gorie des $\ai$-alg�bres, et
la sous-cat�gorie des objets cofibrants et fibrants d'une cat�gorie de mod�les $\cocog$
de cog�bres (\ref{theoreme_cmf_cocog}). La construction bar fait correspondre l'homotopie 
des $\ai$-morphismes �
l'homotopie � gauche de $\cocog$ entre morphismes entre objets cofibrants et fibrants
(\ref{proposition1_homotopie}) et les $\ai$-quasi-isomorphismes aux �quivalences faibles
(\ref{proposition1_cmf_aia}).}

La cat�gorie $\cocog$ en question est la cat�gorie des cog�bres diff�rentielles
gradu�es cocompl�tes. Soit  $\alg$ la cat�gorie des alg�bres diff�rentielles gradu�es et
$\Omega : \cocog \ra \alg$ la construction cobar.
La structure de cat�gorie de mod�les de $\cocog$ (\ref{theoreme_cmf_cocog}.~{\it a})
est telle que le couple de foncteurs adjoints
\[
(\Omega, B) : \cocog \ra \alg,
\]
est une �quivalence de Quillen (\ref{theoreme_cmf_cocog}.~{\it b}).
L'utilisation de ce couple de foncteurs adjoints pour �tudier la cat�gorie
$\alg [Qis^{-1}]$ remonte aux ann�es 70 avec les travaux de 
D.~Husemoller, J.~C.~Moore et J.~Stasheff \cite{Husemoller74} (voir aussi \cite{Eilenberg66}).
Ils consid�rent les alg�bres augment�es diff�rentielles, gradu�es positivement d'une part et
les cog�bres co-augment�es diff�rentielles, gradu�es positivement et connexes d'autre part, et montrent que
la localisation de la cat�gorie des alg�bres par rapport aux quasi-isomorphismes est
�quivalente � la localisation de la cat�gorie des cog�bres par rapport aux quasi-isomorphismes.
Sans les hypoth�ses sur la graduation ou la connexit�, leur �nonc� n'est plus vrai.
Dans le cas g�n�ral (\ref{theoreme_cmf_cocog}),
nous devons remplacer la classe des quasi-isomorphismes de $\cocog$ par une
classe de morphismes (appel�s �quivalences faibles) qui est
strictement contenue dans celle des quasi-isomorphismes
(\ref{proposition_equiv_qis}.~{\it c}). Nous montrons qu'entre deux cog�bres
gradu�es positivement, les �quivalences faibles sont exactement
les quasi-isomorphismes (voir \ref{proposition_equiv_qis}.~{\it e}). Nos r�sultats g�n�ralisent
donc \cite[Chap.~II, Thm.~4.4 et Thm.~4.5]{Husemoller74}.

Notre d�monstration du fait que $\cocog$ admet une structure de cat�gorie de mod�les (\ref{theoreme_cmf_cocog})
suit les id�es de V.~Hinich \cite{Hinich01} inspir�es de celles de Quillen
\cite{Quillen67}, \cite{Quillen69}. 
Nous relevons la structure de cat�gorie de mod�les
de $\alg$ le long de l'adjonction $(\Omega , B)$. 
Cette adjonction est du m�me type que l'adjonction entre la cat�gorie des alg�bres de Lie
diff�rentielles gradu�es et la cat�gorie des cog�bres cocommutatives diff�rentielles
gradu�es en homotopie rationnelle.
Elle provient de la dualit� de Koszul entre l'op�rade $\Ass$ et la co-op�rade des cog�bres
co-associatives.

La caract�risation des objets fibrants de $\cocog$
peut �tre interpr�t�e comme une cons�quence du fait que l'op�rade des $\ai$-alg�bres est
le mod�le minimal cofibrant au sens de M.~Markl \cite{Markl96}
de l'op�rade des alg�bres associatives. Ce fait implique
que l'obstruction � la construction par r�currence des
morphismes gradu�s $m_i $, $i\geq 1,$ d�finissant une $\ai$-structure sur un objet gradu� $A$
est de la forme ``$m_{n+1}$ doit tuer un certain cocycle (construit � partir des $m_i,$ $1 \leq i \leq n$)''
(voir  \ref{extension_nstructure_algebres}).
La condition qui mesure l'obstruction � la construction
par r�currence des $\ai$-morphismes est du m�me type (\ref{extension_nstructure_morphismes}).
Nous appelons l'�tude de ces obstructions la {\em th�orie de l'obstruction} des $\ai$-alg�bres.
Cette th�orie est l'objet de l'appendice (\ref{section_obstruction}).





A la fin du chapitre \ref{chapitre_Homot_aialg}, nous red�montrerons (\ref{theoreme_transfert_structures})
la ``compatibilit� des structures $\ai$ � l'homotopie'' : {\em soit $A$ une $\ai$-alg�bre et
\[
g : (V,d) \ra (A,m^A_1)
\]
une �quivalence d'homotopie de complexes.
Il existe une structure d'$\ai$-alg�bre sur $V$ telle que $m_1^V$ est �gale � $d$ et telle que
$V$ et $A$ sont homotopes en tant qu'$\ai$-alg�bres. }
Ce r�sultat est bien connu. T.~Kadeishvili \cite{Kadeishvili80} et A.~Prout� \cite{Proute85}
l'ont montr� dans le cas o� $d = 0$ et sous des hypoth�ses sur la graduation et la connexit�
en utilisant la m�thode des obstructions. Le cas g�n�ral est d�
� V.~K.~A.~M.~Gugenheim, L.~A.~Lambe et J.~Stasheff \cite{Gugenheim91} qui
utilisent ``l'astuce du tenseur'' invent�e par J.~Huebschmann \cite{Huebschmann86}.
Le point essentiel de leur d�monstration est
que le lemme de perturbation \cite{Gugenheim72}
est compatible � une structure additionnelle (de cog�bre dans notre cas).
Sur ce sujet, voir aussi  \cite{Huebschmann91a}, \cite{Gugenheim89} et les rappels historiques de la section
\ref{section_transfert_structures}.
Notre d�monstration de la ``compatibilit� � l'homotopie''
(section \ref{theoreme_transfert_structures}) sera bas�e sur la
th�orie des obstructions (\ref{section_obstruction}).
La ``compatibilit� � l'homotopie'' implique que toute $\ai$-alg�bre $A$ admet un {\em mod�le minimal},
i.~e.~une structure $\ai$ sur l'homologie $H^*A$ telle que $H^*A$ et $A$
sont homotopes en tant qu'$\ai$-alg�bres (\ref{corollaire_modele_minimal}).
Le lien entre un certain mod�le minimal
obtenu par notre m�thode et celui obtenu par le lemme de perturbation \cite{Gugenheim91}
est d�crit en (\ref{lemme_modele_minimal_I}).

La ``minimalit�'' du mod�le $H^*A$ ci-dessus se r�f�re au fait que la cog�bre tensorielle
$B(H^*A)$ est un mod�le minimal (au sens de H.~J.~Baues et J.-M.~Lemaire \cite{Baues77}) de
la cog�bre $BA$.\\






{\bf \noindent Chapitre \ref{chapitre_Homot_aimod} :
une th�orie de l'homotopie des polydules.}\\

\noindent 
Soit $A$ une $\ai$-alg�bre {\em augment�e}. Rappelons que dans cette th�se les structures
commun�ment appel�es $\ai$-modules sur $A$ sont appel�es {\em $A$-polydules}
(``poly'' car la structure est donn�e par plusieurs
multiplications).

Le but de ce chapitre est de d�crire la cat�gorie d�riv�e
$\cd_\infty A$ dont les objets sont les $A$-polydules strictement
unitaires. On adapte pour cela les m�thodes d'alg�bre homotopique du chapitre 1 aux
$A$-polydules.
La cat�gorie d�riv�e d'une $\ai$-alg�bre qui n'est pas munie d'une augmentation
sera �tudi�e au chapitre \ref{chapitre_Cat_der}.

Soit $C$ une cog�bre diff�rentielle gradu�e co-augment�e cocompl�te et
$\coModcu C$ la cat�gorie
des $C$-comodules diff�rentiels gradu�s co-unitaires cocomplets.
Nous construisons (\ref{theoreme_cmf_coModcu}) une structure de cat�gorie de mod�les sur $\coModcu C$
qui est telle que, si $A$ est une alg�bre diff�rentielle gradu�e augment�e et $ \tau : C \ra A$ une cocha�ne
tordante admissible acyclique, le couple de foncteurs adjoints
``produits tensoriels tordus'' (\ref{section_cochaines_tordantes})
\[
(\? \tw A , ? \tw C) : \coModcu C \ra \Modu A
\]
est une �quivalence de Quillen. 
Les foncteurs ``produits tensoriels tordus'' remplacent ici les constructions bar et cobar du chapitre
pr�c�dent. La cat�gorie homotopique $\Ho \coModcu C$ (voir appendice \ref{section_rappels_cmf})
est donc �quivalente � la cat�gorie d�riv�e
\[
\cd A = \Ho \Modu A.
\]
Dans \cite{Husemoller74}, D.~Husemoller, J.~C.~Moore et J.~Stasheff ont d�montr� un r�sultat (le
th�or�me 5.15) un peu plus g�n�ral mais sous des hypoth�ses sur la graduation et la connexit�.
Nous ne consid�rerons pas ici les alg�bres et les cog�bres �tendues (voir \cite{Husemoller74}), nous
restreignant � l'�tude s�par�e des (co)alg�bres et de leurs (co)modules.
Remarquons juste que notre r�sultat (\ref{theoreme_cmf_coModcu})
g�n�ralise la sp�cialisation du th�or�me 5.15 de
\cite{Husemoller74} � la sous-cat�gorie form�e des alg�bres �tendues $(M,A,0)$, o�
$A$ est une alg�bre fix�e et $M$ un $A$-module, et � son image dans la cat�gorie des cog�bres �tendues.

Nous �tudions ensuite les objets fibrants de $\coModcu C$ pour une certaine classe de cog�bres $C.$
Soit $A$ une $\ai$-alg�bre augment�e et 
$\aiModu A$ la cat�gorie des $A$-polydules strictement unitaires dont les morphismes
sont les $\ai$-morphismes strictement unitaires.
Notons $\Ba A$ la construction bar co-augment�e de la r�duction $\b A$ de $A.$
Lorsque $C$ est une cog�bre isomorphe � $\Ba A$, nous montrons (\ref{proposition2_categorie_derivee})
� l'aide de la th�orie de l'obstruction (\ref{section_obstruction_polydules})
qu'{\em un objet de $\coModcu C$ est fibrant si et seulement si il est facteur direct
d'un objet presque colibre}. Comme tous les objets de $\coModcu C$
sont cofibrants, la sous-cat�gorie des objets cofibrants et fibrants est
l'image essentielle de la construction bar des $A$-polydules strictement unitaires.
Nous en d�duisons (\ref{corollaire3_categorie_derivee}) 
que la cat�gorie d�riv�e
\[
\cd_\infty A = \aiModu A [\{Qis\}^{-1}]
\]
est  �quivalente au quotient de la cat�gorie $\aiModu A$ par la relation d'homotopie (ceci montre
le th�or�me des $\ai$-quasi-isomorphismes pour les $A$-polydules).
La structure triangulaire de $\cd_\infty A$ sera �tudi�e dans la section
(\ref{section_structure_triangulee}).


Dans la section
\ref{section_categorie_derivee_augmentee_bipolydules}, nous �tudions, par les
m�mes m�thodes, la cat�gorie d�riv�e des bipolydules (appel�s {\em $\ai$-bimodules} dans
la litt�rature) strictement unitaires sur deux $\ai$-alg�bres augment�es. 
Nous utiliserons les r�sultats de cette section dans la seconde partie
de la th�se qui concerne les $\ai$-cat�gories.\\




{\bf \noindent Chapitre \ref{chapitre_Unite} : les unit�s.}\\


\noindent 
Une $\corps$-alg�bre associative $(A,\mu)$ est {\em unitaire} si
elle est munie d'un morphisme $\unite : \corps \ra A$ v�rifiant les relations
\[
\mu (\unite \ts \Id ) = \Id \quad \mbox{et} \quad  \mu (\Id \ts \unite) = \Id.
\]
Il existe plusieurs rel�vements de la notion d'unitarit� aux
$\ai$-alg�bres. Nous en �tudions deux : l'{\em unitarit� stricte} (d�j� pr�sente dans
la version topologique de J.~Stasheff \cite{Stasheff63a}) et l'{\em unitarit� homologique}.
L'unitarit� stricte est la notion qui nous permettra de g�n�raliser
certaines propri�t�s classiques des alg�bres unitaires aux $\ai$-alg�bres.
L'unitarit� homologique, plus g�n�rale, appara�t dans les exemples g�om�triques
\cite{Fukaya93}. Nous montrons que d'un point
de vue homotopique il n'y a pas de diff�rence entre ces deux rel�vements possibles de la notion d'unitarit�.
Plus pr�cis�ment, nous montrerons le r�sultat suivant :
soit $\big(\aia\big)_{hu}$ 
la cat�gorie des $\ai$-alg�bres homologiquement unitaires dont les morphismes
sont les $\ai$-morphismes homologiquement unitaires et $\big(\aia\big)_{su}$
la cat�gorie des $\ai$-alg�bres strictement unitaires dont les morphismes
sont les $\ai$-morphismes strictement unitaires.
{\em Les cat�gories $\big(\aia\big)_{hu}$ et $\big(\aia\big)_{su}$
deviennent �quivalentes apr�s passage � l'homotopie} (\ref{corollaire_ai-algebres_strictement_unitaires}).
La d�monstration de ce r�sultat sera bas�e sur une th�orie de l'obstruction
des $\ai$-structures minimales (\ref{section_obstruction_unite}) et sur l'existence d'un
mod�le minimal strictement unitaire pour les $\ai$-alg�bres strictement unitaires
(\ref{proposition_modele_minimal_strictement_unitaire}). 

R�cemment, K.~Fukaya \cite{Fukaya01}, \cite{Fukaya01a},
P.~Seidel \cite{Seidel02}, A.~Lazarev \cite{Lazarev02} et V.~Lyubashenko \cite{Lyubashenko02}
ont �tudi� le probl�me des unit�s de mani�re ind�pendante. Le rel�vement de la notion d'unitarit�
de V.~Lyubashenko se sp�cialise � notre notion d'unitarit� homologique si on travaille sur un corps
(V.~Lyubashenko travaille sur un anneau commutatif quelconque).\\




{\bf \noindent Chapitre \ref{chapitre_Cat_der} : la cat�gorie d�riv�e.}\\

\noindent Ici, nous d�finissons la cat�gorie d�riv�e d'une $\ai$-alg�bre quelconque $A$ (non n�cessairement
strictement unitaire). Nous montrerons que, lorsque $A$ est strictement unitaire,
sa cat�gorie d�riv�e admet les quatre descriptions suivantes
(\ref{theoreme_categorie_derivee_strictement_unitaire}) :
\english \begin{itemize}
\item[{\rm D1.}] 
la sous-cat�gorie triangul�e $\Tria A$ de la cat�gorie d�riv�e $\cd_\infty (A\+)$
(o� $A\+$ est l'augmentation de $A$ et $\cd_\infty (A\+)$ est d�finie
dans le chapitre~\ref{chapitre_Homot_aimod}),
\item[{\rm D2.}] la cat�gorie
\[
\ch_\infty A = \aiModu A/\!\sim\,
\]
o� $\aiModu A$ est la cat�gorie des $A$-polydules strictement unitaires et $\sim$ est la relation d'homotopie,
\item[{\rm D3.}] la cat�gorie localis�e
\[
\big(\aiModu A \big)[Qis^{-1}]
\]
o� $Qis$ est la classe des $\ai$-quasi-isomorphismes de $\aiModu A$,
\item[{\rm D4.}] la cat�gorie localis�e
\[
\big(\aiModust A \big)[Qis^{-1}]
\]
o� $\aiModust A$ est la sous-cat�gorie non pleine de $\aiModu A$ dont les morphismes sont
les $\ai$-morphismes stricts.
\end{itemize} \francais
Nous montrerons (\ref{lemme_categorie_derivee_algebre_differentielle_graduee_unitaire})
que si $A$ est une alg�bre diff�rentielle gradu�e unitaire, la cat�gorie d�riv�e $\cd A$ 
(voir par exemple \cite{Keller94})
est �quivalente aux cat�gories d�finies ci-dessus.\\


{\bf \noindent Chapitre \ref{chapitre_ai_cat} : pr�liminaires sur les $\ai$-cat�gories.}\\


\noindent La notion d'$\ai$-cat�gorie est une g�n�ralisation naturelle de celle
d'$\ai$-alg�bre. Au d�but des ann�es 90, les travaux de K.~Fukaya \cite{Fukaya93}
(voir aussi \cite{Fukaya01a}) ont montr� qu'elle appara�t naturellement dans l'�tude
de l'homologie de Floer. Inspir� par ces travaux, M.~Kontsevich, dans son expos�
\cite{Kontsevich94} au congr�s international, a donn� une interpr�tation conjecturale
de la sym�trie miroir comme l'``ombre'' d'une �quivalence
entre les cat�gories d�riv�es de deux $\ai$-cat�gories d'origine
g�om�trique  (voir aussi \cite{Polishchuk98} o� cette conjecture
a �t� d�montr�e pour les courbes elliptiques). Dans la suite de cette th�se,
nous g�n�ralisons au cadre $\ai$-cat�gorique les constructions fondamentales de la
th�orie des cat�gories : le foncteur de Yoneda,
les cat�gories de foncteurs, les �quivalences de cat�gories, etc.~, et d�montrons certains
des r�sultats �nonc�s ou implicites dans \cite{Kontsevich98}. Nous utiliserons ou adapterons pour cela
certaines m�thodes de la premi�re partie de la th�se.\\

Une $\ai$-cat�gorie est une $\ai$-alg�bre avec plusieurs objets,
et r�ciproquement, une $\ai$-alg�bre est une $\ai$-cat�gorie avec un objet.
Les probl�mes soulev�s
par l'augmentation du nombre d'objets sont nombreux et la g�n�ralisation des
r�sultats des chapitres pr�c�dents est parfois tr�s technique (par exemple pour
l'homotopie entre $\ai$-morphismes). Nous introduisons
une bicat�gorie $\sf C$ dont les objets sont les ensembles. Comme $\sf C$ est
une bicat�gorie, pour tout ensemble $\mathbb O$,
la cat�gorie des morphismes $\sf C(\mathbb O,\mathbb O)$ est une cat�gorie mono�dale
(voir \cite[Chap.~XII, �6]{MacLane98}).
Nous d�finissons (\ref{definition_ai-categorie})
une petite $\ai$-cat�gorie dont l'ensemble des objets est en bijection avec
un ensemble $\mathbb O$ comme une $\ai$-alg�bre dans $\sf C(\mathbb O,\mathbb O).$
Nous d�finissons ensuite les $\ai$-foncteurs et les cat�gories diff�rentielles
gradu�es $\cc_\infty \ca$ et $\cc_\infty (\ca,\cb)$ de $\ca$-polydules et $\ca$-$\cb$-bipolydules
strictement unitaires ($\ca$ et $\cb$ sont des $\ai$-cat�gories strictement unitaires).
Un lemme clef qui sera utile pour la
construction de l'$\ai$-foncteur de Yoneda (chapitre \ref{chapitre_objets_tordus})
est d�montr� en (\ref{lemme_clef}).\\



{\bf \noindent Chapitre \ref{chapitre_torsion} : la torsion d'$\ai$-cat�gories.}\\


\noindent Dans ce chapitre, nous g�n�ralisons aux $\ai$-alg�bres une technique de torsion bien connue en
th�orie des d�formations (pour un panorama, voir par exemple \cite{Huebschmann99}).
Soit $\ca$ une $\ai$-cat�gorie.
Consid�rons l'�quation de Maurer-Cartan g�n�ralis�e
\[
\sum_{i=1}^\infty m_i\big(x \ts \hdots \ts x\big) = 0.
\]
Nous montrons (\ref{section_torsion_ai-categories_I}
et \ref{section_torsion_ai-categories_II}) qu'une solution
$x$ de cette �quation (lorsqu'elle a un sens) donne 
une nouvelle $\ai$-cat�gorie $\ca_x$ appel�e la torsion de $\ca$
par $x.$ La torsion des $\ai$-alg�bres est due � K.~Fukaya qui l'a introduite
(ainsi que celle des $\mathrm{L}_\infty$-alg�bres)
dans \cite{Fukaya01a} et \cite{Fukaya01b} pour l'�tude des $\ai$-d�formations.
Nos formules pour les compositions tordues $m_i^x$, $i\geq 1$, de $\ca_x$
sont les m�mes (� des signes �quivalents pr�s)
que dans \cite{Fukaya01a} mais la d�monstration du fait qu'elles d�finissent
bien une structure d'$\ai$-cat�gorie est diff�rente.
Nous d�crivons ensuite la torsion des $\ai$-foncteurs
(\ref{section_torsion_ai-foncteurs_I} et \ref{section_torsion_ai-foncteurs_II})
et des (bi)polydules (\ref{section_torsion_bipolydules_I} et \ref{section_torsion_bipolydules_II})
par des solutions de l'�quation de Maurer-Cartan.
Nous montrons aussi que si un $\ai$-foncteur $f$ induit un quasi-isomorphisme dans
les espaces de morphismes, sa torsion $f_x$ induit elle aussi un quasi-isomorphisme
dans les espaces de morphismes (\ref{proposition_torsion_ai-foncteurs_equiv_faible_I}). 

% % On renvoie � \cite{Schlessinger68}, \cite{Schlessinger85} et \cite{Kontsevich00}
% % pour la fa�on dont les �quations de Maurer-Cartan se rattachent � la th�orie des d�formations.
La torsion sera utile dans les chapitres \ref{chapitre_objets_tordus} et \ref{chapitre_ai_func}.\\




{\bf \noindent Chapitre \ref{chapitre_objets_tordus} : l'$\ai$-foncteur de Yoneda et les objets
tordus.}\\

\noindent Soit $\ca$ une cat�gorie. Rappelons que le foncteur de Yoneda est le foncteur
\[
\ca \ra \Modu \ca, \quad A \mapsto \Hom_\ca(\?,A).
\]
Dans ce chapitre, nous relevons ce foncteur en un $\ai$-foncteur (\ref{definition_ai-foncteur_de_Yoneda})
\[
y :\ca \ra \cc_\infty \ca, \quad A \mapsto \Hom_\ca(\?,A),
\]
o� $\ca$ est une $\ai$-cat�gorie. Si $\ca$ est strictement unitaire, nous montrons que
l'$\ai$-foncteur $y$ est strictement unitaire et qu'il se factorise par l'$\ai$-cat�gorie des objets tordus
$\TW \ca$ (\ref{theoreme_factorisation_Yoneda}). Les compositions de l'$\ai$-cat�gorie
$\TW \ca$ sont obtenues par torsion (chapitre \ref{chapitre_torsion}).

Si $\cg$ est une cat�gorie diff�rentielle gradu�e unitaire, la cat�gorie (diff�rentielle gradu�e)
des objets tordus est due � A.~I.~Bondal et M.~M.~Kapranov \cite{Bondal91}
(ils la notent $\mbox{Pr-Tr}\+\,\cg$). Le but de \cite{Bondal91} est de pallier
un d�faut des axiomes des cat�gories triangul�es pour d�crire les cat�gories d�riv�es \cite{Verdier77} :
le c�ne n'est pas fonctoriel.
Plut�t que les cat�gories triangul�es, ils consid�rent les cat�gories pr�-triangul�es d�crites � l'aide
de la cat�gorie des objets tordus et montrent l'�quivalence de cat�gories suivante :
soit $\ce$ une cat�gorie pr�-triangul�e ($H^0\ce$ est alors triangul�e).
Soit $\cg$ une sous-cat�gorie pleine de $\ce$. La sous-cat�gorie triangul�e $\tria \cg \subset H^0\ce$
engendr�e par $\cg$ est �quivalente � la cat�gorie triangul�e $H^0(\mbox{Pr-Tr}^+\cg)$.
Dans le cas $\ai$, on a les m�mes r�sultats : nous montrons  (\ref{section_equivalence_tria_ca_H^0TWca})
que si $\ca$ est une $\ai$-cat�gorie strictement unitaire, les cat�gories
\[
H^0\TW \ca\quad \mbox{et} \quad \tria \ca \subset \cd_{\infty}\ca
\]
sont �quivalentes (comme annonc� dans \cite{Kontsevich94}). De plus, nous montrons
(section \ref{section_categories_stables}) que toute cat�gorie
triangul�e alg�brique qui est engendr�e par un ensemble d'objets
est $\ai$-pr�-triangul�e, i.~e.~elle est �quivalente
� $H^0\TW \ca$, pour une certaine $\ai$-cat�gorie $\ca$.


Soit $\ca$ une $\ai$-cat�gorie strictement unitaire.
La cat�gorie $\cc_\infty \ca$ est diff�rentielle gradu�e et l'$\ai$-foncteur de Yoneda
$y : \ca \ra \cc_\infty \ca$  induit
(\ref{lemme_Yoneda_quasi-isomorphisme}) un quasi-isomorphisme dans les espaces de morphismes.
Nous en d�duisons que l'image $y(\ca) \subset \cc_\infty \ca$ est une cat�gorie diff�rentielle
gradu�e unitaire qui est quasi-isomorphe � $\ca$. Ceci montre que d'un point de vue homologique,
l'�tude des $\ai$-cat�gories strictement unitaires (et m�me homologiquement unitaires, par le
chapitre \ref{chapitre_Unite})  revient � l'�tude des cat�gories diff�rentielles gradu�es unitaires. 
Concernant les  cat�gories diff�rentielles
gradu�es et leurs cat�gories d�riv�es, on renvoie � \cite{Keller94},~\cite{Keller99}.\\




{\bf \noindent Chapitre \ref{chapitre_ai_func} : l'$\ai$-cat�gorie des $\ai$-foncteurs.}\\


\noindent Soit $\ca$ et $\cb$ deux $\ai$-cat�gories strictement unitaires. Nous d�finissons
(\ref{section_Nunc} et \ref{section_Func}) une
$\ai$-cat�gorie $\Func (\ca,\cb)$ dont les objets sont les $\ai$-foncteurs
strictement unitaires $\ca \ra \cb$. La difficult� consiste � d�finir les compositions
sup�rieures des morphismes entre $\ai$-foncteurs. Nous utiliserons pour cela
la m�thode de la torsion du chapitre \ref{chapitre_torsion}.
Cette $\ai$-cat�gorie est fonctorielle
en $\ca$ et $\cb$ (\ref{section_fonctorialite_Nunc}).
Nous en d�duisons une $2$-cat�gorie $\aicat$ dont les objets sont les
petites $\ai$-cat�gories strictement unitaires
et les espaces de morphismes $\ca \ra \cb$ sont les cat�gories 
\[
\aicat (\ca,\cb) = H^0\Func(\ca,\cb), \quad \ca, \cb \in \Obj \aicat.
\]
Nous caract�risons (\ref{proposition_equivalence_faible_d'ai-foncteurs})
ensuite les �l�ments
\[
H \in \Hom_{\Func(\ca,\cb)} (f,g), \quad f, g : \ca \ra \cb
\]
qui deviennent des isomorphismes
$f \ra g$ dans la cat�gorie $\aicat(\ca,\cb)$.
La d�monstration de cette caract�risation utilisera l'existence d'un {\em $\ai$-foncteur
de Yoneda g�n�ralis�} (\ref{section_ai-foncteur_de_Yoneda_generalise})
\[
z : \Func (\ca,\cb) \ra \cc_\infty (\ca,\cb)
\]
qui induit un quasi-isomorphisme dans les espaces de morphismes.

L'$\ai$-cat�gorie $\Func(\ca,\cb)$ a �t� construite ind�pendamment par
K.~Fukaya \cite{Fukaya01a}, V.~Lyubashenko \cite{Lyubashenko02}  et
M.~Kontsevich et Y.~Soibelman \cite{Kontsevich02}, \cite{Kontsevich02a}.
Bien qu'obtenues par des m�thodes diff�rentes, les compositions de $\Func(\ca,\cb)$ de
\cite{Lyubashenko02} sont les m�mes que les n�tres.
\\

{\bf \noindent Chapitre \ref{chapitre_ai_equiv} : les $\ai$-�quivalences.}\\

\noindent Soit $\ca$ une $\ai$-cat�gorie strictement unitaire. Dans (\ref{section_ai-isomorphie}),
nous relevons la notion d'isomorphisme de $H^0 \ca$ � $\ca$. Nous montrons ensuite
qu'un $\ai$-foncteur $f : \ca \ra \cb$ est une
$\ai$-�quivalence si et seulement si $f_1$ est un quasi-isomorphisme et 
s'il induit une �quivalence de cat�gories (au sens classique) entre
$H^0\ca$ et $H^0 \cb$ (\ref{section_ai-equivalences}).
D'autres d�monstrations de cette caract�risation (annonc�e dans \cite{Kontsevich98})
se trouvent dans \cite{Fukaya01a} et
\cite{Lyubashenko02}.

Notation_index.tex


\begin{center}

{\em Les notations de base}

\begin{longtable}{p{3cm}p{8cm}p{2cm}}
${\corps}$ & corps de base & \pageref{corps} \\
${\mathsf C}$, $\mathsf C',$ $\sf C(\mathbb O,\mathbb O)$  & cat�gories mono�dales ambiantes &  \pageref{C0}, 
\pageref{C1}, \pageref{C(O,O')} \\
$\ts$, $\ts_{\mathbb O}$  & produit tensoriel & \pageref{ts}, \pageref{tsbbO} \\
$e$, $e_{\mathbb O}$ & �l�ment neutre pour le produit tensoriel & \pageref{e}, \pageref{ebbO} \\
$\gr \mathsf C$ & cat�gorie des objets gradu�s de ${\mathsf C}$ & \pageref{grC}\\
$\cc \mathsf C$ & cat�gorie des objets diff�rentiels gradu�s de ${\mathsf C}$ & \pageref{ccC}\\
${\mathsf C}$  & bicat�gorie  ambiante (� partir du chapitre \ref{chapitre_Cat_der}) 
&  \pageref{C2}, \pageref{C3} \\
$S$ &  suspension des objets de $\gr \sf C$ et $\cc \sf C$ & \pageref{S}\\
$s$ & morphisme de foncteurs $ \Id \ra S$ & \pageref{s}\\
$\si = s^{-1} $ & morphismes de foncteur $S \ra \Id$ & \pageref{si} \\
$C(f)$ & c�ne d'un morphisme $f$ & \pageref{Cf} \\
$\del f$ & bord d'un morphisme gradu� entre deux complexes & \pageref{del}\\
\end{longtable}

{\em Les cat�gories de mod�les et cat�gories triangul�es}

\begin{longtable}{p{3cm}p{8cm}p{2cm}}
$\weq$ & classe des �quivalences faibles & \pageref{weq} \\
$\cof$ &  classe des cofibrations & \pageref{weq} \\
$\fib$ &  classe des fibrations & \pageref{weq} \\
$\mathsf{E}_{\sf c}$, $\mathsf{E}_{\sf f}$, $\mathsf{E}_{\sf{cf}}$ &
sous-cat�gories des objets cofibrants, des objets fibrants et de objets cofibrants et fibrants de $\mathsf E$
& \pageref{Ecf} \\
$\Ho \mathsf E$ & cat�gorie homotopique de $\mathsf E$ & \pageref{HoE} \\
$\tria \mathbb A$ & sous-cat�gorie triangul�e engendr�e par les objets de $\mathbb A$ & \pageref{triabbA} \\
$\Tria \mathbb A$ & sous-cat�gorie triangul�e (aux sommes infinies)
engendr�e par les objets de $\mathbb A$ & \pageref{TriabbA} \\
\end{longtable}

 {\em Les $\ai$-alg�bres et les alg�bres}  

\begin{longtable}{p{3cm}p{8cm}p{2cm}}
${\unite}$ & unit�  & \pageref{unite} \\
${\augmentation}$ & morphisme d'augmentation & \pageref{augmentation_mor} \\
$A^+$  &  augmentation de $A$ & \pageref{augmentation} \\
$\b A$  &  r�duction d'une alg�bre augment�e & \pageref{reduction} \\
$\b T V$, $TV $  &  alg�bre tensorielle r�duite et augment�e  & \pageref{bTV}, \pageref{TV} \\
$BA$ & construction bar r�duite d'une $\ai$-alg�bre & \pageref{B} \\
$\Ba A$ & construction bar augment�e d'une $\ai$-alg�bre augment�e &  \pageref{Ba}, \pageref{Ba1} \\
$b^A$, $b$ & diff�rentielle de la construction bar & \pageref{b} \\
$(*_m),\hspace*{.2cm} (**_m)$, \hbox{$(***_m)$} & �quations de type $\ai$ & \pageref{definition_ai-algebre},
\pageref{definition_ai-morphisme}, \pageref{definition_homotopie_ai-morphismes} \\ 
$r(m_\bullet,\hdots, m_{n})$ & cycle mesurant les obstructions & 
\pageref{extension_nstructure_algebres}, \pageref{lemme_obstruction_structure_minimale} \\
$r(f_\bullet,\hdots ,f_n)$ & cycle mesurant les obstructions & \pageref{extension_nstructure_morphismes},
 \pageref{lemme_obstruction_structure_minimale_morphisme} \\
$\E A$ & alg�bre enveloppante d'une $\ai$-alg�bre $A$ & \pageref{EA}\\
${\alg}$ & cat�gorie des alg�bres diff�rentielles gradu�es & \pageref{alg}\\
${\alga}$ & cat�gorie des alg�bres dg augment�es dont les morphismes sont augment�s & \pageref{alga}\\
${\aia}$ & cat�gorie des $\ai$-alg�bres & \pageref{aia}\\
${\aiaa}$ & cat�gorie form�e des $\ai$-alg�bres augment�es dont les morphismes sont
augment�s & \pageref{aiaa}\\
$\big({\aia}\big)_{hu}$ & cat�gorie des $\ai$-alg�bres homologiquement unitaires dont les
morphismes sont homologiquement unitaires & \pageref{aiahu}\\
$\big({\aia}\big)_u$ & cat�gorie des $\ai$-alg�bres strictement unitaires dont les
morphismes sont homologiquement unitaires & \pageref{aiau}\\
$\big({\aia}\big)_{su}$ & cat�gorie des $\ai$-alg�bres strictement unitaires dont les
morphismes sont strictement unitaires & \pageref{aiasu}\\
$A \rightarrowtail A\langle M,\alpha\rangle $  &  cofibration standard de $\alg$  & \pageref{A<M,a>} \\
$C^*(A,M)$ & complexe de Hochschild de $A$ � coefficients dans $M$ & \pageref{C(A,M)} \\
$\b C^*(A,M)$ & complexe de Hochschild r�duit & \pageref{bC(A,M)} \\
$\delta_{Hoch}$ & bord de Hochschild & \pageref{delHoch} \\
$\tau$ & cocha�ne tordante & \pageref{tau} \\
$\tau_A$, $\tau_C$ & cocha�nes tordantes universelles & \pageref{tauA} \\
\end{longtable}

{\em Les $\ai$-cog�bres et les cog�bres }


\begin{longtable}{p{3cm}p{8cm}p{2cm}}
$C \prim n$ & $n$-primitifs de $C$ & \pageref{prim} \\
${\counite}$ & co-unit� & \pageref{counite} \\
${\coaugmentation}$ & morphisme de co-augmentation & \pageref{coaugmentation_mor} \\
$C\+$ & co-augmentation d'une cog�bre $C$ & \pageref{coaugmentation} \\
$\b C$ & r�duction d'une cog�bre co-augment�e $C$ & \pageref{reduction_cog} \\
$\ctr V$, $\ct V$ & cog�bre tensorielle r�duite et co-augment�e & \pageref{ctr}, \pageref{ct} \\
$\pctr n V $ & $n$-primitifs de la cog�bre $\ctr C$ & \pageref{pctr} \\
$\Omega C,$ $\Oma C$ & construction cobar r�duite et co-augment�e & \pageref{Omega}, \pageref{Oma},
\pageref{Oma1} \\
${\cog}$  &  cat�gorie des cog�bres diff�rentielles gradu�es & \pageref{cog} \\
${\cocog}$ &  cat�gorie des cog�bres dg cocompl�tes & \pageref{cogc} \\
$Qis$ & classe des quasi-isomorphismes & \pageref{Qis} \\
$\mbox{\it Qisf\,}$ & classe des quasi-isomorphismes filtr�s & \pageref{Qisf} \\
${\aic}$  &   cat�gorie des $\ai$-cog�bres  & \pageref{aic} \\
% ${\aica} $ & cat�gorie des $\ai$-cog�bres co-augment�es & \pageref{aica} \\
\end{longtable}



 {\em Les polydules, les bipolydules et les modules}  

\begin{longtable}{p{3cm}p{8cm}p{2cm}}
$BM$ & construction bar d'un $A$-polydule & \pageref{BM} \\
$R_\tau M$, $RM$ & produit tensoriel tordu $M \tw C$ & \pageref{RM} \\
$M \tw C$ & produit tensoriel tordu  & \pageref{RM} \\
$r(m_2,\hdots, m_{n})$ & cycle mesurant les obstructions & \pageref{obstruction_extension_polydules} \\
$r(f_1,\hdots ,f_n)$ & cycle mesurant les obstructions & \pageref{extension_nstructure_morphismes_mod} \\
$\Homi_{A'} (X,\?)$ & foncteur standard & \pageref{Homi} \\
$? \tsi_A X$ & foncteur standard & \pageref{tsi} \\
${\Modu A}$ & cat�gorie des $A$-modules diff�rentiels gradu�s unitaires & \pageref{Modu}\\
${\cd A}$ & cat�gorie d�riv�e de $\Modu A$ & \pageref{cdA} \\
${\aiMod A}$  &  cat�gorie des $A$-polydules (non n�cessairement strictement unitaires) & \pageref{aiMod}\\
${\big(\aiMod A\big)_u}$  &  sous-cat�gorie pleine de $\aiMod A$ form�e
des $A$-polydules strictement unitaires & \pageref{(aiMod)u}\\
${\aiModst A}$  &  cat�gorie ayant les m�mes objets que $\aiMod A$ et dont les morphismes sont
  les $\ai$-morphismes stricts & \pageref{aiModst}\\
${\aiModu A}$  &  cat�gorie des $A$-polydules strictement unitaires  & \pageref{aiModu}\\
${\aiModust A}$  &  $\aiModst A \cap \aiModu A$  & \pageref{aiModust}\\
${\ch_\infty A}$ & cat�gorie $\aiModu A$ quotient�e par la relation d'homotopie & \pageref{chinftyA} \\
${\cd_\infty A}$  & cat�gorie d�riv�e de $\aiModu A$ & \pageref{cdinftyA} \\
$\cn_\infty A$ & cat�gorie diff�rentielle gradu�e des $A$-polydules (non n�cessairement strictement
unitaires) & \pageref{cninftyA} \\
$\big(\cn_\infty A\big)_u$ & sous-cat�gorie de $\cn_\infty A$ form�e 
des $A$-polydules strictement unitaires & \pageref{cninftyAu} \\
$\cc_\infty A$ & cat�gorie diff�rentielle gradu�e des $A$-polydules strictement unitaires & 
\pageref{ccinftyA} \\
${\Modu (A,A')}$ & cat�gorie des $A$-$A'$-bimodules dg unitaires & \pageref{ModuAA'}\\
${\aiMod (A,A')}$ & cat�gorie des $A$-$A'$-polydules (non n�cessairement
strictement unitaires) & \pageref{aiModAA'}\\
${\big(\aiMod (A,A')\big)_u}$  &  sous-cat�gorie pleine de $\aiMod (A,A')$ form�e
des $A$-$A'$-bipolydules strictement unitaires & \pageref{(aiMod)uAA'}\\
${\aiModu (A,A')}$ & cat�gorie des $A$-$A'$-polydules strictement unitaires & \pageref{aiModuAA'}\\
${\aiModust (A,A')}$  &  cat�gorie ayant les m�mes objets que $\aiMod A$ et dont les morphismes sont
les $\ai$-morphismes stricts & \pageref{aiModustAA'}\\
${\ch_\infty (A,A')}$ & cat�gorie $\aiModu (A,A')$ quotient�e par la relation d'homotopie
& \pageref{chinftyAA'} \\
${\cd_\infty (A,A')}$  & cat�gorie d�riv�e de $\aiModu (A,A')$ & \pageref{cdinftyAA'} \\
$\cn_\infty (A,A')$ & cat�gorie diff�rentielle gradu�e des $A$-$A'$-bipolydules (non n�cessairement strictement
unitaires) & \pageref{cninftyAA'} \\
$\big(\cn_\infty (A,A')\big)_u$ & sous-cat�gorie pleine de $\cn_\infty (A,A')$ form�e 
des $A$-$A'$-bipolydules strictement unitaires & \pageref{cninftyAA'u} \\
$\cc_\infty (A,A')$ & cat�gorie diff�rentielle gradu�e des $A$-$A'$-bipolydules strictement unitaires
& \pageref{ccinftyAA'} \\
\end{longtable}





{\em Les comodules }


\begin{longtable}{p{3cm}p{8cm}p{2cm}}
$N \prim n$ & $n$-primitifs de $N$ & \pageref{primN} \\
$L_\tau N$, $L N$ & produit tensoriel tordu ${N \tw A}$ & \pageref{LN} \\
${N \tw A}$  &  produit tensoriel tordu &\pageref{produit_tens_tordu} \\
$\square_{C}$, $\square$ & produit cotensoriel au-dessus de $C$ & \pageref{square} \\
$\coModu C$ & cat�gorie des comodules dg unitaires & \pageref{comC} \\
${\coModcu C}$ &   cat�gorie des comodules dg cocomplets sur $C$ & \pageref{comcC} \\
$\cd C$ & cat�gorie d�riv�e de $\coModcu C$ & \pageref{cdC} \\
\end{longtable}



{\em Les $\ai$-cat�gories et les $\ai$-foncteurs }


\begin{longtable}{p{3cm}p{8cm}p{2cm}}
$\sf C$ & bicat�gorie des ensembles & \pageref{C3} \\
$\mathbb O$, $\mathbb A$, $\mathbb B$ & ensembles : objets de $\sf C$ & \pageref{bbO} \\
$\ca$, $\cb$ & $\ai$-cat�gories & \pageref{ca} \\
$\mathbb A$, $\mathbb B$ & ensembles des objets des $\ai$-cat�gories $\ca$ et $\cb$ & \pageref{bbA} \\
$\tso$, $\tso_{\mathbb A}$ & produit tensoriel de $\sf C (\mathbb A,\mathbb A)$ & \pageref{tso} \\
$f$, $g$ & $\ai$-foncteurs & \pageref{f} \\
$\dot f$, $\dot g$ & applications sous-jacentes des $\ai$-foncteurs & \pageref{dotf} \\
%$\lrus{f}{M}{}$, $\lrus{}{M}{f}$ & & \pageref{fM} \\
$\lrus{\dot f}{\cb}{\dot f}$ & & \pageref{fBf} \\
$\Id_\ca$, $\Id$ & $\ai$-foncteur identit� de $\ca$ & \pageref{Id} \\
$\id_A$ & morphisme identit� d'un objet $A \in \mathbb A$ & \pageref{id} \\
$\ca_x$ & $\ai$-cat�gorie tordue par $x$ & \pageref{cax1}, \pageref{cax} \\
$f^x$ & $\ai$-foncteur tordu par $x$ & \pageref{fx1}, \pageref{fx} \\
$\lrus{x}{M}{x'}$ & bipolydule tordu par $x$ et $x'$ & \pageref{xMx'1}, \pageref{xMx'} \\
$\hat V$ & compl�tion d'un objet topologique & \pageref{hatV} \\
$\hat \ts$ & produit tensoriel complet & \pageref{hatts} \\
$\mathcal{R}$ & cat�gorie des alg�bres locales commutatives  & \pageref{calR} \\
$\hat \ct V$ & cog�bre tensorielle compl�te r�duite & \pageref{hatctr} \\
$\TW \ca$ & $\ai$-cat�gorie des objets tordus de $\ca$ & \pageref{TWca} \\
$A \pw$ & polydule repr�sent� $\ca (\?,A)$ & \pageref{Apw} \\
$y$ & $\ai$-foncteur de Yoneda & \pageref{y} \\
$\Nunc (\ca,\cb)$ & $\ai$-cat�gorie des $\ai$-foncteurs $\ca \ra \cb$ 
(non n�cessairement strictement unitaires) & \pageref{Nunc} \\
$\cf(\ca,\cb)$ & $\ai$-cat�gorie $\Nunc (\ca,\cb)$ munie des compositions na�ves & \pageref{cfcacb} \\
$\big(\Nunc (\ca,\cb)\big)_u$ & sous-cat�gorie pleine de $\Nunc(\ca,\cb)$ form�e des $\ai$-foncteurs
strictement unitaires & \pageref{Nuncu} \\
$\Func(\ca,\cb)$ & $\ai$-cat�gorie des $\ai$-foncteurs $\ca \ra \cb$ 
strictement unitaires & \pageref{Func} \\
$\boxdot $ & produit cotensoriel & \pageref{boxdot} \\
$\ainat$ & $2$-cat�gorie (non $2$-unitaire) des petites $\ai$-cat�gories (non n�cessairement strictement
unitaires) & \pageref{ainat} \\
$\aicat$ & $2$-cat�gorie des petites $\ai$-cat�gories strictement unitaires
& \pageref{aicat} \\
$z$ & $\ai$-foncteur de Yoneda g�n�ralis� & \pageref{z} \\
$\theta$ &  & \pageref{theta} \\
$\mathbf{I}_n$ &  & \pageref{In} \\
\end{longtable}


\end{center}







Objets_tordus.tex




{\bf \noindent Introduction}\\

\noindent Soit ${\mathbb A}$ un ensemble et $\ca$ une $\ai$-cat�gorie strictement unitaire sur ${\mathbb A}.$
Notons $\gr (H^*\!\ca)$ la cat�gorie des $H^*\!\ca$-modules gradu�s dont les morphismes
sont les morphismes gradu�s.
Dans cette section, nous relevons le foncteur de Yoneda
\[
H^* \ca \ra \gr (H^*\!\ca), \quad  A \mapsto (H^*\!\ca)(\?,A),
\]
en un $\ai$-foncteur 
\[
y : \ca \ra \cc_\infty \ca, \quad A \mapsto \ca(\?,A).
\]
Nous montrons ensuite le r�sulat principal de ce chapitre (\ref{theoreme_factorisation_Yoneda}) :
{\em l'$\ai$-foncteur $y$ se factorise en
\[
\ca \arr{y'} \TW \ca \arr{y''} \cc_\infty \ca
\]
o� $\TW \ca$ est l'$\ai$-cat�gorie des objets tordus,
$y'$ est  un $\ai$-foncteur strict et pleinement fid�le 
 et $y''$ induit une �quivalence}
\[
H^0\TW \ca \arr{\sim} \tria \ca \subset \cd_{\infty}\ca.
\]
La contruction des objets tordus dans le cas o� $\ca$ est diff�rentielle gradu�e est due
� A.~I.~Bondal et M.~M.~Kapranov
\cite{Bondal91}, sa g�n�ralisation aux $\ai$-cat�gories � M.~Kontsevich \cite{Kontsevich94}.
R�cemment, K.~Fukaya a construit ind�pendamment l'$\ai$-foncteur de Yoneda \cite{Fukaya01a}.\\

{\bf \noindent Plan du chapitre}\\

\noindent Dans la section \ref{section_ai-foncteur_de_Yoneda}, nous d�finissons l'$\ai$-foncteur de Yoneda et
nous �non�ons le th�or�me principal (\ref{theoreme_factorisation_Yoneda}). Le reste du chapitre (sauf
la section \ref{section_modele_differentiel_gradue}) est d�di� � la d�monstration de ce th�or�me.
Dans la section \ref{section_ai-categorie_des_objets_tordus}, nous construisons l'$\ai$-cat�gorie $\TW \ca$
des objets tordus. Les compositions de l'$\ai$-cat�gorie $\TW \ca$ sont obtenues
par torsion (voir chapitre \ref{chapitre_torsion}).
Nous montrons ensuite que l'$\ai$-cat�gorie $\TW \ca$ jouit d'une propri�t� universelle. Nous en
d�duirons l'existence de
la factorisation $y'' \circ y'$ de $y$.
Dans la section \ref{section_ai-foncteur_y''}, nous construisons explicitement
l'$\ai$-foncteur $y''$. Dans la section \ref{section_equivalence_tria_ca_H^0TWca}, nous montrons que 
l'$\ai$-foncteur de Yoneda $y$ induit des quasi-isomorphismes
entre les espaces de morphismes et nous en d�duisons l'�quivalence
\[
H^0\TW \ca \iso \tria \ca \subset \cd_{\infty}\ca.
\]

Dans la section \ref{section_modele_differentiel_gradue}, nous montrons que toute $\ai$-cat�gorie
homologiquement unitaire $\ca$ admet un {\em mod�le diff�rentiel gradu� strictement 
unitaire}, c'est-�-dire un $\ai$-quasi-isomorphisme homologiquement unitaire
$f : \ca \ra \ca'$ vers une cat�gorie diff�rentielle
gradu�e strictement unitaire. 

Dans la section \ref{section_categories_stables}, nous montrons que toute cat�gorie
triangul�e alg�brique qui est engendr�e par un ensemble d'objets
est $\ai$-pr�-triangul�e, i.~e.~elle est �quivalente
� $H^0\TW \ca$, pour une certaine $\ai$-cat�gorie $\ca$.


\section{Le plongement de Yoneda}
\label{section_ai-foncteur_de_Yoneda}



Comme $\ca$ est une $\ai$-cat�gorie, le ${\mathbb A}$-${\mathbb A}$-bimodule $\ca$,
muni des morphismes $m_{i,j} = m^{\ca}_{i+1+j}$, $i,j\geq 0$,
est un $\ca$-$\ca$-bipolydule.
Par la remarque \ref{remarque2_lemme_clef}, nous avons
un $\ai$-foncteur
\[
y : \ca \ra \cc_\infty \ca,
\]
dont l'application sous-jacente
\[
\dot y : {\mathbb A} \ra \cc_\infty \ca
\]
envoie un objet  $A\in \ca$ sur le {\em $\ca$-polydule} \indexnotation{Apw}
\[
A \pw = \ca(\? , A).
\]
Pour tout $i\geq 1,$ le morphisme gradu�
\[
y_i : \ca \tpo i  \ra  \lrus{\dot f}{\big(\cc_\infty \ca\big)}{\dot f},
\]
envoie un �l�ment $x \in (\ca \tpo i)(A,A')$
sur la suite de morphismes de ${\mathbb A}$-modules gradu�s
\[
\begin{array}{rclr}
 \ca(\?,A) \tso \ca \tpo {j-1} & \ra  & \ca(\?,A') ,&  \quad  j \geq 1.\\
x' \tso x'' & \mapsto & (-1)^{|x|+1}m_{i+1+j}(x' \tso x \tso x'')&
\end{array}
\]

\begin{definition}{\em \label{definition_ai-foncteur_de_Yoneda} \indexnotation{y}
L''{\em $\ai$-foncteur de Yoneda} est l'$\ai$-foncteur
$y : \ca \ra \cc_\infty \ca$. \index{Yoneda (A-infini foncteur de)@{Yoneda ($\ai$-foncteur de)}}
\index{A-infini foncteur@{$\ai$-foncteur}!de Yoneda}
}\end{definition}






\begin{definition}{\em
Un $\ai$-foncteur strict $f$ est {\em pleinement fid�le} si
\index{A-infini foncteur@{$\ai$-foncteur}!pleinement fid�le}
\[
f_1 : \ca \ra \lrus{\dot f}{\cb}{\dot f}
\]
est un isomorphisme de complexes.
}\end{definition}

\begin{definition}{\em
Soit $\calt$ une cat�gorie triangul�e et $\mathbb T'$ un sous-ensemble de l'ensemble $\mathbb T$
des objets de $\calt$.
Notons $\tria \mathbb T'$ la {\em plus petite sous-cat�gorie triangul�e} de $\calt$
qui contient les objets de $\mathbb T'.$ Elle est stable par sommes finies.
Soit $\ca$ une $\ai$-cat�gorie strictement unitaire et $\cd_\infty \ca$ sa cat�gorie
d�riv�e (voir \ref{section_categorie_derivee_generale}). 
Notons $\tria \ca$ la plus petite sous-cat�gorie triangul�e de $\cd_\infty \ca$ 
qui contient tous les $\ca$-polydules $A \pw$, $A \in \Obj \ca$.
}\end{definition}

Dans ce chapitre, nous allons montrer l'�nonc� de M.~Kontsevich \cite{Kontsevich94}, \cite{Kontsevich98} suivant :


\begin{theoreme}[voir aussi K.~Fukaya \cite{Fukaya01a}]{\label{theoreme_factorisation_Yoneda}} \index{objet tordu}
Soit une $\ai$-cat�gorie $\ca$ avec des identit�s strictes.
Il existe une $\ai$-cat�gorie $\TW \ca$
et une factorisation de l'$\ai$-foncteur de Yoneda
\[
 \ca \arr{y'} \TW \ca \arr{y''} \cc_{\infty} \ca
\]
telle que l'$\ai$-foncteur $y'$ est strict et pleinement
fid�le et l'$\ai$-foncteur $y''$ induit une �quivalence
\[
H^0\TW \ca \iso \tria \ca \subset \cd_{\infty}\ca .
\]
\end{theoreme}
%
\dem Voir les trois sections suivantes.\\








\section{L'$\ai$-cat�gorie des objets tordus}
\label{section_ai-categorie_des_objets_tordus}






Soit $\Lambda$ une alg�bre associative unitaire (non gradu�e). 
Nous notons $\cc^b(\free \Lambda)$ la {\em sous-cat�gorie} de $\cc \Lambda$ form�e
des complexes born�s de $\Lambda$-modules libres de rang fini.
L'image $\cd^b(\free \Lambda)$ de la cat�gorie $\cc^b(\free \Lambda)$ par le foncteur
\[
\cc \Lambda \ra \cd \Lambda
\]
est �quivalente � la cat�gorie $\tria \Lambda$.
Les objets de $\cc^b(\free \Lambda)$ sont fibrants et cofibrants dans la cat�gorie des complexes
$\cc \Lambda$. Si $M$ et $M'$ sont des objets de $\cd^b(\free \Lambda)$,
les morphismes $M \ra M'$ dans  $\tria \Lambda$
sont donc en bijection avec les classes d'homotopie de morphismes $M\ra M'$
de $\Modu \Lambda$. Cette description des morphismes  permet de faire des calculs dans $\tria \Lambda$.
Le but de cette section est de g�n�raliser la construction
\[
\Lambda \leadsto \cc^b(\free \Lambda)
\]
aux $\ai$-cat�gories. Soit $\ca$ une $\ai$-cat�gorie.
Le r�le de la cat�gorie $\cc^b(\free \Lambda)$ sera jou� par l'$\ai$-cat�gorie $\TW \ca$
des objets tordus. L'�quivalence entre $\cd^b (\free \Lambda)$ et $\tria \Lambda$ sera remplac�e
par une �quivalence
\[
H^0 \TW \ca \arr{\sim} \tria \ca \subset \cd_\infty \ca.
\]
La construction $\ca \leadsto \TW \ca$ est la g�n�ralisation  aux $\ai$-cat�gories \cite{Kontsevich94}
de la construction due � A.~I.~Bondal et M.~M.~Kapranov
\cite{Bondal91} qui associe � une cat�gorie diff�rentielle gradu�e la cat�gorie de 
ses objets tordus (voir \ref{remarque_Kapranov}).\\

Pour rendre la construction qui suit plus intuitive, commen�ons par r�interpr�ter
les objets de $\cc^b(\free \Lambda).$
Un complexe born� $M$ de $\Lambda$-modules libres de rang fini est donn�
par ses composantes
\[
(M_r,M_{r+1},\hdots ,M_{l-1},M_{l}), \quad r\leq l, \quad r,l \in \Z,
\]
o� chaque $M_i$, $r \leq i \leq l$, est la suspension it�r�e d'un $\Lambda$-module libre de rang fini,
et par un morphisme de degr� $+1$
\[
\delta : \bigoplus_{r \leq j \leq l} M_j \ra \bigoplus_{r\leq i\leq l} M_i
\]
dont la matrice est strictement triangulaire inf�rieure et telle que $\delta \circ \delta = 0$.


Supposons maintenant que $\Lambda$ est une alg�bre diff�rentielle gradu�e. 
Les extensions it�r�es
dans la cat�gorie des complexes munie de la structure exacte
donn�e par les suites de complexes qui se scindent en tant que suites de $\Lambda$-modules
gradu�s sont d�crites de la mani�re suivante.
Soit $M_i$, $r \leq i \leq l,$ des objets de $\Modu \Lambda$
qui sont des sommes finies de suspensions it�r�es de $\Lambda$.
Notons $d$ la diff�rentielle de la somme des $M_i$, $r \leq i \leq l$.
Une extension it�r�e des objets $M_i$, $r \leq i \leq l,$ est donn�e par une matrice de
la m�me forme que ci-dessus qui v�rifie l'�quation de Maurer-Cartan
\[
d \circ \delta + \delta \circ d + \delta^2 = 0.
\]
La diff�rentielle de l'extension it�r�e $M = \bigoplus_{r \leq j \leq l} M_j $ est la somme $d + \delta$. \\


{\noindent \bf Saturation par d�calages de $\ca$}\\


Soit $\Z \ca$ {\em l'$\ai$-cat�gorie} dont les objets sont des couples $(A,n)$, o�
$A$ est un objet de $\ca$ et $n$ un entier. Les espaces de morphismes sont
d�finis par 
\[
\Z\ca ((A,n),(B,m)) = S^{m-n}\ca (A,B).
\]
Les compositions $m^{\Z\ca}_{i}$, $i \geq 1,$
\[
\xymatrix{
\Z\ca ((A_{i-1},n_{i-1}),(A_{i},n_{i})) \ts \hdots \ts
\Z\ca ((A_{0},n_{0}),(A_{1},n_{1})) \ar[d]^{m^{\Z\ca}_{i}} \\
\Z\ca((A_{0},n_{0}),(A_{i},n_{i}))}
\]
sont d�finies par
\[
(-1)^{i (n_i - n_0)} s^{n_i-n_o}\circ m_i \circ \big((s^{n_i-n_{i-1}})^{-1} \tso \hdots \tso (s^{n_1-n_{0}})^{-1}\big)
\]
(un calcul montre que ces compositions d�finissent bien une $\ai$-cat�gorie).\\



{\noindent \bf Saturation par extensions de $\Z \ca$}


\begin{definition}{\em \index{extension}
Une {\em extension it�r�e} $M$ d'objets de $\Z\ca$ est une suite
\[
(M_r,M_{r+1},\hdots ,M_{l-1},M_{l}), \quad r\leq l, \quad r,l \in \Z,
\]
munie d'une matrice � coefficients dans $\Z \ca$ de degr� $+1$
\[
\delta^M : \bigoplus_{r \leq j \leq l} M_j \ra \bigoplus_{r\leq i \leq l} M_i
\]
qui est strictement triangulaire inf�rieure et v�rifie l'�quation de Maurer-Cartan
\[
\sum_{i\geq 1} m^{\Z \ca}_i \big((\delta^M) \tpo i\big) = 0.
\]
Ici, le produit tensoriel $\tso$ est l'extension du produit tensoriel de $\sf C(\mathbb A,\mathbb A)$
aux espaces de matrices � coefficients dans $\Z \ca$.
L'entier $l - n + 1$ s'appelle la {\em hauteur} de l'extension. \index{hauteur}
Une extension it�r�e $M$ est {\em d�g�n�r�e} ou {\em scind�e}
\index{scindee (extension)@{scind�e (extension)}} \index{extension scind�e} si $\delta^M = 0.$
Les extensions it�r�es d�g�n�r�es peuvent �tre consid�r�es comme les sommes formelles
d'objets de $\Z \ca$. Nous notons $\mathbb E$ l'ensemble des extensions it�r�es de $\Z \ca$.
}\end{definition}


\begin{definition}{\em \label{definition_ai-categorie_extensions}
Soit $M $ et $M'$ deux extensions it�r�es de $\Z \ca$.
Notons $\mathsf{Mat}^{\Z \ca}(M,M')$ l'espace gradu� des matrices � coefficients dans $\Z \ca$
\[
f : \bigoplus_{r \leq j \leq l} M_j \ra \bigoplus_{r'\leq i \leq l'} M'_i.
\]
Les compositions $m_i^{\Z \ca}$, $i\geq 1$, de $\Z \ca$ s'�tendent clairement
en des compositions de matrices � coefficients dans $\Z \ca$.
Notons $\ce_\ca$ l'{\em $\ai$-cat�gorie} dont les objets sont les extensions
it�r�es d'objets de $\Z\ca$ et dont les espaces de morphismes sont
\[
\Hom_{\ce_\ca}(M,M') = \mathsf{Mat}^{\Z \ca}(M,M').
\]
Nous avons clairement une suite d'inclusions de $\ai$-cat�gories 
\[
\ca \subset \Z \ca \subset \ce_\ca.
\]
}\end{definition}

{\noindent \bf L'�l�ment tordant nilpotent de l'$\ai$-cat�gorie $\ce_\ca$}\\


Nous rappelons (\ref{section_categories_de_base_aicat})
que $\id_M$ est le g�n�rateur de l'espace $e_{\mathbb E}(M,M).$
Soit
\[
x : e_{\mathbb E} \ra \ce_\ca
\]
le morphisme de $\mathbb E$-$\mathbb E$-bimodules qui envoie $\id_M$, $M \in \mathbb E$, sur
\[
\delta^M \in \mathsf{Mat}^{\Z \ca}(M,M).
\]
Le morphisme $x$ est de degr� $+1$. Il v�rifie la condition de nilpotence
tensorielle (\ref{remarque_nilpotence_tensorielle}) car les matrices $\delta^M$
sont strictement triangulaires inf�rieures. Comme les morphismes $\delta^M$, $M \in \mathbb E,$
v�rifient l'�quation de Maurer-Cartan, le morphisme $x$ est un �l�ment tordant tensoriellement nilpotent.\\


{\noindent \bf La cat�gorie $\TW \ca$}

\begin{definition}{\em
Un {\em objet tordu} est une extension it�r�e d'objets de $\Z \ca.$ \index{objet tordu}
Notons $\mathbb{TW}\ca$ l'ensemble de objets tordus. Il est �gal � l'ensemble $\mathbb E.$
La {\em cat�gorie} $\TW \ca$ \indexnotation{TWca}
des objets tordus est la cat�gorie tordue $\big(\ce_\ca\big)_x$ (voir \ref{section_torsion_ai-categories_I}),
o� $x$ est l'�l�ment tordant ci-dessus.
}\end{definition}
%
Si $M$ et $M'$ sont des objets tordus, l'espace de morphismes $M \ra M'$ est donc
\[
\Hom_{\TW \ca} (M,M') = \mathsf{Mat}^{\Z\ca}(M,M').
\]
Remarquons que sur la sous-$\ai$-cat�gorie form�e des extensions d�g�n�r�es, les compositions
tordues $m_i^{\ce_x} = m_i^{\TW \ca}$, $i \geq 1$, sont �gales aux compositions $m_i^\ce$, $i \geq 1$.
Soit $\mathbb E_1$ l'ensemble des extensions (forc�ment d�g�n�r�e) de hauteur 1 et 
soit
\[
\dot y' : \mathbb A \ra \mathbb E_1,
\]
l'application qui envoie $A$ sur l'extension d�g�n�r�e de hauteur 1 dont la suite sous-jacente est
le 1-uplet $((A,0))$. C'est une bijection et nous avons un isomorphisme
\[
y'_1 : \ca \arr{\sim} \lrus{\dot y'}{\mathsf{Mat}^{\Z \ca}}{\dot y'} = \lrus{\dot y'}{\TW \ca}{\dot y'}
\]
qui donne clairement un $\ai$-foncteur strict et pleinement fid�le
\[
y' : \ca \ra \TW \ca.
\]


{\noindent \bf La propri�t� universelle de $\TW \ca$}\\

Nous nous inspirons de l'article \cite{Bondal91}.\\

Soit $f : \ca \ra \cb$ un $\ai$-foncteur.
Il induit clairement un $\ai$-foncteur
\[
f : \ce_\ca \ra \ce_\cb
\]
tel que les �l�ments tordants $x_\ca$ et $x_\cb$ des $\ai$-cat�gories $\ce_\ca$ et $\ce_\cb$
sont compatibles � $f$ (voir \ref{section_torsion_ai-foncteurs_I}).
Nous obtenons donc un $\ai$-foncteur tordu (voir \ref{section_torsion_ai-foncteurs_I})
\[
\TW f : \TW \ca \ra \TW \cb.
\]
La construction qui associe � une $\ai$-cat�gorie $\ca$ la cat�gorie
des objets tordus $\TW \ca$ est un foncteur
\[
\TW : \aicat \ra \aicat,
\]
o� $\aicat$ est la cat�gorie des petites $\ai$-cat�gories.
Nous allons construire un morphisme de foncteurs
\[
\mathsf{Tot} : \TW \circ \TW \ra \TW.
\]
Soit $\ca$ une petite $\ai$-cat�gorie. L'$\ai$-foncteur strict $\mathsf{Tot}(\ca)$
associe � un objet $N$ de $\TW \circ \TW \ca$, donn� par une
suite d'objets de $\TW \ca$
\[
(N_r , \hdots , N_l), \quad r \leq l, \quad r,l \in \Z,
\]
et une matrice $\delta^N$ � coefficients dans $\Z \TW \ca$,
l'objet tordu de $\ca$ dont la suite sous-jacente est la concat�nation
des suites d�finissant les $N_i$, $r \leq i \leq l$, et dont la matrice
\[
\delta^{\mathsf{Tot}} : \mathsf{Tot}(N) = \bigoplus{(N_j)_k} \ra \mathsf{Tot}(N) = \bigoplus{(N_i)_l} 
\]
est construite � partir de la matrice $\delta^N$ en rempla�ant les coefficients $\delta^N_{i,j}$ par
les blocs donn�s par les matrices $\delta^{N_i}$.
Nous v�rifions que les morphismes de foncteurs de $\aicat$
\[
\unite = y': \Id_{\aicat} \ra \TW \quad \mbox{et} \quad \mathsf{Tot} : \TW \circ \TW \ra \TW
\]
d�finissent une monade de la cat�gorie des $\ai$-cat�gories au sens de Quillen et Mac~Lane \cite{May72}.
On rappelle qu'une $\TW$-alg�bre $\cg$ est une $\ai$-cat�gorie munie d'un $\ai$-foncteur
\[
\TW \cg \ra \cg
\]
compatible � la structure de monade.
La cat�gorie $\TW \ca$ est clairement la $\TW$-alg�bre libre sur $\ca$. En particulier, l'$\ai$-foncteur
$y' : \ca \ra \TW \ca$ est universel parmi les $\ai$-foncteurs
\[
\ca \ra \cg
\]
o� $\cg$ est une alg�bre sur la monade.

\begin{remarque}{\em \label{remarque_Kapranov}
Si $\cg$ est une cat�gorie diff�rentielle gradu�e, $\TW \cg$ est une cat�gorie diff�rentielle
gradu�e. La construction $\cg \leadsto \TW \cg$ correspond � la construction de A.~I.~Bondal
et M.~M.~Kapranov qui associe � $\cg$ la cat�gorie $\mbox{Pr-Tr}^+\cg$ des objets tordus
unilat�raux \cite[�4]{Bondal91}.
}\end{remarque}


{\noindent \bf Existence de l'$\ai$-foncteur $y''$}\\

Soit $\ca$ une petite $\ai$-cat�gorie. Soit 
\[
\TW \cc_\infty \ca \ra \cc_\infty \ca
\]
l'$\ai$-foncteur strict qui associe � une extension it�r�e $M$ la somme des $M_i$, $r \leq i \leq l$,
munie de la diff�rentielle $d + \delta_M$, o� $d$ est la diff�rentielle de la somme des $M_i.$
Cet $\ai$-foncteur d�finit une structure de $\TW$-alg�bre sur $\cc_\infty \ca$.
En particulier, l'$\ai$-foncteur
\[
y : \ca \ra \cc_\infty \ca
\]
se factorise en $y = y'' \circ y'$, o� $y''$ est l'$\ai$-foncteur
\[
\TW \ca \ra \cc_\infty \ca
\]
donn� par la propri�t� universelle de $\TW \ca.$

 


\section{L'$\ai$-foncteur $y'' : \TW \ca \ra \cc_\infty \ca$}
\label{section_ai-foncteur_y''}




Dans cette section, nous construisons explicitement l'$\ai$-foncteur
\[
y'' : \TW \ca \ra \cc_\infty \ca.
\]
Par la remarque \ref{remarque3_lemme_clef}, les $\ai$-foncteurs
\[
\TW \ca \ra \cc_\infty \ca
\]
sont en bijection avec les $\TW \ca$-$\ca$-bipolydules strictement unitaires.
Le $\TW \ca$-$\ca$-bipolydule $N''$ associ� � $y''$ est construit
en tordant (voir la section \ref{section_torsion_bipolydules_I})
un $\ce$-$\ca$-bipolydule $N$. L'$\ai$-foncteur
\[
f : \ce \ra \cc_\infty \ca
\]
associ� � $N$ est l'extension de l'$\ai$-foncteur de Yoneda $y : \ca \ra \cc_\infty \ca$.
Nous donnons les formules explicites pour les $\ai$-foncteurs $f$ et $y''$.\\


{\noindent \bf Construction de $f : \ce \ra \cc_\infty \ca$}\\

Nous rappelons (\ref{definition_ai-categorie_extensions}) que nous avons
une suite d'inclusions de $\ai$-cat�gories 
\[
\ca \subset \Z \ca \subset \ce
\]
et que $y : \ca \ra \cc_\infty \ca$
d�signe l'$\ai$-foncteur de Yoneda (\ref{definition_ai-foncteur_de_Yoneda}).
Ce dernier s'�tend en un $\ai$-foncteur
\[
\Z \ca \ra \cc_\infty \ca, \quad (A,n) \mapsto S^n(\dot yA) = S^nA \pw
\]
qui envoie un �l�ment
\[
x \in \Z\ca ((A_{i-1},n_{i-1}),(A_{i},n_{i})) \ts \hdots \ts
\Z\ca ((A_{0},n_{0}),(A_{1},n_{1}))
\]
sur le morphisme de $\ca$-polydules $S^{n_0}A_0\pw \ra S^{n_i}A_i\pw$
d�fini par l'�l�ment de
\[
\Hom_{\cc_\infty \ca}(S^{n_0}A_0\pw , S^{n_i}A_i\pw)
\iso S^{n_i-n_0}\Hom_{\cc_\infty \ca}(A_0\pw , A_i\pw)
\]
donn� par
\[
s^{n_i-n_o}\circ y_i \circ \big((s^{n_i-n_{i-1}})^{-1} \tso \hdots \tso (s^{n_1-n_{0}})^{-1}\big)(x).
\]
Nous notons aussi $y$ cet $\ai$-foncteur. Nous l'�tendons maintenant en un $\ai$-foncteur
\[
\ce \ra \cc_\infty \ca.
\]
Nous d�finissons une application
\[
\dot f : \mathbb E \ra \Obj \cc_\infty \ca
\]
qui envoie une extension it�r�e $M$, donn�e par une suite $M_i$, $r \leq i \leq l$, et une matrice
$\delta^M$, sur le $\mathbb A$-module qui est la somme
\[
\sum_{r \leq i \leq l} \dot y M_i.
\]
Sa structure de  $\ca$-polydule
est induite par celle de la remarque \ref{remarque1_polydules}.
Notons que la matrice $\delta^M$ n'intervient pas dans la d�finition de l'image de $M.$
Les morphismes $y_i : (\Z \ca) \tpo i \ra \cc_\infty \ca$ s'�tendent clairement
en des morphismes
\[
\Big(\mathsf{Mat}^{\Z \ca}\Big)\tpo i \ra \cc_\infty \ca.
\]
Ceci nous fournit un $\ai$-foncteur que nous notons $f : \ce \ra \cc_\infty \ca$ et
nous avons clairement la factorisation $y = f \circ y'$.
Par la remarque \ref{remarque3_lemme_clef}, l'$\ai$-foncteur $f$ est donn� par un $\ce$-$\ca$-bipolydule
$N$ qui, en tant que  $\mathbb E$-$\mathbb A$-bimodule, est
\[
(A,M) \mapsto \bigoplus_{r \leq i \leq l} S^{n_i}\ca (A,A_i),
\]
o� $M_i = (A_i,n_i)$, $r \leq i \leq l$.
Notons
\[
m^{N}_{i,j} : \ce \tpo i \tso N \tso \ca \tpo j \ra N, \quad i,j\geq 0.
\]
les multiplications du $\ce$-$\ca$-bipolydule $N$.
Elles sont clairement induites par l'extension � $\Z \ca$, puis � $\ce$, des compositions
\[
m^\ca_{i,j} = m_{i+1+j}^\ca : \ca \tpo i \tso \ca \tso \ca \tpo j \ra \ca, \quad i,j \geq 0.
\]

{\noindent \bf L'$\ai$-foncteur $y'' : \TW \ca \ra \cc_\infty \ca$}\\


Nous rappelons (\ref{definition_ai-categorie_extensions}) que $x$ d�signe
l'�l�ment tordant (nilpotent) de $\ce.$
Par la section \ref{section_torsion_bipolydules_I}, nous pouvons tordre $N$ en un
$\ce_x$-$\ca$-polydule $\lrus{x}{N}{} = N''.$
Comme l'$\ai$-cat�gorie $\TW \ca$ est par d�finition l'$\ai$-cat�gorie
tordue $\ce_x$, nous obtenons ainsi un $\TW \ca$-$\ca$-bipolydule $N''$ et par la remarque
(\ref{remarque3_lemme_clef}), un $\ai$-foncteur 
\[
y'' : \TW \ca \ra \cc_\infty \ca.
\]
Nous donnons ci-dessous les formules explicites le d�finissant.
Le $\mathbb{TW} \ca$-$\mathbb A$-bimodule $N''$ est donn� par
\[
(A,M) \mapsto \bigoplus_{r \leq i \leq l} S^{n_i}\ca (A,A_i).
\]
Comme $\mathbb{TW} \ca = \mathbb E$, il est isomorphe en tant que $\mathbb E$-$\mathbb A$-bimodule � $N.$
En tant que $\ce_x$-$\ca$-bipolydule, ses multiplications $m_{i,j}^{N''}$, $i,j \geq 0$ sont donn�es
(\ref{definition_torsion_bipolydules_I}) par la somme
\[
\sum_{l,k\geq 0} \sum (-1)^{s} m^N_{i+l,j+k}
(x \tpo{l_0} \tso \Id_\ce \tso x \tpo{l_1} \tso \hdots \tso  \Id_\ce \tso x \tpo{l_i}
\tso \Id_N \tso \Id_\ca \hdots  \tso \Id_\ca),
\]
o� $\Id_\ce$ d�signe l'identit� de l'espace des matrices ${\mathsf{Mat}^{\Z \ca}}$ et l'exposant du signe est
\[
s = \sum_{1 \leq t \leq i} t \times l_t .
\]
D�taillons maintenant l'application sous-jacente � l'$\ai$-foncteur $y''$
\[
\dot y'' :  \TW \ca \ra \cc_\infty \ca.
\]
Elle envoie une extension it�r�e $M$, donn�e par une suite $M_i$, $r \leq i \leq l$, et une matrice
$\delta^M$, sur le $\mathbb A$-module qui est la somme
\[
\dot y''M = \sum_{r \leq i \leq l} \dot y M_i.
\]
Les multiplications $m_{j}^{\dot y''M}$, $j \geq 1,$ d�finissant sa structure de $\ca$-polydule
sont les morphismes $m_{0,j-1}^{N''}$, $j\geq 1$, c'est-�-dire la somme
\[
\sum_{l \geq 0} m_{l,j-1}^N(x \tpo l \tso \Id_{\dot y''M} \tso \Id_{\ca} \tpo{j-1}) =
\sum_{l \geq 0} m_{l,j-1}^N
\Big([y (\delta^M)] \tpo l \tso \Id_{\dot y''M} \tso \Id_{\ca} \tpo{j-1}\Big).
\]
Remarquons que m�me si $\dot y''M$ et $\dot fM$ sont isomorphes en tant que
$\mathbb A$-modules, ils diff�rent en tant que $\ca$-polydules.
Le $\ca$-polydule $\dot y''M$ doit �tre consid�r� comme la torsion de $fM$ par $y(\delta^M).$
Regardons maintenant les morphismes $y''_i$, $i\geq 1$, de l'$\ai$-foncteur $y''$.
Ils sont d�finis (\ref{corollaire2_lemme_clef}) par la relation
\[
(y''_i)_j = m^{N''}_{i,j-1}.
\]
En d'autre termes, le morphisme $y''_i$, $i \geq 1,$ envoie un �l�ment de
\[
\TW \ca (M_{i-1},M_i) \ts \hdots \ts \TW \ca (M_0,M_1)
\]
sur le morphisme de $\ca$-polydules $\varphi : (\dot y''M_0) \ra (\dot y'' M_i)$ donn� par la
suite des morphismes $\varphi_j : (\dot y''M_0) \tso \ca \tpo {j-1} \ra (\dot y''M_i)$ valant
\[
\sum_{l\geq  0} \sum (-1)^{s} m^N_{i+l,j-1}
\Big([y(\delta^{M_i})] \tpo{l_0} \tso \Id_{\TW \ca}  \hdots \tso  \Id_{\TW \ca} \tso
[y(\delta^{M_0})] \tpo{l_i}
\tso \Id_{\dot y''M_0} \tso \Id_\ca \tpo{j-1}\Big),
\]
o� $\Id_{\TW \ca}$ d�signe l'identit� de l'espace des matrices ${\mathsf{Mat}^{\Z \ca}}$ et 
l'exposant du signe est
\[
s = \sum_{1 \leq t \leq i} t \times l_t .
\]


Remarquons que l'unitarit� stricte de $\ca$ n'est pas intervenue dans 
la d�monstration de la factorisation du th�or�me \ref{theoreme_factorisation_Yoneda}.
Elle joue un r�le essentiel dans la prochaine section.









\section{L'�quivalence entre les cat�gories $\tria \ca$ et $H^0\TW \ca$}
\label{section_equivalence_tria_ca_H^0TWca}


Nous rappelons (\ref{remarque_categorie_differentielle_graduee_polydules}) que
les cat�gories $H^0 \cc_\infty \ca$ et $\cd_\infty \ca$ sont �quivalentes.
Nous montrons ci-dessous que l'$\ai$-foncteur $y'' : \TW \ca \ra \cc_\infty \ca$
induit un foncteur pleinement fid�le
\[
H^0 \TW \ca \ra \cd_\infty \ca.
\]
dont l'image est la cat�gorie $\tria \ca$.\\

Il s'agit de montrer que le foncteur $H^0y''$ est pleinement fid�le.
Nous devons donc montrer que, pour tous $M$, $M'$ objets de $\TW \ca$, nous avons
\[
H^0\Hom_{\TW \ca}(M,M') \arr{\sim} H^0\Hom_{\cc_\infty \ca}(\dot y''M,\dot y''M').
\]
Une extension $M$, donn�e par une suite
\[
(M_r , \hdots ,M_i, \hdots ,M_l), \quad r \leq i \leq l,
\]
et une matrice $\delta^M$, est clairement filtr�e dans la cat�gorie
des objets tordus $\TW \ca$ par
\[
F_k = (M_{r+k} , \hdots ,M_{l}), \quad 0 \leq k \leq l-r,
\]
(Le morphisme $\delta^M : M \ra M$ est compatible � cette filtration). 
Les objets gradu�s de cette filtration sont des extensions tordues d�g�n�r�es,
i.~e.~des sommes formelles finies de $\Z \ca$ consid�r�e comme objets de $\TW \ca$.
Il nous suffit donc de montrer qu'on a un isomorphisme
\[
H^0\Hom_{\TW \ca}(M,M') = H^0\Hom_{\cc_\infty \ca}(\dot y''M,\dot y''M').
\]
o� $M$ et $M'$ sont des objets de $\Z \ca$ consid�r�s comme objets de $\TW \ca$.
Nous devons donc montrer le lemme suivant

\begin{lemme} \label{lemme_Yoneda_quasi-isomorphisme}
Pour toute paire d'objets $A$ et $A'$ dans $\ca$, 
l'$\ai$-foncteur de Yoneda $y : \ca \ra \cc_\infty \ca$ induit
un isomorphisme
\[
H^*\Hom_{\ca}(A,A') = H^*\Hom_{\cc_\infty \ca}(A\pw,A'\pw).
\]
\end{lemme}

\dem Le foncteur
pleinement fid�le (\ref{proposition_categorie_derivee_H-unitaire})
\[
\cd_\infty \ca \ra \cd_\infty \ca\+
\]
induit un isomorphisme
\[
H^*\Hom_{\cc_\infty \ca}(A\pw,A'\pw) \arr{\sim} H^*\Hom_{\cc_\infty \ca\+}(A\pw,A'\pw).
\]
Il suffit donc de montrer l'isomorphisme
\[
H^*\ca(A,A') \arr{\sim} H^*\Hom_{\cc_\infty \ca\+}(A\pw,A'\pw).
\]
Nous avons les �galit�s
\[
\ca(A,A') = A'\pw(A) \quad \mbox{et} \quad \Homi_{\ca}(\ca,A'\pw)(A) = \Hom_{\cc_\infty \ca\+}(A\pw,A'\pw).
\]
Nous d�duisons alors le r�sultat du lemme (\ref{lemme2_adjonction_foncteurs_standard}) et de la
remarque (\ref{remarque_lemme2_adjonction_foncteurs_standard}) qui
montrent que
\[
A'\pw \ra \Homi_{\ca}(\ca,A'\pw)
\]
est un quasi-isomorphisme.\findem








\section{Mod�le diff�rentiel gradu�} \label{section_modele_differentiel_gradue}

Dans cette section, la cat�gorie de base $\sf C$ est �gale � $\sf C(\mathbb A,\mathbb A).$


\begin{definition}{\em
Soit $\ca$ une $\ai$-alg�bre dans $\sf C.$
Un {\em mod�le differentiel gradu�} \index{modele differentiel gradue@{mod�le diff�rentiel gradu�}}
de $\ca$ est une alg�bre diff�rentielle gradu�e $\ca'$ munie d'un $\ai$-quasi-isomorphisme
\[
\ca \ra \ca'.
\]
}\end{definition}






\begin{proposition}\label{proposition_modele_differentiel_gradue}
Toute $\ai$-alg�bre strictement unitaire $\ca$ admet
un mod�le diff�rentiel gradu� unitaire tel que l'$\ai$-morphisme
\[
\ca \ra \ca'
\]
est strictement unitaire.
\end{proposition}


Remarquons que dans le cas o� $\ca$ est une $\ai$-alg�bre augment�e, son alg�bre enveloppante $\E \ca$
(\ref{lemme_algebre_enveloppante}) est un mod�le diff�rentiel gradu� unitaire de $\ca$ qui est augment�.\\

\dem 
Nous d�finissons $\ca'$ comme le $\mathbb A$-$\mathbb A$-bimodule
\[
(A_0,A_1) \mapsto \Hom_{\cc_\infty \ca}(A_0\pw,A_1\pw).
\]
La structure diff�rentielle gradu�e est celle induite par la composition et la diff�rentielle
de la cat�gorie diff�rentielle gradu�e $\cc_\infty \ca$.
Gr�ce au th�or�me (\ref{theoreme_factorisation_Yoneda}), l'$\ai$-foncteur de Yoneda
nous donne un $\ai$-quasi-isomor\-phisme d'$\ai$-alg�bres dans $\sf C(\mathbb A,\mathbb A)$
\[
\ca \ra \ca'
\]
qui est strictement unitaire. \findem


\begin{corollaire}\label{corollaire_modele_differentiel_gradue}
Toute $\ai$-alg�bre homologiquement unitaire $\ca$ admet
un mod�le diff�rentiel gradu� unitaire tel que l'$\ai$-morphisme
\[
f : \ca \ra \ca'
\]
est unitaire, i.~e.~$f \circ \unite = \unite$.
\end{corollaire}


\dem Soit $\ca$ une $\ai$-alg�bre homologiquement unitaire. 
Nous rappelons (\ref{corollaire_unite_ai-algebre}) qu'on peut munir $H^*\ca$
d'une structure d'$\ai$-alg�bre strictement unitaire. Comme
l'$\ai$-morphisme
\[
\ca \ra H^*\ca
\]
est unitaire et il est $\ai$-quasi-isomorphisme, nous avons le r�sultat. \findem




\section{Cat�gories stables}
\label{section_categories_stables}

Dans cette section, nous montrons que toute cat�gorie
triangul�e alg�brique qui est engendr�e par un ensemble d'objets
est $\ai$-pr�-triangul�e, i.~e.~elle est �quivalente
� $H^0\TW \ca$, pour une certaine $\ai$-cat�gorie $\ca$. 
\index{A-infini pretriangulee (categorie)@{$\ai$-pr�-triangul�e (cat�gorie)}}
\index{categorie@{cat�gorie}!A-infini pretriangulee@{$\ai$-pr�-triangul�e}}


\begin{definition}{\em \index{categorie@{cat�gorie}!triangul�e alg�brique}
Une $\corps$-cat�gorie triangul�e est {\em alg�brique} si elle est �quivalente � la cat�gorie stable d'une
$\corps$-cat�gorie de Frobenius (voir \ref{structure_triangulee_Ho_coModcu}). 
}\end{definition}

\begin{definition}{\em \index{compact (objet)}
Soit $\calt$ une cat�gorie triangul�e aux sommes infinies. Un objet $X \in \calt$ est {\em compact}
si le foncteur $\Hom_{\calt}(X,\?)$ commute aux sommes infinies.
}\end{definition}

\begin{definition}{\em \index{generateur@{g�n�rateur}}
Soit $\calt$ une cat�gorie triangul�e et $\mathbb A$ un sous-ensemble de
l'ensemble $\mathbb T$ des objets de $\calt$. \indexnotation{triabbA}
Nous notons $\tria \mathbb A$ la {\em plus petite sous-cat�gorie triangul�e strictement
pleine}
de $\calt$ qui contient la sous-cat�gorie pleine form�e des objets de $\mathbb A.$ 
Elle est stable par sommes finies. 
Les objets de $\mathbb A$ {\em engendrent} $\calt$ en tant que cat�gorie triangul�e
si $\calt = \tria \mathbb A.$
Si $\calt$ admet des sommes infinies,
nous notons $\Tria \mathbb A$  {\em plus petite sous-cat�gorie triangul�e stables par sommes infinies}
de $\calt$ qui contient la sous-cat�gorie pleine form�e des objets de $\mathbb A.$
\indexnotation{TriabbA}
Les objets de $\mathbb A$ {\em engendrent} $\calt$ en tant que cat�gorie triangul�e aux
sommes infinies si $\calt = \Tria \mathbb A.$
}\end{definition}

\begin{theoreme} \label{theoreme_caracterisation_categorie_derivee_sommes_infinies}
Soit $\calt$ une $\corps$-cat�gorie triangul�e alg�brique aux sommes infinies
qui est engendr�e, en tant que cat�gorie triangul�e aux sommes infinies, par un ensemble $\mathbb A$
d'objets compacts.
Il existe une $\ai$-cat�gorie $\ca$ strictement unitaire et minimale sur $\mathbb A$
et une �quivalence triangul�e
\[
\cd_\infty  \ca \ra \calt,  \quad A\pw \mapsto A.
\] 
\end{theoreme}

\dem Par d�finition des cat�gories triangul�es alg�briques,
$\calt$ est la cat�gorie stable $\underline \ce$ d'une cat�gorie de Frobenius $\ce$.
Nous rappelons \cite[4.3]{Keller94} qu'il existe une cat�gorie diff�rentielle gradu�e unitaire $\ca'$
sur $\mathbb A$ et une �quivalence triangul�e
\[
\cd \ca' \ra \underline \ce,  \quad A\pw \mapsto A.
\]
Nous rappelons que $\cd \ca'$ est engendr�e par les $A$-modules libres $\ca'(\?,A),$ $A \in \mathbb A$.
Choisissons un mod�le minimal $\ca$ de $\ca'$ qui est strictement unitaire
(\ref{proposition_modele_minimal_strictement_unitaire}).
Nous d�duisons du th�or�me (\ref{theoreme_restriction_quasi-isomorphisme}) que
la restriction le long de $\ca' \ra \ca$ induit une �quivalence de cat�gories
\[
\cd_\infty \ca \ra \cd \ca'.
\]
Comme, pour tout $A \in \mathbb A$, le $\ca'$-polydule restreint
$A \pw = \ca(\?,A)$ est $\ai$-quasi-isomorphe � $\ca'(\?,A)$,
nous avons une �quivalence
\[
\cd_\infty \ca \ra \underline \ce, \quad A\pw \mapsto A.
\]
\findem

\begin{remarque}{\em
Par construction de la cat�gorie $\ca'$ dans \cite[4.3]{Keller94}, le $\mathbb A$-$\mathbb A$-bimodule
sous-jacent � $\ca$ est donn� par
\[
(A,A') \mapsto \ca(A,A') = \bigoplus_{n \in \Z} \Hom_\calt (A, S^nA'), \quad A,A' \in \mathbb A,
\]
et $m^\ca_2$ par la composition de $\calt.$
}\end{remarque}


\begin{theoreme} \label{theoreme_caracterisation_categorie_derivee}
Soit $\calt$ une $\corps$-cat�gorie triangul�e alg�brique qui est engendr�e par un ensemble
d'objets $\mathbb A$.
Il existe une $\ai$-cat�gorie $\ca$ strictement unitaire et minimale sur $\mathbb A$
et une �quivalence triangul�e
\[
\tria \ca \ra \calt,  \quad A\pw \mapsto A,
\] 
o� $\tria \ca$ est la sous-cat�gorie de $\cd_\infty \ca$ engendr�e par les
objets libres $A\pw,$ $A \in \mathbb A$.
\end{theoreme}


\dem Par d�finition des cat�gories triangul�es alg�briques, 
$\calt$ est la cat�gorie stable $\underline \ce$ d'une cat�gorie de Frobenius $\ce$.
La construction de \cite[4.3]{Keller94} nous donne une cat�gorie diff�rentielle gradu�e unitaire $\ca'$
sur $\mathbb A$ telle que nous avons une �quivalence triangul�e
\[
\tria \ca' \ra \underline \ce,  \quad A\pw \mapsto A ,
\]
o� $\tria \ca'$ est la sous-cat�gorie de $\cd \ca'$ engendr�e par les $A$-modules libres
$\ca'(\?,A),$ $A \in \mathbb A$.
Choisissons un mod�le minimal $\ca$ de $\ca'$ qui est strictement unitaire
(\ref{proposition_modele_minimal_strictement_unitaire}).
L'�quivalence de cat�gories
\[
\cd \ca' \ra \cd_\infty \ca.
\]
induit une �quivalence
\[
\tria \ca' \ra \tria \ca
\] 
car le $\ca$-polydule
$A \pw = \ca(\?,A),$ $A \in \mathbb A$ est $\ai$-quasi-isomorphe � la restriction de $\ca'(\?,A)$.
Nous en d�duisons qu'on a une �quivalence (triangul�e)
\[
\tria \ca \ra \underline \ce, \quad A\pw \mapsto A.
\]
\findem


\begin{corollaire}
Soit $\calt$ une $\corps$-cat�gorie triangul�e alg�brique 
telle que dans le th�or�me (\ref{theoreme_caracterisation_categorie_derivee}).
Il existe une $\ai$-cat�gorie $\ca$ strictement unitaire et minimale sur $\mathbb A$
et une �quivalence triangul�e
\[
H^0 (\TW \ca) \ra \calt,  \quad A \mapsto A.
\] 
\end{corollaire}

\dem Imm�diat par les th�or�mes (\ref{theoreme_factorisation_Yoneda}) et 
(\ref{theoreme_caracterisation_categorie_derivee}). \findem

Page_dos.tex
\pagestyle{empty}

\begin{center}
{\large \bf Sur les $\ai$-cat�gories}\\
Kenji Lef�vre-Hasegawa
\end{center}


{\small
{\bf R�sum� : } 
Nous �tudions les $\ai$-alg�bres $\Z$-gradu�es (non n�cessairement connexes)
et leurs $\ai$-modules. En utilisant les constructions bar et cobar ainsi que les outils de l'alg�bre
homotopique de Quillen, nous d�crivons la localisation de la cat�gorie des
$\ai$-alg�bres par rapport aux $\ai$-quasi-isomorphismes.
Nous adaptons ensuite ces m�thodes pour d�crire la cat�gorie d�riv�e
$\cd_\infty A$ d'une $\ai$-alg�bre augment�e $A$.
Le cas o� $A$ n'est pas muni d'une augmentation est trait� diff�remment.
N�anmoins, lorsque $A$ est strictement unitaire, sa cat�gorie d�riv�e peut �tre d�crite
de la m�me mani�re que dans le cas augment�.
Nous �tudions ensuite deux variantes de la notion
d'unitarit� pour les $\ai$-alg�bres~: l'unitarit� stricte et l'unitarit� homologique. 
Nous montrons que d'un point de vue homotopique, il n'y a pas de diff�rence
entre ces deux notions. Nous donnons ensuite un formalisme qui permet de
d�finir les $\ai$-cat�gories comme des $\ai$-alg�bres dans certaines cat�gories mono�dales.
Nous g�n�ralisons � ce cadre les constructions fondamentales de la th�orie des cat�gories :
le foncteur de Yoneda,
les cat�gories de foncteurs, les �quivalences de cat�gories...
Nous montrons que toute cat�gorie triangul�e alg�brique engendr�e par un ensemble d'objets
est $\ai$-pr�triangul�e, c'est-�-dire qu'elle est �quivalente � $H^0\TW \ca$, o� $\TW \ca$ est
l'$\ai$-cat�gorie des objets tordus d'une certaine $\ai$-cat�gorie $\ca$.\\

{\noindent \bf Discipline :} math�matiques \\
{\bf Mots-cl�s : } $\ai$-cat�gorie, alg�bre � homotopie pr�s, cat�gorie d�riv�e, alg�bre homologique, cat�gorie triangul�e, construction bar
}\\


\begin{center}
{\large \bf On $\ai$-categories}\\
Kenji Lef�vre-Hasegawa
\end{center}


{\small
{\bf Abstract : } We study (not necessarily connected) $\Z$-graded $\ai$-algebras and their $\ai$-modules.
Using the cobar and the bar construction and Quillen's homotopical algebra, we describe the localisation
of the category of $\ai$-algebras with respect to $\ai$-quasi-isomorphisms. We then adapt these methods
to describe the derived category $\cd_\infty A$ of an augmented $\ai$-algebra $A$.
The case where $A$ is not endowed with an augmentation is treated differently.
Nevertheless, when $A$ is strictly unital, its derived category can be described in the same way as
in the augmented case. Next, we compare two different notions of $\ai$-unitarity :
strict unitarity and homological unitarity.
We show that, up to homotopy, there is no difference between these two notions.
We then establish a formalism which allows us to view $\ai$-categories as $\ai$-algebras in suitable
monoidal categories. We generalize the fundamental constructions of category theory to this setting : 
Yoneda embeddings, categories of
functors, equivalences of categories... We show that any algebraic
triangulated category $\calt$ which admits a set of
generators is $\ai$-pretriangulated,
that is to say, $\calt$ is equivalent to $H^0 \TW \ca$, where $\TW \ca$ is the $\ai$-category of twisted objets of a certain
$\ai$-category $\ca$. \\



{\bf \noindent Keywords: } $\ai$-categorie, homotopy algebra, derived category, homological algebra, triangulated category, bar construction
}\\[2cm]


{\noindent \bf Adresse : }
Kenji Lef�vre-Hasegawa,
Th�orie des Groupes,
Case 7012,
2 place Jussieu,
F-75251 Paris Cedex 05, France



{\noindent \bf Adresse �lectronique :} {\tt lefevre@math.jussieu.fr} 




\noindent 



Preambule.tex
% Derniere modification le 26 janvier 2002

%
%
% corps du texte
%
\newtheorem{proposition}{Proposition}[section]
\newtheorem{exemple}[proposition]{Exemple}
\newtheorem{theoreme}[proposition]{Th�or�me}
\newtheorem{definition}[proposition]{D�finition}
\newtheorem{lemme}[proposition]{Lemme}
\newtheorem{corollaire}[proposition]{Corollaire}
\newtheorem{remarque}[proposition]{Remarque}
\newtheorem{question}[proposition]{Question}
\newtheorem{notation}[proposition]{Notation}


%
% index des notations
%
% \newcommand{\notation}[2]{{#1}{\hfill #2}}
\newcommand{\indexnotation}[1]{\label{#1}}


%
%  Les compteurs
%
  \makeatletter
% Chiffre romain pour les chapitres
% \renewcommand{\thechapter}{\Roman{chapter}}
% le compteur theproposition s'�crit subsection.proposition
 \renewcommand{\theproposition}{\thesubsection.\arabic{proposition}}
% remise � z�ro de theproposition � chaque subsection
\@addtoreset{proposition}{subsection} \makeatother
  \makeatother

%
% Pour d�monstration
%

\newcommand{\dem}{ \emph{\mbox{D�monstration :\ \ \ }}}
\newcommand{\findem}{\hspace*{.01cm}\hfill $\Box$}

%
% Num�rotation � la main des diagrammes
%

\newcommand{\diagnum}[2]{({\rm #1}) \quad \begin{array}{c} #2 \end{array}}

%
%  Center math diagram
%

\newenvironment{diagc}{\begin{center} \hspace*{\fill}
       }{\hspace*{\fill} \end{center}}


%
% Fl�ches
%
\newcommand{\ra}{\rightarrow} \newcommand{\la}{\leftarrow}
\newcommand{\Ra}{\Rightarrow} \newcommand{\La}{\Leftarrow}
\newcommand{\Lra}{\Leftrightarrow}
\newcommand{\da}{\downarrow} \newcommand{\ua}{\uparrow}
\newcommand{\ura}{\nearrow} \newcommand{\dra}{\searrow}
\newcommand{\dla}{\swarrow} \newcommand{\ula}{\nwarrow}
\newcommand{\pl}{\parallel} \newcommand{\lra}{\leftrightarrow}
%\newcommand{\equiv}{\leftrightarrow}
\newcommand{\arr}[1]{\stackrel{#1}{\longrightarrow}}
\newcommand{\Arr}[1]{\stackrel{#1}{\Longrightarrow}}
\newcommand{\longarr}[1]{\xrightarrow{#1}}
\newcommand{\longlarr}[1]{\xleftarrow{#1}}
\newcommand{\iso}{\simeq}
\newcommand{\riso}{\stackrel{_\sim}{\rightarrow}}
\newcommand{\liso}{\stackrel{_\sim}{\la}}
\newcommand{\larr}[1]{\stackrel{#1}{\longleftarrow }}
\newcommand{\rsa}{\rightsquigarrow} \newcommand{\tra}{\arr{cof}}
\newcommand{\tla}{\leftarrowtail}
\newcommand{\tarr}[1]{\stackrel{#1}{\longrightarrowtail}}
\newcommand{\tiso}{\stackrel{cof}{\riso}}


%
% Lettres calligraphiques
%
%
\newcommand{\ca}{{\mathcal A}} \newcommand{\cb}{{\mathcal B}}
\newcommand{\cc}{{\mathcal C}} \newcommand{\cd}{{\mathcal D}}
\newcommand{\ce}{{\mathcal E}} \newcommand{\cf}{{\mathcal F}}
\newcommand{\cg}{{\mathcal G}} \newcommand{\ch}{{\mathcal H}}
\newcommand{\ci}{{\mathcal I}} \newcommand{\ck}{{\mathcal K}}
\newcommand{\cl}{{\mathcal L}} \newcommand{\cm}{{\mathcal M}}
\newcommand{\cn}{{\mathcal N}} \newcommand{\co}{{\mathcal O}}
\newcommand{\cp}{{\mathcal P}}
% \renewcommand{\cr}{{\mathcal R}}
\newcommand{\cq}{{\mathcal Q}} \newcommand{\cs}{{\mathcal S}}
\newcommand{\calt}{{\mathcal T}}
\newcommand{\cu}{{\mathcal U}}
\newcommand{\cv}{{\mathcal V}} \newcommand{\cw}{{\mathcal W}}
\newcommand{\cx}{{\mathcal X}} \renewcommand{\sf}[1]{\mathsf{#1}}

%
% limite
%
\newcommand{\Ind}{\opname{Ind}\nolimits}
\newcommand{\Res}{\opname{Res}\nolimits}
\newcommand{\colim}{\opname{colim}\nolimits} 
\newcommand{\lid}{{\displaystyle \lim_{\longrightarrow}}\,}
\newcommand{\lii}{{\displaystyle \lim_{\longleftarrow}}\,}



%
% Dessins figures
%
\setlength{\unitlength}{0.25cm}
\newcommand{\lblarge}[3]{\put(#1,#2){\makebox(3,2){$ #3 $}}}
\newcommand{\lb}[3]{\put(#1,#2){\makebox(2,2){$ #3 $}}}
\newcommand{\lbt}[3]{\put(#1,#2){\makebox(0,0)[t]{$ #3 $}}}
\newcommand{\lbb}[3]{\put(#1,#2){\makebox(0,0)[b]{$ #3 $}}}
\newcommand{\lbtl}[3]{\put(#1,#2){\makebox(0,0)[tl]{$ #3 $}}}
\newcommand{\lbl}[3]{\put(#1,#2){\makebox(0,0)[l]{$ #3 $}}}
\newcommand{\lbr}[3]{\put(#1,#2){\makebox(0,0)[r]{$ #3 $}}}
\newcommand{\lbtr}[3]{\put(#1,#2){\makebox(0,0)[tr]{$ #3 $}}}
\newcommand{\lbbl}[3]{\put(#1,#2){\makebox(0,0)[bl]{$ #3 $}}}
\newcommand{\lbbr}[3]{\put(#1,#2){\makebox(0,0)[br]{$ #3 $}}}
%parr comme picture arrow
\newcommand{\parr}[5]{\put(#1,#2){\vector(#3,#4){#5}}}
\newcommand{\lin}[5]{\put(#1,#2){\line(#3,#4){#5}}}
\newcommand{\lbold}[3]{\put(#1,#2){\makebox(1,0.5){$ #3 $}}}


%
% Symbole pour les ensembles classiques
%
\newcommand{\Z}{{\mathbf{Z}}} \newcommand{\Q}{{\mathbf{Q}}}
\newcommand{\I}{{\mathbf{I}}} \newcommand{\C}{{\mathbf{C}}}
\newcommand{\R}{{\mathbf{R}}} \newcommand{\N}{{\mathbf{N}}}
\newcommand{\corps}{\mathbb{K}}
%\renewcommand�{{\mathbf{S}}}

%
% Notation pour les cat�gories
%

\newcommand{\Obj}{{\opname{Obj\,}\nolimits}}
\newcommand{\Ens}{\mathcal{E}{\rm{ns}}} 
\newcommand{\id}{{\mathbf{I}}} % identit� d'un objet
\newcommand{\Id}{\mathbf{1}} % foncteur identit�
\newcommand{\im}{\opname{Im}\nolimits}
\newcommand{\coim}{\opname{coIm}\nolimits}
\newcommand{\coker}{\opname{cok}\nolimits}
\renewcommand{\ker}{\opname{ker}\nolimits}
\newcommand{\vect}{\mathsf{Vect}}
\newcommand{\Func}{{\mathsf{Func}_\infty}}
\newcommand{\Nunc}{{\mathsf{Nunc}_\infty}}
\newcommand{\Tor}{{\mathsf{Tor}}}
\newcommand{\Ext}{{\mathsf{Ext}}}
\newcommand{\Hom}{{\mathsf{Hom}}}
\newcommand{\Homi}{\raisebox{0ex}[2ex][0ex]{$\overset{\,\infty}{
                              \raisebox{0ex}[1ex][0ex]{$\mathsf{Hom}$}
                                                                 }$}}
\newcommand{\coder}{{\mbox{$\mathsf{coder}$}}}



%
% algebres & $\ai$ algebres & modules
%


\newcommand{\opname}[1]{\operatorname{\mathsf{#1}}}
\newcommand{\opnamestar}[1]{\operatorname*{\mathsf{#1}}}
\newcommand{\alg}{\mbox{${\mathsf{Alg}}$}}     % cat�gorie des alg�bres dg
\newcommand{\alga}{\mbox{${\mathsf{Alga}}$}}   % cat�gorie des alg�bres dg unitaire
\newcommand{\aia}{\mbox{$\mathsf{Alg}_{\infty}$}} % cat�gorie des A-infini alg�bres
\newcommand{\aiaa}{\mbox{$\mathsf{Alga}_{\infty}$}} % cat�gorie des A-infini alg�bres augment�es
\newcommand{\aiModu}{\opname{Mod_\infty}\nolimits } % cat�gorie des A-infini modules a droite
\newcommand{\aiMod}{\opname{Nod_\infty}\nolimits } % cat�gorie des A-infini modules a droite non unitaires
\newcommand{\aiModst}{\opname{Nod_\infty^{strict}}\nolimits } % cat�gorie des A-infini modules a droite
\newcommand{\aiModust}{\opname{Mod_\infty^{strict}}\nolimits } % cat�gorie des A-infini modules a droite
\newcommand{\Modu}{\opname{Mod}\nolimits }           % cat�gorie des modules unitaires
\newcommand{\Modush}{\opname{Modsh}\nolimits }           % cat�gorie des modules unitaires avec $\ai$-morphismes
\newcommand{\unite}{{\eta}} % unit� d'une alg�bre
\newcommand{\augmentation}{{\mbox{$\cal \epsilon$}}} %  aumgentation d'une alg�bre augment�e
\newcommand{\free}{\opname{free}\nolimits }          % modules libres

%
% cog�bres & comodules
%

\newcommand{\aic}{\mbox{$\mathsf{Cog}_{\infty}$}} % cat�gorie des A-infini cog�bres
\newcommand{\aica}{\mbox{$\mathsf{Coga}_{\infty}$}} % cat�gorie des A-infini cog�bres co-augment�es
\newcommand{\ct}{{T^c}} % cog�bre tensorielle
\newcommand{\ctr}{{{\b{T^c}}}} % cog�bre tensorielle r�duite
\newcommand{\ctra}[1]{\mbox{$\b{T^c}(#1\prim 1)$}} % cog�bre tensorielle r�duite associ�e � une cog�bre fibrante
\newcommand{\pctr}[1]{\mbox{$\b{T^c_{[#1]}}$}} % $#1$-primitifs de la cog�bre tensorielle r�duite
 \newcommand{\coModu}{\opname{Com}\nolimits  }        % cat�gorie des comodules unitaires
\newcommand{\coModcu}{\opname{Comc}\nolimits  }        % cat�gorie des comodules unitaires cocomplets
\newcommand{\colibre}{\opname{prcol}\nolimits  }        % cat�gorie des comodules colibres
\newcommand{\aicoModu}{\opname{coModu_\infty}\nolimits } % cat�gorie des A-infini comodules
\newcommand{\cocog}{\mbox{${\mathsf{Cogc}}$}}  % cat�gorie des cog�bres cocompletes
\newcommand{\cocoga}{\mbox{${\mathsf{Cogca}}$}}  % cat�gorie des cog�bres cocompletes
\newcommand{\cog}{{\mbox{${\mathsf{Cog}}$}}}   % cat�gorie des cog�bres
\newcommand{\coga}{{\mbox{${\mathsf{Coga}}$}}}   % cat�gorie des cog�bres co-augment�es
\newcommand{\cogtr}{{\mbox{${\mathsf{Cogtr}}$}}}   % cat�gorie des cog�bres
\newcommand{\counite}{{\mbox{$\eta$}}} % co-unit� d'une cog�bre
\newcommand{\coaugmentation}{{\mbox{$\cal \epsilon$}}} %  co-aumgentation d'une cog�bre co-augment�e

%
% $\ai$-cat�gorie
%

\newcommand{\aicat}{\mathsf{cat_\infty}}        % cat�gorie des $\ai$-cat�gories
\newcommand{\ainat}{\mathsf{nat_\infty}}        % cat�gorie des $\ai$-cat�gories non unitaires

% %
% % Objets tordus
% %

 \newcommand{\TW}{{\mathsf{tw}}}            % cat�gorie des objets tordus

%
% Construction bar et cobar
%

\newcommand{\Ba}{{B^+\!}}
\newcommand{\Oma}{{\Omega^+}\!}


% %
% % cat�gorie derivee et triangulee
% %

 \newcommand{\Tria}{\opname{Tria}\nolimits}
 \newcommand{\tria}{\opname{tria}\nolimits}
 \newcommand{\rp}{{\mathbf{p}}} % resolutions proj
% \newcommand{\ri}{{\mathbf{i}}} % resolutions inj

% %
% % Notation pour cat�gorie de modeles fermee
% %

 \newcommand{\weq}{\mbox{\mbox{\rm $\ce  q$}}}
 \newcommand{\fib}{\mbox{\mbox{\rm $\cf ib$}}}
 \newcommand{\cof}{{\mbox{\mbox{\rm $\cc of$}}}}
 \newcommand{\Ho}{\opname{Ho}\nolimits}

% %
% % Operades
% %

 \newcommand{\Ass}{\mbox{${\mathsf{Ass}}$}}
 \newcommand{\gr}{{\cg {r}}} 

% %
% % Notation pour des applications particulieres
% %
 \newcommand{\mor}[1]{\mathsf{mor}(#1)}
 \newcommand{\cod}[1]{\mathsf{cod}(#1)}
 \newcommand{\del}[1]{\delta (#1)}
 \newcommand{\der}[1]{\mathsf{der}(#1)}
 \newcommand{\ogr}{\sf{Gr}}


%
% produits tensoriels
%
\newcommand{\cote}[2]{\llcorner{#1}\lrcorner _{#2}}
\newcommand{\tso}{\odot}
\newcommand{\tsl}{\stackrel{\mathbf L}{\ts}}
\newcommand{\tsi}{\stackrel{\infty}{\ts}}
\newcommand{\tpo}[1]{^{\odot #1}}
\newcommand{\ts}{\otimes}
\newcommand{\tp}[1]{{}^{\ts #1}}
\newcommand{\tbox}{\,\Box\,}
\newcommand{\prim}[1]{_{[ #1]}} % primitifs d'une cog�bre
\newcommand{\tw}{\ts_\tau}   % produit tordus
\newcommand{\Ts}{\bigotimes}

%
% Autres
%

\newcommand{\ai}{\mbox{${\rm A}_{\infty}$}}
\renewcommand{\b}[1]{\overline{#1}}
\renewcommand{\hat}[1]{\widehat{#1}}
\newcommand{\ad}{{\mathsf{ad}}}
\newcommand{\mf}[1]{{\mathfrak{#1}}}
\newcommand{\?}{{\rule[.4mm]{2.4mm}{0.1mm}}\,}
\newcommand{\E}{{U}\!}
\newcommand{\lrus}[3]{{}_{#1}{#2}_{#3}} % Leftrightunderscore
\newcommand{\+}{{}^{\sz +}\!}
% \newcommand{\pdiam}{{}^{\diamond}\!}
\newcommand{\ul}[1]{{\dot{#1}}}
\newcommand{\pw}{{}^{\sz \wedge \!}}
\newcommand{\sz}{\scriptsize}
\newcommand{\si}{{\omega}}
\renewcommand{\epsilon}{\varepsilon}
\newcommand{\op}{{}^{op}}
%
%  xy
%
\newdir{ >}{{}*!/-8pt/\dir{>}} % cofibrations dans xymatrix
%
%


Remerciements.tex
Les ann�es de th�se s'accumulent et les soutenances se succ�dent avec leur
suite infinie de remerciements. Finalement, tous les mots finissent us�s
par le protocole, vecteur de distance retenue ou de pudeurs oblig�es.
Alors comment interpr�ter l'ordre des remerciements? Il y a toujours le directeur
en premier, puis les rapporteurs, suivis du jury et des autres. La
hi�rarchie se d�cline, impeccable, sans pulsions, trop sage. Ici aussi
je vais d�rouler cette carte classique des remerciements : je n'ai pas su inventer une
forme qui m'aurait semblait plus ad�quate. Mais je tenais quand m�me �
�crire, � insister et r�p�ter que s'il ne fallait qu'une ligne, �a serait celle-ci :\\

{\em
Merci Monsieur Keller. De tout mon coeur, merci. Vous seul devinez peut-�tre ce que je vous dois.}\\

Je voudrais que cette ligne soit lue distinctement, r�p�t�e avec conviction,
dans une respiration de gratitude. Je voudrais qu'elle s'imprime et
qu'elle se souvienne de la distance mesur�e qui fonde le respect
que nous avons l'un pour l'autre. All�luia ! Le hasard qui nous
a men�s l'un � l'autre fut une belle route.\\

Bien. Si ces remerciements ne tiennent pas en une ligne, c'est parce que
chacun, et j'insiste sur cette �vidence, m�rite la ligne qui est la sienne.\\

L'intervention des rapporteurs, J.~D.~Stasheff et J.~Huebschmann, fut tout sauf mineure.
Par leurs remarques, ils ont grandement aid� � la lisibilit� du texte.
Je me permets de leur exprimer mes remerciements les plus objectivement sinc�res.\\

Je me plais � recevoir dans mon jury P.~Cartier. R.~Rouquier (qui est aussi
dans le jury) fait partie des personnes que je croisais avec plaisir dans le couloir des math�matiques.
J'ai lu avec int�r�t la th�se de doctorat d'A.~Prout� (qui est dans le jury).
Elle traitait d'$\ai$-structures. J'esp�re que la suite que je pr�sente ici lui fera plaisir. \\

Le beau sourire de M.~Wasse, le professionnalisme � visage humain de l'�quipe informatique,
la f�minit� spontan�e de M.~Douchez ont su adoucir les tracas et obligations diverses qui savent
immanquablement ponctuer les existences math�matiques.\\

Et puis, une fin � ces lignes, une impossible fin : il y a dans mon coeur 
un point pr�cis qu'occupent ceux que j'aime et ceux qui m'aiment (des personnes parfois disjointes).
Ce lieu ne saurait �tre d�crit ici... Trois petits points de suspension, pirouettes, cacahou�tes
et puis s'en vont !













Resume.tex
{\noindent \bf Abstract\\}



\noindent We study (not necessarily connected) $\Z$-graded $\ai$-algebras and their $\ai$-modules.
Using the cobar and the bar construction and Quillen's homotopical algebra, we describe the localisation
of the category of $\ai$-algebras with respect to $\ai$-quasi-isomorphisms. We then adapt these methods
to describe the derived category $\cd_\infty A$ of an augmented $\ai$-algebra $A$.
The case where $A$ is not endowed with an augmentation is treated differently.
Nevertheless, when $A$ is strictly unital, its derived category can be described in the same way as
in the augmented case. Next, we compare two different notions of $\ai$-unitarity :
strict unitarity and homological unitarity.
We show that, up to homotopy, there is no difference between these two notions.
We then establish a formalism which allows us to view $\ai$-categories as $\ai$-algebras in suitable
monoidal categories. We generalize the fundamental constructions of category theory to this setting : 
Yoneda embeddings, categories of
functors, equivalences of categories... We show that any algebraic
triangulated category $\calt$ which admits a set of
generators is $\ai$-pretriangulated,
that is to say, $\calt$ is equivalent to $H^0 \TW \ca$, where $\TW \ca$ is the $\ai$-category of twisted objets of a certain
$\ai$-category $\ca$. 

Thus we give detailed proofs of a part of the results on homological algebra
which M.~Kontsevich stated in his course
``Triangulated categories and geometry'' \cite{Kontsevich98}.\\


{\noindent \bf R�sum�\\}

\noindent 
Nous �tudions les $\ai$-alg�bres $\Z$-gradu�es (non n�cessairement connexes)
et leurs $\ai$-modules. En utilisant les constructions bar et cobar ainsi que les outils de l'alg�bre
homotopique de Quillen, nous d�crivons la localisation de la cat�gorie des
$\ai$-alg�bres par rapport aux $\ai$-quasi-isomorphismes.
Nous adaptons ensuite ces m�thodes pour d�crire la cat�gorie d�riv�e
$\cd_\infty A$ d'une $\ai$-alg�bre augment�e $A$.
Le cas o� $A$ n'est pas muni d'une augmentation est trait� diff�remment.
N�anmoins, lorsque $A$ est strictement unitaire, sa cat�gorie d�riv�e peut �tre d�crite
de la m�me mani�re que dans le cas augment�.
Nous �tudions ensuite deux variantes de la notion
d'unitarit� pour les $\ai$-alg�bres : l'unitarit� stricte et l'unitarit� homologique. 
Nous montrons que d'un point de vue homotopique, il n'y a pas de diff�rence
entre ces deux notions. Nous donnons ensuite un formalisme qui permet de
d�finir les $\ai$-cat�gories comme des $\ai$-alg�bres dans certaines cat�gories mono�dales.
Nous g�n�ralisons � ce cadre les constructions fondamentales de la th�orie des cat�gories :
le foncteur de Yoneda,
les cat�gories de foncteurs, les �quivalences de cat�gories...
Nous montrons que toute cat�gorie triangul�e alg�brique engendr�e par un ensemble d'objets
est $\ai$-pr�triangul�e, c'est-�-dire qu'elle est �quivalente � $H^0\TW \ca$, o� $\TW \ca$ est
l'$\ai$-cat�gorie des objets tordus d'une certaine $\ai$-cat�gorie $\ca$.

Nous d�montrons ainsi une partie des �nonc�s d'alg�bre homologique present�s par
M.~Kontsevich pendant son cours ``Cat�gories triangul�es et g�om�trie''  \cite{Kontsevich98}.\\[5cm] 




\begin{center}
\input{k_5.pstex_t}\\[.5cm]
l'associa�dre $K_5$
\end{center}

These.tex
%&biglatex

% Derniere modification le 11/12/02 � 19 heures

\documentclass[10pt,A4paper]{book}

% rajouter draft apr�s 12pt pour voir ce qui d�passe du cadre

% accents pour macos 9 et <
%  \input option_keys
%  \usepackage{latexsym}

% accents pour macos X
%    \usepackage[applemac]{inputenc}

% accents pour linux
 \usepackage[latin1]{inputenc}
% \usepackage[T1]{fontenc}
  \usepackage[french]{varioref}
  \usepackage{psfig}
  \usepackage{epsfig}
  \usepackage{color}
  \usepackage{amsfonts,amsmath,amssymb}
 \usepackage{longtable}

% pour num�roter les lignes
% \usepackage[pagewise,modulo,displaymath]{lineno}
 
 \usepackage[francais,english]{babel}

% \usepackage{showkeys} % affiche le nom de label


% changement de langue

\newcommand\english{\selectlanguage{english}}
\newcommand\francais{\selectlanguage{francais}}

% % xy
  \usepackage{xypic}
  \xyoption{all}
% % \input xypic

% % Index
  \usepackage{makeidx}
  \makeindex

% % Pour l'ent�te de chaque page

\usepackage{fancyhdr}
\pagestyle{fancy} 
\addtolength{\headwidth}{\marginparsep}
\addtolength{\headwidth}{\marginparwidth}
\renewcommand{\chaptermark}[1]{\markboth{Chapitre \thechapter\ : #1}{}}
\renewcommand{\sectionmark}[1]{\markright{\thesection\ :  #1}}
\fancyhf{}
\fancyhead[LE,RO]{\thepage}
\fancyhead[LO]{\rightmark}
\fancyhead[RE]{\leftmark}
\fancypagestyle{plain}{%
        \fancyhead{} % get rid of headers
        \renewcommand{\headrulewidth}{0pt}
}



 \setlength{\evensidemargin}{1cm}
 \setlength{\oddsidemargin}{0cm}
 \setlength{\textwidth}{15cm}
 \setlength{\textheight}{20cm}
 \setlength{\leftmargin}{-1cm}
% % \setlength{\rightmargin}{0cm}
% \setlength{\topmargin}{-.5cm}
% \setlength{\headheight}{0cm}
% \setlength{\headsep}{0cm}
% \setlength{\footskip}{0cm}
% \setlength{\footheight}{0cm}
% \setlength{\parindent}{1cm}
% Additionally, we shall put
% \setlength{\baselineskip}{0.6cm}
% \setlength{\parindent}{0cm}
% after \begin{document}


 \input{Preambule.tex}


%
%  TITRE
%
\title{ 
    {\bf SUR LES $\ai$-CAT�GORIES}
      }
    \author{ {\bf Kenji Lef�vre-Hasegawa}\\
       UFR de Math�matiques,
Universit� Paris 7 \\
2, place Jussieu, 
75251 Paris Cedex 05, 
France\\
lefevre@math.jussieu.fr \\
\hbox{www.math.jussieu.fr/$\tilde{\space}$ lefevre}}
\date{mars 2002}
%
%
%
%
%
%
\begin{document}

%

%

 \begin{titlepage}
 \thispagestyle{empty}



\thispagestyle{empty}
\begin{center}

{\Large{\bf{UNIVERSITE PARIS 7 - DENIS DIDEROT}}}

\vspace{0.2cm}

{\Large{\bf{U.F.R. de Math�matiques}}}

\vspace{1.5cm}

{\large{Ann�e : 2003}} \hfill {\large{N� \ $\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
      \ & \ & \ & \ & \ & \ & \ & \ & \ & \ \\
      \hline
      \end{array}$}}
\vspace{1.5cm}

{\Large{\sc{Th�se de Doctorat}}}
\vspace{0.2cm}

{\large{\bf{Sp�cialit� : Math�matiques}}}

\vspace{0.8cm}

{\large{pr�sent�e par}}

\vspace{0.3cm}

{\Large{\it{Kenji Lef�vre-Hasegawa}}}

\vspace{0.8cm}

{\large{pour obtenir le grade de}}

\vspace{0.3cm}

{\Large{\sc{Docteur de l'Universit� Paris 7}}}

\vspace{2.2cm}

\begin{tabular}{c}
\hline \\[-5pt]
{\huge{\bf{Sur les $\ai$-cat�gories}}} \\[7pt]
\hline
\end{tabular}

\vspace{2.2cm}

{\large{Soutenue le 6 novembre 2003 devant le jury compos� de :\\
M.~Johannes {\sc{Huebschmann}} , {\it{rapporteur}}\\
M.~Bernhard {\sc{Keller}}, {\it{directeur}} \\
M.~Pierre {\sc{Cartier}}\\
M.~Alain {\sc{Prout�}}\\
M.~Rapha�l {\sc{Rouquier}} \\
M.~Alexander {\sc{Zimmermann}} \\
}}


\end{center}

  \end{titlepage}


 \thispagestyle{empty}


 \francais
    \tableofcontents

\francais
\chapter*{Remerciements}
\addcontentsline{toc}{chapter}{\hspace{.65cm}Remerciements}
\fancyhead[LO]{}
\fancyhead[RE]{}
\francais


\input{Remerciements.tex}


\francais
\chapter*{Abstract/R�sum�}
\addcontentsline{toc}{chapter}{\hspace{.65cm}Abstract/R�sum�}
\fancyhead[LO]{}
\fancyhead[RE]{}
\francais

% Pour num�roter les lignes
% \linenumbers



   \input{Resume.tex}





\francais

\chapter*{Introduction}
\addcontentsline{toc}{chapter}{\hspace{.65cm}Introduction}
\fancyhead[LO]{Sur les $\ai$-cat�gories}
\fancyhead[RE]{Introduction}
\francais

   \input{Introduction.tex}




% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%  \part{$\ai$-alg�bres et $\ai$-modules}
% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


\francais
 \chapter{Th�orie de l'homotopie des $\ai$-alg�bres}
\fancyhead[LO]{\rightmark}
\fancyhead[RE]{\leftmark}
\label{chapitre_Homot_aialg}

     \input{Homot_aialg.tex}


\francais
\chapter{Th�orie de l'homotopie des polydules}
\label{chapitre_Homot_aimod}


   \input{Homot_aimod.tex}

\francais
 \chapter{Unit�s � homotopie pr�s et unit�s strictes}
\label{chapitre_Unite}

    \input{Unite.tex}

\francais
 \chapter{Cat�gorie d�riv�e}
\label{chapitre_Cat_der}

    \input{Cat_der.tex}





%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%  \part{$\ai$-cat�gories}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\francais
\chapter{$\ai$-cat�gories et $\ai$-foncteurs}
\label{chapitre_ai_cat}

    \input{Ai_cat.tex}

\francais
\chapter{Torsion d'$\ai$-structures}
\label{chapitre_torsion}

   \input{Torsion.tex}

\francais
\chapter{L'$\ai$-foncteur de Yoneda et les objets tordus}
\label{chapitre_objets_tordus}

  \input{Objets_tordus.tex}

\francais
\chapter{L'$\ai$-cat�gorie des $\ai$-foncteurs}
\label{chapitre_ai_func}

      \input{Ai_func.tex}

\francais
\chapter{Les $\ai$-�quivalences}
\label{chapitre_ai_equiv}

   \input{Ai_equiv.tex}

\francais
\renewcommand{\thechapter}{A}
 \renewcommand{\theproposition}{\thechapter.\arabic{proposition}}
\chapter{Cat�gories de mod�les} 
\label{section_rappels_cmf}

   \input{Appendice_A.tex}

\francais
\renewcommand{\thechapter}{B}
\renewcommand{\theproposition}{\thesection.\arabic{proposition}}
\chapter{Th�orie de l'obstruction}
\label{section_theorie_obstruction}

   \input{Appendice_B.tex}

\francais
%  \bibliographystyle{alpha}
  \addcontentsline{toc}{chapter}{\hspace{.65cm}Bibliographie}
%  \bibliography{bibliographie}

\def\cprime{$'$}
\begin{thebibliography}{FOOO01}

\bibitem[Ada56]{Adams56}
J.~F. Adams.
\newblock On the cobar construction.
\newblock {\em Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A.}, 42:409--412, 1956.

\bibitem[BK91]{Bondal91}
A.~I. Bondal and M.~M. Kapranov.
\newblock Framed triangulated categories.
\newblock {\em Mat. USSR Sb.}, 70(1):93--107, 1991.

\bibitem[BL77]{Baues77}
H.~J. Baues and J.-M. Lemaire.
\newblock Minimal models in homotopy theory.
\newblock {\em Math. Ann.}, 225(3):219--242, 1977.

\bibitem[Bou61]{Bourbaki61}
N.~Bourbaki.
\newblock {\em \'{E}l\'ements de math\'ematique. {F}ascicule {XXVIII}.
  {A}lg\`ebre commutative. {C}hapitre 3: {G}raduations, filtra- tions et
  topologies. {C}hapitre 4: {I}d\'eaux premiers associ\'es et d\'ecomposition
  primaire}.
\newblock Actualit\'es Scientifiques et Industrielles, No. 1293. Hermann,
  Paris, 1961.

\bibitem[Car55]{Cartan55}
H.~Cartan.
\newblock S\'eminaire {H}. {C}artan de l'{E}cole {N}ormale {S}up\'erieure.
\newblock {P}aris, 1954--55.

\bibitem[CE99]{Cartan56}
Henri Cartan and Samuel Eilenberg.
\newblock {\em Homological algebra}.
\newblock Princeton University Press, Princeton, NJ, 1999.
\newblock With an appendix by David A. Buchsbaum, Reprint of the 1956 original.

\bibitem[Che77a]{Chen77a}
Kuo-Tsai Chen.
\newblock Extension of ${C}\sp{\infty }$ function algebra by integrals and
  {M}alcev completion of $\pi \sb{1}$.
\newblock {\em Advances in Math.}, 23(2):181--210, 1977.

\bibitem[Che77b]{Chen77b}
Kuo~Tsai Chen.
\newblock Iterated path integrals.
\newblock {\em Bull. Amer. Math. Soc.}, 83(5):831--879, 1977.

\bibitem[DS95]{DwyerSpalinski95}
W.~G. Dwyer and J.~Spalinski.
\newblock Homotopy theories and model categories.
\newblock In {\em Handbook of algebraic topology}, pages 73--126. Elsevier
  Science, 1995.

\bibitem[EM66]{Eilenberg66}
Samuel Eilenberg and John~C. Moore.
\newblock Homology and fibrations. {I}. {C}oalgebras, cotensor product and its
  derived functors.
\newblock {\em Comment. Math. Helv.}, 40:199--236, 1966.

\bibitem[EML53]{Eilenberg53}
Samuel Eilenberg and Saunders Mac~Lane.
\newblock On the groups of {$H(\Pi,n)$}. {I}.
\newblock {\em Ann. of Math. (2)}, 58:55--106, 1953.

\bibitem[FOOO01]{Fukaya01}
K.~Fukaya, Y.~G. Oh, H.~Ohta, and K.~Ohno.
\newblock {L}angrangian intersection {F}loer theory, anomaly and obstruction.
\newblock Preprint, disponible � la page {\tt
  www.kusm.kyoto-u.ac.jp/$\,\tilde{}\,$fukaya/fukaya.html}, 2001.

\bibitem[Fuc65]{Fuchs65}
Martin Fuchs.
\newblock Verallgemeinerte {H}omotopie-{H}omomorphismen und klassifizierende
  {R}\"aume.
\newblock {\em Math. Ann.}, 161:197--230, 1965.

\bibitem[Fuc76]{Fuchs76}
Martin Fuchs.
\newblock Homotopy equivalences in equivariant topology.
\newblock {\em Proc. Amer. Math. Soc.}, 58:347--352, 1976.

\bibitem[Fuk93]{Fukaya93}
Kenji Fukaya.
\newblock Morse homotopy, ${A}\sp \infty$-category, and {F}loer homologies.
\newblock In {\em Proceedings of GARC Workshop on Geometry and Topology '93
  (Seoul, 1993)}, pages 1--102, Seoul, 1993. Seoul Nat. Univ.

\bibitem[Fuk01a]{Fukaya01b}
Kenji Fukaya.
\newblock {D}eformation theory, homological algebra and mirror symmetry.
\newblock Preprint, disponible � la page {\tt
  www.kusm.kyoto-u.ac.jp/$\,\tilde{}\,$fukaya/fukaya.html}, 2001.

\bibitem[Fuk01b]{Fukaya01a}
Kenji Fukaya.
\newblock {F}loer homology and mirror symmetry {I}{I}.
\newblock Preprint, disponible � la page {\tt
  www.kusm.kyoto-u.ac.jp/$\,\tilde{}\,$fukaya/fukaya.html}, 2001.

\bibitem[Ger63]{Gerstenhaber63}
Murray Gerstenhaber.
\newblock The cohomology structure of an associative ring.
\newblock {\em Ann. of Math. (2)}, 78:267--288, 1963.

\bibitem[GG96]{Guccione96}
Jorge~A. Guccione and Juan~J. Guccione.
\newblock The theorem of excision for {H}ochschild and cyclic homology.
\newblock {\em J. Pure Appl. Algebra}, 106(1):57--60, 1996.

\bibitem[GJ90]{Getzler90}
Ezra Getzler and John D.~S. Jones.
\newblock ${A}\sb \infty$-algebras and the cyclic bar complex.
\newblock {\em Illinois J. Math.}, 34(2):256--283, 1990.

\bibitem[GJ94]{Getzler94}
E.~Getzler and J.D.S Jones.
\newblock Operads, homotopy algebra and iterated integrals for double loop
  spaces.
\newblock E-print {\tt hep-th/9403055}, 1994.

\bibitem[GK94]{Ginzburg94}
Victor Ginzburg and Mikhail Kapranov.
\newblock Koszul duality for operads.
\newblock {\em Duke Math. J.}, 76(1):203--272, 1994.

\bibitem[GL89]{Gugenheim89}
V.~K. A.~M. Gugenheim and L.~A. Lambe.
\newblock Perturbation theory in differential homological algebra. {I}.
\newblock {\em Illinois J. Math.}, 33(4):566--582, 1989.

\bibitem[GLS91]{Gugenheim91}
V.~K. A.~M. Gugenheim, L.~A. Lambe, and J.~D. Stasheff.
\newblock Perturbation theory in differential homological algebra. {I}{I}.
\newblock {\em Illinois J. Math.}, 35(3):357--373, 1991.

\bibitem[GM90]{Goldman90}
William~M. Goldman and John~J. Millson.
\newblock The homotopy invariance of the {K}uranishi space.
\newblock {\em Illinois J. Math.}, 34(2):337--367, 1990.

\bibitem[GS86]{Gugenheim86}
V.~K. A.~M. Gugenheim and J.~D. Stasheff.
\newblock On perturbations and ${A}\sb \infty$-structures.
\newblock {\em Bull. Soc. Math. Belg. S\'er. A}, 38:237--246 (1987), 1986.

\bibitem[Gug72]{Gugenheim72}
V.~K. A.~M. Gugenheim.
\newblock On the chain-complex of a fibration.
\newblock {\em Illinois J. Math.}, 16:398--414, 1972.

\bibitem[Gug82]{Gugenheim82}
V.~K. A.~M. Gugenheim.
\newblock On a perturbation theory for the homology of the loop-space.
\newblock {\em J. Pure Appl. Algebra}, 25(2):197--205, 1982.

\bibitem[GZ67]{GabrielZisman67}
P.~Gabriel and M.~Zisman.
\newblock {\em Calculus of fractions and homotopy theory}, volume~35 of {\em
  Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete}.
\newblock Springer--verlag, 1967.

\bibitem[Hap87]{Happel87}
Dieter Happel.
\newblock On the derived category of a finite-dimensional algebra.
\newblock {\em Comment. Math. Helv.}, 62(3):339--389, 1987.

\bibitem[Hel60]{Heller60}
Alex Heller.
\newblock The loop-space functor in homological algebra.
\newblock {\em Trans. Amer. Math. Soc.}, 96:382--394, 1960.

\bibitem[Hin97]{Hinich97c}
Vladimir Hinich.
\newblock Homological algebra of homotopy algebras.
\newblock {\em Comm. Algebra}, 25(10):3291--3323, 1997.

\bibitem[Hin01]{Hinich01}
Vladimir Hinich.
\newblock D{G} coalgebras as formal stacks.
\newblock {\em J. Pure Appl. Algebra}, 162(2-3):209--250, 2001.

\bibitem[HK91]{Huebschmann91a}
Johannes Huebschmann and Tornike Kadeishvili.
\newblock Small models for chain algebras.
\newblock {\em Math. Z.}, 207(2):245--280, 1991.

\bibitem[HMS74]{Husemoller74}
Dale Husemoller, John~C. Moore, and James Stasheff.
\newblock Differential homological algebra and homogeneous spaces.
\newblock {\em J. Pure Appl. Algebra}, 5:113--185, 1974.

\bibitem[Hov99]{Hovey99}
Mark Hovey.
\newblock {\em Model categories}.
\newblock American Mathematical Society, Providence, RI, 1999.

\bibitem[HS93]{Hinich93}
Vladimir Hinich and Vadim Schechtman.
\newblock Homotopy {L}ie algebras.
\newblock In {\em I. M. Gel\cprime fand Seminar}, pages 1--28. Amer. Math.
  Soc., Providence, RI, 1993.

\bibitem[Hue86]{Huebschmann86}
Johannes Huebschmann.
\newblock The homotopy type of ${F}\psi\sp q$. {T}he complex and symplectic
  cases.
\newblock In {\em Applications of algebraic $K$-theory to algebraic geometry
  and number theory, Part I, II (Boulder, Colo., 1983)}, pages 487--518. Amer.
  Math. Soc., Providence, RI, 1986.

\bibitem[Hue99]{Huebschmann99}
J.~Huebschmann.
\newblock Berikashvili's functor ${D}$ and the deformation equation.
\newblock {\em Proc. A. Razmadze Math. Inst.}, 119:59--72, 1999.

\bibitem[Jar97]{Jardine97}
J.~F. Jardine.
\newblock A closed model structure for differential graded algebras.
\newblock In {\em Cyclic cohomology and noncommutative geometry (Waterloo, ON,
  1995)}, pages 55--58. Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1997.

\bibitem[JL01]{Johansson01}
Leif Johansson and Larry Lambe.
\newblock Transferring algebra structures up to homology equivalence.
\newblock {\em Math. Scand.}, 89(2):181--200, 2001.

\bibitem[Kad80]{Kadeishvili80}
T.~V. Kadeishvili.
\newblock On the theory of homology of fiber spaces.
\newblock {\em Uspekhi Mat. Nauk}, 35(3(213)):183--188, 1980.
\newblock International Topology Conference (Moscow State Univ., Moscow, 1979).

\bibitem[Kad87]{Kadeishvili87}
T.~V. Kadeishvili.
\newblock The functor ${D}$ for a category of ${A}(\infty)$-algebras.
\newblock {\em Soobshch. Akad. Nauk Gruzin. SSR}, 125(2):273--276, 1987.

\bibitem[Kel94a]{Keller94}
Bernhard Keller.
\newblock Deriving {D}{G} categories.
\newblock {\em Ann. Sci. \'Ecole Norm. Sup. (4)}, 27(1):63--102, 1994.

\bibitem[Kel94b]{Keller94a}
Bernhard Keller.
\newblock A remark on the generalized smashing conjecture.
\newblock {\em Manuscripta Math.}, 84(2):193--198, 1994.

\bibitem[Kel99]{Keller99}
Bernhard Keller.
\newblock On the cyclic homology of exact categories.
\newblock {\em J. Pure Appl. Algebra}, 136(1):1--56, 1999.

\bibitem[Kel01a]{Keller01a}
Bernhard Keller.
\newblock Introduction to ${A}$-infinity algebras and modules.
\newblock {\em Homology Homotopy Appl.}, 3(1):1--35 (electronic), 2001.

\bibitem[Kel01b]{Keller01b}
Bernhard Keller.
\newblock Introduction to ${A}$-infinity algebras and modules, addendum.
\newblock Diponible en {\tt
  http://www.math.jussieu.fr/\,$\tilde{}$\,keller/publ/index.html}, 2001.

\bibitem[Kon95]{Kontsevich94}
M.~Kontsevich.
\newblock Homological algebra of mirror symmetry.
\newblock In {\em Proceedings of the International Congress of Mathematicians,
  Vol.\ 1, 2 (Z\"urich, 1994)}, pages 120--139, Basel, 1995. Birkh\"auser.

\bibitem[Kon98]{Kontsevich98}
M.~Kontsevich.
\newblock Triangulated categories and geometry.
\newblock Course at the {E}cole {N}ormale {S}up\'erieure, Paris, 1998.

\bibitem[KS00]{Kontsevich00}
Maxim Kontsevich and Yan Soibelman.
\newblock Deformations of algebras over operads and the {D}eligne conjecture.
\newblock In {\em Conf\'erence Mosh\'e Flato 1999, Vol. I (Dijon)}, pages
  255--307. Kluwer Acad. Publ., Dordrecht, 2000.

\bibitem[KS01]{Kontsevich01}
Maxim Kontsevich and Yan Soibelman.
\newblock Homological mirror symmetry and torus fibrations.
\newblock In {\em Symplectic geometry and mirror symmetry (Seoul, 2000)}, pages
  203--263. World Sci. Publishing, River Edge, NJ, 2001.

\bibitem[KS02a]{Kontsevich02}
Maxim Kontsevich and Yan Soibelman.
\newblock {D}eformation theory.
\newblock {L}ivre en pr�paration, 2002.

\bibitem[KS02b]{Kontsevich02a}
Maxim Kontsevich and Yan Soibelman.
\newblock $\rm{A}_\infty$-categories and non-commutative geometry.
\newblock en pr�paration, 2002.

\bibitem[KV87]{Keller87}
Bernhard Keller and Dieter Vossieck.
\newblock Sous les cat\'egories d\'eriv\'ees.
\newblock {\em C. R. Acad. Sci. Paris S\'er. I Math.}, 305(6):225--228, 1987.

\bibitem[Laz02]{Lazarev02}
A.~Lazarev.
\newblock Hochschild cohomology and moduli spaces of strongly homotopy
  associative algebras.
\newblock E-print {\tt math.QA/0204062}, 2002.

\bibitem[Lyu02]{Lyubashenko02}
Volodymyr Lyubashenko.
\newblock {C}ategorie of $\rm{A}_\infty$-categories.
\newblock math.CT/0211037, 2002.

\bibitem[Mar96]{Markl96}
Martin Markl.
\newblock Models for operads.
\newblock {\em Comm. Algebra}, 24(4):1471--1500, 1996.

\bibitem[Mar99]{Markl99}
M.~Markl.
\newblock Homotopy algebras are homotopy algebras.
\newblock E-print {\tt math.AT/9907138}, 1999.

\bibitem[Mar00]{Markl00}
Martin Markl.
\newblock Homotopy algebras via resolutions of operads.
\newblock In {\em The Proceedings of the 19th Winter School ``Geometry and
  Physics'' (Srn\'\i, 1999)}, number~63, pages 157--164, 2000.

\bibitem[May72]{May72}
J.~P. May.
\newblock {\em The geometry of iterated loop spaces}.
\newblock Springer-Verlag, Berlin, 1972.
\newblock Lectures Notes in Mathematics, Vol. 271.

\bibitem[Mer99]{Merkulov99}
S.~A. Merkulov.
\newblock Strong homotopy algebras of a {K}\"ahler manifold.
\newblock {\em Internat. Math. Res. Notices}, (3):153--164, 1999.

\bibitem[ML98]{MacLane98}
Saunders Mac~Lane.
\newblock {\em Categories for the working mathematician}.
\newblock Springer-Verlag, New York, second edition, 1998.

\bibitem[Moo71]{Moore70}
John~C. Moore.
\newblock Differential homological algebra.
\newblock In {\em Actes du Congr\`es International des Math\'ematiciens (Nice,
  1970), Tome 1}, pages 335--339. Gauthier-Villars, Paris, 1971.

\bibitem[Mun76]{Munkholm76}
Hans~J. Munkholm.
\newblock shm maps of differential algebras, i.~a charactarization up to
  homotopy.
\newblock {\em Journal of Pure and Applied Algebra}, 9:39--46, 1976.

\bibitem[Mun78]{Munkholm78}
Hans~J. Munkholm.
\newblock D{G}{A} algebras as a {Q}uillen model category. {R}elations to shm
  maps.
\newblock {\em J. Pure Appl. Algebra}, 13(3):221--232, 1978.

\bibitem[Pro85]{Proute85}
A.~Prout�.
\newblock {\em Alg�bres diff�rentielles fortement homotopiquement
  associatives}.
\newblock Th�se d'�tat, Univ. Paris VII, France, 1985.

\bibitem[PZ98]{Polishchuk98}
Alexander Polishchuk and Eric Zaslow.
\newblock Categorical mirror symmetry: the elliptic curve.
\newblock {\em Adv. Theor. Math. Phys.}, 2(2):443--470, 1998.

\bibitem[Qui67]{Quillen67}
Daniel Quillen.
\newblock {\em Homotopical algebra}, volume~43 of {\em Lec. Notes in Math.}
\newblock Springer--Verlag, 1967.

\bibitem[Qui69]{Quillen69}
Daniel Quillen.
\newblock Rational homotopy theory.
\newblock {\em Ann. of Math.}, 90:205--295, 1969.

\bibitem[Qui73]{Quillen73}
Daniel Quillen.
\newblock Higher algebraic ${K}$-theory. {I}.
\newblock In {\em Algebraic $K$-theory, I: Higher $K$-theories (Proc. Conf.,
  Battelle Memorial Inst., Seattle, Wash., 1972)}, pages 85--147. Lecture Notes
  in Math., Vol. 341. Springer, Berlin, 1973.

\bibitem[Sei]{Seidel02}
P.~Seidel.
\newblock Communication orale, {O}berwolfach.
\newblock 02/04/2002.

\bibitem[SH70]{Stasheff70}
J.~D. Stasheff and Steve Halperin.
\newblock Differential algebra in its own rite.
\newblock In {\em Proceedings of the Advanced Study Institute on Algebraic
  Topology (Aarhus Univ., Aarhus 1970), Vol. III}, pages 567--577. Various
  Publ. Ser., No. 13, Aarhus Univ., Aarhus, 1970. Mat. Inst.

\bibitem[Smi80]{Smirnov80}
V.~A. Smirnov.
\newblock Homology of fiber spaces.
\newblock {\em Uspekhi Mat. Nauk}, 35(3(213)):227--230, 1980.
\newblock International Topology Conference (Moscow State Univ., Moscow, 1979).

\bibitem[SS85]{Schlessinger85}
Michael Schlessinger and James Stasheff.
\newblock The {L}ie algebra structure of tangent cohomology and deformation
  theory.
\newblock {\em J. Pure Appl. Algebra}, 38(2-3):313--322, 1985.

\bibitem[SS00]{SchwedeShipley02}
Stefan Schwede and Brooke~E. Shipley.
\newblock Algebras and modules in monoidal model categories.
\newblock {\em Proc. London Math. Soc. (3)}, 80(2):491--511, 2000.

\bibitem[Sta63a]{Stasheff63a}
J.~D. Stasheff.
\newblock Homotopy associativity of {$H$}-spaces, {I}.
\newblock {\em Trans. Amer. Math. Soc.}, 108:275--292, 1963.

\bibitem[Sta63b]{Stasheff63b}
J.~D. Stasheff.
\newblock Homotopy associativity of {$H$}-spaces, {II}.
\newblock {\em Trans. Amer. Math. Soc.}, 108:293--312, 1963.

\bibitem[Ste47]{Steenrod47}
N.~E. Steenrod.
\newblock Products of cocycles and extensions of mappings.
\newblock {\em Ann. of Math. (2)}, 48:290--320, 1947.

\bibitem[Ste52]{Steenrod52}
N.~E. Steenrod.
\newblock Reduced powers of cohomology classes.
\newblock {\em Ann. of Math. (2)}, 56:47--67, 1952.

\bibitem[Ver77]{Verdier77}
Jean-Louis Verdier.
\newblock Cat{\'e}gories d{\'e}riv{\'e}es, {\'e}tat 0.
\newblock In {\em SGA 4.5}, volume 569 of {\em Lec. Notes in Math.}, pages
  262--308. Springer--Verlag, 1977.

\bibitem[Wod88]{Wodzicki88}
Mariusz Wodzicki.
\newblock The long exact sequence in cyclic homology associated with an
  extension of algebras.
\newblock {\em C. R. Acad. Sci. Paris S\'er. I Math.}, 306(9):399--403, 1988.

\bibitem[Wod89]{Wodzicki89}
Mariusz Wodzicki.
\newblock Excision in cyclic homology and in rational algebraic {$K$}-theory.
\newblock {\em Ann. of Math. (2)}, 129(3):591--639, 1989.

\end{thebibliography}


%%      INDEX DES NOTATIONS

\francais
 \chapter*{Notations}
\fancyhead[LO]{Notations}
\fancyhead[RE]{Notations}
\addcontentsline{toc}{chapter}{\hspace{.65cm}Notations}

    \input{Notation_index.tex}





%%      INDEX

\fancyhead[LO]{}
\fancyhead[RE]{}

%  \printindex

\begin{theindex}

  \item {$\ai$-alg\`ebre}, 25
    \subitem topologique, 153
  \item {$\ai$-cat\'egorie}, 135
    \subitem tordue, 148, 158
  \item {$\ai$-cog\`ebre}, 27
  \item {$\ai$-\'equivalence}, 196
  \item {$\ai$-foncteur}, 136
    \subitem de Yoneda, 162
    \subitem de Yoneda g\'en\'eralis\'e, 186
    \subitem pleinement fid\`ele, 162
    \subitem tordu, 149, 159
  \item {$\ai$-isomorphie}, 195
  \item {$\ai$-module}, 79
  \item {$\ai$-morphisme}, 25, 80
    \subitem strict, 25, 80
  \item {$\ai$-pr\'e-triangul\'ee (cat\'egorie)}, 171
  \item {$\ai$-quasi-isomorphisme}, 26, 80
  \item {$\rm{A}_n$-alg\`ebre}, 25
  \item {$\rm{A}_n$-module}, 79
  \item {$\rm{A}_n$-morphisme}, 25, 79
  \item acyclique (cocha\IeC {\^\i }ne), 68
  \item adjonction de Quillen, 204
  \item admissible
    \subitem cocha\IeC {\^\i }ne, 67
    \subitem cog\`ebre, 34
    \subitem comodule, 71
    \subitem filtration, 34
  \item {alg\`ebre}, 22
    \subitem diff\'erentielle gradu\'ee, 23
    \subitem enveloppante, 84, 127
    \subitem gradu\'ee, 23
    \subitem libre, 22
    \subitem presque libre, 23
    \subitem {r\'eduite}, 62
    \subitem tensorielle augment\'ee, 83
    \subitem tensorielle r\'eduite, 22
  \item augmentation, 62, 81

  \indexspace

  \item {${\mathbb A}$-${\mathbb B}$-bimodule}, 133
  \item bipolydule, 92, 137
    \subitem tordu, 151, 159

  \indexspace

  \item {cat\'egorie}
    \subitem {$\ai$-pr\'e-triangul\'ee}, 171
    \subitem de Frobenius, 76
    \subitem de mod\`eles, 202
    \subitem {d\'eriv\'ee}, 76, 88, 94, 118, 126, 129
    \subitem diff\'erentielle gradu\'ee, 135
    \subitem homotopique, 203
    \subitem stable, 76
    \subitem triangul\'ee alg\'ebrique, 172
  \item co-augment\'ee (cog\`ebre), 64
  \item co-augmentation, 64
  \item co-induction, 65
  \item co-unitaire, 64, 65
  \item cocha\IeC {\^\i }ne tordante, 31, 67
    \subitem acyclique, 68
    \subitem admissible, 67
    \subitem g\'en\'eralis\'ee, 124
    \subitem universelle, 69
  \item cocompl\`ete (cog\`ebre), 23
  \item cocomplet (comodule), 66
  \item {cod\'erivation}, 23, 65, 109, 183
  \item cofibrant, 203
  \item cofibration, 202
  \item cofibration standard (de $\alg$), 37
  \item cofibration standard (de $\Modu A$), 72
  \item {cog\`ebre}, 23
    \subitem admissible, 34
    \subitem {co-augment\'ee}, 64
    \subitem cocompl\`ete, 23
    \subitem {r\'eduite}, 64
    \subitem tensorielle r\'eduite, 24
  \item colibre (comodule), 66
  \item comodule, 65
    \subitem admissible, 71
    \subitem cocomplet, 66
    \subitem colibre, 66
    \subitem diff\'erentiel gradu\'e, 65
    \subitem gradu\'e, 65
    \subitem presque colibre, 66
  \item compact (objet), 172
  \item compl\'etion, 153
  \item complexe, 21
    \subitem filtr\'e, 34
  \item {c\^one d'un $\ai$-morphisme}, 90
  \item construction bar, 28, 68, 83, 93
  \item construction cobar, 30, 68
  \item contractant, 153
  \item contraction, 54
  \item corestriction, 65
  \item cylindre, 202

  \indexspace

  \item {d\'erivation}, 22, 63
  \item diff\'erentielle tordue, 67

  \indexspace

  \item {\'el\'ement tordant}, 145, 154
  \item {\'equivalence de Quillen}, 204
  \item {\'equivalence faible}, 202
    \subitem {d'$\ai$-foncteurs}, 192
  \item exhaustive (filtration), 34
  \item extension, 164
  \item extension scind\'ee, 164

  \indexspace

  \item fibrant, 203
  \item fibration, 202
  \item filtration, 34
    \subitem admissible, 34
    \subitem {$C$-primitive}, 35
    \subitem exhaustive, 34
    \subitem primitive, 23, 35, 66
  \item foncteur
    \subitem de Quillen, 204
    \subitem {d\'eriv\'e}, 204
    \subitem standard, 113, 114

  \indexspace

  \item {g\'en\'erateur}, 172

  \indexspace

  \item {$H$-unitaire}, 119, 123
  \item hauteur, 164
  \item Hochschild
    \subitem complexe, 214
    \subitem complexe r\'eduit, 215
  \item homotopie, 22--24, 50, 63, 65
    \subitem \`a gauche, 203
    \subitem {$\ai$-morphismes}, 26, 80, 81

  \indexspace

  \item identit\'e
    \subitem d'un objet, 135
    \subitem le foncteur, 136
  \item induction, 63
  \item irr\'eductible, 22
  \item isomorphie, 195

  \indexspace

  \item lemme clef, 140
  \item lemme de perturbation, 54
  \item libre
    \subitem alg\`ebre, 22
    \subitem module, 63

  \indexspace

  \item Maurer-Cartan (\'equation), 100, 146
  \item {mod\`ele diff\'erentiel gradu\'e}, 171
  \item {mod\`ele minimal}, 54, 105
  \item module, 63
    \subitem diff\'erentiel gradu\'e, 63
    \subitem gradu\'e, 63
    \subitem libre, 63
    \subitem presque libre, 63
  \item {${\mathbb A}$-module}, 133

  \indexspace

  \item objet de chemins, 203
  \item objet filtr\'e, 34
  \item objet gradu\'e, 20
  \item objet tordu, 163, 165
  \item obstruction, 207

  \indexspace

  \item perturbation, 54
  \item polydule, 79, 137
    \subitem topologique, 153
  \item presque colibre (comodule), 66
  \item presque libre
    \subitem {alg\`ebre}, 23
    \subitem module, 63
  \item {$n$-primitifs}, 23, 66
  \item produit tensoriel tordu, 67, 125

  \indexspace

  \item quasi-isomorphisme filtr\'e, 34

  \indexspace

  \item {$R$-$\ai$-cat\'egorie}, 154
  \item r\'eduite (alg\`ebre), 62
  \item r\'eduite (cog\`ebre), 64
  \item r\'esolution cofibrante, 203
  \item r\'esolution fibrante, 203
  \item {r\'eduction}, 81
  \item rel\`evement, 201
  \item restriction, 63

  \indexspace

  \item satur\'ee (classe), 202
  \item {scind\'ee (extension)}, 164
  \item {strict ($\ai$-morphisme)}, 25, 80
  \item strictement unitaire
    \subitem {$\ai$-alg\`ebre}, 81
    \subitem bipolydule, 92
    \subitem {\'el\'ement de $\Hom_{\Nunc}(f_1,f_2)$}, 185
    \subitem homotopie, 98
    \subitem polydule, 81
  \item suspension, 21, 79

  \indexspace

  \item {tensorielle augment\'ee (alg\`ebre)}, 83
  \item tensorielle r\'eduite (alg\`ebre), 22
  \item tensorielle r\'eduite (cog\`ebre), 24
  \item tensoriellement nilpotent, 146
  \item topologie, 153
  \item torsion, 148, 149, 151, 158, 159
  \item triviale (cofibration), 202
  \item triviale (fibration), 202

  \indexspace

  \item {unit\'e}
    \subitem homologique, 98
    \subitem stricte, 81
  \item universelle (cocha\IeC {\^\i }ne), 69

  \indexspace

  \item {Yoneda ($\ai$-foncteur de)}, 162
  \item {Yoneda g\'en\'eralis\'e ($\ai$-foncteur de)}, 186

\end{theindex}


%% PAGE DE DOS 

\newpage

\input{Page_dos.tex}



\end{document}



Torsion.tex

\noindent Dans les chapitres \ref{chapitre_objets_tordus} et \ref{chapitre_ai_func},
nous allons construire des $\ai$-cat�gories dont les compositions sont construites par un processus de
torsion que nous d�crivons dans ce chapitre. 

En th�orie des
d�formations des alg�bres de Lie diff�rentielles gradu�es (ou alg�bres associatives
diff�rentielles gradu�es), la technique de la torsion est bien connue
(pour un panorama, voir par exemple \cite{Huebschmann99}).
La version $\ai$ (et $\mathrm{L}_\infty$) a �t� introduite dans
\cite[Chap.~4]{Fukaya01} (voir aussi \cite{Fukaya01b}). Notre d�monstration
du fait que les compositions tordues d�finissent bien une structure $\ai$ est diff�rente.
La torsion d'une $\ai$-alg�bre $A$ par une solution � l'�quation de Maurer-Cartan g�n�ralis�e modifie
non seulement la diff�rentielle
$m_1$ mais aussi toutes les multiplications sup�rieures.

Ce chapitre est divis� en deux sections. Nous traitons d'abord le cas simple o� la torsion
est tensoriellement nilpotente, puis le cas o� les $\ai$-structures sont topologiques. 
Nous montrons que si $f : \ca \ra \cb$ est un $\ai$-foncteur qui induit des 
quasi-isomorphismes dans les espaces
de morphismes, sa torsion induit aussi des quasi-isomorphismes dans les espaces
de morphismes (\ref{proposition_torsion_ai-foncteurs_equiv_faible_I}). 




\section{Le cas tensoriellement nilpotent}


\subsection{El�ments tordants}

Soit ${\mathbb A}$ un ensemble et $\ca$ une $\ai$-cat�gorie sur ${\mathbb A}$.
Munissons l'�l�ment neutre $e = e_{\mathbb A}$ pour le produit tensoriel $\tso_{\mathbb A}$
de la structure de cog�bre donn�e par la contrainte d'unitarit� de la cat�gorie mono�dale de base $\sf C({\mathbb A},{\mathbb A})$
(voir \ref{section_categories_de_base_aicat} et \ref{categorie_de_base})
\[
e \arr{\sim} e \tso e.
\]
Consid�rons $e$ comme une cog�bre diff�rentielle gradu�e concentr�e en degr�~$0.$

\begin{definition}{\em 
Un {\em �l�ment tordant (tensoriellement nilpotent)} \index{element tordant@{�l�ment tordant}}
est un morphisme gradu� $x : e \ra \ca$ de degr� $+1$ tel que
\english \begin{itemize}
\item[(1)] la compos�e $s \circ x$ se rel�ve en un morphisme de cog�bres
\[
X : e \ra B\ca,
\]
\item[(2)] et ce morphisme $X$ est compatible
aux diff�rentielles.
\end{itemize} \francais
}\end{definition}


\begin{remarque}{\em \label{remarque_nilpotence_tensorielle}
Notons $p_1$ la projection $ B\ca \ra S\ca$.
La composition avec la projection donne une bijection
\[
\Hom_{\sz \cog} (e , B\ca) \arr{\sim} \Hom_{{nil}} (e,S\ca),
\]
o� $\Hom_{{nil}} (e,S\ca)$ est l'ensemble des morphismes
gradu�s $\phi : e \ra S\ca$ de degr� $0$
tels que, pour tout $A \in {\mathbb A}$, il existe un $N$ tel que
$\phi \tp n \Delta^{n-1} (\id_A)= 0$ pour $n\geq N.$
Nous en d�duisons qu'un morphisme gradu� $x : e \ra \ca$ de degr� $+1$ est
un �l�ment tordant si et seulement si
\english \begin{itemize}
\item[(1)] il est {\em tensoriellement nilpotent}\index{tensoriellement nilpotent} :
pour tout objet
$A\in {\mathbb A}$, l'�l�ment  $x(\id_A)  \in \ca(A,A)$ de degr� 1
est tel que
$x(\id_A)\tpo {n}$ est nul
pour un certain $n>0$,
\item[(2)] il v�rifie l'�quation de Maurer-Cartan \index{Maurer-Cartan (�quation)}
\[
\sum_{i=1}^\infty m_i\big(x(\id_A)\tso \hdots \tso x(\id_A)\big) = 0, \quad A \in {\mathbb A}.
\]
(La somme est finie gr�ce � la propri�t� de nilpotence tensorielle).
\end{itemize} \francais
}\end{remarque}



\subsection{Torsion des $\ai$-cat�gories} \label{section_torsion_ai-categories_I}


Soit ${\mathbb A}$ un ensemble et $\ca$ une $\ai$-cat�gorie sur ${\mathbb A}$. 
Soit $x$ un �l�ment tensoriellement nilpotent de $\ca.$
Soit 
\[
g : \ct S\ca = e \oplus \ctr S\ca \ra S\ca 
\]
le morphisme de composantes $[sx , p_1]$, o� $p_1$ est
la projection $\ctr S\ca \ra S\ca$.
Soit le morphisme de ${\mathbb A}$-${\mathbb A}$-bimodules
\[
\phi_x : \ct S\ca \ra \ct S\ca = \bigoplus_{i\geq 0}(S\ca)\tpo i
\]
dont la compos�e avec la projection sur $(S\ca)\tpo i$ est le morphisme
\[
(g \tpo i) \circ \Delta^{(i)} \quad \mbox{si} \quad i \geq 1, \quad \Id_e \quad \mbox{sinon.}
\]
Il est clairement
un morphisme de cog�bres co-unitaire et il est bien d�fini car
sa restriction au sous-objet $(S\ca)\tpo i \in \sf C({\mathbb A},{\mathbb A})$
est �gale � la somme (bien d�finie par la propri�t� de nilpotence tensorielle)
\[
\sum_{l \geq 0} \sum ((sx) \tpo{l_0} \tso \Id_{S\ca} \tso (sx) \tpo{l_1} \tso \hdots \tso \Id_{S\ca} \tso
(sx) \tpo{l_{i-1}} \tso \Id_{S\ca} \tso (sx) \tpo{l_{i}}),
\]
o� $l_0 + \hdots + l_{i} = l$. Remarquons que la composition
\[
\phi_x \circ \coaugmentation : e \ra \ct S\ca = e \oplus \ctr S\ca,
\]
o� $\coaugmentation$ est la co-augmentation de
$\ct S\ca$, a pour composantes le morphisme $\Id_e$ et le rel�vement $X$
de $s \circ x$.
La matrice de
\[
\phi_x : \bigoplus_{j\geq 0}(S\ca)\tpo j \ra \bigoplus_{i\geq 0}(S\ca)\tpo i
\]
est triangulaire inf�rieure et sa diagonale est celle de l'identit�.
Le morphisme $\phi_x$ est donc un automorphisme co-unitaire (non co-augment�)
de la cog�bre gradu�e co-augment�e $\ct S\ca$.
La diff�rentielle de la construction bar $B\ca$ nous donne une diff�rentielle
\[
b : \ct S\ca \ra \ct S\ca
\]
qui s'annule sur la co-augmentation.
Soit la compos�e
\[
D_x = \phi_x^{-1} \circ b \circ \phi_x : \ct S\ca \ra \ct S\ca.
\]
Supposons que $x$ v�rifie l'�quation de Maurer-Cartan.
Le rel�vement $X : e \ra \ctr S\ca$ de $s\circ x$ est diff�rentiel gradu�.
La composition
\[
b \circ \phi_x \circ \coaugmentation = b \circ \Big[\begin{array}{c}\Id_e \\ X \end{array}\Big] : e \ra \ct S\ca = e \oplus \ctr S\ca
\]
est donc nulle et on a $D_x \circ \coaugmentation = 0.$
Posons $b_x$ le morphisme donn� par la fl�che verticale de droite du diagramme
de suites exactes
\[
\xymatrix{0 \ar[r] & e \ar[r]^(.3){\coaugmentation } \ar[d]_0 & \ct S\ca \ar[r]
\ar[d]_{D_x} &\ctr S\ca \ar[r] \ar[d]_{{b_x}} & 0 \\
              0 \ar[r] & e \ar[r]^(.3){\coaugmentation } & \ct S\ca \ar[r]
                    &\ctr S\ca \ar[r] & 0.  \\}
\]
Comme $D_x$ est une $(\Id,\Id)$-cod�rivation de $\ct S\ca$,
le morphisme $b_x$ est une $(\Id,\Id)$-cod�rivation de $\ctr S\ca$.
Comme $D_x^2 = 0$, la cod�rivation $b_x$ est une diff�rentielle de la cog�bre $\ctr S\ca.$
Elle est d�termin�e (\ref{cogebres_tensorielles}) par les composantes
\[
(b_x)_i :  (S\ca)\tpo i \ra S\ca
\]
de sa composition avec la projection sur $S\ca$.

\begin{lemme} \label{lemme_torsion_ai-categories_I}
Soit $i \geq 1.$ Le morphisme $(b_x)_i$ est la somme
\[
\sum_{l} \sum b_{l+m}((sx) \tpo{l_0} \tso \Id_{S\ca} \tso (sx) \tpo{l_1} \tso \hdots \tso \Id_{S\ca} \tso
(sx) \tpo{l_{i-1}} \tso \Id_{S\ca} \tso (sx) \tpo{l_{i}}),
\]
o� $l_0 + \hdots + l_{i} = l$.
\end{lemme}

\dem Remarquons que $D_x$ restreint au sous-objet $\ctr S\ca$ de $\ct S\ca$ est �gal � $b_x.$
Nous devons calculer
\[
(p_1 \circ D_x) |_{(S\ca)\tpo i} = (p_1 \circ \phi_{x}^{-1} \circ b \circ \phi_x)|_{(S\ca)\tpo i} \quad i\geq 1.
\]
Comme la matrice des coefficients de
\[
\phi_x : \bigoplus_{j\geq 0}(S\ca)\tpo j \ra \bigoplus_{i\geq 0}(S\ca)\tpo i
\]
est triangulaire inf�rieure et comme sa diagonale est celle
de l'identit�, la matrice de $\phi_x^{-1}$ est de la m�me forme. Ainsi,
les morphisme $p_1 \circ \phi_{x}^{-1} \circ b \circ \phi_x$ et
$p_1 \circ b \circ \phi_x$ restreints � $(S\ca)\tpo i$ sont �gaux.
Ceci d�montre le lemme. \findem\\


\begin{definition}[K.~Fukaya \cite{Fukaya01} (voir aussi \cite{Fukaya01b})]
{\em \label{definition_torsion_ai-categories_I}
L'{\em $\ai$-cat�gorie tordue $\ca_x$} \index{A-infini categorie@{$\ai$-cat�gorie}!tordue} \index{torsion}
\indexnotation{cax1}
sur ${\mathbb A}$ est le ${\mathbb A}$-${\mathbb A}$-bimodule $\ca_x = \ca$
dont la construction bar $B\ca_x$ est la cog�bre tensorielle r�duite diff�rentielle gradu�e
\[
(\ctr S\ca, b_x).
\]
Ses compositions
\[
m^x_i : \ca_x \tpo i \ra \ca_x, \quad i \geq 1,
\]
sont donc d�finies par la somme
\[
\sum_{l} \sum (-1)^{s} m^{\ca}_{l+i}(x \tpo{l_0} \tso \Id_\ca \tso x \tpo{l_1} \tso \hdots \tso \Id_\ca \tso
x \tpo{l_{i-1}} \tso \Id_\ca \tso x \tpo{l_{i}}),
\]
o� l'exposant du signe est $s = \sum_{1 \leq t \leq i} t \times l_t$
(Cette somme infinie d�finit bien un morphisme gr�ce � la propri�t� de nilpotence tensorielle
de $x$).
}\end{definition}



\subsection{Torsion des $\ai$-foncteurs}\label{section_torsion_ai-foncteurs_I}

Soit ${\mathbb A}$ et ${\mathbb B}$ deux ensembles, $\ca$ et $\cb$ deux $\ai$-cat�gories sur ${\mathbb A}$ et ${\mathbb B}.$ Soit
\[
(\dot f, f) : \ca \ra \cb
\]
un $\ai$-foncteur et $x$ et $x'$ des �l�ments tordants de $\ca$ et $\cb$ v�rifiant une relation de
compatibilit� avec $f$ qui sera pr�cis�e plus bas.
Cette relation dit approximativement que l'image de $x$ par $f$
est $x'.$ Le but de cette section est de construire un $\ai$-foncteur tordu
\[
 \ca_x \ra \cb_{x'}.
\]


Munissons le ${\mathbb A}$-${\mathbb A}$-bimodule $\lrus{\dot f}{\cb}{\dot f}$ de la
structure de $\ai$-cat�gorie sur ${\mathbb A}$ du lemme \ref{lemme_ai-categorie_fBf}. Nous notons $\cb'$ cette
$\ai$-cat�gorie sur ${\mathbb A}$. L'�l�ment tordant
\[
x' : e_{\mathbb B} \ra \cb
\]
donne un �l�ment tordant de $\cb'$
\[
e_{\mathbb A} \ra \cb', \quad \id_A \mapsto x'(\dot fA).
\]
Nous le notons aussi $x'.$ Soit
\[
F : \Ba\ca \ra \Ba\cb'
\]
la construction bar co-augment�e de l'$\ai$-morphisme  $f : \ca \ra \cb'.$
Nous allons construire l'$\ai$-foncteur tordu de fa�on � ce que
le morphisme
\[
G = \phi_{x'}^{-1} \circ F \circ \phi_x : \ct S\ca \arr{} \ct S\cb'
\]
soit sa construction bar co-augment�e.
Remarquons que pour des �l�ments tordants $x$ et $x'$ quelconques,
le morphisme $G$ est bien un morphisme diff�rentiel gradu�
\[
G : \Ba \ca_x \ra \Ba \cb'_{x'}.
\]
Il n'y a cependant aucune raison pour qu'il soit co-augment� car $\phi_x$ et $\phi_{x'}$
ne le sont pas. Demander qu'il le soit nous donne des relations de compatibilit�s entre
$x$ et $x'$ :
Supposons que $G$ est augment�. Nous avons l'�galit�
\[
\phi_{x'}^{-1} \circ F \circ \phi_{x} \circ \coaugmentation = \coaugmentation,
\]
ou en d'autre terme, nous avons
\[
F \circ \phi_{x} \circ \coaugmentation = \phi_{x'} \circ \coaugmentation.
\]
Comme les compositions $\phi_x \circ \coaugmentation$ et $\phi_{x'} \circ \coaugmentation$ sont
�gales aux morphismes
\[
\Id_e + X : e \ra e \oplus \ctr  S\ca \quad \mbox{et} \quad \Id_e + X' : e \ra e \oplus \ctr  S\cb'
\]
o� $X$ et $X'$ sont les rel�vements de $x : e \ra \ca$ et $x' : e \ra \cb',$
la compatibilit� entre $x$ et $x'$
affirme que la somme (bien d�finie par la propri�t� de
nilpotence tensorielle de $x$)
\[
\sum_{i \geq 1} f_i (x \tpo i) : e \ra \cb'
\]
est �gale � l'�l�ment tordant $x'.$


Comme le morphisme $G$ est co-augment�, il est la co-augmentation d'un
morphisme des cog�bres diff�rentielles gradu�es r�duites
\[
F_x : B\ca_x \ra B\cb'_{x'}.
\]

\begin{lemme}\label{lemme_torsion_ai-foncteurs_I}
Soit $i \geq 1.$ Le morphisme $(F_x)_i : (S\ca)\tpo i \ra S\cb'$ est la somme
\[
\sum_{l} \sum F_{l+m}((sx) \tpo{l_0} \tso \Id_{S\ca} \tso (sx) \tpo{l_1} \tso \hdots \tso \Id_{S\ca} \tso
(sx) \tpo{l_{i-1}} \tso \Id_{S\ca} \tso (sx) \tpo{l_{i}}),
\]
o� $l_0 + \hdots + l_{i} = l$.
\end{lemme}

\dem Similaire � celle du lemme \ref{lemme_torsion_ai-categories_I}.\\


Remarquons que l'$\ai$-cat�gorie $\cb'_{x'}$ est �gale � $\lrus{\dot f}{(\cb_{x'})}{\dot f}$.

\begin{definition}{\em \label{definition_torsion_ai-foncteurs_I}
L'{\em $\ai$-foncteur tordu} \index{A-infini foncteur@{$\ai$-foncteur}!tordu} \index{torsion}
\indexnotation{fx1}
\[
(\dot f,f^x) : \ca_x \ra \cb_{x'}
\]
est le foncteur dont la construction bar est $F_x.$
}\end{definition}

Il est donc d�fini par des morphismes
\[
f^x_i : \ca_x \tpo i \ra \lrus{\dot f}{(\cb_{x'})}{\dot f}, \quad i\geq 1,
\]
d�finis par les sommes
\[
\sum_{l} \sum (-1)^{s} f^{\ca}_{l+i}(x \tpo{l_0} \tso \Id_\ca \tso x \tpo{l_1} \tso \hdots \tso \Id_\ca \tso
x \tpo{l_{i-1}} \tso \Id_\ca \tso x \tpo{l_{i}}),
\]
o� l'exposant du signe est $s = \sum_{1 \leq t \leq i} t \times l_t$.\\



{\noindent \bf Torsion et �quivalences faibles}


\begin{lemme} 
Soit $\ca$ une $\ai$-cat�gorie et $x$ un �l�ment tordant tensoriellement nilpotent. 
Soit $\ca$ une $\ai$-cat�gorie faiblement �quivalente � z�ro,
i.~e.~le morphisme dans $\mathsf C(\mathbb A,\mathbb A)$
\[
\ca \ra 0
\]
est un $\ai$-quasi-isomorphisme.
La cat�gorie tordue $\ca_x$ est faiblement �quivalente � z�ro.
\end{lemme}



\dem La cat�gorie ambiante du raisonnement ci-dessous est $\mathsf C(\mathbb A,\mathbb A)$.
Nous rappellons (\ref{remarque_ai-morphismes_ai-foncteurs})
qu'un $\ai$-morphisme $f$ entre deux $\ai$-alg�bres de $\mathsf C(\mathbb A,\mathbb A)$
est un $\ai$-foncteur dont l'application sous-jacente $\dot f$ est l'identit� de $\mathbb A$.
Soit $K$ le complexe contractile $(\ca,m_1)$.
Consid�rons le comme une $\ai$-alg�bre (\ref{remarque_ai-structure_complexe}).
Le lemme (\ref{lemme1_cmf_aia}) montre qu'il existe un $\ai$-(iso)morphisme
\[
f : \ca \ra K
\]
tel que $f_1 = \Id_K.$
Munissons l'$\ai$-alg�bre $K$ de l'�l�ment tordant
\[
x' = \sum_{i \geq 1} f_i (x \tpo i).
\]
Le diagramme commutatif
\[
\xymatrix{
\Ba \ca \ar[r]^{F} \ar[d]_{\phi_x} & \Ba K \ar[d]^{\phi_{x'}}\\
\Ba \ca_x \ar[r]_G & \Ba K_{x'}
}
\]
montre que $G$ est un isomorphisme. En particulier, $\ca_x$ est $\ai$-quasi-isomorphe
� $K_{x'}.$ Il suffit donc de montrer que $K_{x'}$ est faiblement �quivalent � z�ro.
Par construction, les multiplications $m^K_i$, $i\geq 2$, sont nulles. Nous en d�duisons que
\[
m^{K_{x'}}_1 = m^K_1 \quad \mbox {et} \quad  m^{K_{x'}}_i = 0 \quad i \geq 2.
\]
Ainsi, l'$\ai$-cat�gorie tordue $K_{x'}$ est �gale � $K$ et elle est faiblement
�quivalente � z�ro.
\findem.




\begin{proposition}\label{proposition_torsion_ai-foncteurs_equiv_faible_I}
Soit $\ca$ et $\cb$ des $\ai$-cat�gories sur $\mathbb A$ et $\mathbb B.$
Soit
\[
(\dot f,f) : \ca \ra \cb
\]
un $\ai$-foncteur qui
induit un quasi-isomorphisme dans les espaces de morphismes, i.~e.~
les morphismes
\[
f_1 : \ca(A,A') \ra \cb(\dot fA,\dot f A'), \quad A,A' \in \mathbb A,
\]
sont des quasi-isomorphismes. Soit $x$ et $x'$ des �l�ments tordant nilpotents
de $\ca$ et $\cb$ compatibles � $f.$
L'$\ai$-foncteur tordu
\[
(\dot f,f^x) : \ca_x \ra \cb_{x'}
\]
induit un quasi-isomorphisme dans les espaces de morphismes.
\end{proposition}





\dem Notons $\cb'$ l'$\ai$-cat�gorie $\lrus{\dot f}{\cb}{\dot f}$ sur $\mathbb A$
(voir \ref{lemme_ai-categorie_fBf}).
L'$\ai$-foncteur $f$ induit un quasi-isomorphisme dans les espaces de morphismes
si et seulement si l'$\ai$-morphisme dans la cat�gorie des $\ai$-alg�bres dans $\sf C(\mathbb A,\mathbb A)$
\[
f' : \ca \ra \cb'
\]
induit par $f$ est une �quivalence faible.
Supposons donc que $f$ est un $\ai$-quasi-isomorphisme dans $\sf C(\mathbb A,\mathbb A)$.
La d�monstration de l'axiome de factorisation (CM5) {\it a.}
de la cat�gorie $\aia$ (\ref{theoreme_cmf_aia}) nous
donne une factorisation de $f$ en
\[
\xymatrix{
\ca \ar@{ >->}[r]^(.4){i}
&  \ca \prod C \ar@{->>}[r]^{} & \cb,}
\]
o� $\ca \prod C$ est le produit dans $\aia$ de $\ca$ du c�ne $C$
de l'identit� du complexe $(\cb,m_1)$ (consid�r� comme $\ai$-alg�bre),
et $i$ a pour composantes $\Id_\ca$ et $0.$ Il suffit de montrer le r�sultat dans le cas o�
$f$ est �gal � $i$ et dans le cas o� il est une fibration triviale.
Commen�ons par la cofibration triviale $i$. Munissons
$\ca \prod C$ de l'�l�ment tordant
\[
x'' = \sum_{j \geq 1} i_j (x \tpo j).
\]
Nous avons les �galit�s
\[
(\ca \prod C)_{x''} = \ca_x \prod C \quad \mbox{et} \quad 
i^{x} = \big[\begin{array}{c}\Id_{\ca_{x}} \\ 0 \end{array}\big] : \ca_x \ra \ca_x \prod C.
\]
Il en r�sulte que $i^x$ est une �quivalence faible.
Supposons maintenant que $f$ est une fibration triviale.
Un scindage de $f_1$ dans la cat�gorie des complexes
nous donne un isomorphisme de complexes
\[
j : \ca \ra \cb \oplus K,
\]
o� $K$ est un complexe contractile.
Soit $\cb \prod K$ le produit dans $\aia$ de l'$\ai$-alg�bre $\cb$ et
du complexe $K$ consid�r� comme $\ai$-alg�bre.
La projection canonique $p : \cb \prod K \ra \cb$ est une fibration triviale.
La remarque (\ref{remarque_theoreme_cmf_aia}) appliqu�e � l'axiome de rel�vement (CM4) {\it a} nous donne
un $\ai$-isomorphisme
\[
\tilde f : \ca \ra \cb \prod K
\]
tel que $\tilde f_1 = j$ et $p \circ \tilde f = f$.
Munissons $\cb \prod K$ de l'�l�ment tordant
\[
x'' = \sum_{j \geq 1} \tilde f_j (x \tpo j).
\]
Nous avons l'�galit�
\[
(\cb \prod K)_{x''} = \cb_{x'} \prod K
\]
et l'$\ai$-morphisme tordu $p^{x''}$ s'identifie � la projection canonique
\[
\cb_{x'} \prod K \ra \cb_{x'}.
\]
Comme $K$ est contractile, $p^{x''}$ est une �quivalence faible. L'�galit�
 $f^x = p^{x''} \circ \tilde f^x$
montre que $f^x$ est une �quivalence faible.
\findem




\subsection{Torsion des $\ca$-$\cb$-bipolydules} \label{section_torsion_bipolydules_I}

Les d�tails sont omis car ils sont similaires aux deux derni�res sections.\\

Soit ${\mathbb A}$ et ${\mathbb B}$ deux ensembles, $\ca$ et $\cb$ deux $\ai$-cat�gories
sur ${\mathbb A}$ et ${\mathbb B}$ et
$M$ un $\ca$-$\cb$-bipolydule. Soit $x$ et $x'$ des
�l�ments tordants de $\ca$ et $\cb.$


\begin{definition}{\em \label{definition_torsion_bipolydules_I}
Le {\em $\ca_x$-$\cb_{x'}$-bipolydule} $\lrus{x}{M}{x'}$ \index{bipolydule!tordu} \index{torsion}
\indexnotation{xMx'1}
a pour multiplications les morphismes
\[
m^{x,x'}_{i,j} : \ca_x \tpo i \tso \lrus{x}{M}{x'} \tso \cb_{x'}
\ra \lrus{x}{M}{x'}, \quad i,j\geq 0,
\]
d�finis par les sommes
\[
\sum_{l,k\geq 0} \sum (-1)^{s} m_{i+l,j+k}
(x \tpo{l_0} \tso \Id_\ca \hdots \Id_\ca \tso x \tpo{l_i} \tso \Id_M
\tso {x'} \tpo{k_o} \tso \Id_\cb 
\hdots  \Id_\cb \tso {x'} \tpo{k_{j}}),
\]
o� l'exposant du signe est
\[
s = \Big(\sum_{1 \leq t \leq i} t \times l_t \Big) + \Big(\sum_{1 \leq t \leq j} (j+ t) \times l_t \Big) 
\]
(Les sommes infinies d�finissent bien des morphismes gr�ce � la propri�t� de nilpotence tensorielle de $x$
et $x'$).
}\end{definition}

\begin{remarque}{\em
La diff�rentielle $b_{x,x'}$ de la construction bar
du $\ca_x$-$\cb_{x'}$-bipolydule $\lrus{x}{M}{x'}$ est la compos�e
\[
\big(\phi_x^{-1} \tso \Id \tso \phi_{x'}^{-1}\big)
\circ b \circ 
\big(\phi_x \tso \Id \tso \phi_{x'}\big)
\]
o�
\[
b :  \ct S \ca \tso SM \tso \ct  S \cb \ra \ct S \ca \tso SM \tso \ct S \cb
\]
est la diff�rentielle de la construction bar du $\ca$-$\cb$-bipolydule $M$.
}\end{remarque}


\begin{remarque}{\em
Soit $f : \ca \ra \cb$ un $\ai$-foncteur. Supposons que les �l�ments tordants $x$ et $x'$
sont compatibles � $f$ (voir \ref{section_torsion_ai-foncteurs_I}).
Soit 
\[
y : \cb \ra \cc_\infty \cb
\]
l'$\ai$-foncteur de Yoneda qui sera d�fini en \ref{definition_ai-foncteur_de_Yoneda}.
Par le corollaire \ref{corollaire2_lemme_clef}, les deux compositions de $\ai$-foncteurs
\[
\ca \arr{f} \cb \arr{y} \cc_\infty \quad \mbox{et} \quad \ca_x \arr{f_x} \cb_{x'} \arr{y} \cc_\infty \cb_{x'}
\]
sont donn�es par un $\ca$-$\cb$-bipolydule $M$ et un $\ca_x$-$\cb_{x'}$-bipolydule $N.$
Nous v�rifions qu'on a
\[
\lrus{x}{M}{x'} = N. 
\]
}\end{remarque}






































\section{Le cas topologique} \label{section_torsion_II}

Soit ${\mathbb A}$ un ensemble et $\ca$ une $\ai$-cat�gorie sur ${\mathbb A}.$
Nous traitons ici de la torsion de $\ca$ par un morphisme
$x : e \ra \ca$ qui n'est pas tensoriellement nilpotent.
La somme de gauche dans l'�quation de Maurer-Cartan (voir \ref{remarque_nilpotence_tensorielle})
\[
\sum_{i\geq 1} m_i (x \tpo i) = 0
\]
appliqu�e � $\id_A$ n'est plus finie
mais l'�galit� a encore un sens : si $\ca$ est munie d'une topologie,
nous interpr�tons l'�quation ci-dessus comme la convergence
de la s�rie vers $0.$
Nous montrons � l'aide d'un artifice alg�brique que les formules
donnant les structures tordues dans le cas o� $x$ est un �l�ment tordant
tensoriellement nilpotent donnent aussi
des structures tordues dans le cas o� $\ca$ est topologique et $x$
v�rifie l'�quation de Maurer-Cartan.




\subsection{D�finitions} \label{section_definitions_topologie}




{\noindent \bf La terminologie des objets topologiques}\\

Soit $(\mathsf M, \ts, e)$ une $\corps$-cat�gorie ab�lienne mono�dale.
Une {\em topologie} \index{topologie} sur un objet $V \in \mathsf M$ est une filtration
d�croissante
\[
V_0 \supset V_1 \supset V_2 \supset \cdots \supset V_i \supset \cdots
\]
(voir \cite[Chap.~III~�2~n�5]{Bourbaki61}). 
La topologie est
{\em s�par�e} si $\cap_{i \in \N} V_i = 0$. On dira alors que les sous-objets $V_i$, $i\geq 1$, sont
un syst�me de {\em voisinages} de~$0.$
Un objet {\em topologique} de $\sf M$ est un objet $M$ muni d'une topologie.
Sa {\em compl�tion} \index{compl�tion} \indexnotation{hatV} est la limite
\[
\hat V = \lim_{i\geq 0} V/V_i.
\]
Un objet $V$ est complet si $V = \hat V .$ 
Soit $V$ et $V'$ deux objets topologiques.
Un {\em morphisme} $f : V \ra V'$ est un morphisme continu.
Il est {\em contractant} \index{contractant} s'il v�rifie
\[
f(V_i) \subset V'_i,  \quad i \geq 1.
\]
L'�l�ment neutre $e$ pour le produit tensoriel est muni de la topologie
discr�te. Le produit tensoriel $V \ts V'$ est topologique pour
le syst�me de voisinages
\[
\big(V \ts V'\big)_i = \sum_{i_1 + i_2 \geq i} V_{i_1} \ts V_{i_2}, \quad i\geq 0.
\]
La cat�gorie des objets topologiques de $\sf M$, munie du produit tensoriel topolo\-gique
et de l'objet neutre $e$ est une cat�gorie
mono�dale.
Le {\em produit tensoriel complet} $V \hat \ts V'$ \indexnotation{hatts} est la limite
\[
V \hat \ts V' = \lim_{i \geq 0} (V \ts V')/(V \ts V')_i.
\]
La cat�gorie des objets complets de $\sf M$, munie du produit tensoriel
complet et de l'objet neutre $e$ est une cat�gorie
mono�dale.\\

{\noindent \bf $\ai$-structures topologiques}\\

Soit $\sf C$ une cat�gorie de base (voir \ref{categorie_de_base}).


\begin{definition}{\em \label{definition_ai-algebres_topologiques}
Une $\ai$-alg�bre $A$ dans $\sf C$ est {\em topologique}
\index{A-infini algebre@{$\ai$-alg�bre}!topologique}
si $A$ est muni
d'une topologie s�par�e et si les multiplications $m_i : A \tp i \ra A$, $i \geq 1$,
sont des morphismes continus contractants. 
Soit $A$ et $A'$ des $\ai$-alg�bres topologiques.
Un $\ai$-morphisme {\em topologique} $f : A \ra A'$
est un $\ai$-morphisme tel que les morphismes
$f_i$, $i \geq 1,$ sont des  morphismes continus contractants.
Nous d�finissons de mani�re similaire les homotopies entre $\ai$-morphismes.
}\end{definition}

Soit $\sf C'$ une cat�gorie de Grothendieck munie d'une action � droite
de la cat�gorie mono�dale $\sf C.$ Cette action s'�tend aux cat�gories des
objets topologiques de $\sf C'$ et $\sf C.$

\begin{definition}{\em
Un $\ca$-polydule {\em topologique} \index{polydule!topologique}
dans $\sf C'$ est un objet topologique s�par� $M$ dans $\sf C'$ muni
d'une structure de $\ca$-polydule dont les multiplications
$m^M_i,$ $ i\geq 1,$ sont des morphismes continus contractants. On d�finit de mani�re similaire les
$\ai$-morphismes et les homotopies entre $\ai$-morphismes.
}\end{definition}


\subsection{El�ments tordants}

\begin{definition}{\em
Soit $A$ une $\ai$-alg�bre topologique.
Un morphisme gradu� $x : e \ra A$ de degr� $+1$ est un {\em �l�ment tordant (topologique)}
\index{element tordant@{�l�ment tordant}}
si son image est dans le voisinage $A_1$ et si la somme
\[
\sum_{i\geq 1} m_i (x \tp i) 
\]
converge vers $0$.
}\end{definition}

\begin{remarque}{\em
Cette somme converge vers une limite bien d�finie
car la topologie de $A$ est s�par�e, l'image de $x$ est dans $A_1$ et les multiplications
$m_i$, $i \geq 1,$ sont contractantes.
}\end{remarque}










\subsection{Alg�bres locales}



Soit $\mathcal R$ \indexnotation{calR}
la cat�gorie des $\corps$-alg�bres commutatives locales $R$ de corps r�siduel $\corps$
et dont l'id�al maximal $\mathfrak m$ est nilpotent.
Soit $R$ un objet de $\mathcal R$. Nous notons $\ce$ la cat�gorie des modules sur $R.$
Soit ${\mathbb O}$, ${\mathbb O}'$ et ${\mathbb O}''$ trois ensembles. Nous notons
$\sf C^{R}({\mathbb O},{\mathbb O}')$ la cat�gorie des foncteurs
\[
{\mathbb O}' \op \times {\mathbb O} \ra \ce
\]
et $\sf C^{R}({\mathbb O}')$ la cat�gorie $\sf C^{R}(\{*\},{\mathbb O}').$ 
Si $M$ et $N$ sont des objets de $\sf C^R({\mathbb O},{\mathbb O}')$ et  $\sf C^R({\mathbb O}',{\mathbb O}'')$,
nous notons $\tso_R$ le produit
tensoriel 
\[
\Big(M \tso_{R} N\Big)(o'',o) = \bigoplus_{o'\in {\mathbb O}'}M(o',o) \ts_R  N(o'',o').
\]
\begin{definition}{\em
Soit $\mathbb A$ un ensemble.
Une {\em $R$-$\ai$-cat�gorie} \index{R-A-infini-categorie@{$R$-$\ai$-cat�gorie}}
est un objet $M$ de $\sf C^{R}({\mathbb A},{\mathbb A})$, muni de morphismes
\[
m_i : M^{\tso_R i } \ra M, \quad i\geq 1,
\]
v�rifiant l'�quation $(*_n)$, $n\geq 1$, de la d�finition \ref{definition_ai-algebre}
Les {\em $R$-$\ai$-foncteurs}
sont d�finis comme en \ref{definition_ai-foncteurs}.
}\end{definition}
%
Soit $M$ et $M'$ des objets de $\sf C({\mathbb A},{\mathbb A})$ et $i$ un entier $\geq 1$.
Soit
\[
\varphi : M^{\tso i } \ra M'
\]
un morphisme gradu�. Soit
\[
\varphi^R : (M \ts_\corps \mathfrak m) ^{\tso_R i } \ra M' \ts_\corps  \mathfrak m
\]
le morphisme de $\sf C^{R}({\mathbb A},{\mathbb A})$
d�fini par la composition
\[
\varphi \ts \mu^{(i)}: (M \ts_\corps  \mathfrak m)^{\tso_R i } \iso (M  \tpo i) \ts_\corps
( \mathfrak m) ^{\ts_R i } \ra M' \ts_\corps  \mathfrak m.
\]
Remarquons que, comme $\mf m$ est nilpotent, il existe un entier $N_0$ tel que
\hbox{$\mf m^{N_0} = 0$.}
Donc le morphisme $\varphi^R$ est nul d�s que $i \geq N_0.$


\begin{remarque}{\em 
Soit $\ca$ un objet de $\sf C({\mathbb A},{\mathbb A})$ et
\[
m_i : \ca \tpo i \ra \ca,\quad  i\geq 1,
\]
des morphismes gradu�s de degr� $2-i.$
Nous v�rifions que les morphismes $m_i$, $i\geq 1$, d�finissent une structure de $\ai$-cat�gorie sur $\ca$
si et seulement si, pour tout $R \in \mathcal R$, les morphismes $m_i^R$, $i \geq 1$, d�finissent
une structure de $R$-$\ai$-cat�gorie sur $\ca \ts_\corps \mf m.$

Soit $\ca$ une $\ai$-cat�gorie et $R$ un objet de $\mathcal R$. Nous notons $\ca^R$ la $R$-$\ai$-cat�gorie
$\ca \ts_{\corps} \mf m$ sur ${\mathbb A}$ associ�e � $\ca.$

Soit ${\mathbb A}$ et ${\mathbb B}$ deux ensembles et
$\ca$ et $\cb$ deux $\ai$-cat�gories sur ${\mathbb A}$ et ${\mathbb B}.$
Nous v�rifions que des morphismes gradu�s $f_i$, $i\geq 1$, de degr� $1 -i$, d�finissent un $\ai$-foncteur
\[
f : \ca \ra \cb
\]
si et seulement si, pour tout $R \in \mathcal R$,  les morphismes $f^R_i$, $i\geq 1$,
d�finissent un $R$-$\ai$-foncteur
\[
f^R : \ca^R \ra \cb^R.
\]
Notons que les morphismes $m^R_i$ et $f_i^R$ sont nuls d�s que $i$ exc�de le degr� de nilpotence de
l'id�al maximal de $R$.
}\end{remarque}

{\noindent \bf Construction bar $B^R$}\\

Soit $R$ un objet de $\mathcal R.$
Le lemme \ref{cogebres_tensorielles} reste valable dans la cat�gorie $\sf C^{R}({\mathbb A},{\mathbb A}).$
En particulier la construction bar d�finit un foncteur pleinement fid�le
\[
B^R : \mathsf{Alg}_\infty^R \ra \cocog^R,
\]
o� $\mathsf{Alg}_\infty^R$ et $\cocog^R$ sont les cat�gories $\aia$ et $\cocog$ dans $\sf C^{R}({\mathbb A},{\mathbb A}).$\\


{\noindent \bf Rappel sur la compl�tion}\\


Soit $R$ un objet de $\mathcal R$.
Soit $V$ et $W$ des ${\mathbb A}$-${\mathbb A}$-$R$-bimodules. Nous munissons
la {\em $R$-cog�bre tensorielle r�duite}
\[
\ctr V = \bigoplus_{i\geq 1} V ^{\tso_R i}
\]
de la {\em topologie canonique} dont la base de voisinages de $0$ est
\[
\bigoplus_{i \geq n} V^{\tso_R i}, \quad n \geq 1.
\]
La comultiplication est un morphisme continu pour cette topologie.
Rappelons que $\ct V$ d�signe la cog�bre co-augment�e $(\ctr V)\+.$
Nous la munissons des voisinages d�finis de la m�me mani�re.

\begin{remarque}{\em
Un morphisme de $\sf C^R({\mathbb A},{\mathbb A})$
\[
\ct V \ra \ct W \quad \Big( \mbox{resp.} \ctr V \ra \ctr W \Big)
\] 
est continu si et seulement si sa matrice des composantes
\[
\bigoplus_{j\geq 0} V ^{\tso_R j} \ra \bigoplus_{i\geq 0} W ^{\tso_R i}
\quad \Big( \mbox{resp.} \bigoplus_{j\geq 1} V ^{\tso_R j} \ra \bigoplus_{i\geq 1} W ^{\tso_R i}\Big)
\]
a un nombre fini de coefficients non nuls sur chaque ligne.
En particulier, un morphisme de cog�bres
$f$ (resp.~une $(f',f'')$-cod�rivation $h$, o� $f'$ et $f''$ sont des
morphismes de cog�bres)
\[
\ctr V \ra \ctr W
\]
 est continu si et seulement si
les morphismes $f_i$,  $i\geq 0,$ (resp.~les morphismes $f'_i$, $f''_i$ et $h_i$, $i\geq 0,$)
sont presque tous nuls.
}\end{remarque}



La {\em $R$-cog�bre tensorielle compl�te r�duite} \indexnotation{hatctr}
$\hat \ct V$ est la compl�tion de $\ctr V.$
Elle a pour espace topologique sous-jacent
\[
\prod_{i\geq 1} V ^{\tso_R i}.
\]
Chaque morphisme continu $\varphi : \ctr V \ra \ctr W$ de $\sf C^R({\mathbb A},{\mathbb A})$
donne un morphisme
\[
\hat f : \hat \ct V \ra \hat \ct W.
\]
La {\em cog�bre tensorielle compl�te co-augment�e} $\hat \ct  \+ V$ est la
co-augmentation de $\hat \ct V.$

\begin{lemme} \label{cogebres_tensorielles_completes}
Soit $V$ un objet de $\gr \sf C^R({\mathbb A},{\mathbb A})$
et $C$ une cog�bre gradu�e topologique topologique dans $\sf C^R({\mathbb A},{\mathbb A}).$
Soit $f'$ et $f''$ deux morphismes continus de cog�bres
\[
C \ra  \hat \ct \+ V.
\]
Un morphisme continu co-unitaire de cog�bres
compl�tes (resp. une $(f',f'')$-cod�rivation) $C \ra  \hat \ct \+ V$ est d�termin� par sa composition avec
la projection $\hat \ct \+ V \ra V.$
\findem
\end{lemme}















\subsection{Torsion des $\ai$-cat�gories}
\label{section_torsion_ai-categories_II}


{\noindent \bf Torsion de la diff�rentielle de $B\ca^R$}\\





Soit ${\mathbb A}$ un ensemble.
Soit $\ca$ une $\ai$-cat�gorie topologique sur ${\mathbb A}$, i.~e.~une $\ai$-alg�bre topologique
dans $\sf C({\mathbb A},{\mathbb A}).$ Soit $x : e \ra \ca$ un �l�ment tordant (topologique) de $\ca.$
 

Soit $R$ un objet de $\mathcal R.$ Notons $N_0$ l'indice de nilpotence
de son id�al maximal $\mf m.$
Soit $\ca^R$ la $R$-$\ai$-cat�gorie sur ${\mathbb A}$ associ�e � $\ca.$ 
Soit $\ctr S \ca^R$ la $R$-cog�bre tensorielle r�duite  et
$\hat \ct \+ S\ca^R$ la $R$-cog�bre co-augment�e associ�e � sa compl�tion.
La diff�rentielle de la construction bar $B^R\ca^R$
\[
b^R : \ctr S\ca^R \ra \ctr S\ca^R
\]
est continue car les morphismes $m_i^R$ sont nuls pour $i \geq N_0.$
Notons $\hat b^R$ la diff�rentielle de $\hat \ct \+ S\ca^R$ induite par
$b^R.$
Soit
\[
x^R : e^R \ra \ca^R
\]
le morphisme induit par $x$ et
\[
g : e \oplus \hat \ct  S\ca^R = \hat \ct \+S\ca^R\+ \ra S\ca^R.
\]
le morphisme de composantes le morphisme $x^R$ et la projection $p_1$ sur $S\ca^R.$
Soit le morphisme de ${\mathbb A}$-${\mathbb A}$-$R$-bimodules
\[
\phi_x^R :  \hat \ct \+ \ca^R \ra \hat \ct \+ \ca^R
\]
dont la composition avec la projection sur $(S\ca^R)\tpo n$
vaut
\[
g \tpo n \circ \Delta^{(n)} : \hat \ct \+S\ca^R \ra (S\ca^R)\tpo n
\]
si $n \geq 1$ et $\Id_e$ sinon.
Comme le morphisme $\phi_x$ de la section \ref{section_torsion_ai-categories_I},
le morphisme $\phi_x^R$ est un automorphisme continu co-unitaire (non co-augment�) de cog�bres gradu�es et
la matrice de ses coefficients
\[
\prod_{j\geq 0} (S\ca^R)^{\tso_R j} \ra \prod_{i\geq 0} (S\ca^R)^{\tso_R i}
\]
est triangulaire inf�rieure; sa diagonale est celle de l'identit�. Soit la compos�e 
\[
D^R_x = (\phi^R_x)^{-1} \circ \hat{b^R}\+ \circ \phi^R_x.
\]
Comme $x$ est un �l�ment tordant, nous avons
\[
\sum_{1 \leq i \leq N_0} \hat b^R_i \big((x^R)^{\tso_R i }\big) = 0.
\]
Notons que le d�faut de nilpotence tensorielle est palli� par l'annulation des
morphismes $b^R_i$ pour $i \geq N_0.$
Comme dans la section \ref{section_torsion_ai-categories_I}, la compos�e
$D^R_x \circ \coaugmentation$ est nulle.
Soit $b^R_x$ le morphisme donn� par la fl�che verticale de droite du diagramme
de suites exactes
\[
\xymatrix{0 \ar[r] & e \ar[r]^(.3){\coaugmentation } \ar[d]_0 &\hat \ct \+S\ca^R
\ar[r]
\ar[d]_{D^R_x}
                    &\hat \ct S\ca^R \ar[r] \ar[d]_{{b^R_x}} & 0 \\
              0 \ar[r] & e \ar[r]^(.3){\coaugmentation } & \hat \ct \+S\ca^R \ar[r]
                    &\hat \ct S\ca^R \ar[r] & 0.  \\}
\]
C'est une diff�rentielle de la cog�bre $\hat \ct S\ca^R.$

\begin{lemme} \label{lemme_torsion_ai-categories_II}
La sous-cog�bre $\ct S\ca^R$ de $\hat \ct S\ca^R$ est stable par la diff�rentielle~$b^R_x$.
La compos�e $p^R_1 \circ b^R_x$ restreinte � $(S\ca^R)\tpo i$
est �gale � la somme
\[
\sum_{l} \sum b^R_{l+m}((sx) \tpo{l_0} \tso \Id_{S\ca^R} \tso (sx) \tpo{l_1} \tso \hdots \tso \Id_{S\ca^R}
 \tso (sx) \tpo{l_{i-1}} \tso \Id_{S\ca^R} \tso (sx) \tpo{l_{i}}),
\]
o� $l_0 + \hdots + l_{i} = l$.
\end{lemme} 

\dem Identique � celle du lemme \ref{lemme_torsion_ai-categories_I} \findem \\


{\noindent \bf $\ai$-cat�gorie tordue par $x$}\\

Soit ${\mathbb A}$ un ensemble, $\ca$ une $\ai$-cat�gorie topologique
sur ${\mathbb A}$ et $x : e \ra \ca$ un �l�ment tordant.
Soit les morphismes
\[
m^x_i : \ca \tpo i \ra \ca, \quad i \geq 1,
\]
d�finis par la somme
\[
\sum_{l} \sum (-1)^{s} m^{\ca}_{l+i}(x \tpo{l_0} \tso \Id_\ca \tso x \tpo{l_1} \tso \hdots \tso \Id_\ca \tso
x \tpo{l_{i-1}} \tso \Id_\ca \tso x \tpo{l_{i}}),
\]
o� l'exposant du signe est $s = \sum_{1 \leq t \leq i} t \times l_t$.
Remarquons que ces sommes convergent vers des limites bien d�finies car $\ca$ est topologiquement s�par�,
l'image de $x$ est dans le voisinage $\ca_1$ et
les compositions $m_i$, $i \geq 1,$ sont des morphismes continus contractants.

\begin{lemme} \label{lemme2_torsion_ai-categories_II}
Les morphismes $m_i^x$, $i \geq 1,$ d�finissent une structure d'$\ai$-cat�gorie sur le ${\mathbb A}$-${\mathbb A}$-bimodule
sous-jacent � $\ca$.
\end{lemme}

\dem
Le lemme sera valide si, pour tout objet $R \in \mathcal R$, les morphismes
$(m^x_i)^R$, $i \geq 1$, d�finissent une structure de $R$-$\ai$-cat�gories
sur le $R$-${\mathbb A}$-${\mathbb A}$-bimodule sous-jacent � $\ca^R.$ 

Soit $R$ un objet de $\mathcal R.$
Nous v�rifions que le morphisme $b_x^R$ du lemme \ref{lemme_torsion_ai-categories_II} est
la cod�rivation
\[
\ct (S\ca^R) \ra \ct (S\ca^R)
\]
construite � partir des $(m_i^x)^R$, $i \geq 1$. Comme elle est une diff�rentielle nous avons le
r�sultat.\findem


\begin{definition}{\em \label{definition_torsion_ai-categories_II}
L'{\em $\ai$-cat�gorie (topologique) tordue $\ca_x$} \indexnotation{cax}
\index{A-infini categorie@{$\ai$-cat�gorie}!tordue} \index{torsion}
est le ${\mathbb A}$-${\mathbb A}$-bimo\-dule $\ca_x = \ca$ munie des compositions
\[
m^x_i : \ca_x \tpo i \ra \ca_x, \quad i \geq 1,
\]
d�finies ci-dessus.
}\end{definition}






\subsection{Torsion des $\ai$-foncteurs}
\label{section_torsion_ai-foncteurs_II}


Soit ${\mathbb A}$ et ${\mathbb B}$ deux ensembles, $\ca$ et $\cb$ deux
$\ai$-cat�gories topologiques sur ${\mathbb A}$ et ${\mathbb B}$ et $x$ et $x'$ des �l�ments tordants
de $\ca$ et $\cb$ tel que pour tout $A \in \mathbb A$,
\[
\sum_{i \geq 1} f_i (x \tpo i)(\id_A) = \id_{\dot f A}.
\]
Remarquons que la somme de gauche converge vers une limite bien d�finie car $\cb'$ est topologiquement s�par�,
l'image de $x$ est dans le voisinage $\ca_1$ et car les morphismes
$f_i$, $i \geq 1$, sont contractants. L'�galit� ci-dessus exprime la compatibilit�
de $x$ et $x'$ � $f$ (voir \ref{section_torsion_ai-foncteurs_I}).
Reprenons les notations $\cb'$, $\cb'_{x'}$ de la section \ref{section_torsion_ai-foncteurs_I}.
Soit les morphismes
\[
f^x_i : \ca \tpo i \ra \cb', \quad i\geq 1,
\]
d�finis par la somme (convergente)
\[
\sum_{l} \sum (-1)^{s} f^{\ca}_{l+i}(x \tpo{l_0} \tso \Id_\ca \tso x \tpo{l_1} \tso \hdots \tso \Id_\ca \tso
x \tpo{l_{i-1}} \tso \Id_\ca \tso x \tpo{l_{i}}),
\]
o� l'exposant du signe est $s = \sum_{1 \leq t \leq i} t \times l_t$. 



\begin{lemme}\label{lemme_torsion_ai-foncteurs}
Les morphismes $f^x_i$ $i \geq 1$, d�finissent un $\ai$-foncteur
\[
(\dot f,f_x) : \ca_x \ra \cb_{x'}.
\]
\end{lemme}

\dem Nous allons montrer que, pour tout objet $R \in \mathcal R$, les morphismes $f_i^R$, $i \geq 1$,
d�finissent un $\ai$-foncteur
\[
f_x^R : \ca_x^R \ra \cb'{}_{x'}^R,
\]
ou, de fa�on �quivalente, un morphisme diff�rentiel gradu� de cog�bres
\[
F^R_x : B^R\ca^R_x \ra B^R \cb'{}_{x'}^R.
\]

Soit $R \in \mathcal R$. Gr�ce � la compatibilit� de $x$ et $x'$ � $f$,
le morphisme diff�rentiel gradu� de cog�bres compl�tes co-unitaires
\[
G^R = (\phi^R_{x'})^{-1} \circ \hat F\+ \circ \phi^R_x : \hat \ct \+S \ca_x^R \ra \hat \ct \+ S{\cb'}_{x'}^R
\]
est co-augment�. Il induit donc un morphisme diff�rentiel gradu�
\[
F_x : (\hat \ct S\ca_x^R,\hat b_x^R) \ra (\hat \ct S{\cb'}_{x'}^R ,\hat{b'}^R_{x'}).
\]
Soit $i \geq 1$. Nous montrons de mani�re similaire � la d�monstration du
lemme \ref{lemme_torsion_ai-categories_II} que la restriction de $F_x$ au
sous-objet  $(S\ca^R_x)\tpo i$
est �gale � la somme 
\[
\sum_{l} \sum F^R_{l+m}((sx) \tpo{l_0} \tso sa_1 \tso (sx) \tpo{l_1} \tso \hdots \tso sa_{i - 1} \tso
(sx) \tpo{l_{i-1}} \tso sa_i \tso (sx) \tpo{l_{i}}),
\]
o� $l_0 + \hdots + l_{i} = l$.
Cette somme est finie car les morphismes $F^R_i$ sont nuls si $i$ exc�de le degr� de nilpotence
de l'id�al maximal de $R$.
Nous obtenons ainsi un morphisme de cog�bres
\[
F^R_x : (\ctr S\ca^R_x,b^R_x) \ra (\ctr S\cb'{}_{x'}^R,{b'}^R_{x'})
\]
qui est diff�rentiel gradu�. Nous avons donc le r�sultat. \findem



\begin{definition}{\em \label{definition_torsion_ai-foncteurs_II}
L'{\em $\ai$-foncteur tordu}\index{A-infini foncteur@{$\ai$-foncteur}!tordu} \index{torsion}
\indexnotation{fx}
\[
(\dot f,f^x) : \ca_x \ra \cb_{x'}
\]
est donn� par les morphismes $f^x_i$, $i\geq 1,$ d�finis ci-dessus.
}\end{definition}



La proposition (\ref{proposition_torsion_ai-foncteurs_equiv_faible_I}) reste clairement valide
dans le cas topologique.






\subsection{Torsion des $\ca$-$\cb$-bipolydules}\label{section_torsion_bipolydules_II}

Les d�tails sont omis car ils sont similaires aux deux derni�res sections.\\

Soit ${\mathbb A}$ et ${\mathbb B}$ deux ensembles, $\ca$ et $\cb$ deux $\ai$-cat�gories topologiques sur ${\mathbb A}$ et ${\mathbb B}$ et
$M$ un $\ca$-$\cb$-bipolydules topologiques. Soit $x$ et $x'$ des
�l�ments tordants de $\ca$ et $\cb.$




\begin{definition}{\em \label{definition_torsion_bipolydules_II}
Le {\em $\ca_x$-$\cb_{x'}$-bipolydule} $\lrus{x}{M}{x'}$ \index{bipolydule!tordu}\index{torsion}
\indexnotation{xMx'}
a pour multiplications
\[
m^{x,x'}_{i,j} : \ca_x \tpo i \tso \lrus{x}{M}{x'} \tso \cb_{x'}
\ra \lrus{x}{M}{x'}, \quad i,j\geq 0,
\]
d�finies par la somme (convergente)
\[
\sum_{l,k\geq 0} \sum (-1)^{s} m_{i+l,j+k}
(x \tpo{l_0} \tso \Id_\ca \hdots \Id_\ca \tso x \tpo{l_i} \tso \Id_M
\tso {x'} \tpo{k_o} \tso \Id_\cb 
\hdots  \Id_\cb \tso {x'} \tpo{k_{j}}),
\]
o� l'exposant du signe est
\[
s = \Big(\sum_{1 \leq t \leq i} t \times l_t \Big) + \Big(\sum_{1 \leq t \leq j} (j+ t) \times l_t \Big) 
\]
}\end{definition}




















Unite.tex
{\bf \noindent Introduction}\\


\noindent Les $\ai$-espaces de \cite{Stasheff63a} sont munis d'unit�s strictes.
Dans le cadre alg�brique, la notion correspondante a �t� d�finie en
(\ref{definition_unite_stricte}).
% est la suivante :
% si $A$ est une $\ai$-alg�bre, une
% {\em unit� stricte}
% est un morphisme $\unite : e \ra A$ 
% tel que
% \[
%  m_2(\unite \ts \Id) = m_2 (\Id \ts \unite) = \Id \quad \mbox{et}
% \]
% \[ 
% m_i (\Id \tp j \ts \unite \ts \Id \tp l) = 0, \quad i \neq 3 \mbox{ et } j+1+l = i.
% \]
Lorsque $A$ est une $\ai$-alg�bre strictement unitaire, certaines propri�t�s des alg�bres associatives
unitaires pourront �tre g�n�ralis�e � $A$.
Par exemple, nous montrerons l'analogue de l'isomorphisme
\[
M \ts_{B} {B} \ra M,
\]
lorsque $B$ est une alg�bre associative unitaire et $M$ un $B$-module unitaire
(voir la g�n�ralisation en \ref{lemme2_adjonction_foncteurs_standard} dans le
chapitre \ref{chapitre_Cat_der}).
Cependant, les $\ai$-alg�bres (en fait $\ai$-cat�gories) apparaissant en
g�om�trie \cite{Fukaya93} ne sont pas strictement unitaires mais {\em homologiquement
unitaires}, i.~e.~$H^*A$ munie de la multiplication induite par $m_2$ est une alg�bre
gradu�e unitaire.
Le but de ce chapitre est de montrer que d'un point de vue homotopique, il n'y a pas de
diff�rence entre les unit�s strictes et les unit�s homologiques. Plus pr�cis�ment,
nous montrerons que
{\em la sous-cat�gorie des $\ai$-alg�bres homologiquement unitaires dont les morphismes
sont les $\ai$-morphismes homologiquement unitaires et la sous-cat�gorie des $\ai$-alg�bres
strictement unitaires dont les morphismes
sont les $\ai$-morphismes strictement unitaires deviennent �quivalentes apr�s passage �
l'homotopie} (\ref{corollaire_ai-algebres_strictement_unitaires}).\\

{\bf \noindent Plan du chapitre}\\


\noindent Ce chapitre est divis� en trois sections. Dans la section \ref{section_definition_unites},
nous d�finissons 
les unit�s homologiques relatives aux $\ai$-structures.
Dans la section \ref{section_strictification_unitaire_aia}, nous montrons le r�sultat �nonc�
ci-dessus.
Dans la section \ref{section_strictification_unitaire_(bi)polydules},
nous comparons les diff�rents types de compatibilit�s
aux unit�s des (bi)polydules.


\section{D�finitions}\label{section_definition_unites}

Soit $\sf C$ une cat�gorie de base telle que dans le chapitre \ref{chapitre_Homot_aialg}.
Soit $A$ une $\ai$-alg�bre sur $\sf C$ et soit 
\[
\mu : H^*A \ts H^*A \ra H^*A
\]
le morphisme induit par $m_2$.

\begin{definition}
{\em 
Un morphisme $\unite^A : e \ra A$ dans $\gr \sf C$ est une {\em unit� homologique}\index{unite@{unit�}!homologique}
si $m_1 \circ \unite = 0$ et s'il induit une unit�
pour l'alg�bre gradu�e associative $(H^*A,\mu)$. 
Si $A$ est munie d'une unit� homologique, nous dirons qu'elle est {\em homologiquement unitaire}.
Si $A$ et $A'$ sont deux $\ai$-alg�bres homologiquement unitaires, un $\ai$-morphisme
$f : A \ra A'$ est {\em homologiquement unitaire}
si $f_1$ induit un morphisme unitaire
\[
 H^*A \arr{\sim} H^*A'.
\]
}\end{definition}

\begin{remarque}{\em
L'unit� $e \ra A$ d'une $\ai$-alg�bre strictement unitaire (\ref{definition_unite_stricte}) est
clairement une unit� homologique.
Un morphisme strictement unitaire d'$\ai$-alg�bre strictement unitaire est homologiquement unitaire.
}\end{remarque}


On trouve dans les travaux de K.~Fukaya \cite{Fukaya01}
et V.~Lyubashenko \cite{Lyubashenko02}
d'autres rel�vements de la notion d'unitarit�. Une $\ai$-alg�bre munie d'une
``unit� homotopique'' (d�finie dans  \cite{Fukaya01} �
l'aide d'homotopies sup�rieures, voir aussi \cite{Fukaya01a}) donne une
``$\ai$-alg�bre unitale'' au sens de \cite{Lyubashenko02}.
Le rel�vement de la notion d'unitarit� de V.~Lyubashenko \cite{Lyubashenko02} se sp�cialise
� notre notion d'unitarit� homologique si on travaille sur un corps
(V.~Lyubashenko travaille sur un anneau commutatif quelconque). Remarquons que
l'unitarit� homologique n'est pas du type {\em ``� homotopie pr�s''} : elle n'est pas d�finie
� l'aide d'homotopies sup�rieures v�rifiant des conditions de coh�rence. Elle est cependant une
notion valide puisque (comme nous le verrons dans ce chapitre)
la localisation de la cat�gorie des $\ai$-alg�bres homologiquement unitaires par rapport
aux $\ai$-quasi-isomorphismes est �quivalente � la localisation de la cat�gorie des alg�bres
unitaires par rapport aux quasi-isomorphismes.


\begin{definition}{\em
Si $f$ et $f'$ sont deux morphismes homotopiquement unitaires $A \ra A',$ une homotopie
$h$ entre $f$ et $f'$ est {\em strictement unitaire} si  \index{strictement unitaire!homotopie}
\[
h_i (\Id \tp j \ts \unite \ts \Id \tp l) = 0, \quad i \geq 1 \mbox{ et } j+1+l = i.
\]
}\end{definition}



\begin{remarque}{\em
 Si $A$ est une $\ai$-alg�bre homologiquement unitaire et $H^*A$ est
un mod�le minimal pour $A$ (\ref{corollaire_modele_minimal}), l'unit� homologique $\unite^A$ induit une
unit� homologique $\unite^{H^*A} : e \ra H^*A$ qui v�rifie en outre
\[
m^{H^*A}_2(\unite^{H^*A} \ts \Id) = m^{H^*A}_2 (\Id \ts \unite^{H^*A}) = \Id.
\]

 Soit $f : A \ra A'$ un morphisme homologiquement
unitaire et $H^*A$ et $H^*A'$ des mod�les minimaux de $A$ et $A'.$
Nous rappelons (\ref{corollaire_modele_minimal})
qu'il existe
des $\ai$-quasi-isomorphismes
\[
i : H^*A \ra A \quad \mbox{et} \quad i' : H^*A' \ra A'.
\]
Par le point {\it b} du corollaire \ref{corollaire_cmf_aia}, il
existe un inverse � homotopie pr�s $p'$ de $i'.$
Le morphisme  $g = p' \circ f_1 \circ i$ v�rifie en outre $g_1 \unite_{H^*A} = \unite_{H^*A'}.$
}\end{remarque}

























\section{$\ai$-alg�bres homologiquement unitaires} \label{section_strictification_unitaire_aia}


\noindent Cette section est divis�e en quatre sous-sections.


Dans la sous-section \ref{section_stritification_unitaire_ai-algebres},
nous donnons deux d�monstrations du fait que toute $\ai$-alg�bre minimale homologiquement
unitaire est isomorphe � une $\ai$-alg�bre strictement unitaire.
 La premi�re de ces
d�monstrations est inspir�e de la th�orie des d�formations des alg�bres gradu�es et
n'est valable qu'en caract�ristique nulle.
La seconde est bas�e sur la th�orie de l'obstruction des $\ai$-alg�bres
minimales (voir l'appendice \ref{section_obstruction_unite}).

Dans les sous-sections \ref{section_stritification_unitaire_ai-morphismes} et 
\ref{section_stritification_unitaire_homotopies}, nous d�montrons, � l'aide de la th�orie
de l'obstruction, qu'on peut rendre strictement unitaire tout $\ai$-morphisme homologiquement
unitaire entre $\ai$-alg�bres strictement unitaires et toute homotopie entre $\ai$-morphismes.


Dans la sous-section \ref{section_modele_minimal_strictement_unitaire},
nous montrons que toute $\ai$-alg�bre strictement unitaire $A$
admet un mod�le minimal strictement unitaire $A'$ et des $\ai$-quasi-isomorphismes
strictement unitaires
\[
A' \ra A \quad \mbox{et} \quad A \ra A'.
\]
Nous d�duirons de ce r�sultat et des sous-sections pr�c�dentes le r�sultat principal de
ce chapitre (\ref{corollaire_ai-algebres_strictement_unitaires}) : la cat�gorie $\big(\aia\big)_{hu}$
des $\ai$-alg�bres homologiquement unitaires dont les morphismes
sont les $\ai$-morphismes homologiquement unitaires et sa sous-cat�gorie non pleine
$\big(\aia\big)_{su}$
des $\ai$-alg�bres
strictement unitaires dont les morphismes
sont les $\ai$-morphismes strictement unitaires deviennent �quivalentes apr�s passage
� l'homotopie.






\subsection{Strictification unitaire des $\ai$-alg�bres}
\label{section_stritification_unitaire_ai-algebres}


%
%
%
%
%
%:               Unit�
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{theoreme}[A.~Lazarev \cite{Lazarev02}, P.~Seidel \cite{Seidel02}] \label{theoreme_unite_ai-algebre}
Toute $\ai$-alg�bre minimale
homologiquement unitaire est isomorphe
� une $\ai$-alg�bre minimale strictement unitaire.
\end{theoreme}
%
Le th�or�me a �t� d�montr� de fa�on ind�pendante
par P.~Seidel \cite{Seidel02}, qui utilise la m�me m�thode que nous, ainsi que
par A. Lazarev \cite{Lazarev02}. Notre premi�re d�monstration utilisera 
les d�formations et n'est valable qu'en
caract�ristique z�ro. Elle nous donne l'existence de l'$\ai$-alg�bre minimale strictement unitaire.
La seconde d�monstration est bas�e sur les lemmes d'obstruction de l'appendice 
\ref{section_obstruction_unite}. Elle pr�cise les choix possibles de l'$\ai$-alg�bre minimale
strictement unitaire.

Les deux d�monstrations sont li�es :
pour un $m_2$ donn�, le complexe de Hochschild $C^*(A,A)$ (voir l'appendice
\ref{section_obstruction_unite}) contr�le l'obstruction � la construction par
r�currence des $m_i$, $i \geq 3$, d'une structure d'$\ai$-alg�bre minimale sur $A$ et il
est aussi l'alg�bre de Lie diff�rentielle gradu�e qui d�crit le probl�me des d�formations de l'alg�bre
$(A,m_2).$ Nous renvoyons aux articles
\cite{Schlessinger85} et \cite{Kontsevich00} concernant ce point.


\begin{corollaire} \label{corollaire_unite_ai-algebre}
Toute $\ai$-alg�bre homologiquement unitaire est homotopiquement �quivalente
� une $\ai$-alg�bre strictement unitaire.
\end{corollaire}

\dem Soit $A$ une $\ai$-alg�bre homologiquement unitaire et soit
$A'$ un mod�le minimal de $A$. Nous savons que $A$ et $A'$ sont homotopiquement �quivalents.
Le r�sultat se d�duit alors du th�or�me \ref{theoreme_unite_ai-algebre}
appliqu� � $A'.$ \findem \\

\begin{remarque}{\em
Nous montrerons � la fin de ce chapitre (\ref{proposition_modele_minimal_strictement_unitaire}) que toute
$\ai$-alg�bre strictement unitaire $A$ admet un mod�le minimal
strictement unitaire $A'$ tel que l'$\ai$-quasi-morphisme
\[
A' \ra A
\]
est strictement unitaire.
}\end{remarque}




\newpage

{\noindent \em Premi�re d�monstration du th�or�me \ref{theoreme_unite_ai-algebre} : }\\

{\noindent \bf Rappel sur les d�formations }\\

Supposons que la caract�ristique de $\corps$ est nulle.
Soit $(\mathfrak g,\delta,[\?,\?])$ une $\corps$-alg�bre de Lie diff�rentielle gradu�e nilpotente,
i.~e.~il existe un entier $N \geq 1$ tel que
\[
\ad X_1 \ad X_2 \hdots \ad X_N = 0, \quad X_1,\hdots ,X_N \in \mathfrak{g}.
\]
On note $\mathsf{MC}(\mathfrak g)$ les �l�ments  $X \in \mathfrak g$ de degr� $+1$
qui sont solutions de l'�quation de Maurer-Cartan \index{Maurer-Cartan (�quation)}
\[
\del{X} + \frac{1}{2}[X,X] = 0.
\]
Soit $\Gamma$ le groupe nilpotent associ� � $\mathfrak{g}^0$.
Il agit sur $\mathfrak{g}^1$ par transformations affines, c'est-�-dire, par l'exponentiation
de l'action de son alg�bre de Lie
\[
g.x = \delta(g) + [g,x], \quad g \in \mathfrak{g}^0, x \in \mathfrak{g}^1.
\]
Cette action conserve $\mathsf{MC}(\mathfrak g)$ et on a l'ensemble
\[
\mathsf{MC}(\mathfrak g)/\!\sim\, = \mathsf{MC}(\mathfrak g)/\Gamma.
\]
On rappelle  \cite{Goldman90} le r�sultat suivant.
\begin{theoreme} \label{theoreme_Goldman_Milson}
Si $\mathfrak h$ est une alg�bre de Lie diff�rentielle gradu�e nilpotente,
une �quivalence d'homotopie $f : \mathfrak h \ra \mathfrak g$
induit une bijection
\[
\mathsf{MC}(\mathfrak h)/\!\sim\, \arr{\sim} \mathsf{MC}(\mathfrak g)/\!\sim\,.
\]
\findem
\end{theoreme}
Si $\mathfrak g'$ est une alg�bre de Lie pronilpotente
(i.~e.~qui est la limite d'alg�bres nilpotentes $\mathfrak{g_i}$,
$i\geq 0$) on d�finit
\[
\mathsf{MC}(\mathfrak g')= \lim \mathsf{MC}(\mathfrak g_i)
\quad \mbox{et} \quad
\mathsf{MC}(\mathfrak g')/\!\sim\, = \lim \Big(\mathsf{MC}(\mathfrak g_i)/\Gamma_i\Big).
\]

{\noindent \bf Lien avec les $\ai$-alg�bres}\\

Soit $(A,\mu)$ une $\corps$-alg�bre gradu�e associative unitaire. L'application
\[
(D,D') \mapsto [D,D'] = D\circ D' - (-1)^{pq}D' \circ D,
\]
o� $D$ et $D'$ sont homog�nes de degr� $p$ et $q$,
munit le complexe $(\coder (BA)\+,\delta)$ d'une structure d'alg�bre de Lie
diff�rentielle gradu�e. Notons $LA$ cette alg�bre de Lie.
Nous avons un isomorphisme de complexes
\[
LA \ra SC(A,A),
\]
o� $C(A,A)$ est le complexe de Hochschild (voir l'appendice \ref{section_obstruction_unite}).
Il envoie le crochet de Lie de $LA$ sur le crochet de Gerstenhaber \cite{Gerstenhaber63}.
Soit $L^{\geq n}A  \subset LA$, $n \geq 3$, la sous-alg�bre de Lie
\[
S \Big( \prod_{i\geq n}\Hom_{\sz \gr \sf C}(A\tp i,A) \Big).
\]
Les sous-alg�bres $L^{\geq n}A$, $n \geq 4$, sont des id�aux de $L^{\geq 3}A$ et
nous avons
\[
L^{\geq 3}A = \lim_{n \geq 4} \mathfrak{g}_n,
\]
o� $\mathfrak{g}_n$ est l'alg�bre $L^{\geq 3}A /L^{\geq n}A.$
Comme nous avons 
\[
[L^{\geq n}A,L^{\geq n'}A] \subset L^{\geq n+n'-1}A, \quad n,n' \geq 1,
\] 
les alg�bres de Lie $\mathfrak{g}_n$ sont nilpotentes et $L^{\geq 3}A$ est pronilpotente.
Le sous-complexe r�duit $S\b C(A,A)$ est une sous-alg�bre de Lie de $LA$ pour le crochet de Gerstenhaber.
Nous la notons $\b LA$.
Rappelons que l'inclusion $\b LA \hookrightarrow L A$
est une �quivalence d'homotopie (voir \cite[Chap.~IX]{Cartan56}).
Par le th�or�me \ref{theoreme_Goldman_Milson}, nous avons une bijection
\[
\Theta : \mathsf{MC}(\b L^{\geq 3}A)/\!\sim\, \arr{\sim} \mathsf{MC}(L^{\geq 3}A)/\!\sim\,,
\]
o� $\b L^{\geq 3}A = \b LA \cap L^{\geq 3}A.$
Un �l�ment $b' \in L^{\geq 3}A$ est dans $\mathsf{MC}(L^{\geq 3}A)$
si et seulement si $b = b'+b_2$ (o� $b_2$
correspond � $m_2 = \mu$) est une diff�rentielle
de $(BA)\+.$  En d'autres termes, nous avons une bijection entre 
$\mathsf{MC}(L^{\geq 3}A)$ et l'ensemble
des structures d'$\ai$-alg�bre minimale sur $A$ dont la multiplication $m_2$ vaut $\mu$.
Sous cette bijection, les classes d'�quivalence de $\mathsf{MC}(L^{\geq 3}A)$
correspondent aux classes d'isomorphie de structures $\ai$ minimales tel que $m_2$ vaut $\mu$.
Remarquons qu'un �l�ment $b'' \in \mathsf{MC}(L^{\geq 3}A)$ appartient � la sous-alg�bre $\b L^{\geq 3}A$
si et seulement si l'$\ai$-structure correspondant � $b''$ est
strictement unitaire sur $A$. Nous d�duisons alors de la bijection $\Theta$ que
toute $\ai$-structure (dont le $m_2$ vaut $\mu$) homologiquement unitaire sur $A$
est isomorphe � une $\ai$-structure strictement unitaire.\\


{\noindent \em Deuxi�me d�monstration du th�or�me \ref{theoreme_unite_ai-algebre} : }\\

La caract�ristique de $\corps$ est quelconque.





\begin{lemme}
Soit $A$ une $\ai$-alg�bre minimale. Soit $n$ un entier $\geq 2$ et
\[
f_n : A \tp n \ra A
\]
un morphisme gradu� de degr� $1-n$.
Il existe une $\ai$-alg�bre minimale $A'$, $\ai$-isomorphe � $A$,
dont l'objet gradu� sous-jacent est $A$ et dont
les multiplications $m'_i$, $i\geq 2$, sont telles
que
\[
m'_i = m_i \quad \mbox{si}\quad  i\leq n \quad \mbox{et} \quad m'_{n+1} = m_{n+1} + \delta_{Hoch}(f_n).
\]
\end{lemme}

\dem Soit le morphisme de cog�bres gradu�es
\[
F : BA \ra BA
\]
d�termin� par la suite
\[
(\Id_{SA}, 0 , \hdots ,0 , F_n, 0 \hdots),
\]
o� $F_n$ est donn� par la bijection $F_n \lra f_n$ de la section \ref{construction_bar_cobar}.
Le morphisme $F$ est un isomorphisme. Posons 
\[
b' = F \circ b^A \circ F^{-1}.
\]
C'est une diff�rentielle sur $\ctr SA$. La cog�bre $(\ctr SA,b')$ est donc la construction bar
d'une $\ai$-alg�bre $A'$, $\ai$-isomorphe � $A$,
dont l'objet gradu� sous-jacent est $A$. Il reste � v�rifier les conditions sur les
multiplications. La matrice 
du morphisme de cog�bres gradu�es
\[
F : \ctr (SA) = \bigoplus_{p\geq 1} (SA)\tp p \arr{\sim} \ctr(SA) = \bigoplus_{q\geq 1} (SA)\tp q
\]
est triangulaire sup�rieure et sa
diagonale est form�e d'identit�s. La matrice de $F^{-1}$
est donc de la m�me forme. De plus la restriction de $F$
� 
\[
\pctr{n-1} SA  = \bigoplus_{1\leq p \leq n-1} (SA)^p
\]
est l'identit�. Il en est donc de m�me
pour son inverse. La matrice de la diff�rentielle $b^A$ est strictement triangulaire sup�rieure
puisque $b^A_1$ est nul.
Le calcul montre alors que
\[
b'_i = F_1 b^A_i (F^{-1})_1 ,\quad \mbox{pour}\quad i \leq n,
\]
\[
b'_{n+1}  =  F_1 b^A_{n+1} (F^{-1})_1 +
F_1 b^A_2 (F^{-1})_n +
F_n b^A_2 (F^{-1})_1.
\]
Nous d�duisons le r�sultat des �galit�s 
\[
(F^{-1})_n = -F_n \quad \mbox{et} \quad F_1 = F^{-1}_1 =\Id_{SA}.
\] \findem\\

D�montrons maintenant le th�or�me \ref{theoreme_unite_ai-algebre}.
Nous raisonnons par r�currence sur $n$. Soit $n\geq 2$. Supposons que $A$ est une
$\ai$-alg�bre telle que, pour tout $3 \leq i \leq n,$ on a
\[
m_i(\Id \tp j \ts \unite \ts \Id \tp k) = 0, \quad j + k = n.
\]
Ceci est �quivalent � demander que les $m_i$, $3 \leq i \leq n$, soient des
�l�ments du sous-complexe de Hochschild r�duit $\b C(A,A)$ (voir \ref{section_obstruction_unite}).
Montrons que nous pouvons construire
une $\ai$-alg�bre $A'$, $\ai$-isomorphe � $A$, dont l'objet gradu� sous-jacent est $A$ et dont
les multiplications $m'_i$, $3 \leq i \leq n+1,$ sont des �l�ments de $\b C(A,A)$.
Par hypoth�se sur les $m_i$, $3 \leq i \leq n$, le cycle de Hochschild
$r(m_3, \cdots , m_{n-1})$ du lemme \ref{lemme_obstruction_structure_minimale} appartient � $\b C(A,A)$.
Comme $A$ est une $\ai$-alg�bre, nous savons par le lemme \ref{lemme_obstruction_structure_minimale}
que
\[
\delta_{Hoch}(m_{n+1}) + r(m_3, \cdots , m_{n}) = 0
\]
et que l'�l�ment $r(m_3, \cdots , m_{n})$ est un cycle de Hochschild.
Ainsi, l'�l�ment
\[
(m_{n+1} , s r(m_3, \cdots , m_{n}))
\]
du c�ne $C$
sur l'inclusion $\b C(A,A) \hookrightarrow C(A,A)$ est un cycle.
Comme $C$ est acyclique, cet �l�ment
est le bord d'un �l�ment
$(f_{n},sm'_{n+1})$. En d'autres termes, il existe des �l�ments
\[
m'_{n+1} \in \Hom_{\sz \gr \sf C} (\b A \tp{n+1} ,A)\quad \mbox{et} \quad
f_{n} \in \Hom_{\sz \gr \sf C} (A \tp{n} ,A)
\]
tels que
\[
\delta_{Hoch} (f_n) + m'_{n+1} = m_{n} \quad \mbox{et} \quad
\delta_{Hoch}(m'_{n+1}) + r(m_3, \cdots , m_{n}) = 0.
\]
Par le lemme pr�c�dent appliqu� � l'$\ai$-alg�bre $A$ et
au morphisme $-f_n$, il existe une $\ai$-alg�bre $A'$, $\ai$-isomorphe � $A$,
telle que nous avons, pour tout $3 \leq i \leq n+1,$
\[
m'_i(\Id \tp j \ts \unite \ts \Id \tp k) = 0, \quad j + k = n.
\]
\findem 



\subsection{Strictification unitaire des $\ai$-morphismes}
\label{section_stritification_unitaire_ai-morphismes}


\begin{theoreme} \label{theoreme_unite_ai-morphisme}
Un morphisme d'$\ai$-alg�bres minimales strictement unitaires qui est homologiquement unitaire
 est homotope � un morphisme strictement unitaire.
\end{theoreme}






\begin{lemme} \label{lemme2_unite}
Soit $A$ et $A'$ deux $\ai$-alg�bres minimales et $f : A \ra A'$ un
$\ai$-morphisme. Soit $n$ un entier $\geq 2$ et 
\[
h_n : A \tp n \ra A
\]
un morphisme gradu� de degr�~$-n$.
Il existe un $\ai$-morphisme $f' : A \ra A'$ homotope � $f$ tel que
\[
f'_i = f_i \quad \mbox{si} \quad i\leq n \quad \mbox{et} \quad f'_{n+1} =  f_{n+1} - \delta_{Hoch}(h_n).
\]
\end{lemme}

\dem 
Nous allons construire un morphisme $f'$ tel que la 
suite
\[
(0,\hdots, 0,h_n,0,\hdots)
\]
d�finisse une homotopie
$h$ entre $f$ et $f'$.
Nous construisons les $f'_i$ par r�currence sur $i$.
Soit $i\geq 1.$ Supposons qu'il existe un ${\rm{A}}_i$-morphisme
$f' : A \ra A'$ tel que $h$ d�finit une homotopie entre $f$ et $f'$ en
tant que ${\rm A}_i$-morphisme. Posons
\[
\begin{array}{rcl}
f'_{i+1} &= & f_{i+1} -  \sum (-1)^s
m_{r+1+t} (f_{i_1}\ts \hdots \ts f_{i_r} \ts h_{k} \ts f'_{j_1}\ts \hdots \ts f'_{i_t})\\ 
& & - \sum (-1)^{jk+l}h_z(\Id^{\ts j}\ts m_k\ts \Id^{\ts l}),
\end{array}
\]
o� $s$ est le signe apparaissant dans \ref{definition_homotopie_ai-morphismes}.
Par construction, la suite des
\[
(f'_1,\hdots,f'_i,f'_{i+1})
\]
d�finit un ${\rm A}_{i+1}$-morphisme homotope � $f$. 
Le morphisme $f'$ ainsi construit v�rifie clairement les conditions souhait�es sur les $f'_i$, 
$1\leq i\leq n+1$.
\findem\\

{\noindent \em D�monstration du th�or�me \ref{theoreme_unite_ai-morphisme} :}\\

Soit $A$ et $A'$ deux $\ai$-alg�bres minimales strictement unitaires et
\[
f : A \ra A'
\]
un $\ai$-morphisme homologiquemement unitaire. Nous cherchons un morphisme $f'$ homotope � $f$ tel que
les morphismes $f'_i$, $i\geq 1$, v�rifient
\[
f'_i (\Id \tp j \ts \unite \ts \Id \tp l) = 0, \quad i \geq 2 \mbox{ et } j+1+l = i.
\]
Construisons les $f'_i$, $1 \leq i \leq n$,  par r�currence
sur $n.$ Soit $n\geq 1$. Supposons qu'on a un morphisme
$f$, tel que les morphismes $f_i$, $2 \leq i\leq n$, v�rifient la condition pr�cit�e.
En utilisant les m�mes arguments que pour le th�or�me
\ref{theoreme_unite_ai-algebre} dans lesquels nous rempla�ons le complexe
$C(A,A)$ par le complexe $C(A,A')$ et le lemme d'obstruction
\ref{lemme_obstruction_structure_minimale} par le lemme
\ref{lemme_obstruction_structure_minimale_morphisme}, nous trouvons
qu'il existe deux �l�ments
\[
f'_{n+1} \in \Hom_{\sz \gr \sf C} (\b A \tp{n+1} ,A')\quad \mbox{et} \quad
h_{n} \in \Hom_{\sz \gr \sf C} (A \tp{n} ,A')
\]
tels que
\[
\delta_{Hoch} (h_n) + f'_{n+1} = f_{n} \quad \mbox{et} \quad
\delta_{Hoch}(f'_{n+1}) + r(f_2, \cdots , f_{n}) = 0.
\]
Par le lemme \ref{lemme2_unite} appliqu� � $f$ et $h_n$, il existe un morphisme
$f'$ homotope � $f$ dont les morphismes $f_i$, $2 \leq i \leq n+1$, v�rifient
les �quations
\[
f_i (\Id \tp j \ts \unite \ts \Id \tp l) = 0, \quad i \geq 2 \mbox{ et } j+1+l = i.
\]
\findem


\subsection{Strictification unitaire des homotopies}
\label{section_stritification_unitaire_homotopies}

\begin{theoreme} \label{theoreme_unite_homotopies}
Soit $A$ et $A'$ deux $\ai$-alg�bres minimales strictement unitaires.
Si $f$ et $g$ sont deux $\ai$-morphismes strictement unitaires homotopes $A \ra A'$
il existe une homotopie strictement unitaire entre $f$ et $g.$
\end{theoreme}



\begin{lemme}\label{lemme3_unite}
Soit $A$ et $A'$ deux $\ai$-alg�bres minimales.
Soit $f$ et $g$ sont deux $\ai$-morphismes homotopes $A \ra A'$ et $h$ une homotopie
de $f$ vers $g$. Soit $n \geq 2$ et
\[
\rho_n : A \tp n \ra A'
\]
un morphisme gradu� de degr� $-n-1.$
Il existe une homotopie $h'$ entre $f$ et $g$ telle que
\[
h'_i = h_i \quad \mbox{si} \quad 1 \leq i \leq n \quad \mbox{et} \quad h_{n+1} = h'_{n+1} + 
\delta_{Hoch}(\rho_n).
\]
\end{lemme}

\dem Nous raisonnons comme dans le lemme \ref{lemme2_unite}.  Posons $F = Bf$, $G = Bg$ et
$H = Bh : BA \ra BA'$ l'homotopie entre $F$ et $G$. Soit
$R$ la ($F$,$G$)-cod�rivation de degr� $-2$
qui est donn�e (\ref{cogebres_tensorielles}) par la suite
\[
(0,\hdots ,0,s\rho_n\si \tp n,0,\hdots).
\]
Soit $H'$ d�fini par l'�galit�
\[
H' = H - b^{A'}R + Rb^A.
\]
C'est une ($F$,$G$)-cod�rivation qui est clairement une homotopie entre $F$ et $G$. Nous v�rifions
qu'elle correspond � une homotopie $h'$ entre $f$ et $g$ telle que 
\[
h'_i = h_i \quad \mbox{si} \quad 1 \leq i \leq n \quad \mbox{et} \quad h_{n+1} = h'_{n+1} + 
\delta_{Hoch}(\rho_n).
\]
\findem \\


{\em D�monstration du th�or�me \ref{theoreme_unite_homotopies} : }\\

Nous cherchons une homotopie $h$ entre $f$ et $g$ telle que  
les morphismes $h_i$, $i\geq 1$, v�rifient
\[
h_i (\Id \tp j \ts \unite \ts \Id \tp l) = 0, \quad i \geq 2 \mbox{ et } j+1+l = i.
\]
Construisons les $h_i$, $1 \leq i \leq n$,  par r�currence
sur $n.$ Soit $n\geq 1$. Supposons qu'on a un morphisme
$h$, tel que les morphismes $h_i$, $2 \leq i\leq n$, v�rifient la condition pr�cit�e.
En utilisant les m�mes arguments que pour le th�or�me
\ref{theoreme_unite_ai-algebre} dans lesquels nous rempla�ons le complexe
$C(A,A)$ par le complexe $C(A,A')$ (voir \ref{section_obstruction_unite}) et le lemme d'obstruction
\ref{lemme_obstruction_structure_minimale} par le lemme
\ref{lemme_obstruction_structure_minimale_homotopie}, nous trouvons
qu'il existe deux �l�ments
\[
h'_{n+1} \in \Hom_{\sz \gr \sf C} (\b A \tp{n+1} ,A')\quad \mbox{et} \quad
\rho_{n} \in \Hom_{\sz \gr \sf C} (A \tp{n} ,A')
\]
tels que
\[
\delta_{Hoch} (\rho_n) + h_{n+1} = h'_{n} \quad \mbox{et} \quad
\delta_{Hoch}(h'_{n+1}) + r(h_2, \cdots , h_{n}) = 0.
\]
Par le lemme \ref{lemme3_unite}, il existe une homotopie $h'$ entre $f$ et $g$ telle
que nous avons les �quations
\[
h'_i (\Id \tp j \ts \unite \ts \Id \tp l) = 0, \quad i \geq 2 \mbox{ et } j+1+l = i.
\]
\findem\\

Nous d�duisons des th�or�mes \ref{theoreme_unite_ai-algebre},
 \ref{theoreme_unite_ai-morphisme} et \ref{theoreme_unite_homotopies}
le corollaire suivant :

\begin{corollaire}\label{corollaire_unite_homotopies}
Soit $A$ et $A'$ des $\ai$-alg�bres minimales strictement unitaires et
 $f : A \ra A'$ une �quivalence d'homotopie strictement unitaire.
Il existe un inverse � homotopie pr�s $g$ de $f$ qui est strictement unitaire
et des homotopies $h$ et $h'$ strictement unitaires entre $\Id_{A'}$ et $f \circ g$,
et entre $\Id_{A}$ et $g \circ f$. \findem
\end{corollaire}




\subsection{Mod�le minimal d'une $\ai$-alg�bre strictement unitaire}
\label{section_modele_minimal_strictement_unitaire}


Le corollaire (\ref{corollaire_unite_ai-algebre}) montre
que toute $\ai$-alg�bre homologiquement unitaire $A$ admet un mod�le minimal
strictement unitaire $A'$ tel que l'$\ai$-quasi-isomorphisme
\[
f : A' \ra A
\]
v�rifie $f \circ \unite = \unite.$
Le but de cette section est de montrer la proposition suivante :


\begin{proposition} \label{proposition_modele_minimal_strictement_unitaire} 
\index{modele minimal@{mod�le minimal}}
Toute $\ai$-alg�bre strictement unitaire $A$ admet un mod�le minimal
strictement unitaire $A'$ tel que l'$\ai$-quasi-isomorphisme
\[
f : A' \ra A
\]
est strictement unitaire.
\end{proposition}

Notre d�monstration est bas�e sur le lemme de perturbation (voir \cite{Huebschmann91a},
\cite{Gugenheim86},  \cite{Gugenheim89}, \cite{Gugenheim91}, \cite{Merkulov99} et \cite{Kontsevich01}).\\

\dem
Posons $V = H^* A$.
Soit $i : (V,0) \ra (A,m_1)$ 
un morphisme de complexes qui induit l'identit� en homologie et tel que $i \circ \unite = \unite$.
Soit $p : A \ra K$ le conoyau de $i$. Le complexe $K$ est contractile. La suite de complexes
$(i,p)$ est donc scindable. Choisissons une r�traction $\rho$ et une section $\sigma$ telles que
\[
\rho \circ \sigma = 0 \quad \mbox{et} \quad i \circ \rho + \sigma \circ p = \Id_A.
\]
Soit $h$ une homotopie contractante de $K$ tel que
$h^2 = 0$.
Soit $A' = V^\delta$ l'$\ai$-alg�bre (de complexe sous-jacent $V$) et
$f = f^\delta$
le morphisme d'$\ai$-alg�bres construits � partir de ces donn�es dans (\ref{lemme_modele_minimal_I}).
Montrons que $A'$ est une $\ai$-alg�bre strictement unitaire et que l'$\ai$-morphisme
$f$ est strictement unitaire. Nous utilisons les notations de la d�monstration
de (\ref{lemme_modele_minimal_I}). Nous avons clairement les �galit�s
\[
m'_1 \circ \unite = 0, \quad m'_2(\unite \ts \Id) = m'_2(\Id \ts \unite) = \Id \quad
\mbox{et} \quad f_1 \circ \unite = \unite.
\]
Il reste � montrer que la composition de $f_i$, $i\geq 2$, et $m'_i$, $i\geq 3$, par
\[
\unite_\alpha = (\Id \tp \alpha \ts \unite \ts \Id \tp{i - 1 - \alpha}), \quad 0 \leq \alpha < i,
\]
est nulle. Il suffit de montrer que les compositions
\[
m_{i,T} \circ \unite_\alpha
\quad \mbox{et} \quad f_{i,T} \circ \unite_\alpha, \quad T \in \mathcal T,
\]
sont nulles.
Remarquons que ces compositions proviennent d'arbres $\b T$, colori�s comme pour
$m_{i,T}$ (resp.~$f_{i,T}$) sauf en une feuille qui est maintenant de couleur $\unite$.
Comme $A$ est strictement unitaire, nous avons
\[
m_j \circ \eta_\beta = 0, \quad j \geq 3,\quad  0 \leq \beta < j.
\]
Il suffit donc de v�rifier la nullit� des compositions
provenant d'arbres colori�s dont un sous-arbre colori� est de la forme
\begin{center}
\input{konts3.pstex_t} \hspace{2cm} 
 \input{konts4.pstex_t}.
\end{center}
Dans les deux premiers cas,
$m'_{i,T} \circ \unite_\alpha$ et $f_{i,T} \circ \unite_\alpha$, s'annulent
car $H^2 = 0$, dans les autres cas, car $i \circ H = 0.$
\findem 

\begin{remarque}{\em \label{remarque_proposition_modele_minimal_strictement_unitaire}
Nous v�rifions de la m�me mani�re que le morphisme $q^\delta$ et l'homotopie $H^\delta$ de la remarque
(\ref{remarque3_lemme_perturbation}) sont aussi strictement unitaires. Le lemme de perturbation
produit donc une contraction dans la cat�gorie des $\ai$-alg�bres strictement unitaires.
}\end{remarque}







Soit $\big(\aia\big)_u$ (resp.~$\big(\aia\big)_{su}$) \indexnotation{aiau} \indexnotation{aiasu}
la cat�gorie des $\ai$-alg�bres strictement unitaires dont les
espaces de morphismes sont form�s des morphismes homologiquement unitaires (resp.~strictement unitaires).
Notons $\sim_{u}$ (resp.~$\sim_u$) la relation d'homotopie relativement aux
homotopies au sens de \ref{definition_homotopie_ai-morphismes} (resp.~aux homotopies
strictement unitaires).




\begin{proposition} \label{proposition_ai-algebres_strictement_unitaires}
L'inclusion
\[
\big(\aia\big)_{su} \hookrightarrow \big(\aia\big)_{u}
\]
induit une �quivalence
\[
J : \big(\aia\big)_{su}/\!\sim_{su}\, \ra \big(\aia\big)_{u}/\!\sim_u\,.
\]
\end{proposition}

\dem
La remarque (\ref{remarque_proposition_modele_minimal_strictement_unitaire})
montre qu'il suffit de montrer que $J$ induit un isomorphisme dans les
espaces de morphismes dont le but et la source sont des $\ai$-alg�bres minimales strictement unitaires.
Nous strictifions les $\ai$-morphismes, puis les homotopies entre
$\ai$-morphismes strictement unitaires gr�ce aux th�or�mes (\ref{theoreme_unite_ai-morphisme})
et (\ref{theoreme_unite_homotopies}).
\findem

\begin{corollaire}\label{corollaire_ai-algebres_strictement_unitaires}
La sous-cat�gorie $\big(\aia \big)_{hu} \subset \aia$ \indexnotation{aiahu}
des $\ai$-alg�bres homologiquement unitaires dont les morphismes
sont les $\ai$-morphismes homologiquement unitaires et la cat�gorie $\big(\aia \big)_{su}$
deviennent �quivalentes apr�s passage �
l'homotopie. \findem
\end{corollaire}



{\noindent \bf (Co)fibrations triviales strictement unitaires}\\


Nous finissons cette section par des r�sultats qui nous seront utiles
dans la section (\ref{section_categorie_derivee_strictement_unitaire}).



\begin{lemme} \label{lemme_(co)fibrations_triviales_strictement_unitaires}
Soit $A$ et $A'$ des $\ai$-alg�bres strictement unitaires.
\english \begin{itemize}
\item[{\it a.}] 
Soit $i : A \ra A'$ une cofibration triviale strictement unitaire.
Il existe un $\ai$-morphisme $p : A' \ra A$ strictement unitaire tel
que $p \circ i = \Id_A$.
\item[{\it b.}]
Soit $q : A' \ra A$ une fibration triviale strictement unitaire.
Il existe un $\ai$-morphisme $j : A \ra A'$ strictement unitaire tel
que $q \circ j = \Id_A$.
\end{itemize}\francais
\end{lemme}


\dem Les arguments de la d�monstration des deux points �tant duaux nous
ne prouvons que le point {\it a}.
Supposons donn� un $\ai$-morphisme strictement unitaire $p'$ tel que
la composition $\alpha = p' \circ i$ est un automorphisme de $A$.
Comme $\alpha$ est la compos�e d'$\ai$-morphismes strictement unitaires,
il est strictement unitaire. Le lemme
(\ref{lemme_inverse_ai-isomorphisme_strictement_unitaire}) ci-dessous
montre l'$\ai$-morphisme $\alpha^{-1}$ est aussi strictement unitaire.
Posons $p = \alpha^{-1} \circ p'$ et nous avons le r�sultat car $p \circ i = \Id_A$.

Nous devons donc trouver un $\ai$-morphisme $p'$ strictement unitaire tel que
$p' \circ i$ est un automorphisme de $A$.

{\em Premier cas : l'unit� $\unite$ est un bord de $A'$.}\\
Dans cette situation, l'unit� est nulle dans la cohomologie. Il en r�sulte que
$A$ et $A'$ sont faiblement �quivalentes � $0.$
D�finissons $p'_1$ comme un scindage de $i_1$. Il v�rifie l'�galit� $p'_1 \circ \unite = \unite$.
Les morphismes $p'_i$, $i \geq 2$, sont d�finis par r�currence sur $i$.
Soit $h$ une homotopie contractante de $A.$
Posons
\[
p'_i = -h \circ r(p'_1, \hdots ,p'_{i-1}), \quad i\geq 2,
\]
o� $r(p'_1, \hdots ,p'_{i-1})$ est le cycle du lemme (\ref{extension_nstructure_morphismes}).
Nous v�rifions (par r�currence) que $r(p'_1, \hdots ,p'_{i-1})$ compos� avec
\[
\Id \tp \alpha \ts \unite \ts \Id \tp \beta, \quad \alpha + 1 + \beta = i+1,
\]
est nul. Les morphismes $p'_i$, $i \geq 1$, ainsi construits d�finissent bien un $\ai$-morphisme
gr�ce au lemme (\ref{extension_nstructure_morphismes}). Il est strictement unitaire et,
comme nous avons l'�galit�
\[
(p' \circ i)_1 = p'_1 \circ i_1 = \Id
\]
$p' \circ i$ est un automorphisme de $A$.


{\em Deuxi�me cas : l'unit� $\unite$ n'est pas un bord de $A'$.}\\
Comme $i$ est une cofibration triviale, l'axiome (CM4) de la cat�gorie $\aia$ (voir \ref{theoreme_cmf_aia})
nous donne un $\ai$-morphisme $q : A' \ra A$ tel que $q \circ i = \Id_A.$ 
L'$\ai$-morphisme $q$ est clairement homologiquement unitaire qui v�rifie l'�galit�
$q_1 \circ \unite = \unite$. Comme $A$ et $A'$ sont strictement
unitaires, il existe (\ref{proposition_ai-algebres_strictement_unitaires}) un
$\ai$-morphisme strictement unitaire $q' : A' \ra A$ homotope � $q$.
Comme l'unit� $\unite$ n'est pas un bord de $A'$, il existe une r�traction de complexes de
de $\unite : e \ra A'$. Il induit un scindage $A' = e \oplus \b A'$.
Nous savons que le morphisme $q_1 - q'_1$ est homotope � z�ro et qu'il s'annule
sur $e$. Il se factorise en $z \circ t$, o� $t$ est la projection $A' \ra \b A'$.
Comme cette projection est scind�e dans la cat�gorie des complexes, $z$ est homotope � z�ro.  
Il existe donc une homotopie $h_1$ entre $q_1$ et $q'_1$ telle que $h_1 \circ \unite = 0$ et
nous avons l'�galit� $q'_1 \circ i_1 = \Id_A + \delta (h_1)\circ i_1$.

Construisons les morphismes $p'_i$, $i \geq 1$, 
� partir des morphismes $q'_j$, $j\geq 1$, par r�currence sur $i$ :
Posons
\[
p'_1 = q'_1 - \delta(h_1)
\]
et, pour $i \geq 2$,
\[
p'_i = q'_i - \sum (-1)^s
m_{r+1+t} (p'_{i_1}\ts \hdots \ts p'_{i_r} \ts h_{1} \ts q'_{j_1}\ts \hdots \ts q'_{i_t})
+ \sum h_1 \circ m_i,
\]
o� $s$ est d�fini en (\ref{definition_homotopie_ai-morphismes}).
Les morphismes $p'_i$ , $i \geq 1$, d�finissent ainsi un $\ai$-morphisme
strictement unitaire $A' \ra A$ tel que la suite
\[
(h_1, 0, \hdots)
\]
est une homotopie entre $q'$ et $p'.$
La composition $p' \circ i$ est un automorphisme car
\[
(p' \circ i)_1 = (q'_1 - \delta(h_1)) \circ i_1 = q'_1 \circ i_1 - \delta (h_1) \circ i_1 = \Id_A + \delta (h_1)\circ i_1 - \delta (h_1)\circ i_1 = \Id_A.
\]
\findem




\begin{lemme} \label{lemme_inverse_ai-isomorphisme_strictement_unitaire}
Soit $A$ et $A'$ deux $\ai$-alg�bres strictement unitaires.
Soit $\alpha : A \ra A'$ un $\ai$-isomorphisme strictement unitaire.
L'$\ai$-morphisme $\beta = \alpha^{-1}$ est strictement unitaire.
\end{lemme}

\dem On note $\unite$ l'unit� des $\ai$-alg�bres.
Comme $\alpha_1 \circ \unite = \unite$, nous avons l'�galit�
$\beta_1 \circ \unite = \unite$.
Nous savons que le morphisme
\[
\alpha_2 \circ (\beta_1 \ts \beta_1) + \alpha_1 \circ \beta_2 : A' \tp 2 \ra A
\]
est nul. Si nous le composons avec $\unite \ts \Id$ (resp.~$\Id \ts \unite$),
nous trouvons que
\[
\alpha_1 \circ \beta_2 (\unite \ts \Id), \quad (\mbox{resp.}\quad \alpha_1 \circ \beta_2 (\Id \ts \unite))
\]
est nul. Comme $\alpha_1$ est un isomorphisme, ceci implique que
\[
\beta_2 (\unite \ts \Id) = 0 \quad \mbox{et} \quad \beta_2 (\Id \ts \unite) = 0.
\]
Nous continuons par r�currence sur $n.$ Supposons que $\beta_1 \unite = \unite$ et
\[
\beta_i (\Id \tp j \ts \unite \ts \Id \tp k) = 0, \quad j + 1 + k = i, \quad 2 \leq i \leq n.
\]
Nous en d�duisons l'�galit�
\[
(\alpha \circ \beta)_{n+1} (\Id \tp j \ts \unite \ts \Id \tp k) = \alpha_1 \circ \beta_{n+1} (\Id \tp j \ts \unite \ts \Id \tp k), \quad j + 1 + k = n+1.
\]
Comme le terme d�finissant $(\alpha \circ \beta)_{n+1}$ est nul, nous en d�duisons
que  
\[
\beta_{n+1} (\Id \tp j \ts \unite \ts \Id \tp k) = 0, \quad j + 1 + k = n+1.
\]
\findem




\section{Strictification unitaire des polydules} \label{section_strictification_unitaire_(bi)polydules}

Cette section traite des diff�rents types de compatibilit� aux
unit�s des $\ai$-(bi)polydules. Les d�monstrations sont omises car elles sont
similaires � celles de la section \ref{section_strictification_unitaire_aia}.

\subsection{Polydules homologiquement unitaires}

\label{strictification_unite_modules}





\begin{definition}{\em 
Soit $A$ une $\ai$-alg�bre homologiquement unitaire. Un $A$-polydule $M$ est
{\em homologiquement unitaire} 
si $H^*M$ est un $H^*A$-module unitaire.
% Il est {\em strictement unitaire} \index{unit� stricte} \index{strictement unitaire} si
% \[
% m^M_2 (\Id \ts \unite) = \Id \quad \mbox{et} \quad
% m^M_i (\Id \tp j \ts \unite \ts \Id \tp l) = 0, \quad i \geq 3,\   j+1+l = i, \ j\neq 0.
% \]
Si $M$ et $M'$ sont deux $A$-polydules homologiquement unitaires, un $\ai$-morphisme
$f : M \ra M'$ est toujours {\em homologiquement unitaire}, i.~e.~$f_1$ induit
un morphisme de $H^*A$-modules unitaires
\[
H^*M \ra  H^*M'.
\]
% Un morphisme $f$ (resp.~une homotopie $h$) est {\em strictement unitaire} si
% \[
% f_i (\Id \tp j \ts \unite \ts \Id \tp l) = 0, \quad 
% \Big(\mbox{resp.~} h_i (\Id \tp j \ts \unite \ts \Id \tp l)\Big) \quad i \geq 2,\ j+1+l = i,\ j\neq 0.
% \]
}\end{definition}

Soit $A$ une $\ai$-alg�bre strictement unitaire. Un $A$-polydule strictement unitaire
(\ref{definition_polydules_strictement_unitaires}) est clairement homologiquement unitaire.\\

%{\noindent \bf Le complexe mesurant l'obstruction � l'extension des $\ai$-structures minimales}\\

%Soit $A$ une alg�bre gradu�e associative unitaire
%et $M$ un $A$-module gradu�. Consid�rons-les comme une $\ai$-alg�bre et comme un $A$-polydule.
%L'espace de cod�rivations de $(BA)\+$-comodules
%\[
%\coder (BM,BM)
%\]
%joue dans cette section le r�le de l'espace
%\[
%\coder ((BA)\+,(BA)\+)
%\]
%de la section \ref{section_obstruction_unite}.\\

{\noindent \bf Les r�sultats}\\

Soit $A$ une $\ai$-alg�bre minimale et strictement unitaire.

\begin{theoreme} \label{theoreme1_strictification_unite_polydules}
Tout $A$-polydule minimal homologiquement unitaire est isomorphe � un $A$-polydule
strictement unitaire. \findem
\end{theoreme}


\begin{corollaire}\label{corollaire_strictification_unite_polydules}
Tout $A$-polydule homologiquement unitaire est homotopiquement �quivalent � un $A$-polydule
strictement unitaire. \findem
\end{corollaire}

\begin{theoreme}
Soit $M$ et $M'$ deux
$A$-polydules minimaux strictement unitaires.
Tout $\ai$-morphisme $f : M \ra M'$ est homotope � un $\ai$-morphisme strictement
unitaire. \findem
\end{theoreme}


\begin{theoreme}
Soit $M$ et $M'$ deux $A$-polydules minimaux strictement unitaires.
Si $f$ et $g$ sont deux $\ai$-morphismes strictement unitaires homotopes $M \ra M'$
il existe une homotopie strictement unitaire entre $f$ et $g.$
\findem
\end{theoreme}

\begin{corollaire}
Soit $M$ et $M'$ des $A$-polydules strictement unitaires et
 $f : M \ra M'$ une �quivalence d'homotopie strictement unitaire.
Il existe un inverse � homotopie pr�s $g$ de $f$ qui est strictement unitaire
et des homotopies $h$ et $h'$ strictement unitaires entre $\Id_{M'}$ et $f \circ g$,
et entre $\Id_{M}$ et $g \circ f$. \findem
\end{corollaire}


Soit $A$ une $\ai$-alg�bre strictement unitaire.

\begin{proposition}
Tout $A$-polydule strictement unitaire $M$ admet un mod�le minimal
strictement unitaire $M'$ tel que l'$\ai$-quasi-isomorphisme
\[
f : M' \ra M
\]
est strictement unitaire. \findem
\end{proposition}


Soit $\big(\aiMod A\big)_u$ \indexnotation{(aiMod)u} la {\em sous-cat�gorie} pleine de $\aiMod A$
form�e des $A$-polydules strictement unitaires. 

\begin{proposition} \label{proposition_strictication_unitaire_polydules}
L'inclusion
\[
\aiModu A \hookrightarrow \big(\aiMod A\big)_{u}
\]
induit une �quivalence
\[
\aiModu A/\!\sim\, \arr{\sim} \big(\aiMod A\big)_{u}/\!\sim\,,
\]
o� les symboles $\sim$ d�signent la relation d'homotopie 
(\ref{definition_polydules_strictement_unitaires}) et
(\ref{definition_homotopie_ai-morphismes_mod}).
\findem
\end{proposition}



\subsection{Bipolydules homologiquement unitaires} \label{strictification_unite_bimodules}


Soit $C$ et $C'$ deux cog�bres diff�rentielles gradu�es et soit
$N$ et $N'$ deux $C$-$C'$-bicomodules diff�rentiels gradu�s.
Notons $\Delta^R$ et $\Delta^L$ la comultiplication � droite et � gauche de
ces bicomodules.

\begin{definition}{\em 
Une {\em cod�rivation de bicomodules} \index{coderivation@{cod�rivation}}est un morphisme
\[
K : N \ra N'
\]
tel que
\[
\Delta^L \circ K = (\Id \ts K) \circ \Delta^L \quad \mbox{et} \quad
\Delta^{R} \circ K = (K \ts \Id) \circ \Delta^R.  
\]
}\end{definition}


Soit $A$ et $A'$ deux alg�bres gradu�es associatives unitaires
et $M$ un $A$-$A'$-bimodules gradu�s.
Consid�rons les comme des $\ai$-alg�bres et comme un $A$-$A'$-bipolydule.
L'espace de cod�rivations de $\Ba A$-$\Ba A'$-bicomodules
\[
\coder (BM,BM)
\]
joue dans cette section le r�le de l'espace
\[
\coder ((BA)\+,(BA)\+)
\]
de la section \ref{section_obstruction_unite}.\\




Soit $A$ et $A'$ deux $\ai$-alg�bres strictement unitaires.
Soit $\big(\aiMod (A,A')\big)_u$ \indexnotation{(aiMod)uAA'}
la {\em sous-cat�gorie} pleine de $\aiMod (A,A')$
form�e des $A$-$A'$-bipolydules strictement unitaires. 
Nous montrons de la m�me mani�re que pr�c�demment la proposition suivante :

\begin{proposition} \label{proposition_strictication_unitaire_bipolydules}
L'inclusion
\[
\aiModu (A,A') \hookrightarrow \big(\aiMod (A,A')\big)_{u}
\]
induit une �quivalence
\[
\aiModu (A,A')/\!\sim\, \arr{\sim} \big(\aiMod (A,A')\big)_{u}/\!\sim\,,
\]
o� les symboles $\sim$ d�signent les relations d'homotopies.\findem
\end{proposition}





















math0310337.extracted_bib
\begin{thebibliography}{FOOO01}

\bibitem[Ada56]{Adams56}
J.~F. Adams.
\newblock On the cobar construction.
\newblock {\em Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A.}, 42:409--412, 1956.

\bibitem[BK91]{Bondal91}
A.~I. Bondal and M.~M. Kapranov.
\newblock Framed triangulated categories.
\newblock {\em Mat. USSR Sb.}, 70(1):93--107, 1991.

\bibitem[BL77]{Baues77}
H.~J. Baues and J.-M. Lemaire.
\newblock Minimal models in homotopy theory.
\newblock {\em Math. Ann.}, 225(3):219--242, 1977.

\bibitem[Bou61]{Bourbaki61}
N.~Bourbaki.
\newblock {\em \'{E}l\'ements de math\'ematique. {F}ascicule {XXVIII}.
  {A}lg\`ebre commutative. {C}hapitre 3: {G}raduations, filtra- tions et
  topologies. {C}hapitre 4: {I}d\'eaux premiers associ\'es et d\'ecomposition
  primaire}.
\newblock Actualit\'es Scientifiques et Industrielles, No. 1293. Hermann,
  Paris, 1961.

\bibitem[Car55]{Cartan55}
H.~Cartan.
\newblock S\'eminaire {H}. {C}artan de l'{E}cole {N}ormale {S}up\'erieure.
\newblock {P}aris, 1954--55.

\bibitem[CE99]{Cartan56}
Henri Cartan and Samuel Eilenberg.
\newblock {\em Homological algebra}.
\newblock Princeton University Press, Princeton, NJ, 1999.
\newblock With an appendix by David A. Buchsbaum, Reprint of the 1956 original.

\bibitem[Che77a]{Chen77a}
Kuo-Tsai Chen.
\newblock Extension of ${C}\sp{\infty }$ function algebra by integrals and
  {M}alcev completion of $\pi \sb{1}$.
\newblock {\em Advances in Math.}, 23(2):181--210, 1977.

\bibitem[Che77b]{Chen77b}
Kuo~Tsai Chen.
\newblock Iterated path integrals.
\newblock {\em Bull. Amer. Math. Soc.}, 83(5):831--879, 1977.

\bibitem[DS95]{DwyerSpalinski95}
W.~G. Dwyer and J.~Spalinski.
\newblock Homotopy theories and model categories.
\newblock In {\em Handbook of algebraic topology}, pages 73--126. Elsevier
  Science, 1995.

\bibitem[EM66]{Eilenberg66}
Samuel Eilenberg and John~C. Moore.
\newblock Homology and fibrations. {I}. {C}oalgebras, cotensor product and its
  derived functors.
\newblock {\em Comment. Math. Helv.}, 40:199--236, 1966.

\bibitem[EML53]{Eilenberg53}
Samuel Eilenberg and Saunders Mac~Lane.
\newblock On the groups of {$H(\Pi,n)$}. {I}.
\newblock {\em Ann. of Math. (2)}, 58:55--106, 1953.

\bibitem[FOOO01]{Fukaya01}
K.~Fukaya, Y.~G. Oh, H.~Ohta, and K.~Ohno.
\newblock {L}angrangian intersection {F}loer theory, anomaly and obstruction.
\newblock Preprint, disponible � la page {\tt
  www.kusm.kyoto-u.ac.jp/$\,\tilde{}\,$fukaya/fukaya.html}, 2001.

\bibitem[Fuc65]{Fuchs65}
Martin Fuchs.
\newblock Verallgemeinerte {H}omotopie-{H}omomorphismen und klassifizierende
  {R}\"aume.
\newblock {\em Math. Ann.}, 161:197--230, 1965.

\bibitem[Fuc76]{Fuchs76}
Martin Fuchs.
\newblock Homotopy equivalences in equivariant topology.
\newblock {\em Proc. Amer. Math. Soc.}, 58:347--352, 1976.

\bibitem[Fuk93]{Fukaya93}
Kenji Fukaya.
\newblock Morse homotopy, ${A}\sp \infty$-category, and {F}loer homologies.
\newblock In {\em Proceedings of GARC Workshop on Geometry and Topology '93
  (Seoul, 1993)}, pages 1--102, Seoul, 1993. Seoul Nat. Univ.

\bibitem[Fuk01a]{Fukaya01b}
Kenji Fukaya.
\newblock {D}eformation theory, homological algebra and mirror symmetry.
\newblock Preprint, disponible � la page {\tt
  www.kusm.kyoto-u.ac.jp/$\,\tilde{}\,$fukaya/fukaya.html}, 2001.

\bibitem[Fuk01b]{Fukaya01a}
Kenji Fukaya.
\newblock {F}loer homology and mirror symmetry {I}{I}.
\newblock Preprint, disponible � la page {\tt
  www.kusm.kyoto-u.ac.jp/$\,\tilde{}\,$fukaya/fukaya.html}, 2001.

\bibitem[Ger63]{Gerstenhaber63}
Murray Gerstenhaber.
\newblock The cohomology structure of an associative ring.
\newblock {\em Ann. of Math. (2)}, 78:267--288, 1963.

\bibitem[GG96]{Guccione96}
Jorge~A. Guccione and Juan~J. Guccione.
\newblock The theorem of excision for {H}ochschild and cyclic homology.
\newblock {\em J. Pure Appl. Algebra}, 106(1):57--60, 1996.

\bibitem[GJ90]{Getzler90}
Ezra Getzler and John D.~S. Jones.
\newblock ${A}\sb \infty$-algebras and the cyclic bar complex.
\newblock {\em Illinois J. Math.}, 34(2):256--283, 1990.

\bibitem[GJ94]{Getzler94}
E.~Getzler and J.D.S Jones.
\newblock Operads, homotopy algebra and iterated integrals for double loop
  spaces.
\newblock E-print {\tt hep-th/9403055}, 1994.

\bibitem[GK94]{Ginzburg94}
Victor Ginzburg and Mikhail Kapranov.
\newblock Koszul duality for operads.
\newblock {\em Duke Math. J.}, 76(1):203--272, 1994.

\bibitem[GL89]{Gugenheim89}
V.~K. A.~M. Gugenheim and L.~A. Lambe.
\newblock Perturbation theory in differential homological algebra. {I}.
\newblock {\em Illinois J. Math.}, 33(4):566--582, 1989.

\bibitem[GLS91]{Gugenheim91}
V.~K. A.~M. Gugenheim, L.~A. Lambe, and J.~D. Stasheff.
\newblock Perturbation theory in differential homological algebra. {I}{I}.
\newblock {\em Illinois J. Math.}, 35(3):357--373, 1991.

\bibitem[GM90]{Goldman90}
William~M. Goldman and John~J. Millson.
\newblock The homotopy invariance of the {K}uranishi space.
\newblock {\em Illinois J. Math.}, 34(2):337--367, 1990.

\bibitem[GS86]{Gugenheim86}
V.~K. A.~M. Gugenheim and J.~D. Stasheff.
\newblock On perturbations and ${A}\sb \infty$-structures.
\newblock {\em Bull. Soc. Math. Belg. S\'er. A}, 38:237--246 (1987), 1986.

\bibitem[Gug72]{Gugenheim72}
V.~K. A.~M. Gugenheim.
\newblock On the chain-complex of a fibration.
\newblock {\em Illinois J. Math.}, 16:398--414, 1972.

\bibitem[Gug82]{Gugenheim82}
V.~K. A.~M. Gugenheim.
\newblock On a perturbation theory for the homology of the loop-space.
\newblock {\em J. Pure Appl. Algebra}, 25(2):197--205, 1982.

\bibitem[GZ67]{GabrielZisman67}
P.~Gabriel and M.~Zisman.
\newblock {\em Calculus of fractions and homotopy theory}, volume~35 of {\em
  Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete}.
\newblock Springer--verlag, 1967.

\bibitem[Hap87]{Happel87}
Dieter Happel.
\newblock On the derived category of a finite-dimensional algebra.
\newblock {\em Comment. Math. Helv.}, 62(3):339--389, 1987.

\bibitem[Hel60]{Heller60}
Alex Heller.
\newblock The loop-space functor in homological algebra.
\newblock {\em Trans. Amer. Math. Soc.}, 96:382--394, 1960.

\bibitem[Hin97]{Hinich97c}
Vladimir Hinich.
\newblock Homological algebra of homotopy algebras.
\newblock {\em Comm. Algebra}, 25(10):3291--3323, 1997.

\bibitem[Hin01]{Hinich01}
Vladimir Hinich.
\newblock D{G} coalgebras as formal stacks.
\newblock {\em J. Pure Appl. Algebra}, 162(2-3):209--250, 2001.

\bibitem[HK91]{Huebschmann91a}
Johannes Huebschmann and Tornike Kadeishvili.
\newblock Small models for chain algebras.
\newblock {\em Math. Z.}, 207(2):245--280, 1991.

\bibitem[HMS74]{Husemoller74}
Dale Husemoller, John~C. Moore, and James Stasheff.
\newblock Differential homological algebra and homogeneous spaces.
\newblock {\em J. Pure Appl. Algebra}, 5:113--185, 1974.

\bibitem[Hov99]{Hovey99}
Mark Hovey.
\newblock {\em Model categories}.
\newblock American Mathematical Society, Providence, RI, 1999.

\bibitem[HS93]{Hinich93}
Vladimir Hinich and Vadim Schechtman.
\newblock Homotopy {L}ie algebras.
\newblock In {\em I. M. Gel\cprime fand Seminar}, pages 1--28. Amer. Math.
  Soc., Providence, RI, 1993.

\bibitem[Hue86]{Huebschmann86}
Johannes Huebschmann.
\newblock The homotopy type of ${F}\psi\sp q$. {T}he complex and symplectic
  cases.
\newblock In {\em Applications of algebraic $K$-theory to algebraic geometry
  and number theory, Part I, II (Boulder, Colo., 1983)}, pages 487--518. Amer.
  Math. Soc., Providence, RI, 1986.

\bibitem[Hue99]{Huebschmann99}
J.~Huebschmann.
\newblock Berikashvili's functor ${D}$ and the deformation equation.
\newblock {\em Proc. A. Razmadze Math. Inst.}, 119:59--72, 1999.

\bibitem[Jar97]{Jardine97}
J.~F. Jardine.
\newblock A closed model structure for differential graded algebras.
\newblock In {\em Cyclic cohomology and noncommutative geometry (Waterloo, ON,
  1995)}, pages 55--58. Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1997.

\bibitem[JL01]{Johansson01}
Leif Johansson and Larry Lambe.
\newblock Transferring algebra structures up to homology equivalence.
\newblock {\em Math. Scand.}, 89(2):181--200, 2001.

\bibitem[Kad80]{Kadeishvili80}
T.~V. Kadeishvili.
\newblock On the theory of homology of fiber spaces.
\newblock {\em Uspekhi Mat. Nauk}, 35(3(213)):183--188, 1980.
\newblock International Topology Conference (Moscow State Univ., Moscow, 1979).

\bibitem[Kad87]{Kadeishvili87}
T.~V. Kadeishvili.
\newblock The functor ${D}$ for a category of ${A}(\infty)$-algebras.
\newblock {\em Soobshch. Akad. Nauk Gruzin. SSR}, 125(2):273--276, 1987.

\bibitem[Kel94a]{Keller94}
Bernhard Keller.
\newblock Deriving {D}{G} categories.
\newblock {\em Ann. Sci. \'Ecole Norm. Sup. (4)}, 27(1):63--102, 1994.

\bibitem[Kel94b]{Keller94a}
Bernhard Keller.
\newblock A remark on the generalized smashing conjecture.
\newblock {\em Manuscripta Math.}, 84(2):193--198, 1994.

\bibitem[Kel99]{Keller99}
Bernhard Keller.
\newblock On the cyclic homology of exact categories.
\newblock {\em J. Pure Appl. Algebra}, 136(1):1--56, 1999.

\bibitem[Kel01a]{Keller01a}
Bernhard Keller.
\newblock Introduction to ${A}$-infinity algebras and modules.
\newblock {\em Homology Homotopy Appl.}, 3(1):1--35 (electronic), 2001.

\bibitem[Kel01b]{Keller01b}
Bernhard Keller.
\newblock Introduction to ${A}$-infinity algebras and modules, addendum.
\newblock Diponible en {\tt
  http://www.math.jussieu.fr/\,$\tilde{}$\,keller/publ/index.html}, 2001.

\bibitem[Kon95]{Kontsevich94}
M.~Kontsevich.
\newblock Homological algebra of mirror symmetry.
\newblock In {\em Proceedings of the International Congress of Mathematicians,
  Vol.\ 1, 2 (Z\"urich, 1994)}, pages 120--139, Basel, 1995. Birkh\"auser.

\bibitem[Kon98]{Kontsevich98}
M.~Kontsevich.
\newblock Triangulated categories and geometry.
\newblock Course at the {E}cole {N}ormale {S}up\'erieure, Paris, 1998.

\bibitem[KS00]{Kontsevich00}
Maxim Kontsevich and Yan Soibelman.
\newblock Deformations of algebras over operads and the {D}eligne conjecture.
\newblock In {\em Conf\'erence Mosh\'e Flato 1999, Vol. I (Dijon)}, pages
  255--307. Kluwer Acad. Publ., Dordrecht, 2000.

\bibitem[KS01]{Kontsevich01}
Maxim Kontsevich and Yan Soibelman.
\newblock Homological mirror symmetry and torus fibrations.
\newblock In {\em Symplectic geometry and mirror symmetry (Seoul, 2000)}, pages
  203--263. World Sci. Publishing, River Edge, NJ, 2001.

\bibitem[KS02a]{Kontsevich02}
Maxim Kontsevich and Yan Soibelman.
\newblock {D}eformation theory.
\newblock {L}ivre en pr�paration, 2002.

\bibitem[KS02b]{Kontsevich02a}
Maxim Kontsevich and Yan Soibelman.
\newblock $\rm{A}_\infty$-categories and non-commutative geometry.
\newblock en pr�paration, 2002.

\bibitem[KV87]{Keller87}
Bernhard Keller and Dieter Vossieck.
\newblock Sous les cat\'egories d\'eriv\'ees.
\newblock {\em C. R. Acad. Sci. Paris S\'er. I Math.}, 305(6):225--228, 1987.

\bibitem[Laz02]{Lazarev02}
A.~Lazarev.
\newblock Hochschild cohomology and moduli spaces of strongly homotopy
  associative algebras.
\newblock E-print {\tt math.QA/0204062}, 2002.

\bibitem[Lyu02]{Lyubashenko02}
Volodymyr Lyubashenko.
\newblock {C}ategorie of $\rm{A}_\infty$-categories.
\newblock math.CT/0211037, 2002.

\bibitem[Mar96]{Markl96}
Martin Markl.
\newblock Models for operads.
\newblock {\em Comm. Algebra}, 24(4):1471--1500, 1996.

\bibitem[Mar99]{Markl99}
M.~Markl.
\newblock Homotopy algebras are homotopy algebras.
\newblock E-print {\tt math.AT/9907138}, 1999.

\bibitem[Mar00]{Markl00}
Martin Markl.
\newblock Homotopy algebras via resolutions of operads.
\newblock In {\em The Proceedings of the 19th Winter School ``Geometry and
  Physics'' (Srn\'\i, 1999)}, number~63, pages 157--164, 2000.

\bibitem[May72]{May72}
J.~P. May.
\newblock {\em The geometry of iterated loop spaces}.
\newblock Springer-Verlag, Berlin, 1972.
\newblock Lectures Notes in Mathematics, Vol. 271.

\bibitem[Mer99]{Merkulov99}
S.~A. Merkulov.
\newblock Strong homotopy algebras of a {K}\"ahler manifold.
\newblock {\em Internat. Math. Res. Notices}, (3):153--164, 1999.

\bibitem[ML98]{MacLane98}
Saunders Mac~Lane.
\newblock {\em Categories for the working mathematician}.
\newblock Springer-Verlag, New York, second edition, 1998.

\bibitem[Moo71]{Moore70}
John~C. Moore.
\newblock Differential homological algebra.
\newblock In {\em Actes du Congr\`es International des Math\'ematiciens (Nice,
  1970), Tome 1}, pages 335--339. Gauthier-Villars, Paris, 1971.

\bibitem[Mun76]{Munkholm76}
Hans~J. Munkholm.
\newblock shm maps of differential algebras, i.~a charactarization up to
  homotopy.
\newblock {\em Journal of Pure and Applied Algebra}, 9:39--46, 1976.

\bibitem[Mun78]{Munkholm78}
Hans~J. Munkholm.
\newblock D{G}{A} algebras as a {Q}uillen model category. {R}elations to shm
  maps.
\newblock {\em J. Pure Appl. Algebra}, 13(3):221--232, 1978.

\bibitem[Pro85]{Proute85}
A.~Prout�.
\newblock {\em Alg�bres diff�rentielles fortement homotopiquement
  associatives}.
\newblock Th�se d'�tat, Univ. Paris VII, France, 1985.

\bibitem[PZ98]{Polishchuk98}
Alexander Polishchuk and Eric Zaslow.
\newblock Categorical mirror symmetry: the elliptic curve.
\newblock {\em Adv. Theor. Math. Phys.}, 2(2):443--470, 1998.

\bibitem[Qui67]{Quillen67}
Daniel Quillen.
\newblock {\em Homotopical algebra}, volume~43 of {\em Lec. Notes in Math.}
\newblock Springer--Verlag, 1967.

\bibitem[Qui69]{Quillen69}
Daniel Quillen.
\newblock Rational homotopy theory.
\newblock {\em Ann. of Math.}, 90:205--295, 1969.

\bibitem[Qui73]{Quillen73}
Daniel Quillen.
\newblock Higher algebraic ${K}$-theory. {I}.
\newblock In {\em Algebraic $K$-theory, I: Higher $K$-theories (Proc. Conf.,
  Battelle Memorial Inst., Seattle, Wash., 1972)}, pages 85--147. Lecture Notes
  in Math., Vol. 341. Springer, Berlin, 1973.

\bibitem[Sei]{Seidel02}
P.~Seidel.
\newblock Communication orale, {O}berwolfach.
\newblock 02/04/2002.

\bibitem[SH70]{Stasheff70}
J.~D. Stasheff and Steve Halperin.
\newblock Differential algebra in its own rite.
\newblock In {\em Proceedings of the Advanced Study Institute on Algebraic
  Topology (Aarhus Univ., Aarhus 1970), Vol. III}, pages 567--577. Various
  Publ. Ser., No. 13, Aarhus Univ., Aarhus, 1970. Mat. Inst.

\bibitem[Smi80]{Smirnov80}
V.~A. Smirnov.
\newblock Homology of fiber spaces.
\newblock {\em Uspekhi Mat. Nauk}, 35(3(213)):227--230, 1980.
\newblock International Topology Conference (Moscow State Univ., Moscow, 1979).

\bibitem[SS85]{Schlessinger85}
Michael Schlessinger and James Stasheff.
\newblock The {L}ie algebra structure of tangent cohomology and deformation
  theory.
\newblock {\em J. Pure Appl. Algebra}, 38(2-3):313--322, 1985.

\bibitem[SS00]{SchwedeShipley02}
Stefan Schwede and Brooke~E. Shipley.
\newblock Algebras and modules in monoidal model categories.
\newblock {\em Proc. London Math. Soc. (3)}, 80(2):491--511, 2000.

\bibitem[Sta63a]{Stasheff63a}
J.~D. Stasheff.
\newblock Homotopy associativity of {$H$}-spaces, {I}.
\newblock {\em Trans. Amer. Math. Soc.}, 108:275--292, 1963.

\bibitem[Sta63b]{Stasheff63b}
J.~D. Stasheff.
\newblock Homotopy associativity of {$H$}-spaces, {II}.
\newblock {\em Trans. Amer. Math. Soc.}, 108:293--312, 1963.

\bibitem[Ste47]{Steenrod47}
N.~E. Steenrod.
\newblock Products of cocycles and extensions of mappings.
\newblock {\em Ann. of Math. (2)}, 48:290--320, 1947.

\bibitem[Ste52]{Steenrod52}
N.~E. Steenrod.
\newblock Reduced powers of cohomology classes.
\newblock {\em Ann. of Math. (2)}, 56:47--67, 1952.

\bibitem[Ver77]{Verdier77}
Jean-Louis Verdier.
\newblock Cat{\'e}gories d{\'e}riv{\'e}es, {\'e}tat 0.
\newblock In {\em SGA 4.5}, volume 569 of {\em Lec. Notes in Math.}, pages
  262--308. Springer--Verlag, 1977.

\bibitem[Wod88]{Wodzicki88}
Mariusz Wodzicki.
\newblock The long exact sequence in cyclic homology associated with an
  extension of algebras.
\newblock {\em C. R. Acad. Sci. Paris S\'er. I Math.}, 306(9):399--403, 1988.

\bibitem[Wod89]{Wodzicki89}
Mariusz Wodzicki.
\newblock Excision in cyclic homology and in rational algebraic {$K$}-theory.
\newblock {\em Ann. of Math. (2)}, 129(3):591--639, 1989.

\end{thebibliography}