Th�orie des d�formations �quivariantes des morphismes localement d'intersections compl�tes
Sylvain Maugeais
This is an expository paper on the subject of the title. It assumes basic scheme theory, commutative and homological algebra.
math0310136.tex
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%% Definition des c�sures
\hyphenation{ca-rac-t�-ri-sti-que}
\hyphenation{iso-mor-phi-smes}


%% Definition des polices de carateres speciales
\DeclareMathAlphabet{\mathpzc}{OT1}{pzc}{m}{it}

%% Definition fin de lemme
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%% Definition des coefficients binomiaux
\def\binome#1#2{
\left(\scriptstyle{#1}\atop \scriptstyle{#2}\right )}

%Definition des theoremes, propositions, ....
\newtheorem{theorem}{Th\'eor\`eme}[section]
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% Numerotation des equations
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% Fin de preuve
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% Fin d'exemple 
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%Definition des faisceaux et des courbes
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%Definition des schemas en groupe
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%% Definition des sch\'emas
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\begin{document}

\title{Th�orie des d�formations �quivariantes des morphismes
localement d'intersections compl�tes}

\author{Sylvain Maugeais}

\maketitle

\selectlanguage{english}

\begin{abstract}
  This is an expository paper on the subject of the title. It assumes basic scheme theory, commutative and homological algebra. 
\end{abstract}

\selectlanguage{francais}

\section{Introduction}

Le but de cet article est de donner les propri�t�s basiques et les
th�or�me fondamentaux de la th�orie des d�formations �quivariantes des
sch�mas d'intersections compl�tes munies d'une action d'un groupe
abstrait fini. � proprement parler, il n'y a rien de nouveau dans cet
article. Le but essentiel est de donner des preuves simples � des
th�or�mes d�j� connus et de les illustrer par des exemples. Nous
n'h�siterons donc pas � ajouter des hypoth�ses sur les objets
consid�r�s, ni � donner des �nonc�s moins forts, si l'expos� peut y
gagner en simplicit�. Des expos�s beaucoup plus g�n�raux peuvent �tre
trouv�s dans \cite{IllusieI, IllusieII}, \cite{Laudal} ou
\cite{DeformationWewers}. Les techniques utilis�es ici s'inspire de
celles utilis�es dans \cite{Vistoli} et \cite{CotangentComplex}.

Nous utilisersons constamment des sch�mas munis de l'action d'un groupe
fini, il est donc naturel de poser les d�finitions suivantes.

\begin{definition}
Soient $G$ un groupe fini et $Y$ un sch�ma. Un \textit{$Y[G]$-sch�ma} 
(ou $A[G]$-sch�ma si $Y=\Spec A$) est un couple $(X\to Y, i)$ o� $X\to Y$
 est un morphisme de sch�mas et $i:G\to \Aut_{Y} (X)$ est un homomorphisme de
groupes abstraits. S'il n'y a pas de confusion possible, on notera
aussi $(X\to  Y, G)$, voire $(X, G)$, le couple $(X\to Y, G)$.

Les $Y[G]$-sch�mas forment une cat�gorie, les fl�ches �tant les
morphismes $G$-�quivariants de $Y$-sch�mas.

Si $P$ est une propri�t� des morphismes de sch�mas, nous dirons qu'un
morphismes de $Y[G]$-sch�mas $(X_{1}, i_{1})\to (X_{2}, i_{2})$
poss�de la propri�t� $P$ si le morphisme sous-jacent $X_{1}\to X_{2}$
poss�de la propri�t� $P$.
\end{definition}

Soient $k$ un corps, $G$ un groupe fini et $(X_{0}, i_{0})$ un
$k[G]$-sch�mas. Une d�formation �quivariante de $(X_{0}, i_{0})$
consiste en la donn�e   
\begin{enumerate}[-]
\item d'un anneau local artinien $A$ d'id�al maximal $\m_A$ de corps
r�siduel $k$ ;
\item d'un $A[G]$-sch�mas $(X,i)$ plat sur $A$ ; 
\item et d'un isomorphisme $(X \times_{\Spec A} \Spec k, i) \to
(X_{0}, i_{0})$
\end{enumerate}
Une telle donn�e sera appel�e \emph{d�formation �quivariante} de $(X_{0},
i_{0})$ au-dessus de $A$.

Deux d�formations �quivariantes $(X_{1}, i_{1})$ et $(X_{2}, i_{2})$
de $(X_{0}, i_{0})$ au-dessus d'un anneau $A$ seront dites isomorphes
s'il existe un $A[G]$-morphisme $f:(X_{1}, i_{1})\to (X_{2}, i_{2})$
induisant l'identit� sur les fibres ferm�es (qui sont canoniquement
isomorphe � $(X_{0}, i_{0})$). On peut remarquer qu'alors $f$ est un
isomorphisme gr�ce � \cite{Deformation}, Lemma 3.3.

Nous noterons $\A$ la cat�gorie des anneaux locaux artiniens de corps r�siduel $k$.

\begin{definition}[rel�vement �quivariant]\label{EquivariantLifting}
Soient $A'$ un objet de $\A$, $\m_{A'}$ son id�al maximal,
$\mathfrak{a}\subset A'$ un id�al tel que $\m_{A'}\mathfrak{a}=0$
(en particulier, $\mathfrak{a}$ est naturellement une $k$-alg�bre) ; notons 
$A=A'/\mathfrak{a}$ et $\m_A$ son id�al maximal. Soit $(X, i)$ une
d�formation �quivariante au-dessus de $A$ d'un $k[G]$-sch�mas $(X_{0},
i_{0})$. Un rel�vement �quivariant de $(X, i)$ � $A'$ est une
d�formation �quivariante $(X', i')$ de $(X_{0}, i_{0})$ au-dessus de
$A'$ telle qu'il existe un isomorphisme $(X'\times_{\Spec A'} \Spec A, 
i') \to  (X, i)$.
\end{definition}

L'exemple le plus simple de donn�e satisfaisant les hypoth�ses de la
d�finition pr�c�dente est donn� par $A'=k[\varepsilon]/
(\varepsilon^{2})$ (l'alg�bre des nombres duaux qu'on note souvent
$k[\varepsilon]$), $\m_{A'}=\mathfrak{a}= (\varepsilon)$ et $A=k$. Les
rel�vements �quivariants de $(X_{0}, i_{0})$ � $k[\varepsilon]$ seront
appel�s les \textit{d�formations �quivariantes du premiers ordres}.

Le but de cet article est de d�montrer une version affaiblie du th�or�me suivant.

\begin{theorem}\label{Principal}
Soient $k$ un corps, $G$ un groupe fini et $X_{0}$ un $k$-sch�ma
r�duit, noeth�rien,  localement d'intersection compl�te et muni d'un
action de $G$ (i.e. il existe un homomorphisme $i_{0}:G\to
\Aut_{k} (X_{0})$ faisant de $(X_{0}, i_{0})$ un $k[G]$-sch�ma). 
Notons $\Omega_{X_{0}/k}$ le compl�t� s�par� du faisceau des diff�rentielles
relatives si $X_{0}$ est le spectre d'un anneau local complet, et notons
$\Omega_{X_{0}/k}$ le faisceau des diff�rentielles relatives
sinon. Reprenons les notations introduites dans la d�finition 
\ref{EquivariantLifting}. 
Soit $(X, i)$ une d�formation �quivariante de $(X_{0}, i_{0})$
au-dessus de $A$.
\begin{enumerate}
\item Si $(X', i')$ est un rel�vement �quivariant de $(X, i)$ � $A'$
alors le groupe des automorphismes de rel�vements de  $(X', i')$
(i.e. les automorphismes �quivariants de $(X', i')$ qui fixent $(X,
i)$) est canoniquement isomorphe �
$$\mathfrak{a}\otimes_{k} \Hom_{\O_{X_0}} (\Omega_{X_0/k}, \O_{X_0})^G.$$
\item Il existe un �l�ment canonique
$$\omega_{A', \mathfrak{a}}\in\mathfrak{a}\otimes_{k} \Ext^{2}_{G,
\O_{X_0}} (\Omega_{X_0/k}, \O_{X_0})$$ appel� \emph{obstruction},
tel que $\omega_{A', \mathfrak{a}}=0$ si et seulement s'il existe un
rel�vement de $(X, i)$ � $A'$. 
\item S'il existe un rel�vement de $(X, i)$ � $A'$, alors l'ensemble
des classes d'iso\-morphismes de rel�vements de $(X, i)$ � $A'$ est
canoniquement isomorphe �  
$$\mathfrak{a}\otimes_{k} \Ext^{1}_{G,\O_{X_0}} (\Omega_{X_0/k}, \O_{X_0}).$$
\end{enumerate}
\end{theorem}

La d�finition de morphisme localement d'intersection compl�te 
adopt�e ici (cf. d�finition \ref{MorphismeGIC}), est un peu plus g�n�rale
que celle utilis�e habituellement (cf. par exemple \cite{LiuBook})
afin d'englober le cas des anneaux locaux.

Voici le plan de cette note. Dans la section 2, nous rassemblons
les d�finitions et propri�t�s concernant les intersections locales
compl�tes munies d'une action d'un groupe fini. Dans la section 3,
nous montrons le r�sultat pour les intersections locales compl�tes
affines (cf. Th�or�me \ref{IdentificationCasAffine} et Th�or�me
\ref{ObstructionCasAffine}) et nous d�montrons une version plus faible
du cas g�n�ral dans la section 4 (cf. Th�or�me \ref{IdentificationCasGeneral}
et Th�or�me \ref{ExistenceFaibleObstruction}). La section 6 regroupe divers 
exemples et corollaires.  

L'outil de base est la cohomologie �quivariante. Notre r�f�rence dans
ce domaine est \cite{Tohoku} que nous utiliserons librement.

Le groupe nul sera not� $0$.

\section{Morphismes localement d'intersection compl�tes}

\begin{definition}\label{MorphismeGFL}
Soient $A$ un anneau et $G$ un groupe fini. Nous dirons qu'un
$A[G]$-sch�ma est $G$-FL s'il est d'une des formes suivantes
\begin{enumerate}[-]
\item $(\AA^{n}_{A, G}, G)$ o� $\AA^{n}_{A, G}:=\Spec A[\left\{x_{i,
\sigma} \right\}_{1\le i \le n, \sigma \in G}]$ et l'action (� gauche) de $G$ est
d�finie par $\sigma' (X_{i, \sigma})=X_{i, \sigma \sigma'}$ ; 
\item un sch�ma affine $(\Spec B, G)$, o� $B$ est une localisation de 
$\O_{\AA^{n}_{A, G}}$ stable sous l'action de  $G$ ;
\item $(\Spec A[[\left\{x_{i, \sigma}\right\}_{1
\le i \le n, \sigma \in G}]], G)$ et l'action est d�finie par $\sigma'
(X_{i, \sigma})=X_{i, \sigma \sigma'}.$ 
\end{enumerate}
\end{definition}

La proposition suivante justifie la d�nomination $G$-FL (pour
$G$-formellement lisse). 

\begin{proposition}\label{FormallySmoothMorphism}
Soient $A$ un anneau, $G$ un groupe fini et $(Y, G)$ un $A[G]$-sch�ma
$G$-FL. Soit $(X_{0}, G)$ et $(X, G)$ des $A[G]$-sch�mas
affines et supposons qu'il existe un diagramme commutatif de $A[G]$-sch�mas
$$\xymatrix{
(X_{0}, G) \ar[r]^{f}\ar[d] & (Y, G) \ar[d] \\
(X, G) \ar[r] & \Spec A
}$$
o� le morphisme $X_{0} \to X$ est une immersion ferm�e d�finie par un
id�al de carr� nul. Alors il existe un morphisme de $A[G]$--sch�mas
$\tilde f:(X, G) \to (Y, G)$ rendant commutatif le diagramme
$$\xymatrix{
(X_{0}, G) \ar[r]^{f}\ar[d] & (Y, G) \\
(X, G) \ar[ur]_{\tilde f}. & 
}$$
\end{proposition}

\preuve Imm�diate. \qed

Il eut peut �tre �t� plus naturel de d�finir un morphisme $G$-FL comme
�tant un morphisme v�rifiant la propri�t� �nonc�e dans la proposition
\ref{FormallySmoothMorphism}. Toutefois, l'�tude de ces morphismes et
de leurs propri�t�s nous aurait emmen�s au-del� des buts de cet article. 

Soit $X\to \Spec A$ un morphisme de sch�ma. Si $X$ est le spectre du
compl�t� d'un anneau de type fini en un point, nous noterons
$\Omega_{X/A}$ le s�par� compl�t� du module des diff�rentielles. Sinon
nous noterons $\Omega_{X/A}$ son faisceau des diff�rentielles relatives. 

En particulier, pour tout faisceau coh�rent $\mathcal{F}$ de type
fini, on a une bijection entre l'ensemble des $A$-d�rivations de
$\O_{X}$ � valeurs dans $\mathcal{F}$ et l'ensemble
$\Hom_{\O_{X}}(\Omega_{X/A}, \mathcal{F})$.

\begin{proposition}\label{DifferentialIsProjective}
Soient $G$ un groupe fini, $A$ un anneau et $(Y, G)$ un $A[G]$-sch�ma
$G$-FL. Alors le faisceau $\Omega_{Y/A}$ est un
$\O_{Y,G}$-module projectif.
\end{proposition}

\preuve Ceci d�coule de la description de $\Omega_{Y/A}$. \qed

\begin{definition}\label{MorphismeGIC}
Soient $G$ un groupe fini, $A$ un anneau et $(X, G)$ un
$A[G]$-sch�ma. Nous dirons que $(X, G)$ est $G$-IC s'il existe un
$A[G]$-sch�ma $(Y,G)$ qui soit $G$-FL, et une immersion r�guli�re $(X, G)\to (Y, G)$.
Un morphisme (non �quivariant) sera dit d'intersection compl�te s'il est $0$-IC.
\end{definition}

\begin{remark}
Cette d�finition de morphisme d'intersection compl�te n'est pas
classique. Elle englobe �videment la notion de morphisme
d'intersection compl�te si celui-ci est en plus de type fini. La
d�finition adopt�e ici est n�cessaire car, tr�s souvent, nous
``localiserons'' les obstructions et devrons donc travailler sur des
anneaux locaux (voire complet) qui ne sont pas de type fini sur la base.
\end{remark}

En particulier, on voit que si un $A[G]$-sch�ma $(X, G)$ est $G$-IC et
de pr�sentation finie, alors le sch�ma sous-jacent $X$ est une
intersection compl�te. Cette propri�t� est en fait une �quivalence
d'apr�s le lemme suivant.

\begin{lemma}\label{ICImplyGIC}
Soient $A$ un anneau, $G$ un groupe fini et $(X, G)$ un $A[G]$-sch�ma
affine. Si $X$ est d'intersection compl�te, alors
$(X,G)$  est $G$-IC.
\end{lemma}

\preuve Supposons que $X\to \Spec A$ est de type fini, la
d�monstration dans le cas g�n�ral se faisant de la m�me
mani�re. Notons $B$ l'anneau des fonctions de $X$. Comme $X\to  \Spec
A$ est de type fini, il existe un morphisme 
surjectif 
$$\varphi:C:=A[X_1, \dots , X_{n}]\to B$$
tel que le morphisme induit $X\to \Spec C$ soit une immersion r�guli�re
(cf. \cite{LiuBook}, Corollary 6.3.22). D�finissons un morphisme
�quivariant
$$\varphi':C':=A[\left\{X_{i, \sigma} \right\}_{1\le i \le n, \sigma \in G}]\to B$$ 
par $\varphi'(X_{i, \sigma})=\sigma (\varphi (X_{i}))$. Comme $\Spec C'\to
\Spec A$ est lisse, le morphisme $\varphi':X\to \Spec C'$ est une
immersion r�guli�re (cf. \cite{LiuBook}, corollary 6.3.22), ce qui ach�ve la preuve. \qed

\begin{lemma}\label{ExactSequence}
Soient $k$ un corps, $(X_{0}, G)$ un $k[G]$-sch�ma r�duit qui soit $G$-IC et
$j:(X_{0}, G)\to (Y_{0}, G)$ une immersion r�guli�re dans un $k[G]$-sch�ma
qui soit $G$-FL. Notons $\mathcal{I}_{0}$ l'id�al de l'immersion
$j$. Alors on a une suite exacte 
$$0 \to  \mathcal{I}_{0}/\mathcal{I}_{0}^{2} \to
\Omega_{Y_{0}/k}|_{X_{0}}\to \Omega_{X_{0}/k}\to 0.$$
\end{lemma}

\preuve Supposons dans un premier temps que $X_{0}$ et $Y_{0}$ sont de
type fini sur $k$. Alors tout est classique, sauf peut �tre
l'injectivit�. Celle-ci est prouv�e dans \cite{Vistoli}, Lemma 4.7
(c'est ici que le fait que $X$ soit r�duit intervient).  

La d�monstration dans le cas g�n�ral est similaire.
\qed  

En appliquant le foncteur
$\mathfrak{a}\otimes_{k}\Hom_{\O_{X_0}}(-,\O_{X_0})^G$ � la suite
exacte du lemme pr�c�dent on obtient une suite exacte
\begin{multline*}
0\to \mathfrak{a}\otimes_{k} \Hom_{\O_{X_0}}(\Omega_{X_{0}/k},\O_{X_0}) 
\to \mathfrak{a}\otimes_{k} \Hom_{\O_{X_0}}(\Omega_{Y_{0}/k}|_{X_{0}},\O_{X_0})\to  \\
\mathfrak{a}\otimes_{k}\Hom_{\O_{X_0}}(\mathcal{I}_{0}/\mathcal{I}_{0}^{2},\O_{X_0})
\to \mathfrak{a}\otimes_{k} \Ext^{1}_{\O_{X_0}, G}(\Omega_{X_{0}/k},\O_{X_0}) 
\to \\
\mathfrak{a}\otimes_{k} \Ext^{1}_{\O_{X_0},
G}(\Omega_{Y_{0}/k}|_{X_{0}},\O_{X_0}) \to \mathfrak{a}\otimes_{k} \Ext^{1}_{\O_{X_0},
G}(\mathcal{I}_{0}/\mathcal{I}_{0}^{2},\O_{X_0}) \to \\
\mathfrak{a}\otimes_{k} \Ext^{2}_{\O_{X_0}, G}(\Omega_{X_{0}/k},\O_{X_0}) 
\to \mathfrak{a}\otimes_{k} \Ext^{2}_{\O_{X_0}, G}(\Omega_{Y_{0}/k}|_{X_{0}},\O_{X_0})
\end{multline*}

Comme le faisceau $\Omega_{Y_{0}/k}$ est un faisceau de
$\O_{Y_0}[G]$-module projectif (cf. Proposition \ref{DifferentialIsProjective}),
le faisceau $\Omega_{Y_{0}/k}|_{X_{0}}$ est un faisceau de
$\O_{X_0}[G]$-module projectif. Ainsi, on a une suite exacte

\begin{multline}\label{SuiteExacteFondamentale}
0\to \mathfrak{a}\otimes_{k} \Hom_{\O_{X_0}}(\Omega_{X_{0}/k},\O_{X_0}) 
\to \mathfrak{a}\otimes_{k} \Hom_{\O_{X_0}}(\Omega_{Y_{0}/k}|_{X_{0}},\O_{X_0})\to  \\
\mathfrak{a}\otimes_{k}\Hom_{\O_{X_0}}(\mathcal{I}_{0}/\mathcal{I}_{0}^{2},\O_{X_0})
\to \mathfrak{a}\otimes_{k} \Ext^{1}_{\O_{X_0}, G}(\Omega_{X_{0}/k},\O_{X_0}) 
\to 0
\end{multline}

et un isomorphisme
\begin{equation}\label{IsomorphismeFondamental}
\mathfrak{a}\otimes_{k} \Ext^{1}_{\O_{X_0},
G}(\mathcal{I}_{0}/\mathcal{I}_{0}^{2},\O_{X_0}) \to
\mathfrak{a}\otimes_{k} \Ext^{2}_{\O_{X_0}, G}(\Omega_{X_{0}/k},\O_{X_0}) 
\end{equation}

\section{D�formation �quivariante des sch�mas affines}

Fixons quelques notations. Dans cette section et dans la suite $k$
sera un corps, $G$ un groupe fini, $(X_{0}, G)$ un $k[G]$-sch�ma qui
est $G$-IC, $(X_{0},G)\to  (Y_{0},G)$ une immersion r�guli�re dans un
$k[G]$-sch�ma qui est $G$-FL. On choisit un objet $A'$ de $\A$,
$\m_{A'}$ son id�al maximal, $\mathfrak{a}\subset A'$ un id�al tel que 
$\mathfrak{a}\m_{A'}=0$. Notons $A=A'/\mathfrak{a}$ et $\m_A$ son
id�al maximal. Finalement, fixons une d�formation �quivariante $(X,
G)$ de $(X_{0}, G)$ au-dessus de $A$, un $k[G]$-sch�ma $(Y, G)$
au-dessus de $A$ ayant pour fibre sp�cial $(Y_{0}, G)$ (on montre
ais�ment qu'il en existe �tant donn� la d�finition des sch�mas $G$-FL)
et une immersion r�guli�re $\pi:(X, G)\to (Y, G)$ relevant l'immersion
$(X_{0},G)\to (Y_{0}, G)$ (il existe de tels rel�vement gr�ce � la proposition
\ref{FormallySmoothMorphism}). Nous noterons $\mathcal{I}_{0}$ l'id�al
de l'immersion $X_{0}\to Y_{0}$ et $\mathcal{I}$ l'id�al de
l'immersion $X\to Y$. Fixons �galement un rel�vement $G$-FL
$(Y', G)$ de $(Y, G)$ � $A'$.

\subsection{Classification des rel�vements}

Soient $(X'_{1}, G)$ et $(X'_{2}, G)$ des rel�vements de $(X, G)$ �
$A'$. La proposition \ref{FormallySmoothMorphism} nous fournit des
rel�vements $\pi_i:(X'_i, G)\to (Y', G)$ du morphisme $\pi:(X,G)\to(Y,G)$.
On a donc un diagramme commutatif
$$\xymatrix{
\O_{Y'}\ar[rr]^{\pi_1}\ar[rd]\ar[dd] & & \O_{X'_1}\ar[rd]\\
& \O_{Y'}/{\mathfrak{a}}=\O_Y\ar[rr] & & \O_{X} \\
\O_{Y'}\ar[rr]^{\pi_2}\ar[ru] & & \O_{X'_2}\ar[ru]\\
}$$
Notons $\mathcal{I}_{1}$, $\mathcal{I}_{2}$, $\mathcal{I}$ les id�aux de
d�finitions des immersions r�guli�res $\pi_1$, $\pi_{2}$ et $\pi$.
Comme les $X'_{i}$ sont plats sur $A'$, on a $\mathcal{I}_{i}\otimes_{A'}A=\mathcal{I}$.


Soient $f\in \mathcal{I}$ et $f_{i}\in\mathcal{I}_{i}$ des rel�vements
de $f$. Comme $(X'_{1}, G)$ et $(X'_{2}, G)$ sont des rel�vements de $(X, G)$ � $A'$
et que $\O_{Y'}$ est plat sur $A'$ (ce qui implique que le noyau de
$\O_{Y'}\to \O_{Y}$ est $\mathfrak{a}\otimes_{A'}\O_{Y'}$) on a
$f_{1}-f_{2}\in \mathfrak{a}\otimes_{A'}\O_{Y'}$.
Or, comme $\m_{A'}\mathfrak{a}=0$, on a un isomorphisme canonique
$$\mathfrak{a}\otimes_{A'} \O_{Y'}\to\mathfrak{a}\otimes_{k}\O_{Y_0}.$$
Ainsi, on peut voir $f_{1}-f_{2}$ comme un �l�ment de
$\mathfrak{a}\otimes_{k}\O_{Y_0}$ qui est nul si et seulement si
$f_{1}=f_{2}$ dans $\O_{Y'}$. 
Notons $\nu_{Y'}((X'_{1}, G), (X'_{2}, G)) (f)$ l'image de $f_{1}-f_{2}$ dans 
$$\mathfrak{a}\otimes_{k}\O_{Y_0}/\mathfrak{a}\otimes_{k}\mathcal{I}_{0}=
\mathfrak{a}\otimes_{k}\O_{X_0}.$$
  
On voit alors ais�ment que cet �l�ment ne d�pend que de $f$, $\pi_{1}$ et
$\pi_{2}$ mais en aucun cas des rel�vements $f_{i}$ de $f$.

D'autre part, comme $\pi_{1}$ et $\pi_{2}$ sont �quivariants, pour tout
$\sigma\in G$ les �l�ments $\sigma (f_{i})\in\mathcal{I}_{i}$ sont des
rel�vements de $\sigma(f)$. On a donc un morphisme $G$-�quivariant de $\O_{Y}$-modules
$$\nu_{Y'} ((X'_{1}, G), (X'_{2}, G)):\mathcal{I}\to\mathfrak{a}\otimes_{k}\O_{X_0}.$$

Finalement, l'isomorphisme canonique 
$$\Hom_{\O_Y} (\mathcal{I}, \mathfrak{a}\otimes_{k}\O_{X_0})^G\cong
\mathfrak{a}\otimes_{k}\Hom_{\O_{X_0}}(\mathcal{I}_{0}/\mathcal{I}_{0}^{2},
\O_{X_0})^{G}$$
(provenant encore une fois de l'�galit� $\m_{A'}\mathfrak{a}=0$) nous
permet de consid�rer $\nu_{Y'} ((X'_{1}, G), (X'_{2}, G))$ comme un
�l�ment de 
$$\mathfrak{a}\otimes_{k}\Hom_{\O_{X_0}}(\mathcal{I}_{0}/\mathcal{I}_{0}^{2},\O_{X_0})^{G}.$$


\begin{proposition}
\label{nuEspacePrincipal}
Soient $(X'_{i}, G)$ ($1 \le i \le 3$) des rel�vements de $(X, G)$ �
$A'$. Alors l'application $\nu_{Y'}$ v�rifie les propri�t�s suivantes
(les �galit�s de sch�mas doivent �tre comprises comme des �galit�s en
tant que sous-sch�mas ferm�s de $Y'$)
\begin{enumerate}[{\rm (i)}]
\item $\nu_{Y'} ((X'_{1}, G), (X'_{2}, G))=0$ si et seulement si $(X'_{1},
G)= (X'_{2}, G)$ ; 
\item $\nu_{Y'} ((X'_{1}, G), (X'_{2}, G))+\nu_{Y'} ((X'_{2}, G),
(X'_{3}, G))=\nu_{Y'} ((X'_{1}, G), (X'_{3}, G))$ ; 
\item $\nu_{Y'} ((X'_{1}, G), (X'_{2}, G))=-\nu_{Y'} ((X'_{2}, G),
(X'_{1}, G))$ ; 
\item \label{Transitivite} soit
$\nu\in\mathfrak{a}\otimes_{k}\Hom_{\O_{X_0}}(\mathcal{I}_{0}/\mathcal{I}_{0}^{2},
\O_{X_0})^{G}$, alors il existe un rel�vement $(\tilde X_{1}', G)$ de $(X,
G)$ � $A'$ tel que $\nu_{Y'} ((X'_{1}, G), (\tilde X'_{1}, G))=\nu$; 
\item soient $(\tilde Y', G)\to (Y', G)$ un morphisme de
$A'[G]$-sch�mas tel que $(\tilde Y', G)$ soit $G$-FL, et 
$\tilde \pi_{0}:(X_{0}, G)\to (\tilde Y'\times_{\Spec A'} \Spec k, G)$ une
immersion r�gu\-li�re qui se factorise � travers $(X_{0}, G)\to (Y_{0},
G)$ ; notons $\tilde {\mathcal{I}}_{0}$ l'id�al de l'immer\-sion $\tilde
\pi_{0}$. Alors l'image de $\nu_{\tilde Y'} ((X'_{1}, G), (X'_{2}, G))$
par l'application canonique 
$$\mathfrak{a}\otimes_{k}\Hom_{\O_{X_0}}(\tilde{\mathcal{I}}_{0}/\tilde{\mathcal{I}}_{0}^{2},\O_{X_0})^{G}\to
\mathfrak{a}\otimes_{k}\Hom_{\O_{X_0}}({\mathcal{I}}_{0}/{\mathcal{I}}_{0}^{2},\O_{X_0})^{G}$$ 
est $\nu_{Y'} ((X'_{1}, G), (X'_{2}, G))$.
\end{enumerate}
\end{proposition}

\preuve Seule la partie \eqref{Transitivite} n�cessite une
d�monstration, les autres propri�t�s �tant des cons�quences
imm�diates de la d�finition de $\nu$.

Notons ${\mathcal{I}}_{1}$ l'id�al de l'immersion $X'_{1}\to Y'$,
$\mathcal{I}$ l'id�al de l'immersion $X\to Y$ et 
$$\tilde{\mathcal{I}}_{1}:=\left\{\begin{array}{c}
\tilde f \in\O_{Y'} | \textrm{ l'image }
\bar f \textrm{ de } \tilde f \textrm{ dans }
\O_{Y}=\O_{Y'}\otimes_{A'}A'/{\mathfrak a} \textrm{ est dans }
\mathcal{I} \textrm{ et } \\
\exists f \in \mathcal{I}_{1} \textrm{ tel que l'image de } f-\tilde f
\textrm{ dans } \mathfrak{a}\otimes_{k} \O_{X_0} \textrm{ est } \nu
(\bar f)
\end{array}\right\}$$
On v�rifie sans peine que $\tilde {\mathcal{I}}_{1}$ est un id�al de
$\O_{Y'}$ stable sous l'action de $G$ et que le sch�ma $(\tilde
X'_{1}, G)= (\Spec \O_{Y'}/\mathcal{I}_1, G)$ est un rel�vement de $(X,
G)$ tel que $\nu_{Y'} ((X'_{1}, G), (\tilde X'_{1}, G))=\nu$. \qed

Le corollaire suivant est une cons�quence imm�diate de la proposition ci-dessus.

\begin{corollary}
Soit $(X, G)$ une d�formation �quivariante de $(X_{0}, G)$. Supposons
qu'il existe un rel�vement $(X', G)$ de $(X, G)$ � $A'$. Alors
l'ensemble
$$\left\{\textrm{Rel�vement de $(X, G)$ � $A'$ plong�s dans  $Y'$} \right\}$$
est canoniquement un espace principal homog�ne sous l'action de 
$$\mathfrak{a}\otimes_{k}\Hom_{\O_{X_0}}(\mathcal{I}_{0}/\mathcal{I}_{0}^{2},\O_{X_0})^{G}.$$
\end{corollary}

Supposons qu'il existe un isomorphisme de rel�vements
$\varphi:(X'_{1}, G)\to (X'_{2}, G)$. On a alors un diagramme
\textbf{non} commutatif \textit{a priori}
$$\xymatrix{
\O_{Y'}\ar[r]^{\pi_{1}^{\#}}\ar[rd]_{\pi_{2}^{\#}} &
\O_{X'_1} \\
& \O_{X'_{2}}\ar[u]_{\varphi^{\#}}.}$$
Posons $D:=\pi_{1}^{\#}-\varphi^\#\circ\pi_{2}^{\#}.$ La compos� de $D$
avec la projection $\O_{X'_1}\to
\O_{X'_{1}}\otimes_{A'}A'/\mathfrak{a}$ est nulle (car $\varphi$
induit l'identit� sur $X$). Ainsi $D$ est � valeurs dans
$\mathfrak{a}\otimes_{A'}\O_{X'_{1}}$ car $X'_{1}$ est plat sur
$A'$. L'isomorphisme canonique 
$$\mathfrak{a}\otimes_{A'}\O_{X'_{1}}\to
\mathfrak{a}\otimes_{k}\O_{X_0} $$
(provenant de l'�galit� $\mathfrak{a}\m_{A'}=0$) permet de consid�rer
$D$ comme �tant � valeurs dans $\mathfrak{a}\otimes_{k}\O_{X_0}$.

Comme les structures de $\O_{Y'}$-modules sur
$\mathfrak{a}\otimes_{k}\O_{X_{0}}$ induites par $\pi_{1}^{\#}$ et
$\varphi^{\#}\circ\pi_{2}^{\#}$ sont les m�mes et que pour tout $f,
g\in\O_{Y'}$ on a 
$$D (fg)=\pi^{\#}_{1} (f) D (g)+ (\varphi^{\#}\circ\pi_{2}^{\#} (g)) D (f),$$
on peut consid�rer $D$ comme une  $A'$-d�rivation de $\O_{Y'}$ � valeurs dans
$\mathfrak{a}\otimes_{k}\O_{X_0}$. Par suite, $D$ induit un morphisme
$$\mu_{Y'} (\varphi):\Omega_{Y'/A'}\to \mathfrak{a}\otimes_{k}\O_{X_0}.$$
D'autre part, comme $\pi_{1}$, $\pi_{2}$ et $\varphi$ sont �quivariants,
$\mu_{Y'} (\varphi)$ est en fait un �l�ment de $\Hom_{\O_{Y'}}
(\Omega_{Y'/A'},\mathfrak{a}\otimes_{k}\O_{X_0})^{G}$. Finalement,
l'isomorphisme canonique
$$\Hom_{\O_{Y'}}(\Omega_{Y'/A'},\mathfrak{a}\otimes_{k}\O_{X_0})^{G}\cong
\mathfrak{a}\otimes_{k}\Hom_{\O_{X_{0}}}(\Omega_{Y'/A'}|_{X_{0}},\O_{X_0})^{G}$$
permet de voir $\mu_{Y'} (\varphi)$ comme un �l�ment de
$\mathfrak{a}\otimes_{k}\Hom_{\O_{X_{0}}}(\Omega_{Y'/A'}|_{X_{0}},\O_{X_0})^{G}$.


La proposition suivante est une cons�quence imm�diate de la
construction de $\mu_{Y'}$.
\begin{proposition}\label{muEspacePrincipal}
Soient $\varphi_1:(X'_1, G) \to (X'_2, G)$ et $\varphi_2:(X'_2, G) \to
(X'_3, G)$ des isomorphismes de rel�vements. L'application $\mu_{Y'}$
v�rifie les propri�t�s suivantes  
\begin{enumerate}[{\rm(i)}]
\item $\mu_{Y'}(\varphi_1)=0$ si et seulement si $\varphi_1=Id$.
\item $\mu_{Y'}(\varphi_2 \circ \varphi_1)=\mu_{Y'}(\varphi_2)+\mu_{Y'}(\varphi_1)$.
\item Si $(\tilde Y', G)\to (Y', G)$ est un morphisme entre sch�mas
$G$-FL et $(X_0, G) \to (\tilde Y_0, G):=(\tilde Y'\times_{\Spec A'}
\Spec k, G)$ est une immersion r�guli�re factorisant le morphisme
$(X_0, G) \to (Y_0, G)$. Alors l'image de $\mu_{\tilde Y'}(\varphi_1)$
par l'application 
$$\mathfrak {a} \otimes_k\Hom_{\O_{X_0}}(\Omega_{\tilde Y_0}|_{X_0},
\O_{X_0})^G \to \mathfrak {a}
\otimes_k\Hom_{\O_{X_0}}(\Omega_{Y_0}|_{X_0}, \O_{X_0})^G$$ est
$\mu_{Y'}(\varphi_1)$.
\item $\mu_{Y'}$ induit une bijection entre les isomorphismes de
rel�vements $(X'_1, G)\to (X'_2, G)$ et les pr�images de
$\nu_{Y'}((X'_1, G), (X'_2, G))$ par l'application $$\mathfrak {a}
\otimes_k\Hom_{\O_{X_0}}(\Omega_{Y_0/k}|_{X_0}, \O_{X_0})^G \to
\mathfrak {a} \otimes_k\Hom_{\O_{X_0}}(\mathcal I_0/\mathcal I_0^2,
\O_{X_0})^G.$$ 
\end{enumerate}
\end{proposition}

\preuve Le seul �nonc� qui n'est pas une cons�quence directe de la
d�finition est le dernier point. D�crivons tout d''abord le morphisme 
$$\mathfrak {a} \otimes_k\Hom_{\O_{X_0}}(\Omega_{Y_0/k}|_{X_0},
\O_{X_0})^G \to \mathfrak {a} \otimes_k\Hom_{\O_{X_0}}(\mathcal
I_0/\mathcal I_0^2, \O_{X_0})^G.$$
En reprenant les notations pr�c�demment introduites, on voit que $D$,
en restriction � $\mathcal{I}$, induit $\nu_{Y'} ((X'_{1}, G),
(X'_{2}, G))$ \textit{via} le morphisme ci-dessus. Il suffit donc de
voir qu'un pr�image de $\nu_{Y'} ((X'_{1}, G), (X'_{2}, G))$ induit un
isomorphisme $\varphi:X'_{1}\to X'_{2}$. Fixons donc un tel pr�image
$D$. En utilisant les constructions inverses de celles faites
pr�c�dement, on peut consid�rer $D$ comme un morphisme 
$$\O_{Y'}\to \mathfrak{a}\otimes_{A'}\O_{X'_{1}}\to \O_{X'_{1}}.$$
On d�finit alors un isomorphisme de la mani�re suivante. D�finissons
un morphisme $\tilde \varphi:\O_{Y'} \to \O_{X'_1}$ par
$\tilde\varphi (f)=\pi^{\#}_1(f)+D (f)$. C'est bien un
morphisme d'anneau car $\mathfrak{a}^{2}=0$. Comme $D$ est envoy�e sur
$\nu_{Y'} ((X'_{1}, G), (X'_{2}, G))$, on voit que
$\ker\pi_{2}^{\#}\subset \ker \tilde\varphi$  et donc $\tilde\varphi$
induit un morphisme $(X'_{1}, G)\to (X'_{2}, G)$ qui est un isomorphisme par
platitude. \qed


Les propositions \ref{nuEspacePrincipal}, \ref{muEspacePrincipal} et la suite exacte \eqref{SuiteExacteFondamentale} ont pour cons�quence le th�or�me suivant.
\begin{theorem}
\label{IdentificationCasAffine}
Soient $(X_0, G)$ un sch�ma affine dans la classe $G$-IC, $(X\to\Spec A, G)$ une d�formation �quivariante de $(X_0, G)$ et $(X'\to\Spec A', G)$ un rel�vement de $(X, G)$ � $A'$. Alors 
\begin{enumerate}[{\rm(i)}]
\item le groupe des automorphismes de rel�vements de $(X', G)$ est canoniquement isomorphe � $\mathfrak {a} \otimes_k \Hom_{\O_{X_0}}(\Omega_{X_0/k}, \O_{X_0})^G$.
\item l'ensemble des classes d'isomorphie de rel�vements de $(X, G)$ � $A'$ est un espace principal homog�ne sous $\Ext^1_G(\Omega_{X_0/k}, \O_{X_0})$.
\end{enumerate}
\end{theorem}

\subsection{Existence de rel�vement}

Fixons un rel�vement (\textit{a priori} non �quivariant) $X'$ de $X$
(il en existe toujours, cf. par exemple \cite{Vistoli}, Lemma 2.7) et
un plongement $X'\to  Y'$ (ce qui est possible car $Y'$ est
formellement lisse). Notons $\mathcal{I}'$ l'id�al de cet immersion.
Soient $\sigma \in G$ et $f\in \mathcal{I}$. Choisissons un rel�vement
$f'$ de $f$ dans $\mathcal{I}'$. Ainsi, $\sigma (f')-f'$ est un
�l�ment de $\O_{Y'}$ (ce n'est pas toujours un �l�ment de $\mathcal{I}'$ car
$X'$ n'est pas forc�ment muni d'un action de $G$). Notons
$\omega_{X'}(\sigma)(f)$ l'image de $\sigma (f')-f'$ dans
$\O_{X'}$. Comme $X$ est muni d'une action de $G$ (i.e. $\mathcal{I}$
est fixe sous l'action de $G$), $\omega_{X'}(\sigma)(f)$ est nul
modulo $\mathfrak{a}$. On a donc naturellement 
$\omega_{X'}(\sigma)(f)\in\mathfrak{a}\otimes_{A'}\O_{X'}$ (car $X'$
est plat sur $A'$). On montre alors ais�ment que
$\omega_{X'}(\sigma)(f)$ ne d�pend pas du rel�vement $f'$ de $f$.

On a donc construit une application $\O_{Y'}$-lin�aire
$$\mathcal{I}\to \mathfrak{a}\otimes_{A'}\O_{X'}$$


Les isomorphismes $\mathfrak{a}\otimes_{A'}\O_{X}\cong
\mathfrak{a}\otimes_{k}\O_{X_{0}}$ et
$$\Hom_{\O_{Y}}(\mathcal{I}, \mathfrak{a}\otimes_{k}\O_{X_0})\overset{\sim}{\to }
\mathfrak{a}\otimes_{k}\Hom_{\O_{X_{0}}}(\mathcal{I}_{0}/\mathcal{I}_{0}^2,
\O_{X_0})$$
nous permettent de consid�rer $\omega_{X'}(\sigma)$ comme un �l�ment
de $$\mathfrak{a}\otimes_{k}\Hom_{\O_{X_{0}}}(\mathcal{I}_{0}/\mathcal{I}_{0}^2,
\O_{X_0}).$$

D'autre part, de la d�finition de $\omega_{X'} (\sigma)$ d�coule
directement l'�galit�
$$\omega_{X'}(\sigma\sigma')=\sigma (\omega_{X'} (\sigma'))+\omega_{X'}
(\sigma)$$ et donc $\omega_{X'}$ d�finit un �l�ment de  
$$\H^1(G,
\mathfrak{a}\otimes_{k}\Hom_{\O_{X_{0}}}(\mathcal{I}_{0}/\mathcal{I}_{0}^2,\O_{X_0}))=\mathfrak{a}\otimes_{k}\H^1(G,
\Hom_{\O_{X_{0}}}(\mathcal{I}_{0}/\mathcal{I}_{0}^2,\O_{X_0})).$$
Pour tout �l�ment
$\phi\in\mathfrak{a}\otimes_{k}\Hom_{\O_{X_{0}}}(\mathcal{I}_{0}/\mathcal{I}_{0}^2,\O_{X_0})$
nous noterons $\partial\phi$ le morphisme de cobord d�finit par $\partial\phi=\sigma\phi-\phi$.


\begin{lemma}
L'image de $\omega_{X'}$ dans  $\mathfrak{a}\otimes_{k}\H^1(G,
\Hom_{\O_{X_{0}}}(\mathcal{I}_{0}/\mathcal{I}_{0}^2,\O_{X_0}))$
est ind�pendant de $X'$. On la notera $\omega_{emb}$
\end{lemma}

\preuve Choisissons deux rel�vements $X'_{1}$ et $X'_{2}$ de $X$.  Le
r�sultat est une cons�quence de l��galit�
$$\omega_{X'_{1}} (\sigma) (f)-\omega_{X'_{2}}(\sigma)(f)=\left( \partial \nu_{Y'} ((X'_{1}, 0), ( X'_{2}, 0))\right) (f).$$ \qed

\begin{proposition}
Il existe un rel�vement �quivariant de $(X, G)$ � $A'$ si et seulement si $\omega_{emb}=0$.
\end{proposition}

\preuve Le sens direct est imm�diat car si on a un rel�vement
�quivariant $(X', G)$ de $(X, G)$ � $A'$, alors $\omega_{X'}=0$.

Montrons la r�ciproque et supposons pour cela que
$\omega_{emb}=0$. Choisissons un rel�vement quelconque $X'$ de $X$. 
Par d�finition, il existe $$\phi\in
\mathfrak{a}\otimes_{k}\Hom_{\O_{X_{0}}}(\mathcal{I}_{0}/\mathcal{I}_{0}^2,\O_{X_0})$$
tel que $\omega_{X'}=\partial\phi$.
Choisissons un rel�vement (\textit{a priori} non �quivariant) $X''$ de
$X$ tel que $\nu_{Y'}((X', 0), (X'', 0))=\phi$. Il est alors ais� de
voir que $\omega_{X''}=0$ et, par suite, qu'on peut munir $X''$ d'une
action de $G$ relevant celle de $X$. \qed

On obtient alors directement le th�or�me suivant.

\begin{theorem}
\label{ObstructionCasAffine}
Il existe un �l�ment canonique 
$$\omega_{(X, G) , A'}\in
\mathfrak{a}\otimes_{k}\Ext^{2}_{G}(\Omega_{X_{0}/k}, \O_{X_0})$$
qui s'annule si et seulement si $(X, G)$ admet un rel�vement
�quivariant � $A'$.
\end{theorem}

\preuve C'est une cons�quence imm�diate de l'isomorphisme
\eqref{IsomorphismeFondamental} et du fait qu'il existe un rel�vement
�quivariant de $(X, G)$ � $A'$ si et seulement s'il existe un
rel�vement �quivariant plong� dans $(Y', G)$. \qed

\section{D�formation �quivariante des sch�mas localement d'intersections
compl�tes}

\begin{definition}
Soient $A$ un anneau, $G$ un groupe fini et $(X, G)$ un
$A[G]$-sch�ma. Alors $(X, G)$ sera dit localement $G$-IC s'il existe
un recouvrement $\{U_{i} \}$  de $X$ par des ouvers affines stables
sous l'action de $G$ tels que $(U_{i}, G)$ soit un $A[G]$-sch�ma $G$-IC.
\end{definition}

En particulier, si $(X, G)$ est un $A[G]$-sch�mas localement $G$-IC
alors le quotient $X/G$ existe. Contrairement au cas des sch�mas
$G$-IC, il peut exister des $A[G]$-sch�mas localement d'intersections
compl�tes qui ne sont pas localement $G$-IC.

\subsection{Classification des rel�vements et de leurs automorphismes}

Nous avons tout d'abord besoin de rappeler quelques r�sultats sur les
extensions �quivariantes. 

Soient $G$ un groupe fini, $A$ un anneau, $(X, G)$ un $A[G]$-sch�ma
noeth�rien, ${\mathcal F}$ et $\mathcal G$ deux $\O_{X}[G]$-faisceaux
quasi-coh�rents sur $X$. Notons $\mathfrak {Ext}_G(\mathcal F,
\mathcal G)$ l'ensemble des classes d'isomorphie d'extensions
�quivariantes de ${\mathcal F}$ par $\mathcal G$, i.e. des suites
exactes de $\O_X[G]$-modules
$$0 \to \mathcal G \overset{i}{\to} \mathcal E \overset{j}{\to} \mathcal F \to 0.$$

Il est alors ais� de voir (cf. par exemple \cite{HomologicalAlgebra},
Theorem II.2.4
pour le cas non �quivariant)  qu'on a une identification canonique
$$\Ext^1_G(\mathcal F, \mathcal G) \to \mathfrak {Ext}_G(\mathcal F, \mathcal G).$$

Soit $\mathcal U=\{ U_\alpha\}_{\alpha \in \mathcal A}$ un
recouvrement de $X$ par des ouverts stables sous l'action de $G$. On
d�finit $\mathfrak {Ext}_G(\mathcal U, \mathcal F, \mathcal G)$ comme
l'ensemble des familles  
$$(\{(\mathcal E_\alpha, i_\alpha, j_\alpha)\}_{\alpha \in \mathcal
A}, \{\varphi_{\alpha', \alpha}\}_{\alpha, \alpha' \in \mathcal A})$$ 
avec $(\mathcal E_\alpha, i_\alpha, j_\alpha) \in \mathfrak
{Ext}_G(\mathcal F|_{U_\alpha}, \mathcal G|_{\alpha})$ et  
$$\varphi_{\alpha', \alpha}:(\mathcal E_\alpha, i_\alpha,
j_\alpha)|_{U_\alpha \cap U_{\alpha'}} \to (\mathcal E_{\alpha'},
i_{\alpha'}, j_{\alpha'})|_{U_\alpha \cap U_{\alpha'}}$$ 
 des isomorphismes d'extensions �quivariantes v�rifiant la condition
de cocha�ne 
$\varphi_{\alpha'', \alpha'} \circ \varphi_{\alpha',
\alpha}=\varphi_{\alpha'', \alpha}$ pour tous $\alpha, \alpha',
\alpha'' \in \mathcal A$. 

\begin{lemma}
Soit $\U$ un recouvrement de $X$ par des ouverts affines stables sous $G$.
On a une bijection canonique 
$$\mathfrak {Ext}_G(\mathcal U, \mathcal F, \mathcal
G)\overset{\theta}{\to} \mathfrak {Ext}_G(\mathcal F, \mathcal G)$$  
\end{lemma}

\preuve Soit $(\{(\mathcal E_\alpha, i_\alpha, j_\alpha)\}_{\alpha \in
\mathcal A}, \{\varphi_{\alpha', \alpha}\}_{\alpha, \alpha' \in
\mathcal A}) \in \mathfrak {Ext}_G(\mathcal U, \mathcal F, \mathcal
G)$. Alors, par recollement, il existe une unique extension
�quivariante $(\mathcal E, i, j)$ et des
isomorphismes $\psi_\alpha:(\mathcal E, i, j)|_{U_\alpha} \to
(\mathcal E_\alpha, i_\alpha, j_\alpha)$ tels que
$\psi_{\alpha'}=\varphi_{\alpha', \alpha} \circ \psi_{\alpha}$. Posons
$\theta((\{(\mathcal E_\alpha, i_\alpha, j_\alpha)\}_{\alpha \in
\mathcal A}, \{\varphi_{\alpha', \alpha}\}_{\alpha, \alpha' \in
\mathcal A}))=(\mathcal E, i, j)$. 

Nous allons construire une application r�ciproque. Soit $(\mathcal E,
i, j)\in \mathfrak {Ext}_G(\mathcal F, \mathcal G)$. On a donc une
suite exacte 
$$0 \to \mathcal F \overset{i}{\to} \mathcal E \overset{j}{\to} \mathcal G \to 0.$$
Comme les ouverts $U_\alpha$ sont affines et que $\mathcal F$ est
quasi-coh�rent on a une suite exacte 
$$0 \to \mathcal F|_{U_\alpha} \overset{i|_{U_\alpha}}{\to} \mathcal E|_{U_\alpha} \overset{j|_{U_\alpha}}\to \mathcal G|_{U_\alpha} \to 0.$$
Ainsi, $(\mathcal E_\alpha, i_\alpha, j_\alpha):=(\mathcal
E|_{U_\alpha}, i|_{U_\alpha}, j|_{U_\alpha}) \in \Ext^1_G(\mathcal
F|_{U_\alpha}, \mathcal G|_{U_\alpha})$. De plus, comme
$(\mathcal E, i, j)$ est un faisceau en extension, il existe des
isomorphismes  
$$\varphi_{\alpha', \alpha}:(\mathcal E, i, j)_\alpha|_{U_\alpha\cap
{U_\alpha'}} \to (\mathcal E, i, j)_{\alpha'}|_{U_\alpha\cap
U_{\alpha'}}.$$ 
On a donc construit un �l�ment $\theta'(\mathcal E) \in \mathfrak
{Ext}_G(\mathcal U, \mathcal F, \mathcal G)$ dont l'image par $\theta$
est $\mathcal E$. Il est alors ais� de voir que $\theta'$ et $\theta$
sont inverses l'une de l'autre. \qed 

\begin{theorem}
\label{IdentificationCasGeneral}
Soient $k$ un corps, $(X_0, G)$ un $\Spec k[G]$-sch�ma qui est
localement dans la classe $G$-IC. Soit $A'\to A$ un morphisme
surjectif d'objets de $\A$ et de noyau $\mathfrak{a}$ tel que $\m_{A'}\mathfrak{a}=0$ (o�
$\m_{A'}$ d�signe l'id�al maximal de $A'$). Soit $(X\to\Spec A, G)$
une d�formation �quivariante de $(X_0, G)$ et $(X'\to\Spec A', G)$ un
rel�vement de $(X, G)$ � $\Spec A'$. 
Alors 
\begin{enumerate}[{\rm(i)}]
\item le groupe des isomorphismes de rel�vements de $(X', G)$ est
canoniquement isomorphe � $\mathfrak{a} \otimes_k
\Hom_{\O_{X_0}}(\Omega_{X_0/k}, \O_{X_0})^G$. 
\item l'ensemble des classes d'isomorphie de rel�vements de $(X, G)$ �
$A'$ est un espace principal homog�ne sous $\Ext^1_G(\Omega_{X_0/k},
\O_{X_0})$. 
\end{enumerate}
\end{theorem}

\preuve C'est une cons�quence imm�diate du cas affine (th�or�me
\ref{IdentificationCasAffine}) et du lemme pr�c�dent. \qed

\subsection{L'obstruction}

Dans le cas g�n�ral, la construction de l'obstruction n�cessite
l'utilisation du complexe cotangent �quivariant (cf. \cite{IllusieI,
IllusieII} ou \cite{DeformationWewers}), le probl�me fondamental
�tant que le complexe cotangent habituel, en tant qu'objet de la
cat�gorie d�riv�e des complexes de $\O_X$-module, n'est pas muni d'une
action de $G$.  

Nous proposons ici un �nonc� plus faible mais qui nous semble plus
explicite. Il repose fondamentalement sur la suite spectrale 
$$\mathrm{I}_{2}^{p, q}:=\H^p(X_{0}/G, \ext^{q}_{G} (\Omega_{X_{0}/k}, 
\O_{X_{0}}))\Rightarrow \Ext^{p+q}_{G} (\Omega_{X_{0}/k},  \O_{X_{0}}).$$
Dans beaucoup de cas concrets, il est plus simple �
manipuler que le th�or�me g�n�ral.


\begin{theorem}\label{ExistenceFaibleObstruction}
Soient $k$ un corps, $G$ un groupe fini et $(X_{0}, G)$ un $k[G]$
sch�ma s�par� localement dans la classe $G$-IC. Soient  $A'$ un objet de $\A$,
$\m_{A'}$ son id�al maximal, $\mathfrak{a}\subset A'$ un id�al tel que
$\m_{A'}\mathfrak{a}=0$ ; notons $A=A'/\mathfrak{a}$ et $\m_A$ son
id�al maximal. Soit $(X, G)$ une d�formation �quivariante au-dessus de
$A$ de $(X_{0}, G)$.

\begin{enumerate}
\item Il existe un �l�ment canonique 
$$\omega_1 \in {\mathfrak{a}}\otimes_{k}\H^0(X_{0}/G, \ext^{2}_{G}
(\Omega_{X_{0}/k}, \O_{X_{0}}))$$ dont l'annulation est n�cessaire et suffisante
pour qu'il existe, localement sur $X_{0}$, des d�formations
�quivariantes de $(X_{0}, G)$.
\item Si $\omega_1=0$ alors il existe un �l�ment canonique
$$\omega_2 \in {\mathfrak{a}}\otimes_{k}\H^1(X_{0}/G, \ext^{1}_{G}
(\Omega_{X_{0}/k}, \O_{X_{0}}))$$ dont l'annulation est n�cessaire et suffisante
pour qu'il existe un recouvrement $U_{i}$ de $X_{0}$ et des
rel�vements �quivariants $(X'_{i}, G)$ de $(X\cap U_{i}, G)$ tels que
$(X'_{i}, G)|_{U_{i}\cap U_{j}}\cong (X'_{j}, G)|_{U_{i}\cap U_{j}}$
\item Si $\omega_1=0$ et $\omega_{2}=0$ alors il existe un �l�ment canonique
$$\omega_3\in {\mathfrak{a}}\otimes_{k}\H^2(X_{0}/G, \ext^{0}_{G}(\Omega_{X_{0}/k},
\O_{X_{0}}))$$ dont l'annulation est n�cessaire et suffisante pour
qu'il existe un rel�vement �quivariant de $(X, G)$ � $A'$.
\end{enumerate}
\end{theorem}

\preuve D�montrons tout d'abord le point 1. Soit $\{ U_{i} \}$ un
recourvrement de $X_{0}$ par des ouverts affines stables sous l'action
de $G$. D'apr�s le th�or�me \ref{ObstructionCasAffine}, il existe un �l�ment canonique
$\omega_i\in {\mathfrak{a}}\otimes_{k}\H^0(U_{i}/G,
\ext^{2}_{G}(\Omega_{X_{0}/k}, \O_{X_{0}}))$ dont la nullit� est
n�cessaire et suffisante pour qu'il existe un relevement �quivariant de $(X\cap
U_{i}, G)$. Comme cet �l�ment est d�finit de mani�re canonique, les
diff�rents $\omega_i$ se recolle pour donner un �l�ment $\omega_{1}\in
{\mathfrak{a}}\otimes_{k}\H^0(X_{0}/G, \ext^{2}_{G}
(\Omega_{X_{0}/k}, \O_{X_{0}}))$.

\medskip
Passons � la d�monstration du point 2 et supposons que
$\omega_{1}=0$. Fixons un recouvrement $U_{i}$ de $X_{0}$ par des
ouverts affines stables sous l'action de $G$ et d'intersections
compl�tes sur $k$. Comme $\omega_1=0$, $\omega_{1}|_{U_{i}}=0$ et donc
il existe des rel�vements �quivariants $(X'_{i}, G)$ de $(X \cap
U_{i}, G)$. Comme $X_{0}$ est s�par�, $U_{i} \cap U_{j}$ est affine et
d'intersection compl�te sur $k$. Notons $\nu_{i, j}$ l'image de
$\nu_{Y'} ((X'_{i}, G), (X'_{j}, G))$ dans $\mathfrak{a}\otimes_{k}\Ext^{1}_{G}
(\Omega_{U_{i}\cap U_{j}/k}, \O_{U_{i}\cap U_{j}})$ (pour un sch�ma
$(Y', G)$ G-FL sur $A'$ tel qu'il existe une immersion r�guli�re
�quivariante $(X\cap U_{i}\cap U_{j}, G)\to (Y', G)\times_{\Spec A'} \Spec A$ ; l'�l�ment
$\nu_{i, j}$ est ind�pendant du choix de $Y'$ gr�ce � la proposition
\ref{nuEspacePrincipal} (v)). La
propri�t� (ii) de la proposition \ref{nuEspacePrincipal} permet de
voir que les $\nu_{i, j}$ d�finissent un �l�ment $\omega_{2}$ de 
$${\mathfrak{a}}\otimes_{k}\check \H^1(\{U_{i}\}, \ext^{1}_{G} (\Omega_{X_{0}/k}, \O_{X_{0}}))$$
et on montre ais�ment que cet �l�ment est ind�pendant des rel�vements
$(X'_{i}, G)$ choisis.

D'autre part, comme les ouverts affines sont acycliques pour la
cohomologie de Zarisky des faisceaux coh�rents, on a 
$${\mathfrak{a}}\otimes_{k}\check \H^1(\{U_{i}\}, \ext^{1}_{G} (\Omega_{X_{0}/k}, \O_{X_{0}}))={\mathfrak{a}}\otimes_{k}\H^1(X_{0}, \ext^{1}_{G} (\Omega_{X_{0}/k}, \O_{X_{0}})).$$
On a donc bien d�finit notre �l�ment $\omega_{1}$ comme dans
l'�nonc�. La d�monstration du point 2 est alors ais�e.

\medskip

Nous allons maintenant d�montrer le point 3. Supposons que
$\omega_{1}=0$ et $\omega_2=0$. Comme pr�c�dement, fixons un
recouvrement $U_{i}$ de $X_{0}$ par des ouverts affines stables sous
l'action de $G$ et d'intersections compl�tes sur $k$. Comme
$\omega_{1}=0$ et $\omega_{2}=0$, il existe des rel�vements $(X'_{i},
G)$ de $(X\cap U_{i}, G)$ tel que $(X'_{i}\cap (U_{i}\cap U_{j}),
G)\cong (X'_{j}\cap (U_{i}\cap U_{j}),G)$.
Fixons des isomorphismes 
$$\varphi_{i, j}:(X'_{i}\cap (U_{i}\cap U_{j}),G)\to  (X'_{j}\cap (U_{i}\cap U_{j}),G).$$
Notons $\varphi_{i, j, \ell}=\varphi_{i, j}\circ \varphi_{\ell,
j}^{-1}\circ \varphi_{\ell, i} \in
{\mathfrak{a}}\otimes_{k}\Ext^{0}_{G} (\Omega_{U_{i}\cap U_{j}\cap
U_{\ell}/k}, \O_{U_{i}\cap U_{j}\cap U_{\ell}})$ (cf. Th�o\-r�me
\ref{IdentificationCasAffine}). Les $\varphi_{i, j}$ d�finissent un �l�ment
$$\omega_{3}\in {\mathfrak{a}}\otimes_{k} \check \H^2 (\{U_{i} \},
\ext^{0}_{G} (\Omega_{X/k}, \O_{x})).$$ La proposition
\ref{muEspacePrincipal} (ii) permet de voir que cet �l�ment est
ind�pendant des isomorphismes $\varphi_{i, j}$ choisis. On montre alors
ais�ment que $\omega_{3}=0$ si et seulement s'il existe des
isomorphismes $\varphi_{i, j}$ tels que $\varphi_{i, \ell}=\varphi_{i,
j}\circ\varphi_{j, \ell}$ pour tous $i, j, \ell$. D'o� le r�sultat par
recollement des $X'_{i}$ le long des $U_i\cap U_{j}$ gr�ce aux
$\varphi_{i, j}$. \qed

%%%%%%%%% Existence de l'obstruction dans le cas general ??????
\if not

Soient $\F$et $\G$ deux faisceaux de $\O_X[G]$-modules. Consid�rons
l'ensemble
$$\mathfrak{Ext}^{2}_{G} (\F,\G)=\{0\to \G\to {\mathcal{E}_{1}} \to
{\mathcal{E}_{2}}\to  \F\to  0 \}/\sim ,$$
deux $2$-extensions $P$ et $Q$ �tant dites �quivalentes s'il existe des
extensions $P_{1}, \dots , P_{n}$ tel que

$$\xymatrix{Q \ar@{~>}[r] & P_{1} \ar@{<~}[r] & P_{2}
\ar@{~>}[r] & \ldots \ar@{<~}[r] & P_{n}\ar@{~>}[r] & P}$$

o� on note $\xymatrix{P_{1}\ar@{~>}[r] & P_{2}}$ s'il existe un diagramme
commutatif
$$\xymatrix{
P1 : & 0 \ar[r] & \G\ar[r]\ar[d]_{Id}\ar[r] & {\mathcal{E}_{1}}
\ar[r]\ar[d] & {\mathcal{E}_{2}} \ar[r]\ar[d] & \F\ar[r]\ar[d]^{Id} &
0 \\
P2 : & 0 \ar[r] & \G\ar[r]\ar[r] & {\mathcal{E}_{1}}'
\ar[r] & {\mathcal{E}_{2}}' \ar[r] & \F\ar[r] &  0
}$$

\begin{proposition}
On a une identification naturelle de $\mathfrak{Ext}^{2}_{G} (\F,\G)$
avec $\Ext^{2}_{G} (\F,\G)$.
\end{proposition}

\preuve cf. \cite{HomologicalAlgebra}, IV, Theorem 9.1. \qed

\begin{lemma}
Soit $\{U_{i} \}$ un recouvrement de $X$ par des ouverts affines
stables sous l'action de $G$. Soient $\F$ et $\G$ deux
$\O_X[G]$-faisceaux sur $X$. Alors on a une identification naturelle
de $\Ext^{2}_{G} (\F,\G)$ avec l'ensemble
\end{lemma}

\begin{lemma}\label{PlongementEquivariant}
Soient $X\to \Spec A$ un sch�ma quasi-projectif et $G$ un groupe fini
agissant sur $X\to \Spec A$. Alors il existe une immersion $X\to
\PP^{n}_{A}$ �quivariante.
\end{lemma}

\preuve Il suffit de prouver l'existence d'un $G$-faisceau inversible
tr�s amples sur $X$. Or $X\to \Spec A$ est quasi-projectif donc il
existe un faisceau tr�s amples $\mathcal{L}$. On montre alors ais�ment
que $\displaystyle{\bigotimes_{g\in G}}g^{*}\mathcal{L}$ est un $G$-faisceau tr�s amples
sur $X$. \qed

\begin{remark}
On peut remarquer que c'est moralement la m�me d�monstration que dans
le cas affine.
\end{remark}

\fi

\section{Corollaires et applications}

Nous allons maintenant voir quelques exemples simples de calculs. La
plupart du temps, nous assumerons une hypoth�se de
trivialit� de la cohomologie des groupes. Plus pr�cis�ment, nous
nous placerons presque toujours sous l'une des hypoth�ses suivantes :
\begin{enumerate}[-]
\item le groupe agissant sur les sch�mas consid�r�s a un ordre premier
� toutes les caract�risiques intervenant dans le probl�me ;
\item le groupe agit librement.
\end{enumerate}
Le cas g�n�ral (sauvage) est beaucoup plus complexe. Pour des exemples
nous renvoyons � \cite{BertinMezard} et \cite{CornelissenKato} pour le
cas des courbes lisses, ou bien \cite{Papier1, Papier2} pour le cas
des courbes stables.

\subsection{Calcul de $\Ext^1_G(\Omega_{X/k},\O_X)$}

\begin{proposition}
Soient $k$ un corps, $X\to \Spec k$ un sch�ma quasi-projectif
et $G$ un groupe d'ordre premier � la caract�ristique de $k$ et
agissant sur $X\to \Spec k$. Notons $\pi:X\to X/G=:\Sigma$ le
morphisme quotient et supposons que $\Sigma\to \Spec k$ est
lisse. Alors on a une suite exacte
\begin{multline*}
\ldots \to \H^{i-1}(\Sigma, \Omega_{\Sigma/k}^{\vee})\to \Ext^{i}_{G} (\Omega_{X/\Sigma}, \O_X)\to \Ext^{i}_{G}(\Omega_{X/k}, \O_X) \to \\
\H^i(\Sigma, \Omega_{\Sigma/k}^{\vee})\to \Ext^{i+1}_{G} (\Omega_{X/\Sigma}, \O_X) \to \ldots 
\end{multline*}
\end{proposition}

\preuve Comme $\pi$ est s�parable on a une suite exacte
$$0\to \pi^{*}\Omega^{1}_{\Sigma/k}\to \Omega_{X/k}\to
\Omega_{X/\Sigma}\to 0.$$
On a donc une suite exacte longue donn�e par la cohomologie
�quivariante
\begin{multline*}
\ldots \to \Ext^{i-1}_{G} (\Omega_{\Sigma/k}, \O_X) \to \Ext^{i}_{G} (\Omega_{X/\Sigma}, \O_X)\to \Ext^{i}_{G}
(\Omega_{X/k}, \O_X) \to \\
\Ext^{i}_{G} (\pi^{*}\Omega_{\Sigma/k}, \O_X)\to \Ext^{i+1}_{G} (\Omega_{X/\Sigma}, \O_X) \to \ldots 
\end{multline*}
Il s'agit alors de calculer $\Ext^{i}_{G} (\pi^{*}\Omega_{\Sigma/k}, \O_X)$. Or on
a une suite spectrale $\textrm{I}^{p, q}_{2}:=\H^p(\Sigma, \ext^{q}_{G}
(\pi^{*}\Omega_{\Sigma/k}, \O_C))$ qui converge vers $\Ext^{p+q}_{G}
(\pi^{*}\Omega_{\Sigma/k}, \O_X)$.
D'autre part, comme $|G|$ est inversible dans $k$, on montre ais�ment,
en utilisant une suite spectrale, que $\ext^{q}_{G} (\pi^{*}\Omega_{\Sigma/k},
\O_C)=\pi_{*}^{G}\ext^{q}(\pi^{*}\Omega_{\Sigma/k}, \O_C)$. Comme
$\Sigma\to \Spec k$ est lisse, $\Omega_{\Sigma/k}$ est localement
libre donc $\ext^{q} (\pi^{*}\Omega_{\Sigma/k},
\O_C)=0$ si $q>0$. On a donc $\Ext^{i}_{G}(\pi^{*}\Omega_{\Sigma/k},
\O_X)=\H^i(\Sigma, \pi_{*}^{G}\ext^{0} (\pi^{*}\Omega_{\Sigma/k}, \O_X))$.
Or par adjonction, on a un isomorphisme canonique $\pi_{*}\ext^{0} (\pi^{*}\Omega_{\Sigma/k},
\O_X)=\ext^{0} (\Omega_{\Sigma/k}, \pi_{*}\O_X)$. Il en r�sulte que
$$\pi_{*}^{G}\ext^{0} (\pi^{*}\Omega_{\Sigma/k},
\O_X)=\ext^{0} (\Omega_{\Sigma/k}, \O_\Sigma).$$
D'o� le r�sultat. \qed

\begin{proposition}
Soient $C\to \Spec k$ une courbe lisse sur un corps alg�briquement
clos et $G$ un groupe d'ordre premier � la caract�ristique de $k$ et
agissant fid�lement sur $C\to\Spec k$. Notons $n$ le nombre de points de
ramification dans le morphisme quotient. Alors on a
$$\dim_k \Ext^{1}_{G} (\Omega_{C/k}, \O_C)-\dim_k \Ext^{0}_{G}
(\Omega_{C/k}, \O_C)=\chi(\Omega_{\Sigma/k}^{\vee})+n.$$ 
\end{proposition}

\preuve D'apr�s la proposition ci-dessus, il suffit de montrer que
$$\sum_i (-1)^{i} \dim_k\Ext^{i}_{G} (\Omega_{C/\Sigma},
\O_\Sigma)=n.$$ 
Comme l'ordre de $G$ est inversible dans $k$, on a
$$\ext^{q}_{G}(\Omega_{C/\Sigma},
\O_\Sigma)=\pi_{*}^{G}\ext^{q}(\Omega_{C/\Sigma}, \O_C)$$ pour tout
$q\ge 0$. 
Soient $\p\in C$ un point ramifi�, $D_{\p}$ son stabilisateur et
$\dif_{\p}$ la diff�rente en ce point. Notons $R=\O_{C,\p}$ et
$t$ une uniformisante de $R$. On a alors $\Omega_{C/\Sigma, \p}\cong
\left(R/(t^{\dif_\p}) \right)dt$. On prouve alors ais�ment (par exemple en prenant
une r�solution projective) que $\Ext^{i}(\Omega_{C/\Sigma, \p}, R)=0$
si $i\not = 1$ et $\Ext^{1}(\Omega_{C/\Sigma, \p}, R)\cong \left(R/
(t^{\dif_{\p}})\d{t} \right)$. Il s'agit alors de calculer $\dim_k\left( R/
(t^{\dif_{\p}})\d{t} \right)^{D_{\p}}$ dont on voit (par exemple en
compl�tant $R$ et en lin�risant l'action) qu'il est �gal �
$\left\lceil {\dif_{\p}\over |D_{\p}|}\right\rceil$. Or
$\dif_{\p}=|D_\p|-1$ car l'ordre de $D_{\p}$ est premier � la
caract�ristique de $k$.
La suite spectrale $\textrm{I}_{2}^{p, q}:=\H^p(\Sigma,
\ext^{q}_{G}(\Omega_{C/\Sigma}, \O_\Sigma))$ 
qui converge vers $\Ext^{p+q}_{G} (\Omega_{C/\Sigma},
\O_\Sigma)$ permet ais�ment de conclure. \qed

\subsection{Calcul de $\Ext^2_G(\Omega_{X/k},\O_X)$}

\begin{proposition}
Soient $X\to \Spec k$ un morphisme localement d'intersection compl�te
et $G$ un groupe fini d'ordre premier � la caract�ristique de $k$ et
agissant sur $X$. Alors $\Ext^{2}_{G} (\Omega_{X/k}, \O_X)=\Ext^{2}
(\Omega_{X/k}, \O_X)^G$.
\end{proposition}

\preuve On a une suite spectrale $\H^p(G, \Ext^{q} (\Omega_{X/k},
\O_X))$ qui converge vers $\Ext^{p+q}_{G} (\Omega_{X/k}, \O_X)$. Comme
l'ordre de $G$ est inversible dans $k$, 
on a $$\H^p(G, \Ext^{q} (\Omega_{X/k}, \O_X))=0$$ si $p \ge 1$. D'o� le r�sultat. \qed

\begin{proposition}\label{ActionLibreOuvertDense}
Soient $X\to \Spec k$ un sch�ma affine lisse et $G$ un groupe agissant
librement sur $X\to \Spec k$. Alors $\Ext^{\ell}_{G} (\Omega_{X/k},
\O_X)=0$ pour $\ell \ge 1$.
\end{proposition}

\preuve On a une suite spectrale $\H^p(X/G, \ext^{q}_{G} (\Omega_{X/k},
\O_X))$ qui converge vers $\Ext^{p+q}_{G} (\Omega_{X/k}, \O_X)$. Par
suite, comme $X/G$ est affine et que $\ext^{q}_{G} (\Omega_{X/k}, \O_X)$ est
quasi-coh�rent on a $\Ext^{\ell}_{G} (\Omega_{X/k}, \O_X)=\H^0(X/G,
\ext^{\ell}_{G} (\Omega_{X/k}, \O_X))$.
D'autre part, si on note $\pi:X\to X/G$ le morphisme quotient, on a
une suite spectrale $\R^p\pi_{*}^{G}\ext^{q} (\Omega_{X/k}, \O_X)$
qui converge vers $\ext^{p+q}_{G} (\Omega_{X/k}, \O_X)$. Comme $X\to
\Spec k$ est lisse, on a $\ext^{q} (\Omega_{X/k}, \O_X)=0$ pour $q\ge
1$. D'autre part, comme $G$ agit librement, le foncteur $\pi_{*}^{G}$
est exact. On a donc $\ext^{\ell}_{G} (\Omega_{X/k}, \O_X)=0$ pour
$\ell\ge 1$. \qed

\begin{corollary}
Soient $X\to \Spec k$ un sch�ma affine lisse et $G$  un groupe fini
agissant librement sur $X\to \Spec k$. Pour tout anneau local
aritinien $A$ de corps r�siduel $k$ il existe une unique d�formation
�quivariante de $(X, G)$ au-dessus de $A$ (� isomorphisme pr�s).
\end{corollary}

\preuve Il suffit de combiner le th�or�me \ref{Principal} (o� le
th�or�me \ref{ObstructionCasAffine}) et la
proposition \ref{ActionLibreOuvertDense}. \qed

\bibliographystyle{../hamsalpha}

\providecommand{\bysame}{\leavevmode\hbox to3em{\hrulefill}\thinspace}
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\end{document}


math0310136.extracted_bib
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