Chern.tex
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\newtheorem{corol}{Corollaire}
\newtheorem{lem}[subsubsection]{Lemme}
\newtheorem{iw}[subsection]{Lemme de Wirtinger} 
\newtheorem{mut}{Conjecture}
   

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\def\opn#1#2{\def#1{\operatorname{#2} } } 
\opn\Ric{Ricci} 
\opn\Trac{Trace} 
\opn\det{det} 
\opn\Ker{Ker} 
\opn\exp{exp}
\opn\exph{exph}
\opn\Herm{Herm} 
 
\begin{document}
{\def\thefootnote{\relax}
\footnote{\hskip-0.6cm
{\bf{Mots-cl\'es}} : Connexions de Chern, Courbure de Chern, Vari�t�s presque complexes, Coordonn�es presque complexes \\
{\bf{Classification AMS}} : 32C35.}} 
\begin{center} 
\Huge{\bf{La connexion et la courbure de Chern du fibr� tangent d'une vari�t� presque complexe}}
\\
\vspace{0.4cm}
\huge{Nefton Pali}
%\\\Large{Janvier 2004}
%\\\Large{Institut Fourier, UMR 5582, Universit� Joseph Fourier}
%\\\Large{E-mail: \textit{nefton.pali@ujf-grenoble.fr}}
\end{center} 
\vspace{\fill}
{\bf R�sum�}.-Sur une vari�t� presque complexe $(X,J)$ l'op�rateur $\bar{\partial}_{_{J}}$ induit une connexion de type $(0,1)$ sur le fibr� des $(p,0)$-formes. Dans le cas d'une structure presque complexe int�grable cette connexion induit la structure holomorphe canonique du fibr� des $(p,0)$-formes. En consid�rant le cas $p=1$ on peut �tendre la connexion correspondante � toutes les puissances de Schur du fibr� des $(1,0)$-formes. En utilisant l'isomorphisme $\C$-lin�aire entre le fibr� des $(1,0)$-formes et le fibr� cotangent complexe $T^*_{X,J}$ on d�duit aussi des connexions canoniques de type $(0,1)$ sur les puissances de Schur du fibr� cotangent complexe $T^*_{X,J}$. 
\\
Dans le cas complexe int�grable ces connexions donnent les structures holomorphes canoniques de ces fibr�s. Dans le cas presque complexe non int�grable les connexions en question
donnent seulement les structures holomorphes canoniques sur les restrictions des fibr�s correspondants aux images des courbes $J$-holomorphes lisses. 
\\
Nous introduisons la notion de courbure de Chern pour ces fibr�s, notion dont le sens g�om�trique est la g�n�ralisation naturelle de la notion classique de courbure de Chern pour les fibr�s holomorphes sur une vari�t� complexe.  
\\
Nous portons un int�r�t particulier au cas du fibr� tangent en vue des applications concernant la r�gularisation des fonctions $J$-plurisousharmoniques � l'aide du flot g�od�sique d'une connexion de Chern sur le fibr� tangent (voir \cite{Pal}). Cette m�thode � �t� d�j� utilis�e par Demailly \cite{Dem-2} dans le cas complexe int�grable. 
\\
Nous montrons une formule explicite qui relie la connexion de Chern du fibr� tangent avec la connexion de Levi-Civita � l'aide des obstructions g�om�triques d�rivant de la torsion de la structure presque complexe et du d�faut de la m�trique � �tre symplectique. En particulier nous donnons une formule explicite qui permet de relier la torsion de la connexion de Chern du fibr� tangent avec les obstructions pr�c�dentes. Une formule qui relie les deux connexions pr�c�dentes peut �tre aussi trouv�e dans l'article de Gauduchon \cite{Gau}. L'utilit� de la connexion de Chern dans le probl�me de r�gularisation des fonctions $J$-plurisousharmoniques d�rive du fait que son expression locale par rapport � des rep�res du fibr� des $(1,0)$-vecteurs tangents est la plus simple possible parmi les connexions hermitiennes. 
\\
Ensuite nous introduisons la notion de coordonn�es presque complexes au voisinage d'un point. Cette notion nous permet d'�tudier la fa�on dont la torsion de la structure presque complexe et le caract�re non symplectique de la m�trique se traduisent en une obstruction � l'existence de coordonn�es g�od�siques complexes, qui n'existent que dans le cas K�hlerien. Cette �tude est n�cessaire pour le calcul asymptotique du flot g�od�sique induit par une connexion de Chern sur le fibr� tangent.
\\
\\
{\bf{Abstract}}.-The $\bar{\partial}_{_{J}}$ operator over an almost complex manifold induces canonical connections of type $(0,1)$ over the bundles of $(p,0)$-forms. If the almost complex structure is integrable then the previous connections induce the canonical holomorphic structures of the bundles of $(p,0)$-forms. For $p=1$ we can extend the corresponding connection to all Schur powers of the bundle of $(1,0)$-forms. Moreover using the canonical $\C$-linear isomorphism betwen the bundle of $(1,0)$-forms and the complex cotangent bundle $T^*_{X,J}$ we deduce canonical connections of type $(0,1)$ over the Schur powers of the complex cotangent bundle $T^*_{X,J}$. If the almost complex structure is integrable then the previous $(0,1)$-connections induces the canonical holomorphic structures of those bundles. In the non integrable case those $(0,1)$-connections induces just the holomorphic canonical structures of the restrictions of the corresponding bundles to the images of smooth $J$-holomorphic curves. We introduce the notion of Chern curvature for those bundles. The geometrical meaning of this notion is a natural generalisation of the classical notion of Chern curvature for the holomophic vector bundles over a complex manifold. We have a particular interest for the case of the tangent bundle in view of applications concerning the regularisation of $J$-plurisubharmonic fonctions by means of the geodesic flow induced by a Chern connection on the tangent bundle. This method has been used by Demailly \cite{Dem-2} in the complex integrable case. Our specific study in the case of the tangent bundle gives an asymptotic expanson of the Chern flow which relates in a optimal way the geometric obstructions caused by the torsion of the almost complex structure, and the non symplectic nature of the metric.
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Connexions sur les faisceaux de modules de fonctions $\ci$ au dessus des vari�t�s presque complexes}\label{Con-presq-compl} 
Soit $(X,J)$ une vari�t� presque complexe de classe ${\cal C}^{\infty}$ et de dimension r�elle $2n$. On d�signe par ${\cal E}_X\equiv{\cal E}_X(\R)$ le faisceau des fonctions ${\cal C}^{\infty}$ � valeurs r�elles, par $\pi^{1,0} _{_J}:T_X\otimes_{_{\R}}\C\longrightarrow T^{1,0}_{X,J}$ la projection sur le fibr� des $(1,0)$-vecteurs tangents et par $\pi^{0,1} _{_J}$ celle sur le fibr� des $(0,1)$-vecteurs tangents. On d�signe par $T_{X,J}$ le fibr� tangent dont les fibres sont munies de la structure complexe donn�e par $J$ et par
$$
{\cal E}^{p,q}_{_{X,J} }\equiv {\cal E}(\Lambda ^{p,q}_{_J}T_X^*),
\;\Lambda ^{p,q}_{_J}T_X^*:=\Lambda^p _{_{\C}}(T^{1,0}_{X,J}  )^*\otimes_{_{\C}} \Lambda^q _{_{\C}}(T^{0,1}_{X,J})^*
$$ 
le faisceau des $(p,q)$-formes par rapport � la structure presque complexe $J$. On rappelle que sur une vari�t� presque complexe la diff�rentielle se d�compose sous la forme 
$$
d=\partial_{_J }+\bar{\partial}_{_J }-\theta_{_J }-\bar{\theta }_{_J },
$$ 
o� pour toute $k$-forme complexe 
$\omega \in {\cal E}(\Lambda^k _{_{\C}}(T_X\otimes_{_{\R}}\C)^*)(U)$ au dessus d'un ouvert $U$ et tout champ de vecteurs complexes $\xi _0,...,\xi _k\in{\cal E}(T_X\otimes_{_{\R}}\C)(U)$ on a les expressions suivantes:
\begin{eqnarray*} 
&\displaystyle{\partial_{_J }\omega\, (\xi _0,...,\xi _k):=\sum_{0\leq j \leq k}(-1)^j\xi^{1,0}_j .\,\omega (\xi _0,...,\widehat{\xi _j},..., \xi _k)+ }&
\\
\\
&\displaystyle{+\sum_{0\leq j<l \leq k}(-1)^{j+l}\omega ([\xi^{1,0}_j,\xi^{1,0}_l]^{1,0}+[\xi^{0,1} _j,\xi^{1,0} _l]^{0,1}+[\xi^{1,0} _j,\xi^{0,1} _l]^{0,1},\xi _0,...,\widehat{\xi _j},...,\widehat{\xi _l},..., \xi _k)   }&
\\
\\
\\
&\displaystyle{\bar{\partial}_{_J }\omega\, (\xi _0,...,\xi _k):=\sum_{0\leq j \leq k}(-1)^j\xi^{0,1}_j .\,\omega (\xi _0,...,\widehat{\xi _j},..., \xi _k)+ }&
\\
\\
&\displaystyle{+\sum_{0\leq j<l \leq k}(-1)^{j+l}\omega ([\xi^{0,1}_j,\xi^{0,1}_l]^{0,1}+[\xi^{0,1} _j,\xi^{1,0} _l]^{1,0}+[\xi^{1,0} _j,\xi^{0,1} _l]^{1,0},\xi _0,...,\widehat{\xi _j},...,\widehat{\xi _l},..., \xi _k)   }&
\end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*} 
&\displaystyle{\theta_{_J }\omega\, (\xi _0,...,\xi _k):=-\sum_{0\leq j<l \leq k}(-1)^{j+l}\omega ([\xi^{1,0}_j,\xi^{1,0}_l]^{0,1},\xi _0,...,\widehat{\xi _j},...,\widehat{\xi _l},..., \xi _k)   }&
\\
\\
\\
&\displaystyle{\bar{\theta }_{_J }\omega\, (\xi _0,...,\xi _k):=-\sum_{0\leq j<l \leq k}(-1)^{j+l}\omega ([\xi^{0,1}_j,\xi^{0,1}_l]^{1,0},\xi _0,...,\widehat{\xi _j},...,\widehat{\xi _l},..., \xi _k)   }&
\end{eqnarray*}
avec $\xi ^{1,0}:=\pi ^{1,0} _{_J}(\xi ),\;[\cdot,\cdot]^{1,0}:=\pi^{1,0}_{_J}[\cdot,\cdot] $ et de fa�on analogue pour les indices $(0,1)$. Les bidegr�s des op�rateurs 
$\partial_{_J },\,\bar{\partial}_{_J },\,\theta_{_J }$ et $\bar{\theta }_{_J }$ sont respectivement $(1,0),\;(0,1),\;(2,-1)$ et $(-1,2)$. En effet si 
$\omega\in{\cal E}^{p,q}_{_{X,J} } (U)$ est une $(p,q)$-forme alors les $(p+q+1)$-formes $\partial_{_J }\omega,\,\bar{\partial}_{_J }\omega,\,\theta_{_J }\omega,\,\bar{\theta }_{_J }\omega$ sont nulles en restriction aux fibr�s $\Lambda ^{r,s}_{_J}T_X,\,r+s=p+q+1$ respectivement aux bidegr�s $(r,s)\not=(p+1,q),\,(r,s)\not=(p,q+1),\,(r,s)\not=(p+2,q-1)
,\,(r,s)\not=(p-1,p+2)$. On d�duit alors que l'op�rateur $T=\partial_{_J },\;\bar{\partial}_{_J },\;\theta_{_J }$ o� $\bar{\theta }_{_J }$ v�rifie la r�gle de Leibnitz 
$$
T(u\wedge v)= Tu\wedge v+(-1)^{\deg\,u} u\wedge  Tv.
$$
On a aussi les formules $\overline{(\partial_{_J }\,u)}=\bar{\partial}_{_J } \,\bar{u},\,\overline{(\theta_{_J }\,u)}=\bar{\theta }_{_J }\,\bar{u}   $.
\begin{defi}
On d�signe par $\tau_{_J}\in {\cal E}(\Lambda ^{2,0}_{_J}T_X^*\otimes_{_{\C}} T^{0,1}_{X,J})(X)$ le tenseur de la torsion de la structure presque complexe d�finie par la formule $\tau_{_J}(\xi ,\eta):= [\xi^{1,0},\eta^{1,0}]^{0,1}$ pour tout $\xi,\eta\in{\cal E}(T_X\otimes_{_{\R}}\C)(U)$, o� $U\subset X$ d�signe un ouvert quelconque. Le tenseur de  la structure presque complexe est dit int�grable si $\tau_{_J}=0$.
\end{defi}
On remarque que $\tau_{_J}=0$ si et seulement si $\theta_{_J}=0$, si et seulement si $d=\partial_{_J }+\bar{\partial}_{_J }$. 
\\
\\
{\bf Note au lecteur}. Le $\C$-isomorphisme canonique $T_{X,J,x}\rightarrow T^{1,0}_{X,J,x}$ implique le $\C$-isomorphisme  
$\Lambda^{p,q}_{_J}T_{X,x} ^*\otimes_{_{\C}}T_{X,J,x}\rightarrow\Lambda^{p,q}_{_J}T_{X,x} ^*\otimes_{_{\C}} T^{1,0}_{X,J,x},\,\alpha \mapsto u$. Pour tout vecteur r�el $\xi\in\Lambda^{p+q}_{_{\R} }T_{X,x} $ on a l'�galit� $\alpha (\xi )=u(\xi)+\overline{u(\xi)}$. en effet soit $(\zeta _k)_k\subset (T^{1,0}_{X,J,x})^{\oplus n}$ un rep�re complexe de $T^{1,0}_{X,J,x}$. Alors $(v_k)_k\subset (T_{X,J,x})^{\oplus n},\,v_k=\zeta _k+\bar{\zeta }_k$ est un rep�re complexe de $T_{X,J,x}$. La forme $\alpha$ s'�crit alors sous la forme $\alpha =\sum_k\,\alpha _k\otimes_{_{J} }v_k,\;\alpha \in \Lambda^{p,q}_{_J}T_{X,x}^*$ et $u=\sum_k\,\alpha _k\otimes \zeta _k$. Pour tout �l�ment $\xi \in\Lambda^{p+q}_{_{\C} }(T_X\otimes_{_{\R}} \C)$ on a par d�finition  
$$
\alpha(\xi ) =\sum_k\,\alpha _k(\xi )\times_{_{J} } v_k=\sum_k\,(\alpha _k(\xi )\zeta _k+\overline{\alpha (\xi)}\bar{\zeta}).
$$
Si $\xi \in\Lambda^{p+q}_{_{\R} }T_{X,x} \subset\Lambda^{p+q}_{_{\C} }(T_{X,x} \otimes_{_{\R}} \C)$ on a l'�galit� voulue. Nous consid�rons l'espace vectoriel
$$
R^{p,q}_{_{J} } (T_{X,x} \otimes_{_{\R}} \C):=\{u+\bar{u}\;|\;u\in\Lambda ^{p,q}_{_J}T_{X,x} ^*\otimes_{_{\C}} T^{1,0} _{X,J,x} \}
$$
avec la structure de produit $\times_{_{J}}$ d�finie par la formule $c\,\times_{_{J} }(u+\bar{u}):=cu+\overline{cu},\,c\in \C$. 
Le fait qu'une forme $\C$-lin�aire sur le complexifi� $T_{X,x} \otimes_{_{\R}} \C$ de l'espace tangent $T_{X,x} $ soit d�termin�e de fa�on univoque � partir de sa restriction � $T_{X,x}$ nous sugg�re qu'il est tr�s naturel de consid�rer le $\C$-isomorphisme
$\Lambda^{p,q}_{_J}T_{X,x} ^*\otimes_{_{\C}}T_{X,J,x}\rightarrow R^{p,q}_{_{J} } (T_{X,x} \otimes_{_{\R}} \C),\;\alpha \mapsto u+\bar{u}$. Dans la suite on identifiera donc les �l�ments de l'espace vectoriel 
$\Lambda ^{p,q}_{_J}T_{X,x} ^*\otimes_{_{\C}} T_{X,J,x}$ avec les �l�ments du type $u+\bar{u},\,u\in\Lambda ^{p,q}_{_J}T_{X,x} ^*\otimes_{_{\C}} T^{1,0} _{X,J,x}$. L'utilit� d'un tel formalisme sera clarifi� dans la suite.
\hfill $\Box$
\\ 
\\
On d�finit le tenseur de Nijenhuis 
$$
N_{_J}\in {\cal E}(\Lambda ^{0,2}_{_J}T_X^*\otimes_{_{\C}} T_{X,J})(X)
$$
par la formule $N_{_{J}}:=\tau_{_J}+\bar{\tau}_{_{J}}$. Bien �videmment $N_{_{J}}=0 $ si et seulement si $\tau_{_J}=0$. Il est �l�mentaire de v�rifier l'identit�:
$$
4N_{_{J}}(\xi ,\eta) =[\xi ,\eta]+J[\xi ,J\eta]+J[J\xi ,\eta]-[J\xi ,J\eta]
$$
pour tout champ de vecteurs complexes
$\xi ,\eta\in {\cal E}(T_X\otimes_{_{\R}}\C)(X)$. On rappelle le c�l�bre th�or�me de Newlander-Nirenberg (voir \cite{We}, \cite{Hor}, \cite{Dem-1}, chapitre VIII, \cite{mal}, \cite{Nij-Woo} et \cite{New-Nir}).
\begin{theo}{\bf (Newlander-Nirenberg)}.
Soit $(X,J)$ une vari�t� presque complexe. L'existence d'une structure holomorphe ${\cal O}_X$ sur la vari�t� $X$ telle que la structure presque complexe associ�e $J_{{\cal O}_X } $ soit �gale � $J$ est �quivalente � l'int�grabilit� de la structure presque complexe $J$.
\end{theo} 
On consid�re les d�finitions suivantes.
\begin{defi} Soient $(X,J_1)$ et $(Y,J_2)$ deux vari�t�s presque complexes et $f:X\rightarrow Y$ une application diff�rentiable. L'application $f$ est dite $(J_1,J_2)$-holomorphe si sa diff�rentielle v�rifie la condition $J_2(f(x))\cdot d_xf=d_xf\cdot J_1(x)$ pour tout $x\in X$.
\end{defi}
Pour tout  application diff�rentiable $f:X\rightarrow Y$, la diff�rentielle 
$df\in \Gamma (X, T^*_X\otimes_{_{\R} }f^*T_Y)$ se d�compose sous la forme 
$$
df=\partial_{_{J_1,J_{2 }}}f+\bar{\partial}_{_{J_{1 },J_{2 }}}f,
$$
o�
\begin{eqnarray*} 
&\displaystyle{
\partial_{_{J_1,J_{2 }}}f_{_{|_x } }:=\frac{1}{2}\Big(d_xf-J_2(f(x))\cdot d_xf\cdot J_1(x)\Big) }&
\\
\\
&\displaystyle{
 \bar{\partial}_{_{J_{1 },J_{2 }}}f_{_{|_x } }:=\frac{1}{2}\Big(d_xf+J_2(f(x))\cdot d_xf\cdot J_1(x)\Big). }&
\end{eqnarray*}
Bien �videmment 
\begin{eqnarray*} 
&\displaystyle{
\partial_{_{J_1,J_{2 }}}f\in \Gamma (X, T^*_{X,J_1} \otimes_{_{\C} }f^*T_{Y,J_2} )}&
\\
\\
&\displaystyle{
\bar{\partial}_{_{J_{1 },J_{2 }}}f\in \Gamma (X, T^*_{X,-J_1} \otimes_{_{\C} }f^*T_{Y,J_2} ) }&
\end{eqnarray*}
 et l'application $f$ est $(J_1,J_2)$-holomorphe si et seulement si $\bar{\partial}_{_{J_{1 },J_{2 }}}f=0$.

\begin{defi} 
Soit $(X,J)$ une vari�t� presque complexe et $(\Sigma,j)$ une courbe holomorphe lisse. Une courbe $(j,J)$-holomorphe est une application diff�rentiable 
$\gamma :(\Sigma ,j) \longrightarrow (X,J)$  dont la diff�rentielle v�rifie la condition 
$J(\gamma (z))\cdot d_z\gamma=d_z\gamma \cdot j$ pour tout $z\in \Sigma$. On d�signe par $i$ la structure presque complexe canonique sur $\R^2\equiv \C$. Une courbe $J$-holomorphe locale est une courbe $(i,J)$-holomorphe $\gamma :(B^1_{\delta},i) \longrightarrow (X,J)$ d�finie sur le disque complexe de rayon $\delta >0$.
\end{defi}  
On a alors qu'une application diff�rentiable 
$\gamma :B^1_{\delta} \longrightarrow X$ est une courbe $J$-holomorphe locale si et seulement si elle v�rifie l'�quation
$\bar{\partial}_{_{j,J}}\gamma (\frac{\partial}{\partial t})=0,\;z=t+is$ qui s'�crit explicitement sous la forme
$$
\partial_s\gamma =J(\gamma )\cdot \partial_t\gamma, 
$$
o� $\partial_s\gamma:=d\gamma(\frac{\partial}{\partial s})$. On peut montrer, (voir prop.2.3.6 dans l'article de Sikorav, dans l'ouvrage \cite{Ad}) que si $\gamma$ est une courbe $J$-holomorphe alors $\gamma \in \ci(B^1_{\delta };X)$.
On aura besoin aussi de la d�finition suivante.
\begin{defi} 
Soit ${\cal G}$ un faisceau de ${\cal E}(\C)$-modules sur $X$. Une connexion sur le faisceau ${\cal G}$ est un morphisme de faisceaux de groupes additifs $\nabla_{_{\cal G}}:{\cal G}\longrightarrow{\cal G}\otimes_{_{{\cal E}}}{\cal E}(T^*_X)\simeq{\cal G}\otimes_{_{{\cal E}(\C)}}{\cal E}(T^*_X\otimes_{_{\R}}\C) $ tel que 
$\nabla_{_{\cal G}}(g\cdot f)=\nabla_{{\cal G}}\,g\cdot f+g\otimes df$ pour tout $g\in{\cal G}(U)$ et $f\in {\cal E}(\C)(U)$, o� $U\subset X$ est un ouvert quelconque.
\end{defi} 
La donn�e d'une connexion $\nabla_{_{\cal G}}$ sur le faisceau de ${\cal E}(\C)$-modules ${\cal G}$ d�termine de fa�on univoque une d�rivation sur le complexe $({\cal G}\otimes_{_{{\cal E}}}{\cal E}(\Lambda ^k_{_{\R}} T^*_X))_{k\geq 0} $. En effet on peut d�finir l'extension 
$$
\nabla_{_{\cal G}}:{\cal G}\otimes_{_{{\cal E}}}{\cal E}(\Lambda ^k_{_{\R}}T^*_X)
\longrightarrow{\cal G}\otimes_{_{{\cal E}}}{\cal E}(\Lambda ^{k+1} _{_{\R}}T^*_X)
$$
par la formule classique
\begin{eqnarray*} 
&\displaystyle{\nabla_{_{\cal G}}\omega\, (\xi _0,...,\xi _k):=\sum_{0\leq j \leq k}(-1)^j\nabla_{_{\cal G}}(\omega (\xi _0,...,\widehat{\xi _j},..., \xi _k))(\xi _j)+ }&
\\
\\
&\displaystyle{+\sum_{0\leq j<l \leq k}(-1)^{j+l}\omega ([\xi_j,\xi_l],\xi _0,...,\widehat{\xi _j},...,\widehat{\xi _l},..., \xi _k)   }&
\end{eqnarray*}
pour tout $\omega \in({\cal G}\otimes_{_{{\cal E}}}{\cal E}(\Lambda ^k_{_{\R}}T^*_X))(U)$ et tout champ de vecteurs complexes $\xi _0,...,\xi _k\in{\cal E}(T_X\otimes_{_{\R}}\C)(U)$
L'extension ainsi d�finie v�rifie la r�gle de Leibnitz $\nabla_{_{\cal G}}(g\otimes f)=\nabla_{_{\cal G}}\,g\wedge f+g\otimes df$ pour tout $g\in{\cal G}(U)$ et $f\in{\cal E}(\Lambda ^k_{_{\R}} T^*_X)(U)$. En effet
\begin{eqnarray*} 
&\displaystyle{\nabla_{_{\cal G}}(g\otimes f)\, (\xi _0,...,\xi _k):=
\sum_{0\leq j \leq k}(-1)^j\nabla_{_{\cal G}}(g\cdot f (\xi _0,...,\widehat{\xi _j},..., \xi _k))(\xi _j)+ }&
\\
\\
&\displaystyle{+\sum_{0\leq j<l \leq k}(-1)^{j+l}g\cdot f([\xi_j,\xi_l],\xi _0,...,\widehat{\xi _j},...,\widehat{\xi _l},..., \xi _k)  = }&
\\
\\
&\displaystyle{=
\sum_{0\leq j \leq k}(-1)^j\Big[\nabla_{_{\cal G}}g(\xi _j)\cdot f (\xi _0,...,\widehat{\xi _j},..., \xi _k)+g\cdot (\xi _j\,.f(\xi _0,...,\widehat{\xi _j},..., \xi _k))\Big]+}&
\\
\\
&\displaystyle{+\sum_{0\leq j<l \leq k}(-1)^{j+l}g\cdot f([\xi_j,\xi_l],\xi _0,...,\widehat{\xi _j},...,\widehat{\xi _l},..., \xi _k)  = }&
\\
\\
&\displaystyle{=(\nabla_{_{\cal G}}\,g \wedge f+g\otimes df)(\xi _0,...,\xi _k)}.&
\end{eqnarray*}
Le fait que $d^2=0$ entra�ne l'existence du tenseur de courbure de $\nabla_{{\cal G}}$
$$
\Theta(\nabla_{_{\cal G}})\in \Big({\cal E}nd_{_{{\cal E}(\C)}}({\cal G}) \otimes_{_{{\cal E}(\C) }}{\cal E}(\Lambda ^2_{_{\R}} T^*_X)\Big)(X)
$$
d�finie par la formule $\Theta(\nabla_{_{\cal G}})(\xi ,\eta)\cdot g:=(\nabla^2_{_{\cal G}}\,g)(\xi ,\eta)$ pour tout $\xi ,\eta\in {\cal E}(T_X)(U)$ et $g\in {\cal G}(U)$. On note de plus par $\xi _{_{\nabla_{_{\cal G}}} }\,.g:=\nabla_{_{\cal G}}g(\xi)$ la d�riv�e covariante de la section $g$ le long du champ de vecteurs $\xi$. La d�finition de l'extension de la connexion $\nabla_{_{\cal G}}$ implique de fa�on imm�diate la formule
$$
\xi _{_{\nabla_{_{\cal G}}} }\,.\,(\eta_{_{\nabla_{_{\cal G}}} }\,.\,g)-\eta_{_{\nabla_{_{\cal G}}} }\,.\,(\xi _{_{\nabla_{_{\cal G}}} }\,.\,g)=[\xi ,\eta]_{_{\nabla_{_{\cal G}}} }\,.\,g+\Theta(\nabla_{_{\cal G}})(\xi ,\eta)\cdot g.
$$
Le tenseur de courbure $\Theta(\nabla_{_{\cal G}})$ de la connexion $\nabla_{_{\cal G}}$ mesure donc le d�faut de commutation des d�riv�es covariantes secondes des sections de ${\cal G}$. Il est aussi �l�mentaire de v�rifier l'identit�
\begin{eqnarray}\label{formulcurvat} 
\nabla^2_{_{\cal G}}\,\omega =\Theta(\nabla_{_{\cal G}})\wedge \omega 
\end{eqnarray}
pour tout $\omega \in({\cal G}\otimes_{_{{\cal E}}}{\cal E}(\Lambda ^{\bullet}_{_{\R}}T^*_X))(U)$.
Le fait que les op�rateurs $\theta_{_J }$ et $\bar{\theta }_{_J }$ v�rifient la r�gle de Leibnitz entra�ne que 
$$
\theta_{_J }\in {\cal H} om_{_{{\cal E}(\C) } }({\cal E}^{p,q}_{_{X,J} }  , {\cal E}^{p+2,q-1}_{_{X,J} } )(X)\quad\mbox{et} \quad
\bar{\theta }_{_J }\in {\cal H} om_{_{{\cal E}(\C) } }({\cal E}^{p,q}_{_{X,J} }  , {\cal E}^{p-1,q+2}_{_{X,J} } )(X)
$$
On d�finit alors les op�rateurs de torsion sur ${\cal G}$
\begin{eqnarray*}
\theta _{_{{\cal G},J} } :=
\I_{_{\cal G} } \otimes_{_{{\cal E}(\C)}}\theta_{_J }:{\cal G}\otimes_{_{{\cal E}(\C)}}{\cal E}^{p,q}_{_{X,J} } 
\longrightarrow{\cal G}\otimes_{_{{\cal E}(\C)}}{\cal E}^{p+2,q-1}_{_{X,J} } 
\\
\\
\bar{\theta }_{_{{\cal G},J} } :=
\I_{_{\cal G} } \otimes_{_{{\cal E}(\C)}}\bar{\theta }_{_J }:{\cal G}\otimes_{_{{\cal E}(\C)}}{\cal E}^{p,q}_{_{X,J} } 
\longrightarrow{\cal G}\otimes_{_{{\cal E}(\C)}}{\cal E}^{p-1,q+2}_{_{X,J} } .
\end{eqnarray*}
De fa�on explicite ces op�rateurs sont d�finis de fa�on analogue aux op�rateurs $\theta_{_J }$ et $\bar{\theta }_{_J }$. Ce sont des d�rivations, autrement dit on a les formules
\begin{eqnarray*}
\theta _{_{{\cal G},J} }(\omega \wedge f)=\theta _{_{{\cal G},J} }\,\omega \wedge f+(-1)^{\deg\, \omega }\,\omega \wedge  \theta_{_J }f
\\
\\
\bar{\theta }_{_{{\cal G},J} } (\omega \wedge f)=\bar{\theta }_{_{{\cal G},J} } \,\omega \wedge f+(-1)^{\deg\, \omega }\,\omega \wedge \bar{\theta }_{_J } f
\end{eqnarray*}
pour tout $\omega \in ({\cal G}\otimes_{_{{\cal E}}}{\cal E}(\Lambda ^{\bullet}_{_{\R}} T^*_X)(U)$ et $f\in{\cal E}(\Lambda ^{\bullet}_{_{\R}} T^*_X)(U)$. Comme dans le cas de la diff�rentielle ext�rieure on a la d�composition 
$$
\nabla_{_{{\cal G}}}=\nabla^{1,0}_{_{{\cal G},J} }\,+\,\nabla^{0,1}_{_{{\cal G},J} }\,-\,\theta _{_{{\cal G},J} }\,-\,
\bar{\theta }_{_{{\cal G},J} }
$$
o� les op�rateurs
$$
\nabla^{1,0}_{_{{\cal G},J} } :{\cal G}\otimes_{_{{\cal E}(\C)}}{\cal E}^{p,q}_{_{X,J} } 
\longrightarrow{\cal G}\otimes_{_{{\cal E}(\C)}}{\cal E}^{p+1,q}_{_{X,J} } 
$$
et
$$
\nabla^{0,1}_{_{{\cal G},J} } :{\cal G}\otimes_{_{{\cal E}(\C)}}{\cal E}^{p,q}_{_{X,J} } 
\longrightarrow{\cal G}\otimes_{_{{\cal E}(\C)}}{\cal E}^{p,q+1}_{_{X,J} } 
$$
sont d�finis par les formules analogues � celles qui d�finisent les op�rateurs $\bar{\partial}_{_J } $ et $\partial_{_J }$,
\begin{eqnarray} 
&\displaystyle{\nabla^{1,0}_{_{{\cal G},J} }\,\omega\, (\xi _0,...,\xi _k):=
\sum_{0\leq j \leq k}(-1)^j \nabla_{_{{\cal G}} }(\omega (\xi _0,...,\widehat{\xi _j},..., \xi _k))(\xi^{1,0}_j)+ }&\nonumber
\\\nonumber
\\
&\displaystyle{+\sum_{0\leq j<l \leq k}(-1)^{j+l}\omega ([\xi^{1,0}_j,\xi^{1,0}_l]^{1,0}+[\xi^{0,1} _j,\xi^{1,0} _l]^{0,1}+[\xi^{1,0} _j,\xi^{0,1} _l]^{0,1},\xi _0,...,\widehat{\xi _j},...,\widehat{\xi _l},..., \xi _k)   }&\label{extendcon1,0} 
\end{eqnarray}
et
\begin{eqnarray} 
&\displaystyle{\nabla^{0,1}_{_{{\cal G},J} }\,\omega\, (\xi _0,...,\xi _k):=
\sum_{0\leq j \leq k}(-1)^j\nabla_{_{{\cal G}} }(\omega (\xi _0,...,\widehat{\xi _j},..., \xi _k))(\xi^{0,1}_j) + }&\nonumber
\\\nonumber
\\
&\displaystyle{+\sum_{0\leq j<l \leq k}(-1)^{j+l}\omega ([\xi^{0,1}_j,\xi^{0,1}_l]^{0,1}+[\xi^{0,1} _j,\xi^{1,0} _l]^{1,0}+[\xi^{1,0} _j,\xi^{0,1} _l]^{1,0},\xi _0,...,\widehat{\xi _j},...,\widehat{\xi _l},..., \xi _k)   }&\label{extendcon0,1}
\end{eqnarray}
Le fait que $\nabla_{_{{\cal G}}}$ v�rifie la r�gle de Leibnitz implique les formules
\begin{eqnarray*}
\nabla^{1,0}_{_{{\cal G},J}}\,(g\otimes f)=\nabla^{1,0}_{_{{\cal G},J}}\,g\wedge f+g\otimes \partial_{_J } f
\\
\\
\nabla^{0,1}_{_{{\cal G},J}}\,(g\otimes f)=\nabla^{0,1}_{_{{\cal G},J}}\,g\wedge f+g\otimes \bar{\partial}_{_J } f
\end{eqnarray*}
pour tout $g\in {\cal G}(U)$ et $f\in{\cal E}(\Lambda ^{\bullet}_{_{\R}} T^*_X)(U)$. En degr� z�ro on a les formules
$$
\nabla^{1,0}_{_{{\cal G},J}}\,g=\frac{1}{2}\Big(\nabla_{_{{\cal G}}}\,g-i(\nabla_{_{{\cal G}}}\,g)\circ J\Big)\quad\mbox{et}\quad
\nabla^{0,1}_{_{{\cal G},J}}\,g=\frac{1}{2}\Big(\nabla_{_{{\cal G}}}\,g+i(\nabla_{_{{\cal G}}}\,g)\circ J\Big)  
$$
pour tout $g\in {\cal G}(U)$. En g�n�ral on a la d�finition suivante.
\begin{defi} 
Soit ${\cal G}$ un faisceau de ${\cal E}(\C)$-modules sur $X$. Une connexion de type $(0,1)$ sur le faisceau ${\cal G}$ est un morphisme de faisceaux de groupes additifs $\nabla''_{_{\cal G}}:{\cal G}\longrightarrow{\cal G}\otimes_{_{{\cal E}(\C)}}{\cal E}^{0,1}_{_{X,J} } $ tel que 
$\nabla''_{_{\cal G}}(g\cdot f)=\nabla''_{{\cal G}}\,g\cdot f+g\otimes \bar{\partial}_{_J }f$ pour tout $g\in{\cal G}(U)$ et $f\in {\cal E}(\C)(U)$, o� $U\subset X$ est un ouvert quelconque.
\end{defi} 
On a bien s�r une d�finition analogue pour les connexions de type $(1,0)$. Comme pr�c�demment une connexion de type $(0,1)$, (resp. $(1,0)$) peut �tre �tendue gr�ce � la formule $\ref{extendcon0,1}$, (resp. $\ref{extendcon1,0}$) ou gr�ce � la r�gle de Leibnitz.
On rappelle maintenant que si $A$ et $B$ sont deux endomorphismes du faisceau de ${\cal E}(\C)$-modules ${\cal G}\otimes_{_{{\cal E}}}{\cal E}(\Lambda ^{\bullet} _{_{\R}} T^*_X)$, leur crochet de commutation est d�fini par la formule $[A,B]:=AB-(-1)^{\deg\,A\cdot \deg\, B}BA$. La d�composition pr�c�dente de $\nabla_{_{{\cal G}}}$ implique la d�composition suivante au niveau des op�rateurs,
\begin{eqnarray*}
&\displaystyle{\nabla^2_{_{{\cal G}}}=(\nabla^{1,0}_{_{{\cal G},J} }\,+\,\nabla^{0,1}_{_{{\cal G},J} }\,-\,\theta _{_{{\cal G},J} }\,-\,
\bar{\theta }_{_{{\cal G},J} })^2=} &
\end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*}
&\displaystyle{=\underbrace{(\nabla^{1,0}_{_{{\cal G},J} })^2-[\nabla^{0,1}_{_{{\cal G},J} }\,,\theta _{_{{\cal G},J} }]}_{2,0}+
\underbrace{(\nabla^{0,1}_{_{{\cal G},J} })^2-[\nabla^{1,0}_{_{{\cal G},J} }\,,\bar{\theta } _{_{{\cal G},J} }]}_{0,2} +
\underbrace{\theta ^2_{_{{\cal G},J} }}_{4,-2} +\underbrace{\bar{\theta }^2_{_{{\cal G},J} }}_{-2,4}+  } & \\
\\
&\displaystyle{+\underbrace{[\nabla^{1,0}_{_{{\cal G},J} }\,,\nabla^{0,1}_{_{{\cal G},J} }]
+[\theta _{_{{\cal G},J}}\,,\bar{\theta } _{_{{\cal G},J} }]}_{1,1}
- \underbrace{[\nabla^{1,0}_{_{{\cal G},J} }\,,\theta _{_{{\cal G},J} }]}_{3,-1} 
 - \underbrace{[\nabla^{0,1}_{_{{\cal G},J} }\,,\bar{\theta } _{_{{\cal G},J} }]}_{-1,3}}.& 
\end{eqnarray*}
D'autre part en consid�rant la d�composition de la forme de courbure 
$$
\Theta(\nabla_{_{\cal G}})=\Theta(\nabla_{_{\cal G}})^{2,0}_{_{J} }+  \Theta(\nabla_{_{\cal G}})^{1,1}_{_{J} }+  \Theta(\nabla_{_{\cal G}})^{0,2}_{_{J} }
$$
en ses composantes de type $(2,0),\,(1,1),\,(0,2)$ et la formule $\eqref{formulcurvat}$ on d�duit les identit�s suivantes au sens des op�rateurs
\begin{align*}
\Theta(\nabla_{_{\cal G}})^{2,0}_{_{J} }\wedge \cdot=(\nabla^{1,0}_{_{{\cal G},J} })^2-[\nabla^{0,1}_{_{{\cal G},J} }\,,\theta _{_{{\cal G},J} }]                                                 &\qquad \qquad  
\Theta(\nabla_{_{\cal G}})^{0,2}_{_{J} }\wedge \cdot=(\nabla^{0,1}_{_{{\cal G},J} })^2-[\nabla^{1,0}_{_{{\cal G},J} }\,,\bar{\theta } _{_{{\cal G},J} }]
\\
\\
\Theta(\nabla_{_{\cal G}})^{1,1}_{_{J} }\wedge \cdot=[\nabla^{1,0}_{_{{\cal G},J} }\,,\nabla^{0,1}_{_{{\cal G},J} }]
+[\theta _{_{{\cal G},J}}\,,\bar{\theta } _{_{{\cal G},J} }]           &\qquad \qquad
\theta ^2_{_{{\cal G},J} }=0,\quad \bar{\theta }^2_{_{{\cal G},J} }=0
\\
\\
[\nabla^{1,0}_{_{{\cal G},J} }\,,\theta _{_{{\cal G},J} }]=0           &\qquad \qquad
[\nabla^{0,1}_{_{{\cal G},J} }\,,\bar{\theta } _{_{{\cal G},J} }]=0.
\end{align*}
En particulier si ${\cal G}={\cal E}(\C)$ et $\nabla_{_{\cal G}}=d$ on a les identit�s suppl�mentaires 
$$
\partial^2_{_J }=[\bar{\partial}_{_J },\theta_{_J }],\qquad \bar{\partial}^2_{_J }=[\partial_{_J },\bar{\theta }_{_J }]\quad\mbox{et}\quad [\partial_{_J },\bar{\partial}_{_J }]=-[\theta_{_J },\bar{\theta }_{_J }].
$$
En conclusion on a les identit�s fondamentales de la g�om�trie presque complexe: 
\begin{eqnarray*}
&\displaystyle{\partial^2_{_J }=
\bar{\partial}_{_J }\theta_{_J }+\theta_{_J }\bar{\partial}_{_J },\qquad 
\bar{\partial}^2_{_J }=
\partial_{_J }\bar{\theta }_{_J }+\bar{\theta }_{_J }\partial_{_J },}&
\\
\\
&\displaystyle{\partial_{_J }\bar{\partial}_{_J }+\bar{\partial}_{_J }\partial_{_J }=
-\theta_{_J }\bar{\theta }_{_J }-\bar{\theta }_{_J }\theta_{_J },}&
\\
\\
&\displaystyle{\partial_{_J }\theta_{_J }=-\theta_{_J }\partial_{_J },\qquad 
\bar{\partial}_{_J }\bar{\theta }_{_J }=-\bar{\theta }_{_J }\bar{\partial}_{_J },}&
\\
\\
&\displaystyle{\theta^2_{_J }=0,\qquad\bar{\theta }^2_{_J }=0.}&
\end{eqnarray*}  
En g�n�ral en degr� z�ro on a les formules
\begin{eqnarray}
&\displaystyle{
\Theta(\nabla_{_{\cal G}})^{2,0}_{_{J} }=
(\nabla^{1,0}_{_{{\cal G},J} })^2-\theta _{_{{\cal G},J} }\,\nabla^{0,1}_{_{{\cal G},J} },  }&\label{2,0} 
\\\nonumber
\\
&\displaystyle{\Theta(\nabla_{_{\cal G}})^{0,2}_{_{J} }=
(\nabla^{0,1}_{_{{\cal G},J} })^2-\bar{\theta }_{_{{\cal G},J} }\,\nabla^{1,0}_{_{{\cal G},J} },
}& \label{0,2} 
\\\nonumber
\\
&\displaystyle{
\Theta(\nabla_{_{\cal G}})^{1,1}_{_{J} }=[\nabla^{1,0}_{_{{\cal G},J} }\,,\nabla^{0,1}_{_{{\cal G},J} }],
}&\label{1,1} 
\end{eqnarray}
qui sont �quivalentes aux identit�s �videntes
\begin{eqnarray*}
\xi^{1,0}_{_{\nabla_{_{\cal G}}} }\,.\,(\eta^{1,0}_{_{\nabla_{_{\cal G}}} }\,.\,g)-\eta^{1,0}_{_{\nabla_{_{\cal G}}} }\,.\,(\xi^{1,0} _{_{\nabla_{_{\cal G}}} }\,.\,g)=[\xi^{1,0} ,\eta^{1,0}]_{_{\nabla_{_{\cal G}}} }\,.\,g+\Theta(\nabla_{_{\cal G}})^{2,0}_{_{J}}(\xi^{1,0} ,\eta^{1,0})\cdot g,
\\
\\
\xi^{0,1}_{_{\nabla_{_{\cal G}}} }\,.\,(\eta^{0,1}_{_{\nabla_{_{\cal G}}} }\,.\,g)-\eta^{0,1}_{_{\nabla_{_{\cal G}}} }\,.\,(\xi^{0,1} _{_{\nabla_{_{\cal G}}} }\,.\,g)=[\xi^{0,1} ,\eta^{0,1}]_{_{\nabla_{_{\cal G}}} }\,.\,g+\Theta(\nabla_{_{\cal G}})^{0,2}_{_{J}}(\xi^{0,1} ,\eta^{0,1})\cdot g,
\\
\\
\xi^{1,0}_{_{\nabla_{_{\cal G}}} }\,.\,(\eta^{0,1}_{_{\nabla_{_{\cal G}}} }\,.\,g)-
\eta^{0,1}_{_{\nabla_{_{\cal G}}} }\,.\,(\xi^{1,0} _{_{\nabla_{_{\cal G}}} }\,.\,g)=
[\xi^{1,0} ,\eta^{0,1}]_{_{\nabla_{_{\cal G}}} }\,.\,g+\Theta(\nabla_{_{\cal G}})^{1,1}_{_{J}}(\xi^{1,0} ,\eta^{0,1})\cdot g.
\end{eqnarray*}
On a donc en particulier que la composante de type $(2,0)$, (resp. $(0,2)$) du tenseur de courbure mesure le d�faut de commutation des d�riv�es covariantes secondes des sections de ${\cal G}$ le long des champs de vecteurs de type $(1,0)$, (resp. $(0,1)$). La composante de type $(1,1)$ du tenseur de courbure exprime  le d�faut de commutation des d�riv�es covariantes secondes des sections de ${\cal G}$ le long des champs de vecteurs de type $(1,0)$ et  $(0,1)$. Soit ${\cal G}$ un faisceau de ${\cal E}(\C)$-modules localement de type fini, soit $\psi\equiv (\psi_1,...,\psi_r)\in {\cal G}^{\oplus r}(U)$ un syst�me de g�n�rateurs locaux et 
$$
\omega =\psi\cdot f \in({\cal G}\otimes_{_{{\cal E}}}{\cal E}(\Lambda ^k_{_{\R}}T^*_X))(U),\qquad f\in M_{r,1}({\cal E}(\Lambda ^k_{_{\R}}T^*_X)(U)).
$$
Soient de plus $A\in M_{r,r} ({\cal E}(T^*_X)(U)),\,A'_{_{J}}\in M_{r,r}({\cal E}^{1,0}_{_{X,J} } (U)),\,A''_{_{J}}\in M_{r,r}({\cal E}^{0,1}_{_{X,J} } (U))$ telles que $\nabla_{_{\cal G}}\,\psi =\psi\cdot A$ et $A=A'_{_{J}}+A''_{_{J}}$. La r�gle de Leibnitz implique alors les �galit�s
$$
\nabla_{_{\cal G}}\,\omega =\psi\cdot (df+A\wedge f)\quad\mbox{et}\quad  \Theta(\nabla_{_{\cal G}})\wedge \omega =\psi\cdot (dA+A\wedge A)\wedge f.
$$
De plus on a les identit�s 
%$\nabla^{1,0}_{_{{\cal G},J} }\,\omega =\psi\cdot(\partial_{_J }f+A'_{_{J}}\wedge f),\;
%\nabla^{0,1}_{_{{\cal G},J} }\,\omega =\psi\cdot (\bar{\partial}_{_J }f+A''_{_{J}}\wedge f),\;
%\theta _{_{{\cal G},J} }\,\omega =\psi\cdot\theta_{_J }\,f $ 
%et $\bar{\theta }_{_{{\cal G},J} }\,\omega =\psi\cdot \bar{\theta }_{_J }\,f$.
\begin{align*}
\nabla^{1,0}_{_{{\cal G},J} }\,\omega =\psi\cdot(\partial_{_J }f+A'_{_{J}}\wedge f),          &\qquad \qquad   
\nabla^{0,1}_{_{{\cal G},J} }\,\omega =\psi\cdot (\bar{\partial}_{_J }f+A''_{_{J}}\wedge f),
\\
\\
\theta _{_{{\cal G},J} }\,\omega =\psi\cdot\theta_{_J }\,f,                        &\qquad \qquad 
\bar{\theta }_{_{{\cal G},J} }\,\omega =\psi\cdot \bar{\theta }_{_J }\,f.
\end{align*}
En d�composant la $2$-forme $dA+A\wedge A$ o� en explicitant les identit�s $\eqref{2,0},\,\eqref{0,2}$ et $\eqref{1,1}$ on obtient les expressions locales  suivantes.
\begin{eqnarray*}
&\displaystyle{\Theta(\nabla_{_{\cal G}})^{2,0}_{_{J} }\wedge \omega =
\psi\cdot (\partial_{_J }A'_{_{J}}+A'_{_{J}}\wedge A'_{_{J}}-\theta_{_J }\,A''_{_{J}})\wedge f}&
\\
\\
&\displaystyle{\Theta(\nabla_{_{\cal G}})^{0,2}_{_{J} }\wedge \omega =
\psi\cdot (\bar{\partial}_{_J }A''_{_{J}}+A''_{_{J}}\wedge A''_{_{J}}-\bar{\theta }_{_J }\,A'_{_{J}})\wedge f}&
\\
\\
&\displaystyle{\Theta(\nabla_{_{\cal G}})^{1,1}_{_{J} }\wedge \omega =
\psi\cdot (\bar{\partial}_{_J }A'_{_{J}}+\partial_{_J }A''_{_{J}}+A'_{_{J}}\wedge A''_{_{J}}+A''_{_{J}}\wedge A'_{_{J}})\wedge f,}&
\end{eqnarray*}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Connexions hermitiennes sur les fibr�s vectoriels au dessus des vari�t�s presque complexes}\label{basic-herm-con}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
Nous consid�rons � partir de maintenant un fibr� vectoriel complexe $\ci$, $F\longrightarrow X$ et ${\cal G}={\cal E}(F):=$faisceau des sections $\ci$ de $F$. Soit $h\in{\cal E}(F^*\otimes_{_{\C}}\overline{F}^* )(X)$ une m�trique hermitienne sur $F$. On rappelle qu'une connexion 
$$
\nabla_{_F}:{\cal E}(F)\longrightarrow{\cal E}(F)\otimes_{_{{\cal E}}}{\cal E}(T^*_X)\simeq{\cal E}(F)\otimes_{_{{\cal E}(\C)}}{\cal E}(T^*_X\otimes_{_{\R}}\C)
$$
sur $F$ est dite $h$-hermitienne si pour tout champ de vecteurs complexes 
$\xi \in{\cal E}(T_X\otimes_{_{\R}}\C)(U)$ et toute sections $\sigma ,\tau\in{\cal E}(F)(U)$, ($U\subseteq X$ est un ouvert quelconque), on a la formule
$$
\xi .h(\sigma ,\tau)=h(\xi _{_{\nabla} }.\sigma ,\tau)+h(\sigma ,\bar{\xi} _{_{\nabla} }.\tau).
$$
Il est bien s�r �quivalent de restreindre l'identit� pr�c�dente aux seuls champs de vecteurs 
$\xi\in{\cal E}(T^{1,0}_{X,J})(U)$. On a alors que la donn�e d'une connexion 
$$
\nabla''_{_F}:{\cal E}(F)\longrightarrow{\cal E}(F)\otimes_{_{{\cal E}(\C)}}{\cal E}^{0,1}_{_{X,J} } 
$$ 
de type $(0,1)$ entra�ne l'existence d'une unique connexion $h$-hermitienne $\nabla_{_F}$ sur le fibr� $F$ telle que $\nabla^{0,1} _{_F}=\nabla''_{_F}$. En effet la partie de type $(1,0)$ de $\nabla_{_F}$ est donn�e par la formule
$$
h(\nabla^{1,0} _{_F}\sigma(\xi ) ,\tau)=\xi .h(\sigma ,\tau)-h(\sigma ,\nabla''_{_F}\tau(\bar{\xi }) )
$$
pour tout $(1,0)$-champ de vecteurs $\xi\in{\cal E}(T^{1,0}_{X,J})(U)$ et toutes sections $\sigma ,\tau\in{\cal E}(F)(U)$.
Bien �videmment on a un r�sultat analogue pour les connexions de type $(1,0)$. Soit $(e_1,...,e_r)\in {\cal E}(F)^{\oplus r}(U)$ un rep�re de $F_{|_U}$. On a l'identification $\nabla_{_F}\simeq_{e}d+A $ par rapport au rep�re $(e_1,...,e_r)$. Soit de plus $H:=(h(e_{\lambda},e_{\mu}))_{\lambda ,\mu }$ la matrice hermitienne de la m�trique $h$. Le fait que la connexion $\nabla_{_F}$ soit $h$-hermitienne  �quivaut localement  aux �galit�s
$$
\xi .H_{\lambda ,\mu }=\sum_{1\leq s\leq r}\Big(A' _{s,\lambda }(\xi )H_{s,\mu}+\overline{A''_{s,\mu}(\bar{\xi} )}H_{\lambda ,s}\Big),
$$
$\xi\in{\cal E}(T^{1,0}_{X,J})(U)$. On a alors avec des notations matricielles la relation $\partial_{_J }H=A_{_{J} } '^{t}H+H\overline{A''_{_{J} } }$. Le fait que la matrice $H$ soit hermitienne implique que cette relation est �quivalente � la relation
\begin{eqnarray}\label{hermitiancon} 
A'_{_{J}}=\overline{H}^{-1}(\partial_{_J }\overline{H}-\overline{A''_{_{J} }}^{t}\,\overline{H} ).  
\end{eqnarray}
On a en conclusion qu'une connexion $\nabla_{_F}$ est $h$-hermitienne si et seulement si la relation $\eqref{hermitiancon}$ est satisfaite sur tout les ouverts de trivialisation de $F$. Consid�rons maintenant le produit sesquilin�aire
$$
\{\cdot,\cdot\}_h:  {\cal E}(\Lambda ^p_{_{\R}} T^*_X\otimes_{_{\R}} F)\times {\cal E}(\Lambda ^q_{_{\R}} T^*_X\otimes_{_{\R}} F)\longrightarrow {\cal E}(\Lambda ^{p+q} _{_{\R}} T^*_X\otimes_{_{\R}} \C)
$$
sur le faisceau ${\cal E}(\Lambda ^{\bullet} _{_{\R}} T^*_X\otimes_{_{\R}} F)$ d�fini par la formule
$$
\{\sigma ,\tau\}_h(\xi )=\sum_{|I|=p}\varepsilon (I)h(\sigma (\xi _{I} ),\tau(\bar{\xi }_{\complement I}  )),  
$$
o� $\xi =(\xi _1,...,\xi _{p+q}), \,\xi _j\in{\cal E}(T_X\otimes_{_{\R}}\C)(U)$ et $\varepsilon (I)$ d�signe le signe de la permutation $(1,...,p+q)\rightarrow (I,\complement I)$. Alors le fait que la connexion $\nabla_{_F}$ soit hermitienne est �quivalent � l'identit� plus g�n�rale 
$$
d\{\sigma ,\tau\}_h=\{\nabla_{_F}\sigma ,\tau\}_h+(-1)^{\deg\,\sigma } \{\sigma ,\nabla_{_F}\tau\}_h
$$ 
qui �quivaut aussi � une des identit�s
\begin{eqnarray*}
\partial_{_J }\{\sigma ,\tau\}_h=\{\nabla^{1,0}_{_{F,J} }\sigma ,\tau\}_h+
(-1)^{\deg\,\sigma } \{\sigma ,\nabla^{0,1}_{_{F,J} }\tau\}_h
\\
\\
\bar{\partial}_{_J }\{\sigma ,\tau\}_h=\{\nabla^{0,1}_{_{F,J} }\sigma ,\tau\}_h+
(-1)^{\deg\,\sigma } \{\sigma ,\nabla^{1,0}_{_{F,J} }\tau\}_h.
\end{eqnarray*}
On obtient alors, en appliquant la diff�rentielle ext�rieure � la premi�re des trois identit�s pr�c�dentes, l'identit� 
$0=\{\Theta (\nabla_{_F})\sigma ,\tau\}_h+\{\sigma ,\Theta (\nabla_{_F})\tau\}_h$ qui implique, pour des raisons de bidegr�, l'identit� 
$$
0=\{\Theta (\nabla_{_F})^{1,1}_{_{J} }  \sigma ,\tau\}_h+\{\sigma ,\Theta (\nabla_{_F})^{1,1}_{_{J} }\tau\}_h.
$$
Si $\deg \,\sigma =\deg\,\tau=0$ on d�duit l'�galit� 
\begin{eqnarray}\label{hermitcurvat} 
0=h\Big(\Theta (\nabla_{_F})^{1,1}_{_{J} } (\xi ,\eta)\cdot \sigma ,\tau\Big)+h\Big(\sigma ,\Theta (\nabla_{_F})^{1,1}_{_{J} } (\bar{\xi }  ,\bar{\eta} )\cdot \tau\Big)
\end{eqnarray}
qui montre que pour tout champ de vecteurs r�els $\xi ,\,\eta\in {\cal E}(T_X)(U)$ on a 
$$
i\Theta (\nabla_{_F})^{1,1}_{_{J} }(\xi ,\eta) \in{\cal E}(\mbox{Herm}_{h}(F))(U),
$$
o� $\mbox{Herm}_{h}(F)$ d�signe le fibr� (r�el) des endomorphismes $h$-hermitiens de $F$. 
Consid�rons maintenant l'expression locale de la composante de type $(1,1)$ du tenseur de courbure 
$$
\Theta (\nabla_{_F})^{1,1}_{_{J} } =\sum_{1\leq \lambda ,\mu \leq r}C_{\lambda ,\mu }\otimes e^*_{\mu }\otimes e_{\lambda }
$$
de la connexion hermitienne $\nabla_{_F}$. On a 
$$
C:=\bar{\partial}_{_J }A'_{_{J}}+\partial_{_J }A''_{_{J}}+A'_{_{J}}\wedge A''_{_{J}}+A''_{_{J}}\wedge A'_{_{J}}.
$$
Si 
$(\zeta _k)_k\in {\cal E}(T^{1,0}_{X,J})^{\oplus n}(U)$ est un rep�re du fibr� $T^{1,0}_{U,J}$, on a l'expression locale suivante 
$$
\Theta (\nabla_{_F})^{1,1}_{_{J} } =\sum_{\substack{1\leq \lambda ,\mu \leq r
\\
\\
1\leq k,l\leq n }} C^{k,l}_{\lambda ,\mu}\,\zeta ^*_k\wedge \bar{\zeta } ^*_l\otimes  e^*_{\mu }\otimes e_{\lambda }.   
$$
L'identit� $\eqref{hermitcurvat}$ entra�ne que
si en un point $x_0\in U$ le rep�re $e_1(x_0),...,e_r(x_0)$ est $h(x_0)$-orthonorm� alors on a les relations $\overline{C^{k,l}_{\lambda ,\mu}}(x_0)=C^{l,k}_{\mu ,\lambda }(x_0)$. Si de plus 
$\nabla_{_F}^{0,1}e_k(x_0)=0 $ pour tout $k$, on obtient en utilisant l'expression $\eqref{hermitiancon}$ l'�galit� 
\begin{eqnarray}\label{ponctcurvat}
C(x_0)=(\bar{\partial}_{_J }\partial_{_J }\overline{H}-\bar{\partial}_{_J }\overline{H}\wedge \partial_{_J }\overline{H} 
+\partial_{_J }A''_{_{J}}-\bar{\partial}_{_J }\overline{A''_{_{J}}}^t)(x_0).
\end{eqnarray}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Extension de l'op�rateur $\bar{\partial}_{_J }$ aux puissances de Schur du fibr� des $(1,0)$-formes}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 
Rappelons qu'�tant donn� un espace vectoriel complexe $V$ de dimension complexe $r$, les repr�sentations irr�ductibles de $GL_{_\C}(V)$ sont en correspondance biunivoque avec le plus haut poids $\lambda =(\lambda _1, ...\lambda _r),\,\lambda _1\geq \lambda _2\geq ...\geq \lambda _r$ de la repr�sentation d'un sous-tore maximal $T^r\simeq (\C^*)^r<GL_{_\C}(V)$, $(t_1,...,t_r)\mapsto t_1^{\lambda _1}\cdot \cdot\cdot t_r^{\lambda _r}$. On note $S^{\lambda}V$ l'espace de la repr�sentation associ�e, qu'on appelle puissance de Schur associ�e au poids $\lambda$. On a par exemple 
\begin{eqnarray*}
&\displaystyle{
S^{(m,0,...,0)}V=S^mV }&\mbox{puissance sym�trique usuelle}
\\
&\displaystyle{
S^{(1,1,...,1,0,...,0)}V=\Lambda ^kV  }&  \mbox{puissance ext�rieure}. 
\end{eqnarray*}  
Nous renvoyons le lecteur aux ouvrages classiques de \cite{Fu-Ha} pour une explication d�taill� de la notion de puissance de Schur.
\\
\\
Consid�rons maintenant les connexions de type $(0,1)$ 
$$
\bar{\partial}_{_{J,p} } :=(-1)^p\bar{\partial}_{_{J}}
:{\cal E}^{p,0}_{_{X,J} }
\longrightarrow {\cal E}^{p,0}_{_{X,J} }\otimes_{_{{\cal E}(\C)}}{\cal E}^{0,1}_{_{X,J} } 
$$
sur les fibr�s $\Lambda ^{p,0}_{_J}T_X^*$. De fa�on explicite les connections $\bar{\partial}_{_{J,p} }$ sont d�finies par les formules
\begin{eqnarray}\label{(0,1)conn-sur-(p,0)} 
&\displaystyle{
\left<\bar{\partial}_{_{J,p} }\omega (\eta), \xi _1,...,\xi _p\right>:=\bar{\partial}_{_{J} }\omega (\eta, \xi _1,...,\xi _p)}&\nonumber
\\\nonumber
\\
&\displaystyle{=\eta\,.\,\omega (\xi _1,...,\xi _p)+\sum_{1\leq l \leq p}(-1)^l\omega ([\eta, \xi _l]^{1,0}, \xi _1,...,\widehat{\xi _l},..., \xi _p)}& 
\end{eqnarray}
pour tout $\omega \in {\cal E}^{p,0}_{_{X,J} }(U),\,\eta\in{\cal E}(T^{0,1}_{X,J})(U)$ et 
$\xi _1,...,\xi _p\in{\cal E}(T^{1,0}_{X,J})(U)$. Bien �videment dans le cas complexe int�grable les faisceaux de ${\cal O}_{X,J}$-modules 
$
\Omega^p_{X,J}\equiv {\cal O}(\Lambda ^{p,0}_{_J}T_X^*):=\Ker\bar{\partial}_{_{J,p} }
$
sont localement libres et donnent une structure de fibr� vectoriel holomorphe aux fibr�s  $\Lambda ^{p,0}_{_J}T_X^*$. De plus on a l'identit�
$$
\bar{\partial}_{_{J,p}}=\I_{_{\Omega^p _{X,J}}} \otimes_{_{{\cal O}_X } } \bar{\partial}_{_{J} }.
$$
Dans le cas presque complexe, en �tendant la connexion $\bar{\partial}_{_{J,1}}$  � toutes les puissances de Schur $F^{\lambda }_{_{J}}:=S^{\lambda }\Lambda ^{1,0}_{_J}T_X^* $ on obtient des connections de type $(0,1)$ canoniques 
$$
\bar{\partial}_{{F^{\lambda }_{_{J}} } }: {\cal E}(F^{\lambda  }_{_{J}}) \longrightarrow {\cal E}(\Lambda ^{0,1}_{_J}T^*_{X}\otimes_{_{\C}}F^{\lambda  }_{_{J}})
$$
sur les fibr�s $F^{\lambda }_{_{J}}$.
De fa�on analogue, la connexion  induite sur $T^*_{X,J}$ par $\bar{\partial}_{_{J,1}}$ gr�ce au $\C$-isomorphisme canonique de $\Lambda ^{1,0}_{_J}T_X^* $ avec $T^*_{X,J}$ peut �tre �tendue aux puissances de Schur $S^{\lambda }T^*_{X,J}$. Pour simplifier nous d�signerons aussi $S^{\lambda }T^*_{X, J}$ par $F^{\lambda }_{_{J}}$. Les d�finitions pr�c�dentes sont compatibles avec les d�finitions classiques de la g�om�trie complexe. En effet dans le cas complexe int�grable les fibr�s $F^{\lambda }_{_{J}}$ admettent une structure holomorphe canonique donn� par le faisceau des sections holomorphes 
${\cal O}(F^{\lambda  }_{_{J}})$, qui est d�finie de fa�on naturelle � partir du faisceau  $\Omega^1 _{X,J}$. La connexion canonique de type $(0,1)$ sur le fibr� $F^{\lambda }_{_{J}}$ induite par le faisceau ${\cal O}(F^{\lambda }_{_{J}})$ 
$$
\I_{_{{\cal O}( F^{\lambda }_{_{J}}  )}} \otimes_{_{{\cal O}_X } } \bar{\partial}_{_{J} }
$$
co�ncide �videment avec la connexion $\bar{\partial}_{{F^{\lambda }_{_{J}} }}$ induite par la connexion 
$
\bar{\partial}_{_{J,1}}
$
et de plus on a toujours l'�galit� �vidente 
$$
{\cal O}(F^{\lambda }_{_{J}})=\Ker\,\bar{\partial}_{{F^{\lambda }_{_{J}} }}.
$$
Dans le cas d'une vari�t� complexe int�grable on a donc le diagramme commutatif suivant.
\begin{diagram}[height=1cm,width=1cm]
\Omega^1 _{X,J}               &\longleftrightarrow &             \bar{\partial}_{_{J,1}}
\\
\dTo&                                                   &\dTo&  
\\
{\cal O}(F^{\lambda }_{_{J}})   &\longleftrightarrow &\bar{\partial}_{{F^{\lambda }_{_{J}} }}
\end{diagram}  
Dans le cas presque complexe non int�grable le faisceau ${\cal O}_X:=\Ker \bar{\partial}_{_{J}}$ est un faisceaux de fonctions constantes pour un choix g�n�rique de structure presque complexe $J$ non int�grable. Il suffit de prendre par example une structure fortement non int�grable. On rappelle qu'une structure presque complexe est dit fortement non-int�grable si le fibr� tangent est engendr� ponctuellement par les crochets des champs de vecteurs de type $(0,1)$. D'autre part dans cette situation il n'existe pas de rep�res locaux complexes $(\alpha  _k)_k\in {\cal E}(\Lambda ^{1,0}_{_J}T_X^*)^{\oplus n} (U)$ tels que 
$\bar{\partial}_{_{J,1}}\,\alpha _k\equiv 0$ sur l'ouvert $U$ pour tout $k=1,...,n$, car sinon ceci entra�nerait que le fibr� $\Lambda ^{1,0}_{_J}T_X^*$ est plat, ce qui n'est pas toujours le cas pour une vari�t� presque complexe.  Un tel ph�nom�ne peut �tre aussi envisag� pour les fibr�s 
$F^{\lambda }_{_{J}}$ et la connection canonique $\bar{\partial}_{{F^{\lambda }_{_{J}} }}$.
\\
Cependant la connexion $\bar{\partial}_{{F^{\lambda }_{_{J}} }}$ induit une structure holomorphe canonique sur toutes les restrictions 
$F^{\lambda }_{_{J}\,|_{\gamma (\Sigma)}}$ du fibr� $F^{\lambda }_{_{J}}$ aux images des plongements $(j,J)$-holomorphes $\gamma :(\Sigma,j)\longrightarrow (X,J)$ d'une courbe holomorphe lisse $\Sigma\subset \C^m$. En effet la restriction
$$
\bar{\partial}_{ F^{\lambda }_{_{J}} |\gamma (\Sigma) }: {\cal E}\Big(F^{\lambda }_{_{J}\,|_{\gamma (\Sigma)}} \Big) \longrightarrow {\cal E}\Big(\Lambda ^{0,1}_{_J}T^*_{\gamma (\Sigma)}\otimes_{_{\C}} F^{\lambda }_{_{J}\,|_{\gamma (\Sigma)}}\Big)
$$
 de la connexion $\bar{\partial}_{{F^{\lambda }_{_{J}} }}$ est bien �videment int�grable �tant donn� que $\Lambda ^{0,2}_{_J}T^*_{\gamma (\Sigma)} =0$. La structure holomorphe canonique sur le fibr� $F^{\lambda }_{_{J}\,|_{\gamma (\Sigma)}}$ est alors donn� par la formule 
$$
{\cal O}\Big(F^{\lambda }_{_{J}\,|_{\gamma (\Sigma)}} \Big):=\Ker \Big(\bar{\partial}_{ F^{\lambda }_{_{J}} |\gamma (\Sigma) }\Big). 
$$
Soit $h$ une m�trique hermitienne quelconque sur $F^{\lambda }_{_{J}}$. On d�finit alors la connexion de Chern $D^{h}_{{F^{\lambda  }_{_{J}} } }$ comme �tant l'unique connexion hermitienne sur $F^{\lambda  }_{_{J}}$ telle que 
$$
(D^{h}_{{F^{\lambda }_{_{J}} } })^{0,1}=\bar{\partial}_{{F^{\lambda}_{_{J}} } }.
$$
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Expression locale des op�rateurs $\partial_{_J },\,\bar{\partial}_{_J },\,\theta_{_J }$ et $\bar{\theta }_{_J }$.}%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 
Soit $(\zeta _k)_{k} \in{\cal E}(T^{1,0}_{X,J})^{\oplus n}(U)$ un rep�re locale du fibr� $T^{1,0}_{X,J}$ et $M^k,N^k,U^k,V^k\in M_n({\cal E}(U))$ 
les $n\times n$-matrices d�finies par les relations
\begin{align*}
[\bar{\zeta }_j,\bar{\zeta }_r]^{1,0}_{_{J} }=\sum_{k=1}^n\,N^k_{j,r}\,\zeta _k    &\qquad \qquad  
 [\bar{\zeta }_j,\bar{\zeta }_r]^{0,1} _{_{J} }=\sum_{k=1}^n\,M^k_{j,r}\,\bar{\zeta}_k \\
[ \zeta_j
 ,\zeta_r]^{1,0}_{_{J}}=\sum_{k=1}^n\,\overline{M}^k_{j,r}\,\zeta _k
&  \qquad\qquad  [\zeta _j,\zeta _r]^{0,1}_{_{J}}=\sum_{k=1}^n\,\overline{N}^k_{j,r}\,\bar{\zeta}_k \\
[\zeta_j,\bar{\zeta}_r]^{1,0}_{_{J}}=\sum_{k=1}^n\,U^k_{j,r}\,\zeta _k
 &\qquad\qquad  [\zeta_j,\bar{\zeta}_r]_{_{J}}^{0,1} =\sum_{k=1}^n\,V^k_{j,r}\,\bar{\zeta}_k
\end{align*}
On a les relations $M^k_{j,r}=-M^k_{r,j},\,N^k_{j,r}=-N^k_{r,j}$ et $V^k_{j,r}=-\overline{U}^k_{r,j}$. De plus on a l'expression locale
\begin{eqnarray*}
&\displaystyle{\tau_{_{J}}=\sum_{1\leq k<l\leq n}[\zeta _k,\zeta _l]^{0,1}_{_{J}}\otimes \zeta ^*_k\wedge\zeta ^*_l 
=\sum_{\substack{1\leq k<l\leq n
\\
\\
1\leq r\leq n }}\overline{N}^r_{k,l}\, \zeta ^*_k\wedge\zeta ^*_l \otimes \bar{\zeta}_r }&
\end{eqnarray*}
pour la forme de torsion de la structure presque complexe $J$. On rappelle que les �l�ments de l'espace vectoriel 
$\Lambda ^{p,q}_{_J}T_{X,x} ^*\otimes_{_{\C}} T_{X,J,x}$ s'identifient naturellement avec les �l�ments du type $u+\bar{u},\,u\in\Lambda^{p,q}_{_J}T_{X,x} ^*\otimes_{_{\C}} T^{1,0} _{X,J,x}$.
On introduit maintenant une notation tr�s utile pour la suite. Soit $(\zeta _k)_{k} \in(T^{1,0}_{X,J,x})^{\oplus n}$ un rep�re. Alors 
$(\zeta _k+\bar{\zeta }_k)_{k} \in(T_{X,J,x})^{\oplus n}$ est un rep�re complexe de l'espace vectoriel $(T_{X,x},J_x)$. On notera  
$$
c\times_{_{J} }\zeta _k:=c\cdot \zeta _k+\bar{c}\cdot \bar{\zeta }_k
$$
l'op�ration de produit d'un scalaire $c\in \C$ avec le vecteur r�el $\zeta _k+\bar{\zeta }_k\in T_{X,x}$. Si $\alpha \in \Lambda ^{p,q}_{_J}T_{X,x} ^*$ on notera 
$$
\alpha \otimes_{_{J}}\zeta _k:=\alpha \otimes \zeta _k+\bar{\alpha }\otimes \bar{\zeta }_k
$$ 
la $(p,q)$-forme � valeurs dans l'espace vectoriel $T_{X,J,x}$. Avec ces notations on aura par exemple l'expression locale suivante pour le tenseur de Nijenhuis
\begin{eqnarray*}
&\displaystyle{N_{_{J}}=\sum_{\substack{1\leq k<l\leq n
\\
\\
1\leq r\leq n }} N^r_{k,l}\,\bar{\zeta}^*_k\wedge \bar{\zeta}^*_l\otimes_{_{J}}\zeta _r=\sum_{1\leq k,l,r\leq n} N^r_{k,l}\,\bar{\zeta}^*_k\otimes \bar{\zeta}^*_l\otimes_{_{J}}\zeta _r}.& 
\end{eqnarray*}
Si $f$ est une fonction on a 
$\partial_{_J }f=\sum_{k=1}^n\,(\zeta_k\,. f)\,\zeta ^*_k\,,\; \bar{\partial}_{_J }f=\sum_{k=1}^n\,(\bar{\zeta}_k\,. f)\,\bar{\zeta}^*_k\,,\;\theta_{_J }f=0$ et $\bar{\theta }_{_J }f=0$.
De plus en utilisant les expressions intrins�ques des op�rateurs $\partial_{_J },\,\bar{\partial}_{_J },\,\theta_{_J }$ et $\bar{\theta }_{_J }$ on a les expressions
\begin{align*}
\partial_{_J }\zeta _k^*=-\sum_{1\leq l<t\leq n}
\overline{M}^k_{l,t}\,\zeta _l^*\wedge\zeta _t^* &\qquad\qquad
\partial_{_J }\bar{\zeta}^*_k= \sum_{1\leq l,t\leq n} \overline{U}^k_{t,l}\,  \zeta _l^*\wedge\bar{\zeta}^*_t\\
\bar{\partial}_{_J }\zeta _k^*=-\sum_{1\leq l,t\leq n}U^k_{l,t} \,  \zeta _l^*\wedge\bar{\zeta}^*_t&\qquad\qquad
\bar{\partial}_{_J }\bar{\zeta}^*_k=-\sum_{1\leq l<t\leq n} M^k_{l,t}\,\bar{\zeta}_l^*\wedge\bar{\zeta}_t^*\\
\theta_{_J }\bar{\zeta}^*_k=  \sum_{1\leq l<t\leq n} \overline
{N}^k_{l,t}\,\zeta _l^*\wedge\zeta _t^*&\qquad\qquad
\bar{\theta }_{_J } \zeta ^*_k= \sum_{1\leq l<t\leq n} N^k_{l,t} \,\bar{\zeta}_l^*\wedge\bar{\zeta}_t^*     
\end{align*} 
Soit 
$$
u=\sum_{\substack{|K|=p
\\
\\
|L|=q} }\,u_{_{K,L} }\,\zeta ^*_{_{K} }\wedge  \bar{\zeta}^*_{_{L} } 
$$
une $(p,q)$-forme par rapport � la structure presque complexe $J$. Le fait que l'op�rateur  $T:=\partial_{_J },\,\bar{\partial}_{_J },\,\theta_{_J }$ o� $\bar{\theta }_{_J }$ v�rifie la r�gle de Leibnitz implique l'�galit�
$$
Tu=\sum_{\substack{|K|=p
\\
\\
|L|=q} }\Big(Tu_{_{K,L} }\wedge \zeta ^*_{_{K} }\wedge  \bar{\zeta}^*  _{_{L} }+
\sum_{j=1}^p(-1)^{j-1}u_{_{K,L} }T\zeta ^*_{k_j} \wedge\zeta ^*_{_{\hat{K}_j} }\wedge  \bar{\zeta}^*  _{_{L} }  
+
\sum_{j=1}^q(-1)^{p+j-1}u_{_{K,L} }T\bar{\zeta}^*_{l_j} \wedge\zeta ^*_{_{K} }\wedge  \bar{\zeta}^*  _{_{\hat{L}_j} }     \Big),
$$ 
o� $\hat{K}_j:=(k_1,...,\hat{k}_j,...,k_p)$ et analoguement pour $\hat{L}_j$. On d�duit alors les expressions locales
\begin{eqnarray}
&\displaystyle{\partial_{_J }u=\sum_{\substack{|K|=p
\\
\\
|L|=q} }\Big(\sum_{1\leq r\leq n}\,(\zeta _r\,.u_{_{K,L} })\,\zeta ^*_r\wedge\zeta ^*_{_{K} }\wedge  \bar{\zeta}^*  _{_{L} } +\sum _{\substack{1\leq j\leq p
\\
\\
1\leq r<t\leq n} }(-1)^{j}u_{_{K,L} } \cdot \overline{M}^{k_j}_{r,t}\,\zeta ^*_r\wedge\zeta ^*_t\wedge \zeta ^*_{_{\hat{K}_j} }\wedge  \bar{\zeta}^*  _{_{L} }            }&\nonumber
\\\nonumber
\\
&\displaystyle{-(-1)^p\sum _{\substack{1\leq j\leq q
\\
\\
1\leq r,t\leq n} }(-1)^{j}u_{_{K,L} } \cdot \overline{U}^{l_j}_{t,r}\,\zeta ^*_r\wedge\bar{\zeta}^*_t \wedge\zeta ^*_{_{K} }\wedge  \bar{\zeta}^*  _{_{\hat{L}_j} }    \Big)  }&\label{locdel} 
\\\nonumber
\\\nonumber
\\
&\displaystyle{\bar{\partial}_{_J }u=\sum_{\substack{|K|=p
\\
\\
|L|=q} }\Big(\sum_{1\leq r\leq n}\,(\bar{\zeta}_r\,.u_{_{K,L} })\,\bar{\zeta} ^*_r\wedge\zeta ^*_{_{K} }\wedge  \bar{\zeta}^*  _{_{L} } +\sum _{\substack{1\leq j\leq p
\\
\\
1\leq r,t\leq n} }(-1)^{j}u_{_{K,L} } \cdot U^{k_j}_{r,t}\,\zeta ^*_r\wedge\bar{\zeta}^*_t\wedge \zeta ^*_{_{\hat{K}_j} }\wedge  \bar{\zeta}^*  _{_{L} }            }&\nonumber
\\\nonumber
\\
&\displaystyle{+(-1)^p\sum _{\substack{1\leq j\leq q
\\
\\
1\leq r<t\leq n} }(-1)^{j}u_{_{K,L} } \cdot M^{l_j}_{r,t}\, \bar{\zeta}^*_r\wedge\bar{\zeta}^*_t \wedge\zeta ^*_{_{K} }\wedge  \bar{\zeta}^*  _{_{\hat{L}_j} }    \Big)  }&\label{locdelbar} 
\\\nonumber
\\
&\displaystyle{\theta_{_J } u=-(-1)^p\sum_{\substack{|K|=p
\\
\\
|L|=q} }\sum _{\substack{1\leq j\leq q
\\
\\
1\leq r<t\leq n} }(-1)^{j}u_{_{K,L} } \cdot \overline{N}^{l_j}_{r,t}\,\zeta ^*_r\wedge\zeta ^*_t\wedge \zeta ^*_{_{K} }\wedge  \bar{\zeta}^*  _{_{\hat{L}_j} }  }&\label{loctors} 
\end{eqnarray} 
\begin{eqnarray}
&\displaystyle{\bar{\theta }_{_J }u= -\sum_{\substack{|K|=p
\\
\\
|L|=q} }\sum _{\substack{1\leq j\leq p
\\
\\
1\leq r<t\leq n} }(-1)^{j}u_{_{K,L} } \cdot N^{k_j}_{r,t}  \, \bar{\zeta}^*_r\wedge\bar{\zeta}^*_t\wedge\zeta ^*_{_{\hat{K}_j} }\wedge  \bar{\zeta}^*  _{_{L} } }&\label{loctorsbar}
\end{eqnarray}  
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Relation entre la connexion de Chern du fibr� tangent $T_{X,J}$ d'une vari�t� presque complexe et la connection de Levi-Civita} 
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\begin{defi}
%Soit $F\longrightarrow (X,J)$ un fibr� vectoriel complexe $\ci$ sur une vari�t� presque complexe $(X,J)$. On dit que le fibr� $F\longrightarrow (X,J)$ admet une structure $\nabla_{{F,h}}$-presque-holomorphe si il existe une m�trique hermitienne $h\in{\cal E}(F^*\otimes_{_{\C}}\overline{F}^* )(X)$ et une connexion $h$-hermitienne $\nabla_{{F,h}}$ sur le fibr� $F$ telle que $\Theta (\nabla_{{F,h}})^{0,2}_{_{J}}=0$.
%\end{defi}  
Pour $p=1$ la d�finition \eqref{(0,1)conn-sur-(p,0)} de la connexion $\bar{\partial}_{_{J,1}}$ s'�crit sous la forme
$$
\bar{\partial}_{_{J,1}}\alpha (\eta)\cdot \xi =\eta\,.\,\alpha (\xi )-\alpha ([\eta,\xi ]^{1,0}) 
$$
pour tout $\alpha \in {\cal E}^{1,0}_{_{X,J}}(U),\,\eta \in{\cal E}(T^{0,1}_{X,J})(U) $ et $\xi \in{\cal E}(T^{1,0}_{X,J})(U)$. La connexion duale
$$
\bar{\partial}_{_{T^{1,0} _{X,J} } }: {\cal E}(T^{1,0} _{X,J}) \longrightarrow {\cal E}(\Lambda ^{0,1}_{_J}T^*_{X}\otimes_{_{\C}}T^{1,0} _{X,J})
$$
sur le fibr� $T^{1,0} _{X,J}$, d�finie par la formule 
$$
(\bar{\partial}_{_{J,1}}\alpha)\cdot\xi =
\bar{\partial}_{_{J}}(\alpha \cdot \xi )-\alpha \cdot \bar{\partial}_{_{T^{1,0} _{X,J} } }\xi 
$$
v�rifie alors l'identit� 
$$
\bar{\partial}_{_{T^{1,0} _{X,J} } }\xi (\eta)=[\eta,\xi ]^{1,0}.
$$
Soit $(\zeta _k)_{k} \in{\cal E}(T^{1,0}_{X,J})^{\oplus n}(U)$ un rep�re local du fibr� $T^{1,0}_{X,J}$ et $A''_{_{J} }=\sum_r(A''_{_{J} })^r\,\bar{\zeta}^*_r$ la forme de connexion de $\bar{\partial}_{_{T^{1,0} _{X,J} } }$ par rapport au rep�re en question. On a alors
$$
\bar{\partial}_{_{T^{1,0} _{X,J} }}\zeta _j(\bar{\zeta}_r)=-[\zeta _j,\bar{\zeta}_r]^{1,0}=
\sum_k(A''_{_{J} })_{k,j}(\bar{\zeta}_r)\zeta _k=-\sum_k\,U^k_{j,r}\,\zeta _k.   
$$
On d�duit alors la formule $(A''_{_{J} })^r_{k,j}=-U^k_{j,r}$.
En utilisant l'isomorphisme $\C$-lin�aire canonique du fibr� $T^{1,0} _{X,J}$ avec le fibr� tangent $T_{X,J}$ on d�duit la  connexion de type $(0,1)$ canonique 
$$
\bar{\partial}_{_{T_{X,J}}}: {\cal E}(T_{X,J}) \longrightarrow {\cal E}(\Lambda ^{0,1}_{_J}T^*_{X}\otimes_{_{\C}}T_{X,J})
$$
du fibr� tangent $T_{X,J}$. De fa�on explicite on a pour tout champ de vecteurs r�els $\xi ,\,\eta\in{\cal E}(T_X) (U)$ l'expression suivante :
\begin{eqnarray*}
&\displaystyle{
\bar{\partial}_{_{T_{X,J}}}\xi (\eta)=\bar{\partial}_{_{T_{X,J}}}\xi (\eta^{0,1})=
[\eta^{0,1} \xi ^{1,0} ]^{1,0}+[\eta^{1,0} ,\xi^{0,1}]^{0,1}}&
\\
\\
&\displaystyle{=\frac{1}{4}\Big([\eta,\xi ]+[J\eta,J\xi ]+J[J\eta,\xi ]-J[\eta,J\xi ]\Big)}.& 
\end{eqnarray*}  
Soit $\omega \in {\cal E}(\Lambda ^{1,1}_{_J}T_X^*)(X)$ une m�trique hermitienne sur $T_{X,J}$. On d�signera par
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
$$
D^{\omega} _{_{J} }: {\cal E}(T_{X,J}) \longrightarrow {\cal E}(T^*_X\otimes_{_{\R}}T_{X,J})$$
la connexion de Chern du fibr�  hermitien $(T_{X,J},\omega )$, autrement dit l'unique connexion $\omega$-hermitienne telle que 
$$
(D^{\omega} _{_{J}})^{0,1}=\bar{\partial}_{_{T_{X,J}}}.
$$ 
Consid�rons maintenant la m�trique riemannienne $J$-invariante associ�e $g:=\omega (\cdot,J\cdot)\in{\cal E}(S^2_{_{\R} }T^*_X)(X)$. On d�signe par
$$
\nabla^g:{\cal E}(T_X) \longrightarrow {\cal E}(T^*_X\otimes_{_{\R}}T_X)
$$
la connexion de Levi-Civita relative � la m�trique riemannienne $g$.
Dans la suite on aura besoin de consid�rer la d�composition
$$
\Lambda ^k_{_{\R} } T_X^*\otimes_{_{\R}}T_{X,J} \simeq_{_{\C} }  \Lambda ^k_{_{\C} }(T_X\otimes_{_{\R}}\C)^*\otimes_{_{\C} }T_{X,J}\simeq_{_{\C} } \bigoplus_{p+q=k}   \Lambda^{p,q}_{_J}T_X^*\otimes_{_{\C}}T_{X,J}. 
$$
Le th�or�me suivant relie la connexion de Levi-Civita avec une connexion fondamentale de la g�om�trie presque complexe. Une autre formule peut �tre trouve dans \cite{Gau}. 
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%                    THEOREME   CONNEXION DE CHERN          %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{theo}\label{teorconchern}
Soit $(X,J)$ une vari�t� presque complexe, $\omega \in {\cal E}(\Lambda ^{1,1}_{_J}T_X^*)(X)$ une m�trique hermitienne sur $T_{X,J}$ et $g:=\omega (\cdot,J\cdot)\in{\cal E}(S^2_{_{\R} }T^*_X)(X)$ la m�trique riemannienne $J$-invariante associ�e � $\omega$. Il existe deux tenseurs r�els
$$
\delta_{_{J} } \omega   \in {\cal E}((T_X^*)^{\otimes 2} \otimes_{_{\R}}T_X)(X)
\quad
\mbox{et} 
\quad
N^{\omega} _{_J}\in {\cal E}((T^{0,1}_{X,J})^{*,\otimes 2} \otimes_{_{\C}} T_{X,J})(X)
$$
tels que $d\omega =0$ si et seulement si $\delta_{_{J} } \omega =0$; $N_{_{J} }=0 $ si et seulement si $N^{\omega} _{_J}=0$. La connexion de Chern $D^{\omega} _{_{J} }$ du fibr� hermitien $(T_{X,J},\omega )$ est reli� � la connection de Levi-Civita $\nabla^g$ par la formule
\begin{eqnarray}\label{Formu-Chern-LCivi}  
D^{\omega} _{_{J},\,\xi  }\,\eta:=\nabla^g_{\xi }\,\eta +\delta_{_{J} } \omega(\xi ,\eta)-N^{\omega} _{_J}(\xi ,\eta)
\end{eqnarray}
pour tout champ de vecteurs r�els $\xi ,\,\eta\in{\cal E}(T_X) (U),\,(U\subseteq X \mbox{ouvert arbitraire}) $. Le $2$-tenseur r�el $\delta_{_{J} } \omega$ est d�fini par la formule
$$
2\delta_{_{J} } \omega(\xi ,\eta):=\Big[\gamma^{2,0}_{_{\omega ,J}}+
\gamma^{0,2}_{_{\omega ,J}}\Big](\xi ,\eta)+J\gamma^{1,1} _{_{\omega ,J}}(\xi ,J\eta)
$$
o� 
$$
\gamma^{2,0}_{_{\omega ,J}}\in {\cal E}(\Lambda^{2,0}_{_J}T_X^*\otimes_{_{\C}}T_{X,J} )(X),\;
\gamma^{1,1} _{_{\omega ,J}}\in {\cal E}(\Lambda ^{1,1}_{_J}T_X^*\otimes_{_{\C}}T_{X,J}  )(X)\;\mbox{et} \; 
\gamma^{0,2}_{_{\omega ,J}}\in {\cal E}(\Lambda^{0,2}_{_J}T_X^*\otimes_{_{\C}}T_{X,J} )(X)
$$ 
sont les composantes, $($par rapport � la structure presque complexe $J$$)$ de la $2$-forme r�elle 
\\
$\gamma_{_{\omega}}\in {\cal E}(\Lambda ^2T_X^*\otimes_{_{\R}}T_X)(X)$ d�finie par la formule 
$$
\omega (\gamma_{_{\omega}}(\xi ,\eta),\mu )=d\omega (\xi ,\eta,\mu )
$$
pour tout champ de vecteurs r�els
$\xi ,\eta,\mu\in {\cal E}(T_X)(X)$. Enfin le $(0,2)$-tenseur r�el $N^{\omega} _{_J}$ est d�finie par la formule $N^{\omega} _{_J}:=\tau^{\omega} _{_J}+\bar{\tau}^{\omega} _{_J}$ o�
$$
\tau^{\omega} _{_J}\in {\cal E}((T^{0,1}_{X,J})^{*,\otimes 2} \otimes_{_{\C}} T^{1,0}_{X,J})(X)
$$ 
est
le $(0,2)$-tenseur d�fini par la formule
$$
\omega (\tau^{\omega} _{_J}(\xi ,\eta),\mu )=\omega (\xi ,[\eta,\mu]^{1,0})
$$
pour tout $(0,1)$-champ de vecteurs $\xi ,\,\eta,\,\mu \in{\cal E}(T^{0,1}_{X,J})(X)$. La forme de torsion ${\cal T} _{D^{\omega} _{_{J} }}$ de la connexion de Chern $D^{\omega} _{_{J} }$ v�rifie l'identit�
\begin{eqnarray}\label{For-Tor-Ch-LC}  
{\cal T} _{D^{\omega} _{_{J} }}(\xi ,\eta)=
-\Big[\gamma^{2,0}_{_{\omega ,J}}+\gamma^{0,2}_{_{\omega ,J}}\Big](\xi ,\eta)-N^{\omega} _{_J}(\xi ,\eta)+N^{\omega} _{_J}(\eta,\xi ).
\end{eqnarray}
Si $N_{_{J} }=0$ alors $\gamma^{0,2}_{_{\omega ,J}}=0$. 
\end{theo}  
$Preuve$
\\
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
{\bf Expression  de la connexion de Chern $D^{\omega} _{_{J}}$ du fibr� hermitien $(T_{X,J},\omega )$.}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\\
Soit $h_{\omega}$ la forme hermitienne sur le fibr� $T_{X,J}$ associ�e � $\omega$. On rappelle qu'elle est d�finie par la formule $h_{\omega}(\xi ,\eta):=\omega (\xi ,J\eta)-i\omega (\xi ,\eta)$. La connexion de Chern $D^{\omega} _{_{J}}$ est d�finie par les formules
\begin{eqnarray}\label{Def-Chern}
&\displaystyle{
D^{\omega} _{_{J},\,\xi  }\,\eta=D^{\omega} _{_{J},\,\xi^{1,0}}\,\eta+\bar{\partial}_{_{T_{X,J}}}\eta (\xi^{0,1}),}&\nonumber
\\\nonumber
\\ 
&\displaystyle{
h_{\omega}(D^{\omega} _{_{J},\,\xi^{1,0}}\,\eta\,,\,\mu)=\xi ^{1,0}.\,h_{\omega} (\eta,\mu)-h_{\omega}(\eta,\bar{\partial}_{_{T_{X,J}}}\eta (\xi^{0,1}))}&  
\end{eqnarray}
pour tout champ de vecteurs r�els $\xi ,\,\eta,\,\mu \in{\cal E}(T_X)(U)$. L'identit�
$h_{\omega}(\xi ,\eta)=h_{\omega}(\xi^{1,0}  ,\eta^{0,1} )=-2i\omega(\xi^{1,0}  ,\eta^{0,1} )$ et la d�finition de la connexion canonique $\bar{\partial}_{_{T_{X,J}}}$ montrent que la formule \ref{Def-Chern} est �quivalente � la formule
$$
\omega(D^{\omega} _{_{J},\,\xi^{1,0}}\,\eta\,,\,\mu^{0,1} )=\xi ^{1,0}.\,\omega (\eta^{1,0},\mu ^{0,1})
-\omega (\eta^{1,0},[\xi ^{1,0}, \mu ^{0,1}]^{0,1}) 
$$
On obtient en conclusion que la connexion de Chern peut �tre d�finie par la formule
\begin{eqnarray}\label{Def-Chern-Expl}
\omega(D^{\omega} _{_{J},\,\xi}\,\eta\,,\,\mu^{0,1} )=\xi ^{1,0}.\,\omega (\eta^{1,0},\mu ^{0,1})
-\omega (\eta^{1,0},[\xi ^{1,0}, \mu ^{0,1}]^{0,1})+\omega ([\xi ^{0,1},\eta^{1,0}]^{1,0},\mu^{0,1})
\end{eqnarray}
pour tout champ de vecteurs r�els $\xi ,\,\eta,\,\mu \in{\cal E}(T_X)(U)$.
\\
\\
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
{\bf{Expression de la connexion de Levi-Civita $\nabla^{g}$.}} 
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\\
La  connexion de Levi-Civita
$
\nabla^g:{\cal E}(T_X) \longrightarrow {\cal E}(T^*_X\otimes_{_{\R}}T_X)
$
est d�finie par la formule classique
\begin{eqnarray*} 
&\displaystyle{
2g(\nabla^g_{\xi }\,\eta,\mu )=\xi \,.g(\eta,\mu )-\mu \,.g(\xi ,\eta)+\eta\,.g(\mu ,\xi)}&
\\
\\
&\displaystyle{-g(\xi ,[\eta,\mu ])+g(\mu ,[\xi ,\eta])+g(\eta,[\mu ,\xi ])}& 
\end{eqnarray*}  
pour tout champ de vecteurs r�els $\xi, \,\eta,\,\mu \in {\cal E}(T_X)(U)$. Bien �videmment la d�finition pr�c�dente est �quivalente � la formule
\begin{eqnarray}\label{Levi-Civita} 
&\displaystyle{
2\omega (\nabla^g_{\xi }\,\eta,-i\mu^{0,1})=\xi \,.\,\omega (\eta^{1,0} ,-i\mu^{0,1})
-\mu^{0,1} .\,\omega (\xi ,J\eta)+\eta\,.\,\omega (\mu^{0,1},i\xi^{1,0} )}&\nonumber
\\\nonumber
\\
&\displaystyle{-\omega(\xi ,J[\eta,\mu^{0,1}])+\omega(\mu^{0,1},i[\xi ,\eta]^{1,0})
+\omega(\eta,J[\mu^{0,1},\xi]).}& 
\end{eqnarray}
\\
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
{\bf{Expression des $2$-tenseurs 
$\gamma^{2,0} _{_{\omega ,J}},\,\gamma^{1,1} _{_{\omega ,J}}(\cdot , J\cdot)$ et $\gamma^{0,2}_{_{\omega ,J}}$.} } 
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\\
On rappelle que les �l�ments de l'espace vectoriel 
$\Lambda ^{p,q}_{_J}T_{X,x} ^*\otimes_{_{\C}} T_{X,J,x}$ s'identifient naturellement avec les �l�ments du type $u+\bar{u},\,u\in\Lambda ^{p,q}_{_J}T_{X,x} ^*\otimes_{_{\C}} T^{1,0} _{X,J,x}$, (voir la section \ref{Con-presq-compl}). On a donc les identit�es
$$
\gamma^{2,0} _{_{\omega ,J}}=\hat{\gamma}^{2,0} _{_{\omega ,J}}+\overline{\hat{\gamma}^{2,0} _{_{\omega ,J}}} ,
\quad
\gamma^{1,1} _{_{\omega ,J}}=\hat{\gamma}^{1,1} _{_{\omega ,J}} +\overline{\hat{\gamma}^{1,1} _{_{\omega ,J}}},
\quad 
\gamma^{0,2}_{_{\omega ,J}}=\hat{\gamma}^{0,2}_{_{\omega ,J}}+\overline{\hat{\gamma}^{0,2}_{_{\omega ,J}}}, 
$$
sur $T_X$, avec 
$$
\hat{\gamma}^{2,0}_{_{\omega ,J}}\in {\cal E}(\Lambda^{2,0}_{_J}T_X^*\otimes_{_{\C}}T^{1,0} _{X,J} )(X),\;
\hat{\gamma}^{1,1} _{_{\omega ,J}}\in {\cal E}(\Lambda ^{1,1}_{_J}T_X^*\otimes_{_{\C}}T^{1,0}_{X,J}  )(X)\;
\mbox{et} 
\; 
\hat{\gamma}^{0,2}_{_{\omega ,J}}\in {\cal E}(\Lambda^{0,2}_{_J}T_X^*\otimes_{_{\C}}T^{1,0}_{X,J} )(X).
$$ 
La d�composition 
$d\omega =\partial_{_J }\omega +\bar{\partial}_{_J }\omega -\theta_{_J }\omega -
\bar{\theta }_{_J }\omega $ implique alors les identit�es
\begin{eqnarray*}
&\displaystyle{
\omega (\hat{\gamma}^{2,0}_{_{\omega ,J}}(\xi,\eta ),\mu^{0,1})=
\omega (\hat{\gamma}^{2,0}_{_{\omega ,J}}(\xi^{1,0} ,\eta^{1,0} ),\mu^{0,1})=
\partial_{_J }\omega(\xi^{1,0} ,\eta^{1,0} ,\mu^{0,1}),}&
\\
\\
\\
&\displaystyle{
\omega (\hat{\gamma}^{1,1}_{_{\omega ,J}}(\xi,J\eta ),\mu^{0,1})=
\omega (\hat{\gamma}^{1,1}_{_{\omega ,J}}(\xi^{1,0} ,-i\eta^{0,1}),\mu^{0,1})+
\omega (\hat{\gamma}^{1,1}_{_{\omega ,J}}(\xi^{0,1} ,i\eta^{1,0}),\mu^{0,1})=
}&\nonumber
\\\nonumber
\\
&\displaystyle{
=\bar{\partial}_{_J }\omega(\xi^{1,0} ,-i\eta^{0,1},\mu^{0,1})+
\bar{\partial}_{_J }\omega(\xi^{0,1} ,i\eta^{1,0},\mu^{0,1}),
}&
\\
\\
\\
&\displaystyle{
\omega (\hat{\gamma}^{0,2}_{_{\omega ,J}}(\xi^{0,1} ,\eta^{0,1}),\mu^{0,1})=
-\bar{\theta }_{_J }\omega(\xi^{0,1} ,\eta^{0,1},\mu^{0,1})
}&
\end{eqnarray*}
En explicitant les formes $\partial_{_J }\omega,\,\bar{\partial}_{_J }\omega $ et 
$\bar{\theta }_{_J }\omega$ dans les identit�es pr�c�dentes on obtient les expressions suivantes
\begin{eqnarray} \label{Form-2,0} 
&\displaystyle{
\omega (\hat{\gamma}^{2,0}_{_{\omega ,J}}(\xi,\eta ),\mu^{0,1})
=\xi ^{1,0}.\,\omega (\eta^{1,0},\mu ^{0,1})-\eta^{1,0}.\,\omega (\xi^{1,0},\mu ^{0,1}) 
}&\nonumber
\\\nonumber
\\
&\displaystyle{
-\omega ([\xi^{1,0},\eta^{1,0}]^{1,0},\mu ^{0,1})  +
\omega ([\xi^{1,0},\mu ^{0,1}]^{0,1},\eta^{1,0} )-
\omega ([\eta^{1,0},\mu ^{0,1} ]^{0,1},\xi^{1,0} ),                 
}&
\end{eqnarray} 
\\
\begin{eqnarray}\label{Form-1,1}  
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
&\displaystyle{
\omega (\hat{\gamma}^{1,1}_{_{\omega ,J}}(\xi,J\eta ),\mu^{0,1})=
i\eta^{0,1}.\,\omega (\xi ^{1,0},\mu ^{0,1})-
i\mu ^{0,1}.\,\omega (\xi ^{1,0},\eta^{0,1})
}&
\nonumber
\\\nonumber
\\
&\displaystyle{
+i\xi ^{0,1}.\,\omega (\eta^{1,0},\mu ^{0,1}) -
i\mu ^{0,1}.\,\omega (\eta^{1,0},\xi ^{0,1})   
}&\nonumber
\\\nonumber
\\
&\displaystyle{
+i\omega ([\xi^{1,0},\eta^{0,1}]^{1,0} ,\mu^{0,1})-
i\omega ([\xi^{1,0},\mu ^{0,1}]^{1,0} ,\eta^{0,1})+
i\omega ([\eta^{0,1},\mu ^{0,1}]^{0,1} ,\xi^{1,0})
}&\nonumber
\\\nonumber
\\
&\displaystyle{
+i\omega ([\eta^{1,0},\xi^{0,1}]^{1,0} ,\mu^{0,1})-
i\omega ([\eta^{1,0},\mu^{0,1}]^{1,0} ,\xi^{0,1})+
i\omega ([\xi ^{0,1},\mu ^{0,1}]^{0,1} ,\eta^{1,0})
}&
\end{eqnarray}
et en fin
\begin{eqnarray}\label{Form-0,2} 
&\displaystyle{
\omega (\hat{\gamma}^{0,2}_{_{\omega ,J}}(\xi^{0,1} ,\eta^{0,1}),\mu^{0,1})=
-
\omega([\xi^{0,1},\eta^{0,1}]^{1,0},\mu^{0,1})
}&\nonumber
\\\nonumber
\\
&\displaystyle{
+
\omega([\xi^{0,1},\mu ^{0,1}]^{1,0},\eta^{0,1})-
\omega([\eta^{0,1},\mu^{0,1}]^{1,0},\xi^{0,1}).}&
\end{eqnarray}
En rempla�ant $-i\mu ^{0,1}$ � la place de $\mu ^{0,1}$ dans les identit�es \ref{Form-2,0} et \ref{Form-0,2}, en sommant les identit�es obtenues avec l'identit� \ref{Form-1,1} et en tenant compte de la formule \ref{Def-Chern-Expl} on obtient l'identit� voulue
\ref{Formu-Chern-LCivi}. Le fait que le $2$-tenseur $\gamma^{1,1} _{_{\omega ,J}}(\cdot , J\cdot)$ est sym�trique implique l'identit� \ref{For-Tor-Ch-LC} sur la forme de torsion de la connexion de Chern.\hfill$\Box$
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{La courbure de Chern des puissances de Schur du fibr� des $(1,0)$-formes}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
On a la d�finition suivante.
\begin{defi}
Le tenseur de courbure de Chern 
$$
{\cal C}_h(F^{\lambda }_{_{J}})
\in {\cal E}(\Lambda ^{1,1}_{_{J}}T^*_X
\otimes_{_{\C} } F^{\lambda,\,* }_{_{J}}\otimes_{_{\C} }F^{\lambda  }_{_{J}})(X)  
$$ 
du fibr� vectoriel hermitien $(F^{\lambda }_{_{J}},h)\longrightarrow (X,J)$ est la $(1,1)$-forme donn�e par la formule 
$$
{\cal C}_h(F^{\lambda  }_{_{J}}):=\Theta (D^{h}_{{F^{\lambda }_{_{J}} } })^{1,1}.
$$
La courbure de Chern 
$$
{\cal C}^h_{F^{\lambda }_{_{J}}}\in
 {\cal E}(\Herm(T_{X,J} \otimes_{_{\C}}F^{\lambda  }_{_{J}}))(X)   
$$
est la forme hermitienne sur le fibr� vectoriel complexe $T_{X,J} \otimes_{_{\C}}F^{\lambda  }_{_{J}}$ d�finie par la formule 
$$
{\cal C}^h_{F^{\lambda }_{_{J}}}(\xi \otimes \sigma ,\eta\otimes \tau)
:=h({\cal C}_h(F^{\lambda }_{_{J}})(\xi ^{1,0}_{_{J}},\eta^{0,1}_{_{J}} )\cdot \sigma ,\tau)
$$
pour tout champ de vecteurs r�els $\xi ,\eta\in {\cal E}(T_X)(U)$ et sections $\sigma,\tau \in {\cal E}(F^{\lambda  }_{_{J}})(U)$ sur un ouvert $U$ quelconque.
\end{defi} 
La courbure de Chern
${\cal C}^h_{F^{\lambda  }_{_{J}}}$  est une forme hermitienne sur le fibr� vectoriel complexe $T_{X,J} \otimes_{_{\C}}F^{\lambda  }_{_{J}}$ gr�ce � la relation $\eqref{hermitcurvat}$ (remarqu�e dans la section \ref{basic-herm-con}). Soit
$$
{\cal C}_h(F^{\lambda }_{_{J}})=\sum_{\substack{1\leq l,m \leq r_{\lambda } 
\\
\\
1\leq j,k\leq n }} C^{j,k}_{l,m}\,\zeta ^*_j\wedge \bar{\zeta } ^*_k\otimes  e^*_m\otimes e_l
$$
l'expression locale du tenseur de courbure de Chern, (ici $r_{\lambda }:=rg_{_{\C} }F^{\lambda }_{_{J}}$). Si le rep�re local $(e_l)_{l}\in {\cal E}(F^{\lambda }_{_{J}})^{\oplus r_{\lambda } } (U)$ est $h(x_0)$-orthonorm� en un point $x_0$ alors l'expression locale de la courbure de Chern s'�crit sous la forme
$$
{\cal C}^h_{F^{\lambda }_{_{J}}}(x_0) =\sum_{\substack{1\leq l,m \leq r_{\lambda } 
\\
\\
1\leq j,k\leq n }} C^{j,k}_{l,m}(x_0)\,\zeta ^*_j\otimes  e^*_m\otimes \bar{\zeta } ^*_k\otimes \bar{e}^*_l
$$
o� les coefficients v�rifient la relation $\overline{C^{j,k}_{l,m}(x_0)}=C^{k,j}_{m,l}(x_0)$ vue dans la section \ref{basic-herm-con}. Remarquons que $(\zeta^*_{k|_{T_X}})_k\in {\cal E}(T^*_{X,J} )^{\oplus n} (U)$ est le rep�re dual du rep�re 
$(\zeta _k+\bar{\zeta }_k )_k\in {\cal E}(T_{X,J} )^{\oplus n} (U)$ par rapport � la structure $J$. Bien �videmment il est �quivalent de donner soit le tenseur de courbure soit la courbure de Chern. On aura besoin de la d�finition suivante.
\begin{defi}
Une section $\sigma \in {\cal E}(F^{\lambda }_{_{J}})(U)$ est dite presque-holomorphe au point $x\in U$ si on a
$\bar{\partial}\,\sigma (x)=0$. 
Un rep�re local $(\sigma_k)_k \subset {\cal E}(F^{\lambda }_{_{J}})(U)$ est dit 
presque-holomorphe sp�cial au point $x\in U$ si 
$\bar{\partial}\,\sigma_k (x)=0$ et 
$(D^h)^{1,0} \,\bar{\partial}\,\sigma_k (x)=0$ pour tout $k$.
\end{defi}  
La d�finition de rep�re local presque-holomorphe sp�cial en un point est ind�pendante de la m�trique hermitienne. En effet si $A''_{\sigma } $ est la matrice de la connexion de type $(0,1)$ canonique du fibr� vectoriel $F^{\lambda }_{_{J}}$ relative au rep�re $(\sigma_k)_k \subset {\cal E}(F^{\lambda }_{_{J}})(U)$, la condition que le rep�re local $(\sigma_k)_k$ soit presque-holomorphe sp�cial au point $x$ s'exprim� par les �galit�s $A''_{\sigma } (x)=0$ et $\partial_{_{J} } A''_{\sigma } (x)=0$.
Le lemme �l�mentaire suivant donne une premi�re id�e de l'utilit� de la notion de courbure de Chern.
\begin{lem}\label{lemchern}
Soient $\sigma ,\,\tau\in {\cal E}(F^{\lambda }_{_{J}})(U)$ deux sections presque-holomorphes en un point $x\in U$ du fibr� hermitien $(F^{\lambda }_{_{J}},h)\longrightarrow (X,J)$ et
$\xi ,\eta\in {\cal E}(T_X)(U)$ deux champs de vecteurs r�els. Alors au point $x$ on a l'identit�
\begin{eqnarray}\label{chernscal}
&\displaystyle{
{\cal C}^h_{F^{\lambda }_{_{J}}}(\xi \otimes \sigma ,\eta\otimes \tau)_{|x} 
=\bar{\partial}_{_{J}}\partial_{_{J}}\,h(\sigma ,\tau) (\xi^{1,0},\eta^{0,1})_{|x} +
h(\xi ^{1,0}_{_{D} }.\,\sigma ,\eta^{1,0}_{_{D} }.\,\tau)_{|x} }&\nonumber
\\\nonumber
\\
&\displaystyle{+h(\xi ^{1,0}_{_{D} }.\,\eta^{0,1}_{_{D} }.\,\sigma ,\tau)_{|x} 
+h(\sigma ,\eta^{1,0}_{_{D} }.\,\xi^{0,1}_{_{D} }.\,\tau )_{|x} }.&
\end{eqnarray}
Soit $(\sigma_k)_k \subset {\cal E}(F^{\lambda }_{_{J}})(U)$ un rep�re local
presque-holomorphe sp�cial au point $x\in U$. Alors au point $x$ on a l'identit�
\begin{eqnarray}\label{chernscalspec}
{\cal C}^h_{F^{\lambda }_{_{J}}}(\xi \otimes \sigma_k ,\eta\otimes \sigma _l)_{|x} 
=\bar{\partial}_{_{J}}\partial_{_{J}}\,h(\sigma_k ,\sigma _l) (\xi^{1,0},\eta^{0,1})_{|x} +
h(\xi ^{1,0}_{_{D} }.\,\sigma_k ,\eta^{1,0}_{_{D} }.\,\sigma _l)_{|x}.
\end{eqnarray}
En particulier
\begin{eqnarray}\label{chernscalpsh}
i\partial_{_{J}} \bar{\partial}_{_{J}}\,|\sigma_k |^2_h\,(\xi ,J\xi )_{|x}
=-2\,{\cal C}^h_{F^{\lambda }_{_{J}}}\,(\xi \otimes \sigma_k ,\xi \otimes \sigma_k)_{|x}+2\,|\xi ^{1,0}_{_{D} }.\,\sigma_k|^2_{h\,|x}.
\end{eqnarray}
\end{lem} 
Dans le cas d'une vari�t� complexe $(X,J)$ et d'un fibr� vectoriel holomorphe hermitien $(F,h)\longrightarrow (X,J)$ on a pour toutes sections holomorphes $\sigma ,\,\tau \in {\cal O}(F)(U)$ l'identit�
$$
{\cal C}^h_{F}(\xi \otimes \sigma ,\eta\otimes \tau)
=\bar{\partial}_{_{J}}\partial_{_{J}}\,h(\sigma ,\tau) (\xi^{1,0},\eta^{0,1})+
h(\xi ^{1,0}_{_{D} }.\,\sigma ,\eta^{1,0}_{_{D} }.\,\tau)
$$
sur l'ouvert $U$. On d�duit en particulier la formule remarquable suivante
$$
i\partial_{_{J}} \bar{\partial}_{_{J}}\,|\sigma |^2_h\,(\xi ,J\xi )
=-2\,{\cal C}^h_{F}\,(\xi \otimes \sigma ,\xi \otimes \sigma)+2\,|\xi ^{1,0}_{_{D} }.\,\sigma|^2_h
$$
qui montre que pour tout section holomorphe $\sigma  \in {\cal O}(F)(U)$ la fonction $|\sigma |^2_h$ est plurisousharmonique sur l'ouvert $U$ si la courbure du fibr� $F$ est n�gative au sens de Griffiths, autrement dit si 
${\cal C}^h_{F}(\xi \otimes \sigma ,\xi \otimes \sigma)\leq 0$ pour tout $\xi \in T_{X,x}$ et $\sigma \in F_x$, (voir \cite{Gri} et \cite{Dem-1}, chapitre VII pour des applications fondamentales de la notion de courbure au sens de Griffiths). On d�duit en particulier que si la vari�t� complexe $X$ est compacte, connexe et $\sigma  \in {\cal O}(F)(X)$ est une section globale d'un fibr� vectoriel holomorphe $F$ admettant une m�trique hermitienne � courbure n�gative au sens de Griffiths alors le section $\sigma $ est identiquement nulle sur $X$ si elle s'annule en un point. On remarque que la notion de positivit� (n�gativit�) au sens de Griffiths pour un fibr� $(F^{\lambda }_{_{J}},h)$ ne signifie rien d'autre que pour tout vecteur r�el $\xi \in T_{X,J}$ l'endomorphisme $h$-hermitien $i{\cal C}_h(F^{\lambda }_{_{J}})(\xi ,J\xi )$ est positif (n�gatif). Si la courbure du fibr� $(F^{\lambda }_{_{J}},h)$ est strictement n�gative au sens de Griffiths en un point $x$ alors on d�duit d'apr�s la formule $\eqref{chernscalpsh}$ que les fonctions $|\sigma_k |^2_h$ sont strictement $J$-plurisousharmoniques au voisinage du point $x$, (voir \cite{Pal} pour la notion de fonction strictement $J$-plurisousharmoniques et pour plus de d�tails). 
\\
\\
$Preuve\;du\;lemme\;\ref{lemchern} $. On a l'�galit�
$$
\partial_{_{J}} \bar{\partial}_{_{J}}\,h(\sigma ,\tau)=\{D^{1,0}_{_{F} } \,\bar{\partial}_{_{F} }\sigma ,\tau \}_h-
\{\bar{\partial}_{_{F} }\sigma,\bar{\partial}_{_{F} }\tau\}_h+ \{D^{1,0}_{_{F} }\sigma ,D^{1,0}_{_{F} }\tau\}_h +\{\sigma ,\bar{\partial}_{_{F} }D^{1,0}_{_{F} }\tau\}_h.
$$
Le fait que $\deg\,\sigma =\deg\,\tau=0$ et l'identit� 
$\{{\cal C}_h(F)\cdot \sigma ,\tau\}_h+\{\sigma ,{\cal C}_h(F)\cdot\tau\}_h=0$ impliquent
\begin{eqnarray}\label{orror} 
&\displaystyle{
\partial_{_{J}} \bar{\partial}_{_{J}}\,h(\sigma ,\tau)=-\{{\cal C}_h(F)\cdot \sigma ,\tau\}_h-
\{\sigma ,D^{1,0}_{_{F} }\bar{\partial}_{_{F} }\tau\}_h+ \{D^{1,0}_{_{F} } \,\bar{\partial}_{_{F} }\sigma ,\tau \}_h}&\nonumber
\\\nonumber
\\
&\displaystyle{
-
\{\bar{\partial}_{_{F} }\sigma,\bar{\partial}_{_{F} }\tau\}_h+ \{D^{1,0}_{_{F} }\sigma ,D^{1,0}_{_{F} }\tau\}_h}.& 
\end{eqnarray}
En explicitant l'�galit� pr�c�dente par rapport au champs de vecteurs r�els $\xi$ et $\eta$ on obtient l'identit�
\begin{eqnarray*}
&\displaystyle{
{\cal C}^h_{_{F} }(\xi \otimes \sigma ,\eta\otimes \tau) 
=\bar{\partial}_{_{J}}\partial_{_{J}}\,h(\sigma ,\tau) (\xi^{1,0},\eta^{0,1}) 
+h(\xi ^{1,0}_{_{D} }.\,\eta^{0,1}_{_{D} }.\,\sigma ,\tau)
+h(\sigma ,\eta^{1,0}_{_{D} }.\,\xi^{0,1}_{_{D} }.\,\tau )
 }&
\\
\\
&\displaystyle{+
h([\eta^{0,1} ,\xi ^{1,0} ]^{0,1}_{_{D} }.\,\sigma ,\tau)+h(\sigma ,[\xi ^{0,1} ,\eta^{1,0} ]^{0,1}_{_{D} }.\,\tau)+
h(\xi ^{1,0}_{_{D} }.\,\sigma ,\eta^{1,0}_{_{D} }.\,\tau)+h(\eta ^{0,1}_{_{D} }.\,\sigma ,\xi ^{0,1}_{_{D} }.\,\tau) }&
\end{eqnarray*} 
qui permet de d�duire la formule $\eqref{chernscal}$. Soit $(\sigma _k)_k$ le rep�re de l'�nonce du lemme. On d�duit d'apr�s l'identit� $\eqref{orror}$ l'�galit� suivante au point $x$;
$$
\partial_{_{J}} \bar{\partial}_{_{J}}\,h(\sigma_k ,\sigma _l)_{|x}=-\{{\cal C}_h(F)\cdot \sigma_k ,\sigma _l\}_{h\,|x}+\{D^{1,0}_{_{F} }\sigma_k ,D^{1,0}_{_{F} }\sigma _l\}_{h\,|x}
$$
qui permet de conclure la preuve du lemme.
\hfill$\Box$ 
\\
Dans la sous-section suivante on montre l'existence de rep�res locaux $(\sigma_k)_k \subset {\cal E}(F^{\lambda }_{_{J}})(U)$ presque-holomorphes sp�ciaux en un point $x\in U$ tels que $D^{\omega }_{_{J} }\sigma _k(x)=0$ pour tout $k$. Dans ce cas on d�duit d'apr�s les formules $\eqref{chernscalspec}$ et $\eqref{chernscalpsh}$ les identit�s suivantes au point $x$;\begin{eqnarray*}
&\displaystyle{
{\cal C}^{\omega}_{_{{X,J} } }(\xi \otimes \sigma_k ,\eta\otimes \sigma _l)_{|x} 
=\bar{\partial}_{_{J}}\partial_{_{J}}\,h (\sigma_k ,\sigma _l) (\xi^{1,0},\eta^{0,1})_{|x} }&
\\
\\
&\displaystyle{
i\partial_{_{J}} \bar{\partial}_{_{J}}\,|\sigma_k |^2_{h} \,(\xi ,J\xi )_{|x}
=-2\,{\cal C}^h_{F^{\lambda }_{_{J}}} \,(\xi \otimes \sigma_k ,\xi \otimes \sigma_k)_{|x},}&\end{eqnarray*}
pour tout champs de vecteurs r�els $\xi ,\eta\in{\cal E}(T_X)(U)$.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Interpr�tation g�om�trique de la notion de courbure de Chern dans le cas presque complexe}\label{intercurvat}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
Le lemme fondamental suivant est une version presque complexe d'un lemme classique de la g�om�trie hermitienne complexe (voir \cite{Dem-1}, chapitre V).
\begin{lem} \label{senscurvat}
Soit $(X,J)$ une vari�t� presque complexe et $(F^{\lambda }_{_{J}},h)\longrightarrow (X,J)$ le fibr� vectoriel hermitien d'une puissance de Schur du fibr� des $(1,0)$-formes. Soient $(z_1,...,z_n)$ des coordonn�es $\ci$ complexes  centr�es en un point $x$ telles que $J(x)=J_0$, o� $J_0$ d�signe la structure presque complexe canonique relative � ces coordonn�es. Il existe un rep�re local $(\sigma _k)_k\in {\cal E}(F^{\lambda }_{_{J}})^{\oplus r_{\lambda} } (U_x)$ presque-holomorphe sp�cial au point $x$ pour lequel les coefficients de la m�trique hermitienne $h$ s'�crivent sous la forme
$$
h(\sigma _l,\sigma_m)=\delta _{l,m}+\sum_{1\leq j,k\leq n}\,H^{j,\bar{k}}_{l,m}\,z_j\bar{z}_k+O(|z|^3). $$
Quel que soit le choix du rep�re $(\sigma _k)_k\in {\cal E}(F^{\lambda }_{_{J}})^{\oplus r_{\lambda} } (U_x)$ presque-holomorphe sp�cial au point $x$ pour lequel les coefficients de la m�trique hermitienne $h$ s'�crivent sous la forme pr�c�dente on a les expressions suivantes pour le tenseur de courbure et la courbure de Chern au point $x$:
\begin{eqnarray}
&\displaystyle{
{\cal C}_h(F^{\lambda  }_{_{J}})_{|x} =-\sum_{ \substack{1\leq l,m\leq r_{\lambda}
\\
\\
1\leq j,k\leq n }  } H^{j,\bar{k}}_{l,m} \,dz_j\wedge d\bar{z}_k\otimes \sigma  ^*_m\otimes\sigma _l}&\label{curvat1} 
\\\nonumber
\\
&\displaystyle{
{\cal C}^h_{F^{\lambda }_{_{J}}} (\xi   \otimes \sigma _l ,\eta\otimes \sigma _m)_{|x} 
=\bar{\partial}_{_{J}}\partial_{_{J}}\,h (\sigma_l ,\sigma _m) (\xi ^{1,0},\eta^{0,1})_{|x} },&
\label{curvat2}
\end{eqnarray}
pour tout champ de vecteurs r�els $\xi  ,\eta \in{\cal E}(T_X)(U_x)$ et tout indice $l,\,m$.
\end{lem} 
Le lemme nous montre que la courbure de Chern au point $x$ mesure l'obstruction � l'existence de rep�res locaux presque-holomorphes sp�ciaux et orthonormaux � l'ordre deux en $x$. 
\\
\\
$Preuve$.
Soit $e\equiv (e_k)_k\in {\cal E}(F^{\lambda }_{_{J}})^{\oplus r_{\lambda} }(U_x)$ un rep�re local $h(x)$-orthonorm� au point $x$. On peut supposer que la forme de la connexion de Chern 
$D^h_{F^{\lambda }}$ relative � ce rep�re v�rifie la condition $A_{e}(x)=0$. En effet en effectuant un changement de rep�re $e'=e\cdot g_0$ avec $g_0=\I+O(|z|),\, dg_0(x)=-A_{e}(x)$ on a que la forme de connexion $A_{e'}=g_0^{-1}(dg_0+A_{e}\cdot g_0)$ relative au rep�re $e'$ v�rifie la propri�t� voulue. Soient
\begin{eqnarray*} 
&\displaystyle{
(H_e)_{l,m}=\delta_{l,m}+\sum_{1\leq j\leq n} \,\Big(H^j_{l,m}\,z_j+\overline{H}^j_{m,l}\,\bar{z}_j\Big)}&
\\
\\
&\displaystyle{
+\sum_{1\leq j,k\leq n}\,\Big(H^{j,k}_{l,m}\,z_jz_k+\overline{H}^{j,k}_{m,l}\,\bar{z}_j\bar{z}_k+\hat{H}^{j,\bar{k}}_{l,m}\,z_j\bar{z}_k\Big)+O(|z|^3) }&  
\end{eqnarray*} 
les coefficients de la m�trique hermitienne $h$ par rapport au rep�re $e$. La relation 
$$
A'_e=\overline{H}_e^{-1}(\partial_{_J }\overline{H}_e-\overline{A''_e}^{t}\,\overline{H}_e) $$
combin�e avec les �galit�s $A'_e(x)=0, \,A''_e(x)=0$ implique alors $\bar{\partial}_{_{J}}H_e(x)=0$ et donc $H^j_{l,m}=0$ pour tout les indices $j,l,m$. Par rapport aux coordonn�es choisies on a l'�criture
$$
(\partial_{_J } A''_e)_{m,l} =\sum_{1\leq j,k\leq n} \,(\partial_{_J } A''_e)^{j,\bar{k} }_{m,l}(0)\,dz_j\wedge d\bar{z}_k+O(|z|). 
$$
Consid�rons maintenant le changement de rep�re $\sigma =e \cdot g$ donn� par la formule
$$
\sigma_l=e_l-\sum_{\substack{1\leq m\leq r_{\lambda}
\\
\\
1\leq j,k\leq n } }\,\Big(H^{j,k}_{l,m}\,z_jz_k+
(\partial_{_J }A''_e)^{j,\bar{k} }_{m,l}(0)\,z_j\bar{z}_k\Big)e _m\in{\cal E}(F^{\lambda }_{_{J}})(U_x).
$$
Un calcul �l�mentaire montre que les coefficients de la m�trique hermitienne $h$ par rapport � ce rep�re s'�crivent sous la forme
$$
(H_{\sigma})_{l,m}=\delta _{l,m}+\sum_{j,k}\,H^{j,\bar{k}}_{l,m}\,z_j\bar{z}_k+O(|z|^3).
$$
Si $A''_{\sigma}$ d�signe la forme de connexion relative au rep�re $\sigma$ on a la formule de changement de matrice de connexion $A''_{\sigma  }=g^{-1}(\bar{\partial}_{_J }g+A''_{e}\cdot g)$. Le fait que 
$A''_{e}(x)=0$ et $\bar{\partial}_{_J }g(x)=0$ implique alors l'�galit�  $A''_{\sigma}(x)=0$.
De plus au point $x$ on a l'�galit� 
$$
\partial_{_J } A''_{\sigma  }(x)=\partial_{_{J} } \bar{\partial}_{_J }g(x)+\partial_{_J }A''_e(x)=0.
$$
On d�duit alors d'apr�s la formule $\ref{ponctcurvat}$  que la courbure de Chern s'�crit au point $x$ sous la forme
$$
{\cal C}_h(F^{\lambda  }_{_{J}})_{|x}  =-\sum_{m,l}\,\partial_{_J }\bar{\partial}_{_J }h_{l,m}(x)\,\otimes\sigma^*_m\otimes_{_{J}}\sigma_l.      
$$
qui montre la validit� de la formule $\eqref{curvat1}$. La formule $\eqref{curvat2}$ est une cons�quence imm�diate des identit�s  
$$
A'_{\sigma }(x) =\overline{H}_{\sigma} ^{-1}(\partial_{_J }\overline{H}_{\sigma } -\overline{A''_{\sigma} }^{t}\,\overline{H}_{\sigma} )(x)=0 
$$ et $\eqref{chernscalspec}$.\hfill$\Box$
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{La courbure de Chern du fibr� tangent d'une vari�t� presque complexe}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
Dans le cas du fibr� tangent d'une vari�t� presque complexe le tenseur de courbure de Chern $$
{\cal C}_{\omega }(T_{X,J}):=\Theta (D^{\omega }_{_{J} })^{1,1}\in {\cal E}(\Lambda ^{1,1}_{_{J}}T^*_X\otimes_{_{\C} } T^*_{X,J}\otimes_{_{\C} }T_{X,J})(X)  
$$
s'�crit sous la forme locale
\begin{eqnarray}\label{localcurvattg}
{\cal C}_{\omega }(T_{X,J})=\sum_{1\leq j,k,l,m \leq n}C^{j,k}_{l,m}\,\zeta ^*_j\wedge \bar{\zeta } ^*_k\otimes \zeta^*_m\otimes_{_{J}}\zeta _l.  
\end{eqnarray}
La notation $\alpha \otimes \zeta ^*_l\otimes_{_{J}}\zeta _m$ o� $\alpha$ est une $(1,1)$-forme par exemple doit �tre interpr�t�e sous la forme suivante. Si $\xi _1,\xi _2\in T_{X,x} \otimes_{_{\R}}\C$ et $\eta=\eta_l\zeta _l+\bar{\eta}_l\bar{\zeta }_l  \in T_{X,x} $  alors 
$$
\alpha \otimes \zeta ^*_l\otimes_{_{J}}\zeta _m(\xi_1,\xi _2,\eta)=\alpha(\xi _1,\xi _2)\,\eta_l\,\zeta _m
+\overline{\alpha(\xi _1,\xi _2)\,\eta_l\,\zeta _m}.
$$
En particulier la courbure de Chern du fibr� tangent 
$$
{\cal C}^{\omega}_{_{{X,J} } }  \in {\cal E}(T_{X,J}^{*,\otimes 2}\otimes_{_{\C} }T_{X,-J}^{*,\otimes 2})(X)
$$ 
est d�finie par la formule 
$$
{\cal C}^{\omega}_{_{{X,J} } }(\xi _1\otimes\eta_1,\xi _2\otimes\eta_2)
:=h_{\omega}({\cal C}_{\omega }(T_{X,J})(\xi ^{1,0}_1,\xi ^{0,1}_2)\cdot \eta_1,\eta_2)
$$ 
pour tout champ de vecteurs r�els $\xi _j,\eta_j\in{\cal E}(T_X)(U),\,j=1,2$, o� $h_{\omega}$ est la forme hermitienne associ�e � $\omega$. On rappelle qu'elle est d�finie par la formule $h_{\omega}(\xi ,\eta):=\omega (\xi ,J\eta)-i\omega (\xi ,\eta)$. Le fait que ${\cal C}^{\omega}_{_{X,J} }$ soit une forme hermitienne sur le fibr� $T^{\otimes 2}_{X,J}$ implique que la quantit� ${\cal C}^{\omega}_{_{{X,J} } }(\xi \otimes\eta ,\xi \otimes\eta),\,\xi,\eta\in{\cal E}(T_X)(U)$ est r�elle. On d�duit alors les identit�s
$$
{\cal C}^{\omega}_{_{{X,J} } }(\xi \otimes\eta ,\xi \otimes\eta)=\omega ({\cal C}_{\omega }(T_{X,J})(\xi ,J\xi)\cdot \eta,\eta)
$$
et
$$
\omega ({\cal C}_{\omega }(T_{X,J})(\xi ,J\xi)\cdot \eta,J\eta)=0.
$$ 
La courbure de Chern du fibr� tangent s'�crit en un point $x$ o� le rep�re $(\zeta _k)_{k} \in{\cal E}(T^{1,0}_{X,J})^{\oplus n}(U)$ est choisie $\omega(x)$-orthonorm� sous la forme
$$
{\cal C}^{\omega}_{_{{X,J} } }(x)=\sum_{1\leq j,k,l,m \leq n}C^{j,k}_{l,m}(x)\,\zeta ^*_j\otimes\zeta^* _m\otimes  \bar{\zeta } ^*_k\otimes \bar{\zeta }^*_l
$$
avec la relation de sym�trie hermitienne $\overline{C^{j,k}_{l,m}(x)}=C^{k,j}_{m,l}(x)$. 
\\
\\
{\bf Remarque}. Le fait que la connexion de Chern soit hermitienne implique que en un point $x$ on a 
$\Theta (D^{\omega }_{_{J} })^{0,2}_{|x} =0$ si et seulement si $\Theta (D^{\omega }_{_{J} })^{2,0}_{|x} =0$. On peut montrer que $\Theta (D^{\omega }_{_{J} })^{0,2}_{|x} =0$ si le jet d'ordre un de la forme de torsion de la structure presque complexe est nul au point $x$.
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Coordonn�es presque complexes d'ordre $N$ en un point} 
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
Soient $(z_1,...,z_n)$ des coordonn�es locales $\ci$ centr�es en $x\in X$ telles que le rep�re local $(\frac{\partial}{\partial z_1},...,\frac{\partial}{\partial z_n})$ soit une base complexe de $T^{1,0}_{X,J,x}$ au point $x$. On d�signe par $M_J\in M_{2n,2n}({\cal E})$ la matrice de la structure presque complexe 
$J\in{\cal E}(End_{_{\C} } (T_X\otimes_{_{\R}}\C))(X)$ par rapport au rep�re complexe
$(\frac{\partial}{\partial z_1},...,\frac{\partial}{\partial z_n},\frac{\partial}{\partial \bar{z}_1},...,\frac{\partial}{\partial \bar{z}_n} )$. Le fait que $\overline{J}=J$ implique que la matrice $M_J$ s'�crit sous la forme: 
$$
M_J(z)=\left(
\begin{array}{cc} 
A(z)& \overline{B}(z)\\
B(z)&\overline{A}(z)  
\end{array}  
\right)
$$
On voit alors que la structure presque complexe s'exprime sous la forme:
$$
J(z)=\sum_{k,l}\Big(A_{k,l}(z)\,dz_l\otimes \frac{\partial}{\partial z_k} +B_{k,l}(z)\, dz_l\otimes\frac{\partial}{\partial \bar{z}_k}+\overline{B}_{k,l}(z)\, d\bar{z}_l\otimes \frac{\partial}{\partial z_k}
+\overline{A}_{k,l}(z)\, d\bar{z}_l\otimes\frac{\partial}{\partial \bar{z}_k}  \Big)
$$
avec $A(0)=iI_n,\;B(0)=0_n$. Si on suppose que la structure presque complexe est int�grable il existe d'apr�s le th�or�me de Newlander-Nirenberg des coordonn�es locales holomorphes $(z_1,...,z_n)$. La structure presque complexe s'�crit alors par rapport � ces coordonn�es sous la forme
\begin{eqnarray}
J(z)=J_0=i\sum_k\Big(dz_k\otimes \frac{\partial}{\partial z_k}-d\bar{z}_k\otimes\frac{\partial}{\partial \bar{z}_k}\Big)\label{J0} 
\end{eqnarray}
autrement dit $A(z)\equiv i\,I_n,\;B(z)\equiv 0_n$.
Avec les notations introduites pr�c�demment on a la proposition suivante.
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%            COORDONNEES PRESQUE COMPLEXES  D'ORDRE N             %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{prop}\label{JN} 
Pour tout point $x$ d'une vari�t� presque complexe $(X,J)$ et pour tout entier $N\geq 2$ il existe des coordonn�es $(z_1,...,z_n)$ de classe $\ci$ centr�es en $x$ telles que  les matrices $A(z)$ et $B(z)$ de la structure presque complexe $J$ relatives � ces coordonn�es admettent les d�veloppements asymptotiques
\begin{eqnarray}
&A (z)=i\,I_n+\displaystyle{\frac{i}{2}\sum_{\scriptstyle |\alpha +\beta |\leq N
\atop
\scriptstyle |\alpha |, |\beta |\geq 1} \,A^{\alpha ,\beta }  \,z^{\alpha} \bar{z}^{\beta } +O(|z|^{N+1} )}&\label{AN}
\\\nonumber
\\
&B(z)=\displaystyle{\sum_ {\scriptstyle |\alpha +\beta |\leq N
\atop
\scriptstyle |\alpha |\geq 1} }\,B^{\alpha ,\beta }  \,z^{\alpha} \bar{z}^{\beta } +O(|z|^{N+1} )&\label{BN}
\end{eqnarray}
o� $A^{\alpha ,\beta } ,\,B^{\alpha ,\beta } \in M_{n,n}(\C)$ sont des matrices telles que les coefficients des matrices $B^{\alpha ,\beta }$ v�rifient la propri�t�; $B^{\alpha ,\beta }_{k,l}  =0$ pour tout $l\geq \max\{k\in\{1,...,n\}\,|\,\alpha _k\not =0 \}$. Les matrices  $A^{\alpha ,\beta }$ sont obtenues � partir des matrices $B^{\alpha ,\beta }$, $($avec la convention $B^{0,\beta }:=0$$)$, gr�ce � la formule:
\begin{eqnarray}\label{formA}
\displaystyle{ A^{\alpha ,\beta }=\sum_{k=1}^{[|\alpha +\beta |/2]}\sum _{\scriptstyle \sum_{r=1}^k\,(\rho _r+\mu _r)=\alpha  
\atop
\scriptstyle  \sum_{r=1}^k\,(\lambda_r+\gamma_r )=\beta  } \,(-4)^{-(k-1)}\prod_{1\leq r\leq k }^{\longrightarrow}\overline{B}^{\lambda_r ,\mu _r }\cdot B^{\rho _r, \gamma_r}}
\end{eqnarray}
o� le symbole $[c]$ d�signe la partie enti�re de $c$ et le symbole de produit avec une fl�che vers la droite d�signe le produit non commutatif des termes qui sont �crits en ordre croissant de l'indice vers la droite. 
\end{prop}
(Remarquons que dans la formule $\eqref{formA}$ la convention $B^{0,\beta }=0$ implique que les sommes non nulles sont celles correspondantes aux multi-indices $|\lambda _r|,\,|\rho _r|\geq 1$).
\begin{defi}
Les coordonn�es qui v�rifient les propri�t�s de l'�nonce de la proposition pr�c�dente seront appel�es coordonn�es presque complexes d'ordre $N$ en $x$ par rapport � la structure $J$.
\end{defi}  
Dans le cas particulier $N=3$ %(au quel on sera int�ress� dans les calculs de la sous-section qui suivra) 
 la formule $\eqref{formA}$ s'�crit sous la forme;
$$
A^{\alpha ,\beta }= \sum_{\scriptstyle \mu +\rho =\alpha 
\atop
\scriptstyle \lambda +\gamma=\beta } \,\overline{B}^{\lambda }\cdot B^{\rho,\gamma}  
$$
On r�-�nonce la proposition pr�c�dente dans le cas $N=3$ sous une forme plus explicite et pratique pour les calculs relatifs � la sous-section qui suivra.
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%            CAS N=2 DE COORDONNEES PRESQUE COMPLEXES              %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{coro}\label{J3}
Pour tout point $x$ d'une vari�t� presque complexe $(X,J)$ il existe des coordonn�es $(z_1,...,z_n)$ de classe $\ci$ centr�es en $x$ telles que les matrices $A(z)$ et $B(z)$ de la structure presque complexe $J$ relatives � ces coordonnes admettent les d�veloppements asymptotiques
\begin{eqnarray}
&B(z)=\displaystyle{\sum_r \,B^rz_r+\sum_{r,s}}\, \Big(B^{r,s}\,z_rz_s +B^{r,\bar{s}}\,z_r\bar{z}_s \Big)&\nonumber
\\\nonumber
\\
&\displaystyle{+\sum_{r,s,t}\,\Big(B^{r,s,t}\,z_rz_sz_t+B^{r,s,\bar{t} }\,z_rz_s\bar{z}_t+B^{r,\bar{s},\bar{t} }\,z_r\bar{z}_s\bar{z}_t\Big) +O(|z|^4)}&\label{B3}
\\\nonumber
\\
&A (z)=i\,I_n+\displaystyle{\frac{i}{2}\sum_{r,s} \,\overline{B}^{r} \cdot B^{s} \,z_s\bar{z}_r+
\frac{i}{4 } \sum_{r,s,t}\,\Big(\overline{B}^{t,\bar{r} }\cdot B^{s}+\overline{B}^{t,\bar{s}}\cdot B^r+2\overline{B}^t\cdot B^{r,s}\Big)\, z_rz_s\bar{z}_t  }&\nonumber
\\\nonumber
\\
&\displaystyle{+\frac{i}{4 } \sum_{r,s,t}\,\Big(\overline{B}^t\cdot B^{r,\bar{s}}+\overline{B}^s\cdot B^{r,\bar{t} }+2 \overline{B}^{s,t}\cdot B^r\Big)\, z_r\bar{z}_s\bar{z}_t +O(|z|^4)  }&
 \label{A3}
\end{eqnarray}
o� $B^r,\,B^{r,s},\,B^{r,\bar{s} },\,B^{r,s,t},\,B^{r,s,\bar{t}},\,B^{r,\bar{s},\bar{t} }\in M_{n,n}(\C)$ sont des matrices telles que $B^{r,s}$ soit sym�trique par rapport aux indices $r,s$, $B^{r,s,t}$ par rapport � $r,s,t$, 
$B^{r,s,\bar{t} }$ par rapport � $r,s$, $B^{r,\bar{s},\bar{t}}$ par rapport � $s,t$ et $B^r_{k,l}=0$ pour $r\leq l$, $B^{r,s}_{k,l}=0 $ pour $r,s\leq l$, $B^{r,\bar{s}}_{k,l}=0$ pour $r\leq l$, $B^{r,s,t}_{k,l}=0$ pour 
$r,s,t\leq l$, $B^{r,s,\bar{t}}_{k,l}=0$ pour $r,s\leq l$, et $B^{r,\bar{s} ,\bar{t} }_{k,l}=0$ pour $r\leq l$. De plus si on consid�re l'expression locale de la forme de torsion de la structure presque complexe
\begin{eqnarray*}
&\displaystyle{\tau_{_{J}}=\sum_{1\leq k<l\leq n}[\zeta _k,\zeta _l]^{0,1}_{_{J}}\otimes \zeta ^*_k\wedge\zeta ^*_l 
=\sum_{\substack{1\leq k<l\leq n
\\
1\leq r\leq n }}\overline{N}^r_{k,l}\, \zeta ^*_k\wedge\zeta ^*_l \otimes \bar{\zeta}_r }&
\end{eqnarray*}
o� $\zeta _l:=(\partial /\partial z_l)^{1,0}_{_{J} }\in {\cal E}(T^{1,0}_{X,J})(U_x), \,l=1,...,n$ est le rep�re locale du fibr� des $(1,0)$-vecteurs $T^{1,0}_{X,J}$ issue des coordonn�es $(z_1,...,z_n)$ on a l'expression
$$
\overline{N}^r_{k,l}(z)=\frac{i}{2}\,B^l_{r,k}+\frac{i}{2}\sum_s\Big[2(B^{l,s}_{r,k}-B^{k,s}_{r,l})\,z_s+ B^{l,\bar{s}}_{r,k} \,\bar{z}_s\Big]+O(|z|^2)
$$
pour tout $k<l$. Le jet d'ordre $k=0,1$ de la forme de torsion de la structure presque complexe au point $x$ est nul si et seulement si les coefficients $B_{*,*}(z)$ de la structure presque complexe relatifs aux coordonn�es en question s'annulent � l'ordre $k+1$.
\end{coro}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%              PREUVE DES COORDONEES PRESQUE COMPLEXES            %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
Les coordonn�es pr�c�dentes seront appel�es coordonn�es presque complexes d'ordre 3 au point $x$.
\\
\\
{\bf Preuve de la proposition \ref{JN}} 
\\
{\bf I) Les changements de coordonn�es} 
\\ 
La condition $J^2=-\I$ est exprim�e par les conditions locales $A^2=-I_n-\overline{B}\cdot B$ et $\overline{A}\cdot B=-B\cdot A$.
%$$
%\left  \{
%\begin{array}{lr}A^2=-I_n-\overline{B}\cdot B
%\\\\\overline{A} \cdot B=-B\cdot A
%\end{array}\right.$$
Le choix fait sur les coordonn�es locales implique que relativement � celles-ci on a $J(0)=J_0,\;A(0)=i\,I_n,\;B(0)=0_n$. 
La relation $A^2=-I_n-\overline{B}\cdot B$ implique alors que la matrice $A$ admet un d�veloppement asymptotique du type $A(z)=i\,I_n+O(|z|^2)$.
Si $Z=\Phi (z)$ est un changement de coordonn�es alors la matrice de la structure presque complexe
$$
{\cal M}_J(Z)=\left(
\begin{array}{cc} 
{\cal A} (Z)& \overline{\cal B }(Z)
\\
{\cal B} (Z)&\overline{\cal A}(Z)  
\end{array}  
\right)
$$
par rapport aux nouvelles coordonn�es est donn� par la formule ${\cal M}_J(Z)=d\Phi \cdot M_{J}(z)\cdot d\Phi^{-1}$. De mani�re explicite on a alors les formules
\begin{eqnarray}
&\displaystyle{
{\cal A}_{k,l}(Z):=\sum_{s,t}\,\Big(A_{s,t}(Z)\frac{\partial z_t}{\partial Z_l}\frac{\partial Z_k}{\partial z_s}
+B_{s,t}(Z)\frac{\partial z_t}{\partial Z_l}\frac{\partial Z_k}{\partial\bar{ z}_s}}&
\nonumber
\\\nonumber
\\
&\displaystyle{
+\overline{B}_{s,t}(Z)\frac{\partial \bar{ z}_t}{\partial Z_l}\frac{\partial Z_k}{\partial z_s}
+\overline{A}_{s,t}(Z)\frac{\partial \bar{ z}_t}{\partial Z_l}\frac{\partial Z_k}{\partial \bar{z}_s} \Big)}& \label{A} 
\end{eqnarray}
\begin{eqnarray}
&\displaystyle{
{\cal B}_{k,l}(z):=\sum_{s,t}\, \Big(A_{s,t}(Z)\frac{\partial z_t}{\partial Z_l}\frac{\partial \bar{Z} _k}{\partial z_s}
+B_{s,t}(Z)\frac{\partial z_t}{\partial z_l}\frac{\partial \bar{Z} _k}{\partial\bar{ z}_s}}&\nonumber
\\\nonumber
\\
&\displaystyle{
+\overline{B}_{s,t}(Z)\frac{\partial \bar{ z}_t}{\partial Z_l}\frac{\partial \bar{Z} _k}{\partial z_s}
+\overline{A}_{s,t}(Z)\frac{\partial \bar{ z}_t}{\partial Z_l}\frac{\partial \bar{Z} _k}{\partial \bar{z}_s} \Big).}&\label{B} 
\end{eqnarray}
Consid�rons maintenant  pour tout entier $N\geq 1$ les changements de coordonn�es $Z=\Phi _N(z)$ 
$$
\displaystyle{ Z_k=z_k-\sum_ {\scriptstyle |\alpha +\beta | =N+1
\atop
\scriptstyle |\alpha |\geq 1} }\,\frac{i\, \overline{B}^{\alpha -\delta _{l(\alpha )},\beta  }_{k,l(\alpha )} }{2\alpha _{l(\alpha )} } \,z^{\beta} \bar{z}^{\alpha }   
$$
o�  $l(\alpha ):=\max\{r\in\{1,...,n\}\,|\,\alpha _r\not =0 \}$ et les coefficients $B^{\alpha ,\beta },\,|\alpha +\beta |=N$ seront d�finis dans la suite. On consid�re aussi les changements inverses
$$
\displaystyle{ z_k=Z_k+\sum_ {\scriptstyle |\alpha +\beta | =N+1
\atop
\scriptstyle |\alpha |\geq 1} }\,\frac{ i\,\overline{B}^{\alpha -\delta _{l(\alpha )},\beta  }_{k,l(\alpha )} }{2\alpha _{l(\alpha )} } \,Z^{\beta} \bar{Z}^{\alpha } +O(|Z|^{2N+1} ) 
$$
On d�finit aussi
$$
{\cal B}^{\alpha-\delta _l ,\beta }_{k,l} :=B^{\alpha-\delta _l ,\beta }_{k,l}- \displaystyle{\alpha_l\cdot \frac{ B^{\alpha -\delta _{l(\alpha )},\beta  }_{k,l(\alpha )} }{\alpha _{l(\alpha )} }  }
$$
pour tout les multi-indices $\alpha $ tels que $\alpha _l\geq 1$. Avec la convention $0=\max \emptyset$, on a alors ${\cal B}^{\alpha,\beta }_{k,l}=0$ pour tout les multi-indices $|\alpha +\beta |= N$ tels que $l(\alpha )\leq l$. Avec la convention pr�c�dente on a en particulier ${\cal B}^{0,\beta }=0$ lorsque $|\beta |=N$.
On a les expressions suivantes pour les d�riv�es partielles:
\begin{eqnarray*}
&\displaystyle{\frac{\partial z_t}{\partial Z_l}=\delta _{t,l}+\sum_ {\scriptstyle |\alpha +\beta | =N+1
\atop
\scriptstyle |\alpha |,\,\beta _l\geq 1} \,\beta _l\cdot \frac{ i\,\overline{B}^{\alpha -\delta _{l(\alpha )},\beta  }_{t,l(\alpha )} }{2\alpha _{l(\alpha )} } \,Z^{\beta-\delta _l} \bar{Z}^{\alpha }   +O(|Z|^{2N} ) } &
\end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*}
&\displaystyle{\frac{\partial z_t}{\partial\bar{Z}_l}=\sum_ {\scriptstyle |\alpha +\beta | =N+1
\atop
\scriptstyle \alpha _l\geq 1} }\,\alpha_l\cdot \frac{ i\,\overline{B}^{\alpha -\delta _{l(\alpha )},\beta  }_{t,l(\alpha )} }{2\alpha _{l(\alpha )} } \,Z^{\beta} \bar{Z}^{\alpha-\delta _l } +O(|Z|^{2N} )  &
\\
\\
&\displaystyle{\frac{\partial Z_k}{\partial z_s}=\delta _{s,k}-\sum_ {\scriptstyle |\alpha +\beta | =N+1
\atop
\scriptstyle |\alpha |,\,\beta _s\geq 1} \,\beta _s\cdot \frac{ i\,\overline{B}^{\alpha -\delta _{l(\alpha )},\beta  }_{k,l(\alpha )} }{2\alpha _{l(\alpha )} } \,Z^{\beta-\delta _s} \bar{Z}^{\alpha } +O(|Z|^{2N} ) }&
\\
\\
&\displaystyle{ \frac{\partial Z_k}{\partial \bar{z}_s}=-\sum_ {\scriptstyle |\alpha +\beta | =N+1
\atop
\scriptstyle \alpha _s\geq 1} }\,\alpha_s\cdot \frac{ i\,\overline{B}^{\alpha -\delta _{l(\alpha )},\beta  }_{k,l(\alpha )} }{2\alpha _{l(\alpha )} } \,Z^{\beta} \bar{Z}^{\alpha-\delta _s } +O(|Z|^{2N} )  &
\end{eqnarray*}
Nous allons montrer maintenant � l'aide d'une r�currence sur $N$, l'existence de coordonn�es pour lesquelles les matrices $A(z)$ et $B(z)$ admettent les  d�veloppements asymptotiques $\eqref{AN} $ et $\eqref{BN} $ avec les conditions sur les coefficients $B^{\alpha ,\beta }_{k,l}$ expliqu�es dans l'�nonce du lemme. On commence par effectuer le changement de coordonn�es $Z=\Phi_1(z)$ o� les matrices $B^{\alpha ,\beta },\,|\alpha +\beta |=1$ qui apparaissent dans la d�finition de tel changement sont celles du d�veloppement:
$$
B(z)=\sum_{|\alpha +\beta |=1} \,B^{\alpha ,\beta }\,z^{\alpha }\bar{z}^{\beta }+O(|z|^2)    
$$ 
(rappelons que $B(0)=0_n$). En substituant les expressions des d�riv�es partielles relatives au changement de coordonn�es $Z=\Phi_1(z)$ et en tenant compte des d�veloppements asymptotiques des matrices $A(z)$ et $B(z)$ obtenues pr�c�demment dans les expressions $\eqref{A}$, $\eqref{B}$ on aura, relativement aux nouvelles coordonn�es, les d�veloppements asymptotiques suivants:
\begin{eqnarray*}
&\displaystyle{  {\cal A}_{k,l} (Z)=\sum_{s,t}\,A_{s,t}(Z)\frac{\partial z_t}{\partial Z_l}\frac{\partial Z_k}{\partial z_s}+O(|Z|^2)=i\,\delta _{k,l}+O(|Z|^2) }&
\\
\\
&\displaystyle{ {\cal B}_{k,l}(Z)=\sum_s\, i\,\Big(\frac{\partial z_s}{\partial Z_l}\frac{\partial \bar{Z}_k}{\partial z_s}-
\frac{\partial \bar{z} _s}{\partial Z_l}\frac{\partial \bar{Z}_k}{\partial \bar{z} _s}\Big)+B_{k,l}(Z)+O(|Z|^{2})= }&
\\
\\
&\displaystyle{=-\sum_ {\scriptstyle |\alpha +\beta | =2
\atop
\scriptstyle \alpha_l \geq 1} \,\alpha_l\cdot \frac{ B^{\alpha -\delta _{l(\alpha )},\beta  }_{k,l(\alpha )} }{\alpha _{l(\alpha )} } \,Z^{\alpha-\delta _l } \bar{Z}^{\beta}  +B_{k,l}(Z)+O(|Z|^{2})=}&
\\
\\
&\displaystyle{=\sum_{\scriptstyle |\alpha +\beta |= 2
\atop
\scriptstyle \alpha _l\geq 1} \,{\cal B}^{\alpha-\delta _l ,\beta }_{k,l}  \,Z^{\alpha-\delta _l} \bar{Z}^{\beta }  +O(|Z|^{2} ) }&
\end{eqnarray*}
Pour simplifier les notations dans les calculs qui suivront on va noter � partir de maintenant $A$ � la place de ${\cal A}$, $B$  � la place de ${\cal B}$ et $z$  � la place de $Z$. Avec ces notations on a alors que la matrice $B(z)$ peut �tre �crite sous la forme asymptotique $\eqref{BN}$ avec $N=1$ et les conditions correspondantes sur les coefficients $B^{\alpha ,\beta }_{k,l}$. La relation $A^2=-I_n-\overline{B}\cdot B$ entra�ne alors que la matrice $A(z)$ admet le d�veloppement asymptotique $\eqref{AN}$ avec $N=2$. Supposons maintenant qu'il existe des coordonn�es telles que la matrice $B(z)$ admette le d�veloppement $\eqref{BN}$ relativement � l'entier $N-1,\,N\geq 2$. On peut alors �crire le d�veloppement asymptotique suivant:
$$
B(z)=\displaystyle{\sum_ {\scriptstyle |\alpha +\beta |\leq N-1
\atop
\scriptstyle |\alpha |\geq 1} }\,B^{\alpha ,\beta }  \,z^{\alpha} \bar{z}^{\beta }+\sum_{ |\alpha +\beta |=N}\,B^{\alpha ,\beta }  \,z^{\alpha} \bar{z}^{\beta }  +O(|z|^{N+1} )
$$
relativement aux coordonn�es en question, o� $B^{\alpha ,\beta }_{k,l}=0$ pour $l\geq l(\alpha ),\,|\alpha +\beta |\leq N-1,\,|\alpha |\geq 1$. L'expression pr�c�dente de $B(z)$ combin�e avec la relation 
$A^2=-I_n-\overline{B}\cdot B$ implique que la matrice $A(z)$ s'�crit sous la forme $\eqref{AN}$. On consid�re maintenant le changement de coordonn�es $Z=\Phi_N(z)$ o� les matrices 
$B^{\alpha ,\beta } ,\,|\alpha +\beta |=N$ qui apparaissent dans la d�finition de tel changement sont celles qui apparaissent dans l'expression asymptotique pr�c�dente de $B(z)$. 
Par rapport aux nouvelles coordonn�es les matrices $A(z)$ et $B(z)$ admettent les d�veloppements asymptotiques suivants:
\begin{eqnarray*}
&\displaystyle{ {\cal A}_{k,l} (Z)=\sum_{s,t}\,A_{s,t}(Z)\frac{\partial z_t}{\partial Z_l}\frac{\partial Z_k}{\partial z_s}+O(|Z|^{N+1})=}&
\\
\\
&\displaystyle{=i\delta _{k,l}+\frac{i}{2}\sum_{\scriptstyle |\alpha +\beta |\leq N
\atop
\scriptstyle |\alpha |, |\beta |\geq 1} \,A^{\alpha ,\beta }_{k,l}   \,Z^{\alpha} \bar{Z}^{\beta } +O(|Z|^{N+1} )  } ,&
\\
\\
&\displaystyle{ {\cal B}_{k,l}(\zeta)=\sum_s\, i\,\Big(\frac{\partial z_s}{\partial Z_l}\frac{\partial \bar{Z}_k}{\partial z_s}-
\frac{\partial \bar{z} _s}{\partial Z_l}\frac{\partial \bar{Z}_k}{\partial \bar{z} _s}\Big)+B_{k,l}(Z)+O(|Z|^{N+1})= }&
\\
\\
&\displaystyle{=-\sum_ {\scriptstyle |\alpha +\beta | =N+1
\atop
\scriptstyle \alpha_l \geq 1} \,\alpha_l\cdot \frac{ B^{\alpha -\delta _{l(\alpha )},\beta  }_{k,l(\alpha )} }{\alpha _{l(\alpha )} } \,Z^{\alpha-\delta _l } \bar{Z}^{\beta}  +B_{k,l}(Z)+O(|Z|^{N+1})=}&
\end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*}
&\displaystyle{=\sum_ {\scriptstyle |\alpha +\beta |\leq N-1
\atop
\scriptstyle |\alpha |\geq 1} \,B^{\alpha ,\beta }_{k,l}   \,Z^{\alpha} \bar{Z}^{\beta }+\sum_{\scriptstyle |\alpha +\beta |= N+1
\atop
\scriptstyle \alpha _l\geq 1} \,{\cal B}^{\alpha-\delta _l ,\beta }_{k,l}  \,Z^{\alpha-\delta _l} \bar{Z}^{\beta }  +O(|Z|^{N+1} ) }.&
\end{eqnarray*}
De la m�me fa�on que pr�c�demment, on va noter � partir de maintenant $A$ � la place de ${\cal A}$, $B$  � la place de ${\cal B}$ et $z$  � la place de $Z$. Avec ces notations on obtient en conclusion que les matrices $A(z)$ et $B(z)$ peuvent �tre �crites sous les formes asymptotiques $\eqref{AN}$ et $\eqref{BN}$, avec les conditions correspondantes sur les coefficients $B^{\alpha ,\beta }_{k,l}$. 
\\
\\
{\bf II) Preuve de la formule $\eqref{formA}$} 
\\
On montre maintenant la formule  $\eqref{formA}$ � l'aide d'une r�currence sur $N\geq 2$. Pour simplifier les notations dans les calculs qui suivront on utilisera les conventions $A^{\alpha ,0}=A^{0,\beta }=0$.  En tenant compte des expressions $\eqref{AN}$ et $\eqref{BN}$  pour $2\leq N\leq 3$ on peut �crire la relation $A^2=-I_n-\overline{B}\cdot B$ sous la forme
\begin{eqnarray*}
&\displaystyle{-I_n-\sum_{|\alpha +\beta |\leq N}\,A^{\alpha ,\beta }\,z^{\alpha }\bar{z}^{\beta}+O(|z|^{N+1})=}&
\\
\\
&\displaystyle{=-I_n-\sum_{|\alpha +\beta |\leq N}\,\Big(\sum_{\scriptstyle \mu +\rho =\alpha 
\atop
\scriptstyle \lambda +\gamma=\beta } \,\overline{B}^{\lambda }\cdot B^{\rho ,\gamma}    \Big)\,z^{\alpha }\bar{z}^{\beta}+O(|z|^{N+1})  } ,&    
\end{eqnarray*}
(rappelons qu'on utilise la convention $B^{0,\beta }=0$). On a alors 
$$
A^{\alpha ,\beta }= \sum_{\scriptstyle \mu +\rho =\alpha 
\atop
\scriptstyle \lambda +\gamma=\beta } \,\overline{B}^{\lambda }\cdot B^{\rho ,\gamma}  
$$
pour $2\leq |\alpha +\beta |\leq 3$, qui n'est rien d'autre que la formule $\eqref{formA}$ dans les cas particuliers en consid�ration. Nous supposons maintenant avoir montr� la formule $\eqref{formA}$ pour $2\leq |\alpha +\beta |\leq N$. Comme pr�c�demment la relation $A^2=-I_n-\overline{B}\cdot B$ s'�crit, � l'aide des expressions $\eqref{AN}$ et $\eqref{BN}$ pour $N+1$, sous la forme:
\begin{eqnarray*}
&\displaystyle{-I_n-\sum_{|\alpha +\beta |\leq N+1}\,A^{\alpha ,\beta }\,z^{\alpha }\bar{z}^{\beta}-\frac{1}{4}\sum_{|\alpha +\beta |\leq N+1}\,\Big(\sum_{\scriptstyle \lambda  +\rho =\alpha 
\atop
\scriptstyle \mu  +\gamma=\beta }\,A^{\lambda }\cdot A^{\rho ,\gamma}\Big)\,z^{\alpha }\bar{z}^{\beta}+  O(|z|^{N+2})=}&
\end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*}
&\displaystyle{=-I_n-\sum_{|\alpha +\beta |\leq N+1}\,\Big(\sum_{\scriptstyle \mu +\rho =\alpha 
\atop
\scriptstyle \lambda +\gamma=\beta } \,\overline{B}^{\lambda }\cdot B^{\rho ,\gamma}    \Big)\,z^{\alpha }\bar{z}^{\beta}+O(|z|^{N+2})  }&    
\end{eqnarray*}
Cette identit� implique que pour tout $\alpha ,\,\beta ,\,|\alpha +\beta |= N+1$ on a:
$$
A^{\alpha ,\beta }=\sum_{\scriptstyle \mu +\rho =\alpha 
\atop
\scriptstyle \lambda +\gamma=\beta } \,\overline{B}^{\lambda }\cdot B^{\rho ,\gamma}-\frac{1}{4}  \sum_{\scriptstyle \lambda  +\rho =\alpha 
\atop
\scriptstyle \mu  +\gamma=\beta }\,A^{\lambda }\cdot A^{\rho ,\gamma}  .
$$
En rappelant la convention $A^{0,\beta }=A^{\alpha ,0}=0$ on a que les termes non nuls de la derni�re somme sont les termes relatifs aux multi-indices $|\lambda +\mu |,|\rho +\gamma|\leq N$. En utilisant l'hypoth�se r�cursive relativement � l'expression  $\eqref{formA}$ on peut �crire l'expression pr�c�dente de la matrice $A^{\alpha ,\beta }$ sous la forme;
\begin{eqnarray*}
A^{\alpha ,\beta }=\sum_{\scriptstyle \mu +\rho =\alpha 
\atop
\scriptstyle \lambda +\gamma=\beta } \,\overline{B}^{\lambda} B^{\rho ,\gamma}-\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad
\\
\\
-\frac{1}{4}\sum_{\substack{
\lambda  +\rho =\alpha 
\\
\mu  +\gamma=\beta
\\ 
\\
1\leq k_1\leq [|\lambda +\mu |/2]
\\ 
\\
 1\leq k_2\leq [|\rho +\gamma|/2]} }\; \sum _{\substack{ \sum_{r_1=1}^{k_1} \,(\rho _{r_1} +\mu _{r_1})=\lambda   
\\
\\
\sum_{r_1=1}^{k_1} \,(\lambda_{r_1}+\gamma_{r_1} )=\mu
\\
\\
\sum_{r_2=1}^{k_2} \,(\rho _{r_2}+\mu _{r_2})=\rho 
\\
\\
\sum_{r_2=1}^{k_2} \,(\lambda_{r_2}+\gamma_{r_2} )=\gamma }   } \,(-4)^{-(k_1+k_2-2)}
\prod_{1\leq r_1\leq k_1 }^{\longrightarrow}\overline{B}^{\lambda_{r_1} ,\mu _{r_1} }
 B^{\rho _{r_1}, \gamma_{r_1}} 
\prod_{1\leq r_2\leq k_2 }^{\longrightarrow}\overline{B}^{\lambda_{r_2} ,\mu _{r_2} }
 B^{\rho _{r_2}, \gamma_{r_2}}.
\end{eqnarray*}
En analysant l'ensemble des indices qui apparaissent sous les sommes pr�c�dentes on s'aper�oit de la validit� de l'expression $\eqref{formA}$ relativement aux multi-indices $\alpha ,\,\beta $ en consid�ration. \hfill $\Box$
\\
\\
{\bf Preuve du corollaire \ref{J3} }
\\
Le rep�re local $\zeta _k=(\partial /\partial z_k)^{1,0}_{_{J} }, \,k=1,...,n$ s'�crit sous la forme
\begin{eqnarray*}
&\displaystyle{
\zeta _k=\frac{1}{2}\frac{\partial}{\partial z_k}   -\frac{i}{2}\sum_r\Big(A_{r,k}\frac{\partial}{\partial z_r}  +
B_{r,k}\frac{\partial}{\partial \bar{z}_r}\Big)=}&
\\
\\
&\displaystyle{
=\frac{\partial}{\partial z_k} +\frac{1}{4}\sum_{p,h,t,j}\,\overline{B}^h_{t,j} B^p_{j,k}\,z_p\bar{z}_h  \frac{\partial}{\partial z_t} -\frac{i}{2}\sum_t\, {\bf jet}_2B_{t,k}(z)\,\frac{\partial}{\partial \bar{z}_t}  +O(|z|^3)   }&
\end{eqnarray*}
o� ${\bf jet}_2\, B_{t,l}(z)$ d�signe le jet d'ordre $2$ du coefficient $B_{t,l}$ de la structure presque complexe $J$ par rapport aux coordonn�es en question.
On d�duit alors facilement l'expression suivante pour le crochet
$$
[\zeta _k,\zeta _l]=\frac{i}{2}\sum_r\,\Big\{B^l_{r,k}+\sum_p\Big[2(B^{l,p}_{r,k}-B^{k,p}_{r,k})\,z_p+B^{l,\bar{p}}_{r,k}\,\bar{z}_p\Big] \Big\} \frac{\partial}{\partial \bar{z}_r} -\frac{1}{4}\sum_{pr,j}\,\overline{B}^p_{r,j}B^l_{j,k}\,\bar{z}_p\frac{\partial}{\partial z_r}+O(|z|^2).        
$$
En tenant compte de l'expression de la structure presque complexe � l'ordre un
$$
J(z)=i\sum_k\,\Big(dz_k\otimes\frac{\partial}{\partial z_k}-d\bar{z}_k\otimes\frac{\partial}{\partial \bar{z}_k}\Big)+
\sum_{k,l,p}\Big(B^p_{k,l}\,z_p\,dz_l\otimes \frac{\partial}{\partial \bar{z}_k}+
\overline{B}^p_{k,l}\,\bar{z}_p\,d\bar{z}_l\otimes \frac{\partial}{\partial z_k} \Big)+O(|z|^2) 
$$
on obtient l'expression
$$
J[\zeta _k,\zeta _l]=\frac{1}{2}\sum_r\,\Big\{B^l_{r,k}+\sum_p\Big[2(B^{l,p}_{r,k}-B^{k,p}_{r,k})\,z_p+B^{l,\bar{p}}_{r,k}\,\bar{z}_p\Big] \Big\} \frac{\partial}{\partial \bar{z}_r} +\frac{i}{4}\sum_{pr,j}\,\overline{B}^p_{r,j}B^l_{j,k}\,\bar{z}_p\frac{\partial}{\partial z_r}+O(|z|^2).
$$
On d�duit alors l'expression
$$
[\zeta _k,\zeta _l]^{0,1}_{_{J} }  =\frac{i}{2}\sum_r\,\Big\{B^l_{r,k}+\sum_p\Big[2(B^{l,p}_{r,k}-B^{k,p}_{r,k})\,z_p+B^{l,\bar{p}}_{r,k}\,\bar{z}_p\Big] \Big\} \frac{\partial}{\partial \bar{z}_r} -\frac{1}{4}\sum_{pr,j}\,\overline{B}^p_{r,j}B^l_{j,k}\,\bar{z}_p\frac{\partial}{\partial z_r}+O(|z|^2).        
$$
En tenant compte de l'expression
$$
\bar{\zeta}_r= \frac{\partial}{\partial \bar{z}_r} +\frac{i}{2}\sum_{s,p}\,\overline{B}^p_{s,r}\,\bar{z}_p\frac{\partial}{\partial z_s}+   O(|z|^2)
$$
on d�duit l'expression voulue pour les coefficients $\overline{N}^*_{*,*}$ de la forme de torsion de la structure presque complexe. Ces coefficients s'annulent � l'ordre $k=0,1$ si et seulement si les coefficients $B_{*,*}(z)$ de la structure presque complexe s'annulent � l'ordre $k+1$. En effet supposons que $T^{k,l,s}_r:= B^{l,s}_{r,k}-B^{k,s}_{r,l}$ soit nul pour tout les indices $k,l,s,r$. Si $k$ ou $l$ est le maximum de l'ensemble $\{k,l,s\}$ alors on a imm�diatement 
$B^{l,s}_{r,k}=B^{k,s}_{r,l}=0$. Sinon, $s=\max\{k,l,s\}$ et donc $T^{k,s,l}_r=B^{s,l}_{r,k}=B^{l,s}_{r,k}=0$. \hfill $\Box$
\\
\\
Le calcul fait dans la preuve du corollaire $\ref{J3}$ montre que $M^*=O(|z|^2)$. Une cons�quence imm�diate des formules $\eqref{A} $ et $\eqref{B}$  est le corollaire suivant.
\begin{coro}\label{corholo}
Soient $(z_1,...,z_n)$ des coordonn�es presque complexes � l'ordre $N\geq 1$ en un point $x$ et soit 
$Z_k=z_k+\sum_{|\alpha |=N+1}\,C^k_{\alpha }\,z^{\alpha}$ un changement de coordonn�es holomorphe. Alors les coordonn�es $(Z_1,...,Z_n)$ sont presque complexes � l'ordre $N$ en $x$ et les coefficients $B^{*,*}_{*,*}$ du jet d'ordre $N$ de la structure presque complexe par rapport aux nouvelles coordonn�es sont les m�mes que les coefficients relatifs aux coordonn�es $(z_1,...,z_n)$. 
\end{coro}   
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Expression asymptotique normale � l'ordre un d'une connexion de Chern sur le fibr� tangent}\label{Exp-asymp-Chern} 
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
Le lemme suivant est n�cessaire pour le calcul asymptotique du flot g�od�sique induit par une connexion de Chern sur le fibr� tangent. L'expression asymptotique du flot de Chern est utile pour une technique de r�gularisation globale des $(1,1)$-courants positifs du type $i\partial_{_{J}}\bar{\partial}_{_{J}}u$ sur les vari�t�s presque complexes (voir le chapitre trois pour plus de d�tails). Ce lemme et celui qui suivra montrent de fa�on optimale combien on est loin du cas K�hlerien, o� on dispose de coordonn�es g�od�siques complexes centr�es en un point.
\begin{lem}\label{Exp-asym-Conn-Chern} 
Soit $(X,J)$ une vari�t� presque complexe, $\omega\in {\cal E}(\Lambda ^{1,1}_{_J}T_X^*)(X)$ une m�trique hermitienne et soient $(z_1,...,z_n)$  des coordonn�es presque complexes d'ordre $N\geq 2$ en un point $x$ telles que le rep�re normal $(\zeta _k+\bar{\zeta}_k)_k\in{\cal E}(T_X)(U_x),\,\zeta _k=(\partial/\partial z_k)^{1,0}_{_{J} }$ soit $\omega (x)$-orthonorm�. La m�trique $\omega $ s'�crit alors sous la forme 
\begin{eqnarray}\label{jetmetri}  
&\displaystyle{
\omega =\frac{i}{2}\sum_{l,m}\,\Big[h_{l,m}+
\frac{i}{4}\sum_{j,k,r} \,B^j_{r,l}\overline{B}^k_{r,m}\,z_j\bar{z}_k  \Big]\,dz_l\wedge d\bar{z}_m }&\nonumber
\\\nonumber
\\  
&\displaystyle{-\frac{1}{4}\sum_{l,m}\,{\bf jet}_2 B_{l,m}(z)\,dz_l\wedge dz_m
-\frac{1}{4}\sum_{l,m} \,\overline{{\bf jet}_2 B_{l,m}(z)}\,d\bar{z}_l\wedge d\bar{z}_m+O(|z|^3)},&
\end{eqnarray}
o�
$$
h_{l,m}=\delta _{l,m}+\sum_p\,\Big(H^p_{l,m}\,z_p+\overline{H}^p_{m,l}\,\bar{z}_p\Big)%}&
%&\displaystyle{
+\sum_{p,h}\,\Big(H^{p,h}_{l,m}\,z_pz_h+\overline{H}^{p,h}_{m,l}\,\bar{z}_p\bar{z}_h+H^{p,\bar{h}}_{l,m}\,z_p\bar{z}_h\Big)+O(|z|^3) 
$$
et ${\bf jet}_2\, B_{l,m}$ d�signe le jet d'ordre $2$ du coefficient $B_{l,m}$ de la structure presque complexe $J$ par rapport aux coordonn�es en question. Pour tous champs de vecteurs r�els
$
\eta= \sum_k\,(\eta _k \frac{\partial}{\partial z_k}+\bar{\eta}_k\frac{\partial}{\partial \bar{z}_k})
$
$
\in{\cal E}(T_X)(U_x)
$
on a l'expression asymptotique de la d�riv�e de Chern
$$
D^{\omega}_{_{J} }\,\eta=\sum_k\,\Big[d\eta_k+\sum_l\,\Big(E_{k,l}\,\eta_l-
\frac{i}{2}(d\;\overline{ {\bf jet}_2B_{k,l} }\,) \,\bar{\eta}_l\Big)\Big]\otimes_{_{J_0} }\frac{\partial}{\partial z_k}+O(|z|^2),
$$
o� 
$$
E_{k,l}:=\sum_p\,\Big[H^p_{l,k}+\sum_h\,(S^{p,h}_{k,l}\,z_h+S^{p,\bar{h}}_{k,l}\,\bar{z}_h)\Big]\,dz_p+
\sum_{p,h}\,(S^{\bar{p},h}_{k,l}\,z_h+S^{\bar{p},\bar{h}}_{k,l}\,\bar{z}_h)\,d\bar{z}_p.
$$
Les coefficients $S^{*,*}_{k,l}$ sont donn�es par les formules
\begin{align*}
&S^{\bar{p},h}_{k,l}=\frac{1}{4}\sum_j\,(\overline{B}^j_{k,p}-\overline{B}^p_{k,j})B^h_{j,l}  \,, 
&\quad 
S^{\bar{p},\bar{h}}_{k,l}=\frac{i}{2}\overline{B}^{h,\bar{l}}_{k,p}
-\frac{i}{2}\sum_j\,H^j_{l,k}\overline{B}^h_{j,p}\,,  
\\
&S^{p,h}_{k,l}=2H^{p,h}_{l,k}-\frac{i}{2}B^{h,\bar{k}}_{l,p}
-\sum_j\,\Big(H^p_{l,j}H^h_{j,k}+\frac{i}{2}\overline{H}^j_{k,l}B^h_{j,p}\Big)\,,
&\quad 
S^{p,\bar{h}}_{k,l}=-C^{p,h}_{k,l}(0)-\frac{1}{4}\sum_j\,\overline{B}^j_{k,h}B^p_{j,l} ,
\end{align*}
o� $C^{p,h}_{k,l}(0)$ sont les coefficients de la courbure de Chern 
$$
{\cal C}_{\omega }(T_{X,J})=\sum_{j,k,m,l}\,C^{j,k}_{m,l}(0)\,dz_j\wedge d\bar{z}_k\otimes dz_l
\otimes_{_{J_0} }\frac{\partial}{\partial z_m}    +O(|z|).    
$$
au point $x$. Ils sont donn�s par la formule
\begin{eqnarray}\label{valcurvat} 
C^{j,k}_{m,l}(0)=-H^{j,\bar{k}}_{l,m}+ \frac{1}{4}\sum_r\,\Big[4H^j_{l,r}\overline{H}^k_{m,r}+(\overline{B}^k_{m,r} -\overline{B}^r_{m,k})B^j_{r,l} 
+(B^j_{l,r}-B^r_{l,j})\overline{B}^k_{r,m}\Big].
\end{eqnarray}
\\
\end{lem}
$Preuve$
\\
On d�duit facilement d'apr�s la preuve du corollaire $\ref{J3}$ l'expression asymptotique � l'ordre deux du rep�re $(\zeta _l)_l$ et du rep�re dual $(\zeta ^*_l)_{l}$. On a les expressions asymptotiques suivantes.
\begin{eqnarray}
&\displaystyle{\zeta _l=\frac{\partial}{\partial z_l} +\frac{1}{4}\sum_{p,h,t,j}\,\overline{B}^h_{t,j} B^p_{j,l}\,z_p\bar{z}_h  \frac{\partial}{\partial z_t} -\frac{i}{2}\sum_t\, {\bf jet}_2B_{t,l}(z)\,\frac{\partial}{\partial \bar{z}_t}  +O(|z|^3)   }&\label{reptan} 
\\\nonumber
\\
&\displaystyle{\zeta^* _l=dz_l-\frac{i}{2}\sum_t\, \overline{ {\bf jet}_2B_{l,t}(z) } \,d\bar{z}_t+O(|z|^3) }.&\label{repdual} 
\end{eqnarray}
En tenant compte de cette derni�re expression on d�duit que la m�trique
$
\omega =\frac{i}{2}\sum_{l,m}h_{l,m}\,\zeta _l^*\wedge\bar{\zeta}^*_m  
$
s'�crit sous la forme $\eqref{jetmetri}$.
On calcule maintenant les expressions asymptotiques des coefficients $U^*$, d�finis dans la section $1$, relativement au rep�re $\zeta _l=(\partial /\partial z_l)^{1,0}_{_{J} }, \,l=1,...,n$. Pour tout indice $k,h$ on a
\begin{eqnarray*}
&\displaystyle{[\zeta _k,\bar{\zeta} _h]=\sum_{r,l} \,\Big[\frac{i}{2}\overline{B}^{l,\bar{k}}_{r,h}\,\bar{z}_l 
+\frac{1}{4}\sum_j\,(\overline{B}^j_{r,h}-\overline{B}^h_{r,j})B^l_{j,k} \,z_l \Big]\frac{\partial}{\partial z_r }     }&
\\
\\
&\displaystyle{+\sum_{r,l} \,\Big[\frac{i}{2}B^{l,\bar{h}}_{r,k}\,z_l+\frac{1}{4}\sum_j\,(B^k_{r,j}-B^j_{r,k})\overline{B}^l_{j,h}  \,\bar{z}_l\Big]\frac{\partial}{\partial \bar{z}_r }+O(|z|^2)}& 
\end{eqnarray*}
En tenant compte de l'expression de la structure presque complexe � l'ordre un
$$
J(z)=i\sum_k\,\Big(dz_k\otimes\frac{\partial}{\partial z_k}-d\bar{z}_k\otimes\frac{\partial}{\partial \bar{z}_k}\Big)+
\sum_{k,l,p}\Big(B^p_{k,l}\,z_p\,dz_l\otimes \frac{\partial}{\partial \bar{z}_k}+
\overline{B}^p_{k,l}\,\bar{z}_p\,d\bar{z}_l\otimes \frac{\partial}{\partial z_k} \Big)+O(|z|^2) 
$$
on obtient l'expression
\begin{eqnarray*}
&\displaystyle{J[\zeta _k,\bar{\zeta} _h]=\sum_{r,l} \,\Big[-\frac{1}{2}\overline{B}^{l,\bar{k}}_{r,h}\,\bar{z}_l 
+\frac{i}{4}\sum_j\,(\overline{B}^j_{r,h}-\overline{B}^h_{r,j})B^l_{j,k} \,z_l \Big]\frac{\partial}{\partial z_r }     }&
\\
\\
&\displaystyle{+\sum_{r,l} \,\Big[\frac{1}{2}B^{l,\bar{h}}_{r,k}\,z_l-\frac{i}{4}\sum_j\,(B^k_{r,j}-B^j_{r,k})\overline{B}^l_{j,h}  \,\bar{z}_l\Big]\frac{\partial}{\partial \bar{z}_r }+O(|z|^2)}& 
\end{eqnarray*}
On a alors
$$
[\zeta _k,\bar{\zeta} _h]^{1,0}_{_{J} } =\sum_{r,l} \,\Big[\frac{1}{4}\sum_j\,(\overline{B}^j_{r,h}-\overline{B}^h_{r,j})B^l_{j,k} \,z_l+\frac{i}{2}\overline{B}^{l,\bar{k}}_{r,h}\,\bar{z}_l  \Big]\frac{\partial}{\partial z_r } +O(|z|^2).
$$
En tenant compte de l'expression asymptotique � l'ordre un du rep�re $(\zeta_k )_k$ on d�duit l'expression
\begin{eqnarray}\label{conexionA} 
U^r_{k,h}(z)=\sum_l \,\Big[\frac{1}{4}\sum_j\,(\overline{B}^j_{r,h}-\overline{B}^h_{r,j})B^l_{j,k} \,z_l+\frac{i}{2}\overline{B}^{l,\bar{k}}_{r,h}\,\bar{z}_l  \Big] +O(|z|^2),
\end{eqnarray}
qui nous donne l'expression normale asymptotique � l'ordre un de la forme de connexion $A''_{\zeta }$ relative au rep�re normal $\zeta _k=(\partial/\partial z_k)^{1,0}_{_{J} }$. Nous calculons maintenant l'expression asymptotique � l'ordre un de la forme de connexion $A'_{\zeta }$ � l'aide de l'expression pr�c�dente de la forme $A''_{\zeta }$. La matrice inverse $H^{-1}=(h^{r,k})$ admet le developpement asymptotique suivant.$$
h^{r,k}=\delta_{r,k}-\sum_j\,(H^j_{r,k}\,z_j+\overline{H}^j_{k,r}\,\bar{z}_j)+O(|z|^2).
$$
En utilisant l'expression de la forme $A'_{\zeta }$ obtenue dans la preuve du th�or�me $\ref{teorconchern}$ on d�duit l'expression
$$
(A'_{\zeta })_{k,l}=\sum_r\,h^{r,k}\partial_{_{J}}h_{l,r}+\sum_p\overline{U}^l_{k,p}\,dz_p+O(|z|^2),
$$
avec $\partial_{_{J}}h_{l,r}=\sum_p\,(\zeta_p\,.h_{l,r})\zeta^*_p$, o�
$$
\zeta_p\,.h_{l,r}=H^p_{l,r}+\sum_h\,\Big[\Big(2H^{p,h}_{l,r}-
\frac{i}{2}\sum_t\,\overline{H}^t_{r,l}B^h_{t,p}\Big)\,z_h+H^{p,\bar{h}}_{l,r}\,\bar{z}_h\Big]+O(|z|^2).
$$
En utilisant l'expression du jet d'ordre un du rep�re $(\zeta^*_p)_p$ on obtient l'expression
\begin{eqnarray*}
&\displaystyle{
\partial_{_{J}}h_{l,r}=\sum_p\,\Big\{H^p_{l,r}+\sum_h\,\Big[\Big(2H^{p,h}_{l,r}-
\frac{i}{2}\sum_t\,\overline{H}^t_{r,l}B^h_{t,p}\Big)\,z_h+H^{p,\bar{h}}_{l,r}\,\bar{z}_h\Big]\Big\}\,dz_p}&\\
\\
&\displaystyle{
-\frac{i}{2}\sum_{p,t,h}\,H^t_{l,r}\overline{B}^h_{t,p}\,\bar{z}_h\,d\bar{z}_p+O(|z|^2).}&
\end{eqnarray*}
On d�duit alors l'expression asymptotique � l'ordre un de la forme de connexion de Chern $A_{\zeta }=A'_{\zeta }+A''_{\zeta }$.
$$
A_{\zeta }=\partial_{_{J}}h_{l,k}-\sum_{p,r,j}\,H^p_{l,r}(H^j_{r,k}\,z_j+\overline{H}^j_{k,r}\,\bar{z}_j)\,dz_p+\sum_p\,(\overline{U}^l_{k,p}\,dz_p-U^k_{l,p}\,d\bar{z}_p).
$$
La matrice de la forme de connexion de l'extension 
$
D^{\omega}_{_{J} }:{\cal E}(T_X\otimes_{_{\R}}\C) \longrightarrow {\cal E}(T^*_X\otimes_{_{\R}}(T_X\otimes_{_{\R}}\C))
$
de la connexion de Chern au complexifi� du fibr� tangent $T_X\otimes_{_{\R}}\C$ par rapport au rep�re 
$(\zeta_k,\bar{\zeta}_k)_k$ est
$$
A_{\zeta,\bar{\zeta}}=\left(
\begin{array}{cc} 
A_{\zeta }& 0_n
\\
0_n& \overline{A}_{\zeta } 
\end{array}  
\right).
$$
On doit maintenant calculer la matrice $A_z$ de la forme de connexion de l'extension de la connexion de Chern par rapport au rep�re $(\frac{\partial}{\partial z_k},\frac{\partial}{\partial \bar{z}_k})_k$ du complexifi� du fibr� tangent $T_X\otimes_{_{\R}}\C$. La formule $\eqref{reptan}$ nous donne l'expression asymptotique de la matrice $g^{-1}$ du changement de rep�re $(\zeta_k,\bar{\zeta}_k)_k=(\frac{\partial}{\partial z_k},\frac{\partial}{\partial \bar{z}_k})_k\cdot g^{-1}$. Les expressions asymptotiques � l'ordre deux des matrices $g$ et $g^{-1}$ sont les suivantes 
$$
g=\left(
\begin{array}{cc} 
I_n                          & -\frac{i}{2}\overline{{\bf jet}_2 B}
\\
\\
\frac{i}{2}{\bf jet}_2 B & I_n
\end{array}  
\right)+O(|z|^3),
\qquad
g^{-1}=\left(
\begin{array}{cc} 
T                         & \frac{i}{2}\overline{{\bf jet}_2 B}
\\
\\
-\frac{i}{2}{\bf jet}_2 B & \overline{T}
\end{array}  
\right)+O(|z|^3),
$$
o� $T_{k,l}=\delta_{k,l}+\frac{1}{4}\sum_{p,h,j}\,\overline{B}^h_{k,j} B^p_{j,l}\,z_p\bar{z}_h$. La matrice de la forme de connexion qu'on cherche est donn�e par la formule $A_z=g^{-1}(dg+A_{\zeta,\bar{\zeta}}\,g)$. On a alors les expressions asymptotiques
$$
A_z=g^{-1}\left(
\begin{array}{cc} 
   A_{\zeta }                    & -\frac{i}{2}d\;\overline{{\bf jet}_2 B}
\\
\\
\frac{i}{2}d\;{\bf jet}_2 B & \overline{A}_{\zeta } 
\end{array}  
\right)+O(|z|^3)
=\left(
\begin{array}{cc} 
E                   & -\frac{i}{2}d\;\overline{{\bf jet}_2 B}
\\
\\
\frac{i}{2}d\;{\bf jet}_2 B & \overline{E}
\end{array}  
\right)+O(|z|^3),
$$
ce qui nous donne l'expression voulue de la connexion de Chern. Le fait que le rep�re $(\zeta _k+\bar{\zeta}_k)_k\in{\cal E}(T_X)(U)$ soit $\omega (x)$-orthonorm� en $x$ entra�ne  qu'on dispose de l'�galit� $\eqref{ponctcurvat} $ au point $x$. 
On en d�duit donc la formule
$$
C_{m,l}(x)=\Big(\bar{\partial}_{_J }\partial_{_J } h_{l,m}-
\sum_r\,\bar{\partial}_{_J } h_{r,m}\wedge\partial_{_J } h_{l,r} +\partial_{_J }(A''_{\zeta} )_{m,l}-
\bar{\partial}_{_J }\overline{(A''_{\zeta} )_{l,m}}\Big)(x).
$$
pour les coefficients de l'expression locale $\eqref{localcurvattg} $ du tenseur de courbure de Chern du fibr� tangent.
On a l'expression
$$
\bar{\partial}_{_J }\partial_{_J } H=-\sum_{j,k}\,\frac{\partial}{\partial \bar{z}_k }\,(\zeta _j\,.H)\,dz_j\wedge d\bar{z}_k   +O(|z|)
$$
avec $\zeta _j\,.H=\sum_p\,(2H^{j,p}\,z_p+H^{j,\bar{p}}\,\bar{z}_p)+O(|z|^2)$. On d�duit alors l'expression $$
\bar{\partial}_{_J }\partial_{_J } H=-\sum_{j,k}\, H^{j,\bar{k}}\,dz_j\wedge d\bar{z}_k   +O(|z|).
$$
On a aussi l'expression
$$
\partial_{_J } A''_{\zeta} =\sum_{j,k}\,\frac{\partial}{\partial \bar{z}_j }\,(A''_{\zeta })^k\,dz_j\wedge d\bar{z}_k   +O(|z|).
$$
En rappelant l'expression normale asymptotique $\eqref{conexionA}$ de la forme de connexion $A''_{\zeta}$ par rapport au rep�re normal 
$(\zeta_k)_k$ on d�duit l'expression
$$
\partial_{_J }(A''_{\zeta} )_{m,l}=\frac{1}{4}\sum_{j,k,r}\, (\overline{B}^k_{m,r}-\overline{B}^r_{m,k} )B^j_{r,l} \,dz_j\wedge d\bar{z}_k   +O(|z|).   
$$
En combinant les expressions ainsi obtenues on obtient l'expression $\eqref{valcurvat}$ pour les coefficients $C^{j,k}_{m,l}(x)$ de la courbure au point $x$.\hfill $\Box$
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Le cas d'une m�trique symplectique sur une vari�t� presque complexe}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
Dans le cas o� la vari�t� presque complexe admet une m�trique symplectique, certains des coefficients du lemme pr�c�dent se simplifient. On a le lemme suivant.
\begin{lem} 
Soit $(X,J)$ une vari�t� presque complexe admettant une m�trique symplectique $\omega\in {\cal E}(\Lambda ^{1,1}_{_J}T_X^*)(X)$. Pour tout point $x$ on peut choisir des coordonn�es presque complexes $(z_1,...,z_n)$ d'ordre $N\geq 2$ en $x$ telles que
\begin{eqnarray*}
&\displaystyle{
\omega =\frac{i}{2}\sum_l dz_l\wedge d\bar{z}_l+\frac{i}{2}\sum_{l,m,j,k}\,\Big[H^{j,k}_{l,m}\,z_jz_k+\overline{H}^{j,k}_{m,l}\,\bar{z}_j\bar{z}_k%}&
%\\
%\\
%&\displaystyle{
+\Big(H^{j,\bar{k}}_{l,m}+\frac{i}{4}\sum_r\,B^j_{r,l}\overline{B}^k_{r,m}\Big)z_j\bar{z}_k  \Big]\,dz_l\wedge d\bar{z}_m }&
\\
\\  
&\displaystyle{-\frac{1}{4}\sum_{l,m}\,{\bf jet}_2 B_{l,m}(z)\,dz_l\wedge dz_m
-\frac{1}{4}\sum_{l,m} \,\overline{{\bf jet}_2 B_{l,m}(z)}\,d\bar{z}_l\wedge d\bar{z}_m+O(|z|^3)}.&
\end{eqnarray*}
Quels que soient les coordonn�es presque complexes $(z_1,...,z_n)$ d'ordre $N\geq 2$ en $x$  pour lesquelles la m�trique $\omega $ s'�crit sous la forme pr�c�dente on a l'expression suivante pour le tenseur de courbure de Chern.
\begin{eqnarray*}
&\displaystyle{{\cal C}_{\omega }(T_{X,J})=\sum_{j,k,m,l}\,C^{j,k}_{m,l}(0)\,dz_j\wedge d\bar{z}_k\otimes dz_l
\otimes_{_{J_0} }\frac{\partial}{\partial z_m}    +O(|z|)    }& 
\end{eqnarray*}
avec
\begin{eqnarray*}
C^{j,k}_{m,l}(0)=-H^{j,\bar{k}}_{l,m}+ \frac{1}{4}\sum_r\,\Big[(\overline{B}^k_{m,r} -\overline{B}^r_{m,k})B^j_{r,l} 
+(B^j_{l,r}-B^r_{l,j})\overline{B}^k_{r,m}\Big].
\end{eqnarray*}
\end{lem} 
Contrairement au cas K�hlerien, (voir \cite{B-D-I-P}) on ne peut pas �liminer les termes $H^{j,k}_{l,m}\,z_jz_k$ et $\overline{H}^{j,k}_{m,l}\,\bar{z}_j\bar{z}_k$. L'obstruction d�rive des termes d'ordre un du jet de la torsion de la structure presque complexe.
\\
\\
$Preuve$
\\
Soient $(z_1,...,z_n)$ des coordonn�es presque complexes d'ordre un au point $x$ et $(\zeta _k+\bar{\zeta}_k)_k\in{\cal E}(T_X)(U)$, $\zeta _k=(\partial/\partial z_k)^{1,0}_{_{J} }$ un rep�re $\omega (x)$-orthonorm�. En consid�rant l'expression du jet d'ordre un du rep�re $(\zeta ^*_k)_k$ on obtient l'expression locale suivante de la m�trique
\begin{eqnarray*}
&\displaystyle{
\omega =\frac{i}{2}\sum_l dz_l\wedge d\bar{z}_l+\frac{i}{2}\sum_{l,m,p}\,\Big(H^p_{l,m}\,z_p+\overline{H}^p_{m,l}\,\bar{z}_p \Big)\,dz_l\wedge d\bar{z}_m }&
\\
\\
&\displaystyle{-\frac{1}{4}\sum_{l,m,p}\, B^p_{l,m}\,z_p\,dz_l\wedge dz_m
-\frac{1}{4}\sum_{l,m} \,\overline{B}^p_{l,m,p}\,\bar{z}_p\,d\bar{z}_l\wedge d\bar{z}_m+O(|z|^2)}.& 
\end{eqnarray*}
Le fait que la m�trique $\omega $ soit symplectique implique l'�galit� $H^p_{l,m}=H^l_{p,m}$. En effectuant le changement de variables 
$$
Z_m=z_m+\frac{1}{2}\sum_{p,l}\,H^p_{l,m}\,z_pz_l
$$
on obtient, d'apr�s le corollaire $\ref{corholo}$, des coordonn�es presque complexes 
$(Z_1,...,Z_n)$ � l'ordre un en $x$ avec les m�mes coefficients $B^{*,*}_{*,*}$ du jet d'ordre un de la structure presque complexe. L'expression de la m�trique par rapport aux nouvelles coordonn�es est
\begin{eqnarray*}
\omega =\frac{i}{2}\sum_l dZ_l\wedge d\bar{Z}_l-\frac{1}{4}\sum_{l,m,p}\, B^p_{l,m}\,Z_p\,dZ_l\wedge dZ_m
-\frac{1}{4}\sum_{l,m} \,\overline{B}^p_{l,m,p}\,\bar{Z}_p\,d\bar{Z}_l\wedge d\bar{Z}_m+O(|Z|^2).
\end{eqnarray*}
A partir des coordonn�es ainsi obtenues on peut construire (d'apr�s la preuve de la proposition $\ref{JN} $) des coordonn�es presque complexes d'ordre $N\geq 2$ en $x$ tout en conservant les coefficients $B^{*,*}_{*,*}$ du jet d'ordre un de $J$. En tenant compte de l'expression $\eqref{repdual}$ du jet d'ordre deux du rep�re $(\zeta ^*_k)_k$ par rapport aux coordonn�es en question  on d�duit facilement que la m�trique $\omega$ s'�crit sous la forme donn�e dans l'�nonc� du lemme.\hfill$\Box$ 
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Expression asymptotique normale du flot g�od�sique d'une connexion de Chern sur le fibr� tangent}\label{Exp-asymp-FlotChern} 
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
On rappelle que par d�finition $\exp_z(v):=\gamma (1)$, o� $\gamma :[0,1]\longrightarrow X$ est la courbe g�od�sique solution de l'�quation diff�rentielle ordinaire $(\gamma ^*D^{\omega} _{_{J} })\dot{\gamma} =0,\,\dot{\gamma}:=d\gamma /dt\in {\cal E}(\gamma ^*T_X)((0,1]) $ avec les conditions initiales $\gamma (0)=z$ et $\dot{\gamma}(0)=v$.
Le r�sultat suivant est une g�n�ralisation dans le cas presque complexe non int�grable d'un calcul fait par Demailly dans \cite{Dem-2}. 
\begin{theo}
Soit $(X,J)$ une vari�t� presque complexe, $\omega\in {\cal E}(\Lambda ^{1,1}_{_J}T_X^*)(X)$ une m�trique hermitienne et soient $(z_1,...,z_n)$  des coordonn�es presque complexes d'ordre $N\geq 2$ en un point $x$ telles que le rep�re normal $(\zeta _k+\bar{\zeta}_k)_k\in{\cal E}(T_X)(U_x),\,\zeta _k=(\partial/\partial z_k)^{1,0}_{_{J} }$ soit $\omega (x)$-orthonorm�. Le flot g�od�sique $\exp: {\cal U}\subset T_X\longrightarrow X$  induit par la connexion de Chern du fibr� tangent
$$
D^{\omega} _{_{J} }: {\cal E}(T_{X,J}) \longrightarrow {\cal E}(T^*_X\otimes_{_{\R}}T_{X,J})$$
associ� � la m�trique $\omega$, $($ici ${\cal U}\subset T_X$ d�signe un voisinage ouvert de la section nulle$)$, admet l'expression asymptotique suivante au point $(x,0)\in T_{X,x}$ :
\begin{eqnarray*}
&\displaystyle{
\exp_z(v)_k=z_k+v_k-\frac{1}{2}\sum_{l,p,h}\Big[\Big(\hat{S}^{p,h}_{k,l}\,z_h+ S^{p,\bar{h}}_{k,l}\,\bar{z}_h\Big)v_pv_l+\Big(S^{\bar{p},h}_{k,l}\,z_h+S^{\bar{p},\bar{h}}_{k,l}\,\bar{z}_h\Big)\bar{v}_pv_l \Big] }&
\\
\\
&\displaystyle{+\frac{i}{4}\sum_{p,l}\Big[\overline{B}^p_{k,l}+\sum_h\Big(\overline{B}^{p,\bar{h}}_{k,l}\,z_h+2\overline{B}^{p,h}_{k,l}\,\bar{z}_h\Big)\Big]\bar{v}_p\bar{v}_l+O(|v|^2(|z|^2+|v|)) }& 
\end{eqnarray*}  
o� 
$
v= \sum_k\,(v_k \frac{\partial}{\partial z_k}+\bar{v}_k\frac{\partial}{\partial \bar{z}_k})\in T_{X,z} 
$, 
$
\hat{S}^{p,h}_{k,l}:=2H^{p,h}_{l,k}-\frac{i}{2}B^{h,\bar{k}}_{l,p}
-\frac{i}{2}\sum_j\overline{H}^j_{k,l}B^h_{j,p}
$
et les autres coefficients $S^{*,*}_{k,l}$ sont donn�s dans l'�nonce du lemme \ref{Exp-asym-Conn-Chern}.
\end{theo} 
$Preuve$. Par rapport aux coordonn�es presque complexes en question nous consid�rons les �critures $\gamma (t)\equiv(\gamma _1(t),...,\gamma _n(t))$ et
$$
\dot{\gamma}(t)=\sum_k\Big(\dot{\gamma}_k(t)\frac{\partial}{\partial z_k}{\vphantom{z_k} } _{| _{_\gamma (t)} }+\overline{\dot{\gamma}_k(t)} \frac{\partial}{\partial \bar{z} _k}{\vphantom{\bar{z}_k} } _{| _{_\gamma (t)} } \Big).
$$
On pose par d�finition $\ddot{\gamma}_k:=d^2\gamma _k/dt^2$. On d�duit d'apr�s le lemme \ref{Exp-asym-Conn-Chern} que l'�quation diff�rentielle ordinaire $(\gamma ^*D^{\omega} _{_{J} })\dot{\gamma} =0$ s'�crit sous la forme
\begin{eqnarray}\label{eq-g�odesiq}  
\ddot{\gamma}_k(t)+\sum_l\,\Big[E_{k,l\,|_{\gamma (t)}}(\dot{\gamma}(t))\cdot\dot{\gamma}_l(t)  -
\frac{i}{2}d\;\overline{ {\bf jet}_2B_{k,l\,|_{\gamma (t)}} }(\dot{\gamma}(t))\cdot \overline{\dot{\gamma}_l(t)} \Big]
+O(|\gamma (t)|^2) |\dot{\gamma}(t)|^2=0.\;\;
\end{eqnarray} 
Les conditions initiales $\gamma (0)=z$ et $\dot{\gamma}(0)=v$ donnent l'expression asymptotique $\gamma _k(t)=z_k+tv_k+O(t^2|v|^2)$. On remarque que si $\tau _{_{J}}(x)=0$ alors le terme d'erreur est $O(t^2|z|\, |v|^2)$. En rempla�ant l'expression pr�c�dente dans l'�quation \eqref{eq-g�odesiq} et en remarquant qu'on peut toujours supposer la condition $H^p_{l,k}=-H^l_{p,k}$ on obtient l'expression asymptotique suivante pour les d�riv�es deuxi�mes de la courbe $\gamma$ :
\begin{eqnarray*}
&\displaystyle{
\ddot{\gamma}_k(t)=-\sum_{l,p,h}\Big[\Big(\hat{S}^{p,h}_{k,l}\,z_h+ S^{p,\bar{h}}_{k,l}\,\bar{z}_h\Big)v_pv_l+\Big(S^{\bar{p},h}_{k,l}\,z_h+S^{\bar{p},\bar{h}}_{k,l}\,\bar{z}_h\Big)\bar{v}_pv_l \Big] }&
\\
\\
&\displaystyle{+\frac{i}{2}\sum_{p,l}\Big[\overline{B}^p_{k,l}+\sum_h\Big(\overline{B}^{p,\bar{h}}_{k,l}\,z_h+2\overline{B}^{p,h}_{k,l}\,\bar{z}_h\Big)\Big]\bar{v}_p\bar{v}_l+O(|v|^2(|z|^2+|v|))(t)}.& 
\end{eqnarray*}
Si $\tau _{_{J}}(x)=0$ alors le calcul peut �tre effectue avec plus de pr�cision  car les termes $\overline{B}^p_{k,l}$ sont nuls dans ce cas. Le terme d'erreur serait alors $O(|v|^2(|z|^2+|v|)^2)(t)$.
En int�grant deux fois de suite l'expression pr�c�dente on obtient l'expression asymptotique
\begin{eqnarray*}
&\displaystyle{
\gamma_k(t)=z_k+tv_k-\frac{t^2}{2}\sum_{l,p,h}\Big[\Big(\hat{S}^{p,h}_{k,l}\,z_h+ S^{p,\bar{h}}_{k,l}\,\bar{z}_h\Big)v_pv_l+\Big(S^{\bar{p},h}_{k,l}\,z_h+S^{\bar{p},\bar{h}}_{k,l}\,\bar{z}_h\Big)\bar{v}_pv_l \Big] }&
\\
\\
&\displaystyle{+\frac{it^2}{4}\sum_{p,l}\Big[\overline{B}^p_{k,l}+\sum_h\Big(\overline{B}^{p,\bar{h}}_{k,l}\,z_h+2\overline{B}^{p,h}_{k,l}\,\bar{z}_h\Big)\Big]\bar{v}_p\bar{v}_l+O(|v|^2(|z|^2+|v|))(t) }& 
\end{eqnarray*} 
qui permet de conclure la preuve du th�or�me.\hfill$\Box$
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%   
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\end{thebibliography}
\vspace{1cm}
\noindent
Nefton Pali
\\
Institut Fourier, UMR 5582, Universit� Joseph Fourier
\\
BP 74, 38402 St-Martin-d'H�res cedex, France
\\
E-mail: \textit{nefton.pali@ujf-grenoble.fr}
\end{document} 


math0402028.extracted_bib
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