pshpartic.tex
\documentclass[a4paper,11pt]{article}
\usepackage{ifstyle}   
\usepackage{graphicx}
\usepackage{epsfig} 
\usepackage{color}
\numberwithin{equation}{section}  
\let\og\undefined\let\fg\undefined
\usepackage[francais]{babel}               
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[latin1]{inputenc}  
\usepackage{amssymb,diagrams}             
\usepackage{array}                 
\setlength{\textwidth}{460pt}
\usepackage{fullpage}
\newtheorem{theoreme}{Th�or�me} 
\newtheorem{corol}{Corollaire}
\newtheorem{lem}[subsubsection]{Lemme}
\newtheorem{iw}[subsection]{Lemme de Wirtinger} 
\newtheorem{mut}{Conjecture}
   

\newcommand{\N}{\mathbb N}
\newcommand{\Z}{\mathbb Z}  
\newcommand{\Q}{\mathbb Q}
\newcommand{\R}{\mathbb R}
\newcommand{\C}{\mathbb C}
\newcommand{\K}{\mathbb K}
\newcommand{\I}{\mathbb I}
\newcommand{\proj}{\mathbb P}
\newcommand{\contract}{\mathrel{\kern-1.5pt\vrule width6.0pt height0.4pt depth0pt
                \vrule width0.4pt height4.0pt depth0pt}}
\newcommand{\retract}{\mathrel{\kern-1.5pt \vrule width0.4pt height5.0pt depth0pt
                \vrule width6.0pt height0.4pt depth0pt }}

\def\opn#1#2{\def#1{\operatorname{#2} } } 
\opn\Ric{Ricci} 
\opn\Trac{Trace} 
\opn\det{det} 
\opn\Ker{Ker} 
\opn\exp{exp}
\opn\exph{exph}
\opn\Herm{Herm} 
 
\begin{document} 
\begin{center} 
\huge{\bf{Fonctions plurisousharmoniques et courants positifs de type $(1,1)$ sur une vari�t� presque complexe}}
\\
\vspace{0.4cm}
\Large{Nefton Pali}
\\
\vspace{0.4cm}
\large{Institut Fourier, UMR 5582, Universit� Joseph Fourier
\\
BP 74, 38402 St-Martin-d'H�res cedex, France}
\\
\large{E-mail: \textit{nefton.pali@ujf-grenoble.fr}}
\end{center} 
{\bf R�sum�}.-Une fonction semi-continue sup�rieurement $u$ sur une vari�t� presque complexe $(X,J)$ est dite plurisousharmonique si la restriction � toute courbe pseudo-holomorphe locale est sous-harmonique. 
Comme dans le cas analytique complexe, nous conjecturons que la notion de plurisousharmonicit� pour une fonction $u$ est �quivalente � la positivit� du $(1,1)$-courant $i\partial_{_J }\bar{\partial}_{_J }u$, (lequel n'est pas forc�ment ferm� dans le cas non int�grable). La conjecture est triviale dans le cas d'une fonction $u$ de classe ${\cal C}^2$. 
Le r�sultat en question est �l�mentaire dans le cas complexe int�grable car l'op�rateur $i\partial_{_J }\bar{\partial}_{_J }$ s'�crit comme un op�rateur � coefficients constants dans des coordonn�es complexes. On peut donc facilement conserver la positivit� du courant en r�gularisant avec des noyaux $\ci$ usuels. Dans le cas presque complexe non int�grable ceci ce n'est pas possible et la preuve du r�sultat exige un �tude beaucoup plus intrins�que. 
Nous montrons la n�cessit� de la positivit� du $(1,1)$-courant $i\partial_{_J }\bar{\partial}_{_J }u$ en utilisant la th�orie locale des courbes $J$-holomorphes. Nous montrons aussi  la suffisance de la positivit� dans le cas particulier d'une fonction $f$ semi-continue sup�rieurement et continue en dehors du lieu singulier $f^{-1}(-\infty)$.
Pour prouver la suffisance de la positivit� dans le cas g�n�ral o� $u$ est une distribution r�elle nous proposons une m�thode qui utilise un d�licat argument de r�gularisation des fonctions plurisousharmoniques introduit par Demailly (\cite{Dem-2}). La m�thode consiste � r�gulariser la fonction $u$ � l'aide du flot g�od�sique induit par une connexion de Chern sur le fibr� tangent de la vari�t� presque complexe, (cf. \cite{Pal}).
\\
\\
{\bf{Abstract}}.-If $(X,J)$ is an almost complex manifold, then a function $u$ is said to
be plurisubharmonic on $X$ if it is upper semi-continuous and its
restriction to every local pseudo-holomorphic curve is subharmonic. As
in the complex case, it is conjectured that plurisubharmonicity is
equivalent to the fact that the 
$(1,1)$-current $i\partial_{_J }\bar{\partial}_{_J }u$ is positive, (the 
$(1,1)$-current $i\partial_{_J }\bar{\partial}_{_J }u$ need not be closed here!). The conjecture is trivial if $u$ is of class ${\cal C}^2$. The result is elementary in the complex integrable case because the operator $i\partial_{_J }\bar{\partial}_{_J }$ can be written as an operator with constant coefficients in complex coordinates. Hence the positivity of the current is preserved by regularising with usual convolution kernels. This is not possible in the almost complex non integrable case and the proof of the result requires a much more intrinsic study. In this chapter we prove the necessity of the positivity of the $(1,1)$-current $i\partial_{_J }\bar{\partial}_{_J }u$. We prove also the sufficiency of the positivity in the particular case of an upper semi-continuous function $f$ which is continuous in the complement of the singular locus $f^{-1}(-\infty)$.
For the proof of the sufficiency of the positivity in the general case of a real distribution $u$, we suggest a method depending on a rather delicate regularisation argument introduced by Demailly (\cite{Dem-2}). This method consists of regularing the function $u$ by means of the flow induced by a Chern connection on the tangent bundle of the almost complex manifold, (see \cite{Pal}).
\tableofcontents
\section{Pr�liminaires}
Soit $(X,J)$ une vari�t� presque complexe de classe ${\cal C}^{\infty}$ et de dimension r�elle $2n$. On d�signe par ${\cal E}_X\equiv{\cal E}_X(\R)$ le faisceau des fonctions ${\cal C}^{\infty}$ � valeurs r�elles, par $\pi^{1,0} _{_J}:T_X\otimes_{_{\R}}\C\longrightarrow T^{1,0}_{X,J}$ la projection sur le fibr� des $(1,0)$-vecteurs tangents et par $\pi^{0,1} _{_J}$ celle sur le fibr� des $(0,1)$-vecteurs tangents. On d�signe par $T_{X,J}$ le fibr� tangent dont les fibres sont munies de la structure complexe donn�e par $J$ et par
$$
{\cal E}^{p,q}_{_{X,J} }\equiv {\cal E}(\Lambda ^{p,q}_{_J}T_X^*),
\;\Lambda ^{p,q}_{_J}T_X^*:=\Lambda^p _{_{\C}}(T^{1,0}_{X,J}  )^*\otimes_{_{\C}} \Lambda^q _{_{\C}}(T^{0,1}_{X,J})^*
$$ 
le faisceau des $(p,q)$-formes par rapport � la structure presque complexe $J$. On rappelle que sur une vari�t� presque complexe la diff�rentielle se d�compose sous la forme 
$$
d=\partial_{_J }+\bar{\partial}_{_J }-\theta_{_J }-\bar{\theta }_{_J },
$$ 
o� pour toute $k$-forme complexe 
$\omega \in {\cal E}(\Lambda^k _{_{\C}}(T_X\otimes_{_{\R}}\C)^*)(U)$ au dessus d'un ouvert $U$ et tout champ de vecteurs complexes $\xi _0,...,\xi _k\in{\cal E}(T_X\otimes_{_{\R}}\C)(U)$ on a les expressions suivantes:
\begin{eqnarray*} 
&\displaystyle{\partial_{_J }\omega\, (\xi _0,...,\xi _k):=\sum_{0\leq j \leq k}(-1)^j\xi^{1,0}_j .\,\omega (\xi _0,...,\widehat{\xi _j},..., \xi _k)+ }&
\\
\\
&\displaystyle{+\sum_{0\leq j<l \leq k}(-1)^{j+l}\omega ([\xi^{1,0}_j,\xi^{1,0}_l]^{1,0}+[\xi^{0,1} _j,\xi^{1,0} _l]^{0,1}+[\xi^{1,0} _j,\xi^{0,1} _l]^{0,1},\xi _0,...,\widehat{\xi _j},...,\widehat{\xi _l},..., \xi _k)   }&
\\
\\
\\
&\displaystyle{\bar{\partial}_{_J }\omega\, (\xi _0,...,\xi _k):=\sum_{0\leq j \leq k}(-1)^j\xi^{0,1}_j .\,\omega (\xi _0,...,\widehat{\xi _j},..., \xi _k)+ }&
\\
\\
&\displaystyle{+\sum_{0\leq j<l \leq k}(-1)^{j+l}\omega ([\xi^{0,1}_j,\xi^{0,1}_l]^{0,1}+[\xi^{0,1} _j,\xi^{1,0} _l]^{1,0}+[\xi^{1,0} _j,\xi^{0,1} _l]^{1,0},\xi _0,...,\widehat{\xi _j},...,\widehat{\xi _l},..., \xi _k)   }&
\end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*} 
&\displaystyle{\theta_{_J }\omega\, (\xi _0,...,\xi _k):=-\sum_{0\leq j<l \leq k}(-1)^{j+l}\omega ([\xi^{1,0}_j,\xi^{1,0}_l]^{0,1},\xi _0,...,\widehat{\xi _j},...,\widehat{\xi _l},..., \xi _k)   }&
\\
\\
\\
&\displaystyle{\bar{\theta }_{_J }\omega\, (\xi _0,...,\xi _k):=-\sum_{0\leq j<l \leq k}(-1)^{j+l}\omega ([\xi^{0,1}_j,\xi^{0,1}_l]^{1,0},\xi _0,...,\widehat{\xi _j},...,\widehat{\xi _l},..., \xi _k)   }&
\end{eqnarray*}
avec $\xi ^{1,0}:=\pi ^{1,0} _{_J}(\xi ),\;[\cdot,\cdot]^{1,0}:=\pi^{1,0}_{_J}[\cdot,\cdot] $ et de fa�on analogue pour les indices $(0,1)$. Les bidegr�s des op�rateurs 
$\partial_{_J },\,\bar{\partial}_{_J },\,\theta_{_J }$ et $\bar{\theta }_{_J }$ sont respectivement $(1,0),\;(0,1),\;(2,-1)$ et $(-1,2)$. En effet si 
$\omega\in{\cal E}^{p,q}_{_{X,J} } (U)$ est une $(p,q)$-forme alors les $(p+q+1)$-formes $\partial_{_J }\omega,\,\bar{\partial}_{_J }\omega,\,\theta_{_J }\omega,\,\bar{\theta }_{_J }\omega$ sont nulles en restriction aux fibr�s $\Lambda ^{r,s}_{_J}T_X,\,r+s=p+q+1$ respectivement aux bidegr�s $(r,s)\not=(p+1,q),\,(r,s)\not=(p,q+1),\,(r,s)\not=(p+2,q-1)
,\,(r,s)\not=(p-1,p+2)$. On d�duit alors que l'op�rateur $T=\partial_{_J },\;\bar{\partial}_{_J },\;\theta_{_J }$ o� $\bar{\theta }_{_J }$ v�rifie la r�gle de Leibnitz 
$$
T(u\wedge v)= Tu\wedge v+(-1)^{\deg\,u} u\wedge  Tv.
$$
On a aussi les formules $\overline{(\partial_{_J }\,u)}=\bar{\partial}_{_J } \,\bar{u},\,\overline{(\theta_{_J }\,u)}=\bar{\theta }_{_J }\,\bar{u}   $.
\begin{defi}
On d�signe par $\tau_{_J}\in {\cal E}(\Lambda ^{2,0}_{_J}T_X^*\otimes_{_{\C}} T^{0,1}_{X,J})(X)$ le tenseur de la torsion de la structure presque complexe d�finie par la formule $\tau_{_J}(\xi ,\eta):= [\xi^{1,0},\eta^{1,0}]^{0,1}$ pour tout $\xi,\eta\in{\cal E}(T_X\otimes_{_{\R}}\C)(U)$, o� $U\subset X$ d�signe un ouvert quelconque. Le tenseur de  la structure presque complexe est dit int�grable si $\tau_{_J}=0$.
\end{defi}
On remarque que $\tau_{_J}=0$ si et seulement si $\theta_{_J}=0$, si et seulement si $d=\partial_{_J }+\bar{\partial}_{_J }$. On rappelle le c�l�bre th�or�me de Newlander-Nirenberg (voir \cite{We}, \cite{Hor}, \cite{Dem-1}, chapitre VIII, \cite{mal}, \cite{Nij-Woo} et \cite{New-Nir}).
\begin{theo}{\bf (Newlander-Nirenberg)}.
Soit $(X,J)$ une vari�t� presque complexe. L'existence d'une structure holomorphe ${\cal O}_X$ sur la vari�t� $X$ telle que la structure presque complexe associ�e $J_{{\cal O}_X } $ soit �gale � $J$ est �quivalente � l'int�grabilit� de la structure presque complexe $J$.
\end{theo} 
On d�signe par ${\cal H}^p_m$ la mesure de Hausdorff $p$-dimensionnelle dans $\R^m$ et par $\lambda$ la mesure de Lebesgue sur $\R^m$.  On d�signe par $B_{r }(x)$ la boule ouverte  de $\R^m$ de centre l'origine et de rayon $r >0$ et par $S_r(x)$ la sph�re de dimension $m-1$ dans $\R^m$ de centre l'origine et de rayon $r >0$. Soit $f$ une fonction Borel-mesurable et localement born�e sur un ouvert $U\subset\R^m$. Pour tout $\overline{B_{r }(x)}\subset U$ on d�finit les quantit�s
$$
\mu_{B}(f,x,r):=\frac{1}{\lambda(B_r(x))}   \int\limits_{B_r(x) }f\,d\lambda \quad \mbox{et} \quad
\mu _{S}(f,x,r):=\frac{1}{{\cal H}^{m-1}_{m}(S_r(x))}   \int\limits_{S_r(x) }f\,d{\cal H}^{m-1}_{m}. 
$$
On a la d�finition suivante (cf. \cite{Dem-1} pour plus de d�tails).
\begin{defi}
Une fonction $f:U\longrightarrow [-\infty,+\infty)$ semi-continue sup�rieurement est dite sous-harmonique si elle v�rifie une des deux propri�t�s �quivalentes suivantes:
\\
a) $f(x)\leq \mu_{B}(f,x,r)$ pour tout $\overline{B_{r }(x)}\subset U$;
\\
b) $f(x)\leq \mu_{S}(f,x,r)$ pour tout $S_{r }(x)\subset U$.
\end{defi}
Si $f\in{\cal C}^2(U,\R)$ alors on d�duit d'apr�s la deuxi�me identit� de Green que $f$ est sous-harmonique si et seulement si $\Delta f\geq 0$.
 De fa�on g�n�rale on a le th�or�me classique suivant (cf. \cite{Dem-1}, chapitre I).
\begin{theo}\label{equiv-SH}
Soit $f$ une fonction sous-harmonique sur un ouvert connexe $U$. Alors soit $f\equiv -\infty$, soit $f\in L^1_{loc}(U)$ et dans ce cas le Laplacien au sens des distributions $\Delta f$ est une mesure positive. R�ciproquement soit  $u$ une distribution sur $U$ telle que $\Delta u$ soit une mesure positive. Alors il existe une unique fonction $f$ sous-harmonique sur $U$ telle que $u$ soit la distribution associ�e � $f$.
\end{theo}
On d�duit d'apr�s le th�or�me \ref{equiv-SH} q'une fonction $f$ est sous-harmonique sur un ouvert $U$ si et seulement si pour tout $x\in U$ il existe un voisinage ouvert $V_x\subset U$ de $x$ tel que $f$ est sous-harmonique sur $V_x$.
\\
On d�signe par $j$ la structure presque complexe canonique sur $\R^2\equiv \C$, par $J_0$ la structure presque complexe canonique sur $\R^{2n} \equiv \C^n$ et par $B^1_{\delta} \subset\R^2$ la boule complexe de centre l'origine et de rayon $\delta$. On rappelle la d�finition suivante.
\begin{defi} 
Soit $(X,J)$ une vari�t� presque complexe. Une courbe $J$-holomorphe locale est une application diff�rentiable 
$\gamma :B^1_{\delta} \longrightarrow X$  telle que sa diff�rentielle v�rifie la condition 
$J(\gamma (z))\cdot d_z\gamma=d_z\gamma \cdot j$ pour tout $z\in B^1_{\delta }$.
\end{defi}  
On a la d�finition suivante.
\begin{defi} 
Soit $(X,J)$ une vari�t� presque complexe. Une fonction $f:X\longrightarrow [-\infty,+\infty)$ semi-continue sup�rieurement est dite $J$-plurisousharmonique si pour toute courbe $J$-holomorphe locale $\gamma$ d�finie sur le disque $B_{\delta}\subset\R^2$, la 
compos�e $f\circ \gamma$ est sous-harmonique sur le disque $B_{\delta}$.
\end{defi} 
Nous d�signerons par $Psh(X,J)$ l'ensemble des fonctions $J$-plurisousharmoniques. Si 
\\
$u\in {\cal D}'_{2n}(X,\C)$ est une distribution � valeurs complexes sur $X$ nous sommes particuli�rement int�ress�s par le courant 
$i\partial_{_J }\bar{\partial}_{_J }u\in{{\cal D}'}^{1,1} (X)$. En g�n�ral on d�signe par ${{\cal D}'}^{k,k} (X) $ les sections globales du faisceau 
$$
{\cal E}(\Lambda ^{k,k}_{_J}\,T_X^*) \otimes_{_{{\cal E}_X(\C) }}{\cal D}'_{2n}(\C)
$$ 
o� ${\cal D}'_{2n}(\C)$ repr�sente le faisceau des distributions � valeurs complexes sur $X$. Il est bien connu que  ${{\cal D}'}^{k,k} (X)$ s'identifie naturellement par int�gration au dual topologique ${\cal D}'_{n-k,n-k} (X)$ de l'espace ${\cal D}^{n-k,n-k} (X)$ des $(n-k,n-k)$-formes ${\cal C}^{\infty}$ � support compact muni de la topologie de la convergence localement uniforme de toutes les d�riv�es (cf. \cite{Dem-1}, chapitre I et \cite{DeR}). On utilisera pourtant dans la suite l'identification des notations 
${{\cal D}'}^{k,k} (X)\equiv {\cal D}'_{n-k,n-k} (X)$. Le courant $i\partial_{_J }\bar{\partial}_{_J }u$ s'�crit  explicitement sous la forme
\begin{eqnarray}\label{explicit(1,1)cour} 
i\partial_{_J }\bar{\partial}_{_J }u\,(\xi _0,\xi _1)=i\xi ^{1,0}_0 .\, \xi ^{0,1}_1.\,u-i\xi ^{1,0}_1 .\, \xi ^{0,1}_0.\,u-
i[\xi^{0,1} _0,\xi^{1,0} _1]^{0,1}.\,u-i[\xi^{1,0}_0,\xi^{0,1}_1]^{0,1}.\,u
\end{eqnarray}
pour tout champ de vecteurs complexes $\xi _0,\,\xi _1\in {\cal E}(T_X\otimes_{_{\R}}\C)(X)$. On rappelle que la d�riv�e $\xi .\,u$ d'une distribution $u$ par rapport � un champ de vecteurs $\xi$ est donn�e par la formule 
$$
\langle\xi .\,u,\varphi \rangle :=-\langle u,d(\xi \contract\varphi )\rangle 
$$
pour tout  
$\varphi \in {\cal D}^{2n}(X,\C)$. On remarque que si la distribution $u$ est r�elle alors le courant $i\partial_{_J }\bar{\partial}_{_J }u$ l'est aussi. En effet en degr� z�ro on a l'identit� 
$\partial_{_J }\bar{\partial}_{_J }=-\bar{\partial}_{_J }\partial_{_J }$. Ceci d�coule de la relation 
$$
\partial_{_J }\bar{\partial}_{_J }+\bar{\partial}_{_J }\partial_{_J }=- \theta_{_J }  \bar{\theta }_{_J }-\bar{\theta }_{_J } \theta_{_J }
$$
et du fait que les op�rateurs $\theta_{_J } $  et $\bar{\theta }_{_J } $ sont nuls en degr� z�ro.
Si $(\zeta _1,...,\zeta _n)$ est un rep�re local du fibr� $ T^{1,0}_{X,J}$ alors l'expression du courant en question par rapport au rep�re choisi est:
\begin{eqnarray}\label{exploccour1,1}
i\partial_{_J }\bar{\partial}_{_J }u=i\sum_{1\leq k,l\leq n}(\zeta _k\,.\bar{\zeta}_l .\,u-[\zeta _k,\bar{\zeta}_l]^{0,1}.\,u )\,\zeta _k^*\wedge\bar{\zeta}_l^*
\end{eqnarray}
On remarque que dans le cas int�grable, si on consid�re un rep�re local  holomorphe $\zeta _k\in {\cal O}(T^{1,0}_{X,J})(U)$, $k=1,...,n$, on a $[\zeta _k,\bar{\zeta}_l]=0$ pour tout indice $k,l$. Rappelons maintenant la d�finition suivante:
\begin{defi} 
Une $(p,p)$-forme $u\in\Lambda ^{p,p}_{_J}T_{X,x}^*$ est dite positive si $u(\xi _1,J\xi _1,...,\xi _p,J\xi _p)\geq 0$ pour tout vecteur  
$\xi _1,...,\xi _p\in T_{X,x}$.
\\
Une $(q,q)$-forme  $v\in\Lambda ^{q,q}_{_J}T_{X,x}^*$ est dite fortement positive si elle peut �tre exprim�e sous la forme 
$$
v=\sum \lambda _t\,i\alpha_{t,1}\wedge\bar{\alpha }_{t,1} \wedge...\wedge i\alpha_{t,q}\wedge\bar{\alpha }_{t,q}
$$
avec $\lambda _t\geq 0$ et 
$\alpha _{t,k}\in (T^{1,0}_{X,J,x}  )^*$
\end{defi} 
Bien �videmment l'ensemble des $(q,q)$-formes fortement positives est un c�ne convexe ferm�. Il est bien connu que l'ensemble des $(p,p)$-formes  positives est le c�ne dual des $(q,q)$-formes fortement positives, o� $q=n-p$, via la dualit� donn�e par le produit ext�rieur (cf. \cite{Dem-1}, chapitre III et \cite{Lel}). La dualit� en question implique alors que toutes les formes positives sont r�elles, (les formes fortement positives �tant r�elles). Soit 
$$
u=i^{p^2} \sum_{|K|=|H|=p}\,u_{K,H}\,\zeta _K^*\wedge\bar{\zeta}^*_H 
$$
une $(p,p)$-forme et $\xi_t =\sum_k \,(\lambda _{t,k} \,\zeta _k+\bar{\lambda}_{t,k}  \,\bar{\zeta}_k),\;t=1,...,p$,  vecteurs r�els. On d�signe par 
$\lambda =(\lambda _{t,k})\in M_{p,n}(\C)$ la $(p,n)$-matrice associ�e aux coefficients $\lambda _{t,k}$. Les identit�s
$$
\xi _1\wedge J\xi _1\wedge ...\wedge\xi _p\wedge J\xi _p=2^p(-i)^p\xi ^{1,0}_1\wedge \xi ^{0,1}_1\wedge ...\wedge \xi ^{1,0}_p\wedge \xi ^{0,1}_p
$$
et $i^{p^2}(-1)^{p(p-1)/2}=i^p$ impliquent les �galit�s
\begin{eqnarray*} 
u(\xi _1,J\xi _1,...,\xi _p,J\xi _p)=2^p(-i)^pu(\xi ^{1,0}_1,\xi ^{0,1}_1,...,\xi ^{1,0}_p,\xi ^{0,1}_p)=
\\
\\
=2^p(-i)^p(-1)^{p(p-1)/2} u(\xi ^{1,0}_1,...,\xi ^{1,0}_p,\xi ^{0,1}_1,...,\xi ^{0,1}_p)=\quad
\\
\\
=2^p \sum_{|K|=|H|=p}\,u_{K,H}\,\det\lambda _K\cdot \overline{(\det\lambda _H)} .\qquad\qquad
\end{eqnarray*}
On aura alors que la $(p,p)$-forme $u$ est positive si et seulement le dernier terme de l'�galit� pr�c�dente est positif pour toute matrice $\lambda$. Dans le cas 
$p=1$ la matrice hermitienne $(u_{k,h})$ associ�e au coefficients de la forme $u$ est semid�finie positive et une diagonalisation de celle ci montre qu'on peut exprimer $u$ sous la forme 
$
u=\sum_{1\leq t\leq r} i\,\alpha_t\wedge\bar{\alpha }_t ,
$
o� $r$ est le rang de la forme $u$. On a donc que la notion de positivit� co�ncide avec celle de forte positivit� en degr� $(1,1)$ et par dualit� aussi en degr� $(n-1,n-1)$ (et bien �videment en bidegr� $(0,0)$ et $(n,n)$). Nous montrons maintenant un premier r�sultat qui exprime la relation forte qui existe entre les formes positives et les fonctions plurisousharmoniques.
\begin{lem}
Soit $f\in {\cal C}^2(X,\R)$. Alors $f\in Psh(X,J)$ si et seulement si la forme $i\partial_{_J }\bar{\partial}_{_J}\,f$ est positive.
\end{lem} 
$Preuve$. Nous commen�ons par montrer la n�cessit� de la positivit� de la forme $i\partial_{_J }\bar{\partial}_{_J}\,f$. En effet soit $\xi \in T_{X,x}$ un vecteur r�el. Il existe alors une courbe $J$-holomorphe $\gamma$ telle que $\gamma(0)=x$ et $\xi =d\gamma\Big(\frac{\partial}{\partial x}{\vphantom{x} } _{| _{_0} } \Big)$ 
%%%%%%%%%%%%%% 
(voir par exemple l'article de Sikorav, th�or�me 3.1.1 dans l'ouvrage de Audin et Lafontaine \cite{Ad} ou la preuve du th�or�me $\ref{Jplat} $ qui suivra). Le fait que la courbe $\gamma$ soit $J$-holomorphe implique la premi�re et troisi�me des �galit�s suivantes:
\begin{eqnarray*} 
i\partial_{_J }\bar{\partial}_{_J }f\,(\xi ,J\xi)=
i\partial_{_J }\bar{\partial}_{_J }f
\,\Big(d\gamma\Big(\frac{\partial}{\partial x}{\vphantom{x} } _{| _{_0} } \Big), d\gamma\Big(\frac{\partial}{\partial y}{\vphantom{y} } _{| _{_0} } \Big)\Big)=\quad
\\
\\
=\gamma^*i\partial_{_J }\bar{\partial}_{_J }f
\,\Big(\frac{\partial}{\partial x}{\vphantom{x} } _{| _{_0} } , \frac{\partial}{\partial y}{\vphantom{y} } _{| _{_0} } \Big)
=i\partial_{_j }\bar{\partial}_{_j}(f\circ\gamma)\,
\Big(\frac{\partial}{\partial x}{\vphantom{x} } _{| _{_0} } , \frac{\partial}{\partial y}{\vphantom{y} } _{| _{_0} } \Big)=
\\
\\
=i\frac{\partial^2(f\circ\gamma)}{\partial z\,\partial\bar{z} } (0)\,dz\wedge d \bar{z}\,
\Big(\frac{\partial}{\partial x}{\vphantom{x} } _{| _{_0} } , \frac{\partial}{\partial y}{\vphantom{y} } _{| _{_0} } \Big)=\frac{1}{2}\Delta (f\circ\gamma)(0) \quad 
\end{eqnarray*}
ce qui montre la n�cessit� de la positivit�. Le m�me calcul, avec $z\in B_{\delta} $ � la place de $0$, montre aussi la suffisance de la positivit�.\hfill $\Box$
\\
\begin{defi}
Une fonction $f\in {\cal C} ^{2}(X,\R)$ sur une vari�t� presque complexe $(X,J)$ est dite strictement $J$-plurisousharmonique s'il existe une m�trique hermitienne $\omega \in {\cal C}^0(\Lambda ^{1,1}_{_J}T_X^*)(X)$ sur le fibr� tangent telle que $i\partial_{_J }\bar{\partial}_{_J }f\geq \omega $.
\end{defi}  
{\bf Quelques exemples �l�mentaires de fonctions strictement $J$-plurisousharmonique}. 
\\
{\bf Exemple 1}. 
On d�duit facilement que si $(z_1,...,z_n)$ sont des coordonn�es $\ci$ telles que $J(0)=J_0$, on a l'�criture
$$
i\partial_{_J }\bar{\partial}_{_J }f\,(\xi,J\xi)(z)=2\sum_{k,l} \frac{\partial^2f}{\partial z_k\partial\bar{z}_l}(z)\,\xi _k\bar{\xi }_l+O(|z|)(\xi ,\bar{\xi }),
$$
(voir par exemple le lemme \ref{Hess2}). 
On a alors que la fonction $f(z)=|z|^2$ est strictement $J$-plurisousharmonique sur un voisinage de l'origine des coordonn�es.
\\
{\bf Exemple 2}.
Soit $F^{\lambda }_{J}:=S^{\lambda}T_{X,J}$ une puissance de Schur du fibr� tangent et consid�rons une m�trique hermitienne sur $F^{\lambda }_{J}$ telle que la courbure au sens de Griffiths soit strictement n�gative en un point $x$. Soit $(\sigma_k)_k \subset {\cal E}(F^{\lambda }_{J} )(U)$ un rep�re local
presque-holomorphe sp�cial au point $x\in U$. En utilisant le lemme pr�c�dent on d�duit, d'apr�s les remarques faites dans \cite{Pal}, que les fonctions $f_k:=|\sigma_k |^2_h$ sont strictement $J$-plurisousharmoniques au voisinage du point $x$.\hfill $\Box$
\\
\\
Pour r�duire l'hypoth�se de r�gularit� de la fonction $f$, on a besoin de donner quelques �l�ments de la th�orie des courants positifs sur les vari�t�s presque complexes. Pour faire ceci on a besoin de quelques r�sultats et notions pr�liminaires que nous pr�sentons tout de suite.
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Plongements par feuilles courbes $J$-holomorphes et champs de vecteurs $J$-plats sur les vari�t�s presque complexes} 
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
On d�signe par $B^{n}_{2r}\subset \C^n$ la boule ouverte de dimension $2n$, de rayon $2r$ et de centre l'origine.
On veut plonger dans une vari�t� presque complexe $(X,J)$ de dimension complexe $n$ le cylindre $B^1_{\delta }\times B^{n-1}_{\delta } \subset \C^n$, avec $\delta >0$ suffisamment petit, de telle sorte que les disques $B^1_{\delta }\times p,\; p\in B^{n-1}_{\delta }$ se plongent de fa�on $J$-holomorphe dans $X$. De plus on veut pouvoir plonger dans toutes les ``positions possibles'' les cylindres pr�c�dents. L'existence de ces plongements est  directement li�e � la notion de champ de vecteurs $J$-plat qu'on introduit ci-dessous.
\begin{defi} 
Un champ de vecteurs r�el $\xi \in{\cal E}(T_X\smallsetminus 0_X)(U)$ au dessus d'un ouvert $U$ est dit $J$-plat s'il v�rifie l'�quation diff�rentielle non lin�aire de premier 
ordre $[\xi ,J\xi]=0$ sur l'ouvert $U$. On d�signe par $P_{_J}(U,T_X)$ l'ensemble des champs de vecteurs $J$-plats au dessus de $U$.
\end{defi}
D'apr�s le th�or�me de Newlander-Nirenberg on d�duit que si la structure presque complexe est int�grable alors tout champ de vecteurs r�el holomorphe  $\xi \in{\cal O}(T_X\smallsetminus 0_X)(U)$ au dessus d'un ouvert $U$ quelconque est $J$-plat. On a le r�sultat g�n�ral suivant qui assure la possibilit� d'effectuer des plongements du cylindre, dont les feuilles sont des courbes $J$-holomorphes, en toutes les positions possibles et l'existence locale ``en grande quantit�'' des champs de vecteurs $J$-plats.
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%                                ENONCE DU THEOREME
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%                                    
\begin{theo}\label{Jplat} 
Soit $(X,J)$ une vari�t� presque complexe de dimension complexe $n$. Pour tout point $x_0\in X$ il existe un voisinage ouvert $U_{x_0}$ de  $x_0$  et un voisinage ouvert ${\cal B}(T_{U_{x_0}})\subset T_{U_{x_0}}$, ${\cal B}(T_{U_{x_0}})\simeq U_{x_0}\times B^n$, de la section nulle sur  $U_{x_0}$
tels que:
\\
\\
{\bf A)} Il existe une application de classe ${\cal C}^{\infty}$
$$
\Phi  : B_1^1\times {\cal B}(T_{U_{x_0}})\longrightarrow X
$$
telle que pour tout $v\in {\cal B}(T_{U_{x_0}})$ l'application $z\in B_1^1\mapsto \Phi (z,v)$ est une courbe $J$-holomorphe qui v�rifie la condition $\partial _t\Phi (0,v)=v,\,z=t+is$.\\
\\
{\bf B)} Il existe une famille de plongements $(\Psi_{\alpha} :B_{\delta } ^1\times B_{\delta } ^{n-1}\longrightarrow X)_{\alpha \in I}$ de classe $\ci$  telle que pour tout $\alpha \in I$ et $z_2\in B_{\delta } ^{n-1}$ les applications 
$$
z_1\in B^1_{\delta}\mapsto\Psi_{\alpha } (z_1,z_2)
$$
sont des courbes $J$-holomorphes, 
$\Psi_{\alpha} (B_{\delta } ^1\times B_{\delta } ^{n-1})\supset U_{x_0}$
et
$$
T_{X,p}\smallsetminus 0_p =\Big\{\lambda \partial _t\Psi_{\alpha}(0,0)\,|\,\lambda \in \R\smallsetminus 0,\,\alpha \in I \Big\}
=\Big\{ \xi (p)\,|\,\xi \in P_{_J}(U_{x_0},T_X) \Big\}
$$
pour tout $p\in U_{x_0}$, $(z_1=t+is)$.
\end{theo}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%               FIN ENONCE             %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
Avant de passer � la preuve du th�or�me $\ref{Jplat}$ on a besoin de quelques pr�liminaires techniques. Soit $J_0$ la structure presque complexe usuelle sur $\R^{2n}$ identifi� avec $\C^n$ via l'identification $z\equiv (x,y)$. Nous consid�rons un syst�me de coordonn�es locales centr�es en $x_0\in X$ et on suppose, quitte � effectuer un changement lin�aire de coordonn�es, que $J(0)=J_0$. On consid�re aussi une boule ouverte $B^{n}_{2r}\subset \C^n$ sur laquelle l'endomorphisme $J+J_0$ est inversible et on pose par d�finition 
$$
q_{J}:=(J_0+J)^{-1}\cdot (J_0-J)\in \ci(End_{\R}(\R^{2n} ) )(B^{n}_{2r}).
$$
On remarque que $q_J(0)=0$. On suppose pour simplifier les notations qui suivront que $r=1$. Si $\gamma :B^1_1 \longrightarrow (B^n_2, J)$ est une courbe $J$-holomorphe, la condition de $J$-holomorphie $\partial_s\gamma =J(\gamma)\partial_t\gamma,\;z=t+i\,s$ peut �tre �crite de fa�on �quivalente sous la forme
\begin{eqnarray}\label{eqJ-hol}  
\partial _{\bar{z} }\gamma+ q_{J}(\gamma)\partial_z\gamma=0
\end{eqnarray} 
o� $\partial _{\bar{z} }:=\frac{1}{2}(\partial_t+J_0\partial_s)$ et $\partial _z:=\frac{1}{2}(\partial_t-J_0\partial_s)$. En effet en utilisant les identit�s $\partial_t=\frac{1}{2}(\partial_z+\partial_{\bar{z}})$ et $\partial _s=\frac{J_0}{2}(\partial_z-\partial_{\bar{z}})$ on peut �crire la condition  $\partial_s\gamma =J(\gamma)\partial_t\gamma$ sous la forme
$$
(J_0+J(\gamma ))\,\partial_{\bar{z}}\gamma =(J_0-J(\gamma ))\,\partial_z\gamma.
$$ 
L'inversibilit� de l'endomorphisme $J+J_0$ donne alors l'�criture sous la forme $\eqref{eqJ-hol}$.
On rappelle aussi (voir l'article de Sikorav dans l'ouvrage de Audin et Lafontaine \cite{Ad} pour plus de d�tails) que l'op�rateur 
$$
P:{\cal C}^{k+\mu }(B_1^1;\C^n) \longrightarrow {\cal C}^{k+\mu +1}(B_1^1;\C^n),
$$
$\;k\in\N,\;\mu \in (0,1)$ d�fini par la formule $P\gamma(z):=P'\gamma(z)-P'\gamma(0)$, avec
\begin{eqnarray*}
P'\gamma(z):=\frac{1}{2\pi i}  \int\limits_{\zeta \in B_1^1}\frac{\gamma(\zeta )}{\zeta -z}\;d\zeta \wedge d\bar{\zeta},   
\end{eqnarray*}
v�rifie les propri�t�s suivantes: $\partial _{\bar{z} }\circ P=\I$ et pour tout entier $k\in\N$ et $\mu \in (0,1)$ il existe une constante $c_{k,\mu }>0$ telle que pour 
toute courbe $\gamma \in {\cal C}^{k+\mu }(B_1^1;\C^n)$ on a l'estimation 
\begin{eqnarray}\label{Cauchy-Oper} 
\|P\gamma\|_{k+\mu +1}\leq (2+c_{k,\mu })\|\gamma\|_{k+\mu },
\end{eqnarray}
o� $\|\cdot\|_{k+\mu }$ d�signe la norme de H�lder usuelle sur $B^1_1$. Pour prouver le th�or�me $\ref{Jplat} $ on utilisera la remarque essentielle suivante, utilis�e par McDuff (voir le lemme 1.4 dans \cite{McD} ) et aussi par Sikorav pour prouver le th�or�me 3.1.1 dans l'ouvrage \cite{Ad}: une courbe  $\gamma :B^1_1 \longrightarrow (B^n_2, J)$ est $J$-holomorphe si et seulement si la courbe 
$$
\gamma _0:=\gamma +P\Big(q_J(\gamma)\,\partial_z\gamma\Big)
$$
 est $J_0$-holomorphe. De plus on a l'�galit� $\gamma _0(0)=\gamma(0)$.
\\ 
\\
On aura besoin de quelques remarques �l�mentaires de topologie diff�rentielle qui seront utilis�es plusieurs fois dans la suite.
\\
\\
$Remarque\; 1$. Soit $f:X\times Y\longrightarrow Z$ une application entre espaces topologiques telle que l'application 
$\Phi_f:X\times Y\longrightarrow X\times Z,\;\Phi_f(x,y):=(x,f(x,y))$ soit ouverte. Alors pour tout $(x_0,y_0)\in X\times Y $, pour tout voisinage ouvert $V_{y_0}\subset Y$ de $y_0$ et pour tout compact $K\subset f_{x_0}(V_{y_0})$ (ici on pose par d�finition $f_x:=f(x,\cdot)$) il existe un voisinage ouvert $U_{x_0}\subset X$ de $x_0$ tel que
pour tout $x\in U_{x_0}$ on a   $f_x(V_{y_0})\supset K$. L'hypoth�se pr�c�dente est v�rifi�e par exemple si $f$ est une application de classe ${\cal C}^1$ entre vari�t�s de Banach telle que pour tout $x\in X$ l'application $f_x:Y\longrightarrow Z$ soit un plongement ouvert, autrement dit $f_x$ est injective et 
$$
d_yf_x:T_{Y,y} \longrightarrow T_{Z,f_x(y)}  
$$
est un isomorphisme pour tout $y\in Y$. En effet dans ce cas le th�or�me d'inversion locale implique que l'application $\Phi_f$ est ouverte. 
\\
\\
$Remarque\; 2$. 
Dans le cas o� l'application $f_{x_0} :Y\longrightarrow Z$ est un plongement ouvert seulement en un point $x_0\in X$ on a d'apr�s le th�or�me des fonctions implicites que pour tout compact $K\subset Z$ il existe un voisinage ouvert $V_K\subset Z$ de $K$, un voisinage ouvert $W\subset Y$ de $f^{-1}_{x_0} (V_K)$ et un voisinage ouvert $U_{x_0}\subset X$ de $x_0$ tel que pour tout $x\in U_{x_0}$ l'application 
$$
f_x:f^{-1}_x(V_K)\cap W \longrightarrow V_K
$$ 
soit un diff�omorphisme de classe ${\cal C}^1$.
\\
\\
$Remarque\; 3$. Le th�or�me des fonctions implicites implique que si $f:X\times Y'\longrightarrow Z$ est une application de classe ${\cal C}^1$ entre vari�t�s de Banach telle qu'il existe un point $x_0\in X$ et un ouvert relativement compact $Y\subset Y'$ (donc $Y'$ est de dimension finie) tels que $f_{x_0}:Y\longrightarrow Z $ soit injective et 
$$
d_yf_{x_0} :T_{Y',y} \longrightarrow T_{Z,f_{x_0} (y)}
$$
soit un isomorphisme pour tout $y\in \overline{Y}$, alors il existe un voisinage ouvert $U_{x_0}\subset X$ de $x_0$ tel que
pour tout $x\in U_{x_0}$ l'application $f_x:Y\longrightarrow Z$ est un plongement ouvert.
\\
\\
{\bf Preuve du th�or�me \ref{Jplat}} 
\\
{\bf Preuve de la partie A} 
\\
Pour tout entier $k\in \N,\;k\geq 2$ nous consid�rons l'application de classe ${\cal C}^{k-1} $
\begin{diagram}[height=1cm,width=1cm]
&F:[0,1]\times {\cal C}^{k+\mu }&(B_1^1\times B_1^n\times B_1^n;\,B_2^n)&\rTo&{\cal C}^{k+\mu }(B_1^1\times B_1^n\times B_1^n;\,\C^n)
\\
&&(\varepsilon ,\phi)&\longmapsto& \phi+P_{z}\Big(q_J(\varepsilon \phi)\,\partial_{z}\phi\Big)
\end{diagram}
o� $\mu \in (0,1)$ est une constante fix�e et $(P_{z}\phi)(z,x,v):=(P\phi(\cdot,x,v))(z),\;(z,x,v)\in B_1^1\times B_1^n\times B_1^n$. Consid�rons aussi l'application holomorphe
$H\in {\cal O} (B_1^1\times B_1^n\times B_1^n;\,B_2^n)$ d�finie par la formule $H(z,x,v):=x+zv$.
\\
Le fait que l'application 
$$
F_0:=F(0,\cdot):{\cal C}^{k+\mu }(B_1^1\times B_1^n\times B_1^n;B_2^n)\longrightarrow {\cal C}^{k+\mu }(B_1^1\times B_1^n\times B_1^n;\C^n)
$$
soit l'inclusion canonique entra�ne, d'apr�s la remarque 2, l'existence d'un voisinage ouvert 
${\cal V}_k\subset {\cal C}^{k+\mu }(B_1^1\times B_1^n\times B_1^n;B_2^n)$ de $H$ (avec
${\cal V}_k\supset {\cal V}_{k+1} $), d'un voisinage ouvert 
$$
{\cal W}_k\subset {\cal C}^{k+\mu }(B_1^1\times B_1^n\times B_1^n;B_2^n)
$$
de ${\cal V}_k$, ${\cal W}_k\supset {\cal W}_{k+1}$  et de $\varepsilon _0\in (0,1]$ tel que pour tout $\varepsilon \in [0,\varepsilon _0]$ l'application 
$$
F_{\varepsilon}:F_{\varepsilon}^{-1} ({\cal V}_k)\cap {\cal W}_k \longrightarrow {\cal V}_k
$$
est un diff�omorphisme de classe ${\cal C}^{k-1}$. On pose alors par d�finition 
$\phi_{\varepsilon}:=F^{-1}_{\varepsilon}(H)$ et on remarque que l'application 
$
\varepsilon \,\phi_{\varepsilon}\in \ci(B_1^1\times B_1^n\times B_1^n;B_2^n)
$ est $J$-holomorphe par rapport � la variable $z\in B_1^1$.  Nous consid�rons maintenant l'application de classe $\ci$
\begin{diagram}[height=1cm,width=1cm]
&\chi:[0,&\varepsilon _0]\times B_1^n\times B_1^n&\rTo& B_2^n\times \C^n&&
\\
& &(\varepsilon ,x,v)&\longmapsto&(x,\partial_t\phi_{\varepsilon}(0,x,v)), & 
\end{diagram}
$z=t+i\,s$. On rappelle que $\phi_{\varepsilon}(0,x,v)=x$. Le fait que l'application $\chi_0:=\chi(0,\cdot,\cdot)$ soit l'inclusion canonique entra�ne, d'apr�s les remarques 3 et 1, que quelque soit $r\in (0,1)$ et
$\rho \in (0,r)$ il existe $\varepsilon _1=\varepsilon _1(r,\rho )\in(0,\varepsilon _0]$ tel que pour tout $\varepsilon \in [0,\varepsilon _1]$ l'application 
$$
\chi_{\varepsilon }:B_r^n\times B_r^n\longrightarrow \chi_{\varepsilon }(B_r^n\times B_r^n)\supset \overline{B_{\rho}^n}\times \overline{B_{\rho}^n}
$$
est un diff�omorphisme de classe $\ci$. On consid�re l'application 
$\chi_{\varepsilon }^{-1}:\overline{B_{\rho}^n}\times \overline{B_{\rho}^n}\longrightarrow  B_r^n\times B_r^n $ et on d�finit l'application
\begin{diagram}[height=1cm,width=1cm]
&\Phi_{\varepsilon} :& B_1^1\times B_{\varepsilon \rho}^n \times B_{\varepsilon \rho}^n
 &\rTo& B_2^n&
\\
& &(z,x,v)&\longmapsto&\varepsilon \phi_{\varepsilon}(z,\chi_{\varepsilon }^{-1}(\varepsilon^{-1} x,\varepsilon^{-1} v)).&
\end{diagram}
Si on pose par d�finition $U_{x_0}:=B_{\varepsilon \rho}^n$ et ${\cal B}(T_{U_{x_0}}):=B_{\varepsilon \rho}^n \times B_{\varepsilon \rho}^n$ on a que l'application $\Phi_{\varepsilon}$ v�rifie les conditions de la partie A de l'enonc� du th�or�me \ref{Jplat}. On verra de suite que pour satisfaire aussi la conclusion B du th�or�me \ref{Jplat} il est n�cessaire de consid�rer un voisinage ouvert $U_{x_0}$ plus petit.
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\\
\\
{\bf Preuve de la partie B} 
\\
On rappelle qu'on d�signe par $J_0$ la structure presque complexe usuelle sur $\R^{2n}$ identifi� � $\C^n$ via $z\equiv (x,y)$. Avec cette identification on voit le groupe $Gl(n,\C)$ comme sous-groupe du groupe $Gl(2n,\R)$. Pr�cis�ment 
$A\in Gl(n,\C)\subset Gl(2n,\R)$ si et seulement si $A\,J_0=J_0\,A$. Dans la suite on d�signera par $U(n):=O(2n)\cap Gl(n,\C)$ le groupe unitaire. Soit $\delta =\rho /2$ et 
$$
l:B_{\delta }^n\times B_{\delta}^{n-1}\times U(n)\longrightarrow B_{\rho }^n \subset \R^{2n}\equiv \C^n    
$$
l'application d�finie par la formule
\begin{eqnarray*}
l(p,z_2,A)=p+A\Big(x_2\cdot \frac{\partial}{\partial x_2}+y_2\cdot\frac{\partial}{\partial y_2}\Big),
\end{eqnarray*}
avec l'identification $z_2\equiv(x_2,y_2)$ et $x_2\equiv(x_2,...,x_n),\;y_2\equiv(y_2,...,y_n)$. 
Consid�rons donc l'application de classe $\ci$
\begin{diagram}[height=1cm,width=1cm]
&\Phi :&[0,\varepsilon _1]\times (B_{\delta } ^1\times B_{\delta } ^{n-1})\times B_{\delta }^n\times U(n)  &\rTo& B_2^n&
\\
& &(\varepsilon ;(z_1,z_2);(p,A))&\longmapsto&\phi_{\varepsilon} \Big(z_1, 
\chi _{\varepsilon}^{-1}\Big(l(p,z_2,A);A\frac{\partial}{\partial x_1}\Big)\Big), &
\end{diagram}
o� $\phi_{\varepsilon}:=F^{-1}_{\varepsilon}(H)$ est l'application d�finie dans la preuve de la partie A. Avec l'identification $\Phi(\varepsilon ;(z_1,z_2);(p,A))\equiv \Phi ^{p,A}_{\varepsilon }(z_1,z_2)$ on a les propri�t�s suivantes:
$$
\left  \{
\begin{array}{lr}
\Phi ^{p,A}_{\varepsilon }(0,z_2)=l(p,z_2,A)
\\
\\
\partial_t \Phi ^{p,A}_{\varepsilon }(0,z_2)=\displaystyle { A\frac{\partial}{\partial x_1}}
\\
\\
\Phi ^{p,A}_0(z_1,z_2)=\displaystyle {t\,A\frac{\partial}{\partial x_1}+s\,A\frac{\partial}{\partial y_1}+l(p,z_2,A)}
\end{array}
\right.
$$
(rappelons que $z_1:=t+i\,s$). Soit $\delta _1\in (0,\delta )$ un r�el suffisamment petit pour pouvoir assurer l'inclusion 
$\overline{B^n_{\delta _1} }\subset \Phi ^{p,A}_0(B_{\delta } ^1\times B_{\delta } ^{n-1})$ pour tout $p\in\overline{B^n_{\delta _1} }$ et  $A\in U(n)$. On aura alors que l'image du plongement 
\begin{diagram}[height=1cm,width=1cm]
&\Phi_0\times \I :& (B_{\delta } ^1\times B_{\delta } ^{n-1})\times\overline{B^n_{\delta _1} }\times U(n)  &\rTo& B_2^n\times\overline{B^n_{\delta _1} }\times U(n)&
\\
& &((z_1,z_2);(p,A))&\longmapsto&(\Phi ^{p,A}_0(z_1,z_2);(p,A)) &
\end{diagram}
contient le compact $\overline{B^n_{\delta _1} }\times\overline{B^n_{\delta _1} }\times U(n)$ (rappelons que le groupe $U(n)$ est compact). On aura d'apr�s les remarques 3 et 1 l'existence de $\varepsilon _2\in (0,\varepsilon _1]$ tel que pour tout $\varepsilon \in (0,\varepsilon _2]$ et $(p,A)\in B^n_{\delta _1}\times U(n)$ l'application
$$
\Phi ^{p,A}_{\varepsilon } :B_{\delta } ^1\times B_{\delta } ^{n-1}\longrightarrow \Phi^{p,A}_{\varepsilon }(B_{\delta } ^1\times B_{\delta } ^{n-1})\supset B^n_{\delta _1}
$$
est un diff�omorphisme de classe $\ci$. Nous consid�rons donc l'application 
$$
\Psi_{\varepsilon}: (B_{\delta } ^1\times B_{\delta } ^{n-1})\times B^n_{\varepsilon \delta _1}\times U(n)\longrightarrow B_2^n
$$
d�finie par la formule $\Psi^{p,A}_{\varepsilon } :=\varepsilon \,\Phi ^{\varepsilon ^{-1} p,A}_{\varepsilon }$, $(p,A)\in B^n_{\varepsilon \delta _1}\times U(n)$ et on remarque qu'elle v�rifie les propri�t�s suivantes:
\begin{eqnarray*}
\partial_{\bar{z}_1} \Psi^{p,A}_{\varepsilon }+q_J(\Psi^{p,A}_{\varepsilon })\,\partial_{z_1} \Psi^{p,A}_{\varepsilon }=0&\qquad&\Psi^{p,A}_{\varepsilon }(0,0)=p
\\
\\
\Psi^{p,A}_{\varepsilon }(B_{\delta } ^1\times B_{\delta } ^{n-1})\supset B^n_{\varepsilon \delta _1}&\qquad&\partial_t \Psi^{p,A}_{\varepsilon }(0,z_2)=
\displaystyle { \varepsilon A\frac{\partial}{\partial x_1}}
\end{eqnarray*}
On d�finit les champs de vecteurs $J$-plats
\begin{eqnarray*}
\xi _{p,A}:=\partial_t\Psi^{p,A}_{\varepsilon }\circ (\Psi^{p,A}_{\varepsilon })^{-1}  &\qquad&\xi _{p,A}(p)=\displaystyle { \varepsilon A\frac{\partial}{\partial x_1}}
\end{eqnarray*}
 sur l'ouvert $B^n_{\varepsilon \delta _1}$. Le fait que l'action de $U(n)$ est transitive sur la sph�re $S^{2n-1}$, (voir \cite{Bo-Tu}) entra�ne que la famille 
$$
\{\lambda \xi _{p,A} \in P_J(B^n_{\varepsilon \delta _1}, T_X )\;|\; \lambda \in \R\smallsetminus \{0\},\, (p,A)\in B^n_{\varepsilon \delta _1}\times U(n) \} 
$$ 
engendre ponctuellement (au sens ensembliste) $T_{X|B^n_{\varepsilon \delta _1} }\smallsetminus0_X$, ce qui prouve la partie B du th�or�me $\ref{Jplat}$ avec $U_{x_0}:=B^n_{\varepsilon \delta _1} $ et $I:=B^n_{\varepsilon \delta _1}\times U(n)$.\hfill $\Box$
\\
\\
Le lemme �l�mentaire suivant montre que tout champ de vecteurs $J$-plat provient localement d'un plongement dont les feuilles  sont des courbes $J$-holomorphes.
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%                             STRUCTURE LOCALE DES CHAMPS J-PLATS
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{lem}\label{locJ-plat}Soit $(X,J)$ une vari�t� presque complexe de dimension complexe $n$ et $\xi$ un champ de vecteurs $J$-plat sur un ouvert $U$. Pour tout $x\in U$ il existe un voisinage ouvert $U_x\subset U$ de $x$ et une carte locale 
$(U_x,\sigma _{\xi }^{-1}),\,\sigma_{\xi}  :B^1_{\delta}\times B^{n-1}_{\delta  }\longrightarrow U_x$, compatible avec l'orientation canonique de $(U_x, J)$ telle que pour tout 
$z_2\in B^{n-1}_{\delta}$, les applications 
$z_1\in B^1_{\delta}\mapsto \sigma_{\xi}(z_1,z_2)$ sont des courbes $J$-holomorphes et 
$d\sigma _{\xi } ( \frac{\partial}{\partial x_1} )=\xi \circ\sigma _{\xi },\,z_1=x_1+iy_1$.
\end{lem}
$Preuve$. Soient $v_2,...,v_n \in T_{X,x}$ des vecteurs tels que $\xi (x),v_2,...,v_n$ soit une base sur $\C$ de $T_{X,x}$ et $\tau$ des coordonn�es locales centr�es en $x$ telles que:
\begin{eqnarray*} 
d\tau^{-1}\Big(\frac{\partial}{\partial x_1}{\vphantom{x_1} } _{| _{_0} } \Big)=\xi (x) && d\tau^{-1}\Big(\frac{\partial}{\partial y_1}{\vphantom{y_1} } _{| _{_0} } \Big)=J\xi (x)
\\
\\
d\tau^{-1}\Big( \frac{\partial}{\partial x_k}{\vphantom{x_k} } _{| _{_0} } \Big)=v_k && d\tau^{-1}\Big( \frac{\partial}{\partial y_k}{\vphantom{y_k} } _{| _{_0} } \Big)=Jv_k
\end{eqnarray*}
pour tout $k=2,...,n$, (on d�signe par $(x_1,y_1,...,x_n,y_n)$ les coordonn�es sur $\R^{2n}$). On d�signe par $\phi_{\xi},\,\phi_{J\xi}:V_x\times (-\delta ,\delta )\subset X\times \R\longrightarrow X $ les flots respectifs des champs $\xi $ et $J\xi$ au voisinage $V_x$ de $x$ (pour simplifier les notations on utilisera dans la suite l'identification $\phi_{\xi}(x,t)\equiv\phi^t_{\xi}(x) $) et on consid�re l'application $\sigma _{\xi }:\mbox{Im}\,\tau\longrightarrow X$ d�finie par la formule
\begin{eqnarray*} 
\sigma _{\xi }(x_1,y_1,...,x_n,y_n)&:=&\phi^{x_1} _{\xi}\circ \phi^{y_1} _{J\xi}\circ\tau^{-1}(0,0,x_2,y_2,...,x_n,y_n)=
\\
\\
&=&\phi^{y_1}_{J\xi}\circ \phi^{x_1}_{\xi}\circ\tau^{-1}(0,0,x_2,y_2,...,x_n,y_n).
\end{eqnarray*}
D'apr�s le th�or�me d'inversion locale on a l'existence d'un voisinage ouvert $U _x\subset U$ de $x$ tel que $(U_x, \sigma _{\xi }^{-1} )$
 soit une carte locale compatible avec l'orientation canonique de $(U_x,J)$ telle que 
\begin{eqnarray*} 
d\sigma _{\xi }  \Big( \frac{\partial}{\partial x_1} \Big)=\xi \circ\sigma _{\xi } \quad \text{et}\quad 
d\sigma _{\xi }  \Big( \frac{\partial}{\partial y_1} \Big)=J\xi \circ\sigma _{\xi } .
\end{eqnarray*}
Si on suppose $\sigma _{\xi }^{-1}(U_x)=B^1_{\delta}\times B^{n-1}_{\delta  } \subset \R^2\times \R^{2n}$ on en d�duit que les applications 
$(t,s)\in B^1_{\delta}\mapsto \sigma _{\xi }(t,s,a_2,b_2,...,a_n,b_n)$ sont des courbes $J$-holomorphes pour tout $(a_2,b_2,...,a_n,b_n)\in B^{n-1}_{\delta  }$.\hfill $\Box$
\\
\\
On aura besoin aussi du lemme suivant.
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%                     PERTURBATIONS LISSES DES COURBES J-HOLOMORPHES LISSES
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{lem}\label{perturbCurbJ-hol}  
Soit $(X,J)$ une vari�t� presque complexe de dimension complexe $n$ et soit $\gamma :B^1_{\delta }\longrightarrow X$ une courbe $J$-holomorphe lisse. Il existe alors un plongement 
\\
$\sigma :B^1_{\rho }\times B^{n-1}_{\rho }\longrightarrow X,\,\rho \in (0,\delta )$ de classe $\ci$ qui pr�serve les orientations canoniques  tel que les applications $\sigma (\cdot ,z_2),\,z_2\in B^{n-1}_{\rho }$ soient des courbes $J$-holomorphes et $\sigma (\cdot , 0)=\gamma$.
\end{lem} 
$Preuve$. Soit $B^n_2\subset X$ une boule coordonn�e telle que $J(0)=J_0$ et $\gamma (0)=0$. Soit $\mu _{\lambda }:B^1_1\longrightarrow B^1_{\lambda  },\,\mu _{\lambda }(z)=\lambda z$ l'homoth�tie de facteur $\lambda >0$ et $\gamma _{\lambda },\,\lambda \in (0,\delta]$ la courbe $J$-holomorphe d�finie par la formule $\gamma _{\lambda }:=\gamma \circ \mu _{\lambda }$. Consid�rons la famille de courbes $J_0$-holomorphes $(u_{\lambda})_{\lambda \in (0,\delta]}$ d�finie par la formule
$$
u_{\lambda}:=\lambda ^{-1}\Big[\gamma _{\lambda }+P\Big(q_{J}(\gamma _{\lambda } )\,\partial_z  \gamma _{\lambda }\Big)\Big]. 
$$
Consid�rons des vecteurs $\xi _2,...,\xi _n\in \R^{2n}\equiv\C^n$ tels que les vecteurs 
$\lambda \partial_t u_{\lambda}(0),\xi _2,...,\xi _n$ forment une base $J_0$-complexe de $\R^{2n}$ et la famille d'applications $J_0$-holomorphes 
$$
(H_{\lambda } )_{\lambda \in (0,\delta ]}\subset {\cal O} (B^1_1\times B^{n-1}_1;B^n_2),
$$
d�finie par la formule $H_{\lambda }(z_1,z_2)=u_{\lambda}(z_1)+\xi \cdot z_2$. Nous consid�rons aussi l'application
$$
F:[0,1]\times {\cal C}^{k+\mu }(B_1 ^1\times B_1 ^{n-1} ;\,B_2^n)\longrightarrow {\cal C}^{k+\mu }(B_1 ^1\times B_1 ^{n-1} ;\,\C^n)
$$
d�finie comme dans la preuve du th�or�me $\ref{Jplat}$. Le fait que l'ensemble 
$$
\overline{(H_{\lambda } )_{\lambda \in (0,\delta ]}}\subset {\cal C}^{k+\mu }(B_1 ^1\times B_1 ^{n-1} ;\,B_2^n) 
$$ 
soit compact, (pour tout $k\geq 1$) entra�ne, d'apr�s la remarque 2 de la preuve du th�or�me $\ref{Jplat}$, l'existence d'un $\rho \in (0,\delta]$ pour lequel il existe les applications $\phi _{\varepsilon }:= F^{-1}_{\varepsilon }(H_{\varepsilon }) ,\,\varepsilon \in (0,\rho ]$, (les applications 
$F^{-1}_{\varepsilon }$ sont  d�finies comme dans la preuve du th�or�me $\ref{Jplat}$). De fa�on explicite on a donc l'identit�
$$
\phi_{\varepsilon}+P_{z_1}\Big(q_J(\varepsilon \phi_{\varepsilon} )\,\partial_{z_1}\phi_{\varepsilon}\Big) =H_{\varepsilon }.
$$ 
On d�duit alors, gr�ce � l'in�galit� $\eqref{Cauchy-Oper}$, que pour $\varepsilon >0$ suffisamment petit, (disons $\varepsilon \in (0,\rho ]$), on a l'in�galit�
$$
\|\phi_{\varepsilon}-H_{\varepsilon }\|_{k+\mu +1}\leq\varepsilon C_{k,\mu }\|d_0q_{J} \|\cdot \|\phi_{\varepsilon} \|_{k+\mu}\cdot \|d\phi_{\varepsilon} \|_{k+\mu},     
$$
qui compte tenu de la compacit� de la famille 
$
\overline{(\phi_{\varepsilon })_{\varepsilon \in (0,\rho] }}
\subset {\cal C}^{k+\mu }(B_1 ^1\times B_1 ^{n-1} ;\,B_2^n) 
$, (pour tout $k\geq 1$) implique l'in�galit�
$$
\|\phi_{\varepsilon}-H_{\varepsilon }\|_{k+\mu +1}\leq C'_{k,\mu }\varepsilon.
$$
On consid�re le plongement lin�aire $L(z_1,z_2):=d_0\gamma (z_1)+\xi \cdot z_2$ et on remarque l'in�galit� 
$$
\|H_{\varepsilon }-L\|_{k+\mu+1 }=\|u_{\varepsilon}-d_0\gamma \|_{k+\mu+1 }\leq \varepsilon C'_{k,\mu }\|d_0q_{J}\|\cdot \|d_0\gamma\|^2,
$$
pour tout  $\varepsilon \in (0,\rho ]$. On d�duit alors que les applications $\phi_{\varepsilon }$ sont des plongements pour $\rho >0$ suffisamment petit (voir lemme 1.3 du chapitre 2 dans l'ouvrage de Hirsch \cite{Hir}) . On consid�re donc les plongements $\psi_{\varepsilon }:=\varepsilon \phi_{\varepsilon }$ et on remarque les �galit�s
$$
\Big[\psi_{\varepsilon}+P_{z_1}\Big(q_J(\psi_{\varepsilon} )\,\partial_{z_1}\psi_{\varepsilon}\Big) \Big](\cdot ,0)=
\varepsilon u_{\varepsilon }=
\gamma _{\varepsilon}+P_{z_1}\Big(q_J( \gamma _{\varepsilon} )\,\partial_{z_1}\gamma _{\varepsilon}\Big) 
$$
qui montrent l'�galit� $\psi_{\varepsilon }(\cdot,0)=\gamma _{\varepsilon}$. On d�duit alors que l'application
$$
(z_1,z_2)\in B_{\rho  } ^1\times B_{\rho } ^{n-1}\mapsto 
\sigma (z_1,z_2):=\psi_{\rho  }(\rho^{-1} z_1,z_2)
$$
est le plongement  voulu.\hfill $\Box$
%\newpage
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Courants positifs sur les vari�t�s presque complexes}
\subsection{G�n�ralit�s} 
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
On commence par rappeler quelques d�finitions g�n�rales de la th�orie des courants.
\begin{defi}\label{mass}  
Soit $\Theta \in {{\cal D}'}^k(X)$ un courant de degr� $k$, d'ordre z�ro sur une vari�t� diff�rentiable $X$ orientable et orient�e de dimension $n$. Une masse du courant $\Theta $ est une mesure de Radon positive $\mu$ sur $X$ telle que si $\psi\in{\cal E}(\Lambda ^n T_X^*)(X)$ est une forme de volume arbitraire et si $A\subset X$ est un ensemble de Borel alors $\mu (A)=0$ si et seulement si $\int _A \Theta(\xi _1,...,\xi _k)\cdot \psi=0$  pour tout champ de vecteurs $\xi _1,...,\xi _k\in {\cal E}(T_X)(X)$.
\end{defi}
On remarque que si $\mu _1$ et $\mu _2$ sont deux masses du m�me courant alors l'une est absolument continue par rapport � l'autre. Il est bien connu, (cf. \cite{Fed}, \cite{G-M-S}) que tout courant d'ordre z�ro admet une masse qui peut �tre d�finie par la formule
\begin{eqnarray*}
\mu _g(\Theta )(U):=\sup_{\displaystyle
\scriptstyle   \varphi \in {\cal D}^{n-k} (U)  
\atop
\scriptstyle |\varphi|_g \leq 1 } \left|  \,\int\limits_{U}\Theta \wedge \varphi  \right| 
\end{eqnarray*}
pour tout ouvert $U\subset X$ relativement compact dans $X$, (ici $g$ est une m�trique Riemannienne sur $X$). Avec les notations de la d�finition $\ref{mass}$ on a par cons�quence du Th�or�me de Radon-Nikodym l'existence d'une $k$-forme $\theta _{\mu ,\psi} $ telle que  pour tout champ de vecteurs  $\xi _1,...,\xi _k\in {\cal E}(T_X)(X)$ la fonction 
$\theta_{\mu ,\psi}(\xi _1,...,\xi _k)\in L^1_{loc}(X,{\cal B}_X,\mu )$ (ici ${\cal B}_X$ d�signe la $\sigma $-alg�bre de Borel) est d�finie $\mu$-presque partout par la formule
\begin{eqnarray*} 
\theta_{\mu ,\psi}(\xi _1,...,\xi _k)(x):=\lim_{r\rightarrow 0 }\,\frac{1}{\mu (B_r(x))}\int\limits_{B_r(x) }\Theta(\xi _1,...,\xi _k)\cdot \psi
\end{eqnarray*}
o� $B_r(x)$ est une boule de rayon $r$ relative � un ouvert coordonn� quelconque. On aura alors pour tout Borelien $A\in{\cal B}_X$ l'�galit�
\begin{eqnarray*} 
\int\limits_{A}\Theta(\xi _1,...,\xi _k)\cdot \psi=\int\limits_{A} \theta_{\mu ,\psi} (\xi _1,...,\xi _k)d\mu 
\end{eqnarray*}
qu'on d�note souvent sous la forme $\Theta =\theta_{\mu ,\psi}\cdot \mu $. 
Nous rappelons maintenant quelques r�sultats de base de la th�orie des courants d'ordre z�ro (cf. \cite{Fed}, \cite{G-M-S}).
\begin{theo}{\bf (Compacit� faible de la masse)}. Soit $ \{\Theta _{\nu}  \}_{\nu } \subset {{\cal D}'}^k(X)$ une suite de courants d'ordre z�ro telle que $\sup_{\nu }\mu (\Theta _{\nu } )(U)<\infty$ pour tout ouvert relativement compact $U$ de $X$. Il existe alors une sous-suite $\{\Theta _{\nu_j}  \}_{\nu_j }$ de $\{\Theta _{\nu}  \}_{\nu }$ convergente pour la topologie faible des courants d'ordre z�ro vers un courant d'ordre z�ro $\Theta   \in {{\cal D}'}^k(X)$.
\end{theo} 
Ce th�or�me est juste une cons�quence du th�or�me classique de Banach-Alaoglu. Le th�or�me pr�c�dent admet un r�ciproque que nous �non�ons sous la forme suivante.
\begin{theo}\label{invcompmas} 
Soit $ \{\Theta _{\nu}  \}_{\nu } \subset  {{\cal D}'}^k(X)$ une suite de courants d'ordre z�ro telle que $\sup_{\nu }|\left<\Theta _{\nu},\varphi \right>|<\infty $ pour toute forme � support compact $\varphi \in {\cal C}^0(\Lambda ^{n-k}T_X^*)(X)$. Alors les masses des courants $\Theta _{\nu}$ sont localement �qui-born�es au sens suivant : pour tout ouvert relativement compact $U$ de $X$on a $\sup_{\nu }\mu (\Theta_{\nu } )(U)<\infty$.
\end{theo}
Ce th�or�me est simplement une cons�quence du th�or�me classique de Banach-Steinhaus. Nous avons aussi la lemme tr�s utile suivant.
\begin{lem}\label{critconvzero} 
Soit $\{\Theta _{\nu}  \}_{\nu } \subset {{\cal D}'}^k(X)$ une suite de courants d'ordre z�ro convergente faiblement vers un courant d'ordre z�ro $\Theta\in {{\cal D}'}^k(X)$. Si $\sup_{\nu }\mu (\Theta_{\nu } )(X)<\infty$ alors la suite $\{\Theta _{\nu}  \}_{\nu }$ converge vers le courant $\Theta$ dans la topologie faible des courants d'ordre z�ro.
\end{lem}  
Consid�rons � partir de maintenant  une vari�t� presque complexe $(X,J)$ de classe ${\cal C}^{\infty}$ et de dimension r�elle $2n$ munie d'une m�trique $\omega \in {\cal E}(\Lambda ^{1,1}_{_J}T_X^*)(X)$ et les $(p,p)$-formes fortement positives 
$\omega_p:=1/p!\,\omega^p$ pour $p=0,...,n$. On remarque que $\omega_n$ est la forme de volume associ�e � la m�trique $\omega$. Les notations pr�c�dentes seront utiles pour montrer l'�quivalence des d�finitions suivantes.
\begin{defi}\label{corrpos} 
Un courant $\Theta \in {\cal D}'_{p,p}(X)$ sur une vari�t� presque complexe $(X,J)$ est dit positif si il v�rifie une des trois propri�t�s �quivalentes suivantes.
\\
$a)$ Pour tout champ de vecteurs r�els $\xi _1,...,\xi _{n-p} \in {\cal E}(T_X)(X)$ et pour toute forme $\varphi \in {\cal D}^{2n}(X)$ positive on a l'in�galit�
$$
\langle\Theta(\xi _1,J\xi _1,...,\xi _{n-p} ,J\xi _{n-p}  ),\varphi  \rangle\geq 0 .
$$
\\
$b)$ Le courant $\Theta$ est d'ordre z�ro et le courant $\Theta \wedge \omega _p$ d�termine une masse $\|\Theta \|_{\omega}$ du courant $\Theta$ telle que quel que soit le repr�sentant 
$$\theta _{\omega}\in \theta _{_{\|\Theta \|_{\omega}, \omega _n} }\in 
\Big({\cal E}(\Lambda ^{n-p,n-p}_{_J}\,T_X^*) \otimes_{_{{\cal E}_X(\C) }}{\cal L}^1_{loc}({\cal B}_X, \|\Theta \|_{\omega} )\Big)(X)
$$
de la forme $\theta _{_{\|\Theta \|_{\omega}, \omega _n}}$ on a que la forme $\theta _{\omega }(x)\in \Lambda ^{n-p,n-p}_{_J}\,T_{X,x} ^*$ est positive pour $\|\Theta \|_{\omega}$-presque tout $x\in X$.
\\
$c)$ Pour tout $(p,p)$-forme $\varphi  \in {\cal E}(\Lambda ^{p,p}_{_J}T_X^*)(X)$ fortement positive le courant $\Theta \wedge \varphi $ d�termine une mesure de Radon positive.
\\
Le c�ne des courants positifs de bidimension $(p,p)$ sera not� par ${\cal D}'_{p,p}(X)^+$.
\end{defi}
$Preuve \; de\; l'\acute{e}quivalence$. Nous montrons les implications $a)\Longrightarrow c)$ et $c)\Longrightarrow b)$. L'implication $b)\Longrightarrow a)$ est �vidente. Commen�ons par prouver l'implication $a)\Longrightarrow c)$.
\\
Soit $U\subset X$ un ouvert coordon�e, soit 
$(\zeta _1,...,\zeta _n)$ un rep�re du fibr� $ T^{1,0}_{X,J\,|U}$ et $(\rho _{\varepsilon})_{\varepsilon >0}$ une famille de noyaux r�gularisants usuels. Si
$$
\Theta =i^{(n-p)^2}\sum_{|K|=|H|=n-p}\Theta _{K,H}\,\zeta _K^*\wedge\bar{\zeta}_H^*    
$$
est l'expression locale du courant $\Theta$ on d�finit les $(n-p,n-p)$-formes
$$
\Theta*\rho _{\varepsilon} :=i^{(n-p)^2}\sum_{|K|=|H|=n-p}\Theta _{K,H}*\rho _{\varepsilon}\,\zeta _K^*\wedge\bar{\zeta}_H^*.    
$$
Soient de plus $\xi _1,...,\xi _{n-p} \in {\cal E}(T_X)(U)$ des champs de vecteurs � coefficients constants par rapport au rep�re $(\zeta _1,...,\zeta _n)$. L'�galit�  
$$
\Theta(\xi _1,J\xi _1,...,\xi _{n-p} ,J\xi _{n-p}  )*\rho _{\varepsilon}=(\Theta*\rho _{\varepsilon} )(\xi _1,J\xi _1,...,\xi _{n-p} ,J\xi _{n-p})
$$
entra�ne que les formes $\Theta*\rho _{\varepsilon}$ sont positives. Pour tout $(p,p)$-forme $\varphi  \in {\cal E}(\Lambda ^{p,p}_{_J}T_X^*)(X)$ fortement positive on a alors l'in�galit� $(\Theta *\rho _{\varepsilon})\wedge \varphi \geq 0$. En passant � la limite on obtient la conclusion voulue. 
\\
\\
Nous montrons maintenant l'implication $c)\Longrightarrow b)$.
Montrons d'abord que le courant $\Theta $ est d'ordre z�ro. Soit $U\subset X$  sur lequel $T_{X|U}$ est trivial et soit $(\zeta _1,...,\zeta _n)$  un rep�re $\omega$-orthonorm� du fibr� $ T^{1,0}_{X,J\,|U}$. Les formes $\omega _p$ s'expriment alors par rapport au rep�re choisi sous la forme
$$
\omega _p =\frac{i^{p^2}}{2^p} \sum_{|K|=p}\zeta _K^*\wedge\bar{\zeta}_K^*.    
$$
Pour tout multi-indice $|L|=n-p$ on d�signe par $R:=\complement L$ le multi-indice compl�mentaire de $L$ dans l'ensemble $\{1,..,n\}$. On a alors que le courant
$$
\Theta _{L,L}\cdot \omega _n= i^{p^2}2^{-n} \Theta\wedge\zeta _R^*\wedge\bar{\zeta}_R^*
$$
peut �tre identifi� avec une mesure de Radon positive sur l'ouvert $U$. Nous reprenons maintenant un calcul fait par Demailly dans \cite{Dem-1}, chapitre III.
On d�signe par $R:=\complement K,\;Q:=\complement H$ les multi-indices compl�mentaires de $K$ et $H$ dans l'ensemble $\{1,..,n\}$ et avec $\varepsilon _{\bullet}:=\pm 1,\;\pm i$. Avec ces notations on aura alors:
\begin{eqnarray}\label{Teta-K,H}
&\displaystyle{ 
\Theta _{K,H}\cdot \omega _n=\pm i^{p^2}2^{-n} \Theta\wedge\zeta _R^*\wedge\bar{\zeta}_Q^*=}&\nonumber
\\\nonumber
\\
&\displaystyle{
=2^{-n}\Theta \wedge \sum_{a\in(\Z/4\Z)^p}\,\varepsilon _a\bigwedge_{1\leq s\leq p}\frac{i}{4}  (\zeta ^*_{r_s}+i^{a_s}\zeta^*_{q_s})\wedge (\overline{\zeta ^*_{r_s}+i^{a_s}\zeta^*_{q_s}}).}&
\end{eqnarray}
En effet il suffit de remarquer l'identit� ext�rieure
\begin{eqnarray}\label{fund-posit}
4\zeta^*_j\wedge \bar{\zeta}_k^*=(\zeta^*_j+\zeta^*_k)\wedge\overline{(\zeta^*_j+\zeta^*_k)}-(\zeta^*_j-\zeta^*_k)\wedge\overline{(\zeta^*_j-\zeta^*_k)}\nonumber
\\\nonumber
\\
+i(\zeta^*_j+i\zeta^*_k)\wedge\overline{(\zeta^*_j+i\zeta^*_k)}-i(\zeta^*_j-i\zeta^*_k)\wedge\overline{(\zeta^*_j-i\zeta^*_k)}.
\end{eqnarray}
Le fait que les formes
$$
\bigwedge_{1\leq s\leq p}\frac{i}{4}  (\zeta ^*_{r_s}+i^{a_s}\zeta^*_{q_s})\wedge (\overline{\zeta ^*_{r_s}+i^{a_s}\zeta^*_{q_s}})
$$ 
sont fortement positives entra�ne, par hypoth�se, que les courants $\Theta _{K,H}\cdot \omega _n$ peuvent �tre identifi� avec une mesure de Radon complexe sur l'ouvert $U$, ce qui montre que le courant $\Theta $ est d'ordre z�ro. D'autre part on a les �galit�s 
\begin{eqnarray*}
&\displaystyle{
2^{-n}\Theta \wedge\bigwedge_{1\leq s\leq p}\Big(\sum_{a_s\in(\Z/4\Z)}\, \frac{i}{4}  (\zeta ^*_{r_s}+i^{a_s}\zeta^*_{q_s})\wedge (\overline{\zeta ^*_{r_s}+i^{a_s}\zeta^*_{q_s}}) \Big)=}&
\\
\\
\\
&\displaystyle{
=2^{-n}\Theta \wedge \bigwedge_{1\leq s\leq p}  \,(i\zeta _{r_s}^*\wedge\bar{\zeta}_{r_s} ^*+i\zeta _{q_s}^*\wedge\bar{\zeta}_{q_s} ^*  )=}&
\\
\\
\\
&\displaystyle{
=2^{-n}\Theta \wedge \sum_{t\in E} \, i^{p^2}\,\zeta _{M_t} ^*\wedge\bar{\zeta}_{M_t} ^* = \sum_{t\in E} \,\Theta _{H_t,H_t}\cdot \omega _n}&
\end{eqnarray*}
o� $E$ est un ensemble d'indices de cardinalit� inf�rieure ou �gale � $2^p$, $M_t\subset R\cup Q$ est un $p$-multi-indice et $H_t:=\complement M_t$. En utilisant l'expression \eqref{Teta-K,H} on obtient alors l'in�galit� suivante:
\begin{eqnarray}\label{psh1} 
\sup_{\displaystyle
\scriptstyle   f\in {\cal D}^0(V,\C)  
\atop
\scriptstyle |f |\leq 1 } \left|  \,\int\limits_{V}\Theta _{K,H}\cdot f \omega _n \right| \leq 2^p\sum_{L\supset K\cap H}\, \int\limits_{V}\Theta _{L,L}\cdot \omega _n< +\infty
\end{eqnarray}
pour tout $V\subset U$ relativement compact dans $U$.
On remarque de plus que le courant $\Theta \wedge \omega _p$ s'�crit sous la forme
$$
\Theta \wedge \omega _p=2^{n-p} \Big(\sum_{|L|=n-p}\Theta _{L,L}  \Big)\cdot \omega _n.
$$
Le courant $\Theta \wedge \omega _p$ d�termine  une mesure de Radon Positive $\|\Theta \|_{\omega}$ donn�e explicitement par la formule
$$
\|\Theta \|_{\omega}(A):=\inf_{U \supset A} 
 \;\int\limits_{U}\Theta \wedge \omega _p
$$
pour tout sous-ensemble $A\subset X$ relativement compact. L'in�galit� $\eqref{psh1} $ montre alors que les mesures de Radon complexes d�termin�es par les courants 
$\Theta _{K,H}\cdot \omega _n $ sont absolument continues par rapport � la mesure $\|\Theta \|_{\omega}$ restreinte � l'ouvert trivialisant $U$, ce qui prouve que la mesure de Radon $\|\Theta \|_{\omega}$ est une masse du courant $\Theta$. 
\\
Nous montrons maintenant que la forme $\theta _{\omega }(x)\in \Lambda ^{n-p,n-p}_{_J}\,T_{X,x} ^*$ est positive pour $\|\Theta \|_{\omega}$-presque tout $x\in X$. On d�signe par 
$$
FP_p(\zeta)\subset {\cal E}(\Lambda ^{p,p}_{_J}\,T_X ^*)(U)
$$ 
l'ensemble des $(p,p)$-formes fortement positives � coeficients constants par rapport au rep�re $(\zeta _1,...,\zeta _n)$ et on consid�re  un sous-ensemble $(\varphi _{\nu} )_{\nu \in\N}\subset FP_p(\zeta) $ dense dans $FP_p(\zeta)$. Soit $\xi _{\omega}\in {\cal E}(\Lambda ^{n,n}_{_J}\,T_X)(X)$ le $(n,n)$-champ de vecteurs tel que $\omega _n(\xi _{\omega})=1$ sur $X$. On remarque que pour tout $(p,p)$-forme $\varphi  \in {\cal E}(\Lambda ^{p,p}_{_J}T_X^*)(X)$ et tout Borelien $A\subset X$ on a les identit�s
$$
\int\limits_{A}\Theta \wedge \varphi = \int\limits_{A}(\Theta \wedge \varphi)(\xi_{\omega})\cdot \omega _n= \int\limits_{A}(\theta _{\omega}\wedge \varphi )(\xi_{\omega})\,\|\Theta \|_{\omega}.
$$
On a alors que l'ensemble 
$$
E_{\nu }:=\{x\in \mbox{Dom}\,\theta _\omega\cap U \,|\,\theta _\omega (x)\wedge \varphi_{\nu } (x)<0 \}
$$
est un ensemble de $\|\Theta \|_{\omega}$-mesure nulle (ici $\mbox{Dom}\,\theta _\omega$ d�signe le domaine du repr�sentant $\theta _\omega$). Le fait que 
$$
\Lambda ^{p,p}_{_J}\,T_{X,x}^*=\{\varphi (x)\,|\,\varphi \in FP_p(\zeta)\}
$$
pour tout $x\in U$ combin� avec le fait que, par densit�, pour tout  $\varphi \in FP_p(\zeta)$
 il existe une suite $(\nu _l)_l$ telle que $\varphi =\lim_{l\rightarrow +\infty}\varphi _{\nu _l}$ entra�nent
$$
\theta _\omega (x)\wedge \varphi (x)=\lim_{l\rightarrow +\infty}\theta _\omega(x)\wedge \varphi _{\nu _l}(x) \geq 0 
$$ 
pour tout $x\in \mbox{Dom}\,\theta _\omega\cap U \setminus \cup_{\nu }E_{\nu}$. Ceci entra�ne la conclusion voulue sur la forme $\theta _\omega$. 
\hfill $\Box$
\\
\\
Voyons maintenant quelques exemples fondamentaux de $(1,1)$-courant positif sur les vari�t�s presque complexes.
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Exemples fondamentaux de courants positifs sur les vari�t�s presque complexes.} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
On commen�e par une d�finition.
\begin{defi} 
Une sous-vari�t� $Y\subset X$ de dimension $2p$ d'une vari�t� presque complexe $(X,J)$ est dite presque complexe si $J(T_Y)=T_Y$.
\end{defi}
Un exemple de sous-vari�t� presque complexe est constitu� par les images $\gamma(\proj^1_{_{\C} } )\subset X$ des courbes $J$-holomorphes r�guli�res. Les r�sultats qui suivront vont assurer l'existence d'exemples de sous-vari�t�s presque complexes de dimension complexe sup�rieure � un. On commence par rappeler la proposition suivante (voir \cite{McD-Sa}).
\begin{prop} Soit $X$ une vari�t� diff�rentielle de dimension r�elle $2n$. S'il existe une $2$-forme $\omega \in {\cal E}(\Lambda ^2T_X^*)(X)$ non d�g�n�r� alors l'espace des structures presque complexes compatibles avec  $\omega$
$$
{\cal J}_{X,\omega }:=\Bigl\{J\in {\cal E}(T^*_X\otimes_{_{\R}} T_X)(X)\,|\,J^2=-\I,\,\omega (Ju,Jv)=\omega (u,v),\,\omega (u,Ju)>0\,\forall u,v\in T_{X,x}\smallsetminus \left\{0_x\right\}  \Bigr\}   
$$
est non vide et contractile.
\end{prop} 
On a aussi la proposition suivante, (voir l'article de Audin dans l'ouvrage \cite{Ad}).
\begin{prop}
Soit $X$ une vari�t� diff�rentielle de dimension r�elle $2n$ admettant une $2$-forme $\omega \in {\cal E}(\Lambda ^2T_X^*)(X)$ non d�g�n�r�e et soit $Y\subset X$ une sous-vari�t� telle que $i_{Y}^*\omega$ soit non d�g�n�r�e. Il existe alors une structure presque complexe $J\in {\cal J}_{X,\omega }$ telle que $(Y,J_{|_Y})$ soit une sous-vari�t� presque complexe de $(X,J)$.
\end{prop} 
On a le r�sultat fondamental suivant du � S.K Donaldson (voir \cite{Don}).
\begin{theo}\label{Donaldson} 
Soit $(X,\omega)$ une vari�t� symplectique compacte de dimension r�elle $2n$. Pour tout $p=1,...,n$ il existe des sous-vari�t�s symplectiques $(Y_p,i_{Y_p}^*\omega)$ ferm�es de dimension r�elle $2p$.
\end{theo} 
Le premier exemple de courant positif qu'on consid�re est le courant d'int�gration sur une sous-vari�t� presque complexe $Y$ de dimension $2p$ de mesure localement finie avec l'orientation canonique donn�e par la structure presque complexe $J_{|_Y}\in {\cal E}(T^*_Y\otimes_{_{\R}} T_Y)$. Le courant $[Y]\in {\cal D}'_{2p}(X)$ s'identifie naturellement avec un �l�ment de l'espace  ${\cal D}'_{p,p}(X)$  �tant $\int_Y \varphi =\int_Y \varphi^{p,p}$ pour tout $\varphi \in {\cal D}^{2p}(X)$, o� 
$\varphi^{p,p}$ d�signe la composante de type $(p,p)$ de la forme $\varphi$. Le courant $[Y]$ est �videmment positif gr�ce � la  propri�t� $\ref{corrpos}.c$. Sous les hypoth�ses du th�or�me $\ref{Donaldson}$ on a alors l'existence de courants $[Y_p]$ lesquels sont de bidegr� $(n-p,n-p)$ et positifs par rapport � une structure presque complexe $J_p\in {\cal J}_{X,\omega }$. De plus les courants en question sont ferm�s, i.e $d[Y_p]=0$ en cons�quence de la formule de Stokes. La notion intuitive de la masse $\|[Y]\|_{\omega}$ est clarifi�e par le lemme suivant qui est une g�n�ralisation imm�diate d'un r�sultat bien connu dans le cas des vari�t�s complexes (voir le chapitre III dans l'ouvrage de Demailly \cite{Dem-1}).
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{iw} Soit $Y\subset X$ une sous-vari�t� orientable et orient�e de dimension $2p$ d'une vari�t� presque complexe $(X,J)$ munie d'une m�trique $\omega \in {\cal E}(\Lambda ^{1,1}_{_J}T_X^*)(X)$. Si on d�signe par $dV_{Y,\omega }$ la forme de volume associ�e � la restriction � $T_Y$ de la m�trique riemannienne 
$g(\cdot,\cdot):=\omega(\cdot,J\cdot) $ associ�e � la m�trique $\omega $ on a l'existence d'une fonction $\alpha \in {\cal C}^0(Y,[-1,1]) $ telle que 
$\omega _{p_{|_Y}}=\alpha \cdot dV_{Y,\omega }$. De plus $|\alpha |=1$ si et seulement si $Y$ est une sous-vari�t� presque complexe. Dans ce cas $\alpha =1$ si l'orientation de $Y$ co�ncide avec l'orientation canonique donn�e par la structure $J_{|_Y} $ et $\alpha =-1$ sinon. La fonction $\alpha $ est identiquement nulle si et seulement si $Y$ est une sous-vari�t� $\omega $-isotropique.
\end{iw} 
Le th�or�me suivant nous fournit un autre exemple fondamental de $(1,1)$-courant positif.
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{theo}\label{pluri-positif}
Soit $(X,J)$ une vari�t� presque complexe connexe et $f\in Psh(X,J)$. Alors ou bien $f\equiv -\infty$ ou bien $f\in L^1_{loc}(X)$. Dans ce dernier cas le $(1,1)$-courant $i\partial_{_J }\bar{\partial}_{_J }f$ est positif.
\end{theo}   
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
$Preuve$
\\
{\bf Int�grabilit� locale de $f$}. Avec les notations du th�or�me \ref{Jplat} on a que pour tout $x\in U_{x_0}$ 
l'application 
\begin{diagram}[height=1cm,width=1cm]
&\varphi _x:(0,\delta )\times S^1\times  S^{2n-1}(T_{X,x} ) &\rTo&
X
\\
&(r,\theta,v)&\longmapsto& \Phi(re^{i\theta},v)& 
\end{diagram}
est une submersion de classe $\ci$. %telle que les applications $\theta \in S^1\mapsto \varphi _x(r,\theta ,v)$ sont des diff�omorphismes. 
Par hypoth�se on a l'in�galit� de la moyenne
$$
f(x)\leq \frac{1}{2\pi r}  \int\limits_0^{2\pi}f\circ  \varphi _x(r,\theta ,v)\,d\theta. 
$$ 
On consid�re les ouverts relativement compacts
$$
C_{r_1,r_2} (x):=\varphi _x\Big((r_1,r_2 )\times S^1\times  S^{2n-1}(T_{X,x} )\Big), \;0<r_1<r_2<\delta 
$$
et la forme de volume de classe $\ci$ 
$$
d{\cal V}_x(p):=\int\limits_{(r,\theta ,v)\in \varphi _x^{-1}(p) } dr\,d\theta \,d\sigma (v)$$
sur l'ouvert $\mbox{Im}\varphi _x$, o� $d\sigma$ d�signe la forme de volume sur la sph�re $S^{2n-1}(T_{X,x} )$.
Avec ces notations on a alors
\begin{eqnarray}\label{ineqSH}
\int\limits_{p\in C_{r_1,r_2} (x)}f(p)\,d{\cal V}_x(p)=
\int\limits_{v\in S^{2n-1}(T_{X,x})}d\sigma (v)\int\limits_{r_1}^{r_2}dr \int\limits_0^{2\pi}f\circ  \varphi _x(r,\theta ,v)\,d\theta\geq f(x)\,K_{r_1,r_2}     
\end{eqnarray}  
o� $K_{r_1,r_2}>0$ est une constante.
Soit $W\subset X$ l'ensemble des points $p\in X$ tels que la fonction $f$ soit int�grable sur un voisinage de $p$. Par d�finition le sous-ensemble $W$ est ouvert en $X$ et $f>-\infty$ presque partout sur $W$. Si $p\in \overline{W}$, on peut choisir un point $x\in W$ tel que 
$f(x)>-\infty$ et $p\in C_{r_1,r_2} (x)$. On d�duit alors d'apr�s l'in�galit� \eqref{ineqSH}, que la fonction $f$ est int�grable sur le voisinage $C_{r_1,r_2} (x)$ de $p$, ce qui montre que $p\in W$ et donc que $W$ est aussi ferm� en $X$. On a alors soit $W=X$, soit $W=\emptyset$. Dans le dernier cas l'in�galit� \eqref{ineqSH}, implique $f\equiv -\infty$. On a donc prouv� que soit $f\equiv -\infty$ soit $f\in L^1_{loc}(X)$. 
\\
\\
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%                     POSITIVITE  DU  COURANT   i\partial_{_J }\bar{\partial}_{_J }f
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
{\bf Positivit� du courant $i\partial_{_J }\bar{\partial}_{_J }f$}. On montre d'abord que pour tout 
$\xi\in P_{_J}(U_{x_0} ,T_X)$ la distribution $i\partial_{_J }\bar{\partial}_{_J }f\,(\xi ,J\xi )$ est positive sur $U_{x_0}$. Pour tout $x\in U_{x_0}$ soient 
$(U_x,\sigma _{\xi }^{-1})$
$$
\sigma_{\xi}  :B^1_{\delta}\times B^{n-1}_{\delta  }
\longrightarrow U_x\subset U_{x_0}
$$
les coordonn�es du lemme $\ref{locJ-plat}$. En rappelant l'expression explicite $\eqref{explicit(1,1)cour}$ du courant  $i\partial_{_J }\bar{\partial}_{_J }f$ on aura pour tout $\xi \in {\cal E}(T_X)(U_{x_0} )$ les �galit�s suivantes:
\begin{eqnarray*} 
&i\partial_{_J }\bar{\partial}_{_J }f\,(\xi ,J\xi )=2\partial_{_J }\bar{\partial}_{_J }f\,(\xi^{1,0}  ,\xi^{0,1})
 =2(\xi ^{1,0}.\,\xi ^{0,1}.\,f-[\xi^{1,0}  ,\xi^{0,1}]^{0,1} .\,f)=&
\\
\\
&= \displaystyle{ \frac{1}{2}}(\xi .\,\xi .\,f+ J\xi .\,J\xi .\,f+J[\xi ,J\xi ].\,f )   &
\end{eqnarray*}
Le fait que dans notre cas $[\xi ,J\xi ]=0$, implique les expressions:
\begin{eqnarray*} 
i\partial_{_J }\bar{\partial}_{_J }f\,(\xi ,J\xi )=2\xi ^{1,0}.\,\xi ^{0,1}.\,f=\frac{1}{2}(\xi .\,\xi .\,f+ J\xi .\,J\xi .\,f )=
\frac{1}{2}(\sigma _{\xi }^{-1})^*\Delta_{z_1}(f\circ \sigma _{\xi })   
\end{eqnarray*}
o� $\Delta_{z_1}:=\partial^2_{x_1}+\partial^2_{y_1} $ d�signe le Laplacien par rapport � la variable $z_1=x_1+i\,y_1\in B^1_{\delta}$ dans l'ouvert $B^1_{\delta}\times B^{n-1}_{\delta  }$. Gr�ce au th�or�me de Fubini on en d�duit l'in�galit�
\begin{eqnarray*}
\int\limits_{B^1_{\delta}\times B^{n-1}_{\delta  } }(f\circ \sigma _{\xi })\cdot \Delta_{z_1}\varphi \,d\lambda \geq 0
\end{eqnarray*}
pour tout $\varphi \in{\cal D}(B^1_{\delta}\times B^{n-1}_{\delta  }),\;\varphi \geq 0$. Le Laplacien 
$\Delta_{z_1}(f\circ \sigma _{\xi }) $ est donc positif, ce qui prouve la positivit� de la distribution $i\partial_{_J }\bar{\partial}_{_J }f\,(\xi ,J\xi )$ sur l'ouvert $U_{x_0}$ pour tout champ $\xi\in P_{_J}(U_{x_0} ,T_X)$. Nous montrons maintenant que le courant $i\partial_{_J }\bar{\partial}_{_J }f$  est d'ordre z�ro. 
\\
Soit $\zeta_1,...,\zeta_n$ un rep�re complexe du fibr� des $(1,0)$ vecteurs tangents  $T^{1,0}_{X,J|U_{x_0} }$. On d�duit d'apr�s l'identit� ext�rieure \eqref{fund-posit}, (avec $\zeta$ � la place de $\zeta ^*$) l'existence de champs de vecteurs $\rho _k\in {\cal E}(T^{1,0}_{X,J})(U_{x_0}),\,k=1,...,n^2$ du type 
$\rho _k=\zeta _{s_k}+i^{a_l}\zeta _{t_k}, \,a\in \Z/4\Z$ tels que les $(1,1)$-champs de vecteurs $(\rho _k\wedge \bar{\rho}_k)_{k=1}^{n^2}$ forment un rep�re complexe du fibr� $\Lambda ^{1,1}_{_J}\,T_{U_{x_0} } $. On choisit un point $x\in U_{x_0}$ et $\xi_k\in P_{_J}(U_{x_0}  ,T_X)$  tels que $\xi^{1,0} _k (x)=\rho_k(x)$. On aura alors que les $(1,1)$-champs de vecteurs $(\xi ^{1,0} _k\wedge \xi ^{0,1} _k)_{k=1}^{n^2}$ forment un rep�re complexe du fibr� $\Lambda ^{1,1}_{_J}\,T_{V_x}$ ou $V_x\subset U_{x_0}$ est un voisinage ouvert du point $x$. L'identit� 
$$
i\partial_{_J }\bar{\partial}_{_J }f\,(\xi_k ,J\xi_k )=2\partial_{_J }\bar{\partial}_{_J }f\,(\xi ^{1,0} _k\wedge \xi ^{0,1} _k)
$$ 
montre que le courant $i\partial_{_J }\bar{\partial}_{_J }f$  est d'ordre z�ro. 
\\
Venons-en maintenant � la positivit� du courant en question. Soit $\mu$ une masse du courant $i\partial_{_J }\bar{\partial}_{_J }f$ et considerons l'�criture $i\partial_{_J }\bar{\partial}_{_J }f=\theta\cdot \mu$. Nous montrons que la forme $\theta (x)\in \Lambda ^{1,1}_{_J}\,T_{X,x} ^*$ est positive pour $\mu$-presque tout $x\in X$. On d�signe par 
$$
\Q T_{X|U_{x_0}}:=T_{X|U_{x_0}}\cap (\Q^{2n}\times\Q^{2n}),
$$
en supposant que l'ouvert 
$U_{x_0}$ est un ouvert coordonn�. D'apr�s la preuve du th�or�me $\ref{Jplat} $ il existe une famille d�nombrable de champs $(\xi _{\nu})_{\nu \in \N}\subset P_{_J}(U_{x_0}  ,T_X)$ telle que pour tout $v\in\Q T_{X|U_{x_0}}\smallsetminus 0_X$ il existe $\nu \in \N$ tel que $\xi _{\nu}(\pi (v))=v$ ($\pi$ d�signe la projection sur le fibr� tangent) et pour tout $x\in U_{x_0}$ l'ensemble $(\xi _{\nu}(x))_{\nu \in \N}$ est dense dans $T_{X,x}$. La positivit� de la distribution $i\partial_{_J }\bar{\partial}_{_J }f\,(\xi ,J\xi )$ sur l'ouvert $U_{x_0}$entra�ne que l'ensemble 
$$
E_{\nu }:=\{x\in \mbox{Dom}\,\theta \cap U_{x_0}\,|\,\theta (\xi _{\nu},J\xi _{\nu})(x)<0 \}
$$
est de $\mu$-mesure nulle (ici $\mbox{Dom}\,\theta$ d�signe le domaine du repr�sentant $\theta$). Pour tout $x\in \mbox{Dom}\,\theta \cap U_{x_0} \setminus \cup_{\nu }E_{\nu}$ et pour tout $v\in T_{X,x}$ considerons une suite $(\nu _l)_l$ telle que $v=\lim_{l\rightarrow +\infty}\xi _{\nu_l}(x)$. La limite
$$
\theta (v,Jv)(x)=\lim_{l\rightarrow +\infty}\theta(\xi _{\nu_l},J\xi _{\nu_l})(x )\geq 0 
$$ 
entra�ne alors la conclusion voulue sur la forme $\theta$. \hfill $\Box$
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Les potentiels des courants positifs de type $(1,1)$ sur les  
\\
vari�t�s presque complexes }
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 
Dans cette section nous proposons une conjecture r�ciproque du th�or�me $\ref{pluri-positif}$ qu'on �nonce sous la forme suivante.
\begin{mut}\label{cas-Gen-Psh} 
Soit $(X,J)$ une vari�t� presque complexe de dimension complexe $n$ et soit $u\in {\cal D}'_{2n}(\R)(X)$ une distribution r�elle telle que le $(1,1)$-courant 
$i\partial_{_J }\bar{\partial}_{_J }u\in{{\cal D}'}^{1,1} (X)$ soit positif. Alors il existe une unique fonction $f\in Psh(X,J)\cap L^1_{loc}(X)$ telle que la distribution correspondante co�ncide avec la distribution $u$.
\end{mut}
Il est bien connu que la conjecture est vraie dans le cas complexe int�grable (voir \cite{Dem-1}). 
\\
{\bf Remarque 1}. On consid�re l'op�rateur 
$$
d^c_{_{J}}:=\frac{i}{2}(\bar{\partial}_{_J }-\partial_{_J }).
$$
En degr� z�ro il se r�duit � la forme $d^c_{_{J}}:=-\frac{1}{2}df\circ J$. En utilisant les identit�s fondamentales de la g�om�trie presque complexe on d�duit facilement qu'en degr� z�ro on a l'identit� 
$$
i\partial_{_J }\bar{\partial}_{_J }=  dd^c_{_{J}}+i\theta _{_{J} }\bar{\partial}_{_J }-i\bar{\theta}_{_{J}}\partial_{_J }, 
$$
qui montre de quelle fa�on la torsion de la structure presque complexe repr�sente l'obstruction pour le $(1,1)$-courant $i\partial_{_J }\bar{\partial}_{_J }u$ � �tre $d$-ferm�.
D'apr�s l'identit� pr�c�dente on d�duit alors l'�galit� 
$$
dd^c_{_{J}}\,u\,(\xi ,J\xi )=i\partial_{_J }\bar{\partial}_{_J } u\,(\xi).
$$
On a donc que le
$(1,1)$-courant $i\partial_{_J }\bar{\partial}_{_J }u$ est positif si et seulement si pour tout champs de vecteurs r�el $\xi $ la distribution $dd^c_{_{J}}\,u(\xi ,J\xi )$ est positive. On remarque de plus que comme dans le cas complexe int�grable, (cf. \cite{Dem-1}) on a d'apr�s la formule de Stokes l'�galit�
\begin{eqnarray}
\int\limits_U\varphi \wedge dd^c_{_{J}}\psi-dd^c_{_{J}}\varphi \wedge \psi=
\int\limits_{\partial U}\varphi \wedge d^c_{_{J}}\psi-d^c_{_{J}}\varphi \wedge \psi
\end{eqnarray}  
pour tout ouvert $U\subset X$ relativement compact  � bord ${\cal C}^1$ par morceaux et pour tout $\varphi \in {\cal C}^2(\Lambda ^{p,p}_{_J}T_X^*)(\overline{U})$ et $\psi\in {\cal C}^2(\Lambda ^{q,q}_{_J}T_X^*)(\overline{U}), \;p+q=n-1$. En utilisant la formule pr�c�dente et le fait que $\partial_{_J }\bar{\partial}_{_J }+\bar{\partial}_{_J }\partial_{_J }=0$ en bidegr� $(n-1,n-1)$, on d�duit pour tout $\varphi \in {\cal D}^{n-1,n-1}(X)$ les �galit�s suivantes
$$
\int\limits_X i\partial_{_J }\bar{\partial}_{_J }u\wedge \varphi =
\int\limits_X  dd^c_{_{J}}u\wedge \varphi =
\int\limits_X u \cdot dd^c_{_{J}}\varphi =
\int\limits_X u \cdot i\partial_{_J }\bar{\partial}_{_J }\varphi.
$$ 
\\
{\bf Remarque 2}. Soit $\omega \in {\cal E}(\Lambda ^{1,1}_{_J}T_X^*)(X)$ une m�trique hermitienne sur $T_{X,J}$. On d�finit le Laplacien de $u\in {\cal D}'_{2n}(\R)(X)$ par rapport � la structure presque complexe $J$ et la m�trique $\omega$ par la formule
$$
\Delta _{_{J,\omega}}u:=\mbox{Trace}_{_{\omega} } (i\partial_{_J }\bar{\partial}_{_J }u)=
\frac{ n\cdot i\partial_{_J }\bar{\partial}_{_J }u\wedge \omega ^{n-1} }{2\cdot\omega ^n}.     
$$
Soit $(\xi _k)_k\in {\cal E}(T_{X,J})(U)^{\oplus n}$ un rep�re local complexe $\omega $-orthonorm� du fibr� $T_{X,J}$ et soit $\zeta _k:=\xi^{1,0}_k$. En rappelant l'�criture locale  $\eqref{exploccour1,1}$ on obtient l'�galit�
\begin{eqnarray*}
&\displaystyle{
\Delta _{_{J,\omega}}u =\sum_{k=1}^n (\zeta _k\,.\bar{\zeta}_k .\,u-[\zeta _k,\bar{\zeta}_k]^{0,1}.\,u )=}&
\\
\\
&\displaystyle{
=\frac{1}{4} \sum_{k=1}^n (\xi _k\,.\,\xi _k\,.u+J\xi _k\,.\,J\xi _k\,.u+J[\xi _k,J\xi _k]\,.u)= \frac{1}{2} \sum_{k=1}^ni\partial_{_J }\bar{\partial}_{_J }u(\xi _k,J\xi _k)}.&
\end{eqnarray*}
Ce calcul montre que le symbole de $\Delta _{_{J,\omega}}$ co�ncide avec le symbole du Laplacien classique $\Delta\equiv\Delta _{_{J_0,\omega_0}}$ sur $\C^n$, o�
$\omega_0=\frac{i}{2}\partial_{_{J_0} }\bar{\partial}_{_{J_0}}|z|^2$ est la m�trique $J_
0$-invariante plate sur $\C^n$. On obtient alors que l'op�rateur de Green de $\Delta _{_{J,\omega}}$ co�ncide avec l'op�rateur de Green classique de $\Delta$ au sens des op�rateurs pseudodiff�rentiels.
Si le courant $i\partial_{_J }\bar{\partial}_{_J }u$ est positif alors $\Delta _{_{J,\omega}}u$ est une mesure de Radon positive. On d�duit alors d'apr�s la th�orie classique des op�rateurs elliptiques d'ordre deux que $u\in W^{1,1}_{loc}(X):= \{v\in L^1_{loc}(X)\,|\,dv\in L^1_{loc}(T^*_X)(X)\} $, (cf. \cite{Sta}, paragraphe 9, th�or�mes 9.1 et 9.4).
\\
Nous montrons maintenant la conjecture dans le cas particulier suivant.
\begin{theo}\label{caspart} 
Soit $(X,J)$ une vari�t� presque complexe et $f:X\longrightarrow [-\infty,+\infty)$ une fonction semi-continue sup�rieurement telle que $f$ soit continue sur l'ensemble $X\smallsetminus f^{-1}(-\infty)$, $f\in L^1_{loc}(X)$ et telle que le $(1,1)$-courant 
$i\partial_{_J }\bar{\partial}_{_J }f\in{{\cal D}'}^{1,1} (X)$ soit positif. Alors $f\in Psh(X,J)$.
\end{theo}   
Avant de passer � la preuve du th�or�me $\ref{caspart}$ nous aurons besoin de quelques notions et r�sultats pr�liminaires.
On commence par prouver le lemme suivant.
\begin{lem}\label{red-cont}  
Sous les hypoth�ses du th�or�me $\ref{caspart}$, le courant $i\partial_{_J }\bar{\partial}_{_J }\log (e^f+\varepsilon )$ est positif pour tout $\varepsilon >0$.
\end{lem} 
$Preuve$. Le fait que $f\in L^1_{loc}(X)$ implique que l'int�rieur de l'ensemble $f^{-1}(-\infty)$ est vide. On d�duit que pour tout $x\in f^{-1}(-\infty)$ et pour tout $r>0$ il existe $y\in B^n_r(x)\smallsetminus f^{-1}(-\infty)$.
L'hypoth�se de semi-continuit� combin�e avec la continuit� de la fonction $f$ sur l'ensemble $X\smallsetminus f^{-1}(-\infty)$ entra�nent alors la continuit� de la fonction $e^f$ sur tout $X$, (en particulier l'ensemble $f^{-1}(-\infty)$ est ferm� dans $X$). On obtient alors la continuit� des fonctions $f_{\varepsilon} :=\log (e^f+\varepsilon )$. On remarque que si $u$ est une fonction de classe ${\cal C}^2$ on a la formule
$$
i\partial_{_J }\bar{\partial}_{_J }u_{\varepsilon}=\frac{e^u}{e^u+\varepsilon} \, i\partial_{_J }\bar{\partial}_{_J }u+
\frac{\varepsilon e^u}{(e^u+\varepsilon)^2}\,i\partial_{_J }u\wedge\bar{\partial}_{_J }u 
$$
et la $(1,1)$-forme $i\partial_{_J }u\wedge\bar{\partial}_{_J }u$ est positive. En effet pour tout champs de vecteurs r�els $\xi$ on a les �galit�s
\begin{eqnarray*}
&\displaystyle{i\partial_{_J }u\wedge\bar{\partial}_{_J }u\,(\xi ,J\xi )=i\partial_{_J }u(\xi )\cdot\bar{\partial}_{_J }u(J\xi )-i\partial_{_J }u(J\xi )\cdot\bar{\partial}_{_J }u(\xi )=}&
\\
\\
&\displaystyle{=2\partial_{_J }u(\xi )\cdot\bar{\partial}_{_J }u(\xi )=\frac{1}{2}(du(\xi )^2+du(J\xi )^2)\geq 0}&
\end{eqnarray*}  
On en d�duit alors que si notre fonction $f$ est de classe ${\cal C}^2$ la $(1,1)$-forme $i\partial_{_J }\bar{\partial}_{_J }f_{\varepsilon}$ est positive. Dans le cas g�n�ral nous consid�rons une famille de noyaux r�gularisants $(\rho _{\eta} )_{\eta>0} $ sur un ouvert coordonn�e $V\subset X$ et les fonctions $f^{\eta}:=f*\rho _{\eta},\,f^{\eta} _{\varepsilon} :=\log (e^{f^{\eta} } +\varepsilon )\in{\cal E}(U,\R)$ o� $U\subset V$ est un ouvert relativement compact dans $V$. (On remarque que si la structure presque complexe n'est pas int�grable les $(1,1)$-formes $i\partial_{_J }\bar{\partial}_{_J }f^{\eta}$ ne sont pas positives). Pour prouver la positivit� du courant $i\partial_{_J }\bar{\partial}_{_J }f_{\varepsilon}$ on remarque que pour tout forme $\varphi \in{\cal D}^{2n}(U)$ positive et pour tout champ de vecteurs r�els $\xi \in {\cal E}(T_X)(U)$ on a les �galit�s suivantes
\begin{eqnarray*}
&\displaystyle{
\int\limits_U i\partial_{_J }\bar{\partial}_{_J }f_{\varepsilon}(\xi ,J\xi )\,\varphi =
\lim_{\eta \rightarrow 0} \int\limits_U i\partial_{_J }\bar{\partial}_{_J }f^{\eta} _{\varepsilon}(\xi ,J\xi )\,\varphi=}&
\\
\\
&\displaystyle{=
\lim_{\eta \rightarrow 0} \left[\int\limits_U \frac{e^{f^{\eta} }}{e^{f^{\eta} }+\varepsilon} \, i\partial_{_J }\bar{\partial}_{_J }f^{\eta}(\xi ,J\xi )\,\varphi+
\int\limits_U\frac{\varepsilon e^{f^{\eta} }}{(e^{f^{\eta} }+\varepsilon)^2}\,i\partial_{_J }f^{\eta}\wedge\bar{\partial}_{_J }f^{\eta}(\xi ,J\xi )\,\varphi\right]}.& 
\end{eqnarray*} 
 De plus on va montrer l'�galit�
\begin{eqnarray}\label{machedevofa}  
\lim_{\eta \rightarrow 0} \int\limits_U \frac{e^{f^{\eta} }}{e^{f^{\eta} }+\varepsilon} \, i\partial_{_J }\bar{\partial}_{_J }f^{\eta}(\xi ,J\xi )\,\varphi=
\int\limits_U\frac{e^f}{e^f+\varepsilon} \, i\partial_{_J }\bar{\partial}_{_J }f(\xi ,J\xi )\,\varphi\geq 0.
\end{eqnarray} 
On aura alors
$$
\int\limits_U i\partial_{_J }\bar{\partial}_{_J }f_{\varepsilon}(\xi ,J\xi )\,\varphi =
\int\limits_U\frac{e^f}{e^f+\varepsilon} \, i\partial_{_J }\bar{\partial}_{_J }f(\xi ,J\xi )\,\varphi+\lim_{\eta \rightarrow 0} \int\limits_U\frac{\varepsilon e^{f^{\eta} }}{(e^{f^{\eta} }+\varepsilon)^2}\,i\partial_{_J }f^{\eta}\wedge\bar{\partial}_{_J }f^{\eta}(\xi ,J\xi )\,\varphi.
$$
La derni�re limite est positive car la forme $i\partial_{_J }f^{\eta}\wedge\bar{\partial}_{_J }f^{\eta}$ est positive.
Pour prouver l'�galit� $\eqref{machedevofa}$ il suffit de montrer que la suite $(i\partial_{_J }\bar{\partial}_{_J }f^{\eta})_{\eta>0}$ converge vers le courant $i\partial_{_J }\bar{\partial}_{_J }f$ aussi dans la topologie faible des courants d'ordre z�ro. Ce fait combin� avec le fait que la suite de fonctions 
${e^{f^{\eta} }}/(e^{f^{\eta} }+\varepsilon)$ converge uniform�ment vers la fonction $e^f/(e^f+\varepsilon )$ prouve l'�galit� $\eqref{machedevofa}$. Pour prouver la convergence de la suite $(i\partial_{_J }\bar{\partial}_{_J }f^{\eta})_{\eta>0}$ dans la topologie faible des courants d'ordre z�ro il suffit de montrer la convergence de la suite 
$$
(i\partial_{_J }\bar{\partial}_{_J }f^{\eta}-(i\partial_{_J }\bar{\partial}_{_J }f)*\rho _{\eta})_{\eta>0} 
$$ 
dans la m�me topologie �tant donn� que la suite $((i\partial_{_J }\bar{\partial}_{_J }f)*\rho _{\eta})_{\eta>0}$ est convergente dans cette topologie. D'apr�s le lemme $\ref{critconvzero}$ il suffit donc de remarquer l'in�galit� 
\begin{eqnarray*}%\label{finalmass}  
\sup_{\eta>0}\mu(i\partial_{_J }\bar{\partial}_{_J }f^{\eta}-(i\partial_{_J }\bar{\partial}_{_J }f)*\rho _{\eta})(U)\leq C\|f\|_{W^{1,1}(U)}<\infty
\end{eqnarray*}
qui d�coule du lemme de K.O. Friedrichs (cf. \cite{Hor-1}). \hfill $\Box$
\\
\\ 
On rappelle la d�finition suivante.
\begin{defi}
Un sous-ensemble $A\subset U$ d'un ouvert $U\subset \R^m$ est dit polaire si pour tout point $x\in U$ il existe un voisinage ouvert connexe $V_x\subset U$ de $x$ et une fonction $u$ sous-harmonique sur $V_x$, $u\not \equiv -\infty$, telle que $A\cap V_x\subset  \{y\in V_x\,|\, u(y)=-\infty\}$. 
\end{defi}  
D'apr�s le th�or�me \ref{equiv-SH} on a qu'un sous-ensemble polaire est de mesure de Lebesgue nulle.  
On a le th�or�me classique suivant (cf. \cite{Dem-1}, chapitre I).
\begin{theo}\label{psh-exten}
Soit $A\subset U$ un sous-ensemble polaire ferm� et soit $v$ une fonction sous-harmonique sur l'ouvert $U\smallsetminus A$, born� sup�rieurement sur un voisinage de tout point de $A$. Il existe alors une unique extension sous-harmonique $\tilde{v}$ de $v$ sur $U$. En particulier si $v$ est une fonction continue sur $U$ et sous-harmonique sur l'ouvert $U\smallsetminus A$ alors $v$ est sous-harmonique sur $U$.
\end{theo}  
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
{\bf Preuve du th�or�me \ref{caspart}}. D'apr�s le lemme \ref{red-cont} 
il suffit de montrer le th�or�me dans le cas d'une fonction continue �tant donn� que la fonction $f$ est limite d�croissante des fonctions continues $f_{\varepsilon} :=\log (e^f+\varepsilon )$ (lorsque $\varepsilon $ tend vers z�ro) et une limite d�croissante de fonctions plurisousharmoniques est plurisousharmonique. A partir de maintenant on suppose donc $f$ continue et on remarque que pour tout courbe $J$-holomorphe $\gamma :B^1_{\rho}\longrightarrow X$ la fonction $f\circ \gamma$ est sous-harmonique sur $B^1_{\rho}$ si et seulement si elle est sous-harmonique sur l'ouvert 
$$
\{z\in B^1_{\rho}\,|\, d_z\gamma\not=0\}. 
$$
Ceci d�coule du fait que l'ensemble $\{z\in B^1_{\rho}\,|\, d_z\gamma=0\}$ est fini (voir \cite{McD-1}, chapitre II) et du th�or�me \ref{psh-exten}. On peut donc supposer que la  courbe $J$-holomorphe $\gamma :B^1_{\rho}\longrightarrow X$ est un plongement.
\\
D'autre part on remarque qu'une fonction continue $u:\Omega \subset \R^n\longrightarrow \R$ est sous-harmonique si et seulement si $\Delta u\geq 0$. En effet en consid�rant une famille de noyaux r�gularisants usuels $(\rho _{\varepsilon } )_{\varepsilon >0}$ on a $0\leq (\Delta u)*\rho _{\varepsilon}=\Delta (u*\rho _{\varepsilon})$. On d�duit alors l'in�galit�
$$
\frac{1}{\lambda(B_r(x))}   \int\limits_{B_r(x) }u*\rho _{\varepsilon} \,d\lambda \geq (u*\rho _{\varepsilon})(x).
$$ 
En passant � la limite pour $\varepsilon$ tendent vers z�ro on d�duit la sous-harmonicit� de $u$. On va donc montrer l'in�galit� $\Delta (f\circ \gamma)\geq 0$ pour tout plongement $J$-holomorphe $\gamma :B^1_{\rho}\longrightarrow X$. D'apr�s le lemme $\ref{perturbCurbJ-hol}$ on a, quitte � restreindre $\rho >0$, l'existence d'un plongement
$$
\sigma :B^1_{\rho }\times B^{n-1}_{\rho}\longrightarrow \sigma (B^1_{\rho }\times B^{n-1}_{\rho})\subset X
$$
qui pr�serve les orientations canoniques tel que $\sigma (\cdot, z_2)$ soit une courbe $J$-holomorphe pour tout $z_2\in B^{n-1}_{\rho}$ et $\sigma (z_1,0)=\gamma (z_1),\,z_1=t+is$. 
Le fait que le champ $\xi:=d\sigma (\frac{\partial}{\partial t})\circ \sigma ^{-1}$ soit $J$-plat sur l'ouvert $\sigma (B^1_{\rho }\times B^{n-1}_{\rho})$ implique les �galit�s
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{eqnarray*} 
i\partial_{_J }\bar{\partial}_{_J }f\,(\xi ,J\xi )=2\xi ^{1,0}.\,\xi ^{0,1}.\,f=\frac{1}{2}(\xi .\,\xi .\,f+ J\xi .\,J\xi .\,f )=
\frac{1}{2}(\sigma^{-1})^*\Delta_{z_1}(f\circ \sigma)   
\end{eqnarray*}
o� $\Delta_{z_1}:=\partial^2_{t}+\partial^2_{s}$ d�signe le Laplacien par rapport � la variable $z_1=t+i\,s\in B^1_{\rho}$ dans l'ouvert $B^1_{\rho }\times B^{n-1}_{\rho}$. 
Le fait que le plongement $\sigma $ pr�serve les orientations canoniques implique l'in�galit� 
$$
\Delta_{z_1}(f\circ \sigma)\geq 0
$$ 
sur l'ouvert $B^1_{\rho }\times B^{n-1}_{\rho}$. Consid�rons maintenant une famille de formes positives 
$$
(\delta _{\varepsilon})_{\varepsilon >0}\subset {\cal D}^{n-1,n-1}(B^{n-1}_{\rho})^+
$$
convergentes faiblement vers le courant de Dirac $\delta _0\in {{\cal D}'}^{n-1,n-1}(B^{n-1}_{\rho})^+$ en $0$ lorsque $\varepsilon$ tend vers $0$, (sur le c�ne des courants positifs la topologie faible co�ncide avec la topologie faible des courants d'ordre z�ro). Si on d�signe par $p_2:B^1_{\rho }\times B^{n-1}_{\rho}\longrightarrow B^{n-1}_{\rho}$ la deuxi�me projection on a 
$$
[B^1_{\rho }\times 0]=\lim_{\varepsilon \rightarrow 0}p_2^*\delta _{\varepsilon},
$$ 
o� la limite est consid�r� dans la topologie faible des courants d'ordre z�ro. 
\\
Pour tout forme  $\varphi \in {\cal D}^{1,1}(B^1_{\rho }\times B^{n-1}_{\rho}, J_0)^+$ positive par raport � la stucture presque complexe canonique de $\C^n$ on a
$$
0\leq \int\limits_{B^1_{\rho }\times B^{n-1}_{\rho}} \Delta_{z_1}(f\circ \sigma) \, p_2^*\delta _{\varepsilon}\wedge \varphi=
\int\limits_{B^1_{\rho }\times B^{n-1}_{\rho}}  (f\circ \sigma)\,p_2^*\delta _{\varepsilon}\wedge  \Delta_{z_1}\varphi.
$$
Si on d�signe par $j:B^1_{\rho }\rightarrow B^1_{\rho }\times B^{n-1}_{\rho}, \,j(B^1_{\rho })=B^1_{\rho }\times 0$, l'immersion canonique on a
$$
\int\limits_{B^1_{\rho }} \Delta (f\circ \gamma )\,j^*\varphi =
\int\limits_{B^1_{\rho }} (f\circ \gamma )\,\Delta(j^*\varphi) =
\lim_{\varepsilon \rightarrow 0} \int\limits_{B^1_{\rho }\times B^{n-1}_{\rho}}  (f\circ \sigma)\,p_2^*\delta _{\varepsilon}\wedge  \Delta_{z_1}\varphi
\geq 0.
$$
La surjectivit� de l'application $\varphi \in {\cal D}^{1,1}(B^1_{\rho }\times B^{n-1}_{\rho}, J_0)^+\mapsto j^*\varphi \in {\cal D}^{1,1}(B^1_{\rho })^+$ permet alors de conclure.\hfill $\Box$
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Sur la r�gularisation des potentiels sur les  vari�t�s presque complexes avec contr�le asymptotique de la perte de 
\\
positivit� du courant}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
Pour la solution de la conjecture dans le cas g�n�ral d'une distribution r�elle $u$ (qui est un �l�ment de $W^{1,1}_{loc}(X)$ d'apr�s la remarque 2 de la section pr�c�dente) nous proposons une technique de r�gularisation globale des potentiels $u$ des $(1,1)$-courants positifs du type $i\partial_{_J }\bar{\partial}_{_J }u$ sur les vari�t�s presque complexes analogue � celle utilis� avec succ�s par Demailly \cite{Dem-2} dans le cas complexe int�grable. La n�cessit� d'utiliser une technique globale d�rive du fait que sur une vari�t� presque complexe non int�grable on a pas de coordonn�es naturelles qui permettent de r�gulariser $u$ sans perte de positivit� du courant $i\partial_{_J }\bar{\partial}_{_J }u$.
\\
\\
Soit $(X,J)$ une vari�t� presque complexe et $\omega \in {\cal E}(\Lambda ^{1,1}_{_J}T_X^*)(X)$ une m�trique hermitienne sur $T_{X,J}$. Soit $\exp^{\omega} : {\cal U}\subset T_X\longrightarrow X$ le flot g�od�sique induit par la connexion de Chern du fibr� tangent
$$
D^{\omega} _{_{J} }: {\cal E}(T_{X,J}) \longrightarrow {\cal E}(T^*_X\otimes_{_{\R}}T_{X,J})
$$
associ� � la m�trique $\omega$, (ici ${\cal U}\subset T_X$ d�signe un voisinage ouvert de la section nulle). On d�signe par
$$
\exp^{\omega} _{x,\varepsilon}:=\exp^{\omega} _x(\varepsilon \cdot):T_{X,x}\cap \varepsilon ^{-1}{\cal U}  \longrightarrow X,\,\varepsilon>0,
$$
et  on consid�re une fonction 
$\chi:\R\longrightarrow \R$ de classe $\ci$ telle que $\chi(t)>0$ pour $t<1,\,\chi(t)=0$ pour $t\leq 1$ et $\int_{\C^n}\,\chi(|v|^2)\,dv=1$. On introduit alors les fonctions 
$\chi_{\varepsilon}(t):=\chi(t/\varepsilon^2)/\varepsilon^{2n}$ et l'op�rateur r�gularisant
$$
u_{\varepsilon}(x):= \int\limits_{\zeta \in T_{X,x}}
u\circ \exp^{\omega} _x\,(\zeta)\cdot \chi_{\varepsilon}(|\zeta|^2_{\omega_x})
\frac{\omega^n_{x,\zeta } }{n!}
=
\int\limits_{\zeta \in T_{X,x}}
u\circ \exp^{\omega} _{x,\varepsilon}\,(\zeta)\cdot \chi(|\zeta|^2_{\omega_x})
\frac{\omega^n_{x,\zeta } }{n!}.
$$
�tudier la conjecture revient � �tudier le contr�le asymptotique de la positivit� des $(1,1)$-formes $i\partial_{_J }\bar{\partial}_{_J }u_{\varepsilon}$ car si $i\partial_{_J }\bar{\partial}_{_J }u\geq 0$ alors, comme dans le th�or�me de Demailly qui suivra \cite{Dem-2}, la suite de fonctions $u_{\varepsilon}$ converge de fa�on d�croissante vers la fonction $u$ lorsque $\varepsilon$ tend vers z�ro. Avant de pr�senter le th�or�me de Demailly nous introduisons les d�finitions suivantes.
\begin{defi}
Soit $(X,J)$ une vari�t� presque complexe et $\omega \in {\cal E}(\Lambda ^{1,1}_{_J}T_X^*)(X)$ une m�triques hermitienne sur $T_{X,J}$. On appelle courbure de Griffiths inf�rieure du fibr� hermitien $(T_{X,J} ,\omega)$ la fonction $G_{\omega }(T_{X,J}):T_X\smallsetminus 0_X\longrightarrow \R$ homog�ne de degr� deux 
 sur les fibres de $T_X$ d�finie par la formule
$$
G_{\omega }(T_{X,J})_x(\xi ):=\min_{\eta\in T_{X,x}}  
\frac{{\cal C}^{\omega}_{_{{X,J} }}(\xi \otimes \eta ,\xi \otimes \eta)}{|\eta |^2_h} 
$$
o� ${\cal C}^{\omega}_{_{{X,J} }}\in {\cal E}(\Herm(T^{\otimes 2}_{X,J}))(X)$ d�signe la courbure de Chern de $(T_{X,J},\omega)$. Soit 
$$
\alpha:\proj_{\C}(T_{X,J})\longrightarrow \proj_{\C}(T^*_{X,J}),\;\bar{\xi}\mapsto \alpha _{\bar{\xi}}     
$$
une application fibr� de classe $\ci$ telle que $\alpha _{\bar{\xi}}\oplus \C\xi =T_{X,x},\,\xi \in T_{X,x}\smallsetminus 0_x$ pour tout $x\in X$.
On appelle courbure de Griffiths $\alpha$-partielle inf�rieure du fibr� hermitien $(T_{X,J} ,\omega)$ la fonction 
$G^{\perp_{\alpha } }_{\omega }(T_{X,J}):T_X\smallsetminus 0_X\longrightarrow \R$ homog�ne de degr� deux sur les fibres de $T_X$ d�finie par la formule
$$
G^{\perp_{\alpha } }_{\omega }(T_{X,J})_x(\xi ):=\min_{\eta\in \alpha _{\bar{\xi}} }  
\frac{{\cal C}^{\omega}_{_{{X,J} }}(\xi \otimes \eta ,\xi \otimes \eta)}{|\eta |^2_h}. 
$$
\end{defi}  
On remarque que le nombre $G_{\omega }(T_{X,J})$ est la plus petite valeur propre de l'endomorphisme hermitien $i{\cal C}_{\omega}(T_{X,J})(\xi ,J\xi )$ de $(T_{X,J} ,\omega)$, o� ${\cal C}_{\omega}(T_{X,J})$ d�signe le tenseur de courbure de Chern de $(T_{X,J} ,\omega)$. De plus on a l'in�galit� �vidente $G^{\perp_{\alpha} }_{\omega }(T_{X,J})\geq G_{\omega }(T_{X,J})$. Une application $\alpha$ peut �tre induite par une m�trique hermitienne sur $T_X$ par exemple. Il est facile de voir (cf. \cite{Dem-2}) qu'il existe une m�trique hermitienne $\omega$ sur $\proj^1_{\C}\times C$, o� $C$ est une courbe holomorphe de gendre $g\geq 2$ telle que $G^{\perp_{\omega } }_{\omega }(T_{X,J})>0$. On peut �noncer le r�sultat de Demailly sur la forme suivante.
\begin{theo}{\bf (Demailly)} 
Soit $(X,J,\omega)$ une vari�t� complexe hermitienne telle que 
\\
$G^{\perp_{\alpha } }_{\omega }(T_{X,J})\geq 0$ 
pour une certaine $\alpha$ et soit $\psi$ une fonction quasi-plurisousharmonique telle que $i\partial_{_J }\bar{\partial}_{_J }\psi \geq \gamma$, o� $\gamma$ est une $(1,1)$-forme continue. Soit $\exph^{\omega}$ la partie holomorphe sur les fibres du fibr� tangent de l'application exponentielle $\exp^{\omega}$.
L'op�rateur r�gularisant
$$
\psi_{\varepsilon}(x):= \int\limits_{\zeta \in T_{X,x}}
\psi \circ \exph^{\omega} _x\,(\zeta)\cdot \chi_{\varepsilon}(|\zeta|^2_{\omega_x})
\frac{\omega^n_{x,\zeta } }{n!}
$$
v�rifie les propri�t�es suivantes:
\\
{\bf A)} la suite de fonctions $(\psi_{\varepsilon} )_{\varepsilon>0}\subset {\cal E}(X,\R)$ converge ponctuellement de fa�on d�croissante vers $\psi$ lorsque $\varepsilon>0$ tend vers z�ro,  
\\
{\bf B)} on a le contr�le 
$i\partial_{_J }\bar{\partial}_{_J }\psi_{\varepsilon}  \geq \gamma-\delta _{\varepsilon}\omega$ sur la perte de positivit�, o� $(\delta _{\varepsilon})_{\varepsilon>0}\subset (0,+\infty)$ est une famille de 
r�els qui tend vers z�ro de fa�on d�croissante lorsque $\varepsilon>0$ tend vers z�ro.
\end{theo}  
Le th�or�me pr�c�dent reste valable m�me si on consid�re simplement l'application exponentielle $\exp^{\omega}$, mais les calculs de la preuve deviennent plus compliqu�es. Dans le cas presque complexe non int�grable on ne peut pas envisager de d�finir l'application $\exph^{\omega}$, pour des raisons d�licates sur le jet d'ordre deux de la structure presque complexe.\\
\\
%Pour assurer une perte de positivit� arbitrairement petite des $(1,1)$-formes $i\partial_{_J }\bar{\partial}_{_J }u_{\varepsilon}$ dans le cas presque complexe non int�grable on estime n�cessaire de supposer une in�galit� du type
%$$
%G^{\perp_{\alpha } }_{\omega }(T_{X,J})(\xi )\geq \beta _{_{J} }  (\xi ,J\xi )
%$$
 %pour tout $\xi \in T_X$, o� $\beta _{_{J} }$ est une $(1,1)$-forme positive ad�quate d�pendante de la torsion $\tau_{_{J} }$ de la structure presque complexe $J$ telle que $\beta _{_{J} } =0$ si $\tau_{_{J} }=0$.
%\\
On estime que le lemme $\ref{Hess2}$ de la sous-section qui suivra peut �tre utile pour la preuve de la conjecture. On rappelle d'abord la notion de coordonn�es presque complexes centr�es en un point, notion qui a �t� introduite dans \cite{Pal}. On rappelle le corollaire suivant qui � �t� montr� dans \cite{Pal} .
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{coro}\label{J3}
Pour tout point $x$ d'une vari�t� presque complexe $(X,J)$ il existe des coordonn�es $(z_1,...,z_n)$ de classe $\ci$ centr�es en $x$ telles que les matrices $A(z)$ et $B(z)$ de la structure presque complexe 
$$
J(z)=\sum_{k,l}\Big(A_{k,l}(z)\,dz_l\otimes \frac{\partial}{\partial z_k} +B_{k,l}(z)\, dz_l\otimes\frac{\partial}{\partial \bar{z}_k}+\overline{B}_{k,l}(z)\, d\bar{z}_l\otimes \frac{\partial}{\partial z_k}
+\overline{A}_{k,l}(z)\, d\bar{z}_l\otimes\frac{\partial}{\partial \bar{z}_k}  \Big),
$$
relatives � ces coordonn�es admettent les d�veloppements asymptotiques
\begin{eqnarray}
&B(z)=\displaystyle{\sum_r \,B^rz_r+\sum_{r,s}}\, \Big(B^{r,s}\,z_rz_s +B^{r,\bar{s}}\,z_r\bar{z}_s \Big)&\nonumber
\\\nonumber
\\
&\displaystyle{+\sum_{r,s,t}\,\Big(B^{r,s,t}\,z_rz_sz_t+B^{r,s,\bar{t} }\,z_rz_s\bar{z}_t+B^{r,\bar{s},\bar{t} }\,z_r\bar{z}_s\bar{z}_t\Big) +O(|z|^4)}&\label{B3}
\\\nonumber
\\
&A (z)=i\,I_n+\displaystyle{\frac{i}{2}\sum_{r,s} \,\overline{B}^{r} \cdot B^{s} \,z_s\bar{z}_r+
\frac{i}{4 } \sum_{r,s,t}\,\Big(\overline{B}^{t,\bar{r} }\cdot B^{s}+\overline{B}^{t,\bar{s}}\cdot B^r+2\overline{B}^t\cdot B^{r,s}\Big)\, z_rz_s\bar{z}_t  }&\nonumber
\\\nonumber
\\
&\displaystyle{+\frac{i}{4 } \sum_{r,s,t}\,\Big(\overline{B}^t\cdot B^{r,\bar{s}}+\overline{B}^s\cdot B^{r,\bar{t} }+2 \overline{B}^{s,t}\cdot B^r\Big)\, z_r\bar{z}_s\bar{z}_t +O(|z|^4)  }&
 \label{A3}
\end{eqnarray}
o� $B^r,\,B^{r,s},\,B^{r,\bar{s} },\,B^{r,s,t},\,B^{r,s,\bar{t}},\,B^{r,\bar{s},\bar{t} }\in M_{n,n}(\C)$ sont des matrices telles que $B^{r,s}$ soit sym�trique par rapport aux indices $r,s$, $B^{r,s,t}$ par rapport � $r,s,t$, 
$B^{r,s,\bar{t} }$ par rapport � $r,s$, $B^{r,\bar{s},\bar{t}}$ par rapport � $s,t$ et $B^r_{k,l}=0$ pour $r\leq l$, $B^{r,s}_{k,l}=0 $ pour $r,s\leq l$, $B^{r,\bar{s}}_{k,l}=0$ pour $r\leq l$, $B^{r,s,t}_{k,l}=0$ pour 
$r,s,t\leq l$, $B^{r,s,\bar{t}}_{k,l}=0$ pour $r,s\leq l$, et $B^{r,\bar{s} ,\bar{t} }_{k,l}=0$ pour $r\leq l$. De plus si on consid�re l'expression locale de la forme de torsion de la structure presque complexe
\begin{eqnarray*}
&\displaystyle{\tau_{_{J}}=\sum_{1\leq k<l\leq n}[\zeta _k,\zeta _l]^{0,1}_{_{J}}\otimes \zeta ^*_k\wedge\zeta ^*_l 
=\sum_{\substack{1\leq k<l\leq n
\\
1\leq r\leq n }}\overline{N}^r_{k,l}\, \zeta ^*_k\wedge\zeta ^*_l \otimes \bar{\zeta}_r }&
\end{eqnarray*}
o� $\zeta _l:=(\partial /\partial z_l)^{1,0}_{_{J} }\in {\cal E}(T^{1,0}_{X,J})(U_x), \,l=1,...,n$ est le rep�re locale du fibr� des $(1,0)$-vecteurs $T^{1,0}_{X,J}$ issue des coordonn�es $(z_1,...,z_n)$ on a l'expression
$$
\overline{N}^r_{k,l}(z)=\frac{i}{2}\,B^l_{r,k}+\frac{i}{2}\sum_s\Big[2(B^{l,s}_{r,k}-B^{k,s}_{r,l})\,z_s+ B^{l,\bar{s}}_{r,k} \,\bar{z}_s\Big]+O(|z|^2)
$$
pour tout $k<l$. Le jet d'ordre $k=0,1$ de la forme de torsion de la structure presque complexe au point $x$ est nul si et seulement si les coefficients $B_{*,*}(z)$ de la structure presque complexe relatifs aux coordonn�es en question s'annulent � l'ordre $k+1$.
\end{coro}
Les coordonn�es pr�c�dentes sont appel�es coordonn�es presque complexes d'ordre 3 au point $x$.
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Expression locale normale, asymptotique � l'ordre deux du Hessien presque complexe} 
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%  
Nous avons la d�finition suivante.
\begin{defi}\label{DefadHess} 
Soit $(X,J)$  une vari�t� presque complexe de dimension complexe $n$.
Pour tout distribution r�elle $u\in {\cal D}'_{2n}(\R)(X)$ et tout champ de vecteurs r�el $\xi \in {\cal E}(T_X)(X)$  on d�finit le Hessien 
presque complexe par la formule 
$$
H_{_J }u\,(\xi):=i\partial_{_J }\bar{\partial}_{_J }u\,(\xi ,J\xi )=
2\partial_{_J }\bar{\partial}_{_J }u\,(\xi^{1,0}  ,\xi^{0,1}  )=
\frac{1}{2} (\xi .\,\xi .\,u+ J\xi .\,J\xi .\,u+J[\xi ,J\xi ].\,u ).
$$
\end{defi}  
Avec les notations du corollaire $\ref{J3}$ on a le lemme  suivant.
\begin{lem}\label{Hess2} 
Soit $(X,J)$ une vari�t� presque complexe et $u\in {\cal D}'_{2n}(\R)(X)$ une distribution r�elle sur $X$. Soient $(z_1,...,z_n)$ des coordonn�es locales presque complexes d'ordre $N\geq 3$ en un point $x\in X$. Alors pour tout champ de vecteurs r�els 
$
\xi= \sum_k\Big(\xi _k \frac{\partial}{\partial z_k}+\bar{\xi}_k\frac{\partial}{\partial \bar{z}_k}\Big)
$
on a l'expression asymptotique � l'ordre deux du Hessien presque complexe suivante:
\begin{eqnarray*}
&\displaystyle{H_{_J }u\,(\xi)(z)=2\sum_{k,l} \frac{\partial^2u}{\partial z_k\partial\bar{z}_l}(z)\,\xi _k\bar{\xi }_l
+\sum_{k,l}\,\Re e\Big[ Q_{k,\bar{l} }(z,\xi ) \frac{\partial^2 u}{\partial z_k\partial\bar{z}_l}(z) +Q_{k,l }(z,\xi )\frac{\partial^2u}{\partial z_k\partial z_l}(z) \Big]+}
\\
\\
&\displaystyle{+\sum_{k,l,s}  \,\Re e\Big[ \Big( R^s_{k,l}(z)\,\xi _k\xi _l+R^s_{k,\bar{l}}(z)\,\xi _k\bar{\xi }_l+ R^s_{\bar{k},\bar{l}}(z)\,\bar{\xi }_k\bar{\xi }_l\Big) \frac{\partial u}{\partial z_s}(z) \Big]+O(|z|^3)(\xi ,\bar{\xi })}&
\end{eqnarray*}
o� 
\begin{eqnarray*}
&\displaystyle{Q_{k,\overline{l} }(z,\xi ) :=2i\sum_t\,{\bf jet}_2B_{l,t}(z)  \,\xi _k\xi _t+ \sum_{s,t,r,h} \,\overline{B}^h_{k,s} \Big( B^r_{s,t}\,\xi _t\bar{\xi }_l }+
 B^r_{l,t}\,\xi _t\bar{\xi }_s \Big)\,z_r\bar{z}_h ,&
\\
\\
&\displaystyle{Q_{k,l }(z,\xi ) := i\sum_t\,\Big(\overline{ {\bf jet}_2B_{k,t}(z) }\,\xi _l\bar{\xi }_t+\overline{ {\bf jet}_2B_{l,t}(z) }\,\xi _k\bar{\xi }_t\Big)- }&
\\
\\
&\displaystyle{ -  \sum_{s,t,r,h}\,\Big[ \frac{1}{2}\Big(\overline{B}^h_{k,s} \,\xi _l\xi _t
+\overline{B}^h_{l,s}\,\xi _k\xi _t\Big)  B^r_{s,t}\,z_r\bar{z}_h-\overline{B}^r_{k,s} \overline{B}^h_{l,t}\,  \bar{z}_r\bar{z}_h\,\bar{\xi }_s \bar{\xi }_t  \Big]  }&  
\end{eqnarray*}
et ${\bf jet}_2B_{l,t}(z)$ est la composante $(l,t)$ du jet d'ordre deux au point z�ro de la matrice $B(z)$ de la structure presque complexe par rapport aux coordonn�es en question.
%\begin{eqnarray*}
%&\displaystyle{{\bf jet}_2B_{l,t}(z):=\sum_r \,B^r_{l,t}z_r+\sum_{r,s}\, \Big(B^{r,s}_{l,t}z_rz_s +B^{r,\bar{s} }_{l,t}z_r\bar{z}_s \Big) }&
%\end{eqnarray*}
De plus
\begin{eqnarray*}
&\displaystyle{R^s_{k,l}(z):=\sum_{r,h}\,\Big(R^{s,r,h}_{k,l}\,z_rz_h+R^{s,r,\bar{h}}_{k,l}\,z_r\bar{z}_h+R^{s,\bar{r},\bar{h}}_{k,l}\,\bar{z}_r\bar{z}_h \Big) }& 
\\
\\
&\displaystyle{R^s_{k,\bar{l}}(z):=\sum_r\,\Big(\sum_t\,B^r_{t,k} \overline{B}^t_{s,l}\,z_r+2i\, \overline{B}_{s,l}^{r,\bar{k}}\,\bar{z}_r \Big)}&
\\
\\
&\displaystyle{
+\sum_{r,h}\,\Big(R^{s,r,h}_{k,\bar{l}}\,z_rz_h+R^{s,r,\bar{h}}_{k,\bar{l}}\,z_r\bar{z}_h+R^{s,\bar{r},\bar{h}}_{k,\bar{l}}\,\bar{z}_r\bar{z}_h \Big) }& 
\\
\\
&\displaystyle{R^s_{\bar{k},\bar{l}}(z):=\sum_{r,h}\,\Big(R^{s,r,\bar{h}}_{\bar{k},\bar{l}}\,z_r\bar{z}_h+R^{s,\bar{r},\bar{h}}_{\bar{k},\bar{l}}\,\bar{z}_r\bar{z}_h \Big) }& 
\end{eqnarray*}
$($voir l'appendice pour les expressions des coefficients $R^{*,*,*}_{*,*}$$)$. Enfin $O(|z|^3)(\xi ,\bar{\xi })$ d�signe un polyn�me homog�ne de degr� deux par rapport aux variables $\xi _k,\;\bar{\xi }_k$ et � coefficients dans $m({\cal E}_0(\C))^3\cdot{\cal D}'_{2n}(\C)_0$, $($ici $m({\cal E}_0(\C))$ d�signe l'ideal maximal dans l'anneau des germes des fonctions $\ci$ � valeurs complexes d�finis sur l'origine$)$ tel que $O(|z|^3)(\xi ,\bar{\xi })=\overline{O(|z|^3)(\xi ,\bar{\xi })} $. Si le jet d'ordre un de la forme de torsion de la structure presque complexe est nul au point $x$ alors l'expression assymptotique du Hessien presque complexe se r�duit � la forme
\begin{eqnarray*}
&\displaystyle{
H_{_J }u\,(\xi)(z)=2\sum_{k,l} \frac{\partial^2u}{\partial z_k\partial\bar{z}_l}(z)\,\xi _k\bar{\xi }_l-}&
\\
\\
&\displaystyle{
-2\sum_{k,l,s,r,h}  \,\mbox{Im}  \Big[\Big(2\overline{B}^{h,\bar{r},\bar{k}}_{s,l}\,z_r\bar{z}_h+\overline{B}^{r,h,\bar{k}}_{s,l}\, \bar{z}_r\bar{z}_h \Big)\,\frac{\partial u}{\partial z_s}(z)\,\xi_k\bar{\xi }_l  \Big]+O(|z|^3)(\xi ,\bar{\xi })}&
\end{eqnarray*}
 Si de plus la structure presque complexe est int�grable alors par rapport � tout coordonn�es complexes centr�es en $x\in X$ on a l'expression classique
$$
H_{_J }u\,(\xi)(z)=2\sum_{k,l} \frac{\partial^2u}{\partial z_k\partial\bar{z}_l}(z)\,\xi _k\bar{\xi }_l
$$
\end{lem}  
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
$Preuve$.
On va �crire les expressions des op�rateurs diff�rentiels $J\xi .\,J\xi$ et $J[\xi ,J\xi ]$. Avec les notations introduites pr�c�demment on a 
\begin{eqnarray}
J\xi=\sum_{k,l}\Big[(A_{k,l}\xi _l+\overline{B}_{k,l}\bar{\xi }_l   )\frac{\partial}{\partial z_k}+(\overline{A}_{k,l}\bar{\xi }_l+B_{k,l}\xi _l)\frac{\partial}{\partial \bar{z}_k}\Big] \label{Jx} 
\end{eqnarray}
Bien �videmment il suffit d'effectuer nos calculs pour des champs  de vecteurs r�els � coefficients constants. A partir de maintenant on va donc supposer que le champ $\xi $ est � coefficients constants par rapport aux coordonn�es presque complexes en consid�ration.
On a alors $J\xi .\,J\xi=T+\overline{T} $ o�
\begin{eqnarray*}
T:=\sum_{k,l,s,t}\, \Big(A_{k,l}\xi _l+\overline{B}_{k,l}\bar{\xi }_l \Big) \Big(\frac{\partial A_{s,t}}{\partial z_k}\xi _t+
\frac{\partial\overline{B}_{s,t}}{\partial z_k}\bar{\xi }_t\Big)\frac{\partial}{\partial z_s}
\\
\\
+\sum_{k,l,s,t}\,\Big(A_{k,l}\xi _l+\overline{B}_{k,l}\bar{\xi }_l  \Big )  \Big(A_{s,t}\xi _t+\overline{B}_{s,t}\bar{\xi }_t\Big )\frac{\partial^2}{\partial z_k\partial z_s}
\\
\\
+\sum_{k,l,s,t}\,\Big(A_{k,l}\xi _l+\overline{B}_{k,l}\bar{\xi }_l \Big) \Big(\frac{\partial\overline{A}_{s,t}}{\partial z_k}\bar{\xi }_t+
\frac{\partial B_{s,t}}{\partial z_k}\xi _t\Big)\frac{\partial}{\partial \bar{z}_s}
\\
\\
+\sum_{k,l,s,t}\,\Big(A_{k,l}\xi _l+\overline{B}_{k,l}\bar{\xi }_l  \Big )  \Big(\overline{A}_{s,t}\bar{\xi }_t+B_{s,t}\xi_t\Big )\frac{\partial^2}{\partial z_k\partial\bar{z}_s}
\end{eqnarray*}
En utilisant les expressions $\eqref{A3} $ et $\eqref{B3}$ on a 
\begin{eqnarray*}
&\displaystyle{\frac{\partial A}{\partial z_k}(z)=\frac{i}{2}\sum_r \,\overline{B}^{r}\cdot B^k\,\bar{z}_r +\frac{i}{2}\sum_{r,t}\,\Big(\overline{B}^{t,\bar{k} }\cdot B^r+\overline{B}^{t,\bar{r} }\cdot B^k+2\overline{B}^t \cdot  B^{k,r}  \Big)\,z_r\bar{z}_t  }&
\\
\\
&\displaystyle{+\frac{i}{4}\sum_{r,t}\,\Big(\overline{B}^{t}\cdot B^{k,\bar{r}}+\overline{B}^r\cdot B^{k,\bar{t} }+2 \overline{B}^{r,t}\cdot B^k\Big)\,\bar{z}_r\bar{z}_t  +O(|z|^3)}&
\end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*}
&\displaystyle{\frac{\partial A}{\partial \bar{z}_k}(z)=\frac{i}{2}\sum_r \,\overline{B}^k\cdot B^r\,z_r +\frac{i}{4}\sum_{r,t}\,\Big(\overline{B}^{k,\bar{r} }\cdot B^t+ \overline{B}^{k,\bar{t} }\cdot B^r +2\overline{B}^k\cdot B^{r,t}\Big)\,z_rz_t }&
\\
\\
&\displaystyle{+\frac{i}{2}\sum_{r,t}\,\Big(\overline{B}^t\cdot B^{r,\bar{k} }+\overline{B}^k\cdot B^{r,\bar{t}}+2\overline{B}^{k,t}\cdot B^r\Big)\,z_r\bar{z}_t +O(|z|^3)  }&
\\
\\
&\displaystyle{\frac{\partial B}{\partial z_k}(z)=B^k+\sum_r}\, \Big(2B^{k,r}z_r +B^{k,\bar{r} }\bar{z}_r\Big) +\sum_{r,s}\,\Big(3B^{k,r,s}z_rz_s +2B^{k,r,\bar{s} }z_r\bar{z}_s+B^{k,\bar{r},\bar{s}}\bar{z}_r \bar{z}_s \Big)+O(|z|^3)&
\\
\\
&\displaystyle{\frac{\partial B}{\partial\bar{z}_k} (z)=\sum_r  B^{r,\bar{k} }z_r+\sum_{r,s} }\, \Big(B^{r,s,\bar{k}}z_rz_s+2B^{r,\bar{s},\bar{k}}z_r\bar{z}_s\Big)+O(|z|^3)&
\end{eqnarray*}
On explicite maintenant les quatre termes de l'op�rateur $T$ � l'aide des expressions pr�c�dentes sur les d�riv�es premi�res des matrices $A$, $B$ et des relations $\eqref{A3}$, $\eqref{B3}$.
\\
I-er terme de l'op�rateur $T$: 
\begin{eqnarray*}
&\displaystyle{\sum_{k,l,s,t}\, \Big(A_{k,l}\xi _l+\overline{B}_{k,l}\bar{\xi }_l \Big)\Big(\frac{\partial A_{s,t}}{\partial z_k}\xi _t+
\frac{\partial\overline{B}_{s,t}}{\partial z_k}\bar{\xi }_t\Big)\frac{\partial}{\partial z_s}=}&
\\
\\
&\displaystyle{=\sum_{k,s,t}\,i\Big(\frac{\partial A_{s,t}}{\partial z_k}\xi _k\xi _t+
\frac{\partial\overline{B}_{s,t}}{\partial z_k}\xi _k\bar{\xi }_t\Big)\frac{\partial}{\partial z_s}}&
\\
\\
&\displaystyle{+\frac{i}{2}\sum_{k,l,s,t,r,h,j}\,\Big(\overline{B}^r_{k,j}  B^h_{j,l}  B^k_{s,t}\,z_h\bar{z}_r  +\overline{B}^r_{k,t} \overline{B}^h_{s,j}  B^k_{j,l}\,\bar{z}_r\bar{z}_h\Big)\,\xi_l\bar{\xi }_t\frac{\partial}{\partial z_s} }&
\\
\\
&\displaystyle{+\sum_{k,l,s,t,r,h}\,\overline{B}^r_{k,l}   \overline{B}^{h,\bar{k} }_{s,t}\,\bar{z}_r\bar{z}_h\,\bar{\xi }_l\bar{\xi }_t\frac{\partial}{\partial z_s}
+O(|z|^3)\frac{\partial}{\partial z}  }&
\end{eqnarray*}
II-�me terme de l'op�rateur $T$:
\begin{eqnarray*}
&\displaystyle{\sum_{k,l,s,t}\,\Big(A_{k,l}\xi _l+\overline{B}_{k,l}\bar{\xi }_l  \Big )  \Big(A_{s,t}\xi _t+\overline{B}_{s,t}\bar{\xi }_t\Big )\frac{\partial^2}{\partial z_k\partial z_s}=}&
\\
\\
&\displaystyle{=\sum_{k,l}\,\Big[-\xi _k\xi _l+ 2i\sum_t\,\overline{ {\bf jet}_2B_{l,t}(z)}  \,\xi _k\bar{\xi }_t-
\sum_{r,h,j,t}\, \overline{B}^r_{k,j}  B^h_{j,t}\,z_h\bar{z}_r \,\xi _l\xi _t   \Big]\frac{\partial^2}{\partial z_k\partial z_l} }&
\\
\\
&\displaystyle{+\sum_{k,l,s,t,r,h}\,\overline{B}^r_{k,s}  \overline{B}^h_{l,t}\,\bar{z}_r\bar{z}_h\,\bar{\xi }_s \bar{\xi }_t \frac{\partial^2}{\partial z_k\partial z_l}
+O(|z|^3)\frac{\partial^2}{\partial z^2} }&
\end{eqnarray*}
III-�me terme de l'op�rateur $T$ :
\begin{eqnarray*}
&\displaystyle{\sum_{k,l,s,t}\,\Big(A_{k,l}\xi _l+\overline{B}_{k,l}\bar{\xi }_l \Big) \Big(\frac{\partial\overline{A}_{s,t}}{\partial z_k}\bar{\xi }_t+
\frac{\partial B_{s,t}}{\partial z_k}\xi _t\Big)\frac{\partial}{\partial \bar{z}_s}=}&
\\
\\
&=\displaystyle{\sum_{k,s,t}\,i\Big(\frac{\partial \overline{A}_{s,t}}{\partial z_k}\bar{\xi }_t\xi_k+
\frac{\partial B_{s,t}}{\partial z_k}\xi _k\xi _t\Big)\frac{\partial}{\partial \bar{z}_s} }&
\end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*}
&\displaystyle{+\sum_{k,l,s,t,r}\,\Big[ \overline{B}^r_{k,l}  B^k_{s,t}\,\bar{z}_r\,\bar{\xi }_l\xi _t
+\frac{i}{2}\sum_{j,h}\,\Big(\overline{B}^r_{k,j}  B^h_{j,l}  B^k_{s,t}z_h\bar{z}_r\, \xi _l\xi _t- \overline{B}^r_{k,l}  B^k_{s,j}   \overline{B}^h_{j,t}\bar{z}_h \bar{z}_r\,\bar{\xi }_l\bar{\xi }_t\Big)\Big]\frac{\partial}{\partial \bar{z}_s} }&
\\
\\
&\displaystyle{+\sum_{k,l,s,t,r,h}\,\Big[ \Big(2\overline{B}^r_{k,l}  B^{k,h}_{s,t}+\overline{B}^{r,\bar{h} }_{k,l}   B^k _{s,t}\Big)\bar{z}_rz_h +\Big(\overline{B}^r_{k,l}  B^{k,\bar{h} }_{s,t} + \overline{B}^{r,h}_{k,l}  B^k _{s,t}\Big) \bar{z}_r\bar{z}_h  \Big]\,\bar{\xi }_l\xi _t \frac{\partial}{\partial \bar{z}_s}+O(|z|^3)\frac{\partial}{\partial \bar{z}}}&
\end{eqnarray*}
IV-�me terme de l'op�rateur $T$:
\begin{eqnarray*}
&\displaystyle{\sum_{k,l,s,t}\,\Big(A_{k,l}\xi _l+\overline{B}_{k,l}\bar{\xi }_l  \Big )  \Big(\overline{A}_{s,t}\bar{\xi }_t+B_{s,t}\xi_t\Big )\frac{\partial^2}{\partial z_k\partial\bar{z}_s}=}&
\\
\\
&\displaystyle{=\sum_{k,l}\,\xi _k\bar{\xi }_l\frac{\partial^2}{\partial z_k\partial\bar{z}_l}  
+\frac{1}{2}  \sum_{k,l,t,r,h,j}\,\Big(\overline{B}^r_{k,j}  B^h_{j,t}\,z_h\bar{z}_r\,\xi _t\bar{\xi }_l\frac{\partial^2}{\partial z_k\partial\bar{z}_l} 
+B^r_{k,j}  \overline{B}^h_{j,t}\,\bar{z}_hz_r\,\bar{\xi } _t\xi _l\frac{\partial^2}{\partial \bar{z}_k\partial z_l}\Big) }&
\\
\\
&\displaystyle{+i\sum_{k,l,t}\,\Big({\bf jet}_2B_{l,t}(z)\,\xi _k\xi _t\frac{\partial^2}{\partial z_k\partial\bar{z}_l}
-\overline{ {\bf jet}_2B_{l,t}(z) }\,\bar{\xi }_k\bar{\xi }_t\frac{\partial^2}{\partial\bar{z}_k\partial z_l } \Big) } & 
\\
\\
&\displaystyle{+\sum_{k,l,s,t,r,h}\,\overline{B}^r_{k,s}  B^h_{l,t}\,\bar{z} _rz_h\, \bar{\xi }_s\xi _t\frac{\partial^2}{\partial z_k\partial\bar{z}_l}    +O(|z|^3)\frac{\partial}{\partial z\partial \bar{z}}  }&
\end{eqnarray*}
 Venons-en maintenant au calcul du champ de vecteurs $J[\xi ,J\xi]$. On remarque d'abord que:
\begin{eqnarray*}
[\xi ,J\xi ]=\sum_{k,s,t}\,\Big(\frac{\partial A_{s,t}}{\partial z_k}\xi _k\xi _t+
\frac{\partial\overline{B}_{s,t}}{\partial z_k}\xi _k\bar{\xi }_t+\frac{\partial A_{s,t}}{\partial \bar{z}_k}\xi _t\bar{\xi }_k+
\frac{\partial\overline{B}_{s,t}}{\partial\bar{z}_k}\bar{\xi }_k\bar{\xi }_t\Big)\frac{\partial}{\partial z_s}
\\
\\
+\sum_{k,s,t}\, \Big(\frac{\partial\overline{A}_{s,t}}{\partial \bar{z}_k}\bar{\xi }_k\bar{\xi }_t+
\frac{\partial B_{s,t}}{\partial \bar{z}_k}\bar{\xi }_k\xi _t+\frac{\partial \overline{A}_{s,t}}{\partial z_k}\bar{\xi }_t\xi_k+
\frac{\partial B_{s,t}}{\partial z_k}\xi _k\xi _t\Big)\frac{\partial}{\partial \bar{z}_s}
\end{eqnarray*}
En appliquant la relation $\eqref{Jx}$ avec $[\xi ,J\xi ]$ � la place de $\xi $ on a $J[\xi ,J\xi ]=\eta+\bar{\eta}$ avec:
\begin{eqnarray*}
\eta:=\sum_{k,s,t,r}\,\Big[A_{r,s}  \Big(\frac{\partial A_{s,t}}{\partial z_k}\xi _k\xi _t+
\frac{\partial\overline{B}_{s,t}}{\partial z_k}\xi _k\bar{\xi }_t+\frac{\partial A_{s,t}}{\partial \bar{z}_k}\xi _t\bar{\xi }_k+
\frac{\partial\overline{B}_{s,t}}{\partial\bar{z}_k}\bar{\xi }_k\bar{\xi }_t\Big)
\\
\\
+\overline{B}_{r,s} \Big(\frac{\partial\overline{A}_{s,t}}{\partial \bar{z}_k}\bar{\xi }_k\bar{\xi }_t+
\frac{\partial B_{s,t}}{\partial \bar{z}_k}\bar{\xi }_k\xi _t+\frac{\partial \overline{A}_{s,t}}{\partial z_k}\bar{\xi }_t\xi_k+
\frac{\partial B_{s,t}}{\partial z_k}\xi _k\xi _t\Big)  \Big]\frac{\partial}{\partial z_r}
\end{eqnarray*}
En tenant compte des relations $\eqref{A3}$, $\eqref{B3}$ et celles sur les d�riv�es premi�res des matrices $A$, $B$ dans l'expression du champ $\eta$ on obtient:
\begin{eqnarray*}
&\displaystyle{\eta=i\sum_{k,s,t}\, \Big(\frac{\partial A_{s,t}}{\partial z_k}\xi _k\xi _t+
\frac{\partial\overline{B}_{s,t}}{\partial z_k}\xi _k\bar{\xi }_t+\frac{\partial A_{s,t}}{\partial \bar{z}_k}\xi _t\bar{\xi }_k+
\frac{\partial\overline{B}_{s,t}}{\partial\bar{z}_k}\bar{\xi }_k\bar{\xi }_t\Big)\frac{\partial}{\partial z_s} }&
\\
\\
&\displaystyle{+\sum_{k,l,s,t,r,h}\,\Big(\overline{B}^l_{r,s}  B^{h,\bar{t}} _{s,k}\,z_h \bar{z}_l -
\frac{i}{2}\sum_j\,\overline{B}^l_{r,j}  B^k_{j,s}  \overline{B}^h_{s,t}\, \bar{z}_l\bar{z}_h\Big)\,\xi _k\bar{\xi }_t \frac{\partial}{\partial z_r} }&
\\
\\ 
&\displaystyle{+\sum_{k,l,s,t,r}\,\Big[\overline{B}^l_{r,s}  B^k_{s,t}\,\bar{z}_l+\sum_h\,\Big(2\overline{B}^l_{r,s}  B^{k,h}_{s,t}\,z_h\bar{z}_l+\overline{B}^l_{r,s}  B^{k,\bar{h}}_{s,t}\,\bar{z}_l \bar{z}_h   \Big)\Big]\,\xi _k\xi _t \frac{\partial}{\partial z_r}+O(|z|^3)\frac{\partial}{\partial z}  }&
\end{eqnarray*}
En regroupant et en simplifiant les termes obtenus jusqu'ici (et en symetrisant de fa�on adequate les coefficients) on obtient l'expression asymptotique voulue pour la distribution $H_{_J }u\,(\xi)$. Si maintenant on suppose que la structure presque complexe est int�grable il existe d'apr�s le th�or�me de Newlander-Nirenberg des coordonn�es locales complexes. La structure presque complexe s'�crit alors par rapport � ces coordonn�es sous la forme 
$$
J(z)=J_0=i\sum_k\Big(dz_k\otimes \frac{\partial}{\partial z_k}-d\bar{z}_k\otimes\frac{\partial}{\partial \bar{z}_k}\Big).
$$
Un calcul imm�diat montre alors que pour tout champs de vecteurs r�els $\xi $ � coefficients constants par rapport aux coordonn�es complexes on a: 
$$
\frac{1}{2}(\xi .\xi +J\xi .J\xi )=2\sum_{k,l}\,\xi _k\bar{\xi }_l  \frac{\partial^2}{\partial z_k\partial\bar{z}_l}, 
$$ 
(bien �videmment $[\xi ,J\xi ]=0$), ce qui permet de conclure dans le cas  d'une structure presque complexe int�grable. \hfill $\Box$

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Appendice} 
\subsection{Expressions des coefficients $R^{*,*,*}_{*,*}$ du Hessien presque complexe} 
\begin{eqnarray*}
&\displaystyle{R_{k,l}^{s,r,h}:=\frac{i}{8}\sum_{t,j}\,\overline{B}^t_{s,j} \Big(B^r_{t,k}  B^h_{j,l}+B^h_{t,k}  B^r_{j,l}  + B^r_{t,l}  B_{j,k}^h+B^h_{t,l}  B^r_{j,k}  \Big)   }&
\\
\\
&\displaystyle{R_{k,l}^{s,r,\bar{h}}:=-\frac{1}{2}\sum_t\,\Big[\overline{B}^{h,\bar{k} }_{s,t}  B^r_{t,l}+\overline{B}^{h,\bar{l} }_{s,t}  B^r_{t,k} + \overline{B}^{h,\bar{r}}_{s,t}  \Big(B^k_{t,l}+B^l_{t,k}  \Big)\Big]  }&
\\
\\
&\displaystyle{R_{k,l}^{s,\bar{r},\bar{h}}:=-\frac{1}{2}\sum_t\,\overline{B}^{r,h}_{s,t}  \Big(B^k_{t,l}+B^l_{t,k}\Big)   }&
\\
\\
&\displaystyle{R_{k,\bar{l}}^{s,r,h}:=\frac{1}{2}\sum_t\,\Big(B^r_{t,k}  \overline{B}^{t,\bar{h}}_{s,l}+B^h_{t,k}   \overline{B}^{t,\bar{r} }_{s,l}+2B_{t,k}^{r,h}  \overline{B}^t_{s,l}     \Big)}&
\\
\\
&\displaystyle{R_{k,\bar{l}}^{s,r,\bar{h}}:=4i\,\overline{B}_{s,l}^{h,\bar{r}, \bar{k}}+\sum_t\,\Big(2B_{t,k}^r \overline{B}_{s,l}^{t,h}+B_{t,k}^{r,\bar{h}}\,  \overline{B}^t_{s,l}+  
 B_{t,k}^{r,\bar{l}} \, \overline{B}^h_{s,t}  + \frac{i}{2}\sum_j\,\overline{B}^h_{t,j}  B^r_{j,k}  B^t_{s,l}  \Big)  }&
\\
\\
&\displaystyle{R_{k,\bar{l}}^{s,\bar{r},\bar{h}}:=2i\,\overline{B}_{s,l}^{r,h,\bar{k} }+ \frac{i}{4}\sum_{t,j}\,\Big(\overline{B}^r_{t,l}  \overline{B}^h_{s,j}+\overline{B}^h_{t,l}  \overline{B}^r_{s,j}\Big) \Big( B^t_{j,k}-B^k_{j,t} \Big)  }&
\end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*}
&\displaystyle{R_{\bar{k},\bar{l}}^{s,r,\bar{h}}:=-\frac{i}{4}\sum_{t,j}\,B^r_{t,j} \Big(\overline{B}^h_{j,k} \overline{B}^t_{s,l}+ \overline{B}^h_{j,l} \overline{B}^t_{s,k}\Big)}& 
\\
\\
&\displaystyle{R_{\bar{k},\bar{l}}^{s,\bar{r},\bar{h}}:=\frac{1}{4}\sum_t\,\Big(\overline{B}^r_{t,k} \overline{B}_{s,l}^{h,\bar{t} }+ \overline{B}^h_{t,k} \overline{B}_{s, l}^{r,\bar{t} }+
\overline{B}^r_{t,l} \overline{B}_{s,k}^{h,\bar{t} }+ \overline{B}^h_{t,l} \overline{B}_{s,k}^{r,\bar{t} }   \Big)  } .&  
\end{eqnarray*}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%   
\begin{thebibliography}{000000}
%\bibitem[Cha]{car} \textsc{Charpentier,P.} Formules explicites pour les solutions minimales de l'�quation $\bar{\partial}u=f$ dans la boule et le polydisque de $\C^n$, Annales de l'Institut Fourier, Tome XXX, fascicule 4, 1980 
\bibitem[Au-La]{Ad} \textsc{Audin. M, Lafontaine. J.(1994)} Eds Holomorphic curves in symplectic geometry, Birkhuser, Basel.
%\bibitem[B-D-I-P]{B-D-I-P}\textsc{J. Bertin, J.-P. Demailly, L.Illusie, C. Peters (1996)}. Introduction � la th�orie de Hodge. Th�orie de Hodge $L^2$ et th�or�mes d'annulation, 4-111, publication de la SMF, nr3. 
%\bibitem[Bom]{Bom} \textsc{Bombieri, E. (1970)} Algebraic values of meromorphic maps, Invent. Math. 10,(1970), 267-287; Addendum, Invent. Math. 11, (1970), 163-166.
\bibitem[Bo-Tu]{Bo-Tu} \textsc{Bott, R. Tu, L. W (1982)} Differential forms in Algebraic Topology, GTM 82, Springer-Verlag, New York
\bibitem[Dem-1]{Dem-1} \textsc{Demailly, J.P. (1997)} Complex analytic and differential geometry, available at: http://www-fourier.ujf-grenoble.fr
\bibitem[Dem-2]{Dem-2} \textsc{Demailly, J.P.(1992)} Regularisation of closed positive currents of type $(1,1)$ by the flow of a Chern connection. (English) Skoda, Henry (ed.) et al., Contributions to complex analysis and analytic geometry. Based on a colloquium dedicated to Pierre Dolbeaut, Paris, France, June 23-26, 1992. Braunschweig : Vieweg. Aspects Math. E 26, 105-126 (1994)
\bibitem[DeR]{DeR} \textsc{de Rham, G. (1955)} Vari�t�s diff�rentiables, Herman, Paris.
\bibitem[Don]{Don}  \textsc{Donaldson,S.K. (1996)} Symplectic submanifolds and almost complex geometry, Jurnal of Differential Geometry 44, 666-705.
\bibitem[Fed]{Fed} \textsc{Federer, H.(1969)} Geometric mesure theory, Springer-Verlag, Grundleheren der math. Wissenschaften, Band 153, Berlin 
%\bibitem[Fu-Ha]{Fu-Ha} \textsc{Fulton, W, Harris.J (1991)} Representation theory. A first course. GTM 129, Readings in Mathematics, Springer-Verlag, New York
\bibitem[McD]{McD}\textsc{McDuff.D.(1992)} Singularities of $J$-holomorphic curves in almost-complex $4$-manifolds, J. Geom. Anal 2, 249-265.
\bibitem[McD-1]{McD-1}\textsc{McDuff.D. (1994)} $J$-holomorphic Curves and Quantum Cohomology, University Lecture Series, vol 6.
\bibitem[McD-Sa]{McD-Sa}\textsc{McDuff.D, Salomon (1995)} Symplectic topology, Oxford Universyty Press.
%\bibitem[Gau]{Gau} \textsc{Gauduchon, P. (1997)} Hermitian Connections and Dirac operators, Boll. U.M.I. (7), 11-B, Suppl. fasc. 2, 257-288.
\bibitem[G-M-S]{G-M-S} \textsc{Giaquinta, M., Modica, G., Soucek, J.(1998)} Cartesian currents in the calculus of variations I, Springer vol. 37.
%\bibitem[Gi-Tru]{Gi-Tru} \textsc{Gilbarg, D., Trudinger, N. (1977)} Elliptic partial differential equations of second order. Berlin Heidelberg New York: Springer
%\bibitem[Gro]{Gro} \textsc{Griomov, M. (1986)} Partial Differential Relations, Springer-Verlag, 9, Berlin, Heidelberg 
%\bibitem[Gri]{Gri} \textsc{Griffiths, P.A. (1969)} Hermitian differential Geometry, Chern classes and positive vector bundles, Global Analysis, papers in honor of K. Kodaira, Princeton Univ. Press, Princeton, 181-251.
\bibitem[Gri-Ha]{Gri-Ha} \textsc{Griffiths, P.A., Harris, J. (1978)} Principles of algebraic geometry, Wiley, New-York
%\bibitem[Ha-Po]{Ha-Po} \textsc{Harvey, R., Polkin,J. (1979)} Fundamental solutions in complex analysis I. II. Duke Math. J. 46. 253-340 
%\bibitem[He-Le]{He-Le} \textsc{Henkin,G.M., Leiterer,J. (1984)} Theory of functions on  complex manifolds. Boston: Birkh�user 
\bibitem[H�r]{Hor} \textsc{H�rmander,L. (1966)} An introduction to Complex Analysis in several variables, 3rd edition, North-Holand Math.Libr.,vol.7, Amsterdam, London
(1990)
\bibitem[H�r-1]{Hor-1} \textsc{H�rmander,L. (1963)} Linear Partial Differential Operators, Grundlehren der math. Wissenchaften, Band 116, Springer-Verlag, Berlin.
%\bibitem[H�r-2]{Hor-2} \textsc{H�rmander,L. (1983)} The Analysis of Linear Partial Differential Operators I, Grundlehren der math. Wissenchaften, Band 256, Springer-Verlag, Berlin.
\bibitem[Hir]{Hir} \textsc{Hirsch, M.W. (1991)} Differential topology, GTM 33, Springer-Verlag.
%\bibitem[Kob]{kob} \textsc{Kobayashi,S. (1987)} Differential Geometry of Complex Vector Bundles, Publications of the mathemetical society of Japan 15 (Kan� Memorial Lectures 5). Iwanami Shoten Publishers and Princeton University Press 
%\bibitem[Ko-Mal]{ko-mal} \textsc{Koszul,J-L., Malgrange,B. (1958)} Sur certaines structures fibr�es complexes, arch.mat, vol.IX. 
\bibitem[Lel]{Lel}\textsc{Lelong, P. (1968)} Fonctions plurisousharmoniques et formes diff�rentielles positives, Dound, Paris, Gordon  Breach, New York.
%\bibitem[Lio]{Lio}\textsc{Lions, J.L. (1973)} Perturbations singuli�res dans les probl�mes aux limites en contr�le optimal, Springer, Lect. Not. Math. 323.
%\bibitem[Mal-1]{mal-1}\textsc{Malgrange,B. (1966)} Ideals of differentiable functions, Oxford university press.
\bibitem[Mal]{mal}\textsc{Malgrange,B. (1969)} Sur l'int�grabilit� des structures presque complexes. Symposia Math. vol. II, 289-296, London: Academic Press.
%\bibitem[Mos-1]{Mos-1}\textsc{Moser,J.K. (1961)} A new technique for the construction of solutions of nonlinear differential equations, Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A, vol 47,  pp 1824-1831
%\bibitem[Mos-2]{Mos-2}\textsc{Moser,J.K. (1966)} A rapidly convergent iteration method and nonlinear differential equations I,II. Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa 20, 499-535 
\bibitem[New-Nir]{New-Nir}\textsc{Newlander,A., Nirenberg,L. (1957)} Complex analytic coordinates in almost complex manifolds. Ann. Math. 65, 391-404
\bibitem[Nij-Woo]{Nij-Woo}\textsc{Nijenhuis,A., Woolf,W. (1963)} Some integrations problems in almost complex manifolds, Ann. Math. 77, 424-489
%\bibitem[Pal]{pal}\textsc{Pali,N. (2003)} Une caract�risation diff�rentielle des faisceaux analytiques coh�rents sur une vari�t� complexe, pr�publication �lectronique arXiv:math.AG/0301146
%\bibitem[$\varnothing$vr]{Ov}\textsc{$\varnothing$vrelid,N.} Integral reppresentations formulas and $L^p$-estimates for the $\overline\partial$-equation, Math.Scand.29(1971), 137-160
%\bibitem[Ra]{Ra}\textsc{Range,M. (1986)} Holomorphic functions and integral reppresentations in several complex variables, Berlin Heidelberg New York: Springer 
%\bibitem[Pal-1]{Pal-1}\textsc{Pali,N. (2003)} Faisceaux $\bar{\partial}$-coh�rents sur les vari�t�s complexes.
\bibitem[Pal]{Pal}\textsc{Pali,N. (2004)} La connexion et la courbure de Chern du fibr� tangent d'une vari�t� presque complexe, arXiv/DG/0402028
%\bibitem[Pal-2]{Pal-2}\textsc{Pali,N. (2004)} Fonctions plurisousharmoniques et courants positifs de type $(1,1)$ sur une vari�t� presque-complexe.
%\bibitem[Siu]{Siu}\textsc{Siu, Y.T. (1974)} Analyticity of sets associated to Lelong numbers and the extension of closed positive currents, Invent. Math. 27, 53-156.
%\bibitem[Sko]{Sko}\textsc{Skoda, H. (1976)} Estimations $L^2$ pour l'op�rateur $\bar{\partial}$ et applications arithm�tiques, S�minaire P. Lelong (Analyse), ann�e 1975/76, Lecture Notes in Math. no 538, Springer-Verlag, Berlin (1977), 314-323. 
\bibitem[Sta]{Sta}\textsc{Stampacchia,G. (1963)} Le probl�me de Dirichlet pour les �quations elliptiques du second ordre � coefficients discontinus, Ann. Inst. Fourier, Grenoble, 15, 1, 185-258.
\bibitem[We]{We}\textsc{Webster,S.M. (1989)} A new proof of the Newlander-Nirenberg theorem, Math.Zeit.201,303-316 
%\bibitem[We-2]{We-2}\textsc{Webster,S.M. (1989)} On the proof of Kuranishi's embedding theorem. Ann.Inst.Henri Poincare, Nouv Serie., B(ANL) vol.6
%\bibitem[Wel]{Wel}\textsc{Wells, R.O (1980)} Differential analysis on complex manifolds, Graduate Texts in Math. 65, 2nd edition, Springer-Verlag, Berlin 
\end{thebibliography}
\vspace{1cm}
\noindent
Nefton Pali
\\
Institut Fourier, UMR 5582, Universit� Joseph Fourier
\\
BP 74, 38402 St-Martin-d'H�res cedex, France
\\
E-mail: \textit{nefton.pali@ujf-grenoble.fr}
\end{document} 



math0402029.extracted_bib
\begin{thebibliography}{000000}
%\bibitem[Cha]{car} \textsc{Charpentier,P.} Formules explicites pour les solutions minimales de l'�quation $\bar{\partial}u=f$ dans la boule et le polydisque de $\C^n$, Annales de l'Institut Fourier, Tome XXX, fascicule 4, 1980 
\bibitem[Au-La]{Ad} \textsc{Audin. M, Lafontaine. J.(1994)} Eds Holomorphic curves in symplectic geometry, Birkhuser, Basel.
%\bibitem[B-D-I-P]{B-D-I-P}\textsc{J. Bertin, J.-P. Demailly, L.Illusie, C. Peters (1996)}. Introduction � la th�orie de Hodge. Th�orie de Hodge $L^2$ et th�or�mes d'annulation, 4-111, publication de la SMF, nr3. 
%\bibitem[Bom]{Bom} \textsc{Bombieri, E. (1970)} Algebraic values of meromorphic maps, Invent. Math. 10,(1970), 267-287; Addendum, Invent. Math. 11, (1970), 163-166.
\bibitem[Bo-Tu]{Bo-Tu} \textsc{Bott, R. Tu, L. W (1982)} Differential forms in Algebraic Topology, GTM 82, Springer-Verlag, New York
\bibitem[Dem-1]{Dem-1} \textsc{Demailly, J.P. (1997)} Complex analytic and differential geometry, available at: http://www-fourier.ujf-grenoble.fr
\bibitem[Dem-2]{Dem-2} \textsc{Demailly, J.P.(1992)} Regularisation of closed positive currents of type $(1,1)$ by the flow of a Chern connection. (English) Skoda, Henry (ed.) et al., Contributions to complex analysis and analytic geometry. Based on a colloquium dedicated to Pierre Dolbeaut, Paris, France, June 23-26, 1992. Braunschweig : Vieweg. Aspects Math. E 26, 105-126 (1994)
\bibitem[DeR]{DeR} \textsc{de Rham, G. (1955)} Vari�t�s diff�rentiables, Herman, Paris.
\bibitem[Don]{Don}  \textsc{Donaldson,S.K. (1996)} Symplectic submanifolds and almost complex geometry, Jurnal of Differential Geometry 44, 666-705.
\bibitem[Fed]{Fed} \textsc{Federer, H.(1969)} Geometric mesure theory, Springer-Verlag, Grundleheren der math. Wissenschaften, Band 153, Berlin 
%\bibitem[Fu-Ha]{Fu-Ha} \textsc{Fulton, W, Harris.J (1991)} Representation theory. A first course. GTM 129, Readings in Mathematics, Springer-Verlag, New York
\bibitem[McD]{McD}\textsc{McDuff.D.(1992)} Singularities of $J$-holomorphic curves in almost-complex $4$-manifolds, J. Geom. Anal 2, 249-265.
\bibitem[McD-1]{McD-1}\textsc{McDuff.D. (1994)} $J$-holomorphic Curves and Quantum Cohomology, University Lecture Series, vol 6.
\bibitem[McD-Sa]{McD-Sa}\textsc{McDuff.D, Salomon (1995)} Symplectic topology, Oxford Universyty Press.
%\bibitem[Gau]{Gau} \textsc{Gauduchon, P. (1997)} Hermitian Connections and Dirac operators, Boll. U.M.I. (7), 11-B, Suppl. fasc. 2, 257-288.
\bibitem[G-M-S]{G-M-S} \textsc{Giaquinta, M., Modica, G., Soucek, J.(1998)} Cartesian currents in the calculus of variations I, Springer vol. 37.
%\bibitem[Gi-Tru]{Gi-Tru} \textsc{Gilbarg, D., Trudinger, N. (1977)} Elliptic partial differential equations of second order. Berlin Heidelberg New York: Springer
%\bibitem[Gro]{Gro} \textsc{Griomov, M. (1986)} Partial Differential Relations, Springer-Verlag, 9, Berlin, Heidelberg 
%\bibitem[Gri]{Gri} \textsc{Griffiths, P.A. (1969)} Hermitian differential Geometry, Chern classes and positive vector bundles, Global Analysis, papers in honor of K. Kodaira, Princeton Univ. Press, Princeton, 181-251.
\bibitem[Gri-Ha]{Gri-Ha} \textsc{Griffiths, P.A., Harris, J. (1978)} Principles of algebraic geometry, Wiley, New-York
%\bibitem[Ha-Po]{Ha-Po} \textsc{Harvey, R., Polkin,J. (1979)} Fundamental solutions in complex analysis I. II. Duke Math. J. 46. 253-340 
%\bibitem[He-Le]{He-Le} \textsc{Henkin,G.M., Leiterer,J. (1984)} Theory of functions on  complex manifolds. Boston: Birkh�user 
\bibitem[H�r]{Hor} \textsc{H�rmander,L. (1966)} An introduction to Complex Analysis in several variables, 3rd edition, North-Holand Math.Libr.,vol.7, Amsterdam, London
(1990)
\bibitem[H�r-1]{Hor-1} \textsc{H�rmander,L. (1963)} Linear Partial Differential Operators, Grundlehren der math. Wissenchaften, Band 116, Springer-Verlag, Berlin.
%\bibitem[H�r-2]{Hor-2} \textsc{H�rmander,L. (1983)} The Analysis of Linear Partial Differential Operators I, Grundlehren der math. Wissenchaften, Band 256, Springer-Verlag, Berlin.
\bibitem[Hir]{Hir} \textsc{Hirsch, M.W. (1991)} Differential topology, GTM 33, Springer-Verlag.
%\bibitem[Kob]{kob} \textsc{Kobayashi,S. (1987)} Differential Geometry of Complex Vector Bundles, Publications of the mathemetical society of Japan 15 (Kan� Memorial Lectures 5). Iwanami Shoten Publishers and Princeton University Press 
%\bibitem[Ko-Mal]{ko-mal} \textsc{Koszul,J-L., Malgrange,B. (1958)} Sur certaines structures fibr�es complexes, arch.mat, vol.IX. 
\bibitem[Lel]{Lel}\textsc{Lelong, P. (1968)} Fonctions plurisousharmoniques et formes diff�rentielles positives, Dound, Paris, Gordon  Breach, New York.
%\bibitem[Lio]{Lio}\textsc{Lions, J.L. (1973)} Perturbations singuli�res dans les probl�mes aux limites en contr�le optimal, Springer, Lect. Not. Math. 323.
%\bibitem[Mal-1]{mal-1}\textsc{Malgrange,B. (1966)} Ideals of differentiable functions, Oxford university press.
\bibitem[Mal]{mal}\textsc{Malgrange,B. (1969)} Sur l'int�grabilit� des structures presque complexes. Symposia Math. vol. II, 289-296, London: Academic Press.
%\bibitem[Mos-1]{Mos-1}\textsc{Moser,J.K. (1961)} A new technique for the construction of solutions of nonlinear differential equations, Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A, vol 47,  pp 1824-1831
%\bibitem[Mos-2]{Mos-2}\textsc{Moser,J.K. (1966)} A rapidly convergent iteration method and nonlinear differential equations I,II. Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa 20, 499-535 
\bibitem[New-Nir]{New-Nir}\textsc{Newlander,A., Nirenberg,L. (1957)} Complex analytic coordinates in almost complex manifolds. Ann. Math. 65, 391-404
\bibitem[Nij-Woo]{Nij-Woo}\textsc{Nijenhuis,A., Woolf,W. (1963)} Some integrations problems in almost complex manifolds, Ann. Math. 77, 424-489
%\bibitem[Pal]{pal}\textsc{Pali,N. (2003)} Une caract�risation diff�rentielle des faisceaux analytiques coh�rents sur une vari�t� complexe, pr�publication �lectronique arXiv:math.AG/0301146
%\bibitem[$\varnothing$vr]{Ov}\textsc{$\varnothing$vrelid,N.} Integral reppresentations formulas and $L^p$-estimates for the $\overline\partial$-equation, Math.Scand.29(1971), 137-160
%\bibitem[Ra]{Ra}\textsc{Range,M. (1986)} Holomorphic functions and integral reppresentations in several complex variables, Berlin Heidelberg New York: Springer 
%\bibitem[Pal-1]{Pal-1}\textsc{Pali,N. (2003)} Faisceaux $\bar{\partial}$-coh�rents sur les vari�t�s complexes.
\bibitem[Pal]{Pal}\textsc{Pali,N. (2004)} La connexion et la courbure de Chern du fibr� tangent d'une vari�t� presque complexe, arXiv/DG/0402028
%\bibitem[Pal-2]{Pal-2}\textsc{Pali,N. (2004)} Fonctions plurisousharmoniques et courants positifs de type $(1,1)$ sur une vari�t� presque-complexe.
%\bibitem[Siu]{Siu}\textsc{Siu, Y.T. (1974)} Analyticity of sets associated to Lelong numbers and the extension of closed positive currents, Invent. Math. 27, 53-156.
%\bibitem[Sko]{Sko}\textsc{Skoda, H. (1976)} Estimations $L^2$ pour l'op�rateur $\bar{\partial}$ et applications arithm�tiques, S�minaire P. Lelong (Analyse), ann�e 1975/76, Lecture Notes in Math. no 538, Springer-Verlag, Berlin (1977), 314-323. 
\bibitem[Sta]{Sta}\textsc{Stampacchia,G. (1963)} Le probl�me de Dirichlet pour les �quations elliptiques du second ordre � coefficients discontinus, Ann. Inst. Fourier, Grenoble, 15, 1, 185-258.
\bibitem[We]{We}\textsc{Webster,S.M. (1989)} A new proof of the Newlander-Nirenberg theorem, Math.Zeit.201,303-316 
%\bibitem[We-2]{We-2}\textsc{Webster,S.M. (1989)} On the proof of Kuranishi's embedding theorem. Ann.Inst.Henri Poincare, Nouv Serie., B(ANL) vol.6
%\bibitem[Wel]{Wel}\textsc{Wells, R.O (1980)} Differential analysis on complex manifolds, Graduate Texts in Math. 65, 2nd edition, Springer-Verlag, Berlin 
\end{thebibliography}