\'Equidistribution des sous-vari�t�s de petite hauteur
Pascal Autissier
math0404355.tex
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\title{\'Equidistribution des sous-vari�t�s de petite hauteur}
\author{Pascal Autissier}

\begin{document}

\maketitle

\newcommand{\D}{\displaystyle}

{\bf Abstract}\\

In this paper, the equidistribution theorem of Szpiro-Ullmo-Zhang about
sequences of small points in an abelian variety is extended to the case of
sequences of higher dimensional subvarieties. A quantitative version of this
result is also given.\\

{\bf\Large Introduction}\\

Dans ce texte, on appelle {\bf vari�t�} sur un corps $K$ tout sch�ma int�gre
et projectif sur $K$.

Commen�ons par rappeler les travaux de Szpiro, Ullmo et Zhang sur
l'�quidistribution des petits points ({\it cf} \cite{SUZ}):\\

{\bf D�finition:} Soit $V$ une vari�t� sur $\mathbb{Q}$. Une suite
$(Y_n)_{n\ge0}$ de ferm�s int�gres de $V$ est dite {\bf g�n�rique} dans $V$
lorsque pour tout ferm� $Z\neq V$, l'ensemble
$\{n\in\mathbb{N}\ |\ Y_n\subset Z\}$ est fini.\\

Soit $K$ un corps de nombres de degr� $N$. Notons $G_K$ l'ensemble des
plongements $\sigma:K\hookrightarrow\mathbb{C}$. Soit $A$ une vari�t� ab�lienne
sur $K$ de dimension $d$. Remarquons que $A(\mathbb{C})$ est alors l'union
disjointe des groupes $A_\sigma(\mathbb{C})$. Soit $\mu$ la mesure de
probabilit� sur $A(\mathbb{C})$ �gale sur chaque $A_\sigma(\mathbb{C})$ � la
mesure de Haar de masse $1/N$.\\

Soit $\hat{\rm h}_L$ la hauteur de N�ron-Tate relativement � un
faisceau inversible $L$ sym�trique et ample sur $A$. Soit $(P_n)_{n\ge0}$ une
suite de points ferm�s de $A$. Pour tout $n\ge0$, on pose
$k_n=\deg(P_n)=[k(P_n):\mathbb{Q}]$.\\

Lorsque $Z$ est un ferm� r�duit de $A_\mathbb{C}$ purement de codimension $q$,
on d�signe par $\delta_Z$ le courant d'int�gration sur $Z(\mathbb{C})$
(c'est un $(q;q)$-courant sur $A(\mathbb{C})$).\\

Szpiro, Ullmo et Zhang ont d�montr� le th�or�me d'�quir�partition suivant:\\

{\bf Th�or�me 0:} {\it Supposons que la suite $(P_n)_{n\ge0}$ est g�n�rique
dans $A$ et que $\D\lim_{n\rightarrow+\infty}\hat{\rm h}_L(P_n)=0$. Alors la
suite de mesures $\D\Bigl(\frac{1}{k_n}\delta_{P_{n\mathbb{C}}}\Bigr)_{n\ge0}$
converge faiblement vers $\mu$.}\\

Ce r�sultat a permis � Ullmo \cite{Ull} et Zhang \cite{Zh3} de prouver la
conjecture de Bogomolov ({\it cf} aussi \cite{Abb}).\\

On �tend ici le th�or�me 0 aux suites g�n�riques de sous-vari�t�s:\\

Soit $\|\ \|$ une ``m�trique du cube'' ({\it cf} \cite{Mor}) sur
$L_\mathbb{C}$. Notons $\omega$ la $(1;1)$-forme de courbure de
$(L_\mathbb{C};\|\ \|)$ sur $A(\mathbb{C})$ et posons $k=\deg_L(A)$.
Remarquons que l'on a $\omega^{\wedge d}=k\mu$ sur $A(\mathbb{C})$.\\

Soit $(Y_n)_{n\ge0}$ une suite de ferm�s int�gres de $A$ de dimension $p$. On
pose $k_n=\deg_L(Y_n)$ pour tout $n\ge0$. On prouve le r�sultat suivant:\\

{\bf Th�or�me (4.1):} {\it Supposons que la suite $(Y_n)_{n\ge0}$ est g�n�rique
dans $A$ et que $\D\lim_{n\rightarrow+\infty}\hat{\rm h}_L(Y_n)=0$. Alors la
suite de mesures
$\D\Bigl(\frac{1}{k_n}\omega^{\wedge p}\wedge\delta_{Y_{n\mathbb{C}}}\Bigr)_{n\ge0}$ converge faiblement vers $\mu$.}\\

La d�monstration s'inspire de celle du th�or�me 0. Elle se place donc dans le
cadre de la th�orie d'Arakelov ({\it cf} \cite{BGS}), et utilise le th�or�me de
``Hilbert-Samuel arithm�tique'' d\^u � Gillet et Soul� \cite{GiSo}
({\it cf} aussi Abbes et Bouche \cite{AbBo}).\\

Remarquons en particulier que si $(Y_n)_{n\ge0}$ est g�n�rique dans $A$ et si
$U$ est un ouvert non vide de $A(\mathbb{C})$ disjoint de $Y_{n\mathbb{C}}$
pour tout $n$ assez grand, alors on a
$\D\ \liminf_{n\rightarrow+\infty}\hat{\rm h}_L(Y_n)>0$. On peut donner une
version quantitative de ce r�sultat:\\

{\bf Th�or�me (6.1):} {\it On suppose la suite $(Y_n)_{n\ge0}$ g�n�rique dans
$A$. Soit $U_\eta$ une boule ouverte de $A(\mathbb{C})$ de rayon
$\eta\in]0;\eta_0[$ telle que $U_\eta$ soit disjoint de son conjugu� complexe.
On suppose que $U_\eta$ et $Y_{n\mathbb{C}}$ sont disjoints pour tout $n\ge0$.
Alors on a
$\D\ \liminf_{n\rightarrow+\infty}\hat{\rm h}_L(Y_n)\ge c_0\eta^{2d+2}$
($\eta_0$ et $c_0$ sont des constantes ne d�pendant que de $(K;A;L;p)$).}\\

Par ailleurs, Zhang a propos� une g�n�ralisation de la conjecture de
Bogomolov ({\it cf} \cite{Zh2}):\\

Soient $V$ une vari�t� lisse sur $\mathbb{Q}$ et $L$ un faisceau inversible
ample sur $V$. Supposons que l'on a un morphisme fini $f:V\rightarrow V$ et un
isomorphisme $L^{\otimes m}\simeq f^*L$, o� $m$ est un entier $>1$.\\

{\bf D�finition:} Un ferm� int�gre $Y$ de $V$ est dit {\bf pr�p�riodique}
lorsque l'ensemble $\{f^n(Y)\ ;\ n\in\mathbb{N}\}$ est fini.\\

Lorsque l'on a de telles donn�es, Zhang a montr� comment obtenir une hauteur
canonique $\hat{\rm h}_L$ g�n�ralisant la construction de N�ron-Tate. En
particulier, la fonction $\hat{\rm h}_L$ est positive; si un ferm� int�gre $Y$
de $V$ est pr�p�riodique, alors on a $\hat{\rm h}_L(Y)=0$; et un point ferm�
$P$ est pr�p�riodique si et seulement si $\hat{\rm h}_L(P)=0$.\\

Dans cette situation, la conjecture de Zhang s'�nonce ainsi:\\

{\bf Conjecture (i):} Soit $Y$ un ferm� int�gre de $V$. Si
$\hat{\rm h}_L(Y)=0$, alors $Y$ est pr�p�riodique.\\

Zhang a montr� que $\hat{\rm h}_L(Y)=0$ si et seulement si $Y$ contient une
suite de points ferm�s $(P_n)_{n\ge0}$ g�n�rique dans $Y$ telle que
$\D\lim_{n\rightarrow+\infty}\hat{\rm h}_L(P_n)=0$. En particulier, si $Y$
contient un ensemble Zariski-dense de points ferm�s pr�p�riodiques, alors $Y$
est conjecturalement pr�p�riodique.

Ce dernier �nonc�, qui ne fait plus intervenir de hauteur, rappelle une
conjecture de dynamique complexe:\\

{\bf Conjecture (ii):} Soient $M$ une vari�t� lisse sur $\mathbb{C}$ et
$f:M\rightarrow M$ un morphisme fini. On suppose qu'il existe un faisceau
inversible $L$ ample sur $M$ tel que $L^{\otimes m}\simeq f^*L$
avec $m>1$. Si un ferm� int�gre $Y$ de $M$ contient un ensemble Zariski-dense
de points pr�p�riodiques, alors $Y$ est pr�p�riodique.\\

Cette conjecture ``s'applique'' en particulier au cas o� $M$ est l'espace
projectif $\mathbb{P}^d_\mathbb{C}$ et $f$ un morphisme fini de degr� $>1$
(on prend alors $L={\cal O}(1)$).

Par ailleurs, lorsque $M$ est une vari�t� ab�lienne sur $\mathbb{C}$ et $f$ la
multiplication par un entier $>1$, la conjecture (ii) est un th�or�me de
Raynaud ({\it cf} \cite{Ray}).\\

Pour attaquer la conjecture (i), on pourrait commencer par prouver un r�sultat
d'�quidistribution des petits points analogue au th�or�me 0. La mesure limite
$\mu$ serait alors la mesure � l'�quilibre du syst�me dynamique
$(V_\mathbb{C};f_\mathbb{C})$.

La difficult� de cette approche est que l'on est amen�, semble-t-il, � utiliser
un th�or�me de Hilbert-Samuel arithm�tique sans hypoth�se de positivit� de la
courbure, qui n'est connu que pour les surfaces arithm�tiques ({\it cf}
propositions 3.3.3 et 4.1.4 de \cite{Aut}).\\

Je remercie Romain Dujardin et Charles Favre pour des discussions int�ressantes
concernant la conjecture (ii). Je remercie �galement Antoine Chambert-Loir pour
ses suggestions concernant la section 5. Je remercie Serge Cantat pour de
fructueuses conversations et pour ses conseils concernant ce papier. Enfin, je
remercie Emmanuel Ullmo pour l'inspiration qu'il m'a procur�e.\\

\section{D�finitions et notations}

Soient $M$ une vari�t� lisse sur $\mathbb{C}$ et $L$ un faisceau inversible
sur $M$.\\

{\bf D�finition:} Une {\bf m�trique} sur $L$ est une famille $\|\ \|$ de normes
hermitiennes sur $L$ variant de mani�re continue sur $M(\mathbb{C})$. Posons
$\widehat{L}=(L;\|\ \|)$.

On note $\omega_{\widehat{L}}$ le $(1;1)$-courant de courbure de
$\widehat{L}$ sur $M(\mathbb{C})$; il est caract�ris� par la propri�t�
suivante: pour toute section rationnelle $s$ non nulle de $L$, on a l'�galit�
$\D\ \omega_{\widehat{L}}=\delta_{{\rm div}(s)}-\frac{i}{\pi}\partial\overline{\partial}\ln\|s\|$.\\

{\bf D�finition:} Soit $\|\ \|$ une m�trique sur $L$; posons
$\widehat{L}=(L;\|\ \|)$. On dit que $\|\ \|$ est {\bf p.s.h.} lorsque le
courant $\omega_{\widehat{L}}$ est positif, autrement dit lorsque pour tout
ouvert $U$ de $M$ et tout $s\in\Gamma(U;L)$ ne s'annulant pas sur $U$, la
fonction $\ -\ln\|s\|$ est plurisousharmonique sur $U(\mathbb{C})$.\\

{\bf D�finitions:} Une {\bf vari�t� arithm�tique} est un sch�ma $X$ int�gre,
projectif et plat sur $\mathbb{Z}$, tel que la fibre g�n�rique $X_\mathbb{Q}$
soit lisse sur $\mathbb{Q}$. Remarquons que $X_\mathbb{C}$ est alors l'union
disjointe de vari�t�s lisses sur $\mathbb{C}$.

Un {\bf faisceau inversible hermitien} sur $X$ est un couple
$\widehat{\cal L}=({\cal L};\|\ \|)$, form� d'un faisceau inversible ${\cal L}$
sur $X$ et d'une m�trique $\|\ \|$ sur ${\cal L}_\mathbb{C}$ invariante par
conjugaison complexe.\\

{\bf Remarque:} Soit $Y$ un sch�ma int�gre et projectif sur $\mathbb{Z}$. On a
deux possibilit�s:\\
- $Y$ est plat et surjectif sur $B_0={\rm Spec}(\mathbb{Z})$; $Y$ est alors
dit horizontal;\\
- $Y$ est au-dessus d'un point ferm� $b=p\mathbb{Z}$ de $B_0$ ({\it ie} $Y$
est une vari�t� sur $\mathbb{F}_p$); $Y$ est alors dit vertical.\\

\section{Th�orie d'Arakelov}

Soient $X$ une vari�t� arithm�tique de dimension (absolue) $d$, et
$\widehat{\cal L}=({\cal L};\|\ \|)$ un faisceau inversible hermitien sur $X$
dont la m�trique $\|\ \|$ est ${\rm C}^\infty$. Pour $0\le p\le d$, on d�signe
par ${\rm Z}_p(X)$ le groupe des combinaisons $\mathbb{Z}$-lin�aires de ferm�s
int�gres (de $X$) de dimension $p$.\\

Faisons quelques rappels de la th�orie des hauteurs d�velopp�e par Bost, Gillet
et Soul�:\\

Pour $0\le p\le d$, on d�finit ({\it cf} \cite{GiSo} p. 485, \cite{BGS} p. 933)
le groupe de Chow arithm�tique de dimension $p$, not� $\widehat{\rm CH}_p(X)$.
Le degr� arithm�tique d�finit une application $\mathbb{Z}$-lin�aire
$\ \widehat{\deg}:\widehat{\rm CH}_0(X)\rightarrow\mathbb{R}$. Pour
$1\le p\le d$, on construit la premi�re classe de Chern arithm�tique
$\ \widehat{\rm c}_1(\widehat{\cal L}):\widehat{\rm CH}_p(X)\rightarrow\widehat{\rm CH}_{p-1}(X)$, qui est $\mathbb{Z}$-lin�aire.\\

Soient maintenant $p\in\{0;\cdots;d\}$ et $D\in{\rm Z}_p(X)$. Soit $g$ un
courant de Green pour $D_\mathbb{C}$. Le r�el
$${\rm h}_{\widehat{\cal L}}(D)=\widehat{\deg}\Bigl[\widehat{\rm c}_1(\widehat{\cal L})^p(D;g)-(0;\omega_{\widehat{\cal L}_\mathbb{C}}^{\wedge p}\wedge g)\Bigr]$$
ne d�pend pas du choix de $g$. On l'appelle la {\bf hauteur d'Arakelov} de $D$
relativement � $\widehat{\cal L}$.\\

Soit $Y$ un ferm� int�gre horizontal de dimension $p$ tel que
$\deg_{{\cal L}_\mathbb{Q}}(Y_\mathbb{Q})>0$. La {\bf hauteur
normalis�e} de $Y$ relativement � $\widehat{\cal L}$ est le r�el
$${\rm h}'_{\widehat{\cal L}}(Y)=\frac{{\rm h}_{\widehat{\cal L}}(Y)}{\deg_{{\cal L}_\mathbb{Q}}(Y_\mathbb{Q})p}\quad.$$

{\bf Proposition 2.1:} {\it Soient $Y$ un ferm� int�gre de $X$ de dimension
$p\ge1$, $n$ un entier $\ge1$, et $s$ une section rationnelle non nulle de
${\cal L}_{|Y}^{\otimes n}$ (sur $Y$). Alors on a l'�galit�
$${\rm h}_{\widehat{\cal L}}(Y)n={\rm h}_{\widehat{\cal L}}({\rm div}(s))-\int_{Y(\mathbb{C})}\ln\|s_\mathbb{C}\|\omega_{\widehat{\cal L}_\mathbb{C}}^{p-1}$$
(On convient que l'int�grale est nulle si $Y$ est vertical).}\\

{\it D�monstration:} C'est la proposition 3.2.1 (iv) de \cite{BGS} p. 949.
$\square$\\

Le r�sultat suivant est un analogue arithm�tique du th�or�me de
Hilbert-Samuel:\\

{\bf Th�or�me 2.2:} {\it Supposons ${\cal L}$ ample et la m�trique $\|\ \|$
p.s.h.. Soit $\epsilon>0$. Alors pour tout entier $n$ assez grand, il existe
une section globale $s$ non nulle de ${\cal L}^{\otimes n}$ telle que
$\D\ \max_{X(\mathbb{C})}\ln\|s_\mathbb{C}\|\le\epsilon n-{\rm h}'_{\widehat{\cal L}}(X)n$.}\\

{\it D�monstration:} {\it cf} th�or�me 9 de \cite{GiSo} p. 539 ou corollaire du
th�or�me principal de \cite{AbBo}. $\square$\\

\section{Hauteurs}

\subsection{Hauteurs de Weil}

Soient $V$ une vari�t� lisse sur $\mathbb{Q}$ et $L$ un faisceau inversible
ample sur $V$. Notons $V^\diamond$ l'ensemble des ferm�s int�gres de $V$.\\

{\bf D�finition:} Un {\bf mod�le entier} de $(V;L)$ est un couple
$(X;\widehat{\cal L})$, form� d'une vari�t� arithm�tique $X$ et d'un faisceau
inversible hermitien $\widehat{\cal L}=({\cal L};\|\ \|)$ sur $X$ tels que
$(X_\mathbb{Q};{\cal L}_\mathbb{Q})$ soit isomorphe � $(V;L)$, que ${\cal L}$
soit ample sur $X$, que la m�trique $\|\ \|$ soit ${\rm C}^\infty$, et que la
courbure $\omega_{\widehat{\cal L}_\mathbb{C}}$ soit d�finie positive sur
$X(\mathbb{C})$.

Remarquons que pour tout entier $e$ assez grand, le couple $(V;L^{\otimes e})$
admet un mod�le entier.\\

La d�finition suivante �tend aux sous-vari�t�s la notion classique de hauteur
de Weil sur les points:\\

{\bf D�finition:} Une application $\hat{h}:V^\diamond\rightarrow\mathbb{R}$
est une {\bf hauteur de Weil} relativement � $L$ lorsqu'il existe un entier
$e\ge1$, un mod�le entier $(X;\widehat{\cal L})$ de $(V;L^{\otimes e})$ et un
r�el $C$ tels que
$$\forall Y\in V^\diamond\quad\Bigl|\hat{h}(Y)-\frac{1}{e}{\rm h}'_{\widehat{\cal L}}(\overline{Y})\Bigr|\le C$$
($\overline{Y}$ d�signe l'adh�rence de $Y$ dans $X$).\\

La proposition suivante montre entre autres que cette d�finition ``ne d�pend
pas du choix de $(e;X;\widehat{\cal L})$'':\\

{\bf Proposition 3.1:} {\it Soit $\hat{h}$ une hauteur de Weil relativement �
$L$. Alors pour tout entier $e\ge1$ et tout mod�le entier
$(X;\widehat{\cal L})$ de $(V;L^{\otimes e})$, il existe un r�el $C$ tel que
$\quad\D\forall Y\in V^\diamond\quad\Bigl|\hat{h}(Y)-\frac{1}{e}{\rm h}'_{\widehat{\cal L}}(\overline{Y})\Bigr|\le C$.

En outre, la fonction $\hat{h}$ est minor�e sur $V^\diamond$.}\\

{\it D�monstration:} La premi�re partie de l'�nonc� est une reformulation de la
proposition 3.2.2 de \cite{BGS} p. 950. La deuxi�me partie se d�duit de la
remarque (iii) de \cite{BGS} p. 954. $\square$\\

\subsection{Hauteur canonique}

Soient $V$ une vari�t� lisse sur $\mathbb{Q}$ et $L$ un faisceau inversible
ample sur $V$. On suppose que l'on a un morphisme fini $f:V\rightarrow V$ et un
isomorphisme $\alpha:L^{\otimes m}\xrightarrow{\sim}f^*L$, o� $m$ est un
entier $>1$.\\

\`A partir de ces donn�es, Zhang construit une hauteur de Weil particuli�re
relativement � $L$ par un proc�d� dynamique:\\

{\bf Proposition 3.2:} {\it Il existe une unique hauteur de Weil
$\hat{\rm h}_L$ relativement � $L$ telle que pour tout $Y\in V^\diamond$, on
ait l'�galit� $\ \hat{\rm h}_L(f(Y))=\hat{\rm h}_L(Y)m$.

De plus, on a les propri�t�s suivantes:\\
- Si $\hat{h}$ est une hauteur de Weil relativement � $L$, alors la suite de
fonctions $\D\Bigl(\frac{1}{m^n}\hat{h}\circ f^n\Bigr)_{n\ge0}$ converge
uniform�ment sur $V^\diamond$ vers la fonction $\hat{\rm h}_L$;\\
- La fonction $\hat{\rm h}_L$ est positive sur $V^\diamond$;\\
- Si $Y$ est un ferm� int�gre pr�p�riodique de $V$, alors on a
$\hat{\rm h}_L(Y)=0$;\\
- Un point ferm� $P$ de $V$ est pr�p�riodique si et seulement si
$\hat{\rm h}_L(P)=0$.}\\

{\it D�monstration:} C'est une reformulation du th�or�me 2.4 de \cite{Zh2}
p. 292. $\square$\\

L'application $\hat{\rm h}_L$ est appel� la {\bf hauteur canonique}
relativement � $(L;f)$. Remarquons qu'elle ne d�pend pas du choix de
l'isomorphisme $\alpha$.\\

\section{\'Equidistribution}

Soit $K$ un corps de nombres de degr� $N$. Soient $A$ une vari�t� ab�lienne sur
$K$ de dimension $d$ et $0_A\in A(K)$ sa section neutre. Pour tout entier non
nul $c$, on note $[c]:A\rightarrow A$ le morphisme de multiplication par $c$.\\

Soit $L$ un faisceau inversible sym�trique ({\it ie} $[-1]^*L\simeq L$) et
ample sur $A$. On fixe un isomorphisme $0_A^*L\simeq{\cal O}_B$ sur
$B={\rm Spec}(K)$. Par le th�or�me du cube, on en d�duit naturellement un
isomorphisme $[c]^*L\simeq L^{\otimes c^2}$ sur $A$ pour chaque entier
$c\ge2$.\\

La hauteur canonique $\hat{\rm h}_L$ relativement � $(L;[c])$ ne d�pend pas
du choix de l'entier $c\ge2$; c'est la {\bf hauteur de N�ron-Tate} relativement
� $L$ ({\it cf} aussi \cite{Phi} et \cite{Gub}).\\

On fixe un entier $c\ge2$. D'apr�s \cite{Mor} p. 50-52, il existe une unique
m�trique $\|\ \|$ de classe ${\rm C}^\infty$ sur $L_\mathbb{C}$ telle que
l'isomorphisme $[c]^*L\simeq L^{\otimes c^2}$ devienne une isom�trie ({\it ie}
une ``m�trique du cube'').

Notons $\omega$ la courbure de $(L_\mathbb{C};\|\ \|)$; posons $k=\deg_L(A)$
et $\D\mu=\frac{1}{k}\omega^d$. Pour tout plongement
$\sigma:K\hookrightarrow\mathbb{C}$, la mesure $\mu_\sigma$ est alors la mesure
de Haar de masse $1/N$ sur $A_\sigma(\mathbb{C})$.\\

Soit $(Y_n)_{n\ge0}$ une suite de ferm�s int�gres de $A$ de dimension $p$.
On pose $k_n=\deg_L(Y_n)$ pour tout $n\ge0$.\\

{\bf Th�or�me 4.1:} {\it Supposons que la suite $(Y_n)_{n\ge0}$ est g�n�rique
dans $A$ et que $\D\lim_{n\rightarrow+\infty}\hat{\rm h}_L(Y_n)=0$. Alors la
suite de mesures
$\D\Bigl(\frac{1}{k_n}\omega^p\delta_{Y_{n\mathbb{C}}}\Bigr)_{n\ge0}$ converge
faiblement vers $\mu$.}\\

{\it D�monstration:} Posons
$\D\nu_n=\frac{1}{k_n}\omega^p\delta_{Y_{n\mathbb{C}}}$ pour tout entier
$n\ge0$. Il s'agit de montrer que pour toute fonction $\phi$ continue sur
$A(\mathbb{C})$, la suite num�rique
$\D\Bigl(\int_{A(\mathbb{C})}\phi\nu_n\Bigr)_{n\ge0}$ converge vers
$\D\int_{A(\mathbb{C})}\phi\mu$.

Il suffit en fait de le v�rifier pour $\phi$ invariante par conjugaison
complexe et ${\rm C}^\infty$ sur $A(\mathbb{C})$. Il existe alors un r�el
$t_0>0$ tel que pour tout $t\in[-t_0;t_0]$, la $(1;1)$-forme
$\D\omega_t=\omega+\frac{it}{\pi}\partial\overline{\partial}\phi$ soit positive
sur $A(\mathbb{C})$. Soient $t\in[-t_0;t_0]$ et $\epsilon>0$.\\

On choisit un entier $e\ge1$ et un mod�le
$(X;\widehat{\cal L})$ de $(A;L^{\otimes e})$ tels que la m�trique sur
${\cal L}$ soit la m�trique du cube $\|\ \|^{\otimes e}$.

Pour tout $Y\in A^\diamond$, on pose
$\D\hat{h}(Y)=\frac{1}{e}{\rm h}'_{\widehat{\cal L}}(\overline{Y})$, o�
$\overline{Y}$ d�signe l'adh�rence de $Y$ dans $X$. L'application $\hat{h}$ est
par d�finition une hauteur de Weil relativement � $L$. D'apr�s la proposition
3.2, il existe $n_1\ge0$ tel que
$\D\Bigl|\hat{h}\circ[c^{n_1}]-c^{2n_1}\hat{\rm h}_L\Bigr|\le c^{2n_1}\epsilon$
sur $A^\diamond$. On pose $e_1=c^{2n_1}e$.\\

On construit un mod�le $(X';\widehat{\cal L}')$ de $(A;L^{\otimes e_1})$ de la
mani�re suivante:\\

On d�signe par $f:X'\rightarrow X$ la normalisation de $X$ par le morphisme
$[c^{n_1}]:A\rightarrow A$, de sorte que l'on a $f_\mathbb{Q}=[c^{n_1}]$ sur
$X'_\mathbb{Q}\simeq A$. On pose alors
$\widehat{\cal L}'=({\cal L}';\|\ \|')=f^*\widehat{\cal L}$.\\

Par la formule de projection ({\it cf} proposition 3.2.1 (iii) de \cite{BGS}
p. 949), on a, pour tout $Y\in A^\diamond$, la relation
$\hat{h}([c^{n_1}](Y))e={\rm h}'_{\widehat{\cal L}'}(\overline{Y}')$, o�
$\overline{Y}'$ d�signe l'adh�rence de $Y$ dans $X'$. On en d�duit:
$$\forall Y\in A^\diamond\quad\Bigl|\hat{\rm h}_L(Y)-\frac{1}{e_1}{\rm h}'_{\widehat{\cal L}'}(\overline{Y}')\Bigr|\le\epsilon\quad.\qquad(1)$$

On pose $\|\ \|'_t=\|\ \|'\exp(-e_1t\phi)$ et
$\widehat{\cal L}'_t=({\cal L}';\|\ \|'_t)$. Par multilin�arit�, on a la
formule 
$${\rm h}_{\widehat{\cal L}'_t}(X')-{\rm h}_{\widehat{\cal L}'}(X')=(d+1)e_1^{d+1}kt^2Q(t)+(d+1)e_1^{d+1}t\int_{A(\mathbb{C})}\phi\omega^d\quad,$$
o� $\D Q(T)=\sum_{j=1}^d\frac{{\rm C}_{d+1}^{j+1}}{(d+1)k}T^{j-1}\int_{A(\mathbb{C})}\phi\Bigl(\frac{i}{\pi}\partial\overline{\partial}\phi\Bigr)^j\omega^{d-j}$ est un polyn\^ome en $T$.\\

Sachant que $\hat{\rm h}_L(A)=0$, on en d�duit � l'aide de (1) la minoration
$$\frac{1}{e_1}{\rm h}'_{\widehat{\cal L}'_t}(X')\ge t^2Q(t)-\epsilon+t\int_{A(\mathbb{C})}\phi\mu\quad.\qquad(2)$$

Maintenant, appliquons le th�or�me 2.2 (Hilbert-Samuel arithm�tique): il
existe $n_2\ge1$ et $s\in\Gamma(X';{\cal L}'^{\otimes n_2})-\{0\}$ tels que
$\D\ \max_{A(\mathbb{C})}\ln\|s_\mathbb{C}\|'_t\le\epsilon n_2-{\rm h}'_{\widehat{\cal L}'_t}(X')n_2$.

Posons $Z={\rm div}(s_\mathbb{Q})$. Puisque la suite $(Y_n)_{n\ge0}$ est
g�n�rique dans $A$, il existe un entier $n_3\ge0$ tel que
$\ \forall n\ge n_3\ Y_n\not\subset Z$. Alors, d'apr�s la proposition 2.1, on a
(pour tout $n\ge n_3$):
$$\begin{array}{rcl}
\D{\rm h}_{\widehat{\cal L}'}(\overline{Y_n}')n_2-{\rm h}_{\widehat{\cal L}'}({\rm div}(s_{|\overline{Y_n}'}))&=&\D-e_1^p\int_{Y_n(\mathbb{C})}(n_2e_1t\phi+\ln\|s_\mathbb{C}\|'_t)\omega^p\\
&\ge&\D[{\rm h}'_{\widehat{\cal L}'_t}(X')-\epsilon]e_1^pn_2k_n-e_1^{p+1}n_2k_nt\int_{A(\mathbb{C})}\phi\nu_n\ .\\
\end{array}$$

Majorons le premier membre: En utilisant (1) et la positivit� de
$\hat{\rm h}_L$, on obtient d'une part l'in�galit� ${\rm h}_{\widehat{\cal L}'}({\rm div}(s_{|\overline{Y_n}'}))\ge-e_1^{p+1}pn_2k_n\epsilon$ et d'autre part
l'in�galit� ${\rm h}_{\widehat{\cal L}'}(\overline{Y_n}')\le[\hat{\rm h}_L(Y_n)+\epsilon](p+1)e_1^{p+1}k_n$. On en d�duit � l'aide de la
minoration (2) que l'on a (pour tout $n\ge n_3$):
$$(p+1)\hat{\rm h}_L(Y_n)+t\int_{A(\mathbb{C})}\phi\nu_n\ge t^2Q(t)-(2p+3)\epsilon+t\int_{A(\mathbb{C})}\phi\mu\quad.\qquad(3)$$

On fait tendre $n$ vers $+\infty$ puis $\epsilon$ vers 0 dans ce qui pr�c�de;
sachant que $\D\lim_{n\rightarrow+\infty}\hat{\rm h}_L(Y_n)=0$, on trouve
l'in�galit�
$$\liminf_{n\rightarrow+\infty}\Bigl(t\int_{A(\mathbb{C})}\phi\nu_n\Bigr)\ge t^2Q(t)+t\int_{A(\mathbb{C})}\phi\mu\quad.$$

Finalement, en faisant tendre $t$ vers 0:\\
- Par valeurs sup�rieures, on obtient $\D\ \liminf_{n\rightarrow+\infty}\Bigl(\int_{A(\mathbb{C})}\phi\nu_n\Bigr)\ge\int_{A(\mathbb{C})}\phi\mu$;\\
- Par valeurs inf�rieures, on obtient $\D\ \limsup_{n\rightarrow+\infty}\Bigl(\int_{A(\mathbb{C})}\phi\nu_n\Bigr)\le\int_{A(\mathbb{C})}\phi\mu$.\\

On en d�duit le r�sultat. $\square$\\

\section{Variante arakelovienne}

Soient $X$ une vari�t� arithm�tique de dimension $d$ et
$\widehat{\cal L}=({\cal L};\|\ \|)$ un faisceau inversible hermitien sur $X$.
On suppose que ${\cal L}$ est ample sur $X$, que la m�trique $\|\ \|$ est
${\rm C}^\infty$, et que la courbure
$\omega=\omega_{\widehat{\cal L}_\mathbb{C}}$ est d�finie positive sur
$X(\mathbb{C})$. Le couple $(X;\widehat{\cal L})$ est donc un mod�le entier de
$(X_\mathbb{Q};{\cal L}_\mathbb{Q})$.\\

Posons $k=\deg_{{\cal L}_\mathbb{Q}}(X_\mathbb{Q})$ et
$\D\mu=\frac{1}{k}\omega^{d-1}$. Soit $(Y_n)_{n\ge0}$ une suite de ferm�s
int�gres de $X_\mathbb{Q}$ de dimension $p$. On pose
$k_n=\deg_{{\cal L}_\mathbb{Q}}(Y_n)$ pour tout $n\ge0$.\\

On fait l'hypoth�se $(*)$ suivante: pour tout ferm� int�gre $Y$ de
$X_\mathbb{Q}$ de dimension $p-1$, on a
${\rm h}'_{\widehat{\cal L}}(\overline{Y})\ge{\rm h}'_{\widehat{\cal L}}(X)$.

Remarquons que cette hypoth�se est automatiquement v�rifi�e lorsque $p=0$.\\

{\bf Proposition 5.1:} {\it Supposons que la suite $(Y_n)_{n\ge0}$ est
g�n�rique dans $X_\mathbb{Q}$ et que
$\D\lim_{n\rightarrow+\infty}{\rm h}'_{\widehat{\cal L}}(\overline{Y_n})={\rm h}'_{\widehat{\cal L}}(X)$. Alors la suite de mesures
$\D\Bigl(\frac{1}{k_n}\omega^p\delta_{Y_{n\mathbb{C}}}\Bigr)_{n\ge0}$ converge
faiblement vers $\mu$.}\\

{\it D�monstration:} Posons
$\D\nu_n=\frac{1}{k_n}\omega^p\delta_{Y_{n\mathbb{C}}}$ pour tout entier
$n\ge0$. Soit $\phi$ une fonction invariante par conjugaison complexe et
${\rm C}^\infty$ sur $X(\mathbb{C})$. Il existe un r�el $t_0>0$ tel que pour
tout $t\in[-t_0;t_0]$, la $(1;1)$-forme $\D\omega_t=\omega+\frac{it}{\pi}\partial\overline{\partial}\phi$ soit positive sur $X(\mathbb{C})$.\\

Soient $t\in[-t_0;t_0]$ et $\epsilon>0$. On pose $\|\ \|_t=\|\ \|\exp(-t\phi)$
et $\widehat{\cal L}_t=({\cal L};\|\ \|_t)$. Par multilin�arit�, on a la
relation
$${\rm h}_{\widehat{\cal L}_t}(X)-{\rm h}_{\widehat{\cal L}}(X)=dkt^2Q(t)+dt\int_{X(\mathbb{C})}\phi\omega^{d-1}\quad,$$
o� $Q$ est une fonction polyn\^omiale.\\

D'apr�s le th�or�me 2.2, il existe $n_1\ge1$ et $s\in\Gamma(X;{\cal L}^{\otimes n_1})-\{0\}$ tels que $\D\max_{X(\mathbb{C})}\ln\|s_\mathbb{C}\|_t\le\epsilon n_1-{\rm h}'_{\widehat{\cal L}_t}(X)n_1$.

Posons $Z={\rm div}(s_\mathbb{Q})$. La suite $(Y_n)_{n\ge0}$ �tant g�n�rique
dans $X_\mathbb{Q}$, il existe un entier $n_2\ge0$ tel que
$\ \forall n\ge n_2\ Y_n\not\subset Z$. Alors, en appliquant la
proposition 2.1, on obtient (pour tout $n\ge n_2$):
$$\begin{array}{rcl}
\D{\rm h}_{\widehat{\cal L}}(\overline{Y_n})n_1-{\rm h}_{\widehat{\cal L}}({\rm div}(s_{|\overline{Y_n}}))&=&\D-\int_{Y_n(\mathbb{C})}(n_1t\phi+\ln\|s_\mathbb{C}\|_t)\omega^p\\
&\ge&\D[{\rm h}'_{\widehat{\cal L}_t}(X)-\epsilon]n_1k_n-n_1k_nt\int_{X(\mathbb{C})}\phi\nu_n\quad.\\
\end{array}$$

Gr\^ace � l'hypoth�se $(*)$, on a la minoration
$\ {\rm h}_{\widehat{\cal L}}({\rm div}(s_{|\overline{Y_n}}))\ge pn_1k_n{\rm h}'_{\widehat{\cal L}}(X)$.
On en d�duit que pour tout $n\ge n_2$, on a
$$(p+1){\rm h}'_{\widehat{\cal L}}(\overline{Y_n})+t\int_{X(\mathbb{C})}\phi\nu_n\ge(p+1){\rm h}'_{\widehat{\cal L}}(X)+t^2Q(t)-\epsilon+t\int_{X(\mathbb{C})}\phi\mu\quad.$$

On conclut comme dans la d�monstration du th�or�me 4.1. $\square$\\

\section{Version quantitative}

Soient $K$ un corps de nombres, $A$ une vari�t� ab�lienne sur $K$ de dimension
$d$, et $L$ un faisceau inversible sym�trique et ample sur $A$. Soit $\|\ \|$
une m�trique du cube sur $L_\mathbb{C}$. On note $\omega$ la courbure de
$(L_\mathbb{C};\|\ \|)$ et on pose $k=\deg_L(A)$.\\

On fixe un plongement $\sigma:K\hookrightarrow\mathbb{C}$ et un
isomorphisme $A_\sigma(\mathbb{C})\simeq\mathbb{C}^d/\Gamma$ de groupes
analytiques (o� $\Gamma$ est un r�seau de $\mathbb{C}^d$) tel que la
$(1;1)$-forme $\omega_\sigma$ s'�crive
$\D\omega_\sigma=\frac{i}{2}\sum_{j=1}^d{\rm d}z_j\wedge{\rm d}\overline{z_j}$
dans $\mathbb{C}^d/\Gamma$.

On munit $\mathbb{C}^d$ de la norme hermitienne canonique, not�e
$|\!|\ |\!|$. Lorsque $z\in\mathbb{C}^d$, on note ici $\dot{z}$ l'image de $z$
dans $\mathbb{C}^d/\Gamma$. On munit $\mathbb{C}^d/\Gamma$ de la distance $D$
induite par $|\!|\ |\!|$, {\it ie}
$\D D(\dot{x};\dot{y})=\min_{\gamma\in\Gamma}|\!|x-y+\gamma|\!|$. Par ailleurs,
on pose $\D\eta_0=\frac{1}{2}\min_{\gamma\in\Gamma-\{0\}}|\!|\gamma|\!|$.\\

Soit $(Y_n)_{n\ge0}$ une suite de ferm�s int�gres de $A$ de dimension $p$.
Posons $\D c_0=\frac{2\pi^d}{(p+1)(d+1)k}$. Soit $U_\eta$ une boule ouverte de
$A_\sigma(\mathbb{C})$ de rayon $\eta\in]0;\eta_0[$. Si $\sigma$ est r�el, on
suppose $U_\eta$ disjoint de son conjugu� complexe.\\

{\bf Th�or�me 6.1:} {\it On suppose que la suite $(Y_n)_{n\ge0}$ est g�n�rique
dans $A$ et que $Y_{n\mathbb{C}}$ est disjoint de $U_\eta$ pour tout $n\ge0$.
Alors on a
$\D\ \liminf_{n\rightarrow+\infty}\hat{\rm h}_L(Y_n)\ge c_0\eta^{2d+2}$.}\\

{\it D�monstration:} Soient $\dot{z_0}$ le centre de $U_\eta$ et $U'_\eta$ le
conjugu� complexe de $U_\eta$. Soit $\psi:[0;\eta_0[\rightarrow\mathbb{R}$ une
fonction ${\rm C}^\infty$ v�rifiant:\\
- La fonction $\psi$ est nulle sur $[\eta;\eta_0[$;\\
- On a $\psi'\ge-1$ et $\psi''\ge0$ sur $[0;\eta_0[$.\\

Soit $\phi:A(\mathbb{C})\rightarrow\mathbb{R}$ la fonction caract�ris�e par les
propri�t�s suivantes:\\
- Si $|\!|z-z_0|\!|<\eta$, alors
$\D\phi(\dot{z})=\frac{\pi}{2}\psi\Bigl(|\!|z-z_0|\!|^2\Bigr)$;\\
- La fonction $\phi$ est invariante par conjugaison complexe;\\
- La fonction $\phi$ est nulle en dehors de $U_\eta\cup U'_\eta$.\\

La $(1;1)$-forme $\D\omega_1=\omega+\frac{i}{\pi}\partial\overline{\partial}\phi$ est alors positive sur $A(\mathbb{C})$. On reprend avec $t_0=t=1$ la
d�monstration du th�or�me 4.1, jusqu'� l'in�galit� (3):
$$\forall n\ge n_3\quad(p+1)\hat{\rm h}_L(Y_n)+\int_{A(\mathbb{C})}\phi\nu_n\ge Q_1-(2p+3)\epsilon\quad,$$
o� $\D Q_1=\frac{1}{k}\sum_{j=0}^d\int_{A(\mathbb{C})}\phi\omega_1^j\omega^{d-j}$.\\

L'int�grale dans le premier membre est nulle puisque $Y_{n\mathbb{C}}$ et
$U_\eta$ sont disjoints. En faisant tendre $n$ vers $+\infty$ puis $\epsilon$
vers 0 dans l'in�galit� pr�c�dente, on obtient donc la minoration
$\D\ \liminf_{n\rightarrow+\infty}\hat{\rm h}_L(Y_n)\ge\frac{Q_1}{p+1}$.\\

Par ailleurs, un calcul que j'�pargne au lecteur montre que
$$Q_1=\frac{4\pi^d}{k}\int_0^\eta\Bigl[1-\Bigl(1+\psi'(r^2)\Bigr)^{d+1}\Bigr]r^{2d+1}{\rm d}r\quad.$$

On a donc
$$\liminf_{n\rightarrow+\infty}\hat{\rm h}_L(Y_n)\ge c_0\int_0^\eta\Bigl[1-\Bigl(1+\psi'(r^2)\Bigr)^{d+1}\Bigr](2d+2)r^{2d+1}{\rm d}r\quad.$$

Maintenant, soit $\psi_0:[0;\eta_0[\rightarrow\mathbb{R}$ la fonction d�finie
par $\psi_0(\rho)=\eta-\rho$ si $\rho<\eta$ et $\psi_0(\rho)=0$ si
$\rho\ge\eta$. En faisant tendre $\psi$ vers $\psi_0$ convenablement, on en
d�duit le r�sultat. $\square$\\

\section{Cas des courbes}

Soient $V$ une courbe lisse sur $\mathbb{Q}$, $L$ un faisceau inversible
ample sur $V$, $f:V\rightarrow V$ un morphisme fini, et
$\alpha:L^{\otimes m}\xrightarrow{\sim}f^*L$ un isomorphisme, o� $m$ est un
entier $>1$.\\

Notons $\mu$ la mesure � l'�quilibre du syst�me dynamique
$(V_\mathbb{C};f_\mathbb{C})$. Soit $(P_n)_{n\ge0}$ une suite de points ferm�s
de $V$. Pour tout $n\ge0$, on pose $k_n=[k(P_n):\mathbb{Q}]$.\\

Citons pour m�moire la variante suivante de la proposition 4.1.4 de
\cite{Aut}:\\

{\bf Proposition 7.1:} {\it Supposons que la suite $(P_n)_{n\ge0}$ est
g�n�rique dans $V$ et que $\D\lim_{n\rightarrow+\infty}\hat{\rm h}_L(P_n)=0$.
Alors la suite de mesures
$\D\Bigl(\frac{1}{k_n}\delta_{P_{n\mathbb{C}}}\Bigr)_{n\ge0}$ converge
faiblement vers $\mu$.}\\

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varieties. Annals of Math. {\bf 147} (1998), p. 159-165.

\end{thebibliography}

\ \\

{\small Pascal Autissier. $\qquad$ pascal.autissier@univ-rennes1.fr\\
I.R.M.A.R., Universit� de Rennes I, campus de Beaulieu, 35042 Rennes cedex,
France.}

\end{document}

math0404355.extracted_bib
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