Cohomologie de de {R}ham enti�re
Vincent Franjou
On d\'ecrit la suite spectrale de Bockstein issue du complexe de de Rham sur les entiers. L'isomorphisme de Cartier intervient comme un endomorphisme du complexe de de Rham modulo $p$ qui identifie les pages successives de la suite spectrale de Bockstein. On en d\'eduit la cohomologie de de Rham enti\`ere des espaces affines.
math0404123.tex
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% septembre 2003 - 5 avril 2004
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%Fran�ais
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%% GUILLEMETS (FRENCH QUOTES) %%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\def\og{\leavevmode\raise.3ex\hbox{$\scriptscriptstyle\langle\!\langle$~}}
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%% MACROS PERSONNELLES   %%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\def\La{\Lambda }
\def \Hom{{\rm Hom}}
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\newcommand{\F}{{\mathbb F}}
\newcommand{\Fp}{{\mathbb F}_p}
\def\O{{\Omega}}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{document}
\author{Vincent Franjou}
\thanks{UMR 6629 Universit� de Nantes/CNRS}
\email{franjou@math.univ-nantes.fr}
\address{Laboratoire Jean-Leray, Universit\'e de Nantes\\
2, rue de la Houssini\`ere\\ BP 92208\\
44322 Nantes cedex 3, France}
%\urladdr{http://www.math.sciences.univ-nantes.fr/\~{}franjou}
\title{Cohomologie de de {R}ham enti�re}
\maketitle{}
\selectlanguage{francais}
% Texte du r�sum� en fran�ais
%\hrule \noindent
\begin{abstract}
On d\'ecrit la suite spectrale de Bockstein issue du complexe de
de Rham sur les entiers. L'isomorphisme de Cartier intervient
comme un endomorphisme du complexe de de Rham modulo $p$ qui
identifie les pages successives de la suite spectrale de
Bockstein. On en d\'eduit la cohomologie de de Rham enti\`ere des
espaces affines.
\end{abstract}
%\hrule
\bigskip\bigskip
\selectlanguage{francais}
% texte principal

 Pour un
anneau commutatif $A$, on note $\O_A^1$ le module des formes
diff�rentielles absolues de degr� 1 de $A$, et on note
$\O_A^*=\La_A^*(\O_A^1)$
son alg�bre ext�rieure sur $A$. Dans l'anneau
gradu� $\O_A^*$, on d�finit de la mani�re usuelle une d�rivation
$d$ de degr� $1$ et de carr� nul. On obtient ainsi le complexe de
de Rham de $A$. Cette note �tudie le cas �l�mentaire o� l'anneau
$A$ est un anneau de polyn�mes � coefficients entiers, la
diff\'erentielle $d$ \'etant alors donn\'ee par la d\'erivation des
polyn\^omes. Afin de
mettre en exergue les propri�t�s de naturalit�, on consid�re l'anneau
$A$
comme l'alg�bre sym�trique sur un groupe ab�lien libre de rang
fini $L$, gradu�e par le degr� polyn�mial~:
$$A=S^*(L)=\bigoplus_{d\geq 0} S^d(L)$$
($S^d(L)$ est form\'e des orbites de $L^{\otimes d}$ sous
l'action de permutation des $d$ facteurs).
D\'esignant par $\La^i(L)$ la $i$-i�me puissance ext�rieure du
groupe ab\'elien $L$, on a~: $\O_A^i=A\otimes\La^iL$. Posant :
$$(\O_A^i)_n=S^{n-i}(L)\otimes\La^i(L)=:\O^i_n(L)\ ,$$
on voit que le complexe de de Rham est lui-m�me gradu�. Les
propri�t�s de naturalit� de sa diff�rentielle $d$ permettent de le
consid�rer comme un complexe de foncteurs de $L$. On oublie donc
la mention du groupe ab�lien libre $L$, et la notation
$\O_n^{\star}$ d�signe dans la suite le complexe de foncteurs
donn� par le complexe de de Rham en degr� total $n$ :
  $$\O_n^{\star}\ :\ \xymatrix{S^n\ar[r]^-{d} &
  S^{n-1}\otimes\La^1\ar[r]^-{d}&\cdots\
  S^{n-i}\otimes\La^i\ar[r]^-{d}&\cdots\ar[r]^-{d}& \La^n\ar[r]^-{d}&
  0\ar[r]^-{d}&0 \ \cdots}\ .$$
On note $\H^i(\O_n^{\star})$ le groupe de cohomologie
correspondant (c'est un foncteur de $L$).\par Le fait que la
cohomologie de de Rham de l'espace affine ainsi d\'efinie soit non nulle est un
ph�nom�ne bien connu, �tudi� dans une note de Pierre Cartier
\cite{Cartier}. Ce ph\'enom\`ene est � la base de travaux sur la suite
spectrale de Hodge vers de Rham \cite{Deligne}. Il permet aussi
d'effectuer efficacement des calculs de
cohomologie des foncteurs \cite{FLS}. Ces travaux omettent pourtant de
signaler le calcul de la cohomologie de de Rham dans le cas des
entiers, ce qui donne pr�texte � cette note.
%\begin{Rem}
%Le sch�ma des vecteurs de Witt
%\end{Rem}
\bigskip
%\section{La suite spectrale de Bockstein pour de Rham est fractale.}
\begin{proposition}\label{torsion}
La cohomologie de de Rham de degr� total $n$ est un groupe fini
annul� par $n$.
\end{proposition}
\par\noindent\emph{D\'emonstration.} L'alg�bre gradu�e $\O^*$ est
aussi muni d'une diff�rentielle de Koszul $\kappa$, qui est une
d�rivation naturelle envoyant les polyn�mes sur $0$, et une forme
diff�rentielle de degr� $1$, $dx$, sur le polyn�me $x$. Elle est
li�e � la diff�rentielle de de Rham $d$ par la formule d'Euler :
$d\kappa +\kappa d=n$. Le r�sultat en d�coule.
\par\medskip
Puisque la cohomologie de de Rham est un groupe de torsion, elle est
d\'etermim\'ee, en tant que groupe ab\'elien, par la suite
spectrale de Bockstein du complexe de de Rham pour chaque nombre premier $p$.
Soit $p$ un nombre premier. Pour obtenir la suite spectrale de Bockstein, on
consid�re la suite exacte courte de complexes :
$$0\to\O_{n}^{\star}\to\O_{n}^{\star}\to \O_n^{\star}\otimes\Z/p\Z\to 0\ ,$$
induite par la multiplication par $p$. Elle engendre un couple
exact
$$  \xymatrix {
    \H (\O _n^{\star}) \ar[rr]^-p  && \H (\O_n^{\star})\ar[ld] \\
    & \H (\O_{n}^{\star}\otimes\Z/p)\ar[lu]^\partial }$$
dont les couples d�riv�s fournissent les pages successives de la
suite spectrale de Bockstein. \par Choisissons une base de
$\O^1_1$. Le remplacement des variables par leur puissance
$p$-i�me permet de d�finir un morphisme de complexes $F$ (non
naturel), qui envoie $x$ sur $x^p$ et $dx$ sur $px^{p-1}dx$. On
l'appellera Frobenius.
\begin{proposition}
Soit $p$ un nombre premier. Le Frobenius induit une application
naturelle :
$$
F_*\ :\ \H^i(\O_n^{\star})\to \H^i(\O_{pn}^{\star})\ .
$$
\end{proposition}
\par\medskip
On d�finit aussi un endomorphisme de l'alg�bre $\O$ (non naturel)
qui envoie $x$ sur $x^p$ et $dx$ sur $x^{p-1}dx$. Il d�finit un
morphisme d'alg�bres $C^{-1}$, naturel, de $\O\otimes\Z/p$ vers
$\H(\O^{\star}\otimes\Z/p)$, qui est un isomorphisme
\cite{Cartier}. C'est son isomorphisme r�ciproque que l'on appelle
isomorphisme de Cartier.
\begin{theoreme}
Soit $p$ un nombre premier. La suite spectrale de Bockstein du
complexe de de Rham est stationnaire, chaque page s'identifiant,
par l'isomorphisme de Cartier, au complexe de de Rham sur le corps
� $p$ �l�ments.
\end{theoreme}
\par\noindent\emph{D\'emonstration.} La diff�rentielle $d_1$ de la
premi�re page s'obtient en composant le connectant $\partial$ et
la reduction mod. $p$. Pour l'identifier, un calcul en bas degr�
suffit. Alternativement, on peut s'aider d'une base de $\O^1_1$
pour effectuer le calcul suivant. Consid�rons une forme $\omega =
Pdx_1\dots dx_i$ dans $\O^i$, et notons la r�duction mod. $p$ par
une barre. Par d�finition, $C^{-1}(\overline{\omega})$ est la
classe de cohomologie de la r�duction mod. $p$ de
$\frac{F(\omega)}{p^i}$. On a donc :
$$\partial C^{-1}(\overline{\omega})=
\partial[\overline{\frac{F(\omega)}{p^i}}]=[\frac{dF(\omega)}{p^{i+1}}]$$
dont la r�duction mod. $p$ n'est autre que
$C^{-1}(d\overline{\omega})$. La premi�re page de la suite
spectrale de Bockstein est donc le complexe de de Rham modulo
$p$.\par
Pour les autres pages, on a le r�sultat suivant~:
\begin{proposition} Le Frobenius induit un morphisme du couple exact de Bockstein
sur son couple d�riv� :
$$  \xymatrix {
    \H (\O^{\star}) \ar[rr]^-p  \ar[dd]^{F_*} && \H (\O^{\star}) \ar[dd]^{F_*}\ar[ld] \\
    & E_1\ar[lu]^\partial \ar[dd] \\
    p\H (\O^{\star}) \ar[rr] && p\H (\O^{\star})\ar[ld] \\
    & E_2 \ar[lu]^\partial }\ .$$
Le morphisme $\H (\O^{\star} /p\O^{\star})=E_1\to E_2$ est un
isomorphisme induit par l'isomorphisme $C^{-1}$ :
$\O_n\otimes\Z/p\Z\to\H(\O_{pn}^{\star}\otimes\Z/p\Z)$.
\end{proposition}
\par\noindent
La seule chose qui m�rite une v�rification est que l'image de
$F_*$ est divisible par $p$. Prenons donc un cocycle $\omega$ dans
$\O_n$. Comme $n\omega$ est un cobord (proposition \ref{torsion}),
c'est aussi le cas de $F(n\omega)$. Il en r�sulte que
$\displaystyle\frac{F(n\omega)}{np}$ est un cocycle de $\O_{np}$.
\begin{theoreme} Le Frobenius $F_*$ est un isomorphisme de la composante $p$-primaire de
$\H^i(\O_n^{\star})$ sur la composante $p$-primaire de
$p\H^i(\O_{pn}^{\star})$.
\end{theoreme}
\par\noindent
En effet, le diagramme ci-dessus est un morphisme de suites
exactes longues. La suite exacte des noyaux dit que la
multiplication par $p$ est un isomorphisme du noyau de $F_*$ sur
lui-m�me. Comme ce noyau est un groupe fini, le r�sultat en
d�coule.
\par\medskip
En fait, la connaissance de la suite spectrale de Bockstein permet
le calcul suivant~:
\begin{theoreme}
Soit $p$ un nombre premier. Le terme
$p^{k-1}\H^i(\O_n^{\star})/p^{k}\H^i(\O_n^{\star})$ du gradu� de
la filtration $p$-adique de la cohomologie de de Rham de degr�
total $n$ est naturellement isomorphe aux cocycles
dans $\O_{{n}/{p^k}}^{\ i}\otimes\Z/p\Z$,
si $i>0$ et $0<k\leq \nu_p(n)$, et il est nul sinon.
\end{theoreme}
\par\noindent
Ce r\'esultat se d\'emontre par une double r\'ecurrence descendante
sur $k$ et $i$, en utilisant les suites exactes~:
$$\xymatrix{
0\to p^{k-1}\H^i(\O_n^{\star})/p^{k}\H^i(\O_n^{\star})\to E^i_k
\ar[r]^-{\partial}&p^{k-1}\H^{i+1}(\O_n^{\star})
}$$
et l'identification de la page $E_k$ avec le complexe de de Rham
$$E_k\cong \O_{{n}/{p^k}}\otimes\Z/p\Z\ ,\ \ 0<k\leq \nu_p(n)\ .$$
\par\medskip
\begin{exemple}{\rm
En degr\'e total 4, la cohomologie de de Rham est nulle sauf en degr\'e
cohomologique 1 et 2. Le th\'eor\`eme pr\'ec\'edent donne~:
$\H^2(\O^4)\cong\La^2/2$ comme foncteur de $L$. Le terme $\H^1$ est
plus int\'eressant.
Modulo 2, il est \'egal au $\Z/2\Z$-vectoriel des cocycles dans $\O_2^1\otimes\Z/2\Z$, qui n'est
autre que la seconde puissance divis\'ee $\Gamma^2$ modulo 2. On a donc
une extension de foncteurs~:
$$0\to S^1/2\to\H^1(\O_4)\to\Gamma^2/2\to 0$$
qui fait appara\^\i tre $\H^1(\O_4)$ comme une variante des vecteurs de
Witt de longueur 2. En fait, cette extension repr\'esente la seule
classe d'extensions de foncteurs non scind\'ee entre $\Gamma^2/2$ et $S^1/2$
\cite[paragraphe 9.3]{FLS}.
}\end{exemple}
\bigskip\vfill
\bibliographystyle{amsalpha}
\begin{thebibliography}{FFSS}
\bibitem{Cartier}  {P. Cartier}.
\textit{Une nouvelle op�ration sur les formes diff�rentielles.} C.
R. Acad. Sci. Paris 244 (1957) 426--428.
\bibitem{Deligne} {P. Deligne, L. Illusie}.
{\it Rel�vement modulo $p^2$ et d�composition du complexe de De
Rham.} Invent. Math. 89 (1987) 247-270.
\bibitem{FLS} {V. Franjou, J. Lannes, L. Schwartz}. {\it Autour de la cohomologie de
Mac Lane des corps finis.}  Invent. Math. 115 (1994) 513--538.
% \bibitem{FS} {E.  Friedlander \& A. Suslin}.
% \textit{Cohomology of finite group schemes over a field.}
% Invent. Math., 127 (1997), 209-270.
\end{thebibliography}
\eject
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\selectlanguage{english}
%\title{Abridged English version}
% Texte de la version abr�g�e en anglais
\section*{Integral de {R}ham Cohomology}
\begin{abstract}
% Texte de l'abstract en anglais
The Cartier isomorphism allows a nice description of the Bockstein
spectral sequence of the de Rham complex over the integers. It is
used to compute the integral de Rham cohomology of affine
spaces.\end{abstract}
\medskip
For a finite rank free abelian
group $L$, let $S^j(L)$ and $\La^i(L)$ respectively denote the
$j$-th symmetric and $i$-th exterior power of $L$. The de Rham
complex in total degree $n$ is the complex:
$$\O_n^{\star}\ :\ \xymatrix{S^n\ar[r]^-{d} &
  S^{n-1}\otimes\La^1\ar[r]^-{d}&\cdots\
  S^{n-i}\otimes\La^i\ar[r]^-{d}&\cdots\ar[r]^-{d}& \La^n\ar[r]^-{d}&
  0\ar[r]^-{d}&0 \ \cdots}$$
whose differential $d$ is the derivative of polynomials. The
purpose of this note is to describe its cohomology.
\begin{e-proposition}\label{e-torsion}
Every de Rham cohomology class in total degree $n$ is annihilated
by $n$.
\end{e-proposition}
\par\noindent
One way to prove that the de Rham cohomology of the affine space
over a characteristic zero field cancels is to use the Koszul
differential $\kappa$ as a contracting homotopy. Over the
integers, the formula $d\kappa +\kappa d=n$ only gives the above
proposition.
\par\medskip
The de Rham cohomology being a finite torsion group, we determine
it by computing the Bockstein spectral sequence of the de Rham
complex at each prime.
\begin{e-proposition}
Let $p$ be a prime. The Frobenius map $F_*$ induces a morphism
from the Bockstein exact couple to its derived couple. The map
$E_1\to E_2$ is an isomorphism, which is induced by the Cartier
isomorphism $C^{-1}$ :
$\O_n\otimes\Z/p\Z\to\H(\O_{pn}^{\star}\otimes\Z/p\Z)$. The map
$F_*$ : $\H^i(\O_n^{\star})\to p\H^i(\O_{pn}^{\star})$ yields an
isomorphism between the $p$-primary parts.
\end{e-proposition}
\par\medskip
It is amusing to note that the Bockstein spectral sequence is
stationary but it is not trivial:
\begin{theorem}
Each page of the Bockstein spectral sequence of the de Rham
complex is isomorphic to the de Rham complex over the prime field.
\end{theorem}
\begin{theorem}
Let $p$ be a prime. The de Rham cohomology in total degree $n$ has
a $p$-adic filtration whose factor
$p^{k-1}\H^i(\O_n^{\star})/p^{k}\H^i(\O_n^{\star})$ is naturally
isomorphic to the cocycles in $\O_{{n}/{p^k}}^{\ i}\otimes\Z/p\Z$,
if $i>0$ and $0<k\leq \nu_p(n)$, and else it vanishes.
\end{theorem}
\vfill
%septembre 2003
\end{document}

math0404123.extracted_bib
\begin{thebibliography}{FFSS}
\bibitem{Cartier}  {P. Cartier}.
\textit{Une nouvelle op�ration sur les formes diff�rentielles.} C.
R. Acad. Sci. Paris 244 (1957) 426--428.
\bibitem{Deligne} {P. Deligne, L. Illusie}.
{\it Rel�vement modulo $p^2$ et d�composition du complexe de De
Rham.} Invent. Math. 89 (1987) 247-270.
\bibitem{FLS} {V. Franjou, J. Lannes, L. Schwartz}. {\it Autour de la cohomologie de
Mac Lane des corps finis.}  Invent. Math. 115 (1994) 513--538.
% \bibitem{FS} {E.  Friedlander \& A. Suslin}.
% \textit{Cohomology of finite group schemes over a field.}
% Invent. Math., 127 (1997), 209-270.
\end{thebibliography}