Petites valeurs propres des fibr�s principaux en tores
Pierre Jammes
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\title{Petites valeurs propres des fibr�s principaux en tores}
\author{Pierre Jammes}
\date{}
\begin{document}
\maketitle
{\small 
\textsc{R�sum�.---}
Soit $M^n$ un fibr� principal en tores $T^k$ sur une vari�t� compact
$N$. On �tudie les effondrements de $M$ sur $N$ tels que la courbure 
sectionnelle et le diam�tre de $M$ v�rifient $|K(M)|\leq a$ et $\diam(M)<d$.
On montre d'une part que pour tout $k$, il existe des effondrements
pour lesquels la premi�re valeur propre du laplacien agissant sur
les formes diff�rentielles de degr� $1$ et $2$ est de l'ordre de 
$\textrm{inj}(M)^{2k}$, et d'autre part que la premi�re valeur propre 
non nulle du laplacien agissant sur les $1$-formes est minor�e
par $c(n,a,d,N)\cdot\Vol(M)^2$ et $c\cdot \textrm{inj}(M)^{2k}$
quand $M^n$ s'effondre sur $N$.

Mots-clefs : effondrements, formes diff�rentielles, laplacien,
petites valeurs propres, approximations diophantiennes.

\medskip
\textsc{Abstract.---}
Let $M^n$ be a compact manifold of dimension $n$ with free $T^k$-action. 
We consider collapsings of $M$ on $N=M/T^k$ such that the sectional 
curvature and diameter of $M$ satisfy $|K(M)|\leq a$ and $\diam(M)<d$, 
and give examples of collapsings for all $k$ such that the 
first non-zero eigenvalue of Laplacian acting on $1$-forms and $2$-forms 
of $M$ are bounded above by $c(M)\cdot\textrm{inj}(M)^{2k}$.
Moreover we prove that the first non-zero eigenvalue of Laplacian 
acting on $1$-forms of all principal $T^k$-bundle $M$ over $N$ is bounded 
below by $c(n,a,d,N)\cdot\Vol(M)^2$ and $c\cdot \textrm{inj}(M)^{2k}$
when $M$ collapses on $N$.

Keywords : collapsing, differential forms, Laplacian, small eigenvalues,
diophantine approximation.

MSC2000 : 58J50, 58C40}

\section{Introduction}
Soit $(M,g)$ une vari�t� riemannienne compacte connexe orientable
de dimension $n$. 
On consid�re l'op�rateur $\Delta=\de\codiff+\codiff\de$ agissant sur l'espace 
$\Omega^p(M)$ des $p$-formes diff�rentielles sur $M$. Le spectre de cet 
op\'erateur forme un ensemble discret de nombres positifs ou nuls qu'on
notera
$$0=\lambda_{p,0}(M,g)<\lambda_{p,1}(M,g)\leq\lambda_{p,2}(M,g)\leq\dots,$$
o� la multiplicit� de $\lambda_{p,0}(M,g)$ est le $p$-i�me nombre de
Betti de $M$, les autres valeurs propres �tant r�p�t�es s'il y a 
multiplicit�.

On sait qu'� diam�tre born� et coubure de Ricci minor�e, la premi�re 
valeur propre non nulle du laplacien agissant sur les fonctions est
uniform�ment minor�e (\cite{gr}, \cite{ly}). B.~Colbois et G.~Courtois 
ont montr� dans \cite{cc1} qu'il n'en va pas de m�me pour les formes 
diff�rentielles de degr� quelconque et qu'� diam�tre et coubure 
sectionnelle born�s, on peut avoir des valeurs propres arbitrairement 
petites. De plus, ils montrent que ce ph�nom�ne de petites valeurs propres
est li� au fait que la vari�t� s'effondre, c'est-�-dire que son volume 
---~ou de mani�re �quivalente son rayon d'injectivit�~---
tend vers z�ro, ce qui conduit � consid�rer le probl�me suivant :
\begin{question}\label{intro:qu1}
Peut-on minorer $\lambda_{p,1}$ en fonction de bornes sur le diam�tre,
la courbure et le rayon d'injectivit�, notamment lorsque la vari�t� 
s'effondre ?
\end{question}

S.~Chanillo et F.~Tr�ves donnent dans \cite{ct} une minoration
g�n�rale qui se comporte asymptotiquement comme $\injrad(M,g)^{4n^2+4n-2}$
quand le rayon d'injectivit� tend vers z�ro mais qui n'est \emph{a priori}
pas optimale.
Dans \cite{cc2}, B.~Colbois et G.~Courtois �tudient le cas particulier
des fibr�s en cercles s'effondrant sur leur base et montrent ---~entre 
autres choses~--- que les petites valeurs propres sont alors de l'ordre 
du rayon d'injectivit� au carr�. Par ailleurs, pour les situations
de limites adiabatiques sur les feuilletages (c'est-�-dire lorsque la 
m�trique s'�crit sous la forme $g=g_H\oplus\varepsilon^2g_V$ o�
$g_V$ une m�trique sur les espaces tangents $V$ aux feuilles, $g_H$
une m�trique sur une distribution compl�mentaire � $V$), on sait
(\cite{for}, \cite{alk00}) qu'on peut calculer pour tout entier $k$ le nombre 
de petites valeurs propres de l'ordre de $\varepsilon^{2k}$ � l'aide
d'une suite spectrale, mais cette m�thode n'a pas donn� lieu � d'exemples
explicites.

 � notre connaissance, on a encore exhib� � ce jour aucun exemple
de petite valeur propre tendant plus vite que le volume ou le rayon
d'injectivit� au carr� quand la vari�t� s'effondre, ce qui conduit � reformuler 
la question \ref{intro:qu1} :
\begin{question}\label{intro:qu2}
Peut-on obtenir une minoration de $\lambda_{p,1}(M,g)$ asymptotiquement 
de l'ordre de $\injrad(M,g)^2$ ou $\Vol(M,g)^2$ quand la vari�t� s'effondre ?
\end{question}

Le but de notre travail est de donner des �l�ments de r�ponses �
la question \ref{intro:qu2} en �tudiant le spectre 
des fibr�s principaux en tores s'effondrant sur leur
base. Nous allons montrer deux r�sultats. Le premier apporte une r�ponse
n�gative � la question \ref{intro:qu2} en ce qui concerne le rayon
d'injectivit�. En effet on peut construire pour tout $k\in\N^*$ des 
effondrements pour lesquels certaines valeurs propres d�croissent
au moins aussi vite que $\injrad(M,g)^{2k}$. Pour cela on utilisera
le fait que, si la fibre est de dimension sup�rieure ou �gale � 2, on
peut l'effondrer non par par homoth�tie mais en privil�giant une
certaine direction qu'on choisira pour ses propri�t�s diophantiennes:
\begin{theo}\label{intro:th5}
Pour tout entier $k\geq1$ et pour toute vari�t� $(N,h)$
telle que $b_2(N)\geq k$, il existe un fibr� principal $M$ en tore $T^k$
sur $N$, une famille de m�trique $(g_\varepsilon)_{\varepsilon\in]0,1]}$
sur $M$, et des r�els strictement positifs $C(k,(N,h))$
et $\varepsilon_0(k,(N,h))$
tels que la courbure et le diam�tre de $(M,g_\varepsilon)$ soient
uniform�ment born�s par rapport � $\varepsilon$,
$\Vol(M,g_\varepsilon)=\varepsilon$ pour tout $\varepsilon$, et
\begin{equation}\label{intro:eq3}
\lambda_{p,1}(M,g_\varepsilon)\leq C\cdot\injrad^{2k}(M,g_\varepsilon)
\end{equation}
pour $p=1$ et 2, et pour tout $\varepsilon<\varepsilon_0$.

 De plus, si $b_1(N)>b_2(M)$, on a aussi pour $p=2$ et 3
\begin{equation}\label{intro:eq4}
\lambda_{p,b_1(N)-b_2(M)}(M,g_\varepsilon)\leq C\cdot\injrad^{2k}
(M,g_\varepsilon)
\end{equation}
\end{theo}
\begin{remarque}
Le th�or�me \ref{intro:th5} montre qu'on ne peut pas minorer le la premi�re
valeur propre du laplacien par une puissance de rayon d'injectivit�
ind�pendante de la dimension. Plus pr�cis�ment, comme on peut construire
des vari�t�s de dimension 3 dont le 2\up{e} nombre de Betti est
arbitrairement grand, il existe pour tout $n\geq4$ des vari�t�s de
dimension $n$ v�rifiant (\ref{intro:eq3}) avec $k=n-3$. On ne peut donc
pas esp�rer obtenir de minoration g�n�rale par le rayon d'injectivit�
avec un exposant inf�rieur � $2n-6$ si $n\geq4$.
\end{remarque}

\begin{remarque}
On verra dans la section \ref{inj} qu'il existe effectivement
des fibr�s v�rifiant la condition $b_1(N)>b_2(M)$.
\end{remarque}

En petite dimension, on peut en d�duire un r�sultat pour les formes
de tout degr� :
\begin{cor}\label{intro:cor}
Pour $n=5$ et $7$, il existe un fibr� $M$ en tores $T^2$ sur une vari�t�
de dimension $n-2$, une suite de m�trique $(g_\varepsilon)$ sur $M$ et 
une constante $C>0$ telles que 
la suite $(g_\varepsilon)$ effondre le fibr� $M$ sur sa base � courbure
et diam�tre born�s quand $\varepsilon$ tend vers z�ro, et que
\begin{equation}\label{intro:eq5}
\lambda_{p,1}(M,g_\varepsilon)\leq C\cdot\injrad^{4}(M,g_\varepsilon)
\end{equation}
pour $1\leq p\leq n-1$.
\end{cor}

Le second th�or�me donne, dans le cas des $1$-formes, 
des minorations du spectre en fonction du volume et du rayon d'injectivit� :
\begin{theo}\label{intro:th4}
Soit deux r�els $a$ et $d$ strictement positifs, un entier $n\geq3$ et
$(N,h)$ une vari�t� riemannienne de dimension strictement inf�rieure 
� $n$. Il existe des constantes $\varepsilon_0(n,a,d,(N,h))>0$, 
$C(n,a,d,(N,h))>0$ et $C'(n,a,d,(N,h))>0$ telles que si $(M,g)$ 
est une vari�t� riemannienne 
de dimension $n$ v�rifiant $\diam(M,g)\leq d$, $|K(M,g)|\leq a$ et 
si $\pi:(M,g)\rightarrow(N,h)$ est une fibration principale de fibre 
$T^k$ qui soit une $\varepsilon$-approximation de Hausdorff avec 
$\varepsilon<\varepsilon_0$, alors
\begin{equation}\label{intro:eq2}
\lambda_{1,1}(M,g)\geq C\cdot\Vol^2(M,g)\geq C'\cdot\injrad^{2k}(M,g).
\end{equation}
\end{theo}

\begin{remarque}
L'exposant du volume dans la minoration (\ref{intro:eq2}) est optimal. 
On peut par exemple
consid�rer le cas de produit riemannien d'un fibr� en cercle qui s'effondre
par un tore dont la m�trique est fix�e mais dont le diam�tre est
suffisamment petit pour que le fibr� produit soit proche de la base pour
la distance de Gromov-Hausdorff, les r�sultats de \cite{cc2} assurent
que dans ce cas, $\lambda_{1,1}(M)$ ne peut pas d�cro�tre plus lentement 
que $\Vol^2(M)$. L'in�galit� (\ref{intro:eq3}) assure par ailleurs
que l'exposant du rayon d'injectivit� dans (\ref{intro:eq2}) est lui
aussi optimal.
\end{remarque}

\begin{remarque}
On sait d�j� que si la fibre est de dimension sup�rieure ou �gale � deux,
on ne peut pas obtenir pour les fibr�s en tores de majoration
de $\lambda_{1,1}(M)$ par le volume au carr� comme c'est le cas pour 
les fibr�s en cercles. En effet,
on peut construire des exemples d'effondrement de fibr�s principaux en tores
pour lesquels la premi�re valeur propre du laplacien ne tend
pas vers z�ro (cf. \cite{glo03}, th�or�me 1.13 et paragraphe 4.2).
\end{remarque}



Le th�or�me \ref{intro:th4} soul�ve les deux questions suivantes qui
restent ouvertes:
\begin{question} Peut-on g�n�raliser ces r�sultats aux $p$-formes
diff�rentielles, pour tout $p$ ?
\end{question}
\begin{question}
La minoration du spectre par le volume au carr� de la vari�t� se
g�n�ralise-t-elle � d'autres familles de vari�t�s ?
\end{question}

Pour d�montrer les th�or�mes \ref{intro:th5} et \ref{intro:th4}, nous 
commencerons par trois sections pr�liminaires sur la topologie, la
 g�om�trie et le spectre des fibr�s principaux en tores.

 Dans la section \ref{topo}, nous d�finirons un invariant 
topologique g�n�ralisant la classe d'Euler des fibr�s en cercle et qui 
pourra �tre utilis� pour contr�ler le spectre.

 La section \ref{geom} sera consacr�e � l'�tude de la g�om�trie des
fibr�s principaux en tores. Le r�sultat principal est que pour
d�montrer le th�or�me \ref{intro:th4} on
peut se ramener � une situation g�om�trique simple.
En particulier, on montrera qu'une m�trique de courbure et diam�tre
born�s sur le fibr� est proche d'une m�trique invariante pour laquelle
les fibres sont totalement g�od�siques :
\begin{theo}\label{geom:th:intro}
 Soient $a$ et $d$ deux r�els strictement positifs, $n$ un entier et
$(N,h)$ une vari�t� riemannienne de dimension strictement inf�rieure
� $n$.  Il existe des constantes $\varepsilon_0(n,a,d,(N,h))>0$,
$\tau(n,a,d,(N,h))>0$ et $\tau'(n,a,d,(N,h))>0$ telles que si
$(M,g)$ est une vari�t� riemannienne de dimension $n$ v�rifiant
$|K(M,g)|\leq a$, $\diam(M,g)\leq d$ et
si $\pi:(M,g)\rightarrow(N,h)$ une fibration principale de fibre $T^k$
qui soit une $\varepsilon$-approximation de Hausdorff avec $\varepsilon
<\varepsilon_0$, alors il existe des m�triques $\tilde g$ et $\tilde h$
sur $M$ et $N$ respectivement et une fibration principale
$\pi': (M,\tilde g)\rightarrow(N,\tilde h)$ telles que
\begin{enumerate}
\item L'action de $T^k$ sur $(M,\tilde g)$ est isom�trique;
\item Les fibres de la fibration $\pi'$ sont totalement g�od�siques;
\item $\displaystyle\frac 1\tau g\leq\tilde g\leq \tau g$ et
$\displaystyle\frac 1\tau h\leq\tilde h\leq \tau h$;
\item La restriction de $\tilde g$ � la fibre est telle que
$\diam(\pi'^{-1}(x))\leq\tau'\varepsilon$, pour tout $x\in N$.
\end{enumerate}
\end{theo}
\begin{remarque}
On verra aussi que si l'on suppose que la m�trique $g$ sur $M$ est
$T^k$-invariante, alors on peut remplacer dans le th�or�me
\ref{geom:th:intro} l'hypoth�se sur la courbure de $(M,g)$ par
l'hypoth�se plus faible $K(M,g)\geq -a$.
\end{remarque}

 Dans la section \ref{inv}, nous �tudierons comment, dans le cas d'un fibr� 
principal en tore $T^k$ muni d'une m�trique invariante, on peut se
ramener � l'�tude des petites valeurs propres du laplacien � celle
du spectre du laplacien resteint aux formes diff�rentielles
invariantes par l'action de $T^k$:
\begin{theo}\label{inv:th2}
Soit $k\in\N^*$, $T^k\hookrightarrow M\stackrel{\pi}{\rightarrow}N$ un 
fibr� en tore $T^k$, $\bar g$ une m�trique invariante sur $T^k$ et $f$ 
une fonction sur $N$ strictement positive. 
Supposons que $M$ est muni d'une m�trique 
$T^k$-invariante $g$ telle que pour tout $x\in N$, la restriction 
$\bar g_x$ de $g$ � la fibre $\pi^{-1}(x)$ v�rifie 
$\bar g_x\leq f(x)\cdot\bar g$.

Soit $\lambda$ une valeur propre du laplacien agissant sur les formes
diff�rentielles de $M$. Si $\lambda<\displaystyle(\sup_{x\in N}f(x))^{-1}
\cdot\lambda_{0,1}(T^k,\bar g)$, alors les formes propres 
associ�es sont $T^k$-invariantes.
\end{theo}

\begin{remarque}
On peut montrer que cette estimation est optimale : si on consid�re
un fibr� trivial muni d'une m�trique produit, on voit que les formes
propres de $T^k$ de valeur propre $\lambda_{0,1}(T^k,\bar g)$ induisent
sur le fibr� des formes propres de m�me valeur propre qui ne sont pas
invariantes.
\end{remarque}

\begin{remarque}
Dans le cas des fibr�s en cercle, le th�or�me \ref{inv:th2} am�liore
sensiblement un r�sultat semblable obtenu par B.~Colbois et G.~Courtois
(\cite{cc2}) qui n�cessitait des hypoth�ses de courbure et diam�tre
born�s.
\end{remarque}
 
\begin{remarque}\label{inv:rem}
La d�monstration des deux th�or�mes met en �vidence le fait que si la
multiplicit� d'une valeur propre est impaire, alors le sous-espace
propre associ� contient des formes invariantes.
\end{remarque}

 Les deux derni�res sections serons consacr�es aux d�monstrations des
th�or�mes \ref{intro:th5} et \ref{intro:th4}.
 Dans la section \ref{inj}, nous construirons les exemples d'effondrements
annonc�s dans le th�or�me \ref{intro:th5}.

Enfin, dans la section \ref{adap}, nous d�montrerons l'in�galit�
(\ref{intro:eq2}) du th�or�me \ref{intro:th4} en utilisant les r�sultats 
des sections pr�c�dentes, et nous discuterons de la possibilit� 
d'exprimer les constantes $C$ et $C'$ du th�or�me \ref{intro:th4} 
en fonction d'invariants g�om�triques de $(N,h)$.

\section{Topologie des fibr�s principaux en tore}\label{topo}
Nous allons dans cette partie nous attacher � d�crire la topologie
des fibr�s principaux en tore, et en particulier � construire
un invariant diff�rentiel qui permettra, comme la classe d'Euler
dans la cas des fibr�s en cercles, d'�tudier le comportement du spectre
du laplacien lors d'un effondrement.

Soit $M$ un fibr� principal en tore $T^k$ sur une base $N$. Le tore
$T^k=\R^k/\Z^k$ peut s'�crire comme le produit de $k$ cercles~:
$T^k=\prod_{i=1}^kS_{(i)}^1$. L'action de $T^k$ sur $M$ induit une action 
de chacun des $S_{(i)}^1$. On peut donc d�finir les vari�t�s 
\begin{equation}\label{topo:eq1}
M_i=M/\prod_{j\neq i}S_{(j)}^1,
\end{equation}
chaque $M_i$ �tant un fibr� en cercle de
base $N$ sur lequel agit $S_{(i)}^1$. R�ciproquement, la donn�e des 
$k$ fibr�s en cercles $(M_i)_{i\leq k}$ sur $N$ permet de construire 
un fibr� en tore $T^k$ en prenant la somme de Whitney 
$\bigoplus_{i=1}^k M_i$ de ces fibr�s en cercles, ce fibr� en
tore �tant diff�omorphe au fibr� $M$. Comme la structure
d'un fibr� en cercle est d�termin� par sa classe d'Euler, la topologie
de $M$ est d�termin�e par la donn�e d'un $k$-uplet $(e_1,\cdots,
e_k)\in (H^2(N,\Z))^k$ de classes d'Euler. Cependant, la d�composition
de $T^k$ en produit de cercles n'est pas unique. En effet, pour chaque
base $(a_1,\cdots, a_k)$ du r�seau $\Z^k$, on peut �crire $T^k$
comme le produit de la famille de cercles $(\R a_i/\Z a_i)_i$, auquel
correspond en g�n�ral un $k$-uplet diff�rent de classes d'Euler.

Dans le cas d'un fibr� en cercle de classe d'Euler $[e]$, on a la 
propri�t� suivante (\cite{bt}, p.72)~: si $\omega$ est la $1$-forme
de connexion du fibr�, alors $\de\omega$ est
une $2$-forme horizontale qui d�pend du choix de la connexion sur le fibr�, 
mais qui est, au signe pr�s, le relev� d'une �l�ment de $[e]$. Dans le
cas d'un fibr� en tore, on va construire une invariant qui g�n�ralise
cette propri�t�. 

 Dans le cas d'un fibr� principal quelconque, la forme de connexion
est une $1$-forme verticale � valeur dans l'alg�bre de Lie $\mathcal G$
de la fibre. Si on se donne un �l�ment $\bar\omega$ de $\mathcal G^*$
et qu'on appplique $\bar\omega$ � l'image de la forme de connexion,
on obtient une $1$-forme verticale � valeur r�elle. On dira que
cette forme diff�rentielle est �~induite~� par $\bar\omega$. De la
m�me mani�re, la forme de Maurer-Cartan d�finissant un isomorphisme 
entre chaque espace tangent vertical et $\mathcal G$, chaque �l�ment
de $\mathcal G$ �~induit~� un champ de vercteur vertical sur le fibr�
via cet isomorphisme. Notons que ce champ est d�fini ind�pendamment
de la connexion, contrairement aux formes induites par les �l�ments
de $\mathcal G^*$.

 On va montrer le r�sultat suivant, qui permet de d�finir une
g�n�ralisation de la classe d'Euler aux fibr� principaux en tore:
\begin{pr}\label{topo:pr}
Soit $\bar\omega\in\mathcal G^*$, $\omega$ la $1$-forme diff�rentielle
sur $M$ induite par $\bar\omega$ et $\alpha_\omega$ la $2$-forme
diff�rentielle sur $N$ telle que $\de\omega=\pi^*(\alpha_\omega)$. Alors
l'application $e:\mathcal G^*\rightarrow H^2(N,\R)$
donn�e par $\bar\omega\mapsto[\alpha_\omega]$ est bien d�finie (c.-�-d. que
la classe de cohomologie de $\alpha_\omega$ ne d�pend pas du choix
de la connexion) et lin�aire.
\end{pr}
\textbf{D�monstration:}
On pose $T^k=\R^k/\Z^k$ et on note $(\bar\omega_i)_{i\in[1,k]}$ les formes
coordonn�es de $\R^k$ pass�es au quotient sur $T^k$. En utilisant la
d�composition $T^k=\prod_{i=1}^kS_{(i)}^1$, on d�finit la famille
de fibr�s en cercle $(M_i)$ comme en (\ref{topo:eq1}). On a alors des
projections $M\stackrel{\pi_i}{\rightarrow}M_i\stackrel{\pi_i'}{\rightarrow}N$
qui v�rifient $\pi_i'\circ\pi_i=\pi_j'\circ\pi_j=\pi$.
Chaque forme $\omega_i$ induite sur $M$ par $\bar\omega_i$ est
le relev� $\pi_i^*(\omega_i')$ de la forme de connexion du fibr�
en cercle $M_i$. On peut �crire $\de\omega_i=\pi_i^*(\de\omega_i')
=\pi^*(e_i)$ o� $e_i$ est une $2$-forme sur $N$. Or, on sait que
$e_i$ appartient � la classe d'Euler du fibr� $M_i$, ind�pendamment
du choix de la connexion sur $M_i$ donc du choix de la connexion sur
$M$. Si on d�finit $e:\mathcal G^*\rightarrow H^2(N,\R)$ par
$e(\bar\omega_i)=e_i$ en l'�tendant par lin�arit�, on aura bien,
par lin�arit� de la diff�rentielle ext�rieure, $\de\omega=\pi^*(e(\bar
\omega))$ pour tout $\bar\omega\in\mathcal G^*$, en notant $\omega$
la forme induite sur $M$.
\hfill\carrenoir

\begin{remarque} 
Si $k=1$ et si $\bar\omega$ est la forme volume du cercle de longueur $1$,
alors $e(\bar\omega)$ est la classe d'Euler du fibr�.
\end{remarque}

\begin{remarque}
La d�monstration \ref{topo:pr} met en �vidence le lien entre l'invariant
$e$ et la famille de classe d'Euler associ�e � une d�composition
particuli�re en somme de Whitney de $M$: � chaque d�composition possible
est associ�e une base de $\mathcal G^*$, et la famille de classe d'Euler
est l'image de cette base par $e$.
\end{remarque}

\begin{exemple}
Le th�or�me 1.13 de \cite{glo03} montre ---~entre autres choses~--- 
qu'un fibr� 
principal en tore $T^k$ non trivial dont la base est un tore $T^2$ peut 
s'�crire comme produit d'une nilvari�t� de dimension 3 et d'un tore 
$T^{k-1}$. Comme $H^2(T^2)$ est 
de dimension $1$, le noyau de $e$ est de dimension $k-1$, ce qui signifie
qu'on peut d�composer le fibr� en une somme de Whitney de $k$ fibr�s
en cercles dont $k-1$ sont triviaux. On retrouve donc le fait que
le fibr� peut s'�crire comme le produit d'un fibr� en cercle sur
$T^2$ et d'un tore de dimension $k-1$.
\end{exemple}

 Dans la suite, si $\omega$ est une forme induite par un �l�ment
$\bar\omega$ de $\mathcal G^*$, on �crira parfois par abus de langage
<<~$e(\omega)$~>> au lieu de <<~$e(\bar\omega)$~>>. De plus, verra 
parfois $e$ comme une application de $\mathcal G^*$ dans l'espace
$\mathcal H^2(N,h)$ des $2$-formes harmoniques de $N$, en utilisant
le fait que $\mathcal H^2(N,h)$ est canoniquement isomorphe � 
$H^2(N,\R)$.

\section{G�om�trie des fibr�s principaux en tore}\label{geom}
\subsection{M�triques adapt�es}
Nous allons ici montrer qu'on peut, dans le but d'obtenir le
th�or�me \ref{intro:th4}, se ramener � une situation g�om�trique pour
laquelle l'�tude du spectre d'un fibr� en tore est plus simple. 
Cette situation est une g�n�ralisation de la notion de m�trique 
adapt�e d�finie dans le cas des fibr�s en cercle par B.~Colbois
et G.~Courtois (\cite{cc2}) :
\begin{df}\label{geom:adap}
On dit que le couple de m�triques $(g,h)$ d�finies sur $M$ et $N$ 
respectivement est adapt� � la fibration principale
$T^k\hookrightarrow M^n\stackrel{\pi}{\rightarrow} N$ si:
\renewcommand{\theenumi}{\textsc{\roman{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\theenumi.}
\begin{enumerate}\label{geom:df}
\item La fibration $\pi:(M,g)\rightarrow (N,h)$ est une submersion 
riemannienne ;
\item L'action de $T^k$ sur $M$ est isom�trique ;
\item Les fibres sont totalement g�od�siques ;
\item Toute $1$-forme verticale $\omega$ induite par un �l�ment de 
$\mathcal G^*$ v�rifie $\de\omega=\pi^*(e(\omega))$.
\end{enumerate}
\end{df}

On veut montrer qu'une m�trique de courbure born�e
sur un fibr� principal en tore est proche d'une m�trique 
adapt�e:
\begin{theo}\label{geom:th}
 Soient $a$ et $d$ deux r�els strictement positifs, et
$T^k\hookrightarrow (M^n,g)\stackrel{\pi}{\rightarrow} (N,h)$
un fibr� principal en tore. Il existe 
des constantes $\varepsilon_0(n,a,d,(N,h))>0$, $\tau(n,a,d,(N,h))>0$, 
$\tau'(n,a,d,(N,h))>0$ et $c(n,a,d,(N,h))>0$
telles que si $|K(N,h)|\leq a$, $|K(M,g)|\leq a$, $\diam(M,g)\leq d$ et
si $\pi$ est une $\varepsilon$-approximation de Hausdorff avec $\varepsilon
<\varepsilon_0$, alors il 
existe des m�triques $\tilde g$ et $\tilde h$  sur $M$ et $N$ respectivement 
et une fibration $\pi': (M,\tilde g)\rightarrow(N,\tilde h)$  telles que 
\begin{enumerate}
\item Le couple $(\tilde g,\tilde h)$ est adapt� � la fibration $\pi'$;
\item $\displaystyle\frac 1\tau g\leq\tilde g\leq \tau g$ et
$\displaystyle\frac 1\tau h\leq\tilde h\leq \tau h$;
\item La restriction de $\tilde g$ � la fibre est telle que 
$\diam(\pi'^{-1}(x))\leq\tau'\varepsilon$, pour tout $x\in N$;
\item La courbure sectionnelle de $(M,\tilde g)$ v�rifie
$|K(X,Y)|\leq c$, pour toute paire de vecteurs horizontaux orthonorm�s
$(X,Y)$.
\end{enumerate}
\end{theo}
On pourra alors appliquer le r�sultat de J.~Dodziuk selon
lequel si deux m�triques sont proches, alors les spectres du laplacien
pour ces deux m�triques sont proches aussi:
\begin{theo}[\cite{dz}]
Soit $g$ et $\tilde g$ deux m�triques riemanniennes sur une vari�t�
$M$ de dimension $n$, et $\tau$ une constante positive. Si les deux
m�triques v�rifient $\frac1\tau g\leq\tilde g\leq\tau g$, alors
$$\frac1{\tau^{3n-1}}\lambda_{p,k}(M,g)\leq\lambda_{p,k}(M,\tilde g)
\leq\tau^{3n-1}\lambda_{p,k}(M,g),$$
pour tout entiers $k\geq0$ et $p\in[0,n]$.
\end{theo}
\begin{remarque} Le th�or�me \ref{geom:th} implique en particulier
le th�or�me \ref{geom:th:intro}. La restriction sur la g�om�trie 
impos�e par le point 4 de la conclusion du th�or�me \ref{geom:th} permet 
de mieux contr�ler le spectre du laplacien et sera utile dans 
la d�monstration du th�or�me \ref{intro:th4}.
\end{remarque}

\begin{remarque} En vertu d'un th�or�me de Hermann (\cite{her},
\cite{bes} p.~249),
le fait que les fibres soient totalement g�od�siques implique 
qu'elles sont isom�triques entre elles. On va voir dans la d�monstration du
th�or�me \ref{geom:th} que r�ciproquement, sur les fibr�s consid�r�s, si
la m�trique est invariante et que les fibres sont isom�triques alors 
elles sont totalement g�od�siques.
\end{remarque}
\subsection{Situation de m�trique invariante}
 Nous allons dans un premier temps montrer que si on suppose qu'on 
a sur $M$ une m�trique invariante, elle est proche d'une m�trique
qui v�rifie les points (\textsc i) � (\textsc{iii}) de la d�finition 
\ref{geom:df}. Plus pr�cis�ment :
\begin{pr}\label{geom:pr}
Soit $T^k\hookrightarrow (M^n,g)\stackrel{\pi}{\rightarrow} (N,h)$
un fibr� principal en tore muni d'une m�trique invariante $g$ tel que 
$\pi$ soit une submersion riemannienne. Pour tout $a>0$ et $d>0$,
il existe des constantes $\tau(n,a,d)>0$ et $c(n,a)>0$ telles
que si $|K(N,h)|\leq a$, $K(M,g)\geq -a$ et $\diam(M,g)\leq d$, 
alors il existe une m�trique invariante $\tilde g$ sur $M$ telle 
que la fibration $\pi:(M,\tilde g)\rightarrow(N,h)$ soit une 
submersion riemannienne � fibres totalement g�od�siques et
$$\frac 1\tau g\leq\tilde g\leq \tau g.$$
\end{pr}
\begin{remarque} On peut noter qu'on utilise non pas une hypoth�se
de courbure born�e sur $M$ mais seulement que la courbure sectionnelle
est minor�e.
\end{remarque}

Pour montrer la proposition \ref{geom:pr}, on utilisera les deux lemmes 
suivants. Le premier est une application directe de la formule de O'Neill:
\begin{lem}\label{geom:oneill}
Soit $a>0$ et $T^k\hookrightarrow (M^n,g) 
\stackrel{\pi}{\rightarrow} (N,h)$ un fibr�
principal en tore muni d'une m�trique invariante $g$ tel que $p$
soit une submersion riemannienne, $|K(N,h)|\leq a$,
et $K_{(M,g)}(X,Y)\geq -a$ pour tout couple $(X,Y)$ de vecteurs 
horizontaux orthonorm�s.
Alors, pour toute $1$-forme diff�rentielle 
verticale $\omega$ induite par l'action de $T^k$, on a :
\begin{enumerate}
\item $\displaystyle|\de\omega(X,Y)|_x^2\leq\frac{8a}3|\omega|_x^2$, pour tout 
$x\in M$ et tout couple de vecteurs horizontaux orthonorm�s $X$ et $Y$ ;
\item $\displaystyle\|\de\omega\|_\infty\leq\frac{4an(n-1)}3\|\omega\|_\infty$. 
\end{enumerate}
\end{lem}
\textbf{D�monstration:} Soit $x\in M$, $y=\pi(x)$, $\tilde X$ et $\tilde Y$ 
deux champs de $N$ orthonorm�s en $y$, et $X$ et $Y$ les relev�s de
$\tilde X$ et $\tilde Y$ � $M$. La formule de O'Neill (\cite{ghl}
p.~127, \cite{bes} p.~241) donne
\begin{equation}
K_N(\tilde X,\tilde Y)=K_M(X,Y)+\frac34\left|[X,Y]^V\right|^2,
\end{equation}
o� $[X,Y]^V$ d�signe la composante verticale de $[X,Y]$.
D'autre part on a, en utilisant le fait que $\omega$ est verticale, 
\begin{eqnarray}
\de \omega(X,Y)&=&X\cdot\omega(Y)-Y\cdot\omega(X)-\omega([X,Y])\nonumber\\
&=&-\omega([X,Y]).
\end{eqnarray}
On en d�duit :
\begin{eqnarray}
|\de \omega(X,Y)|_x^2&=&|\omega([X,Y])|_x^2\leq|\omega|_x^2|[X,Y]^V|_x^2
\nonumber\\
&\leq&\frac43|\omega|_x^2(K_y(\tilde X,\tilde Y)-K_x(X,Y)).
\end{eqnarray}
Comme chacun des couples $(\tilde X,\tilde Y)$ et $(X,Y)$ est orthonorm�
en $x$ et $y$, on a les majorations $|K_y(\tilde X,\tilde Y)|\leq a$ 
et $K_x(X,Y)\geq -a$, et donc
\begin{equation}
|\de \omega(X,Y)|_x^2\leq\frac{8a}3|\omega|_x^2.
\end{equation}
 Et comme l'in�galit� pr�c�dente est vraie quel que soit le choix
de $(\tilde X,\tilde Y)$, il en d�coule finalement
\begin{equation}
|\de\omega|_x^2\leq\frac{4an(n-1)}3|\omega|_x^2
\leq\frac{4an(n-1)}3\|\omega\|^2,
\end{equation}
ce qui ach�ve la d�monstration.
\hfill\carrenoir

Le second lemme montre, dans le cas d'un fibr� en cercle, qu'� courbure born�e, 
la longueur des fibres varie peu d'une fibre � l'autre. 
\begin{lem}\label{geom:lem2}
Soit $S^1\hookrightarrow (M^n,g)\stackrel{\pi}{\rightarrow} (N,h)$
un fibr� principal en cercle sur $N$, tel que $g$ soit invariante
et $\pi$ soit une submersion riemannienne. Pour tout $a>0$ et $d>0$, 
il existe $\tau(n,a,d)>0$ tel que si $|K(N,h)|\leq a$, $K(M,g)\geq -a$ 
et $\diam(M,g)\leq d$, alors pour tout $x,y\in N$, on a
$$\frac 1\tau l_y\leq l_x\leq \tau l_y,$$
o� $l_x$ et $l_y$ d�signent les longueurs des fibres au dessus de 
$\pi^{-1}(x)$ et $\pi^{-1}(y)$ respectivement.
\end{lem}
\textbf{D�monstration:} On choisit sur le fibr� $M$ une $1$-forme 
verticale $\omega$ dont l'int�grale sur chaque fibre est �gale � $1$.
Soit $U$ le champ vertical induit par l'action de $S^1$ qui v�rifie
$\omega(U)=1$. La norme $|U|$ de ce champ est
constante sur chaque fibre, et s'�crit $|U|=\pi^*f$, o� $f$ est une
fonction sur $N$. De plus, en tout point $x$ de $N$, la norme
$f(x)$ de $U$ est �gale � la longueur de la fibre au dessus de $x$.
On va montrer que $f$ est born�e en fonction de $a$ 
et $d$. Remarque : $\omega$ n'est pas la forme duale de $U$ pour
la m�trique. Sa norme ponctuelle sur la fibre $\pi^{-1}(x)$
est $|\omega|=\frac1f$, et on a $U^\flat=f^2\omega$.

Soit $x\in N$, et $\tilde X$ un vecteur unitaire tangent � $N$ en $x$.
Soit $\tilde X_i$ une base orthonorm�e de champs de vecteurs au voisinage 
de $x$, telle que $\LC_{\tilde X_1}\tilde X_1=0$ sur ce voisinage, et 
$\tilde X_{1|x}=\tilde X$.
On rel�ve cette base � $T^HM$ en notant $X_i=\pi^*(\tilde X_i)$ et
$X=X_1$.  Ces champs v�rifient 
\begin{equation}
[X_i,U]=0.
\end{equation}
En effet, ces crochets de Lie sont d�termin�s par $[X_i,U]=
\frac\de{\de t}(\Phi_t)_{*}X_i$, o� $\Phi_t$ est le flot induit par
le champ $U$. Par d�finition de $U$, ce flot correspond � l'action de
$S^1$ sur $M$. Les crochets de Lie sont donc nuls, car les champs $X_i$ 
sont $S^1$-invariants. On notera par ailleurs $U'$ le champ de norme $1$
d�fini par $U'=U/|U|$.

On va calculer la courbure sectionnelle $K(X,U)$ en fonction de 
$f$ et de ses variations (Remarque: le champ $U$ n'est pas norm�, 
mais ce calcul est plus simple que si on utilise le champ $U'$). 
Cette courbure s'�crit
\begin{eqnarray}
K(X,U)&=&\langle R(X,U)X,U\rangle\nonumber\\
&=&\langle\LC_U\LC_XX-\LC_X\LC_UX-\LC_{[X,U]}X,U\rangle,
\end{eqnarray}
o� $\langle\cdot,\cdot\rangle$ d�signe la m�trique. Le vecteur $\LC_XX$ 
est horizontal et vaut $\pi^*(\LC_{\tilde X_1}\tilde X_1)$ 
(voir \cite{bes} p.~239), et par cons�quent $\LC_XX=0$ au voisinage de $x$. 
Comme d'autre part $[X,U]=0$, on est ramen� � calculer
\begin{equation}
K(X,U)=-\langle\LC_X\LC_UX,U\rangle.
\end{equation}
Pour ce faire, on utilisera la formule suivante, qui caract�rise la
connexion de Levi-Civita:
\begin{eqnarray}\label{geom:lc}
2\langle\LC_{Z_1}Z_2,Z_3\rangle\!\!\!&=&\!\!\!Z_1\cdot\langle Z_2,Z_3\rangle
+Z_2\cdot\langle Z_3,Z_1\rangle-Z_3\cdot\langle Z_1,Z_2\rangle\nonumber\\
&&\!\!\!\!+\langle[Z_1,Z_2],Z_3\rangle-\langle[Z_1,Z_3],Z_2\rangle
-\langle[Z_2,Z_3],Z_1\rangle.\hspace{3mm}
\end{eqnarray}
En utilisant l'orthogonalit� de $(X_1,\cdots,X_n,U)$ et le fait
que $[X_i,U]$=0, on obtient
\begin{equation}
2\langle\LC_UX,U\rangle=X\cdot\langle U,U\rangle=X\cdot f^2=2f\de f(X)
\end{equation}
et 
\begin{equation}
2\langle\LC_UX,X_i\rangle=-\langle[X,X_i],U\rangle,
\end{equation}
et donc
\begin{equation}\label{geom:DUX}
\LC_UX=\de f(X) U'-\frac12\sum_{i=1}^n\langle[X,X_i],U\rangle X_i.
\end{equation}
Le premier terme peut s'�crire $\de f(X) U'=\frac{\de f(X)}f U$, par
cons�quent
\begin{eqnarray}
\LC_X(\de f(X) U')&=&\left(X\cdot\frac{\de f(X)}f\right)U
+\frac{\de f(X)}f\LC_XU\nonumber\\
&=&\left(\frac{(\LC_X\de f)(X)}f+\frac{\de f(\LC_XX)}f
-\frac{(\de f(X))^2}{f^2}\right)U\nonumber\\
&&+\frac{\de f(X)}f\LC_XU\\
&=&\frac{\Hess f(X,X)}fU-\frac{(\de f(X))^2}{f^2}U+\frac{\de f(X)}f\LC_XU,
\nonumber\end{eqnarray}
en utilisant le fait que $\LC_XX=0$. De plus, la relation (\ref{geom:lc})
donne $$2\langle\LC_XU,U\rangle=X\cdot|U|^2=2f\de f(X),$$ et donc
\begin{equation}\label{geom:K1}
\langle\LC_X(\de f(X) U'),U\rangle=f\Hess f(X,X).
\end{equation}

La d�rivation des termes suivants de (\ref{geom:DUX}) donne 
\begin{equation}
\LC_X(\langle[X,X_i],U\rangle X_i)=(X\cdot\langle[X,X_i],U\rangle)X_i
+\langle[X,X_i],U\rangle\LC_XX_i.
\end{equation}
Quand on calcule le produit scalaire de cette expression avec $U$, le
premier terme s'annule, et comme la relation (\ref{geom:lc}) donne
$\langle\LC_XX_i,U\rangle=\langle[X,X_i],U\rangle$, il reste
\begin{equation}\label{geom:K2}
\langle\LC_X(\langle[X,X_i],U\rangle X_i),U\rangle=\langle[X,X_i],U\rangle^2.
\end{equation}
La somme des �quations (\ref{geom:K1}) et (\ref{geom:K2}) donne
\begin{equation}
K(X,U)=-f\Hess f(X,X)+\frac12\sum_{i=1}^n\langle[X,X_i],U\rangle^2.
\end{equation}
En normalisant le vecteur $U$, on obtient
\begin{equation}
K(X,U')=-\frac{\Hess f(X,X)}f+\frac1{2f^2}\sum_{i=1}^n\langle[X,X_i],U
\rangle^2.
\end{equation}
Les derniers termes peuvent �tre major�s en fonction de la courbure. En
effet, on a
\begin{equation}
\langle[X,X_i],U\rangle=U^\flat([X,X_i])=f^2\omega([X,X_i])
=-f^2\de\omega(X,X_i),
\end{equation}
et donc, en vertu du lemme \ref{geom:oneill},
\begin{equation}
\langle[X,X_i],U\rangle^2\leq f^4\frac{8a}3|\omega|^2=\frac{8a}3 f^2.
\end{equation}
Par hypoth�se, la courbure sectionnelle de $M$ est minor�e par $-a$.
On a donc finalement :
\begin{equation}\label{geom:hess}
\frac{\Hess f(X,X)}f\leq \left(\frac{4n}3+1\right)a.
\end{equation}

Soient $x$ et $y$ deux points de $N$, et $\gamma$ une g�od�sique
minimisante joignant ces deux points. Notons $\mu$ la fonction
d�finie par 
\begin{equation}\mu(t)=\ln f\circ\gamma(t).\end{equation}
En d�rivant $\mu$ par rapport � $t$, on obtient :
\begin{equation}
\mu'(t)=\frac{\de f(\gamma'(t))}{f\circ\gamma(t)}
\end{equation}
et
\begin{eqnarray}
\mu''(t)&=&-\left(\frac{\de f(\gamma'(t))}{f\circ\gamma(t)}\right)^2
+\frac{\de f(\LC_{\gamma'(t)}\gamma'(t))+\LC\de f(\gamma'(t),\gamma'(t))}
{f\circ\gamma(t)}\nonumber\\
&=&-\mu'(t)^2+\frac{\Hess f(\gamma'(t),\gamma'(t))}{f\circ\gamma(t)}.
\end{eqnarray}
On a donc, en vertu de la majoration (\ref{geom:hess}) :
\begin{equation}
\mu''(t)\leq\frac{\Hess f(\gamma'(t),\gamma'(t))}{f\circ\gamma(t)}
\leq\left(\frac{4n}3+1\right)a.
\end{equation}
Supposons que $x$ est un point o� $f$, et donc $\mu$, atteint son 
minimum. On a alors $\mu'(0)=0$ et donc, en remarquant que $d$ majore
le diam�tre de $N$,
\begin{equation}
\mu'(t)\leq\left(\frac{4n}3+1\right)at,
\end{equation}
et
\begin{equation}
\mu(t)\leq\frac{4n+3}6at^2\leq\frac{4n+3}6ad^2.
\end{equation}
Le rapport $\frac{f(y)}{f(x)}$ est donc major� par une constante
$\tau=\exp(\frac{4n+3}6ad^2)$. Comme on a montr� cette majoration 
en prenant pour $x$ un point o� $f$ atteint son  minimum, elle
sera vraie \emph{a fortiori} pour un $x$ quelconque.

 Remarque : si les fibre sont isom�triques, alors le champ $U$ est de
norme constante. Il est ais� de v�rifier � l'aide de (\ref{geom:lc})
que $\LC_U U$ est alors nul, c'est-�-dire que les fibres sont totalement
g�od�siques.
\hfill\carrenoir

\textbf{D�monstration de la proposition \ref{geom:pr}:}
 Le but est en fait de g�n�raliser le lemme \ref{geom:lem2}
aux fibr�s en tore pour montrer que $g$ est proche d'une m�trique
pour laquelle toutes les fibres sont isom�triques.

Soit $\bar U\in\mathcal G$ non nul et $U$ le champ vertical induit par 
$\bar U$ sur $M$. Soit $x_0\in N$. On choisit $\bar U$ de sorte que 
$|U|=1$ au dessus de $x_0$. De plus, on impose � $\bar U$ d'avoir un
coefficient directeur rationnel, c'est-�-dire que $\bar U$ est colin�aire
� un vecteur de $\Z^k\subset\mathcal G$. L'action du flot associ� �
$U$ induit alors une fibration $S^1\hookrightarrow M
\stackrel{\pi}{\rightarrow}(M',g')$. On peut contr�ler la courbure
de ce fibr�. En effet, utilisant la formule de O'Neill, on peut
�crire
\begin{eqnarray}
K_{M'}(\tilde X,\tilde Y)&=&K_M(X,Y)-\frac34|[X,Y]^V|^2\nonumber\\
&=&K_M(X,Y)-\frac34\frac{|\de\omega(X,Y)|^2}{|\omega|^2},
\end{eqnarray}
o� $\tilde X$ et $\tilde Y$ sont deux vecteurs orthonorm�s de $M'$,
$X$ et $Y$ leurs relev�s respectifs sur $M$, et $\omega$ la $1$-forme
induite par l'action de $T^k$ telle que 
$\omega(U)=1$. Le lemme \ref{geom:oneill} permet
de contr�ler le dernier terme en fonction de la courbure de $M$, et donc
\begin{equation}
K_{M'}(\tilde X,\tilde Y)\geq -a-2a=-3a.
\end{equation}
Le lemme \ref{geom:lem2} assure alors qu'il existe une constante 
$\tau(n,a,d)$ telle que 
\begin{equation}\label{geom:eq1}
\frac1\tau\leq|U|\leq\tau.
\end{equation}
Notons $\tilde g$ la m�trique invariante sur $M$ obtenue en modifiant 
$g$ dans la direction verticale de sorte que les fibres soient isom�triques
� $\pi^{-1}(x_0)$, et en conservant la distribution horizontale et la
m�trique horizontale associ�es � $g$. Pour cette nouvelle m�trique, la
norme de $U$ est uniform�ment �gale � 1.
La relation (\ref{geom:eq1}) peut s'�crire
\begin{equation}\label{geom:eq2}
\frac1{\tau^2}\tilde g(U,U)\leq g(U,U)\leq\tau^2\tilde g(U,U),
\end{equation}
Par continuit�, (\ref{geom:eq2}) s'�tend � n'importe quel vecteur vertical.
Comme $g$ et $\tilde g$ sont identiques sur la direction horizontale, 
on aura finalement
\begin{equation}
\frac1{\tau^2}\tilde g\leq g\leq\tau^2\tilde g.
\end{equation}

Pour conclure, remarquons que si la m�trique sur $M$ est telle que les 
fibres soient isom�triques, la fibration $S^1\hookrightarrow M
\stackrel{\pi}{\rightarrow}(M',g')$ induite par le champ $U$ est � fibre 
totalement g�od�sique. Par continuit�, les fibres du fibr� $T^k
\hookrightarrow M \rightarrow N$ sont elles aussi totalement g�od�siques.
\hfill\carrenoir

\subsection{Cas g�n�ral}

 On va maintenant d�montrer le th�or�me \ref{geom:th}. Pour ce faire, 
on va s'inspirer d'une d�monstration d'un th�or�me de Lott 
(\cite{lo}, th�or�me 2), qui utilise les r�sultats de \cite{cfg}.

 Soit $g$ une m�trique sur $M$ v�rifiant les hypoth�se du th�or�me 
\ref{geom:th}. Tout d'abord, en utilisant un r�sultat de r�gularisation
d'Abresch (\cite{cfg}, th�or�me 1.12), on construit une m�trique
$g_1$ sur $M$ telle que $\frac1{\tau_1}g\leq g_1\leq\tau_1g$,
$|K(M,g_1)|\leq a$ et 
$\|\LC^iR\|\leq A_i(n,a,\tau_i)$, o� $\tau_1>1$ est un r�el fix�, et
$\LC$ et $R$ d�signent respectivement la d�riv�e covariante et
le tenseur de courbure pour la m�trique $g_1$.

 On applique ensuite le th�or�me 2.6 de \cite{cfg}, qui assure l'existence
de constantes $\varepsilon_0(n,(N,h))$, $\kappa(n,A)$, $\kappa'(n,A,(N,h))$
et $\kappa_i(n,A,(N,h))$ et d'une fibration $\pi':(M,g_1)\rightarrow
(N,h)$ tels que si $\pi$ est une $\varepsilon$-approximation de 
Hausdorff avec $\varepsilon<\varepsilon_0(n,(N,h))$, alors :

\begin{itemize}
\item pour tout $x\in N$, le diam�tre de $\pi'^{-1}(x)$ pour 
la m�trique $g'$ est inf�rieur � $\kappa\varepsilon$;
\item la seconde forme fondamentale de la fibre v�rifie 
$\|I\!I_{\pi^{-1}(x)}\|_\infty\leq\kappa'$ pour tout $x\in N$;
\item la submersion $\pi'$ est $\kappa_i$-r�guli�re, c'est-�-dire que
$\|\LC^i\pi'\|_\infty\leq \kappa_i$, pour tout $i\in\N$.
\end{itemize}
Enfin, pour une telle fibration $\pi'$, les parties 3 et 4 de 
\cite{cfg} donnent la construction d'un m�trique $g_2$ sur $M$ qui
est $T^k$-invariante et telle que $|\LC^i(g_2-g_1)|\leq c(n,A,(N,h),i)$,
pour tout $i\in\N$. Cette derni�re �galit� assure l'existence d'une
constante $\tau_2(n,A,d,(N,h))$ telle que 
$\frac1{\tau_2}g_1\leq g_2\leq\tau_2g_1$, et permet aussi de contr�ler la
courbure pour la m�trique $g_2$.

On peut alors appliquer la proposition \ref{geom:pr}, qui nous
donne une m�trique $g_3$ qui v�rifie les points (\textsc i) � (\textsc{iii})
de la d�finition \ref{geom:df}.

Pour obtenir la m�trique $\tilde g$ du th�or�me \ref{geom:th}, il reste
� modifier la distribution horizontale de mani�re � ce que 
$\tilde g$ v�rifie le point (\textsc{iv}) de la d�finition \ref{geom:df}.
Remarquons tout d'abord que comme l'application $e:\mathcal G^*\rightarrow
\mathcal H^2(N)$ est lin�aire, il suffit de montrer l'�galit�
$\de\omega=\pi'^*(e(\omega))$ pour une base de $\mathcal G^*$.
Soit $(\omega_i)$ une base de $\mathcal G^*$ orthonorm�e pour la
m�trique $g_3$. Pour chaque $i$, $\de\omega_i$ s'�crit
\begin{equation}
\de\omega_i=\pi'^*(\alpha_i+\de\beta_i),
\end{equation}
o� $\alpha_i$ est une forme harmonique et $\beta_i$ une forme coferm�e.
On d�finit une nouvelle forme verticale $\omega_i'=\omega_i-\pi'^*(\beta_i)$.
Cette forme v�rifie 
\begin{equation}\label{geom:eq3}
\de\omega_i'=\de\omega_i-\pi'^*(\de\beta_i)=\pi'^*(\alpha_i)\in\mathcal H^2(N).
\end{equation}
L'intersection des noyaux des formes $\omega_i'$ d�finit une nouvelle
distribution horizontale. On d�finit $\tilde g$ comme �tant la m�trique
sur $M$ telle que $\pi':(M,\tilde g)\rightarrow(N,h)$ soit une
submersion riemannienne et $\tilde g=g_3$ sur l'espace vertical.
Cette m�trique v�rifie le point (iv) de la d�finition \ref{geom:df}
du fait de (\ref{geom:eq3}).

On doit encore v�rifier $\tilde g$ est proche de $g_3$. Remarquons
que 
$$\tilde g-g_3=\sum_i(\omega'^2-\omega^2)=\sum_i(2\pi'^*(\beta_i)
\otimes\omega_i+\pi'^*(\beta_i)^2).$$
Or, B.~Colbois et G.~Courtois ont montr� dans \cite{cc2} (lemme
A.32) qu'il existe
une constante $\kappa(n,a,d,(N,h))>0$ telle que les formes $\beta_i$ telles
qu'on les a d�finies v�rifient $\|\beta_i\|_\infty\leq\kappa$, ce qui permet de
conclure. Remarque: le lemme A.32 de \cite{cc2} utilise le fait
que pour la m�trique $g_3$, la norme de la seconde forme fondamentale 
est contr�l� et que la submersion $\pi'$ est $\kappa_i$-r�guli�re. Il n'est
donc pas �vident qu'on puisse obtenir le th�or�me \ref{geom:th} en supposant
que la m�trique initiale $g$ est invariante et en se passant des 
r�sultats de \cite{cfg}.

Enfin, il reste � montrer que la courbure de $(M,\tilde g)$ reste
born�e dans la direction horizontale. 
Soit $x\in N$, $\tilde X$ et $\tilde Y$ deux vecteurs orthonorm�s
tangents � $N$ en $x$, $\bar\omega$ une 
$1$-forme invariante de $T^k$, $\omega$ la $1$-forme induite sur $M$
pour la distribution horizontale associ�e � $g$ et $\omega'$
la $1$-forme induite pour la distribution associ�e � $\tilde g$.
Ces deux formes v�rifient $\de\omega'=\pi'^*(\alpha)$ et
$\de\omega=\pi'^*(\alpha+\de\beta)$, o� $\alpha$ est une $2$-forme
harmonique de $N$ et $\beta$ une $1$-forme de $N$.

D'apr�s la formule de O'Neill, il suffit pour contr�ler la courbure
sectionnelle $K_{(M,\tilde g)}(\pi'^*(X),\pi'^*(Y))$ de majorer
la norme de $[\pi'^*(X),\pi'^*(Y)]^V$. Or, on peut �crire d'une part,
\begin{equation}
\omega'([\pi'^*(X),\pi'^*(Y)]^V)=\de\omega'(\pi'^*(X),\pi'^*(Y))=\alpha(X,Y).
\end{equation}
D'autre part, on a
\begin{equation}\label{geom:li}
\|\alpha\|_\infty\leq \tau'(N,h)\|\alpha\|_2,
\end{equation}
d'apr�s \cite{li} (th�or�me 7), car $\alpha$ est harmonique, et
\begin{equation}
\|\alpha\|_2\leq\|\alpha+\de\beta\|_2=\|\de\omega\|_2\leq
\|\de\omega\|_\infty,
\end{equation}
en utilisant le fait qu'une forme harmonique est le plus petit
�l�ment de sa classe de cohomologie pour la norme $L^2$.
Enfin, le lemme \ref{geom:oneill} permet de contr�ler
la norme de $\de\omega$ en fonction de $a$ et $\|\omega\|_\infty$,
et la norme de $\omega$ est contr�l� en fonction de $\|\omega'\|_\infty$.
Comme la majoration
de $\omega'([\pi'^*(X),\pi'^*(Y)]^V)$ obtenue est ind�pendante du choix
de $\bar\omega$, on a bien une majoration de $|[\pi'^*(X),\pi'^*(Y)]^V|$
en fonction de $n$, $a$ et $d$.
\hfill\carrenoir


\section{Formes invariantes et petites valeurs propres}\label{inv}

Nous allons ici d�montrer le th�or�me \ref{inv:th2} 
�nonc�s dans l'introduction. Ceux-ci s'appuient essentiellement sur le
  
\begin{lem}\label{inv:lem}
Soit $(M,g)$ une vari�t� riemannienne, $\varphi_t$ un flot agissant par
isom�trie sur $M$ et $X$ le champ de vecteur associ�. On suppose de plus
que $X$ n'est pas uniform�ment nul.

 Soit $E$ un sous-espace de $\Omega^*(M)$ stable par le laplacien
et par $(\varphi^*_t)_{t\in\R}$, 
$\lambda$ une valeur propre du laplacien restreint � $E$, et $E_\lambda$ 
l'espace propre associ�. 

 S'il existe $T$ tel que $\varphi^*_{t+T}=\varphi^*_t$ pour tout $t\in\R$ 
et que $\lambda<\displaystyle\left(\frac{2\pi}{T\|X\|_\infty}\right)^2$,
alors $(\varphi^*_t)_{t\in\R}$ agit trivialement sur $E_\lambda$.

\end{lem}



\begin{demo}{du lemme \ref{inv:lem}} Remarquons tout d'abord qu'on peut 
supposer que $T=2\pi$, le r�sultat g�n�ral se d�duisant par simple 
changement de variable. D'autre part, par th�orie de Hodge, on peut se 
restreindre � l'�tude des formes coferm�es. On supposera donc que
$\lambda$ est une valeur propre de $\codiff d_{|\Ker\codiff}$ et $E_\lambda$
d�signera le sous-espace propre associ� dans $\Ker\codiff$.

Soit $\omega\in E_\lambda$. On sait que $\mathcal L_X\omega=i_X
\circ\de\omega+\de\circ i_X\omega$.

D'une part, on a $\mathcal L_X\omega=\displaystyle\lim_{t\rightarrow0}
\frac{\varphi_t^*\omega-\omega}{t}$. Puisque $\varphi_t$ est une isom�trie,
les formes $\varphi_t^*\omega$ et $\frac{\varphi_t^*\omega-\omega}{t}$
sont dans $\Ker\codiff$, et donc $\mathcal L_X\omega$ aussi car
$\Ker\codiff$ est ferm�. D'autre part, $\de\circ i_X\omega$ est dans $\Ima\de$. 

Comme $\Ker\codiff$ et $\Ima\de$ sont orthogonaux, les formes
$\mathcal L_X\omega$ et $\de\circ i_X\omega$ sont orthogonales. Le
th�or�me de Pythagore donne donc :
\begin{equation}
\|\mathcal L_X\omega\|^2_2+\|\de\circ i_X\omega\|^2_2=\|i_X\circ\de
\omega\|^2_2.
\end{equation}
On en d�duit
\begin{equation}\label{inv:eq1}
\|\mathcal L_X\omega\|^2_2\leq\|i_X\circ\de\omega\|^2_2
\leq\|i_X\|^2\|\de\omega\|^2_2\leq\|i_X\|^2\lambda\|\omega\|^2_2.
\end{equation}
On va maintenant majorer la norme de $i_X$ d'une part, et �valuer
celle de $\mathcal L_X\omega$ d'autre part.

\subsubsection*{majoration de $\|i_X\|$}

On va utiliser le fait que si $X$ est un champ de vecteur, $\alpha$ une 
$p$-forme diff�rentielle et $\beta$ une $(p+1)$-forme, alors on a en
tout point $g(X^\flat\wedge\alpha,\beta)=g(\alpha,i_X\beta)$.

Soit $\alpha\in\Omega^p(M)$, on veut calculer $\|i_X\alpha\|$. En tout
point, on peut �crire :
\begin{equation}
|i_X\alpha|^2=g(i_X\alpha,i_X\alpha)=g(\alpha,X^\flat\wedge i_X\alpha)\leq
|\alpha|\cdot|X^\flat\wedge i_X\alpha|
\end{equation}
et
\begin{equation}
|X^\flat\wedge i_X\alpha|^2=g(i_X\alpha,i_X(X^\flat\wedge i_X\alpha))
=|X|^2\cdot|i_X\alpha|^2.
\end{equation}
On en d�duit :
\begin{equation}
|i_X\alpha|^2\leq\|X\|_\infty\cdot|\alpha|\cdot|i_X\alpha|
\end{equation}
et donc 
\begin{equation}\label{inv:eq2}
\|i_X\|\leq\|X\|_\infty.
\end{equation}

\subsubsection*{calcul de $\|\mathcal L_x\omega\|$}
 Comme $\varphi_t$ est une isom�trie, $\varphi^*_t$ agit par isom�trie sur
$E_\lambda$. Si on suppose que $t\mapsto\varphi_t$ est $2\pi$-p�riodique,
$\varphi_t$ induit donc un morphisme $S^1\rightarrow\SO(E_\lambda)$ qu'on
peut d�composer en somme de repr�sentation irr�ductibles.

 Les repr�sentations irr�ductibles de $S^1$ sont :
\begin{itemize}
\item la repr�sentation triviale $S^1\rightarrow\SO(1),\ t\mapsto \Id$;
\item les rotations du plan $S^1\rightarrow\SO(2),\ t\mapsto
R(kt)=\smat{\cos kt & -\sin kt\\\sin kt & \cos kt}, k\in Z^*$.
\end{itemize}
 Supposons maintenant que la d�composition fasse appara�tre au
moins une rotation. On peut choisir une forme $\omega\neq0$ situ�e 
dans le sous-espace stable associ�. On a alors
\begin{equation}
\|\mathcal L_X\omega\|=\left\|\lim_{t\rightarrow0}\frac{\varphi^*_t
\omega-\omega}t\right\|=|k|\cdot\|\omega\|\geq\|\omega\|.
\end{equation}
Avec (\ref{inv:eq1}) et (\ref{inv:eq2}), on en d�duit :
\begin{equation}
\|\omega\|^2\leq\lambda\|X\|^2_\infty\|\omega\|^2,
\end{equation}
et finalement
\begin{equation}
\lambda\geq\displaystyle\frac1{\|X\|^2_\infty}.
\end{equation}
La conclusion du lemme en d�coule imm�diatement.
\end{demo}

Pour illustrer ce lemme, nous allons d'abord d�montrer le th�or�me 
\ref{inv:th2} dans le cas plus simple o� la fibre est un cercle.
\begin{theo}\label{inv:th1}
Soit $(M,g)$ un fibr� principal en cercle muni d'une m�trique
$S^1$-invariante. On note $l_0$ le maximum des longueurs des fibres.
 
Soit $\lambda$ une valeur propre de $\Delta^p$. Si $\lambda<
\displaystyle\left(\frac{2\pi}{l_0}\right)^2$, alors les formes
propres associ�es sont $S^1$-invariantes.
  
\end{theo}

\begin{demo}{du th�or�me \ref{inv:th1}}
C'est une application directe du lemme \ref{inv:lem} avec $E=
\Omega^p(M)$, le flot $\varphi_t$ �tant induit par l'action de $S^1$. 
Le champ $X$ est alors un champ vertical $S^1$-invariant.

Si on param�tre $\varphi_t$ de mani�re � �tre $2\pi$-p�riodique, 
la longueur $l$ d'une fibre sera �gale � $2\pi|X|$, la norme de $X$
ne d�pendant pas du point choisi sur la fibre. On a donc
\begin{equation}
|X|=\frac{l}{2\pi}
\end{equation}
et par cons�quent
\begin{equation}
\|X\|_\infty=\frac{l_0}{2\pi}.
\end{equation}
Si $\lambda<\left(\frac{2\pi}{l_0}\right)^2$, alors $\lambda<\frac1
{\|X\|^2_\infty}$ et donc les formes propres de $E_\lambda$ sont 
$S^1$-invariantes.
\end{demo}


\begin{demo}{du th�or�me \ref{inv:th2}}
Remarquons tout d'abord que dans la d�monstration du th�or�me 
\ref{inv:th1}, la d�composition
de $\Omega^p(M)$ en �l�ments irr�ductibles est une d�composition
en s�rie de Fourier par rapport � la fibre $S^1$, la repr�sentation
triviale et les repr�sentations $\theta\mapsto R(k\theta)$ 
correspondant respectivement aux fonctions constantes et aux
fonctions $\frac{2\pi}k$-p�riodiques du cercle. On va reprendre cette 
id�e et l'appliquer au tore $T^k$ pour d�composer $\Omega^p(M)$ en somme
en sous-espaces de formes invariantes dans une direction et
p�riodiques dans une autre pour ensuite appliquer le lemme \ref{inv:lem}
� ces sous-espaces.

Plus pr�cis�ment, si on pose $T^k=\R^k/\Z^k$, $\R^k$ �tant muni d'une m�trique
euclidienne (pas n�cessairement la m�trique euclidienne canonique), 
et si $\Gamma$ est le r�seau dual de $\Z^k$, $\Gamma=
\{\gamma\in\R^k,\langle\gamma,\gamma'\rangle\in\Z,\forall\gamma'\in\Z^k\}$,
une base des fonctions propres de $T^k$ est donn�e par $f_\gamma=\cos(2\pi
\langle\gamma,x\rangle)$ et $g_\gamma=\sin(2\pi\langle\gamma,x\rangle)$,
$\gamma\in\Gamma$ (voir par exemple \cite{ghl}, p.~200).
Si on note $\gamma^\perp$ l'orthogonal de $\gamma$ dans
$\R^n$, les fonctions $f_\gamma$ et $g_\gamma$ sont invariantes
sous l'action de $\gamma^\perp$. On peut remarquer
que, si $\Gamma$ d�pend de
la m�trique choisie sur $\R^k$, ce n'est pas le cas de l'ensemble
des $\gamma^\perp_{\gamma\neq0}$. En effet, c'est l'ensemble des
hyperplans vectoriels de $\R^k$ engendr�s par des �l�ments de $\Z^k$.
Notons $A$ cet ensemble. En regroupant les
fonctions propres en fonction de leur direction invariante, on
obtient la d�composition  
\begin{equation}C^\infty(T^k)=\overline{\displaystyle
\bigoplus_{V\in A} C^\infty(T^k)^V\oplus\R}
\end{equation}
 o� 
$\R$ repr�sente les fonctions constantes, et o� $C^\infty(T^k)^V$ 
est l'espace des fonctions $C^\infty$ d'int�grale nulle 
(c'est-�-dire orthogonales aux fonctions constantes) et invariantes 
dans la direction $V$. Par construction,
chaque $C^\infty(T^k)^V$ est invariant par $\Delta$ et
par l'action de $T^k$. 

De la m�me fa�on, $\Omega^p(M)$ peut s'�crire
\begin{equation}
\Omega^p(M)=\overline{\displaystyle\bigoplus_{V\in A}\Omega^p(M)^V\oplus
\Omega^p(M)^{T^k}},
\end{equation}
o� $\Omega^p(M)^{T^k}$ est l'espace des $p$-formes $T^k$-invariantes
et $\Omega^p(M)^V$ l'espace des $p$-formes
diff�rentielles invariantes par l'action de $V$ et 
orthogonales � $\Omega^p(M)^{T^k}$.
Comme $V$ ne d�pend pas de la m�trique sur chaque fibre, chacun des 
$\Omega^p(M)^V$ est bien d�fini, et sera de plus 
invariant par $\Delta$ et par l'action de $T^k$. On a ainsi partiellement
d�compos� les formes diff�rentielles de $M$ en s�rie de Fourier 
par rapport � la fibre.

% Soit $V\in A$ et $\lambda$ une valeur propre du laplacien
%restreint � $\Omega^p(M)^V$. Soit $x\in N$ un point
%tel que la premi�re valeur propre de $\Omega^p(\pi^{-1}(x))^V$
%pour la m�trique induite par $g$ soit minimale (~remarque : elle est non 
%nulle car les formes harmoniques du tore plat sont les formes invariantes~).
%On choisit alors sur $p^{-1}(x)$ un champ $X$ vertical invariant 
%orthogonal pour la restriction de $g$ � $p^{-1}(x)$ � $V$ et on l'�tend
%� $M$ et on d�finit le flot $\varphi_t$ associ�. L'action de $\varphi_t$
%sur $\Omega^p(M)^V$ est p�riodique, et par construction, 
%la premi�re valeur propre de $\Omega^p(p^{-1}(x))^V$ est exactement 
%$\displaystyle\left(\frac{2\pi}{T\|X\|_\infty}\right)^2$.

Soit $V\in A$, $\lambda_M^V$ une valeur propre du laplacien
restreint � $\Omega^p(M)^V$ et $\lambda_{T^k}^V$ la premi�re valeur
propre de $\Omega^p(T^k)^V$ (~remarque : elle est non
nulle car les formes harmoniques du tore plat sont les formes 
invariantes~). On choisit sur $T^k$ un champ
invariant $X_{T^k}$ orthogonal � $V$ et on note $X_M$ le champ
vertical sur $M$ induit par $X_{T^k}$. L'action
sur $\Omega^p(M)^V$ du flot $\varphi_t$ associ� � $X_M$ est p�riodique,
et si on note $T$ sa p�riode, $\lambda_{T^k}^V$ est par construction
exactement $\displaystyle\left(\frac{2\pi}{T\|X_{T^k}\|_\infty}\right)^2$.
D'autre part, comme $\bar g_x\leq f(x)\cdot\bar g$, 
les normes de $\|X_{T^k}\|_\infty$ et $\|X_{M}\|_\infty$ 
sont li�s~: 
\begin{equation}
\|X_{M}\|_\infty\leq(\sup_B f)^{1/2}\cdot\|X_{T^k}\|_\infty,
\end{equation}
donc si $\lambda_M^V<(\sup_B f)^{-1}\lambda_{T^k}^V$, alors
\begin{equation}
\displaystyle\lambda_M^V<
(\sup_B f)^{-1}\left(\frac{2\pi}{T\|X_{T^k}\|_\infty}\right)^2\leq
\left(\frac{2\pi}{T\|X_{M}\|_\infty}\right)^2,
\end{equation}
et le lemme \ref{inv:lem} s'applique 
avec $E=\Omega^p(M)^V$
et les formes propres associ�es � $\lambda_M^V$ sont 
$\varphi_t^*$-invariantes, donc $T^k$-invariantes.

 Si $\lambda_M$ est une valeur propre du laplacien agissant sur
$\Omega^p(M)$ et que $\lambda$ est strictement inf�rieure 
� la premi�re valeur propre de $T^k$, alors elle sera
\emph{a fortiori} inf�rieure � tous les $\lambda_{T^k}^V$ et
donc les formes propres de $\lambda_M^V$ dans $\Omega^p(M)^V$
sont $T^k$-invariantes. Comme
les $\Omega^p(M)^V$ sont stables par le laplacien, l'espace
propre de $\lambda_M$ est la somme des espaces propres restreints
aux $\Omega^p(M)^V$. Par cons�quent, toutes les formes propres
associ�es � $\lambda_M$ sont $T^k$-invariantes.
\end{demo}

\begin{demo}{de la remarque \ref{inv:rem}}
 Il suffit de remarquer que dans le lemme \ref{inv:lem}, 
si la dimension du sous-espace propre $E_\lambda$ est impaire, 
la d�composition de cet espace en espace de repr�sentations
irr�ductibles contient n�cessairement une repr�sentation triviale, et
donc $E_\lambda$ contient des formes invariantes par $\varphi_t$. 
Dans le cas du th�or�me \ref{inv:th1}, les espaces propres de dimension
impaire du laplacien agissant sur $\Omega^*(M)$ contiennent donc des
formes $S^1$-invariantes.

 Dans le cas du th�or�me \ref{inv:th2}, si un espace propre du laplacien
est de dimension impaire, l'un des �l�ments de la d�composition
de Fourier de cet espace sera aussi de dimension impaire, et la remarque
pr�c�dente s'applique.
\end{demo}


\section{Petites valeurs propres et rayon d'injectivit�}\label{inj}
 Nous allons maintenant d�montrer le th�or�me \ref{intro:th5}. Le cas
$k=1$ d�coulant de \cite{cc2}, nous supposerons $k\geq2$.
Soit $N$ une vari�t� telle que $b_2(N)\geq k$. On
d�finit un fibr� principal en tores $M$ sur $N$ par la donn�e d'une
application $e:\mathcal G^*\rightarrow H^2(N)$ qu'on supposera injective
(c'est possible car $b_2(N)\geq k$).

On se donne sur $M$ et $N$ des m�trique $g$ et $h$ telles que
le couple $(g,h)$ soit adapt� (au sens d�fini en \ref{geom:adap}) �
la fibration $M\rightarrow N$ et que la restriction $\bar g$
de la m�trique $g$ � la fibre $T^k$ soit le passage au quotient de 
la m�trique canonique de $\R^k$ � $T^k=\R^k/\Z^k$ (on a vu dans
la section pr�c�dente que le fait que les fibres soient totalement
g�od�siques est �quivalent au fait qu'elles soient isom�triques entre elles).
On va construire la famille de m�trique $(g_\varepsilon)$ sur $M$ en faisant
varier la m�trique $g_\varepsilon$ le long de la fibre, la connexion et 
la composante horizontale de la m�trique restant identique � celles de $g$. 
 
Soit $y\in\R^{k-1}$ un $(k-1)$-uplet difficilement approchable,
c'est-�-dire tel qu'il existe une constante $c(y)$ telle que pour tout 
$p\in\Z^{k-1}$ et tout $q\in\Z$, on a
\begin{equation}\label{inj:da}
\|p-qy\|^{k-1}|q|\geq c(y),
\end{equation}
la norme consid�r�e �tant la norme euclidienne canonique. On sait
qu'il existe une infinit� non d�nombrable de tels $(k-1)$-uplet
(voir \cite{schmidt} p. 22, 41--43). On se donne une base
orthonorm�e $(X_1,\ldots, X_k)$ de $\R^k$ telle que $X_1$ soit
colin�aire au vecteur $(1,y)$. Pour tout $\varepsilon$, on se donne 
la base $\mathcal B_\varepsilon=(\frac1\varepsilon X_1,X_2,\ldots, X_k)$
et on d�finit la m�trique $\bar g_\varepsilon$ sur $\R^k$ en posant
que $\mathcal B_\varepsilon$ est orthonorm�e pour $\bar g_\varepsilon$,
c'est-�-dire qu'on obtient $\bar g_\varepsilon$ en contractant les
longueurs d'un rapport $\varepsilon$ dans la direction de $X_1$.
Le passage de $\bar g_\varepsilon$ au quotient $\R^k/\Z^k$ d�termine
une m�trique sur $T^k$, qui elle-m�me induit la m�trique $(g_\varepsilon)$
sur $M$. On a en particulier $g_1=g$. Les r�sultats classiques sur les 
effondrement (\cite{carriere}, \cite{chgr1} th�or�me 2.1) assure que 
la courbure de $(M,g_\varepsilon)$ reste born�e quand $\varepsilon$ tend 
vers z�ro.

On va montrer l'in�galit� \ref{intro:eq3} du th�or�me \ref{intro:th5}
en estimant successivement le volume, le rayon d'injectivit� et la
premi�re valeur propre de $M$ en fonction de $\varepsilon$.

\begin{fait}
Pour tout $\varepsilon\in]0,1]$, on a $\Vol(M,g_\varepsilon)=
\Vol(N,h)\cdot\varepsilon$.
\end{fait}
\textbf{D�monstration:}
Il suffit de remarquer que $\Vol(M,g_\varepsilon)=\Vol(N,h)
\cdot\Vol(T^k,\bar g_\varepsilon)$, et que $\Vol(T^k,\bar g_\varepsilon)=
\Det_{\mathcal B_\varepsilon}\mathcal B_1=\varepsilon$.
\hfill\carrenoir\\
Pour obtenir le th�or�me \ref{intro:th5}, on aura � reparam�trer
$g_\varepsilon$ de sorte que $\Vol(M,g_\varepsilon)=\varepsilon$.

\begin{fait}
Il existe des constantes $\varepsilon_0(y,k)>0$ et $C(y,k)>0$ telle que 
$\injrad(T^k,\bar g_\varepsilon)\geq C\cdot\varepsilon^\frac1k$ pour tout
$\varepsilon<\varepsilon_0$.
\end{fait}
\textbf{D�monstration:} Calculer le rayon d'injectivit� de 
$(T^k,\bar g_\varepsilon)$ revient � calculer le minimum des normes
dans $\R^k$ des points non nuls du r�seau $\Z^k$ pour la m�trique 
$\bar g_\varepsilon$. Plus pr�cis�ment, on peut �crire
\begin{equation}\label{inj:min}
2\injrad(T^k,\bar g_\varepsilon)=\min_{(p,q)\in \Z^{k-1}\times\Z
\backslash(0,0)}\|(p,q)\|_{\bar g_\varepsilon}
\end{equation}

Soit $(p,q)\in\Z^{k-1}\times\Z\backslash(0,0)$. On note $z$ la projection
orthogonale de $(p,q)$ sur la droite vectorielle $D$ engendr�e par $X_1$ 
(remarque : elle ne d�pend pas de $\varepsilon$), $\theta$ l'angle
entre $D$ et l'hyperplan $\R^{k-1}\times\{0\}$ pour la m�trique canonique
(on a $\tan\theta=\|y\|^{-1}$) et $\theta'$ l'angle entre $D$ et
le vecteur $(p,q)-(q\cdot y,q)$ (voir figure \ref{inj:fig}). De plus, on
notera $\|\cdot\|_{\bar g_\varepsilon}$ la norme pour la m�trique
$g_\varepsilon$ et $\|\cdot\|$ la norme euclidienne canonique. 
On peut �crire :
\begin{equation}
\|(p,q)\|^2_{\bar g_\varepsilon}=\|(p,q)-z\|^2_{\bar g_\varepsilon}
+\|z\|^2_{\bar g_\varepsilon}.
\end{equation}

\begin{figure}[h]
\begin{center}
\input{dio.tex}
\end{center}
\caption{\label{inj:fig}}
\end{figure}

 Le vecteur $(p,q)-z$ est orthogonal � $D$, donc la norme 
$\|(p,q)-z\|_{\bar g_\varepsilon}$ est ind�pendante de $\varepsilon$. 
On a donc, en utilisant la relation (\ref{inj:da}):
\begin{equation}
\|(p,q)-z\|_{\bar g_\varepsilon}=\|(p,q)-z\|=\sin\theta'\|p-qy\|\geq
\frac{\sin\theta'\cdot c(y)^{\frac1{k-1}}}{|q|^{\frac1{k-1}}}.
\end{equation}
Comme $\theta\leq\theta'\leq\frac\pi2$ on en d�duit
\begin{equation}
\|(p,q)-z\|^2_{\bar g_\varepsilon}\geq\frac{a}{|q|^{\frac2{k-1}}}
\end{equation}
o� $a$ est une constante ne d�pendant que de $k$ et $y$.

Le vecteur $z$ est parall�le � $D$, donc $\|z\|_{\bar g_\varepsilon}=
\varepsilon\|z\|$. De plus, on a 
\begin{equation}
\|z\|\geq\|(q,qy)\|-\|z-(q,qy)\|\geq\frac{\|qy\|}{\cos\theta}
-\|z-(q,qy)\|.
\end{equation}
On peut supposer que $\|z-(q,qy)\|\leq\frac{\|qy\|}{2\cos\theta}$. 
En effet, dans le cas contraire, on a
$\|(p,q)-z\|_{\bar g_\varepsilon}\geq\sin\theta\|p-qy\|\geq\frac
{\sin\theta}{2\cos\theta}\|qy\|\geq\frac q2$, ce qui signifie si $q\neq0$
que $\|(p,q)\|^2_{\bar g_\varepsilon}$ est minor� par $\frac12$ 
et donc ne r�alise pas le minimum en (\ref{inj:min}) quand $\varepsilon$
est suffisamment petit (si $q=0$, c'est $\sin\theta\|p-qy\|$ qui est
uniform�ment minor�). On obtient finalement la minoration
\begin{equation}
\|z\|^2_{\bar g_\varepsilon}\geq\varepsilon^2\frac{\|qy\|^2}{4\cos^2\theta}
=\varepsilon^2bq^2,
\end{equation}
o� $b$ est une constante qui ne d�pend que de $y$, et donc
\begin{equation}
\|(p,q)\|^2_{\bar g_\varepsilon}\geq\frac{a}{|q|^{\frac2{k-1}}}
+\varepsilon^2bq^2.
\end{equation}

 La fonction $f:t\rightarrow at^{-\frac2{k-1}}+\varepsilon^2bt^2$
admet sur $\R^*_+$ un unique minimum en $t=\left(\frac a{\varepsilon^2b(k-1)}
\right)^{\frac{k-1}{2k}}$ dont la valeur est $\varepsilon^2a^{\frac{k-1}k}
b^\frac1k((k-1)^\frac1k+(k-1)^\frac{1-k}k)$. On peut donc en d�duire que
\begin{equation}
\|(p,q)\|_{\bar g_\varepsilon}\geq C\varepsilon^\frac1k
\end{equation}
o� $C$ est une constante ne d�pendant que de $y$ et $k$.
\hfill\carrenoir\\
Remarque : Comme la fibre est totalement g�od�sique, son rayon d'injectivit�
est �gal au rayon d'injectivit� de $M$ si $\varepsilon$ est suffisamment
petit.

\begin{fait}\label{inj:fait}
Il existe une constante $C'(N,k,e)>0$ telle que pour tout $\varepsilon$,
on a $\lambda_{p,1}(M,g_\varepsilon)\leq C'\cdot\varepsilon^2$ pour 
$p=1$ et $2$.
\end{fait}
\textbf{D�monstration:}
Commen�ons par le cas $p=1$. Pour estimer la premi�re valeur propre 
non nulle, on va d'abord
calculer quelles sont les $1$-formes harmoniques. On sait d�j� d'apr�s
les r�sultats de la section pr�c�dente que les formes harmoniques
sont $T^k$-invariantes.
Soit $\varphi$ une $1$-forme diff�rentielle $T^k$-invariante 
de $M$. On peut �crire 
\begin{equation}\label{inj:phi}
\varphi=\pi^*(\alpha)+\sum_{i=1}^k \pi^*(a_i)\cdot\omega_i,
\end{equation}
o� $\alpha$ est une $1$-forme de $N$, $a_i$ des fonctions de $N$ et
$\omega_i$ les $1$-formes verticales induites par une base
orthonorm�e de $\mathcal G^*$. On a alors~:
\begin{equation}\label{inj:dphi}
\de\varphi=\pi^*(\de\alpha+\sum_{i=1}^k a_i\cdot e_i)+
\sum_{i=1}^k\de \pi^*(a_i)\wedge\omega_i,
\end{equation}
o� $e_i$ d�signe l'image de $\omega_i$ par l'application
$e:\mathcal G^*\rightarrow\mathcal H^2(N)$.
De plus, pour tout $i$ on a 
\begin{eqnarray}
\|\codiff(\pi^*(a_i)\omega_i)\|^2&=&
(\codiff(\pi^*(a_i)\omega_i),\codiff(\pi^*(a_i)\omega_i))\nonumber\\
&=&(\pi^*(a_i)\omega_i,\de\codiff(\pi^*(a_i)\omega_i)),
\end{eqnarray}
o� $(\cdot,\cdot)$ d�signe le produit scalaire $L^2$.
Comme $\pi^*(a_i)\omega_i$ est une forme $T^k$-invariante, 
$\codiff(\pi^*(a_i)\omega_i)$ est une fonction invariante, c'est-�-dire 
que c'est le relev� d'une fonction sur $N$. Par cons�quent, 
$\de\codiff(\pi^*(a_i)\omega_i)$ est le relev� d'une $1$-forme
sur $N$, et est donc orthogonale � $\pi^*(a_i)\omega_i$. Finalement, on a:
\begin{equation}\label{inj:deltaphi}
\codiff\varphi=\pi^*(\codiff\alpha).
\end{equation}

Si $\varphi$ est harmonique, on a $\de\varphi=0$ et $\codiff\varphi=0$, donc 
\begin{equation}
\codiff\alpha=0,\ \de a_i=0\text{ pour tout $i$, et } 
\de\alpha+\sum_{i=1}^k a_i\cdot e_i=0.
\end{equation}
Comme les fonctions $a_i$ sont constantes, $\sum_{i=1}^k a_i\cdot e_i$ est
une $2$-forme harmonique de $N$, donc orthogonale � la forme exacte 
$\de\alpha$. On a donc $\Delta\alpha=0$ et $\sum_{i=1}^k a_i\cdot e_i=0$.
Comme $e$ est injective, les $e_i$ forment une famille libre, et donc
$a_i=0$ pour tout $i$. On obtient finalement que les $1$-formes harmoniques
de $M$ sont les relev�s des $1$-formes harmoniques de $N$.

Pour majorer la premi�re valeur propre non nulle du laplacien, il
suffit de calculer le quotient de Rayleigh pour la m�trique $g_\varepsilon$
d'une $1$-forme orthogonale aux formes harmoniques. En notant $(\omega_i)$
les $1$-formes verticales induites par la base duale de 
$\mathcal B_\varepsilon$, on choisit comme forme 
test $\varepsilon^{-1}\omega_1$.  On vient de voir que la codiff�rentielle 
d'une telle forme est nulle, donc on peut �crire
\begin{equation}
R(\varepsilon^{-1}\omega_1)=\frac{\|\de(\varepsilon^{-1}\omega_1)\|^2
_{g_\varepsilon}}{\|\varepsilon^{-1}\omega_1\|^2_{g_\varepsilon}}.
\end{equation}
La forme $\varepsilon^{-1}\omega_1$ est ind�pendante de $\varepsilon$,
donc $\de(\varepsilon^{-1}\omega_1)$ aussi, et comme de plus elle est 
horizontale donc sa norme ne d�pend pas de $\varepsilon$. Par ailleurs,
 $\|\varepsilon^{-1}\omega_1\|^2_{g_\varepsilon}=\varepsilon^{-1}
\|\omega_1\|^2_{g_\varepsilon}=\varepsilon^{-2}$. Comme 
$\lambda_{1,1}(M,g_\varepsilon)\leq R(\varepsilon^{-1}\omega_1)$, on en 
d�duit que $\lambda_{1,1}(M,g_\varepsilon)\leq C'\cdot\varepsilon^2$, o�
$C'$ est une constante d�pendant des choix de $N$, $k$ et $e$.

 Le cas $p=2$ se d�duit du premier par la th�orie de Hodge, en remarquant
que dans le cas $p=1$ on a trouv� une petite valeur propre du laplacien
retreint aux formes coferm�es.
\hfill\carrenoir\\

\begin{fait}
Si $b_1(N)>b_2(M)$, alors il existe une constante $C''(N,k,e)>0$ telle que 
pour tout $\varepsilon$, on a $\lambda_{p,b_1(N)-b_2(M)}(M,g_\varepsilon)
\leq C''\cdot\varepsilon^2$ pour $p=2$ et $3$.
\end{fait}

\textbf{D�monstration:}
On va se restreindre une nouvelle fois aux formes coferm�es pour
montrer le r�sultat pour $p=2$ et ensuite en d�duire le cas $p=3$.

Contrairement au cas des $1$-formes, on a pas en g�n�ral de moyen simple
de d�terminer quelles sont les $2$-formes harmoniques (on rencontre
la m�me difficult� dans l'�tude du spectre des fibr�s en cercles, voir
\cite{cc2}). On va majorer
le quotient de Rayleigh sur un espace test de dimension 
$b_1(N)$, et la condition $b_1(N)>b_2(M)$ assurera qu'on a bien major�
une ou plusieurs valeur propres non nulles.

 En notant toujours $(\omega_i)$ les $1$-formes verticales induites 
par la base duale de $\mathcal B_\varepsilon$ on consid�re une forme 
diff�rentielle $\varphi=\omega_1\wedge\pi^*(\alpha)$, o� $\alpha$ est une 
$1$-forme harmonique de $N$. Son quotient de Rayleigh est
\begin{equation}
R(\varphi)=\frac{\|\de(\omega_1\wedge\pi^*(\alpha))\|^2
_{g_\varepsilon}+\|\codiff(\omega_1\wedge\pi^*(\alpha))\|^2_{g_\varepsilon}}
{\|\omega_1\wedge\pi^*(\alpha)\|^2_{g_\varepsilon}}
\end{equation}
La forme $\varphi$ est coferm�e. En effet, si on calcule la diff�rentielle
de sa forme duale, on obtient :
\begin{eqnarray}
\de *(\omega_1\wedge\pi^*(\alpha))&=&\de((\bigwedge_{i\neq1}\omega_i
)\wedge\pi^*(*\alpha))\nonumber\\
&=&\sum_{i\neq1}(-1)^i\bigwedge_{j\neq1,i}\omega_j\wedge\pi^*(e(\omega_i))
\wedge\pi^*(*\alpha)
\end{eqnarray}
Comme $\pi^*(e(\omega_i))\wedge\pi^*(*\alpha)=\pi^*(e(\omega_i)\wedge*\alpha)$
et que $e(\omega_i)\wedge*\alpha$ est de degr� sup�rieur � la dimension de $N$,
on en d�duit que tous les termes de la somme sont nuls.
On est ramen� � :
\begin{equation}
R(\varphi)=\frac{\|\de(\omega_1\wedge\pi^*(\alpha))\|^2
_{g_\varepsilon}}{\|\omega_1\wedge\pi^*(\alpha)\|^2_{g_\varepsilon}}.
\end{equation}
On a d'une part $|\omega_1\wedge\pi^*(\alpha)|^2_{g_\varepsilon}
=|\omega_1|^2_{g_\varepsilon}|\pi^*(\alpha)|^2_{g_\varepsilon}=
|\alpha|^2$ et donc
\begin{equation}
\|\omega_1\wedge\pi^*(\alpha)\|^2_{g_\varepsilon}=\|\alpha\|^2,
\end{equation}
et d'autre part 
\begin{equation}
\|\de(\omega_1\wedge\pi^*(\alpha))\|^2_{g_\varepsilon}=
\|\de\omega_1\wedge\pi^*(\alpha)\|^2_{g_\varepsilon}
\leq\|\de\omega_1\|^2_{g_\varepsilon}\|\alpha\|^2.
\end{equation}
On voit finalement que $R(\varphi)\leq R(\omega_1)$ quel que soit $\alpha$.
La majoration de $R(\omega_1)$ obtenue pr�c�demment permet de conclure.
\hfill\carrenoir\\

On va maintenant donner des exemples de fibr�s pour lesquels la condition
$b_1(N)>b_2(M)$ est bien v�rifi�e.

\begin{exemple}\label{inj:ex}
On consid�re pour tout entier $k$ la vari�t� $M=(S^3)^k\times S^1$.
la fibration de Hopf $S^1\hookrightarrow S^3\rightarrow S^2$ induit une 
action libre de $T^k=(S^1)^k$ sur $(S^3)^k$, et permet donc de d�finir
une fibration principale $T^k\hookrightarrow M\rightarrow N$, o� 
$N=(S^2)^k\times S^1$. La classe d'Euler $e$ de ce fibr� est bien injective :
l'image de $e$ est engendr�e par les relev�s � $M$ de chacune des classes
d'Euler correspondant aux fibrations de Hopf qui sont bien lin�airement
ind�pendants. Enfin, la formule de K�nneth permet de calculer ais�ment
les nombres de Betti des produits $M$ et $N$, on obtient en particulier
$b_1(N)=1$ et $b_2(M)=0$.
\end{exemple}

\begin{remarque}
Dans l'exemple pr�c�dent, les m�triques sur $M$ et $N$ ne sont 
\emph{a priori} pas des m�triques produits. On ne peut donc pas d�duire
directement les propri�t�s du spectre de la formule de K�nneth.
\end{remarque} 

Il reste enfin � d�montrer que corollaire \ref{intro:cor}.\\
\textbf{D�monstration:}

 Cas $n=5$ : On consid�re une vari�t� compacte $N$ de dimension 3 telle 
que $b_2(N)\geq2$ et on choisit pour $M$ un fibr� principal en tore
$T^2$ sur $N$ dont la classe d'Euler est injective. Les r�sultats
pr�c�dents assure l'existence d'un effondrement tel que 
$\lambda_{p,1}(M)\leq C\cdot\injrad(M)^4$ pour $p$ �gal � 1 et 2. Par dualit�
de Hodge, on a la m�me in�galit� pour $n-1$ et $n-2$, donc pour tout $p$
entre 1 et $n-1$.

Cas $n=7$ : On peut v�rifier que le fibr� construit dans l'exemple
\ref{inj:ex} pour $k=2$ convient. On sait d�j� que 
$\lambda_{p,1}(M)\leq C\cdot\injrad(M)^4$ pour $p=1$, 2 et 3, et la dualit� 
de Hodge donne l'in�galit� pour $p=4$, 5 et 6.
\hfill\carrenoir\\



\section{Minoration du spectre des fibr�s principaux en tore}
\label{adap}
\subsection{Minoration de la premi�re valeur propre des $1$-formes}
 Les r�sultats des sections \ref{topo} � \ref{inv} nous permettent 
de d�montrer le th�or�me \ref{intro:th4}. On a vu qu'on pouvait
se ramener au cas d'un fibr� muni d'une m�trique adapt�e. On va donc
montrer le r�sultat du th�or�me \ref{intro:th4} pour un fibr� v�rifiant
les conclusions du th�or�me \ref{geom:th}:
\begin{theo}\label{adap:th}
Soit $a>0$, $d>0$ deux r�els, $n$, $k$ et $m$ trois entiers
tels que $n=k+m$, et $(N^m,h)$ une vari�t� riemannienne. 
Il existe des constantes 
$c(n,a,d,(N,h))$%, $c'(n,a,d,(N,h))$ 
et $\varepsilon(n,a,d,(N,h))$ strictement
positives telles que si $\bar g$ est une m�trique sur le tore 
$T^k$  telle que $\diam(T^k)<\varepsilon$ et si 
$T^k\hookrightarrow M^n\rightarrow N$ est un fibr� principal
muni d'un couple de m�triques $(g,h)$ adapt� au fibr� et tel que 
$g=\bar g$ en restriction � la fibre, 
$\diam(M,g)<d$ et $|K_M(X,Y)|\leq a$ pour toute
paire $(X,Y)$ de vecteurs horizontaux orthonorm�s, alors on a
$$\lambda_{1,1}(M,g)\geq c\cdot \Vol^2(T^k).$$
\end{theo}
On s'est ici donn� comme hypoth�se que la m�trique sur $N$ est fix�e.
En effet, une hypoth�se sur la courbure ne nous sera pas suffisante.
On verra au paragraphe suivant dans quelle mesure on peut esp�rer
obtenir le m�me r�sultat avec des hypoth�ses plus faibles. Par ailleurs
la minoration du spectre en fonction du rayon d'injectivit� 
d�coule du fait que le rayon d'injectivit� de $M$ est �gal � celui de 
la fibre si $\varepsilon$ est suffisamment petit (la fibre �tant
totalement g�od�sique) et que, la restriction de la m�trique 
� la fibre �tant plate, on a $\Vol(T^k)\geq C\injrad(T^k)$ o�
$C$ ne d�pend que de $k$.


\textbf{D�monstration du th�or�me \ref{adap:th}:}

Dans un premier temps, nous allons d�montrer le th�or�me dans
le cas o� le fibr� $M$ ne contient pas de sous-fibr� trivial,
c'est-�-dire quand  l'application $e:\mathcal G^*\rightarrow\mathcal H^2
(N,h)$ est injective. Nous g�n�raliserons ensuite le r�sultat 
� un fibr� principal quelconque. D'autre part, on se restreindra 
aux formes $T^k$-invariantes, en vertu des r�sultats du chapitre 
\ref{inv} (corollaire \ref{inv:th2}). En effet, le spectre des formes 
orthogonales aux formes invariantes sera minor� en fonction de 
la constante $\varepsilon$ du th�or�me, et on pourra toujours
choisir cette constante suffisamment petite de sorte que le
spectre des formes orthogonales aux formes invariantes soit
plus grand que le terme $c\cdot \Vol^2(T^k)$.

 Supposons donc $e$ injective. La d�monstration se d�roule en
deux �tapes. D'abord, on se ram�ne � l'�tude des valeurs
propres de l'op�rateur $e^*e$, l'adjoint �tant d�fini en munissant
$\mathcal H^2(N)$ de sa norme $L^2$  :

\begin{fait}\label{adap:ft1}
Il existe $\varepsilon(n,a,\lambda_{0,1}(N,h),\lambda_{1,1}(N,h))>0$ et 
$c(n,a,\lambda_{0,1}(N,h))>0$ tel que
pour toute $1$-forme $\varphi$ sur $M$ $T^k$-invariante et
orthogonale � $\Ker\Delta^1(M,g)$,
si le quotient de  Rayleigh de $\varphi$ v�rifie 
$R(\varphi)<\varepsilon$, alors il existe une forme $\omega$
induite par un �l�ment de $\mathcal G^*$ telle que 
$\|e(\omega)\|^2\leq c\cdot\varepsilon\|\omega\|^2$.
%$\|e^*e(\omega)\|\leq c\cdot R(\omega)$.
\end{fait}

\textbf{D�monstration :}
Soit $\varphi$ une $1$-forme diff�rentielle $T^k$-invariante 
de $M$. On peut comme dans la section pr�c�dente �crire $\varphi$ sous
la forme
\begin{equation}\label{adap:phi}
\varphi=\pi^*(\alpha)+\sum_{i=1}^k \pi^*(a_i)\cdot\omega_i,
\end{equation}
o� $\alpha$ est une $1$-forme de $N$, $a_i$ des fonctions de $N$ et
$\omega_i$ les $1$-formes verticales induites par une base
orthonorm�e de $\mathcal G^*$. On a alors~:
\begin{equation}\label{adap:dphi}
\de\varphi=\pi^*(\de\alpha+\sum_{i=1}^k a_i\cdot e_i)+
\sum_{i=1}^k\de \pi^*(a_i)\wedge\omega_i,
\end{equation}
o� $e_i$ d�signe l'image de $\omega_i$ par l'application
$e:\mathcal G^*\rightarrow\mathcal H^2(N)$. On a vu de plus dans la
d�monstration du fait \ref{inj:fait} que $\varphi$ v�rifie
\begin{equation}\label{adap:deltaphi}
\delta\varphi=\pi^*(\delta\alpha),
\end{equation}
et que le fait que $e$ soit injectif implique que les $1$-formes harmoniques
de $M$ sont exactement les relev�s des $1$-formes harmoniques de $N$.

Supposons que $\varphi$ est de norme $1$, c'est-�-dire que 
$\|\alpha\|^2+\sum_{i=1}^k\|a_i\|^2=1$, et qu'elle est orthogonale aux 
formes harmoniques de $M$. Le quotient de 
Rayleigh de $\varphi$ s'�crit alors
\begin{equation}\label{adap:eq1}
R(\varphi)=\|\codiff\alpha\|^2+\|\de\alpha+\sum_{i=1}^k a_i\cdot e_i\|^2
+\sum_{i=1}^k\|\de \pi^*(a_i)\|^2.
\end{equation}
 Supposons que $R(\varphi)<\varepsilon$ pour un $\varepsilon>0$ donn�.
On a en particulier $\|\de\alpha+\sum_{i=1}^k a_i\cdot e_i\|^2<\varepsilon$.
Pour tout $i$, notons $\bar a_i$ la valeur moyenne de la fonction $a_i$.
On peut alors �crire
\begin{equation}
\|\de\alpha+\sum_{i=1}^k\bar a_i\cdot e_i
+\sum_{i=1}^k(a_i-\bar a_i)\cdot e_i\|^2<\varepsilon.
\end{equation}
L'in�galit� triangulaire nous donne alors :
\begin{equation}
\|\de\alpha+\sum_{i=1}^k\bar a_i\cdot e_i\|<
\|\sum_{i=1}^k(a_i-\bar a_i)\cdot e_i\|+\sqrt\varepsilon.
\end{equation}
Comme les fonctions $(a_i-\bar a_i)$ sont de moyennes nulles, leur quotient
de Rayleigh est sup�rieur � $\lambda_{0,1}(N,h)$, et donc 
$\|a_i-\bar a_i\|^2\leq\frac{\|\de a_i\|^2}{\lambda_{0,1}(N,h)}\leq
\frac\varepsilon{\lambda_{0,1}(N,h)}$.
Par ailleurs, la forme exacte $\de\alpha$ est orthogonale � la
forme harmonique $\sum_{i=1}^k\bar a_i\cdot e_i$. On a donc finalement
\begin{eqnarray}\label{adap:eq2}
\|\sum_{i=1}^k\bar a_i\cdot e_i\|^2 & \leq & 
\|\de\alpha+\sum_{i=1}^k\bar a_i\cdot e_i\|^2\nonumber\\
&\leq&(\|\sum_{i=1}^k(a_i-\bar a_i)\cdot e_i\|+\sqrt\varepsilon)^2\nonumber\\
&\leq&(\sum_{i=1}^k(\|a_i-\bar a_i\|\cdot\|e_i\|_\infty)
+\sqrt\varepsilon)^2\nonumber\\
& \leq & \varepsilon\left(1+
\frac{\sum_{i=1}^k\|e_i\|_\infty}{\sqrt{\lambda_{0,1}(N,h)}}\right)^2.
\end{eqnarray}
Le lemme \ref{geom:oneill} permet d'obtenir une majoration de 
$\|\sum_{i=1}^k\bar a_i\cdot e_i\|^2$ en fonction de $n$, $\lambda_{0,1}(N,h)$
et d'une borne sur la courbure de $(M,g)$.

Pour tout $i$, la fonction $a_i-\bar a_i$ est orthogonale � $\bar a_i$,
donc 
\begin{equation}\label{adap:eq3}
\|\alpha\|^2+\sum_{i=1}^k(\|\bar a_i\|^2+\|a_i-\bar a_i\|^2)=1.
\end{equation}
D'une part, on a d�j� vu que chaque terme $\|a_i-\bar a_i\|^2$ est 
major� par $\frac\varepsilon{\lambda_{0,1}(N,h)}$. D'autre part, comme
$\varphi$ est orthogonale aux relev�s des formes harmoniques de $(N,h)$, 
$\alpha$ est elle-m�me orthogonale aux formes harmoniques de $N$. On
peut donc �crire
\begin{equation}
\|\alpha\|^2\leq\frac1{\lambda_{1,1}(N,h)}(\|\de\alpha\|^2+\|\codiff\alpha\|^2).
\end{equation}
Le terme $\|\codiff\alpha\|^2$ est major� par $R(\varphi)$, donc par 
$\varepsilon$, et $\|\de\alpha\|^2$ est major� en fonction de $a$, $n$ et
$\lambda_{0,1}(N,h)$ comme dans l'in�galit� \ref{adap:eq2}. Il d�coule
donc de l'�quation (\ref{adap:eq3}) :
\begin{equation}\label{adap:eq4}
\sum_{i=1}^k\|\bar a_i\|^2\geq 
1-\tau(n,a,\lambda_{0,1}(N,h),\lambda_{1,1}(N,h))\varepsilon.
\end{equation}
 
Si on prend pour $\omega$ la $1$-forme $\sum_{i=1}^k\bar a_i\omega_i$,
on a 
\begin{equation}
\frac{\|e(\omega)\|^2}{\|\omega\|^2}=
\frac{\|\sum_{i=1}^k\bar a_i\cdot e_i\|^2}{\sum_{i=1}^k\|\bar a_i\|^2}
\end{equation}
 Selon (\ref{adap:eq4}), le d�nominateur est sup�rieur � $\frac12$ si
$\varepsilon$ est suffisamment petit. La majoration du num�rateur 
fournie par (\ref{adap:eq2}) donne alors le r�sultat souhait�.
\hfill\carrenoir


 On va maintenant minorer le spectre de $e^*e$ en fonction du
volume de la fibre $T^k$.


\begin{fait}\label{adap:ft2}
Il existe une constante $c(n,a,(N,h))>0$ telle que
la premi�re valeur propre de $e^*e$ soit minor�e par 
$c\cdot\Vol(T^k)^2$.
\end{fait}

\textbf{D�monstration :}
 Soient $\lambda_1,\cdots,\lambda_k$ les valeurs propres de $e^*e$
class�es dans l'ordre croissant. Comme $e$ est injective, ces
valeurs propres sont non nulles et la premi\`ere v�rifie
\begin{equation}
\lambda_1=\frac{\prod_i\lambda_i}{\prod_{i\neq1}\lambda_i}
=\frac{\Det(e^*e)}{\prod_{i\neq1}\lambda_i}.
\end{equation}
Par ailleurs, les valeurs propres de $e^*e$ v\'erifient
$\lambda_i\leq\|e^*e\|$, donc
\begin{equation}
\lambda_1\geq\frac{\Det(e^*e)}{\|e^*e\|^{k-1}}\geq\frac{\Det(e^*e)}
{\|e\|^{2k-2}}.
\end{equation}

L'image de $e$ est un sous-espace de $\Ker \Delta^2(N)$ de
dimension $k$, engendr� par un sous-r�seau du r�seau des
formes harmoniques enti�res de $N$. Si on restreint $e$ et
$e^*$ � ce sous-espace, on peut �crire 
$\Det(e^*e)=(\Det e)^2$, o� $\Det e$ est le d�terminant d'une
matrice de $e$ �crite dans des bases orthonorm�es de 
$\mathcal G^*$ et $\Ima e$, ce qui donne 
\begin{equation}
\lambda_1\geq\frac{(\Det e)^2}{\|e\|^{2k-2}}.
\end{equation}

 Le lemme \ref{geom:oneill} donne une majoration de $\|e\|$ en fonction
de $n$ et de la borne $a$ sur la courbure de $M$, il ne reste 
donc qu'\`a minorer $\Det e$. Notons $\Det' e$ le d�terminant de la
matrice de $e$ dans la base canonique de $\mathcal G^*={\R^k}^*$ 
et une base orthonorm�e de $\Ima e$. On a alors
$\Det e=(\Det' e)(\Vol T^k)$. Comme les images dans $\Ker\Delta^2(N)$
des �l�ments de la base canonique de $\mathcal G^*$ sont des formes 
enti�res, le d�terminant $\Det' e$, qui est aussi le volume de 
$e([0,1]^k)$, est un multiple du volume d'un domaine fondamental 
du r�seau des formes enti�res dans $\Ima e$. Comme par ailleurs
$\Det' e$ est non nul, il sera donc minor� par le volume
de ce domaine fondamental. Si on note $\rho$ le minimum des normes
des $2$-formes harmoniques enti�res non nulles, ce volume 
est minor� par le volume d'une boule de rayon $\frac\rho2$ dans 
$\Ima e$, et donc minor� par une constante ne d�pendant que de 
$n$ et de la m�trique $h$ de $N$. On peut donc bien �crire
$$\lambda_1\geq c(n,a,(N,h))\cdot\Vol(T^k)^2.$$

\hfill\carrenoir

 Nous allons maintenant supposer que $e$ n'est pas injective. Notons
$l$ la dimension de son noyau. Le premier nombre de Betti de $M$ est
alors $b_1(N)+l$. En effet, on a vu que si une $1$-forme $\varphi=
\pi^*(\alpha)+\sum_{i=1}^k \pi^*(a_i)\cdot\omega_i$ est harmonique, cela
signifie, d'apr�s (\ref{adap:dphi}) et (\ref{adap:deltaphi}) :
\begin{equation}
\Delta\alpha=0,\de a_i=0\text{ pour tout $i$, et }\sum_{i=1}^k a_i\cdot e_i=0.
\end{equation}
 Comme les fonctions $a_i$ sont constantes. L'ensemble des $a_i$ tels
que
$\sum_{i=1}^k a_i\cdot e_i=0$ est exactement le noyau de $e$.
L'espace des formes harmoniques de $M$ est donc l'espace
engendr� par les relev�s des formes harmoniques de $N$ et les
formes verticales induites par les �l�ments de noyau de $e$.

 On peut reprendre la d�monstration pr�c�dente en prenant pour
$(\omega_i)_i$ une base de $\mathcal G^*$ telle que $\omega_{k-l+1},
\cdots,\omega_k$ soit une base de $\Ker e$ (le fait que la
forme $\varphi$ est orthogonale aux formes harmoniques se traduit
par le fait que $a_{k-l+1},\cdots,a_k=0$) et en �tudiant $e^*e$
restreint � l'orthogonal de $\Ker e$. On obtient de la m�me fa�on
le r�sultat du fait \ref{adap:ft1}, � savoir que la premi�re valeur 
propre du laplacien sur $M$ est minor�e � une constante multiplicative 
pr�s par la premi�re valeur propre de $(e^*e)_{|(\Ker e)^\perp}$.

Pour minorer le spectre de $(e^*e)_{|(\Ker e)^\perp}$, on doit
�tre un peu plus attentif dans la manipulation des bases de 
$\mathcal G^*$.

 Soit $\mathcal B=(\omega_1,\cdots,\omega_k)$ une base orthonorm�e de 
$\mathcal G^*$ et $\mathcal B'=(\omega_1',\cdots,\omega_k')$ une
base du r�seau des entiers de $\mathcal G^*$, telles que 
$(\omega_1,\cdots,\omega_l)$ et $(\omega_1',\cdots,\omega_l')$ soient
des bases de $\Ker e$ (comme l'image du r�seau des entiers de $\mathcal G^*$
est contenue dans un r�seau, le noyau de $e$ est effectivement engendr�
par des �l�ments entiers). La matrice de passage de $\mathcal B$ � 
$\mathcal B'$ est de la forme $$P=\left(\begin{array}{cc}P_1 & P_2\\
0 & P_3\end{array}\right),$$ o� $P_1$ est un bloc carr� de taille $l$.
Si se donne une base orthonorm�e de $\Ima e$, la matrice de $e$ 
s'�crit sous la forme $(0,A)$ dans la base $\mathcal B$ et 
$(0,A')$ dans la base $\mathcal B'$, o� $A$ et $A'$ sont des
blocs carr�s de taille $k-l$ et v�rifient $A'=AP_3$.

Le spectre de $(e^*e)_{|(\Ker e)^\perp}$ est celui de $A^*A$. On peut 
�crire, comme dans la d�monstration du fait \ref{adap:ft2}~:
\begin{equation}
\lambda_1\geq\frac{\Det A^*A}{\|A^*A\|^{k-l-1}}
\geq \frac{(\Det A)^2}{\|A\|^{2(k-l-1)}},
\end{equation}
o� $\lambda_1$ est la premi�re valeur propre non nulle de $e^*e$.
De plus, on a $\Det A'=\Det A\cdot\Det P_2$ et donc
\begin{equation}
\Det A=\frac{\Det A'}{\Det P_3}=\Det A'\frac{\Det P_1}{\Det P}.
\end{equation} 
Le d�terminant de $A'$ est, comme pr�c�demment, minor� par le covolume
du r�seau des formes enti�res dans $\Ima e$, et $\Det P$ 
s'interpr�te g�om�triquement comme l'inverse du volume de $T^k$. 

Il reste � minorer $\Det P_1$. Comme $\Ker e$ est engendr� par des
�l�ments entiers de $\mathcal G^*$, l'orthogonal de $\Ker e$ pour la 
dualit� d�finit un sous-tore $T^{k-l}$ de $T^k$. De plus, le dual de 
de l'alg�bre de Lie $\mathcal G(T^k/T^{k-l})$ du quotient $T^k/T^{k-l}$ 
est isomorphe � $\Ker e$. La matrice $P_1$ est donc la matrice de passage 
d'une base orthonorm�e de $\mathcal G^*(T^k/T^{k-l})$ dans une base du
r�seau des entiers de $\mathcal G^*(T^k/T^{k-l})$, et par cons�quent
$\Det P_1$ est l'inverse du volume de $T^k/T^{k-l}$ pour la m�trique
quotient. Le diam�tre de $T^k/T^{k-l}$ est major� par $\varepsilon$,
comme celui de $T^k$, et par cons�quent son volume aussi.\hfill\carrenoir
\subsection{Petites valeurs propres et norme des $2$-formes harmoniques 
enti�res}
 Nous allons ici discuter de la valeur de la constante $c(n,a,d,(N,h))$
du th�or�me \ref{adap:th}, et en particulier de la mani�re dont elle
d�pend de la m�trique $h$ sur $N$.

 Dans la d�monstration du th�or�me, la g�om�trie de $N$ intervient quatre
fois: on a besoin de contr�ler sa courbure pour appliquer la formule
de O'Neill et majorer les $\|e_i\|$; en \ref{adap:ft1} apparaissent
les valeurs propre $\lambda_{1,1}(N,h)$ et $\lambda_{0,1}(N,h)$; enfin
on fait intervenir en \ref{adap:ft2} le minimum des normes des
2-formes harmoniques non nulles dont la classe de cohomologie est enti�re.

 On peut noter que dans la d�monstration du fait \ref{adap:ft1}, on
a seulement besoin d'une minoration des deux valeurs propres
$\lambda_{1,1}(N,h)$ et $\lambda_{0,1}(N,h)$. L'id�e est en fait
de s'assurer que le spectre de $(N,h)$ n'interf�re pas dans la
recherche des petites valeurs propres de $M$. On sait par ailleurs
que $\lambda_{0,1}(N,h)$ peut �tre minor� en fonction du diam�tre
et de la courbure de $N$, 
et $\lambda_{1,1}(N,h)$ en fonction du diam�tre, de la courbure et
du rayon d'injectivit� de $N$. En outre,
une borne sur la courbure est aussi suffisante pour appliquer la formule
de O'Neill.

La d�monstration du fait \ref{adap:ft2} introduit quand � elle
la constante
\begin{equation}
\rho(N,h)=\inf_{\stackrel{\alpha\in\mathcal H^2(N,h)\backslash\{0\}}
{[\alpha]\in H^2(N,\Z)}}\|\alpha\|_2
\end{equation} 
dans la minoration de la premi�re valeur propre du laplacien.
Il est naturel de se demander si l'on peut contr�ler $\rho(N,h)$
� l'aide des m�mes invariants g�om�triques que $\lambda_{0,1}(N,h)$
et $\lambda_{1,1}(N,h)$:
\begin{question}\label{adap:q1}
Existe-t-il une constante $c(n,a,d,r)>0$ telle que si $(N^n,h)$ est une
vari�t� riemannienne v�rifiant $\diam(N,h)\leq d$ et $|K(N,h)|\leq a$
et $\injrad(N,h)\geq r$, alors $\rho(N,h)\geq c$ ?
\end{question}

Un argument de compacit� permet de montrer qu'avec
l'hypoth�se de rayon d'injectivit� minor�e, on peut r�pondre
affirmativement � la question \ref{adap:q1}.
\begin{pr}
Pour tout r�els $a,d,r>0$ et tout entier $n\in\N^*$, il
existe une constante $c(n,a,d,r)>0$ (non explicite) telle que si 
$(N^n,h)$ est une vari�t� riemannienne v�rifiant $\diam(N,h)\leq d$ 
et $|K(N,h)|\leq a$ et $\injrad(N,h)\geq r$, alors $\rho(N,h)\geq c$.
\end{pr}
\textbf{D�monstration :}
 On consid�re le tore $T=T^{b_2(N)}$, vu comme quotient de 
$\mathcal H^2(N,h)$ par le r�seau des formes harmoniques enti�res.
La m�trique $h$ sur $N$ induit une norme euclidienne sur $\mathcal H^2(N,h)$
qui passe au quotient sur $T$ en une m�trique plate $\bar h$. Minorer
$\rho(N,h)$ revient � minorer le rayon d'injectivit� de $(T,\bar h)$.

On sait (\cite{ach}) que l'espace des m�triques $h$ sur $N$ telles
que $\diam(N,h)\leq d$ et $|K(N,h)|\leq a$ et $\injrad(N,h)\geq r$
est relativement compact pour la topologie $C^\alpha$. 
De plus, la m�trique $\bar h$ d�pend continument de $h$. En effet,
si on se donne un r�el $\varepsilon>0$ et une m�trique $h$ sur $N$,
on aura, pour toute m�trique $h'$ suffisamment proche de $h$ et toute
$2$-forme $\alpha$ harmonique pour la m�trique $h$, 
$\left|\|\alpha\|_2-\|\alpha\|'_2\right|\leq \varepsilon\|\alpha\|_\infty$, 
o� $\|\cdot\|_2$ et $\|\cdot\|'_2$ d�signent les normes pour les m�triques 
$h$ et $h'$ respectivement. Comme � courbure et diam�tre born�s et
rayon d'injectivit� minor�, la norme $L^\infty$ des formes harmoniques 
est contr�l�e par leur norme $L^2$ (cf. \cite{li} th�or�me 7 
et in�galit� (\ref{geom:li})), on peut �crire
$\left|\|\alpha\|_2-\|\alpha\|'_2\right|\leq\tau(n,a,d,r)
\varepsilon\|\alpha\|_2$. Si $\alpha'$ est le repr�sentant harmonique
pour $h'$ de la classe de cohomologie de $\alpha$, on peut donc finalement
trouver un voisinage $\mathcal V$ de $h$ tel que pour toute m�trique
$h'$ dans $\mathcal V$,
\begin{equation}
\|\alpha'\|'_2\leq\|\alpha\|'_2\leq(1+\varepsilon)\|\alpha\|_2.
\end{equation}
Quitte � restreindre le voisinage $\mathcal V$, on a r�ciproquement 
\begin{equation}
\|\alpha\|_2\leq(1+\varepsilon)\|\alpha'\|'_2,
\end{equation}
ce qui implique bien la continuit� de $h\rightarrow \bar h$.
L'ensemble d�crit par $\bar h$ quand $h$ varie est donc relativement 
compact dans l'espace des m�triques plates du tore. Il existe par
cons�quent une m�trique
sur $T$ qui r�alise la borne inf�rieure du rayon d'injectivit� de $T$
quand $h$ varie. En particulier, cette borne inf�rieure est non nulle
\hfill\carrenoir

 On peut se demander si le r�sultat reste vrai avec des hypoth�ses
plus faibles :
\begin{question}\label{adap:q3}
Existe-t-il une constante $c(n,a,d)>0$ telle que si $(N^n,h)$ est une
vari�t� riemannienne v�rifiant $\diam(N,h)\leq d$ et $|K(N,h)|\leq a$
et alors $\rho(N,h)\geq c$ ?
\end{question}
Il faut noter par ailleurs qu'une minoration non explicite ne permet pas 
d'am�liorer les minorations d�j� connues de la premi�re valeur propre 
du spectre. On a besoin d'estimations pr�cises :
\begin{question}\label{adap:q2}
Si $\diam(N,h)\leq d$, $|K(N,h)|\leq a$ et $\injrad(N,h)\geq r$, 
peut-on minorer $\rho(N,h)$ par une constante explicite $c(n,a,d,r)>0$ ?
Plus pr�cis�ment, peut-on trouver une constante $c$ de la forme
$c'(n,a,d)\cdot\Vol(N,h)^{\alpha(n)}$ ou 
$c'(n,a,d)\cdot\injrad(N,h)^{\alpha(n)}$ ?
\end{question}
 On peut remarquer qu'expliciter le r�le du volume de $N$ dans cette
minoration permet d'obtenir dans le th�or�me \ref{adap:th} une minoration
de $\lambda_{1,1}(M,g)$ en fonction du volume de $(M,g)$.



\begin{thebibliography}{GHL87}
\makeatletter
\ifx\fonteauteurs\@undefined
\def\fonteauteurs{\scshape}\fi
\makeatother

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\noindent Pierre \textsc{Jammes}\\
Universit� d'Avignon\\
Laboratoire de math�matiques\\
33 rue Louis Pasteur\\
F-84000 Avignon\\
\texttt{Pierre.Jammes@univ-avignon.fr}
\end{document}


math0404536.extracted_bib
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\ifx\fonteauteurs\@undefined
\def\fonteauteurs{\scshape}\fi
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