� ����������� ������ �����
�. �. ����� \thanks{ ������ �������� � ������ ��������� ��� "�������������� � ������������� ������ �������������� �����������".}
CoeffPEANO.TEX
%&biglatex
\documentclass[a4paper]{article}
\input{INF.STY}
\theoremstyle{plain}
%\numberwithin{lem}{section} \numberwithin{tr}{section}
\begin{document}
 \author{ �. �. �����
 \thanks{ ������ �������� � ������ ��������� ���
 "�������������� � ������������� ������ �������������� �����������".}}

 \title{� ����������� ������ �����}
\date{\it ������������ ������ ������� ������������ ������}
%\keywords ������ �����, ���������-�������� ���������, ��������� �����, ����������� ������

\maketitle

\paragraph{��������.}
��� \emph{������ �����} ��������������� ����� �����������
����������� ��������� ������� �� ������� �������.  � \cite{TULA87}
���������� ���������������� ���������� ������ ����� ��� ����������
��������� ���������� � ����������-������� �������.\footnote{ �
���������� ������, �������, ���� ���� �� � ����������� ������
�����, � � ����� �� �� ���������� �����������.} � ����������
����������� ������ �������������, �� ��������� � ������� ��������
����������, ��� ������ ��������� � ������� ������������
�����������. ��������� �����  ������������ ����� ������ ---
���������� ���������� ����� �� ������ ��������. ����� ����������
����� �� ������ ������� � ����������� ��� �� ������� �������� ���
�����. ������� ��������� ������������ ����� �������� ������ ---
����������� ��������� (�.�. ���������� �� ��������� ����� �����
--- ��������) ������� �� �������� ������������� --- �����
����������. ������ ���������� ���� ��� ��������������� ���������
�������� �������. ���� ������ ��������� � ��������� ��������
�������, �� �� ������ ��������� ����������� �� ��������� �����
���������, �� ���� � ��� ������� ������, ������� ����������� ���
�������� �� ���� ��������� ��������. ������� ������ (����������
�������� ������ � ��� ������������) ������������ ���������
���������� ��������� ������ � ������� ���� �� ������� ������. ���
����� ��������� ��� ��� ����������, ��� � ��� ����������
���������, ��������� � �� � ������ �� ���������� ����� (�����
����� ����� �������) �������� ������ ����� �������� (����������
���� �������� ������). �� ����� ������ ����� �����������
�����������. ���� ��� ���������� ��������� ������ ������������
����� ����� ����� ���� �����, �� � ������ ���������� ��������� ���
������������� � ����� ����� ������ ��������� �������.  �����
��������� ��������� ������������ ������� ������ ���, ������� �
���������� ������� ����������� ������. ����������� ������ �����
���� ���������������� ���������� �������� �� �������� � ��
�������.  ���� ������ ����� �������� ������� � ����������
��������� (� ������ ��� ����������� ������ �����), �� �����������
������������ ����� ������ $p(t)$ ��������������� ����������
\emph{���������-��������� ���������}
$\frac{|p(t)-p(t')|^2}{|t-t'|}$. ��������, ������������ ������
�����-���������, ��� ������� �.������ \cite{B}, ����� ������������
���������-�������� ��������� ������ �����. �������� ��������
��������� ������.
\begin{prob}������ ���������� ����� $\kappa$, ��� ��������
���������� ����������� ����������� ���������� ������� �� ���������
������� � ������������ ���������-�������� ���������� ������
$\kappa$?
\end{prob}
�� ������� ������ �������� ������������ ��������� �����������
���������� ������� � ��������� �������, ������� ��������
���������-��\-���\-��� ���������. ������� ����� $\kappa$
����������. ��� ����� �������� \emph{���������� �����}.  ��
����������� ������ \cite{9} ��������, ��� $\kappa\le 5\frac23$. �
��������� ������ ��������, ��� $\kappa\ge 3\frac12$. � ��������
����������� ��������� ������ �������� �������������� ���� �����,
��� ��� �������� ������ ����������� ���������� ������ ������������
���������-�������� ��������� �� ����� ���� ����� ����.


%
%���� ��� ����������� ������ ������������ �������� ��������������
%������ ����, �� ���������� ������ ����������� ���������������
%��������. � ������, ���������� ������ $p\:[0,a]\to R^2$ �� �����
%�������� \emph{����������������� ��������}, ���� ��� ������
%$t\in[0,a]$ ������� ������ ��������� $p([0,t])$ ����� ����� �����
%���������.

\paragraph{������ ������ ��������� �����.}

��� \emph{������}, �� ����� ���� �������� ����������� �����������
� ��������� ��������� ���������, ������� �� �����
����������������, ���  ��������� � �������� �������� �����
���������� \emph{���������} �������.
%%\emph{���������-��������
%%����������} ������ $f$ ��� �������� $x,y$ ���������� ���������
%%��������:
%%\begin{equation}\label{sq-rat}
%%    \frac{|f(x)-f(y)|^2}{|x-y|}
%%\end{equation}
%%������� ����� ���������-�������� ��������� ������ $f$ ��� ���
%%��������, ������������� ���������� ��������� �������, ����������
%%\emph{���������-�����\-��� ����������} ������ $f$ �� ����
%%���������.
% ������ ����� �������� ���������-�������� ���������
%� ��� � ������ ��� ������, ����� ��� �������� \emph{�������������}
%������������ � ����������� $1/2$.

 \emph{���������} ���������� ������
����������  ������,  ������������ ��������� ������� �� ���������
�������.

\begin{tr} ���������-�������� ��������� ��������� ���������� ������,
�� ����� ���� ������ ��� $3.5$
\end{tr}
\begin{proof}
��������� ����� $A,B,C,D$ ������� ��������, � ����� $a,b,c,d$
������� �������, � ������� �� �������� ������. �����������, ���
$a<b<c<d$. ������, �� ������, �������, ��� ���� ������ $A,B$,
$B,C$, $C,D$ �������� ��������� ��������� ��������. �������������,
���� ���������-�������� ��������� �� ����������� $3.5$, ��
���������� ����� ����������� �������� ������ �� ����� ���� ������
��� $2/7$, � ����� ����������� ��������������� ������ �� �����
���� ������ ��� $4/7$. ������� ����� ����
$|b-a|+|c-b|+|d-c|=|d-a|\le1$ ����� ���� ������ �������, ������
���� ��� ���������  ������ ��� $4/7$. ����� �������, ��� ��������
������� $AD$ �� ���������� ������� $[b,c]$, ����� ����� �����
������� ���� �� ������ ��� $4/7$. ��������� ��������� ������
������� $AD$ ����� �� ������ ������� ������� $[b,c]$, ���������
�������� ����� ������� $AD$, �� ���������� $x$ �� $A$, � �����
����������� ������� ������� �����, ������� �� ������ ������� ��
$[b,c]$. �����, ���� ���������-�������� ��������� �� �����������
$3.5$, �� ������� ��� ����������� �� $x$.
\begin{gather}\label{2in}
(1+x^2)\le 3.5 b\\1+(1-x)^2\le 3.5(1-c).
\end{gather}
 ��������� ���
�����������, �������� $2+x^2+(1-x)^2\le 3.5-3.5(c-b)$. ���������
����� ����� ����� ����������� ��������� ����������� ��������
������� $2.5$ ��� $x=1/2$, � ������ ����� ����� �� ����� ����
������ $2.5$, ��� $c-b\ge2/7$, ��������� ��������� �����������
����� ���� ������������ ������ ��� $x=1/2$ � $c-b=2/7$. ����� ��
������� ����������� \eqref{2in} ������� $b\ge 5/14$, � �� �������
--- $c\le 9/14$. ������  $c-b\le 2/7$, � ������ � ���������-�������� ���������
 �����������, ������������ $b,c\to B,C$, �� ������ ���
$3.5$.
\end{proof}

\paragraph{������������ � �������� ������.}
 \emph{ ����������} �����
������� $f\:[a,b]\to Q_1$ � $g\:[c,d]\to Q_2$ ���������� ����
��������� $h,h'$, ��� $h$ --- ��������� ������, � $h'$
--- ��������� ���������, ����� ��� $h'f=gh$.

% ������������ ������ ���������� \emph{���������������},
%���� $h$ ��������� ���������� ������ � ��� ����������
%\emph{��������� ����������������}, ���� $h'$ ��������� ����������
%���������.

 ��� ������ $f$, $g$ ����������
 \emph{���������} c ������������� ������� $k$, ���� ������
 $\sqrt kf(t/k)$ ����������� ������ $g(t)$. ��������, ���� $k=2$,
 �� $g(t)$ ���������� �� ������� ����� ����� �������, ��� $f(t)$ � ����� �����
 ������� ����� ������� ���  $f(t)$.




\paragraph{����������� �������.} �������,
 ������������ � ������� ����������� ������ $f(t)$,
���������� \emph{����������� ��������}
 ���� ������, ���� �����������
������ �� ���� ������� ������� ���� ������. � ����������
\emph{������} �� ��������� �������� \emph{����������� ������.}


 ������ ����������
\emph{������������}, ���� �� �� ���������� �� � ����� ������
�������. \emph{�������� �������} ���������� ����� ������������
�������� ������� ��������, ������������ � �������. �����������
������ �� �� ������ ���������� \emph{��������}. ��������������
\emph{������������ ��������} ���������� ����������� ������ ��
������������ ������. � ������� ������� ������������ ��� ������� ��
�������.

\begin{lem}
\label{isolat} ������ ��������� ��������� ������������ $S$ �������
$[a,b]$ �������� ��� ����� ������������� ����� ��� � �����
������������� ������.
\end{lem}
\begin{proof}
��� ��� $S$ ��������, �������� ����� $c\in[a,b]$, ����� � ������
�� ������� ������� ����� $S$. ����� $\max \{s\in S\mid s<c\}$
�������� ������ $S$ ������������� ������, � $\min \{s\in S\mid
s>c\}$ --- ������������� �����.
\end{proof}


\begin{lem}
������ �������� ������� �������� ����������. ������ ���������
������������������ �������� �������� � ����.
\end{lem}
\begin{proof}
���������� ��������� ������������� ������� ������ $f$ �����
��������. ��� ��������� ��-������ ��������. �������������, ����
$k_1,k_2,\dots $ ������������������ ������������� ������� �
$T_1\subset T_2\subset\dots T_n\subset$ ��������������� ��
������������������ ��������      ������ $f$. ����� $h_i,h_i'$
������������������ �������, ����������� $f$ � ����������� $f$ ��
$T_i$. �����, ��������, ���� ����� � ����������������������, �����
�������, ��� $h_i$ �������� � $h$, � $h_i'$ �������� � $h'$, �
������� �������� � $T$. � ����� ������ ����������� $f$ �� $T$
������� $f$ ����������� ���� ������� $h,h'$, � �����������
�������, ��������, ����� ������� $k_i$.

���� �� �����������, ��� ������� ����������� ������������
������������������ ��������, �� � ��������� ������������� �������
��� ����� ����� ���������������� �����. � ��������� ��������� �
����� ��������� ������ � ���� ����� \ref{isolat}. � ���� ������
������ �������� ����������� ��������, ��� ��������, ��� ������
����������� ��������� �����������.

����������, ���� ������� ��������� ������������������
������������� �������, �� ���������� � ����, �� ��� ��������
��������� ������������� ������������� ������, ��� ���� ������
��������� ����� ��������� � ���������� ������.
\end{proof}

\begin{corr} ������ ����������� ������ ����� �������� �������.
� ���������, ������ ����������� ������  ���������� � ������������.
\end{corr}

\paragraph{���������� ���������.}
������������������ ������ �������� $I_1,\dots I_k$ ����������
\emph{���������� ���������� �������} $I$, ���� $I=\cup I_k$ �
��������� ������� ������������������  ����� �����������
������������.

\emph{���������� ����������} �������� $Q=I\times I$ ����������
������������ ������������ $\{I_i\times I_j\}_{i,j\le k}$, ���
$I_1,\dots I_k$ �������� ���������� ���������� ������� $I$.

\begin{lem}\label{regpart}
����  ������� $Q$ ����������� � ���� ����������� ������ ���������
$\{Q_i\}_{i\le n}$, ��������� ������� ������� ����� ������� $Q$,
�� $\{Q_i\}_{i\le n}$ �������� ���������� ���������� $Q$.
\end{lem}
\begin{proof}
��������������� ��������.
\end{proof}

\paragraph{����������� ���������� ������.}
������ $f(t)$ ���������� \emph{�����������}, ���� ������ ����� ��
������� �� ����������� ����������� ���������� ������������
�������.

�����������  ������ ���������� \emph{���������� ����������}, ����
�� ����� �������� ��������� � ������������ ������� ��������
���������� ��������� ������� �����������.




\begin{lem}
������ ������������ ������� ���������� ���������� ������ $f\:
[a,b]\to Q$ �������� ���������� ��������� �������� $Q$. �
��������� ���������� ������������ ������� �������� ������
���������.
\end{lem}
\begin{proof}
��� ���������� �������� �� ����� \ref{regpart}.
\end{proof}


  �� ����� ��������, ���
���������� ���������� ������ ����� \emph{����������� ���} $k$,
���� ��� ����� $k$ ������������ ��������.


 ������������ ������
�����-��������� �������� ���������� ���������� ������ ������������
���� $4$. � ������������ ������ �����  ����� ����������� ��� $9$.


\paragraph{���������� ���������-��������� ���������.}
\emph{������} ����������� ������ ���������� ������, ����������
������������ �� ���� �������� ����������� �������� (������
�������).
\begin{lem}\label{styk-finite} ��� ����� ����������
���������� ������ ������� ���� �������� ����� �������
�������������� ������.
\end{lem}
\begin{proof} ��������������� ��������.
\end{proof}
���� $f\:[a,b]\to \C$ �������� ������ ������ ������������ ����
$k$, �� ��������� \emph{���������-�������� ��������� �����} $f$,
��� �������� ���������-��������  ��������� ��� ��� $x,y\in[a,b]$,
����� ��� $|x-y|\ge \frac{ |b-a|}{2k}$.
\begin{lem}\label{styk-max} ���������-�������� ��������� ���������� ����������
������ ����� ��������� �� ���������-�������� ��������� �� ������.
\end{lem}
\begin{proof}
���������� ������������ ���� �������� $t,t'$. ����� $k$ ---
���������� �����, ��� �������� $t,t'$ �� ����������� �����
����������� �������� $n$-�� �������. ����� $t-t'$ ������, ���
����� ������� $n$-�� �������, ������� ���� $t,t'$ �����������
����� $(n-1)$-�� ������� � ��������� � ����������� ���
���������-��������� ���������.
\end{proof}

\begin{tr}\label{finitness} ��� ����� ���������� �����������
���������� ������ ���������-�������� ��������� ���������� ������.
\end{tr}
\begin{proof}
���������� �������� �� ���� \ref{styk-finite} � \ref{styk-max}.
\end{proof}


\paragraph{������������ � ������������� ������.}� ������������
 � ���������� ���� �������� \ref{begin-end} ���������� ����������
������ ������� �� ��� ����: \emph{������������}, � ������� ������
� ����� ����� �� ��������� �������� � \emph{�������������}, �
������� ������ � ����� ����� �� ����� �������.

\begin{lem}
���� $k>2$, �� ���������� �������������� ��� ��������
$\{Q_i\}_{i\le k^2}$ ����������� ��������� �������� $Q$ ���, �����
�������� $Q_i$ � $Q_{i+1}$ ��� $i=1,2,\dots,k^2-1$ ������������ ��
�������, � �������� $Q_i$ � $Q_{i+2}$ ��� $i=1,2,\dots,k^2-2$
������������ �� �������.
\end{lem}
\begin{proof}
�����������, ��� ����� ��������� ����������. ���������� ��� ��
������� ����������� $Q$, ������ $Q_i$, ��� �������� $k^2-1>i>2$.
����� $Q_{i-2},Q_{i-1},Q_{i+1}, Q_{i+2}$ ������ ����� ��������
����������� � $Q_i$. �� ��� �������� ���������� ���� ������ ���
�������� ����������, ������� ��� ����������.
\end{proof}
\begin{tr}\label{begin-end}
��� ����� ���������� ���������� ������ $f\:[a,b]\to Q$ �� ������
$f(a)$ � ����� $f(b)$ �������� ���������� ��������� �������� $Q$.
\end{tr}

\begin{proof}
�����������, ��� ������ ������  $p(a)$ �� �������� ��������
�������� $Q$. ����� $\{Q_i\}_{i=1}^{k^2}$ �������� ����������
���������� �� ������ ������������ ������� ������ $p(t)$,
�������������� � ������� �� ����������� ������.  �������
$b_1=a+(b-a)/k^2$. ����� $p(b_1)$ ����������� ����������� $Q_1\cap
Q_2$ � �� ��������� � ��������� $Q_i$, ������ ��� $b_1$ ��������
������� ������ �������. � ������ ������� $b_1$ �������� ������
������ �������, ������� ��������, ��� � $p(b)$ �� ��������
�������� $Q$. ���������� ��������� �������� ������������ $p(a)$ �
$p(b)$ �� �������� $Q$.

1) $p(a)$ � $p(b)$ ����������� ����� � ��� �� �������. ���
���������� ������ ��� � ����� ������ $Q_2$ ������ ���������� $Q_1$
� $Q_3$ �� ����� � ��� �� �������.

2) $p(a)$ � $p(b)$ ����� �� ��������������� �������� $Q$. � ����
������  ������� ������� $\{Q_i\}$ ������������ � ����� � �� �����
���������� �������.

3)  $p(a)$ � $p(b)$ ����� �� �������� �������� ��������. � ����
������ ����������� $Q_i$ � $Q_{i+2}$ ������� � ����� ��������� ��
�����.

\end{proof}




\paragraph{������� �������.}
������ ������� $\tau$ ���������� \emph{������� ������� $k$} ���
���������� ���������� ������ $p(t)$, ���� $p(\tau)$ ��������
�������� ������ ������� $k$-�� �������.

 ��� ������� ������������ �������  ��� ������ � ����� ��������
�������� ���������  � ���� ������� \ref{begin-end}. � ���� �����
\ref{vertex} ������ ����������� ������ ������� $k$, ������ ������
� ����� �������� ����� ��� ������� ������� $k$-�� �������, �������
�� ����� �������� \emph{�����������}, � �� ������ ��������
����������� ��������� ������� �������: ������ � ������ �
������������ � �������� �� ����������� ������.

\begin{lem}
\label{vertex} ���� $f$ --- ����������� ���������� ������, �������
������� �������� ������� $Q$, �� �������� ����� �� ������ ��������
$Q$ ������� ����� �� ����� �����.
\end{lem}
\begin{proof}
��� ����� ������� � ������ $k$ ���������� ������������ �������
$k$-�� �������, ���������� ��� �������. ������� �������� �������
������� ����� �� ����������� ������� $k$-�� �������. ��� ��� ���
����� ��� ����� $k$, �� �������� �����������.
\end{proof}



\paragraph{�������� ������.} ���������� ���������� ������ �� �����
�������� \emph{��������}, ���� ��� ������� ��������� ����������
������ � ����� ���������-�������� ��������� ����� ����. �����
�������� ����� �������� �������������� ��������������� ��������
������.


\begin{lem}
\label{2-diag} ���� ������ $f\:[0,1]\to Q$ ��������, �� ������,
���������� ��  ������� $Q$, ����� �� ����� ������� � ������
(������ �����), � ������ ---  �� ����� ������� � ��������� (������
������).
\end{lem}
\begin{proof}
 ����� $ABCD$
--- ������� (����������) �������� $Q$, ��������� � ������� �� �����������
������ $f$, � $0=a,b,c,d=1$ �������������� ���������� �������
����������� ���� ������ ������ $f$. ��� ��� $f(a)=A$
--- ������, � $f(d)=D$
--- ����� ������. ���� $B=f(b)$ --- ������ ���������� ������� ---
����� �� ����� ������� � $A$, �� $C=f(c)$ �� �������� ������
�����, ��� ������ �� ����� ������� � $D$. �� ���� � ���� ������
���������� ����� �����������. ���� �� $B$ ����� � $A$ �� �����
���������, �� ���������� ������ ���� ����������� $b-a>2/5$. �����
� ���� ������ $C$ ����� �� ����� ��������� � $D$, ������
$d-c>2/5$. �������, ���������� ����� $B$ � $C$ �������, ������
$c-b>1/5$. ��������� ������ ��� ���������� �����������, ��������
$d-a>1$ ������� ������� $d-a=1$.
\end{proof}


\begin{lem}\label{str-cont}
����  ������ $f$ ��������, �� ������ ����� ���� �������� ��������
������ ������� �������� ���������� � ����� ��������.
\end{lem}
\begin{proof}
�����������, ��� ������ ��������� ���� �������� �������� ������
������� ������ $f(t)$ ������������ �� ������� � �������, ��� �
����� ������ $f$ �� �������� ��������.

�������� �� ������ $f$ � �������� ������ $\phi(t)=\sqrt kf(kt)$,
��, �� ����� ���������-��������� ���������, ��� ���������������
������� $k$, ����� ��������, ����� ������ ���� �������� ��������
������ $\phi$ ������������ ����� ��������� �������� $Q_i$ �
$Q_{i+1}$, �������������� �� �������, � ��������������� �� �������
����� ��������� �����.

����� $t_0,t_1,t_2,t_3,t_4,t_5,t_6$ ������� �������
����������������� ����������� ������ ���� ���� ��������� ������
$\phi$. �� ���� $t_0$ --- ������ $i$-�� ������� (������ ���������
� $Q_i$), $t_6$
--- ����� $i+1$-�� (������ ������ �� $Q_{i+1}$), �
$t_3$, ������ �������� �� $Q_i$ � $Q_{i+1}$, �� ���� ����� $i$-��
�������, ����������� � ������� $i+1$-��.

����� ������ $f$ ����� ������������ ���. �����
$|\phi(t_1)-\phi(t_0)|=1$ � $|\phi(t_2)-\phi(t_1)|^2=2$ �, ��� ���
���������-�������� ���������  $\phi$ �� ��������� ����, ��
$t_1-t_0\ge\frac15$ � $t_1-t_0\ge\frac25$. ������ ��������
$t_3-t_2\le\frac25$. ���������� ������������, ��� $t_4-t_3\le
\frac25$. �������� $t_4-t_2\le\frac45$. � ��� ��� $|\phi
(t_4)-\phi(t_2)|=2$, �� ���������-�������� ��������� ������ $\phi$
�� ���� $t_4,t_2$ ������ ���� ����� ����.


���� ������ ������������� � ����� ���������-�������� ���������
$\le 5$, �� $t_1-t_0\ge \frac15$ � $t_6-t_5\ge \frac15$, ������
$t_5-t_1\le \frac 85$. � ��� ��� $|f(t_5)-f(t_1)|^2=8$, ��������,
��� ���������-�������� ��������� ������ $f$ �� ���� $t_1,t_5$
������ ���� ����� ����.
\end{proof}




\paragraph{��������� � ����������.}
 ������
����� �������� \emph{������������}, ���� ���������� ������� ��
������ �� ������� ����������� �������� ������� �����������
���������� ������� �� ������� ����������� �������� ������� ��
����� � �������� \emph{�������������} � ������  ����������������
����������� ����� ����� ������������.

\emph{���������} ������ $f$ �� ������� $t$ �� ������� $t'$
�������� ������ $f(t')-f(t)$. \emph{��������� �������} ��������
�������� �� ������ �� ����� �� �������.
 ����� ��������, ��� ������ ��������� \emph{�������}  �� �����
�������� ������� ����������� �������, ���� �������� ���� �������
��������.

\begin{lem}%[������� �� ��������]
\label{turn} ���� �������� ������������� ������
 ������ �������, �� ������ �� ���������� �������
�������� �����������, � ������
--- ����������.
\end{lem}

\begin{proof}
�������� ������� ������ ���, ����� ������ ���������� �������
������������ ����� ��������� ��������, � ��������������� ��
������� ����� ��������� �����. �����������, ��� ���������-��������
��������� ������������������ ����� ������� ������ $f$ ����� ����.
  �����
$t_0,t_1,t_2,t_3,t_4,t_5,t_6$
--- ������������ ������������������ ������� �������� �����������
���� ���������� �������. ���������� �������������� ����������� ��
��� ������: ������� ����� � ������� ����.

� ������ �������� ����� ����� $f(t_0)=f(t_6)$. ����� �����
\ref{2-diag}   ���� $|f(t_1)-f(t_4)|^2=5$. ������ $t_4-t_1>1$ �
$1>2-(t_4-t_1)=(t_1-t_0)+(t_6-t_4)=(t_1-t_0)+(1-(t_4-t_3))$.
������������� $(t_1-t_0)<(t_4-t_3)$. ����� $t_3-t_2=t_4-t_3$ �
$t_1-t_0=t_6-t_5$ � �� ��������, ��� ������ ���������� �������
�����������, � ������ --- ����������.


 �
������, �������� ��������, � ���� ���� \ref{2-diag} �
\ref{str-cont} ����� $|f(t_4)-f(t_1)|^2=5$. �������
$1<t_4-t_1=(t_4-t_3)+(t_3-t_2)+(t_2-t_1)$. � ������ �������
$t_3-t_1=(t_3-t_2)+(t_2-t_1)+(t_1-t_0)=1$ ������
$t_4-t_3>t_1-t_0$.
\end{proof}
\begin{lem}
\label{turn2} �������� ������������� ������ �� ����� ������ ����
��������� ������.
\end{lem}
\begin{proof}
���� ���������� ������� �� ����� ������ � ������ �������, ��
������ ������� ������ ���� ���������� � ���� ����� \ref{turn}, ��
� ���� ������ � ���� ���� �� ����� ���������� ������� �� �����
������ � ������� �������.
\end{proof}


\begin{lem}
\label{turn+}  ���� �������� ������������� ������ ������ �������
�������, �� �������, �������������� ������ ���������� ����� ��� �
������ ���������� ����� �����������.
\end{lem}
\begin{proof}
����� $t_0,t_1,\dots t_9$ ������� ����������� ������ ����
���������������� �������. ���� �� ����� ������ � ������� �������
��������� ������� �������, �� �� ����� ������ � ������ �������
�������� �� ����, ��� ��� �������� ������ ���������. ������
$|f(t_7)-f(t_1)|^2=1^2+3^2=10$. �������������,
$2<t_7-t_1=(t_7-t_6)+(t_6-t_0)-(t_1-t_0)$. ��������� $t_6-t_0=2$
������ ������� $t_7-t_6>t_1-t_0$. ������ ������ ������� ---
�����������.
\end{proof}

\begin{lem}
\label{1/5} ��� �������� ��������� ������ ���������� �����
��������� �������� ��������� ����� � ��������� �� $1/5$ �� $3/5$.
\end{lem}
\begin{proof}
��������������� ��������.
\end{proof}

\begin{lem}
\label{turn3} �������� ������������� ������ �� ����� ������������
���� ����� ���� ������  ������� � ���������� ���������.
\end{lem}
\begin{proof}
����������� ��������� � ����� $t_0,t_1,\dots t_{12}$
 ������������ ������������ ������������������ ������� �������� ��������������� �������.
 ����� $|f(t_{10})-f(t_1)|^2=1^2+4^2=17$. �������
$t_{10}-t_1\ge 17/5$. � ������ �������
$t_{10}-t_1=(t_{10}-t_9)+(t_9-t_0)-(t_1-t_0)$. ����� $t_9-t_0=3$,
� $t_{10}-t_9<3/5$ � $t_1-t_0>1/5$ � ���� ����� \ref{1/5}. � �����
�������� $t_{10}-t_1<3\frac25$. ������������.
\end{proof}

\begin{lem}
\label{turn4} �������� ������������� ������ �� ����� ���������
����� ����� ������� ������ ������� � ���������� ���������, ����
������ �� ���� ������� ������� ����������.
\end{lem}
\begin{proof}
����� $t_0,t_1,\dots, t_{15}$ �������� ������������������ �������
�������� ��������������� ���� �������. ����� ������� ��������
����������, ��� ��������� ������� (����� \ref{turn}), � ������
������� �������� ���������� �� �������. � ����������
$t_{13}-t_1=4$. � ������ ������� $|f(t_{13}-f(t_1)|^2=4^2+2^2=20$.
������� ���������-�������� ��������� �� ���� $t_{13},t_1$ �����
����.
\end{proof}


\begin{tr}
������ ��������� ���������� ������������� ���������� ������ �����
���������-�������� ��������� $\ge5$.
\end{tr}
\begin{proof}
�����������, ���  $f$ --- �������� ������������� ������. �����
�������, ��� $f$ ����� ����� ������� �������. � ������, ������
���������� ����, ����� �������� ��� ������� �� ������ �����
������������� �� ��� ������ ������������� ����, ������� � ��������
������� �������.

����� ������ �������� �������� �� ������ ������� ����, ��������
���� ������ ����� � ������ ������� �������. ��� ��� ��� �� �����
������ ���� ��������� ������ (����� \ref{turn2}), �� ������ ������
��� ���������� �������� ������. ����� �������� ������� ��� ������
��������� ����, ����� �������, ������� ����� ��� ������� ������
\emph{�������} � �� ������ ���� �������� � ����������, ������ ���
� ��� ����� ����� ������� ������ ������, � ����� ����� ������. ��
�� ����� ������� �������� ���� ��� ����������: ���� ������.
���������� ������ ��� �������� ������, ��� ���������.

���� ������ �������� �������� � ���� ������ �������� ���
���������, �� � ���������� ������� �������� ����������
������������ � ���� ����� \ref{turn3}, � �������� ����� ����� �
�����.

����� ������ ������������� ������ �������� �������� �� ������
������� ���� ����� � ������������ ������ �� ����� ������ � �������
�������. ����� ������ ������� �������� ���������� � ���� �����
\ref{turn}. � ��������� ������� ������ ���������� �������� ������,
����� �������� ���� ��������� ������, � � ����� ���������-�����
������� ������� ������� ���������� � ���� ����� \ref{turn+}, �
������� ����� �������� � �����. ������� �������� ������ �����
���������� � ����� ������� ������ ������ ������. ���� � ������
������� ����������� �������� ������, �� � ���������� �������
�������� ���������� � ���� ���� \ref{turn3} � \ref{turn4}.
�������������, � ������ ������� ������ ���� ������ ������� �����
(������� ���� ���������� � ���� ����� \ref{turn3}). ����� ��������
� ������ ������� � ������� ����������� �������� �����, �������
�������� � �����.
\end{proof}
%\paragraph{������������ ������.}
\begin{lem}\label{3frac}
������ ��� � ��������� ��� ������������ ������� ��������
������������ ������  ����������� �� ������� ee ��������-������
$Q$.
\end{lem}
\begin{proof}
������ ������� ����� ����� ����������� �� ����� �� ������ ��������
$Q$, ������ ��� ���� ����� ������ �������, ������ ������� ��������
����� �� ������ ������� � ������ ���� �� ��� ����������. �� ���
������� �� ����� ���������� ������ � ���� ����� \ref{str-cont}.
����� ����� �� ������ ������� ����� �� ������� $Q$, ������� �
������ ������� ����� �� ������� �������� $Q$.
\end{proof}
\emph{������������ �����} ������� ���������� ����������� �� ������
������ ������� ����� �� ����� ������.
 \emph{ ������������ �����}
(\emph{������������ ������}) ������� $k$-�� ������� ����������
����������� ����� �� ������ (���������) ���� ���������� $k+1$-��
�������.
\begin{lem}\label{in-out}
� �������� ������������  ������  ����������� ������ �� �����
������� ��� ��������������� ����������� ����� ��������� �������
��� ��� ��� ����������� ����������� ����������� ������� �������.
\end{lem}
\begin{proof}
������������� ���������� �������� � ����, ��� ������ �������
������� ������� ������� ���������� ������ �������� � �����
�����������. ��������� �������� ������� ������� ������� ���������
����� ������. ����� ������� ���������� �� ������ �� ����� ����
�������� � ����� ��� ����������� ����� �� �����������.
\end{proof}


\begin{lem}\label{slow}
������������ �������� ��������� ������ �������� ���������� ��
������ �� ������� ����������� ����  �� ����� ��� �� 2/5.
\end{lem}
\begin{proof}
����� $0=t_0,t_1,t_2,t_3=1$ ���� ������� ������� ������� �������
�������� ������������ ������ $f$. ����� $|f(t_1)-f(t_2)|^2=2$,
������� $t_2-t_1>2/5$. � ��� ��� $|f(t_3)-f(t_2)|=1$, ��
$t_3-t_2>1/5$. ������� $t_3-t_1>3/5$, ������ $t_1-t_0<2/5$
\end{proof}

 �����
��������, ��� �������  ������ $Z$-�������, ���� �������� �� ������
������� �� ������� ����������� ���� ������������� � ����� ��������
������� $N$-��������, ���� ��� �������� �����������.


\begin{lem}\label{NZ}
���� �������� ������������ ������ ����� ������������ �����������
�����, �� ���  ������ � ������ �� ������� $Z$-������� ��� ������
������� �����������, � ������ ������� ���������� � ��� �����
������ $N-Z$-���.
\end{lem}
\begin{proof}
��������, ���� ����� � �������� ������, ����� �������, ��� ������
������� ������� ������� �������� ���������� ����������.
 ���������
����� $t_i$
--- $i$-�� ������� ������ ������� ������� ($t_0=0$).

���� ������ ������� $Z$-�������, � ������ --- $N$-�������, ��
$|f(t_1)-f(t_7)|^2=10$.  ���������� ������ ������ �����������
$t_7-t_1>2$. � ��� ��� $t_6-t_0=2$, �� $t_1-t_0<t_7-t_6$, ��� �
��������, ��� ������ ������� �����������, � ������ --- ����������.

���� �������� ������ ������� $N$-�������, � ��������� $Z$-�������,
�� $|f(t_8)-f(t_2)|^2=10$ �  $t_8-t_2>2$, ������ �����
$t_9-t_3=2$, �������� $t_9-t_8<t_3-t_2$, ��� �����-���� ��������,
��� ������ ������� �����������, � ������ --- ����������.

�������, ������ $N$-�������� ������ � ������� ������� ��������,
������ ��� � ���� ����� \ref{slow} ��������� �����������
$t_3-t_2<2/5$ � $t_7-t_6<2/5$. ������ $t_7-t_3<9/5$ �
$|f(t_7)-f(t_3)|^2=10$, ������ ���������-�������� ��������� $f$ ��
$t_7,t_3$ ������ ���� ������� ���������� $f$.
\end{proof}



\begin{lem}\label{4acc}
���� �������� ������������ ������ �������� ������ ������� ������,
�������� � ����� � ��� �� ����������� �� ���������, �� ���������
������� ���� ����� �������� $Z$-�������� � ����������.
\end{lem}
\begin{proof}
� ���� ����� \ref{slow} ����, ��� � ����� �� ������� �� �����
�������� ����� $2/5$ �������. � ������ $N$-�������� ���������
������, ������� ���������� �� ������ ������ ������ �� ������
������� ��������� �������� $17$, ��� ����� ���� ���������-��������
��������� ��� ������� ����. ������ ��������� ������ � ���������
������, � ����  ����� \ref{NZ}, ��������� ��������, ��� ���������
������ --- ����������.
\end{proof}

\begin{tr}
������ ����������� ������������ ���������� ������ �����
���������-�������� ��������� �� ����� ����.
\end{tr}
\begin{proof}
����� $f$ --- �������� ������������ ������. �����
 ��-������ �������� ���� ���������������� ������������ ������� $f$,
  ����� ��� ����������� ������ ��
������ ������� ��������������� ����������� ����� ������.
�������������, ������������� ���������� �������� � ���� �����
\ref{in-out} � ����������, ��� ����������� ������ �� ����� �������
����������� ����������� ����� ��������� � ����������� �����������
�������� �������. � ���� ����� \ref{3frac} �������� ������
�������, � ������� ����������� ������ � ������ �����������
����������� ������ � �������. ������� ��� ������, �, �������������
��� �����, ������� �� �������, ��� ����������� ����� � ������
�����������. � �� �������� � ������������� � �������� ��������� �
$f$.

����, �������, ���� �����, ����������� � ���������� ������, ��
������� �������� ������, � ������� ����������� ������ ���������
������� $Q_i$ �����������, � ��������� ������� $Q_{i+1}$,
����������� ��� $Q_i$. � ����� ������ � �������� ������� �������
�������, ������������ ���������� ����� ������������ $Q_i$ � ������
�������� $Q_{i+1}$ ��������� ����� \ref{4acc}. �� ���� ��
��������,
 ��� �������
���������� $Q_{i+1}$ ���������� �  $Z$-�������. � ��� ��� �������
����������� � $Q_{i+1}$ ��������������, �� �������� ��������� ��
������ ����,  �� �������� � ������������ � ������ \ref{NZ}.
\end{proof}




\begin{thebibliography}{9}

\bibitem{TULA87}
�.~�. �����,
\newblock ���������� ����������� ����������� � ����������� �������� ����������.
\newblock  {\em ������� ������ � ���������� ����������}, ���~1,
���.   148--155. ����. ��������� ������� ������������, 1987.


%\bibitem{Arnold} �. �. �������, \emph{������ ��������}, �����,
%������, 2000, (�������� 1988-5)

\bibitem{B} �. �. ������, \newblock ����������� ���������� ������
�����-���������, ��������


\bibitem{9} E. �. �����, �. �. ������, \newblock � ������ �����
������������ ���� 9. \newblock{\em ������������� � ������ ������:
����� ���������� �������������� ���������� �����}, (���.1). -
������, �������, 2004
\end{thebibliography}



\end{document}

math0404533.extracted_bib
\begin{thebibliography}{9}

\bibitem{TULA87}
�.~�. �����,
\newblock ���������� ����������� ����������� � ����������� �������� ����������.
\newblock  {\em ������� ������ � ���������� ����������}, ���~1,
���.   148--155. ����. ��������� ������� ������������, 1987.


%\bibitem{Arnold} �. �. �������, \emph{������ ��������}, �����,
%������, 2000, (�������� 1988-5)

\bibitem{B} �. �. ������, \newblock ����������� ���������� ������
�����-���������, ��������


\bibitem{9} E. �. �����, �. �. ������, \newblock � ������ �����
������������ ���� 9. \newblock{\em ������������� � ������ ������:
����� ���������� �������������� ���������� �����}, (���.1). -
������, �������, 2004
\end{thebibliography}