Les groupements
Freddy Bonnin
% %
bibliographie.tex
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            \textit{Cat�gories et structures}
            Dunod, 1965
\bibitem{KaVo91}
             M. Kapranov et V. Voevodsky
             \textit{Infinity-groupoids and homotopy types}
             Cahiers de Topologie et G�om�trie Diff�rentielle Cat�goriques \textbf{32}, 1991
\bibitem{ML71}
             S. MacLane
             \textit{Categories for the Working Mathematician}
             Graduate Texts in Mathematics \textbf{5}, Springer-Verlag, 1971
\bibitem{MSS99}
             P. Mateus, A. Sernadas et C. Sernadas
             \textit{Precategories for Combining Probabilistic Automata}
             Electronic Notes in Theoretical Computer Science \textbf{29}, 1999
\bibitem{ScHe00}
            L. Schr�der et H. Herrlich
            \textit{Free Adjunction of Morphisms}
            Applied Categorical Strutures \textbf{8}(4), 2000
\end{thebibliography}
chap1_preliminaires.tex
\chapter{Pr�liminaires ensemblistes}

Le seul but de ce chapitre est de rappeler quelques propri�t�s des pullbacks et surtout de
pr�ciser nos notations et le cadre ensembliste dans lequel nous travaillerons.
%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%% section 1 %%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Une propri�t� int�ressante des ensembles : le pullback}\label{sec:preli:1}
\subsection{D�finitions et premi�res propri�t�s}
\label{subsec:preli:1.1} 
Les ensembles ont la propri�t� que si deux applications $f_1:A_1\to B$ et
$f_2:A_2\to B$ ont le m�me but  
$B$ alors il existe deux applications $g_1:C\to A_1$ et $g_2:C\to A_2$ telles que
\begin{enumerate}
\item $f_1g_1=f_2g_2$
\item et si $h_1:D\to A_1$ et $h_2:D\to A_2$ sont deux applications v�rifiant
$f_1h_1=f_2h_2$
alors il existe une unique application $h:D\to C$ satisfaisant $h_1=g_1h$ et
$h_2=g_2h$.
\end{enumerate}
\begin{rema}\label{rema:preli:1.1}
Nous utiliserons toujours la notation $fg$ pour parler de la composition des 
applications $f$ et $g$. Lorsque nous rencontrerons des compositions diff�rentes 
de la composition naturelle d'applications d'ensembles nous utiliserons toujours 
d'autres notations.
\end{rema}
\begin{rema}\label{rema:preli:1.2} 
Une construction peut �tre donn�e en prenant $C=\left\lbrace\left(x_1;x_2\right)\in
A_1\times A_2\mid f\left(x_1\right)=f_2\left(x_2\right)\right\rbrace$ et $g_1$, $g_2$ les restrictions des projections canoniques.
\end{rema}
Dans le langage des cat�gories cela signifie que la \Dire{cat�gorie} des ensembles
poss�de des \emph{pullbacks}\index{pullback} ou encore que, ci-dessous, le diagramme de gauche peut �tre
compl�ter pour que le carr� de droite soit cart�sien.
$$\xymatrix{
 & A_1 \ar[d]^{f_1}\\ A_2 \ar[r]_{f_2} & B}
\qquad
\xymatrix{
C \ar[r]^{g_1} \ar[d]_{g_2} & A_1 \ar[d]^{f_1}\\
A_2 \ar[r]_{f_2} & B}$$
En fait le pullback n'est pas $C$ comme on le dit bien souvent mais le 
couple d'application $\left(g_1;g_2\right)$. On notera
$\left(g_1;g_2\right)=\PB\left(f_1;f_2\right)$ et $C=A_1\times_B A_2$.
Pour l'instant cette notation veut simplement dire que
$\left(g_1;g_2\right)$ est \textbf{un} pullback de $\left(f_1;f_2\right)$. 
En effet il n'est pas unique au sens fort du terme, mais unique � une 
bijection pr�s comme cela va �tre expliqu� dans le lemme ci-dessous.
%%%%%%% 
\begin{prop}\label{prop:preli:1.1} 
Soient $f_1:A_1\to B,\ f_2:A_2\to B$ et $f_3: A_3\to B$ trois applications
d'ensembles ayant le m�me but.
\begin{enumerate}
\item Si $\left(g_1;g_2\right)=\PB\left(f_1;f_2\right)$ alors
$\left(g_2;g_1\right)=\PB\left(f_2;f_1\right)$;
\item Si $\left(g_1;g_2\right)=\PB\left(f_1;f_2\right)$ et 
$\left(h_1;h_2\right)=\PB\left(f_1;f_2\right)$ alors il existe une unique
bijection $l$ telle que $h_1=g_1l$ et $h_2=g_2l$.
\item Si $\left(g_1;g_2\right)=\PB\left(f_1;f_2\right)$,
$\left(g_3;g_4\right)=\PB\left(f_2;f_3\right)$,
$\left(h_1;h_2\right)=\PB\left(f_1g_1;f_3\right)$ et\\
$\left(h_3;h_4\right)=\PB\left(f_1;f_2g_3\right)$, alors il existe une unique bijection
$$\varphi:A_1\times_B\left(A_2\times_B A_3\right)\to\left(A_1\times_B
A_2\right)\times_B A_3$$ 
telle que $$\left(g_1h_1\right)\varphi=h_3,\ 
\left(g_2h_1\right)\varphi=g_3h_4\ \mathrm{et}\ h_2\varphi=g_4h_4$$
\end{enumerate} 
\end{prop}
%%
\Dem 
\begin{enumerate}
\item \'Evident d'apr�s la d�finition.
\item D'apr�s la premi�re condition sur les pullbacks, $f_1h_1=f_2h_2$. Donc la
seconde, implique l'existence de l'application $l$. De la m�me fa�on, il existe une
unique application $l'$ telle que $g_1=h_1l'$ et $g_2=h_2l'$. On en d�duit que $ll'$ 
est une application satisfaisant $h_1=h_1(ll')$ et $h_2=h_2(ll')$. D'apr�s la 
deuxi�me propri�t� des pullbacks, une seule application peut satisfaire ces �galit�s.
C'est l'identit�. Donc $ll'=\Id$. De m�me $l'l=\Id$. Ce qui signifie que $l$ est une
bijection.
\item Puisque $\left(g_1;g_2\right)=\PB\left(f_1;f_2\right)$ et 
$f_1h_3=f_2\left(g_3h_4\right)$, il existe une unique application $\varphi_1$ 
pour laquelle $g_1\varphi_1=h_3$ et $g_2\varphi_1=g_3h_4$. D'o�
$$\left(f_1g_1\right)\varphi_1=f_1\left(g_1\varphi_1\right)=f_1h_3
=f_2\left(g_3h_4\right)=\left( f_2g_3\right)h_4=\left( f_3g_4\right)h_4
=f_3\left(g_4h_4\right)$$
Or, par hypoth�se, $\left(h_1;h_2\right)=\PB\left(f_1g_1;f_3\right)$. Ainsi il 
existe une unique application $\varphi$ satisfaisant
$\varphi_1=h_1\varphi$ et $g_4h_4=h_2\varphi$. Si nous remontons le raisonnement 
nous voyons que $\varphi$ est la seule application v�rifiant les �galit�s
$\left(g_1h_1\right)\varphi=h_3$, $\left(g_2h_1\right)\varphi=g_3h_4$ et
$h_2\varphi=g_4h_4$.

De m�me il existe une unique application $\varphi'$ qui v�rifie
$h_3\varphi'=g_1h_1$, $\left(g_3h_4\right)\varphi'=g_2h_1$ et
$g_4h_4\varphi'=h_2$. Des diff�rentes �galit�s que nous venons de trouver on d�duit
$$h_3\left(\varphi'\varphi\right)=\left(g_1h_1\right)\varphi=h_3,\ 
g_3\left(h_4\left(\varphi'\varphi\right)\right)=\left(g_2h_1\right)\varphi=g_3h_4\ 
\mathrm{et}\  
g_4\left(h_4\left(\varphi'\varphi\right)\right)=h_2\varphi=g_4h_4$$
Comme $\left(g_3;g_4\right)=\PB\left(f_2;f_3\right)$, on trouve 
$$h_3\left(\varphi'\varphi\right)=h_3\ 
\mathrm{et}\  
h_4\left(\varphi'\varphi\right)=h_4$$
Et finalement $\varphi'\varphi=\Id$ car $\left(h_3;h_4\right)
=\PB\left(f_1;f_2g_3\right)$. De la m�me fa�on $\varphi\varphi'=\Id$. Ce qui montre 
bien que $\varphi$ est une bijection.\QED
\end{enumerate}
%%%%%
Par la suite nous consid�rerons toujours que dans la notation
$\left(g_1;g_2\right)=\PB\left(f_1;f_2\right)$
les applications $g_1$ et $g_2$ sont construites comme d�crites dans la remarque
\ref{rema:preli:1.2}.
\subsection{Quelques r�sultats techniques}\label{subsec:preli:1.2} 
Consid�rons deux applications d'ensembles $s,t:A\to B$.
Posons $\left(\pi_s^t;\pi_t^s\right)=\PB\left(s;t\right)$ et notons 
$A\times_BA$ 
le domaine commun � $\pi_s^t$ et $\pi_t^s$.
\begin{rema}\label{rema:preli:1.3} 
Il peut parfois �tre commode de voir $A\times_BA$ comme l'ensemble des 
couples $(x;y)\in A$ v�rifiant $s(x)=t(y)$. Et $\pi_s^t\left(x;y\right)=x$, 
$\pi_t^s\left(x;y\right)=y$
\end{rema}
\'Etant donn� $\left(s_{1},t_{1}:A_1\to B_1\right)$ et 
$\left(s_{2},t_{2}:A_2\to B_2\right) $ deux couples d'applications 
d'ensembles,
si $f,g:A_1\to A_2$ sont deux applications d'ensembles telles que
\begin{itemize}
\item $s_2f\pi_{s_1}^{t_1}=t_2g\pi_{t_1}^{s_1}$ alors il est �vident qu'il 
existe une unique 
application $$f\times_c g:A_1\times_{B_1}A_1\to A_2\times_{B_2}A_2$$
satisfaisant
$$\pi_{s_2}^{t_2}\left(f\times_c g\right)=f\pi_{s_1}^{t_1}\ \mathrm{et}\ 
\pi_{t_2}^{s_2}\left(f\times_c g\right)=g\pi_{t_1}^{s_1}$$
\item $s_2f=t_2g$ alors il existe une unique application 
$$\left\langle f;g\right\rangle:A_1\to A_2\times_{B_2}A_2$$ v�rifiant
$$f=\pi_{s_2}^{t_2}\left\langle f;g\right\rangle\ \mathrm{et}\ 
g=\pi_{t_2}^{s_2}\left\langle f;g\right\rangle$$
\end{itemize}
\begin{rema}\label{rema:preli:1.4} 
Avec la construction du pullback vue dans la section pr�c�dente, on a
$$f\times_c g\left(x;y\right)=\left(f(x);g(y)\right)\qquad\mathrm{et}
\qquad\left\langle f;g\right\rangle(x)=\left(f(x);g(y)\right)$$
\end{rema}
\begin{prop}\label{prop:preli:1.2} 
On consid�re $\left(s_1,t_1:A_1\to B_1\right)$, 
$\left(s_2,t_2:A_2\to B_2\right)$ et $\left(s_3,t_3:A_3\to B_3\right)$
trois couples d'applications d'ensembles.
\begin{enumerate}
\item Soient $f,g:A_1\to A_2$ et
$f',g':A_2\to A_3$ quatre applications d'ensembles telles que
$$s_2f\pi_{s_1}^{t_1}=t_2g\pi_{t_1}^{s_1}\qquad\mathrm{et}\qquad
s_3f'\pi_{s_2}^{t_2}=t_3g'\pi_{2_1}^{s_2}$$
Alors $f\times_c g$, $f'\times_c g'$ et $\left(f'f\right)\times_c\left(
g'g\right)$ existent et on a de plus
$$\left(f'f\right)\times_c\left(g'g\right)=\left(f'\times_c g'\right)
\left(f\times_c g\right)$$
\item Soient $f,g:A_1\to A_2$ et
$f',g':A_2\to A_3$ quatre applications d'ensembles telles que
$$s_2f=t_2g\qquad\mathrm{et}\qquad
s_3f'\pi_{s_2}^{t_2}=t_3g'\pi_{2_1}^{s_2}$$
Alors $\left\langle f;g\right\rangle$, $f'\times_c g'$ et
$\left\langle f'f;g'g\right\rangle$ existent et
$$\left\langle f'f;g'g\right\rangle=\left(f'\times_c g'\right)
\left\langle f;g\right\rangle$$
\item Soient $f:A_1\to A_2$ et
$g,h:A_2\to A_3$ trois applications d'ensembles telles que
$$s_3g=t_3h$$
Alors $\left\langle g;h\right\rangle$ et $\left\langle gf;hf\right\rangle$
existent avec
$$\left\langle gf;hf\right\rangle=\left\langle g;h\right\rangle f$$
\end{enumerate} 
\end{prop}
\Dem Dans chacun des cas, les hypoth�ses impliquent l'existence 
de toutes les applications sauf de la derni�re.
\begin{enumerate}
\item 
$s_3\left(f'f\right)\pi_{s_1}^{t_1}=s_3f'\left(f\pi_{s_1}^{t_1}\right)
=s_3f'\pi_{s_2}^{t_2}\left(f\times_c g\right)
=t_3g'\pi_{t_2}^{s_2}\left(f\times_c g\right)
=t_3g'\left(g\pi_{t_1}^{s_1}\right)=t_3\left(g'g\right)\pi_{t_1}^{s_1}$
D'o� l'existence de $\left(f'f\right)\times_c\left(g'g\right)$. Par 
d�finition c'est la seule application qui v�rifie
$$f'f\pi_{s_1}^{t_1}=\pi_{s_3}^{t_3}\left(\left(f'f\right)
\times_c\left(g'g\right)\right)\quad\mathrm{et}\quad
g'g\pi_{t_1}^{s_1}=\pi_{t_3}^{s_3}\left(\left(f'f\right)
\times_c\left(g'g\right)\right)$$
Or$$\pi_{s_3}^{t_3}\left(f'\times_c g'\right)\left(f\times_c g\right)
=f'\pi_{s_2}^{t_2}\left(f\times_c g\right)=f'f\pi_{s_1}^{t_1}$$
et
$$\pi_{t_3}^{s_3}\left(f'\times_c g'\right)\left(f\times_c g\right)
=g'\pi_{t_2}^{s_2}\left(f\times_c g\right)=g'g\pi_{t_1}^{s_1}$$
D'o� l'�galit� recherch�e.
\item L'existence de $\left\langle f'f;g'g\right\rangle $ est donn�e par 
le calcul
$$s_3f'f=s_3f'\pi_{s_2}^{t_2}\left\langle f;g\right\rangle
=t_3g'\pi_{t_2}^{s_2}\left\langle f;g\right\rangle
=t_3g'g$$ Comme
$$\pi_{s_3}^{t_3}\left(f'\times_c g'\right)\left\langle f;g\right\rangle
=f'\pi_{s_2}^{t_2}\left\langle f;g\right\rangle
=f'f$$
$$\pi_{t_3}^{s_3}\left(f'\times_c g'\right)\left\langle f;g\right\rangle
=g'\pi_{t_2}^{s_2}\left\langle f;g\right\rangle
=g'g$$
et que, par d�finition, $\left\langle f'f;g'g\right\rangle$ est la seule 
application � v�rifier ces �galit�s, on trouve bien le r�sultat annonc�.
\item \'Evident.\QED
\end{enumerate} 
\begin{prop}\label{prop:preli:1.3} 
Consid�rons $s,t:A\to B$ deux applications ayant m�me source et m�me but.
\begin{enumerate}
\item A fin de simplifier nos notations, posons 
\begin{itemize}
\item $\left(g_s;g_t\right)=\PB\left(s;t\right)$,
\item $\left(f_s;f_t\right)=\PB\left(sg_t;t\right)$ et
\item $\left(h_s;h_t\right)=\PB\left(s;tg_s\right)$
\end{itemize} 
Alors il existe une unique bijection 
$$\omega:\left(A\times_B A\right)\times_B A\to A\times_B\left(A\times_B
A\right)$$ qui v�rifie les �galit�s ci-dessous
$$h_s\omega=g_sf_s,\qquad g_sh_t\omega=g_tf_s\qquad\mathrm{et}\qquad
g_th_t\omega=f_t$$
\item De plus, si $h_1,h_2,h_3:C\to A$ sont trois applications 
d'ensembles telles que
$$sh_1=th_2\qquad\mathrm{et}\qquad sh_2=th_3$$
alors on peut bien �videmment construire les applications 
$$\left\langle h_1;h_2\right\rangle:C\to A\times_B A,\qquad
\left\langle h_2;h_3\right\rangle:C\to A\times_B A$$
et il existe une unique application 
$$\left\langle\left\langle h_1;h_2\right\rangle;h_3\right\rangle:
C\to\left(A\times_B A\right)\times_B A$$ telle que 
$$g_sf_s\left\langle\left\langle h_1;h_2\right\rangle;h_3\right\rangle
=h_1,\quad 
g_tf_s\left\langle\left\langle h_1;h_2\right\rangle;h_3\right\rangle
=h_2,\quad 
f_t\left\langle\left\langle h_1;h_2\right\rangle;h_3\right\rangle
=h_3$$
ainsi qu'une unique application
$$\left\langle h_1;\left\langle h_2;h_3\right\rangle\right\rangle
:C\to A\times_B\left(A\times_B A\right)$$ 
v�rifiant
$$h_s\left\langle\left\langle h_1;h_2\right\rangle;h_3\right\rangle
=h_1,\quad 
g_sh_t\left\langle\left\langle h_1;h_2\right\rangle;h_3\right\rangle
=h_2,\quad 
g_th_t\left\langle\left\langle h_1;h_2\right\rangle;h_3\right\rangle
=h_3$$
De plus on a la relation
$$\omega\left\langle\left\langle h_1;h_2\right\rangle;h_3\right\rangle
=\left\langle h_1;\left\langle h_2;h_3\right\rangle\right\rangle$$
\item Si $A=B$, alors les applications $\left\langle \Id;s\right\rangle
\times_c\Id$ et $\Id\times_c\left\langle t;\Id\right\rangle$ sont bien 
d�finies et $$\omega\left(\left\langle \Id;s\right\rangle
\times_c\Id\right)=\Id\times_c\left\langle t;\Id\right\rangle$$
\end{enumerate}
\end{prop}
\Dem
\begin{enumerate}
\item Puisque $\left(g_s;g_t\right)=\PB\left(s;t\right)$ et que
$s\left(g_tf_s\right)=tf_t$ (ou encore $\left(sg_t\right)f_s=tf_t$),
il existe une unique application $\omega_1$ pour laquelle
$$g_s\omega_1=g_tf_s\qquad\mathrm{et}\qquad g_t\omega_1=f_t$$
On a alors
$$\left(tg_s\right)\omega_1=t\left(g_s\omega_1\right)=t\left(g_tf_s\right)
=\left(tg_t\right)f_s=\left(sg_s\right)f_s=s\left(g_sf_s\right)$$
Comme $\left(h_s;h_t\right)=\PB\left(s;tg_s\right)$, on trouve bien l'unique 
application $\omega$ v�rifiant
$$h_s\omega=g_sf_s\qquad\mathrm{et}\qquad h_t\omega=\omega_1$$
c'est-�-dire
$$h_s\omega=g_sf_s,\qquad g_sh_t\omega=g_tf_s\qquad\mathrm{et}\qquad
g_th_t\omega=f_t$$
De la m�me mani�re, on trouve une unique application $\omega'$ telle que
$$f_t\omega'=g_th_t,\qquad g_tf_s\omega'=g_sh_t\qquad\mathrm{et}\qquad
g_sf_s\omega'=h_s$$
Par cons�quent $\omega'\omega$ est la seule application � satisfaire les 
�galit�s
$$f_t\left(\omega'\omega\right)=f_t,\qquad g_tf_s\left(\omega'\omega\right)=
g_tf_s,\qquad g_sf_s\left(\omega'\omega\right)=g_sf_s$$
et $\omega\omega'$ la seule � satisfaire
$$h_s\left(\omega\omega'\right)=h_s,\qquad g_sh_t\left(\omega\omega'\right)=
g_sh_t,\qquad g_th_t\left(\omega\omega'\right)=g_th_t$$
Ce qui implique $\omega'\omega=\Id$ et $\omega\omega'=\Id$.
\item Rappelons que $\left\langle h_1;h_2\right\rangle$ est l'unique application 
telle que
$$g_s\left\langle h_1;h_2\right\rangle=h_1\quad\mathrm{et}\quad
g_t\left\langle h_1;h_2\right\rangle=h_2$$
Comme
$sg_t\left\langle h_1;h_2\right\rangle=sh_2=th_3$,
il existe bien une unique application 
$$\left\langle\left\langle h_1;h_2\right\rangle;h_3\right\rangle:
C\to\left(A\times_B A\right)\times_B A$$
v�rifiant
$$f_s\left\langle\left\langle h_1;h_2\right\rangle;h_3\right\rangle
=\left\langle h_1;h_2\right\rangle\quad\mathrm{et}\quad
f_t\left\langle\left\langle h_1;h_2\right\rangle;h_3\right\rangle
=h_3$$
D'o� l'existence et l'unicit� annonc�es. De m�me pour
$$\left\langle h_1;\left\langle h_2;h_3\right\rangle\right\rangle$$
Or on a
$$h_s\omega\left\langle\left\langle h_1;h_2\right\rangle;h_3\right\rangle
=g_sf_s\left\langle\left\langle h_1;h_2\right\rangle;h_3\right\rangle
=h_1$$
$$g_sh_t\omega\left\langle\left\langle h_1;h_2\right\rangle;h_3\right\rangle
=g_tf_s\left\langle\left\langle h_1;h_2\right\rangle;h_3\right\rangle
=h_2$$
$$g_th_t\omega\left\langle\left\langle h_1;h_2\right\rangle;h_3\right\rangle
=f_t\left\langle\left\langle h_1;h_2\right\rangle;h_3\right\rangle
=h_3$$
Par unicit�, on obtient la relation voulue.
\item On a
$$s\Id=ts,\quad sg_t\left\langle\Id;s\right\rangle g_s=ssg_s=sg_s=tg_t=
t\Id g_t$$
D'o� l'existence de $\left\langle\Id;s\right\rangle\times_c\Id$. On montre 
aussi facilement l'existence de $\Id\times_c\left\langle t;\Id\right\rangle$.\\
Le reste est imm�diat d'apr�s les calculs ci-dessous et l'unicit�.
$$h_s\omega\left(\left\langle\Id;s\right\rangle\times_c\Id\right)
=g_sf_s\left(\left\langle\Id;s\right\rangle\times_c\Id\right)
=g_s\left\langle\Id;s\right\rangle g_s
=\Id g_s=g_s$$
$$g_sh_t\omega\left(\left\langle\Id;s\right\rangle\times_c\Id\right)
=g_tf_t\left(\left\langle\Id;s\right\rangle\times_c\Id\right)
=g_t\left\langle\Id;s\right\rangle g_s
=sg_s=tg_t$$
$$g_th_t\omega\left(\left\langle\Id;s\right\rangle\times_c\Id\right)
=f_t\left(\left\langle\Id;s\right\rangle\times_c\Id\right)
=\Id g_t=g_t$$
et
$$h_s\left(\Id\times_c\left\langle t;\Id\right\rangle\right)
=\Id g_s=g_s$$
$$g_sh_t\left(\Id\times_c\left\langle t;\Id\right\rangle\right)
=g_s\left\langle t;\Id\right\rangle g_t
=t g_t$$
$$g_th_t\left(\Id\times_c\left\langle t;\Id\right\rangle\right)
=g_t\left\langle t;\Id\right\rangle g_t
=\Id g_t=g_t$$
\QED
\end{enumerate}
\begin{rema}\label{rema:preli:1.5}
Cette proposition est en fait �vidente si on pense � 
$\left(A\times_c A\right)\times_c A$ comme �tant l'ensemble
$$\left\lbrace\left((x;y);z\right)\mid s(x)=t(y),\ s(y)=t(z)\right\rbrace$$
et � $A\times_c\left(A\times_c A\right)$ comme �tant
$$\left\lbrace\left(x;(y;z)\right)\mid s(x)=t(y),\ s(y)=t(z)\right\rbrace$$
On a alors $\omega\left(\left(x;y\right);z\right)=\left(x;\left(y;z\right)\right)$.
\end{rema}
\begin{rema}\label{rema:preli:1.6} 
Bien que l'ensemble $\left(A_1\times_B A_2\right)\times_B A_3$
de la proposition \ref{prop:preli:1.1} et l'ensemble 
$\left(A\times_B A\right)\times_B A$ de la proposition \ref{prop:preli:1.3}
semblent avoir des notations qui peuvent porter � confusion, cela n'est 
pas le cas car elles ne s'appliquent pas dans les m�mes cas.
\end{rema}
%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%% section 2 %%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Les univers de Grothendieck}
\label{sec:preli:2} 
Afin de pouvoir parler de cat�gorie des ensembles, de cat�gories des cat�gories, 
de cat�gorie de foncteurs, nous sommes oblig� de travailler avec des ensembles 
\Dire{suffisamment petits} mais qui se comportent bien vis-�-vis des op�rations 
usuelles de la th�orie des ensembles. C'est ainsi que la notion d'univers a �t� 
introduite par Grothendieck.
%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{D�finition et premi�res propri�t�s}\label{subsec:preli:2.1} 
Pour �tre plus pr�cis, un \emph{univers}\index{univers} est un ensemble
$\MFU$ v�rifiant les axiomes suivants
\begin{description}
\item[(U 1)] si $x\in\MFU$ et $y\in x$, alors $y\in\MFU$ ;
\item[(U 2)] si $x\in\MFU$ et $y\in\MFU$, alors $\left\lbrace x;y\right\rbrace\in\MFU$ ;
\item[(U 3)] si $I\in\MFU$ et si, pour chaque $i\in I$, $x_i\in\MFU$, alors 
$\bigcup_{i\in I}x_i\in\MFU$ ;
\item[(U 4)] si $x\in\MFU$, alors $\PART(x)\in\MFU$ o� $\PART(x)$ est l'ensemble des 
        sous-ensembles de $x$ ;
\item[(U 5)] $\omega\in\MFU$ o� $\omega$ n'est autre que l'ensemble des ordinaux finis.
\end{description}
Ces axiomes impliquent les propri�t�s de stabilit� ci-dessous.
\begin{prop}\label{prop:preli:2.1} 
\begin{enumerate}
\item Si $x\in\MFU$, alors $\{x\}\in\MFU$.
\item Si $x\in\MFU$ et $y\in\MFU$, alors $\left(x;y\right)\in\MFU$.
\item Si $x\in\MFU$ et $y\in\MFU$, alors $x\times y\in\MFU$.
\item Si $x\in\MFU$ et $y\subseteq x$, alors $y\in\MFU$.
\item Si $x\in\MFU$ et $y\in\MFU$, alors $x^{y}\in\MFU$ o� $x^{y}$ est l'ensemble
        des applications de $y$ dans $x$.
\item Si $I\in\MFU$ et si, pour chaque $i\in I$, $x_i\in\MFU$, alors 
        $\bigsqcup_{i\in I}x_i\in\MFU$.
\item Si $I\in\MFU$ et si, pour chaque $i\in I$, $x_i\in\MFU$, alors 
        $\prod_{i\in I}x_i\in\MFU$.
\item Si $x\in\MFU$, alors $x\subseteq\MFU$.
\end{enumerate}
\end{prop}
\Dem
\begin{enumerate}
\item C'est un cas particulier de l'axiome (U 1).
\item On sait que $\left(x;y\right)=\left\lbrace x;\left\lbrace x;y\right\rbrace
        \right\rbrace$. Il suffit d'appliquer deux fois l'axiome (U 2). 
\item Soit $i\in x$. Pour tout $j\in y$, on vient de voir que $\left(i;j\right)\in\MFU$.
        Il s'en suit que $\left\lbrace\left(i;j\right)\right\rbrace\in\MFU$. Comme $y\in\MFU$, 
        l'axiome (U 3) nous donne $\bigcup_{j\in y}\left\lbrace\left(i;j\right)\right
        \rbrace\in\MFU$. De m�me, on obtient $\bigcup_{i\in x}\bigcup_{j\in y}\left\lbrace
        \left(i;j\right)\right\rbrace\in\MFU$. Or par d�finition $\bigcup_{i\in x}
        \bigcup_{j\in y}\left\lbrace\left(i;j\right)\right\rbrace=x\times y$.
\item Il suffit de remarquer que $y\in\PART(x)\in\MFU$ et d'utiliser l'axiome (U 1).
\item Une application de $y$ dans $x$ peut �tre vue comme un sous-ensemble particulier 
        de $y\times x$. Par cons�quent $x^y\subseteq\PART\left(x\times\right)$. D'apr�s ce que 
        l'on vient de voir, l'ensemble de droite appartient � $\MFU$. Le r�sultat se d�duit 
        alors de la propri�t� pr�c�dente.
\item Posons $\bar{x}_i=x\times\{i\}$. Les propri�t�s ci-dessus nous permettent 
        d'affirmer que $\bar{x}_i\in\MFU$. D'apr�s l'axiome (U 3), $\bigcup_{i\in I}\bar{x}_i
        \in\MFU$. Or par d�finition, $\bigcup_{i\in I}\bar{x}_i=\bigsqcup_{i\in I}x_i$.
\item On peut d�finir $\left(u_i\right)_{i\in I}$ avec $u_i\in x_i$ comme une 
        application de $I$ dans $\bigsqcup_{i\in I}x_i$ telle que l'image de $i$ soit dans 
        $x_i$. Ainsi $\prod_{i\in I}x_i$ peut �tre vu comme un sous-ensemble de $\left(
        \bigsqcup_{i\in I}x_i\right)^I$. Les propri�t�s 4, 5 et 6, nous donne le r�sultat.
\item D'apr�s l'axiome (U 1), tout �l�ment de $x$ est un �l�ment de $\MFU$. Par 
        cons�quent, $x$ est une partie de l'univers, $x\subseteq\MFU$.\QED
\end{enumerate}
D'apr�s l'axiome (U 5) et toutes les propri�t�s de stabilit� v�rifi�es par un 
univers, toutes les constructions math�matiques usuelles peuvent �tre faites dans un 
univers. En particuliers les notions d'ensembles quotients, de nombres r�els, de limites 
inductives et projectives peuvent �tre d�finies � l'int�rieur d'un univers.

\subsection{Un nouvel axiome}\label{subsec:preli:2.2} 
C'est un euph�misme de dire qu'il est tr�s difficile d'exhiber un univers 
en utilisant uniquement les axiomes de la th�orie des ensembles ZFC. 
Donc afin de pouvoir travailler 
avec les univers, nous sommes amener � faire l'hypoth�se que
\begin{center}
$(\star)$\quad\Dire{tout ensemble appartient � un univers.}
\end{center}  
Ceci fix�, nous pouvons maintenant donner quelques propri�t�s suppl�mentaires.
\begin{prop}\label{prop:preli:2.2} 
Toute intersection d'univers est un univers.
\end{prop}
\Dem
Soit $\left(\MFU_i\right)_{i\in I}$ une famille d'univers. Posons $\MFU=\bigcap_{i\in I}
\MFU_i$. Montrons l'axiome (U~1). Soit $i\in I$. Comme $x\in\MFU$, on a $x\in\MFU_i$ et
$y\in x$. $\MFU_i$ �tant un univers, on en d�duit $y\in\MFU_i$. Puisque c'est vrai pour 
tout $i\in I$, on a $y\in\MFU$. Les d�monstrations des quatre autres axiomes sont 
semblables.\QED
\begin{prop}\label{prop:preli:2.3} 
Si $\MFU$ est un univers alors il existe un plus petit univers, que nous 
noterons $\MFU^{+}$, contenant $\MFU$. 
\end{prop}
\Dem
Cons�quence imm�diate de la proposition pr�c�dente et de l'axiome $(\star)$.
\QED

Si $\MFU$ est un univers, nous appellerons \emph{$\MFU$-ensembles}
\index{ensemble!$\MFU$-ensemble} 
les sous-ensembles de $\MFU$ et \emph{petits $\MFU$-ens\-embles}
\index{ensemble!petit $\MFU$-ensemble} ses �l�ments.

Pour la suite, choisissons un univers $\MFU$ et appellons respectivement ensembles
\index{ensemble} et petits ensembles les $\MFU$-ensembles et petits $\MFU$-ensembles.

chap2_categories.tex
\chapter{Les cat�gories sans objets}\label{chap:cat}
%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%% section 0 %%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Id�es directrices}\label{sec:cat:0}
Classiquement, une cat�gorie $\BBC$ est compos�e d'un ensemble d'objets $\Ob(\BBC)$, d'un ensemble de morphismes $\Mor(\BBC)$, d'une application source $s:\Mor(\BBC)\to\Ob(\BBC)$, d'une application
but $t:\Mor(\BBC)\to\Ob(\BBC)$ (le $t$ vient de l'anglais \textit{target}), d'une application
identit� $\Id:\Ob(\BBC)\to\Mor(\BBC)$ et d'une composition $\OP:\Mor(\BBC)\times_O\Mor(\BBC)\to
\Mor(\BBC)$ qui � tous morphismes $f:X\to Y$ et $f':X'\to Y'$ tels que $X'=s(f')=t(f)=Y'$ associe un
nouveau morphisme $f'\OP f:X\to Y$. Ici nous avons utilis� la repr�sentation usuelle d'un morphisme
$f$ par une fl�che $f:X\to Y$ quand $s(f)=X$ et $t(f)=Y$. De plus, pour que ces ensembles et
applications forment bien une cat�gorie, ils doivent satisfaire les axiomes suivants :
\begin{description}
\item[(associativit�)] Pour tous morphismes $f$, $g$ et $h$ v�rifiant $s(h)=t(g)$ et $s(g)=t(f)$, on a
$$h\OP(g\OP h)=(h\OP g)\OP f$$
\item[(identit�)] Pour tout objet $X$, $s(\Id_X)=X$ et $t(\Id_X)=X$. De plus pour tout morphisme $f$, on a 
$$f\OP\Id_{s(f)}=f\quad\text{et}\quad\Id_{t(f)}\OP f=f$$
\end{description}
Il est a remarqu� qu'� chaque objet est associ� une unique identit� et r�ciproquement qu'� chaque identit� 
est associ�e un unique objet. Cette remarque nous am�nera, dans la prochaine section, � d�finir les cat�gories 
en supprimant l'ensemble des objets.
 
Il est �vident que les applications source et but se comportent les une par rapport aux autres de la mani�re 
suivante :
$$s(\Id s)=s\quad;\quad s(\Id t)=t\quad;\quad t(\Id t)=t\quad;\quad t(\Id s)=s$$
Ces �galit�s et l'identification des objets et identit�s nous donnerons l'axiome (CAT 1).

En regardant la d�finition de la composition, on voit que si $f$ et $f'$ sont des morphismes composables alors
$$s(f'\OP f)=s(f)\qquad\text{et}\qquad t(f'\OP f)=t(f')$$
D'o� l'axiome (CAT 2).

Les deux derniers axiomes (CAT 3) et (CAT 4) ne sont respectivement que les axiomes d'identit� et 
d'associativit�.

Usuellement un foncteur $F$ entre la cat�gorie $\BBC_1$ et la cat�gorie $\BBC_2$ est une paire
d'applications $F^{\Ob}:\Ob(\BBC_1)\to\Ob(\BBC_2)$ et $F^{\Mor}:\Mor(\BBC_1)\to\Mor(\BBC_2)$ telles
que $F^{\Mor}(\Id_X)=\Id_{F^{\Ob}(X)}$ et $F^{\Mor}(f'\OP_1f)=F^{\Mor}(f')\OP_2F^{\Mor}(f)$
pour tout objet $X$ et tout couple $(f';f)\in\BBC_1\times_O\BBC_1$ de morphismes composables.
Puisque nous allons identifier objets et identit�s, nous ne conserverons que l'application des
morphismes et les deux conditions pr�c�dentes nous donnerons respectivement les axiomes
(FONC 1) et (FONC 2).

Le cas des transformations naturelles est plus complexe. C'est m�me en fait le point de d�part de notre
travail. Habituellement une transformation naturelle $\eta$ entre deux foncteurs $F_1,F_2:\BBC_1\to
\BBC_2$ est une famille de morphismes $\eta_X:F_1^{\Ob}(X)\to F_2^{\Ob}(X)$ index�e par les objets
$\Ob(\BBC_1)$ de la cat�gorie source $\BBC_1$ pour laquelle le carr�
$$\xymatrix{
F_1^{\Ob}(X)\ar[r]^{\eta_X}\ar[d]_{F_1^{\Mor}(f)}  & F_2^{\Ob}(X)\ar[d]^{F_2^{\Mor}(f)}\\
F_1^{\Ob}(Y)\ar[r]_{\eta_Y} & F_2^{\Ob}(Y)}$$
est commutatif pour tout morphisme $f$ de $\BBC_1$.

Nos cat�gories n'ayant pas d'objets, nos transformations naturelles ne peuvent pas �tre d�finies
de cette fa�on. Nous serons oblig� de les d�finir comme des applications de l'ensemble des morphismes
de la cat�gorie source dans l'ensemble des morphismes de la cat�gorie but. Mais puisque nos objets
sont identifi�s avec les identit�s et que, nous le montrerons dans la derni�re section de ce chapitre,
l'ensemble de ces derni�res n'est autre que l'image de l'application source $s$, nous leur imposerons
l'axiome (NAT 2). De plus en regardant les sources et buts des morphismes de la famille composant la
transformation naturelle, nous somme amen� � d�finir l'axiome (NAT 1). Le dernier axiome (NAT 3)
n'�tant rien d'autre que la traduction de la commutativit� du carr� ci-dessus.

Cette section n'�tait qu'une introduction sommaire � ce chapitre. Une �tude plus approfondie de la
correspondance entre le point de vue classique et le point de vue sans objets sera faite dans la
derni�re section.
%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%% section 1 %%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Les cat�gories}\label{sec:cat:1}

Partant du principe que les objets peuvent �tre identifi�s avec leurs identit�s, nous sommes
amen� � d�finir une \emph{cat�gorie}\index{cat�gorie} (sans objets) $\left(\BBB;s,t,\#\right)$
comme la donn�e
\begin{itemize}
\item d'un ensemble $\BBB$
\item de deux applications $s:\BBB\to\BBB$, la \emph{source}\index{source}
et $t:\BBB\to\BBB$, le \emph{but}\index{but},
\item et d'une application $\#:\BBB\times_c\BBB\to\BBB$, la \emph{composition}
\index{composition},
\end{itemize} 
v�rifiant les axiomes suivants
\begin{description}
\item[(CAT 1)] $ss=s,\qquad st=t,\qquad tt=t\qquad\text{et}\qquad ts=s$
\item[(CAT 2)] $s\#=s\pi_t^s:\BBB\times_c\BBB\to\BBB\qquad\mathrm{et}\qquad
t\#=t\pi_s^t:\BBB\times_c\BBB\to\BBB$
\item[(CAT 3)] $\#\left\langle\Id_{\BBB};s\right\rangle=\Id_{\BBB},\qquad 
\#\left\langle t;\Id_{\BBB}\right\rangle=\Id_{\BBB}$
\item[(CAT 4)] Avec $\omega:\left(\BBB\times_c\BBB\right)\times_c\BBB\to
\BBB\times_c\left(\BBB\times_c\BBB\right)$
la bijection de la proposition \ref{prop:preli:1.3}, on a
$$\#\left(\#\times_c\Id_{\BBB}\right)=
\#\left(\Id_{\BBB}\times_c\#\right)\omega:
\left(\BBB\times_c\BBB\right)\times_c\BBB\to\BBB$$ 
\end{description} 
Dans cette d�finition nous parlons des applications
$\left\langle\Id_{\BBB};s\right\rangle$, 
$\left\langle t;\Id_{\BBB}\right\rangle$,  $\Id_{\BBB}\times_c\#$ et
$\#\times_c\Id_{\BBB}$ sans en avoir v�rifi� l'existence. 
Ce qui est imm�diat d'apr�s les calculs suivants
$$ts=s=s\Id_{\BBB},\qquad st=t=t\Id_{\BBB}$$
$$t\left(\#h_t\right)=tg_sh_t=sh_s=s\left(\Id h_s\right),\qquad
s\left(\#f_s\right)=sg_t f_s=tf_t=t\left(\Id f_t\right)$$
o� nous avons utilis� les notations de la proposition \ref{prop:preli:1.3} 
($g_s=\pi_s^t$ et $g_t=\pi_t^s$).
\begin{rema}\label{rema:cat:1.1} 
Tout ensemble peut �tre muni d'une structure de cat�gorie. En effet si $X$ est 
un ensemble, il suffit de prendre $s=t=\#=\Id_X$. Cette derni�re �tant possible 
car $\left(\Id;\Id\right)=\PB\left(\Id;\Id\right)$.
\end{rema}
\begin{rema}\label{rema:cat:1.2} 
Pour �tre plus rigoureux, nous aurions d� parler de $\MFU$-cat�gorie
\index{cat�gorie!$\MFU$-cat�gorie} plut�t que simplement de cat�gorie.
\end{rema}
Une \emph{petite cat�gorie}\index{cat�gorie!petite cat�gorie} 
$\left(\BBB;s;t;\OP\right)$ est une 
cat�gorie dont l'ensemble de base $\BBB$ est un petit ensemble.
\begin{lemm}\label{lemm:cat:1.1}
Une petite cat�gorie est un �l�ment de l'univers.
\end{lemm}
\Dem
La d�monstration est bas�e sur la proposition \ref{prop:preli:2.1}.
Supposons que $\left(\BBB;s;t;\OP\right)$ soit une petit $\MFU$-cat�gorie.
 Comme $\BBB$ 
est $\MFU$-petit, $\BBB\times\BBB$ est petit (propri�t� 3)
et donc aussi $s$, $t$ et $\OP$ (propri�t� 5). Il s'ensuit que le 
quadrulet $\left(\BBB;s;t;\OP\right)$ est un �l�ment de $\MFU$ (propri�t� 7 
et axiomes (U 1) et (U 5)).
\QEDb
Le lemme suivant est une cons�quence imm�diate de la d�finition.
% lemme
\begin{lemm}\label{lemm:cat:1.2}
Si $(\BBB;s;t;\OP)$ est une cat�gorie alors si $x$ est un �l�ment de $\BBB$ 
tel que $s(x)=x$ ou $t(x)=x$ alors $s(x)=t(x)=x$ et pour tous $y$ et $z$ dans $\BBB$ 
v�rifiant $s(y)=t(x)$ et $s(x)=t(z)$, on a 
$$y\OP x=y\quad\text{et}\quad x\OP z=z$$
On dit que l'�l�ment $x$ est une \emph{identit�}\index{identit�}.
\end{lemm}
\Dem 
Si $s(x)=x$, alors $ts(x)=t(x)$. Or $ts(x)=s(x)$ d'apr�s l'axiome (CAT 1). Donc 
$s(x)=t(x)=x$. De m�me si $t(x)=x$.\\
De plus comme $s(y)=t(x)$ et $s(x)=t(z)$, on a, d'apr�s l'axiome (CAT 3),
$$y\OP x=y\OP t(x)=y\OP s(y)=y\quad\text{et}\quad
x\OP z=s(x)\OP z=t(z)\OP z=z$$
\QED
%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%% section 2 %%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Les foncteurs}\label{sec:cat:2} 
Un \emph{foncteur}\index{foncteur} $f:\left(\BBB_1;s_1;t_1;\OP_1\right)\to
\left(\BBB_2;s_2;t_2;\OP_2\right)$, souvent
not� $f:\BBB_1\to\BBB_2$, est un triplet $\left(f;(\BBB_1;s_1;t_1;\OP_1);
(\BBB_2;s_2;t_2;\OP_2)\right)$ o� $f:\BBB_1\to\BBB_2$ est une application 
d'ensembles  v�rifiant les axiomes ci-dessous
\begin{description}
\item[(FONC 1)] $fs_1=s_2f\qquad\mathrm{et}\qquad ft_1=t_2f$
\item[(FONC 2)] $f\#_1=\#_2\left(f\times_c f\right):\BBB_1\times_c\BBB_1\to\BBB_2$
\end{description}
L'application $f\times_c f$ existe car\quad
$s_2\left(f\pi_{s_1}^{t_1}\right)=fs_1\pi_{s_1}^{t_1}=ft_1\pi_{t_1}^{s_1}
=t_2\left(f\pi_{t_1}^{s_1}\right)$
\begin{rema}\label{rema:cat:2.1} 
Il est imm�diat que toute application d'ensembles $f:X\to Y$ est un foncteur 
$$f:\left(X;\Id_X;\Id_X;\Id_X\right)\to\left(Y;\Id_Y;\Id_Y;\Id_Y\right)$$
entre les ensembles $X$ et $Y$ munis des structures de cat�gories vues � la 
remarque \ref{rema:cat:1.1}.
\end{rema}
Donnons une premi�re cons�quence, tr�s classique ,de cette d�finition.
% lemme
\begin{lemm}\label{lemm:cat:2.0}
Si $f:\BBB_{1}\to\BBB_{2}$ est un foncteur de cat�gories, alors $f(s_{1}(x))$ et 
$f(t_{1}(x))$ sont des identit�s pour tout $x\in\BBB_{1}$.
\end{lemm}
\Dem
L'axiome (FONC 1) implique
$$f(s_{1}(x))=s_{2}f(x)\quad\text{et}\quad f(t_{1}(x))=t_{2}f(x)$$
Or $s_{2}s_{2}=s_{2}$ et $t_{2}t_{2}=t_{2}$. Le r�sultat d�coule alors directement 
du lemme \ref{lemm:cat:1.2}.\QED
% proposition
\begin{prop}\label{prop:cat:2.1} 
\begin{itemize}
\item Si $\left(\BBB;s;t\right)$ est un cat�gorie, l'application identit� 
$\Id_{\BBB}$ d�finit un foncteur aussi not� $\Id_{\BBB}$.
\item Si $f_1:\left(\BBB_1;s_1;t_1\right)\to\left(\BBB_2;s_2;t_2\right)$ et 
$f_2:\left(\BBB_2;s_2;t_2\right)\to\left(\BBB_3;s_3;t_3\right)$ sont deux 
foncteurs alors la fonction d'ensembles $f_2f_1$ d�finit elle aussi un 
foncteur 
$$f_2\bullet f_1:\left(\BBB_1;s_1;t_1\right)\to\left(\BBB_3;s_3;t_3\right)$$
\end{itemize}
\end{prop}
\Dem
\begin{itemize}
\item \'Evident.
\item En effet on a
$$\left(f_2f_1\right)s_1=f_2s_2f_1=s_3\left(f_2f_1\right),\qquad
\left(f_2f_1\right)t_1=f_2t_2f_1=t_3\left(f_2f_1\right)$$
et
$$\left(f_2f_1\right)\#_1=f_2\#_2\left(f_1\times_c f_1\right)=
\#_3\left(f_2\times_c f_2\right)\left(f_1\times_c f_1\right)=
\#_3\left(\left(f_2f_1\right)\times_c\left(f_2f_1\right)\right)$$
d'apr�s la proposition \ref{prop:preli:1.2}.\QED
\end{itemize}
\begin{lemm}\label{lemm:cat:2.1}
Si $f:\BBB_1\to\BBB_2$ est un $\MFU$-foncteur entre les petites $\MFU$-cat�gories 
$\BBB_1$ et $\BBB_2$ alors c'est un �l�ment de l'univers $\MFU$.
\end{lemm}
\Dem
La d�monstration est semblable � celle du lemme \ref{lemm:cat:1.1}.  
\QEDb
Posons 
\begin{itemize}
\item $\FONC$ l'ensemble des \emph{petits foncteurs}\index{foncteur!petit foncteur}
(foncteurs entre petites cat�gories),
\item $s:\FONC\to\FONC,\ s\left(f:\BBB_1\to\BBB_2\right)=\Id_{\BBB_1}$\\
$t:\FONC\to\FONC,\ t\left(f:\BBB_1\to\BBB_2\right)=\Id_{\BBB_2}$
\item $\bullet:\FONC\times_c\FONC\to\FONC,\ \bullet\left(f_2;f_1\right)=
f_2\bullet f_1$
\end{itemize}
\begin{theo}\label{theo:cat:2.1} 
$\left(\FONC;s;t;\bullet\right)$ est une cat�gorie.
\end{theo}
\Dem Les trois premiers axiomes sont �vidents et (CAT 4) se d�duit imm�diatement de 
l'associativit� des applications d'ensembles.\QED
%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%% section 3 %%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Les transformations naturelles}\label{sec:cat:3} 
Une \emph{transformation naturelle}\index{transformation naturelle}
$\eta:\left(f_1:\BBB_1\to\BBB_2\right)\leadsto\left(f_2:\BBB_1\to\BBB_2\right)$ 
est un triplet $$\left(\eta:\BBB_1\to\BBB_2;(f_1:\BBB_1\to\BBB_2);
(f_2:\BBB_1\to\BBB_2)\right)$$
o� $\eta:\BBB_1\to\BBB_2$ est une application d'ensembles telle que
\begin{description}
\item[(NAT 1)] $s_2\eta s_1=s_2f_1\qquad\mathrm{et}\qquad t_2\eta s_1=s_2f_2$
\item[(NAT 2)] $\eta=\eta s_1$ 
\item[(NAT 3)] $\#_2\left\langle f_2;\eta s_1\right\rangle=
\#_2\left\langle\eta t_1;f_1\right\rangle$
\end{description}
Pour simplifier, nous noterons souvent $\eta:f_1\leadsto f_2$.
\begin{lemm}\label{lemm:cat:3.0}
L'axiome (NAT 1) est �quivalent � l'axiome suivant
\begin{description}
\item[(NAT 1')] $s_2\eta t_1=t_2f_1\qquad\mathrm{et}\qquad t_2\eta t_1=t_2f_2$
\end{description}
\end{lemm}
\Dem Supposons que l'axiome (NAT 1) soit vrai. D'apr�s les axiomes (CAT 1) et (FONC 1), on a
$$s_2\eta t_1=s_2\eta s_1t_1=s_2f_1t_1=s_2t_2f_1=t_2f_1\qquad\mathrm{et}\qquad 
t_2\eta t_1=t_2\eta s_1t_1=s_2f_2t_1=s_2t_2f_2=t_2f_2$$
La m�me d�monstration marche dans l'autre sens.\QEDb
Ce lemme implique que les applications $\left\langle f_2;\eta s_1\right\rangle$ et 
$\left\langle\eta t_1;f_1\right\rangle$ existent puisque c'est �quivalent � dire
$$s_2f_2=t_2(\eta s_1)\qquad\mathrm{et}\qquad s_2(\eta t_1)=t_2f_2$$
\begin{rema}\label{rema:cat:3.1} 
Si nous observons cette preuve, nous avons juste utilis� la condition (NAT 1).  
En fait (NAT 2) est utile pour assurer une certaine forme d'unicit� qui sera 
n�cessaire plus tard pour d�finir une 
composition des transformations naturelles (voir la proposition \ref{prop:cat:3.2}).
\end{rema}
\begin{prop}\label{prop:cat:3.1} 
Si $f:\BBB_1\to\BBB_2$ est un foncteur, alors $fs_1$ est une transformation 
naturelle de $f$ dans lui-m�me.
\end{prop}
\Dem
\begin{description}
\item[(NAT 1)] $s_2\left(fs_1\right)s_1=s_2s_2fs_1=s_2\left(fs_1\right)
\qquad\mathrm{et}\qquad t_2\left(fs_1\right)s_1=t_2s_2fs_1=s_2\left(fs_1\right)$
\item[(NAT 2)] $\left(fs_1\right)s_1=fs_1$
\item[(NAT 3)] $\#_2\left\langle f;\left(fs_1\right)s_1\right\rangle
=\#_2\left\langle f;fs_1\right\rangle
=\#_2\left\langle\Id_{\BBB_2}f;s_2f\right\rangle
=\#_2\left\langle \Id_{\BBB_2};s_2\right\rangle f
=\Id_{\BBB_2}f=f$\\ et\quad
$\#_2\left\langle\left(fs_1\right)t_1;f\right\rangle
=\#_2\left\langle ft_1;f\right\rangle
=\#_2\left\langle t_2f;\Id_{\BBB_2}f\right\rangle
=\#_2\left\langle t_2;\Id_{\BBB_2}\right\rangle f
=\Id_{\BBB_2}f=f$ \QED
\end{description}
\begin{prop}\label{prop:cat:3.2} 
Si
$$\eta_1:\left(f_1:\left(\BBB_1;s_1;t_1;\#_1\right)\to
\left(\BBB_2;s_2;t_2;\#_2\right)\right)
\leadsto\left(f_2:\left(\BBB_1;s_1;t_1;\#_1\right)
\to\left(\BBB_2;s_2;t_2;\#_2\right)\right)$$
et
$$\eta_2:\left(f_2:\left(\BBB_1;s_1;t_1;\#_1\right)\to
\left(\BBB_2;s_2;t_2;\#_2\right)\right)
\leadsto\left(f_3:\left(\BBB_1;s_1;t_1;\#_1\right)\to
\left(\BBB_2;s_2;t_2;\#_2\right)\right)$$
sont deux transformations naturelles, alors l'application d'ensembles 
$\left\langle \eta_2;\eta_1\right\rangle$ existe et l'application 
$\#_2\left\langle \eta_2;\eta_1\right\rangle$ d�finit une transformation
naturelle de $f_1$ dans $f_3$.
\end{prop}
\Dem
\begin{itemize}
\item Pour d�montrer l'existence de $\left\langle \eta_2;\eta_1\right\rangle$, 
il suffit de prouver que $s_2\eta_2=t_2\eta_1$. Ce qui est fait ci-
dessous en utilisant l'axiome (NAT 2).
$$s_2\eta_2=s_2\eta_2s_1=s_2f_2 \qquad\mathrm{et}
\qquad t_2\eta_1=t_2\eta_1s_1=s_2f_2$$
\item Il nous reste � prouver que $\#_2\left\langle \eta_2;\eta_1\right\rangle$ est une application
naturelle de $f_1$ vers 
\begin{description}
\item[(NAT 1)] $s_2\#_2\left\langle \eta_2;\eta_1\right\rangle s_1
=s_2\pi_{t_2}^{s_2}\left\langle \eta_2;\eta_1\right\rangle s_1
=s_2\eta_1s_1=s_2f_1$\\
et $t_2\#_2\left\langle \eta_2;\eta_1\right\rangle s_1
=t_2\pi_{s_2}^{t_2}\left\langle \eta_2;\eta_1\right\rangle s_1
=t_2\eta_2s_1=s_2f_3$
\item[(NAT 2)] $\#_2\left\langle \eta_2;\eta_1\right\rangle s_1
=\#_2\left\langle \eta_2s_1;\eta_1s_1\right\rangle
=\#_2\left\langle \eta_2;\eta_1\right\rangle$
\item[(NAT 3)] Cons�quence des calculs suivants
\begin{align*}
\#_2\left\langle f_3;\#_2\left\langle \eta_2;\eta_1
\right\rangle s_1\right\rangle
&=\#_2\left\langle f_3;\#_2\left\langle\eta_2s_1;\eta_1s_1
\right\rangle\right\rangle\displaybreak[0]\\
&=\#_2\left(\Id_{\BBB_2}\times_c\#_2\right)\left\langle 
f_3;\left\langle\eta_2s_1;\eta_1s_1\right\rangle\right\rangle
\displaybreak[0]\\
&=\#_2\left(\#_2\times_c\Id_{\BBB_2}\right)\omega^{-1}
\left\langle f_3;
\left\langle\eta_2s_1;\eta_1s_1\right\rangle\right\rangle
\displaybreak[0]\\
&=\#_2\left(\#_2\times_c\Id_{\BBB_2}\right)
\left\langle\left\langle f_3;\eta_2s_1\right\rangle;
\eta_1s_1\right\rangle
\displaybreak[0]\\
&=\#_2\left\langle\#_2\left\langle f_3;\eta_2s_1\right\rangle;
\eta_1s_1\right\rangle
\displaybreak[0]\\
&=\#_2\left\langle\#_2\left\langle\eta_2t_1;f_2\right\rangle;
\eta_1s_1\right\rangle\displaybreak[0]\\
&=\#_2\left(\#_2\times_c\Id_{\BBB_2}\right)
\left\langle\left\langle\eta_2t_1;f_2\right\rangle;
\eta_1s_1\right\rangle\displaybreak[0]\\
&=\#_2\left(\Id_{\BBB_2}\times_c\#_2\right)\omega
\left\langle\left\langle\eta_2t_1;f_2\right\rangle;
\eta_1s_1\right\rangle\displaybreak[0]\\
&=\#_2\left(\Id_{\BBB_2}\times_c\#_2\right)
\left\langle\eta_2t_1;\left\langle f_2;
\eta_1s_1\right\rangle\right\rangle\displaybreak[0]\\
&=\#_2\left\langle\eta_2t_1;\#_2\left\langle f_2;
\eta_1s_1\right\rangle\right\rangle\displaybreak[0]\\
&=\#_2\left\langle\eta_2t_1;\#_2\left\langle\eta_1t_1;
f_1\right\rangle\right\rangle\displaybreak[0]\\
&=\#_2\left(\Id_{\BBB_2}\times_c\#_2\right)
\left\langle\eta_2t_1;\left\langle\eta_1t_1;
f_1\right\rangle\right\rangle\displaybreak[0]\\
&=\#_2\left(\#_2\times_c\Id_{\BBB_2}\right)\omega^{-1}
\left\langle\eta_2t_1;\left\langle\eta_1t_1;
f_1\right\rangle\right\rangle\displaybreak[0]\\
&=\#_2\left(\#_2\times_c\Id_{\BBB_2}\right)
\left\langle\left\langle\eta_2t_1;\eta_1t_1\right\rangle;
f_1\right\rangle\displaybreak[0]\\
&=\#_2\left\langle\#_2\left\langle\eta_2t_1;\eta_1t_1
\right\rangle; f_1\right\rangle\displaybreak[0]\\
&=\#_2\left\langle\#_2\left\langle\eta_2;\eta_1
\right\rangle t_1; f_1\right\rangle
\end{align*}\QED
\end{description}
\end{itemize} 
\begin{lemm}\label{lemm:cat:3.1}
Une \emph{petite transformation naturelle}\index{transformation naturelle!
petite transformation naturelle} (transformation naturelle entre petits foncteurs)
est un �l�ment de l'univers.
\end{lemm}
\Dem
La d�monstration est semblable � celle du lemme \ref{lemm:cat:1.1}.  
\QEDb
On peut donc consid�rer
\begin{itemize}
\item $\NAT$ l'ensemble des  \emph{petites transformations naturelles},
\item $s:\NAT\to\NAT,\ s\left(\eta:f_1\leadsto f_2\right)=f_1s_1$\\
$t:\NAT\to\NAT,\ t\left(\eta:f_1\leadsto f_2\right)=f_2s_1$
\item $\star:\NAT\times_c\NAT\to\NAT,\ 
\star\left(\eta_2,\eta_1\right)=\eta_2\star\eta_1
=\#_2\left\langle\eta_2;\eta_1\right\rangle$\\
o� $\NAT\times_c\NAT=\left\lbrace\left(\eta_2;\eta_1\right)\in\NAT\times\NAT\mid
s\eta_2=t\eta_1\right\rbrace $.
\end{itemize} 
\begin{theo}\label{theo:cat:3.1} 
$\left(\NAT;s;t;\star\right)$ est une cat�gorie.
\end{theo}
\Dem
\begin{description}
\item[(CAT 1)] $ss\left(\eta\right)=s\left(f_1s_1\right)=f_1s_1=s\left(\eta\right),\qquad
st\left(\eta\right)=s\left(f_2s_1\right)=f_2s_1=t\left(\eta\right)$\\
$tt\left(\eta\right)=t\left(f_2s_1\right)=f_2s_1=t\left(\eta\right),\qquad
ts\left(\eta\right)=s\left(f_1s_1\right)=f_1s_1=s\left(\eta\right)$
\item[(CAT 2)] $s\star\left(\eta_2;\eta_1\right)=s\#_2 \left\langle\eta_2;\eta_1\right\rangle
=f_1s_1=s\left(\eta_1\right)=s\pi_{t}^{s}\left(\eta_2;\eta_1\right)$\\
$t\star\left(\eta_2;\eta_1\right)=t\#_2 \left\langle\eta_2;\eta_1\right\rangle
=f_3s_1=t\left(\eta_2\right)=t\pi_{s}^{t}\left(\eta_2;\eta_1\right)$
\item[(CAT 3)] On a
\begin{align*}
\star\left\langle\Id_{\BBB_2};s\right\rangle\left(\eta\right)
=\star\left(\eta;s\eta\right)
&=\#_2\left\langle\eta;s\eta\right\rangle\displaybreak[0]\\
&=\#_2\left\langle\eta;f_1s_1\right\rangle\displaybreak[0]\\
&=\#_2\left\langle\eta;s_2f_1\right\rangle\displaybreak[0]\\
&=\#_2\left\langle\eta;s_2\eta s_1\right\rangle
=\#_2\left\langle\eta;s_2\eta\right\rangle
=\#_2\left\langle\Id_{\BBB_2};s_2\right\rangle\left(\eta\right)
=\eta
\end{align*}
et de m�me $\star\left\langle t;\Id_{\BBB_2}\right\rangle
\left(\eta\right)=\eta$.
\item[(CAT 4)] Finalement
\begin{align*}
\star\left(\star\times_c\Id_{\NAT}\right)
\left(\left(\eta_3;\eta_2\right);\eta_1\right)
&=\star\left(\star\left(\eta_3;\eta_2\right);\eta_1\right)
\displaybreak[0]\\
&=\#_2\left\langle\#_2\left\langle\eta_3;\eta_2\right\rangle;
\eta_1\right\rangle\displaybreak[0]\\
&=\#_2\left(\#_2\times_c\Id_{\BBB_2}\right)
\left\langle\left\langle\eta_3;\eta_2\right\rangle;\eta_1\right\rangle
\displaybreak[0]\\
&=\#_2\left(\Id_{\BBB_2}\times_c\#_2\right)\omega
\left\langle\left\langle\eta_3;\eta_2\right\rangle;\eta_1\right\rangle
\displaybreak[0]\\
&=\#_2\left(\Id_{\BBB_2}\times_c\#_2\right)
\left\langle\eta_3;\left\langle\eta_2;\eta_1\right\rangle\right\rangle
\displaybreak[0]\\
&=\#_2\left\langle\eta_3;\#_2\left\langle\eta_2;\eta_1\right\rangle
\right\rangle\displaybreak[0]\\
&=\star\left(\eta_3;\star\left(\eta_2;\eta_1\right)\right)
\displaybreak[0]\\
&=\star\left(\Id_{\NAT}\times_c\star\right)
\left(\eta_3;\left(\eta_2;\eta_1\right)\right)\displaybreak[0]\\
&=\star\left(\Id_{\NAT}\times_c\star\right)\omega
\left(\left(\eta_3;\eta_2\right);\eta_1\right)
\end{align*}\QED
\end{description}
La proposition suivante montre l'un des int�r�ts du point de vue que nous avons 
adopt�. 
\begin{prop}\label{prop:cat:3.3} 
Soient $\eta:\left(f_1:\BBB_1\to\BBB_2\right)\leadsto\left(f_2:\BBB_1
\to\BBB_2\right)$ une application naturelle et $g:\left(\BBA;s;t;\#\right)
\to\left(\BBB_1;s_1;t_1;\#_1\right)$, $h:\left(\BBB_2;s_2;t_2;\#_2\right) 
\to\left(\BBC;s';t';\#'\right) $ deux foncteurs. L'application d'ensembles 
$h\eta g:\BBA\to\BBC$ est en fait une transformation naturelle du foncteur 
$h\bullet f_1\bullet g$ vers le foncteur $h\bullet f_2\bullet g$.
\end{prop}
\Dem V�rifions les trois axiomes
\begin{description}
\item[(NAT 1)] On a
$$s'\left(h\eta g\right)s=hs_2\eta s_1g=hs_2f_1g=s'\left(h
\bullet f_1\bullet g\right)$$
$$t'\left(h\eta g\right)s=ht_2\eta s_1g=hs_2f_2g=s'\left(h\bullet f_2
\bullet g\right)$$
\item[(NAT 2)] $\left(h\eta g\right)s=h\eta s_1g=h\eta g$
\item[(NAT 3)] On a
\begin{align*}
\#'\left\langle h\bullet f_2\bullet g;h\eta g s\right\rangle
&=\#'\left\langle h f_2 g;h\eta s_1g\right\rangle\displaybreak[0]\\
&=\#'\left(h\times_c h\right)\left\langle f_2;\eta s_1\right\rangle
g\displaybreak[0]\\
&=h\#_2\left\langle f_2;\eta s_1\right\rangle g\displaybreak[0]\\
&=h\#_2\left\langle \eta t_1;f_1\right\rangle g\displaybreak[0]\\
&=\#'\left(h\times_c h\right)\left\langle \eta t_1;f_1\right\rangle
g\displaybreak[0]\\
&=\#'\left\langle h\eta t_1g;hf_1g\right\rangle\displaybreak[0]\\
&=\#'\left\langle h\eta gt;hf_1g\right\rangle\displaybreak[0]\\
&=\#'\left\langle h\eta gt;h\bullet f_1\bullet g\right\rangle
\end{align*}\QED
\end{description} 
%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%% section 4 %%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Relation avec les notions habituelles}\label{sec:cat:4} 
\subsection{Cat�gorie \Dire{classique} associ�e � une cat�gorie 
\Dire{sans objets}}\label{subsec:cat:4.1} 
Soit $\left(\BBB;s;t\right)$ une cat�gorie \Dire{sans objet}. Parmi les 
�l�ments de $\BBB$, certains jouent un r�le particulier : les identit�s.

Par d�finition, $x\in\BBB$ est une identit� si pour tous �l�ments $y$ et 
$z$ de $\BBB$ tels que $s\left(y\right)=t\left(x\right)$ et 
$s\left(x\right)=t\left(z\right)$, on a $y\#x=y$ et $x\#z=z$. Notons 
$\Id\left(\BBB\right)$ l'ensemble des identit�s de $\BBB$.

Bien que nous n'en ayons besoin que plus tard, nous pouvons maintenant 
d�finir la notion d'�l�ments inversible. On dit que $x\in\BBB$ est inversible 
quand il existe $y\in\BBB$ tel que $x\#y\in\Id\left(\BBB\right)$ et 
$y\#x\in\Id\left(\BBB\right)$.
\begin{lemm}\label{lemm:cat:4.1} 
Si pour toute application $f:\BBB\to\BBB$, on pose
$$\Ima\left(f\right)=\left\{x\in\BBB\mid\exists y\in\BBB,f\left(y\right)=x\right\}
\qquad\mathrm{et}\qquad
\FIX\left(f\right)=\left\{x\in\BBB\mid f\left(x\right)=x\right\}$$
alors on a
$$\Id\left(\BBB\right)=\Ima\left(s\right)=\Ima\left(t\right)=
\FIX\left(s\right)=\FIX\left(t\right)$$
\end{lemm}
\Dem Comme $st=t$ et $ts=s$, on a $\Ima\left(t\right)\subseteq\Ima\left(s\right)$ et
$\Ima\left(s\right)\subseteq\Ima\left(t\right)$.\\
Il est clair que $\FIX\left(s\right)\subseteq\Ima\left(s\right)$ et $\FIX\left(t\right)\subseteq\Ima\left(t\right)$.\\
Soit $x\in\Ima\left(s\right)$. On peut �crire $x=s\left(y\right)$ avec $y\in\BBB$. On a
ainsi $s\left(x\right)=ss\left(y\right)=s\left(y\right)=x$.
Donc $\Ima\left(s\right)\subseteq\FIX\left(s\right)$ et de m�me 
$\Ima\left(t\right)\subseteq\FIX\left(t\right)$.\\
Il ne nous reste plus qu'� prouver $\Id\left(\BBB\right)=\FIX\left(s\right)$.\\
Si $x\in\Id\left(\BBB\right)$, alors $x\#s\left(x\right)=s\left(x\right)$. Or d'apr�s 
l'axiome (CAT 3), on a $x\#s\left(x\right)=x$. D'o� $s\left(x\right)=x$. C'est-�-dire 
$\Id\left(\BBB\right)\subseteq\FIX\left(s\right)$.\\
De plus on vient de voir que si $x$ appartient � $\FIX\left(s\right)$, alors
$x=s\left(x\right)=t\left(x\right)$. Donc d'apr�s l'axiome (CAT 3), $x$ est une identit�.
\QEDb
Nous pouvons maintenant d�finir une cat�gorie au sens classique du terme en 
prenant les donn�es suivantes :
\begin{itemize}
\item $\Ob=\Id\left(\BBB\right)$,
\item Pour tout $\left(x;y\right)\in\Ob^2$, 
$$\Mor_{\BBB}\left(x;y\right)=\left\lbrace f\in\BBB\mid s\left(f\right)
=x,\ t\left(f\right)=y\right\rbrace$$
\item Pour chaque $x\in\Ob$, 
$$\Id_x=x\in\Mor_{\BBB}\left(x;x\right)$$
\item Pour tout triplet $\left(x;y;z\right)\in\Ob^3$,
\begin{align*}
\circ :\Mor_{\BBB}\left(y;z\right)\times\Mor_{\BBB}
\left(x;y\right)&\longrightarrow\Mor_{\BBB}\left(x;z\right)\\
\left(f;g\right)&\longmapsto f\circ g=f\# g
\end{align*}
Cette derni�re est bien d�finie car $s\left(f\right)=x=
t\left(g\right)$
\end{itemize}
En effet les axiomes sont satisfaits
\begin{description}
\item[(identit�)] Si $f:x\to y$ pour tout $\left(x;y\right)\in\Ob^2$,
alors $$f\circ\Id_x=f\#x=f\quad\mathrm{et}\quad\Id_y\circ f=y\# f=f$$
d'apr�s la d�finition m�me de $\Id\left(\BBB\right)$.
\item[(associativit�)] Si $f:z\to y$, $g:y\to x$ et $h:x\to v$ sont 
trois morphismes quelconques, alors
\begin{align*}
\left(f\circ g\right)\circ h
&=\#\left(\#\times_c\Id_{\BBB}\right)\left(\left(f;g\right);h\right)
\displaybreak[0]\\ 
&=\#\left(\Id_{\BBB}\times_c\#\right)\omega\left(\left(f;g\right);
h\right)\displaybreak[0]\\ 
&=\#\left(\Id_{\BBB}\times_c\#\right)\left(f;\left(g;h\right)\right)
\displaybreak[0]\\ 
&=f\circ\left(g\circ h\right)
\end{align*}
\end{description}
\subsection{Cat�gorie \Dire{sans objets} associ�e � une cat�gorie \Dire{classique}}
\label{subsec:cat:4.2} 
Soit $\BBC$ une cat�gorie classique dont la composition est not�e $\circ$.
On d�finit une cat�gorie \Dire{sans objets} $\left(\BBB;s;t;\#\right)$ en prenant
\begin{itemize}
\item $\BBB=\bigcup_{(x;y)\in\Ob(\BBC)^2}\Mor_{\BBC}\left(x;y\right)$
\item $s:\BBB\to\BBB,\ s\left(f:x\to y\right)=\Id_x$\\
$t:\BBB\to\BBB,\ t\left(f:x\to y\right)=\Id_y$
\item $\#:\BBB\times_c\BBB\to\BBB,\ \#\left(f;g\right)=f\circ g$\\
o� $f\circ g$ est bien d�finie car
$\Id_y=s\left(f:y\to z\right)=t\left(g:x\to y'\right)=\Id_{y'}$, i.e.
$y=y'$.
\end{itemize}
Les axiomes sont satisfaits
\begin{description}
\item[(CAT 1)] \'Evident.
\item[(CAT 2)] Si $\left(f:z\to y;g:x\to y\right)\in\BBB\times_c\BBB$ alors
$$s\#\left(f;g\right)=s\left(f\circ g\right)=x\quad\mathrm{et}\quad 
s\pi_{s}^{t}\left(f;g\right)=s\left(g\right)=x$$
$$t\#\left(f;g\right)=t\left(f\circ g\right)=z\quad\mathrm{et}\quad 
t\pi_{t}^{s}\left(f;g\right)=t\left(f\right)=z$$
\item[(CAT 3)] Soit $f:x\to y\in\BBB$.
$$\OP\left\langle\Id_{\BBB};s\right\rangle(f)=\OP(f;\Id_x)
=f\circ\Id_x=f=\Id_{\BBB}(f)$$
$$\OP\left\langle t;\Id_{\BBB}\right\rangle(f)=\OP(\Id_y;f)
=\Id_y\circ f=f=\Id_{\BBB}(f)$$
\item[(CAT 4)] Soit $\left(\left(f;g\right);h\right)\in\left( 
\BBB\times_c\BBB\right)\times_c\BBB$. On a
$$\#\left(\#\times_c\Id\right)\left(\left(f;g\right);h\right)
=\left(f\circ g\right)\circ h$$
et
$$\#\left(\Id\times_c\#\right)\omega\left(\left(f;g\right);h\right)
=\#\left(\Id\times_c\#\right)\left(f;\left(g;h\right)\right)
=f\circ\left(g\circ h\right)$$
or $\left(f\circ g\right)\circ h=f\circ\left(g\circ h\right)$.
\end{description}
\subsection{Les foncteurs}
Soit $f:\left(\BBB_1;s_1;t_1;\#_1\right)\to\left(\BBB_2;s_2;t_2;\#_2\right)$ 
un foncteur de cat�gories \Dire{sans objets}.
Les donn�es suivantes
\begin{itemize}
\item pour chaque $x\in\Ob_1=\Id\left(\BBB_1\right)$, 
$$F\left(x\right)=f\left(x\right)\in\Ob_2=\Id\left(\BBB_2
\right)$$
C'est bien d�fini car $f\left(x\right)=f\left(s_1\left(s\left(
x\right)\right)\right)=s_2f\left(x\right)\in\Ima\left(s_2\right)=\Ob_2$.
\item pour chaque $u\in\Mor_{\BBB_1}\left(x;y\right)$,
$$F\left(u\right)=f\left(u\right)\in\Mor_{\BBB_2}
\left(F(x);F(y)\right)$$
car $s_2\left(f\left(u\right)\right)=f\left(s_1\left(u\right)\right)
=f\left(x\right)$ et $t_2\left(f\left(u\right)\right)=
f\left(t_1\left(u\right)\right)=f\left(y\right)$.
\end{itemize}
d�finissent bien un foncteur car
\begin{itemize}
\item pour tout $x\in\Ob_1$,
$$F\left(\Id_x\right)=f\left(x\right)=\Id_{f(x)}=
\Id_{F(x)}$$
\item et pour tous morphismes $u:y\to z$, $v:x\to y$,
$$F\left(u\circ_1 v\right)=f\left(u\#_1 v\right)
=f\left(u\right)\#_2 f\left(v\right)=F\left(u\right)
\circ_2 F\left(v\right)$$
\end{itemize}

Soit $F:\BBC_1\to\BBC_2$ un foncteur de cat�gories \Dire{classiques}.
La fonction d'ensembles $f:\BBB_1\to\BBB_2$ donn�e par
$$f\left(u\right)=F\left(u\right)\in\Mor_{\BBC_1}\left(F(x);F(y)\right)
\subseteq\BBB_2$$pour tout $u\in\Mor_{\BBC_1}\left(x;y\right)$, est un 
foncteur de cat�gories \Dire{sans objets}.
\begin{description}
\item[(FONC 1)]pour $u\in\Mor_{\BBC_1}\left(x;y\right)$, $$f\left(s_1\left(u\right)\right)=f\left(\Id_x\right)=F\left(\Id_x\right)
=\Id_{F(x)}=s_2\left(F\left(u\right)\right)=s_2f\left(u\right)$$
De m�me $f\left(t_1\left(u\right)\right)=t_2\left(f\left(u\right)\right)$.
\item[(FONC 2)]pour $\left(u;v\right)\in\Mor_{\BBC_1}\left(y;z\right)
\times\Mor_{\BBC_1}\left(x;y\right)$,
$$\#_2\left(f\times_c f\right)\left(u;v\right)=
\#_2\left(f(u);f(v)\right)=F(u)\circ_2F(v)=F\left(u\circ_1v\right)
=f\#_1\left(u;v\right)$$
\end{description} 

\subsection{Les transformations naturelles}\label{subsec:cat:4.3} 
Les calculs �tant toujours les m�mes, nous nous contenterons ici de donner
les constructions.

Soit $\eta:\left(f_1:\BBB_1\to\BBB_2\right)\leadsto
\left(f_1:\BBB_1\to\BBB_2\right)$ une transformation naturelle (de cat�gories 
\Dire{sans objets}). On obtient une transformation naturelle $\Xi:F_1\leadsto F_2$ 
en prenant pour tout objet $x\in\Ob_1$
$$\Xi_{x}=\eta\left(x\right)\in\Mor_{\BBC_2}\left(F_1(x);F_2(x)\right)$$

Et si $\Xi:\left(F_1:\BBC_1\to\BBC_2\right)\leadsto
\left(F_2:\BBC_1\to\BBC_2\right)$ est une transformation naturelle (de 
cat�gories \Dire{classiques}), alors la fonction d'ensembles
$\eta:f_1\to f_2$ donn�e par
$$\eta\left(u\right)=\Xi\left(x\right)\in\Mor_{\BBC_2}\left(F_1(x);F_2(x)
\right)\subseteq\BBB_2$$
pour $u\in\Mor_{\BBC_1}\left(x;y\right)\subseteq\BBB_1$, est une transformation
naturelle.

chap3_groupements.tex
\chapter{Les groupements}\label{chap:gr}
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%%%  section 1 %%%
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\section{Les origines}\label{sec:gr:1}
En lisant le chapitre pr�c�dent, une premi�re �vidence s'impose : L'utilisation 
du pull-back complique la th�orie. Quitte � perdre sur l'unicit�, rien ne nous emp�che 
d'�tendre la composition $\OP$ � l'ensemble produit $\BBB\times\BBB$.
Ce qui nous donne les d�finitions suivantes pour les cat�gories, foncteurs et 
transformations naturelles :
\begin{itemize}
\item Une cat�gorie $\left(\BBB;s;t;\OP\right)$ est un ensemble $\BBB$ muni de trois applications
\begin{itemize}
\item $s:\BBB\to\BBB$,
\item $t:\BBB\to\BBB$,
\item et $\OP:\BBB\times\BBB\to\BBB$,
\end{itemize}    
telles que les axiomes suivants soient satisfaits :
\begin{description}
\item[(CAT 1)] $ss=s$,\quad$st=t$,\quad$tt=t$,\quad$ts=s$ ;
\item[(CAT 2)] Si $x$ et $y$ sont deux �l�ments de $\BBB$ satisfaisant 
        $s(x)=t(y)$ alors $$s\left(x\OP y\right)=s(y)\quad \text{et}\quad 
        t\left(x\OP y\right)=t(x)$$
\item[(CAT 3)] pour tout $x\in\BBB$ alors $x\OP s(x)=x$ et $t(x)\OP x=x$ ;
\item[(CAT 4)] si $x,y,z$ sont trois �l�ments de $\BBB$ tels que $s(x)=t(y)$ et
        $s(y)=t(z)$, alors $$\left(x\OP y\right)\OP z=x\OP\left(y\OP z\right)$$
\end{description}
\item Un foncteur $f$ entre la cat�gorie $\left(\BBB_1;s_1;t_1;\OP_1\right)$ et la 
cat�gorie $\left(\BBB_2;s_2;t_2;\OP_2\right)$ est un triplet $\left((\BBB_1;s_1;t_1;
\OP_1);(\BBB_2;s_2;t_2;\OP_2);f\right)$, souvent not� $f:\left(\BBB_1;s_1;t_1;\OP_1\right)
\longrightarrow\left(\BBB_2;s_2;t_2;\OP_2\right)$, o� $f$ est 
une application d'ensembles $f:\BBB_1\to\BBB_2$ v�rifiant les axiomes
\begin{description}
\item[(FONC 1)] $fs_1=s_2f$,\quad $ft_1=t_2f$ ;
\item[(FONC 2)] si $x$ et $y$ sont deux �l�ments de $\BBB_1$ tels que 
        $s(x)=t(y)$, alors $$f\left(x\OP_1y\right)=f(x)\OP_2f(y)$$
\end{description}
\item Une application naturelle $\eta:f_1\leadsto f_2$ entre le foncteur 
$f_1$ et le foncteur $f_2$ est un triplet $\left(\eta;f_1;f_2\right)$ o� 
$\eta:\BBB_1\to\BBB_2$ une application d'ensembles satisfaisant les trois axiomes 
ci-dessous
\begin{description}
\item[(NAT 1)] $s_2\eta s_1=f_1s_1$,\quad $t_2\eta s_1=f_2s_1$ ;
\item[(NAT 2)] $\eta=\eta s_1$.
\item[(NAT 3)] pour tout $x$ dans $\BBB_1$, on a\quad
        $f_2(x)\OP_2\eta\left(s_1(x)\right)=\eta\left(t_1(x)\right)\OP_2f_1(x)$ ;
\end{description}
\end{itemize}
D'apr�s la remarque \ref{rema:cat:3.1}, l'axiome (NAT 2) ne semble par tr�s naturelle. 
Pour �tre plus pr�cis il n'a �t� utilis� que pour assurer l'existence de la composition 
$\OP\left\langle\eta_1;\eta_2\right\rangle$ et assurer la v�racit� de l'axiome (CAT 3) 
pour la cat�gorie $\NAT$.

En fait comme nous l'avons d�j� dit, l'axiome (NAT 2) permet de r�duire le nombre de 
transformations naturelles en identifiant celles qui nous semblent avoir les m�mes 
propri�t�s. Un moment de r�flexion, nous am�ne � penser que l'axiome (CAT 3) des cat�gories joue un
r�le tr�s semblable. Il nous sert � identifier les objets et les identit�s.
C'est-�-dire � identifier les cat�gories qui ont les m�mes identit�s. C'est 
la supression de ces deux axiomes qui nous pousse � introduire la notion de groupement. 
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%%%  section 2  %%%
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\section{D�finition d'un groupement}\label{sec:gr:2}
On d�finit un \emph{groupement}\index{groupement} $\left(\BBB;s;t;\OP\right)$
comme �tant un ensemble $\BBB$ muni de trois applications
\begin{itemize}
\item $s:\BBB\to\BBB$, la \emph{source}\index{source},
\item $t:\BBB\to\BBB$, le \emph{but}\index{but},
\item et $\OP:\BBB\times\BBB\to\BBB$, la \emph{composition}\index{composition},
\end{itemize}    
telles que les axiomes suivants soient satisfaits :
\begin{description}
\item[(GR 1)] $ss=s$,\quad$st=t$,\quad$tt=t$,\quad$ts=s$ ;
\item[(GR 2)] Si $x$ et $y$ sont deux �l�ments de $\BBB$ satisfaisant 
        $s(x)=t(y)$ alors $$s\left(x\OP y\right)=s(y)\quad \text{et}\quad 
        t\left(x\OP y\right)=t(x)$$
\item[(GR 3)] si $x,y,z$ sont trois �l�ments de $\BBB$ tels que $s(x)=t(y)$ et
        $s(y)=t(z)$, alors $$\left(x\OP y\right)\OP z=x\left(y\OP z\right)$$
\end{description}
\begin{exem}\label{exem:gr:2.1}
\'Etant donn� que notre objectif est de g�n�raliser l�g�rement la th�orie de cat�gories, il
est normal que celle-ci soient des groupements. Les axiomes (CAT 1), (CAT 2) et (CAT 4) sont
mot pour mot les trois axiomes (GR1), (GR2) et (GR3).
\end{exem}
\begin{exem}\label{exem:gr:2.2}
Soit $(M;\bullet)$ un mono�de non vide. Choisissons un �l�ment $c$ quelconque dans 
$M$ et notons $\breve{c}$ l'application constante de $M$ dans lui-m�me qui a tout 
�l�ment associe $c$. Il est imm�diat que $\left(M;\breve{c};\breve{c};\bullet\right)$
est un groupement. Il est aussi � remarquer que l'on peut ainsi associer au mono�de 
$(M;\bullet)$ un grand nombre de groupements.   
\end{exem}
\begin{rema}\label{rema:gr:2.1}
Dans l'exemple pr�c�dent, si le mono�de est un groupe $(G;\bullet;e)$ d'�l�ment 
neutre $e$, alors on peut prendre $e$ � la place de $c$. Clairement 
$(G;\breve{e};\breve{e};\bullet)$ 
est un groupement. De plus on v�rifie ais�ment que c'est une cat�gorie. 
C'est d'ailleurs de cette mani�re que l'on montre habituellement que les groupes 
sont des exemples de cat�gorie.
\end{rema}
Un groupement est dit \emph{petit}\index{groupement!petit groupement} si $\BBB$ 
est un petit ensemble.
\begin{rema}\label{rema:gr:2.2} 
Pour �tre plus pr�cis nous devrions parler de \emph{$\MFU$-groupements}
\index{groupement!$\MFU$-groupement} et de 
\emph{petits $\MFU$-groupements}\index{groupement!petit $\MFU$-groupement}.
\end{rema} 
\begin{lemm}\label{lemm:gr:2.1}
Un petit $\MFU$-groupement est un �l�ment de l'univers $\MFU$.
\end{lemm}
\Dem 
La d�monstration est semblable � celle du lemme \ref{lemm:cat:1.1}. 
\QEDb
Il est � remarquer dans la d�finition des groupements, qu'il y a une certaine sym�trie 
entre le r�le de l'application source et celui de l'application but. La seule diff�rence
se situe au niveau de la composition. Soyons plus pr�cis en prenant un groupement 
$\left(\BBB;s;t;\OP\right)$. Il est ais� de montrer que le quadruplet $\left(\BBB^\ast;
s^\ast;t^\ast;\OP^\ast\right)$, o� $\BBB^\ast=\BBB$, $s^\ast=t$, $t^\ast=s$ et 
$x\OP^\ast y=y\OP x$ pour tous $x$ et $y$ dans $\BBB^\ast$, est un groupement.
\begin{description}
\item[(GR 1)] On a $s^\ast s^\ast=tt=t=s^\ast $. De m�me \quad 
$s^\ast t^\ast=t^\ast $,\quad$t^\ast t^\ast=t^\ast $,\quad$t^\ast s^\ast=s^\ast $.
\item[(GR 2)] Si $x$ et $y$ sont deux �l�ments de $\BBB^\ast=\BBB$ satisfaisant 
        $s^\ast(x)=t^\ast(y)$ alors $$s^\ast\left(x\OP^\ast y\right)=t(y\OP x)=t(y)=
        s^\ast(y)\quad\text{et}\quad t^\ast\left(x\OP^\ast y\right)=s(y\OP x)=s(x)=t^\ast(x)$$
        car $t(x)=s(y)$.
\item[(GR 3)] si $x,y,z$ sont trois �l�ments de $\BBB^\ast=\BBB$ tels que 
$s^\ast(x)=t^\ast(y)$ et
        $s^\ast(y)=t^\ast(z)$, alors $$\left(x\OP^\ast y\right)\OP^\ast z=
        z\OP\left(y\OP x\right)=\left(z\OP y\right)\OP x=x\OP^\ast\left(
        y\OP^\ast \right)$$
        car $t(x)=s(y)$ et $t(y)=s(z)$.
\end{description}
Le groupement $\left(\BBB^\ast;s^\ast;t^\ast;\OP^\ast\right)$ est appel� \emph{dual}
\index{groupement!groupement dual} du groupement $\left(\BBB;s;t;\OP\right)$.
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%%%  section 3  %%%%
%%%%%%%%%%%%%
\section{Les g-foncteurs et g-morphismes}\label{sec:gr:3}
Un \emph{g-foncteur}\index{g-foncteur} $f$ entre le groupement
$\left(\BBB_1;s_1;t_1;\OP_1\right)$
et le groupement $\left(\BBB_2;s_2;t_2;\OP_2\right)$ est un triplet
$\left((\BBB_1;s_1;t_1;
\OP_1);(\BBB_2;s_2;t_2;\OP_2);f\right)$, souvent not�
$f:\left(\BBB_1;s_1;t_1;\OP_1\right)
\longrightarrow\left(\BBB_2;s_2;t_2;\OP_2\right)$, o� $f$ est
une application d'ensembles $f:\BBB_1\to\BBB_2$ v�rifiant les axiomes suivants
\begin{description}
\item[(GFONC 1)] $fs_1=s_2f$,\quad $ft_1=t_2f$ ;
\item[(GFONC 2)] si $x$ et $y$ sont deux �l�ments de $\BBB_1$ tels que
        $s_1(x)=t_1(y)$, alors $$f\left(x\OP_1y\right)=f(x)\OP_2f(y)$$
\end{description}
Par abus de notation, nous noterons souvent $$f:\BBB_1\to\BBB_2$$ � la place de
$$f:\left(\BBB_1;s_1;t_1;\OP_1\right)\longrightarrow\left(\BBB_2;s_2;t_2;
\OP_2\right)$$
\begin{rema}\label{rema:gr:3.1}
Comme pour les groupements, on devrait parler de \emph{$\MFU$-g-foncteurs}
\index{g-foncteur!$\MFU$-g-foncteur}, plut�t 
que de g-foncteurs.
\end{rema}
\begin{exem}\label{exem:gr:3.1}
Il est clair que tout foncteur entre cat�gories est un g-foncteur.
\end{exem}
\begin{rema}\label{rema:gr:3.2}
Quand nous avons associ� des groupements � un mono�de, nous avons choisi des �l�ments
de celui-ci, ce qui fait que les morphismes de mono�des ne deviennent pas n�cessairement
des g-foncteurs. Nous sommes ici dans la m�me situation que celle o� se sont trouv�s les
topologues quand ils ont commenc� � �tudier le groupe fondamental. Comme eux, nous pourrions
r�soudre notre probl�me en ne consid�rant  pas simplement des mono�des $M$ mais des mono�des
point�s $(M;c)$ o� $c\in M$.
\end{rema}
\begin{exem}\label{exem:gr:3.2}
Il est usuel de voir les groupes comme des cat�gories et les homomorphismes de groupes comme des
foncteurs. Puisque toute cat�gorie est un groupement et tout foncteur est un g-groupement.
\`A la diff�rence des mono�des, le choix de l'�l�ment peut-�tre fait de fa�on canonique.
Il suffit de prendre l'�l�ment neutre qui est respect� par les homomorphismes de groupes.
\end{exem}
\begin{exem}\label{exem:gr:3.3}
Si $f:\BBB_{1}\to\BBB_{2}$ est un g-foncteur alors le triplet $\left(f^\ast;\BBB^\ast_{1};\BBB^\ast_{2}\right)$, 
o� $f^\ast=f$ et $\BBB^\ast_{1}$, $\BBB^\ast_{2}$ sont respectivement les groupements duaux de 
$\BBB_{1}$ et $\BBB_{2}$, est lui aussi un g-foncteur. 
\begin{description}
\item[(GFONC 1)] $f^\ast s^\ast_1=ft_{1}=t_2f=s^\ast_{2}f^\ast $,\quad $f^\ast t^\ast_1=fs_{1}=s_2f=
t^\ast_{2}f^\ast$.
\item[(GFONC 2)] si $x$ et $y$ sont deux �l�ments de $\BBB^\ast_1$ tels que
        $s^\ast_1(x)=t^\ast_1(y)$, alors $t_{1}(x)=s_{1}(y)$ et 
        $$f^\ast\left(x\OP^\ast_1y\right)=f\left(y\OP x\right)=f(y)\OP_2f(x)=f^\ast(x)\OP^\ast f^\ast(y)$$
\end{description}
$f^\ast:\BBB^\ast_{1}\to\BBB^\ast_{2}$ est le \emph{g-foncteur dual}\index{g-foncteur!g-foncteur dual} 
du g-foncteur $f:\BBB_{1}\to\BBB_{2}$.\\
Il est amusant de noter que l'application d'ensembles � la base de chacun de ces g-foncteurs est la m�me. 
\end{exem}
\begin{prop}\label{prop:gr:3.1}
Soit $\left(\BBB;s;t;\OP\right)$ un groupement. L'application identit�
$\Id_\BBB:\BBB\to\BBB$,
donn�e par $\Id(x)=x$ pour chaque $x\in\BBB$, d�finit un g-foncteur de
$\left(\BBB;s;t;\OP\right)$ dans lui-m�me.
\end{prop}
\Dem\
\begin{description}
\item[(GFONC 1)] $\Id s(x)=s(x)=s\Id(x)$,\quad $\Id t(x)=t(x)=t\Id(x)$.
\item[(GFONC 2)] Soient $x$ et $y$ sont deux �l�ments de $\BBB$ tels que
        $s(x)=t(y)$.\\ On a $\Id\left(x\OP y\right)=\Id(x)\OP\Id(y)$.\QED
\end{description}
% lemme
\begin{lemm}\label{lemm:gr:3.1}
Si $f:\BBB_1\to\BBB_2$ un g-foncteur entre deux petits $\MFU$-groupements
$\BBB_1$ et $\BBB_2$,
alors $f$ est un �l�ment de l'univers $\MFU$ \textit{i.e.} un petit ensemble.
\end{lemm}
\Dem
La d�monstration est semblable � celle du lemme \ref{lemm:cat:1.1}.
\QEDb
Les g-foncteurs qui v�rifient les conditions de ce lemme sont appel�s \emph{petits
g-foncteurs}\index{g-foncteur!petit g-foncteur}.
Ainsi nous pouvons parler de l'ensemble $\GFONC$ des petits g-foncteurs.

Consid�rons les applications
\begin{itemize}
\item $s:\GFONC\to\GFONC$ d�finie par $s\left(f:\BBB_1\to\BBB_2\right)=\Id_{\BBB_1}$,
\item $t:\GFONC\to\GFONC$ d�finie par $t\left(f:\BBB_1\to\BBB_2\right)=\Id_{\BBB_2}$,
\item $\OP:\GFONC\times\GFONC\to\GFONC$ d�finie par
$$f_2\OP f_1=
\begin{cases}
f_2f_1\qquad\text{si }s\left(f_2\right)=t\left(f_1\right)\\
f_1\quad\qquad\text{sinon}
\end{cases}$$
\end{itemize}
Nous devons tout de m�me v�rifier que $f_2\OP f_1$ est bien un g-foncteur quand
$$s(f_2)=t(f_1)=\Id_{\BBB'}$$ Premi�rement la composition d'applications d'ensembles $f_2f_1$ est
possible vu la condition impos�e � $f_1$ et $f_2$. De plus on a
\begin{description}
\item[(GFONC 1)] \'Evident d'apr�s les d�finitions de $s$ et $t$ car $f_2f_1$ est une application
ayant m�me domaine $\BBB_1$ que $f_1$ et m�me but $\BBB_2$ que $f_2$.
\item[(GFONC 2)] Soient $x$ et $y$ deux �l�ments de $\BBB_1$ pour lesquels $s_1(x)=t_1(y)$.
Comme $$s'(f_1(x))=f_1s_1(x)=f_1t_1(y)=t'(f_1(y))$$ on a
\begin{align*}
(f_2\OP f_1)(x\OP_1y)=f_2(f_1(x\OP_1 y))&=f_2(f_1(x)\OP' f_1(y))\\
&=(f_2f_1(x))\OP_2(f_2f_1(y))=(f_2\OP f_1)(x)\OP_2(f_2\OP f_1)(y)
\end{align*}
\end{description}
% th�or�me
\begin{theo}\label{theo:gr:3.1}
$\left(\GFONC;s;t;\OP\right)$ est un groupement. C'est m�me une cat�gorie.
\end{theo}
\Dem Nous n'avons qu'� v�rifier les axiomes (GR 1) � (GR 3) pour montrer que c'est
un groupement.
\begin{description}
\item[(GR 1)] Pour tout g-foncteur $f$, on a les �galit�s suivantes :
        $$ss\left(f:\BBB_1\to\BBB_2\right)=s\left(\Id_{\BBB_1}\right)=\Id_{\BBB_1}
        =s\left(f:\BBB_1\to\BBB_2\right)$$
        $$st\left(f:\BBB_1\to\BBB_2\right)=s\left(\Id_{\BBB_2}\right)=\Id_{\BBB_2}
        =t\left(f:\BBB_1\to\BBB_2\right)$$
        $$tt\left(f:\BBB_1\to\BBB_2\right)=t\left(\Id_{\BBB_2}\right)=\Id_{\BBB_2}
        =t\left(f:\BBB_1\to\BBB_2\right)$$
        $$ts\left(f:\BBB_1\to\BBB_2\right)=t\left(\Id_{\BBB_1}\right)=\Id_{\BBB_1}
        =s\left(f:\BBB_1\to\BBB_2\right)$$
\item[(GR 2)] Supposons que $f_1:\BBB_1\to\BBB'_1$ et $f_2:\BBB_2\to\BBB'_2$ 
        sont deux 
        g-foncteurs tels que $$s\left(f_2\right)=t\left(f_1\right)$$ On a
        $$s\left(f_2\OP f_1\right)=
        s\left(f_2f_1\right)=\Id_{\BBB_1}=
        s\left(f_1\right)$$
        $$t\left(f_2\OP f_1\right)=
        s\left(f_2f_1\right)=
        \Id_{\BBB'_2}=
        t\left(f_2\right)$$
\item[(GR 3)] C'est une cons�quence directe de l'associativit� de la 
        composition des applications d'ensembles.
\end{description}
C'est bien une cat�gorie car l'axiome (CAT 3) est v�rifi� par les calculs ci-dessous.
$$f\OP s(f)=f\OP\Id_{\BBB_1}=f\Id_{\BBB_1}=f\quad\text{et}\quad
t(f)\OP f=\Id_{\BBB_2}\OP f=\Id_{\BBB_2}f=f$$
o� $f:\BBB_1\to\BBB_2$ est un foncteur.
\QED 
\begin{rema}\label{rema:gr:3.3}
Dans ce th�or�me, nous avons d�fini $f_2\OP f_1$ en prenant $f_1$ quand $s(f_2)
\neq t(f_1)$. En regardant la d�monstration, on s'aper�oit imm�diatement que ce choix
est arbitraire. On aurait tr�s bien pu choisir $f_2$ ou autre chose. Ces ainsi que nous 
sommes amen�s � dire que 
deux groupements $\left(\BBB_1;s_1;t_1;\OP_1\right)$ et 
$\left(\BBB_2;s_2;t_2;\OP_2\right)$ sont 
\emph{presque �gaux}\index{groupement!groupements presque �gaux} si 
$\BBB_1=\BBB_2$, $s_1=s_2$, $t_1=t_2$ et $x\OP_1y=x\OP_2y$ lorsque 
$s_1(x)=s_2(x)=t_2(y)=t_1(y)$. Il est �vident que l'application 
identit� $\Id_{\BBB_1}=
\Id_{BBB_2}$ d�finit un g-foncteur 
$\Id_{\BBB_1}^{\BBB_2}:\BBB_1\to\BBB_2$ 
et un g-foncteur $\Id_{\BBB_2}^{\BBB_1}:\BBB_2\to\BBB_1$ tels que 
$$\Id_{\BBB_1}^{\BBB_2}\Id_{\BBB_2}^{\BBB_1}=\Id_{\BBB_2}\qquad\text{et}\qquad 
\Id_{\BBB_2}^{\BBB_1}\Id_{\BBB_1}^{\BBB_2}=\Id_{\BBB_1}$$
En d'autres termes, deux groupements presque �gaux sont isomorphes.
Il est clair que cela d�finit une relation d'�quivalence sur l'ensemble des 
petits groupements.
\end{rema}
L'id�e centrale dans notre travail est que les objets et donc les identit�s ne sont pas des notions
tr�s \Dire{naturelles} et doivent �tre, autant que possible, �limin�s de notre th�orie. Ainsi
l'axiome (GFONC 1) cadre mal avec cette id�e. Il a �t� introduit, en th�orie des cat�gories, afin de 
rendre les identit�s \Dire{stables} par les foncteurs. L'axiome (GFONC 2) int�ressant mais imparfait.
Il faut que les compositions aient un sens. Ce dernier �tant, pr�c�demment, donn� par l'axiome (GFONC 1),
nous sommes amen�s � imposer quelques conditions sur les �l�ments.
D'o� la notion beaucoup plus naturelle de g-morphisme.

Un \emph{g-morphisme}\index{g-morphisme} $f$ est un triplet
$\left((\BBB_1;s_1;t_1;
\OP_1);(\BBB_2;s_2;t_2;\OP_2);f\right)$, souvent not�
$$f:\BBB_1\MorTo\BBB_2$$ o� les deux premiers termes sont des groupements et $f$ est
une application d'ensembles $$f:\BBB_1\to\BBB_2$$ v�rifiant l'axiome suivant
\begin{description}
\item[(GMOR)] si $x$ et $y$ sont deux �l�ments de $\BBB_1$ tels que
        $s_1(x)=t_1(y)$, alors $$s_2(f(x))=t_2(f(y))\quad\text{et}\quad f\left(x\OP_1y\right)=f(x)\OP_2f(y)$$
\end{description}
Il est �vident que tout g-foncteur est un g-morphisme puisque $$s_2(f(x))=f(s_1(x))=f(t_1(y))=t_2(f(y))$$ Comme pour
les g-foncteurs, on peut parler de petits g-morphismes et montrer que ceux-ci forment un petit ensemble.
Notons $\GMOR$ l'ensemble des petits g-morphismes.
\begin{theo}\label{theo:gr:3.2}
Le quadruplet $\left(\GMOR;s;t;\OP\right)$ o� $$s:\GMOR\to\GMOR,\quad t:\GMOR\to\GMOR\quad\text{et}
\quad\OP:\GMOR\times\GMOR\to\GMOR$$ sont les applications d�finies par
\begin{itemize}
\item $s\left(f:\BBB_1\to\BBB_2\right)=\Id_{\BBB_1}$,
\item $t\left(f:\BBB_1\to\BBB_2\right)=\Id_{\BBB_2}$,
\item $f_2\OP f_1=
\begin{cases}
f_2f_1\qquad\text{si }s\left(f_2\right)=t\left(f_1\right)\\
f_1\quad\qquad\text{sinon}
\end{cases}$
\end{itemize}
est un groupement et m�me une cat�gorie.
\end{theo}
La d�monstration est identique � celle du th�or�me \ref{theo:gr:3.1}.
%%%%%%%%%%%%%%
%%%%  section 4  %%%%
%%%%%%%%%%%%%%
\section{Les g-transformations : Une premi�re approche.}\label{sec:gr:4}
Alors que nous avons introduit la notion de g-mor\-phi\-sme pour satisfaire des exigences 
es\-th�\-ti\-ques, il n'en va pas du tout de la m�me mani�re pour g�n�raliser les transformations 
naturelles. Le probl�me se situe au niveau m�me de leur d�finition.
Elles le sont traditionnellement comme une famille, index�e par les objets, de morphismes qui 
v�rifient des conditions de commutativit� de diagrammes. Or nous n'avons pas d'objets et l'�tude 
qui suit va nous permettre d'observer que les axiomes (NAT 1) et (NAT 3) ne nous permettent pas de 
construire une th�orie satisfaisante si nous ne rajoutons pas une condition sur les groupements 
qui en font pratiquement des cat�gories. Commen�ons par quelques remarques.

Premi�rement, l'axiome (TRANS 1) et sa forme �quivalente (TRANS 1')  ont pour unique but 
de permettre la cr�ation des diagrammes suivants
$$\xymatrix{
F_1(X)\ar[r]^{\eta_X}\ar[d]_{F_1(f)}\ar[dr] & F_2(X)\ar[d]^{F_2(f)}\\
F_1(Y)\ar[r]^{\eta_Y} & F_2(Y)
}$$
pour toute transformation naturelle $\eta:F_1\leadsto F_2$ et tout morphisme $f:X\to Y$.\\
Deuxi�mement, l'axiome (TRANS 3) impose � ces diff�rents carr�s d'�tre commutatifs. Ce qui signifie 
que les deux compositions lat�rales possibles donnent le m�me r�sultat.\\
Troisi�mement, si nous prenons deux morphismes composables $f$ et $g$, nous obtenons le diagramme commutatif
$$\xymatrix{
F_{1}(X)\ar[r]^{F_{1}(f)}\ar[d]^{\eta_{X}} & F_{1}(Y)\ar[r]^{F_{1}(g)}\ar[d]^{\eta_{Y}} & 
F_{1}(Z)\ar[d]^{\eta_{Z}}\\
F_{2}(X)\ar[r]_{F_{2}(f)} & F_{2}(Y)\ar[r]_{F_{2}(g)} & F_{2}(Z)}$$
Par cons�quent, en notant $\eta^{1}(h)=\eta_{R}$ et $\eta^{2}(h)=\eta_{S}$ pour tout morphisme $h:R\to S$
nous avons les �galit�s
$$F_{2}(f)\OP_{2}\eta^{1}(f)=\eta^{2}(f)\OP_{2}F_{1}(f)$$
et
$$\eta^{1}(g)=\eta^{2}(f)$$
Finalement il semble raisonnable de d�finir les g-transformations de la mani�re suivante :\\
Une \emph{($\MFU$-)g-transformation}\index{g-transformation}
\index{g-transformation!$\MFU $-g-transformation} $\left(\eta^{1},\eta^{2};f_1,f_2\right)$ entre le
g-morphisme $f_1:\BBB_1\to\BBB_2$ et le g-morphisme $f_2:\BBB_1\to\BBB_2$ 
est un quadruplet o� $\eta^{1},\eta^{2}:\BBB_1\to\BBB_2$ sont deux applications
d'ensembles satisfaisant les deux axiomes ci-dessous
\begin{description}
\item[(GTRANS 1)] $s_2\eta^{1}=s_{2}f_1$,\quad $t_2\eta^{1}=s_{2}f_2$,\quad $s_{2}\eta^{2}=t_{2}f_{1}$,
        \quad $t_{2}\eta_{2}=t_{2}f_{2}$;
\item[(GTRANS 2)] pour tous $x$ et $y$ dans $\BBB_1$ v�rifiant $s_{1}(x)=t_{1}(y)$,
        on a
        $$f_{2}(x)\OP_{2}\eta^{1}(x)=\eta^{2}(x)\OP_2 f_1(x)$$
        et
        $$\eta^{1}(x)=\eta^{2}(y)$$
\end{description}
La notation $\left(\eta^1;\eta^2;f_1;f_2\right)$ n'�tant pas tr�s explicite, nous 
�crirons plus souvent $$(\eta^1;\eta^2):f_1\leadsto f_2$$
et m�me $$\eta:f_{1}\leadsto f_{2}$$
Dans l'axiome (GTRANS 2), la premi�re �galit� porte 
sur $x$. La proposition suivante nous montre que l'on peut indiff�remment remlpacer le $x$ par $y$.
% proposition
\begin{prop}\label{prop:gr:4.1}
L'axiome (GTRANS 2) est �quivalent � l'axiome
\begin{description}
\item[(GTRANS 2')] pour tous $x$ et $y$ dans $\BBB_1$ v�rifiant $s_{1}(x)=t_{1}(y)$,
        on a
        $$f_{2}(y)\OP_{2}\eta^{1}(y)=\eta^{2}(y)\OP_2 f_1(y)$$
        et
        $$\eta^{1}(x)=\eta^{2}(y)$$
\end{description}
\end{prop}
\Dem\ Supposons que l'axiome (GTRANS 2) soit v�rifi�. Il nous suffit de montrer qu'alors (GTRANS 2') l'est aussi.
D'apr�s l'axiome (GR 1), les �l�ments $y$ et $s_{1}(y)$ v�rifient les conditions de l'axiome (GTRANS 2). D'o�
$$f_{2}(y)\OP_{2}\eta^{1}(y)=\eta^{2}(y)\OP_2 f_1(y)$$
        et
$$\eta^{1}(y)=\eta^{2}(s_{1}(y))$$ En prenant $t_{1}(x)$ et $x$, on d�montre la r�ciproque avec en plus
$$\eta^1(t_{1}(x))=\eta^2(x)$$\QEDb
Cette d�monstration nous permet de voir que les applications $\eta^1$ et $\eta^2$ sont reli�es par des relations 
tr�s strictes.
% proposition
\begin{prop}\label{prop:gr:4.2}
Pour toute g-transformation $(\eta^1;\eta^2):f_{1}\leadsto f_{2}$ entre les g-morphismes $f_{1}$ et $f_{2}$ 
de $(\BBB_{1};s_{1};t_{1})$ dans $(\BBB_{2};s_{2};t_{2})$, on a les �galit�s suivantes :
$$\eta^1=\eta^2s_{1},\quad\eta^{2}=\eta^1t_{1},\quad\eta^1=\eta^1s_{1},\quad\eta^2=\eta^2t_{1}$$
\end{prop}
\Dem Les deux premi�res �galit�s ont �t� vues dans la d�monstration de la proposition pr�c�dente. Les deux suivantes
d�coulent imm�diatement d'elles et de l'axiome (GR 1).\QEDb
Cette d�finition semble � priori �loign�e de celle donn�e pour les transformations 
naturelles entre foncteurs de cat�gories. Les deux propositions suivantes vont nous montrer qu'en fait il 
n'en est rien.
% proposition
\begin{prop}\label{prop:gr:4.3}
Soient $f_{1}$ et $f_{2}$ deux g-morphismes entre les groupements $(\BBB_{1};s_{1};t_{1})$ et 
$(\BBB_{2};s_{2};t_{2})$.\\
Si $\left(\eta^{1};\eta^{2}\right):f_{1}\leadsto f_{2}$ est une g-transformation, alors 
l'application $\eta^{1}:\BBB_{1}\leadsto \BBB_{2}$ v�rifie les conditions suivantes :
\begin{enumerate}
\item $s_{2}\eta^1 s_{1}=s_{2}f_{1}$\quad et\quad$t_{2}\eta^1 s_{1}=s_{2}f_{2}$
\item $\eta^1=\eta^1s_{1}$
\item Pour tout $x\in\BBB_{1}$, on a $f_{2}(x)\OP_{2}\eta^1(s_{1}(x))=
         \eta^1(t_{1}(x))\OP_{2}f_{1}(x)$.
\end{enumerate}
\end{prop}
\Dem Supposons que $(\eta^1;\eta^2):f_{1}\leadsto f_{2}$ soit une g-transformation.
La seconde propri�t� a �t� vue dans la proposition \ref{prop:gr:4.2}.\\
La premi�re est la cons�quence directe de l'axiome (GTRANS 1) et de la seconde propri�t�.
Pour la derni�re, consid�rons un �l�ment $x$ de $\BBB_{1}$. D'apr�s l'axiome (GR 1), $x$ et 
$s_{1}(x)$ v�rifient la condition de l'axiome (GTRANS 2). Do�
$$f_2(x)\OP_{2}\eta^1(x)=\eta^2(x)\OP_2 f_1(x)$$
La proposition \ref{prop:gr:4.2} nous dit que
$$\eta^1(x)=\eta^1(s_{1}(x))\quad\text{et}\quad\eta^2(x)=\eta^1(t_{1}(x))$$
D'o� le r�sultat.\QEDb
Pour d�montrer la r�ciproque dans le cas o� $f_{1}$ et $f_{2}$ sont des g-foncteurs, nous aurons besoin
du
% lemme
\begin{lemm}\label{lemm:gr:4.1}
Si $f_{1}$ et $f_{2}$ sont des g-foncteurs de $\BBB_{1}$ vers $\BBB_{2}$, alors toute application 
$\eta:\BBB_{1}\to\BBB_{2}$ qui satisfait les conditions $$s_{2}\eta s_{1}=s_{2}f_{1}\quad\text{et}
\quad t_{2}\eta s_{1}=s_{2}f_{2}$$ v�rifient aussi les conditions
 $$s_{2}\eta t_{1}=t_{2}f_{1}\quad\text{et}
\quad t_{2}\eta t_{1}=t_{2}f_{2}$$
\end{lemm}
\Dem\ C'est une cons�quence imm�diate des axiomes (GR 1) et (GFONC 1) :
$$s_{2}\eta t_{1}=s_{2}\eta s_{1}t_{1}=s_{2}f_{1}t_{1}=s_{2}t_{2}f_{1}=t_{2}f_{2}$$et
$$t_{2}\eta t_{1}=t_{2}\eta s_{1}t_{1}=s_{2}f_{2}t_{1}=s_{2}t_{2}f_{2}=t_{2}f_{2}$$\QED
% proposition
\begin{prop}\label{prop:gr:4.4}
Si $f_{1}$ et $f_{2}$ sont des g-foncteurs, alors toute fonction $\eta$ de $\BBB_{1}$ dans $\BBB_{2}$ 
qui v�rifient les trois conditions  de la proposition \ref{prop:gr:4.3} d�finit une g-trans\-for\-ma\-tion 
$(\eta;\eta t_{1}):f_{1}\leadsto f_{2}$.
\end{prop}
\Dem\ Consid�rons une application $\eta:\BBB_{1}\to\BBB_{2}$ qui v�rifient les 
trois propri�t�s pr�c�dentes. Posons $\eta^1=\eta$ et $\eta^2=\eta t_{1}$. Montrons que 
$(\eta^1;\eta^2)$ est une g-transformation de $f_{1}$ vers $f_{2}$.
\begin{description}
\item[(GTRANS 1)] Puisque $\eta^1=\eta^1s_{1}$, on a, d'apr�s la premi�re condition,
         $$s_{2}\eta^{1}=s_{2}f_{1}\quad\text{et}\quad t_{2}\eta^{1}=s_{2}f_{2}$$
         Comme $\eta^{2}=\eta t_{1}$, le lemme \ref{lemm:gr:4.1}, nous donne en plus
         $$s_{2}\eta^{2}=t_{2}f_{1}\quad\text{et}\quad t_{2}\eta^{2}=t_{2}f_{2}$$
\item[(GTRANS 2)] Soient $x$ et $y$ telles que $s_{1}(x)=t_{1}(y)$. Tout d�coule de $\eta=\eta s_{1}$ 
         et $\eta^2=\eta^1t_{1}$. En effet � la vue de la condition impos�e � $x$ et $y$, on a         
         $$\eta^1(x)=\eta^1(s_{1}(x))=\eta^1(t_{1}(y))=\eta^2(y)$$Et d'apr�s la troisi�me 
         propri�t� v�rifi�e par $\eta$, on a aussi
         $$f_{2}(x)\OP_{2}\eta^1(x)=\eta^2(x)\OP_{2}f_{1}(x)$$\QED
\end{description}
Avant de poursuivre, continuons � �tudier de plus pr�s ce qui se passe 
pour les transformations naturelles de la th�orie des cat�gories.\\
Une propri�t� classique des transformations naturelles de cat�gories est que chaque foncteur 
$F:\BBC_{1}\to\BBC_{2}$ d�finit 
une transformation naturelle de $F$ dans lui-m�me. En effet, pour tout objet $X$ de $\BBC_{1}$, posons 
$\eta_{X}=F\left(\Id_{X}\right)$. Alors, pour tout morphisme $f:X\to Y$ de $\BBC_{1}$, le diagramme 
$$\xymatrix{
F(X)\ar[r]^{F(f)}\ar[d]_{\eta_{X}} & F(Y)\ar[d]^{\eta_{Y}}\\
F(X)\ar[r]_{F(f)} & F(Y)}$$
est commutatif car 
$$\eta_{Y}\OP_{2}F(f)=F(\Id_{Y})\OP_{2}F(f)=F(\Id_{Y}\OP_{1}f)
=F(f\OP_{1}\Id_{X})=F(f)\OP_{2}F(\Id_{X})=F(f)\OP_{2}\eta_{X}$$
Plus pr�cis�ment, nous remarquons que nous y avons 
utilis� deux choses. La premi�re est que, $F$ �tant un foncteur, l'image d'une composition est �gale � la 
composition des images ; et la seconde, que $\Id_{Y}\OP_{1}f=f\OP_{1}\Id_{X}$ dans la cat�gorie $\BBC_{1}$.
En d'autres termes, nous avons utilis� certaines propri�t�s des identit�s. Or le principe qui nous a guid� jusqu'�
maintenant est d'enlever les r�f�rences � ces derni�res. Cette impossibilit� pour les g-foncteurs 
de devenir des g-transformations nous emp�che de d�finir des applications source et but sur l'ensemble 
des g-transformations. C'est en cela qu'il ne semble pas y avoir de th�orie satisfaisante  de g-transformation 
sans l'ajout de quelque chose de suppl�mentaire. Nous reviendrons l�-dessus dans le chapitre \ref{chap:2-gr}.
Malgr� tout, et afin de bien illustrer notre propos nous allons continuer la construction en supposant que les 
groupements que nous allons consid�rer dans le reste de cette section satisfont tous la 
condition suppl�mentaire
$$\mathbf{(\star)}\qquad t(x)\OP x=x\OP s(x),\quad\text{pour tout }x\in\BBB$$
Pour bien garder cel� � l'esprit, nous parlerons de $\star$-groupements.

La proposition qui suit va nous permettre de d�finir sur l'ensemble des petites 
g-trans\-for\-ma\-tions entre g-morphismes de $\star$-groupements des applications source et but.
% proposition
\begin{prop}\label{prop:gr:4.5}
Si $f$ est un g-morphisme du $\star$-groupement
$\left(\BBB_1;s_1;t_1;\OP_1\right)$ vers le $\star$-groupement
$\left(\BBB_2;s_2;t_2;\OP_2\right)$, alors $(s_{2}f;t_{1}f)$ est une g-transformation de $f$ dans $f$.
\end{prop}
\Dem C'est une simple v�rification des axiomes (GTRANS 1) et 
(GTRANS 2). Posons $\eta^1=s_{2}f$ et $\eta^{2}=t_{2}f$
\begin{description}
\item[(GTRANS 1)] \'Evident.
\item[(GTRANS 2)] Soient $x$ et $y$ deux �l�ments de $\BBB_{1}$ satisfaisant $s_{1}(x)=t_{1}(y)$.
 En utilisant la condition $\mathbf{\star}$, on trouve  
 \begin{align*}
 f(x)\OP_{2}\eta^1(x)&=f(x)\OP_{2}s_{2}\left(f(x)\right)\\
 &=t_{2}\left(f(x)\right)\OP_{1}f(x)\\
 &=\eta^2(x)\OP_{2}f(x)
 \end{align*}
De plus, grace � l'axiome (GMOR), on trouve$$\eta^1(x)=s_{2}f(x)=t_{2}f(y)=\eta^2(y)$$\QED
\end{description}
% remarque
\begin{rema}\label{rema:gr:4.1}
L'application identit� $\Id_{\BBB}$ de l'ensemble $\BBB$ dans lui-m�me d�finit clairement un
g-morphisme, et m�me un g-foncteur, de $(\BBB;s;t;\OP)$ dans lui-m�me. Ainsi $(s_{1};t_{1})$ 
est une g-transformation de $\Id_{\BBB}$ vers lui-m�me.
\end{rema}
On dit qu'une g-transformation $\eta:f_1\leadsto f_2$ est \emph{petite}
\index{g-transformation!petite g-transformation} quand 
les g-morphismes $f_1$ et $f_2$ le sont.
% lemme
\begin{lemm}\label{lemm:gr:4.2}
Toute petite $\MFU$-g-transformation est un �l�ment de l'univers $\MFU$.
\end{lemm}
\Dem Semblable � la d�monstration du lemme \ref{lemm:gr:3.1}. \QEDb
D�signons par $\star\GTrans$ l'ensemble de toutes les petites g-transformations au dessus 
de $\star$-groupements. 
Comme le th�or�me suivant va le montrer, il est ais� de munir cet ensemble 
d'une structure de groupement.
% th�or�me
\begin{theo}\label{theo:gr:4.1} 
On peut d�finir deux applications $\sigma_1$ et $\tau_1$ de $\star\GTrans$ dans lui-m�me 
de la mani�re suivante :
$$\sigma_1\left(\eta:f_1\leadsto f_2\right)=\left((s_{2}f_1;t_{2}f_{1}):
f_1\leadsto f_1\right)$$et
$$\tau_1\left(\eta:f_1\leadsto f_2\right)=\left((s_{2}f_2;t_{2}f_{2}):f_2
\leadsto f_2\right)$$
Soient deux g-transformations
$\eta_1:f_1\leadsto f'_1$, $\eta_2:f_2\leadsto f'_2$.
\begin{itemize}
\item Si $\sigma_1(\eta_2)=\tau_1(\eta_1)$, notons 
        $\eta_2\circledast\eta_1:f_1\leadsto f'_2$
        la g-transformation d�finie, pour tout $x\in\BBB_{1}$, par $$\left(\eta_2
        \circledast\eta_1\right)(x)=\left(\eta^1_{2}(x)\OP_{2}\eta^1_{1}(x);
        \eta^2_{2}(x)\OP_{2}\eta^2_{2}(x)\right)$$
\item sinon, posons $\eta_2\circledast\eta_1=\eta_1:f_1\leadsto f'_1$.
\end{itemize} 
On obtient une application $\circledast$ de $\star\GTrans\times\star\GTrans$ 
dans $\star\GTrans$.\\ Le quadruplet $\left(\star\GTrans;\sigma_1;\tau_1;
\circledast\right)$ est un groupement.
\end{theo}
\Dem Avant de v�rifier les axiomes des groupements, nous devons montrer 
que si $\sigma_1(\eta_2)=\tau_1(\eta_1)$ alors 
$\eta_2\circledast\eta_1:f_1\leadsto f'_2$ est bien 
une g-transformation. Pour plus de claret�, posons $\eta_2\circledast\eta_1=(\mu^1;\mu^2)$
\begin{description}
\item[(GTRANS 1)] Remarquons que $\sigma_1(\eta_2)=\tau_1(\eta_1)$ implique 
         $f_{2}=f'_{1}$. 
         En effet $\sigma_1(\eta_2)=\tau_1(\eta_1)$ signifie 
         $$(s_{2}f_{2};t_{2}f_{2};f_{2};f_{2})=(s_{2}f'_{1};t_{2}f'_{1};f'_{1};f'_{1})$$
        Ainsi, l'axiome (GR 2) implique
        $$s_{2}\mu^1=s_2\left(\eta^1_2\OP_{2}\eta^1_1\right)
        =s_2\eta^1_1=s_{2}f_1$$
        et
         $$t_{2}\mu^1=t_2\left(\eta^1_2\OP_{2}\eta^1_1\right)
        =t_2\eta^1_2=s_{2}f'_2$$
        car, d'apr�s (GTRANS 1) et la remarque ci-dessus, 
        $s_{2}\eta^1_{2}=s_{2}f_{2}=s_{2}f'_{1}=t_{2}\eta^1_{1}$.\\
        De m�me, puisque  $s_{2}\eta^2_{2}=t_{2}f_{2}=t_{2}f'_{1}=t_{2}\eta^2_{1}$, on trouve
        $$s_{2}\mu^2=s_2\left(\eta^2_2\OP_{2}\eta^2_1\right)
        =s_2\eta^2_1=t_{2}f_1$$
        et
         $$t_{2}\mu^2=t_2\left(\eta^1_2\OP_{2}\eta^1_1\right)
        =t_2\eta^2_2=t_{2}f'_2$$
\item[(GTRANS 2)] Pour tous $x\in\BBB_1$ et $y\in\BBB_{1}$ tels que $s_{2}(x)=t_{2}(y)$, les 
        axiomes (GTRANS 2) v�rifi�s par $\eta_{1}$ et $\eta_{2}$ et le fait que $f_{2}=f'_{1}$, nous 
        permettent d'�crire
        \begin{align*}
                f'_2(x)\OP_2\mu^1(x)
                &=f'_2\OP_2\left(\eta^1_2(x)\OP_2\eta^1_1(x)\right)\\
                &=\left(f'_2(x)\OP_2\eta^1_2(x)\right)\OP_2\eta^1_1(x)\\
                &=\left(\eta^2_2(x)\OP_2f_2(x)\right)\OP_2\eta^1_1(x)\\
                &=\eta^2_2(x)\OP_2\left(f_2(x)\OP_2\eta^1_1(x)\right)\\
                &=\eta^2_2(x)\OP_2\left(f'_1(x)\OP_2\eta^1_1(x)\right)\\
                &=\eta^2_2(x)\OP_2\left(\eta^2_1(x)\OP_2f_1(x)\right)\\
                &=\left(\eta^2_2(x)\OP_2\eta^2_1(x)\right)\OP_2f_1(x)
                =\mu^2(x)\OP_2f_1(x)
        \end{align*}et
        $$\mu^1(x)=\eta^1_{2}(x)\OP_{2}\eta^1_{1}(x)
        =\eta^2_{2}(y)\OP_{2}\eta^2_{1}(y)=\mu^2(y)$$
\end{description} 
Passons maintenant � la seconde partie de notre d�monstration.
\begin{description}
\item[(GR 1)] Pour tout $\eta:f_1\leadsto f_2$ appartenant � $\star\GTrans$, on a
        $$\left(\sigma_1\sigma_1\right)\left(\eta\right)
        =\sigma_1\left((s_{2}f_1;t_{2}f_{1}):f_1\leadsto f_1\right)
        =(s_{2}f_1;t_{2}f_{1}):f_1\leadsto f_1=\sigma_1\left(\eta\right)$$
        $$\left(\sigma_1\tau_1\right)\left(\eta\right)
        =\sigma_1\left((s_{2}f_2;t_{2}f_{2}):f_2\leadsto f_2\right)
        =(s_{2}f_2;t_{2}f_{2}):f_2\leadsto f_2=\tau_1\left(\eta\right)$$
        $$\left(\tau_1\tau_1\right)\left(\eta\right)
        =\tau_1\left((s_{2}f_2;t_{2}f_{2}):f_2\leadsto f_2\right)
        =(s_{2}f_{2};t_{2}f_2):f_2\leadsto f_2=\tau_1\left(\eta\right)$$
        $$\left(\tau_1\sigma_1\right)\left(\eta\right)
        =\tau_1\left((s_{2}f_{1};t_{1}f_1):f_1\leadsto f_1\right)
        =(s_{2}f_{1};t_{2}f_1):f_1\leadsto f_1=\sigma_1\left(\eta\right)$$
\item[(GR 2)] Soient $\eta_1:f_1\leadsto f'_1$ et $\eta_2:f_2\leadsto f'_2$ deux 
        �l�ments de $\star\GTrans$ tels que $\sigma_1\left(\eta_2\right)
=\tau_1\left(\eta_1\right)$. 
        Dans ce cas $\eta_2\circledast\eta_1$ est une g-transformation de $f_1$ dans 
        $f'_2$. Par cons�quent
        $$\sigma_1\left(\eta_2\circledast\eta_1\right)
        =(s_{2}f_1;t_{2}f_{1})
        =\sigma_1\left(\eta_1\right)
        \quad\text{et}\quad
        \tau_1\left(\eta_2\circledast\eta_1\right)
        =(s_{2}f'_{2};t_{2}f'_2)
        =\tau_1\left(\eta_2\right)$$
\item[(GR 3)] Soient $\eta_1:f_1\leadsto f'_1$, $\eta_2:f_2\leadsto f'_2$ et 
        $\eta_3:f_3\leadsto f'_3$ trois �l�ments de $\star\GTrans$ tels que     
        $\sigma_1\left(\eta_2\right)=\tau_1\left(\eta_1\right)$ et 
        $\sigma_1\left(\eta_3\right)=\tau_1\left(\eta_2\right)$.\\
        Comme $\sigma_1\left(\eta_3\circledast\eta_2\right)=\sigma_1\left(\eta_2\right)
        =\tau_1\left(\eta_1\right)$ et $\tau_1\left(\eta_2\circledast\eta_1\right)=
        \tau_1\left(\eta_2\right)=\sigma_1\left(\eta_3\right)$, on a
        $$s_{2}(\eta^1_{3}\OP_{2}\eta^1_{2})=t_{2}\eta^1_{1}$$et
        $$s_{2}(\eta^2_{3}\OP_{2}\eta^2_{2})=t_{2}\eta^2_{1}$$
        En utilisant l'axiome (GR 3), on en d�duit
        $$\left(\eta^1_3\OP_{2}\eta^1_2\right)\OP_{2}\eta^1_1
        =\eta^1_3\OP_2\left(\eta^1_2\OP_2\eta^1_1\right)$$
        et
        $$\left(\eta^2_3\OP_{2}\eta^2_2\right)\OP_{2}\eta^2_1
        =\eta^2_3\OP_2\left(\eta^2_2\OP_2\eta^2_1\right)$$
        D'o�
        $$\left(\eta_{3}\circledast\eta_{2}\right)\circledast\eta_{1}
        =\eta_{3}\circledast\left(\eta_{2}\circledast\eta_{1}\right)$$
        \QED
\end{description}
% remarque
\begin{rema}\label{rema:gr:4.2}
\`A la diff�rence de ce qui se passe pour les g-foncteurs, les g-transformations ne forment 
pas une cat�gorie. Ce qui n'est pas surprenant car c'est justement pour cette raison 
que nous avons introduit la notion de groupement. 
\end{rema}
On peut munir l'ensemble des (petites) g-transformations de deux autres structures de 
groupement. Pour cela nous aurons besoin du r�sultat interm�diaire suivant
% proposition
\begin{prop}\label{prop:gr:4.6}
Soient $f:\BBB'_1\to\BBB_1$, $g:\BBB_2\to\BBB'_2$ deux g-morphismes et 
$(\eta^1;\eta^2):(f_1:\BBB_1\to\BBB_2)\leadsto(f_2:\BBB_1\to\BBB_2)$ une g-transformation.
Les quadruplets $\left(\eta^1f;\eta^2f;f_1f;f_2f\right)$ et 
$\left(g\eta^1;g\eta^2;gf_1;gf_2\right)$ sont des g-transformations.
\end{prop}
\Dem Nous nous contenterons de faire la d�monstration pour $(\eta^1f;\eta^2f)$ car celle de 
$(g\eta^1;g\eta^2)$ est similaire.
\begin{description}
\item[(GTRANS 1)] Comme $(\eta^1;\eta^2)$ est une g-transformation
         $$s_2(\eta^1f)=(s_{2}\eta^1)f=(s_{2}f_{1})f=s_{2}(f_{1}f)$$ 
         $$t_2(\eta^1f)=(t_2\eta^1)f=(s_{2}f_2)f=s_{2}(f_2f)$$
         et
         $$s_2(\eta^2f)=(s_{2}\eta^2)f=(t_{2}f_{1})f=t_{2}(f_{1}f)$$ 
         $$t_2(\eta^2f)=(t_2\eta^2)f=(t_{2}f_2)f=t_{2}(f_2f)$$ 
\item[(GTRANS 2)] Pour tout $x\in\BBB'_1$ et tout $y\in\BBB'_{1}$ 
         tels que $s'_{1}(x)=t'_{1}(x)$, 
         \begin{align*}
         (f_2f)(x)\OP_2(\eta^1 f)(x)
         &=f_2(f(x))\OP_2\eta^1(f(x))\\
         &=\eta^2(f(x))\OP_2 f_1(f(x))
         =(\eta^2 f)(x)\OP_2(f_1f)(x)
         \end{align*}
         car $\eta:f_1\leadsto f_2$ est une g-transformation et $f(x)\in\BBB_1$,
         et
         $$(\eta^1f)(x)=\eta^1(f(x))=\eta^2(f(x))=(\eta^2f)(x)$$
         d'apr�s l'axiome (GMOR), $s_{2}f(x)=t_{2}f(y)$.\QED
\end{description}
Pour simplifier, si $\eta=(\eta^1;\eta^2)$ est la g-transformation de la proposition, 
alors on note $\eta f$ et $g\eta$ les nouvelles g-transformations.
% lemme
\begin{lemm}\label{lemm:gr:4.3}
Soient $\eta:f_{1}\leadsto f_{2}$ et $\eta':f'_{1}\leadsto f'_{2}$ deux 
g-transformations pour lesquelles le groupement but de $f_{1}$ et $f_{2}$ est aussi le 
groupement source de $f'_{1}$ et $f'_{2}$. Alors les g-transformations
$$(f'_{1}\eta)\circledast(\eta'f_{2}):f'_{1}f_{1}\leadsto f'_{2}f_{2}$$ et 
$$(\eta'f_{1})\circledast(f'_{2}\eta):f'_{1}f_{1}\leadsto f'_{2}f_{2}$$
existent.
\end{lemm}
\Dem\ Puisque $f'_{1}\eta:f'_{1}f_{1}\leadsto f'_{1}f_{2}$ et 
$\eta'f_{2}:f'_{1}f_{2}\leadsto f'_{2}f_{2}$, la premi�re g-transformation 
$(f'_{1}\eta)\circledast(\eta'f_{2})$ existe. L'existence de la seconde 
se montre de la m�me mani�re.\QEDb
Gr�ce � ce lemme, on peut d�finir de nouvelles applications :
% th�or�me
\begin{theo}\label{theo:gr:4.2}
Consid�rons les quatre applications d'ensembles $\sigma_0$, $\tau_0$,
$\boxtimes$ et $\boxdot$sont les applications ci-dessous.
\begin{itemize}
\item $\sigma_0:\star\GTrans\to\star\GTrans$ d�finie par $$\sigma_0\left(\eta:
(f_1:\BBB_1\to\BBB_2)\leadsto(f_2:\BBB_1\to\BBB_2)\right)
=(s_{1};t_{1}):\Id_{\BBB_1}\leadsto\Id_{\BBB_1}$$
\item $\tau_0:\star\GTrans\to\star\GTrans$ d�finie par $$\tau_0\left(\eta:
(f_1:\BBB_1\to\BBB_2)\leadsto(f_2:\BBB_1\to\BBB_2)\right)
=(s_{2};t_{2}):\Id_{\BBB_2}\leadsto\Id_{\BBB_2}$$
\item $\boxtimes,\boxdot:\star\GTrans\times\star\GTrans\to\star\GTrans$ 
d�finies par
$$\eta_2\boxtimes\eta_1=
\begin{cases}
(f'_2\eta_1)\circledast(\eta_2f_1)
&\text{si}\ \sigma_0(\eta_2)=\tau_0(\eta_1)\\
\eta_1&\text{sinon}
\end{cases}$$et
$$\eta_2\boxdot\eta_1=
\begin{cases}
(\eta_2f'_1)\circledast(f_2\eta_1)
&\text{si}\ \sigma_0(\eta_2)=\tau_0(\eta_1)\\
\eta_1&\text{sinon}
\end{cases}$$
pour $\eta_1:(f_1:\BBB_1\to\BBB'_1)\leadsto(f'_1:\BBB_1\to\BBB'_1)$ et
$\eta_2:(f_2:\BBB_2\to\BBB'_2)\leadsto(f'_2:\BBB_2\to\BBB'_2)$ deux 
g-trans\-for\-ma\-tions.
\end{itemize}
Les deux quadruplets $\left(\GTrans;\sigma_0;\tau_0;\boxtimes\right)$ 
et $\left(\GTrans;\sigma_0;\tau_0;\boxdot\right)$ sont des grou\-pe\-ments.
\end{theo}
\Dem
La condition $\sigma_0(\eta_2)=\tau_0(\eta_1)$ n'est autre que celle impos�e 
dans le lemme \ref{lemm:gr:4.3}. Par cons�quent $\eta_{2}\boxtimes\eta_{1}$ 
et $\eta_{2}\boxdot\eta_{1}$ existent et sont bien des g-groupements.
\begin{description}
\item[(GR 1)] Pour tout $\eta:(f_1:\BBB_1\to\BBB_2)\leadsto(f_2:\BBB_1\to\BBB_2)$,
        \begin{alignat*}{2}
                \sigma_0\sigma_0(\eta)&=\sigma_0(s_{1};t_{1})&=(s_{1};t_{1})&=\sigma_0(\eta)\\
                \sigma_0\tau_0(\eta)&=\sigma_0(s_{2};t_{2})&=(s_{2};t_{2})&=\tau_0(\eta)\\
                \tau_0\tau_0(\eta)&=\tau_0(s_{2};t_{2})&=(s_{2};t_{2})&=\tau_0(\eta)\\
                \tau_0\sigma_0(\eta)&=\tau_0(s_{1};t_{1})&=(s_{1};t_{1})&=\sigma_0(\eta)
        \end{alignat*}
\item[(GR 2)] Pour tous $$\eta_1:(f_1:\BBB_1\to\BBB'_1)\leadsto(f'_1:\BBB_1\to\BBB'_1)$$et
        $$\eta_2:(f_2:\BBB_2\to\BBB'_2)\leadsto(f'_2:\BBB_2\to\BBB'_2)$$ avec 
        $\sigma_0(\eta_2)=\tau_0(\eta_1)$,
        $$\sigma_0(\eta_2\boxtimes\eta_1)=(s_{1};t_{1})=\sigma_0(\eta_1)
        \qquad\text{et}\qquad
        \tau_0(\eta_2\boxtimes\eta_1)=(s'_{2};t'_{2})=\tau_0(\eta_2)$$
        car $\eta_2\boxtimes\eta_1$ va de $f'_{1}f_{1}:\BBB_{1}\to\BBB'_{2}$ 
        vers $f'_{2}f_{2}:\BBB_{1}\to\BBB'_{2}$.
\item[(GR 3)] Soient $\eta_1:f_1\leadsto f'_1$, $\eta_2:f_2\leadsto f'_2$ et 
    $\eta_3:f_3\leadsto f'_3$ trois �l�ments de $\star\GTrans$ tels que     
    $\sigma_0\left(\eta_2\right)=\tau_0\left(\eta_1\right)$ et 
    $\sigma_0\left(\eta_3\right)=\tau_0\left(\eta_2\right)$.
$$(\eta_3\boxtimes\eta_2)\boxtimes\eta_1
=\left((f'_3\eta_2)\circledast(\eta_3f_2)\right)\boxtimes\eta_1
=(f'_3f'_2\eta_1)\circledast\left((f'_3\eta_2f_1)\circledast(\eta_3f_2f_1)\right)$$
$$\eta_3\boxtimes(\eta_2\boxtimes\eta_1)
=\eta_3\boxtimes\left((f'_2\eta_1)\circledast(\eta_2f_1)\right)
=\left((f'_3f'_2\eta_1)\circledast(f'_3\eta_2f_1)\right)\circledast(\eta_3f_2f_1)$$
et
$$(f'_3f'_2\eta_1)\circledast\left((f'_3\eta_2f_1)\circledast(\eta_3f_2f_1)\right)
=\left((f'_3f'_2\eta_1)\circledast(f'_3\eta_2f_1)\right)\circledast(\eta_3f_2f_1)$$
d'apr�s le th�or�me \ref{theo:gr:4.1}. 
\end{description}
On d�montre de la m�me mani�re que $\left(\GTrans;\sigma_0;\tau_0;\boxdot\right)$ est 
un groupement.\QEDb
Ce th�or�me nous montre que l'ensemble des petites g-transformations est naturellement 
muni de trois structures de groupement. Dans les deux propositions qui viennent maintenant 
nous allons �tudier de plus pr�s les relations qui existent entre elles.
\begin{prop}\label{prop:gr:4.7}
Avec les notations introduites pr�c�demment, on a :
$$\sigma_0\sigma_1=\sigma_0\qquad\sigma_0\tau_1=\sigma_0\qquad
\tau_0\sigma_1=\tau_0\qquad\tau_0\tau_1=\tau_0$$
$$\sigma_1\sigma_0=\sigma_0\qquad\sigma_1\tau_0=\tau_0\qquad
\tau_1\sigma_0=\sigma_0\qquad\tau_1\tau_0=\tau_0$$
\end{prop}
\Dem
Soit $\eta:(f_1:\BBB_1\to\BBB_2)\leadsto(f_2:\BBB_1\to\BBB_2)$ une g-transformation.
\begin{align*}
\sigma_0\sigma_1(\eta)&=\sigma_0(s_{2}f_{1};t_{2}f_{1})
=(s_{1};t_{1})=\sigma_0(\eta)&
\sigma_0\tau_1(\eta)&=\sigma_0(s_{2}f_{2};t_{2}f_{2})
=(s_{1};t_{1})=\sigma_0(\eta)\\
\tau_0\sigma_1(\eta)&=\tau_0(s_{2}f_1;t_{2}f_{1})
=(s_{2};t_{2})=\tau_0(\eta)&
\tau_0\tau_1(\eta)&=\tau_0(s_{2}f_2;t_{2}f_{2})
=(s_{2};t_{2})=\tau_0(\eta)\\
\sigma_1\sigma_0(\eta)&=\sigma_1(s_{1};t_{1})=(s_{1};t_{1})=\sigma_0(\eta)&
\sigma_1\tau_0(\eta)&=\sigma_1(s_{2};t_{2})=(s_{2};t_{2})=\tau_0(\eta)\\
\tau_1\sigma_0(\eta)&=\tau_1(s_{1};t_{1})=(s_{1};t_{1})=\sigma_0(\eta)&
\tau_1\tau_0(\eta)&=\tau_1(s_{2};t_{2})=(s_{2};t_{2})=\tau_0(\eta)
\QEDb
\end{align*}
Une cons�quence imm�diate de cette proposition est le corollaire suivant.
\begin{coro}\label{coro:gr:4.1}
On a
$$\sigma_0\sigma_1=\sigma_1\sigma_0\quad\text{et}\quad\tau_0\tau_1=\tau_1\tau_0$$
$$\tau_0\sigma_1=\sigma_1\tau_0\quad\text{et}\quad\sigma_0\tau_1=\tau_1\sigma_0$$
\end{coro}
Le probl�me dans le cas pr�sent c'est que si les relations entre les applications
sources et buts sont extr�mement simples, celles entre les compositions le sont
beaucoup moins. Nous reviendrons dessus dans le chapitre \ref{chap:alex}.
chap4_moore.tex
\chapter{Exemples de groupement :\\ Les chemins de Moore et leurs extensions}
\label{chap:moore}
En cherchant un exemple de groupement moins trivial que les cat�gories, on est 
de mani�re assez naturelle amen� � chercher un exemple g�om�trique. Pourquoi 
ne pas regarder du c�t� de la topologie alg�brique ? Le groupe fondamental qui 
fut introduit par Henri Poincar� � la fin du 19�me si�cle et qui fut � l'origine 
de la topologie alg�brique m�rite quelques attentions. Il est bas� sur les notions 
de chemins et d'homotopie. L'homotopie sert � identifier des chemins entre eux afin 
de pouvoir construire une composition qui v�rifie les axiomes de groupe. 
G�om�triquement cette composition est bas�e sur la juxtaposition des chemins.

Dans toute la suite de ce chapitre $X$ d�signera un espace topologique.
%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%% section 1 %%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Les chemins de Moore}
Un \emph{chemin de Moore}\index{chemin de Moore} est tout simplement une 
application continue $\gamma$ d'un intervalle $\left[0;d\right]$, o� $d>0$, dans 
l'espace topologique $X$.

Notons $\BBM(X)$ l'ensemble des chemins de Moore de l'espace $X$. Dans la d�finition 
ci-dessus, le nombre $d$ correspond � la longueur de l'intervalle. Il peut 
aussi �tre vu comme la dur�e mise pour parcourir le chemin. Nous pouvons ainsi 
construire une application dur�e $\delta$ de $\BBM(X)$ dans $\left]0;+\infty\right[$
qui a tout chemin $\gamma$ associe sa dur�e de parcours $\delta_{\gamma}$.

Nous allons maintenant munir l'ensemble $\BBP(X)$ d'une structure de groupement.
Pour cela nous pouvons commencer par prendre pour applications source et but les applications $$\MFs:\BBP(X)\to\BBP(X)\quad\text{et}\quad\MFt:\BBP(X)\to\BBP(X)$$ d�finies de la 
mani�re suivante :
$$\MFs(\gamma)(u)=\gamma(0)\qquad\text{et}\qquad \MFt(\gamma)(t)=\gamma
(\delta_{\gamma})$$
pour tout $t\in\left[0;1\right]$. $\MFs(\gamma)$ et $\MFt(\gamma)$ sont des applications 
constantes, donc continues, de $\left[0;1\right]$ dans $X$. Ce sont des chemins 
de Moore de dur�e $1$.

Pour tout $t$ appartenant � l'intervalle $\left[0;1\right]$ et tout chemin 
$\gamma\in\BBP(X)$, on a
$$\MFs(\MFs(\gamma))(t)=\MFs(\gamma)(0)=\gamma(0)=\MFs(\gamma)(t)$$
$$\MFs(\MFt(\gamma))(t)=\MFt(\gamma)(0)=\gamma(\delta_{\gamma})=\MFt(\gamma)(t)$$
$$\MFt(\MFt(\gamma))(t)=\MFt(\gamma)(\delta_{\gamma})
=\gamma(\delta_{\gamma})=\MFt(\gamma)(t)$$
$$\MFt(\MFs(\gamma))(t)=\MFs(\gamma)(\delta_{\gamma})
=\gamma(0)=\MFs(\gamma)(t)$$
Par cons�quent l'axiome (GR 1) est v�rifi�.

Ces deux seules applications ne sont pas suffisantes, il nous faut une composition.
Celle-ci correspond en fait � l'op�ration g�om�trique qui consiste � mettre 
bout-�-bout deux chemins � partir du moment o� l'un commence l� o� fini l'autre.
Pour �tre plus pr�cis, d�finissons la composition comme l'application $\OP$ de 
$\BBP(X)\times\BBP(X)$ dans $\BBP(X)$ donn�e par la construction qui suit.
Soient $\gamma_1$ et $\gamma_2$ deux chemins de Moore.
\begin{itemize}
\item Si $\MFs(\gamma_2)=\MFt(\gamma_1)$, alors $\gamma_2\OP\gamma_1$ est la chemin 
de dur�e $\delta_{\gamma_1}+\delta_{\gamma_2}$ d�fini par
$$(\gamma_2\OP\gamma_1)(t)
\begin{cases}
\gamma_1(t)\quad&\text{pour }t\in\left[0;\delta_{\gamma_1}\right]\\
\gamma_2(t-\delta_{\gamma_1})\quad&\text{pour }t\in\left[\delta_{\gamma_1};
\delta_{\gamma_1}+\delta_{\gamma_2}\right]
\end{cases}$$
\item Sinon $\gamma_2\OP\gamma_1=\gamma_1$.
\end{itemize}  
Dans le premier cas, comme $\MFs(\gamma_2)=\MFt(\gamma_1)$, on a $\gamma_1(\delta
_{\gamma_1})=\gamma_2(0)=\gamma_2(\delta_{\gamma_1}-\delta_{\gamma_1})$. De plus les 
intervalles $\left[0;\delta_{\gamma_1}\right]$ et $\left[\delta_{\gamma_1};
\delta_{\gamma_1}+\delta_{\gamma_2}\right]$ sont ferm�s. Par cons�quent 
$\gamma_2\OP\gamma_1$ est bien continue de $\left[0;\delta_{\gamma_1}+
\delta_{\gamma_2}\right]$ dans $X$. En d'autres mots c'est un chemin de Moore.
Le second cas donne trivialement un chemin de Moore.

Il ne nous reste plus qu'� v�rifier les axiomes (GR 2) et (GR 3). Soient $\gamma_1$ 
et $\gamma_2$ deux chemins de Moore tels que $\MFs(\gamma_2)=\MFt(\gamma_1)$. Pour 
tout $t\in\left[0;\delta_{\gamma_1}+\delta_{\gamma_2}\right]$, les calculs
$$\MFs(\gamma_2\OP\gamma_1)(t)=(\gamma_2\OP\gamma_1)(0)=\gamma_1(0)=\MFs(\gamma_1)(t)$$
$$\MFt(\gamma_2\OP\gamma_1)(t)=(\gamma_2\OP\gamma_1)(\delta_{\gamma_1}+
\delta_{\gamma_2})=\gamma_2(\delta_{\gamma_1}+\delta_{\gamma_2}-\delta_{\gamma_1})
=\gamma_2(\delta_{\gamma_2})=\MFt(\gamma_2)(t)$$
montrent que l'axiome (GR 2) est satisfait.

Si $\gamma_1$, $\gamma_2$ et $\gamma_3$ sont trois chemins de Moore tels que 
$\MFs(\gamma_3)=\MFt(\gamma_2)$ et $\MFs(\gamma_2)=\MFt(\gamma_1)$, alors
$$(\gamma_3\OP\gamma_2)\OP\gamma_1(t)=
\begin{cases}
\gamma_1(t)\quad&\text{pour }0\leq t\leq
\delta_{\gamma_1}\\
(\gamma_3\OP\gamma_2)(t-\delta_{\gamma_1})\quad&\text{pour }
\delta_{\gamma_1}\leq t\leq
\delta_{\gamma_1}+\delta_{\gamma_2}+\delta_{\gamma_3}
\end{cases}$$
et
$$\gamma_3\OP(\gamma_2\OP\gamma_1)(t)=
\begin{cases}
\gamma_2\OP\gamma_1(t)\quad&\text{pour }0\leq t\leq
\delta_{\gamma_1}+\delta_{\gamma_2}\\
\gamma_3(t-\delta_{\gamma_1}-\delta_{\gamma_2})\quad&\text{pour }
\delta_{\gamma_1}+\delta_{\gamma_2}\leq t\leq
\delta_{\gamma_1}+\delta_{\gamma_2}+\delta_{\gamma_3}
\end{cases}$$
D'o�
$$(\gamma_3\OP\gamma_2)\OP\gamma_1(t)=\gamma_3\OP(\gamma_2\OP\gamma_1)(t)=
\begin{cases}
\gamma_1(t)\quad&\text{pour }0\leq t\leq
\delta_{\gamma_1}\\
\gamma_2(t-\delta_{\gamma_1})\quad&\text{pour }
\delta_{\gamma_1}\leq t\leq
\delta_{\gamma_1}+\delta_{\gamma_2}\\
\gamma_3(t-\delta_{\gamma_1}-\delta_{\gamma_2})\quad&\text{pour }
\delta_{\gamma_1}+\delta_{\gamma_2}\leq t\leq
\delta_{\gamma_1}+\delta_{\gamma_2}+\delta_{\gamma_3}
\end{cases}$$
Ainsi l'axiome (GR 3) est v�rifi�. Finalement
\begin{theo}\label{theo:moore:1.1}
Le quadruplet $\left(\BBP(X);
\MFs;\MFt;\OP\right)$ est un groupement.
\end{theo}
%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%% section 2 %%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Les surfaces de Moore}
Une \emph{surface de Moore}\index{surface de Moore} est une application continue
de $\left[0;d_1\right]\times\left[0;d_2\right]$, o� $d_1$ et $d_2$ sont des r�els 
strictement positifs, dans l'espace $X$.

Il faut bien remarquer que le mot surface est ici utilis� de mani�re abusive. S'il 
est entendu que le produit $\left[0;d_1\right]\times\left[0;d_2\right]$ est une surface, 
il n'en va pas n�cessairement de m�me pour son image dans $X$.

En se r�f�rant � ce que nous avons dit dans la section pr�c�dente, nous pouvons 
voir $d_1$ comme la dur�e de parcours dans la premi�re direction et $d_2$ comme celle 
dans la seconde direction. Ainsi si nous notons $\BBS(X)$ l'ensemble des surfaces 
de Moore de l'espace $X$, alors nous avons naturellement deux applications de dur�e
$\delta_1$ et $\delta_2$ de $\BBS(X)$ dans $\left]0;+\infty\right[$ :
\begin{align*}
\delta_1(\gamma)&=d_1=\text{dur�e dans la premi�re direction}\\
\delta_2(\gamma)&=d_2=\text{dur�e dans la deuxi�me direction}
\end{align*}
pour $\gamma\in\BBS(X)$.

Nous pouvons munir l'ensemble $\BBS(X)$ de deux structures de groupement. Consid�rons 
$\MFs_1$ et $\MFs_2$ les deux applications d�finies, sur $\BBS(X)$ � valeur dans 
lui-m�me, par les formules suivantes :
$$\MFs_1(\gamma)(u;v)=\gamma(0;v)\qquad\text{pour }(u;v)\in\left[0;1\right]\times
\left[0;\delta_2(\gamma)\right]$$
$$\MFs_2(\gamma)(u;v)=\gamma(u;0)\qquad\text{pour }(u;v)\in\left[0;\delta_1
(\gamma)\right]\times\left[0;1\right]$$
De m�me on peut d�finir deux applications $\MFt_i:\BBS(X)\to\BBS(X)$, $i=1,2$, de la 
mani�re suivante :
$$\MFt_1(\gamma)(u;v)=\gamma(\delta_1(\gamma);v)
\qquad\text{pour }(u;v)\in\left[0;1\right]\times\left[0;\delta_2(\gamma)\right]$$
$$\MFt_2(\gamma)(u;v)=\gamma(u;\delta_2(\gamma))
\qquad\text{pour }(u;v)\in\left[0;\delta_1(\gamma)\right]\times\left[0;1\right]$$
Les applications sources et buts �tant donn�es, nous pouvons maintenant nous 
int�resser aux compositions. Il y aura une composition $\OP_1$  suivant la premi�re 
direction et une autre $\OP_2$ suivant la seconde. Pour deux surfaces de Moore 
$\gamma_1$ et $\gamma_2$,
\begin{itemize}
\item si $\MFs_1(\gamma_2)=\MFt_1(\gamma_1)$, on pose
$$\gamma_2\OP_1\gamma_1(u;v)=
\begin{cases}
\gamma_1(u;v)\quad&\text{pour }(u;v)\in\left[0;\delta_1(\gamma_1)\right]
\times\left[0;\delta_2(\gamma_1)\right]\\
\gamma_2(u-\delta_1(\gamma_1);v)\quad&\text{pour }
(u;v)\in\left[\delta_1(\gamma_1);\delta_1(\gamma_1)+\delta_1(\gamma_2)
\right]\times\left[0;\delta_2(\gamma_1)\right]
\end{cases}$$
(Cette d�finition est valide. En effet,
comme $$\MFs_1(\gamma_2):\left[0;1\right]\times\left[0;\delta_2(\gamma_2)\right]
\to\BBS(X)\quad\text{et}\quad\MFt_1(\gamma_1):\left[0;1\right]\times\left[0;\delta_2
(\gamma_1)\right]\to\BBS(X)$$ on a $\delta_2(\gamma_1)=\delta_2(\gamma_2)$.)
\item si $\MFs_2(\gamma_2)=\MFt_2(\gamma_1)$, on pose
$$\gamma_2\OP_2\gamma_1(u;v)=
\begin{cases}
\gamma_1(u;v)\quad&\text{pour }(u;v)\in\left[0;\delta_1(\gamma_1)\right]
\times\left[0;\delta_2(\gamma_1)\right]\\
\gamma_2(u;v-\delta_2(\gamma_1))\quad&\text{pour }
(u;v)\in\left[0;\delta_1(\gamma_1)\right]\times\left[\delta_2
(\gamma_1);\delta_2(\gamma_1)+\delta_2(\gamma_2)\right]
\end{cases}$$
(Comme pr�c�demment on montre $\delta_2(\gamma_1)=\delta_2(\gamma_2)$.)
\item sinon, on pose $\gamma_2\OP_1\gamma_1=\gamma_2\OP_2\gamma_1=\gamma_1$
\end{itemize} 
\begin{theo}\label{theo:moore:2.1}
Les quadruplets $\left(\BBS(X);\MFs_1;\MFt_1;\OP_1\right)$ et 
$\left(\BBS(X);\MFs_2;\MFt_2;\OP_2\right)$ sont des groupements.
\end{theo}
\Dem 
\begin{description}
\item[(GR 1)] Soient $\gamma\in\BBS(X)$ et $(u;v)\in\left[0;1\right]\times
\left[0;\delta_2(\gamma)\right]$.
$$\MFs_1\MFs_1(\gamma)(u;v)=\MFs_1(\gamma(0;v))
=\gamma(0;v)=\MFs_1(\gamma)(u;v)$$
$$\MFs_1\MFt_1(\gamma)(u;v)=\MFs_1(\gamma(\delta_1(\gamma);v))
=\gamma(\delta_1(\gamma);v)=\MFt_1(\gamma)(u;v)$$
$$\MFt_1\MFt_1(\gamma)(u;v)=\MFt_1(\gamma(\delta_1(\gamma);v))
=\gamma(\delta_1(\gamma);v)=\MFt_1(\gamma)(u;v)$$
$$\MFt_1\MFs_1(\gamma)(u;v)=\MFs_1(\gamma(0;v))
=\gamma(0;v)=\MFs_1(\gamma)(u;v)$$
\item[(GR 2)] Soient $\gamma_1$ et $\gamma_2$ deux surfaces de Moore telles que 
$\MFs_1(\gamma_2)=\MFt_1(\gamma_1)$. Pour $(u;v)\in\left[0;1\right]\times
\left[0;\delta_2(\gamma_1)\right]$,
$$\MFs_1(\gamma_2\OP_1\gamma_1)(u;v)
=\gamma_2\OP_1\gamma_1(0;v)=\gamma_1(0;v)=\MFs_1(\gamma_1)(u;v)$$
$$\MFt_1(\gamma_2\OP_1\gamma_1)(u;v)
=\gamma_2\OP_1\gamma_1(\delta_1(\gamma_1)+\delta_1(\gamma_2);v)
=\gamma_2(\delta_1(\gamma_2);v)=\MFt_1(\gamma_2)(u;v)$$
\item[(GR 3)] Soient $\gamma_1$, $\gamma_2$ et $\gamma_3$ deux surfaces de Moore 
telles que $\MFs_1(\gamma_3)=\MFt_1(\gamma_2)$ et
$\MFs_1(\gamma_2)=\MFt_1(\gamma_1)$. Pour $(u;v)\in\left[0;\delta_1(\gamma_1)+
\delta_1(\gamma_2)+\delta_1(\gamma_3)\right]\times
\left[0;\delta_2(\gamma_1)\right]$,
$$(\gamma_3\OP\gamma_2)\OP\gamma_1(u;v)=
\begin{cases}
\gamma_1(t)\quad&\text{pour }0\leq u\leq
\delta_{\gamma_1}\\
(\gamma_3\OP\gamma_2)(u-\delta_{\gamma_1};v)\quad&\text{pour }
\delta_{\gamma_1}\leq u\leq
\delta_{\gamma_1}+\delta_{\gamma_2}+\delta_{\gamma_3}
\end{cases}$$
et
$$\gamma_3\OP(\gamma_2\OP\gamma_1)(u;v)=
\begin{cases}
\gamma_2\OP\gamma_1(u;v)\quad&\text{pour }0\leq u\leq
\delta_{\gamma_1}+\delta_{\gamma_2}\\
\gamma_3(u-\delta_{\gamma_1}-\delta_{\gamma_2};v)\quad&\text{pour }
\delta_{\gamma_1}+\delta_{\gamma_2}\leq u\leq
\delta_{\gamma_1}+\delta_{\gamma_2}+\delta_{\gamma_3}
\end{cases}$$
D'o�
\begin{align*}
(\gamma_3\OP\gamma_2)\OP\gamma_1(u;v)\\
&=\gamma_3\OP(\gamma_2\OP\gamma_1)(u;v)\\
&=
\begin{cases}
\gamma_1(u;v)\quad&\text{pour }0\leq u\leq
\delta_{\gamma_1}\\
\gamma_2(u-\delta_{\gamma_1};v)\quad&\text{pour }
\delta_{\gamma_1}\leq u\leq
\delta_{\gamma_1}+\delta_{\gamma_2}\\
\gamma_3(u-\delta_{\gamma_1}-\delta_{\gamma_2};v)\quad&\text{pour }
\delta_{\gamma_1}+\delta_{\gamma_2}\leq u\leq
\delta_{\gamma_1}+\delta_{\gamma_2}+\delta_{\gamma_3}
\end{cases}
\end{align*}
Cela montre que $\left(\BBS(X);\MFs_1;\MFt_1;\OP_1\right)$ est un groupement. La 
d�monstration est semblable pour $\left(\BBS(X);\MFs_2;\MFt_2;\OP_2\right)$.\QED
\end{description} 
\'Etudions de plus pr�s les liens qui unissent ces deux structures de groupements.
\begin{prop}\label{prop:moore:2.1}
Soient $\left(\BBS(X);\MFs_1;\MFt_1;\OP_1\right)$ et $\left(\BBS(X);\MFs_2;\MFt_2;\OP_2\right)$
les deux structures de groupement sur $\BBS(X)$ introduites dans le th�or�me
\ref{theo:moore:2.1}. On a les �galit�s
$$\MFs_1\MFs_2=\MFs_2\MFs_1\qquad\MFt_1\MFt_2=\MFt_2\MFt1$$
$$\MFs_1\MFt_2=\MFt_2\MFs_1\qquad\MFs_2\MFt_1=\MFt_1\MFs_2$$
\end{prop}
\Dem
Soient $\gamma\in\BBS(X)$ et $(u;v)\in\left[0;1\right]\times\left[0;1\right]$.
$$\MFs_1\MFs_2\left(\gamma\right)(u;v)=\MFs_1\left(\gamma\right)(u;0)=\gamma(0;0)
\quad\text{et}\quad\MFs_2\MFs_1\left(\gamma\right)(u;v)=\MFs_2\left(\gamma\right)(0;v)
=\gamma(0;0)$$
$$\MFs_1\MFt_2\left(\gamma\right)(u;v)=\MFs_1\left(\gamma\right)(u;1)=\gamma(0;1)
\quad\text{et}\quad\MFt_2\MFs_1\left(\gamma\right)(u;v)=\MFt_2\left(\gamma\right)(0;v)
=\gamma(0;1)$$
$$\MFt_1\MFs_2\left(\gamma\right)(u;v)=\MFt_1\left(\gamma\right)(u;0)=\gamma(1;0)
\quad\text{et}\quad\MFs_2\MFt_1\left(\gamma\right)(u;v)=\MFs_2\left(\gamma\right)(1;v)
=\gamma(1;0)$$
$$\MFt_1\MFt_2\left(\gamma\right)(u;v)=\MFt_1\left(\gamma\right)(u;1)=\gamma(1;1)
\quad\text{et}\quad\MFt_2\MFt_1\left(\gamma\right)(u;v)=\MFt_2\left(\gamma\right)(1;v)
=\gamma(1;1)$$
\QEDb
Cette proposition est � rapprocher du corollaire \ref{coro:gr:4.1}.
\begin{prop}\label{prop:moore:2.2}
Soient $\gamma_i$, pour
$i=1,\ldots,4$, quatres �l�ments de $\BBS(X)$.
Si $\MFs_2(\gamma_2)=\MFt_2(\gamma_1)$, $\MFs_2(\gamma_4)=\MFt_2(\gamma_3)$,
$\MFs_1(\gamma_3)=\MFt_1(\gamma_1)$ et $\MFs_1(\gamma_4)=\MFt_1(\gamma_2)$
alors les surfaces de Moore
$$(\gamma_4\OP_2\gamma_3)\OP_1(\gamma_2\OP_2\gamma_1)\quad\text{et}\quad
(\gamma_4\OP_1\gamma_2)\OP_2(\gamma_3\OP_1\gamma_1)$$
existent et sont �gales :
$$(\gamma_4\OP_2\gamma_3)\OP_1(\gamma_2\OP_2\gamma_1)=
(\gamma_4\OP_1\gamma_2)\OP_2(\gamma_3\OP_1\gamma_1)$$
\end{prop}
\Dem
Commen�ons par remarquer que
 les quatre conditions impos�es impliquent $$\delta_1(\gamma_1)=
\delta_1(\gamma_2),\qquad\delta_1(\gamma_3)=\delta_1(\gamma_4)$$et
 $$\delta_2(\gamma_1)=
\delta_2(\gamma_3),\qquad\delta_2(\gamma_2)=\delta_2(\gamma_4)$$

Il est clair que la surface de Moore $(\gamma_4\OP_2\gamma_3)\OP_1(\gamma_2\OP_2\gamma_1)$
existe si les conditions $$\MFs_2(\gamma_2)=\MFt_2(\gamma_1),\quad
\MFs_2(\gamma_4)=\MFt_2(\gamma_3)\quad\text{et}\quad\MFs_1(\gamma_4\OP_2\gamma_3)=
\MFt_1(\gamma_2\OP_2\gamma_1)$$ sont satisfaites. Par hypoth�se, seule la derni�re
m�rite une justification.\\
Pour tout $(u;v)\in\left[0;\delta_1(\gamma_1)\right]\times\left[0;
\delta_2(\gamma_1)+\delta_2(\gamma_2)\right]$,
$$\gamma_2\OP_2\gamma_1(u;v)=
\begin{cases}
\gamma_1(u;v) &\text{si }0\leq v\leq\delta_2(\gamma_1)\\
\gamma_2(u;v-\delta_2(\gamma_1)) &\text{si }
\delta_2(\gamma_1)\leq v\leq\delta_2(\gamma_1)+\delta_2(\gamma_2)
\end{cases}$$
et pour tout $(u;v)\in\left[0;\delta_1(\gamma_3)\right]\times\left[0;
\delta_2(\gamma_1)+\delta_2(\gamma_2)\right]$,
$$\gamma_4\OP_2\gamma_3(u;v)=
\begin{cases}
\gamma_3(u;v) &\text{si }0\leq v\leq\delta_2(\gamma_1)\\
\gamma_4(u;v-\delta_2(\gamma_1)) &\text{si }
\delta_2(\gamma_1)\leq v\leq\delta_2(\gamma_1)+\delta_2(\gamma_2)
\end{cases}$$
Ainsi, pour tout $(u;v)\in\left[0;1\right]\times
\left[0;\delta_2(\gamma_1)+\delta_2(\gamma_2)\right]$, on trouve
$$\MFt_1\left(\gamma_2\OP_2\gamma_1\right)(u;v)=
\begin{cases}
\gamma_1(\delta_1(\gamma_1);v) &\text{si }0\leq v\leq\delta_2(\gamma_1)\\
\gamma_2(\delta_1(\gamma_1);v-\delta_2(\gamma_1)) &\text{si }
\delta_2(\gamma_1)\leq v\leq\delta_2(\gamma_1)+\delta_2(\gamma_2)
\end{cases}$$
et
$$\MFs_1\left(\gamma_4\OP_2\gamma_3\right)(u;v)=
\begin{cases}
\gamma_3(0;v) &\text{si }0\leq v\leq\delta_2(\gamma_3)\\
\gamma_2(0;v-\delta_2(\gamma_1)) &\text{si }
\delta_2(\gamma_3)\leq v\leq\delta_2(\gamma_3)+\delta_2(\gamma_4)
\end{cases}$$
Or les conditions $\MFs_1(\gamma_3)=\MFt_1(\gamma_1)$ et $\MFs_1(\gamma_4)=\MFt_1(\gamma_2)$
s'�crivent de la mani�re suivante
$$\begin{cases}
\gamma_3(0;v)=\gamma_1(\delta_1(\gamma_1);v) &\text{pour }0\leq v\leq\delta_2(\gamma_1)\\
\gamma_4(0;v)=\gamma_2(\delta_1(\gamma_1);v) &\text{pour }0\leq v\leq\delta_2(\gamma_2)
\end{cases}$$
Par cons�quent, l'�galit� $\MFt_1\left(\gamma_2\OP_2\gamma_1\right)=
\MFs_1\left(\gamma_4\OP_2\gamma_3\right)$ est bien v�rifi�e et, pour tout $$(u;v)\in
\left[0;\delta_1(\gamma_1)+\delta_1(\gamma_3)\right]\times
\left[0;\delta_2(\gamma_1)+\delta_2(\gamma_2)\right]$$
$(\gamma_4\OP_2\gamma_3)\OP_1(\gamma_2\OP_1\gamma_1)(u;v)$ est �gal �
$$\begin{cases}
\gamma_1(u;v) &\text{pour }(u;v)\in\left[0;\delta_1(\gamma_1)\right]\times
\left[0;\delta_2(\gamma_1)\right]\\
\gamma_3(u-\delta_1(\gamma_1);v) &\text{pour }
(u;v)\in\left[\delta_1(\gamma_1);\delta_1(\gamma_1)+
\delta_1(\gamma_3)\right]\times\left[0;\delta_2(\gamma_1)\right]\\
\gamma_2(u;v-\delta_2(\gamma_1)) &\text{pour }
(u;v)\in\left[0;\delta_1(\gamma_1)\right]\times
\left[\delta_2(\gamma_1);\delta_2(\gamma_1)+\delta_2(\gamma_2)\right]\\
\gamma_4(u-\delta_1(\gamma_1);v-\delta_2(\gamma_2)) &\text{pour }
(u;v)\in\left[\delta_1(\gamma_1);\delta_1(\gamma_1)+
\delta_1(\gamma_3)\right]\times
\left[\delta_2(\gamma_1);\delta_2(\gamma_1)+\delta_2(\gamma_2)\right]
\end{cases}$$


De m�me, il est clair que la surface de Moore $(\gamma_4\OP_1\gamma_2)\OP_2(\gamma_3\OP_1\gamma_1)$
existe si les conditions $\MFs_1(\gamma_4)=\MFt_1(\gamma_2)$,
$\MFs_1(\gamma_3)=\MFt_1(\gamma_1)$ et $\MFs_2(\gamma_4\OP_1\gamma_2)=
\MFt_2(\gamma_3\OP_1\gamma_1)$ sont satisfaites. Les deux premi�res �tant �videntes,
int�ressons nous � la troisi�me.\\
Pour tout $(u;v)\in\left[0;\delta_1(\gamma_1)+\delta_1(\gamma_3)\right]\times\left[0;
\delta_2(\gamma_1)\right]$,
$$\gamma_3\OP_1\gamma_1(u;v)=
\begin{cases}
\gamma_1(u;v) &\text{si }0\leq u\leq\delta_1(\gamma_1)\\
\gamma_3(u-\delta_1(\gamma_1);v) &\text{si }
\delta_1(\gamma_1)\leq u\leq\delta_1(\gamma_1)+\delta_1(\gamma_3)
\end{cases}$$
et pour tout $(u;v)\in\left[0;\delta_1(\gamma_1)+\delta_1(\gamma_3)\right]\times\left[0;
\delta_2(\gamma_2)\right]$,
$$\gamma_4\OP_1\gamma_2(u;v)=
\begin{cases}
\gamma_2(u;v) &\text{si }0\leq u\leq\delta_1(\gamma_1)\\
\gamma_4(u-\delta_1(\gamma_1);v) &\text{si }
\delta_1(\gamma_1)\leq u\leq\delta_1(\gamma_1)+\delta_1(\gamma_3)
\end{cases}$$
Pour tout $(u;v)\in\left[0;\delta_1(\gamma_1)+\delta_1(\gamma_3)\right]
\times\left[0;1\right]$, on a ainsi
$$\MFt_2\left(\gamma_3\OP_1\gamma_1\right)(u;v)=
\begin{cases}
\gamma_1(u;\delta_2(\gamma_1))
&\text{si }0\leq u\leq\delta_1(\gamma_1)\\
\gamma_3(u-\delta_1(\gamma_1);\delta_2(\gamma_1)) &\text{si }
\delta_1(\gamma_1)\leq u\leq\delta_1(\gamma_1)+\delta_1(\gamma_3)
\end{cases}$$
et
$$\MFs_2\left(\gamma_4\OP_1\gamma_1\right)(u;v)=
\begin{cases}
\gamma_3(u;0) &\text{si }0\leq u\leq\delta_1(\gamma_1)\\
\gamma_2(u-\delta_1(\gamma_1);0) &\text{si }
\delta_1(\gamma_1)\leq u\leq\delta_1(\gamma_1)+\delta_1(\gamma_3)
\end{cases}$$
Comme les conditions $\MFs_2(\gamma_2)=\MFt_2(\gamma_1)$ et
$\MFs_2(\gamma_4)=\MFt_2(\gamma_3)$ s'�crivent de la mani�re suivante
$$\begin{cases}
\gamma_2(u;O)=\gamma_1(u;\delta_2(\gamma_1)) &\text{pour }0\leq u\leq\delta_1(\gamma_1)\\
\gamma_4(u;0)=\gamma_3(u;\delta_2(\gamma_1)) &\text{pour }0\leq u\leq\delta_1(\gamma_3)
\end{cases}$$
Par cons�quent, l'�galit� $$\MFt_2\left(\gamma_3\OP_1\gamma_1\right)=
\MFs_2\left(\gamma_4\OP_1\gamma_2\right)$$ est satisfaite et, pour tout $$(u;v)\in
\left[0;\delta_1(\gamma_1)+\delta_1(\gamma_3)\right]\times
\left[0;\delta_2(\gamma_1)+\delta_2(\gamma_2)\right]$$
$(\gamma_4\OP_1\gamma_2)\OP_2(\gamma_3\OP_1\gamma_1)(u;v)$ est �gal �
$$\begin{cases}
\gamma_1(u;v) &\text{pour }(u;v)\in\left[0;\delta_1(\gamma_1)\right]\times
\left[0;\delta_2(\gamma_1)\right]\\
\gamma_3(u-\delta_1(\gamma_1);v) &\text{pour }
(u;v)\in\left[\delta_1(\gamma_1);\delta_1(\gamma_1)+
\delta_1(\gamma_3)\right]\times\left[0;\delta_2(\gamma_1)\right]\\
\gamma_2(u;v-\delta_2(\gamma_1)) &\text{pour }
(u;v)\in\left[0;\delta_1(\gamma_1)\right]\times
\left[\delta_2(\gamma_1);\delta_2(\gamma_1)+\delta_2(\gamma_2)\right]\\
\gamma_4(u-\delta_1(\gamma_1);v-\delta_2(\gamma_2)) &\text{pour }
(u;v)\in\left[\delta_1(\gamma_1);\delta_1(\gamma_1)+
\delta_1(\gamma_3)\right]\times
\left[\delta_2(\gamma_1);\delta_2(\gamma_1)+\delta_2(\gamma_2)\right]
\end{cases}$$
D'o� le r�sultat.\QED
%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%% section 3 %%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{$I$-espaces de Moore}
Soit $I$ un ensemble non vide. On appelle \emph{$I$-espace de Moore}
\index{$I$-espace de Moore} de $X$ toute application continue
$\eta:\prod_{i\in I}\left[0;d_i\right]\to X$ o� $\left(d_i\right)_{i\in I}$ est une famille
de nombres r�els strictement positifs. Ici l'espace $\prod_{i\in I}\left[0;d_i\right]$ est
muni de la topologie produit et tous les $\left[0;d_i\right]$ sont munis de celle induite par
la topologie usuelle de $\BBR$.

Pour $I=\{1\}$, nous retouvons les chemins de Moore et, pour $I=\{1;2\}$, nous obtenons
les surfaces de Moore.

Notons $\BBM_I(X)$ l'ensemble des $I$-espaces de Moore de $X$. Comme nous l'avons fait pour
les chemins et les surfaces nous pouvons d�finir une
application de dur�e $\delta_i:\BBE_I(X)\to\left]0;+\infty\right[$, pour chaque
$i\in I$, en posant $$\delta_i(\eta)=d_i$$
pour tout $\eta:\prod_{i\in I}\left[0;d_i\right]\to X$ appartenant � $\BBM_I(X)$. Nous
dirons que $\delta_i(\eta)$ est la dur�e de $\eta$ dans la $i$-i�me direction.

Maintenant nous allons construire $\Card(I)$ structures de groupements sur l'ensemble
$\BBE_I(X)$. Mais avant, d�finissons une nouvelle notation. Si $(u_i)_I$ est une famille
de nombres, nous �crirons $(u_j\lhd_i x)_I$  pour indiquer que l'on s'int�resse � la
famille $(u_i)_I$ dans laquelle le $i$-i�me terme $u_i$ est remplac� par le nombre $x$.
De mani�re plus g�n�rale, nous noterons $(u_k\lhd_i x \lhd_j y)_I$, pour $i\neq j$, la
famille $(u_i)_I$ dont les termes $u_i$ et $u_j$ sont remplac�s respectivement par
$x$ et $y$. Maintenant, pour chaque $i\in I$, posons
\begin{itemize}
\item $\MFs_i:\BBE_I(X)\to\BBE_I(X)$ avec $\MFs_i(\eta)(u_j)_I=\eta(u_i\lhd_i 0)_I$
pour tout $(u_j)_I\in\prod_{j\in I}\left[0;\delta_j(\eta)\lhd_i 0\right]$
\item $\MFt_i:\BBE_I(X)\to\BBE_I(X)$ avec $\MFt_i(\eta)(u_j)_I=\eta(u_i\lhd_i
\delta_i(\eta))_I$
pour tout $(u_j)_I\in\prod_{j\in I}\left[0;\delta_j(\eta)\lhd_i 0\right]$
\item $\OP_i:\BBE_I(X)\times\BBE_I(X)\to\BBE_I(X)$ avec
\begin{itemize}
\item si $\MFt_i(\eta_2)=\MFs_i(\eta_1)$, alors
$\eta_2\OP_i\eta_1(u_j)_I$ est �gal �
$$\begin{cases}
\eta_1(u_j)_I, &(u_j)\in\prod_{j\in I}
\left[0;\delta_j(\eta_1)\right]\\
\eta_2(u_j\lhd_i u_i-\delta_i(\eta_1))_I,&(u_j)\in\prod_{j\in I}
\left[0\lhd_i\delta_i(\eta_1);\delta_j(\eta_2)\lhd_i
\delta_i(\eta_1)+\delta_i(\eta_2)\right]
\end{cases}$$
\item sinon $\eta_2\OP_i\eta_1=\eta_1$
\end{itemize}
\end{itemize}
Des d�monstrations semblables � celle du th�or�me \ref{theo:moore:2.1} et des propositions
\ref{prop:moore:2.1} et \ref{prop:moore:2.2}, nous donne
\begin{theo}\label{theo:moore:3.1}
Pour chaque $i\in I$, le quadruplet $\left(\BBE_I(X);\MFs_i;\MFt_i;\OP_i\right)$ est
un groupement.
\end{theo}
\begin{prop}\label{prop:moore:3.1}
Pour tous $i$ et $j$ de $I$, $i\neq j$, on a
$\qquad\MFs_i\MFs_j=\MFs_j\MFs_i,\qquad\MFt_i\MFt_j=\MFt_j\MFt_i,\qquad
\MFs_j\MFt_i=\MFt_i\MFs_j$
\end{prop}
\begin{prop}\label{prop:moore:3.2}
Soient $\eta_i$, pour
$i=1,\ldots,4$, quatres �l�ments de $\BBE_I(X)$ et $i$, $j$ deux �l�ments distincts de $I$.
Si $\MFs_i(\eta_2)=\MFt_i(\eta_1)$, $\MFs_i(\eta_4)=\MFt_i(\eta_3)$,
$\MFs_j(\eta_3)=\MFt_j(\eta_1)$ et $\MFs_i(\eta_4)=\MFt_j(\eta_2)$
alors les $I$-espaces de Moore
$$(\eta_4\OP_i\eta_3)\OP_j(\eta_2\OP_j\eta_1)\quad\text{et}\quad
(\eta_4\OP_j\eta_2)\OP_i(\eta_3\OP_j\eta_1)$$
existent et sont �gaux :
$$(\eta_4\OP_i\eta_3)\OP_j(\eta_2\OP_i\eta_1)=
(\eta_4\OP_j\eta_2)\OP_i(\eta_3\OP_j\eta_1)$$
\end{prop}

chap5_alexandroff.tex
\chapter{Les groupements d'Alexandroff}\label{chap:alex}

Jusqu'� maintenant, nous avons cherch� � calquer la th�orie des groupements sur celle des 
cat�gories. Mais nous nous sommes alors trouv� dans l'impossibilit� de d�finir un 
�quivalent satisfaisant � la notion de transformation naturelle. Dans ce chapitre, objectif 
est de sp�cialiser tr�s l�g�rement la notion de groupement afin de pouvoir construire 
des transformations \Dire{naturelles}.
%%%%%%%%%%%
%%% section 1 %%%
%%%%%%%%%%%
\section{D�finition d'un groupement d'Alexandroff}\label{sec:alex:1}
Un \emph{groupement d'Alexandroff}\index{groupement!groupement d'Alexandroff} 
est un groupement $(\BBB;s;t;\OP)$ qui poss�de  un �l�ment particulier $\alpha$ 
v�rifiant les conditions suivantes :
\begin{description}
\item[(GALEX 1)] Pour tout $x\in\BBB$ tel que $x\neq\alpha$, alors
         $s(x)\neq\alpha$ et $t(x)\neq\alpha$.
\item[(GALEX 2)] Pour tout $x\in\BBB$, on a
         $x\OP\alpha=\alpha\OP x=x$.
\end{description}
$\alpha$ sera parfois appel� l'\emph{alexis}\index{alexis} du groupement 
d'Alexandroff.
% remarque
\begin{rema}\label{rema:alex:1.1}
Bien qu'il semble en v�rifier toutes les propri�t�s, il ne faut pas croire que l'alexis 
soit une simple identit�. La condition (GALEX 2) est plus forte que celle 
impos�e aux identit�s. En effet, dans ce cas, la compos�e de l'alexis avec un autre 
�l�ment quelconque laisse toujours ce dernier inchang�, alors que l'on est s�r que 
la compos�e d'une identit� avec un autre �l�ment ne le laisse invariant que si 
l'identit� est la source ou le but de celui-ci. En r�sum�, un alexis est une super 
identit�. De plus on a
\end{rema}
% lemme
\begin{lemm}\label{lemm:alex:1.1}
Un groupement d'Alexandroff poss�de un unique alexis.
\end{lemm}
\Dem\ Supposons que $\alpha$ et $\alpha'$ soient deux alexis. Comme $\alpha$ 
satisfait la condition (GALEX 2), on a
$$\alpha\OP\alpha'=\alpha'$$
De m�me, $\alpha'$ v�rifiant aussi cette condition, on a
$$\alpha\OP\alpha'=\alpha$$
Donc $\alpha=\alpha'$.\QEDb
C'est pour cette raison que nous �crirons $(\BBB;\alpha)$ pour d�signer un 
groupement d'Alexandroff d'alexis $\alpha$.
% remarque
\begin{rema}\label{rema:alex:1.2}
Bien s�r  nous aurions pu parler de groupements point�s, mais en topologie un 
espace point� est simplement un espace topologique dans lequel on a choisi un 
�l�ment sans impos� de condition sur celui-ci. En fait nous allons voir plus tard,
qu'� tout groupement, on peut associer, de mani�re tr�s naturelle, un groupement
d'Alexandroff. La ressemblance avec le compactifi� d'Alexandroff d'un espace 
topologique localement compact nous a sembl� suffisamment forte pour utiliser 
ce nom. De plus les premiers exemples simples sont construit � partir d'un espace 
topologique.
\end{rema}
% exemple
\begin{exem}\label{exem:alex:1.1}
Soit $X$ un espace topologique. Nous savons que l'ensemble des ouverts 
de $X$ est stable par r�union finie et intersection finie.
De plus il poss�de deux �l�ments particuliers : l'ensemble vide $\emptyset$ et 
$X$. Ce qui nous permet de d�finir deux structures de groupements d'Alexandroff:
\begin{enumerate}
\item $\left((\Ouv(X);\stackrel{\cup}{s};\stackrel{\cup}{t};
         \cup);\emptyset\right)$ avec
         \begin{enumerate}
         \item $\Ouv(X)$ l'ensemble des ouverts de $X$.
         \item Pour tout $x\in\Ouv(X)$, 
                  $$\stackrel{\cup}{s}(x)=X
                  \quad\text{et}\quad
                  \stackrel{\cup}{t}(x)=X$$
         \item La composition est simplement la r�union.
         \item l'alexis est l'ensemble vide.
         \end{enumerate}
\item $\left((\Ouv(X);\stackrel{\cap}{s};\stackrel{\cap}{t};
         \cap);X\right)$ avec
         \begin{enumerate}
         \item $\Ouv(X)$ l'ensemble des ouverts de $X$.
         \item Pour tout $x\in\Ouv(X)$,  
                  $$\stackrel{\cap}{s}(x)=x
                  \quad\text{et}\quad 
                  \stackrel{\cap}{t}(x)=x$$
         \item La composition est simplement l'intersection.
         \item L'alexis est l'ensemble $X$.
         \end{enumerate}
\end{enumerate}
La v�rification des axiomes (GR 1), (GR 2), (GR 3), (GALEX 1) et (GALEX 2) est 
tellement simple que nous nous permettons de ne pas l'�crire.
\end{exem}
% remarque
\begin{rema}\label{rema:alex:1.3}
On peut munir l'ensemble des ouverts d'autres structures de groupement d'Alexandroff, 
mais celles-ci s'av�reront, plus tard, un peu meilleures.\\
Nous aurions aussi pu faire le m�me genre de constructions avec l'ensemble des 
ferm�s.
\end{rema}
% exemple
\begin{exem}\label{exem:alex:1.2}
Nous avons vu, dans le chapitre \ref{chap:gr}, exemple \ref{exem:gr:2.2}, qu'� partir 
d'un mono�de non vide $(M;\bullet)$ nous pouvions d�finir des groupements. 
Le probl�me qui se pr�sentait alors �tait que nous �tions oblig�
de choisir un �l�ment quelconque dans $M$. Il n'y avait pas de construction canonique.
En fait il est tout � fait simple d'associer canoniquement un groupement d'Alexandroff
� un mono�de. En effet il suffit de r�unir l'ensemble $M$ avec les singletons 
$\{M\}$ et $\{\{M\}\}$ pour obtenir l'ensemble $\hat{M}$ et de poser
\begin{itemize}
\item pour tout $x\in\hat{M}$, si $x\neq M$, alors $$\hat{s}(x)=\{M\}
          \quad\text{et}\quad\hat{t}(x)=\{M\}$$
          sinon $$\hat{s}(M)=\hat{t}(M)=M$$
\item pour tous �l�ments $x$ et $y$ de $\hat{M}$,
          $$x\hat{\bullet}y=
          \begin{cases}
          x\bullet y &\text{si }x\neq\{M\},M \text{ et }
          y\neq\{M\},M\\
          y &\text{si }x=M\\
          x &\text{si }y=M\\
          \{M\} & \text{sinon}
          \end{cases}$$
\end{itemize}
$((\hat{M};\hat{s};\hat{t};\hat{\bullet});M)$ est un groupement d'Alexandroff :
\begin{description}
\item[(GR 1)] La v�rification est tr�s simple. Il suffit de prendre $x\in\hat{M}$,
         et de distinguer dans les calculs le cas o� $x\neq M$ et le cas o� $x=M$.
\item[(GR 2)] Soient $x$ et $y$ deux �l�ments de $\hat{M}$ tels que 
         $\hat{s}(x)=\hat{t}(y)$. Il y a deux possibilit�s :
         \begin{itemize}
         \item $\hat{s}(x)=\hat{t}(y)=\{M\}$ et alors $x$ et $y$ sont diff�rents de $M$.\\                  Dans ce cas $x\hat{\bullet}y$ est �gal � $x\bullet y\neq M$ ou � $\{M\}$.
                  Ainsi $$\hat{s}(x\hat{\bullet}y)=\{M\}=\hat{s}(y)$$et
                   $$\hat{t}(x\hat{\bullet}y)=\{M\}=\hat{t}(x)$$
         \item $\hat{s}(x)=\hat{t}(y)=M$ et alors $x$ et $y$ sont �gaux � $M$. D'o�
                   $$\hat{s}(x\hat{\bullet}y)=\hat{s}(M)=M=\hat{s}(y)$$et 
                   $$\hat{t}(x\hat{\bullet}y)=\hat{t}(M)=M=\hat{t}(x)$$
         \end{itemize}
\item[(GR 3)] Soient $x$, $y$ et $z$ trois �l�ments de $\hat{M}$ tels que
         $\hat{s}(x)=\hat{t}(y)$ et $\hat{s}(y)=\hat{t}(z)$. Comme pr�c�demment,
         deux cas se pr�sentent
         \begin{itemize}
         \item $\hat{s}(x)=\hat{t}(y)=\hat{s}(y)=\hat{t}(z)=\{M\}$ 
                  et alors $x$, $y$ et $z$ sont diff�rents de $M$.
                  Dans ce cas $(x\hat{\bullet}y)\hat{\bullet}z$ et
                  $x\hat{\bullet}(y\hat{\bullet}z)$ sont �gaux, respectivement, � 
                  $(x\bullet y)\bullet z$ et 
                  $x\bullet (y\bullet z)$ si $x$, $y$ et $z$ sont tous diff�rents de $\{M\}$.
                  Comme $\bullet$ est associative, on obtient l'�galit� dans ce cas.\\
                  Si l'un des trois �l�ments est �gal � $\{M\}$, alors les deux compositions 
                  sont �gales � $\{M\}$.
         \item $\hat{s}(x)=\hat{t}(y)=\hat{s}(y)=\hat{t}(z)=M$ 
                   et alors $x$, $y$ et $z$ sont �gaux � $M$. D'o�
                   $$(x\hat{\bullet}y)\hat{\bullet}z=M= 
                   x\hat{\bullet}(y\hat{\bullet}z)$$
         \end{itemize}
\item[(GALEX 1)] Imm�diat.
\item[(GALEX 2)] Ce d�duit directement de la d�finition.
\end{description}
\end{exem}
% remarque
\begin{rema}\label{rema:alex:1.4}
Dans cet exemple, on a utilis� le fait bien connu qu'un ensemble ne peut pas 
appartenir � lui-m�me.
\end{rema}
%%%%%%%%%%%
%%% section 2 %%%
%%%%%%%%%%%
\section{Groupement d'Alexandroff associ� � un groupement}\label{sec:alex:2}
Nous allons nous inspirer de la construction faite pour 
les mono�des.\\
Soit $\left(\BBB;s;t;\OP\right)$ un groupement quelconque. Posons 
\begin{itemize}
\item $\tilde{\BBB}=\BBB\cup\{\BBB\}$ ;
\item $\tilde{s}:\tilde{\BBB}\to\tilde{\BBB}$, 
         $$\tilde{s}(x)=
         \begin{cases}
                  s(x) & \text{si }x\neq\BBB\\
                  \BBB & \text{si }x=\BBB
         \end{cases}$$
\item $\tilde{t}:\tilde{\BBB}\to\tilde{\BBB}$, 
         $$\tilde{t}(x)=
         \begin{cases}
                  t(x) & \text{si }x\neq\BBB\\
                  \BBB & \text{si }x=\BBB
         \end{cases}$$
\item $\tilde{\bullet}:\tilde{\BBB}\times\tilde{\BBB}\to\tilde{\BBB}$,
         $$x\tilde{\bullet}y=
         \begin{cases}
                  x\bullet y & \text{si }x\neq\BBB\text{ et }y\neq\BBB\\
                  x & \text{si }y=\BBB\\
                  y & \text{si }x=\BBB
         \end{cases}$$
\end{itemize}
V�rifions que $\left((\tilde{\BBB};\tilde{s};\tilde{t};\tilde{\bullet});\BBB\right)$ 
est un groupement d'Alexandroff.

Commen�ons par v�rifier que 
$\left(\tilde{\BBB};\tilde{s};\tilde{t};\tilde{\bullet}\right)$ est un  groupement.
\begin{description}
\item[(GR 1)] Soient $x\in\tilde{\BBB}$. Deux cas se pr�sentent. Si $x\neq\BBB$, 
         on a
         \begin{alignat*}{3}
         \tilde{s}\tilde{s}(x)&=\tilde{s}(s(x))&=s(s(x))&=s(x)&=\tilde{s}(x)\\
         \tilde{s}\tilde{t}(x)&=\tilde{s}(t(x))&=s(t(x))&=t(x)&=\tilde{t}(x)\\
         \tilde{t}\tilde{t}(x)&=\tilde{t}(t(x))&=t(t(x))&=t(x)&=\tilde{t}(x)\\
         \tilde{t}\tilde{s}(x)&=\tilde{t}(s(x))&=t(s(x))&=s(x)&=\tilde{s}(x)
         \end{alignat*}
         car $s(x)\neq\BBB$ et $t(x)\neq\BBB$. Si $x=\BBB$, alors
         \begin{alignat*}{2}
         \tilde{s}\tilde{s}(\BBB)&=\tilde{s}(\BBB)&=\BBB&=\tilde{s}(\BBB)\\
         \tilde{s}\tilde{t}(\BBB)&=\tilde{s}(\BBB)&=\BBB&=\tilde{t}(\BBB)\\
         \tilde{t}\tilde{t}(\BBB)&=\tilde{t}(\BBB)&=\BBB&=\tilde{t}(\BBB)\\
         \tilde{t}\tilde{s}(\BBB)&=\tilde{t}(\BBB)&=\BBB&=\tilde{s}(\BBB)
         \end{alignat*}
\item[(GR 2)] Soient $x$ et $y$ deux �l�ments de $\tilde{\BBB}$ tels que 
         $\tilde{s}(x)=\tilde{t}(y)$. D'apr�s la construction, $\tilde{s}(x)=\BBB$ et 
         $\tilde{t}(y)=\BBB$ si, et seulement si $x$ et $y$ sont �gaux � $\BBB$. Par 
         cons�quent, nous n'avons que deux cas � �tudier :
         \begin{itemize}
         \item soit $x$ et $y$ appartiennent tous les deux � $\BBB$ et alors
                  $$s(x)=\tilde{s}(x)=\tilde{t}(y)=t(y)$$
                  et
                  $$\tilde{s}(x\tilde{\OP}y)=s(x\OP y)=s(y)=\tilde{s}(y)$$
                  $$\tilde{t}(x\tilde{\OP}y)=t(x\OP y)=t(x)=\tilde{t}(x)$$
         \item soit $x=y=\BBB$ et alors
                  $$\tilde{s}(x\tilde{\OP}y)=\tilde{s}(\BBB)=\tilde{s}(y)$$
                  $$\tilde{s}(x\tilde{\OP}y)=\tilde{t}(\BBB)=\tilde{t}(x)$$
         \end{itemize}
\item[(GR 3)] Soient $x$, $y$ et $z$ trois �l�ments de $\tilde{\BBB}$ tels que 
         $\tilde{s}(x)=\tilde{t}(y)$ et $\tilde{s}(y)=\tilde{t}(z)$. Comme 
         pr�c�demment, on remarque que l'on a deux cas : soit $x$, $y$ et $z$ 
         appartiennent tous les trois � $\BBB$, soit ils sont tous les trois �gaux �
         $\BBB$. Dans le premier cas, on a
         $$(x\tilde{\OP}y)\tilde{\OP}z=(x\OP y)\OP z=x\OP(y\OP z)
         =x\tilde{\OP}(y\tilde{\OP}z)$$
         car $(\BBB;s;t;\OP)$ est un groupement. Dans le second cas, on a
         $$(x\tilde{\OP}y)\tilde{\OP}z=\BBB\quad\text{et}\quad
         \BBB=x\tilde{\OP}(y\tilde{\OP}z)$$
\end{description}
Il ne nous reste plus que les deux conditions (GALEX 1)  et (GALEX 2) qui en font 
un groupement d'Alexandroff. Mais celles-ci sont absolument �videntes par construction.
%%%%%%%%%%%
%%% section 3 %%%
%%%%%%%%%%%
\section{Les g-morphismes d'Alexandroff}\label{sec:alex:3}
Bien entendu, les groupements d'Alexandroff �tant avant tout des groupements, les 
g-mor\-phi\-smes habituels sont toujours � envisager. Mais il para�t int�ressant, vu 
la pr�sence des alexis, de s'int�resser plus particuli�rement au g-mor\-phi\-smes qui 
transforment un alexis en un alexis.

Ainsi, un g-morphisme $f$ du groupement d'Alexandroff $(\BBB_{1},\alpha_{1})$ vers
le groupement d'Alexandroff $(\BBB_{2};\alpha_{2})$ est dit \emph{d'Alexandroff}
\index{g-morphisme!g-morphisme d'Alexandroff} s'il v�rifie
\begin{description}
\item[(MALEX)] $f(\alpha_{1})=\alpha_{2}$.
\end{description}
En suivant la d�monstration du th�or�me \ref{theo:gr:3.2}, on obtient
\begin{theo}\label{theo:alex:3.1}
Si nous notons $\GMORALEX$ l'ensemble des petits g-morphismes d'Alexandroff, 
alors $$\left(\GMORALEX;s;t;\OP\right)$$ est une sous-cat�gorie de la cat�gorie
$$\left(\GMOR;s;t;\OP\right)$$
\end{theo}
Reprenons les exemples de la section \ref{sec:alex:1}.
% exemple
\begin{exem}\label{exem:alex:3.1}
Soit $f:X_{1}\to X_{2}$ une application continue entre 
espaces topologiques. Consid�rons l'application $\stackrel{\cup}{f}:
\Ouv(X_{2})\to\Ouv(X_{1})$ d�finie par
$$\stackrel{\cup}{f}(x)=f^{-1}(x)$$
pour tout $x\in\Ouv(X_{2})$. Cette application est bien d�finie car 
l'image r�ciproque d'un ouvert par une application continue est un ouvert. V�rifions 
que $\stackrel{\cup}{f}$ est un g-morphisme d'Alexandroff.
\begin{description}
\item[(GMOR)] Soient $x$ et $y$ deux �l�ments de $\Ouv(X_{2})$ 
         tels que $\stackrel{\cup}{s_{2}}(x)=\stackrel{\cup}{t_{2}}(y)$. 
         Or par d�finition, cela implique que $x$ et $y$ sont quelconques. Pour la m�me 
         raison, la condition 
         $$\stackrel{\cup}{s_{1}}(\stackrel{\cup}{f}(x))=
         \stackrel{\cup}{t_{1}}(\stackrel{\cup}{f}(y))$$
         est trivialement v�rifi�e car les deux sont �gales � $X_{1}$. De plus, on a
         $$\stackrel{\cup}{f}(x\cup y)=f^{-1}(x\cup y)
         =f^{-1}(x)\cup f^{-1}(y)=\stackrel{\cup}{f}(x)\cup
         \stackrel{\cup}{f}(y)$$
\item[(MALEX)] Ce n'est rien d'autre que la cons�quence du calcul
         $$\stackrel{\cup}{f}(X_{2})=f^{-1}(X_{2})=X_{1}$$
\end{description}
Si $f_{1}:X_{1}\to X_{2}$ et $f_{2}:X_{2}\to X_{3}$ sont deux applications 
continues, alors, pour tout $x\in\Ouv(X_{3})$, on a
$$(f_{2}f_{1})^{\cup}(x)=(f_{2}f_{1})^{-1}(x)=f_{1}^{-1}f_{2}^{-1}(x)
=\stackrel{\cup}{f_{1}}\OP\stackrel{\cup}{f_{2}}(x)$$
De plus, si $X$ est un espace topologique, alors 
$$(\Id_{X})^{\cup}(x)=x=\Id_{\Ouv(X)}$$
En r�sum�, nous venons de montrer que $^{\cup}$ est un foncteur contravariant de 
la cat�gorie des petits espaces topologiques dans la cat�gorie $\GMORALEX$.\\
De la m�me mani�re, $^{\cap}$ est lui aussi un foncteur contravariant de
la cat�gorie des petits espaces topologiques dans la cat�gorie des petits 
groupements d'Alexandroff $\GMORALEX$.
\end{exem}
% exemple
\begin{exem}\label{exem:alex:3.2}
Consid�rons $f:(M_{1};\bullet_{1})\to(M_{2};\bullet_{2})$ un morphisme 
de mono�des. On d�finit une application $\hat{f}$ de $\hat{M_{1}}$ dans 
$\hat{M_{2}}$ en posant
$$\hat{f}(x)=
\begin{cases}
f(x) &\text{si }x\neq\{M\},M\\
\{M\}&\text{si }x=\{M\}\\
M&\text{si }x=M
\end{cases}$$
$\hat{f}$ est un g-morphisme d'Alexandroff car
\begin{description}
\item[(GMOR)] Soient $x$ et $y$ deux �l�ments de $\hat{M_{1}}$ v�rifiant
         $\hat{s}(x)=\hat{t}(y)$. On a deux cas :
         \begin{itemize}
         \item $\hat{s}(x)=\hat{t}(y)=\{M_{1}\}$ et donc $x$ et $y$ sont diff�rents 
                  de $M_{1}$.\\
                  On a donc
                  $$\hat{s}(\hat{f}(x))=\hat{s}(f(x))=\{M_{2}\}=\hat{t}(f(y))
                  =\hat{t}(\hat{f}(y))$$
                  Si les deux sont diff�rents de $\{M_{1}\}$, alors
                  $$\hat{f}(x\hat{\bullet_{1}}y)=f(x\bullet_{1}y)
                  =f(x)\bullet_{1}f(y)=\hat{f}(x)\hat{\bullet_{1}}\hat{f}(y)$$
                  Si $x$ ou $y$ est �gal � $\{M_{1}\}$, alors 
                  $x\hat{\bullet_{1}y}=\{M_{1}\}$ et
                  $\hat{f}(x)=\{M_{2}\}$ ou $\hat{f}(y)=\{M_{2}\}$. D'o�
                  $$\hat{f}(x\hat{\bullet_{1}}y)=\hat{f}(\{M_{1}\})=\{M_{2}\}
                  =\hat{f}(x)\hat{\bullet_{1}}\hat{f}(y)$$
         \item $\hat{s}(x)=\hat{t}(y)=M_{1}$ et donc $x$ et $y$ sont �gaux � $M_{1}$.
                  Ainsi
                  $$\hat{s}\hat{f}(x)=M_{2}=\hat{t}\hat{f}(y)$$et
                  $$\hat{f}(x\hat{\bullet_{1}}y)=\hat{f}(M_{1})=M_{2}
                  =M_{2}\hat{\bullet_{2}}M_{2}=\hat{f}(x)\hat{\bullet_{2}}
                  \hat{f}(y)$$
         \end{itemize}
\item[(MALEX)] Par construction.
\end{description}
Il est clair que $\hat{\ }$ est un foncteur de la cat�gorie des petits mono�des dans la 
cat�gorie des petits groupements d'Alexandroff $\GMORALEX$.
\end{exem}
En s'inspirant de cet exemple on d�montre
% th�or�me
\begin{theo}\label{theo:alex:3.2}
Il existe un foncteur\ $\tilde{ }$ de la cat�gorie des petits groupements $\GMOR$ dans 
la cat�gorie des petits groupements d'Alexandroff $\GMORALEX$.\\
Nous l'appellerons \emph{foncteurs d'Alexandroff}
\index{foncteur!foncteur d'Alexandroff}.\\
Pour tout $(f:\BBB_{1}\to\BBB_{2})\in\GMOR$ et tout $x\in\tilde{\BBB_{1}}
=\BBB_{1}\cup\{\BBB_{1}\}$, l'application $\tilde{f}:\tilde{\BBB_{1}}\to
\tilde{\BBB_{2}}$ est d�finie par
$$\tilde{f}(x)=
\begin{cases}
f(x) & \text{si }x\neq\BBB_{1}\\
\BBB_{2} & \text{si }y=\BBB_{1}
\end{cases}$$
\end{theo}
\Dem Commen�ons par v�rifier que $\tilde{f}$ est bien un g-morphisme d'Alexandroff.
Il est �vident, d'apr�s la construction, que la condition (MALEX) est v�rifi�e. Consid�rons 
maintenant deux �l�ments $x$ et $y$ de $\tilde{\BBB_{1}}$ tels que 
$\tilde{s}(x)=\tilde{t}(y)$. On a deux cas
\begin{itemize}
\item $\tilde{s}(x)=\tilde{t}(y)=\BBB_{1}$ et donc $x=y=\BBB_{1}$. Ainsi
         $$\tilde{s}\tilde{f}(x)=\BBB_{2}=\tilde{t}\tilde{f}(y)$$
         et
         $$\tilde{f}(x\tilde{\OP_{1}}y)=\tilde{f}(\BBB_{1})=\BBB_{2}
         =\tilde{f}(x)\tilde{\OP_{2}}\tilde{f}(y)$$
\item $\tilde{s}(x)=\tilde{t}(y)\neq\BBB_{1}$ et donc $s(x)=t(y)$. Par cons�quent, 
         $$\tilde{s}\tilde{f}(x)=sf(x)=tf(y)=\tilde{t}\tilde{f}(y)$$
         et
         $$\tilde{f}(x\tilde{\OP_{1}}y)=f(x\OP_{1}y)=f(x)\OP_{2}f(y)
         =\tilde{f}(x)\tilde{\OP_{2}}\tilde{f}(y)$$
\end{itemize}
La condition (GMOR) est donc satisfaite. Comme $\tilde{}$ est une application bien
d�finie de $\GMOR$ dans $\GMORALEX$, il nous suffit maintenant de prouver que c'est un 
foncteur de la cat�gorie $(\GMOR;s;t\OP)$ dans la cat�gorie $(\GMORALEX;s;t;\OP)$.
\begin{description}
\item[(FONC 1)] Pour tout g-morphisme $f:\BBB_{1}\to\BBB_{2}$, on a
         $$\tilde{}s(f)=\tilde{\Id_{\BBB_{1}}}\quad\text{et}\quad
         s\tilde{}(f)=s(\tilde{f})=\Id_{\tilde{\BBB_{1}}}$$
         $$\tilde{}t(f)=\tilde{\Id_{\BBB_{2}}}\quad\text{et}\quad
         t\tilde{}(f)=t(\tilde{f})=\Id_{\tilde{\BBB_{2}}}$$
         or il est clair au vue de la construction que $\tilde{\Id_{\BBB}}=
         \Id_{\tilde{\BBB}}$ pour tout groupement $\BBB$.
\item[(FONC 2)] Consid�rons maintenant deux g-morphismes $f:\BBB_{1}\to
         \BBB_{2}$ et $g:\BBB_{2}\to\BBB_{3}$ tels que $s(g)=t(f)=\Id_{\BBB_{2}}$.
         $$\tilde{}(g\OP f)(x)=(g\OP f)(x)=g(f(x))$$et
         $$(\tilde{g}\OP\tilde{f})(x)=\tilde{g}(\tilde{f}(x))=\tilde{g}(f(x))
         =g(f(x))$$
         pour $x\in\BBB_{1}$  car $f(x)\neq\alpha_{2}$.\\
         De plus
         $$\tilde{}(g\OP f)(\alpha_{1})=\alpha_{3}$$et
         $$(\tilde{g}\OP\tilde{f})(\alpha_{1})=\tilde{g}(\tilde{f}(x))
         =\tilde{g}(\alpha_{2})=\alpha_{3}$$Par cons�quent
         $$\tilde{}(g\OP f)=\tilde{g}\OP\tilde{f}$$\QED
\end{description}
%%%%%%%%%%%
%%% section 4 %%%
%%%%%%%%%%%
\section{Les g-transformations d'Alexandroff}
\index{g-transformation!g-transformation d'Alexandroff}
\label{sec:alex:4}
En s'inspirant de la d�finition des g-transformations donn�e dans la section \ref{sec:gr:3},
on d�finit une \emph{g-transformation d'Alexandroff} comme �tant un quadruplet
$\left(\eta^{1};\eta^{2};f_{1};f_{2}\right)$ o� $$f_{1},f_{2}:
(\BBB_{1};\alpha_{1})\to(\BBB_{2};\alpha_{2})$$ sont des g-morphismes d'Alexandroff
et o� $$\eta^{1},\eta^{2}:\BBB_{1}\to\BBB_{2}$$ sont des applications d'ensembles qui 
v�rifient les conditions suivantes :
\begin{description}
\item[(GTRALEX 1)] Pour tout $x\in\BBB_{1}$, on a
         \begin{itemize}
         \item soit $\eta^1(x)=\alpha_{2}$, soit\quad
                   $s_{2}\eta^{1}(x)=s_{2}f_{1}(x)\quad\text{et}\quad
                   t_{2}\eta^{1}(x)=s_{2}f_{2}(x)$ ;
          \item soit $\eta^2(x)=\alpha_{2}$, soit\quad
                   $s_{2}\eta^{2}(x)=t_{2}f_{1}(x)\quad\text{et}\quad
                   t_{2}\eta^{2}(x)=t_{2}f_{2}(x)$.
           \end{itemize}
\item[(GTRALEX 2)] Pour tous $x$ et $y$ dans $\BBB_{1}$ satisfaisant 
           $s_{1}(x)=t_{1}(y)$, on a
           $$f_{2}(x)\OP_{2}\eta^{1}(x)=\eta^{2}(x)\OP_{2}f_{1}(x)$$
           et
           $$\eta^{1}(x)=\eta^{2}(y)$$
\end{description}
Comme nous l'avons d�j� fait dans la section \ref{sec:gr:4}, nous noterons
$$(\eta^{1};\eta^{2}):f_{1}\leadsto f_{2}$$
et m�me parfois $$\eta:f_{1}\leadsto f_{2}$$
% proposition
\begin{prop}\label{prop:alex:4.1}
Si $(\eta^{1};\eta^{2}):f_{1}\to f_{2}$ est une g-transformation 
d'Alexandroff au dessus de $\BBB_{1}$ et $\BBB_{2}$, alors, pour tout $x\in\BBB_{1}$,
\begin{enumerate}
\item  $f_{2}(x)\OP_{2}\eta^{1}(x)=\eta^{2}(x)\OP_{2}f_{1}(x)$
\item $\eta^{1}(x)=\eta^{2}(s_{1}(x))$ et $\eta^{1}(t_{1}(x))=\eta^{2}(x)$
\end{enumerate}
\end{prop}
\Dem\ Ce sont des cons�quences directes du fait que le couple $x$, $s_{1}(x)$ et le 
couple $t_{1}(x)$, $x$ v�rifie la condition (GTRALEX).\QEDb
Le premier et le plus simple des exemples que l'on puisse donner est celui
construit dans la proposition ci-dessous.
% proposition
\begin{prop}\label{prop:alex:4.2}
Soit $f:(\BBB_{1};\alpha_{1})\to(\BBB_{2};\alpha_{2})$ un g-morphisme
d'Alexandroff. Par abus, notons $\alpha_{2}:\BBB_{1}\to\BBB_{2}$ l'application 
constante qui a tout $x\in\BBB_{1}$ associe l'alexis $\alpha_{2}$ de $\BBB_{2}$.

Le couple d'applications $(\alpha_{2};\alpha_{2})$ d�finit une 
g-transformation d'Alexandroff de $f$ vers lui-m�me.
$$(\alpha_{2};\alpha_{2}):f\leadsto f$$
\end{prop}
\Dem\ Par d�finition, la condition (GRALEX 1) est trivialement v�rifi�e. De plus, 
pour tout $x\in\BBB_{1}$, on a
$$f(x)\OP_{2}\alpha_{2}(x)=f(x)\OP_{2}\alpha_{2}=f(x)$$
et
$$\alpha_{2}(x)\OP_{2}f(x)=\alpha_{2}\OP_{2}f(x)=f(x)$$
Par cons�quent pour tous $x$ et $y$ de $\BBB_{1}$ tel que $s_{1}(x)=t_{1}(y)$, on a
$$f(x)\OP_{2}\alpha_{2}(x)=\alpha_{2}(x)\OP_{2}f(x)$$
et
$$\alpha_{2}(x)=\alpha_{2}(y)=\alpha_{2}$$
D'o� la condition (GRALEX 2).\QEDb
Comme nous l'avons fait dans le chapitre \ref{chap:gr}, notons
$$\GTRANSALEX$$
l'ensemble des \emph{petites g-transformations d'Alexandroff}
\index{g-transformation!petite g-transformation d'Alexandroff} 
(les groupements d'Alexandroff de base sont petits). Avant de munir cet ensemble
de structures de groupement, commen�ons par les lemmes suivants :
% lemme
\begin{lemm}\label{lemm:alex:4.1}
Soient $\eta:f_{1}\leadsto f_{2}$ et $\eta':f_{2}\leadsto f_{3}$ deux 
g-transformations d'alexandroff au dessus des groupements d'Alexandroff
$(\BBB_{1};\alpha_{1})$ et $(\BBB_{2};\alpha_{2})$.

 Si nous �crivons
$$\eta'\OP\eta=(\eta'^1\OP_{2}\eta^1;\eta'^2\OP_{2}\eta^2)$$
o� pour tout $x\in\BBB_{1}$ et $i\in\{1;2\}$, on a
$$(\eta'^{i}\OP_{2}\eta^{i})(x)=\eta'^{2}(x)\OP_{2}\eta^{2}(x)$$
alors $\eta'\OP\eta$ est une g-transformation d'Alexandroff de $f_{1}$ vers $f_{3}$.
\end{lemm}
\Dem\ Bien qu'elle soit simple, la d�monstration est particuli�rement p�nible.
\begin{description}
\item[(GTRALEX 1)] Soit $x$ un �l�ment de $\BBB_{1}$. Nous allons nous contenter
         de prouver la condition sur $\eta'^{1}\OP_{2}\eta^{1}$ car la justification
         pour $\eta'^{2}\OP_{2}\eta^{2}$ est identique. Plusieurs cas sont � prendre
         en consid�ration :
         \begin{itemize}
         \item $\eta'^{1}(x)=\alpha_{2}$ et $\eta^{1}(x)=\alpha_{2}$. Alors
                   $(\eta'^{1}\OP_{2}\eta^{1})(x)=\alpha_{2}$.
         \item $\eta'^{1}(x)=\alpha_{2}$ et $\eta^{1}(x)\neq\alpha_{2}$. Alors
                   $(\eta'^{1}\OP_{2}\eta^{1})(x)=\eta^{1}(x)$ et, d'apr�s (GTRALEX 1),
                   $$s_{2}(\eta'^{1}\OP_{2}\eta^{1})(x)=s_{2}\eta^{1}(x)=s_{2}f_{1}(x)$$
                   $$t_{2}(\eta'^{1}\OP_{2}\eta^{1})(x)=t_{2}\eta^{1}(x)=s_{2}f_{2}(x)$$
                   La proposition \ref{prop:alex:4.1} appliqu�e � $\eta'$ et 
                   $\eta'^{1}(x)=\alpha_{2}$, nous donne
                   $$f_{3}(x)=\eta'^{2}(x)\OP_{2}f_{2}(x)$$
                   Soit $\eta'^{2}(x)=\alpha_{2}$ et alors $$f_{3}(x)=f_{2}(x)$$
                   $$s_{2}f_{3}(x)=s_{2}f_{2}(x)$$
                   soit $s_{2}\eta'^{2}(x)=t_{2}f_{2}(x)$ et alors, d'apr�s (GR 2), 
                   $$s_{2}f_{3}(x)=s_{2}f_{2}(x)$$
                   Ainsi on a toujours 
                   $$s_{2}(\eta'^{1}\OP_{2}\eta^{1})(x)=s_{2}f_{1}(x)$$
                   $$t_{2}(\eta'^{1}\OP_{2}\eta^{1})(x)=s_{2}f_{3}(x)$$
         \item $\eta'^{1}(x)\neq\alpha_{2}$ et $\eta^{1}(x)=\alpha_{2}$. Ainsi, 
                   en utilisant (ALEX 2), on trouve
                   $$(\eta'^{1}\OP_{2}\eta^{1})(x)=\eta'^{1}(x)$$
                   D'apr�s (GTRALEX 1)
                   $$s_{2}(\eta'^{1}\OP_{2}\eta^{1})(x)=s_{2}\eta'^{1}(x)=s_{2}f_{2}(x)$$
                   $$t_{2}(\eta'^{1}\OP_{2}\eta^{1})(x)=t_{2}\eta'^{1}(x)=s_{2}f_{3}(x)$$ 
                   $\eta$ est une g-transformation d'Alexandroff et $\eta^{1}(x)=\alpha_{2}$.
                   D'o�
                   $$f_{2}(x)=\eta^{2}(x)\OP_{2}f_{1}(x)$$
                   Comme pr�c�demment, soit $\eta^{2}=\alpha_{2}$, soit 
                   $s_{2}\eta^{2}(x)=t_{2}f_{1}(x)$. Dans les deux cas, on obtient
                   $$s_{2}f_{2}(x)=s_{2}f_{1}(x)$$
                   Finalement,
                   $$s_{2}(\eta'^{1}\OP_{2}\eta^{1})(x)=s_{2}f_{1}(x)$$
                   $$t_{2}(\eta'^{1}\OP_{2}\eta^{1})(x)=s_{2}f_{3}(x)$$
          \item  $\eta'^{1}(x)=\alpha_{2}$ et $\eta^{1}(x)=\alpha_{2}$. C'est plus 
                   simple car on a
                   $$(\eta'^{1}\OP_{2}\eta^{1})(x)=\alpha_{2}$$
          \end{itemize}
\item[(GTRALEX 2)] Pour tous $x$ et $y$ dans $\BBB_{1}$ v�rifiant $s_{2}(x)=t_{2}(y)$,
          on a
          \begin{align*}
          f_{3}(x)\OP_{2}(\eta'^{1}\OP_{2}\eta^{1})(x)
          &=f_{3}(x)\OP_{2}(\eta'^{1}(x)\OP_{2}\eta^{1}(x))\\
          &=(f_{3}(x)\OP_{2}\eta'^{1}(x))\OP_{2}\eta^{1}(x)\\
          &=(\eta'^{2}(x)\OP_{2}f_{2}(x))\OP_{2}\eta^{1}(x)\\
          &=\eta'^{2}(x)\OP_{2}(f_{2}(x)\OP_{2}\eta^{1}(x))\\
          &=\eta'^{2}(x)\OP_{2}(\eta^{2}(x)\OP_{2}f_{1}(x))\\
          &=(\eta'^{2}(x)\OP_{2}\eta^{2}(x))\OP_{2}f_{1}(x)
          =(\eta'^{2}\OP_{2}\eta^{2})(x)\OP_{2}f_{1}(x)
          \end{align*}
           et
           $$(\eta'^{1}\OP_{2}\eta^{1})(x)=\eta'^{1}(x)\OP_{2}\eta^{1}(x)
           =\eta'^{2}(y)\OP_{2}\eta^{2}(y)=(\eta'^{2}\OP_{2}\eta^{2})(y)$$
           \QED
\end{description}
% lemme
\begin{lemm}\label{lemm:alex:4.2}
Soient $f:\BBB'_1\to\BBB_1$, $g:\BBB_2\to\BBB'_2$ deux g-morphismes d'Alexandroff et 
$(\eta^1;\eta^2):(f_1:\BBB_1\to\BBB_2)\leadsto(f_2:\BBB_1\to\BBB_2)$ une 
g-transformation.

Les quadruplets $\left(\eta^1f;\eta^2f;f_1f;f_2f\right)$ et 
$\left(g\eta^1;g\eta^2;gf_1;gf_2\right)$
sont des g-transformations d'Alexandroff.
\end{lemm}
\Dem\ Nous ne ferons la d�monstration que pour $(\eta^{1}f;\eta^{2}f):f_{1}f
\leadsto f_{2}f$. Nous avons d�j� vu que $f_{1}f$ et $f_{2}f$ sont des g-morphismes 
d'Alexandroff. 
\begin{description}
\item[(GTRALEX 1)] Pour $x\in\BBB'_{1}$, on a 
         soit $$(\eta^{1}f)(x)=\eta^{1}(f(x))=\alpha_{2}$$soit
         $$s_{2}(\eta^{1}f)(x)=s_{2}\eta^{1}(f(x))=s_{2}f_{1}(f(x))
         =s_{2}(f_{1}f)(x)$$et
         $$t_{2}(\eta^{1}f)(x)=t_{2}\eta^{1}(f(x))=s_{2}f_{2}(f(x))
         =s_{2}(f_{2}f)(x)$$
         On prouve de la m�me fa�on les �galit�s concernant $\eta^{2}f$.
\item[(GTRALEX 2)] Soient $x$ et $y$ deux �l�ments de $\BBB'_{1}$ tels que 
         $s'_{1}(x)=t'_{1}(y)$. Comme $f$ est un g-morphisme, on a
         $$s_{1}f(x)=t_{1}f(y)$$
         Or $(\eta^{1};\eta^{2})$ est une g-transformation d'Alexandroff, on a donc
         $$f_{2}(f(x))\OP_{2}\eta^{1}(f(x))=\eta^{2}(f(x))\OP_{2}f_{1}(f(x))$$
         $$(f_{2}f)(x)\OP_{2}(\eta^{1}f)(x)=(\eta^{2}f)(x)\OP_{2}(f_{1}f)(x)$$
         et
         $$(\eta^{1}f)(x)=\eta^{1}(f(x))=\eta^{2}(f(y))=(\eta^{2}f)(y)$$
         \QED         
\end{description}
Pour simplifier, si au lieu de noter $(\eta^{1};\eta^{2})$ nous notons $\eta$ la
g-transformation d'Alexandroff du lemme, alors nous �crirons
$\eta f$ pour $(\eta^{1}f;\eta^{2}f)$ et $g\eta$ pour $(g\eta^{1};g\eta^{2})$.
% lemme
\begin{lemm}\label{lemm:alex:4.3}
Soient $\eta:f_{1}\leadsto f_{2}$ et $\eta':f'_{1}\leadsto f'_{2}$ deux 
g-transformations d'Alexandroff. Supposons que $f_{1},f_{2}:(\BBB_{1};\alpha_{1})
\to(\BBB_{2};\alpha_{2})$ et $f'_{1},f'_{2}:(\BBB_{2};\alpha_{2})\to
(\BBB_{3};\alpha_{3})$. Les g-transformations d'Alexandroff 
$$(\eta' f_{2})\OP(f'_{1}\eta)\quad\text{et}\quad
(f'_{2}\eta)\OP(\eta'f_{1})$$de $f'_{1}f_{2}$
vers $f'_{2}f_{2}$ existent.
\end{lemm}
\Dem\ D'apr�s les deux lemmes pr�c�dents, il suffit de constater que 
$$\eta'f_{2}:f'_{1}f_{2}\leadsto f'_{2}f_{2}
\quad;\quad f'_{1}\eta:f'^{1}f_{1}\leadsto f'^{1}f_{2}$$et 
$$f'_{2}\eta:f'_{2}f_{1}\leadsto f'_{2}f_{2}
\quad;\quad\eta'f_{1}:f'^{1}f_{1}\leadsto f'^{2}f_{1}$$\QEDb
Nous pouvons maintenir �tablir le th�or�me principal de ce chapitre
\begin{theo}\label{theo:alex:4.1}
Notons $\GTRANSALEX$ l'ensemble des petites g-transformations d'Alexandroff. Ce sont 
des g-transformations d'Alexandroff au dessus de petits groupements d'Alexandroff.

D'apr�s les lemmes ci-dessus, nous pouvons d�finir quatre applications
$$\sigma_{0},\tau_{0},\sigma_{1},\tau_{1}:\GTRANSALEX\to\GTRANSALEX$$
de la mani�re suivante : Pour tout $\eta:f_{1}\leadsto f_{2}$ avec
$f_{1},f_{2}:(\BBB_{1};\alpha_{1})\to(\BBB_{2};\alpha_{2})$
\begin{align*}
\sigma_{0}(\eta)&=(\alpha_{1};\alpha_{1}):\Id_{\BBB_{1}}\leadsto
\Id_{\BBB_{1}}\\
\tau_{0}(\eta)&=(\alpha_{2};\alpha_{2}):\Id_{\BBB_{2}}\leadsto
\Id_{\BBB_{2}}\\
\sigma_{1}(\eta)&=(\alpha_{2};\alpha_{2}):f_{1}\leadsto f_{1}\\   
\tau_{1}(\eta)&=(\alpha_{2};\alpha_{2}):f_{2}\leadsto f_{2}
\end{align*}
Et toujours � l'aide des m�mes lemmes, nous pouvons construire trois nouvelles
applications
$$\OP,\boxtimes,\boxdot:\GTRANSALEX\times\GTRANSALEX\to\GTRANSALEX$$
en posant pour tous $\eta$ et $\eta'$ de $\GTRANSALEX$,
\begin{align*}
\eta'\OP\eta&=
        \begin{cases}
         \eta'\OP\eta &\text{si }\sigma_{1}(\eta')=\tau_{1}(\eta)\text{ (lemme 
         \ref{lemm:alex:4.1})}\\
         \eta &\text{sinon}
         \end{cases} \\
\eta'\boxtimes\eta&=
        \begin{cases}
         (f'_{2}\eta)\OP(\eta'f_{1}) &\text{si }\sigma_{0}(\eta')=\tau_{0}(\eta)
         \text{ (lemme \ref{lemm:alex:4.3})}\\
         \eta &\text{sinon}
         \end{cases}\\
\eta'\boxdot\eta&=
        \begin{cases}
         (\eta'f_{2})\OP(f'_{1}\eta) &\text{si }\sigma_{0}(\eta')=\tau_{0}(\eta)
         \text{ (lemme \ref{lemm:alex:4.3})}\\
         \eta &\text{sinon}
         \end{cases}
\end{align*}
Les quadruplets $\left(\GTRANSALEX;\sigma_{1};\tau_{1};\OP\right)$, 
$\left(\GTRANSALEX;\sigma_{1};\tau_{1};\OP\right)$, 
$\left(\GTRANSALEX;\sigma_{1};\tau_{1};\OP\right)$
 sont des groupements. 
\end{theo}
\Dem\ Les parties techniques les plus difficiles ont �t� prouv�es dans les diff�rents 
lemmes ci-dessus. Les v�rifications des axiomes (GR 1), (GR 2) et (GR 3) sont 
simples mais longues � �crire. Pour cette raison, nous nous permettons
de les laisser au lecteur.\QEDb
En fait, une autre raison nous incite � ne pas �crire la d�monstration de ce th�or�me. Il
n'est pas tout � fait satisfaisant car il ne semble pas possible de d�montrer que l'on ait
toujours, quand les calculs sont possibles, les �galit�s
$$(\eta_{4}\OP\eta_{3})\boxtimes(\eta_{2}\OP\eta_{1})
=(\eta_{4}\boxtimes\eta_{2})\OP(\eta_{3}\boxtimes\eta_{1})$$
$$(\eta_{4}\OP\eta_{3})\boxdot(\eta_{2}\OP\eta_{1})
=(\eta_{4}\boxdot\eta_{2})\OP(\eta_{3}\boxdot\eta_{1})$$
Et puis il ne semble pas non plus que l'on ait
$$\eta_{1}\boxtimes\eta_{2}=\eta_{1}\boxdot\eta_{2}$$
Commen�ons par �tudier une condition pour laquelle cette �galit� soit v�rifi�e.
% proposition
\begin{prop}\label{prop:alex:4.3}

\end{prop}
\Dem\ $(\eta_{1}\boxtimes\eta_{2})^{1}
=(f'_{2}\eta_{2}^{1})\OP_{2}(\eta_{1}^{1}f_{1})
=$
La raison est que nous nous sommes trop laiss� influencer par ce qui se passe pour les 
transformations naturelles de cat�gories. Comme pour les surfaces de Moore, si nous 
devions faire un sch�ma repr�sentatif d'une g-transformation d'Alexandroff 
$(\eta^{1};\eta^{2}):f_{1}\leadsto f_{2}$, nous 
serions sans doute tous amen� � dessiner un carr� du genre
$$\xymatrix{
(\BBB_{1};\alpha_{1})\ar[rr]^{f_{1}}\ar[dd]_{\eta^{1}} & &
(\BBB_{2};\alpha_{2})\ar[dd]^{\eta^{2}}\\
\\
(\BBB_{1};\alpha_{1})\ar[rr]_{f_{2}} & & (\BBB_{2};\alpha_{2})
}$$
Ainsi, si nous avons $(\eta^{2};\eta^{3}):f_{3}\leadsto f_{4}$ une g-transformation 
d'Alexandroff, repr�sent�e par
$$\xymatrix{
(\BBB_{2};\alpha_{2})\ar[rr]^{f_{3}}\ar[dd]_{\eta^{2}} & &
(\BBB_{3};\alpha_{3})\ar[dd]^{\eta^{3}}\\
\\
(\BBB_{2};\alpha_{2})\ar[rr]_{f_{4}} & & (\BBB_{3};\alpha_{3})
}$$
alors nous avons, comme pour les surfaces de Moore, envie d'�crire que 
$(\eta^{2};\eta^{3})\square(\eta^{1};\eta^{2})$ est une g-transformation 
d'Alexandroff repr�sent�e par la justaposition des deux carr�s ci-dessus.
$$\xymatrix{
(\BBB_{1};\alpha_{1})\ar[rr]^{f_{3}f_{1}}\ar[dd]_{\eta^{1}} & &
(\BBB_{3};\alpha_{3})\ar[dd]^{\eta^{3}}\\
\\
(\BBB_{1};\alpha_{1})\ar[rr]_{f_{4}f_{2}} & & (\BBB_{3};\alpha_{3})
}$$
Commen�ons par prouver que c'est bien une g-transformation d'Alexandroff.
% lemme
\begin{lemm}\label{lemm:alex:4.4}
Soient $(\eta^1;\eta^{2}):f_{1}\leadsto f_{2}$ et 
$(\eta^{2};\eta^{3}):f_{3}\leadsto f_{4}$ deux g-transformations 
d'Alexandroff. Alors le couple $(\eta^{1};\eta^{3})$ d�termine lui aussi 
une g-transformation d'Alexandroff du g-morphisme d'Al\-ex\-an\-droff 
$f_{3}\OP f_{1}$ vers le g-morphisme d'Alexandroff $f_{4}\OP f_{2}$.
\end{lemm}
\Dem\ Remarquons que par d�finition, les g-morphismes d'Alexandroff
$f_{3}\OP f_{1}$ et  $f_{4}\OP f_{2}$ ne sont � la base que les applications
d'ensembles $f_{3}f_{1}$ et $f_{4}f_{2}$.

Supposons de plus que l'on a $f_{1},f_{2}:(\BBB_{1};\alpha_{1})\to
(\BBB_{2};\alpha_{2})$ et $f_{3},f_{4}:(\BBB_{2};\alpha_{2})\to
(\BBB_{3};\alpha_{3})$.

Pour tout $y$ appartenant � $\BBB_{2}$, on  sait que
$$\text{soit }\eta^{2}(y)=s_{3}\eta^{2}(y)$$
chap6_2-groupements.tex
\chapter{Les $2$-groupements stricts}\label{chap:2-gr}
Dans les deux chapitres pr�c�dents, nous avons vu qu'il appara�t tr�s vite et de mani�re assez
naturelle des ensembles munis de plusieurs structures de groupement. Dans ce chapitre nous 
allons nous contenter de d�duire de quelques exemples la d�finition d'une notion int�ressante
construite � partir de deux structures de groupements.
\section{Les surfaces de Moore}\label{sec:2-gr:1}
Nous avons vue dans le chapitre \ref{chap:moore} que l'ensemble $\BBS(X)$ des surfaces de 
Moore d'un espace topologique $X$ peut �tre muni de deux structures de groupement (th�or�me 
\ref{theo:moore:2.1})
$$(\BBS(X);\MFs_{1};\MFt_{1};\OP_{1})\quad\text{et}\quad(\BBS(X);\MFs_{2};\MFt_{2};\OP_{2})$$
qui sont reli�es entre elles par les deux propri�t�s suivantes :
\begin{enumerate}
\item (proposition \ref{prop:moore:2.1}) On a les �galit�s
         \begin{align*}
         \MFs_{1}\MFs_{2}&=\MFs_{2}\MFs_{1}& \MFt_{1}\MFt_{2}=\MFt_{2}\MFt_{1}\\
         \MFs_{1}\MFt_{2}&=\MFt_{2}\MFs_{1}& \MFs_{2}\MFt_{1}=\MFt_{1}\MFs_{2}
         \end{align*}
\item (proposition \ref{prop:moore:2.2}) Pour tous chemins de Moore $\gamma_{1}$, $\gamma_{2}$, 
         $\gamma_{3}$ et $\gamma_{4}$ tels que
         $$\MFs_{2}(\gamma_{2})=\MFt_{2}(\gamma_{1}),\quad
         \MFs_{2}(\gamma_{4})=\MFt_{2}(\gamma_{3}),\quad
         \MFs_{1}(\gamma_{3})=\MFt_{1}(\gamma_{1}),\quad
         \MFs_{1}(\gamma_{4})=\MFt_{1}(\gamma_{2})$$on a
         $$(\gamma_{4}\OP_{2}\gamma_{3})\OP_{1}(\gamma_{2}\OP_{2}\gamma_{1})
         =(\gamma_{4}\OP_{1}\gamma_{2})\OP_{2}(\gamma_{3}\OP_{1}\gamma_{1})$$
\end{enumerate}
\'Etudions maintenant le cas des espaces topologiques.
\section{Espaces topologiques}\label{sec:2-gr:2}
Si $X$ est un espace topologique, alors, d'apr�s le chapitre \ref{chap:alex}, l'ensemble
des ouverts $\Ouv(X)$ peut �tre muni de deux structures de groupements
$$(\Ouv(X);\stackrel{\cup}{s};\stackrel{\cup}{t};\cup)\quad
\text{et}\quad(\Ouv(X);\stackrel{\cap}{s};\stackrel{\cap}{t};\cap)$$
Puisque pour tout ouvert $x$ de $X$, on a, par d�finition,
$$\stackrel{\cup}{s}(x)=\stackrel{\cup}{t}(x)=X
\quad\text{et}\quad
\stackrel{\cap}{s}(x)=\stackrel{\cap}{t}(x)=x$$
il est tr�s facile de v�rifier les �galit�s
\begin{align*}
\stackrel{\cup}{s}\stackrel{\cap}{s}
&=\stackrel{\cap}{s}\stackrel{\cup}{s}
&\stackrel{\cup}{t}\stackrel{\cap}{t}
=\stackrel{\cap}{t}\stackrel{\cup}{t}\\
\stackrel{\cup}{s}\stackrel{\cap}{t}
&=\stackrel{\cap}{t}\stackrel{\cup}{s}
&\stackrel{\cap}{s}\stackrel{\cup}{t}
=\stackrel{\cup}{t}\stackrel{\cap}{s}
\end{align*}
Supposons que $x_{1}$, $x_{2}$, $x_{3}$ et $x_{4}$ soient quatre ouverts de $X$ qui
v�rifient les �galit�s
$$\stackrel{\cup}{s}(x_{2})=\stackrel{\cup}{t}(x_{1}),\quad
\stackrel{\cup}{t}(x_{4})=\stackrel{\cup}{t}(x_{3}),\quad
\stackrel{\cap}{s}(x_{3})=\stackrel{\cap}{t}(x_{1}),\quad
\stackrel{\cap}{s}(x_{4})=\stackrel{\cap}{t}(x_{2})$$
Ces conditions impliquent
$$x_{1}=x_{3}\quad\text{et}\quad x_{2}=x_{4}$$
Cela implique
$$(x_{4}\cup x_{3})\cap(x_{2}\cup x_{1})=
(x_{2}\cup x_{1})\cap(x_{2}\cup x_{1})=x_{2}\cup x_{1}$$
et
$$(x_{4}\cap x_{2})\cup(x_{3}\cap x_{1})
=x_{2}\cup x_{1}$$
D'o�
$$(x_{4}\cup x_{3})\cap(x_{2}\cup x_{1})=
(x_{4}\cap x_{2})\cup(x_{3}\cap x_{1})$$
\section{Les g-carr�s}\label{sec:2-gr:3}
En utilisant le fait que $\GMOR$ est une cat�gorie, nous allons montrer 
que sa cat�gorie des fl�ches est naturellement muni de deux structures
de cat�gorie qui satisfont les deux conditions vues dans les deux sections
pr�c�dentes. Pour rester coh�rent avec nos d�nomination, nous parlerons de
g-carr�s. L'ensemble $\GSQUARE$ des g-carr�s est l'ensemble des quadruplets
$(x_{1};x_{2};y_{1};y_{2})$ o� $x_{1}$, $x_{2}$, $y_{1}$ et $y_{2}$
sont des petits g-morphismes tels que
$$x_{2}\OP y_{1}=y_{2}\OP x_{1}$$
Cela signifie que l'on a aussi
$$s(y_{1})=s(x_{1})\quad t(y_{1})=s(x_{2})\quad 
s(y_{2})=t(x_{1})\quad t(y_{2})=t(x_{2})$$
Notons $\MFs_{1},\MFs_{2},\MFt_{1},\MFt_{2}:\GSQUARE\to\GSQUARE$, les
applications d�finies par
\begin{align*}
\MFs_{1}(x_{1};x_{2};y_{1};y_{2})&=(x_{1};x_{1};\Id;\Id)\\
\MFs_{2}(x_{1};x_{2};y_{1};y_{2})&=(\Id;\Id;y_{1};y_{1})\\
\MFt_{1}(x_{1};x_{2};y_{1};y_{2})&=(x_{2};x_{2};\Id;\Id)\\
\MFt_{2}(x_{1};x_{2};y_{1};y_{2})&=(\Id;\Id;y_{2};y_{2})
\end{align*}
et $\OP_{1};\OP_{2}:\GSQUARE\times\GSQUARE\to\GSQUARE$ les applications
d�finies par
\begin{align*}
(x_{1};x_{2};y_{1};y_{2})&\OP_{1}(x'_{1};x'_{2};y'_{1};y'_{2})\\
&=
\begin{cases}
(x'_{1};x_{2};y_{1}\OP y'_{1};y_{2}\OP y'_{2})  &\text{si }\MFs_{1}(x_{1};x_{2};y_{1};y_{2})=
\MFt_{1}(x'_{1};x'_{2};y'_{1};y'_{2})\\
(x'_{1};x'_{2};y'_{1};y'_{2})&\text{sinon}
\end{cases}
\end{align*}
et
\begin{align*}
(x_{1};x_{2};y_{1};y_{2})&\OP_{2}(x'_{1};x'_{2};y'_{1};y'_{2})\\
&=
\begin{cases}
(x_{1}\OP x'_{1};x_{2}\OP x'_{2};y'_{1};y_{2})  &\text{si }\MFs_{2}(x_{1};x_{2};y_{1};y_{2})=
\MFt_{2}(x'_{1};x'_{2};y'_{1};y'_{2})\\
(x'_{1};x'_{2};y'_{1};y'_{2})&\text{sinon}
\end{cases}
\end{align*}
Il est tr�s facile de montrer que $(\GSQUARE;\MFs_{1};\MFt_{1};\OP_{1})$ et 
$(\GSQUARE;\MFs_{2};\MFt_{2};\OP_{2})$ sont des groupements et m�me des 
cat�gories.

De plus, pour tout $(x_{1};x_{2};y_{1};y_{2})\in\GSQUARE$, on a
$$\MFs_{1}\MFs_{2}(x_{1};x_{2};y_{1};y_{2})=\MFs_{1}(\Id;\Id;y_{1};y_{1})
=(\Id;\Id;\Id;\Id)$$
et
$$\MFs_{2}\MFs_{1}(x_{1};x_{2};y_{1};y_{2})=\MFs_{2}(x_{1};x_{1};\Id;\Id)
=(\Id;\Id;\Id;\Id)$$
Pour �tre plus pr�cis, on peut facilement voir que dans les deux cas les identit�s finales 
sont $\Id_{\BBB_{1}}$ o� $\BBB_{1}$ est le groupement source de $x_{1}$.
Par cons�quent
$$\MFs_{1}\MFs_{2}=\MFs_{2}\MFs_{1}$$
et de m�me
$$\MFt_{1}\MFt_{2}=\MFt_{2}\MFt_{1}\quad
\MFs_{1}\MFt_{2}=\MFt_{2}\MFs_{1}\quad
\MFs_{2}\MFt_{1}=\MFt_{1}\MFt_{2}$$
Prenons $\gamma^{i}=(x_{1}^{i};x_{2}^{i};y_{1}^{i};y_{2}^{i})$, 
$i=1,\ldots,4$, quatre �l�ments de $\GSQUARE$ v�rifiant
$$ \MFs_2(\gamma^{2})=\MFt_2(\gamma^{1}),
\ \MFs_2(\gamma^{4})=\MFt_2(\gamma^{3}),
\ \MFs_1(\gamma^{3})=\MFt_1(\gamma^{1})
\text{ et }\MFs_1(\gamma^{4})=\MFt_1(\gamma^{2})$$
On a alors
\begin{align*}
(\gamma^{4}\OP_{2}\gamma^{3})\OP_{1}
(\gamma^{2}\OP_{2}\gamma^{1})
&=(x_{1}^{4}\OP x_{1}^{3};x_{2}^{4}\OP x_{2}^{3};y_{1}^{3};y_{2}^{4})
\OP_{1}(x_{1}^{2}\OP x_{1}^{1};x_{2}^{2}\OP x_{2}^{1};y_{1}^{1};y_{2}^{2})\\
&=(x_{1}^{2}\OP x_{1}^{1};x_{2}^{4}\OP x_{2}^{3};y_{1}^{3}\OP y_{1}^{1};
     y_{2}^{4}\OP y_{2}^{2})
\end{align*}
et
\begin{align*}
(\gamma^{4}\OP_{1}\gamma^{2})\OP_{2}
(\gamma^{3}\OP_{1}\gamma^{1})
&=(x_{1}^{2};x_{2}^{4};y_{1}^{4}\OP y_{1}^{2};y_{2}^{4}\OP y_{2}^{2})
\OP_{2}(x_{1}^{1};x_{2}^{3};y_{1}^{3}\OP y_{1}^{1};y_{2}^{3}\OP y_{2}^{1})\\
&=(x_{1}^{2}\OP x_{1}^{1};x_{2}^{4}\OP x_{2}^{3};y_{1}^{3}\OP y_{1}^{1};
     y_{2}^{4}\OP y_{2}^{2})
\end{align*}
On en d�duit
$$(\gamma^{4}\OP_{2}\gamma^{3})\OP_{1}
(\gamma^{2}\OP_{2}\gamma^{1})
=(\gamma^{4}\OP_{1}\gamma^{2})\OP_{2}
(\gamma^{3}\OP_{1}\gamma^{1})$$
%\section{Les anneaux}\label{sec:2-gr:3}
%Nous allons ici montrer que tout anneau quelconque $(\BBA;+;\cdot)$, unitaire ou pas, 
%commutatif ou pas, peut �tre muni de deux structures de groupement.
%
%Posons $$\stackrel{+}{s}(x)=x\quad\stackrel{+}{t}(x)=-x$$et
%$$\dot{s}(x)=\dot{t}(x)=x$$pour tout $x\in\BBA$. Puisque les op�rations
%$+$ et $\cdot$ sont associatives, il est imm�diat que 
%$$(\BBA;\stackrel{+}{s};\stackrel{+}{t};+)
%\quad\text{et}\quad(\BBA;\dot{s};\dot{t};\cdot)$$
%sont des groupements.
%
%De plus, pour tous �l�ments $x_{1}$, $x_{2}$, $x_{3}$ et $x_{4}$ de $\BBA$, 
%les �galit�s
%$$\stackrel{+}{s}(x_{2})=\stackrel{+}{t}(x_{1}),\quad
%\stackrel{+}{t}(x_{4})=\stackrel{+}{t}(x_{3}),\quad
%\dot{s}(x_{3})=\dot{t}(x_{1}),\quad
%\dot{s}(x_{4})=\dot{t}(x_{2})$$
%implique
%$$x_{1}=x_{3}\quad\text{et}\quad x_{2}=x_{4}$$.
%Par cons�quent
%$$(x_{4}+ x_{3})\cdot(x_{2}+ x_{1})=
%(x_{2}\cup x_{1})\cap(x_{2}\cup x_{1})=x_{2}\cup x_{1}$$
%et
%$$(x_{4}\cdot x_{2})+(x_{3}\cdot x_{1})
%=x_{2}^{2}+ x_{1}^{2}$$
%D'o�
%$$(x_{4}\cup x_{3})\cap(x_{2}\cup x_{1})=
%(x_{4}\cap x_{2})\cup(x_{3}\cap x_{1})$$
\section{D�finition d'un $2$-groupement strict}\label{sec:2-gr:4}
Tous les exemples pr�c�dents, nous conduisent � la d�finition ci-dessous.

Nous dirons qu'un septuplet $\left(\BBB;s_1;t_1;\OP_1;s_2;t_2;\OP_2\right)$ est un
\emph{$2$-groupement strict}\index{$2$-groupement strict} quand
\begin{description}
\item[(2-GR 1)] les quadruplets $\left(\BBB;s_1;t_1;\OP_1\right)$ et
$\left(\BBB;s_2;t_2;\OP_2\right)$ sont des groupements ;
\item[(2-GR 2)] les �galit�s ci-dessous sont satisfaites
$$\MFs_1\MFs_2=\MFs_2\MFs_1\qquad\MFt_1\MFt_2=\MFt_2\MFt1$$
$$\MFs_1\MFt_2=\MFt_2\MFs_1\qquad\MFs_2\MFt_1=\MFt_1\MFs_2$$
\item[(2-GR 3)] si $x_i$,
$i=1,\ldots,4$, sont quatre �l�ments de $\BBB$ et
si $$ s_2(x_2)=t_2(x_1),\ s_2(x_4)=t_2(x_3),\
s_1(x_3)=t_1(x_1)\text{ et }s_1(x_4)=t_1(x_2)$$
alors les compositions
$$(x_4\OP_2x_3)\OP_1(x_2\OP_2x_1)\quad\text{et}\quad
(x_4\OP_1x_2)\OP_2(x_3\OP_1x_1)$$
existent et sont �gales
$$(x_4\OP_2x_3)\OP_1(x_2\OP_2x_1)=
(x_4\OP_1x_2)\OP_2(x_3\OP_1x_1)$$
\end{description}
Puisque nous l'avons voulu ainsi, les sections \ref{sec:2-gr:1}, \ref{sec:2-gr:2} et 
\ref{sec:2-gr:3} sont des exemples de 2-grou\-pe\-ments.

Le premier d'entre eux
est int�ressant car il semble que ce soit l'une des premi�res fois que l'on arrive
� munir l'ensemble des surfaces de Moore de compositions. Ce fait �tait connu depuis 
tr�s longtemps pour les chemins, mais restait m�connu pour les surfaces.

Il est bien connu que les espaces topologiques d�finissent une cat�gorie (ensemble des ouverts 
muni de la structure de pr�ordre induite par l'inclusion). Le d�faut de se point de vue est 
que la r�union et l'intersection y sont compl�tement oubli�es. De plus ils est facile de voir
que les applications continues d�finissent par images r�ciproques des g-morphismes pour 
les deux structures de groupements envisag�es pr�c�demment.
entete.tex
\newif\ifpdf
\ifx\pdfoutput\undefined
\pdffalse % we are not running PDFLaTeX
\else
\pdfoutput=1 % we are running PDFLaTeX
\pdftrue
\fi

\ifpdf
\usepackage[pdftex]{graphicx}
\else
\usepackage{graphicx}
\fi

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%       packages du syst�me        %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\usepackage{calc}   % permet de faire des op�rations arithm�tiques sur
                    % les longueurs ... 
% Les encodages de caract�res
\fontencoding{T1}
\usepackage[latin1]{inputenc}

\usepackage[margin=2.53cm]{geometry}

% Environnements th�or�me...
\usepackage{theorem}

\theoremstyle{break}\theorembodyfont{\itshape}
\newtheorem{theo}{Th�or�me}[section]
\newtheorem{defi}[theo]{D�finition}
\newtheorem{prop}[theo]{Proposition}
\newtheorem{lemm}[theo]{Lemme}
\newtheorem{coro}[theo]{Corollaire}

\theoremstyle{break}\theorembodyfont{\upshape}
\newtheorem{exem}{Exemple}[section]
\newtheorem{rema}{Remarque}[section]

\usepackage[english,french]{babel}

% fonction pour mettre entre guillemets
\newcommand{\Dire}[1]{\guillemotleft~#1~\guillemotright{}}

\usepackage{mathrsfs}  % police RSFS : \mathscr
\usepackage{amsmath,  % \text, \boldsymbol , \pmb, 
                      % \DeclareMathOperator
            amssymb} % \mathbb, \mathfrak, msam et msbm
%\usepackage{bbm} % \mathbbm \mathbbmss \mathbbmtt
\usepackage[all]{xy} % diagrammes commutatifs
\usepackage{eucal} % red�finit \mathcal
\usepackage{stmaryrd}
%\usepackage{wasysym} % d�finit des symboles wasysym

\DeclareMathOperator{\Fix}{Fix} \DeclareMathOperator{\Image}{Im}
% Lettres blackboard majuscules
\newcommand{\BBA}{\mathbb{A}} \newcommand{\BBN}{\mathbb{N}}
\newcommand{\BBB}{\mathbb{B}} \newcommand{\BBO}{\mathbb{O}}
\newcommand{\BBC}{\mathbb{C}} \newcommand{\BBP}{\mathbb{P}}
\newcommand{\BBD}{\mathbb{D}} \newcommand{\BBQ}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\BBE}{\mathbb{E}} \newcommand{\BBR}{\mathbb{R}}
\newcommand{\BBF}{\mathbb{F}} \newcommand{\BBS}{\mathbb{S}}
\newcommand{\BBG}{\mathbb{G}} \newcommand{\BBT}{\mathbb{T}}
\newcommand{\BBH}{\mathbb{H}} \newcommand{\BBU}{\mathbb{U}}
\newcommand{\BBI}{\mathbb{I}} \newcommand{\BBV}{\mathbb{V}}
\newcommand{\BBJ}{\mathbb{J}} \newcommand{\BBW}{\mathbb{W}}
\newcommand{\BBK}{\mathbb{K}} \newcommand{\BBX}{\mathbb{X}}
\newcommand{\BBL}{\mathbb{L}} \newcommand{\BBY}{\mathbb{Y}}
\newcommand{\BBM}{\mathbb{M}} \newcommand{\BBZ}{\mathbb{Z}}

% Lettres blackboard minuscules
\newcommand{\BBk}{\Bbbk}

% Lettres rsfs majuscules
\newcommand{\SCRA}{\mathscr{A}} \newcommand{\SCRN}{\mathscr{N}}
\newcommand{\SCRB}{\mathscr{B}} \newcommand{\SCRO}{\mathscr{O}}
\newcommand{\SCRC}{\mathscr{C}} \newcommand{\SCRP}{\mathscr{P}}
\newcommand{\SCRD}{\mathscr{D}} \newcommand{\SCRQ}{\mathscr{Q}}
\newcommand{\SCRE}{\mathscr{E}} \newcommand{\SCRR}{\mathscr{R}}
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\newcommand{\SCRG}{\mathscr{G}} \newcommand{\SCRT}{\mathscr{T}}
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\newcommand{\SCRI}{\mathscr{I}} \newcommand{\SCRV}{\mathscr{V}}
\newcommand{\SCRJ}{\mathscr{J}} \newcommand{\SCRW}{\mathscr{W}}
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\newcommand{\SCRM}{\mathscr{M}} \newcommand{\SCRZ}{\mathscr{Z}}

% Lettres mathcal majuscules
\newcommand{\CALA}{\mathcal{A}} \newcommand{\CALN}{\mathcal{N}}
\newcommand{\CALB}{\mathcal{B}} \newcommand{\CALO}{\mathcal{O}}
\newcommand{\CALC}{\mathcal{C}} \newcommand{\CALP}{\mathcal{P}}
\newcommand{\CALD}{\mathcal{D}} \newcommand{\CALQ}{\mathcal{Q}}
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\newcommand{\CALG}{\mathcal{G}} \newcommand{\CALT}{\mathcal{T}}
\newcommand{\CALH}{\mathcal{H}} \newcommand{\CALU}{\mathcal{U}}
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\newcommand{\CALJ}{\mathcal{J}} \newcommand{\CALW}{\mathcal{W}}
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% Lettres mathfrak majuscules
\newcommand{\MFA}{\mathfrak{A}} \newcommand{\MFN}{\mathfrak{N}}
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% Lettres mathfrak minuscules
\newcommand{\MFa}{\mathfrak{a}} \newcommand{\MFn}{\mathfrak{n}}
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% Symboles de fin de d�monstration
\newcommand{\Dem}{\textbf{D�monstration}\ {}}
\newcommand{\QED}{\hbox{}\nobreak\hfill
    \quad\hbox{\ding{111}}}
\newcommand{\QEDb}{\hbox{}\nobreak\hfill
    \quad\hbox{\ding{111}}\linebreak}
    
%
\newcommand{\Compo}[2]{\overset{#1}{\times}_{#2}}

\usepackage{pifont}
\usepackage{txfonts}

introduction.tex
\setcounter{chapter}{-1}
\chapter{Introduction}
Je me dois de pr�venir le lecteur que ce qui est expos� dans ce m�moire n'est 
qu'une tentative de g�n�ralisation de la notion de cat�gorie.  Une tentative et rien de plus. 
Sur bien des points, cet essai n'est pas tout � fait finalis� mais les principaux objectifs 
que nous nous �tions donn�e ont �t� � peu pr�s atteints.

Depuis tr�s longtemps, diff�rentes extensions de la notion de cat�gorie ont �t� 
envisag�es. Une des premi�res a l'avoir �t� fut la notion bien connue de 
graphe. Cette structure fut et est encore tr�s �tudier pour ses propri�t�s combinatoires et
son utilisation possible d�s que l'on souhaite �tudier des choses qui ont une origine et une 
fin. En effet un graphe est tout simplement un ensemble muni de deux applications qui
indiquent la source et le but de chaque �l�ment. De part leur simplicit� ont les rencontre
souvent dans des applications pratiques (informatique et �conomie). Mais c'est une 
extension qui pr�sente le d�faut de ne pas avoir de composition. Pour r�soudre ce probl�me 
on s'int�resse souvent � la cat�gorie libre engendr�e par le graphe.

D'autres extensions ont �t� �tudi�e. Leur point commun est un affaiblissement de la 
composition. Pour �tre plus pr�cis, on s'int�resse ici � un graphe $(G;s;t)$ muni
d'une op�ration binaire partiellement d�finie (\textit{i.e.} $\circ:G_{1}\to G$, o�
$G_{1}$ est un sous-ensemble de $G\times G$) soumise aux conditions suivantes :
si $g\circ f$ existe alors $s(g)=t(f)$, $s(g\circ f)=s(f)$ et $t(g\circ f)=t(g)$. Si on 
suppose de plus que les compositions $t(f)\circ f$, $f\circ s(f)$ existent toujours et 
sont �gales � $f$ alors on obtient un graphe multiplicatif fortement 
identitaire que Charles Ehresmann \cite{Ehr65} a plus simplement appel� graphe multiplicatif ou 
n�ocat�gorie. Lurtz Sch�der et Horst Herrlich \cite{ScHe00} ont quand � eux affaibli la condition 
pr�c�dente en n'imposant pas l'existence de $t(f)\circ f$ et $f\circ s(f)$ mais en les 
obligeant � �tre �gales � $f$ si elles existent. Ils parlent alors de graphe multiplicatif 
faiblement identitaire. En supposant que la composition est aussi associative, ils aboutissent 
� la notion de semicat�gorie. Paulo Mateus, Amilcar Sernadas et Cristina Sernadas \cite{MSS99} ont 
utilis� les pr�cat�gories (en m�me temps n�ocat�gorie et semicat�gorie) pour �tudier 
la combinaison des automates probabilistes (informatique).

Aussi int�ressantes soient-ils, tous ces cas pr�sentent le d�faut d'imposer le fait que 
les �l�ments sources et buts sont n�cessairement des identit�s � partir du moment o� ils 
sont composables. Cette condition s'av�re un obstacle tr�s difficile (voir impossible � lever)
quand on souhaite g�n�raliser certaine construction g�om�trique. Par exemple, 
Mikhail Kapranov et Vladimir Voevodsky \cite{KaVo91} ont �chou� dans leur tentative de g�n�ralisation 
des espaces de lacets de Moore en dimension sup�rieur car leur construction ne satisfait 
pas les conditions sur les identit�s. Il semblait par cons�quent int�ressant de voir ce qui 
pouvait se passer si on supprimait ces conditions identitaires.

Le premier chapitre est consacr� � quelques rappels simples sur les pullbacks  et les 
univers de Grothendieck. Bien que ces derniers ne fournissent pas une base ensembliste tr�s
satisfaisante, nous nous en contenterons.

Le second chapitre est juste une mise en forme 
la propre possible d'une mani�re classique de d�finir les cat�gories.
On peut par exemple ce r�f�rer au le livre de Saunders MacLane \cite{ML71}.
Ordinairement une cat�gorie est compos� d'un ensemble d'objets, d'une famille d'ensembles
index�e par les couples d'objets dont les �l�ments forment les morphismes de la cat�gorie et 
d'une composition des morphismes v�rifiant les axiomes d'identit� et l'associativit�. En fait 
tout cela peut �tre simplifier en ne s'int�ressant qu'� l'ensemble des morphismes muni 
de deux applications, source et but, et d'une composition satisfaisant certains axiomes.
Cette construction classique pour les cat�gories est beaucoup plus difficile � trouver dans la 
litt�rature pour les foncteurs et les transformations naturelles. Bien que n'apportant rien de bien 
nouveau, ce travail est int�ressant car il fournit des id�es importantes pour toute la suite.

Le chapitre trois est le coeur du m�moire. Ici on d�finit la notion de groupement qui est 
tout simplement la g�n�ralisation souhait�e. Nous y avons aussi d�fini les morphismes de 
groupements que nous avons appel�s g-morphismes. L'absence d'identit�s rend tr�s difficiles 
la d�finition ad�quate d'une notion de transformations entre g-morphismes. L'un des principaux
obstacles est la difficult� de construire des applications source et but sur l'ensemble 
de telles transformations et donc de parler de composition. Nous avons abord� cette question � la 
fin du chapitre dans le but de montrer o� se situait les obstacles principaux.

Le quatri�me chapitre est n� de la volont� de trouver un exemple non trivial de groupement.
Or l'espace des chemins de Moore d'un espace topologique est trivialement muni 
d'une composition. Il suffit de juxtaposer les chemins. Cette derni�re est bien 
associative mais ne v�rifie pas les conditions identitaires habituellement impos� � une 
cat�gorie. Puisque d�s le d�part nous les avons supprim� de notre th�orie, les groupements
fournissent un cadre naturel pour l'�tude des chemins de Moore. Bien s�r s'il n'y avait 
que cela, l'int�r�t serait limit�. Mais il se trouve qu'il est extr�mement facile de g�n�raliser
cette construction en dimension sup�rieure. C'est ce que nous avons fait avec les surfaces 
et plus g�n�ralement les $I$-espaces de Moore.

Le cinqui�me chapitre est une tentative pour fournir un cadre assez g�n�ral pour d�finir 
des transformations entre g-morphismes. Ce chapitre n'est pas tout � fait satisfaisant mais 
je l'es\-p�re peut fournir quelques id�es int�ressantes.

Le dernier chapitre a pour unique but de donner quelques exemples d'ensembles 
poss�dant deux structures diff�rentes  de groupements et d'en tirer une d�finition 
de 2-groupements.

Je tiens � remercier Bertrand Toen pour m'avoir propos� un sujet portant sur les bicat�gories. 
Bien que ce m�moire semble en �tre �loign�, il en est la cons�quence directe. En effet 
c'est en essayant de donner une d�finition dans laquelle on ne ferait plus r�f�rence � un ensemble de
 0-cellules et � un ensemble de 1-cellules, mais simplement � un unique ensemble de cellules que nous 
 avons �t� amen� � d�finir cat�gories, foncteurs et transformations naturelles sans utiliser d'objets. 
 En se faisant, nous avons constater qu'une grande partie de la th�orie pouvait �tre faite sans 
 les conditions identitaires. Et l'exemple des surfaces de Moore et leurs g�n�ralisations possibles en 
 dimensions sup�rieures nous ont convaincus que ce point de vue m�ritait d'�tre expos�.
 
Les mots me manquent pour remercier Carlos Simpson pour le soutien et l'aide qu'il a su m'apporter.
Rien n'aurait pu �tre fait sans ses remarques pertinentes, sa gentillesse et sa patience.
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\title{Les groupements}
\author{Freddy Bonnin}
\date{8 avril 2004}
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