Invariants de Seiberg-Witten et courbes r\'eelles
Damien Gayet
math0404556.tex
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{\vskip 2mm\noindent {\bf Remarque : }}{\vskip 2mm}
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{\vskip 2mm\noindent {\bf Exemple #1 : }}{\vskip 2mm}
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\title{Invariants de Seiberg-Witten et courbes r\'eelles}
\author{Damien Gayet			}

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\begin{document}
%\large
\maketitle

\centerline{\textbf{Abstract}}
On a compact oriented four-manifold with an orientation
preserving involution $c$, we count  solutions of 
Seiberg-Witten equations, which are moreover symmetrical
in relation to $c$, to construct  ``real'' Seiberg-Witten
invariants. Using Taubes' results, we prove that 
on a symplectic almost complex manifold with an antisymplectic
and antiholomorphic involution, this invariants are
not all trivial, and that the canonical bundle
is represented by a real holomorphic curve.

 
\centerline{\textbf{R\'esum\'e}}
Sur une vari�t� compacte de dimension 4 orient�e poss�dant
une involution $c$ pr�servant l'orientation, nous comptons
les solutions sym�triques par rapport � $c$
des �quations de Seiberg-Witten pour d�finir des
invariants ``r�els'' de Seiberg-Witten. Dans le
cas d'une vari�t� symplectique presque complexe munie d'une
involution antisymplectique et antiholomorphe, nous utilisons les r�sultats
de Taubes pour d�montrer d'une part que les invariants 
r�els ne sont pas tous nuls, d'autre part que le fibr� canonique
de la vari�t� est repr�sent� par une courbe r�elle holomorphe.\\


\textsc{Code mati\`ere AMS}: 14P25, 53D05, 57R57.


 
\thispagestyle{empty}
\subsection{Introduction}
Peu apr�s l'apparition dans [Wi] des invariants de
Seiberg-Witten, Taubes montre que ces invariants
ne sont pas tous triviaux sur une vari�t� symplectique. 
Il en d�duit, entre autres, l'existence 
de courbes $J$-holomorphes repr\'esentant 
le fibr� canonique de la vari�t�.


Le but de cet article est d'\'etablir 
une version \textit{r�elle} de ces r�sultats, c'est � dire
d'obtenir des courbes non seulement holomorphes, mais
aussi invariantes par une structure r�elle sur la vari�t�
symplectique. Plus pr�cis�ment, consid�rons une
vari�t� symplectique r�elle $(X,\om,J,c)$, o�
$\om$ et une forme symplectique, $J$ une structure
presque complexe compatible avec $\om$, et $c$ une
involution $J$-antiolomorphe et antisymplectique. Nous
d�montrons le r�sultat suivant :
\begin{theo}
Soit $(X,\om,J,c)$ une vari�t� de dimension 4 symplectique compacte r�elle, 
v�rifiant $b_+ >1$. Alors 
le fibr� canonique est repr�sent� par une courbe $J$-holomorphe
invariante par $c$, 
a priori singuli�re.
\end{theo}

Pour cela,  nous nous pla�ons plus g�n�ralement
dans une vari�t� riemannienne
$(X,g)$ de dimension 4 orient�e munie d'une involution $c$ isom�trique
et pr�servant l'orientation. 
Nous d�finissons d'abord la notion de 
 structure de $\spic$  $c$-r�elle. Sur ces structures,
la diff�rentielle $dc$ 
agissant sur le fibr� des rep�res orthonorm�s orient�s
se rel�ve en une involution antilin�aire.
Cette structure est n�cessaire pour pouvoir construire
des courbes r�elles. En effet, 
dans une
vari�t� presque complexe r�elle,
  la structure standard tordue
par  un fibr� en cercles 
repr�sent� par  une courbe $J$-holomorphe
r�elle  est $c$-r�elle. Il est facile
de constater que la structure standard 
tordue par le fibr� canonique v�rifie cette
condition n�cessaire. 

 

Nous consid\'erons alors 
les solutions ``sym�triques'' par rapport � $c$ 
des �quations de Seiberg-Witten. 
L'espace des solutions,
tout comme dans le cas classique, jouit de propri�t�s
d'invariance, de liss�it�, de compacit�, d'orientabilit�,
 et permet de d�finir un invariant
$SW(\si,c)\in \Zz$ ind�pendant de la m�trique pour laquelle
$c$ est isom�trique, et v�rifiant pour tout
diff�omorphisme $f$ de la vari�t� $SW(f^*\si, fcf^{-1}) = SW(\si,c)$.

Dans le cas d'une vari�t� presque complexe symplectique r�elle,
la d�monstration par Taubes du cas classique s'adapte � notre situation
et permet de d�montrer que
 l'invariant r�el est non nul
pour la structure standard, twist� ou non
par le fibr� canonique. 


Pour construire  une courbe $J$-holomorphe repr�sentant
le fibr� canonique,
Taubes
utilise  une suite de d�formations
des �quations classiques. L'invariant �tant indiff�rent
� ces d�formations, sa non trivialit� implique
� chaque �tape l'existence d'une solution. En remarquant
qu'une solution d�finit entre autres une section 
du fibr� canonique (dans le cas twist�), Taubes
montre ensuite que que la suite du lieu des   z�ros  de ces 
sections converge
vers une courbe $J$-holomorphe. 
Sans aucun effort suppl�mentaire que celui
de constater que cette suite de z�ros est invariante 
dans notre cas par l'involution $c$, nous obtenons le 
th�or�me 1. 
\paragraph{Perspectives.}
Taubes [Ta2] a en fait �tabli que les invariants de Seiberg-Witten 
sur une vari�t� symplectique sont �gaux � un certain type 
d'invariants de Gromov-Witten. Ceux-ci compte le nombre
de courbes $J$-holomorphes de degr� fix� 
passant par un certain nombre
de points fixes. 
Dans un  travail \`a venir, nous esp�rons montrer de fa�on analogue que  
les invariants r�els que nous avons construits sont �gaux 
 \`a un certain type d'invariants de  Welschinger [We], comptant
des courbes $J$-holomorphes r�elles.  



\paragraph{R�sum� des parties de l'article.}
Dans la premi�re partie, nous construisons les invariants
r�els de Seiberg-Witten, dans un cadre g�n�ral. Nous
expliquons d'abord quelles sont les structures de $\spic$
$c$-r�elles. Ensuite nous montrons que l'involution
se rel�ve aux objets naturellement associ�s � une structure 
de $\spic$ $c$-r�elle : espaces de spineurs, espace des connexions
sur l'espace des spineurs. Nous d�finissons les �quations r�elles
de Seiberg-Witten, puis nous �tudions les propri�t�s
de l'espace des solutions, en particulier sa dimension.
Dans la deuxi�me partie, nous montrons d'une part
que dans une vari�t� symplectique r�elle, les
invariants construits ne sont pas tous nuls, et d'autre part  que
quand l'invariant d'une structure de $\spic$ est non nul, 
on peut associer � celle-ci une courbe $J$-holomorphe
r�elle. 


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
		%Construction d'un invariant r\'eel de Seiberg-Witten
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%





 \section{Construction d'un invariant r\'eel de Seiberg-Witten}


Soit $X$ une vari\'et\'e lisse de dimension 4 orient\'ee,
 munie d'une involution  $c$ lisse pr\'eservant l'orientation.
Il existe toujours  une structure riemanienne 
compatible avec cette situation topologique :
\begin{lemme} L'ensemble $\text{Met} (X,c)$ des 
 m\'etriques riemaniennes  pour lesquelles $c$ est une
isom\'etrie est un convexe non vide. 
\end{lemme}
\begin{preuve} Il est clair que $\text{Met} (X,c)$ est 
un convexe. Montrons qu'il est non vide. L'ensemble des m�triques 
riemannienne sur $X$ de volume $1$
est un convexe compact, et   
l'application continue qui � une m�trique $g$  associe le tir� en arri�re
$c^*g$ laisse  cet ensemble invariant. En effet, 
$$\int_X vol_{c^*g}(x) = \int_X \det d_xc\ . vol_{g}(c(x))= 
\int_X \det d_x c\ .  \det d_{c(x)}c\ . vol_g(x) = \int_X vol_g(x).$$
Le th�or�me de Schauder implique maintenant le r�sultat.  
\end{preuve}



		%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%Structures Reelles%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


\subsection{Structures r�elles}
\subsubsection {Une remarque �clairante pour la suite}
Soit $f: \Cc^2 \to \Cc$ une application lisse d�finie
sur le plan complexe. Si $f$ est holomorphe,
l'involution antilin�aire 
$\kappa (f)$ d�finie par $\ka( f) (z) = \bar f (\bar z)$ 
est �galement
holomorphe. Si de plus $f$ est invariante
par $\ka$, alors le 
lieu des z�ros de $f$  est une sous-var�t� analytique complexe r�elle,
c'est � dire invariante par conjugaison.
%
La suite de cette section explique comment construire
des �quivalents de $\ka$ sur 
un fibr� en droites, puis
sur les  objets associ�s � une  structure de $\spic$. 
%***********Structures de Spin r\'eelles*************************


%
%
%*Structures r�elles et fibr� en droites complexes********************
\subsubsection {Fibr�s en cercles  $c$-r�els}
Soit $Q$ un fibr� principal en cercles.
Il nous faut savoir 
quand il est possible de 
 relever $c$ en une involution antilin�aire sur $Q$.
Pour cela, nous avons besoin   des groupes et du faisceau suivants :
\beq
\mathcal G & = &  \{f \in \Ga(X,\un)\}\\
r\mathcal G & = &  \{f \in \Ga(X,\un), \ f\circ c = f\}\\
r\mathcal G_\al &=& \{f \in \Ga(U_\al,\un), \ f\circ c = f\}
\eeq
\textbf{Remarque} : Sans perte de g�n�ralit�, on a suppos� et on supposera
 toujours que les ouverts
de trivialisation $U_\al$  sont invariants par $c$.
% Nous voulons donc construire une involution
%$$\kappa_L: \Ga(X,L) \rightarrow \Ga(X,L)$$ v�rifiant pour tous $\psi \in \Ga(X,L)$
%et $f \in \Ga (X, \un)$
 
%$$\kappa_L(f\otimes \psi)(x) = \bar f (c(x)) \otimes c_L(\psi) (x).$$ 
%Si $L$ admet une telle structure, on dira que $L$ est $c-$r�el.
%Pour cela,  nous d�finissons
%le sous-groupe $$rG = \{f \in \Ga(X,\un), \ f\circ c = \bar f\}.$$
	\begin{lemme}
Soit $Q$ un \un-fibr� principal sur $X$. 
L'application $c:X \to X$ se rel�ve en une application
$c_Q: Q \to c^*Q$ v�rifiant $$c_Q(\lam \psi) = \bar \lam c_Q(\psi)$$
pour toute application  $\lambda \in  \mathcal G$ et
toute section $\psi \in \Ga(Q)$
si et seulement si $c^*Q\otimes Q$ est trivial en tant qu'�l�ment
de $H^1(X,\bg)$. Il existe une telle application involutive
si et seulement si $c^*Q\otimes Q$ est trivial en tant qu'�l�ment
de $H^1(X,r\bg)$. Dans ce dernier cas,
l'ensemble  de telles involutions est  isomorphe
� $r\mathcal G$.
	\end{lemme}
\begin{preuve}
 Si $h\ab \in \un$ sont les fonctions
de transition de $Q \in H^1(X,\un)$, le fibr�
$c^*Q\otimes Q $ a pour fonctions de transitions
$ h\ab(c)h\ab$. Ces fonctions sont des �l�ments du faisceau $r\mathcal G$,
et donc d�finissent un �l�ment de $H^1(X,r\bg)$. 

Maintenant, soient $\ep_\al$ des trivialisations locales
de $Q$, telles que 
$\ep_\al = h\ab \ep_\beta.$ 
Si l'involution se rel�ve,  il existe des fonctions
 $\ka_\al \in \Ga (U_\al, \un)$
telles que 
$ c_Q( \ep_\al) = \ka_\al \ep_\al(c)$. 
On a  alors $$\bar h\ab (c) \ka_\beta = \ka_\al h\ab,$$
 ce qui
montre que le cocycle
$\{h\ab(c)h\ab\}$ est nul dans $H^1(X,\un)$, 
et donc que $c^*Q = -Q$. Si maintenant
l'application $c_Q$ est une involution,
on a $\ka_\al \in r\mathcal G_\al$, ce qui signifie cette 
fois que le cocycle
$\{h\ab(c)h\ab\}$ est nul dans $H^1(X,r\bg)$.
 La r�ciproque suit la voie inverse. Enfin, soit $c_Q$ un rel�vement
involutif de $c$ � $Q$. Il est facile de v�rifier que toute autre rel�vement
involutif est un produit  de $c_Q$ par un �l�ment de $r\mathcal G$.
\end{preuve}

\begin{defi} Un fibr� $Q$ est dit $c$-r�el s'il existe une
involution antilin�aire de $Q$ dans $c^*Q$.
\end{defi}

 Les propositions suivantes montrent que cette d�finition est naturelle :
\begin{prop} Soit $(X,J)$ une vari�t� presque complexe, 
et $c$ une involution $J$-antiholomorphe. 
Si $C$ est une courbe $J$-complexe plong�e 
dans $(X,J)$, invariante par $c$, alors  le \un-fibr� associ� est $c$-r�el. 
\end{prop}
\begin{preuve}
Supposons d'abord que $J$ est int�grable. Soient
$(f_\al)$ des applications holomorphes irr\'eductibles
d�finissant localement
$C$. L'antiholomorphie de $c$ implique que $\bar f_\al (c)$
est holomorphe, et l'invariance
de $C$ par $c$  implique que $f_\al$ et 
$\bar f_\al (c)$ s'annulent en m\^eme temps. Il existe donc des applications
$g_\al$ holomorphes ne s'annulant pas et des entiers positifs $m$,
telles que $\bar f_\al (c) = g_\al f_\al^m$. 
On a donc aussi 
$$f_\al = \bar g_\al(c) \bar f_\al^m(c)=  \bar g_\al(c)g_\al^m f_\al^{m^2}.$$
L'application  $\bar g_\al(c)g_\al^m$ est holomorphe,
donc l'\'egalit\'e  n'est possible que si $m=1$. De plus 
$g_\al \bar g_\al(c)$ vaut 1
en dehors de $C$ et donc partout. On a donc $g_\al/|g_\al| \in r\bg_\al$.
Maintenant,
le cocycle $$\{ h\ab = \frac{f_\al}{|f_\al|}\frac{|f_\beta|}{f_\beta} \}$$
d�finit le fibr� en cercles 
  associ� �  $C$, et puisque $h\ab(c)h\ab = g_\beta/|g_\beta|. |g_\al|/g_\al$, 
le fibr� est $c$-r�el. 

Le cas g�n�ral se ram�ne au cas int�grable apr�s
avoir remarqu� qu'il est possible de construire une
structure presque complexe int�grable sur $U_\al$ 
�gale � $J$ aux points de $C$.
\end{preuve}
\begin{prop}Soit $(X,J)$ une vari�t� presque complexe munie
d'une involution $J$-antiholomorphe. Alors le fibr� anticanonique
$K^{-1}$ est $c$-r�el.
\end{prop}
\bpr
Le fibr� $K^{-1}$ est identifi� aux 
2-covecteurs complexes de type $(0,2)$. 
L'application $c_{K^{-1}}$ qui envoie
$\om$ sur $\overline{\om} \circ dc^{-1}$ 
rel�ve $c$, pr�serve $K^{-1}$, est antilin�aire et involutive.
\epr  
\subsubsection {Une involution sur $\spic(X)$ }
Un fibr� en cercles $Q$ est $c$-r�el
si, entre autres, $c^*Q = -Q$.
 Avant de d�finir la notion de structure de $\spic$ $c$-r�elle,
nous rappelons la construction de l'involution sur $\spic(X)$
envoyant une structure de $\spic$ $\si$ de fibr� d�terminant 
$Q$ sur la structure de $\spic$ $-\si$ de fibr� d�terminant $-Q$.

\paragraph{Discussion locale.}
Ce paragraphe reprend l'expos\'e de Morgan dans son livre 
[Mo], pp. 100-102.
D\'efinissons d'abord la conjugaison complexe 
sur  l'alg\`ebre de Clifford complexe
$Cl(4)\otimes \Cc$. Elle applique
simplement $e$ sur $\bar e$. Par induction sur 
$\spic(4)\subset Cl(4)\otimes \Cc$, on obtient 
la conjugaison sur $\spic(4)$.

On sait que  $ Cl(4)$ est isomorphe en tant qu'alg\`ebre
\`a $\text{Mat}(2,\Hh)$, o\`u $\Hh$ est le corps des quaternions.
Cet ensemble agit sur $\Hh\oplus \Hh$ par multiplication 
matricielle quaternionique \`a gauche, tandis que l'ensemble
des complexes $\Cc$ agit \`a droite par multiplication \`a droite par 
$i$. Maintenant, la multiplication \`a droite par $j$ 
d\'efinit une application $\tau$ de $\Hh\oplus \Hh$ dans lui-m\^eme
v\'erifiant pour tout $e\in Cl(4)\otimes \Cc$ et tout $s \in \Hh\oplus \Hh$ 
$$ 
\tau (e\cdot s) = \bar e \cdot \tau (s).
$$

\paragraph{Globalisation.}
Soit maintenant $P$ le $\SO$-fibr\'e principal des rep\`eres  orthonorm\'es
directs. 
Si $\si$ une structure de $\spic$, $\si$ est un rev\^etement double
de $P\times_X Q$, o� $Q$ est le $\un$-fibr� d�terminant de $\si$. 
L'application induisant l'identit� sur $P$ et la conjugaison
complexe sur $Q$ d�finit par tir� en arri�re 
une nouvelle structure de $\spic$ not�e $-\si$. On remarque
que le fibr� d�terminant de $-\si$ est $-Q$.
Il existe alors une application antilin\'eaire 
$$ \tau : \si \to -\si.$$
Cette application  d\'efinit un isomorphisme
antilin\'eaire
$$
\tau_S: S(\si) \to S(-\si),
$$
o\`u $S(\si)$ est le fibr\'e de spineurs 
$\si \times_{\spic(4)}\Hh\oplus \Hh = S^+ \oplus S^-$. On a de plus
par construction
$$\tau_S (e\cdot\psi) = \bar e \cdot  \tau_S(\psi)$$
pour toute section $e$ de $Cl(TX)\otimes \Cc\simeq TX\otimes \Cc$ et
toute section $\psi$ de $S(\si)$. Enfin, $\tau_S$ pr�serve
la d�compostion en spineurs positifs et n�gatifs.
%*Structures de $\spic$ r\'eelle**********************
\subsubsection {Structures de $\spic$ r\'eelles}
La diff�rentielle   $dc$ d\'efinit un morphisme
$dc: P \to  c^*P$ relevant $c: X \to X$. Appelons 
$\mathcal C_\si$ l'ensemble des rel\`evements de $dc$
\`a $\si$ antilin\'eaires.
	\begin{prop}
Soit $\si$ une structure de $\spic$ et $Q$
son fibr\'e d\'eterminant. Si $Q$ est $c$-r�el,
$\si$ d\'efinit naturellement un \'el\'ement $\mu$ de $H^1(X,\Zz_2)$, tel que
 $\mu = 0$ si et seulement si $c^*\si = -\si$. Dans ce cas 
 $\mathcal C_\si \not= \emptyset$, et il existe 
un �l�ment $\ep(\si) \in \Zz_2$ tel que $\forall c_\si \in  C_\si$,
$c_\si ^2 = \ep(\si) \id$. 
	\end{prop}
	\begin{preuve}
Soit $e_\al$ une trivialisation de $P$,
et $\gab$  les fonctions de transition
 � valeurs dans $\SO$ v�rifiant $e_\beta = e_\al \gab$.
Nommons de plus  $\teal$ des trivialisations
du fibr� $\si$, 
 $\tgab$ les fonctions
de transitions de $\si$ et $h\ab = \det \tgab$ celles de $Q$.
Supposons enfin que les $\tilde e_\al$(resp. $\tgab$) sont des relev\'es de
$e_\al$ (resp. $\gab$).
Soit
 $k_\al$ des applications � valeurs dans  $\SO$, telles que
$$ d_xc (e_\al) =  e_\al (c(x))k_\al^{-1}(x),$$
et $\ka_\al$ des applications appartenant �  $r\mathcal G_\al$
telles que 
$$
h\ab (c) = \ka_\al^{-1}\bar h\ab \ka_\beta.
$$
Choisissons des relev\'es arbitraires $\tilde k_\al$
\`a $\spic(4)$ des fonctions $k_\al \times \ka_\al$.
Les  cocycles
$$
\tilde k_\al^{-1}(\tgab \bar h\ab) \tilde k_\beta
$$
et $\tgab(c)$ ont m\^eme image par projection
sur $\SO\times \un$, si bien qu'ils ne diff�rent
que d'un signe $\mu\ab$.  Leur rapport d�finit donc
un �l�ment $\{\mu\ab\} \in H^1(X,\Zz/2\Zz)$.
Si $\mu$ est nul,
il existe des constantes $\eta_\al \in \{\pm 1\}$
telles que $\mu\ab = \eta_\al/\eta_\beta$. Alors 
l'application  
$$c_\si ( \tilde e_\al) =  \tilde e_\al(c) \tilde k_\al^{-1}\eta_\al$$
est bien d\'efinie.
En projetant sur les deux facteurs $\SO$ et $\un$, on constate
que $c_\si^2 = \pm \id$. 
	\epr
		\begin{defi}Sous les hypoth�se de la proposition pr�c�dente, 
on dira que $\si$ est $c$-r�elle si $\ep(\si) = 1$.
		\end{defi}


%Structure r�elle et fibr� de spineurs*********************
\subsubsection{Structure r�elle et fibr� de spineurs}
		\begin{prop} Soit $\si$ une structure
de $\spic$ $c$-r�elle. Alors il existe une isom\'etrie antilin�aire
$\kappa_S: \Gamma (S) \rightarrow \Gamma (S)$ 
stable pour les deux sous-fibr�s $S^+$ et $S^-$,
et induisant sur $\Ga(\clif)\simeq \Om^*(X,\Cc)$ le tir� en arri�re barr� :
$$\kappa_\Om (\omega) = \ov{c^*\omega}.$$
		\end{prop}
	\begin {preuve} 
On a vu qu'il existait une application anticomplexe 
$\tau_S: S(\si) \to S(-\si)$ induisant
la conjugaison sur les formes complexes sur $X$.
Puisque $\si$ est r�elle,
on a d'autre part $-\si = c^*\si$, ce qui donne
un isomorphisme 
$\nu_S: S(-\si) \to S(c^*\si)$ tel que pour tout champ
de vecteur $e$,
$$
\nu_S (e\cdot\psi) = dc(e)\cdot\nu_S(\psi).
$$
Au total, on obtient une application 
$c_S: S(\si) \to S(c^*\si)$
telle que l'application 
\beq
\ka_S: \Gamma (S) &\to& \Gamma (S) \\
\ka_S (\psi) &=& c_S \circ \psi \circ c
\eeq
v\'erifie, en identifiant de facon naturelle $TX$ avec
$T^*X$, 
$$ \ka_S (\om \cdot \psi)= \ka_\Om(\om)\cdot \ka_S(\psi).$$
 Enfin par construction l'application laisse stable
les deux composantes $S^\pm$ de $S$. 
		\end{preuve}


%*Involution sur l'espace des connexions**************************
\subsubsection{Involution sur l'espace des connexions}
Commen�ons  par l'espace $\ba(Q)$ 
des connexions unitaires
d'un $\un$-fibr� $Q$.
		\begin{prop}Soit $Q$ un $\un$-fibr� principal $c$-r�el.
		Alors il existe une involution antilin�aire
		$\ka_\ba$ de $\ba(Q)$ dans lui-m\^eme, telle 
		que la courbure $F_{\ka_\ba(A)}$ v�rifie
		$$F_{\ka_\ba(A)}= \ka_\Om (F_A).$$
		\end{prop}
	\begin{preuve}
Soit$A$ une connexion hermitienne sur $Q$. 
 Si $\ep_\al$ est une trivialisation
locale de $Q$, il existe des 1-formes
$A_\al$ � valeurs dans $\Rr$
telles que $A \ep_\al = iA_\al \ep_\al$.
Par ailleurs, puisque $Q$ est $c$-r�el,
il existe des fonctions $\ka_\al$ � valeurs 
dans $r\mathcal G_\al$ telles que $c_Q \ep_\al (c) =  \ep_\al \kappa_\al^{-1}$.
%
Soit $  \ka_\ba(A)$ la connexion d�finie par 
$$ \ka_\ba(A) \ep_\al = (-i c^*A_\al + d \log \ka_\al)\ep_\al.$$
On v�rifie facilement que cette connexion est bien d�finie
et qu'elle est involutive. 
 La courbure de $A$
est $F_A = d(iA_\al) =d(iA_\beta)$, et donc la courbure de son image
est $d(-ic^*A_\al) = \ka_\Om (F_A)$.
	\end{preuve}

Rappelons la proposition suivante :
		\begin{prop} Soit $\si$ une structure de $\spic$ et $Q$ son
		fibr� d�terminant, ainsi qu'une connexion unitaire $A$ sur
		$Q$. Alors il existe une unique connexion $\na$
		sur l'espace des spineurs
		 induisant la connexion de Levi-Civit� $\nabla$  sur $P$ et 
		la connexion $A$ sur $Q$.
		\end{prop}

%Supposons maintenant que $\si$ soit $c$-r�elle. La proposition
%pr�c�dente permet d'identifier l'espace des 
%connexions levicivitiennes sur l'espace des spineurs
%$\mathcal A (\si)$avec 
%$\mathcal{A}(Q)$, o� $Q$ est le fibr� d�terminant de $\si$.
% La proposition
%pr�c�dente nous permet de d�finir 
%		\begin{defi}
%	Soit $\si$ une structure de $\spic$ r�elle, et $Q$ son
%	fibr� d�terminant. On d�finit $\kappa_\ba : \ba(\si) \to \ba(\si)$
%	de la fa�on suivante: la connexion $\ka_\ba (\na)$
%	est la connexion levicivitienne induisant la connexion 
%	${\ka_\ba(A)}$ sur $Q$.
%		\end{defi}
		\begin{lemme}
		Soit $\si$ une structure de $\spic$ $c$-r\'eelle, 
		et $Q$ son fibr\'e d\'eterminant.
		Pour toute connexion $A \in \ba(Q)$
		on a les relations de commutation suivantes :
		\beq
 		\nabla = \ka_\Om \nabla \ka_\Om,\\
		\nabla_{\ka_\ba(A)} = \ka_S \na \ka_S.
		\eeq
		\end{lemme}
	\begin{preuve}
Soient $(e_i)$ une section orthonorm�e de $TX$ sur $U_\al$.
La connexion de Levi-Civit� s'�crit 
$$\nabla e_i = \sum_{i=1}^{4} \om_{ij}e_j,$$
o� $\om_{ij}$ sont des 1-formes � valeurs r�elles.
Composons par le tir� en arri�re de $c$ :
$$c^* \nabla e_i = \sum c^*\om_{ij} c^*e_j. $$
Nous avons besoin du lemme suivant :
		\begin{lemme}
		Soient $e'_i =c^*e_i$.
		 Si $\om_{ij}'$  est l'ensemble
		des 1-formes d�finissant la connexion de Levi-Civit�
		dans la base orthonorm�e $e'_i$, 
		alors on a $\om'_{ij} = c^*\om_{ij}$.
		\end{lemme}
	\begin{preuve}En effet, si $\nabla e_j (e_i)= \sum \Ga_{ij}^{k}e_k$,
avec 
$$\Ga_{i,j}^{k} = \frac{1}{2}g^{il}(g_{jl,k}+ g_{kl,j} - g_{jk,l}),$$
o� $g^{il}$ d�finit la m�trique duale et $g_{jl,k} = d g_{jl}(e_k)$.
Dans la trivialisation $e'_i$, les $g'_{ij}$ �gaux
� $g_{ij}$ car $c$ est une isom�trie, et donc $g'_{jl,k} = c^*g_{jl,k}$.
Au total, on constate que $\Ga_{ij}^{k'} = c^*\Ga_{ij}^k.$
	\end{preuve}
Gr\^ace � ce lemme, on obtient donc ais�ment que
$\ka_\Om \nabla \ka_\Om = \nabla.$
Maintenant soit 
$A\in \ba(Q)$. La connexion
spinorielle  $\na$ s'�crit en coordonn�es
$$ \na = A_\al \id + \sum_{i=1}^{4}\om_{i,j} e_i \cdot e_j,$$
o� $\cdot$ est la multiplication de Clifford.
Gr\^ace au r�sultat sur la connexion de Levi-Civit�,
il est alors ais� de constater que $	\nabla_{\ka_\ba(A)} = \ka_S \na \ka_S.$
	\end{preuve}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%Equations r�elles de Seiberg-Witten%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\subsection{Equations r�elles de Seiberg-Witten}
Les �quations que nous d�finissons sont celles de Seiberg-Witten,
mais nous imposons aux inconnues, c'est-�-dire 
un spineur positif et une connexion, d'\^etre invariants
par l'involution r�elle. Rappelons, avant de d�crire
l'espace des solutions, les �quations classiques.


%Les �quations de Seiberg-Witten**********************

\subsubsection{Les structures suppl�mentaires}
\paragraph{Formes autoduales.}
Rappelons que si $\{e_1, e_2, e_3, e_4\}$ est une
base orthonormale locale directe, l'�toile de Hodge est d�finie
de la fa�on suivante :
\begin{eqnarray*}
\ast : \Lam^2 TX \to \Lam^2 TX\\
e_i\land e_j \to e_r \land e_s
\end{eqnarray*}
o�  $(i,j,r,s)$ est une permutation paire de (1,2,3,4).
Par ailleurs  
via l'isomorphisme entre  $\Lam^*TX\otimes \Cc$ et $\clif$,
le sous-espace $\Lam_+^2TX\otimes i\Rr$  s'identifie avec
 les endomorphismes de $S^+$
hermitiens de trace nulle.


\paragraph{Op�rateur de Dirac.}
Soit $\psi$ un spineur, c'est � dire une section
du fibr� $S$, et $\na$ une connexion
sur $S$. 
La d�riv�e $\na \psi$ est une section  de $\Ga( T^*X \otimes S)$.
On peut, en utilisant l'identification entre $T^*X\otimes \Cc$ et $\clif$, 
d�finir maintenant l'op�rateur de Dirac 
$\di: \Ga( S) \to \Ga( S).$
L'op�rateur envoie une section de $S^\pm$
sur une section de $S^\mp$. 
En coordonn�es, on trouve 
$$ \di \psi = \sum_{i=1}^{4} e_i\cdot \nabla_{e_i}\psi.$$


\paragraph{L'application quadratique $q$.}
Soit $\psi$ un spineur positif, c'est � dire 
une section de $S^+$. 
Le spineur d�finit une 2-forme autoduale $q(\psi)$ \`a valeurs
complexes pures (ou
un endomorphisme de $S^+$ hermitien de trace nulle) en posant
$$ q (\psi) = \psi \otimes \bar \psi - \frac{|\psi|^2}{2} \id.$$
Dans une base locale de $S^+$, si $\psi = (\al,\beta)$, on a 
$$ q (\psi) = \frac{1}{2}\left( \begin{array}{cc}
				|\al|^2-|\beta|^2  & 2\alpha \bar \beta\\
				2\bar \alpha \beta   &-( |\alpha|^2-|\beta|^2)
				\end{array} \right).
$$
\subsection{Les �quations}
Soit $X$ une vari�t� compacte orient�e riemannienne munie
d'une structure de $\spic$. On appelle $Q$ 
le fibr� d�terminant associ�, et $\Ga^+\times \ba$ le produit
$\Ga( S^+) \times \ba(Q)$.  Pour toute 2-forme $h$ autoduale, 
les �quations  perturb�es  de Seiberg-Witten
ont pour inconnues un spineur positif  $\psi$ 
et une connexion unitaire  $A$ sur $Q$ :
\begin{eqnarray*}
(\psi, A) & \in & \Ga^+\times \ba\\
\di \psi& =& 0\\
F^+_A &=& q(\psi)+ ih,
\end{eqnarray*}
o� $F^+_A$ est la partie autoduale de la courbure de 
la connexion $A$. 
\vskip 2mm


\subsection{Les �quations r�elles}
Les �quations r�elles de Seiberg-Witten que
nous d�finissons sont les m\^emes, sauf que l'on 
impose � $\psi$ et $A$ d'\^etre
invariants par les involution $\ka_S$ et
$\ka_\ba$ construites pr�c�demment; 
si 
\beq
r \Ga^\pm &= &\{\psi \in \Ga^\pm, \ \ka_S \psi = \psi\}\\
r \ba & = & \{A \in \ba(Q), \ \ka_\ba(A) = A\}\\
a \Om^* & =& \{\om \in \Om^*(X,\Rr),\  \ka_\Om \om = - \om\}
\eeq
les �quations  $E_h(\si, c)$ sont d�finies par  
\begin{eqnarray*}
(\psi, A) &\in &r\Ga^+\times r\ba\\
\di \psi& = &0\\
F^+_A &= &q (\psi)+ ih,
\end{eqnarray*}
o� $h$ est une 2-forme auto-duale anti-$c$-r�elle, 
c'est � dire $h \in a \Om^2_+  $. 
On notera $M_h (\si,c)$ l'ensemble
des solutions de $E_h(\si,c)$.
\paragraph{Groupe de jauge.}
Le sous-groupe $r\mathcal G \subset \mathcal G$ 
agit sur l'espace $r\Ga^+\times r\ba$
de la fa�on suivante :
$$ f \ .\  (\psi, A) = (g\psi,\   A +gd(g^{-1})).$$
Il est facile de v�rifier qu'il 
laisse invariant  $M_h(\si, c)$. Par ailleurs
le stabilisateur d'un �l�ment $(\psi, A)$ est trivial
si $\psi$ n'est pas le spineur nul, et est �gal � $\Zz_2$
sinon. Dans le premier cas on dira que le couple
$(\psi, A)$ est irr\'eductible.
 Enfin, on note 
$\bm_h (\si,c)$ l'ensemble des classes d'�quivalences
de $M_h(\si,c)$ sous l'action de $r\mathcal G$.



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%L'espace de modules%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\subsection{Propri�t�s de l'ensemble des solutions}

\subsubsection{Le th�or�me principal}
%Avant d'\'enoncer le th\'eor\`eme principal, nous devons d\'efinir 
%des les �quivalents de $b^1$ et $b^+$ pour notre situation:

	\begin{defi}
	On appelle $a\bh^1$ (resp. $a\bhd$) l'espace
	des 1-formes (resp. 2-formes autoduales) 
	r�elles harmoniques anti-$c$-r�elles, i.e 
	$a\bh^1= \bh^1 \cap a\Om^1$ (resp. $a\bhd = \bhd \cap a\Om^2$).
	\end{defi}

		\begin{theo}
		Soit $(X,\ c,\ g)$ une vari�t� r�elle compacte 
		telle que $\dim a\bhd >0$. 
		Alors pour toute 2-forme 
		$h$ anti-$c$-r�elle autoduale g�n�rique,
		et toute  structure 
		de $\spic$ $c$-r�elle $\si$,  
		l'espace $\bm_h(\si,c)$ est une vari�t� compacte orient�e
		de dimension 
		$$d= \dim a\bh^1 - \dim a\bhd  + \frac{1}{8}(c_1(Q)^2 - \tau),$$
		o� $\tau$ est la signature de $X$ et $Q$ le fibr� d�terminant
		de $\si$.  
		\end{theo}
Si $d$
est strictement positive, choisissons un point base
dans $X$, et soit $r\mathcal G_0$ l'ensemble des 
�l�ments de $r\mathcal G$ valant $1$ en ce point. 
Soit $\bm^0_h(\si, c)$ le quotient 
de $M_h(\si,c)$ par ce sous-groupe. Alors la projection
$\bm^0$ sur $\bm$ d�finit un fibr� $\un$-principal. 
Notons $\mu$ la premi�re classe de Chern de ce fibr�.
Nous pouvons maintenant d�finir les invariants
r�els de Seiberg-Witten. 
	\begin{defi}
	$\bullet$ Si la dimension $d$ ci-dessus est strictement n�gative ou impaire, 
	$SW_h(\si,c) = 0$.\\
$	\bullet$ Si $d$ est nul, $SW_h(\si,c)$ 
	est le nombre 
	le nombre d'�l�ments de $\bm_h(\si, c)$ compt�s avec 
	leur signe.\\
	$\bullet$ 
	Si $d$ est strictement positive et paire,  	
	$$SW_h(\si,c) = \int_{\bm_h(\si,c)}\mu^{d/2},$$
	\end{defi}
		\begin{prop}
		Si $\dim a\bh^2_+>1$, l'invariant d�fini ci-dessus 
		est ind�pendant de la perturbation $h$ 
		et de la m�trique pour laquelle $c$ est isom�trique.
		On appelle $SW(\si,c)$ cet entier relatif.
		De plus, si $f$ est un diff�omorphisme sur $X$ on la relation :
		$$SW(\si, fcf^{-1}) = SW(f^*\si, c).$$
		\end{prop}


Nous allons d�montrer ce th�or�me en plusieurs temps. 
D'abord nous analyserons les probl�mes d'indices, 
ensuite celui de la transversalit�, et enfin celui 
de la compacit�.

\subsubsection{L'indice}
Le lemme suivant, bas� sur les relations
de covariances du lemme 3,
 �tablit la covariance des �quations
de Seiberg-Witten sous l'action des involutions $\ka_S$ et$\ka_\ba$.
		\begin{lemme}
		Soit l'application $f$ d�finie par 
		 \beq
		f : \Ga^+\times \ba \times \Om^2_+ &\to&\Ga^- \times i\Om^2_+\\ 
		(\psi,\ A,\  h)&\mapsto& (\di \psi,\  F^+_A -q (\psi)-i h).
 		\eeq
		On a alors $ f \circ (\ka_S,\ka_\ba,\ka_\Om) = (\ka_S, \ka_\Om)\circ f$. 
		On peut donc  d�finir par restriction
			l'application :
		$$ f_r :
		r\Ga^+\times r\ba \times a\Om^2_+ \to r\Ga^- \times ia\Om^2_+ ,$$
		\end{lemme}
	\bpr[du lemme]Rappelons en effet que 
$\na \psi$ est � valeurs dans $T^*X \otimes S^+$, et
$\di$ fait simplement  agir 
multiplication de Clifford  de $T^*X$ sur $S^+$. On a donc
$$\di = A_\al \cdot\id + \sum_{i=1}^{4}\om_{i,j}\cdot e_i \cdot e_j.$$
Gr\^ace au lemme 3, on obtient  que $\ka_S \di = \di \ka_S$.
Pour la deuxi�me coordonn�e de l'application, il suffit d'abord 
 de remarquer que 
d'une part $F_A =d A_\al$, ensuite que $(\ka_\Om F)^+ =\ka_\Om( F^+)$
puisque $c$ est une isom�trie. Montrons
enfin que $q\circ \ka_S = \ka_\Om \circ q$. On a 
$ q (\psi) = \psi \otimes \bar \psi - |\psi|^2 \id$, 
ce qui donne 
$$
q (\ka_S \psi) = \ka_S \psi \otimes \ov{\ka_S \psi} - |\ka_S \psi|^2 \id 
	     = \ka_\Om ( \psi \otimes \bar \psi) - c^*|\psi|^2\ka_\Om (\id)
	     =  \ka_\Om (q (\psi)).
$$	    
\epr
Etudions maintenant la lin�arisation de $f_r$. Remarquons d'abord
les �galit�s suivantes concernant les  tangents :
\beq
%T(\Ga^+\times \ba \times \Om^2_+(X,\Rr))  &=& \Ga^+ \times i\Om^1(X,\Rr) \times \Om^2_+\\
T(r\Ga^+\times r\ba\times a\Om^2_+) &=& r\Ga^+ \times ia\Om^1\times a\Om^2_+\\
T(r \Ga^- \times i a \Om^2_+) & = & r \Ga^- \times i a \Om^2_+.
\eeq
La lin�arisation de $f_r$ donne :
\beq
d f_r : T(r\Ga^+\times r\ba\times a\Om^2_+) &\to& T(r \Ga^- \times i a \Om^2_+)  \\ 
        (\psi', a, h')& \mapsto & 
(\di (\psi') -ia\cdot\psi\ ; \ (ida)^+ - 2q(\psi, \psi')-i h').
\eeq
L'alg�bre de Lie du groupe de jauge $r\mathcal G$ est par ailleurs
$ia\Om^0$.
Nous avons donc � calculer l'indice du complexe suivant, tir�
de la lin�arisation  en une solution
 $(\psi, A)$ de l'action de $r\mathcal G$ et des �quations r�elles
de Seiberg-Witten :
$$ 
ia\Om^0 \to  r\Ga^+ \times ia\Om^1\times a\Om^2
		\stackrel{df_r}{\longrightarrow} r \Ga^- \times i a \Om^2_+,$$
la premi�re fl�che �tant donn�e par 
$ f \mapsto (-f\psi, \ 2df,\  0).$
L'indice d'un op�rateur 
ne d�pendant que de la partie principale de l'op�rateur,
 le complexe elliptique pr�c�dent se r�sume en la somme
de deux complexes, 
$a\Om^0 \stackrel{d}	{\to} 
a \Om^1  \stackrel{d^+}	{\to} 
a \Om_+^2,$
et
$ 0 \to r\Ga^+ \stackrel{\di}{\to} r\Ga^-.$

Afin de calculer l'indice du second complexe,  on remarque
que la mutliplication complexe � droite sur $\Ga^+$
envoyant $\psi$ sur $\psi.i$ envoie
$r\Ga^{\pm}$ sur $a\Ga^{\pm}$. Cette application
est lin�aire et inversible, et commute 
avec l'op�rateur $\di$. On obtient donc 
$ \ind D_{A|r\Ga^+}= \frac{1}{2} \ind \di.$


En ce qui concerne l'indice du premier complexe, nous 
avons le 
		\begin{lemme}L'indice du complexe 
		$a\Om^0 \stackrel{d}	{\to} 
				a \Om^1  \stackrel{d^+}	{\to} 
		a \Om_+^2$
		est �gal � 
		$ -\dim a\bh^1 + \dim a\bhd$.
		\end{lemme}
	\bpr
L'indice du complexe est �gal � la somme altern�e 
des dimensions des groupes de cohomologie 
associ�s � la suite. Le premier groupe est 
simple � calculer : si $f$ est une fonction 
v�rifiant � la fois $df = 0$ et $c^*f=- f$, 
$f$ est la constante nulle. 

Si $\al$ appartient � $\coker d_{|a\Om^0} \cap \ker d^+$, alors 
$\al$ est orthogonale � $d(a\Om^0)$. Si $f$ est une fonction
quelconque � valeurs r�elles, $f=f_r + f_a$, o�
$c^*f_r = f_r$ et $c^*f_a =-f_a$. On a alors
$$(\al, df) = (\al, df_r) = (c^*\al, c^*df_r) 
= (-\al, df_r) =0.$$
Cela signifie que $\delta \al = \star d \star \al = 0$.
Puisque $2 d^+\al = d\al +  d\star \al$, 
 $\al$ est en fait harmonique. Le second groupe de
cohomologie est donc $a\bh^1$.

Calculons maintenant le troisi�me groupe de 
cohomologie du complexe. Si $\om \in a\Om_+^2$ 
est dans $\coker d^+_{|a\Om^1}$, on d�montre
comme pr�c�demment qu'il est en fait
orthogonal � $d^+\Om^1(X,\Rr)$, ce qui
 ajout� � l'autodualit� de $\om$ implique
que $\om$ est harmonique, et que le troisi�me
groupe est $a\bh^2_+$.
	\epr
\subsection{Transversalit�}
Tout comme dans le cas classique, on d�montre
d'abord gr\^ace au th�or�me de Sard-Smale que pour 
une perturbation $h$ g�n�rique,  $\bm_h(\si,c)$
est une vari�t� lisse de la dimension $d$, aux points \textit{irr�ductibles}.
L'�l�ment � v�rifier dans notre cas est que $df_r$ est surjective
aux solutions  irr�ductibles de $E_h(\si,c)$.
Ensuite, l'�limination des solutions irr�ductibles
se fait par le lemme suivant, o� la condition
$\dim a \bh^2_+>0 $
est utilis�e.

\begin{lemme}
Si $\dim a \bh^2_+ >0 $, 
alors pour toute perturbation $h$ g�n�rique,
pour toute structure $\si$ de $\spic$ r�elle, 
il n'y a pas de solution r�ductible de $E_h(\si,c)$.
\end{lemme}
\bpr
S'il existait une solution r�ductible, on 
aurait $F_A^+ = ih$, avec $A$ et $ih$ 
$c$-r�els. En �crivant $A = A_0 + ia$, avec $a\in a\Om^1$
et $A_0$ une connexion base sur le fibr� d�terminant, on constate
que  l'image par $F_A^+$ de l'ensemble des solutions
r�elles r�ducibles est un espace affine. Si la perturbation
autoduale $ih$ est orthogonale
� cette image, on d�montre comme pr\'ec\'edemment que $h$ est 
 harmonique.
La codimension de l'image est donc $\dim a\bh_+^2$.
\epr

\subsection{Orientation}
Nous renvoyons au livre de Morgan [Mo] pour 
la discussion sur l'orientation dans le cas classique,
et qui s'applique \textit{mutatis mutandis} � notre situation. 
Nous ne donnons que la 
\begin{prop}
Le choix d' orientations sur  $a\bh^1$ et
sur $a\bh^2_+$ d�termine une orientation
sur $\bm_h(\si,c)$ pour toute perturbation $h$.
\end{prop}

\subsection{Compacit�}
La compacit� des vari�t�s $\bm_h(\si,c)$ 
se d�duit de la compacit� du cas classique
en remarquant que la condition d'\^etre
$c$-r�el est une condition ferm�e.




\subsection{Une involution dans la th�orie}
Tout comme dans le cas classique, 
on a gr\^ace � l'involution sur $\spic(X)$ d�crite au
paragraphe 1.1.3 la 
\begin{prop}
Soit $\si$ une structure de $\spic$ $c$-r�elle. Alors
$-\si$ est aussi $c$-r�elle, et de plus
$SW(\si, c) = \pm SW(-\si, c)$.
\end{prop}
\bpr
Si $c_\si$ est une involution antilin�aire d�finie sur $\si$, et
$\tau$ est l'application antilin�aire d�finie pr�c�demment
de $\si$ dans $-\si$, alors $c_{-\si}= \tau \circ c_\si \circ \tau$
d�finit une structure r�elle sur $-\si$. De plus l'application
\beq
\Ga^+(\si)\times \ba(Q) & \to &\Ga^+ (-\si)\times \ba(-Q)\\
			(\psi, A)& \mapsto& (\tau_S(\psi),\  A^*) 
\eeq
induit un isomophisme entre les solutions de 
$SW_h(\si,c)$ et celles de $SW_{-h}(-\si,c)$. On en d�duit le r�sultat.
\epr
\section{ Calcul de l'invariant pour une vari�t� symplectique}




Comme dans le cas classique, les travaux de Taubes
[Ta1] permettent de calculer
les invariants r�els 
de Seiberg-Witten
pour certaines structures de $\spic$ sur une vari�t�
symplectique r�elle.


\subsection{Structures de $\spi$ sur une vari�t� symplectique}
\subsubsection{Stucture canonique}
Soit $(X,\om,J)$ une vari�t� symplectique munie d'une
structure presque complexe $J$ compatible avec $\om$, c'est � dire
 $g= \om(.,J.)$ est une m�trique riemanienne. 
Gr\^ace � $J$, le groupe de transformation
$\SO$ de $P$ se r�duit � $\U$ et permet de d�finir
 une structure naturelle de $\spic$ $\si_0$. 
En effet, le plongement $j: \U \to \spic(4)$ d�fini par
$$
j(A) = \left( \begin{array}{cc}
				\begin{array}{cc}
				1 & 0 \\	  
				0 & \det A  
				\end{array}		& 0\\
				0 & A \\
	\end{array} \right)
$$
permet de relever les fonctions de transitions $\gab \in \U$
� des fonctions de transitions $\tgab \in \spic(4)$ d�finissant
une structure de $\spic$ $\si_0$, de fibr� d�terminant
le fibr� anticanonique $K^{-1}= \Lam^{0,2}$. Toutes les autres
structures de $\spic$ se d�duisent de la canonique par la 
\begin{prop}Soit $\bl$ un fibr� $\un$-principal sur $X$, et $L$ son
fibr� en droites complexes associ�. 
Alors  $\si_0 \otimes \bl$ est une structure de $\spic$ et on a les relations :
\beq 
S^+(L) &=& L \oplus K^{-1}\otimes L			\\
S^-(L) & = &\Lam^{0,1}\otimes L,\\
\det S^\pm(L) &= &  K^{-1}\otimes L^2.
\eeq
De plus, toute structure de $\spic$ est de la forme pr�c�dente.
\end{prop}

\subsubsection{Structures r�elles}
Nous pouvons, dans ce cadre, expliciter quelques structures naturelles. 
Donnons d'abord  l'action de l'alg�bre de Clifford $\Om(X,\Cc)$
sur $S^\pm(L)$. Si $e$ est un champ de vecteur
de $TX$ qu'on identifie avec  son
dual par la m�trique, et $s\in \Om^{0,*}$, 
on a 
$$ e.s = \sqrt 2 (e^{0,1}\land s - e^{0,1}\angle \psi),$$
o� $\angle$ est l'op�rateur de contraction. 


Ensuite soit $\nabla_{C}$ la connexion de Chern
sur $TX$. Cette connexion v�rifie 
$\nabla_{C}g = 0$ ainsi que $\nabla_C J = 0$. Sa torsion 
est exactement le tenseur de Nijenhuis, si bien que $\nabla_C$
est la connexion de Levi-Civit� dans le cas $\kah$.
$\nabla_C$ induit donc une connexion $A_0$ sur le fibr�
anticanonique. 


Supposons maintenant que la vari�t� symplectique est r�elle, 
c'est � dire qu'il existe une involution $c$ antisymplectique et 
$J$-antiholomorphe. 
Gr\^ace � la proposition pr�c�dente, on a  le 
\begin{lemme} 
Soit $\si = \si_0 \otimes \mathcal L$ une structure de $\spic$. 
Alors $\si$ est $c$-r�elle si et seulement si
$\bl$ est $c$-r�elle. En particulier, $\si_0$ est $c$-r�elle, et
la connexion $\naz$ est $c$-r\'eelle. Enfin, l'op�rateur
de Dirac $D_{A_0}$ v�rifie :
\beq
D_{A_0} : \Om^0 \oplus \Om^{0,2} &\to& \Om^{0,1}\\
		(\al, \beta) & \mapsto &\bar \partial \alpha + \bar \partial^* \beta
\eeq
\end{lemme}
	\bpr
Si $\ka_\bl$ est une involution $c$-r�elle sur $\bl$, 
l'application
\beq
\ka_S: \Ga^\pm(L) & \to &\Ga^\pm(L) \\
		\om \otimes s 	 & \mapsto &  \ka_\Om(\om)\otimes \ka_\bl(s)
\eeq
est une involution antilin�aire. 
 En remarquant que l'action de l'alg�bre explicit\'ee plus haut commute
avec $\ka_\Om$, on trouve que
 $\ka_\Om (\om\cdot \psi) = \ka_\Om(\om)\cdot \ka(\psi).$


La connexion de Chern $\nabla_C$ est proportionnelle
� $\nabla + \frac{1}{2}J\nabla J$. On en d�duit que tout comme
la forme de Levi-Civit�, $\nabla_C$ commute avec $\ka_\Om$. 
En utilisant le lemme 3, on trouve que
 $\ka_{\mathcal A} (A_0) = \ka_S A_0 \ka_S = 
\ka_\Om A_0 \ka_\Om = \ka_\Om^2 A_0= A_0$, et donc que $A_0$ est r�elle.
Enfin, on trouvera dans [Ni] tous les d�tails concernant 
la forme de Chern ainsi que la d�monstration de l'�galit�
entre $D_{A_0}$ et $\bar \partial  + \bar \partial^*$.
	\epr


		\subsection{Calcul de l'indice}
Rappelons que la dimension de l'espace
des solutions r�elles est
est �gale � $ -\dim a\bh^1 + \dim a\bhd + \frac{1}{2}\ind \di$.
Dans le cas d'une structure r�elle sur une vari�t� symplectique,
on a un calcul simple de la premi�re partie de l'indice :
		\begin{lemme}
		Soit $(X,\om, J, c)$ une vari�t� symplectique r�elle compacte
		de dimension 4.
		On a 
		$ \dim a\bh^1 = \frac{1}{2}b_1$ et 
	 	$\dim a\bhd = \frac{1}{2}(1+ b_+)$.
		
		\end{lemme}
	\bpr
 Pour calculer
la dimension de $a\bh^1$, remarquons que l'application
$$\al \mapsto J^*\al = \star (\om \land \al)$$  
�tablit un isomorphisme entre  $a\Om^1$ et $r\Om^1$.
En effet, si $c^*\al = \al$, on a 
$c^*(J^*\al) = - J^*c^*\al = 
-J^*\al.$
Maintenant si $\al$ est harmonique, 
$J^*\al$ l'est aussi, car $\om$ est 
harmonique. On a donc la d�composition
$$ \bh ^1 = a\bh ^1 \oplus r \bh ^1.$$
Cela implique d'une part que $b_1$ 
est pair, d'autre part que 
$\dim a\bh^1 = \frac{1}{2} b_1.$

 Il nous reste
donc � calculer la dimension de $a\bhd$. 
Pour cela, rappelons la d�composition
des 2-formes autoduales :
$$ 
\Om^2_+ (X, \Rr) = 
\Om^0(X, \Rr)\ .\   \om \oplus 
\Om^{0,2},
$$
o� $\om$ est la forme
symplectique et $  \Om^{0,2}$  l'espace (ici consid�r� comme
espace vectoriel sur $\Rr$) des (0,2)-formes complexes
sur $X$. 
Puisque $c$ est $J$-antiholomorphe,
l'application $\al \mapsto c^*\al$ envoie
$\Om^{0,2}$ sur $\Om^{2,0} = \Om^{0,2}$ en tant que espaces
r�els. Si $\al \in \Om^{2,0}$ est  anti-$c$-r�elle
et ferm�e, $J^*\al$ est $c$-r�elle, ferm�e
et reste dans $\Om^{2,0}$. On a donc un isomorphisme
d'espace r�els :
$$ 
   \Om^{2,0} \cap \ker d  = 
 a \Om^{2,0} \cap \ker d \oplus 
 r \Om^{2,0} \cap \ker d.
$$
L'�galit� $c^*\om = - \om$ implique alors que $a\bhd \cap \Rr \om = \Rr \om$.
On a donc $\dim a\bhd = 1 + \frac{1}{2} \dim (\Om^{2,0}\cap \ker d).$
Sachant que $\dim \bhd = 1 + \dim (\Om^{2,0}\cap \ker d),$
on obtient $\dim a\bhd =  \frac{1}{2} (1 + b_+ ).$
	\epr
		\subsection{Calcul effectifs des invariants}
Nous pouvons �noncer maintenant le th�or�me principal 
concernant les vari�t�s symplectiques :
\begin{theo} Soit $(X,\om,J,c)$ une vari�t� symplectique compacte r�elle,
v�rifiant $b_+ >1$, et $K$ 
son fibr� canonique. Alors $SW(\si_0,c) = \pm 1$ et 
$SW(\si_0\otimes K,c) = \pm 1$.
\end{theo}
\bpr
Remarquons d'abord que
la proposition 8 nous permet de ne d�montrer que la premi�re 
�galit�.
La preuve est pr�cis�ment celle du cas classique. Il 
faut simplement remarquer que les perturbations
choisies dans la preuve et la ou les solutions
\'el\'ementaires trouv\'ees sont $c$-r�elles. 
 Nous rappelons uniquement les id�es de la d�monstrations qui 
suffisent \`a \'etablir le r\'esultat.

La perturbation $h$ choisie est $ih = F^+_{A_0} - \frac{i}{4}\rho^2 \om$, o� $\rho$
est une constante strictement positive destin�e � \^etre
tr�s grande. La connexion
$A_0$ est $c$-r\'eelle, donc 
$\ka_\Om (F^+_{A_0}) = F^+_{A_0}$. Puisque de plus 
$c$ d\'efinit une structure r\'eelle
sur la vari\'et\'e symplectique, on a $\ka_\Om (\om) = - \om$, et
donc la perturbation choisie est $c$-r�elle. 
%
Les �quations �tudi�es sont donc, dans le cas plus g�n�ral o� $L$ n'est
pas forc�ment triviale:
\beq
(\psi, A) & \in & r\Ga^+\times r\ba\\
\di \psi& = &0\\
F^+_A &= &q (\psi)+ F^+_{A_0}-\frac{i}{4}\rho^2 \ \om,
\eeq
Sur le fibr� d�terminant $Q= K^{-1}\otimes L^2$, une connexion $A$ peut s'�crire
$A= A_0\otimes B^2$, o� $B$ est une connexion sur $L$.  On 
utilise $B$ comme nouvelle variable au lieu de $A$. 
Les �quations dans le cas symplectique presque complexe se transforment en :
\beq
((\al, \beta),B ) &\in  &r\Om^0 (L) \oplus r \Om^{0,2}(L) \times r\ba(L)\\
\del_B \al + \del_B^*\beta &=& 0 \\
(F_B^+)^{(1,1)} = \frac{i}{8} (|\al|^2 - |\beta|^2 - i\rho^2) \om \ & \text{et}& \ 
F_B^{(0,2)} = \frac{\bar \al \beta}{4}.
 \eeq
Si comme dans l'�nonc� 
$L$ est triviale, on a une solution
manifestement invariante par $\ka_S$ et $\ka_\ba$ de ces \'equations :
$$((\al, \beta), B) = ((\rho, 0), d).$$
On d\'emontre (cf. [Ta1]) que pour $\rho$ assez grand, 
c'est l'unique solution
modulo l'action de $\mathcal G$.
Or deux solutions $c$-r\'eelles $\mathcal G$-\'equivalentes
sont n\'ecessairement $r\mathcal G$-\'equivalentes,
ce qui finit de d\'emontrer le th\'eor\`eme.
\epr


Nous parasitons le difficile th�or�me de Taubes pour d�montrer :
\begin{theo}
Soit $(X,\om,J,c)$ une vari�t� symplectique compacte r�elle, 
v�rifiant $b_+ >1$ et $L$ 
un fibr� en droite $c$-r�el sur $X$.
Si $SW(\si_0\otimes \bl,c) \not= 0$, 
et $\bl \not=0$, alors il existe une
courbe $J$-holomorphe r�elle (a priori singuli\`ere et non connexe) repr�sentant
le fibr� $\bl$. 
\end{theo}
\bpr
Les arguments de Taubes d�velopp�s dans [Ta1] s'appliquent
enti�rement � notre situation. Il faut simplement
traduire g�om�triquement le fait qu'on a des solutions
r�elles.


Si l'invariant de Seiberg-Witten r\'eel $SW(\si,c)$ est non nul, 
alors pour toute
perturbation d\'efinie comme ci-dessus, c'est \`a dire pour
toute suite $\rho_n $ tendant vers 
l'infini, il existe une solution r\'elle
aux \'equations $((\al_n, \beta_n),B_n)$.
Taubes montre
d'une part que la courbure
$F_{B_n}$ converge au sens des courants 
vers une courbe $J$-holomorphe $C$ a priori singuli�re et
non connexe. D'autre part 
il montre que le lieu  des z\'eros de $\al_n$ tend au sens
de Hausdorff vers $C$. Les $\al_n$ �tant des sections
du fibr� $\bl$, $C$ est Poincar� duale � $\bl$.

On sait de plus que le spineur $(\al_n, \beta_n)$
est invariant par $\ka_S= \ka_\Om\otimes \ka_\bl$. En particulier  
$\ka_\bl \al_n = \al_n$, ce qui implique que pour tout $n$,
le lieu des z\'eros de $\al_n$ 
est invariant par $c$.  La limite au sens de Hausdorff, en l'occurence
$C$, l'est aussi, et 
le th\'eor\`eme est d\'emontr\'e.
\epr

\begin{coro}
Soit $(X,\om,J,c)$ une vari�t� symplectique compacte r�elle, 
v�rifiant $b_+ >1$. Alors 
le fibr� canonique est repr�sent� par une courbe r�elle.
\end{coro}

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                  
 \begin{thebibliography}{papousxxx}
\bibitem [Mo]{Mo}
     J.W. \textsc{Morgan},
     \emph{The Seiberg-Witten equations and applications to the topology of smooth four-manifolds},
      Mathematical notes, Princeton Univ. Press, Princeton, New Jersey, 1996.

\bibitem [Ni]{Ni}
    L.I. \textsc{Nicolaescu},
     \emph{Notes on Seiberg-Witten theory},
     Graduate Studies in Math. vol. 28, AMS, Providence, 2000.
  \bibitem[Ta1]{Oh2}
     C. \textsc{Taubes},
     \emph{$SW \Rightarrow GW$ : from the Seiberg-Witten invariant and symplectic forms},
      J. Amer. Math. Soc. 9 (1996), p. 845-919.
\bibitem[Ta2]{Oh2}
     C. \textsc{Taubes},
     \emph{$SW = GW$ : Counting curves and connections},
      J. Diff. Geom. 52 (1999), p. 453-609.

%\bibitem[Sa]{Ozs,Sza}
%     C. \textsc{Salmon}, 
%     \emph{My fucking proven�al kidness}, Annals of Literature (2004).
\bibitem[We]{We}
     J-Y. \textsc{Welschinger}
     \emph{Invariants of real symplectic 4-manifolds and lower bounds in real enumerative geometry}, arXiv :
mathAG/0303145 v1, 12 Mar 2003.
 \bibitem[Wi]{Wi}
     E. \textsc{Witten}
     \emph{Monopoles and 4-manifolds}, Math. Res. Lett. 1 (1994), p. 769-796.

 \end{thebibliography}

\textsc{D. Gayet: Math�matique, B\^atiment 425, Universit\'e de Paris Sud,
 91405 Orsay Cedex France.} 

E-mail : damien.gayet@math.u-psud.fr
\end{document}

math0404556.extracted_bib
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