AAA.tex
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\newcommand{\braket}[1]{\langle #1\rangle}
\newcommand{\kin}{-\frac{\hbar^2}{2m}  \nabla^2}
\newcommand{\oppdag}[2]{\hat{#1}^\dagger(t,\vec{#2})}
\newcommand{\opp}[2]{\hat{#1}(t,\vec{#2})}
\newcommand{\bog}{\hat{\Psi}(t,\vec{x})=\Phi(t,\vec{x}) \, + \, \varepsilon \hat{\psi}(t,\vec{x})\, + \, \ldots}
\newcommand{\zeit}{i\hbar \frac{\partial}{\partial t}}
\newcommand{\mad}{\sqrt{\rho(t,\vec{x})}e^{i\theta(t,\vec{x})}e^{-\frac{i\mu t}{\hbar}}}

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\begin{document}
\ifx\href\undefined\else\hypersetup{linktocpage=true}\fi


\bibliographystyle{plain}


          \include{Titel}

          \tableofcontents


          \frontmatter

                              \include{Kapitel0}

          \mainmatter

                    \part{Einf�hrung in die Bose-Einstein-Kondensation\label{kap1}}
                              \include{Kapitel1a}
                              \include{Kapitel1b}
                              \include{Kapitel1c}
                              \include{Kapitel1d}


                    \part{Einf�hrung in die Allgemeine Relativit�tstheorie\label{kap2}}
                              \include{Kapitel2}

                    \part{Das Bose-Gas als Gravitationsmodell\label{BECART}}
                              \include{Kapitel3a}
                              \include{Kapitel3b}

                    \part{Schwarze L�cher im Bose-Einstein-Kondensat\label{kapspeziell}}
                              \include{Kapitel4a}
                              \include{Kapitel4b}

                    \part{Das Universum im Bose-Einstein-Kondensat\label{kapuniversum}}
                              \include{Kapitel5}

                    \part{Zusammenfassung und Ausblick\label{kapalles}}
                              \include{Ende}


          \appendix

          \part{Anhang}



                    \include{AnhangA}
                    \include{AnhangB}
                    \include{AnhangC}
                    \include{AnhangD}
                    \include{AnhangE}


          \backmatter


          \listoffigures
 %         \listoftables
          \bibliography{Referenzen}

          \include{Danke}

\end{document}
AnhangA.tex


\chapter{Quantenmechanische Streuprozesse}
Quantenmechanische Streuprozesse unterscheiden sich von klassischen Streuprozessen insofern, dass der Prozess nicht deterministisch
ist. Es k�nnen nur Wahrscheinlichkeiten f�r die einzelnen Streuwinkel angegeben werden.

\section{Reduziertes Zwei-Atom-Problem \label{Schwerpunktsystem}}
Sind zwei Atome durch ein Potential $V(\vec{r}_{12})$ verbunden, wobei $\vec{r}_{12}$ der Abstand ist,
kann das System zu einem Ein-Teilchen-Problem reduziert werden.
          \begin{figure}[h]
          \input{externpot2.pstex_t}
          \caption[Reduziertes Zwei-K�rper-Problem]
          {\label{externpot}Die Bewegung zweier wechselwirkender Atome zueinander kann auf die Bewegung eines Teilchens um den Schwerpunkt des Systems
          mit der \textit{reduzierten Masse}
          $\mu={m_1 m_2}/{m_1 + m_2}$, im �u�eren Potential beschrieben werden.}
          \end{figure}
Die Bewegung im Schwerpunktsystem wird bestimmt durch
          \begin{equation}  \label{Hrel}
                    \hat{H}_{rel}=\frac{1}{2\mu}\nabla_{\vec{r}_{12}}^2+ V(\vec{r}_{12}),
          \end{equation}
wobei hier $m_1=m_2=m$, und damit die Masse des Schwerpunkts $\mu=m/2$,
$\vec{r}_{12}=\vec{r}_{2}-\vec{r}_{1}$, der Verbindungsvektor und der Relativimpuls
$\vec{p}_{12}=\vec{p}_{2}-\vec{p}_{1}$ als Ausgangspunkt f�r das
Korrespondenzprinzip\footnote{Das Korrespondenzprinzip ersetzt in der Hamilton-Funktion
Observablen durch Operatoren, hier Impuls durch Impulsoperator
$\vec{p}_{12}\rightarrow \frac{\hbar}{i}\nabla_{\vec{r}_{12}}$. }
verwendet wurde.

\section{Streuung zweier Atome \label{streuergebnisse}}
Um die Streuung zweier Atome zu beschreiben, bleiben wir in dem zuvor eingef�hrten Schwerpunktsystem, in welchem die Relativbewegung durch die Dynamik
eines Zustandes beschrieben werden kann.
F�r ein zeitunabh�ngiges Potential sei der gestreute station�re Zustand $\psi(\vec{r}_{12})$ ein Eigenzustand zum relativen
Hamilton-Operator $\hat{H}_{rel}$ mit den positiven Eigenwerten $E=\hbar^2k^2/2\mu$.
Die Schr�dinger-Gleichung f�r das Problem l�sst sich dann schreiben als
          \begin{equation}  \label{scatt1}
                    \left(\Delta+k^2 \right) \psi(\vec{r}_{12})= \frac{2\mu}{\hbar^2}V(\vec{r}_{12})\psi(\vec{r}_{12}).
          \end{equation}
Zus�tzlich zu den gestreuten Zust�nden k�nnen auch gebundene Zust�nde auftreten.
Zur L�sung dieser inhomogenen Differentialgleichung ist die
integrale Form von Gl.(\ref{scatt1})
          \begin{equation}  \label{scatt2}
                    \left(\Delta+k^2 \right) \psi(\vec{r}_{12})=\int d^3\vec{r}_{12}' \frac{2\mu}{\hbar^2}V(\vec{r}_{12}')\psi(\vec{r}_{12}')\delta(\vec{r}_{12}-\vec{r}_{12}').
          \end{equation}
aufschlussreich. Dies ist eine Differentialgleichung mit einer $\delta$-Distribution als Inhomogenit�t.
Die L�sungen solcher Differentialgleichungen sind bekannt, sie k�nnen mit Hilfe von sogenannten Greenschen Funktionen direkt angegeben werden.
Die $\delta-Distribution$ auf der rechten Seite von Gl.(\ref{scatt2}) wird dazu durch
          \begin{equation}  \label{green}
                    \left(\Delta+k^2 \right)\psi_G(\vec{r}_{12})=\delta(\vec{r}_{12}-\vec{r}_{12}')
          \end{equation}
ersetzt. Man bezeichnet die L�sung $\psi_G=-\frac{1}{4 \pi}\frac{e^{ik \vert\vec{r}_{12}-\vec{r}_{12}'\vert}}{\vert\vec{r}_{12}-\vec{r}_{12}'\vert}$
als Greensche Funktion zum Differentialoperator $\left(\Delta+k^2 \right)$.\\
Um die vollst�ndige L�sung $\psi(\vec{r}_{12})$ zu erhalten, muss zuvor noch die L�sung der homogenen Differentialgleichung $\psi_0(\vec{r}_{12})$
addiert werden. F�r diese muss 
          \begin{equation} \label{hompsi}
                    \left(\Delta+k^2 \right)\psi_0(\vec{r}_{12})=0
          \end{equation}
gelten. Der gestreute Zustand ist dann
          \begin{equation}  \label{inhompsi}
                    \psi(\vec{r}_{12})=\psi_0(\vec{r}_{12})-\frac{2 \mu}{4 \pi \hbar^2}\int{d^3\vec{r}_{12}'
          \frac{e^{ik \vert\vec{r}_{12}-\vec{r}_{12}'\vert}}{\vert\vec{r}_{12}-\vec{r}_{12}'\vert}}V(\vec{r}_{12}')\psi(\vec{r}_{12}').
          \end{equation}\\
Bei der homogenen L�sung $\psi_0(\vec{r}_{12})=exp(i\vec{k}\vec{r}_{12})$ handelt es sich um eine einlaufende freie Welle, wobei
die partikul�re L�sung eine auslaufende Kugelwelle darstellt.














AnhangB.tex
\chapter{Berechnungen der hydrodynamischen Gleichungen\label{anhanghydro}}

\section{Berechnung der einzelnen Terme}
Hier werden die Terme aus Gl.(\ref{GPE2mitdelta})
         \begin{equation} \nonumber
                    \begin{split}
                    i\hbar\partial_t \sqrt{\rho_0 + \varepsilon\rho_1}e^{i(\theta_0 +  \varepsilon \theta_1 )}
                    =&\left( \kin + V_{ext}(\vec{x}) \right) \sqrt{\rho_0 + \varepsilon\rho_1}e^{i(\theta_0 +  \varepsilon \theta_1 )}\\
         &+ \left( N_0 g \left\vert \sqrt{\rho_0 + \varepsilon\rho_1}\right\vert^2
                    \right) \sqrt{\rho_0 + \varepsilon\rho_1}e^{i(\theta_0 +  \varepsilon \theta_1 )}
                    \end{split}
          \end{equation}
berechnet.

\paragraph{\fbox{$i\hbar\partial_t \sqrt{\rho_0 + \varepsilon\rho_1}e^{i(\theta_0 +  \varepsilon \theta_1 )}$}}
          \begin{equation} \nonumber
                    \begin{split}
                    =e^{i(\theta_0 +  \varepsilon \theta_1 )}\sqrt{\rho_0 + \varepsilon \rho_1} \times
                    &\left[ -\hbar \dot{\theta}_0 \right. \\
                    &\left. -\varepsilon   \hbar \dot{\theta}_1 \right]\\
          +i\frac{e^{i(\theta_0 +  \varepsilon \theta_1 )}}{\sqrt{\rho_0 + \varepsilon \rho_1}} \times
                    &\left[ +\frac{\hbar}{2} \dot{\rho}_0 \right. \\
                    &\left. +\varepsilon \frac{\hbar}{2}\dot{\rho_1} \right]\\
                    \end{split}
          \end{equation}

\paragraph{\fbox{$\kin \sqrt{\rho_0 + \varepsilon\rho_1}e^{i(\theta_0 +  \varepsilon \theta_1 )}$}}
          \begin{equation} \nonumber
                    \begin{split}
                    =e^{i(\theta_0 +  \varepsilon \theta_1 )}\sqrt{\rho_0 + \varepsilon \rho_1} \times
                    &\left[ +\frac{\hbar^2}{2m}(\nabla \theta_0)^2 \right. \\
                    &\left. +\varepsilon   \frac{\hbar^2}{m} \nabla\theta_0 \nabla\theta_1 \right.\\
                    &\left. +\varepsilon^2 \frac{\hbar^2}{2m} (\nabla \theta_1)^2 \right]\\
          +i\frac{e^{i(\theta_0 +  \varepsilon \theta_1 )}}{\sqrt{\rho_0 + \varepsilon \rho_1}} \times
                    &\left[ \frac{\hbar^2}{2m} \nabla(\rho_0 \nabla\theta_0) \right. \\
                    &\left. -\varepsilon  \frac{\hbar^2}{2m} \nabla(\rho_1 \nabla \theta_0 + \rho_0 \nabla \theta_1) \right.\\
                    &\left. -\varepsilon^2 \frac{\hbar^2}{2m} \nabla(\rho_1 \nabla \theta_1) \right]
                    \end{split}
          \end{equation}
In den Rechnungen konnte der Term
          \begin{equation} \nonumber
                    \frac{\nabla^2\sqrt{  \left( \rho_0 + \varepsilon \rho_1 \right) }}
                               {\sqrt{\rho_0 + \varepsilon \rho_1}}
          \end{equation}
mit der \textit{Thomas-Fermi-N�herung}
           \begin{equation} \label{fermithomas}
                    \frac{\nabla^2 \sqrt{ \left( \rho_0 + \varepsilon \rho_1 \right) }}
                               {\sqrt{\rho_0 + \varepsilon \rho_1}}
                    \approx  \frac{\nabla^2\sqrt{  \left( \rho_0 \right) }}
                               {\sqrt{\rho_0 }} \approx \frac{\sqrt{\rho_{max}-\rho_{\infty}}}{\sqrt{2L\rho_{0}}}
          \end{equation}
vernachl�ssigt werden.
          \begin{figure}
          \begin{center}
          \input{thomasfermig.pstex_t}
          \caption[Thomas-Fermi-N�herung]{\label{thomasfermi}Darstellung der Gr��en, die in Gl.(\ref{fermithomas})
          verwendet werden.}
          \end{center}
          \end{figure}

\paragraph{\fbox{$V_{ext}+N_0 g (\rho_0+\varepsilon \rho_1) \sqrt{\rho_0 +
                 \varepsilon\rho_1}e^{i(\theta_0 +  \varepsilon \theta_1 )}$}}
          \begin{equation} \nonumber
                    \begin{split}
                    =e^{i(\theta_0 +  \varepsilon \theta_1 )}\sqrt{\rho_0 + \varepsilon \rho_1} \times
                    &\left[ V_{ext}+N_0 g\rho_0 \right.\\
                    &\left. +\varepsilon N_0g\rho_1 \right]
                    \end{split}
          \end{equation}

\section{Die Kontinuit�ts- und Hamilton-Jakobi-Gleichung.}

Die Gleichungen werden einerseits nach Real - und Imagin�rteil und andererseits in die verschiedenen Ordnungen aufgeteilt.
\begin{description}
\item[Realteil mit $\varepsilon^0$]
          \begin{equation} \label{hamjakobi0}
                    \dot{\theta_0}=-\frac{\hbar}{2m}(\nabla \theta_0)^2 - \frac{\hbar}{V_{ext}}-\frac{N_0g}{\hbar}
          \end{equation}

\item[Realteil mit $\varepsilon^1$]
          \begin{equation} \label{hamjakobi1}
                    \dot{\theta_1}=-\frac{\hbar}{m}(\nabla \theta_0 \nabla \theta_1) - \frac{N_0 g}{\hbar} \rho_1
          \end{equation}
\item[Imagin�rteil mit $\varepsilon^0$]
          \begin{equation} \label{kontgl0}
                    \dot{\rho_0}=-\frac{\hbar}{m}\nabla(\rho_0 \nabla \theta_0)
          \end{equation}
\item[Imagin�rteil mit $\varepsilon^1$]
          \begin{equation} \label{kontgl1}
                    \dot{\rho_1}=-\frac{\hbar}{m}\nabla(\rho_0 \nabla \theta_1 + \rho_1 \nabla \theta_0)
          \end{equation}
\end{description}
Gl.(\ref{hamjakobi0}) und Gl.(\ref{hamjakobi1}) entsprechen dem quantenmechanischen Pendant der Hamilton-Jakobi-Gleichung
in der klassischen Mechanik.
Die beiden letzten Gleichungen sind die Kontinuit�tsgleichungen f�r das Kondensat Gl.(\ref{kontgl0}) und
Gl.(\ref{kontgl1}) f�r die St�rung.

AnhangC.tex
\chapter{WKB (Wentzel-Kramers-Brillouin)-Methode\label{WKB}}

Die ausf�hrliche Behandlung der WKB-Methode wird motiviert durch die h�ufige Anwendung in dieser Arbeit.
Der Grundgedanke ist, dass ein sich wenig �nderndes Potential den Erwartungswert - eines sich im Potential
bewegenden Teilchens - wenig beeinflusst.
Die Amplitude der Wellenfunktion kann in einer Taylor-Reihe entwickelt werden, wobei dessen Glieder in
h�herer Ordnung verschwinden.
Dieser Zusammenhang wird im Folgenden ausf�hrlich er�rtert.

\section{Aufenthaltswahrscheinlichkeit in einem �u�eren Potential}
Propagiert eine Welle in einem �u�eren Potential, �ndert sich die Wellenfunktion.

\subsection{Klassische Wellenfunktion in einem �u�eren Potential}
Die klassische Wellenfunktion wird beschrieben durch
          \begin{equation}
                    \phi_{kl}(x)=we^{-i\omega t}e^{ikx}.
          \end{equation}
Im konstanten Potential ist die Aufenthaltswahrscheinlichkeit
          \begin{equation} \label{prob}
                    P(x_2-x_1)=\int_{x_1}^{x_2}dx \phi_{kl}(x)^{\star}\phi_{kl}(x)=\int_{x_1}^{x_2}dx w^2=w \Delta x
          \end{equation}
�berall gleich gro� (Abb.(\ref{potentialkl})).
          \begin{figure}[h]
          \begin{center}
          \input{potentialkl.pstex_t}
          \caption[Klassische Wellenfunktion im Potential]
          {\label{potentialkl}Die linke H�lfte stellt eine Welle (schwarz) in einem
          konstanten �u�eren Potential (gr�n) dar. Die Aufenthaltswahrscheinlichkeit,
          das Teilchen in einem bestimmten Intervall zu finden, h�ngt nicht von dessen
          Lage, sondern nur von dessen L�nge ab. F�r ein ortsabh�ngiges Potential (rechte Seite)
          ist die Aufenthaltswahrscheinlichkeit nicht mehr unabh�ngig von $x$.
          Nahe an einem Minimum ist es wahrscheinlicher das Teilchen zu finden, als
          bei einem Maximum.}
          \end{center}
          \end{figure}

Im Potentialtopf wird der Erwartungswert - Amplitude $w \equiv w(x)$ - ortsabh�ngig, w�hrend
die Wellenzahl $k$ unver�ndert bleibt.

\subsection{Quantenmechanischer Zustand in einem �u�eren Potential}

Die quantenmechanische Beschreibung eines Teilchens
          \begin{equation} \label{wkbzustand}
                    \phi_{qm}(x)=w(x)e^{-i\omega t}e^{i\int^{x} dx'k(x')}
          \end{equation}
gleicht der ebenen Welle, jedoch mit dem Unterschied, dass zus�tzlich die Wellenzahl $k \equiv k(x)$
vom Ort abh�ngt, wenn es sich in einem �u�eren Potential befindet (Abb.(\ref{potentialqm})).
          \begin{figure}[h]
          \begin{center}
          \input{potentialqm.pstex_t}
          \caption[Quantenmechanischer Zustand im Potential]
          {\label{potentialqm}F�r ein variierendes Potential (gr�n) �ndert sich auch der Zustand (schwarz).
          Die Wellenzahl und die Amplitude sind ortsabh�ngig.}
          \end{center}
          \end{figure}



\section{Die WKB-N�herung}
Ist die �nderung mit dem Ort schwach, kann in Gl.(\ref{wkbzustand}) die Amplitude $w(x)$ durch
          \begin{equation} \label{expandw}
                    w(x)=w_{0}+\varepsilon w_{1}+...\, ,
          \end{equation}
eine Taylor-Reihe entwickelt werden, vorausgesetzt, die Terme h�herer Ordnung k�nnen vernachl�ssigt werden.


\section{G�ltigkeit der WKB-N�herung}
Die WKB-N�herung ist g�ltig, wenn $ w_1 \ll w_0 $ ist. In der Talyor-Reihe sind die Terme der Ordnung $n$
proportional zur $n$ten Ableitung.
Die erste Ableitung der Amplitude nach dem Ort ist
          \begin{equation}
                    \partial_x \phi(x)=\left( \frac{w(x)'}{w(x)}+ik(x)\right) \psi(x),
          \end{equation}
damit f�r
          \begin{equation} \label{wkbgut}
                    \frac{w'}{w} \ll k,
          \end{equation}
d. h., wenn
sich die Amplitude nur wenig mit dem Ort �ndert.

AnhangD.tex
\chapter{Quelltext f�r Programme}

\section{Programm zur Simulation einer Ebenen-Welle im ringf�rmigen Kondensat\label{einewelle}}
\begin{verbatim}


% Festlegung der Konstanten

anzahl=10000;            % Anzahl der diskreten Schritte.
const=1;             % Es gilt: v_s*c^2=const
xanfang=0;
xende=2*pi;
omega=10;             % Frequenz
b=0.3;                 % Konstante f�r die Dichtefunktion. Es gilt: 0<b<1


% Hauptteil

x=linspace(xanfang,xende,anzahl);       % x-Werte
dichte_s=(1+b*cos(x));                  % Dichte
v_s=(const./dichte_s);                  % Hintergrundgeschwindigkeit

% Berechnung der Amplituden:
faktor(1,:)=1./sqrt(abs(v_s-(-v_s+sqrt(dichte_s))*omega)); % f�r entgegenlaufende Welle
faktor(2,:)=1./sqrt(abs(v_s-(-v_s-sqrt(dichte_s))*omega)); % f�r mitlaufende Welle

% Berechnung der Koordinaten:
w(1,:) =1./(-v_s+sqrt(dichte_s));       % f�r entgegenlaufende Welle
w(2,:) =1./(-1)*(-v_s-sqrt(dichte_s));  % f�r mitlaufende Welle

% Berechnung der Ereignishorizonte:
EH1=acos((const^(2/3)-1)/b)
EH2=2*pi-EH1

% Berechnung der Wellenzahl:
integrand=-omega.*w ;
deltax=(xende-xanfang) / anzahl;
for j = 1:2
    integral(j,:)=cumsum(integrand(j,:))*deltax; % Nummerische Integration
 end

% Berechnung der ebenen Wellen:
phase(1,:)= faktor(1,:).* cos(integral(1,:));
phase(2,:)= faktor(2,:).* sin(integral(2,:));
neuphase(1,:)= faktor(1,:).* real(exp(i*omega*integral(1,:)));

% Berechnung der y-Werte f�r die Geraden durch den Ereignishorizont
g=linspace(-2000,2000,1000);
l=linspace(-5,5,1000);

% Plotten der Funktionen:
% Schall- und Hintergrundgeschwindigkeit
subplot(3,1,1)
    plot(x,sqrt(dichte_s),'b',x,v_s,'r',EH1,l,'k',EH2,l,'k')
    axis([xanfang xende 0 2])

% Wellenzahl f�r beide Wellen
subplot(3,1,2)
    plot(x, integrand(1,:),'r' ,x, integrand(2,:),'b',EH1,g,'k',EH2,g,'k')
    axis([xanfang xende -2000 2000])

% Ebene Wellen
subplot(3,1,3) %
    plot(x,phase(1,:),'r',x,phase(2,:),'b',EH1,l,'k',EH2,l,'k')
    axis([xanfang xende -5 5])

% Vergr��erung eines Ausschnitts aus dem vorhergehenden Plot
    figure
    plot(x,phase(1,:),'r',x,phase(2,:),'b',EH1,l,'k',EH2,l,'k')
    axis([EH1-0.01 EH1+0.01 -2 2])
\end{verbatim}

\section{Programm zur Simulation eines Wellenpakets im ringf�rmigen Kondensat\label{simulationwellenpaket}}
\begin{verbatim}

% Festlegung der Konstanten

sigma=0.1;            % Standardabweichung
k0=3;               % Max. des Wellenpakets im Impulsraum (t=0)
X0=3;              % Max. des Wellenpakets im Ortsraum (t=0)

Xmin=2;
Xmax=6;
NX=1000;            % Anzahl der Intervalle im Ortsraum
Kmin=0;
Kmax=3;
NK=NX;              % Anzahl der Intervalle im Impulsraum
Tmin=0;
Tmax=-19;
NT=50;              % Anzahl der Intervalle im Zeitraum

% Hauptteil

% Diskretisierung der R�ume:
n=1:NX;
Xi=Xmin+(n-1)/(NX-1)*(Xmax-Xmin);
DX=(Xmax-Xmin)/(NX-1);
Kj=Kmin+(n-1)/(NK-1)*(Kmax-Kmin);
DK=(Kmax-Kmin)/(NK-1);
t=1:NT;
Tn=Tmin+(t-1)/(NT-1)*(Tmax-Tmin);
DT=(Tmax-Tmin)/(NT-1);

% Berechnung der ebenen Wellen (siehe vorheriges Kapitel)
const=1;
vs=const/(1+b*cos(X0)^2);
rhos=(1+b*cos(X0));
A=sqrt(abs(vs-(-vs+sqrt(rhos))));
a=1/(-vs+sqrt(rhos));

dichte_s=(1+b*cos(X0));
v_s=(const./dichte_s);
EH1=acos((const^(2/3)-1)/b)
EH2=2*pi-EH1
AX=sqrt(abs(v_s-(-v_s+sqrt(dichte_s))));
aX=1./(-v_s+sqrt(dichte_s));
FX=cumsum(aX)*DX;

% Fourier-Analysen:
% Fourier-Koeffizienten im flachen Raum (siehe Gl.(9.35))
Psi=1/sqrt(sigma)*exp(-(Xi-X0).^2/(2*sigma)).*exp(i*k0*Xi);

EE=[];
MM=[];
GG=[];
for nn=1:NK
    % Fourier-Koeffizienten im "normalen" Flachen im Implusraum (siehe Gl.(9.37))
    EE=[EE;exp(-i*Kj(nn)*Xi*a)];
    % zur Vorbereitung der Fourier-Analyse im gekr�mmten Raum
    % in einer Zeile sind die Frequenzen konstand, in einer Spalte die Wellenzahl
    GG=[GG;exp(i*Kj*FX(nn))./AX(nn)];
end

% Berechnung der Fourier-Koeffizienten im fast flachen Raum (siehe Gl.(9.37))
FTPsi=(exp(i*Kj*Xmin*a).').*(A*a/pi*EE*Psi.')*DX;

M=moviein(NT);  % Grafische Darstellung
for ct=1:NT
   % Fourier-Analyse in der Zeit (siehe Gl.(9.34))
   Psixt=GG*(FTPsi.*exp(-i*Kj*Tn(ct)).');
   plot(Xi,abs(Psixt).^2)
   M(ct)=getframe;
end
\end{verbatim}


AnhangE.tex
\chapter{L�sung der Bogoliubov-Gleichungen f�r das ringf�rmige Kondensat
durch Fourier-Transformation \label{rechnungen}}

\section{Berechnung von $f_{np}$}

\paragraph{\fbox{$f_{np}=\frac{1}{2 \pi}\int_0^{2 \pi} d\gamma e^{-i(n-p)\gamma}c(\gamma)^2$}}
Die Schallgeschwindigkeit $c_{\gamma}$ ist (siehe Gl.(\ref{ringschall}))
$$ \tilde{c}_0=\sqrt{\frac{\tilde{U}}{N}\rho(\gamma)}=\sqrt{\frac{\tilde{U}}{N}\left( 1 + b cos(\gamma) \right)}. $$
        \begin{equation} \nonumber
         \begin{split}
          \frac{1}{2 \pi}\int_0^{2 \pi} d\gamma e^{-i(n-p)\gamma}\tilde{c}_0^2(\gamma)
          &= \frac{1}{2 \pi}\frac{\tilde{U}}{N}\int_0^{2 \pi} d\gamma e^{-i(n-p)\gamma}\left( 1 + b cos(\gamma) \right)\\
          &= \pm \frac{\tilde{U}}{2\pi}\int_0^{2\pi} d\gamma e^{-i(n-p)\gamma}
           \pm  \frac{\tilde{U}\,b}{2\pi} \int_0^{2 \pi} d\gamma e^{-i(n-p)\gamma} cos(\gamma)\\
          &= \pm  \frac{\tilde{U}}{(2\pi)} \delta_{n,p}
          \pm \frac{\tilde{U}}{(2\pi)^2} \int_0^{2 \pi} d\gamma \frac{1}{2}e^{-i(n-p)\gamma}e^{i\gamma}
          \pm \frac{\tilde{U}}{(2\pi)^2} \int_0^{2 \pi} d\gamma \frac{1}{2}e^{-i(n-p)\gamma}e^{-i\gamma}\\
          &= \frac{\tilde{U}}{2\pi}\left( \delta_{n,p} + \frac{b}{2}\delta_{n,p+1}+ \frac{b}{2}\delta_{n,p-1}\right)
          \end{split}
   \end{equation}


\section{Berechnung von $h_{np}^{\pm}$}




\paragraph{\fbox{$\frac{1}{2 \pi}\int_0^{2 \pi} d\gamma e^{-i(n-p)\gamma}p\tilde{v}_0(\gamma)$}}

Die Hintergrundgeschwindigkeit $v_{\gamma}$ ist Gl.(\ref{ringv})
$$ v(\gamma)=m^{\star}\frac{\sqrt{1-b^2}}{(1+bcos(\gamma)}. $$
Mit
          \begin{equation} \label{dichteinreihe}
          \begin{split}
                    \frac{1}{1+b\, cos(\gamma)}
                    =&\sum_m (-b\,cos(\gamma))^m= \\
                    \sum_m \left( -\frac{b}{2} \right)^m \left( e^{i\gamma}+e^{-i\gamma} \right)^m
                    =&\sum_m \left( -\frac{b}{2} \right)^m \sum_{k=0}^m {m \choose k}
                    e^{i\gamma(m-k)e^{-i\gamma k}}
          \end{split}
          \end{equation}
folgt
   \begin{equation} \nonumber
   \begin{split}
   \frac{1}{2 \pi}\int_0^{2 \pi} d\gamma e^{-i(n-p)\gamma}p\tilde{v}_0(\gamma)&
   =\frac{1}{2 \pi}p\, m^{\star}\,\sqrt{1-b^2}\,\sum_m \left( -\frac{b}{2} \right)^m \sum_{k=0}^m {m \choose k}
   \int_0^{2 \pi} d\gamma e^{-i(m-2k-(n-p))\gamma}\\
   &= \frac{1}{2 \pi}p\, m^{\star}\,\sqrt{1-b^2}\,\sum_m \left( -\frac{b}{2} \right)^m \sum_{k=0}^m {m \choose k}
   \left\{
          \begin{split}
              2 \pi \,\,\,\,\,\,\,\,& f"ur \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,k=\frac{m-(n-p)}{2} \\
              0     \,\,\,\,\,\,\,\,& sonst
          \end{split}
   \right.\\
   &=p\, m^{\star} \sqrt{1-b^2}\alpha_{s=p-n},
   \end{split}
   \end{equation}
mit
          \begin{equation}  \label{alpharing}
                    \alpha_{s=p-n}=\sum_{\begin{array}{c}
                                                  m\\
                                                  m \geq \vert s \vert,\\
                                                  mit\, m+s \, gerade
                                        \end{array}}
                    \left( -\frac{b}{2} \right)^m
                    {m \choose (m+s)/2}
          \end{equation}


\paragraph{\fbox{$\frac{1}{2 \pi}\int_0^{2 \pi} d\gamma e^{-i(n-p)\gamma}\frac{1}{2} \tilde{v}_0(\gamma)'$}}

   \begin{equation} \nonumber
         \begin{split}
          \frac{1}{2 \pi}\int_0^{2 \pi} d\gamma e^{-i(n-p)\gamma}\frac{1}{2} \tilde{v}_0(\gamma)'
          &=\frac{1}{2 \pi}\left[e^{-i(n-p)\gamma}\tilde{v}_0(\gamma)  \right]_0^{\pi}
          -\frac{1}{2 \pi} \frac{1}{2} \int_0^{2 \pi} d\gamma e^{-i(n-p)\gamma}(-i(n-p))\tilde{v}_0(\gamma)\\
          &= -\frac{1}{2}i(n-p)\,m^{\star} \sqrt{1-b^2}\,\,\alpha_{s=p-n}
         \end{split}
   \end{equation}






\paragraph{\fbox{$\frac{1}{2 \pi}\int_0^{2 \pi} d\gamma e^{-i(n-p)\gamma}\frac 12 \frac{\tilde{c}_0(\gamma)''}
                    {\tilde{c}_0(\gamma)}$}}

            
            \begin{equation}  \label{betaring}
                    \beta_{s=p-n}=\sum_{\begin{array}{c}
                                                  m\\
                                                  m \geq \vert s \vert,\\
                                                  mit\, m+s \, gerade
                                        \end{array}}
                    \left( -\frac{b}{2} \right)^m
                    {m \choose (m+s)/2}(m+1)
          \end{equation}
















Ende.tex


In allen drei Kondensaten - zigarrenf�rmig, ringf�rmig und frei expandierend - konnte eine effektive
Metrik eingef�hrt werden.
Das zigarren - und ringf�rmige Kondensat sind geeignete Systeme zur Simulation eines Schwarzen
Lochs.
Eine injizierte Dichtemodulation, die gegen die Stromrichtung des Fluids propagiert,
divergiert am Ereignishorizont. Dieser Effekt kann im Experiment nachgewiesen werden.
Ohne �u�ere Einwirkung werden Phononen emittiert.
Diese Strahlung entsteht aus dynamischen Instabilit�ten, die durch gebundene Zust�nde im
Inneren des Schwarzen Lochs hervorgerufen werden.
Die hier verwendete Bogoliubov-N�herung verliert jedoch nach kurzer Zeit ihre G�ltigkeit.
Das Zeitfenster f�r die Messung der Strahlung ist daher nicht unbegrenzt.
Die Beantwortung der Frage, ob es sich bei dieser Strahlung um Hawking-Strahlung handelt, ist schwierig.
Zum einen bleibt offen, ob es sich um lokale, oder globale Strahlung handelt. Die Hawking-Strahlung
eines Schwarzen Lochs ist lokal an den Ereignishorizont gebunden. Die angeregten Moden im Kondensat
treten �berall auf. Es bleibt aber zu pr�fen, ob die Amplitude der Strahlung vom Ort abh�ngt.
Sie m�sste �berall, au�er am Ereignishorizont, verschwindend klein sein.
Komplizierter ist das Problem der Stabilit�t. Schwarze L�cher werden in der Gravitationsphysik als
weitgehend stabil betrachtet. Instabil erzeugte Teilchen k�nnen als kleine Korrektur zur
eigentlichen Strahlung betrachtet werden, d. h. die Zeitskala ist gro� gegen�ber der Zeitskala
f�r stabile Hawking-Strahlung.\\

Das frei expandierende Kondensat kann als dynamisches Modell eines flachen Universums verwendet werden.
Es wurde die Metrik f�r eine sich radial ausbreitende Kondensatwolke bestimmt.
Unter der Bedingung, dass die Dichte in einem hinreichend gro�en Bereich ann�hernd konstant ist, und
einer Einschr�nkung in der Zeitdauer, ist es theoretisch m�glich das de-Sitter-Universum im
Bose-Einstein-Kondensat zu simulieren. In der Arbeit von Garay \cite{garay2} wird
gezeigt, dass die Analogie zum de-Sitter-Universum erst ab drei Dimensionen m�glich ist.
Die Frage, ob im frei expandierenden Kondensat Phononen erzeugt werden, bleibt offen.
In diesem Zusammenhang k�nnte versucht werden, dem Spektrum der Quasiteilchen eine Temperatur zuzuweisen.
Mit einem solchen Modell k�nnten verschiedene Szenarien f�r unser Universum im Labor getestet werden.
�hnliche Anstrengungen wurden in \cite{fischer} verfolgt. Dort wurde f�r ein oszillierendes Kondensat
die Strahlung berechnet. Es stellte sich heraus, dass ein zweidimensionales Kondensat stabil ist,
w�hrend im dreidimensionalen Fall Phononen erzeugt werden.


Kapitel0.tex
\chapter{Einleitung}

In den letzten Jahren hatte sich herausgestellt, dass zwischen den
Bose-Einstein-Kondensaten (BEC) und Objekten aus der Allgemeinen Relativit�tstheorie (ART)
eine Analogie besteht \cite{cirac1}.
Die Bose-Einstein-Kondensation konnte erstmals von Anderson et al. (1995) \cite{anderson} experimentell �berpr�ft werden.
Seitdem sind in Experiment und Theorie gro�e Fortschritte zu verbuchen.
Die Voraussetzungen, Kondensate in vielen verschiedenen Konfigurationen herzustellen,
wurden m�glich.
Anhand dreier solcher Kondensate - zigarrenf�rmig, ringf�rmig und frei expandierend - wird in
dieser Arbeit die Verkn�pfung zur Gravitationsphysik gezeigt.
Es k�nnen zwei Eigenschaften im BEC, die aus der Physik in gravitativen Feldern
bekannt sind, im Kondensat entdeckt werden.
Die Bewegungsgleichung einer von au�en angeregten St�rung kann im hydrodynamischen Limes mit einer effektiven
Metrik formuliert werden. Abh�ngig vom gew�hlten Kondensat kann die Metrik einem
Objekt aus der Allgemeinen Relativit�tstheorie zugeordnet werden, z.B. einem Schwarzen
Loch und dem de-Sitter-Universum.
Au�erdem kann gezeigt werden, dass in Anwesenheit dynamischer Instabilit�ten Moden im Kondensat
angeregt werden. Es handelt sich dabei um Quasiteilchen, den Phononen, die paarweise mit positiver und
negativer Energie erzeugt werden.\\

In den ersten beiden Kapiteln werden die Grundlagen zur Bose-Einstein-Kondensation
und der Allgemeinen Relativit�tstheorie behandelt.
Der Hauptteil beginnt mit Kapitel (\ref{BECART}), der Verifizierung des Zusammenhangs
zwischen BEC und Gravitation.
Im Anschluss daran werden drei spezielle Kondensate analysiert.
In Kapitel (\ref{kapspeziell}) wird f�r das zigarrenf�rmige und das ringf�rmige Kondensat
die Metrik berechnet und mit der eines Schwarzen Lochs verglichen.
In beiden Systemen wird gezeigt, dass Instabilit�ten auftauchen und wie diese sich mit der
Zeit entwickeln.
In Kapitel (\ref{kapuniversum}) ist das System ein frei expandierendes Kondensat.
Es wird eine Metrik gesucht, die das
de-Sitter-Universum beschreibt.
Am Ende der Kapitel (\ref{kapspeziell}) und (\ref{kapuniversum}) werden die
Ergebnisse jeweils zusammengefasst.
Den Schlu�punkt setzt eine kurze Diskussion aller erzielten Resultate und ein Ausblick darauf, was
aktuell in der Forschung von Interesse ist.  










Kapitel1a.tex

          \chapter{Das ideale Bose-Gas}
                    Als ideal bezeichnet man ein Gas, bei welchem die Atome nicht miteinander wechselwirken. Nehmen wir zus�tzlich an, die Atome sind in einem
                    �u�eren Potential, so k�nnen sie nur bestimmte Energiewerte annehmen (Abb. \ref{bosonenfermionen}). \\
                              %\begin{minipage}[h]{154mm}
                              \begin{figure}[h]
                              \begin{center}
                              \input{bf.pstex_t}
                                        \caption[Bosonen und Fermionen im Potentialtopf]{\label{bosonenfermionen}Beim �bergang von der klassischen Beschreibung (a) eines Gases in den
                                        quantenmechanischen Formalismus treten zwei
                                        Sorten von Teilchen auf. W�hrend die Bosonen\footnotemark[1] (b) jeden Zustand beliebig oft besetzen k�nnen, ist es
                                        zwei Fermionen\footnotemark[2] (c) nicht
                                        erlaubt, den gleichen Zustand einzunehmen. Zwei Fermionen mit der gleichen Energie m�ssen deshalb entgegengesetzten Spin haben.
                                        Auffallend ist, dass der Grundzustand\footnotemark[3]
                                        der Fermionen und Bosonen nicht bei $E=0$ liegt.}
                              \end{center}
                              \end{figure}
                              \addtocounter{footnote}{1}
                              \footnotetext[1]{Bosonen haben ganzzahligen Spin, hier werden jedoch nur Bosonen mit $s=0$ verwendet. }
                              \stepcounter{footnote}\footnotetext[2]{Fermionen haben halbzahligen Spin.}
                              \stepcounter{footnote}\footnotetext[3]{Der Grundzustand bezeichnet die niedrigst m�gliche Energiekonfiguration des Systems.}
                              %\end{minipage}
                    Von Interesse ist nun die Frage, wie die verschiedenen Energieniveaus bei gegebener Temperatur besetzt werden.
                    Diese \textit{Besetzungszahl} $n$ kann �ber das \textit{Gro�kanonische Potential} berechnet werden (Abb. \ref{grosskanonisch}).\\
                              \begin{figure}[h]
                              \begin{center}
                                        \input{waermebad.pstex_t}
                                        \caption[Physikalische Bedingungen f�r das \textit{Gro�kanonische Potential}]
                                        {\label{grosskanonisch}Das ideale Gas (A) befindet sich in einem viel gr��eren W�rmebad (B), wodurch eine konstante Temperatur erreicht wird.
                                        Ersteres ist damit im thermischen Gleichgewicht, wozu Energieaustausch vom Gas zum W�rmebad n�tig ist.
                                        Die Pfeile zeigen an, dass zus�tzlich Teilchenaustausch stattfindet.}
                              \end{center}
                              \end{figure}
                   �ber den Hamilton-Operator $\hat{H}$ f�r das aus $N$-Teilchen
                    bestehende Gas, kann die \textit{Dichtematrix $\hat \rho$ des gro�kanonischen Ensembles} bestimmt werden
                              \begin{equation}  \label{dichtematrix}
                                        \hat{\rho}=\frac{1}{Z_G}exp{\left[-\beta \left( \hat{H} - \mu \hat{N} \right)\right]},
                              \end{equation}
                    wobei $Z_G$ der Normierungsfaktor ist, der als \textit{Gro�kanonische Zustandssumme} bezeichnet wird.
                    Im Exponenten treten noch der Teilchenzahloperator\footnote{Der Teilchenzahloperator angewendet auf einen Zustand liefert die Anzahl
                    aller Teilchen.} $\hat N$,
                    $\beta={1}/{k_B T}$ mit der Temperatur $T$ und das chemische
                    Potential $\mu$ in Erscheinung.\\
                    Mittels Gl.(\ref{n}) ist es m�glich, die \textit{mittlere Besetzungszahl} $n(\epsilon_{\vec{l}})$
                              \begin{equation}  \label{n}
                                        n(\epsilon_{\vec{l}})=\frac{1}{e^{\left[\frac{1}{k_B T}(\epsilon_{\vec{l}}\,-\mu)\right]}-1}
                              \end{equation}
                    f�r einen Zustand mit der
                    Energie $\epsilon_{\vec{l}}$ bei einer bestimmten Temperatur $T$ zu bestimmen.
                    Oft wird in der Literatur eine Gr��e $z=exp({\mu}/{k_B T})$
                    eingef�hrt, wodurch sich f�r die mittlere Besetzungszahl
                              \begin{equation} \label{nz}
                                        n(\epsilon_{\vec{l}})=\frac{1}{z} e^{(\epsilon_{\vec{l}})}-1
                              \end{equation}
                    ergibt.\\
                    Als Vorbereitung f�r den folgenden Abschnitt sei noch darauf hingewiesen, dass die Summation der mittleren Besetzungszahl
                    �ber alle m�glichen Zust�nde die Teilchenzahl $N$ ergibt:
                              \begin{equation}  \label{N}
                                        N=\sum_{\vec{l}} n_{\vec{l}}\,.
                              \end{equation}

                    Es ist Gl.(\ref{n}) zu entnehmen,
                    dass mit abfallender Temperatur energetisch tiefer gelegene Niveaus bevorzugt werden. Um zeigen zu k�nnen,
                    was passiert, wenn die Temperatur gegen Null geht, wird als Beispiel ein einfaches Potential verwendet.


                              \section{Das ideale Gas im harmonischen Potential}
                                        Die Eigenwerte $\epsilon_{\vec{l}}$ des Gases im dreidimensionalen harmonischen Potential $\frac{1}{2}m \vec\omega^2\vec{x}^2$ sind
                                                  \begin{eqnarray} \label{l}
                                                            \epsilon_{\vec{l}}=l_x\hbar \omega_x + l_y\hbar \omega_y + l_z\hbar \omega_z & & l_{x,y,z}=0,1,2,3...
                                                  \end{eqnarray}
                                        wobei die Grundzustandsenergie $\epsilon_{\vec{0}}={\hbar}/{2}=(\omega_x +\omega_y + \omega_z)$ ist.\\


                                        Das weitere Vorgehen ist, $\epsilon_{\vec{l}}$ in Gl.(\ref{N}) einzusetzen, mit dem Ziel, zu berechnen, wie sich die Teilchen
                                        bei der Ann�herung an den absoluten Nullpunkt der Temperatur verhalten. Ein ausdruckstarkes Ma� daf�r ist das Verh�ltnis von
                                        Teilchen im Grundzustand $N_0$ zu den im Gas enthaltenen Teilchen $N$. Jene Teilchen, die nicht den Grundzustand bev�lkern, bezeichnet
                                        man als angeregte Teilchen $N'=N-N_0$. \\
                                        L�sst man bei der Summation in der Formel f�r die Gesamtteilchenzahl (\ref{N}) $\vec{l}=0$ weg, ergibt sich f�r
                                                  \begin{equation} \label{N'}
                                                            N'=\sum_{\vec{l}\neq 0}n_{\vec{l}}=\sum_{\vec{l}\neq 0}\left[ \frac{1}{z}exp(\beta l \hbar \omega)-1 \right]^{-1}
                                                            < \sum_{\vec{l}\neq 0}\left[ exp(\beta l \hbar \omega)-1 \right]^{-1} \equiv N_{max}'
                                                  \end{equation}
                                        eine nach oben abgegrenzte Anzahl an angeregten Atomen $N_{max}'$.
                                        Diese N�herung gilt, wenn $1/z$ gegen eins geht, also f�r
                                        $T$ gegen Null. Zuf�hrung von weiteren Teilchen ins Kondensat bewirkt eine direkte Anreicherung des Grundzustands.
                                         \noindent Die Grundzustandsenergie steckt im chemischen Potential $\mu$.\\

                                        Nach einigen Schritten\footnote{Eine ausf�hrliche Herleitung findet sich in \cite{BECcastin}.} ergibt sich
                                                  \begin{equation}
                                                            \label{N0N}
                                                            \dfrac{N_0}{N}\approx 1- \left(\dfrac{T}{T_c^0}\right)^3 ,
                                                  \end{equation}
                                        mit dem als \textit{kritische Temperatur} $T_c^0$ eingef�hrten Wert\footnote{$\zeta(3)=1.202...$}
                                                  \begin{equation} \label{Tc}
                                                            T_c^0=\frac{\hbar \omega}{k_B}\left( \frac{N}{\zeta(3)} \right)^{1/3}. \, 
                                                  \end{equation}
                                       


                                       Unterhalb der kritischen Temperatur $T_c^0$ findet damit eine Teilchenanreicherung im Grundzustand statt. Im n�chsten Abschnitt soll
                                       erkl�rt werden, warum es sich dabei um einen Phasen�bergang handelt.

                              \section{Der Phasen�bergang und sein Ordnungsparameter}
                                                  \begin{figure}[h] \begin{center}
                                                  \includegraphics*[width=15cm]{phasenuebergang.eps}
                                                  \caption[Bildung eines Bose-Einstein-Kondensats]
                                                  {\label{phasenubergang}Ob Teilchen - oder Wellencharakter h�ngt von der Temperatur ab: W�hrend f�r hohe Temperaturen (A) die Atome als kleine
                                                  Kugeln betrachtet werden k�nnen, nimmt das Atom f�r niedrige Temperaturen Wellencharakter an. Den Atomen kann
                                                  eine thermische de Broglie Welle (B) zugeordnet werden. Diese Wellenl�nge nimmt mit abnehmender Temperatur zu. Bei
                                                  $T_c$ beginnen die Wellenfunktionen sich zu �berlappen (C). Angekommen beim absoluten Nullpunkt der Temperatur bilden alle
                                                  Teilchen zusammen eine makroskopische Welle (D).}
                                                  \end{center} \end{figure}
                                        Jedem Atom kann eine thermische de Broglie-Wellenl�nge $\lambda_T=\sqrt{{2\pi\hbar^2}/{m k_B T}}$ zugewiesen werden.
                                        Der Vergleich dieser Gr��e mit den mittleren Abst�nden $l=\frac{\sqrt{{k_B T}/{m\omega^2}}}{N^{1/3}}$ im Gas zeigt, dass sich die de Broglie-Wellen
                                        oberhalb von $T_c$ nicht �berschneiden, unterhalb schon. Bei der kritischen Temperatur selbst stimmen die thermische Wellenl�nge und
                                        der mittlere Abstand ungef�hr �berein. Dieses Anwachsen von $\lambda_T$ unterhalb $T_c$ bewirkt ein kollektives Verhalten der Atome im Gas.\\

                                        Ein Phasen�bergang ist dadurch charakterisiert, dass eine Gr��e existiert, 
                                        die unterhalb der kritischen Temperatur endlich ist und oberhalb der kritischen Temperatur verschwindet \cite{statistischemechanik}. Diese Gr��e wird als Ordnungsparameter bezeichnet.
                                        Hier ist der Ordnungsparameter die makroskopische Wellenfunktion.\footnote{
                                        Der Exponent, welcher in Gl.(\ref{N0N}) auftritt und als \textit{kritischer Exponent} bezeichnet wird,
                                        weicht vom allgemeinen Fall ${N_0}/{N}\approx 1- \left({T}/{T_c^0} \right)^{3/2}$ -unendlich gro�er Potentialtopf - ab.}\\




                                        Generell ist aber auch die Frage zu beantworten, ob die Annahme eines idealen Gases hinreichend genau ist.
                                        Dazu verwenden wir experimentelle Daten und vergleichen sie mit den mathematischen Vorhersagen dieses Abschnitts.



                              \section{Der Vergleich mit dem Experiment \label{widerspruch}}
                                       Wird der Bruchteil der Atome im Kondensat �ber die Temperatur aufgetragen und mit Gl.(\ref{N0N}) verglichen,
                                       stimmt der theoretische mit dem gemessenen Wert hinreichend gut �berein.
                                       Auch wenn bei der kritischen Temperatur auff�llt, dass $T_{c_{exp}}^0$ unterhalb $T_{c}^0$ liegt.

                                                  \begin{figure}[h] \begin{center}
                                                  \vspace{-1.8cm}
                                                  \input{teilchen.pstex_t}
                                                  \vspace{-2.2cm}
                                                  \caption[Bruchteil der Atome im Kondensat]
                                                  {\label{vergleichNON}Die Punkte stellen die Versuchsergebnisse von Ensher et al. \cite{Ensher} dar, w�hrend
                                                  die gestrichelte Linie den mathematischen Vorhersagen f�r ein ideales Gas Gl.(\ref{N0N}) entspricht.}
                                                  \end{center}
                                                  \end{figure}



                                       Dies alleine reicht jedoch nicht aus, um zu beantworten, ob die Wechselwirkung im Gas vernachl�ssigt werden kann.
                                       Ein probates Mittel zum Vergleich ist dagegen die Gesamt\-energie E,
                                       da die Wechselwirkung $\rm E_{int}$ nur ber�cksichtigt werden muss, wenn sie einen nicht verschwindenden Beitrag zur Energie
                                       $E=E_{kin} + E_{ext} + E_{int}$ leistet.\\
                                       Im Versuch von Enscher et al. \cite{Ensher} wird ein Kondensat gebildet und das �u�ere Potential $E_{ext}$ nach einiger Zeit abgeschaltet.
                                       Die reduzierte Energie $E=E_{kin} + E_{int}$ wird in Abh�ngigkeit von der Temperatur gemessen. Die Durchf�hrung des
                                       Experiments ist jedoch mit der Schwierigkeit behaftet, dass sich ab dem Zeitpunkt der freien Expansion das Kondensat ausbreitet.
                                       Damit wachsen die Abst�nde zwischen den Atomen an, wodurch die Wechselwirkung abnimmt, deren Einfluss man messen
                                       m�chte.


                                                  \begin{figure}[h]
                                                  \vspace{-1.5cm}\begin{center}
                                                  \input{Energievergleich.pstex_t}
                                                  \vspace{-2.2cm}\caption[Energieabnahme unterhalb von $T_{c}^0$]
                                                  {\label{vergleichE}Die gestrichelte Linie zeigt den theoretisch erwarteten Verlauf der Energieabnahme f�r ein ideales Gas.
                                                  Dieser weicht von dem gemessenen Werten deutlich ab \cite{Ensher}.}
                                                  \end{center}
                                                  \end{figure}


                                       Oberhalb von $T_{c}^0$ ist eine gute �bereinstimmung zu erkennen, das Gas kann als hinreichend ideal betrachtet werden.
                                       Die Situation �ndert sich aber f�r Temperaturen unterhalb von $T_{c}^0$.\\
                                       Die Atome beginnen sich am untersten Energieniveau
                                       anzusammeln. Es wird also erwartet, dass sich die relative Energieabnahme
                                                  \begin{equation}
                                                            \frac{E}{Nk_BT} \propto \frac{(N-N_0)}{Nk_BT}=\left( 1-\frac{N_0}{N} \right)\frac{\hbar\omega}{k_B T}=\left(\frac{T}{T_c} \right)^3 \frac{\hbar\omega}{k_B T}
                                                  \end{equation}



                                       verh�lt. Betrachtet man jedoch Abb.(\ref{vergleichE}), 
                                       ist eine lineare Abnahme zu erkennen.

                                       Damit muss die Annahme eines idealen Gases aufgegeben werden.
                                       Im n�chsten Kapitel werden wir uns mit den nicht zu vernachl�ssigenden Wechselwirkungen besch�ftigen.
























Kapitel1b.tex

          \chapter{Das ann�hernd ideale Gas}

                    Die Widerspr�che zwischen Experiment und Theorie erfordern es, die Wechselwirkung zwischen den Teilchen des Gases zu
                    ber�cksichtigen.
                    Es handelt sich dann um ein \textit{reales Gas}. Im allgemeinen sind die Wechselwirkungen in einem
                    N-Teilchensystem sehr kompliziert, da jedes Teilchen auf jedes andere Einfluss nimmt.\\
                    Wir bewegen uns jedoch in Temperaturbereichen von $T<1\mu K$, in welchen fast alle sich im thermischen Gleichgewicht befindlichen Stoffe in
                    der fl�ssigen Phase vorliegen.

                    Dies kann nur umgangen werden, indem man zur Erzeugung von Bose-Einstein-Kondensaten extrem verd�nnte
                    Gase ($\rho < 10^{14}/cm^3$) verwendet\footnote{Zus�tzlich muss die K�hlung so rasch erfolgen, dass ein Erstarren verhindert wird.}.\\
                    Die Wechselwirkung findet im verd�nnten Gas wesentlich reduziert statt. Es sto�en immer nur zwei Teilchen gleichzeitig aneinander.
                    Damit kann die Wechselwirkung zwischen den Atomen als kleine St�rung zum idealen Gas betrachtet werden.
                    Die Spezifizierung des Begriffs {\glqq verd�nntes Gas\grqq} und dessen mathematische
                    Beschreibung ist Inhalt dieses Abschnitts.



                    \section{Ultrakalte verd�nnte Gase}

                              Es wird ein Gas betrachtet, dessen mittlerer Teilchenabstand gro� gegen�ber der Wechselwirkungsreichweite\footnote{Die Wechselwirkung zwischen
                              Atomen kann proportional zu $1/r^6$ beschrieben werden, wobei $r$ der Abstand sind. Damit ist die Reichweite unendlich. Aber es ist m�glich zu zeigen, dass
                              f�r Potentiale die st�rker als $1/r^3$ mit dem Abstand abfallen, die Annahme einer endlichen Wechselwirkung zul�ssig ist.}
                              ist. Damit k�nnen die Teilchen nur dann wechselwirken, wenn sie sich der Reichweite entsprechend ann�hern.



                                                  \begin{figure} \begin{center}
                                                  \input{verdgas.pstex_t}
                                                  \caption[Verd�nntes Gas]
                                                  {\label{verdgas}Das Bild zeigt eine schematische Darstellung eines verd�nnten Gases: Die Atomabst�nde liegen in einer Gr��enordnung von $d \sim 1000$ \AA\footnotemark,
                                                  die Wechselwirkungsreichweite der Atome kann als endlich angenommen werden und es finden haupts�chlich Zwei-Teilchen-St��e statt.  }
                                                  \end{center}  \end{figure}


                                                  \footnotetext{W. Ketterle \textit{et al.}\cite{Ketterle1} \ verwendeten zur Herstellung eines Bose-Einstein-Kondensats (1995)
                                                  ein verd�nntes Sodium-Gas, bestehend aus bis zu $5\cdot 10^{5}$ Atomen, mit einer Dichte von $10^{14}/cm^3$.
                                                  Mit $v \sim 1/d^3$ und $\rho = N_0/N$ kann damit der mittlere Abstand berechnet werden.}
                              In die Rechnungen werden also nur Zwei-Teilchen-Wechselwirkungen einbezogen.

                                        \subsection{Zwei-Teilchen-Wechselwirkung}
                                                  Wir betrachten zwei Atome im Schwerpunktsystem (\ref{Schwerpunktsystem}), die im Abstand $r_{12}$ voneinander entfernt sind.
                                                  Das Wechselwirkungspotential wird durch das \textit{Born-Oppenheimer-Potential} (Abb.(\ref{BornOppenheimer}))
                                                  beschrieben.
                                                  \begin{figure} \begin{center}
                                                  \vspace{-2.6cm}\input{bornpotential.pstex_t}\vspace{-1.8cm}
                                                  \caption[Born-Oppenheimer-Potential]
                                                  {\label{BornOppenheimer}Der Potential-Verlauf zwischen zwei Atomen wird vom relativen Abstand $r_{12}$ bestimmt.
                                                  Das Potential kann in drei Bereiche eingeteilt werden. F�r sehr kleine $r_{12}$ treten gebundene Zust�nde auf, ab
                                                  $r_{g}$ streuen die Atome aneinander und im Abstand $b$ voneinander dominiert der Van-der-Waals-Anteil mit $1/r^6$,
                                                  endet die Reichweite der Wechselwirkung.}
                                                  \end{center}  \end{figure}
                                                  In Abb.(\ref{BornOppenheimer}) ist dargestellt, dass f�r niedrige Temperaturen gebundene Zust�nde m�glich sind.
                                                  W�rde man das exakte Potential zur weiteren Berechnung verwenden, w�re der �bergang in die fl�ssige Phase unausweichlich.
                                                  Es muss daher ein anderes Modell gefunden werden, das keine gebundenen Zust�nde erlaubt und eine weitere mathematische
                                                  Erschlie�ung erm�glicht\footnote{Der exakte Potential-Verlauf ist f�r bestimmte Atome sehr schwer zu bestimmen und ein kleiner Fehler
                                                  im Potential kann zu gro�en Abweichungen im Resultat f�hren.}.

                                        \subsection{Das exakte Potential}
                                                 Als Ausgangspunkt dienen die Ergebnisse der \textit{quantenmechanischen Streuprozesse},
                                                 welche in Anhang (\ref{streuergebnisse}) kurz hergeleitet werden.


                                                            $$\psi(\vec{r}_{12})=\psi_0(\vec{r}_{12})-\frac{2 \mu}{4 \pi \hbar^2}\int{d^3 \vec{r}_{12}\,'
                                                            \frac{e^{ik \vert\vec{r}_{12}-\vec{r}_{12}\,'\vert}}{\vert\vec{r}_{12}-\vec{r}_{12}\,'\vert}}V(\vec{r}_{12}\,')\psi(\vec{r}_{12}\,')$$

                                                  Diese Gleichung beinhaltet auch die unerw�nschten Bindungprozesse und Mehrfach-Streuprozesse. Eine Entwicklung von
                                                  $\psi(\vec{r}_{12}\,')=\psi_0(\vec{r}_{12}\,')+ \mathcal{O}(\varepsilon)$ bis zur Nullten Ordnung f�r schwache Potentiale schafft Abhilfe.
                                                  Elastischen St��e k�nnen �ber
                                                            \begin{equation} \label{inhompsi2}
                                                                      \psi(\vec{r}_{12})=e^{i\vec{k}\vec{r}_{12}}-\frac{2 \mu}{4 \pi \hbar^2}\int{d^3\vec{r}_{12}\,'
                                                                      \frac{e^{ik \vert\vec{r}_{12}-\vec{r}_{12}\,'\vert}}{\vert\vec{r}_{12}-\vec{r}_{12}\,'\vert}}V(\vec{r}_{12}\,')e^{i\vec{k}\vec{r}_{12}\,'}
                                                            \end{equation}
                                                  berechnet werden. Abb.(\ref{swavescatt}) zeigt, dass die Streuung bei niedrigen Energien nur angewendet werden darf, wenn die Drehimpulsquantenzahl
                                                  Null ist.\footnote{Die Drehimpulsquantenzahl zeigt an, wie die Elektronenschalen besetzt sind. Bei $l=0$ darf die letzte besetzte Schale kein p-Orbital sein.}
                                                            \begin{figure} \begin{center}
                                                            \input{swavescatt.pstex_t}
                                                            \caption[Streuverhalten in Abh�ngigkeit der Drehimpulszahl $l$]
                                                            {\label{swavescatt}Im allgemeinen Fall ($l\neq 0$) muss das $V(r)$ (rot) auf ein effektives Potential $V_{eff}(r)=-V(r)+V_l(r)$ erweitert werden.
                                                            Der neue Term $V_{l}={\hbar^2 l(l+1)}/{2mr^2}$ erlaubt es nicht mehr, dass f�r kleine positive Energien gebundene Zust�nde ausgeschlossen
                                                            werden k�nnen.}
                                                            \end{center}  \end{figure}\\


                                                  Ber�cksichtigen wir, dass der mittlere Abstand $\vec{r}_{12}$ im verd�nnten Gas gro� gegen�ber - der als endlich angenommen - Reichweite $b$ ist,
                                                  gilt $\vec{r}_{12} \ll \vec{r}_{12}'$.
                                                  Folgende N�herung erm�glicht dies
                                                            \begin{equation}  \label{r-r'}
                                                                      \vert \vec{r}_{12}-\vec{r}_{12}' \vert= r_{12}-\vec{n}\vec{r}_{12}'+\mathcal{O}\left(\frac{1}{r_{12}}\right),
                                                            \end{equation}
                                                  wo $\vec{n}=\frac{\vec{r}_{12}}{r_{12}}$ die Streurichtung ist.\\
                                                  F�r sehr niedrige Temperaturen liegen im thermischen Gas die auftretenden Energien in der Gr��enordnung von $k_B T$.
                                                  Damit muss $k$ in $E={\hbar^2 k^2}/{2\mu}$ klein sein, womit das Produkt $kb \ll 1$ ebenfalls vernachl�ssigt werden kann.
                                                  Unter diesen Voraussetzungen h�ngt der gestreute Zustand nicht mehr von der Streurichtung ab, weil die Wellenl�nge gro� gegen�ber
                                                  den Details des Atompotentials ist.\\

                                                  Ein Einsetzen der Annahmen - kleine Energien, endliche Reichweite im stark verd�nnten System - in Gl.(\ref{inhompsi2}),
                                                  liefert
                                                            \begin{equation}  \label{scatta}
                                                                      \psi(\vec{r}_{12})=e^{ikr_{12}}-a\frac{e^{ikr_{12}}}{r_{12}}.
                                                            \end{equation}
                                                  Die neu eingef�hrte Variable $a$ bezeichnet man als Streul�nge, welche mit der Streuamplitude
                                                            \begin{equation} \label{Steuamplitude}
                                                                      f_{\vec{k}}(\vec{n})=-\frac{2\mu}{4\pi \hbar^2}\int d^3\vec{r}_{12}' e^{-ik\vec{n}\vec{r}_{12}'}V(\vec{r}_{12}')\psi_0(\vec{r}_{12}')
                                                            \end{equation}
                                                  wie folgt zusammenh�ngt
                                                            \begin{equation} \label{a}
                                                                      -a=\lim_{k\rightarrow 0}f_{\vec{k}}(\vec{n})=-\frac{2\mu}{4\pi \hbar^2}\int d^3\vec{r}_{12}'V(\vec{r}_{12}')\psi_0(\vec{r}_{12}').
                                                            \end{equation}

                                                  Anzumerken ist nochmals, dass $a$ nicht von der Streurichtung $\vec{n}$ abh�ngt, damit nur s-Wellen-Streuung betrachtet werden kann.\\

                                                  Die hier ber�cksichtigten Energien sind als sehr klein betrachtet worden.
                                                  L�sst man nun $k\rightarrow 0$ gehen, nimmt die Energie des zu streuenden Zustands ab.
                                                  Der Grenzfall eines Zustandes mit $E=0$
                                                            \begin{equation}  \label{scattE0}
                                                                      \psi_{E=0}=1-\frac{a}{r_{12}}
                                                            \end{equation}
                                                  kann zur numerischen Berechnung der Streuamplitude verwendet werden.\\

                                                  Das exakte Potential kann mit Gl.(\ref{scattE0}) berechnet werden. Stellvertretend daf�r wird ein Modell-Potential eingef�hrt.
                                                  Damit kann das Problem der gebundenen Zust�nde umgangen werden.\\
                                                  \noindent Hinzu kommt, dass die Born-Approximation nur f�r schwache Potentiale g�ltig ist,
                                                  was f�r Abst�nde gr��er als die
                                                  Reichweite $b$ des Potentials erf�llt ist, aber f�r kleine Abst�nde - dort wo gebundene Zust�nde auftreten k�nnen - nicht.\\
                                                  \noindent Der Versuch, das starke Potential f�r sehr kleine Abst�nde durch h�here Ordnungen
                                                  in der Born-Serie zu beseitigen, w�rde gebundene Zust�nde implizieren.\\
                                                  Es wird ein Modell-Potential gesucht, das mit dem Verhalten - abgesehen von den Bindungszust�nden -
                                                  �bereinstimmt.




                                        \subsection{Das Modell-Potential}
                                                  Die Idee f�r das Modell-Potential ist in Abb.(\ref{modellpot}) dargestellt.
                                                            \begin{figure} \begin{center}
                                                            \input{modellpot.pstex_t}
                                                            \caption[Schematische Darstellung des Modell-Potentials]
                                                            {\label{modellpot}Dargestellt ist ein beliebiges Potential, dessen Reichweite als endlich betrachtet werden kann.
                                                            Dieses f�r kleine $r_{12}$ komplizierte Potential wird durch ein Kontaktpotential ersetzt, dessen Radius mit der Lage
                                                            des letzten gebundenen Zustandes zusammenh�ngt.}
                                                            \end{center}  \end{figure}
                                                  \noindent
                                                  Es handelt sich dabei um ein \textit{Pseudo-Potential},
                                                            \begin{equation}
                                                                      \bra{\vec{r}_1\vec{r}_2}V_{int}\ket{\psi_{1,2}}\equiv g \delta(\vec{r}_1-\vec{r}_2) \left[ \frac{\partial}{\partial r_{12}}(r_{12}\psi_{12}(\vec{r}_1,\vec{r}_2)\right]_{r_{12}=0}
                                                            \end{equation}
                                                  das sich aus einem Kontaktpotential und einem Regularisierungs-Operator
                                                  zusammensetzt \cite{BECcastin}. Die \textit{Kopplungskonstante}
                                                            \begin{equation} \label{kopplungskonstante}
                                                                      g=\frac{4\pi \hbar^2}{m}a
                                                            \end{equation}
                                                  beinhaltet die einzige Bestimmungsgr��e - die Streul�nge - welche experimentell bestimmt wird.


                                                  Die Streul�nge h�ngt nicht von der Reichweite des Potentials ab. Es besteht aber eine direkte Verbindung mit der Position des
                                                  letzten angeregten gebundenen Zustands.
                                                  Dessen Energieniveaus zweiatomiger Molek�le h�ngen von den �berg�ngen zwischen den Schwingungszust�nden des Molek�ls ab.
                                                  Dabei schwingen die beiden Atome um den metastabilen Abstand $r_0$
                                                  (Abb.(\ref{BornOppenheimer}) gegeneinander, es bildet sich ein sog. \textit{Vibrationspektrum} aus.
                                                  In der \textit{Vibarationsenergie}
                                                            \begin{equation} \label{vibenergie}
                                                                      E_v=\left( \left( \nu_D-\nu \right) K(\mu,C_6) \right)^{1/3}
                                                            \end{equation}
                                                  kommen die \textit{Vibrationsquantenzahl} $\nu$ und die beiden Konstanten $K$ und $\nu_D$ vor.
                                                  Die Vibrationsquantenzahl kann ganze positive Zahlen gr��er Null $\nu=0,1,2,..$ annehmen und muss kleiner gleich
                                                  $\nu_D$ sein. Ein geradzahliges $\nu_D$ entspricht damit dem letzten gebundenen Zustand, bei welchem gleichzeitig die Trennung
                                                  des Molek�ls eintritt \cite{allaboutBEC}.\\
                                                  Eine exakte Berechnung der Streul�nge $a$ ergibt
                                                            \begin{equation}  \label{exakta}
                                                                      a=a_{sc}\left(1-\tan(\phi)\right),
                                                            \end{equation}
                                                  mit der Konstanten
                                                            \begin{equation} \label{a_sc}
                                                                      a_{sc}=\frac{\Gamma(3/4)}{2\sqrt{2}\Gamma(5/4)}\left(\frac{2\mu C_6}{\hbar^2} \right)^{1/4}
                                                            \end{equation}

                                                  und
                                                            \begin{equation}  \label{scttphi}
                                                                      \phi=\pi(\nu_D + 1/2).
                                                            \end{equation}

                                                  Mit $\nu_D$ und der Atommasse ist die Streul�nge fixiert. Durch Manipulationen an der Tiefe des Potentials
                                                  und der Masse ist es m�glich, die Streul�nge zu variieren (Abb.(\ref{scatt})).

                                                            \begin{figure} \begin{center}
                                                            \includegraphics*[width=10cm]{pg360.eps}
                                                            \caption[Abh�ngigkeit der Streul�nge von der Vibrationsquantenzahl]
                                                            {\label{scatt} Dargestellt ist die Streul�nge f�r $Rb_2$ (im Triplett-Zustand) Potential in Abh�ngigkeit
                                                            von $\nu_D$. Die Divergenzen stellen sich f�r geradzahlige $\nu=\nu_D$ ein.
                                                            Gro�e negative Werte von $a$ treten dann auf, wenn das Potential den n�chsten gebundenen Zustand gerade vermeiden kann.
                                                            F�r gro�e positive Werte ist es genau umgekehrt. Sie liegen vor, wenn das Potential stark genug ist,
                                                            den letzten gebundenen Zustand zu unterst�tzen \cite{allaboutBEC}.}
                                                            \end{center}
                                                            \end{figure}





                                                  In allen weiteren Berechnungen wird als Wechselwirkungspotential dieses Modell-Potential,
                                                  ein Kontakt-Potenial mit der Streul�nge $a$ als Radius, verwendet.
                                                  Damit ist es m�glich, die lokal abh�ngigen Wechselwirkungen durch ein mittleres Feld zu ersetzten.
                                                  
































Kapitel1c.tex

\chapter{Die Gross-Pitaevskii-Gleichung\label{vielteil}}

\section{Der Viel-Teilchen-Hamilton-Operator}
Die quantenmechanische Beschreibung eines Viel-Teilchen-System - in dem nur paarweise Wechselwirkung stattfindet -
erfolgt im Formalismus der zweiten Quantisierung\footnote{Zweite Quantisierung, weil analog zur ersten Quantisierung, bei
welcher die Observablen durch Operatoren ersetzt wurden, nun auch noch die Zust�nde durch Operatoren beschrieben werden.}.
In diesem ist es m�glich, Teilchen zu erzeugen bzw. zu vernichten. Einer Anregung aus dem Grundzustand entspricht
zum Beispiel eine Vernichtung eines Teilchens im Grundzustand, kombiniert mit einer Erzeugung eines Teilchens
im angeregten Zustand.
Diese Beschreibung eignet sich zur Analyse eines Anregungsspektrums.\\
Das Verhalten eines Teilchens an einem bestimmten Ort liefert der sog.
Feldoperator $\hat\Psi^{\dag}(\vec{x})$, der ein Teilchen bei $\vec{x}$ erzeugen bzw. vernichten kann.\\
Als Ausgangspunkt verwenden wir den gro�kanonischen Hamilton-Operator $\hat{K}=\hat{H}-\mu \hat{N}$ im Feldformalismus
          \begin{equation} \label{hamilton2teilchen}
                    \begin{split}
                    \hat{K} = \hat{H} - \mu \hat{N}=& \int{d^3 \, \vec{x}\oppdag{\Psi}{x}\left(\kin +V_{ext}(x)\right)\opp{\Psi}{x}} \\
                    +&\frac{1}{2}\int{d^3 \vec{x} d^3 \vec{x}' \, \oppdag{\Psi}{x}\oppdag{\Psi}{x'}V(x-x')\opp{\Psi}{x'}\opp{\Psi}{x}}.
                    \end{split}
          \end{equation}
Au�er der Zwei-Teilchen-Wechselwirkung wurden bislang keine weiteren Annahmen gemacht.
In den n�chsten Schritten werden zus�tzliche N�herungen f�r das ultrakalte verd�nnte Gas durchgef�hrt.
Das chemische Potential ist in $V_{ext}$ enthalten.

\section{Der Bogoliubov-Ansatz}
Hierbei handelt es sich um ein Verfahren zur Berechnung des Anregungsspektrums f�r Temperaturen $T \ll T_c$.
Es wird davon ausgegangen, dass sich fast alle Atome im Grundzustand befinden, also $N-N_0 \ll N_0\approx N$.
Der Grundzustand ist die makroskopische Wellenfunktion, die sich unterhalb der kritischen Temperatur ausbildet
und durch die komplexwertige Funktion $\Phi(\vec{x})$ in der N�herung (Gl.(\ref{bog})) zur Geltung kommt.
Anregungen k�nnen dann als Fluktuationen um den Grundzustand aufgefasst werden
und sind durch den Feldoperator $\delta\hat\Psi(\vec{x})$ beschrieben.
          \begin{equation}  \label{bog}
                    \bog \,\,.
          \end{equation}
Das $\varepsilon$ hebt hervor, dass die Anregungen klein sind.\\

Bevor nun mit diesem Ansatz weiter gerechnet wird, bedarf es einer Kl�rung bez�glich der komplexwertigen Funktion
$\Phi(\vec{x})$.

\subsection{Spontane Symmetriebrechung}
Wie schon erw�hnt, beschreibt $\Phi(\vec{x})$ den Kondensatanteil. Es wird angenommen,
dass der Feldoperator $\hat\Psi$ einen nichtverschwindenden endlichen Erwartungswert $\langle \hat\Psi \rangle=\Phi(\vec{x}) $ hat.
Der Erwartungswert der Fluktuationen sollte damit verschwinden $\langle \delta\hat\Psi \rangle=0 $.
Die Annahme eines nichtverschwindenden Erwartungswertes bringt jedoch eine Symmetriebrechung mit sich.\\
Es handelt sich um die Eichsymmetrie, welche verletzt wird. Diese fordert, dass der Hamilton-Operator
invariant gegen�ber derartigen
          \begin{equation} \label{symmetrie}
                    \Psi(\vec{x})\rightarrow \Psi(\vec{x})e^{i\alpha}
          \end{equation}
Transformationen mit der Phase $\theta_0$ ist.\\
Die Forderung, dass der Erwartungswert $\bra{0}\Psi(\vec{x})\ket{0}$ des Grundzustand $\ket{0}$ nicht verschwinden darf
verletzt die Eichinvarianz und damit die Symmetrie. Konvention ist, $\alpha=0$ zu w�hlen. \\
Bei der Behandlung der idealen Gase wurde gezeigt, dass es sich um einen Phasen�bergang handelt. Da jeder Phasen�bergang
zweiter Ordnung mit gebrochener Symmetrie verbunden wird, muss es sich spontan um einen solchen handeln.



\section{Die Mean-field-N�herung\label{meanfield}}
Nachdem die Bogoliubov-N�herung diskutiert wurde, kann diese
in den Hamilton-Operator (Gl.(\ref{hamilton2teilchen})) eingesetzt werden, 
wobei zun�chst f�r das Wechselwirkungspotential das Kontaktpotential eingesetzt wurde $V(\vec{x}-\vec{x}')=g\delta(\vec{x}-\vec{x}')$.
\noindent Dabei ergeben sich folgende Terme
          \begin{equation}\label{hbogoliubov}
                    \begin{array}{l}
                    \hat K=  \int{d^3\vec{x}\left( \Phi^*(\vec{x}) \hat{K}_0\Phi(\vec{x}) + \frac{g}{2}\vert \Phi \vert^4\right)} \\
                    +\varepsilon \int{d^3\vec{x}\left(  \Phi^*(\vec{x}) \hat{K}_0\delta\opp{\Psi}{x}  +g\Phi^*(\vec{x})\Phi^*(\vec{x})\Phi(\vec{x})\delta\opp{\Psi}{x}   + konjungiert \, komplex \right)} \\
                    +\varepsilon^2 \int{d^3\vec{x}\left( \delta\oppdag{\Psi}{x} \hat{K}_0 \delta\opp{\Psi}{x}
                    +\frac{g}{2}  \Phi^*(\vec{x})^2\delta \opp{\Psi}{x}^2+\frac{g}{2}\Phi(\vec{x})^2\delta \oppdag{\Psi}{x}^2
                    +2g\Phi(\vec{x})^2\delta\oppdag{\Psi}{x}^2  \right)}\\
                    +\varepsilon^3 g \int{d^3 \vec{x} \left( \Phi^*(\vec{x}) \delta \oppdag{\Psi}{x}\delta\opp{\Psi}{x} \delta \opp{\Psi}{x}+
                    \Phi(\vec{x}) \delta \oppdag{\Psi}{x} \delta \oppdag{\Psi}{x}\delta\opp{\Psi}{x}   \right)}  \\
                    +\varepsilon^4 \frac{g}{2} \int{d^3 \vec{x} \left( \delta \oppdag{\Psi}{x} \delta \oppdag{\Psi}{x}\delta \opp{\Psi}{x}\delta \opp{\Psi}{x}  \right)}
                    \end{array}
          \end{equation}
wobei $\hat{K}_0=\left(\kin +V_{ext}(x)-\mu\right)$ ist.


Die Terme dritter und vierter Ordnung in $\varepsilon$ k�nnen durch eine Mean-Feld-N�herung ersetzt werden.
Dazu wird das lokale Feld durch seinen Mittelwert,
also durch ein mittleres Feld ersetzt. Zum Beispiel wird aus
          $\delta\oppdag{\Psi}{x}\delta\opp{\Psi}{x} \delta\opp{\Psi}{x}\approx2\langle \delta\oppdag{\Psi}{x}\delta\opp{\Psi}{x}\rangle\delta\opp{\Psi}{x}+
          \langle\delta\opp{\Psi}{x} \delta\opp{\Psi}{x} \rangle \delta\oppdag{\Psi}{x} $.
Diese N�herung wird als Hartree-Fock-Bogoliubov-N�herung (HFB) bezeichnet \cite{Griffin}.\\
Vernachl�ssigt man weiterhin anomale thermische Dichten $\langle \delta\hat\Psi\delta\hat\Psi \rangle $, bekommt man die Popvo-N�herung,
die f�r Temperaturen bis zu $0.7\,T_c$ verwendet werden kann. Vernachl�ssigt man weiterhin alle thermischen Dichten
          $\langle \delta\hat\Psi\delta\hat\Psi^{\dag} \rangle $ erh�lt man die Gross-Pitaevskii-Gleichung, die als n�chstes untersucht wird.



\subsection{Die zeitunabh�ngige Gross-Pitaevskii-Gleichung}
In diesem Abschnitt wird der Grundzustand $\Phi_0$ des fast idealen Gases mit dem Ritzschen Variationsprinzip berechnet.
Die Forderung, dass alle Atome das niedrigste Energieniveau besetzen, wird als Nebenbedingung
          \begin{equation} \label{nb}
                    \int d^3x \vert \Phi(x)\vert^2=1
          \end{equation}
mit dem Lagrange Parameter $\lambda$ im Energiefunktional
          \begin{equation} \label{ritz1}
                    \langle \hat H_{nb} \rangle= \langle \hat H \rangle - \lambda N_0 \left( \int d^3x \vert \Phi(x)\vert^2-1\right)
          \end{equation}
ber�cksichtigt.\\
Als Hamilton-Operator kann Gl.(\ref{hbogoliubov}) verwendet werden, wenn man bedenkt, dass sich der gro�kanonische Hamilton-Operator
zu diesem reduziert, sobald alle Glieder mit $\mu$ weggelassen werden. Mit $\langle \delta\hat\Psi \rangle=0$ fallen bei der Berechnung
des Erwartungswerts alle Terme mit $\varepsilon$ weg\footnote{Die Terme dritter und vierter Ordnung fallen erst nach der Mean-Feld-N�herung
weg, weshalb Gl.(\ref{hbogoliubov}) nach der Einf�hrung des Mittleren-Feldes zu verwenden ist.}.\\
Das sich ergebende Funktional
          \begin{eqnarray} \label{ritz2}
                    E[\Phi,\Phi^*]= \int d^3 \vec{x} \left( \Phi^*(\vec{x}) \left( \kin +V_{ext}(x) \right) \Phi(\vec{x}) + \frac{g}{2}\vert \Phi \vert^4 \right)
                    - \lambda N_0 \left( \int d^3x \vert \Phi(x)\vert^2-1\right)
          \end{eqnarray}
wird um den Grundzustand  $\Phi(\vec{x})\rightarrow \Phi(\vec{x}) + \delta \Phi(\vec{x})$ variiert.
Fordert man, dass die Funktionalableitung ${\delta}/{\delta\Phi}$ der Gr��e $\delta E=E[\Phi+\delta \Phi , \Phi^*+\delta\Phi^* ]$ f�r alle
$\delta \Phi$ verschwindet, muss folgende Gleichung erf�llt sein:
          \begin{equation} \label{GPE1}
                    \left[ \kin + V_{ext}(x) + N_0 g \vert \Phi(\vec{x}) \vert^2 - \lambda \right] \Phi(\vec{x})=0.
          \end{equation}
Dieser Ausdruck ist - mit der physikalischen Interpretation des Lagrange-Multiplikators als chemisches Potential $\lambda=\mu$ -
als zeitunabh�ngige Gross-Pitaevskii-Gleichung bekannt. Als L�sung ergibt sich der Grundzustand $\Phi(\vec{x})=\Phi_0(\vec{x})$.\\
Die Frage, ob diese N�herung die Realit�t besser beschreibt als die theoretischen Vorhersagen f�r das
ideale Gas, kl�rt Abb.(\ref{vergleichprofil}).
Sie zeigt den Vergleich zwischen idealem Gas und dem ultrakalten verd�nnten Gas (Beschreibung nach Gross-Pitaevskii)
mit dem Experiment.
          \begin{figure}  \begin{center}
          \vspace{-1.5cm}\input{density100.pstex_t}\vspace{-1.5cm}
          \caption[Dichteprofil einer Kondensatwolke]
          {\label{vergleichprofil}Die experimentellen Daten (Punkte) stimmten nicht mit den theoretischen Berechnungen �berein,
          falls das Gas als ideal angenommen wird (gestrichelte Linie). Die durchgezogene Linie zeigt die
          theoretische Vorhersage der Gross-Pitaevskii-Gleichung \cite{Hau}.}
          \end{center}
          \end{figure}


\subsection{Die zeitabh�ngige Gross-Pitaevskii-Gleichung\label{zeitGEP}}
Bei der Herleitung f�r den zeitabh�ngigen Fall wird nicht auf die Variationsrechnung zur�ckgegriffen
\footnote{Die Herleitung der zeitabh�ngigen Gross-Pitaevskii-Gleichung mittels des Variationsprinzips findet sich in \cite{BECcastin}.}.\\
Der Hamilton-Operator inklusive Zwei-Teilchen-Wechselwirkung in Feldquantisierung ist
          \begin{eqnarray}
                    \hat H=\int{dx \, \oppdag{\Psi}{x}[\kin +V_{ext}(x)]\opp{\Psi}{x}} + \nonumber   \\
                    \frac{1}{2}\int{dx dx' \, \opp{\Psi}{x}\opp{\Psi}{x'}V(x-x')\oppdag{\Psi}{x'}\oppdag{\Psi}{x}}. \label{hfort}
          \end{eqnarray}
Die Zeitentwicklung eines Feldoperators, auf den $\hat H$ wirkt, kann direkt durch die Heisenberg-Relation
          \begin{equation}  \label{Hdyn1}
                    \zeit \opp{\Psi}{x}=[\opp{\Psi}{x},\hat{H}]
          \end{equation}
angegeben werden.
Setzt man im Anschluss daran f�r den Feldoperator ein klassisches Feld
          \begin{equation} \label{klass}
                    \hat \Psi \rightarrow \sqrt{N_0}\Phi
          \end{equation}
f�r den Grundzustand ein, ergibt sich die zeitabh�ngige Gross-Pitaevskii-Gleichung:
          \begin{equation} \label{GPE2}
                    i\hbar\partial_t \Phi(t,\vec{x})=\left( \kin + V_{ext}(\vec{x}) + N_0 g \vert \Phi(\vec{x}) \vert^2 - \mu \right) \Phi(t,\vec{x})
          \end{equation}




Kapitel1d.tex

\chapter{Anregungen im Kondensat\label{anregungenneu}}
In diesem Abschnitt werden kleine Anregugen\footnote{Unter dem Begriff einer kleinen St�rung
versteht man eine lokale Dichtemodulation, welche den BEC-Zustand nicht vernichtet und als
kollektive Anregungen aufgefasst werden.}  im Bose-Einstein-Kondensat untersucht.
Diese k\'onnen als Schallwellen interpretiert werden, deren Ausbreitungsgeschwindigkeit als Schallgeschwindigkeit bezeichnet wird.\\
Der erste experimentielle Nachweis von Schallwellen im Bose-Einstein-Kondensat konnte erstmals \cite{exc1} in einer frei expandierenden Atomwolke erbracht werden. Dieser Versuch wird am Ende des Abschnitt kurz vorgestellt.


\section{Das Anregungsspektrum}

F�r $T = 0$ k�nnen alle auftretenden Dichten Gl.(\ref{hbogoliubov}) vernachl�ssigt werden.\footnote{
Es wird auf die Temperaturabh�ngigkeit des Spektrums hingewiesen,
so dass diese Annahme nur f�r Temperaturen $T \ll T_c$
gemacht werden kann. Eine Berechnung f�r Temperaturen bis zu $0.7\,T_c$ findet sich in \cite{exc3}.}
Nimmt man zus�tzlich an, dass sich die gesamte Dichtemodulation mit einem festen Impuls $\vec{p}=\hbar \nabla \theta$
im Kondensat ausbreitet (siehe Abb.(\ref{semkl1})), ergibt eine l�ngere Rechnung das folgende Anregungsspektrum:
          \begin{equation}\label{spek4neubitte}
                    E^{in}(\vec{p},\vec{x})=\frac{p}{2m}\left( p^2 + 4mg\rho_0(\vec{x}) \right)^{1/2}.
          \end{equation}
          \begin{figure}[!h]
          \begin{center}
          \input{semkl.pstex_t}
          \caption[Lokale Dichtemodulation]
          {\label{semkl1}In der Quantenmechanik (A) kann sich keine Dichteverteilung fortbewegen, ohne deformiert zu werden.
          In der klassischen Mechanik (B) ist es dagegen m�glich, die St�rung als ganzes mit einem Impuls propagieren zu lassen. }
          \end{center}
          \end{figure}
Eine Herleitung f�r Gl.(\ref{spek4neubitte}) ist in \cite{allaboutBEC} zu finden.
F�r dieses Energiespektrum muss die Dichteschwankung lokal auf einen sehr kleinen Raum begrenzt sein,
was f�r Fluktuationen kleiner als die charakteristische L�nge des Oszillators
$a_{HO}=({\hbar}/{m\omega})^{1/2}$ erf�llt ist.
Zusammen mit der  Unsch�rferelation ergibt $\Delta p \Delta x \geq \frac{\hbar}{2}$ f�r den Impuls der Welle
$p \gg {\hbar}/{a_{HO}}$.
Der Radius $R_0 \sim {2 k_B T}/{m \omega^2}$ einer thermischen Atomwolke h�ngt von der Temperatur ab.
Zus�tzlich muss noch f�r den Impuls  $R_0 \gg a_{HO}$ gelten, und damit
$ T \gg {\hbar \omega}/{k_B}$.
Zu Anfang des Abschnitts wurde eine Temperatur nahezu $T \ll T_0$ vorausgesetzt.
Durch h�here Teilchenzahlen w�chst $T_0$ an, wodurch beide Bedingungen erf�llt werden k�nnen.
Im  \textit{Thomas-Fermi-Limes} $Na/a_{HO}$ ist die kinetische Energie im Vergleich zur
Wechselwirkungsenergie innerhalb des Kondensats sehr klein.
Ohne den kinetischen Term $V_{ext}-\mu=g\rho_0(\vec{x})$
vereinfacht sich das Energiespektrum Gl.(\ref{spek4neubitte}) zu
          \begin{figure}[h]  \begin{center}
          \input{energie2.pstex_t}
          \caption[Anregungsspektrum]
          {\label{energie2}Die blaue Kurve stellt den Energieverlauf in Abh�ngigkeit vom Impuls dar.
          Die gelbe Gerade ist zur Orientierung eingezeichnet und zeigt, dass in zwei Bereiche einzuteilen ist.
          F�r kleine Impulse ergibt sich ein lineare, damit ein phononenartiges Spektrum mit $E=pc$. Der quadratische Anstieg
          f�r gr��ere Impulswerte l�sst auf Teilchenanregung $E={p^2}/{2m}+E_0$ schlie�en.}
          \end{center}  \end{figure}
          \begin{equation}\label{spek4neubla}
                    E^{in}(\vec{p},\vec{x})=\frac{p}{2m}\left( p^2 + 4mg\rho_0(\vec{x}) \right)^{1/2}.
          \end{equation}
In Abb.(\ref{energie2}) ist das Energiespektrum in Abh�ngigkeit vom Impuls dargestellt.\\



\section{Kleine Anregungen im Kondensat}
F�r kleine p-Werte l�sst sich die Dispersionsrelation einfach angeben
$E=pc$
wobei
          \begin{equation} \label{schallgeschwindigkeit}
                    c=\sqrt{\frac{g \rho_0(\vec{x})}{m}}
          \end{equation}
die \textit{Schallgeschwindigkeit} ist.


\section{Experimentelle Beschreibung}
Ketterle et al. \cite{exc2} haben die Ausbreitung von Schall im Bose-Einsteinkondensat gemessen.
Im Versuch wurden $5 \times 10^6 $ Natrium-Atome abgek�hlt und durch ein geeignetes Magnetfeld wurde
die Atomwolke zigarrenf�rmig angeordnet. Die Dichtest�rung wurde im Zentrum des Kondensats durch einen
Laser erzeugt. Die Anregung propagierte dann sph�risch vom Zentrum nach au�en, was direkt gemessen werden
konnte.
          \begin{figure}[t]
          \begin{center}
          \vspace*{-2cm}\input{Ketterle.pstex_t}\vspace{-1cm}
          \caption[Schematische Darstellung der Schallgeschwindigkeit im Kondensat]
          {\label{schall}Ausbreitung einer kleinen St�rung im Bose-Einstein-Kondensat. Zun�chst wird
          das Kondensat in einer magnetischen Falle erzeugt. Zur Zeit $t=0$ wird ein Laser kurzzeitig
          an (a)- bzw. ausgeschaltet (b). Damit wird eine positive/ negative Dichtemodulation erzeugt,
          die mit der Schallgeschwindigkeit durch das Kondensat propagiert \cite{exc2}.}
          \end{center}
          \end{figure}

          \begin{figure}[h]
          \begin{center}
          \includegraphics*[width=11cm]{ketterleexp.eps}
          \caption[Messung der Schallgeschwindigkeit im Kondensat]
          {\label{schall2}Beobachtung der Schallwellen in einem Kondensat. Zur Messung wurde eine
          das Kondensat nicht zerst�rende Phasen-Kontrast-Abbildung verwendet.
          Die einzelnen Plots zeigen das Kondensat im Abstand von $1.3\, \mu s$. In beiden Versuchen
          wurde das Kondensat mit einem Laserpuls - nach Anregung der St�rung -
          in zwei Teile getrennt.
          Die Abbildungen zeigen
          zwei verschieden pr�parierte Kondensate: Die L�nge der oberen Kondensatwolke ist $450\, \mu m$.
          In der unteren Sequenz ist der radikale Einschluss geringer als im Kondensat zuvor,
          was zu einem radialen Ausweiten der Dichte f�hrt.
          Es ist deutlich zu sehen, dass die Schallgeschwindigkeit im unteren Bild langsamer ist als im oberen.
          Dort ist die Dichte, welche proportional zur Schallgeschwindigkeit ist, geringer \cite{exc2}.}
          \end{center}
          \end{figure}



Kapitel2.tex

\chapter{Eigenschaften schwarzer L�cher\label{blackholes}}

\section{Allgemeine Relativit�tstheorie}

Die \textit{Allgemeine Relativit�tstheorie} beschreibt gravitative Felder.
Die Dynamik ergibt sich aus der \textit{Einsteinschen Feldgleichung}
          \begin{equation} \label{einstein1}
                    G^{\alpha \beta}=-\kappa T^{\alpha \beta}.
          \end{equation}
Rechts ist der \textit{Energie-Impuls-Tensor} der Materie
          \begin{equation}
                    T^{\alpha \beta}=\frac{2}{\sqrt{-g}}\frac{\delta(\sqrt{-g}L_M)}{\delta g_{\alpha \beta}},
          \end{equation}
mit der Determinante der Metrik $g\equiv det(g_{\alpha \beta})$ und der \textit{Materie-Lagrangefunktion}
$L_M=L_M(g_{\alpha \beta}\vert \partial_{\gamma}g_{\alpha \beta}\vert \Psi^A\vert\Psi^A_{,\alpha})$ abgebildet.
$\Psi^A$ fasst alle Materievariablen zusammen.
Auf der linken Seite von Gl.(\ref{einstein1}) steht der \textit{Einstein-Tensor}
          \begin{equation} \label{einsteintensor}
                    G_{\alpha \beta}=R_{\alpha \beta}-\frac{1}{2}Rg _{\alpha \beta},
          \end{equation}
mit dem \textit{Riemannschen Kr�mmungstensor}
$R_{\alpha \beta}=\frac{1}{2}g^{\delta \gamma}(g_{\delta \gamma,\beta,\alpha}-g_{\delta \beta,\gamma,\alpha}+ g_{\alpha \beta,\delta,\gamma}-g_{\alpha \delta,\beta,\gamma}) $
und dem \textit{Ricci-Skalar} $R= R_{\alpha \beta}g^{\alpha \beta}$.
Die Konstante $ \kappa=\frac{8 \pi G}{c^4} $ beinhaltet die universielle \textit{Gravitationskonstante}
$G$ ist \cite{Goenner}.

Die Einstein-Gleichung ist eine Bestimmungsgleichung f�r die Metrik. Die Vorgehensweise ist,
zun�chst die Materieverteilung zu bestimmen, in Gl.(\ref{einstein1}) einzusetzen und mit der
zweiten Einstein-Gleichung\footnote{Wobei das Semikolon die kovariante Ableitung nach $\beta$ bezeichnet.}
          \begin{equation}
                    T_{\alpha \beta;\beta}=0  
          \end{equation}
die Metrik zu ermitteln \cite{Inverno}.

Einer bestimmten Massenverteilung wird eine Metrik
          \begin{equation} \label{metrikallgemein}
                    g_{\alpha \beta}=\left( \begin{array}{cccc}
                                     g_{00} & g_{01} & g_{02} & g_{03} \\
                                     g_{01} & g_{11} & g_{12} & g_{13} \\
                                     g_{02} & g_{12} & g_{22} & g_{23} \\
                                     g_{03} & g_{13} & g_{23} & g_{33} \end{array} \right)
          \end{equation}
zugeordnet, die sich aus den Einsteinschen Feldgleichungen ergibt. Die Eintr�ge in der
Metrik $g_{\alpha \beta}\equiv g_{\alpha \beta}(x)$ sind im Allgemeinen von der Zeit und dem Ort
abh�ngig\footnote{Raum und Zeit sind in der Relativit�tstheorie zur Einheit verschmolzen und werden
zu einem \textit{Vierervektor} zusammengefasst. Die nullte Komponente des Vierervektors ist die Zeit,
die drei verbleibenden Eintr�ge entsprechen den dreidimensionalen Ortskoordinaten.}.

Die Metrik ist ein symmetrischer Tensor zweiter Stufe, der es erm�glicht, den infinitesimalen Abstand $ds$
zweier benachbarter Punkte $x$ und $x+dx$ im gekr�mmten Raum zu bestimmen:
          \begin{equation}\label{abstand}
                    ds^2=g_{\alpha \beta}(x)dx^{\alpha}dx^{\beta}.
          \end{equation}

F�r den \textit{flachen Raum} sind die Eintr�ge in Gl.(\ref{metrikallgemein}) unabh�ngig von der Raum-Zeit.
In unserem Universum kann der flache Raum durch die \textit{Minkowski-Metrik}
          \begin{equation} \label{metrikflach}
                    \eta_{\alpha \beta}=\left( \begin{array}{cccc}
                                     1 & 0 & 0 & 0 \\
                                     0 &-1 & 0 & 0 \\
                                     0 & 0 &-1 & 0 \\
                                     0 & 0 & 0 &-1 \end{array} \right)
          \end{equation}
beschrieben werden.
Das Linienelement f�r den flachen Raum ist
          \begin{equation}\label{abstandflach}
                    ds^2=c^2 (dx^0)^2-(dx^1)^2-(dx^2)^2-(dx^3)^2.
          \end{equation}
In dieser Arbeit sind zwei bestimmte Metriken von Interesse, welche im Folgenden vorgestellt werden.


\subsection{Die Metrik f�r ein schwarzes Loch}
Die exakte L�sung eines kugelsymmetrischen, statischen Himmelsk�rpers wurde zuerst von \textit{Schwarzschild}
berechnet.
Die Dynamik f�r Teilchen au�erhalb einer solchen Materieverteilung ist in sph�rischen Koordinaten
$(t,r,\theta,\varphi)$ gegeben durch \\
          \begin{equation} \label{schwarzschild}
                    {ds}^2= c^2 \left( 1-\frac{2m}{r} \right){dt}^2 
                    -\frac{dr^2}{\left( 1-\frac{2m}{r}\right)} - r^2 d \Omega^2,
          \end{equation}
mit dem  \textit{Raumwinkelelement} $d\Omega=sin(\theta)d\theta d\varphi$ und $m \equiv {GM}/{c^2}$, wobei $M$ die Gesamtmasse der
Materieverteilung ist.\\

In der Schwarzschild-Metrik treten zwei Besonderheiten auf.
F�r $r=2m\equiv r_g$ verschwindet $g_{00}(r_{EH})=0$. $r_{EH}$ wird als \textit{Gravitationsradius} bzw.
\textit{Schwarzschildradius} bezeichnet.
Innerhalb $r<r_g$\footnote{Das Linienelement Gl.(\ref{schwarzschild})
ist nur f�r den Bereich $r_{EH}<r<\infty$ g�ltig.}
ist $g_{00}<0$ und damit der Tangentenvektor - ${1}/{c}\,{\partial_t}^2$ an die Weltlinie
$ds^2=c^2\left( 1-\frac{2m}{r} \right)dt^2$- raumartig,
f�r $g_{00}(r_g)=0$ lichtartig und ausserhalb $r>r_g$ ist $g_{00}>0$ zeitartig.\\
Allgemein wird eine Stelle im Raum, an welcher der Tangentenvektor sein Vorzeichen �ndert als \textit{Ereignishorizont}
bezeichnet. Der Ereignishorizont ist eine zeitartige Hyperfl�che, d.h. der Tangentenvektor am Ereignishorizont
ist parallel zur Zeit-Achse.
In Schwarzschild-Koordinaten wird $g_{11}=\frac{1}{\left( 1-\frac{2m}{r}\right)}$ am Ereignishorizont unendlich.
Ein sich dem Ereignishorizont radial
n�hernder K�rper mit der Geschwindigkeit
          \begin{equation} \nonumber
                    v^2\vert_{r_{EH}}=\lim_{r\rightarrow r_{EH}}\frac{ds^2}{dr^2}=
                    \frac{1}{\left( 1-\frac{2m}{r}\right)}\rightarrow 0
          \end{equation}
wird auf $v=0$ abgebremst. Damit ist es unm�glich, in ein schwarzes Loch einzutreten.
Eigentlich wird erwartet, dass durch die mit abnehmender Entfernung steigende gravitative Anziehungskraft
die Geschwindigkeit zu- und nicht abnimmt.
Bei der physikalischen Interpretation muss die Wahl des Koordinatensystems ber�cksichtigt werden.
Die Schwarzschild-Koordinaten entsprechen einem Bezugssystem au�erhalb des schwarzen Lochs.
Von dort wird ein K�rper - z.B. ein Raumschiff - beobachtet, wie dieses sich dem schwarzen Loch n�hert.
Ein Beobachter am Ereignishorizont - mit einem anderen Bezugssystem - sieht das Raumschiff in endlicher Zeit den
Horizont passieren \cite{Goenner}. Bei $r=r_{EH}$ handelt es sich unter diesem Gesichtspunkt um keine Singularit�t
im eigentlichen Sinn, da sie mit einer geeigneten Koordinatentransformation zu beseitigen ist.
Am Punkt $r=0$ hingegen liegt eine echte (intrinsische) Singularit�t vor, die in allen Bezugssystemen zu finden ist.




\subsection{Die Metrik f�r das de-Sitter-Universum\label{sitter}}
Das \textit{de-Sitter-Modell} beschreibt unser Universum approximativ, indem die Gesamtmasse des Universums gegenueber dessen
Gr�sse verschwindend betrachtet wird. Das Universum kann daher als masselos und global flach betrachtet werde.
Es kann berechnet werden, wie sich ein solches Universum mit der Zeit ver�ndert. Eine Herleitung
findet sich in \cite{Inverno}.
Es ergibt sich
          \begin{equation}\label{desitermetrik}
                    g_{\mu \nu}=\left(
                    \begin{array}{cccc}
                    1 & 0         & 0         & 0\\
                    0 & -\exp(2Ht) & 0         & 0\\
                    0 & 0         & -\exp(2Ht) & 0\\
                    0 & 0         & 0         & -\exp(2Ht)
                    \end{array}
                    \right)
          \end{equation}
die als \textit{de-Sitter-Metrik} bezeichnet wird.
Hier ist
          \begin{equation} \label{kosmologischekonstante}
                    H=\left( \frac{\Lambda}{3} \right)^{1/2},
          \end{equation}
mit der \textit{kosmologischen Konstanten} $\Lambda$.
Der allgemeine zeitabh�ngige Fall wird durch das \textit{Hubble-Gesetz}
          \begin{equation} \label{hubblegesetz}
                    H(t)=\frac{\dot{R}(t)}{R(t)},
          \end{equation}
beschrieben, wobei $H(t)$ als \textit{Hubbel-Konstante} bezeichntet wird. $R(t)$ ist ein Skalenfaktor.
Multipliziert mit einem, zum Zeitpunkt $t=0$ gemessenen Abstand, gibt er an, wie sich dieser mit
der Zeit �ndert.\\
Im de-Sitter-Modell ist $\lambda>0$. Es erf�hrt eine exponentielle Expansion.
\footnote{Es wird noch darauf hingewiesen, dass es sich hier um das einfachste Modell f�r das
Universum handelt. Auch wenn die Dichte der Materie im Universum zum jetzigen Zeitpunkt
verschwindend ist, l�sst sich diese Aussage nicht mehr aufrecht erhalten, wenn man lange genug in
der Zeit r�ckw�rts wandert. Auch die Hintergrundstrahlung, die im de-Stitter-Modell berechnet werden
kann, entspricht nicht dem experimentell gemessenen Wert.}





\section{Feldquantisierung im Gravitationsfeld}
In diesem Abschnitt wird kurz erkl�rt, was unter dem Begriff \textit{Hawking-Strahlung} verstanden wird.
Eine ausf�hrliche Diskussion findet sich in \cite{quantenfeld1}.\\

Bei der Quantisierung der Bewegungsgleichung eines massebehafteten Teilchens
im gekr�mmten Raum nimmt der Hamilton-Operator die Gestalt unendlich vieler entkoppelter
Oszillatoren an. An jedem Punkt des Raumes kann man sich einen harmonischen Oszillator im Grundzustand
vorstellen. Ein Teilchen am Ort $x$ zu erzeugen, hei�t den Grundzustand auf das n�chstgelegene Energieniveau
anzuregen.
Ein Wechsel in den Impulsraum mittels Fourier-Transformation liefert einen
Hamilton-Operator, welcher durch die sog. \textit{Bogoliubov-Transformation} diagonalisierbar ist.
Es ergibt sich, dass nie ein einzelnes Teilchen angeregt werden kann. Es tritt Paarteilchenerzeugung
auf, wobei diese einen gleichgro� entgegengesetzten Impuls haben. Mit anderen Worten, der Gesamtimpuls des
Systems bleibt bei der Teilchenerzeugung erhalten (siehe Abb.(\ref{Fluktuationen})).
          \begin{figure}
          \begin{center}
          \input{fluktuationen.pstex_t}
          \caption[Gekoppelte Oszillatoren im Impulsraum]
          {\label{Fluktuationen}Die Entwicklung nach den Moden entspricht einem Wechsel vom Ortsraum (oberes Bild) in den
          Impulsraum (unteres Bild). Im Impulsraum sind die Moden mit $k$ und $-k$ miteinander gekoppelt, so dass
          nur paarweise Anregung von Moden m�glich ist.}
          \end{center}
          \end{figure}
Ob Teilchen erzeugt werden oder nicht h�ngt vom Gravitationsfeld ab.

\subsection{Hawking-Strahlung}
Unter Hawking-Strahlung versteht man Paarteilchenerzeugung am Ereignishorizont eines schwarzen Lochs.
Es sind zwei physikalische Ph�nomene, die daf�r verantwortlich sind.\\
Zum einen sagt die Unsch�rferelation $\Delta E  \cdot \Delta t\geq \hbar$ voraus,
dass �berall im Raum Vakuumfluktuationen auftreten.
Darunter versteht man, dass st�ndig Teilchenpaare erzeugt werden, die sich nach einer gewissen Zeit
$\Delta t$ wieder vernichten.
Es sei denn, es existiert eine �ussere Kraft, die stark genug ist, diese Teilchen voneinander
zu trennen. Am Ereignishorizont ist diese Bedingung erf�llt.
Ein Teilchen (mit Impuls $k$) wird als Hawking-Strahlung ins Weltall gesendet,
das andere (mit Impuls $-k$) wird in das schwarze Loch gezogen.
Dadurch verliert das schwarze Loch Energie, so dass die Teilchenerzeugung nicht ohne Aufwand betrieben werden
kann.\\

Eine wichtige Eigenschaft Schwarzer L�cher ist, dass sie dynamisch stabil
(siehe Abschnitt (\ref{forfluctiations})) sind.
Das bedeutet, dass wenn man bei den Betrachtungen komplexe Frequenzen zul�sst,
die Zeitskala f�r das dynamische Anwachsen der dadurch produzierten Teilchen gro� ist.
Schwarze L�cher werden bisher als weitgehend stabil betracht.



Kapitel3a.tex
\chapter{Die Wellengleichung f�r die St�rung\label{wellengleichungignacio}}
Die Verbindung der Allgemeine Relativit�tstheorie mit dem Bose-Einstein-Kondensat wird in diesem
und im n�chsten Kapitel erl�utert.\\
Im Folgenden wird f�r eine im Kondensat propagierende St�rung die Wellengleichung
aufgestellt (siehe Kapitel (\ref{anregungenneu})) und gezeigt, dass es sich dabei um eine Wellengleichung
in einem effektiv\footnote{Der Begriff \textit{effektiv} weist darauf hin, dass es sich nicht
im eigentlichen Sinne um einen gekr�mmten Raum handelt, weil dieser die Anwesenheit eines echten Gravitationsfeldes
fordern w�rde. Trotzdem l�sst sich eine Analogie finden, da in den Gleichungen ein symmetrischer Tensor
zweiter Stufe auftaucht, der als effektive Metrik aufgefasst werden kann.
Die ganze Information des gekr�mmten Raumes ist in der Metrik enthalten und damit ist es zul�ssig, von
einem effektiv gekr�mmten Raum zu sprechen.}
gekr�mmten Raum handelt.\\
Die Ergebnisse wurden bereits von Cirac et al. \cite{cirac1} publiziert. Es wird aber darauf hingewiesen,
dass hier der allgemeine Fall, dass die Kondensatgr�ssen $c=c(t,\vec{x})$ und $v=v(t,\vec{x})$ vom Ort und
der Zeit abh�ngen. In der zitierten Ver�ffentlichung waren die Schall - und Hintergrundgeschwindigkeit nur
vom Ort abh�ngig.
\footnote{In Kapitel (\ref{expandinguniverse}) wird ein zus�tzlich von der Zeit abh�ngiges System
verwendet.}


\section{Die hydrodynamischen Gleichungen}
Ausgehend von der zeitunabh�ngigen Gross-Pitaevskii-Gl.(\ref{GPE2}) wird eine kleine Variation in der
Dichte $\rho=\rho_0 + \varepsilon\rho_1 $ und in der Phase $\theta=\theta_0 +  \varepsilon \theta_1 $
          \footnote{Das $\varepsilon$ zeigt die Ordnung an,
                    wir betrachten damit eine Entwicklung bis zu ersten Ordnung.}
in den Zustand $\Phi=\sqrt{\rho}e^{i\theta}$ eingesetzt
          \begin{equation} \label{GPE2mitdelta}
                    \begin{split}
                    i\hbar\partial_t \sqrt{\rho_0 + \varepsilon\rho_1}e^{i(\theta_0 +  \varepsilon \theta_1 )}
                    =&\left( \kin + V_{ext}(\vec{x}) \right) \sqrt{\rho_0 + \varepsilon\rho_1}e^{i(\theta_0 +  \varepsilon \theta_1 )}\\
                    &+  N_0 g(\rho_0 + \varepsilon\rho_1)
                    \sqrt{\rho_0 + \varepsilon\rho_1}e^{i(\theta_0 +  \varepsilon \theta_1 )},
                    \end{split}
          \end{equation}
wobei $\rho_1$ und $\theta_1$ die St�rung beschreiben und das chemische Potential $\mu$ in $V_{ext}$ enthalten ist.
Im Anhang (\ref{anhanghydro}) ist Gl.(\ref{GPE2mitdelta}) ausgerechnet worden.
Es ergaben sich f�r die St�rung:
          \begin{equation} \nonumber
                    \begin{split}
                    (\ref{hamjakobi1}):\dot{\theta_1}=&-\frac{\hbar}{m}(\nabla \theta_0 \nabla \theta_1) - \frac{N_0 g}{\hbar} \rho_1 \\
                    (\ref{kontgl1}):\dot{\rho_1}=&-\frac{\hbar}{m}\nabla(\rho_0 \nabla \theta_1 + \rho_1 \nabla \theta_0)
                    \end{split}.
          \end{equation}

\subsection{Die Wellengleichung}
Gl.(\ref{hamjakobi1}) wird nach $\rho_1$ aufgel�st
          \begin{equation}  \nonumber
                    N_0g\,\rho_1=-(v \nabla \theta_1)-\dot{\theta}_1
          \end{equation}
und anschlie�end nach der Zeit abgeleitet
          \begin{equation}  \nonumber
                    N_0g\,\dot{\rho}_1=-\partial_t(v \nabla \theta_1)-\ddot{\theta}_1.
          \end{equation}
Eingesetzt in Gl.(\ref{kontgl1}) liefert
          \begin{equation}  \label{wellengl1}
                    -\ddot{\theta}_1-\partial_t(v \nabla \theta_1)-\nabla(v\dot{\theta}_1)
                    +\nabla\left((c^2-v^2)\nabla\theta_1\right)=0,
          \end{equation}
eine Differentialgleichung f�r die Phase der St�rung.\\

Dass es sich dabei um eine Wellengleichung handelt, wird sichtbar, wenn
          \begin{equation} \label{mkontra}
                    g^{\mu \nu}=\frac{-1}{c^2}\left( \begin{array}{cccc}
                    1            & v_{x}                  & v_{y}            & v_{z} \\
                    v_{x}          & -c^2+v_{x}^2         & v_{y}v_{x}     & v_{z}v_{x} \\
                    v_{y}          & v_{x}v_{y}           & -c^2+v_{y}^2   & v_{z}v_{y}  \\
                    v_{z}          & v_{x}v_{z}           & v_{y}v_{z}     & -c^2+v_{z}^2
                    \end{array} \right)
          \end{equation}
eingef�hrt wird.
Jetzt l�sst sich Gl.(\ref{wellengl1}) schreiben als:

          \begin{equation} \label{wellengl2}
                    \partial_{\mu}(\sqrt{-g} \, g^{\mu\nu} \, \partial_{\nu}\theta_{1})=0
          \end{equation}
Formal handelt es sich um eine klassische Feldgleichung f�r ein masseloses Teilchen $\theta_1$ in einem
gekr�mmten Raum.
Die Rolle des gekr�mmten Raumes nimmt dabei das Kondensat ein, weil s�mtliche Eintr�ge in der Metrik
aus den Gr��en des Kondensats bestehen.
Es tritt die Schallgeschwindigkeit $c$ f�r die Dichtefluktuationen aus dem vorhergehenden Abschnitt
sowie die station�re Hintergrundgeschwindigkeit $v$ auf.\\

F�r ein verschwindendes $v$, wird Gl.(\ref{mkontra})
          \begin{equation} \label{mkontraflach}
                    g^{\mu \nu}=c \frac{-1}{c^2}\left( \begin{array}{cccc}
                    1            & 0                 & 0           & 0 \\
                    0          & -c^2        & 0     & 0 \\
                    0          & 0           & -c^2  & 0  \\
                    0          & 0         & 0     & -c^2
                    \end{array} \right),
          \end{equation}
zur Minkowski-Metrik, welche den flachen Raum beschreibt. Die Minkowski-Metrik f�r den flachen Raum, eingesetzt
in Gl.(\ref{wellengl2}), liefert die gew�hnliche Wellengleichung:
          \begin{equation} \nonumber
                    \left(c^2\partial_t^2 - \nabla^2\right)\theta_1=0
          \end{equation}

\section{Das effektive Schwarze Loch}
Mit $g_{\mu\nu}g^{\mu\nu}=\mathtt{1}$ kann die kovariante Metrik zu Gl.(\ref{mkontra}) berechnet werden.
Es ergibt sich:
          \begin{equation} \label{mkon}
                    g_{\mu \nu}=c\left( \begin{array}{cccc}
                    -(c^2-v_{0}^2)    & -v_{x}                  & -v_{y}            & -v_{z} \\
                    -v_{x}          & 1        & 0     & 0 \\
                    -v_{y}          & 0           & 1   & 0  \\
                    -v_{z}          & 0           & 0     & 1
                    \end{array} \right).
          \end{equation}
Es ist leicht zu �berpr�fen, ob in einem System mit dieser effektiven Metrik ein schwarzes Loch auftritt,
oder nicht. Aus Kapitel (\ref{blackholes}) ist bekannt, dass ein Ereignishorizont vorliegt, wenn an einem
Punkt $g_{00}=0$ wird. Hier ist $g_{00}=-c^2+v$, damit ist es vom System abh�ngig, ob ein Ereignishorizont
auftritt. Der Bereich, in dem die Hintergrundgeschwindkeit schneller flie�t als
die Schallwellen sich ausbreiten k�nnen, kann mit dem Inneren eines schwarzen Lochs in Verbindung gebracht
werden. Dort k�nnen die Schallwellen nur mit der Richtung des Kondensats propagieren. Au�erhalb, im
Bereich wo die Hintergrundgeschwidikgeit kleiner als die Schallgeschwindigkeit ist, kann sich der
Schall in beide Richtungen bewegen.




Kapitel3b.tex
\chapter{Die Fluktuationen um den Grundzustand\label{fluktuationsaroundground}}
Die Untersuchung der Zeitentwicklung von Fluktuationen um den Grundzustand ist Bestandteil dieses
Kapitels.\\


\section{Der Bogoliubov-Ansatz bis zur ersten Ordnung}
Der Ansatz von Bogoliubov $\bog$ beschreibt ein System, das sich bis auf kleine Fluktuationen
im Grundzustand befindet. Bisher wurde die erste Ordnung nicht ber�cksichtigt.
Jetzt ist gerade diese von Interesse.
Dazu greifen wir die Rechnungen aus (\ref{meanfield}) auf. Anstatt der Mean-Field-N�herung
wird als n�chstes $\hat{K}$ in die Heisenberg-Relation
$$ \zeit \opp{\Psi}{x}=[\opp{\Psi}{x},\hat{K}], $$
eingesetzt. Ber�cksichtigt man zus�tzlich die Vertauschungsrelationen der Feldoperatoren f�r Bosoen
          \begin{eqnarray} \label{vertauschrel}
                    \left[ \hat{\psi}(\vec{x}),\hat{\psi}(\vec{x}\,')\right]=0,
                    &  \left[ \hat{\psi}^{\dag}(\vec{x}),\hat{\psi}^{\dag}(\vec{x}\,')\right]=0, &
                    \left[ \hat{\psi}(\vec{x}),\hat{\psi}^{\dag}(\vec{x}\,')\right]
                    =\delta^{(3)}(\vec{x}-\vec{x}\,')
          \end{eqnarray}
ergibt sich in erster Ordnung von $\varepsilon$ die zeitabh�ngige Gross-Pitaevskii-Gl.(\ref{GPE2}).
Diese verschwindet, da Fluktuationen um den Grundzustand betrachtet werden und
damit die klassische Wellenfunktion im Bogoliubov-Ansatz gerade dem Grundzustand $\Phi_s$ der
der makroskopischen Wellenfunktion entspricht.
Die Terme dritter und vierter Ordnung k�nnen vernachl�ssigt werden,
so dass nur Ausdr�cke mit $\varepsilon^2$ zur�ck bleiben.
\footnote{Die Terme ohne $\varepsilon$ k�nnen als
          Konstante zusammengefasst werden, sind damit f�r weitere Betrachtungen uninteressant.}
Die zeitabh�ngige Bewegungsgleichung f�r die Fluktuationen ist
          \begin{equation} \label{GPme1}
                    \zeit\hat{\psi}=\left[ -\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 + V_{ext} + 2Ng\rho_{s} \right] \hat{\psi} +
                    Ng\Phi_{s}^{2}\hat{\psi}^{\dag}.
          \end{equation}
Im Folgenden werden die Gleichungen auf eine Dimension $x$ beschr�nkt, da sp�ter nur solche Systeme betrachtet
werden.
F�r weitere Berechnungen ist es zus�tzlich erforderlich, die Gr��e $\xi\equiv \varepsilon^{-1}$
in die $x$-Koordinate mit
          \begin{equation}  \label{xepsilon}
                    x\rightarrow \frac{x}{\varepsilon}
          \end{equation}
aufzunehmen.\footnote{Der Sinn dieser Tranformation zeigt sich sp�ter, wenn die WKB-N�herung angewandt wurde.}

Mit $x$ �ndert sich Gl.(\ref{GPme1}) zu
          \begin{equation} \label{GPme3}
                    \zeit\hat{\psi}=\left[ -\frac{\epsilon^2 \hbar^2}{2m}\partial_x^2 + \frac{\epsilon^2 \hbar^2}{2m}\frac{\sqrt{\rho_{s}}''}{\sqrt{\rho_{s}}}-\frac{m}{2}v_{s}^2 + Ng\rho_{s} \right] \hat{\psi} + Ng \Phi_s^2 \hat{\psi}^{\dag}
          \end{equation}
wobei hier zus�tzlich das externe Potential
          \begin{equation}  \label{extV2}
                    V_{ext}(x)=\frac{\epsilon^2\hbar^2}{2m}\frac{\sqrt{\rho_s}''}{\sqrt{\rho_s}}
                    -\frac{m}{2} v_s^2- Ng \rho_s.
          \end{equation}
in die neuen Koordinaten eingesetzt wurde.

\subsection{Die Phase der St�rung}
Nehmen wir an, der Zustand sei
          \begin{equation} \label{mad1}
                    \hat\Psi(t,x)=\sqrt{\rho_s(x)}e^{i\frac{m}{\hbar}\int^x v_s(x')dx'}+\varepsilon\hat\eta(t,x) e^{i\frac{m}{\hbar}\int^x v_s(x')dx'},
          \end{equation}
ausn�tzend, dass f�r eine Dimension
          \begin{eqnarray} \label{1dphase}
                    \vec{v}_s= \frac{\hbar}{m}\partial_x \theta_0 & \rightarrow
                    &\theta_0(x)=\frac{m}{\hbar} \int^x dx' v_{s}(x')
          \end{eqnarray}
gilt.
Die Phase von $\hat{\eta}$ gibt die Realtivbewegung der St�rung zum Kondensat an.\\

Bevor dieser Ansatz in Gl.(\ref{GPme3}) eingesetzt werden kann, wird er durch die neuen Koordinaten (Gl.(\ref{xepsilon}))
          \begin{equation} \label{mad2}
                    \hat\Psi(t,x)=\sqrt{\rho_s(x)}e^{i \frac{m}{\hbar} \int^{x} v_s(x' )dx'}+\varepsilon\hat\eta(t,x) e^{i\epsilon\frac{m}{\hbar}\int^{x} v_s(x')dx'},
          \end{equation}
ausgedr�ckt.\\
Mit $\hat{\psi}=\varepsilon\hat\eta(t,x) e^{i\frac{\varepsilon m}{\hbar}\int^x v_s(x')dx'}$ erh�lt man somit eine Gleichung
          \begin{equation}  \label{Gleta}
                    i\hbar\dot{\hat\eta}=Ng\rho_s\left(\hat\eta+\hat\eta^{\dag} \right) -i\epsilon \left( 2v_s \hat\eta'+\hat\eta v_s' \right)
                    -\frac{\epsilon^2\hbar^2}{2m} \left( \hat\eta''-\frac{\sqrt{\rho_s}''}{\sqrt{\rho_s}} \right),
          \end{equation}
die nur noch vom Feldoperator $\hat{\eta}$ abh�ngt. Setzt man in Gl.(\ref{Gleta}) eine Superposition zweier
Feldoperatoren ($a\hat{\eta}_2+b\hat{\eta}_b$) ein, so muss jeder f�r sich diese erf�llen.
Es liegt im Ortsraum keine Koppelung zwischen den Fluktuationen vor. Es bleibt zu untersuchen,
wie die Situation im Impulsraum ist.

\subsubsection{Die Fourier-Entwicklung der St�rung �ber einfache ebene-Wellen-L�sungen\label{fourierebenewellen}}
Liegt der Feldoperator $\hat{\psi}(\vec{x},t)$ vor,
erm�glicht die diskrete Fourier-Analyse
          \begin{equation} \label{fanalyse}
                    \hat{\psi}_{k}(t)=\frac{1}{\sqrt{V}} \int_{-L/2}^{+L/2} e^{-ikx}\hat{\psi}(\vec{x},t)
          \end{equation}
und deren R�cktransformation
          \begin{equation} \label{inversfanalyse}
                    \hat{\psi}_{x}(t)=\frac{1}{\sqrt{V}} \sum_{k=\frac{2\pi}{L}n} e^{ikx} \hat{\psi}_{k}(t)
                    \end{equation}
vom Ortsraum in den Impulsraum zu wechseln und umgekehrt, wobei $n \in \mathtt{Z}$ ist.\\

Die Operatoren $\hat{\psi}_{k}(t)$ im $k$-Raum k�nnen in
Erzeugungs - und Vernichtungsoperatoren umgeschrieben werden:
          \begin{equation}  \label{psik}
                    \hat{\psi}_{k}(t)=\bar{u}_k(x) \hat{a}_{k}(t)+\bar{v}^*_{k'}(x) \hat{a}^{\dag}_{-k}(t) .
          \end{equation}
Im Heisenberg-Bild
          \begin{equation}  \label{akt}
                    \hat{a}_{k}(t)= \hat{a}_{k}e^{-i\omega_k t}
          \end{equation}
l�sst sich der Feldoperator umschreiben in
          \begin{equation} \label{allfanalyse}
                    \hat{\psi}_{x}(t)= \sum_k \left[\bar{u}_k(x) \hat{a}_{k}e^{-i\omega_k t}+
                    \bar{v}^*_{k}(x) \hat{a}^{\dag}_{k}e^{i\omega^*_{k} t}\right].
          \end{equation}
Mit dieser Entwicklung wird Gl.(\ref{GPme1}) diagonalisiert, wobei die Eigenfrequenzen $\omega_k$
der Energie eines Quasiteilchens zugeordnet werden k�nnen.
Dieses Verfahren wird als \textit{Bogoliubov-Transformation} bezeichnet \cite{BECdalfovo}.

Die Amplituden und Wellenzahlen h�ngen hier vom Ort ab:
          \begin{equation}  \label{uvfanalyse}
                    \begin{array} {c}
                    \bar{u}_k (x)=u(x)e^{\frac{i}{\varepsilon}\int_x dx' k(x')+i\frac{m}{\hbar} \int^x dx' v_{s}(x')} \\
                    \bar{v}_k (x)=v(x)e^{\frac{i}{\varepsilon}\int_x dx' k(x')-i\frac{m}{\hbar} \int^x dx' v_{s}(x')}
                    \end{array}.
          \end{equation}
Erzeuger und Vernichter m�ssen die Vertauschungsrelation
          \begin{equation}  \label{verta}
                    \left[ \hat{a}_k,\hat{a}_{k'}^{\dag}  \right]=\delta_{kk'}
          \end{equation}
erf�llen. Es ergibt sich, dass f�r ein Paar ($u_{k'},v_{k'}$)
immer eine dazu redundante L�sung ($v^*_{k},u^*_{k}$) mit den Frequenzen $\omega_{k'}=-\omega_{k}^*$
existiert.

Die Entwicklung nach ebenen Wellen wird im n�chsten Unterabschnitt in Gl.({\ref{GPme3}}) eingesetzt.
Es ergibt sich jeweils eine Gleichung f�r die Erzeugung - bzw. Vernichtungsoperatoren, beide zusammen werden als
\textit{Bogoliubov-Gleichungen} bezeichnet.

\subsection{Die Bogoliubov-Gleichungen in einer Dimension}
Die Bogoliubov-Gleichung in ihrer bekanntesten Form ist\\
          \begin{equation}  \label{bGleichung1}
                    \hbar\omega_{j}
                    \left( \begin{array}{cc}  \bar{u}_{j}\\ \bar{v}_{j}
                    \end{array} \right)
                    =
                    \left( \begin{array}{cc}
                    h_{0}(x)            & mc(x)^2 e^{2i\int^x dx' v_{s}(x')} \\
                    -mc(x)^2 e^{-2i\int^x dx' v_{s}(x')}          &  -h_{0}(x)    \\
                    \end{array} \right)
                    \left( \begin{array}{cc}  \bar{u}_{j}\\ \bar{v}_{j}
                    \end{array} \right) ,
          \end{equation}
mit
          $$ h_{0}(x)=\frac{\epsilon^2 \hbar^2}{2m}\nabla^2 + V_{ext} + 2 Ng\rho_{s}$$
und
          $$  \bar{u}_j(x)=u(x)e^{\frac{im}{\epsilon\hbar}\int^x dx' v_s(x')}e^{\frac{i}{\epsilon}\int^x dx' k(x')}  $$
          $$  \bar{v}_j(x)=v(x)e^{-\frac{im}{\epsilon\hbar}\int^x dx' v_s(x')}e^{\frac{i}{\epsilon}\int^x dx' k(x')}.$$


Eingesetzt in die Bogoliubov-Gl.(\ref{bGleichung1}), ergibt sich
          \begin{equation} \label{bognewallgemein}
                    \begin{split}
                    h_{+}u + Ng\rho_{s}v-i\epsilon \left[ \left( \frac{\hbar^2}{2m}k+\hbar  v_{0}  \right)u''
                    +  \frac{\hbar}{2} \left(\frac{\hbar}{m}k''+ v_s(x)'' \right)u \right]&=0  \\
                    h_{-}v + Ng\rho_{s}u-i\epsilon \left[ \left( \frac{\hbar^2}{2m}k-\hbar  v_{0} \right)v''
                    +  \frac{\hbar}{2} \left(\frac{\hbar}{m}k''-v_s(x)'' \right)v \right]&=0
                    \end{split}
          \end{equation}
wobei
          \begin{equation} \label{h+-}
                    h_{\pm}=\frac{\hbar^2}{m}\frac{k^2}{2}+Ng\rho_{s}\pm \hbar \left(  k v_{0} + \omega_{j} \right).
          \end{equation}
eingef�hrt wurde.
Mit diesen Gleichungen ist es m�glich, die Dispersionsrelation $\omega(k)$
und die Amplituden der erzeugten Moden zu berechnen.\\

\section{Die Zeitentwicklung der Fluktuationen\label{forfluctiations}}

Ergeben sich aus den Bogoliubov-Gleichungen komplex imagin�re oder negativ reelle Eigenfrequenzen,
wird das Kondensat instabil.


\subsection{Dynamische Instabilit�ten}
Die Zeitentwicklung ist durch Gl.(\ref{akt}) gegeben.
F�r komplexe Frequenzen mit negativem Imagin�rteil entwickeln sich die Moden exponentiell mit der
Zeit ($exp(\omega_i t)$). Der Erwartungswert, dass Moden an einem bestimmten Ort erzeugt werden, nimmt
ebenfalls mit der Zeit exponentiell zu ($exp(2\omega_i t)$). Diese Zunahme erfolgt sehr schnell.
Die Fluktuationen k�nnen nicht mehr mit den linearisierten Gl.(\ref{GPme1}) beschrieben werden.\\


\subsection{Energetische Instabilit�ten}
F�r $\omega<0$ befindet sich das System nicht im Grundzustand. In einem solchen System k�nnen
eventuell Moden erzeugt werden, die Energie aus dem Kondensat bef�rdern, wodurch der Zustand des Systems
ver�ndert wird.






Kapitel4a.tex

\chapter{Zigarrenf�rmige Kondensate mit Senke}
Es wird ein eindimensionales Kondensat untersucht, dessen Bewegung auf die $x$-Achse eingeschr�nkt ist.
Die Kondensatwolke nimmt eine zigarrenf�rmige Form mit der L�nge $2D$ an und wird zus�tzlich
symmetrisch zum Ursprung an zwei Stellen eingeschn�rt. Dadurch ist im Bereich $2L$ der Querschnitt der
Kondensatwolke d�nner als au�erhalb.
Diese Konfiguration wurde im Artikel von Cirac et al. \cite{cirac1} bereits behandelt. Die Aufgabe dieses
Kapitels ist es, die dort pr�sentierten Ergebnisse eigenst�ndig zu berechnen.

\section{Das Modell}

In Abb.(\ref{zigarrenform}) ist das Dichteprofil der Kondensatwolke skizziert.
Die Pfeile zeigen die Richtung der Hintergrundgeschwindigkeit an. Es sind zwei Str�me eingezeichnet,
die sich am Koordinatenursprung treffen. Es ist aus Gr�nden der Kontinuit�t erforderlich,
an dieser Stelle einen Laser anzubringen, der eine Senke bei ($x=0$) erzeugt.
Das Geschwindigkeitsprofil
- der Gradient der Phase - soll innerhalb $\vert x \vert <L$ um einen Faktor $\sigma>1$ gr��er
sein, als au�erhalb $\vert x \vert> L+\epsilon $.
          \begin{figure}[t]
          \begin{center}
          \input{zigarrenform2.pstex_t}
          \caption[Zigarrenf�rmiges Dichteprofil]
          {\label{zigarrenform}Schematische Darstellung des Dichteprofils eines zigarrenf�rmigen Kondensats. Die Pfeile
          zeigen die station�re Hintergrundgeschwindigkeit des Kondensats $v=\hbar/m \nabla\rho_0$ an.
          F�r Werte $\vert x\vert>L+\epsilon$ und $\vert x\vert<L$ ist die Flie�geschwindigkeit konstant,
          wobei diese Konstante im letzteren Bereich h�her ist. Dieser Sachverhalt ist durch die L�nge der Pfeile angedeutet. In den
          beiden �bergangsbereichen $L< \vert x \vert <L + \epsilon$ verengt sich das Dichteprofil,
          so dass es, um die Kontinuit�tsgleichung zu erf�llen, schneller flie�en muss. In der Mitte bei $x=0$ treffen die beiden
          Str�me des Kondensats aufeinander, die von einem off-resonanten Laserstrahl aus dem Kondensat geleitet werden.}
          \end{center}
          \end{figure}
F�r ein station�res Problem gilt mit Gl.(\ref{kontgl0}), dass der Fluss pro Volumeneinheit und Zeit konstant
sein muss, und damit
          \begin{equation} \label{v0c0}
                    c(x)^2 v(x)=const.
          \end{equation}
F�r die Schallgeschindigkeit wird
          \begin{equation} \label{csink}
                    c(x)=\left\{\begin{array}{ll}
                    c_{0},  & \vert x \vert < L \\
                    c_{0}[1+(\sigma-1)x/ \varepsilon] , & L < \vert x \vert < L+\varepsilon \\
                    \sigma c_{0}, & L+\varepsilon <  \vert x \vert
                    \end{array}  \right.
          \end{equation}
gew�hlt und liefert mit
          \begin{equation}  \label{vsink}
                    v(x)=-\frac{v_0 c_0^2}{c(x)^2}\frac{x}{\vert x \vert}.
          \end{equation}
die gew�nschte Verteilung f�r die station�re Hintergrundgeschwindigkeit.

\subsection{Die Gross-Pitaevskii-Gleichung f�r das zigarrenf�rmige Kondensat}
Das Kondensat kann durch die zeitabh�ngige Gross-Pitaevskii-Gleichung
          \begin{equation} \label{GPEsink}
                    \zeit \hat{\Psi}=\frac{\hbar^2}{2m}\partial{x}^2 \hat{\Psi}+(N_0g\vert\hat{\Psi}\vert^{2}
                    +V_{ext}(x)-i v_{0}\delta(x))\hat{\Psi}
          \end{equation}
beschrieben werden, wobei es erforderlich ist, den Zusatzterm $-i v_{0}\delta(x) $ einzuf�hren,
der die Wirkung des Lasers an der Stelle $x=0$ beschreibt.
Dort wird die Fl�ssigkeit mit der Geschwindigkeit $v_0$ aus dem Kondensat entfernt.

Das Potential
          \begin{equation} \label{estVsinkneu}
                    V_{ext}(\vec{x})=\frac{\hbar^2}{2m}\frac{c(x)''}{c(x)}
                    -\frac{m}{2} v^2- m c(x)^2 .
          \end{equation}
ergibt sich durch Einsetzen des Grundzustandes $\Phi_0$ in Gl.(\ref{GPEsink}).

\subsection{Stetigkeitsbedingungen am Punkt $x=0$}
Das Kondensat ist durch die Senke an der Stelle $x=0$ in zwei Teile getrennt. Die L�sungen m�ssen
stetig ineinander �bergehen
          \begin{equation}  \label{b1}
                    \hat{\Psi}(0^{+},t)-\hat{\Psi}(0^{-},t)=0.
                    \end{equation}
Es ist $ \hat\Psi(0^{\pm},t)=\lim_{\varepsilon \rightarrow 0}\hat\Psi(\pm \varepsilon,t) $.

Eine Bedingung f�r die erste Ableitung ergibt sich durch Integration\footnote{Hier wurde zus�tzlich f�r beschr�nkte $f(x)$  verwendet:\\
$$ \lim_{\varepsilon \rightarrow 0} \int_{0}^{x=0 \pm \varepsilon}f(x')dx'=\pm \lim_{\varepsilon \rightarrow 0} f(0)\varepsilon=0  $$
$$ \lim_{\varepsilon \rightarrow 0} \int_{0}^{x=0 \pm \varepsilon}\delta(x')f(x')dx'=\pm f(0)  $$}
von Gl.(\ref{GPEsink}):
          \begin{equation}  \label{b2}
                    \hat{\Psi}^{\prime}(0^{+},t)-\hat{\Psi}^{\prime}(0^{-},t)=-\frac{2im}{\hbar^2}\hat\Psi(0) .
          \end{equation}
%Entspricht diese Konfiguration einem schwarzen
%Loch, l�sst sich eine effektive Metrik finden, deren Element $g_{00}$ an einem Punkt
%verschwindet.

\section{Die Wellengleichung\label{wellengleichung}}
Die Dynamik einer modulierten Dichtest�rung wurde in Kapitel (\ref{wellengleichungignacio}) hergeleitet. In diesem Abschnitt
werden die Rechnungen auf das zigarrenf�rmige Kondensat angewendet.
F�r ein symmetrisches System reicht es aus, das Verhalten f�r $x>0$ zu untersuchen.
Am Punkt $x=0$ werden die rechten und linken L�sungen stetig verbunden.

\subsection{Die Metrik f�r das zigarrenf�rmige Kondensat}
Zur Berechnung der Wellenfunktion kann $\hat{\Psi}\approx \Phi$ gesetzt werden,
was bereits in Kapitel (\ref{vielteil}) berechnet wurde.
F�r eine Dimension wird Gl.(\ref{GPE2}) zu
          \begin{equation} \label{GPE21Dim}
                    i\hbar\partial_t \Phi(t,x)=\left( \frac{\hbar^2}{2m}\partial_x^2 + V_{ext}(x) + N_0 g \vert \Phi(x) \vert^2 \right) \Phi(t,x),
          \end{equation}
wobei der Term f�r die Senke nicht auftaucht, da nur Werte $x>0$ betrachtet werden. Das chemische Potential
$\mu$ ist in $V_{ext}$ enthalten.

Induziert man von au�en eine lokale Dichteschwankung, breitet sich diese wie eine Schallwelle
in einem Superfluid aus. Die Bewegungsgleichungen f�r die St�rung ergeben sich, wenn
in Gl.(\ref{GPEsink}) f�r die Dichte $\rho=\rho_0 +\varepsilon \rho_1 $ und f�r die Phase
$\theta=\theta_0 +\varepsilon  \theta_1 $ eingesetzt wird.
Die Rechnungen entsprechen denen aus Kapitel (\ref{wellengleichungignacio}).
Um Wiederholungen zu vermeiden, werden im Folgenden nur die Ergebnisse pr�sentiert.
In erster Ordnung erh�lt man f�r den Realteil
          \begin{equation} \label{dyn2a1dim}
                    \dot{\rho_0}=-\frac{\hbar}{m}\partial_x(\rho_0 \partial_x \theta_0),
          \end{equation}
und den Imagin�rteil
          \begin{equation} \label{dyn2b1dim}
                    \dot{\rho_1}=-\frac{\hbar}{m}\partial_{x} (\rho_0 \partial_{x} \theta_1 + \rho_1 \partial_{x} \theta_0)
          \end{equation}
Diese beiden Gleichungen lassen sich zusammenfassen zu einer Wellengleichung
          \begin{equation} \label{wellengl2zig1D}
                    \partial_{\mu}(\sqrt{-g}g^{\mu\nu}\partial_{\nu}\theta_{1})=0,
          \end{equation}
mit der effektiven Metrik
          \begin{equation} \label{mkontrazig1D}
                    g^{\mu \nu}=\frac{-1}{c^2}\left( \begin{array}{cccc}
                    1            & v_{x}               & 0              & 0\\
                    v_{x}       & -c^2+v_{x}^2        & 0              & 0\\
                    0            & 0                    & -c^2           & 0 \\
                    0            & 0                    & 0              & -c^2
                    \end{array} \right).
                    \end{equation}

Damit ist gezeigt, dass sich die Dichteschwankungen analog zu masselosen Teilchen in Anwesenheit
eines �u�eren Gravitationsfeldes ausbreiten. Als n�chstes wird untersucht, welchem Gravitationsfeld
die effektive Metrik entspricht.

\subsection{Die kovariante Metrik}
Ein Umschreiben der Metrik (\ref{mkontrazig1D}) in ihre kovariante Form\footnote{Es gilt,
$g^{\mu \nu}g_{\mu \nu}=\mathsf{1}$.} ergibt
          \begin{equation} \label{mkonzig1D}
                    g_{\mu \nu}=c\left( \begin{array}{cccc}
                    -c^2+v_{x}^2           & -v_x                  & 0              & 0\\
                    -v_x                    & 1                    & 0              & 0\\
                    0                      & 0                    & 1              & 0 \\
                    0                      & 0                    & 0              & 1
                    \end{array} \right),
                    \end{equation}
mit $g_{00}=-c^2+v_{x}^2$.

Ein schwarzes Loch liegt vor (siehe Kapitel \ref{blackholes}), wenn
sich das Vorzeichen von $g_{00}$ �ndert. Der Punkt mit $g_{00}=0$ wird als Ereignishorizont bezeichnet.
Damit kann �berpr�ft werden, ob die effektive Metrik mit der eines schwarzen Lochs vergleichbar ist.

\subsection{Der Ereignishorizont}

\paragraph{$g_{00}>0$:}\hfill\parbox[t]{13.5cm}{
Nehmen wir an, f�r $x<L$ sei $v(x)^2>c(x)^2$, dann gilt mit Gl.(\ref{csink}) und Gl.(\ref{vsink}),
dass $v_0^2>c_0^2$, wobei $v_0={\hbar}/{m}\,\partial_x \theta_0(x)$ und $c_0={\hbar}/{m}\,\sqrt{4\pi a \rho_{0}(x)}$ sind.
Da beide Geschwindigkeiten in diesen Bereichen konstant sind, kann man mit einer Konstante $s>1$ schreiben,
dass $v_0^2=sc_0^2$.}

\paragraph{$g_{00}<0$:}\hfill\parbox[t]{13.5cm}{
Es muss m�glich sein, die vorherige Bedingung und gleichzeitig $v(x)^2<c(x)^2$ f�r
$x>L+\epsilon$ zu erf�llen.
In diesem Bereich ist $v(x)^2={v_0^2}/{\sigma^4}$ und $c(x)^2=\sigma^2 c_0^2$. Damit kann
man erneut $s={v(x)^2}/{c(x)^2}={v_0^2}/({c_0^2\, \sigma^6})$ bestimmen.
F�r $s<1$ ist dann $v(x)^2<c(x)^2$ erf�llt, was durch geeignete Wahl von $\sigma$ erreicht werden kann.}\\[5mm]
          \begin{figure}[h]
          \begin{center}
          \input{vandc.pstex_t}
          \caption[Geschwindigkeiten im zigarrenf�rmigen Kondensat mit Senke]
          {\label{cundv}F�r $\epsilon \rightarrow 0$ sind hier die Quadrate der Schallgeschwindigkeit $c$ und der lokalen
          Hintergrundgeschwindigkeit $v$ in Abh�ngigkeit von $x$ schematisch dargestellt. Es wurden hier $c_0=1$, $s=2$
          und $\sigma=2$ gew�hlt. Innerhalb des schwarzen Lochs ist die Schallgeschwindigkeit kleiner, au�erhalb gr��er als die
          Geschwindigkeit des Kondensats.}
          \end{center}
          \end{figure} \noindent

Es gibt einen Bereich, in dem die Hintergrundstr�mung schneller flie�t (supersonic) als die St�rung sich ausbreiten
kann. In diesem Bereich muss die Dichtemodulation in Richtung des Kondensats flie�en.
Damit befindet sich diese im Inneren des schwarzen Lochs.\\
Au�erhalb ist ein Propagieren in beide Richtungen m�glich.
Dort flie�t die Hintergrundstr�mung langsamer als die Schallgeschwindigkeit (subsonic).
Dazwischen befindet sich der Ereignishorizont.
Wenn $\epsilon$ gegen Null geht, ist der Ereignishorizont bei $x_{EH}=L$.


\section{Die Zeitentwicklung der Fluktuationen\label{zigarrenstrahlung}}
Aus Kapitel (\ref{fluktuationsaroundground}) ist bekannt, dass Fluktuationen um den Grundzustand
nach der Modenentwicklung die Bogoliubov-Gleichungen (\ref{bognewallgemein}) erf�llen.
Diese werden nun speziell auf das zigarrenf�rmige Kondensat angewendet.

\subsubsection{Die L�sungen der Bogoliubov-Gleichungen}
Es ist nicht notwendig, in den Bereichen $\vert x \vert< L $ und
$\vert x \vert > L + \varepsilon $
die integrale Form f�r die Phase $ \int^x dx' v(x') $ zu verwenden,
da dort die lokale Hintergrundgeschwindigkeit $ v $ konstant ist. Damit ist:
$$  \bar{u}_j(x)=u(x)e^{-\frac{im}{\epsilon\hbar} \vert v_0 \vert(x-L)}e^{\frac{i}{\epsilon}k (x-L)}  $$
$$  \bar{v}_j(x)=v(x)e^{\frac{im}{\epsilon\hbar}\vert v_0 \vert(x-L)}e^{\frac{i}{\epsilon}k (x-L)}. $$
Damit lauten die Bogoliubov-Gleichungen (\ref{bognewallgemein}) f�r den inneren und �u�eren Bereich
\begin{equation}  \label{bognewsink}
\begin{split}
h_{+}u + Ng\rho_{s}v-i\epsilon \left[ \left( \frac{\hbar^2}{2m}k-\hbar \vert v \vert \right)u''
+  \frac{\hbar}{2} \left(\frac{\hbar}{m}k'' \right)u \right]&=0  \\
h_{-}v + Ng\rho_{s}u-i\epsilon \left[ \left( \frac{\hbar^2}{2m}k+\hbar \vert v \vert\right)v''
+  \frac{\hbar}{2} \left(\frac{\hbar}{m}k'' \right)v \right]&=0
\end{split}
\end{equation}
wobei
\begin{equation} \label{h+-sink}
h_{\pm}=\frac{\hbar^2}{m}\frac{k^2}{2}+Ng\rho_{s}\mp \hbar \left(  k\vert v \vert + \omega_{j} \right).
\end{equation}
ist.
Diese Gleichungen sind auf ganz $\mathbb{R}$ analytisch.
Da $c$ und $v$ sich in den drei Bereichen - siehe Abb.(\ref{randbedingungen}) -
unterschiedlich verhalten, werden f�r
jeden Bereich die Bogoliubov-Gleichungen separat gel�st und an den Grenzen verbunden.

\subsubsection{Die Randbedingungen}
Setzt man $\hat{\psi}=\varepsilon\hat\eta(t,x) e^{i\frac{\varepsilon m}{\hbar}\int^x v(x')dx'}$ in die Stetigkeitsbedingungen
Gl.(\ref{b1}) und Gl.(\ref{b2}) ein, erh�lt man f�r $\hat{\eta}(0)$
          \begin{equation} \label{b1eta}
                    \hat{\eta}(0^+,t) -\hat{\eta}(0^-,t)=0
          \end{equation}
und
          \begin{equation} \label{b2eta}
                    \hat{\eta}'(0^+,t) -\hat{\eta}'(0^-,t)=0   ,
          \end{equation}
nur gerade und ungerade L�sungen (Abb.(\ref{randbedingungen})).
Es ist ausreichend, die rechte Seite $x>0$ zu untersuchen.\footnote{Am Schlu\ss \, sind von allen L�sungen
nur die am Punkt $x=0$ stetigen erlaubt.}\\

Im offenen Intervall $x>0$ gehen an den Stellen $x=L$ und $x=L+\varepsilon$ die L�sungen der abgetrennten
Bereiche ineinander �ber. W�hrend innerhalb und au�erhalb des schwarzen Lochs die L�sungen explizit
ermittelt werden k�nnen, kann durch die folgende Integralabsch�tzung
f�r ein $x \in L < x <  L + \epsilon$
          \begin{equation} \label{integalab}
                    \left\vert \int_L^x dx' v(x') \right\vert \leq \int_L^{L+\epsilon} dx \frac{v_0}{[1+(\sigma-1)x/\epsilon]^2}\leq v_0 \epsilon \ll 1,
          \end{equation}
der Zustand vereinfacht werden zu
          \begin{equation} \label{linwelle}
                    \begin{array}{c}
                    u_{\omega,k}=\alpha_{\omega,k}+\beta_{\omega,k}\frac{x}{\varepsilon}+\mathcal{O}(\varepsilon^2)\\
                    v_{\omega,k}=\gamma_{\omega,k}+\kappa_{\omega,k}\frac{x}{\varepsilon}+\mathcal{O}(\varepsilon^2)
                    \end{array},
                    \end{equation}
wodurch die zweiten Ableitungen verschwinden.\\

Das Verhalten an den Kontaktstellen wird von der Schallgeschwindigkeit bestimmt, deren zweite Ableitung
          \begin{equation}  \label{problemc}
                    \frac{c''(x)}{c(x)}=\frac{\sigma-1}{\epsilon}\left[ \delta(\vert x \vert -L)-\frac{1}{\sigma} \delta(\vert x \vert -L-\epsilon) \right]
          \end{equation}
singul�re Punkte hat.\footnote{Zur Berechnung ist die erste Ableitung der Schallgeschwindigkeit Gl.(\ref{csink}) erforderlich:
          $$\begin{array}{cc}
          c'(L^-)=0                                         & c'(L^+)=\frac{\sigma-1}{\epsilon} \\
          c'((L+\epsilon)^-)=-\frac{\sigma-1}{\epsilon}     & c'((L+\epsilon)^+)=0
          \end{array}$$}


Analog zur Bestimmung von Gl.(\ref{b1}) und Gl.(\ref{b2}) lassen sich nun die Randbedingungen an den Stellen
$x=L$ und $x=L+\varepsilon$ herleiten:
          \begin{equation} \label{binden}
          \begin{split}
          \hat{\eta}(L^+)-\hat{\eta}(L^-)=&0 \\
          \hat{\eta}'(L^+)-\hat{\eta}'(L^-)=&\frac{\sigma-1}{\varepsilon}\hat{\eta}(L) \\
          \hat{\eta}(L+\varepsilon^+)-\hat{\eta}(L+\varepsilon^-)=&0 \\
          \hat{\eta}'(L+\varepsilon^+)-\hat{\eta}'(L+\varepsilon^-)=& \frac{\sigma-1}{\sigma\varepsilon}\hat{\eta}(L+\varepsilon)
          \end{split}
          \end{equation}

In Abb.(\ref{randbedingungen}) sind alle Ergebnisse f�r die Randbedingungen zusammengefasst.
          \begin{figure}[t]
          \begin{center}
          \input{bind.pstex_t}
          \caption[Randbedingungen f�r zigarrenf�rmiges Kondensat mit Senke]
          {\label{randbedingungen}Schematische Darstellung der Randbedingungen.
          Die schwarze Kurve zeigt eine L�sung f�r $x>0$. Im Bereich $L<x<L+\epsilon$ k�nnen die
          Wellenfunktionen linearisiert werden und die drei Bereiche m�ssen stetig ineinander �bergehen.
          Eine Erweiterung der L�sung auf die ganze $x$-Achse ist m�glich. Die Stetigkeitsbedingung an
          der Stelle $x=0$ erlaubt nur gerade - gr�ne Kurve -  bzw. ungerade - rote Kurve - Wellenfunktionen.}
          \end{center}
          \end{figure}
Die beiden ebenen Wellen - die paarweise erzeugt werden - m�ssen jede f�r sich die Gl.(\ref{binden}) erf�llen.
Es ergeben sich zwei Gleichungen f�r $u_k$ und $v_k$.\\
Aus den Anschlussbedingungen und der Form der Moden (Gl.(\ref{linwelle})) im �bergangsbereich ergibt sich
          \begin{equation} \label{hilfe1}
                    \frac{u_k(L+ \epsilon)}{u_k(L)}=\frac{v_k(L+ \epsilon)}{v_k(L)}=-\frac{1}{\sigma}.
          \end{equation}
Ist $\epsilon$ klein, kann
          $$ u(L+\epsilon^+)\approx u(L^+)+\epsilon u'(L^+) $$
als Taylor-Reihe bis zur ersten Ordnung entwickelt werden.
Ein Umschreiben in $u(L^+)=u_{out}(L)$ bzw. $u(L^-)=u_{in}(L)$ und Einsetzen in obige Gleichung
ergibt zusammen mit den Anschlussbedingungen
          \begin{equation}  \label{bindenuv}
                    \begin{split}
                    u_{in,k}=&-\varepsilon u_{out,k}'(L) + \frac{1}{\sigma}u_{out,k}(L)\\
                    u_{in,k}'=&\sigma u_{out,k}'\\
                    v_{in,k}=&-\varepsilon v_{out,k}'(L) + \frac{1}{\sigma}v_{out,k}(L)\\
                    v_{in,k}'=&\sigma v_{out,k}'
                    \end{split}.
          \end{equation}


\subsection{Zur L�sung der Bogoliubov-Gleichungen\label{potentialtopfnotwendig}}
F�r Potentiale, die sich nur wenig mit der $x$-Koordinate �ndern, kann die sog.
\textit{WKB-N�herung} (siehe Anhang \ref{WKB})
verwendet werden. In diesem Fall sind die Schall- und Hintergrundgeschwindigkeit in der
inneren und �u�eren Region konstant.
Mit Gl.(\ref{extV2}) ist das externe Potential ebenfalls konstant.
Zun�chst werden mit der WKB-N�herung die L�sungen von Gl.(\ref{bGleichung1}) bestimmt.
Anschlie�end werden mit den Randbedingungen die inneren und �u�eren Wellen miteinander verbunden.

\subsubsection{Die WKB-N�herung}
F�r ein sich wenig �nderndes Potential lassen sich die Amplituden der ebenen Wellen als Taylor-Reihe
schreiben:
          \begin{eqnarray}
                    \label{uWKB}
                    u(x)=u_{0}+\varepsilon u_{1}+... . \\
                    \label{vWKB}
                    v(x)=v_{0}+\varepsilon v_{1}+... .
                    \end{eqnarray}
Eingesetzt in Gl.(\ref{bGleichung1}) ergibt sich in nullter Ordnung in $\varepsilon$ das Gleichungssystem
          \begin{equation} \label{Dis1}
                    \left( \begin{array}{cc}
                    h_{+}        & Ng\rho_{s} \\
                    Ng\rho_{s}   & h_{-}
                    \end{array}\right)
                    \left(    \begin{array}{cc}
                    u_{0} \\
                    v_{0}
                    \end{array}\right) =0,
          \end{equation}
dessen L�sungen die Determinante $ h_{+}h_{-}-(mc^2)^2=0 $ verschwinden lassen.
Das f�hrt zu einer Dispersionsrelation,
          \begin{equation} \label{disprel}
                    \frac{\hbar^2}{m^2}\frac{k^4}{4}+(c^2-\vert v \vert^2)k^2
                    - 2 \vert v \vert \omega_j k - \omega_j^2=0,
          \end{equation}
deren L�sungen im Allgemeinen nicht zu finden sind, aber f�r spezielle $\omega$ analysiert werden k�nnen.\\

\paragraph{Reelle Frequenzen \label{realfrequ}}
Die Definition der Funktion
          \begin{equation}  \label{fpm}
                    f_{\pm}=\hbar \omega_{j}=-\hbar k \vert v \vert  \pm \hbar k\sqrt{\frac{\hbar^2}{m^2}\frac{k^2}{4}+c^2},
          \end{equation}
welche eine abgewandelte Form von Gl.(\ref{disprel}) ist, erweist sich als sinnvoll.
Die Interpretation dieser Formel wird in Abb.(\ref{reellefrequenzen}) erkl�rt.
          \begin{figure}
          \begin{center}\vspace{-0.8cm}
          \input{komplexwinside.pstex_t}
          \caption[Reelle Frequenzen]{\label{reellefrequenzen}
          In den drei Plots ist
          die Energie $f_{\pm}$ - siehe Gl.(\ref{fpm}) - in Abh�ngigkeit von $k$ aufgetragen.
          Bild (A) zeigt die Situation innerhalb des schwarzen Lochs. Dort treten f�r Energien, die
          unterhalb $\vert E \vert<\hbar \omega_{max}$ sind, vier reelle $k$-Werte auf - oberhalb zwei.
          In (B) bzw. (C) - am Ereignishorizont bzw. au�erhalb des schwarzen Lochs - ist keine maximale
          Frequenz zu finden. Zusammenfassend ist zu vermerken, dass in allen drei Bereichen mindestens
          zwei Wellen reelle Wellenzahlen $k$ mit entgegengesetzter Laufrichtung haben.}
          \end{center}
          \end{figure}
Stellt man $f_{\pm}$ in Abh�ngigkeit von $k$ dar - wie in Abb.(\ref{reellefrequenzen})
- ist es m�glich, die L�sungen
von Gl.(\ref{disprel}) graphisch zu ermitteln - vorausgesetzt, dass $\omega$ reell ist.
Die L�sungen f�r eine spezielle Frequenz ergeben sich, wenn eine horizontale Gerade in die Abbildung
eingezeichnet wird. Die Schnittpunkte mit den beiden Funktionen $f_+$ und $f_-$ entsprechen den Wellenzahlen
der einzelnen Moden. In den verschiedenen Bereichen kann mit diesem Verfahren die Anzahl der reellen Wellenzahlen
bestimmt werden.\\

Zur Ermittlung der nicht rein reellen Wellenzahlen wird zus�tzlich verwendet, dass
Gl.(\ref{disprel}) ein komplexes Polynom vierten Grades ist und damit
genau vier Nullstellen  aufweist \cite{rudin}. Dieses Polynom besitzt nur reelle
Koeffizienten, wodurch jede komplex Konjugierte einer Nullstelle ebenfalls eine L�sung des Polynoms ist.
Die L�sungen treten in diesem Fall paarweise auf.

\subparagraph{Innerhalb des schwarzen Lochs:}$c^2<\vert v \vert^2$

\hfill\parbox[t]{15cm}{
Es existiert ein $\omega_{max}$, bei welchem genau vier reelle Nullstellen in Gl.(\ref{disprel}) auftreten.
Oberhalb dieser Frequenz liegen zwei, unterhalb vier reelle Nullstellen. Die Frequenz $\omega_{max}$ isoliert
die Bereiche verschiedener L�sungen voneinander und wird deshalb als Bifurkationspunkt bezeichnet.}
          \begin{center}
          \begin{minipage}{100mm}
          \begin{tabular}{lcl  }
          \textbf{$\omega > \omega_{max}$} & : &
          Zwei reelle und zwei komplexe $k_{c1}$ und $k_{c1}^{*}$  L�sungen.\\
          \textbf{$\omega = \omega_{max}$} & : &
          Vier reelle L�sungen, eine zweiter und zwei erster Ordnung.\\
          \textbf{$\omega < \omega_{max}$} & : &
          Vier reelle L�sungen.
          \end{tabular}
          \end{minipage}
          \end{center}

\subparagraph{Am Ereignishorizont: $c^2=\vert v \vert^2$}
          \begin{center}
          \begin{minipage}{100mm}
          \begin{tabular}{lcl  }
          \textbf{$\forall \omega$} & : &
          Zwei reelle und zwei komplexe $k_{c1}$ und $k_{c1}^{*}$ L�sungen.
          \end{tabular}
          \end{minipage}
          \end{center}

\subparagraph{Au�erhalb des schwarzen Lochs: $c^2> \vert v \vert^2$}
          \begin{center}
          \begin{minipage}{100mm}
          \begin{tabular}{lcl  }
          \textbf{$\forall \omega$}  & : &
          Zwei reelle und zwei komplexe $k_{c1}$ und $k_{c1}^{*}$ L�sungen.
          \end{tabular}
          \end{minipage}
          \end{center}


\paragraph{Rein imagin�re Frequenzen:}
Einsetzen einer beliebigen, aber rein imagin�ren Frequenz
$\omega=i \Gamma$ in Gl.({\ref{Gleta}})
liefert
$$i\hbar \Gamma \hat{w} (x)=Ng\rho_s (\hat{w} (x) + \hat{w}(x)^{\dag})-i\varepsilon (2 v \hat{w}(x)' + \hat{w}(x)v') + \mathcal{O}(\varepsilon^2), $$
wobei f�r die St�rung
$\hat\eta (x,t)=\hat w(x) e^{\Gamma t} $ eingesetzt wurde.\\
Anstatt gleich nach den Moden zu entwickeln, wird zun�chst die WKB-N�herung durchgef�hrt.

In der nullten Ordnung in $\varepsilon$ erh�lt man
\begin{equation} \label{pureim}
i\hbar \Gamma w_0 = Ng\rho_s (w_0 + w_0^*).
\end{equation}
Diese Gleichung ist nur f�r $w_0=0$ erf�llt.

\subparagraph{Zusammenfassend:}
$\omega$ kann nicht rein imagin�r sein!


\paragraph{Komplexe Frequenzen:}
Einsetzten einer beliebigen, aber festen komplexen Frequenz $\omega=\omega_{r}+i\omega_{i}$
in Gl.(\ref{disprel}) liefert
          $$  \frac{\hbar^2}{m^2}\frac{k^4}{4}+(c^2- v^2)k^2 - 2  v  (\omega_r+i\omega_{i})  k -\omega_{r}^2
          +\omega_{i}^2-2i \omega_{r} \omega_{i} =0 . $$
Nimmt man weiterhin an, dass $k$ reell ist, dann k�nnen
Real- und Imagin�rteil dieser Gleichung voneinander separiert werden.\\
Der Imagin�rteil f�hrt zu einem Ausdruck f�r $\omega_{r}=-k v $, welcher zusammen mit dem reellen Anteil
zu
          $$ \omega_{i}^2=-\left( \frac{\hbar^2}{m^2}\frac{k^4}{4}+c^2 k^2 \right) $$
f�hrt, was f�r reelle $k$ nicht l�sbar ist.

\subparagraph{Zusammenfassend:}
F�r rein komplexe Frequenzen k�nnen die L�sungen $k$ nicht rein imagin�r sein.\\

Es bleibt zu kl�ren, wie die komplexen L�sungen von $k$ aussehen.
Von ausschlaggebendem Interesse ist die Frage nach dem Vorzeichen des Imagin�rteils.
Mit Abschnitt (\ref{realfrequ}) folgt, dass keine rein reellen Frequenzen  $k$ erlaubt sind. Das bedeutet aber
auch eine Unterteilung der komplexen $\omega$-Ebene in zwei Bereiche. Der eine ist die positive
komplexe Halbebene, der andere die negative.
Der Grund hierf�r ist, dass alle L�sungen zu einer Frequenz das Vorzeichen
ihres Imagin�rteils $k_i$ nicht wechseln k�nnen. Ansonsten w�rde es beim �bergang von
$+k_I$ zu $-k_I$ einen Punkt geben, in dem $k_I=0$ w�re, was nicht erlaubt ist.
Dadurch wird es m�glich, kleine Frequenzen zu betrachten, deren Resultate dann
auf alle $\omega$ in der gleichen Halbebene erweitert werden k�nnen.


Gl.(\ref{disprel}) reduziert sich f�r $\omega=0$ zu
          \begin{equation}  \label{omega=0}
                    k^2 \left(\frac{\hbar^2}{m^2}\frac{k^2}{4}+(c^2- v^2) \right)=0.
          \end{equation}
Als L�sungen ergeben sich eine doppelte Nullstelle bei $k=0$ und zwei weitere L�sungen mit
          $k=\pm \frac{2m}{\hbar}\sqrt{ v^2-c^2}$.\\
Mit der Tatsache, dass f�r reelle $\omega<\omega_{max}$ alle vier Nullstellen ebenfalls reell sind,
kann man $k=k_r+i \varepsilon k_i$ setzen, da der Imagin�rteil verschwinden muss,
wenn $\omega_i \rightarrow 0$.\footnote{Um Missverst�ndnisse zu vermeiden: Es ist m�glich,
in Gl.(\ref{disprel}) rein imagin�re Frequenzen einzusetzen, auch wenn diese in Gl.(\ref{Gleta}) nicht erlaubt sind. Am Ende werden
diese L�sungen ausgeschlossen. Es ist nur ihr Verhalten in der oberen komplexen $\omega$-Ebene von Interesse.}

Im n�chsten Schritt werden die Annahmen - $k=k_r+i\varepsilon k_i$ und
$\omega=i\varepsilon/[sec]$ - in Gl.(\ref{disprel}) eingesetzt
          \begin{eqnarray}
                    \frac{\hbar^2}{4m^2}\left( k_r^4-\varepsilon^2 6k_r^2 k_i^2 + \varepsilon^4 k_i^4
                    +i\left( \varepsilon 4 k_r^3k_i - \varepsilon^3 4 k_r k_i^3  \right)\right) + \nonumber \\
                    \left( c^2 -  v^2 \right)\left( k_r^2 -\varepsilon^2 k_i^2 + i \varepsilon 2 k_r k_i \right)
                    +\varepsilon^2 2 k_i  v /[sec] -i \varepsilon 2 k_r  v  + \varepsilon^2 /[sec]^2 = 0 \label{disprel*}
          \end{eqnarray}
und in Real- und Imagin�rteil unterteilt. Weiterhin ist noch in die verschiedenen Ordnungen von $\varepsilon$
zu unterteilen. Es wurde ber�cksichtigt, dass f�r $\omega \rightarrow i\varepsilon$ die Einheit der
Frequenz $1/[sec]$ nicht ohne Weiteres weggelassen werden darf.

\subparagraph{Reell und $\mathbf{\mathcal{O}(\varepsilon^0)}$}
          $$  \frac{\hbar^2}{4m^2}k_r^4 + \left( c^2 -  v^2 \right) k_r^2 = 0 $$
          \begin{eqnarray}
                    k_r=0 \label{kr1}\\
                    k_r=\pm \frac{2m}{\hbar}\sqrt{ v^2-c^2} \label{kr2}
          \end{eqnarray}

\textbf{$\mathbf{k_r=0}$ in Gl.(\ref{disprel*})}
$$ \frac{\hbar^2}{4m^2}\varepsilon^4 k_i^4 +
-\left( c^2 -  v^2 \right)\varepsilon^2 k_i^2 /[sec]
+\varepsilon^2 2 k_i  v /[sec]
+\varepsilon^2 /[sec]^2= 0 $$
und $\mathcal{O}(\varepsilon^2)$
          \begin{equation} \label{ki12}
                    k_i=\frac{1}{- v  \pm c}[sec]
          \end{equation}\\

\textbf{$\mathbf{k_r=\pm \frac{2m}{\hbar}\sqrt{ v^2-c^2}}$ in Gl.(\ref{disprel*})}
$$ -\varepsilon^2 6 \left(  v^2 -c^2  \right) k_i^2 + \varepsilon^4 \frac{\hbar^2}{4m^2}k_i^4
i\left( \pm \varepsilon \frac{m}{\hbar}\left( v^2 -c^2 \right)^{\frac{3}{2}}k_i \mp \varepsilon^3 \frac{m}{\hbar}
\sqrt{ v^2 -c^2}k_i \right) +$$
$$ \left( v^2 -c^2 \right) \left( -\varepsilon^2 k_i^2 \pm i\varepsilon \frac{m}{\hbar} \sqrt{ v^2 -c^2}k_i \right)
+ \varepsilon^2 2 k_i/[sec]  v  \mp i\varepsilon \frac{m}{\hbar}\sqrt{ v^2 -c^2} v  + \varepsilon^2/[sec]^2 =0 $$
und $\mathcal{O}(\varepsilon^1)$  \\

          \begin{equation} \label{ki3}
                    k_i=\frac{1}{2}\frac{ v }{\left( v^2 -c^2 \right)}[sec]
          \end{equation}
In Tabelle (\ref{allelosungen}) werden alle Ergebnisse zusammengefasst.

          \begin{table}[h] \begin{center}
          \begin{tabular}{|l|cc| }
          \hline
          $k$                                                  & Vorzeichen von $k_i$                 & Vorzeichen von $k_i$ \\
          $k=k_r+k_i$                                          & f�r $ v^2>c^2$   & f�r $ v^2<c^2$  \\ \hline\hline
          $k_1=i\frac{1}{- v^2 +c^2}[sec]$             & $-$                           & $+$ \\
          $k_2=i\frac{1}{- v^2 -c^2}[sec]$             & $-$                           & $-$ \\
          $k_3=+\frac{2m}{\hbar}\sqrt{ v^2-c^2}+i\frac{1}{2}\frac{ v }{ v^2-c^2}[sec]$ & $+$          & $+$\footnotemark\\
          $k_4=-\frac{2m}{\hbar}\sqrt{ v^2-c^2}+i\frac{1}{2}\frac{ v }{ v^2-c^2}[sec]$ & $+$          & $-$\addtocounter{footnote}{-1}\footnotemark\\[3mm]
          \hline
          \end{tabular}
          \caption[Zusammenfassung der L�sungen f�r komplexe Frequenzen]{F�r ein beliebig gew�hltes komplexes
          $\omega$ ist die Wellenzahl $k$ ebenfalls komplex. Jeweils lassen sich zwei L�sungen mit positivem bzw.
          negativem Imagin�rteil $k_i$ finden.\label{allelosungen}}
          \end{center}
          \end{table}
          \footnotetext{F�r $ v^2<c^2$ wird der Realteil von $k_3$ und $k_4$ imagin�r, weshalb in diesem Fall die beiden
          zu verwenden sind. Daher sind $k_3=+i\frac{2m}{\hbar}\sqrt{  v^2-c^2 }$ und $k_4=-i\frac{2m}{\hbar}\sqrt{  v^2-c^2 }$
          komlex-konjugiert zueinander.}

\subparagraph{Zusammenfassend:}
F�r kleine Frequenzen in der oberen Halbebene haben wir zwei L�sungen mit positivem und zwei
mit negativem Imagin�rteil.
Weiterhin haben L�sungen f�r $\omega_I>0$ die gleiche Anzahl an positiven bzw. negativen $k_I$.
Das gilt f�r die obere $\omega$-Ebene und damit f�r die ganze Ebene.\\
Da alle Ergebnisse auf der G�ltigkeit der WKB-N�herung beruhen, gilt es, diese zu �berpr�fen

\paragraph{G�ltigkeit der WKB-N�herung:}
Zur Kontrolle der WKB-N�herung ist zu analysieren, ob die Variation der Amplituden der ebenen Wellen klein ist.
Daf�r ist es notwendig,
$u_0 (x)$ und $v_0 (x)$ zu bestimmen.\\
Dazu werden
die Gl.(\ref{bognewsink}) bis zur ersten Ordnung in $\varepsilon$ betrachtet. Es ergibt sich
          \begin{equation} \label{bognewsinkersteOrdnungamplidutde}
                    \begin{split}
                    h_{+} u_1 + Ng\rho_s v_1 - i \left[ \left( \frac{\hbar^2}{2m}k(x)-\hbar  v  \right) u_0'
                    + \frac{\hbar^2}{2m}k(x)'u_0 \right]&=0 \\
                    h_{-} v_1 + Ng\rho_s u_1 - i \left[ \left( \frac{\hbar^2}{2m}k(x)+\hbar  v  \right) v_0'
                    + \frac{\hbar^2}{2m}k(x)'v_0 \right]&=0
                    \end{split}
          \end{equation}
Um die nullte Ordnung zu erf�llen, muss weiterhin die Gl.(\ref{Dis1}) erf�llt werden,
damit ${h_+ h_-}/{Ng \rho_s} =Ng \rho_s$.
Multiplizieren der ersten Zeile von Gl.(\ref{bognewsinkersteOrdnungamplidutde}) mit ${h_-}/{Ng \rho_s}$ f�hrt zu
          $$ Ng\rho_s u_1 + h_- v_1 = i \frac{h_-}{Ng\rho_s}\left[ \left( \frac{\hbar^2}{2m}k(x)
          -\hbar  v  \right) u_0 ' + \frac{\hbar^2}{2m}k(x)'u_0 \right] .$$
Weiterf�hrend ist es notwendig, dass aus Gl.(\ref{Dis1})
          \begin{equation} \label{hconst}
                    \frac{u_0}{v_0}=-\frac{h_-}{Ng\rho_s}=-\frac{Ng\rho_s}{h_+} \equiv h_{const}
          \end{equation}
folgt, was $ \frac{u_0'}{u_0}=(\log u_0)'= (\log v_0)'$ und ${h_-}/{Ng\rho_s}=h_{const}$ impliziert.
Einsetzen in die zweite Zeile von Gl.(\ref{bognewsinkersteOrdnungamplidutde}) liefert
          $$ h_{const}^2  \left[ \left( \frac{\hbar^2}{2m}k(x)-\hbar  v  \right)(\log u_0)'
          +\frac{\hbar^2}{2m}k(x)' \right] +
          \left[ \left( \frac{\hbar^2}{2m}k(x)+\hbar  v  \right)(\log u_0)'
          +\frac{\hbar^2}{2m}k(x)' \right] =0.$$
Umformung und Integration kann gezeigt werden, dass $u_0 (x)$ - und damit auch $v_0 (x)$ -
          %\begin{equation} \label{u0stab}
           %        u_0 \propto \sqrt{\left\vert
            %       \frac{\left( \frac{\hbar^2}{2m}k(x)+\hbar v \right)
             %       +\vert v \vert\frac{\hbar^2}{2m}k(x) }
              %      {k(x)\left( \frac{\hbar^2}{2m}k(x)+\hbar  v  \right)
               %     +\vert v \vert\frac{\hbar^2}{2m}k(x) } \right\vert}
          %\end{equation}
proprotional zu
          $$ u_0 \approx \frac{1}{d\omega/dk}$$
sind.
Am Ereignishorizont wird der Nenner unendlich gro�, womit die Amplitude gegen Null geht.
Die WKB-Methode ist g�ltig, da $u_0$ und $v_0$ am Ereignishorizont endlich sind.


\subsubsection{Auswertung der Randbedingungen f�r komplexe Frequenzen}
Zur Analyse dynamischer Instabilit�ten sind nur die L�sungen f�r komplexe Frequenzen von
Interesse (siehe (\ref{forfluctiations})).
Es treten f�r ein beliebiges komplexes $\omega$ immer vier komplexe $k$ auf, wobei zwei davon einen
positiven und zwei einen negativen Imagin�rteil haben. F�r $Im(k)<0$ w�chst die St�rung exponentiell
mit $x$ (siehe Abschnitt (\ref{forfluctiations}))
und entspricht einer r�umlichen Instabilit�t, wenn
der Raum nicht begrenzt ist. Die �u�eren L�sungen sind daher auf $Im(k_{out})>0$ zu beschr�nken.\\
Jede Linearkombination der ebenen Wellen in einem Bereich ist ebenfalls eine L�sung. Alle L�sungen m�ssen
die Stetigkeitsbedingungen Gl.(\ref{bindenuv}) erf�llen.

\paragraph{An der Stelle $\mathbf{x=L}$:}
Die inneren L�sungen in allgemeiner Form sind
          \begin{equation}
                    \begin{split}  \label{konectin}
                    u_{in,\alpha}(x)&=\sum_j F_{\alpha j}e^{i(k_{in,j}-v_0)(x-L)}     \\
                    v_{in,\alpha}(x)&=\sum_j F_{\alpha j}h_{in,j}e^{i(k_{in,j}+v_0)(x-L)},
                    \end{split}
                    \end{equation}
wobei $\alpha=1,2$ und $j=1,2,3,4$
ist.\footnote{Bei den Koeffizienten $u_0$ handelt es sich um Normierungsfaktoren,
die als Eins gew�hlt wurden. }
Gesucht ist die Koeffizientenmatrix
          \begin{equation} \label{konectmatrix1}
                    F_{\alpha j}=\left(
                    \begin{array}{cccc}
                    F_{11} & F_{21}\\
                    F_{12} & F_{22}\\
                    F_{13} & F_{23}\\
                    F_{14} & F_{24}
                    \end{array}
                    \right)
                    \end{equation}
und der Zusammenhang zwischen $u_{in}$ und $v_{in}$, der aus Gl.(\ref{hconst}) folgt:
          \begin{equation} \label{konecthin1}
                    h_{\alpha j}=\left(
                    \begin{array}{cccc}
                    h_{in,1} & h_{in,2} & h_{in,3} & h_{in,4}
                    \end{array}
                    \right).
                    \end{equation}
Entsprechend ergibt sich f�r den �u�eren Bereich
          \begin{equation} \label{konectout}
                    \begin{split}
                    u_{out,\alpha}(x)&=\sum_{m} F^{\star}_{\alpha m}e^{i(k_{out,m}-v_0)(x-L)}     \\
                    v_{out,\alpha}(x)&=\sum_{m} F^{\star}_{\alpha m}h_{out,m}e^{i(k_{out,m}+v_0)(x-L)},
                    \end{split}
          \end{equation}
wobei $\alpha=1,2$ und $m=1,2$ ist, und
\begin{equation} \label{konectmatrix2}
          F^{\star}_{\alpha m}=\left(
          \begin{array}{cc}
          F^{\star}_{11} & F^{\star}_{21} \\
          F^{\star}_{12} & F^{\star}_{22}
          \end{array}
          \right)
          \end{equation}
und
          \begin{equation} \label{konecthin1_new}
                    h_{\alpha m}=\left(
                    \begin{array}{cc}
                    h_{out,1} & h_{out,2}
                    \end{array}
                    \right).
                    \end{equation}

Zusammen mit den Anschlussbedingungen (Gl.(\ref{bindenuv})) ergeben sich acht Gleichungen
f�r zw�lf Unbekannte $F_{\alpha j}$ und $F^{\star}_{\alpha m}$.
Vier Unbekannte k�nnen daher frei gew�hlt werden:
          \begin{equation} \label{konectmatrix2special}
                    F^{\star}_{\alpha m}=\left(
                    \begin{array}{cc}
                    1 & 0 \\
                    0 & 1
                    \end{array}
                    \right).
          \end{equation}
Mit dieser Wahl ergibt sich
          \begin{equation} \label{achtgleichungen}
                    \begin{split}
                    u_{in,1}&= F_{11}e^{ik^-_{in,1}(x-L)} + F_{12}e^{ik^-_{in,2}(x-L)} +  F_{13}e^{ik^-_{in,3}(x-L)} + F_{14}e^{ik^-_{in,4}(x-L)} \\
                    u_{in,2}&= F_{21}e^{ik^-_{in,1}(x-L)} + F_{22}e^{ik^-_{in,2(x-L)}} +  F_{23}e^{ik^-_{in,3}(x-L)} + F_{24}e^{ik^-_{in,4}(x-L)}  \\
                    u_{out,1}&=      e^{ik^-_{out,1}(x-L)}                                                                                          \\
                    u_{out,2}&=      e^{ik^-_{out,2}(x-L)}                                                                                            \\
                    v_{in,1}&= F_{11}h_{in,1}e^{ik^+_{in,1}(x-L)} + F_{12}h_{in,2}e^{ik^+_{in,2}(x-L)} +  F_{13}h_{in,3}e^{ik^+_{in,3}(x-L)} + F_{14}h_{in,4}e^{ik^+_{in,4}(x-L)}\\
                    v_{in,2}&= F_{21}h_{in,1}e^{ik^+_{in,1}(x-L)} + F_{22}h_{in,2}e^{ik^+_{in,2}(x-L)} +  F_{23}h_{in,3}e^{ik^+_{in,3}(x-L)} + F_{24}h_{in,4}e^{ik^+_{in,4}(x-L)}  \\
                    v_{out,1}&=      h_{out,1}e^{ik^+_{out,1}(x-L)}\\
                    v_{out,2}&=      h_{out,2}e^{ik^+-_{out,2}(x-L)}
                    \end{split}
                    \end{equation}
                    wobei
                    \begin{equation}  \label{umschreiben}
                    \begin{split}
                    k^{\pm}_{in,j}&= k_{in,j}\pm v_0\\
                    k^{\pm}_{out,\alpha}&= k_{out,\alpha}\pm \frac{v_0}{\sigma^2}
                    \end{split}
          \end{equation}
ist.
Einsetzen von Gl.(\ref{achtgleichungen}) in Gl.(\ref{bindenuv}) und Umschreiben f�hrt zu
          \begin{equation}
                    \left(      \begin{array}{cccc}
                    1&                  1&                  1&                  1                 \\
                    k^-_{in,1}&         k^-_{in,2}&         k^-_{in,3}&         k^-_{in,4}         \\
                    h_1&                h_2&                h_3&                h_4                \\
                    h_1 k^+_{in,1}&     h_2 k^+_{in,2}&     h_3 k^+_{in,3}&     h_4 k^+_{in,4}
                    \end{array} \right)
                    \left(  \begin{array}{c}
                    F_{\alpha 1}\\
                    F_{\alpha 2}\\
                    F_{\alpha 3}\\
                    F_{\alpha 4}\\
                    \end{array}
                    \right)=
                    \left(  \begin{array}{c}
                    -i\epsilon k^-_{out,\alpha}+\frac{1}{\sigma}\\
                    \sigma k^-_{out,\alpha}\\
                    -i\epsilon h_{out,\alpha} k^-_{out,\alpha}+\frac{1}{\sigma}h_{out,\alpha}\\
                    \sigma h_{out\alpha,}k^-_{out,\alpha}
                    \end{array}
                    \right).
                    \end{equation}
Aufl�sen nach $F_{\alpha j}$ ergibt
          \begin{equation} \label{konectmatrixfertig}
                    F_{\alpha j}=M^{-1}C_{\alpha},
          \end{equation}
mit
          \begin{equation}
                    M=\left(      \begin{array}{cccc}
                    1&                  1&                  1&                  1                 \\
                    k^-_{in,1}&         k^-_{in,2}&         k^-_{in,3}&         k^-_{in,4}         \\
                    h_1&                h_2&                h_3&                h_4                \\
                    h_1 k^+_{in,1}&     h_2 k^+_{in,2}&     h_3 k^+_{in,3}&     h_4 k^+_{in,4}
                    \end{array} \right)
                    \end{equation}
und
          \begin{equation}
                    C_{\alpha}=\left(  \begin{array}{c}
                    -i\epsilon k^-_{out,\alpha}+\frac{1}{\sigma}\\
                    \sigma k^-_{out,\alpha}\\
                    -i\epsilon h_{out,\alpha} k^-_{out,\alpha}+\frac{1}{\sigma}h_{out,\alpha}\\
                    \sigma h_{out\alpha,}k^-_{out,\alpha}
                    \end{array}
                    \right).
                    \end{equation}
Es bleibt noch, die L�sungen der rechten und linken Seite zu verbinden.

\paragraph{Anschlussbedingungen an der Stelle $\mathbf{x=0}$:}
Die Anschlussbedingung Gl.(\ref{b1}) an der Stelle $x=0$ l�sst nur gerade $\hat{\eta}_{g}$ und ungerade
$\hat{\eta}_{u}$ zu.

\begin{description}
\item[Ungerade L�sungen:]
F�r eine gerade Funktion gilt
          \begin{equation} \label{gerade}
                    \hat{\eta}_g(x,t)= -\hat{\eta}_g(-x,t).
          \end{equation}
Einsetzen in Gl.(\ref{b1}) liefert
          \begin{equation} \label{geradeb1}
                    \hat{\eta}_g(0,t)= -0.
          \end{equation}
Damit m�ssen $u_{in}(0,t)$ und $v_{in}(0,t)$ unabh�ngig voneinander an
der Stelle $x=0$ verschwinden ($u_{in}(0,t)=v_{in}(0,t)=0$).
Da innerhalb zwei L�sungen existieren, muss jede
Linearkombination der beiden dort ebenfalls Null sein.
Die beiden Gleichungen
          \begin{equation}  \label{geardehilfe}
                    \begin{split}
                    u_{in,1}(0)-v_{in,1}(0)&=0\\
                    u_{in,2}(0)-v_{in,2}(0)&=0
                    \end{split}
          \end{equation}
m�ssen gleichzeitig verschwinden.
Zusammengefasst ergibt sich die Anschlussbedingung f�r gerade L�sungen
          \begin{equation} \label{bedgerade}
                    u_{in,1}(0)v_{in,2}(0)- u_{in,2}(0)v_{in,1}(0)=0,
          \end{equation}
in welche Gl.(\ref{konectin}) eingesetzt werden kann:
          \begin{equation}  \label{gesamtelosgerade}
                    \sum_{ij} F_{1i} F_{2j}(h_{in,i}-h_{in,j})e^{-i(k_{in,i}+k_{in,j})L}=0.
          \end{equation}

\item[Gerade L�sungen:]
          F�r eine ungerade Funktion gilt
                    \begin{equation} \label{ungerade}
                              \hat{\eta}_u(x,t)= \hat{\eta}_u(x,t).
                    \end{equation}
Einsetzen in Gl.(\ref{b1}) liefert
          \begin{equation} \label{ungeradeb1}
                    \hat{\eta}_{u}(0,t)+iv_0\hat{\eta}_{u}(0,t)= 0.
          \end{equation}
In Gl.(\ref{konectin}) eingesetzt ergibt sich
          \begin{equation}  \label{gesamtelosungerade}
                    \sum_{ij} F_{1i} F_{2j}(h_{in,i}-h_{in,j})k_{in,i}k_{in,j}e^{-i(k_{in,i}+k_{in,j})L}=0.
          \end{equation}
\end{description}

\subsection{Zur L�sung der Gleichungen}
In der Ver�ffentlichung von Cirac et al. \cite{cirac1} findet sich ein numerischer L�sungsweg, der im Folgenden kurz
skizziert wird.
Die beiden Gleichungen (\ref{gesamtelosgerade}) und (\ref{gesamtelosungerade}) h�ngen f�r ein bestimmtes System nur von $\omega$ ab.
Das System ist durch die L�nge $2L$ der inneren Region, die Flie�geschwindigkeit an der Senke $v_0$,
den Unterschied der inneren und �u�eren Geschwindigkeiten $\sigma$ und durch die Konstante
$U=\frac{N_0g}{m}$ bestimmt.
Es wird noch darauf hingewiesen, dass die Gesamtl�nge $2D$ der Kondensatwolke und die Gr�sse $\epsilon$ des
�bergangsbereichs eine Rolle spielen, wobei hier nicht der exakte Wert ausschlaggebend ist. Ausreichend ist,
das Kondensat m�glichst gro� und die Verengung m�glichst klein zu w�hlen.\\
Mit diesen �berlegungen verbleiben zwei Gleichungen
          \begin{equation} \nonumber
                    s(\omega; \sigma, U, v_0, L)=0.
          \end{equation}
Zur Berechnung werden zun�chst die Systemgr��en gew�hlt und anschlie�end die Punktepaare $(\omega,s)$
numerisch ermittelt,
wobei beide im Allgemeinen komplexe Funktionen sind.
Tr�gt man den Betrag von $s$ �ber $\omega$ auf, repr�sentieren die Nullstellen die Eigenfrequenzen.\\

Interessant ist, mehrere Plots f�r unterschiedliche L�ngen des inneren Bereichs zu vergleichen.
Es stellt sich heraus, dass die Anzahl der Instabilit�ten empfindlich von $L$ abh�ngt.
Erst ab einem gewissen Duchmesser ${\pi\hbar}/{k_0m}-\delta$, wobei $\delta$ sehr viel kleiner ist als ${\pi}/{k}$,
treten komplexe Eigenfrequenzen auf. Jede Vergr��erung um ${\pi}/{k_0}$ erh�ht die Anzahl der komplexen
Eigenfrequenzen um eins.
Bei der auftretenden Wellenzahl handelt es sich um
          \begin{equation} \label{ersteeigenfrequenz}
                    k_0=\frac{2m}{\hbar}\sqrt{v_0^2-c^2},
          \end{equation}
was physikalisch erkl�rbar ist:
Erst wenn komplexe Eigenfrequenzen auftreten, werden Moden angeregt.
Die Wellenzahlen dieser Moden sind in Tabelle (\ref{allelosungen}) aufgelistet.
Innerhalb des schwarzen Lochs kann es nur L�sungen geben, wenn
der Realteil ein Vielfaches von $\frac{2m}{\hbar}\sqrt{v_0^2-c^2}$ ist, da keine
rein imagin�ren $k$-Werte erlaubt sind (siehe Kapitel (\ref{potentialtopfnotwendig})).
Die kleine Abweichung $\delta$ entsteht, weil der Ereignishorizont keine exakt harte Wand ist.
Damit k�nnen die dynamischen Instabilit�ten auf die Bindungszust�nde zur�ckgef�hrt werden.
Erst wenn die Wellenl�nge der erzeugten Mode gro� genug ist, um die Stetigkeitsbedingungen am
Rand des Potentialtopfs zu erf�llen, k�nnen sich gebundene Zust�nde ausbilden.
Damit gilt f�r die Frequenz des ersten gebundenen Zustands
          \begin{equation} \nonumber
                    \frac{L}{\lambda}=\frac{Lk_0}{2\pi}.
          \end{equation}
Obwohl mit der L�nge $2L$ die Anzahl der gebundenen Zust�nde steigt, ergibt sich aus
der Simulation f�r kleinere L�cher eine h�here Instabilit�t.





\section{Zusammenfassung}
Am Ende des Kapitels werden alle Ergebnisse zusammengefasst.
Es wurden zwei Punkte ausgearbeitet.\\
Zum einen betrachtete man eine von au�en angeregte St�rung
im Kondensat.
Es resultierten dynamische Gleichungen f�r die St�rung. Durch die Einf�hrung einer effektiven
Metrik konnte gezeigt werden, dass sich die Phase der St�rung wie Licht in der N�he eines schwarzen Lochs
bewegt. Die Eintr�ge in der Metrik bestehen nur aus Gr�ssen des Kondensats. An dem Punkt, an dem die
Hintergrundgeschwindigkeit des Kondensats dem Betrag nach gleich der Schallgeschwindigkeit ist,
grenzen zwei Bereiche aneinander. In einem fliesst das Kondensat mit �berschallgeschwindigkeit, im anderen
unter Schallgeschwindigkeit.
Im ersteren kann die St�rung nur in eine Richtung propagieren,
w�hrend im anderen Bereich beide Bewegungsrichtungen m�glich sind.
Das zigarrenf�rmige Kondensat wurde so gew�hlt, dass dieses Verhalten im verengten Bereich auftritt.
Gelangt die St�rung in den eingeschr�nkten Bereich, wird sie vom Kondensat unaufhaltsam mitgerissen
und am Koordinatenursprung �ber die Senke aus der Kondensatwolke ausgeschieden.
Dieser Bereich entspricht dem Inneren eines schwarzen Lochs.\\

Als Zweites wurde untersucht, wie sich der nichtkondensierte Anteil auf die makroskopische Wellenfunktion
auswirkt. F�r Temperaturen nahe am absoluten Nullpunkt der Temperatur k�nnen die nichtkondensierten Atome
als St�rung im Bose-Einstein-Kondensat beschrieben werden.
Diese regen Moden an, die als Quasiteilchen aufgefasst werden, es handelt sich um Phononen.
Da nur dann Phononen produziert werden, wenn im Inneren des schwarzen Lochs gebundene Zust�nde
auftreten, m�ssen diese daf�r verantwortlich sein.
Je mehr gebundene Zust�nde m�glich sind, desto mehr Moden mit komplexer Frequenz gibt es.
Diese verursachen dynamische Instabilit�ten, d. h. die Anzahl der Phononen w�chst exponentiell mit
der Zeit.\\
Ein instabiles Kondensat verharrt nicht im Grundzustand. Die Rechnungen basierten auf der
Annahme, dass es sich um kleine St�rungen um den Grundzustand handelt. Damit sind die Bogoliubov-Gleichungen
nur eine gewisse Zeit g�ltig.\\















































Kapitel4b.tex
\chapter{Ringf�rmige Kondensate mit Wirbel}
Als n�chstes Modell wird ein Bose-Einstein-Kondensat betrachtet, in dessen Zentrum ein Wirbel
ist. Es wird untersucht, ob in dieser Konfiguration ebenfalls ein schwarzes Loch auftritt und
wie sich die Fluktuationen um den Grundzustand mit der Zeit entwickeln.
Die Resultate dazu wurden bereits von Cirac et al. \cite{cirac1} ver�ffentlicht. Erneut ist es
die Aufgabe gewesen, die Rechungen zu verifizieren.
Neu in diesem Kapitel sind zwei Simulationen. In der Ersten wird gezeigt,
wie sich eine ebene Welle im Kondensat verh�lt. Das zweite Programm zeigt das Verhalten eines
Wellenpakets in der N�he eines Ereignishorizonts.


\section{Das Modell}

Ein Wirbel im Kondensat ist ein Punkt in der Kondensatwolke, um welchen das Kondensat rotiert.
Die Rotationsgeschwindigkeit $v\propto 1/r$ nimmt umgekehrt proportional zum Abstand zu.
Die Dichte im Zentrum des Wirbels ist Null (siehe Abb.(\ref{ringformig})).\\
Die Bewegung ist in der $r$ und
$z$ Achse durch ein externes Potential eingefroren (siehe Abb.(\ref{ringformkoord})).
          \begin{figure}[t]
          \begin{center}
          \input{ringformig.pstex_t}
          \caption[Dichteprofil eines Kondensats mit einem zentralen Wirbel]
          {\label{ringformig}Der Wirbel in der Mitte treibt das Kondensat - orange dargestellt - nach au�en. Die
          Vektoren deuten den Verlauf der Hintergrundgeschwindigkeit an, welche vom Winkel $\gamma$ abh�ngt.}
          \end{center}
          \end{figure}

          \begin{figure}[t]
          \begin{center}
          \input{ringformkoord2.pstex_t}
          \caption[Koordinaten f�r das Kondensat mit Wirbel]
          {\label{ringformkoord}Es wird ein Kondensat (orange eingezeichnet) betrachtet, dessen
          Hintergrundgeschwindigkeit $v$ nur von $\gamma$ abh�ngt.
          Zur mathematischen Beschreibung werden Polarkoordinaten verwendet.}
          \end{center}
          \end{figure}
Durch die Einschr�nkung der Bewegung auf eine Richtung kann der Zustand in Polarkoordinaten in
          \begin{equation} \label{statering}
                    \Phi(t,r,\gamma,z)=f(r,z)\tilde{\Phi}(t,\gamma)
          \end{equation}
aufgeteilt werden. Beim Wechsel von kartesischen Koordinaten zu Polarkoordinaten �ndert sich der
Tangentialraum und damit der Gradient
          \begin{equation} \label{kartespolargradient}
                    \left(\begin{array}{c}
                    \partial_x \\
                    \partial_y \\
                    \partial_z
                    \end{array}\right)
                    \rightarrow
                    \left(\begin{array}{c}
                    \partial_r \\
                    \frac{1}{r}\partial_{\gamma} \\
                    \partial_z
                    \end{array}\right)
          \end{equation}
und der Kotangentialraum. Damit ist bei der Integration zu beachten, dass
          \begin{equation} \label{kartespolarintegal}
          \iiint dx dy dz \rightarrow \iiint r dr d\gamma dz.
          \end{equation}

\subsection{Die Gross-Pitaevskii-Gleichung f�r das ringf�rmige Kondensat}
          Wieder wird als Ausgangspunkt die zeitabh�ngige Gross-Pitaevskii-Gleichung Gl.(\ref{GPE2})
          verwendet, die in den eingeschr�nkten Polarkoordinaten - $dr=0$ und $dz=0$ - umgeschrieben werden kann in
                    \begin{equation} \label{GPE2polar}
                              i\hbar\partial_t \Phi(t,r,\gamma,z)=
                              \left( -\frac{\hbar^2}{2mR^2}\partial_{\gamma} + V_{ext}(\gamma) +  U \vert \Phi(t,r,\gamma,z)\vert^2
                              \right) \Phi(t,r,\gamma,z) \, ,
                    \end{equation}
          wobei das chemische Potential $\mu$ bereits in $V_{ext}$ enthalten ist.
          Einsetzen von Gl.(\ref{statering}) und der dimensionslosen Zeit $\tau=\frac{\hbar}{mR^2}$
          liefert
                    \begin{equation} \label{GPE2ring}
                              i\partial_t \tilde{\Phi}(t,\gamma)=
                              \left( -\frac{1}{2}\partial_{\gamma} + \tilde{V}_{ext}(\gamma) +
                              \frac{\tilde{U}}{N} \vert \tilde{\Phi}(t,\gamma)\vert^2
                              \right) \tilde{\Phi}(t,\gamma),
                    \end{equation}
          mit dem dimensionslosen Potential
                    \begin{equation} \label{dimlospotential}
                    \tilde{V}_{ext}\equiv V_{ext}\frac{mR^2}{\hbar^2}
                    \end{equation}
          und der neuen Wechselwirkungskonstante
                    \begin{equation}  \label{Utilde}
                              \tilde{U}=U \frac{mR^2}{\hbar^2} \int dz dr r \vert f(r,z) \vert^2,
                    \end{equation}
          wobei gleichzeitig der Grundzustand von $\tilde{\Phi}$ auf die Gesamtteilchenzahl $N$
                    \begin{equation} \label{normiert}
                              \int_0^{2 \pi} \vert \tilde{\Phi}(\gamma) \vert^2 =N
                    \end{equation}
          normiert ist.\\

          Der station�re Zustand f�r Gl.(\ref{GPE2ring}) ist:
                    \begin{equation} \label{statestatring}
                              \tilde{\Phi}(\tau,\gamma)=\sqrt{\rho(\gamma)}e^{i\int d\gamma v(\gamma)}.
                    \end{equation}

\subsection{Schall- und Hintergrundgeschwindigkeit im Kondensat}
          Mit Gl.(\ref{schallgeschwindigkeit}) ist die Schallgeschwindigkeit im Kondensat durch
                    \begin{equation}
                              c(\gamma)=\sqrt{\tilde{U}\rho_{\gamma}/N}
                    \end{equation}
          gegeben und damit von der Dichte abh�ngig.
          Bei der Wahl der Dichte ist zu ber�cksichtigen, dass im Bose-Einstein-Kondensat die
          Wirbel quantisiert sind. Integration der Hintergrundgeschwindigkeit entlang einer geschlossenen Bahn
          um den Wirbel ergibt $2\pi m$, wobei $m$ eine ganze Zahl ist und als \textit{Windungszahl} bezeichnet wird.
          Die periodische Randbedingung im Kondensat kann mit der Windungszahl formuliert werden:
                    \begin{equation}  \label{windungszahl}
                              m=\frac{1}{2 \pi}\int_0^{2\pi}d\gamma v(\gamma).
                    \end{equation}
          Als Wahl erweist sich
                    \begin{equation} \label{ringdichte}
                              \rho(\gamma)=\frac{N}{2 \pi}\left( 1 + b cos(\gamma) \right)
                    \end{equation}
          passend im Sinne der Randbedingungen und f�r die gew�nschte Analogie zum Schwarzen Loch,
          wobei $0<b<1$ ist.\\
          Zusammen mit Gl.(\ref{schallgeschwindigkeit}) und der Kontinuit�tsgleichung f�r ein station�res
          Kondensat $\partial_{\gamma}(c^2v)=0$ sind die Schallgeschwindigkeit
                    \begin{equation} \label{ringschall}
                              c(\gamma)=\sqrt{\frac{\tilde{U}}{2 \pi}(1+bcos(\gamma))}
                    \end{equation}
          und die Hintergrundgeschwindigkeit
                    \begin{equation} \label{ringv}
                              v(\gamma)=\frac{\tilde{U}m\sqrt{1-b^2}}{1\pi c(\gamma)^2}
                    \end{equation}
          gegeben.




          %\begin{figure}[!h]
          %\begin{center}
          %\input{demovortex.pstex_t}
          %\caption[Dichte f�r ein Kondensat mit Wirbel]
          %{\label{demovortex}}
          %\end{center}
          %\end{figure}


          %\begin{figure}[!h]
          %\begin{center}
          %\input{3dcycle.pstex_t}
          %\caption[Entstehung eines dreidimensionalen Wirbels]
          %{\label{3dcycle}}
          %\end{center}
          %\end{figure}


\section{Die Wellengleichung}
Die dynamischen Gleichungen f�r eine kleine Dichteschwankung im Kondensat - injiziert durch einen Laser -
kann analog Kapitel (\ref{wellengleichung}) hergeleitet werden.

\subsection{Die Metrik f�r das ringf�rmige Kondensat}
Ausgehend von der zeitabh�ngigen Gross-Pitaevskii-Gl.(\ref{GPE2ring}) wird
f�r die Dichte $\rho=\rho_0 +\varepsilon \rho_1 $ und die Phase $\theta=\theta_0 +\varepsilon  \theta_1 $
eingesetzt.
In erster Ordnung erh�lt man f�r den Realteil
          \begin{equation} \nonumber
                    \partial_{\tau}{\rho_1}=-\frac{\hbar}{m}\partial_{\gamma}
                    \left(\rho_0 \partial_{\gamma} \theta_1 + \rho_1 \partial_{\gamma} \theta_0 \right)
          \end{equation}
und den Imagin�rteil
          \begin{equation} \label{ringwellengleichung}
                    \partial_{\tau}{\theta_1}=-\frac{\hbar}{m}
                    \left(\partial_{\gamma} \theta_0 \nabla \theta_1) - \frac{\tilde{U}}{\hbar} \rho_1 \right).
          \end{equation}
Diese beiden Gleichungen lassen sich in eine Gleichung f�r die Phase zusammenfassen
                    \begin{equation}
                    -\ddot{\theta}_1 - \left( v\dot{\theta}_1' \right)
                    - \left( v \dot{\theta_1} \right)'
                    +  \left(\left( c^2
                    -    v^2\right) \theta_1' \right)' =0,
          \end{equation}
die mit der effektiven Metrik
          \begin{equation}    \label{ringmetrik}
                    g_{\mu \nu}=c\left( \begin{array}{cccc}
                    -c^2+v_{\gamma}^2           & v_{\gamma}                  & 0              & 0\\
                    v_{\gamma}                    & 1                    & 0              & 0\\
                    0                      & 0                    & 1              & 0 \\
                    0                      & 0                    & 0              & 1
          \end{array} \right).
          \end{equation}
zu
           \begin{equation}
                    \partial_{\mu}(\sqrt{-g}g^{\mu\nu}\partial_{\nu}\theta_{1})=0,
          \end{equation}
umgeschrieben werden kann, mit $v(\tau, \theta)\equiv v(\theta)$.

In Kapitel (\ref{wellengleichung}) wurde anhand von $g_{00}$ gezeigt, dass es sich bei Gl.(\ref{ringmetrik})
um eine Metrik f�r ein Schwarzes Loch handelt.


\section{Die Nullgeod�ten}
          Die \textit{Nullgeod�ten} beschreiben die Bahnen der masselosen Teilchen im gekr�mmten Raum.
          In diesem Fall ist das Linienelement Gl.(\ref{abstand}) zeitartig ($ds^2=0$).
          Speziell betrachten wir ebene Wellen
                    \begin{equation}  \label{Ebene-Welle}
                              \tilde{\theta}=w(\gamma)e^{-i\omega t}e^{i\int d\gamma k(\gamma)}
                    \end{equation}
          die durch das Kondensat propagieren.\footnote{Zur Berechnung wurde
          $\gamma \rightarrow \frac{\gamma}{\varepsilon}$ im Exponenten eingef�hrt.
          Auf Gl.(\ref{ringwellengleichung}) angewendet ergibt:
          $$-\ddot{\theta}_1 + \left( v\dot{\theta}_1' \right)
                    + \varepsilon\left( v \dot{\theta_1} \right)'
                    +  \varepsilon^2\left(\left( c^2
                    -    v^2\right) \theta_1' \right)' =0.$$}
          Einsetzen in Gl.(\ref{ringwellengleichung}) liefert
                    \begin{equation} \label{ringebenewellen}
                              \begin{split}
                              0 & =fw \\
                                & +i\varepsilon \left( w \xi' +2w'\xi \right)\\
                                & +\varepsilon^2 \left( (c^2-v^2)w' \right)'\\
                              \end{split}
                    \end{equation}
          mit
                    \begin{equation} \label{ringf}
                              f=\omega^2 + 2v \omega k^2-(c^2-v^2)k^2
                    \end{equation}
          und
                    \begin{equation} \label{ringxi}
                              \xi=(c^2-v^2)k-v \omega.
                    \end{equation}
          Zur L�sung dieser Gleichung wird die WKB-Methode verwendet (siehe Anhang (\ref{WKB})).


\subsection{Die WKB-Methode f�r die Berechnung der Nullgeod�ten}
          Bei der WKB-Methode wird die Amplitude $w(x)$ in eine Taylor-Reihe
                    \begin{equation} \label{ringWKB}
                              w(x) \approx w_{0}+\varepsilon w_{1}
                    \end{equation}
          entwickelt, wobei f�r ein sich wenig �nderndes Potential alle Terme mit h�herer Ordnung als
          $\mathcal{O}(\varepsilon)$ vernachl�ssigt werden.

\subsubsection{Die Dispersionsrelation}
          F�r die nullte Ordnung muss die erste Zeile in Gl.(\ref{ringebenewellen}) verschwinden:
                    \begin{equation}  \label{ringf=0}
                              f=\omega^2 + 2v \omega k^2-(c^2-v^2)k^2=0.
                    \end{equation}
          F�r die Dispersionsrelation ergibt sich damit
                    \begin{equation} \label{ringdisprel}
                              k(\gamma)=\frac{\omega}{-v(\gamma) \pm c(\gamma)}.
                    \end{equation}

\subsubsection{Die Amplitude}
          In erster Ordnung
                    \begin{equation} \label{ringerste}
                              fw_1 + i(\xi'w_0+2\xi w_0')=0
                    \end{equation}
          ergibt sich die Amplitude $w_0$, da $f=0$ gilt.
          Zu l�sen ist
                    \begin{equation} \nonumber
                              \begin{split}
                                          &(\xi w_0^2)'=0 \\
                              \rightarrow &\xi w_0^2 = const. \\
                              \rightarrow &w_0=\frac{const.}{\sqrt{\xi}}
                              \end{split}
                    \end{equation}
          Mit Gl.(\ref{ringdisprel}) kann die Amplitude angegeben werden zu
                    \begin{equation} \label{ringamplidude}
                              w_0=\frac{1}{\sqrt{\omega \left\vert v(\gamma)-
                              \left(-v(\gamma)\pm \sqrt{c^2(\gamma)}\right)\right\vert}}.
                    \end{equation}

          Die Ebenen-Wellen im Kondensat haben die Form
                    \begin{equation} \label{ringlicht}
                              \theta_1(\tau,\gamma)=
                              \frac{e^{-i\omega t}e^{i\int{ d\gamma \frac{\omega}{-v(\gamma) \pm c(\gamma)}} }}{\sqrt{\omega \left\vert v(\gamma)-
                              \left(-v(\gamma)\pm \sqrt{c^2(\gamma)}\right)\right\vert}}
                    \end{equation}

\subsection{Einlaufende und auslaufende Koordinaten}
Mit der Metrik Gl.(\ref{ringmetrik}) f�r das ringf�rmige Kondensat kann das Linienelement
          \begin{equation} \label{ringabstand}
                    ds^2=-(c^2-v_{0\gamma})d\tau^2 -2v_{0\gamma}\gamma+\gamma^2 \, ,
          \end{equation}
(siehe Gl.(\ref{abstand})) aufgestellt werden.
Im Falle der Nullgeod�ten ist $ds^2=0$ und es gilt:
          \begin{equation} \label{ringabstandnullgeo}
                 0=-(c-v_{0\gamma})-2v_{0\gamma}\dot{\gamma}+\dot{\gamma}^2.
          \end{equation}
Die L�sung der Gleichung lautet
          \begin{equation} \label{ringgammapunkt}
                    \dot{\gamma}=-v_{0\gamma}\pm c
          \end{equation}
und durch deren Integration ergeben sich die einlaufenden $\gamma_{-}^{\star}$ -
und auslaufenden $\gamma_{+}^{\star}$ Koordinaten
          \begin{equation}  \label{einauskoord}
                    \gamma_{\pm}^{\star}=\int^{\gamma}{\frac{d\gamma'}{-v(\gamma')\pm c(\gamma')}}.
          \end{equation}
Am Ereignishorizont $v(\gamma_{EH})= c(\gamma_{EH})$ divergiert $\gamma_{+}^{\star}$.
Ein Umschreiben des Linienelements in die neuen Koordinaten liefert
          \begin{equation} \label{abstandneukoordnull}
                    ds^2=-c(c^2du_+du_-),
          \end{equation}
wobei zus�tzlich $u_{\pm}=\tau-\gamma_{\pm}^{\star}$ verwendet wurde.
Je n�her eine auslaufende Welle dem Ereignishorizont kommt, desto langsamer vergeht die Zeit.
Es scheint f�r einen ruhenden Betrachter, welcher sich au�erhalb des Bezugssystems der Welle befindet,
als ob die Ausbreitungsgeschwindigkeit der Welle gegen Null geht, so dass diese das Schwarze Loch nicht
verlassen kann.

\subsection{Simulation einer ebenen Welle im Kondensat}
F�r $\omega=10$, $b=0.3$, $vc^2=1$ sind in Abb.(\ref{phasenring}) die Ergebnisse aus den vorherigen
Abschnitten dargestellt. Die numerischen Berechnungen wurden mit MATLAB durchgef�hrt. Der Quellcode zum
Programm befindet sich im Anhang (\ref{einewelle}).


          \begin{figure}
          \begin{center}
          \input{phasenring1.pstex_t}
          \caption[Ebene Welle im ringf�rmigen Kondensat]
          {\label{phasenring}Im obersten Bild sind die Schallgeschwindigkeit $c$ und die station�re
          Hintergrundgeschwindigkeit $v$ dargestellt. Im mittleren Bereich flie�t das Kondensat mit
          �berschallgeschwindigkeit, au�erhalb darunter. Es gibt damit zwei Schnittpunkte, die zwei
          Ereignishorizonten entsprechen.\\
          In der Mitte sind die Wellenzahlen aus Gl.(\ref{ringlicht}) dargestellt. An den beiden
          Ereignishorizonten divergiert die Wellenzahl, wenn die Mode entgegengesetzt zum Kondensat
          propagiert.\\
          In der letzten Abbildung sind die einlaufenden und auslaufenden ebenen Wellen Gl.(\ref{ringlicht})
          geplotet. W�hrend die auslaufende Welle an den beiden Ereignishorizonten divergiert, hat
          die Welle, die in das Schwarze Loch einl�uft, kein divergentes Verhalten in der Wellenzahl.
          Der Ausschnitt zeigt eine Vergr��erung der Wellen am Ereignishorizont. Es ist zu sehen, dass
          die auslaufende Welle - rot dargestellt - den Ereignishorizont nicht passieren kann.}
          \end{center}
          \end{figure}

\subsection{Auswertung der Simulation}
In der Abb.(\ref{phasenring}) ist zu sehen, dass die ebene Welle, die sich mit dem Kondensat bewegt,
keine Divergenzen hat. Die gegen den Strom des Fluids laufende Welle divergiert an zwei Stellen.
Die Interpretation ist, dass beide Horizonte nur in gleicher Richtung zu �berschreiten sind. Das
bedeutet, dass hier zum schwarzen Loch noch eine \textit{wei�e Quelle} kommt. Zwischen den beiden
(in Stromrichtung des Kondensats) befindet sich das schwarze Loch.
Der erste Horizont (in Stromrichtung) kann nur in das schwarze Loch hinein passiert werden. Der zweite
Horizont ist nur in Richtung aus dem schwarzen Loch hinaus zu �berqueren. W�hrend beim ersten das
schwarze Loch nicht verlassen werden kann, ist es beim zweiten nicht m�glich es zu betreten.

\subsection{Simulation eines Wellenpakets im Kondensat}
Mit einer Fourier-Analyse k�nnen die ebenen Wellen zu einem Wellenpaket �berlagert werden. Damit ist es
m�glich,
das Verhalten einer kleinen Dichtemodulation im Kondensat zu simulieren.
Die Fourier-Transformation in diesem Fall ist
          \begin{equation} \label{f1}
                    \Theta(\gamma,\tau)=
                    \int d\omega \theta_{\omega}(\gamma)e^{-i\gamma \tau}\bar{\theta}(\omega),
          \end{equation}
wobei
          \begin{equation} \label{f2}
                    \theta_{\omega}(\gamma)=w_0(\gamma)e^{i\gamma_{\pm}^{\star} \omega}
          \end{equation}
ist. Die Fourier-Koeffizienten $\bar{\theta}(\omega)$ werden im Folgenden bestimmt.
Zum Zeitpunkt $t=0$ wird ein Gau�'sches Wellenpaket, weit entfernt vom Ereignishorizont
betrachtet.
Ist die Breite des Wellenpakets klein gegen�ber dem Abstand vom Ereignishorizont $\gamma_0$, k�nnen
$w_0(\gamma)\equiv w_0(\gamma_0)$ und $\gamma_{\pm}^{star}\equiv \gamma_{\pm}^{star}(\gamma_0) $ als
Konstanten betrachtet werden (siehe Abb.(\ref{fourieridee})).
          \begin{figure}[t]
          \begin{center}
          \input{fourieridee.pstex_t}
          \caption[Ebene Welle im Kondensat]
          {\label{fourieridee}Zur Simulation wird ein Wellenpaket betrachtet, welches zum Zeitpunkt
          $\tau=0$ weit vom Ereignishorizont entfernt ist. Dazu muss die Breite des Wellenpakets klein
          sein im Vergleich zum Abstand des Ereignishorizont.}
          \end{center}
          \end{figure}
Die Fourier-Koeffizienten im flachen R�umen sind
f�r ein Gau�'sches Wellenpaket
          \begin{equation} \label{f4}
                    \Theta(\gamma)=e^{-\frac{(\gamma-\gamma_0)^2}{2\sigma}}e^{ik_0\gamma}
          \end{equation}
Damit kann man die Fourier-Koeffizienten im Frequenzraum bestimmen:
           \begin{equation} \label{f3}
                    \bar{\theta}(\omega_0)=\frac{\gamma_{\pm}^{\star}(\gamma_0)}{w_0(\gamma_0)\pi}
                    \int \Theta(\gamma) e^{-i\omega_0\gamma_{\pm}^{\star}(\gamma_0) (\gamma-\gamma_0)}.
          \end{equation}
Damit ist das Wellenpaket am Ort $\gamma_0$ zur Zeit $\tau=0$ bestimmt.
Da die Fourier-Koeffizienten im Frequenz-Raum nicht vom Ort (bzw. Winkel) und der Zeit abh�ngen,
bleiben diese f�r alle Zeiten und �berall im Ort gleich.\\
Zun�chst kann man mit Gl.(\ref{f4}) die Fourier-Koeffizienten Gl.(\ref{f3}) an der Stelle $\gamma_0$
be\-rechen. Das Ergebnis wird dann in Gl.(\ref{f1}) eingesetzt.\\
Die Simulation wurde wieder mit MATLAB durchgef�hrt, und der Quelltext befindet sich im
Anhang (siehe (\ref{simulationwellenpaket})).\\
          \begin{figure}[t]
          \begin{center}
          \input{ringwelleneu.pstex_t}
          \caption[Wellenpaket im Kondensat]
          {\label{ringwelle}Das erste Bild links oben zeigt die Welle bei $\tau=0$, im
          zweiten Bild bei $\tau=-1$ und so weiter. Am Anfang handelt es sich um ein
          gau�f�rmig ausgeformtes Wellenpaket. Je l�nger es in der Zeit r�ckw�rts propagiert,
          desto mehr verformt es sich. Den Ereignishorizont kann es nicht passieren.}
          \end{center}
          \end{figure}

\subsubsection{Auswertung der Simulation}
Das Ergebnis der Simulation ist in Abb.(\ref{ringwelle}) dargestellt. Es ist zu sehen,
dass es dem Wellenpaket nicht erlaubt ist, den Ereignishorizont r�ckw�rts in der Zeit zu �berschreiten.
Anders formuliert, ein Wellenpaket, das sich au�erhalb eines schwarzen Lochs von diesem wegbewegt,
kann nicht innerhalb des Ereignishorizonts gestartet sein.



\section{Die Strahlung}
Die Strahlung kann mit der Feldgleichung Gl.(\ref{GPme3}) f�r das Kondensat berechnet werden,
welche in Kapitel (\ref{zigarrenstrahlung}) bereits hergeleitet wurde.
F�r das ringf�rmige Kondensat - mit der dimensionslosen Zeit $\tau$ und der auf eine Dimension
eingeschr�nkten Bewegungsrichtung $\gamma$ - ist die Feldgleichung
          \begin{equation} \label{ringfeldgleichung}
                    i\dot{\hat{\tilde{\Phi}}}(\tau,\gamma)=-\frac{1}{2} \hat{\tilde{\Phi}}(\tau,\gamma)''
                    +\left[\frac{1}{2}\frac{c(\tau)''}{c(\tau)}-\frac{1}{2}\tilde{v}_0(\tau)^2
                    +\frac{\tilde{U}}{N}\vert\hat{\tilde{\Phi}}_0 \vert^2 \right]
                    \hat{\tilde{\Phi}}(\tau,\gamma)
                    +\frac{\tilde{U}}{N}\hat{\tilde{\Phi}}_0^2\hat{\tilde{\Phi}}^{\dag}(\tau,\gamma)
          \end{equation}
wobei $\tilde{U}$ von Gl.(\ref{Utilde}) verwendet und zus�tzlich
          \begin{equation} \label{vtilde}
                    \tilde{v}_0=R\, v
          \end{equation}
eingef�hrt wurde.\\
Der Zustands-Operator kann mit dem Bogoliubov-Ansatz entwickelt werden:
          \begin{equation} \nonumber
                    \hat{\tilde{\Phi}}=\tilde{\Phi}_0 +
                    \hat{\tilde{\eta}}e^{\int d\gamma \tilde{v}_0(\gamma)}.
          \end{equation}
Eingesetzt in Gl.(\ref{ringfeldgleichung}) ergibt sich eine Bestimmungsgleichung f�r $ \hat{\tilde{\eta}}$:
          \begin{equation}  \label{ringfeldgleichungeta}
                    i\dot{\hat{\tilde{\eta}}}=
                    -\frac{1}{2} \left( \hat{\tilde{\eta}}'' - \frac{c''}{c}\hat{\tilde{\eta}} \right)
                    +i\left( \tilde{v}_0 \hat{\tilde{\eta}}' + \frac{1}{2}\tilde{v}_0'\hat{\tilde{\eta}} \right)
                    +\frac{\tilde{U}}{N}\rho_0 \left( \hat{\tilde{\eta}}+\hat{\tilde{\eta}}^{\dag} \right),
          \end{equation}

\subsection{Die Fourier-Transformierten Bogoliubov-Gleichungen}
In Kapitel (\ref{fourierebenewellen}) wurde gezeigt, dass es m�glich ist, den Zustandsoperator
$\hat{\tilde{\eta}}$
          \begin{equation} \label{ringmodeexpansion}
                    \hat{\tilde{\eta}}(\tau,\gamma)=\sum_{\omega,n}\left(
                    e^{-i\omega \tau} e^{in \gamma}\hat{A}_{\omega,n}u_{\omega,n}(\gamma)
                    +
                    e^{i\omega^* \tau} e^{-in \gamma}\hat{A}_{\omega,n}^{\dag}v_{\omega,n}^*(\gamma)
                    \right)
          \end{equation}
nach ebenen Wellen zu entwickeln.
Einsetzen in die Gl.(\ref{ringfeldgleichungeta}) f�r $ \hat{\tilde{\eta}}$ ergeben
          \begin{equation} \label{ringfeldmitmodeexp}
          \begin{split}
                    h_- u_{\omega,n}
                    -i\left[ (n-\tilde{v}_0)u_{\omega,n}' -\frac{1}{2}(\tilde{v}_0' u_{\omega,n})  \right]
                    +\frac{1}{2}\left[ \frac{c''}{c}u_{\omega,n}-u_{\omega,n}'' \right]
                    +\tilde{c}_0^2 v_{\omega,n}=&0  \\
                    h_+ v_{\omega,n}
                    -i\left[ (n+\tilde{v}_0)v_{\omega,n}' +\frac{1}{2}(\tilde{v}_0' v_{\omega,n})  \right]
                    +\frac{1}{2}\left[ \frac{c''}{c}v_{\omega,n}-v_{\omega,n}'' \right]
                    +\tilde{c}_0^2 u_{\omega,n}=&0,
          \end{split}
          \end{equation}
wobei
          \begin{equation} \label{ringhpm}
                    h_{\pm}=\frac{n^2}{2} + \tilde{c}_0^2 \pm (n\tilde{v}_0 + \omega)
          \end{equation}
und
          \begin{equation} \label{ctilde}
                    \tilde{c}_0=\frac{\tilde{U}}{N}\rho_0
          \end{equation}
eingef�hrt wurden.
Ein Wechsel vom Orts- in den Impulsraum erm�glicht es, die beiden Gleichungen in der
folgenden Form zu schreiben
          \begin{equation} \label{bogfourier}
                    \omega
                    \left(\begin{array}{c}
                    u_{\omega,n}\\
                    v_{\omega,n}
                    \end{array}\right)
                    =
                    \left( \begin{array}{cc}
                    h_{np}^+ & f_{np} \\
                    -f_{np}  & h_{np}^-
                    \end{array} \right)
                              \left(\begin{array}{c}
                              u_{\omega,p}\\
                              v_{\omega,p}
                              \end{array}\right),
          \end{equation}
wobei
          \begin{equation} \label{ringfnp}
                    f_{np}=\frac{1}{2 \pi}\int_0^{2 \pi} d\gamma e^{-i(n-p)\gamma}c(\gamma)^2
          \end{equation}
und
          \begin{equation} \label{ringhnp}
                    h_{np}^{\pm}=\pm\frac{n^2}{2}\delta_{np}
                    +\frac{1}{2 \pi}\int_0^{2 \pi} d\gamma e^{-i(n-p)\gamma}
                    \left[ p\tilde{v}_0(\gamma)-\frac 12 \tilde{v}_0(\gamma)' \pm
                    \left( c(\gamma)^2 + \frac 12 \frac{\tilde{c}_0(\gamma)''}
                    {\tilde{c}_0(\gamma)} \right) \right]
          \end{equation}
sind.\footnote{Im Kapitel (\ref{zigarrenstrahlung}) wurde anstatt der Fourier-Transformation vom Orts-
in den Impulsraum die WKB-Methode angewendet. Damit war es m�glich, die zweiten Ableitungen von
$u$ und $v$ zu vernachl�ssigen. Hier fallen die ersten und zweiten Ableitungen von $u_{\omega,n}$
und $v_{\omega,n}$ durch die Transformation weg, da
$$ u_{\omega,n}(\gamma)'=\left( \frac{1}{2 \pi}\int_{0}^{2 \pi}d\gamma u_{n,p}e^{-i(n-p)\gamma}\right)'
=u_{n,p}(-i(n-p))\delta_{np}=0 $$}\\
Diese beiden Fourier-Transformationen werden im Anhang (\ref{rechnungen}) exakt berechnet.
Es ergibt sich:
          \begin{equation}  \label{ringfnpfourier}
                    f_{np}=\frac{\tilde{U}}{2 \pi}\left( \delta_{n,p} + \frac{b}{2}\delta_{n,p+1}+ \frac{b}{2}\delta_{n,p-1}\right)
          \end{equation}
und
          \begin{equation}  \label{ringhnpfourier}
                    h_{np}^{\pm}=\frac{1}{2}(n+p)\,m^{\star}\,\sqrt{1-b^2}\,\alpha_{s=p-n}
                    \pm \left( f_{np}+\frac{4n^2-1}{8}\delta_{n,p}+\frac{1-b^2}{8} \beta_{s=n-p} \right).
          \end{equation}
Die beiden Koeffizienten $\alpha_{s=p-n}$ und $\beta_{s=n-p}$ sind im Anhang in Gl.(\ref{alpharing}) und Gl.(\ref{betaring})
zu finden. Es handelt sich um zwei unendliche Reihen.

\subsection{Zur L�sung der Gleichungen}
In der Ver�ffentlichung von Cirac et al. \cite{cirac1} findet sich ein numerischer L�sungsweg, der im Folgenden kurz
skizziert wird.

Bei gro�en Wellenl�ngen - kleinen $n$-Werten - treten Instabilit�ten auf. Es kann gezeigt werden, dass die Einfl�sse der
h�heren Terme in den Fourier-Koeffizienten $\alpha_{s=p-n}$ und $\beta_{s=n-p}$, auf die Instabilit�ten vernachl�ssigbar sind.
Es ist daher zul�ssig, einen Cutoff $Q$ einzuf�hren, der die Reihen der Fourier-Koeffizienten endlich macht.\\
Die Bogoliubov-Gl.(\ref{ringfeldmitmodeexp}) enth�lt nach der Einf�hrung des Cutoffs $2(Q+1)\times 2(Q+1)$ Matrizen, welche
numerisch diagonalisiert werden k�nnen. Aus den sich ergebenden Moden sind jene erlaubt, welche zus�tzlich die
Normierungsbedingung
          \begin{equation} \nonumber
                    \int d\gamma(u_{\omega^{\star},n}u_{\omega',n'}
                    -v_{\omega^{\star},n}v_{\omega',n'})=\delta_{nn'}\delta_{\omega\omega'}
          \end{equation}
erf�llen.\\
Die numerische Simulation zeigt, dass sowohl energetische wie dynamische Instabilit�ten auftreten.

\section{Zusammenfassung}

Auch in diesem System ist es �ber die effektive Metrik m�glich, eine Analogie zum schwarzen Loch herzustellen.
Eine von au�en angeregte St�rung hat die gleichen Bewegungsgleichungen, wie ein masseloses Teilchen im
Gravitationsfeld.
Speziell f�r lichtartige Teilchen, die als ebene Wellen beschrieben werden, liefert die Bewegungsgleichung
die Nullgeod�ten. Es ergeben sich zwei L�sungen, die einlaufenden und auslaufenden Wellen. Erstere propagieren
in Bewegungsrichtung des Fluids, die anderen dagegen.
Die Simulation einer ebenen Welle mit einer festen Frequenz im Kondensat zeigt, dass an zwei Punkten
Divergenzen f�r die auslaufenden Wellen auftreten. Zwischen diesen beiden Ereignishorizonten liegt
(in Stromrichtung der Hintergrundgeschwindigkeit gesehen) das schwarze Loch. Innerhalb der Horizonte
ist es nicht m�glich, entgegen dem Fluidstrom zu propagieren. Der erste Horizont kann nur in Richtung des
schwarzen Lochs �berschritten werden, der zweite f�hrt unweigerlich aus diesem hinaus. Es ist nicht m�glich,
in das schwarze Loch �ber den zweiten Ereignishorizont zu gelangen, analog einer weissen Quelle im Universum.
�berlagert man alle Wellen zu einem Wellenpaket, kann das Verhalten der gesamten St�rung
simuliert werden. Es konnte gezeigt werden, dass ein Wellenpaket au�erhalb des schwarzen Lochs seinen
Ursprung nicht innerhalb des Ereignishorizonts\footnote{Hier handelt es sich um den ersten Ereignishorizont, der nur Bewegungen in Richtung des
schwarzen Lochs zul�sst.}
haben kann.   \\
F�r die Geod�ten ist vorausgesetzt worden, dass sich die Amplituden nur wenig �ndern.
Die Amplituden der ebenen Wellen divergieren jedoch am Ereignishorizont.
Im zweiten Teil werden wieder die Fluktuationen um den Grundzustand behandelt.
Hier treten die Divergenzen in den Amplituden nicht auf. Da diese Rechnungen um eine
Ordnung genauer (im Bogoliubov-Ansatz) sind, haben die Divergenzen in den Amplituden keine physikalische
Ursache.\\
          \begin{figure}[t]
          \begin{center}
          \vspace{-3cm}\input{ringdyninstabil.pstex_t} \vspace{-3cm}
          \caption[Dynamische Instabilit�ten im ringf�rmigen Kondensat]
          {\label{ringsdyninstabil}Darstellung der dynamischen Instabilit�ten.
           In Abh�ngigkeit von den Kondensatgr��en $\tilde{U}$ und $b$ strahlt das System (wei�e Bereiche),
           oder nicht (schwarze Bereiche). Kleinere Plots mit h�herer Aufl�sung zeigen, dass es sich bei
           den wei�en Punkten tats�chlich um verbundene Bereiche handelt.
           Dem Artikel von Cirac et al. \cite{cirac1} ist zus�tzlich zu entnehmen, wie eine solche Konfiguration
           zu erzeugen ist.}
          \end{center}
          \end{figure}
Die Bogoliubov-Gleichungen k�nnen durch eine Fourier-Analyse exakt berechnet werden. Als L�sungsweg der sich
ergebenden Gleichungen wurde von Cirac et al. \cite{cirac1} ein numerisches Verfahren entwickelt. Zun�chst wurden
die Bogoliubov-Gleichungen vereinfacht und anschlie�end numerisch auf Diagonalform gebracht.
Es zeigt sich in der Simulation, dass die Fluktuationen destabilisierend auf den Kondensatzustand
wirken k�nnen.\\
Es existieren stabile und instabile Bereiche. Ob ein System stabil ist oder nicht,
h�ngt nur von den gew�hlten Kondensatvariablen ab.
F�r die Instabilit�t kommen sowohl energetische, als auch dynamische Ursachen in Frage.
Die Zeitskala der energetischen ($\omega_{reell}<0$) Instabilit�ten ist jedoch so gro�, dass sie
vernachl�ssigbar sind. In Kapitel (\ref{forfluctiations})) wurde beschrieben, wie die Fluktuationen
sich energetisch instabil auf das Kondensat auswirken k�nnen.\\
Nicht vernachl�ssigbar sind hingegen die dynamischen Instabilit�ten, die f�r komplexe Frequenzen $\omega$
auftreten. Die numerischen Berechnungen ergeben, dass
der Betrag der komplexen Eigenfrequenzen sensibel gegen�ber
kleinen �nderungen der Kondensatgr��en $(\tilde{U},b,m^{\star})$ ist.
F�r $m^{\star}=7$ ist die maximale Anzahl der imagin�ren Eigenfrequenzen
in Abb.(\ref{ringsdyninstabil}) dargestellt.








Kapitel5.tex
\chapter{Das frei expandierende Kondensat\label{expandinguniverse}}
Im Unterschied zu den beiden vorhergehenden Kapiteln wird in diesem Abschnitt ein Kondensat
untersucht, das nicht nur vom Ort, sondern auch von der Zeit abh�ngt.
Am Anfang ruht das Kondensat in einem �u�eren Potential, welches schlagartig abgeschaltet wird.
Das nun freie Kondensat beginnt zu expandieren.
Das Ziel dieses Abschnitts ist es, die Dynamik f�r eine von au�en injizierte Dichtemodulation
zu berechnen.
Es wird gezeigt, dass eine Analogie zwischen dem sich frei ausbreitenden Kondensat und der
Expansion des de-Sitter-Universums besteht.\footnote{
Erw\'ahnenswert ist eine bisher unver\'offentlichte Arbeit von L. Garay \cite{garay2}, welche sich ebenfalls damit besch\'aftigt.}


\section{Das Modell}
An das �u�ere Potential wird nur die Bedingung gekn�pft, dass es sph�risch und dreidimensional sein muss.
Dadurch wird erreicht, dass nach dem Abschalten des Potentials
die Kondensatwolke homogen radial expandiert.
Punkte im Kondensat bewegen sich auf radialen Bahnen,
so dass
          \begin{equation} \label{neue Koordinaten}
                    r(t)=z(r,t=0) \, b(t)
          \end{equation}
gilt (siehe Abb.(\ref{free})).
Die neue Koordinate $z$ ist zeitunabh�ngig.
Mit der Produktregel f�r die Ableitung von $r(z,b)$ ergibt sich die radiale Hintergrundgeschwindigkeit
          \begin{equation} \label{vr}
                    v_r=\frac{\dot{b}}{b}r.
          \end{equation}
Das Volumen der Kondensatwolke am Zeitpunkt $t=0$ ist
          \begin{equation} \nonumber
                    V_0=\int dx \, dy \, dz \, \, z(r,t=0).
          \end{equation}
Mit der Zeit w�chst das Volumen auf
          \begin{equation} \nonumber
                    V(t)=b(t)^3 V_0
          \end{equation}
an.
Das Volumen ist indirekt proportional zur Dichte. F�r Gl.(\ref{schallgeschwindigkeit}) ergibt sich
          \begin{equation} \label{cschallgeschwindigkeit}
                    c(t,r)=\frac{1}{b(t)^{3/2}}c_0(r),
          \end{equation}
die radiale Schallgeschwindigkeit.
          \begin{figure}[t]
          \begin{center}
          \input{3duniversum.pstex_t}
          \caption[Frei expandierendes Kondensat]
          {\label{free}Zu Zeiten $t<0$ befindet sich das Kondensat (orange) in einem sph�rischen
          Potential. Am Zeitpunkt $t=0$ verschwindet das Potential durch pl�tzliches Abschalten.
          Die Kondensatwolke beginnt sph�risch zu expandieren.}
          \end{center}
          \end{figure}
Ziel ist es, die Funktionen f�r $c(t,r)$ und $v(t,r)$ derart zu bestimmen, dass eine Analogie zum
de-Sitter-Universum (siehe Abschnitt (\ref{sitter})) besteht.

\section{Die Wellengleichung}
Im Falle eines frei expandierenden Kondensats ist $V_{ext}(t>0,\vec{r})=0$.\\
Induziert man mit dem Laser zus�tzlich eine St�rung in der Kondensatwolke, werden die Dichte
$$\rho(\vec{r},t) =\rho_{0} (\vec{r},t) + \varepsilon \rho_{1} (\vec{r},t)$$
und Phase
$$\theta(\vec{r},t) = \theta_{0} (\vec{r},t) + \varepsilon \theta_{1} (\vec{r},t),$$
minimal moduliert.\\
Die Berechnungen f�r die Metrik sind in den Kapiteln (\ref{wellengleichungignacio})
und (\ref{anhanghydro}) zu finden.
Es handelt sich hierbei nicht um exakte Kalkulationen. Es war erforderlich, die
Thomas-Fermi-N�herung (Gl.(\ref{fermithomas})) zu verwenden. Diese gilt aber nur,
wenn die kinetische Energie klein im Vergleich zur restlichen Energie ist:
          \begin{equation}   \nonumber
                    E_{Kin}\ll E_{pot}+E_{int}.
          \end{equation}
Am Anfang der Expansion ist
          \begin{equation}   \nonumber
                    E_{Kin}\ll E_{pot}
          \end{equation}
diese Bedingung gew�hrleistet.
Mit der Zeit wandelt sich potentielle in kinetsiche Energie um.
Es ist notwendig, die Rechnungen zeitlich
einzuschr�nken.
F�r die St�rung muss - um die Thomas-Fermi-N�herung anfangs verwenden zu k�nnen - zus�tzlich gelten:
          \begin{equation}  \label{fermithomasstorung}
                    \begin{split}
                    \frac{\nabla^2 \sqrt{ \left( \rho_0 + \varepsilon \rho_1 \right) }}
                    {\sqrt{\rho_0 + \varepsilon \rho_1}}
                    \approx
                    \frac{\nabla^2 \sqrt{ \left( \rho_1 \right) }}
                    {\sqrt{\varepsilon \rho_1}} &\ll Ng\rho_1 \\
                    k^2  & \ll  \frac{4mNg}{\hbar^2}
                    \end{split}.
          \end{equation}
Unter diesen Voraussetzungen ergibt sich f�r die Metrik:
          $$             g^{\mu \nu}=c^2\left( \begin{array}{cccc}
          1            & v_x                  & v_y            & v_z \\
          v_x          & -c^2+v_{x}^2         & v_{y}v_{x}     & v_{z}v_{x} \\
          v_y          & v_{x}v_{y}           & -c^2+v_{y}^2   & v_{z}v_{y}  \\
          v_z          & v_{x}v_{z}           & v_{y}v_{z}     & -c^2+v_{z}^2
          \end{array} \right).$$
Damit kann die Wellengleichung geschrieben werden als
$$\partial_{\mu}(\sqrt{-g} \, g^{\mu\nu} \, \partial_{\nu}\theta_{1})=0,$$
was einer Wellengleichung mit Metrik und damit im gekr�mmten Raum entspricht.

Der Unterschied zu den beiden vorherigen Kapiteln ist, dass es sich hier
um Geschwindigkeiten $\vec{v}(t,\vec{r})$ und $c(t,\vec{r})$ handelt, die explizit von der Zeit abh�ngen.
Die Herleitung in Kapitel (\ref{wellengleichungignacio}) ist jedoch allgemein gehalten und nicht auf
ein zeitunabh�ngiges Kondensat beschr�nkt.\\
Als n�chstes wird die
Metrik an das frei expandierende Kondensat angepasst.

\section{Das Linienelement f�r ein sph�risches Kondensat}
Die Kovariante zu $g^{\mu \nu}$ ist
          $$g_{\mu \nu}=c\left( \begin{array}{cccc}
          -(c^2-v^2)             & -v_x         & -v_y              & -v_z \\
          -v_x                   & 1            & 0                 & 0 \\
          -v_y                   & 0            & 1                 & 0  \\
          -v_z                   & 0            & 0                 & 1
          \end{array}\right).$$
Das Linienelement aus Gl.(\ref{abstand}) f�r diese Metrik ist
          \begin{equation} \label{universumabstand}
                    dl^2=c\left[-(c^2-v^2)dt^2-2 \vec{v} d\vec{r} dt + dx^2 + dy^2 +dz^2 \right],
          \end{equation}
wobei
          \begin{equation} \nonumber
                    d\vec{r} = \left(  \begin{array}{c}
                    dx\\
                    dy\\
                    dz\\ \end{array} \right)
          \end{equation}
verwendet wurde.
Da die Kondensatwolke radial expandiert, ist es sinnvoll,
von den bisher verwendeten kartesischen in sph�rische Koordinaten zu wechseln.\\
F�r eine radiale Hintergrund - und Schallgeschwindigkeit
kann das Linienelement in Kugelkoordinaten angegeben werden:
          \begin{equation}
                    dl^2=c(r,t)\left[-(c(r,t)^2 - v(r,t)^2)dt^2 -2 \, v(r,t) \, dr dt + dr^2 + r^2 \, d\Omega^2 \right].
                    \label{lineelemntsph}
          \end{equation}
Um das Linienelement zu diagonalisieren, wird $r$ in den neuen Koordinaten ausgedr�ckt.
Dazu wird das erste
          \begin{equation}
                    dr=b(t) \,  dz + \frac{\dot{b}(t)}{b(t)} r(t) \, dt
          \end{equation}
und zweite
          \begin{equation} \nonumber
                    dr^2=b^2dz^2 + 2bv_r dz dt + v_r^2 dt^2
          \end{equation}
totale Differential berechnet.
In Gl.(\ref{universumabstand}) eingesetzt ergibt sich
          \begin{equation}
                    dl^2=c_0(r) \left[ -c_0(t)^2 \, b(t)^{-9/2} \, dt^2 + b(t)^{1/2} \, dz^2 +  b(t)^{1/2} \, z^2 \, d\Omega^2 \right].
                    \label{lineelementsphnew}
          \end{equation}


\section{Die de-Sitter-Metrik im Kondensat}
In der de-Sitter-Metrik h�ngt $g_{00}$ weder von der Zeit, noch vom Ort ab (siehe Gl.(\ref{desitermetrik})).
Die Zeitabh�ngigkeit kann durch die Transformation
          \begin{equation} \label{zeitweg}
                    \begin{split}
                    \tau=&\int \sqrt{g_{00}}dt\\
                    \rightarrow \ d\tau=&b(t)^{-9/4}dt
                    \end{split}
          \end{equation}
beseitigt werden.
Die Ortsabh�ngigkeit kann nicht beseitigt werden.

F�r ein konkretes �u�eres Potential kann gepr�ft werden, ob ein Bereich existiert,
in dem die Dichte ann�hernd konstant ist.
Zum Beispiel ist
der Grundzustand im harmonischen Potential zum Zeitpunkt $t=0$ durch
          \begin{equation}
                    \Phi_0(t=0,\vec{r})=\sqrt{\frac{\mu-\frac{1}{2}m \omega(t)^2 \vec{r}^2}{Ng}}.
                    \footnote{Der Grundzustand kann berechnet werden, indem in Gl.(\ref{GPE1}) das harmonische Potential
$ V_{ext}=\frac{1}{2} m \omega (t)^2 \vec{r}^2 $ eingesetzt wird. Mit der Thomas-Fermi-N�herung
kann die kinetische Energie vernachl�ssigt werden.}
          \end{equation}
gegeben.
Hierbei handelt es sich um die Kugelgleichung. In Abb.(\ref{free}) befand sich das Kondensat
in einem dreidimensionalen harmonischen Potential.
Eine Einschr�nkung der Beobachtung auf den Bereich um das Zentrum des Potentials
erlaubt es, die Schallgeschwindigkeit
als konstant zu betrachten.\\

Das Linienelement mit der neuen Zeitkoordinate $\tau$ auf einem beschr�nkten Bereich im Kondensat ist
damit:
          \begin{equation}
                    dl^2=c_0(r)\left[ -c_0(r)^2 d\tau^2 + b\left(t(\tau)\right)^{1/2} dz^2 +
                    b\left(t(\tau)\right)^{1/2} z^2 d\Omega^2 \right].
          \end{equation}
Ein Vergleich mit der de-Sitter-Metrik zeigt,
dass
          \begin{equation} \label{bedingunggefunden}
                    \sqrt{b(t)}=\exp(2H\tau)
          \end{equation}
sein muss (siehe Abschnitt (\ref{desitermetrik})).
Durch Integration von Gl.(\ref{zeitweg})
          \begin{equation} \nonumber
                    \begin{split}
                    \int_0^{\tau} d\tau' &= \int_0^{t} b(t') dt'\\
                    \int_0^{\tau} d\tau' & = \int_0^{t}\exp(4H\tau)^{-9/4} dt'\\
                    \int_0^{t} dt'&=\int_0^{\tau} \exp(H\tau)^{9} d\tau'\\
                    t & = \frac{1}{9H}\exp({9H}\tau)- \frac{1}{9H} \\
                    \rightarrow & \exp(9H\tau)=9Ht + 1
                    \end{split}
          \end{equation}
kann $b(\tau)$ in Abh�ngigkeit von $t$ angegeben werden (siehe \cite{garay2}):\\
          \begin{equation}
                    b(t)= (9Ht + 1)^{4/9}
          \end{equation}

In der Ver�ffentlichung von Castin et al. \cite{scaling} wird mit einer Skalierungs-Transformation
die Zeitentwicklung f�r ein frei expandierendes Kondensat berechnet. Das Kondensat befindet
sich vor der Expansion in einem dreidimensionalen harmonischen Potential.
Die Formel f�r $\omega$ in bewegten Koordinaten ist
          \begin{equation} \label{auspaper}
                    \ddot{b}(t)=\frac{\omega_0^2}{b(t)^4}-\omega(t)^2\ddot{b}(t).
          \end{equation}
In \cite{garay2} ist die Frequenz ebenfalls berechnet worden. Es ergibt sich:
          \begin{equation}
                    \omega(t)=\omega_0 b(t)^{-5/2}\left(1+\frac{20 \, H^2}{\omega_0^2}b(t)^{1/2} \right).
          \end{equation}


\section{Zusammenfassung}
F�r das frei expandierende Kondensat kann eine effektive de-Sitter-Metrik eingef�hrt werden.
Das Problem der ortsabh�ngigen Schallgeschwindigkeit l��t sich durch Einschr�nkung auf einen
kleinen Raumbereich, in dem die Dichte hinreichend konstant ist, beseitigen.
Befindet sich das Kondensat vor Beginn der Expansion im harmonischen Potential, werden nur St�rungen
im Zentrum des Potentials betrachtet.
W�hrend der Ausbreitung nimmt die kinetische Energie zu. F�r kleine St�rungen
(siehe Gl.(\ref{fermithomasstorung})) ist die Thomas-Fermi-N�herung dennoch g�ltig, solange die
Energie der St�rung klein gegen�ber der Wechselwirkungsenergie ist.
Mit der Gr��e der
Kondensatwolke nehmen die atomaren Abst�nde im Kondensat zu, wodurch die Wechselwirkung abnimmt.
Die Gleichungen werden ung�ltig.













Titel.tex



\begin{titlepage}

\center

%\vspace*{1cm}

{\Huge \bf Simulation}\\[0.3cm]
{\Huge \bf von}\\[0.3cm]
{\Huge \bf Gravitationsobjekten}\\[0.3cm]
{\Huge \bf im}\\[0.3cm]
{\Huge \bf Bose-Einstein-Kondensat}\\[3cm]
{\sf \large
Diplomarbeit\\[1mm]

von\\[1mm]

\Large Silke E. Ch. Weinfurtner\\[1cm]

Betreuer der Diplomarbeit:
Prof. Dr. I. Cirac\\[2mm]

\large Max-Planck-Institut f�r Quantenoptik\\[2mm]

Technische Universit�t M�nchen\\%[3mm]
Fakul�t f�r Physik\\[0.5cm]
}
\begin{minipage}[t][4cm][c]{1cm}
\includegraphics[height=3cm]{tum.eps}
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}[t][4cm][c]{2cm}
\center
\includegraphics{ph.eps}\\
{\small \sf PHYSIK\\DEPARTMENT}\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}[t][4cm][c]{1cm}
\includegraphics[height=3cm]{mpq.eps}
\end{minipage}
\\



\end{titlepage}


AAA.bbl
\begin{thebibliography}{10}

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