������������� ������� ������� ��� ������������ ���������������� ����������
�.~�.~������
math0411598.tex
\documentclass[12pt,oneside]{amsproc}
\usepackage[T2A]{fontenc}
\usepackage[cp1251]{inputenc}
\usepackage[russian]{babel}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsthm}

\textheight=24cm \textwidth=18cm \oddsidemargin=-5mm
\topmargin=-20mm


\newtheorem{thm}{�������}
\newtheorem{deff}{�����������}
\newtheorem{statement}{�����������}
\newtheorem{cons}{���������}
\newtheorem{lemma}{�����}
\newtheorem*{example}{������}
\renewcommand{\refname}{}

\renewcommand{\span}{\operatorname{span}}
\renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}
\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}
\renewcommand{\proofname}{��������������}
\newcommand{\opi}{\operatorname{I}}
\newcommand{\opv}{\operatorname{V}}
\newcommand{\opt}{\operatorname{t}}
\newcommand{\itL}{\mathit{L}}

\sloppy

\title{������������� ������� ������� ��� ������������ ����������������
����������}
\author{�.~�.~������}
\thanks{������ ��������� ��� ��������� ������� ���� 04-01-00712 � ��-1927.2003.1.}
\date{}
\begin{document}
\begin{flushleft}
��� 517.984
\end{flushleft}
\maketitle
%\thanks{}

� ������ \cite{Birkhoff} ��.~�.~������� ������ ���������������
������ ��� ������������ ������������ ���������������� ����������
�������� �������, ���������� ����������

\begin{equation}
\label{begeq} l(y)=(-1)^m
y^{(m)}+(-1)^{m-2}[p_2(x)y]^{(m-2)}+\cdots+p_m(x)y,
\end{equation}
��� ������� $p_k(x)$ ���������� ��������������� �� $[a,b]$, �
�������� ���������
\begin{equation}
\label{begbc} U_j(y)=\sum \limits_{k=0}^{m-1}
a_{j\,k}y^{(k)}(a)+b_{j\,k}y^{(k)}(b)=0,\; j=1,\ldots ,m.
\end{equation}

� ���������, �� ������� ������ ����� ������� �������, �������
������ �����������. ��������, ���������� ���������� \eqref{begeq}
� ����������� �������� ��������� \eqref{begbc}, ����� �� �����
��������� �������� ����������. �������, ���  � �����������
������������ ��������� ������ ������������ � �������� ������
\eqref{begbc}, � �� ��������� ������������ $p_j(x)$
����������������� ���������.

������ ���������, ������������� ���������, ������� � ������
����������� ����������� ����������������� ���������. ������
����������, �� ��������, ����� ��, ��� ��� ��������������
������� �������, �.�. �������, ��� ������� �������� $\itL_0$,
���������� ���������� ${l_0(y)=(-i)^my^{(m)}}$ �����������.
������ � ���, �������� �� �������������� ������� �����������,
��������� ���������. ��� ���� ������������ ������ �.~�������
\cite{Sal} ��� ������ $m$ � ��� ������������� �������
�.~�.~�������� \cite{Minkin_MZ}.

� ���� ������� �������������� �������� $\itL_0$, ����������
���������������� ���������� ${l_0(y)=(-i)^my^{(m)}}$ c ��������
������������ ${D(\itL_0)=\{y \in W_2^m[0,1], \, \mathit{U}_j(y)=0,
\, j=1,\ldots,m\}}$. ����� ����� $W_2^m$ ���������� ������������
��������.

������� ������� \eqref{begbc} ������ ��������������, ����
�������� $\itL_0$ �������� �������������, �.�. $\Im (\itL_0y,\,y)
\geqslant 0$.

����� ������ �������� �������� ���� ������������� ������� �������
� ��������� �������, �������� �� ����� ������� �����������.
������� ��������� ����: ���� �� �������, ��� �������������
�������� $\itL_0$ ���������, �� ������������ �������� $\it L$,
���������� ���������������� ���������� \eqref{begeq} � ���� ��
�������� ���������, ����� ���������.


\section{�������� ������������� ������� �������.}
� ���� ��������� ��������� ����������� � ����������� �������
��������������� ������� �������.

��� ��������� ������ ����� �������-������:
$$\widehat{y}_0:=(y(0), \ldots, y^{(m-1)}(0));$$
$$\widehat{y}_1:=(y(1), \ldots ,y^{(m-1)}(1));$$
$$\widehat{y}:=(\widehat{y}_0,\; \widehat{y}_1)
=\bigl(y(0),\ldots, y^{(m-1)}(0),\;y(1), \ldots,
y^{(m-1)}(1)\bigr).$$

����� $\widehat{y}_0^{\,*}$, $\widehat{y}_1 ^{\,*}$,
$\widehat{y}^{\,*}$, $A^*$ ����� ���������� ���������������
�������-������� � ������� � ���������� ����������� ������������,
� ������ \glqq${\opt}$\grqq~�� ����� �������� ������� �����
�������� ���������������� ������� ��� ������� ��� ������������
���������� ���������. ��� ����������� ������ � ��������,
���������� ������� ���������� ��������� ��������, ����� �������
������ �����. �� ����, $A^*=\overline{A} ^{\,\opt}$

�������, ��� ������� ������� � ����� ������������ �����
���������� � ����
${A\widehat{y}_0^{\,\,\opt}+B\widehat{y}_1^{\,\,\opt}=0}$, ��� $A$
� $B$---������� ������� $m$.

\begin{lemma} \label{P} �����
$$2\Im{(\mathit{L}_0y,y)}=
\left\{ \begin{array}{rcl}{i(-1)^{n+1}\bigl[ \,\widehat{y}_1
\mathit{J}\widehat{y}_1^{\,*}-
\widehat{y}_0 \mathit{J}\widehat{y}_0^{\,*} \,\bigr],\,\,m=2n}\vspace{1.5ex}\\
{(-1)^n\bigl[\,\widehat{y}_1\mathit{K}\widehat{y}_1^{\,*}-
\widehat{y}_0\mathit{K}{\widehat{y}_0}^{\,*}\,\bigr], \,\,m=2n-1,}
\end{array}
\right.$$ ��� ������� $\mathit{J}$ � $\mathit{K}$ ��������
��������� �������:
\smallskip

$$ \mathit{J}=
\begin{pmatrix}
0 & 0 & \ldots & 0 & -1\\
0&&& 1 & 0\\ \vdots && \cdot && \vdots \\
0 & -1 &&& 0 \\ 1 & 0 & \ldots && 0
\end{pmatrix} \qquad
\mathit{K}=
\begin{pmatrix}
0 & 0 & \ldots & 0 & 1\\
0&&& -1 & 0\\ \vdots && \cdot && \vdots \\
0 & -1 &&& 0 \\ 1 & 0 & \ldots && 0
\end{pmatrix}
$$
\end{lemma}
\begin{proof}

$$\Im{(\mathit{L}_0y,y)}=\frac{1}{2i}\bigl( (\mathit{L}_0y,y)-(y,\mathit{L}_0y)\bigr)$$
���������� $(\mathit{L}_0y,y)$ $m$ ��� �� ������, �������
$$2\Im{(\mathit{L}_0y,y)}=(-i)\bigl[(-i)^{m}\bigl(\left.y^{(m-1)}\overline{y} -
\ldots +(-1)^{m-1}y\overline{y^{(m-1)}}\bigr) \right|_0^1\bigr]=$$
$$=
\left\{ \begin{array}{rcl}{i(-1)^{n+1}\bigl[\,\widehat{y}_1
\mathit{J}\widehat{y}_1^{\,*}-
\widehat{y}_0 \mathit{J}\widehat{y}_0^{\,*}\,\bigr],\,\,m=2n}\vspace{1ex}\\
{(-1)^n\bigl[\,\widehat{y}_1\mathit{K}\widehat{y}_1^{\,*}-
\widehat{y}_0\mathit{K}{\widehat{y}_0}^{\,*}\,\bigr], \,\,m=2n-1,}
\end{array}
\right.$$

\end{proof}

\begin{lemma} \label{lm4}
����� $m=2n$ � ������� ������� ������ � �����
${A\widehat{y}_0^{\,\,\opt}+B\widehat{y}_1^{\,\,\opt}=0}$, ���
$A$ � $B$---������� ������� $2n$. ���� $\forall y \in
\mathit{D}(\mathit{L})$
$$
\widehat{y}_1(-i(-1)^n\mathit{J})\widehat{y}_1^{\,*} -
\widehat{y}_0(-i(-1)^n\mathit{J})\widehat{y}_0^{\,*} \geqslant 0,
$$
��

\begin{equation}
\label{disscond}
[\overline{A}(-i(-1)^n\mathit{J})A^{\opt}-\overline{B}(-i(-1)^n\mathit{J})B^{\opt}]
\leqslant 0.
\end{equation}

\end{lemma}

\begin{proof}[��������������]

��������� $\widehat{U}_j=(a_{0j},\; a_{1j},\ldots, a_{2n-1\,j},\;
b_{0j},\; b_{1j},\ldots, b_{2n-1\,j}), \; j=1,\ldots,2n$ ������,
��������� �� ������������� ������� ������� \eqref{begbc}. �����
��������� $U_j(y)=0$ ����� ���������� � ����

\begin{equation}
\label{condition}  \langle\overline{\widehat{U}}_j,\;
\widehat{y}^{\,\,\opt}\rangle_{4n}=0
\end{equation}

��������� ��������� --- ��������� ������������ � $4n$ - ������
������������ ��� $\mathbb{C}$. ������ $\overline{\widehat{U}}_j$
�������� �������� ��������������� ����������� $2n$ (����� � �����
����� ��������, ��� ������� ������� ������� ����������). ���������
����� $\mathfrak{N}$ ��������������� ����������� $2n$ ���������
�� ������� ������� ��������� \eqref{condition}, � �����
$\mathfrak{L}$
--- ��������������� $\span(\{\overline{\widehat{U}}_j\}_{j=1}^{2n})$.
����� $\mathfrak{N}$ ������������ $\mathfrak{L}$. �������
$$ \mathit{M}:=\left( \begin{array}{cc} i(-1)^n\mathit{J}&0 \\ 0 &
-i(-1)^n\mathit{J}
\end{array} \right), $$
�����
\begin{equation}
\label{interpretation} \widehat{y} \, \mathit{M} \, \widehat{y}^*
\geqslant 0 \quad \forall\, \widehat{y} \in \mathfrak{N}.
\end{equation}

\medskip
� ������� $\mathit{M}$  ��� ����������� ��������: $1$ � $(-1)$.
������ �� ��� ����� ��������� $2n$. �����
$\{\widehat{x}_j^{\,-}\}_{j=1}^{2n}, \; \;
\{\widehat{x}_j^{\,+}\}_{j=1}^{2n}$
 --- �����, � ������� $\mathit{M}$
�����������������: ������ �� ��������� �����
\mbox{\glqq$-1$\grqq}, ����� \mbox{\glqq$1$\grqq}. ������� �
$\mathbb{C}^{4n}$ ����������� �������������� �������������� �
������, ���������� �� ��������
$\{\widehat{x}_1^{\,-},\,\widehat{x}_2^{\,-},\ldots,\widehat{x}_{2n}^{\,-},\,
\widehat{x}_1^{\,+},\,\widehat{x}_2^{\,+},\ldots,\widehat{x}_{2n}^{\,+}\}$.
���������
$\mathfrak{N}_-=\span(\{\widehat{x}_j^{\,-}\}_{j=1}^{2n})$ �
$\mathfrak{N}_+=\span(\{\widehat{x}_j^{\,+}\}_{j=1}^{2n})$.
�������, ��� $\forall \, \widehat{x} \in \mathfrak{N}_- \;\;
\widehat{x}M\widehat{x}^{\,*}\leqslant 0$ � $\forall \,
\widehat{x} \in \mathfrak{N}_{\,+} \;\;
\widehat{x}M\widehat{x}^{\,*}\geqslant 0$.

���������� ��������� $\mathit{S}_-$ � $\mathit{S}_+$, �������
���������� $\mathfrak{N}$ �� $\mathfrak{N}_-$ � $\mathfrak{N}_+$
��������������. $\forall \, \widehat{x} \in \mathfrak{N}_+$
���������� �� ����� ������ $\widehat{y} \in \mathfrak{N}: \;
\mathit{S}_+(\widehat{y})=\widehat{x}$. � ��������� ������, ����
�������� ����� $\widehat{y}_1$ � $\widehat{y}_2$, ${(\widehat{y}_1
- \widehat{y}_2)\mathit{M}(\widehat{y}_1 - \widehat{y}_2)^*<0}$.
��� ��������, ��� � ��������� $\mathit{S}_+$ ���� �������� (�����
��������). � ���� ����� ��������������� $\mathfrak{N}$
����������� �� � ������ �� �������, ���������� ������� � ������
$\{\widehat{x}_1^{\,-},\,\widehat{x}_2^{\,-},\ldots,\widehat{x}_{2n}^{\,-},\,
\widehat{x}_1^{\,+},\,\widehat{x}_2^{\,+},\ldots,\widehat{x}_{2n}^{\,+}\}$
�������  �� ��������������� ���������� ��������� �������
$(\mathit{S}_-\mathit{S}_+^{-1})(\widehat{x})$ � ������
$\{\widehat{x}_j^{\,-}\}_{j=1}^{2n}$ ������������
$\mathfrak{N}_-$ � ��������� $\widehat{x}$ � ������
$\{\widehat{x}_j^{\,+}\}_{j=1}^{2n}$ ������������ $\mathfrak{N}_+$
($\forall \widehat{x}\in \mathfrak{N}_+$). ����� ���������� ���
���:
$$
\mathfrak{N}= \big
\{\big((\mathit{S}_-\mathit{S}_+^{-1})(\widehat{x})\,,\,\widehat{x}\,\big)\mid
\;\widehat{x} \in \mathfrak{N}_+\big \}.
$$

������ ����� ����������� �������� ���
$\mathfrak{L}=\mathfrak{N}^{\perp}$. � ������, ����������
�������� ${\mathit{T}: \mathfrak{N}_- \rightarrow
\mathfrak{N}_+}$ �����, ���
$\mathfrak{L}=\mathfrak{N}^{\perp}=\big
\{\big(\,\widehat{y},\,\mathit{T}(\widehat{y})\big)
\mid\;\widehat{y} \in \mathfrak{N}_-\big \}$. ����������� �
���������������� $\mathfrak{N}_-$ � $\mathfrak{N}_+$ ������
$\{\widehat{x}_j^{\,-}\}_{j=1}^{2n}$ �
$\{\widehat{x}_j^{\,+}\}_{j=1}^{2n}$ ��������������. �����
$S$---������� ��������� ${\mathit{S}_-\mathit{S}_+^{-1}:
\mathfrak{N}_+ \rightarrow \mathfrak{N}_-}$ � ���� �������. �����
���������� �������� �������� �� $\mathfrak{N}_-$ �
$\mathfrak{N}_+$, ������� �������� ��� ������������� �������
$\{\widehat{x}_j^{\,-}\}_{j=1}^{2n}$ �
$\{\widehat{x}_j^{\,+}\}_{j=1}^{2n}$ ����� ${(-S^*)}$. ��� � ����
������� �������� $\mathit{T}$.


�� \eqref{interpretation} �������, ��� ${\forall \, \widehat{x}
\in \mathfrak{N}_+}\; \langle
(\mathit{S}_-\mathit{S}_+^{-1})(\widehat{x}) ,
\,(\mathit{S}_-\mathit{S}_+^{-1})(\widehat{x}) \rangle_{2n}
\leqslant \langle \widehat{x} , \, \widehat{x}\rangle_{2n}$, �
������, ${\forall \, \widehat{x} \in \mathfrak{N}_-}\; \langle
\mathit{T}(\widehat{x}), \, \mathit{T}(\widehat{x}) \rangle_{2n}
\leqslant \langle \widehat{x} , \, \widehat{x}\rangle_{2n}$.
�������������, $\forall \, \widehat{y} \in \mathfrak{N}^{\perp}
\quad \widehat{y} \,\mathit{M}\, \widehat{y}^{\,*} \leqslant 0$.

��������� $\mathfrak{N}^{\perp}=\mathfrak{L}$---���������������,
���������� �������� ���������
$\{\overline{\widehat{U}}_j\}_{j=1}^{2n}$, ��
$$[\overline{A}(-i(-1)^n\mathit{J})A^{\opt}-\overline{B}(-i(-1)^n\mathit{J})B^{\opt}] \leqslant 0$$
����� \ref{lm4} ��������.

\end{proof}

%\bigskip
�� �������������� ����� \ref{lm4} ����, ��� ���� $A$ � $B$
������������� \eqref{disscond}, �� ��� ������ �������������
�������.

� �������� ������ ������������� ������� ����������� ��� ��.
������� ����� � ���, ��� � � �������� ������ � �������
$\mathit{M}$ ����� ���������� ���������� \mbox{\glqq$1$\grqq} �
\mbox{\glqq$-1$\grqq}~� ����������������� ����. ����� �������,
�������� �������, ������ ������������� �� �������������� ���������
������������� ����������� ��������� $\mathit{L}_0$.

\begin{thm}

������� $A$ � $B$ ������ ������������� ������� ������� ����� �
������ �����, �����
$$
[\overline{A}(-i(-1)^n\mathit{J})A^{\opt}-\overline{B}(-i(-1)^n\mathit{J})B^{\opt}]
\leqslant 0
$$
� ������ ������,

$$
[\overline{A}(-1)^n\mathit{K}A^{\opt}-\overline{B}(-1)^n\mathit{K}B^{\opt}]
\leqslant 0
$$
� �������� ������.
\end{thm}

\bigskip
��������� ������ ��� ���� �������� ������������� ������� �������
��� ����������������� ��������� ${l_0(y)=(-i)^my^{(m)}}$. ����
��������� �������� ��������� ������ �.�.����-�������� �
�.�.�������� \cite{RH}.

������ � ������� ������: ${m=2n}$. ��� �������� ��������� �����
${\Im{(\mathit{L}_0y,y)}}$ ��� ����������� ����������������,
���������� ����������������� ��������� ${l_0(y)}$. ��������� ��
��������� �������:
\begin{flushleft}
\quad\quad$y^{[k]}=y^{(k)}, \; (k=0,1,\ldots,n;\;y^{(0)}=y),$\\
\quad\quad$y^{[2n-k]}=-\frac{d}{dt}y^{[2n-k-1]}, \;
(k=0,1,\ldots,n-1).$
\end{flushleft}
����� ����������� ��� �������� ������� � ������� �����������:
\begin{flushleft}
\quad\quad$y^{\land}=\bigl(y(0),\; y'(0),\ldots,
y^{(n-1)}(0),\;y(1),\;
y'(1),\ldots, y^{(n-1)}(1) \bigr)^{\opt},$\\
\quad\quad$y^{\lor}=\bigl(y^{[2n-1]}(0),\; y^{[2n-2]}(0),\ldots,
y^{[n]}(0),\;-y^{[2n-1]}(1),\; -y^{[2n-2]}(1),\ldots, -y^{[n]}(1)
\bigr)^{\opt}.$
\end{flushleft}
� ������� ���� ����������� ${\Im{(\mathit{L}_0y,y)}}$ �����
�������� ���:
$$\Im{(\mathit{L}_0y,y)}=\frac{1}{2i}\bigl((\mathit{L}_0y,y)-
(y,\mathit{L}_0y)\bigr)=\frac{1}{2i}\bigl(\langle
y^{\lor},y^{\land}\rangle_{2n}- \langle
y^{\land},y^{\lor}\rangle_{2n}\bigr),$$
��� ${\langle \cdot\, ,
\cdot\rangle_{2n}}$ ��-�������� �������� ��������� ������������ �
$\mathbb{C}^{2n}$.

\begin{lemma} \label{RH_even1}
���� ������� ������� �������� � ����
$$(\opv-\opi)y^{\lor}+i(\opv+\opi)y^{\land}=0,$$
��� $\opi$---���������, � $\opv$---��������������� ��������
�������� � $\mathbb{C}^{2n}$, �� ����
$$\| \opv{y} \|\leqslant
\|y\|\; \;  \forall y \in \mathbb{C}^{2n},$$

�� ��������, ���������� ���������� $l_0(y)$ � ����� ��������
���������, ������������.
\end{lemma}
\begin{proof}
��������� ������� ������� � ����
$$\opv(y^{\lor}+iy^{\land})=y^{\lor}-iy^{\land},$$
�����
$$\|y^{\lor}+iy^{\land} \|^2\geqslant \|y^{\lor}-iy^{\land}\|^2.$$
������
$$2i\bigl[ \langle y^{\land},y^{\lor}\rangle_{2n}-\langle y^{\lor},y^{\land}\rangle_{2n} \bigr]\geqslant 0,$$
��� ��������� � ������������ ��������������� ���������.
\end{proof}

\begin{lemma} \label{RH_even2}
����� �������� $\mathit{L}_0$ ������� ���������������� ����������
$l_0(y)$, � ��� ������� ����������� ${D(\mathit{L}_0)\subset
W_2^{2n}(0,1)}$ ������� $2n$ ������� ������������ ��������
���������. ���� $\mathit{L}_0$ ������������, �� ���������� �����
��������������� �������� �������� $\opv$, ����������� �
$\mathbb{C}^{2n}$, ��� ������� ������� ������������ ���������:
$$(\opv-\opi)y^{\lor}+i(\opv+\opi)y^{\land}=0,$$
��� $\opi$ ��-�������� ��������� �������� � ${\mathbb{C}^{2n}}$.
\end{lemma}
\begin{proof}
��������� �������� $\mathit{L}_0$ ������������, ��
$$2i\bigl[ \langle y^{\land},y^{\lor}\rangle_{(2n)}-\langle y^{\lor},y^{\land}\rangle_{2n} \bigr]\geqslant 0,$$
��� �����������
$$\|y^{\lor}+iy^{\land} \|^2\geqslant \|y^{\lor}-iy^{\land}\|^2.$$
��������� ������ ����������� $\opv$.

\noindent ������� ����������� $D(\opv)$ ������� ���:
$$D(\opv)=\{z\in \mathbb{C}^{2n}|\, z=y^{\lor}+iy^{\land}, \; y\in D(\mathit{L}_0)\}.$$
�� ������� ����� ������� ��� $D(\opv)$---��������������� �
$\mathbb{C}^{2n}$. �������
$$\opv(y^{\lor}+iy^{\land})=y^{\lor}-iy^{\land}, \; y\in D(\mathit{L}_0).$$
����������� $\opv: \, \mathbb{C}^{2n}\longrightarrow
\mathbb{C}^{2n}$ �������� ������� �������� ����������.

�������, ��� �������� ��� ����������� $\opv$ ����������.

����������� ���������: ����� ����������� $\opv$ ������������, ��
���� �������� ����� ${q,\: y\in D(\mathit{L}_0), \; q \neq y}$,
��� ${y^{\lor}+iy^{\land}= q^{\lor}+iq^{\land}}$, �
${y^{\lor}-iy^{\land}\neq q^{\lor}-iq^{\land}}$. �����, ��� ���
${(y-q)\in D(\mathit{L}_0)}$, ��
$$0= \|(y-q)^{\lor}+i(y-q)^{\land} \| \geqslant
\|(y-q)^{\lor}-i(y-q)^{\land}\| >0.$$ ������ � ������������ �
�������������� � ��������������� ����������� $\opv$.

����� �������, ����������� �������� ��������������� ��������
$\opv$, ����������� � $\mathbb{C}^{2n}$, �����, ��� �������
�������
$$(\opv-\opi)y^{\lor}+i(\opv+\opi)y^{\land}=0$$
������ ${D(\itL _0)}$. �������������� ����� \ref{RH_even2}
���������.
\end{proof}

��� ��������� ������ (${m=2n-1}$) ����������� ����������������
$y^{[k]}$, ���������� ${l_0(y)}$, ������� ���������:

\begin{flushleft}
\quad\quad$y^{[k]}=y^{(k)}, \; (k=0,1,\ldots,n-2;\;y^{(0)}=y),$\\
\quad\quad$y^{[n-1]}=-iy^{(n-1)},$\\
\quad\quad$y^{[2n-k-1]}=-\frac{d}{dt}y^{[2n-k-2]}, \;
(k=0,1,\ldots,n-1).$
\end{flushleft}

���������:
\begin{flushleft}
\quad\quad$y^{\land}=\bigl(y^{(n-1)}(0)+y^{(n-1)}(1),\; y(0),\;
y'(0),\ldots, y^{(n-2)}(0),\;y(1),\; y'(1),\ldots, y^{(n-2)}(1)
\bigr)^{\opt},$\\
\quad\quad$y^{\lor}=\bigl(iy^{(n-1)}(1)-iy^{(n-1)}(0),\;y^{[2n-2]}(0),\ldots,
y^{[n]}(0),\;-y^{[2n-2]}(1),\ldots, -y^{[n]}(1) \bigr)^{\opt}.$
\end{flushleft}

������ ${\Im(\mathit{L}_0y,y)}$ ����� ����� �������� ���:
$$\Im{(\mathit{L}_0y,y)}=\frac{1}{2i}\bigl(\langle y^{\lor},y^{\land}\rangle_{2n-1}-
\langle y^{\land},y^{\lor}\rangle_{2n-1}\bigr),$$ ��� ${\langle
\cdot\, , \cdot\rangle_{2n-1}}$ �������� ��������� ������������ �
$\mathbb{C}^{2n-1}$.

����� \ref{RH_even1} � \ref{RH_even2} ����� � �������� ������. ��
������������ ���������� ��������� �������.

\begin{thm}
��������, ���������� ${l_0(y)=(-i)^my^{(m)}}$ � ��������
��������� \eqref{begbc}, ��������  ������������� ����� � ������
�����, ����� ������� ����� ��������������� �������� $\opv$ �
$\mathbb{C}^{m}$, ��� ����� ���������� ��� ������� �
������������� �����:
$$(\opv-\opi)y^{\lor}+i(\opv+\opi)y^{\land}=0.$$
\end{thm}

\section{����������� ���������� ������� �������}
�������� ����������� ������������ ������� ������� (��.
\cite{Birkhoff}, \cite{Naimark}). �������������� ������� �������
����� �����������. ����� $k_j$ ($j=1,\ldots ,m$) ������ ��������
�������� ������� ${U_j(y)=0}$, ���� ��� ������� ������� ��������
${y^{(k_j)}(0)}$ ��� ${y^{(k_j)}(1)}$, �� �� ��������
${y^{(\nu)}(0)}$ � ${y^{(\nu)}(1)}$ ��� $\nu>k_j$. ����������
������� ������� ������� ${m-1}$, ���� ����� �������. ������� ��,
���� ����, ��������� ������������, ����� �������� ����, �����
����� ������� ����������� ������� ������� ������� ${m-1}$ ����
$\leqslant 2$. ��������� ������� ������� ����� �������
${\leqslant m-2}$; �������� � ��� ��� �� ����, ����� �� ����� �
�������� � �.�.

��������� �������� ���������� {\it ����������� ������� �������}, �
���������� � ���������� ������� ������� ���������� {\it
��������������}. �� ������� �� ���������� �������, ���
������������� ������� ������� ������ ����� ���:

\begin{equation}
\label{normbc} U_j(y)\equiv U_{j\,0}(y)+U_{j1}(y)=0,
\end{equation}
 ���
$$U_{j\,0}(y)=\alpha_j y^{(k_j)}(0)+\sum
\limits_{s=0}^{k_j-1}\alpha_{j\,s}y^{(s)}(0), \quad
U_{j1}(y)=\beta_j y^{(k_j)}(1)+\sum
\limits_{s=0}^{k_j-1}\beta_{j\,s}y^{(s)}(1),$$
$$m-1 \geqslant k_1 \geqslant k_2\geqslant \ldots \geqslant k_m \geqslant 0,\; k_{j} > k_{j+2},$$
������ ��� ������� �������� ������� $j$ ���� �� ���� �� �����
${\alpha_j,\:\beta_j}$ ������� �� $0$.

�������, ��� ������� ������������� ����������� �������������
������� ������� (��. \cite{shef}).
\begin{deff}
����� ��������, ��� ������� ������� $V_j(y)=0$, $j=1,\ldots , m$,
������������� \eqref{begbc}, ��������� ������� \eqref{begbc} �
����������� ����� (��� �������� �� � ����������� �����), ����
����� �������� ������� $V_j(y)$ ����������.
\end{deff}

\begin{statement}
������� ������� ����������� ����� � ������ �����, ����� ���
��������� � ����������� �����.
\end{statement}
\begin{proof}
��������, �� ������������� ����� ������� ���������������.
�������������, �����, ��������, ������� $\{{U}_j(y)=0\}_{j=1}^m$
��������� � ����������� �����, �� �� �����������. ��� ��������,
��� �������� ��� ��� ����� ������� ���������� ������� $k$ �����,
��� ���� �������� ���������� ����� ����� ���
$\sum\limits_{j}c_j(a_{jk},\;b_{jk})=(0,\; 0)$. ����� $j$
��������� ��������, ������ ������� ������� ������� $k$. �� �����
� ������ �� ���� ������� ������� ����� ��������, � ��� �������� �
������������ � �������������� � ������������� �����
$\{{U}_j(y)=0\}_{j=1}^m$.

���������� ������ ������������� ������� $\{{U}_j(y)=0\}_{j=1}^m$.
��� ������� $k=1,\ldots,m-1$ ������� �� ����� ���� ������� �������
������� $k$. ����� ���������� $j(k)$ ������� �� ������� �������
������� ������� $k$, ���� ������� ������ ������� �������.
���� ��� ���������� $k$ �������� ����� ��� ������� ������� $k$ �
�������� $j(k)$ � $j(k)+1$, ��, ������� ${U}_{j(k)}(y)=0$ �
${U}_{j(k)+1}(y)=0$ �� �� �������� ����������, ��������
��������������, ���������� � ����� ��������� �������������:
$\alpha_{j(k)}=\beta_{j(k)+1}=0$,
$\beta_{j(k)}=\alpha_{j(k)+1}=1$. ������� ������ �� $U_n(y)=0$
��� ������� $n<k(j)$ ���������
$\beta_nU_{j(k)}(y)+\alpha_nU_{j(k)+1}(y)=0$, �������� ����,
����� $y^{(k)}(0)$ � $y^{(k)}(1)$ �c��������� ������ � �������� �
�������� $j(k)$ � $j(k)+1$. ���� �� ��� ���������� $k$ ������
���� ������� ����� ������� $k$, ��, ������� ������� � ��������,
�������� $j(k)$, �� �������� ���������� �� � ��������
$U_{j(k)}(y)=0$, ��������  ���� $y^{(k)}(1)$ (����
$\beta_{j(k)}\neq 0$), ���� $y^{(k)}(0)$ (���� $\beta_{j(k)}=0$)
�� ���� ������� ����� $U_{j(k)}(y)=0$. ����� ���� ��������������
������� ������� �������� ��������� �������:
$$
\begin{pmatrix}
\cdots& \cdot & 0 & \cdots & 0 & 0 & \cdots & \alpha_{k_1} & \beta_{k_1} & \cdots \\
       &\cdot   &  \cdot  &        &  \cdot & \cdot &&\cdot &\cdot &\\
&\cdot& 0&\cdots &0& 1&\cdots &0&0 &\\
&\cdot& 0&\cdots &1& 0&\cdots &0&0 &\\
&\cdot&\cdot&\cdot&\cdot&\cdot&\cdot&\cdot&\cdot &\\
\cdots & \alpha_k & \beta_k & \cdots &0 &0& \cdots & 0& 0 &\cdots\\
\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots
&\cdots &\cdots
\end{pmatrix}
\left( \begin{array}{c}
y(0)\\ y(1)\\ \cdot\\ \cdot \\ \cdot \\ y^{(m-1)}(0)  \\
y^{(m-1)}(1) \end{array} \right)=0
$$
��������� �������������� �� �������� �� ����� ��������, ��
��������������� �������.

������ ��������, ��� ��� ���������� ������������ ��������������
����� � ���������� ������� ����� �������� �� ����������, � ������,
������������� ������� ��������� ����������� �����.
\end{proof}

�� ����� ����������� ��������� ������� ���������� ���������.
\begin{cons}
����� �������� $k_1,\ldots,k_m$ ������������� ������� �� �������
�� ����, ������ ���������������� ����������� ����������.
\end{cons}

������ ��������� ����� {\it ����������} ������� �������.
��������� ����� $\omega_j, \; j=1,\ldots,m$ ��������� ����� $m$-�
������� �� $-1$ � �����  �������, ����� ����������� �����������
$$
\Re (\omega_1 e^{\frac{i\pi}{2m}}) < \Re (\omega_2
e^{\frac{i\pi}{2m}}) < \ldots < \Re (\omega_m
e^{\frac{i\pi}{2m}}).
$$
����������� ����� �������� ��� ������ � �������� $m$.

\begin{itemize}
\item[�)] $m$ �������; $m=2\mu-1$.

������������� ������� ������� \eqref{normbc} ����������
�����������, ���� ��� ����� $\theta_0$ � $\theta_1$, �����������
����������
$$\theta_0+\theta_1 s =
\begin{vmatrix} \alpha_1 \omega_1 ^{k_1}& \ldots &\alpha_1
\omega_{\mu-1} ^{k_1}& (\alpha_1+s\beta_1)\omega_{\mu} ^{k_1}&
\beta_1 \omega_{\mu+1} ^{k_1}&\ldots& \beta_1 \omega_{m} ^{k_1}\\
\alpha_2 \omega_1 ^{k_2}& \ldots &\alpha_2 \omega_{\mu-1} ^{k_2}&
(\alpha_2+s\beta_2)\omega_{\mu} ^{k_2}& \beta_2 \omega_{\mu+1}
^{k_2}&\ldots& \beta_2 \omega_{m} ^{k_2}\\
\cdot&\cdot&\cdot&\cdot&\cdot&\cdot&\cdot\\\alpha_m \omega_1
^{k_m}& \ldots &\alpha_m \omega_{\mu-1} ^{k_m}&
(\alpha_m+s\beta_m)\omega_{\mu} ^{k_m}& \beta_m
\omega_{\mu+1}^{k_m}&\ldots& \beta_m \omega_{m}
^{k_m}\end{vmatrix},$$ ������� �� ����.

\item[�)] $m$ �����; $m=2\mu$.

������������� ������� ������� \eqref{normbc} ����������
�����������, ���� �� ������� ���� ���� �� ����� $\theta_{-1}$ �
$\theta_1$, ����������� ����������
$$\frac{\theta_{-1}}{s}+\theta_0+\theta_1 s =$$
$$=\begin{vmatrix} \alpha_1 \omega_1 ^{k_1}& \ldots &\alpha_1
\omega_{\mu-1} ^{k_1}& (\alpha_1+s\beta_1)\omega_{\mu} ^{k_1}&
(\alpha_1+\frac{1}{s}\beta_1)\omega_{\mu+1} ^{k_1}&
\beta_1 \omega_{\mu+2} ^{k_1}&\ldots& \beta_1 \omega_{m} ^{k_1}\\
\alpha_2 \omega_1 ^{k_2}& \ldots &\alpha_2 \omega_{\mu-1} ^{k_2}&
(\alpha_2+s\beta_2)\omega_{\mu} ^{k_2}&
(\alpha_2+\frac{1}{s}\beta_2)\omega_{\mu+1} ^{k_2}& \beta_2
\omega_{\mu+2}^{k_2}&\ldots& \beta_2 \omega_{m} ^{k_2}\\
\cdot&\cdot&\cdot&\cdot&\cdot&\cdot&\cdot&\cdot\\\alpha_m \omega_1
^{k_m}& \ldots &\alpha_m \omega_{\mu-1} ^{k_m}&
(\alpha_m+s\beta_m)\omega_{\mu} ^{k_m}&
(\alpha_m+\frac{1}{s}\beta_m)\omega_{\mu+1} ^{k_m} & \beta_m
\omega_{\mu+2}^{k_m}&\ldots& \beta_m \omega_{m}
^{k_m}\end{vmatrix}$$ ������� �� ����.
\end{itemize}


\section{������������� ������� ������� ������� �������}
� ���� ��������� �� ������� ������������ ��������� �������
�������, ����������� $l_0(y)$ � �������������� ��������
���������.

����� ������ $y_0^{(k)}$ ������ $y^{(k)}(0)$ � $y_1^{(k)}$ ������
$y^{(k)}(1)$.

����������� � ���� ��������� ����������� ������ ��������� �������.

\begin{thm}
������������� �������� ������� ������� ($m=2n$) ��������
����������.
\end{thm}

\begin{proof}[��������������]
  ���������� ���������� ������� �������:
  \begin{equation}
  \label{normb}
  \mathit{U}_j(y)=b_0^j y_0^{(j)}+b_1^j y_1^{(j)}+\ldots =0,\;
  j=0,\ldots,2n-1
  \end{equation}
  $\mathit{U}_j(y)$ � $b_k^j$ --- �������-������� ������ ${r_j \in
  \{0, 1, 2\}, \; \sum\limits_{j=0}^{2n-1}r_j=2n, \; k=1,2}$
  (���������� ����� ������������� ����������� ������ $j$). �����
  �������� $y_k^{(j)}$ ������������. ����� �������  ��������
  ��������� ������������ ���� �����������, ������� ����� ������,
  ������� ������� ����������� ����� ���������. ����� ������� �������
  ������ ����������� ����������� �� $\mathbb C^{2n}$ �
  $\mathbb C^{2n}$ --- ������� ������ �������� ���������
  ����������� ������������� ������������ ����� ������� ���, ��� �������,
  �������� ������� � $0$ � $1$ ������ �� ���������� � �����������
  �� \mbox{$(2n-1)$--�} ������������ ��������� � ������� �������� �����������,
  ������������� ������� ��������.

  \begin{lemma} \label{lm1}

  � ������ ���� $(y_k^{(j)},\, y_k^{(2n-1-j)})$, $k=0,1$ ��� ����������� ��
  ����� ���� ������������ ����������, ���� ������� ������������ �
  $r_j\,\cdot \,r_{2n-1-j}\neq 1$.
  \end{lemma}

  \begin{proof}[��������������] ������������ ���������. ����� ���
  ����������� � ���� $(y_0^{(j)},\, y_0^{(2n-1-j)})$ ���������
  ��� ��������� $j$. ������� ����� ${\Im{(\mathit{L}_0y,y)}}$,
  ��������� ������ ������� �����������   �� ��������� �����
  ���������:
  \begin{multline*}
      \Im{(\mathit{L}_0y,y)}=(-1)^{n+j+1}\cdot
      \Im{(y_0^{(j)}\overline{y_0^{(2n-j-1)}})}+\eta
      |y_0^{(\operatorname{min}\{j,2n-j-1\})}|^2+\\
      +\alpha y_0^{(2n-1-j)}+\beta \overline{y_0^{(2n-1-j)}}+
      \gamma y_0^{(j)}+ \delta
      \overline{y_0^{(j)}} + \varepsilon,
  \end{multline*}
  ��� $\alpha\ldots\varepsilon$
  --- �������� ���������� ��������� ���������� �� �����������
  ��������������� ����; $\eta$---�����.

  ���������� ������� ${y \in D(\mathit{L}_0)}$, � ������� ��������
  �����������, ��������������� ��������� ����������, �� �����������
  $y_0^{(j)}$ � $y_0^{(2n-1-j)}$ ����� ����. �����
  ${\Im{(\mathit{L}_0y,y)}}$ �� ����� �������� ��������� ��������
  $$
  \Im{(\mathit{L}_0y,y)}=(-1)^{n+j+1}\cdot\Im{(y_0^{(j)}\overline{y_0^{(2n-j-1)}})}+\eta
      |y_0^{(\operatorname{min}\{j,2n-j-1\})}|^2
  $$
  � �� �������� �����������������. ������������. ����� ��������.

  \end{proof}

  \begin{lemma} \label{lm2}
  ����� ������� ������� ������������, �����

  \begin{equation}
  \label{rank_sum} r_j+r_{2n-1-j}=2 \quad  \forall j \in \{0,\ldots
  ,2n-1 \}.
  \end{equation}

  \end{lemma}

  \begin{proof}[��������������] �������������, ���� ${r_j+r_{2n-1-j}<2}$ ���
  ���������� $j$ (${r_j=0}$, ${r_{2n-1-j}=0 \text{ ��� } 1}$), ��, ��������,
  ���� ���� ��������� ����������� ${(y_k^{(j)},\, y_k^{(2n-1-j)})}$
  ��� \mbox{$k=0$ ��� $1$.} � � ���� ����� \ref{lm1}, ��� �������������
  ������� ������� �� ����� ����������� ${r_j+r_{2n-1-j}<2}$ �� ��� ����� $j$.

  ���� �� ${r_j+r_{2n-1-j}>2}$ ��� ��������� $j$ � $\sum\limits_{l=0}^{2n-1}r_l=2n$,
  �� ������� ����� $s$, ��� ${r_s+r_{2n-1-s}<2}$, � ����� ���� �� ����� �
  ���� ���������� ����. ����� \ref{lm2} ��������.
  \end{proof}

  \begin{lemma} \label{lm3}
  ����� ������ ������������� ������� ������� �
  ������� ����� $j$, ��� ${r_j=r_{2n-1-j}}$, �����
  \begin{equation}
  \label{rank_1}
  b_0^{j}\overline{b_0^{2n-1-j}}=b_1^{j}\overline{b_1^{2n-1-j}}.
  \end{equation}

  \end{lemma}

  \begin{proof}[��������������] ������ �����������, ��� ����� ���� ��������
  ����� ��� �����. ����� ���������� ����������� $y_1^{(j)}$ �
  $y_1^{(2n-1-j)}$ ��� ���������. ��� � � �������������� ����� \ref{lm1} �������
  �������� ���� ���������  ����������� �� ����������� ���� ���� �������
  ����. �����
  $$
     \Im{(\mathit{L}y,y)}=(-1)^{n+j}\cdot\Im{\left(y_1^{(j)}\overline{y_1^{(2n-j-1)}}
     \left[1-\frac{b_0^j}{b_1^j} \overline{\left(
     \frac{b_0^{(2n-j-1)}}{b_1^{(2n-j-1)}} \right)}\right]\right)}
     +\mu |y_1^{(\operatorname{min}\{j,2n-j-1\})}|^2,
  $$

  ��� $\mu$---��������� �����. ������ �������� ���������.

  ���������� ���������� �������: ����� $b_0^j=0, \, b_1^j\neq 0$.
  ��� ������������������� $\Im{(\mathit{L}_0y,y)}$ �� ��������
  $y$, � ������� �������� ���� �����������, ��������������� ���������
  �����������, �������� �� ��������� ��������, �������, ����������
  ���������� ������� $b_1^{2n-1-j}=0, \, b_0^{2n-1-j}\neq 0$.
  \end{proof}

\begin{lemma} \label{lm5}

����� ���� ������������� ������������� ������� �������
$$
U_{j}(y)=b_0^j y^{(k_j)}(0)+b_1^j y^{(k_j)}(1)+\ldots=0, \;
j=1,\ldots,2n,
$$
����� ������� �������, ���������� ������������� �������
�����������
$$
U^{(sa)}_{j}(y)=b_0^j y^{(k_j)}(0)+b_1^j y^{(k_j)}(1)=0, \;
j=1,\ldots,2n,
$$
�������� ���������������.
\end{lemma}
\begin{proof} ��� ������� ��������� ���� \ref{lm1}, \ref{lm2},
\ref{lm3}
\end{proof}
��������� � ����������� ������������ ������� ������� ���������
������ ������������ ��� ��������� ������� �����������, ��
������������� ������� $\{U_j(y)=0\}_{j=1}^{2n}$ � ���������� ��
��� �������������� $\{U^{(sa)}_{j}(y)=0\}_{j=1}^{2n}$ ���������
������������. � ���� ����� ������� �� ������ S.Salaff
\cite{Sal}, � ������� ����������� ������������ ��������������
���������������� ���������� ������� �������. ��������������
������� ���������.
\end{proof}
\section{������������� ������� ������� ��������� �������.}

������������� ��������� ����� �� �������� �����������. ���
�������������� ����� ������� ��������� ������.

\begin{example}

$$
l(y)=(-i)^{2n-1} y^{(2n-1)}=(-1)^n i y^{(2n-1)}
$$

������� ������� ������� ������:

$$
y_0^{(2n-2)}=y_1^{(2n-2)}=\ldots =y_0^{(n)}=y_1^{(n)}=y_1^{(n-1)}=0
$$

��� �������� ������� ��������
$\Im{(\mathit{L}_0y,y)}=\frac{|y_0^{(n-1)}|^2}{2},$
\end{example}

������������ �������� ����������, ��� ����� $\theta_0$, ����������� � ����������� ������������ ����� ����. ������� ����������� ����� �������  ������� �� ��������.

\vspace{5mm} ����� ���������� �.~�.~��������� �� ����������
�����, ���������� ������ � ������ ���������. � ���������, ��� ����������� ������������ ������ 1 � 2.

\begin{thebibliography}{10}
\bibitem{Birkhoff}
G.~Birkhoff. \emph{Boundary Value and Expansion Problems of
Ordinary Linear Differential Equations}// T.A.S., 1908, oct,
p.373-395.
\bibitem{Sal}
S.~Salaff. \emph{Regular boundary conditions for ordinary
differential operators}// T.A.S., 1968, nov, p.355-373.
\bibitem{Minkin_MZ}
A.~�.~������. \emph{������������ ��������������� �������
�������}// ���.�������, �.22, \No~6 (1977), ���.335-346.
\bibitem{RH}
�.~�.~����-�������, �.�.�������. \emph{������������ ������
���������������� ����������}. ���������, 2001.
\bibitem{Naimark}
M.~A.~�������. \emph{�������� ��������������� ���������}. �.,
�����, 1969.
\bibitem{shef}
A.~A.~��������. \emph{������� ������ ��� ������������
���������������� ��������� � ���������� � ��������� ��������}//
����� �������� ��.~�.~�.~�����������, 1983, ���.~9, ���.190-229.
\end{thebibliography}


\end{document}

math0411598.extracted_bib
\begin{thebibliography}{10}
\bibitem{Birkhoff}
G.~Birkhoff. \emph{Boundary Value and Expansion Problems of
Ordinary Linear Differential Equations}// T.A.S., 1908, oct,
p.373-395.
\bibitem{Sal}
S.~Salaff. \emph{Regular boundary conditions for ordinary
differential operators}// T.A.S., 1968, nov, p.355-373.
\bibitem{Minkin_MZ}
A.~�.~������. \emph{������������ ��������������� �������
�������}// ���.�������, �.22, \No~6 (1977), ���.335-346.
\bibitem{RH}
�.~�.~����-�������, �.�.�������. \emph{������������ ������
���������������� ����������}. ���������, 2001.
\bibitem{Naimark}
M.~A.~�������. \emph{�������� ��������������� ���������}. �.,
�����, 1969.
\bibitem{shef}
A.~A.~��������. \emph{������� ������ ��� ������������
���������������� ��������� � ���������� � ��������� ��������}//
����� �������� ��.~�.~�.~�����������, 1983, ���.~9, ���.190-229.
\end{thebibliography}