Computa��o Alg�brica no C�lculo das Varia��es:\\ Determina��o de Simetrias e Leis de Conserva��o\footnote{Partially presented at XXVII CNMAC (Congresso Nacional de Matem�tica Aplicada e Computacional), FAMAT/PUCRS, Porto Alegre, RS, Brasil, 13-16 September 2004. Supported by the program PRODEP III/5.3/2003 and the R\&D unit CEOC.}
Paulo~D.~F.~Gouveia
Delfim~F.~M.~Torres
{Resumo}. Os problemas de optimiza��o din�mica (em espa�os de fun��es) tratados pelo c�lculo das varia��es, s�o normalmente resolvidos por recurso �s condi��es necess�rias de Euler-Lagrange, que s�o equa��es diferenciais de segunda ordem (ou de ordem superior, quando os problemas variacionais envolvem derivadas de ordem superior a um). Estas equa��es s�o, em geral, n�o lineares e de dif�cil resolu��o. Uma forma de as simplificar consiste em obter leis de conserva��o: primeiros integrais das equa��es diferenciais de Euler-Lagrange. Os primeiros integrais permitem baixar a ordem das equa��es e, em casos extremos, com um n�mero suficientemente grande de primeiros integrais independentes, resolver o problema por completo. Se em �reas como a F�sica e a Economia a quest�o da exist�ncia de leis de conserva��o � resolvida de forma bastante natural, a pr�pria aplica��o sugerindo as leis de conserva��o (e.g. conserva��o de energia, conserva��o da quantidade de movimento, conserva��o do rendimento, etc.), de um ponto de vista estritamente matem�tico, dado um problema do c�lculo de varia��es, o processo de obten��o das leis de conserva��o ou, at� mesmo, a demonstra��o de que elas existem (ou n�o), deixa de ser uma quest�o �bvia. Neste trabalho mostramos como um sistema de computa��o alg�brica como o Maple pode ser muito �til na abordagem a estas quest�es. Apresentamos um conjunto de facilidades computacionais simb�licas que permitem, de uma forma sistem�tica e autom�tica, identificar as leis de conserva��o de uma dada funcional integral do c�lculo das varia��es. O algoritmo usado tem por base o c�lebre teorema de Emmy Noether, que associa a exist�ncia de leis de conserva��o �s propriedades de invari�ncia do problema (� exist�ncia de simetrias variacionais). V�rios exemplos ilustrativos s�o apresentados, mostrando a utilidade das ferramentas desenvolvidas.
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\begin{document}

%********************************************************

\title{Computa��o Alg�brica no C�lculo das Varia��es:\\
    Determina��o de Simetrias e Leis de Conserva��o\footnote{Partially
    presented at XXVII CNMAC (Congresso Nacional de Matem�tica Aplicada
    e Computacional), FAMAT/PUCRS, Porto Alegre, RS, Brasil, 13-16 September
    2004. Supported by the program PRODEP III/5.3/2003 and the R\&D unit CEOC.}}

\author{Paulo~D.~F.~Gouveia\\
     \texttt{pgouveia@ipb.pt}
     \and
     Delfim~F.~M.~Torres\\
     \texttt{delfim@mat.ua.pt}}

\date{Control Theory Group (\textsf{cotg})\\
     Centre for Research in Optimization and Control (\textsf{CEOC})\\
     University of Aveiro, Department of Mathematics\\
     3810-193 Aveiro, Portugal}

\maketitle

\runningheads
{Gouveia e Torres} {Computa��o Alg�brica no C�lculo das Varia��es}

\setlength\arraycolsep{1pt}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{abstract}
{\bf Resumo}. Os problemas de optimiza��o din�mica (em espa�os de fun��es)
tratados pelo c�lculo das varia��es, s�o normalmente resolvidos
por recurso �s condi��es necess�rias de Euler-Lagrange,
que s�o equa��es diferenciais de segunda ordem
(ou de ordem superior, quando os problemas variacionais envolvem
derivadas de ordem superior a um). Estas equa��es s�o, em geral,
n�o lineares e de dif�cil resolu��o. Uma forma de as simplificar
consiste em obter leis de conserva��o:
primeiros integrais das equa��es diferenciais de Euler-Lagrange.
Os primeiros integrais permitem baixar a ordem das equa��es
e, em casos extremos, com um n�mero suficientemente grande
de primeiros integrais independentes, resolver o problema por
completo. Se em �reas como a F�sica e a Economia
a quest�o da exist�ncia de leis de conserva��o �
resolvida de forma bastante natural, a pr�pria aplica��o
sugerindo as leis de conserva��o (\textrm{e.g.} conserva��o
de energia, conserva��o da quantidade de movimento, conserva��o
do rendimento, etc.), de um ponto de vista estritamente matem�tico,
dado um problema do c�lculo de varia��es, o processo
de obten��o das leis de conserva��o ou, at� mesmo,
a demonstra��o de que elas existem (ou n�o), deixa de ser uma quest�o �bvia.
Neste trabalho mostramos como um sistema de computa��o alg�brica
como o Maple pode ser muito �til na abordagem a estas quest�es.
Apresentamos um conjunto de facilidades computacionais
simb�licas que permitem, de uma forma sistem�tica e autom�tica,
identificar as leis de conserva��o de uma dada funcional integral
do c�lculo das varia��es. O algoritmo usado tem por base o c�lebre
teorema de Emmy Noether, que associa a exist�ncia de leis de conserva��o
�s propriedades de invari�ncia do problema
(� exist�ncia de simetrias variacionais).
V�rios exemplos ilustrativos s�o apresentados,
mostrando a utilidade das ferramentas desenvolvidas.
\end{abstract}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{abstract}
{\bf Abstract}. The dynamic optimization problems treated
by the calculus of variations are usually solved with
the help of the 2nd order Euler-Lagrange differential equations.
These equations are, generally speaking, nonlinear, and very hard to solve.
One way to address the problem is to obtain conservation laws of lower order
than those of the corresponding Euler-Lagrange equations.
While in Physics and Economics the question of existence of conservation laws
is treated in a rather natural way, because the application itself suggest
the conservation laws (e.g., conservation of energy, income/health law),
from a strictly mathematical point of view, given a problem
of the calculus of variations, it is not obvious how one might
derive a conservation law or, for that matter, if it even has
a conservation law. The question we address is thus to develop
computational facilities, based on a systematic method,
which permits to identify functionals that have conservation laws.
The central result we use is the celebrated Noether's theorem.
This theorem links conservation laws with the invariance properties of the problem
(with symmetries), and provides an algorithm for finding conservation laws.
Thus the problem is reduced to the one of finding the variational symmetries.
We show how a Computer Algebra System can help to find the symmetries
and the conservation laws in the calculus of variations.
Several illustrative examples are given.
\end{abstract}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\smallskip

\noindent \textbf{Mathematics Subject Classification 2000:} 49-04, 49K05, 49S05.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\newsec{Introdu��o}
\setcounter{obsTEMAp}{0}

O c�lculo das varia��es � uma �rea cl�ssica da
matem�tica, com mais de tr�s s�culos de idade,
extremamente activa no s�culo XXI, e com in�meras
aplica��es pr�ticas na mec�nica, economia, ci�ncias
dos materiais, ci�ncias do espa�o e engenharia.
O c�lculo das varia��es est� na origem de muitas �reas
mais recentes, como sejam a an�lise funcional
e o controlo �ptimo \cite{EDP,CVFAwOC,Leitao}.

A computa��o alg�brica, tamb�m chamada de
computa��o cient�fica ou simb�li\-ca,
permite trabalhar com express�es matem�ticas de
maneira simb�lica, n�o num�\-rica, e � uma
�rea de investiga��o moderna, que surgiu na segunda
metade do s�culo XX. Se � verdade que os actuais sistemas
de computa��o alg�brica s�o extremamente poderosos, tamb�m n�o �
menos verdade que muito existe por fazer no sentido
de se colocarem os computadores a realizar tarefas
matem�ticas verdadeiramente interessantes.

O uso da teoria do c�lculo das varia��es,
na resolu��o de problemas concretos,
requer c�lculos n�o num�ricos:
no c�lculo das varia��es a presen�a de fen�menos como
o de Lavrentiev \cite{fenomLav}, faz com que
as solu��es alg�bricas exactas sejam muito
mais convenientes do que as solu��es num�ricas.
Tendo em conta que a resolu��o dos problemas do c�lculo
das varia��es passa quase obrigatoriamente pela resolu��o
das equa��es diferenciais de Euler-Lagrange,
equa��es estas, em geral, de dif�cil resolu��o,
neste trabalho propomos um conjunto de procedimentos
computacionais alg�bricos que permitem automatizar
o processo de obten��o de leis de conserva��o
(primeiros integrais das equa��es de Euler-Lagrange).
Como � bem conhecido da teoria das equa��es diferenciais,
estas leis de conserva��o s�o de extrema utilidade,
permitindo baixar a ordem das equa��es \cite{OLV}.

O presente trabalho encontra-se organizado em sete sec��es.
Em \S\ref{sec:CV} fazemos uma breve apresenta��o
do c�lculo das varia��es, da condi��o necess�ria de Euler-Lagrange
(definida em Maple na \S\ref{sec:ProcMaple})
e definimos \emph{lei de conserva��o}.
Em \S\ref{sec:SV} definimos \emph{simetria}
(\emph{invari�ncia} de um problema do c�lculo das varia��es)
e apresentamos um m�todo construtivo para as obter
(implementado em Maple na \S\ref{sec:ProcMaple},
por interm�dio do procedimento \emph{Simetria}).
Em \S\ref{sec:LC} formulamos o c�lebre princ�pio de Noether,
que nos d� uma f�rmula expl�cita para as leis de conserva��o
do c�lculo das varia��es, em fun��o
dos geradores que definem a simetria. O teorema de Noether
� definido em Maple na \S\ref{sec:ProcMaple} por interm�dio
do procedimento \emph{Noether}.
V�rios exemplos, mostrando o modo de uso e a utilidade das fun��es Maple
definidas em \S\ref{sec:ProcMaple}, s�o apresentados
em \S\ref{sec:EI}. Por fim, apresentamos em \S\ref{sec:conclusao}
algumas conclus�es e perspectivas de trabalho futuro.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\newsec{C�lculo das Varia��es}
\label{sec:CV}
\setcounter{obsTEMAp}{0}

Neste trabalho consideramos problemas do c�lculo das varia��es de
ordem superior: minimizar uma funcional integral
\begin{equation}
\label{eq:funcional}
J[\mathbf{x}(\cdot)] = \int_{a}^{b}
L(t,\mathbf{x}(t),\dot{\mathbf{x}}(t),\ldots,\mathbf{x}^{(m)}(t))
\,\textrm{d}t \, ,
\end{equation}
onde o Lagrangeano $L$ � uma fun��o real que assumimos ser continuamente
diferenci�vel em $[a, b] \times\mathbb{R}^{n \times (m+1)}$; $t \in
\mathbb{R}$, � a vari�vel independente; $\mathbf{x}(t)=[ x_1(t)\ x_2(t)$
$\cdots x_n(t) ]^\textrm{T} \in \mathbb{R}^n$, as vari�veis dependentes;
$\mathbf{x}^{(i)}(t)=[ \frac{\mathrm{d} ^i x_1(t)}{\mathrm{d} t^i} \
\frac{\mathrm{d}^ix_2(t)}{\mathrm{d}t^i} \cdots
\frac{\mathrm{d}^ix_n(t)}{\mathrm{d}t^i}  ]^\textrm{T} \in \mathbb{R}^n$, com
$i=1,\ldots, m$, as derivadas de ordem $i$ das vari�veis dependentes em ordem
a $t$; e $\dot{\mathbf{x}}(t)\equiv \mathbf{x}^{(1)}(t)$.
Assim, o Lagrangeano considerado, depende explicitamente de uma vari�vel
independente, de $n$ vari�veis dependentes e das suas $m$ primeiras derivadas.
Para $m = 1$ obtemos o problema fundamental do c�lculo das varia��es.

Na minimiza��o da funcional (\ref{eq:funcional}) � usual recorrer-se
ao sistema de equa��es de Euler-Lagrange
\begin{equation}
\label{eq:EL}
\frac{\partial{L}}{\partial{\mathbf{x}}}
+ \sum_{i=1}^{m}(-1)^i\frac{\textrm{d}^i}
{\textrm{d}t^i} \left(\frac{\partial{L}}{\partial{\mathbf{x}^{(i)}}} \right)
= \mathbf{0},
\end{equation}
onde $\frac{\partial L}{\partial \mathbf{x}^{(i)}}
=[ \frac{\partial L}{\partial x_1^{(i)}}
\ \frac{\partial L}{\partial x_2^{(i)}}
\ \cdots \ \frac{\partial L}{\partial x_n^{(i)}}]$
e $L$, e suas derivadas,
s�o avaliadas ao longo de $(t,\mathbf{x}(t),
\dot{\mathbf{x}}(t),\ldots,\mathbf{x}^{(m)}(t))$.

\begin{defTEMAp}
�s solu��es da equa��o de Euler-Lagrange (\ref{eq:EL})
chamamos \emph{extremais}.
\end{defTEMAp}

\begin{obsTEMAp}
Para o problema fundamental do c�lculo das varia��es,
\textrm{i.e.}, quando a funcional n�o depende de derivadas
de $\mathbf{x}(t)$ de maior ordem do que a primeira ($m=1$),
o sistema de equa��es de Euler-Lagrange (\ref{eq:EL}) reduz-se a
\begin{equation*}
\frac{\partial{L}}{\partial{\mathbf{x}}} -\frac{\emph{d}}
{\emph{d}t} \left(\frac{\partial{L}}{\partial{\dot{\mathbf{x}}}} \right)
= \mathbf{0} \, .
\end{equation*}
\end{obsTEMAp}

\begin{obsTEMAp}
Se a funcional n�o envolver mais do que uma vari�vel dependente
($n=1$), todas as grandezas presentes em (\ref{eq:funcional}) e
(\ref{eq:EL}) s�o escalares.
\end{obsTEMAp}

Em \S\ref{sec:ProcMaple} definimos o procedimento
\emph{EulerLagrange} que tem por entrada o Lagrangeano
e como sa�da o sistema de equa��es de Euler-Lagrange correspondente,
que resulta da aplica��o da equa��o (\ref{eq:EL}).

\begin{defTEMAp}
Uma fun��o $t \rightarrow
\phi(t,\mathbf{x}(t),\dot{\mathbf{x}}(t),\ldots,\mathbf{x}^{(k)}(t))$,
$k < 2m$, que se mantenha constante ao longo de todas as extremais
do problema (\ref{eq:funcional}), � chamada de \emph{primeiro integral}
(de ordem $k$) da equa��o de Euler-Lagrange (\ref{eq:EL}).
� equa��o
\begin{equation*}
\phi(t,\mathbf{x}(t),\dot{\mathbf{x}}(t),\ldots,\mathbf{x}^{(k)}(t))
= \text{const}
\end{equation*}
chamamos \emph{lei de conserva��o} (de ordem $k$).
\end{defTEMAp}

As leis de conserva��o s�o muito �teis, pois permitem
reduzir a ordem das equa��es diferenciais
de Euler-Lagrange. Com um n�mero suficientemente elevado
de primeiros integrais independentes,
� mesmo poss�vel determinar explicitamente as extremais.
Consideremos, a t�tulo de exemplo,
o seguinte problema ($n = m = 1$):
\begin{equation*}
J[x(\cdot)] = \int_{a}^{b} \left(\dot{x}^2(t) - x^2(t)\right)
\,\textrm{d}t \longrightarrow \min \, .
\end{equation*}
Neste caso o Lagrangeano � dado por $L(x,\dot{x}) = -x^2 + \dot{x}^2$
e a equa��o de Euler-Lagrange \eqref{eq:EL}
reduz-se a $\ddot{x}(t) + x(t) = 0$.
Se multiplicarmos esta equa��o diferencial por $\cos(t)$
obtemos $\frac{d}{dt} \left(\dot{x} \cos(t) + x \sin(t)\right) = 0$;
enquanto que se a multiplicarmos por $-\sin(t)$ obtemos
$\frac{d}{dt} \left(-\dot{x} \sin(t) + x \cos(t)\right) = 0$.
Temos ent�o duas leis de conserva��o:
\begin{equation}
\label{eq:extrivialLC}
\begin{cases}
\dot{x} \cos(t) + x \sin(t) &= c_1 \, ,\\
-\dot{x} \sin(t) + x \cos(t) &= c_2 \, .
\end{cases}
\end{equation}
Resulta de imediato das duas leis de conserva��o \eqref{eq:extrivialLC}
que as extremais t�m a forma
$x(t) = c_1 \sin(t) + c_2 \cos(t)$. Claro que este exemplo � trivial:
a equa��o diferencial de Euler-Lagrange pode facilmente ser resolvida
sem recurso a leis de conserva��o, uma vez que ela � linear.
Usando o Maple e o nosso procedimento  \emph{EulerLagrange} far�amos:
\small
\begin{verbatim}
> L := v^2 - x^2:
> dsolve(EulerLagrange(L,t,x,v));
\end{verbatim}
\begin{equation*}
 \left\{ x \left( t \right) ={\it \_C1}\,\sin \left( t \right)
 +{\it \_C2}\,\cos \left( t \right)  \right\}
\end{equation*}
\normalsize
No caso n�o linear o comando Maple \emph{dsolve} nem sempre � capaz
de obter solu��es expl�citas (\textrm{e.g.} para
a equa��o n�o linear de Emden-Fowler considerada no Exemplo~\ref{ex:Emden-Fowler};
ou para o problema de Kepler tratado no Exemplo~\ref{ex:Kepler}).
Nessas situa��es as leis de conserva��o s�o muito �teis.
Coloca-se ent�o a seguinte quest�o: \emph{Dada uma funcional integral
do tipo (\ref{eq:funcional}), como obter leis de conserva��o?}
Esta quest�o foi resolvida por Emmy Noether em 1918 \cite{Noether}:
se a funcional for invariante sob determinado tipo de transforma��es
(transforma��es de invari�ncia ou simetrias), ent�o existem f�rmulas expl�citas
para as leis de conserva��o. O Teorema de Noether encontra muitas
aplica��es em campos concretos da Engenharia, como a Sismologia
e a Metalurgia \cite{alik}. A dificuldade na sua aplica��o reside
na obten��o das simetrias (na obten��o das transforma��es de invari�ncia).
Neste trabalho automatizamos, por recurso ao sistema de computa��o alg�brica
Maple \cite{Lenimar}, a determina��o de simetrias e a correspondente aplica��o
do Teorema de Noether.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\newsec{Simetrias Variacionais}
\setcounter{obsTEMAp}{0}
\label{sec:SV}

Para o estudo das propriedades de invari�ncia das
funcionais do c�lculo das varia��es considera-se
uma fam�lia uni-param�trica de transforma��es
$\mathbf{h}^s(t,\mathbf{x})$ que forma um grupo local de Lie
\cite{LOG,BRU}. A fam�lia uni-param�trica $\mathbf{h}^s(t,\mathbf{x})$
representa um conjunto de $n+1$ transforma��es
de $[a, b] \times \mathbb{R}^n$ em  $\mathbb{R} \times \mathbb{R}^n$
\begin{equation}
\label{eq:transf}
t^s = h_t^s(t,\mathbf{x})\textrm{,}\quad
x_i^s = h^s_{x_i}(t,\mathbf{x})\textrm{, com}\;\, i=1,\ldots,n,
\end{equation}
a que correspondem $n+1$ geradores infinitesimais representados por
\begin{equation}
T(t,\mathbf{x})  =  \left.
\frac{\partial}{\partial{s}} h^s_t(t,\mathbf{x})\right|_{s=0}\textrm{,}\quad
X_i(t,\mathbf{x})  =  \left.
\frac{\partial}{\partial{s}} h^s_{x_i}(t,\mathbf{x})\right|_{s=0}\textrm{, com}
\, i=1,\ldots,n. \label{eq:geradores}
\end{equation}

\begin{defTEMAp}
\label{defin:invar}
A funcional (\ref{eq:funcional}) diz-se invariante
no intervalo $[a,b]$ sob as transforma��es uni-param�tricas
(\ref{eq:transf}) se, para todo o $s$ suficientemente pequeno,
\[
\int_{\alpha}^{\beta}{L(t,\mathbf{x}(t),\dot{\mathbf{x}}(t),
\ldots,\mathbf{x}^{(m)}(t))\,\emph{d}t}
= \int_{\alpha^s}^{\beta^s}{L(t^s,\mathbf{x}^s(t^s),\dot{\mathbf{x}}^s(t^s),
\ldots,{\mathbf{x}^s}^{(m)}(t^s))\,\emph{d}t^s},
\]
em qualquer subintervalo $[\alpha,\beta] \subseteq [a,b]$;
com $\alpha^s=h_t^s(\alpha,\mathbf{x}(\alpha))$
e $\beta^s=h_t^s(\beta,\mathbf{x}(\beta))$.
\end{defTEMAp}

\begin{obsTEMAp}
Nas condi��es da defini��o \ref{defin:invar}
as trans\-for\-ma\-��es uni-pa\-ra\-m�\-tri\-cas
(\ref{eq:transf}) constituem uma \emph{simetria variacional}
da funcional (\ref{eq:funcional}).
\end{obsTEMAp}

O teorema que se segue estabelece uma condi��o necess�ria
e suficiente de invari�ncia, de extrema import�ncia
para os objectivos a que nos propomos.

\begin{teoTEMA}[\cite{TOR}]
\label{teor:gerad}
A funcional (\ref{eq:funcional}) � invariante
sob as transforma��es uni-param�tricas (\ref{eq:transf}),
com geradores infinitesimais $T$ e
$\mathbf{X}$ (\ref{eq:geradores}), se, e apenas se,
\begin{equation}
\label{eq:gerad}
\frac{\partial L}{\partial t}T+ \sum_{i=0}^{m}
\frac{\partial L}{\partial \mathbf{x}^{(i)}} \cdot
\mathbf{p}^i+ L\frac{\emph{d}T}{\emph{d}t}=0,
\end{equation}
onde
\begin{equation}
\label{eq:gerad1}
\mathbf{p}^0=\mathbf{X}\textrm{,} \quad
\mathbf{p}^{i+1}=\frac{\emph{d}\mathbf{p}^{i}}{\emph{d}t}
-\mathbf{x}^{(i+1)}\frac{\emph{d}T}{\emph{d}t}
\textrm{,}\;\, i=0,\ldots,m-1 \, .
\end{equation}
Em (\ref{eq:gerad}) e (\ref{eq:gerad1}) assumimos
que $T$ e $\mathbf{X}=\left[ X_1\ X_2
\cdots X_n \right]^T$ s�o avaliadas em fun��o de $(t,\mathbf{x})$
e $\mathbf{p}^i$ em fun��o de $(t,\mathbf{x},
\dot{\mathbf{x}},\ldots,\mathbf{x}^{(i)})$, com $i=0,1,\ldots,m$.
\end{teoTEMA}

\begin{coroTEMAp}
Quando o Lagrangeano $L$ n�o depende de derivadas de $\mathbf{x}(t)$
de ordem superior � primeira ($m=1$), a equa��o (\ref{eq:gerad})
toma a forma
\[
\frac{\partial L}{\partial t}T+\frac{\partial L}{\partial \mathbf{x}}
\cdot \mathbf{X}+\frac{\partial L}{\partial \dot{\mathbf{x}}}
\cdot \left( \frac{\emph{d}\mathbf{X}}{\emph{d}t}
-\dot{\mathbf{x}}\frac{\emph{d}T}{\emph{d}t} \right) +
L\frac{\emph{d}T}{\emph{d}t}=0,
\]
com
\[
\frac{\textrm{d}T}{\textrm{d}t} = \frac{\partial T}{\partial t}
+ \frac{\partial T}{\partial
\mathbf{x}}\cdot\dot{\mathbf{x}}\textrm{,}\quad
\frac{\emph{d}\mathbf{X}}{\emph{d}t}
= \frac{\partial \mathbf{X}}{\partial t} + \frac{\partial \mathbf{X}}
{\partial \mathbf{x}}\cdot\dot{\mathbf{x}},
\]
onde
\[
\frac{\partial \mathbf{X}}{\partial \mathbf{x}}  =
\left[\frac{\partial \mathbf{X}}{\partial x_1}\
\frac{\partial \mathbf{X}}{\partial x_2}\
\cdots\  \frac{\partial \mathbf{X}}{\partial x_n}\right]
= \left[
\begin{array}{cccc}
\frac{\partial X_1}{\partial x_1} & \frac{\partial X_1}{\partial x_2}
& \cdots & \frac{\partial X_1}{\partial x_n}\\
\frac{\partial X_2}{\partial x_1} & \frac{\partial X_2}{\partial x_2}
& \cdots & \frac{\partial X_2}{\partial x_n}\\
\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\
\frac{\partial X_n}{\partial x_1} & \frac{\partial X_n}{\partial x_2}
& \cdots & \frac{\partial X_n}{\partial x_n}
\end{array}
\right].
\]
\end{coroTEMAp}

\begin{obsTEMAp}
Todas as derivadas totais presentes em (\ref{eq:gerad}) e (\ref{eq:gerad1})
podem ser expressas por derivadas parciais,
usando as igualdades $\frac{\textrm{d}T}{\textrm{d}t}
= \frac{\partial T}{\partial t} + \frac{\partial T}{\partial \mathbf{x}}\cdot\dot{\mathbf{x}}$ e
\begin{eqnarray*}
\frac{\textrm{d}\mathbf{p}^{i}}{\textrm{d}t} = \frac{\partial
\mathbf{p}^{i}}{\partial t} + \sum_{k=0}^{i}\frac{\partial
\mathbf{p}^{i}}{\partial \mathbf{x}^{(k)}}\cdot\mathbf{x}^{(k+1)} \, , \quad
i = 0,\ldots,m-1 \, ,
\end{eqnarray*}
onde
\[
\frac{\partial \mathbf{p}^{i}}{\partial \mathbf{x}^{(k)}}  =
\left[\frac{\partial \mathbf{p}^{i}}{\partial x_1^{(k)}}
\ \frac{\partial \mathbf{p}^{i}}{\partial x_2^{(k)}}\ \cdots\
\frac{\partial \mathbf{p}^{i}}{\partial x_n^{(k)}}\right]
= \left[
\begin{array}{cccc}
\frac{\partial p_1^{i}}{\partial x_1^{(k)}}
& \frac{\partial p_1^{i}}{\partial x_2^{(k)}}
& \cdots & \frac{\partial p_1^{i}}{\partial x_n^{(k)}}\\
\frac{\partial p_2^{i}}{\partial x_1^{(k)}}
& \frac{\partial p_2^{i}}{\partial x_2^{(k)}}
& \cdots & \frac{\partial p_2^{i}}{\partial x_n^{(k)}}\\
\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\
\frac{\partial p_n^{i}}{\partial x_1^{(k)}}
& \frac{\partial p_n^{i}}{\partial x_2^{(k)}}
& \cdots & \frac{\partial p_n^{i}}{\partial x_n^{(k)}}
\end{array}
\right].
\]
\end{obsTEMAp}

O teorema \ref{teor:gerad}, para al�m de servir de teste
� exist�ncia de simetrias, estabelece um algoritmo
para a determina��o dos correspondentes
geradores infinitesimais. Como veremos, este facto � crucial:
o teorema de Noether (Teorema~\ref{teor:lc}) afirma que
as leis de conserva��o associadas a uma dada simetria variacional
apenas dependem dos geradores infinitesimais.

Dado um Lagrangeano $L$, determinamos os geradores infinitesimais
$T$ e $\mathbf{X}$ de uma fam�lia uni-param�trica de
transforma��es sim�tricas pelo seguinte m�todo.
A equa��o (\ref{eq:gerad}) � uma equa��o diferencial
nas $n+1$ fun��es inc�gnitas $T$, $X_1$, $X_2$, \dots, e $X_n$,
que pretendemos determinar. Por�m, a equa��o
tem de permanecer v�lida para todos os $x_i$, $i=1,\ldots,n$.
Como as fun��es $T$, $X_1$, $X_2$, \dots, e $X_n$
dependem de $t$ e $x_i$, $i=1,\ldots,n$,
ao substituirmos, na equa��o (\ref{eq:gerad}),
$L$ e todas as suas derivadas parciais pelos seus valores,
obtemos um polin�mio nas $n\times m$ vari�veis
$\dot{x}_1,\ldots, \dot{x}_n$, $x_1^{(2)},\ldots,
x_n^{(2)},\ldots$,$x_1^{(m)},\ldots, x_n^{(m)}$
e suas pot�ncias. Para que a equa��o seja v�lida para
todos os valores das vari�veis do polin�mio,
todos os seus coeficientes devem ser nulos.
Notamos que os termos do polin�mio poder�o ser em maior
n�mero que as inc�gnitas do problema ($n+1$), pelo que
a condi��o necess�ria e suficiente (\ref{eq:gerad})
pode conduzir a um sistema de equa��es sem solu��o.
Tal facto significa apenas que nem todas as funcionais
integrais do c�lculo das varia��es admitem simetrias variacionais
(ver Exemplo~\ref{ex:Thomas-Fermi}). O sistema de equa��es a resolver,
para a obten��o dos geradores, � um sistema de equa��es
diferenciais �s derivadas parciais. No entanto,
ao contr�rio das equa��es diferenciais ordin�rias
de Euler-Lagrange, em geral n�o lineares e de dif�cil resolu��o,
este sistema � linear em $\frac{\partial T}{\partial t}$,
$\frac{\partial T}{\partial \mathbf{x}}$, $\frac{\partial \mathbf{X}}{\partial t}$ e
$\frac{\partial \mathbf{X}}{\partial \mathbf{x}}$.

A resolu��o do sistema de equa��es diferencias parciais que deriva
da express�o (\ref{eq:gerad}), nomeadamente quando lidamos
com valores de $n$ e $m$ superiores � unidade,
envolve um n�mero muito elevado de c�lculos, o que torna premente
a necessidade de nos munirmos de ferramentas computacionais
que automatizem o trabalho. Com esse fim,
desenvolvemos um procedimento em \texttt{Maple},
designado \emph{Simetria}. O respectivo c�digo, assim como
o dos restantes procedimentos por n�s desenvolvidos,
� apresentado na sec��o~\ref{sec:ProcMaple}.
O procedimento \emph{Simetria}
tem por entrada a express�o que caracteriza o Lagrangeano
e como sa�da os respectivos geradores infinitesimais.
No caso do Lagrangeano n�o admitir
qualquer simetria, obtemos geradores nulos
(\textrm{cf.} Exemplo~\ref{ex:Thomas-Fermi}).

Na sec��o que se segue mostramos como os geradores,
obtidos por interm�dio do nosso procedimento
\emph{Simetria}, podem ser usados na obten��o
expl�cita de leis de conserva��o.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\newsec{Leis de Conserva��o}
\label{sec:LC}
\setcounter{obsTEMAp}{0}

Emmy Noether foi a primeira a estabelecer a rela��o
entre a exist�ncia de simetrias e a
exist�ncia de leis de conserva��o. Esta liga��o
constitui um princ�pio universal, pass�vel
de ser formulado na forma de teorema
nos mais diversos contextos e sob as mais variadas
hip�teses \cite{alik,LOG77,OLV,delfimEJC,delfimCAO,TOR}.

\begin{teoTEMA}[Teorema de Noether \cite{TOR}]
\label{teor:lc}
Se a funcional (\ref{eq:funcional}) � invariante
sob as transforma��es uni-param�tricas (\ref{eq:transf}),
com geradores infinitesimais $T$ e $\mathbf{X}$, ent�o
\begin{equation}
\label{eq:lc}
\sum_{i=1}^m\Psi^i\cdot \mathbf{p}^{i-1} + \left(L-\sum_{i=1}^m\Psi^i
\cdot \mathbf{x}^{(i)} \right)T
= \,\textrm{const,} \quad t \in [a,b],
\end{equation}
com
\begin{eqnarray*}
\Psi^m&=&\frac{\partial L}{\partial \mathbf{x}^{(m)}},\nonumber\\
\Psi^{i-1}&=&\frac{\partial L}{\partial \mathbf{x}^{(i-1)}}
-\frac{\emph{d}\Psi^{i}}{\emph{d}t}\textrm{,}\quad i=m,m-1,\ldots,2\quad\quad\\
\frac{\emph{d}\Psi^{i}}{\emph{d}t}&=&\frac{\partial \Psi^{i}}{\partial t}
+ \sum_{k=0}^{2m-i}\left(\mathbf{x}^{(k+1)}\right)^\emph{T}\cdot\frac{\partial
\Psi^{i}}{\partial \mathbf{x}^{(k)}},
\end{eqnarray*}
onde
\begin{eqnarray*}
\frac{\partial \Psi^i}{\partial \mathbf{x}^{(k)}}
=\left[
\begin{array}{c}
\frac{\partial \Psi^i}{\partial x_1^{(k)}}\\
\frac{\partial \Psi^i}{\partial x_2^{(k)}}\\
\vdots\\ \frac{\partial \Psi^i}{\partial x_n^{(k)}}
\end{array}
\right]
=
\left[
\begin{array}{cccc}
\frac{\partial \psi_1^i}{\partial x_1^{(k)}}
& \frac{\partial \psi_2^i}{\partial x_1^{(k)}}
& \cdots & \frac{\partial \psi_n^i}{\partial x_1^{(k)}}\\
\frac{\partial \psi_1^i}{\partial x_2^{(k)}}
& \frac{\partial \psi_2^i}{\partial x_2^{(k)}} & \cdots
& \frac{\partial \psi_n^i}{\partial x_2^{(k)}}\\
\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\
\frac{\partial \psi_1^i}{\partial x_n^{(k)}}
& \frac{\partial \psi_2^i}{\partial x_n^{(k)}} & \cdots
& \frac{\partial \psi_n^i}{\partial x_n^{(k)}}
\end{array}
\right]
\end{eqnarray*}
e onde se considera a grandeza $\Psi^i$ avaliada em
$(t,\mathbf{x}(t),\dot{\mathbf{x}}(t),\ldots, \mathbf{x}^{(2m-i)}(t))$,
$i=1,\ldots,m$.
\end{teoTEMA}

\begin{coroTEMAp}
\label{cor:TeoNoether}
Quando o Lagrangeano $L$ n�o depende das derivadas de $\mathbf{x}(t)$
de maior ordem do que a primeira ($m=1$),
a equa��o (\ref{eq:lc}) reduz-se a
\begin{equation*}
\frac{\partial L}{\partial \dot{\mathbf{x}}} \cdot \mathbf{X}
+ \left(L - \frac{\partial L}{\partial \dot{\mathbf{x}}} \cdot
\dot{\mathbf{x}}\right)T=\,\textrm{const.}
\end{equation*}
\end{coroTEMAp}

As leis de conserva��o que procuramos s�o obtidas
substituindo nas equa��es (\ref{eq:gerad1}) e (\ref{eq:lc}) os
geradores infinitesimais $T$ e $\mathbf{X}$
encontrados pelo m�todo descrito na sec��o anterior.
Na sec��o~\ref{sec:ProcMaple} definimos
o procedimento \emph{Noether}. Este procedimento
tem por entradas o Lagrangeano e os geradores infinitesimais,
que s�o obtidos por interm�dio do nosso procedimento
\emph{Simetria}, e como sa�da a correspondente
lei de conserva��o \eqref{eq:lc}.
Resumindo: dado um problema do c�lculo das varia��es \eqref{eq:funcional},
obtemos as leis de conserva��o, de uma forma autom�tica,
atrav�s de um processo de duas etapas:
com o nosso procedimento \emph{Simetria} obtemos
todas as poss�veis simetrias do problema;
recorrendo depois ao nosso procedimento \emph{Noether},
baseado no teorema~\ref{teor:lc}, obtemos
as correspondentes leis de conserva��o.
Na sec��o seguinte apresentamos alguns exemplos
que ilustram todo o processo.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\newsec{Exemplos Ilustrativos}
\label{sec:EI}
\setcounter{obsTEMAp}{0}

Consideramos agora v�rias situa��es concretas,
mostrando a funcionalidade e a utilidade
das ferramentas desenvolvidas.

\begin{explTEMAp}
\label{ex:Ex1}
Come�amos com um exemplo muito simples em que o Lagrangeano
depende apenas de uma vari�vel dependente ($n = 1$) e n�o existem
derivadas de ordem superior � primeira ($m = 1$): $L(t,x,\dot{x})=t\dot{x}^2$.

\noindent Com a defini��o \texttt{Maple}
\small
\begin{verbatim}
> L:= t*v^2;
\end{verbatim}
\[
L := tv^2\nonumber
\]
\normalsize
o nosso procedimento \emph{Simetria}
determina os geradores infinitesimais
das simetrias do problema
do c�lculo das varia��es em considera��o:
\small
\begin{verbatim}
> Simetria(L,t,x,v);
\end{verbatim}
\[
\{ T \left( t,x \right) = \left( 2\,{\it \_C1}\,\ln  \left( t \right)
+{\it \_C3} \right) t, \;
X \left( t,x \right) ={\it \_C1}\,x+{\it \_C2}\}
\]
\normalsize
A fam�lia de geradores depende de tr�s par�metros que adv�m
das constantes de integra��o. Com as substitui��es\footnote{O sinal
de percentagem (\%) � um operador usado em \texttt{Maple}
para referenciar o resultado do comando anterior.
Para uma introdu��o ao \texttt{Maple}, veja-se \cite{Lenimar}.}

\small
\begin{verbatim}
> subs(_C1=1,_C2=0,_C3=0,%);
\end{verbatim}
\[
\left\{ T \left( t,x \right) =2\,
\ln\left( t \right) t,X \left( t,x \right) =x \right\}
\]
\normalsize
obtemos os geradores descritos em \cite[pp.~210 e 214]{BRU}.
A lei de conserva��o correspondente a estes geradores
� facilmente obtida por interm�dio do nosso procedimento \emph{Noether}:
\small
\begin{verbatim}
> LC := Noether(L,t,x,v,%);
\end{verbatim}
\[
LC :=
x \left( t \right) t{\frac {d}{dt}}x \left( t \right)
-{t}^{2} \left( {\frac {d}{dt}}x \left( t \right)\right)^{2}
\ln\left( t \right) ={\it const}
\]
\normalsize
�, neste caso, muito f�cil verificar a validade
da lei de conserva��o obtida. Por defini��o,
basta mostrar que a igualdade � verificada ao longo
das extremais. A equa��o de Euler-Lagrange
� a equa��o diferencial de $2^a$ ordem
\small
\begin{verbatim}
> EulerLagrange(L,t,x,v);
\end{verbatim}
\[
\left\{ -2\,{\frac {d}{dt}}x \left( t \right)
-2\,t{\frac {d^2}{dt^2}  }x \left( t \right) =0 \right\}
\]
\normalsize
e as extremais s�o as suas solu��es:
\small
\begin{verbatim}
> dsolve(%);
\end{verbatim}
\begin{equation*}
\{x(t) = {\it \_C1}+{\it \_C2} \ln(t)\}
\end{equation*}
\normalsize
Substituindo as extremais na lei de conserva��o, obtemos,
como esperado, uma proposi��o verdadeira:
\small
\begin{verbatim}
> expand(subs(%,LC));
\end{verbatim}
\begin{equation*}
{\it \_C2} {\it \_C1} = const
\end{equation*}
\normalsize
\end{explTEMAp}

\begin{explTEMAp}[Problema de Kepler]
\label{ex:Kepler}
Analisamos agora as simetrias e leis
de conserva��o do problema de Kepler \cite[p.~217]{BRU}.
Neste caso o Lagrangeano tem
duas vari�veis dependentes ($n = 2$) e
n�o envolve derivadas de ordem superior ($m = 1$):
\begin{equation*}
L(t,\mathbf{q},\dot{\mathbf{q}})=\frac{m}{2}\left(\dot{q}_1^2
+\dot{q}_2^2\right)+\frac{K}{\sqrt{q_1^2+q_2^2}}.
\end{equation*}
Vamos determinar a f�rmula geral das leis de conserva��o.
Neste caso n�o � poss�vel validar a lei de conserva��o
por aplica��o directa da defini��o, como fizemos para
o exemplo anterior, pois o Maple n�o � capaz
de resolver o respectivo sistema de equa��es
de Euler-Lagrange
\small
\begin{verbatim}
> L:=m/2*(v[1]^2+v[2]^2)+K/sqrt(q[1]^2+q[2]^2);
\end{verbatim}
\[
L\, := \,1/2\,m \left( {v_{{1}}}^{2}+{v_{{2}}}^{2} \right)
+{\frac {K}{\sqrt {{q_{{1}}}^{2}+{q_{{2}}}^{2}}}}
\]
\begin{verbatim}
> EulerLagrange(L,t,[q[1],q[2]],[v[1],v[2]]);
\end{verbatim}
\[
\left\{ -m{\frac {d^2}{d t^2 }}q_{{1}} \left( t \right)
-{\frac {Kq_{{1}} \left( t \right) }{ \left(  q_{{1}} \left( t \right)^{2}
+  q_{{2}} \left( t \right)  ^{2} \right) ^{3/2}}}=0,
\right. \;
\left. -m{\frac {d^2}{d t^2 }}q_{{2}} \left( t \right)
-{\frac {Kq_{{2}} \left( t \right) }{ \left(  q_{{1}} \left( t \right)^{2}
+  q_{{2}} \left( t \right) ^{2} \right) ^{3/2}}}=0 \right\}
\]
\begin{verbatim}
> Simetria(L, t, [q[1],q[2]], [v[1],v[2]]);
\end{verbatim}
\[
 \{ X_{{1}} \left( t,q_{{1}},q_{{2}} \right)
 ={\it \_C2}\,q_{{2}}, \; T \left( t,q_{{1}},q_{{2}} \right)
 ={\it \_C1},\;
X_{{2}} \left( t,q_{{1}},q_{{2}} \right)
=-{\it \_C2}\,q_{{1}} \}
\]
\begin{verbatim}
> Noether(L, t, [q[1],q[2]], [v[1],v[2]], %):
> expand(%);
\end{verbatim}
\begin{eqnarray}
{\it \_C2}\,q_{{2}} \left( t \right) m{\frac {d}{dt}}q_{{1}}
\left( t \right) -{\it \_C2}\,q_{{1}} \left( t \right) m{\frac {d}{dt}}q_{{2}}
\left( t \right)
-1/2\,{\it \_C1}\, \left( {\frac {d}{dt}}q_{{1}}
\left( t \right)\right)^{2}m\nonumber \\
-1/2\,{\it \_C1}\,
\left( {\frac {d}{dt}}q_{{2}} \left( t \right)\right)^{2}m
+{\frac {{\it \_C1}\,K}{\sqrt { q_{{1}} \left( t \right)^{2}
+ q_{{2}} \left( t \right) ^{2}}}}={\it const}
\nonumber
\end{eqnarray}
\normalsize
\end{explTEMAp}

\begin{explTEMAp}
Vejamos o caso de um Lagrangeano
com duas vari�veis dependentes ($n = 2$)
e com derivadas de ordem superior ($m = 2$):
\begin{equation*}
L(t,\mathbf{x},\dot{\mathbf{x}},\ddot{\mathbf{x}})=\dot{x}_1^2+\ddot{x}_2^2
\end{equation*}
\small
\begin{verbatim}
> L:=v[1]^2+a[2]^2;
\end{verbatim}
\[
L\, := \,{v_{{1}}}^{2}+{a_{{2}}}^{2}
\]
\begin{verbatim}
> Simetria(L, t, [x[1],x[2]], [v[1],v[2]], [a[1],a[2]]);
\end{verbatim}
\begin{eqnarray}
&&\left\{\right.T \left( t,x_{{1}},x_{{2}} \right)
={\it \_C1}\,t+{\it \_C2}, \nonumber \\
&&X_{{1}} \left( t,x_{{1}},x_{{2}} \right)
=1/2\,{\it \_C1}\,x_{{1}}+{\it \_C5}, \;
X_{{2}} \left( t,x_{{1}},x_{{2}} \right)
=3/2\,{\it \_C1}\,x_{{2}}+{\it \_C3}\,t+{\it \_C4}\left.\right\}
\nonumber
\end{eqnarray}
\begin{verbatim}
> LC := Noether(L, t, [x[1],x[2]], [v[1],v[2]], [a[1],a[2]], %);
\end{verbatim}
\begin{eqnarray}
LC :=
&&2 \left( 1/2\,{\it \_C1}\,x_{{1}} \left( t \right)
+{\it \_C5} \right) {\frac {d}{dt}}x_{{1}} \left( t \right)
-2\, \left( 3/2\,{\it \_C1}\,x_{{2}} \left( t \right)
+{\it \_C3}\,t+{\it \_C4} \right) {\frac
{d^3}{d t^3 }}x_{{2}} \left( t \right)\nonumber\\
&+&2 \left( {\it \_C3}
+1/2\,{\it \_C1}\,{\frac{d}{dt}}x_{{2}}\left(t\right)\right)
{\frac {d^2}{d t^2  }}x_{{2}} \left( t \right)\nonumber\\
&+&
\bigg(- \left( {\frac {d}{dt}}x_{{1}} \left( t \right)\right)^{2}
- \left( {\frac {d^2}{d t^2}}x_{{2}} \left( t \right)  \right) ^{2}
+2 {\frac {d}{dt}}x_{{2}} \left( t \right)
{\frac {d^3}{d t^3}}x_{{2}} \left( t \right)  \bigg)
\left( {\it \_C1}\,t+{\it \_C2} \right)
={\it const}
\nonumber
\end{eqnarray}
\normalsize
Tal como para o Exemplo~\ref{ex:Ex1}, tamb�m aqui
� f�cil verificar, por aplica��o directa da defini��o,
a validade da lei de conserva��o obtida:
\small
\begin{verbatim}
> EulerLagrange(L,t, [x[1],x[2]], [v[1],v[2]], [a[1],a[2]]);
\end{verbatim}
\begin{displaymath}
\left\{ -2\,{\frac {d^2}{d t^2}}x_{{1}} \left( t \right)
=0,2\,{\frac {d^4}{d t^4}}x_{{2}} \left( t \right) =0 \right\}
\end{displaymath}
\begin{verbatim}
> dsolve(%);
\end{verbatim}
\[
 \left\{\right. x_{{1}} \left( t \right)
 ={\it \_C1}\,t+{\it \_C2},\;
 x_{{2}} \left( t \right) =1/6\,{\it \_C3}\,{t}^{3}
 +1/2\,{\it \_C4}\,{t}^{2}+{\it \_C5}\,t+{\it \_C6} \left.\right\}
\]
\begin{verbatim}
> expand(subs(%,LC));
\end{verbatim}
\[
2\,{\it \_C1}\,{\it \_C5}-3\,{\it \_C3}\,{\it \_C1}\,{\it \_C6}
+{\it \_C1}\,{\it \_C5}\,{\it \_C4}
-{{\it \_C4}}^{2}{\it \_C2}+2\,{\it \_C3}
\,{\it \_C5}\,{\it \_C2}={\it const}
\]
\normalsize
\end{explTEMAp}

\begin{explTEMAp}[Emden-Fowler]
\label{ex:Emden-Fowler}
Consideremos o problema variacional definido pelo Lagrangeano
\small
\begin{verbatim}
> L:= t^2/2*(v^2-(1/3)*x^6);
\end{verbatim}
\begin{equation*}
L:=\frac{{t}^{2} \left( {v}^{2}-\frac{{x}^{6}}{3} \right)}{2}
\end{equation*}
\normalsize
A respectiva equa��o diferencial de Euler-Lagrange � conhecida
na astrof�sica como a equa��o de Emden-Fowler \cite[p. 220]{BRU}:
\small
\begin{verbatim}
> EL := EulerLagrange(L,t,x,v);
\end{verbatim}
\begin{equation*}
EL := \left\{ -2\,t{\frac {d}{dt}}x \left( t \right) -{t}^{2}{\frac {d^{2}}
{d{t}^{2}}}x \left( t \right) -{t}^{2} \left( x \left( t \right)
 \right) ^{5}=0 \right\}
\end{equation*}
\normalsize
Encontramos os geradores infinitesimais,
que conduzem a uma simetria variacional
para a funcional de Emden-Fowler,
por interm�dio da nossa fun��o \emph{Simetria}:
\small
\begin{verbatim}
> S := Simetria(L,t,x,v);
\end{verbatim}
\begin{equation*}
S := \left\{ X \left( t,x \right) =-\frac{x{\it \_C1}}{2},T \left( t,x \right)
={\it \_C1}\,t \right\}
\end{equation*}
\normalsize
Por exemplo,
\small
\begin{verbatim}
> S2 := subs(_C1=-6,S);
\end{verbatim}
\begin{equation*}
                S2 := \{T(t, x) = -6 t, X(t, x) = 3 x\}
\end{equation*}
\normalsize
Aplicando o Teorema de Noether (Teorema~\ref{teor:lc}),
estabelecemos a seguinte lei de conserva��o:
\small
\begin{verbatim}
> simplify(Noether(L,t,x,v,S2));
\end{verbatim}
\begin{equation*}
{t}^{2} \left( 3\,x \left( t \right) {\frac {d}{dt}}x \left( t
 \right) +3\, \left( {\frac {d}{dt}}x \left( t \right)  \right) ^{2}t+
t \left( x \left( t \right)  \right) ^{6} \right) ={\it const}
\end{equation*}
\normalsize
\end{explTEMAp}

\begin{explTEMAp}[Thomas-Fermi]
\label{ex:Thomas-Fermi}
Mostramos agora um exemplo de um problema do c�lculo das varia��es
que n�o possui nenhuma simetria variacional. Seja
\small
\begin{verbatim}
> L:=1/2 * v^2 + 2/5 * (x^(5/2))/(sqrt(t));
\end{verbatim}
\begin{equation*}
L:=\frac{v^{2}}{2}+\frac{2\,x^{\frac{5}{2}}}{5\sqrt {t}}
\end{equation*}
\normalsize
A equa��o de Euler-Lagrange associada a este Lagrangeano corresponde
� equa��o diferencial de Thomas-Fermi \cite[p. 220]{BRU}:
\small
\begin{verbatim}
> EL := EulerLagrange(L,t,x,v);
\end{verbatim}
\begin{equation*}
EL :=  \left\{ -{\frac {d^{2}}{d{t}^{2}}}x \left( t \right) +{\frac {
 \left( x \left( t \right)  \right) ^{\frac{3}{2}}}{\sqrt {t}}}=0 \right\}
\end{equation*}
\normalsize
A nossa fun��o \emph{Simetria} devolve, neste caso, geradores nulos.
Como explicado na \S\ref{sec:SV}, isto significa que este problema
do c�lculo das varia��es n�o admite simetrias.
\small
\begin{verbatim}
> Simetria(L, t, x, v);
\end{verbatim}
\begin{equation*}
\{X(t,x) = 0, T(t,x) = 0\}
\end{equation*}
\normalsize
A fun��o \emph{Noether} resulta num tru�smo:
\small
\begin{verbatim}
> Noether(L, t, x, v, %);
\end{verbatim}
\begin{equation*}
0 = const
\end{equation*}
\normalsize
\end{explTEMAp}

\begin{explTEMAp}[Oscilador Harm�nico com Amortecimento]
\label{ex:OscHarAmort}
Consideremos um oscilador harm�nico com for�a de restitui��o $-kx$,
submerso num l�quido de tal modo que o movimento da massa $m$
� amortecido por uma for�a proporcional � sua velocidade.
Recorrendo � segunda lei de Newton obt�m-se, como equa��o de movimento,
a equa��o diferencial de Euler-Lagrange associada ao seguinte Lagrangeano
\cite[pp. 432--434]{LOG}:
\small
\begin{verbatim}
> L:=1/2 * (m*v^2-k*x^2)*exp((a/m)*t);
\end{verbatim}
\begin{equation*}
L := \frac{1}{2} \left( m{v}^{2}-k{x}^{2} \right) {e^{{\frac {at}{m}}}}
\end{equation*}
\normalsize
Para determinar um primeiro integral da equa��o de Euler-Lagrange,
encontramos os geradores $T$ e $X$ sob os quais a funcional integral
$J[x(\cdot)] = \int L dt$ � invariante:
\small
\begin{verbatim}
> Simetria(L, t, x, v);
\end{verbatim}
\begin{equation*}
 \left\{ T \left( t,x \right) ={\it \_C1},X \left( t,x \right) =
 - \frac{xa{\it \_C1}}{2m} \right\}
\end{equation*}
\normalsize
\small
\begin{verbatim}
> S:= subs(_C1=1,%);
\end{verbatim}
\begin{equation*}
 S:=  \left\{ X \left( t,x \right)
 =-{\frac {xa}{2m}},T \left( t,x \right) =1 \right\}
\end{equation*}
\normalsize
Pelo Teorema de Noether (Corol�rio~\ref{cor:TeoNoether}) obtemos o primeiro integral
$\left(L - \dot{x} \frac{\partial L}{\partial \dot{x}}\right)T$
$+ \frac{\partial L}{\partial \dot{x}} X$:
\small
\begin{verbatim}
> simplify(Noether(L, t, x, v, S));
\end{verbatim}
\begin{equation*}
-\frac{1}{2}\,{e^{{\frac {at}{m}}}} \left( x \left( t \right) a{\frac {d}{dt}}
x \left( t \right) +m \left( {\frac {d}{dt}}x \left( t \right)
 \right) ^{2}+k \left( x \left( t \right)  \right) ^{2} \right) ={\it const}
\end{equation*}
\normalsize
\end{explTEMAp}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\newsec{Procedimentos Maple}
\label{sec:ProcMaple}
\setcounter{obsTEMAp}{0}

Os procedimentos \emph{Simetria}, \emph{Noether} e \emph{EulerLagrange},
descritos e ilustrados nas sec��es anteriores, s�o agora definidos
usando o sistema de computa��o alg�brica \texttt{Maple} (vers�o~9).

\begin{description}
\item[Simetria] determina as simetrias de um Lagrangeano
de v�rias vari�veis dependentes e com derivadas de ordem superior,
de acordo com a sec��o~\ref{sec:SV}.
\item Devolve:
\begin{itemize}
\item[-] conjunto/vector de geradores infinitesimais
das transforma��es sim�tricas.
\end{itemize}
\item Forma de invoca��o:
\begin{itemize}
\item[-] Simetria(L, t, x, x1, x2, ..., xm)
\end{itemize}
\item Par�metros:
\begin{itemize}
\item[L -] express�o do Lagrangeano;
\item[t -] nome da vari�vel independente;
\item[x -] nome, lista de nomes ou vector de nomes das vari�veis dependentes;
\item[xi -] nome, lista de nomes ou vector de nomes das derivadas de ordem i
das vari�veis dependentes;
\end{itemize}
\end{description}
\small
\begin{verbatim}
Simetria:=proc(L::algebraic,t::name,x0::{name,list(name),'Vector[column]'
                       (name)},x1::{name,list(name),'Vector[column]'(name)})
  local n,m,xx,P,EqD,SysEqD,Sol,xi,Tdt,soma,V,r,i,j,k;
  if nargs<4 then print(`N� de args insuficiente.`); return;
  elif not type([args[3..-1]],{'list'(name),'listlist'(name),
                                            'list'('Vector[column]'(name))})
    then print(`Erro na lista das var. depend. ou suas derivadas.`); return;
  end if;
  unassign('T'); unassign('X');
  xx:=convert(x0,'list')[]; n:=nops([xx]); m:=nargs-3;
  xi:=[seq(Vector(convert(args[i],'list')),i=3..m+3)];
  Tdt:=diff(T(t,xx),t)+Vector[row]([seq(diff(T(t,xx),i),i=xx)]).xi[2];
  if n>1 then P:=[Vector([seq(X[i](t,xx),i=1..n)])];
  else P:=[Vector([X(t,xx)])]; end if;
  for i from 1 to m do
    V:=Vector(n):
    for k from 0 to i-1 do
      V:=V+Matrix(n,(r,j)->diff(P[i][r], xi[k+1][j])).xi[k+2];
    end do:
    P:=[P[],map(diff,P[i],t)+V-xi[i+1]*Tdt]:
  end do:
  soma:=0:
  for i from 0 to m do
    soma:=soma+Vector[row]([seq(diff(L,r),r=convert(xi[i+1],list))]).P[i+1]:
  end do:
  EqD:=diff(L,t)*T(t,xx)+soma+L*Tdt;
  EqD:=collect(EqD,[seq(convert(xi[i+1],'list')[],i=1..m)],distributed);
  SysEqD:={coeffs(EqD,[seq(convert(xi[i+1],'list')[],i=1..m)])};
  Sol:=pdsolve(SysEqD,{T(t,xx)} union convert(P[1],'set'));
  if type(x0,'Vector') then
    return (subs(Sol,T(t,xx)),Vector(subs(Sol,P[1])));
  else return Sol; end if;
end proc:
\end{verbatim}
\normalsize

\begin{description}
\item[Noether] dados os geradores infinitesimais,
determina a Lei de Conserva��o de um Lagrangeano de v�rias
vari�veis dependentes e com derivadas de ordem superior,
de acordo com a sec��o~\ref{sec:LC}.
\item Devolve:
\begin{itemize}
\item[-] lei de conserva��o.
\end{itemize}
\item Formas de invoca��o:
\begin{itemize}
\item[-] Noether(L, t, x, x1, x2, ..., xm, S)
\item[-] Noether(L, t, xs, x1s, x2s, ..., xms, T, X)
\end{itemize}
\item Par�metros:
\begin{itemize}
\item[L -] express�o do Lagrangeano;
\item[t -] nome da vari�vel independente;
\item[x -] nome ou lista de nomes das vari�veis dependentes;
\item[xi -] nome ou lista de nomes das derivadas de ordem i
das vari�veis dependentes;
\item[S -] conjunto de geradores infinitesimais das simetrias
(output do procedimento \textsl{Simetria});
\item[xs -] vector de nomes das vari�veis dependentes;
\item[xis -] vector de nomes das derivadas de ordem i
das vari�veis dependentes;
\item[T -] gerador da transforma��o para a vari�vel independente (t);
\item[X -] vector com os geradores das transforma��es para as vari�veis
dependentes (xs).
\end{itemize}
\end{description}
\small
\begin{verbatim}
Noether:=proc(L::algebraic,t::name,x0::{name,list(name),'Vector[column]'
                       (name)},x1::{name,list(name),'Vector[column]'(name)})
  local xx,n,m,P,psi,LC,xi,Tdt,V,r,i,j,k;
  if type(x0,'Vector') then m:=nargs-5; else m:=nargs-4; end if;
  if m<1 then print(`N� de args insuficiente.`); return;
  elif not type([args[3..3+m]],{'list'(name),'listlist'(name),
                                       'list'('Vector[column]'(name))}) then
    print(`Erro na lista das var. depend. ou suas derivadas.`); return;
  elif (type(x0,'Vector') and not(type(args[-1],'Vector[column]') and
                    type(args[-2],algebraic))) or (not type(x0,'Vector') and
                                              not type(args[-1],'set')) then
    print(`Conj. de gerad. inv�lido.`); return;
  end if;
  xx:=convert(x0,'list')[];  n:=nops([xx]); unassign('T'); unassign('X');
  xi:=[seq(Vector(convert(args[i],'list')),i=3..m+3)];
  xi:=[xi[],seq(Vector([seq(x||i[k],k=1..n)]),i=m+1..2*m-1)];
  Tdt:=diff(T(t,xx),t)+Vector[row]([seq(diff(T(t,xx),i),i=xx)]).xi[2];
  if n>1 then P:=[Vector([seq(X[i](t,xx),i=1..n)])]:
  else P:=[Vector([X(t,xx)])]: end if:
  for i from 1 to (m-1) do
    V:=Vector(n):
    for k from 0 to i-1 do
      V:=V+Matrix(n,(r,j)->diff(P[i][r],xi[k+1][j])).xi[k+2] end do:
    P:=[P[],map(diff,P[i],t)+V-xi[i+1]*Tdt]:
  end do:
  psi:=[Vector[row]([seq(diff(L,i),i=convert(xi[m+1],'list'))])]:
  for i from m by -1 to 2 do
    V:=Vector[row](n):
    for k from 0 to 2*m-i do
      V:=V+LinearAlgebra[Transpose](xi[k+2]).Matrix(n,(j,r)->
                                        diff(psi[1][r],xi[k+1][j])); end do:
    psi:=[Vector[row]([seq(diff(L,i),i=convert(xi[i],'list'))])
                                               -map(diff,psi[1],t)-V,psi[]]:
  end do:
  LC:=sum('psi[i].P[i]','i'=1..m)+(L-sum('psi[i].xi[i+1]','i'=1..m))*T(t,xx)
                                                                     =const:
  if type(x0,'Vector') then
    LC:=eval(LC,[T(t,xx)=args[-2],seq(P[1][i]=args[-1][i],i=1..n)]);
  else LC:=eval(LC,args[-1]); end if;
  LC:=subs({map(i->i=i(t),[xx])[]},LC);
  LC:=subs({seq(seq(xi[k+1][i]=diff(xi[1][i](t),t$k),i=1..n),k=1..2*m-1)},
                                                                        LC);
  return LC;
end proc:

\end{verbatim}
\normalsize


\begin{description}
\item[EulerLagrange] constr�i o sistema de equa��es
de Euler-Lagrange \eqref{eq:EL}, dado um Lagrangeano de v�rias vari�veis
dependentes e com derivadas de ordem superior.
\item Devolve:
\begin{itemize}
\item[-] conjunto/vector de equa��es de Euler-Lagrange.
\end{itemize}
\item Forma de invoca��o:
\begin{itemize}
\item[-] EulerLagrange(L, t, x, x1, x2, ..., xm)
\end{itemize}
\item Par�metros:
\begin{itemize}
\item[L -] express�o do Lagrangeano;
\item[t -] nome da vari�vel independente;
\item[x -] nome, lista de nomes ou vector de nomes das vari�veis dependentes;
\item[xi -] nome, lista de nomes ou vector de nomes das derivadas de ordem i
das vari�veis dependentes;
\end{itemize}
\end{description}
\small
\begin{verbatim}
EulerLagrange:=proc(L::algebraic,t::name,x0::{name,list(name),
       'Vector[column]'(name)},x1::{name,list(name),'Vector[column]'(name)})
  local xx,n,m,Lxi,xi,V,EL,i,j,k;
  if nargs<4 then print(`N� de args insuficiente.`); return;
  elif not type([args[3..-1]],{'list'(name),'listlist'(name),
                                            'list'('Vector[column]'(name))})
    then print(`Erro na lista das var. depend. ou suas derivadas.`); return;
  end if;
  xx:=convert(x0,'list')[]; n:=nops([xx]); m:=nargs-3;
  xi:=[seq(Vector(convert(args[i],'list')),i=3..m+3)];
  V:=[0$n];
  for i from 1 to m do
    Lxi:=[seq(diff(L,k),k=convert(xi[i+1],'list'))]:
    Lxi:=subs({map(k->k=k(t),[xx])[]},Lxi);
    Lxi:=subs({seq(seq(xi[k+1][j]=diff(xi[1][j](t),t$k),j=1..n),k=1..m)},
                                                                       Lxi);
    V:=V+(-1)^i*map(diff,Lxi,t$i);
  end do:
  EL:=[seq(diff(L,k),k=convert(xi[1],'list'))];
  EL:=subs({map(k->k=k(t),[xx])[]},EL);
  EL:=subs({seq(seq(xi[k+1][j]=diff(xi[1][j](t),t$k),j=1..n),k=1..m)},EL);
  EL:=EL+V;
  if type(x0,'Vector') then return convert(map(i->i=0,EL),'Vector[column]');
  elif type(x0,'list') then return convert(map(i->i=0,EL),'set');
  else return op(EL)=0; end if;
end proc:
\end{verbatim}
\normalsize

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\newsec{Conclus�o e Trabalho Futuro}
\label{sec:conclusao}
\setcounter{obsTEMAp}{0}

Os sistemas actuais de computa��o alg�brica
colocam � nossa disposi��o ambientes de computa��o cient�fica
extremamente sofisticados e poderosos. Disponibilizam
j� muito conhecimento matem�tico e permitem estender
esse conhecimento por interm�dio de linguagens de programa��o de
muito alto n�vel, expressivas e intuitivas, pr�ximas da linguagem matem�tica.
Tais ambientes permitem a realiza��o de uma mir�ade de c�lculos matem�ticos
simb�licos, com extrema efici�ncia, e a defini��o c�lere de
novas funcionalidades. Neste trabalho us�mos o sistema de computa��o matem�tica
\texttt{Maple~9} para definir novas fun��es que permitem
a determina��o autom�tica de simetrias e leis de conserva��o
no c�lculo das varia��es. Mostr�mos depois, por meio de exemplos concretos,
como as novas funcionalidades s�o de grande utilidade pr�tica.
Como trabalho futuro pretendemos estender
o nosso ``package Maple'' ao caso discreto e aos problemas mais
gen�ricos tratados pelo controlo �ptimo.

%%%

\bigskip

Uma abordagem an�loga � que fizemos pode ser efectuada
para problemas do c�lculo das varia��es discretos no tempo.
No caso discreto, o problema fundamental do
c�lculo das varia��es consiste em determinar uma sequ�ncia finita
$\mathbf{x}(k)\in \mathbb{R}^n$, $k=M,\ldots,M+N$, de  modo
a que a fun��o de custo discreta
\begin{equation*}
J[\mathbf{x}(\cdot)] = \sum_{k=M}^{M+N-1}
L(k,\mathbf{x}(k),\mathbf{x}(k+1))
\end{equation*}
seja minimizada (ou maximizada). Neste tipo de problemas consideramos
um intervalo de tempo de $N$ per�odos, com in�cio num per�odo fixo $M$,
em que $k\in\mathbb{Z}$, $k=M,\ldots,M+N-1$, � a vari�vel discreta
tempo, e assumimos que o Lagrangeano $L$ � continuamente diferenci�vel
em $\{M,\ldots,M+N-1\}\times \mathbb{R}^n \times\mathbb{R}^n$.
� semelhan�a do que fizemos para o caso cont�nuo, � natural
considerarem-se problemas de optimiza��o em que o Lagrangeano
envolve diferen�as finitas de ordem superior,
\begin{equation}
\label{eq:FCDiscOrdSup}
J[\mathbf{x}(\cdot)] = \sum_{k=M}^{M+N-1}
L(k,\mathbf{x}(k),\mathbf{x}(k+1),\ldots,\mathbf{x}(k+m)),
\end{equation}
com $m\ge 1$, e considerando ainda o Lagrangeno continuamente diferenci�vel
relativamente a todos os seus argumentos.
Uma condi��o necess�ria para que $\mathbf{x}(k)$ seja uma extremal de
(\ref{eq:FCDiscOrdSup}) � dada pela equa��o de Euler-Lagrange discreta
\begin{equation}
\label{eq:EPDisc}
\sum_{j=0}^m\frac{\partial L}{\partial \mathbf{x}^j}
(k+m-j,\mathbf{x}(k+m-j),
\ldots,\mathbf{x}(k+2m-j))=\mathbf{0} \, .
\end{equation}
No caso $m=1$, a equa��o (\ref{eq:EPDisc}) reduz-se
� equa��o discreta de Euler-Lagrange
\begin{equation*}
\frac{\partial L}{\partial \mathbf{x}}(k+1,\mathbf{x}(k+1),
\mathbf{x}(k+2))
+\frac{\partial L}{\partial \mathbf{x}^1}
(k,\mathbf{x}(k),\mathbf{x}(k+1))=\mathbf{0}.
\end{equation*}
\begin{defTEMAp}
\label{defin:invarDisc}
Um problema discreto expresso pela fun��o de custo (\ref{eq:FCDiscOrdSup})
diz-se invariante sob as transforma��es uni-param�tricas
$\mathbf{h}^s(k,\mathbf{x})$, com $\mathbf{h}^0(k,\mathbf{x})=
\mathbf{x}$,
se, para todo o $s$ suficientemente pequeno e qualquer que seja o $k$,
\begin{equation}
\label{eq:invarDisc}
L(k,\mathbf{x}(k),\mathbf{x}(k+1),\ldots,\mathbf{x}(k+m))
= L(k,\mathbf{h}^s(k,\mathbf{x}(k)),\ldots,\mathbf{h}^s(k+m,\mathbf{x}(k+m))).
\end{equation}
\end{defTEMAp}
\noindent A partir desta defini��o conseguimos estabelecer uma condi��o necess�ria e
suficiente de invari�ncia.
\begin{teoTEMA}
\label{teor:cnsDisc}
A fun��o de custo (\ref{eq:FCDiscOrdSup})
� invariante sob as transforma��es uni-param�tricas
$\mathbf{h}^s(k,\mathbf{x})$, com geradores infinitesimais
$\mathbf{X}(k,\mathbf{x})=\left.\frac{\partial}{\partial{s}}
\mathbf{h}^s(k,\mathbf{x})\right|_{s=0}$,
se, e apenas se,
\begin{eqnarray}
\label{eq:cnsDisc}
\sum_{j=0}^{m}\frac{\partial L}{\partial \mathbf{x}^{j}}\cdot
\mathbf{X}(k+j,\mathbf{x}(k+j))=0,
\end{eqnarray}
onde o Lagrangeano discreto $L$ � avaliado em
$(k,\mathbf{x}(k),\mathbf{x}(k+1),\ldots,\mathbf{x}(k+m))$.
\end{teoTEMA}
\begin{obsTEMAp}
Quando $m=1$, a equa��o (\ref{eq:cnsDisc}) reduz-se a
\begin{equation*}
\frac{\partial L}{\partial \mathbf{x}}\cdot
\mathbf{X}(k,\mathbf{x}(k))
+\frac{\partial L}{\partial \mathbf{x}^1}
\cdot\mathbf{X}(k+1,\mathbf{x}(k+1))=0.
\end{equation*}
\end{obsTEMAp}
\noindent \emph{Demonstra��o (Teorema~\ref{teor:cnsDisc})}.
Da condi��o de invari�ncia (\ref{eq:invarDisc}) podemos escrever:
\[
\frac{\textrm{d}}{\textrm{d}s}L(k,\mathbf{h}^s(k,\mathbf{x}(k)),
\ldots,\mathbf{h}^s(k+m,\mathbf{x}(k+m)))=0 \, .
\]
Derivando, obtemos, para $s = 0$, a igualdade \eqref{eq:cnsDisc}:
\begin{displaymath}
\sum_{j=0}^{m}\frac{\partial L}{\partial \mathbf{x}^{j}}\cdot
\left.\frac{\partial}{\partial{s}}\mathbf{h}^s(k+j,\mathbf{x}(k+j))
\right|_{s=0}=0
\end{displaymath}
com $L$ avaliado em
$(k,\mathbf{x}(k),\mathbf{x}(k+1),\ldots,\mathbf{x}(k+m))$.
\begin{flushright}
$\square$
\end{flushright}
� poss�vel deduzir um teorema an�logo ao
teorema de Noether, para o caso discreto, que permite estabelecer
leis de conserva��o discretas (cf. \cite{delfimCAO}).
\begin{teoTEMA}[Teorema de Noether Discreto]
\label{teor:lcDisc}
Se a fun��o de custo (\ref{eq:FCDiscOrdSup}) � invariante,
no sentido da defini��o \ref{defin:invarDisc},
sob as transforma��es uni-param�tricas
$\mathbf{h}^s(k,\mathbf{x})$, com geradores infinitesimais
$\mathbf{X}(k,\mathbf{x})=\left.\frac{\partial}{\partial{s}}
\mathbf{h}^s(k,\mathbf{x})\right|_{s=0}$,
ent�o todas as solu��es $\mathbf{x}(k)$
da equa��o de Euler-Lagrange (\ref{eq:EPDisc}) satisfazem
\begin{eqnarray}
\label{eq:LCDiscOrdSup}
\sum_{j=0}^{m-1}\mathbf{\Psi}^j(k)\cdot
\mathbf{X}(k+j,\mathbf{x}(k+j))=const\quad
\end{eqnarray}
onde
\begin{eqnarray}
\mathbf{\Psi}^0(k)&=&\frac{\partial L}{\partial \mathbf{x}}
(k,\mathbf{x}(k),\ldots,\mathbf{x}(k+m))\nonumber\\
\mathbf{\Psi}^{j}(k)&=&\mathbf{\Psi}^{j-1}(k+1)
+\frac{\partial L}{\partial \mathbf{x}^{j}}
(k,\mathbf{x}(k),\ldots,\mathbf{x}(k+m))\textrm{,}\quad
para \; j=1,2,\ldots,m-1\,.\nonumber
\end{eqnarray}
\end{teoTEMA}
\begin{obsTEMAp}
Caso $m=1$, a lei de conserva��o (\ref{eq:LCDiscOrdSup}) reduz-se a
\begin{equation*}
\frac{\partial L}{\partial \mathbf{x}}(k,\mathbf{x}(k),
\mathbf{x}(k+1))\cdot
\mathbf{X}(k,\mathbf{x}(k))=const.
\end{equation*}
\end{obsTEMAp}
\noindent Para problemas discretos no tempo, facilmente se definem
em Maple procedimentos que implementem as condi��es
(\ref{eq:EPDisc}), \eqref{eq:cnsDisc} e (\ref{eq:LCDiscOrdSup}).

%%%

\bigskip

O controlo �ptimo pode ser encarado como uma extens�o natural
do c�lculo das varia��es \cite{CVFAwOC,Leitao}.
A resolu��o de problemas do controlo �ptimo
passa normalmente pela aplica��o do Princ�pio do M�ximo
de Pontryagin, que constitui uma generaliza��o
das condi��es cl�ssicas de Euler-Lagrange
e de Weierstrass do c�lculo das varia��es.
Em termos pr�ticos, algor�tmicos, temos
de resolver um sistema de equa��es diferenciais, chamado de sistema
Hamiltoniano, depois de eliminados os par�metros
de controlo por interm�dio da \emph{condi��o de m�ximo}.
Tal como no c�lculo das varia��es, tamb�m no controlo
�ptimo as equa��es diferenciais ordin�rias obtidas s�o em geral
n�o-lineares e de dif�cil resolu��o (podem,
inclusive, n�o ser integr�veis). As leis
de conserva��o s�o usadas para simplificar essas equa��es e,
mais uma vez, a quest�o que se coloca � saber
como determinar tais quantidades preservadas.
Resulta que os resultados cl�ssicos de Emmy Noether
podem ser generalizados ao contexto do controlo �ptimo,
reduzindo o problema ao da descoberta de grupos de transforma��es
uni-param�tricas que deixem o problema de controlo �ptimo
invariante \cite{delfimEJC}. Seria de grande utilidade
pr�tica dispor de facilidades computacionais
que permitissem identificar as simetrias dos problemas de controlo �ptimo
\cite{GrizzleMarcus,alik}.

\bigskip

Ser�o estas algumas das direc��es do nosso trabalho futuro.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{thebibliography}{99}

\bibitem{Lenimar} L. N. de Andrade,
``Introdu��o � Computa��o Alg�brica com o Maple'',
IMPA, editora da Sociedade Brasileira de Matem�tica, 2004.

\bibitem{BRU} B. van Brunt,
``The Calculus of Variations'', Springer-Verlag New York, 2004.

\bibitem{fenomLav} G. Buttazzo and M. Belloni,
A Survey on Old and Recent Results About the Gap Phenomenon in
the Calculus of Variations, {\em Recent developments
in well-posed variational problems}, Kluwer Acad. Publ., 1995, 1--27.

\bibitem{EDP} F. S. David,
``O C�lculo Variacional Cl�ssico e Algumas das suas
Aplica��es � F�sica Matem�tica --
Refer�ncia a Algumas Extens�es mais Recentes'',
Electricidade de Portugal, 1986.

\bibitem{GrizzleMarcus} J. W. Grizzle and S. I. Marcus,
The structure of nonlinear control systems possessing
symmetries, {\em IEEE Trans. Automat. Control},
Vol.~30, No.~3 (1985), 248--258.

\bibitem{alik} A.~Gugushvili, O.~Khutsishvili, V.~Sesadze,
G.~Dalakishvili, N.~Mchedlishvili, T.~Khutsishvili, V.~Kekenadze
and D.~F.~M.~Torres, ``Symmetries and Conservation Laws
in Optimal Control Systems'', Georgian Technical University,
Tbilisi, 2003.

\bibitem{CVFAwOC} L. P. Lebedev and M. J. Cloud,
``The Calculus of Variations and Functional Analysis
-- with Optimal Control and Applications in Mechanics'',
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\bibitem{Leitao} A. Leit�o,
``C�lculo Variacional e Controle �timo'',
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``Applications of Lie Groups to Differential Equations'',
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