SUR LES AUTOMORPHISMES ET LA RIGIDIT\'E DES GROUPES DE COXETER \`A ANGLES DROITS.
Anatole CASTELLA
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%---- Titre -----

\title{SUR LES AUTOMORPHISMES ET LA RIGIDIT\'E DES GROUPES DE COXETER \`A ANGLES DROITS.}
\author{Anatole CASTELLA}
\date{12 D�cembre 2004}

\begin{document}

\maketitle

\theoremstyle{definition}
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\newtheorem*{defis*}{D�finitions}
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\section*{Introduction.}

Un {\it groupe de Coxeter} est un groupe $W$ admettant un sous-ensemble g�n�rateur $S$ form� d'�l�ments d'ordre 2 tel que, si l'on note, pour $s, t \in S$, $m_{s,t}$ l'ordre du produit $st$ dans $W$, le groupe $W$ soit donn� par la pr�sentation : 
$$W = <S \mid (st)^{m_{s,t}} = 1, \textrm{ si } s,t \in S  \textrm{ avec }  m_{s,t}\not= \infty>.$$

On dit alors que $(W,S)$ est un {\it syst�me de Coxeter} (admis par $W$), que l'ensemble $S$ est un {\it ensemble de Coxeter} pour $W$ et que le cardinal de $S$ est le {\it rang} du syst�me $(W,S)$. On note ${\cal S}(W)$ l'ensemble des ensembles de Coxeter pour $W$.

G�n�ralement, on se donne un syst�me de Coxeter $(W,S)$ par la matrice $\G_{(W,S)} = (m_{s,t})_{s,t\in S}$, que l'on repr�sente par un graphe d'ensemble de sommets $S$, avec une ar�te �tiquet�e $m_{s,t}$ entre les sommets $s$ et $t$ lorsque $m_{s,t} \geq 3$. On dit que la matrice $\G_{(W,S)}$ est {\it le type} de $(W,S)$ (et est {\it un type} admis par $W$). C'est une {\it matrice de Coxeter}, c'est-�-dire une matrice sym�trique � coefficients dans $\N^\star \cup \{\infty\}$, avec des 1 sur la diagonale et uniquement sur la diagonale. On peut montrer (cf. [B], Ch. V, \S \ 4, n� 3) que toute matrice de Coxeter est, � isomorphisme de matrices pr�s, le type d'un syst�me de Coxeter (o� l'on appelle {\it isomorphisme de matrices} de $(m_{s,t})_{s,t\in S}$ sur $(m'_{s',t'})_{s',t'\in S'}$ toute bijection de $S$ sur $S'$ qui respecte les coefficients). \\

Soit $W$ un groupe de Coxeter. 

Si $S\in {\cal S}(W)$ et si $\a$ est un automorphisme de $W$, alors $\a(S)\in {\cal S}(W)$ et les types $\G_{(W,S)}$ et $\G_{(W,\a(S))}$ sont isomorphes (via $S \rightarrow \a(S)$, $s \mapsto \a(s)$). Inversement, pour $S,~S' \in {\cal S}(W)$, tout isomorphisme de $\G_{(W,S)}$ sur $\G_{(W,S')}$ se prolonge en un automorphisme de $W$ qui envoie $S$ sur $S'$. On est alors amen� � consid�rer les deux probl�mes suivants : 
\begin{enumerate}
\item D�terminer le groupe $Aut(W)$.
\item \label{classes d'iso}D�terminer les classes d'isomorphisme des types admis par $W$ ou, de fa�on �quivalente, les orbites de l'action de $Aut(W)$ sur ${\cal S}(W)$ : $Aut(W)\times {\cal S}(W)\rightarrow {\cal S}(W)$, $(\a,S)\mapsto \a(S)$.
\end{enumerate}
On dit qu'un groupe de Coxeter est {\it rigide} lorsqu'il admet un unique type, � isomorphisme pr�s, c'est-�-dire lorsque l'action d�crite en \ref{classes d'iso} ci-dessus est transitive (voir aussi la d�finition \ref{defs rigidit�} en section \ref{Conclusion rigidit�.} ci-dessous).

De nombreux r�sultats existent sur ces deux probl�mes, pour diff�rentes classes de groupes de Coxeter, et en particulier pour la classe des groupes de Coxeter "� angles droits" : \\

\begin{defi}[Angles droits]\label{def angles droits}Soit $(W,S)$ un syst�me de Coxeter de type $\G$. On dit que $(W,S)$ et $\G$ sont {\it � angles droits} si $\G$ est � coefficients dans $\{1,2,\infty\}$. 

On montre que, si un groupe de Coxeter $W$ admet un syst�me de Coxeter � angles droits, alors tous les syst�mes de Coxeter qu'il admet sont � angles droits et ont m�me rang (voir la section \ref{Le cas � angles droits.}). On dit alors que le {\it groupe} de Coxeter $W$ est � angles droits et que le rang commun des syst�mes de Coxeter qu'il admet est le rang du {\it groupe} $W$.\\
\end{defi} 

Soit $W$ un groupe de Coxeter � angles droits (de rang fini ou infini). 

Notons $\pi : W \rightarrow W^{ab}, \ w \mapsto \overline w$ le morphisme canonique de $W$ sur son ab�lianis�. Comme le sous-groupe d�riv� est un sous-groupe caract�ristique, $\pi$ induit le morphisme $\pi_{Aut} : Aut(W) \longrightarrow Aut(W^{ab}), \ \a \longmapsto (\overline \a : \overline w \mapsto \overline {\a(w)}\, )$. Notons $F$ l'ensemble des �l�ments d'ordre fini de $W$, et posons $\overline F = \pi(F)$. Comme les automorphismes de $W$ stabilisent $F$, $\pi_{Aut}$ est � valeurs dans le sous-groupe $Aut(W^{ab},\overline F)$ de $Aut(W^{ab})$ constitu� des automorphismes de $W^{ab}$ qui stabilisent $\overline F$. En 1988, J. Tits a �tabli dans [T] (Corollaire 1) que la suite :
$$\{1\}\hookrightarrow \ker(\pi_{Aut}) \hookrightarrow Aut(W) \stackrel{\pi_{Aut}}{\longrightarrow}Aut(W^{ab},\overline F) \rightarrow \{1\}$$
est exacte et scind�e. Il a ensuite entam� l'�tude de $\ker(\pi_{Aut})$ (qu'il note $Aut^\circ(W)$), fourni des pistes � suivre pour �tudier $Aut(W^{ab},\overline F)$ et d�crit ce dernier groupe dans quelques exemples. Dix ans plus tard, B. M�hlherr a donn� dans [M] une pr�sentation par g�n�rateurs et relations de $\ker(\pi_{Aut})$ (qu'il note $Spe(W)$), dans le cas o� $W$ est de rang fini.

Au d�but des ann�es 2000, D.G. Radcliffe et T. Hosaka ont montr� respectivement dans [R] et dans [H] que les groupes de Coxeter � angles droits et de rang fini sont rigides. \\

Le but de cet article est de donner une d�monstration de ce dernier r�sultat qui ne fait pas intervenir la finitude du rang (donc de montrer que {\it tous} les groupes de Coxeter � angles droits sont rigides)\footnote{Apr�s la premi�re diffusion de cet article, D.G. Radcliffe m'a signal� que cette g�n�ralisation est �galement cons�quence d'un r�sultat de sa th�se de doctorat ([R2], Ch. 5, Th�or�me principal).} et de d�crire le groupe $Aut(W^{ab},\overline F)$ pour une vaste classe de groupes de Coxeter � angles droits (contenant les groupes de Coxeter � angles droits et de rang fini), � savoir ceux que nous appelons "d'�paisseur finie" (section \ref{profondeur}, d�finition \ref{def profondeur finie}).\\

La premi�re partie est consacr�e � quelques rappels sur les groupes et sur les groupes de Coxeter, qui nous permettent de fixer les notations utilis�es dans les parties suivantes.

Dans la seconde partie, nous pr�sentons des r�sultats g�n�raux sur les ensembles munis d'une relation binaire sym�trique et r�flexive (dont la motivation est expliqu�e ci-dessous). La terminologie employ�e est la suivante : \\

\begin{defi*}[Section \ref{partie outils}, d�finitions \ref{def relations}, \ref{defs parties commutatives}, \ref{defs bicommutants cellules} et \ref{def noyaux}]Nous appelons {\it ensemble � relation} tout couple $(E,R)$ o� $E$ est un ensemble et $R$ une relation binaire sym�trique et r�flexive sur $E$. 

Soit $(E,R)$ un ensemble � relation. Nous notons ${\cal P}(E)$ l'ensemble des parties de $E$ et $[E]$ l'ensemble des parties finies de $E$. Ce sont des $\F_2$-espaces vectoriels (cf. section \ref{G�n�ralit�s sur les groupes.}). Nous notons $[E]_c$ l'ensemble des parties finies de $E$ constitu�es d'�l�ments deux � deux en relation $R$.

Soit $C : {\cal P}(E) \rightarrow {\cal P}(E)$, $X \longmapsto \{y\in E \mid \forall x\in X, \ yRx \}$. Nous appelons {\it cellules} les images par $C^2$ des singletons de $E$ et {\it noyaux} les classes d'�quivalence de la relation (d'�quivalence) $C(\{x\}) = C(\{y\})$ sur $E$. Nous notons ${\cal C}(E,R)$ l'ensemble des cellules et ${\cal N}(E,R)$ l'ensemble des noyaux. Pour $x \in E$, nous disons que la cellule $C^2(\{x\})$ est la cellule de (ou d�finie par) $x$ et nous notons $N(x)$ le noyau (la classe d'�quivalence) de $x$.

Si $(E,R)$ et $(E',R')$ sont deux ensembles � relation, nous appelons {\it isomorphisme (d'ensembles � relation)} de $(E,R)$ sur $(E',R')$ toute bijection $f$ de $E$ sur $E'$ telle que $(f\times f)(R) = R'$.\\
\end{defi*}

Si $\G = \G_{(W,S)}$ est un type admis par $W$, nous munisons $S$ de la relation $R_\G$ de commutation dans $S$. Nous obtenons ainsi un ensemble � relation $(S,R_\G)$ qui d�termine enti�rement $\G$ (qui est � angles droits), puisque l'on a, pour $s,~t \in S$ distincts, $m_{s,t} = 2 \Leftrightarrow sR_\G t$ et $ m_{s,t} = \infty \Leftrightarrow (s,t)\not \in R_\G$ (notons que $[S]_c$ est alors l'ensemble des parties commutatives et finies de $S$). 

Pour $S,~S'\in {\cal S}(W)$ et $\G = \G_{(W,S)}$, $\G' = \G_{(W,S')}$, on voit que les notions d'isomorphisme de matrices de $\G$ sur $\G'$ et d'isomorphisme d'ensembles � relation de $(S,R_{\G})$ sur $(S',R_{\G'})$ co�ncident. 

De plus, � la suite de J. Tits, nous remarquons qu'il existe un isomorphisme ($\F_2$-lin�aire) de $[S]$ sur $[S']$ envoyant $[S]_c$ sur $[S']_c$ (voir la d�monstration du corollaire 1 de [T], o� $[S]_c$ est not� $F(\G)$, ou la remarque \ref{relations et singletons} a ci-dessous). 

Pour d�montrer que les groupes de Coxeter � angles droits (de rang quelconque) sont rigides, on voit donc qu'il suffit de montrer le r�sultat suivant : \\

\begin{theo*}[Section \ref{sur les isomorphismes ...}, assertion 2 du th�or�me \ref{theor�me principal}]Soient $(E,R)$ et $(E',R')$ deux ensembles � relation. S'il existe un isomorphisme ($\F_2$-lin�aire) de $[E]$ sur $[E']$ envoyant $[E]_c$ sur $[E']_c$, alors les ensembles � relation $(E,R)$ et $(E',R')$ sont isomorphes.\\
\end{theo*}

Dans la troisi�me partie, nous examinons les notions de rigidit� et de rigidit� forte pour les groupes de Coxeter � angles droits  (cf. d�finitions \ref{defs rigidit�} et \ref{def rigidit� forte}). Nous obtenons en particulier, comme corollaire imm�diat du Th�or�me \ref{theor�me principal}, le r�sultat suivant : \\

\begin{theo*}[Section \ref{Conclusion rigidit�.}, Th�or�me \ref{Les groupes de Coxeter � angles droits sont rigides}]Les groupes de Coxeter � angles droits sont rigides.\\
\end{theo*}

Dans la quatri�me partie, nous �tudions le groupe $Aut(W^{ab},\overline F)$. Comme l'avait remarqu� J. Tits dans [T], pour tout $S\in {\cal S}(W)$, nous pouvons identifier $Aut(W^{ab},\overline F)$ au groupe $Aut([S],[S]_c)$ constitu� des automorphismes de $[S]$ stabilisant $[S]_c$ (voir la section \ref{Le cas � angles droits.} ci-dessous). Fixant $S \in {\cal S}(W)$, c'est ce dernier groupe $Aut([S],[S]_c)$ que nous d�crivons ici. L'�tude que nous effectuons est inspir�e des id�es expos�es dans la partie finale de [T].

Posons $\G = \G_{(W,S)}$, ${\cal C} = {\cal C}(S,R_\G)$ et ${\cal N} = {\cal N}(S,R_\G)$. La proposition \ref{sous-espaces [T] permut�s} de la partie \ref{sur les isomorphismes ...} montre en particulier que le groupe $Aut([S],[S]_c)$ agit sur l'ensemble $\{[T] \mid T \in {\cal C}\}$, via $(\p,[T])\mapsto \p([T])$. Notant $K(\G)$ le noyau de cette action, nous exhibons un sous-groupe $G$ du groupe $Aut(\G)$ des automorphismes de la matrice $\G$ tel que l'on ait $Aut([S],[S]_c) = K(\G) \rtimes G$ (cf. section \ref{premier d�vissage}). 

Nous donnons ensuite une caract�risation simple des �l�ments de $K(\G)$ parmi les �l�ments de $Aut([S])$ (section \ref{le groupe K}, proposition \ref{caract de F et K}) et montrons que le groupe $K(\G)$ se d�compose lui-m�me en le produit semi-direct $K(\G) = K^\circ(\G) \rtimes D(\G)$ (section \ref{le groupe K}, proposition \ref{decomposition K(Gamma)}), o� $D(\G)$ d�signe le groupe constitu� des automorphismes de $[S]$ qui, pour tout $N \in {\cal N}$, stabilisent le sous-espace $[N]$ de $[S]$ (remarquons que, ${\cal N}$ �tant une partition de $S$, on a $[S] = \oplus_{N\in {\cal N}}[N]$ et $D(\G) \approx \prod_{N\in {\cal N}}Aut([N])$) et o� $K^\circ(\G)$ est le sous-groupe de $K(\G)$ suivant : \\

\begin{defi*}[Section \ref{le groupe K}, notation \ref{Le groupe Krond}]Soit $s\in S$. Posons $(C^2(\{s\}))^\star = C^2(\{s\}) \setminus N(s)$. 

Alors $K^\circ(\G) = \{\p \in K(\G) \mid \forall ~s\in S, \ \p(\{s\}) \in \{s\} + [(C^2(\{s\}))^\star]\}$.\\
\end{defi*}

La section \ref{K0} est consacr�e � l'�tude du groupe $K^\circ(\G)$. La m�thode consiste essentiellement � d�terminer une partition de $S$ en parties "d'�paisseur nulle" (section \ref{Parties de profondeur nulle.}, d�finition \ref{def parties de profondeur nulle}), qui se traduit par une d�composition de $K^\circ(\G)$ en produits semi-directs it�r�s de certains de ses sous-groupes, simples � d�crire (section \ref{Parties de profondeur nulle.}, formules (E1) ou (E2), et section \ref{profondeur}, th�or�me \ref{d�comp de KY}). C'est � cette �tape qu'il faut supposer $S$ "d'�paisseur finie" (section \ref{profondeur}, d�finition \ref{def profondeur finie}), afin que les produits semi-directs it�r�s mentionn�s soient en nombre fini.

Les r�sultats obtenus sont illustr�s par quelques exemples � la fin de cet article.

\section{Pr�liminaires.}

\subsection{G�n�ralit�s sur les groupes.}\label{G�n�ralit�s sur les groupes.}

Soit $W$ un groupe. Nous notons $F(W)$, ou plus simplement $F$, l'ensemble des �l�ments d'ordre fini de $W$. Soit $\pi : W\rightarrow W^{ab}, \ w \mapsto \overline w$ le morphisme canonique de $W$ sur son ab�lianis�. Nous notons $\overline F = \overline {F(W)}$ l'image de $F(W)$ par $\pi$.

Nous notons $Aut(W)$ le groupe des automorphismes de $W$ et $Int(W)$ le groupe de ses automorphismes int�rieurs. Pour $X\subseteq W$, notons $Aut(W,X) = \{\a \in Aut(W) \mid \a(X) = X\}$ le sous-groupe de $Aut(W)$ form� des automorphismes de $W$ qui stabilisent $X$. \\

Dans tout ce qui suit, nous disons qu'un groupe (fini ou infini) est un {\it 2-groupe �l�mentaire} si tous ses �l�ments non triviaux sont d'ordre 2. Bien s�r, les notions de 2-groupe �l�mentaire et de $\F_2$-espace vectoriel (ainsi que les notions de morphisme correspondantes) co�ncident et on ne les distinguera donc pas. On pourra par exemple parler de {\it base} d'un 2-groupe �l�mentaire, sans faire explicitement r�f�rence � sa structure de $\F_2$-espace vectoriel.\\

Soit $E$ un ensemble. On note $Perm(E)$ le groupe des permutations de $E$, ${\cal P}(E)$ l'ensemble des parties de $E$, $[E]$ l'ensemble des parties finies de $E$, et ${\cal E}(E)$ l'ensemble des singletons de $E$. Muni de l'op�ration de diff�rence sym�trique $X + Y = (X\cup Y)\setminus (X\cap Y)$, ${\cal P}(E)$ est un 2-groupe �l�mentaire (d'�l�ment neutre $\emptyset$) et $[E]$ en est le sous-espace vectoriel de base ${\cal E}(E)$.

\subsection{G�n�ralit�s sur les groupes de Coxeter.}\label{G�n�ralit�s sur les groupes de Coxeter.}

Soit $(W,S)$ un syst�me de Coxeter de type $\G = (m_{s,t})_{s,t\in S}$.\\

On note $M_S$ l'ensemble des mots sur $S$ (i.e. le mono�de libre engendr� par $S$) et, pour $w\in W$, $M_S(w)$ l'ensemble des �l�ments de $M_S$ repr�sentant $w$ dans $W$. Les �l�ments de longueur minimale de $M_S(w)$ sont dit {\it r�duits} et leur longueur commune, not�e $l_S(w)$, est appel�e la {\it longueur} de $w$ (par rapport � $S$). On sait (cf. [B], Ch. IV, \S  1, n� 8, Proposition 7) que l'ensemble des �l�ments de $S$ apparaissant dans un mot r�duit de $M_S(w)$ ne d�pend que de $w$ ; cet ensemble est appel� le {\it $S$-support de $w$} et est not� $Supp_S(w)$.\\

Soit $X\subseteq S$. On note $W_X$ le sous-groupe de $W$ engendr� par $X$. Alors $W_X$ est constitu� des �l�ments de $W$ dont le $S$-support est inclus dans $X$ (cf. [B], Ch. IV, \S  1, n� 8, Corollaire 1). On en d�duit que le couple $(W_X,X)$ est un syst�me de Coxeter de type $(m_{s,t})_{s,t\in X}$, que, pour $X,~Y\subseteq S$, on a $W_X\subseteq W_Y \Longleftrightarrow X\subseteq Y$, et que, si $(X_i)_{i\in I}$ est une famille de parties de $S$, alors $W_{\bigcap_{i\in I}X_i} = \bigcap_{i\in I} W_{X_i}$ (cf. [B], Ch. IV, \S  1, n� 8, Th�or�me 2). 

Les sous-groupes $W_X$, pour $X\subseteq S$, sont appel�s sous-groupes {\it $S$-paraboliques standard} et on dit que $X$ et $W_X$ sont {\it $S$-sph�riques} lorsque $W_X$  est fini. Voici un r�sultat classique (cf. [T], proposition 1, ou [B], exercice 2d page 130) : \\

\begin{propo}\label{tits2}Soit $(W,S)$ un syst�me de Coxeter. Tout sous-groupe fini de $W$ est, � conjugaison pr�s, inclus dans un sous-groupe $S$-sph�rique. \\
\end{propo}

Nous notons ${\cal P}_c(S)$ (resp. $[S]_c$) l'ensemble des parties commutatives de $S$ (resp. des parties commutatives et finies de $S$). Les �l�ments de $[S]_c$ sont des parties $S$-sph�riques et, plus g�n�ralement, pour $X \in {\cal P}_c(S)$, le sous-groupe $S$-parabolique standard $W_X$ est un 2-groupe �l�mentaire de base $X$. \\

On note $Aut(\G)$ le groupe des automorphismes de la matrice $\G$ (i.e. le sous-groupe de $Perm(S)$ constitu� des permutations de $S$ qui respectent les coefficients $m_{s,t}$). \\

\begin{rema}\label{Rq tilde f}{\bf a.} Tout �l�ment de $Aut(\G)$ se prolonge en un automorphisme de $W$ qui stabilise $S$ et le groupe $Aut(\G)$ s'identifie ainsi au sous-groupe $Aut(W,S)$ de $Aut(W)$.

{\bf b.} Tout �l�ment $f$ de $Perm(S)$ d�finit, via $X \mapsto f(X) = \{f(x) \mid x\in X\}$, un �l�ment de $Aut([S])$ qui respecte le cardinal et d�termine enti�rement $f$. Si, de plus, $f$ respecte les coefficients de $\G$, alors $f$ stabilise $[S]_c$ et d�finit donc un �l�ment de $Aut([S],[S]_c)$ (qui respecte le cardinal). Le groupe $Aut(\G)$ s'identifie ainsi � un sous-groupe de $Aut([S],[S]_c)$.
\end{rema}

\subsection{Le cas � angles droits.}\label{Le cas � angles droits.}

Soit $(W,S)$ un syst�me de Coxeter � angles droits de type $\G = (m_{s,t})_{s,t\in S}$.\\

Dans ce cas, l'ensemble $[S]_c$ des parties commutatives finies de $S$ est exactement l'ensemble des parties $S$-sph�riques. Les sous-groupes $S$-sph�riques sont donc des 2-groupes �l�mentaires et, d'apr�s la proposition \ref{tits2}, tous les sous-groupes finis de $W$ sont alors des 2-groupes �l�mentaires. L'ensemble $F(W)$ est donc constitu� de l'�l�ment neutre et des �l�ments d'ordre 2 de $W$. On voit alors que, pour tout $S' \in {\cal S}(W)$, le syst�me de Coxeter $(W,S')$ est n�cessairement � angles droits. Autrement dit, tous les syst�mes de Coxeter admis par $W$ sont � angles droits.\\

La proposition suivante, qui appara�t dans la d�monstration du corollaire 1 de [T], montre alors en particulier que tous les �lements de ${\cal S}(W)$ ont m�me cardinal, � savoir la dimension du 2-groupe �l�mentaire $W^{ab}$ sur $\F_2$. \\

Les deux affirmations qui apparaissent dans la d�finition \ref{def angles droits} sont ainsi prouv�es. \\

\begin{propo}\label{isom de [S] sur[S'] envoyant [S]c sur[S']c}Soit $(W,S)$ un syst�me de Coxeter � angles droits. 
\begin{enumerate}
\item L'application ${\cal E}(S)\rightarrow W^{ab},\ \{s\} \mapsto \overline s$ se prolonge en un isomorphisme $\pi_S$ de $[S]$ sur $W^{ab}$. 
\item De plus, $\pi_S$ envoie $[S]_c$ sur $\overline F$.
\end{enumerate}
\end{propo}
\proof D'apr�s la propri�t� universelle du syst�me de Coxeter $(W,S)$, l'application $S \rightarrow [S]$, $s\mapsto \{s\}$ se prolonge (de fa�on unique) en un morphisme de groupes de $W$ dans $[S]$. Comme $[S]$ est ab�lien, ce morphisme passe au quotient en le morphisme $\rho_S : W^{ab}\rightarrow [S]$, donn� par $\overline s \mapsto \{s\}$. Comme $\rho_S$ envoie la famille g�n�ratrice $(\overline s)_{s\in S}$ du $\F_2$-espace vectoriel $W^{ab}$ sur la base $(\{s\})_{s\in S}$ du $\F_2$-espace vectoriel $[S]$, $\rho_S$ est un isomorphisme, d'o� le premier point, avec $\pi_S = (\rho_S)^{-1}$. 

Montrons que $\pi_S([S]_c) = \overline F$. Soit $X\in [S]_c$. Alors $\pi_S(X) = \prod_{s\in X}\overline s$ appartient � $\overline F$, puisque l'�l�ment $\prod_{s\in X}s$ de $W$ est d'ordre 1 ou 2 (donc appartient � $F(W)$). On a donc  $\pi_S([S]_c) \subseteq \overline F$. R�ciproquement, soit $w \in F(W)$. D'apr�s la proposition \ref{tits2}, il existe une partie $S$-sph�rique $X$ (de $S$) telle que $w$ est conjugu� � un �l�ment de $W_X$. Comme $(W,S)$ est � angles droits, on a $X \in [S]_c$ et $w$ est donc conjugu� � un �l�ment $\prod_{s\in Y}s$, pour un certain $Y \subseteq X$. On a alors $Y \in [S]_c$ et $\overline w = \prod_{s\in Y}\overline s = \pi_S(Y)$. On a donc $\overline F \subseteq \pi_S([S]_c)$ et le r�sultat. \qed \\

\begin{rema}\label{relations et singletons}{\bf a.} Si $S'$ est un autre ensemble de Coxeter pour $W$, alors l'application $(\pi_{S'})^{-1}\circ \pi_S$ est un isomorphisme de $[S]$ sur $[S']$ envoyant $[S]_c$ sur $[S']_c$.

{\bf b.} L'isomorphisme $\pi_S$ nous permet d'identifier les groupes $Aut([S])$ et $Aut(W^{ab})$ d'une part, et les groupes $Aut([S],[S]_c)$ et $Aut(W^{ab},\overline F)$ d'autre part. 

{\bf c.} Revenons � la remarque \ref{Rq tilde f} b. On supose ici que $\G$ est � angles droits  ; on montre alors facilement que le groupe $Aut(\G)$ s'identifie pr�cis�ment au sous-groupe de $Aut([S],[S]_c)$ constitu� des �l�ments de $Aut([S],[S]_c)$ qui respectent le cardinal.\\
\end{rema}

\begin{comms}\label{commentaire Aut([S],[S]c)}Identifions $Aut([S],[S]_c)$ et $Aut(W^{ab},\overline F)$ gr�ce � $\pi_S$.

{\bf a.} Pour montrer que la suite $\{1\}\hookrightarrow \ker(\pi_{Aut}) \hookrightarrow Aut(W)\stackrel{\pi_{Aut}}{\longrightarrow} Aut(W^{ab},\overline F) \rightarrow \{1\}$ est exacte et scind�e, J. Tits a d�fini la section de $\pi_{Aut}$ qui � tout $\p \in Aut(W^{ab},\overline F) = Aut([S],[S]_c)$ associe l'automorphisme de $W$ donn� sur $S$ par $s\mapsto \prod_{x \in \p(\{s\})}x$. 

{\bf b.} Via cette section, $Aut([S],[S]_c)$ s'identifie � un sous-groupe de $Aut(W)$ et on a alors $Aut(W) = \ker(\pi_{Aut})\rtimes Aut([S],[S]_c)$. On v�rifie ais�ment que $Aut([S],[S]_c)$ s'identifie pr�cis�ment au sous-groupe de $Aut(W)$ constitu� des automorphismes de $W$ qui stabilisent l'ensemble des �l�ments de support $S$-sph�rique (i.e. la r�union des sous-groupes $S$-sph�riques de $W$).

{\bf c.} Via cette section, on v�rifie facilement que le sous-groupe de $Aut([S],[S]_c)$ identifi� � $Aut(\G)$ comme en remarque \ref{Rq tilde f} b (ou \ref{relations et singletons} c) s'envoie sur le sous-groupe $Aut(W,S)$ de $Aut(W)$ ; on retrouve ainsi l'identification de la remarque \ref{Rq tilde f} a.
\end{comms}

\section{Outils.}\label{partie outils}

\subsection{Ensembles � relations.}\label{defs}

\begin{defi}[Relations]\label{def relations}Nous appelons {\it ensemble � relation}, ou plus simplement {\it relation}, tout couple $(E,R)$ o� $E$ est un ensemble et $R$ une relation binaire sym�trique et r�flexive sur $E$. Autrement dit, $R$ est une partie de $E\times E$ telle que, pour tous $x,~y \in E$, $(x,x)\in R$, et $(x,y)\in R \Longleftrightarrow (y,x)\in R$. On note $xRy$ pour $(x,y) \in R$.

Soient $(E,R)$ et $(E',R')$ deux ensembles � relation. Un {\it isomorphisme de relations} de $(E,R)$ sur $(E',R')$ est une bijection $f : E\stackrel{\sim}{\longrightarrow} E'$ telle que $(f\times f)(R) = R'$. S'il en existe un, on dit que les relations $(E,R)$ et $(E',R')$ sont isomorphes. En particulier, si $(E,R) = (E',R')$, on parle d'{\it automorphismes} de $(E,R)$ et on note $Aut(E,R)$ le groupe qu'ils constituent.\\
\end{defi}

\begin{nota}[La relation associ�e � {\boldmath $\G$}]\label{le relation S}Soit $(W,S)$ un syst�me de Coxeter de type $\G = (m_{s,t})_{s,t\in S}$. On munit $S$ de la relation binaire sym�trique et r�flexive $R_\G = \{(s,t) \in S\times S \mid m_{s,t} = 1 \textrm{ ou } 2\} = \{(s,t) \in S\times S \mid st = ts\}$. \\
\end{nota}

\begin{rema}\label{relation S, cas � angles droits}Soit $W$ un groupe de Coxeter � angles droits.

{\bf a.} Pour $S\in {\cal S}(W)$ et $\G = \G_{(W,S)}$, la relation $R_\G$ d�termine enti�rement $\G$ puisque, pour $s,~t \in S$ distincts, on a les �quivalences suivantes : $m_{s,t} = 2 \Leftrightarrow sR_\G t$, et $m_{s,t} = \infty \Leftrightarrow (s,t) \not \in R_\G$. 

{\bf b.} On voit alors que, pour $S,~S' \in {\cal S}(W)$ et $\G = \G_{(W,S)}$, $\G' = \G_{(W,S')}$, les notions d'isomorphisme (de matrices) de $\G$ sur $\G'$ et d'isomorphisme de relations de $(S,R_\G)$ sur $(S',R_{\G'})$ co�ncident. En particulier, on a $Aut(\G) = Aut(S,R_\G)$.\\
\end{rema}

\begin{defi}[Commutants. Parties commutatives]\label{defs parties commutatives}Soit $(E,R)$ un ensemble � relation. Consid�rons l'application $\fonc{C = C_{(E,R)}}{{\cal P}(E)}{{\cal P}(E)}{X}{\{y\in E \mid \forall x\in X, \ yRx \}}$. 

Pour simplifier, nous notons $C(x)$ l'image $C(\{x\})$ du singleton $\{x\}$ de $E$. Par analogie avec ce qui se passe pour la relation $(S,R_\G)$ associ�e � une matrice de Coxeter $\G$, nous disons que :
\begin{itemize}
\item pour $x,~y\in E$, $x$ et $y$ {\it commutent} lorsque $xRy$ (i.e $x \in C(y)$), 
\item pour $X \subseteq E$, l'image $C(X)$ est le {\it commutant de $X$ (dans $E$)} et $X$ est {\it commutative} si les �l�ments de $X$ commutent deux � deux (c'est-�-dire si $X \subseteq C(X)$),
\end{itemize}
et nous notons ${\cal P}_c(E)$ (resp. $[E]_c$) l'ensemble des parties commutatives de $E$ (resp. des parties commutatives et finies de $E$). \\
\end{defi}

\begin{rema}\label{propri�t�s de C}{\bf a.} $C$ est d�croissante (et donc $C^2$ est croissante) pour l'inclusion.

{\bf b.} Pour tout $X \in {\cal P}(E)$, $X\subseteq C^2(X)$.

{\bf c.} On d�duit des assertions a et b que $C^3 = C$. 

{\bf d.} Pour tout $X \in {\cal P}(E)$, $X$ est commutative $\Longleftrightarrow C^2(X)$ est commutative.

{\bf e.} Pour tout $X \in {\cal P}(E)$, $C(X) = \bigcap_{x\in X}C(x)$.\\
\end{rema}

\begin{nota}\label{relation cal R}Soit $(E,R)$ un ensemble � relation.


Nous notons $R_{\cal P}$ la relation binaire sur ${\cal P}(E)$ donn�e par $XR_{\cal P}Y \Leftrightarrow \forall (x,y) \in X\times Y, \ xRy$. 

On v�rifie que $R_{\cal P}$ est sym�trique (car $R$ l'est) et que, pour $X \in {\cal P}(E)$, on a $XR_{\cal P}X$ si et seulement si $X$ est commutative.\\
\end{nota}

\begin{rema}\label{rems rel Rp}Conservons les notations introduites ci-dessus. 

{\bf a.} Soit ${\cal X} \subseteq {\cal P}_c(E)$. On note encore $R_{\cal P}$ la relation $R_{\cal P}\cap {\cal X}^2$ induite par $R_{\cal P}$ sur $\cal X$. C'est une relation sym�trique et r�flexive, et le couple $({\cal X},R_{\cal P})$ est donc un ensemble � relation. 

{\bf b.} Pour $X,~Y \in {\cal P}_c(E)$, on a $XR_{\cal P}Y \Leftrightarrow (X\cup Y) \in {\cal P}_c(E) \Leftrightarrow (X+Y) \in {\cal P}_c(E)$.\\
\end{rema}

Dans ce qui suit, nous serons amen�s � consid�rer diff�rents ensembles de parties commutatives d'un ensemble � relation $(E,R)$ (cf. d�finitions \ref{defs bicommutants cellules} et \ref{def noyaux}). Cependant nous noterons $R_{\cal P}$, sans plus de pr�cision, les diff�rentes relations associ�es � ces diff�rents ensembles de parties commutatives ; cela ne provoquera pas de difficult� majeure puisque la relation $XR_{\cal P}Y$ signifiera, dans chaque cas, que la r�union $X\cup Y$ est encore commutative.

\subsection{Cellules et noyaux.}\label{Outils. Premi�res propri�t�s.}

Soit $(E,R)$ un ensemble � relation et soit $C = C_{(E,R)}$ (cf. d�finition \ref{defs parties commutatives}).\\

\begin{defi}[Cellules]\label{defs bicommutants cellules}Nous appelons {\it cellules} (de $(E,R)$) les images par $C^2$ des singletons de $E$ et nous notons ${\cal C}(E,R)$ l'ensemble qu'elles constituent. Nous disons plus pr�cis�ment que la cellule $C^2(x)$ est la {\it cellule de $x$} et que $x$ {\it d�finit} la cellule $C^2(x)$. \\
\end{defi}

\begin{comms}\label{cellules Tits}
Soit $X \in {\cal P}_c(E)$. On montre que $C^2(X)$ est l'intersection des parties commutatives maximales de $E$ contenant $X$. En particulier, pour $x \in E$, la cellule $C^2(x)$ est l'intersection des parties commutatives maximales de $E$ contenant $x$. 
C'est sous cette deuxi�me forme que la notion de  cellule d'un �l�ment a �t� introduite par J. Tits dans la partie finale de [T] ($C^2(x)$ y est not� $T(x)$). Lorsque $S$ est infini, la d�finition que l'on donne ici a l'avantage d'�viter d'avoir � utiliser le lemme de Zorn (pour l'existence des parties commutatives maximales). \\
\end{comms}

\begin{rema}\label{remarque bicommutant}{\bf a.} La remarque \ref{propri�t�s de C} b nous montre que, pour tout $x\in E$, on a $x \in C^2(x)$, et la remarque \ref{propri�t�s de C} d nous montre que les cellules sont des parties commutatives de $E$.

{\bf b.} Comme $C^3 = C$ (remarque \ref{propri�t�s de C} c), les cellules sont des points fixes de $C^2$ et on a donc en particulier, pour toute cellule $T$, $x\in T \Longrightarrow C^2(x) \subseteq T$.\\
\end{rema}

\begin{defi}[Noyaux]\label{def noyaux}Notons $\equiv$ la relation d'�quivalence sur $E$ donn�e par $y\equiv z \Longleftrightarrow C^2(y) = C^2(z)$ (ou encore $y\equiv z \Longleftrightarrow C(y) = C(z)$, puisque $C^3 = C$). Nous appelons {\it noyaux} (de $(E,R)$) les classes d'�quivalence de $E$ pour $\equiv$ et nous notons ${\cal N}(E,R)$ l'ensemble qu'ils constituent.\\
\end{defi}

\begin{nota}Soit $T\in {\cal C}(E,R)$. Il est clair que l'ensemble $\{x\in E \mid C^2(x) = T\}$ est un noyau de $(E,R)$ ; on l'appelle {\it le noyau de $T$} et on le note $Noy(T)$ (autrement dit, $Noy(T) = N(x)$ pour tout $x \in E$ tel que $T = C^2(x)$).

Soit $N \in {\cal N}(E,R)$. On appelle {\it cellule de $N$}, et on note $Cel(N)$, la cellule commune aux �l�ments de $N$ (autrement dit, $Cel(N) = C^2(x)$ pour tout $x\in N$). \\
\end{nota}

\begin{rema}\label{props equiv}{\bf a.} Soit $N$ un noyau. On a $N \subseteq Cel(N)$ (gr�ce � la remarque \ref{remarque bicommutant} a). En particulier, les noyaux sont des parties commutatives (i.e. ${\cal N}(E,R) \subseteq {\cal P}_c(E)$). 

{\bf b.} Toute cellule est la r�union (disjointe) des noyaux qu'elle rencontre. 

{\bf c.} Les applications $Cel : {\cal N}(E,R) \rightarrow {\cal C}(E,R)$ et $Noy : {\cal C}(E,R) \rightarrow {\cal N}(E,R)$ sont des bijections inverses l'une de l'autre.\\
\end{rema}

Notons que, les cellules et les noyaux �tant des parties commutatives de $E$, on peut munir chacun des ensembles ${\cal C}(E,R)$ et ${\cal N}(E,R)$ d'une structure d'ensemble � relation, avec la relation ${R_{\cal P}}$ d�finie en notation \ref{relation cal R} (cf. remarque \ref{rems rel Rp} a). Nous avons alors la proposition suivante : \\

\begin{propo}\label{Cellules et noyaux d'un relation r�gulier}Les bijections $Cel$ et $Noy$ d�crites ci-dessus sont des isomorphismes de relations inverses l'un de l'autre.
\end{propo}
\proof Il s'agit de voir que, pour $N, P \in {\cal N}(E,R)$, on a $N{R_{\cal P}}P \Leftrightarrow Cel(N){R_{\cal P}}Cel(P)$. Comme $N\subseteq  Cel(N)$ et $P\subseteq  Cel(P)$, l'implication $Cel(N){R_{\cal P}} Cel(P) \Rightarrow N{R_{\cal P}}P$ est �vidente. 

R�ciproquement, supposons $N {R_{\cal P}} P$. Posons $Cel(N) = C^2(x)$ et $Cel(P) = C^2(y)$, pour $x \in N$ et $y \in P$. On a $xRy$, c'est-�-dire $x \in C(y)$, donc $C^2(y) \subseteq C(x)$, et on veut montrer que, pour tout $x' \in Cel(N) = C^2(x)$ et tout $y'\in Cel(P) = C^2(y)$, on a $x'Ry'$. Comme $y'\in C^2(y)\subseteq C(x)$, on a $C^2(x)\subseteq C(y')$, et comme $x' \in C^2(x)$, on a $x' \in C(y')$, c'est-�-dire $x'Ry'$, d'o� le r�sultat. \qed\\

Donnons � pr�sent une propri�t� importante des noyaux, qui nous servira � la fois pour montrer qu'un groupe de Coxeter � angles droits $W$ est rigide (cf. section \ref{sur les isomorphismes ...}, th�or�me \ref{theor�me principal}) et pour �tudier le groupe $Aut([S],[S]_c)$ (cf. section \ref{premier d�vissage}, proposition \ref{premi�res d�compositions}).\\

\begin{lem}\label{prop noyaux}Pour $N, \ P \in {\cal N}(E,R)$, on a : $ N{R_{\cal P}} P \Longleftrightarrow \exists\,  (x,y)\in N\times P,\  xRy$.
\end{lem}
\proof Le sens direct �tant �vident (par d�finition de $R_{\cal P}$), montrons la r�ciproque.

 Soient $x \in N$, $y \in P$ tels que $xRy$, et soient $x' \in N$, $y' \in P$. On a $C(x) = C(x')$ et $C(y) = C(y')$ par d�finition de $N$ et $P$, et $x \in C(y)$ par hypoth�se sur $x$ et $y$. On a alors $x \in C(y')$, ou encore $y' \in C(x)$ (puisque $R$ est sym�trique), d'o� $y' \in C(x')$, c'est-�-dire $x'Ry'$. On a donc le r�sultat.\qed\\

\begin{propo}\label{isom entre noyaux}Soient $(E,R)$ et $(E',R')$ deux ensembles � relation. Supposons qu'il existe un isomorphisme de relations $\psi$ respectant le cardinal, de $({\cal N}(E,R),{R_{\cal P}})$ sur $({\cal N}(E',R'),{R'_{\cal P}})$. 

Alors toute bijection $f$ de $E$ sur $E'$ d�finie, noyau par noyau, par n'importe quelle bijection de $N \in {\cal N}(E,R)$ sur $\psi (N) \in {\cal N}(E',R')$ est un isomorphisme de relations de $(E,R)$ sur $(E',R')$. 

En particulier, les ensembles � relation $(E,R)$ et $(E',R')$ sont isomorphes.
\end{propo}
\proof  Remarquons que la construction propos�e est possible (gr�ce � l'axiome du choix) car ${\cal N}(E,R)$ (resp. ${\cal N}(E',R')$) est une partition de $E$ (resp. $E'$) et car les noyaux $N$ et $\psi(N)$ ont m�me cardinal par hypoth�se.

Soient $x, ~y \in E$. Notons $N$ (resp. $P$) le noyau de $x$ (resp. $y$). Gr�ce au lemme \ref{prop noyaux} et au fait que $\psi$ est un isomorphisme de relations, on a les �quivalences suivantes : $xRy \Longleftrightarrow N {R_{\cal P}}P \Longleftrightarrow \psi(N)R'_{\cal P}\psi(P) \Longleftrightarrow f(x)R'f(y)$. La bijection $f$ est donc un isomorphisme de relations.\qed 

\subsection{Th�or�me principal.}\label{sur les isomorphismes ...}

Soient $(E,R)$ et $(E',R')$ deux ensembles � relations. Posons, pour simplifier, $C = C_{(E,R)}$, ${\cal C} = {\cal C}(E,R)$, ${\cal N} = {\cal N}(E,R)$ et $C' = C_{(E',R')}$, ${\cal C}' = {\cal C}(E',R')$, ${\cal N}' = {\cal N}(E',R')$.\\

Supposons qu'il existe un isomorphisme $\F_2$-lin�aire $\p$ de $[E]$ sur $[E']$ envoyant $[E]_c$ sur $[E']_c$.\\

\begin{lem}\label{phi isom de rels}Soient $X,~Y \in [E]_c$. Alors $\p(X),~\p(Y)\in [E']_c$ et on a : 
\begin{center}$X\cup Y$ est commutative $\Longleftrightarrow \p(X) \cup \p(Y)$ est commutative.\end{center}
\end{lem}
\proof On suppose $X,~Y \in [E]_c$ et $\p([E]_c) = [E']_c$, donc $\p(X),~\p(Y)\in [E']_c$. De plus, d'apr�s la remarque \ref{rems rel Rp} b, on a $X\cup Y \in [E]_c \Leftrightarrow X+Y \in [E]_c$, et $\p(X) \cup \p(Y)\in [E']_c \Leftrightarrow \p(X) + \p(Y) \in [E']_c$. Enfin, comme $\p$ est un isomorphisme lin�aire envoyant $[E]_c$ sur $[E']_c$, on a $X+Y \in [E]_c \Leftrightarrow \p(X)+\p(Y) \in [E']_c$ et on en d�duit le r�sultat.  \qed \\

\begin{nota}Si $T$ est une cellule d'un ensemble � relation $(E,R)$, nous posons $T^\star = T\setminus Noy(T) = \{x\in E \mid C^2(x) \varsubsetneq T\}$ et nous notons $V_T$ l'espace vectoriel quotient $[T]/[T^\star]$.\\
\end{nota}

\begin{propo}\label{sous-espaces [T] permut�s}Conservons les notations introduites ci-dessus. 
\begin{enumerate}
\item Soit $x\in E$. Il existe $x'\in \p(\{x\})$ tel que $x \in \p^{-1}(\{x'\})$ et, pour tout tel $x'$, on a $\p([C^2(x)]) = [C'^2(x')]$.
\item Soit $T \in {\cal C}$ et soit $T'$ l'unique �l�ment de ${\cal C}'$ tel que $\p([T]) = [T']$. Alors $\p([T^\star]) = [T'^\star]$ et $\p$ induit donc un isomorphisme $\bar \p_T : V_T \stackrel{\sim}{\longrightarrow} V_{T'}$ donn� par $X + [T^\star] \longmapsto \p(X) + [T'^\star]$.
\end{enumerate}
\end{propo}
\proof Montrons la premi�re assertion. L'existence de $x'\in \p(\{x\})$ tel que $x \in \p^{-1}(\{x'\})$ r�sulte des �galit�s $\{x\} = \p^{-1}(\p(\{x\})) = \p^{-1}(\sum_{x'\in \p(\{x\})}\{x'\}) = \sum_{x'\in \p(\{x\})}\p^{-1}(\{x'\})$ et du fait que l'on a $\Sigma_{x'\in \p(\{x\})}\p^{-1}(\{x'\})\subseteq \bigcup_{x'\in \p(\{x\})}\p^{-1}(\{x'\})$.

Pour montrer l'inclusion $\p([C^2(x)]) \subseteq  [C'^2(x')]$, il suffit de montrer que, pour tout $y\in C^2(x)$, on a $\p(\{y\}) \in [C'^2(x')]$, c'est-�-dire que, pour tout $y' \in C'(x')$, la partie $\{y'\} \cup \p(\{y\})$ est commutative. Soient donc $y\in C^2(x)$ et $y' \in C'(x')$. Les �l�ments $x'$ et $y'$ commutent (i.e. $\{x'\}\cup \{y'\}$ est commutative), donc, par le lemme pr�c�dent, $\p^{-1}(\{x'\})\cup \p^{-1}(\{y'\})$ est une partie commutative, qui de plus contient $x$ (par hypoth�se sur $x'$). On en d�duit que l'on a $\p^{-1}(\{y'\}) \subseteq C(x)$, donc que $\p^{-1}(\{y'\})\cup \{y\}$ est commutative (puisque $y \in C^2(x)$), et donc (gr�ce au lemme pr�c�dent) que $\{y'\} \cup \p(\{y\})$ est �galement commutative. Puisque les r�les jou�s par $(\p,x)$ et $(\p^{-1},x')$ sont sym�triques, on obtient de la m�me fa�on l'inclusion $\p^{-1}([C'^2(x')]) \subseteq  [C^2(x)]$ et donc $\p([C^2(x)]) = [C'^2(x')]$.  

Montrons la seconde assertion. D'apr�s le premier point, pour $T \in {\cal C}$, il existe $T' \in {\cal C}'$ tel que $\p([T]) = [T']$, et un tel $T'$ est n�cessairement unique puisque si $X_1$ et $X_2$ sont deux ensembles tels que $[X_1] = [X_2]$, alors on a clairement $X_1 = X_2$.

Soit $y \in T^\star$. D'apr�s le premier point, $\p([C^2(y)])$ est l'ensemble des parties finies d'une cellule $U'$ de $(E',R')$ n�cessairement strictement incluse dans $T'$, puisque $C^2(y) \varsubsetneq T$ (donc $[C^2(y)] \varsubsetneq [T]$). On a donc $\p(\{y\}) \in [U'] \subseteq [T'^\star]$, ce qui montre l'inclusion $\p([T^\star]) \subseteq [T'^\star]$. L'autre inclusion se d�montre de la m�me fa�on, � partir de $\p^{-1}$, et on a donc $\p([T^\star]) = [T'^\star]$. La fin de l'assertion s'en d�duit imm�diatement. \qed \\

\begin{nota}\label{nota phiC}On d�duit de la proposition pr�c�dente que l'isomorphisme lin�aire $\p : [E] \stackrel{\sim}{\longrightarrow} [E']$ envoie de fa�on bijective (en respectant l'inclusion et la dimension) l'ensemble des sous-espaces de $[E]$ de la forme $[T]$, o� $T\in {\cal C}$, sur l'ensemble des sous-espaces de $[E']$ de la forme $[T']$, o� $T'\in {\cal C}'$. L'isomorphisme $\p$ induit donc une bijection $\p_{\cal C}$ de ${\cal C}$ sur ${\cal C}'$ donn�e par : 
$$\bij{\p_{\cal C}}{\cal C}{{\cal C}'}{T}{T'},\ \textrm{  o�   } \p([T]) = [T'].$$
\end{nota}

\begin{propo}\label{prop phiC}Conservons les notations introduites ci-dessus. 

La bijection $\p_{\cal C}$ est un isomorphisme de relations de $({\cal C},R_{\cal P})$ sur $({\cal C}',R'_{\cal P})$.
\end{propo}
\proof Soient $T,~U \in {\cal C}$ et soient $T' = \p_{\cal C}(T)$, $U' = \p_{\cal C}(U) \in {\cal C}'$. Il s'agit de montrer que l'on a $TR_{\cal P}U \Leftrightarrow T'R'_{\cal P}U'$, c'est-�-dire que $T\cup U$ est commutative si et seulement si $T'\cup U'$ l'est. Supposons $T'\cup U'$ commutative et soit $(t,u)\in T\times U$. La partie $\p(\{t\}) \cup \p(\{u\})$ de $E'$ est incluse dans $T'\cup U'$ donc est commutative et, d'apr�s le lemme \ref{phi isom de rels}, on a donc $tRu$. Comme ceci est vrai pour tout $(t,u)\in T\times U$, on a $TR_{\cal P}U$ et l'implication $T'R'_{\cal P}U' \Rightarrow TR_{\cal P}U$ est donc d�montr�e. L'autre implication se d�montre de la m�me fa�on, en utilisant $\p^{-1}$.\qed \\

Donnons � pr�sent le point cl� de la d�monstration du th�or�me \ref{Les groupes de Coxeter � angles droits sont rigides} : \\

\begin{theo}\label{theor�me principal}Soient $(E,R)$ et $(E',R')$ deux ensembles � relations et soit $\p$ un isomorphisme de $[E]$ sur $[E']$ envoyant $[E]_c$ sur $[E']_c$.
\begin{enumerate}
\item L'isomorphisme $\p$ induit un isomorphisme de relations qui respecte le cardinal $$\fonc{\p_{\cal N}}{({\cal N},{R_{\cal P}}) }{({\cal N}',{R'_{\cal P}})}{N}{N'},\ \textrm{  o�  } \p([Cel(N)]) = [Cel(N')].$$

\item Les ensembles � relation $(E,R)$  et $(E',R')$ sont isomorphes.
\end{enumerate}
\end{theo}
\proof %Gr�ce au premier point de la proposition pr�c�dente et � la proposition \ref{Cellules et noyaux d'un relation r�gulier}, on voit que $\p$ induit un isomorphisme de relations $\p_{\cal N}$ de $({\cal N}(E,R),{R_{\cal P}})$ sur $({\cal N}(E',R'),{R'_{\cal P}})$ donn� par le diagramme suivant : 
%$$\begin{CD}
%({\cal C}(E,R),{R_{\cal P}}) @>\sim>\p_{\cal C}> ({\cal C}(E',R'),{R'_{\cal P}})\\
%@A{Cel}AA         @V V{Noy}V \\
%({\cal N}(E,R),{R_{\cal P}}) @>\sim>\p_{\cal N}> ({\cal N}(E',R'),{R'_{\cal P}})
%\end{CD}$$
Le fait que l'application $\p_{\cal N}$ d�finie en 1 soit un isomorphisme de relations r�sulte des propositions \ref{Cellules et noyaux d'un relation r�gulier} et \ref{prop phiC}, puisque l'on a $\p_{\cal N} = Noy \circ \p_{\cal C} \circ Cel$ avec les isomorphismes de relations $Cel : ({\cal N},{R_{\cal P}}) \stackrel{\sim}{\longrightarrow} ({\cal C},{R_{\cal P}})$, $\p_{\cal C} : ({\cal C},{R_{\cal P}}) \stackrel{\sim}{\longrightarrow} ({\cal C}',{R'_{\cal P}})$ et $Noy : ({\cal C}',{R'_{\cal P}})\stackrel{\sim}{\longrightarrow} ({\cal N}',{R'_{\cal P}})$.

Montrons que $\p_{\cal N}$ respecte le cardinal. Soient $N \in {\cal N}$ et $N' = \p_{\cal N}(N)\in {\cal N}'$. Posons $T = Cel(N)$ et $T' = Cel(N')$. On a $\p([T] = [T']$. D'apr�s la seconde assertion de la proposition \ref{sous-espaces [T] permut�s}, les espaces vectoriels $V_{T}$ et $V_{T'}$ sont isomorphes (via $\bar \p_{T}$) et ont donc m�me dimension. Or $T$ est la r�union disjointe de $N$ et de $T^\star$, donc $[T] = [N]\oplus [T^\star]$ et les espaces vectoriels $[N]$ et $V_{T} = [T]/[T^\star]$ sont donc isomorphes. De m�me, les espaces vectoriels $[N']$ et $V_{T'}$ sont isomorphes et on a le r�sultat puisque l'espace vectoriel $[N]$ (resp. $[N']$), qui admet pour base l'ensemble des singletons de $N$ (resp. de $N'$) est de dimension $Card(N)$ (resp. $Card(N')$).

Le second point r�sulte du premier et de la proposition \ref{isom entre noyaux}.\qed 

\section{Sur la rigidit� des groupes de Coxeter � angles droits.}\label{Probl�mes d'isomorphie}

\subsection{Les groupes de Coxeter � angles droits sont rigides.}\label{Conclusion rigidit�.}

\begin{defi}[Rigidit�]\label{defs rigidit�}Soit $W$ un groupe de Coxeter. 

On dit que $W$ est {\it rigide} lorsque tous les types admis par $W$ sont isomorphes, autrement dit lorsque, pour tous $S,~S' \in {\cal S}(W)$, il existe $\a \in Aut(W)$ tel que $\a(S) = S'$.\\
\end{defi}

Les r�sultats obtenus dans la partie pr�c�dente nous permettent de d�montrer le th�or�me \ref{Les groupes de Coxeter � angles droits sont rigides} annonc� en introduction : \\

\begin{theo}\label{Les groupes de Coxeter � angles droits sont rigides}Les groupes de Coxeter � angles droits sont rigides.
\end{theo}
\proof Soit $W$ un groupe de Coxeter � angles droits et soient $S, ~ S'\in {\cal S}(W)$. Notons $\G$ et $\G'$ les types respectifs des syst�mes $(W,S)$ et $(W,S')$ ; ce sont des matrices de Coxeter � angles droits (cf. section \ref{Le cas � angles droits.}). Consid�rons les relations $(S,R)$ et $(S',R')$ associ�es aux syst�mes $(W,S)$ et $(W,S')$ respectivement : on a $R = \{(s,t) \in S\times S \mid st = ts\}$ et $R' = \{(s',t') \in S'\times S' \mid s't' = t's'\}$.

D'apr�s la proposition \ref{isom de [S] sur[S'] envoyant [S]c sur[S']c}, il existe un isomorphisme de $[S]$ sur $[S']$ envoyant $[S]_c$ sur $[S']_c$ (par exemple l'isomorphisme $(\pi_{S'})^{-1} \circ \pi_S$ de la remarque \ref{relations et singletons} a). On en d�duit, gr�ce au th�or�me \ref{theor�me principal}, que les relations $(S,R)$ et $(S',R')$ sont isomorphes. Comme les matrices $\G$ et $\G'$ sont � angles droits, un isomorphisme de relations de $(S,R)$ sur $(S',R')$ est un isomorphisme de $\G$ sur $\G'$ (cf. remarque \ref{relation S, cas � angles droits} b). On a donc le r�sultat. \qed

\subsection{Sur la rigidit� forte.}\label{Notions de rigidit�.}

\begin{defi}[Rigidit� forte]\label{def rigidit� forte}Soit $W$ un groupe de Coxeter.

On dit que $W$ est {\it fortement rigide} lorsque, pour tous $S, ~S' \in {\cal S}(W)$, il existe $w \in W$ tel que $wSw^{-1} = S'$ (c'est-�-dire qu'il existe un automorphisme int�rieur envoyant $S$ sur $S'$).\\
\end{defi}

\begin{rema}\label{notions de rigidit�}Soient $W$ un groupe de Coxeter, $S\in {\cal S}(W)$ et $\G = \G_{(W,S)}$. Identifions $Aut(\G)$ et $Aut(W,S)$ (comme en remarque \ref{Rq tilde f} a). 

{\bf a.} On v�rifie facilement que l'on a la caract�risation  : 
$$W  \textrm{  est fortement rigide  } \Longleftrightarrow W  \textrm{  est rigide et  } Aut(W) = Int(W) \cdot Aut(\G).$$

{\bf b.} Supposons $W$ � angles droits.

Alors $W$ est rigide, d'apr�s le th�or�me \ref{Les groupes de Coxeter � angles droits sont rigides}. De plus, on a $Aut(W) = \ker(\pi_{Aut}) \rtimes Aut([S],[S]_c)$ ([T], Corollaire 1, ou commentaires \ref{commentaire Aut([S],[S]c)} b  et \ref{commentaire Aut([S],[S]c)} c ci-dessus) , avec $Aut(\G) \subseteq Aut([S],[S]_c)$ (remarque \ref{Rq tilde f} b ou \ref{relations et singletons} c) et clairement $Int(W) \subseteq \ker(\pi_{Aut})$. La caract�risation de la rigidit� forte de l'assertion a ci-dessus se traduit donc dans ce cas par :
$$W \textrm{  est fortement rigide  } \Longleftrightarrow \ker(\pi_{Aut}) = Int(W) \textrm{  et  } Aut(([S],[S]_c)) = Aut(\G).$$\\
\end{rema}

\begin{comms}\label{commentaires rigidit� forte}Soit $(W,S)$ un syst�me de Coxeter � angles droits de type $\G$. %On identifie $Aut([S],[S]_c)$ � un sous-groupe de $Aut(W)$ de sorte que $Aut(W) = \ker(\pi_{Aut}) \rtimes Aut([S],[S]_c)$.

{\bf a.} Notons ${^W\negthickspace S}$ l'ensemble des conjugu�s des �l�ments de $S$ dans $W$. Le corollaire 1 de [T] montre en particulier que l'on a $\ker(\pi_{Aut}) \subseteq Aut(W,{^W\negthickspace S})$. De plus, on v�rifie que l'on a $Aut([S],[S]_c)\cap Aut(W,{^W\negthickspace S}) = Aut(\G)$. On en d�duit la caract�risation $Aut(([S],[S]_c)) = Aut(\G) \Leftrightarrow Aut(W) = Aut(W,{^W\negthickspace S})$.

{\bf b.} Lorsque $W$ est de rang {\it fini}, on peut, par des consid�rations simples sur $\G$ (ou sur son graphe), d�terminer si $W$ est fortement rigide ou non. En effet, on a :  
\begin{enumerate}
\item $\ker(\pi_{Aut}) = Int(W) \Leftrightarrow \forall s\in S,\ \forall t,~u \in S\setminus C(s), \ \exists \ t_0 = t,~t_1,~\ldots,~t_n = u \in S\setminus C(s)$ tels que $t_{i-1}$ et $t_i$ commutent, pour $1\leq i \leq n$ (cf. [M], corollaire du th�or�me principal),
\item $Aut(([S],[S]_c)) = Aut(\G) \Leftrightarrow \forall s\in S, \ C^2(s) = \{s\}$ (cf. [BM], th�or�me 5.1, appliqu� aux groupes de Coxeter � angles droits et de rang fini, et les commentaires \ref{cellules Tits} et \ref{commentaires rigidit� forte} a).
\end{enumerate}
Ces conditions apparaissent aussi dans [BMMN] (th�or�me 4.10).

{\bf c.} Lorsque $W$ est � angles droits et de rang infini, la condition �nonc�e en b 1 est n�cessaire, pour avoir $\ker(\pi_{Aut}) = Int(W)$, mais n'est pas suffisante (cf. [T], proposition 5 et remarque finale de la partie 3). \\
\end{comms}

La proposition \ref{caract} ci-dessous montre que la caract�risation du commentaire \ref{commentaires rigidit� forte} b 2 est encore valable pour les groupes de Coxeter � angles droits de rang {\it infini}. C'est un r�sultat qui d�coule �galement de l'�tude g�n�rale du groupe $Aut(([S],[S]_c))$ que nous effectuons dans la partie suivante (cf. remarque \ref{remarque finale} c ci-dessous).\\

\begin{nota}\label{automs �l�mentaires}Soient $s \in S$ et $t \in C^2(s)$, $t\not= s$. Nous notons $\a_{s,t}$ l'endomorphisme $\F_2$-lin�aire de $[S]$ donn� par $\a_{s,t}(\{x\}) = \{x\}$ si $x\in S\setminus \{ s\}$, et $\a_{s,t}(\{s\}) = \{s,t\}$. \\
\end{nota}

\begin{rema}\label{rems automs �l�ms}{\bf a.} Comme $\a_{s,t}$ est clairement involutif, c'est un �l�ment de $Aut([S])$.

{\bf b.} On a en fait $\a_{s,t} \in Aut([S],[S]_c)$. En effet, pour $X \in [S]_c$, on a soit $\a_{s,t}(X) = X \in [S]_c$ si $s \not \in X$, soit $\a_{s,t}(X) = X + \{t\}$ si $s\in X$, auquel cas $t \in C^2(s) \subseteq C^2(X) \subseteq C(X)$ (la derni�re inclusion est v�rifi�e car, $X$ �tant commutative, on a $X \subseteq C(X)$) et donc $X + \{t\} \in [S]_c$ ; ceci montre l'inclusion $\a_{s,t}([S]_c) \subseteq [S]_c$, et comme $\a_{s,t}$ est involutif, on a le r�sultat.\\
\end{rema}

\begin{comms}{\bf a.} La matrice de $\a_{s,t}$ dans la base ${\cal E}(S) = \{\{x\} \mid x \in S\}$ de $[S]$ est une matrice de transvection �l�mentaire.

{\bf b.} Les automorphismes $\a_{s,t}$, vus comme �l�ments de $Aut(W)$, apparaissent sous une forme plus g�n�rale dans [BM] (lemme 6.1).\\
\end{comms}

\begin{propo}\label{caract}Soit $(W,S)$ un syst�me de Coxeter � angles droits de type $\G = \G_{(W,S)}$. On a $$Aut([S],[S]_c) = Aut(\G) \Longleftrightarrow \forall s\in S, \  C^2(s) = \{s\}.$$
\end{propo}
\proof Supposons que, pour tout $s\in S$, $C^2(s) = \{s\}$. La proposition \ref{sous-espaces [T] permut�s} nous montre alors que les sous-espaces de $[S]$ de la forme $[\{s\}] = \{\emptyset,\{s\}\}$, o� $s \in S$, sont permut�s entre eux par les �l�ments de $Aut([S],[S]_c)$. Comme ces �l�ments sont des automorphismes de $[S]$, ils fixent $\emptyset$ (�l�ment neutre de $[S]$) et permutent donc entre eux les singletons de $S$. On en d�duit que $Aut([S],[S]_c) \subseteq Aut(\G)$ (cf. remarque \ref{relations et singletons} c).

R�ciproquement, supposons qu'une cellule $C^2(s)$ contienne un �l�ment $t \not = s$, et consid�rons l'endomorphisme $\a_{s,t}$ de $[S]$ d�fini en notation \ref{automs �l�mentaires}. C'est un �l�ment de $Aut([S],[S]_c)$, d'apr�s la remarque \ref{rems automs �l�ms} b, qui n'appartient pas � $Aut(\G)$, puisqu'il ne respecte pas le cardinal. On a donc $Aut(\G) \varsubsetneq Aut([S],[S]_c)$ et le r�sultat. \qed 

\section{Le groupe {\boldmath $Aut(W^{ab},\overline F) = Aut([S],[S]_c)$}.}\label{description de Aut(F)}

Soit $W$ un groupe de Coxeter � angles droits. Le but de cette partie est d'�tudier le groupe $Aut(W^{ab},\overline F)$ intervenant dans la d�composition $Aut(W) = \ker(\pi_{Aut}) \rtimes Aut(W^{ab},\overline F)$ �tablie par J. Tits dans [T]. \\

Fixons $S \in {\cal S}(W)$ et notons $\G = \G_{(W,S)}$ le type de $(W,S)$. Nous identifions $Aut(W^{ab},\overline F)$ � $Aut([S],[S]_c)$ comme en remarque \ref{relations et singletons} b. C'est pr�cis�ment ce groupe $Aut([S],[S]_c)$ que nous �tudions dans ce qui suit, notamment gr�ce aux r�sultats de la section \ref{sur les isomorphismes ...} (appliqu�s au cas particulier o� $S = S'$). \\

Pour all�ger les �nonc�s, nous posons $R = R_\G$, $C = C_{(S,R)}$, ${\cal C} = {\cal C}(S,R)$ et ${\cal N} = {\cal N}(S,R)$.

\subsection{Les sous-groupes {\boldmath $Aut(\G)$} et {\boldmath $K(\G)$}. D�vissage de {\boldmath $Aut([S],[S]_c)$}.}\label{premier d�vissage}

Notons $Aut({\cal N},{R_{\cal P}},Card)$ le sous-groupe de $Aut({\cal N},{R_{\cal P}})$ constitu� des automorphismes de la relation $({\cal N},{R_{\cal P}})$ qui respectent le cardinal. Le th�or�me \ref{theor�me principal} nous montre en particulier que tout $\p \in Aut([S],[S]_c)$ induit un �l�ment $\p_{\cal N}$ de $Aut({\cal N},{R_{\cal P}},Card)$, donn�, pour $N\in {\cal N}$, par $N\mapsto N' (\in {\cal N})$, o� $\p([Cel(N)]) = [Cel(N')]$.\\

\begin{nota}[Le groupe {\boldmath $K(\G)$}]Notons $\t$ l'application $ Aut([S],[S]_c)\rightarrow Aut({\cal N},{R_{\cal P}},Card)$, $\p \mapsto \p_{\cal N}$. On v�rifie facilement que $\t$ est un morphisme de groupes. Nous notons $K(\G)$ son noyau.\\
\end{nota}

Rappelons que l'on a $Aut(\G) = Aut(S,R)$ (cf. remarque \ref{relation S, cas � angles droits} a). On a vu en remarque \ref{relations et singletons} c que le groupe $Aut(\G)$ s'identifie, via $\s \longmapsto (X \mapsto \s(X))$, au sous-groupe de $Aut([S],[S]_c)$ constitu� des �l�ments de $Aut([S],[S]_c)$ qui respectent le cardinal. On note encore $\s$ l'�lement $X \mapsto \s(X)$ de $Aut([S],[S]_c)$.

Soit $\s \in Aut(\G)$. On v�rifie que, pour tout $X \in [S]$, on a $\s([X]) = [\s(X)]$ et $C(\s(X)) = \s(C(X))$. L'automorphisme $\s$ permute donc les noyaux (de m�me cardinal) de $(S,R)$ et l'on voit que l'�l�ment $\t(\s) = \s_{\cal N}$ de $Aut({\cal N},{R_{\cal P}},Card)$ est simplement donn� par $N \mapsto \s(N)$.\\

\begin{nota}Soit $\Omega$ l'ensemble des classes d'�quivalence de ${\cal N}$ pour la relation $Card(N) = Card(P)$. Pour $\omega \in \Omega$, fixons une fois pour toutes un repr�sentant $N_\omega$ de la classe $\omega$ et, pour tout $N\in \omega$, une bijection $\s_{\omega,N} : N_\omega \longrightarrow N$ (il en existe une, puisque $Card(N_\omega) = Card(N)$).

Pour $\psi \in Aut({\cal N},{R_{\cal P}},Card)$, nous d�finissons la permutation $\s_\psi$ de $S$, noyau par noyau, de la mani�re suivante : si $N \in {\cal N}$ et si $\omega$ est la classe de $N$ (et de $\psi(N)$), alors $\s_\psi$ est donn� de $N$ sur $\psi(N)$ par $\s_{\omega,\psi(N)}\circ (\s_{\omega,N})^{-1}$. On note $G$ l'ensemble des $\s_\psi$, pour $\psi \in Aut({\cal N},{R_{\cal P}},Card)$.\\
\end{nota}

\begin{propo}\label{premi�res d�compositions}Pour $\psi \in Aut({\cal N},{R_{\cal P}},Card)$, on a $\s_\psi \in Aut(\G)$. De plus, l'application $\psi \mapsto \s_\psi$ est un morphisme de groupes et une section de $\t$. En particulier, $G$ est un sous-groupe de $Aut(\G)$ et on a les d�compositions : 
$$Aut([S],[S]_c) = K(\G) \rtimes G\ \textrm{  et  } \ Aut(\G) = (K(\G)\cap Aut(\G)) \rtimes G$$
%$$\{1\}\hookrightarrow K(\G) \hookrightarrow Aut([S],[S]_c) \stackrel{\t}{\rightarrow} G \rightarrow \{1\} \textrm{ et }\{1\}\hookrightarrow (K(\G)\cap Aut(\G)) \hookrightarrow Aut(\G) \stackrel{\t_{\mid Aut(\G)}}{\longrightarrow} G \rightarrow \{1\}$$
%sont exactes et scind�es.
\end{propo}
\proof La proposition \ref{isom entre noyaux} nous montre que, pour $\psi \in Aut({\cal N},{R_{\cal P}},Card)$, la  permutation $\s_\psi$ de $S$ appartient � $Aut(\G)$. De plus, vu la d�finition des $\s_\psi$, l'application $Aut({\cal N},{R_{\cal P}},Card) \rightarrow Aut(\G),\ \psi \mapsto \s_\psi$ est un morphisme de groupes et $\s_\psi$ s'envoie sur $\psi$ par $\t$, d'o� le r�sultat. \qed \\

%On a donc, en identifiant $G$ au sous-groupe $\{\s_\psi \mid \psi \in G\}$ de $Aut(\G)$, via $\psi \mapsto \s_\psi$, les d�compositions $Aut([S],[S]_c) = K(\G) \rtimes G$ et $Aut(\G) = (K(\G)\cap Aut(\G)) \rtimes G$. 

Dans les sections suivantes, nous explicitons le groupe $K(\G)$. D�crivons pour le moment le groupe $K(\G)\cap Aut(\G)$ : \\

\begin{propo}\label{intersection de Aut(G) et K}Soient $\s \in K(\G)\cap Aut(\G)$ et $N \in {\cal N}$. Alors l'automorphisme $\s$ induit (par restriction) une permutation $\s_{| N}$ de $N$. 

De plus, l'application $\rho_1 : K(\G)\cap Aut(\G) \rightarrow \prod_{N\in {\cal N}}Perm(N)$, $\s \mapsto (\s_{| N})_{N\in {\cal N}}$ est un isomorphisme de groupes.
\end{propo}
\proof On sait que tout �l�ment $\s$ de $Aut(\G)$ permute les noyaux et induit donc une bijection de $N$ sur $\s(N)$. Si, de plus, $\s \in K(\G)$, alors $\s(N) = N$ et la permutation $\s_{|N}$ est bien d�finie. On v�rifie facilement que $\s \longmapsto (\s_{| N})_{N\in {\cal N}}$ est un morphisme de groupes injectif (puisque ${\cal N}$ est une partition de $S$). De plus, si $(\s_{N})_{N\in {\cal N}}$ est un �l�ment de $\prod_{N\in {\cal N}}Perm(N)$, alors, d'apr�s la proposition \ref{isom entre noyaux}, la permutation de $S$ d�finie noyau par noyau par $\s_N : N \longrightarrow N$, pour tout $N\in {\cal N}$, appartient � $Aut(\G)$ (c'est le cas particulier o� $\psi = Id_{{\cal N}}$). On voit donc que le morphisme $\s \longmapsto (\s_{| N})_{N\in {\cal N}}$ est surjectif. \qed

\subsection{Les sous-groupes {\boldmath $D(\G)$} et {\boldmath $K^\circ(\G)$}. D�vissage de {\boldmath $K(\G)$}.}\label{le groupe K}

Comme ${\cal N}$ est une partition de $S$, on a $[S] = \oplus_{N\in {\cal N}}[N]$.\\

\begin{propo}\label{caract de F et K}%Dans la d�composition $[S] = \oplus_{N\in {\cal N}}[N]$,
L'ensemble $[S]_c$ est l'ensemble des sommes (finies) $\sum_{N \in {\cal N}}X_N$ o�, pour tout $N \in {\cal N}$, $X_N \in [N]$, et o� $\{N \in {\cal N} \mid X_N \not= \emptyset\}$ est fini et de r�union commutative (i.e. form� de noyaux deux � deux en relation ${R_{\cal P}}$). On en d�duit que l'on a :
$$K(\G) = \{\p \in Aut([S]) \mid \forall ~T\in {\cal C}, \ \p([T]) = [T]\}.$$
\end{propo}
\proof Toute telle somme $\sum_{N \in {\cal N}}X_N$ est une partie commutative finie de $S$ et appartient donc � $[S]_c$. R�ciproquement, si $X \in [S]_c$, alors, dans la d�composition $[S] = \oplus_{N\in {\cal N}}[N]$, $X$ s'�crit $X = \sum_{1\leq k \leq n}X_k$, o�, pour tout $k$, $X_k$ est une partie finie non vide d'un noyau $N_k$ et o�, d'apr�s le lemme \ref{prop noyaux}, les noyaux $N_k$ sont deux � deux en relation ${R_{\cal P}}$.

Comme $K(\G)$ est par d�finition le noyau de $\t$, pour tout �l�ment $\p $ de $ K(\G)$ et tout $T\in {\cal C}$, on a $\p([T]) = [T]$. R�ciproquement, il s'agit de montrer que, si $\p \in Aut([S])$ satisfait � $\p([T]) = [T]$ pour tout $T\in {\cal C}$, alors $\p([S]_c) = [S]_c$. Or si $N$ est un noyau de $S$ et si $X \in [N]$, on a $\p(X) \in [Cel(N)] \subseteq [S]_c$ ; comme on sait que deux noyaux $N$ et $P$ sont en relation ${R_{\cal P}}$ si et seulement si les cellules $Cel(N)$ et $Cel(P)$ le sont (cf. proposition \ref{Cellules et noyaux d'un relation r�gulier}), la caract�risation de $[S]_c$ obtenue ci-dessus permet de conclure que l'on a $\p([S]_c) \subseteq [S]_c$. Le m�me raisonnement appliqu� � $\p^{-1}$ nous fournit $\p^{-1}([S]_c)\subseteq [S]_c$ et on a donc le r�sultat. \qed\\

\begin{nota}[Le sous-groupe {\boldmath $D(\G)$}]\label{def le groupe D}Posons 
$$D(\G) = \{\p \in Aut([S]) \mid \forall ~N\in {\cal N}, \ \p([N]) = [N]\}.$$ %le sous-groupe de $Aut([S])$ constitu� des automorphismes de $[S]$ qui, pour tout $N\in {\cal N}$, stabilisent le sous-espace $[N]$ de $[S]$. 
Comme $[S] = \oplus_{N\in {\cal N}}[N]$, il est clair que $D(\G)$ s'identifie � $\prod_{N\in {\cal N}}Aut([N])$, via l'isomorphisme $\rho_2 : \p \longmapsto (\p_{|[N]})_{N\in {\cal N}}$.\\
\end{nota}

\begin{propo}Le sous-groupe $D(\G)$ de $Aut([S])$ est inclus dans $K(\G)$.
\end{propo}
\proof D'apr�s la proposition pr�c�dente, il suffit de v�rifier que, pour tout $\p \in D(\G)$ et tout $T \in {\cal C}$, on a $\p([T]) = [T]$. Or toute cellule $T$ est la r�union des $N(s)$, pour $s\in T$ (remarque \ref{props equiv} c), donc $[T] = \sum_{s\in T}[N(s)]$ et on en d�duit le r�sultat.\qed \\

\begin{nota}[Le sous-groupe {\boldmath $K^\circ(\G)$}]\label{Le groupe Krond}Soit $T \in {\cal C}$. On rappelle que $V_T$ d�signe l'espace vectoriel quotient $[T]/[T^\star]$. D'apr�s la proposition \ref{sous-espaces [T] permut�s}, tout �l�ment $\p$ de $K(\G)$ induit un automorphisme $\bar \p_T$ de l'espace vectoriel quotient $V_T$, donn� par $\bar \p_T : \overline X = X + [T^\star] \longmapsto \overline {\p(X)} = \p(X) + [T^\star]$. 

L'application $\rho_3 : \p \longmapsto (\bar\p_T)_{T\in {\cal C}}$ est clairement un morphisme de groupes de $K(\G)$ dans $\prod_{T\in {\cal C}}Aut(V_T)$. On note $K^\circ(\G)$ son noyau. On a $$K^\circ(\G) = \{\p \in K(\G) \mid \forall ~s\in S, \ \p(\{s\}) \in \{s\} + [(C^2(s))^\star]\}.$$
\end{nota}

\begin{propo}\label{decomposition K(Gamma)}La restriction de $\rho_3$ � $D(\G)$ est bijective. On a donc en particulier la d�composition $K(\G) = K^\circ(\G) \rtimes D(\G)$.
\end{propo}
\proof Soient $N\in {\cal N}$ et $T = Cel(N)$. Comme $T$ est la r�union disjointe de $N$ et de $T^\star$, on a la d�composition $[T] = [N] \oplus [T^\star]$, et le morphisme $X \longmapsto \overline X = X + [T^\star]$ est donc un isomorphisme de $[N]$ sur $V_T$. Si l'on identifie $[N]$ � $V_T$ (et $Aut([N])$ � $Aut(V_T)$) via cet isomorphisme, alors la restriction de $\rho_3$ � $D(\G)$ s'identifie � l'isomorphisme $\rho_2 : \p \longmapsto (\p_{|[N]})_{N\in {\cal N}}$ de $D(\G)$ sur $\prod_{N\in {\cal N}}Aut([N])$ (cf. notation \ref{def le groupe D}). On a donc le r�sultat. \qed \\

\begin{comms}\label{exemples d'�l�ments de D et Kz�ro}{\bf a.} On a $K(\G) \cap Aut(\G) \subseteq D(\G)$. De plus, l'isomorphisme $\rho_1$ de la proposition \ref{intersection de Aut(G) et K} est induit par l'isomorphisme $\rho_2$ si l'on identifie, pour tout $N\in {\cal N}$, $Perm(N)$ � un sous-groupe de $Aut([N])$, comme en remarque \ref{Rq tilde f} b.

{\bf b.} Soient $s \in S$ et $t \in C^2(s)$, $t\not= s$. Alors l'�l�ment $\a_{s,t}$ de $Aut([S],[S]_c)$, d�fini en notation \ref{automs �l�mentaires} (cf. remarque \ref{rems automs �l�ms} b), appartient � $D(\G)$ ou � $K^\circ(\G)$ selon que $C^2(t) = C^2(s)$ ou que $C^2(t) \varsubsetneq C^2(s)$.
\end{comms}

\subsection{\'Etude du groupe {\boldmath $K^\circ(\G)$}.}\label{K0}

\subsubsection{Sous-groupes de {\boldmath $K^\circ(\G)$}.}\label{sous-groupes de Kz�ro}

Les r�sultats de cette section \ref{sous-groupes de Kz�ro} sont valables pour le groupe $K(\G)$ (en rempla�ant syst�matiquement $K^\circ$ par $K$ dans les �nonc�s qui suivent). Cependant, comme ils ne nous serviront qu'� d�crire le groupe $K^\circ(\G)$, c'est dans ce cadre que nous les pr�sentons. \\
 
\begin{defi}[Support]Soit $End([S])$ l'ensemble des endomorphismes de l'espace vectoriel $[S]$. Pour $\p \in End([S])$, on appelle {\it support de $\p$} l'ensemble $D_\p = \{s \in S\mid \p(\{s\}) \not= \{s\}\}$. \\
\end{defi}

\begin{rema}\label{rems support}{\bf a.} Soit $\p\in End([S])$. On v�rifie facilement que l'on a $D_\p = \emptyset \Longleftrightarrow \p = Id_{[S]}$, et que, si $\p = \p_1\circ \cdots \circ \p_n$, avec $\p_1, \ldots ,~\p_n \in End([S])$, alors $D_{\p} \subseteq \bigcup_{1\leq k \leq n}D_{\p_k}$. 

{\bf b.} De plus, si $\p \in Aut([S])$, alors $D_{\p^{-1}} = D_\p$.\\
\end{rema}

\begin{nota}[Les sous-groupes {\boldmath $K^\circ_Y(\G)$}]Soit $Y \subseteq S$. Nous notons $K^\circ_Y(\G)$ l'ensemble $\{\p\in K^\circ(\G) \mid D_\p \subseteq Y\}$. D'apr�s les remarques \ref{rems support} a et b, $K^\circ_Y(\G)$ est un sous-groupe de $K^\circ(\G)$.

Remarquons que $K^\circ_S(\G) = K^\circ(\G)$.\\
\end{nota}

Dans la suite de cette section, nous voulons d�crire le groupe $K^\circ_Y(\G)$, pour $Y\subseteq S$, � partir de certains de ses sous-groupes $K^\circ_Z(\G)$, o� $Z\subseteq Y$. \\

\begin{defi}[Parties satur�es]Soit $Y \subseteq S$. Nous disons qu'une partie $X$ de $S$ est {\it $Y$-satur�e} si, pour tout $x \in X\cap Y$, $C^2(x) \cap Y \subseteq X$. Nous disons simplement {\it satur�e} pour $S$-satur�e.\\
\end{defi}

\begin{rema}\label{propri�t�s parties satur�es}Soient $X$ et $Y$ deux parties de $S$.

{\bf a.} $X$ est $Y$-satur�e si et seulement si $X\cap Y = \bigcup_{x \in X\cap Y}C^2(x)\cap Y$. En particulier, les parties satur�es sont les r�unions de cellules.

{\bf b.} Si $Y'\subseteq Y$ et si $X$ est $Y$-satur�e, alors $X$ est $Y'$-satur�e.\\
\end{rema}

\begin{defi}[Troncature]Soient $X \subseteq S$ et $\p \in End([S])$. On appelle {\it troncature de $\p$ suivant $X$} l'endomorphisme $\p_X$ de $[S]$ donn� par $\p_X(\{s\}) = \p(\{s\})$ si $s\in X$ et $\p_X(\{s\}) = \{s\}$ si $s\not \in X$. Clairement, $\p_X$ co�ncide avec $\p$ sur $[X \cup (S\setminus D_\p)]$ et $D_{\p_X} = X\cap D_\p$.\\
\end{defi}

\begin{lem}\label{troncature}Soient $Y \subseteq S$ et $X$ une partie $Y$-satur�e. 
\begin{enumerate}
\item Soient $\p,~\psi \in K^\circ_Y(\G)$. Alors $(\p\circ \psi)_X = \p_X \circ \psi_X$.
\item L'application $K^\circ_Y(\G) \longrightarrow K^\circ_{X\cap Y}(\G)$, $\p \longmapsto \p_X$ est un morphisme de groupes de noyau $K^\circ_{Y\setminus X}(\G)$. 
\end{enumerate}
\end{lem}
\proof Montrons le premier point. Soient $\p,~\psi \in K^\circ_Y(\G)$ et $s \in S$. Montrons que $(\p \circ \psi)_X(\{s\}) = (\p_X \circ \psi_X)(\{s\})$. Si $s \not \in X\cap Y$, alors $\p_X(\{s\}) = \psi_X(\{s\}) = (\p \circ \psi)_X(\{s\}) = \{s\}$ et le r�sultat est clair. Si $s \in X\cap Y$, alors $C^2(s) \subseteq X \cup (S\setminus Y)$ puisque $X$ est $Y$-satur�e. On a alors $C^2(s) \subseteq X \cup (S\setminus D_\p)$ (puisque $D_\p \subseteq Y$) et $\p_X$ co�ncide donc avec $\p$ sur $[C^2(s)]$. De plus, comme $\psi \in K(\G)$, on a $\psi_X(\{s\}) = \psi(\{s\}) \in [(C^2(s)]$, d'o� l'on d�duit que $(\p_X \circ \psi_X) (\{s\}) = \p(\psi(\{s\})) = (\p \circ \psi)_X(\{s\})$.

Montrons le second point. Pour montrer que $\p \longmapsto \p_X$ est un morphisme de groupes de $K^\circ_Y(\G)$ dans $K^\circ_{X\cap Y}(\G)$, il suffit (gr�ce au premier point) de montrer que, pour $\p \in K^\circ_Y(\G)$, la troncature $\p_X$ appartient � $K^\circ_{X\cap Y}(\G)$. Vu la d�finition de $\p_X$, le seul fait non trivial � montrer est que $\p_X$ appartient � $K(\G)$. Le premier point nous montre en particulier que $(\p^{-1})_X$ et $\p_X$ sont des automorphismes (de $[S]$) inverses l'un de l'autre (puisque $(Id_{[S]})_X = Id_{[S]}$). D'apr�s la proposition \ref{caract de F et K}, il suffit donc de montrer que l'on a $\p_X([T]) = [T]$ pour toute cellule $T$. Or, par d�finition de $\p_X$ et $(\p^{-1})_X$ et comme $\p \in K(\G)$, on a clairement $\p_X([T]) \subseteq [T]$ et $(\p^{-1})_X([T]) = (\p_X)^{-1}([T]) \subseteq [T]$, d'o� le r�sultat. Le noyau de ce morphisme est clairement le sous-groupe $K^\circ_{Y\setminus X}(\G)$ de $K^\circ_Y(\G)$, et le lemme est donc d�montr�.\qed \\

\begin{propo}\label{decomp}Soit $Y \subseteq S$ et soit $X$ une partie $Y$-satur�e de $S$. On a la d�composition : $$K^\circ_Y(\G) = K^\circ_{Y\setminus X}(\G) \rtimes K^\circ_{X \cap Y}(\G).$$
\end{propo}
\proof L'assertion {\it 2} du lemme pr�c�dent nous dit que l'on a un morphisme de groupes $\p \longmapsto \p_X$ de $K^\circ_Y(\G)$ dans $K^\circ_{X\cap Y}(\G)$ et que ce morphisme a pour noyau $K^\circ_{Y\setminus X}(\G)$. Comme l'inclusion naturelle $K^\circ_{X\cap Y}(\G) \hookrightarrow K^\circ_Y(\G)$ en est clairement une section, on a le r�sultat. \qed \\

Ce r�sultat sugg�re une m�thode pour d�crire le sous-groupe $K^\circ_Y(\G)$, pour une partie donn�e $Y$ de $S$ : trouver une partie $Y$-satur�e $X \varsubsetneq Y$ telle que le sous-groupe $K^\circ_{Y\setminus X}(\G)$ soit "simple � d�crire", puis d�crire par r�currence le sous-groupe $K^\circ_{X\cap Y}(\G) = K^\circ_{X}(\G)$.

Dans la section suivante, nous d�crivons le sous-groupe $K^\circ_Z(\G)$ de $K^\circ(\G)$ dans le cas o� $Z$ est une partie d'"�paisseur nulle" (voir la d�finition \ref{def parties de profondeur nulle} ci-dessous).

Dans la section \ref{profondeur}, nous allons voir comment d�composer toute partie $Y$ de $S$ en l'union disjointe d'une partie d'�paisseur nulle $Y_0$ et d'une partie $Y$-satur�e $Y_{\geq 1}$. La proposition \ref{decomp}, appliqu�e r�cursivement, nous permettra alors de d�composer le groupe $K^\circ_Y(\G)$ (au moins lorsque $Y$ est "d'�paisseur finie", voir la d�finition \ref{def profondeur finie} ci-dessous) en produits semi-directs it�r�s de certains de ses sous-groupes $K^\circ_Z(\G)$ avec $Z$ d'�paisseur nulle (th�or�me \ref{d�comp de KY} ci-dessous).

\subsubsection{Parties d'�paisseur nulle.}\label{Parties de profondeur nulle.}

Nous d�finissons plus loin (en d�finition \ref{def profondeur finie}) l'"�paisseur" (dans $\N \cup \{\infty\}$) d'une partie de $S$. D�finissons pour le moment les parties d'"�paisseur nulle" : \\ 

\begin{defi}[Parties d'�paisseur nulle]\label{def parties de profondeur nulle}On dit qu'une partie $Z$ de $S$ est {\it d'�paisseur nulle} si, pour tout $s\in Z$, $(C^2(s))^\star \cap Z = \emptyset$ (autrement dit si tous les noyaux sont $Z$-satur�s).\\
\end{defi}

\begin{rema}\label{rems �paisseur nulle}{\bf a.} Si $Z$ est d'�paisseur nulle et si $Z'\subseteq Z$, alors $Z'$ est d'�paisseur nulle.

{\bf b.} Les noyaux (et donc les parties de noyaux, d'apr�s a) sont d'�paisseur nulle.\\
\end{rema}

Fixons une partie $Z$ de $S$ d'�paisseur nulle.\\

\begin{lem}\label{lemme technique}Soient $\p, ~\psi \in End([S])$ de supports inclus dans $Z$ et soit $s \in Z$. Si on a $\p(\{s\}) = \{s\} + Y$ et $\psi(\{s\}) = \{s\} + Y'$, o� $Y,~Y' \in [(C^2(s))^\star]$, alors $(\p\circ \psi)(\{s\}) = (\psi \circ \p)(\{s\}) = \{s\} + Y + Y'$.
\end{lem}
\proof Par hypoth�se, $Z$ est d'�paisseur nulle et contient $s$, donc est disjointe de $(C^2(s))^\star$. A fortiori, les parties $Y$ et $Y'$ de $(C^2(s))^\star$ sont disjointes de $D_\p$ et de $D_\psi$ (qui sont inclus dans $Z$). On a donc $\p(Y') = Y'$, $\psi(Y) = Y$, et un calcul direct nous donne le r�sultat.\qed \\

\begin{propo}\label{caracK0de profondeur nulle}$K^\circ_Z(\G) = \{ \p \in End([S]) \mid D_\p \subseteq  Z \textrm{ et, } \forall ~s \in Z, \ \p(\{s\}) \in \{s\} + [(C^2(s))^\star]\}$. En particulier, $K^\circ_Z(\G)$ est un 2-groupe �l�mentaire.
\end{propo}
\proof Par d�finition de $K^\circ(\G)$ et de son sous-groupe $K^\circ_Z(\G)$, l'inclusion $K^\circ_Z(\G) \subseteq  \{ \p \in End([S]) \mid D_\p \subseteq  Z \textrm{ et, } \forall ~s \in Z, \ \p(\{s\}) \in \{s\} + [(C^2(s))^\star]\}$ est �vidente. Soit donc $\p$ un endomorphisme de $[S]$ tel que $D_\p \subseteq  Z$ et que $\p(\{s\}) \in \{s\} + [(C^2(s))^\star]$, pour tout $s \in Z$.

Montrons que $\p^2 = Id_{[S]}$. Si $s\not \in Z$, alors on a $\p(\{s\}) = \{s\}$, donc $\p^2(\{s\}) = \{s\}$ ; si $s\in Z$, alors $\p(\{s\}) = \{s\} + Y$, o� $Y \in [(C^2(s))^\star]$, et le lemme pr�c�dent nous fournit $\p^2(\{s\}) = \{s\} + Y + Y = \{s\}$.

Il reste � montrer que $\p$ appartient � $K(\G)$. Il suffit pour cela de montrer que, pour toute cellule $T$, $\p([T]) = [T]$ (cf. proposition \ref{caract de F et K}) et, comme $\p$ est involutif, il suffit de montrer que $\p([T]) \subseteq [T]$. Or pour $s \in T$ (qui satisfait donc � $C^2(s)\subseteq T$), on a soit $s \not \in D_\p$, auquel cas $\p(\{s\}) = \{s\} \in [T]$, soit $s \in D_\p$, donc $s \in Z$ et $\p(\{s\}) \in \{s\} + [(C^2(s))^\star] \subseteq [T]$. On a donc le r�sultat.\qed \\

\begin{cor}\label{proddirect�tal}Soit $(Z_i)_{i \in I}$ une partition de $Z$. Alors l'application $\p \longmapsto (\p_{Z_i})_{i\in I}$, o� $\p_{Z_i}$ est la troncature de $\p$ suivant $Z_i$, est un isomorphisme de groupes de $K^\circ_Z(\G)$ sur le produit direct de ses sous-groupes $K^\circ_{Z_i}(\G) \ (i\in I)$.
\end{cor}
\proof Remarquons que, puisque $Z$ est d'�paisseur nulle, chaque $Z_i$, $i\in I$, est d'�paisseur nulle (cf. remarque \ref{rems �paisseur nulle} a). D'apr�s la caract�risation des �l�ments de $K^\circ_X(\G)$ pour une partie d'�paisseur nulle $X$, obtenue dans la proposition \ref{caracK0de profondeur nulle}, il est clair que, pour tout $i \in I$, la troncature de tout �l�ment de $K^\circ_Z(\G)$ suivant $Z_i$ est un �l�ment de $K^\circ_{Z_i}(\G)$. 

De plus, si $\p, ~\psi \in K^\circ_Z(\G)$, alors $(\p \circ \psi)_{Z_i} = \p_{Z_i}\circ \psi_{Z_i}$. En effet, pour $s \in  Z_i$, on a $\p_{Z_i}(\{s\}) = \p(\{s\}) = \{s\} + Y$ et $\psi_{Z_i}(\{s\}) = \psi(\{s\}) = \{s\} + Y'$, o� $Y,~ Y' \in [(C^2(s))^\star]$, et le lemme \ref{lemme technique} nous fournit $(\p \circ \psi)(\{s\}) = \{s\} + Y + Y' = (\p_{Z_i} \circ \psi_{Z_i})(\{s\})$. L'application $\p \longmapsto (\p_{Z_i})_{i\in I}$ est donc un morphisme de groupes de $K^\circ_Z(\G)$ dans $\prod_{i\in I}K^\circ_{Z_i}(\G)$. Ce morphisme est injectif car l'image $(\p_{Z_i})_{i\in I}$ d�termine $\p$ sur $[Z]$ (puisque $(Z_i)_{ i\in I}$ est une partition de $Z$), donc sur $[D_\p]$. 

Montrons qu'il est surjectif. Si $(\p_{i})_{i\in I}$ est un �l�ment de $\prod_{i\in I}K^\circ_{Z_i}(\G)$, d�finissons l'endomorphisme $\p$ de $[S]$ par $\p(\{s\}) = \{s\}$ si $s\not \in Z$, et $\p(\{s\}) = \p_i(\{s\})$ si $s\in Z_i$. D'apr�s la caract�risation de la proposition \ref{caracK0de profondeur nulle}, $\p$ est un �l�ment de $K^\circ_Z(\G)$, et il s'envoie clairement sur la famille $(\p_{i})_{i\in I}$. On a donc le r�sultat.  \qed \\

\begin{cor}\label{K0Xpour Xnoyau}Soient $N \in {\cal N}$, et $X \subseteq N$. On pose $T = Cel(N)$. Alors $X$ est d'�paisseur nulle et l'application $\p \longmapsto (Id_{[S]} + \p)_{|[X]}$ est un isomorphisme de 2-groupes �l�mentaires de $K^\circ_X(\G)$ sur le groupe (additif) ${\cal L}_{\F_2}([X],[T^\star])$, constitu� des applications $\F_2$-lin�aires de $[X]$ dans $[T^\star]$.
\end{cor}
\proof La partie $X$ de $N$ est d'�paisseur nulle d'apr�s la remarque \ref{rems �paisseur nulle} b. Soit $\p \in K^\circ_X(\G)$. On sait que, pour $s\in S$, on a $\p(\{s\}) \in \{s\} + [(C^2(s))^\star]$. En particulier, pour $s\in X \subseteq N$, on a $C^2(s) = T$, donc $\p(\{s\}) \in \{s\} + [T^\star]$. L'application $\F_2$-lin�aire $(Id_{[S]} + \p)_{|[X]}$ est donc � valeurs dans $[T^\star]$ et l'application $\p \longmapsto (Id_{[S]} + \p)_{|[X]}$ est donc bien � valeurs dans ${\cal L}_{\F_2}([X],[T^\star])$. 

Soient $\p, ~\psi \in K^\circ_X(\G)$ et $s \in X$. On a $\p(\{s\}) = \{s\} + Y$ et $\psi(\{s\}) = \{s\} + Y'$, o� $Y,~ Y' \in [T^\star]$, et, d'apr�s le lemme \ref{lemme technique}, $\p \circ \psi(\{s\}) = \{s\} + Y + Y'$, d'o� $(Id_{[S]} + \p \circ \psi)(\{s\}) =  Y + Y' = (Id_{[S]} + \p)(\{s\}) + (Id_{[S]} + \psi)(\{s\})$. Donc $\p \longmapsto (Id_{[S]} + \p)_{|[X]}$ est un morphisme de groupes. Ce morphisme est injectif, car l'image $(Id_{[S]} + \p)_{|[X]}$ de $\p$ d�termine $\p$ sur $[X]$, donc sur $[D_\p]$. 

Montrons qu'il est surjectif. Pour $f \in {\cal L}_{\F_2}([X],[T^\star])$, notons encore $f$ l'endomorphisme $f \oplus 0_{|[S\setminus X]}$ (prolongement de $f$ � $[S]$, d�fini par $0$ sur $[S\setminus X]$). Alors l'endomorphisme $\p = Id_{[S]} + f$ de $[S]$ appartient � $K^\circ_X(\G)$ (d'apr�s la proposition \ref{caracK0de profondeur nulle}), et s'envoie clairement sur $f$. \qed \\

Pour d�composer $K^\circ_Z(\G)$ (o� $Z$ est d'�paisseur nulle) comme dans le corollaire \ref{proddirect�tal}, nous allons privil�gier, vu le corollaire \ref{K0Xpour Xnoyau}, les partitions de $Z$ en parties de noyaux. Par exemple, on obtient :

\begin{description}
\item[(E1)] $K^\circ_Z(\G) \approx \prod_{N\in {\cal N}(Z)}{\cal L}_{\F_2}([N\cap Z],[(Cel(N))^\star])$, via $\p \mapsto ((Id_{[S]} + \p)_{|[N\cap Z]})_{N\in {\cal N}(Z)}$, o� ${\cal N}(Z) = \{N(z) \mid z\in Z\}$ est l'ensemble des noyaux rencontr�s par $Z$, \\
\item[(E2)] $K^\circ_Z(\G) \approx \prod_{s\in Z}{\cal L}_{\F_2}([\{s\}],[(C^2(s))^\star]) \approx \prod_{s\in Z}[(C^2(s))^\star]$, via $\p \mapsto ((Id_{[S]} + \p)_{|[\{s\}]})_{s\in Z}$ et $(f_s)_{s\in Z} \mapsto (f_s(\{s\}))_{s\in Z}$, avec la partition de $Z$ en l'ensemble de ses singletons.
\end{description}

\subsubsection{Profondeur et d�composition en parties d'�paisseur nulle.}\label{profondeur}

\begin{defi}[Profondeur]Soit $Y \subseteq S$. On appelle {\it cha�ne (d'�l�ments de $Y$)} toute suite finie $(y_0, ~y_1, \ldots , y_p)$ d'�l�ments de $Y$ telle que, pour $1\leq i \leq p$, $C^2(y_{i-1}) \varsubsetneq C^2(y_i)$. Si $(y_0, ~y_1, \ldots , y_p)$ est une cha�ne, on dit que sa {\it longueur} est $p$, et qu'elle a pour {\it origine} $y_0$.

Soit $Y \subseteq S$. On d�finit la fonction {\it $Y$-profondeur} $p_Y : Y \longrightarrow\N \cup\{\infty\}$, de la fa�on suivante : pour $y \in Y$, $p_Y(y)$ est la borne sup�rieure de l'ensemble des longueurs des cha�nes d'�l�ments de $Y$ d'origine $y$. Pour $p \in \N \cup \{\infty\}$, on pose $Y_p = \{y\in Y \mid p_Y(y) = p\}$, et $Y_{\geq p} = \cup_{k\geq p}Y_k = \{y\in Y \mid p_Y(y) \geq p \}$ (En particulier, $Y_{\geq 0} = Y$ et $Y_\infty = Y_{\geq \infty}$).\\
\end{defi}

\begin{rema}\label{propri�t� profondeur}{\bf a.} Si $Y$ est une cellule, alors $Y_0 = Noy(Y)$, et $Y_{\geq 1} = Y \setminus Noy(Y) = Y^\star$. Plus g�n�ralement, si $Y$ est satur�e (i.e. si $Y$ est une r�union de cellules) et si $p \in \N \cup \{\infty\}$, alors $Y_p$ est une r�union de noyaux, et $Y_{\geq p}$ est satur�e.

{\bf b.} Les $Y_p$, pour $p \in \N \cup \{\infty\}$, sont deux � deux disjoints, et chaque partie $Y_{\geq p}$ est $Y$-satur�e.

{\bf c.} Soit $n \in \N$. Alors $Y_n$ est d'�paisseur nulle, et satisfait � $Y_n \not = \emptyset \Longrightarrow Y_k \not = \emptyset$, pour tout $k \leq n$. De plus, si $p \in \N\cup \{\infty\}$, on v�rifie que $(Y_{\geq n})_p = Y_{n+p}$, d'o� $(Y_{\geq n})_{\geq p} = Y_{\geq n+p}$.\\
\end{rema}

\begin{defi}[\'Epaisseur]\label{def profondeur finie}Soit $Y\subseteq S$. Nous appelons {\it �paisseur de $Y$} la borne sup�rieure (dans $\N\cup\{\infty\}$) de la fonction $p_Y$. 

On v�rifie facilement que les parties d'�paisseur 0, au sens que l'on vient de d�finir, sont les parties d'�paisseur nulle au sens de la d�finition \ref{def parties de profondeur nulle} de la section \ref{Parties de profondeur nulle.}.

%Lorsque $Y$ est (non vide et) d'�paisseur finie $e$, l'ensemble $\{Y^k \mid 0 \leq k \leq e\}$ est une partition (finie, et �ventuellement r�duite au seul �l�ment $\{Y\}$, si $e = 0$) de $Y$ en parties d'�paisseur nulle (cf. remarque \ref{propri�t� profondeur} c). 

Lorsque $S$ est d'�paisseur finie, nous disons que $(W,S)$ et $\G$ sont {\it d'�paisseur finie}. Comme cette notion ne d�pend pas de $S\in {\cal S}(W)$ (puisque $W$ est rigide), nous disons aussi, sans ambigu�t�, que $W$ est d'�paisseur finie. C'est par exemple le cas lorsque ${\cal C}$ (ou ${\cal N}$) est fini et, en particulier, on voit donc que tout groupe de Coxeter de rang fini est d'�paisseur finie.\\
\end{defi}

\begin{theo}\label{d�comp de KY}Soit $Y \subseteq S$ d'�paisseur finie $e$. Alors :
$$K^\circ_Y(\G) = K^\circ_{Y_0}(\G) \rtimes (K^\circ_{Y_1}(\G) \rtimes (\cdots \rtimes (K^\circ_{Y_{e-1}}(\G) \rtimes K^\circ_{Y_{e}}(\G))\cdots)).$$

De plus, si $Y$ est satur�e, alors $K^\circ_{Y_{e}}(\G) = \{Id_{[S]}\}$.
\end{theo}
\proof Soit $k \in \N$. Sans hypoth�se sur $Y$, la proposition \ref{decomp}, appliqu�e � $Y_{\geq k}$ et � la partie $Y_{\geq k}$-satur�e $(Y_{\geq k})_{\geq 1} = Y_{\geq k+1}$ (remarque \ref{propri�t� profondeur} c), nous fournit la d�composition : 
\begin{equation*}K^\circ_{Y_{\geq k}}(\G) = K^\circ_{Y_k}(\G) \rtimes K^\circ_{Y_{\geq k+1}}(\G).
\end{equation*}
On suppose ici $Y$ d'�paisseur finie $e$, donc on a $Y_{\geq e+1} = \emptyset$ et $K^\circ_{Y_{\geq e+1}}(\G) = \{Id_{[S]}\}$. La formule voulue s'obtient alors facilement par r�currence, en appliquant le proc�d� ci-dessus successivement aux parties $Y_{\geq k}$, pour $0\leq k \leq e$. 

Si, de plus, $Y$ est satur�e, alors, pour tout $n \in \N$, on a $y \in Y_n \Rightarrow (C^2(y))^\star \subseteq Y_{\geq n+1}$, et on voit que $Y_e$ est n�cessairement constitu� d'�l�ments $y$ de $Y$ tels que $(C^2(y))^\star = \emptyset$. Mais alors la formule (E2) appliqu�e � $Z = Y_e$ (qui est d'�paisseur nulle, d'apr�s la remarque \ref{propri�t� profondeur} c) nous montre que l'on a $K^\circ_{Y_{e}}(\G) = \{Id_{[S]}\}$. \qed 

\subsection{Conclusion.}\label{conclusion}

On rappelle que nous voulions, dans cette partie, d�crire le groupe $Aut([S],[S]_c)$.\\

Nous avons d�fini (en section \ref{premier d�vissage}) un sous-groupe $G$ de $Aut(\G)$ isomorphe � $Aut({\cal N},{R_{\cal P}},Card)$ pour lequel on a (d'apr�s la proposition \ref{premi�res d�compositions}) : 
\begin{equation}\label{1}
%\begin{array}{c}
Aut([S],[S]_c) = K(\G) \rtimes G \textrm{   et  } Aut(\G) = (K(\G)\cap Aut(\G)) \rtimes G.
%\end{array}
\end{equation}

Les propositions \ref{intersection de Aut(G) et K} (section \ref{premier d�vissage}) et \ref{decomposition K(Gamma)} (section \ref{le groupe K}) nous donnent (avec le commentaire \ref{exemples d'�l�ments de D et Kz�ro} a): 
\begin{equation}\label{2}
\begin{array}{c}
K(\G) = K^\circ(\G) \rtimes D(\G), \textrm{  avec } D(\G) \approx  \prod_{N \in {\cal N}}Aut([N]), \textrm{ via } \rho_2 : \p \mapsto (\p_{|[N]})_{N\in {\cal N}},\\
K(\G)\cap Aut(\G)\subseteq D(\G), \textrm{ et } K(\G)\cap Aut(\G) \approx  \prod_{N \in {\cal N}}Perm(N), \textrm{ via } \rho_1 : \s \mapsto (\s_{|N})_{N\in {\cal N}}.
\end{array}
\end{equation}
%\begin{equation}\label{2'}
%K(\G)\cap Aut(\G)\subseteq D(\G), \textrm{ et } K(\G)\cap Aut(\G) \approx  \prod_{N \in {\cal N}}Perm(N), \textrm{ via } \s \mapsto (\s_{|N})_{N\in {\cal N}}.
%\end{equation}

Le th�or�me \ref{d�comp de KY} (section \ref{profondeur}) nous permet de d�crire le groupe $K^\circ(\G) = K^\circ_S(\G)$, dans le cas o� $S$ (qui est une partie satur�e) est d'�paisseur finie $e$. On obtient :
\begin{equation}\label{3}
K^\circ(\G) = K^\circ_{S_0}(\G) \rtimes (K^\circ_{S_1}(\G) \rtimes (\cdots \rtimes (K^\circ_{S_{e-2}}(\G) \rtimes K^\circ_{S_{e-1}}(\G))\cdots)).
\end{equation}

Enfin, pour $0\leq k \leq e-1$, la partie $S_k$ de $S$ est d'�paisseur nulle (cf. remarque \ref{propri�t� profondeur} c) et contient les noyaux qu'elle rencontre (cf. remarque \ref{propri�t� profondeur} a), ce qui signifie que, ${\cal N}(S_k)$ d�signant l'ensemble $\{N(s) \mid s \in S_k\}$, on a, pour tout $N \in {\cal N}(S_k)$, $N \subseteq S_k$ ; les formules (E1) et (E2) appliqu�es � $S_k$ nous donnent donc : 
\begin{equation}\label{4}
K^\circ_{S_k}(\G) \approx \begin{cases}
\prod_{N\in {\cal N}(S_k)}{\cal L}_{\F_2}([N],[(Cel(N))^\star]), \textrm{  via } \p \mapsto ((Id_{[S]} + \p)_{|[N]})_{N\in {\cal N}(S_k)}\\
\prod_{s\in S_k}[(C^2(s))^\star], \textrm{  via } \p \mapsto (\{s\} + \p(\{s\}))_{s\in S_k}.\end{cases}
\end{equation}\\

\begin{rema}\label{remarque finale}Rappelons que l'on note ${\cal E}(S)$ l'ensemble des singletons de $S$. On a : 

{\bf a.} $S$ est d'�paisseur nulle $\Leftrightarrow {\cal N} = {\cal C} \Leftrightarrow K^\circ(\G) = \{1\}$,

{\bf b.} $ {\cal N} = {\cal E}(S) \Leftrightarrow D(\G) = \{1\} \Leftrightarrow Aut(\G)\cap K(\G) = \{1\} \Leftrightarrow G = Aut(\G)$,

{\bf c.} $\G$ satisfait aux conditions de a et de b $\Leftrightarrow {\cal C} = {\cal E}(S) \Leftrightarrow K(\G) = \{1\} \Leftrightarrow Aut([S],[S]_c) = Aut(\G)$. On retrouve ainsi le r�sultat de la proposition \ref{caract}.
\end{rema}

\section*{Exemples.}

Dans les exemples de graphe de Coxeter qui suivent, toutes les ar�tes sont �tiquet�es $\infty$.\\

%Pour d�terminer de fa�on rapide les cellules des �l�ments de $S$, on peut remarquer que, dans le graphe de $\G_{(W,S)}$, $C(s)$ est l'ensemble des sommets non li�s � $s$ ($s$ n'�tant pas li� � $s$) et $C^2(s)$ est l'ensemble des sommets isol�s dans le sous-graphe plein d'ensemble de sommets $C^2(s)$.\\

\begin{ex}Nous retrouvons les r�sultats obtenus par J. Tits dans la partie finale de [T] (le groupe $Aut(F(\G))$ �tudi� par J. Tits est isomorphe � $Aut([S],[S]_c)$).
\begin{itemize}
\item[$\bullet$] Supposons que $S$ soit la r�union disjointe de deux sous-ensembles non vides $S'$ et $S''$ tels que $m_{s,t} = \infty \Leftrightarrow (s,t) \in S' \times S''$ ou $(s,t) \in S''\times S'$ (on dit alors que le graphe de $\G$ est "bipartite complet"). Avec notre terminologie, il s'agit du cas o� $S$ est d'�paisseur nulle et a deux noyaux (qui sont $S'$ et $S''$). 

On a alors, d'apr�s les formules (\ref{1}) et (\ref{2}) et la remarque \ref{remarque finale} a, $Aut([S],[S]_c) = D(\G) \rtimes G \approx (Aut([S'])\times Aut([S'']))\rtimes G$. De plus, on a clairement $G \approx Aut({\cal N},{R_{\cal P}},Card) = \{1\}$ si les noyaux $S'$ et $S''$ n'ont pas m�me cardinal, et $G \approx \Z/2\Z$ si $S'$ et $S''$ ont m�me cardinal.
\item[$\bullet$] Supposons que le graphe de $\G$ soit un cycle de longueur $n \geq 5$. On v�rifie facilement que ${\cal C} = {\cal E}(S)$ et donc $Aut([S],[S]_c) = Aut(\G)$ (cf. proposition \ref{caract}, ou remarque \ref{remarque finale} c).
\item[$\bullet$] Les autres cas �tudi�s par J. Tits sont d'�paisseur 1, et satisfont � ${\cal N} = {\cal E}(S)$. On a alors $Aut([S],[S]_c) = K^\circ_{S_0}(\G) \rtimes Aut(\G)$ (cf. formules (\ref{1}), (\ref{2}), (\ref{3}) et remarque \ref{remarque finale} b) et  $K^\circ_{S_0}(\G) \approx \prod_{s\in S_0}[(C^2(s))^\star]$ (cf. formule (\ref{4})).\\
\end{itemize}
\end{ex}

\begin{ex}Soit $\G$ donn�e par le graphe \begin{picture}(75,20)(-25,-2)
\put(0,0){\circle{4}}\put(2,4){3}
\put(20,0){\circle{4}}\put(22,4){4}
\put(40,0){\circle{4}}\put(42,4){5}
\put(2,0){\line(1,0){16}}
\put(22,0){\line(1,0){16}}
\put(2,0){\line(1,0){16}}
\put(-2,-1){\line(-3,-2){12}}
\put(-15,-10){\circle{4}}\put(-25,-10){2}
\put(-2,1){\line(-3,2){12}}
\put(-15,10){\circle{4}}\put(-25,10){1}
\end{picture}. On a :

$$\begin{array}{|l|c|c|c|c|c|}\hline
\textrm{Sommet $s$} & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ \hline
\textrm{Cellule $C^2(s)$} & \{1,2\} & \{1,2\} & \{3,5\} & \{1,2,4\} & \{5\} \\ \hline
\textrm{Noyau $N(s)$} & \{1,2\} & \{1,2\} & \{3\} & \{4\} & \{5\}  \\ \hline 
\end{array}$$

On v�rifie que $G \approx Aut({\cal N},{R_{\cal P}},Card) = \{1\}$ et que $S$ est d'�paisseur 1, avec $S_0 = \{3,4\}$ et $S_1 = \{1,2,5\}$. On a alors, gr�ce aux formules (1) � (4),  $Aut([S],[S]_c) = K^\circ_{S_0}(\G) \rtimes D(\G)$, avec :  
$$D(\G) \approx Aut([\{1,2\}]) \approx GL_2(\F_2) \ \textrm{ et }  K^\circ_{S_0}(\G)\approx [(C^2(3))^\star]\times [(C^2(4))^\star] \approx (\F_2)^3.$$
\end{ex}

\vspace{0.5cm}

\begin{ex}Soit $\G$ donn�e par le graphe infini (index� par $\Z$) : 
\begin{center}
\begin{picture}(80,80)(-10,-10)
\put(-45,30){$\ldots$}
\put(-45,0){$\ldots$}
\put(-45,60){$\ldots$}
\put(95,30){$\ldots$}
\put(95,0){$\ldots$}
\put(95,60){$\ldots$}

\put(-2,30){\line(-1,0){20}}
\put(62,30){\line(1,0){20}}

\put(0,0){\circle{4}}\put(3,3){$b'_{k-1}$}
\put(30,0){\circle{4}}\put(33,3){$b'_k$}
\put(60,0){\circle{4}}\put(63,3){$b'_{k+1}$}
\put(0,30){\circle{4}}\put(3,33){$a_{k-1}$}
\put(30,30){\circle{4}}\put(33,33){$a_k$}
\put(60,30){\circle{4}}\put(63,33){$a_{k+1}$}
\put(0,60){\circle{4}}\put(3,57){$b_{k-1}$}
\put(30,60){\circle{4}}\put(34,57){$b_k$}
\put(60,60){\circle{4}}\put(63,57){$b_{k+1}$}

\put(0,2){\line(0,1){26}}
\put(0,32){\line(0,1){26}}
\put(30,2){\line(0,1){26}}
\put(30,32){\line(0,1){26}}
\put(60,2){\line(0,1){26}}
\put(60,32){\line(0,1){26}}

\put(2,30){\line(1,0){26}}
\put(32,30){\line(1,0){26}}
\end{picture}
\end{center}

On a : 
$$\begin{array}{|l|c|c|c|}\hline
\textrm{Sommet $s$} & a_k & b_k & b_k' \\ \hline
\textrm{Cellule $C^2(s)$} & \{a_k, b_{k-1},b'_{k-1}, b_{k+1},b'_{k+1}\} & \{b_k,b'_k\} & \{b_k,b'_k\}  \\ \hline
\textrm{Noyau $N(s)$} & \{a_k\} & \{b_k,b'_k\} & \{b_k,b'_k\}  \\ \hline 
\end{array}$$

Il est clair que tout �l�ment de $Aut({\cal N},{R_{\cal P}},Card)$ est enti�rement d�termin� par son action sur l'ensemble de noyaux $\{\{a_k\}\mid k\in \Z\} \approx \Z$, puisque si $\{a_k\}$ s'envoie sur $\{a_l\}$, alors n�cessairement, $\{b_k,b_k'\}$ s'envoie sur $\{b_l,b'_l\}$. On voit alors que $Aut({\cal N},{R_{\cal P}},Card)$ s'identifie au groupe di�dral infini $D_\infty = <\psi,~\psi'>$ engendr� par les sym�tries $\psi : k\mapsto -k, ~k\in \Z$ et $\psi' : k\mapsto -k+1, ~k\in \Z$. Via cette identification (et celle de $Aut({\cal N},{R_{\cal P}},Card)$ au sous-groupe $G$ de $Aut(\G)$), on a donc $Aut([S],[S]_c) = K(\G) \rtimes D_\infty$ (cf. formule (1)).

On d�duit du tableau ci-dessus que $S$ est d'�paisseur 1, avec $S_0 = \{a_k \mid k\in \Z \}$ et $S_1 = \{b_k, b'_k \mid k\in \Z \}$. On obtient, gr�ce aux formules (\ref{2}) (\ref{3}) et (\ref{4}), $K(\G) = K^\circ_{S_0}(\G) \rtimes D(\G)$, avec :
$$D(\G)\approx \prod_{k\in \Z}GL_2(\F_2)\  \textrm{ et } K^0_{S_0}(\G) \approx \prod_{k\in \Z}(\F_2)^4 \approx (\F_2)^\Z.$$
\end{ex}

\vspace{0.5cm}

\begin{ex}Soit $e \in \N^\star \cup\{\infty\}$ et soit $\G = (m_{s,t})_{s,t\in S}$, o� $S = \{s_k,~s_k' \mid 0\leq k < e+1\}$ et $m_{s,t} = \infty \Longleftrightarrow \{s,t\} = \{s_k,s'_l\}$ avec $0 \leq l\leq k <e+1$. On a :
$$\begin{array}{|l|c|c|}\hline
\textrm{Sommet $s$} & s_k & s'_k \\ \hline
\textrm{Cellule $C^2(s)$} & \{s_0, s_1,\ldots, s_k\} & \{s'_{i} \mid k\leq i <e+1\}  \\ \hline
\textrm{Noyau $N(s)$} & \{s_k\} & \{s'_k\}   \\ \hline 
\end{array}$$

Comme ${\cal N} = {\cal E}(S)$, on a $D(\G) = \{1\}$ et $G = Aut(\G)$ (cf. remarque \ref{remarque finale} b). On a donc $Aut([S],[S]_c) = K^\circ(\G) \rtimes Aut(\G)$.\\

Supposons $e$ fini. On v�rifie alors que $Aut(\G) = <\s> \approx \F_2$, o� $\s$ envoie $s_k$ sur $s'_{e-k}$ et $s'_k$ sur $s_{e-k}$, pour $0 \leq k \leq e$. On a donc $Aut([S],[S]_c)  = K^\circ(\G) \rtimes <\s> \approx  K^\circ(\G) \rtimes \F_2$. 

On voit que $S$ est d'�paisseur $e$, avec $S_k = \{s'_k,s_{e-k}\}$, pour $0\leq k \leq e$. On a donc, d'apr�s les formules (\ref{3}) et (\ref{4}), $K^\circ(\G) = K^\circ_{S_0}(\G) \rtimes (K^\circ_{S_1}(\G) \rtimes (\cdots \rtimes (K^\circ_{S_{e-2}}(\G) \rtimes K^\circ_{S_{e-1}}(\G))\cdots))$ et, pour $0\leq k \leq e-1$, $K^\circ_{S_k}(\G) \approx [(C^2(s'_k))^\star] \times [(C^2(s_{e-k}))^\star] \approx (\F_2)^{e-k} \times (\F_2)^{e-k} \approx (\F_2)^{2(e-k)}$.\\

Supposons $e = \infty$. Alors $Aut(\G) = \{1\}$, donc $Aut([S],[S]_c) = K^\circ(\G)$. 

On voit que $S$ est d'�paisseur infinie, avec $S_k = \{s'_k\}$, pour tout $k\in \N$, et $S_\infty = \{s_k \mid k\in \N\}$. On ne peut donc pas appliquer le th�or�me \ref{d�comp de KY} � $S$ ; cependant, la proposition \ref{decomp} reste valable : si l'on pose $X = \{s_k \mid k \in \N\}$ et $X' = \{s'_k \mid k \in \N\}$, alors $X$ et $X'$ sont satur�es, donc d'apr�s la proposition \ref{decomp}, $K^\circ_X(\G)$ et $K^\circ_{X'}(\G)$ sont distingu�s dans $K^\circ(\G)$ et $K^\circ(\G) = K^\circ_X(\G) \times K^\circ_{X'}(\G)$. 

Le groupe $K^\circ_X(\G)$ s'identifie � un sous-groupe de $Aut([X]) = GL_{\F_2}([X])$ et, plus pr�cis�ment, si l'on fixe la base $(\{s_0\},\{s_1\}, \ldots )$ de $[X]$, au sous-groupe de $GL_{\F_2}([X])$ constitu� des matrices (infinies � droite) triangulaires sup�rieures avec des 1 sur la diagonale.

De m�me, le sous-groupe $K^\circ_{X'}(\G)$ s'identifie � un sous-groupe de $Aut([X']) = GL_{\F_2}([X'])$ et, plus pr�cis�ment, si l'on fixe la base $(\{s'_0\},\{s'_1\}, \ldots )$ de $[X']$, au sous-groupe de $GL_{\F_2}([X'])$ constitu� des matrices (infinies � droite) triangulaires inf�rieures, avec des 1 sur la diagonale et un nombre fini de $1$ dans chaque colonne, inversibles et telles que l'inverse soit de la m�me forme.
\end{ex}

\section*{R�f�rences.}

\begin{description}
\item[\textmd{[B]}] N. {\textsc{Bourbaki}}. \emph{Groupes et Alg�bres de Lie, Chapitres IV-VI.} Hermann, Paris, 1968.
\item[\textmd{[BM]}] P. {\textsc{Bahls}}, M. {\textsc{Mihalik}}. \emph{Reflection Independence In Even Coxeter Groups.} Geom. Ded. � para�tre.
\item[\textmd{[BMMN]}] N. {\textsc{Brady}}, J.P. {\textsc{MacCammond}}, B. {\textsc{M�hlherr}}, W.D. {\textsc{Neumann}}. \emph{Rigidity of Coxeter groups and Artin groups.} Geom. Ded. \textbf{94} (2002), 91-109.
\item[\textmd{[H]}] T. {\textsc{Hosaka}}. \emph{Determination up to isomorphism of Right-Angled Coxeter systems.} Proc. Japan Ac. \textbf{79} (2003), 33-35.
\item[\textmd{[M]}] B. {\textsc{M�hlherr}}. \emph{Automorphisms of graph-universal Coxeter Groups.} Journal of Algebra \textbf{200} (1998), 629-649.
\item[\textmd{[R]}] D.G. {\textsc{Radcliffe}}. \emph{Rigidity of Right-Angled Coxeter Groups.} eprint arXiv:math/9901049.
\item[\textmd{[R2]}] D.G. {\textsc{Radcliffe}}. \emph{Unique presentation of Coxeter groups and related groups.} Ph.D. Thesis, University of Wisconsin, Milwaukee (2001).
\item[\textmd{[T]}] J. {\textsc{Tits}}. \emph{Sur le groupe des automorphismes de certains groupes de Coxeter.} Journal of Algebra \textbf{113} (1988), 346-357.
\end{description}





\end{document}

Ph.D. Thesis, University of Wisconsin, Milwaukee (2001)

\begin{rema}[Isomorphismes induits par un isomorphisme de relations]\label{induction d'isomorphismes}Soit $f : (E,R) \longrightarrow (E',R')$ un isomorphisme de relations. Consid�rons la relation $R_{\cal P}$ (resp. ${R'_{\cal P}}$) sur ${\cal P}(E)$ (resp. ${\cal P}(E')$) d�crite en notation \ref{relation cal R} ci-dessus. 

{\bf a.} Comme $f$ est une bijection de $E$ sur $E'$, $f$ induit un isomorphisme de $\F_2$-espaces vectoriels qui respecte l'inclusion et le cardinal, de ${\cal P}(E)$ sur ${\cal P}(E')$ (resp. de $[E]$ sur $[E']$), donn� par $X \mapsto f(X)$ (cf. remarque \ref{Rq tilde f} a). 

{\bf b.} De plus, comme $f$ respecte les relations $R$ et $R'$, on v�rifie que $X \mapsto f(X)$ envoie ${\cal P}_c(E)$ sur ${\cal P}_c(E')$ (resp. $[E]_c$ sur $[E']_c$), et induit donc par restrictions, pour ${\cal X} \subseteq {\cal P}_c(E)$, un isomorphisme de relations qui respecte l'inclusion et le cardinal de $({\cal X},{R_{\cal P}})$ sur $(f({\cal X}),{R'_{\cal P}})$.
\end{rema}

\begin{rema}[Exemples d'isomorphismes de relations induits par un isomorphisme de relations]\label{induction d'isomorphismes2}{\bf a.} Reprenons les notations des remarques \ref{induction d'isomorphismes} a et b. Soit $f : (E,R) \longrightarrow (E',R')$ un isomorphisme de relations. Il est clair que l'isomorphisme de 2-groupes �l�mentaires ${\cal P}(E)\longrightarrow {\cal P}(E'),\ X \longmapsto f(X)$ envoie le commutant d'une partie $X$ de $E$ sur le commutant de la partie $f(X)$ de $E'$. On v�rifie alors que cet isomorphisme envoie ${\cal C}(E,R)$ sur ${\cal C}(E',R')$ et ${\cal N}(E,R)$ sur ${\cal N}(E',R')$. 

{\bf b.} L'isomorphisme $X \longmapsto f(X)$ induit donc (par restrictions) un isomorphisme de relations qui respecte l'inclusion et le cardinal, de $({\cal C}(E,R),{R_{\cal P}})$ sur $({\cal C}(E',R'),{R'_{\cal P}})$, et un isomorphisme de relations qui respecte le cardinal, de $({\cal N}(E,R),{R_{\cal P}})$ sur $({\cal N}(E',R'),{R'_{\cal P}})$. \\
\end{rema}

La proposition qui suit donne une r�ciproque (partielle) � la remarque \ref{induction d'isomorphismes2} b ci-dessus : 

notons encore $\G$ le graphe associ� � la matrice $\G$ (voir l'introduction) et, pour $X \subseteq S$, $\G_X$ le sous-graphe {\it plein} de $\G$ d'ensemble de sommets $X$ (i.e. le graphe d'ensemble de sommets $X$ dont les ar�tes sont {\it toutes} les ar�tes de $\G$ joignant deux sommets de $X$) et $\bar\G_X$ le graphe compl�mentaire de $\G_X$ (i.e. le graphe d'ensemble de sommets $X$ dont les ar�tes sont exactement les paires d'�l�ments de $X$ qui ne sont pas des ar�tes de $\G_X$), alors : 

: en effet, $Aut(\G) \subseteq Aut(W,{^W\negthickspace S})$, et, r�ciproquement, pour $\p \in Aut([S],[S]_c) \setminus Aut(\G)$, il existe n�cessairement $s\in S$ et $X\in [S]_c$ de cardinal $\geq 2$ tels que $\p(s) = \prod_{x\in X}x$, et $\prod_{x\in X}x \not \in {^W\negthickspace S}$ 

Soit $x\in X\cap D_\p$ et soit $y \in C^2(x)$. Alors ou bien $y\not \in D_\p = D_{\p^{-1}}$, auquel cas $\p(\{y\}) = \p^{-1}(\{y\}) = \{y\} = \p_X(\{y\}) = (\p^{-1})_X(\{y\})$ ; ou bien $y\in D_\p$ auquel cas, comme $X$ est $D_\p$-satur�e, on a n�cessairement $y \in X$, d'o� $\p_X(\{y\}) = \p(\{y\})$ et $(\p^{-1})_X(\{y\}) = \p^{-1}(\{y\})$. On voit donc que $\p_X$ (resp. $(\p^{-1})_X$) co�ncide avec $\p$ (resp. $\p^{-1}$) sur tous les singletons de $C^2(x)$, donc sur $[C^2(x)]$. 

