Quelques aspects diophantiens des\\ vari{\'e}t{\'e}s toriques projectives
Patrice Philippon
% \setlength{\baselineskip}{12pt} On prsente plusieurs facettes des vari{\'e}t{\'e}s toriques projectives, intressantes du point de vue de la gomtrie diophantienne. On montre comment la thorie s'explicite sur un certain nombre d'exemples significatifs et on tablit galement un thorme de type Bzout pour les poids de Chow des varits projectives.
bezout.tex
% Date de cette version: 8/5/2006
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% SECTION

\typeout{Poids de Chow et hauteur des diviseurs monomiaux} 

\section{Poids de Chow et hauteur des diviseurs monomiaux} \label{diviseurs}


Dans ce paragraphe on consid{\`e}re l'intersection d'une vari{\'e}t{\'e} torique
avec un diviseur monomial de $\P^N$. 
On montrera comment dans cette situation, le th{\'e}or{\`e}me de B{\'e}zout 
pour les poids de 
Chow (Th{\'e}or{\`e}me~\ref{BezoutpoidsChow} de l'introduction et 
Th�or�me~\ref{Bezoutvar}) 
s'explicite comme la
d{\'e}composition poly\'edrale d'un certain volume, et dans cette situation peut se 
d�montrer de fa�on ind�pendante.  
En combinant ceci avec la formule pour la hauteur d'une vari�t� torique 
(th�or�me~\ref{thmprincipal}), on obtient 
un th{\'e}or{\`e}me de B{\'e}zout arithm{\'e}tique pour 
la hauteur normalis�e du cycle intersection
d'une vari{\'e}t{\'e} torique avec un diviseur monomial. 

\medskip 

Soient $\geom \in (\Z^n)^{N+1}$ tel que $L_{\geom}=\Z^n$  
et $b \in \Z^{N+1}$, notons $X_\geom \subset \P^N$ et $\div(x^b) \in 
\Div(\P^N)$ la vari{\'e}t{\'e} torique et le diviseur monomial associ{\'e}s. 
On s'int�ressera au cycle intersection 
d{\'e}coup{\'e} sur $X_\geom$ par le mon{\^o}me $x^b$; 
le lemme ci-dessous explicite ce cycle. 



Pour chaque hyperface $F\in F_{n-1}(Q_\cA)$ on consid�re 
la vari�t� 
$X_{\cA,F}  \subset \P^N$, adh�rence de Zariski de l'orbite 
associ{\'e}e $X_{\cA, F}^\circ$.
On consid�re aussi l'hyperplan
d'appui $H_F \subset \R^n$ de cette face et 
$H_{F}^\Z:=H_F \cap \Z^n$; fixons �galement un point quelconque $a_F \in F$.  
Notons $L_{\geom, F}$ 
le $\Z$-module engendr{\'e} par les diff{\'e}rences
des {\'e}l{\'e}ments de $\geom\cap F$, qui est un sous-r{\'e}seau de $H_F^\Z -a_F $ d'indice  
$$
i(\cA;F) := [ H_{F}^\Z-a_F : L_{\geom,F} ] \enspace.
$$
Rappelons que $v_F \in \Z^n$ d{\'e}signe le plus petit vecteur entier, orthogonal {\`a} $H_F$ et dirig{\'e} vers l'int{\'e}rieur de $Q_{\geom}$. On pose $M_\cA(b) = b_0\,a_0 + \cdots + b_N\,a_N \in \Z^n$ et $D:= \deg(x^b) =\sum_{j=0}^N b_j$. 

\begin{lem} \label{oignon} 
Avec les notations ci-dessus, on a 
$$
X_\geom \cdot \div(x^b)
= \sum_{F \in \faces_{n-1}(Q_\geom)} 
 \langle M_\cA(b)  -D\, a_F,v_F\rangle \, i(\cA;F) \,
[X_{\cA, F} ] 
\ \in Z_{n-1}(\P^N)
$$
o{\`u} $\langle\cdot,\cdot\rangle$ d{\'e}signe le produit scalaire 
ordinaire de $\R^n$ et $[X_{\cA,F}]$ le cycle d�fini par $X_{\cA,F}$. 
\end{lem} 

En particulier, un cycle  $[X_{\cA,F}]$ intervient comme composante de 
$X_\cA\cdot \div(x^b)$ si et seulement si $M_\cA(b)$ 
n'appartient pas � l'hyperplan  $H_F+(D-1)a_F$.

\begin{demo}
Gr{\^a}ce {\`a} la d{\'e}composition en orbites~(\ref{decomposition}) 
on v�rifie que le cycle consid�r� est support� par la r{\'e}union
des orbites de codimension 1, celles-ci correspondant aux hyperfaces de $Q_\cA$, soit   
$$
\bigcup_{F \in \faces_{n-1}(Q_\geom)} X_{\cA, F} \enspace.  
$$
Explicitons les multiplicit�s correspondantes.  
Par lin{\'e}arit{\'e} on peut se ramener \spdg
au cas o{\`u} $b=e_i$ est un des vecteurs
de la base standard de $\R^{N+1}$ pour un certain $0\le i \le N$, \cad
$x^b=x_i$. Fixons une hyperface $F$ 
et soit $a_{j} \in F$ un sommet quelconque. 
Consid�rons le c{\^o}ne 
dual de l'angle de $Q_\geom$ en $a_j$: 
$$
\sigma:=  \Big\{ u \in \R^n \, : \, \langle u, a_k -a_j \rangle \ge 0 
\mbox{ pour }  k=0, \dots, N \Big\} \subset \R^n \enspace,  
$$
et soit $U_\sigma$ la vari{\'e}t{\'e} torique affine 
correspondante,
d{\'e}finie par 
$$
U_\sigma := \Spec(\Qbar[S_\sigma])
$$
o{\`u} $S_\sigma:= \sigma^\vee \cap \Z^n$
est le semi-groupe des points entiers dans l'angle
de $Q_\geom$ en $a_j$~\cite[\S~1.3]{Ful93}.
Consid{\'e}rons encore l'application naturelle 
$ N: U_\sigma \to (X_\geom)_{x_j}  \subset (\P^N)_{x_j}$
donn{\'e}e par l'inclusion d'alg{\`e}bres
$$
\Qbar[(X_\geom)_{x_j}] =  \Qbar[s^{a_0 - a_j}, \dots, s^{a_N-a_j}] 
\hookrightarrow \Qbar[S_\sigma] = \Qbar[U_\sigma] \enspace. 
$$
La vari{\'e}t{\'e} $U_\sigma$ est {\it normale} car $S_\sigma$ est un
semi-groupe satur{\'e}, et de ce fait  $N$ est le  morphisme de 
normalisation de la carte affine $(X_\geom)_{x_j}$~\cite[Cor.~13.6]{Stu96}. 

\smallskip 

Soit $\rho$ l'ar{\^e}te du c{\^o}ne $\sigma$ duale de la face $F$, notons
$V(\rho)$ la cl\^oture dans $U_\sigma$ de l'orbite correspondante~\cite[\S~3.1]{Ful93}. On a un diagramme commutatif
$$
\begin{array}{ccc} 
\Qbar[(X_\geom)_{x_j}] & {N_*}\atop{\displaystyle \hookrightarrow} & \Qbar[U_\sigma] \\[2mm]
\downarrow & & \downarrow \\[2mm] 
\Qbar[(X_{\cA, F})_{x_j}] & \hookrightarrow & \Qbar[V(\rho)]
\end{array} 
$$
qui implique $N^{-1}(X_{\cA, F}) = V(\rho)$ et $\deg(N|_{V(\rho)}) = [ H_{F}^\Z : L_{\geom,F} ]=i(\geom; F)$.  
Le mon{\^o}me $\chi:= N^*(x_i)= s^{a_i-a_j} \in \Qbar[s_1^{\pm 1}, \dots, s_n^{\pm 1}]$ d{\'e}finit une fonction rationnelle $U_\sigma \dashrightarrow  \Qbar$. On a $\Ord_{X_{\cA, F}} (x_i) = \deg(N|_{V(\rho)}) \,
\Ord_{V(\rho)}(\chi)$ puisque $U_\sigma$ est normal~\cite[Exerc.~1.2.3.]{Ful84}. 
On en d�duit 
$$\begin{array}{rcl}
\longueur_{\Qbar[(X_{\cA, F})_{x_j}]} \Big(\Qbar[(X_\cA)_{x_j}] / (x_i) \Big)
&= &\Ord_{X_{\cA, F}} (x_i)\\[0mm]
&= &\deg(N|_{V(\rho)}) \, \Ord_{V(\rho)}(\chi)
= i(\geom;F)  \, \Ord_{V(\rho)}(\chi)
\enspace.\end{array}$$
Finalement, le lemme de \cite[\S~3.3, p. 61]{Ful93} entra{\^\i}ne 
$
\Ord_{V(\rho)}(\chi) = \langle a_i-a_j , v_F \rangle
$
car $v_F$ est le g{\'e}n{\'e}rateur du semi-groupe $\rho \cap \Z^n \cong \N$, 
d'o{\`u} 
$$m(X_\cA\cdot\div(x_i);X_{\cA,F}) =  \longueur_{\Qbar[(X_{\cA, F})_{x_j}]} \Big(\Qbar[(X_\cA)_{x_j}] / (x_i) \Big) = \langle a_i-a_j , v_F \rangle \, i(\geom;F)
\enspace.$$ 
\end{demo}


Le th{\'e}or{\`e}me de B{\'e}zout g{\'e}om{\'e}trique 
\begin{equation}\label{Bezoutgeomtorique}
\deg \Big(X_\geom \cdot \div(x^b) \Big)= 
D \, \deg(X_\cA) 
\end{equation} 
s'interpr�te en termes de d{\'e}composition du volume du polytope $Q_\geom$~: 
on a $\deg(X_{\geom}) = n! \, {\rm Vol}_n (Q_{\geom})$ et
\begin{eqnarray*}
\deg(X_{\cA, F}) &=&(n-1)! \mu_{\cA(F)}(F) \\[2mm]
&=& \frac{(n-1)!}{\Vol_{n-1}((H_F-a_F)/L_{\cA,F})}
\, {\Vol_{n-1}(F)} 
= \frac{(n-1)!}{{i(\cA;F) \, ||v_F||_2}}
\, {\Vol_{n-1}(F)} \enspace, 
\end{eqnarray*}
{\`a} cause de la normalisation de la forme volume $\mu_{\cA(F)}$ sur $H_F$ et du fait que
$$
\Vol_{n-1}(H_F/L_{\cA,F}) = 
i(\cA; F) \cdot \Vol_{n-1}(H_F / H_{F}^\Z) = i(\cA;F)\cdot ||v_F||_2 \enspace,
$$ 
cons{\'e}quence de la formule de Brill-Gordan. On a encore 
$$ 
\langle M_\cA(b)- Da_F,v_F\rangle = 
\varepsilon(b,F)\, \Vert v_F\Vert_2 \, 
{\rm dist}(M_\cA(b),H_{F}+(D-1)a_F) 
\enspace,
$$ 
o� $\varepsilon(b,F)=+1$ si $M_\cA(b)$ et $v_F$ sont d'un m�me c�t� de l'hyperplan $H_F+(D-1)a_F$ et $\varepsilon(b,F)=-1$ sinon. 
Combin� avec le lemme~\ref{oignon} cela donne
\begin{eqnarray*}
\deg \Big(X_\geom \cdot \div(x^b) \Big)&
= &\sum_{F\in \faces_{n-1}(Q_\cA)} \langle M_\cA(b)-Da_F,v_F\rangle\,i(\cA,F)\, \deg(X_{\cA,F}) \\[0mm]
&= &\sum_{F\in \faces_{n-1}(Q_\cA)} 
\varepsilon(b,F)\, (n-1)! \, \Vol_{n-1}(F) \, 
{\rm dist}(M_\cA(b),H_{F}+(D-1)a_F)  \\[0mm]
&=& \sum_{F\in \faces_{n-1}(Q_\cA)} 
n! \, \varepsilon(b,F)\,\Vol_n(\Conv(F+(D-1)a_F,M_\cA(b)))\enspace.
\end{eqnarray*}
L'identit{\'e}~(\ref{Bezoutgeomtorique}) ci-dessus (multipli{\'e}e par $n!^{-1}$) 
se traduit ainsi en la d{\'e}composition de volume 
\begin{equation}\label{radis}
\displaystyle\sum_{F \in \faces_{n-1}(Q_\geom)}  \varepsilon(b,F)\,
\Vol_n(\Conv(F+(D-1)a_F,M_\cA(b)))
=D\, \Vol_n(Q_{\geom})
\enspace.
\end{equation}
La figure suivante illustre cette d{\'e}composition, pour 
$\geom= \Big( (1,1),(1,0),(3,1),(2,2),(0,2)\Big) \in (\Z^2)^6$ et 
$b= (1,0,0,0,0)$ (donc $M_\cA(b)=(1,1)=a_0$ et $D=1$)~:   

\vspace{-3mm} 

\begin{figure}[htbp]
$$\epsfig{file=figures/bezout-geom.eps, height= 35mm}$$
\end{figure}

\vspace{-3mm} 


Soit $\tau = (\tau_0,\dots,\tau_N)\in\Z^{N+1}$. 
Pour le cas $\tau \in (\N^\times)^{N+1}$, le th�or�me
de B�zout pour les poids de Chow (th�or�me~\ref{Bezoutvar})
s'�crit 
dans les notations du \S~\ref{Chow}
\begin{equation}\label{litchi} 
e_\tau(X_\geom \cdot  \div(x^b)) = D \, e_\tau(X_{\geom}) - \sum_{Y \in \irr( \initial_\tau(X_\cA))}  m((X_{\cA})_\tau\cdot \div(\lambda_{\tau}^*(x^b)) ;\iota(Y)) \cdot \deg(Y) 
\enspace. 
\end{equation}
On va expliciter les termes intervenant dans cet enonc�. 
Soit 
$$Q_{\geom, \tau} = \Conv((a_0,\tau_0), \dots, (a_N,\tau_N)) \subset \R^{n+1}$$ le polytope associ{\'e} au couple  ($\geom, \tau)$, 
dont la {\it toiture} $E_{\geom, \tau}$ (\cad l'enveloppe sup{\'e}rieure) 
s'envoie bijectivement sur $Q_\cA$ par la projection $\R^n \times \R \to \R^n$. 
On appelle {\it pan} de la toiture toute face de dimension $n$ de
$E_{\cA,\tau}$. 
De m{\^e}me, on appelle {\it mur} tout polytope de la forme
$\Conv( Q_{\cA(F)}, F\times\{0\})$ pour une hyperface $F$ de $ Q_\cA$; 
dans le cas
$\tau \ge 0$ ceci est un des murs de la 
{\it maison}   $\cM_{\geom,\tau }:= \Conv(Q_{\cA,\tau} \cup (Q_{\cA} \times \{ 0\}))$, \cad une face de dimension $n$ se projetant 
sur une face de dimension $n-1$ de $Q_{\geom}$.

La d\'eformation torique $(X_\cA)_\tau$ est l'adh�rence de Zariski de l'application 
$$
\G_m\times \G_m^n \to \P^1\times \P^N \enspace, \quad  
(t, s) \to \Big((1:t), (t^{\tau_0}s^{a_0}: \cdots: t^{\tau_N}s^{a_N})\Big) \enspace.
$$
C'est donc la vari�t� torique bi-projective associ�e aux vecteurs
$(0,1)\in (\Z^1)^2$ et $(\tau, \cA)=\Big((\tau_0,a_0), \dots, (\tau_N,a_N)\Big)
\in (\Z\times \Z^n)^{N+1}$, {\it voir} \S~\ref{vartor}. 
Le couple de polytopes associ� est donc 
${\mathbf 0}\times [0,1]$ et $Q_{\cA,\tau}$; 
comme cons{\'e}quence de la d{\'e}composition en orbites d�crite au~\S~\ref{vartor}, on v{\'e}rifie que
les points de $(X_\cA)_\tau$ contenus dans l'hyperplan 
$\{(0:1)\}\times\P^N$ correspondent n�cessairement aux couples de 
faces de la forme $(\{ ({\mathbf 0},1)\},F) $ avec 
$F \in \Faces_n(E_{\cA,\tau})$. 
On voit ainsi qu'il y a bijection entre les pans de $E_{\cA,\tau}$ et les orbites de $X_{\cA,\tau}$ contenues dans l'hyperplan $\{(0:1)\}\times\P^N$, en particulier le support de $X_{\cA,\tau} \cdot (\{(0:1)\}\times\P^N)$ est contenu dans
$$
\bigcup_{P \in \faces_{n}(E_{\geom,\tau})} X_{\cA, \tau, P} \enspace.
$$
L'identification $\iota: \P^N \to \{(0:1)\}\times\P^N \subset \P^1\times\P^N$ met en correspondance le cycle $X_{\cA,\tau} \cdot (\{(0:1)\}\times\P^N)$ et la vari�t� initiale $\init_\tau(X_\cA)$, on en d{\'e}duit qu'il y a bijection entre les composantes de $\init_\tau(X_\geom)$ et les pans de $E_{\cA,\tau}$. 

Pour chaque pan $P$ 
on consid�re son hyperplan
d'appui $H_P \subset \R^{n+1}$, 
posons $L_{\geom, \tau, P} \subset \Z^{n+1}$ 
le $\Z$-module engendr{\'e} par les diff{\'e}rences
des {\'e}l{\'e}ments de $(\tau,\geom) \cap P$. 
Modulo une translation, ce dernier    
est un sous-r{\'e}seau de $H_P^\Z:=H_P \cap \Z^{n+1}$ d'indice  
$$
i(\cA, \tau;P) := [ H_{P}^\Z : L_{\geom, \tau,P} ] \enspace.
$$
Avec ces notations, d'apr{\`e}s~\cite[formule (27), page~222]{Stu94} 
({\it voir} aussi~\cite[Thm. 5.3.]{KSZ92}),  on a
$$
X_{\cA,\tau} \cdot (\{(0:1)\}\times\P^N)=\iota(\init_\tau(X_\geom))
= \sum_{P \in \faces_n(E_{\geom,\tau})} 
i(\cA, \tau;P) 
\, [X_{\geom,\tau,P}] \enspace.     
$$
Pour chaque pan $P$ on note $(v_P,w_P) \in \Z^n\times\Z $ le plus
petit vecteur entier orthogonal au plan d'appui $H_P \subset \R^{n+1}$
tel que $w_P <0$. 
On note aussi  $(a_P,\tau_P)$ un point quelconque de $P$. 

\medskip


Le vecteur $\tau$ induit une {\it d{\'e}composition poly\'edrale  coh{\'e}rente}  
$\DPC_\tau(Q_\cA) $ du polytope de base $Q_\geom$. Les faces $S$ de dimension $n$ de cette d{\'e}composition sont en correspondance avec les pans de la toiture; pour $S \in\DPC_\tau(Q_\cA) $ on {\'e}crit $\Pan(S) \in \Faces_{n}(E_{\cA,\tau})$ pour le pan correspondant. 



\begin{lem} \label{ratatouille} 
Soient $\tau\in \Z^{N+1}$ et $P \in \Faces_n(E_{\cA,\tau})$ un pan de la toiture de $Q_{\cA,\tau}$
alors, 
$$
m(X_{\cA,\tau} \cdot \div(\lambda_\tau^*(x^b)); X_{\cA,\tau,P}) = ( \langle M_\cA(b) - D\,a_P, v_P \rangle - D\, \tau_P\, w_P ) \, i(\cA,\tau; P) 
\enspace,$$
avec $\lambda_{\tau}^*(x^b) = (t^{\tau_0} x_0, \dots, t^{\tau_N}x_N)^b=t_0^{b_0\tau_0+\dots+b_N\tau_N}x^b$. 
\end{lem} 

\begin{demo} 
Cette d{\'e}monstration �tant tout {\`a} fait analogue {\`a} celle du
lemme~\ref{oignon}, on n'indiquera que les pas principaux. 

\smallskip 
 
Par lin{\'e}arit{\'e} on peut se ramener au cas o{\`u} $b=e_i$ est un des vecteurs de la base standard de $\R^{N+1}$, 
donc $x^b=x_i$. Soit $(a_j,\tau_j)$ un {sommet} quelconque du pan $P$, on se place dans la carte affine $\A^1\times \A^N \subset \P^1\times\P^N$ correspondant {\`a} $t_1 \ne 0$ et $x_j \ne 0$ (puisqu'on veut calculer une multiplicit{\'e} le long d'une sous-vari{\'e}t{\'e} de $Z(t_0)$). Dans cette carte, l'application monomiale s'{\'e}crit
$$
\G_m\times \G_m^n \to \A^1\times \A^N \enspace, \quad \quad 
(t,s) \mapsto \Big(t; t^{\tau_j-\tau_0} \, s^{a_0-a_j}, \dots,
t^{\tau_j-\tau_N} \, s^{a_N-a_j} \Big) 
$$
et donc l'alg{\`e}bre de cette carte affine de   $X_{\cA,\tau}$ est 
$$
\Qbar[(X_{\cA,\tau})_{t_1,x_j}]=
\Qbar\Big[t, t^{\tau_j-\tau_0} \, s^{a_0-a_j}, \dots,
t^{\tau_j-\tau_N} \, s^{a_N-a_j} \Big] \enspace.
$$ 
La normalisation de cette alg{\`e}bre correspond au c{\^o}ne 
$$
\sigma:= \{(u,v) \in \R^n \times \R \, : \  
v \ge 0, \langle u,a_k-a_j\rangle + v \, (\tau_j-\tau_k) \ge 0, \ k=0, \dots, N\} \enspace. 
$$
Le reste de la d{\'e}monstration suit les lignes de celle du lemme~\ref{oignon}, en consid{\'e}rant la normalisation de 
$(X_{\cA,\tau})_{t_1,x_j}$ donn{\'e}e par le semi-groupe des points entiers $S_\sigma:= \sigma^\vee \cap \Z^n$. 

L'hyperplan $H_P \subset \R^{n+1}$ est un des plans d'appui du c{\^o}ne $\sigma^\vee$, car $P$ est un pan. 
Il d{\'e}finit donc une ar{\^e}te $\rho$ du c{\^o}ne dual $\sigma$, dont le semi-groupe $\rho \cap \Z^n$ est engendr{\'e} par $(v_P,-w_P) $. Comme $\lambda_{\tau}^*(x_i) =t^{\tau_i}x_i = t^{\tau_j}s^{a_i-a_j}$ sur la carte consid�r�e, on en conclut
\begin{eqnarray*} 
m(X_{\cA,\tau} \cdot \div(\lambda_{\tau}^*(x_i)); X_{\cA,\tau,P}) &=& 
\langle (a_i,0)-(a_j, -\tau_j) , (v_P,-w_P)  \rangle \,
i(\cA,\tau; P) \\[2mm] 
&=& ( \langle a_i-a_j, v_P \rangle - \tau_j\, w_P ) \, i(\cA,\tau; P) \enspace. 
\end{eqnarray*}
\end{demo}

\begin{prop} \label{aneth}
Soit $\cA\subset (\Z^n)^{N+1}$ tel que $L_\cA=\Z^n$, $b\in\Z^{N+1}$ et $\tau \in \N^{N+1}$, alors l'\'egalit\'e~(\ref{litchi}) correspond terme \`a terme \`a la suivante, multipli\'ee par $(n+1)!$,
$$\begin{array}{rcl} 
\displaystyle D\,{\rm Vol}_{n+1}(\cM_{\cA,\tau}) &\kern-1mm= &\kern-2mm\displaystyle\sum_{F \in \faces_{n-1}(Q_\geom)} \varepsilon(b,F)\Vol_{n+1} (\Conv(M(F)+(D-1)(a_F,0),(M_\cA(b),0)))\\[8mm] 
&&\displaystyle\kern3mm+ \sum_{P \in \faces_n(E_{\cA,\tau})} \varepsilon(b,P)\Vol_{n+1}(\Conv(P+(D-1)(a_P,\tau_P), (M_\cA(b),0))) 
\end{array}$$ 
o� $\varepsilon(b,F)=+1$ ({\it resp.} $\varepsilon(b,P)=+1$) si $M_\cA(b)$ et $v_F$ ({\it resp.} $(M_\cA(b),0)$ et $(v_P,w_P)$) sont d'un m�me c�t� de l'hyperplan $H_F+(D-1)a_F$ ({\it resp.} $H_P+(D-1)(a_P,\tau_P)$) et $\varepsilon(b,F)=-1$ ({\it resp.} $\varepsilon(b,P)=-1$) sinon. 
\end{prop}

La figure suivante (pour $b=e_i$, $D=1$ et $M_\cA(b)=a_i$) illustre cette d�composition:  

\begin{figure}[htbp]
\vbox to30mm{$$
\epsfig{file=figures/bezout-poids.eps, height= 35 mm}
$$}
\vspace*{-0mm} 
\end{figure}

\begin{demo}
%Soit $\chi:=t^{D\tau_P}\,s^{M_\cA(b)-a_P} \in \ov{\Q}[t^{\pm 1}, s_1^{\pm 1}, \dots, s_n^{\pm 1}]$, c'est une fonction rationnelle sur $X_{\cA,\tau}$ ayant $\div(\lambda_{\tau}^*(x^b))$ comme diviseur dans la carte $t_1\not=0$, $x_j\not=0$. Consid�rons le sous-groupe � un param�tre $\nu: \G_m \rightarrow \G_m^{n+1}$, $z\mapsto (z^{v_{P,1}},\dots,z^{v_{P,n}},z^{-w_P})$, on v�rifie ais�ment
%$$\Ord_z(\chi\circ\nu) = \langle M_\cA(b) - a_P, v_P \rangle - D\, \tau_P\, w_P = \Ord_{V(\rho)}(\chi)\enspace.$$

Montrons comment~(\ref{litchi}) se traduit en la d{\'e}composition de l'int{\'e}grale de la fonction $\vartheta_{\cA,\tau}: Q_\cA \to \R$ param{\'e}trant la toiture $E_{\cA,\tau}$ de la proposition~\ref{aneth}. On a d'abord 
$$
e_\tau(X_\cA) = (n+1)!\, \int_{Q_\cA} \vartheta_{\cA, \tau}(u) \, du_1
\cdots du_n = (n+1)!\, \Vol_{n+1} (\cM_{\cA,\tau}) 
$$
puis, par le lemme~\ref{oignon} il vient
$$
e_\tau(X_\geom \cdot \div(x^b) ) = \sum_{F \in \faces_{n-1}(Q_\geom)} \langle M_\cA(b)  - D\, a_F,v_F\rangle \, i(\cA;F) \, e_\tau(X_{\cA, F})
\enspace,$$
et pour chaque face $F$ de $Q_\cA$  
$$
e_\tau(X_{\cA, F}) = \frac{n!}{i(\cA;F) \, ||v_F||_2}  \, 
\int_F \vartheta_{\cA, \tau} \, d\mu_{n-1} 
= \frac{n!}{i(\cA;F) \, ||v_F||_2}  \, \Vol_{n} (M(F))
$$
o{\`u} $M(F) \subset \R^{n+1}$ d{\'e}signe le mur de la maison $\cM_{\cA,\tau}$ au-dessus de $F$. Ainsi
$$\begin{array}{rcl} 
\langle M_\cA(b)-D\, a_F,v_F\rangle\,i(\cA;F)\,e_\tau(X_{\cA, F}) 
&\kern-2mm=&\kern-2mm n!\,\varepsilon(b,F)\dist(M_\cA(b),F+(D-1)a_F)\,\Vol_{n} (M(F))\\[3mm] 
&\kern-5.8cm=&\kern-3cm (n+1)!\,\varepsilon(b,F)\Vol_{n+1}(\Conv(M(F)+(D-1)(a_F,0),(M_\cA(b),0))) 
\enspace.\end{array}$$ 

Finalement, soit $Y$ une composante irr{\'e}ductible de
$\init_\tau(X_\cA)$ puis $S \in \DPC_\tau(Q_\geom)$ et $P:= \Pan(S) \in
\Faces_n(E_{\cA,\tau})$ les faces correspondantes dans la subdivision
et dans la toiture respectivement, on a 
$$
\deg(Y) =  \frac{n!}{i(\cA; S)} \Vol_n(S) = \frac{n!}{ i(\cA,\tau;P) 
 \, ||(v_P,w_P)||_2} \, \Vol_{n} (P) \enspace. 
$$ 
Le lemme~\ref{ratatouille} entra{\^\i}ne alors
$$\begin{array}{rcl} 
m(X_{\cA,\tau}\cdot \div(\lambda_{\tau}^*(x^b));\iota(Y)) \, \deg(Y)
&\kern-3mm= &\kern-3mm\frac{n!}{||(v_P,w_P)||_2} \,  \langle (M_\cA(b),0)\kern-1mm -\kern-1mm D\, (a_P,\tau_P), (v_P,w_P) \rangle  \, \Vol_{n} (P) \\[3mm] 
&\kern-4cm= &\kern-2.1cm(n+1)! \,\varepsilon(b,P) \Vol_{n+1}(\Conv(P+(D-1)(a_P,\tau_P), (M_\cA(b),0))) \enspace. 
\end{array}$$ 
En regroupant ces calculs on voit que l'identit{\'e}~(\ref{litchi}) (multipli{\'e}e par $\frac{1}{(n+1)!}$)  
se traduit dans la d{\'e}compo\-si\-tion cherch�e.  
\end{demo}



Pour $S \in \DPC_\tau(Q_\cA)$ on d�finit  $\theta_{\tau, S} (b) \in \R$ l'unique r{\'e}el tel que $\big( M_\cA(b), \theta_{\tau, S} (b) \big) \in H_{\pan(S)}+(D-1)(a_{\pan(S)},\tau_{\pan(S)})$. Le lemme suivant explicite cette quantit�. 

 
\begin{lem} \label{theta}
Soit $S \in \DPC_\tau(Q_\geom) $ et  $a_{j_0}, \dots , a_{j_n} \in S $ des vecteurs affinement ind\'e\-pen\-dants. Soit $b \in \Z^{N+1}$ et $D:= \sum_{j=0}^N b_j$, alors
$$
\begin{array}{rll}
\theta_{\tau,S}(b)
\cdot \det  
\left[ 
\begin{array}{ccc} 
1 & \dots & 1 \\[1mm] 
a_{j_0,1} & \cdots & a_{j_n,1} \\[1mm] 
\vdots & \ddots & \vdots \\[1mm] 
a_{j_0,n} & \cdots & a_{j_n,n} 
\end{array}
\right] 
&= &
-\det \left[
\begin{array}{ccccccc}
1       & \dots  &1           & D \\[1mm] 
a_{j_0,1} & \dots  &a_{j_n,1} & M_\cA(b)_1 \\[1mm] 
\vdots  & \ddots &\vdots      & \vdots\\ [1mm] 
a_{j_0,n} & \dots  &a_{j_{n},n} & M_\cA(b)_n \\[1mm]
\tau_{j_0}     & \dots  & \tau_{j_n}      & 0 
\end{array}
\right]\enspace. 
\end{array}
$$
\end{lem} 

En triangulant $S$ par des simplexes et en utilisant la relation entre d\'eterminant et volume, on peut r{\'e}�crire ceci sous la forme (on pose $P=\Pan(S)$)~:
\begin{equation}\label{parmentier}
\begin{array}{rcl}
\theta_{\tau,S}(b) \, \Vol_n(S) &\kern-3mm= &\kern-3mm(n+1) \, \varepsilon(b,P) \Vol_{n+1}\Big( \Conv(P+(D-1)(a_{P},\tau_{P}), (M_\cA(b),0)) \Big)\\
&\kern-3mm= &\kern-3mm m(X_{\cA,\tau}\cdot\div(\lambda_{\tau}^*(x^b));\iota(Y)) \, \deg(Y)
\end{array}
\end{equation}
qui s'interpr\`ete comme l'{\'e}galit{\'e} des volumes montr�s dans la figure suivante (lorsque $D=1$ et en posant $a=M_\cA(b)$)~: 

\vspace{-3mm}
\begin{figure}[htbp]
$$
\epsfig{file=figures/triangles.eps, height= 35 mm}
$$
\end{figure}

\vspace*{-7mm} 

\begin{demo} 
C'est un calcul direct de l'intersection des espaces lin{\'e}aires $H_{\pan(S)}+(D-1)(a_{\pan(S)},\tau_{\pan(S)})$ et $\{M_\cA(b)\}\times\R$~: on a 
$\theta_{\tau,S}(b) = \sum_{i=0}^n v_i \, \tau_{j_i}$ o{\`u} $v= (v_0, \dots, v_n) \in \R^{n+1} $ est l'unique 
solution du syst{\`e}me lin{\'e}aire 
$$
 \sum_{i=0}^n v_i = D\quad, \quad \quad 
 \sum_{i=0}^n v_i \, a_{j_i}=M_\cA(b) \enspace. 
$$
On r{\'e}sout ce syst{\`e}me par les formules de Cramer et on trouve ainsi 
$$
\theta_{\tau,S}(b)\cdot 
\det 
\begin{bmatrix}
1 & \dots & 1 \\[1mm] 
a_{j_0,1} & \cdots & a_{j_n,1} \\[1mm] 
\vdots & \ddots & \vdots \\[1mm] 
a_{j_0,n} & \cdots & a_{j_n,n} 
\end{bmatrix}
\kern-1mm = \displaystyle \sum_{i=0}^{n} 
\tau_{j_i} 
\,  \det
\begin{bmatrix}
1 &\dots &1 &\kern-1mm D &\kern-1mm 1 &\dots &1 \\[1mm] 
a_{j_0,1} &\dots &a_{j_{i-1},1} &\kern-1mm M_\cA(b)_1 &\kern-1mm a_{j_{i+1} ,1} &\dots &a_{j_{n},1}\\[1mm] 
\vdots & \ddots &\vdots &\vdots &\vdots & \ddots &\vdots\\[1mm] 
a_{j_0,n} &\dots &a_{j_{i-1},n} &\kern-1mm M_\cA(b)_n &\kern-1mm a_{j_{i+1},n} &\dots &a_{j_{n},n}
\end{bmatrix}
$$
qui est le d\'eveloppement du d\'eterminant dans le membre droite de l'�nonc�, par rapport � la derni{\`e}re ligne. 
\end{demo} 


Ceci permet d'{\'e}crire l'identit{\'e}~(\ref{litchi}) de la fa{\c c}on
suivante: 

\begin{prop}\label{Bezoutnorm}
Soit $\geom \in (\Z^n)^{N+1}$, $b \in \Z^{N+1}$ et $\tau = (\tau_0, \dots, \tau_N) \in \R^{N+1}$, posons $D:= \sum_{j=0}^N b_j$, alors
$$
e_\tau \Big( X_\geom \cdot \div(x^b) \Big) = D \, e_\tau(X_{\geom}) - n! \, \sum_{S \in \dpc_\tau(Q_\geom)} \theta_{\tau, S}(b) \, \Vol_n (S)
$$
o{\`u} la seconde somme porte sur les faces $S$ de dimension $n$ de la d{\'e}composition poly\'edrale $\DPC_\tau(Q_{\geom})$. 
\end{prop}

\begin{demo}
Le cas $\tau\in \N^{N+1}$ r\'esulte de la proposition~\ref{aneth} et de~(\ref{parmentier}). Ceci s'�tend successivement � $\tau \in \Z^{N+1}$ � cause de l'invariance de la formule par remplacement de $\tau$ par $\tau+c\cdot (1,\dots, 1)$ avec $c\in \N$. 
Puis, la formule s'�tend � $\tau\in \Q^{N+1}$ par homog\'en\'eit\'e et finalement � $\tau\in \R^{N+1}$ par continuit�. 
\end{demo}

Avec la notation~(\ref{defvaluationrelative}) on peut encore �crire cet �nonc� sous la forme~:
$$w_{X_{\cA,\tau}}(x^b) = - \sum_{S\in\dpc_\tau(Q_\geom)} \theta_{\tau, S}(b).\frac{\Vol_n (S)}{\Vol_n (Q_\cA)}\enspace,$$
dont on v�rifie, par continuit� et homog�n�it�, la validit� pour tout $\tau\in\R^{N+1}$.
Dans le cas o{\`u} $\div(x^b)$ est effectif, \cad quand $b\in\N^{N+1}$, on
a 
$
\theta_{\tau,S} (b) \ge \tau_0 \, b_0 + \cdots + \tau_N \, b_N
$
pour tout $S \in \DPC_\tau(Q_\cA)$ {\`a} cause de la concavit{\'e} de la
toiture du polytope $Q_{\cA,\tau}$, et donc
$$
(\tau_0 \, b_0 + \cdots + \tau_N \, b_N)
\, \deg(X_\cA) \le n!\, \sum_{S \in \dpc_\tau(Q_\cA)} \theta_{\tau,S} (b)
\, \Vol_n(S) \enspace, 
$$
ainsi
\begin{equation} \label{sauterelle} 
e_\tau \Big( X_\geom \cdot \div(x^b) \Big) 
\le D \, e_\tau(X_{\geom}) - (\tau_0 \, b_0 + \cdots + \tau_N \, b_N)
\, \deg(X_\cA)  \enspace. 
\end{equation} 
Alternativement, on peut d{\'e}montrer cette in{\'e}galit{\'e} par 
application directe du th{\'e}or{\`e}me~\ref{BezoutpoidsChow} et de l'exemple~\ref{poidshyper}. 

\medskip 
On en d\'eduit 
un th{\'e}or{\`e}me de B{\'e}zout arithm{\'e}tique {\it exact} pour la hauteur normalis�e de  l'intersection d'une vari{\'e}t{\'e} torique avec un diviseur monomial:

\begin{cor} \label{capre} 
Soit $K$ un corps de nombres, $\cA \in (\Z^n)^{N+1} $ tel que $L_\cA=\Z^n$, $\alpha \in (K^\times)^{N+1}$ et $b \in \Z^{N+1}$. Posons 
$\tau_{\alpha\,v}= (\log|\alpha_0|_v, \dots,\log|\alpha_N|_v) $ pour toute place $v\in M_K$
et  $D:= \sum_{j=1}^N b_j$, alors
\begin{eqnarray*}
\wh{h} (X_{\arith}\cdot \div(x^b)) 
&=& D \wh{h}(X_\arith)  - n! \, \sum_{v\in M_K} \frac{[K_v : \Q_v]}{[K:\Q]} \sum_{S\in\dpc_{\tau_{\alpha\,v}}(Q_\geom)} \theta_{\tau_{\alpha\,v},S}(b)\Vol_{n} (S) \\
&=& D \wh{h}(X_\arith)  + \bigg( \sum_{v\in M_K} \frac{[K_v : \Q_v]}{[K:\Q]}
w_{X_{\cA,\tau_{\alpha\, v}}}(x^b) \bigg) \deg(X_\arith)
\enspace.
\end{eqnarray*}
En particulier, si $\div(x^b)$ est effectif (\cad $b\in\N^{N+1}$) on a $\wh{h} ( X_{\arith}\cdot \div(x^b) ) \le  D \, \wh{h}(X_\arith)$. 
\end{cor}

\begin{demo} 
Pour l'identit\'e on remarque que $X_\arith\cdot \div(x^b) = \alpha(X_\cA\cdot \div(x^b))$. En sommant sur $v\in M_K$ l'\'egalit\'e de la proposition~\ref{Bezoutnorm} avec les coefficients $\frac{[K_v : \Q_v]}{[K:\Q]}$, on conclut gr\^ace au th\'eor\`eme~\ref{thmprincipal}. 

Pour �tablir l'in{\'e}galit{\'e}, on a par~(\ref{sauterelle})
\begin{eqnarray*}
\wh{h} (X_{\arith}\cdot \div(x^b)) 
%&= &D \wh{h}(X_\arith)  - n! \, \sum_{v\in M_K} \frac{[K_v : \Q_v]}{[K:\Q]}
%\sum_{S\in\dpc_{\tau_{\alpha\,v}}(Q_\geom)} 
%\theta_{\tau_{\alpha\,v},S}(b)\Vol_{n} (S)\\[2mm]
&\le &D \wh{h}(X_\arith)  - \sum_{v\in M_K} 
\frac{[K_v : \Q_v]}{[K:\Q]}
 (\tau_{\alpha\,v,0} \, b_0 + \cdots + \tau_{\alpha\,v,N} \, b_N) \cdot
\, \deg(X_\cA) \\[2mm] 
&\leq &D \wh{h}(X_\arith)
\end{eqnarray*} 
car $\displaystyle \sum_{v\in M_K} \frac{[K_v : \Q_v]}{[K:\Q]} \tau_{\alpha\,v,i}=0$ pour $i=0,\dots,N$, gr{\^a}ce {\`a} la formule du produit. 
\end{demo} 

Si l'on d�finit la hauteur de $x^b$ relative � la vari�t� $X_\arith$ par la formule
$$
\hnorm_{X_\arith}(x^b)
:= \sum_{v\in M_K} \frac{[K_v : \Q_v]}{[K:\Q]}\, w_{X_{\cA,\tau_{\alpha\,v}}}(x^b) 
$$
le r�sultat pr�c\'edent se r\'e�crit 
$$
\wh{h} (X_{\arith}\cdot \div(x^b)) 
=D \wh{h}(X_\arith)  + \hnorm_{X_\arith}(x^b)\cdot \deg(X_{\cA,\alpha})
\enspace.$$

chowethaut.tex
% Date de cette version: 5/5/2006
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% SECTION: Poids de Chow

\typeout{Un th�or�me de B�zout pour les poids de Chow}

\section{Un th�or�me de B�zout pour les poids de Chow}\label{Chow}

Soit $X\subset{\bf P}^N$ et $\tau=(\tau_0,\dots,\tau_N)\in{\bf R}^{N+1}$, 
rappelons que $e_\tau(X)\in \R$ d�signe le $\tau$-poids de Chow de $X$ d�fini 
dans l'introduction. 

\medskip

Pour $\lambda\in{\bf R}^+$ on a $e_{\lambda\tau}(X) = \lambda \, e_\tau(X)$. De m�me, on v�rifie facilement que pour $\tau'\in{\bf R}$ on a $e_{\tau+(\tau',\dots,\tau')}(X) = e_\tau(X) + \tau'(n+1)\deg(X)$. On v�rifie encore que si $\sigma_\delta: {\bf P}^N\rightarrow {\bf P}^M$, $M+1={{N+\delta}\choose N}$, d�signe le plongement de Veronese de degr� $\delta$ et $\tau^{(\delta)}$ le vecteur des $\tau$-poids des mon�mes de degr�s $\delta$, on a $e_{\tau^{(\delta)}}(\sigma_\delta(X)) = \delta^{n+1} \cdot e_\tau(X)$. 
Plus profonde est l'expression de $e_\tau(X)$ comme coefficient dominant d'une {\it fonction poids de Hilbert} d�montr�e par Mumford~\cite[Prop.~2.11]{Mum}~:
$$
s_\tau(X;D) := \max_J\sum_{\lambda\in J}(\tau_0\lambda_0+\dots+\tau_N\lambda_N) = \frac{e_\tau(X)}{(n+1)!}D^{n+1} + O(D^n)
\enspace,$$
o� le maximum porte sur tous les ensembles $J$ d'�l�ments de ${\bf N}^{N+1}_D$  tels que les mon�mes associ�s induisent une base de la partie gradu�e de degr� $D$ de l'anneau de la vari�t� $X$.

\begin{exmpl}\label{poidshyper}
Si $H$ est une hypersurface de $\P^N$ d'�quation $f\in\K[x_0,\dots,x_N]$ et $\tau\in\R^{N+1}$, on a
$$
e_\tau(H) = (\tau_0+\dots+\tau_N)\deg(H) - w_t(\lambda_\tau^*(f))
$$
o� $\lambda_\tau^*(f) := f(t^{\tau_0}x_0,\dots,t^{\tau_N}x_N)$ et $w_t$ d�signe la valuation $t$-adique.
\end{exmpl}

\medskip

Lorsque $\tau\in\Z^{N+1}$ le poids de Chow peut s'interpr�ter en termes de bidegr� de la d�for\-ma\-tion torique $X_\tau \subset \P^1\times \P^N$ de $X$ relative {\`a} $\tau$. Une forme r�sultante d'indice $(1,n+1)$ de $X_\tau$ s'�crit 
$$v_1^{e_\tau(X)} v_0^{e_{-\tau}(X)} Ch_X(\dots,(-v_0/v_1)^{\tau_j}u_{i,j},\dots)\enspace,$$
son degr� en $(v_0,v_1)$ est $e_\tau(X)+e_{-\tau}(X)$ d'apr�s la d�finition du poids de Chow et c'est par ailleurs le bidegr� $\deg_{(0,n+1)}(X_\tau)$, d'o� 
$$\deg_{(0,n+1)}(X_\tau) = e_\tau(X) + e_{-\tau}(X)\enspace.$$
Rappelons que le degr� $\deg_{(0,n+1)}$ est obtenu en intersectant par $n+1$
formes lin�aires relev�es du second facteur $\P^{2N+1}$, {\it voir} \S~\ref{vartor} pour plus de d�tails.

\smallskip 

Lorsque $\tau\in\N^{N+1}$ on peut aussi interpr�ter le poids de Chow $e_\tau(X)$ isol�ment comme un bidegr� en consid�rant une variation de la d�formation torique pr�c�dente. Pr�cis�ment, il s'agit maintenant de l'adh�rence de Zariski $\wt X_\tau\subset{\bf P}^1\times{\bf P}^{2N+1}$ de
$$\{(1:t)\times(t^{\tau_0}x_0:\dots:t^{\tau_N}x_N:x_0:\dots:x_N);t\in{\bf G}_m,x\in X\}
\enspace.$$
En appliquant ce qui pr�c�de on a
$$\deg_{(0,n+1)}(\wt X_\tau) = e_{\wt\tau}(\wt X) + e_{-\wt\tau}(\wt X)\enspace,$$
o� $\wt X$ d�signe le {\it plongement diagonal} de $X$ dans ${\bf P}^{2N+1}$ et $\wt\tau=(\tau_0,\dots,\tau_N,0,\dots,0)\in{\bf N}^{2N+2}$. On v�rifie sans difficult� $e_{\wt\tau}(\wt X) = e_\tau(X)$ et $e_{-\wt\tau}(\wt X) = 0$, d'o� $\deg_{(0,n+1)}(\wt X_\tau) = e_{\tau}(X)$.

\smallskip 

Donnons maintenant la d�monstration du th�or�me~\ref{BezoutpoidsChow}, en commen�ant par une variante de ce th�or�me de B�zout pour les poids de Chow. Notons 
$$\pi:\P^1\times\P^{2N+1} \to \P^N\enspace,\quad ((t_0:t_1),(x_0:\dots:x_N:y_0:\dots:y_N)) \mapsto (y_0:\dots:y_N)$$ 
la projection de $\P^1\times\P^{2N+1}$ sur $\P^N$ donn�e par les $N+1$ derni�res coordonn�es de $\P^{2N+1}$ et 
$$\tilde\iota:\P^N \to \P^1\times\P^{2N+1} \enspace,\quad (x_0:\dots:x_N) \mapsto  ((0:1),(x_0:\dots:x_N:0:\dots:0))
\enspace.$$


\begin{thm}\label{Bezoutvar}
Soit $X\subset\P^N$ une vari�t� projective et $H$ un diviseur de $\P^N$ ne contenant pas $X$, alors pour tout $\tau\in\Z^{N+1}$ on a
$$e_\tau(X\cdot H) = e_\tau(X)\,\deg(H) - \sum_{Y\in\irr(\initial_\tau(X))} m(\tilde X_\tau\cdot \pi^*(H);\tilde\iota(Y))\,\deg(Y) 
\enspace.$$
De plus, si $H$ est une hypersurface et $f\in\K[x_0,\dots,x_N]$ est une �quation de $H$ on a, avec les notations du th�or�me~\ref{BezoutpoidsChow},
$$m(\tilde X_\tau\cdot \pi^*(H);\tilde\iota(Y)) = m(X_\tau \cdot \div(\lambda_{\tau}^*(f));\iota(Y))
\enspace,$$
o� $\lambda_{\tau}^*(f) := f(t_0^{\tau_0}x_0,\dots,t_0^{\tau_N}x_N) \in \K[t_0,t_1][x_0,\dots,x_N]$.
\end{thm}

\begin{demo}
Il suffit d'\'etablir le r�sultat pour $\tau\in{\bf N}^{N+1}$, on se ram�ne � ce cas en ajoutant � $\tau$ un vecteur $(\tau',\dots,\tau')$ o� $\tau'\in{\bf N}$ est suffisamment grand et on remarque qu'avec les propri�t�s d'homog�n�it� du poids de Chow l'�galit� d�sir�e reste invariante.

Dans ce cas, comme $H$ ne contient pas $X$, le cycle intersection $\wt X_\tau\cdot \pi^*(H)$ s'�crit comme la somme du cycle $(\widetilde{X\cdot H})_\tau$ et d'un cycle support� par $\tilde\iota(\init_\tau(X))$, le second vivant donc dans $\{(0:1)\}\times\P^{2N+1}$. Comme $\deg_{(0,n+1)}(\wt X_\tau) = e_\tau(X)$ et $\deg_{(0,n)}((\widetilde{X\cdot H})_\tau) = e_\tau(X\cdot H)$ on a, d'apr�s le th�or�me de B�zout multi-projectif \cite[Thm.~3.4]{Rem01b},
$$\begin{array}{rcl}
\deg(H) e_\tau(X) &= &\deg(H) \deg_{(0,n+1)}(\wt X_\tau)\\
&= &\deg_{(0,n)}(\wt X_\tau \cdot \pi^*(H))\\
&= &\displaystyle\deg_{(0,n)}(\widetilde{(X \cdot H})_\tau) + 
\sum_{Y\in \irr(\initial_\tau(X))} m(\wt X_\tau \cdot \pi^*(H); \tilde\iota(Y)).\deg(Y)\\
&= &\displaystyle e_\tau(X\cdot H) + \sum_{Y\in \irr(\initial_\tau(X))} m(\wt X_\tau \cdot \pi^*(H); \tilde\iota(Y)).\deg(Y)
\enspace.\end{array}$$

Notons finalement que le morphisme
$$\begin{array}{rccc}
\pi': &\P^1\times\P^{2N+1} &\to &\P^1\times\P^N\\
&((t_0:t_1),(x_0:\dots:x_N:y_0:\dots:y_N)) &\mapsto  &((t_0:t_1),(x_0:\dots:x_N))
\end{array}$$
est un isomorphisme de $\wt X_\tau$ sur $X_\tau$ dans l'ouvert $t_1\ne0$, tel que $\pi'\circ\tilde\iota=\iota$ et $\pi'_*(\pi^*(H)) = \div(\lambda_{\tau}^*(f))$. Cela entra{\^\i}ne, pour toute composante irr�ductible $Y$ de $\init_\tau(X)$,
$$
m(\wt X_\tau \cdot \pi^*(H);\tilde\iota(Y)) = m({X_\tau}\cdot \div(\lambda_{\tau}^*(f));\iota(Y)) \enspace. 
$$
\end{demo}


\begin{demo}[D�monstration du th�or�me~\ref{BezoutpoidsChow}]
On reprend la fin de la d�monstration du th�or�me~\ref{Bezoutvar} en se placant dans une carte affine contenant une composante $Y$ de $\init_\tau(X)$ et sur laquelle $H$ est d�crit par une �quation $f$, on a
$$\begin{array}{rcl}
m(\wt X_\tau \cdot \pi^*(H);\tilde\iota(Y))
&\kern-9pt= &\kern-9pt{\rm long}(\K[\tilde X_\tau]/(\pi^*(f)))_{\tilde\iota(Y)}\\[3mm] 
&\kern-9pt= &\kern-9pt{\rm long}(\K[X_\tau]/(\lambda_\tau^*(f)))_{\iota(Y)}\\[3mm]
&\kern-9pt= &\kern-9pt m(X_\tau\cdot \div(\lambda_{\tau}^*(f));\iota(Y))\\[3mm]
&\kern-9pt= &\kern-9pt m(X_\tau\cdot H_\tau;\iota(Y)) + w_{t_0}(\lambda_\tau^*(f))\, m(\init_\tau(X);Y)\\[3mm]
&\kern-9pt= &\kern-9pt m(X_\tau\cdot H_\tau;\iota(Y)) + ((\tau_0+\dots+\tau_N)\deg(H) - e_\tau(H))\,m(\init_\tau(X);Y)
\end{array}$$
d'apr�s le calcul de l'exemple~\ref{poidshyper}. Enfin, en sommant sur toutes les composantes $Y$ de $\init_\tau(X)$ on a $\sum_Y m(\init_\tau(X);Y)\deg(Y) = \deg(\init_\tau(X)) = \deg(X)$.
\end{demo}


Dans les notations du th�or�me~\ref{Bezoutvar}, soit $f\in\K[x_0,\dots,x_N]$ une �quation de $H$ et $\tau\in\R^{N+1}$, posons
\begin{equation}\label{defvaluationrelative}
w_{X,\tau}(f) := \frac{1}{\deg(X)}.\left(e_\tau(X\cdot H) - e_\tau(X)\deg(H)\right)
\enspace,\end{equation}
c'est une fonction continue de $\tau$. Lorsque $\tau\in\N^{N+1}$ on a donc par le th�or�me~\ref{Bezoutvar}
$$w_{X,\tau}(f) = -\sum_{Y\in\irr(\initial_\tau(X))} m(\tilde X_\tau\cdot \pi^*(H);\tilde\iota(Y)).\frac{\deg(Y)}{\deg(X)}
\enspace.$$
Toujours dans ce cas, on v�rifie $w_{X,k\tau}(f) = kw_{X,\tau}(f)$
pour tout $k\in\N^\times$ et $w_{X,\tau+\tau'(1,\dots,1)}(f) =
w_{X,\tau}(f) - \tau'\deg(H)$ pour $\tau'\in\N$. On peut donc
�crire en g�n�ral (\cad pour $\tau\in\R^{N+1}$) l'�galit�
$$e_\tau(X\cdot H) = e_\tau(X)\,\deg(H) + w_{X,\tau}(f)\,\deg(X)$$
en posant
$$w_{X,\tau}(f) := \lim_{k\rightarrow\infty}\frac{1}{k}w_{X,[k(\tau-\tau'(1,\dots,1))]}(f) + \tau'\deg(H)$$
o� $\tau':=\min(\tau_0,\dots,\tau_N)$ et $[\cdot]$ d�signe le
vecteur des parties enti�res dans $\N^{N+1}$.

\medskip 


Dans le cas d'une vari�t� torique $X_{{\cal A},\alpha}$ le poids de Chow $e_\tau(X_{{\cal A},\alpha}) = e_\tau(X_{\cal A})$ s'exprime naturellement en termes d'un polytope construit � l'aide du vecteur $\tau$, au-dessus du polytope $Q_{\cal A}$ d�j� introduit au paragraphe~\ref{vartor}.

\begin{prop}{(\cite[Prop.~III.1]{PS04}) ---} \label{poidsChow}
Avec les notations introduites on suppose ${\bf Z}a_0+\dots+{\bf Z}a_N={\bf Z}^n$. Soit $Q_{\cal A,\tau}$ l'enveloppe convexe des points $(a_0,\tau_0),\dots,(a_N,\tau_N)$ dans ${\bf R}^{n+1}$ et $\vartheta_{{\cal A},\tau}:Q_{\cal A}\rightarrow{\bf R}$ la param�trisation de la toiture de $Q_{{\cal A},\tau}$ au-dessus de $Q_{\cal A}$, alors
$$e_\tau(X_{\cal A}) = (n+1)!\int_{Q_{\cal A}}\vartheta_{{\cal A},\tau}(u)du_1 \dots du_n \enspace.$$
\end{prop}

La d{\'e}monstration qu'on donne de cette proposition dans~\cite[\S~III]{PS04} est bas�e sur un calcul explicite des poids de Hilbert des vari{\'e}t{\'e}s toriques;  nous y montrons {\'e}galement qu'on peut l'obtenir comme cons{\'e}quence des r{\'e}sultats de I.M.~Gelfand, M.M.~Kapranov et A.V.~Zelevinski sur le polytope de Newton du $\cA$-r{\'e}sultant~\cite[Ch.~7 et 8]{GKZ94}. Elle est {\'e}galement implicite dans~\cite[\S~4.2]{Don02}. L'interpr�tation ci-dessus du poids de Chow comme bi-degr{\'e} permet d'en donner encore une autre d{\'e}monstration simple et directe~: 

\begin{demo} 
Tout d'abord on remarque qu'il suffit de d{\'e}montrer l'{\'e}nonc{\'e} pour un
choix g{\'e}n{\'e}rique (au sens de Zariski) du vecteur $\tau$ dans
$\R^{N+1}$, puisque les termes consid{\'e}r{\'e}s sont continus par rapport {\`a}
$\tau$.
L'identit{\'e} {\'e}tant invariante par homoth{\'e}ties et translations, 
on peut se ramener � supposer $\tau \in \N^{N+1}$ {\`a} coordonn{\'e}es
premi{\`e}res entre elles dans leur ensemble. 

On a $L_{\cA,\tau}=\Z^{n+1}$; la proposition~\ref{multidegvol}
entra{\^\i}ne alors
$$e_{\tau}(X) = \deg_{(0,n+1)}(\wt X_\tau) 
= \MV_{n+1}(Q_{\cA,\wt\tau}, \dots,Q_{\cA,\wt\tau}) 
= (n+1)!\int_{Q_{\cal A}}\vartheta_{{\cal A},\tau}(u) du_1 \cdots du_n
\enspace,
$$
o� $\wt\tau = (\tau_0,\dots,\tau_N,0,\dots,0) \in \N^{2N+2}$.
\end{demo} 

\medskip

La proposition~\ref{poidsChow} permet de reformuler de fa�on amusante le th�or�me du sous-espace de Schmidt, dans la version projective qu'en ont donn� Evertse et Ferretti~\cite{EF02} mais dans le cas tr�s particulier des vari�t�s toriques.

\begin{convention}\label{convention}
Si $K$ est un corps de nombres et $v$ une place de $K$ on notera $|\cdot|_v$ la valeur absolue de $K$ dans $v$ �tendant la valeur absolue usuelle de $\Q$ si $v$ est archim�dienne et la valeur absolue $p$-adique standard de $\Q$ ({\it i.e.} $|p|_v=p^{-1}$) si $v$ est ultram�trique. On notera encore $M_K$ l'ensemble de ces valeurs absolues repr�sentant les places de $K$. 
\end{convention}

Soit $K$ un corps de nombres et $S$ un ensemble fini de places de $K$. On consid�re une vari�t� torique $X_{{\cal A},\alpha}\subset{\bf P}_N$ d�finie sur $K$, pour toute place $v\in S$ des r�els $\tau_{v,0},\dots,\tau_{v,N}\geq 0$ et le syst�me d'in�quations en $x\in X_{{\cal A},\alpha}(\Qbar)$~:
\begin{equation}\label{sousespace}
\log\left(\frac{|x_i|_w}{\Vert x\Vert_w}\right) \leq -\tau_{v,i}.h(x) \qquad \hbox{\rm pour tout $i=0,\dots,N$ et toute place $w\mid v$ de $K(x)$,}
\end{equation}
o� $\Vert x\Vert_w:=\max(|x_i|_w;i=0,\dots,N)$ si $w$ est ultram�trique, $\Vert x\Vert_w = \left(\sum_{i=0}^N|x_i|_w^2\right)^{1/2}$ si $w$ est archim�dienne, et $h(x)$ d�signe la hauteur projective. 

Dans cette situation notons $\vartheta_{{\cal A},\tau}(u) := \sum_{v\in S}\frac{[K_v:{\bf Q}_v]}{[K:{\bf Q}]}.\vartheta_{{\cal A},\tau_v}(u)$ pour $u\in Q_{\cal A}$. Le th�o\-r�\-me~3.2 de~\cite{EF02} explicite pour tout $\varepsilon>0$ des r�els $$c_1(N,n,\deg(X_{{\cal A},\alpha}),\varepsilon)\enspace,\enspace c_2(N,n,\deg(X_{{\cal A},\alpha}),\varepsilon)\geq 1$$ 
tels que l'�nonc� suivant soit vrai ($\tau_v:=(\tau_{v,0},\dots,\tau_{v,N})$, $v\in S$)~:

\begin{thm}\label{schmidttorique} (\cite{EF02}, Thm.~3.2) --
Si la valeur moyenne de $\vartheta_{{\cal A},\tau}$ sur $Q_{\cal A}$ est $\geq 1+\varepsilon$, alors les points $x\in X_{{\cal A},\alpha}(\overline{\bf Q})$ solutions du syst�me d'in�quations~(\ref{sousespace}) et satisfaisant 
$$h(x) \geq c_1(N,n,\deg(X_{{\cal A},\alpha}),\varepsilon).(1+h(X_{{\cal A},\alpha}))$$
appartiennent � un sous-ensemble alg�brique propre de $X_{{\cal A},\alpha}$, d�fini sur $K$ et de degr� $\leq c_2(N,n,\deg(X_{{\cal A},\alpha}),\varepsilon)$.
\end{thm}
\begin{demo}
Notons $X=X_{{\cal A},\alpha}$, la condition donn�e dans le th�or�me~3.2 de~\cite{EF02} s'�crit
$$\frac{1}{(n+1)\deg(X)}.\sum_{v\in S}\frac{[K_v:{\bf Q}_v]}{[K:{\bf Q}]}.e_{\tau_v}(X) \geq 1+\varepsilon
\enspace.$$
Or $\deg(X)=n!{\rm Vol}_n(Q_{\cal A})$ d'apr�s la formule~(\ref{degvol}) et, vue la proposition~\ref{poidsChow}, on a 
$$\sum_{v\in S}\frac{[K_v:{\bf Q}_v]}{[K:{\bf Q}]}.\frac{e_{\tau_v}(X)}{(n+1)\deg(X)} = \frac{1}{{\rm Vol}_n(Q_{\cal A})}. \int_{Q_{\cal A}} \vartheta_{{\cal A},\tau}(u)du_1\dots du_n$$ 
qui est bien la valeur moyenne de $\vartheta_{{\cal A},\tau}$ au-dessus $Q_{\cal A}$.
\end{demo}
\medskip

Le r�sultat trivial, provenant de la formule du produit, permet d'affirmer que le syt�me (\ref{sousespace}) n'a pas de solution dans ${\bf P}_N^\circ(\overline{\bf Q})$ d�s qu'il existe $i\in\{0,\dots,N\}$ tel que 
$$\sum_{v\in S}\frac{[K_v:{\bf Q}_v]}{[K:{\bf Q}]}.\tau_{v,i} > 1
\enspace.$$ 
On donne un exemple o� ce r�sultat trivial s'applique bien que la condition du th�or�me~\ref{schmidttorique} ne soit pas remplie et un autre exemple o� le th�or�me~\ref{schmidttorique} donne un r�sultat non trivial.

\begin{exmpl}
Soient $0<\varepsilon<n+1$, ${\cal A}\subset{\bf Z}^n$ et $\tau_v$ tels que $\tau_{v,i}=0$ pour tout $v\in S$ et $i=1,\dots,N$ et $\sum_{v\in S}\frac{[K_v:{\bf Q}_v]}{[K:{\bf Q}]} \tau_{v,0} = 1+\varepsilon>1$. On calcule � l'aide de la proposition~\ref{poidsChow} $e_{\tau_v}(X_{\cal A}) \leq \deg(X_{\cal A}).\tau_{v,0}$, d'o� $\sum_{v\in S}\frac{[K_v:{\bf Q}_v]}{[K:{\bf Q}]}.\frac{e_{\tau_v}(X_{\cal A})}{(n+1)\deg(X_{\cal A})} \leq \frac{1+\varepsilon}{n+1} <1$. On sait donc que dans ce cas le syst�me d'in�quations~(\ref{sousespace}) n'a pas de solution telle que $x_0\not=0$, bien que l'hypoth�se principale du th�or�me~\ref{schmidttorique} ne soit pas satisfaite.
\end{exmpl}

\begin{exmpl}
Soit maintenant $N'>3$ un entier, $N:=2N'$ et $D>N'(N'-1)$ un autre entier. On consid�re $\cA:=(0,\dots,N'-1,D-N'+1,\dots,D)\in{\bf Z}$ et $S=\{v_1,\dots, v_{N'}\}$ un ensemble de $N'$ places de ${\bf Q}$. \smash{\`A} chaque place $v_i$ de $S$ on associe le vecteur $\tau_{v_i}\in{\bf R}^{N+1}$ dont toutes les coordonn�es sont nulles sauf celles d'indices $i$ et $D-N'+i$ qui valent $\frac{1}{N'-1}$. On a ainsi $e_{\tau_{v_i}}(X_\cA) \geq 2\frac{D-N'+1}{N'-1}$ et $\sum_{v\in S}\frac{e_{\tau_v}(X_\cA)}{2\deg(X_\cA)} \geq \frac{D-N'+1}{D}.\frac{N'}{N'-1} >1$, tandis que $\sum_{v\in S}\tau_{v,i}=\frac{1}{N'-1}<1$ pour tout $i=0,\dots,N$. Le th�or�me~\ref{schmidttorique} s'applique donc et donne un r�sultat {\em a priori} non trivial dans ce cas.
\end{exmpl}


% -------------------------------------------------------------------
% ---------------------------------------------------------------------------

\typeout{Hauteur normalisee}
\section{Hauteur normalis�e} \label{hauteurs} 


L'espace projectif peut {\^e}tre vu comme 
une compactification {\'e}quivariante du groupe multiplicatif $\G_m^N \simeq (\P^N)^\circ $, cette structure 
de groupe permettant de d{\'e}finir une 
notion de  hauteur pour les sous-vari{\'e}t{\'e}s de $\P^N$ plus canonique que
les autres, appel{\'e}e {\it hauteur normalis{\'e}e}. Cette notion joue un
r{\^o}le central dans l'approximation diophantienne sur les tores, et tout
particuli{\`e}rement dans les probl{\`e}mes de Lehmer g{\'e}n{\'e}ralis{\'e} et de Bogomolov sur les tores, 
{\it voir}~\cite{DP99}, \cite{AD} et leurs r{\'e}f{\'e}rences,
{\it voir} {\'e}galement~\cite{Dav02} pour un aper{\c c}u historique.


Suivant~\cite{DP99}, la hauteur normalis{\'e}e peut se d{\'e}finir par un
proc{\'e}d{\'e} \ovg {\`a} la Tate{}\fmg. 
De fa{\c c}on pr{\'e}cise, pour $k \in \N$ 
on pose $ [k]: \P^N \to \P^N$, $(x_0: \cdots : x_N) \mapsto (x_0^k: \cdots : x_N^k)$ l'application puissance $k$-i{\`e}me; restreinte au tore $(\P^N)^\circ$ 
c'est l'application de multiplication par $k$. La {hauteur normalis{\'e}e}  
d'une vari{\'e}t{\'e}  projective $X$
est par d{\'e}finition
$$
\wh{h}(X) := \deg(X) \cdot \lim_{k\to \infty} \, 
\frac{h({[k] \, X})}{k\, \deg([k]\, X)} \ \in \R_+
\enspace, 
$$ 
o{\`u} $\deg$ et $h$ d{\'e}signent  le degr{\'e} et la  hauteur projective, {\it
  voir}~\cite[\S \ 2]{DP99} ou~\cite[\S~I.2]{PS04}. 
Lorsque $X$ est de dimension $0$, il s'agit de la hauteur de Gauss-Weil des points.



\smallskip 

On sait que le comportement de cette hauteur normalis�e est li� � la nature g�om�trique de la vari�t� $X$. En particulier, $\wh{h}(X)=0$ si et seulement si $X$ est une vari�t� de torsion, \cad un translat� de 
sous-tore un point de torsion.
Dans~\cite{PS04} on a {\'e}tabli un analogue arithm{\'e}tique de l'expression du degr� d'une vari�t� torique comme volume du polytope associ�, que nous rappelons maintenant. 

Soit $M_K$ l'ensemble des places du corps $K$ et rappelons la convention~\ref{convention}. Pour chaque $v \in M_K$ on consid{\`e}re le vecteur $\tau_{\alpha v} := (\log|\alpha_0|_v,\dots,\log|\alpha_N|_v)\in\R^{N+1}$ et le polytope 
$$
Q_{\cA,\tau_{\alpha v}}:= \Conv \Big( (a_0,\log|\alpha_0|_v), 
\dots, (a_N,\log|\alpha_N|_v)  \Big) \ \subset \R^{n+1} 
\enspace, 
$$
dont la {\it toiture} au-dessus de $Q_\cA$ (\cad l'enveloppe sup{\'e}rieure) s'envoie bijectivement sur $Q_\cA$ par la projection standard $ \R^{n+1} \to \R^n$. 
On pose alors 
$$
\vartheta_{\cA,\tau_{\alpha  v}}  : Q_\cA \to \R
\enspace , \quad \quad 
x \mapsto \max \Big\{ y\in\R\, : \ (x,y) \in Q_{\cA,\tau_{\alpha v}} \Big\} 
$$ 
la param{\'e}trisation de cette toiture; c'est une fonction {\it concave} 
et {\it affine par morceaux}. 

\begin{thm} \label{thmprincipal} (\cite[Thm.~0.1]{PS04}) ---
Soit $\geom \in (\Z^n)^{N+1}$ tel que $L_\geom= \Z^n$
et $\alpha \in (K^\times)^{N+1}$, alors
$$
\wh{h}(X_{\cA,\alpha}) = \sum_{v\in M_K}{{[K_v:{\bf Q}_v]}\over{[K:{\bf
      Q}]}} \, e_{\tau_{\alpha\,v}}(X_{\cA}) =  (n+1)! \, \sum_{v \in M_K} 
\frac{[K_v:\Q_v]}{[K:\Q]} \, \int_{Q_\cA} 
\vartheta_{\cA,\tau_{\alpha v}}(u)\, \ du_1 \cdots du_n 
\enspace .
$$
\end{thm} 

Notons que $\tau_{\alpha v} = 0$ pour presque tout $v$, donc cette somme ne contient qu'un nombre fini de termes non nuls. Dans les cas des points ($n=0$) la formule se r\'eduit \`a la d\'efinition usuelle de la hauteur normalis\'ee (hauteur de Gauss-Weil) d'un point de $\P^N$.

\medskip

Comme on a $\wh{h}(X_\cA)=0$, on peut s'interroger si cette formule n'est pas la manifestation d'une propri�t� g�n�rale de la hauteur normalis�e par translation. Dans ce sens, B.~Sturmfels nous a demand� si pour toute vari\'et\'e projective $X$ on a
$$\wh{h}(\alpha X) = \wh{h}(X) + \sum_{v\in M_K}{{[K_v:{\bf Q}_v]}\over{[K:{\bf Q}]}} e_{\tau_{\alpha\,v}}(X)
\enspace?$$
Soit $\prod_{i=0}^n\prod_{j=0}^NU_{i,j}^{b_{i,j}}$ un mon�me apparaissant dans la forme de Chow de $X$, on v�rifie facilement 
$$e_{\tau_{\alpha\, v}}(X) 
\geq \left(\sum_{i=0}^nb_{i,0}\right)\tau_{\alpha\,v,0} + \dots + \left(\sum_{i=0}^nb_{i,N}\right)\tau_{\alpha\,v,N}
\enspace.$$
Comme $\displaystyle \sum_{v\in M_K}{{[K_v:{\bf Q}_v]}\over{[K:{\bf Q}]}} \tau_{\alpha\,v,i} = 0$ pour tout $i=0,\dots,N$ par la formule du produit, on en d�duit 
$$\sum_{v\in M_K}{{[K_v:{\bf Q}_v]}\over{[K:{\bf Q}]}} 
e_{\tau_{\alpha\, v}}(X)  \geq 0 
\quad \mbox{ pour tout } \alpha\in(\Qbar^\times)^{N+1} \enspace.$$ 
Une formule du type pr�c�dent ne peut donc �tre valable en g�n�ral.

\medskip
Illustrons cette formule par un exemple en dimension 1. 
Soient $\cA_N:=(0,1,2,\dots,N) \in \Z^{N+1}$ et $\alpha_N := (1,2,3,\dots,N+1) \in (\Qbar^\times)^{N+1}$; ainsi 
$$
\varphi_{\cA_N,\alpha_N} : \G_m \to \P^N \quad , \quad s \mapsto (1:2s:\dots:(N+1)s^N).$$ 
Les figures suivantes montrent pour $N=3$ les polytopes associ{\'e}s et leurs toitures, pour chaque place $v \in M_\Q$:   


%----- Figure --------------

%\vspace{49mm} 

%\begin{figure}%[htbp]

$$\raise-39mm\vtop to 39mm{

\begin{picture}(0,0) 

\put(30,50){
\epsfig{file=figures/infini.eps, height= 28 mm} 
} 
\put(195,95){$v=\infty$} 

\put(246,12.5){
\epsfig{file=figures/2.eps, height= 26.5 mm} 
} 
\put(370,95){$v=2$}

\put(19,-95){
\epsfig{file=figures/3.eps, height= 23 mm} 
} 
\put(195,-30){$v= 3$} 

\put(270,-68){
\epsfig{file=figures/autre.eps, height= 23 mm} 
} 
\put(370,-30){$v\ne \infty, 2,3$}

\end{picture} 

\vfil}$$

%\end{figure}

%\vspace{12mm}

\goodbreak 

%-------------------------

\noindent Ainsi $\vartheta_v \equiv 0$ pour $v \ne \infty, 2$, d'o{\`u} 
$$
\hnorm(X_{\cA_3,\alpha_3}) = 2!\,\bigg(\int_0^3\,\vartheta_\infty(u)\, du\
+\int_0^3\,\vartheta_2(u)\, du\bigg) = 2\, \log(2) + 2\, \log(3) = \log(36)
\enspace.$$
En g{\'e}n{\'e}ral
\begin{eqnarray*}
\wh{h}(X_{\cA_N,\alpha_N}) &= &2!\,\bigg(\int_0^N\,\vartheta_\infty(u)\, du\
+ \sum_{p \mid N+1} \int_0^N\,\vartheta_p(u)\, du \bigg) \\[0mm] 
&= &2\, \bigg( \log(2)+\dots +\log(N) \ + \frac12 \, \log(N+1) + \sum_{p\mid N+1} \frac12 \, \log|N+1|_p\bigg) \\[0mm]  
&= &2\, \log(N!)\enspace.
\end{eqnarray*}

\smallskip 

{\`A} l'instar des multidegr�s, les multihauteurs du tore $\G_m^n$ plong� dans un produit d'espaces projectifs {\it via} plusieurs applications monomiales peuvent aussi s'expliciter � l'aide {\it d'int�grales mixtes} des fonctions concaves apparaissant dans le th�or�me~\ref{thmprincipal}. 
 
Soit $Z\subset\P^{N_0}\times\dots\times\P^{N_m}$ de dimension $n$ et $c=(c_0,\dots,c_m)\in\N^{m+1}_{n+1}$ avec $0\le c_i \le N_i$. 
Soit $\res_{d(c)}(I(Z)))$ la forme r�sultante associ�e, dans les notations du \S~\ref{vartor}. 
La {\it multihauteur projective de $Z$ d'indice $c$} est d{\'e}finie par 
$$
h_{c}(Z) := h(\res_{d(c)}(I(Z))) \enspace, $$
o� $h$ d�signe la hauteur des polyn�mes multihomog�nes d�finie � l'aide de
la {\it $S_{N_0+1} \times \cdots \times S_{N_n+1}$-mesure} pour les places archimediennes; on 
renvoie {\`a}~\cite{Rem01a} ou encore~\cite[\S~I.2]{PS04} pour les d�tails. 
Notons  $s:
\P^{N_0} \times \cdots \times \P^{N_m} \to
\P^{(N_0+1) \cdots (N_m+1) - 1}$
le plongement de Segre, 
la suite 
$$  k \mapsto  \deg(s(Z)) \cdot\frac{h_c([k] \, Z)}{k\, \deg([k]\, s(Z))}$$
converge lorsque $k$ tend vers l'infini~\cite[Prop.~I.2]{PS04}). Sa limite est par d�finition  
la {\it multihauteur normalis{\'e}e de $Z$ d'indice $c$}, not�e $\hnorm_c(Z)$. 

Pour
 $D=(D_0,\dots,D_m)\in(\N^\times)^{m+1}$ soit  
$
\Psi_D :  \P^{N_0} \times \cdots \times \P^{N_m}  \to  
\P^{ {D_0+N_0 \choose N_0} \cdots {D_m+N_m \choose N_m} -1} $
le {plongement mixte} introduit au paragraphe~\ref{vartor}, alors on a la formule~\cite[(I.4)]{PS04}
\begin{equation}\label{pinson}
\hnorm(\Psi_D(Z)) = \sum_{c\in\N^{m+1}_{n+1}}{n+1\choose c}\hnorm_c(Z)D^c
\enspace.\end{equation}

\medskip
Les multihauteurs des vari�t�s toriques s'explicitent en termes de ce qu'on appelle 
des {\it int�grales mixtes}  d'une famille de fonctions concaves~\cite[\S~IV.3]{PS04}, 
notion analogue au volume mixte. 
Soient $f: Q \to \R$ et $g: R \to \R$ des fonctions concaves d{\'e}finies sur des ensembles convexes $Q, R \subset \R^n$ respectivement. On pose 
$$
f \boxplus g : Q+R \to \R
\enspace , \quad \quad
x \mapsto \max \{ f(y) + g(z) \, : \ y \in Q, \ z \in R, \ y+z =x\}
\enspace,  
$$
qui est une fonction concave d{\'e}finie sur la somme de Minkowski $Q+R$; on obtient ainsi une structure de semi-groupe commutatif sur l'ensemble des  fonctions concaves (d�finies sur des ensembles convexes).
Pour une famille de fonctions concaves 
$
f_0 : Q_0 \to \R, \dots,  f_n: Q_n\to \R$ l'{int{\'e}grale mixte} 
(ou {\em multi-int{\'e}grale}) est d{\'e}finie {\em via} la formule
\begin{equation*} 
\MI(f_0, \dots, f_n) := 
\sum_{j=0}^n (-1)^{n - j} 
\sum_{0 \le i_0 < \cdots < i_j \le n} 
\int_{Q_{i_0} + \cdots + Q_{i_j}} (f_{i_0} \boxplus 
\cdots \boxplus f_{i_j})(u) \, du_1 \cdots du_n \enspace.
\end{equation*} 
Comme pour le volume mixte, l'int�grale mixte est une fonctionnelle positive,  sym{\'e}trique et lin{\'e}aire en chaque
variable $f_i$, {\it voir}~\cite[\S~IV.3]{PS04}. 

\smallskip

Soit $\cA_0\in(\Z^n)^{N_0+1}, \dots, \cA_m\in(\Z^n)^{N_m+1}$ tels 
que $L_{\cA_0}+\dots+L_{\cA_m}=\Z^n$ et $\underline{\cA}:=(\cA_0,\dots,\cA_m)$. Soit  $\alpha_0 \in (K^\times)^{N_0+1}, \dots , \alpha_m \in (K^\times)^{N_m+1}$ et posons $\un \alpha:=(\alpha_0,\dots,\alpha_m)$. Con\-si\-d�\-rons alors l'action monomiale $*_{\underline{\cA}}$ de $\G_m^n$ sur le produit d'espaces projectifs $\P^{N_0}\times\dots\times\P^{N_m}$ 
associ�e; on note $X_{\underline{\cA},\un \alpha}$ l'adh�rence de Zariski de l'orbite du point $\un \alpha\in\P^{N_0}\times\dots\times\P^{N_m}$. 


Pour chaque $v \in M_K$ on note aussi $\vartheta_{\cA_i,\tau_{\alpha_i\,v}}: Q_{\cA_i} \to \R$  la fonction param{\'e}trant la toiture du polytope $Q_{\cA_i,\tau_{\alpha_i\,v}} \subset \R^{n+1}$ associ{\'e} au vecteur $\cA_i$ et au poids $\tau_{\alpha_i \, v}$. 


\begin{thm}{\cite[Thm.~0.3 et Rem.~IV.7]{PS04}}--- \label{multihauteurint}
Soit $c\in\N^{m+1}_{n+1}$, dans la situation ci-dessus on a 
$$\hnorm_{c}(X_{\underline{\cA},\un \alpha}) = \sum_{v\in M_K} \frac{[K_v:\Q_v]}{[K:\Q]} \, \MI_c( \vartheta_{\underline{\cA}, \tau_{\underline{\alpha}\, v}}) 
$$
avec $\MI_c( \vartheta_{\underline{\cA}, \tau_{\underline{\alpha}\, v}}) := \MI\Big( \underbrace{\vartheta_{\cA_0, \tau_{\alpha_0\, v}}, \dots, \vartheta_{\cA_0, \tau_{\alpha_0\, v}}}_{c_0 \mbox{ \scriptsize \rm fois}}
\enspace, \dots, \enspace  
\underbrace{\vartheta_{\cA_m, \tau_{\alpha_m\, v}}, \dots, \vartheta_{\cA_m, \tau_{\alpha_m\, v}}}_{c_m \mbox{ \scriptsize \rm fois}} \Big)$.
\end{thm}

\medskip

\begin{exmpl}
Soient $\xi_1,\dots,\xi_N\in K^\times$ et consid�rons l'application monomiale
$$\begin{array}{rcccl}
\G_m &\stackrel{\varphi}{\longrightarrow}&(\P^1)^N &
\stackrel{\mbox{\rm \small Segre}}{\longrightarrow} &\P^{2^N-1}\\
s &\longmapsto &((1:\xi_1s),\dots,(1:\xi_N s)) &\longmapsto & 
\big( (\prod_{j\in J}\xi_j) \cdot s^{{\scriptsize \rm Card}(J)} \, : J\subset \{1,\dots, N\}\big) \enspace. 
\end{array}$$
Soit $X$ l'image de $\varphi$ dans $(\P^1)^N$ et pour $1\leq i,j\leq
N$ notons $c(i,j)\in\N^N$ le vecteur dont les coordonn�es d'indices
$i$ et $j$ valent $1$ et les autres $0$, on v�rifie � l'aide du
th�or�me~\ref{multihauteurint} et de la d�finition des multi-int�grales
$$\begin{array}{rcl}
\wh{h}_{c(i,j)}(X) &= &\sum_{v\in M_K} \frac{[K_v:\Q_v]}{[K:\Q]} \,
\MI_c( \vartheta_{\underline{\cA}, \tau_{\underline{\alpha}\,
    v}})\\[2mm] 
&= &\sum_{v\in M_K} \frac{[K_v:\Q_v]}{[K:\Q]} \,
\max(\log|\xi_i|_v;\log|\xi_j|_v)\\[2mm] 
&= &h(\xi_i:\xi_j)
\enspace.\end{array}$$
Dans la figure~\label{dessin4} suivante les parties gris�es
montrent pour $N=2$ et en supposant $\log|\xi_i| \le \log|\xi_j|$,
pour chaque cas le calcul de la multi-int�grale $\MI_c( \vartheta_{\underline{\cA}, \tau_{\underline{\alpha}\,v}})$. 


%----- Figure --------------

%\vspace{-1mm} 

\begin{figure}[htbp]

\vtop to29mm{$$\raise-43mm\hbox{

\begin{picture}(0,0) 

\put(-218,55){\epsfig{file=figures/multi1.eps, height=29mm}} 

\put(-55,55){\epsfig{file=figures/multi2.eps, height=29mm}} 

\put(100,55){\epsfig{file=figures/multi3.eps, height=29mm}} 

\end{picture}

}$$}

\end{figure}

%\vspace{-20mm} 

%-------------------------

Par la formule~(\ref{pinson}), on en d�duit que la hauteur de l'image de  
$\mbox{\rm Segre}\circ \varphi$  dans $\P^{2^N-1}$ est �gale �
$$\wh{h}(\mbox{\rm Segre}(X)) = 2\sum_{1\leq i<j\leq N}\wh{h}_{c(i,j)}(X) = 2\sum_{1\leq i<j\leq N} h((\xi_i:\xi_j)) = \sum_{1\leq i,j\leq N} h((\xi_i:\xi_j))\enspace.$$
\end{exmpl}

\medskip

Une cons�quence du th�or�me~\ref{thmprincipal} est que 
$\wh{h}(X_{{\cal A},\alpha})$ est le logarithme d'un nombre alg\'ebrique. 
En effet, $e_{\tau_{\alpha \, v}}(X_{\cal A})=0$ pour toutes les places $v$ sauf un nombre fini et, comme le poids de Chow est combinaison � coefficients entiers des composantes du vecteur poids $\tau_{\alpha\,v}$, c'est � dire des $\log|\alpha|_v$, notre assertion est claire. Un tel logarithme de nombre alg\'ebrique \'etant nul ou transcendant, 
on peut \'enoncer: 

\begin{prop}\label{transcendance}
Soit $X$ une vari�t� torique qui n'est pas de torsion, alors $\wh{h}(X)\notin \Qbar$. 
\end{prop} 

Les hauteurs normalis�es des vari�t�s toriques qui ne sont pas de torsion, sont donc des nombres transcendants parmi les plus simples que l'on connaisse, � savoir les logarithmes de nombres alg�briques. On sait qu'il devrait r�sulter des conjectures les plus g�n�rales sur les vari�t�s et les motifs que les hauteurs des vari�t�s projectives s'expriment rationnellement en termes de valeurs de fonctions $L$ et de leurs d�riv�es, ou encore en termes de polylogarithmes. 

D�s qu'on consid�re des vari�t�s projectives qui ne sont plus toriques on doit s'attendre � ce que leur hauteur normalis�e fasse effectivement intervenir des polylogarithmes sup�rieurs. De m�me, si l'on s'int�resse � la hauteur {\it projective} d'une vari�t� torique, une quantit� sup\-pl�\-men\-taire s'ajoute aux 
int�grales des fonctions $\vartheta_{{\cal A},\tau_{\alpha\,v}}$, qui s'�crit bien sur des exemples � l'aide de polylogarithmes mais est en g�n�ral difficile � �valuer exactement (calculs non publi\'es). 


degobst.tex
% Date de cette version: 4/5/2006
%
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% Section

\typeout{Equations et indices d'obstruction successifs}

\section{{\'E}quations et indices d'obstruction successifs} 

\label{obstruction} 

Soit $X \subset \P^N$ une vari{\'e}t{\'e} projective de dimension $n\ge 0$
et $ I(X) \subset \K[x_0,\dots,x_N]$ son id\'eal de d\'efinition,
l'{\it indice d'obstruction} $\omega(X)$ est d{\'e}fini comme le plus petit degr{\'e} d'une {\'e}quation homog{\`e}ne $f \in I(X) \setminus\{0\}$. Plus g{\'e}n{\'e}ralement, pour $i=1,\dots,N-n$ on d�finit le {\em $i$-{\`e}me
indice d'obstruction de $X$} par 
$$
\omega_i(X):= \min\Big\{ D \in\N \, : \ \dim (Z(f \, : \ f \in I(X)_D)) \le N-i \Big\} 
\enspace,$$
o� $I(X)_D$ d�signe la partie de degr� $D$ de l'id�al homog�ne $I(X)$. Alternativement, $\omega_i(X)$ est le plus petit entier $D \ge 0$ tel qu'il existe des polyn{\^o}mes homog{\`e}nes $f_1, \dots, f_{i} \in
I(X)$ de degr{\'e} born{\'e} par $D$ formant une intersection compl{\`e}te. 
{\'E}videmment $\omega(X) = \omega_1(X) $ et 
$$
1\le \omega_1(X) \le \cdots \le \omega_{N-n}(X)\enspace.
$$
L'invariant $\omega(X)$ joue un r{\^o}le important dans les probl{\`e}mes de Lehmer g�n�ralis� et de Bogomolov sur les tores~\cite{Dav02},~\cite{AD04},~\cite{Rat04}. D'un autre c�t�, les lemmes de z{\'e}ros consistent {\`a} minorer le premier indice $\omega(X)$ pour une vari{\'e}t{\'e} de dimension~0, {\'e}ventuellement munie de multiplicit{\'e}s; 
ces 
r{\'e}sultats sont des outils fondamentaux en th{\'e}orie des nombres transcendants, {\it voir~\cite{Ber87}}. Signalons que pour ces applications, il est souvent important de consid{\'e}rer des indices d'obstruction 
{\it sur des  sous-corps de $\Qbar$} ({\it i.e.} dont les {\'e}quations sont {\`a} coefficients dans un sous-corps 
fix�) et pour des {\it sch{\'e}mas projectifs} quelconques. 

Plus g{\'e}n{\'e}ralement encore, on peut consid{\'e}rer des {\it indices d'obstruction successifs 
relatifs {\`a} un ouvert} donn� $U\subset \P^N$:
$$
\omega_i(X; U) := \min\Big\{ D \in\N\, : \ \dim (Z(f \, : \ f \in
I(X)_D) \cap U) \le N-i \Big\} \enspace. 
$$ 

\medskip 

Les id�aux des vari�t�s toriques sont {binomiaux}, \cad engendr{\'e}s par des famille de polyn{\^o}mes de la forme 
$\alpha\, x^a - \beta \, x^b$ avec $a,b \in \N^n$ et $\alpha, \beta \in \K^\times$. 
Dans la suite on explicite la relation entre vari�t�s toriques et id�aux binomiaux, qui est la cl� de notre �tude 
des indices d'obstruction successifs de ces vari�t�s.

\smallskip

Soit $\cA =(a_0, \dots, a_N) \in (\Z^n)^{N+1} $ tel que $L_\cA=\Z^n$ et $\alpha= (\alpha_0, \dots, \alpha_N) \in (\K^\times)^{N+1}$. Consid{\'e}rons l'application lin{\'e}aire 
$$
\eta_\cA:\Z^{N+1} \to \Z\times\Z^{n} 
\enspace , \quad \quad  
\lambda \mapsto (\lambda_0+\cdots +\lambda_N,\lambda_0\, a_0 + \cdots
+\lambda_N \, a_N)
\enspace,$$ 
et posons $\Gamma_\cA:= \ker(\eta_\cA)$ son noyau. 
C'est un sous-module {\it satur{\'e}} de $\Z^{N+1}$ 
(\cad que le quotient $\Z^{N+1} /\Gamma_\cA$ est sans torsion) 
de rang $N-n$. 
Notons $\Delta\subset \R^{N+1}$ l'hyperplan d'�quation $\lambda_0+\dots+\lambda_N=0$ et posons 
$\Delta^\Z:=\Delta\cap\Z^{N+1}$; \'evidemment on a 
$\Gamma_\cA\subset \Delta^\Z$.


Pour $b \in \R^{N+1}$ on {\'e}crit de fa{\c c}on unique $b= b_+-b_-$ avec 
$b_+, b_-\in \R_+^{N+1}$ {\`a} supports disjoints, \cad $(b_+)_i = b_i$ si
$b_i>0$ et 0 sinon, 
et  $(b_-)_i = -b_i$ si
$b_i<0$ et 0 sinon. 
Le r{\'e}sultat suivant est une reformulation de~\cite[Cor.~4.3]{Stu96}:

\begin{prop} \label{pasteque} 
$I(X_{\cA,\alpha})= \big( x^{b_+} -
\alpha^b \,x^{b_-} \, : \ b \in \Gamma_\cA\big)$. 
\end{prop} 

\begin{demo} 
Le  {c{\^o}ne} de $X_{\cA,\alpha}$ co�ncide avec l'adh{\'e}\-rence de Zariski de l'image de
$$
\G_m^{n} \times \G_m \to \A^{N+1} 
\enspace , \quad \quad 
(s,t)= (s_1,\dots,s_n,t) \mapsto (\alpha_0\,t\,s^{a_0},\dots,
\alpha_N\,t\,s^{a_N})
\enspace,
$$
donc $I(X_{\cA,\alpha})$ co{\"\i}ncide avec le noyau de l'homomorphisme 
$$
\K[x_0, \dots, x_N] \to \K[s_1^{\pm1},\dots,s_n^{\pm1},t^{\pm1}]
\enspace,\quad\quad
x_i \mapsto \alpha_i\, t \,s^{a_i} \enspace; 
$$
le r{\'e}sultat devient une cons{\'e}quence directe
de~\cite[Cor.~4.3]{Stu96}. 
\end{demo} 


Ainsi, l'id{\'e}al d'une vari{\'e}t{\'e} torique projective est binomial, 
il en r\'esulte automatiquement que c'est un id�al premier et homog{\`e}ne (puisque $X_\arith$ est une vari�t� projective) 
ne contenant aucune des variables $x_i$, {\`a} cause de l'hypoth{\`e}se $\alpha \in (\P^N)^\circ$. 

\smallskip
Soit maintenant $\Gamma \subset \Z^{N+1}$ un sous-module quelconque et $\rho$ un {\it caract\`ere partiel}, \cad un 
homomorphisme $\rho:\Gamma\to \K^\times$. Ces donn�es d�finissent un id�al binomial
$$
I(\Gamma,\rho) := \big( x^{b+}-\rho(b) x^{b_-} \, : \ b\in \Gamma\big) \subset \K[x_0,\dots,x_N]\enspace.
$$


\begin{prop}{(\cite[Cor.~2.6]{ES96})} --- \label{citrouille} 
La correspondence
$$
(\Gamma,\rho) \mapsto I(\Gamma,\rho)
$$
est une bijection entre les sous-modules satur{\'e}s $\Gamma \subset \Z^{N+1}$ munis d'un 
caract\`ere partiel $\rho$, et les id�aux de $\K[x_0, \dots,x_N]$ binomiaux, premiers  et  ne 
contenant aucune des variables $x_i$. 
De plus ${\rm rang}_\Z(\Gamma)=\rang(I(\Gamma,\rho))$.
\end{prop}

On v�rifie sans peine que $I(\Gamma,\rho)$ est homog�ne si et seulement si $\Gamma\subset \Delta^\Z$. 
Ainsi, la donn�e d'un couple $(\arith)$ d�finit un sous-module satur� $\Gamma_\cA \subset\Delta^\Z$ 
et un caract\`ere partiel
$\rho_\arith: b\mapsto \alpha^b$; la proposition~\ref{pasteque} peut �tre reformul�e 
sous la forme 
$$
I(X_\arith)=I(\Gamma_\cA,\rho_\arith).
$$

R{\'e}ciproquement, � partir d'un id�al binomial de $\K[x_0, \dots,x_N]$ 
premier, homog{\`e}ne et ne contenant aucune des variables $x_i$, on peut construire $(\arith)$ tel que 
$I=I(X_\arith)$: soient  $\Gamma \subset \Delta^\Z$ le sous-module satur� et $\rho$ le caract\`ere partiel associ�s � $I$, $n:=N-{\rm rang}_\Z(\Gamma)$ et prenons $v_0, \dots, v_n \in \Z^{N+1}$ une base de l'orthogonal $\Gamma^\perp$ de
$\Gamma$ dans $\Z^{N+1}$ relativement au produit scalaire usuel. 
Puisque $\Gamma \subset \Delta^\Z$ on peut supposer \spdg $v_0=(1,\dots,1)$; on pose alors 
$$
a_i:= (v_{1,i}, \dots,v_{n,i}) \in \Z^{n} \quad \quad \mbox{ pour } i=0,\dots,N\enspace,
$$
et $\cA:= (a_0,\dots,a_N) \in (\Z^{n})^{N+1}$. 
En outre, $\rho$ peut s'�tendre (de mani�re pas forc�ment unique) en un caract\`ere total $\rho:\Z^{N+1}\to \K^\times$ et 
on prend $\alpha:= (\rho(e_0),\dots, \rho(e_N))\in (\K^\times)^{N+1}$ o� les $e_i$ d�signent les vecteurs de la base standard de $\Z^{N+1}$. 


Par construction $\Gamma_\cA=\Gamma$
et $L_\cA=\Z^n$, parce que $v_0, \dots,v_n$ est une {base} 
de $\Gamma^\perp$ et $\Gamma$ est satur�. La proposition~\ref{pasteque} entra{\^\i}ne $I(X_{\cA,\alpha})=I$. 
En particulier, on en d�duit que la correspondance $X \mapsto I(X)$ est une bijection entre l'ensemble des vari{\'e}t{\'e}s 
toriques de $\P^N$ et l'ensemble des id{\'e}aux de $\K[x_0, \dots,x_N]$ 
binomiaux, premiers, homog{\`e}nes, ne contenant aucune des variables de $x_i$, $i=0,\dots,N$.
Dans la suite, on notera $\Gamma_X$ et $\rho_X$ le $\Z$-module et le caract\`ere partiel associ�s � une vari�t� torique donn�e  $X$. 
 
\begin{exmpl} 
Soit
$$
\G_m^2 \to \P^3 \enspace, \quad \quad (s,t) \mapsto
(1:s:3\, s^2\,t: s\,t^2) 
$$
et posons $S \subset \P^3$ la surface torique, adh{\'e}rence de Zariski de l'image de cette application. Soit
$$
[\eta_\cA]=\left[ 
\begin{array}{cccc} 
1&1&1&1\\[2mm]
0&1&2&1\\[2mm]
0&0&1&2
\end{array} 
\right]
$$
la matrice de l'application lin{\'e}aire $\eta_\cA:\Z^4\to\Z^3$ dans les bases canoniques, alors $\Gamma_\cA=\ker(\eta_\cA)$ est engendr{\'e} par le seul vecteur
$$
\gamma=(M_0,-M_1,M_2,-M_3) =(2,-3,2,-1) \in \Z^4
$$
o{\`u} $M_i$ d{\'e}signe le $i$-{\`e}me mineur de la matrice $[\eta_\cA]$. Et donc une {\'e}quation de $S$ est 
$$
x^{\gamma_+}-\alpha^\gamma\, x^{\gamma_-} = x_0^2\,x_2^2 -9\,
x_1^3\,x_3 \in \K[x_0,x_1,x_2,x_3]\enspace. 
$$
R{\'e}ciproquement, partons de l'{\'e}quation binomiale $f:=x_0^2\,x_2^2 -9\,x_1^3\,x_3 \in \K[x_0,x_1,x_2,x_3]$. 
Le $\Z$-module satur� $\Gamma \subset \Delta^\Z$  correspondant est engendr{\'e} par $\gamma= (2,-3,2,-1)$ et le caract\`ere partiel est
$\rho:\Gamma\to \K^\times, m\cdot \gamma \mapsto 9^m$. 

On v{\'e}rifie que $(1,1,1,1), (0,1,2,1), (0,0,1,2) \in \Z^4$ forment bien une base de $\Gamma^\perp$ et que 
$\Z^4\to \K^\times, b\mapsto (1,1,3,1)^b= 3^{b_2}$, est une extension possible de $\rho$, donc $Z(f) =X_{\cA,\alpha}$ avec $\cA=((0,0),(1,0),(2,1),(1,2)) \in (\Z^2)^4$ et $\alpha= (1,1,3,1)\in (\K^\times)^4$. 

La figure suivante montre les exposants et le polytope associ\'es \`a cette surface: 
\vspace{-1mm} 

%----- Figure --------------
\begin{figure}[htbp]
$$\kern0.4cm\epsfig{file=figures/fano.eps, height= 35mm}$$
\end{figure}
%-------------------------
\end{exmpl} 


\vspace{10mm}
Consid�rons la norme $\ell^1$ 
$$
||v||_1= \sum_{i=0}^N |v_i| \quad \quad \mbox{ pour } v\in \R^{N+1} 
$$
et pour un $\Z$-module quelconque $\Gamma\subset \R^{N+1}$ notons $\mu_i := \mu_i(\Gamma; ||\cdot||_1)$ le $i$-{\`e}me minimum successif de $\Gamma$ relativement {\`a} cette norme. Rappelons que $\mu_i$ est  d{\'e}fini comme le plus petit 
$ \nu \in \R_+$ tel qu'il existe $i$ vecteurs ind{\'e}pendants $v_1,\dots, v_{i} \in \Gamma$ de norme born{\'e}e par $\nu$. Alternativement 
$$
\mu_i(\Gamma; ||\cdot||_1):= \min \{  \nu\in\R_+ \, : \ 
{\rm rang}_\Z(\nu\cdot  B_{||\cdot||_1}  \cap \Gamma) \ge i\} \enspace,
$$
o{\`u} $B_{||\cdot||_1}$ d{\'e}signe la boule unit{\'e} pour la norme $\ell^1$. 
Le r{\'e}sultat suivant montre que les indices d'obstruction d'une vari{\'e}t{\'e} torique relatifs 
� l'ouvert $(\P^N)^\circ$ co�ncident avec les minimums successifs du $\Z$-module associ\'e:  

\begin{prop} \label{framboise}  
Soit $X\subset \P^N$ une vari�t� torique de dimension $n$, 
alors 
$$ \omega_i(X; (\P^N)^\circ) = \frac12\,
\mu_i(\Gamma_X; ||\cdot||_1) \quad \mbox{ pour } i=1,\dots,N-n \enspace.
$$ 
\end{prop}

\begin{demo}
On peut se restreindre \spdg au cas $\alpha = (1,\dots,1)$. Soient $v_1,\dots, v_{N-n}$ des vecteurs formant une base de $\Gamma_X$. D'apr�s~\cite[Thm.~2.1(b)]{ES96}, $X^\circ = X\cap (\P^N)^\circ$ est une intersection compl�te 
decoup� par les bin�mes 
$$
x^{(v_1)_+} - x^{(v_1)_-} \enspace,  \dots, \enspace 
x^{(v_{N-n})_+} - x^{(v_{N-n})_-} 
\in \K[x_0,\dots,x_N]
$$
et on a $\displaystyle \deg(x^{(v_j)_+} - x^{(v_j)_-}) = \frac12\,||v_j||_1$ (car $\sum_{k=0}^Nv_{j,k}=0$). En prenant $v_1,\dots,v_{N-n}$ r{\'e}alisant les minimums successifs du module  $\Gamma_X$ on obtient 
$$
\omega_i(X; (\P^N)^\circ) \le \max\{ \deg(x^{(v_j)_+}-x^{(v_j)_-})\,: \ 1\le j \le i\} = \frac12\, \mu_i(\Gamma_X; ||\cdot||_1) \enspace.  
$$

Dans l'autre direction, soit $f_1, \dots, f_{N-n} \in I(X)$ 
une suite de polyn{\^o}mes homog{\`e}nes  r{\'e}alisant les indices d'obstruction successifs de $X$ sur $(\P^N)^\circ$. Par la proposition~\ref{pasteque} 
$$
f_j(x) = \sum_{b \in \Gamma_X} g_{j,b}(x) \, (x^{b_+}-x^{b_-}) 
$$
pour certains $g_{j,b} \in \K[x_0,\dots,x_N]$ et, pour tout $b\in\Gamma_\cA$ tel que $g_{j,b}\not=0$, on a 
\begin{equation}\label{minodegfj}
\deg(f_j) = \deg(g_{j,b})+ \deg(x^{b_+}-x^{b_-}) 
= \deg(g_{j,b})+ \frac12 \, ||b ||_1 \ge \frac12\, ||b||_1
\enspace.\end{equation}
Soit $1\le i \le N-n$, posons $L_i$ le $\Z$-module engendr{\'e} par les $b \in \Gamma_X$ tels que $g_{j,b}\ne0$ pour un certain $1\le j \le i$. Alors, $f_j \in J_i:=(x^{b_+}-x^{b_-} \, : \ b \in L_i) \subset \K[x_0,\dots,x_N] $ pour $j=1,\dots,i$ et donc 
$$
i = {\rm rang}(f_1,\dots,f_i) \le {\rm rang}(J_i) = {\rm rang}_\Z(L_i) 
$$
par la proposition~\ref{citrouille} ci-dessus. Ainsi $L_i$ est un sous-module de $\Gamma_X$ de rang au moins $i$ et on peut trouver $i$ vecteurs lin�airement ind�pendants parmi les $b\in\Gamma_\cA$ tels que $g_{j,b}\not=0$ pour un certain $1\le j \le i$. L'un au moins de ces vecteurs est de norme $\Vert b\Vert_1\geq \mu_i(\Gamma_X;\Vert\cdot\Vert_1)$ et on en d�duit avec~(\ref{minodegfj})
$$
\omega_i(X; (\P^N)^\circ) = \max\{ \deg(f_j) \, : \ j=1,\dots,i\} 
\ge \frac12\, \mu_i(\Gamma_X, ||\cdot||_1)\enspace. 
$$
\end{demo} 

Soit $X\subset \P^N$ une vari{\'e}t{\'e} de dimension $n$, comme cons{\'e}quence directe de sa majoration de la fonction de Hilbert g{\'e}om{\'e}trique, Chardin a montr{\'e} qu'on a toujours 
$$
\omega_1(X) \le  N\,\deg(X)^{\frac{1}{N-n}} \enspace,
$$
et aussi $\omega_2(X)^\frac12 \le  N\,\deg(X)^{\frac{1}{N-n}}$~\cite{Cha89}. 
Ult{\'e}rieurement, Chardin et Philippon ont consi\-d{\'e}\-r{\'e} le probl{\`e}me de l'{\it interpolation alg{\'e}brique}, qui consiste \`a estimer le degr{\'e} minimal de sous-vari{\'e}t{\'e}s 
$$ 
X = Y_{N-n} \subset \cdots \subset Y_1 \subset \P^N
$$
telles que $\codim(Y_j)=j$. Ils ont montr� qu'on peut choisir $Y_1,\dots, Y_{N-n}$ comme ci-dessus, satisfaisant~\cite{CP99}
\begin{equation}\label{intCP}
\deg(Y_j)^\frac{1}{j} \le  N \, 4^{N-1} \, \deg(X)^{\frac{1}{N-n}}
\enspace. 
\end{equation}
L'interpolation alg{\'e}brique est tr{\`e}s proche des  probl{\`e}mes d'estimation 
des indices d'obstruction successifs. En fait, une reformulation de leur d{\'e}monstration montre qu'il existe des {\'e}quations $f_1,\dots,f_{N-n} \in I(X)$ formant une intersection compl{\`e}te au voisinage du point g{\'e}n{\'e}rique de $X$ et telles que 
$$
\deg(X) \le \deg(f_1)\cdots \deg(f_{N-n}) \le c(N) \, \deg(X)
$$
pour une constante $c(N) >0$ explicite. Ceci \'equivaut aux in\'egalit\'es
\begin{equation} \label{patate}  
\deg(X) \leq \omega_1(X;U) \cdots \omega_{N-n}(X;U) \le c(N) \, \deg(X)
\end{equation} 
pour un ouvert $U \subset \P^N$ tel que $X \cap U \ne \emptyset$. 
L'interpr{\'e}tation des indices d'obstruction des vari{\'e}t{\'e}s toriques comme 
minimums successifs d'un module permet de traduire le deuxi{\`e}me th{\'e}or{\`e}me de Minkowski en des estimations pour le produit de ces indices relatifs � l'ouvert $(\P^N)^\circ$: 


\begin{cor} Soit $X\subset \P^N$ une vari�t� torique de dimension $n$, alors
$$
\deg(X) \le \omega_1(X ; (\P^N)^\circ)
\cdots  
\omega_{N-n}(X; (\P^N)^\circ)
\le c(N,n) \, \deg(X)
$$
avec 
$$
c(N,n):={N+1\choose n+1}^\frac12 \, \left(\frac{N+1}{\pi}\right)^{\frac{N-n}{2}} \Gamma\left(1+\frac{N-n}{2}\right) \le \left(\frac{N+1}{\sqrt{\pi}}\right)^{N-n} \enspace.$$
\end{cor}

Ceci est la proposition~\ref{intro2} dans l'introduction, avec une constante plus pr�cise. 

\begin{demo}
La premi{\`e}re in{\'e}galit{\'e} est cons{\'e}quence directe du th{\'e}or{\`e}me de B{\'e}zout; passons  
{\`a} la deuxi{\`e}me. Posons $\Gamma_X^\R:= \Gamma_X \otimes \R \cong\R^{N-n}$, de sorte que $\Gamma_X$ est un {r{\'e}seau} de $\Gamma_X^\R$. Posons aussi $B:=  B_{||\cdot||_1} \cap \Gamma_X^\R$ la boule unit{\'e} de $\Gamma_X^\R$ par rapport {\`a} la restriction de la norme $\ell^1$. Ceci {\'e}tant un ensemble convexe et sym{\'e}trique par rapport
\`a l'origine, le deuxi{\`e}me th{\'e}or{\`e}me de Minkowski sur les minimums successifs d'un r{\'e}seau entra{\^\i}ne 
$$
\frac{2^{N-n}}{(N-n)!} \le 
\frac{\Vol_{N-n}(B)}{\Vol_{N-n}(\Gamma_X^\R/\Gamma_X)} \,  \prod_{i=1}^{N-n} \mu_i(\Gamma_X;\Vert\cdot\Vert_1)
\le 2^{N-n} 
$$
et donc
\begin{equation}\label{jolieformule}
\prod_{i=1}^{N-n} \omega_i(X; (\P^N)^\circ) \le 
\frac{\Vol_{N-n}(\Gamma_X^\R/\Gamma_X)}{\Vol_{N-n}(B)} 
\end{equation}
par la proposition~\ref{framboise}. 

Pour conclure, il suffit de majorer le quotient
${\Vol_{N-n}(\Gamma_X^\R/\Gamma_X)}/{\Vol_{N-n}(B)}$. Soient $\cA\in (\Z^n)^{N+1}$ et $\alpha\in (\K^\times)^{N+1}$
tels que $X=X_\arith$; en particulier $\Gamma_\cA=\Gamma_X$. 
Soient 
$$
v_i:= (a_{0,i},\dots,a_{N,i}) \in \Z^{N+1} \quad \mbox{ pour } i=0,\dots,n
$$
les lignes de la matrice (dans les bases standard) de l'application $\eta_\cA:\Z^{N+1}\to\Z^{n+1}$.
Le module $\Gamma_X$ est l'orthogonal du sous-module $V \subset \Z^{N+1}$ engendr{\'e} par $v_0, \dots, v_n$. 
C'est aussi un sous-module satur{\'e} {\`a} cause de l'hypoth{\`e}se $L_\cA=\Z^n$; la formule de Brill-Gordan~({\it voir} par exemple~\cite[formule~(II.2)]{PS04}) entra{\^\i}ne alors
$$
\Vol_{N-n}(\Gamma_X^\R/\Gamma_X) = \Vol_{n+1}(V^\R /V) 
$$
et par la formule de Cauchy-Binet
$$
\Vol_{N-n}(\Gamma_X^\R/\Gamma_X) = \Vol_{n+1}(V^\R /V)  = ||v_0\wedge \cdots\wedge v_n||_2
= \bigg(\sum_{J: \card(J) = n+1}  \det([\eta_\cA]_J)^2 \bigg)^{1/2} 
\enspace,
$$
o\`u $[\eta_\cA]_J$ d\'esigne le mineur $(n+1)\times (n+1)$ de la matrice de 
$\eta_\cA$ dont les colonnes sont index\'ees par $J$.  
Chaque terme $\det([\eta_\cA]_J)$ est $\pm n!$ fois le volume d'un simplexe
contenu dans le polytope $Q_\cA$; ainsi on peut majorer cette quantit{\'e} par
$$
\Vol_{N-n}(\Gamma_X^\R/\Gamma_X) \le {N+1\choose n+1}^{1/2} \, n!\, \Vol_n(Q_\cA) = {N+1\choose n+1}^{1/2} \, \deg(X) 
%\le 2^{\frac{N+1}{2}} \, \deg(X_{\cA,\alpha}) 
\enspace.$$
En outre, notons que $B$ contient la boule euclidienne de $\Gamma^\R_X$ de rayon $(N+1)^{-1/2}$ 
centr�e en l'origine, ainsi
$$
\Vol_{N-n}(B) \ge \Vol_{N-n} ((N+1)^{-1/2}B_{||\cdot||_2} \cap \Gamma_X^\R) = 
\left(\frac{\pi}{N+1}\right)^{\frac{N-n}{2}} \cdot\frac{1}{\Gamma\left(1+\frac{N-n}{2}\right)} \enspace.
$$ 
On en d�duit
\begin{eqnarray*} 
\prod_{i=1}^{N-n} \omega_i(X;(\P^N)^\circ)
&\le &\frac{\Vol_{N-n}(\Gamma_X^\R/\Gamma_X)}{\Vol_{N-n}(B)} \\[0mm]
&\le &{N+1\choose n+1}^\frac12 \cdot\left(\frac{N+1}{\pi}\right)^{\frac{N-n}{2}} \cdot {\Gamma\left(1+\frac{N-n}{2}\right)} \cdot  \deg(X)\\[2mm] 
&\le &\frac{(N+1)^{\frac{N-n}{2}}}{(N-n)!^{\frac{1}{2}}}\cdot \left(\frac{N+1}{\pi}\right)^{\frac{N-n}{2}} \cdot \prod_{k=0}^{\left[\frac{N-n}{2}\right]-1} \left(\frac{N-n}{2}-k\right)\cdot \deg(X)\\[0mm]
&\le &\left(\frac{N+1}{\sqrt{\pi}}\right)^{N-n} \cdot \deg(X) \enspace.
\end{eqnarray*}
\end{demo} 


Ce r{\'e}sultat am{\'e}liore la constante $c(N)$ dans~(\ref{patate}) pour le
cas torique et pr{\'e}cise l'ouvert $U$ par rapport auquel les indices peuvent �tre consid�r�s. 

\medskip
En revenant au cas g�n�ral d'une {vari{\'e}t{\'e}} $X \subset \P^N$ quelconque de dimension $n$, il est naturel de se demander si l'estimation~(\ref{patate}) 
reste valide pour $U=\P^N$. Autrement-dit, s'il existe toujours des polyn{\^o}mes homog{\`e}nes $f_1,\dots, f_{N-n} \in I(X)$ formant une
intersection compl{\`e}te {\it globale} et tels que 
$$
\deg(X) \le \deg(f_1) \cdots \deg(f_{N-n}) \le c(N) \,  \deg(X)\enspace. 
$$
Il serait int{\'e}ressant de d{\'e}cider cette question d�j� sur la classe des vari{\'e}t{\'e}s toriques. Pour ce faire, on voudrait expliciter les indices $\omega_i(X;\P^N)$ de mani�re analogue �  la proposition~\ref{framboise} 
pour $\omega_i(X;(\P^N)^\circ)$.  





dioph.tex
%
% Version du 2/5/2006
%

%------ Fichier maitre --------------------------------------------

\documentclass[a4 paper, 11pt]{smfart}

\input macros

%\parindent=0.8cm\parskip=0.5\baselineskip

\overfullrule=1mm


% ----------- Titre ---------------------------------------------


\title[Quelques aspects diophantiens des vari{\'e}t{\'e}s toriques projectives]{
Quelques aspects diophantiens des\\ vari{\'e}t{\'e}s toriques projectives} 


%---

\author{Patrice Philippon} 

\address{Institut de Math{\'e}matiques de Jussieu (U.M.R. 7586), Projet 
G{\'e}om{\'e}trie et Dynamique.
Case~7012, 
2 place Jussieu, 
75251 Paris Cedex 05,
France.}
\email{pph@math.jussieu.fr}
\urladdr{http://www.math.jussieu.fr/\~{}pph/}
\thanks{P. Philippon a {\'e}t{\'e} partiellement financ{\'e} par une allocation de recherche de la {\em Fondation Alexander von Humboldt} pendant la r{\'e}alisation de ce travail.} 

%---

\author{Mart{\'\i}n Sombra}

\address{Universitat de Barcelona, 
Departament d'{\`A}lgebra i Geometria. 
Gran Via 585,
08007 Barcelona, Espagne.}
\email{sombra@ub.edu}
\urladdr{http://atlas.mat.ub.es/personals/sombra/} 
\thanks{ M. Sombra a \'et\'e financ\'e par le {\it Programme Ram\'on y Cajal} du  
Ministerio de Educaci\'on y Ciencia, Espagne.}

%---

\subjclass{Primaire: 11G50; Secondaire: 14M25, 14G40.} 

\keywords{Vari{\'e}t{\'e} torique, hauteur normalis{\'e}e, multihauteurs, 
fonction de Hilbert arithm{\'e}tique, poids de Chow, volume mixte, indice
d'obstruction, minimums successifs.}

\begin{document}
\maketitle

\vspace{-0.5cm}
\hbox to\hsize{\hfill\vbox{\hsize=5.5cm\parskip=0pt{\small\it 
An Wolfgang Schmidt\par
Der oft und schick\par
'nen Edelsatz\par
Geschmiedet hat}}}
\vspace{1cm}

% ----------- Resume  -----------------------------

\begin{abstract}
%
\setlength{\baselineskip}{12pt}
On prsente plusieurs facettes des vari{\'e}t{\'e}s toriques projectives, intressantes du point de vue 
de la gomtrie diophantienne. On montre comment la thorie s'explicite sur un certain nombre d'exemples 
significatifs et on tablit galement un thorme de type Bzout pour les poids de Chow 
des varits projectives. 
\end{abstract}

% ----------- Resume en anglais ----------------------


\begin{altabstract}
%
\setlength{\baselineskip}{12pt}
{\bf Some diophantine aspects of projective toric varieties.} 
We present several facets of projective toric varieties, of interest from the point of view of Diophantine geometry. 
We make explicit the theory in a number of meaningful examples and we also prove a Bzout type theorem for Chow weight of projective varieties.

\end{altabstract}

%------------ Date ---------------------------------------------

%\date{Version du \today.}





%------------ Sections ---------------------------------------------

\setlength{\baselineskip}{13.55pt}
 
\input introduction.tex 

\renewcommand{\thesection}{\Roman{section}}

\input vartor.tex 

\input degobst.tex

\input voltang.tex 

\input chowethaut.tex 

\input minimums.tex 

\input bezout.tex 

\input references.tex

\end{document}




introduction.tex
%
% Version du 2/4/2006
%
 
% SECTION: Intro -----------------------------------------------

\typeout{Introduction}

\section*{Introduction et r�sultats}




Les vari{\'e}t{\'e}s toriques jouent un r{\^o}le important au carrefour de l'alg\`ebre, la g{\'e}om{\'e}trie et la combinatoire. 
Elles constituent une classe de vari�t�s suffisamment rigide pour que
beaucoup des invariants s'explicitent en termes combinatoires, 
et en m�me temps suffisamment riche pour permettre de tester et illustrer 
diverses conjectures et th�ories abstraites. 
Elle trouve application 
dans de nombreuses branches des math�matiques~: g�om�trie alg�brique bien s�r, alg�bre commutative, combinatoire, calcul formel, g�om�tries symplectique et k�hlerienne, topologie et physique math�matique,
{\it voir} par exemple~\cite{Ful93}, \cite{GKZ94}, \cite{Stu96}, \cite{Cox01},
\cite{Audin}, 
\cite{Don02}.


Par d�finition, les vari�t�s toriques projectives sont 
les com\-pac\-ti\-fi\-ca\-tions �quivariantes des translat�s de sous-tores 
des tores multiplicatifs $\G_m^N$. 
Du point de vue de la g�om�trie diophantienne, ces vari{\'e}t{\'e}s se 
trouvent � la crois�e des probl�mes de Lehmer et de Bogomolov g\'en\'eralis\'es sur les tores. 
En effet, on sait que lorsqu'elles ne sont pas de torsion,  
les minorations pour la hauteur normalis�e de ces vari�t�s 
sont de nature fondamentalement arithm�tique, 
d�pendant essen\-tiel\-le\-ment du corps de d�finition de la vari�t�. 
Au contraire, pour les sous-vari�t�s de $\G_m^N$ qui ne sont pas 
des translat�es de sous-tores on dispose de minorations ne d�pendant que de leur g�om�trie, {\it voir}~\cite{AD}, \cite{AD04}, \cite{Dav02}. 
D'un autre c�t�, R.~Ferretti~\cite{Fer03} a exploit\'e les vari�t�s toriques 
afin de trouver des exemples concrets de l'extension 
du th�or�me du sous-espace 
aux vari�t�s projectives, qu'il a obtenue avec 
J.-H.~Evertse~\cite{EF02}.

Dans~\cite{PS04} ({\it voir} aussi~\cite{PS05})
nous avons �tudi� l'un des invariants 
arith\-m�\-ti\-ques les plus significatifs des vari�t�s dans le cas torique, � savoir 
leur hauteur normalis�e. 
Cet invariant est l'analogue arithm�tique du degr�, il mesure la complexit� binaire d'une 
repr�sentation de la vari�t� et contr�le aussi la distribution des points alg�briques 
de petite hauteur sur la vari\'et\'e. 
Dans \cite{PS04}, on a donn\'e une expression explicite pour la hauteur 
normalis�e d'une vari�t� torique et 
plus g�n�ralement pour la multihauteur d'un tore par rapport � plusieurs plongements 
monomiaux. 

Ces r�sultats sont en parfait parall�le avec la  th�orie g�om�trique. 
En fait, on construit un objet ad�lique $\Theta_X$ associ� � une vari�t� torique $X$ 
(constitu� par une famille finie de fonctions concaves et affines par morceaux)
qui est le pendant arithm�tique
du polytope classiquement associ� � l'action du tore et dont l'int�grale donne la hauteur. 
Gr�ce � cette approche, il est possible de calculer explicitement
cette quantit� 
pour n'importe qu'elle vari�t� torique particuli�re et de tester utilement des conjectures et r�sultats. 



Le pr�sent texte a le double propos d'introduire le lecteur 
� l'�tude des 
vari�t�s toriques 
d�but�e dans~\cite{PS04} (\S~\ref{Chow}, \S~\ref{hauteurs}), 
et de pr�senter de nouvelles applications des vari�t�s toriques � 
des probl�mes diophantiens ou 
d'origine diophantienne (\S~\ref{obstruction}, \S~\ref{voltang}, \S~\ref{minimums}, \S~\ref{diviseurs}).


\medskip

Dans le~\S~\ref{obstruction} on s'int�resse aux indices d'obstruction successifs 
des vari�t�s toriques d\'efinies sur un corps alg\'ebriquement clos $\K$. 
Il s'agit des plus petits degr�s de formes d'une suite s�cante (soit globalement, soit dans un ouvert) d�coupant un ensemble alg�brique ayant la vari�t� comme composante. 
Diff�rentes variantes de ces indices jouent un r�le important dans les g�n�ralisations des probl�mes de Lehmer 
et de Bogomolov par exemple, {\it voir}~\cite{AD}.


Les sous-vari{\'e}t{\'e}s toriques de $\P^N(\K)$ correspondent � des id{\'e}aux {binomiaux} premiers et homog{\`e}nes de l'anneau $\K[x_0, \dots,x_N]$. 
De plus, les bin{\^o}mes engendrant l'id{\'e}al d'une vari{\'e}t{\'e} torique $X$ 
s'explicitent en termes d'un certain $\Z$-module $\Gamma_X \subset \Z^{N+1}$ 
naturellement associ{\'e} � $X$, {\it voir}~\cite{ES96} ou~\S~\ref{obstruction}.


On montre que le premier indice d'obstruction d'une vari�t� torique $X$ 
est �gal au premier minimum de $\Gamma_X$ par rapport {\`a} une m{\'e}trique convenable; et 
plus g{\'e}n{\'e}ralement, que les indices d'obstruction successifs  
$\omega_i(X; (\P^N)^\circ)$ de cette vari{\'e}t{\'e} 
relatifs � l'ouvert $(\P^N)^\circ$ 
co�ncident avec les minimums successifs de $\Gamma_X$ et qu'ils 
se r{\'e}alisent par des �quations binomiales (Proposition~\ref{framboise}). 
{\it Via} ce r{\'e}sultat, 
le deuxi{\`e}me th{\'e}or{\`e}me de Minkowski se traduit en des estimations pour
le produit des indices d'obstruction successifs, qui pr{\'e}cisent dans
le cas torique les estimations de M.~Chardin~\cite{Cha89} et de Chardin et 
P.~Philippon~\cite{CP99}:
 

\begin{prop} \label{intro2}
Soit $X\subset \P^N$ une vari�t� torique de dimension $n$, alors 
$$
\deg(X) \le \omega_1(X; (\P^N)^\circ)
\cdots  
\omega_{N-n}(X; (\P^N)^\circ)
\le (N+1)^{N-n} \, \deg(X).
$$
\end{prop}


En outre, le r�seau $\Gamma_X$ s'identifie au r�seau des p�riodes de l'application exponentielle 
restreinte � l'espace tangent en l'origine de $X^\circ$. On retrouve ainsi au~\S~\ref{voltang} certains r�sultats de~\cite{BP} reliant degr� et multi-degr�s d'un sous-groupe alg�brique d'un tore multiplicatif au volume de son r�seau des p�riodes et � la hauteur de son espace tangent.

Dans l'article~\cite{PS06} on poursuit une �tude approfondie des indices d'obstruction des vari�t�s toriques et de son application � la minoration de la hauteur des points dans ces vari�t�s. 


\medskip

Soit maintenant $X\subset{\bf P}^N$ une vari{\'e}t{\'e} quelconque de dimension $n$ 
et $\tau=(\tau_0,\dots,\tau_N)\in{\bf R}^{N+1}$ un vecteur {\it poids}.
Soient 
$n+1$ groupes $U_0, \dots, U_n$ de $N+1$ variables chacun et 
consid�rons 
la {\it forme de Chow de $X$}
$$
Ch_X =\sum_{a\in \N^{(n+1)(N+1)}} c_a U_0^{a_0}\cdots U_n^{a_n} 
\in  \K[U_0, \dots, U_n]
$$ 
Le {\em poids de Chow relatif � $\tau$} (ou {\em $\tau$-poids de Chow}) de $X$ est
d�fini comme le poids de sa forme de Chow par rapport au vecteur $(\tau,\dots, \tau)\in \R^{(n+1)(N+1)}$, 
\cad
$$
e_\tau(X) := \max \{ \langle a_0,\tau\rangle + \cdots +\langle a_n,\tau\rangle :
a\in \N^{(n+1)(N+1)} \mbox{ tel que } c_a\ne 0 \}\enspace,$$
o� $\langle\cdot,\cdot\rangle$ d�signe le produit scalaire ordinaire. 

Le poids de Chow a �t� introduit par D. Mumford~\cite{Mum} en
relation avec la stabilit� des vari�t�s projectives. On le
retrouve (et en particulier l'�nonc�~\ref{poidsChow} du
pr�sent texte) dans un travail de S.K. Donaldson~\cite{Don02} montrant la relation 
entre stabilit� des vari�t�s toriques et existence de m�trique 
k�hlerienne � courbure constante. 
Il appara�t �galement en g�om�trie diophantienne au travers des travaux de Ferretti~\cite{Fer03}, Evertse et Ferretti~\cite{EF02} et dans notre formule pour  la hauteur d'une vari�t� torique~\cite{PS04}.

\smallskip 


Pour $\tau \in \Z^{N+1}$, consid{\'e}rons l'action du sous-groupe {\`a} un param{\`e}tre   
$$
*_\tau : \G_m \times \P^N \to \P^N \enspace, \quad \quad 
(t,(x_0: \cdots : x_N)) \mapsto (t^{\tau_0}\, x_0 : \cdots :
t^{\tau_N}\, x_N)
$$
et la {\it d�formation torique} $ X_\tau$ de $X$ associ{\'e}e, d{\'e}finie comme l'adh�rence de Zariski de l'ensemble 
$$
\{((1:t),  t *_\tau x) \, : \ t\in{\bf G}_m,\ x\in X\}
\subset{\bf P}^1\times{\bf P}^{N} \enspace. 
$$
La {\it vari�t� initiale de $X$ relative au poids  $\tau \in \Z^{N+1}$}
est par d�finition
$$
\init_\tau(X) := \iota^*(X_\tau \cdot (\{(0:1)\}\times \P^{N})) \in
Z_n(\P^N) \enspace, 
$$
o{\`u} $ \iota: \P^N \to \P^1\times \P^N $ d{\'e}signe l'inclusion $(x_0:\cdots:x_N) \mapsto ((0:1), (x_0:\cdots:x_N))$. Autrement-dit, $\init_\tau(X)$ est le {\it cycle limite} $\lim_{t\to \infty} t*_\tau X$ de $X$ sous l'action $*_\tau$. C'est un cycle de m{\^e}me dimension et degr{\'e} que $X$. 


On montre au~\S~\ref{Chow} que lorsque $\tau\in\N^{N+1}$, le poids de Chow relatif � $\tau$ s'interpr�te comme un bi-degr� d'une variante de la d�formation torique ci-dessus et se comporte donc comme une hauteur. 
Comme cons�quence de cette interpr�tation, on d�montre un th�or�me de B�zout pour le poids de Chow
du cycle intersection $X\cdot H$, 
 qui pr�cise la majoration obtenue par Ferretti~\cite[Prop.~4.3]{Fer03}.

\begin{thm}\label{BezoutpoidsChow}
Soit $X\subset\P^N$ une vari�t� projective et $ H \in\Div(\P^N)$ un diviseur ne contenant pas $X$, alors pour $\tau\in\Z^{N+1}$ on a 
$$\begin{array}{rcl}
e_\tau(X\cdot H) &= &e_\tau(X)\,\deg(H) + e_\tau(H)\,\deg(X) - (\tau_0+\dots+\tau_N)\,\deg(H)\,\deg(X)\\[2mm] 
&&\kern5.3cm\displaystyle - \sum_{Y\in\irr(\initial_\tau(X))} m(X_\tau\cdot H_\tau;\iota(Y)) \, \deg(Y)
\end{array}$$
o{\`u} la somme porte sur les composantes irr{\'e}ductibles de ${\rm init}_\tau(X)$.

En particulier, si $H$ est effectif on a pour tout $\tau\in\R^{N+1}$
$$
e_\tau(X\cdot H) \leq e_\tau(X) \, \deg(H) + e_\tau(H)\,\deg(X) - (\tau_0+\dots+\tau_N)\,\deg(H)\,\deg(X)
\enspace,$$
avec �galit� si et seulement si les vari�t�s initiales de $X$ et $H$ s'intersectent proprement. 
\end{thm}

\begin{rem}
Lorsque $H$ est effectif, le terme correctif $\sum_{Y} m(X_\tau\cdot H_\tau;\iota(Y)) \, \deg(Y)$ est le degr\'e la partie du cycle intersection $X_\tau\cdot H_\tau$,
contenue dans la vari\'et\'e initiale de $X$.  
\end{rem}

Suivant l'attitude g�n�rale adopt�e dans ce texte nous �crivons �galement au~\S~\ref{diviseurs} ce th�or�me en termes combinatoires pour l'intersection d'une vari�t� torique avec un diviseur monomial. 
Comme autre application de la formule de la hauteur d'une vari�t� torique, on 
en d�duit dans ce cas un th�or�me de B�zout {\it exact} pour la hauteur normalis�e du cycle intersection 
({\it voir} Corollaire~\ref{capre}). 

\medskip



L'�tude des points alg�briques de petite hauteur (ou {\it petits points}) 
a re�u une attention consid�rable au cours des derni�res ann�es. 
La taille des petits points dans une vari�t� est quantifi� par 
ses minimums alg�briques successifs. 

Soit $X \subset \P^N(\Qbar)$  une vari{\'e}t{\'e} quasi-projective quelconque, 
de dimension $n$.
Pour $ \theta\ge 0$ on pose $X(\theta)$ pour l'ensemble des points de $X$ de hauteur normalis�e $\hnorm$ major�e par $\theta$. 
Pour $i=1, \dots, n+1$, le {\it $i$-�me minimum alg�brique de $X$ par rapport 
\`a la hauteur normalis�e} est 
$$
\wh{\mu}_i(X) := \inf \big\{\theta : \dim (\ov{X(\theta)}) \ge n-i+1\big\}\enspace, 
$$
o\`u $\ov{X(\theta)}$ d\'esigne l'adh\'erence de Zariski de $X(\theta)$.
On {\'e}crit \,$
\wh{\mu}^\ess(X):= \wh{\mu}_{1}(X) $ \ 
et \ $ \wh{\mu}^\abs(X):= \wh{\mu}_{n+1} (X)
$\, 
pour les minimums {\em essentiel}  et {\em absolu} respectivement;
on a $\wh{\mu}_1(X)\geq\dots \geq \wh{\mu}_{n+1}(X) \newline \geq 0$.


La r{\'e}partition de la  hauteur des points alg{\'e}briques d'une vari�t� projective {\it ferm�e} $X$ est en relation  avec sa  hauteur, le lien est donn{\'e} par le {\it th{\'e}or{\`e}me des minimums successifs}~\cite[Thm. 5.2 et Lem. 6.5]{Zha95}: 
\begin{equation} \label{zhang} 
\wh{\mu}_1 (X)+ \cdots + \wh{\mu}_{n+1} (X) 
\, \le \,  
\frac{\wh{h}(X) }{\deg (X)}
\, \le \,  (n+1) \, \wh{\mu}_1(X)  
\enspace.\end{equation} 


Comme application de la formule pour la hauteur d'une vari\'et\'e torique 
de \cite{PS04}, 
on construit au \S~6 des exemples montrant 
que toute configuration 
possible des minimums successifs 
est arbitrairement approchable et que le quotient ${\wh{h}(X) }/{\deg (X)}$
peut atteindre n'importe quelle valeur dans l'intervalle autoris� par 
l'encadrement ci-dessus:



\begin{thm} \label{densite}
Soient $n, N\in \N$ tels que $N \ge 3\,n+1$ 
et 
$\mu_1, \dots, \mu_{n+1}, \nu  \in \R$ tels que 
$$\mu_1\geq \dots\geq \mu_{n+1}\geq 0  \quad \mbox{ et } \quad  
\mu_1+\dots +\mu_{n+1} \le \nu < (n+1)\,\mu_1 \enspace.
$$ 
Alors pour $0<\varepsilon_1\leq (n+1)\mu_1-\nu$, 
$\varepsilon_2>0$ arbitraires, 
il existe 
une vari�t� torique $X\subset\P^N$ de dimension $n$
telle que 
$$
0 < \mu_i - \wh{\mu}_i(X) \le \varepsilon_1 \enspace \mbox{ pour } i=1,\dots,n+1 
\mbox{ et } \enspace
\left|\frac{\wh{h}(X)}{\deg(X)} - \nu\right| < \varepsilon_2\mu_1 \enspace.
$$
De plus, la vari�t� $X$ peut �tre choisie de degr� 
$\leq (4n^2 \, \varepsilon_2^{-1})^n$ et 
d�finie 
sur une extension kummerienne $K=\Q(2^{1/\ell})$ 
de degr� $\leq\lfloor\log(2)\,\varepsilon_1^{-1}\rfloor +1$.
\end{thm}

Les exemples construits pr�sentent une codimension minimale $N-n=2n+1$ 
de l'ordre de la dimension de la vari�t� produite. 
La question se pose donc de savoir ce qu'il en est pour les 
vari�t�s de petite codimension ({\it cf.} 
Proposition~\ref{cashyper}). 



\bigskip
Pour faciliter la lecture, nous avons tress� dans le texte plusieurs paragraphes d'introduction aux vari�t�s toriques (\S~\ref{vartor}), aux poids de Chow (\S~\ref{Chow}) et � la th�orie de l'intersection multi-projective (\S~\ref{vartor}). 
Les paragraphes~\S~\ref{obstruction} �~\S~\ref{minimums} doivent pouvoir �tre lus de mani�re essentiellement ind�pendante.
Dans les paragraphes \ref{vartor} \`a~\ref{Chow} nous prenons un corps de base $\K$ alg\'ebriquement clos quelconque ou  
$\C$ pour le~\S~\ref{voltang}.  
L'arithm\'etique appara\^\i t \`a partir de la fin du \S~\ref{Chow}, o\`u nous posons nos conventions sur les places et valeurs absolues des corps de nombres (Convention~\ref{convention}). 


% ----------- Table des matieres -----------------------------

\bigskip 

\setcounter{tocdepth}{2}

\vbox{\typeout{Matieres}

\tableofcontents}


%%% Local Variables: 
%%% mode: latex
%%% TeX-master: t
%%% End: 

macros.tex
% Date de cette version: 5/12/2004
% -------------------------------------------------------------------
% -------------------------------------------------------------------
% MACROS

%----- Paquets, format de page --------------------------------------

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%----- Accents -----------------------------------------

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\def\ouvreg#1{\leavevmode\hbox{#1\unskip\kern+0.20em(\kern-0.20em(\kern+0.20em}%
\ignorespaces\nobreak}
\def\fmg{\fermeg\f@nt\everypar={}} \let\fgg=\fg
\def\fermeg#1{\relax \ifhmode \unskip\kern+0.20em\else \leavevmode \fi%
\hbox{#1)\kern-0.20em)\kern+0.20em\ignorespaces}}

\catcode`\@=12 

\def\enoncesans#1#2 #3{\begin{thm}#1#3\end{thm}}
\def\enoncenormal#1#2 #3{\begin{prop}#1#3\end{prop}}
\def\cal#1{\mathcal{#1}}
\font\eightrm=ptmr at 8pt

\font\ninebf=cmbxti10 at 9pt
\font\sevenbf=cmbxti10 at 7pt

\font\fiverm=ptmr at 5pt
\def\^#1{\if#1i{\accent"5E\i}\else{\accent"5E #1}\fi} 
\def\"#1{\if#1i{\accent"7F\i}\else{\accent"7F #1}\fi} 
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\def\enmarged#1{\goodbreak\ifodd\count0\marginpar{\hbox{\ninebf#1\kern18mm}}
\else\marginpar{\hbox{\kern18mm\ninebf#1}}\fi}

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% -------------------- Comandos --------------------------------

\def\char {{\rm \mbox{char\,}}}
\def\rank {{\rm \mbox{rank\,}}}
\def\Id {{\rm \mbox{Id}}}
\def\codim {{\rm \mbox{codim}}}

\def\Conv {{ \mbox{\rm Conv}}}
\def\conv {{ \mbox{\rm  \scriptsize Conv}}}
\def\Vol {{\mbox{\rm Vol}}}
\def\vol {\mbox{\rm vol\,}}
\def\ass {{\rm \mbox{Ass}}}

\def\Supp {{\mbox{\rm Supp}}}
\def\Hom {{\rm \mbox{Hom\,}}}
\def\ord {\mbox{\scriptsize ord}}
\def\Ord {\mbox{\rm ord}}
\def\GL {{\rm \mbox{GL}}}
\def\SL {{\rm \mbox{SL}}}

\def\dist {{\rm \mbox{dist}}}
\def\init {{\rm \mbox{init}}}
\def\initial {{\mbox{\scriptsize \rm init}}}
\def\Res {\mbox{\rm R{\'e}s}}
\def\aff {{\rm \mbox{\scriptsize aff}}}

\def\sat {{\rm \mbox{\scriptsize sat}}}
\def\Adj { \mbox{\rm Adj}}
\def\Diag { \mbox{\rm Diag}}
\def\discr {\mbox{\rm discr}}

\def\mmax {{\mbox{\rm \scriptsize max}}}
\def\h {{ \mbox{\rm \scriptsize h}}}
\def\red {{ \mbox{\rm \scriptsize red}}}
\def\Gal {\mbox{\rm Gal}}

\def\rang {\mbox{\rm rang\,}}
\def\ess {{ \mbox{\rm \scriptsize ess}}}
\def\abs {{ \mbox{\rm \scriptsize abs}}}
\def\m {{ \mbox{\rm \scriptsize m}}}

\def\cc {{ \mbox{\rm \scriptsize c}}}
\def\ccc {{ \mbox{\rm \tiny c}}}

\def\pr {{ \mbox{\rm \scriptsize pr}}}
\def\ssup {{ \mbox{\rm \scriptsize sup}}}
\def\span {\mbox{\rm span}}
\def\covol {\mbox{\rm covol}}

\def\im {\mbox{\rm Im}\,}
\def\Div {\mbox{\rm Div}}
\def\div {\mbox{\rm div}}
\def\Tors {\mbox{\rm Tors}}

\def\Ann {\mbox{\rm Ann}}
\def\reg {\mbox{\rm reg}}
\def\graph {\mbox{\rm graph}}
\def\Hess {\mbox{\rm Hess}}

\def\lg {\mbox{\rm lg}}
\def\Ass {\mbox{\rm \scriptsize Ass}}
\def\Irr {\mbox{\rm Irr}}
\def\irr {\mbox{\rm \scriptsize Irr}}
\def\FS {\mbox{\rm \scriptsize FS}\,}
 
\def\proj {{\mbox{\rm \scriptsize proj}}}
\def\weyl {{\mbox{\rm \scriptsize W}}}
\def\laurent {{\mbox{\rm \scriptsize Lau}}}
\def\daph {{\mbox{\rm \scriptsize DP}}}

\def\geom {{\mbox{\rm \scriptsize g{\'e}om}}}
\def\norm {{\mbox{\rm \scriptsize norm}}}
\def\arith {{\mbox{\rm \scriptsize arith}}}

\def\Spec   {\mbox{\rm Spec}\,}
\def\MV {\mbox{\rm MV}}
\def\MI {\mbox{\rm MI}}
\def\NP {\mbox{\rm NP}}
\def\adeg {\wh{\deg}}

\def\Card {\mbox{\rm Card}}
\def\card {{\mbox{\rm \scriptsize Card}}}
\def\Ch {{\mathcal{C}{\it h}}}
\def\Aff {\mbox{\rm Aff}}

\def\diag {\mbox{\rm diag}}
\def\Mat {\mbox{\rm Mat}}
\def\Expo {\mbox{\rm Supp}}
\def\expo {\mbox{\rm \scriptsize Supp}}
\def\Ker {\mbox{\rm Ker}}

\def\Spec {\mbox{\rm Spec}}
\def\DPC  {\mbox{\rm DPC}}
\def\dpc  {\mbox{\rm \scriptsize DPC}}
\def\Pan  {\mbox{\rm Pan}}
\def\pan  {\mbox{\rm \scriptsize Pan}}
\def\longueur  {\mbox{\rm long}}

\def\OK {{\cO_K}}
\def\Hnorm {\mathcal{H}_\norm}
\def\Harith {{\mathcal{H}_\arith}}
\def\hnorm {{\widehat{h}}}
\def\munorm {{\widehat{\mu}}}

\def\geom {{\mathcal A}}
\def\arith {{{\mathcal A}, \alpha}}

\def\Faces {{\mbox{\rm F}}}
\def\faces {{\mbox{\rm \scriptsize F}}}
\def\res {\mbox{\rm r{\'e}s}}

\def\ov#1{{\overline{#1}}}
\def\un#1{{\underline{#1}}}
\def\wh#1{{\widehat{#1}}}
\def\wt#1{{\widetilde{#1}}}


% -------------------- Letras Especiales -------------------------

\def \A {{\bf A}}
\def \C {{\bf C}}
\def \G {{\bf G}}
\def \K {{\bf K}}
\def \N {{\bf N}}
\def \P {{\bf P}}
\def \Q {{\bf Q}}
\def \R {{\bf R}}
\def \Z {{\bf Z}}

\def \cA {\mathcal{A}}
\def \cB {\mathcal{B}}
\def \cC {\mathcal{C}}
\def \cD {\mathcal{D}}
\def \cE {\mathcal{E}}
\def \cF {\mathcal{F}}
\def \cG {\mathcal{G}}
\def \cH {\mathcal{H}}
\def \cI {\mathcal{I}}
\def \cJ {\mathcal{J}}
\def \cK {\mathcal{K}}
\def \cL {\mathcal{L}}
\def \cM {\mathcal{M}}
\def \cN {\mathcal{N}}
\def \cO {\mathcal{O}}
\def \cP {\mathcal{P}}
\def \cQ {\mathcal{Q}}
\def \cR {\mathcal{R}}
\def \cS {\mathcal{S}}
\def \cT {\mathcal{T}}
\def \cU {\mathcal{U}}
\def \cV {\mathcal{V}}
\def \cW {\mathcal{W}}
\def \cX {\mathcal{X}}
\def \cY {\mathcal{Y}}
\def \cZ {\mathcal{Z}}

\def\ga {{\mathfrak{a}}}
\def\gf {{\mathfrak{f}}}
\def\gothg {{\mathfrak{g}}}
\def\gp {{\mathfrak{p}}}
\def\gq {{\mathfrak{q}}}
\def\gM {{\mathfrak{M}}}

\def\cad {c'est-{\`a}-dire } 
\def\spdg {sans perte de g�n�ralit� }

\def\Qbar {{\overline{\Q}}}
\def\h{{\widehat{h}}}
\def\kbar {{\overline{k}}}

% -------------------- Environment delimiters --------------------

% Voici la liste de quelques commands 
% definis dans smfart.cls et smfthm.sty
%

%\begin{lem}   pour {Lemme}
%\begin{prop}  pour {Proposition}
%\begin{thm}   pour {Th{\'e}or{\`e}me}
%\begin{cor}   pour {Corollaire}
%\begin{conj}  pour {Conjecture} 

%\begin{defn}  pour {D{\'e}finition}
%\begin{notn}  pour {Notation}
%\begin{rem}   pour {Remarque}
%\begin{exmpl} pour {Exemple}
%\begin{conv}  pour {Convention}

%\begin{enonce}{pour mettre ce qui me chante} 

%\begin{demo} pour {Demonstration} 
%\begin{demo}[framboise] pour {framboise} 



%%% Local Variables: 
%%% mode: latex
%%% TeX-master: t
%%% End: 

minimums.tex
% Date de cette version: 5/12/2004
%
% -------------------------------------------------------------------
% ---------------------------------------------------------------------------
% SECTION: Minimums successifs

\typeout{Optimalit� du th{\'e}or{\`e}me des minimums alg�briques successifs} 

\section{Optimalit� du th{\'e}or{\`e}me des minimums alg�briques successifs} 

\label{minimums}

Dans ce paragraphe on �tudie les minimums alg\'ebriques successifs des 
vari\'et\'es toriques, d\'efinis dans l'introduction.   
Comme r�sultat principal, on d�montre le th�or�me~\ref{densite} \'enonc\'e 
dans l'introduction qui entra\^ine l'optimalit� des estimations 
dans le th�or�me des minimums alg\'ebriques successifs: on construit des 
exemples montrant
qu'� des $\varepsilon$-pr�s, toute configuration 
possible des minimums successifs 
se r�alise et que le quotient ${\wh{h}(X) }/{\deg (X)}$
peut atteindre n'importe quel valeur dans l'intervalle autoris� par
les in\'egalit\'es~(\ref{zhang}). 

\medskip
Notons que l'analogue ab�lien du th�or�me~\ref{densite} est faux: 
soit $A$ une vari�t� ab�lienne 
d�finie sur $\Qbar$ 
munie d'un fibr� en droites $L$  ample et sym�trique, permettant de d�finir une notion de hauteur normalis�
$\hnorm = \hnorm_L$ pour les sous-vari�t�s de $A$ \cite{Phi91}.
En particulier, on a une notion de minimums successifs
et le th�or�me de Zhang y est toujours valable, {\it voir}~\cite[Thm.~5.2]{Zha95}. 

Soit  $\alpha + B \subset A$ le translat{\'e} d'une sous-vari{\'e}t{\'e} 
ab{\'e}lienne $B$ par un point $\alpha$
et $\Tors(B)$ le sous-groupe des points de torsion de $B$. 
Soit $\beta$ un point quelconque dans $\alpha+B$, alors 
$\beta+\Tors(B)$ est un sous-ensemble de points de hauteur 
$\hnorm(\beta)$ dense dans $\alpha+B$
(puisque $\Tors(B)$ est Zariski dense dans $B$), 
donc 
$\wh{\mu}^\ess(\alpha+B) \le \hnorm(\beta)$. 
On en d�duit 
$ \wh{\mu}^\ess (\alpha+B) = \wh{\mu}^\abs (\alpha+B)$ et donc
$$
\wh{\mu}_i(\alpha +B)= \wh{\mu}^\ess (\alpha +B)
 \quad \mbox{ pour } i=1,\dots,n+1 \enspace. 
$$
Ainsi, dans cette situation l'intervalle du th�or�me des minimums 
successifs se r�duit � un point, et on a les �galit�s
$$
\frac{\wh{h}(\alpha +B)}{\deg(\alpha +B)} 
= (n+1) \, \wh{\mu}^\ess (\alpha +B) 
= \wh{\mu}_1 (\alpha +B) + \dots + \wh{\mu}_{n+1} (\alpha +B)\enspace. 
$$
La situation est plus riche dans le cas torique, 
la diff{\'e}rence tenant au fait 
que les translat{\'e}s de sous-tores de $(\P^N)^\circ$ 
ne sont pas des ensembles ferm{\'e}s. 

\medskip
Soit $\cA= \Big(a_0, \dots, a_N \Big)\in (\Z^n)^{N+1}$ et 
$\alpha= (\alpha_0, \dots, \alpha_N) \in (\Qbar^\times)^{N+1}$.
L'ouvert principal
$X_{\cA,\alpha}^\circ$ 
est le translat{\'e} de sous-tore $\alpha\cdot X_\cA$  
et avec le m�me raisonnement que pour le cas ab�lien 
\begin{equation} \label{ess=abs} 
\wh{\mu}^\ess (X_{\cA,\alpha}) =
\wh{\mu}^\ess (X_{\cA,\alpha}^\circ) 
= \wh{\mu}_i (X_{\cA,\alpha}^\circ) 
\quad \mbox{ pour } i=1,\dots,n+1 \enspace.
\end{equation} 
Cependant, les autres minimums successifs  de 
$X_{\cA,\alpha}$ d�pendent des orbites de dimension inf�rieure, 
et peuvent donc diff�rer du minimum essentiel. 


\begin{lem} \label{mus toriques}
Avec les notations ci-dessus, 
pour $i=1, \dots, n+1$
$$
\wh{\mu}_i (X_{\cA,\alpha}) = \min \Big\{ \wh{\mu}^\abs(X_{\cA,\alpha,P}^\circ) \, : \, P
\in \Faces(Q_\cA), \ \dim(P) = n-i+1 \Big\}\enspace, 
$$
o� $P$ parcours l'ensemble des faces $\Faces(Q_\cA)$ du polytope $Q_\cA$ de dimension $n-i+1$.
\end{lem}

\begin{demo}
Consid�rons la d�composition en orbites: 
$ X_\arith  = \bigcup_{P \in \faces(Q_\cA) } X_{\arith, P}^\circ $
(formule~(\ref{decomposition})).
C'est un recouvrement de $X_\arith$ et donc par~\cite[Lem.~2.2]{Som02}
on a 
\begin{eqnarray*}
\munorm_i (X_\cA) &=& 
\min \Big\{ \, \munorm_{\dim(P) - n +i} \Big(X^\circ_{\cA,\alpha,P}\Big) \, : \ 
\dim (P) \ge n-i+1 \,\Big\}  \\[1mm]
&=& \min \Big\{ \, \munorm^\abs \Big(X^\circ_{\cA,\alpha, P}\Big) \, : \ 
\dim (P) = n-i+1 \,\Big\}
\end{eqnarray*}
car ce minimum est atteint sur les faces de dimension $n-i+1$.
\end{demo}

Ainsi, le  calcul des minimums successifs 
de $X_{\cA,\alpha}$ 
se r{\'e}duit � celui du minimum essentiel (ou absolu) 
d'un sous-tore. 
Le lemme suivant donne le minimum essentiel pour 
certaines vari�t�s toriques particuli�res. 

\begin{lem}\label{tous-sur-a}
Soit $\cA= \Big(a_0, \dots, a_N \Big)\in (\Z^n)^{N+1}$ et 
$\alpha= (\alpha_0, \dots, \alpha_N) \in (K^\times)^{N+1}$, et 
supposons qu'il existe $a  \in \Expo(\cA)$ 
tel que pour toute place $v \in M_{{K}}$ le maximum des 
$|\alpha_i|_v$ pour $i=0,\dots,N$ est atteint au-dessus de $a$, autrement-dit
$$\max\{|\alpha_i|_v\, :\ 0 \le i \le N\} 
= \max\{ |\alpha_\ell|_v \, : \ 0 \le \ell \le N, a_\ell=a\}\enspace.
$$
Alors $\wh{\mu}^{\ess}(X_{\cA,\alpha}) = \wh{\mu}^\abs(X_{\cA,\alpha}^\circ) = \wh{h}(\alpha)$.  
\end{lem} 
\begin{demo} 
Notons $0 \le \ell_0, \dots, \ell_M \le N$ les indices pour lesquels $a_\ell=a$ 
et soit  $ \varpi: \P^N \to \P^M$ la projection $x \mapsto (x_{\ell_0} : 
\cdots : x_{\ell_M})$. 
Alors pour un point quelconque 
$
\xi = (\alpha_0\, s^{a_0} :\cdots : \alpha_N \, s^{a_N} )
\in X_{\cA,\alpha}^\circ $ on a 
$\varpi(\xi) = (\alpha_{\ell_0} \, s^a : \cdots : \alpha_{\ell_M} \,
s^a) = (\alpha_{\ell_0} : \cdots : \alpha_{\ell_M})
$ et donc 
$$
\wh h (\xi) \ge \wh h (\varpi(\xi)) = \wh h (\alpha_{\ell_0} : \cdots : \alpha_{\ell_M})\enspace,  
$$
 et $\wh h (\alpha_{\ell_0} : \cdots : \alpha_{\ell_M}) = \wh h (\alpha)$ gr{\^a}ce {\`a} l'hypoth{\`e}se du lemme, donc 
$\wh{\mu}^{\abs}(X_{\cA,\alpha}^\circ) \geq \wh{h}(\alpha)$.
En outre 
$\wh{h}(\alpha) \geq \wh{\mu}^{\ess}(X_{\cA,\alpha}) $ d'o\`u la conclusion. 
\end{demo} 



\begin{demo}[D{\'e}monstration du th{\'e}or{\`e}me~\ref{densite}]
On peut supposer \spdg $N=3n+1$, puisque le cas g�n�ral 
se d�duit de celui-ci par immersion de $\P^{3n+1}$
comme un sous-espace standard de $\P^N$. 

\smallskip
Soient $d$ un nombre premier, $1\le k\le n$, $1\le f\le d-1$ 
des param�tres 
entiers � fixer ult�rieurement et 
encore $q_0\geq\dots\geq q_n\geq 0$ des param�tres 
rationnels. 
Rappelons que $e_1,\dots,e_n$ d�signe la base standard de $\Z^n$ et  
$S$ le simplexe standard $\Conv(0,e_1,\dots,e_n) \subset \R^n$, on pose 
$$
\begin{array}{l}
a_i:=d\,e_i \hspace{24mm} \mbox{ pour } i=1,\dots,n \enspace   \\[4mm]
b_i:=\left\{\begin{array}{ll}
            (d-1)\,e_i \enspace  \quad 
&\mbox{ pour } 1\le i \le k-1 \enspace \\[2mm] 
            f\,e_i \enspace  \quad & \mbox{ pour } i=k \enspace\\[2mm] 
            e_i \enspace  \quad & \mbox{ pour }  k+1 \le i \le n \enspace
          \end{array} \right. 
\end{array} 
$$
puis 
$$
\begin{array}{l}
\cA:= (0, a_1 \dots, a_n, 0, a_1, \dots, a_n, b_1, \dots,b_n)  
\in (\Z^n)^{3n+2} \enspace, \\[2mm] 
\alpha := (\underbrace{1, \dots\dots\dots\dots, 1}_{n+1\ \mbox{\footnotesize fois}}, 
2^{q_0}, 2^{q_1}, . .\dots, 2^{q_n}, 
\underbrace{2^{q_0}, \dots, 2^{q_0}}_{k\ \mbox{\footnotesize fois}}, 
\underbrace{1, \dots, 1}_{n-k\ \mbox{\footnotesize fois}}) \in (\Qbar^\times)^{3n+2}
\end{array}
$$
et on consid�re $X \subset \P^{3n+1}$ la vari�t� torique 
associ�e au couple $(\cA,\alpha)$ ainsi d�fini. 
On a $L_\cA = \Z^n$ et 
$Q_\cA = d\,S$, donc la dimension et le degr� de cette vari�t� sont �gaux � $n$ et $n!\,\Vol_n(Q_\cA) = d^n$
respectivement, et 
si $\ell$ est un d�nominateur commun de $q_0,\dots,q_n$,
cette vari�t� est d�finie sur l'extension kummerienne 
$K:=\Q(2^{\frac{1}{\ell}})$. 
De plus, il r�sulte du lemme~\ref{mus toriques} et du 
lemme~\ref{tous-sur-a} appliqu� � toutes les faces de~$Q_\cA$
\begin{equation}\label{minessexemple}
\wh{\mu}_i(X) = q_{i-1}\,\log(2)\enspace,\quad i=1,\dots,n+1
\enspace,
\end{equation}
le $i$-�me minimum se r�alisant 
sur la face $\Conv(a_{i-1},\dots,a_n)$. En outre, on estime la hauteur en utilisant la formule dans le th{\'e}or{\`e}me \ref{thmprincipal}. On d�compose le polytope de base en 
$$
Q_\cA= Q_1 \cup Q_2 \cup Q_3
$$
avec $Q_1:= {\rm Conv}(0,b_1,\dots,b_k,a_{k+1},\dots,a_n)$, 
$Q_2:= {\rm Conv}(b_1,\dots,b_k,a_k,\dots,a_n)$ et 
$Q_3:= Q_\cA\setminus (Q_1 \cup Q_2)$.  
Pour $n=3$ on a une figure du type montr� ci-dessous~:


\begin{figure}[htbp]

\vtop to72mm{$$\raise-85mm\hbox{

\begin{picture}(0,0) 

\put(-170,55){\epsfig{file=figures/tetra.eps, height=60mm}} 
\put(-40,180){\raise9mm\hbox{$Q_1$}\epsfig{file=figures/tetra1.eps, height=29mm}} 
\put(60,150){\raise9mm\hbox{$Q_2$}\epsfig{file=figures/tetra2.eps, height=29mm}} 
\put(50,60){\raise9mm\hbox{$Q_3$}\epsfig{file=figures/tetra3.eps, height=29mm}} 

\end{picture}

}$$}

\end{figure}

\vspace{15mm}

Pour toute place finie $v$ de $K$ 
on v�rifie $\vartheta_{\cA,\tau_{\alpha v}} \equiv 0$; 
la formule pour $\hnorm(X)$ se r�duit alors
aux contributions des places archim�diennes. 
Pour  $v\in M_K^\infty$, la d�composition du domaine 
consid�r�e s�pare l'int�grale en trois morceaux
$I_i:=\int_{Q_i} \vartheta_{\cA,\tau_{\alpha\, v}}(u)du$ 
$(i=1,2,3)$.
On v�rifie d'abord  que la fonction $\vartheta_{\cA,\tau_{\alpha v}}$
est {\it lin�aire} sur chacun des simplexes $Q_1$ et $Q_2$. 
L'int�grale d'une fonction lin�aire sur un simplexe 
�tant  �gale au volume du simplexe multipli� par la 
valeur moyenne de la fonction, on trouve 
\begin{eqnarray*}
I_1 &= &
{\Vol_n(Q_1)} \, 
\frac{((k+1)\, q_0 + q_{k+1} + \dots + q_n)\,\log(2)}{n+1} 
\\[0mm]
&= &
\frac{f\, (d-1)^{k-1} \, d^{n-k}}{(n+1)!} \, 
((k+1)\, q_0 + q_{k+1} + \dots + q_n)\,\log(2) \enspace,
\\[2mm]
I_2 &= &
{\Vol_n(Q_2)} \, 
\frac{(k\, q_0 + q_{k} + \dots + q_n)\,\log(2)}{n+1} \\[0mm]
&= & \frac{(d-f)\, (d-1)^{k-1} \, d^{n-k}}{(n+1)!} \, 
(k\, q_0 + q_{k} + \dots + q_n)\,\log(2) \enspace.  
\end{eqnarray*}
En outre on estime brutalement la troisi�me int�grale
$$
0 \leq I_3
\leq \Vol_n(Q_3) \cdot \max(\vartheta_{\cA,\tau_{\alpha\, v}}) 
= \frac{d^n - (d-1)^{k-1} \, d^{n-k+1}}{n!}\, q_0 \, \log(2)
\enspace, 
$$
puisque $ \Vol_n(Q_3) = \Vol_n(Q_\cA) - \Vol_n(Q_1 \cup Q_2)= 
d^n- (d-1)^{k-1}\,d^{n-k+1}$.
Il s'ensuit
$$
(n+1)!\, \int_{Q_\cA} \vartheta_{\cA,\tau_{\alpha\, v}}(u)du 
= (n+1)!\, (I_1+I_2+I_3) =  
d^n \, (\theta+E(\arith, v)) 
$$
avec
$$\begin{array}{rcl}
\theta &= &\bigg(1-\frac{1}{d}\bigg)^{k-1}
\bigg(\frac{d-f}{d}\, (k\, q_0 + q_{k} + \dots + q_n) +
\frac{f}{d}\, ((k+1)\, q_0 + q_{k+1} + \dots + q_n) \bigg)\,\log(2)\\
&= &\bigg(1-\frac{1}{d}\bigg)^{k-1}\left((kq_0+q_k+\cdots+q_n) + \frac{f}{d}(q_0-q_k)\right)\,\log(2)
\end{array}$$
et 
$$ 0\le E(\arith,v)= \frac{(n+1)!}{d^n}\, I_3 \le 
  (n+1)\, \bigg(1-\bigg(1-\frac{1}{d}\bigg)^{k-1}\bigg) \, q_0 \, \log(2)
 \le \frac{(n+1)\, (k-1)}{d}\, q_0 \, \log(2) \enspace.
$$
On d�duit alors du th�or�me~\ref{thmprincipal}
\begin{equation} \label{radisnoir}
0 \le \theta - \frac{\wh{h}(X)}{\deg(X)} \le 
\frac{(n+1)\, (k-1)}{d}\, q_0 \, \log(2) \enspace.
\end{equation}
Maintenant on fixe les param�tres~: d'abord on prend  
$\ell:=\lceil\log(2)\,\varepsilon_1^{-1}\rceil +1$, 
et pour $ 0 \le i \le n$ on pose 
$
q_i := \frac{1}{\ell}{\left\lfloor \frac{\ell\cdot \mu_{i+1}}{\log(2)} \right\rfloor}$
de sorte que  $\wh\mu_{i+1}(X) = q_i \,\log(2)$ satisfait
\begin{equation} \label{citronnelle}
0 \le \mu_{i+1} - q_i \,\log(2) 
<\varepsilon_1
\end{equation}
comme voulu. 
On v�rifie
$$
(q_0+\dots+q_{n})\log(2) \leq \mu_1+\dots+\mu_{n+1} \leq \nu \leq (n+1)\mu_1 -\varepsilon_1 \leq (n+1)q_0\log(2) 
$$
et on fixe $ 1\le k \le n $ tel que 
$$
(k \, q_0+ q_{k}+\cdots+q_{n})\log(2) \leq 
\nu \leq ((k+1)\, q_0+q_{k+1}
+ \cdots+q_{n})\log(2) \enspace.
$$
Soit $\lambda\in[0,1]$ tel que 
$$\nu =(1-\lambda) \, 
(k \, q_0+ q_{k}+\cdots+q_{n})\log(2) 
+ \lambda \, ((k+1)\, q_0+q_{k+1}
+ \cdots+q_{n})\log(2) \enspace.
$$ 
On prend alors $1\le f \le d-1$ 
tel que 
\begin{equation} \label{escargot}
|\lambda-f/d|\le 1/d
\end{equation}
 et on consid�re le $\theta=\theta(d)$ associ� � ces param�tres. 
%Posons $ \zeta:= (1-\frac{1}{d})^{1-k} \theta=\frac{d-f}{d}\, (k\, q_0 + q_{k} + \dots + q_n)\,\log(2) +\frac{f}{d}\, ((k+1)\, q_0 + q_{k+1} + \dots + q_n)\,\log(2) $, on a donc \begin{equation} \label{choufleur} 0 \le \zeta - \theta \le \frac{k-1}{d}\, \zeta\le \frac{(n+1)\, (k-1)}{d}\, \mu_1\enspace. \end{equation} On v�rifie ais�ment � partir des in�galit�s~(\ref{citronnelle}) et~(\ref{escargot}) \begin{equation} \label{cerise} |\nu -\zeta|\le \frac{n+1}{d}\,\mu_1 + (n+1) \, \varepsilon. \end{equation}
On v�rifie facilement
$$\begin{array}{rcl}
|\nu - \theta| &\kern-3pt\leq &\kern-3pt\left|\lambda - \frac{f}{d}\right|(q_0-q_k)\log(2)  + \left(1-\left(1-\frac{1}{d}\right)^{k-1}\right) \cdot ((k+1)q_0+q_{k+1}+\cdots+q_n)\log(2)\\[2mm]
&\kern-3pt\leq &\kern-3pt\displaystyle\frac{\mu_1}{d} + \frac{(k-1)(n+1)\mu_1}{d} = \frac{n^2\mu_1}{d}
\enspace.\end{array}$$
Finalement on obtient 
le r�sultat cherch� en sommant avec l'in�galit�~(\ref{radisnoir})
$$
\left|\frac{\wh{h}(X)}{\deg(X)} - \nu\right| \le 
\frac{(n+1)(k-1)}{d}\, \mu_1 + \frac{(n+1)(k-1)+1}{d}\, \mu_1 \leq
\frac{2n^2}{d}\, \mu_1
\enspace.
$$
En prenant, gr�ce au postulat de Bertrand, $d$ un premier entre $2n^2 \, \mu_1 \, \varepsilon_2^{-1}
$ et $4n^2\mu_1\varepsilon_2^{-1}$ on arrive au r�sultat annonc�. 
\end{demo}


Ce r�sultat montre que d�j� dans le cadre torique,
toute configuration possible des minimums $\wh{\mu}_1(X), \dots, \wh{\mu}_{n+1}(X)$ se r�alise,  et 
l'encadrement~(\ref{zhang}) est optimal en toute dimension, 
lorsque le degr� de $X$ et celui du corps de d�finition
sont assez grands. 
Toutefois, notre exemple pr�sente une codimension minimale $N-n=2n+1$ 
de l'ordre de la dimension de la vari�t� produite. 
La question se pose donc de savoir ce qu'il en est pour les 
vari�t�s de petite codimension. 
Dans le cas de codimension $1$ on a le r�sultat suivant qui laisse ouverte la possibilit� de raffinements de~(\ref{zhang}) en petit codimension.

\begin{prop}\label{cashyper}
Soit $X\subset\P^{N}$ une hypersurface {\em torique}
d'�qua\-tion homog�ne 
minimale $f_X=x^{b}- \lambda \, x^{c}\in \Qbar[x_0, \dots, x_N]$, 
alors
$$
 \wh{\mu}^{\ess}(X) 
= \frac{h(1:\lambda)}{\deg(f_X)}
= \frac{\wh{h}(X)}{\deg(X)} 
\enspace,\quad
\wh{\mu}_2(X)=\cdots=\wh{\mu}_{N}(X)=0\enspace.$$ 
\end{prop}

\begin{demo} 
Les contributions des 
places archim�diennes � la hauteur normalis�e de $X$
sont �gales aux mesures de Mahler des conjugu�es de $f_X$
et donc $\wh{h}(X) = h(1:\lambda)$, {\it voir}~\cite{PS04}, 
suite de l'exemple III.7. 
Par la proposition~\ref{pasteque} on a
$\lambda=\alpha^{b-c}$ pour tout point $\alpha \in X^\circ$.
En choisissant $\alpha$ de hauteur normalis�e aussi proche
du minimum essentiel $\wh{\mu}^{\ess}(X)$ que l'on veut,
 on a 
$$
\frac{\wh{h}(X)}{\deg(X)} 
= \frac{h(1:\alpha^{b-c})}{\deg(f_X)}
= \frac{h(\alpha^{b}:\alpha^{c})}{\deg(f_X)}
\leq  \wh{h}(\alpha)
\leq \wh{\mu}^{\ess}(X)+\varepsilon
$$ 
pour tout $\varepsilon>0$. 
Avec la formule~(\ref{zhang}) de l'introduction on obtient $
\wh{\mu}_1 (X)+ \cdots + \wh{\mu}_{n+1} (X) 
\le  {\wh{h}(X)}/{\deg(X)} \le 
\wh{\mu}_1 (X)$, ce qui entra�ne l'�nonc�. 
\end{demo}





Il serait tr�s int�ressant d'expliciter les minimums successifs d'une
vari�t� torique quelconque, en g�n�ralisant � la fois le lemme~\ref{tous-sur-a} 
et la proposition~\ref{cashyper}. 
Gr�ce au lemme~\ref{mus toriques} on sait qu'il suffit de le faire 
pour le minimum essentiel. 


Une question li�e est celle de construire explicitement des 
points de $X_{\cA,\alpha}^\circ$ de hauteur comparable au
 minimum essentiel. 
De plus, on peut se demander s'il existe un point 
dans la vari�t� r�alisant ce minimum essentiel, \cad
de savoir s'il existe un point de hauteur minimale. 
Dans le m�me ordre d'id�e, existe-t-il un point de $X_{\cA,\alpha}$ dont la hauteur normalis�e 
soit �gale au quotient $\displaystyle {\wh{h}(X_{\cA,\alpha})}/{\deg(X_{\cA,\alpha})}$?



\smallskip

Pour conclure ce paragraphe, explicitons l'encadrement 
pour le quotient hauteur-sur-degr� qui d�coule de la formule pour la hauteur d'une vari�t� torique: 

\begin{prop}\label{casa} 
Soient $\cA \in (\Z^n)^{N+1}$ et $\alpha\in(\overline{\Q}^\times)^{N+1}$, alors 
$$
\wh{h}(\alpha) - n \, \hnorm \Big( \alpha_j^{-1} \, : \, a_j \in \Faces_0(Q_\cA) \Big) \le \frac{\wh{h}(X_{\cA, \alpha})}{\deg(X_{\cA, \alpha})} \le (n+1) \, \wh{h}(\alpha)
\enspace,$$
o� $a_j$ parcours l'ensemble $\Faces_0(Q_\cA)$ des sommets de $Q_\cA$. 
\end{prop} 

\begin{demo}
Soit $K$ le corps de d�finition de $\alpha$ et $v\in M_K$. 
On a $\max( \vartheta_{\cA, \tau_{\alpha \, v}}) = \log\max\{|\alpha_0|_v,\dots, |\alpha_N|_v\}=: \log(||\alpha||_v)$, ce
qui entra�ne 
$$
 \int_{Q_\cA} \vartheta_{\cA, \tau_{\alpha \, v}} (u) \, du
\le \Vol_n(Q_\cA) \,\log (\Vert\alpha\Vert_v) 
= \frac{1}{n!}\, \deg(X_{\cA,\alpha}) \,\log (\Vert\alpha\Vert_v) 
$$ 
et donc $\wh{h}(X_{\cA,\alpha}) \le (n+1) \, \deg(X_{\cA,\alpha}) \, \wh{h}(\alpha)$, ce qui �tablit la majoration. 
Pour la minoration, soit $v\in M_K$ et posons 
$$
m_v: = \min_{u\in Q_\cA} ( \vartheta_{\cA, \tau_{\alpha \, v}}(u))=\min \Big\{ \max \{ \log|\alpha_i|_v  \, : \ 0\le i \le N, 
a_i=a \}  \, :\ 
a\in \Faces_0(Q_\cA) \Big\}
$$
et consid�rons le polytope 
$Q_v:= \Conv\Big((a_i,\log|\alpha_i|_v), (a_i,m_v) \, : \ i=0,\dots,N\Big)\subset \R^{N+1}$. 
Soit $0\le \ell\le N$ tel que $\log|\alpha_{\ell}|_v$ soit maximal, 
alors 
$Q_v \supset \Conv \Big( (a_{\ell}, \log|\alpha_{\ell}|_v), 
Q_\cA \times \{m_v\} \Big) $
et donc 
$ 
\Vol_{n+1} (Q_v)  \ge   \frac{1}{n+1} \, 
\Big( \log \Vert\alpha\Vert_v - m_{v} \Big) \, \Vol_{n} (Q_\cA)$.
On en d�duit
$$
\int_{Q_\cA} \vartheta_{\cA, \tau_{\alpha \, v}} (u) \, du 
=   \Vol_{n+1} (Q_v) + m_{v} \, \Vol_{n} (Q_\cA) 
\ge  \bigg( \frac{1}{n+1} \, \log( \Vert\alpha\Vert_v)
+ \frac{n}{n+1} \, m_{v} \bigg) \, \Vol_{n} (Q_\cA) \enspace, 
$$
d'o�
$\wh{h}(X_{\cA,\alpha}) \ge \deg(X_{\cA,\alpha}) \, \Big(\wh{h}(\alpha)  - n\, \wh{h}(\alpha_j^{-1}:a_j\in \Faces_0(Q_\cA))\Big)$
car $
\sum_{v\in M_K}\frac{[K_v:\Q_v]}{[K:\Q]}(-m_v) \leq \wh{h}(\alpha_j^{-1}:a_j\in \Faces_0(Q_\cA))$. 
\end{demo} 

Notons qu'en rempla�ant le point $\alpha$ par un point 
de $X_{\cA,\alpha}^\circ$ de hauteur aussi proche  que l'on veut
du minimum essentiel, on retrouve 
simplement la majoration de~(\ref{zhang}); par contre on obtient une minoration diff�rente. 
 

references.tex
% Date de cette version: 2/4/2006
%
% -------------------------------------------------------------------
% ---------------------------------------------------------------------------
% REFERENCES

\let\livrefont=\sl

\typeout{References} 

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\endinput
%%% Local Variables: 
%%% mode: latex
%%% TeX-master: t
%%% End: 

vartor.tex
% Date de cette version: 4/5/2006
%
% -------------------------------------------------------------------
% ---------------------------------------------------------------------------
% Section

\typeout{Generalites sur les varietes toriques projectives}

\section{G{\'e}n{\'e}ralit{\'e}s sur les vari�t�s toriques projectives} \label{vartor}

% ---------------------------------------------------------------------------
\setcounter{equation}{0}
\renewcommand{\theequation}{\thesection.\arabic{equation}}
% ---------------------------------------------------------------------------

On note $\G_m^n:= (\K^\times)^n$ le tore alg{\'e}brique et  $\P^N$ l'espace 
projectif sur $\K$, de dimension $n$ et $N$ respectivement. Une vari{\'e}t{\'e} 
est toujours suppos{\'e}e r{\'e}duite et irr{\'e}ductible. 
Pour une famille de polyn{\^o}mes homog{\`e}nes $f_1,\dots,f_s \in 
\K[x_0,\dots,x_N]$ on pose $Z(f_1,\dots,f_s) \subset\P^N$ l'ensemble de ses z�ros communs. R�ciproquement, pour un ensemble alg�brique $Z\subset\P^N$ on pose $I(Z)$ son id�al de d�finition dans $\K[x_0,\dots,x_N]$.


On note $\R_+$ et $\R_+^\times$ les ensembles des nombres r{\'e}els non-n{\'e}gatifs et positifs, respectivement. On note encore $\N$ et $\N^\times$ les entiers naturels avec et sans 0, respectivement. Pour $N, D \in \N$ 
on pose $\N^{N+1}_D:= \Big\{a\in\N^{N+1} \, : \ a_0+\dots+a_N=D \Big\}$.




\bigskip

Dans ce paragraphe on donne un bref aper{\c c}u des propri{\'e}t{\'e}s g�om�triques 
des vari{\'e}t{\'e}s toriques. Pour plus de d�tails, on renvoie le lecteur 
�~\cite{GKZ94},~\cite{Ful93},~\cite{Ewa96},~\cite{Cox01}. 


\smallskip 


Soit $\cA= ( a_0,  \dots, a_N) \in (\Z^n)^{N+1}$ une suite de $N+1$ vecteurs de $\Z^n$, on consid{\`e}re l'action diagonale de $\G_m^n$ sur $\P^N$
$$
*_\geom : \G_m^n \times \P^N \to \P^N
\quad \quad , \quad \quad  
(s, x) \mapsto (s^{a_0} \, x_0 : \cdots : s^{a_N} \, x_N)
\enspace.
$$ 
On s'int{\'e}ressera {\`a} l'adh{\'e}rence de Zariski des orbites de cette action; pour un point $\alpha= (\alpha_0 : \cdots : \alpha_N) \in \P^N$ on pose
$$
X_\arith := \ov{\G_m^n *_\cA \alpha} \ \subset \P^N
$$
la {\it vari{\'e}t{\'e} torique projective} associ{\'e}e au couple $(\arith)$. 
Autrement-dit, $X_\arith$ est l'adh{\'e}rence de Zariski de l'image de
l'application monomiale
$$
\varphi_{\cA,\alpha} := *_\geom|_\alpha:  \G_m^n \to \P^N 
\enspace , \quad \quad  
s \mapsto (\alpha_{0} \, s^{a_0} : \cdots :   
\alpha_{N} \, s^{a_N} )
\enspace .
$$ 
C'est une vari{\'e}t{\'e} torique projective au sens de~\cite{GKZ94}, \cad
une sous-vari{\'e}t{\'e} de $\P^N$ stable sous l'action d'un tore
$\G_m^n$, avec une orbite dense $X_\arith^\circ:=\G_m^n *_\cA \alpha$. 

\smallskip 
Lorsque le point $\alpha$ est contenu dans un des sous-espaces standard de $\P^N$, la sous-vari{\'e}t{\'e} $X_\arith$ toute enti{\`e}re reste dans cet espace, puisque l'action $*_\cA$ est diagonale. Quitte {\`a} se restreindre au sous-espace standard
minimal contenant $\alpha$, on peut supposer \spdg $\alpha \in (\P^N)^\circ:=\P^N \setminus \{ x_0\cdots x_N =0\} $ et on fixe d{\'e}sormais pour $\alpha$ des 
coordonn{\'e}es  $(\alpha_0,\dots,\alpha_N) \in (\K^\times)^{N+1}$. 


On notera $X_\geom$ la vari{\'e}t{\'e} torique associ{\'e}e {\`a}  $\geom \in
(\Z^n)^{N+1}$ et $( 1, \dots, 1)  \in (\K^\times)^{N+1}$. Dans ce cas, l'orbite principale 
$X_\geom^\circ$ est un sous-tore du tore $\G_m^N\cong(\P^N)^\circ$ et en fait 
tous les sous-groupes connexes de $(\P^N)^\circ$ sont de cette forme. 
Dans le cas g{\'e}n{\'e}ral
$$
X_\arith^\circ = \alpha \cdot X_\cA^\circ
$$
o{\`u} $\cdot$ d{\'e}signe la multiplication dans $(\P^N)^\circ$, \cad que 
l'orbite principale de $X_\arith$ est le translat{\'e} d'un sous-tore. 


\medskip 

Le couple $(\arith)$ peut s'interpr{\'e}ter comme une suite finie de mon{\^o}mes 
$\alpha_{0}  \,  s^{a_0}, \dots, \alpha_{N} \, s^{a_N}$ de l'anneau des polyn{\^o}mes de Laurent $\K[s_1^{\pm 1} , \dots, s_n^{\pm 1}]$, on dit que les $a_i$ sont les {\em exposants} et les $\alpha_i$ les {\em coefficients}. Le {\it support} 
$$\Expo(\cA) := \{ a_{i_0}, \dots, a_{i_M} \}  \ \subset \Z^n$$ 
est l'ensemble des exposants {distincts} dans $\cA$. 
Les vari�t�s $X_\arith$ et $X_{\expo(\cA)}$ sont lin{\'e}airement isomorphes par l'application
$$
\P^N \to \P^M  
\enspace, \quad \quad 
(x_0 : \cdots : x_N ) \mapsto
({\alpha_{i_0}^{-1}} \, x_{i_0} : \cdots : 
{\alpha_{i_M}^{-1}} \, x_{i_M} ) \enspace,
$$
et donc leurs propri{\'e}t{\'e}s {\it g{\'e}om{\'e}triques} sont les m�mes. 
Pour ces propri�t�s, on peut donc se ramener au cas habituel o{\`u} les
$a_i$ sont tous distincts et $\alpha_i =1$ pour tout $i$. Soit
$L_\geom \subset \Z^n $ le sous-module engendr{\'e} par les diff{\'e}rences
des vecteurs $a_0, \dots, a_N$, on a par exemple 
$$
\dim(X_\arith) = \rang_\Z (L_{\expo(\cA)})= \rang_\Z(L_\cA).$$ 
On introduit encore le polytope $Q_\cA \subset \R^n$ enveloppe convexe des vecteurs $a_0,\dots, a_N$. 



\begin{lem} \label{truite} 
Soient $\cA =\{ a_0,\dots,a_N\}$ et $\cB=\{b_0,\dots,b_M\} \subset \Z^n$ des ensembles de cardinal $N+1$ et $M+1$ respectivement, avec $N\le M$. Posons $\pi:\P^M\to \P^N$ la projection lin{\'e}aire standard $(y_0:\dots:y_M) \mapsto (y_0:\dots:y_N)$, on a   

{\noindent (a)} \ 
si $\cA \subset \cB$ alors $X_\cA= \ov{\pi(X_\cB)}$; 
\smallskip 

{\noindent (b)} \ 
si $Q_\cA= Q_\cB$ alors $\pi$ est un morphisme rgulier et fini (au sens des fibres), de degr{\'e} $\deg(\pi)=[L_\cB:L_\cA]$. Si de plus  $L_\cA=L_\cB$ alors $\pi$ est un isomorphisme entre $X_\cB^\circ$ et $X_\cA^\circ$;
\smallskip 

{\noindent (c)} \ 
si $Q_\cA= Q_\cB=Q$ et si pour toute face $F$ de $Q$ on a $L_{\cA\cap F} = L_{\cB\cap F}$, alors $\pi:X_\cB\to X_\cA$ est un isomorphisme.  \end{lem}


\begin{demo} 
La partie~{\it (a)} est cons{\'e}quence directe des d{\'e}finitions. Pour les parties~{\it (b)} et~{\it (c)}, l'hypoth{\`e}se $Q_\cA=Q_\cB=Q$ entra{\^\i}ne que la projection $\pi$ est compatible avec la d{\'e}composition en orbites~(\ref{decomposition}) ci-dessous. Pour chaque face $F$ de $Q$, $\pi: X_{\cB,F}^\circ \to X_{\cA,F}^\circ$ est une application monomiale de degr{\'e} $[L_{\cB \cap F}: \pi^*(L_{\cA\cap F})] = [L_{\cB \cap F}: L_{\cA \cap F}]$, en particulier on voit que $\pi$ est r{\'e}guli{\`e}re {\`a} fibres finies (et de degr $1$ entre $X_\cA^\circ$ et $X_\cB^\circ$ si $L_\cA=L_\cB$). 

Dans~{\it (c)}, l'hypoth{\`e}se $L_{\cB \cap F} =  L_{\cA \cap F}$ entra{\^\i}ne d{\'e}j{\`a} que $\pi$ est une bijection. Pour chaque exposant $b_i\in \cB$ consid{\'e}rons la face $F$ de $Q$ de dimension minimale contenant $b_i$. On {\'e}crit alors $b_i= \sum_{j: \, a_j \in \cA \cap F} \lambda_{i,j} \, a_j $ avec $\lambda_{i,j} \in \Z$, $\sum_j \lambda_{i,j} = 0$. L'inverse est alors $X_\cA \to X_\cB$, $x \mapsto (x^{\lambda_0} : \cdots  : x^{\lambda_M})$. 
\end{demo} 



Suivant la philosophie g{\'e}n{\'e}rale, les 
propri{\'e}t{\'e}s g{\'e}om{\'e}triques des vari�t�s toriques se tra\-dui\-sent en des {\'e}nonc{\'e}s combinatoires 
sur  les vecteurs $a_0, \dots, a_N \in \Z^n$ d{\'e}finissant l'action. En ce qui concerne la th{\'e}orie de l'intersection g{\'e}om{\'e}trique de ces vari{\'e}t{\'e}s, le r{\'e}sultat le plus fondamental est que le degr{\'e} s'identifie au 
volume du polytope $Q_\cA$. 

Le sous-module $L_\cA$ est un r{\'e}seau de l'espace lin{\'e}aire $L_\cA \otimes_\Z \R \subset \R^n$; on consid{\`e}re la forme volume $\mu_\cA$ sur 
cet espace lin{\'e}aire, invariante par translations et normalis{\'e}e de sorte que 
$$
\mu_\cA(L_\cA \otimes_\Z \R/ L_\cA )=1 
\enspace;
$$ 
autrement-dit, de sorte que le volume d'un domaine fondamental soit 1. 
Soit $r:=\rang_\Z(L_\cA)$, le degr{\'e} de $X_\arith $ s'explicite comme $r!$ fois 
le volume normalis� du polytope associ{\'e}~\cite[\S~I.6, Thm.~2.3]{GKZ94}, \cite[p.~111]{Ful93}
$$
\deg(X_\arith) = r! \mu_\cA(Q_\cA)
\enspace. 
$$
Soit maintenant $\eta : \Z^r \hookrightarrow \Z^n$ une application lin{\'e}aire
injective telle que $\eta(\Z^r) = L_\cA$ et posons $b_i:= \eta^{-1}(a_i) \in \Z^r$ puis $\cB:= (b_0, \dots, b_N) \in (\Z^r)^{N+1} $, alors $X_{\cB, \alpha} = X_\arith$~\cite[Ch.~5,~Prop.~1.2]{GKZ94}, et ainsi on peut toujours supposer \spdg 
$L_\cA = \Z^n$. Dans cette situation, la forme volume  $\mu_\cA$ 
co{\"\i}ncide avec la forme volume euclidienne $\Vol_{n}$ sur $\R^n$ et donc
\begin{equation}\label{degvol}
\dim(X_{\cA,\alpha}) = n
\enspace , \quad \quad
\deg(X_{\cA,\alpha}) = n!\, \Vol_{n}(Q_\cA)\enspace.
\end{equation}

\medskip

Plus g{\'e}n{\'e}ralement, les multidegr{\'e}s du tore $\G_m^n$ plong� dans un produit d'espaces projectifs {\it via} plusieurs applications monomiales s'expriment comme 
volumes mixtes des polytopes associ{\'e}s � ces applications. Nous explicitons cela maintenant.

\smallskip 
 
Soit $Z\subset\P^{N_0}\times\dots\times\P^{N_m}$ une sous-vari�t� de dimension $n$ et $c=(c_0,\dots,c_m)\in\N^{m+1}_n$ avec $0\le c_i \le N_i$, le {\it multidegr{\'e} de $Z$ d'indice $c$} est d{\'e}fini par
$$
\deg_{c}(Z) := \Card\Big( X \cap \pi_0^{-1}(E_0) \cap \cdots \cap
\pi_m^{-1}(E_m) \Big)
$$ 
o{\`u} $\pi_i$ d\'esigne la
projection $\P^{N_0}\times\dots\times\P^{N_m} \to \P^{N_i}$ et 
$E_i$ est un sous-espace lin�aire g{\'e}n{\'e}rique de $\P^{N_i}$ de codimension $c_i$. 



Pour $i=0, \dots, m$ on fixe
un groupe  $x_i= \{ x_{i , 0}, \dots, x_{i, N_i}\} $
de $N_i+1$
variables chacun 
et on consid{\`e}re
l'anneau $\K[x_0, \dots, x_m]$, multigradu{\'e} par
$\deg(x_{i, j}) := e_i$
o{\`u} $e_0, \dots, e_m \in \Z^{m+1}$
d{\'e}signent les vecteurs de la base standard. 
Ainsi $I(Z) \subset \K[x_0,\dots,x_m]$ est un id�al multi-homog�ne de 
rang $N_0+\cdots+N_m-n$. 
Soient
$ d_0, \dots, d_n \in \N^{m+1} $;
pour chaque $ d_i \in \N^{m+1}$
on introduit un groupe de variables $U_i= \{U_{i, 0},
\dots, U_{i, M_i}\}$, 
$M_i+1= \prod_{j=0}^m {d_j+N_j\choose N_j}$, 
et 
on consid{\`e}re la {\it forme r{\'e}sultante d'indice} $d_0, \dots, d_n$ de $I(Z)$: 
$$
\res_{d_0, \dots, d_n}(I(Z)) \in \K[U_0, \dots, U_n] \enspace.
$$ 
On renvoie le lecteur {\`a}~\cite[\S~3]{Rem01a} ou encore �~\cite[\S~I.2]{PS04} pour la d{\'e}finition et propri{\'e}t{\'e}s de base des formes r{\'e}sultantes. 
Maintenant, {\`a} un vecteur $c=(c_0,\dots, c_m)\in\N^{m+1}_n$ comme ci-dessus on associe l'indice partiel
$$
d(c):=(\underbrace{e_0,\dots,e_0}_{c_0\ \scriptstyle \rm fois}, \dots, \underbrace{e_m,\dots,e_m}_{c_m\ \scriptstyle \rm  fois})\in (\N^{m+1})^n 
\enspace,$$
o{\`u} $e_0,\dots,e_m$ d{\'e}signent les vecteurs de la base standard de $\R^{m+1}$. Pour toute choix de $d_0\in\N^{m+1}\setminus\{\mathbf 0\}$ on a~\cite[Prop.~3.4 et 2.11]{Rem01a}
$$\deg_c(Z) = \deg_{U_0}(\res_{d_0,d(c)}(I(Z)))\enspace.$$

Soit encore $D=(D_0,\dots,D_m)\in(\N^\times)^{m+1}$ et consid�rons
$$
\begin{array}{rll}
\Psi_D : & \P^{N_0} \times \cdots \times \P^{N_m} & \longrightarrow  
\P^{ {D_0+N_0 \choose N_0} \cdots {D_m+N_m \choose N_m} -1} \\[2mm]
&(x_0, \dots, x_m) & \longmapsto  \Big( x_0^{b_0} \cdots x_m^{b_m}
\, : \ b_0 \in \N^{N_0+1}_{D_0}, \dots, \ b_m \in \N^{N_m+1}_{D_m} \Big)
\end{array}
$$
le {\it plongement mixte} associ� (composition des plongements de Veronese et Segre), on sait que~\cite[\S~2.3]{Rem01b}
\begin{equation}\label{corbeau}
\deg(\Psi_D(Z)) = \sum_{c\in\N^{m+1}_n}{n\choose c}\deg_c(Z)D^c
\enspace.\end{equation}

\smallskip

Consid{\'e}rons maintenant des ensembles convexes $Q_1, \dots, Q_n \subset \R^n$, leur {\it volume mixte} (ou {\it multi-volume}) est d{\'e}fini par la
formule de type inclusion-exclusion
\begin{equation*} 
\MV(Q_1, \dots, Q_n) := 
\sum_{j=1}^n (-1)^{n - j} 
\sum_{1 \le i_1 < \cdots < i_j \le n} 
\Vol_n(Q_{i_1} + \cdots + Q_{i_j}) \enspace. 
\end{equation*} 
Cette notion g{\'e}n{\'e}ralise le volume d'un ensemble convexe car 
$ \MV(Q, \dots, Q) = n! \, \Vol_n(Q)$. Le volume mixte est positif ou nul, sym{\'e}trique et lin{\'e}aire en chaque variable $Q_i$ par rapport {\`a} la somme de Minkowski. On renvoie {\`a}~\cite[\S~7.4]{CLO98} ou~\cite{Ewa96} pour ses propri{\'e}t{\'e}s de base. 

\smallskip

Interpr�tons ces notions dans le cas torique: soient $\cA_0\in(\Z^n)^{N_0+1}$,\dots, $\cA_m\in(\Z^n)^{N_m+1}$ tels que $L_{\cA_0}+\dots+L_{\cA_m}=\Z^n$. Posons $\underline{\cA}:=(\cA_0,\dots,\cA_m)$ et  consid�rons l'action associ�e $*_{\underline{\cA}}$ de $\G_m^n$ sur le produit d'espaces projectifs $\P^{N_0}\times\dots\times\P^{N_m}$:
$$\begin{array}{rccl}
*_{\underline{\cA}}: &\G_m^n\times\P^{N_0}\times\dots\times\P^{N_m} &\longrightarrow &\P^{N_0}\times\dots\times\P^{N_m}\\
&(s,x_0,\dots,x_m) &\longmapsto & (s*_{\cA_0} x_0,\dots, s*_{\cA_m} x_m)
\end{array}\enspace.$$ 
On consid�re la vari�t� torique multi-projective $X_{\underline{\cA}} \subset \P^{N_0}\times\dots\times\P^{N_m}$, 
adh�rence de Zariski de l'orbite du point $((1:\dots:1),\dots,(1:\dots:1))$, 
et plus g�n�ralement on pose $X_{\underline{\cA},\underline{\alpha}}$ pour  l'adh�rence de l'orbite de $\underline{\alpha}=(\alpha_0,\dots,\alpha_m)\in\P^{N_0}\times\dots \times\P^{N_m}$. 

\begin{prop}\label{multidegvol}
Soit $c\in\N^{m+1}_n$, dans la situation ci-dessus on a 
$$\deg_{c}(X_{\underline{\cA}}) =\MV_n(\underbrace{Q_{\cA_0},\dots, Q_{\cA_0}}_{c_0\ \scriptstyle \rm fois},\dots, \underbrace{Q_{\cA_m},\dots,Q_{\cA_m}}_{c_m\ \scriptstyle \rm fois}) \enspace.$$
\end{prop}

\begin{demo}
Pour $D=(D_0,\dots,D_m)\in(\N^\times)^{m+1}$ on pose $D\cdot\underline{\cA} := D_0\cA_0+\dots+D_m\cA_m$ l'ensemble des sommes de $D_i$ �l�ments pris dans $\cA_i$ pour $i=0,\dots,m$ et $Q_{D\cdot\underline{\cA}} = D_0Q_{\cA_0}+\dots+D_mQ_{\cA_m}$ l'enveloppe convexe de $D\cdot\underline{\cA}$. On v�rifie $\Psi_D(X_{\underline{\cA}}) = X_{D\cdot\underline{\cA}}$, et par la multilin�arit� du volume mixte
$$n!\Vol_n(Q_{D\cdot\underline{\cA}}) = \sum_{c\in\N^{m+1}_n} {n\choose c} \MV_n(\underbrace{Q_{\cA_0},\dots, Q_{\cA_0}}_{c_0\ \scriptstyle \rm fois},\dots, \underbrace{Q_{\cA_m},\dots,Q_{\cA_m}}_{c_m\ \scriptstyle \rm fois}) D^c\enspace.$$
On a $\deg(\Psi_D(X_{\underline{\cA}})) = n!\Vol_n(Q_{D\cdot\underline{\cA}})$ pour tout $D$ 
et la comparaison de l'identit� ci-dessus avec~(\ref{corbeau}) permet de conclure.
\end{demo}
 


\medskip 
Les orbites de l'action $*_\cA$ sur $X_\arith$ sont en correspondance avec l'ensemble $\Faces(Q_\cA)$  des faces du polytope $Q_\cA$. Pour chaque face $ P$ on associe un point $\alpha_P := (\alpha_{P, \, 0} : \cdots : \alpha_{P, \, N} ) \in \P^N$ d{\'e}fini par $  \alpha_{P, \, j}  :=\alpha_j$ si \,$ a_j \in P $  et  $  \alpha_{P, \, j}:= 0$ sinon; la bijection est  donn{\'e}e par~\cite[Ch.~5, Prop.~1.9]{GKZ94}, \cite[\S~3.1]{Ful93} 
$$
P \mapsto X_{\arith, P}^\circ := \G_m^n *_\cA \alpha_P \ \subset \P^N 
\enspace. 
$$
On a la d{\'e}composition 
\begin{equation} \label{decomposition}
X_\arith  = \bigsqcup_{P \in \faces(Q_\cA) } X_{\arith, P}^\circ 
\enspace. 
\end{equation} 
Posons  $N(P):= {\rm Card}\{ i \, : \ a_i \in P\} -1$ et
$$
\cA(P) = (a_i \, : \ a_i \in P) \in(\Z^n)^{N(P)+1}
\enspace,\quad \quad 
\alpha(P) := ( \alpha_i \, : \  a_i \in P) \in ({\K}^\times)^{N(P)+1} \enspace,
$$
on v{\'e}rifie que $X_{\arith, P}^\circ \subset \P^N$ 
est l'orbite principale d'une vari{\'e}t{\'e} torique 
contenue
dans un sous-espace standard de dimension ${N(P) }$. 
Restreinte {\`a} ce sous-espace, elle
s'identifie {\`a} la sous-vari{\'e}t{\'e} 
$ X_{\cA(P),\alpha(P)}^\circ \subset \P^{N(P) }$, 
de dimension {\'e}gale {\`a} la dimension (r{\'e}elle) de la face  $P$. 


Plus g{\'e}n{\'e}ralement, soit  $X_{\un{\cA}} \subset \P^{N_0} \times \cdots
\times \P^{N_m}$ une vari{\'e}t{\'e} torique multi-projective  et posons 
$ Q_{\un{\cA}}:=(Q_{\cA_0},\dots,Q_{\cA_m})$ la famille de $m+1$
polytopes associ{\'e}e. 

Pour un polytope $Q \subset \R^n$ et un vecteur $b \in \R^n$ on note $Q(b)$ la face de $Q$ d\'efinie comme l'ensemble 
des points $u\in Q$  maximisant la fonctionnelle lin{\'e}aire $u \mapsto \langle b,u\rangle $. 
Consid{\'e}rons  les combinaisons des faces des $Q_{\cA_i}$ obtenues par cette m{\'e}thode:
$$
\Faces(Q_{\un{\cA}}) := \{ (Q_{\cA_0}(b),\dots,Q_{\cA_m}(b)) \, : \ b \in \R^n\} 
\subset \Faces(Q_{\cA_0}) \times \cdots
\times \Faces(Q_{\cA_m}) \enspace. 
$$ 
On peut v�rifier que l'ensemble des sommes de Minkowski $Q_{\cA_0}(b) + \dots + Q_{\cA_m}(b)$ pour $b\in\R^n$, co{\"\i}ncide avec l'ensemble des faces de la somme de Minkowski $Q_{\cA_0} + \dots + Q_{\cA_m}$. 

Soit $\underline{\alpha}=(\alpha_0,\dots,\alpha_m)\in\P^{N_0} \times \dots \times \P^{N_m}$, les orbites de l'action $*_{\un \cA}$ sur $X_{\un \cA,\un\alpha}$ sont en correspondance avec l'ensemble $\Faces(Q_{\un{\cA}})$. Pour chaque $\un P=(P_0,\dots,P_m) \in \Faces(Q_{\un{\cA}})$ on consid{\`e}re le point 
$\alpha_{\un P} := (\alpha_{P_0},\dots,\alpha_{P_m}) \in \P^{N_0} \times \cdots
\times \P^{N_m}$; 
la bijection est  donn{\'e}e par
$$
\un P \mapsto X_{\un \cA, \un\alpha, \un P}^\circ := \G_m^n *_{\un \cA}
\alpha_{\un P} \ \subset \P^{N_0} \times \cdots
\times \P^{N_m}
\enspace, 
$$
et cette correspondance pr�serve la dimension, car $\dim(X_{\un \cA, \un\alpha, \un P}) = \dim(P_0+\dots+P_m)$. 
La d{\'e}monstration est une l\'eg{\`e}re variante de~\cite[Ch.~5, Prop.~1.9]{GKZ94}. 


\bigskip 

Classiquement les vari{\'e}t{\'e}s toriques sont construites {\`a} partir d'{\it {\'e}ventails}, {\it voir } par exemple \cite{Ful93}. Rappelons qu'un �ventail est un ensemble de c�nes 
simpliciaux de sommet l'origine engendr�s par un nombre fini de points de $\Z^n$, tels que toute face et toute intersection de c�nes de l'�ventail appartienne encore � l'�ventail. 
Le lien avec notre pr�sentation des vari�t�s toriques {\it via} des polytopes r\'esulte de ce 
qu'un polytope $Q$  � sommets dans $\Z^n$
d{\'e}termine un �ventail et donc aussi une vari{\'e}t{\'e} torique au {\it sens classique}, qui de plus est munie d'un fibr{\'e} en droites ample. Dans les alin�a suivants (tir{\'e}s essentiellement de~\cite{Cox01} et \cite{Ful93}) 
on explicite cette construction. 


\smallskip 

Supposons \spdg $\dim(Q)=n$ et posons $\Faces_i(Q)$ l'ensemble des faces de $Q$ de dimension $i$, de sorte que 
$\displaystyle \Faces(Q):=\sqcup_{i=0}^n\Faces_i(Q)$. 
Pour chaque hyperface (\cad face de codimension 1) $F$ de $Q$ on prends le vecteur normal int{\'e}rieur primitif $v_F \in \Z^n$ et on note 
$$m_F:=-\min\{\langle x,v_F\rangle:x\in Q\}\in\Z\enspace,$$
o\`u $\langle\cdot,\cdot \rangle$ d\'esigne le produit scalaire ordinaire sur $\R^n$.  
On peut donc d{\'e}crire $Q$ comme intersection de demi-espaces
\begin{equation} \label{betterave} 
Q= \bigcap_{F \in \faces_{n-1}(Q)} \{ x\in \R^n\, : \ \langle x, v_F\rangle\ge
-m_F\} \enspace.  
\end{equation} 
{\`A} chaque face $P$ de $Q$ on  associe le c{\^o}ne $\sigma_P$ engendr� par les vecteurs $v_F$ correspondant aux hyperfaces $F \supset P$; on a $\dim(P)+\dim(\sigma_P)=n$. L'ensemble de ces c{\^o}nes forme un {\'e}ventail {\it complet} $\Sigma$ de $\R^n$, \cad un �ventail recouvrant $\R^n$. 

La figure suivante montre la correspondance $P \mapsto \sigma_P$ entre faces de $Q$ et c�nes de  $\Sigma$, pour $Q$ le simplexe standard de $\R^2$. 

%----- Figure --------------

\bigbreak

\begin{figure}[htbp]

$$\epsfig{file=figures/eventail.eps, height= 35mm}$$

\end{figure}

\bigbreak

%-------------------------

Notons $\cX_\Sigma$ la vari{\'e}t{\'e} torique (non plong{\'e}e dans un espace projectif) d{\'e}finie par cet {\'e}ventail. 
Pour chaque hyperface $F$ de $ Q$ on note $D_F$ le diviseur correspondant {\`a} la sous-vari{\'e}t{\'e} torique de $\cX_\Sigma$ associ{\'e}e � l'ar�te $\sigma_F$ de 
$\Sigma$ et on introduit un diviseur de Weil sur $\cX_\Sigma$ 
invariant sous l'action de $\G_m^n$
$$
D_Q:= \sum_{F\in \faces_{n-1}(Q)} m_F \, D_F \enspace, 
$$
qui est en fait un diviseur de Cartier ample~\cite[\S~3.4]{Ful93}. 
Pour $a \in \Z^n$, l'application monomiale $\chi^a:\G_m^n \to \G_m, s \mapsto s^a$
peut se voir comme une fonction rationnelle sur $\cX_\Sigma$. Cette fonction rationnelle s'�tend en une section globale de $\cO(D_Q)$ si et seulement si $a \in Q$, et en fait
$$
\Gamma(\cX_\Sigma, \cO(D_Q)) = \bigoplus_{a \in Q \cap \Z^n} \K\cdot \chi^a
\enspace. 
$$
En posant finalement $\cA_Q:=Q\cap\Z^n= \{ a_0,\dots,a_N\} $, on v�rifie que l'application $\G_m^n \to \P^N, s \mapsto (s^{a_0}, \dots, s^{a_N})$ s'{\'e}tend en un morphisme r�gulier $\cX_\Sigma \to \P^N$, dont l'image est la vari{\'e}t{\'e} torique projective  $X_{\cA_Q}$. De fait, ceci est le morphisme de normalisation de $X_{\cA_Q}$~\cite[Cor.~13.6]{Stu96}. 

\smallskip 
Cependant, notons que la notion d'�ventail permet de d�finir des vari�t�s toriques qui, m�me compl�tes, n'admettent pas n�cessairement de diviseur $\G_m^n$-invariant ample. 
Toutefois, lorsqu'une vari�t� torique abstraite poss�de un tel diviseur, elle
admet une application monomiale r�guli�re vers un espace projectif 
et son image est une vari�t� torique projective du type que nous �tudions ici. 
On notera encore que les vari�t�s toriques abstraites sont des vari�t�s normales, {\it voir}~\cite[\S~2.1, p.~29]{Ful93}, ce qui n'est pas toujours le cas pour les vari�t�s toriques projectives. 


voltang.tex
% Date de cette version: 5/5/2006
%
% -------------------------------------------------------------------
% ---------------------------------------------------------------------------
% SECTION: Volumes et hauteurs des espaces tangent ----------------------- 


\typeout{Volumes et hauteurs des espaces tangents}

\section{Volumes, hauteurs d'espaces tangents et degr�s}\label{voltang}

Dans la d�finition du~\S~\ref{vartor}, les sous-groupes alg�briques connexes de ${\bf G}_m^N$ correspondent aux vari�t�s toriques $X_\cA^\circ$ {\it via} l'identification $\iota:\G_m^N\hookrightarrow(\P^N)^\circ$. D'un autre c�t�, l'ensemble des points complexes d'un sous-groupe alg�brique connexe $G$ de ${\bf G}_m^{N}$, de dimension $n$, est d�crit {\it via} l'application exponentielle par son espace tangent $TG(\C)\subset\C^N$ � l'origine et son r�seau de p�riodes 
$$\Lambda:=TG({\bf C})\cap (2{\rm i}\pi{\bf Z})^{N}
\enspace,$$ 
de rang $n$ sur ${\bf Z}$. 

Munissons l'espace tangent � ${\bf G}_m^N$ en l'origine $T{\bf G}_m^N({\bf C}) \simeq {\bf C}^N$ de la structure euclidienne pour laquelle les $2N$ �l�ments $e_i$ et $2{\rm i}\pi e_i$ ($i=1,\dots,N$) forment une base orthonorm�e. 

Soit $\cA:=(a_0,\dots,a_N)\in(\Z^n)^{N+1}$ tel que $L_\cA=\Z^n$ et $G:=\iota^{-1}(X_{\cA}^\circ)$. Des g�n�rateurs de $\Lambda$ sont donn�s par les vecteurs $2{\rm i}\pi\lambda_1,\dots, 2{\rm i}\pi\lambda_n\in(2{\rm i}\pi{\bf Z})^N$ 
o� $\lambda_{i,j}=a_{j,i}-a_{0,i}$ pour $i=1,\dots,n$ et $j=1,\dots,N$.  
En fait, le $\Z$-module $\frac{1}{2{\rm i}\pi}\Lambda$ est l'orthogonal de 
la projection par $\pi:\R^{N+1}\to \R^N, (x_0,x_1,\dots,x_N)\mapsto (x_1,\dots,x_N)$, 
du $\Z$-module $\Gamma_\cA \subset \Delta^\Z$, introduit au~\S~\ref{obstruction} pr�c�dent. 

\medskip

Consid�rons encore l'adh�rence de Zariski $\overline G$ de $G$ dans la compactification $({\bf P}^1)^N$ de ${\bf G}_m^{N}$, ses multidegr�s sont index�s par des multi-indices $c=(c_1,\dots,c_N)\in\N_n^N$ o� $c_j\in\{0,1\}$. {\`A} toute suite croissante $1\leq j_1<\dots< j_n\leq N$ on associe un multi-indice $c(j_1,\dots,j_n)$ d�fini par $c(j_1,\dots,j_n)_j=1$ si $j\in\{j_1,\dots,j_n\}$ et $0$ sinon. Indiquons comment on retrouve par ce biais la proposition~4 de~\cite{BP}. 

\begin{prop}\label{voltangent}
Avec les notation ci-dessus, le volume euclidien de la projection de $\Lambda$ sur le produit des $n$ facteurs de ${\bf R}^N$ index�s par $j_1,\dots,j_n$ est �gal � $\MV_n(\overline{a_0\,a_{j_1}}, \dots, \overline{a_0\,a_{j_n}}) = \deg_{c(j_1,\dots,j_n)}(\overline G)$, o� $\ov{a_0\,a_j}$ d�signe le segment de droite joignant $a_0$ � $a_j$ dans $\R^n$. 
\end{prop}
\begin{demo}
En effet, la projection de $\Lambda$ consid�r�e est un r�seau de $(2{\rm i}\pi{\bf R})^n$ engendr� par les vecteurs $(2{\rm i}\pi\lambda_{i,j_1}, \dots, 2{\rm i}\pi\lambda_{i,j_n})$ pour $i=1,\dots,n$. Son volume pour la structure euclidienne fix�e est donc �gal � $\left|\Lambda_{j_1, \dots, j_n}\right| = \MV_n(\ov{a_0\,a_{j_1}}, \dots, \ov{a_0\,a_{j_n}})$ o� 
$$\Lambda_{j_1,\dots,j_n} = \det\left[\begin{array}{ccc}
\lambda_{1,j_1} &\dots &\lambda_{1,j_n}\\
\vdots & &\vdots\\
\lambda_{n,j_1} &\dots &\lambda_{n,j_n}
\end{array}\right] \in {\bf Z}
\enspace.$$ 
Finalement, par la formule~(\ref{multidegvol}) ce multivolume est �gal
au multidegr� $\deg_{c(j_1,\dots,j_n)}(\overline G)$ correspondant.
\end{demo}

On notera que les $\Lambda_{j_1,\dots,j_n}$ introduits dans la d�monstration pr�c�dente sont des coordonn�es grasmaniennes de l'espace tangent $TG({\bf C})$ en l'origine de $G$ dans ${\bf C}^N$. Comme $\Lambda$ est un r�seau primitif de $TG({\bf C})$ on a 
$${\rm ppcm}(\Lambda_{j_1,\dots,j_n} \, : \ 1\leq j_1<\dots<j_n\leq N)=1
\enspace.$$
\smallskip

L'image de $G$ par le plongement de Segre $s:({\bf P}^1)^N\rightarrow{\bf P}^{2^N-1}$ est d�crite par la somme de Minkowski 
$$\overline{a_0\,a_1} + \dots + \ov{a_0\,a_N}\subset{\bf R}^n
\enspace,$$ 
dont le volume est �gal � la somme des volumes mixtes pour toutes les projections du type envisag� dans la proposition~\ref{voltangent}. En particulier
$$\begin{array}{rcl}
\deg_{{\bf P}_{2^N-1}}(\overline{s(G)}) &= &n!{\rm Vol}_n(\ov{a_0\,a_1} + \dots + \ov{a_0\,a_N})\\[2mm] 
&= &n!\sum_{1 \leq j_1 < \dots < j_n\leq N} \MV_n(\ov{a_0\,a_{j_1}}, \dots, \ov{a_0\,a_{j_n}})\\[2mm]
&= &n!\sum_{1 \leq j_1 < \dots < j_n\leq N} |\Lambda_{j_1,\dots,j_n}|
\enspace.\end{array}$$
Ainsi, le degr� de $\overline{s(G)}$ est �gal � $n!$ fois la hauteur associ�e � la norme $\ell^1$ des coordonn�es grasmaniennes de son espace tangent dans ${\bf C}^N$.

Si l'on consid�re la hauteur de Schmidt $h_S(T)$ d'un sous-espace $T\subset\Qbar^N$ d�finie comme la hauteur projective du point qui le repr�sente dans la vari�t� grasmanienne~\cite[page~28]{Sch91}, on a la formule
$$h_S(TG) = \left(\sum_{1\leq j_1<\dots<j_n\leq N}|\Lambda_{j_1,\dots,j_n}|^2\right)^{\frac{1}{2}} = {\rm Vol}_n(TG({\bf C})\cap(2{\rm i}\pi{\bf R})^N/\Lambda) = {\rm Vol}_{N-n}(\Gamma_\cA^\R/\Gamma_\cA)
\enspace,$$
car $TG({\bf C})\subset{\bf C}^N$ est d�fini sur ${\bf Q}$ et ses coordonn�es grasmaniennes $\Lambda_{j_1,\dots,j_n}$ dans ${\bf Z}$ sont premi�res entre elles dans leur ensemble. La seconde �galit� n'est autre que la formule de Cauchy-Binet d�j� utilis�e au~\S~\ref{obstruction}. 
La troisi�me �galit� s'obtient en identifiant l'hyperplan 
$\Delta = \{\lambda_0+\dots+\lambda_N=0\} \subset \R^{N+1}$ avec $\R^N$ par la projection sur les $N$ derni�res coordonn�es, de sorte que l'image de $\Delta^\Z$ est $\Z^N$.

En remarquant que $Q_\cA={\rm Conv}(a_0,\dots,a_N)$ 
contient tous les simplexes de sommets pris parmi les $a_i$ et est contenu dans l'union de ces m�mes simplexes ayant $a_0$ comme sommet fixe, on v�rifie facilement (le volume d'un simplexe ${\rm Conv}(a_0,a_{i_1},\dots,a_{i_n})$ 
est �gal � $\frac{1}{n!}|\Lambda_{i_1,\dots ,i_n}|$)
$$\frac{1}{n!}\max_{1\leq j_1,\dots,j_n\leq N}|\Lambda_{j_1,\dots,j_n}| \leq {\rm Vol}_n(Q_\cA) \leq \frac{1}{n!}\sum_{1 \leq j_1 < \dots < j_n\leq N} |\Lambda_{j_1,\dots,j_n}|
\enspace.$$
D'apr�s la formule~(\ref{degvol}), on sait que $\deg_{{\bf P}^N}(\overline G) = n!{\rm Vol}_n(Q_\cA)$ et 
en particulier

\begin{prop}\label{compdegseg}
Pour tout sous-groupe alg�brique $G\subset \G_m^N$ de dimension $n$ on a
$$n!\deg_{{\bf P}^N}(\overline{G}) \leq \deg_{{\bf P}^{2^N-1}}(\overline{s(G)}) \leq n!\binom{N}{n} \deg_{{\bf P}^N}(\overline{G})
\enspace.$$
\end{prop}
On pourra comparer avec le r�sultat analogue pour la hauteur normalis�e dans~\cite[Prop.~2.2]{DP99}.

\smallskip

Si l'on introduit la fonction $f_{\cal A}$ sur l'enveloppe convexe $Q_{\cal A}$ des points ${\cal A}=(a_0,\dots,a_N)$ dans ${\bf R}^n$, � valeur dans ${\bf N}$, d�finie pour $u\in Q_{\cal A}$ par~:
$$f_{\cal A}(u) := {\rm Card}\left\{(j_1,\dots,j_n);1\leq j_1<\dots<j_n\leq N\enspace {\rm et}\enspace u\in{\rm Conv}(a_0,a_{j_1},\dots,a_{j_n})\right\}
\enspace,$$
on v�rifie facilement l'�galit�
$$\frac{\deg_{{\bf P}^{2^N-1}}(\overline{s(G)})}{n!\deg_{{\bf P}^N}(\overline G)} = \frac{1}{{\rm Vol}_n(Q_{\cal A})}\cdot\int_{Q_{\cal A}}f_{\cal A}(u)du
\enspace.$$

\medskip

\begin{exmpl}
En consid�rant des points $a_0,\dots,a_N$ dans ${\bf Z}^n$ tels que $a_{n+1},\dots,a_N$ soient tr�s proches de $a_0$ comparativement � $a_1,\dots,a_n$ ({\it voir} figure ci-dessous pour $n=2$), on a
$$\sum_{1 \leq j_1 < \dots < j_n\leq N} |\Lambda_{j_1,\dots,j_n}| \approx \max_{1\leq j_1,\dots,j_n\leq N}|\Lambda_{j_1,\dots,j_n}|=|\Lambda_{1,\dots,n}|
\enspace.$$
On obtient ainsi une vari�t� torique pour laquelle $n!\deg_{{\bf P}_N}(\overline G) \approx \deg_{{\bf P}_{2^N-1}}(\overline{s(G)})$, montrant que l'in�galit� de gauche dans la proposition~\ref{compdegseg} est optimale.
\end{exmpl}



%\vspace{-1mm} 

%----- Figure --------------
%\begin{figure}[htbp]
%$$\kern-1cm\epsfig{file=figures/gauche.eps, height= 32mm}$$
%\end{figure}
%-------------------------
%\vspace{-5mm} 


\begin{exmpl}
Consid�rons maintenant $N=mn$ points $a_1,\dots,a_N$ de ${\bf Z}^n$ �galement con\-cen\-tr�s autour de $a_1,\dots,a_n$, par exemple $a_{kn+i}\approx a_i$ � l'int�rieur de ${\rm Conv}(a_0,a_1,\dots,a_n)$, pour $k=1,\dots,m-1$ et $i=1,\dots,n$ ({\it voir} figure ci-dessous pour $n=2$). On a alors
$$\sum_{1 \leq j_1 < \dots < j_n\leq N} |\Lambda_{j_1,\dots,j_n}|\  \rlap{$\geq$}\raise-7pt\hbox{$\sim$}\ \left(\frac{N}{n}\right)^n n!{\rm Vol}_n(a_0,a_1,\dots,a_n)\enspace.$$
On obtient ainsi une vari�t� torique pour laquelle $\deg_{{\bf P}_{2^N-1}}(\overline{s(G)})\ \rlap{$\geq$}\raise-7pt\hbox{$\sim$}\ n!\left(\frac{N}{n}\right)^n\deg_{{\bf P}_N}(\overline G)$, laissant supposer que l'in�galit� de droite dans la proposition~\ref{compdegseg} pourrait �tre am�lior�e d'un facteur ${\rm e}^n$. De fait, lorsque $n=2$ on v�rifie pour toute configuration ${\cal A}$ de points et tout $u\in Q_{\cal A}$ la majoration $f_{\cal A}(u) \leq \left(\frac{N}{2}\right)^2$, d'o� $\deg_{{\bf P}_{2^N-1}}(\overline{s(G)}) \leq 2\left(\frac{N}{2}\right)^2\deg_{{\bf P}_N}(\overline G)$, qui est optimal.
\end{exmpl}



\vspace{-1mm} 

%----- Figure --------------
\begin{figure}[htbp]
$$\kern0.4cm\epsfig{file=figures/droite.eps, height= 32mm}$$
\end{figure}
%-------------------------




%%% Local Variables: 
%%% mode: latex
%%% TeX-master: t
%%% End: 

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\begin{thebibliography}{Gor1873}

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