AdS.tex
\chapter{Univers branaires et D-branes anti-de~Sitter}
Comme nous l'avons vu, la th�orie des supercordes n'est coh�rente qu'� dix
dimensions. Si on veut avoir une chance de d�crire notre univers avec, il
faut s'arranger pour obtenir une th�orie effective qui soit � quatre
dimensions, au moins aux �chelles d'�nergie actuellement accessibles
exp�rimentalement.

Avant qu'on connaisse les D-branes, le seul moyen pour cela �tait de
prendre un espace cible de la forme $\R^4\times M$, o� $M$ est une vari�t�
compacte de dimension six�; on obtient alors une th�orie effective � quatre
dimensions � des �chelles tr�s grandes devant la taille de $M$. Ceci a
donn� lieu � d'importants d�veloppements dans les ann�es 1980, notamment
concernant les vari�t�s de Calabi-Yau, qui ont comme propri�t� de pr�server
une partie de la supersym�trie. Le lecteur pourra se r�f�rer �
\cite{GSW,Pol} pour plus de d�tails.

Avec l'�mergence des D-branes, et des cordes ouvertes contraintes de rester
� leur voisinage, est venue l'id�e que notre Univers pourrait �tre une
D3-brane (un \emph{univers branaire}), et que la mati�re serait des cordes
ouvertes vivant sur cette D-brane. Malheureusement, cela ne semble a priori
pas marcher pour la gravit�, puisque ses excitations apparaissent en
th�orie des cordes comme des cordes ferm�es, qui peuvent se d�placer dans
tout l'espace-temps. Il faut donc, de toute fa�on, compactifier six
dimensions. Toutefois, la loi de Newton de la gravitation n'�tant v�rifi�e
exp�rimentalement que jusqu'� des �chelles de l'ordre du dixi�me de
millim�tre, on peut envisager des dimensions compactes bien plus grandes
que sans D-branes, ce qui ouvre d'autant plus de possibilit�s. Tout cela
est trait� en d�tail dans la revue r�cente \cite{Kir}.

Par la suite, l'article fondateur de Randall et Sundrum \cite{RS} a montr�
que, en pr�sence d'une brane massive, il peut exister un mode du champ
gravitationnel qui est confin� au voisinage de la brane, et la force
gravitationnelle qui en d�coule est, � basse �nergie, celle de Newton.
Cette localisation de la gravit� permet de r�aliser le principe de
l'univers branaire sans �tre oblig� de compactifier six dimensions. Il
appara�t alors que l'obtention d'une brane plate n�cessite un ajustement
fin de la tension de la brane par rapport � la constante cosmologique de
l'espace ambiant, ajustement sans lequel la brane aura une g�om�trie
de~Sitter ou anti-de~Sitter. On est donc amen� � �tudier ces g�om�tries,
plus particuli�rement dans leur limite de grand rayon o� on tend vers un
espace plat.

Le but de ce chapitre est d'�tudier certains aspects des tentatives de
r�alisations cordistes de l'univers branaire. Puisque, comme nous l'avons
dit, ces r�alisations font appara�tre des espaces anti-de~Sitter, nous
rappellerons d'abord ce que sont ces espaces.

\section{Espaces anti-de~Sitter}
\index{anti-de Sitter}
\subsubsection{D�finition}
Consid�rons un espace de Minkowski � $n+1$ dimensions et avec deux temps,
c'est-�-dire ayant pour m�trique
\[
ds^2 = - dX_0^2 + dX_1^2 + \ldots + dX_{n-1}^2 - dX_n^2.
\]
On peut, au sein de cet espace, obtenir un hyperbolo�de ayant comme groupe
d'isom�tries $\OO(2,n-1)$ en prenant le sous-ensemble d'�quation
\begin{equation}
\label{AdSdef}
- X_0^2 + X_1^2 + \ldots + X_{n-1}^2 - X_n^2 = -L^2
\end{equation}
o� $L$ est un r�el positif, que nous appellerons \emph{rayon} de
l'hyperbolo�de, qui a un seul temps. Cet espace ayant des courbes ferm�es
de genre temps, on d�finit l'espace anti-de~Sitter $AdS_n$ comme le
recouvrement universel de l'hyperbolo�de.

On d�finit de la m�me fa�on l'espace de de~Sitter $dS_n$ en rempla�ant,
dans les �quations pr�c�dentes, les signes $-$ devant $X_n$ et $L^2$ par
des $+$, et il n'y a alors pas besoin de prendre le recouvrement universel.
L'espace ainsi obtenu a comme groupe d'isom�tries $\OO(1,n)$.

L'espace anti-de~Sitter est solution des �quations d'Einstein du vide avec
une constante cosmologique n�gative $-3/L^2$, tandis que de~Sitter l'est
avec une constante cosmologique $3/L^2$.

\subsubsection{Syst�mes de coordonn�es pour $AdS_n$}
Divers syst�mes de coordonn�es sont utilis�s pour $AdS_n$, selon les
sous-espaces et les sous-groupes des isom�tries auxquels on s'int�resse.

Les coordonn�es dites anti-de~Sitter s'obtiennent en posant
$X_{n-1}=L\sinh\psi$. Les sous-espaces $\psi=\text{constante}$ sont alors
des espaces $AdS_{n-1}$ de rayon $L\cosh\psi$, d'o� la m�trique
\begin{equation}
\label{AdSAdS}
ds^2 = L^2 \left[ d\psi^2 + \cosh^2\psi\,ds^2(AdS_{n-1}) \right]
\end{equation}
�tant entendu que $ds^2(AdS_{n-1})$ d�signe la m�trique d'un espace $AdS$
de rayon unit�.

Les coordonn�es dites de~Sitter s'obtiennent en posant $X_n=L\cosh\psi$.
Les sous-espaces $\psi=\text{constante}$ sont alors des espaces $dS_{n-1}$
de rayon $L\sinh\psi$, d'o� la m�trique
\begin{equation}
\label{AdSdS}
ds^2 = L^2 \left[ d\psi^2 + \sinh^2\psi\,ds^2(dS_{n-1}) \right].
\end{equation}
Ces coordonn�es ne couvrent pas l'hyperbolo�de en entier.

Les coordonn�es Poincar� s'obtiennent en posant $X_n+X_{n-1}=L^2u$ et
$X_i=Lux_i$ pour $0\leq�i\leq�n-2$. L'�quation \eqref{AdSdef} entra�ne
alors $X_n-X_{n-1}=u^{-1}+u(-x_0^2+\ldots+x_{n-2}^2)$, d'o� la
m�trique�:
\begin{equation}
\label{AdSPoin}
ds^2 = L^2 \left[ \frac{du^2}{u^2} + u^2 (-dx_0^2 + \ldots + dx_{n-2}^2)
       \right].
\end{equation}

\section{Localisation de la gravit� sur une brane}
\subsection{Cas de la gravit� pure}
\index{localisation de la gravit�|(}
On consid�re un espace � 5 dimensions avec une 3-brane massive. L'action
s'�crit�:
\begin{equation}
\label{AcLoc}
S \propto \int d^5x \sqrt{-\det g} \left[ -\frac{1}{4}R - \Lambda_5 \right]
          - \lambda \int d^4x \sqrt{-\det \hat{g}}
\end{equation}
o� $\Lambda_5=-3/L^2$ est la constante cosmologique, prise n�gative,
$\lambda$ est la tension de la brane et $\hat{g}$ est la m�trique induite
sur la brane. On se place ici dans l'approximation de la brane fine
(d'�paisseur nulle), qui facilite grandement la r�solution des �quations du
mouvement.

Comme on cherche � avoir une brane maximalement sym�trique (c'est-�-dire
avec un groupe d'isom�tries le plus grand possible), donc Minkowski ou
(anti-)de~Sitter, on va chercher des solutions ayant les sym�tries de
$\R^{1,3}$ ou $(A)dS_4$. On consid�re donc des solutions de la forme
\begin{equation}
\label{MetLoc}
ds^2 = A(r) \bar{g}_{ij} dx^i dx^j + B(r) dr^2
\end{equation}
o� $r$ est une coordonn�e telle que la brane est en $r=0$, et $\bar{g}$ est
une m�trique Minkowski, de~Sitter ou anti-de~Sitter.

Un moyen pour trouver la solution est de remplacer la m�trique par l'ansatz
\eqref{MetLoc} dans l'action \eqref{AcLoc}, et d'int�grer sur les quatre
dimensions $x_i$, de fa�on � obtenir une action � une dimension. On peut
alors varier l'action par rapport � $A(r)$ et $B(r)$, ce qui donne deux
�quations pour $A$ apr�s avoir impos� $B(r)=1$ (ce qui est toujours
possible par red�finition de $r$) et il n'est alors pas tr�s difficile de
trouver les solutions. On pourra trouver le d�tail des calculs dans
l'annexe de \cite{Kal}.

Ayant choisi $A(0)=1$ (par choix de normalisation pour $\bar{g}$), on peut
alors �crire la solution \cite{KR}�:
\begin{align*}
dS_4 : A &\propto \sinh^2 \frac{c-|r|}{L} &
       L_{dS_4} &= L \sinh \frac{c}{L} &
       \lambda &= \frac{3}{L}\coth\frac{c}{L} \\
M_4 : A &= \exp\!\left(\! -\frac{2|r|}{L} \right) & &&
      \lambda &= \frac{3}{L} \\
AdS_4 : A &\propto \cosh^2 \frac{c-|r|}{L} &
        L_{AdS_4} &= L \cosh \frac{c}{L} &
        \lambda &= \frac{3}{L}\tanh\frac{c}{L} \\
\end{align*}
o� $c$ est un param�tre r�el positif. On voit que pour une tension faible,
la brane est anti-de Sitter, qu'elle devient Minkowski � la tension
critique $\lambda=3/L$, et enfin de Sitter pour une tension �lev�e.
L'espace � 5 dimensions, quant � lui, est constitu� de deux morceaux
d'espace $AdS_5$ de rayon $L$ coll�s au niveau de la brane, la m�trique
\eqref{MetLoc} pour $r>0$ ou $r<0$ n'�tant rien d'autre que celle d'$AdS_5$
dans l'un des syst�mes de coordonn�es \eqref{AdSAdS}, \eqref{AdSdS},
\eqref{AdSPoin}. (Dans le cas Poincar�, il faut poser
$u=L^{-1}\exp(-|r|/L)$.)

Pour montrer la localisation de la gravit� sur une telle brane, on regarde
les fluctuations lin�aris�es de la m�trique autour de la solution
ci-dessus. Dans le cas des branes de Sitter et Minkowski, on trouve (cf
\cite{KR}) qu'il y a un �tat li� de masse nulle confin� sur la brane�; dans
le cas anti-de~Sitter, ce n'est pas le cas, mais le spectre des
fluctuations est discret, et, pour $\lambda$ suffisamment proche de $3/L$
(c'est-�-dire une courbure faible pour la brane), l'un des modes, qualifi�
de mode presque z�ro, est tr�s l�ger devant les autres, et est aussi
confin� sur la brane. Dans tous les cas, le mode (presque) z�ro reproduit
la gravit� � quatre dimensions � basse �nergie.

Le fait qu'un mode presque z�ro puisse reproduire la gravit� peut
surprendre, dans la mesure o� un graviton massif � quatre dimensions a cinq
polarisations, alors qu'un graviton de masse nulle en a deux, et il en
d�coule que la limite $m\rightarrow0$ d'un graviton massif n'est pas un
graviton de masse nulle (discontinuit� de Van~Dam-Veltman-Zakharov
\cite{VDVZ}). On montre n�anmoins que, dans ce cas pr�cis, il est possible
d'�liminer les modes en trop, de sorte que le probl�me ne se pose pas (cf
\cite{KKR}).
\index{localisation de la gravit�|)}

\subsection{R�alisation cordiste}
\subsubsection{Obtention d'$AdS_5$}
\index{anti-de Sitter!$AdS_5$}
Consid�rons $N$ D3-branes plates superpos�es en th�orie IIB, v�rifiant
$x_3=x_4=x_5=x_7=x_8=x_9=0$. Comme nous l'avons vu pr�c�demment, les
D3-branes sont charg�es sous le champ de Ramond-Ramond $C_{(4)}$. On peut
explicitement trouver la solution de supergravit� correspondante�:
\begin{align*}
ds^2 &= f^{-1/2} (-dx_0^2 + dx_1^2 + dx_2^2 + dx_6^2)
        + f^{1/2} (dr^2 + r^2 ds^2(S^5)) \\
F_{(5)} &= (1 + *)\, dx_0\,dx_1\,dx_2\,dx_6\,df^{-1} \\
f &= 1 + \frac{L^4}{r^4} \quad\text{avec}\quad L^4 \equiv 4\pi g_s \a'^2 N
\end{align*}
o� $r^2=x_3^2+x_4^2+x_5^2+x_7^2+x_8^2+x_9^2$.

Dans la limite, dite proche de l'horizon, o� $r$ tend vers z�ro, le terme
constant de $f$ dispara�t et on obtient
\[
ds^2 = \frac{r^2}{L^2} (- dx_0^2 + dx_1^2 + dx_2^2 + dx_6^2)
       + L^2\, \frac{dr^2}{r^2} + L^2 ds^2(S^5).
\]
En posant $u=L^{-2}r$, on voit qu'il s'agit de $AdS_5\times�S^5$, la
m�trique de $AdS_5$ �tant exprim�e dans les coordonn�es de Poincar�
\eqref{AdSPoin}, et o� $AdS_5$ et $S^5$ ont comme rayon $L$.

Il r�sulte de ce fait une conjecture de dualit� entre la th�orie des cordes
sur $AdS_5\times�S^5$ et la th�orie de Yang-Mills maximalement
supersym�trique � quatre dimensions, qui est la th�orie des champs
effective vivant sur la D3-brane�; cette derni�re �tant invariante conforme,
la conjecture est nomm�e ��AdS/CFT��. Le lecteur pourra se reporter �
\cite{AdSCFT} pour plus de d�tails.

\subsubsection{$AdS_4$ dans $AdS_5$}
\index{D-brane!dans $AdS_5\times S^5$}
Dans la g�om�trie ci-dessus, l'hypersurface $x_6=0$ est un $AdS_4$. Pour
obtenir cela � partir de D-branes, il faut donc ajouter aux D3-branes
ci-dessus une D-brane dont l'intersection avec les D3-branes s'�tend selon
les dimensions 0, 1 et 2, et v�rifie $x_6=0$. D'autre part, pour assurer la
stabilit� de cette configuration, on veut pr�server une partie de la
supersym�trie�; on montre que pour cela, dans le cas de D-branes
perpendiculaires, il faut que le nombre de dimensions v�rifiant une
condition de Neumann pour l'une des D-branes et Dirichlet pour l'autre soit
multiple de 4. Il est alors ais� de voir que cela est r�alis� si on ajoute
aux D3-branes des D5-branes donn�es par $x_6=x_7=x_8=x_9=0$. Si on n�glige
l'effet des D5-branes sur la g�om�trie de l'espace ambiant, alors, dans la
limite proche de l'horizon de la D3-brane, on obtient des D-branes
$AdS_4\times�S^2$ dans $AdS_5\times�S^5$.

Bien s�r, pour obtenir la localisation de la gravit� au voisinage des
D5-branes, il ne faut pas n�gliger leur action sur la g�om�trie. Une �tude
pr�cise de cela n�cessite d'�crire la solution de la supergravit� en
pr�sence des D3- et D5-branes. Malheureusement, cette solution n'est pas
connue�: on ne conna�t que des solutions o� soit les D3, soit les D5 sont
d�localis�es \cite{D3D5}. N�anmoins, comme expliqu� dans \cite{KR2}, on a
de bonnes raisons de penser que la gravit� est localis�e sur les D5-branes,
au moins au voisinage des D3-branes, de fa�on similaire au cas en gravit�
pure que nous avons vu, m�me si l'approximation de brane fine risque de ne
plus marcher lorsque la partie $AdS_4$ devient plate.

Puisqu'on ne sait pas prendre en compte la r�troaction des D5-branes sur
la g�om�trie, nous allons, dans la suite de ce chapitre, nous placer dans
l'approximation o� il y a tr�s peu de D5-branes (plus pr�cis�ment
$g_sM\ll1$, o� $M$ est le nombre de D5-branes), de sorte que nous pourrons
consid�rer que la g�om�trie est celle d�coulant des D3-branes. 

En utilisant l'action de Born-Infeld, on peut �tudier semi-classiquement
les D-branes $AdS_4\times�S^2$ dans $AdS_5\times�S^5$. Tout d'abord, il est
ais� de voir que, outre les D-branes $x_6=0$, les D-branes donn�es par
$x_6=C/u$, o� $C$ est une constante, sont �galement des $AdS_4\times�S^2$,
avec un rayon anti-de~Sitter �gal � $L\sqrt{1+C^2}$, et un rayon de la
sph�re maximal (�gal � $L$). Ces rayons sont stabilis�s par le flux
magn�tique � travers la 2-sph�re \cite{KR3}�; les calculs �tant assez
similaires � ceux du chapitre pr�c�dent, nous ne les reproduisons pas ici.
On peut aussi calculer le spectre des fluctuations quadratiques de la
D-brane \cite{DFO}.

\index{champ de fond!Ramond-Ramond}
\index{S-dualite@S-dualit�}
On voudrait, bien s�r, pouvoir aller au-del� des calculs semi-classiques.
Le probl�me est que nous avons ici un champ de fond R-R ($F_{(5)}$ en
l'occurrence) et que l'on ne sait pas �crire de mod�le sigma sur la surface
d'univers de la corde comme on sait le faire pour des champs NS-NS. Un cas
int�ressant � �tudier de ce point de vue l� est le cas similaire des
D-branes $AdS_2\times�S^2$ dans $AdS_3\times�S^3$. En effet, une telle
configuration peut s'obtenir avec des champs de fond R-R ($F_{(3)}$)
similaires � ce que nous avons vu pr�c�demment. Comme la S-dualit� que nous
avons vue dans le premier chapitre �change $F_{(3)}=dC_{(2)}$ et $H=dB$,
cette configuration est S-duale � une configuration ne comportant que des
fonds NS-NS qui est un mod�le de WZW, o� on sait que les calculs
semi-classiques donnent des r�sultats exacts.

Nous sommes donc amen� � consid�rer des D-branes $AdS_2\times�S^2$ dans
$AdS_3\times�S^3$ avec des champs de fond NS-NS. Si on cherche � obtenir
quelque chose qui ressemble � un univers branaire, il est int�ressant de
savoir quelle est la g�om�trie effective vue par les champs vivant sur la
D-brane, c'est-�-dire les cordes ouvertes. Nous verrons que, comme montr�
dans \cite{BP}, les rayons effectifs des parties anti-de~Sitter et
sph�rique sont �gaux, m�me si les rayons dans la g�om�trie ambiante sont
tr�s diff�rents. 

Nous �tudierons ensuite cette m�me configuration, mais avec des fonds R-R
au lieu de NS-NS. Nous verrons que le calcul des petites fluctuations �
l'aide de l'action de Born-Infeld donne les m�mes fluctuations que dans les
fonds NS-NS, ce qui nous permet de v�rifier la S-dualit� dans ce cas
particulier. Ce calcul permet �galement de montrer que, comme dans le cas
NS-NS, on a une g�om�trie effective pour les cordes ouvertes, et que les
deux rayons sont aussi �gaux. Nous en discuterons les cons�quences.

\section{D-branes dans $AdS_3\times�S^3$ avec des champs de fond NS-NS}
\index{anti-de Sitter!$AdS_3$}
\subsection{Obtention d'$AdS_3\times�S^3$}
La g�om�trie $AdS_3\times�S^3$ s'obtient � partir d'un �tat li� de $Q_5$
NS5-branes enroul�es sur un 4-tore et de $Q_1$ cordes fondamentales le long
de la dimension non compacte des NS5-branes. On montre que la g�om�trie
proche de l'horizon d'une telle configuration est $AdS_3\times S^3\times
T^4$, o� les rayons d'$AdS_3$ et de $S^3$ sont �gaux �
$L\equiv\sqrt{Q_5\a'}$. Dans la suite, nous consid�rerons le $T^4$ comme
spectateur, et nous ne nous en occuperons pas.

\index{Wess-Zumino-Witten, mod�le de}
$AdS_3$ et $S^3$ �tant des groupes, respectivement le recouvrement
universel de $\SL(2,\R)$ et $\SU(2)$, et puisque nous avons ici une
configuration sans charge R-R, les champs de fond sont donn�s par le mod�le
de Wess-Zumino-Witten vu au chapitre pr�c�dent. Dans des coordonn�es
appropri�es,
\index{champ de fond!$B_{\mu\nu}$}
\begin{align*}
ds^2 &= L^2 \left[ d\psi^2 + \cosh^2\psi\,(d\omega^2 - \cosh^2\omega\,d\tau^2)
        + d\chi^2 + \sin^2\chi\,(d\theta^2 + \sin^2\theta\,d\phi^2) \right] \\
B &= L^2 \left[ \left( \psi + \frac{\sinh 2\psi}{2} \right)
               \cosh\omega\,d\omega \wedge d\tau
             + \left( \chi - \frac{\sin 2\chi}{2} \right)
               \sin\theta\,d\theta \wedge d\phi \right]
\end{align*}
et le dilaton est une constante $\Phi=\Phi_{\text{NS}}$.

En ce qui concerne le spectre, ce que nous avons vu dans le cas de groupes
compacts s'applique ici. Il y a tout de m�me quelques diff�rences�: d'une
part, il y a un nombre infini de repr�sentations de $\SL(2,\R)$ qui
interviennent, et d'autre part il y a des subtilit�s � cause du fait que le
groupes des transformations \eqref{SymWZW} n'est pas connexe. Le lecteur
pourra se r�f�rer � \cite{ThSR,AdS3} pour plus de d�tails.

\subsection{D-branes dans $AdS_3$}
\index{D-brane!dans $AdS_3\times�S^3$|(}
Les D-branes dans $AdS_3\times�S^3$ s'obtiennent comme produit d'une
D-brane dans $AdS_3$ et d'une D-brane dans $S^3$. Comme nous avons d�j� vu
les D-branes dans $S^3$ dans le chapitre pr�c�dent, nous allons maintenant
�tudier les D-branes dans $AdS_3$.

\index{condition aux bords!WZW}
Comme dans le cas de la 3-sph�re, la condition aux bords $J=-\bar{J}$ est
r�alis�e par des classes de conjugaison de $\SL(2,\R)$. Dans les
coordonn�es \eqref{AdSdef}, elles sont donn�es par $X_0=\text{constante}$,
et sont des espaces hyperboliques (pour $X_0<L$) ou de Sitter (pour
$X_0>L$). Dans le premier cas, il s'agit de surfaces enti�rement de genre
espace, donc de D-instantons (localis�s dans le temps), dont
l'interpr�tation n'est pas claire. Dans le deuxi�me cas, le champ
�lectrique qu'il faut mettre sur la D-brane pour qu'elle minimise le
lagrangien de Born-Infeld \eqref{AcBI} est tel que l'expression sous la
racine carr�e est n�gative, ce qui rend ces D-branes non physiques
\cite{BP}.

Au lieu de la condition aux bords $J=-\bar{J}$, on peut prendre
$J=-\Omega(\bar{J})$, o� $\Omega$ est un automorphisme de $\SL(2,\R)$. S'il
s'agit d'un automorphisme int�rieur, c'est � dire de la forme
$\Omega(g)=h_0gh_0^{-1}$, avec $h_0\in\SL(2,\R)$, on obtient
essentiellement les m�mes D-branes qu'auparavant apr�s une rotation sur le
groupe. Dans le cas de $\SU(2)$, tous les automorphismes sont int�rieurs,
et c'est pour cela que nous n'avions pas �voqu� ce point. En revanche,
$\SL(2,\R)$ admet des automorphismes ext�rieurs qui, modulo un
automorphisme int�rieur, s'�crivent
\[
\Omega(g) = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} g
            \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}.
\]
Les D-branes qui en d�coulent sont des classes de $\Omega$-conjugaison, la
classe d'un �l�ment $g$ �tant d�finie par $\{hg\Omega(h)^{-1}, h\in�G\}$.
Ici, il s'agit de surfaces $AdS_2$ donn�es, dans les coordonn�es
\eqref{AdSAdS}, par $\psi=\psi_0$. Le champ �lectromagn�tique
n�cessaire � leur stabilisation s'�crit
\index{champ de fond!�lectromagn�tique}
\[
F = -\frac{L^2}{2\pi\a'} \psi_0 \cosh\omega\, d\omega \wedge d\tau.
\]

Sachant qu'on a affaire ici � des D-branes non compactes, on pourrait
croire que, contrairement aux 2-sph�res dans la 3-sph�re, les positions de
ces D-branes ne sont pas quantifi�es. En fait il n'en est rien�: en effet,
de mani�re g�n�rale, la charge sous $B$ d'une corde (pas forc�ment
fondamentale) vaut
\[
q = 2\pi\a' \frac{\delta S}{\delta B_{\omega\tau}}
\]
o� $S$ est l'action effective de la D-corde \eqref{BIWZ}. Elle doit �tre
multiple de la charge d'une corde fondamentale, c'est-�-dire, avec la
normalisation choisie, enti�re. Dans le cas qui nous concerne, on a
$q=-e^{-\Phi}\sinh\psi_0$, d'o� une quantification de la position de la
D-brane. D'autre part, cette charge non nulle signifie qu'on a en fait
affaire � un �tat li� d'une D1-brane et $q$ cordes fondamentales, baptis�
corde $(1,q)$. Il convient de noter que cette quantification est de nature
diff�rente de celle des 2-sph�res dans la 3-sph�re�: notamment, elle est
invisible si on fait tendre le couplage vers z�ro, donc on ne verra rien
dans la th�orie conforme.

\subsection{$AdS_2\times�S^2$ dans $AdS_3\times�S^3$}
Les D-branes sym�triques dans $AdS_3\times�S^3$ sont, d'apr�s ce qui
pr�c�de, donn�es par $\psi=\psi_0$ et $\chi=\chi_0$. Le champ
�lectromagn�tique est la somme des deux champs stabilisant respectivement
$AdS_2$ et $S^2$, donc
\[
F = -\frac{L^2}{2\pi\a'} (\psi_0 \cosh\omega\, d\omega \wedge d\tau
                           + \chi_0 \sin\theta\, d\theta \wedge d\phi).
\]

Pour une D3-brane de topologie $M\times�S^2$, la charge sous $B$
s'�crit�:
\[
q = 2\pi\a' \int_{S^2} d\theta\,d\phi \frac{\delta S}{\delta B_{\omega\tau}}
  \equiv \frac{1}{2\pi} \int_{S^2} d\theta\,d\phi \tilde{F}_{\theta\phi}.
\]
Le champ $\tilde{F}$ est, de mani�re g�n�rale, donn� par
\[
\begin{split}
2\pi\a'\tilde{F}_{mn} &= \frac{1}{2}\,e^{-\Phi}\sqrt{-\det(\hat{g}+B+2\pi\a'F)}
                         [(\hat{g}+B+2\pi\a'F)^{-1}]^{[pq]} \eps_{mnpq} \\
                &\quad   + \hat{C}_{mn} + C_{(0)} (B_{mn} + 2\pi\a'F_{mn})
\end{split}
\]
o� $\eps$ est le tenseur antisym�trique avec $\eps_{0123}=+1$. Pour les
branes qui nous int�ressent ici, on a
$q=-\frac{L^2}{\pi\a'}e^{-\Phi}\sin\chi_0\sinh\psi_0$.

D'autre part, nous avons vu pr�c�demment que $p=-\frac{1}{2\pi}\int_{S^2}
d\theta\,d\phi F_{\theta\phi}$ est quantifi�. Ici,
$p=\frac{L^2}{\pi\a'}\chi_0$, d'o� une quantification de $\chi_0$. On peut
montrer que les D-branes $S^2$ dans $S^3$ peuvent s'interpr�ter comme des
�tats li�s de $p$ D-branes avec deux dimensions de moins�; on en d�duit que
nos D-branes sont des cordes $(p,q)$.

On peut calculer le spectre des petites fluctuations de la D-brane avec
l'action de Born-Infeld, comme on l'a fait dans le chapitre pr�c�dent. 
Nous ne reproduirons pas ici les calculs, et laissons le lecteur se r�f�rer
� \cite{PR}, o� il est �galement montr� que le spectre trouv� est en accord
avec ce que l'on sait faire en CFT, � cela pr�s que, comme dans le chapitre
pr�c�dent, le calcul semi-classique ne donne pas de borne sup�rieure pour
le spin des repr�sentations de $\SU(2)$ permises.

\index{metrique@m�trique!de corde ouverte}
Consid�rons maintenant la g�om�trie effective, c'est-�-dire vue par les
cordes ouvertes. Cette g�om�trie est, comme nous l'avons vu dans le premier
chapitre, donn�e par la m�trique de corde ouverte \eqref{MetOuv}. Il est
ais� de voir que la g�om�trie effective de notre D-brane est
$AdS_2\times�S^2$, comme sa g�om�trie induite, mais avec comme rayon $L$
aussi bien pour $AdS_2$ que pour $S^2$, alors que les rayons induits sont
respectivement $L\sin\chi_0$ et $L\cosh\psi_0$. Ainsi, alors que, du point
de vue de la g�om�trie induite, il est possible d'avoir un $AdS_2$ presque
plat et une 2-sph�re tr�s petite, cela n'est en fait pas possible dans la
g�om�trie vue par les cordes ouvertes. Cela a �videmment une grande
importance si on veut obtenir finalement un univers branaire�; nous y
reviendrons lors de l'�tude avec des fonds R-R.

\section{D-branes dans $AdS_3\times�S^3$ avec des champs de fond R-R}
\subsection{Champs de fond}
\index{champ de fond!Ramond-Ramond}
Le fond R-R s'obtient � partir du fond NS-NS par la transformation de
S-dualit� $C_{(2)}\rightarrow�B$, $B\rightarrow�-C_{(2)}$,
$F\rightarrow\tilde{F}$ et $\t\rightarrow�-\frac{1}{\t}$, o�
$\t=C_{(0)}+ie^{-\Phi}$. Il s'agit d'un �tat li� de $Q_5$ D5-branes et
$Q_1$ D1-branes. On montre alors (cf l'appendice de \citemoi{C}) que
$\tilde{F}$ est transform� en $-F$, ce qui garantit que la dualit� pr�serve
l'�quation du mouvement pour $F$, puisqu'elle s'�crit $d\tilde{F}=0$.
Ainsi, notre corde $(p,q)$ devient une corde $(-q,p)$, ce qui signifie que,
� un signe pr�s, les charges de D-corde et de corde fondamentale sont
�chang�s.

Les champs ainsi obtenus sont
\begin{align*}
\Phi &= -\Phi_{\text{NS}} \\
C_{(2)} &= B_{\text{NS}} \\
F &= \frac{e^{\Phi}L_{\text{NS}}^2}{2\pi\a'}
     (\cos\chi_0 \cosh\psi_0 \cosh\omega\,d\omega\wedge�d\tau
     + \sin\chi_0 \sinh\psi_0 \sin\theta\,d\theta\wedge�d\phi) \\
ds^2 &= e^{\Phi} ds^2_{\text{NS}}.
\end{align*}
Vu la forme de la m�trique, dans la suite, nous red�finissons
$L^2\equiv�L^2_{\text{RR}}=e^{\Phi}L^2_{\text{NS}}$.

\subsection{Petites fluctuations et m�trique effective}
\index{Born-Infeld, action de!avec terme de Wess-Zumino}
Puisque la S-dualit� est une sym�trie des �quations du mouvement d�coulant
de l'action effective � basse �nergie, on s'attend � ce que les
repr�sentations de $\SL(2,\R)\times\SU(2)$ pr�sentes dans le spectre soient
les m�mes. Il est n�anmoins utile de v�rifier que la S-dualit� fonctionne
bien. Pour cela, comme pr�c�demment, on consid�re les fluctuations
quadratiques de l'action effective \eqref{BIWZ}. Il appara�t alors qu'apr�s
un changement de variables appropri�:
\begin{align*}
\delta\tilde{\psi} &= \sinh\psi_0 \cos\chi_0 \,\delta\psi
                     - \cosh\psi_0 \sin\chi_0 \,\delta\chi \\
\delta\tilde{\chi} &= \cosh\psi_0 \sin\chi_0 \,\delta\psi
                      + \sinh\psi_0 \cos\chi_0 \,\delta\chi
\end{align*}
les termes quadratiques sont essentiellement identiques au cas NS-NS, en
rempla�ant $\delta\psi$ par $\delta\tilde{\psi}$ et $\delta\chi$ par
$\delta\tilde{\chi}$. Il en d�coule que le spectre est bien le m�me.

La S-dualit� nous donne des informations suppl�mentaires qui ne d�coulent
pas de l'action effective. En effet, nous avons vu que, dans le cas NS-NS,
le spin maximal des repr�sentations pr�sentes est �gal � la moiti� de la
charge magn�tique $p$ de la D-brane sous le champ $B$. Il en d�coule que,
si la S-dualit� est vraie, dans le cas RR le spin maximal est la moiti� de
$p$, qui est maintenant la charge �lectrique sous $B$. Un tel r�sultat ne
pouvait �tre trouv� directement car il n'y a pas de mod�le sigma connu pour
la surface d'univers des cordes en pr�sence d'un fond RR non nul.

\index{metrique@m�trique!de corde ouverte}
Pour ce qui concerne la g�om�trie effective, il se pose le probl�me qu'a
priori, la formule \eqref{MetOuv} n'a pas de raison d'�tre valide en
pr�sence de champs R-R. Il se pose donc la question de savoir s'il y a une
notion de m�trique effective dans un tel cas. Dans le d�veloppement en
fluctuations de l'action effective appara�t naturellement une m�trique
$AdS_2\times�S^2$ avec des rayons �gaux. Mais ceci ne dit rien sur la
normalisation de cette m�trique, donc sur la valeur du rayon commun. Pour
le trouver, on va, comme on avait fait dans le cas de la 3-sph�re, ajouter
une dimension suppl�mentaire $x$, qui sera ici spatiale puisqu'il y a une
dimension temporelle dans $AdS_2$, et consid�rer une D-brane qui s'�tend le
long de cette dimension (c'est-�-dire qu'on fait une T-dualit� le long
d'une dimension orthogonale � $AdS_3\times�S^3$). L'action effective
s'exprime alors naturellement en termes de la m�trique
\[
ds^2_{\text{eff}} = dx^2 + L^2(\sin^2\chi_0 + \sinh^2\psi_0)
   (d\omega^2 - \cosh^2\omega\,d\tau^2 + d\theta^2 + \sin^2\theta\,d\phi^2).
\]
Sachant que la g�om�trie effective de la direction $x$ doit �tre la m�me
que sa g�om�trie r�elle (car il n'y a aucun champ de fond qui en d�pende),
on conclut que cette expression donne la m�trique effective avec la bonne
normalisation, d'o� le rayon effectif
\[
R^2 = L^2(\sin^2\chi_0 + \sinh^2\psi_0).
\]
On peut v�rifier ais�ment que c'est ce que l'on trouve en utilisant la
formule \eqref{MetOuv} sans aucune correction. La question de savoir si
cela se g�n�ralise reste ouverte.

Ainsi, la situation est diff�rente du cas NS-NS, puisque le rayon d�pend de
la position de la D-brane, et peut prendre n'importe quelle valeur. Cela ne
contredit pas la S-dualit�, puisqu'il s'agit d'une sym�trie des �quations
du mouvement, et non de l'action.

\index{supersymetrie@supersym�trie d'espace-temps}
L'�galit� des rayons des parties anti-de�Sitter et sph�rique de la
g�om�trie posent probl�me dans le cadre d'un univers branaire � la
Randall-Sundrum�: ce que l'on voudrait, en effet, c'est un grand rayon
(c'est-�-dire une �chelle cosmologique) pour la partie anti-de�Sitter, afin
qu'elle soit presque plate, conform�ment aux observations, et un petit
rayon pour la partie sph�rique, c'est-�-dire plus petit que l'�chelle o� la
loi de Newton est v�rifi�e exp�rimentalement (environ 0,1~mm). L'�galit�
des rayons est reli�e � la supersym�trie�: en effet, l'existence d'une
th�orie des champs supersym�trique dans une g�om�trie requiert l'existence
d'un spineur covariantement constant, ce qui n'est possible ici que si les
deux rayons sont �gaux. Plus pr�cis�ment, c'est de supersym�trie �tendue
qu'il s'agit puisque, dans la th�orie des champs obtenue en supprimant la
sph�re, les isom�tries de la sph�re deviennent des R-sym�tries. Par
exemple, dans le cas de la D-brane $AdS_4\times�S^2$ consid�r�e
initialement, on a une R-sym�trie $\OO(4)\cong\OO(3)\times�\OO(3)$, le
premier $\OO(3)$ provenant de la 3-sph�re et le deuxi�me des dimensions
ext�rieures � la D-brane, d'o� une supersym�trie $\N=4$ � 4 dimensions (16
supercharges). Il semblerait donc que l'obtention d'univers branaires
r�alistes requi�re une supersym�trie $\N\leq1$. Il faudrait pouvoir faire
le calcul sans n�gliger la r�action de la D-brane sur la g�om�trie ambiante
pour voir ce qui se passe dans ce cas.

Remarquons toutefois que puisque, dans le cas de $AdS_2\times�S^2$ avec des
fonds R-R, on peut obtenir un rayon tr�s grand, on a l� un moyen d'obtenir
un espace plat � quatre dimensions (cf la remarque � la fin de
\cite{AdSCFT}). La question de savoir si cela peut donner lieu � un univers
branaire r�aliste m�rite certainement d'�tre �tudi�e.
\index{D-brane!dans $AdS_3\times�S^3$|)}

WZW.tex
\chapter{Cordes, D-branes et orientifolds dans un groupe compact�: 
l'exemple de $S^3$ et $\pmb{\RP}^3$}
\label{WZW}
Dans le chapitre pr�c�dent, nous nous sommes int�ress� principalement aux
cordes dans un espace-temps plat. On voudrait, bien �videmment, envisager
le cas d'espaces plus compliqu�s, mais les calculs y sont le plus souvent
tr�s difficiles, voire impossibles. Il y a n�anmoins un cas o� l'on sait
calculer beaucoup de choses�: c'est celui o� l'espace-temps est un groupe
de Lie, ou un produit de groupes de Lie, chacun d'eux �tant muni d'une
m�trique invariante par l'action du groupe, c'est-�-dire, dans le cas d'un
groupe dont l'alg�bre de Lie est simple, sa forme de Killing. Il d�coule en
effet de la structure alg�brique suppl�mentaire qu'est la structure de
groupe une extension de la sym�trie conforme permettant, au moins dans le
cas compact, l'obtention du spectre exact des cordes ferm�es et ouvertes.

Nous nous limiterons ici essentiellement aux cas non triviaux les plus
simples que sont la 3-sph�re ($\SU(2)$), qui est simplement connexe, et
$\RP^3$ ($\SO(3)$), qui ne l'est pas, et pour lequel nous mettrons l'accent
sur les diff�rences avec son recouvrement universel $S^3$.
\index{NS5-brane}
Outre le fait d'�tre un exemple simple de groupe, $S^3$ appara�t dans la
limite proche de l'horizon de plusieurs fonds int�ressants, notamment celle
d'une superposition de NS5-branes \cite{CHS}, qui s'�crit
$S^3\times\R_{\Phi}\times\R^{1,5}$, o� $\R_{\Phi}$ est une dimension en
laquelle le champ de dilaton est lin�aire. Un autre exemple est l'�tat li�
form� par des NS5-branes et des cordes fondamentales, qui est $AdS_3\times
S^3\times T^4$, qui sera �tudi� au chapitre suivant.

\section{Cordes ferm�es orient�es�: le mod�le de Wess-Zu\-mi\-no-Witten}
\index{Wess-Zumino-Witten, mod�le de|(}
\index{Wess-Zumino, terme de!dans WZW|see{Wess-Zumino-Witten}}
\index{champ de fond!$B_{\mu\nu}$}
On s'int�resse ici aux cordes ferm�es dans un groupe de Lie compact
$G$ muni d'une m�trique proportionnelle � sa forme de Killing. Par
exemple, $\SU(2)$ est la 3-sph�re munie de sa m�trique usuelle. Si on ne
met pas d'autre champ de fond que la m�trique, le mod�le sigma obtenu
n'est pas invariant conforme. On peut le rendre invariant conforme
par l'ajout d'un terme appropri�, et on obtient l'action \cite{Wit,GW}�:
\begin{equation}
\label{AcWZW}
S = -\frac{k}{16\pi} \int_\Sigma d\t d\s \Tr'(\d_m g\d^m g^{-1})
    + \frac{k}{24\pi} \int_M \Tr'((g^{-1}dg)\wedge(g^{-1}dg)\wedge(g^{-1}dg))
\end{equation}
o� $\Tr'$ est une trace normalis�e de sorte que la longueur carr�e des
racines longues de l'alg�bre soit 2 (pour $\SU(2)$, $\Tr'=2\Tr$ dans la
repr�sentation fondamentale), et $M$ est une vari�t� � trois dimensions de
bord $\Sigma$, ce qui revient � avoir un champ de fond $B_{\mu\nu}$ non
nul, le deuxi�me terme (appel� terme de Wess-Zumino) �tant
$\int_M�H�=�\int_\Sigma B$. Comme $k$ appara�t en facteur devant la
m�trique, il est proportionnel au carr� du ��rayon�� du groupe�; dans le
cas de la 3-sph�re, le carr� de son rayon vaut $k\a'$.

Cette action est ambigu� � cause du choix de M�; ce qui est important
est que $e^{iS}$ soit bien d�fini, ce qui est vrai si $k$, que l'on
appelle le niveau du mod�le WZW, est entier.

Elle admet une sym�trie bien plus large que l'invariance conforme,
puisque elle est invariante par la transformation suivante�:
\begin{equation}
\label{SymWZW}
g(\t,\s) \rightarrow \Omega(\s^+) g(\t,\s) \bar\Omega^{-1}(\s^-)
\end{equation}
o� $\Omega$ et $\bar\Omega$ sont deux fonctions ind�pendantes �
valeurs dans $G$. Il en d�coule les courants conserv�s � valeur dans
l'alg�bre de Lie de $G$ (not�e $\Lg$)
\begin{equation}
\label{CourKM}
J(\s^+) = kg\d_+g^{-1} \quad\text{et}\quad \bar J(\s^-) = kg^{-1}\d_-g.
\end{equation}
Leurs modes de Fourier, donn�s par
\[
J(\s^+) = \sum_n J_n e^{-2in\s^+},
\]
et de m�me pour $\bar J$, v�rifient les relations de commutation
\[
[J^a_n, J^b_m] = f^{abc} J^c_{n+m} + kn\delta^{ab}\delta_{n+m,0}
\]
o� $J=J^at^a$, les $t^a$ sont des g�n�rateurs orthonorm�s (au sens de
la forme de Killing) et les $f^{abc}$ sont les constantes de structure
de $\Lg$. L'alg�bre de Lie qu'ils engendrent, not�e $\hat{\Lg}$, est
l'alg�bre de Kac-Moody \index{Kac-Moody�(alg�bre de)} associ�e �
$\Lg$. Les $J_0$ forment une sous-alg�bre isomorphe � $\Lg$.

Ces relations de commutation sont assez similaires � celles des
$\a^\mu_n$ dans le cas plat. Il en d�coule que les �tats sont obtenus en
agissant sur un �tat fondamental avec les op�rateurs $J_{-n}$.
L'ensemble des �tats fondamentaux �tant invariant par les $J_0$, ils
forment une repr�sentation de $\Lg$, et � chaque repr�sentation de $\Lg$
est associ�e une repr�sentation de l'alg�bre de Kac-Moody.

\index{Sugawara, tenseur de}
\index{tenseur �nergie-impulsion!WZW}
Le tenseur �nergie-impulsion associ� vaut classiquement
$(1/2k)\sum_{a}J^aJ^a$. Il est toutefois renormalis� par les effets
quantiques. En imposant que les relations de commutation v�rifi�es par
$T$ soient correctes, on obtient la forme correcte, qu'on appelle
\emph{tenseur de Sugawara}�:
\[
T = \frac{1}{2(k+h(\Lg))} \sum_{a}J^aJ^a
\]
o� $h(\Lg)$ est le nombre dual de Coxeter de $\Lg$. Notamment,
$h(\mathfrak{su}(2))=2$. On montre que la charge centrale vaut alors
\[
c = \frac{k\dim(G)}{k+h(\Lg)}
\]
et que les relations de commutation entre $T$ et $J$ sont
\[
[L_n, J^a_m] = -mJ^a_{m+n},
\]
ce qui, l� encore, constitue une similitude entre les $J^a$ et les
$\a^i$ du cas plat.

\index{spectre!corde bosonique ferm�e!WZW}
Pour chaque paire de repr�sentations $(R,\bar{R})$ de $\Lg$, on peut
alors d�duire le spectre associ�. Bien s�r, consid�rer $G$ seul comme
espace-temps n'aurait gu�re de sens, et on consid�rera donc le produit
de $G$ par un espace de Minkowski. Il d�coule alors de l'annulation de
$L_0+\bar{L}_0-2$ sur les �tats physiques que la masse des �tats
(d�finie � partir de l'�nergie-impulsion de l'espace de Minkowski) est
donn�e par�:
\begin{equation}
\label{SpFerWZW}
m^2 = \frac{2}{\a'} \left(
   -2 + \frac{c_R+c_{\bar{R}}}{k+h(\Lg)} +N + \bar{N} + M + \bar{M} \right)
\end{equation}
o� $c_R$ est le Casimir quadratique de la repr�sentation $R$ ($j(j+1)$
dans le cas de la repr�sentation de spin $j$ de $\mathfrak{su}(2)$),
$N$ et $\bar{N}$ sont les nombres d'excitations gauches et droites sur
le groupe (�tant entendu que $J_{-n}$ cr�e n excitations), et $M$ et
$\bar{M}$ sont les excitations de l'espace de Minkowski. L'annulation
de $L_0-\bar{L}_0$ impose la contrainte
\[
M + N + \frac{c_R}{k+h(\Lg)} = 
   \bar{M} + \bar{N} + \frac{c_{\bar{R}}}{k+h(\Lg)}.
\]

Il se pose alors la question de savoir quelles repr�sentations sont
pr�sentes dans la th�orie. Un r�sultat remarquable est que, pour
toutes sauf un nombre fini d'entre elles, toute fonction de
corr�lation contenant un op�rateur se transformant sous une telle
repr�sentation s'annule. Les repr�sentations restantes sont dites
int�grables. Dans le cas de $\SU(2)$, ce sont les repr�sentations de spin
inf�rieur ou �gal � $k/2$.

Dans le cas d'un groupe simplement connexe, il y a correspondance
entre les �tats de cordes ferm�es et les op�rateurs de vertex, qui
sont des fonctions sur le groupe. Sachant que l'ensemble des fonctions
sur $G$ se d�compose en repr�sentations de $G\times G$ par
\[
\mathrm{Fon}(G) = \bigoplus_{R} R \otimes R^*
\]
o� $R^*$ est la repr�sentation conjugu�e de $R$ (dans le cas de $\SU(2)$,
on a toujours $R^*=R$). On s'attend alors � ce que le spectre des
cordes sur $G$ soit cet ensemble restreint aux repr�sentations
int�grables.

\index{fonction de partition!tore}
\index{invariance modulaire}
Il faut n�anmoins s'assurer de l'invariance modulaire d'un tel
spectre. Comme nous l'avons vu pr�c�demment, la fonction de partition
s'�crit
\begin{align*}
Z(\t) &= \Tr(q^{L_0-c/24}\bar{q}^{\bar{L}_0-c/24}) \\
      &= \sum_{R,\bar{R}} n_{R,\bar{R}} \chi_R(q) \chi_{\bar{R}}^*(\bar{q})
\end{align*}
avec $q=e^{2\pi i\t}$, o� $\t$ est le param�tre modulaire du tore,
$n_{R,\bar{R}}$ est la multiplicit� de la repr�sentation $(R,\bar{R})$ dans
le spectre, et
\[
\chi_R(q) = \Tr_R(q^{L_0-c/24}).
\]

\index{transformation modulaire}
\index{caractere@caract�re de Kac-Moody}
Ces quantit�s, qu'on appelle \emph{caract�res de Kac-Moody}, ont les
transformations modulaires suivantes�:
\begin{align}
\chi_R(\t+1) &= \exp\!\left( 2\pi i\left( \frac{c_R}{k+h(\Lg)}
                -\frac{c}{24} \right)\!\right) \chi_R(\t) \\
\label{TransMod}
\chi_R\left(-\frac{1}{\t}\right) &= \sum_{R'} S_{RR'} \chi_{R'}(\t)
\end{align}
o� $S$ est une matrice unitaire, qui dans le cas de $\SU(2)$ vaut
\begin{equation}
\label{MatS}
S_{jj'} = \sqrt{\frac{2}{k+2}} \sin\!\parfrac{\pi(2j+1)(2j'+1)}{k+2}.
\end{equation}
L'unitarit� de $S$ entra�ne que la fonction de partition
\[
Z(\t) = \sum_R \chi_R \chi^*_{R^*}
\]
dite diagonale, et qui n'est autre que celle d�coulant du spectre que
nous avons conjectur� dans le cas d'un groupe simplement connexe, est
invariante modulaire. Nous en concluons que ce spectre est le bon.

Il reste maintenant � trouver le spectre dans le cas o� $G$ n'est pas
simplement connexe. On a alors $G=\tilde{G}/H$, o� $\tilde{G}$ est le
recouvrement universel de $G$, et $H$ un sous-groupe discret de
$\tilde{G}$. Il est ais� de voir que les �tats de cordes homotopes �
un point (dits non twist�s) sont ceux de $\tilde{G}$ invariants par
$H$, c'est-�-dire ceux associ�s aux repr�sentations de $\tilde{G}$ o�
les �l�ments de $H$ sont repr�sent�s par l'identit�. La fonction de
partition associ�e � ce seul spectre n'�tant pas invariante modulaire,
il faut y ajouter des �tats de cordes non homotopes � un point (dits
�tats twist�s). Le spectre complet peut �tre d�termin� compl�tement en
imposant l'invariance modulaire.

\index{RP@$\RP^3$}
\index{invariance modulaire}
\index{etatt@�tat twist�}
Le spectre des cordes ferm�es dans $\SO(3)=\SU(2)/\Z_2$ a �t� d�riv�
explicitement dans \cite{GW}. Tout d'abord, il est n�cessaire que $k$ soit
pair. Ceci est d� au fait que, le groupe �tant de dimension 3, la vari�t�
$M$ dans le terme de Wess-Zumino de l'action \eqref{AcWZW} est
n�cessairement le groupe entier�; $\SO(3)$ �tant deux fois plus petit que
$\SU(2)$, il s'ensuit que $k$ doit �tre pair pour que ce terme soit
correctement quantifi�. En ce qui concerne le spectre, on trouve que�:
\begin{itemize}
\item Les �tats non twist�s contiennent les repr�sentations de la
  forme $(j,j)$, avec $j$ entier inf�rieur � $k/2$.

\item Les �tats twist�s contiennent les repr�sentations de la forme
  $(j,k/2-j)$ o� $j$ est entier si $k$ est multiple de 4, et
  demi-entier sinon.
\end{itemize}
\index{Wess-Zumino-Witten, mod�le de|)}

\section{D-branes sym�triques sur les groupes compacts}
\subsection{Description des D-branes}
\index{D-brane!sur un groupe|(}
\index{etatC@�tat de Cardy}
Les D-branes sur les groupes ont �t� initialement construites comme
des �tats de bord, dits �tats de Cardy, dans le cadre des th�ories
conformes rationnelles (dont fait partie le mod�le de
Wess-Zumino-Witten) pour lesquelles la fonction de partition est
diagonale \cite{Cardy}.

\index{condition aux bords!WZW}
La condition au bord v�rifi�e par les courants $J$ et $\bar{J}$ s'�crit
$J=-\bar{J}$, d'o� d�coule que les �tats de bord associ�s � des D-branes
sym�triques, c'est-�-dire pr�servant l'alg�bre de Kac-Moody doivent
v�rifier $(J+\bar{J})|B\>=0$, ce qui, en termes de modes de Fourier,
s'�crit $(J_n+\bar{J}_{-n})|B\>=0$. On montre que pour chaque
repr�sentation $j$ de l'alg�bre de Kac-Moody il existe un unique �tat ne
contenant que la repr�sentation $j$, qu'on appelle \emph{�tat d'Ishibashi}%
\cite{Ishi} et que nous noterons $|j\>$.

\index{fonction de partition!anneau}
\index{couplage!entre D-brane et cordes ferm�es}
Dans le cas o� la fonction de partition est l'invariant diagonal, les
$|j\>$ engendrent l'ensemble des �tats pr�sents dans le spectre, et donc la
fonction de partition du cylindre dans le secteur des cordes ferm�es
(�quation \eqref{FoncPartFer}) s'�crit
\[
Z(t) = \sum_j \<f|j\> \<j|i\>
              \<j|\Tr\bigl[(\tilde{q}^2)^{L_0-c/24}\bigr]|j\>.
\]
La quantit� $\<f|j\>$ s'interpr�te comme le couplage de l'�tat de bord
$|f\>$ avec les cordes ferm�es dans la repr�sentation $j$, et nous la
noterons $D^j_{\!f}$ dans la suite. La quantit�
$\<j|\Tr\bigl[(\tilde{q}^2)^{L_0-c/24}\bigr]|j\>$, quant � elle, n'est
autre que le caract�re $\chi_j(\tilde{q}^2)$, d'o� l'expression�:
\[
Z(t) = \sum_j D^j_{\!f} D^j_i \chi_j(\tilde{q}^2).
\]

\index{dualite@dualit� ouvert-ferm�}
Elle doit d'autre part �tre �gale � la fonction de partition dans le canal
ouvert (�quation \eqref{FoncPartOuv}), qui s'�crit
\[
Z(t) = \sum_j n^j_{if} \chi_j(\sqrt{q})
\]
o� $n^j_{if}$ est le nombre de fois o� la repr�sentation $j$ appara�t dans
le spectre des cordes entre les D-branes $i$ et $f$. Le fait que les
caract�res apparaissant dans les �quations pr�c�dentes sont reli�s par la
relation \eqref{TransMod}, et que les $n^j_{if}$ doivent �tre des entiers
positifs, est une contrainte forte sur les �tats de bord possibles.

\index{spectre!corde bosonique ouverte!WZW}
Ces �tats ont �t� construits par Cardy \cite{Cardy}, qui a montr� qu'on
peut associer � chaque repr�sentation $r$ de l'alg�bre de Kac-Moody un �tat
$|\tilde{r}\>$ (qu'on appellera ���tat de spin $r$�� dans le cas de
$\SU(2)$), et que $n^j_{\tilde{r}\tilde{s}}$ est le nombre d'apparition de
la repr�sentation $j$ dans le produit des repr�sentations $r^*$ et $s$
(coefficient de fusion).

Ainsi, �tant donn�es deux D-branes de spins $r$ et $s$, on conna�t le
spectre des cordes qui sont entre elles, donc leur fonction de partition
dans le canal ouvert. Par une transformation modulaire, on obtient le canal
ferm�, et donc les $D^j_r$. Nous utiliserons abondamment cela dans la suite
de ce chapitre.

Pour une repr�sentation donn�e de l'alg�bre de Kac-Moody, la masse des
�tats s'obtient de fa�on similaire aux cordes ferm�es, � ceci pr�s
qu'il n'y a qu'une alg�bre de Virasoro�; avec les m�mes notations que
dans l'�quation \eqref{SpFerWZW}, on trouve
\begin{equation}
\label{SpOuvWZW}
m^2 = \frac{1}{\a'} \left( -1 + \frac{c_R}{k+h(\Lg)} + N + M \right).
\end{equation}

Dans le cas de $\SU(2)$, la r�gle de fusion pour les repr�sentations
int�grables de $\widehat{\mathfrak{su}(2)}$ est
\[
[j_1] \otimes [j_2] = [|j_1-j_2|] \oplus [|j_1-j_2|+1] \oplus \ldots
                      \oplus [\min(j_1+j_2,k-j_1-j_2)],
\]
ce qui donne le spectre.

Leur g�om�trie a �t� �tudi�e plus tard \cite{AS,FFFS}. On montre que
les D-branes sym�triques sont localis�es sur des classes de
conjugaison du groupe. Dans le cas de $\SU(2)$, ce sont des 2-sph�res
donn�es, dans les coordonn�es polaires usuelles, par
\begin{equation}
\label{PosDbrane}
\psi = \frac{(2j+1)\pi}{k+2}
\end{equation}
(fig. \ref{DbranesS3}).
\begin{figure}
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.7]{D-branesS3.eps}
\end{center}
\caption{Position des D-branes sur la 3-sph�re (cas $k=4$).}
\label{DbranesS3}
\end{figure}

\index{RP@$\RP^3$}
Dans le cas d'un groupe non simplement connexe, puisque la fonction de
partition du tore n'est pas un invariant modulaire diagonal, on ne
peut pas appliquer directement la th�orie de Cardy. En revanche,
puisqu'un groupe non simplement connexe s'obtient par identification
de points de son recouvrement universel par un sous-groupe discret, on
pourra trouver ses D-branes par identification des D-branes du
recouvrement universel.

\index{RP@$\RP^3$}
Dans le cas de $\RP^3$, qui est trait� dans \citemoi{B}, il s'agit donc
de consid�rer les D-branes de la 3-sph�re et d'identifier celles qui
sont diam�tralement oppos�es. Sachant que l'identification $\Z_2$ agit
par
\begin{equation}
\label{Z2}
\psi \rightarrow \pi-\psi, \quad \theta \rightarrow \pi - \theta,
\quad \phi \rightarrow \phi + \pi,
\end{equation}
il en d�coule que les �tats de Cardy d'isospins $j$ et $k/2-j$ sont
identifi�s.

Pour $j<k/4$, cela identifie deux D-branes diff�rentes, et l'on
obtient donc une D-brane sph�rique, que nous baptiserons ��brane de
type $j$��.

Dans le cas $j=k/4$, c'est-�-dire sur l'���quateur��, qui est un plan
projectif, on peut envisager deux types d'identification�:
\begin{itemize}
\item si on identifie un point d'une D-brane �quatoriale de $S^3$ avec
le point oppos� sur une \emph{autre} D-brane, on obtient une D-brane
sph�rique enroul�e sur l'�quateur, avec deux points de la D-brane sur
chaque point de l'�quateur.

\item si on identifie un point d'une D-brane �quatoriale de $S^3$ avec
le point oppos� sur la \emph{m�me} D-brane, la D-brane obtenue est un
plan projectif.

\end{itemize}

Pour d�river le spectre et le groupe de jauge des D-branes
�quatoriales, nous utiliserons la description suivante�: on a $N$
D-branes sph�riques �quatoriales sur $S^3$, et l'identification $\Z_2$
agit comme une permutation involutive. Sachant qu'un �tat de bord peut
�tre une combinaison lin�aire quelconque de D-branes, l'espace des
�tats de bord est un espace vectoriel de dimension $N$ et l'action de
$\Z_2$ sur lui est une matrice unitaire $Z$. Puisque $Z^2=1$, $Z$ est
diagonalisable avec $n_+$ valeurs propres $+1$ et $n_-$ valeurs
propres $-1$, avec $n_++n_-=N$, et on peut donc d�crire les D-branes
comme $n_+$ D-branes $\RP^2$ de signe $+$, et $n_-$ D-branes $\RP^2$
de signe $-$. Nous verrons plus loin la signification de ces signes.

Dans cette description, une D-brane �quatoriale sph�rique correspond �
$Z=\left(\begin{smallmatrix}0&1\\1&0\end{smallmatrix}\right)$, qui a
une valeur propre $+1$ et une valeur propre $-1$, ce qui conduit � la
consid�rer comme la combinaison de deux D-branes $\RP^2$ de signes
oppos�s.

\subsection{Couplage des D-branes aux cordes ferm�es}
Nous nous limiterons ici � $\SU(2)$ et $\SO(3)$.

\subsubsection{Cas de SU(2)}
\index{fonction de partition!anneau!$S^3$}
La fonction de partition des cordes ouvertes entre deux D-branes de
types $r$ et $s$ est donn�e par le diagramme de l'anneau�:
\[
\A_{rs} = \Tr(\sqrt{q}^{L_0-c/24})
        = \sum_{j=0}^{k/2} N_{rs}^j \chi_j(\sqrt{q}).
\]
o� $q=e^{-2\pi t}$.

\index{couplage!entre D-brane et cordes ferm�es}
Comme nous l'avons vu dans le cas plat, cette amplitude peut
s'interpr�ter dans le canal ferm� comme l'�change d'une corde ferm�e
entre les deux D-branes. Pour cela, il s'agit d'exprimer l'amplitude
en termes de $\tilde{q}=e^{-2\pi/t}$ � l'aide des �quations
\eqref{TransMod} et \eqref{MatS}. On trouve alors, comme on s'y attend,
\[
\A_{rs} = \sum_{j=0}^{k/2} D_r^j D_s^j \chi_j(\tilde{q}^2)
\]
o� $D^j_s$ vaut
\begin{equation}
\label{CouplageSU2}
D^j_s = \sin\!\parfrac{(2j+1)(2s+1)\pi}{k+2}\sqrt{\N_j}
\end{equation}
avec
\begin{equation}
\label{norm}
(\N_j)^{-1} = \sqrt{\frac{k+2}{2}} \sin\!\parfrac{(2j+1)\pi}{k+2}.
\end{equation}

\index{groupe de jauge!unitaire}
Le groupe de jauge est, bien s�r, $\prod_{j}\U(n_j)$.

\index{RP@$\RP^3$}
\index{fonction de partition!anneau!$\RP^3$}
\subsubsection{Cas de SO(3)}
Les cordes entre deux D-branes de types $r$ et $s$ correspondent sur
la 3-sph�re � des cordes entre les D-branes de types $r$ et $s$ d'une
part, et $k/2-r$ et $s$ d'autre part (les deux autres possibilit�s
sont identifi�es � celles-ci). L'amplitude de l'anneau correspondante
est donc�:
\[
\A_{rs} = \sum_{l=0}^{k/2}(N_{rs}^l + N_{k/2-r,s}^l) \chi_l(\sqrt{q}).
\]

Pour obtenir les couplages des D-branes aux cordes ferm�es, on
r��crit, comme pr�c�demment, ces amplitudes en termes de la variable
$\tilde{q}$. On trouve alors que pour $j$ demi-entier, $D^j_s=0$, ce
qui est normal puisque il n'y a pas d'�tat non twist� dans la
repr�sentation $(j,j)$ pour $j$ demi-entier, et pour $j$ entier
$D^j_s(\SO(3))=\sqrt{2}D^j_s(\SU(2))$.

Il convient de noter que, pour des raisons topologiques, les D-branes
sph�riques ne peuvent pas �tre coupl�es aux cordes ferm�es twist�es,
donc il s'agit l� de couplages aux cordes non twist�es uniquement. En
outre, comme les D-branes �quatoriales sph�riques sont tr�s similaires
aux autres, on peut les consid�rer ici comme des D-branes de type $k/4$,
donc leurs couplages sont donn�s par $D^j_{k/4}$.

Pour une corde ouverte entre une D-brane $\RP^2$ et une de type $s$,
l'anneau s'�crit
\[
\A_{rs} = \sum_{l=0}^{k/2} N_{k/4,s}^l \chi_l(\sqrt{q})
\]
o� $R$ d�signe la D-brane $\RP^2$. Ceci est ind�pendant du signe de la
D-brane $\RP^2$. On trouve alors
\begin{equation}
\label{DjR}
D^j_R = \frac{1}{2} D^j_{k/4}
\end{equation}
ce qui n'est pas surprenant puisque une D-brane �quatoriale sph�rique
est une combinaison de deux D-branes $\RP^2$.

L'amplitude pr�c�dente ne contenant aucune information sur le couplage
des D-branes $\RP^2$ aux cordes ferm�es twist�es, nous consid�rons les
cordes entre deux D-branes $\RP^2$ de signe d�fini, ce qui correspond
sur la 3-sph�re � des cordes entre des D-branes �quatoriales. En
notant $Z$ l'action de l'identification $\Z_2$, on doit avoir
\begin{equation}
\label{Z}
Z|N,l,ij\> = (-)^l s_i s_j |N,l,ij\> \text{ pour }l = 0,1,\ldots,k/2,
\end{equation}
o� $N$ est le nombre d'excitations de l'�tat, $l$ le spin de la
repr�sentation de $\SO(3)$ sous laquelle il se transforme, $i$ et $j$
les indices des deux D-branes, $s_i$ et $s_j$ leurs signes. Les
valeurs indiqu�es pour $l$ sont celles o� $N_{k/4,k/4}^l$ ne s'annule
pas et le signe $(-)^l$ est la parit� du $l$-i�me harmonique sph�rique.
Il en d�coule que l'on a uniquement des cordes d'isospin pair entre
D-branes de m�me signe, et uniquement d'isospin impair entre D-branes
de signes diff�rents. L'amplitude de l'anneau correspondante s'�crit
donc
\[
\A_{RR} = \frac{1}{2} \sum_{\substack{l=0\\l \text{ entier}}} \chi_l(\sqrt{q})
\pm \frac{1}{2} \sum_{\substack{l=0\\l \text{ entier}}} (-)^l \chi_l(\sqrt{q})
\]
o� $\pm$ est le produit des deux signes.

\index{etatt@�tat twist�}
Comme le premier terme contient tous les couplages de la D-brane
$\RP^2$ avec les cordes ferm�es non twist�es, le deuxi�me ne contient
que les couplages avec les cordes twist�es. Apr�s une transformation
modulaire, on trouve que la D-brane n'est coupl�e qu'� l'�tat twist�
avec $(j,\bar{j})=(k/4,k/4)$, et le couplage est
\[
D_R^{\text{twisted}} = \pm \frac{1}{2} \sqrt{\frac{k+2}{2}}
\]
o� $\pm$ est le signe de la D-brane. Ce signe n'est donc rien d'autre,
� un facteur num�rique pr�s, que sa charge sous l'�tat twist�
$(k/4,k/4)$.

Consid�rons maintenant le champ de jauge. Sachant que nos D-branes ont une
g�om�trie $S^2\times M'$ dans $S^3\times M$ (puisque la physique sur $S^3$
seule n'aurait pas de sens), on s'int�resse au champ de jauge effectif sur
$M'$ apr�s r�duction dimensionnelle de la 2-sph�re, donc � la partie du
champ de jauge ind�pendante des coordonn�es sur la 2-sph�re, qui se trouve
dans la repr�sentation de spin 0 de l'alg�bre de Kac-Moody. Sachant que, en
ce qui concerne les D-branes �quatoriales, la repr�sentation de spin 0
appara�t entre des D-branes de m�me charge twist�e, on conclut que le
groupe est $\prod_{j<k/4}\U(n_j)\times \U(n_+)\times \U(n_-)$.

\subsection{Calculs semi-classiques et stabilisation par le flux}
Nous allons maintenant nous int�resser � la description effective des
D-branes � basse �nergie, c'est-�-dire l'action de Born-Infeld. 

\index{D-brane!stabilisation par le flux}
\subsubsection{Stabilit� des D-branes sph�riques}
Tout d'abord, une question est de savoir d'o� vient, au niveau de
l'action effective, la quantification de la position des D-branes
donn�e par la th�orie conforme (�quation \eqref{PosDbrane}), ainsi que
leur stabilit�, sachant qu'elles n'ont pas une surface minimale. On va
voir que cela est li� directement � la quantification du flux
magn�tique � travers la D-brane.

Le cas de la 3-sph�re a �t� consid�r� initialement en \cite{BDS}, et
le calcul a ensuite �t� g�n�ralis� � des groupes compacts quelconques
\cite{BRS}. Nous nous restreindrons ici � la 3-sph�re.

Dans les coordonn�es sph�riques habituelles, la m�trique et la 3-forme
de Neveu-Schwarz s'�crivent�:
\index{champ de fond!$B_{\mu\nu}$}
\begin{gather*}
ds^2 = \tilde{k}\a' \left[ d\psi^2 
          + \sin^2\psi (d\theta^2 + \sin^2\theta\,d\phi^2) \right] \\
H = dB = 2\tilde{k}\a' \sin^2\psi \sin\theta\,d\psi\,d\theta\,d\phi
\end{gather*}
o� $\tilde{k}\a'$ est le rayon de la 3-sph�re (en l'absence de
correction quantique, $\tilde{k}$ serait le niveau de l'alg�bre de
Kac-Moody). On peut choisir pour $B$ une jauge pr�servant une sym�trie
$\SO(3)$�:
\begin{equation}
\label{BSU2}
B = \left[ \tilde{k}\a' \left( \psi - \frac{\sin2\psi}{2} \right)
           + \pi\a'n_0 \right] \sin\theta\,d\theta\,d\phi.
\end{equation}
Ceci a des singularit�s aux deux p�les $\psi=0$ et $\pi$. La fonction
d'onde d'une corde enroul�e autour de cette singularit� acquiert une
phase $\int_{S^2}B/2\pi\a'$, qui vaut $2\pi n_0$ en $\psi=0$ et
$2\pi(\tilde{k}+n_0)$ en $\psi=\pi$. Cela est acceptable si elle est
multiple de $2\pi$, donc $n_0$ et $\tilde{k}$ doivent �tre entiers.
Ceci est un moyen simple de voir que le rayon de la 3-sph�re doit �tre
quantifi�.

\index{champ de fond!�lectromagn�tique}
Consid�rons maintenant une D2-brane sph�rique � une valeur fix�e de
$\psi$. On peut la munir d'un flux magn�tique uniforme
\[
\label{FSU2}
F = dA = -\frac{n}{2} \sin\theta\,d\theta\,d\phi
\]
o� $n$, �gal � l'oppos� du flux magn�tique, est un entier. On notera
que $n$ n'est pas invariant de jauge, puisque la 2-forme invariante
est $\hat{B}+2\pi\a'F$, et non $F$. En revanche, $n-n_0$ l'est. Nous
prenons �galement en compte un fond de dilaton, suppos� constant dans
un premier temps.

\index{Born-Infeld, action de}
L'�nergie de Born-Infeld pour la D2-brane s'�crit
\[
\begin{split}
E &= T_{D2} \int d\theta\,d\phi \,e^{-\Phi} 
                \sqrt{\det(\hat{g}+\hat{B}+2\pi\a'F)} + \ldots \\
  &= 4\pi\tilde{k}\a'T_{D2}e^{-\Phi} \sqrt{\sin^4\psi + 
  \left( \psi - \frac{\sin2\psi}{2} - \frac{\pi(n-n_0)}{\tilde{k}} \right)^2}
  + \ldots
\end{split}
\]
Si $0<n-n_0<\tilde{k}$, ceci admet un minimum pour 
\[
\psi_n = \frac{\pi(n-n_0)}{\tilde{k}}.
\]
L'identification avec l'�quation \eqref{PosDbrane} conduit aux
relations suivantes entre ces param�tres � basse �nergie et ceux de
l'�tat de Cardy en th�orie conforme�:
\begin{equation}
\label{FluxType}
n - n_0 = 2j + 1
\end{equation}
\[
\tilde{k} = k + 2.
\]
Noter la renormalisation du rayon $k \rightarrow k+2$, d�j� rencontr�e
dans l'expression du tenseur �nergie-impulsion.

Dans le cas de $\RP^3$, la stabilisation des D-branes sph�riques se
fait par le m�me m�canisme. Les D-branes �quatoriales, quant � elles,
sont stabilis�es par leur topologie, qui est telle qu'elles ne peuvent
pas se d�former contin�ment en un point.

\index{couplage!entre D-brane et cordes ferm�es}
\subsubsection{Couplage aux cordes ferm�es}
Les couplages $D^j_s$ peuvent s'obtenir semi-classiquement � partir du
couplage lin�aris� des D-branes au dilaton. Celui-ci peut se d�composer en
harmoniques hypersph�riques�:
\[
\Phi = \sum_j \sum_{L=0}^{2j} \sum_{M=-L}^{L}
       \Phi_{jLM} F_{jLM}(\psi) Y_{LM}(\theta, \phi).
\]
Sachant que le couplage lin�aris� s'�crit, pour une D-brane situ�e en
$\psi_n$,
\[
\int_{S^2} d\theta\,d\phi\,\Phi \sin\psi_n \sin\theta,
\]
seuls apparaissent les harmoniques $L=M=0$. Comme
\[
F_{j00}(\psi) = \sqrt{\frac{2}{\pi}} \frac{\sin(2j+1)\psi}{\sin\psi},
\]
on trouve un couplage effectif du dilaton valant
\[
D^j_{s\text{ eff}} \propto \sin\!\parfrac{(2j+1)(2s+1)\pi}{k+2}.
\]
On note tout d'abord que la d�pendance en $s$ est la m�me que celle
donn�e par la th�orie conforme (�quation \eqref{CouplageSU2}). En ce
qui concerne la d�pendance en $j$, il convient de remarquer que dans
les calculs de th�orie conforme on consid�rait des �tats propres de
$J^3$ et $\bar{J}^3$, correspondant aux spins gauche et droit de
$\mathfrak{so}(4)=\mathfrak{su}(2)_L\oplus\mathfrak{su}(2)_R$, alors
que dans ce calcul semi-classique nous avons consid�r� plut�t des
�tats propres du spin du sous-groupe diagonal $\SO(3)$, l'un et
l'autre �tant reli�s par
\[
|j,L=M=0\> = \frac{1}{\sqrt{2j+1}} \sum_{m=-j}^{j} |j,m,-m\>,
\]
d'o� d�coule qu'il faut en fait comparer $D^j_s$ et
$(2j+1)^{-1/2}D^j_{s\text{ eff}}$. On voit alors que, dans la limite
de grand $k$, ce qui revient � la limite $\a'\rightarrow0$ � rayon
fix�, les deux couplages sont �gaux � un facteur ind�pendant de $j$
pr�s qui correspond essentiellement au couplage gravitationnel (cf.
\cite{BDS} pour une prise en compte pr�cise de tous les facteurs). Le
fait que l'identification ne marche pas pour $k$ fini n'a rien
d'�tonnant, puisque apr�s tout l'action de Dirac-Born-Infeld n'est
valide que pour $\a'$ petit�; il est au contraire tout � fait
remarquable que, avec seulement la renormalisation $k\rightarrow k+2$,
l'action effective reproduise exactement la position des D-branes, la
d�pendance en la D-brane du couplage, et, comme nous le verrons dans
la suite, le spectre des fluctuations � basse �nergie.

\subsubsection{Petites fluctuations}
\index{spectre!corde bosonique ouverte!WZW}
Jusqu'� maintenant, nous avons consid�r� des D-branes � $\psi$
constant. Nous allons maintenant les faire fluctuer, ainsi que le champ
�lectromagn�tique sur elles. Dans la mesure o�, comme dit pr�c�demment,
un espace-temps compact n'aurait gu�re de sens, nous allons ajouter
une dimension temporelle (le fait de ne pas ajouter d'autre dimension
signifie simplement que nous n'allons pas nous pr�occuper des
fluctuations dans ces dimensions). En ce qui concerne le champ
�lectromagn�tique, nous nous pla�ons dans la jauge $A_0=0$. Nous avons
donc trois champs fonctions de $(t,\theta,\psi)$, que nous �crivons
comme suit�:
\[
\psi = \psi_n + \delta, \quad
A_{\theta} = \frac{\tilde{k}}{2\pi}\,\a_{\theta}, \quad \text{et} \quad
A_{\phi} = \frac{n}{2}(\cos\theta-1) + \frac{\tilde{k}}{2\pi}\,\a_{\phi}.
\]
Il s'agit maintenant de d�velopper le lagrangien de Born-Infeld
jusqu'� l'ordre quadratique en les fluctuations. On a
\[
\hat{g} + \hat{B} + 2\pi\a'F = \tilde{k}\a'
\begin{pmatrix}
% 1�re ligne
-\frac{1}{\tilde{k}\a'} + (\d_t\delta)^2 &
\d_t\delta\d_\theta\delta + f_{t\theta} &
\d_t\delta\d_\phi\delta + f_{t\phi} \\
% 2�me ligne
\d_t\delta\d_\theta\delta - f_{t\theta} &
\sin^2\psi + (\d_\theta\delta)^2 &
\d_\theta\delta\d_\phi\delta + \F_{\theta\phi} \\
% 3�me ligne
\d_t\delta\d_\phi\delta - f_{t\phi} &
\d_\theta\delta\d_\phi\delta - \F_{\theta\phi} &
\sin^2\psi\sin^2\theta + (\d_\phi\delta)^2
\end{pmatrix}
\]
avec
\[
f_{mn} = \d_m\a_n - \d_n\a_m \quad\text{et}\quad
\F_{\theta\phi} = \left( \delta - \frac{\sin2\psi}{2} \right)
                  + f_{\theta\phi}.
\]
Apr�s quelques calculs sans difficult�s, on trouve la variation du
lagrangien.

Tout d'abord on a un terme lin�aire proportionnel � $f_{\theta\phi}$.
� premi�re vue, cela semble contredire le fait qu'on d�veloppe autour
d'une solution classique du mouvement. En fait il n'en est rien, car
l'int�grale de ce terme sur la 2-sph�re est la fluctuation du flux du
champ magn�tique, laquelle est n�cessairement nulle puisque le flux
est quantifi�. On voit donc que cette quantification est essentielle �
la stabilisation de la D-brane.

Les termes quadratiques peuvent s'�crire comme suit�:
\[
\begin{split}
\delta^{(2)}S &= -T_{D2}(\tilde{k}\a')^2\sin\psi_n \,\times \\
              &\quad \times \int d\theta\,d\phi
                \sqrt{-\det\g}
\left[ \frac{1}{2}\d_m\delta\d^m\delta + \frac{\tilde{k}\a'}{4} f_{mn}f^{mn}
       + \frac{1}{\tilde{k}\a'}\delta^2 
       + \frac{2}{\tilde{k}\a'}\delta\frac{f_{\theta\phi}}{\sin\theta} \right]
\end{split}
\]
o� la m�trique effective $\g$, qui sert � faire monter les indices,
est donn�e par
\[
ds^2 = -dt^2 + \tilde{k}\a'(d\theta^2 + \sin^2\theta\,d\phi^2).
\]
Cette m�trique n'est autre que la m�trique de corde ouverte de
l'�quation \eqref{MetOuv}. On voit clairement sur cet exemple que les
champs sur la D-brane voient une g�om�trie donn�e par cette m�trique,
qui est diff�rente de la g�om�trie vue par les cordes ferm�es�:
notamment, les D-branes ont toutes le m�me rayon pour les cordes
ouvertes.

Il en d�coule, apr�s quelques calculs, les �quations du mouvement
suivantes�:
\[
\frac{d^2}{dt^2}
    \begin{pmatrix} \delta \\ f_{\theta\phi}/\sin\theta \end{pmatrix}
  = -\frac{1}{\tilde{k}\a'}
    \begin{pmatrix} -\triangle+2 & 2 \\ -2\triangle & -\triangle \end{pmatrix}
    \begin{pmatrix} \delta \\ f_{\theta\phi}/\sin\theta \end{pmatrix}
\]
o� $\triangle$ est le laplacien sur la 2-sph�re de rayon unit�.

Pour trouver les valeurs propres de cette matrice, on d�compose
$\delta$ et $f_{\theta\phi}/\sin\theta$ en harmoniques sph�riques�:
\begin{equation}
\label{FlucHarmSph}
\delta = \sum_{l=0}^{\infty} \sum_{m=-l}^{l} \delta_{lm} Y_{lm}(\theta,\phi)
\quad\text{et}\quad
f_{\theta\phi}/\sin\theta = \sum_{l=1}^{\infty} \sum_{m=-l}^{l}
                             f_{lm} Y_{lm}(\theta,\phi).
\end{equation}
On notera l'absence de terme $l=0$ pour $f$ � cause de la
quantification du flux, d'o� d�coule que pour $l=0$ la seule
fluctuation est celle de $\delta$, avec comme masse $2/(k+2)\a'$. Pour
$l>0$ la matrice de masse s'�crit
\[
\frac{1}{(k+2)\a'}
\begin{pmatrix} l(l+1)+2 & 2 \\ 2l(l+1) & l(l+1) \end{pmatrix}
\]
dont les valeurs propres sont $(l+1)(l+2)/(k+2)\a'$ et
$l(l-1)/(k+2)\a'$. Il en d�coule le spectre�:
\begin{equation}
\label{MFluc}
m^2 = \frac{j(j+1)}{(k+2)\a'} \ \text{dans les repr�sentations}\ 
(j-1)\oplus(j+1),
\end{equation}
o� $j$ prend toutes les valeurs enti�res positives, �tant entendu que
seule la repr�sentation de spin 1 appara�t pour $j=0$�; ces modes z�ro
correspondent � des rotations arbitraires de la 2-sph�re dans la
3-sph�re. Les autres modes sont massifs, ce qui assure la stabilit� de
la D-brane.

La comparaison de ce r�sultat avec la CFT est ais�e. Les masses trouv�es
sont celles de l'�quation \eqref{SpOuvWZW}, avec $N+M=1$, ce qui correspond
justement aux excitations de basse �nergie, le cas $N+M=0$ �tant exclu par
la projection GSO. Ces �tats sont de la forme $J^a_{-1}|j\>$, donc se
transforment sous les repr�sentations $(j-1)\oplus j\oplus(j+1)$. La
contrainte de Virasoro �liminant la repr�sentation $j$ (c'est celle-l� qui
est �limin�e car il y a autant de contraintes que d'�tats dans la
repr�sentation $j$ de $\SU(2)$, soit $2j+1$), le spectre est finalement en
accord avec Born-Infeld. Il y a toutefois une diff�rence�: c'est que la CFT
nous apprend que $j$ est born� (inf�rieur � $k/2$), ce que Born-Infeld ne
permet pas de voir. L� encore, cela se comprend ais�ment si on se rappelle
que Born-Infeld est valide dans la limite $k\rightarrow\infty$.

\index{RP@$\RP^3$}
Dans le cas de $\RP^3$, il est n�cessaire d'imposer $n_0=-\tilde{k}/2$
pour que $B$ soit univalu�e. Cela �tant fait, les choses sont tr�s
similaires � $S^3$, en particulier pour les D-branes sph�riques o� les
r�sultats sont identiques. Le spectre des petites fluctuations de la
D-brane sph�rique �quatoriale ne contient que la moiti� des cordes
ouvertes l�g�res car elle est enroul�e sur un plan projectif.

Le calcul des fluctuations de la D-brane $\RP^2$ requiert d'imposer
$F=0$ afin que l'action de Born-Infeld soit bien d�finie. Les
fluctuations s'obtiennent de la m�me fa�on, � cela pr�s que l'on doit
imposer l'invariance par les transformations \eqref{Z2}, c'est-�-dire
que l'on doit avoir
\begin{align*}
\delta(\pi-\theta,\phi+\pi) &= =\delta(\theta,\phi) \\
\a_\theta(\pi-\theta,\phi+\pi) &= -\a_\theta(\theta,\phi) \\
\a_\phi(\pi-\theta,\phi+\pi) &= \a_\phi(\theta,\phi),
\end{align*}
ce qui implique que, dans la d�composition \eqref{FlucHarmSph}, il
n'appara�t que des harmoniques impairs, d'o� d�coule que dans
l'�quation \eqref{MFluc} $j$ doit �tre pair, ce qui est conforme aux
pr�visions de la th�orie conforme.
\index{D-brane!sur un groupe|)}

\index{orientifold!$S^3$ et $\RP^3$|(}
\section{Orientifolds sur $S^3$ et $\RP^3$}
Cette section est consacr�e � l'�tude des orientifolds dans les
groupes compacts non ab�liens les plus simples que sont $S^3$ et
$\RP^3$, telle que nous l'avons faite dans les articles \citemoi{A} et
\citemoi{B}. Contrairement aux approches ant�rieures, qui soit �taient
purement alg�briques \cite{Sag,SS}, soit partaient de consid�rations
alg�briques pour trouver la g�om�trie \cite{Bru,HSS}, nous sommes
parti de la g�om�trie, c'est-�-dire que nous avons d'abord trouv� la
position des orientifolds possibles, puis leurs couplages aux cordes
ferm�es par une m�thode similaire � ce qui a �t� fait pour les
D-branes dans la section pr�c�dente. Nous traiterons ici des
orientifolds sans D-branes�; l'interaction entre les deux fera l'objet
de la section suivante.

\subsection{Description g�om�trique des orientifolds}
\subsubsection{SU(2)}
On peut param�trer $\SU(2)$ comme suit�:
\[
g = \begin{pmatrix} X_1+iX_2 & X_3+iX_4 \\ -X_3+iX_4 & X_1-iX_2 \end{pmatrix},
\]
o� les $X_i$ sont � valeurs sur une 3-sph�re de rayon 1. Outre les
coordonn�es polaires usuelles�:
\[
X_1 = \cos\psi, \quad X_2 = \sin\psi \cos\theta, \quad
X_3+iX_4 = \sin\psi \sin\theta\,e^{i\phi},
\]
nous serons amen� � utiliser les angles d'Euler, d�finis par
\[
X_1+iX_2 = \sin\a\,e^{i\beta}, \quad
X_3+iX_4 = \cos\a\,e^{i\g},
\]
avec $\a\in[0;\pi/2]$ et $\beta,\g\in[0;2\pi]$.

L'orientifold, comme nous l'avons vu pr�c�demment, consiste � combiner
une inversion d'orientation de la surface d'univers ($\Omega:
\s\rightarrow-\s$) et une isom�trie involutive $h$ de l'espace-temps.
Le fait de prendre une isom�trie assure l'invariance du premier terme
de l'action de WZW (�quation \eqref{AcWZW}). Cela n'est, en revanche,
pas le cas pour le terme de Wess-Zumino�: puisque $\Omega$ inverse
l'orientation de toute vari�t� ayant pour bord la surface d'univers de
la corde, il faut que $h$ inverse aussi l'orientation de
l'espace-temps pour assurer l'invariance du terme de Wess-Zumino. Nous
imposerons �galement, comme lors de notre �tude des D-branes, la
pr�servation de l'une des alg�bres de Kac-Moody, ce qui entra�ne que
$h$ doit commuter avec les rotations � $\psi$ fix�.

Sachant que les isom�tries involutives de la 3-sph�re s'�crivent, �
conjugaison par un �l�ment du groupe pr�s, $\diag(\pm1,\pm1,\pm1,\pm1)$, 
on aboutit finalement � deux choix pour $h$ (fig. \ref{orien})�:
\begin{itemize}
\item $h_0 = \diag(1,-1,-1,-1)$, c'est-�-dire $g\rightarrow g^\dagger$,
ce qui en termes de coordonn�es s'�crit
\begin{alignat*}{3}
(\psi,\theta,\phi) &\rightarrow (\psi,\pi-\theta,\phi+\pi), &\quad
&\text{et} &\quad (\a,\beta,\g) &\rightarrow (\a,-\beta,\g+\pi).
\\
\intertext{Les points fixes sont deux orientifolds $\O0$ situ�s aux p�les de la
3-sph�re ($\psi=0$ et $\pi$).
\item $h_2 = \diag(-1,1,1,1)$, c'est-�-dire $g\rightarrow -g^\dagger$,
ce qui en termes de coordonn�es s'�crit}
(\psi,\theta,\phi) &\rightarrow (\pi-\psi,\theta,\phi), &\quad
&\text{et} &\quad (\a,\beta,\g) &\rightarrow (\a,\pi-\beta,\g).
\end{alignat*}
L'ensemble des points fixes est un orientifold $\O2$ situ� �
l'�quateur ($\psi=\pi/2$).
\end{itemize}
\begin{figure}
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.7]{orien1.eps}
\end{center}
\caption{Positions possibles pour les orientifolds sur la 3-sph�re.}
\label{orien}
\end{figure}

Remarquons en passant que ce type de transformations se g�n�ralise ais�ment
� n'importe quel groupe�: pour tout �l�ment $\lambda$ du centre du groupe,
$g\rightarrow\lambda g^{-1}$ d�finit un orientifold.

\subsubsection{SO(3)}
\index{RP@$\RP^3$}
Pour obtenir les orientifolds de $\RP^3$, on consid�re \textit{a priori}
une isom�trie de $S^3$ avec $h^2=\pm1$ (puisque $1$ et $-1$ sont
identifi�s). La n�cessit� que $h$ inverse l'orientation impose en fait de
se limiter � $h_0$ ou $h_2$, comme pour $\SU(2)$. Ces deux isom�tries �tant
identifi�es, elles donnent toutes deux une m�me configuration, avec comme
points fixes un $\O0$ au p�le et un $\O2$ plan projectif � l'�quateur.

\subsection{Couplage aux cordes ferm�es}
\index{couplage!entre orientifold et cordes ferm�es}
Comme nous l'avons vu pr�c�demment, l'amplitude de la bouteille de Klein
peut s'interpr�ter soit comme une boucle de corde ferm�e changeant
d'orientation, soit comme une �mission et absorption d'une corde ferm�e par
un orientifold. En sachant quels �tats restent et lesquels sont supprim�s
par la projection orientifold, on pourra trouver l'amplitude de la
bouteille de Klein et en d�duire le couplage de l'orientifold aux cordes
ferm�es.

\subsubsection{SU(2)}
Les �tats de corde ferm�e, avant projection, sont de la forme
\[
P(J^a_n,\bar{J}^{\bar{a}}_{\bar{n}}) |j,m,\bar{m}\>
\]
o� $P$ est un polyn�me, $J^a_n$ et $\bar{J}^{\bar{a}}_{\bar{n}}$ sont les
g�n�rateurs de l'alg�bre de Kac-Moody, et $|j,m,\bar{m}\>$ est un �tat
primaire (sans excitations) dans la repr�sentation $(j,j)$ de l'alg�bre.

L'action de l'orientifold sur les courants de Kac-Moody est simple�: il
d�coule imm�diatement de l'�quation \eqref{CourKM} que $\Omega h_0$ et
$\Omega h_2$ �changent les courants gauche et droit.

\index{operateur@op�rateur de vertex}
En ce qui concerne les primaires, on obtient l'action de l'orientifold en
consid�rant les op�rateurs de vertex correspondants. Il s'agit
d'harmoniques sph�riques qui, dans les coordonn�es d'Euler, s'�crivent
\[
D^j_{m\bar{m}}(\a,\beta,\g) = e^{i(m+\bar{m})\g} e^{i(m-\bar{m})\beta}
                              P^j_{m\bar{m}}(\cos\a).
\]
La forme pr�cise de $P^j_{m\bar{m}}$ n'interviendra pas ici�: tout ce qui
importe pour nous est leur sym�trie par �change de $m$ et $\bar{m}$.
L'action de l'orientifold sur les primaires en d�coule�:
\[
\Omega h_0|j,m,\bar{m}\> = (-)^{m+\bar{m}} |j,\bar{m},m\>, \quad \text{et}
\quad \Omega h_2|j,m,\bar{m}\> = |j,\bar{m},m\>.
\]

\index{fonction de partition!bouteille de Klein!$S^3$}
Nous avons maintenant ce qu'il faut pour �crire la bouteille de Klein.
Sachant que seuls interviennent les �tats avec $m=\bar{m}$, et qu'on a
$2j=2m\mod 2$, on obtient�:
\begin{equation}
\label{KlS3}
\K_{(0)} = \frac{1}{2} \sum_{j=0}^{k/2} (-)^{2j} \chi_j(q^2) \quad
\text{et} \quad \K_{(2)} = \frac{1}{2} \sum_{j=0}^{k/2} \chi_j(q^2).
\end{equation}

Nous avons vu d'autre part (�quation \eqref{Klein}) que l'amplitude de
M�bius s'�crit aussi $\K=\<C|\sqrt{\tilde{q}}^{L_0-c/24}|C\>$. En faisant
le m�me raisonnement que pour l'amplitude de l'anneau avec les �tats
d'Ishibashi de crosscap $|j_C\>$ au lieu des �tats d'Ishibashi de bord, on
obtient
\[
\K = \sum_{j=0}^{k/2} (C^j)^2 \chi_j(\sqrt{\tilde{q}})
\]
o� les $C^j$ sont les couplages de l'orientifold aux cordes ferm�es dans la
repr�sentation $(j,j)$. Une transformation modulaire � partir de l'�quation
\eqref{KlS3} permet de calculer les $C^j$, et on trouve
\begin{align}
\label{CouplageO0}
C^j_{(0)} &= \eps^j_{(0)} E_{2j+k} \sin\!\parfrac{(2j+1)\pi}{2k+4}
             \sqrt{\N_j} \\
\label{CouplageO2}
C^j_{(2)} &= \eps^j_{(2)} E_{2j} \cos\!\parfrac{(2j+1)\pi}{2k+4}
             \sqrt{\N_j}
\end{align}
o� $E_n$ est le projecteur sur les nombres pairs ($E_n=(1+(-)^n)/2$),
$\N_j$ est donn� par l'�quation \eqref{norm} et les $\eps^j$ sont des
signes, pour l'instant inconnus puisque nous n'avons calcul� que les carr�s
des couplages.

\subsubsection{SO(3)}
\index{RP@$\RP^3$}
Outre les �tats non twist�s, tous de spin entier, la bouteille de Klein
fait appara�tre les �tats twist�s dont les spins gauche et droit sont
�gaux. Dans le cas de SO(3), il y en a un, avec un spin �gal � $k/4$.
L'amplitude de la bouteille de Klein en d�coule�:
\index{fonction de partition!bouteille de Klein!$\RP^3$}
\[
\K = \frac{1}{2} \biggl[ \sum_{\substack{l=0 \\ l\text{ entier}}}^{k/2} 
     \chi_l(q^2) + \zeta \chi_{k/4}(q^2) \biggr].
\]
Le signe $\zeta$ indique comment l'�tat twist� se transforme par
l'orientifold. Les deux signes sont \textit{a priori} coh�rents, et cela
sera confirm� par l'�tude de l'amplitude du ruban de M�bius.

Comme dans le cas de $\SU(2)$, on peut, par une transformation modulaire,
trouver le couplage des orientifolds aux cordes ferm�es. On trouve
\[
C^j = \frac{1}{\sqrt{2}}\,\eps^j E_{2j} \sqrt{\N_j} 
      \left[ \sin\!\parfrac{(2j+1)\pi}{2k+4}
      + \zeta (-)^j \cos\!\parfrac{(2j+1)\pi}{2k+4} \right].
\]
Cela ressemble fortement � la somme des couplages des deux sortes
d'orientifolds de la 3-sph�re, ce qui n'a rien d'�tonnant puisque justement
on a ici un $\O0$ et un $\O2$.

\subsection{Consid�rations semi-classiques}
Pour comprendre ces formules, notamment les facteurs $E_{2j}$ et
$E_{2j+k}$, et fixer les signes, une analyse semi-classique est utile. Nous
allons, comme pour les D-branes, nous int�resser au couplage lin�aris� au
dilaton. Sachant que l'action effective de l'orientifold s'�crit
\index{action effective!orientifold}
\[
S = -T_{\O} \int e^{-\Phi} \sqrt{-\det \hat{g}},
\]
o� $T_{\O}$ est la tension de l'orientifold, on peut, par des calculs
similaires au cas des D-branes, calculer un couplage effectif.

Dans le cas de l'orientifold $\O2$, on trouve
\[
C^j_{(2)\text{ eff}} \propto T_{\O} (-)^j E_{2j},
\]
ce qui confirme le facteur $E_{2j}$ et fixe le signe�:
\[
\eps^j_{(2)} = (-)^j \sign(T_{\O2}).
\]
La d�pendance en $j$ et $k$ de l'�quation \eqref{CouplageO2} n'est pas
visible ici car ce calcul n'est valide que dans la limite o� $k$ est grand,
auquel cas le cosinus vaut 1.

Le cas des orientifolds $\O0$ de la 3-sph�re est plus subtil. Puisque nous
avons un orientifold � chaque p�le, leur couplage au dilaton est la somme
de deux termes�:
\[
T_{\O0}^{\text{nord}} \Phi(\psi=0) + T_{\O0}^{\text{sud}} \Phi(\psi=\pi)
\]
ce qui conduit au couplage effectif
\[
C^j_{(0)\text{ eff}} \propto
   (2j+1) (T_{\O0}^{\text{nord}} + (-)^{2j} T_{\O0}^{\text{sud}}).
\]
Pour aller plus loin nous devons d�terminer la nature pr�cise des
orientifolds, qui est li�e � la torsion discr�te du champ $B$.

Ce qui se passe est que la pr�sence d'un champ $B$ ajoute un facteur
$\exp\left[i\int_{\Sigma}B/2\pi\a'\right]$ � l'int�grale de chemin. Sachant que
l'orientifold transforme une 2-sph�re autour d'un $\O0$ en un plan
projectif, on est amen� � consid�rer le cas $\Sigma=\RP^2$, �tant entendu
que l'int�grale est bien d�finie car l'orientifold change aussi le signe de
$B$. Avec les notations de l'�quation \eqref{BSU2}, le facteur obtenu est
$(-)^{n_0}$ pour l'orientifold nord, et $(-)^{n_0+k}$ pour l'orientifold
sud. La tension de l'orientifold �tant proportionnelle � ce facteur ---
plus pr�cis�ment, elle est n�gative (orientifold $\O0^-$) en son absence
--- il en d�coule que
\[
T_{\O0}^{\text{sud}} = (-)^k T_{\O0}^{\text{nord}}
\]
 d'o�
\[
C^j_{(0)\text{ eff}} \propto (2j+1) E_{2j+k} T_{\O0}^{\text{nord}}
\]
ce qui est compatible avec le calcul de la bouteille de Klein (�quation
\eqref{CouplageO0}) dans la limite $k$ grand, et fixe le signe�:
\[
\eps^j_{(0)} = \sign(T_{\O0}^{\text{nord}}).
\]

Le calcul semi-classique des signes $\eps^j_{(0)}$ et $\eps^j_{(2)}$ que
nous venons de faire sera confirm�, dans le cas o� il y a des D-branes, par
le calcul des amplitudes de M�bius.

Dans le cas de $\RP^3$, il d�coule du calcul semi-classique que le couplage
est la somme d'un couplage pour le $\O0$ et d'un couplage pour le $\O2$,
c'est-�-dire ce que nous avons trouv� pour la bouteille de Klein�; on
s'attend en outre � ce que $\eps^j$ soit ind�pendant de $j$.

\section{D-branes en pr�sence d'un orientifold sur $S^3$ ou $\RP^3$}
\index{orientifold!avec cordes ouvertes!sur $S^3$ et $\RP^3$|(}
Nous allons ici nous int�resser principalement � l'amplitude du vide sur le
ruban de M�bius, qui peut s'interpr�ter soit comme une boucle de corde
ouverte non orient�e, soit comme un �change de corde ferm�e entre une
D-brane et un orientifold. Ceci nous fournira un test de coh�rence des
calculs pr�c�dents, et nous permettra en outre de trouver les groupes de
jauge associ�s aux D-branes.

\index{fonction de partition!ruban de M�bius}
Nous avons vu pr�c�demment (�quation \eqref{Mobius}) que, dans le canal
ferm�, l'amplitude de M�bius s'�crit en faisant intervenir les �tats de
bord et de crosscap�: $\M=\<C|\sqrt{\tilde{q}}^{L_0-c/24}|B\>$. � l'aide
des �tats d'Ishibashi, ceci s'�crit
\[
\M = \sum_j \<C|j_C\> \<j|B\> \<j_C|\sqrt{\tilde{q}}^{L_0-c/24}|j\>.
\]
Sachant que les �tats de bord v�rifient $(J_n+\bar{J}_{-n})|j\>=0$, tandis
que les �tats de crosscap v�rifient $(J_n+(-)^n\bar{J}_{-n})|j_C\>=0$, il
d�coule que le terme $\<j_C|\sqrt{\tilde{q}}^{L_0-c/24}|j\>$ s'�crit
$\Tr\bigl[(-)^N\sqrt{\tilde{q}}^{L_0-c/24}\bigr]$, qui n'est autre que
$\hat{\chi}_j(\tilde{q})$, o� $\hat{\chi}$ est le caract�re modifi�
introduit dans l'�quation \eqref{hatchi}.

\index{transformation modulaire}
On montre que les $\hat{\chi}_j(\tilde{q})$ peuvent, par une transformation
modulaire, s'�crire
\[
\hat{\chi}_i(\tilde{q}) = \sum_j P_{ij} \hat{\chi}_j(q),
\]
o� la matrice $P$ vaut
\[
P = T^{1/2} S T^2 S T^{1/2}.
\]
Elle a comme composantes (cf le calcul dans l'annexe de \citemoi{A})
\[
P_{ij} = \frac{2}{\sqrt{k+2}} \sin\!\parfrac{\pi(2i+1)(2j+1)}{2k+4}
         E_{2i+2j+k}.
\]

Signalons enfin que, puisque nous nous restreignons � des configurations
pr�servant une alg�bre de Kac-Moody, nos D-branes seront parall�les au
$\O2$, ou auront les $\O0$ comme centre.

\subsection{Cas des $\O0$ sur la 3-sph�re}
L'isom�trie $h_0$ transformant les D-branes en elles-m�mes, l'amplitude de
M�bius fait intervenir des cordes entre une D-brane et elle-m�me. Sachant
que $h_0$ restreint � une D-brane est l'identification antipodale, chaque
terme sera affect� d'un signe �gal � la parit� de l'harmonique sph�rique
correspondant, c'est-�-dire $(-)^l$. L'amplitude dans le canal ouvert en
d�coule�:
\index{fonction de partition!ruban de M�bius!$S^3$}
\[
\M_{(0)r} = \eps'_r \sum_{\substack{l=0 \\ l\text{�entier}}}^{\min(2r,k-2r)}
            (-)^l \hat{\chi}_l(q)�;
\]
le signe global $\eps'_r$ d�termine le type de projection, et donc le
groupe de jauge, pour les branes de type $r$.

� l'aide de la matrice $P$, on peut �crire l'amplitude dans le canal ferm�.
Apr�s quelques calculs, on trouve
\[
\M_{(0)r} = \eps'_r (-)^{2r} \sum_j |C^j_{(0)}| D^j_r \hat{\chi}_j(\tilde{q}).
\]
Or il faudrait trouver ce r�sultat sans valeur absolue ni signe
suppl�mentaire. Il en d�coule d'une part que le signe $\eps^j_{(0)}$ ne
d�pend pas de $j$, comme l'analyse semi-classique nous la montr�, et
d'autre part que le type de projection alterne avec le type de D-brane�:
\[
\eps'_r = \sign(T_{O0}^{\text{nord}}) (-)^{2r},
\]
ce qui donne comme groupe de jauge un produit altern� de groupes
orthogonaux et symplectiques. Ceci implique en particulier que les D-branes
de type entier dans le cas d'un $\O0^+$ au nord, demi-entier dans le cas
d'un $\O0^-$ au nord, sont en nombre pair.

%Ce dernier point peut se voir en consid�rant le flux magn�tique total �
%travers les D-branes de m�me type, qui vaut $n/2$ fois le nombre de
%D-branes, o� $n$ est donn� par l'�quation \eqref{FSU2}, et le facteur $1/2$
%vient de l'identification par l'orientifold. Comme ce flux doit �tre
%entier, il en d�coule que pour $n$ impair, c'est-�-dire les D-branes de
%type entier si $n_0$ est pair ($\O0^-$ au nord), demi-entier si $n_0$ est
%impair ($O0^+$ au nord) sont en nombre pair, 

\index{groupe de jauge!orthogonal ou symplectique}
On pourrait, na�vement, faire le raisonnement suivant�: puisque
l'int�gralit� de la D-brane est hors de l'orientifold, la physique sur elle
est localement celle de la corde orient�e, donc le groupe de jauge doit
�tre $\U(n)$. En fait, ce n'est pas correct car, comme auparavant, on regarde
le champ de jauge effectif apr�s r�duction dimensionnelle sur la 2-sph�re�;
ce champ a bien $n(n-1)/2$ ou $n(n+1)/2$ composantes, d'o� un groupe de
jauge $\SO(n)$ ou $\USp(n)$.

\subsection{Cas des $\O2$ sur la 3-sph�re}
L'isom�trie $h_2$ transforme une D-brane de type $r$ en une D-brane de type
$k/2-r$. Les D-branes viennent donc n�cessairement par paires, sauf les
branes �quatoriales, de type $k/4$, qui n'existent que si $k$ est pair, et
l'amplitude de M�bius fait intervenir des cordes entre une D-brane et son
image. Sachant que les harmoniques sph�riques sont invariants par $h_2$, il
n'y aura pas de signe dans le canal ouvert comme pour le $\O0$. L'amplitude
de M�bius s'�crit donc�:
\index{fonction de partition!ruban de M�bius!$S^3$}
\[
\M_{(2)r} = \eps'_r \sum_{\substack{l=k/2-2r \\ l\text{�entier}}}^{k/2}
            \hat{\chi}_l(q).
\]
Apr�s une transformation modulaire par la matrice $P$, on obtient le canal
ferm�, et, par un raisonnement similaire au cas pr�c�dent, il en d�coule
que $\eps_{(2)}^j$ est bien celui que nous avons trouv� par un calcul
semi-classique, et que $\eps'_r=\sign(T_{\O2})$.

Le groupe de jauge est sans surprise�: il est unitaire pour les D-branes
non �quatoriales, et orthogonal ou symplectique pour les D-branes
�quatoriales.

\subsection{Cas de $\RP^3$}
\index{RP@$\RP^3$|(}
\subsubsection{Branes non �quatoriales}
Les cordes entre deux D-branes non �quatoriales de m�me type $r$ sur
$\RP^3$ correspondent � deux sortes de cordes sur la 3-sph�re�: des cordes
entre deux branes de type $r$, et des cordes entre une brane de type $r$ et
une de type $k/2-r$. L'action de $\Omega h$ sur de telles cordes est celle
que nous avons vue dans le cas de la 3-sph�re, donc l'amplitude de M�bius
s'�crit�:
\index{fonction de partition!ruban de M�bius!$\RP^3$}
\[
\M_r = \eps'_r \sum_{\substack{l=0 \\ l\text{ entier}}}^{2r}
       ((-)^l \hat{\chi}_l(q) + \eps''_r \hat{\chi}_{k/2-l}(q))
\]
o� $\eps'_r$ et $\eps''_r$ sont des signes. Une transformation modulaire
confirme que $\eps^j$ est une constante $\eps$, et donne les signes
$\eps'_r=(-)^{2r}\eps$ et $\eps''_r=(-)^{2r}\zeta$.

\index{groupe de jauge!orthogonal ou symplectique}
Le groupe de jauge est donn� par le signe devant $\chi_0$, c'est-�-dire
$\eps'_r$. Donc, comme pour le $\O0$ de la 3-sph�re, le groupe de jauge
pour les D-branes non �quatoriales est une alternance de groupes
orthogonaux et symplectiques.

\subsubsection{Branes �quatoriales}
Le cas des D-branes �quatoriales est plus subtil car, comme nous l'avons
vu, il y en a deux sortes, et elles peuvent �tre m�lang�es par
l'orientifold. L'action la plus g�n�rale de l'orientifold sur les �tats
est, comme vu pr�c�demment
\[
\Omega h |N,l,ij\> = (-)^N \g_{ii'} \g^*_{jj'} |N,l,j'i'\>
\]
o� $\g$ est une matrice unitaire, sym�trique ou antisym�trique. Sachant que
les �tats de $\RP^3$ doivent �tre invariants par la transformation $Z$ de
l'�quation \eqref{Z}, on doit imposer que l'action de $\Omega h$ pr�serve
l'invariance par $Z$, d'o� d�coule que $\g$ doit commuter ou anticommuter
avec la matrice $Z$.

Si $\g$ commute avec $Z$, alors les branes de charges diff�rentes ne sont
pas m�lang�es par l'orientifold, et le groupe de jauge sur ces branes sera
$\SO(n_+)\times\SO(n_-)$ ou $\USp(n_+)\times\USp(n_-)$, o� $n_+$ et $n_-$
sont les nombres de chaque sorte de D-brane. Les �tats apparaissant dans
l'amplitude de M�bius sont alors $|++\>$ et $|--\>$, qui sont d'isospin
pair, d'o� l'expression
\index{fonction de partition!ruban de M�bius!$\RP^3$}
\begin{align*}
\M_R &= (n_+ + n_-) \eps'_R \sum_{\substack{l=0\\l\text{ pair}}}^{k/2}
       \hat{\chi}_l(q) \\
     &= \frac{1}{2}(n_+ + n_-) \eps'_R 
        \sum_{\substack{l=0\\l\text{ entier}}}^{k/2}
        \left( (-)^l \hat{\chi}_l(q) + \hat{\chi}_{k/2-l}(q) \right).
\end{align*}

Si $\g$ anticommute avec $Z$, ce qui est possible seulement si
$n_+=n_-\equiv n$, alors, par un changement de base sur les D-branes $+$ et
$-$ s�par�ment, $\g$ peut �tre mise sous la forme
\[
\g = \begin{pmatrix} 0 & \pm\I \\ \I & 0 \end{pmatrix},
\]
o� les premi�res lignes et colonnes correspondent aux D-branes $+$. L'effet
de $\Omega h$ sur les cordes ouvertes est donc�:
\begin{align*}
|++\> &\leftrightarrow |--\> \\
|+-\> &\leftrightarrow \pm|+-\> \\
|-+\> &\leftrightarrow \pm|-+\>
\end{align*}
Avant de faire l'op�ration d'orientifold, on avait un groupe de jauge
$\U(n)$ correspondant aux �tats $|++\>$, et un autre pour les �tats
$|--\>$. Puisqu'ils sont identifi�s par l'orientifold, il reste un groupe
de jauge $\U(n)$. On notera que les D-branes $+$ et $-$ ne peuvent pas
exister s�par�ment ici, et que la matrice $\g$ d�finit un appariement entre
elles, de sorte qu'il est ici pertinent de consid�rer que nous avons $n$
D-branes �quatoriales sph�riques, le groupe $\U(n)$ s'interpr�tant alors
comme les changements de base arbitraires dans l'espace de ces D-branes.
Les �tats apparaissant dans l'amplitude de M�bius sont alors $|++\>$ et
$|--\>$, qui sont d'isospin pair, d'o� l'expression
\index{fonction de partition!ruban de M�bius!$\RP^3$}
\begin{align*}
\M_R &= 2n \eps'_R \sum_{\substack{l=0\\l\text{ impair}}}^{k/2}
        \hat{\chi}_l(q) \\
     &= -n \eps'_R
        \sum_{\substack{l=0\\l\text{ entier}}}^{k/2}
        \left( (-)^l \hat{\chi}_l(q) - \hat{\chi}_{k/2-l}(q) \right).
\end{align*}

\index{groupe de jauge!unitaire}
\index{groupe de jauge!orthogonal ou symplectique}
Dans les deux cas, � un facteur $1/2$ pr�s, qui est aussi pr�sent dans les
couplages $D^j_R$ \eqref{DjR}, ces amplitudes s'�crivent comme pour les
D-branes non �quatoriales, avec $\eps''_R=+1$ dans le premier cas, et $-1$
dans le second cas. La condition de coh�rence s'�crit donc, comme
pr�c�demment, $\eps'_R=\eps''_R(-)^{k/2}\eps$ et $\zeta=\eps''_R(-)^{k/2}$.
Ainsi�:
\begin{itemize}
\item Si $\zeta=(-)^{k/2}$, alors le groupe de jauge est
  $\SO(n_+)\times\SO(n_-)$ ou $\USp(n_+)\times\USp(n_-)$, selon le signe
  $\eps$.
\item Si $\zeta=-(-)^{k/2}$, alors on doit avoir $n_+=n_-\equiv�n$, et le
 groupe de jauge est $\U(n)$.
\end{itemize}
\index{RP@$\RP^3$|)}
\index{orientifold!avec cordes ouvertes!sur $S^3$ et $\RP^3$|)}
\index{orientifold!$S^3$ et $\RP^3$|)}

concl.tex
\chapter*{Conclusion}
\subsection*{R�sultats obtenus}
Cette th�se avait pour objectif de mieux comprendre la th�orie des cordes
en espaces-temps courbes ou d�pendant du temps. Pour cela, nous en avons
�tudi� divers aspects et obtenu des r�sultats que nous allons rappeler ici.

Tout d'abord, nous avons construit, par une approche g�om�trique, les
orientifolds sur $S^3$ et $\RP^3$. Nous avons montr� que, dans chaque cas,
on a deux fa�ons diff�rentes d'effectuer la projection orientifold sur les
cordes ferm�es�: dans le cas de la 3-sph�re, cela correspond � des
g�om�tries diff�rentes pour les orientifolds, tandis que pour $\RP^3$ les
orientifolds sont au m�me endroit dans les deux cas. Nous avons �galement
calcul� les interactions de ces orientifolds avec les D-branes, et en avons
d�duit les groupes de jauge possibles.

L'�tude des univers branaires nous a ensuite amen� � nous int�resser aux
D-branes dans des espaces anti-de~Sitter en pr�sence de champs de fond
Ramond-Ramond. Dans le cas o� l'espace est $AdS_3\times�S^3$, les D-branes
sont des D3-branes, laiss�es invariantes par la S-dualit� qui transforme
les fonds R-R en fonds Neveu-Schwarz, ce qui nous a permis de les aborder
en utilisant les r�sultats connus dans ce dernier cas. Nous avons v�rifi�
explicitement que ce que l'on sait calculer semi-classiquement est
compatible avec la S-dualit�.

Enfin, nous avons �tudi� un des fonds d�pendants du temps les plus simples,
� savoir D-brane portant une onde plane et plong�e dans un espace-temps
plat. Nous n'avons obtenu que des r�sultats tr�s partiels�; n�anmoins, nous
avons introduit les outils qui devraient permettre, dans un temps
raisonnablement court, d'aboutir � des r�sultats int�ressants concernant
notamment la r�troaction sur un tel fond.

\subsection*{Perspectives}
Comme indiqu�, les r�sultats du chapitre~4 restent partiels, et il faudrait
les compl�ter, notamment en consid�rant le cas d'une corde entre deux
D-branes diff�rentes. On pourra �galement consid�rer l'�mission de cordes
ferm�es par une telle D-brane, et ainsi �tudier l'�mission d'ondes
gravitationnelles par un d�faut topologique, ce qui pourrait avoir des
incidences importantes sur l'histoire de l'Univers primitif.

Au-del�, il est clair que beaucoup reste � faire en ce qui concerne les
fonds d�pendant du temps, notamment cosmologiques. Les propri�t�s de
stabilit� de tels fonds et la fa�on de les aborder lorsqu'on ne peut pas
d�finir de matrice S restent largement myst�rieuses � l'heure actuelle. Il
y a �galement la question de savoir si la th�orie des cordes peut r�soudre
les singularit�s telles que celle qui a vraisemblablement eu lieu lors du
Big Bang, et si la fa�on dont cela se r�sout a des cons�quences
observationnelles, visibles par exemple dans le fond micro-onde
cosmologique observ� par des exp�riences telles que WMAP (Wilkinson
Microwave Anisotropy Probe).

On s'attend � ce que l'�tude des univers branaires, �voqu�s dans le
chapitre~3, ait un impact significatif sur ces questions. Notamment, il
pourrait �tre int�ressant de voir si on peut r�aliser l'inflation
primordiale par un univers branaire ��r�aliste��.

En r�sum�, la recherche en th�orie des cordes a encore de longues ann�es
devant elle.

cordes.tex
\chapter{�l�ments de th�orie des cordes}
Nous allons introduire ici quelques notions fondamentales de th�orie
des cordes, en mettant l'accent sur ce qui sera utile dans la suite de
cette th�se. Ce sujet �tant raisonnablement bien trait� dans les
ouvrages tels que \cite{GSW} et \cite{Pol}, nous ne donnerons
g�n�ralement pas de r�f�rences, et le lecteur pourra se r�f�rer aux
bibliographies desdits ouvrages.

\section{Cordes bosoniques ferm�es}
\subsection{L'action}
Il est assez ais� d'�crire une action pour une corde relativiste en
s'inspirant de l'action d'une particule. L'action d'une particule
relativiste dans l'espace-temps  plat s'�crivant comme son temps propre :
\[
S = -m \int d\t \sqrt{-\frac{dX^{\mu}}{d\t}\frac{dX_{\mu}}{d\t}}
\]
o� $\t$ est un param�tre le long de la ligne d'univers de la
particule, et o� la m�trique est de signature $(-+\ldots+)$, il est assez
naturel d'�crire pour une corde la g�n�ralisation suivante, connue
sous le nom d'\emph{action de Nambu-Goto}\index{Nambu-Goto, action de},
o� l'action est la surface propre de la surface d'univers de la corde�:
\[
S = -\frac{1}{2\pi\a'} \int d\t d\s \sqrt{-\det h}
\quad\text{avec}\quad
h_{\a\b} = \d_{\a}X^{\mu}\d_{\b}X_{\mu}.
\]
Les coordonn�es de la surface d'univers sont ici $\t\equiv\s^0$ et
$\s\equiv\s^1$, et $1/(2\pi\a')$ est la tension de la corde�; $h$ n'est
rien d'autre que la m�trique induite sur la surface d'univers par celle de
l'espace-temps cible. Dans le cas d'une corde ferm�e (une boucle), la
coordonn�e $\s$ est p�riodique, et le plus souvent, la p�riode choisie est
$2\pi$. Dans le cas d'une corde ouverte (un segment), $\s$ parcourt
l'intervalle $[0;\pi]$.

Cette action �tant peu ais�e � manier, en particulier lorsqu'il
s'agit de quantifier la corde, on lui pr�f�re g�n�ralement celle de
Polyakov\index{Polyakov, action de}�:
\begin{equation}
\label{AcPol}
S= -\frac{1}{4\pi\a'} \int d\t d\s \sqrt{-\det \g}\,
   \g^{\a\b} \d_{\a}X^{\mu} \d_{\b}X_{\mu}
\end{equation}
qui comprend, en plus du plongement de la corde dans l'espace-temps
cible $X^{\mu}$, une m�trique \emph{variable} $\g_{\a\b}$. Les
�quations du mouvement impliquant que la m�trique $\g$ est �gale � la
m�trique induite � un facteur scalaire pr�s, cette action est
classiquement �quivalente � celle de Nambu-Goto.

Elle admet comme sym�tries locales les diff�omorphismes de la surface
d'univers et la sym�trie de Weyl\index{Weyl@Weyl, sym�trie de}, qui multiplie
la m�trique par un scalaire quelconque et laisse le reste invariant. Les
diff�omorphismes permettent de mettre la m�trique sous la forme
$\g_{\a\b}(\t,\s) = \Lambda(\t,\s) \eta_{\a\b}$�; la sym�trie de Weyl a
alors pour effet que l'action ne d�pend pas de $\Lambda$, et on aboutit
alors � une th�orie des champs bidimensionnelle avec $D$ champs scalaires
(du point de vue de la surface d'univers) libres, avec comme �quations du
mouvement $\Box X^{\mu}=0$ et, dans le cas de la corde ouverte, la
\textit{condition aux bords de Neumann}
\index{Neumann|see{condition aux bords}}
\index{condition aux bords!Neumann}
$\d_{\s}X^{\mu}=0$ (nous reviendrons plus tard sur ce point). Il
faut ajouter � ces �quations une contrainte d�coulant de la variation de la
m�trique dans l'action \eqref{AcPol}�: le tenseur �nergie-impulsion
\begin{equation}
\label{contrainte}
T_{\a\b} = \frac{1}{\a'}(\d_\a X^\mu \d_\b X_\mu - \text{trace})
\end{equation}
doit s'annuler. 

Le fait que sa trace soit nulle sans imposer la contrainte�est une
cons�quence de la sym�trie de Weyl. Cette derni�re est affect�e par une
anomalie, qui se manifeste pr�cis�ment par la non-annulation de cette trace
au niveau quantique�; dans le cas d'un espace-temps plat, on montre que
cette anomalie s'annule uniquement en dimension 26. Nous nous placerons
dans ce cas dans la suite.

\subsection{L'invariance conforme et le tenseur �nergie-impulsion}
Apr�s fixation de la m�trique, il reste encore des sym�tries, qui sont les
combinaisons de transformations de coordonn�es et de transformations de
Weyl qui laissent la m�trique invariante. Faire une telle transformation
revient � faire un changement de coordonn�es tel que le changement de
m�trique associ� est une transformation de Weyl, sans faire ladite
transformation de Weyl, autrement dit une transformation conforme.
\index{invariance conforme}

L'annulation de la trace du tenseur �nergie-impulsion est une propri�t�
g�n�rale des th�ories invariantes conformes (CFT). Dans les coordonn�es
$\s^\pm=\t\pm\s$, la trace est $T_{+-}$, donc $T_{\a\b}$ a deux composantes
non nulles, $T\equiv T_{++}$ et $\bar{T}\equiv T_{--}$. La conservation de
l'�nergie-impulsion s'�crit alors
\[
\d_- T = \d_+ \bar{T} = 0,
\]
c'est-�-dire que $T$ est une fonction de $\s^+$ uniquement, et $\bar{T}$
de $\s^-$ uniquement. Dans la suite, nous parlerons principalement de $T$,
�tant entendu que $\bar{T}$ a des propri�t�s similaires.

$T$ admet le d�veloppement en modes suivant�:
\index{tenseur �nergie-impulsion}
\[
T = \sum_n L_n e^{-in(\t+\s)}
\]
avec $L_{-n}=L_n^\dagger$. On montre alors que les $L_n$ admettent les
relations de commutation suivantes (alg�bre de Virasoro)�:
\index{Virasoro@Virasoro, alg�bre de}
\begin{equation}
\label{virasoro}
[L_m, L_n] = (m-n)L_{m+n} + \delta_{m+n} \frac{c}{12} (m^3-m)
\end{equation}
o� $c$ est appel�e charge centrale de l'alg�bre. Il existe de m�me une
charge $\bar{c}$ pour l'alg�bre des $\bar{L}$�; dans la suite, nous
consid�rerons des th�ories o� $\bar{c}=c$.

\subsection{Le spectre}
\index{quantification!covariante}
\index{spectre!corde bosonique ferm�e}
Nous d�crivons ici l'��ancienne quantification covariante�� de la corde
bosonique, o� on impose la contrainte \eqref{contrainte} comme pour la
quantification de Gupta-Bleuler de l'�lectrodynamique. Nous n'�voquerons
pas ici la ��nouvelle�� quantification, dite BRST, bas�e sur les fant�mes
de Fadeev et Popov. La quantification non covariante dans la jauge du c�ne
de lumi�re, similaire � la quantification de l'�lectrodynamique dans la
jauge de Coulomb, sera trait�e dans le chapitre~4.

Dans le cas de la corde ferm�e, les champs $X^\mu$ peuvent �tre d�velopp�s
en modes comme suit�:
\index{developpement@d�veloppement en modes!corde ferm�e}
\begin{equation}
\label{DevModesF}
X^\mu(\t,\s) = x^\mu + \a'p^\mu\t + i \sqrt{\frac{\a'}{2}} \sum_{n\neq0}
 \left( \frac{\a^\mu_n}{n}e^{-in\s^+} + \frac{\bar{\a}^\mu_n}{n}e^{-in\s^-}
 \right).
\end{equation}
La r�alit� de $X^\mu$ impose $\a^\mu_{-n}=(\a^\mu_n)^\dagger$. Les
relations de commutation de ces modes s'�crivent�:
\[
[x^\mu,p^\nu] = i\eta^{\mu\nu}, \quad
[\a^\mu_m,\bar{\a}^\nu_n] = 0, \quad
[\a^\mu_m,\a^\nu_n] = [\bar{\a}^\mu_m,\bar{\a}^\nu_n] 
                    = m\delta_{m+n}\eta^{\mu\nu}.
\]
Les �tats s'obtiennent alors en faisant agir $\a^\mu_{-n}$ et
$\bar{\a}^\mu_{-n}$, $n>0$, sur un vide annul� par $\a^\mu_{n}$ et
$\bar{\a}^\mu_{n}$. On a alors, comme lors de la quantification de
l'�lectrodynamique, un espace de Hilbert avec un produit scalaire non
d�fini positif � cause du mauvais signe des relations de commutation des
$\a^0$. Il faut alors encore imposer la contrainte \eqref{contrainte}.

Les modes du tenseur �nergie-impulsion s'�crivent�:
\index{tenseur �nergie-impulsion}
\begin{equation}
\label{Ln}
L_n = \frac{1}{2} \sum_m \ordnorm{\a_n \cdot \a_{m-n}}
\end{equation}
avec $\a^\mu_0=\bar{\a}^\mu_0=\sqrt{\a'/2}\,p^\mu$. L'ordre normal
(op�rateurs de cr�ation � gauche des op�rateurs d'annihilation) est
n�cessaire pour $L_0$ parce que $\a_n$ et $\a_{-n}$ ne commutent pas. Il
n'est pas tr�s difficile de v�rifier alors que les relations
\eqref{virasoro} sont v�rifi�es, avec $c$ �gal � la dimension de
l'espace-temps.

Pour imposer la contrainte, on exige des �tats physiques qu'ils v�rifient
$L_n|\psi\>=0$ pour $n>0$ et $(L_0-a)|\psi\>=0$, le $a$ �tant n�cessaire �
cause des probl�mes d'ordre des op�rateurs. Il en d�coule l'annulation de
$T$ pris entre deux �tats physiques. On montre que la coh�rence de la
th�orie impose que $a=1$, en plus de $D=26$ que nous avons �voqu� avant.
(En fait, si on ne consid�re que des cordes sans interactions, d'autres
possibilit�s sont coh�rentes, notamment $D\leq25$, $a\leq1$. Mais on ne
peut mettre d'interactions coh�rentes que dans le cas $D=26$, $a=1$).

L'annulation de $L_0-a$ et $\bar{L}_0-a$ donne les �quations suivantes�:
\[
m^2 = \frac{2}{\a'} (N+\bar{N}-2)
\]
\[
N = \bar{N}
\]
o� $N=\sum_{n>0}\a_{-n}\cdot\a_n$ est le nombre d'oscillateurs gauches
(�tant entendu que $\a_{-n}$ en cr�e $n$) et $\bar{N}$ le nombre
d'oscillateurs droits.

L'�tat fondamental de ce spectre est un tachyon. On peut v�rifier que, pour
un tel �tat, $L_n$ s'annule automatiquement pour $n>0$. La pr�sence d'un
tachyon est g�nante, car cela signifie qu'on ne d�veloppe pas la th�orie
autour d'un vide stable. Heureusement, il a le bon go�t de dispara�tre dans
la th�orie des supercordes que nous �voquerons plus loin.

Le premier �tat excit�, obtenu avec $N=\bar{N}=1$, s'�crit de fa�on
g�n�rale $\zeta_{\mu\nu}\a^\mu_{-1}\bar{\a}^\nu_{-1}|k\>$, o� $|k\>$ est un
�tat du vide d'impulsion $k$. Sachant que, pour un tel �tat, $L_n$ s'annule
automatiquement pour $n>1$, on n'a � v�rifier que l'annulation de $L_1$. Il
est ais� de voir que cela implique une condition de polarisation
$k^\mu\zeta_{\mu\nu}=k^\nu\zeta_{\mu\nu}=0$. L'espace des �tats ainsi
obtenu a un produit scalaire positif, mais pas d�fini�: les �tats o�
$\zeta_{\mu\nu}$ est de la forme $k_{\mu}a_{\nu}$ ou $a_{\mu}k_{\nu}$
d�couplent (ont un produit scalaire nul avec tout �tat physique), et il
faut donc quotienter l'espace des �tats par ces �tats (ce qui revient � une
invariance de jauge) pour obtenir les �tats physiques. Ces excitations se
d�composent en un scalaire $\Phi$, appel� dilaton, une 2-forme $B_{\mu\nu}$
et un tenseur sym�trique de trace nulle qui est le graviton $G_{\mu\nu}$.

\index{Polyakov, action de}
\index{couplage!� un champ de fond|see{champ de fond}}
\index{champ de fond!$B_{\mu\nu}$}
L'action de Polyakov \eqref{AcPol} peut �tre g�n�ralis�e pour inclure des
champs de fond correspondant � une superposition coh�rente d'excitations de
masse nulle. L'action s'�crit alors
\begin{equation}
\label{ModSigma}
\begin{split}
S &= -\frac{1}{4\pi\a'} \int d^2\s \sqrt{-\det \g}\,
      \g^{\a\b} \d_{\a}X^{\mu} \d_{\b}X^{\nu} G_{\mu\nu}(X)
    \\ &\quad
    + \frac{1}{2\pi\a'} \int \hat{B}(X)
    - \frac{1}{4\pi} \int d^2\s \sqrt{-\det \g}\, \Phi(X) R
\end{split}
\end{equation}
o� $\hat{B}$ est la 2-forme induite par $B$ sur la surface d'univers et $R$
est la courbure de la m�trique sur la surface d'univers. L'invariance de
Weyl impose des contraintes sur les champs de fond�: ils doivent v�rifier
des �quations que l'on peut d�river de l'action effective suivante, �
l'ordre le plus bas en $\a'$ (c'est-�-dire dans la limite de basse
�nergie)�:
\index{action effective!corde ferm�e}
\[
S_{\mathrm{eff}} = \frac{1}{2\kappa_0^2} \int d^Dx \sqrt{-\det G} e^{-2\Phi}
  \left[ R + 4\d_\mu\Phi\d^\mu\Phi - \frac{1}{12} H_{\mu\nu\rho}H^{\mu\nu\rho}
  \right]
\]
o� $H=dB$. On y reconna�t notamment l'action d'Einstein-Hilbert, ce qui
montre que la th�orie des cordes contient la gravitation. La constante
$\kappa_0$ n'a pas de signification physique, puisqu'on peut changer sa
normalisation par une translation de $\Phi$. Ce qui, en revanche, a une
signification, est $\kappa=\kappa_0e^{\Phi_0}$, o� $\Phi_0$ est la valeur
moyenne de $\Phi$�: cela s'interpr�te comme le couplage gravitationnel. On
peut donner au premier terme de l'action la forme habituelle (sans le
pr�facteur $e^{-2\Phi}$) en �crivant l'action en termes de la
\emph{m�trique d'Einstein} $G_E$, qui s'exprime en termes de la
\emph{m�trique de corde ferm�e} $G$ par $G_E=e^{-4\Phi/(D-2)}G$.
\index{metrique@m�trique!d'Einstein}

\subsection{Passage � une surface d'univers euclidienne}
\label{eucl}
La surface d'univers de la corde telle que nous l'avons vue jusqu'ici est
minkowskienne, car il s'agit de la trajectoire d'une corde dans un
espace-temps cible minkowskien. Dans la suite, il appara�tra n�anmoins
utile de consid�rer une surface d'univers euclidienne, car cela simplifie
consid�rablement certains calculs d'amplitudes, notamment parce que les
groupes conformes euclidien et minkowskien sont assez diff�rents. Il
convient donc de justifier que ce passage du minkowskien vers l'euclidien
est l�gitime.

Pour cela, nous partons de l'int�grale de chemin, qui s'�crit
$\int[de\,dX]\exp(iS)$, o� $S$ est l'action du mod�le sigma
\eqref{ModSigma}, et $e$ le vielbein, en termes de laquelle la m�trique
s'�crit $\g_{\a\b}=-e^0_\a�e^0_\b+e^1_\a�e^1_\b$. Puisque l'int�grale de
chemin est un produit (infini) d'int�grales ordinaires, on peut d�former
les contours d'int�gration. On les d�forme donc de fa�on � donner �
$e^0_\a$ des valeurs imaginaires pures, c'est-�-dire qu'on pose
$e^0_\a=-i\tilde{e}^0_\a$. La m�trique devient alors euclidienne, et
l'int�grale de chemin devient $\int[d\tilde{e}\,dX]\exp(-S_E)$, o� l'action
euclidienne $S_E$ s'�crit
\index{Polyakov, action de!euclidienne}
\[
\begin{split}
S_E &= \frac{1}{4\pi\a'} \int d^2\s \sqrt{\det \g}\,
        \g^{\a\b} \d_{\a}X^{\mu} \d_{\b}X^{\nu} G_{\mu\nu}(X)
      \\ &\quad
      - \frac{i}{2\pi\a'} \int B(X)
      + \frac{1}{4\pi} \int d^2\s \sqrt{\det \g}\, \Phi(X) R.
\end{split}
\]
Ainsi, il d�coule que les amplitudes de la th�orie des cordes donn�es par
l'action minkowskienne \eqref{ModSigma} sont les m�mes que celles de
l'action euclidienne $S_E$. C'est cette derni�re que nous utiliserons le
plus souvent pour �tudier les interactions.

Il est important de noter que cette proc�dure est applicable � l'action
avant toute fixation de jauge. Lorsque, par exemple � la suite du choix
d'une jauge non covariante, telle que la jauge du c�ne de lumi�re que nous
utiliserons au chapitre~4, il appara�t dans l'action des termes d�pendant
du temps $\t$ de la surface d'univers, alors cela ne marchera plus, et
c'est l'action minkowskienne qu'il faudra utiliser, comme nous le
v�rifierons explicitement en comparant avec un formalisme covariant.

\subsection{Interactions et fonction de partition}
\index{interactions!corde ferm�e}
En physique des particules, les interactions s'obtiennent par une sommation
sur tous les diagrammes de Feynman possibles, lesdits diagrammes �tant
constitu�s de lignes se rejoignant en des vertex. La g�n�ralisation de ceci
aux cordes consiste � sommer sur des surfaces, orientables dans le cas de
cordes orient�es, o� chaque corde entrante est un tuyau venant de l'infini.
Par une transformation conforme appropri�e, dans le cas euclidien ---~et
pas dans le cas minkowskien, d'o� l'int�r�t de travailler avec une action
euclidienne~--- ceci se ram�ne � une surface compacte priv�e d'autant de
points qu'il y a de cordes, de genre �gal au nombre de boucles, et les
amplitudes s'obtiennent alors comme des moyennes de produits
d'\textit{op�rateurs de vertex} ins�r�s en chaque point (fig. \ref{inter}).
\index{operateur@op�rateur de vertex}
\begin{figure}
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.7]{inter.eps}
\end{center}
\caption{Exemple de surface d'univers intervenant dans une interaction �
 trois cordes.}
\label{inter}
\end{figure}
Pour un �tat sans excitation (tachyon), l'op�rateur de vertex est une
fonction de $X$ uniquement (pas de ses d�riv�es) donn�e par le fait qu'il
se transforme de la m�me fa�on que l'�tat correspondant par les
transformations de Poincar�, donc $\ordnorm{e^{ik\cdot X}}$ pour un �tat
d'impulsion $k$. Les excitations s'obtiennent en multipliant cela par
$\d_+^nX^\mu$ pour chaque op�rateur de cr�ation $\a_{-n}^\mu$�: ainsi, les
�tats de masse nulle ont un op�rateur de vertex proportionnel �
$\zeta_{\mu\nu} \ordnorm{\d_+X^\mu\d_-X^\nu e^{ik\cdot X}}$.

Dans le cas d'une amplitude � l'ordre des arbres, le diagramme est une
sph�re, et les amplitudes s'obtiennent simplement en prenant la moyenne du
produit des op�rateurs de vertex, int�gr�e sur l'ensemble des positions
possibles des vertex. Lorsqu'il y a des boucles, les choses sont plus
compliqu�es, car les m�triques possibles sur une surface de genre non nul
ne sont pas �quivalentes par transformation conforme, donc il faut sommer
sur les classes d'�quivalence des diff�rentes m�triques, qui forment un
espace � deux param�tres r�els pour une boucle (tore), et $6n-6$ param�tres
pour $n$ boucles avec $n\geq2$. Nous nous limiterons ici au tore.

\index{fonction de partition!tore}
\index{tore|see{fonction de partition}}
\index{invariance modulaire}
Dans le cas du tore, on peut, par une transformation conforme, se ramener
au cas d'un tore plat d�fini comme le plan complexe muni de sa m�trique
habituelle, quotient� par un r�seau engendr� par deux complexes $z_1$ et
$z_2$. Par des rotations et dilatations appropri�es, on peut se ramener �
$z_1=1$, de sorte que seul le rapport $\tau=z_2/z_1$ caract�rise la
structure conforme du tore�; en outre, on pourra toujours prendre
$\im(\t)>0$, �tant entendu que si cela n'est pas le cas, on peut y rem�dier
en �changeant $z_1$ et $z_2$. La base $(z_1,z_2)$ pour le r�seau n'est pas
unique, puisqu'on peut changer de base par l'action d'une matrice
unimodulaire � coefficients entiers (groupe $\SL(2,\Z)$), l'action qui en
r�sulte sur $\t$ �tant $\t\rightarrow\frac{a\t+b}{c\t+d}$, avec $a$, $b$,
$c$ et $d$ entiers. Il sera essentiel, dans la suite, de s'assurer de
l'invariance par ces transformations, dites modulaires, des amplitudes sur
le tore. $\SL(2,\Z)$ �tant g�n�r� par�:
\[
T : \t \rightarrow \t+1, \quad S : \t \rightarrow -\frac{1}{\t}
\]
il suffit de v�rifier l'invariance par ces deux transformations.

L'amplitude du tore qui nous int�ressera particuli�rement est celle du
vide, c'est-�-dire sans op�rateur de vertex. Elle s'obtient, pour un tore
de module $\t=\t_1+i\t_2$, en consid�rant une corde ferm�e qu'on fait
�voluer pendant le temps euclidien $2\pi\t_2$, puis que l'on translate de
$2\pi\t_1$ le long de sa coordonn�e spatiale $\s$ avant de recoller les
bouts. Cela donne la trace
\[
Z(\t)=\Tr\bigl[\exp(2\pi i\t_1P - 2\pi\t_2H)\bigr]
\]
o� la trace est prise sur le spectre de la th�orie. Cette amplitude,
faisant intervenir une trace pond�r�e par le spectre du hamiltonien, n'est
autre que la fonction de partition de la corde. L'impulsion est l'int�grale
de $T_{\t\s}$ sur la corde et vaut donc $L_0-\bar{L}_0$. Le hamiltonien
vaudrait na�vement $L_0+\bar{L}_0$, mais les corrections quantiques
conduisent � y ajouter un terme $-c/12$, o� $c$ est la charge centrale de
l'alg�bre de Virasoro, de sorte que l'amplitude s'�crit
\[
Z(\t) = \Tr\bigl[q^{L_0-c/24}\bar{q}^{\bar{L}_0-c/24}\bigr]
\]
avec $q=e^{2\pi i\t}$%
\footnote{Dans la mesure o� $q$ n'est pas un r�el positif et $L_0-c/24$
n'est pas entier, la notation $q^{L_0-c/24}$ est mal d�finie, et on aurait
d� lui pr�f�rer $\exp[2\pi i\t(L_0-c/24)]$. C'est, h�las, la notation
traditionelle.}. Sachant que le spectre se d�compose en paires de
repr�sentations de l'alg�bre de Virasoro (une � gauche et une � droite), ou
d'une �ventuelle alg�bre de sym�trie �tendue (dont nous verrons un exemple
au chapitre~\ref{WZW}) et que pour une paire donn�e les excitations gauche
et droite sont ind�pendantes (la condition $L_0=\bar{L}_0$ est une
condition de couche de masse que nous n'avons pas � imposer ici), la
fonction de partition se d�compose en
\[
Z(\t) = \sum_{R,\bar{R}} n_{R,\bar{R}} \chi_R(q) \chi_{\bar{R}}^*(\bar{q})
\]
o� $n_{R,\bar{R}}$ est la multiplicit� de la repr�sentation $(R,\bar{R})$
dans le spectre, et
\[
\chi_R(q) = \Tr_R(q^{L_0-c/24}).
\]
La somme doit �tre remplac�e par une int�grale en cas de spectre continu.
L'invariance modulaire de la fonction de partition a une cons�quence
importante sur les transformations modulaires des caract�res $\chi_R$�: en
effet, le fait que ces transformations laissent invariante une forme
sesquilin�aire des caract�res entra�ne qu'elles agissent lin�airement sur
l'ensemble des caract�res, ce qui nous sera extr�mement utile au chapitre~%
\ref{WZW}.

\index{couplage!constante de}
On peut s'�tonner de l'absence apparente de constante de couplage dans les
amplitudes. En fait, elle appara�t sous la forme d'un terme $\Phi_0\chi$
dans l'action, o�
\begin{equation}
\label{Euler}
\chi = \frac{1}{4\pi} \int d^2\s \sqrt{\det\g} R
\end{equation}
est un invariant topologique, appel� \emph{caract�ristique d'Euler} de la
surface d'univers, qui, pour une surface orient�e sans bord, vaut $2-2n$,
o� $n$ est le genre de la surface, c'est-�-dire pour nous le nombre de
boucles. L'int�grale de chemin fait alors appara�tre un facteur
$e^{\Phi_0(2n-2)}$, ce qui conduit � interpr�ter $g=e^{\Phi_0}$ comme la
constante de couplage des cordes. Il en d�coule que la constante de
couplage n'est pas un param�tre de la th�orie, comme dans le cas des
th�ories des champs habituelles, mais une propri�t� du champ de fond autour
duquel on d�veloppe. Plus g�n�ralement, il n'y a pas en th�orie des cordes
de param�tre libre adimensionn�, contrairement au mod�le standard qui en a
une vingtaine, mais un ensemble de vides, les couplages d�pendant du vide
consid�r�. (Dans la mesure o� on ne sait pour l'instant pas comment choisir
le vide, cela ne fait que d�placer le probl�me.)

\subsection{Compactification et T-dualit�}
\index{compactification toro�dale}
Comme nous l'avons vu, la th�orie des cordes bosoniques n'est coh�rente
qu'en 26 dimensions, ce qui fait 22 de trop. Nous verrons plus loin que la
th�orie des supercordes requiert 10 dimensions, donc 6 de trop. Un moyen de
r�gler ce probl�me est de \emph{compactifier} les dimensions exc�dentaires,
c'est-�-dire consid�rer des cordes sur le produit cart�sien de $\R^4$ par
une vari�t� compacte. Nous nous limiterons ici au cas le plus simple,
c'est-�-dire le tore�; nous n'allons m�me ici compactifier qu'une seule
dimension, laissant le cas de plusieurs dimensions aux r�f�rences. D'autres
compactifications plus compliqu�es seront �voqu�es dans le chapitre~%
\ref{WZW}.

Consid�rons donc une corde ferm�e dans un espace o� la dimension $X$ est
compactifi�e, c'est-�-dire que $X\sim X+2\pi R$. Cela a deux cons�quences�:
\begin{itemize}
\item Une cons�quence que l'on rencontre aussi en th�orie des champs est la
  quantification de l'impulsion selon la direction compactifi�e�: $p=n/R$,
  avec $n$ entier.
\item Une cons�quence sp�cifique aux cordes est l'existence d'�tats
  enroul�s autour de la dimension compactifi�e, c'est-�-dire avec une
  relation de p�riodicit� modifi�e�: $X(\s+2\pi) = X(\s) + 2\pi Rw$, o� $w$
  est un entier comptant le nombre de tours que fait la corde autour de la
  direction compacte.
\end{itemize}

On peut se demander s'il est n�cessaire d'inclure les �tats enroul�s dans
le spectre. La r�ponse est oui�: d'une part il est ais� d'imaginer un
processus par lequel une corde non enroul�e se d�forme et arrive �
interagir avec elle-m�me pour donner deux cordes de nombres d'enroulement
$+1$ et $-1$ (fig. \ref{enroule}), d'autre part ils sont n�cessaires �
l'invariance modulaire.
\begin{figure}
\begin{center}
\includegraphics{enroule.eps}
\end{center}
\caption{Processus par lequel une corde enroul�e donne deux cordes
enroul�es de nombres d'enroulement oppos�s.}
\label{enroule}
\end{figure}

Ceci est une propri�t� assez g�n�rale�: lorsqu'on quotiente une th�orie des
cordes par un sous-groupe $G$ des isom�tries de l'espace-temps (ici un
sous-groupe $\Z$ des translations), si on ne garde que les �tats de la
th�orie initiale invariants par $G$, la fonction de partition obtenue n'est
pas invariante modulaire, et il faut ajouter des �tats o� le champ $X$ sur
la surface d'univers n'est p�riodique en $\s$ qu'� un �l�ment de $G$ pr�s
(ici les �tats enroul�s). Nous reverrons cela � l'\oe�uvre dans le
chapitre~\ref{WZW} lorsque nous construirons les cordes sur $\RP^3$ �
partir des cordes sur $S^3$.

La dimension compactifi�e admet le d�veloppement en modes suivant�:
\index{developpement@d�veloppement en modes!corde ferm�e}
\[
X = x + \a'\frac{n}{R}\t + wR\s + i \sqrt{\frac{\a'}{2}} \sum_{n\neq0}
 \left( \frac{\a_n}{n}e^{-in\s^+} + \frac{\bar{\a}_n}{n}e^{-in\s^-}
 \right).
\]

Les modes de l'�nergie-impulsion restent donn�s par l'�quation \eqref{Ln},
� cela pr�s que maintenant
\[
\a_0 = \sqrt{\frac{\a'}{2}}\frac{n}{R} + \frac{wR}{\sqrt{2\a'}}
\quad\text{et}\quad
\bar{\a}_0 = \sqrt{\frac{\a'}{2}}\frac{n}{R} - \frac{wR}{\sqrt{2\a'}}
\]
d'o� le spectre de masse (d�finie � partir de l'impulsion des dimensions
non compactes)�:
\index{spectre!corde bosonique ferm�e}
\[
m^2 = \frac{n^2}{R^2} + \frac{w^2R^2}{\a'^2} + \frac{2}{\a'}(N+\bar{N}-2)
\]
avec la contrainte
\[
N - \bar{N} + nw = 0.
\]

Dans la limite $R\rightarrow\infty$, les �tats enroul�s deviennent
infiniment massifs, ce qui est normal car ce sont des cordes tr�s longues,
l'impulsion compacte tend vers un spectre continu, et on retrouve donc le
spectre d'une dimension non compacte. Dans la limite $R\rightarrow0$, comme
pr�vu les �tats d'impulsion compacte non nulle deviennent infiniment
massifs. En revanche, les �tats enroul�s ont maintenant un spectre continu,
ressemblant beaucoup � une dimension non compacte, puisqu'il est facile
d'enrouler une corde sur un petit cercle. On aboutit donc � un spectre
ressemblant beaucoup � celui d'une dimension non compacte, l� o� en th�orie
des champs on tendrait vers un spectre � une dimenension de moins, car il
n'y a pas de nombre d'enroulement.

\index{T-dualite@T-dualit�}
C'est qu'en fait les limites $R\rightarrow\infty$ et $R\rightarrow0$ sont
\emph{identiques}�; en effet, le spectre est invariant sous
\[
R \rightarrow \frac{\a'}{R}, \quad n \leftrightarrow w.
\]
Sachant que $X$ se s�pare en des parties gauche et droite�:
$X(\t,\s)=X_L(\s^+)+X_R(\s^-)$, ceci revient � remplacer $X$ par
$X'(\t,\s)=X_L(\s^+)-X_R(\s^-)$, c'est-�-dire que c'est une parit� sur la
partie droite de $X$. Sachant que, pour la corde ferm�e, les deux parties
de $X$ sont essentiellement ind�pendantes, cela est une sym�trie de
l'ensemble de la th�orie, et pas seulement du spectre, connue sous le nom
de T-dualit�.

\section{Cordes ouvertes et D-branes}
Apr�s avoir �tudi� les cordes ferm�es, nous allons passer aux cordes
ouvertes, c'est-�-dire des segments. Notre �tude nous am�nera � d�couvrir
tout un ensemble d'objets dynamiques �tendus, nomm�s D-branes, auxquels est
consacr�e une grande partie de cette th�se. Ce sujet �tant inconnu de
\cite{GSW}, et que \cite{Pol} est loin d'�tre complet � ce propos, le
lecteur pourra se r�f�rer aux revues sur le sujet, notamment
\cite{DiV,BacBr}.

\subsection{Le spectre}
\index{spectre!corde bosonique ouverte}
Pour obtenir des cordes ouvertes, on consid�re une surface d'univers avec
des bords correspondants aux extr�mit�s de la corde, situ� en $\s=0$ et
$\s=\pi$.

La pr�sence d'un bord implique des conditions aux bords. Dans le cas du
tenseur �nergie-impulsion, il s'agit d'imposer qu'il n'y ait pas d'�nergie
qui sorte de la corde par le bord, ce qui impose que $T=\bar{T}$ au bord.
Il en d�coule que $\bar{L}_n=L_n$, autrement dit il n'y a plus qu'une
alg�bre de Virasoro.

\index{condition aux bords!Neumann}
\index{developpement@d�veloppement en modes!corde ouverte}
En ce qui concerne les champs $X^\mu$ de la corde, la condition aux bords,
qui d�coule de la variation de l'action, s'�crit $\d_\s X^\mu=0$. Il en
d�coule le d�veloppement en modes de $X^\mu$�:
\begin{equation}
\label{ModesOuvN}
X^\mu(\t,\s) = x^\mu + 2\a'p^\mu\t 
   + i\sqrt{2\a'} \sum_{n\neq0} \frac{\a^\mu_n}{n}e^{-in\t}\cos(n\s).
\end{equation}
Les relations de commutations sont alors les m�mes que pour la corde ferm�e
(� ceci pr�s qu'il n'y a plus de $\bar{\a}$, car la condition aux bords
identifie les modes gauches et droits).

Comme pour la corde ferm�e, le spectre d�coule de l'annulation de $L_0-1$
sur les �tats, et on trouve
\[
m^2 = \frac{1}{\a'}(N - 1).
\]
L� aussi, il y a un tachyon qui dispara�t dans la th�orie des supercordes.

Le premier �tat excit� s'�crit de fa�on g�n�rale $e_\mu\a^\mu_{-1}|k\>$, o�
$|k\>$ est un �tat du vide d'impulsion $k$. L'annulation de $L_1$ implique
la condition de polarisation $k^\mu e_\mu=0$, et les �tats ayant
$e_\mu\propto k_\mu$ sont de norme nulle, ce qui conduit � consid�rer comme
�quivalents des �tats dont la polarisation diff�re d'un multiple de
$k_\mu$. On reconna�t l� les excitations d'un champ de jauge ab�lien.

\index{champ de fond!�lectromagn�tique}
Comme dans le cas ferm�, on peut ajouter � l'action un terme pour ajouter
un champ de fond �lectromagn�tique correspodant � une superposition
d'excitations de corde ouverte. Ce terme s'�crit comme une int�grale sur le
bord de la surface d'univers�:
\[
S_{\text{�m}} = \int_{\d\Sigma} d\t A_\mu(X) \d_\t X^\mu,
\quad\text{avec } \int_{\d\Sigma} = \int_{\s=\pi} - \int_{\s=0}
\]
c'est-�-dire que la corde est un dip�le pour ce champ.

Nous verrons plus loin l'action effective � basse �nergie correspondante.

\subsection{T-dualit� et D-branes}
\index{T-dualite@T-dualit�}
On consid�re une corde ouverte dans un espace plat o� la dimension $X$ est
compactifi�e, avec $X\sim�X+2\pi�R$. Comme en th�orie des champs et pour la
corde ferm�e, l'impulsion est quantifi�e�; en revanche, il n'y a pas de
nombre d'enroulement. On en conclut que, dans la limite $R\rightarrow0$, on
a simplement une dimension en moins, comme en th�orie des champs.

Sachant que les cordes ouvertes sont toujours, d'apr�s ce que nous avons
vu, accompagn�es de cordes ferm�es, nous avons donc ensemble des cordes
ouvertes vivant � $D-1$ dimensions et des cordes ferm�es vivant, comme nous
l'avons vu pr�c�demment, � $D$ dimensions parce que le rayon nul est T-dual
d'un rayon infini, ce qui para�t quelque peu �trange. C'est pourtant, en un
sens, ce qui arrive. Regardons en effet les conditions aux bords. Elles
s'�crivent, nous l'avons vu, $\d_\s�X=0$, ou encore $\d_+X_L-\d_-X_R=0$.
En termes du champ $X'$, cela devient $\d_+X'_L+\d_-X'_R=0$, soit
$\d_\t�X'=0$, c'est-�-dire que la valeur de $X'$ reste constante le long du
bord de la corde. Plus pr�cis�ment, la coordonn�e $X'$ admet le
d�veloppement en modes suivant�:
\index{developpement@d�veloppement en modes!corde ouverte}
\begin{equation}
\label{ModesOuvD}
X'(\t,\s) = x'_0 + 2nR'\s 
   + \sqrt{2\a'} \sum_{n\neq0} \frac{\a_n}{n}e^{-in\t}\sin(n\s).
\end{equation}
o� $R'=\a'/R$ est le rayon de compactification T-dual, et $x'_0$ n'est pas
un mode, mais une constante arbitraire li�e au fait que $X'$ est d�fini �
une constante pr�s. Nous voyons clairement ici que, apr�s T-dualit�, la
corde a ses deux extr�mit�s contraintes de rester sur l'hyperplan
$X'=x'_0$.
\index{Dirichlet|see{condition aux bords}}
\index{condition aux bords!Dirichlet}
\index{D-brane!espace plat}
On est donc conduit naturellement � introduire dans la th�orie un nouvel
objet, baptis� \emph{D-brane}, qui est un hyperplan o� les extr�mit�s des
cordes ouvertes sont contraintes de rester�; le nom provient des conditions
aux bords, appel�es \emph{conditions de Dirichlet}, et du mot membrane. Le
nombre quantique $n$ qui intervient ici, qui �tait, avant de T-dualiser,
l'impulsion selon la dimension compacte, est un nombre d'enroulement, qui a
un sens bien d�fini ici, puisqu'on peut imaginer une corde qui, partant de
la D-brane, s'enroule $n$ fois autour de la dimension compacte avant de
revenir � la D-brane�; il n'y a pas d'impulsion selon la dimension compacte
car la sym�trie par translation est bris�e par la D-brane.

En compactifiant et T-dualisant plusieurs dimensions, on peut obtenir une
D-brane en dimensions inf�rieures�; on appelle D$p$-brane un telle membrane
avec $p$ dimensions spatiales (et donc $p+1$ dimensions en tout). Par
extension, on consid�re que lorsqu'on a des conditions aux bords de Neumann
sur toutes les coordonn�es, on a affaire � une D25-brane remplissant tout
l'espace-temps.

\index{couplage!� une D-brane}
On peut modifier l'action pour faire en sorte que les conditions au bord de
Dirichlet d�coulent de l'action. Pour obtenir une D-brane localis�e en
$X^i=Y^i$, il suffit d'ajouter � l'action un terme
\begin{equation}
\label{AcOuv}
S_D = \pm\frac{1}{2\pi\a'} \int_{\d\Sigma} d\t (X^i-Y^i) \d_\s X_i,
\end{equation}
le signe �tant $+$ pour une surface d'univers minkowskienne, et $-$ dans le
cas euclidien. Il est alors ais� de voir que lorsqu'on varie $X^i$, le
terme de bord dans la variation de l'action qui en d�coule est
$(X^i-Y^i)\d_\s\delta�X_i$, d'o� la condition de Dirichlet. On remarque que
le terme $Y^i\d_\s�X_i$ est T-dual du terme d'interaction de la corde avec
un champ �lectromagn�tique, ce qui conduit � voir une T-dualit� entre un
tel champ et la position de la D-brane�:
\[
Y^i \leftrightarrow -2\pi\a' A_i.
\]
Sachant que $A_i$ peut ne pas �tre constant, il d�coule que $Y^i$ aussi,
autrement dit on peut avoir une D-brane courbe de la forme $X^i=Y^i(X^\a)$,
o� les $X^i$ et les $X^\a$ sont des ensembles disjoints de coordonn�es.
Cela n'a rien d'�tonnant�: la th�orie des cordes contenant la gravit�, la
m�trique fluctue, et donc on imagine mal qu'une D-brane puisse rester plate
dans une g�om�trie fluctuante.

\index{Chan-Paton, indice de}
\index{groupe de jauge!unitaire}
Il est possible d'avoir plusieurs D-branes simultan�ment. Dans ce cas,
chaque extr�mit� de corde ouverte est attach�e � une D-brane particuli�re%
\footnote{� l'�poque o� la notion de D-brane n'�tait pas connue, on mettait
� chaque extr�mit� de corde un \emph{indice de Chan-Paton} prenant $n$
valeurs, l� o� en langage moderne on consid�re qu'il y a $n$ D-branes
superpos�es remplissant l'espace.},
tous les couples de D-branes �tant a priori possibles. Si les deux
D-branes auxquelles une corde est attach�e sont s�par�es, ses �tats (autre
que l'�tat fondamental, qui dispara�t dans la th�orie des supercordes) sont
tous massifs�; si elles sont superpos�es, il y a des �tats vectoriels de
masse nulle entre eux. Dans le cas de $n$ D-branes superpos�es, on a donc
$n^2$ vecteurs de masse nulle, qui forment un champ de jauge $\U(n)$, la
sym�trie $\U(n)$ m�langeant les D-branes entre elles. On verra qu'avec des
cordes non orient�es on pourra obtenir d'autres groupes de jauge.

\subsection{Interactions}
\index{interactions!corde ouverte}
Comme pr�c�demment, les interactions s'obtiennent par sommation sur des
surfaces. Dans le cas des cordes ouvertes, on consid�re des surfaces avec
un bord, et les op�rateurs de vertex pour les cordes ouvertes vivent sur le
bord. Dans le cas d'une amplitude � l'ordre des arbres, le diagramme est un
disque, et l'ajout de boucles consiste � ajouter des trous (des bords
suppl�mentaires) dans la surface d'univers.

Un point important est que, alors qu'on peut avoir des cordes ferm�es sans
cordes ouvertes de fa�on coh�rente, l'inverse n'est pas vrai. Il est en
effet ais� d'imaginer une interaction o� les deux bouts d'une m�me corde
ouverte fusionnent pour donner une corde ferm�e. D'autre part, consid�rons
le diagramme du vide ayant la topologie d'un cylindre. Un tel diagramme
peut s'interpr�ter comme une boucle de corde ouverte, c'est-�-dire une
corde ouverte identifi�e p�riodiquement dans le temps, et c'est ce que nous
utiliserons pour �valuer la fonction de partition. Il s'interpr�te aussi
comme l'�mission puis l'absorption d'une corde \emph{ferm�e} par une
D-brane (fig. \ref{anneau}).
\index{dualite@dualit� ouvert-ferm�}
\begin{figure}
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.7]{anneau.eps}
\end{center}
\caption{Les deux interpr�tations du diagramme du cylindre�: � gauche en
  termes de cordes ouvertes, � droite en termes de cordes ferm�es.}
\label{anneau}
\end{figure}
Il en d�coule qu'une th�orie coh�rente de cordes ouvertes doit contenir des
cordes ferm�es. L'interaction entre cordes ferm�es et cordes ouvertes
s'obtient en ins�rant simultan�ment des op�rateurs de vertex sur le bord de
la surface d'univers pour les cordes ouvertes, et � l'int�rieur pour les
cordes ferm�es. Signalons que les surfaces avec bord interviennent dans les
amplitudes ne contenant que des cordes ferm�es�: par exemple, un disque
avec deux op�rateurs de vertex � l'int�rieur peut s'interpr�ter comme une
interaction o� une corde ferm�e s'ouvre puis se referme.

Pour une surface orientable de genre $n$ avec $b$ bords, la caract�ristique
d'Euler \eqref{Euler} vaut $2-2n-b$, ce qui conduit � ajouter un facteur
$g$ par boucle de cordes ouvertes.

\subsection{Fonction de partition et �tats de bord}
\index{fonction de partition!anneau}
\index{cylindre|see{fonction de partition, anneau}}
\index{anneau|see{fonction de partition}}
Revenons � l'amplitude du cylindre (qu'on appelle aussi amplitude de
l'anneau, puisqu'on peut passer de l'un � l'autre par une transformation
conforme). On peut caract�riser un cylindre aux dilatations pr�s par un
param�tre r�el, qui est le rapport $t$ entre la longueur d'un bord et
l'�cart entre les bords. L'amplitude s'obtient alors en consid�rant une
corde ouverte (de longueur $\pi$) qu'on fait �voluer pendant le temps
euclidien $\pi�t$ avant de l'identifier � la corde initiale. Cela donne la
trace
\begin{equation}
\label{FoncPartOuv}
Z(t) = \Tr\bigl[ \exp(-\pi t H_o) \bigr]
     = \Tr\bigl[ \sqrt{q}^{L_0-c/24} \bigr]
\end{equation}
avec $q=e^{-2\pi�t}$ (le fait de prendre $\t=it$ est li� au fait que le
cylindre peut �tre vu comme un tore de param�tre $it$ quotient� par une
r�flexion, les bords correspondant aux points fixes de la r�flexion). 

\index{etatb@�tat de bord}
En inversant le r�le de l'espace et du temps, ce qui est l'analogue d'une
transformation modulaire pour les cordes ferm�es, et en effectuant une
dilatation appropri�e, on obtient une corde ferm�e (de longueur $2\pi$) qui
se propage entre deux D-branes pendant un temps $2\pi/t$, d'o� une autre
expression de la fonction de partition�:
\begin{equation}
\label{FoncPartFer}
Z(t) = \<f| \exp\!\left(\!-\frac{2\pi}{t} H_{\!f}\!\right) |i\>
     = \<f| \tilde{q}^{L_0+\bar{L}_0-c/12} |i\>
\end{equation}
o� $\tilde{q}=e^{-2\pi/t}$. $|i\>$ et $|f\>$ sont des \emph{�tats de bord},
c'est-�-dire des �tats de corde ferm�e caract�risant les D-branes �mettant
et absorbant la corde ferm�e. Les conditions qu'ils v�rifient s'obtiennent
� partir des conditions aux bords des cordes ouvertes qui se terminent
dessus en inversant le temps et l'espace. Consid�rons d'abord le cas d'une
condition aux bords quelconque. Une condition n�cessaire de coh�rence est
qu'elle respecte l'invariance conforme. Pour cela, nous l'avons vu, il est
n�cessaire que $T=\bar{T}$ au bord�; il en d�coule que l'�tat de bord
doit v�rifier $(T-\bar{T})|B\>=0$, ce qui, en termes des modes de
Fourier, s'�crit $(L_n-\bar{L}_{-n})|B\>=0$. En particulier, on a
$L_0|B\>=\bar{L}_0|B\>$, ce qui conduit � simplifier la formule
pr�c�dente�en $Z(t)=\<f|(\tilde{q}^2)^{L_0-c/24}|i\>$. On verra dans le
chapitre \ref{WZW} que, dans certains cas, ceci s'�crit comme une
combinaison lin�aire des caract�res $\chi_R(\tilde{q}^2)$.

Dans le cas plus sp�cifique d'une D-brane dans un espace-temps plat o� les
$X^i$ ont des conditions de Dirichlet et les $X^\a$ des conditions de
Neumann, l'�tat de bord v�rifie, � $\t=0$,
\[
(X^i - Y^i)|B\> = 0 \text{ et } \d_\t X^\a |B\> = 0.
\]
Si on d�veloppe les $X^\mu$ en modes (�quation \eqref{DevModesF}), ces
conditions s'�crivent
\begin{align*}
(\a^\a_n+\bar{\a}^\a_{-n})|B\> &= 0 & p^\a|B\> &= 0 \\
(\a^i_n-\bar{\a}^i_{-n})|B\> &= 0 & (x^i-Y^i)|B\> &= 0
\end{align*}
et on peut en tirer explicitement l'�tat de bord�:
\[
|B\> = \prod_i\left[ \delta(x^i-Y^i) \smash{\prod_{n=1}^{\infty}} 
       \exp\!\left( \frac{1}{n} \a^i_{-n} \bar{\a}^i_{-n} \right) \right]
       \prod_\a \prod_{n=1}^{\infty}
       \exp\!\left(\! -\frac{1}{n} \a^\a_{-n} \bar{\a}^\a_{-n} \right)
       |0, p^\a=0\>
\]
� une normalisation pr�s que l'on peut d�terminer en imposant l'�galit� de 
\eqref{FoncPartOuv} et \eqref{FoncPartFer}.

Un exemple simple d'utilisation des �tats de bords est le calcul de
l'amplitude d'�mission d'une corde ferm�e par une D-brane. Par exemple,
pour un �tat de masse nulle, de polarisation $\zeta_{\mu\nu}$ et
d'impulsion $k$, l'amplitude s'�crit�:
\[
A = \<B| \zeta_{\mu\nu} \a^\mu_{-1} \bar{\a}^\nu_{-1} |0,k\>
  \propto (\eta^{\a\b} \zeta_{\a\b} - \eta^{ij} \zeta_{ij}).
\]

\subsection{Action effective}
\index{action effective!D-brane|see{Born-Infeld}}
\index{Born-Infeld, action de}
Nous allons maintenant donner la forme de l'action effective � basse
�nergie pour une D$p$-brane et expliquer, sans la d�montrer � proprement
parler, pourquoi elle est raisonnable.

On param�tre la D-brane par $p+1$ coordonn�es $\xi^a$. Les champs sur la
D-brane sont alors son plongement dans l'espace-temps $X^\mu(\xi^a)$ et le
champ de jauge $A_a$. L'action, appel�e \emph{action de Born-Infeld},
s'�crit alors
\begin{equation}
\label{AcBI}
S = -T_p \int d^{p+1}\xi e^{-\Phi} \sqrt{-\det(\hat{G} + \hat{B} + 2\pi\a'F)}
\end{equation}
o� $T_p$ est une constante proportionnelle � la tension de la D-brane, et
$\hat{G}$ et $\hat{B}$ sont les m�trique et 2-forme induites sur la
D-brane�: $\hat{G}_{ab}=\d_aX^\mu\d_bX^\nu�G_{\mu\nu}$, et de m�me pour $B$.

Dans le cas o� il n'y a ni dilaton ni 2-forme, le terme $\sqrt{-\det�G}$
obtenu est naturel et n'est rien d'autre que Nambu-Goto g�n�ralis� en
dimension quelconque.

La d�pendance en le dilaton d�coule du fait que cette action vient du
diagramme du disque, dont la caract�ristique d'Euler est 1, d'o� un
facteur $g^{-1}$ si le dilaton est constant, et donc $e^{-\Phi}$.

La d�pendance en $F$ se comprend par T-dualit�. Prenons une D-brane qui
s'�tend dans les directions $X^1$ et $X^2$ d'un espace plat, avec un champ
magn�tique constant $F_{12}$. On peut choisir une jauge $A_2=F_{12}X^1$. Si
on prend le T-dual de cela dans la direction $X^2$, on obtient une D-brane
pench�e dans le plan $(X^1,X^2)$�: $X^2=-2\pi\a'X^1F_{12}$. On obtient
alors un facteur g�om�trique dans l'action�:
\[
\int dX^1 \sqrt{1+(\d_1X^2)^2} = \int dX^1 \sqrt{1+(2\pi\a'F_{12})^2}.
\]
Dans le cas d'un champ quelconque, on peut, en mettant le champ sous une
forme diagonale par blocs, se ramener � un produit de tels facteurs, qui
revient au d�terminant de l'action \eqref{AcBI}.

Enfin, la d�pendance en $B$ d�coule du fait suivant�: la d�pendance en $B$
et $F$ dans l'action sur la surface d'univers de la corde s'�crit
\[
\frac{1}{2\pi\a'} \int_\Sigma \hat{B} + \int_{\d\Sigma} A.
\]
Il en d�coule les invariances de jauge suivantes�:
\begin{align*}
\delta�B &= 2\pi\a' d\Lambda \\
\delta A &= -\hat{\Lambda} + d\lambda
\end{align*}
o� $\Lambda$ est une 1-forme et $\lambda$ un scalaire. Il en d�coule que
$F=dA$ n'est pas invariant de jauge, mais qu'en revanche $\hat{B}+2\pi\a'F$
l'est, et c'est donc cette combinaison qui doit appara�tre dans l'action.

L'action \eqref{AcBI} montre que la tension (�nergie par unit� de volume)
de la D-brane est $T_pe^{-\Phi_0}$. Le fait qu'elle diverge � couplage
faible montre que la D-brane est un objet \emph{non perturbatif}, mais sur
lequel on sait n�anmoins dire plein de choses par un calcul perturbatif
gr�ce � son interpr�tation en termes de lieu o� les extr�mit�s des cordes
sont confin�es. Le coefficient $T_p$, quant � lui, peut �tre calcul� en
consid�rant le couplage de la D-brane au graviton, ce qui s'obtient avec
l'�tat de bord �voqu� pr�c�demment.

Avec cette action, on peut �galement �tudier les petites fluctuations de la
D-brane�; nous verrons dans les chapitres suivants des exemples explicites
de tels calculs, o� nous montrerons que les modes de fluctuations ainsi
trouv�s co�ncident avec le calcul exact en CFT, lorsqu'on sait le faire.
\index{metrique@m�trique!de corde ouverte}
Une propri�t� g�n�rale est que les fluctuations de la forme de la D-brane
et du champ de jauge sont coupl�es par la \emph{m�trique de corde ouverte},
donn�e par
\[
G_o^{-1} = [(\hat{G} + \hat{B} + 2\pi\a'F)^{-1}]_S
\]
o� l'indice $S$ signifie qu'on sym�trise la matrice. Cela donne
\begin{equation}
\label{MetOuv}
G_o = \hat{G} - (\hat{B}+2\pi\a'F)\hat{G}^{-1}(\hat{B}+2\pi\a'F).
\end{equation}
On verra sur les exemples des chapitres suivants que dans certains cas la
g�om�trie vue par les cordes ouvertes est tr�s diff�rente de celle vue par
les cordes ferm�es.

\section{Cordes non orient�es}
\index{orientifold|(}
Jusqu'� pr�sent, nous avons consid�r� des cordes \emph{orient�es},
c'est-�-dire o� on peut d�finir un sens particulier sur la corde (par
exemple le sens des $\s$ croissants). Sachant que l'op�ration
$\Omega:\s\rightarrow-\s$ ($\s\rightarrow\pi-\s$ dans le cas des cordes
ouvertes) est une sym�trie de la th�orie, on peut obtenir une th�rie de
cordes non orient�es en se restreignant aux �tats invariants par cette
transformation, ce qui revient � identifier une corde orient�e dans un sens
avec la m�me corde orient�e dans l'autre sens.

\subsection{Cordes ferm�es non orient�es et orientifolds}
Consid�rons d'abord le cas des cordes ferm�es dans un espace plat, avec des
champs de fond triviaux. L'action de $\Omega$ sur les op�rateurs $\a^\mu_n$
d�coule du d�veloppement en modes \eqref{DevModesF}�:
$\Omega\a^\mu_n\Omega^{-1}=\bar{\a}^\mu_n$. L'action sur le tachyon, elle,
d�coule de la transformation de l'op�rateur de vertex�; en l'occurrence,
$\Omega=+1$. Il en d�coule que, parmi les �tats tachyonique et non massifs,
le tachyon, le graviton et le dilaton sont pr�sents dans la th�orie non
orient�e, tandis que la 2-forme en est exclue.

On peut s'int�resser � ce qui se passe si on compactifie la th�orie sur un
cercle et qu'on en fait tendre le rayon vers z�ro. Il est alors pr�f�rable
de d�crire la situation en terme de la coordonn�e T-duale $X'=X_L-X_R$,
consid�r�e comme non compactifi�e. Sachant que $\Omega$ agit en �changeant
$X_L(\s^+)$ et $X_R(\s^-)$, son action sur $X'$ s'�crit�:
\[
\Omega : X'(\t,\s) \rightarrow -X'(\t,-\s).
\]
Autrement dit, on obtient le produit d'une r�flexion selon la coordonn�e
$X'$ et d'un changement d'orientation de la corde. La th�orie obtenue en se
restreignant aux �tats tels que $\Omega=+1$ consiste � identifier une corde
avec son image par r�flexion par rapport au plan $X'=0$, apr�s un
changement d'orientation de la corde. Une telle th�orie est appel�e un
orientifold. On notera que, puisque une corde est identifi�e � une corde
situ�e ailleurs, la physique locale loin du plan $X'=0$ est celle de la
corde \emph{orient�e}.

Des orientifolds plus g�n�raux, pas forc�ment issus d'une T-dualit�,
s'obtiennent en quotientant la th�orie orient�e par le produit de
l'inversion d'orientation $\Omega$ de la corde et d'une isom�trie
involutive $h$. En pr�sence de champs de fond non triviaux, des conditions
additionnelles sur $h$ devront �tre impos�es pour que $\Omega�h$ soit une
sym�trie de la th�orie initiale�: par exemple, comme nous le verrons dans
le chapitre \ref{WZW}, s'il y a un champ $B$ non trivial, il est n�cessaire
que $h$ inverse l'orientation de l'espace-temps. Signalons enfin que dans
la suite, le terme orientifold d�signera aussi l'ensemble, ou une partie,
des points fixes de $h$�; il ne devrait n�anmoins pas y avoir de confusion.

Une diff�rence essentielle entre un orientifold et une D-brane est que
l'orientifold n'est pas dynamique�: il n'y a en effet pas de cordes
attach�es � l'orientifold qui puissent repr�senter ses fluctuations. Notons
que l'argument comme quoi une D-brane doit fluctuer dans une g�om�trie
fluctuante, utilis� pour arguer du caract�re dynamique des D-branes, ne
s'applique pas ici�: en effet, l'identification de l'orientifold conduit �
des conditions au bord pour le champ gravitationnel (et les autres champs)
qui emp�che toute fluctuation de g�om�trie de l'orientifold.
\index{action effective!orientifold}
Ceci n'emp�che en revanche pas l'orientifold d'�mettre des cordes ferm�es�;
il en d�coule une action effective tr�s similaire � celles des D-branes�:
\[
S = -T_{\O p} \int d^{p+1}\xi e^{-\Phi} \sqrt{-\det\hat{G}}.
\]
La d�pendance en $\Phi$ d�coule du fait que cette action vient du diagramme
du plan projectif (nous verrons plus loin qu'il faut inclure des surfaces
non orientables pour les cordes non orient�es), dont la caract�ristique
d'Euler est 1, comme le disque. Les conditions aux bords sur l'orientifold
emp�chent qu'il y ait un couplage � $B$, et l'orientifold n'interagit pas
avec les cordes ouvertes, donc il n'y a pas de champ de jauge.
Contrairement au cas des D-branes, la tension $T_{\O�p}$ peut �tre n�gative.

\subsection{Fonction de partition des cordes ferm�es et bouteille de Klein}
\index{Klein, bouteille de|see{fonction de partition}}
\index{fonction de partition!bouteille de Klein}
Nous nous pla�ons ici dans un cadre g�n�ral o� le spectre de la corde
ferm�e orient�e se d�compose en paires $(R,\bar{R})$ de repr�sentations des
alg�bres de Virasoro gauche et droite. L'existence d'une projection
orientifold entra�ne que si $(R,\bar{R})$ est dans le spectre, alors
$(\bar{R},R)$ aussi. Dans le cas o� $R\neq\bar{R}$, la projection garde une
combinaison lin�aire de $(R,\bar{R})$ et $(\bar{R},R)$�; si $(R,R)$ est
dans le spectre initial, soit il reste, soit il est �limin� par la
projection. La fonction de partition en d�coule�:
\begin{equation}
\label{FoncPartFNor}
Z(\t) = \frac{1}{2}\left[
  \smash[b]{\sum_{R,\bar{R}}} n_{R,\bar{R}} \chi_R(q) \chi_{\bar{R}}^*(\bar{q})
  + \smash[b]{\sum_{R}} k_R \chi_R(q\bar{q}) \right]
\end{equation}
o� la deuxi�me somme est sur les $R$ tels que $(R,R)$ est dans le spectre,
et $k_R$ est le nombre d'�tats $(R,R)$ pr�serv�s par la projection moins le
nombre d'�tats �limin�s (c'est-�-dire que chaque �tat $(R,R)$ est compt�
$1/2$ fois dans le premier terme, et $\pm1/2$ fois dans le second).

L'interpr�tation en termes d'amplitude sur des surfaces d'univers bien
choisies se fait en �crivant la fonction de partition de la fa�on
suivante�:
\begin{equation}
\begin{split}
\label{FoncPartFNor2}
Z(\t) &= \Tr\left[ \frac{1+\Omega h}{2} 
                  q^{L_0-c/24}\bar{q}^{\bar{L}_0-c/24} \right] \\
      &= \frac{1}{2} \left[ 
           \Tr\bigl[q^{L_0-c/24}\bar{q}^{\bar{L}_0-c/24}\bigr]
           +  \Tr\bigl[\Omega q^{L_0-c/24}\bar{q}^{\bar{L}_0-c/24}\bigr]
         \right] \\
      &= \frac{1}{2}(\T+\K).
\end{split}
\end{equation}
Dans la premi�re ligne, $(1+\Omega)/2$ projette sur les �tats v�rifiant
$\Omega=+1$, c'est-�-dire pr�cis�ment les �tats de la corde non orient�e.
Les quantit�s $\T$ et $\K$ de la troisi�me ligne sont d�finies comme
respectivement le premier et le deuxi�me terme de la deuxi�me ligne�; $\T$
n'est rien d'autre que l'amplitude du tore. L'identification avec
l'�quation \eqref{FoncPartFNor}, et le fait que son premier terme soit
$\T$, conduit � identifier $\K$ et le second terme de \eqref{FoncPartFNor},
ce qui permettra de calculer $\K$. C'est en revanche l'�quation
\eqref{FoncPartFNor2} qui permet d'interpr�ter $\K$ en termes de surface
d'univers�: en effet, $\K$ y appara�t clairement comme s'obtenant en prenant
une corde, en la faisant �voluer pendant le temps euclidien $2\pi�t$ et en
recollant les bouts apr�s une inversion d'orientation�; le r�sultat obtenu
est une surface non orientable de caract�ristique d'Euler nulle (comme le
tore et le cylindre), baptis�e \emph{bouteille de Klein}. Plus
g�n�ralement, les amplitudes de cordes non orient�es font appara�tre, en
plus des surfaces orientables, les surfaces non orientables.

\index{crosscap}
La bouteille de Klein peut �tre d�finie en consid�rant le plan $\t,\s$ avec
les identifications suivantes�:
\[
(\t,\s) \sim (\t,\s+2\pi), \quad\text{et}\quad (\t,\s) \sim (\t+2\pi t,-\s).
\]
L'expression de $\K$ ci-dessus d�coule du choix de domaine fondamental
$-\pi\leq\s\leq\pi$ et \mbox{$0\leq\t\leq2\pi�t$}, avec les identifications
$(\t,-\pi)\sim(\t,\pi)$ et $(0,\s)\sim(2\pi�t,-\s)$. Un autre choix de
domaine fondamental est $0\leq\s\leq\pi$ et $0\leq\t\leq4\pi�t$, avec les
identifications $(0,\s)\sim(4\pi�t,\s)$, $(\t,0)\sim(\t+2\pi�t,0)$ et
$(\t,\pi)\sim(\t+2\pi�t,\pi)$, c'est-�-dire qu'on peut voir la bouteille de
Klein comme un cylindre, � ceci pr�s que sur chaque bord on identifie les
points diam�tralement oppos�s. Le r�sultat ainsi obtenu est que les
extr�mit�s ne sont plus des bords, mais ce que l'on appelle des
\emph{crosscaps}�; de fa�on g�n�rale, toute surface non orient�e peut se
construire � partir d'une surface orient�e en y ins�rant des crosscaps.

\index{etatc@�tat de crosscap}
\index{crosscap!�tat de}
Apr�s avoir �chang� le temps et l'espace, et une dilatation appropri�e, la
bouteille de Klein s'interpr�te comme la propagation d'une corde ferm�e
pendant le temps $\pi/2t$ entre deux \emph{�tats de crosscap}, qui sont aux
orientifolds ce que les �tats de bord sont aux D-branes. Comme pour les
�tats de bord, la pr�servation de l'invariance conforme impose
$(L_n-\bar{L}_{-n})|C\>=0$. Dans le cas plus sp�cifique des orientifolds
plats de l'espace plat, on peut les construire explicitement en imposant
$(X(\s+\pi)-X(\s))|C\>=0$ et $(\d_\t�X(\s+\pi)+\d_\t�X(\s))|C\>=0$ pour les
coordonn�es parall�les � l'orientifold, et les m�mes �quations avec un
signe oppos� pour les coordonn�es orthogonales � l'orientifold.

Il en d�coule que l'amplitude de la bouteille de Klein peut s'�crire
\begin{equation}
\label{Klein}
\begin{split}
\K &= \<C| (\tilde{q}^{1/4})^{L_0+\bar{L}_0-c/12} |C\> \\
   &= \<C| \sqrt{\tilde{q}}^{L_0-c/24} |C\>.
\end{split}
\end{equation}
On verra dans le chapitre \ref{WZW} que, dans certains cas, ceci s'�crit
comme une combinaison lin�aire des caract�res $\chi_R(\sqrt{\tilde{q}})$.

\subsection{Cordes ouvertes et D-branes en pr�sence d'un orientifold}
\index{D-brane!avec orientifold|see{orientifold}}
\index{orientifold!avec cordes ouvertes|(}
L'isom�trie $h$ qui intervient dans la d�finition de l'orientifold
identifie une D-brane � son image par $h$, et donc identifie un �tat de
corde allant de la D-brane $i$ � la D-brane $j$, not� $|ij\>$, � un �tat
$|j'i'\>$, o� $i'$ et $j'$ sont les images des D-branes $i$ et $j$.
Notamment, s'il y a une D-brane � une position donn�e, il doit y avoir une
D-brane image � la position sym�trique par $h$. Par souci de simplicit�,
nous nous limiterons aux cas o� une D-brane est soit compl�tement s�par�e
de son image, soit g�om�triquement confondue avec l'orientifold. Nous nous
int�resserons ici principalement aux cordes de masse nulle vivant sur une
D-brane ou un groupe de D-branes superpos�es, c'est-�-dire notamment le
champ de jauge.

Dans le cas de D-branes s�par�es de l'orientifold, la physique locale est
essentiellement la m�me que sans orientifold. Notamment, pour $n$ D-branes
superpos�es (et leurs $n$ images), les excitations de masse nulle
contiennent un champ de jauge $\U(n)$.

Consid�rons donc maintenant le cas de $n$ D-branes superpos�es contenues
dans l'orientifold. L'action de $\Omega�h$ sur les op�rateurs $\a^\mu_m$
d�coule des d�veloppements en modes \eqref{ModesOuvN} et
\eqref{ModesOuvD}�: $\Omega\a^\mu_m\Omega^{-1}=(-)^m\a^\mu_m$ dans les cas
que nous consid�rons ici. L'action la plus g�n�rale de l'orientifold est
alors
\[
\Omega h |\psi,ij\> = (-)^N \g_{ii'} \g_{jj'}^* |\psi,j'i'\>
\]
o� $N$ est le nombre d'excitations de l'�tat $\psi$ (d'o� un signe $-$ pour
les bosons de jauge), $\g$ est une matrice unitaire, et on sous-entend une
sommation sur $i'$ et $j'$. La condition $(\Omega�h)^2=1$ entra�ne que $\g$
doit �tre sym�trique ou antisym�trique.

\index{groupe de jauge!orthogonal ou symplectique}
Dans le cas o� $\g$ est sym�trique, par un changement de base appropri�
dans l'espace des D-branes, on se ram�ne � $\g=\I$. Les bosons de jauge
ainsi trouv�s sont alors des combinaisons antisym�triques des �tats
$|ij\>$, donc le groupe de jauge est $\SO(n)$.

Dans le cas o� $\g$ est antisym�trique, ce qui n'est possible que si $n$
est pair, on se ram�ne � $\g=i\begin{pmatrix}0&\I\\-\I&0\end{pmatrix}$, et
le groupe de jauge est alors $\USp(n)$.

\subsection{Fonction de partition des cordes ouvertes et ruban de M�bius}
\index{Mobius@M�bius, ruban de|see{fonction de partition}}
\index{fonction de partition!ruban de M�bius}
On note $I$ et $J$ deux ensembles de D-branes superpos�es, et on
s'int�resse � la fonction de partition des cordes ouvertes entre ces deux
ensembles de D-branes. Si l'image de $I$, not�e $I'$, est distincte de $J$,
alors les cordes $|IJ\>$ et leurs images $|J'I'\>$ par l'orientifold sont
distinctes, et la projection en garde une combinaison lin�aire, de sorte
que la fonction de partition est simplement la moiti� de l'amplitude de
l'anneau. Si $J=I'$, alors il faut y ajouter un terme pour les cordes
$|II'\>$. Le fait que $\Omega\a^\mu_m\Omega^{-1}=(-)^m\a^\mu_m$ fait
appara�tre la quantit� $\Tr_R[(-)^N\sqrt{q}^{L_0-c/24}]$, o� $R$ est une
repr�sentation de l'alg�bre conforme apparaissant dans le spectre des
cordes $|II'\>$. Sachant que $L_0=h_R+N$, o� $h_R$ est le poids des �tats
conformes non excit�s de la repr�sentation $R$, ceci peut s'�crire
\begin{equation}
\label{hatchi}
\hat{\chi}_R(q) \equiv e^{-i\pi(h_R-c/24)} \chi_R(-\sqrt{q})
\end{equation}
et la fonction de partition s'�crit alors
\[
Z(t) = \frac{1}{2}(\A+\M), \text{ o� }
\M = n \sum_R m_R \hat{\chi}_R(q).
\]
o� $m_R$ indique le nombre d'�tats $R$ pr�serv�s par la projection moins
le nombre d'�tats �limin�s. Dans le cas $I=I'$, o� on consid�re donc des
cordes entre un ensemble de D-branes et lui-m�me, l'une de ces
repr�sentations contient les bosons de jauge�; pour obtenir le bon nombre
de bosons de jauge ($n(n-1)/2$ pour $\SO(n)$, et $n(n+1)/2$ pour
$\USp(n)$), $m_R$ pour cette repr�sentation doit valoir $-1$ pour $\SO(n)$,
et $+1$ pour $\USp(n)$. Ceci nous am�nera � trouver des conditions sur les
groupes de jauge des diff�rentes D-branes pour assurer la coh�rence de la
th�orie.
\index{groupe de jauge!orthogonal ou symplectique}

De fa�on analogue au cas des cordes ferm�es, $\M$ s'interpr�te comme une
amplitude obtenue en prenant une corde ouverte, en la faisant �voluer
pendant le temps $\pi�t$ et en recollant les bouts apr�s une inversion
d'orientation�; le r�sultat obtenu est une surface non orientable, avec un
bord, de caract�ristique d'Euler nulle, appel�e \emph{ruban de M�bius}.

Le ruban de M�bius peut �tre d�fini en consid�rant la bande
$0\leq\s\leq\pi,\t$ avec l'identification suivante�:
\[
\quad (\t,\s) \sim (\t+\pi t,\pi-\s).
\]
L'expression de $\M$ ci-dessus d�coule du choix de domaine fondamental
$0\leq\s\leq\pi$ et \mbox{$0\leq\t\leq\pi�t$}, avec l'identification
$(0,\s)\sim(\pi�t,\pi-\s)$. Un autre choix de domaine fondamental est
$0\leq\s\leq\pi/2$ et $0\leq\t\leq2\pi�t$, avec les identifications
$(0,\s)\sim(2\pi�t,\s)$ et $(\t,\pi/2)\sim(\t+\pi�t,\pi/2)$, c'est-�-dire
qu'on peut voir le ruban de M�bius comme un cylindre o� l'un des bords a
�t� remplac� par un crosscap. Apr�s avoir �chang� le temps et l'espace et
effectu� une dilatation appropri�e, le ruban de M�bius s'interpr�te comme
la propagation d'une corde ferm�e pendant le temps $\pi/2t$ entre un �tat
de bord et un �tat de crosscap, d'o� d�coule que l'amplitude du ruban de
M�bius peut s'�crire�:
\begin{equation}
\label{Mobius}
\M = \<C| \sqrt{\tilde{q}}^{L_0-c/24} |B\>.
\end{equation}
On verra dans le chapitre \ref{WZW} que, dans certains cas, ceci s'�crit
comme une combinaison lin�aire des caract�res $\chi_R(-\sqrt{\tilde{q}})$.
\index{orientifold!avec cordes ouvertes|)}
\index{orientifold|)}

\section{Supercordes}
\index{supercorde!type II|(}
La th�orie des cordes bosoniques que nous avons vue jusqu'� pr�sent a deux
d�fauts majeurs�:
\begin{itemize}
\item Elle comporte un tachyon, signe qu'on d�veloppe autour d'un vide
  instable.
\item Il n'y a pas de fermions, ce qui est f�cheux si on pr�tend d�crire
  notre monde avec.
\end{itemize}
Ces deux d�fauts sont r�solus par la th�orie des supercordes. Nous allons
d�crire ici le formalisme de Ramond-Neveu-Schwarz (RNS). Dans la mesure o�
les d�tails de la construction de la supercorde n'interviendront pas dans
le reste de cette th�se, nous serons plus brefs que pour la corde
bosonique.

\subsection{Supercordes de type II}
Le formalisme RNS consiste � avoir, en plus des champs scalaires $X^\mu$,
des spineurs de Majorana $\psi^\mu$, et d'ajouter � l'action de Polyakov
\eqref{AcPol} (en fixant la m�trique � $\g_{\a\b}=\eta_{\a\b}$ un terme
\[
S_\psi = \frac{i}{\pi} \int d^2\s (\psi^\mu_- \d_+ \psi_{-\mu} 
                                 + \psi^\mu_+ \d_- \psi_{+\mu})
\]
o� $\psi_-$ et $\psi_+$ sont les composantes de $\psi$. Cette action admet
une supersym�trie $\N=(1,1)$ de surface d'univers, qui relie d'une part la
partie gauche de $X$ et $\psi_+$, d'autre part la partie droite de $X$ et
$\psi_-$.

Les �quations du mouvement correspondantes disent alors que $\psi_\pm$ ne
d�pendent que de $\s^\pm$. L'annulation de l'anomalie de Weyl n�cessite que
la dimension de l'espace-temps soit 10�; nous nous placerons dans ce cas
dans la suite.

$\psi_+$ et $\psi_-$ �tant des fermions, ils sont d�finis � un signe pr�s.
Il en d�coule que dans le cas des cordes ferm�es, on a $\psi_+^\mu(\s+2\pi)
= \pm\psi_+^\mu(\s)$, et de m�me pour $\psi_-^\mu$. Le cas $+$ est appel�
condition de p�riodicit� de Ramond, et donne lieu � un d�veloppement en
modes avec de modes entiers, tandis que le cas $-$ est la condition de
p�riodicit� de Neveu-Schwarz, qui donne lieu � des modes demi-entiers.
Comme on peut choisir ind�pendamment le signe pour $\psi_+$ et $\psi_-$ ---
le signe doit �tre ind�pendant de $\mu$ pour assurer l'invariance de
Poincar� --- on aura quatre secteurs dans le spectre, nomm�s NS-NS, NS-R,
R-NS et R-R.

\index{condition aux bords!supercorde}
Dans le cas des cordes ouvertes, le terme de bord dans la variation de
$S_\psi$ s'�crit
\[
\frac{i}{2\pi} \int d\t (\psi_-\delta\psi_- - \psi_+\delta\psi_+).
\]
La stationnarit� de l'action impose alors l'annulation des fermions sur le
bord, d'o� d�coule leur annulation partout � cause des �quations du
mouvement. Il faut donc ajouter � chaque bord un terme
\[
S_\psi^{\mathrm{bord}} = \pm \frac{i}{2\pi} \int d\t \psi_-\psi_+
\]
o� le signe $\pm$ peut d�pendre du bord, ce qui donne la condition au bord
$\psi_-=\pm\psi_+$, et permet en outre de pr�server une des deux
supersym�tries. Il est toujours possible de prendre un signe $+$ en $\s=0$,
en red�finissant au besoin $\psi_-\rightarrow-\psi_-$. Il reste alors un
signe en $\s=\pi$�; le signe $+$ impliquant des modes entiers, et le signe
$-$ des modes demi-entiers, on parlera de condition au bord de Ramond dans
le premier cas, et de Neveu-Schwarz dans le deuxi�me cas, obtenant ainsi
deux secteurs de cordes ouvertes.

\subsubsection{Spectres NS et R}
\index{spectre!supercorde ferm�e}
On consid�re d'abord le spectre engendr� par un seul ensemble de modes NS
ou R, c'est-�-dire la corde ouverte ou un seul c�t� (gauche ou droit) de la
corde ferm�e.

Puisque dans le cas NS il n'y a pas de mode z�ro, le vide des excitations
fermioniques est non d�g�n�r�. La condition � imposer sur les �tats
physiques est qu'ils soient annul�s par $(L_0-\frac{1}{2})$, donc l'�tat
correspondant est un tachyon et la premi�re excitation, engendr�e par les
op�rateurs $\psi_{-1/2}^\mu$, est un vecteur de masse nulle. Plus
g�n�ralement les excitations NS sont des bosons.

Dans le cas R, les op�rateurs $\psi_0^\mu$, qui transforment un �tat
fondamental en un autre �tat fondamental, forment une alg�bre de Dirac, de
sorte que l'�tat fondamental est un spineur de Dirac, dont on montre qu'il
est de masse nulle. Plus g�n�ralement, les excitations R sont des fermions.

Il existe un op�rateur, baptis� \emph{nombre fermionique de surface
d'univers}, qui anticommute avec les $\psi$, et a comme valeurs propres
$\pm1$. Il est conserv� multiplicativement lors des interactions, ce qui
nous permettra d'envisager des th�ories dont le spectre NS ou R ne contient
que des �tats de nombre fermionique $+1$ ou $-1$. Parmi les �tats NS, le
tachyon est de nombre fermionique $-1$ et le vecteur de masse nulle de
nombre fermionique $+1$. Pour les �tats R de masse nulle, il est donn� par
la chiralit� de l'�tat.

\subsubsection{Cordes ferm�es}
Dans le cas de la corde ferm�e, les oscillateurs gauches et droits �tant
d�coupl�s, les �tats s'obtiennent comme produit d'un �tat gauche et d'un
�tat droit, et on a un nombre fermionique pour chaque c�t�. On obtient donc
des secteurs du spectre o� on combine un secteur gauche et un secteur droit
parmi NS$+$, NS$-$, R$+$ ou R$-$. Les secteurs (NS,NS) et (R,R) donnent des
bosons, tandis que les secteurs (NS,R) et (R,NS) donnent des fermions.

\index{projection GSO}
Il faut ensuite imposer l'invariance modulaire. Il en d�coule que seules
certaines combinaisons de secteurs sont possibles. Les deux qui nous
int�resseront sont�:
\begin{itemize}
\item Type IIA�: (NS$+$,NS$+$) (R$+$,R$-$) (NS$+$,R$-$) (R$+$,NS$+$),
\item Type IIB�: (NS$+$,NS$+$) (R$+$,R$+$) (NS$+$,R$+$) (R$+$,NS$+$).
\end{itemize}
Une telle proc�dure, consistant � imposer des conditions ind�pendantes sur
les parties gauche et droite des �tats, s'appelle la \emph{projection GSO},
du nom de ses inventeurs (Gliozzi, Scherk et Olive). Ces deux spectres ne
comportent pas de tachyon. Les deux autres th�ories invariantes modulaires
contiennent un tachyon et pas de fermion, ce qui en limite l'int�r�t.

Voyons maintenant le contenu de ces spectres � basse �nergie (�tats de
masse nulle). (NS$+$,NS$+$), produit de deux vecteurs, est identique aux
�tats de masse nulle de la corde bosonique, c'est-�-dire un scalaire
(dilaton $\Phi$), une 2-forme ($B_{\mu\nu}$) et un graviton. Cela nous
permettra, dans la suite (chapitres 2 et 4), d'�tudier la corde bosonique
en faisant abstraction des probl�mes li�s au tachyon�: les r�sultats que
nous obtiendrons seront valides d�s lors que nous ne consid�rerons que les
�tats de masse nulle, et nous n'aurons pas � introduire toute la complexit�
li�e aux supercordes.

\index{champ de fond!Ramond-Ramond}
Le secteur (R,R), produit de deux spineurs, se d�compose en formes
diff�rentielles�: dans la th�orie IIA, on obtient un vecteur $C_{(1)}$ et
une 3-forme $C_{(3)}$�; dans la th�orie IIB, on obtient un scalaire
$C_{(0)}$, une 2-forme $C_{(2)}$ et une 4-forme self-duale $C_{(4)}$
(c'est-�-dire que $dC_{(4)}=*dC_{(4)}$). Il sera utile, dans la suite, de
d�finir des formes de degr� plus �lev�, avec la propri�t�
$dC_{(8-n)}=*dC_{(n)}$. Pour plus de d�tails sur cette d�composition, on se
r�f�rera au d�but de \cite{BacBr}.

Les secteurs (NS,R) et (R,NS) contiennent chacun un gravitino (particle de
spin 3/2) et un spineur de Majorana-Weyl�; les gravitinos de ces deux
secteurs sont de m�me chiralit� pour la corde IIB et de chiralit�s
diff�rentes pour la corde IIA.

� ce stade, il para�trait naturel d'�crire une g�n�ralisation de l'action
\eqref{ModSigma}. Dans le cas de fonds NS-NS, cela est possible, et on
obtient l'action \eqref{ModSigma} plus des termes fermioniques que le
lecteur pourra trouver dans la litt�rature. Dans le cas de fonds R-R, il
n'y a pas de telle action, ce qui rend difficile leur �tude, sauf dans
certains cas o� des dualit�s permettent de se ramener � des fonds NS-NS.
Nous en verrons un exemple dans le chapitre~3.

\index{supersymetrie@supersym�trie d'espace-temps}
De m�me qu'un vecteur de masse nulle ne peut interagir de fa�on coh�rente
que s'il existe une sym�trie locale avec une quantit� conserv�e scalaire,
un spin 3/2 de masse nulle ne peut interagir que s'il existe une sym�trie
locale avec une quantit� conserv�e spinorielle, autrement dit une
supersym�trie d'espace-temps. Puisqu'il y a deux gravitinos, c'est m�me
d'une supersym�trie �tendue qu'il s'agit, avec $\N=(1,1)$ pour la th�orie
IIA, et $\N=(2,0)$ pour la th�orie IIB, soit 32 supercharges dans les deux
cas. On notera que les supersym�tries de surface d'univers et
d'espace-temps sont deux choses distinctes, qui ne sont reli�es que de
fa�on indirecte.

On peut trouver �trange que la supersym�trie d'espace-temps n'ait pas �t�
manifeste d�s le d�but. Il existe une formulation manifestement
supersym�trique des supercordes, dite \emph{corde de Green-Schwarz}, o�, au
lieu de fermions de surface d'univers, on a des fermions d'espace-temps. Le
probl�me de cette formulation est qu'elle est tr�s difficile � quantifier
sans briser l'invariance de Lorentz, c'est pourquoi on lui pr�f�re souvent
la formulation RNS. C'est ce que nous ferons dans la suite.

\index{supercorde!heterotique@h�t�rotique}
Par souci de compl�tude, signalons l'existence d'un autre type de
supercorde, la \emph{corde h�t�rotique}. Elle s'obtient en mettant, en lieu
et place des fermions gauches se transformant sous le groupe de Lorentz
d'espace-temps, des champs se transformant selon une sym�trie interne,
c'est-�-dire qu'on ne garde que la supersym�trie de surface d'univers
droite. On obtient alors dans le spectre de masse nulle un dilaton, une
2-forme, un graviton, un gravitino et un vecteur de groupe de jauge
$\SO(32)$ ou $E_8\times�E_8$. Dans la mesure o� cela n'interviendra pas
dans cette th�se, nous n'en parlerons pas plus.

\subsubsection{T-dualit�}
\index{T-dualite@T-dualit�!supercorde}
Comme nous l'avons vu pr�c�demment, la sym�trie de T-dualit� change la
composante droite de $X$ en son oppos�. La supersym�trie de surface
d'univers entra�ne alors qu'il faut aussi appliquer cette transformation �
$\psi_-$. Cela a pour effet de changer la chiralit� du secteur R droit, ce
qui �change les th�ories IIA et IIB. Il en d�coule �galement des
transformations pour les champs R-R, qui consistent essentiellement �
enlever l'indice correspondant � la dimension compactifi�e lorsqu'il y
�tait, et � l'ajouter lorsqu'il n'y �tait pas. Ainsi, dans le cas o� la
dimension compactifi�e est la 9, on a�:
\[
C \leftrightarrow C_9, \quad C_\mu \leftrightarrow C_{9\mu}, \quad
\text{etc.}
\]

\subsection{Cordes ouvertes et D-branes}
Comme dans le cas de la corde bosonique, on peut ajouter des D-branes et y
accrocher des cordes ouvertes, avec des conditions aux bords de Neumann
parall�lement � la D-brane, et Dirichlet orthogonalement � la D-brane. La
supersym�trie de surface d'univers impose que le signe dans la condition au
bord $\psi_-=\pm\psi_+$ pour une coordonn�e Dirichlet soit oppos� � celui
pour une coordonn�e Neumann. Ceci est coh�rent avec le fait qu'une
T-dualit� le long d'une coordonn�e la fait passer de Neumann � Dirichlet,
ou inversement.

\index{spectre!supercorde ouverte}
Les D-branes � nombre pair de dimensions spatiales, pour la corde IIA, ou
impair, pour la corde IIB, pr�servent la moiti� des supersym�tries
d'espace-temps, soit 16 supercharges. Il en d�coule leur stabilit�: en
effet, la projection GSO appliqu�e aux cordes ouvertes �limine alors le
tachyon, et leur spectre de masse nulle comporte un boson de jauge, des
fluctuations de position de la D-brane (secteur NS$+$, similaire � la corde
bosonique) et un spineur (secteur R$\pm$). (Il existe aussi des D-branes
stables ne pr�servant pas de supersym�trie�; nous n'en parlerons pas dans
cette th�se.)

\subsubsection{Action effective}
\index{Born-Infeld, action de!avec terme de Wess-Zumino}
\index{Wess-Zumino, terme de!action effective de D-brane|see{Born-Infeld}}
Comme dans le cas bosonique, la D-brane admet une action effective. Nous
nous limiterons ici � la partie concernant les champs bosoniques.

Le couplage aux champs NS-NS est le m�me que pour la corde bosonique, et
est donn� par l'action de Born-Infeld \eqref{AcBI}.

On montre qu'une D$p$-brane ($p\leq8$) est, en outre, charg�e sous la
$(p+1)$-forme R-R $C_{(p+1)}$, d'o� d�coule un terme $\int�C_{(p+1)}$ dans
l'action. (Le cas des D9-branes est sp�cial, puisqu'elles n'existent que
dans le cas de la th�orie de type I, que nous �voquerons plus loin.) La
supersym�trie entra�ne que la charge correspondante est �gale au couplage
$T_p$ de la D-brane au graviton. D'autre part, des raisonnements de
T-dualit� similaires � ceux que nous avons fait dans le cas bosonique
montrent l'existence de termes, dits \emph{termes de Wess-Zumino}, couplant
les champs R-R et le champ de jauge, que l'on peut r�sumer par
\[
\int \exp(\hat{B} + 2\pi\a'F) \wedge \sum_q C_{(q)}
\]
�tant entendu que l'on extrait de ce produit les termes qui sont des
$(p+1)$-formes. Il en d�coule l'action effective de
Born-Infeld-Wess-Zumino�:
\begin{equation}
\label{BIWZ}
S_{\mathrm{eff}} = T_p \left(
   - \int d^{p+1}\xi\, e^{-\Phi} \sqrt{-\det(\hat{G} + \hat{B} + 2\pi\a'F)}
   + \int \exp(\hat{B} + 2\pi\a'F) \wedge \sum_q C_{(q)}
   \right).
\end{equation}

Le couplage $T_p$ peut �tre calcul� en comparant l'amplitude de l'�change
d'un graviton entre deux D-branes calcul�e en th�orie des cordes et celle
calcul�e avec la th�orie des champs effective, et on trouve alors
\[
T_p = \frac{\sqrt{\pi}}{\kappa_0} (2\pi\sqrt{\a'})^{3-p}.
\]
On remarque tout d'abord la relation $T_p=2\pi\sqrt{\a'}T_{p+1}$, qui peut
se trouver par T-dualit�. D'autre part, on note une d�pendance en
$\kappa_0$ qui, comme nous l'avons signal� pr�c�demment, n'est pas une
quantit� physique, les quantit�s physiques �tant $\kappa_0�e^{\Phi_0}$
(couplage gravitationnel) et $\t_p=T_p�e^{-\Phi_0}$ (tension de la
D$p$-brane).

Dans le cas de la th�orie IIB, on a deux objets � une dimension spatiale,
la D1-brane, de tension $\t_1$, et la corde fondamentale, de tension
$\t_F=1/2\pi\a'$. Le rapport $\t_F/\t_1$ est proportionnel au couplage
$g=e^{\Phi_0}$�; il appara�tra dans la suite int�ressant de faire en sorte
qu'il soit �gal � $g$, ce qui impose de choisir $\kappa_0=8\pi^{7/2}\a'^2$.
Le fait de fixer $\kappa_0$ fixe aussi $\Phi_0$ pour un fond donn�,
autrement dit cela fixe la normalisation additive du dilaton.

\index{NS5-brane}
Puisque, pour chaque champ R-R, il existe un objet charg� �lectriquement et
un charg� magn�tiquement sous lui (un objet charg� �lectriquement sous
$C_{(p)}$ est charg� magn�tiquement sous $C_{(8-p)}$), on peut se demander
s'il en est de m�me pour le champ NS-NS $B$. Il d�coule de l'action
\eqref{ModSigma} que l'objet charg� �lectriquement sous $B$ n'est autre que
la corde fondamentale�; l'objet charg� magn�tiquement sous $B$ est une
\emph{NS5-brane}, dont les fluctuations n'ont pas de description
perturbative comme celles des D-branes (qui sont les cordes ouvertes qui y
sont accroch�es). Comme les D-branes, la NS5-brane pr�serve la moiti� des
supersym�tries d'espace-temps.

\subsection{Actions effectives � basse �nergie et S-dualit�}
\index{action effective!supercorde ferm�e}
Comme pour la corde bosonique, les excitations de la supercorde admettent
une action effective � basse �nergie. L'absence de mod�le sigma pour une
corde en pr�sence de champs R-R n'emp�che pas d'�crire une action
effective. En effet, la supersym�trie d'espace-temps est tr�s
contraignante, et fixe compl�tement l'action � d'�ventuelles red�finitions
des champs pr�s�; l'action obtenue est celle de la supergravit� IIA ou IIB,
selon le cas.

Pour la corde IIA, on obtient
\[
S_{\mathrm{eff}} = \frac{1}{2\kappa_0^2} \int d^Dx \sqrt{-\det G} \left[
  e^{-2\Phi} \left( R + 4\d_\mu\Phi\d^\mu\Phi - \frac{1}{12} H^2 \right)
  - \frac{1}{8} (dC_{(1)})^2 - \frac{1}{48} (dC_{(3)})^2
\right]
\]
plus des termes cubiques et quartiques en les formes diff�rentielles.

Dans le cas de la corde IIB, la self-dualit� de $C_{(4)}$ exclut
l'existence d'une action covariante. N�anmoins, les �quations du mouvement
peuvent se d�duire de l'action suivante
\[
\begin{split}
S_{\mathrm{eff}} &= \frac{1}{2\kappa_0^2} \int d^Dx \sqrt{-\det G} \left[
  e^{-2\Phi} \left( R + 4\d_\mu\Phi\d^\mu\Phi - \frac{1}{12} H^2 \right)
  \right. \\ &\quad \left.
  - \frac{1}{2} (dC_{(0)})^2 - \frac{1}{12} (dC_{(2)})^2
  - \frac{1}{480} (dC_{(4)})^2 \text{ + termes cubiques et quartiques}
\right]
\end{split}
\]
en imposant la contrainte $dC_{(4)}=*dC_{(4)}$ sur les solutions.

\index{S-dualite@S-dualit�}
Cette action poss�de une sym�trie $\SL(2,\R)$ par laquelle les champs se
transforment comme suit�:
\begin{align*}
\t' &= \frac{a\t+b}{c\t+d}\ , \text{ avec } \t = C_{(0)} + i e^{-\Phi} \\
\begin{pmatrix} C'_{(2)} \\ B' \end{pmatrix} &=
\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} C_{(2)} \\ B \end{pmatrix}
\end{align*}
o� $ad-bc=1$, et $C_{(4)}$ et la m�trique d'Einstein $G_E=e^{-\Phi/2}G$
restent inchang�s.

On peut se demander si la th�orie des cordes pr�serve tout ou partie de
cette sym�trie de la supergravit�. Puisque ces transformations m�langent
les 2-formes NS-NS et R-R, cela conduirait, dans le cas o� $a$, $b$, $c$ et
$d$ sont quelconques, � transformer la corde fondamentale en un �tat de
charges quelconques sous les deux 2-formes, ce qui violerait la condition
de quantification de Dirac, sauf dans le cas o� $a$, $b$, $c$ et $d$ sont
entiers. On est donc amen� � conjecturer l'existence d'une sym�trie
$\SL(2,\Z)$, nomm�e \emph{S-dualit�} pour la th�orie IIB. Le g�n�rateur
transformant $\t$ en $-1/\t$ �change les cordes fondamentales et les
D1-branes, les NS5- et D5-branes et laisse les D3-branes invariantes. Dans
ce dernier cas, il d�coule une sym�trie $\SL(2,\Z)$ de la th�orie des
champs effective sur la D3-brane, dont le lecteur pourra trouver
l'expression et la d�monstration en \citemoi{C}. Signalons que, dans le cas
ou $C_{(0)}=0$, la transformation $\t\rightarrow-1/\t$ change $\Phi$ en
$-\Phi$, et donc le couplage en son inverse�; c'est donc une dualit� non
perturbative.

\subsection{Orientifolds et cordes de type I}
\index{orientifold!supercordes}
Comme dans le cas des cordes bosoniques, il existe en th�orie des
supercordes des orientifolds, obtenus en quotientant la th�orie par le
produit de la parit� de surface d'univers $\Omega$ et d'une isom�trie
involutive de l'espace-temps.

Dans le cas des cordes IIB, $\Omega$ est une sym�trie de la th�orie�; les
isom�tries d'espace-temps changeant l'orientation ne le sont pas parce que
le spectre est chiral. Il en d�coule la possibilit� d'orientifolds de
dimension spatiale impaire. La moiti� des supersym�tries d'espace-temps est
pr�serv�e.

\index{supercorde!type I}
Si l'isom�trie intervenant dans le quotient est l'identit�, on a affaire �
un orientifold $\O9$, c'est-�-dire � des cordes non orient�es. Apr�s
projection, il reste dans le spectre de masse nulle le graviton et le
dilaton, comme pour les cordes bosoniques, ainsi que la 2-forme R-R
$C_{(2)}$. La th�orie ainsi obtenue souffre d'anomalies dont la
compensation requiert l'introduction de 32 D9-branes, donc de cordes
ouvertes, avec un groupe de jauge $\SO(32)$�; le r�sultat obtenu est appel�
\emph{th�orie des cordes de type~I}. R�ciproquement, l'existence de
D9-branes introduit une anomalie dont la compensation requiert la pr�sence
d'un $\O9$, et donc n'est possible que dans le cadre de la th�orie de
type~I. Il peut y exister des D1- et D5-branes, charg�es respectivement
�lectriquement et magn�tiquement sous $C_{(2)}$. Comme les cordes de type~I
n'interviendront pas dans la suite de cette th�se, nous n'en parlerons pas
plus.

Dans le cas des cordes IIA, $\Omega$ n'est pas une sym�trie de la th�orie,
car elle est chirale sur la surface d'univers. En revanche, le produit de
$\Omega$ par une isom�trie d'espace-temps changeant l'orientation l'est, et
on obtient alors un orientifold de dimension spatiale paire.
\index{supercorde!type II|)}

intro.tex
\chapter*{Introduction}
\subsubsection{G�n�ralit�s sur la th�orie des cordes}
Le monde tel que nous le connaissons est d�crit par le Mod�le Standard de
la physique des particules (interactions �lectrofaible et forte) et la
Relativit� G�n�rale (interaction gravitationnelle), qui rendent compte des
donn�es exp�rimentales actuelles des �chelles subatomiques aux �chelles
cosmologiques. Cette compr�hension de l'univers est cependant loin d'�tre
satisfaisante�: la Relativit� G�n�rale est en effet une th�orie classique,
et il faudrait, pour obtenir un tout coh�rent, une description quantique de
la gravitation, ce qui est un probl�me tr�s difficile, et non encore
pleinement r�solu.

Il y a eu une tentative de quantification de la gravitation � partir de ses
principes fondamentaux, � savoir l'invariance par diff�omorphismes, nomm�e
\emph{gravit� quantique de boucles}. On ne sait malheureusement pas faire
grand-chose avec�: notamment, elle n'a pas de d�veloppement perturbatif, ce
qui rend difficile des pr�dictions physiques.

La th�orie des cordes, � l'inverse, n'est pas fond�e sur les principes
fondamentaux de la Relativit� G�n�rale. En fait, lorsqu'elle est n�e au
d�but des ann�es soixante-dix, la th�orie des cordes avait vocation �
d�crire les interactions fortes. Mais d'une part, ses pr�dictions en tant
que th�orie des interactions fortes �taient incompatibles avec
l'exp�rience, d'autre part il est apparu qu'elle contient n�cessairement
une excitation de spin~2 et de masse nulle, naturellement identifi�e au
graviton.

Le principe de la th�orie des cordes est que les diff�rentes formes de
mati�re et de rayonnement sont des excitations d'une corde, au lieu d'�tre
des particules ponctuelles. L'int�r�t de consid�rer des objets �tendus est
que cela permet de ne pas avoir les divergences ultraviolettes que l'on
obtient habituellement en th�orie des champs, en particulier dans le cas de
la gravitation, qui est non renormalisable.

La th�orie des cordes, telle qu'elle est formul�e actuellement, est une
th�orie perturbative, en ce sens qu'on y consid�re des excitations autour
d'un vide fix�, alors qu'on s'attend � ce qu'il soit d�termin�
dynamiquement. Il d�coule que, comme en th�orie quantique des champs, on ne
sait gu�re calculer de quantit�s physiques qu'� couplage faible. Il ne
s'agit donc pas d'une th�orie compl�te, mais du d�veloppement perturbatif
d'une th�orie � l'heure actuelle inconnue. On peut toutefois formuler des
conjectures relatives aux propri�t�s � couplage fort de cette th�orie
inconnue en utilisant la supersym�trie pr�sente dans la th�orie
perturbative et les th�or�mes de non-renormalisation qui en d�coulent. On
trouve alors notamment des dualit�s couplage fort/couplage faible, telles
que la S-dualit� que nous utiliserons dans le chapitre~3. (On notera que
cela suppose que la supersym�trie reste pr�sente dans la th�orie non
perturbative. Sans cette hypoth�se, on ne pourrait rien faire.)

M�me en restant dans le domaine perturbatif, on ne sait r�soudre la th�orie
des cordes que dans peu de champs de fond�: l'espace de Minkowski et ses
compactifications toro�dales, bien s�r, et aussi les vari�t�s de groupes
compacts. Ces derni�res sont un moyen d'�tudier les espaces courbes, et
nous avons utilis� les techniques qui leur sont sp�cifiques dans le
chapitre 2. Les cas plus g�n�raux restent assez largement inconnus, en
particulier les fonds d�pendant du temps, d'une grande importance en
cosmologie, notamment pour voir si la th�orie des cordes permet de r�soudre
la singularit� initiale du Big Bang.

Un d�veloppement essentiel dans les ann�es quatre-vingt-dix est
la d�couverte de l'importance des D-branes. Il s'agit d'objets �tendus, de
dimensions vari�es, sur lesquels les extr�mit�s des cordes ouvertes
s'accrochent. Elles jouent un r�le essentiel dans les dualit�s mentionn�es
ci-dessus�: par exemple, la S-dualit� de la th�orie dite de type IIB
�change les cordes fondamentales --- celles de la th�orie perturbative ---
et les D-branes de dimension spatiale un. Elles joueront un r�le essentiel
dans toute cette th�se.

La coh�rence de la th�orie requiert qu'elle soit formul�e en dimension dix,
ce qui en fait six de trop si on veut d�crire notre univers avec. Le
premier moyen envisag� pour obtenir une th�orie effective � quatre
dimensions est de \emph{compactifier} les six dimensions suppl�mentaires,
c'est-�-dire consid�rer les cordes sur le produit cart�sien de l'espace de
Minkowski � quatre dimensions et d'une vari�t� compacte de dimension six.
Les D-branes permettent d'autres possibilit�s, puisque les cordes ouvertes
qui y sont accroch�es sont contraintes de rester � leur voisinage�; nous
�voquerons cela plus en d�tail dans le chapitre~3.

\subsubsection{Plan de cette th�se}
Le premier chapitre vise � introduire la th�orie des cordes, en mettant
l'accent sur ce qui sera n�cessaire dans la suite pour pr�senter nos
travaux. Il commence par la quantification de la corde bosonique, qui est
une th�orie des cordes sans fermions avec laquelle nous travaillerons dans
la plus grande partie de cette th�se par souci de simplicit�, et explique
comment on fait interagir les cordes bosoniques ferm�es. Ensuite nous
introduisons les cordes ouvertes, et montrons que les D-branes apparaissent
naturellement dans la th�orie. Nous �tudions ensuite les cordes non
orient�es et les orientifolds, qui sont un autre type de d�faut
topologique. Enfin, nous d�crivons bri�vement la th�orie des supercordes.

Le deuxi�me chapitre �tudie les cordes sur un groupe compact, dont la
structure alg�brique permet de r�soudre la th�orie des cordes (dans le m�me
sens qu'on sait la r�soudre sur l'espace de Minkowski). Nous commen�ons par
y rappeler des r�sultats connus sur les cordes et les D-branes dans de tels
espaces, et notamment le fait remarquable que, dans ces g�om�tries, un
calcul semi-classique des fluctuations des D-branes permet de trouver leur
spectre exact tel qu'on sait le calculer en th�orie conforme, en nous
focalisant sur les cas les plus simples, � savoir la 3-sph�re (groupe
$\SU(2)$) et l'espace projectif $\RP^3$ (groupe $\SO(3)$). Nous d�crivons
ensuite nos r�sultats sur les orientifolds dans ces espaces, � savoir leur
position et leurs interactions avec les cordes ouvertes et ferm�es.

Le troisi�me chapitre s'int�resse aux D-branes dans des espaces
anti-de~Sitter en pr�sence de champs Ramond-Ramond. La motivation de cette
�tude est li�e au fait que, gr�ce � la possibilit� de localiser la gravit�
sur une D-brane, on peut envisager un \emph{univers branaire}, c'est-�-dire
o� ce que nous observons est contenu dans une D-brane � 4 dimensions�; nous
commen�ons donc par rappeler divers faits � propos de ce type de
configurations. Ensuite, nous rappelons des r�sultats connus sur les
D-branes anti-de~Sitter dans des fonds Neveu-Schwarz et nos r�sultats sur
les fonds Ramond-Ramond, utilisant la S-dualit� reliant ces deux types de
fonds.

Le quatri�me chapitre �tudie les cordes ouvertes sur une D-brane parcourue
par une onde plane. L'int�r�t d'une telle �tude est qu'il s'agit d'un fond
d�pendant du temps suffisamment simple pour arriver � calculer
explicitement certaines amplitudes, et pr�sente une analogie avec certains
mod�les-jouets de singularit� cosmologique. Nous pr�sentons les r�sultats
pr�c�demment connus, concernant les amplitudes � deux cordes, et les
n�tres, h�las tr�s partiels, concernant les amplitudes � trois cordes.

Nous terminons, de fa�on originale, par une conclusion, o� nous rappelons
les principaux r�sultats de cette th�se et donnons quelques perspectives de
recherche.

Les r�sultats obtenus au cours de cette th�se, � l'exception de ceux du
chapitre~4, ont donn� lieu � des publications jointes en annexe.

pulse.tex
\chapter{Cordes ouvertes dans une onde plane}

Jusqu'� pr�sent, nous nous sommes int�ress� � des fonds ind�pendants du
temps. Les fonds d�pendants du temps posent en effet des probl�mes � la
fois techniques et conceptuels, qui viennent notamment du fait que la
th�orie des cordes perturbative est formul�e comme une th�orie de
matrice~$S$, alors qu'on ne peut pas toujours d�finir d'�tats asymptotiques
dans une g�om�trie d�pendant du temps.

Parmi les fonds les plus �tudi�s, il y a les g�om�tries obtenues en
quotientant l'espace plat par un boost, �ventuellement de genre lumi�re
\cite{TDOrb}, l'int�r�t �tant que l'espace est plat, ce qui simplifie
grandement la quantification de la corde. Ces fonds sont des mod�les jouets
pour un ��rebond cosmologique�� (un Big Crunch suivi d'un Big Bang), et
peuvent contenir une singularit� de genre espace ou lumi�re�; la r�solution
de telles singularit�s en th�orie des cordes reste un probl�me ouvert.

On peut aborder ces probl�mes en consid�rant un analogue en termes de
cordes ouvertes \cite{BH}. Il s'agit d'une configuration, dite
\emph{ciseaux de genre lumi�re}, o� deux D-branes qui se coupent bougent
l'une par rapport � l'autre de sorte que les points d'intersection vont �
la vitesse de la lumi�re, le tout �tant plong� dans un espace de Minkowski
ordinaire. L'int�r�t d'une telle �tude est que l'on peut isoler les effets
cordistes de ceux d�s � une forte gravit�, ces derniers �tant absents dans
le cas ouvert, et qu'on peut r�gulariser le comportement � grands temps en
rendant les D-branes parall�les dans le pass� et le futur lointains (fig.
\ref{ciseaux}) --- cela est analogue � stopper l'expansion de l'Univers
dans le cas du quotient ci-dessus, et permet d'avoir des �tats
asymptotiques.
\begin{figure}
\begin{center}
\scalebox{0.7}{\input{ciseaux.pstex_t}}
\end{center}
\caption{Ciseaux de genre lumi�re r�gularis�s.}
\label{ciseaux}
\end{figure}

Les ciseaux de genre lumi�re r�gularis�s sont un cas particulier de
D-branes portant une onde plane, qui font l'objet de ce chapitre. L'int�r�t
de telles D-branes est que, moyennant un choix de jauge particulier, la
\emph{jauge du c�ne de lumi�re}, la th�orie des champs sur la surface
d'univers est libre avec des sources, ce qui permet de calculer diverses
quantit�s explicitement. On pourra donc, en particulier, envisager, dans le
cas des ciseaux de genre lumi�re r�gularis�s d�crits ci-dessus, de voir
s'il y a une divergence infrarouge dans l'�mission de cordes ouvertes de
masse nulle par une corde tendue entre les deux D-branes, ce qui serait le
signe d'une forte r�troaction � tout couplage. On s'attend � ce que ce soit
le cas au moins dans la limite o� la distance entre les D-branes tend vers
l'infini, car alors l'�nergie d'une corde tendue entre elles tendrait aussi
vers l'infini, et il faut bien qu'elle prenne cette �nergie quelque part,
d'o� une r�troaction sur les D-branes. Un objectif de ce chapitre sera donc
de voir comment aborder ce genre de calcul.

\section{Quantification de la corde dans la jauge du c�ne de lumi�re}
\index{quantification!dans la jauge du c�ne de lumi�re}
Au d�but du chapitre 1, nous avons vu qu'apr�s fixation de la m�trique dans
l'action de Polyakov \eqref{AcPol}, il reste des sym�tries, qui sont les
transformations conformes des coordonn�es. Nous allons voir que, moyennant
un abandon de la covariance manifeste de Lorentz de l'espace-temps cible,
on peut fixer compl�tement la jauge et imposer simplement la contrainte
\eqref{contrainte}.

La forme g�n�rale des transformations conformes est
\[
\s^+ \rightarrow \tilde{\s}^+(\s^+),\ \s^- \rightarrow \tilde{\s}^-(\s^-)
\]
avec $\s^\pm \equiv \t\pm\s$. Il en d�coule que $\t$ et $\s$ se
transforment en
\begin{align*}
\tilde{\t} &= \frac{1}{2}[\tilde{\s}^+(\t+\s)+\tilde{\s}^-(\t-\s)] \\
\tilde{\s} &= \frac{1}{2}[\tilde{\s}^+(\t+\s)-\tilde{\s}^-(\t-\s)].
\end{align*}
Ceci �quivaut � demander que $\tilde{\t}$ soit une solution quelconque de
l'�quation $\Box\tilde{\tau} = 0$, et $\tilde\s$ est alors fix� � une
constante additive pr�s.

Dans le cas d'une corde ouverte, le fait que $\tilde{\s}$ soit constant aux
bords entra�ne la condition aux bords $\d_{\s}\tilde\t$. Ces deux
conditions sont, par les �quations du mouvement, v�rifi�es par toute
combinaison lin�aire des coordonn�es $X^\mu$�; pour simplifier l'expression
de la contrainte \eqref{contrainte}, on prend $\tilde\t = X^+/(2\a'p^+)$,
la normalisation �tant n�cessaire pour que $\tilde\s$ ait la bonne
normalisation (c'est-�-dire un �cart de $\pi$ entre les bords), ce qui
revient � consid�rer qu'on prend
\[
X^+ = 2\a' p^+ \t,
\]
o�
\[
X^\pm = \frac{X^0 \pm X^1}{\sqrt{2}}
\]
sont les coordonn�es du c�ne de lumi�re.

La contrainte \eqref{contrainte} s'�crit alors
\[
\d_\pm X^- = \frac{1}{p^+} (\d_\pm X^i)^2,
\]
$i$ parcourant les indices $2$ � $D-1$, de sorte que $X^-$ est compl�tement
d�termin� � une constante additive pr�s. Les variables dynamiques sont donc
le mode z�ro de $X^-$ et les $D-2$ champs $X^i$.

Il d�coule de l'�quation pr�c�dente que l'impulsion $p^-$ s'�crit�:
\[
p^- = \frac{1}{2p^+} \left[ (p^i)^2 + \frac{1}{\a'} \left(
            \sum_{i=2}^{D-1}\sum_{m>0} \a_{-m}^i \a_m^i - a \right) \right]
\]
o�, comme au premier chapitre, nous avons introduit une constante $a$ �
cause de l'ordre normal. Il en d�coule que la masse des �tats vaut
\[
m^2 = 2p^+p^- - (p^i)^2 = \frac{1}{\a'} (N-a)
\]
o� $N$ est le nombre d'excitations selon les coordonn�es 2 � $D-1$.

Il se pose alors la question de l'invariance de Lorentz de cette th�orie.
Puisque nous l'avons obtenue � partir d'une th�orie invariante de Lorentz,
il est n�cessaire � la coh�rence qu'elle le soit. On peut calculer
explicitement les g�n�rateurs du groupe de Lorentz, et on constate alors
que le commutateur $[J^{i-},J^{j-}]$, qui devrait �tre nul, ne l'est
effectivement que si $D=26$ et $a=1$, c'est-�-dire pr�cis�ment ce que nous
avons trouv� lors de la quantification covariante, et le spectre est donc
le m�me. Notons toutefois qu'il n'y a pas � imposer de conditions sur les
�tats comme lors de la quantification covariante, et donc on obtient les
�tats simplement en faisant agir les $\a^i_{-n}$ sur un �tat non excit�.

Dans le cas de la corde ferm�e, les choses sont similaires, avec des
parties gauche et droite ind�pendantes, � ceci pr�s qu'on doit imposer la
condition $N=\tilde{N}$. Nous ne d�taillerons pas plus.

\index{D-brane!ondulante|(}
\section{Corde libre sur une D-corde ondulante}
\subsection{Description du fond}
La configuration qui nous int�resse ici est une D1-brane, param�tr�e par
les coordonn�es du c�ne de lumi�re $X^+$ et $X^-$. Les autres coordonn�es
sont donn�es par $X^i=Y^i(X^+)$, o� les $Y^i$ sont des fonctions continues
� support compact (on s'attend � ce que les r�sultats s'�tendent au cas de
fonctions d�croissant ��suffisamment vite��). Ceci d�crit une impulsion
d'onde plane de d�formation allant � la vitesse de la lumi�re (fig.
\ref{pulse}).
\begin{figure}
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.7]{pulse.eps}
\end{center}
\caption{Corde fondamentale accroch�e � une D-corde ondulante.}
\label{pulse}
\end{figure}
Le support compact des fonctions $Y^i$ permet, pour les cordes ouvertes sur
cette D-brane, des �tats asymptotiques � temps suffisamment petit ou grand
qui sont ceux d'une corde ouverte sur une D-brane plate donn�e par $X^i=0$.
Le couplage de la corde avec l'onde sur la D-brane est donn�, comme le
montre l'action \eqref{AcOuv}, par
\index{couplage!� une D-brane}
\[
S_I = \pm \frac{1}{2\pi\a'} \int d\t\, Y^i(X^+) \d_\s X_i.
\]
Cette action n'ayant pas de d�pendance en $X^-$, l'impulsion $p^+$ est
conserv�e, et $X^+$ v�rifie les m�mes �quations du mouvement et conditions
aux bords qu'en l'absence d'onde. On peut donc passer dans la jauge du c�ne
de lumi�re comme expliqu� pr�c�demment et, du point de vue de la surface
d'univers, on a affaire � des champs libres $X^i$ coupl�s � des sources
d�pendant du temps $Y^i(2\a'p^+\t)$. Pour all�ger les notations, on prendra
dans la suite $2\a'=1$.

Par T-dualit�, une telle onde est �quivalente � une onde �lectromagn�tique
plane $A_i(X^+)$ sur le volume d'univers d'une D-brane en dimension plus
�lev�e. Une grande partie de ce que nous allons faire ici pourra s'y
transposer facilement. N�anmoins, dans le cas �lectromagn�tique, les
conditions aux bords de Neumann (modifi�es par le champ) conduisent �
l'existence de modes z�ros pour la corde qui compliqueraient quelque peu la
discussion�; aussi consid�rerons-nous le cas d'une onde de d�formation
d'une D1-brane dans ce qui suit.

Par souci de simplicit�, nous ne travaillerons ici que dans le cadre de la
corde bosonique. Signalons toutefois que dans le cas de la supercorde, le
terme d'interaction fermionique s'�crit uniquement en termes de $\psi^+$
(le partenaire supersym�trique de $X^+$), qui s'annule dans la jauge du
c�ne de lumi�re, de sorte que le terme d'interaction est in fine le m�me
que pour la corde bosonique. Il en d�coule que beaucoup de r�sultats de la
corde bosonique devraient pouvoir se transposer simplement � la supercorde.

Enfin, dans la mesure o� les $X^i$ sont d�coupl�s entre eux, nous n'en
consid�rerons qu'un, et omettrons l'indice $i$.

\subsection{Fonctions de corr�lation}
Nous consid�rons dans un premier temps une corde ��libre��, au sens o� il
n'y a pas de coupure ou de fusion de cordes. Malgr� cette absence
d'interaction entre cordes, la pr�sence d'une source rend la matrice $S$
non triviale.

Pour calculer les amplitudes, on est amen� � consid�rer des fonctions de
corr�lation telles que
\begin{equation}
\<0_{out}| X(\t_1,\s_1) \ldots X(\t_n,\s_n) |0_{in}\>_S
= \<0_{out}| X(\t_1,\s_1) \ldots X(\t_n,\s_n) \exp(iS_I) |0_{in}\>,
\label{corgen}
\end{equation}
les �tats $|0_{in}\>$ et $|0_{out}\>$ �tant en pr�sence de la source dans
le premier cas, et en son absence dans le second. On a ici
$|0_{in}\>=|0_{out}\>$ (en l'absence de source), mais nous les distinguons
afin de pouvoir plus loin appliquer ce formalisme au cas des interactions.

On va se placer dans le cas d'une source g�n�rique, c'est-�-dire non
localis�e au bord, et donc
\[
S_I = \int d\t\,d\s\, J(\t,\s) X(\t,\s)
\]
o� $J$ est une fonction quelconque. L'�quation du mouvement s'�crit alors
$\Box�X=-\pi�J$. Il en d�coule que
$\<0_{out}|X(\t,\s)|0_{in}\>_S/\<0_{out}|0_{in}\>_S$ doit �galement
v�rifier cette �quation. Cette condition, et le fait que cette quantit�
doit s'annuler au bord (si $J$ ne contient pas de $\delta$ ou d�riv�e de
$\delta$ au bord) et ne contenir que des termes en $e^{-in\t}$ (resp.
$e^{+in\t}$), $n>0$, quand $\t\to+\infty$ (resp. $-\infty$), impose que
\index{propagateur}
\begin{equation}
\frac{\<0_{out}|X(\t,\s)|0_{in}\>_S}{\<0_{out}|0_{in}\>_S}
= i\int d\t' d\s' N(\t,\s;\t',\s') J(\t',\s')
\label{corJ}
\end{equation}
o� $N$, le propagateur, doit v�rifier
$\Box�N(\t,\s;\t',\s')=i\pi\delta(\t-\t')\delta(\s-\s')$, s'annuler au bord
et v�rifier les m�mes conditions que $\<X\>$ quand $\t\to\pm\infty$. Nous
l'expliciterons plus loin.

La fonction de corr�lation $\<0_{out}|\exp(iS_I)|0_{in}\>$ v�rifie
l'�quation diff�rentielle suivante�:
\[
\begin{split}
\frac{\delta}{\delta J(\t,\s)} \<0_{out}| \exp(iS_I) |0_{in}\>
&= i\<0_{out}| X(\t,\s) \exp(iS_I) |0_{in}\> \\
&= -\int d\t' d\s' N(\t,\s;\t',\s') J(\t',\s')
                   \<0_{out}| \exp(iS_I) |0_{in}\>
\end{split}
\]
o� la deuxi�me �galit� d�coule de l'�quation \eqref{corJ}. Cette �quation
se r�sout ais�ment, et on trouve
\begin{equation}
\<0_{out}| \exp(iS_I) |0_{in}\> = C \exp\!\left[
   -\frac{1}{2} \int d\t'\,d\s'\,d\t''\,d\s''\,
                    N(\t',\s';\t'',\s'') J(\t',\s') J(\t'',\s'')
   \right]
\label{corexp}
\end{equation}
o� $C$ est une constante ind�pendante de $J$. Bien s�r, dans le cas d'une
corde libre, ${C=\<0_{out}|0_{in}\>=1}$. � partir de cette amplitude, on
peut obtenir des fonctions de corr�lations g�n�rales comme dans
l'�quation~\eqref{corgen} en d�rivant plusieurs fois \eqref{corexp} par
rapport � la source $J$. On peut notamment v�rifier que
$\<0_{out}|X(\t,\s)X(\t',\s')|0_{in}\>=N(\t,\s;\t',\s')$.

Dans le cas qui nous int�resse ici, on a
\[
J(\t,\s) = -\frac{1}{\pi} (\delta'(\s) - \delta'(\s-\pi)) Y(p^+\t)
\]
d'o�
\begin{equation}
\<0_{out}|0_{in}\>_S = C \exp\!\left[
   -\frac{1}{2\pi^2} \oint d\t' \oint d\t''\,
         \d_{\s'}\d_{\s''}N(\t',\s';\t'',\s'') Y(p^+\t') Y(p^+\t'')
   \right]
\label{corvide}
\end{equation}
o� les int�grales sont sur le bord de la surface d'univers, et
\[
\frac{\<0_{out}| X(\t,\s) |0_{in}\>_S}{\<0_{out}|0_{in}\>_S}
= -\frac{i}{\pi} \oint d\t'\, \d_{\s'}N(\t,\s;\t',\s') Y(p^+\t').
\]

Jusqu'� pr�sent, ce que nous avons dit ici est essentiellement ind�pendant
de la topologie de la surface d'univers, et nous l'utiliserons quand nous
�tudierons le cas des interactions entre cordes en pr�sence de l'onde. Le
propagateur, en revanche, en d�pend. Dans le cas libre, il s'exprime
simplement comme la s�rie suivante�:
\index{propagateur!ruban}
\[
N(\t,\s;\t',\s') = \sum_{n>0} \frac{1}{n} e^{-(i+\eps)n|\t-\t'|}
                                          \sin(n\s) \sin(n\s')
\]
o� $\eps$ est un petit r�el strictement positif servant � faire converger
la somme, similaire � celui qu'on met habituellement dans le propagateur de
Feynman. Il est ais� de v�rifier que ce propagateur satisfait toutes les
propri�t�s requises.

\subsection{Matrice $S$}
La pr�sence de l'ondulation permet des transitions entre diff�rents �tats
de la corde. On est donc amen� � calculer des quantit�s du genre
\[
\<0_{out}| a^{out}_{k_1} \ldots a^{out}_{k_m}
           a^{in}_{-l_1} \ldots a^{in}_{-l_n} |0_{in}\>
\]
o� les $a^{in}$ (resp. $a^{out}$) sont les op�rateurs de cr�ation et
d'annihilation pour les �tats asymptotiques entrants (resp. sortants).

Sachant que $X(\t,\s)$ admet le d�veloppement en modes suivant�:
\[
X(\t,\s) = \sum_{n\neq0} \frac{a_n}{n} e^{-in\t} \sin(n\s),
\]
on v�rifie ais�ment que
\[
a_n = \lim_{\t\to\pm\infty}
       \frac{e^{in\t}}{\pi} \int d\s\, \sin(n\s) (nX + i\d_\t X)
\]
o� la limite est en $+\infty$ pour les �tats sortants, et $-\infty$ pour
les �tats entrants. Ainsi, on peut obtenir un �l�ment quelconque de la
matrice $S$ � partir de corr�lateurs du type de l'�quation~\eqref{corgen}.

Le calcul de la quantit� \eqref{corvide}, dont le module au carr� donne la
probabilit� de non-excitation pour une corde initialement dans son �tat
fondamental, est fait dans \cite{BG} (dans le cas T-dual), et nous laissons
le lecteur s'y r�f�rer. On trouve, � une phase pr�s (sans signification
physique)
\[
\<0_{out}|0_{in}\>_S = \sum_{\nposodd} \frac{8n}{(p^+)^2}
                 \left| \tilde{Y}\parfrac{n}{\,p^+} \right|^2,
\]
o� $\tilde{Y}$ est la transform�e de Fourier de $Y$,
\[
Y(x^+) = \int dp^-\, \tilde{Y}(p^-) e^{ip^-x^+}.
\]
Il s'agit du r�sultat que \cite{pulse} obtient en consid�rant directement
l'op�rateur d'�volution $e^{i\int�d\t\,H_I(\t)}$.

� partir de l�, le calcul d'amplitudes entre des �tats quelconques est
ais�, et on peut v�rifier que ce sont celles donn�es par la matrice $S$
calcul�e en \cite{pulse}�:
\[
S = \<0_{out}|0_{in}\>_S \ordnorm{\exp\left[ \frac{4i}{p^+}
    \sum_{n\text{ impair}} \tilde{Y}\parfrac{n}{\,p^+} a_n
    \right]}.
\]

\subsection{Calcul covariant en termes d'�tat de bord}
\index{etatb@�tat de bord!D-brane ondulante}
Il est possible de construire un �tat de bord correspondant � la D-corde
ondulante \cite{HTT,BG}�: en effet, en partant de l'�tat de bord $|\D1\>$,
correspondant � la D-corde sans onde, il est ais� de voir que l'�tat
\begin{equation}
|B\> = \exp\biggl( \frac{1}{\pi}
   \int\limits_{\t_F=0} d\s_F\, Y^i(X^+) \d_{\t_F} X^i \biggr) |\D1\>,
\label{bordpulse}
\end{equation}
o� $\t_F$ et $\s_F$ sont les coordonn�es sur la corde ferm�e, v�rifie les
conditions aux bords
\[
(X^i - Y^i(X^+)) \bigr|_{\t_F=0} |B\> = 0.
\]
(Noter que l'�tat de bord a un sens pour une surface d'univers euclidienne,
et qu'il faut donc, pour v�rifier l'�quation ci-dessus, utiliser les
relations de commutation euclidiennes
$\bigl[X(\s_F),\d_{\t_F}�X(\s_F')\bigr]=\pi\delta(\s_F-\s_F')$.)

� partir du moment o� on dispose d'un tel �tat de bord, on peut s'en servir
pour calculer des amplitudes en ins�rant des op�rateurs de vertex entre
l'�tat de bord et le vide de cordes ferm�es. Ainsi, l'amplitude pour un
�tat tachyonique d'y rester est donn�e par
\index{operateur!op�rateur de vertex}
\begin{equation}
S_{0\to0} \propto \<0| \ordnorm{e^{-ip_\mu X^\mu(0,0)}}
                       \ordnorm{e^{ip_\mu X^\mu(0,\pi)}} |B\>
\label{amplcov}
\end{equation}
o�, s'agissant de cordes ferm�es, la coordonn�e $\s_F$ est p�riodique de
p�riode $2\pi$. Nous avons utilis� le fait que le disque a une sym�trie
conforme $\SL(2,\R)$ pour fixer la position des op�rateurs de vertex. Quant
� la normalisation, elle sera fix�e en imposant que $S_{0\to0}=1$ en
l'absence d'onde. Enfin, l'impulsion d'une corde ouverte �tant
n�cessairement longitudinale � la D-brane, l'indice $\mu$ ne prendra ici
que les valeurs $+$ et $-$.

Il faut tout d'abord pr�ciser ce que l'on entend par le vide de cordes
ferm�es $\<0|$. Puisque nous consid�rons des amplitudes sans �mission de
corde ferm�e, la prescription appropri�e est naturellement que les
op�rateurs d'impulsion, et notamment $p^-$ (conjugu� du mode z�ro de $X^+$,
not� $x^+$), s'annulent. Il en d�coule que le vide s'�crit
\begin{equation}
\<0| \propto \int dx^+\, \<x^+|
\label{videfer}
\end{equation}
o� $\<x^+|$ est un �tat propre de $x^+$.

Dans la suite du calcul, on est amen� � s�parer les fr�quences positives et
n�gatives de $X^\mu$. On pose donc $X^\mu(0,\s_F)=X^\mu_>+X^\mu_<+x^\mu$,
avec
\[
X^\mu_> = \frac{i}{2} \sum_{n>0} \frac{1}{n}
                    (a^\mu_n e^{-in\s_F} + \bar{a}^\mu_n e^{in\s_F})
\]
et une expression similaire pour $X^\mu_<$. De la m�me fa�on, nous serons
amen� � introduire $\d_{\t_F}�X^\mu_>$ et $\d_{\t_F}�X^\mu_<$.

Sachant que $\<0|$ est annul� par $X^\mu_<$, et que $|\D1\>$ est annul� par
$X^\mu_>-X^\mu_<$ (pour $\mu\in\{+,-\}$), la bonne prescription pour
l'ordre normal est de mettre $X^\mu_<$ � gauche et $X^\mu_>-X^\mu_<$ �
droite. Pour cela, on �crit
\begin{equation}
\ordnorm{e^{ip_\mu X^\mu}} =
       e^{2ip_\mu X^\mu_<} e^{ip_\mu x^\mu} e^{ip_\mu(X^\mu_>-X^\mu_<)}.
\label{pulseordnorm}
\end{equation}
Dans l'expression \eqref{amplcov}, les facteurs en�$X^\mu_<$ s'�liminent,
ainsi que ceux en $X^+_>-X^+_<$ parce que $(X^+_>-X^+_<)|B\>=0$. Les
facteurs avec les modes z�ros, quant � eux, s'�liminent parce que les �tats
entrant et sortant ont m�me $p^+$ (parce que $p^+$ est conserv�) et m�me
$p^-$ (parce que ce sont deux tachyons�; sinon il y aurait un facteur
$e^{ix^+\triangle�p^-}$). On obtient alors
\[
S_{0\to0} \propto \<0| e^{ip^+(X^-_> - X^-_<)}|_{\s_F=0} \,
                       e^{-ip^+(X^-_> - X^-_<)}|_{\s_F=\pi} |B\>.
\]

Il reste alors � faire passer le facteur en $X^+_>-X^+_<$ � droite de
l'exponentielle de l'�quation \eqref{bordpulse}. Pour cela, nous allons
utiliser la formule
\[
e^C g(B) e^{-C} = g(B + [C,B])
\]
o� $[C,B]$ doit commuter avec $C$ et $B$, et $g$ est une fonction
quelconque (en principe analytique), et le commutateur
\[
[X_>(\s_F), X_<(\s_F')] = -\frac{1}{4}
    \ln\!\left( 4\sin^2\parfrac{\s_F-\s_F'}{2} \!\right),
\]
qui n'est autre que le propagateur restreint au bord $N_F(0,\s_F;0,\s'_F)$.
En appliquant ceci une fois pour chaque op�rateur de vertex, et apr�s
quelques calculs (cf \cite{BG}), on obtient
\begin{equation}
S_{0\to0} \propto \<0| \exp\!\left[ \frac{1}{\pi} \int d\s_F\,
   Y^i\!\left( X^+(\s_F) + ip^+ \ln\!\left|\tan\frac{\s_F}{2}\right| \right)
   \d_{\t_F} X^i \right] |\D1\>.
\label{eqS}
\end{equation}
(Le fait que l'on prolonge ici analytiquement une fonction qui n'a pas de
raison de �tre analytique ---~les fonctions analytiques � support born�
sont rares~--- peut para�tre fumeux. N�anmoins, le r�sultat final sera
identique � celui de la jauge du c�ne de lumi�re (�quation
\eqref{corvide}), ce qui laisse supposer qu'il doit y avoir un moyen de
rendre cela rigoureux.) On peut en outre remplacer $X^+(\s_F)$ par $x^+$
car, en l'absence de termes en $X^-$, les modes non z�ros de $X^+$ peuvent
se d�placer librement � gauche o� � droite, et s'annulent sur $\<0|$ ou
$|\D1\>$.

Pour aller plus loin, on �crit 
\[
\d_{\t_F} X^i = 2\d_{\t_F} X^i_< + (\d_{\t_F} X^i_> - \d_{\t_F} X^i_<).
\]
Le premier terme s'annule sur $\<0|$, et les conditions de Dirichlet sur
la D-corde sans onde entra�nent l'annulation du deuxi�me terme sur $|\D1\>$.
On est donc amen� � s�parer l'exponentielle dans \eqref{eqS} en utilisant
la formule de Baker-Campbell-Hausdorff
\[
e^{B+C} = e^B\, e^{\frac{1}{2}[C,B]}\, e^C,
\]
applicable si $[C,B]$ commute avec $B$ et $C$, o� $B$ et $C$ sont
l'exponentielle dans \eqref{eqS} en rempla�ant $\d_{\t_F}X^i$ par
respectivement le premier et le deuxi�me terme de l'�quation pr�c�dente. En
remarquant d'autre part que le terme en $\ln|\tan(\s_F/2)|$ appara�t dans
la transformation conforme qui transforme le demi-cylindre infini
($\t_F\geq0$) en ruban euclidien�:
\[
-\t_E + i\s = \ln\!\left( \tan\!\parfrac{\s_F+i\t_F}{2} \!\right),
\]
on obtient 
\[
\begin{split}
S_{0\to0} = \<0| \exp\biggl[& \frac{1}{\pi^2}
                  \int d\s_F'\, Y^i(x^+ - ip^+ \t_E(\s_F'))
                  \int d\s_F''\, Y^i(x^+ - ip^+ \t_E(\s_F'')) \times \\
&\times \d_{\t_F'} \d_{\t_F''} N_F(0,\s_F';0,\s_F'') \biggr] |\D1\>
\end{split}
\]

Tout naturellement, on fait alors le changement de variable vers les
coordonn�es $(\t_E,\s)$. La d�riv�e du propagateur se transforme de fa�on
triviale (noter que ce n'est pas le cas du propagateur lui-m�me), � ceci
pr�s que le propagateur ouvert sur la bande a un facteur 2 par rapport au
propagateur ferm� � cause du bord, donc nous devrons ajouter un facteur
$1/2$�; pour plus de d�tails � ce propos, on se r�f�rera � l'annexe de
\cite{BG}. Enfin, une rotation de Wick ($\t_E=i\t$) permet de revenir � un
argument r�el pour $Y^i$ et transforme le propagateur euclidien en
propagateur minkowskien.

Il faut encore �liminer les $x^+$. Pour cela, on peut absorber $x^+$ dans
la variable d'int�gration. Il reste alors un facteur $\int�dx^+\<x^+|\D1\>$
absorb� dans la normalisation, et on aboutit � l'expression
\eqref{corvide}.

Notons que la remarque que nous avons faite � la fin de la section
\ref{eucl} est explicitement v�rifi�e ici�: en partant de l'�tat de bord,
donc dans un formalisme covariant avec une surface d'univers euclidienne,
nous arrivons finalement � une expression faisant appara�tre une surface
d'univers minkowskienne (puisque le propagateur dans l'expression finale
est minkowskien) dans la jauge du c�ne de lumi�re, ce qui confirme que
c'est bien une m�trique minkowskienne qu'il faut consid�rer dans cette
jauge.

Il n'est pas difficile de consid�rer le processus tachyon~$\to$~photon dans
ce formalisme. Il s'agit alors de calculer l'amplitude
\[
\<0| \ordnorm{e^{-ip_\mu X^\mu(0,0)} \d_\s X^i}
     \ordnorm{e^{ip_\mu X^\mu(0,\pi)}} |B\>.
\]
On aboutit alors, apr�s la rotation de Wick, �
\index{operateur!op�rateur de vertex}
\[
\<0| \frac{i}{\pi} \oint d\t e^{i\t} Y^i(x^+ + p^+\t) \exp\Big[\ldots\Big]
     e^{ix^+/p^+} |B\>
\]
o� $\exp[\ldots]$ est l'exponentielle dans $S_{0\to0}$, et le facteur
$e^{ix^+/p^+}$ vient des modes z�ros dans \eqref{pulseordnorm}. Ce facteur
permet de n'avoir qu'une d�pendance en $x^++p^+\t$, et on peut donc, comme
pr�c�demment, absorber $x^+$ dans la variable d'int�gration, et on obtient
finalement la m�me chose que dans la jauge du c�ne de lumi�re.

Les op�rateurs de vertex devenant rapidement assez compliqu�s pour les
�tats excit�s suivants, la v�rification du fait que les deux formalismes
donnent le m�me r�sultat n'a pas �t� faite au-del�. N�anmoins, on s'attend
� ce que la dualit� ouvert-ferm� soit tr�s g�n�rale, et donc � ce que cela
marche.

\section{Interactions sur la D-corde ondulante}
Apr�s avoir consid�r� des processus o� une corde ouverte donne une autre
corde ouverte, �ventuellement dans un �tat diff�rent, nous allons envisager
des interactions. Nous nous limiterons au cas d'une corde ouverte se
cassant en deux. Plus sp�cifiquement, on s'int�ressera au processus o� une
corde dans son �tat fondamental �met une excitation de masse nulle et
d'impulsion tendant vers z�ro. Ces excitations correspondant aux
d�formations de la D-brane, une divergence infrarouge serait un signe
d'instabilit� de la configuration�; � l'inverse, l'absence de divergence
signifierait que la r�troaction sur la D-corde est contr�lable,
c'est-�-dire peut �tre rendue n�gligeable avec un couplage suffisamment
petit.

\subsection{Surface d'univers dans la jauge du c�ne de lumi�re}
Pour d�crire une corde ouverte se cassant en deux, nous consid�rons comme
surface d'univers une bande de largeur $\pi$ avec une coupure parall�le �
ses bords partant du temps d'interaction $\t_I$, c'est-�-dire que la
coupure est donn�e par $\t\geq\t_I$ et $\s=(1-\a)\pi$ (fig. \ref{ruban}).
\begin{figure}
\begin{center}
\scalebox{0.7}{\input{ruban.pstex_t}}
\end{center}
\caption{Surface d'univers d'une corde ouverte se cassant en deux.}
\label{ruban}
\end{figure}
Dans la jauge du c�ne de lumi�re, o� on prend $X^+=p^+\t$, o� $p^+$ est
l'impulsion totale, qui est conserv�e, l'impulsion de chacun des deux
morceaux apr�s s�paration est proportionnelle � leur largeur, et vaut donc
respectivement $(1-\a)p^+$ et $\a�p^+$. Nous consid�rerons le cas o�
l'excitation de masse nulle �mise est dans la partie
$\s\in[(1-\a)\pi;\pi]$�; ainsi, la limite d'impulsion nulle pour cette
excitation correspondra � $\a\to0$.

\index{Schwarz-Christoffel, transformation de}
Le formalisme que nous d�velopp� dans le chapitre pr�c�dent reste en grande
partie valide pour des cordes en interaction. Un point essentiel qui va
diff�rer est la forme du propagateur. Celui-ci peut s'exprimer assez
simplement dans le cas euclidien. En effet, dans ce cas-l�, la
transformation conforme suivante, dite \emph{transformation de
Schwarz-Christoffel}, am�ne le demi-plan complexe sup�rieur vers la bande
coup�e avec $\t_I=0$�:
\begin{equation}
\t_E + i\s = \ln(z-1) - \a\ln z + \a\ln\a + (1-\a)\ln(1-\a).
\label{TransSC}
\end{equation}
Le temps d'interaction correspond au point stationnaire de cette
transformation�; le lecteur pourra v�rifier ais�ment qu'on a bien $\t_I=0$
(le terme constant a �t� ajust� dans ce but).

En termes de la coordonn�e $z$, le propagateur s'�crit
\index{propagateur!ruban fendu}
\[
N_E(z;z') = -\frac{1}{2} \ln|z-z'| + \frac{1}{2} \ln|\bar{z}-z'|.
\]
En l'absence d'expression explicite pour l'inverse de la transformation
\eqref{TransSC}, nous devrons travailler dans ces coordonn�es, ce qui nous
impose de travailler avec une surface d'univers euclidienne, et donc de
faire un prolongement analytique � partir du cas minkowskien.

Pour d�terminer comment on doit faire ce prolongement, il faut examiner le
lien pr�cis entre les propagateurs euclidien et minkowskien. Pour cela, on
peut �crire le propagateur euclidien dans les coordonn�es $\t_E,\s$ sous
forme d'une s�rie d�pendant des parties de la surface d'univers (corde
entrante ou l'une des cordes sortantes), not�es $r$ et $r'$, o� se trouvent
les points $(\t_E,\s)$ et $(\t_E',\s')$�:
\[
\begin{split}
N_E(\t_E,\s;\t_E',\s') &=
\delta_{rr'} \sum_{n>0} \frac{1}{n} 
  e^{-n|\t_E-\t_E'|/|\a_r|} \sin(n\s_r) \sin(n\s'_{r'}) \\
&\quad + \sum_{n,n'>0} N_{nn'}^{rr'}
e^{n\t_E/\a_r} e^{n'\t_E'/\a_r'} \sin(n\s_r) \sin(n'\s'_{r'})
\end{split}
\]
o� $\s_r$ et $\s'_{r'}$ sont des coordonn�es spatiales adapt�es � chaque
partie de la surface d'univers, c'est-�-dire des fonctions affines de $\s$
valant $0$ ou $\pi$ aux bords, et $\a_r$ vaut $1$ sur la corde entrante (o�
$\t\leq0$) et $-(1-\a)$ et $-\a$ sur les cordes sortantes (o� $\t\geq0$).
Pour plus de d�tails sur cette expression du propagateur, on pourra se
r�f�rer au chapitre 11 de \cite{GSW}, o� on trouvera �galement des
expressions explicites pour les coefficients $N_{nn'}^{rr'}$, dont nous
n'aurons pas besoin ici.

� partir de cette expression, on peut obtenir une expression pour le
propagateur minkowskien�:
\[
\begin{split}
N(\t,\s;\t',\s') &=
\delta_{rr'} \sum_{n>0} \frac{1}{n} 
  e^{-in|\t-\t'|/|\a_r|} \sin(n\s_r) \sin(n\s'_{r'}) \\
&\quad + \sum_{n,n'>0} N_{nn'}^{rr'}
e^{in\t/\a_r} e^{in'\t'/\a_r'} \sin(n\s_r) \sin(n'\s'_{r'}).
\end{split}
\]
Un point non trivial � v�rifier est que les expressions sur les diff�rents
morceaux de la surface d'univers se recollent bien en $\t=0$. On pourra
v�rifier que si c'est le cas pour $N_E$ (ce qui est vrai puisqu'on l'a
obtenue � partir d'une expression en $z$ qui n'a pas de discontinuit�),
alors c'est vrai aussi pour $N$. Il en d�coule le lien suivant entre les
propagateurs�:
\[
N(\t,\s;\t',\s') = N_E(i\t,\s;i\t',\s').
\]

\subsection{Fonctions de corr�lation et amplitudes}
L'essentiel de ce que nous avons vu sur les fonctions de corr�lation et
amplitudes dans le cas libre s'applique ici�; bien s�r, puisqu'il y a deux
cordes sortantes, $\<0_{out}|$ doit �tre compris comme le produit tensoriel
des vides de chaque corde. Notamment, il d�coule l'expression suivante,
pour un temps d'interaction $\t_I$�:
\[
\begin{split}
\<0_{out}|0_{in}\>_S = C \exp\biggl[&
   -\frac{1}{2\pi^2} \oint d\t' \oint d\t''\,
         \d_{\s'}\d_{\s''}N(\t',\s';\t'',\s'') \times \\
       & \times Y(p^+(\t_I+\t')) Y(p^+(\t_I+\t''))
   \biggr].
\end{split}
\]
Apr�s une rotation de Wick ($\t'_E=i\t'$ et $\t''_E=i\t''$), on obtient
\[
\begin{split}
\<0_{out}|0_{in}\>_S = C \exp\biggl[&
   \frac{1}{2\pi^2} \oint d\t'_E \oint d\t''_E\,
         \d_{\s'}\d_{\s''}N_E(\t'_E,\s';\t''_E,\s'') \times \\
       & \times Y(p^+(\t_I-i\t'_E)) Y(p^+(\t_I-i\t''_E))
   \biggr].
\end{split}
\]
A priori $C$ peut d�pendre de $\a$. Puisqu'il ne d�pend pas de l'onde, on
peut utiliser les r�sultats d�j� connus en l'absence d'onde \cite{GSW}, qui
disent que $C$ est une constante, que l'on peut absorber dans la constante
de couplage, et que nous omettrons donc dans la suite.

� partir de l�, un changement de variables vers $z'$ et $z''$ donne
\[
\<0_{out}|0_{in}\>_S = \exp\!\left[ \frac{1}{2\pi^2} \int dz'\,dz''\,
  \frac{Y(p^+(\t_I-i\t_E(z'))) \,Y(p^+(\t_I-i\t_E(z'')))}{(z'-z'')^2} \right]
\]
o� $\t_E(z)$ est donn� par l'�quation \eqref{TransSC}. Ceci diverge quand
$z'\to�z''$�; il faut donc comprendre cette int�grale comme �tant une
partie principale.

Pour calculer l'amplitude d'�mission d'une excitation de masse nulle par un
tachyon, il faut calculer l'amplitude $\<0_{out}|a_1|0_{in}\>_S$, o� $a_1$
est l'op�rateur cr�ant une excitation de masse nulle sortante�:
\[
a_1 = \lim_{\t\to+\infty}
   \frac{e^{i\t/\a}}{\pi} \int_{(1-\a)\pi}^\pi d\s\,
   \sin\parfrac{\pi-\s}{\a} \left(\frac{X}{\a} + i\d_\t X \right).
\]
Pour obtenir une expression explicite de l'amplitude, l� encore les
expressions trouv�es dans le cas libre s'appliquent, et comme pour le
calcul de $\<0_{out}|0_{in}\>_S$ il faut effectuer une rotation de Wick
pour passer � la coordonn�e $z$ (on peut v�rifier que la limite
$\t\to+\infty$ revient � la limite $\t_E\to+\infty$ sur l'expression
euclidienne). � partir de l�, le calcul est plus fastidieux que difficile�:
comme la limite $\t_E\to+\infty$ correspond � $z\to0$, l'int�grale sur $\s$
devient une int�grale de contour autour de $z=0$, que l'on peut calculer
explicitement, et on trouve
\[
\frac{\<0_{out}|a_1|0_{in}\>_S}{\<0_{out}|0_{in}\>_S} =
\frac{1}{\pi} \int dz\, \frac{Y(p^+(\t_I - i\t_E(z)))}{z^2}.
\]

Ceci nous donne une amplitude � $\t_I$ fix�. Pour obtenir l'amplitude
physique qui nous int�resse, il faut int�grer sur les temps d'interaction
possibles, l'amplitude s'�crivant alors
\begin{equation}
A = \int d\t_I\, \<0_{out}|a_1|0_{in}\>_S \bigr|_{\t_I}
                 e^{i\t_I p^+ \triangle p^-}
\label{inttI}
\end{equation}
o� le facteur $p^+\triangle�p^-$ dans l'exponentielle n'est autre que la
variation de hamiltonien entre les �tats initial et final, la pr�sence de
cette exponentielle �tant un r�sultat classique de la th�orie quantique des
perturbations d�pendantes du temps.

Le moins qu'on puisse dire est que cette expression est peu sympathique.
Pour commencer, il faut donner un sens � l'expression
$Y(p^+(\t_I-i\t_E(z)))$. On peut le faire � l'aide de la transform�e de
Fourier de $Y$�:
\[
Y(p^+(\t_I - i\t_E(z))) = \frac{1}{p^+} \int d\w\, \tilde{Y}\parfrac{\w}{p^+}
                          e^{i\w\t_I} e^{\w\t_E(z)}.
\]
Ainsi, pour calculer $\<0_{out}|0_{in}\>_S$, on sera amen� � consid�rer
l'int�grale
\[
\int dz'\,dz''\, \frac{e^{\w'\t_E(z')} e^{\w''\t_E(z'')}}{(z'-z'')^2}
\]
qui contient une grande partie de la d�pendance en $\a$ (pas tout puisque
$\triangle�p^-$ en d�pend aussi), ce qui est int�ressant puisqu'on
s'int�resse � la limite $\a\to0$. L'expression analogue dans le cas de
l'amplitude � deux cordes (o� l'�quation pour $\<0_{out}|0_{in}\>_S$ est la
m�me en prenant $\t_E(z)=\ln�z$) peut �tre calcul�e exactement apr�s une
rotation de Wick $\w\to�i\w_E$ (qui am�liore la convergence des
int�grales), et on retrouve le r�sultat d�j� trouv� par d'autres moyens.
Dans le cas � trois cordes, on ne sait pas faire le calcul exact�; on peut
n�anmoins esp�rer trouver des r�sultats concernant la limite $\a\to0$ qui
nous int�resse.

\subsection{Calcul covariant}
\index{etatb@�tat de bord!D-brane ondulante}
\index{operateur!op�rateur de vertex}
Pour calculer de fa�on covariante une amplitude � trois cordes, le calcul
est similaire au cas � deux cordes (cas libre), � ceci pr�s qu'il y a trois
op�rateurs de vertex.

Dans le cas qui nous int�resse, l'amplitude � trois tachyons sera donc
donn�e, apr�s des calculs identiques � ceux du cas libre, par
\[
S_{0\to0} \propto \<0| e^{i\a�p^+(X^-_> - X^-_<)}|_{\s_F=0} \,
                       e^{i(1-\a)p^+(X^-_> - X^-_<)}|_{\s_F=\pi}
                       e^{-ip^+(X^-_> - X^-_<)}|_{\s_F=\pi/2} |B\>.
\]
Les positions des op�rateurs de vertex peuvent �tre fix�es arbitrairement
gr�ce � la sym�trie conforme $\SL(2,\R)$. Quelques calculs plus tard, on
aboutit �
\[
S_{0\to0} \propto \<0| \exp\!\left[ \frac{1}{\pi} \int\! d\s_F\,
  Y^i\biggl(\! X^+(\s_F) - ip^+\!\left( \ln\!\left|\tan\frac{\s_F}{2}-1\right|
               -\a \ln\!\left|\tan\frac{\s_F}{2}\right| \right) \!\biggr)
   \d_{\t_F} X^i \right] |\D1\>.
\]

En utilisant la transformation conforme
\[
z = \tan\frac{\s_F + i\t_F}{2}
\]
et des calculs similaires � ceux de l'amplitude � deux cordes, on retrouve
l'expression obtenue en jauge du c�ne de lumi�re�; l'int�grale sur le temps
d'interaction (�quation \eqref{inttI}) d�coule de l'int�grale
\eqref{videfer} et des modes z�ros dans \eqref{pulseordnorm}, avec
$x^+=p^+\t_I$.

\subsection{Remarques finales}
Nos r�sultats restent pour l'instant tr�s partiels. Nous esp�rons n�anmoins
les compl�ter dans un avenir raisonnablement proche. On peut d'ores et d�j�
avoir une id�e de ce � quoi s'attendre. Dans le cas, que nous avons trait�
ici, de cordes dont les deux extr�mit�s sont sur une m�me D-brane, on n'a
pas de raison, a priori, de s'attendre � une divergence infrarouge. Dans le
cas � deux D-branes, en revanche, les choses sont diff�rentes, et on
s'attend � des divergences, au moins dans la limite o� leur distance finale
(� des temps asymptotiquement grands) tend vers l'infini, comme expliqu� au
d�but de ce chapitre. Il faudra donc faire ce calcul pour en savoir plus.
\index{D-brane!ondulante|)}

these.tex
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% compat2 est pour geometry
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\raggedbottom

\catcode`\�=10 % L'espace ins�cable est une espace
\def�{\og\ignorespaces} \def�{\fg}
\hyphenation{cons-tante}

\numberwithin{equation}{section}
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\newcommand*{\citemoi}[1]{\cite{#1} (annexe~#1 de cette th�se)}

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\begin{document}
\renewcommand{\O}{\mathcal{O}} % STUPID HYPERREF !!!
\pagestyle{empty}
%\vspace*{-2cm}
\begin{center}
\textsc{\large Laboratoire de Physique Th�orique et Hautes �nergies}
\vskip .3cm
\centerline{\textsc{\large Laboratoire de Physique Th�orique de l'�cole
                           Normale Sup�rieure}}
\vskip 1.5cm
\centerline{\textbf{\Large TH{\`E}SE DE DOCTORAT DE L'UNIVERSIT� PARIS VI}}
\vskip .8cm
{\large Sp�cialit� : \textbf{\textsc{Physique th�orique}}}
\vskip 1.2cm
pr�sent�e par
\vskip .6cm
\textbf{\Large Nicolas \textsc{Couchoud}}
\vskip 1cm
pour obtenir le grade de
\vskip .6cm
\textbf{\Large Docteur de l'Universit� Paris VI}
\vskip 1.5cm
Sujet :
\vskip 1cm
\textbf{\textit{\LARGE D-branes et orientifolds dans des espaces}}
\vskip .3cm
\textbf{\textit{\LARGE courbes ou d�pendant du temps}}
\end{center}
\vskip 3cm
\noindent
Soutenue le 1\ier\ octobre 2004 devant le jury compos{\'e} de~:
\vskip 1cm
\noindent\begin{tabular}{rlll}
&      M. & Constantin \textsc{Bachas},  & directeur de th�se, \\
&M\up{me} & Ilka \textsc{Brunner}, \\
&      M. & Vladimir \textsc{Dotsenko},  & pr�sident du jury,\\
&      M. & Marios \textsc{Petropoulos}, & rapporteur, \\
&      M. & Bert \textsc{Schellekens},   & rapporteur, \\
&      M. & Volker \textsc{Schomerus}, \\
et &   M. & Paul \textsc{Windey},        & directeur de th�se.
\end{tabular}
\cleardoublepage

\linespread{1.3} \selectfont

\begin{center}
\textit{\large Remerciements}
\end{center}

Tout d'abord, je remercie Laurent Baulieu d'une part, Jean Iliopoulos et
Eug�ne Cremmer d'autre part, de m'avoir accueilli dans les laboratoires
qu'ils dirigent ou ont dirig� afin que je puisse y entreprendre mon travail
de th�se.

Ensuite, je suis infiniment reconnaissant � Costas Bachas et Paul Windey
d'avoir accept� de diriger ma th�se et de m'avoir guid� dans cette mati�re
ardue, mais passionnante qu'est la th�orie des cordes, et d'avoir bien
voulu relire cette th�se.

Je voudrais �galement remercier tous ceux avec qui j'ai �t� amen� �
discuter au cours de cette th�se, notamment Pedro Bordalo, Eric Gimon,
Boris Pioline, Sylvain Ribault et Christoph Schweigert, et �voquer le r�le
important de l'encouragement mutuel de mes coll�gues de bureau et moi-m�me
dans nos travaux respectifs.

Je suis aussi reconnaissant aux rapporteurs, Marios Petropoulos et Bert
Schellekens, d'avoir accept� la charge de lire ma th�se, et au jury d'avoir
bien voulu accorder de l'int�r�t � ma th�se, parfois en venant de loin pour
cela.

Enfin, je remercie ma famille et mes amis de m'avoir accord� leur soutien
dans cette entreprise.
 
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% Les \chapter* apparaissent dans la table des mati�res
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\appendix
\chapter{Orientifolds of the 3-sphere}
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\textsc{\large J. High Energy Phys. 12 (2001) 003}
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\chapter{D-branes and orientifolds of SO(3)}
\begin{flushright}
\textsc{\large J. High Energy Phys. 03 (2002) 026}
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\chapter{Anti-de Sitter branes with Neveu-Schwarz and Ramond-Ramond
  backgrounds}
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\textsc{\large J. High Energy Phys. 03 (2003) 007}
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% R�f�rences � la JHEP
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\begin{thebibliography}{99}
\bibsec{Ouvrages g�n�raux sur la th�orie des cordes}

\bibitem{GSW}
M.B.~Green, J.H.~Schwarz et E.~Witten, \textit{Superstring theory}
(deux tomes), Cambridge University Press, 1987.

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C.~Bachas, \textit{Lectures on D-branes}, \hepth{9806199}.

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S. Ribault, \textit{Cordes et D-branes dans les espaces-temps courbes},
th�se de doctorat de l'�cole Polytechnique, 2003 [\hepth{0309272}].

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\bibsec{D-brane ondulante}

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Y.~Hikida, H.~Takayanagi et T.~Takayanagi, \textit{Boundary states for
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travelling waves}, \jhep{03}{2004}{015} [\hepth{0310017}].

\end{thebibliography}

\newpage
\addcontentsline{toc}{chapter}{Index}
\printindex
\end{document}

hep-th0412238.extracted_bib
\begin{thebibliography}{99}
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