Contractibilit� et sph�ricit� des hypersurfaces strictement pseudoconvexes.
Emmanuel Opshtein
Nous proposons une preuve �l�mentaire de la caract�risation des hypersurfaces sph�riques comme les seules hypersurfaces strictement pseudoconvexes de $\C^k$ poss�dant des germes de diff�omorphismes contractants. A la diff�rence de d�monstrations ant�rieures, notre approche n'utilise pas la th�orie de Chern-Moser et repose enti�rement sur les techniques de dilatations de coordonn�es de Pinchuk. Nous donnons �galement quelques applications de ce r�sultat.
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\title{Contractibilit� et sph�ricit� des hypersurfaces strictement 
pseudoconvexes.}
\author{Emmanuel Opshtein}
\begin{document}
\maketitle
\begin{abstract}
Nous proposons une preuve �l�mentaire de la caract�risation des hypersurfaces 
sph�riques comme les seules hypersurfaces strictement pseudoconvexes de $\C^k$ 
poss�dant des germes de diff�omorphismes contractants. A la diff�rence de
d�monstrations ant�rieures, notre approche n'utilise pas la th�orie de 
Chern-Moser et repose enti�rement sur les techniques de dilatations de 
coordonn�es de Pinchuk. Nous donnons �galement quelques applications de ce
r�sultat.
\end{abstract}

\section*{Introduction.}
Dans cet article, nous �tudions la g�om�trie $\text{CR}$ des hypersurfaces
strictement pseudoconvexes de $\C^k$ au moyen des techniques de
dilatations de coordonn�es introduites par Pinchuk (\cite{pinchuk4}, 1978). Nous
nous int�ressons � la question suivante : un germe d'hypersurface strictement
pseudoconvexe de $\C^k$ peut-il �tre contract�  sur l'un de ses points par une
suite de diff�omorphismes $\text{CR}$ qui pr�serve l'hypersurface ? 

Les travaux de Chern et Moser (\cite{chemos}, 1974) conduisent � une liste 
compl�te d'invariants $\text{CR}$ des hypersurfaces Levi non-d�g�n�r�es.
Dans une situation contractante ces invariants sont constants et cela sugg�re 
une certaine homog�n�it� de la surface. Ainsi, Webster (\cite{webster},
1974), Burns-Shnider (\cite{burshn}, 1977),  Beloshapka (\cite{beloshapka},
1977) et Loboda (\cite{loboda}, 1979) �tablirent le r�sultat suivant :
\begin{thm1} Soient $S$ et  $S'$ deux hypersurfaces
  strictement  pseudoconvexes de $\C^k$ (�ventuellement � bord).
  S'il existe une suite $(f_n)_n$ de diff�omorphismes $\text{CR}$
  de $S$ � valeurs dans $S'$ qui converge localement
  uniform�ment vers un point de $S'$ alors $S$ est localement sph�rique,
 \textit{i.e.} localement  $\text{CR}$-diff�omorphe � un ouvert de la sph�re 
euclidienne.
\end{thm1}
La d�marche de Webster et Burns-Shnider est la suivante. La r�solution du
probl�me de $G$-structure effectu�e dans \cite{chemos} produit un tenseur
$\text{CR}$-invariant nul si et seulement si l'hypersurface est
sph�rique. Dans le cas non-sph�rique, une normalisation de cet invariant
conduit � la r�duction du groupe structural de l'hypersurface �
$U(k-1)$. Plus concr�tement, ceci montre l'existence d'une distance
$\text{CR}$-invariante sur les hypersurfaces non-sph�riques et interdit donc
tout comportement dynamiquement contractant. Beloshapka et Loboda d�duisent 
quant � eux ce th�or�me d'une �tude de l'action des diff�omorphismes $\text{CR}$
sur les cha�nes, et plus pr�cis�ment d'un r�sultat de lin�arisation locale du
groupe d'automorphismes $\text{CR}$ de l'hypersurface ainsi qu'au th�or�me 1.  

Un analogue de ce th�or�me pour les biholomorphismes des domaines est le
th�or�me de Wong-Rosay. En 1977, Wong \cite{wong} caract�risa la
boule unit� parmi les domaines strictement pseudoconvexes born�s de $\C^k$
comme �tant le seul � poss�der un groupe d'automorphismes non-compact. Rosay
donna une version semi-locale
de l'argument de Wong (\cite{rosay}, 1979), puis Pinchuk en donna un
d�monstration bas�e sur les techniques de dilatations de coordonn�es.
\begin{thm}[Wong-Rosay]
Soit $\om$ un domaine  de $\C^k$  et $(f_n)_n$ une suite d'automorphismes 
de $\om$. S'il existe un point $z_0\in \om$ dont l'orbite $\{f_n(z_0)\}_n$ 
accumule un point au voisinage duquel $b\om$ est lisse et strictement
pseudoconvexe alors $\om$ est biholomorphiquement �quivalent � la
boule unit� de $\C^k$. 
\end{thm}
Les techniques de dilatations ont �galement permis des g�n�ralisations
 de ce r�sultat au cas faiblement pseudoconvexe. Un th�or�me analogue 
a �t� obtenu par  Berteloot \cite{berteloot2} lorsque le point d'impact 
est de type fini dans $\C^2$  et par  Gaussier \cite{gaussier} dans le cas 
convexe de type fini en toutes dimensions. Bedford-Pinchuk avaient auparavant 
caract�ris� les domaines dont la fronti�re est globalement de type fini dans $\C^2$ 
ou convexe de type fini dans $\C^k$ et dont le groupe d'automorphisme est non-compact
(\cite{bedpin2,bedpin1,bedpin3}). 
Ainsi notre �tude est susceptible de s'�tendre au cas faiblement pseudoconvexe.


R�sumons Le principe de notre preuve. Apr�s les avoir 
prolong�es en des applications holomorphes entre des domaines soutenus par 
$S$ et $S'$,
nous renormalisons la suite de ces applications en les composant au but par
des dilatations anisotropes bien choisies (partie 1). Le probl�me est alors de
voir que la suite renormalis�e converge vers un biholomorphisme entre le domaine 
source et un ouvert de la boule soutenu par une portion de la sph�re (partie 3). 
La difficult� principale est de s'assurer de la non-d�g�n�rescence de 
l'application limite. Ce probl�me ne se pr�sente pas dans la situation de 
Wong-Rosay. Nous le surmontons en quantifiant
la dilatation des applications $\text{CR}$ (partie 2). Ceci se r�v�lera 
�galement utile pour les applications que nous 
pr�sentons dans la partie 4.

Je tiens � remercier Fran�ois Berteloot pour son aide lors de la r�daction 
de cet article.
\paragraph{Notations et conventions :}  
\begin{itemize}
\item[\sbull] Pour $z\in \C^k$ ($k\geq 2$), nous noterons $z=(z_1,z')$, o� $z_1\in
  \C$ et $z'\in \C^{k-1}$.
\item[\sbull] Pour une hypersurface r�elle lisse $M$ de $\C^k$, on note
  $\spc(M)$ l'ensemble des points de stricte pseudoconvexit� de $M$.
\item[\sbull] Lorsque $M$ est une hypersurface r�elle lisse
strictement convexe de $\C^k$ et $q$ est un point de $M$, on note :
\begin{itemize} 
\item $\vec N(q)$ le vecteur unitaire normal � $M$ en $q$ dirig� vers la
  partie convexe de $\C^k\priv M$, 
\item $\Lambda_q$ la forme lin�aire $\Lambda_q(\cdot)=\langle \vec
  N(q),\cdot\rangle$,   
\item $q_\eps$ le point $q+\eps\vec N(q)$,
\item $B_\eps(q)$ la boule centr�e en $q_\eps$ et de rayon $\eps$; cette
  boule est tangente � $M$ en $q$,
\item $B^+_\eps(q):=B_\eps(q)\cap \{\Lambda_q\geq \eps\}$. 
\end{itemize} 
\item[\sbull] Lorsque $\om$ et $\om'$ sont des domaines de $\C^k$ et $U$
  est inclus dans $b\om$, nous dirons qu'une application $F$ de $\om$ dans 
$\om'$ est propre relativement � $U$ si $F\in \cc^\infty(\om\cup U)$ et 
$F(U)\subset b\om'$.
\item[\sbull] Enfin, lorsque $D$ est un domaine de $\C^k$, et 
$\lambda\in\R$, nous noterons 
$$
\begin{array}{ll}
D_\lambda:=D\cap \{\re z_1<\lambda\} & D_{\lambda}^+:=D\cap \{\re z_1\geq
\lambda\}\\
 {[bD]}_\lambda:=bD\cap \{\re z_1<\lambda\} & {[bD]}_\lambda^+:=bD\cap
\{\re z_1\geq\lambda\} .\\
\end{array}
$$
\end{itemize}
\section{Renormalisation de la suite $f_n$.}
Commen�ons par d�crire et simplifier la situation g�om�trique sous-jacente
aux hypoth�ses du th�or�me $1$.

Appelons $a$ le point de $S'$ vers lequel $(f_n)_n$ converge. Soit $p$ un
point de $S$. Le but est de trouver un voisinage de $p$ dans $S$ qui est 
$\text{CR}$-diff�omorphe � un ouvert de la sph�re. Ce probl�me ne d�pend �videmment
pas des syst�mes de coordonn�es holomorphes en $p$ et en $a$. Comme les
surfaces $S$ et $S'$ sont strictement pseudoconvexes, on peut les
supposer strictement {\it convexes} sur des voisinages $U_2$ et $U'$ de
$p$ et $a$ respectivement. De m�me, on peut supposer $\Lambda_p=\Lambda_a=\re
z_1$, $U_2=S\cap \{\re z_1< 2\}$ et $U'=S'\cap \{\re z_1< 1\}$. Il
existe alors deux domaines born�s de $\C^k$ strictement convexes, $\om$ et
$\om'$ tels que $U_2= [b\om]_2$ et $U'= [b\om']_1$. 

Quitte � �liminer de la suite $(f_n)_n$ un nombre fini d'�l�ments, on peut
supposer que $f_n([b\om]_2)\subset U'$ pour tout $n\in \N$. 
Les th�or�mes classiques de prolongement des applications $\text{CR}$
(voir \cite{bogess}, chap. 15) montrent que $f_n$ se prolonge en une application
holomorphe de $\om_2$ dans $\C^k$ que nous 
noterons abusivement $f_n$. Comme $\om_1'$ poss�de une fonction \psh\
d�finissante $\rho$, le principe du maximum appliqu� 
aux restrictions de $\rho\circ f_n$ sur les hyperplans complexes $\{z_1=c\}$
assure que $f_n(\om_2)\subset \om_1'$. Un argument similaire prouve que la
suite $(f_n)$ converge uniform�ment vers $a$ sur $\om_2$.

Posons enfin $y_0:=(1,0)$, $y_n:=f_n(y_0)$, $p_n:=f_n(p)$, de sorte que $y_n$
et $p_n$ tendent vers $a$. La figure \ref{situation1} illustre la situation.
\begin{figure}[h!]
\begin{center}
\input sit1.pstex_t
\end{center}
\caption{Situation g�om�trique du th�or�me $1$.}
\label{situation1}
\end{figure}
\subsection{Dilatations de coordonn�es.}
Nous d�crivons une technique de dilatation de coordonn�es naturellement
associ�e au couple $(p_n,y_n)$. Elle proc�de d'une l�g�re modification de
la m�thode introduite par Pinchuk (voir \cite{pinchuk,berteloot}). 
On peut supposer que $U'$ 
poss�de une fonction d�finissante $\chi$ donn�e par : 
$$
\chi(z):=-\re z_1+\Vert z\Vert^2+a(z)\Vert z\Vert^3 \text{ o� } a(z)\in \mathcal
O(1).  
$$ 
L'op�ration de remise � l'�chelle en $q\in U'$ de param�tre $\eps$, not�e 
$\rc_{q,\eps}$, consiste en
une composition de deux biholomorphismes de $\C^k$, $\Psi_q$ et $D_\eps$, et
d'une transformation  birationnelle $\Phi$ de $\C^k$ :
$$
\rc_{q,\eps}=\Phi\circ D_\eps\circ \Psi_q.
$$
\sbull\ $\Psi_q$ est la composition d'une translation qui envoie $q$ sur
l'origine et d'une transformation unitaire de $\C^k$ qui rend horizontal le
plan tangent � $b\om$ en $q$ (\textit{i.e.} d�fini par $\re z_1=0$). Dans ces
coordonn�es, $\chi_q:=\chi\circ \Psi_q^{-1}$ est de la forme :
\begin{equation}\label{eqdil1}
\chi_q(z)=-\re z_1+Q_q(z)+a_q(z)\Vert z\Vert^3  
\end{equation}
o� $Q_q$ est le hessien r�el de $\chi_q$ en $0$. Il s'agit d'une forme
quadratique r�elle d�finie positive sur $\C^k=\R^{2k}$ 
car $U'$ est strictement convexe. La fonction $a_q(z)$ est major�e sur
$\om_1'$ ind�pendamment de $q\in U'$ car $b\om'$ est $\cc^3$. Remarquons que
$\Psi_a=Id$, $Q_a=\Vert \cdot\Vert$ et que les 
applications $q\mapsto \Psi_q$ et $q\mapsto Q_q$ sont continues en raison du
caract�re lisse de $U'$.\vspace{0.2cm}\\    
\sbull\ $D_\eps$ est la dilatation anisotrope $\C$-lin�aire 
$$
D_\eps:(z_1,z')\longmapsto \left(\frac{z_1}{\eps},\frac{z'}{\sqrt \eps}\right).
$$
Il s'agit d'un changement d'�chelle naturel associ� � la stricte
pseudoconvexit�. Un calcul simple montre que la fonction d�finissante
$\chi_{q,\eps}$ de $D_\eps\circ \Psi_q(U')$ d�finie par
$\ds\chi_{q,\eps}:=\frac{1}{\eps} \chi_q\circ D_\eps^{-1}$ s'�crit :
$$
\chi_{q,\eps}(z_1,z') = -\re z_1+Q_q\big((0,z')\big) +O(\sqrt \eps).
$$  
\sbull\ $\Phi$ est la transformation de Cayley 
$$
\Phi:(z_1,z')\longmapsto\left(\frac{z_1-1}{z_1+1},\frac{2z'}{z_1+1}\right)
$$ 
qui transforme $\Sigma:=\{\re z_1\geq \Vert z'\Vert^2\}$ en $B:=\{| z_1|^2+\Vert
z'\Vert^2\leq 1\}$. Remarquons que $D_\eps\circ\Psi_q(\om')$ est inclus dans le
demi-espace $\{\re z_1>0\}$ en raison de la convexit� de $\om'$. La transformation 
$\rc_{q,\eps}=\Phi\circ D_\eps\circ \Psi_q$ est par cons�quent bien d�finie
sur $\om'$. 
\paragraph{}Nous allons maintenant d�finir une suite de remises � l'�chelle 
$\rc_n:= \rc_{p_n,\eps_n}$ associ�e � la suite $(p_n,y_n)$ ; voir la figure
 \ref{situation2}. A cet effet, observons que  
$\{\rc_{q,\eps}^{-1}(\{\re z_1=0\}),\eps>0\}$
d�finit un feuilletage de $\C^k\priv T_q^\C b\om'$ dont les feuilles 
sont des cylindres euclidiens centr�s en $T_q^\C b\om'$ :
$$
F_{q,\eps}:=\rc_{q,\eps}^{-1}(\{\re z_1=0\})=\{z\in \C^k,\; d(z,T_q^\C
b\om')=\eps\}.  
$$
En raison de la convexit� de $\om'$, tout point $z\in\om'$ appartient
� une unique feuille $F_{q,\eps_q(z)}$, $\eps_q(z)>0$. Ceci nous permet
d'�noncer la d�finition suivante :
\begin{definition}
La remise � l'�chelle $\rc_n$ associ�e � la suite $(p_n,y_n)$ est d�finie 
par $\rc_n:=\rc_{p_n,\eps_n}$ o� $\eps_n:=\eps_{p_n}(y_n)$ est l'unique r�el 
tel que $y_n\in F_{p_n,\eps_n}$. On pose $F_n:=\rc_n\circ f_n$, 
$\wdt\om_n:=\rc_n(\om')$ et $\wdt y_n:=\rc_n(y_n)$.   
\end{definition}
Gr�ce � ces choix nous disposons d'une suite d'applications $F_n$ telles que 
(voir fig. \ref{situation2}) :
$$
\begin{array}{rcccl}
F_n & : & \om_2 &\lra & \wdt\om_n \\
& & p & \longmapsto & a=(-1,0)\\
& & y_0 & \longmapsto & \wdt y_n \in \{\re z_1=0\}.\\
\end{array}
$$

Notons que la convergence de $p_n$ et $y_n$ vers $a$ implique que 
$\eps_{p_n}(y_n)$ tend vers $0$. Il est bien connu que la 
suite de domaines $\wdt \om_n$ tend vers la boule $B$ au sens $\cc^2$ sur les
compacts de $\C^{k+1}\priv \{z_1=1\}$. L'objet de la proposition suivante
 est de mieux contr�ler cette convergence. Ceci se r�v�lera
utile dans la troisi�me partie. Commen�ons par observer que $\om'$ est 
inclus dans toutes les paraboles tangentes � $b\om'$ de courbure assez petite :
\begin{lemme}\label{geodiff}
Il existe une constante $c>0$ telle que $\Psi_q(\om')\subset \{\re
z_1>c\Vert z\Vert^2\}$ pour tout $q\in b\om'$.
\end{lemme}
\noindent\underline{Preuve :} Raisonnons par l'absurde,
supposons qu'il existe une suite de r�els $c_n$ qui tend vers $0$ et des
points distincts $p_n,p_n'\in b\om'$ tels que $p_n'\in
\cp_n:=\Psi_{p_n}^{-1}\big(\{\re z_1>c_n\Vert z\Vert^2\}\big)$ ($\cp_n$ est
une parabole tangente � $b\om'$ en $p_n$). Comme $b\om'$ est compact, on peut
supposer que $p_n$ et $p_n'$ convergent vers deux points $p,p'\in b\om'$.
 Nous allons montrer que $p\neq p'$. Ceci contredira la stricte convexit� de
$\om'$ puisqu'alors $p\neq p'\in T_pb\om'\cap b\om'$ (la suite de paraboles
$\cp_n$ converge sur les compacts vers $T_pb\om'$ car $c_n$ tend vers $0$ et
$p_n$ tend vers $p$).

On peut �videmment
supposer que $p=0$. Rappelons que (\ref{eqdil1}) donne l'expression d'une
fonction d�finissante de $\Psi_q(U')$ pour $q\in U'$. Pour $q$
suffisamment proche de l'origine, on peut supposer  que $Q_q(z)\geq 1/2\Vert
z\Vert^2$. Il existe donc un voisinage $B$ de l'origine dans $\C^k$ tel que 
$$
\Psi_q(\om'\cap B)\subset \{\re z_1>\frac{\Vert z\Vert^2}{3}\}.
$$
Comme $c_n$ tend vers $0$, le point $p'_n$ est hors de $B$ donc $p'\neq
p$. \cqfd 
\indent Nous dirons qu'une suite de domaines $D_n$ converge vers un
domaine $D$ au sens $\mathcal C^2$ sur un compact $K$ si $K\cap
\overline{D_n}$ tend vers $K\cap \overline{D}$ au sens de la topologie de
Hausdorff et si les fonctions d�finissantes $\chi_{i,n}$ de $D_n$ sur les
ouverts $U_i$ d'un recouvrement de $D$ convergent en norme $\cc^2$ vers des
fonctions d�finissantes $\chi_i$ de $D\cap U_i$.  
%\begin{itemize}
%\item $K\cap \overline{D_n}$ tend vers $K\cap \overline{D}$ au sens de la
%  topologie de Hausdorff.
%\item Lorsque $bD$ est recouvert par des ouverts $U_i$ de $\C^k$ sur lesquels il
%  poss�de des fonctions d�finissantes $\chi_i$ $\mathcal C^2$, alors  $bD_n$ a
%  des fonctions d�finissantes $\chi_{i,n}$  $\mathcal C^2$-proches de $\chi_i$ 
%  sur  $U_i$ pour $n$ suffisamment grand. 
%\end{itemize}
\begin{prop}\label{cvcool}
La suite de domaines $(\wdt\om_n)$ converge vers $B$ au sens $\mathcal C^2$ 
sur les compacts de $\C^k\priv\{(1,0)\}$.
\end{prop}
\noindent\underline{Preuve :} Les domaines $\wdt \om_n$ sont de la forme 
$$
\wdt \om_n=\Phi\circ D_{\eps_n}\circ \Psi_{p_n}(\om')
$$
o� $\eps_n$ tend vers $0$. On sait que la suite
de domaines $D_{\eps_n}\circ \Psi_{p_n}(\om')$ tend vers $\Sigma$ au sens
$\mathcal C^2$ sur les compacts de $\C^k$ (voir \cite{pinchuk}) et que la
transformation de Cayley $\Phi$ transforme $\Sigma$ en $B$ en faisant 
correspondre l'infini � $\{z_1=1\}$. Il suffit donc de v�rifier qu'il existe 
une fonction $r(\delta)$ tendant vers $0$ avec $\delta$ telle que :
$$
\wdt \om_n\cap \{|z_1-1|<\delta\}\subset B[(1,0),r(\delta)] \hspace{0.5cm} 
\forall n\in \N.
$$
Or ceci r�sulte du lemme \ref{geodiff}. En effet, d'apr�s ce lemme, il existe 
$c>0$ tel que $\Psi_{p_n}(\om')\subset \{\re z_1>c\Vert z'\Vert^2\}$ pour tout 
$n\in \N$. En outre, on v�rifie ais�ment que 
$\Phi\circ D_{\eps_n}(\{\re z_1>c\Vert z'\Vert^2\})=E_c:=\{|z_1|^2+c\Vert 
z'\Vert^2<1\}$. L'inclusion attendue r�sulte alors imm�diatement de
$$
\wdt \om_n\cap \{|z_1-1|<\delta\}\subset E_c\cap \{|z_1-1|<\delta\}.
$$\hfill $\square$\vspace{-0.1cm}

La figure \ref{situation2} d�crit le proc�d� de remise � l'�chelle. 
\begin{figure}[h]
\begin{center}
\input dilat.pstex_t
\end{center}
\vspace{-0.1cm}
\caption{Situation apr�s remise � l'�chelle ``au temps'' $n$.}
\label{situation2}
\end{figure}

 Observons que la normalit� de la famille $(F_n)$ r�sulte 
de la proposition \ref{cvcool} puisque celle-ci
implique que $\wdt\om_n$ est une suite de domaines uniform�ment born�s.
\begin{corollaire}\label{normal}
La famille $(F_n)$ est normale. Quitte � extraire, on peut supposer que $F_n$
converge uniform�ment vers $F:\om_2\lra \overline{B}$ sur les compacts de $\om_2$. 
De plus l'alternative suivante a lieu : soit $F$ est � valeurs dans $B$ soit 
$F(\om_2)$ est un point de $bB$.  
\end{corollaire}

\begin{rque}\label{bord}
L'image de $U'$ par la remise � l'�chelle en $q\simeq a$ et de param�tre
$\eps\ll 1$ est une hypersurface � bord de $\C^k$. Son bord est non vide et
inclus dans un voisinage de $(1,0)$ dont le diam�tre tend vers $0$ avec
$\eps$.  
\end{rque}



\subsection{R�duction du probl�me.}
La preuve du th�or�me 1 consiste � montrer que $F_n$ converge vers un
biholomorphisme d'un voisinage de $p$ dans $\overline{\om}$ sur un voisinage
de $(-1,0)$ dans $\overline{B}$. Nous r�duisons ici  ce probl�me �  
l'�tude de la convergence des applications $F_n$ et de leurs inverses $G_n$. 
Montrons tout d'abord comment d�finir ces inverses.
\begin{lemme}\label{remplissage}
Soient $D$ et $D'$ deux domaines � bords lisses de $\C^k$. On suppose que
$D_1$ et $D'_1$ sont connexes, non vides et que $[bD]_1$, $[bD']_1$ sont
strictement  convexes. Soit $F:D_1\lra D'$ une application holomorphe propre 
relativement � $[bD]_1$ telle que $F([bD]_1)\subset \spc(bD')$. Alors $F$ est 
un diff�omorphisme local sur $D_1$.  De plus, si $F$ est injective sur $[bD]_1$
et si $F([bD]_1)\supset[bD']_1$ alors $F(D_1)\supset D'_1$ et il existe 
un inverse � droite de $F$ d�fini sur $D'_1$. 
\end{lemme}
\noindent\underline{Preuve :} Notons tout d'abord que si $F$ n'�tait pas un 
diff�omorphisme local sur $D_1$ alors le lieu critique $\{\jac F=0\}$ serait un 
ensemble analytique dont l'intersection avec $[bD]_1\subset \spc(bD)$ serait 
vide \cite{pinchuk3}. La fonction $-\re z_1$ violerait le principe 
du maximum sur cet ensemble analytique.

Comme $[bD]_1$ est form� de points de stricte
convexit� et $F$ y est injective, $F_{|[bD]_1}$ est un diff�omorphisme $\text{CR}$
sur son image, qui contient $[bD']_1$. Il existe donc un diff�omorphisme $\text{CR}$ 
$G$ de $[bD']_1$ dans $[bD]_1$ tel que $F\circ G=Id$. Celui-ci se prolonge en une 
application $\overline{G}:D_1'\lra D$ holomorphe propre relativement � $[bD']_1$ 
dont l'image est incluse dans $D_1$ d'apr�s le principe du maximum. L'application 
$F\circ \overline{G}$ est donc bien d�finie sur $D'_1\cup [bD']_1$, et co�ncide 
avec l'identit� sur $[bD']_1$. Le principe d'unicit� montre que  
$F\circ \overline{G}=Id_{D'_1}$. On en conclut que $F(D_1)\supset D'_1$ et que 
$\overline{G}$ est l'inverse de $F$ sur $D_1'$.\cqfd
Ce lemme assure l'existence d'un inverse $G_n$ � $F_n$ naturellement d�fini
sur un ensemble maximal du type $\wdt \om_{n,t}$. La d�finition suivante met en 
relief les propri�t�s de ces applications que nous aurons � v�rifier :
\begin{definition}\label{ko}
Nous d�signerons par $\K(F_n)$, $O(F_n)$, $\K(G_n)$, $O(G_n)$ les propri�t�s 
suivantes :
\begin{description}
\item[\sbull] $\K(F_n)$ : $F_n$ converge vers une application $F$ et 
$F(\om_2)\subset B$,
\item[\sbull] $O(F_n)$ : il existe un r�el $\lambda$ strictement positif  tel que
  $F_n(\om_1)\supset \wdt\om_{n,\lambda}$ pour tout  $n\in \N$,
\item[\sbull] $\K(G_n)$ : $G_n$ converge vers une application $G$ et 
$G(B_\lambda)\subset \om_2$,
\item[\sbull] $O(G_n)$ : il existe une fonction croissante continue 
$\lambda':]0,\lambda]\to\R^+_*$  telle que \\
$G_n(\wdt\om_{n,t})\supset \om_{\lambda'(t)}$ pour tout $n$.  
\end{description}
\end{definition} 
Nous sommes maintenant en mesure de formuler la r�duction annonc�e :   
\begin{prop}\label{reduction}
Si la suite de renormalisation $(F_n)_n$ et la suite des inverses $(G_n)_n$ 
v�rifient les propri�t�s $\K(F_n)$, $O(F_n)$, 
$\K(G_n)$, $O(G_n)$ alors l'application limite $F:\om_2\to B$ se prolonge en un 
$CR$-diff�omorphisme entre un voisinage de $p$ dans $[b\om]_1$  et un voisinage 
de $(-1,0)$ dans $bB$. 
\end{prop}
\noindent\underline{Preuve :}
D'apr�s l'hypoth�se $O(F_n)$ et le lemme \ref{remplissage}, $G_n$ est d�finie 
sur $\wdt \om_{n,\lambda}$ et y v�rifie :
\begin{equation}\label{reduc1}
F_n\circ G_n=Id.
\end{equation} 
On d�duit imm�diatement de (\ref{reduc1}) et de l'hypoth�se $O(G_n)$ que 
$F_n(\om_{\lambda'(t')})\subset \wdt \om_{n,t'}$ pour $t'<t\leq \lambda$. 
Compte tenu de l'hypoth�se $\K(F_n)$, cela donne � la limite : 
$F(\om_{\lambda'(t')})\subset \overline{B}_{t'}\cap B\subset B_t$. On en d�duit 
par continuit� de $\lambda'$ que :
\begin{equation}\label{reduc2}
F\big(\om_{\lambda'(t)}\big)\subset B_t \hspace{0.3cm}\text{ pour } t\leq \lambda.
\end{equation}
Il r�sulte �galement de (\ref{reduc1}) que $G_n\circ F_n=Id$ sur $G_n\big(\wdt 
\om_{n,\lambda}\big)$ et donc sur $\om_{\lambda'(\lambda)}$ en vertu de l'hypoth�se 
$O(G_n)$ :
\begin{equation}\label{reduc3}
G_n\circ F_n=Id \hspace{0.3cm}
\text{ sur } \om_{\lambda'(t)} \text{ pour } t\leq \lambda.
\end{equation}
L'hypoth�se $\K(G_n)$ permet de passer � la limite dans (\ref{reduc1}) car 
$F_n$ converge uniform�ment vers $F$ sur les compacts de $\om_2$. Il vient alors :
\begin{equation}\label{reduc4}
F\circ G=Id \hspace{0.3cm}\text{ sur } B_t\text{ pour } t\leq \lambda.
\end{equation}
L'inclusion (\ref{reduc2}) permet de passer � la limite dans (\ref{reduc3}) :
\begin{equation}\label{reduc5}
G\circ F=Id \text{ sur } \om_{\lambda'(t)} \text{ pour } t\leq \lambda.
\end{equation}
L'identit� (\ref{reduc4}) montre que $F$ induit un biholomorphisme entre 
$G(B_\lambda)$ et $B_\lambda$ :
$$
F:G(B_\lambda)\overset{\sim }{\lra} B_\lambda.
$$
En outre, l'inclusion (\ref{reduc2}) et l'identit� (\ref{reduc5}) montrent 
que $G(B_\lambda)\supset \om_{\lambda'(\lambda)}$. On est alors en mesure de
montrer que $F$ se prolonge en un diff�omorphisme d'un voisinage de $p$ dans 
$b\om$ sur un voisinage de $(-1,0)$ dans $bB$. Les fronti�res �tant strictement 
pseudoconvexes en $p$ et $(-1,0)$, un th�or�me de Bell \cite{bell} stipule que 
le prolongement diff�rentiable est une cons�quence du prolongement continu. 
Fixons $-1<t\leq \lambda$ arbitrairement proche de $-1$. 
Pour $n$ assez grand $x_n\in \om_{\lambda'(t)}$ et donc, compte tenu de 
(\ref{reduc2}), $F(x_n)\in B_t$. Ainsi $F(x_n)$ tend vers $(-1,0)$ lorsque $x_n$
tend vers $p$ et cela entra�ne le prolongement h�lder continu de $F$ � $b\om$
autour de $p$ \cite{berteloot3}.\cqfd

Notre objectif est de v�rifier les propri�t�s ``$\K$'' et ``$O$'' pour les 
suites $F_n$ et $G_n$. Il s'agit de propri�t�s de compacit� de suites 
d'applications respectivement � l'int�rieur et au bord des domaines. Nous 
mettons au point dans la partie suivante des estimations sur les d�riv�es et les 
images des applications $\text{CR}$ qui nous permettront de les �tablir.
\section{Pr�liminaires techniques sur les applications $\text{CR}$.}\label{prelim}
Nous introduisons dans cette partie une distance qui pr�sente l'avantage
d'�tre plus adapt�e � la g�om�trie des applications $\text{CR}$ tout en
d�finissant la m�me topologie que la distance euclidienne sur les
hypersurfaces strictement pseudoconvexes. 

Soit $X$ une sous-vari�t� lisse de $\C^k$, $x$ et $y$ deux points de $X$. On
appelle chemin complexe entre $x$ et $y$ tout chemin $\gamma :[0,l]\lra X$
joignant $x$ � $y$, $\mathcal C^1$ par morceaux, et tel que
$\dot{\gamma}(t)\in T^\C_{\gamma(t)} S$ l� o� cela fait sens. On note
$\ell(\gamma)$ la longueur euclidienne d'un tel chemin. 
Pour $x,y\in X$, on d�finit la distance $\text{CR}$ entre $x$ et $y$ par :
$$
d^{\text{\tiny CR}}_X(x,y):=\text{inf}\{\ell(\gamma),\;\gamma \text{ chemin
  complexe entre  $x$ et $y$}\}. 
$$
En l'absence d'ambigu�t�, on ne pr�cisera pas la d�pendance en $X$ de
$d^{\text{\tiny CR}}$. Les boules correspondantes de centre $x$ et de
rayon $\delta$ sont not�es $B_X^{\text{\tiny CR}}(x,\delta)$. 

Les distances euclidienne et
$\text{CR}$ sont fortement reli�es dans les hypersurfaces minimales
(\textit{i.e.} ne contenant pas  de bout d'hypersurface holomorphe). En
particulier, les grandes boules $\text{CR}$  contiennent de grandes boules
euclidiennes. Pour les hypersurfaces strictement pseudoconvexes,
cette propri�t� est un cas particulier tr�s simple du th�or�me 4 de \cite{nsw}.
\begin{prop}\label{minimale}
La topologie associ�e � la distance $\text{CR}$ co�ncide avec la
topologie usuelle sur les hypersurfaces strictement pseudoconvexes lisses de
$\C^k$. En particulier, tout ouvert born� d'une telle hypersurface est
$d^{\text{\tiny CR}}$-born�.  
\end{prop}
Le r�sultat principal de cette partie est une version quantifi�e du principe
suivant :  
\begin{center}
"Une application $\text{CR}$ est une dilatation pour la distance $\text{CR}$."
\end{center}
Compte tenu de la proposition \ref{minimale}, ce principe implique que les
images des applications $\text{CR}$ contiennent naturellement de "grands"
ouverts euclidiens. Il est r�gi par le lemme de Hopf, qui permet de
minorer les d�riv�es des applications holomorphes propres. 
\begin{lemme}[Hopf] \label{hopf}
Soit $D$ un domaine de $\C^k$ et $\chi\in \cc^1(\overline{D})$ une fonction
\psh\ n�gative sur $D$ et nulle en $q\in bD$. Soit $\eps$ tel que
$B_\eps(q)\subset D$ et $M:=\min\{|\chi(z)|,z\in
B_\eps^+(q)\}$. Alors $\ds\chi(q_t)\leq -\frac{Mt}{8\eps}$ pour
$t\leq\eps$ et donc $\ds\Vert\grad \chi(q)\Vert\geq \frac{M}{8\eps}$.
\end{lemme} 
\noindent\underline{Preuve :} Soit $\D_\eps$ le param�trage unitaire du disque
complexe de centre $q_\eps$ passant par $q$, qui envoie $q_\eps$ sur $0$ et
$q$ sur $-\eps$. Dans ce param�trage,  $B^+_\eps(q)\cap \D_\eps$
correspond � $\D_\eps\cap \{\re z>0\}$. La restriction $\wdt \chi$ de $\chi$
� $\D_\eps$ est une fonction sous-harmonique n�gative sur $\D_\eps$ v�rifiant
$\chi(q_t)=\wdt\chi(-\eps+t)$, $\wdt \chi(\eps e^{i\theta})\leq -M$ pour
$\theta\in[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]$ et $\wdt\chi(-\eps)=0$. Un calcul facile
sur le noyau de Poisson donne donc : 
$$
\begin{array}{rl} 
\chi(q_t)=\wdt\chi(-\eps+t)\leq &\ds\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi
\frac{\eps^2-(\eps-t)^2}{|-\eps+t-\eps e^{i\theta}|^2} \wdt\chi(\eps
e^{i\theta})d\theta \\ 
  \leq &  \ds -\frac{M}{2\pi}\int_{-\frac{\pi}{2}}^\frac{\pi}{2}
\frac{\eps^2-(\eps-t)^2}{|-\eps+t-\eps e^{i\theta}|^2}\, d\theta 
 \leq \ds -\frac{M}{2}\frac{t(2\eps-t)}{4\eps^2} 
 \leq  \ds -\frac{M t}{8\eps}.
\end{array}
$$
\cqfd
Nous combinons � pr�sent le lemme de Hopf � une propri�t� de transfert d'estimations
des d�riv�es normales aux d�riv�es tangentielles complexes pour obtenir la version 
du principe �nonc� ci-dessus qui nous sera utile.
\begin{lemme}\label{recouvre}
Soient $\om$, $\wdt\om$ des domaines de $\C^k$ � bords lisses et $U$ un ouvert 
relativement compact dans $\spc(b\om)$. Soit $W$ un ouvert de $\spc(b\wdt \om)$ 
tel que $\Lambda_x$ est positive sur $\wdt \om$ pour tout $x\in 
W$. On note $\kappa_1$ et $\kappa_2$ la
plus petite et la plus grande des valeurs propres de la forme de Levi sur $U$
et $W$. Soit $p\in U$ et $\eps,\tau$ deux r�els strictement positifs tels que
$B^{\text{\tiny CR}}(p,\tau)\Subset U$ et  $B_\eps(q)\subset \om$ pour tout
$q\in B^{\text{\tiny CR}}(p,\tau)$.

Soit $F:\om\lra \wdt \om$ une application holomorphe propre relativement � $U$
telle que $F(p)\in W$. On d�finit 
$$ 
M:=\min\big\{|\Lambda_x(z)|,\; x\in W, \; z\in F\big(\bigcup_{q\in
  B^{\text{\tiny CR}}(p,\tau)} B_\eps^+(q)\big)\big\}.
$$
Alors 
$$
F\big(B^{\text{\tiny CR}}(p,\tau)\big)\supset B^{\text{\tiny
    CR}}_{W}\left(F(p),\left[\frac{\kappa_1}{8\kappa_2}\frac{M}{\eps}
  \right]^{\frac{1}{2}}\tau\right).      
$$
\end{lemme}\vspace{0.3cm}
La preuve comporte deux �tapes. Dans la premi�re, le lemme de Hopf
est utilis� pour minorer les d�riv�es tangentielles complexes de $F$ sur la
pr�image de $W$. La seconde �tape consiste � int�grer ces estim�es.\\
\underline{Preuve :}
{\it Estimations des d�riv�es de $F$.} Soit $q$ un point de $U$ tel
que $F(q)\in W$. Montrons :
\begin{equation}\label{hopf+}
\Vert F'(q)u\Vert\geq \left[\frac{\kappa_1}{8\kappa_2}\frac{M}{\eps} \right]^{1/2}
\Vert u\Vert,\hspace{0.5cm}\forall u\in T^\C_q b\om.
\end{equation}
Le lemme \ref{hopf} appliqu� � la fonction $-\Lambda_{F(q)}\circ F$ fournit
l'estim�e $\Vert~\grad ~ [~\Lambda_{F(q)}~\circ ~
F](q)~\Vert~\geq~\frac{M}{8\eps}$. Comme $\grad
\Lambda_{F(q)}\big(F(q)\big)=\vec N(F(q))$, on a :
\begin{equation}\label{eqevident}
n_q(F):=\langle F'(q)\vec N(q),\vec N(F(q))\rangle=
d\Lambda_{F(q)}[ F'(q)\vec N(q)]=\Vert\grad [\Lambda_{F(q)}\circ
F](q)\Vert\geq\frac{M}{8\eps}. 
\end{equation}
Notons $\L(\phi,a,u)$ la forme de Levi en $a$ d'une fonction $\phi$,
appliqu�e � un vecteur $u$.\\
Comme $W$ est lisse, il existe une fonction d�finissante
$\psi$ de $\wdt \om$ au voisinage de $F(q)$, qu'on peut supposer de
gradient norm� en $F(q)$ : $\grad \psi(F(q))=\vec N(F(q))$. Comme pour 
(\ref{eqevident}), on voit qu'alors $\Vert\grad \psi\circ F(q)\Vert=n_q(F)$. De
plus, $\psi\circ F$ est une fonction d�finissante en $q$, au voisinage duquel  
$b\om$ est strictement pseudoconvexe. Pour tout vecteur $u\in T^\C_q
b\om$, on a donc compte tenu de (\ref{hopf+}):
\begin{equation}\label{nq}
\L(\psi\circ F,q,u)\geq \kappa_1\Vert \grad \left[\psi\circ
  F\right](q)\Vert\Vert u\Vert^2=\kappa_1n_q(F)\Vert u\Vert^2\geq
  \frac{\kappa_1 M}{8\eps}\Vert u\Vert^2. 
\end{equation}
Par fonctorialit� de la forme de L�vi et d�finition de $\kappa_2$ il vient :
\begin{equation} \label{fonct}
\L(\chi\circ F,q,u)=\L(\chi,F(q),F'(q)u)\leq \kappa_2\Vert F'(q)u\Vert^2.
\end{equation}
Les in�galit�s (\ref{nq}) et (\ref{fonct}) impliquent (\ref{hopf+}).\vspace{0.2cm}\\   
{\it Conclusion.} Nous int�grons � pr�sent l'in�galit� (\ref{hopf+}).
Comme $F(p)$ appartient � $W$, il suffit de v�rifier que 
$$
bF\big(B^{\text{\tiny CR}}(p,\tau)\big)\cap B^{\text{\tiny CR}}_{\wdt
  W}\left(F(p),\left[\frac{\kappa_1}{8\kappa_2}\frac{M}{\eps}
  \right]^{1/2}\tau\right)=\emptyset ,  
$$
ou encore que pour tout point $x$ de $bF(B^{\text{\tiny CR}}(p,\tau))\cap W$, 
\begin{equation}\label{eqfin}
d^{\text{\tiny CR}}_{W}(F(p),x)\geq
\left[\frac{\kappa_1}{8\kappa_2}\frac{M}{\eps}\right]^{\frac{1}{2}}\tau.
\end{equation}
Soit $x$ un tel point et $\wdt \gamma$ un chemin complexe de $W$ entre $F(p)$ 
et $x$  param�tr� par la longueur d'arc. Comme $F$ est un diff�omorphisme
$\text{CR}$ local en tout point de $B^{\text{\tiny CR}}(p,\tau)$, 
on peut relever la composante connexe de $F(p)$ dans $\wdt 
\gamma\cap F(B^{\text{\tiny CR}}(p,\tau))$ en un chemin complexe $\gamma$ tant que 
$\gamma$ ne sort pas de $B^{\text{\tiny CR}}(p,\tau)$.
Pr�cis�ment, il existe $l\leq \ell(\wdt \gamma)$ et $\gamma:[0,l]\lra 
\overline{B^{\text{\tiny CR}}(p,\tau)}$ joignant $p$ � $bB^{\text{\tiny
    CR}}(p,\tau)$ et tel que $F\circ \gamma(t)=\wdt\gamma(t)$ pour tout
$t\in[0,l]$. 
Comme  $\gamma(t)$ appartient � $U$ et $F(\gamma(t))$ � $W$ pour tout
$t$, l'estim�e (\ref{hopf+}) obtenue dans l'�tape pr�c�dente montre que :
$$
 \Vert
F'(\gamma(t))u\Vert\geq
\left[\frac{\kappa_1}{\kappa_2}\frac{M}{8\eps}\right]^{\frac{1}{2}}\Vert 
u\Vert\hspace{0.5cm}\forall t\in [0,l],\; \forall u\in T^\C_{\gamma(t)}b\om. 
$$
Ainsi,
$$
%\begin{array}{lll}
%\ds d^{\text{\tiny CR}}(F(p),x)+\delta\geq 
\ell(\wdt \gamma) \geq  l  =  \int_0^l\Vert
 \dot{\wdt\gamma}(t)\Vert dt
 = \int_0^l \Vert F'(\gamma(t))\dot{\gamma}(t)\Vert dt \geq 
 \left[\frac{\kappa_1}{\kappa_2}\frac{M}{8\eps}\right]^{\frac{1}{2}}
 \int_0^l\Vert \dot{\gamma}(t)\Vert dt \\ 
  \geq 
 \left[\frac{\kappa_1}{\kappa_2}\frac{M}{8\eps}\right]^{\frac{1}{2}}\ell(\gamma).
%\end{array} 
$$
Puisque $\gamma$ joint $p$ � $bB^{\text{\tiny CR}}(p,\tau)$ et que $\wdt
\gamma$ est un chemin complexe quelconque liant $F(p)$ � $x$, on tire (\ref{eqfin}).
\cqfd

Le lemme \ref{recouvre} permet donc d'estimer la taille de l'image d'une boule 
$B^\CR(p,\tau)$ par une application holomorphe propre en fonction de son 
comportement sur 
$$
A_\eps(p,\tau):=\bigcup_{q\in B^{\text{\tiny CR}}(p,\tau)} B_\eps^+(q).
$$
La proposition suivante d�taille les situations dans lesquelles nous allons appliquer 
ce lemme.
\begin{prop}\label{recap}
Soient  $\om$, $\wdt \om$ des domaines de $\C^k$. soient $U$ et $W$ des ouverts 
relativement  compacts dans $\spc(b\om)$ et $\spc(b\wdt \om)$. On suppose que 
$\Lambda_x\geq 0$ sur $\wdt \om$ pour tout $x\in W$.
 
Fixons des points $p\in U$, $a\in W$ et des r�els $\eps_0,\tau>0$ tels que 
$B^\CR(p,\tau)\Subset U$ et $A_{\eps_0}(p,\tau)\subset \om$. 

Soit $\F_{p,a}$ la famille des applications holomorphes $F:\om\lra \wdt \om$ propres 
relativement � $U$ v�rifiant $F(p)=a$.
\begin{enumerate}
\item A tout compact $K$ de $\wdt \om$ est associ�e une constante $c(K)>0$  
telle que  :
$$
\forall F\in \F_{p,a} \; :\;\;\big(F(p)\in W\text{ et } F(A_{\eps_0}(p,\tau))\subset K\big)
\Longrightarrow F(B^\CR(p,\tau))\supset B_W^\CR(F(p),c\tau).
$$
\item Fixons $\lambda>0$ et $0<\eta<\lambda$. Il existe une constante 
$c(\eta)>0$ telle que :
$$
\begin{array}{l}
\hspace{-1cm}\forall\eps\leq\eps_0,\;\; \forall F\in \F_{p,a} \;:\\
F(A_\eps(p,\tau))\subset \{\Lambda_a\geq \lambda\} 
\Longrightarrow F(B^\CR(p,\tau))\supset B_W^\CR\big(a,\frac{c(\eta) 
\tau}{\sqrt\eps}\big)\cap \{\Lambda_a\leq \lambda-\eta\}.
\end{array}
$$
\item Soit $y\in W\priv\{a\}$ et $\eta<d(a,y)$. Il existe une constante 
$c(\eta)>0$  telle que :
$$
\begin{array}{l}
\hspace{-1cm}\forall\eps\leq\eps_0,\;\; \forall F\in \F_{p,a} \;:\\
F(A_\eps(p,\tau))\subset B(y,\eta)\Longrightarrow
F(B^\CR(p,\tau))\supset B_W^\CR\big(a,\frac{c(\eta)\tau}{\sqrt\eps}\big) 
\priv B(y,2\eta).
\end{array}
$$
\end{enumerate}\vspace{-0.1cm}
De plus, les constantes $c(K)$ et $c(\eta)$  ne 
d�pendent que des valeurs de la forme de L�vi sur $U$ et $W$. Les points 1, 2 et 
3 restent vrais pour des constantes moiti� lorsque $\om,\wdt \om$  sont remplac�s 
par de petites perturbations au sens de Hausdorff pourvu que $U$ et $W$ soient 
eux faiblement perturb�s au sens $\cc^2$.
\end{prop}
\begin{figure}[h]
\begin{center}
\input popurri.pstex_t
\end{center}
\caption{Situation 2 (en haut), situation 3 (en bas)}
\label{popourri}
\end{figure}
\section{D�monstration du th�or�me 1.}
En  utilisant de fa�on syst�matique la proposition \ref{recap}, nous allons 
v�rifier les propri�t�s $\K(F_n)$, $O(F_n)$, $\K(G_n)$ et $O(G_n)$. Ceci 
�tablira le th�or�me 1 {\it via} la proposition \ref{reduction}.
Toute la preuve du th�or�me 1 repose en fait sur  l'injectivit� de 
$F_n$ au bord et les choix effectu�s lors de la renormalisation.
 
Rappelons que $\wdt\om_n$ converge vers $B$ au sens $\mathcal C^2$ sur les compacts 
de $\C^2\priv \{(1,0)\}$ (propri�t� \ref{cvcool}). Ainsi, pour $n\geq n_0$ 
suffisamment grand, $[b\wdt \om_n]_{3/4}$ est 
strictement pseudoconvexe et $\Lambda_x$ est positive sur $\wdt\om_n$ pour $x\in 
[b\wdt\om_n]_{3/4}$. Le domaine $\om$ �tant quant � lui fix� et strictement convexe, 
la proposition \ref{recap} s'appliquera donc avec 
$\{U,W\}:=\{[b\om]_1,[b\wdt \om_n]_{3/4}\}$.
\subsection{Preuve de ``$\K \Longrightarrow O$''.}
\noindent\underline{$\K(F_n)\Longrightarrow O(F_n)$ :}
Appliquons le point 1 de la proposition \ref{recap} � $F_n$ en 
prenant $U:=b\om_1$ et $W_n:=[b\wdt\om_n]_{3/4}$. Comme $F_n(p)=a$ et 
qu'en vertu de l'hypoth�se $\K(F_n)$ $F_n(A_{\eps_0}(p,\tau))$ tend 
vers $F(A_{\eps_0}(p,\tau))\Subset B$, on obtient :
$$
F_n\big(B^\CR(p,\tau)\big)\supset B_{W_n}^\CR(a,c\tau).
$$
Compte tenu du lemme \ref{remplissage} il suffit alors de v�rifier qu'il existe 
$\lambda>0$ tel que $B^\CR_{W_n}(a,c\tau)\supset [b\wdt \om_n]_\lambda$ pour 
tout $n\in \N$. Or ceci r�sulte imm�diatement du fait que $W_n$ converge au sens 
$\cc^2$ vers $[bB]_{3/4}$.\cqfd

Lorsque $O(F_n)$ est v�rifi�e, le lemme \ref{remplissage} assure l'existence 
d'un inverse � droite $G_n$ pour $F_n$ d�fini sur $\wdt \om_{n,\lambda}$. Cette 
suite d'applications est normale car elle prend ses valeurs dans $\om_1$, on peut 
donc la supposer convergente vers une application $G:B_\lambda\lra \overline{\om}_1$. 
Comme ci-dessus, nous allons montrer que si $G$ est � valeurs dans $\om_2$ alors 
$O(G_n)$ est satisfaite.\vspace{0.1cm}\\
\underline{$\K(G_n)\Longrightarrow O(G_n)$ :} 
Appliquons le point 1 de la proposition \ref{recap} � $G_n$ en 
prenant $U_n:=[b\wdt\om_n]_{\lambda}$ et $W:=[b\om]_2$. Comme $G_n(p)=a$ et 
qu'en vertu de l'hypoth�se $\K(G_n)$ $G_n(A_{\eps_0}(a,\tau))$ tend 
vers $G(A_{\eps_0}(p,\tau))\Subset \om$, on obtient :
\begin{equation}\label{kog}
G_n\big(B_{U_n}^\CR(a,t)\big)\supset B_W^\CR(p,ct)\hspace{0.5cm} \forall 
t\leq\tau.
\end{equation}
Par ailleurs, la distance $\text{CR}$ majorant la distance euclidienne, 
on a $B_{U_n}^{\text{\tiny CR}}(a, t)\subset [b\wdt\om_{n}]_t$.
De plus, $B^{\text{\tiny CR}}(p,t)\supset [b\om]_{At^2}$ o� $A$
d�signe le minimum des valeurs propres de la forme de Levi de $[b\om]_1$ 
(il s'agit d'un cas particulier tr�s simple du th�or�me 4 de \cite{nsw}). 
La propri�t� $O(G_n)$ d�coule alors de (\ref{kog}) et du lemme \ref{remplissage}.\cqfd

En rempla�ant $p$ par un point arbitraire $q\in [b\om]_1$ dans la preuve de 
$\K(F_n)\Longrightarrow O(F_n)$, on obtient une propri�t� l�g�rement plus 
forte que $O(F_n)$. Celle-ci nous sera utile pour �tablir $\K(G_n)$.
\begin{lemme}\label{ptab}
Si $\K(F_n)$ est vraie alors il existe des constantes $c,\tau>0$ telles que 
pour tout $q\in [b\om]_1$ et $n$ suffisamment grand, 
$$
F_n(q)\in [b\wdt \om_n]_{3/4} \Longrightarrow F_n\big(B^\CR(q,\tau)\big)
\supset B_{[b\wdt \om_n]_{3/4}}^\CR(F_n(q),c\tau).
$$
\end{lemme}
\subsection{Preuve de $\K(F_n)$.}
En raison de l'alternative r�gissant la convergence de $F_n$ 
(corollaire \ref{normal}), 
il suffit d'�tablir que dans la situation d�crite dans la premi�re partie, 
$\wdt y_n=F_n(y_0)$ reste dans un compact de $B$.
Raisonnons par l'absurde, supposons que $\wdt y_n$ tende vers
 $y_\infty\in bB$. La suite  $(F_n)$ converge alors 
localement uniform�ment vers $y_\infty$ (corollaire \ref{normal}). 
A $\eps>0$ correspond donc un entier $n_\eps$ tel que 
$F_{n_\eps}(A_{\eps}(p,\tau)\big)\subset B(y_\infty,1/4)$. En appliquant 
le point 3 de la proposition \ref{recap} � $F_{n_\eps}$ avec $U:=[b\om]_1$,
$W_{n_\eps}:=[b\wdt\om_{n_\eps}]_{3/4}$, $\eta=1/4$ et $(a,y):=(a,y_\infty)$, 
on obtient :
\begin{equation}\label{kf1}
F_{n_\eps}([b\om]_1)\supset  
B^\CR_{W_{n_\eps}}\left(a,\frac{c(\eta)\tau}{\sqrt \eps}\right)
\,\priv B(y_\infty,\frac{1}{2}).
\end{equation}
Comme les $[b\wdt \om_n]_{3/4}$ tendent vers $[bB]_{3/4}$ au sens $\cc^2$, leurs 
diam�tres $\text{CR}$ sont uniform�ment born�. Il s'ensuit que  pour $\eps$ 
suffisamment petit, 
(\ref{kf1}) donne :
\begin{equation} \label{kf2}
F_{n_\eps}([b\om]_1)\supset  [b\wdt\om_{n_\eps}]_{3/4}\,\priv B(y_\infty,\frac{1}{2}).
\end{equation}
Dor�navant, $\eps$ est fix� et nous noterons $n$ au lieu de $n_\eps$.
L'application ${F_n}_{|[b\om]_2}$ �tant un diff�omorphisme sur son image, 
$F_n([b\om]_1)$ est contractile. Alors (\ref{kf2}) montre que $F_n([b\om]_1)$ 
doit contenir $[b\wdt \om_n]_{3/4}$. Il vient donc :
\begin{equation}\label{eqlem1}
b\big[F_n([b\om]_1)\big]=F_n(b\om\cap\{\re z_1=1\})\subset [b\wdt \om_n]_{3/4}^+.
\end{equation} 
Cette inclusion conduit � une contradiction car le principe du maximum 
appliqu� � la fonction  $-\re z_1\circ F_n$ montre que 
$F_n(\om\cap\{\re z_1=1\})\subset \wdt\om_{n,3/4}^+$ alors que par 
construction $F_n(y_0)\in \{\re z_1=0\}$. \hfill $\square$
\subsection{Preuve de $\K(G_n)$.}
D�finissons $\lambda_n:=\sup\{t\in\R \;|\;F_n(\om_1)\supset\wdt\om_{n,t}\}$. 
Comme $F$ est un diff�omorphisme local sur $\om_1$ (lemme \ref{remplissage}), 
le bord de $F_n(\om_1)$ dans $\wdt \om_n$ est inclus dans 
$F_n(\om \cap\{\re z_1=1\})$. Par d�finition de $\lambda_n$,
$$
\inf\big\{\re z_1\circ F_n(x),\;x\in \om\cap\{\re z_1=1\}\big\}=\lambda_n.
$$
 Le principe du maximum appliqu� � $-\re z_1\,
\circ F_n$ sur $\om\cap\{\re z_1=1\}$ montre donc :
\begin{equation}\label{z'n}
\exists z'_n\in \{\re z_1=1\}\cap b\om, \hspace{0.5cm} 
F_n(z_n')\in\{\re z_1\leq\lambda_n\}.
\end{equation}
Puisque $\K(F_n)$ et donc $O(F_n)$ sont satisfaites, les valeurs d'adh�rence de  
$\lambda_n$ sont sup�rieures �  $\lambda>-1$. Quitte � extraire, la suite des 
applications $G_n$ converge donc vers $G:B_{\lambda_\infty}\lra \overline{\om_1}$,
 o� $\lambda_\infty$ d�signe une valeur d'adh�rence de $\lambda_n\geq \lambda$.

Lorsque $\lambda_\infty>0$, la suite $\wdt y_n$ est compacte dans 
$B_{\lambda_\infty}$ d'apr�s $\K(F_n)$. De plus $G_n(\wdt y_n)=y_0\in \om_2$. 
L'application limite $G$ est donc � valeurs dans $\om_2$ : $\K(G_n)$ est v�rifi�e. 

Lorsque $\lambda_\infty\leq 0$, nous prouvons ci-dessous qu'il existe une suite 
$(x_n)$ relativement compacte dans $\om_1$ et une constante $\eta_0>0$ telles que 
$F_n(x_n)\in \wdt\om_{n,\lambda_\infty-\eta_0}$ pour $n$ assez grand. 
Alors $\{F_n(x_n)\}\Subset B_{\lambda_\infty}$ d'apr�s $\K(F_n)$. On conclut
cette fois en utilisant $\big\{G_n [F_n(x_n)]\big\}=\big\{x_n\big\}\Subset \om_2$. 

\paragraph{} 
Fixons  $\tau>0$ tel que $B^{\text{\tiny CR}}(p,\tau)\Subset [b\om]_1$. Il suffit 
pour �tablir l'existence de $(x_n)$ de voir qu'il existe $\eps_0,\eta_0>0$ tels que :
$$
F_n(A_{\eps_0}(p,\tau))\cap \wdt \om_{n,\lambda_n-\eta_0}\neq \emptyset \hspace{0.5cm}
\forall n\gg 1.
$$
Raisonnons par l'absurde : supposons que pour tout  $\eps,\eta>0$, 
il existe un entier $n_\eps$ tel 
que $F_{n_\eps}(A_\eps(p,\tau))\subset \wdt\om_{n_\eps,\lambda_{n_\eps}-\eta}^+$. 
En appliquant le point 2 de la proposition \ref{recap}  � $F_{n_\eps}$ avec 
$U:=[b\om]_1$, $W:=[b\wdt\om_n]_{1/2}$ et $(\lambda,\eta):=(\lambda_{n_\eps},\eta)$
on obtient :
\begin{equation}\label{kg1}
F_{n_\eps}\big(B^\CR(p,\tau/2)\big)\supset  B^\CR_{W_{n_\eps}}
\left(a,\frac{c(\eta)\tau}{2\sqrt \eps}\right)\cap\{\re z_1\leq \lambda_{n_\eps}-\eta\}.
\end{equation}
Comme les $[b\wdt \om_n]_{3/4}$ tendent vers $[bB]_{3/4}$ au sens $\cc^2$, leurs 
diam�tres $\text{CR}$ sont uniform�ment born�. Il s'ensuit que  pour $\eps$ 
suffisamment petit, (\ref{kg1}) donne :
$$
F_{n_\eps}\big(B^\CR(p,\tau/2)\big)\supset[b\wdt\om_{n_\eps}]_{\lambda_{n_\eps}-\eta}.
$$ 
Ceci �tant valable pour $\eta$ arbitrairement petit, on obtient apr�s extraction 
�ventuelle :
\begin{equation}\label{fait1}
d^{\text{\tiny CR}}\left(bF_n\big(B^{\text{\tiny
CR}}(p,\tau/2)\big),[b\wdt\om_{n}]_{\lambda_n}^+\right)\underset{n\to\infty}{\lra}
0.  
\end{equation}
De plus, on voit � l'aide du lemme \ref{ptab} que la distance $\text{CR}$ entre les 
points de $bF_n(B^{\text{\tiny CR}}(p,\tau))$ et les points de 
$F_n(B^\CR(p,\tau/2))$ est born�e inf�rieurement par $c\tau/2$. 
Il vient donc de (\ref{fait1}) 
que $F_n(B^{\text{\tiny CR}}(p,\tau))$ contient $[b\wdt\om_{n}]_{\lambda_n}$ 
pour $n$ assez grand. Avec (\ref{z'n}), ceci contredit l'injectivit� de 
${F_n}_{|U}$. \hfill $\square$ 
\section{Applications.}
Cette partie comporte trois applications du th�or�me 1. La premi�re est un
r�sultat de Wong-Rosay local, la deuxi�me concerne l'�tude de la dynamique des
applications holomorphes propres et la derni�re un 
r�sultat bien connu de la g�om�trie $\text{CR}$. 
\subsection{Une version locale du th�or�me de Wong-Rosay.}
\begin{thm2}
Soient $\om$, $\om'$ deux domaines de $\C^k$ pseudoconvexes � bords lisses et $U$
un ouvert de $\spc(b\om)$. Soit $(f_n)_n$ une suite d'injections holomorphes de
$\om$ dans $\om'$ propres relativement � $U$. S'il existe un point $y_0\in \om$
dont l'orbite $(f_n(y_0))_n$ accumule un point $y\in \spc(b\om')$, alors $U$
est localement sph�rique.
\end{thm2} 
\begin{rque}
Si les $f_n$ sont des surjections alors il s'agit du th�or�me classique.
\end{rque}
Par souci de lisibilit�, nous appellerons dans cette preuve ordonn�e d'un point
$z=(z_1,z')\in \C^k$ la partie r�elle de $z_1$. \\
\noindent\underline{Preuve :} On peut bien entendu supposer que $U$ est connexe. 
Si $f_n$ converge localement uniform�ment sur $U$
vers $y$ alors le th�or�me 1 s'applique et assure que $U$ est sph�rique. Sinon il 
existe $p\in U$ et des points $p_n\in U$ qui tendent vers $p$ tels que 
les $f_n(p_n)$ restent loins de $y$ (quitte � extraire). La sph�ricit� de $U$ d�coulera 
alors imm�diatement des assertions suivantes :
\begin{eqnarray}
&\text{ la composante connexe $C_y$ de $y$ dans $\spc(b\om')$ est sph�rique,}
\label{1'2} &\\
& f_n:U\lra C_y \text{ est un diff�omorphisme } \text{CR}.\label{1'1}& 
\end{eqnarray}

Une estimation classique de la m�trique
de Kobayashi au voisinage de $y$ \cite{graham} montre que $f_n$ 
converge uniform�ment vers $y$ sur les compacts de $\om$. Quitte � restreindre 
$\om$ et � effectuer un changement de variables, on peut donc supposer que $p=y=0$,
$T_pb\om=T_yb\om'=\{\re z_1=0\}$, $U=b\om_1$, $y_0=(1/2,0)$ et
$f_n(y_0)\in \om'_1$. On notera aussi $\eps_n$ l'ordonn�e du point $p_n$.

Comme $y\in \spc(b\om')$, il existe une fonction \psh $\chi$ d�finie sur
$\om'$, continue sur $\overline{\om}'$ et pr�sentant un maximum global strict
en $y$. Le principe du maximum appliqu� � $\chi\circ f_n$  sur 
$\om_1\cap\{\re z_1=\eps_n\}$ montre qu'il existe des points $p'_n$
de m�mes ordonn�es que $p_n$ tels que $f_n(p'_n)$ tend vers $y$. Or un 
argument d� � Fornaess \cite{fornaess} assure que les restrictions des $f_n$ � 
$U$ sont des diff�omorphismes $\text{CR}$ et que $f_n(U)\subset \spc(b\om')$.
Ceci �tablit donc (\ref{1'1}). De plus, Quitte � modifier $p_n$ en le 
d�pla�ant le long d'un chemin d'ordonn�e constante le joignant � $p'_{n}$, 
on peut supposer que $f_n(p_n)\in b\om'\cap\{\re z_1=\lambda\}$ et converge 
vers un point $a$. 

Pour prouver que $C_y$ est sph�rique, il convient de noter que les fonctions
pics de classe $\cc^1$ que poss�dent les points de $C_y$ peuvent remplacer 
les fonctions $\Lambda_q$ dans le lemme \ref{recouvre} et donc dans le point 3
de la proposition \ref{recap}. Un argument identique � celui utilis� pour 
prouver $\K(F_n)$ avec $(p_n,a,y_0,y)$ en place de 
$(p,a,y_0,y_\infty)$ montre que $f_n(b\om_\delta)$ contient 
$C_{y,\eps}:=\{p\in C_y\;|\; d(p,bC_y)>\eps\}$ pour $\delta,\eps$ arbitrairement
petits pourvu que $n$ soit assez grand. 
Ceci signifie que la suite des inverses $g_n$ des diff�omorphismes $\text{CR}$
${f_n}_{|b\om_1}$  converge uniform�ment vers $p$ sur $C_{y,\eps}$. D'apr�s le
th�or�me 1, $C_{y,\eps}$ est sph�rique. On en d�duit la sph�ricit� de $C_y$, 
c'est-�-dire (\ref{1'2}), en faisant tendre $\eps$ vers $0$.\hfill $\square$

\subsection{Dynamique des applications holomorphes propres.}
\begin{prop}\label{dynamique1}
Soit $\om$ un domaine convexe born� de $\C^k$ � bord lisse 
et $f$ une auto-application holomorphe propre de $\om$. S'il
existe un point $y_0\in \om$ dont l'orbite $\{f^n(y_0)\}$ accumule un point
$y$ de l'ensemble de stricte convexit� $\SC(b\om)$ alors $\SC(b\om)$ est sph�rique.
\end{prop}
\noindent \underline{Preuve :} Les th�or�mes classiques de prolongement
au bord des applications holomorphes propres s'appliquent pour les domaines 
convexes � bords lisses : $f$ se prolonge en une application $\text{CR}$  de 
$b\om$ dans lui-m�me \cite{boasstraube} et $f:\SC(b\om)\to \SC(b\om)$
est un diff�omorphisme local. De plus, il a �t� prouv� dans \cite{moi} 
que $f^n$ converge localement uniform�ment vers $y$ sur $\SC(b\om)$. Il suffit
donc de voir que tout point $p\in \SC(b\om)$ poss�de un voisinage sur lequel 
les $f^n$ sont toutes injectives pour que le th�or�me 1 s'applique et donne
le r�sultat souhait�.

Soit $V$ un voisinage de $y$ dans $C_y$
sur lequel $f$ est injective et $U_0$ un voisinage de $p$ relativement compact
dans $C_y$. Il existe un entier $n_0$ tel que $f^n(U_0)\subset
V$ pour tout $n\geq n_0$. Soit $U$ un voisinage de $p$ dans $U_0$
sur lequel  $f,f^2,\dots,f^{n_0}$ sont injectives. Montrons par r�currence 
que $f^n$ est injective sur $U$ pour tout $n$. 
Soient $x,x'\in U$ tels que $f^n(x)=f^n(x')$ avec
$n>n_0$. Alors $f(f^{n-1}(x))=f(f^{n-1}(x'))$ et $f^{n-1}(x),f^{n-1}(x')\in
V$. Comme $f$ est injective sur $V$, on en d�duit que
$f^{n-1}(x)=f^{n-1}(x')$. En it�rant ce proc�d� on obtient
$f^{n_0}(x)=f^{n_0}(x')$ donc $x=x'$.\cqfd
La proposition ci-dessus est valable pour d'autres types de domaines, dans lesquels
on peut assurer que l'it�ration de $f$ contracte $\spc(b\om)$ vers $a$ \cite{moi}.
En d�veloppant les id�es du paragraphe pr�c�dent, on peut �tablir un r�sultat 
plus g�n�ral. La technicit� de sa preuve nous incite toutefois � ne pas la 
pr�senter ici.
\begin{theoreme}\label{thmchiant}
Soit $\om$ un domaine pseudoconvexe de $\C^k$ � bord lisse et $f$ une 
auto-application holomorphe propre de $\om$. S'il existe un point $y_0\in \om$ 
dont l'orbite accumule un point de stricte pseudoconvexit� alors $\spc(b\om)$ 
est localement sph�rique. 
\end{theoreme}
\subsection{Etude m�trique des hypersurfaces strictement pseudoconvexes
  non-sph�riques.} 
Nous red�montrons ici un r�sultat bien connu de la g�om�trie $\text{CR}$
(voir \cite{webster, burshn,beloshapka,loboda}) concernant le groupe
d'isotropie d'un point $a$ d'une hypersurface strictement pseudo-convexe
non-sph�rique de $\C^k$, c'est � dire le groupe des germes de diff�omorphismes
$\text{CR}$ de $(M,a)$. Ce groupe occupe une place importante dans la classification
$\text{CR}$ des hypersurfaces puisqu'il joue un r�le de stabilisateur. Le
th�or�me ci-dessous a deux cons�quences directes : les hypersurfaces
non-sph�riques peuvent �tre pourvues d'une m�trique $\text{CR}$-invariante
 et d'un champs de
vecteur $\text{CR}$-invariant transverse � la distribution complexe.
\begin{theoreme}
Soit $(M,a)$ un germe d'hypersurface strictement pseudoconvexe
non-sph�rique. Soit $G$ le sous-groupe de GL$(T_a M)$ d�fini par :
$$
G:=\{f'(a), \text{ o� }f:(M,a)\lra (M,a) \text{ est un germe de
  diff�omorphisme $\text{CR}$}\} 
$$
Il existe un changement de base $\text{CR}$ de $T_a M$, 
\textit{i.e.} $P\in GL(T_a M)\cap GL_\C(T^\C_a M)$
% avec $P_{|T_a^\C M}\in \L_\C(T_a^\C M)$, 
tel que :
$$
G=P^{-1}\left\{
\left(
\begin{array}{cc}
1 & 0\\ 0 & A
\end{array}\right), \; A\in U(k-1)
\right\}P.
$$
{\it On dit que le groupe structural de la g�om�trie $\text{CR}$ des
  hypersurfaces strictement pseudoconvexe non-sph�riques de $\C^k$ est
  r�ductible �  $U(k-1)$.}
\end{theoreme}
\noindent \underline{Preuve :}
Nous noterons ici $\L(a,u)$ la forme de Levi de $M$ en $a$ appliqu�e � un
vecteur $u\in T^\C_a b\om$ et $\kappa_-,\kappa_+$ ses valeurs
propres minimales et maximales (si $u$ d�signe un champ de vecteur holomorphe
au voisinage de $a$ prolongeant $u$, $\L(a,u)=\langle [u,\bar u](a),i\vec
N(a)\rangle$). Soit $f$ un germe de diff�omorphisme $\text{CR}$ de $(M,a)$. En
accord avec la partie 2, nous notons $n_f(a):=\langle f'(a)i\vec N(a),i\vec
N(a)\rangle$ ($n_f(a)$ est �videmment positif). Un calcul simple montre :
$$
\L(a,f'(a)u)=n_f(a)\L(a,u) \hspace{0.5cm} \forall u\in T^\C_a M.
$$ 

Si $n_f(a)<1$, il existe un entier $n_0$ tel que
$n_f(a)^{n_0}\kappa_+\kappa_-^{-1}<1$. Le germe de diff�omorphisme
$f^{n_0}$ v�rifie alors :
$$
\begin{array}{l}
\langle {f^{n_0}}'(a)i\vec N(a),i\vec N(a)\rangle=n_f(a)^{n_0}<1,\\
\Vert {f^{n_0}}'(a)u\Vert^2\leq \kappa_-^{-1} \L(a,{f^{n_0}}'(a)u)\leq
n_f(a)^{n_0}\kappa_+\kappa_-^{-1} \Vert u\Vert^2<\Vert u\Vert^2,
\end{array}
$$  
si bien que $f^{n_0}$ est un germe de diff�omorphisme contractant de
$(M,a)$. L'hypoth�se de non-sph�ricit� de $M$ assure {\it via}  le th�or�me 1
de l'impossibilit� de cette situation ainsi �videmment de celle o�
$n_f(a)>1$. On conclut donc que $n_f(a)=1$. Ceci a pour cons�quence que
$\L(a,f'(a)u)=\L(a,u)$ pour $u\in T^\C_aM$ donc $f'(a)_{|T^\C_aM}$ est une
isom�trie de la forme hermitienne $\L(a,\cdot)$. Si $\bc^\C$ d�signe une base
orthonorm�e pour $\L(a,\cdot)$, et $\bc=(i\vec N(a),\bc^\C)$, on a donc :
$$
\text{Mat}(f'(a),\bc,\bc)=
\left(
\begin{array}{cc}
1 & 0\\
* & A
\end{array}
\right) \hspace{0.5cm} \text{o� } A\in U(k-1).
$$
Il suffit alors de trouver un vecteur invariant de $i\vec N+T^\C_a M$ sous
l'action de $G$ pour que la matrice de $f'(a)$ dans la base constitu�e de ce
vecteur et de $\bc^\C$ soit telle que souhait�e. 
 
A cette fin, remarquons que $G$ induit une action affine sur l'espace 
$\ec:=\{i\vec N+T^\C_a M\}$ qui stabilise le compact $K:=\{[u,\bar u](a), u\in
T^\C_a M, \L(a,u)=1\}$ ($K\subset \ec$ par d�finition de la forme de Levi). Le
 centre d'inertie de $K$ est donc un point fixe sous l'action de $G$ du type 
souhait�.\hfill $\square$ 

{
\footnotesize
\bibliography{bib2.bib}
\bibliographystyle{abbrv}
}
\end{document}


sphericite.bbl
\begin{thebibliography}{10}

\bibitem{bedpin1}
E.~Bedford and S.~Pinchuk.
\newblock Domains in {${\bf C}\sp {n+1}$} with noncompact automorphism group.
\newblock {\em J. Geom. Anal.}, 1(3):165--191, 1991.

\bibitem{bedpin2}
E.~Bedford and S.~I. Pinchuk.
\newblock Domains in {${\bf C}\sp 2$} with noncompact groups of holomorphic
  automorphisms.
\newblock {\em Mat. Sb. (N.S.)}, 135(177)(2):147--157, 271, 1988.

\bibitem{bedpin3}
E.~Bedford and S.~I. Pinchuk.
\newblock Convex domains with noncompact groups of automorphisms.
\newblock {\em Mat. Sb.}, 185(5):3--26, 1994.

\bibitem{bell}
S.~Bell.
\newblock Local boundary behavior of proper holomorphic mappings.
\newblock In {\em Complex analysis of several variables (Madison, Wis., 1982)},
  volume~41 of {\em Proc. Sympos. Pure Math.}, pages 1--7. Amer. Math. Soc.,
  Providence, RI, 1984.

\bibitem{beloshapka}
V.~K. Beloshapka.
\newblock The dimension of the group of automorphisms of an analytic
  hypersurface.
\newblock {\em Izv. Akad. Nauk SSSR Ser. Mat.}, 43(2):243--266, 479, 1979.

\bibitem{berteloot2}
F.~Berteloot.
\newblock Characterization of models in {$\bold C\sp 2$} by their automorphism
  groups.
\newblock {\em Internat. J. Math.}, 5(5):619--634, 1994.

\bibitem{berteloot3}
F.~Berteloot.
\newblock Attraction des disques analytiques et continuit\'e h\"old\'erienne
  d'applications holomorphes propres.
\newblock In {\em Topics in complex analysis}, volume~31 of {\em Banach Center
  Publ.}, pages 91--98. 1995.

\bibitem{berteloot}
F.~Berteloot.
\newblock M�thodes de changement d'�chelles en analyse complexe.
\newblock {\em Ann. Fac. Sci. Toulouse Math.}, 2005.

\bibitem{boasstraube}
H.~Boas and E.~Straube.
\newblock Sobolev estimates for the {$\overline\partial$}-{N}eumann operator on
  domains in {${\bf C}\sp n$} admitting a defining function that is
  plurisubharmonic on the boundary.
\newblock {\em Math. Z.}, 206(1):81--88, 1991.

\bibitem{bogess}
A.~Boggess.
\newblock {\em C{R} manifolds and the tangential {C}auchy-{R}iemann complex}.
\newblock Studies in Advanced Mathematics. CRC Press, Boca Raton, FL, 1991.

\bibitem{burshn}
D.~Burns, Jr. and S.~Shnider.
\newblock Geometry of hypersurfaces and mapping theorems in {${\bf C}\sp{n}$}.
\newblock {\em Comment. Math. Helv.}, 54(2):199--217, 1979.

\bibitem{chemos}
S.~S. Chern and J.~K. Moser.
\newblock Real hypersurfaces in complex manifolds.
\newblock {\em Acta Math.}, 133:219--271, 1974.

\bibitem{fornaess}
J.~E. Fornaess.
\newblock Biholomorphic mappings between weakly pseudoconvex domains.
\newblock {\em Pacific J. Math.}, 74(1):63--65, 1978.

\bibitem{gaussier}
H.~Gaussier.
\newblock Characterization of models for convex domains.
\newblock {\em Preprint}.

\bibitem{graham}
I.~Graham.
\newblock Boundary behavior of the {C}arath\'eodory and {K}obayashi metrics on
  strongly pseudoconvex domains in {$C\sp{n}$} with smooth boundary.
\newblock {\em Trans. Amer. Math. Soc.}, 207:219--240, 1975.

\bibitem{loboda}
A.~V. Loboda.
\newblock Linearizability of automorphisms of nonspherical surfaces.
\newblock {\em Izv. Akad. Nauk SSSR Ser. Mat.}, 46(4):864--880, 1982.

\bibitem{nsw}
A.~Nagel, E.~M. Stein, and S.~Wainger.
\newblock Balls and metrics defined by vector fields. {I}. {B}asic properties.
\newblock {\em Acta Math.}, 155(1-2):103--147, 1985.

\bibitem{moi}
E.~Opshtein.
\newblock Dynamique des applications holomorphes propres des domaines
  r{\'e}guliers et probl{\`e}me de l'injectivit{\'e}.
\newblock {\em Submitted}, 2004.

\bibitem{pinchuk}
S.~Pinchuk.
\newblock The scaling method and holomorphic mappings.
\newblock In {\em Several complex variables and complex geometry, Part 1},
  volume~52 of {\em Proc. Sympos. Pure Math.}, pages 151--161. Amer. Math.
  Soc., 1991.

\bibitem{pinchuk3}
S.~I. Pinchuk.
\newblock Proper holomorphic maps of strictly pseudoconvex domains.
\newblock {\em Sibirsk. Mat. \v Z.}, 15:909--917, 959, 1974.

\bibitem{pinchuk4}
S.~I. Pin{\v{c}}uk.
\newblock Proper holomorphic mappings of strictly pseudoconvex domains.
\newblock {\em Dokl. Akad. Nauk SSSR}, 241(1):30--33, 1978.

\bibitem{rosay}
J.-P. Rosay.
\newblock Sur une caract\'erisation de la boule parmi les domaines de {${\bf
  C}\sp{n}$} par son groupe d'automorphismes.
\newblock {\em Ann. Inst. Fourier (Grenoble)}, 29(4):ix, 91--97, 1979.

\bibitem{webster}
S.~M. Webster.
\newblock On the transformation group of a real hypersurface.
\newblock {\em Trans. Amer. Math. Soc.}, 231(1):179--190, 1977.

\bibitem{wong}
B.~Wong.
\newblock Characterization of the unit ball in {${\bf C}\sp{n}$} by its
  automorphism group.
\newblock {\em Invent. Math.}, 41(3):253--257, 1977.

\end{thebibliography}
