
Acknowledgements: To Math-Net.Ru project developers for the long successful cooperation and reported data.

Cite: Pechnikov A. A. The study of thematic communities within the Russian mathematicians co-authorship graphs // Scientific and technical libraries. 2025. No. 1, pp. 33–55. https://doi.org/10.33186/1027-3689-2025-1-33-55


Введение
    Анализ наукометрической информации тесно связан с задачами прогноза развития науки, повышения качества существующих, выявления и развития новых направлений исследований [1, 2]. Хотелось бы, чтобы результаты такого анализа представляли не только научный интерес, но и реально использовались для определения объективных критериев качества исследовательской работы и принятия решений по её финансированию.
    Методы и подходы к решению таких задач во многом зависят от масштаба исследования. К задачам мирового масштаба можно отнести построение глобальной карты мировой науки Map of Science1. Сегодня она включает в себя более 130 млн научных публикаций со всего мира, алгоритмически организованных более чем в 116 тыс. исследовательских кластеров. Более ранняя и менее масштабная работа [4] использует информацию Institute for Scientific Information, разработчика Web of Science. Основой служат данные о цитировании более 6 тыс. журналов, разбитых на 172 категории. Интересно, что карта поддерживается на сайте одного из авторов до сих пор2.
    Масштабные проекты создаются по единому для различных научных направлений методу, что не всегда подходит для анализа отдельных научных дисциплин, теряющихся на визуальных представлениях, а также из-за возможной неполноты данных и высоких барьеров цитирования в масштабных проектах. В работе [5] отмечается, что «…целесообразно модифицировать наукометрический инструментарий и анализировать специализированные информационные потоки, как продемонстрировал один из авторов статьи на примере химической технологии и прикладной химии». Заметим, что упомянутая в этой цитате статья [6] написана более 30 лет назад.
    Известно большое количество российских и зарубежных работ, основанных на библиографической информации, в которых исследуются коммуникации учёных в различных областях науки и затрагиваются различные аспекты этой проблематики. 
    Например, в [7] подход, основанный на исследовании динамики графа соавторства с использованием авторской базы данных, используется для изучения российских региональных групп по истории. 
В [8] исследованы закономерности научного сотрудничества российских учёных в области математики и смежных областей с использованием теории графов и анализа соцсетей. В [9] рассмотрен случай соавторства локального подразделения вуза, сделаны рекомендации по совместным исследованиям.
    В последние годы активизировались исследования графов соавторства российских учёных в области физики [10, 11] и экономики [12, 13].
    Среди большого количества зарубежных работ отметим два наиболее нестандартных исследования по медицине и экономике. 
В [14] рассматривается вопрос так называемого «политического соавторства», когда группа соавторов формируется. чтобы добиться публикации в авторитетном медицинском журнале. В [15] по данным за последние шестьдесят лет показано, что вероятность написания в соавторстве статьи в журналах по общей экономике выше, чем в журналах по экономической истории.
    Данная работа посвящена исследованию взаимодействия учёных-математиков, понимаемого как коммуникации между представителями различных разделов математики, реализуемые посредством соавторства, то есть создания общими усилиями публикаций, основанных 
на совместном решении определённых задач. Соавторы образуют так называемые сети соавторства [12], формальными моделями которых являются графы. Такие сети имеют тенденцию к разбиению на сообщества (группы, модули, кластеры), имеющие больше связей внутри, чем вовне [16–19]. Мы предполагаем, что авторы, входящие в одно сообщество, занимаются исследованиями в некотором общем для них разделе математики (хотя бы и в достаточно широком понимании). 
Тогда построение таких сообществ и связей между ними будет отражать основные особенности и внутренние характеристики разделов и связи между этими разделами математики.
    Цель работы – разработка подхода к определению основных направлений исследований в рамках одной научной дисциплины для выявления лидирующих и менее продвинутых направлений на основе данных о соавторстве учёных.
    В работе решаются две основные задачи:
    1) разработка и описание подхода к исследованию тематических сообществ соавторства учёных в рамках одной научной дисциплины,
    2) апробация подхода на примере соавторства математиков по данным математического портала Math-Net.Ru.
    С теоретической точки зрения исследование направлено на развитие методов анализа взаимодействия учёных различных направлений в рамках одной научной дисциплины. Апробация предлагаемого похода для такой науки, как математика, показывает большой потенциал развития. 
    
С практической точки зрения ряд полученных результатов может быть непосредственно использован для принятия управленческих решений, например с целью стимулирования работ по актуальным и/или перспективным исследованиям в математике.
1. Описание подхода к исследованию тематических сообществ 
соавторства учёных
    Математической моделью, представляющей объект нашего исследования, является граф соавторства, вершины которого соответствуют учёным – авторам публикаций, а рёбра между вершинами отражают связи между соавторами. Эти связи определим так, как в работе [17]: «…два учёных считаются связанными, если они совместно написали статью», поскольку «…большинство людей, которые написали статью вместе, будут хорошо знать друг друга», но «…есть много учёных, которые знают друг друга до некоторой степени, но никогда не сотрудничали в написании статьи». 
    В соответствии с таким определением связь между учёными не зависит от количества написанных совместно статей: она есть, если есть хотя бы одна такая статья.
    Графы соавторства являются одними из часто исследуемых конструкций научного сотрудничества, возможно, из-за изначальной очевидности определения «знакомства» учёных, что документируется самими статьями, которые пишут учёные. Будем исходить из того, что исследователи располагают данными о некотором множестве учёных и их публикационной активности за опредёленный промежуток времени, позволяющими построить граф соавторства. К примеру, таким источником информации может являться раздел «Авторы»3 Научной электронной библиотеки eLIBRARY.RU, позволяющий в ручном режиме выбрать требуемые данные. Процедура построения графа соавторства хорошо формализуема, но существенно зависит от исходных данных. Например, в [13] она приводится для случая данных из базы экономических журналов REPEC. В нашем случае мы опишем её для случая математических журналов в разделе «Исходные данные и граф соавторства математиков».
    
Формально граф соавторства это G = G (V, E), где V – множество вершин, соответствующих авторам, а E – множество рёбер, соединяющих пары авторов, написавших в соавторстве хотя бы одну статью. То есть G (V, E) – неориентированный граф без петель и кратных рёбер.
    Пусть k – это количество сообществ C0, C1, …, Ck–1, на которые разбивается граф соавторства G = G (V, E), а V0, V1, …, Vk-1 – подмножества вершин, составляющих сообщества. Любая пара подмножеств не пересекается, то есть Vi∩Vj (i, j = 0, …, k–1; i ≠ j), а их объединение даёт множество V: V0 ∪ V1 ∪ … ∪Vk–1 = V.
    Для наглядности на рис. 1 изображён характерный пример неориентированного графа с тремя сообществами.

Рис. 1. Пример графа с тремя сообществами
    Теоретически хорошо обоснованный подход к формализации этой проблемы для неориентированных графов называется кластеризацией на основе плотности связей. Для определения качества разбиения графа на сообщества используется понятие модулярности. Мера модулярности показывает, насколько данное разбиение качественно в том смысле, что существует много рёбер, лежащих внутри сообществ, и мало рёбер, лежащих вне сообществ, но соединяющих их между собой.
    Одно из часто применяемых на практике формальных определений меры модулярности Q, которое мы будем использовать, дано 
в [20]. Значение Q при некотором заданном разбиении на сообщества вычисляется как доля рёбер от общего числа рёбер, которые попадают в данные сообщества, минус ожидаемая доля рёбер, которые попали бы в те же сообщества, если бы они были распределены случайно. 
При таком определении значение Q ∈ [–1, 1] и разбиение считается хорошим, если значение Q > 0,7.
    Для разбиения на сообщества графа G (V, E) использовалось свободное программное обеспечение для сетевого анализа Gephi4. 
В Gephi реализованы возможность варьирования количества сообществ и оценка качества полученного разбиения с использованием Q. Это позволяет провести серию экспериментов по нахождению наилучшего разбиения и/или разбиения с заданным количеством сообществ.
    Одним из основных допущений, используемых далее, является допущение о том, что авторы, попадающие в одно сообщество, работают над некоторой единой тематикой, определяющей научное направление данного сообщества. Таким образом, встаёт задача определения тематики (научного направления, научной дисциплины) группы учёных по их совместным публикациям. Столь общая формулировка сама порождает задачу, требующую отдельной постановки и исследования. Методы её решения во многом зависят от масштаба исследования. Очевидно, что в каждом конкретном случае будут использоваться свои классификаторы научных направлений и методы для определения принадлежности учёных к тому или иному направлению. В случае математических сообществ в разделе 4 будет взята номенклатура научных специальностей, а тематика сообществ будет определяться по «тематическим зонам» авторитетных учёных, входящих в эти сообщества, по их данным, указанным в Math-Net.Ru (номенклатура специальностей, номенклатура журналов, в которых опубликованы статьи учёных).
    В результате выполненных описанных шагов получаем разбиение графа G (V, E) на сообщества C0, C1, …, Ck–1, где с каждым сообществом Ci связана тройка (Vi, Ei, ti), а именно, множество вершин, множество связывающих их рёбер и тематика сообщества.
    Это позволяет провести анализ результатов с целью вычисления базовых характеристик тематических сообществ, таких как количество учёных, входящих в каждое сообщество, и связей между ними.
    Не исключено также, что некоторые сообщества будут иметь одинаковую тематику, что позволит получить обобщённые данные типа суммарного количества учёных в каждом укрупнённом научном разделе.
    Содержательная интерпретация полученных результатов и выводы существенно зависят от масштаба задачи и исследуемых научных дисциплин. Она выполнена нами применительно к проведённому анализу соавторства математиков.
2. Исходные данные и граф соавторства математиков
    В информационной системе Math-Net.Ru данные накапливались в течение последних 15 лет. Наполнение информационной системы по годам было неоднородным, поэтому для исследования был выбран временной интервал датировки статей, опубликованных с 2000 по 2020 г.; из 140 журналов были взяты 56 ведущих российских журналов, полностью индексируемые в Math-Net.Ru. В этот список входят такие журналы, как «Алгебра и анализ», «Математические заметки», «Сибирский математический журнал» и др. Подробная информация об этих 56 журналах приводится в [21] (ссылка онлайн: https://keldysh.ru/abrau/2022/theses/5.pdf). Здесь же описаны процедуры построения графов соавторства и их характеристики и свойства. С 2000 по 2020 г. в этих журналах опубликовано почти 62 тыс. статей, авторами которых являются около 33 тыс. учёных.
    Из базы данных Math-Net.Ru была сделана выборка всех авторов, имеющих публикации в соавторстве за указанный период в любом из 56 журналов. На основе этого сформировано множество вершин графа V. Метками вершин служат целочисленные коды персоналий в Math-Net.Ru, что исключает ряд ошибок, связанных с идентификацией авторов. Множество рёбер E формируется на основе выборки из всех возможных пар соавторов по правилу: для любой пары i, j ∈ V ребро (i, j) ∈ E существует тогда и только тогда, когда авторы i и j имеют хотя бы одну статью, в которой они входят в состав соавторов.
    Таким образом была построена начальная версия графа соавторства G (V, E), содержащая более 26 тыс. вершин и 36 тыс. рёбер. 
Около 7 тыс. авторов не имеют статей в соавторстве в указанных 
56 журналах, поэтому соответствующие им изолированные вершины не вошли в V.
    
Особенность графа G (V, E) заключается том, что он распадается более чем на 4 тыс. компоненты связности. Максимальная из них содержит 11 860 вершин и 20 858 рёбер (следующая по размерам компонента содержит всего 100 вершин, а самая маленькая – 3).
    Далее был взят подграф, равный максимальной компоненте связности. Несколькими последовательными итерациями из него были удалены вершины с инцидентностью 1. Удаление таких вершин не влияет на связность графа, но существенно облегчает работу по содержательному анализу сообществ.
    В итоге был построен граф соавторства, обозначаемый Gco-auth, состоящий из одной компоненты связности, содержащий 8166 вершин и 
17 164 рёбер, и являющийся объектом дальнейших исследований. Диаметр графа (количество рёбер, соединяющих две самые удалённые вершины) d = 26, а средняя длина пути в графе (average path length) apl = 9,7.
3. Построение и исследование тематических сообществ
    Для разбиения графа Gco-auth на сообщества был использован пакет Gephi. Максимальное значение меры модулярности Q, равное 0.933, достигается при разбиении графа на 74 сообщества. В табл. 1 приводится полный перечень построенных сообществ и их основные характеристики.
Таблица 1
Тематические сообщества графа соавторства
ti
i
|Vi|
|Ei|
Leader
Status
Location
01.01.01
19
143
258
Семёнов Е. М.
д-р физ.-мат. наук
Воронеж
01.01.01
20
141
239
Кусраев А. Г.
д-р физ.-мат. наук
Владикавказ
01.01.01
66
138
294
Аптекарев А. И.
чл.-корр. РАН РАН
Москва
01.01.01
4
112
192
Конягин С. В.
акад. РАН
Москва
01.01.01
39
101
171
Тихомиров В. М.
д-р физ.-мат. наук
Москва
01.01.01
58
38
64
Смолянов О. Г.
д-р физ.-мат. наук
Москва
01.01.01
64
19
31
Богачев В. И.
чл.-корр. РАН
Москва
01.01.02
70
201
389
Садовничий В. А.
акад. РАН
Москва
01.01.02
1
153
252
Тарханов Н. Н.
д-р физ.-мат. наук
Красноярск
01.01.02
32
135
273
Гонченко С. В.
д-р физ.-мат. наук
Нижний Новгород
01.01.02
15
117
225
Ушаков В. Н.
чл.-корр. РАН
Екатеринбург
Продолжение таблицы 1
ti
i
|Vi|
|Ei|
Leader
Status
Location
01.01.02
28
45
94
Починка О. В.
д-р физ.-мат. наук
Москва
01.01.02
28
45
94
Починка О. В.
д-р физ.-мат. наук
Москва
01.01.02
65
42
79
Тонков Е. Л.
д-р физ.-мат. наук
Ижевск
01.01.02
57
35
60
Broer Henk W.
PhD
Нидерланды
01.01.02
42
18
28
Коняев Ю. А.
канд. физ.-мат. наук
Москва
01.01.03
16
236
465
Шабат А. Б.
д-р физ.-мат. наук
Московская область
01.01.03
52
205
449
Орлов Ю. Н.
д-р физ.-мат. наук
Москва
01.01.03
13
86
145
Славянов С. Ю.
д-р физ.-мат. наук
Санкт-Петербург
01.01.03
48
80
152
Кудряшов Н. А.
д-р физ.-мат. наук
Москва
01.01.03
6
78
160
Доброхотов С. Ю.
д-р физ.-мат. наук
Москва
01.01.03
22
77
165
Кулиш П. П.
д-р физ.-мат. наук
Санкт-Петербург
01.01.03
11
55
100
Арефьева И. Я.
чл.-корр. РАН
Москва
01.01.03
49
48
84
Тютин И. В.
д-р физ.-мат. наук
Москва
01.01.03
10
42
88
Костомаров Д. П.
акад. РАН
Москва
01.01.04
68
203
369
Бухштабер В. М.
д-р физ.-мат. наук
Москва
01.01.04
5
128
272
Голубятников В. П.
д-р физ.-мат. наук
Новосибирск
01.01.04
9
109
194
Реповш Д. Д.
PhD
Словения
01.01.04
25
38
80
Микеш Й.
д-р физ.-мат. наук
Чехия
01.01.05
17
223
401
Ширяев А. Н.
акад. РАН
Москва
01.01.05
30
135
221
Ватутин В. А.
д-р физ.-мат. наук
Москва
01.01.06
29
264
565
Чубариков В. Н.
д-р физ.-мат. наук
Москва
01.01.06
43
229
496
Мазуров В. Д.
чл.-корр. РАН
Новосибирск
01.01.06
23
121
233
Кириченко В. В.
д-р физ.-мат. наук
Киев
01.01.06
33
116
192
Востоков С. В.
д-р физ.-мат. наук
Санкт-Петербург
01.01.06
54
96
210
Гончаров С. С.
акад. РАН
Новосибирск
01.01.06
2
74
126
Гутерман А. Э.
д-р физ.-мат. наук
Москва
01.01.06
21
55
92
Абызов А. Н.
канд. физ.-мат. наук
Казань

Продолжение таблицы 1
ti
i
|Vi|
|Ei|
Leader
Status
Location
01.01.07
26
187
369
Евтушенко Ю. Г.
акад. РАН
Москва
01.01.07
31
179
337
Васин В. В.
чл.-корр. РАН
Екатеринбург
01.01.07
40
162
339
Вабищевич П. Н.
д-р физ.-мат. наук
Москва
01.01.07
50
103
179
Ильин В. П.
д-р физ.-мат. наук
Новосибирск
01.01.07
67
102
171
Малоземов В. Н.
д-р физ.-мат. наук
Санкт-Петербург
01.01.07
55
76
165
Белоцерковский О. М.
акад. РАН
Москва
01.01.07
27
68
115
Зоркальцев В. И.
д-р техн. наук
Иркутск
01.01.07
63
68
129
Остапенко В. В.
д-р физ.-мат. наук
Новосибирск
01.01.07
72
65
127
Шайдуров В. В.
чл.-корр. РАН
Красноярск
01.01.07
45
26
56
Холодов А. С.
акад. РАН
Москва
01.01.09
53
151
280
Буре В. М.
д-р техн. наук
Санкт-
Петербург
01.01.09
69
131
252
Гимади Э. Х.
д-р физ.-мат. наук
Новосибирск
01.01.09
7
62
121
Бородин О. В.
д-р физ.-мат. наук
Новосибирск
01.02.01
3
234
517
Борисов А. В.
д-р физ.-мат. наук
Москва
01.02.01
24
89
225
Овчинников М. Ю.
д-р физ.-мат. наук
Москва
01.02.04
41
130
281
Радченко В. П.
д-р физ.-мат. наук
Самара
01.02.04
18
95
207
Паймушин В. Н.
д-р физ.-мат. наук
Казань
01.02.04
0
115
183
Назаров С. А.
д-р физ.-мат. наук
Санкт-Петербург
01.02.05
35
139
284
Ковалёв В. Л.
д-р физ.-мат. наук
Москва
01.02.05
47
66
119
Костерин А. В.
д-р физ.-мат. наук
Казань
01.02.05
73
25
68
Козелков А. С.
д-р физ.-мат. наук
Саров
01.03.01
37
135
353
Сазонов В. В.
д-р физ.-мат. наук
Московская область
01.04.02
12
183
339
Павлов М. В.
канд. физ.-мат. наук
Москва
01.04.02
71
91
150
Герджиков В. С.
д-р физ.-мат. наук
Болгария
01.04.02
14
50
93
Манько В. И.
д-р физ.-мат. наук
Московская область
01.04.17
56
36
80
Смирнов Н. Н.
д-р физ.-мат. наук
Москва
05.02.05
36
47
97
Павловский В. Е.
д-р физ.-мат. наук
Москва
Окончание таблицы 1
ti
i
|Vi|
|Ei|
Leader
Status
Location
05.13.10
51
124
264
Мандель А. С.
д-р техн. наук
Москва
05.13.10
38
96
187
Новиков Д. А.
акад. РАН
Москва
05.13.16
34
160
371
Галанин М. П.
д-р физ.-мат. наук
Москва
05.13.16
59
72
160
Петров И. Б.
чл.-корр. РАН
Московская область
05.13.18
61
305
761
Четверушкин Б. Н.
акад. РАН
Москва
05.13.18
62
151
300
Козубская Т. К.
д-р физ.-мат. наук
Москва
05.13.18
60
128
324
Галактионов В. А.
д-р физ.-мат. наук
Москва
05.13.18
8
90
183
Гасников А. В.
д-р физ.-мат. наук
Московская область
05.13.18
46
68
195
Марков М. Б.
чл.-корр. РАН
Москва
05.13.19
44
21
50
Смышляев С. В.
д-р физ.-мат. наук
Москва
              
              
    Обозначения колонок:
    ti – тип сообщества (шифр специальности ВАК);
    i – номер сообщества в разбиении (автоматически присваивается Gephi); 
    |Vi| – количество вершин в сообществе Ci;
    |Ei| – количество ребер между вершинами сообщества Ci;
    Leader – учёный, имеющий в i-м сообществе наибольшее число соавторов (термин «лидер» не совсем удачный, поэтому далее будем использовать его в кавычках);
    Status – академический статус или научная степень «лидера»;
    Location – местонахождение основной организации, указанной в информации о «лидере» в базе Math-Net.Ru. 
    Сами организации, с которыми аффилированы «лидеры», также известны. У многих учёных в базе Math-Net.Ru приводится несколько аффилированных организаций, и выбор основной из них является отдельной задачей. Некоторая суммарная информация об аффилированных организациях будет приведена далее.
    Строки таблицы упорядочены по возрастанию шифра специальности, строки с одинаковым шифром упорядочены по убыванию количества вершин, входящих в сообщества. Сообщества одинакового типа для наглядности выделены в единый блок.
    Для определения типа каждого из 74 сообществ использовался следующий подход. Из множества авторов, составляющих сообщество, отбирались первые три автора, имеющие наибольшее количество соавторов в данном сообществе, а затем по информации Math-Net.Ru экспертным путём определялся тип сообщества, соответствующий номенклатуре специальностей ВАК5 этих авторов. Дело в том, что номенклатура специальностей не является обязательным атрибутом в базе данных, поэтому приходилось исследовать дополнительную информацию, например, номенклатуру журналов, в которых есть публикации данных авторов (использование старой номенклатуры объясняется тем, что у многих авторов в Math-Net.Ru информация не обновлялась после 2021 г.).
    Например, для сообщества С38 (в табл. 1 это строка, выделенная заливкой) это академик Д. А. Новиков6 (19 соавторов, специальность ВАК 05.13.10), доктор технических наук В. Н. Бурков7 (16 соавторов, специальность докторской диссертации 1975 г. 05.00.00) и доктор технических наук В. А. Иващенко (14 соавторов). По информации, имеющейся на страницах этих учёных в Math-Net.Ru, тип сообщества обозначен как «управление в социальных и экономических системах», что соответствует шифру 05.13.10.
    Изображение графа Gco-auth, содержащего более 8 тыс. вершин с разбиением на 74 сообщества, в журнальном варианте теряет свою наглядность. Поэтому на рис. 2 приводится его фрагмент, состоящий из двух сообществ, выделенных  разными оттенками тёмного цвета. Надписи в верхней части рисунка обозначают тип сообществ С44 и С29, а вершины, соответствующие «лидерам», изображены более крупно и отмечены фамилиями этих учёных.
    
В табл. 2 в первых двух колонках приводятся наименования специальностей для шифров, использованных в табл. 1.
    Обозначения остальных колонок:
    КС – суммарное количество сообществ с данным типом (шифром);
    КУ – суммарное количество учёных в сообществах с данным типом;
    СрКУ – среднее количество учёных в сообществе данного типа.

Рис. 2. Фрагмент графа Gco-auth
Таблица 2
Научные специальности сообществ и их сводные характеристики
Шифр
Научная специальность
КС
КУ
СрКУ
01.01.01
Вещественный, комплексный 
и функциональный анализ
7
692
98,9
01.01.02
Дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление
8
746
93,3
01.01.03
Математическая физика
9
907
100,8
01.01.04
Геометрия и топология
4
478
119,5
Окончание таблицы 2
Шифр
Научная специальность
КС
КУ
СрКУ
01.01.05
Теория вероятностей и математическая 
статистика
2
358
179,0
01.01.06
Математическая логика, алгебра и теория чисел
7
955
136,4
01.01.07
Вычислительная математика
10
1036
103,6
01.01.09
Дискретная математика и математическая 
кибернетика
3
344
114,7
01.02.01
Теоретическая механика
2
323
161,5
01.02.04
Механика деформируемого твёрдого тела
3
340
113,3
01.02.05
Механика жидкости, газа и плазмы
3
230
76,7
01.03.01
Астрометрия и небесная механика
1
135
135,0
01.04.02
Теоретическая физика
3
324
108,0
01.04.17
Химическая физика, горение и взрыв, физика экстремальных состояний вещества
1
36
36,0
05.02.05
Роботы, мехатроника и робототехнические системы
1
47
47,0
05.13.10
Управление в социальных и экономических системах
2
220
110,0
05.13.16
Применение вычислительной техники, математического моделирования и математических методов в научных исследованиях
2
232
116,0
05.13.18
Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ
5
742
148,4
05.13.19
Методы и системы защиты информации, 
информационная безопасность
1
21
21,0
4. Анализ сообществ
    Гистограммы распределений по городам, организациям и статусу «лидеров», построенные по данным табл. 1, приведены на рис. 3. 
На рисунке не показаны ещё пять городов (из пяти зарубежных стран) и более 30 вузов и институтов, аффилированных по одному разу. 


Рис. 3. Города, организации и статус «лидеров»
    Полученные результаты соответствуют общепринятым представлениям о географии науки в России8 и косвенно подтверждают адекватность нашей модели.
    Количество вершин и рёбер в сообществах изменяются в значительных пределах. При этом средняя инцидентность вершин в сообществах, соответствующая среднему количеству соавторов, колеблется 
от 3,1 до 5,7. В значительных пределах изменяются и характеристики, не указанные в таблице. Например, диаметр di изменяется от 5 до 16, а средняя длина пути apli от 2,4 до 6,2.
    Скрупулёзный анализ сообществ даёт достаточно интересные результаты. К примеру, сообщество С42 (01.01.02 – дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление), «лидером» которого является кандидат наук, включает 18 учёных, из которых 12 работают в Московском энергетическом институте (включая «лидера»), 2 – в Российском университете дружбы народов, 3 – в вузах Узбекистана и 1 – в вузе Таджикистана. Публикации участников сообщества позволяют уточнить достаточно узкое направление его исследований как «теория регулярных и сингулярных возмущений».
    Сообщество С57 (такого же типа как С42) с «лидером» PhD Broer Henk из Нидерландов включает 35 участников из зарубежных стран (Бразилия, Великобритания, Италия, Канада и др.), специализируется в области хаотической динамики. Все совместные статьи членов сообщества опубликованы в англоязычном журнале Regular and Chaotic Dynamics9, издаваемом в Ижевске.
5. Анализ основных направлений исследований
    Группировка в табл. 2, сделанная для 74 сообществ по 19 научным специальностям, даёт возможность выделить шесть научных направлений, по которым работа ведётся как наибольшим количеством сообществ, так и максимальным суммарным количеством их 
участников:
    вычислительная математика;
    математическая физика;
    дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление;
    математическая логика, алгебра и теория чисел;
    вещественный, комплексный и функциональный анализ;
    математическое моделирование, численные методы и комплексы программ.
    Группировка в табл. 2, сделанная для 74 сообществ по 19 научным специальностям, даёт возможность выделить шесть научных направлений, по которым работа ведётся как наибольшим количеством сообществ, так и максимальным суммарным количеством их участников:
    вычислительная математика;
    математическая физика;
    дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление;
    математическая логика, алгебра и теория чисел;
    вещественный, комплексный и функциональный анализ;
    математическое моделирование, численные методы и комплексы программ.
Заключение
    В статье предложена методология исследования тематических сообществ, основанная на графе соавторства учёных, работающих в рамках одной научной дисциплины. Разбиение графа на тематические сообщества позволяет получить базовые характеристики сообществ, такие как тип (тематическое направление исследований), количество учёных, входящих в каждое сообщество, и связей между ними.
    Более детальное исследование построенного разбиения позволяет:
    выявить перечень основных направлений научных исследований в рамках научной дисциплины;
    изучить сообщества, имеющие очевидные отклонения от усреднённых характеристик, и дать содержательные объяснения таким отклонениям;
    построить перечень укрупнённых научных направлений, включающих сообщества одного типа, и получить обобщённые данные типа суммарного количества сообществ и учёных в каждом укрупнённом направлении.
    
Изложены результаты апробации предложенной методологии по данным математического портала Math-Net.Ru.
    К основным результатам относится перечень из шести научных направлений математики, наиболее активно развивавшихся в России в период с 2000 по 2020 г., и трёх наименее продвинутых направлений по количеству сообществ и их участников.
    С практической точки зрения полученные результаты могут быть использованы при принятии управленческих решений, стимулирующих работы по таким выявленным направлениям, как роботы и робототехнические системы, горение и взрыв, методы и системы защиты информации, которые сегодня имеют безусловную актуальность и практическую ценность. В частности, можно предложить руководству Российского научного фонда (https://www.rscf.ru) объявить целевые конкурсы по данным направлениям (например, в рамках конкурса проектов молодых исследователей).
    Результаты апробации предлагаемого подхода показывают потенциал его прямого переноса на другие научные дисциплины. Основным условием такого переноса является наличие полной и достоверной базовой библиографической информации о соавторстве учёных в предполагаемой к исследованию научной дисциплине за достаточно большой временной отрезок.
