deepcopy/UniMER · Datasets at Hugging Face

id int32 0 1.06M	image imagewidth (px) 12 5.6k	text stringlengths 1 10.9k
79,461		S _ { \psi } = { \frac { i } { 2 } } T \int d ^ { 2 } \xi \psi ^ { - } e _ { -- } ^ { m } ( \xi ) ( \partial _ { m } - \partial _ { m } Z ^ { \underline { { M } } } A _ { \underline { { M } } } ) \psi ^ { - } .
292,037		f ^ { \# } : k [ Y ] \to k [ X ] , \, g \mapsto g \circ f
904,049		\eta _ { \mathrm { a p p } } ( R , Z , t ) \, = \, \sum _ { m = 0 } ^ { M } \epsilon ^ { m } \, \eta _ { m } ( R , Z , \beta _ { \epsilon } ) \, , \qquad \phi _ { \mathrm { a p p } } ( R , Z , t ) \, = \, \sum _ { m = 0 } ^ { M } \epsilon ^ { m } \, \phi _ { m } ( R , Z , \beta _ { \epsilon } ) \, ,
1,056,577		\begin{array} { r l r } { \rho _ { + } } & { = } & { \rho _ { 0 } + \partial _ { \lambda } \rho _ { 0 } + \frac { 1 } { 2 } \partial _ { \lambda } ^ { 2 } \rho _ { 0 } + \frac { 1 } { 6 } \partial _ { \lambda } ^ { 3 } \rho _ { 0 } + \frac { 1 } { 2 4 } \partial _ { \lambda } ^ { 4 } \rho _ { 0 } . . . } \\ { \rho _ { - } } & { = } & { \rho _ { 0 } - \partial _ { \lambda } \rho _ { 0 } + \frac { 1 } { 2 } \partial _ { \lambda } ^ { 2 } \rho _ { 0 } - \frac { 1 } { 6 } \partial _ { \lambda } ^ { 3 } \rho _ { 0 } + \frac { 1 } { 2 4 } \partial _ { \lambda } ^ { 4 } \rho _ { 0 } . . . } \end{array}
44,446		c s ( M A E _ { 2 7 } ; \Delta \Theta \| S S N _ { 2 7 } )
406,328		\phi
526,777		\gamma
900,665		\partial _ { t } \boldsymbol { u } + ( \boldsymbol { u } \cdot \nabla ) \boldsymbol { u } = - \nabla p + \frac { 1 } { R e } \nabla ^ { 2 } \boldsymbol { u } , \quad \nabla \cdot \boldsymbol { u } = 0 ,
436,147		\Psi _ { \vec { k } s \epsilon } ( t , \vec { x } ) \; = \; e ^ { - i \epsilon E t } \: e ^ { i \vec { k } \vec { x } } \: \chi ( \vec { k } , \epsilon , s ) \; ,
700,203		B _ { G } ( x ) = \frac { n s _ { l } ( n x ) s _ { l } \prime ( x ) - s _ { l } ( x ) s _ { l } \prime ( n x ) } { n s _ { l } ( n x ) e _ { l } \prime ( x ) - e _ { l } ( x ) s _ { l } \prime ( n x ) } .
1,002,804		8 0 \%
608,311		x = L / 2
416,039		\begin{array} { r l } { t } & { = \kappa _ { E } \big ( \varepsilon - \hat { \varepsilon } _ { S } \big ) } \\ { G } & { = 2 D b _ { \varepsilon } \kappa _ { E } \big ( \varepsilon - \hat { \varepsilon } _ { S } \big ) \Bigg [ 1 + \frac { 2 b _ { \varepsilon } \gamma ^ { 2 } } { \vert \varepsilon + b _ { \varepsilon } \gamma ^ { 2 } \vert \sqrt { 1 + \theta } } \Bigg ] } \\ & { = 2 D b _ { \varepsilon } t \Bigg [ 1 + \frac { 2 b _ { \varepsilon } \gamma ^ { 2 } } { \vert \varepsilon + b _ { \varepsilon } \gamma ^ { 2 } \vert \sqrt { 1 + \theta } } \Bigg ] . } \end{array}
717,358		y = \frac { c _ { i , \mu } } { 2 R T }
511,378		\begin{array} { r l } { \underline { { J } } ( \tilde { x } ) } & { : = \{ j \mid \left( \tilde { x } _ { j } - \underline { { \pi } } _ { j } \right) { y _ { \underline { { \pi } } } ^ { * } } _ { j } > 0 \} } \\ { \overline { { J } } ( \tilde { x } ) } & { : = \{ j \mid \left( \tilde { x } _ { j } - \overline { { \pi } } _ { j } \right) { y _ { \overline { { \pi } } } ^ { * } } _ { j } < 0 \} } \end{array}
549,827		r _ { \kappa } = - i { \Gamma _ { 0 } } \sum _ { j , j ^ { \prime } , n } ^ { } { { e ^ { i \omega _ { \kappa } / c ( { z _ { j ^ { \prime } } } + { z _ { j } } ) } } \frac { \psi _ { n } ( j ) \psi _ { n } ( j ^ { \prime } ) } { \omega _ { \kappa } - \omega _ { n } } } ,
448,613		F _ { l } ^ { ( \varepsilon ) } \sim 2 F _ { l } ^ { ( p _ { \perp } ) } \sim l ^ { 2 } ( l + 1 ) ^ { 2 } ( 2 l + 1 ) \frac { \pi } { 2 ( z x ) ^ { 4 } } \exp [ - 2 z ( 1 - x ) ] ,
244,574		\mathbf y = \{ y _ { 1 } , \dots , y _ { n _ { 2 } } \}
347,172		t = \infty
435,511		\frac { \mathrm { d } ^ { 2 } W ^ { \gamma } } { \mathrm { d } u \mathrm { d } \zeta } = \frac { 2 \alpha m } { 3 \sqrt { 3 } \pi \chi _ { e } } \frac { u } { ( 1 + u ) ^ { 3 } } \left\{ \zeta ^ { 2 / 3 } [ 1 + ( 1 + u ) ^ { 2 } ] - ( 1 + u ) \right\} K _ { 1 / 3 } \! \left( \frac { 2 u \zeta } { 3 \chi _ { e } } \right) ,
883,365		\partial _ { \mu } ( F ^ { \mu \nu } - e j ^ { \mu } x ^ { \nu } ) = 0 .
233,820		\chi = \sum _ { K = I } ^ { J - 1 } N _ { K }
283,632		h = x \left( \langle f _ { 1 } \rangle = 0 . 0 1 \right) - x \left( \langle f _ { 1 } \rangle = 0 . 9 9 \right) .
644,445		T _ { t }
833,866		D _ { 1 } , \ldots , D _ { n } , X _ { 1 } , \ldots , X _ { n }
18,888		\begin{array} { r } { M _ { 2 , 4 } = \left\| \begin{array} { l l l l l l } { R _ { 0 } } & { } & { } & { } & { } & { } \\ { P _ { 2 } } & { - \Tilde { Q } _ { 2 } } & { R _ { 2 } } & { } & { } & { } \end{array} \right\| = R _ { 0 } \left\| \begin{array} { l l } { \tilde { Q } _ { 2 } } & { R _ { 2 } } \\ { P _ { 3 } } & { \tilde { Q } _ { 3 } } \end{array} \right\| \cdot \prod _ { i = 4 } ^ { \infty } R _ { i } . } \end{array}
631,631		n _ { \mathrm { s u c c e s s } }
389,724		E ( t ) = E _ { 0 } e ^ { - i \omega _ { 0 } t } e ^ { - \frac { \omega _ { 0 } } { 2 Q } t } ,
680,381		\langle \psi \| \psi \rangle = 1
297,346		a \propto e ^ { H t }
579,835		{ \begin{array} { r l } { \operatorname { S O } ( 2 n ) } & { \supset \operatorname { S U } ( n ) } \\ { \operatorname { S p } ( n ) } & { \supset \operatorname { S U } ( n ) } \\ { \operatorname { S p i n } ( 4 ) } & { = \operatorname { S U } ( 2 ) \times \operatorname { S U } ( 2 ) } \\ { \operatorname { E } _ { 6 } } & { \supset \operatorname { S U } ( 6 ) } \\ { \operatorname { E } _ { 7 } } & { \supset \operatorname { S U } ( 8 ) } \\ { \operatorname { G } _ { 2 } } & { \supset \operatorname { S U } ( 3 ) } \end{array} }
487,943		\mathrm { S } _ { i w } + q / ( \rho _ { a } q _ { s i } )
1,026,801		\Delta ( \hat { \rho } _ { \mathrm { A } } )
1,024,266		\delta f _ { s } = - \alpha _ { s } \psi _ { \ast s } ^ { 2 } .
333,652		p
82,646		\epsilon
877,918		\mu _ { 0 } = \left( r ^ { \prime 2 } + r ^ { 2 } \omega ^ { 2 } \right) / B ,
739,932		_ \mathrm { D e t }
221,993		\| \mathbf { K } \| > 2 \cdot 1 0 ^ { - 3 }
182,826		\delta n _ { k }
215,840		\| \alpha \|
324,330		t h
649,347		X ^ { 2 } \Sigma _ { 1 / 2 } ^ { + } ( 0 0 0 )
275,477		\begin{array} { r l } { \frac { d } { d t } \frac { \partial T } { \partial \omega ^ { i } } + \frac { \partial T } { \partial \omega ^ { j } } c _ { i k } ^ { j } \omega ^ { k } } & { { } = \bar { \Theta } _ { i j } \dot { \omega } ^ { j } + \varepsilon _ { i k j } \omega ^ { k } \bar { \Theta } _ { j l } \omega ^ { l } + \sum _ { j = 1 } ^ { 3 } ( \Theta _ { i j } ^ { j } \ddot { \varphi } ^ { j } + \varepsilon _ { i k l } \omega ^ { k } \Theta _ { l j } \dot { \varphi } ^ { j } ) } \\ { \frac { d } { d t } \frac { \partial T } { \partial \dot { p } ^ { j } } } & { { } = \bar { m } \ddot { p } ^ { j } } \end{array}
900,654		- \delta ^ { a b } C _ { 1 } C _ { 2 } { \frac { 1 } { 1 6 } } { \frac { g ^ { 4 } } { p ^ { 2 } } } \Lambda ^ { 3 - \omega } \int { \frac { d ^ { \omega } k } { ( 2 \pi ) ^ { \omega } } } { \frac { p ^ { 2 } k ^ { 2 } - ( k \cdot p ) ^ { 2 } } { k ^ { 3 } ( k + p ) ^ { 2 } } } .
589,073		\begin{array} { r l r } { { \bf \nabla } \cdot { \bf A } } & { { } = } & { \partial _ { x } A - \frac { v _ { 0 } } { i \omega } \partial _ { z } \partial _ { x } A } \end{array}
526,379		A _ { i } ( x ) = i g ^ { - 1 } ( x ) \partial _ { i } g ( x ) \; ,
745		^ 2
229,224		\begin{array} { r l r } { \left( c _ { s b } ( t ) + c _ { c l } ( t ) \right) } & { { } = } & { \left( c _ { s b } ( 0 ) + c _ { c l } ( 0 ) \right) + } \end{array}
576,874		n _ { \Delta x } ^ { \pm } \equiv \sum _ { m = 1 } ^ { M } \delta _ { x _ { m } , x _ { m - 1 } \pm \Delta x } ,
918,868		c _ { 0 }
247,686		p \pi
43,417		\| j \rangle = \| 2 , 2 , T \rangle = \left( \| 1 , 2 , 7 , 8 \rangle + \| 3 , 4 , 5 , 6 \rangle \right) / \sqrt { 2 }
43,569		\mathcal { F }
677,470		\frac { u _ { z } } { v _ { \mathrm { A } } } \sim \epsilon ^ { 3 } .
39,572		\mathbf { g } ( \mathbf { r } ) = - G \int \rho ( \mathbf { s } ) { \frac { ( \mathbf { r } - \mathbf { s } ) } { \| \mathbf { r } - \mathbf { s } \| ^ { 3 } } } d ^ { 3 } \mathbf { s } .
978,114		4 ^ { 3 }
690,931		k d
946,220		Z _ { \mathrm { ~ e ~ f ~ f ~ } }
163,042		\operatorname { a r c v e r c o s } ( y ) = \operatorname { a r c c o s } \left( y - 1 \right)
265,910		5 \%
54,826		\pm 1 0 ^ { - 9 }
262,211		T _ { 1 } = \cos ( \mathrm { ~ a ~ c ~ o ~ s ~ } ( \theta _ { 1 } ) + \pi / 4 )
69		\epsilon _ { \mu \nu } p ^ { \mu } \Gamma ^ { \nu \lambda ( \beta ) } ( p ^ { 0 } , p ^ { 1 } ) = 0 = \epsilon _ { \mu \lambda } p ^ { \mu } \Gamma ^ { \nu \lambda ( \beta ) } ( p ^ { 0 } , p ^ { 1 } )
8,477		m = 0
708,648		\frac { \partial k _ { 3 } } { \partial C } = 3 \alpha ( \alpha + 1 ) \lambda ( \lambda - 1 ) ( \lambda - 2 ) \mathcal { A } ^ { 2 } \frac { \partial \mathcal { A } } { \partial C } ,
780,692		R _ { 1 2 } = \left( \begin{array} { l l l l } { { c _ { 1 2 } } } & { { s _ { 1 2 } ^ { \ast } } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { - s _ { 1 2 } } } & { { c _ { 1 2 } } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { 1 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 1 } } \end{array} \right) .
68,612		N ^ { 2 }
280,201		e = \sqrt { \frac { a ^ { 2 } - b ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } }
387,693		\begin{array} { r l r } { u _ { k l } \, \sigma _ { R } ^ { k l } } & { = } & { \left( \frac { m _ { k l } } { 2 \, k _ { B } T } \right) ^ { \frac { 3 } { 2 } } \, \int d ^ { 3 } u \, u \, \sigma _ { R } ^ { k l } \left( u \right) } \\ & { } & { \times \, \exp \left( - \frac { m _ { k l } \, \vec { u } ^ { \, 2 } } { 2 \, k _ { B } T } \right) } \\ & { = } & { \frac { 4 \pi } { \sqrt { 2 \, m _ { k l } \, \left( k _ { B } T \right) ^ { 3 } } } \, \int _ { 0 } ^ { \infty } d \epsilon \, \epsilon \, \sigma _ { R } ^ { k l } \left( \epsilon \right) } \\ & { } & { \times \, \exp \left( - \frac { \epsilon } { k _ { B } T } \right) \, . } \end{array}
17,176		H ^ { i } ( \psi ^ { - 1 } ( \tilde { Y } _ { \mathbb { C } _ { p } ^ { \flat } } ) , \mathbb { Z } / \ell ^ { m } \mathbb { Z } ) \xrightarrow { \cong } H ^ { i } ( \tilde { Y } _ { \mathbb { C } _ { p } ^ { \flat } } , \psi _ { * } \psi ^ { * } ( \mathbb { Z } / \ell ^ { m } \mathbb { Z } ) ) \rightarrow H ^ { i } ( \tilde { Y } _ { \mathbb { C } _ { p } ^ { \flat } } , \mathbb { Z } / \ell ^ { m } \mathbb { Z } ) .
318,950		< 1
38,542		\alpha _ { 2 }
1,019,852		\mathcal { C } = \left\| \tilde { \psi } _ { n + 1 } \right\| ^ { 2 } - m \cdot \log \left( \left\| \tilde { \psi } _ { n + 1 } \right\| ^ { 2 } \right) + \lambda \left( \sqrt { \left\| \tilde { \psi } _ { n + 1 } \right\| ^ { 2 } } - \sqrt { \left\| \tilde { \psi } _ { n } \right\| ^ { 2 } } \right) ^ { 2 } \; \; \; \textrm { ( p r o x i m a l P o i s s o n ) }
771,297		\sigma > 0
432,145		c _ { q }
351,113		w ( t )
1,011,248		s = j \omega
867,060		U = C X P ( \boldsymbol { \theta } ) C X ^ { \dagger }
226,410		\mathbf { A } ^ { \prime } \cdot \mathbf { B } ^ { \prime } = - { A ^ { \prime } } ^ { 0 } { B ^ { \prime } } ^ { 0 } + { A ^ { \prime } } ^ { 1 } { B ^ { \prime } } ^ { 1 } + { A ^ { \prime } } ^ { 2 } { B ^ { \prime } } ^ { 2 } + { A ^ { \prime } } ^ { 3 } { B ^ { \prime } } ^ { 3 } = - C ^ { \prime }
459,403		C _ { 1 } , \dots , C _ { s }
339,336		m
586,314		Y = 0 . 8 X _ { 1 } + 0 . 1 5 X _ { 2 } + 0 . 0 5 X _ { 3 }
414,765		E _ { T }
249,942		\%
346,419		y ^ { + } = 1 5 , 3 0 , 5 0 , 8 0 , 1 0 0 , 1 2 0
600,980		a = 3 7 5
823,240		\delta m = 2 \pi a e \rho _ { C } \delta \ell
592,687		\begin{array} { r l } { I : = } & { \int _ { \Omega } \sum _ { \| \alpha \| \leq 1 } \int _ { \mathbb { R } ^ { 3 } } \Big \| \partial ^ { \alpha } U _ { \omega } ^ { 0 } ( x - y ) \Big \| \| \mu _ { \alpha } ^ { t } \| ( d y ) \sum _ { \| \alpha ^ { \prime } \| \leq 1 } \int _ { \mathbb { R } ^ { 3 } } \Big \| \partial ^ { \alpha ^ { \prime } } U _ { \omega } ^ { 0 } ( x ^ { \prime } - y ^ { \prime } ) \Big \| \| \mu _ { \alpha ^ { \prime } } ^ { t ^ { \prime } } \| ( d y ^ { \prime } ) \mathbb { P } ( d \omega ) } \\ { = } & { \sum _ { \| \alpha \| , \| \alpha ^ { \prime } \| \leq 1 } \int _ { \mathbb { R } ^ { 3 } } \int _ { \mathbb { R } ^ { 3 } } \int _ { \Omega } \Big \| \partial ^ { \alpha } U _ { \omega } ^ { 0 } ( x - y ) \partial ^ { \alpha ^ { \prime } } U _ { \omega } ^ { 0 } ( x ^ { \prime } - y ^ { \prime } ) \Big \| \mathbb { P } ( d \omega ) \| \mu _ { \alpha } ^ { t } \| ( d y ) \| \mu _ { \alpha ^ { \prime } } ^ { t ^ { \prime } } \| ( d y ^ { \prime } ) } \\ { = } & { \sum _ { \| \alpha \| , \| \alpha ^ { \prime } \| \leq 1 } \int _ { \mathbb { R } ^ { 3 } } \int _ { \mathbb { R } ^ { 3 } } \mathbb { E } \big [ \| \partial ^ { \alpha } U ^ { 0 } ( x - y ) \partial ^ { \alpha ^ { \prime } } U ^ { 0 } ( x ^ { \prime } - y ^ { \prime } ) \| \big ] \| \mu _ { \alpha } ^ { t } \| ( d y ) \| \mu _ { \alpha ^ { \prime } } ^ { t ^ { \prime } } \| ( d y ^ { \prime } ) } \\ { \leq } & { \sum _ { \| \alpha \| , \| \alpha ^ { \prime } \| \leq 1 } \int _ { \mathbb { R } ^ { 3 } } \int _ { \mathbb { R } ^ { 3 } } \bigg ( \mathbb { E } \big [ \partial ^ { \alpha } U ^ { 0 } ( x - y ) ^ { 2 } \big ] \mathbb { E } \big [ \partial ^ { \alpha ^ { \prime } } U ^ { 0 } ( x ^ { \prime } - y ^ { \prime } ) ^ { 2 } \big ] \bigg ) ^ { 1 / 2 } \| \mu _ { \alpha } ^ { t } \| ( d y ) \| \mu _ { \alpha ^ { \prime } } ^ { t ^ { \prime } } \| ( d y ^ { \prime } ) } \\ { \leq } & { \Bigg ( \sum _ { \| \alpha \| \leq 1 } \int _ { \mathbb { R } ^ { 3 } } \bigg ( \mathbb { E } \big [ \partial ^ { \alpha } U ^ { 0 } ( x - y ) ^ { 2 } \big ] \bigg ) ^ { 1 / 2 } \| \mu _ { \alpha } ^ { t } \| ( d y ) \Bigg ) \times \Bigg ( \sum _ { \| \alpha \| \leq 1 } \int _ { \mathbb { R } ^ { 3 } } \bigg ( \mathbb { E } \big [ \partial ^ { \alpha } U ^ { 0 } ( x - y ) ^ { 2 } \big ] \bigg ) ^ { 1 / 2 } \| \mu _ { \alpha } ^ { t ^ { \prime } } \| ( d y ) \Bigg ) } \\ { \leq } & { \Big ( \sum _ { \| \alpha \| \leq 1 } ( \| \mu _ { \alpha } ^ { t } \| * \sigma _ { \partial ^ { \alpha } U ^ { 0 } } ) ( x ) \Big ) \times \Big ( \sum _ { \| \alpha \| \leq 1 } ( \| \mu _ { \alpha } ^ { t ^ { \prime } } \| * \sigma _ { \partial ^ { \alpha } U ^ { 0 } } ) ( x ^ { \prime } ) \Big ) < + \infty . } \end{array}
960,839		b _ { 1 }
922,893		( \rho _ { 1 } \oplus \rho _ { 2 } ) ( 1 , 1 ) = { \left( \begin{array} { l l l l l } { 0 } & { - i } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { i } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } & { 0 } & { \omega } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { \omega } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { \omega ^ { 2 } } \end{array} \right) }
3,782		H _ { \mathrm { d } i } = \pi M _ { j } \left[ \frac { \frac { d _ { i } } { 2 } + d _ { \mathrm { N } } + d _ { j } } { \sqrt { r ^ { 2 } + \left( \frac { d _ { i } } { 2 } + d _ { \mathrm { N } } + d _ { j } \right) ^ { 2 } } } - \frac { \frac { d _ { i } } { 2 } + d _ { \mathrm { N } } } { \sqrt { r ^ { 2 } + \left( \frac { d _ { i } } { 2 } + d _ { \mathrm { N } } \right) ^ { 2 } } } \right] .
731,296		\delta E _ { 1 } ^ { m } = \frac { m _ { e } } { M } \bar { \phi } _ { \mathrm { o u t } } \left( 1 - \frac { 4 } { 3 } \frac { R ^ { 3 } } { a _ { 0 } ^ { 3 } } \right) - \frac { m _ { e } B } { M a _ { 0 } } \left( 1 - 2 \frac { R ^ { 2 } } { a _ { 0 } ^ { 2 } } \right) - \frac { m _ { e } Q ^ { 2 } } { 6 4 \pi ^ { 2 } M _ { \gamma } M a _ { 0 } ^ { 2 } } \left( \frac { 1 } { 4 } - \frac { R } { 2 a _ { 0 } } \right) .
143,870		Y _ { 0 } \rightarrow \epsilon ^ { \frac { 1 } { 2 } } \mathcal { Y } _ { 0 }
598,187		\psi _ { + } ( x ) \rightarrow \exp \{ i e a \xi ( x ) \} \psi _ { + } ( x ) ; \quad \psi _ { - } ^ { k } ( x ) \rightarrow \exp \{ i \frac { e } { \sqrt { 2 } } a \xi ( x ) \} \psi _ { - } ( x )
341,586		N ^ { 6 }
502,753		t ^ { \prime }
729,410		v _ { b } = - v _ { a } = \frac { l _ { 1 } } { 2 }
1,007,015		\widetilde { X } ^ { { ( 2 ) } ^ { T } }
895,430		\begin{array} { r l } { \psi _ { I } } & { { } = \phi _ { \mathcal { A } _ { 1 } } \cos \theta - \phi _ { \mathcal { B } _ { 1 } } \sin \theta , } \\ { \psi _ { A } } & { { } = \phi _ { \mathcal { A } _ { 1 } } \sin \theta + \phi _ { \mathcal { B } _ { 1 } } \cos \theta , } \\ { \psi _ { J } } & { { } = \phi _ { \mathcal { A } _ { 2 } } \cos \theta - \phi _ { \mathcal { B } _ { 2 } } \sin \theta , } \\ { \psi _ { B } } & { { } = \phi _ { \mathcal { A } _ { 2 } } \sin \theta + \phi _ { \mathcal { B } _ { 2 } } \cos \theta , } \end{array}

79,461

S _ { \psi } = { \frac { i } { 2 } } T \int d ^ { 2 } \xi \psi ^ { - } e _ { -- } ^ { m } ( \xi ) ( \partial _ { m } - \partial _ { m } Z ^ { \underline { { M } } } A _ { \underline { { M } } } ) \psi ^ { - } .

292,037

f ^ { \# } : k [ Y ] \to k [ X ] , \, g \mapsto g \circ f

904,049

\eta _ { \mathrm { a p p } } ( R , Z , t ) \, = \, \sum _ { m = 0 } ^ { M } \epsilon ^ { m } \, \eta _ { m } ( R , Z , \beta _ { \epsilon } ) \, , \qquad \phi _ { \mathrm { a p p } } ( R , Z , t ) \, = \, \sum _ { m = 0 } ^ { M } \epsilon ^ { m } \, \phi _ { m } ( R , Z , \beta _ { \epsilon } ) \, ,

1,056,577

\begin{array} { r l r } { \rho _ { + } } & { = } & { \rho _ { 0 } + \partial _ { \lambda } \rho _ { 0 } + \frac { 1 } { 2 } \partial _ { \lambda } ^ { 2 } \rho _ { 0 } + \frac { 1 } { 6 } \partial _ { \lambda } ^ { 3 } \rho _ { 0 } + \frac { 1 } { 2 4 } \partial _ { \lambda } ^ { 4 } \rho _ { 0 } . . . } \\ { \rho _ { - } } & { = } & { \rho _ { 0 } - \partial _ { \lambda } \rho _ { 0 } + \frac { 1 } { 2 } \partial _ { \lambda } ^ { 2 } \rho _ { 0 } - \frac { 1 } { 6 } \partial _ { \lambda } ^ { 3 } \rho _ { 0 } + \frac { 1 } { 2 4 } \partial _ { \lambda } ^ { 4 } \rho _ { 0 } . . . } \end{array}

44,446

c s ( M A E _ { 2 7 } ; \Delta \Theta | S S N _ { 2 7 } )

406,328

\phi

526,777

\gamma

900,665

\partial _ { t } \boldsymbol { u } + ( \boldsymbol { u } \cdot \nabla ) \boldsymbol { u } = - \nabla p + \frac { 1 } { R e } \nabla ^ { 2 } \boldsymbol { u } , \quad \nabla \cdot \boldsymbol { u } = 0 ,

436,147

\Psi _ { \vec { k } s \epsilon } ( t , \vec { x } ) \; = \; e ^ { - i \epsilon E t } \: e ^ { i \vec { k } \vec { x } } \: \chi ( \vec { k } , \epsilon , s ) \; ,

700,203

B _ { G } ( x ) = \frac { n s _ { l } ( n x ) s _ { l } \prime ( x ) - s _ { l } ( x ) s _ { l } \prime ( n x ) } { n s _ { l } ( n x ) e _ { l } \prime ( x ) - e _ { l } ( x ) s _ { l } \prime ( n x ) } .

1,002,804

8 0 \%

608,311

x = L / 2

416,039

\begin{array} { r l } { t } & { = \kappa _ { E } \big ( \varepsilon - \hat { \varepsilon } _ { S } \big ) } \\ { G } & { = 2 D b _ { \varepsilon } \kappa _ { E } \big ( \varepsilon - \hat { \varepsilon } _ { S } \big ) \Bigg [ 1 + \frac { 2 b _ { \varepsilon } \gamma ^ { 2 } } { \vert \varepsilon + b _ { \varepsilon } \gamma ^ { 2 } \vert \sqrt { 1 + \theta } } \Bigg ] } \\ & { = 2 D b _ { \varepsilon } t \Bigg [ 1 + \frac { 2 b _ { \varepsilon } \gamma ^ { 2 } } { \vert \varepsilon + b _ { \varepsilon } \gamma ^ { 2 } \vert \sqrt { 1 + \theta } } \Bigg ] . } \end{array}

717,358

y = \frac { c _ { i , \mu } } { 2 R T }

511,378

\begin{array} { r l } { \underline { { J } } ( \tilde { x } ) } & { : = \{ j \mid \left( \tilde { x } _ { j } - \underline { { \pi } } _ { j } \right) { y _ { \underline { { \pi } } } ^ { * } } _ { j } > 0 \} } \\ { \overline { { J } } ( \tilde { x } ) } & { : = \{ j \mid \left( \tilde { x } _ { j } - \overline { { \pi } } _ { j } \right) { y _ { \overline { { \pi } } } ^ { * } } _ { j } < 0 \} } \end{array}

549,827

r _ { \kappa } = - i { \Gamma _ { 0 } } \sum _ { j , j ^ { \prime } , n } ^ { } { { e ^ { i \omega _ { \kappa } / c ( { z _ { j ^ { \prime } } } + { z _ { j } } ) } } \frac { \psi _ { n } ( j ) \psi _ { n } ( j ^ { \prime } ) } { \omega _ { \kappa } - \omega _ { n } } } ,

448,613

F _ { l } ^ { ( \varepsilon ) } \sim 2 F _ { l } ^ { ( p _ { \perp } ) } \sim l ^ { 2 } ( l + 1 ) ^ { 2 } ( 2 l + 1 ) \frac { \pi } { 2 ( z x ) ^ { 4 } } \exp [ - 2 z ( 1 - x ) ] ,

244,574

\mathbf y = \{ y _ { 1 } , \dots , y _ { n _ { 2 } } \}

347,172

t = \infty

435,511

\frac { \mathrm { d } ^ { 2 } W ^ { \gamma } } { \mathrm { d } u \mathrm { d } \zeta } = \frac { 2 \alpha m } { 3 \sqrt { 3 } \pi \chi _ { e } } \frac { u } { ( 1 + u ) ^ { 3 } } \left\{ \zeta ^ { 2 / 3 } [ 1 + ( 1 + u ) ^ { 2 } ] - ( 1 + u ) \right\} K _ { 1 / 3 } \! \left( \frac { 2 u \zeta } { 3 \chi _ { e } } \right) ,

883,365

\partial _ { \mu } ( F ^ { \mu \nu } - e j ^ { \mu } x ^ { \nu } ) = 0 .

233,820

\chi = \sum _ { K = I } ^ { J - 1 } N _ { K }

283,632

h = x \left( \langle f _ { 1 } \rangle = 0 . 0 1 \right) - x \left( \langle f _ { 1 } \rangle = 0 . 9 9 \right) .

644,445

T _ { t }

833,866

D _ { 1 } , \ldots , D _ { n } , X _ { 1 } , \ldots , X _ { n }

18,888

\begin{array} { r } { M _ { 2 , 4 } = \left| \begin{array} { l l l l l l } { R _ { 0 } } & { } & { } & { } & { } & { } \\ { P _ { 2 } } & { - \Tilde { Q } _ { 2 } } & { R _ { 2 } } & { } & { } & { } \end{array} \right| = R _ { 0 } \left| \begin{array} { l l } { \tilde { Q } _ { 2 } } & { R _ { 2 } } \\ { P _ { 3 } } & { \tilde { Q } _ { 3 } } \end{array} \right| \cdot \prod _ { i = 4 } ^ { \infty } R _ { i } . } \end{array}

631,631

n _ { \mathrm { s u c c e s s } }

389,724

E ( t ) = E _ { 0 } e ^ { - i \omega _ { 0 } t } e ^ { - \frac { \omega _ { 0 } } { 2 Q } t } ,

680,381

\langle \psi | \psi \rangle = 1

297,346

a \propto e ^ { H t }

579,835

{ \begin{array} { r l } { \operatorname { S O } ( 2 n ) } & { \supset \operatorname { S U } ( n ) } \\ { \operatorname { S p } ( n ) } & { \supset \operatorname { S U } ( n ) } \\ { \operatorname { S p i n } ( 4 ) } & { = \operatorname { S U } ( 2 ) \times \operatorname { S U } ( 2 ) } \\ { \operatorname { E } _ { 6 } } & { \supset \operatorname { S U } ( 6 ) } \\ { \operatorname { E } _ { 7 } } & { \supset \operatorname { S U } ( 8 ) } \\ { \operatorname { G } _ { 2 } } & { \supset \operatorname { S U } ( 3 ) } \end{array} }

487,943

\mathrm { S } _ { i w } + q / ( \rho _ { a } q _ { s i } )

1,026,801

\Delta ( \hat { \rho } _ { \mathrm { A } } )

1,024,266

\delta f _ { s } = - \alpha _ { s } \psi _ { \ast s } ^ { 2 } .

333,652

p

82,646

\epsilon

877,918

\mu _ { 0 } = \left( r ^ { \prime 2 } + r ^ { 2 } \omega ^ { 2 } \right) / B ,

739,932

_ \mathrm { D e t }

221,993

| \mathbf { K } | > 2 \cdot 1 0 ^ { - 3 }

182,826

\delta n _ { k }

215,840

| \alpha |

324,330

t h

649,347

X ^ { 2 } \Sigma _ { 1 / 2 } ^ { + } ( 0 0 0 )

275,477

\begin{array} { r l } { \frac { d } { d t } \frac { \partial T } { \partial \omega ^ { i } } + \frac { \partial T } { \partial \omega ^ { j } } c _ { i k } ^ { j } \omega ^ { k } } & { { } = \bar { \Theta } _ { i j } \dot { \omega } ^ { j } + \varepsilon _ { i k j } \omega ^ { k } \bar { \Theta } _ { j l } \omega ^ { l } + \sum _ { j = 1 } ^ { 3 } ( \Theta _ { i j } ^ { j } \ddot { \varphi } ^ { j } + \varepsilon _ { i k l } \omega ^ { k } \Theta _ { l j } \dot { \varphi } ^ { j } ) } \\ { \frac { d } { d t } \frac { \partial T } { \partial \dot { p } ^ { j } } } & { { } = \bar { m } \ddot { p } ^ { j } } \end{array}

900,654

- \delta ^ { a b } C _ { 1 } C _ { 2 } { \frac { 1 } { 1 6 } } { \frac { g ^ { 4 } } { p ^ { 2 } } } \Lambda ^ { 3 - \omega } \int { \frac { d ^ { \omega } k } { ( 2 \pi ) ^ { \omega } } } { \frac { p ^ { 2 } k ^ { 2 } - ( k \cdot p ) ^ { 2 } } { k ^ { 3 } ( k + p ) ^ { 2 } } } .

589,073

\begin{array} { r l r } { { \bf \nabla } \cdot { \bf A } } & { { } = } & { \partial _ { x } A - \frac { v _ { 0 } } { i \omega } \partial _ { z } \partial _ { x } A } \end{array}

526,379

A _ { i } ( x ) = i g ^ { - 1 } ( x ) \partial _ { i } g ( x ) \; ,

745

^ 2

229,224

\begin{array} { r l r } { \left( c _ { s b } ( t ) + c _ { c l } ( t ) \right) } & { { } = } & { \left( c _ { s b } ( 0 ) + c _ { c l } ( 0 ) \right) + } \end{array}

576,874

n _ { \Delta x } ^ { \pm } \equiv \sum _ { m = 1 } ^ { M } \delta _ { x _ { m } , x _ { m - 1 } \pm \Delta x } ,

918,868

c _ { 0 }

247,686

p \pi

43,417

| j \rangle = | 2 , 2 , T \rangle = \left( | 1 , 2 , 7 , 8 \rangle + | 3 , 4 , 5 , 6 \rangle \right) / \sqrt { 2 }

43,569

\mathcal { F }

677,470

\frac { u _ { z } } { v _ { \mathrm { A } } } \sim \epsilon ^ { 3 } .

39,572

\mathbf { g } ( \mathbf { r } ) = - G \int \rho ( \mathbf { s } ) { \frac { ( \mathbf { r } - \mathbf { s } ) } { | \mathbf { r } - \mathbf { s } | ^ { 3 } } } d ^ { 3 } \mathbf { s } .

978,114

4 ^ { 3 }

690,931

k d

946,220

Z _ { \mathrm { ~ e ~ f ~ f ~ } }

163,042

\operatorname { a r c v e r c o s } ( y ) = \operatorname { a r c c o s } \left( y - 1 \right)

265,910

5 \%

54,826

\pm 1 0 ^ { - 9 }

262,211

T _ { 1 } = \cos ( \mathrm { ~ a ~ c ~ o ~ s ~ } ( \theta _ { 1 } ) + \pi / 4 )

69

\epsilon _ { \mu \nu } p ^ { \mu } \Gamma ^ { \nu \lambda ( \beta ) } ( p ^ { 0 } , p ^ { 1 } ) = 0 = \epsilon _ { \mu \lambda } p ^ { \mu } \Gamma ^ { \nu \lambda ( \beta ) } ( p ^ { 0 } , p ^ { 1 } )

8,477

m = 0

708,648

\frac { \partial k _ { 3 } } { \partial C } = 3 \alpha ( \alpha + 1 ) \lambda ( \lambda - 1 ) ( \lambda - 2 ) \mathcal { A } ^ { 2 } \frac { \partial \mathcal { A } } { \partial C } ,

780,692

R _ { 1 2 } = \left( \begin{array} { l l l l } { { c _ { 1 2 } } } & { { s _ { 1 2 } ^ { \ast } } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { - s _ { 1 2 } } } & { { c _ { 1 2 } } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { 1 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 1 } } \end{array} \right) .

68,612

N ^ { 2 }

280,201

e = \sqrt { \frac { a ^ { 2 } - b ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } }

387,693

\begin{array} { r l r } { u _ { k l } \, \sigma _ { R } ^ { k l } } & { = } & { \left( \frac { m _ { k l } } { 2 \, k _ { B } T } \right) ^ { \frac { 3 } { 2 } } \, \int d ^ { 3 } u \, u \, \sigma _ { R } ^ { k l } \left( u \right) } \\ & { } & { \times \, \exp \left( - \frac { m _ { k l } \, \vec { u } ^ { \, 2 } } { 2 \, k _ { B } T } \right) } \\ & { = } & { \frac { 4 \pi } { \sqrt { 2 \, m _ { k l } \, \left( k _ { B } T \right) ^ { 3 } } } \, \int _ { 0 } ^ { \infty } d \epsilon \, \epsilon \, \sigma _ { R } ^ { k l } \left( \epsilon \right) } \\ & { } & { \times \, \exp \left( - \frac { \epsilon } { k _ { B } T } \right) \, . } \end{array}

17,176

H ^ { i } ( \psi ^ { - 1 } ( \tilde { Y } _ { \mathbb { C } _ { p } ^ { \flat } } ) , \mathbb { Z } / \ell ^ { m } \mathbb { Z } ) \xrightarrow { \cong } H ^ { i } ( \tilde { Y } _ { \mathbb { C } _ { p } ^ { \flat } } , \psi _ { * } \psi ^ { * } ( \mathbb { Z } / \ell ^ { m } \mathbb { Z } ) ) \rightarrow H ^ { i } ( \tilde { Y } _ { \mathbb { C } _ { p } ^ { \flat } } , \mathbb { Z } / \ell ^ { m } \mathbb { Z } ) .

318,950

< 1

38,542

\alpha _ { 2 }

1,019,852

\mathcal { C } = \left| \tilde { \psi } _ { n + 1 } \right| ^ { 2 } - m \cdot \log \left( \left| \tilde { \psi } _ { n + 1 } \right| ^ { 2 } \right) + \lambda \left( \sqrt { \left| \tilde { \psi } _ { n + 1 } \right| ^ { 2 } } - \sqrt { \left| \tilde { \psi } _ { n } \right| ^ { 2 } } \right) ^ { 2 } \; \; \; \textrm { ( p r o x i m a l P o i s s o n ) }

771,297

\sigma > 0

432,145

c _ { q }

351,113

w ( t )

1,011,248

s = j \omega

867,060

U = C X P ( \boldsymbol { \theta } ) C X ^ { \dagger }

226,410

\mathbf { A } ^ { \prime } \cdot \mathbf { B } ^ { \prime } = - { A ^ { \prime } } ^ { 0 } { B ^ { \prime } } ^ { 0 } + { A ^ { \prime } } ^ { 1 } { B ^ { \prime } } ^ { 1 } + { A ^ { \prime } } ^ { 2 } { B ^ { \prime } } ^ { 2 } + { A ^ { \prime } } ^ { 3 } { B ^ { \prime } } ^ { 3 } = - C ^ { \prime }

459,403

C _ { 1 } , \dots , C _ { s }

339,336

m

586,314

Y = 0 . 8 X _ { 1 } + 0 . 1 5 X _ { 2 } + 0 . 0 5 X _ { 3 }

414,765

E _ { T }

249,942

\%

346,419

y ^ { + } = 1 5 , 3 0 , 5 0 , 8 0 , 1 0 0 , 1 2 0

600,980

a = 3 7 5

823,240

\delta m = 2 \pi a e \rho _ { C } \delta \ell

592,687

\begin{array} { r l } { I : = } & { \int _ { \Omega } \sum _ { | \alpha | \leq 1 } \int _ { \mathbb { R } ^ { 3 } } \Big | \partial ^ { \alpha } U _ { \omega } ^ { 0 } ( x - y ) \Big | | \mu _ { \alpha } ^ { t } | ( d y ) \sum _ { | \alpha ^ { \prime } | \leq 1 } \int _ { \mathbb { R } ^ { 3 } } \Big | \partial ^ { \alpha ^ { \prime } } U _ { \omega } ^ { 0 } ( x ^ { \prime } - y ^ { \prime } ) \Big | | \mu _ { \alpha ^ { \prime } } ^ { t ^ { \prime } } | ( d y ^ { \prime } ) \mathbb { P } ( d \omega ) } \\ { = } & { \sum _ { | \alpha | , | \alpha ^ { \prime } | \leq 1 } \int _ { \mathbb { R } ^ { 3 } } \int _ { \mathbb { R } ^ { 3 } } \int _ { \Omega } \Big | \partial ^ { \alpha } U _ { \omega } ^ { 0 } ( x - y ) \partial ^ { \alpha ^ { \prime } } U _ { \omega } ^ { 0 } ( x ^ { \prime } - y ^ { \prime } ) \Big | \mathbb { P } ( d \omega ) | \mu _ { \alpha } ^ { t } | ( d y ) | \mu _ { \alpha ^ { \prime } } ^ { t ^ { \prime } } | ( d y ^ { \prime } ) } \\ { = } & { \sum _ { | \alpha | , | \alpha ^ { \prime } | \leq 1 } \int _ { \mathbb { R } ^ { 3 } } \int _ { \mathbb { R } ^ { 3 } } \mathbb { E } \big [ | \partial ^ { \alpha } U ^ { 0 } ( x - y ) \partial ^ { \alpha ^ { \prime } } U ^ { 0 } ( x ^ { \prime } - y ^ { \prime } ) | \big ] | \mu _ { \alpha } ^ { t } | ( d y ) | \mu _ { \alpha ^ { \prime } } ^ { t ^ { \prime } } | ( d y ^ { \prime } ) } \\ { \leq } & { \sum _ { | \alpha | , | \alpha ^ { \prime } | \leq 1 } \int _ { \mathbb { R } ^ { 3 } } \int _ { \mathbb { R } ^ { 3 } } \bigg ( \mathbb { E } \big [ \partial ^ { \alpha } U ^ { 0 } ( x - y ) ^ { 2 } \big ] \mathbb { E } \big [ \partial ^ { \alpha ^ { \prime } } U ^ { 0 } ( x ^ { \prime } - y ^ { \prime } ) ^ { 2 } \big ] \bigg ) ^ { 1 / 2 } | \mu _ { \alpha } ^ { t } | ( d y ) | \mu _ { \alpha ^ { \prime } } ^ { t ^ { \prime } } | ( d y ^ { \prime } ) } \\ { \leq } & { \Bigg ( \sum _ { | \alpha | \leq 1 } \int _ { \mathbb { R } ^ { 3 } } \bigg ( \mathbb { E } \big [ \partial ^ { \alpha } U ^ { 0 } ( x - y ) ^ { 2 } \big ] \bigg ) ^ { 1 / 2 } | \mu _ { \alpha } ^ { t } | ( d y ) \Bigg ) \times \Bigg ( \sum _ { | \alpha | \leq 1 } \int _ { \mathbb { R } ^ { 3 } } \bigg ( \mathbb { E } \big [ \partial ^ { \alpha } U ^ { 0 } ( x - y ) ^ { 2 } \big ] \bigg ) ^ { 1 / 2 } | \mu _ { \alpha } ^ { t ^ { \prime } } | ( d y ) \Bigg ) } \\ { \leq } & { \Big ( \sum _ { | \alpha | \leq 1 } ( | \mu _ { \alpha } ^ { t } | * \sigma _ { \partial ^ { \alpha } U ^ { 0 } } ) ( x ) \Big ) \times \Big ( \sum _ { | \alpha | \leq 1 } ( | \mu _ { \alpha } ^ { t ^ { \prime } } | * \sigma _ { \partial ^ { \alpha } U ^ { 0 } } ) ( x ^ { \prime } ) \Big ) < + \infty . } \end{array}

960,839

b _ { 1 }

922,893

( \rho _ { 1 } \oplus \rho _ { 2 } ) ( 1 , 1 ) = { \left( \begin{array} { l l l l l } { 0 } & { - i } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { i } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } & { 0 } & { \omega } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { \omega } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { \omega ^ { 2 } } \end{array} \right) }

3,782

H _ { \mathrm { d } i } = \pi M _ { j } \left[ \frac { \frac { d _ { i } } { 2 } + d _ { \mathrm { N } } + d _ { j } } { \sqrt { r ^ { 2 } + \left( \frac { d _ { i } } { 2 } + d _ { \mathrm { N } } + d _ { j } \right) ^ { 2 } } } - \frac { \frac { d _ { i } } { 2 } + d _ { \mathrm { N } } } { \sqrt { r ^ { 2 } + \left( \frac { d _ { i } } { 2 } + d _ { \mathrm { N } } \right) ^ { 2 } } } \right] .

731,296

\delta E _ { 1 } ^ { m } = \frac { m _ { e } } { M } \bar { \phi } _ { \mathrm { o u t } } \left( 1 - \frac { 4 } { 3 } \frac { R ^ { 3 } } { a _ { 0 } ^ { 3 } } \right) - \frac { m _ { e } B } { M a _ { 0 } } \left( 1 - 2 \frac { R ^ { 2 } } { a _ { 0 } ^ { 2 } } \right) - \frac { m _ { e } Q ^ { 2 } } { 6 4 \pi ^ { 2 } M _ { \gamma } M a _ { 0 } ^ { 2 } } \left( \frac { 1 } { 4 } - \frac { R } { 2 a _ { 0 } } \right) .

143,870

Y _ { 0 } \rightarrow \epsilon ^ { \frac { 1 } { 2 } } \mathcal { Y } _ { 0 }

598,187

\psi _ { + } ( x ) \rightarrow \exp \{ i e a \xi ( x ) \} \psi _ { + } ( x ) ; \quad \psi _ { - } ^ { k } ( x ) \rightarrow \exp \{ i \frac { e } { \sqrt { 2 } } a \xi ( x ) \} \psi _ { - } ( x )

341,586

N ^ { 6 }

502,753

t ^ { \prime }

729,410

v _ { b } = - v _ { a } = \frac { l _ { 1 } } { 2 }

1,007,015

\widetilde { X } ^ { { ( 2 ) } ^ { T } }

895,430

\begin{array} { r l } { \psi _ { I } } & { { } = \phi _ { \mathcal { A } _ { 1 } } \cos \theta - \phi _ { \mathcal { B } _ { 1 } } \sin \theta , } \\ { \psi _ { A } } & { { } = \phi _ { \mathcal { A } _ { 1 } } \sin \theta + \phi _ { \mathcal { B } _ { 1 } } \cos \theta , } \\ { \psi _ { J } } & { { } = \phi _ { \mathcal { A } _ { 2 } } \cos \theta - \phi _ { \mathcal { B } _ { 2 } } \sin \theta , } \\ { \psi _ { B } } & { { } = \phi _ { \mathcal { A } _ { 2 } } \sin \theta + \phi _ { \mathcal { B } _ { 2 } } \cos \theta , } \end{array}