In der Zahlentheorie ist eine zirkulare Primzahl (vom englischen circular prime) eine Primzahl, deren Ziffern man zyklisch vertauschen kann und die erhaltene Zahl trotzdem eine Primzahl bleibt.

Beispiele im Dezimalsystem 
 Die Zahl  ist im Dezimalsystem eine zirkulare Primzahl, weil man durch zyklische Vertauschung ihrer Ziffern folgende Primzahlen erhält:
 
 Es sind im Dezimalsystem folgende zirkulare Primzahlen bekannt (aus denen man durch zyklische Vertauschung weitere machen kann):
 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 37, 79, 113, 197, 199, 337, 1193, 3779, 11939, 19937, 193939, 199933, R19=1111111111111111111, R23=11111111111111111111111, R317, R1031, R49081, R86453, R109297, R270343, R5794777 und R8177207 ()
 Dabei ist  mit insgesamt  Einsen (sie hat also  Stellen). Man nennt diese Zahlen Repunits. Die Indizes der primen Repunits kann man auch bei der  ablesen. Die bisher letzten Repunits  und  sind PRP-Zahlen, es ist also noch nicht ganz gesichert, ob sie wirklich Primzahlen sind. Es gibt keine weiteren zirkularen Primzahlen, welche kleiner als  sind.
 Es sind im Dezimalsystem folgende 55 zirkulare Primzahlen bekannt (inklusive der durch zyklische Vertauschung erhaltenen; inklusive der vier einstelligen Trivialfälle  und  und der Repunit ; ohne die größeren Repunits):
 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 31, 37, 71, 73, 79, 97, 113, 131, 197, 199, 311, 337, 373, 719, 733, 919, 971, 991, 1193, 1931, 3119, 3779, 7793, 7937, 9311, 9377, 11939, 19391, 19937, 37199, 39119, 71993, 91193, 93719, 93911, 99371, 193939, 199933, 319993, 331999, 391939, 393919, 919393, 933199, 939193, 939391, 993319, 999331 ()
 Wahrscheinlich gibt es, abgesehen von den Repunits, keine weiteren zirkularen Primzahlen.

Beispiele in anderen Basen 
 Es sind im Duodezimalsystem (also mit Basis ) folgende zirkulare Primzahlen bekannt (aus die man durch zyklische Vertauschung weitere machen kann). Aus Ermangelung an weiteren Ziffern wird A=10 und B=11 gesetzt:
 2, 3, 5, 7, B, 11, 15, 57, 5B, 111, 117, 11B, 175, 1B7, 157B, 555B, 11111, 115B77, R17, R81, R91, R225, R255, R4A5, R5777, R879B, R198B1, R23175 und R311407
 Dabei ist wie vorher  eine Repunit (zur Basis ) mit insgesamt  Einsen (sie hat also  Stellen). Es gibt bis  keine weiteren zirkularen Primzahlen im Duodezimalsystem.
 Beispiel:
 Es ist die Duodezimalzahl  eine Primzahl. Vertauscht man ihre Ziffern zyklisch, erhält man drei weitere Primzahlen, nämlich ,  und .

Eigenschaften 
 Im Dezimalsystem darf, bis auf  und  eine zirkulare Primzahl nur aus den Ziffern  oder  bestehen.
 Beweis:
 Wären bei einer zirkularen Primzahl auch die Ziffern  oder  erlaubt, so könnte man sie so lange zyklisch vertauschen, bis diese Ziffern an der Einerstelle stehen. Dann wären sie aber durch  oder  teilbar und somit keine Primzahlen mehr. 
 Jede prime Repunit ist eine zirkulare Primzahl.
 Beweis:
 Eine Repunit besteht ausschließlich aus Einsen (wie zum Beispiel ). Somit erhält man durch zyklische Vertauschung ihrer Ziffern keine andere Zahl, deswegen bleibt die "neu erhaltene" Zahl eine Primzahl. 
 Sei  eine zirkulare Primzahl im Dualsystem (also mit Basis ). Dann gilt:
  ist eine Mersenne-Primzahl.
 Beweis:
 Im Dualsystem gibt es nur die beiden Ziffern  und . Wenn in einer Dualzahl eine  vorkommt, würde man durch zyklische Vertauschung erreichen, dass die  an der Einerstelle ist. Dualzahlen mit einer  an der Einerstelle sind aber gerade Zahlen und somit keine Primzahlen (zum Beispiel ist  eine gerade Zahl). Also darf eine zirkulare Primzahl zur Basis  keine Nullen enthalten, muss also ausschließlich aus Einsen bestehen. Dualzahlen die nur aus Einsen bestehen, haben aber, umgerechnet ins Dezimalsystem, die Form  (zum Beispiel ist ). Diese Zahlen sind Mersenne-Zahlen. Wenn sie prim sind, sind es Mersenne-Primzahlen. 
 Jede permutierbare Primzahl ist eine zirkulare Primzahl.
 Beweis:
 Eine permutierbare Primzahl ist eine Primzahl, bei der man ihre Ziffern beliebig neu anordnen kann und trotzdem wieder eine Primzahl entsteht. Bei zirkularen Primzahlen wird aber lediglich eine zyklische Vertauschung gefordert, welche bei permutierbaren Primzahlen natürlich auch erlaubt ist (zyklische Vertauschungen sind nur etwas speziellere Neuanordnungen ihrer Ziffern). Somit ist eine permutierbare Primzahl auch immer eine zirkulare Zahl. 
 Nicht jede zirkulare Primzahl ist eine permutierbare Primzahl.
 Beweis:
 Es genügt ein Gegenbeispiel: Wenn man bei der zirkularen Primzahl  die Ziffern geeignet vertauscht, erhält man die zusammengesetzte Zahl . Somit ist  keine permutierbare Primzahl.

Ungelöste Probleme 
 Es wird vermutet, dass es unendlich viele zirkulare Primzahlen gibt, weil es wahrscheinlich unendlich viele prime Repunits gibt, welche allesamt gleichzeitig zirkulare Primzahlen sind.

 Es wird vermutet, dass es keine weiteren zirkularen Primzahlen gibt, welche nicht gleichzeitig Repunits sind.

 Es wird vermutet, dass die folgenden Zahlen, die nicht gleichzeitig Repunits sind (sogenannte Nicht-Repunits), die größten zirkularen Primzahlen sind (im Dezimalsystem angegeben; die Liste beginnt mit , weil für  (also im Dualsystem) jede zirkulare Primzahl eine Mersenne-Primzahl und somit in diesem Zahlensystem eine Repunit ist, wie bei den Eigenschaften weiter oben schon gezeigt wurde):
 7, 1013, 3121, 211, 13143449029, 16244441, 4717103, 999331, 378470237117827, 2894561 … ()

 Die obigen größten Nicht-Repunits, die wahrscheinlich zirkulare Primzahlen sind, werden im jeweiligen Stellenwertsystem wie folgt geschrieben (beginnend mit der Basis ):
 21, 33311, 44441, 551, 643464321244, 75757331, 8778575, 999331, AA657365177398, B77115 …

 Die Anzahl der zirkularen Primzahlen, die Nicht-Repunits sind, gibt die folgende Liste an (beginnend mit der Basis , ohne die einstelligen Trivialfälle):
 0, 3, 10, 24, 5, 141, 42, 50, 54, ?, 37 …

 Beispiel:
 Sei . Dann gibt die erste obige Liste an, dass die Zahl  wahrscheinlich die größte zirkulare Primzahl ist, die nicht aus allen Einsen besteht. Der zweiten Liste kann man entnehmen, dass man diese Zahl im Stellenwertsystem mit der Basis  als  schreibt. Aus der dritten Liste kann man ablesen, dass es insgesamt wahrscheinlich genau 141 zirkulare Primzahlen zur Basis  gibt, die nicht gleichzeitig Repunits sind.

Einzelnachweise

Weblinks 
 
 

Ganzzahlmenge
Primzahl
Zahlentheorie