Die Quotiententopologie (auch Identifizierungstopologie genannt) ist ein Begriff aus dem mathematischen Teilgebiet der Topologie. Anschaulich entsteht diese Topologie, wenn man Punkte "zusammenklebt", d. h. zwei ehemals verschiedene Punkte als ein und denselben Punkt identifiziert. Solche Punkte werden mittels Äquivalenzrelationen festgelegt. Das geschieht im Allgemeinen, um neue topologische Räume aus bestehenden abzuleiten. Zu einer Verallgemeinerung dieser Konstruktion vergleiche den Artikel Finaltopologie.

Definition 
Es sei  ein topologischer Raum und  eine surjektive Abbildung von Mengen. Dann ist die durch  induzierte Quotiententopologie auf  diejenige, in der eine Teilmenge  genau dann offen ist, wenn das Urbild  offen ist.

Eigenschaften 
 Als unmittelbare Folge der Definition ist die Abbildung  stetig.
 Die Quotiententopologie ist die feinste Topologie auf , für die die Abbildung  stetig ist.
 Versieht man  mit der Quotiententopologie, so ist  eine Quotientenabbildung: Ist  ein weiterer topologischer Raum und  eine Abbildung der zugrundeliegenden Mengen, so ist  genau dann stetig, wenn  stetig ist (universelle Eigenschaft der Quotiententopologie):

Wichtige Spezialfälle 
 Ist  eine Äquivalenzrelation auf einem topologischen Raum, so versieht man die Menge  der Äquivalenzklassen meist ohne weitere Erwähnung mit der von der kanonischen Abbildung  induzierten Quotiententopologie.
 Ist insbesondere  eine topologische Gruppe und  eine Untergruppe von , so versieht man die homogenen Räume  und  mit der Quotiententopologie.
 Zusammenschlagen eines Teilraumes zu einem Punkt: Ist  ein topologischer Raum und  eine Teilmenge von , so bezeichnet  die Menge der Äquivalenzklassen bezüglich der Äquivalenzrelation, bei der zwei Punkte  äquivalent heißen, wenn sie gleich sind oder beide in  liegen. Die Abbildung  ist außerhalb von  injektiv, und das Bild von  ist ein einzelner Punkt.

Beispiele 
 Es sei  das Einheitsintervall und  die Einheitskreislinie. Dann ist die durch die Abbildung

induzierte Quotiententopologie auf  gleich der Teilraumtopologie von  als Teilmenge von . 
 Ist  das Einheitsintervall und , so ist der durch Zusammenschlagen von  zu einem Punkt entstehende Raum  homöomorph zur Kreislinie . Dies ist im Wesentlichen dasselbe wie das erste Beispiel, jedoch waren dort die Zielmenge und die Abbildung schon explizit gegeben, hier entstand sie erst durch die beim Zusammenschlagen implizite Äquivalenzrelation.
 Der homogene Raum  ist ebenfalls homöomorph zur Kreislinie 
 Im Gegensatz dazu besteht der Raum, den man erhält, wenn man die Teilmenge  von  zu einem Punkt zusammenschlägt, anschaulich gesprochen aus abzählbar unendlich vielen Kreisen, die in einem Punkt zusammengeklebt wurden.
 Ist  eine ganze Ringerweiterung, so ist die durch die induzierte stetige Spektrenabbildung  induzierte Quotiententopologie auf  identisch mit der Zariski-Topologie auf diesem Raum.

Literatur 
 Klaus Jänich: Topologie (Springer-Lehrbuch). 8. Auflage. Springer, Berlin u. a. 2005, ISBN 3-540-21393-7.
 Boto von Querenburg: Mengentheoretische Topologie (= Springer-Lehrbuch). 3., neu bearbeitete und erweiterte Auflage. Springer, Berlin u. a. 2001, ISBN 3-540-67790-9.

Topologische Struktur
Mengentheoretische Topologie