En mathématiques, et en particulier en analyse numérique, le lemme de Bramble-Hilbert, qui porte les noms de James H. Bramble et Stephen Hilbert, donne une borne à l'erreur d'une approximation d'une fonction  par un polynôme d'ordre au plus  en fonction des dérivées de  d'ordre . L'erreur de l'approximation et les dérivées de  sont mesurées par des normes  sur un domaine borné dans . Le lemme est proche d'un résultat classique en analyse numérique, qui indique, par exemple, que l'erreur d'une  interpolation linéaire  peut être bornée en utilisant la dérivée seconde de . Cependant, le lemme de Bramble-Hilbert s'applique pour un nombre quelconque de dimensions, et pas uniquement pour une dimension, et l'erreur d'approximation et les dérivées de  sont mesurées par des normes plus générales utilisant des moyennes, et non juste la norme de la convergence uniforme.

Des hypothèse supplémentaires sur le domaine sont nécessaires pour la validité du lemme de Bramble-Hilbert. Principalement, la frontière du domaine doit être "raisonnable". Par exemple, les domaines qui ont une pointe ou une fente avec un angle nul sont exclus. Les domaines lipschitziens sont suffisamment raisonnables. Ils comprennent les domaines convexes et les domaines avec une frontière continûment différentiable. 

Le lemme de Bramble-Hilbert est principalement utilisé pour trouver des bornes de l'erreur d'interpolation de fonction  par un opérateur qui préserve les polynômes d'ordre au plus , en fonction des dérivées de  d'ordre . C'est une étape essentielle dans l'estimation des erreurs de la méthode des éléments finis. Le lemme de Bramble-Hilbert est appliqué alors sur le domaine formé d'un seul élément.

Le cas unidimensionnel 
À une dimension et pour une fonction  qui a  dérivées sur un intervalle , le lemme se réduit à

où  est l'espace de tous les polynômes d'ordre au plus .

Dans le cas où , , , et  est deux fois différentiable, le lemme signifie qu'il existe un polynôme  de degré un tel que pour tout ,

Cette inégalité alors résulte de manière bien connue de l'erreur estimée pour une interpolation linéaire en choisissant  comme  l'interpolant linéaire de .

Énoncé 
Supposons que  soit un domaine borné dans , , avec une frontière  et un diamètre .  est l'espace de Sobolev de toutes les fonctions  sur  avec des dérivées partielles au sens faible d'ordre  jusqu'à  dans . Ici,  est un multi-indice,   et  note les dérivées  fois par rapport à ,  fois par rapport à , et ainsi de suite. La  seminorme de Sobolev sur  consiste en les  normes des dérivées d'ordre le plus élevé,

et

 est l'espace de tous les polynômes d'ordre au plus  sur . Notons que  pour tous  et . Ainsi  a la même valeur pour tout .

Lemme (Bramble et Hilbert) Sous des hypothèse supplémentaires sur le domaine , spécifiées plus bas, il existe une constante  indépendante de  et  telle que pour tout , il existe un polynôme  tel que pour tout

Le résultat original 
Le lemme a été prouvé par Bramble et Hilbert  sous l'hypothèse que  satisfasse la propriété forte du cône ; c'est-à-dire, qu'il existe un recouvrement ouvert fini  de  et des cônes correspondants  avec des sommets à l'origine tels que  soit contenu dans  pour tout  .

Notes et références

Liens externes 
 
 , The Bramble–Hilbert Lemma. 

Bramble-Hilbert
Analyse numérique