

Масса, заряд, импульс и энергия в уравнениях механики сплошной среды 
Основные уравнения механики сплошной среды – непрерывности, движения и энергии – демонстрируют причины изменения во времени плотностей трех основных механических величин: массы , импульса  и энергии .

При этом:
 первое слагаемое левой части каждого из названных уравнений представляет собой изменение плотности (количества в единице объема) соответствующей величины в единицу времени;
 второе – результат обмена этой величиной выделенного единичного объема с соседними объемами;
 третье – изменение плотности соответствующей величины в единицу времени под действием внешних сил;
 правая часть – изменение плотности соответствующей величины в единицу времени в результате столкновений частиц в объеме.
При описании газа заряженных частиц одной из форм уравнения непрерывности является закон сохранения заряда в дифференциальной форме, в котором количество вещества представлено не массой , а зарядом .

Общими характеристиками массы, заряда, импульса и энергии являются:
 сохраняемость в замкнутых системах;
 аддитивность.
Однако, по одному признаку импульс в этом списке стоит особняком. А именно: масса, заряд и энергия – скаляры. Соответственно плотности массы, заряда и энергии – скаляры, плотности потока массы, заряда и энергии – векторы.

Импульс же сам является вектором. Соответственно, плотность импульса есть вектор – полностью описывается тремя величинами. Плотность же потока импульса полностью описывается уже девятью величинами: любая из трех проекций импульса вместе с частицей может переноситься в любом из трех пространственных направлений. Таким образом, плотность потока импульса представляет собой тензор второго ранга (кинетический тензор):

,        ,

где
  – количество -й проекции импульса, которое в единицу времени переносится через единицу поверхности в -м направлении.
  – функция распределения частиц по скоростям.
Можно заметить, что половина следа (суммы диагональных компонент) кинетического тензора равна плотности кинетической энергии:

В результате форма записи уравнения движения в традиционном представлении отличается от формы записи уравнений непрерывности:

и энергии:

.

А именно:

где:
  – плотность массы;
 – плотность потока массы, математически тождественная плотности импульса;
  – среднемассовая скорость;
  – плотность энергии;
  – плотность потока энергии;
  – внутренняя энергия частицы;
  – внешняя сила, действующая на единицу объема газа;
  – изменение в единицу времени в результате столкновений (здесь приведены уравнения для компоненты многокомпонентной среды). 
Можно заметить три основных неудобства последней записи по сравнению с двумя предыдущими:
 громоздкость;
 необходимость записи в трех проекциях;
 привязанность конкретно к декартовым координатам.

Последнее, например, означает, что в зависимости от системы координат, в которых решается задача, запись уравнения движения в проекциях будет иметь разные формы.

Такими же недостатками обладает и запись кинетического тензора в развернутой форме:

и запись последнего слагаемого в приведенном выражении:

где   
  – давление;
  – компонента тензора вязких напряжений
Наличие названных недостатков скорее всего можно объяснить тем, что кинетика в физике и тензорный анализ в математике – это сравнительно молодые направления в науке, возникшие уже после того, как натурфилософия, фактически, уже разделилась на отдельные отрасли: физику, химию, математику и т.п. В отличие от Эйлера, Гаусса, Стокса физики уже были только физиками, а математики – только математиками.

В результате тензорный анализ в математике, с одной стороны, оказался достаточно отстраненным от проблем современной физики и, с другой стороны, не сформировал еще общепринятой и достаточно компактной символики.

Необходимость выбора 
Развитие математического аппарата любой естественной науки часто ставит исследователя перед выбором:

1. Оставаться в кругу уже определенных категорий, правил и символики, за счет громоздкости, необщности и большого количества выражений.

2. Обобщить понятия, упростить и сократить количество выражений за счет введения новых категорий, правил и символики.

Первый выбор оправдан в случае, когда круг объектов с особенными свойствами узок и редко употребляется в соответствующем направлении науки. В противоположном случае, необходимость дополнительных интеллектуальных усилий в течение определенного времени очень скоро окупается экономией времени и средств представления (бумаги, мела, компьютерной памяти) в дальнейшем массированном обращении с соответствующими объектами.

Примером преимущества второго выбора в математике и физике является появление векторного анализа, возникшего ввиду трехмерности геометрического пространства.

Первый выбор – использование категорий исключительно скалярного анализа – требовал бы в данном случае использования трех определений в описании положения объекта – различных в различных системах координат (декартовой, цилиндрической или сферической), трех определений в описании изменения положения во времени. При этом использование исключительно скалярной символики означало бы разные правила дифференцирования характеристик положения по времени для получения соответствующих характеристик изменения положения. В каждой задаче вместо одного уравнения движения необходимо было бы записывать три, строго оговаривая при этом систему координат, в которой справедлива такая запись. Точно так же пришлось бы поступать в выражениях для связи потенциальной энергии и силы, характеристик электромагнитного поля и движения частиц и т.п.

Второй выбор – введение понятия вектора – означает необходимость усвоения немногих новых определений: вектор, скалярное произведение, векторное произведение и т.п., но легко окупается следующими выгодами:

- вектор сохраняет свою целостность в любой системе координат, в то время как значения проекций меняются;

- правила преобразования положения в скорость, скорости в ускорение как векторов, связь между скоростью и импульсом, характеристиками поля и силой как между векторами сохраняются в различных системах координат.

Наиболее существенную новизну сравнительно со скалярным анализом представляет здесь само понятие вектора – нужно просто привыкнуть к тому, что в геометрии и математике одна величина может характеризоваться не одним, а тремя числами – по числу пространственных измерений в нашей Вселенной. В операциях с кинетическим тензором мы сталкиваемся с названной выше необходимостью выбора – по-прежнему оперировать объектами двух типов (векторами и скалярами), описывая перенос импульса девятью скалярами или тремя векторами (со всеми издержками, названными выше) или ввести понятие и правила операций с новыми объектами, характеризующимися девятью числами. Массовость обращений к переносу импульса в механике сплошной среды скорее располагает ко второму выбору. Кроме того, есть соображения, по которым оптимальным здесь становится не просто определение нового класса объектов, но введение некоего "над-класса", к которому равно относятся и скаляры, и векторы и вновь вводимые объекты. Таким "над-классом" в математике и физике являются тензоры соответствующих рангов.

Понятие тензора определенного ранга 
В нашем случае тензоры являются математическим представлением конкретных физических величин, но не операторами в матричном анализе. Предлагаемая символика и правила относятся именно к такому случаю и не обязательно полностью соответствуют символике матричного анализа.

Тензором определенного ранга  в -мерном пространстве называют величину, которая полностью описывается  числами – элементами тензора. Предметом механики сплошной среды является обычное трехмерное пространство (), поэтому в дальнейшем мы и будем говорить только о нем. Таким образом, в нашем случае тензором ранга  является величина, которая полностью описывается  элементами.

В таком случае:
 скаляр, имеющий один элемент, есть тензор нулевого ранга;
 вектор, имеющий три элемента, есть тензор первого ранга.
Появление нового класса объектов требует новой символики. А именно:
 единственный элемент, из которого состоит скаляр , не требует индекса в записи значения;
 каждый из трех элементов  вектора  обозначается индексом , изменяющимся от 1 до 3 – соответственно числу измерений геометрического пространства;
 каждый из  элементов   тензора -го ранга  обозначается  индексами , изменяющимися от 1 до 3 – в дальнейшем для краткости вместо  будем писать .
В тензорном анализе, так же, как и в векторном, важным является понятие базиса, основанное на определении единичного тензора.

Единичным тензором -го ранга  есть тензор , в котором равны нулю все элементы, кроме равного единице -го элемента.

В таком случае:
 : единичный тензор нулевого ранга есть единица (единичный скаляр);
 : единичный тензор первого ранга есть орта (единичный вектор).

Операции с тензорами 
Для облегчения восприятия правила операций с тензорами покажем сравнительно с правилами аналогичных операций с векторами.

 Правило 1. Сложение тензоров и умножение тензора на скаляр

Вектор  равен сумме векторов  и , если элемент вектора  равен сумме соответствующих элементов векторов   и : 

1.1.                     .

Прямым следствием правила сложения векторов является правило умножения вектора на скаляр: вектор  равен произведению вектора  и скаляра , если элемент вектора   равен произведению соответствующего элемента вектора  и скаляра :

1.2.                      .

Тензор -го ранга  равен сумме тензоров такого же ранга  и , если элемент тензора  равен сумме соответствующих элементов тензоров  и :

1.3.                   .

Прямым следствием правила сложения тензоров является правило умножения тензора на скаляр: тензор  равен произведению тензора  и скаляра , если элемент тензора  равен произведению соответствующего элемента тензора  и скаляра :

1.4.                   .

Правило 2. Запись тензоров как суммы элементов

Вектор  может быть представлен как векторная сумма элементов с использованием орт:

1.5. .

При этом нет смысла говорить о результате произведения  – единственный смысл записи  состоит в указании, что величине  равен именно  -й элемент вектора .

Тензор -го ранга  может быть представлен как тензорная сумма элементов с использованием единичных тензоров:

1.6. .

При этом нет смысла говорить о результате произведения  – единственный смысл записи  состоит в указании, что величине   равен именно -й элемент тензора .

Правило 3. Инвариантность произведения скаляра и единичного тензора

"Результат" произведения скаляра и орты не зависит от последовательности сомножителей:

1.7. .

"Результат" произведения скаляра и единичного тензора не зависит от последовательности сомножителей:

1.8.  .

Правило 4. Тензорное произведение и представление единичных тензоров через орты

Внимание !!! Правило 4 является, фактически, единственным новым правилом тензорного анализа, не представленным в векторном анализе.

Тензорным произведением тензора -го ранга  и тензора -го ранга  является тензор -го ранга , если -й элемент тензора  равен произведению -го элемента тензора  и -го элемента тензора :

1.9.                   .

Таким образом, тензорное  скаляра и тензора произвольного ранга есть, фактически, "простое" произведение скаляра на тензор (1.4).

С учетом (9) единичный тензор -го ранга может быть представлен как кратное тензорное произведение орт:

1.10. .

Выражения (1.6) и (1.8) с использованием (1.10) можно записать так:

1.11, ,

1.12. .

В дальнейшем вместо (1.6) можно использовать запись (1.11) как более удобную в случаях, которые будут названы ниже. 

Правило 5. Произведение тензоров

Существуют три вида произведений тензоров: тензорное, векторное и скалярное. Каждому из произведений соответствует знак: пробел в тензорном, крестик в векторном и точка в скалярном. Кроме того, удобно использование обобщенного знака произведения "", соответствующего трем различным случаям:

1.13.    "    ", " × ", " · ".

Правило 5 является прямым следствием (1.11) и (1.12) – скаляры в произведениях можно произвольно перемещать относительно знаков произведений – знак произведения тензоров фактически относится к ближайшим ортам:

1.14. ,

1.15. 

.

Правило 6. Произведение орт

Тензорное, векторное и скалярное произведение орт имеют следующие значения:

1.16. ,

1.17. ,

,

,

,

1.18. ,

где    – символ Кронекера:

1.19. .

Правило 7. Извлечение элемента из вектора и тензора

Произвольный вектор   в различных выражениях может встречаться не в прямой записи (1.5), а как результат операций с другими векторами или скалярами. При необходимости "извлечения" конкретной проекции вектора  из такой записи можно на основании (1.5) и (1.18) использовать операцию:

1.20. 

Аналогично, на основании (11) и (18) можно записать для элемента тензора ранга выше нулевого:

1.21. .

Дифференциальные операторы в применении к тензорам 
Правило 8. Операторы Гамильтона и Лапласа

Любой из трех знаков (1.13) может использоваться не только в произведениях, но и в обозначениях действия оператора Гамильтона , имеющего, как известно, запись:

1.22. .

Результатом тензорного действия оператора  является градиент, векторного – ротор, скалярного – дивергенция. К сожалению,  в большинстве источников отсутствуют общие правила развернутой записи результатов действия оператора  в произвольной (не декартовой) системе координат. Приводятся общие записи в декартовой системе – единственной системе координат с неизменными ортами, а также частные случаи записи для наиболее часто используемых ортогональных криволинейный координат – сферических, цилиндрических.

Правильные результаты в использовании оператора можно, однако, получить, распространив Правило 5 на скалярные дифференциальные операторы – скалярные дифференциальные операторы в произведениях можно произвольно перемещать относительно знаков произведений:

1.23. .

Таким образом, имеем:
 градиент скаляра:
1.24. ;
 ротор вектора:
1.25. ;
 дивергенция вектора:
1.26. .

Аналогично (1.24) – (1.26) правило (1.23) в применении к тензору дает:
 градиент тензора произвольного ранга:
1.27. 

;
 ротор тензора ранга выше нулевого:
1.28. 

;
 дивергенция тензора ранга выше нулевого:
1.29. 

.

Обобщенно выражения (1.27) – (1.29) можно записать так:

1.30. 

.

Правила дифференцирования производных орт в (1.27) – (1.30) аналогичны правилам дифференцирования произведений скаляров:

1.31. 

При этом конкретная система координат представлена просто набором значений производных орт по проекциям координаты .

В тензорном анализе, как и в векторном, используется также оператор Лапласа :

1.32. .

Результат действия оператора  на произвольный тензор в произвольной ортогональной системе координат можно получить с использованием тех же, что и выше, правил:

1.33. .

Некоторые характеристики тензоров второго ранга 
 Представление тензора как матрицы
Тензор  второго ранга может быть представлен как матрица:

1.34. .
 След тензора второго ранга
Следом  тензора второго ранга  называют сумму его диагональных элементов:

1.35. .
 Сопряженный тензор
Тензор   называют сопряженным тензору , если элементы тензора  получаются перестановкой индексов элементов тензора :

1.36.                   .

Можно заметить, что:

1.37. .
 Симметричный тензор
Тензор  называют симметричным, если его элементы, симметричные относительно главной диагонали, равны друг другу:

1.38.                   .
 Унитарный тензор
Унитарный тензор  есть тензор второго ранга, недиагональные элементы которого равны нулю, а диагональные – единице:

1.39.                    .               

Можно показать следующие свойства унитарного тензора:

1.40. ,

1.41. ,

1.42. ,

1.43. ,

1.44. ,

где тензор, сопряженный градиенту вектора :

1.45. 

и внутреннее произведение  унитарного тензора и вектора :

1.46. .

Симметричные тензоры. Операция симметрии 
Тензор  произвольного ранга является симметричным, если перестановка любой пары индексов не изменяет значение компоненты тензора, например:

- для симметричных тензоров 2-го ранга:

1.47. ;

- для симметричных тензоров 3-го ранга:

1.48. ;

- для симметричных тензоров 4-го ранга:

1.49. 

и так далее.

Можно заметить, что число независимых комбинаций индексов для тензора -го ранга равно .

Любой тензор   произвольного ранга  может быть преобразован в симметричный тензор  с помощью операции симметрии:

1.50.,

где   – сумма исходного тензора   и всех тензоров, получаемых путем перестановки индексов его компонент аналогично (1.47) – (1.49).

Можно заметить, что если исходный тензор   уже является симметричным, имеет место .

Тензорная степень вектора. Бином и дифференциал тензорной степени вектора 
Тензор  произвольного ранга  может быть результатом кратного тензорного произведения одного и того же вектора :

1.51. .

Для краткости можно использовать символ тензорной степени вектора (итерации вектора):

1.52. .

Показатель тензорной степени нужно записывать в скобках , чтобы не путать тензорный квадрат вектора:

1.53. 

с принятым в векторном анализе обозначением квадрата вектора (квадрата модуля):

1.54. .

Можно убедиться, что:

1.55. .

В алгебре скаляров существует запись для степени суммы скаляров (бином Ньютона):

1.56. .

С использованием принятых здесь обозначений можно показать для тензорной степени суммы векторов:

1.57. .

Для дифференциала степени скаляра известно, что:

1.58. .

Можно показать, что для дифференциала тензорной степени вектора:

1.59. .

Кратное скалярное произведение 
В операциях с тензорами часто встречается необходимость кратного скалярного произведения тензоров, для которого можно использовать следующую символику:

1.60. ,

то есть:

1.61. 

и

1.62. .

Например, с использованием символа кратного скалярного произведения выражение (1.21) приобретает более компактную форму:

1.63.

Уравнение движения. кинетический тензор и тензор вязких напряжений 
 Использование предложенной символики и правил позволяет записать уравнение движения в универсальной и компактной форме без привязки к конкретной системе координат:

1.64. 

Аналогично, для развернутой формы записи кинетического тензора имеем:

1.65. 

и для тензора вязких напряжений:

1.66. .

Следует отметить, что последнее выражение, так же как и выражение для кондуктивной составляющей плотности потока энергии (теплопроводность):

1.67. 

представляют собой приближенные формы, применимые только при описании относительно плотных средств, когда производными величин  и  по времени и координатам можно пренебречь по сравнению с их изменением в единицу времени в единице объема в результате столкновений.

Одним из часто встречающихся недоразумений, связанных с "урезанностью" (1.66) и (1.67) является представление о том, что причинам вязкого переноса импульса и теплопроводности являются переменность среднемассовой скорости и температуры в пространстве. Аналогично, в диффузионном приближении, когда производными среднемассовой скорости по времени и координатам можно пренебречь по сравнению с ее изменением в единицу времени в единице объема в результате столкновений, причиной течения называют переменность давления в пространстве.

На самом деле, с учетом отброшенных в обоих названных случаях слагаемых течение, теплопроводность, вязкий перенос импульса, переменность скорости, температуры и давления являются следствиями общей в каждом из названных случаев причины. Например: изменение среднемассовой скорости и давления – как следствия переменности сечения канала в реактивных системах.

Уравнения моментов функции распределения

Механические моменты и моменты функции распределения 
Основные уравнения газодинамики представляют собой уравнения моментов функции распределения частиц по скоростям. Функция 

2.1. ,

где
  – элемент объема в пространстве координат;
  – элемент объема в пространстве скоростей;
  – количество частиц в элементе объема  в пространстве координат и элементе объема  в пространстве скоростей.
Инструментом для отыскания функции   является кинетическое уравнение:

2.2. ,

где
 – сила, действующая на частицу сорта , имеющую скорость ;
 – оператор Гамильтона в пространстве скоростей;
 – интеграл столкновений – изменение  в единицу времени в результате столкновений.
Основные механические характеристики частицы представляют собой моменты массы , где момент массы  порядка  определяется выражением:

2.3. .

Например:
 момент массы 0-го порядка  представляет собой просто массу частицы;
 момент массы 1-го порядка  представляет собой импульс частицы;
 момент массы 2-го порядка  представляет собой тензор 2-го ранга, не имеющий специального названия, но половина следа которого  есть кинетическая энергия частицы,
Основные газодинамические параметры представляют собой моменты функции распределения :

2.4. ,

где   
  – концентрация (количество частиц в единице объема);
  – символ осреднения по скоростям.
Например:
 момент 0-го порядка  представляет собой плотность массы (массу единицы объема);
 момент 1-го порядка  представляет собой плотность импульса (количество импульса в единице объема), количественно равную плотности потока массы (количеству массы, в единицу времени переносимое через единицу поверхности);
 момент 2-го порядка  представляет собой плотность потока импульса (кинетический тензор, количество импульса, в единицу времени переносимое через единицу поверхности), половина следа которого  есть плотность энергии (количество энергии в единице объема);
 момент 3-го порядка  представляет собой тензор 3-го ранга, не имеющий специального названия, но половина вектор-следа которого  равна плотности потока энергии (количеству энергии, в единицу времени переносимое через единицу поверхности).
Похожее описание приведено в работе R. Fitzpatrick Plasma Physics : An Introduction, но для моментов, отнесенных к единице массы, и с записью только для следа-вектора момента третьего порядка .

Уравнения моментов функции распределения 
Уравнение момента -го порядка функции распределения частиц по скоростям может быть получено умножением всех слагаемых кинетического уравнения (2.2) на момент массы -го порядка с последующим интегрированием всех слагаемых по всем значениям скорости.

В результате в применении к заряженной компоненте газа возникает уравнение следующего общего вида:

2.5. ,

где      – изменение момента   в единицу времени в результате столкновений:

2.6. .

В зависимости от порядка  можно записать следующие случаи для уравнения (2.5):
 при =0 – уравнение непрерывности:
2.7. ;
 при =1 – уравнение движения:
2.8. ;
 при =2 – уравнение потока импульса:
2.9. ;
 при =3 – уравнение моменте третьего порядка:
2.10. .

Незамкнутость системы уравнений моментов функции распределения. Уравнения статических моментов 
На основе анализа уравнений (2.5) – (2.10) можно заметить, что система уравнений моментов функции распределения является принципиально незамкнутой – при записи уравнения для очередного неизвестного момента -го порядка, во втором слагаемом левой части возникает дивергенция момента порядка .

В любом описании система уравнений газодинамики замыкается приближенно с использованием предположений того или иного уровня точности.

Оставляя пока открытым вопрос о незамкнутости системы уравнений моментов функции распределения, можно показать возможность ее иного представления с использованием записей статических моментов. 

Сопутствующей системой координат называют инерциальную систему отсчета, в которой в данный момент в данной точке среднемассовая скорость компоненты равна нулю. Скорость частицы в сопутствующей системе  (хаотическая скорость) может быть представлена так:

2.11. .

При этом в соответствии с определением среднемассовой скорости  имеем:

2.12. .

Таким образом, первый момент  (плотность потока частиц, плотность импульса) в сопутствующей системе равен нулю по определению.

Моменты функции распределения в сопутствующей системе называются статическими моментами и  могут находиться подстановкой  вместо  в выражения для моментов функции распределения:

2.13. ,

2.14. ,

2.15. ,

где  
  – тензор давления компоненты, равный кинетическому тензору  в сопутствующей системе координат;
  – третий статический момент, равный третьему моменту  в сопутствующей системе координат;
  – четвертый статический момент, равный четвертому моменту  в сопутствующей системе координат.
Тензор  можно условно называть потоком давления.

Можно показать следующие связи между величинами полных и статических моментов:

2.16. ,

2.17. ,

2.18. .

При этом вместо уравнений потока импульса (2.9) и третьего момента (2.10) можно использовать уравнение давления:

2.19. 

и уравнение потока давления:

2.20. ,

где   и  – изменения  и  в единицу времени в результате столкновений, равные:

2.21. 

2.22. .

Можно заметить, что половина следа тензора  представляет собой кондуктивную составляющую плотности потока энергии:

2.23. .

Следует также отметить, что понятие тензора вязких напряжений является реликтом, связанным с попыткой представления единичного объема газа как материального тела, изменение импульса которого происходит в результате действия неких сил.

На самом деле все три слагаемые в (1.65) соответствуют переносу импульса вместе с частицами, а не результата обмена импульсами (действия сил). Поэтому предпочтительным является представление кинетического тензора в виде (2.16) или в виде:

2.24. ,

где  – тензор вязкости, равный:

2.25. .

Поток вектора в математике и физике принято считать положительным, если он направлен наружу из выделенного объема, а силу в физике - положительной, если она направлена внутрь. Этим и объясняется разница в знаках   между тензором вязкости (как составляющей плотности потока импульса  вместе с молекулами и тензором вязких напряжений как "силой", действующей на объем.

Уравнение вида (2.19) приведено, например в книге Б. Росси и С. Ольберта "Introduction to the physics of space" , но в форме уравнения для компоненты тензора давления, а не в нашем компактном виде и без каких-либо рекомендаций о способах отыскания тензора .

Приближение третьего ранга 
Как уже сказано, система уравнений моментов функции распределения принципиально незамкнута. Замыкание достигается приближенно в зависимости от степени анизотропии функции распределения в сопутствующей системе координат, которую считают необходимым учесть в конкретной решаемой задаче. 

Уравнения (2.7), (2.8), (2.19) - (2.22) содержат тензоры от 0-го до 3-го ранга, необходимые для расчета характеристик устройства с учетом, в том числе и диссипативного переноса импульса и энергии. Проблему представляет тензор 4-го ранга . При этом, моменты четных рангов не равны нулю даже при изотропном по  распределении.  

Например, при максвелловском распределении имеет место равенство: 

2.26. .

В работе  предложено следующее приближенное обобщение зависимости (2.26):

2.27. .

В таком представлении уравнение (2.20) приобретает вид

2.28. ,

то есть не содержит уже новых неизвестных, что позволяет приближенно замкнуть систему на уровне моментов от 0-го до 3-го ранга.

Найдя след каждого слагаемого в (2.19) можно показать для скаляра давления :

2.29. .

С учетом (2.19), (2.29) для тензора вязкости можно записать:

2.30. .

Найдя след каждого слагаемого в (2.28) с учетом (2.23) и подставляя  (как при максвелловском распределении) можно показать для теплопроводности:

2.31. .

Для однородного газа правые части (2.30) и (2.31) могут быть представлены так:

2.32. ,

2.33. ,

где – эффективное время передачи давления.

Подстановка (2.32), (2.33) в (2.30) и (2.31) дает для однородного газа:

2.34. ,

2.35. .

Граничные условия и характеристики столкновений 
Можно заметить, что "классические" выражения для вязкости и теплопроводности можно получить из (2.34) и (2.35), оставляя в левых частях только последние слагаемые. Однако в разреженных газах, где роль столкновений в объеме мала, нельзя пренебрегать слагаемыми, связанными с изменением диссипативных характеристик в пространстве и во времени. В отличие от "классических" полные записи являются дифференциальными по искомым параметрам, а значит для их решения необходимы граничные условия.

Названные условия должны отражать факторы изотропии или анизотропии в процессах на границе газа (или плазмы).

Например, на границе плазмы с поверхностью или окружающей нейтральной средой существует пространственный слой заряда (ленгмюовский слой), по своей природе неоднородный и нестационарный. Отражение электронов от потенциального барьера в этом слое не является зеркальным - происходит релаксация импульса и трансформация моментов функции распределения высоких рангов.

Вопрос формулировки граничных условий с учетом названного процесса решался в работах. 

Актуальным остается вопрос о записи правых частей для уравнений моментов порядка выше 1 с учетом упругих и неупругих столкновений в объеме.

См. также 
 Физическая кинетика
 Статистическая физика
 Физика плазмы

Литература 
 Речкалов В.Г. Векторная и тензорная алгебра для будущих физиков и техников: Учебное пособие для вузов [текст]/ В.Г. Речкалов. – Челябинск: ИИУМЦ "Образование", 2008. – 140 с.

Примечания 

Статистическая физика